# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/59613/text
# Catalogue record: 59613 — Varia ad cyclometriam II
# Incipit: Praecedenti plagula multa dixi ad cyclometriam pertinentia, dedi quadr
# Date: 1673
# Akademie-Ausgabe: AA VII,4 N. 022
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=59613&katnr=Cc2+695
# AA VII,4: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-4
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,4, p. 422 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII4A.pdf#page=422
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067993
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folios: Bl. 323–324 (from the shelfmark LH 35, 2, 1 Bl. 323-324): 4 pages, canvases 647–650, page ids 00067993:0647 to 00067993:0650
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=647
# Lines: 374 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.82
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 323r — 00067993:0647
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 324v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000647.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 84 lines, status machine
quad ratura coneidis culus basis est circulus en diametri infiniaae, sen erjusmons ossugrota in uboru falsur
praecedenti plagnta multa dixi ad Gyilometria pertinentio, decti dedi quadraturam ductus
liculorum asmpo
cujusdam Cyclosa rabolici alioque id genus Ea tentabois persequi si merenti. Simma Deorum Hyperbolu rectantu
ductus spubi Hyperbolici rectus in se ipsum adento cylindro spatios hypervolgi asyriptoti in radium aequatu langenti
in seisum, dento tangente arcus dnidii porro Tangens est media proportionalis intersinum et differentiam simus a
secante, simi ergo posito b. (ut radio a) pono ac basui AC. in partes sectam aequalet. ergo datur AK. velub
differentia puius versi a radio, vel. d numerus unitatu  esto b. ejus p. .  a quad radii a. fiet B9a2 
sinus IN. posito sinu facile habet longens quia ut  b ad a, itao sinus ad tangentem Tangens
d Rgar=d. Ergo
s
C. sed cum AB. aeguidividitu
ordinatae ad Asymptolam hyperbolae prodeunt. Et necesse est sunus aequaliter crescere non
sius versos, vel corum  coplementa. Ergo aliter imhuandem
a - b b - a - b aq. langens. (19 at a
l
inde A a  L a  aV. Egod aet (4 = a - ab. Ergo 2ab = b - a t. Ego Z)
Nunc quaeramus tangente arcus dimidii, hoc modo. Datur AN - a- b nq ergo et NC = a ba - Aq a b
datur AN = a = b 5 R9. ergo e MC = a = R9 a b ergo et ic.
aliter: ut AD. ad DE. ita AC. ad 1)F. vel FC ergs 1F = DE. Ergo H = DEAC
pergo a - q
B a a a ab a - a b - a 20c N
intangulo DiG. datur di - a a  et DG=  Rg a b = b Porro dubitu, et EG
EG = Di. Ergo EG - i AC aL a a a, a- a 4 a ab, a. b. fals
eo AC na AD
Ad. 
eut b
Ero sic emendanda res est. sinus debet sumi KE. =b se cant AD. eut 1a Tansens at, a Rg
Ang sinus KEA = fi An) DAC quia ang. EAC. est angulo KAE suypo ad rectu, et X EA eigem XAE C
sit in eodem ilo rectangulo. Ergo vta Esse A et AdC. similia. Ergo AdA
Unde apparet se cantes ipsi AC a
porro datur recta EG = b a - b.
pplicetos rmperbolim dare.
a a -b =-
datur et DG nempe dG 5G
Est = est
DEDG- DCEG.
Rg a 1, a- b - a + b 2ab a2
una AC
porro cum Ila DEF et AEN sint simulia, cum sint rectangula, et praeterea angulis habeantae quale
CAC. et CDFEFd. Ergo et = DE ergo EF = DEC AN r. Esx autem es  Aq a = b t Ergo
EF = FC tangens auu dimili = a- a,  b Rq a  b = a - ab
EErgo ia tangs. dimid. = Tangs. dupl. a- Atanus. auc. dimid.
d a- b
Hoc Theorema comperare
2ae tans dimidii Tang. dupli
a B Tang. aus dinidi
s autem primo tangentem ud a nobis determinatus est, a a, Aq. ducemus in se ipsum, fiet a a
St hoc spatium quodvari pt.  restant summa rectangulorum, tangentus in tangentes arcuum dimidiorum.
summahom hpberi,
as
a+ ab- 2ab- a- a + aeb- 2ab
aeb - b+
An ergo brevius hoc modo quia tangens itiam alibr euuntiari potest: Tanus
Erit mdlliplicatio hoc modo concipienda: Ag a b. a
fieret a a b seu a - a. l
a. ab
Rga- b.
Sint ngab
a + aeb  a, Rq.
a- b
a. Ergoteus.
spelium hyperbolicum in radium ductum. nam a facdarent spatium huperbolicum
Habemus ergo aequationem hanc: sum. d plicati  ferbolaecd Asmpt.
L. Cylind. Spat. Hyperb.
aequationem signum ingens veritalis; etsi nihil novi delera
e Expelliano Theorenale ducabo a sah in R4a b a in
fil. B4a
egab
Cst .242
 ab
ega   s- N + aet ab2a6
eror forte aliqui sed res permulle
ti entiter
- X = 
e a- ab
i
+ar
aes  et 
196. 6, 2a
a- ab
Bgab
tue ex actissimo
a+ a6

## Folio 323v — 00067993:0648
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 324r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000648.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 85 lines, status machine
  scipsi pate aequad
Ex iis quae Ere, et sub finem plgulae praecedentis, ubi ide
notabilist: abuna parte suit quadrata differentiar intrordinatas hryperbolae et radium, quae utiue quadeam issunt
4. a,
a ba a- ab = a lsa a, ba- a + a
a  a + a - 24 + a.
diffecentia secantis a radio summ abu
putes ora elidi
quatur lectargulo
sius versi in t conplementi sinus (aequnlite assunti) in lansentem arcus sm a Mt in puteg endubit
a- a
 Rg a - b aRq. a  b, = a - b a - ab
ergo
Ra a= b
u d. b C a L a 2 l ab5 a
le blum sus pltrit
Nota Angulus AED. = V. DE ergo VA AE = 4 L YD H. quin ulru supplemti pro
aequatum in Vlorctargulo AZH et EDF = Ergo HE=
Ang. EFD = V D AC. vel HAEF
ex. d+
(1 AEI
A V EDF: V. AEN = V, AHE. Ergo Dla) AHE= et AEN similia
curo H HG ergo HA AN= AE Hi
A A scads mosingunus iplementi
H4- AE Ergo H4 EN = AE AE, Brad moglenee de monstratur Vimi rum secans per ra su diisa, dat quada. radim
AE, EN. quia tecans est quadi. radii per simum divisum illime quahonde moment Mtolice oirtanu a vasi
sinum AX
AA. AE Ergo HA AN = HEAE seu secens in basin aequalis radio in longentem Et quin quando tens s
HE AN sunt infunde parvic lagens secans non ditfert a radius hu de Ergo summi rectansulor
eis secantibus, et simibus aequatur summae tangentium in radiundia sinus intem HE sunt ordinati applat
horum ergo summa seu quadions, si ducatur in summam secantium seu asymto spatum asgrotoum ipi
bulicum, fiet summa plangentur, puto Conchocis, in radium ductum, seu enlindr condio eidis. Sed nota ad habena
sme lranseant ex A per H. langentibus tantum vaniatis pohlo quadratura
a AE HsH AE = __ Ergo AE NA - EN HE Ex su hac demonstratione propositione
onqus
secantes
EX No pendet quadratura figurae sinuu, et pleraque omnia in pascalii
B_ tract. de Arm dinibus avubusque circuli, deque Cyclocide.
Vlum H. KE fimilecto AEN. vel KEA. Ergo KA AE ergo XA HK = XE S.
menorabile est: sumu quadiata sinuum  radio aequibios. HH.Bertum aequantur secantib
seu ibidem applicotr in simis calemen areuspplementi ibidem applicatos ductis, hos sum conelementi voco e sagittas.
e) dicerem secantem denta sagitta. Sit sagittae istae, locasum sunt lenand proscessionis Geodeliit
redi sugittis, (quae sunt seu sinubu Eplementi, qui sunt prosessionis Arithmeticee,
in difficentubis suas
a secantib duct hinc si ab applicalis Hyngtotae hyperbolae auferas applicatas respordentes trianguli
aeque alti cun hyuibola, et sibi ipsi a altitudiuis bassque epusdem, triangulo in residua dacto,
productum aequalr est homiseneum hemispherio, s aequatur quadratis sinum de
est hyperbolico, minima applocata unijque minimae alterius eam AB= AC =, BdBE
AD = AE. et ante ductum hoc Truangulum abscinditur. quod si addatur tantum
ductus recta producto solido, quad rabili, ductus trianguli ABB in seipsum ABE. habebimus d
dudum tots Triansuli ADB. in totum spaim Numplotum CABEIF.
porro habemus jam quadraturam lino cavendum non quiend ducendum YAdB.
Ad BGA. si modus esset ducendi etium friangulm ADB in spatium Hyperbolium
haberetu quadratuta hyperbolae
X5 erit DE = KB
redenums adfigulam priorem dicuti Bo sinus ri te i e secant
AO- AB ergom AE = AAsecansHe Ergo AE BH = OE. AH. a
fri angulium
at DE. sunt applicitae dri ansuliAdB
DE BB pDE ABH suppemtata pilicet triansuli AGd vel A. GB..
Ergo radius ductus
in spatium Hyperbolicis dento cubo suo, aquatur plo ADB in spatium idem ducto. cubus autem eus est
in ipsum momientumus seu Ium BGA in eni dectud tum
sumula tiangularis un ab puo satre addita sumnae ab altro labe, faci cglindim figurae  cu suallitudo
est ipse monsurm, cujus intini lasimae scilicet sunt dinibles D. 
2 ad
aLa
2
2 1 a
ve nt
a 1 a Y a3, a 445
pt e l.   ete le a
sen taentitas tien vit
in tansentes aucum percedentu
nomaes mod
nlestitiis differentian
gulia sur
sinepu nod FY
mulliplicatuo
seu quod
solndum
plicatu
tamenles falsas
cotatabebi
utsis Hadilo duoie

## Folio 324r — 00067993:0649
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 323v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000649.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 103 lines, status machine
Ex natum diff differentiarm usus est in dimensiae solidi figurae proportionatur ostenditur n.
ea loco diffeentias
em solidi esse ut ipse solidiElementa, et ideo soladum illud esse  plano. cu revolutione gignilo honnesenei
imo iniri non pe, nisi ascendatu ad altiorem dimensionem seu 94
Ex quadralis gangentum et radionur smul junctis, quorum summa cete luri potest, haberi possunt quadrata
ecantium, seu moncntum et pe consequens momentur spati hypertolie, tam exfinta, quamm ex prifimita
asgoplolorum inctudentium. Im sed hoc jam
Hinc haberi potest momentum conchocidis, et cura V solidum conchocidis revobutione factum
quia haberi possunt qua diata langentium male
HF XA
EA Ergo _A HE = KE Est hoc habulinus quia K A N
Auitda sunt vla k HE et EFG. tg
H
KC
cq= GF
Ero HEEEGF EF HE seu lanters in complementum sinus= Tangentioparescomplenenti dimediati, sin sium mgs datii
prodactum aequabitur hrilineo gravo circulari, cujus aju quadrans ducta in figuram taegentis viremus coplemert dimidom 
calrum autt emn inte his ns di luptit
GF= EC  er sumum samm dicta 
idi sta cangilils dimdirm tiltumoplementi, agliatr duc
ed et summa proportionale:n HF
 larsulium
IKG. HB + HK + GF 
conctocis sento quodra H.
Ductus in sumum sfiuum, seu cilinder cujus basis
os
recta in Trilmen gavum circulme
 altitudo raadius, aequatus sumume simiui in simmam tangente
arcus dati B dimidii coplementi, ductor seu quadiauli ducto in conchoeidem sum figura Canseptumdue
larcuu dimidionu gilemti dimidios norisi applicata sid est ut moius unius ad minus ulhius arctam onic adus andi
dibtia thipseanees H. K HE+ GF HE = HA - EF _ HE
AF CHK
seu
srcus complementi dimidiati in dictas tanentes ductorum.
HZ  tanus a tanus t dupla lang. dimid setanus dimid tam. dimid. 
HX nuten es secans vuta poinige res
in goptirala hypeltotae de
Ergo 
phircaili
diffeentiar secantum
Error in hit
sequentib
ta agent
quibus dia
erorem disus H
En taaqg  lang. dimid. tang. dimid ds 
radum in su eus disferentia ase da
Ergo ibder tangonind. sut andio aquatur tandudinidum tama saede enti cub
actus hyperbolicim
Ilem H XLNG H K = KE
H R. F G
seu radius in differentiam secantis ab idio seu cylinde hmpe
 qiu git  huperboli spali asgmpeote
qua posntuom ex minima applicatar, sen ductus egus in Dlum rectus aequatur inabus sudisur in a, seu cylindio circular
Encad onomena sub radio, demtis simibusactis inse ductis seu quadrante dacto in langentes dinid;)vel quo
a circuli. sepdm Cagneis guadratur
as secs
Cexculo quadrante terntore)
a
nNota habuimus aream quadrantis inhryperbolicum ducti cylindio conchocidis; habemus et area Gravi trilinei hoead
talsidem spaliumd Hyperbolicum ducti, nempe, nempe summam sinnum ductam in differentiam simnum, sirus, (quod
 geqvando quadcubile) denta eadem stumma sinuum, seu port qua
sub radio
fylindro quad
dimmdsis ducta ergo samma horum omnium cylinder conchocidis, demto quadrato adii caddito momento quadranto
antimidii aequatur cylindro hyperbolico sub radio. ab + b- cea
spatu hyperbolicu
quudla. At quadrans in largentes dimidii aequatur cylindio autari, etditoscenbo radii, demtoque cys lindio hyperbolico.
quodr. in spat hyplib. = semiolb. rad
tuctum Ergo aequad haec. Cyl. conch.  cyl. quadr + mom. quadr. - cyl. cine. quadr. Acub, radi + cyl. hyperb. = cylind. hyperb.
iriis
At Cy1
Ergo Cytind. conchocid
n quai
semi +quadr. in spat. hyper
ii peni 2 radirad ra
cb ras b sensocid aad equadrant rad  qua
Ergo conchoeis semicirculo, demta tertia parle quadrati aat
quadram
iliu de ductus
silis datetur e sqod setim 
habebitur
quadratura Corculi posita quadratuae hyperbolae, et vicissim Nam data posita quad ratura (irculi
Nam data quadratura circuli datur quadratiua conchoedis, per hoc loco demonstrata, Conchocis autem aequati
duplo spati hyperbolici addito quidam semisermento, demto asidam rectangulo. per ostensa a dacob.C
Gregorio. Ergo segnisemento sto, quod quadratum esse supono, a gradrato, cendivndi aequali, subtracto
et rectangulo addito, fiet spatium semperbolicum At ex his non sequitur ericiimi datag, adatur.
n secantes in
Hic alud etiam theorema menoratiae incidit, quod ex pracedentibus sequitur: ostensum est cnlindium langenties dimmori
Hyurbolae dari circuli quadraturam
Coimicii it haec rectamenta ut supia ostendi aequantur cylindro
hyperbolico denito quadnto radii Ergo an dividenso omna per tadium er cylindoper tiusspumatengentu
aequariculindia rectansulis tangentium dati idansent
ingentis de
dmori aquatu, spatio hxperbolico afg talocat sestio puarato rabit it EF C
equidiose us ibus si
in porgente
imelss ura
Hmabolicus
hobentus sn
esis ita
s simubus
emto cygnr

## Folio 324v — 00067993:0650
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 323r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000650.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 102 lines, status machine
secaus tangusdimud
AHBCt
taag. tans. Dund.
uE+ EF.
Nota idemsi pro totis smpla sumant, syuper enim partestolis, e
Hinc ingens numerus aequationum:
demto.
YGKE = HA AH. KA AH L EF HAA it est cyluder ax quadrantis aquatuo mmentosutis hyprbluri pdi moneato figs mae lansentur
dimidiatu arcus conplementi. Eag ex basi AC ergo si hujus solidum devolutione semti
circa AC; haberi posset, haberet quod detragoni sim,.
Nam Monculum idem est, quod appliculae alicuius figurae, in portiones regult seu altitudins a basi
abscissus, ductae
vieA
KG. Padsen B rad = momento tangentis, HA HE + EF. seu cubus radi aequatuo momento tangentibius addito nomento tangendu
arcuum coplementi dimidiclorum. At momentum tungendtium haberi potest, si moio a momento secantrm seu
P. opus habenus ducn quorantus hyperbolico, auferatur cube radii, quia semper quadrato radii a seantis abt quadnto alllatus relinquite
hyperbolae quiaue permprum quadiatum tancentis Tabitus autem momento tangentias dimiadi, haberet Cytrude padrantis
licta quare aut halrabitur tetrago nnsin, aut ernor erit in calculo. Cibuad nom Misprba cub. gad. + mom. bus. din.
Resulae XA b erit et radio a. erit quod si ergo momentum langentum
quad sui se controcidis haberi posset ) berchompB monenture tangentiuno seu asemplota in (inita, haberet et momentur
tangentu arcum coptementi dimidiatoreum et ideo per aequationem praecedentem tretrasonisum
Polita cu
Errgo mome
Hincu si quis exhibere possit solido conchocidis circa Asymphitam aequalemcylindium, uuti
aoetunsent
et mo auto in Hyperbola mon
Bad Aecaurs atanu. ditid= sin tang. + tang. dinid. seu Cylinder Hyperbolius dento cytindrotansenlum accus supplementi dimiditi
habemus solido Ague
pag. pusce) aequatur. Quadranti ducto in conchocidem figura tunus. dimid anctam.
exemto quadu
ut hunc ductum quadrantis supnastensum aequari cylindio cujus basis conchocis elfitudo radius; Ergr
Coluder Hyperbulicus, demto spatium Hyperbolium demta figura tange atium sape ltibru
it
iui. rectium
H KG - AH-EF- HE + EF Ergo HG GF = EG AH - EF, seu cytindere in dmangitur euseniquada applicatus
areus semisupplementi aequatur condioerdi
siineo e
isteutus
hepiti
seu moricto
circulere
Trianguli demto cylindro tangentium ac semituplementi
equatur Tgilineo oncavo circulari ducto in spatium Hyper
bolium, ducto demto eodem hilineo concavo ducto
tamgentes arcus semo sumplementi
ryt. tang. arcus sem spl. Male
quatraliit esua cp
S tam Tongentes arcus sumsupplementi in conavn shilinem = ytindro inailic. timus.
quadr. airc cl. hyperb. = an J. targ. acus seguisess
Cyl. tam orcusemisurpl. = cyliud. Hyp. . cyl. tamu ac sam sappl. + fad. m appic liaas) cub rad simidan
us
SErgo 3. Cylindr. tanq. crcus semisuppl.  Cylind. Hyperb.  cub. rad.   amm i i sun portiomes crcplares. Ego data quadatura
Ergo Ergo data quadratura Huperbolae datur figura tangentum semi supplemcentatium. At hac data datur figura Tangentium
seu conchocis exenta Eti circuli generatoris portionet. Ergo data quadiatura Hyperbola datur quadcatura
ce Conchocidis. .. At gimentio exenta scilicet portione ciculius generantis. Aera methodo qua
draluram concrocidis ex quadratura Hyperbolae demonstravit gregonus videndum an idem pitoveniat
targin
Squadcari potest, ceri
bE 5C
inginem AB appliculi
XGEF= EG HE + EF. seu Cylindeo tangentum arcusemi spplenti=drilipeio concavo clucto tam intententes qua ni trysritus
sto e
ut sane videh.
18 eut  srissil ct e n at ladi
l E et supa ostensum quod
cylilanus sonitisplat cyl lypur Est tons bnipiat Cyl. Hyplilus  Epgo Hapus
la
Jum susta Cyl. Hyp. = 3. cylilamus fupl. = cubirad. Ergo 3Gt. tanus
Tilia gero in tonus lomiseplt. condre.
quadun cucmlari ductrtam in-
eoluid semi tan + cyl. tenus semuisa suppl
= AK EFa
n egna tergentum datom
Ilem 2 cyl. Hyp. = cyt. cam semi AH = EF DEF= HE+ EF GF. seu Hyperboludnta in figuro bangentum
1 Ergo 2. cyl. tam. suppl. - cubrad = degl. tang.
semi sappe. dentis horum lansent
Ergo et
HE + EF
AK = EF
s
AKHE + AK EF - HEEF = EFEI
EF H. fier.
yl. hypidemt. cnt. rad.
imilia sunt la HAKE et EHK. ergo AE =. KA = KE. habidins nisi fallor, sed repeti nil nocet.
mihohuus paginae
HE KE (KH
etiam momento spatii hyperbolici, demto monu. sus sin long. suppla aequetuo e cubus radii aequetu, mom. lanus.  monu lanus suppl.
fim
Ergo mom. tanus = mom. spat. hyp. = monu. suppl. tang. At Ergo mom. spat. hyperb. = mom. tanga +mom tanu, suypl.  cabo radii
 AE KH = KE HE. seu colindue spalii Eyperbolici, detus eylindio hianguli regulae, = quadranti ducto inconmhoerdem
po ade
ut jam aliunde demonstrclum, insigni documento veritatis calculi
At idem bylinder Hyperbolicuecl. lanus semi supl. = rq uadra duct. in andi cbmd. 4 quad rant duct. in tarius formi supsl
Ergo iyl. tang. semisuppl. + quadrant. duct in Tarus. semisuspt triangalo regulo portionis regulae, a basi abscissae inradium ducto
ddutur ductudi quadrantis Ductus Tulmei circuloris geavi, fiet cyl. tanus senti suppl.
KA KH= KE,I seui Pmiquadratum portinus regilae in conctolidem, in monentum dffitalia quodrae sercntum aa radio, aequitue quadralis si niniu
pro portionales.
in condioeidem ad quadratum
duotus quaddrensis in
nesvo
ductus aequatur in
simum per pro. preced