# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/859/text
# Catalogue record: 859 — De x et y duplicibus in simplices mutatis, et v, p in duplices. Et cautio in hoc calculo. Et de lineis per intersectiones determinatis. Et de curvarum descriptione per tangentes ope fili aliquid grave trahentis
# Incipit: Jam aliquoties in schedis meis notavi, lineam duci posse ex communi
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=859&katnr=58440
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068043
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 5, 25
# Folios: Bl. 30 (from the shelfmark LH 35, 5, 25 Bl. 30): 2 pages, canvases 59–60, page ids 00068043:0059 to 00068043:0060
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068043&page=59
# Lines: 152 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.92
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 30r — 00068043:0059
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068043/jpgs/default/00000059.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 81 lines, status machine
de X et y duplicibus in simplices motalis, et V, P in duperces. Et cantro in hoc cals ed
Et de tangentale per du lineis per intersectiones delemunatis. Et de a lia earum descro
per langentes ope sibi  aliquod grare trahentis
Jam iquaties in schedis meisnotaae lineam dom posse ex communius cometria si
non solum si detui relatio inter Abet BC, vel tales quae inter se sunt simplices aut duplices
sitiam inter se sunt simplices vel duplices tam eatcylo hostendi pootia aut similes, quae
sed et si detur relatio inter AP et PC, vel infer
C)
Quod i detur relatio inter lineas
quarum una existento simplice in aequatione ad duas radices aequales altera
est duplex, non semper ras procedit. Et quidem si detur relatio sic ut nnn tantum ex
dupllicibus calculum ingrediatur cum meris simplicibus, vel contra, tunc problemi potest revocari
ad quadraturas ope dx et dus otg. posito AB esse X, et BC esse y. vel
alia rationi. Sed qud si  Videanus si aequatio sit data relatio linter BC et
P BC quid sit futurum, ut sit BC = y et BB = co, et PC = p. Riet
aequatio yy + coco = pp cui aequalioni nondummisceri debet relata inter co et 
quia ambae sunt non sunt ejusdem generis nam y est gemina p. simplex. et
t prius proinde quaerenda est differentialis quo est sed ea nihil, qua est
y du _ + co deo = 0. Est autem c0 = spp - yy et deo =- P p. y dy
spp. yy
fiet: Ytu 1  pap -ydy = 0- ydy - epp - yy. Pap - ydys =c
seu ydy - pap + y du = 0 Ergo foret 299 = pp quod faesum est II eta aliande delu
relitio inter pety. Ergo res sic non procedit. quaesertum hum nulla hoc modo spes
sit perorendi ad X praeteo y. Hinc videtur non licere uti rursus aeq. D in aeg. 2
et cum p evaneseat nihil suvabit relatio inter p et y. sed si re lata, datu
susset inter causa tamen distinctius investiganda a posteriri video tali
methodo semper datum i inventum in relationem inter p et y. vel similem
quae tamen jam tum data est.
itaque pro cd seu BP, adhibenda est AB seu v.
Et res linctanda per modum problematis communis.
data relastione intr AB et pC. intersectione circulorum rex invenitur curva AC.
ubi notandum posse et intelligi AP non esse rectam sed quannis lineam, et punctum p, esse cieto
modo datum. Item sempe latibus intersectionibus circulorum radiis pC centris p descriptorum duplicem
semper lineam quae silam reperiri. quod si dati sint non circuli, sed allipses vel attae lineae fieri
camciinita oliantur, si cipculo vero
AC vola; et inter provolvendum crescere, intolligatar  centra ciculora
Hnc
bnninu cadent in rectam lineam AP. si secta idem maneat circulus, erit linea ABx ipsi CC faralleta
super recta
ex circubus plurium horum circulorumunsimul sumtis componetur arcuhslinea AC. si vel imus
idi
lineam AC describere per modum trochoidis, opus foret invempe lineam provolvendim laterusat
arcus et chaa a puncto fixo ad curvam ductae habeant relationem quae est inter AP et PC, ipsis
ecta
sc existentibus a radiss a puncto fixo, at ipsis AP existentibus ipsis arcibus aequalibus.
sed his missis consideremus unc quidem rem esse manifestam, cum problema tale est
puncta
oo
chur sesecant  puncto
Fs et (A (G) una cum longitudine fili, ita describi possit Ellipsis E Uebi tamen valde
notabile est Z Ellipsii tango lineam in quam cadunt oia puncta F, (et omnia G) tangi
in recta FH (GH) idque semper, ubi videndum an in quovis modo desenbendi intersectione
linearum alias invemenditale quid excogitare liaeat, ut si non sit recta langens
ta oipsam FF tamen sit certa alia binea laageas que ad rem faciat
sed hoc misse considerandum est, aliquando non ipsa intersectione lineaerum
eo simpliciter puncto lineae, cum condatione Tangentis solvi debere problema, et
majorem esse difficultatem. Eg. pit punctum firum A quaeritu curva talis C
ut ex si ex puncto si sumas rectam AB, et ci respondentem B PC
ubi si ut alibi ex plicui infinitas semper curvim habecas in qua punctum
quaesib esse debent, eamque aliam e aliam tun linea intersecans curvas
uncte quasim
non servit nisi crcasu uno peciali, quo incidit contactus in ipesum punctum quo duae
lines sibi ocrurrunt, quo casus a linea, illa intersectionum lineam quaesitam langit
quod an fieri possit praeviden at si scilicet nunc continua quamud funtionum intremento
espor
et recte interactiomum tnctu
spertanda auodo majora sunt  rectae quosite,
euu inveniu
mactum culculo differentiali moximori
dentes modo minora unde aliquando aequalia. Sed tunc a hoc dubium est, pro quanam rectaram
quaesitam (infintae enim sunt possibiles inventum silu punctum. Invamur tamen aliquand
ila consideratione quod cum sunt quadratrices omnes lloM lineam adinatae differunt
recta data vel smmli modo. Qui quid sit fingi ps descripta quodam ut
ponamus lineam pC hoc mo esse datas ad AB, et dari illaralinens infinitas et uram
intersectionum. hur invento puncto ipsius scilo lineae intersectionum ponatur intus in linea inbrse
ctionum volvi lineae illa quae est una ex infuntis,, eaque semper mutari ex una in aliam ordine
tu
singula
cantio
exman
und

## Folio 30v — 00068043:0060
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068043/jpgs/default/00000060.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 71 lines, status machine
et super ipsa denus provolvi iiculum qui etim continue mutatur hujus circule
cies
progoluti puncta dabunt; lineam quaesitam. Itaque recedet semper circulus
a linea intersectitorum duaeante viemae lineae intersecantes ex se moliert mutatio
illa pravolutione sinul et mutatione continue fiunt
ponamus lineax illa
infinitas interfecantes semper esse unam eandemque vig. parabolam semper
landem Haec paribolu volvetur super parabolam intersetionibus,
et certa su in super linea intersectionum ex  dversis ejus sitibus, quae data est
Fingumus interim Circulum, aliquem vel aliam curram super hac ipsa parabola
moveri sic ut semper parabol langat, quod necessario eveniet. Centla
aitem circuli, vel aliud quodcunque punctum fixum vel certo mo variabile, in paribola
in hoc circulo certo modo debere procedere, seu ordine in veniius in aliqua
linea; et ita cogi pambot tum inculum ut provolvatur super parabola, tum parabolam
ut super linea intersectionum, utique hoc modo punctum contactus circuli et parabolae
dubit quaesitam lineam. Ubi videndum an quo simile quid comminisci liceat
ubi inter provolvendum fingsatur mutati. Et ita videtur, quonia mutatio
feri pt in omnibus lateribus hujus polygoni infinitansuls modo non fiat in
m illo ubi est contactus, et ita maneti
Ne autem in cessus seu cglissatio
seu Hisceat provolutioni fingitur situm lineas duabus se tansentibus. V. g.
circulus et parabola super se invicem incedentibus filum ambobus esse applicatum
uta ut quantum ab unu involvitur ab altero evolvatur.
Iuo video paratoum quidem tongere debere lineam suau
inter sectiuum, sed ut aliam lineam non vedeo apparet Tangere rursus
debere parabolam linea enim diversa puncta ejusdem parabolae conjungens
sed quae  situbus ejus duobus, intra ipsam nanendi paribolam non motam
sed si punctum describens motur uo propellatu, parabo tam
tunc id id tnges Ejus motus langet parabolam, sed  hoc ipsum Eatur, quod
non langos.
s
hibeatur motus pncti descritenlis
Anstrimis ad problema Tansentium utilis cacetur Methodus
designatu, quod filum secum trahit  grave appersum, in fitum semper
atum
acto
est tangens puncti appe linea a puncto alligato descriptae. idem
quod probe notandum, verum est, licet continue flum crescat vel
des decrescat, seu punctum usuent alligatum in filo vel regula
quasi  altermativi,
moveri intelligatur, nan duo intelliguntur motu
unus fili circa punctum gnrave alligatur, ut quo durante ressat motus
gravis; alter fili e motus est versus punctum lineae manus, et is est
in ipso filo directione fili concidit, et s licet durante hoc motu simul
grabe in filo moveatur hoc directionem non mutat
Notandum et  rectam perpendicularem ad filum vel regulam
ex gravi procedentem semper esse perpendicularem tangenti. fine
Si pourmus duplicem motum unum manus regulam (seu filum) trahentis
pla temperatum, ut v.  cum manus pervenit ad aliquod punctum in recta
in axe perpendicularis axem in aliquo puncto secet habebitur desideratum
haber poterit desiderata aliqua relatio ut inter AY, et AP sed cavendum
erit ne influat  motus ille perpendicularis in motui ipsius
TC =a
Ex AC et TC retatis inter se invenire curva sit =. fiet: dx. dg:
regulae seu fili.
TA ay: La +due = y: a seu _ ac: yy = dest + y: dy  + 1. se fiet
saa = gy dy: y = dx rursus sit AT= E, et fet +A+ 2tX + XX + gy = a 8
posito TC =B. ergo ponendo X et y simplices, F et B duplices fiet: Edt + xX 1t = D+B
+ = - x. et faeret (XX = 2XX + A∞) + yy = ga sed ita
fieret y=a. quod est ad punctum, ergo est procas hac methodo desideratur
sed posito D2a Et
non praestatur
Haec uralrus ex andt
donec
in directim
cadat filum
inter gravi
et punctum
trecta
in qua incedi
manus