# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/60611/text
# Catalogue record: 60611 — [Aufz. zu Gleichungen 4. Grades, zur Integration irrationaler Integranden]
# Incipit: Postquam multis frustra tentatis non potui reperire rationem indefinit
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=60611&katnr=57527
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 334–335 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 334-335): 4 pages, canvases 663–666, page ids 00068196:0663 to 00068196:0666
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=663
# Lines: 146 recognised on 3 of 4 pages, mean confidence 0.87
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 334r — 00068196:0663
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 335v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000663.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Post quam multis fust tentatis non potui reperire rationem
in Nattonalibus indifinite in rationalibus extrahendi radicem quadraticam
ex ex x x ex  ex X + aaXX + b, vel quod eodem redit  ad scopum
nos nostrum ex X + ax +b x + E; adeoque mneto ad huc minus ex X L aX + bbX + ExFd
alia rem via aggressus sum tentavigam succederet extractio in irationalibus; ita
are
radicum ex formulis inferioribus. Varias ad eum rem vias habui sed calculi prolixitas
me hactenus ab excentione deterruit. Quoniam verd hinc pendet Analyseos letrago-
nistiae promotio ut si res sucedat analysis habeatur dimensionis Curvarum Ellipseos et
Hyperbolae; supereificiesque eoni scaleni, it quae alia in Geometria Conica dimensoria
adhuc desunt; pta peccaturum me putavi  in publica commoda
si inquisitionem desererem, praesertim cum semper numerus arbitrariarum assumibilium
appareret sufficiens ad aequationes comparatitias praestandas et, quae rest possibilitatis
spem facit, et credibile sit, si quidem possibilis est exitus, calculum in aliquid
toleratile desiturum esse. Quemadmodum et illud placuit, quod res facilior
apparut pro X +aax + b, quam pro X tap + bbx + Cx+d, quod non ut prius ad
Et primum quidem videbam an ex  g aaxx +b posset extrahi radix hujusmodi
X tax +bix + c3, reduci potest
x Et primum quidem cogitu Et ante omnia quidem deprehendi, posse adhiberi
utiliter Sq + Y4 + 16. ponendo t = 10X + n et 4 = cox + 3, et 6 = 30X + 31
 vel posse adhiberi 12 + Yh6 + 146. Nam Cubriusque Nam quodcunque
horum tri nomiorum eligas. quadratum pariter ejus ac quadrato quadratum
non alias habebit irratiorales quam has tres tH4, et Yh6 et 146
posterius tamen hoc comcmodum habet, quod etiam X et X non alias habent irrato
nales. cum adhibito priore Trinomio, prodeat rursus posterius biraomium
deinde consi deravi, fieri posse ut ex foruuila rationali ex trahi queat
simul utrumque trinominm in X et X
radix hujusmodi, seu ut s LxaBX+ ex + sit - . X +. FrX + 1G 2 + VGt BiB
vel .XF. Ih +8. X.. s2 +. Xm NS sed hoc generaliter praestari non pr nam aequalines
 in absoluto, sunt 3, in quolibet trium ircationalium sunt 3, fient 3.2 + 5.  = 11 sum sunt
priore autem modo  prodeunt literae 9; posterire, 12 in speciem sed revera etud non nisi 9
 Unde judico non posse generaliter fieri talem extractionem
itaque ut procedere possit extractio oportet  ut prius formuta X et. trans.
 verbi
gratiae X =  (tZ +t + 128 + .. v +.. v. (pet X = . D +. V  . V+. ∞. V +. d. 1G29 et
Nec, quiequam amplius erit in _ _ X a . p +.Xr. X + X = 8. Ex quo ut ex trahatur
radix fiet   =. v +. v4. v +. vt. v It2 etc. ita habentur aequationes, coparatitiae
in rationali 5, _ in irrationalibem quolibet 4, inde 3. 4 seu 1245 fit 17. arbitrariae in
Z 458 sunt , quibus in valore x excedunt accedunt duae in valore vero Z accedunt
A 3 et 3.2. sunt 61 2 + 3 + 6 =17. quod videtur sufficere.  sum videa modum
esse posse adlibendi ut sufficiant equades sub comparalitiae pauciores, si scil in ircationalis
irrationatis in e multiplicetur solum per jam dx etiam non alias continent
irrationales quam t, stit, 146, ergo dx ducta in _ non alias dabil, adeoque
trc pun si faciamus X= I + (2+ Aa, sum in n titre p. non entfun
8 ux haber potest ex quadraturis Conicis
te e erit (. v + V+. V +v+ stiq erc.  q conferenda formula cum quadrato
exerlato ab 8 =. 1H2 +. 146 +. 126 + v+. V Habemus aequationes 3+ 2. 3- 9 hrliterae
vero sunt numerd 6(0b X), et 5 ob 8 funt 11. Ubi duae videntur esse supernumerarcae
sed alimide oritur difficultas cui nec sufficiunt quidem. Nam in ax pudibit 
irrationalis trina sF 26 mulbiplicata per   +.= +.  unde reducendo ad ciem
utatu iepi s de   e ad a  
ant ae ttut o e e  meite in tir
grapi
non suci
et

## Folio 334v — 00068196:0664
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 335r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000664.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
C
Quia ergo praecedens paragraphus non satisfacit. quod tamen
videasuns ais sie
fecerat ipso prior, videtur melius sec procedi posset, sit
X= sh + 1Y + 18 et  _. X l . X C +. x explicato prodibit
et 
c. B +. D +. v +8 +.  1t2 +. v  + . v. 126 =94. Sit jam
+.v
Q= et . 13 q . rigsq +. dBs se  verum ita video GG excilatum
ex oy. 4. osurgere ad X in CB rationali parte, et ad.  vit2, et similem
in, quavis irratinali, quod tamen deest in aeg. 3. itaque ne hoc quidem satis
aptum.  Quid si faciamus p=  v eot er et in
ux x p erit ve
Notandum est ut obiter dicam ipsius . 28 +. 1G2 +. G6 1
quadralum esse radice sua simplicius quoad irrationalitatem, nam hoc
non alias continebe irrationales, quam cle aotue +. V +.. 15
+. 1t4 +. 1G8 +. 128. Va et quadratum ipsius 1t 26  . 12, +. 6,
ilidem es  radue sua complicius nam non continet nisi sctum has
hesirrationales. t4 +. 1t +. d2 8
aelepe sed ut a in viam redeamus Rhactenus una non nisi
una affuit ratio praestans descederatum, qua sabf quantum jpdicari
potesti sed nunc aliam addo, in hoc diversam, quod non X+. X et
aequatur quadrato, sed resolviturs in duos factores. XX+. X +. X et in
axx + ux +a X quorum illud aequatur OOD, hoc vero a quatur BeG
ita enm factum est 0d 39 et ita aequatur quadrato. sit autem
X = 144 + to +46 +. v +. v. et h= t 10V +1 et 7 = 2ovr 2 et
6 = 30v + 31  ut paae ante Et O - vstur; +D 2 +. v 16, et simliter .
sed D =. v 12 +. v 1_ +.. v 148 +. Y +. v ita in
O5B non dabitur insi tres +. AAB +. 128 +. quod proinde etaam
ducto e in ax non habentur aliae quam hae irrationales. Porro
Me aequationes sunt in parte Brationali hes idque bis dat 6
in partete irration ali Arium quavis duo sunt b, dquebis est
literae s, seu h, 2, 0 sunt
in C, sunt 3, in e sunt 3. faciunt
in x proter sunt adhinc duae
in ) sunt 3 +2 seu a
Hoc ergo sucressumpromittit
6
(2
18 Aequationes
i9 literae aequatitio
Atque hactenus quidem semper Trinomium adhibuimus, nempe
vel q + t +. 12d vel nsq + .2 +. , Nunc
vidlamus puto rem etiam solis bnomiis confici posse paefertim
Cum scilicet ab sunt X, et X adeoque cum formula aequuonda quadrato est
tantum ux + XX +.. X Nempe sit X =  2 + 146, quo pact
CeeNempt sit  erit X +. X +. X =. v+. pt. B V+ . V + uDrnb a vr. B 1t6 - q 
sit  Z2 .x+ ux 1t4 +. v+ v f26, unde excitata E8 erit similis priori in aerys 3.
Et quidem in utroque valore ipsus 88 Toeficiens irrationalis  potessidividi per 2
unde acum loco vet. hiet  t, etc. Ergo ob Errationalem, lingl quatuor
ars
tres e aequationes comnpantitrae, ob rationalem erunt, 5, summa 8. at liblr
eramus
hariae in X seu  26 sunt 6 jat in 8 sunt ad huc 4 summa 10.
loco aeq. 4 ponere _ i +. n + aB + l. D r. V (ti6. ita erunt aequationes ob rationalem
cartem C, ob inralitualem 4 summa 9. Et lilera ob x erunt 6, ob 4 erunt 5 sumna 11. ib

## Folio 335r — 00068196:0665
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 334v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000665.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
pursus duae supernumerariae sed pria modus simplicio, oldepresporo 
et minorem numerum aquationum
quod si x FX +. X. resolvamus in duos factores. XX +. p et
C
XX + ax. situe ille aequ. 00D, hic aequi )8E. sit rursus
Xe l4 + 126 et O-.. st 2A
et O=: t et 9 -. 16 et
s
AS
X2  1t4 + (76
D=. 1H8 + vrav. fiet OO = P. vr. v+ . v +. v+. v 1O et siliter gG
Aequationes ergo sunt ob partem retirualem 3, ob errationalem 2, summa S, utrumque bis fib 10
Literee nt ob X sunt 6, ob O et 4 sunt 2. ob ) sunt 3, fit 11. Ergo sic
quoque datur exptus, vigetur tamen praeferenda Methodus pagn paragraphi
Maecedentis. Hanc ergo actu ipso fenteraus
possemu et caeteris retentis facere x st + YS
X= P. v+ V st + uv +o 16 sed ita amifferetur 2, quanquam in locum
et
darbitiariarum quas continet, alias sic obtineremus sed illud obstat
quod ita x ascenderet in et rationali parte ad v, in rat irrationali
16)
ad D itaque relentis 0 et e ut ante deferet feri  =. Stio +. D +. D +. B
ita haberemus, b x _ aequationes et OO)L. v +. 1 +. P +. P+. 1 + P 1H et
epaque sipmililer supro De+
fierent artibun  aequationes pro parte rationali 4 pro ircationali 3, summa 7
ut et  quo bis facit 14. literae vero arbitrario forent, quo
ne
ob t et 6 forent 4, ob X forent ad huc 4. Nam ma ibi superfluc de ab
in O et B C n nullae, sed in d)  forent 1. summa,  12. sed ita
numerus est inferior justae. Ergo insistendum Methodo paragraphi
praecedentis, vel ante mraecedentis pro XX X+. x + ux. AL
pros X +. X + . X +. X H, ux. recurcendum est ad superius explicatas.
placet autem quod Methodo hac duarum si solarum irrationalium
pl et 16 sie 3tia 12 nullas successus hic promittetur, nam atioque ui
enim Mehodem diffiderem pro tribus successum promitteroti

## Folio 335v — 00068196:0666
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 334r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).