# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/60535/text
# Catalogue record: 60535 — Calculus <-> differentialis in Numeris
# Incipit: Sit series cuius unus terminus √(aa+bx+cxx) aeqv. y.
# Date: 1682-06
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=60535&katnr=57131
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 420–421 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 420-421): 4 pages, canvases 835–838, page ids 00068196:0835 to 00068196:0838
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=835
# Lines: 320 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.83
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 420r — 00068196:0835
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 421v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000835.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
in 682
caltutus deges smnodiffere trabs ni pumlis ao. e
 -Saa +bx + CXX + Vaa + b X + b dx +, C,XX + 2CXdx +cdX aequ e
(4)
var
fiet ee (+ a a)t bX L CXX)  -2C Saa + bx + exx aego (aax+c + cax
et 4 eeaa + 4ec bx + 4CC CXX aequ e + 4 Cee d accxdx 
si esset caequio. fieret
seu
qu
4. 2 ee bdx ∞ Ab Cxdx + 2bcdx
+b
et + reebd + bbd
et +2ec b dx + bb dx aequ 
ee b X _ abbx dx
eAee aa _abaa dx
+bbXX
+ 8baax
9a
=ab bx dx
qbaa ex
+ 4bb Xx
+DbanX
seu ec = b dx, = 2bx - raa aequ Vaa  + 8baax + 4bbXY - 4baa dx - 4bb 2 1
si jam ponamus ex esse constantem, ut ex aqu a et faciamus etiam baqui
fiet: Ce = aa = 2ax aequ  X 4aa XX + 4aX.
seu erit e aequ. S aa + rax + 2aS XX + ax
Redinchoaudo fuisset: B, Saa + ax esaa + ax ead aeque.
seu ee( aa +a r e tantur aequiaar aoaax aequ
et fiet: ee 2 faa tax 4aatax aequ aa axtado
seu eaqu Saararan  saaran, faciamus aa adx aquo se
fiet et sit a aequ. 1. fiet ego et de aequ. 1. fet X s + X. iago e
eago fr  vel Sibi vel Fquo vel 14 vel 556s6 
sumnae Si  si 13 s+ s5
su
summa si 12 13 S4 se
seriessumabilus sis 21S Sis Sas
Ii - 1 aqo 1+ s2
seu Cog det
x
d 2 aequ 4 + 8
si+ ex s  aqu e. Ergo re x ago eet rosx
Ergo A4X aequ C + sa et 1X aequ eet rerx +x. Redeunt priora
Ergo nihil hinc fuit erior
pisa 1(1.X + X  2 X + XX aequ ee. Ergo C aer 1+ 2X +, X+XY
ovel
Faciamus a aequ. 1 et dx aequ. 1. seu X ogr Tvel 2 vel 3 vel 4 se
fieret. Saatax erit Lt Si vel S2 vel 53 vel 14. HC
et  Saa tax - Taa + ax = adx eut, S2- Sivel Se t2tc
equ.
seu eago Si +X = sx. Ego ee aequ 1+ x  2 SX + X + X
ergo eaequ. s1 + 2X + 2SX+XX
Ergo  summae erunt
52
V3
Sq si 16
Ergo series summatix erite si
series summabilis erit sirito Bri Sir Sinta sortio axsio
seu sirto hrgi Ssa Syt 15.b (9+0 vits
at
rrgo 1+ 13 + (8.1 4. 15 + 18. 3 + (2 + 18. 6. + (9+ B3. 10 + S11 + 18. 15. an 50q
aqu f5

## Folio 420v — 00068196:0836
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 421r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000836.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
si regula geniralis mea pro summa potestatum absolvatur
quinor
habebitur methodus etiam inveniendi summam hnisis seriei
 ago 1.5
1
s2
pro sunum
quadretur i.
+ L
+
2. 3. 3.4 4.5
Y4 vel similis.
+
y, 16
serviet etiam
N2 13 14 s
etc habebuntur omn ea quadiata + L1tc. et bii
Ec equ.  aqu
jan 13 B. 5i 5.
1.3 3.5
2 diff.
tagula quae hic sequantu
+7
s
Ac 42.4 46 68
en
2.4 46 6 tcago  seu  nam in a s
et
es
121
diff.
2 46 6. 5
8
25 36 4.7. 18. 6.9 7, 10 Ec seu 1. 4 47 7, 10 dC 4glu. 3
2.5 1.8.  H.    36. bus 9. 2e vqo n seu  san ea ttiu
.1
+1
Bc 1.
26. 3.7. 40 5.9 510 711 512 92
seu
1
+
1.5 5.9 9. 13.
2. 6 6.1
  Adscribantur
sunt ergo ad dend in unum
ubi cum redeant illi ipsa
rectangula supra summata
videndum an aliquid inde
ad calculum dici possit praesertam
in finitis seriefinita quadrenda
rem lanitando
12
13
14 2. 4.
2
34
1.5. 2.5. 3.5
.4.
Ec L
3.7. 49.
aequ
1
3.
Est et alia metrodus ratio Methodit differentialis; si Teriei summad
quilibet terminus convertatur inseriem, et habebuntur infinitae series.. Inde
quaeratur quaerantur aliae series infinities infinitae, ita ut duarum seriepi
infinitarm seu terminorum summatricis differentia sit Terminus seu unaseries
infinita datiae summa udae.
uo in hinc nova via Transcendentur
ad series Numericas accommodandorum
lar 1. 2
eo
1. 4,
ad muximam
0 in (C) egregium, quod ita trascendentes
non peanent literae vel cogarithmi
sit aequatior ex O- (). eodem ubi xerprco
eodem modo formatae. sit alia aequatioem
sed Hunt numeri determinata
ad eande maximam, in qua y seu temmin
ici summmandae eodem modo stractatu it O- (6) Hta cix coguo. 1. fiat aequ. 3 ad
difeentialis ad eandem maximemi et jungento aequationes 31tl1. hatrebitur valor maximae
algebuicus, taliq enim debet Reaequ. 1. ut id fieri possit;
exporentes ingrediente

## Folio 421r — 00068196:0837
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 420v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000837.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 92 lines, status machine
g
X 3 + 5 - + 1 - l1 h
9. 11
 2.
e
1.3 35
89sen 1.3. 5.7 3. 11
2.5 7. 9 11. 13, ret et L -  +  - 5 15 9tc seu
suii si adveleturL
l. 7a
d0)
M. M+ Co aequ bx. X+a
11. 13
Ec. aego-
I= MF MtC. Merco
b.X. X+a CXtZ X13a
Ergo tam +mco aequ. bXX + bx a.
Ergo in aequ Sb xx + bxa + cocco
M+ C. M + 2Cd ergo bx t2ba. X+ha. Ergo imm + 3 Mco + 2CoC aequ burr salX 1
Ergo nm + 3 mco +Q coco aegu b XX + 5ab X + 5b aa
2
+ Z coco
seu ma aqu V bxx + R ab X A qcoco -  3co
+4 abX + 6baa
Et duos ipsius in valores aequando, fiet:
et fier Sbxx + abX + = coco aequ. sbXX + abx + L coco =.
Ex qua aequatine habebitur eo per
si pi
pes pteledicum co sit du t 4abX +6baa
) sultatem
ut di ductus ex hoc nos ro vatoret aequeter dissi eo tunc amperu eo  d esstacees
qua aqualu
Ergo loco
b
et
A mepas
b. X. X+ a. b.xdC mantco
duosalios terminos:
m+ c m+ cotC
mntem
sumamus
Intco. marco
aequ.
mmt 2nCO+coco
bxx +bXa
ubi quidem ita ut horum. differentiam aequemus ipsi qu datae
quantitali quae termini seriei summandae naturam exprimitus
(mullielicatae scilicet, per arbitrariam. verum
nempe
bax +bXa
hoc modo alia oritur difficultas, habetuer. enim M sed per X, verum
tunc ipsius n differentia eo non est constans
Alia Hac mecthodus summatricem inveniendi est resolvendo quantitatem
llerm
detrahea
a
propositam in duas partes, quod si contingat eas partes, esse eodem
modo formatas unam ex X, alteram ex X. + ox posita ex constante
habetur quaesitum. Nam sires non faccede posita ex constante, nec succedit in
alia quavis si loco x alia litera sumatur,  utcujus differeneia non sit
otandum cum snt summe adduntur non sibi sub,
constans.
tia huntur duae eodem modo compositae, tunc sumua series ista reductu
ad inferiorem, illa seiiem ad ut L + = +2 +L
en
5
131
saceunit hic via praeclara, qua in Numerici quoque a Granscendentibus ad Agebraia
per calculum differentialem veniri potest, et series transcendente algetraicarum.
smmmatrices invenile licet Nampe sit v.g X  coincidens cum a 1a Ejicot
XX Bb XX+EoFicao
determinuri poterunt et ad easdem differentias, et differentias differentiarum, eic. Quod
non est si esset aequatio, qua delleminari deferet  u quia in illa non semper
duoradicesaequales. jam d X  sic investigatur  X aego Zlx. et ego
Xcid
seu  d (x aequ.  lx seu Z Sa
Ergo tx aqu. Q du
XM_ bo
X
sit verb: gratia 9ta X + b X, V r+ cX + CX
et
= 1+ a X+ c  b XtC Or+ C Xtc + e XF K coincidens
cum aa, ita ut issa forma sit differentialis num erica transcendentis ponendo co esse
differentiam numericam ipsius Xpront scilicet natura ogressionis ipsius X assumitur
XX -I
itaque c0. non est infinite parva.  ut Cum ergo hae duae quantitates coincidant
coincident ergus et earum differentiales geometria. In eo Est exponentes in calculum ingre.
dientur. sed hac modo expinentes sunt constantes ut eodifferentialis numerica
s vilita es ipsius s, vestt alius u, et Heirsius ib et 3 ipsis X per differentales
4
d
ergo una sharum serierum habita habetur allerm

## Folio 421v — 00068196:0838
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 420r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000838.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
quaercuda proprietas generalis circuli alteriusxe figura, quae ab alio ciculo
secatur. Quod si jam hae duae formulae inter se coincidentes qualibet
separatim revocetur ad differentialem geometricam, ubi scilicet ex sit
aequ. o eodemue modo  infinite parva rursus debent differentiales
earum coincidere, et differentiales differentialium et ita piorro, donac
n
hoc modo tolli possint
tg
unes transcendentes. Ut res procedat
qvia magis determinata, sint
O+ O+) aequ Xaa
F AD
XX- bb
vel etiam si iratio nales intercoarrant, fieri potent S0 +YD
Setiso)
coincidenscum aa e vel alia quacunue ratione ponendo  (6) componi ex
XX - bb
X+co, ut O componiturexx. et ita de caeteris, quo facto aq
Xx fb appellam
y vel etium tollendo et exaequatione ista identica, tollendo irrutionale
vincula, 
Elfractiones tandem necesse est oriri aequationem etiam eodem modu
copositam ex X et Xtco (excepto Y. quod in se x continene disfrimulamm
adeoque scribi poterit aequatio generalis. a + bX + pXDc 4X
+ b X+ co +G
n.
X+ a
+ yt aequ. 0. ubi pono a. b. c.  constante,
at f. 9. l. m n. tales, ut mulentur mutato X, et ita ut compoa
quemadmodum Xf+ componatur ex xtco, ut fex X. haec aequatio tamdin
per differentiales deprimenda, doner follantur Transcendentes, quo facto demum
modire debet aequatio ordinaria identica. Est tamem id quod calculum non
nihil morabitur, hoc erit quod in differentialibus proveniunt Logarithmi. unde
hovis opus differentialibus differentialium pluribus modis donec omnes illi logaribimi, tollam
tur Aliter non miscendo y cum istis transcendentibus, faciendo duas aequatione
sit sci licet aequatio, in qua eodem modo sint X et AX+C
quod si putem velimus ut ipsae indeterminatae in diffexpoventiales ut figo
in suis differentialisoui nullos requirant Logarithmos, pot efficiemd sed tractentur insta
determinatarum, debent esse monadicae, ut in calculo maximae et minimae.
Ergo fingamus aequationem ad maximam a+ bus Aetc. + By Hc aequ. 9.
faciendo f et 9. pendentes a maxima, seu inde terminatas. Verum nihil hinc
annam video utrex y, ita formata haec estquatio ita aliam formandam
per omnia similem lex valore ejus transcendentali quaesito sed hot non servies ad
valorem ejus transcendentatem (ex duob similibus a se invocem subtractis compositum
inveniendum sed tantum ad etostendenda, quod is aequalis ipsi y., vel saltem
ejusdem aequationis radix. quod ipsum assumsimus An sic. Fingatur aequatio
a +by eti qualem diximus arbitraria, ita fingatur et alia eodem modo
oposita ex X et Xteo, utraque habeat in se indeterminatas monadicas ut
lubet tandemque ubi ad muximam ut hibet accommodaverimus, quae-
rendo tam unius quam alterius differentialem (at differentralem differenti ali
vaerere non licet  in tati methodo) comparentur hae duae aequationes
uia eodem modo composita ex X et XFco; altera ulcunque composita ex X., qua
accoun
ad iux
qua comparatione facta redeundo ad inioro assumtam, expel eae explicentur
 comparatione; et tollendo ex illis X ibi simpliciter extat, extra y et eod
non eodem modo compositum ex X, et Xtg, habebitur aequatio unp inter
y. et copositas ex X et X+ co, et ita invenietur y per istas ubi denique
modi quales
explicandum a superest, ut sit tan su valor ejus differentum
desideramus. C Non sufficit enim y esse eodem modo compositum
ex ∞ et Xx Xtco, seu ex duobus terminis ejusdem seriei, sed debet esse eorum
differentia, sive, opinor debet essetalis ut ponendo dqeo aequ. 0. fiat etam
aquati
omnia se destruant si tatis aequalioi olonatur in qua sit sola X, macum maxin
transcendenter cum maxima, et in alia in qua y etiam cum maxima, quae duae aequationes sunt
am tam illa determinetur ad differentialem, quam haec ad differentialem 4, hae
duae rursus colacident, et proinde et entiam differentiales differentialium. juro jam video etsi coineidant aequation
ita tamen erunt, si Denique aequentur
2
Liguem
eande radice
coincidentes, si
aequationes penitus coincidentes etsi sint
d un o 
e cenvntionem 3. 1. inolatere coit eodantos. tun arro su
stit
us
tadum 
etur posito 1. et
it ex pelicentur inb enter