# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/60516/text
# Catalogue record: 60516 — De quadraturis omnium figurarum inprimis rationalium
# Incipit: In Trilineo ∫xdy + ∫ydx aeqv xy
# Date: 1681-06
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=60516&katnr=57111
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 184–187 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 184-187): 8 pages, canvases 363–370, page ids 00068196:0363 to 00068196:0370
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=363
# Lines: 603 recognised on 8 of 8 pages, mean confidence 0.83
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 184r — 00068196:0363
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 185v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000363.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
 dx aqu
 aequ
De Quadraturis omnium figuramm rationatium
per circulam et Hypelbolam adde dimentionet curvaesam
xdu  Sydx aequ Xy
Nam d Xy aequ X dy + y dx
quia X +dX. yrdus = Xy aequ d.xy posito
quod crescentibus X. crescant et y. Sed si crescente uno
alterum decipscat Tunc quando scribitur ex pro uno scribendum
est -dy. vel contra.
2x x dXy aequi
 CgX. y f 9.  Ergo + S a lu 4+ se  aqu. 
eu dato d datur sd et contra
X y aqu X dy + 29X s. Ergo s X sy 4 asyx.  aequ Xy
. exKydy + AsyyX x aqu XXyy
Et
(X dy + 3 6Xyax aequ. X’y.
sit X aequ Xy + ay scribi potent X sy aequ X gaus 4 a yt du
x aequ
ax hxyt -yyx ex +: Axxyy
3Xdx aequex dy 1. Xy G 1 ag y Ergo 3 Xydx aq u Lu Xy ly 1  + 2X dy +2 Xy dy
XLX
X xy
a
2Xcus
Ergo 37dx aequ 3 Ay au + 2x dex f. - 2 Xy. X + s +29 9
Ergo ex data quadratur assaguaae datur:  3   y  xy d
(1
a + bx + cy + d XX + eyyt, fxy +g Aet h_ + R Xy+ lXy + MX ny +p X stquy +YKy eq.
unde fci: b x + cdus f 2d Xdx +2C ydy+ fXdus + 39 X sxt3hitus + KX du El Xytus ra m d  , 1 p du   t Ertisdus 2p
sdivedet
+ fydx
tqu teruguto
x et pro dy scribendo seu pro d
+2Hrydy + lyy dx
seu dividendo per x e pro x scribendo. V. fici:
b + cv + 2dx + 2e yv + f xv + 39 X +3hy v + KX v + El xy v +4mX +  g C t3gxyr   
x+ 9 +erxyy
+2K XIs + l yy restabunt X et x. in aequat.)
epe harum duarum aequationum, tolatr 1. et 3. tonatur
vitur regnula
y: restabunt X. et V
deer data initur curva cujus fi aequatio explicata sit per ordinatam a
jam
natura
et abscissam comp aequationem inter abscissam Xe et ordinatam v. comparetur
aequatio data 5 cum arbitraria 4. quae comparatio si non succedit impossibile est
cuvam,
eofiguram curvilineam datam habere algebraicam quadratricem.
s sed ut per partes eamus, quaeramus primum curvas rationales quadraboles.
est autem corvae ratiovalis quadratri, etiam ratio nalis
X
+
 X aqu. Z X  Ergo ZS_ X sx aqu. X
H Habetur autem quadratura omnium figurarum per aequatio valores rationales
integros explicatarum
ut R. a + bX + CXX + dX etc. Erit suum quadratrix
y aequ ax + b XX + CXY + d X etc.
Habetur et quadratura omnium figurarum
v aequ x vel X vel X vel X etc. vel
215 1
5
 vel L. vel  etc. quorum summae:
put 106
simplicium rationalium denita
1
ubi nota L esse aream spati
ex Hyperbolni
infiniti
X
in Tilimeo

## Folio 184v — 00068196:0364
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 185r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000364.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 106 lines, status machine
XX q. X3. Pationales integne
n aequ. x.
v aqu
v aequ
XX
X3
Y nyo ox
Veniamus ad irrationales simplices integras: 
v aequ. TX 
SXx
x
Ix
VEx
Ex
YX. eu.
Vxx iu
es
ete
y aequ. 2
2Y X
fYX
3 x
dix
X.
XX
V aequ
ti V aequ X Et y aequ. X
XI
esx
X
ye
s
eia
vaqu. B Ix
LYX
XHC
ad
3 Sx
2st
X
Yx
ri
Habemus Ergo. Q vadraturas omnium
simplices explicabilium.
Curra Figurarum per aequationes
deniamus ad compositas:
Et quidem incipiamus a rationalibus: sit;
ec Primum manifestum est b
x  s
V aequ
1- X revocari ad 
X
a+ bX
ponendo Zaequbx
Equidem manifestium est  vel 1 permissum enim est  mdicem indeterminatam
tox
A - XX
x argere vel minuere quantitate constante a, itemue
eam multiplicare per constantem, ut b. eadem manente figura quadrabili
1 -X
 manifestum est omnes rationales habentes numeratorem indeterminatum
racta
valores
reduci posse ad eas alios fractos habentes numeratorem constantem,
etoem primi frad
ex. g. sit s
ergo fiet:
x multiplicetur per b fiet a +bk
afbx a+bx
X
a+ bx q seu 1. Ergo
a + bx
seu bx aequ. 1- a
a + bx
de
a + bX
7b
similiter XX reducetur ad X et per hanc ad 
a+b
aequ. 1. seu P x aego  adtm
a + bX
 Ergo quant redacta est 6X ad _ a, quae habet
a + bX
numeratorem constantem.
a+ bx
a +bx
Nam
X a + bX
bb XX  + 2ab X + aa aequ a + bX
a + bx
a + bx
a + bX
a + bX
idem est etsi ad cubum assurgamus. Idem etiam ests
quicunque. Et si sit compositus numerator
etsi nominator sit alius
X X + Cx resolvetur in simplices
ea reduci potert ad proxime inferiorem gadum, faciendo Xaequ q + (R
a + bX + XX
het:
Z+_R equ. Ponendo ae R + b R + a aequ. 0.
+ WRZ + RR
 b Z + bd
x
a + bx. sed quid sit si sit:
qui singuli separatim resolventur modo dicto.

## Folio 185r — 00068196:0365
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 184v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000365.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
primo valores
Sufficit ergo ut eos consi deremus rationales ordinataum
Curvarum quadrandarum, in quibus solus nominator est
indeterminatus, ut
a+bX+CxY F AX
erc
a+ bx a+ bx+DXX
sumamus primum aquo jam divisores ipsius a+ bx + XX seu radices sunt
a + bx + XXX
X + b + ist -a.
et X + b - Y.
seu per compendium X + 1R et X+2R. .. fiet ergo
aequ
a+bX+ XY
aequ. v. am Ergo V X+IR aequ -
XFIR. XtZR.
S
X+ZR
et v XtrK aeqo R
 IR - 2R V aequ. -
et Ergo 
Habemus ergo.
1
R- 2R aequ.
a + bX +XX
X+2R, X+1R
X+2R X+ 1k
Cumque  R et ER sint quantitates constantes, habenius omnes Curvas
rationales quarum denominator est formula secundi gradus, reductas
ad eas quarum formula est primi casu, excepto casu, quanto
1R vel 2R est quantitas impossibilis seu imagnaria, sive quando
a est majus quam B a est quantitas positiva major quam . tunc
positiva
enim Yb-a est quantitas impossibilis. Excipitur etiam casus.
quando 1R et 2R sunt aequales. Sed eo casu jam aliunde habemus
quadraturam, et quidem absolutam, est, enim valor rationa
Hinc patet cum semper pendeat
a quadratura Hyperbolae hinc omnes curvas rationales simpti
lunc valor simplex.
valores ordinatarum rationales quorum nominator est secundi
gradus, et habet radices possibiles reduci posse ad quadraturam
Hyperbolae. Caeteri  qui radices possibiles non habent
valores
possunt solo indeterminatae augmento vel diminutione multiplicatione
et divisione per constantem reduci ad hunc , qui pendet ex
1+, X X
me est osteusum
Itaque
omnes hujusmodi valores erationales secundi gradus vel absolute
(1
nominatori
vel ex supposita circuli aut Hyperbolae quadratura quadrari
possunt.
aequ v. Et ponatur formula nominator produci
posse ex duabus formulis in se invicem
si sit a+bxtcax
ductis: l+ mX+ BXX et 1R + (X. Erit v aequ IEmXHH. IR+ X
 et V Hma tXx aequ
IR+X
fier.  IREx aequ
l+mx +XX
lam XLX IR+X 1 +mX+ XV
Ergo: Ergo XX + m X + q aequ, f
Sed Quia hoc modo  XX _ et X non evanescunt in nu-
a + bx + CxX + X
meratore, utendum esset tribus radicibus sigillatim, ut
supra duobus et haberentur tres formulae, duaeque arbitrariae
multiplicantes duas ex formulis tertiae addendis, quarum ope
tolli peit psent na a t.
Hinc patet eiam etiam

## Folio 185v — 00068196:0366
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 184r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000366.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
si
quandocunque nominatoris formula habet omnes radics
possibiles, semper curvam quadrari posse vel absolute
vel ex supposita quad ratura Hyperbolae sed quoniam
hroc modo non semper entatur nominator Resolvi enim poterit  realor
alioqui
in tolidem valores habentes nomnatorem simplicis gradus, ubi
nihil refert quid sit in eorum numeratore, mod o omnia sint
rationalia.
Video tamen et in aliis remedium
succurere. Resumamus D aequ.
faci summmus V C, A+x aequ.
Ergo
a + bx + CXX + X C
1R+ X.
A(+ mX +XX
X + 1 R multiplicemus per X + f fiet X + fX + 1Rf
Hinc v f aequ.  f + X
l+mX+ XX
vD aequ. B.
IR + X
0
aequ
iRtx. Umxtx
seu Oaego D. X+  D
V tamatex aequ
t (4) +2. 1R + R ( XX - mx - C
act bx t CXX + X
+. A X
IR+X
1R+x
lAmXIXK R+X
PP- D aegut XX + fX + 1Af
+IAX
= XX - mX - l
fiat f aequ. im = 1R. et habemus.  & - D aequ 1Rm - 1R - l aeque m - iR+X 1
.a + bX+CXX +X ltmXEXX IRtX
balorem denominatoris cationalis cubici ad interiorem
e
reduxamus ergo ad inferiorem
Cumque in aequatione Cubica qualibet sit una semper radio possibilis
manifestum est. Cubicam semper reduci posse  semper procedere hanc reductionem.
Ladem methodus etiam in altioribus adhibero potest.
Quodsi
Si sic aequi q phominator valoris sit formula quadrato- quadratica
 eaque habeat radicem possibilem vel unicam, semper
reduci poterit ad gradum proxime inferiorem.
si vero omnes
habeat radices impossibiles, tunc saltem dividi poterit per duas. formulas
possibiles.
Verum tunc non tolleturindeterminata
verum quia per superiora omnis formula
in qua est numerator in nominatore deprimi potest, ad proxime
ex numeratore.
inferiorem, saltem adhibita imaginaria. Ut diximus sub finem
paginae ante- praecedentis, hinc Nihil id quidem refert
Si aeu formula sit quinti gradus necessario unam habet radicem possibilem
Si formuta sit sexti gradus
Superest jam ut investigetur quaemodo figurae eatio irrationales
revocentur ad totationales aequipollentes.
a X + bxy + Cy + d  0. est aequatio ad quadrabilem, quascribatur jam lx +  aequ.
+e aequ.
lX + m y + n aequ. X. et tollendo X prodibit aequatio:
it + gln Z9 + 2li Z + X yy + 2nn. y +nn ) aequ. 0. quae formula conferenda
+bl Zy
Abmyy +bny 
sit a + by ex y  e
+ dlZ
+cy
dl
+dmy +dn
cum data selundi gradus
Rradicis extia quadraticae extractio ex qualibet formuem integra, ut Y a + bcaa ad etC aequ. y.
scribatur X aequ l+ n Z +erc
p + 9Z12
etc
eoque valore substituto, pro X, ascendetur ad 7. Imo faciendo
Nut denominator sit quadratus ascendetur ad 912. Comparandus
quadrato, quod quadratum fingatur etiam, a formula sexti
gradus, in qua cum saut Z arbitrariae ea his sex additae dabunt
alieus ad fercle atem opemnde sunt chum serimr

## Folio 186r — 00068196:0367
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 187v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000367.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
Inquirenda est Methodus reducendi crFiguras
Curvilineas irrationales ad rationales. Et quidem videndum primo
lu
est an id. fieri queat per transformationem
(1)
interxery
sit a g5 b x a+ bx tcy +d ∞ + Cyy +fay aequ 0. aequalio adcurvam
curvae,
 invenienda est curva rationalis, huic Romometra, id est ita ut unique data
dimensione detur dimensio alterius.
S+ . Quaeritur Sydx aequ. 9. quaesito
Fingatur nova aequalio Assumaatur duae nova incogi indeterminata Z. 
fingaturque
affq aequatiol quaecunque inter X et Z. quae sit aequ. (3.) Ope
aequationis, 43. habebitur X aequ  dq et (iet quaeotur
fier: 90dq aqu g.
habebitur aequs inter
Jam oste aequ. 1. et 2. tollatur X. fir
sumatur aequ Assumaturque
1 et 3. lumatur
Potru
ratuo yO
 aequatio harbitraria
e vig
inter V  co et V. incipiendo per simplicem, ut araego v. vel nnaego v+q
et ope aequ. 5 et b. sublata y habebitur aequatio (7) inter Z et v.
quae si est rationalis, habetur quaesitum seu si v aequ. quantilatiti
reck
cju ubi Z non ingreditur in irrationalem, habetur quaesitum. Quia habetur vazue
vt aequ. y0 dque et O dZ aequ dx. Ergo Y dZ aequ. y dx.
ergo
ue
(7
Y dx aaequ 9.  Qodsi res non succedit facile
frossumus quaerere Vq aequ. hy x  K x dus aequationem inter vet y dx modo V sit
ratio aalio per 7
Ergo
V d aequ.
Aliter ex aequi 1. haberi potest aequalio () iater et inter d r
inter di
dy. Xs ya Quaeit Ulnde
dx
fici: Y de aequ dus  eritque D composita ex X. 3. eritque _)
scilicet
valor ipsius + seu ha
vel D + D aquxdus
Fingatur aeq jam aequatio quaecunq y et B et novam
indefinitam assumtam co, vel s A quia datur B per X et y.
ope aequ. g ideo ex aequ. 10 tollatur . quod restabit X et y elo in aequ (11)
tollatur et y per aequ. l. restabint salum X et _. quae sit rationalis
ope aabimmiarum in aequo in sae qu. (12) debetus in ea valar ipsius co.
(107
Ex aequ 1. fieri potest. XC XD - Z aequ. 0. et vonis modis seu Xaego D
2
assumi possunt D et  et variis modis assumi possunt D et e.
Sidiliter ex aqu. 9 sumatur D aequ. . ubitu et quam 8
Et quidem etiam variis modis
varis modis per explicari possunt per X et y.
prout in ipsis loco X. substitui potest 
sumamus ergo duos
C. 214
valores ipsius D. unum d aeqo   alterum  aequ
(1) l+ mZ +xZZ erc
vago
sit data inter X et y
rationalis
Sit antitiaue aeuntu r sZ + + Z2 eti
sit aequatio (1 data inter X et y. quaesita  ratione inter ver Z. ubi V ratialis
esic ut Z non ingrediatur requationem incu vinculum datur equatio inter v et X.
Quod si aequatio) hoc modo non fiat rationalis, sumamus loco aequationis
6 altiam quamcunque inter y ) quam vocabimus W. et inter V. hujusmodi:
y B+ _ L + bx + CxrCC q dX 
9+ Yx + fxxer C Ataqgente
productae tangentis
est autem Dae
Est autem valor ipsius  seu ipsius X a n difficilis facilis inne
xdata aequatibne. Et ita p his assumtis praetabimus quicqud truusformando fici pore
pure habet
Est autem valor

## Folio 186v — 00068196:0368
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 187r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000368.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 83 lines, status machine
Geueralissime:
quod eodem redit..  si scriberemus:
fy dae + g, X dys +
ere
Sit data aequatio (1) inter X et y.
Scribamus arbitrariam Z ap. Sdx + g Xdus + h+ lx + dx + P  td
C cuau
m+ pX + 4
ete
Ex aequ. 1. datur aequatio (3.) inter de.   X. y. dy
ex
+syret +
Exae. Assumetur aequatio  inter . y. Z.  vel quod eodem redit inter X et Z
Inde fiet aequatio (5) qua habebitur   dZ quibus substitutis
x
in aequ. 2. sublata erunts  dque dx. dus, et fiet aequ.  (6)
ubi huabetur V pure et rationaliter per X. y. g. Denique ex aequ. 6
tollantur literae X. V. ope aequationum 1 et 4. Habebitur
aequ(7) in qua quae erit quaesita si v non ascendat ultra
Quadrat Simplicem valorem.
Quoniani autem hoc semper haud dubie procedet, ob duplices
arbitrarias, videndum saltem, quomodo id prestetur compendiose
Est et alia via sine Transformatione per additiones
rationalitr
ordinatarum: Datur quadratura figurae cujus aequatio est X Abxtequ
itemque fid X + b X + Cxy+ dy + C aequ. 0.
OnQuia enim omnes figurae Rationales quadrati possunt vel
absolutae vel ex data circuli et Hyperbolae quadratura. Hinc
+ KX
datur quadratura figurae, cujus aequatio est axx bxytexeus + f aqu. o
cujus aequatio
Datur et quadratura figurae
27+ h77 +1Z + my t n aequ. 0.
Sit jauss. 93y + hyZ +- Cx + i Z + n aequ. 0.
Fiat jam py + QB aequ.  Z
per aequ. 1. est
y aequ axx + Cx + F
(b X - e
In aequ. 2 substituatur valor ipsius Z ex aequ. 3.
frei +gyy + hqyo + l’y + mgv +n aequ. 0.
aX
py
mpus
+hgry
liqu exaequr. fier:
+per
29 ac X + 2g af X + 2gcf X +
Ehp..
2hp
+g c+.
+lip
2 hp
+hp
 12 Pabx +a exxHC
Inip
+higr
bc
+lt.
2beX+C
bx+ x +
adequ n
sbtticex
+qm V +B
+mt
+ qub vx + qmibexvt qme v +rbXk tu ibex n
 
f
a XX+C
bx+ e
taexx+tex et
+ab Hb5 X +b5.
in4V + n
bx + e
Im B+n
+gA XXB
abX + a e XX + CL X + e)
+ bc. fb5
53
+
toia
ubi ut tollamus X: X.
taciemus +g +hp aequ. 0
e a ab aequa et siet.

## Folio 187r — 00068196:0369
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 186v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000369.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Est et alia s via Transformandi per additiones ordinatarum
sit figura curvilinea cujus aequatio: y sequ a XX+ bx + C
_3XX + ex + f
Et alia cujus aequatio: gy7 + GZ + C2y + my + n aqu. 0
sin
assumentur h7 aequ p3 + qu fY. quo valore esubstituto in aequ. 2.
fiet: +g yy + 9yp + ry A+ mqu + nir aqu. 0.
Ap.
+ +
xh
compendii, causa ponatur 9Xp aequ. 0. et in aequ. 4 evanescet yy.
cemp et: r + l + nip uodetur s et m r + n vodetur +.
et ex aequ 4. fiet: qyY + sy m 9 v + + aequ. 0.
et pro y ponendo vatorem ex aequ. 1. fiet:
+ ga XXV + qb XV + qdD + S’ a XxX + sb x + sC
+ ngd xxV + nq e xV + nq flv + td Xx + Fe X +t
(10)
ubi ut tyllatur xv tantum faciemus: a aequ. - nd.
Tollatur et  si faciamus e aequu-
sit X ago b y
sit rq acqz.b
h
Mit
Tullel e ee
(Z aqu. Exxrdx  e denque: lx + nvx tnoaput quue
Fxx +gX + si
substituendo:  valorem ipsius V ex aequ. 1. substatuendo in aequ. 3. fiet:
(4)
a + tubzs y +lbb yy + mazx + mb yX + na Z + nby = pX + 4 aqu. 0
ponamus nunc C et f aequ. o item  et pr. habetimius:
et loco aequ. 4. fier: 1aa 22 +2 lab Zy + l bb gy + matz x + mb yx aq  + q aequ.
multiplicetur et Z aequ
Vr
detaticxtee
Ergo lac d’ex+ d ext e +
+dXX +Ch
rr
Et Daego
0 d x + C. ((axr q d XX+ INCX + e    reglinahit
D b. 9X + sit
et  (l aa a) laa 
 lab y +m a x OD + Lbyy amo m 7
rr
Ir
nig
PDaequ. axte YI
+h
terminus=
+ egt

## Folio 187v — 00068196:0370
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 186r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000370.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Omnes Curvae simplices sunt quadrabiles. t) vel absolute vel
Omnes curvae rationales sunt quadrabiles
per Ccirculum et. fulsum fore
sit: Ita aequ b +X  aqu. 0. sit y aequd Z + B+ fco
5. aequ, aZ2 + 2de ZV + 2 df Z Co + ee vn + refrco + ff coco
ay aequ a
d’aequ Ya
Hyplibola
adque + aev+ at c
Za a aequ x sit V + Z aqu. y. fieta
fiet y - 22y +Z2 aequ x a. et quia q aequ x+ a. fiet:
fet yy = 2xy + 2 ay + X +Dra + ad aequ (Xa). seu yy + ray + XX + Xa +aa aequ 2Xy
quae est ad parabilam.
v+ Z aequ. y.
substituatur fiei:
9 aequ L + ad
X aequ x’y + ay
X eqo XV + XZ + a v F avZ + aZ.. Divitatur aequalio haec in duas:
X’ aqu. X V + a v et
Zaequ. x 1m 8. Fyaqu. S0 + tZ. fist: y aequ.+ Sbx+ SC
_ vaequbxti
v y  +X y + X aequi X + X. Ergo y aequa Y X + a
qa
quaeretur ergo tantum
4a
40
X + y aequ a. Ergo  XAX a d s dy aequ. 0
 x quaritur. sit : X y+byR F Ci+ dE+ e
+p+m
ax aeq y aequ Tax X anqu. Z. Ergo y dx aequ R
y aequ abta X+X sit X aequ
ia
Z ago X YX + X2 posito y aequ Z - 
a
Y aequ  a- x Y x rgo X. 
e fii
Yago S+ 87+ 
b
+cZ+ 4 6
a
182
bgobaez AZ
excestZ
ut vero quadatis (V + 5D + O fiat extrahibilis,  considerandum est eam habere arbi-
trarias : b. c. d. e. f. et comparandam esse cum quadrato ipsius g 4 hxet KXX+ lae ubi
rursus arbitrariae quatuor; summa novem, la quibus si auferas duas velut utrobique superflune
rostabunt arbitrariae septem, quae  sufficient profiduabus formulis septem terminorum
haud dubie comparandis. Nec dubium est rem in altioribus, eodem modo sed quid si
plures cirationales simul rationates reddi debeant, ut si sit yago itXx+ +
+s bxx +x +X. sic agi poterit primum fiat Xe aequ b+ CZ+  +diZ, ut quemud
e+ 2esZ+ f2Z
modum dictum est, fiat 96+O25 O exhahibilis. Jam rursus _fiat Z aequ. l+ in v+ nvi pp
q +r v+s v4tv
idque subsistulitur in valore ipsius X loco ipsius Z. ut ope harum novarum arbitarum fiat
etiam quantitas. Na +bXX + Cx+ extrahibilis. abispatet etsi necessarium fuerit
niminatorem valoris ipsius x esse quadrutum, tamen non necesse est nominaiorem
valoris ipsius Z esse quadratum adeoque plares. Et puto sufficere: Z aequ l+ mv
imo vndeo non sufficere, ett allioem ut Z aequ Camo + nod ad huc imna
gtretsor
g+rn
x p ....
aego Xx+Cxaeq
e + retZ+ s) 2Z seu Xajo 
et curva ABC erit pa