# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/60617/text
# Catalogue record: 60617 — [Aufz. zu Gleichungen 4. Grades]
# Incipit: Quaeritur pro valore ipsius x, formula ex tribus quantitatibus irratio
# Date: 1690
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=60617&katnr=57533
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 345–346 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 345-346): 4 pages, canvases 685–688, page ids 00068196:0685 to 00068196:0688
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=685
# Lines: 291 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.86
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 345r — 00068196:0685
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 346v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000685.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 105 lines, status machine
Quaeritur pro valore ipsius X, formula irrationalis extribus quantitatibus
irrationalibus  et una rationali, in unum additis constans; ea lege
ut sive ad X addas b, sive c, sive d, possit ex formula proveniente extrahi
radix quadratica.
Forma hujus Formulae sit
a x = pim + qun + rImn + a5
ubi l = 10Z+ na M = 20Z+ 2a R = 30Z + 31a. Sed has significa-
tiones non erit opus substituere nisi in calculi fine, ut scilicet compendium laboris fiat
et identificandum
itaque debebit esse
poem +q in + Y Im + a5 aequale, quadrato alicui a radice, 112 um = 13 sn  
ab
quod et
2.13. 123 Mrm + 2. 112. N23M sb +2. 112. 13B rmm Fom
psidentisicandum
2. HS  (. .. +2. 100. 43f. . . + 2. 100. 123f.-. p 25
pilm +q un +r Smatas aquitosbadrata alicu a vabla, 212 stom L. B n+ 2e5.) mh + 200g
quod erit
s
2. 313. 31ypl 4 3. 202. 223mhr L2213. 29 blmr r 2
2.200. 2129.. 2.200. 2139.. 2. 20022491. 213
125
m +qn +Y Int+ as aequali quadrato alimia radice, 312 m + 3 13 Vn+ 33 sum + 300h
perit
2313. 313 lm Y 2. 3 12.323M fln +Z. 312 913l f  312 
2.300. 3uho. 2.300319.. 2300. 323.
BIn
32
30
axtac =
et identificandum
comparationem astitula boippat, cibsvis nempe ex tribus quadratis
+X +ad
Habebitur P ter, item 4, item Y, item s. Nempe p tuim sertificantur termini affecti per
ut
cum eo cuj est identit
irntio Nempe p dum identificantur termini ass per irrationaem m
n
sic
sun
10899
evelipsinus q un ipsius a secundo (tertio
mere rationales
2. 312. 3c1
 2,212,21
2.300. 5
F31. 3
V
313. 2
3Et. 3e3H
30ei
prigmqvalor ipsius p in eo tantum differt a posicricti
p. = 2u13. 1232
 2. 100. 112f
q
p l 3
2. 1B. 1135
p = 2. 1lt
(10)
a5_ + 112. (12 lm
113. 113 In
123. 123 un
100. 100 85
=c213. 22n
2. 203, 2129
212. 2231
2. 200. 21 9
P 2. 212. 2.1
2. 200.8
(11)
ar22bn
23. 2h In
223, 213MN
200 2004
ac
Hactenus exhibuimus duodecim Aequationes identificatorias Fundamentales, seu praeliminaria
Nunc id agitur, ut hinc inveniamus, tum ipsas
in etiam nislatendo tumun ne tum sas l, m, n
calculi, quae nullo negotius scribunntur
ex Z pendentes. Quod oltinebimus opeae savendo ne unquam valor talis indeterminatae habetur
i et
indeterminatasq s,um etiam ipocot
per mepas determinatas. Id vero obtinesimm ope aequationum auxiliarum destructitiarum, per
10, 15
quas habebuntur ipsae valores determinaterum pro arbitrio assumtarum, isu
212, 213, 223
314, 315, 112
quod pro 100, 112, et C. ponitur 300, 212 etc et pr (300. 3, 24
isius P, quod pro n ponitur M, et  012 ac 013
Dalores ipsins
Valores ipsius Y tantum in eo differunt a valoribus
permutantur
psio
quod pro B ponitur l, et e12 ac 023
permutantur
primus valor ipsius as prs dispert a 
secundo (tertio) valore ipsus ejasdem quod pro
100, 112 ete ponitur 200, 212, ete (362 313, CH
et pro 5 ponitur 9. (h) et pro. 6 ponitur C, l
utum
H pro 5 ponitur 9,
eo
differunt a valoribus
20, 21
30, 31

## Folio 345v — 00068196:0686
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 346r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000686.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
alculus tali modo in executionem deducetur. Primum
ope aequationum 3)et 2,  aequetur valor primus ipsius p, cum valore secundo ipsius p,
et probit aequatio (13) Aequetur et valot tertius p ope aeqg. 3 et 2, valor tertius ipsiis pcam
itidem cum valore secundo ipsius p, prodibit aequatio (14) idem fiat in valoribus
tuce fet int s ipsius q, prodibunt 4qq (15) et (16). Et rursus idem fiat in valoribus
ipsios Y, prodibunt a94. (17) et (18) ita sustulimus litergs p, gr.
epe jam harum sex novarum aequationum tollamus primum literus f,g, h
Et primum ope aequ. 13 et 15, ubi sunt f et 9, (sine h) tollamus g, supereris aequatio (19)
quae dabit valorem ipsius f(2 valonem issius , sine g et h. Similiter ope 99. 17et
ubi etiam sunt f et g sine h, tollamus, q supererit aequatio 1 (21) quae dabit imlorem
ipsius iterum valotem ipsius f sive g et t; easque aequati Et hos ipsius F valores
inter se aequando habebitur aequatio (21)  in qua sublatae erunt f, gA, et
Sid mutatis tantum matandis ad instar aequationum
19 et 20, scribi possunt aequationes (22) et (V) exhibentes binos valores
supererunt solae l, m, n.
ipsius h. Tantum enim oportet per mutari, et e, in nota numerorum trinotalium
ante penultima, v. f pro 123 ponando 323, et pro 323 ponendo 123. Item
Atque ita duos ipsius h valores ex 449. 22 et 23
inter se aequando prodibit aequatio pova (24) in qua itidem aberunt 5, 9, h, solaeque
oporlet permutari b et d. 1
supererunt l, m, n, quae aquatio ab ipsa aequatione 21 sola proxime dicia
permututione differet.
Catculus tali modo in executionem dedcetur. primum ope
Nequationum  Vato aq valo ru primi et 3tii Ex ipsius B, 9 cos exhibent art. 1 ut 3
aequatio num 1 et 3 aequatur valor primus et htius ipsius p et poditit item  e
Primum ope aequationum 1 et 3 aequentur valor prismus et 3tius ipsius p prodibu ae quatio (13
et prodibit aequatio (17) item ope aq4.
.4 et 6 1. 1... 1.8....
... 2. ..
....... ..... (14
... - Y. ............-. (15
Hae tres aequationes 1, 14, 15 continent.  et h sine g, et earum ope habentur
et 9
liberatae a p
........ 1
primum duo valores ipsius f, aequationibus (17), (18) sine h et g, quas aequando prodit aeq. (19) 5
ubi o
a 1..
m n.
ubi nota et,
inde Et duo valores ipsius h, aequationibu 20) et (21) sine fot 9 quas aequa ndo prodit aeq. (22) sine (
liberata ab fgh, sine f, g, h, predita salis indeterminatis
Porro ut processimus conjungendo omnes valores in quibus sunt solum f et h, ita possum
Ila possumus conjungere vatores in quibus silum sunt f et g. et hinc fient iterum duo
valires ipsius f et duo valores ipsius , et duae aequationes sine trudu
h
et hinc nempe 1, 2, et 4 5 et 28, undi duo valores ipsius f aequ. (23) et (24) m ag sine f, g9 h
Et duo valores ipsius 4, aeq. 26) et (27) et inde aeq. (Z 8) sine s,g, h Et hae aequationes
17, 18, 19; 20, 21, 22
nisiquod
Eodem
23, 24, 25; 26,2728 non differunt ab aequationibus
permulantur h, 300, 31 etc  respective cum 9, 200, 212 et C
9 et s nempe 2,345, C
modo tandum possumue conjungere valores in quibus solum
unde duo valores ipsius 9 aeg. (29) et (30) et indoqu. aequ. (31) sine f, 9,h.. ) Et hae aeg4.
29, 30, 31; 32, 33, 34, non differunt ab sae quationibus 1718, 19; 20, 21, 22 nisi quai
et duo valores ipsius h aequ. (32) et (35) et inde aeg. 34) sine
aquationibus a 17 ad 34
aloris cujusque ex literis f9, h. et praeterea literas
ex
permutantur f, 100, 112 et. Cum 9, 300, 312 etc.
aequationes 6 sine ipsis f 9, 3. cum tamen suffecisse ut bini valores cujusque literae, et e9ue3
 itaque possemus forte contenti esse 9y. 1X1819; 20 21 12; et delude
utria inclusive habemus duas quatuor
sine ipsis t, 9. h.

## Folio 346r — 00068196:0687
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 345v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000687.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
Calculus tali modo in Executionem deducetur.  srinum ex v
imumi ex ipsius p valoribus 1 et 3, et ex ipsius q valoribus 4 et 6; habebuntur aequ. (13) pro valore
ipsius  f sine 9 et h; et aequ. (14) pro valore ipsuis sit sine f et g.
inditer ex ipsius Y valoribus7 et 9, et ex ipsuis qualoribus 4 et 6. habebuntur aeq. (15) pro valore
ipsias  sine g et h et aeq (16) pro vatore ipsius  sine fet 9.
Conjungantur duo valores ipsius  f ex aejus 13 et 15. habebitur aequatio (17) sine s ro dh
(19
14 et 16
Nota valores f et h, item aegu. 17 et 19 non different, nisi per mitendo 100, 112 et cum 300, 312, et
30os
jam jam ope valor adi et primi ee 2di ipsius P, habetur aequatiopoi qua g at s
fertii et seumidi ipsius habetur aequatio (21) inqua 9 et
in aeqqu. 20 et 21. substituantur valores f et h ex 13 et 14, et habetur
inea ope valorum
aequ. (22) in qua valor ipsiuso sine f et h.
pfius Y
habetur aequatio (23) in qua g et f
(24) in qua get
Rursus ope valorum priniprimi et 2d
in aequ. 23 et 24 substituantur valores fet h ex 15 et 16 et tabetur
3tii et 2d
Tandem cmparando aequando duos valores ipsinsto, nempe ex aequs, 22 et 25, ba
ex indeterminatis
arqu. (25) in qua valor ipsi so) sine L et h.
Ita habemus tres aqq. nempe 17, 19 et 26, in quibus solae supersunt
habetur aeq. (26) in qua absunt 10f q hesi.
m, n. quarum ope hab quaerantur tres valores ipsius l’aeq. (27)
ipsuis maeq. (28) ipsius et ipsius n in e9. 29). Herum aequationum
qui sed sua quia pudribitum est valorem ipsarum indeterminatarum
. c per meras ordinatas determinari. Ideo quaemis harum aequatio
nsevanes cant
nam nempe 27 28. et 29 divellatur in duas ut in 1
ipsae l, m n, ve. verb. gr. si aequatio. 27 fuisset Ol + D =0
posito O et D esse formulas ex meris determinatis constantes, ideo
divellendo aequationem in duas fieret Ol =0 et D =0 seu
= 0 et  =0. connescente l et manente in sua indeterminatione
His tribus divussionibus nanciscemur aequationes sex nempe
(3 B0) (31) ex 27 Et 32 sum (33) ex 28, et (34) cum (35)
e
supersant jam tres valores ipsius a5. Et ae quando valorem
primum cum secundo prodit aeq. 136) aequando valorem 3fium cum
da his aequationibus pro ff, ggc
habit in aqq. 13 et 15
ex 2
pro  hh ponatur prodioctum pduobis aloribus ipsius A habitis in ag9. 14 et 1b
secundo prodit aeq. (34
pernatur productum ex duobus valoribus ipsius f
9 habitis in a4q. 24 et 25
denique pro 49 ponatur productum ex duobus vatoribus ipsias
et fiet ex aeq. 36 fiet aq. (38) et s ex aeq. 37 fiet aq. (39)
Hta duae aequationes sublatis f, q h solas jam continent a
indeheminatas l, m, n, assurgentes ad gradum edum. Explicentur
per Z, nempe l per 10Z + ua  et m per et (et m, atq n
similiter fient duae aequationes (40) ex 38. et (41) ex 39. in quibus
lac
et n 40y +8=0
f9712Z+626 et 42
 habentur
ubi tr, 2, 6, item _
per meras determinatas. quales 12, u3, 123, 10l 11 et e. Hatum duarums
e
habe hujus formae 222
aequationum quaaeves nerpeto et a1, quaevis divellenda est in tres, ut tollatur
120
ita ha
Aopn  quis si qua
quarum quaevis est divellenda in tres
determinata Z et habemus aequationes 6, nempe (2 aequ. (42
) Y =0 aq. 16) 8-0 aq(7) 8=C
sen 42, 4344; A5.
104 24) 8 -0 avalio l 10 ni t 32 3)1. 181 BL. reterminata F 51. us arbitis dis. G G
le
316
s

## Folio 346v — 00068196:0688
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 345r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000688.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
pertis ergo l, mn, et determinatis, habebuntur p, 9, r, 5. Et quide
explicando eorum valores medios, aequalionum 2, 5, 8, 11. Ubi pro aequ adhibe
bitur primus valor ipsius A, pro aequ. 8 valore conder ipsius 9, sed pro aeg.5 valor compositas. ex
atroque seu summa valorum dimidiata pro aeq. 11. pridu loco gg productum exdiobus valoribus
ipsis vy.
ax+ bb = vY ax+ CC = 9y
Vax +b. -1, fax - b -1 = vn
t 11. 1
3, a 5
a lo 1530
lin ap = 2 ab
 m = 2
Cn-imp. =. rac
(= 2ab + nP, : m
aX2ad + nin: P
haboanpp =radm tmmn
ax+ id = d) fit x = ∞+ b, v - 1. = 9 +C, 1- c = drd, Q. d - lump
veb =  tmnogr vtb = ln v - b - np yt c = lp y c- mp
v.. 21a - ab = np + ab
2 = In -ac = mp + ac
Z = lp - ad = mn + ad
ln = ab = 10. 20YY
Z1d = lp 7- d = mn
sit l=  10F4 na, L: 5orL 510.
20r + 21 a, 50r + f1a
40r +41a:3 dor + 8l a
8 arbitrarias pro qaeationibus
1= noteab, :m = mn +2ad, : p app F rabp = mmn + 2adm fis n = 2adm. 2ab p
sed ita habemus tantum
extonim
= 2admp. ratpp + rabxB -rabmm, :, mpp - m3 seu l = radp- 2abp2, . , pp rum mm = sp
l= 2ab P p L 2abmm + 2admpL. 2 abpp
in um -R=
Eadm - 2abp, : mm- pp
seu (= aod p - 2 abm g. 1l perunt, ut permetentur pet m
nempe valvet 
207 +31 a,:, 3or + 71a
oa + 11. 2aa = 30. 40rY + ySa + 31. +aa
+
 um
valores let in sulici tou in ag. Ex nad In-inp = rac
n = 2adM = 2 abP,: pp. mni
mppa m
et -n, ita
M =
136 10 15