# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/60605/text
# Catalogue record: 60605 — Varia pro Tangentibus inversis et similibus
# Incipit: Generalis Transformatio Curvae, ut feceramus x = 1~(z∙v) : 2~(z∙v)
# Date: 1691
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=60605&katnr=57507
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 294–295 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 294-295): 4 pages, canvases 583–586, page ids 00068196:0583 to 00068196:0586
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=583
# Lines: 301 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.85
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 294r — 00068196:0583
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 295v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000583.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Hic raria nnscollanea ntitia,
utiisscum subfine
Varia pro Tangentibus inversis et siilibus
utrdum obenet edudia rationaliter
Generalis Trausformalio Curvae, ratimalem, ut faciimus
X =   et y- Z  posito  sempe enim res toredit
X = G. ∞: 9 et y = Z. v: G. V  posito 2, 2, 2 signifi
formulas rationales integras, na NafNam
quomodocunque deburZX per Z vel per V, seuper tamen dari pte
semper  quoque effici potest, ut
rationaliter per Z. v similiterque y.
valores X et y habeant divisorem communem Z  g.B
semper potest aquatio differentialis vel quaecunque alia ad curvam
propositam transformari in talem, in qua Z et v sint homoeoptotae
si verbi gratia ponatur X = bZ et cy = ZV quanquam interdum
utile sitm Neque enim succederet ut stetur in solo primo gradu seu at siat X - bZ+ b 
et y = cZ + CV +f. Nam ita ZFV val aequivalet uni. Itaque ascendendum
est ad gradum rdum, et utilius est incerdum fieri _ valores inagiscompositos
Esim.
l23 vel b27 de soleo ut x = b2Z +ZD + e Z + f similiterque pro y.
on
ovdu
b + CZV + eZ + f.
soleo falia compendio se scribere, ut fieret X b
Quando rem reducimus
ubi f ets mihi significat et sim.
ad similem formationem paucioribus opus comparationibus, nam semper duo
termini similes eosdem habent coefficientes. Hinc transformata: aequatione
disterculiali proposita in homoe optotam per X = BZ et cy = ZB, assumamus
deuide aequattonem genealem ad curvam Homoeoptocam et ejus qua rhavus
dafferentialem qua et aequando duos, differentiarum valores restitui debet aequatio
assunta. Ge Et cum antea opus esset respicere numerum terminorum, nunc
lautum opus est respicere numerum formarum, qui est dimidius numeri terminorum
inquovis quadi per se  ita tamen ut impa qui est maximus numerus integer
contenbus in 9+23. 2 posito 9 esse unuerum gradus. sic in gradu 2
Vin dimidio numero terminorum unitate aucto
ubi termini sunt 2E+ vy 1 numerus
seu 9+1. et numerus formarum est g2 maximus numerus inleger
cobinatio
Contentus in 9+2,:2, itaque et tgradus et gradus 3 habent
eundem numerum formarum sed hoc obiter
ita autem numerum
Non possumus efficere ut una litera sublata simul tollatur alia nisi cuju
comparationum prope ad dimidium, reduximus.
inter slae inter se vel solae servant leges homogenectum. Si sit
xodus - a sib dy: dx = co et 9. = Z inveni  quoties
datur co per q remasse reducibilem ad quadraturas, nam Quiam
dq = Xdy - ydx, : xx seu dze = dy: x + ZdX: X. jam dy = codx, fiet
du = codx: X + ZdX: X datur autem cd per Z seu dx: X = dZ: c0 + Z ergo
quia datur co per q res redut ad quadraturas Quid si detur co per Z posito
esse 2= 7+a, : X, tunc res eodem redit sed quod si Z- gytaa,. x erit
t detuque c0 seu dy. dx per Z. set dque - 2g X ydy  gad dx, xx, seu
dy A interdum utile est quadnturam reducere ad lungntes
inversas nempe   enim nam si quadratur sit crrationalis
haec  aequalio differentralis crrationalis potent reduci ad rationalem,
taus formaone facta, quae det rarem exrahendi. Et hoc modo ampliora
habemus, quia duoe sic indeterminata. ut si ta ax
ut si dy = Vaatxx ax et fiat x = 2ey, ita quide ut  sit
relatio rationalis, et quidem falis, ut res ceduri possit ad Z. y, ita si stlandur
extractionem res reducta erit ad differentialem implicatam quidem sed
ravatem. Et si deinde liceat redicaere, Prationales implicatas ad ravales
quadrat
nunatorius, retusto ent oquad mationilis id ravatem

## Folio 294v — 00068196:0584
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 295r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000584.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
c
Onnis aquatio ad curvam sic, considerari potest, ut habeat
fe
solum unam para Metium, Teliqui a, reliquo enim literae
c conciderari possunt ut a, imultiplicat per cerlum numerum B
 certum numerum, ut  b = Ba, et c = Va, 
Hino  ex omni aequatione ad curvam absoluta.
c ordinaria, duci at differentialis carens parametro, seu
in qua la X et y servant vel solae, legem homogeneorum.
quanquam ea saepissime erit irrationalis, et redcenda ad ipsa unde
ducta est per sigular quadraturae genus, modo explicato. Vicissi
Rusus omnis oqualio differentialis primi gradus ot reduci ad
differentio- differentialem, in qua solum X, Y, ax dus. dux ddue
Et qua in arbitrio est assumere rclationem inter Z, dze et dZ, ponendo
ulcunque dari ex X et y. si hac arte posss assumendo novam
salem vel nova aequalionem pro hac clave, possemus tollere
simul X et y haberemus rem reductam ad quadraturas relavem
inter et dy dx et dy,; eax interventu quadraturarum
sit X ddx + yddy + dx - du =0
unde demus et inter x et  qua habem
2
ex dex = ex x Lxtx: xdex + dX sel Lxdx + aydus - 2 dus= 0 fiet
faciamus dydy- 2 dus= dyydgia, quod in nostra potestate
est et ex 5y. 3 tiet dxdx + Lydy Jus dy + d yydy:a =
seu fiet xax. +yydy: a B =0. Et statim potuissel
t procedi in eg. 1. faciendo yddy- dyt = d dis dus
set
si placet. (servanda scilicet lex homogeneorum transcondentium)
abetur, et fiet Xdx  + ydy  = 0
a
quia Pxddx +sdu FxAx
seu si  dy y day - dys = dydys seu = y y ddy 4 dy
fiet 2 di =0 ergo foret y constans. contra intentum
sed si faciimus y ddu-dus= dyydus: a fiet yddus - dus = yydaus: a + 2ydes: a
seu fit dy = ya egy adque videndum quid tali casu sit
29+a
constans sit autem duus: du =
dy. Eyta: ya-gy. seu fil
log. ius = Quantituli, quae haberi pt ex log. y.
si dy = 6y de posita dE copstante sunt y progo geon. sed seu 1ddy edi
sed qualis haec proscessio? ubi dus = ya -yy adus sed de his jam
alibi dixcmus
cyra
axydux cexdy. =0 d et differentio iff.
(2)
erit a xx, ddus + 2axax dy + ce x, ddy + cc dxdy = 0
assumatur mxX 1) + n X g, cujus diff = m xr dy + a 2 m x ydx + nxay et 
et differff. = in Xxddus remX dxdus + 2m X dxdy t 2m Y (x rndnius e ralus
si de sit ostans = dx ... . + dys u. (1)
si proponatur AXXdy +cCxdus = 0. scribatur aXXdy + 24X ydX + Ce Xdu - 2a L
et summando fiet: axXy + cC xy = 2asxydx
Tantum ergo opus est sic
interpretari X et y ut sxydx sit summabilis. sit ergo X =x
H y = q  fiet Gxydx = e Zm n  sque + tiqu etm n v dv
petm pen aZe + h. etm v  quae quantitas ut sit
Summabilus videamus quo debeat esse relatio, nempe dZ v = 12 v dZ
+  Z v de posilo ergo e - b, et h -C, fiet e 1 et fit  et sit
L-1 7C ∞ ergo debel esse C+ h - 1 = D (+ n - 1 (F h + n) = (e+ m) + (2h ( B)1
sed ita bit h= 0 quod ab P= h ergo ergo m =0, etc. Erqua
res non procedit.
a = y CG X log. a = log. y = Say: Y ergo dx= dy: y
et d y = ax 7ga et dy - aa = a. lx. log. a

## Folio 295r — 00068196:0585
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 294v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000585.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
da = a dx: log. a
Hinc ab dx + ab dus semper potest summari
logia
Jogb
etEy
sit  F. BZ do +g v dque   sit f- 1 lig a et
erunt fP = 1. : log. a et a = num I: f et b = num. 19. et debet esse
1t mi. f _9 num 1.g dx = Z do et num 1. f. num 1:g v d2
in av
inste
bne un d
 posilo igitur dz: du dare, per Z et V,
ideo datur dx: du per Z et v. Sed sed hac intamus
it  cd = de dy: dx
C3)
1
et X: y = ZX et co = X. y
St  ad
fiet dco dlyo dydux x= d X y Ax + d F.y dy =deo
 Si daretur co per Z
dZ= C gx ax: y - xdy: yg t
haberetur quaesitum
ex 1 et sit deo = ddy. dx =co ddx: dx
(9)
ot dq = dx Ex 5g. 6 fit  X. y + d X. y co = d deo: dx
ex ag. 1, 2, 3677 quaerenda relatio inter Z et co
(10)
ex oq. 7. fil dq
dx: y = dx co: yZ per
per aeq. 9 et 10. tollatur dx, habetur aeq. 1t,  in qua aX, yco, du, deo
unde per ay. 2 et ∞9. 3. Colletur X et y ex ag. H et supererit
relatio inter a Z, co, dzue, deo.. Sed ea forte esposita salis
An sic. ex aeq. 7. tollamus dy per aeg. 1. aderit dz X, y, dx, co. Collamus
+x per 5y. 9 et aderit dZ, deo, x, y, postremo Collamus X et y per 6q. 2.g
videndum an possibile sit, vel per transceadentes ita interpretari Xydx, ut fiat summatite
sit X = a et y = b fiet dx-  da = 4. dz: log. a et erit XyAx = a b dr: log. a
p sed E ubi  procedeat summatu si esset b = a, et V --2
e
p d a v = a v dc: log a + a dv. si  log. a = 1. potest omist
baut si ergo sit formula X  ax data, videamus aq interpretatione reduci
era
possit ad aliqua praecedentum verb. ad ab ad adZ, ita ut sit dz = dx Xy
et a = Xl: P - s qua ut fieri possit debet esse q- 0 et fit Z = + XF +
V: P = XC-P h sed ita poobleum est recepinalum, posito 
determinatur relatio inter X et  Quod non licel., posito se esse contantem
a
adeoque
qued si ergo sit p inconstans _ et maneat q-0 qualis nam siet
e
 dZ = dx X. seu
dZ. tantum scilicet opus erit or
 = SdX X. Hoc uno reperto sequeretur dam omniam
quadraturas aequaequalionum ratio nalium differentiatum
se
summationes, ubi scil. de non ascendit ad potentiam
ad = la sit X = v. fiet c. log. X = log. V
seu fiet
ex: X = sdv: V seu codx: X + Sax. x deo = dv: v, ac denique
log 3
dx ded: X + e ddxcodsirxx 1 dq du: X (faciendo deo onstantem) a =
C
= d log. B - treo seu de = X Co dx + log. X X de = d X
R Co: X dx + log. X deo = d. X: X. et fiet
(C: X dx + Slog. X. deo = log. X sane ex aeg. co logx = log. V
latim logx deo + codx: X = d. logX: id est id ipsum
et
Hinc quaecunque sit pelatio inter X et co datur  log. X deo per ordirarias
ata
quadraturas. Sies seu si quoratur flog tda. ex AX (log saa-coco. deo
fiet = log. P Jaa-2oco = scodu
Foonoro samuero
G. El hoc es

## Folio 295v — 00068196:0586
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 294r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000586.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 104 lines, status machine
exemplum primum et Mirum summationis inter duo nullam
plane habentia connexionem, ut sciti detur
log. X deo
quocu generuli firmula quacunque demum sit relatio inter X et co
ut el datur (a b 
quia reducendo b ad a, potest x et y reducu ad unam ++ y.
porro qua ex X = V sit eo dx: X + sdx: x deo = dv: v
co
seu ce cdiX dy: deo + Sdx: x = de: do: v hinc differentiando
fiet: Co: X de ddx: deo - dx: des ddeo + d x. deo lx. d - dx. du dan
=V ddv: ded = dy: deo ddco - dv. deo dv. VY
1
+ dx: deo dco: X - codx: XX L dx: X
= e ddv: deo - dv ddco: deo : v B- dv: deo dv: vv
et multiplicalis omnibus perWV . Ret
COXVV deo ddx =, Coxvv axdda + ex x vrda - Wcodxdeo
+ X VV dco = XX VIC ddv = xx V du dd - XX dudodco
itaque shaec aequalio differentio differentialis ordinaria solvi potest
per transcendentem X = v
 Quoniam
autem aequatio 6 tam late patet, ut  una sit
in ea indeterm ut novam aequationem issumere liceat
hinc videtur sic explicari posse ut comprehendat aequa
tionem differentio- differentialem datiamm Meci alerimn
dinarias ve ordiparie transpendentes
ledue
ad lanc foimoni
isaesedum cum aluude semper diffeontio disperen di ales quandam arbitrariam assceolictat
curvas Nos
d
elur sequi ongnes
X, = 
eo W
quin et si elset X y
V, vel eliam
V = V fieret _ log. X + log y = log. V
a e
 sed si esset X
i
seu ot co log X = E log. y = log. V et ideo tatequa
a summatoriorvinculo liberemur  descendendum est ad differen
tialem 3tii gradus. Et adeo rursus amplissium habetur
supponendi campus cum duae sint indeterminaet arbitrario
Atque ita lac methodo semper licet resfoere curvas
invenire perfinitas equares. Illud videndum an
semper hiac Mhethado inveniri possintaequationes ioes
quando pollibile est. Si sit 
x
a =
sit e AX = y7 fei d6 = 8. sit g = xy - y
et siet X Y = X, 97
.
s
e
seu
l
sei X
Xy
Bx
3 yy
= y
IX
seu Xy = q2V)
quae aequatio est ad parabolam, etsi
minime appareat. nam 1 log X = 3gy- bx log. y nec deteri
potest et ut delegatur descendendum, erit ad differentio differentralem
forte lame et alia diee aagnoscendi ratiro haberi pt nempe
sit 
 X. y = X. y. Posito esse aequationem relationes
(1)
interasrationales. fiet pr. 
4
es
(2)
L2 C5)
6
(6)
fiet = Xy: X Y = X. g. 
x.
 4
 p2.7. sit G = Xy. X3
jam ex agiuitit y= F relaoe quacunque siet g = s. g: f =
et s
4
et fiet  Xy. X
X. y 
X.  (X 4) = F. y. A. h. 9.  ~ (4.9
et fiet denique
pels
o
X=
1
gy- x. x
et ponendo X - yy
fit X
P= y
ugus. gu
seu X = 
seu X = y2 ut aute
Ergo si talis aequatio est
reducibilis ad ordinariam,
alo semper exporen.
tam qaxandet constant
qua ulitati