# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/59866/text
# Catalogue record: 59866 — [Aufz. zu Momenten der Hyperbel u. a. Kegelschnitte]
# Incipit: AY hyperbola aequilatera CX, x. XY, y CB=b y=bb:x
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=59866&katnr=57577
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 425–426 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 425-426): 4 pages, canvases 845–848, page ids 00068196:0845 to 00068196:0848
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=845
# Lines: 385 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.82
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 425r — 00068196:0845
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 426v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000845.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 115 lines, status machine
CA usum
anta
FA qu= f. L qu.  jam l Lqu
CX, x. XTy CB - db y = bb: X
dy = -bb dx: XX Y(d Xdx + dylus) = dx SCx  + b+): XX
Datur summ SXdx Y(X +b) seu cur  AY momentum
ex Hsymplota CE, posito enim exX = BZ fiet  2X dx-
seu Xdx = LbdZ et SXdx SCx L64 = B sdZ ((22+66). b
quae summatio pendet ex quadratura Hyperbolae
Eodem modo datur momentum arcus AY ex asum
ptota CB Est enim D X = bb: y et dx = ubbayu: y
et ( ydy + dxdx) = dy Cyt +64) :yy sit gy = bv
seu ydy - de et t curvae momentum ex CB, seu syduy ( ( + 62) dabit
LbSd) S(ov +bb): V quae misus pendet exquadiatura Hyperbilae
itaque inventa ratione ipsius  (aZ S( + bb) ad abs L (OB +bb 3.v ex supposit
hyperbolae quadratura, habetur rc positione recta  Csi quae
Ducatur jam Hyplibolae Axis CAW, inquem ex. Y agatur dormalis 
sen  et qu - 24 t 2 oa ot compleatur rectingulum C  Ctr Et CW0 vocetur  W, et c8
mursi FL 4u + Ctqua CB qu  BE qu
saocetur D. ipsa 8Y secet ex in H. C8 = GH XY = HX CH (9Y2
et su eA +  CD4KBtq 
3B qli , BF quam 2BA. bt etsit
et sed hoc hoco BA= CB
etsia Cqu + DCt 2BA. BE.
aaquet pt Aeotm oAv
qunesiqu AeAt quBqu
HY = XYI2 CX = C912 + XY
X Y : CG CX XY 2
en D CW C:, CX XY seu fret
:C8 - CW -C8,  CfZ XF = XYF2 = (W = CG. seu
Au. BF. q
AV. Cx - C1- ():, i2 Ergo CX = (72 + C. W (1. 12) - C9 (1. 12) jam est
est antem CxBA = CA. (2
 seu H = W - G, in 2 et X = c + CW.  8 + Wd, : 12
et esigu  i BCtEgo x  bb (= X9) = _ W1 = 89. : 2. seu   A 2bb +. 
siet CA+ ABs CL
otiract
ct CAa B CA BF
r sit 2bb = aa = quadrato BE et fiet _∞ L aa = WoW. jam fd =  dn
aqu. F2CBBF(2 + + BEqu. + Gfiet d = - W dW: P et des dc + do du = W diodu, Wd t 8G,:,
iodu _; doW + o 54,: 9 du dwo, WoWd aa WoWo
 + qFCqu ( 4BCqu+ 1BF)
et fitt
codd, 1 + son:99) duare, Aa
it ergo seudi - - dys g.: d (d W dW = dGd es = dedes, 1 + (89: 110) = de dis 1010 + 9.: cas
CA. B( Y2+ 2BFqu
IE: L
seu denique e  d9 d d∞, 288+ aa :, P + aa, vel (dode + duo d 10)=
seu n  = CAXBFs2
CAt BFA
momente
H de Y(aa t 289,: aa +95). Et etenrentum curvae AY ex
xe AW, erit ( de + (aa =+ 288, : aa +8). sit 88 = a V)
n Bet = 3. BC+ O:  et cd = L a  diV et saet Elementum curvas AY momenta ex Axe AW
est autem BC - CB. ∞ :C
averia
ecBC C
BFs = D. CA: 0. ciri erit L a f dip VCa a + 2a, :, aa + a2) quod ex quadraturo senica
sed BCs2 = CA. ergo fit
Rursus al   quia 52en haberi potest. Quaeratur rursus, momentum curvae AY ex ax e
denique n - O-
ne A verticem curvae ducatur ngt Conjugato CH
retento de tolatur d relento tollatur G, et ex de dis + duvato
fiet et du du c. + (Wol:8) du du, 88 ui: 8 seu fiert
ce diodus,  ac +290 eut dudu, 1 + ols 4 (ion: 98) X 
(C ) = dudio, 8G + WW, : 4 = duodi, Wt- ia t WW,: Wwu-na, seu denique
 Elementi curvae est duo, s(2c1 = da i oW = aa) et momentum Carvae A)
50+5) = 9(0 D)) ex une Conjugnto a, ent sudWo t(ruto -aaq:, vn - aa) sit Wo1 =aa
esse quantitates fiet Wdi = =a dβ et habemus Momentum curvae AY ex ae conjugato CE,
AP hyperbolae aequilatera
ipla atta producta transit per Gcentrum gravitatis curvae AY
tucta .L
=2Cst qu + a BF qui
seu FL = C1
FL: et
eo in Hyperbutia
n  putosu ducatur et per lentrum C, apis conjugatas, C angulo ad CE semirecto
equale Za ( aβ 1 (23- a, i, B- a) quod pendet ex quad aura Hyplitio  (onica
Dacatu AF tangens Hyperbolan in vertice A, ert monentum curvae AY ex
C, tagente verticis = La (d β+ (2β- a3: , B- a)
Ad Cora AY suct. rectam (A duct.
eid (CB. BF CBi sideque ((bba ZI): Z), in S(dv ACbbave) V) EtG f i ste
sdide at trari  parate),
ao AY - 5: Q sit   cno
Stpi 6. q  Dubi, 917 o i neidiem tris p mi 426
psumbus
hoc loco, quid
rattimo eva
rectus cuvani si ponit, 
Ct_ CA+BFVZ,:
FL = CA -BFSC,: 2
CQ eet M
FL2CF = l. eZ
BA A i 2a )50
BF C
Rat saaes
tic 
CF = 1Bq +BFqu
L= teAqu
Sxdxtuxne et QA = n B: 5 et GA - M-
seu m - a. siet M= a F. n
ergo denique fiet
= 82, a8+nE
vel  nS. O+D = nO-
sd
ia fine huius pa
sa
su cu
situs
a explicatus
Arexax t
pts ivedam per
5eCO
 uo cion et b2. 4
D Xt Sid s ma

## Folio 425v — 00068196:0846
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 426r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000846.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 112 lines, status machine
rigura
o curvae sonicae centrum hibentis homo metra est, cum
Y- e627
9 72 posito
vidinata y =a,  4  abrioduex ape inde ocentro per pomatit
 esse distantiam verticum, et e distantiam focctu
AB sit A7 Z, et ZY sit y 4
et
quaeritur Pydz
avece, 
datur quadratunas momentur
ex aequia dantursigusdZ  se  aasdque
2 ee 22 = C aa. quod pendet
7 - 4422
exquadratur senica
Ruitus datur momentim ex AB ax conpigato  quod est: Bydx, seu est
a (Z27
eet. fiat erimus 2Z = e he, fiet 2ZdZ = hdv,
2 + 9 - 414 Z
=9 -heet
et fut s st et f- ah. 5 doll. g. gotiv) G = D aa, quod pendet itidem
ex quadratura conica
exet Esto F focus per quem ducatur FH, normalis ad axem AZ quae sit ad ipsam AF
ut C ad D transibit ipsa AH producta si opus per Gcentrum gravitatis figurae BAZYB
nam iL est C et GM est D
quod si recta AH producta incidat in basis ZY medium
punctum N, seu ipsam ZY bisecet, eo casu per alibi demonstrata, linus  line
 recta AG AH non solum occurret centro gravitatis G sed etiam lineam
centrorum gravitatis tanget, per alibi demonstrata. Unde etiam haberi poterit
punctum G, nempe suutem  quaererditur  eut in casu hoc speciali.
tonc Toutum Tantum ergo dispiciendum est an possibile sit esse in aliqua curva
Conica esse
D: C = Z: 2y seu esse D: C = 2Z: a +9 - et 22) quod
49 992
estimari poterit per appropinquationes vel series, sed accurate
definiri per quadraturas Conicas ad logarithmos vel quasi rc
d eductas
Si recta XP axi AZ parallela ducta per centrum
antestomedium baseos ZY habeat G inter axem et se, magis magisque recedens
paecede, ab ipsa ad axem, fieri poterit, ut tandem G cadat in rectam AM, atque
ita perveniatur ad quaesitum
si YY sit Hyperbola vertice Y, centro A axe AX osdinala XY
fiaA
cent
cujus punctum medium N, et Zans ARX YV sit G
patet rectam NC non posse calere in C. nam si per N ducalur
NW parallela ipsi axi AE,, patet ipsam N2o, transore per
ceptum rectanguli EY ergo reliaquit ad dextram centrm ipsius zonae
nempe G, ergo AN non potest cadere in G.
sin Zona sit
supra eV, nempe VE() (Y) Y patet G cadere infratesm
et versus avem. a ergo recta ex N medio beusis ad G, necessario apem
neque adeo potest pervenire ad pan
A
in Zona cb.plica Aut X(Y) seu YX (X (Y)Y non apparet imposibilitas prima fiente
M AN excentro Ellipseo ) A ducta ad N mediam punctum ordinatae XY
relinasit centrm gravitatis semisen triti semisegmenti YXYV ad sinistra
seu versus axem rect Reliaquit enim ad sinistra cenum pecturgulix
cenisegmento circum scripti, idemque enir est in omni hona sutr AB
in omni puitemmento supra AB Et com semisermenum crescitenfra AB
recta A(N) cadit infra AB, cum tamen centium graceitatis serui segmenti
nunquam cadere possit infra AB
sed de Zonis dubitai potest sit Zona YX(X)VIY. maneqt
XY et ipsa A(Y) continue accedat ad XY. sit (X) meditus ipsius (X, X) jungatur YIY,
patit aliquam (X(X) (Y esse tate, ut recta AN) telinquo ad sinctra seu
versus axem cerdum trapetii YX (XH), ad accedens autem ipsa (X(B) versus XY magis
magisus acedi centio hapezii, tandengnum (y(Y) incidit in XY seu cun hopezum incdi eo anescit
in rectam AY tunt incidit in centim traperis, quoed si (X) (Y) jui assignt supra NY jam recta
4(Y) relinquet centim prapezii ad sinistram, nec amplius, in ipsum incidet Et
eodem nec se abituid vdetur cum recta AN) et centro copsius Jonae YX(X(V) Y
ut adeo res nec inzonis succedat
tentari possit, generalem in aliquo tadu sumendo an non possit
rgura na excoglari, cujus momenta dentur ex duobus axibus concurrentitus in aliquo puncto
et ex aliis duobus axibus concurrentibus in alio puncto. Ejus enim area habebitur ex
centum gravitatis,  concursa rectam habebtur, et hinc etiam ipsa area. Noc
resert quadintura sit absoluta an per curvam Contum
oes
tinnt
IN
posset at
mo
s
aalia recta
axi AZ
d
llen
 recta
poser
tici gransiens
per centum dolius
DEFY
 (positi
centa
reud sinensione
Gruae BAZ
ut rest
deimen
iustitut
eva
u
ene
p
in
culo
no
res
mod
si
in
onae
sed ind
N

## Folio 426r — 00068196:0847
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 425v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000847.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
Referitur figura cujus summa quaeritur ad axem aliquem tale
deterurinatu
ut possit recta tange per centum gravitatis positione data incidere in
dimidium baseos; licet recta positione determinata sit ex ipsa
quatratura quaesita ila rereea videndum an non saltem
aequatio haberi possit pro invenienda eo casu specialiter recta quaetita
Alind hactenus non tentatum litca Momenta sit ex. gr. figuricurus
ordinata sit
Sec h. =y. etur  posito Z esse AB. ponatur jam
y non esse BC, ut alias sed esse Cd, ipsam autem BC seu V ese  (444. 2)
1- 994
 ec tZ), ulioque
et momentum ipsius cd ex AB erit CZ4 ecZ2) + 2q 2. R. cinse id e A
pars summaris
Riem itque datur nomentu. Ae e motal per itiit
ab
tam ex A quam ex BC. Ergo datufo ipsius Bd moentum ex AB, et exA
poterit autem crero F sumi tato
a
sins rectu
quod si jam casus inveniri f, sumitur talis, ut sit necesse rectam momensat
cadere posse in medium punctum ipsius Bd habetur ibi quae situm, saltem
in illo easu particulari. Quod si talis assimi, posset v ut rectae
momentales ex duobus centris inveniri possent; haberi posset quae libet
AIB  quodims circularis C centum CX + XY, y. AC, a
cujuslibet partis dimensio
C
y = Haa - X ) Xydx = xdx S(aa = XX) sit XX = a q ulxet
fint xydq = e 1(aa - a Z) sit aa aZ vr et aZ- aa)
et fiet Yylx L et adque - -d_) et fit xyep y l  se
XylX = - vvdo et (Xydx =aib =  B sed lum X = 0 fit etiom
aab -=V =0 et Hinc etiam Z20. sed tunc a vy et fiet aab -  a =0
Ergo b 3a et fit sgd 143 1V Et hocest monumentum
momentum figurae ex BC. vil 3a 3 t aavL 1, aZ
sed figurae momentum ex axe AC est fyd =  aadx - EXX dx =
aX L X vo caa
xdx = = ydys Ergo fit yxdx - - yydy
Et syxdx = aa b = 3y, sed cum X est 0, etiam syxdx est o, et yest a
seu fit aB a=0 Ergo b = Za Ergo (yXdx = = a - L  quod est momen
tum figurae BC ACBYA ex BC. Ejusdem figurae momentum ex AC est
yu ex c =s, 2 aadx - L XXdx = = aax =  X
sed idem momen sed eadem quia Iaa -Xx) = La NatX). Nca-X
quaeratur ex AC momentum ipsius (Bllaa +X) + CM Caa -XX) =  id erit: sx
= h ab H + e bXX +  aa ZCX - CC X + 2  CC (A + X)  (ab - bX) dx
e
s
Ergo summari debet  f. (a +X) C+ Ex, + Cab- sx) dx
a ab -bx = 98 ergo
X = a + a - 4 (1: b) 8f et dx = (2: b) q8, ut C + EX, 1 Cab b) dx
ECC et Cab - bx) dx = -(2: b) 8d8. Ergo C+ EX, + (ab -bx) dx =
.- (5. b) 9es d8 = C a (2: b) 4d8 + 2c. bb a) 8dg, unde summando
fit E ((aX) SCab bx dx = -  (6: 3b) ∞ + 2c(. 5 abb) 85 + 2ae =
Ergo tandem.  ZScocodx = aae +  ab g CC) X + LXX - = (CC: a4) X - + CP. H)  + C. Ga) qu a -x 9
aae  q AC. 344 ac8 + mac 3 acR; seu f
et fit s
Habemus ergo momentu i e omnium co) ex axe, AC.. sed habemus. ettundem nom
arée seu  ae- 1 C9 sed
ipsorum bg a ist momentum ex axe BC, quod est =, a - g3 Et ipsorum Vabtbr 9
1: b -a, sit siip: b) - a, 1, 2 d V: b.
Ergo ex
X Y (ab + bX) da =(21 + dep. bb = 2 a d . b = 2t - Ep ( + faa posso curti
ex eodem axe BC, seu habemus
fit dx = 24. N: b ut X-
x est 0, et u eticm momentum hoc est o, et I est dab, et fint. Z aa sab - 2 aa + faa
et  4 Vab +f = 0 seu f = 4 sab
Ergo momentum ptoru C0 x ex (a
mniu
Eea Z aac = C 13 + 2, 1 - 24 +7 aa Vab
 + lbtCC)X +bXX + saaCCX3 - 4. (a - ) cg + 2 qu ( a +) es 2b
videndum an popt ex (Coxx ad L (cocAx, ut X ad  cd, B ut (COX x ad seocodx ut X ad c
seu scoxux est  te
Et omentu omnim
14
sat
sint B CtabX + E (ab + cC) XX + bX + baa CCx- 4 a -Y) CGX + = qu sa X) 8X = 
oxexse facodx est 5
y +bb la 5b ut na ab ed quod si  (a quo pendent yn
sie inveniri possit eo casu daretur cntum gravitatis quaesitum adeoque et reliqua
gacco

## Folio 426v — 00068196:0848
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 425r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000848.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
sit ∞EBp rectangulum, ejus appositum tifineum BEYB
X centrum commune
M centrum trilinei
juncta CH. cadat in H, punctum re baseos XY, quod sit sit ut se XH minus quam HY
Hea H cadere in medium ipsius xYs quia alicubi supra
L centrum rectanguli,
nempe proxime ad C, cedidit inter medium et Y, t sutrans medum versus 7
sit ABCd rectangulum, huic addatur odE triangulum male a n: m=
centrum ipsius rectanguli sit F, ipsius trianguli G centrum
Commune H, juncta AH occurrat ipsi et producta
occurrat ipsi BE in j (et FHad FGut ECEad veri
F. H est ad Gt, ut BE ad ABCd seu ut L CE ad BC
AB: BI ZAN: NH AN = = AB+FK. VH = EBC+KL
FL = EAB-  AB = = AB
LG= ZBC+3 CE FK AY: FL = ZCE:, BC+ = CE
FK: KH = FL: LG
seu FK = BAB. L CE:, BC + 2CE, Et XH- LB CaL. lE )C
et AB B L 2AB. BC +  AB CE+ L A1B. C23
BC+I ∞
Bi = LBC. BC + 4BC. (E +  BC. C2 + C4 e1( BC13
quod si jam sit BI = iBC+ hCE finet (Bc+ CE = _B Equ + _BC. C2 +  CEqu, :, LBC+  E
senfiet ZBEqu + 2BC. CE + ZBC. CE (+  CEqu) = BCqu + BC. (E (+  C5qu seu fint
EBC + 3 CE = BC + CE, seu C fEBC + L CE = 0 se BC = ECE
seu CE = -  BE entus Esumenda intta B et C. sed suspicor eriore esse in cutculo
sine  cum C endis tendendo versus C, cadit tandem in e, ne tunc quidem tunc etiami cadit
graritur centum figurae per momenta ex duobus axibus AC, et AB, sit centrum partis
B in C. Ergo non in dimidium BC se BE
priaris K accedit novum rectangulum Elemenitare, cijus nebrum g. patet recesse esse  ut K sit utrique
axi propius quamZ. ut possut A, K, q cadere in directum
sit hilineum AXYA, ubi simul crescunt ord inatae et abscissae. sit trilius
aaliuli centum L
ipsius ansungeah X). seu terulundem abest ab axe AX sed M cento vil trilinei est propius Axi AX,
sit i rectaguili circumscirphicentum L., quod imminet medio ipsius
idem est in
ona cujus ordinalae
crescentibus.
crescunt raedenda abscssis a centro A
y = La Max- A∞) hssyax = S, 2 raxdx - 2 XXdx = (x r. - 1 X
sit A X: 29 = sx dex Sem. 21): har . LX
(X dx  (1aX- XC) :, XX = X
Xyax = (Xdx VCrax - X1).
linea centrorum proctatis MM) sit AP, Z et PM, v eit eritus
siu X. y = X: Hrax XY) =
px - 3
fatax) Xax Crap XB) (cx eax XX) = d x Herax- p2) sX ax VCrax XX), :, qu (dx ACrax -XX)
et v =,
AP= Z = SX ax LC Lax - xx)
Ax S(ac XX
de -d (xax =  XX dX) Sdx ICrax XX) = (ZXX = = ) dx SEax X),:, qu Sax MaX - XX
(dx (ax ∞)
Ergo dez ed = X Y(rax- XX) sdx spax- x+) = + (2ax XX) S Xax sCrax XB)
(X = L XX) (dx (Crax - XxX) = (1. xX - L X3) (2ax. XX)
ax -X1)
Xx - X
nan yd  a- X nam : Y Zqu  dy Qu YZ = 4 dy, aa gy 
et summando aau - + eß. Ergo monentur hilinei AXYA ex CB est mon.. ipsius A CZ YA ex CB, dento
momento ipsius rectanguli XZ et CB, quod 1 (a- X) ; (a- X) seu Ly, aa + XX- 2aX seu L’aay - 2 yt
sed datur mom eatu hilinet AX IA ex vasi CB
(dhax. H)
Ergo momenum hrilinei, AXYA ex ape BCest h aay - L est = L aagu + 1 y =  )
ea iyr (yex- ixxca ix9
inde non orctetur aeqi utro
qusesitre d pelitur calcutus
sed Ex summ momenti ex AE + mom ex BC est, ACsis rax Xx) Ergo a (dx M ax - xX) - + G=(Xtx  posito a esse Es, et psat
in Xy syiX - 4y sydx + L et
Ergo lict exprioibus X Rhax XX) Fdx ICan. X) renax x) a (Ex sCrax- ) + sC ax- Xd 3 (ax X∞) Ccap X) Y atd, 0, Di C
(x - 1 XX) (dx 1 (rax - XX)  (1X- 1 p) (C a XF)
asy dx = fy, quod
na a- 3x
et KH: LG= CE:, BC+ Z CE, son XH- EBC C Eide rursus  seu C
seu RH = ZCE, 2BC+ ZCE,:, BC+ ZCE
que
minus
si magis cresca
horforda lis figni
quam recess
CBEYB
FCrX) sI
seu cadal H versus t. citrca mes portet alicabi inter B et Y