# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/60685/text
# Catalogue record: 60685 — Calculus differentialium per aequationes generales
# Incipit: 0 aequ { 0 + 011x + 012 x² + 013x³ + 014x^4 etc
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=60685&katnr=57672
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068197
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 2a
# Folios: Bl. 129–130 (from the shelfmark LH 35, 13, 2a Bl. 129-130): 4 pages, canvases 257–260, page ids 00068197:0257 to 00068197:0260
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068197&page=257
# Lines: 307 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.80
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 129r — 00068197:0257
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 130v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068197/jpgs/default/00000257.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
Calculus diffecentratum per aequationes gerarales
ottxes
0+01 X +012 X +03 X +01 4 X F etc
+021 y + v22y +823 y +024 y ete
L2
+ su X + 1IEX L13XT3IIAX, etC xy.
+ ay +8122y +f123y + 1r4 yt etc. xy
Ruxirx+BBx et Xy
=f2217+ f22gy +2237 +f224 etc. Xry
+ Y3 CCX +(3 12X + 6313X2+ B314X etc 
+B 219 2B 21  163 239  53 (7 etc Xy
eu
seu 0 +3IX + 31y + 32X+ 32y+ 33X + 33y.
fiit Ngg. 30 dx + 30 dy +36 dy + 3edy + 32 ex +32 dys + 33dx + 1) dus
Na 0+ 1o1t fo2 + f11Xy +6 12 Xy + fuxie su
Compendio Aequatio ad curvam generalem
Quadratricem sic exprimetur
30X1V+
Naque d xor ax + dfor dus
d pii, ex Xy +  dx + fripdus
00 + o1 + 02 + 11 + 12 + 21 + 22 et C. aeq. N.
f12 dy A1 G
sit dx Xis (2) Nax +firsudus
522 dy.. Br2 (2) dx +raydus
231 dx X Y31B)X x +f316) Xyd
332 dy .. 1326) ~y x +326) X dx
+02353
ubi 00 signi sicat constantem e+ significat etX  oX 1013X etc. at 02 significat Orty+oyid
Ot significat o1IX + O12X +013X +0Vt Xe et i  fochy tol
pesignisient 0cy 10225 erc.
9 significat 111X + 112X + 113X ete in xy e2 siguit. 221 y +1227 +1257 etein xy
et ita pono. In qualibet enim coefficiente trium noturum prima nota significat timensiones
ipsius Xy. secunda significat utrum in multiplicatore potentiae abxy, contineatur.
Xau y, si nota est D. coefficiens tunc continet _ X. sin 2 tunc continet
y. tertia nota cotinet dimensionem ipsius X vel y. Et ita 214 significat xex
e
tarm
erior est diam
Herentialis erit: (dX d 11 +21 + 31 + 3p etc + dus d 12 + 22 + 32 +42
+ () Ey 1 (1) 1) + () f1 X y 1(1)
n
s 9
+ () 11 X y +Xy.  t dx CyyY i+  + B (2) Xy 21 +2 + 3) XG 3I52 etc
Nihaequ
a
vel possumus autem pro dx ponere a, et pro du,  ponere Z
et compendii causa scribere dx A+  B ae La D Ma + N, + PZ. vq. H. N.
fiet: Z aequ. C a L + M a
substituatur in aequatione data
N + P.
Ait +  yaerX LorX + BX +oUX Aliter y COK LOLK FOIX +05X
umerEx AX
+
Y. uxtEX +X EX
1
Alitero  vihil aequ 3, 00X + OIX + O2X +03X eu seu aequ Y o. y + y ry ere
y, 10X + 11X+ 12 X 4 3X etc
V, 20X +2IX + 22X +23X et
et
I
Lc
Nihil aequ. _ y do dx + (). B. d y do a + 9)0 
y de dx + d9, 1 dy seu y di a )1
5 d2 dx t ) 2 7 dy y de a
W IE
y d3 dx + 6) 3 3ydy y d3a ())3 774
e
fiet Z aequ L a. ht jum aequatio
sit jum equalio: ZV DZ + Z + () L u. 4. 0. posito (e) ogo Cat X 4(6) X 16) a erC
et (et v b) ox 6) 1 ∞ +() 2X etC
et quidem si sit (t 2 abt Z aequo 0. fiet (0) + ( L
O. T. HI. III. sunt mudis it aequalio 18 (0) Z + (1) Z aequ. Nih. tiet: M (0) Z + 2 a (1)
seu  O. + 2, + II. 29+ 21I. 3. y + IV. 1. 7 (9) _ dory dix y dle, es
debent coincidere O0 () 1 a Fot) et O. item N 1. 1. (0) + a do (1) et 0
item I1I. 3. (0) + a d2 (1) et 2
item LI. 2. (6) + _ a di (1) et 1
un unm eoseot perereuus ao tarenr srrate
Saegu
Ergo
AZ

## Folio 129v — 00068197:0258
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 130r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068197/jpgs/default/00000258.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
Rem nunc de in tegro resumemus
 orir ota o y
11 + 12 + 13 +4
21 + 22 + 234244y
31 +32 33 13y
Unde differenttati
H
Quadratrix quaesita
q. Naequ. 9, 00 X + 01X + o2X +03X+ X etc
y, 10X + LIX + C2X + 13X + 14X etc
9, 20X +2IX + 22X +23X + 24X et
17 30X +3IX + 32 X +33 X + 34X et
et
erC etc.
Ejus differentialis
Ho +LL. oi VAllosaX H IHe AaX et
L. n HII. praxt MF L IV. auX etc
 Ejus differentialis
NH, 60X 10LX +02X 10XX et
Naqu. 1. B, 10X + I IX +IX + 13X + 14X etC
Duy.V, 20X + 21X + 22X + 23X +2 X. etc.
1X P.V, 3OX +3IX +3IX + 33X + 3+X, etC
ese
er M
erit.
ett
l. II. III. _ sunt numeri ve
(0) (1) sunt doti
B. 1. sunt quaesiti 3 per
et differen tiale in compendiosissime exprimendo fiet vM + at aequ N.. seu vaequ 
do.y + di. y + dc. y et
 hunc Caleula
is veru haberta
0. y + 1. y + 2 y etc que coincidit cum aeq. 10.
s
stunoato jum o xgerallex halitur n possi absit 2 inbalitud adtus serul 1. que dum debentvincidere. Semper antem abest per ebrenm quod summatiax aoq
Loco Aequationis 7. assumatur alia inqua V assurgat altius quae ita scribetur
seu distincte Naq. V, CI. X 491X 46) 2N 4(0) 2X etc.
v, () OX +() 1X + Cy) 2X + (1) 3∞B et
et pro y substituendo valorem ex aeq. b. fiet:
V C) 6 6) 6)
(e) M  - (1). 11 ML + (2) L aequ. N. quae rursus coincidit cum aeq. 3
ut distincte explicetur, opere ipso perficiendum est
quod
sit jam aequatio data ad ordinatam V. et quidem simplex: (N aequ. V, (0) o X + B) 1X + C) CX + (I X etc
vel compendio Naequ (0) V + (1) V. substituendo valorem ipsius V. fiet: () M (1) Lq. N.
explicemus ergo aequ. 9nper aeq. 4) ut irdere appareat quomodo coincidat cum oqu. 4.
Aliter promredi
licet, tollendo
quia Y facul
Ergo coincidunt: + (1) F. 1 - (1) do (D 31. 2 - (1) d1 () II. 3- (1) d2
N d. (0) V + (9V + (2) V
Compendio: Aequatio ad quadraticem erit Naequ oy +, Y + 2 Y +35 etc. concidit cum
ayido
= 1Dy. 1BIy 2tIVy: 3 etc seuto M
v, (1), oX +() 1 X + (1) 2X H) X etc
tollatur
Rationarile
nolixo
etc
e
+ I 21 a X + H 22 RX + IH23RA = 1V 4 fX
C
Aequatio differentialis N asqu fy do 4 ) der  d + )d3 etc sente L
(4
fer et loco ry. 9. fiet e + (0), + 4 2.1y.  + 1I. ~. y + I13. y. etc
Naeq.
+ y, + I. 01OX + LIg2XXF IlosAX + IIoTAX etc
y
quae aequatioq debet coincidere cum initio proposita 1 vel 3
Naq.) - (1)
sed quadra trix initio assumta
seu aeq. 3 erat:
altius assum
V N+Z 1 X + UI12 LX L MIBAX + W. +HX erc
V3
vero differentiallus Naq 
0)
1
seu compondio P.G  EG439+4G aequ. N.
Ejus diffecentialis
corne orxroixtog
nixatIl B3 KatB OX
+
+
 aequ. 3.

## Folio 130r — 00068197:0259
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 129v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068197/jpgs/default/00000259.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 101 lines, status machine
(2)  L aequa) L0.) + H do. di. y + 11 do. da. y + 18 do d3 y + I1 do d4y + I1 dods
II L_ aqu+
UIf Maequ 111)
(
+ de y + I1 dedry +, d eds yF +1. de d4
+ di y + 1t. d2 d3 y
t
+Vdo alyZ tVdos  +VIdo. 6y
Pdc. 1Y + 11d1. 2 y +III d1 3 V + IVd1. 4 +V d1. 5y
1d2. 1 y +I1 du. 2y + IIIdr. 9 y + 1Vd 24. 7
+ 1 d3.1y + I1 d3. 2 v III d3.3. y
+ dg. 1 y  11 12 2
+11. E y. +u) 1L. 1123 yFII. 112. 4y Y +II.V2 5y
+ UII. 3 y Y(11IIB3. 4 y
ay. 3 Naey. 0 y + 1 y +2 y2 +3 1 + 4 y et
ergo coincidunt: (1)40 - 11. (). 2d0 + (D) Y
+ 231 a X + II 32AX + H3 N + 1H3 ++ X et C
L
MMM aeq L : V, (Ly +)  3Y + IIIX. 1. 4 1y = (i2. 5 y4 + III . 6. 1
coincidenscus
aeque
15
(9I1) d0. d. - 11 (1) 11 do 2 + () (. 1. Hal. 2
in l de. 1
(BIV dodr - 111.) 181192 + (0) (II. 1IIII. 3
d ... BI. d0
1 d2. 1
3(Iod3 -IIB; IV. do 4 +(9 (11. 1WY P. +
-(dc d2 a 111d1. 3. (1YHII 2.3
II d2. 2
1 dg.
(2) Ulto  - 14. V do 5 + ( (1IHo15
H1. AR2. 4
Naca3
IVdi. 4
M dr. 3 ()I. 3
a22
e
et.
et
et 4
paulo ante
()L. 1 - (1) d0 cincdi  0
() HI2 - (1) de
(ofl13- (1) d2
(0)1V. 4 (1 d 3
(B)V. 5. (1)d4
Non difficulter habebitud progressus
in infinitum
stagna autem calculi contractio ex eo sequitur quod demonstrari potest ipsa
natricem
V differentiali non ascendente ultra aliquem gradum,  etiam y non
posse ultra illum gradum ascendere Quod ex eo semonstratur, quia  necesse est
itam
posito quadratirem quad atricem esse netiorec cimppono scilicet equationem propositam
non esse ambiguam, seu ad plures curvas sed ad unani tantum. Nimirum Cra V summen
tot habet radices seu significationes possibiles, quot diment unitates sunt in gradu ad quem
ascendit. Ergo et summatiix ejus tot significationes habere debet. Quod si summatix
eu habent ad huc plures significationes et sit ponamus jam summatricem ejus adhuc plures
habere significatiines. Quaeratur ejus differentialis ea etiam tot habebit significilione
alioqui aliqua gudicum quadratias nou haberet differentialem; non plures alioqui plure
idque tot habebit significationes quaesa
Hoc differentialis cum data comparanda est, quod
erentrales quam  eae quarum sunt differentiates
data eliam tot habet significationes habemus quaelitum; plures habere non potest. Eagia
dis
non pan
differentialis, quot earum habet summatrix
quaeritur an possit habere capeiores. Ergo debet sinventia differentialis quae utique est Aleabra
habi Noletur quotiens duas ergo ha
s
posse. dividi perdatam. Et proinde Duas
simimatrim est data Ergo
betesi volutu, ejus emim ess
qualibet enim harmu cum sit Algebraice ad rabilis erit per proprium summatu ce
et summatuix duas Algebraicas comprehendit, con
Ergo non potest summatrio altius ascendere quam summanda _, quaad gradum
Heute tuntum Iot
DC
perentrales sed quae
po es. d. 2. - 11) d0 =  et  () d1 -
sam in casu quo habetur x sufficimnlduae aequationes e
In cusu v sufficiultres: (2t 40 - (11) () L40 + (0) 12. 11 = 0 (2) 11. do 11 = 11. 6) 11 do. 2 4 ()111) 1. F. 2 2 = 1
1 41+
neflum etm, et lilebitur deniue d quatio
suae dimensionis. g. E. C
et (2)(11) do. d2. = 11 11) 11 d0. 3 4 (0)(11) 1. III. 13 -
es quaesitae postositu. ita 6 aeq. B fit: 1 = 0 + ()de,: 3. (0) ergo dato es l1 exeye
-
possunt autem B) de de
itermerat dato
I1. L1. 2
eq in qua sureriit taatum d0 et 0. ubirtandem. um sol 0 assumendo
bel aliu
. 1d2. 1 usa
substai aibituo
tam pubire dabet equalio ddenlica ex selis, tamm retellimam erare, sendim quo laptissima
terminat
aequ. a
quos
explicula

## Folio 130v — 00068197:0260
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 129r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068197/jpgs/default/00000260.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
Sit aequatio quaesita
pro lansentium inversa Methodo, quando ponitur du: ax dari simpliaiter
valore rationaliter ipsorum X et 7. L Retineamus aeqg. 1. 2. 34. 5. 6.
loco aequalionis 7 ponamus v = l0)y + 6) Ly + (2) g. esc: (0) y A (1)) y re sus
seu V = P: Z: jam erat V. V = - L 1 M. et fiet: RA  Lq + M P = 0
st autemd LG = (0) do 1 + (0) dy G + (0) d2 y + (0) d3 y
+(1) d0. + (1) d1 + (1) d2..
+ () do + (2) d1.
E
+6) do. e C
et MP L(oBB y + IL [012y + HHoB3.) + 1HFOp4 y
O
22 P1D1. + 11 (12.. 4 111(1) 3 ..
+ 1(27) 1 + 11(272..
+ 1(3) 1..
ele ec
quae aequaitio coincideredebet cum
0 y + 1 V + 2y + 315 esc
ubi (0) (1) (2) etc
(pB, (1)) (2) et
sunt datae
at 0, 1, 2, 3, dc quasitae
) et opus ost aequationem praecedentem LQ+MP esse identicar
si ex aequ. 3. a quaesita tollatur y
Notandum est si pro estituat. tollatur aequ. 3 in definitae, oste aequationis 4
datae superfuturam solam V, eam vero non debereultias assurgere ea autem
sublatio non quidem actu ipso facienda est; sed cogitanda tantum animo, ut sciatur, quo
usque assurgere debeat aequ. 3. nec veii ne sublata y, assurgat D altius
quam Y. itaque si in aequatione 30 set ex tet y ner non poterit
0
tunc aequatio 3 etiam non ascendet ultra y3, nam ut alius ostendi
Si sit aequatio y.... + v = 0 et alia  etc =. 0. et epeposteria
tollatur y ex ag. iiori, non polent ascendet v altius quam ad v et in
universum eodem ascendetur utrobius. At si in aeci. fuisset v tunc
Cnisset asceniendum ex istente  ibi y, debuisset in aeg. 3 assurgi ad
Et ita determinatam habemus Methodhum pro Targentibus inoepsis non mmais quam pro
quadraturs.
si ex natura replicatarum
1. 1. 1 etc sunt
numeri communes.