# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/619/text
# Catalogue record: 619 — Methodus judicandi de radicibus aequationum possibilibus et divisoribus possibiliter conceptis et notabilia circa curvas et puncta reversionum
# Incipit: An aequatio habeat radices impossibiles, et quotnam optime judicari
# Date: 1684-08-30 (84-08-20)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=619&katnr=58196
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068201
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 14, 1
# Folios: Bl. 156–157 (from the shelfmark LH 35, 14, 1 Bl. 156-157): 4 pages, canvases 311–314, page ids 00068201:0311 to 00068201:0314
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068201&page=311
# Lines: 270 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 156r — 00068201:0311
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 157v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000311.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
20 Augusti Method
indicandi de radicibus aequationum possibilibus et divisoribus possibiliter conceptis et
notasibia circacurs et puncta Re
1684 An aequatio
et
habeat radices impossibiles
et quotnam opti
judicari potest ex curvio suppositis, quarum intersectione soluo ad
C
lneis
Nam
curvam AA
qua est ad rectam DBB. posito B esse Y, et quamlibet
EB, pro aequ. 3  dici y  itemque quamlibet
EAt proaeg. 2 dici etiam y. quamlibet autem CE
dici X.
Recta autem DBB curvam (AA
toties secare debet, quot aequatio 1 habet radices, possibiles
A
si quatuor possebiles,
nisi ubi duae illae radices sunt aequales, ibi enim curvam tangit.
in punctis 1AB EAB, 3AB
sut
Sed quia aequatio 1 habet quatuor radices vel possibiles
vel impossibilas seu imaginarias. Hinc vel linea
AA vel quater pervenit ad rectam BB, vel saltem quater ad
eam tendit, quaterque ab ea recedit; ubi enim ad eam tendit sed
non pervenit, priusque iterum recedit quam ad eam pervenert
sexte.
ibi radix est imaginaria Fut si aequatio 1. esset quinti gradus
seu binque vadicum, et quatuor essent possibiles, AB, 2AB 3AB
sex
AAB, u impossibiles quam tam in curva quam in recta
duai
designavi per XAB, patet ibi curvam ab L tendere versus rectam
seu versus Xo6AB s non eo pervenire, sed in medio cursu  sisti atque
regredi versus M. si aequatio 1 esset septimi gradus et praeter dictas
Octam
 possibiles u duasque impossibiles, duae essent radices aequales, de
seu duo valores ipsius X, nempe Dy AB et D. YAB coinciderent
ilemque duo valores ipsius Y sendaa E e E7AB et EF AB coin-
ciderent, ibi recta curvam tangeret. Si vero soluum duae X non
veri et si Aequatio I. esset o gradum et post contactum AB
curva versus E regressa, deinde ruisus tendens ad rectam CBB eam se caret
in G1B, foret D9AB nona radix, seu nonus valor ipsius X, et inde curva
rectam
aequatio
cursus suum continuaret, nunquam ad DBB regressura, quia plures
radices vel vera reales vel imugigarias non habet
Hactenus curvam AA supposuimus semper descendentem, licet
nunc dextrorsum nunc sinistrorsum versam, nunc consideremus
eam etiam modo descendere modo ascendere rursus. Et
quidem notandum est, si quaeratur aequatio differentialis ipsius aequationis
2 ad curvam pertinentis, et ponatur dy aeq.o. a Endeque fiat
nova aequatio (5) quam jungetus cnam aequ. 1. quot quot in ea
radices habebit X tot erunt puncta reversionum a dextro versus
contra si in aequ. 4 ponatur dx aequ. 6.
Sinistrum vel contra
quot in ea inde  si fieret iterum nova aequatro secundumX
tunc tot essent puncta reversionum aba descensu ad ascensum vel
contra verum sciendum est in aequatione qualis est 1. ponendo dx aeq.o
nihil habeni ac proinde curvas tate, nunquam a descensu
15
d
d aequi
Y
duae simul, una pro
sectione in accessu dea
progressu, altera pro sectione
in recossu regressum
unde patet omnem
se
imaium
impossibilam esse duplicem
tanquam si esset contacti
imaginarius; et proinde
omonem aequationem
impatem habere
aliquam
radicem possibilem

## Folio 156v — 00068201:0312
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 157r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000312.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
reverti ad ascensum. Quod nobis per commodum est, alioqui non parum
implicatum foiet designare ordinem punctorum.
porro ex princtis
oui htl reversionum sciri potest utrum aliqua radix sit impossibilis. Nam
dexterius seu
si  recta DBB cadat Trans N punctum reversionis ab itinere
dextrorsum facto LN ad sinistrorsum faciendum NM_), prit  illic radix duples
impossibilis, rade curva enim ad rectam DBB tendens u ante tempus revertitur.
similiter si curva ab iittere sinistrorsum facto reverletur ad iter dextor
sum faciendum et cu recta IBB esset i citerior seu sinisterior
similiter ibi esset iaginaria seu impossibilis duplex, quia auua etiam
curva ad rectam cendens autequam
aequatione aliqua facile judicari potest an data aliqua recta radicibus
ejus major minorve sit. et quibinam
Resumtis ergo aequationibus 1, 2, 3. quaeramus aequationem, qua
differentialem ipsius legor quae est quae est ad maximam et mi
nam Y, nemipe 4X + l2 p X + q aequ. 0.
ot ergo puncta reversio
habebit curva quot haec aqualio habet radices.
linea
Cum AA necessam
transit per C, quia X exsistente 0, etiam y est 0. Cum vero linea AA
aequationiss sunt i negativae, cum cadunt infra C, affirmativae. Et quidem
si Curva CAA rectum CEE in C nron tangit tunc radicespnt aa endant
Si y primi puncti
reversionum sit minor vet quam r, vel secundi major, vel tertis
minor, vel quarti major, ete. erit ibi radix impossibilis; sin minus
non erit. Primum punctum revensionum, secundum tertium, et c.
punctum ricisionum roco numerando eo ordine quo crestunt ipsaex
ita, ut x prioris puncti reversionis intelligatur minor quam se
quentis: in radicibus affirmatiois contra p
Si omnis
tudix aequationis propositae 1. eest impossibilis tunc omnis y erit
minor qua m Y. quodsi aliqua us (mmjos quam Y,  a latere ipsius Y
si y Scilicet sciendum
ffiraciencm si  t regotiva, tunc contras est
scributur X + PX + gX aeqo  yt hog. Y
in casu maximae pro yscribamus n, et erit 2X + 2pX + 9 aeg. 0 et XEX
+gX aeg. M. ponamus e aequ Y + h. posito h esse quantitatam affirmativa,
duae Ergo aequatione X +pX +gX ego rth et 1X + 2pX +q ag 0
debent esse compossibiles; seu quia h affirmpliva et hego X +pX Z 9X - Y
tunc debat X e habitu ex aq. 4k + 2pX +G. g, 0 esse X  pX + GX, imuja quam Y
prethodus investigandi alculo poterit esse talis: X + pX +9Xaq. Y. oy. y
X + 3pX + 9 aeq. 0
qaffirmativa esse a latere ipsius Y. negatioa contra. Intellige si Y. sit qimilitas
cutem ses
Est 
supra C pergit et ab illa quoque parte sunt puncta reversionum ibi radices
c
in sirictrm attamati in dertrum puncta reversionum supra C
cadunt in sinistrum infra C in dixtrum,
reversionum
necessario aliqua radix est possibilis.
aMa
Hpro puncta
ergo reversi
ligemus ea ton-
tum quae sunt
a dextro ad si
nistrum vel contra
tradicum affiru
mativarum
vol negetivn.
rum
+ab eodem latere
in quo est Y

## Folio 157r — 00068201:0313
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 156v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000313.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
posito Y esse quantitatem affirmativam, et X + pX + 9X seu C esse nenatir
etiam affirmativam, sed si C foret negativa semper, Y existente per se
affirmativa, vel si Y existente negativa, et 0 affirmativa, O est minor
quam Y. tunc minor est y reversconum, seu m, quam Y Non est autem
difficile judicare ut rum x+ pX + qx sit affirmation vel negativn, et an
tot possit esse major vel fipersiminor quam Y. Nam ex aaqu. 5. possumu
radices ipsius x haberesallem, in numeris, vel appropenquando, posito p et 
etiam in numeris dari seu respectu ipsius Y.
Odisendum an etiam cognosci possit atium aequatio ldata
sit impossibilis.
6)
(1
scribumue. Aequatio data est: A +pX + GX aeq. 
1X + bX
XX + bX aequ. y. Videbimus an possibile sit b tatem assumi
ut hae duae currae ad aegus b et 2. se selare possint Et quidem si
omnes padices possibiles secare se debibunt, vicibus 6 quia toct sunt
rerum et cumbiniones. sib duae tantum possibiles, ver etiam si nulla
possibilis tantum sbis. et quidem quia haec inquisitio in primis
an aequatio aliqua quadratica possibiliter ocepta iivisor intelligi
sialiopalie
quadraturis reducendis ad quadratura circuli et Hyperbila vet
saltem ad inferiores.
Godem modo poleru poterimus
scite an aequatio poorosita Octnvi gradus divisibilis sit
per quadrago- quadsaticam possibiliter reptam. Nam de septima gradi
non est quaerendum in methodo quadraturactum, quia ibi semper una
radix possibilis de sexta jam habemu, nam si divisibilis per quadra
2)
senit pro illo casu quo omnes sunt impossibiles, ut sciatur saltem
possit haec metho
cos possibiliter conceptam erit et divisibilis per tatem quadrar
loquadraticam. Restat ergo id tantum de eto grada quaerendumm
Tudam methodo.
ota hoc pstma Methodus poluisset ad
primdm seu simplicem seu ad screndum an daretur
pagseus.) faciamus inde duas equationes: X + px + qr aequ. et
er
. huc methodo curvarum
noo) dividi possit per quadraticam possibiliter conceptam, etsi ipsamet
e
1
radtix possibilis: Nam aequalio dita X + pX + qx aego 8.
2
posuiscm ergo scirbere aerquationes duas X + pX + qX aequ+r
1
+u
X ryo y quae duae lin prior aequatio est  ad curbam
posterior est ad rectam angulo semirecto ad axem.
et
quae si curvom
potest, secare, pr aequatio est possibilis. sed quantum ad hoc melior est
meltodus, prima, verum prima non  servit ut investigemus an deri
concepsi, quo sevit posterior
possint divisores altiores possibiliter

## Folio 157v — 00068201:0314
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 156r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000314.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
Nam ut sciamus an
4
LpX + 9X aequ. divisibilis per
2
quadraticam possibiliter conceptam, fatiendo X+pXEqX aeq
+
+ X + bX
et X + bX aequ y. Erit aeq. 3. ad parabolam
parabolam
al aeg. 2 ad aliam
Curvam: Et ut serri possit an aucsecare possit pambor
illa cuita  id judicari poterit eodem modo ex punctis reven
tionis quo paulo ante diximus ex punctis reversionum curvae
Curva
udicari posse an ad rectum perveniat. Seu qu seu
judicari id potest considerando an maxima vel minimam
Ordinatur curvae, cum ordinata paabolae conferendo
adem Methodus servit et in altioribus. Est autem b.
undetanto facilior res erit si quidem possiu
grbitraria
In altioribus ad huc plures sunt arbitrariae
sed jam video enorem si parmbila secat curvam utique ipsa
bilis est.
x est possibilis, cum nobis propositum sit investigare, utrum
t licet existente impossibili taminus sit possibilis, san aequalio
420
245
Mrelto
3 possibiliter concepta
ethatum ordinariam invenicudi divisores, possibiliter expressos alibi explicui
pendet a peror exitus autem aliquo mota flae videri pottest, ex nune torum combinato,
riorum Tabula. Nempe. Quia aequatio serviens ad innestigandum aequationis proposita
1
5 + 1 8
2 810 152
20 3
410 1b 3516- B
5. 15 15 301
216
120
10
divisorem divisi possibiliteo expressum quadraticum toc habet
padices quot tot. rerum quor in aequdata sunt radices fieri poss
ei
diniones Hiac rerum 4 sunt biniones 6. hinc aequatio pro invenia
divisore quadratico aequationisquudrato quadraticae assumit ad otum
gradum quae si aliqua habet radicem possibilem etia possibilisar expresse
divistor haberi potest, sin minus non pt. At si aequatio data sit sextigrdu
acenditur ad gradum i5, quae semper aliquam et radicem possibilem. itaque
semper aequatio sextu gradus r habet divisorem quadraticum possibititer expressuo
s
At aequatio esvi ad l28 assumit ergo pte aliquando esse tmpossibilis. Aequatio 10mi ad 45
Ergodi ubi numerus impar ergo divisor possibilis;  pro  ex 10m ad 12. 11 seu 66. Et
ita porro. semper Numeri simpliciter si aequationis gradus simplici ter pao  ut C, vel 10
tunc divisa possib, quadraticus possibilis, sin pariter par seu quaternarius pt aliquando
inrestigemus quatemiones. sunt autem rerum  biniones X. X- _ : 2 Qualemio.
nes: X. X - 1. X - 8. p = 35: 4. seu 4. 7. 6.5 pro 8. est numenus par. at pro 18, fit 6.11Gest numerus
pupur par Cee Unde patet quaternariorum graidum ditiorem quadintat quadraticu
debet etiam
esse impossibilis
e quam ex hac methodo cognoscendi radies impossibiles palet etiam
semper ee posse impossitotem.
duvi posse quatdonam possit aequationis radio extrahi per seriem infinitam sit enim
 aequ a + bx + CA +X +  XT. Et  et Xaequ 0+1 y +29 +393 et
7. 2184. 21e
13d
94
10
6. 5612625