# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/62553/text
# Catalogue record: 62553 — Theoremata duo de planis inclinatis adversus Vannium
# Date: 1695
# Akademie-Ausgabe: AA VIII,4 N. 081
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=62553&katnr=60100
# AA VIII,4: its series at Leibniz-Edition Potsdam II (CC BY-NC 4.0): https://leibnizp2.bbaw.de/de/leibniz-online
# In the Akademie-Ausgabe: AA VIII,4 (PDF, Leibniz-Edition Potsdam II, CC BY-NC 4.0): https://leibnizp2.bbaw.de/fileadmin/Webdateien/dateien/LSB_VIII_4.pdf#section.81.2
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068166
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 10, 13
# Folios: Bl. 1–2 (from the shelfmark LH 35, 10, 13 Bl. 1-2): 4 pages, canvases 1–4, page ids 00068166:0001 to 00068166:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068166&page=1
# Lines: 323 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.91
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068166:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068166/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 111 lines, status machine
sodduntur quae Bernoniluus
phinardus.
ciuditorum
tis
Joannes Franciscus vannius jesurta Romanus librum ante
ante annos complures ediderat de Momentis gravium, in quo stabilitam
doctrinam evertere conabatur, de gravitatione in plano inclinato.
considerabat inter alia corpus A incumbens simul duobus lani duabus regulis rigidis,
una BC, altera DE ex quibus prior sit verticalis, 
nel
Satione iu plauo inclinaa
impagnaat dactrinam rece
et hinc paralogismis quibusdam  intercedentibus novanqu plane staticem com
procudere ponere volebat. Ego memini me dim solvisse difficultatem, sed cum non satis
rede sit ad manum vetus scheda, et nuper considerationem renovaverim
gravis.
Theorema 1. si qu sa globus gravitate si globus ex materia similari
dpetere solutionem placet.
it cum centro,
regulis in eodem plano inter duterit ad pondus ipsum
ic
1da
sunt pressiones regularum, et 
u aten
lobus gravis similaris cujus centrum A regulae, BC, et DE quas
r
sit e
simul tangit premitque globus illam in F, hanc in G. ponaatur ente regula
ans antsiti ut
ut fecans augue lin
itacoercita, ut non possit recedere nisi in normali ad se, simulue in quantum recedit, in
inbat
tantum attrahere pondera normaliter tantum verticaliter a ttrahere pondera
et K,
quaeritur pohorum ponderum quantitas jungantur recte ex A regulis notmales;
neme F, et AG, et iisdem parallelae AL, et L et rectae iisdem regulis parallelae AL et AH
resistant perinde aget grave ac si essent immobiles. Si ergo immobilis esset negula DE,
grave A in recta AL ei parallela conaretur descendere, et gravitatio ejus foret ad totalem
seu liberam ut A+ ad AC ad AL. Hoc ergo nisu ut AL agit in regulam, sed regula haec
BC
non impellitur nisi in recta AF seu nisu qui sit ad AL, ut parallelo ad DF,  perperdiculari ad
ipsam, qum qui qui sit ad   nisum qua parallelum ipsi DEut AF ad AH, ergo erit E
nisgr nisus pro propellitur regula BC, ad nisum gravis liberum, a AF ad AL. similiter
A descendens in recta parallela ipsi regulae BC, id est in recta verticulari AL, agit in regulam
DE, secundum normalem AG q eritque nisussu quo haec regula impellitur, ut AG ad AL
stentia regularum
aequales ergo sunt acisdius globi ad AL1
ud
pondus A, ut
unuatqui saqeri
n t ad AL, ut tradius ad secantem, auguli ysti qui est ecmplementum angui
paerceam faciunt regulae
GAL,
duo simul sumta non aequari ponderi A, sed esse majora
asru
neque enim E  AF+ AG, seu duppex radius globi rectae AL aequatur sed si poneremus A per-
mul po
pondiculariter et descendere tantillum, oportet ut celeritates ipsarum A et I sint recipioce
Htini patet etiam pondera,
ut pondera quia tunc regula BE non impellitur. Et si A de scendat in alia linea recta quacunaue
media inter AL et AF oportet descensum ejus celeritatem factum ex ma A in celeritatem perpendi-
calapder aestimati descensus aequari factus ex corpore pondere quoque uno quoque duorum reliquorum
ducto in celeritates perpendicularessuas. Quod pro examine nostri fheorematis vatere posset
Et hoc ex hoc ipso cosset inventri; quia duabus assumtis lineis dunqu res deter
nos duas ex his maxime determinatas assumsimus nempe
extremas, et duae sufficere debent ad alias omnes determinandas, aliaqui proble
Ex hoc ipso ergo patet methodum nostram esse
minatur, et revera
Vannis autem peccatum in eo potissimum constitit, quod
oporteret
na foret impossibile. Quod absurdum,
quod certo tantum casuex
cec Theorema et rem secundum
prolam,
i
ea relucendo
Le aroficeret
ese  t 1+ K = A. quod obsurdum est, i maxime
An
id
quo casus perpendi qo is est sitis esses ut descondense
nea quum recta
dpscensum globi,
a qualiter ascenderent i et K, essetque essebe ascensus recissoce corporum ad
dignum inquisitione foret.
Nempe descendente A in _, ponatur maxime proficere positis i et K aequalibus seu ponatur
ut globus ad pondera. Quod qui situs efficere possit,
ceptum quioitatis datis, seu ponat centrum gravitalis maxime
descendere, videndmaqu
tuns intervella inter BC et BZ, ve iter inter DE et SE sint aequalia. vel potius
linea AC, tali, ut fiant promoties regularum aequales
junde haberi potest, quatia tunc debeant esse pondera aequalia 1 et R. quo facto videatur
eligatur is descensos ipsius A
an datus hoc modo pondere i ut K sint capactai sufficientia ad efficiendum, ut A
non despendat alio modo. Atque ita definiri poterit, quis situs sit lalis ut hoc
obfineatur
Nam quia k ad R Aut AG ad D AL, ergo si qui si 1+ K = A qu ideo quia i et K
it EK = A seu R ad A, ut 1 ad 2, ergo et AG ad AL, ut 1 ad 2 p Angulus ergo GAL
aequalet debet ette talis, ut secans sit radi duplus
ostangu
AH LG
 compleatur
AC = AB +B
sit AC - EA
fit AAB XAB+
seu BCZ ABV
A qH
1A + C N = AB
1∞
ABiXtC
is atut

## Folio 1v — 00068166:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068166/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 104 lines, status machine
AAad ad AI ut rad ad AL Sec LAN: rad) seu ut qu. rad ad AL ut ec +N sed M est 
est ad rad globi nt  rad Glavi in rud. seu in ratione composita rodii globi ad AL, et radii
radi ad Terantem anguli LAi_ Sid radius qo est ad A, ut secans coet angule fadius
secantem complementi anguli Negulaum. Ergo rad iglobi  seu usus
os
utam est ad nitum alcobupendus
ad AN, seu nisi in segu ponderis in re
et radii ad seranter
anguli ques
1
altera falio
tleREmt
At.
Reorema 2.
pandera q retinent iisdem positis
nisi quod nentra regularum sit verticalis erunt pressiones regularum
ut secantes angulorum quos faiciunt ad verticalem
Theorema 2. Si globus glavis similaris simul
incumbat duabus rectis rigidis, sive regulis, in eodem plano inter se, et cum
centro globi positis, exunt prestiones regularum, ut (seu pondera
quae retinent regulas derunt inter se ut secantes angulorum quos
faciunt ad regulae ad verticalem et cujusque regulae pressio ad pondus
absolutum globi ut est in ratione composita radii ad se ex ratione
rodii ad secantem complementi anguli regularum inter se, et
radiiad secantem anguli quem altera regula facit ad verticalem
sit globus centro A, premens eeg tangens et premens regulam BE in F
ravis
et regulam DE in G, per A ad BC ducatur AH parallela ipsi DE, et per A
aric v
ad DE, ducatur AL parallela ipsi BE. sit per A verticalis AV,  ex H educta
Hm par allela ipsi AH AG, adeoque recta ad AH, oecurrat in M. Et eidem verticali
AV ex L ad  educta LP parallela ipsi AF, adeoque recta ad AL, occurrat in p
Gtobus agit in BB regulam BC, quasi Globus A impeditus a regula DE  tendit
descenderem plano inclinato seu in recta parellela ipsi DE. Etnisum in AH
esse Et gravitationam in AH esse ad pravitationem absolutam seu ad pondus A, ut
AH ad AM. Sod ex nisu  sec gravitatione, in AH adegrabitationem tantum
pervenit in BC pars quae sit ad totum nisum gravitationem in AH, ut AF ad AH
ergo gravitatio qua premitur BC regula BC a pondere H, E A, est ad 
pondus A, ut AF Tad AM porro Et eodem modo gravitatio qua premitur
regula DE a pondere A, est ad pondus A, ut r AG radius globi ad AP, ergo
pressio regulae _BC est ad possionem regulae DE ut
icans
ad AM. porro
radum. Angulus aute imHAM
um
AM est ad AH ut secans angali HAM, qui est angulus regulae DE ad
segnscaat radium. Porro AH est ad AF at secans Anguli AAF (qui est angulus
janiagulus HAE st mplemensi anguli FA FHA seu angulus complementi ejus quem faciunt regulae
inse quens est
inter se  Ergo est  tradium globi esse ad AM, Neu gravitationm regulam BC
esse ad totam gravida pondus globi A, in com ratione composita radii ad
secantem anque uli complementi regularum, et radii ad secantem anguli regulae
a
quia
alterius ad verticalem, quod erat in theoranate secundum. et gravitotio
in regulam BC esse in gr ad gravitationem in regulam DE, ut secantem
rregulae DE cum verlicali. Quod arat Demonstrandum
Rt Rursus qui Eodem modo quo erit AP ad porro eodem modo ut
invenimus AH, Patet et tore quia erg eodem modo radius
porro quia eodem modo radius globi est gd A in ratione composita radii
ad secantem anguli eemplementi regularum et radii ad secantem anguli
requlae BC DF BC ad verticalem ideo erit AM ad Ap ad AM
est autem ratio globi  adq AP est ad rationem globi ad radiiet ratio quam radius
globi facit ad AB, est ad rationem quam radius globi facit ad AM, ut AM
d A P, erit a AM ad AP, ut ratio composita. et in utraque ratione
radii globi ad A et rudii globi ad AM, communis est ratio Dadii ad secantem
angulo complementi regulanum, ergo erit AM ad AP ut ratio
o porria quia e A  AN ad qamad iavenimus AH esse ut
secantem anguli complementi regularum ad
porro quia invensuus esse AM ad AH ut secans anguli DE regulae DE cum verticali ad
est ad rudium, et similiter AP ad RL ut secans anguli regulae BC cum verticali est ad
radium, sed  AL et AH sunt aequales ut supra est ostensum Eut AP ad AM
t regulae C cum id est (per ostensa) pressio regula BC ad pressionem
qalam
berac vetiti pratum anguli
in verticali. Quod erat primum
s
anguli DE ad t B regulae BC ad verticatem ad secantem anguli
a
ut in ratione se composita raci in secuntem complementi anguli regularm
verticale
quemcumque
faciant angut.
Feruntue AH N
a quales nam
angulae in trian
qulis rectangulis
A FH et AGL
sunt aquales AF
et AC angulius
his oppositi A
et ALG, H et
Fradius Globi
Hfi rudium glabu
funde sum
AF sit aequalis
AG, patedet
anquens FHt
aequals angulo
Gus nate
At
et ALC
uales
Ex his sequitur

## Folio 2r — 00068166:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068166/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 90 lines, status machine
explicandum superesset, quid fiat si
quam duabus regulis
pluribus planis simul incumbat globus. Tunc autem
ponendus est premere unam regulam, perinde acsi
obus a caeteris sus sine ipsa sust remota sustentaretur quo
casu definiri potest, in qua recta descendere conaretur
perim Haec pressio sit e Haec regula sit illa cujus
pressio quaeritur. Porro videndum est in qua recta conaturus
esset descendere globus si ipsa abesset. Hac recta sumat
quae cadet in, idem planum cum det erit ea quae in glob
in plano in plano communi globo et regulae cujus pressio quaeritur
globum tangit. Et perinde premetur haec regula, re si recta
illa esset regula nova globum cum ipsa consustentans
in ea linea scilicet compositi conatus ex conatibus regularum
caeteraum. Haec linea si in planum regulae et centri proposita et centri
non incidit, fingatur globus ab ea per cent linea  tanquam
rigida perforatus, et secundum eam descendere tendens, qua
u
compositus ruasus intelligi potest, ex paratelo conatio centro
io per globum
tum in plano per centicali normaliter planum in punctorsa
seu non
un
La
contactus p secante globum planum per regulam et centrum
globi, tum in plano ipso globi, ita ut exhis duobus conalibus
opatus
oriatur compositus in quo globus tendit. Et pressio quae
est in plano regulae cum globo, solum pro premente habentus.
tanquam esset linea ejus esset altera regula, in qua
H LAP se cum verticali, est ad
radium, estque angulas LAP, is quem
regula Bc falit cum verticali.
itaque quia AL et AH aequales, erit
AP ad AM, _ut secans anguli quem
re adeoque pressio regulae BC ad pressio-
nem regulae DE, ut secans conguli
quem regula BC facit cum verticali
ad secantem anguli quem regula
DE facit cum verticali, quod
in Theoremate erat primum
porro habuimus rationem AH ad
AM A M ad AH. jam A H est
ad AF radium globi, ut secans
ut secans anguli HAF est
ad radium. jam jam angulus
HAF est angulus complementi anguli
DFHA, seu angulus complementi
ejus anguli quem faciunt regulae
mobus praeter propositam incumberet.
Reduco ergo conatum globi i pluribus planis
sierul incumbentis ita tamen ut ab ipsis solis
conatum in inea
non retineaturad
linea rigida per centrum perforante; et hunc
ad eam conatum quorro reduco ad eum
conatum cum posit esse in plano diverso
ab eo plano quod per regulam et globum
transit reduco ad conatum componentem
sumend in ipso plano per regulam et globum
inter se. itaque AH est ad A F ut secans
 complementi anguli regularum
et ad radiam. Componendo ergo rationem
AF ad AH, et AH ad AM, jam inventas;
erit AF ad AM, seu pressio regulae BC erit
ad pondus A ut in ratione composita radi
ad srcandem complementi anguli regularum
Et si plures elo si plura plana sint
talia ut uno sublato non Et fieri potest
ut ipsa reguli ut nullius regulae planum per
et radii ad secantem anguliregulae alterius DE
cutiverti caft. Quod in Theoremate erat
secundum
jus quae
haec recta respe et respectu pressionis regulae q
ratione premat regulam. I
er tisali AV4 Et eodem modo AP est ad AL ut secans Anguli
una aliquitq unum
glo ipsam et centrum globe
Fieri etiam potest ut plura
aut etiam plurts pura sublatae non deut globo
regulae,
descendendi potestatem. itaque plura simul ipr videndum
an combinationes institui possint, qua Tunc duae
e tunc plures illae regulae sunt conjungendae
et pro reliquis assumenda recta quam componun
pero quasi per forans globum, et tanc opino
hc deinde r haec recta tanquam nova regula
cum caeleus iis quas simul tollere opoituit,
est conjungenda

## Folio 2v — 00068166:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068166/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 18 lines, status machine
inclinata
si globus A decurteret in regula BC, quaritur quae cedere posit prementi
In angulo ad ipsam recto, quaeritur quantum oporteat esse pondus i, ut cesso
ut cedere prohibeatur. Quoniam durante cessione globus A semper manet in BC
patet cedent. ponc Esto ergo dum BC pervenit in (B) (C) etiam A
pervenisse in (A).  ponendo ergo Etsi linea fortasse AA) non
ideo asseratur esse verticalis, pot cum globus simul duos motus
nam unum desprimendi plobum regulam, alterum decurrends in
regula exercere posset. Dico igitur s quidem nullus sit glabe
i, nec K Globum A descendere in recta verticali. Sed si absit globus
K, ad sit globuis, d sed non satis resistens ipsA, nec sufficiens
sed impediendum cessionem, centrum gravitatis amborum recta
verticali debere, seu G esse verticalem. Et quidem Nempe recedente
et quidem possibilim maximam. sit enim asnsus datus ascensus ex i inC1) dat assunt
adeoque et eis aequalis B(B) recessus regutae, sumatur 2G prvarbitrio in verticalis
G(G) G, et juncta (+ = 16) occurret ipsi 1B) (C) in () oportet G sic assumi esse
AG ad G1, ut (4) (G) ad G) i unde dato pondere i datur punctum (E
dit