# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/7505/text
# Catalogue record: 7505 — Progressio qvasi Geometrica in differentialibus.
# Incipit: d°x d_1x d²x dnx
# Date: 1690
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=7505&katnr=45205
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-958800
# Title: LBr. 56 · Bernoulli, Jac.
# Folios: Bl. 64–65 (from the shelfmark LBr 56 Bl. 64-65): 4 pages, canvases 127–130, page ids DE-611-HS-958800:0127 to DE-611-HS-958800:0130
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-958800&page=127
# Lines: 327 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.83
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 64r — DE-611-HS-958800:0127
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 65v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000127.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 159, 2026-09-10T04:31:07Z — 107 lines, status machine
progressio quasi Gconcetrica in differentialibus
dex dx dx d’x  dx cx
X dx dex ddax d sx Cu
d’xy deue dry dry djys d ere
dxdy. dxdy idxdy d uxdy
1d Xdy 2d xdy 3dX dy 4dxay
idr e apa oata
Et Hinc patet, si pro dd’X ponas d X
fore prodituros terminos propossionis Geo–
metrce ex differentios prodituras
respondentes potentias; seu terminos
qui sint pogressionis Gebuetrice; seu
Aeque adeo differentias esse quasi. pro rres
sio ins Geometricae
omima quae pagina prima, seconda et tecta hic percamtuges invenimus brevite, et universaliter
ddy d dX d’y
d   u
dx d y
dX etiy = dx Aut2
d, d du y = dn x dut 19
dierays = idne ditu
Nempe d, dX d’y = quasi,, p Xp y, in, p. x+y
terminos hic prodenntes
Eadem idem consensus cum poedifferentiarum cum potentiis locum etiam habet, simnum
i plares sint litera, ut ryque vel in n
Ergo generaliter adcavial
eto ita porro.
fosus nsu ted sa toq rillus d t qu
 jam conjungamus plures
de, Lmx d’y d3= quari n xd  dZ in p. X7F
quancitates differentiandas inter se, videam
qbid fi batr
in formpla producta  v. g. sit es  formula differentianda, dxdy+ dxdy, fiet
dxdy dxdy ododus idxdtys id y
1dxdy 2dxcy 3dxdy adxay
Idxay 3dX dy bdxdy
1aexdy ad d’ y
dxdus dxdus idxau dxdus
idxdy 2dX dy 3drdy 4dxd’y
1dexd y 3dxdy 6dxd y
1aXdoy 4dx d’y
axdy oxdys idxay idxdy id x d’y
dxdy idxdy 3dxdy idxdy SdXdy
1dxtoy saxdus 6dxdy 10d Xdy
id xdy 4d7dy 1od xd y
1apaus asas
Et hoc patet si formula sit homoeoptola seu aequiformis
quoad X et y, licet compa not tatius quoque formulae
differentias progredi e
cetric
talis formula considerai  tarquam jam alterius
simplicis differentiam ex. gr. dxdy + dXdy =d, xy
it generaliter si scibus dx + dXd y-
esi dinum quosidivisione per dxdy dabil
d XC
pa + 
quae ut sit differentia alicuius smplicis dxd fiet, utique
pex dxd
p. 2. qu 
ergo h = m - ∞ h + 1 = nLv. Ergo m - B = a - v - 1 seu m = n- 1
Y = mLC  r+ 1 = n - C Ergo m -e = n C t, seu m = n - 1
unde in cusa sucedit ubi patet in hoc casu rem succedere, ut totius formulas
differentiae sint progessionis Geometricae, quia ipsa formulus est aliqua
eredifferentis differentia termini simplicis, nempe hoc loco patet
dex d’y e+ dx d’y esse diff. ipsius dxdy
idem est ponamus formulam fuisse mulliplicatam per dx dy,  nan ex ipsa fiit d 9 + dt X. dy, nam
et haec formula est differentia ipsius dX d’y,
sed si  sumamus formulum quamvis indeficulum, seu quanvis, ut X dy + ddx dy, ejus
In+
14
X. d y +, d X dmF,
d py f2d xe
ex antius +1d12+
ey
videamus an hoc diff primus terminus ductus intertium, det quadratur medii
ductus in tertum, dat id Xd G + 2 mri. punrt
Cd + . demm yL, ant2x. dem 
X  +2tZ patl + 1t. fna
qum. mtneh
+2. ment sment,  amitntr.
1 Amtaq gutn + Amonalx. amene +, antnm qman
 primus autem terminus
medius terminus qeat 
constat ex +dx dAy +1 dXX
1dx. Antius +, x. d y
1 Lnx. dmo ly +, drx. dmy
quo quadrato, fiet 2 = C ti = 3)
et 2. 4t = 24
itaque succedit consensus. seu differentiae continuatae ipsis d ae d’y sunt  progressionis
Geometricae ipsius dx seu d X d y + dX dy, et hujus difs. et hujus diff. diff.
sunt porpessionis quasi progressionis Geometrice
sic poterant haberi d. Xiyzue = quasi, XIZ, in pe, X +y +Z. . jam si quaeras de d’ Xd yd Z
perinde est ac si terminos ip
itum
exponentem d,  pro x te, X vZ despective addendo m, n, r; adeoque fiet
tidicamus: de, dXdy dZ = qual   XpypZ, in, p aty + Win
3duique aeritus fissiu
3dex dunus v  s  
ee quai bd excs
=quatn, b. dx yd2rC. d
Hinc patet nihil referre adhibea
ipsas X et y simplices an per 
a differentialiter affectas, per
Nam Im, dn, nam si tantum ubiu
cypridibus terminis ex X et y simplicite
enatis adjicias iuffectionis exponenti
n  pro X, et n pro y habebis

## Folio 64v — DE-611-HS-958800:0128
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 65r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000128.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 159, 2026-09-10T04:31:07Z — 69 lines, status machine
C
sed ut rei fontem quaeramus, inveniamusque quousque se extendat
considerandum est si Cel XG X + Z X +G _  Tormino termino simplice
quaesiti terminum cum suis differentiis et differentio differentiis esse progres
sionis Geometricae, sed hinc non statim sequitur formulam ex his duobus terminis composita
etiam cum suis differentus esse progresionis Geometriae.. Ex. gr. sit sint
duo a et b et a, aa a a etc, progressionis Geometricae,
noncdeo erit a et b, bb, b3 at erc propes itidem
non ideo sequitur etiam anb, aarbi,  a +b etc progressionis Geometria esse
nisi illo casu pro proguessio utraque est eadem, si a, aa a etc. sint progressionis
duplae, et b bb b, etc. sint etiam progressionis duplae. Id vero
huc loce contragit, nam  differentiae, d d, d,’etc de d’X d’y sunt
quasi grogressionis duplae, procedunt enim per numeros 14, 1+2+19 1+ 3+3 +1, etc.
et differentiae de d’xdt y sunt etium quasi progressionis duplae.
et
Iu
Et rem a differentias traducamus ad potentias. Et scribamus si placet
N + p y cuu potentio P, p X+ 2 pex ply + p y
m
nx pt y + pr X p y cujus potentio p, p, etc sunt prospessionis Geom
p X paxy + priX pr cujus p potatir p, pd etc sunt ititem progr. Geom
et quidem si X et V accipias pro unitatibus, ambo sunt progressionis geometricae duplae
ergo et compositum ex potentuis erit ejusdem progressionis. Geometricae duplae
immo, etsi maneant X et y diversae, item tamen verum est; nam illud dividendo per pxp
fiet y + X, et hoc dividendo per pex pu prodit itidem y+X. Ergo
fit 3 +X, pX p X p y + p X pr y
taque d, d X d’y + d’X d’ylf e,  d’+ d 9, d’X d y, quasi in,
aequ. d dXy + dF  y, C quasi productrae ex d X d’y + d’xdy in dxdy+ dXd y
t quia per C est ( d X dury + dat x dy quasi product. ex d x d
1D
etd, de X demy + d X d’ y) . . . . . . . . . dXdme y,  xdmy, in dexdir dxdy
 d.  duX d’y + d’x d y
d, xd’y + d xdy
Er  d. d’xry + d’xdy
adeoque tandem
(4
pt ix d y Et hoc= d Xdyrd yd
 d. dXd y + d xdy m = d X d y + d Xd  + d Xd y + d
Nempe
Ergo de a Xdr y + d d y + d’xd y + d t d’y, seu  d
seu per D.
Rer 
dexdu q
seu
quasi in dxdyraxus
Ergu d. L Xd y ta xdm
Kdytd xdmus
dadyranaus
dXd G + de x d y quasi in dxdy didus quasi in dxdyrddy
dXd’y + axdy quasi in quasi quadrat y  d’x d’yt d Xd y
d,d’Xd y + d x dmy
aequ.
d’neglali l  qul quis tetendiynd idys (e quosi (et der ey dpsiu
d, d xdy + d Xdmy,  sues pro gustionis quasi-
geometricae ut
quasi ( Ialyrdaty
+PXonu, in . p X
proponebatur
rigius
 pexpu rpip
et in universum a differenr de, duX d’y + d X d y = qude y t dex d g quadn, q, dx
etiam
Oequi
=d xd y + xdy + dxd yd xd y, quasi in dxdy rdxdy
pe
Ubi noto on licuisse dicere d, d X d’ y 4 d Xd 9 = quot d X d y + d Xd 9, quadi duct. in quasi potentiam de ipo, dex dys rd ud
generaliter
 un laira cere 1e, de x Ny + d XH 7 = d X d y + d X A G, quari dust in d. d X d’9. quo quam il sucedil i uni casa, except. e 
un e itaque rectias utemur traductione a potentiis

## Folio 65r — DE-611-HS-958800:0129
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 64v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000129.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 159, 2026-09-10T04:31:07Z — 73 lines, status machine
Htine porro res quoque estenditur de differentias formulae triterminae, imo
et multiterminae cujuscunque. quicumque rrosintes initr  regetus homogeneorum, poterunt sic generaniter exprim:
An- t
ad eisi si duo termini unt dXdy +  dx  y. Hos multipt poterimus
Si duo ex duabus literis sint termini
quasi multiplicare per _dy pet d X ady + d’X dty, quod si rursus quasi
multiplicemus per d dX, fiet d X d’y + dX dt. Unde si terminos duos diteren-
tiales quoscunque  ex duabus literis  factos, d X d’y + d u +h. F mulipli quasi- multiplicemus
a
X. d y prodibit dX d’y + dXdty, quae est formula bitermina aa
ex similis, quam ipsi d dx d’yat day, adeoque reci differentias habens
quasi progressionis Geometrica. Cum vero terminus per quem quasi multiplicatur, nihil
mutet in differentiande, aequitur et calculo diferentiationis per quasi- potentias,
sequitur ergo et dX d’y + dx tnt, seu duas formulam bitermina biliterariam
biterminam quamcunque vi habere differentias progressionis Geometricae. Quod distinctius ita,
dX d’y + d’4  y, = quasi prod. ex, d X. d y, in dXdy + dxd y
qu
a
 ty
et
(probatur
e d, du ex d’y = de X aty = quatiu p X. py+ px p 9 in  p, p  pus + pixp y. per otersa
ductu suo
Ergo quia dX. d y (vel ipsi d sic respondens p nihil in hoc diferentiali calculo discrimnis facit
Fiet
X
dxdment quasi pxdu + Ux ammtu inv p PX+pX
Adeoque generaliter: differentiae continuata a formula bilateraria bidermina homogeneorum leges servante
c
sunt
sunt quasi progressionis Geometricae, modo hic explicato
Quosi jam smmus formulam biliterariam triterminam, itidem inter se leges lomonerectum
peniamus jam ad
servaates, sint termini a + b+c, Erit d, atb= quasi, a +b in pe aty
Et d, a+C = quosim atC, in p, xty et b+C = quasi, _ btc, in pe, X+y. Erg sed patet
esse de atb + de, atc + d btc = bis de, atbrc. Ergo fiet
bis d, atbre = quasi bra bis, a+b+c, in, p, Xty.
d a+b+C = quasi 1. atb+C, in pe, XFy
seu denique fiet
itaque seu quod idem est,
differentiae continuata formulae treferminae biliterariqe differentialis, tritermina
imo  multiterminae cujuscunque sunt quasi pro gressionis geometrilae
Et jam video me  non scabuisse opus ista tam prolixa deMonstratione
per viam gradus seundi  bitermini, ad multiterminos. praesertim
cum in ipso biter mino non sit omnibus numeris absoluta demonstratio, sed
inductione aliquousque facta progressum supponat. Hic autem ecce
demonstra tionem generatem,  pro biterminis quam multiterminis;
am
imo non tantum ut hactenus pro biliterariis, sed et pro triliterariis et
aliis quibuscunque. Nepe
Nempe d, d d d, d’xd y = quasi; p Xp y in, p, xty
Et de,  dX dy d Z = quati,,, p Xp y p Z, in, p, X+ y+ Z
Hinc x d, od X d’y dZdv, s xdey d’xda   + et =
quatibs X prys p Z dv +c d Xdey Zd V + etc, in p, XtytZt v
quaque afferentiliter expressa(intequa
Unne generaliter: differentiae formilae continuatae formula cupusque sunt progres
fit differentia
tiam ab _aggregato literarum, secundum exponentem differentiae excitatam
ex
muctliae 6 sima i
Unde patet etiam nihil turbare coefficientes. cessatus ille metus de
e coefficientibus datis non confundendis cum  numeris qui 
babu eix
a quasi potentia multiliteri simplicis oriuntur
Ex lus etiam intolligitur non esse necesse ut X et y servent leges homogenectum inter se
ab ab ab
Genecaliter ergo eo
et artium consantem interenentem a pote volli pro simsici naeficente
e
porro
C
iabega idnali
Andenique

## Folio 65v — DE-611-HS-958800:0130
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 64r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000130.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 159, 2026-09-10T04:31:07Z — 78 lines, status machine
Quoniam demonstratum est omnem fiuutam rationalem integram differen–
tialiter expressam, cum suis differentiis continuabis esse quasi progressionis seometricae
emper ad terrem interitem  em so mniti ene
Hinc sequitur rem ad alias quoque formula et
si scilicet,
integus compositas posse applicari 
videu rema pos
finc sa  xisiq
uige
constantem revocari possunt.
t in p Xt yAZ potito apb fq C etc esse terminos
. Exemplo utamum L  _ ry
exsolisliterisx, uq etC. constantes
Exydxexydy + XXdy tex tgy lx
=xdytrydys + xydxt yy ix E XyA -xy d y L
XX + 2X y + yy,
y-77 + 7 y eu   pa py. px py p py ere
id igitur requiveretur ut fractio aliqua vs
dx +dey xtu possit revocari ad seniem disferentialem, quod
au fieri queal, dubito
aneest et illud considerandum, quod non omnis formula videtur ex e rationalis intergra
videtur reddi posse multilitera, vig  differentialiter tantum procedendo. Nam, X + y quod
ex primetur differentialiter per x et y simul nam erit quidem dX + d y, sed non licet efficere
ut adhibita sola affectione  d, ferminus qui unam tantum litamm accipiat, utram
alteram obir habere videatur, quod in potentuis procedit, ubi px = 1, sed non
in differentiis, ubi dX = x. adeoque non pto x per affactionem differentialem tolci
Etsi ergo Methodo nostro semper oltineri t possit summatio formulae differentialis nullas
potentiales admistas habentis quando id integralites possibile est, quia tranenem pe ejus
madiatum quasi ifferenda dividendo per differentiam. Quia tamen plerumque res per
integras non procedit, tiene tamen per resolutiones in fraectiones. videa itaque vodeo
n e Hiat Fractae sautem sumponant potentiales, ubi exponent-)
natet se necessario veniendum ad formulas in quibus potentiales differentialibus
Idque primum vitebimus in integris inde ad functas et ia viteam
erdebimusque an universalia obfineantur, quae ad rat fractos et rationates ver
admiscentur.
protendi possint
 aliqua formula   XX dx AaXdy + cyydx = s 0. fiet
xEdx+ =X m XE dx + A  XZ de + _ plaxdy + glazdy + Hax dv +  p - 9. r b atd
+ el 10 Cyb dx C yu de = 0
tid et d = ned quasi,  XXd X∞ dx in, ,p, X + Y
ita habentur arbitrariae
f et de, re = quati s, in, p. B t E
 sed sve sed pro obtinendis unde sequitur differentias continuatas ipsius xde xxax esse progiessionis
geometricae, et in universum cujus libet formulae ex solis X compositae sine interventu y et a, verb. q.
i sit. exdx = xd Xxdax + Xdxdx. ita enim utobu se in qua libet    faciemus tres literas; X, E (E
et faciemus A dex ds diX) +dx dx d2) (quanquam et haec per arlitrarias variare possimus.) eo iam
.. . . . . ., fiei 4 = quasi px p E, p 8)   p X p E p E), in p, X + Z +(3)
illud etiam valde considerata aignum est, posse nos sope hujus variabilitatis quemvis terminum, formula
vel aequationi datae impune adjicere; v. g. volumus adscribere faydx, tantum sribemus r  Sa(dX + 2 f aydZ
sypponendo 20 +21 =0 quanquam et plures varietatet hbere adhibere licuerit,
quaeramus d. 1, XB, dX fiet = quast  pxp Z pX, in, p, Xt Z. jam   C
Jan p XA =  1: , xA in integrisp ed=
L - Z + 2Y _ E erc = le p Xpe- p Xpo+ p XpE. pX
atur in extr aletodo, proat ab alterntro inciritur Et minus quidro resent, cum geosunt x,  quia idem suntus ad magis cum _  y. led ture atilis ab eo incpilur eis dalitus poantur simna
rodx= dxdeax quasi in, d’X dE - d2X dy + dXdE- dx dE etc: Et possenus Et eodem
m. do eti alium terminum summare possemus. Et ita caeteri quoque te 3 est in arbitrio nostra vaniatio
nem differre in commam; item adjectiones a novorum terminorum
quan quam et in summa per seriem jam
seiel inventa, possimus etiam tuto pro e substituere X; et ita tollere illam necessariam calculu varietatem; jam
siit etiam comminisci Heaemata in universum. Porro rea cum obtinere possimus hoc modo plutes summatrices, vel summa sum
tisem; possimusque etiam ipsit addere eq sed infinitas, possumusque deliam addere inferines exaltatas; videndum an hinc aliqua
via ad veram Pimmam finitam. Nempe s ex aD et a et an reperiantur C, a, d formta et aequ composita ex
ex C et a, s mallipticata per ex aliquot terminis, quorum quilibat sit opositus ex aliquo ternia O, _, ita ut udi haberi possit per quadratum
abua at _O, habentur ep X et y; Hi termini exaltari possunt ad seriem, et quidem inciriendo a rationalibus et quadraturis primi granus; ut appareat
an quae pro veniuut u parari possint cum data. sed oplimum fret  si directa operatione ex infinta extiam poset frnta cum possialet
etAC   d,
pxpyApxp. Sed quid huic respumens d, dudeyrxdus
Xy = quasi _PXPy, in p Xty = EXBy quasi in,  X +y
Qud si habeamus aequationem _ ad rem aptam, ut aXyAx +, aydus teds    uti ( axdy, AN adx p d dy = 0 seu 10 d X d’y + 10 dy d X
pet. 2 Xly+ yax. = a
1 1dX d’y 
ubi non opus est ad hiberi E vel B hanc matemus in potentiabm, sit 10 Xy+  + 11. y X + 12 X. . seu fiet
Xx = 10. 0XX h- 4. 11. 12 X se G = = 10 X ∞ V 10. 10 Xk-4. 1. 12. An ergo ideo licebit
dicere foretady = 1.. =10 d x B dx Sino enn 1d) d onon uied  1ono- q. un d.  N. d.  da a, C y V
1y + 1Xy + = 12.
Haec porro consideranda
dividere in duas apotes ita ut in una soliternim
 natu india