# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/862/text
# Catalogue record: 862 — Curvae osculantes invenire, vel illis cognatas et de modo inveniendi generatrices Algebraicas curvarum Transcendentium
# Incipit: Curva osculari curvam dicitur quae ipsam in quatuor, sex aut pluribus
# Date: 1683-06-04 (83-05-25)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=862&katnr=58443
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068044
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 5, 26 (shelfmark Lh 35, 5, 26)
# Folios: Bl. 1–2 (from the shelfmark LH 35, 5, 26 Bl. 1-2): 4 pages, canvases 1–4, page ids 00068044:0001 to 00068044:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068044&page=1
# Lines: 339 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.85
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068044:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068044/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 115 lines, status machine
25 Maji 1683
in scheta sequenti 26. Maji
calculus circa cenerationem Transcendentus
edhuc melius expositus
Curvas osculantes invenire
vel illis cognatas
et de modo inveniendi gentrattrices Algebraicas curvarum
transcendentium. B. Ende allima schede gex aut pluribu
Curvae s osculari curvam
ad guid
dicitur
lastica
eque duo quatuor aut pluricus
corcurga
ones le prritacurum tundeme
at, vel quae ipsam in tre anobus a tribus sibe
supersunt curvae Aclasticae, itemque curvus artituaria defletentis ordinntae et absesa dibe uud
punctis inter, se coincidentibu
chuodo
ad le
ad rec
accerere
intelligant
quati
punctis inter se coincidentibus tangit, quemadmodum peculiari schediasmate 26 Maji 1687ad
expositum est. Si Circulus osculatur curram tanget eam in duobus punctis coincidentibu
assumi, i
i
sima coanescant. 
iC et 2C
qua par
eritus centrum ejus in concursu du
holii
lo aequation
lin
ervam perpendicularium
gn rectar
curo issiouta
n et v. quaeritur ad huc curva prs s et C. sod habita H. Z et V habetur ejus
ad quem omnia curvae punctaa referuntur, et in eo punctum finum
alpi
lu 
a
b
t
sipendiculars
priorum cantrem et curva H EE decerminabitur.
in axem AS, et.
Esto AB, X BCY AC,
denique RC, 5. ixquibus AC strespriores simplices, tres
posteriores da sinplice Quoniam circulus RC curvam in Ctangit
ideo data erit propiietas. Aequatio ad circulum est:
 quad y+ v + quad Z- x aequ Ss. dx. dy 1. x
Et qui quia AC est ad curvam perpendicularis erit dx: dy :: y: p- X. At ex aequationis 1
differentialis est:
3+ ∞ dus + -X- dx aequ. 0 seu dxi dy:: ytb: Z x. fiet: y: pX:. yAV. 2)
sedeM oP y (y∞ aego Xp (y∞ +rp- vx s Y: V:: p. pri p. quod et patet exfigua
si
nempe CB: RS et BP. PS. possumus et facere Y+v v: ( X +Z p:
er potet perqua
detur ex y. ope aequationis olicet relatio inter X et y ignoretm: tollendo Z-X ope caquationum et
habebitur aequatio nova in qua extabit sola duplicium Y. et praeterea ex simplicibus Y et S. cujus
quaerendo differentialem hab evanescet dus, et habebitur aequatio inter y. v et
i
varum
 duarum aequationum ope tollendo y habebitur aequatio exprimens relationem, inter arrum
ER seu filum eisaequale RC) et abscssum AF Et quoniam data curva RR. habebetur descricta
generalis curvarum quadratricium per evolutionem ipsarum curvarum RR. Curva autem
RR inveriretur, si data progcessione arcuum, dari posset curva, seu, qua s datis elementis
curvae proportionalibus figurae quadrabili haberi asset et curva propel finura proportionalibs
ercubus est quadratrix figurae proportionalis elementis  Hfinc si datur Methodus
inveriendi curvam figurae quadrabili proportionalem dabitur etiam Methodiis deser
generat
bendi pr Curvarum eveolutiones describendi figuram, quadrabilem quamcunque
Generaliter consideran
Nunc ut
quadratricem quamcutque. Sed hoc obiter
senm est in aequa 4: dalocem ipsius s dari aequ. (5)
per X et y. sive
is ergo sub.
curva. CC sit absolute data sive data tautum per tangentium quoprietates,
stituendus in aequ. 4 ex aequ. 5. habetur aequ (6) in qua extant literae Xdy. v. Z nisi
forte per accidens in easibus, aliqua harum tollatur, nempe si pL X delur per solam 
in aequ. 5 possumus jam quarere raequationis b differentialem qu. 7. in qual
extabunt dx: dy. X. y. Z. V et  pro dx: dy. ponendo valorem ex 5g03 vel ex iq.
habevimus aequ (8) in qua extabunto X. y. Z. V. Ergo per 6 et 8. habebimu
X. Z. V. sublata si placet. y. Videtur
2. 5 haberiialiam in qua etiam extabum
4. gu (9) in qua solo rextabunt
tantum X. x.. V. quam jungendo cumcaequo 6. videretur alia haberi aequ.
quidem paima specie ex aequ.
v. unde Hollendo X ope hujus et aequ. g. haberetur
aequ. alia in qua solae essent Quet vat  aterum reperitur id duas aequationes
taldenset autum ergr
repertasin quibusX. x. Z. B. coincidere, nec posse X tolli. Nisi
velimus
v. 3
cobatio inte
Res
adhibere aequ. 1. ut S inge habeatur aequalem 
et . seu relatio inter carcum curvae iRA reiusque ordinatam
et abscissam.
qualis relatio tam non sufficit ad curvamt RR ex hibem
eam. t itaque si aequatio Lenon del curva CC hondetur nusi
eneratrix  t ejus etiam (regulariter) non nisi differen
differentialiter curva d Regnlpriter ingram, i
et nisi contingati ut X et y simnl tollantur, ubi rm
sed curvam pro L.B.
notundum eocas non da relastionem intex X at Z
de Ellipsibus osculantibus dixipe flaser exabus curvis evevolutione
fialiter dabitur
generantibus dictum et peculdari sreda Maii 1b83 docari posse
so arbtum
cunam CC desilbendam accommodatur passumend un cesse num ejus punctis
Certocterminatur tum curva CC, quam etiam curva RR

## Folio 1v — 00068044:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068044/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 59 lines, status machine
sro Circulis ergo osculantibus ad hibeamus Elligises osculantes et
supponamus Ellipsim tangere curvam propositam eC in tribus
punctis inter se coincidentibus, sive obculari secundo oscali genere;
et quaeramus cuma Eltis loca focorum harum Ellipsium ita
osculantium; e seu duas curvas coepolatione generantes
Sed de lies ut dictum mongi in scheda peculiari
sutaii. 1683. ubi deprehensum non posse curvas coevolation
datas dari  Algebraice, quin etiam sentrala Algebraice
pro setemniae generatione autem curvania transcendentium tale
detur
qud fertandum puto
Curvae CC data est proprietas tangentium
cu sedatio seu posita ABX, BC, y cD dx
DE, dy.
luva
rEK
2+
AS7. A RS, v. quaeritur
iuents ex ea langentes RC
ti
producantur ad curvam CC, sin ut R2C
3C et ex punctis 1C in A2C demittatur
aperpendicularis 1CCE, et ex 12 C in RBC perpendicalerus
(2E. Sint ipsae 1E2C, et 2E3C vel differen,
summabiles. itia enim evolvendo curvam R R
et movendo punctum aliquod in fito evoluendo
Mita ut velocitates sint ut AE2C, describetur curva CC.
ebet ergo inveniri relatio inter 1C2C et dx quae sit summabilis
et praecerea debet posse inveniri punctum R, idque ex data AP
ssumamus relationem
subtatis differentialibus, comnuuni Geometria
b summabilem quamtibet inter 1E2C et 1BAB seu 1C +D. seu dx.
et sit 1E2C aequ d mav. xB. posito e dari per X sumum abiliter
sic utaqe  e sit summabilis, quod semper fiet, si componatur e vel
ex mens integuis respectu incognitae, vel si nominatores habet, nisi sim
plionasit
plices habeat. eritque CrE aequi jam 1C1E +  e aequ dx+ dus
ergo habetur , C,E per compend. Cor porro: rege CC d
1erd B ICrdE. sim. 2CDEF. seu iCid: IdF: ICF : : 2C. E: EF. ECF. et
1DF + F, C aequ d dy et 1CF + F,E aequ co. Addatur ex. tum laterum
1
proportionalitate idF: ICF:: _F. E: F2C. Ergo fiet.
IDF. F2C aequ. ICF. F1E seu 2 ~DF dy = 1DF aequ ICFCO- 1CF2
e
Habemus
seu (1CF - 1DF C) dx aequ. ICF co = 1oF du
ergo cDF aequ iCF co - dx: dy Ergo erit
1DF aequ 10F c - 2. CF co dx + dxt,: dy aequ 1CF- de
Ergo habemus 1CF co - 2 iCF co dx + dx aequ dy elt- dydx
habetur ergo 1CF vele si malimus. 1dF faciems:
at CF aequ dx + ad F. ergo fit  idF ds ardys dx idF id  aq sodo raidEV
Substituendo in aequave pro 1dF paulorante inventa et pro cd porendo
palorem per . e. et  dx. dy. et prae dy valorem per dx habebitur
aequatro in qua solae extabunt X. y. Z. V.  Et quia X et y. C
et quia de den telet per de Ay sritendo e ascibandi pro eo
1CF aequ dy 1dF + ax,: co. et 1CF ego dy rdF dyde idtidu: 
Habetur ergo idF. Est autem Triangulum dC idF simile Triangulote
RMrC et R M est v+y.et =CM est y-X. ergo fit:
v+y: Z-X :: dx: idF et pro hunc valorem novum ipsius idF

## Folio 2r — 00068044:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068044/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 85 lines, status machine
scribi poterit ldx+Mdus et ita reglabunt se  solae supererunt differentiate
dx. dy. et quia eg seu da dx una quantilis: dx: du. quam iterum
tollendo habebitur aequatio inter X. Y. C. Z. B. Cujus ope quam
cum priore conjungendo debet tolli passe tolli potest X. Nunc ergo C
ita explicanda est, X per X et y, ut X et y simul tollantur
Imo ut res
procedat eo facilius, poterimus in ipso valore ipsius ax:du
tefficere aliquid arbitrarii. verbi gratia  qutur
Scubatur edy aego dxx tdrg
posito literam g ita dari per , ut dx g sit summabilis. Et ita qerit 
arbitraria. Sed huc modus arbitrariae adjiciendae pro cedit tantum, quando
problemata. differentialia pendent an quadraturis.
stro generali vero problemalum differentialium soltione
es
possumus adhuc procedere plura assumere arbitraria hoc modo:
qu curvae KK. (in B  figure properetas tansentuim data e
eadem
puncto curpae C, ut 6 delur punctum respondens curvo F dempe 1k, vel
contra scilicent A cuivo KRordinata sit  N) alscissa m. et detur
relato inter X. y. R. ek X. y. M
nassumntur o arsaliso. ipsa autem C seu C  sumabilis per am.
et idel relita Lnt du 8 per m. n.
Habeatur etiam
unde relatio inter dx: dom. dnc et dy dm nn. Et quia
datur recatio inter am. du.dabiemelalio inter dx. dm. et inter
l Y. dn.  Eergo datur et relatio poter ud dx: dus dHfine semper
tolli possunt differentialisi jam quaeratur punctum ip seu relatio
ace
inter Z et V. habebilarie novissime aequatione in qua erunt. Z. v.
et
s m es
quasi puncta pE etait, vel 2E et 3C
coinciderent, seuu opsi  CC simplici ipsius RR evolatione describeretur
 Habemus initi rum d secunduo pagnan mam hujus schedrasmalis
duas aequationes quas ingrediuntur. X y Z V. Sed Hae
e
Calculum affentemus sit:
(2)
dm. dn aequ Px P n m posito  dan
(1
datur veli aequ I por honx
gretianodariper
c
dus aequ. tram+
1
Moet
m et n
alcitarie
od per Xg dari per M et n.  et
ubihene
e)
dxlge. tam fand +Gdn. et
ingular dari per lam
alodnes Posito 0. grisulas
tn+
quae sequuntur ex priorb jam d dus qu dx: dy 3+ v.: Z- X
est autem duaequ dm. . H- m.  A.  per 1.  ergo per 5. erit:
6
1x aego fdm + gd m A m i  et du eqoper (et gerit dya hamt ldmn- m: n
12
enso, ent: dx: dys :: ns +g W m, = nh + l ∞ - m d 2 y + v: Z- X per 11 et Z. Cumus
s
1
erl
omnes etiam x et y dentur per M et n ex superioribus utes vI5. quib. l. utique
 solae e m et M in effectadabur erunt duplices in aequi 12. et Z et D
Splicaes. jam aequeso
quaerenda est differentialis. 13. ubi notandum
es et M. n: X. y. ( f. g. A. l esse duplices, et ipsas af. dy.
geminatis, Z et B sunt una eaedem, quaeratur ejus aequatio differen- _k. de supponicentanquam in da Gabilas per dm. du. M. H. itaque
tialis habebitur nova aequatio secundum X. y. C. Ax. dy. de. Z. v. restabunt solum Amiran. qua in aequ B. quas sollendo per aequ. 1. datam
effici poterit ut M et n simul tollantur uas aequationes conjun-
 Tendo ex puto omitti posse e
si sit d x dz aequ da dx. X
A
et er pro tribus quatuor  detuo
demmi
quo facto habebitur relatio inter Z et v.
si
sit, sumatur alia uva cC talis ut ex datus duobuss punctis indefe dato
n
imitio, habebitur aequatio14 nova inter  M. h + ZB. Et
jam aequationes 3 tet yexptuandis sunt tro co sequenter explicatis,
et
. 

## Folio 2v — 00068044:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068044/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 80 lines, status machine
f. g. h. l. et horum differentialibus per m. et n. 2 necesse
aequaationes
H  12 et 14 conjungendo o produci
alem novam aequationem
15. in qua M et R simul
toleantur, solis a superstitibus manentibus
7 et v. et ita
trabebitur curra generatiix. Ne antem res sint nimis indefinita
re praevideri potest, opinor, quam alte ascendere debeant aequationes
14 ut an appareat an sit possibile, ne frnstra ascendatur are
trora
Alia Methodus. Assumamus curdam  1k2K arbitrariam et ab ea
ab en documque et ex C pependiculares ad cglvum Cp prodducamus dum
curvae ck occurrant et ab ea reflectantur; ut producanti
novam curvam arbitraria autem Rs concucsu duorum
quorun libet reflexorum producant. Assumenda est curva Kk
ic ut RR possit invenri licet non site Cabsolute data, sed
tantum per propreetatem differentialem. Descriplaa Habita
etaulemRR habebitur ipsa CC per ejus extensionem in rectam, quia
 ALC semper aequalis filo evoluto sine reflexione seu directe
extenso. mosito AB. X .  BC,y. AP p. AA, h. Z, e. AQq
AS, Z. Z RS, V. datur dx: dus aequ. y: pux. posito p dar exX. y
porro qu anguli pICG aequales erit  cosi aps tif PZ , gC
aequales ensita Ed C perpendicularis ad curvam ) hinae pEo sZo: PE EF
: quadd 2 =  e quadr q- 
seu) e + quadr t. p: (2(sen) e+ pur q h
C: HE: PB, BC seu dh= p3o e: p. X = Y.
2S. BR QH: HE,
unde 7q AB quhc e opeaequ. stollatur g ex aequ. 3. infalint
 si qralimus retui
taes poterit jam tam aequationis, vel
ratio ut eu ur collenda qui est quian mpuere eam vellem, et quaeque
ipsius sam s. diffaria tatem iricideremus div aqu quaru ptatur
quere
et equationum 4 et b possumus quaerera differentiales ) et (8) ubi
ex sunt simplires reliquae duplices. datur autem lp per X. y. ob 2.
et a dabiem quam dondabitur. h. et e. c h per X. .n et e per 
Nisi forte malimus tantum dam s per X. y. et eperex.y quo casus non
dabitur absolute, iisi etiam per cuvam. Sed niulum quodee funa nec determi–
natir habila RR sufficit sergo. ea et 4 K jam dh. de aeque: h- 
e unde polemnl
tolli Le ndtu D Alunde per 10 et 11. habet
ene per e et g habetur
(13) dE: dC
Habetao ergo et Acd. . His substituliis
si  in aequationibus differentialibus. Satius erit forse tollere pua ex
aequ. 6tope aequationis 12 ante quam duenintur ad differentialles
testro dgu. de ponere valoremt e aequon
dom
habebitur aequ.
ox equ. 6 in quar extabit +X. y.  sublata etramsi placet p
pe XS) h. p. 1. D: et quam licet reddere differentialem, eto sum
video caequationem 4 figera  ad differentiate nrevocari, quia
licet) in fieri possit,) quia sunt merae duplices, l nulla simplex. Servit
igitur ea tantum eo  ut alterntrius retatis vel vel k rolatio exX
et ys positis habeatur,
quag .
ex
ide possumus utoller utrobit
minem iita rescrcto.
h. p
+. et
tam in aeqo3
utla est enim tolli q quia duplex est, suon simplex ut Z et V) otatamen non datu
det ope aequea
esjus differentialis dg.
Ex eadem aequ. (3. tellatur h Teu tap ope aequ. 4. nam
 aequa datur s ex datis X. . q Phabebim pa s. in qua restabunt tantum
 E quia curva EE ponitur dari relatio inte k et  LY) aequ (7) Hinc 2x aequ. 4 tolli potest
se, relicta vola h. per aequ. 7. habebitur aequ. 8. ex qua aequ. 4. etlimiliter aequ. 9. ex aequ. b
in quibus ex tabunt h. X. y. ZB. duplices. Nam p.l pendet ex X. y. tollatur jam bimil X
 utram modius potest ope eja et g. habebitur uova in qua erunt solum X et y:  duplices
na cum y e v. simplicibus. Cujus quaerondo diffelentialin habebitur aequ. (11) in qua
erit excduahax D certantem et dx deh opere qui + per solas y et h. qudu d. de
pensi  e e  Nam quelntur eseettatis iise aui  s
Tollatur axidtur de. d dxper D. et se eferentialem jnsia hatat ergo rursus aequalio se
in qua extabuntr y.  unde roleee  et  solae. Pingenio aequationes 11 et 12 Collenit 
sicunt X el g. ul solae restent Z et v.
atoras dexperaer anbitranris. Sed meligica resumenus ut
endo