# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/7503/text
# Catalogue record: 7503 — [Collatio mirabilis inter differentiationes et potestates]
# Incipit: Collatio mirabilis inter differentiationes et potestates mihi in mente
# Date: 1690
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=7503&katnr=45203
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-958800
# Title: LBr. 56 · Bernoulli, Jac.
# Folios: Bl. 63 (from the shelfmark LBr 56 Bl. 63.68): 2 pages, canvases 125–126, page ids DE-611-HS-958800:0125 to DE-611-HS-958800:0126
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-958800&page=125
# Lines: 172 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.81
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 63r — DE-611-HS-958800:0125
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 68v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000125.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 158, 2026-09-10T04:25:56Z — 85 lines, status machine
ollatio mirabilis inter differentiationes et
eqpadubus esi opui sibus ipsius potestates. mihi in mentem venit, in qua arcana quedam
t mira larent, et fortasse stio aequationum differen-
tialium solutio hinc poterit duci
1XF 1Xy
t 2xy + vejge
1N Hy tBry bexy
1X4y raXi +b gy 14 X)  
1dXdy
idxdy tidxy
dxd tedrdys +idxdy
Idxd yr3dxdyr3dxdey + idexd’y
Ialhua yralenus inalatus F . Pra)
idxdy PXdy
geoouiter anf 
CXFy seu P ipxpy Fipxjus Simile ipsi didXdy + 1d X d’ y tatim permntandto pues d
pe vin g tantim vel p r hoint
sed ut collata ninstantum in valore differereo cum valore potentge, sed et in cple. 
p Sic ega Et ut collatio, abig
poisi sipuiim su
sic scribentum est  p pxpu sim. d axdy lices enim pix vel pius sent
unitarem significent, scetaer quatenque tamen. tdignitates psius X, vel y referuntur
utem sensu recmo
 est
al 
i ctu
qua rerid
in serie nostra locari debent; ut factum est.
potius opsan autalem, quae potentia cus
atula  es)
recialem demum naturam  serici induit
latus seu padis
Hinc Sxy s respondet nu  seu pd
habeatur, prodit.
nand p pXpus xim d X dy instituatur jam divis  seet ines u
F- f. + 8.  ere seu e p, px py = p Xpy - px pus +pXpy- p xp y etc
Hinc _ qua = m nX n _ N x = mhrn celis a M G  =  m X = x ne x qu, go siiliter s seu  _ sxyseu d, dxdy = - d X d y. d Xdy + d X dy - d Xdy ete
sive. sen fiet  (xy = SXy = sx dy + peXaly - pX d’y ete
Hni se sit x = dq et Aq eonatur esse constans F siet sxy = Sydq et si porro ponamus d esse
constantem, poterunt summari sx, ssXx, SX etc. et fiet sx = Z et s_ seu SZaZ =, 2Z, et SX - ( 
sin lrero  si manste x = dZ, fat dy constans prodibit (y q = Zy - szys quod
Si
= 11 2 Et fiet
Eotem modo prcedet comparatio in trino ternionibus ut sit p sit  P pxpypZue sin d ex g
verum esse aliunde constat
Et par est ratio in quaternionibus, quinionibus, aliisque quibus cunque
Sed pergamus jam ad duota in se irvicem, si ex ut si ua potentiae quarum latus 4XF y
Z
nam utique
adagd ducantur in potentias quarum latus  etqu utque res eodem modo se habet,
mlescesse est ut sit p expy, in p prpZue siunt d. xdy, in 4, d vda
Sed quid si v = y, et X = , et D = m fiet p pxp y, p iXpy. quad iitermis auliacs reprosentare
per , su quod reverat est pr, a latere XX Pxy + yy, unde patet nom debere  X vel y ex diversis invicem
aet a  exdey dd d 0 se yn
duci, ut procedat collatio. sanc p u nam p pxpy, pe x py =  Xxtery + V;  at a, dxay dxdys seu L Xxyy
exit _ 2.XXydu + 2Xdx Vy. quae duo sic non possunt commule compararii itaque oportet er listinguere unum
si ex formula impertecti,  X + axu seu MXNG+ 2MKM, ex trahiur rais quadralia more slito puditib sormmlaseries  Xuly  fot abalio. Nempe faciemus: p pa pepus pes simil d d X d5 dydV, quod non poterit
nec in unum confundere, nam fiet p s p x p y, p E pr simil p pxpus. pi piespo simil. dx d irpir
il p, etc ret _ 1 pXPy + IpXpy. in 1p E Po p Eo seu 1t. pX pE pypotu pK Eypo + 11 px pe pypir -  . 191)
expEPyp
= 1 = L . - ai d X A, d y d v + 11. d X
1 exd d’ydv
 icui ae di
similte d, etc fiet d-
Ex quibus apparet etiam in potentis a reclangulo ix duobus  binomiis vel polynomiis dari compositionem, et
data aequatione differentiali sed variari posse in uno ad alterum revo cando. Ex. gr. si
 redcendo in singula, quasi esset
sit data formuta differentialis pdx f2xy exdy + e d
  dexdx dx  poterit pro
eo scubi pyp y pxpX + 2 pXpy pXpy + pXpX pyp u tue  XX F Exy + gy t + p XpiXpX p y inde tit  v rga ly 
 dy d’y dx dX F2dx dy dXdyt dex dX dy d’y
verum cum _ yu et y ex diverso oriantur et tamen coincidant, daeret comparatio in ambiguo
Fingamus aequationem: _+ 2pu la dys + us  lus = Agysda dx + yydydus, hoc hadrictione nostra revocaretr
ad dr dae codedys t dydy + dy ad XX + Exy tujis  = 4XX + gy et fieret x +y = 2X si seu y = 2x s - x seu 9 - n 
 X - y ulique ex ag B fodet exdxdx + 2XX dxdx f Axdxdx + X ddx = AXX drilx + Xx dxde, quod non sucedit; cum non la entla c qua
 u 
ne ests resprato dnde i duas
partes
3
 sipica
ettentes cgtio
ctuse
 pus
oc desmendo
sitie tm in

## Folio 63v — DE-611-HS-958800:0126
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 68r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000126.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 159, 2026-09-10T04:31:07Z — 87 lines, status machine
Cum quicquid contingit in aequationum et posentiarum resolutione
sumacuus aequationem secundi gradus
hic imitari liceat, fariamus
e. g. X ACX XHC +cg yy + yX +  a unde fit y + 2X = Xt eC
ex. gr. yy + yx - aa =0 ulidel t aC 1cC. Ex
)
Ex aequi londeta ad pe differentias seu py+ pyspix -  aa pypx= 0 fct
 traducta ad differentiassit dey+ d’ydx - aa dy d’X =0 seu ddy + dydx - au Xy -0
sed ita non satis fiet legibus homogeneorum Ergo haec aequalio illi prinae non
respondet, sed oportet suppleri ges  H sie aliquid in assunta
sane aequatio assumta
yt ogibus romogeneorum satisi at utrinque:
mutemus nonnihit aequationem datam, et faciatmus inde: yyti + aa = 0 fut
am
Ira
v- X - a =0 ipsa autem veq. assummta ad nostrum moremo expressa. ita labit
p y  pypx py- 2 pxpV + pa =0 unde fit differentialiter dy. 2dxd’yrdia
a
2papy 2papx
se s
-2 da d’yt2dad
+d2X
sed l’a  vel d’a =0 erx prodit: ddy - 2 dxdy + ddx. sed hac parsus non servantur
leges homogenecrum. Oportet ergo suppleri aliquid, et video debuisse utique poni X et a
etlii p, Pyspa et ft   Best ata = F py pXpa  - 2 Py pX pa + py pXpa = 0
-2 py pxpa +py pxpa
Ergo pardit hraducendo prodit d d, dyirda- d’ydxda -. d’ydxda
seu  vulgari enuntiatione
fiet 
2 dyd xda
+ pypXp a
+l’ydxda = 0
aydx d’a
dydxda
ry = axddx -2a dxdy tayadx, quia caetera evanescunt
ita servantur leges homogeneorum, et simul responsus.
Verum hinc
apparet supplendos saepe terminos esse sua natura evanescentes, sed tamen
vel
Vicissi
ubiles ut aequatio differentialis Lon potentialem tradueatur, addu
Et inss supplesido coefficientes arbitrarius adhiberi
pon
nosse, cum suit nihilo aequali
vicissimque ut aequatio  potentialis traducatur in literalem, potensiam
quidem novis opus est terminis, sed tamen multiplicatione per affectio neq
ipsius X ipsarum literarum intervenientium  cujus ex povens o.
Neam t exponens o, qui in potentialibus negligi potest, utilis est n in
diffepentia
differentialibus; et vicissim a de constante quae est affirmativa, evanescit
cum tamen potentia talis a constante utique negligi non debeat. Nempe
da = 0 si e sit major quam 0.  sed quid obsecro sunti differentiae, quarum
exponens non est numerus rationalis integer. Haec fortasse aliquando sese
delegent saltem exhiberi possunt per terces
Nunc videamus an tadarere ista liceat ad aliquem usum sit
equalio x+ Quid dicemus cum signa interveniunt. Ut si sit:
78
seu d, yxa
= dyXa + ydx a + 0
1a py p XVa + 2p yp xp a
+ py p x pt a
d. d’y d. x d= a = d’y d. x d. a + 2 d y d -X d. a 4 dyd x d. a
eu , sxa. day a
seu dd yxa =
+2 d’y dX d= a +2 fy d. x d. a
dy dx d a
ddy. X. a + 2dy dxa + y ddx a
+2 dy X0, + 2y dx 0
+ yXO
equat
rga 42
Ubi apparet etiam im ipsis signis explicatione tacta divortium oriri, quod
et si consensus sit in novo scribendi modo, nam _ ydex dea est Pdryque
seu P.  P py p. x po  est Y y - X aa. Nam P Et pet p - x est 1 sed d’x est - x
et in omni potentia pari a est a quantitate us bblatur sinum mns nam p  (x  na, sed
differentia sevat signum  dam nam dx = ddu   dx sit dlx
y-a  si dicimus esse potentiam primam de py p. X p a, sei xp x parpe p p
seu p PYP Pa = pYyp. X P= a + PyP -= p- a + pyp X p. a id est y - x - a
traduendo fiet a, 
ave
2
Hinc patet si in 
differentiali aperiatur
XX, posse inde fieri
vel 22 vol etiam
- X, - 8, adeoque
M XE+im X, E