# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/60569/text
# Catalogue record: 60569 — Calculus differentialium tractatus, ex assumtis rationibus earum datis in specialibus casibus, sed variatis
# Incipit: Si detur aequatio differentialis in qua sint dy : dx, x : a, y : a, pa
# Date: 1689
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=60569&katnr=57467
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 212–213 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 212-213): 4 pages, canvases 419–422, page ids 00068196:0419 to 00068196:0422
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=419
# Lines: 312 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.91
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 212r — 00068196:0419
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 213v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000419.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
Calculus differentialium tractatus ex assumtis rationibus
earum datis in specialibus casibus, sed variatis.
si detur aequatio differentialis in qua sint dy: dx, x: a, y: a, patet dy:dx
dare rationem laterum anguli tangentis, vel perpendicularis ad axem, seu lineae
se
declovitatem. Haec ratio poratur Z: a, et ita ex Z, X, y, a debitur relatio. Et
pro Z a alia utque alia datur linea, seu assumta data, dabitur  linea los
aequatio inter X et y, seu linea, in quam eo casu punctum currae quaesitae  cadit
ut in fig. sit linea qua fita cC, AB, X, et BC, y, CB: BT :: Z: a. sit Z= AZ
eoque casu q considerata ut constante, sec lineae FR transiens per C habe
itaque eo casu, quo cB est ad BT, ut AZ ad a describi poterit linea FH) FF
occurrens curvae quae sitae c(C) in puncto C
 Variantibus jam ordine punctis Z, de scribantur ordine lineae FF, _F) ete.
Teu linearum hujus modi quaeratur progressio, et si quidem lineae s duae quaelibet
indefinite vicinae FF concurrunt inter se;  linea quaesita erit perfecte
determinata, et simul inventa; et suspicor quotiescunque problema determinatum
est, hac methodo solvi. Suspicor exiam quae alb dudum a me reperta
sun, ut quod datis positione rectis ad lineam tangentibus, datur linea; et 
quod datis positione magnitudine cntriis, et crcul positione centis tungentibus
datur linea, id susicor tantum corollarium esse methodi hujus nam s. concurrunt
illae lineae utique tangunt curvam. Unde patet si problema est determinat. Unde suspicor
si problema est determinatum lineas  illas datas simul curvam tangere, e
liund dudum reperi, si linea positione data quaesitam curvae occuxtat
et ac constat eam  in occursu tangere, haberi posse occursus punctum
sene sane quod linea taens CC si curvam tangit, ei in duobus punctis occurrere
intolligi possit manfestum est, unde intelligi poterit aliars proximaeras in
N si detur ay: dx ex sola X et a; tunc linea quaesita FF
proximo puncto occurgere.
est recta ad axem normalis data, nam data du: dx seuZ datur utique
et X, seu AB, adeoque linea indefinita BC est ipsa FF. possumus etiam
variare ut habet, v.g. efficere ut AE seu Z sit ipsa targens et adeoque ut
sit  Z: y et fiet Z: y _:: dise rari +dp: tx seu Z -+ ax. t sit
perpendicularis ex axc ad curvum ert Z= y Sit dyodu.
Et ita quaecunque
assumatur functio, temper habebitur aequalio pro ipsa Z semper habebitur
aequatio inter Z, X, y, et data Z sed datur linea in quam cadat.
Quomodocunque  transformetur aequatio data, pro X, y, assumm
alias citeras certo modo ad has relatas, puto tamen eandem qua quae
ante prodituras curvas  alioqui duae haberentur curvae consinentes idem
punctum quaesitum quod minime credibile est simplici illa transformaione
obtineri posse, hinc minis modis transformationum medis mine diversa inter
se in speciemus eandem tamen curvarumidabunt.
Pinea FF que tr regulapiter  non sunt ordinatim
inter se concurrentes, quia regulaviter problema Tangentiam inversum non est
perfecte determinatum. Hephie Non ideo tamen neciesso est ut sint inter se piralletae, neque
etjam ut sint asasumptota bi, suficit enim quod longe ab hinc, seu
assignabili intervallo a puncto  cum curva quaesita communi concurrant
Non est opus ut inquiram reculiariter utrum aliqua ex curvis istis
quaesitam, tangat, nam sicubi hoc contingit, ibi concurrent duae currae in
loco inassignabiliter distante a puncto curvae respondente Hoc autem
ac alicabi, et plus semel fiat, dabit ipse progressus linearum, apparelat
uxilia
enim quomodo distantia puncti intersectionis daarum linearum proximare
a puncto respondente curvae primariae diminuatur, et utrum dimint
colinuetur diminutio usque ad evanescentiam distantiae an secus. Nam
si rursus augeatur distantaa antequam ad minimam diminutionem seu
evanescentiam pervenbum sit, signum est hac methodo nec speciate
punctum curva quasitae haberi posse. Idque suspicor obstiturum
in his quae a tetragonismo circuli aut Hyperbolae pendent.
e
2
Utrum pridem
sit determi.
nabum etia
sic inarem
abum liea
assumere in
eo punctum
propibituo
tub i
uj ps

## Folio 212v — 00068196:0420
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 213r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000420.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
suspicor trans formata aequatione differentiali quemadmodum
aliu fit linea proposita ita alias quoque fieri lineas ordinatim ductas
eam secantes. Et proinde videndum erit liceatne ad talem venire
tansformationem per quam, si non omnes lineae ordinatim
sccantes fiant tangentes, (altemaliquae tales reddantur scilicet
dui continue maruendo alicubi distantia intersectionis earum inter se
etua
ab occursu currae, principalis. Sed olreor ut ea res succedat
pX Lgy
si ordine percurramus puncta lineae FF, assumto
irespondentis assumta AZ seu
assumtae rationi TB TB: BC, utique uno puncto assumto
in FF,  tanquam id esset C dubitur eo ipso AX
fingetur dari eoipso AB seu X, et BC seu y, F adeoque dabitur
et recta CP normalis ad curvam ec  C. C
 quae ducatur et producatur. Idem faciendo in
quo quocunque puncti lineae FF concursus omnium
fictitiarum Cp, productam dabun curvam q
quam tangent. Idemque faciento in alia curva
F(C), dub respondenti ipsi + (2) dabitur
alia (.
ita orddinatem concurcentibus formabitur nova
linea RB ee quae poterit evolvi, quod si ergo conting
fuiis lineae RR evoluta quoritur an sit  an tangat curvam nostram
quod utique faciet, si semper incidat in respondens punctum ipsius FF. velum
quia carra ZQ in ipsa RR concurrents in puncto R habent diversas L regularater)
alioqui sangentes, quamin una producta hic coincidere in unum, quia, curva concurrentes
heust tangit for conn curva concurrens tangit forme
tam; itam hic duarum curvarum tangentes sacient angulum infinities, infinite parvui
ideoque aequivalent uni, sed ideo non sequitur quod
haec cuvoq ducta sit novinalis  duo puncta Cfictitia C respondentia sed
Vertm est
sed Inde non sequitur rectas
ungentem, adeoque aed curvam CC, adeoque uvus sequitur isla fictitia esse avera
t contrarium sequitur potius transit igitur per ubraque, et ideo recta lalis
potius erit langers bit fictitio illique curvae CG, ex tangentibus ipsius RR, ipsis
av est igitur eo tantum casu, quo Tangens n ipsius RR, facit angum
ectum ad fictitia ipsi resp endentia C) C jungentem eC, intelligi pao curvam evolutam
ipsius RR evolutione descriptam langere seu Evolutariam tangere unam
verum id
Venm in eo est difficultas, quad
nec ad laaa speciate punctum habendum proficit, quia non constat, cujusna ex
aliqua ex infinitis quaesitis
infinitis illis carvis punctum sie quae pro CC bll quam quaevis
quae sito silus facere potest, id sit punctum. Neque enum habetur ali
quid distinctionis inter ipsa nisi per summationes
cte uoniam igitur ex his solis nihil videtur amplius
posse erui, videamus an  aliter nonnihil locorum
doctima hic possimus uti
 Verbi gratia constat, si detur Apex
AG, dirua CC per evolationem ejus descriptam dari positione rectas
ad curvam quaesclam perpendiculares, ac proinde dari etiam curvam cujus evolatio
earum concursa formatam) cujus egolutione describitur curva quaesita, et cum hoc
 modus tale, problena indefinitie definitum resolvendi. Vere eum tatia
problemata in defunte definita appelles, quia licet non sint definita, tamen nulla
magnitudo cassumi potest, qui nivi deratio analytica, quia nimium definiatur
et quod assum pt nempe punctum ninis id no est afsumto analytica seu
mentats relatiinis, sed tantum positionis. Sed quam Videanus ergo
Et quia hoc modo datae sunt rectae Gp, a curvae in quaesito puncto
ad angulos rectis occurrentes, adeoque C GP.  sunt species quaedam
lincamm FF, sopro didtatum; uidcamus an non debineae quoque
proxima quoque, proximae. Hat et his
sunqunt cumarem cuncurpentiam
at

## Folio 213r — 00068196:0421
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 212v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000421.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 100 lines, status machine
liceat intentum, si linea GP non essent normalis ad curvam, essent taner
ad eam anguli dati g. semirectae vel aliam quandam certam anguli legen
servantes; quod ubique seues quaequalis sit, utique semper sciri potest; quia constat quem
recta faciat angulum ad axum, et quem ibi recta scurvagen tangens ejus faciat
ex hypolhesi. S d ergo jam agitur ut curvam intersectivire omnium Gp formatam
evolvamus, sed ita ut non retineamus idem punctum apicem stylum describentem in
eodem puncto bili sed in eodem puncto suli, sed finu amus A stylum moveri
in fili vel quod eadem redit silum extender aut contrahi; vel fingamus ipsam curvam
evolvendam curante evolutionese Transmatare. tEt quidem sistylus
moveatur in sylo et stuli oclocitas crescat ut filum necesse est angulum
ita, ut tam celeriter mireatur in silo, quam celeritar circulatur cum filo, erit angulus
lige am suntunc linca a stulo descripta ad ad filum faciet angulum
iisdeju existenabg angulis in curra evoluta, sed et maneviti filo circulaves sunt
ulnagali eigo circulaves sunt in comprave coposita ficorum et ingulorum
Angulo putem illi licet infiniti parvi; curvedinem exprimentes, erunt ut subtensae sumto
eodefit sumtis aequalibus fili partibus, eargo sunt ut incrementa arcus circuli, seu ut dement
elementa arcus circularis sic descipli quae designari possunt, et ita, itaque circuladnes
sunt in rave qposita splorum, et incrementorum corent arcuscusqua circularis
N portet eruo ut et stut motus sit talis, et  qualem esse oporteat, poterit definim
unus l saltem ex suppositis quadraturis. Et it idem est si aliu quamnae
pose soloi probeemalus Et promr
si
silam
restaru
utom
Vad curva
Gs esse lincas non rectas edcurvas
erota Kasus non tangentes quae sitam sed ad eam datae leus.
Ronanm 10 in
keri qa) angulum facientes. verb. gr quod est simplicissimum ponamus Gp esse
veloctas arcus circulares, ad curvam Quaesitam perpendiculares. (quod problema nlibi
rectae
semrectum. Hinc oportet Sunt autem circulationes ut fili longitudines
porro omnes qE concurrent invicem implites uanso cunque si
nihur quae et me tractatum est, et certo modo constinendi solvi potest; e sed qui non
juval aanalysin  perinde, enim ac si pone retur rectas Tungentes a punctus
datis ad curvo quo silam, esse magnitudine datas, tunc enim cirent ad.
curpam perpendiculares sunt positione rati Hoc posito consideremus an non
aliquid mominivisci liceat evolution analogum. Nempe circuli ilonmo
ut ad hibuimus  in rectis curvam quam tangunt, seu quae ipsalit concursa formatur, ita
circatue autem evolusto semese
et quindam analigum instituemus evolationi, peinde ac si plum jam
et nunque eam ad hibebuu  circulis agitur
eoctutum esset rigidum et incurvatum in circulum. Curva circulorum concursu formatio
sit EG circulus eam tangens qui ad curvam quaesitam debel esse perpendicularis
sit FF. verum  et si o quaequ quasi evolulio filifiat, non tamen ut in filo
rectoneo, quod libet punctum ejus describeat lineam angulum desideratur
facientem, sed punctum solummodo opposita circuli ut K posito
sentro L Deinde Cum subilo trouseundim sit in alium circulum, eumque
idem jam tum datum, seu dati centri et radii, hinc sylus describens
idem non tantum circulatur, sed et procedere debet e ideo non sumende
lus non opus est sumere punctum X, non alligatus sumus puncto
Sed ad icombinandus motusstuli, et ita possumus infiti quodlibet
punctum unius circuli assumere, et motum stuli prout oportet accom
modare, ut angala fiat an et dirrectio st li conbinue angulum
anu
rectum faciat ad circulum, d ita linea descripta erit quaesata. Et
proinde, puto, nos hac methodo etiam obtinere posse quaesitum
circulus vel alia curva
alium quemcuaque angulum faciat vereor tamen dpres procedat, quia
si
licel suppositis quadraturis
demue esse
dem obbinere forte et poterimus, etiam alia rave. Centro
et centro 2 radio EG (pposit
admala curvae datat AG) descripto cirme GFF secel is cicculus reo ipsam CC
curva cC est talis naturae, ut dato ae AE
ad angulos rectos srittC sit tangens. dum igitur data sit relatio inte AC etE
Cncipsimus aliam curva Hs, ambulantem super axe AE roedendam, eamque quaercm
talem, ut arco HH, a principio aliquo fixo p, habeat relationem ad Hg
quom AE ad EC, nam AE est arcus AH in rectum extensus et L1 recta, est ipsa EC
Et quidem possunt coincidere Q et H. ila  ut quositam curvam acc, per provolutius
n 6is
quaesim tur
etmentis
non
ili quae
e cujussu
nec disfermbe
nec sumua
quaetal
culum ia pe
dinnt
o
o
implica
motum stybi tol
calulo, adeoque
pugogati
velotitati
vxq
nemals
ipijin
ne forteex av
ipsius stgtifili
motus invol.
vitur
titodini cragilid
otvitur en
icremento

## Folio 213v — 00068196:0422
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 212r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000422.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
adinatim cncurrens occurrens seo secans
porro  sempede etsi linea sit curva adeoque rarisstangulos faciat
nec adeo datum sit, quis sit ejus angulus ad curvam quasitam sit n quasto
in puncto intersectionis, senemliter tamen ex lege ansilom curvae ad axe coi 
prodata X, et leqi anguli curvae, datur tex quaedam cois cnguli curvae quae sitae
et ordinatim secantis, in puncto intersectionis; et ita fieri poterit talis
evolutio curvae concutsibus ordinatis ex extia quaesitam
formatae, ut prodeat quaesita acedente motu styli debito
et sumto puncto aliquo in primo aliquo circulvae. Elbi notandum probe
derum nem videi nos hic haerere, nam punctum in primo circulo
 filo circulari assumendum est inde datur quidem quis motus styli esse
est
deseat, ut corcalio sit citulus filum evolvens v. g. Circulus sit ad angulos rectoque
habeat quia samen matatur continue punctum, non licet cognissere
quae sit letus stgli futura in progressu nisi ipsum motum Aglijam
vel aliteraoditat
factum comnsideremus, et ita implicatur tum seu integer motus
styli tum ejus proe incrementur seu velocitas. denim quando
haec implicantur redimus, ad difficultatem priorem.
Cigitandum an trans formatione urva quaesitae non liceat
obtinere, ut tandem ipsae illae ordinatim secantes fiant rectae.
in
Si tegem gereralem desi inveniamus, cujus opeccuiu bet linearum
ordinatarum punctam qualibet  moveristylus debeat per curva
ut, osutam ut tegi salis fiat ut directio a styli salisfaciat desiderato
pordine
habebitur desideratum. ita scil. ut
no pratertineu
Luda hsethodualibu, expli
E, repertas respondentibus valius
nsunt dys: de sec 2. a 6assumamus praeterea pro puncto B esse aliud atque e
al uud hufsumtum G. et ita invemitrineum modo alibi explicato quam ipsae β se
tanguat. Hamer Hujus cootutione prariter ac alterius pro  (C) han
quovenbiu inter Evolvatur  praeterea et evolvatur, alia proxima duaeque
evobitae se sccabunt in aliquo puncto, quod si punctum intersectionis semper incide
in CB turva evolutione descripturum esset quaesita intersectione formatuo
esset quaesita. Sed e sed revera continget hoc non nisi in determinatis punctis nisi
ariemus id quod silo aodendum est; sed func cad legem latiationis invenienda
implicamur in difficultates initio propositis simules. Ponamus Igitur  nulla
fust sosita additione punctum aliquod esse designatum fint deinde procB inde unc
E
facta  additione aliqua s designari alrud, sed et ita ut ponamus a
ponamus unam lineam evolvi, sine additione, alteram cadditione aliqua, et additiones
continue cresore sacundum X, a,  qua   ponamus praetees  ea si eas
rectas quae per B punctum transcunt Variiimus praeteren modum designandi curcitum
epe loco X A ad hibeamus convergentes hi aliquam lineam datam Viq
arbolocidem semicubicam: hans lineam continue contrahamus, donec redigatur in punctum.
tandem infncte removeamus hoc punctum  provenient odinatae paralerae; idem obtinebrum
ipsa parabolocidem infanitm magis magisus removeamus; et unum modim
Et ita percurremus tum variaves angmenti tum variades dibinatamm curvae
isi
posseums pro opdinatis curvae adhibere e vergeates ad duo puncta ut data e uno puncto retento
termiiea alterum variare, et ila variare  calculum inter x y ex dus scit
xet y ponendo esse istas ipsas cuas a uncto curvae ad duo punita fexa ductas
Et itque ex uno mo obinanto snil variadem augimen in ordinat coordinatis (X et ybi
e cissutationem evolutae, poterimus efficere generaliter at, semper in tersectio duam propiman
evolutarum jucidat in  debitum locum.  Et cum binas habeamus arbitrarias
E possimusque advo habere adhuc plures,  poterimus eas deinde ita assumere, ut
tandem exu ex ipsa exilicaive aliquidunmodi prodeat; seu tractabilitas.
Fructus enteherrimus hujus doctrinae de. Cabu angulo curvae variando, atque
pH
ita invinienda lia pro ipso aliter atque aliter dato invenienda ae linea, in quom
cadit punctum curvae, hic est, ut habeamus reductionem omnium linerum
quadraturaram ad Eathynsius. Nam Primum quandocunque  abest a
qu diffeantiali ic siu Tangentium inversa res reduci potest ad quadratur
ubi ores reduci potest ad quadraburas), consequens est liveam rectas infinitas
si
duci posse, curvae perpendiculares.
sit enim de dr: dx = vV+ rZ: vVtZZ
utqu _ si pro L da sumamus  pan habebitur v: ex ex  ex daso
rdv: dx seu ex dato cangulo BpC. seu dabitur recta  positione datae in curvi, existe
angulus ad curvam
eb
us
Nam angulus coves dabur assumtn
et quis sin eo casu angulus rectae lllras
jam dat positone rectis datur angula ad curvam, videndum an describi