# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/59886/text
# Catalogue record: 59886 — [Aufz. zu Evoluten und Evolventen]
# Incipit: Invenire duas curvas EE, FF coevolutione generantes curvam CC.
# Date: 1691
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=59886&katnr=57589
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068197
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 2a
# Folios: Bl. 7–8 (from the shelfmark LH 35, 13, 2a Bl. 7-8): 4 pages, canvases 13–16, page ids 00068197:0013 to 00068197:0016
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068197&page=13
# Lines: 306 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.87
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 7r — 00068197:0013
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068197/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 92 lines, status machine
Cate aequationem 28. coincidere cum aequ. c6. et calculum possae post aeque. 16. ad esq3)
fitu fuisse inutilem quod et rationi conseulaneum est, cum enim jam omnibus quae H
haberus usi simus ut haberemqus aequ. 16. in specie, quod CE. CF sunt tangentes curraer,
seu quodd no inutile est idem denin in calculum introducere vel velle
Certum interim est aquationem 16 habere locum, nec hactenus quicquam
supposuimus pro arbitiius. Certum est etiam nos posse assumere aequationem
pro arbitiio pro relatione inter 2 et v, quae sit (17.) Quae aequati
17 si ita assumi potest, ut ejus ope tollendo Z ex aequo 16. simul tollatur
habeaturus aequ. (9) pro relatione inter n et e. ita enim inveniri puncto
unius curvae FF sumto habebitur punctum alterius EE, etsi non habeatur cc, et
punctum intersectionis tangentium erit punctum curvae CC Unde sequeretur
Quod um sit absurdum. Hinc
v
haberi et curvat CC. punctum.
colligo rem succedere non posse. seu non posse assumi aequ. 17 qualis desideratur
lum video hac iem notabitem; non posse evulut
coe volutione curvarum inve  Hinc sequitur relatio
inter h et Z. vel inter e et v non posse inveniri datis aequationit
Determinatur nisi ipsa relatio inter X et y detur
Quoniam tamen nihil egimus usque ad aequationem 17 et 18, quod
u
17.. 18.
quod non possimus facere generditer proqualibet ossi(urva earum
ce proprietatem tangentium propositam habente. Nam utique habita aeq
16 quae omnibus eois est, possumus fingere aequationem 17 pro arbitrio
Curva nempe curva FF
quia curva data per aequi 1 determinatu
pro arbituro eadem assumi potest proqualibet coprsarum CC, et inde
et terminari b purva EE. sad cum assumendo curvam arbitrarim
d
la
FF. sic ut ejus ope tollendo Z ex aequ. 16. simul tollatur v.
determinata erit e curva EE, proqualibet iptsaum CC possibilium 
Ergo modus hinc habetur quamlibet curvarum CC, puncto ejus d
uno dato in specie describendi. Tantum enim ex puncto dato ducantur
langentes ad duas curvas et seu filantum ex a puncto dato incipiens
facto, continuato motu describetur
duabus curves cirnomplicetur, quo blema redit
bx + cy + dxx + eyy + eC. + bxZ pqu. 0.
sd
ut data aequatione
 a
fres ergo ad
bat
aequatio . ex X et y.  cujus ope tollendo X. simul
Et qui quod fit quando problema reapse est theorem
fingenda est alia
ut quando quaeritur circulus qui parabolam secat, ita, ut duo radices ab un
e
parte simul aequentur duabus radicibus ab aetera parte simul. et sit aequatio ad
tollatur y.
e
s
parabolam 2a X aequ yy. ad circulum XX + yy + bx + cy aequ. d et
b. cvel d 2 
in aequationem ingrediatur conditio proposita ejusque ope inveniatur
et denique substituatur X in locum  ex una aquatione in altera, tolletur sumiliem
sed quod proposita quavis aequatione inveniemus tale cheorema. Et quid i
ponamus ergo eas se
langere in vertice. erit tam X quam y aequ. 0. (Hoc fieri poterit hoc modour
2aX aequ. yy
tacendum erit de duabus illis curois, an non se secabunt
si eodem modo componantur duae citerae, vig. sit aequatio
Fingatur alia 2ay aequ XX. Ergo tollendo x simul tolletur y. Est enim ex 8
priore X aequ. gy: 2a. Expori Ergo 2ay aeqo y: +aa sed hot non prledit B
2
sufficit sed debet praeterea poni posse tam X quam y aequ. 0. sit ergo aequatio e
cp
proposita  X rax + AZ aequ y + v. sit aequatio proposita ex 4 literis:
Z et Y aqu. 0. fiet
et
ax + bpX + cB + d vv aequ Fh +ghh + 1e + meo fingendo
scribatur alia aequatio: avb
av + bvv +Z + d Z2 aequ. fh+ ghh + le + mee aequ. 0 invertendo scilicet D et Z
Fh +gth + le + mee ag+0.
Verum ex hoc solo, non sequitur thaglh+ le + inee esse aequ. 0. AsenZ et n esse 0.
An sic melius si sciamus Z con formari ut si, et  v ut e. et sit.
aZ + b3+ cv + dVY aqu Ah+ + C
+ fle +9Ze Hungmodi enim debet
esse aqu. 16.
e et hy alioqui statum divelli posset in duns desideratas. Si fcilile duae com
q
qquio
ah + bhh + C1 + dec
binationes non miscerentur. qerd si qua consiberatdo solum y agm aa ga.bilu 
ubi solum curbant Z
vaeramus aliam curvam quae propositatus in est tiat  rggogo bb
in vertice tangere debet. it si sit XaX aequ yg. et XXy 2aX - yX aeqo . y,35 opinibus
7 et V ut literas ad curvam
recte expensus optimum erit in aeq. 16. ponere Z aequ. t. et   et vaequ e
eune
omitam

## Folio 7v — 00068197:0014
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068197/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
EE, FF
invenire duas curvas coevolutione generantes curvan
EE et FF CC. Manifestum est Ellipsia centro
fo umbilicis E. F. descriptam ibi langere curvam
Fingamus dari cur punctum C, et punctum F
quaerique punctum E. Hoc ita invenietur, datur
ex puncto C educatur ep  ad curvam normalis
axi occurrens in p. datur CB aequ y. B Raequ p
jungatur FC Ex Ex F ducatur FG hormalis ad Cp.
et centro C radio CF arcus secabit FG in G. jungatur
CG patet angu ex natura tangentr Ellipsin, angulos
Gep, et FCp fore aequales. Eodem modo inveniatur
2G intersectio rectarm 1C 1G et 2C2G dabit punctum E.
quod jam calculo quaeratuo
Idem brevius: si tangens e curvae Fx incidens in curvan
CC reflectatur inde ad curvam EE debet eam etiam
tangere, unde angulas quem recta PC ad curvam
perpendicularis angulum FCE ca bisecabit. Data
curva CC quaeruntur curvae FF, EE, et ex
his duabus alterutra sumi potest pro arbitrio. Sed
curvam Cc intelligo dari, dif proprietate tan
gentium, seu ratione CB ad Bp expressa per
AB et BC sit AB, X. BC, y. 4
AGZ, FG, v. AH, h. HE, C +G+.
ex F et E in CP perpendi culares FK. Et. producantur
et in eas ex punctis , N _K dem Hantur
normales, TM, NZ. Habetur FF aequo t+ v
ob triangata similia FKC et per F ducatur axi
parallela FW, ipsi cp occurrens in W erit.
FW: TP:: CF: C7 Et rursus habetur FW.
et Fursus FK: FW:: CB: CP  Habetur FK.
en FK T aeqo TP. CF. CB. Et eodem modo
cT. CP
aequ Np. CE. CB
b angulum FCK
CN. Cp
et ECL eundem erunt triangula
CLH CKF, etX et E similia, eritque
Fh: Et: CF: CE. Ergo fiet:
P. CF. NP. CE:: CF: CE
CN
TP. CHA CT  Ergo TP: CT:: NP: CN vel PT: PN:: CT: CN
quod sine calculo praescire poluissem ex noto thcoremate
constat quod bisecto angulo segmenta lateris angulo oppositi, sint
lateribus adjacentibus proportionalia. Est autem angulus
TCN, bisectus recta CP ergo erit pY: pN:: CT: eN. Est autem
PF Denaequ. AP- AF seu X+ p - Z + +, et PN ego A A seu  h+A- X -p
quaeratur BP, p. FG + N A n. Ar . FIatM. . . ...
+F TG: GF :: TB: BC, seu t: v:: x- Z+ t: y.
NH : HE:: NB: BC, seu n: C:: n + h - x: y
opus doneoccurrant alei in R et S
est EL
C7
e

## Folio 8r — 00068197:0015
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068197/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
Y
et CN aq 1 ne etch un Finhe x +hh -2hx + Xx + yy
XB2
et c aequ Et eEtZ F2tx + ZZ - 2ZY + XY + yy
et fiet: jam C7 aequ. fse + yy et (T aequ 89+ yy
ergo fier ff+2f p + pP: gg_. 29p + p p:: ff + yy: 99 + yy.
t
vero erat
jam ex superioribus CF: v:: f: y det n: e:: g: y.
in quibus quatuor tribus analogis omnla continentur, nam de reliquo
Datur p ex y et X. Habemus ergo literas X y. t. n V. Z.
retinendas quidem D. A. quarum indigemus relatione inter se, et h. 
quarum etiam indigemus relatione inter se tollendas vero primum
 et n, deinde X et y.
Aisunt jam tres aequationes, quarum
ope tolli poterunt duae literae  et H X et y. .
et resi dua
continebit  v. Z. h. e. +. n. Sed supersunt ad huc duae determi
nationes, ut scilicet constet ipses  et Z C CF, CE esse
d curvarum FF, et EE tangentes
sit Z- 4 seu AT aequ  fiet  f aequo  x - l et t aequ Z. 1
sit h +n se ANaequ. m. fiet g aequ m - x. et in aequm- h
quaeramue aequationem ad rectam TC, faciendo rationem TG; GF
2
lard esse co: a fiet ,Z d: v: co:a. Sed pro co: a ponere possumus
g.
TB. BC, seu fiet Z- d: v:: x- l: y. Eodem
Eodem modo erit: m -h: e:: M- X: y
quae aequduae aequationes detarioinandae sunt ad duas radices aquales
et notandum solas in is duplices esse v. Z et H. e. h. at reliquas
X. y. l. m et ut et p. esse simp (ut et p quae tamen datur ex X et y) esse
simplices seu unicas Unde aequationem 1 et 2. determinando ad duas 
radices aequales perinde cum illis procedetur, ac si essent constantes.
Non vero licet jungere aequationes duas. 1. et 2, quia cum duplices
primoe
y. non respondet uni
adix
sunt ua unius non respondet prio tunc, una 
ior
unius
radici secundoi, nec altera primae alteri secundae.
Sed aequ. O tam
uniquam alteri inseri potest jam ex aquatione C fit
xx - 2xl + l + 2xp = 2l p + pp e: XX - 2Xm + nm +2Xp F imp ApP::
2v: : XX = 2xl+ I + yy: XX- 2xm + nim + yy seu quadr. X- l+ pC: quad x+m - p .:
:: quad gygquad. X- l.gy 4 quad. M- x
si hanc aequationem 3 aliqua ex duplicibus ingrederetur, posset inde
valor inseri in aequationes, l et 2. et po novas haberemus aequationes 4 er5
quarum differentiales habendo quaerendo novas haberemus aequationes
differentiales, quarum
differentiales  dz: du, et dh: de
ipsame
renlialibus
Anergo licebit nodam aequationem pro arbitro assumere. Et quidem verum est, aliquam
ex arvaliob
relationem inter altenliam Z et D vel hete esse ribituanam. sed assumendo eas unam
postea non licet venire semper ad alteram; itaque fingenda asse t aliqua ex ipsis mint 
ex qua poterimus collere V per 1 et e per 2. restarent Z et h. et haberentur
dZ. 1h. eodam modo haberipossent doede. ed quae substituendo in differentiali
aequationis 10 haberetur aquatio
cis
aeg. qui est laeqo X x  Zy. v-y. et dlaequ
in aequ. 3. prool substituatur valor ex aequ. 1.  habetur aequ. 4 v irave x
cujus differenturlis erit: 2. A Xx. ExmemmaguV. ZI A Z ldr vdque Z- vyns sic
XN em g habebitur aequatio in qua omnia evarescent praeter termini multiplicati on. vv. roger
Si
per , Il, unde vel al fieri debet aqu. 0. vel nova fier aequatio. sed cum al jam tuno 
constet esse v. nulla fiet nova aequatio, et habebimus vatorem al quaerendo redibimus
seu et est detap, et EN ost 9. p pepto esse a t apo f. A Epu eps ad id quad jam cum constat tempe dh. dv.. Z. L. v. 

## Folio 8v — 00068197:0016
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068197/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 91 lines, status machine
itaque melius progredieuu contrario modo, vertendo simplices in duplices et contra
ponendo scilicet duo puncta C assumendo et u et ponendo CE, concurrem in curva
EE, et duo CF in curva CCF Manebunt puncta
E. F. G. H simplicia,
redtt et magnitudines. Z. v. h. e sed duplices fient, X. y. l. m seu
puncta C. B. T. N. Tabrtum ergo aequationes 1. 2. 3. hoc modo erunt
explicanda diffcentialiter. Ex  Notando dx: dus _:: y: p. seu paego dyx: dx
erit dp aequ.
dis
Ax
dy + dydix dx ddy ex ddy- dy ddx.
seu dpaego dxp dy +
dau
dx
a
Pdda. Sed non opus est explicare ap. cum enim detur
P per X et et y. dabitur etiam ap simpliber per t x. y. dx. du.. uciam
dx
y dx
Faciamus differentiales ex 1. 2. 3. Ex 1. fit Zdya ldy ydl aequ vax vdl
Ex aequ. 3 totlantur literae l et m per aequationes 1 et 2. habebitur aequatio 4.
Tin qua nullae aliv erit dupli quam X et y. et habelitur novus valor dx: du pro quo substituene
atum in aequatio 5. tur nempe dx aequ 3 (habetuo enim p per X et y)
d
axdi habetur aequatio nova in qua continebuntur literae X. y. Z. v. h. e. Quorumqus
+
jam differentiales ipsarum 1. 2. 3. quae erunt aequs. 7. 8.9 in aequo . habebitur
V in qualibet earum habebitur dz. dv. db. de dx dy. In aequ. 3 tottamnis solummodo
vilorem B. lope aequ. 1. habebitur aequ Quaeam Aequationis 1. differentialis
aequatio sit (7. habebimus dl aeq per dxdy. et ideo al habetur absolute quo
ut utarum, tollamus M in aequ. 3. ope aequ. 2. fiet aequ. (8 in qua restabant l. X. G. duplices
cuius differentialis sit aequ. 9. ubi tollendo dl per aequ 7. habebitur aequ. 9. in qua
aequatu
non etgerteal
pro dx lys. punendo valorem
 aequ. (10.) relationem exprimens inter X. y. Z. v. h. C.
un
Ded ut adhibuimus duplicem
Ita nuuc adhibeamus differen
differentialem aequationis 1. seu valorem dl.
tralem aquationis 2. quae sit aequ. (11) ubi erit  habebitum
per dx: dy. et ita omnino. qin aequ. 3. substituatur pro l valor ejus ex
= aequ. 1. fiet aequ. (12.) in quarestaburt duplices m. x. y. cujus differentialis oergo (13
aequ. (14) ubi tollendo
 in qua tollendo am. per aequ. 11. dabitur habebitur
5
imo in
aquatione
dx: dy. et per aequ. 5. et m per aequ. 2. habebitur aequ. (15) u qua
restabunt: X. y. 7. v. h. C
e
Habemus ergo tres oequationes 6. 10. 15
interhas quatuor incognitas. Et hae tres aequationes inter se diferre debent, nam
 primam invenimus non considerandus utrum let n essent duplices, secundam invenimus,
iconsiderando l ut duplicem, tertiam considerando m ut duplicem. Ubi sciendum
de sideramus autem invenire determi relationem inter solam q et v, et inter solam h et e
n
Et quidem notan erbe considerandum est relationem inter X et y. jam esse, determinatam
e
retsi nobis non satis notam. videndum jam porro quia jam l. et n omnino suctulimus an
non liceat jam harum aequalionum quaerere differemitiales. Assumendo jam X. y. 7 vih. e quass
set ut duplices. Ita est, et hoc meclarum videtur Et primum opeaequationum 10 et 1
Etollamus literas X et y ex aequ. b. habebitur aequ(. 16.) pro literis  Z. v. h. C. cujus aequa
8)
tionis quaeramus differentialem (17) poterimus tollere dZ. quia dz: du:
7- l: v. et tottendo 
Firalorem ipsius  inventum ex superiori qui habetur per unde tollemus valorem ipsius. I. nam habetur
per aequ. 1. ope X. et y. sed X et y inde tollendo per aequ. 10 et 15. hhabebitur C per solas
 v. hae opt aequ (19) quem valorem substiluendo in aequ. 18. habebitur aequ. Et similiter
igi
u
in aequ ead. e substituendo, fiet aequ in qua
quol 24.
mto e. quaees
uia odem ahine
erunt literae Z. V. h. e habebitur galor ipsius ah. et substituendo eum in aequ. 1g
utorem n, inventum aequ. 2D
ex aequ. 18 fiet aequ. (22) qua lit ermul Z. v. h. C. dvt. de.
Et similiter haberi poterit alia r(23) pro
(20)
et habebitur dz: du ::.
par solas Z. B. h. C. ex aequ. 18. cujus ope collendo dque ex aequ. 17. itur re sabil d∞ et. de
similiter toltendo ilo inveniendo du: de dm pe totes ut per. 18. 19. 20 habeituu
dez. du ila per 22. 23. 2ghabibunus ddedh: de  et in oqu restabcit aequ (25) in qua
17 (1e4. 2I.
diunt dz. d. de. In aeq. 2B tollendo dh: d per aeq. 24 restabit dvide prorus 26)
in aequ. 25 lollendo AZ: lv pe aeg. 21. rcstabit etiam dv: de pro aequ. (27) aequando aequ. 26. 27
habebitur equ. (28.) proliteris Z. v. h. C. quam jungendo cum aequ. 16. haberetur aequatio (299
pro tribus literis Z. v. h. Unde assumendo  aequ. (30)  arbitrio pro Z et relatione inter Z et V
habebitur etiam relatio (31) inter h. et e. verum hoc est absurdum, ita enim curva X. y. esse
asterminaca peritus, cum lamer, aon sit deter tuiaata pusi vato prncto aliquo, Glade collago