# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/59870/text
# Catalogue record: 59870 — De Seriebus Replicate cognitis
# Incipit: Quando ex duobus quibusvis seriei terminis vicinis datur tertius proxi
# Date: 1689
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=59870&katnr=57581
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 434–437 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 434-437): 8 pages, canvases 863–870, page ids 00068196:0863 to 00068196:0870
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=863
# Lines: 417 recognised on 8 of 8 pages, mean confidence 0.83
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 434r — 00068196:0863
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 435v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000863.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
de seriebus Replicate cognitis
Quando ex duobus quibusvis serrei terminis  vicinis datur
eorua
qit
datis terminis duobus; sed proppintas seriri non est determinatu
et potest determinari adhuc magis: Exempli causo haec est
proprietas replicata progressionis Geometrica. l. m n, P etc
ut sit
mm., sed haec replica locum habet in progressione
dupea
hipta
 setemuneoo quacunque vcipit ergo
estrictionem aliquam , v.q sil 2l-m et 2m = n. fit
 In = adeoque n = +l fiet In = 4U et myetiam = 4U
putet etiam hoc modo quandem constatt constantem
en persaot parametrum hoc loco dari ut et semper
in alis seriebus omnibus quendoe  praeter Geomelruam
quando datur relatio inter duas quantitates  opus
test intervenire perametrum, alioqui relatio illa abit in
rationem constantem, hoc est in progressidnem Geometricam
data autem paraenetroin teric coudergente terpiinabili, semper datur terminat
series polygonum inscriptolum tircuto, per subsectionem 
angulorum prodeuntium in circulo est ABB:CC = A: B +
seu bi bis B = ACC + BCC. on C = B A2B: A+B
vee videamus an assumere aliquam liceat relationem
communem inter duos quos vis terminos, quae proinde speciu
polygoni determinet. Nam relatio posita abus inculi
polygonis subsecandis est communis. Sit
2
et C = BE. Ergo C e jam priora C= A. VZA:
ec
Ergo A = Y2A: A+ A seu A
Es
c
Ergo C = AC jam C = A V2A: Ae, Ae Ergo
2euE
20Ce = LAC. es. 20 1 + A e seu A
seu qoere
ed ec reti = 2
seu ec cs
cujus aequationis
reperiri sine A ut certe res succedit in casu quo C = 1. sed ille casus
non jurat.
sit B= f Af ota ut f sit  constans
et C = Be f. fiet C = Aee (2h ce A L2. it AC  seu
AO = ae
ch
2: 14 1: p- a ch  = AC
seu Ae hL pcetie
28: 1
e-h
2 AVe e g P2: 14 e  h
seu Aced re fih grec 3e1  = 2. ponendo es e = 1 seu e-1
si et pro s suib endo  9. fiet
99 + g = 2 et b = A9 et C - B9
cisterron
alibi
detemi
nar
esse
ACCF BBC
B+BC

## Folio 434v — 00068196:0864
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 435r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000864.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
et series fieret progressionis
Gormetriae, quod tamen
non dudetur. Tentemus rem den sit B= A
et C = Bg seu C =  A9g. = Ag f: 1+ g
seu  gg = 2: 1+ g seu g9+ g = 2. Ergo
54 gg + g+  = 2+ = = 9: 4 seu 9 +. +382
seu 9= 1. verum ergo reperimus et series facta
progressionis Geomelnae, c sed aequalitatis, qua
nos non juvat
poncudo A. A = f et B. C = g
ponendo A: B = l et B: C = m. si t
4
2mm = l + 1. possumus ergo aliquid assumere
amplius nempe m = l. fier 2U = l+ 1 sed
ita cursus sit seu l - : l + C = 1+ 1, = 
6
6
teu l = = (+3 = +1 vel = 1. sed non potest
locum habere hic radis negativa. Necesse est autem
si vatio inter l determinata invenienda est, ut
et m. fiant assumantur aequales.
Quid si sic A B = A + A. fiet
C= _BC+ B sau C =  (C) A+ Ah + (A + AE
= A + A. 2: 1 + 1: A + 21. et fit
sC- 1) AC + A + A(h. 1) AC + A +  ( (A + A, ( ( SR R
=   A + 2A
A se 2) A = A 4 AIE A + A-
A A (C. 2B + A I ut B + B
2
+ A. Bh  + BC + B, = 2
A. B
vidcamus an non remlicet facilius assequi 
aquationibus ordinariis hoc modo sit B
1F mA +n A+  etc
45+ YA + X N ry H
ete

## Folio 435r — 00068196:0865
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 434v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000865.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
fingamus aequationem inter A et B generalem, quae
 sit e s. ∞ ex n + _, A+ a5B + 4 A
Oa nA + 2+ B + 012 A1 22B, 8n2t AB + H
 2 A + 3B + 4 AB + SA + 6B = 0 multiplicanda per 7A + 8B+ gC
et 2B + 3C2 + 4 BC +sB +6C = D maltiplicanda per 10 A + nB + 12
nam non licet solum assumere A et B servantes homsgeneitatem
 quasi caetera essent numeri quia alioqui daretur ratio
inter A et B. porro componantur  duae aequationes
productae intersc invicem, et fet nova comparanda
sparand
3 Nempe termini in
est ers com
 habemus autem arbitrarias 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. H1. 12. solimodoqe
unde spes solutionis. Ren reapse tentemus vitetur decollare
3
5
 2. 7. A + 3. 8 B 4 2. 8 A B + 37AB +
2, 1 3 0 10
1 4 10
Tres literae A + 4D habent
pro qu  tas literae A, B, C thabent in primo gudi for in gradum
nullo formulam 1. in secundo 3; in tertio 6 in quarto 10 etc
 inde videtur calculo praeviteri posse, quid praestari queat per
comparares. Duarum iiterarum equatio sit gradus cujus cunque pro
Summa omnium terminorum copletorum pro duabus literis, si uujus gradus
est + se duo si assurgit ad 1. gradum e inde a nullo est 3, si ad
Hinc si potentia sit  e
Edum, est 6, si ad 3tiuu 10, ex.
fiet numerus terminorum pe p+ 1. p+2: 2. Haec multi.
plicunda per aliam formulam trium literarum ubi prodeunt
it ergo
pyramidales ut a+1.. _+2. 4+3: 1.2. 3
numeus arr arbitrariarum +1. +2CE + bis quququ
(1. 213
productum autem pro numerat arbitrariam. prodit autem
formula assurgens ad p+g. trium literarum, cujus proinde
P+9+I. p 4+ 2. p+9+3
numerus terminorum erit pyramidalis
padum
1.2.
data jum aequatio assurgit ad leium 3. (nempe ACC + BCC - 2B3)
haec multulicanda per formula lium literum gradus
cujus arbitrariae sunt numero
 + q- 3
P+92. p+4-1 pIq sunt ergo
in universum crbitrariae i p F1. pA2 + bis 4+1. 412. 4+Z + P + q. 2. p Aqu. prus
+
1.2. 3
1- 2. 3
quae summa simul major esse debet quam p F4+1. p +4+2. pF 413 + 1 436
et videntur primum lantres procedat Pa sumendo 2 etul. 2. 3

## Folio 435v — 00068196:0866
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 434r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000866.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
Et videudum primum an res procedat, assumendo
P. esse 2. _ deinde si non procedit assumenda paltior.
et vero dubitari videtur non semper debere, p. esse 2. ut
sciliaet relatio quaesita aliquando altius assurgat, praeseu
tim cum data issurgi ultra
undeo autem inventionem re replicatae relation
restrictioris revera esse inventionem quantitatia
eodem modo se habentis ad quas libet, sed non es
semper
communis mothodus cuilibet casui feriei ipsius
generalis. Caeterum hoc strictior relatio interdum ex ipsa serie
in certo exemplo data emi pesse videatur. videmnius sit tale
intus quadrali inseripti St. oct l. ctarguli 12= 12. 1b gult D2. Sr
3n2guli 12- 124 v2 + F2
C: 2 2
C:32
E
ela 1b sit n ft B. H
C: 2n. +2 + B: n = 4
CBE C: 2B+ B: n = 14 - B: n
B. 16
nem alia scheda sum proseentus. Simulus inveni eam hoc
loco haberi non posse
nam si tollerentur duae diretur
relatu aliqua inter _. b et C, sine nautunc tollendo C
ex relatione jam habita inter b, c n:; habebitur relatio inter
b et n:   sed relatio inter numerum progressionis
geometricae binaris, et inter indefintam istam. Si 
2= 12+52+F2=rVerc nisi transcendens haberi non pt 
Et hinc eliam Methodus habetur habendi relationem
inter numerum termini, & numerum ordina
lem
quando s scilicet nova relatio inter duos numeros
terminos proximos oblineri potest
emper relata in aequad infinita inveniri pt relavemd exprimens
inter A et B. it ea Talis B A A= D + B + c. 2C + 123D etc.
t A+ 124+, 2. 3 A+ tL. 3. FR etc. + 04 0+ ∞ 1  RF X+ O1R+ 01. o2B et
a AB ABn + 10A 10R cuc AB = 1=B, , ∞ eu : 10+20A+ 2op ou
et pro A substituendo valorem ex celae inder A, B, C. habebitur recatio inter B et C quoe
debet esse similis priori inder A et B seu haberms duasidemticas inter se aquivatentes
sed non semper ioo statim appacet aequivatentra, nisi collendo unam ateram ope
unigs, debent evane cete aubae lifers. So o

## Folio 436r — 00068196:0867
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 437v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000867.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 89 lines, status machine
AB AA r AB a b AC, C
b= CD Ex - CD,
o 2. d- C
in
et c
e
E
A- CD
2
469 + V
= Er. CF
+bb-
t
LR
E
CD =
erus laberum seu repetionionim ipsius AI
bi Zn.
et
b sit . AB. et
e
: 4ry
AC: 2
sit n et ipsius BC
C, sit 2n
fieter p. AB. RA + AC) = 4 AC. RA habed garis.
. 6644 10000 = 25. 254. 100
625. 64 + 90002 = 250000
AB= s AB. 8. CD, 3 CA
CM diameter 25. 3
+ 8 = 3 in 25: 3 = 3
48 = 3. 25. 3 - 3
(-9
- 52. 25: 3 Et 48 = 5 -5: 35:3
e R 8 = _ R15 8 = CB 1. 5: n
2n. 5 =. 10. seu 5= 10n
Ergo exory. D fier + 1.8: n = 10: 4n - 10: 16 n. 25: 3
seu
4. F.
2n
 10. 4n
a
seu 4.8n. 25: 3 = 102. 4n. 25:3 = 10
d
+
e
2. 25:3  10 = 10. 4n 25: 3
625 (4. 25. E5) 1 9. (5 25. 4 4 = 25. 4. 4. 25 25
S e  4. (25. 25) 4 9(10) = 25. . 89 4. 25. 25
seu si
s
C
set AC = C: Ln (RA vocemus Y
+ un bb rr + C= egrI6nnerCC
5. 25
seu
1. 8 vocetur b et 10 vocetur C
et. et 25:3 9
seu sit ua poluys goue inscripti  amlitus = nAB = +b, cirum scipsi in AB. H et quatratum dinmetis a
ret 4n bg + cc = Ann gc. et simi
quadculum diametri
inque si sit series replicata b, c, d. fiet anncg + dd=gnn gd
Ergo Annu = a. cb = dd: d=c seu ccdd d-c.
=
d:C1: 1 - bsC sit b: C = f et cd = g fiet
t. =5 B 9 15 = 1-9 seu f = 9 1. 9d +1 436
se
3ri6-g
3:51:5. 24
u
set AB = b: n et
+n
ad
cede. C.d
1G
e
LE00
b = 8. CF 10 n = 1
ex Z  25: :
16 b + 10ode = 16. 16 100
90
96256=
10900
060
00
50
400 00
90090
15 = 100 13. 4

## Folio 436v — 00068196:0868
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 437r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000868.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
2
cd - C3 = C d - bd 2. se cl: c - 1 = d:  = b: c. d:c
seu scrbendo d: c = D et c : b =f fiet 9 - 1 = 99 - 99:f seu f-
seu f9 - f = f9g = 99. seu f - gre bg 4 99: g. g9 -1
i s radius seu diameter 2. cujus quadr. 4. eut
dnnidium 2, seu inscriplum cujus latus AB sit f2.
jam CD AD eseu  = cd in 2 - cd. = 2cD - cD
seu cD = 2cd +1 = 1 -  = L. Ergo 2D , - cd = s
seu CD = 1 - 82; et CD = . - 2s: + 2. se
3: 2 = 12. cui adde AD2 seu L fit 2 - s2 = AC
seu AC = 12 - s2. lurus dimidium est  r. si
estod ut probemus ad regulam annba +cc= +nn gc.
n=
si
c
252 -I2- 92 siet
_852 + 8 - +s2 =  1652 - t2
se
ubi n   n = 1 b = 2 C = 8 - 4 12 g fie
4. 2. 4 +  16. 4 - 4s2 +2 = ∞64 4. 2, 8- qui
seu  b  64) 64 52 + 32 = (64) - 32 s2
4. 4. 2 + 6 16 4 - 4 s2 +2 = 4. 4. 8 - + s2
e 32 + 64 - 64 52 +32 = 128 - 64 s2
pergamus: (jam AF =  S2 - 12 et EF = et PF =
1CQ Ap = AF = 1 - 2 2 +  12. seu = + = s2 et PF L (2+ s
fiet EF = 1 -  2+ Si et EF = 1 - 12 + s2 +  = +  s2
addatur ad AFZ + - 1 12, fiet  AE = 2 - (2 + 52
seu AE = 12 - 52+52. erat Ergo
probatio
B = si et AC = 52 = 12 et AE = s2 - 12+12
sit. et applicanded ad aequaoem 4nncq+ dd = 4nngd.
sit n = 2 et c = 4 8 - 42 et d = 22 - 1652+ V
1. 4. 4. 1. 4. 4.  = 4. 4. 4. 4. 4. 52 + 12 Recte
4t2 - 52+s2. vr - 12+52+2 1b2 Suntn
32 - 16 52+ si
128-6452+ S2Fo2 512 - 236 sutsitsum
Etm,  AA 22: nn +2 = enn =e: annt]. seu fier 3
2nn-L 1bnn 1 (32n = 64n - 16 enn + ex. Ergo ibnn
de seu 32 - 16 nn d +32n2-64nt 1b e nn tee seu vbenn = 1onnd + ce
4. 4. 4. 8 = 4. 4. 4. 4N + 16.6 4 - 452+52 + 2+ fr = 4. 44. 32= 4. 4. +. 16. 12 + 52
seu (4. 4. 4. D 2 - 4. 4. 4. 4 12)+ (4. 4. 4. 4) 4 (- 4. 4. 4. 4. 4 52 + 1D 44. 4. 4. D2
+. 4. 4. 4. 12)
at jam

## Folio 437r — 00068196:0869
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 436v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000869.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
iaremus ergo regulam novam quam non ingreditur
radius vel diameter: inter duas dnos
duos ambitus sivi sibi vicinos, prior enim
quam ingrediabatur radius erat, annbus + cc = tnngc
nova erit: 16 cnn = 16 uno + cc, quam
 quam posteriorem probemus et in simplicioribus
casibus, n = 1 b = 2 C= 8 - 412 fiet
16. 8= 16. 4 52 = 16. 2 +   64 C64 52 + 32
et si n = 2 et C = _ 8 - 412 et d = 32 - 1652+ 2
tunc pro 16dnn = 16nnc + dd. siet
16 37 4 + + 16. 4. 32 (- 16. 4. 1652+ si L 16. 4. 8 (= 1 6. 4. 4 s2) Rect
D12 +2C12) = 4 52 - si: seu 2 + 4 s2+ 4 -B 1b52, + 16. 16. 44 (.2 + s2) + 2 (2)) seu restat 4 = 1 + 2t
Has duas aequationes e conjungendo, ut tollatur nn
fit ex priore nin = cC : 4lgc = 49b ex posteriore nn = CC: 1bc - 16b
id est q4 t unde invenimus q= 4 quae nova est calculi
comprobatio.
cogiteum de alio modo relationis inveniendo
tunc jam videamus an sit possibile invenire aliam relationem
inter b et C, ubi absit n. adsit autem 4 ponamus eam haberire
et ope ejus ex aeg. 16 enn = 16 nn b + CC tolli C, seu D. tolli 
habebitur relatio nova inter n, et b,  quae est absurda
nam  seu mojs in regula generalis invemiendi b, seu terminum
ex dato n, numero progressionis Geometricae Ginariaes.
regula est impossibilis in nostro caiu Inde finitus enim est
ex tractionum quadratiarum numerus. Itaque impossibile
seu hoc
et etiam novam aliquam relationem inter b et c
inveniri, nisi qi ea sit talis ut ejus ope toclendo C ex
relatione 3 etiam evaneicat b et n verum ita omnia
evanescent, adeoque O et D debent coincidere. Aliud
est tamen si relatio C esset transiendens, hoc exim pt esse
ra Erim ex his srobari
diversa a nostra D.
non potest impossibilem esse uaTerminationem
feriei in communibus. Nam etsi relati se modus eod
et
relationis sit transcendens feri tamen po ut in easu
aequalitatis ipsorum b et c fi fiat, ordinarius.
ila habeatur terminatio ex 4. vel numeris sive ratio
naliter sive irrationaliter.
acole

## Folio 437v — 00068196:0870
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 436r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000870.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
aelerum hinc praeclarum aliquid didicimus
nempe modum semper inveniendi relationem
 et
8 
x
c F1F+S
inter numerum Seriei terminum et aliquem
alium numerum seriei notioris respondentem
Nam ponamus dari relationem inter 
2C, d. qquaeratur relatio inter B et c
.  CF  si est possibilis, modo alibi praescripta. Jam
3. 2
Vatur etiam relatio inter B et C interventum
2.
 ex alicuius numeri ut n, cujus datur progressio,
 adi
te ergo ope duarum relationum inter B et C
E
a
tollendo C, habetur relatio inter n et B,
quod est pulcherrimum, nec alia facile via
F sbtinendum.
5
as
 Si Nova relatio transcendens inter b, c, n  daretur
taque esset differentialis seu summatoria; queungsatur eo
sedali
tollendo n per D ex  dabitur relatio transscendens inter b
X et C nmp oro datur relatio ordinariat inter b, c, d c ex
exs
ex hac b  E tocendo b ope 6, restabit relatio inter c
similis esse
25dC E et d, quae debet coincidere ipsi b et si non coincideret,
E
Et
o
esset similis, tunc duae darentur relationes differentiales
inter c et d, una E altera 4 similis ipsi 3. quam
d 2 et Z ope collendo  differentiales
ipsarum c et d, haberetur relatio odmatia inter c et d
adeoque et inter b et C. Hinc videtur modus dari investigandi
assumatur inim arbitrarie et ei similis ejus ope tollatur b ex Z. habebem
8. quod quae debet coincidere ipsi 4 et ita arbitrariae assumtae quaerentur
si non co siluo
pro investiganda relatione ordinaria inter b et c
pro investigunda sic procedendum: Sumatur velatio generalis arbitaria
inter b et C quam vocemus ; ciusque ope collumus b ex ipsa et ex ea
collamus b, ope ipsius Q. restabit relatio inter C et d, quae sit
F et
debret 3, per via similis esse ipsi  assumamus O transcendeatem finitam
sed exponentium datorum primoionstantium  inter b et c. ex ea tollamus b per reladem .
deel haberi B rclatio inter c et d similis priori inter D. scribamus + similem ipsi _
debent conferi  coincidere B et +. Est autem ipsa 8 infinita, igitur finienda