# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/59863/text
# Catalogue record: 59863 — Nuper quaedam circa series Numericas meditatus sum nova, et viam ingressus quae nullius ante trita solo.
# Incipit: Ac primum sit Axis AB, curvae duae AYC, AVD
# Date: 1698
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=59863&katnr=57574
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 418–419 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 418-419): 4 pages, canvases 831–834, page ids 00068196:0831 to 00068196:0834
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=831
# Lines: 384 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.86
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 418r — 00068196:0831
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 419v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000831.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
Nuper quaedam circa series numericas meditatus sum
nova, et viam ingresus quae nullius ante trita solo.
Ac primum sit Aris AB, curvaeque duae AC, Ad
Abscissae AX, nempeA 1X tix Ax, numer
Arithmeticae. ) His applicataeXX.
2X2Y, sult 3XZY sint Numeri ex his determinati
vadrati, Ut 1,49 16, etc quos
visuas e sed ut applicatae ad
alteram curvam A.VIV, etc nempe
Hsut atteneuroa
applicatae 1X. Y, 2X2Y, 3X3V, 4X sif
siubnr) velisi quae vocentum vxs summq ipsarum
e seu v summ. y. Exempliquatia si summe
y = XX, erust (y erit v = ZX + LXX + LX
Nam  sitt  t summandi, 1+ 4, erit X erit 2, et fiet 292 + 3.E +2,:6 = 16 + 12+ 27: 64
sen 2X + 3XX + X, :6)
= 30:6 =5 et 144 +9 habet X, 3 et fiet 1+ 4+g = 2. 3 + 3. 3 + 3, :6= 54+27+3, :6 =84 :6 = 14
Eita preo et 1+ 4 +9+ 16, habens X, 4 erit = 2. 4 + 3. 4 + 4, :6 = 184 48+ 4, : 6 - 18026 - 30. Et
it a porro. Decen ubi notandum est curvam AV, etsi sit summatrix ordinatarum curvae
AY, secundum certa intervalla, tm veluti si inter valla sive portiones Axis
IX3Y 2X3X, (3X4X, sint a seu anitates, non ideo fore summatricem secundum inter
valla quaecunque. Nam si interpolletur cncum ordinatae curvae AY seu sumantur
ordinatae ipsus curva intermediae, fient qapplicatae ordinctae 4,  4  2E etc
quarum summae. sint numeri naturales n, erunt orinatae Mm.  et summae 2n + 3nn + n, : 6.4. sed
quia d abscissae non amplius sunt n, sed in ideo n = 2X, et fiet 16X + 12K + 2X; 6. + seu g X3 +6X + X,. 12
quae utique alia est curra a praecedente m AV, manente AY. Et si continuetur interpo
lando desinetur tantem in curvam ipsius curva A figurae AXY geometripe summa
fricem, seu quod idem est quadratricem, quae erit parabola cubica ed vulgaris, nam
Hoc vero misso,  redeamus ad curvam AV. cujus dferentiae ordina
ut notum est, nam AY parabola est. Hoc vero in
tarum certo intervallo sumtarum,  differentiae Arithmeti numericae sunt
ordinatae curvae AY eodem intervallo sumta; et hhujus crrvae AV, quaeramus
em st ac tangentes
invenire. Concipiatur Ordinata od ordinatam BC D proxime ducta, ut intervallum
sed non ideo ann-: 2  fumm in arrinatam hifferentias Geometricas itemque curvae AY. a quod i
sit infinite parvum dx. Ita ordinatae BC a proxima differentia  dicetur dy, et
oridinatae Bd differentia a proxima ut  dicetur do. differeu quae differentia
a proximis seu inassignabiliter sive elementariter vicinis sunt
Georuetricae. Aio quia  = summ y fore du = summ dy. seu quia
d sumu  sumdus 9 28 +by + h v = prim y + Secundu + 3F. y + at. y fore etiam d
unt Edipus  dilye do = prim dy + i sec und dy + 3t. dy + 4t dy. idemque in pluribus locum
diffeentiam Geoeltricam o seu inter summas drithmeticas
differentia seu summae srithmebicae differentiasim Geometricum, est summa
arithmetica differentiat Geomebricorum a terminis summatis. Hoc ita
breviter demonstrari potest sit (7) - y = dy seb unde et (u) - v
Hinc d∞ = (0) = v = (ex hyp)  summ (y)- summ. y =  (per Ho1 m Errgcer) sum (y -y)
y Eille itemque (V) et 
Quod erat dem. sane quia inassignabiliter differunt (y) et d(. discrimen esset
 quis possum tamen sine hoc
hine utique ex v = sum y, etiam sequitur (V) = sum y
assignabile id non sequere eneralit aemae sumy (seu v ultie
 seu V noviss - x prim = summ. y a secundo ad novis
anto rem demonstrare
et adeo prim. B ponatur o, dici potest
summ y a primo ad novis
Hoc autem ex eo
Exempt X  XrC (o EiX) EN LEXL1 - x - 1 - XX +X,:1
ubi v= (X ) L (1I. 2 et g. x Et qio ninc pari modo 1XrE (r ∞,2 qX (+1)): 2 Exempl ((X+I)- Ct1), 12)-
appellando jam primum quo
C (X∞OK, : 2) = XX F2x + 1 = X - 1 = XX + X,: Z = X. Eodem modo ((X+2) = (+2), 02) - (X. + 1)2 = (X+ 1)5. 2)Y
e oritur quod v = vicia D = y
et ((X+ 3) = (x+3) : 2) = ((X+2 - (x+2)D,: 2) = X + 2. Ergo addendo valores horum X, XYI, X+2,  in
unum fiet X((X+3) = (X+3) 3. 2) = (ex = (XX - X, :2) = X + x + 1 + X + 2 seb ( 1V pi. jam X+3
ps potest etiam vocari X , quia X+2 est aliquod X, ((41) = (Xt 1) i 2)  novis..
cunm  seu sum X. post prim. ad novist
 novis- x prim = sum. y post prim. ad noviss. sed si veprim et y prim. et deque et v prim. sit 0
reque enim id semper lice
x1) fietv novis = sum y
41 Generaliter
neceriter aatem seu fimpliciter ot
vel posit  in serie de qua agitur
ecel
e fiet (XX = X, : 2) pOviss. = (XX- X, : 2) prim L

## Folio 418v — 00068196:0832
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 419r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000832.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
Generaliter autem tquotiescunque haec  succedunt, dicemu
sive y primum sit 0, sive, non, dicemus compendio -, fumm y sensa
V = (primo) summ y. Quod (2d0) Connexum est cum hoc v - vicin. V = 3tiosu
seu y est differentia numerica duarum Y vicinat sive y = dg (3tio) diff v
vinam auem op duae autem Y vicinae in sercevus numericis differunt assigna
biliter in serjebus Geometricis seu adnat av figuris, differunt
inasian elementariter. Pert am ade demone porro  dif  erit
mihi paro sarithmeticae autem differentrae. in Geomebricas tandem desmunt
cum discrimina   magisae magisque miruunturta ut tandem evanescant
Hay Geometricae differentiae sub O Arithmeticis  continentur, ut species
sub genere. Nr  Ut autem diffv sunt anthmetrcae (vel Arithmeticae
et Geometricae simul) d mihi significabunt Geometricas compendii majoris
causa, quia se pius adhibemus Geomebrias quam Arithmeticas differentias ut
autem diffv feci = (4to) v - vicin v. ita de vocabo (Sto) (V) - v, intelli-
tendo hoc loco prima seu r - prox. V  intelligo autem ita proyimum
ut non nisi elementariter differat. His positis notaum
Significationibos jam ad ratidta novam demonstrationem Meorematis
veniamus:, dv - vicin do (per 5) = ( ((V  ci B (∞) - v - vicin (V) + vicinv 
iu vicin de
(per 3) = (7) - y, (per 5) = (8r0) dy Eeg. E dut n st xro
Ergo  (24 per 2, dv = (10mo) sum. dy. In Eoemplo o
ia exemplo, v- 2X3 + 3XX + X,: :b summ.  qu. (x + 1) = summ y 
ubi id cavendum, ut x existente adinata fundamen fali, osi in Y su-
mamus X, in y sumamus X +dix  seu hoc loco X +1 et si in v sumamus
i sumamus X, in V samamus 
itaque hoc aequationem, et sic interpvetari licet
Xtdifx in y sumams epa signa nostra
  D  v = summ y idest (Xs la) = summ. (X+ difp ) (ii a). Et
summ ulterionim
X + diffx.
uno E potius dicens
sed quia omnia distincte satis et generaliter exprimendo dicendum esset
Nunc se ad e
Et ipa eracleatius B((2(+ 1P + 3 XF1) + XHI. 
vel ulterius v post novissimum = prim v. = sum Y ex primo in novissimum seu
ulterius v = prim v = sum y ex primo
a prima ad novissimum utrinque inclusive
ideo hoc subint elligemus haec
cum scribemus v = summ y. vel dif v = y
per e semper intelligetur  prim. v ulterius v - prim v, quoties  x y adeoque
et V, non incipiunt a nihilo, etsi X incipiant a nihilo. Quod verum est
abemus ergo geometricis quam in aritameticas
et ideo dicendum si Xnd (Xendit X, sisa)  (Xsisa) = sum (X s isa)a sum qud
fiet d (X Andifsx, sosa) = dCxsila) = summ d (x  si;)a) Unde
 quo ex exitecte e potest ferifite xta Z0C, fiet. Notandum autem
si existente X =0
posito (X + ndifx, 1i sa) =( (.sa) = sum (X eisf  (is (a) ab qu
fiat Xsisa = 0 sfore X + ndisx, s.Ja = summ. (X + diff X 1 5i sa) ab X = 0 ad X =
pro X acn x - x vicin. rectius dicemus (X) vicin = X, ita ut (X) semper significet X ulterius
velium y habere dicendum - V vicin = 3
X ult. = X ante prim = sum. y. Scilicet omnium y, quot sunt ab x primo ad X na
sen sed tunc erit (X) vicin- B = (y) se
ex y summandis abjectam esse eam quantitatem 
inclusive. Quodsi generaliter supponamqquod eodem ex summ abjecta n quantitatem quae prodit cieus
pro summa cum X = 0, et hoc detracto quod superest vocari, e, possumus generaliter dicere v summX
dtae summae sad serierum sunt generales, id est, datur fenies summatii, cujus quivis terminus est
quae prodit posita, 
sed exemplum absolvamus
2X3 + 3XK+X, 16 = sum Xx. Ergo 6XX + 6XF 13: 6 = X 2 sum X. M quod ita comprobatur
summa omnium terminorum serei alteriu summandae
possunus et sic _  Ra si (xpisa) = (xmdasisa) aequ  xsiisa fict. (x maxsila) - bs das sila) sum o la) minoto
quia (6XX + 6X + 1, :6
= (6(x - 1)  + 6(X - 1) + 1,:6)
L X + 3XX + X ;al) XX + 2X + 1,
idede subtent alligemus haee
3 Notando quod
 ult. utrinque
que vammodo

## Folio 419r — 00068196:0833
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 418v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000833.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 124 lines, status machine
sammatei alicui
Hinc jam sequitur quando emel datur seres summetier curema alicujus
antitati summatio generalis alicujus valoris per indeterminatam expressi dari, et sum mationem
arthmeticam perdralem differentiationis geometricae aut differentio differentio- differer
tiationis et ita e porro ab hoc valore, seu si daretur, summa generalis harmonicorum
seu reciprocorum a naturalibus, dari et summam generalem reciprocorum a quadratis, cubis
biquadratis etc. Nam seu si datur summ 1: X dariet summ 1: XX et  et summ. l: X, Et
surum 1: X+ da Nam d(1: X) = dX: XX et d s1: X) = dx: X etc.
Hinc et si detur summa
logarithmorum a numeris naturalis X, seu surmm (dpi X datum iri et Carum 1:X adeoque es sgo 1: Xx
na aliarum diferentias
Cs verie in hacsei ita ut in series sommiaium et differe serierum, quamnecit
generalem, en per seriem summatricem recipere; ut caeterae inferiores, seu differentiatione
vel summas geometricis constet, consta sufficiat unam liquam
tarum geometrica factae, etiam arihmebinam summationem generalem recipiant
qu Considerandum quasdam series in infinitum dec rescentes  esse
etc. est quantitas finita
senantdari potest quantitas quam nunquam ssuperent, et si ad eam acedant
totas summabiles finitas, ut  +Z + 
et si maxima quantitas
ex forit summa seriei
locum, quia non nir
inveniri posset, quae per summationem
maximi doctrina
quarquam lurc propiie
nfici potes
tur doctrina de geminis coincidentibus; at st com
colypona adjectum _A1Y 1Y 3Y esc
figurum compositum polysquiam cujqus ordinata, XY si i posito
AX essex
DY sint x. patet lineam dari asympsoram proximam ati paralle
quodpu genus. ut si
quam nun quam attingat linea AYY et talem, ut nec proxi propior
Haec ut alibi
stendi ope Geometriae
haberi potest, seu exquadraturis, per enthyuses constructis sed non ided
n dai possit. Et haec AS erit quasi maximo XY
ettra navis vel vullirius prim = summ.  y
ipta linea, seu serres summaturo
2gt Generali,  seu compendio
hoc cum differentia est ullima seu ifinile parva, seu com
e =0, seu X est
Quoniam autem interdum sum summa seriei infinitae est 
interdum an sit ignratur
commodius est ad gentralitatem
Csit paus
fuituntur
et modo ut
rescentibus scaibus
rescente ferre summatrice, creseat series summanda.
hinc 1 = summ in = 23 + 3  finta
erc hinc tar suum B iaq 19  1. g s
huic 235
o
nga ua ros
summ.  +  +  etc =  seu infinita est, ex
erierum, hinc praestat invertere ut
p - 11 9 = 50
sxi
po 2ta Das 15.6 3b67  1a 4 2945 345 4 3b det
123. 4 2.3. 4.363. 4. 3. bi7
te intim
 muliuus eri
nq ins 1436
Contingit autem
in finita
raesertum
et ita porr
sed qutia C ipsius  sed quia
hujus ipsisus lege progressionis
M n p a
1a 2 34 45
L exc. seu harmonicorum seu re
phabetur  Jumma
lib. gr. summ
rursus ha
eriei infinita
Et similiter
i o
matricis decrescento
oderesentis ordinatim decrahendo
inde pateblerem exi geperatem haberi
eo pentid. it 0 2, G1
agitate et ita porsiales et
es
series inter sen sum
p
a umae harmoniectum forent
merus affirmatious qui occurrea
rete = qo e 9 in 3 1.8
eles initur summatus ut
2. 3. 4 erc. esse natural
ex. pus naturales
mmae hamondoum tr
anlet pe tigis
 et erti se none
1, 1. 2, 1. 2. 3,
men
en simrimaginarius ut sunt ante naturales
ebet in serie
’etc. Neuis
A sdi orinatur, termini
pumeros 8i
inerunt summae harmonicorut
umc reciprocorum qusipli catorur seu summ
1234 d B3 3t. 2. 6, 76.7
Et 29 + 319 4.5
utita porro
a termino ejus summae
esse striangulares immin
ee confean
H: i idatum peric
uitate s
et et ci s erres summalux dep resens est;
Eodem modo serrei,  quia seriei sum in 3.g 3+. 2
A  BV 2. 3 divis per 3dat
icicdo comitimuenlo
Eg et ita porro
ante unitateu seu
retro continuata
1 1. 2. 3. dc patel sur
it ent t a e n petinseis tnta otin divipa per itectum nis aute  natitales
123 24 3g 9. 3.b
eutu atam

## Folio 419v — 00068196:0834
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 418r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000834.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 119 lines, status machine
Exprimamus ergo fictitio senbendo sic summ i add uto scib contrume L, 2. +, ex
et d sumL = summ  et ddsumm  = summ 2 et ita porro in inffinitum quod
facio, ut saltem analytice tractare possim aliquo modo, seu exprimare una lege communi
ex n sumta Hinc d C san summ = sum log. n = summ san undel u ut patet ex nostro
theoremate supra posit  quod differentiae Pometricae summarum sit summae authmeticae ter
Hinc etiam ratio patet exprimendi una lege trans oidinatas ad trauscendentes
minorum differentiarum geometricarum terminorum
numtios transcendentes ration series transcendentes ex quantitalibus ordinariis omstante
seu quae non ordinarie per communem  sed in quibus termini non ordinarie per unervo
1, 1. 23 1. 2. 3; 1. 2. 3. 4, ek sit maximus terminus
naturalis n, patet secundum terminum esse secundi gradus, itium 3tii et ita porro. Sed ope
legem exprimipossunt. v.g.
summarum et exponentiarum potest tamen una lege mira exprimi hoc modo quod
log  log. 1. Et3. 4 est summoloqu. ab 1 ad 4 ergo si terminus 1, vel 1. 2, vel l. 2. 3, vel
1. 2.3.4 sit y. fiet sy = et naturalis n. fiet y- sum. s Ubi quicquid hactenus
eni in omnino analytico seu calculi portiente transcendentiae fut miscetur
nempe exponentes, et summae aithmelocae, et summae geo metricae. Videndum an haec
forte prosint pro interposationibus, quales
seu  sive penant ralira
Naturales, si quae ponendi
essent ante naturales in hocordine: , N,, Naturales, triangulares, pyramidales, et c.
summae Logaris morum Aelhmeticae sum
seu 4 erunt summsda suit siit
Una interpolationum ejus est siducantur con-
quanquam ego non satis interpolationem ess
+ 1(2 (n 1s sus 105 1 998 et
inveniam, quia L non est medi terminus seriei
qui foet primus qui in
ergo
15 et 2 quae sit
ore foret. sic
contimeturdenoe
qraesitum ergo omittatur in utraque serte, 1 ab initio
quae sit p; et inter 10E et 15 quae sit n, et inter
 _log Z = log - log2 + log3 log 15 = = l092 + log3 - log4 + log5 et
log ioE a aequ. 1992 + log 3 - log 4 + log 5 - log6 + log. 8 log 4 t3 = log2 + log3 - log4. +log5 - logo rlog B. bg 9t by
les P, n, m, in  ent l
itaque summantur
et ab sd d abstraitur summa logarikimorum parium
sum. logen+ C) ee
e log B= fe sumte genei)- saN F laqu cog n tB. 2n)
Hane veriem u
 ut interpotando dilatemus oportit tantum  esse pro n pon
sum 10g(n+ 1: 1V) se et incidetur in seriem positams
posito n esse numerot naturales
(n1;)a) et siet V = Rep)a) s posito n esse na-
turales. quae feries ut interpolando dilatetur, oportet pro 2n ponere n, et facere v - ((a i ) a) quae arie
 sunt impares, et ideo
seu ee
incidet in nostram, quotiens n erunt pares. Habemus ergo expressionem Analyticam quam res hactenos
in interpolatione 2na
st pegotiam ad expressionem absolutam, ex uno R. quae fingenta est haberi
sre
per seniem incinitam  nisa = suum loq+n licet 2nsol = Cum. lr t1,: 212)
Capit, quae etiam exprium
e
n = 2 sunist 2 sum n. quae est nn-n
ab expressione per sumurum veniendum ad expressionem absantam, pro  interpolatione. 
licat mita
i verum quidem est
seu 2nn = A  sum 2n
ex pressione per
pro perfectione
calculorum extra ordinariorum magni momenti res erit,
ndefinita pro serre.
exprimendi idem hac  fu. g. dversae expressunes
clrenfamus pame ad eseres
iversivalores modi
aepitub
de ippos definidis hoc modo proximis terminis serici, id eum
sed et extra convergente
quantitas eodem podo form
 datur s per  eodem modo ut  per naam. Egodatur b C ex, a ut  d ex
baberi posset b ex n
oam ex aq. 2
i mo valtres exipius s vel b.
nernendum esset jum ad esset ad serier infinitas quae exprimunt valores ordinatam cerum
varitur an hic protese po
habebitur aeque. () ubi habetdares e
eas hac aostia melhodo tractando aliqui ea p  eaut BB 2 Erea, e. 2 C. Z i etc
posse, quia debent esse idtaticae alioqui
3 Et a
 L, 1∞) + 1. 1.3)-
curvas quaesi tas
sit =  ifieut er et t e, e piC
Extrouitur radis ex
et H + 2   et b - a fiei b
ia
et lot sr= Daa + 34
erit LaaX +, 2  p 2.9
t seu 2 1) et 2, 1 2.3 - 2 send L. 3 y)
qu aespectiae 2n. 1.7 etc et prb ponendo a
sedd ben benu ex rospichive b aa
ipsa P est constans, et sit ae abjecta,
6, 13 2iSuntra dite endo put sare esto x constantes fit deminu
redeus  .  2 ent  oeti
Drosio e guri fact
e ti be
etc. In hac serie
hm 
ei 3u, ib e se li L censerp
demto aax, sit serces
a, ha seu saarsas
via dunia multiplicet, et
aa
L. 13. 5 V erc ejusque quadratura
=7 240 to  ato 14
a
et b, et e. omtt
tem vn bisteantinb mulie
e ti tet (vi a se
potest commodissime per serdem infinitam
uius  nI
randae nyperbila
t
bere, eut, ete ad e nt, jeann
i rib
tis o er peitia