# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/59611/text
# Catalogue record: 59611 — Mathematicae collectionis plagulae ו
# Incipit: a.d.c.e.b.
# Date: 1673
# Akademie-Ausgabe: AA VII,4 N. 016
# Other printings: T.1: LAA VII,1 N.114
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=59611&katnr=Cc2+547%2Ftlw.
# AA VII,4: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-4
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,4, p. 287 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII4A.pdf#page=287
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067993
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folios: Bl. 301–304 (from the shelfmark LH 35, 2, 1 Bl. 301-304): 8 pages, canvases 603–610, page ids 00067993:0603 to 00067993:0610
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=603
# Lines: 604 recognised on 8 of 8 pages, mean confidence 0.88
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 301r — 00067993:0603
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 302v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000603.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 80 lines, status machine
quaerendum an necesse sit
sit C. media proportionalis inter a. et b. et d inter a et c. et e. inter c etb. ad necesse esst, ip
omnes a. d. c. e. b esse continuo proportionales. Nam si est media proportionalis inter a et b.
Ergo a = E tam si d. media propoitonalis inter a. et c. ergo a = d Resta t demonstremus
2
Nan a - 5. ergo ja = (4)). =  a   5 1ien 4- 4 ergo a- d
a = (42))
Poro d=  (Ca). Ergo 8= ca. Ergo   aL
item ( a G ergo item quia C = . ergo C = d ergo C - d.
Jam C. C. quoque investigemus: a = C. ergo (ab = c. item a = d ergo Ca = d: ergo C - (d)
a
Item  c = d. ergo C = d b. ergo cF d b et ca item quia ( = . ergo ca =  ergo  
Jam C = E. ergo c.(e7. E e - (6
Quod altire b qua a - f argoba - c. Ex b e
Item quia C = C ideo bc = c. et b- (e ex tot aequationibus, quarum tres primae sunt
u
datae seu fundamentales a- =, item 4 = d ac denique C = . Ex his ernuntur definitiones
terminorum datorum, et cuilibet termino tot sunt concedendae definitiones primariae, quoquot sunt defini-
tiones fundamentales, quas ingreditur. His positis, jam conemur demonstrare =- =. Et quod
ita tentandum, cuno c sit in utraque defini aequationis demonstrandae, parte, pro ipsi duae ejus substituendae sunt
definitiones, quibus scilicet d. atque e. continetur, nempe d et E. fient aequationes d x. sed et tentabium
quid fiat, oubestitulis definitimibus ipsius 8 vel e vel ut compendiosius procedamus, a subs supponamus
hanc propositionem esse veramo D = C. Ergo d = E. a ergo ed = c.
Jam c = ab. = d’a = d b = ea At d = 5. at pro b. sulstiluamus E ergo d = C. ergo d = C.
E
ergo d =. ergo d = E. Quod mrat demonstrandum.
dE
Ex his exemplis discimus praeclaram methodum demonstrandi theorema datum, qualem
legere me non memini. Nimirum, pquemadmodum in Algebra problema ponitur
factum, ita hoc loco Theorema sumendum est esse verum, seu demonstratum. denique der
ila habemus aequationem ed = C. quam ut probemus verane sit, excetras ex c definitionibus
seu aequationibus Elementaribus, tales, formemus, quas non ingrediam literarum datarum, seu Elementorum
d. e. c. in quas nulli alii termini ingrediantur quam d. c. c. quod facile freri potest, substi
tuendo elementis aliis nihil ad rem pertinem habentibus, eorum definitiores, sed eas, tantum, quibus
nes accommodatas, qualis est ista d= ex qua faciemus accommodatam, pro b. substituendo ejus
non nisi termint propeals 
sutm ex clementalid.  Definitionem sed eam qua non nisi e otc continentur, qualis est C. fit ergo deffinitio aummotata:
 Unde fit d = E =   Ergo d = =. .
d =
Thenema effugere potest, quod demonstrandum proponitur.
Nam methodum nullum
Leo omnium difficillima
Artis Analyticae pars est, inventiro theorematum, longe profecto difficilior quam solutio proble-
matum. stIa enim exhibentur modi oplimi solvendi problemata. Et fassus est ipse Cartesus
analysin suam eo non pertingere, quod et annotat schotenius, difficile esse ista divinare, modos
scilicet solvendi optimos. Et ratios est quia opus foret institnere mille combinationes finstraneas
antequam detegatur una vera. Huic ergo arti subsidia paranda sunt. vide quae schotenus
devit
odam
commoda et
in notis adGcom. Carlescjubiter faletur in solutione problematis a  persya Arithime-
ticoipsi propositi Quare injurva ipse Scholenius aliique doctissimi viri, scriplores Theorematii
glemnunt, cum theoremata, quae scilicet ribus res maxime dissitas inter se ligant harmonia
quadam ligant, praeclara sint compendia rationis humanae, sine quibus in omn solutione
problematis cujucunque omnia ab integio ordienda foren. Haec ergo peat eo remata
in aerarium publicum relata extare interest generis humani, ne de integuo sempe ileratione
laboris opus sit. V. g. isi extarent divina illa Theoremata de Centrogravitatis, t ai
praeclaras quadraturas, fortasse non invenissemus. Adde si theoremata aquaedam alicui
in mentem venere, fortasse, aliquot secula abire, abitura, antequa alius in eadem incidati
quoniam Analysis non statim offert iptimas methodos; nec quitus facile quisquam sibi impositu
sit omnia tentandi laborem. Theorematum inventio est genus quoddam experimenti rationalis. Et
onie cet aere rentio p sutita se temneur aat de
Si
demonis
opmor, idem
fieri et si tres
proportionalis
interponantur
Eadem methrosd
pose ino polutiot
pollematuro
Nota cum hec de E
non sit Elementalis, 
si pro a substituatur ejus
efinitio Elementalis 
ita eum fit q
stratio si duae mediae
proportionales semper
intergonantur
sd forte cum non est

## Folio 301v — 00067993:0604
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 302r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000604.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 37 lines, status machine
160
Frustra hic quaesivi dimensionem figurae
logarichmicae. sed ea nunc per ficcile habetur
quia ordinatarum ejus seu logarithmorum differentiae
sunt progressionis Harmonicae; Ergoca quaum
distantiamm momentum haberi potest. Momentum
autem disereu tinvum dat summam fdure.
Proportionum seu Logarithmicae ABde alsitu do AB.
proportionales
esto Fi Attituda figurae) propooumum AB. applicate extremae AC. BD. Ipsa fi AB. divisa sis in partes
easde
aequales quotcunque C) ex quibus mediae proportionales mefinita,  intra parallelae reductae intelligantur. Harum
partium massignabilium una appelletur X. numerus earum B. (5) ipsa recta AB erit = BNe, (8) Minima
proportionalium extremarum BD. dividatur itidem in partes aequales infinitas, ea lege ut pars aliquota inassi-
gnabilis ipsius BD sit ad aliquotam inassignabilem ipsius AB nempe N. ut recta B. est ad rectam AB.
ergo numerus partium inassignabilium erit aequalis utrobique B() et ipsa BD = D. Maxima autem extrema
rum cum divisa sit in partes inassignabiles aequales partibus inassignabilibus ipsius BD., et per consequens numerus
partium erit inaequalis, ponatum ratio nune ponatur id est ut ipse rectae, ponantur recta AC. esse ad rectam B ut Z ad B.
erit numerus partium rectae AC = ( et ipsa recta AC =  ) (10 3) Quod si omnes intermediae proportionales, divi
dantur in infinita.  seu partes inassignabiles _ aequales inassignabilibus extremarum, numerus partium
in qualibet linea, erit ad aliarum linearum ut linet ipsae sunt est ad alias lineas; ac proinde ut lineae, ita
et numeri partium, erunt continue proportionales. Ducantur nunc Porro divisa qualibet linca proportio-
mmem sa e punctis divisionis ducantur rectae Altitudini parallelae usque ad maximam
proportionalem Manifestum est figuram totam ABDEC. dividi in infinita recta o, qu
nalium in infigita,
eorumque numerum esse aequalem, summae omnium numerorum omnium linemum proportionalium qui si iniri
Haec ex ipsa figura ad oculum apparent, ut non sit opus
verba paderem in re manifesta sed ne qui Nam distantia cum proportionales ut BDNC. sint inter se parallelae,
possit, habebimus aream figurae.
earam distiatioe seu rectae tas parallelae, eas jungentes TF. aequabuntur ipsi (au auraum s es i  haei mitera puncta
eas rectas in ipsa altitudine interceptae i rectangula ergo exigua inter se aequalia eseia ut DBXF, cum
eorum altitudo sit s B BN = N. basis B7 = 3. erunt s2 Tota autem esse manifestum est, quod sunt 7 in qua
rectangula e ad quamlibet proportionatium constituli, modo ex ea rectae altitudim parallet e p intelligantur duci ad proxime majo-
rem, quo sunt in ipsa partes 7. id est quot sunt unitates in numero ejus troportionalis, ac proinde tot esse rectangula
in universum quot su in nunero sum summa omnium numerorum sunt unitates. Porro cum numeri isti
sint termini progressionis geometricae, summam eorum ita inibimus, ut aliarum serierum Geometricarum
solemus

## Folio 302r — 00067993:0605
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 301v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000605.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 79 lines, status machine
Nimirum constat in omni progressione geometriba. continue decrescente differentias terminorum, esse terminos, progres
Sionis geometrice ejusdem. Quia si a proportionalibus auferas proportionalia, residua sunt proportionalia:
2s 10 20 40 80 160
1a
80.
vel
37
d
81
243
ida 162
constat etiam si duae sint series progressionis Geometriae ejusdem, aequali utrobique numero terminorum
summas huarum duarum serierum, esse inter se, ut terminos ex diversis seriebus, ordine sibi res pondentes
ut ac proinde ut est maximus ad maximum, sive, ut est minimus ad minimum. cumque series aliqua
geometrica data, eru et series differentiarum ejus, sint progressionis geometricae ejusdem, futurum
est, abjecto ex serie data, termino minimo, ut tam series data terminorum, quam series differentiarum, sint
quemadmodum ejusdem pregressionis, ita et numero terminorum aequales. Hinc _ ut est maxima
differentia ad maximum terminum, (243)  vel minima differentia (6.) ad minimum perie minimum antea
nunc minimd abjecto minimum terminum (9) ita erit summa differentiarum (+ 8 + 54. Y162)
ad summam terminorum sminimo demto (9. 27. 81. 243.) Superest  nunc ut summam differentiorum
inveniamus. Coest Jam constat in progass serie continue crescente vel decrescente, quocunque genere
progressionis (modo scilicet termini semper crescant, aut semper decrescant, non, modo crescant modo decrescant)
summam differentiarum inter duos quoscunque terminos interceptarum ,aequari sma differentiae horum
duorum terminorum, ac proinde summam omnium differentiarum totius progressionis conpinue crestentis
aut decrescentis aequari differentiae inter terminum et maximum et minimum, acproinde summam
differentiarum prugressionis Geometricae datae, aequari inter differentiae inter extremos proportionales.
(6+ 18 + 54 + 162. = 243 = 3. = 240) Hac ergo differentiarum summa inventa, summam terminorum
inire licebit ex dictis, si ita dicamus: ut est differentia maxima ad, summam differentiarum
ita este
2 differentiam extremarum propot
ita esse. terminum amaximum ad summam terminorum
ut est differentia minima ad
ita esse terminum minimum
summam differentiarum
Quare: ducta summa differentarum in terminum maximum factoque diviso per differentiam maximam prodibis summnterim
minimun
differentia extremarum
240 213 = 58320. 162 = 360. vel 240 (9 = 216016 = 360.
quare ducta Y B in Z = 3= ZB. pactoque diviso Poura Termine manimus est ad differentiam maximam
d minimam - YB. B et alics quives, ad ei respondentem, quare et cumma termi-
norum erit ad summa p = - pB differentiarum, ut differentia maxima ad terminum manimur
sed hoc ad infinitum translato nacitur d ubi differentia inter duos quosdam terminos proxi
vnta
mos; est magnitudo inassignabilis, aaquaeque proinde non dividit, oritur difficultas ingens. Nam
summa differentiarum in terminum madimum ducta, factoque per. fit utique figu superficies
(cum duarum linearum numeri  puncta eorum seu quantitates in assignabiles designant, in se invicem
ducantur) quae divisa per numerum differentiae, seu lineae qualibet assignabili minoris, non videtur
minui posse, manet ergo qualis erat. Ergo summa omnium Terminorum aq Rectangulorum
N3 aequabitur numero Y- D. in anumer differentiae extremarum proportionalium  numerum extremae
maximae ducto ergo ea summa erit P= ZD. at eodem jure contrarium concluseris. Nam etiam
est
summa differentiarum E- D. in terminum minimum D. ducta, vel in alium rermit
indentem
am quamcunque
ideo cum ea differentia sit minor assignabili quavis, manebit idem quod erat, ergo inter
figur summae quaesitae ac proinde inter se aequabuntur 3 C3 - 28. = 58- D =- ZY- Cp. quod
est absurdum, nam omnibus his quantitatibus, aequalibus, per eandem Z- D. divisis producta quoque 8. vel 5. vel 1.
necesse foret aequalia esse quod est absurdum. Fateor inge ingenue me biduo integro in hac difficultate
haesisse, obpructo undique exitu cum et nihil falsi assantur videretur, et conclusionem absurdam esse
constaret. Cum ecce venit in mentem, ulterius procedere resolvendo, ud quantum res pateretur
eodem omnia nomine constarent. Quare cum agnoscerem omnes diffecentias termines posse intelligi
productos factus ex minimo s per multiplicationem, ex maximo per divisionem; et eodem modo quo factus est
terminus ex maximo minimove, etiam differentiam ei respondentem, ex maxiuro minimove factam
esse, constitui  numeros intermedia alius emnis per me pariter differentiasque omnes per
minimum terminum minimanve differentiam denominare, et quare esto aliquis terminus quicunque
cum terminus minimus quiaque sit D. placeat aliumque quemcunque vig. maximum appellare β0.
ut β. scilicet sit ratio ejus ad O. ergo E = βB. eodem modo, si terminus sit  ratone ejus ad B.
His ita positis Eodem modo differentia minima, posita cuit
maxima erit A _ BB. et differentia Termino Y respondens erit A V. His positis operationem supra
1
posita V. erit 4=
tam infansto cum sucestu tentatam redintegremus. 
infin
infin.
minimam
si respondentem
5
Albo l 160
1

## Folio 302v — 00067993:0606
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 301r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000606.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 97 lines, status machine
0-0
Dicatur somma vifferentiarum in tuminum Miminum D. producto E.B- D. diviso per differentiamninimam D prodibilsumm
Marinun (3D 
quadie VB potudo ZYB - 7
ides quemeumque Terminum assumas productum; summam nempe Terminorum, seu omnium Rectangulorum
esse eundem, ac proinde in objectione falso assumtum fuisse finitum assignabile
rficia
Eins
Cinif
10-702 2B.1
inf
inf
(inassignabite
ineam
divisione per inassignabile seu subinfinituplum mintas non posse, quod verum est si utrumque rati purum,
Sed si a ambo sint affecta vel divisor saltem sit aliquo numero, ut hoc loco est β3. vel V. affectus
tunc in subinfinituplum dividere potest ac minuere su infinituplum, ud si etsi enim ipsum mroidu illuo subii
finituplum non dividat, tamen numerus ille quo multiplicatus est divisor, non ideo minus dividet sive aget partes
suas, dividetque. Perinde enim est, ac si numerus ille solus omisso subinfinituplo, divisor esset. Revera enim
sub infinituplum tale salvis omnibus omitti potest. Exempli causa si quantitas infinita dividenda sit per infinita
quandam triplicatam
infinitum datum omisso finito, restabit infinit tac proinde si infinitum intelligatur
3. finit. dat. ini Lineadata = Li Lin. id est tertia lineae e pars, idque
tunc multo maxime necessarium est, si dividendes pariter ed divisor aqu affecti sina, ut 6 L in = ZL in
3. Punct
superficies data
3 punct
esse linea, finitum esse punctum, fiet
quare et _ 3 L in = Linea data  Eodem modo. V superficies data = superficies data
linea inassignabilis
Vlinea inassignabilis
idq hoc locolubs usu venisse, in V. vel β. in divisore paviter ac diviso di deletis patet. Uet appareat quam
3 eunct.
ti sint momenti profundiores istae infinito cogi contemplationes, quae quibusdam talium inexpertis,
hoc loco
habelibus
et inassig
Numertm po
pessionis nosraeseu Numerum 2B-D Sed cum dividendus est quantitas
mmam e munctum
Ostensum est ergo, summum comnium Rectangulorum esse:
nfini
f-0
punctorum (seu Rectangulorum  inassignabilibus) lineo unius in una linea, comprehensonum differentia nempe
inter applicatam maximanis et minimam ABD; ductus in D. Numerum punctorum in alia linea BD.
comprehensorum, facit utique numerum eorundem punctorum sive rectangulorum in tota quadum iuperficie com
prehensorum, sive dividendum dio ZD.  hoc loco dividendum. At disferentiam Divisor O est differen
infin.
ta inter duos Termines rinimosaeu duas l applica hafen immediate viinas, talit autem differentia minor
nimass
aanter duos terminos minimos Bdelore, contentorum,
Hunc divisorem crederet aliquis tuto statim abjici posse, eum superficiem per lineam imassignabilem
est linca qua seu numerus punctorum in
dividere velle, videatur esse nihil agere, id est dividendum relinguere qualis erat Credidissem ego
quoque nisi pauto ante superata difficultas cautiorem me reddidisset. Quare opere pretium est, ostendere, quam
lente  ere sit festinandum: meretur ea res considerationem profundam ed diligentem, cum et a
nemine guod sciam tacta sit, et nisi observetur, possit seminarium esse paralogismorum, quibus dudum negligen-
tia rtentium, quanquam magnorum aliquando Virorum, infamen fecit  qu timur hoc loco utimur
Anulysin per hunc cui uni magnorum Geometrie Poblematum solutionem debemus Melludum Calculum
superficiet
lnassignabilium infinitorum. Ajo igis dincusio ejus minui mon
aliquod, ali aliudve nassignabile divisa, quotientem esse aliam Germetriam, Lineam, superficiem, corpus
qua ita sit ad dividendum, uti unitas in constructione exposita exposta ad divisorem. Id 
nimirum generale est omni divisioni sit enim devidendus a. divitor b. productus a.. constat int est . ad L itresse
ut est B. ad 1. ita esse esse b ad . Hujus chenematis canonis tam vulgaris, quis obsecro usum expectasser
in hoc tante profunditatis argumento, et ejus tamen recto usu tota quaestio absolvitur. Nam unitas in
quaestione nostra est BXe vel Gd. = X ergo si divis ut unitas Gd. est ad divisorem ut divisor Divisor autem
O
5D G differentia inter duas minimas proportionales Bd. et NeGE ergo ut GE. ad bel-
infinit
sto ex differentia extremorum in minimum proportionalium, ad summam rectangulorum leutanda ejusdem demon
quesitam.. Nimirum cum dico t est se hoc loco comparo GE. et GD. non comparo eorum longitudinem, sed numeraue
erit
infin
ad Gjd = se ita sed ideud omnino notandum
unitalum in ipsis, seu numerum rectangulorum ipsis applicatorum,  in figa exemplo figurae sensibili ubi utique
non nisi finitus rectangulorum numerus repraesentari potuit, apparet eo modo ED. non nisi unum ejusmodi rectam.
gulum subtendere, seu non nisi pro uno sumi posse, ad GC. pro quinque Unde
apparet cur Gd. sit unitas
ter ac t
At in infinito, ubi massignabilis est rectangulorum quantitas, et differentia inter duas minimas applicatas pante
minor est qualibet linea resta quae non dicam cogitari, sed fingi possit, quis obsecro nobis rationem s numeri
rectangulorum GE. ad numerum rectangulorum super Gd. dabit. Et tamen quod tamen nisi fiat, desperari
potest, de hac certe solvendi via. Sed omnia in satuo sunt, ostendam enim si recta unidus Gd.
infinite paroa sit, differentiam minimarum applicatarum GE.   fore infinities infinite parvam, ac
iscint
manes 1. seu
puriade seu GE forc ad qd. ut punctum ad lineam. Jam l divisum per infinite mins
ifinite parvum
s qu epi  fram
Cmam inf
ocatem )
7D-0
seu ut differentia
duorum minimorum
onalium a
cosperentiam

## Folio 303r — 00067993:0607
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 304v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000607.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 98 lines, status machine
R4 ab- b. X L
e1q ab3bX L
per constructionem
Ratio unitatis in constructione expositae ad infinite parvum, nulla alia Rratione Caffectum, est ipsa
unitase. Nulta iutem alia ratione affectam intelligi Nam ut divisar infinite parvus est ad  ita 1. es
dividendus est ad productum
infin. paro in f. pavo.
dsprenti als k atina
a - b X 1
u
ergo . inifim. potro.
uisin purv.s
Sergo et = in fin paro infinpar
in fim paro ergo
infin pans inifinpari
Cum ergo positis applicatis lineae finctae AB infinitis, Hinc paradoxum
producitur enni quantitas Ponatur eum productum seu numerus quo quantitas illa infinite parva, in data uni-
infin. paro
 infimite provum quan 5e  3 d - 58 8 -
Dut
3 3D - B : - 3057 - 053. = 7 X 8] - Ar B
3Y est ad AC. sen 37 vel: Z2 DN- B~ DI.
niscat A
 e sneri
est nn
per unitatem, Pouro cum aliquid multiplicatur per unitatem, dividitur vero per aliquid minus unidate,
quando ipse divisor minor est  quare cum divisor estu
inm
manifestum est id minui quidem, sed tanto ciferenti nulla, eri quod idem est minor quat assignabili
infinite pare subinfinituplus unitatis impulmationalios ligtes AB. finitae applicatis, differentiam duarum mini-
marum applicatarum GE. esse infinities minorem ipsa recta unitate seu recta inassignabili GD.,
qualibet minor. Porro positis applicatis infinitis
quod unum resta, ita ostendo: E quemadmodum constat et constructiones figum, inde enim velut de integio repetenda res est,
Cum inter duas extremas N C vel 80 C. et BD. media proportionalis constituitur 20 E. rectam 80B. dividi in
duas partes aequales, similiter cum inter 205 et BD. Media proportionalis invenitur, ipsa 20B. rursus bisecatur
in 10 idque eodem modo evenit, utcunque procedas in infinitum, donec ultimus  minimus terminus progressionis hujus
duplae sit ipsa unitas seB seu 4d., maximus autem ipsa recta AB. At vero quoties una fit bisectio, aut
sub sectio ipsius AB. ejusque partis versuB pertinentis, ad constituendam istam quam dixi progressionem duplam, cujus
terminatio est svel suB vel Gd. toties seu quoltes uno plures unitate augetur numerus terminorum hujus progressionis
toties numerus applicatarum proportio nalium duplicatur, ideo numerus Terminorum serici geometricae applicatarum.
aut differentiarum est ad numerum progressionis Geometricae subduplae cujus initium altitudo AB. terminu, un itas NB, ut
e etc Patet His pontis concstat dua series pu
Porro
progressionis Gcometime, ijusdem numeri terminorum terminationes earum seu trerminos minimos esse in composita
8. V 3. a4. 128 e
ratione rationum et summarum ut summas; at si sint sint aq numeri terminorum sint inequales
1.
es 1.
esse in composita rationes summarum, et potestatum, quanum exponeus est radia Ratio prostessionis, exponens
8 termini minimi (1) et. 1. sunt in composita ratione
9  Porro si series differentiarum et series subdupta inser
sint
est ad 1. 1.
Summarum, quae est ) se porro comparentur, manifestum utriusque summam esse lineam et tamen maxniuam illius
4
numerus terminorum, ita si sit . 2.
esse punctum, maximum hucus lineam; vicissim rationem illius esse infinite parvam hujus autem esse. his positis quae
ritur quomodo se hobeant termini minimi utriusque seriei. Fingamus primum numerum terminorum utriusque seriei
re finitam
ut duo ista Gd. et GE comparentur, seu rectangulorum utrique comparatorum numerus, manifestum est rectangula ipsius
t
esse eundemm vel saltem rationem horum duorum numerorum
GE. esse G851. et ratangulum ipsius G D esse N 1. sufficis ergo ergo comparari longitudinem ipsius (D. GE. et
ipsius 3.
p1
Ab 2 Ab
Idem breviteir sic demonstratur: ponatur minima proportionalium D. maximm est ratio incementi .
summa omnium erit 6+ 89+ B9 B
ab = A E a = A. Ergo b - 1 = d. Ergo d +1 = b
5 AB - A = A. erit A62 = A
ab a=
si AB. A. = A eut Ab 24. .t Ab - Ab = - Ab
1a 1Ab  ab + ab 5aV erc
iam at ab rab t ab ere = D.
si b = Aquif2 R etif. 2.
12
a a + 1ab - 2b11 a. + ab= 1 rab 4 36. 1 46 156s  12ar ia
3 8 10 3  2o 50
ser
b-
a 
0.  3  io i fin. 
n apu G) 25f 3en 4 9  64 d etc. inff. = d. 2. 2. 4. d. 2 etc.
Nam. 1. 1. 1. 2c. est summa pypamidatis horum 1. E i erc quae aequatu in infincto horum summae
re
perquadrata mullpercaber in finito, si pra triangularem eorum summam adimas,
ergo hujus 1.  24 8o hc E 20 46 summa plais est 2 2. 1. 2. etc ego si tales sunt
dfferclie aplicatarm: 1 in 18 e ts E sumumi sa figua
hgqugab t 
R11gab b
24
32
tta
o 6co uso
32
2
in
15 u

## Folio 303v — 00067993:0608
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 304r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000608.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 85 lines, status machine
Melhious Generalissima figuas ennilnicas omnes aud absolule aud in numeris proxnie rcis, pront
curgsque natura palitur, quadrandi: Nimirum dis per disferentias ordinatarum. Ninirum Differentio ordinatarum
in altitudinem ductae in suas distantias a basi, dant aream figinae. At distantiae earum a basi sunt ut numeri
natirales. Ergo differentiae ordinatarum a bati i ductae in numeros natuvales, seu respondentes, incipicndo scilicet
a basi seo series corum Triangularis incipiende a basi dat aream figurae. Differentiaae ordinatarum figmrae
datae et ejus complementi ad Rectangulum sunt eaedem. Ideo ord diff Dafferentia t Differentiae Triangularium
Ordinatarum ductae in numeros naturalis incipiendo a parte basi opposita dant complementum figurae
datae ad rectangulum. Hinc theorema universalissimium sane admirabile. Figura data est ad loparallelam
ut est bracrium differentiarum inter ordinatas in altitudine dumtum, seu distantia centri gravitatis earum differentiarum
nensu
a basi, ad altitudinem. Vicissim ubicunque datur quodratura figurae datur brachium differentia ordinatan
ad abtitudinem in altitudine, seu  summa Plaris.
Quotiescunus datur summa serei, summique differentiarum, daturo e summa Triangularis differentiarum,
ab utroque latere.
innumeris progressionis harmoniaae eorumque differculis, aut differenlis diffcentiarum
extadibis differentiis in numeros naturales ductis prodit series terminorum, quorum sunt
habetur cgo quodit
habetur ego quae
differentiae.
ordinatarum ad axcm
Ratio eorum quae supra dixi est, quia semper differentia ducta in distantiam a basi, dat appli-
catam (etsi non ordinatam) ad basin.
circulorumo
1
1.2
sim inter se cum quodrata hemuispchauii ita procedant: 1- 1. 1
Applicatae parabolu sunt Trilinei parabolici axi parallelae, sunt: 1. 4. 9. 16. 25 e 36. ipsius semiparbolae
vero 5 - 1. Y- 4 f - 16 7 - 25. 3- 36. etc. Sinus quadrantis: R9 Z - 1. n9 7 - 4. 9 7 - 16. Rq PY -2 5.
differentio sinuum: R9Z- 1, = A9 5 - 4.
213 - 1., L a 1)- +
R9 Z- 4 - R9 Z- 9.
agus - 16 2 a a7 - 16
Ry5LG - R9 7- 16. etc
H995- et - ng9 5 - 124
i qua sit fignra, in qua ordinatarum differentiae, sint ut progressionis harmonicae; figura aequabitur
Figuras ipas possis appellare Agotomicas
quas per Apotomas seu differentias metimu. Et hanenisplcie posis dicere Apotomicam Hypertoloreidem
Fignia in qua ordinatae et differentiae ordinatarum sunt ejusdem progressionis,  est progessionis
Apotomica
Arithmeticae et Ggometria.
neordinatas quidem esse necessesit, sufficiunt applicalae. in lasi axi
Regula nostra adeo generalis est, ut regula constitui possit ejusdem: distantia brachium aequilibrii
differentiarum inter applicatas, sumtum in altitudine, ad basin, ductum in altitudinem, producit aream figurae.
sed eo casu non possumus uti app summis Triungularibus nisi applicalae sint ordina taeseu ae quidistantes
Quemudundum centm distantia centrigravitatis omnium chordarum, seu curvae, ductum unqu
curvam, dat superficiem cylindricam Ungulae, atque ejus ope superficiem unvam solidi cnaarem voluti.
Jac Gregorius devit tantum Clepsydiam ut vocat parabolicam, si scilicet circa tangentem verticis
Volbatur, ego dabo si circa tangentem quamcunque, Mo cuca rectam quamcunque extra ipsam
volvatur. idque non tantum in parabola, sed emni simplici, sed X cubica, et alia quacunue. Imo non
tantum in parabola sed et figura omni, cujus notum est centrum gravitatis. Imo erravi, exhibet
ille superficiem tantum hujus
Therrema memonabile, si ex uno libro brachio suspensus sit
Gregorius a S Vincentio quadravit ungulam Parabolicam plano seminormali per axem transeunte abscissum,
ego quadrare possum Ungulam parabolicam omnem, plano sen ex cylindro panatotiao ab parabolae aut
semiparabole, aut cujusque portionis parabolicae, (cujus centrum gravitatis haberi potest) abscissam plano per
quam seminormali per quam cunque rectam a datam transeunte, abscissam. Consideranda tamen res est,
an scilicet quae de Ungularum et soluorum revolutione productorum, relatione dicta sunt, sunt plane universilia
Hoc modo possum quoque quadrare Ungulam Hyperbolicam plano quodam, neque perpimtolam, neque per axem,
neque per his parallelam, eransemite, abscissum. Poro omnium istarum Ungularum reperores possum centra gravitalis,
upposita quadratura basgos. Ideo possum quoque reperire centra gravitatis supposito scilicetetragoni sinus somarum
ejus abc = cd
Segmentum circuliqu aequatur suo, rectangulo ex arcu ejus, et dimidia distantia centri gravitatis arcus, a tangente
conveidum, ungulis respondentium.
ad ejus extremitatem f
esed sub
C abc = cd. Ergo abea = escd. Idem alit sic efferri potes, si segmentum circulare
brachiolibrae quantalibet, et ex eodem arcur ei aveus ejus superficies cylindrica basi arcu,
longitudini
altitudine dimidio brachio segmenti libere suspendatur ex altero librae brachio longituda sit distantia centri gravitatis
libere suspendatur 
arcus, a Tangente ad extremtateem arcus extremitatem, fiet aequilibrium. Sed idem it elegantius:
si superficies cylindrica cojus basis arius circulic altitudo quaecunque ad tangenti ad extremitatem, in lodmsontu
 affixus ab altero autem axis latere, segmentum ejusdem arcu trachiosive distantia ab axe, altitudinis superficiei cylindricae
dupla
 rtd
ap
 tro
167 - 20br +576.
aidendum an
Ey
ne perpetat
latix possit fieri,
 
15
 pt G. B

## Folio 304r — 00067993:0609
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 303v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000609.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 78 lines, status machine
neque centrum gravitatis
et sane hoc theorema tanto
accus aut superficiei cylindricae, aud segmenti datum supponit, quod adque
magis mirum videri debet, quod hactenus superficies cyliudrica in circulum redigi
potest, circulum autem cum segrmento comparare hactenus nemo potuit, non magis, quam arcum rectaer circum-
ferentiam diametro.
Ex tis quae de Tradiatura pro figurae logarithmicae demonstravi nova ratio delegitur, forlesse
et sn summon colligendo
commodior omnibus quae in usu hactem fiere, constudendi logarittimos, quadrandi hupertotam calliaque peragendi,
quae ad rationes pertinent. Nam figura fit: altitudine ducta in termino maximo cluctus in altitudinem, id
est numerum temimorum productoque diviso per diffeaentiam duorum terminorum minimorum. quae si vulde paron sit
eadem ergo est summa cognrithmorum. ad inveniendum autem ipsum logarithiumum, duas summas proximas sibi subtrahemus
ut si quaerimus logarillimum termini 20. a summa logurillunctum termind romo aufereum summom a termino egnop
cumus termi hae duae summae siant differentia termini termino magnum ducto in Sifferentia termini 20 et imi
ducta in 20. posterior differentra termini 19 et 1. ducta in 19, at vero un differentiae termini 20 et 1. sit 19.
quin benni nus 2omus est 20. primus 1. in logarithinis ubi scilicet nungornaatium ea ducta in 20. diusa per
lemminorum, quin is non aa cerlis, quoniam. 1. 2. 3. P. numeri manles quippe non semper aequi distaent o gre
Numen lemimor dat ipsum Togarithmum ergo legarivhmus ductus in merum cu est logarithmus, dermtae ums
producto diviso per differentiam inter mntatem et factum ex uni ratiumcntum cdabit, logaithactum surmgatur. figmari,
quae subtracta a rectansulo sub logarithmo et termino maximo dabit log anthimor summau
Applicata enim figurae logarithimiae sunt complementa logar thmorum.
conaristimus ppoca. numerus maximus b. ratiunicula c. figura erit ab - a. summa logaritumorum ab - ab -a
sel
reG abta vel cab - ab. - ab -a vel cab- 2ab.+ a  sed. malo primam enunti atiorex ab, ab a
c - 1.
1.
differentaae Auplicalarum Trilinei paraboleci, sunt:. 3. 5. Y
E
cuuque applicatae parbslosiit enssentius ordinatis  16 erunt difserentare eadem, 1. 5. 7. ete at se quid
a-
si differentae crescant edt 1. 4. 9. 16. vel quid si crescant crescentibus ordinatis, quo casu, ipsae
ordinatae crescun ut numerorum nl summe. Videntur transiee in pysranidates, quid si sunt, ut maerorum
natui harmonicorum summae sunt nmpaibulocis, sed quadralilis. Eodem modo quadrahi possint omnes figurae Harmoniodes
Harmonicoeides, ut quarum differentia sint:   
2. 3 6, 10 15 21 20 50 etc. tales
applicalae sic crescentis inveniri possunt, quando in cuntur tertiae proportionales non ad eandem, sed ad
continue rrescentem. 1. 2. 3. 4. 5. fruit
4 9 aceu sed sic producatur Vlum.
qualis ipla otsecio figura est ino qua differentae ita procedudt 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. id fuale, tunc en
Nota alud est sumnam invenre logaridhuor absolute quod ego, aliud smmam nore Logarilhnor progessionis
6.
applicatae ita: 1.
Asthmetice. Ino cora. idem est, quia logariltui nungorum progressionis Arichmeticae
Melluius illa metiendi figuras per differentias longe facilaer est, quan per inscripta et Ercumscrpta lino contra id in
Ctiplantum caficus. quando io differentae per 1. 2. 3. issplicatae facitius sammo possunt, quam psae
figure.
g R982 Repta
2
16
+ 256 1024
 192 166
Nota Figura proportionum hoc habet sibi piculiare, quod in
nulla forte alia repereris. Ut solidum ex ejus circa altitudinem
revolutionegenitum, ipsi figurae planchomogeneum A.
et conocidibus
Examinanda non tantum qual sriangula sed super Cylinoris et conis, sed et quasi Paubilae, et dum
64 256
Scilicet supponitur vig. aliquid moveri super cylindio motu composito ex descendente, et in gystum. Pet hypotenus
quasi Tianguli, si et figum quasi Triangulum si acceleratio sit in uno mot, simplecitas in alteo, fient quas
parabolae etc. aliaque figurae infinitae quae in ex opositione motuum funt, super in plano exprimi etuo possi
in superficie curva Eadem in convernditus _ sphaeroerdibu, e proinde sibus suprficiebus revolutione factis, considerare lict
amo etium compositio ceru
le
non factae, sed aliis modis sic ex, time possunt ut hyperbola, et si pro
parallelae
 in indiraast
si sit figura in qua vait applicats A93 . Ao differentiae applicatarum R9 3. R9B. Aq15. Aq2a. ejos
15 24. cui si addanti quadrata basium unitals 1.
alficie
applicatis sumanti cirat
cait quadratum larum differentiarum 0.
 cujus radites 1. 2. 3. 4. 5. 6. etc. erunt chordae figurae
ed 1. ejusmodi intelligendum est tam parvum, ut ejus tot, quot communibus qus habemus ad quadrabum, lic opus sit
s
fiet
ad altitudinem quo posito 1. 2. 3. 4. 5. etc. dabit dimidia altitudinem quod absundum est, curva euim magor altindiae
quomodo ergo. necesse est, ut utrobique 1. sit  ejusdem rationis, si volumus mire summam cu
et ideo

## Folio 304v — 00067993:0610
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 303r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000610.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 50 lines, status machine
curvam necessi est esse non lineam od supificom, et solidum non nisi summam Tansulae
al ordinatarum alicujus plani, cujus ordinatae. Aqu. Rgu. f48. Rq1. ad reapsa tale peonumes lum, nil
eum refer, si substinas 14. 1. A9+. R49. etc ideo superficies noc loco poranidalis hoc  at so
A90. Aq. 8. R435. R9 99. idem erit, ac si erit summo Triangularis, sed ungulia
hoc modo:
solida cuus hae dfferentiae, et cha curi solido si qua figum plana homogenea ealibeatur, ejus
hondae erunt. 3. 6. 10 etc. Ungula ista converti intelligatur in prisma sed ita ut eadem muneat
homogenemm, ejus prismalis superficies aequabitur s basi ungulae. Regula generalis: Si Ungula
converti intelligatur in prsma Homogeneum, superficies pusmalis, aequabitur basi Ungulae, et
curva baseos prismatis aequabitur basi ungulae per altitudinem prismatis divisae. Quodsi portio
plana ingulae applicata quadrari possunt, ut possunt si Ungula parabolica sit potest lengula redigi inprisman
seqvali semper eadem sive qualibet applicatur in rectangulum redacta, servatia eadem semper ejus rectanguli
luigitudine. Hoc presito lum area datur prismalis imus, si scilicet area pusmatis aliunde cognita per altitudnem
dudatur, tum vero datur prismatis superficies quae scilicet aequabitur basi rengula itio Figura Basis
a
prismatis ejusmodi semper est figura sopotomica, seu differentiarum.
eq q 11 Hq3 + 4, A4. Z +9,
ipsur I. sumendum  nunc in quod divisa altitudo sumendum Erc quasi
pro linea integia, quia differentiae hic infra lineam subsidunt, aliquand
gradibus 2b9 et ultra ut si differentioe per cubos procedant etc summa
facit lineam, cum tamen alioquin si mnitas in iis foret ordinariam
faceret cubum. Aode Ergo 1. in quod altitudo dividitur, ipsis addi simpliciter non potest
7.
Z. 2. Z3. Ry A 47 2a 2X + 4Z 4 - +ZR, p 2 F 3 + 42 - 42) R
aasta 12a Rq a + 42 a - 47a
2
ex
male.
rejicio +a et - q quia fociunt non lineas, sed numtros. restat:
92a = 6za + a
a - 42
gr G. . 16 sing. Alctorde diffrentie:
aa a 2
a - 37
A =k
qur
 1a
sq 2 - 1. 2
affecto A 14Z = , = R9 Z - 4.
197= 4, - h9 L- 9.
Aa (44 + Z+5- R9Z2 + 4 -5
tg
42 a. 82
+a 2t1
u
Rg
2a R42H1.
ag3
Omnem figuram havere
ne nor