# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/749/text
# Catalogue record: 749 — Tangens Logarithmicae
# Incipit: Sint CD et CG sibi aequales et ad angulos rectos
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=749&katnr=58327
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068033
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 5, 15
# Folios: Bl. 4–5 (from the shelfmark LH 35, 5, 15 Bl. 4-5): 4 pages, canvases 7–10, page ids 00068033:0007 to 00068033:0010
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068033&page=7
# Lines: 374 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.85
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 4r — 00068033:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068033/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 110 lines, status machine
sin a aqui 
Tangens Logarithmicae
sint  CD et CG sibi aequales et ad angulas rectos
et earum dimidia GF, narallela ipsi CD et ad easdem
partes. Sumatur inter cd e Bisecetur CG in 1B. et
C, B in 2B, et C2B in 3B. et ita porro, continuatis 1B. 2B2B et
donec ultima B desinat in C. ipsisque punctis B applicentur
ipsae BA, parallelae et ad easdem partes ipsis GF et CD. sit
autem prima 1B1A media proportione geometrica inter cd et GF
2B2A media inter CD et 1B. A, et 3B3A media inter Cd et 2B2A
et ita porro, donec novissimum punctum A incidat in ipsam D.
Ex puncto D per puncta A ducantur rectae DT. occurrentes
axi CG (si opus producto) in T. tales sunt D. A. T. DEA2T.
D2A3T. etC. usque ad novissimam DA. quae erit tangens
curvae FA DH logt quam logarithmicam esse patet
quaeritur CA. seu ultimus terminus seriei terminorum
1B. T. 2B2T. 3B3T. etc. Cujus seriei proinde investi-
gauda est natura. Ex punctis A. erigantur rectae AE, ipsi
Ed perpendiculariter occurventes in E. patet esse BT: BA:: AE. ED.
Est autem ED aequ. CD - BA. Series autem omnium AEvel (B
est 27 1A1E 2A2E 3AdE etc quas generaliter vocabimus aa
posito CD esse 1. 5. 2
aequa4 put
3 ex
series omnium BA, est: 1A 1B 2A2B 1A3B)
seu
(2 I2
AB
(Eli Z sencia (e0 )2 aqo +B
liter
4s 8s2
posito sequentem co
este dimidiam prae-
cedentis
ergo ED aequ. 1 - (osE, Ergo BF seu BA, HE eit aqu. c0 (c (+
(of
Hinc etiam BB statim appropinquatione quantumvis exacta haber
potest, quanto enim minor assumetur co. eo propior erit BT ipsi BB
quod si Ed sit infinite parva, plane in eam incidet. Itaque
dici potest verum valorem quantitatis incognitae quaesitae in hact
aequatione contineri. Sed quoniam desideramus, valores in quibus
finitarum solummodo quantitatum usus mentio fiat, natura
seriei amplius examinanda est.
sint tres quotcunque termini consecutivi, seu sese proxime in
serie proposita sequentes: a. b. C. sitque
e
a aequ. co so
abus 9 120
1 - (cose+
et C aequ. +coso
(3)
La Bcosi
1 - ( cos2
1- (2o 2
compendii causa scribamus (eo (Z a qu v. et fiet:
(5) a.
cov
c-v
(6) aequ
L4coFS
70
(7) aqu
3 +V
1- 25V
Nam exponentem dividere
per aliquem numerum et
secundum eum numerum
radicem extrahere 2(cost idem
est quod (cop
ex aequ.s fiet: a - av aequ cov. seu vaua et vo o
atco
ex aequ. 6. fiet eodem modo Qvaqu.  seu fit: B aqu  bb
b+ LC
bb + blo+ 1 coc
aequando valors ex 9 et 11. fet: abo + abco+  acoro aequ abb +cobb. unde
4bb- 2 ab
12) a
quem valorem ipsius . substituendo in aequ. 4. fit: (4bb - 4 ab ) 2 aequ. v
et valores (x 11 et 13 aequando inter se f et utrinque extrahendo radicem
quadratam, (quod fit extractione numeratoris et nominatoris in valore
A16 aquationis 11, at simplici divisione exponentis per 2. in aequa 13 valore
equationis 13.) e habebimus: P bb 2ab 2 aequ. b et
b+ Lc0
Auc ultimi esse 1. demonstrali et pro co sulestituendo valorem inventum in aqu. 12. habebim tunc
poterit si ostendatur, semper alias fore
majm quam 1. et differentiam reddi
6+ Lco
Le
 s 2b-a
posse infinite pavam. sive contina ac proinde erit denique: (rbba rab s aequi a. quae aequatio
decrescere, non tamen infra
2b- a
copo E - 1 ago co (co ( - 1+  s continet progressionem seriei replicatam simplitem quomodo scilicet
=L. J2 seu Exi boli LX Cos
terminus unus ab alio proximo mulla alid sassumta derivetur
Onqu. 8 - L aqu
c om1 = 01
= est 1. 8-8 sen    ifert a 8
Eroo 0-0 differt à 0. et debet
0-0 esse pars infinitesima ipsius 0.
si sit co infinite parva, fiet:
a aqu  0(0)2
Est autem (0(2 aequ. 1.
Ergo fiei
a aequ.
si id aqu 4. fiet: anu
ergo a aequ. LE (. (2
aequ. 1.
els
Generaliter co aequ (ZI2.

## Folio 4v — 00068033:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068033/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 75 lines, status machine
inter a et b
velz
positis scilicet a et b aequalibus vel necesse est oriri destructionem  Habemus ergo
tunc ex aequ. 15 fit 2  (2aa - 2aa (2 aequ 24+  a
al 2a-a
id est (0 (2 aequ 1. quod aliunde constat verum esse, adeoque
vel ratio
identicum est, omnis enim quantitas, cujus exponens est 0. aequi–
valet unitati nam generaliter (0F aequ. 1. Non tamen
putandum est hanc aequationem 15, quia in casu paritatis inter a et
b in identicam abit, ungatoriam esse, generalitem enim exhibet
parametrum seu quantitatem constantem ad omnes termis
binos quosque terminos seriei proximos se eodem modo habentem
Qui est quantias
aequit.
2R-a (abb - 2ab 2a quippe aquilit
quippe qui valet 1.
qui et si non paritatem omnimodam inter a et b, sed differen
tiam quantumlibet parvam supponamus habemus valorem
ipsa a vel termini ultimi saltem per appropinquationem
seu per relationem qua aequationem quam tumlibet exictam.
Et hac methodo etiam in vulgaribus velationibus seriemem
replicatorum ubi tantum oceturnt inter seriei replicatae
terminos tres Consecutivos semper appropinquatio quantum
libet exacta haberi potest, assumta supposita quasi-
paritate:
Sed videamus an hinc tamen aliquis patent ad exectam
 expressionem aditus evitata hypothesi paritatis, assumtisqe
aliis eam licet virtualiter continentibus. Quem in finem
quantitatem CB investigemus alia via, ad hibendo non bisectiones
et radicum quadraticarum extractiones, sed tiisectiones seu
extractiones radicum subicarum. Eum in finem quantitates
AE forent L. L. L etc. Quatilitates BA, erunt 2sc. V2. iset
et BT foret aqu.  prae co sumamus ) ea conditione ut semper
sequens sit  prioris et loco a. b. assumamus f. g.
fiet.  faequ. et (V ) aequ. (eo se ponendo scit. (V) loco v.
6at
et fiet: f aequi (0) (V) et gago (() 2V et
1- (V)
1 - 2(v)
fiet ex ceqo. 18 fiet: (V) quo confusionisvita et (1
et pro v. suibumus X.,  faciendo scilicet: X aequ. 7
(11)
L
fiet faequ. d
 Ly YX
 et 9 aequ. 
1= X (20)
1= (X
2
per aqu. 18. fit: X aequ. F i et eodemmodo 3sx aqu.  ex aequ. 19.
f+.
1) 13
unde ex aequ. 2. cubando fit xEequ 
9+57
9+99y+9yy + L iβ
Et hos
duos valores ex aequ. 20 et 22. inter se aequando fit:
593+ f99y + 5fgyy + y f y aequ (f 93 +y93 et divisis
omnibus per y habemus 4, fyy + L fgy aequ. 9 - f9g. seu fit :
yy +99y aequ. 279 - 2799 seu yy +99y + 8193  aequ 17. 2783 ad
seu yy +99y4 8+93 aequ 2797- 27 99 et extiphendo radicem quadra
utrinque fiet:
((23
7 + 2 9 aequ’  st. 3ff. seu yaquD sngs. 1ts- 2d
Habita antem huigmdi relatione sive aequatione, tunc, rexin et 
potest ultimus terminus, psi seriei hujus modi replicatae convergentis
ambarum in hypothesi paritatis, et nasci propositionem identicam,
quando scilicet natura rei exitum tam facilem non admittit.
idque hoc loco contingit, nam ponendo a aequ. b. fit.
(16)
a
a
(19)
1

## Folio 5r — 00068033:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068033/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 107 lines, status machine
q7
quem valorem ipsius y ex aequ. 23. fulstitu trndo in aequ. 17. habemus X persolas f et g nempe sit
seu habemus
2 (129f-35s =  28
Habemus ergo denique
25) V
X aequle
2 tautmselicet erit aequ X. Tantum scilicet aloren
.. aequ. .
aequationis 4 divi exponentem dividento per
FLy seu YX. per aequ. 21 et 25.
9+ 2. Si29f. 3f Zd
(26)
2 aec
2F
Y129f -3ff -5
ubi iterum ponendo 9aequ. f. fit (0 (2 aequ 1. ut tentanti patebit, quu
quae veritas altunde nota pro examine calculi esse potest.
Jungamus jam inter se aequationes 15 et 26. in casu scilicet termini ultimi
Est autom in cuso casu tamini ultimi t aqu. 1. seu (5 aque  aequ. 12 f3f
(271
12gt 
seu 24t apu ng. seu  est autem eo aesu  aequ
(28)
(29)
f
 quia aequ. 1
2b-a 2s12g5. 3 - f
faciamus jam a aequif et baequ. g. fiet 4b - 2a aequ 7 12 ba - 3 aa - a,
seu fier
4b - a aequ.. ... seu 16bb = eab + aa aequ 12b a - 3 a 2. seu 16b6 + aba aequ. 20 ab
seu 4na t2s bb 2 ab aequ 9 4aa + 16bb Broab aequ 9bb seu 2a 5b 1a +5baqu 3b
seu 2a aequ. 2b. sea a aequ. b. Ergo nihil hinc. Quod praeu
eo
ad hae alia relatio inter a et b, determinata ad hunc casum, in hoc autem casu a et b
aequales, necesse est prodioc aequalitatem.Casum itaque sic datur exitus
Nota casum aequalitatis invenire, est invenire minimam vel maximam
seriei. potuissemus interim ape aequaticns 15 invenire alios casus
quando scilicet a et b habent inte se relationem aliquam datam Exempli causa
si a sit tripla ipsius b. arcedem quamon id possibile est, accedente conditione rationalitatis
Nota etiam duos terminos qui inter se conseruitur non esse, necesse, ut sint
HB (Hose HEri qu. G1
ejusdem seriei. Ut: pone semper. BT conferri cum GB et quia BF
semper decrescit, et GB semper crescit, oni casum, in quo differentia eorum sit maxim
nempe f quo casu habetur BB. imo cum posita hac relatione, cum tunc
Ultima GC, aequal CB, videtur et dari ipsius B vala
est autem Gib G. B 93B
Z tto + t
25
H C. H. B H~B H2B
seu 2 - 1
1+ 2
1 2 + L 11 h +  + h
seu 20 2-
2-4
Sits jam HB vocemus β. euit aeq ( aequ. 2. C0.
et co aequ. 2 - β
et cum in caso aetio Eigo fiet: a aequ.  ( f s)2 datur autem
β in casu ultime, ergo nisicomnia evaneserent 1 - p.si haberemus quaesitum
nempe volorem ierius a ultimi. +-
.
  oce aqu d 4 in 1 5 4 t CtC. aequ 4 1+ + +
aequ c0 (co (
= (a Y2
fiet 0(0( aequ e) on
it
e
14
2 aequ. 1.
1- C, seu 8 aequ. 1
ed
Unde sequeatur positas Cd. CG aequalibus et GF esse Z co. descriptaque Lognrichmica per medias
interpositas, fore GD tangentem curvae, adeoque cD unitatem primariam Verum obstat u dquam
admisso hoc concludendi modo, sequeretur etiam, idem contingea si GF esset. CD. (quod
utique esse non potest sunt enim omnes logarichmitae sintles interse, et quaelivet  positis CD
aequalibus  et GDtangente seu Cd numero primario, intique eadem seuper ratio
est ipsius GF ad CD. Haec ergo quaeritur+
ac 2X 1 Ex aequ (2X - 2∞ +1
et
a aequ b aequ
XX - X
AXX - 2X ∞
2XX +qX +Z XLI
qu
Y195.
qus
detur
1eu 2
um sit a
res non procedie, ienque laticarent
non videdu, nnsi cin redao a
e
15 26
tcbebitur celatio inter a e b
nempe 2XX a = Ka aequ. 1.
2XX aequ 1 - b - 3Xb7 a Ergo 1 + X a aequ. 1 - b - 3xb. seu
bfXaB) aequ. a - ab B)X ab. seu X enqu. b 49b -a. fui valirs subt
re
seuL
XX+ 3X+ unde tollendo,
quo 1. seu
1 
ra x- La
sen + 
 baq
ergo XX iqu 14 ra. rsus . 2Xx b + 3Xb + b
2Xp -7

## Folio 5v — 00068033:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068033/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 82 lines, status machine
ab + b - a
 aeque
2a
b +b a
+ bb - 2ba +aa
4 aa b6
aab b + 2abb - 2a ab + bb - 2ba + aa a b + b - a
ergo a aequ
L aequ
2 ab
4a a bb
abbrab 2 ab + bb -2ba +aa - 2aab = Xabl
+aabb
 -a bb + bb = 2baH + aa aequ 4 abb + a a bb
seu b - a aequ b s2a +aa. seu b aequ
a aequ
2XX - X
 asrax tgx+8 -x 2 seu baqu
l’aequ.
1- Vrataa
2XX +7X + 6
15 225
2XXa = Xa aequ. 1. Eugo a XX aequ 1 = Xa ( aequ  = X. Rarsus 1XXb + 7Xb + 6b aqu. d
Ergo 2X∞ aequ.  4(- b - 7X sErgo L (x) aequ  - 6 - (dX. Ergo X aequa - L + 1
seu x aequ. b - 4 +6 ab. Ergo a aequ.-
seu
6 ab.
3b a abb
bb -2b a + 12 abb + aa + 12 a ab + 36 a a bb 1b.
36aabb.
bb - 2ba + (2) abb taa (12) aab  36 aa bB 6 abb _ b aat 2qbaabb)
 s
sub
seu bb =2b a + ag aequ36 a bb= 6a bb - 6aab aequ 30 abb-6a ab
ergo necesse est a tb - 6aab cric sempen esse quantitatem
ratio nalem a. b erc. sunt. 4. 3 he 2 etc.
Ergo sia est 1. et b est 2 erit 2a bb ∞6d ab ∞qu.. 30 - 6
aego 
baequ IXXHEFB = X1 2XX+ZKHI
CXK. X
per  erit 2XX aequ. 1+ xa
peraqu. 2. erit 2XX aequ. 1 - 3xb - b. per 3 et 4. erit: b + ab X aequ a = 3b= ab. seu erit
 er
X aequa - b - ab
4 ab et pur3. A etrC
2ab.
29b +34 abX aequ afx - Abx (d gb∞. seu  3 X aequ. 2a
aequanda duos valores ipsius X, ontic 6 e: 8. fiet.
21
ENCL L
aa ab -ab a - b - 3ab 45
Ergo 4abg +4a ab-3aabb semper
(8) a bb aequ. aa - 2ab + bb, ( aab t abb) (3aab (+ 3 abb) + 3aa bb iit quadulu
a et B sint dut
proqessionishujus E. B.
X seu _ 2 ab + 4 abb + 4a ab aequ aa + bb + 3a ct bl.. Et ordinando bb - 4aa. 2a b aqu - aa
G3
aequ (1) + GC + 72
seu bl gaa ora BCs bb - 4aa +2a b. + 9a1+ 4a + aa
1thaa 4a
1+ 3aa-4a
Ergo b aequ 2aa +2 +  a + 8a
 1- 4a +3aa.
1-8a +6a a - 24a + 9at
aequ.
+16aa
1+3aa- +a 1+haa +a
aa +44- 32, 14 ar quta
1- 8a en.
si a sit L. func a + 8a erit = + 8sa
Ergo a + 8a. debet semper esse quadratus posito esse
a terminum seriei. si a sit 1. tunc a +8a erit 9.
seu 1 + 48. seu 49. quod unde patet rem succedere
sed nullum inde video usum nisi ad varia theoremata 3Condenda. 36 possunt quidem hoc modo etiam
occurrere problemata, sed quae raro occurrere solent, ut si quaerat aliquis a me regula
inveniondi infinitor numeros numororum paria, ita ut uno nominato a, altero b sit
4abb + 4 a4b - 3 a abb quaedratus, et A abb - a a + 2 ab - bb + aa bb etiam quadratus
quod alias difficile, quia dua tantum
salie sacient bin quolibet proximi seriei proposilae, a
incognitae et totudem postulata,
X aoqu
 seu  XX aequ aabb fa bb 2aab