# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/59320/text
# Catalogue record: 59320 — [Aufz. zu Differentialgleichungen]
# Incipit: [xxa-xxy]/[yya+xya] = dy/dx = t
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=59320&katnr=57516
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 313 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 313): 2 pages, canvases 621–622, page ids 00068196:0621 to 00068196:0622
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=621
# Lines: 208 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.80
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 313r — 00068196:0621
# Scan: The same scan is also registered as fol. 311v, fol. 314v; its text is given once, here.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000621.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 114 lines, status machine
He aequalionae in his equationib nncquam
assumunt quaesile ad potentias demus foret
esse in ag. 1. essemetatu et eam mat
set et nominalo non ided lamen necesse
es in ay. 4 assuni nominatorem qua in ata
aequatione sempet res redum se ad ea
formam lollendo y in nominatore modo
mn popantur fracti per X. Quibus tamen
poissiunus assignare denomina torem communem
per seu is aeq+ pro v conere hv rpsec
79 et similes duplice e possunt dupliet
modo solbi uno gembabiter non
les
et Cunc si non explicando, et tunc faciendo
oporleret facre certas in cognilis supponere
de terminationes in proen. cactendo - ab+ da. set
el = - d seu aldx = -dl X fi. a dx : X = - al ; l. seu
1 eCa g. = Fadr. a t loget = Cadx: x. sed et alia
alia nam ex ubi feri pt ut ope unius og. habeatur l, si scilicet sa lx)
liam reduci sb ad log. s sed si rem relinqmm termi
nis iul velim determinare oportet in aeq. 7. al ab= aa- al
plicage a et b et da quippe cognitas et et pro bassumendo
leralem instituere compatationem seu sefficere equationemiderti
quae raro in pdegtia pluras eraheterin omparunt quamliterae
licet eato possimus t assumere confi silam ex ailperatore B noratore
Lor locul nominutor ois in onnibus fauti pargu, nonbit fuae
sepparet quanti sit usue aequationem generatem assudere seu ctasum
nel hrabenum utr inspecieum mullas renute non profuturas
empe essumera Cg. 4. ut volor ipsius  non habeat b in sunum anfor
 video sufetere ut in aegiq assumatur V per solam X, sed nn
eporteret v assurgere ad potestates. Mraestit ergo ioc
mo puto tem mem suct exionem latle
se quamtibeecurum redua sempera
t
Resumamus sit aequatio data incremensalis:
 dx: du = ax - Xy,: ya e8= eXy: dy
fiet ea sem, jam ex aeg.  est dx ya : dy = ax - Xy. Ergo per ex 3 per 2
fiet 8a = aX = Xy, seu 9. x aqu. 4 dividendo per ax, fit 8. x = 1 - y: a
seu y: a = 1 - 9. x. Assumatur jam Y: a = v: X. utique ex etu
fiet 1 -9: X  v: X seu - X - G = y seu 8 x- v.  q. 7. quaera
cur differentialis, quae erit dy:a Xdv - pdx, ixx. Haec dividotur
0
per y: a et per aeq. 7. fiet ex aeg. 10 fiet dy: y =. Xdv - VdXIXK, : v: X
et pro dy: y substituendo ob aeq2. valorem  hoc est (per aequu)  daratitique
est aq  siet, valorem ax: P, hoc est (ob aeq. 9) dx: X -, utique ex aequ. 11. fiett
ax: X - D = X dv - vdX : WX seu vXdx = XXdB - xV dx = XVdv + vedx
14)
seu =x +XO do aC 2XV Wdx = XX - xVdv. quam:
noto artificio reducere possum ad quadraturas. probatio calul
calculi pro ponatur xa, et pro des per instituatur, quo securiores simus.
 aeg. 7 est v = Xy: a it per ob aq. 10 est dv = XX dyia + Xy: a ax : X
seu du = Xdy 4 y dx,: a quos vatores ex aeg. 15 et 17, substituendo n aequeiq
ex ea fiet: B 2XXy: a = XXyy: aa, de = XX = XX y: a, Xdy t yx,: a
seu 2XKya dx - XXyydx (aXD  xy L - XXyy ax
seu R(EAXXyax (= XX yyaX = aXXX dy AaXXy aD - XXxydy C XXVydx
e
ubi destructis destruendis, t et dividendo per XX fit ay dx = axdy -xy dy
quae aequatio coincidit cum aequ. 1. d proposita, ac proinde prollema
est falutum. Eademque Methobus procedis, si quacunque atione redocatur
 Quomodo cunque in equtuoque L ipalis ol)
X, V a.
sit aqua du: Ax sit aequatio data dyrdx = vatori permx:y
jam sit dy: dx = y: 8, fiet y: c = valori per per X, y, a, redmenda
sifieri potest ad  seu  unde y: a= valori per X, Q, a seu
y: a  valori per X: a, p: a sed debet esse y: a valori per
ergo oportet y et a esse per se solas homogensas inter se, qu’ut
sunt ax et dy
eot htaque habeurus Methodum agnoscendi
oculiab ter quando hoc artificium procedat nempe si in
valore ipsius:ydx:dyue sint yeta per se solos homogenea, inter se
ita ut fingendo  e esse nontrum etX esse numeros nihilo
uniaque serventur lege, homo genectum. Et itafit in gaquatione
quam resolverauus tempe ubi  posito = ydx :dus, sit = ax Xy, i
ubr fingento  et X esse immeros servantur leges homogeneorum per _a et y
quod test pulcherrimum
XX a = XX
ya + xya
dy = an aliqua
x
ratio excogitari pt explicationem aliquam
quaerendi cujus ope tollatur cognita
. constans
ponatur
2Z
Xa
Z
et 
a et 0= 2X
et ya
e
or
et
y: x= elv
X
X 1
y vV + aL
ergo aequationes
vx
1Z- 2) ax
seu dx 2xdi
2ydv- vayu
seu ty = 2ydv: D
ex aeg. l.
t
=
2XaZV
hhabemiis
J.
et 9 et le pro
Xya = VOX=
et fiet V= A1) et ad da-6 hasita e
XXa - XXy =yyateXyat
fit a= XXGC: xx - yyt xyt e
ita siat XX - yyt - xyta = V

## Folio 313v — 00068196:0622
# Scan: The same scan is also registered as fol. 311r, fol. 314r; its text is given once, here.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000622.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 94 lines, status machine
Hic  ir
Q toriG per X; a y in diffecentioli non post
potest simul tolli X, et a, nilis sit Z= mX + na +   51Z squi
mxa na = valori per  Y, Z
videamus an possit inveniri   slere er Exemplum, ubi Z- valori
ubi Z= vatori per H, X, a et quaerendo differentialem, ac
Ope ejus tollendo X simul connescat a. Nempe
Z= valori per y14 a Ergo X: a = valori per Hoc rgitur
fieri potest, si ponatur cX: a = y: Z ita erom ex = a 
ex idque  dxia =  d ytque
aaaxxtyy- dy
A yax
sit a G dgrus x dy: yax = _ valori per y, X, a
Sumatur  GB  om aequatio inter X, B, y, X, a, Z, tatis
ut tram x et a servans leges homogeneorum, in qua etiam y et a
solae inter se servent legem homogeneorum. Siet y: a= valori per z: X
ergo dy: a = valori per de: dx , Z. X. Ergo dy: y = valori p 1 x es Z.
sit aqu. apty A y
ayloy
ae qupropo ita
y si ergo sat gaxedys=
i Gxa X: 4 sutatur ydx: dis = 8
Et absit 8 y: a= 
le
A
K
ex simsre tivn via d vatrip ee L.
dlela
pinprementalem
val. per P. X = valori per v: X jam per differentialem
aquationis 3, fit dy: a = valori per dv: dx, v: x Ergo
(5) alter
er ae 1. 3 et 5 sit dy: y = valori per dx: dx, v: X
per
6 et
jam per 4q.1. et C dy. y = dx: P ergo fil   x div. fper vab, e do: C
Aor (St
fit = dx divis per alteram valorem ex de, dv: dx, 8: X; jam ope
0g. 4 et 8 collatur , et fiter valor et fiet scu ho- AX. 2
valorper v: X ((g. 3) nl pl. in X = dx diuis. per alterum val. ex d v: dx, v: X
id est fit ex du: _X = val. per vex sine interventu ipsius a, seu constantis
ergo solubilis aequatio per quadraturis. Gentemus in exempeo, sit
3:a + d. x=1 seu yx +Pa = ax seu jamas au A
 jam sy =EIxy seu c ay: dys. Erguer 213 fit yxty ) adxi exdu
seundaus seu dy: 2x ya: aX Xy, quae aequalo redmetur ad quodraturas
essuratur a B:x siet v: X1- D. jam perdif. 44. 6. fit dy: a= vdX XB, ZX
rio ayin ieu uX  dx: . Ger aq. Eseu _ Rs:   p.X) - v xin XX, sebit
 a0 qu vex aercndiatis e
ingens compendium pro
neraliibus
ae quationibuad Mechobum ianque
tiam javerscem. Mhullucianu
sit dy: ex = v ( sit jam aolat no
 aequatul) inter v. y. X
Moto hacter
me excogitato sumitur aequatio generalis inter X et y
et hujus differentialis dat Y X. Y: X. y avum sabstatua
G
. ita habetur v ratreabiter qui vul cujus valor
substitutus in aeq. 2. reddere debet aeque, 3
quid si sic Aequationis rpperatu
16 rebi dationisd  smplicum
differentialis erit ey (4). Sumatur alia
differentialis AB
D = X. y: X.. y arbitaria; cujus ope dabur
8) ~ 
e
iteram de purempliter, duas to aequando
similles
nos valores do aequando et dabitur aeg. 19
ia
X Y. V dy: ex ubi follendo ly. Ex
per 1 sit eq. (10 dm qua solum p y. v. quae
et ita es llud
dbet coincidere cum eg. 5.
est egnerium quod arbitariae assumta
ad oullas polentias littollunta
 V = G a + by+ cy erc. posito a ex b, c, danco
fit dv= ada + b ly + y db + 2c y ly+ y de erc seu
do=  da + ydb Ly Ac + eu G 1 1bv + 2C70+ 3Cy v
essumatur v l+ mu +n s etc py eu fiet
v2 1l= yamy du et alvtmBL cu Et
equando aos oatore do ex eg. 2et 5 fiet
e
tua
a + db + 5dc etc. ch it a 24) e + 3y p C_  V abus quam
e
e 08 aqy eu
 ab  ab  de
ibetq
a 
n 
a 
ul oer