# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/7893/text
# Catalogue record: 7893 — Leibniz an Rudolf Christian von Bodenhausen: Ad Epistolam D_n. Baronis Bodeni 23. jun.1691.
# Incipit: Puncto, recta et circulo positione datis, invenire minimam interceptum
# Date: 1691-08-20 (91-08-10)
# Sender: Leibniz — Addressee: Bodenhausen, R.C.
# Akademie-Ausgabe: AA III,5 N. 033
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=7893&katnr=35604
# AA III,5: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-iii-5
# In the Akademie-Ausgabe: AA III,5, p. 212 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/III5A.pdf#page=212
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068207
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 15, 5
# Folios: Bl. 22 (from the shelfmark LH 35, 15, 5 Bl. 22): 2 pages, canvases 41–42, page ids 00068207:0041 to 00068207:0042
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068207&page=41
# Lines: 247 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.79
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 22r — 00068207:0041
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068207/jpgs/default/00000041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 126 lines, status machine
AF, a. CF
Ce-CA
AV, v.
KanvVa. 
Ad Epistolam du. Barons Bodeni. 23 jun. 1691
a
puncto, recta et circulo positione datis; invenire minimam interceptam
inter rectam et circulum fa quae producter transeat per punctum
Neuipe dato centro C et radio CB, adeoque circulo, dataque p recta cB
popositione recta GH indefinita cui producta CB occurrat normaliter
in G et dato puncto A, adeoque rectis CF, FA, quaeritur ducenda
AH, secans circulum in  E, sie ut EH sit omnium possibilium minima
quaer sit GHx sit  CB, b, e CG, g. CF, f, AF, a
GH, X
gatur
Ex puncto E deillatur EM  normalis ad cG
et CM sit m et Cm sil C. fiet eet mm = bb
a - e, : M = f :: a -X, : 9 - f
postremo et
ita determinatum est punctum E per intersectionem recta
AH, et circuli BE.
porro HE sit y minima eritque
 ce HE = cG. Cm + CM - GH. seu yy = g9 - 29m + mm + e- rex + XX
55 ag. 1 est cde = = mdm, et ex aey. 2 est - de g. f= dn a -x  = dx m. f
erg. 3 est Rydy = -gam = edx + xdx et quia du =0 ub mimimam
s fit: de 2 gdm + Xle C Xdx - e dx
A
(1
EBBaBa rursus AF = EM ad CM - CF, ut FA - GH ad CG- CF seu
2
2
porro ex aeg. 2
F
fit a porro, g- f. per compendium vocemus p, fietqu e
aeq. 2.,
10
act ap - ep = ma = mx - fa + fx et per compendium
11
sit ap + fa = 99 fietque que = epa mx+sx, et
pe ita compentiosius pro sg+ habebimus +xam + max = p de + fdx quae coincudit cum aeg. 5
xoe  e=  4 94 - fx + xtam,: p =bb - uim ex 12 et 1
porio, jungantur aequationes 4, 12 et 4, ad tollendas differentiales, fiet
de =-mam: e (ex 4)  N- a dm + im dx = f dx 3: p = (ex 8) Xdx cax- gam: X
(19Y
c2
 ex 1b et 17 fit dx = - pmam: C + a = X dm ,:, m- f = (ex 191) et D) - xmam: C + gi i29.
ergo ob eq 20 evanescente am, fit . pm + a = XC X - e L =xm + ge m- f
e per 14 et 15 sit ge ex Ex 3 ope 14, et 15 sit
+ gg 29m. 6+ x C R 2Ab minX ex is est X
+ Y
23
 et ex aeq. 3 sit gg rr - xx- rex  2gm et ex
 sit gg. t bb2
aeq. 14 est pC - qq am, m  quem valorm substituendo
 et quia a= C p: f - in + a = X
e
e
m. mafnt gen
 seu X= a na -pa -e,: n
sit f+ m = n t et ex ag. 22 fiet
(25)
A-nes pn + a epe, al Ha-e Bn p=  ar Bon
= un =na + pa-pe ntf + gen
et a-e faciendo v. fiet
=n + f Pn + V pa B, v. np = un - na + pP ntf L gn a- v
s seu, = pnn = pnf + PaV = pPV, vn-vp=  un exentannatutgann
bbacoco et quia. Ce+ um, sera aa - 2ar + vv + n + fn + f   =bb fiet utr
es
vo + nn = bb - ff - aa - 2fn + 2a0. sit bb - ft = a a = BB et
fiel en+ nn= BB - 2fn + 2 aV et 6g. 27.
=pBB + p fn, -  p avC pns) pav
siel
et quia p - g = - f per aeg. 9.
=pBβ +. (2) p fn = (2) p av (= pr F + paD, vn - xp = nn  gf Vn Fann xso Aan
et problema solvetur ope duarum aequationum, quarum una est aeq. 31 ad
circulum, altera est aeq. 32 ad lineam duobus gradibus conica altiorem
vnp B3F pt. Vnn = pavOn +ppCBVC +ppavv = - fVN- an tEp f Vt par
BPF
c’ et pro vn substituendo valorem ex aeq. 31. fiet:
pes Vn + pp BC V + fvH + an pan= (pan-ppa PB + 2av - nn - 251)
ppa ((3 - 3pp a a V + ppann + 2pn fan + 2paavn ( pan
)(34)
2p af nn + pa βBn
Eergo v a ia eB= riptan
quae est aequatio ad  curvam
lecet per numeros ratianales
3
Lpatn
B(B
PB1
22
rationalem quarti gradus, quam etiam Peuiu puncta invenire
habit solutionem problem abi
Ruoe arqu. 31
at=at (e SBe-2fn. nin
groblemta est impossibile solum et semper sit BB+ ac- 5) sentb. aa, sit minor quam f+n seu minor
qu a fubtco sorocib quam nins  bb dib, es, in rins qeao dibilitas eitandu est  s. d a tiem  ns aalemi, ut 35. abile
n.
ud aet
blaitu
31 un segus
nur das gua
caerie
3 taustrgus negativa
c
c
e
Ec
4
eu v. abb facns fulbio
sed non video,
quid hinc lucremur
Contraretur Magis
calculus si in valore
ipsig. V aeq. 35 siat
numerara et nomi-
nator yndivisibiles
g. f = P pf- 95 t)
BB= bb- aa -
(Ex aeq. 32 si
3B + 244 = bb ta +- g
Pa-2af = ga- fa
BBtpS =
31
seu v = atrbb - 5+R
at sba ta

## Folio 22v — 00068207:0042
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068207/jpgs/default/00000042.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 121 lines, status machine
Quotres prblemeta per altiores curvas construenda sunt
lubenter ad hibeo curvas rationales, seu quarum quaevis puncta
ex datis punctis axis per solos numeros rationales inveniri possunt
qualis est curva ad aequationem 35, posito V et n esse
coordinatas seu abscissam et ordinatam; et isecnjengo
vel eas conjungo inter se, vel pot si possum cum curva
circulari. Ita hac loco ope curvae aequationis 35 et circuli dati
aequationis 31 resolvo problema. Curvae autem rationales hunc usum
habent, quod ea sernimu um hoc habent commodi quod eorum puncta facile inveniantur
alteram, vel in aubarum conbiaatignem.
de
interdum tamen ipsum problema alias offert
constrnctiones lineares melioresquibus tunc, utor
quod abtinet tordum altios medias proportionales plures duabus inveniendi per
lirculum et aliam curvam nec eum exempet quaturt medias, seu invemre
ilam ys  abx
X positi X = ab sit XXQay et Xyy = aab Equaeritur equatio
ad circulum Xx + yy + Cx + ey+ fo multiplicetur haec per inxa ny + pp
du. Bodeni ex harum aequationem compositione quae siverat aequationem ad
circulum, sed eam inveniri impossibile est, alioqui enim problema posset
sotoi per inter sectionem cinculi et Hyperba ad quam esset horc aequatio
et parabolae ad quam est aequatio 2. sit ergo, alia aequatio.
ve + Xx + cv + exs = 0 quae conjungatur cum x a b
seu  et quia XX = at b :X ex 59. 1. itaque hunc valorem substituendo
+.
in aeq. 2. fiet vv + a b: p + Cx + ex + f = 0 sit e = 0 et  =0
fiet et ex ag. 4 fiet X vv + at b  = ffX3. cujus aequationis
ope una cum aeq.. et generaliter si sit X = a b, et
vV + XX  f fiet
2
X - vv  a b.. Sed relenta
aequ. 1 priore. X = a b et vv + XX + Cv + ex = ff =0 multiplicaitur
hoc aequatio  ordinate secundum X seu nX + ex + vvt ev-  = 0. per
formulam X + 3X + t prodibit X + eX scribatur per compendium y Y + ev - f=99
et pro aeg. 2 fiet XX + ex + 99 = 0. haec multiplicetur per formulam X3 + H + KX
prodit x+ ed
at
x+ ex + g0
a
+sit X + etit X Bgha X
+AX + eX + g X
fiet XC+ ex 
c
cet
K3 XXt eK X
+K X + EK X + ggKKN
vo X
V
 
nio
e
+ 13 X + C(3 X + Ggl
byp.
De
1
e
Eod
Aau
regor
er
e
+tvv
+ WV V
+ qu4
+ Cqu
+rv.
+rcvo
= rf3V
+Ssvb
Cssv
X
+ RG9
5
e
t vb ti v+z
vos valores parite, et 
 et et valorem lissius a exaeu 3. substimendo ae
+ + v4
+ et v3
 tffvv
=Wov
+CWOV
et
C
tollere omnes terminos, inquid
dimensior in cognitarum simul
vel singulatum ascendunt
super 3.
vv
Mp
resetra
sit autem
RK = 9uetrvess
ubi si litentemus
ascendunt  vel simul
pro vx, sit r= -C, prote
pro vexx fit -c. + 9+ +6, seu
fit C8  et), sed video hac
sic potius procedemqus, ut aqo aequam divisibili tebo
protollent vyx erit    p
+ 23VV
flov
+ Cy 36
simu
ex cedunt quatuor dimensions, nempe X, ex vV XZ, et vx quam in rem fiet q itaque
tecv
ita ut division facta reducatur ad aequatione
si abe inlegro ordiendo faciam, X = ab et
+entor
et at GX+ LX V+ KXVHIV + m v +nn VX + EpX
assumamus duas aequationes quaesitas. v0 +NX+ Ce teZ,
1gX + YD+ 130 et vo vv = XX + dv+ ex+ H et VV gX + hXV+ KK X lxV+nt nvip
4X + XV+ s5 ex quibus prior aequatio est ad circulum posterior ad lineam tertii gradus, ques aqationes aequ valore, 
atarerea
8b Fgxthab et
9rXLGgXXL fg rvax
Tet sit v= 3 X 1FpXK L X L.  3.:7 L XX + Eq E, es cuis vaboris v, quodtntum si aequitum mairi ipius vo extantini aegr, sublata
hoc modo v, debet prodive aequatio caa 1, sundesolida. Et eadem opera calculus per agltur pro construenda surdesolida qualunque
methodo non posse tolli v X, v2X+D itaque  no
localem 3 dimensionum sed eodem redit, ac
  contenti sustalise terminos, qui