# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/735/text
# Catalogue record: 735 — De tangentibus seu differentiis figurarum per aequationes exponentales expressarum. Adde aliis multis. Calculus differentialis et tangentes, et exponentes incogniti
# Incipit: Data formula poterimus eam resolvere in duas, quarum una sit zdy
# Date: 1677-06-13 (77-06-03)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=735&katnr=58316
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068031
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 5, 13
# Folios: Bl. 5 (from the shelfmark LH 35, 5, 13 Bl. 5): 2 pages, canvases 9–10, page ids 00068031:0009 to 00068031:0010
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068031&page=9
# Lines: 265 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.78
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 5r — 00068031:0009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068031/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 139 lines, status machine
tertemus eam
3 1’un II 1697.
ocalculus diferentialis et tongentes, et exponentes imonusi
vata formula resolvem eam in duas, quarum una sit Zd8 altera sit ydz, e ita ut sit Cri Zay+ ydz.
erit se 1Zy. vel fonmulam datam aequemque isti: y dus  seu resolvamus in duas quarum una sit potentia
ejus cujus alterum est differentia, qarum ductu producatur ipsa
b
es
dec un tangentibus seu differentris figuratum per aequatione
exponentates expressarum
ex is quae dix. pagina praecedenti ad signuus (() patet modus non paucas solvenei addealiis multu
en ceL.
sit aequatio de + h. polent purgari a signes d. Hinc videamus si  an haec quoque
der
aequatio purgari possit:
dez
de
p+
de
de
de
de
co
o
h. transformetur cu hanc. de2+ de
de
 et faciendo  y +x
atque ita tollendo d exhis duabus aequationibus habebiimus duas aequatione
purgata, quarum ope tollemus tam y quam X ex aqu.  , Y+X.
1
du
x dy Z + Zdus XdZ quaritur  dy + yd pd8. seu & dy + y⊓ e. seu=
s
sI
da
c-y
2
ponamus eim 8p). y2. habebitur utique solutio hac methodo Tantum ergo opus ut positis yd geometioco
sint et e geometriae. vel etiam sufficit, ut componatur _ ex potentiis ipsius y. imo tametsi
etiam dus divideretur inpartes, ut si esset dx + dx He  h. tamen solvi posset problema
sed quando relatio inter  er y non est nota, res non procedit: dX + LXC
 X(X dy B Y seu SX dys B 7. sit = r (Co. erit Xe Z. Ergo S= dy p c0 Ergo  y dus pdco
praevideri manifestum eam PSdy p7. aequatto identica verissima.
Ergo yp cd. Ergo XH 1. et fier
X
scrbatur Z,10. em X, Z fier:
et X
ex
Sco - aco  3
sit cor b+ cy.
Ergosco pybys +c
et X1, Y co
Nolabilis haec solutio est.
Sx dy + SF X +y Ergo SXdys B + y seu  p
XEAF et Y dy fa1 + d0
s
cor
X cy  X +y Ergo  Ergo X +y1) co. Ergo X p co-y. Ergo (co- ytus  10
se co dy - ydes p7 a dco, seu co -y
potuisset
deo Si esset con ad y Aldus +dy ek haberetur
a II dy
solutio
 seu seu scody = Z Y aco. t seu seodus Y a co+ y sit aco+y 1 e, erit copi e 2
et sce- acop. b +by riqe set fier
2a
cy 2 et ta in infinitum, sed nihil inde lucramur
Ca
31. sed seo dus y + aco sertatur. sy dio + sy dio
P y. Ergo C 1,
b
fieret 1+
est abs2
 Y. quo 
riaqueres) et restabit:
nou plocedit ciaca recta
nec aliqu’ex rationalibus
8
L
X + aco +) y deo p 8f yco
rBdZ)
ex ramero quadraebilium scb) res  au manifestur esse glomehica, + +fyxdx +9 yxd
6a
fat scotus + sydio  8. seu 8, yco
unde fiet:
Gattoribus fractione carentisus bdu + Cdx + dyX Fe ydus +23Xdx + fxdy 49y dx +3h X dX
interim manifestam hanc si
X X X.
dX FAX AX 
+x dx HX do
jam d X
ax
quia Ax (CXax.
Ergo Lx 3X dx
ducatur haec aequatio in priorem, quofiet nova; vel etiam si prioris aliqua potentia in hanc ducatur, sed quia id
facilius deprehendi potest, quia hunc dvidi posse patet productam ideo satius est illom attingire casum, quae hinc
simperci divesioni scili non possunt, nimirum si dimdatur ho alterntia equatio in duus pm utraque aequati in duas
et parsuna mag in unm altera in alteram alterius ducatur erunt poducta inter se aequalia unde, aequationes variae 
exulari possunt omnes hac rud ratione solubales.
1t a
1+b
tX KX
1- XE p 1+ X  1+ Vx 1+ YX 51t (x C 1+ X. esc Ergo ( + X + XNX. XYXLX
1+ a ba
1+a
b
12C
1+ a + ab + abc
ac
bc
1 - X B 1+ X  1 - X
1+ X + X (X m, ,- X 1 + YX
esx t
en
en
1 - 7X
1+
(noi
Sa XIX
Ex
eX
ExEx
e
x
 esprenten exporentis 2 Ex
XTXIX
1- X
X1
1- 1
1+ L 21 - 1
2
e
YXVx Yx aI)X. quod sun
sed absurdum clo novissim
quanlitas  negligi non
pose nam lametsi 2x sit quantita
imessteta
mncriplitatio nibus
infinim

## Folio 5v — 00068031:0010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068031/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 126 lines, status machine
Circuli ordinata:
Ergo circuli ordinata:
Si -X 1 SI+X, Si -X
(verte)
en
SitrrS.sE
e
quae resolutio negativorum fetult
LIX Y1 + YX S,+Y Si+ ex ec.
plicantium continuari potest,
d7y 1 y dZ + 7 dy s’esset dyB =. foret: y7 S et si y dz + Zdy Y e.
dzyco 1 Zdy + Z dco + y dZ+ y. (d + co dz + codus
2+.
dse Sy  d. Ergo d y2
sit 2+1
s
+ S
c
+.
V
Hnc si sit aequatio:
27.
F
+
y dy
Ergo y V Z+1C. Ergo
Ergo de B
211
e 1 .... ea statim solvisive d.. tolli potese
fiet: S.dy
2 E_ +1 1 C.
ferentia
a seu seesty
Ergo 2S si q 5sC 72B
Jam S: a2 haberi potest ex quad Hy P.) s
seu per Loganionos scribamus erge:
x + Z1) H Fy seu et ZS. Ergo
X⊓
953 = =(1.) Ponendo dujus quarlitalis
X differentias esse aequales. ergo et datur
e ex
det hun hit sit otr. etiam poteit s H aec posset rursus eadem modo resolvi, ut de
de +de erive paginu sequen
Et ita continuando in infinitum haberetur de p infinitis quantitatibus in se invicens ducendis
Et quod mirum est in ista aequatione de  (2) 3+i e dd Z+ie litera Z assrimi potest
quaecunque
 ac proinde an tali aequatione litera Z virtualiter sublata est intelligenda
Eodem modo:
sit 7-. y2
Lyh p y Z yE dy e
dy y edys fiet: ypey e
E
ee progresiones Wdallisianas, et
e
dese
1
L
t. Ergo
y
neorema: invenire habigentem seu differentiam cuiquis binonii
1 2. y dy
scribatur methodo vulgari
purductum civitatur per
seu FB erit ad BC, ut seu si
si cer
ut
1-
co
cepe
dis
y
27sC
V y-1
duu
dy
a +bX + cX + d Fe5
s.
Va + bx+CXdc
L et BY ut
ad BC
e
sy
y
Z
8r y dy
Ergo 58p y2
quantitatis irrationars
b + 2CX + 3dX ex
erit B)F Vatbxrae in
ad ad BC ad b + 2CX + 3d X ex.
a + bX + CX + dX
cosd BCH cos a + bx + CK + DX N.
seu BF ( ut 6-1.  arbxrca rd a et b + 2CX + 3dX esc
ut
series meas replicatas
 Y1 +X + SItX- B HZ. Ergo 1X + 1t x-B si + 2X+ -
Eadem ergo methodo facile est
s
E1
C
e
Z y2
NI 2.. Ergo se ius p
Res ulterius prodivenda est per iv
ad
1- =
Va + bx+ CX +dX dc
b + 2CX + 3dX esc.
ope rega lae hudius: d  d dsus 1 Z, yt dy. cujus libet tangentis rationatem sine calculo
in venire f acile est, modo pure haberi possit valor imnu unius ordinatae. Nimirum si y rursus est irrationalis ex parte (nam
si totasit inatio nalis idem est, ac si mutemue Z) retinebimus quidem  , sed rrsus quaeremus dy. ponendoque yM + o
vel etiam ex plurious compositam irrationalibus, ut yei Y1 + So singulat eodem modo tracta bipus, quo primam e e nam erit
dy 1 ait +d70
peota interim etioque talia inne s nosse (dVY nom eus, atque ita statim quantitates quaesitas
Turbemus, nec ullo alio culculo opus erit nisi si Helimus ticapse dus in se invicem ducere, u factores quos expressimus, quod
tamen plerumque imtile inda et  ino damnosum est
coni
formuli
videndum andata
 possit resolui
in duas alius ipsam
producentes, quacu
una sit differentia
ejus, cujus altera est
potentia
(2) attata c HC