# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/60530/text
# Catalogue record: 60530 — De reductione Transcendentium inversarum ad quadraturas et quidem maxime rationales
# Incipit: Quaeritur dx : dy = a : b
# Date: 1690-07
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=60530&katnr=57126
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 315–316 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 315-316): 4 pages, canvases 625–628, page ids 00068196:0625 to 00068196:0628
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=625
# Lines: 219 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.86
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 315r — 00068196:0625
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 316v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000625.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 83 lines, status machine
Niculhic promolum, cicet elogantia
latio
relationum
jul. 1690.
C1)
de reductione gruscenden tum
 centavi
had et quidem ho maxiur, radale
uaeritur desex dp. dy = a: b posito a et b dari per x et y. eteueu
 praeserbim formatione integra rationali. Saetee
C2)26,
quonitur d dv. b. b + dZ. 2: E + deo. cd:   (et).
nempe ut omnia reducantur ad quadraturas rationales, posito V, Z, Co, dari perky,
et d et significare formationes integrat rationales. Fiede   porro
vocemus d quicquid in de i multiplicatur per dx, et Y, quicquid in dv multi–
plicatur per dy. fietque du 2 av ex + dv dy et dq= dZ ax + d7 dys
et do deo dx + dc dy. Quibus substitutis in aeg. 2. et ordinando
sublabisque nominatoribus fiet: de VZco + +Z v ZAcorqe co dus PeB
velzvel co sit
Av V S+ ZV5+ codx e a
si jam V (simples rationalis primi gradus, ut _ 30X + 40yt 31, tunc do Lx, dZ, Z, deo, Dco
non continebunt neque X neque y. Et si formationes per 3, 4, 5, 6,7, 8, etiam sint simplices tantum.
ita ut verbi gratia sit V = 100b + 101, et similiter de caeteris. videamus quot habeamus
arbitrarias. Sit verb. g. B:  = 100V + 101 ; 11OD + 11I sunt arbitrariae tres; tausus
s quasi omissa esset 110. si placet seu quasi esset B:  = 108 + 101,, v + 111; ubi si
mo v substitngum valorem s: 30X + 40y+ 31 fiet B3. G - 100. 30 X + 100 40y + 100.3] HOC: ZoprreyF SI
uti prsus patet literam unam artitrariarum esse inutileus, nec plus libertatis esse
quam sa faciamus 31 = 0, quia in AV vel V non accunit, et hic non proficit
itaque quaevis litera ut v exhibet 5 arbitrarias. Sit numerus liferarum n erunt
arbitrariae 5n, gradus vero ad quem ascendit flatus dem sinestrum
aequationis 7 per X, y explicatum,  in numeratore vel nominatore est
gradus n. (ut hoc loco gradus 3tii ob tres citeras v, Z co, et ascendit formula
numeralois vel nominatoris ad Xh, y, XY, Xst, X, y, et.) porro dato gradu
datur numenis ferminorum, et oque gradis  et semper gradus n habet 
membra seu terminos, n+I, n+ 2, : 2
sannamus jam -b: a habere in numeratore
vel nominatore gradu, et instituta multiplicatione per cucem exaeq. 7.
Sin- 6(n - 3
2
18
fieri formulam gradusu n+qu, adeoque termini fent n + q+1, n+G+2, V
itaque ut sufficiant arbitraria ad comparationem, debel esse n+q+1, ntqu+ 2: V
non mai quam 5n ut seu quatio facta per ctucem ex, 7 possit
190
se identica, ergo n +2 + 3n +34+ 2nq + n+ q nonmaj. 10n, seu
9q + 2n 4 (t ann non maj 10n + ann +lent 9 - aun  -1n - 8
144 4 24 non maj.
+1En
4) seu q +E + 312 non maj 2140n F, seu
(40n + = 2n - 3. Ergo n debet esse tatis, ut
132104 sit 40 n (D p 4 1 + en 1 9 seu c0 An p anu + 8, seu inpuntr
34 tes sed si sit nn 7n +2 =0 fit n n Zn + 49: q = 49: 4 - 2. seu
104  n = F. L 7: 1 + s41:2 Unde patet n, numerum rationalem integrum
non posse esse majorem quam 6, cm revera ut q fiat
integer  debet esse n non major quam 3, nam ita fit
sed video revera nunquam effici posse ut q fiat integer
ut adeoque ut hac methodo generaliter solvatur aliqui
aequalio qualis est 1 nam posita n - 3, et 4 = 1.
fit n+ 4+I, n+ q+2, :2 = 5n = 15
nam  311+C, 3+1+2 52 = 5,6,:2 = 15
ubi patet posita n = 3 fieri a =
fiarior E
ric
quam ea-
seu fractio
vel etiam minor quam 3. tunc fil 4. Uninox quam 1
media inter o et 1 Si vero n sit 2 et sane patet
n+ 4+1, n+ 4+2: 2 esse = 5n  = 15 posita g= 1 et n = 3
Sin ponamus n = 2, fit 4on + 1 = 81, cujus latus est q unde detrahendo 2n + 3 fe
seu 4+3 seu 7, restat 2 = 29 et fit rujus 9-1. Ergo sufficit du
safficiunt dua affumtitia q. et Z et sane n + 9+1, nt gthl: 2 = en
L10, posito In = 2 et g- l1 sit enim 2+1+1, 2+. 1+2,: 2, = 4. 5: 2 = 10
itaque hinc discimus sufficere. duos  duas v et Z ad resolvendam
unis gradus formam seu si sit
dx: dy E, x LX Cx + ∞G +f,: 9y + hy+l
2 hon 40y 43
205 (4
a
96 160 13
34
161 13
1
 1n

## Folio 315v — 00068196:0626
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 316r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000626.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
Et idem est  scripsissemus ab initio
dx: dy=  ext ey+f: gxethyet
inde secissemus  et dx: dy =  sta in ient royen F tot BOXF
(2) 10o WoX +2OyFII. 10X+ 60y + 51 + 1200.50X +40y + 5], 70X +80y +71
1100 iox troyLI 5OX +6OyISI + 100 30X +40y +3) 70x + 80y+7)
ita enim semper res execari pb ad ao F; d + de B s= 0
nosito v et Z smulicissie formari ex X, et y, alemque 3, et 4, et s6 signi-
ficare simplieissimas formationes.
Quim et modo v et Z et co, etc ponantur esse formulae.
sui, rationales integea smplvissimae ex X et y nempe non
solum sine  purditate et fractione, sed et sine potentiab
ipsa S X et, y includento, modve deende iicebit deinde
ipsas re formationes (3 4, (5 sb intligere rationales integras
altiores. Et tunc rv, av etc semper sunt.
non g nec X nec u continent. Unde ex aeq. 7. superoris
paginae at initoo patet prodiret feuutam qualis
verb. 1
y
1000 10XX + Eyy+ 1OXy + 11X +21y + 122 in aliam sim + 200 in aliam sum alisim
1100 ut supra stat . . . . . . . . . +1200 ut sugunstat
..
porro, pro assuntis
idemus esse si plures sunt combinandae
pluribus formatis literis, ut ut V, Z, co, toties habebimus arbitrarias
ut 10 20, 120, 11, 21, 122, numero, (,3 pro num ob 
ob 10 v.V + 11 V + C2: 20vV + 21V + 22 numero quinque, nam
una non proficil, et misus quia y B v =  30X + 41 y + 31
habeemus rursus duas quia una non proficilu et ita habemus 7 artituias
seu arbitrariae sunt 7n, sed gradus f est  numeri 2n
ergo te termini podeunt 2n +1, En +2, 2 seu an +1, n+Y
qui non debert excedere yn si jam a: b contineat terninm
ascendat ad gradum q multiplicando per  ccem ascendetur
ad gradum 2n +4, et termini in hoc gradu sunt intq+1, 2ntq+. 2;2
et debe 4 qui numerus non debet esse major 7n ponamus
9= 2 A eti videans an liceat efficere ut, 2n +3, 2n + 4,: 2
seu 21+3, net non sit mgor quam 7n, seu  rnn +7n +6 non sit major 7n
sed hoc est impossibile. Et multo magis res erit impossibilis
Si veliuu numeros A(3, 4, (5, (6) Cc. significare
si sit qu
firmulam rationalem integram tertii gradus seu 10V3 + 1V + 12V
+13: ,20Y3 + 21V + 22 habebiuus hinc literas arbitrarias 7
cui accedent deinde duae, ex valore ipsius Y, = 30X + 40Y +3)
fient 7 +2 s=9 arbitianae et generaliter, pra e si gradus
ipsarum (3, +, cu sit e, erunt arbitrarie  2e+1
5 20V3 +U V el: 208 en. et 2, ob y = 30x + 40y+ 3, etc
ergo in summa arbitraria sunt 2C +3, quod repetitur quot
per per numeum loties quot sunt literae, v Z, etc. Ergo
qui numerus fit nobis est n, ergo sunt in summa arbitraria 2et3n
quamdia scil: V, non fr nisi simplicissime refertur ad x, 7
Ergo debet en +4+ 1, en t 4+2,: 2 non esse major quam 20 +3n
sit ergo g=2 quaramus e, et n sufficientes, si possibile est, fiet
quae  debet
+24 + 2 esse non mojar quam 2en + 31
=eenn +7en + 125.
eenu de+ requ+9q+4
+
+2en
ee nn +7 en + 12 quo formula debet esse non majs. quam 2ent3n
adeoque eenn +5en + 12 debet esse non major quam 3n quod
a WEiti est
est impossibile posito e esse negru
:dus-
a:
et endunt adquu ndiecro
et y asendunt ad quabur idm et ulsur acmuelno
en +3, en +4

## Folio 316r — 00068196:0627
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 315v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000627.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
sed 2 pergamus jam, ut sit v = .. X tg + Xy + XFy L. 1
demta si placeb unas
habemus it hinc arbibrarias h+ 1, n+ 2: 2 (posito valorem V ascendere ad gradum h
et
et rursus sit jam V  gradus e, ita, ut sit v = v  v erc. habem
hinc arbitrarias 1+ vel potius e, quia una non proficit, ergo quaevis
litera ut v vel Z dal arbihrariis h+ 1, h+2: 2 +e = 1
qui numerus
ductus in n numerum literarum assumlitiarum, v Z co, erc. Dabit
n hti, h+2,: 2, +20 =1 = C jam videamus quam alte assurgat
aequatio quae identica reddenda est post mulliplicaioem per cuicem.
et quidem, av erit gradus h- 1, ideoque habet similis terminos
vel aV
nam
h et Y V, DE cS est gradus eto,  3 vel 6 vel8
sunt gradus et, et repetuntur colies, quoties aliaasque alia Adhibetur
seccundum literarum, ergo ascenditur ad graduss eha + h - 1, sed
nos cujus termini destruendi, et accedente multiplicatione per cane
crucem ob g.  gradum a:b, fit gradus mulli ae quationis
identilae, ehn +h+=1; et numerus terminorum destuen-
Dorum est
Chn + n+ 4, Chn+h+qF,: 2
 non debet esse major quam 
2 (3 = hhn + 3hn + 2_ + 2en -n
2D = eehann + th +49 + 2ehhn + 2elng + 2h9 + ehn + h + 9
et videamus qua fiat si g=2. nam si tunc res non procedit, multo
animus procedet ubi a est major. fietus ae
2D = eehhun + tih+ zenhn +sehn F 5h + 5
unde 29 -20 = echhnn + hh +  5h +5 + 2e han +5e hn = 2 en + n
ubi non videtur possibile ut haec quantitas sit ior nihilo non major
sit h = 2, nam aljaquis relabimur in casum priorem; set
2) -2C = _thna 4cenn + 19 +20 an +se 2n =ren + n
2.
non majuis
si e = 1. fil 2)-25 =  un +19 + 4n + 4n = n, quod esse nes hihulo impossibile est
si sit e = 2 fiet 2γ - 20 = 16 nn +19 + 12n +1gn - an +n, sed hoc non
esse maius nihilo, mullo adhuc est im possibilius, itaque hac methodo nihil
illia proficimus ad reductiones generales. eum nec. eam
Cansum ubi q= 2, seu ubi dx. dus = xx + . gu +. xy +. X q.y +1 soloere pos
generaliter hac via solvere possimus
XX +.77 +.
superest, am videndum quid siat cum adhibentur fractiones iratio-
nales, trauscendentes. in relatione tam D ad X, y. quam
 V et similium ad V.
videmur aliquid lucrari.
Et quidem ope irrationalium
vig. sit = a ty et, et
st  v erit do =   + e d. vo 1 +  , et
sit   Biav et siet de seu dv = dor: iv et dD = dvo: 2B. sit p= 
=vr
adeoque  dv V = duo ; et ita in aq. 7.  imtii pagina prime
hoc modo omnis evanescit irationalitas, quod est praeclarum.
nam  mul
liplicatur in  et inid adeoque tollit riralionalitatem cum alia qui 
non reperiatur nisi sed et si sit v = X. Y in  X y res pari modo succedet
eatemu in duobus Y et 17. sit ergo v =. 10X + 20y+ e BiX+ Ayt et rursus
q 50X + 60y + 51. V 7IX +81y +72
et v qvo+ 92RV, et v  100vr + 102
imuliter  q =) 1O2Z + 12Z et   1 1207Z + 122. Jamero explicemis contronii
du  +V. V:  + dqe . 26 =10 dv ) Y 31Xtary + 32 10dX 4 2ody + 31dxtaccy. 2 B3Mrm
er 10 f sier et p= VIXer 20 + 4 12 BIer simliter L Ve. 59+  xtrp
ryo ex
et = 3 Bgixeu 60 + 81. Sopcte. 2 simer
Iat 1225 +io
t
852
90v0+92. COXCK 3IXeHIO+IOXCKH2,
. et rixce G0+ Eoxck ZL2, I 10000+

## Folio 316v — 00068196:0628
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 315r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000628.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
sed si 10 et 20, item 50, et 60 sint, 0 ascendibur solaiu
ad gradum nti posito n essse ommem literam 7, Z at, ec