# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/60389/text
# Catalogue record: 60389 — De Summis seu Methodo differentiarum inversa
# Incipit: Constat a(x^e)dx esse differentialem quantitatis (a:, e+1)x^(e+1)
# Date: 1702
# Other printings: vgl. Joh. Bernoulli,Opera 3, S. 385-558
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=60389&katnr=57334
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068089
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 7, 18
# Folios: Bl. 1–18 (from the shelfmark LH 35, 7, 18 Bl. 1-18): 36 pages, canvases 1–36, page ids 00068089:0001 to 00068089:0036
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068089&page=1
# Lines: 2,315 recognised on 33 of 36 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068089:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 56 lines, status machine
onstat axeax esse qui differentialem qua ut italis
os modo haber possent, ut apparet a sirculo et Hyperbora, quae (4:, 1) Xe Itaque si quantitas differentiatis summanda
offeratur ante omnia, videndum an quantitas pro posita sit productum
alicujus disferentialis in multiplum sua absolutae ad certam quandam
potestatem elevatae. Ex. gr. dus ia+u) est s dus multipligata
per quandam fdys, qualis est a +y, (quae absoluta est  ipsius dy,)
in elevata ad potentiam, hoc loco exponentisZ. Unde fiet
Sdy isaty) = (1:, 2 + 1) a +y L  seu Z (4 + y) ssa + y) 1
sic olas ipsis (X dx d(aa + XX) est (2:, Z+) B a+ XX 
id est 3 (aa + XX)  (aa + XX) Et sdy :a + y) = 2 ia + y)
interdum quae non videntur summari posse per hanc
methodum, levi immutatione eo reducuntur ut possint. Sic
sigre (1) si Epro )dX MaXX+ X) scubatur X LXdx Y(aa t XX)
fint haa 1 XX 3 (aa + XX) ssa a + XX). Et si pro dx e(at 3aax+
3aXX + XZ) scribatur, fax (atX) Na tX) siet = (aa + 2ax + XX) Ysa + X)
(2)Et viceversa interdum involvendo aliquid indeterminatae sub
vinculo summabilitas fatilius apparet, ut si quaeratur
Sax X (3a  4X) Y (aX+ XX), involvatur X semet, provenit:
surma
Sdx XX (3aX + G(X) L(a X3 + X9)  quae sit ex regula Z (a X + X Y) a X3 + )
β) si occurrot fractio cujus denominator est aliqua potestas, videndum
an ea utiliter sumi possit pro quantitate absoluta, ut si quaeratur
((Xdx:) a + 2aaXX+ X+) proquantitate absoluta sumatur aa +XX 
et si labet vocetur aZ, fiet Xdx =  taZ. et prodibit : saz. 22
go = = = (1: Z) = - = (1 : ,aa + X X)
(4) si duae quantitates seppratim summari non possunt, fit
ptendum ut conjunctae possiut: Ex. ge X. NaL + x) +
Rx. H2aX + XX) additae in unum dant (a+X) ax: (2 ax + XX);
cujus absoluti summa est Var + XX)
() Fractio aliquando summat habere non videtur, sed si
pumerator et denominator multiplicentur per eandem quam
tratem summa prodit. Ut dx (a +X): YBa+ X) multiplicando
utrumque perx fit sax. X (a1X): N(B aXX + X3Z = (l: 3) (3axX + 2X3)
(6) vicissim interdum Numeratore Genominator dividendi
sunt per eandem quantitatem ut summa haberi possit. E. gr.
axx ax: Haa XX4xT) dividatur aterque per X fit asxdx: Vaa tXX)
(x) contingit quo
(7) conx interdum fit, ut quantitasis summa per se summa
= a vap + XX)
ex regula praesenti haberi non possit. Sed possit si addatur aliae
quantitas cujus summa jam habetur. Si erga a summa utriusque
simul auferatur summa additae, habebitur summa quaesit 6
Cx. gro XAX Ye +X) addatur adx adx ratX) fit (+X) dx: va +X)
= (per regulam) (2:5) L (a +X) Y ( +X). Unde sianteratur (adx sM+X)
quae est (2: 3) a va+X) Ya +X)  restat (X dx a + X) = = () (a +X)
Sa +X) = F, Z a (a +X) Ya +X). Eodem modo invenitur (Xxdx Ya +x)
habetur enim (Caa + rax +XX) dx Ha +X) ut et saa aX  +X) et per
modo inventam Praxax: satx habetur etiam reliquin (XXdx Y (a+x
pari ratione invenitur Sxax +) vel (XdX Ya +X) et generaliter
psius XI (xedx Ha + X).  sed idem brevius patat si pro a+x ponas Z
ud ts uma aetrntaur ae tinalits se su u is arei
Unimis seu Methodo
differentiarum inversa
= extrahendo aliquid
indetermpnatae ex
vinculo

## Folio 1v — 00068089:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 66 lines, status machine
Monitum
Hiquidem sunt praecipsum Casus qui in summando
occurrere possunt, plures quidem ino infiniti aliis restant
sed nec omnes in memoriam cadunt, imulti estiam ad hos reduci
possunt et atentes consideranti, varii modi se offerunt ex naturu
quantitatum vatarum. Interea certum est a summatione
illustriora quaeque Matheseosproblemata pendere tum quae
inventa sunt, tumqua adhuc desiderantur. ut quadcatura
patiorum rectificationes Curvarum cubificationes solidorum
nethodus Targentium choversa, seu melhods in ventioles
Raturae curvarum ex proquietatibus tangentuum atis
Modus inveniendi centrae gr avistatis, perpissionis oscilla–
Habentur et hinc. Etolutiones curvam
et  ope evolutionis, ope rectificationes. Sed uti
tionis
facile est cujusqus quantittis nvenire, differentialem; ita
contrariumes deffeentil quantitatis patae invenire
summatricem. Aded ut interdum nec dum certo affirmare
possimus, utium res fieri possit, nec ne. Iuterim, certum est
indeocuraque ovaulitutis qualis integrae et rationalis
multiplicatae per xt Ha = ) vel per X saX - xx) vel
Eimmtve
per Y Yaa + XX) summam haberi posse supposita  Circuli
+
et aut Hyperbolae quadratura
Addo ego
modo, si detur exYdx (b + ex+ DXX) semper haberi
sius Y perxs modo at
curo tolli signum summationis rednet
ale
posse
visunque sit
seu reduci
habendo
summam vel in terminis Algebraicis, vel in tran-
scendentibus exponentialibus Itaque diligenter animadver–
tendum est inum quantitas summanda possit per multiplica
tionem divisionem additionem, suttractionem, radicum
ixtractionem eo reduci, ut tantum quaeratum
dicta aliquaradix ducta in quagtalem rationalem
et integram  sufficcit in rationalem, et si non sit integrat
Ex. gr. quaeritur ((a + axx - 13) dx (a + X, :X). Multiplico
Numeralorem et Genominaterem fractionis irrationabur
per numeratorem ee productum pumeratorisia seipsum, per
residuum quantitatis rationalis, ita ut exinde fiat fractii cujus
mimerator sit pure rationaliseit, senominator itrationalis
8t) interdum ob quantitatum propositarum prolixitatem
non patet illico an reduci possit ad aliquem propositorum casuum
itaque potest quantitas aliquque sub signi inclusa, vel quantitas
saqualis cuidam litera. ita saepe fi facilias apparet summa–
quae a pro absolata sumitur
ilitas, qua habita tollitur iterum litera quae sita, substituendo
ejque valorem. Exgr. quaeitur s (ax +XX) dx a +X) pono
 +X) = y seu X = yy - a, et dx = 2ydy et p ex
proposito fit 2ydy - 2y = dy = (2: 7) y -fr: 5) ay
vol substituto valore ipsius y habetur Fr: 7) D(+ a) N(Xta)
(2:5) ( (X+a) (Xta). Eodem modo habetur Aeat ex : H
et fiet dicta quantitas aequalis hunc a taxx- X) dxo saxix) iX
quod indicet hanc haberi posse vel ad quatuturam Hyperbolae
reduci. de nodo dabuntur negulae infra.
seu cujus differentiali utimur
AaaXx (ponendo ilaa rx =q et X Gy -ad) et dx = ylly it (yy. aa)
fit Llaarex de: aat XX) = du Maydus;: Y (y = aagus ) = HCg = angus)
et sonendo Rax xp) = y sen X = a + seacgu et dx = F ydy: (aa - gu) fit
a X) ex: CaY Chax XX) = y
=irax-xx

## Folio 2r — 00068089:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 60 lines, status machine
es pacilitalem praeferrimeretur; ut scilice quantitas irrationales
19) sed sequens modus omnibus ob magnam suam nellitatem
in rationales convertantur Huc ergo non parum conducunt quaestiones
diosantea. Ex. gr. per praeredentes modos non potest summari
 ad X Hax - XX). sed hoc loco ut ergo succurratur
fiat ax = XX = quadrato aaxx: qZ, fiet X = a 2Z1, aa + 2Z
et sax -Xx) = daZ: aa +ZZ et dx = 29 ZdZ: P(aa + ZZ)
Ergo  (a dx : X V(aX XX) = 2a sdu: nm = - 243
et sub=(pro Z substitiendo valorem) raa t(a - Xh: X)
sa si quaeratur (ax x +2aax+ a):X de sit Xta = y: aa
et B = caxta et dx = 2 3yydy: aa et exx +2. aX + a3 = gy: a
ergo quaesitum erit = βyt dy;, nis -a
Aservandum ad huc est uti d differentialis propossita
infinitas habere potest summas inter ediversas, prout unicurque
summae odditur vel demitur quantitas constans; ita summam
per regulas inventam non semper salisfacere nisi certa
quaedam quantitas constans invento addatur vel dematur
quam in finem sequens regula fenema est. Satium summatum
ponatur aequale nitulo, quod si jam summa etiam fit;
tribilo aequalis signum ist quod in pasibus caeteris spatussa
quoque portionibus summandi spatii vil sit addendum vel auferendum
sed si tunc manet quantitas positue ea semper est 
aofarenda post summationem sin quantitas negatiximanet,
ea est addenda summae ut eimplo inferdatitur de quad ratura
spatiorum probl. 6. Ubi spatium, BGC segmento KIHG.
egm. BCDE. Hoc autem stricte se non ita habet, sed certum
quuddam spatium addendum est quod ita invenitur supponatur
patum BGF 20 ert m= a Ergo Cd = Ad et IK = RK differentia
ergo istirum sermeutorum est eut quadrans FLH= quadri AdE
id est ipse quadr AdE, ve seui quadrans s quoniam autem
sp attum BCF quando est  nonpotest simulisse seniquadrans FKH
indicium est quod ad reliquirum spatiorum valorem verum inveniendum
sit a differentia sermentorum KIG.H et dCBE semper auferendus
emiqueadrans FXH. Hine si CF= a, ert spatiam
Utsus Calculi summatorii inquadrandis spatiis
BGF= Z ab
He usus est primus ac fere praecistuns s ito praecipis usus est
sunt duo quidrate, et curuam exeata tangenfum vel osculationum
proprietate inveure, cujus simplicissimus casus ess quadratura)
Consideanturs patia dyersa in infinilas partes quarum
chaben potest s+ dum scilicet
spatium consideatur taliam partium summa, vel ut crescens
ipsis conticontinue supervenientibus conflata+) itaque
si ujus differentiulis datur summatoria, habetur spatii
quadratura s Hore autem differentialis semper carculo
nostro haberi potest exprimi potest) parles autem
sea infinitesimae assini possunt diversis modis, prout comie
dassimae permitunt circumstantaae plunctum mo (+ sed
ade solida sunt negligenda +) (ommumssime dividuntur plana
per ifiitas parullelas Fab. l. f. 19. 1.  2. vel per
infraitis rectas in puncto coeuntes, fig. Z. vel per infinitus +
A
tangentes fius 3, vel per infrinitas adcurvam unrinales fig4
(+generaliter omne spatrum dividitur er in elementa per rectas
punctum pitus
adinatum positione datas, quae sepper considerorm possunt ut conturrentes
ibiupia dato per evolutionem generator,
a curva prodt figs. 3 si contrahatur in rvam fig. 2
proddifig. 4, si conatrsi,  punctum illud infinite absit prodit fig. 12)
.

## Folio 2v — 00068089:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 72 lines, status machine
plerumque autem utiliter seligituri modus qui cmi
natura vel generatione spatii quam iptissime ciondent, et
per quem adeo artissime ad quadraturam recveniri solet. Ita
Couta bonaenethodies set si quis quadraturam parabilae quaereres
per divisiones rectarum convergentium, in punctum, et quadra
turis spirarium opedivisionis parallelae. interdum varia
fig. 5. uti liter
via se praebent. Ex. g. spatium Conhoidate consideritur, otest
fita
ilo
ut divisum in infinita Trapetia quorum lutera convergunt in E
Occurruntus interdum figurae quae aquee uno ves altero
vel secundum applicatas paralletas vel secundum lineas a
centus ad cur
ter
Vcnie
r possunt
oportet ut univscujus partium lodifinite parvarum quaratur
talor quinonnisu literis deferminatis et una indetermgnata
consistat, quod samper haberi potest per naturam velgenera-
tionem curva. Huius quantitas inventa summ, dabit quadra-
turamspatuus. Si divisiones spatii sint parallelae, differentiale
spati supposita abscssa X et applicata y eut ydx de stangulum
nempe ex applicata et G et differe x differentiali abscissae.
si itaque fius. 6) AB sit AC sit curva data habebit y certam
relationem rationem se relationem potius +) ad X uta ut
yax exprimatur per solam indeterminatam x Ue si curva
et sydu seu area ABCA erit (2: 3) tax vel (23) Xy
sit parabola, adeoque quosum
probl. 2 si divisiones coeant in puncto, diferentiale
sp atii est  (1.2) yax triangulum neupe cujus unum latus est y
et altitido est arcus infinite parvus purcto concursus tanquam
Centro per exeremitalem minoris is descriptus, qui pro recta
habendus es (+ queniam a recta subtensa discrimen ejus
est, quo ad magnitudinem est infinities infinite parvum +) Hic
aulem arculus semper certam drelationem habet ad y prodata
ratione uivae sit V. B. spatium Logarithin cum spirale
quiu, quia itaque u angulum constantem facit ad curvam
habebit dus ad des rationem comstanium, quae sit ut a ad b
eritque dx = bdy: a, proinde (1. 2ssy dx = bsydy: 2a =
bguiga qu aequalis sratio B.
Quod si ydX
vel (1. 2) Cudx nondum habebur tentales oingibus modis
area
supra dictis, signum est quadraturam nondum habem
Quod nobis contingit in inquisitione quadraturae serenlid
Hyperbilo, ad quas tamen alit complures, reducuntur
vel ad summas absolutas. Hoc supra promissam
nunc plendemus, sed videamus prius quosdam modos
quibus differentiatet spatii Circularis velHyperbolici expri-
sini potest sit Ade seu cirenlus, AC_2a AB, X. B, Max. X
differentiale patium Bd d = dX H2ax -XX) cujus summa dat
sermentum ABd A. sin esset D BE, X. sort Bd, iaa -X) et
spatium differentrale Bdiforet foret ax 1aa-XX). Riusus sit
X sit AB erit dd portiancula curvae adx: Hax x et
riangulum DE erit aadx: 2 Y (2ax -x) cuius summa da sectorer
sin BE sit X s dd erit adx: isaa - X+) et DEd erit triangulum erit
aa dx: 2Y (aa - XX)
ABd semicirculus Ad, a AB, X erit BD, Haa -XX)
et BC x dx. Caa -) et triangulum ABC Hit Xxdx: 21 (na - pY
nempe olingua Agoret tantim sunttaangua seedbenda retio
sit nunc Hypelbola
et magnum
labirem frustra
Et
quae
ado
isumne.
a v
vil
cantur
ad faci

## Folio 3r — 00068089:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 81 lines, status machine
s
fig. 10
sit nune ds perbola aequilatera ABC, sit Bd2
BF1X; eut AF, pax +x) et spatium differentiale AF.
iqualium
dx + (cax +XX)  summa squatur spratio AFB
sin EF sit X erit AF, Y(Xx aa et differentiale spatium
AF i erit dxthax , Xx)  qualium summa
es spatium AFB erit dx 1(x-aa). sit
sin sit EH, X erit HI, Haa + XX) et Et Y(aa + 2X
ideoque friangulum Eti ) erit, (1: 2) aadx : ssaa + XX)
qualium summa est satium EB). sit H
provenit Triangulum EKi, (1. 2) aadx: T(xx -aa)
omnesque ha diversa expressiones, quadhaturam Hyperbole
sed diberso modo sumtam exhibent
Si einu differentiale cuiusdam pathi ad tatem formulam
redigi soles soterit daricigentis vel perbola, vel
segmentum sercrli un Hrperbolae dulospatioaequale:
omnia satia, quorum differentiale cxprimitur
jam
per quantitatem
rationalem multiplicatam vel divisam pen applicatam ircul vel Hstet
 est vel per ilax-x) vel per istaa vel per eatrvel
per isix-aa ut  aut quadratimus aut sircilo vel Hyperbolae aequersimus
quo ita fet. osi quantirus rationalis propositae formulo differenralis
strimum videbimus utrum aliquid addi
vel demi possist quantitato datae, it a ut summa possit reperiri;
ita si addibum pel dentum haberi possit Rabebitui propositum. Quod
soustat uno vers plusiont
ettiam quasitum
si addistum vel dentum sit differentiales patii circplaris
vel fripervolici, etiam quaesitum eo reducetur. Ex. gr. quaritur
(X dx +rax +XX) = (a +X) dx SCax + X) = adx S(2aXIXX, quia
prius ha ex his duobus habetur, et posterius pendet ex quadratura typerbolae
hubetur quaesitum in quid addendum sit non ita fucile immiles al
id tamen per regulam generatem haberi potest, quae vult, ut ante
omnia Y. tausferaturn denominatorem ut numerator omnino rationalis
ubi indeterminata habet plurimas
Ormensiones ad huc ad plires dimensiones elevetur, sicut et nadix surda.
quadat. Dc inde rembrum Numeratoris,
quae quotrescunque membrum superius multiplicature per dimensionem
quandam ordinatae ipsa adex quantitas radic signo inc radicali inclusa
per duplam dimensionem inteterminala runtaplicetur sic enimfractio
imper aequalis marebit. Multiplicatio ergo eousue continuari debet
donc litere indeterminata potestas in denominatore, unitule accedat
literam indeterminatam plurimaedimensionis, in numeratore; et tunc
mic membro in talenforman reducto addatur vel dematur qualititas
talisu ut ut summa habazi possit id quod semperfieri potest. Hoc
fasto idem peragi debet cum hac additavet denta sed cum signo
Contrario cuiudiungitur prokime sequens, et ita fundem oscenditur
hyplibolae aegubari. sed res melius apparebit exemplo
ui
eX (aa trax 1 saacexX) = (X- a x) dx: Au )  (ua -XX)
ad rittimum menitramm ex
n quaesitat
 sit quoum
=B
ax ax
X ax - 4 aaX dx
H(X - aa x8)
axx
a Xdx + Z aaX dX -
Y(X aa) Y(XBaaX)
Y (Ax -aa)
= A+ B+ C + D. verum A et C summari possunt per constructionem, ut
et B et d, quae per se patent itaque tota quantitas summari potest
si militer si sit summatrix quaerenda ipsius (2a - xX) dx H2ax- Y X)
habeo primo per multiplicationem hanc aequationem (2a p - XX) Y hae- XX) =
(gaaXX- 4 a x) + X 2) ax
1(2aX ∞ XX)
+ = auXdx - 3 XXdx
X dx - 2aX dx Q ax ax +  aap dx
Yra X - X8)
3a XM + Z a x
A ax  16)
zax potest autem
prax - XX)
1 (2aX = XX)
smmatio haberi psiis A+BFC, et residuum E pendet ex quadratua srculi
rax - X4)
ut patet exsupradictis.

## Folio 3v — 00068089:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 63 lines, status machine
Sic invenienda sit summatrix quantitatis, a x: XX L (XX + aa)
ta
sit X = aa: Z eut dx = - aadu ZE. Et aequatio inventa convertetur
in hanc = aa m d) : s + aaze)
cujus summatirx est F1(a +2Z
et substitulo vulore habetum F a (. xx)). Eodem modo si ponatur
summandia a cx: tua +x esto aa + xx = 27 ent XX = ZZ aa et dx = ZaZ. ti. aa
et tota quantitas proposita anax: artxX = aadz: qZ 1(E2t aa) quod
per modum ptraevedentenfacile summatur
quae tactenus dicta sunt despatiis facale accommodari possunt solidi
plana quespe quo dividunt solida in partes infinitas considerari
possunt ut Linea quaespatia diverunt si quidem id concertui non repagnat
siuodo plana ista per literam constantem divisa ponantur ex quai
positione emergent lineae constituentes spatium quid suae quadraturae
retpectu eandem magnitudinem habet quam obtinefludum propositum
re suae cubificationis respecta.; + imo cubificationes sunt
legulariter quadraturae quadraturarum exceptis casibus facilio
ribusa quales sunt in  ductibus et Rotationibus. Nam in
unversum concipi d divispone s per plana spatum spatium solidum
resolvitur in parallee par prismata quorum, bases sunt planat quia
figura quorum quadhatura opus est, iltitudines vero sunt planorum secantium
intervalla. Ostendiantem albi, quomodo summae summarum ad simplices
summas reducantur verb gsseuxi d syd c X sydx = sx syda)
+xy ita habetur metlodus generalis omnes cubificationes
reducendi ad quadraturas, nam dx sydx) = sxyda - xsy
Quanquam fierinterdim queat, ut Cabificatio ipsa per se sit
Fractabilor quadratura ed quam hae reducitur; et tunc
ipsa quadrabura incognita ope cubificationis inventur. Y
Nolandum etiam si pro summatrice quantitatis propo-
sisae provenat quantitas negativa, id indigitare non ipsum
spatium super abscissa contentum per hanc qvantitalem exprimi
ta
sed spatium oppositum, id est quod resicno qui insistit. sit e, g.
DeE dEE Hyperboloides cuus natura est suppositis BF X. FG, y
 esset a = rny, seu a: xx - Gy. fiet y du = a ax: xx cujus sum-
matio est = a: x quo quia negitiva, ostendibur tam non exprinr
ABFGD sed reliquam GFCE. Idque vel ex inde patet, quod quo
majus est x eo quanti tas a x evadit minor, cum tamenspatium
ABFGD crescente X et ipsum crescat
ubirengemus quaedam problemata
pro bl 3. sit BCE cuva AB, a. spstd, x. dC, g. natura curvae
ax- ad= byy quaeritur quadaatura spatii. Quod sic ft per
dalam aequationem est y a ax. aa) in: X ideoque a sit
X = acc: Z erit dx = - aa de: ZZ. Et N = a: Z et isax - a a) = 
cujus
a saa - a2): Z. Et proposita a 1(aX - na) dx: X = - dZYa Z -Z2
circulare BHCB semisegmentum corculare BHGB aquale spatio FdCE
ex quo sequitur totum scatium BLFE, BCEF, siquale esse semi-
ciscuto, AGB, et proinde segm semisegmentum A AHG spatio Bde
ubi obiter notandum, quod si Bd st = AB func de fore possibilium
Maximar si apponatur  a = x fit X yy =0, ergo et X.
erit X. a = x, et ax = xbyy et a = X yy seu X: a = aa: yy
quia ergo x’est infinities major quam a eut a quoque ifinties major
quam X. Ergo y in hoc Casu D. id est curva BCE hoc cseeta
at recta ABF occurrunt invicem in puncto infinite
hinc distante vel potius non concurrunt. Ex quo etsam animad-
antiantem e c euemntum flensus (e seu cus intio
summaturx quia est quantitas negativ astendit non spatio BCd sed
AGB et sumatur B = 2= da ex eut sogmentu trilineum
ex quo concluditur curvam prosoeremati salisfacientem rachoare in
puncto B. si verb X sit nfinita l:0 a seu infinita
 partem rest Eeotu ier rise ndens venie ut conrexam lovertat,
Hfpaptota +

## Folio 4r — 00068089:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 68 lines, status machine
probl. 4 Adk est cuva Conchoidalis, quaenitur spatium ABGD
sit AB, aequ. Gd = EH. Et BC sit a. HC, x. HI dx. HV BC - Hi: 19
seu iG, adx: s(X aa). Et quia  CG: cd = GI: DF erit
DF, _ (ax + aa) dx: x 1(XX - aa). DF + GI, in 2dG= Trapet. FG.
= (2a a +aX) dx: 2X Y (XX - aa). Cujque summalux exprimit spatium ABGd
Habetur autem hocmodo strapez. FG) = saadx: Aex. aa)
+(a) dx: 2X sex- aa). prior summatiix habetur facta hyperbola
euiladera Mpso, cujus semidiameter NgAa; Z sit X, erit
QMN = Sanax: fBX = a a) restat (a3 ax: 2X ix - aa). Ad
hoc praestandum sit XX - aa = XX = 2ZX + ZZ erit X = aa +ZZ; 2Z
et saax: 2X ( - a a) = a dZ: , aa +3Z s itaque fiat curvi cujus
abscissa 2. rdinata V = a; aa FZZ. Erit spatium d  = (a aZ.: (aa + 27,
ut ergo hoc spatium habeatur, quaeratur ejus complemlatam NRNL0 N
= (Zdy -  (a a - ax) a s (ad. V) = h aad L (ab- ) +(L aa - a) a: a B VY
prictis summa est quadruplum sectoris irculi cujus dicmeter, a et abscissa v
posterions vero sumuma est =-  a (aV  Erit taque spatium
Conphoidate aequale spatio Hyperbolico rrectplineo et areunari
Caeterum aax: 2X Y (X -aa) etiam si haberi sit X = aa: Bn
erit dx =- aadu: nn, et 1(x -2a = a Y(aa =n): n, ideoque
adx: 2X Y (ax-aa) = - aadn: it(aa- nn). quod summabitur, si
e
fial quadrans circulo TRW, et abscindatur sR, est qualit ipsi nq = aa :x
et erit (obsignum mtnus) sector TR) summa quantitaas prpo dictae,
ideoque spatium condhoidate aequale spatio typerbolici qMN, et
(V
lab. 2. fig. 1
probl.E datur curva AC, posito X, AB; et By, BC. sit
sectori
est ejus hatura axxyy - X = a G3 quaeritur spatium ABC
sit g = XX: Z. fiet a32 - 23X = a seu x = a e(a Z- a): 2
et y = aaF aa Fa) -a) : 77. Et dx - a3d7: 3)Y( (a a 7- a3)
= a eta Z- a) Et quou que ydx = adz. 3 (2 + 06) d 2: 3 =
at: 25= 2a d2.3)4 quorum summae quae sunt 44 () + 2a:
dabunt spatium quaesitum vel substftuto rursus vatore ipsius
qui est sex: u habebitur spatium ABC = - 4 a G+ 207.
7
probl. 6 datur (urva alia DEBst sit AC, p. CE.
ybaagus +4Xxyu + a =0 quaeritur patium survili
per aequationem X = (y + baagus at): vayue sit yt -raayy
Fat: 4yu =  erit yu -aa, : 29 = Z vel etiam aa-yg: 2y =B
per priorem suppositione est y = 2+ 1E + aa) per alteram vero
y=- +  + aa) inventur x = isea- Z Et dy = BdZ + d R: 1 Z taa)
eidy = + dZue spat Z) + Zam Haa mm,: aa +2Z. summi prioris
si + sit ) habeturs si fiy. 3 fint corculus ABC, cujus radius Ad sit a,
Cd sit Z. eut segmentum BCdE+ (dZ iaa+ZZ), quod audendum vel
Are si itaque super AB descubatur semiciril auferendum est parent y majus vel minus est quam a,  summa
c
posterioris sdZd Caa-mmi,: aatium). quae sic invenitur. sit saaa i ) = n eut J nan et fan  al
L
aa + nm= n proinde te quantitas sammanda est est unipraa-nn)
Cujus summa si invenitur: sit Et (aa - 27 - ac Ha ) sraa- nn).
Ergo Endn HEaa ) ZdZ a Z  (aa -2Z:, aa+ Z2) = dn Vena-nn)
quod sic summatur Constratur seutas FGH Fg 4 Cujus radius FK= a V
IK, n, erit GIKHGquaesita summa
urva BdE fig. 5 in qua AC, X, Cd, y. ABa 
Pau
aptura lurvae a: (Xx+ a) = yy quaeritur spatium CariliulumAD.
Arc duplici modo sevi potest. F sit Xx+aq=  Eut xx= sutaa)
ex = 2422S(um-a d et y = a t : Z 1B2- aa. Quod jam summ
ut nuper in loido (nehode Aliter quaerendum  est
complementum sstati curviline. Nempe a3= Xxy t aaque et
Ya3 - aa7 X proiude Xdy = adque 3 (a - 9,) = aadys - ay dy,: d (ay -7y)
Mady+ agdus,: Jayue- yy). summa prioris aequale
ete est iec
paralle
d dub
Tab. 2. f.
2

## Folio 4v — 00068089:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 93 lines, status machine
aequale est 4 sectoribus KHA + L 1 (ABXG). Motetur quod si
sumatur AC = AB Y3, punctum d sit punctum flexus curvae d
MC. probl. 8 iisdem positis sit axx: Xxta a =y fit
X = ag  a. f(y:, a-y et xay = aydys: NCay -9u) = 
Laa dy + aydys + Z anu summatirx prious est - adpus - yu)
pro posteriore fit sirculus AXB Cujus diametr sit AB, erit (producta
V(a y - 4y)
say -yy)
DG ad K) plum sectortm AK A aequale
P aadu: ((aa t gus). Et
Guatiud AGd = quadrupt sector HkA + rectanus. AB. KG. sequitur
ex his quod spatia istadur ABEF in infrur tum probeusa sunt inter
H aequaelia utcumque ecum aequatur quates semicirenlis AH BGuique
B. Hoc verum esse constat etiam exinde, quod Ea
Quaelineae sunt gaedem, et alia differentia inter eas pondatur, nisi
e d ameterH
diuod in priore linea AF sit pro axe sumta quae in posteriore asu–
C
stota Can assunta est BE. suva itaque AdF maleestrestraesentatas
nam pro eo quod mifio concava exvint persus axem +C ebet esse
ublig. inveure Qpuchaturam spatii survilinei ABL vel ABD
Concioa versus eundem
vel ABd cujus natur rest, posito AB, X. BC vel BDu ess  + B- axus
Hoc iterum duplici modo silvitur 1. sit y = axx: Z2, aequatiosproposita
reducetur ad hanc  26+ a x= aa, et xxdo=-gaa dz. 3aa 
=633dZ: 3a. Hoc Euultiplicaetur B: , prodent g Taq -69L
pe cuia samma  nm podit ydx- Zaa p a Z- 6 ∞ d 21: 39.enim sumra
quantitas aequalis spatio quaes
vel substitato valore ipsiu + fit 2akX: 3y) = X : 2yy. Hin si X = g - 2a
laa
est quanum summa est a
Hoc est si punctumid incidat in G erit spatum AdB= Egaa i quo simoferatur
pa vel totum ACEd A
Friamutum ABE, quod est  aa remanebit spatium Aed qexiaa mutatur aequa
eut aa. Hoc idem aliter quoque inveniri potest pone y
+
tio naturam exprimens in hanc aliat
X= a ideq X = a)
dubito test error calculiqu dd eoque
2XX ux iaa = =a aZ: 672 + a+ dz. 933. quotum samma, a:6a.B
Mliter
fiet axx: by- pt :rgy prospitio ABC.
pax) converlatur aequata curvus in aliam in qua literae exstimant peltone
uex
e sublato Z1
AF ad FC, ubi axis erit linea AE biserans Angulti rectumiAB. sit ta
AS AF, S; et FC, +. erit ob CB = BL quia anu. Ct B anu FAB L 45 guod
Ideoque Triunus. CBL isoscele, 5 = (X+ y) Y: et t = X - yr2, per prioremis
invenitur X = 5M.  si unque in aequatione X + p3 = agus substituatio valor
Proveniet 2557 -6ssy f. 35yy V2 -asy12 - agy =0 quia auter t-
(X- y) Sa erit g = X - F A = SM - y - + 12 ideoque  = (5- H i2. subrogetur
Valoris siis in aequatione inverta, ert H= st (5) r = ats- 5Sr 9
35 35)2 F al. sit hunc  a- 51=4 mm Eut s- (a- min) as: V
sta -si2 = Cam - m): M2 + Y3.5s +a = sea - 3nn
deoque +ds = (5 Ia -512ds: (35(2 +a) = ammam-n tam: Ita -3um
tujus ergo summa=
 num 12
 gamo - 3md=  mita-zrum, vel substituto valeore ipsius m, herbetur
amam-miam,: gam -3mt
spatio AFC, alit potius EFC nam supposito As - s-
 sit hitl invenitur tamen mospatio quadrando: aa
quod manfeste vitendit, quod sit spatium. EsF C intelligendum siquidem et supia
deveniat =  a Y3 a = infinit  od est quod GH
trA a - 5V2ta (+ 35Y2=
itaut santium
eit aupitota Curva propositre. Nblabile quoque est quod su tium ECA, so
provenit fG. 1a - 512 
Za 1 2
invemimas
AGZ AE
20 ideoque spatum affirmatioum aequani debet negativo
aequae spatio EAGH nam posito S=
EAGH. si AF = ad S erit FC applicataum maxima. Ex aequatione v
+y3= axque apparest. G X et yhabere similes positiones, id est peruie
, a +35s2
esse sive x considereter ut absersasioe ut appicatur? S x supponaturo
lneam AdE angulum rectum besecantem
=0 et
esse axeu hujus curve. 3. si in 2d0 croro s= R ap et F = 19e fnt 
S=0, E= g = b ex quo concluditur AE curvansecare 
eint et 10. Unde intlligitur
4. si smajor quam a vr est += radiciquantitatis negativae
ssumatur ex
quod fieri nequit. Ergo E est vertem hujus curves
erit etiam + signo minus affecta
quod siguficat curvam Ad Ee contiumatam abutiaque parte se psa
adversa parte, id est si sumatuo is
secare im puncto AA et
probl 10.
3)XXdx + 328
ditrrext raegur dacr a ia
3Z Xxax + 32a (aZ
Zexax. na

## Folio 5r — 00068089:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 75 lines, status machine
63
Mobl. 10 data est Carva E B (fig. 7.) ACra,
F sit .  FG, y. et y = _ aa B: 2)(rax x) - XX  1H ax- Xx)
egero
Qaeritumr ssatium dAFGE. Horum partium oporlet ut summationes
inveniantur. Qu N hoc modo, constinatur semicirculus
HLO fig. g. cujus diameter Ho sit lineae AC aequasis et fiat
HM = AF ductoque perpendiculari LM eut sector HNLH. aequalis
summue prioris.
vero absciudatur Hi et ix aequales ipsi HMM erunt
Drio seormentas sreutaria Hi et iK aequalia summae alterius sen
nosterois iembi. Eritque adeo spatium quaesclum dA FGEaquulesa
LNH demmlis duobus segmentis H et iK idest spata minsitiueoL NHik
vel Rectilneo LNHit, si Hincidat in L. Hoc antem possibileessepitet dum
ratio HM ad Ma. sumi potest quavis prationeminor quo casu fugistum Rcadet
ab hac parte ipsius L. Et si sumatur HM = AN  cadet ab altera parte ipsuu L
oportet ergo ut R cadat alicubi in L. Quia autem k semel tuntum cadit in L.
inter omnia spatia dAFGE non nisi unumberit quod quadraturam admittit; alioque
Sipte non cadit in L, hhaberetur quadratura segmenti L, id quod fieri nondum 
et fortasse nunquam potest, perperam ergo du. T. asserait spatia Germenea
Aud nullam quadraturam aut infinitas admiffere. Vidicuus enim in carva 
quae  Albetraica est non nisi unicum spatiumes e quadrabile. Si posset
enveniri punctum p, ducta pq sota parallesso asymprotae CB
patium BPZ st 4aequale dABgE habebitur Quadratura segmenti Circularis KL
ansectorL NH - segm. AX = segm. XZ =0. sector LVH L segm. HX + segim. X
reulon ad quod habet communque trapetio. HXN= portioni L22 deplo
itaque ab utraque parte Curagulo TZ est Erit segmenitur LZ aeqpale
Id Confirimatinemejusquod diximus dam spatium uvilineum
A
figurqu recstitanles)
Geavetriam quod unico modo sirquadrabile, et ru infinitis, ut Du. Sch. praetendit
pinundio alla spata geomelusa hujusmodi construi possunt, quae si plures
partes quam unieoum quadrabiles haberent ex inde quadratura Circuli et Hyperbola
sequeretur. dabimu modum eas constrendi faerturgo enim se haud offerunt, ut nec
et quae e tio solvenda proponebatur
. sch. casualiterincidit, sed postquam illam derita tpera
illa quam in probla B. proposum
synthetice construxisset, ut Analytice demio hesloereti exlibuit. Eae ergo
Regulam pro inverudndis curvis quarm omnia patlia dependent a
Quadratura lirenli vel Hyperbolae praeter unieum quod compeadrabile existit
id duobus modis peragitur, vel per differentiam ductum spratiorum eohentarium
aut Huperbolicorum ver per summam eorandeu. Si differcallia eligenda sunt
duoisstatia circulari aut hyperbolica accessone crescentia, quae certam
Eelationem ad se indicem obtinent, et quorum differentia si aliquousue pervensant,
sit figna vectilinea si vero ptersummam spatiorum mopaneorui orulariam aut
Hyperbolicorum remperagere labet, talls pelatio t nobus spatis bs perbolicis
vell circularibus aecommodanda est, ut eor summa sits sigum rectimea. Si
 ergo sputior cergo duo hujusmodi spatia habeantur tunc eorm
elementor  differentia in illo, sugina vero in hoc ea su applicanda
est ad rectam ipsi n in circulo vel Hyperbola sumitae aequab. si itaque hoc
applicata vocetur Y, et aequata ad rationalitem reducatur, prodibit
nova aequatio exprimens naturam hujus curvae, quae generatur quae generatur
ex applicationem lementarium differentaae vel summa; paterautem ex
constrnctione, quod spatium istius curdaesit orponte diffaentiar vel summaespatiorum
Circularium vel Hu perboricorum, quia dero differentia illas vel smma impeo
tantum ineaso quadrabilis est lique propositum. Ut haec cuebius intelligantur
qualpor dabimas exempla duo per differegtio inductus pariorum circulariu
et Hyperbolicetum, duo per scmmameorundem: i sit BC circulus (figius,
AF, a. AE, X. so ad cubitum quantitatem pro linea Ad Ad, ita ut tandem
Et aequ. AE, et pro differentia spatiorum sorcutarium sumo sectorem AFB SgmosG. semisegm. Ad G
Deoque si Ad = Aient differentia ita triao sulum BEF, in omnibus veros alis casibus
differentia est spatium mis tlinem GdFB cujus quadratura a bsque quadratur scymenti GB
eut 271 raly: y = dx. x. ideo ut differentialia evadant plana no habetur, sit, ibaque Ad = 2xx: a ent differentia e segmenti AdG= aXdxHEaa XX = 4XY): an
taa dx = 1 (2aX - XX) si itaque sit curia LK (fig. 10) ejus
sterpendiculans EF, ita ut AE inde finita repraesentet omnes applicatus naturae, ut sumla HI = AE = X sit IK = Lda- 4X q aa XX - 4X): aa = y. Eis
differentiale sectoris AF13-
BC, id est AG = BC Emptur ero in punctoG perpendiculans Gf-aa: spatum NH 1KL = sectori AFB dento segmen semisegmento AdGA. Ut vero minus appareat
quod illa urva a naturas diculi sit desunta; a quatio involvenda est. involuta redigenda
 sit nuve ABC Hyperbola aequilatera. DA a-
dF,X. DE, XF: a ert differentialespatis AdFC, dx Haat XX), proinde si
est ad lationalitatem
Hnatur AS = RT = a, erit y-0 et spatium TRS = A. CdF, in en ca rad
in eo enimcas B cadit in C
fig.
fig. 10

## Folio 5v — 00068089:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 78 lines, status machine
3. si sit circulus ABC, ffigs. 12) AC, a. AF, x. = Ad perpendiculars id AC
pit fferentia le segmenti AFB = d X Yrax = XX) ipsius vero AdE = a dx extaa
constnenda ergo erit turva GH; ita ut si GL est AF, seu X, tunc LH sit a Hrax-XX)
iaa -XX) = y, eut GLH = AFB + Ad E proinde si GF. sit a, eut patum
GKI =ap, quia tum E cadit in B. 4 sit BF Hyperbola
Ad, a.  dC X = 2AG differenti spati DCF A = dx saat Xx)
different spatii AGB= L d 1 Cax + XX): 4 constracta itaquecurva, ita ut upplicata sit
a +XC) + va X + gXX) = y erit illa curva quaequaritur, in qua si absecndatur
=+a: 3 eut spatium cuwyliueeum 20aa:3 quia tunc, Bec coincidunt.
atet hac quque quod scloco circuli et Hyperbolae adfibeantur alia curvi
inta spatia, constni possint curvae, quarum areae dependeant a quadratura
spatiorum assumtorum uno vego modo possint absolate quadrari
HHoc tame non a intelligenda sunt, quasi pullam aliam nisi unicam
adraturam admittant possunt enim  portiones sumi intermediae
quidem infinitae, quae quadrariqueunt. ergo dicimus unitum tantum
esse quadrabile intelligendum est: inter ea quae ab initro curvae absciaduntur
 non interpea quae intercipiuntur. Modum enum ostendemus quadhapdi
infinita spatca interepta in ejusmodi curois quae generantur ex additione vel sub-
fractione ductum spatiorum cercutarium velitsy perbolicorum. In illis vero cuvis
quae ntiorum spatiou aoditione vel subtractione scit genita oriuntur infinita
patia interecpla quadrari nequeunt, nisi stossint duifeg Lad portiones
aequales in illis spatiis ex quorum additione velsaotractine curva sunt
genit . In quolebet autem spatio duas segme duas portiones aequales sumere
e demonstrabimus,
amen generglitem omnes curgasquae
pondum inventum est adeo ut esi pipsi in sctento
unum sorutrum quadrabile habuliint, infinit haberemale asserunfuerit.
rntaum
Patictum
sid fieli possit
radrari possint per exempla supia allata
uomodo autem infinta paten in curvis exadditione,
et in Hyphibola d
 ector AFD- s portio ADGF
destrudxtilinem Bed F = sp. LK, AN et si AE, =A AM = h a
vel Hupeibolicorum genitis
vel = AF, erit Ad estam = AM:, ideoque quiat tum Gcadit in B, inuta bit
docebluus: Iu Exemplo1
Mixtilinem FBGd in Thiaguettum FBM quod ideo aequale spatiokit
sivero AE majus quam AM deveniet quoque Ad majus quam AE. Exquibus magi-
festum est, quod quomagis Eaccedit ad M, puncta B et G etiam ad se iliriae
accedant. si beio Etransit M puncta B et Giterum at se recedun Meest
itaque ut intra eultra punctum M. infinita dentur puncta E. ete ita
ut ductis DG, dq. absciudantur arens aequales BG, b9. et proiude
et quidem dato apo puncto E, potest alterum, e, georues
Hoc benentellecto sumatur AE ad Tubitum
quaeratur ex ende AC, et fiet H = AE, et Hi AC. dicospatiam
portiones aequales
LKIHIV et spatium LRIHN esse aequalia Trapetio pe Milineo BGd F+
Arice inventri
segm, BG. B LRIAN Frianulo pdF- Eriarq. rectilin be- segm. B9.
qua autenduo segmenta BG et b9, sunt aequalia sequitur dictorumspatiorum
haber Quadtaturam,
Modo Tangentrum inversa
Haec ita appellatur ad distinctionem Mellodi tangentrium directo per
quam indiffeentem omnium curvarum Targentes determinantur, quaeque
dc
hamr in calcula differentiatium explicata est. Id eam enim calculo sum
marum opus non habemus. Mhethodas nempe Tangentuim invers est, per
quam ex dat, Tangentium propiretatit vel spatioum car vilirectum
aot survarum proprietatibus naturae ipsarum inveniantur sicut
autem omnium summarum differentiaes sed non omnium diffe entralium
summatione haberi possunt; ita etiam omnium datarum curvarum langente,
facillime detem iantur. Sed vice versa non ita facile, imo interdunque, lane
in methodo summationum certae pegulae generales exhiberi equeunt,
non, exstangalibus natura curogumdagari potest. Atgue
per quas omnium differentiaterum summationes invegiantur, sed solum
Ila proponuntur, quae in pluribus et quidem innumens ocum habent, sic
quoque inhrethodo Tangentinim inversa regula generalis reddinunquam
possit. Hinc sequitur ut vario format debeant regulae prout natula
rerum id exigit; quin dici potest quodlibeltere exemplum suam propriam
habere regulam quae ut asstisseme formettar, pendet a sagacitate
ejus qui problem a resolvere suscipit. Itaque prrodum haec tractandi
tantum per exempla demonstrabimus (+ poterant multa exhiberi
egulae, ex. g. si  ablit litera constans homo enertalem replens, si
si problema sit determinabu  si deter
rconcursus, si pertractiones
sit aligera indeterndaer

## Folio 6r — 00068089:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 118 lines, status machine
in sus famen omnibus praecesue doservanda sunt sequentia. Q quaerenda.
estexdatis aequatio quae consistatiu dx et ay. Omnes quantitates inquibus
ylet Ly reperiunt adunam partem in quibus vero x et duadaliam seifieri potest
reducendae sunt. e hisquantitalibas reductis si possibile est, sumend aes
summae quae naturam curvae cuditabunt. C
probL. 1 Quaeritur qualis sit curva AB (fig. Dcujus applcata
sd semper est media proportionalis inter datam E et subtangentialem cd
sit E, a. Ad, X. DB, y erit perhypoet. Cd = gy: a Est autem dyidx = y: Cd=yy: a
habetur ergo aequalio haec ad ydy. et summandonerobiue habetur a x = Zu
vel rax = yu quod ostenditcurva sequaesita esse parabilam laras perameter ra
Mrobl. 2. S applicaba Bd set media prop. inter subtangentrater dC
et datam E) minus abscissa. Ad natura curvae AB reperietur sic: quia
per Hyp. E- Ad,: Bd = B: dC sarit dC = yy:, a-X, Verum dy: dus -
y: De fiet ydx = yydu: a- 7 seu adx -xdx = ydue, et summando ax=
KX + Lgu, ex quo patet curvam esse cirentum, cujus diameter aequatur
L
indagatur natura Curvae AC, quae hanc habeas
stroiiettem, ut quadratum applicatae BC ubique sitmedia proportional;
duplaesis
inter quadata E et spabium curvilineum ABC. sit AB X. BC,g. E,a
probet.
est exHypothesi ABCL yt: aa, et differentiale ejus 4yddy: aa = ydx
 et agydy= aadx et summando 2 p= aax. Undecurva quaesita
es parabolicalis prinia, cujus parameter ta a 13: 4)
Interim occurrere possunt casus in quibus summationes post reductione
ad X et dx ab altera ad y etdus del infinita sunt
vel plane suminequeunt, cum nihilomnus curvaque vasita posset esse rtlu ebraica
vus ergo occasionibus peraerendum eritadalias vias, qocum unum
aequattionis ab una parte
erit. ultquaerantur sumae ex quantitatibus inquibis x, y, dx, dus
ut quidem quantitates in quibas
x et ax sunt separatae a quantitalibus in quibus yetdu sed summar
promisiue reperiuntum alterum bero
non possunt id est si pars una alteriae quam possit, seu utriaque Aieri
summatio signum est cur per curvas ordinarias signum est quod
curoa sit Algebraica, illiusque pratura habeatur, si vero id fleri
it G lurva
nequeat. curva eut transcendens, (+ fieri potest al si
nem veluti si conanthim utriaque prodeant, unde relatio dari possit
ordinara interquantitates leganthmis suis designatas +
Algebraica, elsi utrobin
Antequa modus primus explicetud, ubi ax aus,
 rom siue
ulrinque reperiuntur, oportet ut in antecessum hujusmodi differentratum
habeatur Genesis. sit d (G. X) = Xa, - ydxo: t d syys.  = 2yx d y. gy ax. 
(y3: X) = hgyxdy - p ax : Xx. Et generalius ayC. X) = a y xdus - y dx: XX-
 Ox dy = ydx, yE : XX. Ergo si detur ex dy = ydX = 0,
multilicetur per y:xx, et summando fiet y: x = e constanti
+y: X) = ex : y L dy -, e x  dx,: X,= e Xdy - n y dx, .
ergo si sit exdy-nyix =0 multiplicando per x ye:
fiet ge : X = oustanti b. si esset exdy =n ye =  S dx: y
multiplcando atrobiue per y: x fiet exdys-nydx, y:  = s dx: x
x:
ylau
ge: Xn Y dx: X
temsi esset exdus - nyda = Gdyx multiplicando ntrobique per mattiptio t alrotiqu per
et habebitur et ut utrinque summando habetur,
Ddu X dx. et fiet
e: Xnt - y dy. y
:X fiet exdy - nydx, d out et du patet etiam hinc) +X xSX ax G ay a
et utrinque summando fit
f Xdy - h Gdx, xm
ay. X. nam multiplicetur
utrobique per g, et dividatur per xen  et fiet gf xdus - to y dx
detur
G: 5Fay.
1. 
: XuLF=
sit nnisent hg = mar seu o =  . prodibit exdy -nyax, ye:
sit 95 - e et hg= n, et exdus -nydx ut
in = e(ye (y: ) dy. seu
- e = (M-r-) Be (G. g) ay
rando fit
fybdx. Suedue (XF. X
r. m) = fX ax. X~ ax
quod si adisset
ed seu fZ fZdv = h Z e B
seu BN  a ( DN Z , req Y  V. v  do
F. h) m - YC1)
ti e se sp  ina nt A Y A + f p.   - Y do =  _. Z
fZ. 4 M  a v B =
ubi  cum q. p, C, K sint data cispurando fiet M+1 - a = X seu ( a K - 1+ ~ et ) +H ZC
seu B 1Z + 3 aZ+
ay yen)
seu H = C+ -R et ( -  = P seu  =
et fit t a p+I, in datis surs It +
+a =K 141 ergus evanescit N, ut initile
=seu A - qutE D a, evcarescit atiam  t imllesint Ego 3 - o- 
etiam _5 ut inutilo, set fit  = 1 4 seq Et fit
et t qu
4 =  + Z
  ve atoa
tac u q
a utcunque ex
Geneculius atii s.
X. y B. 1 dx + Xed 1H.
XFr7 dx. multi-
plicetur per XHI. 
Fet X a ) X β). ysa 7dx
FXII. XFF). y(aJ. ay
= XFrI. XIF3
sit y (4) dys =  y (n 1
et HX Im). X(5 ilx = Xt Y. X
a (XF
. XIf)
= Xfr7 d(X (F () L XF5 Z dY
et fiol d(X (): XF5] =
dX  _K XB ZX.
K. X () dx d (x E3
Hinc si modo una gditu
adsit, nen
altera
tiris
Eilicandisad
Geperato
sitt
au X dx
= :

## Folio 6v — 00068089:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 70 lines, status machine
probl 4 Quaeritureuva AB cujus subtangentialis ed est aequalis
duplae abscissae AC. (tig. 6). AC, X, BC, y per Hyp. 24: y= tx: du
hoc per regulam primam quaerendo aequatio reducendaesset ad dx: x = 2 dy:9
sed quia trinque suumae estinspnita exseo naturaturvae non habetur s muo
sit log. X = log. 29. seu X = yy. seu bx = yy si log. b. sit 0. +) ideo proberina
resolvidebet (+ potest ) per hunc modum ynam Exedu. Ergo 2Xdus .ydx = 0
= 2Xdy -ydx, y: XX, cujus summa gy:x debet aquar constanticundam
b. et fit ny = bx. Et curva est parabora cujus Balameter est quorvis b.
probl. 5. sit mune sublangentialis dC= 3HC erit 3X ay. yax = o
23Xdy-ydx, gy: xx, cujus summa est y3: x = bb quae aequatio
estad purabolans pbicatem primam. parametro b
probs. 6. Generiliter  si dC = nA
erit o= Xray -ydx, y
uiu summatio yt:x =b quod denotat curium esse ex geneo
raraboloidum et sut quo Hyperborvides siuplices scilicet, compreher
probl.) quaeribur (urva HB, ubi patium ACB semper
sut tri plumespat rectangali corcumscriph DC. fg7. quia
3a5 = xI erit hads  id est 3yax = rdy + ydx unde fit 0=
2ydx -Xdy, X: 7y, cuique summatio XX: y = b ergo curva est parabola
Monitum accidit hiterdum ut aequatio proveniens non
constet tantum duobus imembris, ut in exemplis allatis ee per
immutationem quandam et substitutionem literarum eo reduci spossita
probl 8. Quaeriur Curva AB, ubi sublangentralis DC=
ut fiul brinembris. Ex. gr.
2ax + XX: a+x fit 2axdy + xxay = ay dy + xy ax. ponatur
2ax+, XX = ZZ et adx +xdx = ZdZ. Ergo hos conaes his aequa
opelarum aequationum tollendo X et dx, fit Zcys -ydzue =0
quod ductum in 1: Z2, summali  summationem habet y. Z = a- b
et tollendo 2 prodit bb yy = 2aX + aa XX aequatio pro Hyperbola
Haectenus summam dedimus quantitatis nihilo aequalis,
sed si id nonlicet aequatio utrinque sic disponi potest ut tamen
probl. 9 Quaeritur curva AC ut sit EE: BC = BC. d A
iutrobique sit summabilitas
AB, X. BC, y: E, a. fil DB, y + aaX, an. st autem ex: dus
= dB: BC. Ergo fit ydy = ay de - aa Xdy 1: yy = ydy et
summando utrobius fit 2ju = aax: y. ideo curva est parabolactu
ubicasis priua cujus parameter est 412
prob le quaentur curo AC. talis ut sublargentralis Bd sit
2aXy = 3X,: ay +3XX. per Hyp. rap9 3 Unde fiet
3ydx F 3Xdy = raxydy - agyd : XX et utrinque summando 3Xy = ary: 7
Alter nunc constendendus est modus, isque cenieralis et succedens
quod part bolam esse ostendit
sint separatae asiteris
y et dy. servitus tam pro curvis Transcendentibus quam pro Agebraicis
quolies aequatio ita disponi potest ut X ot dex
quantitates nempe quae cum ex nultiplicatae sunt, eleventur si sunt
lineares ad et deplimantur si sint solidae, vel altioris gener ut
reducantur adplanum, sunt siplicando scil. per potestatem constantus
ta plunctum differentia erunt lingae, ductae in dx et dy, quae
per aquationem ita inventum debent esse aequales a I pta for
trnabuntur duaesumae quarum spratia sob aequalitatem disperentiatum
aaequabuntur ideoque si parti auius spatii super y formati sumnatum
aequalis pars alterius spatii superx positit, et extremitates
erit communis sectio punctu
in curva cposita. Quod si duo ista spatia scut orantia quadra
istarum prantium producuntur
vilia vel saltem habeantat relationem algetraice exprimi–
abitem inter se curva eut Algebraica; sin minus erit transcendens
in exemplo quod dam supra habutu
 subtangens d B = 2 AB. sit AB, X. BC, y perH
stitur Gurva AC
ax. g. Qu
14
curva AC, in
fiet 2aadu: y = dadx: x jam producatur BA, et per A agatur
et in ommibus aliis punctis idemfacienda generabitur inde Huperbola ik H
asumplolis AG, Ad semaxi AK - ra Euidem modo in B, ducendae st BL
simplotis AF, AB. semiagi AM, = a 12 quondam ilaque Z 2aaag.)
pepper
id est differentiale

## Folio 7r — 00068089:0013
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 69 lines, status machine
 id est. differentiale Hyperbolae 1KH aequatur aadx :x
differentiali Hyperbolae s M. Oporteb etiam equari omnia simul
differentialia unus Hyperbolae, omnibus differentiatibus alterius
seu spatia spatiis, adeoque spatum KG= spatio MB.  ergo  ad
naturam curvae Ac deferminandam spatio KG sumitur aliud aequale
MB, tum erm productis LB, HG erit punctum concursus e in curia quaesit
porro per supraduora dato patio Hyperbolico ab usymptolis est
applrcatis cor tento inveniri potestaliud aequileget quidem in hoc Casi
dibia RA: AM = 2 ta, vel quia si iisdem asumplotis Ad, AG
fratH perbola eadem vel aequatis cum NMa ordinatim
applicatae Haperbolae IKH sunt duplo applicatarum illius; ide
 faciendum est AOqu.: AGqu = AP: AB  eritque sp. KG=
SAG spatio MB. quia autem AP A AP. AB = AO qu.: AG qu
et
= pS qu: BC qu. liquet curvam ASC esse parabolam
Eodem modo si Bd = 3AB invenitur pG: BC = AP: AB.
proinde quod sit parabola cubiealis. Et quaecunque ponatur ratio
dB ad AB. invenitur natura survas
probl. 1 quaeritur Curva BCdujus sublangentialis semper
aequalis constanti _ a. per Hyc. est dy: da = y: a fit
adq = aadyue: y; ideo ad curvam bastinendom ducantur duae
rectae cute infiuitae ex LH secantes se normaliter in A, et ad
omnes AB, AN AC opplicentur ordinatim suae ordinalae ac: s
uaessint
OF fiet Curva KEF hyperbola cujus asymplota A0, AK
et ad AG pptuentur GP, AG; aequales a, erit 1pZ linea recta
Bk, AE
hae sunt X 
et parillela AH. Sumlo ergo sputio Hyperbolico K, NS aequali reclangulo
Ap et KO aequali AQ erunt puncta concursus d, Cu etce in curvas
quaesita. Hine si AG, AH, Ck sint Arthmelice proportion odes l’raut
AI AN AO, etc. Glomelie proportionales, quia spatia KM, E0
debent esse aequalia proinde curva BdC est logarithimica
strobremata quae cactenus proposuimus soluta sunt peripsam
literaium primo positarum alcommodationem ad summabilitatem.
Nsua quaedam dabimus, in quibus prus ad hibenda est substitutio
literarum et quidem exemplo cuivis convengens certa  enpo
regula ha tradi nequit. Id famen praecipue tentandum est, ut
per substitutionem hanc dimensiones literarum diminuantur
vel ut ejus ope indeterminaba cum saest speciri diffentralibus
re
sceeni et ad cum suis affectionibus, in trega parte in separatim
ab una aequationis parte, altera vero ab alera, poni possit. Prius
exemplum substitutione diminuet dumensiones, sequens monstrabi
separationiem indeterminatatum.
(probl. 12 quaentur Currea ubi abscissa X, ordinata q, subtan-
sentratis 3X- raxy:, 3XX -ay. fil 3X dy-2axy dy =
Epxydx -agy dx ut dimensiones deprimantur ponatur  = mx
fil adque = maxi ydm, etfiet 3Xxdm-2amxam = aamax
ponatur ex ax = mir, erit adx = man+ nam, et sublataxfiet
3aa = 3 unam - 3 an din = amdu. sit n = aa: Y erit
dn = = aa dr: Yr, et sublata n prodit 3a am - 3ram =- mar
sit Y - a = F, st dr = de prodibu, 3d 3+ m= mat,
seu 3 tam-mat, mm: H =0, u et summando M at = b
unde rebur sum explicando, ut rediant literae x etqus prodit
a + X = abyx vel s. b = a prodibit y + X3 = hyx, quae aequata
probl. 13 Alterumexemplum quoddamus propositum sunt sartesco
designot gurvam supra quadratam
a Dno de Beaune cujus solutionm tentat in Epistolis non extat in ejus
dumen
operibus, dicit tamen se eaminoemsle in Epistolis se eam indemste
Nemre etsi id prima fronte solubilitas non appareat,
evi subctitutione facle f ut ndeterminata ad dmoicem
de Corculis osculentus separetur, et probsema solor possit supposita quadratara Hypertilae
problemaipsum taleest Recta AC facit angulum semirectum (A
Ape ad ex c estlinta data constans. Qqonm nati Gruo A1
Tab. 1V
fig. 1.
fig.

## Folio 7v — 00068089:0014
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 72 lines, status machine
fig. 5
n qua ordinatim applicata Bd est ad subbangentialem Fd, ut datu
E ad BC. sit AdX. Bd, y, Ea. ent adx = ydy - X dy
quia vero hujus nei summari poest haec aequatio, nec soparari indetei
emratae n mutundae sunt indeterminatae, sit y- x = 2
et tollendo y fiet aax = Z aZ + Z dx seu dx = 24za:, a-2 et ductus
normalibus (fig. 4) GT, NH
sumatur EA = GH =a et
ipsi GF parullelae Hu.
per puncta HN, ducantur
Ms sumtoque NR= NG agabu perpendicularis RS, et asum–
plobis , A RM, RS, et perpunctum G ducatur Horperbola
LKG si itaque G0∞Z; et G9. X. Erit KO, aZ; a - Z et juta q1 semper
est a oportet ut spatio Hyperbolico KG0 sumaduo aequale
rectangulum HG et producatur lineae 1G, KO, erit punctum
concursus p in curva, GpWV. quae salisfacit aequationi adx=
1Z:, a-Z. ut autem hine constinatur curon quaesita AB nullo alio opus
est quam ut ZP producatur ad 2, ita ut p2 sit aequalis abscissae G9.
et it punctum Z in curva quae sita AB quia enim PZ= GZ=X-
et ZP = Z erit Qp+ pZ = C+X = y = DB.. Unde Coroll. 1.
NR est asyuplola  ipsi GpW, et Zp= BC hpiccurva quasita
AB habet etiam ajus iuplotam ipsi AC parallelam. Crole. 2
spatium AdB est py+ ax = Z Gu
probl. 14. invenire curvam AB, quae rd Dangeatem Bd sit ubiue
in dala ratione. fig. C. problema est indetemunatum, et curcu
interdum est algebraica, interdum secus properia  retionis datae
AC, X. BC y ABS. AB ad DB, ut a ndidy: ds=
Lgu et summando fit
:y = b. seu a5 = bdy:  a Vbus eL ro exemplo
y: b5: a, fiat ayds-_dy,3
sit a = 2 fociliorevadat calculus fiet de = boly : 2oby est
autem ds qu = dx. qu. + cusqu. et fiet Ftantum dx
dy V(b-4y). 2 ly = 8 by: N(2by - yy) et fiet tandeg
X = ((2 bys - yy) 4 p3 bdy: 1 ( by 9y) Haere autem summa habetur
si fiat circulus seum cirentis hCsHe cujus diameter EA sit 4b, et EF situs
erit arcus EG, = (4b dg: H(4 by99) est autem etiam FG H by- yy
proinde AC vel X vel FI = FG +GE seu GE = G) id est curva EI
sit a = 3: 2 erit ds = bdy: a8bu  = bdus: ( by
vel AB est Cycloidalis, sit
Ego ex = Fdy 1(bb -9Ylbyy):9 Iby. punctur by = n eut dy = cta
3mndm: b proinde  fit ax = 4 mam A(bb -9 mn): 3b cujus
pro solutione generali eodem modo fiet dx qu. + dy. qu=
2a- 2. et dx 2 diy Y (bb - aa 2sby 2a- 2): a _by 221)
erit dx = aM dn Y ob -namm): ab. bi  ca
bb dydy: aa by=
Hoecforumta ostendit, cume scimm abilis est curvam semperesse alpbraram
sud
poni
ponetur bys= m
(d
probl. 4C. invenre Raturam larvae quae tatis sit ut DC: BC = E:A
sin minus Transcendentem
AC1X  Cd, y. Ad 5. Ex hyp. dy: dx = a:s et quia
dy = de ds - ex ix fiet ds dx fs taa) a tandem
unde sublata sope
Sds: Y(55+ aa) adeoque X = L(55 + aa)
x fit tandem du = a dx: (X - a a). Idem faciluis hoc modo:
quia S = a dx; du ex hyp. fit dy = a ddx: Sdxd + dus dy) et cum
Ax-
et multplicando utiumque per ex fit dxdus = adx ddx: tCxde + dydus
et summando Rdy = a (cxx + dydys ). seu du = a dx: Nsguaa) ut
pumo ab servandum est
ante. Ut jau constnatur haec curva
quodcum x sit (85 + a) et proinde major quam s. initiam immulabile
psius  devere esse ultra verticem A et quidem distantia E, quia si
st s=0 fit x = a. si ergo velmus ut puitium abscissa sit in ipso
nunc normalibus AK, GH. se secantibus in B sumatur BA, a et verhile Bs
ceptroque At describatur Hyperbola aequilatera BC (Tab. V. fig. 1. Z
constructaque curva di, hans habente naturam, ut BH sit ubique pmedia pro–
portionalisnterte cer t, destuteo sit aa. Aah 3 sagatu
parallet
5

## Folio 8r — 00068089:0015
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 62 lines, status machine
p arallela AF, et sumatur redtangulum AG = spatio HBKd)
erit productis DR, FG, punctum doccursus e in curva quaesita
quae pliter e faciluis sic construrtur. ducatur Recta A, et duplo
satio Hyperbolico ABC sumatur rectangulum G aequale erit
productio CK et FG punctum Exiterum meadem curva quaesita
probl. 16 siia in probl. praecdente duos modos ostendimus
per quos ad eandem solutionem pervenimus, quorum priorerat
ordinanus et qui ex simplici colculo sumriorum petetatur
posterir vero differentiatium differentiatia ad hibe; Ex huj
oecasione afferemus unum vel alserum exemplum quae per vulgarem
methodum vix solvi possunt, sed peculimicilculoosrus habenti
in quo non tantum quantitatum indeterminatarum ifferentialia in
Considerationem ducuntur, sed estram differentralium differentialia.
Rerulae pro hoc ex calculo ipso patebunt. Datur curva AC
quaentur curva AC, ut positis AB, X. BC, Y. AC, 5. s E, a. sit
Saxidx = du supposito quid as sit quantitas constan, seu quod dds sit 0
quia dx = Ydsds dysdys) erit lydys = a as ddus: Kasds - dydy)
dividaturatumque per dydus, et fit 1 = - ads ddus: dydus V(de ds- dus dus
Cujus fratetur summa per regulas in calculo summatorio traditas.
Cum autem Unitas nonsit differentiale, et proinde sammam non habeat
utrinque multiplicabitur per differentiale copstans; hoc loco per aS.
et habetur ds =- a dsds rldu: dydus Y(dsas - dydys), et fet
5= da a dsds slsds - dydy): dsds dy = a Ys s - dy d9): dus
seu sublali irrationalibus ss dydyt aa dydus = aa asds et quia dsd
=dydys + dx ax, fiet sdy = a dxi dest, dp: de = a rs quod ostendit
ess curgam cujus maturam exposurmus problemale praecedensi
probl. 17 quaeritur cura talis (fig. 3.) ut DB. qu. sit
ad BCqu. ut E ad AC. Ex hyp. apdx: dydy = a: s. posito
da =0 fiet d5 = 2 a dydoly: ax dx =  (dx dx + dy dus) seu
2ady ddys: H(dx dx + dydus) = dxdx et utrinque summando prodit
2a X Ld 2a fexda + dydus) = Xdx. seu dx spx -4aa) = 2ady
unde talis constructio (fig. 4). Ductis normalibus FB AC, sumtaque
hA = 2a, centro A, et vertice B, describatur Hqperbolaae quilabera Bo
ducaturque AG parallela BF, erit sumlo rectangulo AH, a quali
summa est 4 (4: 8ib) (B-gram) Y(bb -9mm) = X. Hinc si a =3:2 spatio Hyp. Bd 1. punctum occursus E in curvu cqposita
)I
curvo est Alquornica, si vero a = 2 curva ut vidimus est transcendens Ptl. 18 posclis quae suprasit dxdx: dydus = s: a
per hyp. fit 5= adpdx: dydus unde mutatis inutandis erit
eadem curga, nisi quod X occupet locum ipsius y etviceversa
probl. 19 Ae (fig. 5) est cuva quaeritur surva AC (fiq S)
talis ut sit CB, ad sittangentialem ut quadratum G ad spatium ACdF ACFd
sit AB, X. BC y satium ACFd, s. Gra C, a. per Hyp.
du: dx = aa:5 erit sdy = aa dx, et differentratia posito aau =0
multiplicando
erunt adydus  xxdydus = aa dax,
utrinque per dx, fit a dx dydu- xap ays du = aa axdax
et summando utrinque ax dydus - xxdydus = Laa axax
vel du = adp: Crax - X∞. Unde surva sic construitur. Diametro
ductaque ordinata HBC
derit in curva quaesita
AL =, 2 Ad describatur emicirentus AHL
sumatur sC aequalis arcui AH punctum
Nam differentiale arcus A_ est aequale a dx: t Cax -x) = dif. B
Omnes egrvo quarum naturam hactenus invenimus aut
fuere Algebraicor, id est quacmmardimala ver abscissas habent
aequ rlationem aequatione Algebraica exprimibilem, aut fuerunt
verlice. faciemus X X+ a et fiet dy = ade: (2aX + E2) ductis Transcendentes, quarum natura pertatem aequationem non
habetur iisi supposita quadam quadratura vel rectificatione
curvae algetraicae. i si vero cirva a cujus rectficatione
vel quadratura dependet alteris quae quontur natura, ipse
sit transcemdens, erit curva quaesita trauscendens secundi generis
it si cuma cgeaercatux, acudes rectifirentine vequ adatura

## Folio 8v — 00068089:0016
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 36 lines, status machine
dependet quaesita sit Transcenders secundi generis, ipsa
quasca eit Trscendens tertii generit,  sic deincepus Evem
plum unum sufficiat ubi generatrix estrete transcendent
primi glneris ( sed sapissime ostendi fieri, potest, ut Tran
cendens seundi genens non vel astioris non nisi in speciem sit
talis qupossitque reduce adeundinturam generis inferioris
uti supra ostendi summas summam sterumque freduci
passead summas simplices +)
probl. 20 quaelitur ACFola ut posito AB, X. et BC, y
et E, a. sit et dux =0 sit 2 ax ddys dius XX ddyddus =
du  quaeritur natura suvae propositan etadus
alxdx: Hrax  xX) filt adque = dex  saclx: s(rax XX) quo summa
pendet a rectificatione sccrvo circularis, idea fiat (fius Q) mcr-
calus dFG diametto DG= 2C et absciudatur dH_ X, eut areus dF
= adx: Spax -XX), is sit Set fiet adq = sclx. curva itaque
sie construitur (fig. 9) ductis perpendicularibus ik LN sumatur
IL, a. et per L ducatur parallela Lq appliceturque ad IN X ecta
NM, 5. progenerabitur cupea )M i problemate p acedenti
explicata quae Transcendens est. sumto ergo rectangulo LP, a
aequabi fta adspa aequante spatium imN, eret punctum
Secursus B in curva quaesita 10
probl 21 datur Curva AE Datur curva AE, quaertur
curva AC tatis ut perpendicularis de sit aequalis applieate
dE. fig. 10 sit AB, X. BC, y. Ad, m. DE n = dC. quia
Dd: D do = DC: DB, id est am: dn = n; Bd fiet Bd = ndn:
et AB = m - ndm idm = X Est autem quadratum DC = qu. Bd
=qu. BC id est nn- nnananidm dn) =gu et proinde
quia AE est curva data, quantitas an: am semper peraequam
tionemsedestinet, adeo ut AB et BC in quantitatibus Algebra
ieis proveniunt. Hincquotrescunque AE est cuva Algebraica
eNiam AC ergt talis sit v.g. AE parabola, parameter a
Ad m, d Ad, m. dE, n = sam, erit AB seu X = m- La
et ax = yy - =aa unde curva quaesita ACc est etia
grarabola, et quidem eadem cum isa AE sed cujus verlex es uttra
prunctum A. distantia quarta partis paramethi. Arg. 1
S

## Folio 9r — 00068089:0017
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 10v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 77 lines, status machine
irculis Osculantibus et Evolutione (urvatum
ejusu usu in rectificandis cuovis
itemque de curvis caust cis (rae singuarigenere evolutionis
sit quaelibet surva ABCE (Tub. VI. frgs. 1.) et a puncto
quodam B ducatur ad (urvam perpendiculanis Bd, notumest, quod
Hpbicurique u sumatur punctum ea hac pergendiculari, eoque
E circulus alletangit cumam
tanquiam centro deserjvcitur circulus 
in puncto B, et auibi si radices non sunt imaginariae secet eandem
in C. Mamfestum quoque est quod centro d appropunquante ad B punctum C
ad idem quoque magi accedat, erit Naque certa bistantia Bd ad quam si d
pervenerit punctum C ommino c adat in B est cum hoc accidit CBF est ille-
quiclo appellatur (it culus osculator
quia dui quia puncta B et C se invicem quasi osculantur, ( cino
potius quia hic circulus et hoec Linea ibi non fantum sed setangunt
smplicaiter, sed tangunt se arctius ita ut ex tactu dici possit fieri osccllum +)
Crculus iste hanc habel propuetatem ut sit solus qui curdam ABC se
ec iu puncto B (nisi punctum B sist in verticer B, tunc enim semper
teugit curvam, sumposito hincinde scuntem esse positionem curvae) cum
Caeteriomnes quorincentia sunt in recta Bd illam in eodem puncto B targant
Hoc autem quod Crtulus osculans curvam secet infra demonstrabibus
qui dictum est de Centro d circulicosculantis curvam in B, pariter interligendum
est de omnibus aliis ubicunque sumatur punctum B. Variante ergo puncto B
Variabunt quoque Centra d.
adeo ut describ ant certam quandam curvam Ed5 (fig. 2)
esse illaqu, ex cujus evolutione descirbitur curva A.
curva AB B. id est si curvae EDd applicetur filum AEdS, et terminus
quam dominis Hugemus ostendi
A, aquabili manus ductu moveatur versus B
cujus quod libet punctum HB habet centrum sui corculi osculantis in culva EDd
et quidem ubi recta ovolvens fangil curvam Edst. ostendendumitaque est
quo centra Csrcutorum josculantium sint in curya ex gujus evolutione describiur
alter surva, cujus sunt sirculi oscutantes. In hunc finem Consideranda est
3) curva AdF, quae
Intelligi potest compositaex infinitis rectis AB, BC, Cd, EF, si itaque concipiatur
Ceueles Curvarum perivolutionem genitarum
huic curbae applicatum esse filum ABCdEF, cujus unsferminus F fixus alter vero A
mobilis evidens est siterminus iste moveatur versos K. quod terminus A, lineolae AB
AB describat arcum Circuli AG; cujus centrum B qui arculus eousque continuabit donec
AB id est GBcadat in directum cum lineola BC, et tunc pergente motu describetur
crculus circuli, GH cujus centium C, et radius GC, vel HC, donec Hecadal indirectum
Cum CD. Eodemmodo describentur arculi Hi et IK, quorum centra d vel E, et radii Ad, je
Unde T0 Evolvens Hd est tangens curvae Evolutae E Hd perpendicularis
ad curvam Eoclatione genitam, quia perpendicularis est ad Circulum Hi, ut pote ejus radius
y HD aequalis est evolutae ABCd si nempeterminus filistobilis dt initiam
curoorebolutae congruunt. Siu minus erit major vel minor quantitate constanti.
Ed. punctum concursus duarum perpendicularium Ad et h_ aduib
curbam datam AHIK, quae quantitate infinite parva distanst, est in curva
AdF, cujus evolutione describitur data AHK. jam qua  circuluss
H descriptus tangit curvam AHK in H et seeat eandem vel saltem
transit in i quoniam autem ob distantiam infinite exiguam Hi punctum)
centro d radio
intelligi potest cadere in punctam sequitur quod Circulstentio 
radio dH
it ostulator curvae AHk in puncto H. (t non satis ostensa haec consequentia +)
Quod circulioscntantes secent curvamsic demonstratur.
fig) sit AB curva CEd. alia excujus evolatione describitur AB, dB, linea
descupeu
Epigat
Cab V1
desribes punctum A curvam A5(3 A pN
fig
evolvens quae per modo demonstrata erit radius sirculi osculatoris in B. ducatur
recta de secans curvam in F. et peripheriam sirenti in G et a punctoF ducatur
Tangenete (quia Gd = Bd = FE+ Curva ED C recta Fd, ideoque Gd= Bd
GDF Fd proinde punctam G est extra curvam AB. Haud multum, aliter
demonstratur, quod punctum H sit intra curvam, ergo perseria GBH secat
curvam AB.  (oroll quod si curia AB sit algetraica, etiam cdE
aut Ge Algebraica et quidem rectiticabilis, quia recta ed, quae ist si est
aqualis vel constanti quadam major aut minor Geometrice inveniri potest
jam sustra imuimrus quod circulas osculitor sit ille, qui secans curvam
in diversis punctis transit per unum insquo tria intersectionu puncta
congruunt vel potus conciuorumt. pretest enim semper dati cirgulus BcdE qu
quamlibet travam ad minimum in qualuor secet punctis. Si itaque centum circuliosentanto
vaerere libeat seundum seometriam sartesianam paratur AX 3. HG +
et indius BG, a u. AAX. BF,, ex his datis haberi potest aequatio in qua substituto valore iphus
fig. 4

## Folio 9v — 00068089:0018
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 10r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 99 lines, status machine
et
id est, ut tres abscissa, veltres applicatao correspondentes punctis interse
Mrerum fianl aquales et secundum methodum (crtesi prodibit equatio quae rela
sionem ostendit inter AH et HG, et proinde nafuram survs quam desiginnt
puncta screntorum osculantium. Operatio est alis qu. BG_-qu. Bp
- qu. HG = rect ang. 2BF. HG = qu. F ( id est vn - qy - 2yt  =
(5 = 25X + xX _ vel Xx + yy -25X + 2ty + 5s + H -vv = 0. ope aqualia
curo 6 tellatur X velu ut se curva sibstarabola, ubi x = yy:a fiet
y4 + aagy + raaty55)
=2a5y G
ve
20 si ergotres radice saequales
comparonda hoecaequabii cum
producto ex y- e, y- e, y-e, y-f undef
comparanda haec aequabro it - 3ey + 5Cegy - 3 Chy + e2f =0
L 3
3efusys -zeefy
quam aequationem priri aequando fit. -3C f20 Hec + 3ex 2aa -2a)
C3- 3eef = 2af et e3f (5 +H-v) aa perprimam F= - 3C, ande
in 2da6ee =aa -2as. Et in 3tia erit 80= raat unde juptu illudes
e= 1(2a5 - aa): 6 et juxta hoc C= 2V raaf. Quas duos valores
quando f et ponendo, 5 = Y+ a, fiet ar = raat set
16Y3 7aH. Unde patet curva naturam, in quam cadunt centra
circulorum parabolam senlanbium esssem parabota cubicali secunda
cujqus parimeter est 27: 16)a, et cujus vertex distat a vertile para bolee
data quantitate La, quoniar s+ a = it si raditem eB quoque inve-
nire libeat, tantum supram saequ. 4ta ef - (55+ H- vv) aa substituatur
valor ipsius f et e fiet =3C(5s+ tt - VV) aa et quia ee = (2a5- aa): 6 =
ar: 3 eut = (aarr: 3) F id est - 39. 7 = (55 F id est rr+ a+ + aa) ett - vn) in ad
et reducta e aquatione invenitur Vv seu qu. G0) = Z rY + ar 1 aa
+H. Hinc si r = 0 erit F20 et v=ha. id est centrum circuli oscudtantis
parabolam in vertie dipatcenro quara ab eodem vertice quantitate ta
similiterfaciendum in omnibus curois Algebrinicis, sed quia sartespanaG eo
pietiase ad Transcendetes nonextendit, quomodo Cago centro lirculorm
seulantium inveniantur ex calculo differentiatium nyllo negotro ostendi poest
non osculantium centra qatuntus
osterdimus ea esse in concursibus duarum perpepdiculariam Bd, od infinte pam
sit ergo cupua data, ABdenius cu
ap antitate distantium imcenenda enjoest longitudo, sd ex abscissa AE, et ordinata B
ducatur Be parallela ipsi AG, et dF perpendrcularis ad BC silt
2X, EB,
AF dx. F0, dy. erit FC = a dy: dx, et BG dxdx + dydy3: ex et quia .
di +
ydiidu cujus differentiare posito dax =D es
HG quia autem BC: HG = Bd: dH auldevidendo
ACHGi BC = BH: Bd, i ess- Yadys ddx dp + dy dus) = G H(d Z ext dyduy eli
F. F0 = AE. EH eus EH
des dy + y ddy): dx=
ad B, d Ergo Bd = (dx ax+ aydis: adue  in Cdx dx + dy dys): 
demaliter inveniri potuisset dicendo B0: BF = HG: LG. ergo LG erit
dedx + dy dy + y ddi:, S (dxdx + dydy). Nunc B0-LG, : B0 = BL
per alios adhuc
dem provenit quod aute.
(vel BH) 2Bd pro quo ad cognitionem rectae B3d. dacantur nempefius q
dats tangentes pM BN, et arculus vel perpendicularis MM erit
rerfferentlalis ippus AM et quia B0. OF = NM. MP. aabetitur Mp.
modos peroenri potest
eoM et Bdo sunt trpiasula similia fociendum ut p M ad
del adhocaliter ducatur perpendicularis
AG eut Se disferentialis ipsius AS, et quia B0: BF = 59. sR, ets R: B0
20, ita AO adBd quaesitam.
quia ante
=DS: Bd, inveniri potenit Bd, quae semper erit (dxdx idydus,: cidus) t
in Scaxdx + dydus): dudx. in qua quanltate so subestituatur vator.
nont natura curvae requirit, proveniet seu pers Bd
in quantitalibus ti ordinariis et absque differentialibus. Monstremus
ipsius axvel dy
7 obi AB,  AE
BEy = F ax, et gni Talore
st autem in farabola,
dy = adx: 2 lap. proinde dydy = adx do: 4x et ddu = adc ax
excuplo paribalo
oclor dus et adus.
axtax. Ergo fit Bd = a + 4X sa + 4x,: 4 a) sit jam A sed more
Bd dicto substituendus
Cartesi sit sit jam AL, s. et Ld, t. quia EH= ia erit BH
ob BH :EH, = Bd: Et fit Et = 2
axi. =aq
a + 2X et AL = 2 a +3x= et sit
=3X vel X = L Y et sic 4X: 4) sax
qu e: 3) HaT: 3) = + et reducta aequatione 1673 -27 af ut supra
al supraposuimus (= 2a +Y erit Y
in parabolucabicali prima parameter a AE,X. BE, 7= Baax
dy = adxe: 3Yax fit tandem Bd = (aa X= YY aaxX): 2aYa
saa +gr saa: gxYaax. in Hypibola diapneter ex panmettib
AEX. EB,) = (aa X + axX,: b) unde facile habetur Bd. sit
AB Cycloestalis linea, AGH Erculus Gentor (fig. 8) AE x. EB, y= EGrAG
= Rax - +x) +s: Et dy = (a dx - Xdx : (2ax - XV) - ds = quia
ratx-xdx: EaY -x. et aly = -adx dx: XHeaxa
Ladys.
c1( ax- 7. P
atran s
epera pretum ert ostendere particulariter quo pacto percom
s
un
F2 ag = 2 ax)=
renum inveniri possit distantia a vertice centri circuli qui curvam
d
osculatur in vertice. Sit AB euva data cujus Ayus AC

## Folio 10r — 00068089:0019
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 9v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 76 lines, status machine
vertex A, fig. 1. Tab VII. Radio quocunque Ac describatur circulus
ABE manifectum est quod radio existente satis punguo Circulusalicubi secat
Curvam in B, cum interim semper tansat intertice. Maurfestum quoque est
quod appropiaquante tentio ad punctum Bquiue acaedat ad. iliem
itaque estcentium, sie nt punctum B cededat in R. sit Ad x. DB, y.
AF AC = = CB = Z. erit Cd = ZX adeoque Z2 - 22X + XX + yg =)
vel yy + XX = 2ZX seu Z= 2X + (yg: 2X), quia autem B debet cadere
in A, erib X = 0. Ergo 1 = ju: 2x, ubi substituendo valorem X vel y
lecundus naturam curvase X vel y pontudo 0, provertus monstrabit
quantitaem ipsins Z. Ex. loc gr. sit A B, parabora ert Z= qu: EX
= ax: 2X = a: 2
sit AB Hiperbola, fit yy: 2x = 2aX + ∞X, : 2x
= a + (x: 2) = a. Modus hic tantum servit pro Algebraicis, sequens
est generalis. sit AB curva data GB applicata, ed perpendicularis AC, x.
BC,9. Patet quod si X= 0 sit Cd cdustantia lentrr circpli osculantis posita
est autem ax: ay = y: cd: pronde Cd = ydy: dx ubi si substituatur valor.
altermtrius et ponatur alterum = 0 habebitur magnitudo Cd, ver potuis Ad
cix. gr. sit AB, parabola, erit ydus = L adx et ydy: dx = La = Ad.
et AA. Hyperbola. Ergo ydys = adx = Xda ideoque ydus: de = a +Xx = a
Nolandum quod prior modus etian se extendat ad Curvas Transtendentes, si modo
oslendatur quod demonstratutante est, quamlibet curvam AB (frg. 3
si AC sit indefinite parvas aequalem, esse applicatae BC) si nempe AB sit
concava versusaxem, et aequalem absussae si sit convexa versus axem
supponitur autem quod fingens in verticessit vel perpendiculan sadaxeu
vel ipseaxis illudus in primo hoc in altero cost. si itaque regplam velimu
applicare ad eycladem si AGE ogulocidatus Circulus Genitor fius 2
AE a. AC, X. AG= GB5. CB = y = 5 + (ax -xd. quia itaque
supposita AC, o est Ad = _ yy: 2x su bstatuendo pro yy valorem eSt ax - XX
+ 25 t(aX -XX) (ob AG = GC) 2ax - 2XX + 2ax -2XX = 4ax-47x.
habebitur gy: 2X = 2a - 2X = (ob X = 0) 2a = 2AE. Et sic nn oliis transcendentibus
Hoc quoque observvatu dignumest, quod haec regula generatissima reddi possit
id est per eammomnibus Turrros in quovis puncto dato inveneri centrum osculationis
(iseu Cqvitatus +) ut ut paulo prolixius quam per methodum differentialem.
sit, B curva data, in qua per B describendus circuli osculans figuram
punctus, ducatur perpendiculans ad survam AB fig. 4). quici
itaque centum circuli osculantis devel esse in recta Bd, ex ideo ex pdata natura
in huc
Curvae quaerenda est relatio inter BE tanquam abscissam t EC tanguam
Ordinatam, et tunc faciendum Bd=
yy: 2X id est = C. CE diorsum
per du plum BEi erit Bd, si BC indefinite parva, radris lirculi osculantis
Quaesiti
de Restoficatione suvarum opescae Evolytionis
Commum sima via rectificandi curvas est ut set summaliix quaeratur
s
radiais sugmae quadratorum ipsius ax et ipsius dys. Haec tamen methodus uer
procedit nisi in curvis, quaruur natura datur per relationem applicatarum
ad abscisse commode ad hiberi potest, in aliis vero quam natura nonnsi per
imprietates innotescet argre locum invenit in usum venit Modus ante
oporificandi curram perEyolationem quodammodo geperatis dic potest
et in aliquibus exemplis facilus pulongibudiniscervae cognitionem deducit
quam modus vulgaris Modus, cutem per enoeutinem rectificandi est talis lofi
sit ABC curvadata rectcaia quaerimilongiado. Intelligatur punctum
 evolvendo dibdescribere curvam Ad, filum ubique deximus esse Tangens
curvo, et cd ei est aequalis. Est autem tangens sEdata restat ergo ut inveniatur
recta Ed., qua si innotescat et auteratur a tangente Ee remanebit D C aequalis
curvae quae sitot AC. Recta vero het sic repertur Dus atur Tangens GB
quae a priore EC infinite parva quantitate distet centroque C describatur arculus GF
hlaberi poterit Triangulum EFC, pro redtangulo, quit autem Fd est aequalis GM
erit CF, differentiale ipsius Ed. ducatur AI perpendicularis ad EA, erit ob datum
curvam, eI, et EA data. sit Ergo. Et p. et EH(t, proinde EG, at, quia vero
et: EA = EG: EF, id est fiet : t = dL: EF= f at : Y. Exhoc si feri
Hujus si fieri potest inveniatur summatio, quae erit aequ.Ed quae sublata a
tangente EC relinquit de = AC. Nonnanquam commodius per additionem
alicuius summae invenitur Cd vel Ad. Est enim Cd = Ci + 1d sed
proinde  ( est diffrentialis ipsius d1. sit eini E(r; et AI sit f. et AI, de
et
quia EF A) = Hi L: (1 fit L1 = + dt: r. cujus summatio dat rectam d)
cui si cddatur recta t habetur Cd aequalis curvae quaesitae AC.
obiter advertenda quad enolatio curvarum inservire essam
possit dimensioni spatiorum. spatii enim curvilinei ACE differetitiale
 et E4,
quad invenitur quaerendo FG ex triangulos similibus
 adis adtue ciei Hic 
 indimidl ie dat det am disaenttale brndlivei A1C
i

## Folio 10v — 00068089:0020
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 9r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 91 lines, status machine
sit Pambola sabicalis secunda AC (fig. 6) AR, X. RC, 9. para
meter A a. Ergo axx = i eut AE = 2x = f A1 =  RC= ZB y
et E = (Z XX +  yy) = Y quia vero X = sy3: a ent dt =3ydii vay
proinde  +dt : r = 2yy dy: pa Y(ZXX + 19y9 =3 ydy: (8a  a
+1 = 37dy; ga 1(4ay+3 aa). Hujus summatio invenitur supponendo
Z ay + Gaa = Z erit enim aequalis (2: 24) =  a316 quod si aufera
tur ab EC remanebit DC = AC
+ sit AC Cyclosis, A) dE circulus
gemtor, AE, 2a. AF, X. Ad, 5. = Cd = AG. Recta Ad = 12a L - CG, quia
Ad: dF = GH: G1. id est 2aX: H(cax x LE aX -XX) ( vel 2a . 12 a - y)
=sadx: (2 ax -XX):  ds Y adx: +2ax Hujusummatis, 12 ax = GC
est audem rap = Ad = GG ideoque C FGC vel dupla CG = curvae AC
pro dimensione spatiis curvilinei fiat Ad: AF = GH: Hi. Ergo Hi = adx: vlgea. ra
multiphcetur per CH provenit L adx 1(X:, 2a -X). quod aequatur differentiali
segmenti Ad. proinde spargum curvilineum AGC= segm. Ad.
per Exemplum quod sequitur patebit quo pactus dimensio tvematur
Matiorum. X curvalum non quidem datarum sed illarum quae per evolutro–
nem datarum describuntur: sis ABAABE (ipcatus (fig. 8) cujus ero-
lutione describitur (qroa AAF. A inifium curvae F finis (+pro uno scilicet
Circuitu +) quoeritur dimensio curvee portionis eniaque Au ejusque spatii Aetto
Nolendum quod curpa AHiF sit species spiratis item quod AF intercepta
inter initrum efinem sit aequalis periperia circuli et perpendicularis
ad Curvam in puncto A et F sit nune Gti elendntum+ urva AH ducantum
Tangeates HC, GB et radi Cd, Bd ehunt sgndiculares ad curvarm
AH, et aequales arcubus AC AB quos voco  S a. adeoque BC, as.
quomam inus anrulus GBd = Bed + BdC, et idm C,Bd-Hed, ut poto
poterus rectus erit ACG = BCd BDC, ergo triaru- BdC simile Eriangulo HCG
ergo dC: HC = BC: GH id est a: s = ds: GH= sas: a. cujus summatio
d 2a aequabur curv aAH. Ex quo putet quid AH sit terria proportionilis
ad diametrum AE et ad AC atcum Circuli duo lutuu
stro  dimen
sione spatius ACHA multiplicebur  CH per GH provennt 5Sdo: 2a elencutr
diff. (+ elementum +) spatus ACH. Ane totum spatium A HI FAECA ae quatur
fertiae parti circuli redio AF destripti. lurva vero AHIF, aequalis est saripe
Hoc quam addimus surva qu ostendit quod multofacilius sit
ailseriae ejusdem circuli.
ejusrectificationem invenire) & spatium aequare circulo per hovertionem
suam quampermodum vulgacem. Datus est Angulus rectus CBAt (fig. B
Cuiu duo lua AC, AB sunt infinite protensa quibus insistit regulaquaedam
vel lnea data dE, mobilis cujus duo temminid E, moventur inoruribus AC, A13
quaeritur cmrrta cFB quae a regula dE in quovis situ tangitumte
rectificatio plius etsidi nenscospatus FEB. sid noturam surve obtinendem
Gl
porient aeslongnudo EF, it est distantia puncti contactus ab alterntio cerni
rrumE. Qboniam autem punctum contactus cuiaseunque curvo et recta et, in puncto
interectionis in quo duae Tangentes infinite parcea quantitate distant es se mutuo secant,
quaerendum s punctum F, in quoe dua linea requales dE, des supposito quod
a sit differentialis ipsius Ad) se secant. ducatur EH parallola ipsi AC ee sit
DE vel de  a, AE, F. Ad Ad, a XX). Ee dx. dd, pax: + (aa xx,
quia a eff: Ad = Ee: EH erit Eff = ix  dxtsaa- ): X. Est autem
EH: dd = EF: Fd, et coponendo EH+ dD,: EH = Ed: EF id est
aa dx : X L (aa = XX): dx (+ (aa = XX) : X) = a : (aa - XX, : a. itaque F eut
ap = XX : p proinde DF = a (aa + Xx: a) Z XX:a. Ex hoc fuiroafacilime
Ae Construitur ducto inangulo recto linea DE, quomodocunque aequaalissa, sumatur dF
etferlio proportionali ad DE, et AE. Erit punctum p icuroa quaesita
Behine seu vitu quod AC et ABadem temipteurvo psu ductae, sint
aqquales data DDE. pro aequatione survet, demittatur perpendiculans Phe, et
sit Ak YpLF, t. quia DE: dA = FE: AFK fit FK = laa = XX) HCaa -XX) ill
aust
C
L. Et quia dG: AE =DF: AK invenitur AK = B: an = Y. per priore
aequasponem est saa -xx 3= a  H  et X3 = ((aea -  ad aH)=
peralterum orquationem aat unde fit  a = at + Varr quib
et cubando a= atta 3aa aYY +3Vat aart + ary 
seu a-at+ arr +3a VaaHrr ant ubi tollendo, radicem fiet aequatio
r6 - 3aa
3H
+ 34
sed si ope hujus aequationis
er _ a a = 0 vellemus investigare cura
+ 3tS
+ 30
rectificationem, res valde prtixa
diffeilis foret, tiforre ompossienis. 
- 3 a 4
+6
per Evolationem curva nullo negotio invenitur
evolusta CFB descritur, AB, vel AC, vel Ed, a.
sit enim (fig. 10) BNM uan
BE,2 AE, a -2. f
Ad = + (2a - Z2) Et Ex, dZ. quia itaqu dE: AE= EC. EL id est a  a-
a
=d
EL G (a=) (Z:a Cujus summatio ae- hZZ,: a = EN. Aldatur FZ rvo eiutis
-
a
i  fit
taZ QQia provenit 3a2Z- 2Z21: a = FN = Curo aFB. Est antem 2aZ-Z
a
22Z3.a, .1 2 ad 3. ergo et FE. FB = 2. 3. Inde a
Hini facide

## Folio 11r — 00068089:0021
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 12v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 76 lines, status machine
Hincfacile setro spatus FEB ad spatium FBN liquet quia
enim FG vel FAad F V, ut 2 ad 3, erit tiiargulum FFE ad friang.
FNO ut 4 adq. unde omnia triangula ad omnia triagula id est
spatium FEB ad spatium FBN, ut 4 ad 9. Est etiam DE: Ad=
Eeiel id est a : 1 (2a 3-Z2) = dZ: LE = de Y(2a2 - Z): a
multiplicetur per FE, prodit (2a Z
Z2) +2 (2 a Z- 22): 2a
triagulo Elementari (Ex cujus absolutus, seu summatio ut supra
exsupra dictis patet pendet ex quadratura sirculi. potest itagu tinvencri
spatiuum circulare a quale spatio FEB. et quia F(: FN = Le: NO
e NO = 3dq Lea 2.7): 2a, ideo radio AB descupto circulo BPZ erit sermentum
Bp, divisum per 3 BAB = curvae, BN. Hinc Coroll. 1 Totu CFB = (3: 2)CA
ve curva CFB est in ratione sesquiontera ad aenetricemsuam DE. Soroll. 2. spatum
CF BA est ad spatium ABNM ut 4 ad 5  Turva vero BNM est Z arcus
Circularis B∞g.. Coroll. 4. patet quod curva CFB sibilla quam supra
per Nethodum tangentium inversam quaesivimus cum dempepro possitum fuit
ut curvo esset ubique in eadem ratione ad taigentemjuo hic in ratione 3 ad L.
DE CVRVISCAVSTICISEARVMepros. ET TBos
pradic olares in con cereeo lujusdam turvae partem ped unt formabunt per refleri
onemsam alam curvam quae nomen sausticae sortita est. Vereres unter
(4
tantum punctum considerarunt inAxe curvar in quo radii reflexi colliguntur
reutro A radias AG, et producta, quod punctum ipsis Locus audivit quoniam in igo in exina radictum repercussorum
6,
vis exeucetur: sed du. F. paucos aute run, quam optime animadvertit
quod curve quae non habent focos qui radhos reflexas colligant in uno puncto,
infinita habeant puncta in quibus radii concurrnt, quae puncta form ant suro aque
Causticam vel ustoriam  non a est ustoria, seu caustica, et si sit focus linearis +)
sortor curae cujusdam saustica naburam rectificationem et gregias squasdam pro-
prietates in Actis exposuit, methodo tamen euppressa Emonemu ergo modum
quotaciafacillime deteguntur ubi sinut palebit autorem non parum errasse
dum existimavit (austicam circuli lamesse cujus constructionem in actis
tradite cum istae duae Curvae in natura suatoto coebo differant, nihilus commune
habeant, excepto spatio quod in utraque ad eundem sermicirculum eandem rationem
habet, et hac est quod hutorem fefellit. sit jam surva quaelies ABC, Tab. MIfigi
suquam incidant sulis radii paradeli dB, de etc. quorum reflex, sunt BE, be etc
punctum Concursus E ductum radiorium reflexctum infinite parva quantitate distanteum
est in Curva saustica. sit itaque patet per supradicta, quod rodiis reflexus sit tansas
rarsae caustic, siquidem duae Tangentesmul disstantes, in ippso puncto convactus
se intrecant. Ret erira redit ad hoc problema: invenire naturam Curva quam
omns raduus a plu quadam curva leflexi tangunt. pId eodem modo sollvitur
ut paulotante solvimu determinati est curva quae semper tangitur a regula
superateribus augut recti mota. Nempe nvenienda 2 lugitudo radii
reflexi BE, qui intercipitur cnter ppunctum incidentiae B, et concursus E. sit
e hunc finem AF abscissa incurva data, X. Et AF applicata in eadem cupria sit y.
Doinde FF, de. = s et bH= dy. item BC, sit Z. describatur Triangulum F BG (figs. 2)
forsim et bisecetur angulus FBG, per lineam BM, erit BM perpendicularis
ad curvam Bp.  servinde dx: dus = BF: FM. Invenitur itaque pro FM
udy: dx quia autem BF: BG = FM: MG eut componendo BF ad BF + BG
ut FM ad FG, id est y ad y +Z at y dy: dx ad (7 +Z ay: dx = FG. sed qu. BF + quF G
qu. BG, Unte 2 f (A Xdx - dy dy) =  2Z ydydy + yydyly + yy dx ex 
unde G = 7 (AXAX + dydy): (dxax- dydy) = BG. Et quia FG est dy + Zly: dx
rylaex du: (Ax dx-dydy) addatur AF
fit AG.:. 2y dX dy (:, Axdx- aya + cujus differentiale (posito dx constanti
G
susistituendo vaoorem inventum ipsusst fit
seu dax =0, erit dx +2ydp hddus - dx dy + 2y d x dydy dily,: P Cdxdx dydus) = G9
garia autem BF : F G (seubf. fu) = bH: HC idesty: (2y dx dus : ex ex - dydy)
Fdis  ex dydy:0, dxdo= dydys. sed ob similitudinem trianguloram BEL et GEG
LBL. Gg et dividento BG: BE = BL - Gg: BL. fiet ergo uto unde
tandem fit BG, (d ax + dydys-2ddus. Hunc inquanis curva dabur data
Lacle invenitur lingitudoradii reflexi B5 substinemo sol modo valorem
est BE G
ipsius dus et adque uout natura curva exigit, et prodibit longitudo crvae BE
in quantitalibus puse definitis. Cognitaantem BE curra caustica constani potest
univrquoque Universalis quoque Causti carum restificatu et talis
st itaque fic. 3. Curva quaecunque ABG de qua per reflexionem radioru
formata sit saustica RHI, dico quamlbet portionem ejs AH, aequalem
esse ladii incidenti EB, + radio reflexolBH. Nam ex proccedentibus constat,
quod HBZ tangit evolvatur ergo curva AH, quae descibat luvam  AfF
liquet quod AB congnat cum evolventa AF, tunc cum evolutio ad punctum 
EB
viserntialtus it abutam  t e gore est
Eplus EBb = ang. HBG= CBb
differentialis ipsias BF. Quoniam autem per hypot hesum
angulivero Bdb

## Folio 11v — 00068089:0022
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 12r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 2 lines, status machine
RIED WILHELM LEIBNIZ
tICHE LAIADESBIBLIOTHEK

## Folio 12r — 00068089:0023
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 11v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 2 lines, status machine
2
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

## Folio 12v — 00068089:0024
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 11r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 84 lines, status machine
ig
fiu est pag sgy
anguli vero FB, Bdb et Beb sunt recti, eruut triangula Bdb et BCB ob
communem hypotenusam Bb aequalia, proinde BD = BC verum
B d est differentialis ipsius BE = BF, ideoque quaiam curva AH=HF C
=B + BF serit curva AH ae qualis radio deflexo AB,  cum incidente EB
Notetur quadsi utraque BE et BF non incipiant a nihilo, summae linearum
HB et BBE constans quo damet cognitatit ad sit addenda, vel ab
eadem demenda. Sado pnstremus exemplis:
sit  BGC cstentus idas diameter DB = 2 a BH, X. HG, y =
A2 ax - xX deferminanda est curva Caustica BFE, seu divenienda longi-
tudoradui reflexi GF. Hoc per formuta generatem ita peragitur: quia
y = ((2 ax - xx) erit dy = (a - X) dX. + (2 aX - XX) et adu = - aa dxox i
(24X - XX) N(2ax - XX) ideo exax + dy dy: -2ddus seu GF invenitu
esse Z LY (2aX -XX) = = GH. Ad constuendam ergo caustica ncirculo
sumendus est radius rflexus GF aequalis dimidio lacidenti GH, eritque punctum
F in curva quaesita. Hinc si punctur H cadit in A, cadet F in credium
Eradii circularis AC. Et hoc punctum est quod veteres foam Ctenli
appellamat. Constut quoque quod curva FBsit ad radium reflexum FG, ut 3 ad I
incidentem vero HG ut Z ad 2 ideoque tota GFB ad ratium Circuli ut, 3 ad 2. dri
eh. sunthetice ostendit quod GF sit LGH, n hunc cuodum (fig. 5) sint
radii solares MC musperpendiculars addiametrumdB, qui quantitate infini
te parva distant et producantur reflexi EF et oFdonec ocuvorant periterict
in N et  n. Erit ituque arens EBM aequ. arcur GDN, etarens odm = odn. Ergo
gBma -GBM, id est 29G = Gdu =GDn id est Nn -C9. Ergo Nn = 39G
quia vero angulus AnF= angulo FGq (insitunt enium eadem segriento N9) erum
Crangula NEN et Fg similia ideoque XF: F = BGCn: FG= Nn: gG = 3:
ivebum naturum hujus suroa Causticat BF5teriere per aequationem
IF, dosec occcussat rectae AC in L demittantur i erpendiculares LP, FO:
et appellantur AO, Y; et dF, s. quoniam angulut AG= AGH = LGA.
Ocundum applicatas et ubscissa
eit= FG proinde Ast= p bo similitudinem hiangulorm LAP, LG et AGH
est GH: AG =Gp: GL id est sCax ): a = La: LGle unde LG( seu LA)=
laa: A(2ax - XX) item ob LG: RG = LF: OF, id est LG: a - 7 = 2 aa- ax - LXB
RD: RL ~ OF: O2,
fit OF = (a - X) 3: aa = 5
id est a. X: 2ax = X X =  aa: (rax XX) = (a - X 3: cci) a OL. et fiet
OL = (2aX = XX - Z aa) in (a -∞ : aa ((2gu- XX), addabur  A et habebilur
() LEax -XX) : OF
(2ax = xx - h aa) in (- x) : da + ( ax -XX) + _ Laa : (2ax -∞X) = AO = r. ut
jam eofacilius ad aequationem perveniatur, inqua Y et ssolae reperiantur
vator ipsius Y inventus ita redigi potest 2aX -XX -  aa = ( X (a - X) + Laa
= (- aa + 2aX - xx + a a) = (a -
2 +aa), et sic provenit
+ = aaet(a )  + aa)
a -x = Vaas, et (a = ): =aasas)
- (=  - X)  + Z ac in (a - x) : aa ((a - X) 3 + aa)
ergo substituto ubique valore isius a-X sit r =  - 5iaa5 + = a aS + L aa:
UEux XF
quontum autem (a=X) Z: aq =s erit
et comprenendo NG Vel MG: FG = 4: 1 proinde HC: FG = 2:1, ut ante
catur et
(tas +aa) data itaque saltera r ope cuciri e normae constini nequit
gerteraliter obirrationalitatem radicis subice. Ergo Curva (austica non
est ejademcum illa EFB, quae formatur a punctis F quae visecant
pralcelas M N inter ceptas inter periferiam AA AAB diameto AB
escriptam, ut dn. .3.  statut. sit enim (fig. Y) 40, Y.
OFs. Erit RN, I- S1) et M = Yaa - p5) ergo MN Z H 1s C
Has - s5). Ideoque FN + NR
id est RF = 2Ia 55) + + (a5 - 53) = AO = Y. sic faque datas’altera r
a curnot nonsolum
Ca a - 55) = Has = Ss) et FN = L 2 a - s5) - 2
semper circino et nonma construi poterit, et proinderae
non sunt eadem, sed nequidem sunt ejjusdem generis. Facile autem est
conjicere unde eror ortus sit. Nempe utraque cubda transit perpunctum B et per
punctam medium E, et spatium aBFE, utrobique est quarta pars quaduubis.
quia sinicirculus ANB quad lantis CAB et CBNA est duplum spatii, eBFE.
Caeterum pterea sine calculo judicari poserati ex sila generatione, has duas
curvas ponesse easdem quod illau continuatio non eodem modo
procedat. Crva enum caustica postquam ad punctum Eperoenit consinuatu
versus simistra per S ad punctum D. Et portionem si auitem priori describit
tum ob radiori in altero quaedrante simitemportionem, sum quia Caustica
utipse da h. agnoscit et max demonstrasimus est species Cyclaidis.
Altera vero curvo quoe bisectione intercepturm MNformatur, post quam
punctum E attigerit revertitur versus a eandem partem ad B. sicut enim MI
est intercepta inter utramque pericseriam, non magisquam Mx, sie etiam punctum
bisecans lineam, MX, non minus est in curva quam punctum F biserans
lineam cnx. Interim illa notbisis est Causticae prghietas quam duasse
in actis dips. demonstravit quod per suam evolutionem aliam Causticant
sumlem progignat Nos proprietatem hanc mutamus in aliam, et
demonstrabimu, quod austicassit Turva, quaedem cy elvidalis asicque eadem opera
ostensum eut quod evolatiosansticae descirbat sausticam, quia omnes cycloides
evolutione tua sibi similes procheant. sit it aque circrllus BCd, curius dicuneter
Bd, radius

## Folio 13r — 00068089:0025
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 14v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 85 lines, status machine
Bd radius solaris NGincidens GF reflaus, BFE curva Causticaq
centro A radio AE describatur Circulus M. PE. et ducta A constrinatur
circuli G4P radium, GF secans in 9 dico Causticam BFE esse cyeloidem
cujus circulus immotus est MPE,, ejus genitor GZP, vertex B
principiumE. Nam Angulus incident ict NG, B, aey. angulo reflexionis
ybL ergo segmentum NBG, erit similes egmento sirculari gG. steoinde
subtensaNG ad subtensam qG, ut dimmeter dD ad diam. CB, seu ut  ad 1
L
sumtir anteedentium dimidicsent HG: gG = 2: 1. = AGB. FG. Ergo ZG = pG
jecoque circulus G9qGp. transit per punctam contactus F quia vero bo similitudinem
cumentorum Arcus NBG = 4 arcubus GF. et ideor areus NBG(e arcus BG)
4arc. Mp erit arcius GF, = arcuisirp, quoniam antem semiperia MEC
2 sepriperisgrtis BGF p, cutquadrans MDE = GFp erquarus 2Ei duus
DF cascu residuo PE, proinde Caistica ECB = 2 semisericeriis G d GF
eut quadrans MpE= GFp Eiquareus residuns PF = arcui residuo AE. proinde
L
CRusica EFB est, Cy clocidalis.
denda ad Causticas.
Vdeamusquae sit caustica in parabola. Ahunde autem notum est quod
radii Axi paralleti post reflexionem execte concurtant in uunum punctum, quod
Focus appellatur. Ergo (austica sejus tota in punctum degenerat, pro Ergo conum
loco radiorum Axi scerpe parallelorum concipiamus axi perpendiculares. sit
eu Tab. IX. fili. 1. verter A, axis AI, pgrameter a, AE, X. BE, y = sax.
eatus eodem qB, eb, rndii incibentes quorm reflexi BH, bH, detaminandor est
culda Caustica AH, id est quaerenda est longitudoB H. quia G= fap. eut dis= dxt
dx: 2 tax  ddy = adxdx: 4x sax Ergoformula dxax. + dycy 3: Adus = Bje
gat = a + 4X sax BH quae facillime constuntur dicendo ut
dabit dxdx +a (dXdX: 4 4x), (a dxdx: 4X Vax) = 4X Vax + a VaX,: a. dicendo, ut a ad 4X+a
ut 4X ut a ad a, ita taxseu BE ad BH. Hinc curva AH aequatur 3ae+ 4 rax: 24.
Ad quadrandum spatum causticam multiplicetur perHC perdiuidium BC vel Bd
Frangulo HBb. Hinc
(sunt enum aequales) et habetur adX + 4X axtax.: 40
etiam ejus summatio ZXIax + 2 XXtax: a. spatio AHB. potest hircetiam
quadiari patum AH. si eum a spatio pambolico ABHL cujus quadratura jumtosit
naferatur spatiam inventum AHB, remanebit spatium AAL. s AE= Laeria punctur H
omnium supremum, quia tum tangens BH est axi parallela, et terit BH, ta
proinde AC=   (3: 4) a si vero HE = (3.4) a id est si radius BE
transeat per punctum in Caustica supremum adent puncta A et L in punctum
in quo caustica X axis se secant, et ert recta BI aY huva vero AHI erit 3 a13
et necta AI, Za. suatiu AHB, Z aa (3. Et sputium AHI E an B. Reguta
quam pro Causticis dedimus succedit etiam in Transcendentibus. Exemplumm afferemus
incygloide vulgari. sit ergo Cy clais ABL, radius incidens Ese (fig. 2
reflexus BE quaritur determinatio curvae AHN, seu longitudorola BH.
gadius circuli AG, a. AE, X. proinde EM, ax-X) arcus AM, s. EB, y = dE axA XD +
as = adx:, frax- XX. Hiri dy = 2a dx - x dx, 5p 2 x  Y EaX - XX)
= Ax +(2a - X, : X). Et dydy = 2a dxdx - x dxdx,: X. Et ddu =
=a dxdx: X+ (2ax - XX). Ergo BI dxax + dycys: - 2d dy seu BH erit
((rax -XY). Esti. Ideo raduis reflexus aequatur applicatae correpondenti
in circulo genitore; ideoque dupeus est radii reflexi in eodem circulo spatuut
segmento, AEHI, et duplospat. sausico insirculo.
si punctum E cadit in centrum circuli G. erit BH p arallela horifontali AF
et proinde panctum A quod cadit in Neut omnia supremum (urvaliae
+BH aequatur dimidio
leustica (+ HN postquam summum punctum N pertransint, Herdescendit
adcertum punctum L. et deinde reascendit ad punctum l. Ad detemminandum
a = Z AG, cad it punctum H inquae sitem L
loEol. spatiom cycloidale ABCFA est sexuplum spatus caustici ABC LH A
itaque punctum L. sumatur AE, Z
illud quippe tum triptum est semicirculi AMF. Hoc autem ejusdem est subduplum
ac et acteuri de pausticis formatis a repercussione radioum
parallelom. Paucis attingemus illas quas descirunit reflexi radiorum
a puncto quodam fixo proficiscentiu effi enim prioribus multum
3
cntandis facelet ae quefacile qu
absuntes sunt, et guitabs (t enim quaecunque calva dasta ABCe
 insu
bE et
calculo subjiciuntr mntum D aquo radit
eorunque reflexi B.
deferminanda est saustica quanradi reflexiformant vel potius
punctum positionefit
sincidentes in curva quales sunt dB, ab
tangunl. Ad hoc itaque invenienda ista est lingtudo BE, intenex ta
rempe inter punctum concurtus E, et punctum incideat e
duantum perpeas
iauter
.AdDB, et Ob
et dqu du et dus
ductaque ipsis Barullal. BHL,
2B ey. bH. dque et BH = d
descutatu timagulus de G seorbuta iscebur
BHL  BB acrbud nomipst
iare
fig
b. 1X

## Folio 13v — 00068089:0026
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 14r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 97 lines, status machine
augulus os Gperloctam BM, qua ent perpendiculans adsurvam
Bb, proinde dx: dy= DB: dM. itaque dM Z ydy: dx Cum reliquis
i protadatur eode modo ut supra proredendu est, prosaustia
pera radios paralletorum reflexes, formatis, invenitur, Q Lydydus fyduta
dx ex - dydyd Et dG = 2ydxclys: exdr-dydus. Et ejus differter
tialis (posito ex constante seu lx = 0) erit L) ax aa
F2y dx dy dy dalus +  2 dX ds H:  C
MN, Bd
2dx9dus = a
etno
24x gaus a Y. dyly d 
yfiet Bd: DG = GN: MN, id est y2 (2y qray: u dx - dydys))
N~
dudx dyxdx- dy dyxdX dyclu  x dx - dy dus). ideoue
 GN =MN. seu gH = 27 a pt ddy 2 dxdy. E. + 27 dxdu
(Edpdx dy: D (Exdx - d, 1y)
66 simititudine
Luagulorum dBH et dGH, est DB: dG = BH: GH ergo GN enit
2dX dydy:, dx ax- dydys. Et ai invemend
huaxdu
DE = GN, MM, idet gi
ad
2
 2 4 - 2 dx dydy,: (2), (dx dx = dys dy. est cartem Bd: dG
seu bd bd: Dg) = bH: fL isest y :2 ydu du (., se pm dydys) = du . H
quod HLA2 dx d yclys:, exax- dy dy X _ ergo Bfet HL id est B)
ade
=dp3+ de dydy:, dyq et du aydus. Paeterea sest elum
BL = du3 f dx dydys: dedx dxdx - dys dys. sed obsimilitu
Linemtriansitorum BEL, let MEG, est BE: ME vel GE= BL: MG, et divi-
vendo BG: BE= BL=MG: BL. Fiat ergo BL. My (id est deF ax dyt 2ydx ddus
22ydxdydus ddy 4 2dp dB dy: . L dxdx - dydus) ad BL sidest dx- exdydus,:; e c
=dydy) seu dxdx - dydys -2y iilus 3 (dx du agilus) 39 vel Z: BE erit q BE=
day - y dxdx,: xtEx da +dydy- 2yddy. sii ergo inqualitet aurva
rata Alongitudo tabi refrexi BE  terminari potest per substitutionem raloris
ipsius dy, et dius, vel ipsius dx. Mont unum velalterum facilius videbilur
ex natura curvaedatae AB, ita tamen ut dx vel ejus valor sempercorans
ponatur, quia in praesenti calculo pro constanti assum a est. As
Afferemus exemplum curvas tausticae radiis a puncto derigantium
reflexis formatae, quae proprietatibus egregiis et utilir pollet epecula
vioni non cedit alteri illi  schimhusianae omninemmi quaen. Isdi suae at.
tribuil, huic quoque conveniunt, Aadius reflexus in utraque constantem haberu rationem
ad incidentem; non minusetiam, quam spatium Causticum, inter reflexum, lineam
circularem etcausticam abscssum interceptam ad segmentum circulare a ratio
incidenti absessum. Et quod uirum est haec Caustica per Evolationem atliam subi
similem progenerat, est enim una quoque ex cyploidibus, et quodem simplicior
altara illa Tchirchusiana. Fig. sit fig. 4) Cirentus AGD in cujus peri
pheria datur punctum B a quo radii emanantes BG B9 incidunt in eandem
periperium quorum reflexi GL, cgl; formant per intersectionem L curvam cau-
sicam BLE quaeritur GL per B agatur ciameter B0
et inhanc perpendi
sit semidiameter BC, a. BH, Y. GH, t = Nar-1) erit hH
sit adr: spar-rH. BG _ X = trar. Ergo ejus diffe
algres GH, uti
9= r  G. 9G qu 9dqu. = 0G qu. ergo 0G) x = adr: 1 (taa
-2a2) du Ladr. trar et dius =2aY dur- adrdr: 2r 12ar. quia
vel q
autem ex ponitur constans ent dax = 0= 4aaddr - 2ar dar + adrar,:
recliate ux et
ga -2r 1(4a a -2ar) et fiet d dar = drar: 2Y-4a, unde
ddy = aa dr dr:, Fr- 2ar trar. si igitur ponantur quantitates inventae
ipsarum y dus, ddyue, et dx. proveniet GL _ y dydy +ydxax,: dxdx-
dydus 2yddus = = trar = =GB. Ad constinendam ergo curva BLE
sumendus est radius reflexus GL aequalistrienti incidentis BG, entque punctum L
in curta quaesita. quod etiam sic synthetice demonstrart potest, ad modim
scrimerusianum. producantur radii reflexi GL, 9L, donec peripheriae occurrant
ii punctis M, m. erit arcus gB aequalisarcuigM, et areus GB ipsi GM. Au-
Heratur utrobius minor a majore remanebit areus yQ= Mm- 9G. proinde
29G= Mn sed ob similitudinem Trianguloram MLm, et GLg est ML: LG
vel LG = Mm: 9G = 2: 1 ergo componendo MG vel BG ad LG  ut 2 ad
ostendemus jam hancs austicam esse ex
gaere ycloidum (fig. 5) sit circulus BG cujus diameter Bd, radius incidens
Hinc BE est tripla ipsias DE
BBG reflepus GF, curva Caustica BFE, centro A, radio AE describatur Corcutus
ArpE, et ducta AG constnatur circulus GQP radium reflexum GF secans
in G. dico sausticam BFE esse cycloidem, cujus basis circulus emmotus
est MpE, et genitor _IP, qui erunt aequales. vertex B, et principium
demonstratio: Nam angulus incidentiae est aequalis onguloreflexionis Q G
vel 545 ergo segm. GAB est simile segmento GsQ proinde ent pubtensa BG ad
subtasam etG ut diameter dB ad diaurenrum GP id est ut 3ad1. it est seu ut subtensa
BG ad GF. Ergo GC = FG ergo circulus transit per punorum contactus F. Quia
oero obsimilitudonem segmentorum arins BRG aequalis ter arcui G5F
et idem arcus BRG aequalit trbcerms exantircur Mp. eoit arcus G5F
apargarem au cex resduis fis retili te tuode bes tater pgabidatis
see
2y dp3 ddus
2ydx dydus da7
Erroraliquu videtur.
admissus esse nncapeglo descaibea
sex modo conclusio,
bona valoris BE, (utticia
moxappellatur est ipsiue datur
yagdy + ydxex,: axax, aydus rydt
vide todum utrum rectius. Sed inferius
adrucaliter occurrit, nempe
GLx Hlxax Fy agariun xextituus
aryadus

## Folio 14r — 00068089:0027
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 13v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 68 lines, status machine
f
Hinc estum haec austica proprietalem alterius habet quod nempe per suam
quolutionem aliam sanstram describat sibi similem.
 sit Parabota AG9, (figs. 6) cujus vertex A axis AH in quo punctut
est datum B., quod radios BG, Bgenibsit, qui reflexi constibuant lunvam saustica
determinandum est eiut punctuma. vel invenicna est longitudo GL sit paramete
a + AB,b. AH, r. HG, + = sar BG, y = Y (rY - rb + bb + . Ergo GS, ax.
Ai 9, adr: 2aY. addantur eorum quadrata adrdr + 4 drdr, : 4+ = Gg. qu.
est autem dy (seu 90) = 2Td 2r - eb +a, dr a ( 2 t(rr - 2rb + bb, + ar). adoque
G9. qu. = 9Dqu = Gd qu. = abb  arK a Lb- r) dedr: rearr. syb + 4 bb +4ar
dx dx constanti.hlujus itaque quantitatissumendum esset differentiale, et aequandum
nihilo. sed quia universalitar solvere niius prorixum foret samemus casum specialem
sit igitur b =0 id est ponatur B in vertiee erit caetens ut prius, BG, y-Y(eY + ar)
G1, dr. gi, adr: 2Var. G9qu = adrdr Farardr,: 4r et dyd2ra Falar:
2Hertar). ideo G9qu - goqu seu G0 qu. = adrdr:, 4r + a) = dxdx constanti
ergo differenticindo, si adx =0 fit dar = drdr: 2(r+ a). Et ddy erat -aa ardr F
modit ddus = = aa dar +2rY aer Far, drdr 4(rr + aY) err+ ar). quia
+Z (2ddr + addr) pr + ar), : 4
ergo dxdx + dys dy = drar (a + 41): 4r erit ydxx + ydydy, :, dxdx + dudus 2yd
= + 4Y) ((e tar) : 3a =GL si ergo fiat 3a ad BG ut a + 4r adquartam
erit ea GL. cur si addatur recta BG proveniet 4 (a + Y) (er +ap): 3 a pho
valore curvaelausticae AL. sputium cansticum AGL etiam quadrari potest
oronidis loco ad jumgemas determinationem causticae in cyclorde vulgari
agradiis axi parallelosum reflexis sit (ycloides
linea Avulgaris AB verlex (, axis CE, circulus Gentor CFE, radius
quae causti ca generetur
incidens GB, reflexus BH, cujus consitudo quaeritur. sit (E, 2a. CL, Y. Arcus
CF5. LB F = 5 + SEar -rr). peripheria CFE = AE = p Erit AG = p -s
- ar -1r) = X. et GB, 2a = r = y. ideo dx = - dr (2a=F : Y) qui a.
autem dx constans, ert ddx = a drar: r((2ar - YV) - dar Y (2a -r: Y) = 0
ideoque der = a drar :, 2a r = rr. quia y = 2 a+ 2a = Y erit dy - - ar 80
EArdrtadr) Cirer faer)
Cddus =Cer+ ar) Cer car Fedrari adius
serdr + adr) (2Y ar Fadr)
(+(rY+ar) (2r+ a) ddr
(rrar) ter ur)
ad (a tar: r) sta
Quae non consentiunt, Ergo est
tota AHE, est dupla diameter EC. spatium ABH aequale subdduplo semisegiento AG
si LBtransit percentrum circuli eut H omnium supremum. CausticaA AE
(r tar) r +ar) et
=rrC2aD 
nrtam Terrtan)
error in caleulo, alterutio
ddyu = - ddr = =adrdr: , Ear - rr. Itaque pro dxde + dy du, : Eddqu (+ pato - 2day)
fiet 2a -Y = y = BG = BH quaesitae. Hinc curva AH est dapla BE, et
prartaur, trr ratrarn
est etiam cycloidalis, cujus circulus genitor est etio sub quadmplis circuli EtC
dar
virtur
traar
My-) car-aa
et ar
et
fi abk = d2. 21p
pro hocloci ex pumeratore
videtur exfigum trD 2aV
scribendum C
seu dignna dxdr( arar +Erta) adrisia
sit
atat)t or
et posito det = dTdr: LCr + a)
fit 2drdr + (2r + a) ddr = Grai dr 
3 a drar F 2x drar a arar
ar, rta, 1(ertar
in Zarr = 3aaY, 1, 4, 1
seu dily = arar, Saar - 5aN - 2a3- 2Y,
 rrtar, ia, Crtan

## Folio 14v — 00068089:0028
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 13r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio 15r — 00068089:0029
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 16v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 73 lines, status machine
oBems
4
A
Ito-
Methudus Caliali diffecentiarum directa e Reciproca
omnia problemata usolubilia quae ractenus vulgaris
Geometriae opemelusere, analus siu subeunt. Quod ut majis pabeat
cujus veritas magis eumostendemmus tantam enis esse amplitudinem
ut nulla sit pars Matheseos concretae, cujus difficiliora et prastan-
tiora problemata non inventa non limitibus ejus contineantur,
quae alias omni Cartescana Geometria frustira ad auxilium,
vocatas in aetemum delitescerent. Id manifestum est ex solutionibus
quorunam problematum physico-Mechanicorum a prostantis simns
Mathematicis propositorum, quorum solutiones partiai nullibi
partim suppressa Analysi repeliuntur. Pri mum, quod notatur
dignum est tale. Quaeritur curva eus nat proprietalis
nature
ut Ane BF verticaliter Erecto pondus in curva libere descendens
aequalibus temporibus aequales altitudines verticales absolvat.
Tab. X. fig.1 Et silx. gr pondus vel globus a puncto A moveri
inci piens una secund perveners ad d altera secundaint C, optortet ut
altitudo verticalis AF punctiC sit duplaaltitudinis verticalis AE
puncti d. 1C si tempus sei Ad sit ad tempus per A ut P ad q opertet
ac sit quoque AE ad AF, ut p ad G. A du. L. his terminis concipit:
invenire curvam descensus in qualurva descendens equalibus temporibus
squaliter horizonti appropiuquat. Hi supponendum ex ins quae vel
ter se nota, vel in libris de natura ptrojectilium, demonserata sunt,
 si corpus uniformiter vel aequabiliter moveatur ejunt spatia percursa
temporibus proportionalia, et si duo, corpora icaequalibus celeritalibus
sed uniformister moventur erunt spatier ab illis percuria aequalibus temporbus
0. si corpus in linea verticali libere descendit;
D. E dem
inratione celeriatum
teriporum quadratis proportionalia
posito erunt spatia percursa celeritatum ultimo acquisitarum quadratis
pro portionalia) ideoque tempora enunt et celeritates.  Corpus quomodocuns
descendens vel in recta vel in curva, in quolibet puncto eam celeritatem ac quirit
quam acquirit si ab eadem altitudine verticali discendisset directe Ex his
praesuppositis, si problema per salculum  summalorium resoloene
tuin
rechanics prmerpiss iumtaus
velimas, tentandum est ut prublcma, quodr
pure Geometricum convertatur. sit curva quae quaritur Ad F quo
ad certum punctum C. perveneris faciat unoitemporis nomento celeritate sua
hineolam indefinite exiguam Cc altitudinem vero perpendicularem  HC. sit
nuns cornus in quocunque alio puncto D et absolvat aequasi temporis nomento lineolam ed
et altitudinem verficatem Ed, quia itaque temporis promenta apponuntur equalia debent
ex hy pothesi altitudines Ga, HC ettanresse aequales. Dd est ad E ut C
per suppositionem 1. Da est ad Cc, ut celeritas in D ad celeritatem in C
sed Dd est ad Cc in ratione composita ex ratione Dd ad Gd, et ex ratione. Gd vel
aequalis HE Hc ad Cc, id est exratione tangentis dk ad applicatam Ed, et
ex statione alterus applicatae ad libitum assumtae FC ad tangentem ad
libitum assumtum L. Aquo puncto C ducatur ipsi DK parallela CM
erit DK: DE = CM: CF. Ergo  sed DK est ratio composita ex
DK: dE seu CM: CF, et  ex CF ad CL, eadem est ration CM ad eL
verum per etiam e quartam suppositionem quadratum celeritatis in D
est ad quadcatum celeritatis in C, ut Ed ad FC, ergo quadratum CM
es ad quadratur L ut 2d ad FC. problema itaque ad puram Geometuram
redactum est, quod in abstracto sic proponi potest: Invenure surver AdC
ejus proprietatis ut si ex puncto quodam assunto C, ducatur tangens F
et in quocunque alio ppuncto D, tangenti parallela CM, sit quadratum et
ad quadratum (M, ut CF ad Ed
sit hoc prestetur sit AD AE, X
Ed, g. CF, a. CL, b. GD, dx. Gd, dy. G dEt D d = (dx dx volydus) fit CM
ad atAXdx + dydy): dy. quia ergo per proprietatem cmrve Cqu;
CM. qu. =CF: Ed hoc est bb: CM = a. y habetur explicata CN, et reducta
aquatione bydudus axdx ideoque = a du b- bbus xt bbdydus =
ladx x fa dydy. seu dyrbbus- a) dx a3, et summando, fit (2e -23.) sbby - a3)
=XYa. Hini si AE seu x = 0 eut Ed seu y= a: bb = Ao quod indiciun est corpus
antequam ad curvam perfingat a puncto A prius de scendere per rectam AC.
a: bb, si itaque aequatione invenire velimus, quae naturam curvo exprimat
per relationem applicatarum d Padaxem Poponendum est D) p(DE- 40 = y (: bb)= 
ic egoatio imertacon vertetur i dare oe tp  que saequatit aper i larbar od

## Folio 15v — 00068089:0030
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 16r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 92 lines, status machine
Aa: +bb.
esse patubolam subicalem secundam, cuus Paraneter
Quid si corpus, non aequaliter accedat ad voritontem, sed descente aequa
libus temporibus aequaliter accedot ad punctum positione datum. Et quia
prions modus prior hic applicatus succederet quidem, sed esset paulo prolixior
alium amplectemur. figt sit(fius 8 punctum positione datum F
per quod ducatur linea verticalis FAZ in qua sumatur punctum A ad
ibitum pro initio curvae quaesitae Add. consideretur forpus descendens perve-
ductis itaque Fd, Fd centioque
nisse uno temporis momento ad punctumaliquo
descripto arculo dH ostendet resi dua dH quantam corpus uno tempore
percuorisse lineotam DB
momento accedat ad F quia autem initro curvae corpus  directe versus
selemento potius
 descendit (3) eut portiuncula curvae, nempe Aa, uno temporis mo-
mento initio percursa ex Hypothesi aequalis ipsi dH. Unde infertur . t prius
quod corpus nA)apidebeatt habere geleritatem acquisitam. Sit itage illa altitudi
AL A quo delapsum corpus istam celeritatem, acquirat. Ponatur AL a.
AF, b. AE, vel dD, x. Ed vel A0,y. Ee vel Gd, dx. Gd, dy. Et 4dd
ax do + dydy) Erit F0, (b - y et Fd, +bb = 2by + qy +Xx) cujus differentiae
DF- bdy + yay + XAx,: +(bb- 2b9 999 +X∞) = dH, quia nunc dd est ad
Aa vel DH ut celeritas in D ad celeritotem in A, erit quadratum da, ad quadra-
tum DH, ut quadratum celentalis ix Fd ad quadratum caertatis in A
ut
AL, id est dx dx Faydy:, bg (b.9). dydys Etbx t 2xy) dedus
ytata et aequatio provermens sed quia calculus paulo pro
lixior ponatur b.ysen FO, Z prodit aequatio azZ axdo + axrdzaq = b22 d 2.b2
EH + A 
X3Z)aXaZ 42aX) axaz. +b Xx didx - Zxx axax. contra
seudi calculicausa pionatur casus specialis punctum nempe A esse in F, seu
+ ry dxt=
esse 0. fil servataY, a fit agudedus 4AXXdydys = y dydyt2oyy axdus
+rayy axdy xxy dpax. sed ut aequationem repersamus pantioribus termi
L73 d V
(2bXZ
tante,sut Ad (frae 4) Ad, X () positis peliquis ut prius Cd,9. ALa
ciculae Aa. AC
=Rx =gy) Ejus differentiale Cc vel d9, Xaxay ay: Y(x -99). jam
Hypethesin primae part
U qu.  qu. Gd + qu. GD = qu. Dd. Ha = X Xdx dx - 2xy dxdyt xxdydys,:
vit lo
dG, dyerit nunc a H, dx
e
x-gu Estantem qu. dd Dd ad qu. Aa vel dH ut quadratum celeritatis
unde demumhaec
lx aexax L2xy axdy+ Xxdy dys,: (xx + y)): dxdx = yta, :a. unde
ad qu. celeritalis in A, ut DC ad A DC+ AL.
denique Ax 1(yx- 13) ia = Xlys- yax. Hinc si per inversam tangentum
+
ad summationem perveniri posset, habetur quaesitam (+ Hoc problema
 solvi ut apparet in anctis eruditoru 1)
Ad altud nos conferumus priolema quid solvit
dominus Hugenius
quodque non parsium usus habere ostendit in Horologiis pendutorum veloscillato.
riis Notum quod oscillationes circulares aequalibus temporibus non absol
vantur, utpote quae minorem arcum describunt minori tempore quam quo
majorem describentia opus habent itius problema est invenire curvam
ut corpus in illa loco quocunque incistiens
semper aequali temporis spatio ad infimum curvo punctum descendae..
quae erjus sit proprietatis
bicurva ABC axis Ad verticalis, corpus Bve a B five a C descen
at eodem tempore perveniet ad A, diidatur Ac in partes infinitas
uid fig.
aequales AC, cd, de, ef, fq_C  et portio AB quae sepe
sentetur in totidem numero aequales Ab, bl, im, mundic
B9 et ih eodem tempore quo quiethgetdem quo po) et gt eodem quo on
quia ergo portiuncula AB, AC Ab, Ac aequali temporis momento percur
tuntur erit celeritas in b ad celeritatem in C, ut b A ad A, ut tota
BA, ad totam CA. proinde quadratum celeritatis in b ad quadratum celeritales
 inC, at qu. BA ad quo CA. sed  id est ut ultitudo verticalis AE, ad alti-
tudinem verticale A(. Ergo qua AB ad quo problemagi
recham
reductum est ad Geometricum al inveniatur suva AB 
por tionum quammcunque AB, AC sint abscissis AE, AF pro portionalia. Ergo
((AB ad H AE in ratione constante. sit ea ratio ut a ad, 5, sit AE)
EB, y AB 5. Ergo a: 5 = 1: X Hini S lax. et hini et differentialia
Squalia, nempe ds (= raxdx + dydus) = adx: 2 taxi sumantur quadua
loquo axax tagius cadxax: 2uax vel 4x dxdx + aexlydus = a dpdx et
xaydus= aadxdx- 4x dxdx hoorumque padices dus rer= dxta- qx
ideoque ay = ax 1a-4: 4X = ax (Ha - X) ex =(a -X) ax: L12 a ∞ xA
 d a(Za -X) ax: N(4 aC  XX)
+& dax: ax-x. adea
sumis summis, y =  ax - xx) + (E a dxH:, ( ax X∞). Hdnatem
summa habetur, s
fial semicirentus AGF (Fig. 7 cujus diameter A
=La, et AE, x. erilareus AGa dictaesum
Tax: 
ax - XX) Est autem etia ot ax -Xx) proinde EB vel Y _EG+GA
seu GA = GB ex quo patel quod curva AB ssit cocloidatis, Quod
etia manifestum esse potuit ante salculum exhoc, quod lurva
5adx. 1 (3
paodatis ab, est ousco resto Aus. pendrnt ente As sura sut

## Folio 16r — 00068089:0031
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 15v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000031.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 72 lines, status machine
Ta rectanu. PAE. sunt in ratione absussarum AE. pronde quoque quaducta
portionum AB sunt in rationeabscissum. Exhine nun ficile demonstrari
potest, quod corpus unsus cloide aequalibus temporibus descendat. sit enm figg
Cyclois BAC, et incrpianit duo rorpora descendere unum in B, alter
in c, dico in tempore aequali pervenire ista ad corpora ad A. dividantur
eum duae portionesninfinitas partes numero aequales et si qu eo
ordine in BA, quo in in eA. Vinc ita argumentor. FA: AE=
(+ qAqu qu. CA: qu. BA = ih. qu 2 qYqu Aiqui AIqu Aqqu
civinde FAEA = AR. AS. Ergo etiam FK vel LI ad ES vec M q at
 inq ad GBq. Est autem Li ad m+ MMq ue quadra celentatis in i in
qundintum celentatis inque adeoque in eodem nempore percurretur quo qu
his duobus demonistrabiburs proindetota
CA, et tota BA eodem temprestercurrentur demonsatio ista
uum
AL
ibem deomnibus aliis parte; ut de
tanto apparatu non opus habet quo illa patris pardies qui confur
tuum fhaos inventioni. du Augenii specincte demonstrate, sed hucdum comparare
voluis. Hinc si vel commde efficere velmus ut oscillationes
fiant temporevas aequalebus, construendae sunt dua lycloides ae quales fin. 10
ABG et AdE, quoruraxes verticales et fium aequale semicus cloidi,
puncto A affigatur cujus alteri eomino appendatur pondus 
erunt osgillationes pondens pitochiona, nam per evolationem socloidis
ABC vel AdE, describetur alia Cyclois
aequalibus percurretur
pR, quae prom temporibus
De Curvis satenariis
Quanbum utilitatis problema ineae Catenariae in Geometrta
obtineat videre est ex trllus solutionbus actis Lipsiensibus insertis et praecipue
ex, quae L. ibi dnnotavit. primus de linea a filo, vel potius latena
non extendibili libere ex duobus extremis pendente formata cogitavit
fuit Gutilaeris Naturam autem ejus non pene travit, quam pulavit esse
arabolam. jrachimus jungius peterente L per calculum et mulser experimenta
dustitusta comperitcurvam non esse parabolam, interim veram sarvam
non assignavit. solutio ergo exiuii hujus problematis ad nostratem pora
reservatu fuit. Quae in actis sedbinc circula exhibetur. Culva
interim catenpria est duplex vel vulgans quae formatur a catena vel
aequaliter crassa vel non b algaris
quae ab inaequaliter
crasse formatur, qua in omnibus ideo punctis suis inaequaliter
est gravatum, et quidem in ratione applicatarum alicujus curvodatae
Antesclutionem sequentia ex staticis sunt praesupponenda. I filum
fanis catena, vel quicquid curvam exhibere potest praesusponitur
in vinnibus punctis suis perfecte flexile, et inextensibile. 2
 si in duobus punctis A, C,
Tub. X1. fig. L) ous curva
natenaria sustinefurs potentiae quae indoris punctis adsustinendum
Eequiruntur euut caedem quae requiruntur ad sustinenda pondus D
aequale ponderi catenae ABC, et appensum in concursu D ductum
filorum nullius gravitatis Ad, Cd curdam ABe in punctis A et C
tangentum. Ratio Huius est evidens Nam pondus catenae ABI
exerit virbutem suam in A et C secundum directionem;id est secundum
tangentes AD, CD. et ejusdem vel aequalis pondens D, tractio, est
eiam secundum rectas AD, et CD. oportet ergo  ut potentiae requisitae
sint in utroque casu eaedem. Hinc potentia quae sequititur in infimo
aujecto B habebitur, si quaeratur potentia quam pondus E, in eodem puncto
verit, suspensum e duobus filis nullius gravitatis quam unum tangit
curvam in B, et proinde est horctontates, atterum vero tangit in puncto A
ad si latena duobus terminis alligata A, C, in alio quovis puncto F
figatur, ita ut pars AF auferri possit curva quam residua Catena
FBC repraesentat non mutubitur, id est eliqua puncta in eodem quem
antefixationem habebant situ manebunt. Hoc ratio et experientia
manifeste ostendunt. 4. iisdem positis quae prius ante et post
fixationem in singulis curvae punctis eadem id est pristina potentia requotitur
vel quod eodem redit qua si unum aliquod punctum antefixatione
trahitur, ea etiam trahetur post fixationem. Hoc nihil aliud est aisi
corollarium prioris. Hinc quantum cunque catena vel pro longetur vel
decurtetur, hac est ubicunque fixationis punctum F sumatur potentia
in infimo puncto B neque augebiturneque diminuetur sed sempermanebileadem
(5. Pondus P suspensum e duo bys filis AB, CB quomodolunus poteis hac proportione
2
asimiati

## Folio 16v — 00068089:0032
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 15r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 72 lines, status machine
f)
His praesuppositis Curvam satenariam vulgarem sic inve
nimus sit BAa, cuiva quaesita cujus intimum punctum B
axis vel linea, verticalis transiens per B, BG. tangens in infimu puncto
BE, quae eut hortontalis, et inquocunque alio puncto A, tangens AE. ducto
applicata AG, et axi parallela Et, sit BG, X. GA, yu G9. axA
HA, ay. pondus catena vel quiaaequaliter rassa) longitudiima
BA, 5. quoniam itaque in puncto B semper aequalis et constans
potentia requiritur per hyp. 4, sive Catena BA continuetur sive
decurtetur, sit illa potentia vel linea recta psam exstrimens a. in-
telligatur nunc prndus catenae AB concertratum et appensum in conturtu
G filorum tangeatum AE, BE requivituri perhysp. 2. ia puncto B eadem po–
tentra ad sinstinendum pondus E, quae autea requiretatur ad sustinendam catenam
A, verum pertryp. 5. pondus E ad potentiam in B est at sinus anu AEB vel
complementi ad duos rectosEAL ad sinum anguli AEL sd est punta AE pro radio
ut Et ad AL, prondenbicunque in curva punctum fixationis samatunt (urva
enim per hyp. 3. semper manet eadem) pondus (alenae AB est
ad potentiam in B ut Et ad AL, id est sada, ut EL ad AL, ut AH adH
ut ax ad dus Ergocurva catenaria est illa cujus natura et constrctis
nem supra dedimus in Methodo Tangentuim inversa, ubi prius propor–
tionemtiane dy: dx= a:s redegimus ad hane aerqualititem hy-acx:
:d (rax + XX) et dem constructafuit curva per extensionem curvor parabo–
licae, ut et per quadraturam spatii Hyperbolici. Ut veritas nostrae
splution smogis innoteseat examinabim, en cum solutine fetburtiana con-
vinial, cujus constructio curvaes glevaniuse est talis fig. 4.  sit NCp recta
indefinita horitontatis super qua deserbatur Legarom arica OM B.
njus subtergentialiis con
stans: erigatus applicata CB soblangen tialiae qualis et suntisiime inde quomodo cunue ae qualitus
Cd, (P, fiat et aequalis dimidiae supimae ipplicatarum om, pqi dict
punctum A esse in satenaria videndum am hinc eadem cum nostra duci potest
liqualio diferentialis. sit CB vel subtangens a. BG, X. GA = cd = y
M, Z. Go dx. Ddntea, dy. Erit pe Maturan Logaritinicae Zdy = ad
Et quoniam per constructionem CD = C p erit dM: CB = B: pq ideoque 12=
a aa:) et a dm + pq hoc est per construchiorien d A = aa - 2 2. 7=
=auY. Ergo gy = 243f 2X) aq seu 3 = a +X + se ax +Xx) et
c
B + BC
eqe substituendo valorem in aequa
tine dq = ZdG: a proveniet dx f adq + XX dx: Xpa  + X) = a dy +Xd
d3 = dx a 1+ a tx): Se2Ux + XX) et 
=dus (2a∞ + px): a quae aequatio rducta, quia est eadem cum illa
supra inventa, sequitur, curvam esse eande, duasque onstructiones licet
diversissimas, non tamen darelineam diversam
Dhadem Therria acommodari potest ad ctenarias vel
funicularias compositas quae nempe generanturafunibus maqua-
liter crassis, seu maequalitem gravatis. Affe dugus Casum, ubi
relatio ista est aequatione sthebraicado primibelis et problema adeo per
trauscendentem prim gradus regulariter est solubile, nisi per Algetraiass
(fig. 5) sit Curvelinea ABdE, talis ut applicali GE st reciproce in di–
smidiala ratione abscissae tG, hoc est si AG, S. Geit. dustans a 
eut aequatio  a sH. Concipiatur AG esse funem perflere flexilem
n omnibus suis punctis gravatium secundum ratione differentialim
epplicaturum GH in pacabolaAAS, aut deniue portiunentam curva
Cychoidalis AHI (cuiqus vertex A) ique sgravasus sic suspendi intlligatur, ita
ut sit (Bstuo) omnium infimum, quod fit ubi connexam habudnt
a parte A alium farem ejusdem longitudinis, et in aequalibus
 punctos distantius aequaliter gravatum, quaeritum quam Carvam
funis sit hac suspensine formaturus. sit surva quo sita AEC, AF
AI, X. 1E, y Ii dx. = HE HEdy Curva AE, S. oportet jum
ut gravitas seu pondus aquae quaenitur, vel quod idem est in puorifigum
spatium ABDEG. quod habetur summando tds, id est ds Vae: 5. sic
fuy haec summa, 2as denotat pontys funis. sed pondus hoc est ad
potentiam constantem in A uit sinus anguli LEF ad sinum anguli
ut LF ad LE, ut HE ad HC. hoc est 2 Vaes ad 2a ut ax ad du
vel 4s ad a, ut axdx ad dydus. Vel denique siliteram a, vocemus a
it S ad a ut axax ade dydly. Cutua esgo ea cujus constructionem exhi–
E
duium methodo hangentium inversa probl. ubi proportio
demhanet s:a= dxdo: dydus  in hanc
aequationem diferentialem mustivimus: 
dy y.gaa)= radx
pationemerisitiei

## Folio 17r — 00068089:0033
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 18v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 73 lines, status machine
C9
Rationeme passitiei vel gravaminum funis aut satenae
Inaequalium in praecedentisue consideraonnus tanquam figura jurvi-
lineam planam ad funem in rectum extensum cenaraxem applicatam
cujus figurat quaelibet applicata denotabat gravetnem gravationem
puncti in fune correspondentis. Consideremus ija nunc funem jim
habere suam survaturam et rationem gravam inum determinapi
per figuram quandam planam super applicata (urve funicurariae erectam
cjut figura applieata quaelibet design grivitatem portiunculae indefinte
OHerentim harum duarum Hypolhesum
inelius perciptratur, sicremale opus est pocedenti funis AG considentus est
parvae on fune eor respondertis. Vt
tarquam priga inlineam rectam extensus quae in singulis suns portianentis, ut
Bb C vel BDsuodum cmplicatque, BC funi ABG certam quandam pricurabunt
Curvataram a(), quae diverse est proratione lurva ECF nnturam harumcurvam
determinandi modum tradidimus in praeced. Nunc supponamus fune
ABG (fig. 9) curvitate sua formare curvam ABG cujus vellex vel
A, axis AE, applicata BH, et ipsi parilleta G
super quo tanquam axedata est Curva E CF particulae funis Bb, gravatae
in ratione applicatarum correspondentium, eL, sit AH, X HBvelEL, y
punctum infinum
CL, f. poridus pationis calenae AB ve spatim quod illud exsprimit EtC, P.
prtentias constans in A, aa. Jam in opnibus latenariis ex ad dyuti pondus
satenae AB ad potentiam constante A. hoc est dx: dy = p: aa
proinde p dus = aadx. Et spdus = aqx. Ergo si quadratura spatli innotescal
eF sit transcendens.
Curva ABG saepeent Ge Algetraica et si Curva
exprimi potest adeo ut inde plerumzue
uuc enpm valor ipsius se in porisus
Ec=lecta, et parallela ipsi 
CL, b. oindespatium EtC vel p L = bqs. et paus = bydus. Hujus summatio
v. 9+
sammatio haberi queat Pdy. sit
bgy = ccax vel yy = 2a aX i b. quod oestendit curva ABG esse parabolam
ujus parameter 2 a taa: b sit nunc ECF linea recta angulum faciens in
cum linea EG. ratio Et ad Ca ut a ad b. proinde CL, by: a spatium EL C, b
=p. ideoque pdy = byy dys: 2a. Hujus summatio by: 6a= aax
adeaque Curva ABG est parabola Cubicalis prima cujus pa ameter a 16a:b
siGCF sit narabola ejusque parmeter b; proinde curva CL, ibus et
bgG. 2a
patium ECL = ZyVbis rerit pau =2 y dysbq sed summatio
yyibus = aax vel terc bys= aXx. seu curva ABG est species parabo-
locidum pari modo ostenditur quod si Et G sit complenentum vel
tranguli vel semiparabolae communis, vel semi parabolae cubicalis
primae ete quod curva funicularia ABG osit vel paro bola cubicalis,
exsente
vel biquadratica vel surdesolidalis etc. Si
punc viceversa notura curvae funiculariae dala quaeratur
nivai ECF seu si ciorva funis praescriptam Cavam formare debeat
graeritur in quarativo sit gravandus, ut erius AH, X. HBvel EL y. CL, t
satium ELC p. posentia constans in A aa aequatio pay, = aa dx
quia nuncquortitur CL, erit p= aadx: dus. et ap vel +pdy L
flus = dd(aadx: dy) et F = d (aa dx: dy): dy Ex quo con-
cludendum quod quotiescunque satenaria ABG, est G
jam quia
dari in
Eclex Algebraica curva ECF est etiam ilgebrnica. I
t definitis quantitatibus pronde d saa ax: dy) erit simplex differentiale
quod divisum per dus dabil iterum quant tatem definitam. sit ex. gr
ABG parabila, paradetter ejus _ a. proine X = yy: a et ax= rydy: a
Ergo aady: dy = ray et  adx: dy) = = ady preinde dlaa dx: dy): dy
= ra =+ seu CL. Et ideo ECF est linea rcta, paralleaipsi EG. sic itaque
quod antea supposuimus, nunc per suppositionem inversem invenimus sit
ABC. Circulus arius centium E radiusAE vel EBia erit AH vel X = a - Nsaa -yy)
et dx = yay: Naa -gy) Ergo aadx: dus = aaqe ffaa -XX) ejus differentiale
dat dividendi per du prodit a illa argu raa )) a: aa - yyt(aa -y)
= + seu CL. Hine si y =a, s id est si Bcadat in G, er it t vel CL
nisinita ideo pondusculam particulae syb infinities majus esse debet, qam
illiquarum ponduscula. Hinc evenit, ut directio primae particulae sit N
verjicalis tangens cium in B parallela est Axi EA. Ner difficilior est
solutiosse gravamina particularum funis sint in ratione applicatario
lire spuicidentum figurae ad axem Apposia. sit enim curva quodaffig. 10
funicularia ABG tnus surctam infinim A, apis AE, suliuloembas bb

## Folio 17v — 00068089:0034
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 18r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068089/jpgs/default/00000034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 37 lines, status machine
sporantur instatione applicatarum vel potus parallelogmnorum
662 respondentum (h. figurae ACF ad exempositoe sentin
maecedentibus AH, X. A, B, y. M, F. spatium AHC (Quod pondis desirnat
scatena Ast B potentia constans in infimo puncto  A, aa au
evic ut do ad dy atus pondus catena ad aa erit pdy= andx et
as
y = aa (ax: p. si ACF recta et parallela Axi AE erit p = ax
et fit aadx: p = adx: X = du vel adx = Xdus quod ostendit
miva Oalenariam ABG esse requi thinicam cujus sublangentiralis
 nunc ACF linea rrectum angulum
facient in A, cum laxe AE, ratio AH ad He, ut a ad b proinde
sit a
1 C- bX: a. spatium AHC = IXx: a = p ideo aa ax+p =
203 dx: xX cujus summatio 24d: bx =y quod indicet
curvam nam Catenaria ABC, ese (frg. 11) esse Hyper
volam, sed ab altera parte positam ob quantitatem regativam
v quod scuper accidet, quolies, grre e ACF vertex est in A
curva enim aBG, una ex hyperbolaeidibus eut, sed ex anverso
ta uno est vertitalis, altera vero laorr fontatis
Cum autem aCF est ex Huperbolicarum Genere (rit atenaria
ABG curva cuius vertex in A. si ex. gr. _ eF est tali ut CH vel bsit
aa: Vax erit spatium a CHA vel p = 2a tax. proinde aa ap: p =
adx: 2Vax ejusque summatio, tax =y. inde iprva funitularia hoc easu est
narabola ABG cujus parameter a Problematis inversi solitio etiam
nullo negotie habetur si nempe ex cognita natune funicularia ABG
inveniendasit curva. _X CF. Nam quia p = aadx idus eorumque
= aa )(dx :dy): dx, ex
afferentia ap seu tax = aa dxidus ideo
quo itidem patet, quod existente ABG otgebraica, curva XCF etiam sittalis
Cixur. ABE parabo param. a, Erguu Tax et ius = adx . dax
ergo aacxidu= ratax ejusque diff aaax: sax: quae diorsa
ut ante
sit ABe 
per dx dat aa: Vax = f = CH
circulus radius  a. y =  ap x et dy= adx - fox, : ax A
Cut aadx: dy = aa 1 (2aX XX): a - x et ad dx: dy = cx
Qu. (( -X) Ea X - XX) proinde + seu HC = a .  (a - X) iux axx)

## Folio 18r — 00068089:0035
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17v); this page is its right half.
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio 18v — 00068089:0036
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).