# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/880/text
# Catalogue record: 880 — Methodus Tangentium inversa per constructionum viam
# Incipit: Data proprietate Tangentium curvae sumatur AX abscissa seu distantia
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=880&katnr=58461
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067956
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 1
# Folios: Bl. 6–7 (from the shelfmark LH 35, 6, 1 Bl. 6-7): 4 pages, canvases 11–14, page ids 00067956:0011 to 00067956:0014
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067956&page=11
# Lines: 386 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.86
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 6r — 00067956:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067956/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 80 lines, status machine
Methodus Tangentium indersa per constractionum viam
neculiarea.
idam hic observatum nem allima vud BI. non ad hoc ut cumm dimensionis
transenitufis evoeution
descriptatu intesectiones habeantur, oportet dimers onem ejus saltem
haben exponentialiter, vel extra aequationem differentialem. Harum cum patesso
Data proprietate tangentium curvae sumatur abscissa
punctum
XEY
sudistantia in axe a puncto fixe; per eam ducatur recta ad axem
ren ormalis. Inde ordine assumantur puncta in  recta E(E)  et fugendo
et unum quodque ex illis tractetur eo modo, ut debet puntrum Y, et ita ducatur recta quae in
secautes axem
215 Casu puncti Y veri foret perpendicularis ad unvam. Hae recta sint EZB,
inq et inter se concurrentes in R; cum vero E erit Y, tunc Q fiet p. intersectio harum
 rectarum dabunt curvam R(R). Hubetur ergo curva R(R) respondens milibet puncto X
 sumatur duae curvae A(A) um per una R(R) pro puncto X, altera TR)  YB
pro puncto (X) jam evolvendo bus duas curvas inveniri potest pectum  curvam
ut R(R) haberi potest linea evolutione descripta S(5), similiter evolvendo curvar
IF lebitur crorntione descripta  (5t 5)Z harum intersectio dabit punctum Y
sed sciendum est curvas evo lutione descriptas fieri diversat, ut R (R) fieri alias pro ut filum
 prolongatur aut decurtatur omnes enim parallelae uni ex evolutione descriptis
 quod sietgo ut duabus R (R
quamcunque
Et quia prolongatu
F. R) FCR) I Sumamus prolongationem fili communem verbg AZ 
vel decurtas
eut evolutione deseri
evoladis
icalicet olatio sed AX sit deta utcumque, vel potius ad A et A(X), (id est
n effecto ad AX,) sit data utcunque labet, variabitur punctum V, prout
a veriabitur secundum legeur tet verbi gratia AZ in axe AXX utcanque
assamtam secundum  stam AZ variatam variabitur et punctum AV.
Desel ita omnibus Z ordine assumtis, habebitur linea (V), et ita pro
quolibet puncto X, erit positione data linea V (V). Metracic neam
 Hanc lineam ajo
ex supposita evolutione rectae R(R)
occurrere curvae X C Y (E) in puncto  Y quaesito.
A.
finicis
Hoc sic ostendo
determinabitur vera As2
per  data X. quae si evobuat addatur moni vel aufelatur filo currarum
evolvendarum _ R (R) et ER) F(R)); evolutio ipsae lineae
evolutione descripto sese secabunt in  puncto V tali, quod simul incidat
in rectam E(E)
quaeritur an hoc punctum  quo linea V(V
occurrit ipsi XE, sit punctum Y.
Et quidem si eadem punctum
libe pte Linea A filo linece R (R) additur AZ, et lineae LR) CCR) ) etiam AZ
describentur lineae S(5) et (5) ((5)) sese intersecantes in W cadente  XE, seu quod
eodem redit inter XE et () (E) (X)FE). Rursus lineco FR) FCR) addatur A(Z)
et linea
FRD
CA) D etiam A(Z) describentur lineae (5 D5)  et S D (5)
se secautes in (W).
Equidem  si lineae (5 7 (5)) et (5)) ((5)  essent eadem
indubitate haberetur quod desideratur,  nam lineae sese ordinatiu intersecantes, habent
easdem tangentes cum  linea intersectionibus formata. Sed hic quaestio an recta Wto
sit tangens ad curvam aliquam e ex istis evolutione descriptis in puncto intersectionis
quo posito id esset quaesitum Y.
verum jam video id non ita esse adeoque
nondum haberi punctum  Y. nam quia IS  (6)7 et 
IS DIC3) sunt parallelae, intervallumque est constans, differentia
scilicet inter AQ ex Z et (2), ut (W) F patet tiangu
erunt rn patet nihil prohibere quin trianguli vectam
guli W F1) acuius angulus rectus F, latera, sint assignabilis
inter se rationis, nam WdW) est elementum curva, et Z(2) seu
(W) F est elementum ipsius AZ quo sunt duo elementa sunt com
parablia interse, angulus ego id (0)F ad rectum, id est
ad tangentem ipsius WVF, vel ipsius A3Y (1) est assignabilis
adeoque recta W W(W) langens, lineae Wlo) non est tangens
ipsus 5Y (2) quod esse debeisset
Figura non
bene est repraesentata nam oportet lineam W (5
ingnere inter duas lineas parallela, nec angulum
signabilem facere cum  WL51I
Unde
sequitur etia lineas W(S) et et (W) ((5) se secarc
quae

## Folio 6v — 00067956:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067956/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 67 lines, status machine
Si vero velimus efficere, ut curva eadem
cuivis  sese ordinatim intersecantibus nova prodeat
liner
 curva  quaesita Tunc liners R(R); L) (CN
fumtis ut ante, sumatur AZ R R A sumtis ut ante illia
primo filo applicetur AZ,  A secund A(Z), tertiae AL
Atque ita investigetur AZ
c Res etiam sic explicami potest.
Quaeritur curva Y(V) ita ut data sit proprietas langentialis
utique hinc ex datis X et Y, dabitur Tongens et adeo ad
tangent perpendicularis Y P, axi occurens in P.
porro
quia ignotatur quia dato puncto X, ignoratur punctum Y
ideo sumamus ordine puncta recto AEE.   ad AX
normalis, quorum unum aliquod utique est Y et ut p respondet
ipsi Y, ita  inveniitur ex E
Et V in tersectione rectarum
rectis EZ sese orinatim secantibus prodibit aura KR)
Eodem modo xad rectam (X) (27(2) Invenietur curvat
Evoluta niva R(R) dub curvam M(M) et evoluta LA) ER)I
pribi
dab describet curvam LMI CCMB, et possumus evolutionem fili incopere
ntidecunque, ex. gr. a  punctis, quibus curva M(M) secant rectas XE
 sed his curvis evolatione descriptis, assumi possunt parallelae, nempe
describatur globus circulus assumatur curva nova x L(L) cui ipso XY
Et seu XE prod accurrant in L. et radio XL describatur circulus qui
volvatur incedat intam super linea M(n), interius); is centro  suo descuibat
lineam 1X(N) similiterque circulus radio (X)L) descriptus
incedens
super linea LM) CCM) ) centro sur descrbeat lineam (N T L(D
 dibet linea LL esse talis, ut cnto intersectior linearum
N(V) et N3(1 incidat in rectam XE, vel quod eodem
redit intra punctum XE et ()E), seu ut ab XE non absit assignabi
liter et punctum W erit ipsum punctum Y curvaequaesito
jam tantummdo videndum est an per calculum in veniri
possit XL,  ( curva LL, seu telatio inter XL et AI
quae hoc prostet.
Et nunc lergo res ad calculum raduatur
 relatio data interesyu ex
v.g. si perpenticuluris si sit Ap  fiet utiue
tinduretur.
sit E
AR=  ety fie  a +y fiet X p  a + 9 -X  et fet
vequ
jungatur recta EQ, et punctum in ea R, et ex R in axem semitfatur normalis
de ax: dy:: y: aty - x
RF, erit ZF: FR.. C:, a + C - X. jam A9 = a + C et f qF = AQ - AF, 
seu qF= a + - AF, et fiet a+ AF,: FR:. at eX quo est
0e0
aequalio d rectum gE, ut vero harum dunum rectam seu hiet.
C. FR = a +C - ac AF+X + XAF, in qua aec et intersectio humu duaum
eipsmodi rectarum indefinite vicinarum, habetur differentrando posite AF et
FR esse constantes, solanque ut et X, solamque e variabilem, et ita habetur esevane
connescente de et fiet: FR= Zare  N AF cujus ope coltendo
eggu. 9 et 10 pt habuissemus aequationem in qua solae suissent AF et FR
praeter constantem x et constantissimam a
est per unam lineam R(R at a per omnes et haberetur qiva
2) ex puncto X. sed mbis hac aequatione non est opus maloque
Et ex 10, et 12
refinere e, quia postea musandam in y.
2a+C X  a - ee + aaL ex = AX, :, x - a A FR = ( a X- (9 a BeX - 2 ea
cciad ex ad opia ses t e anitee +de . ar do 
ER ex aeq. 9. fiet 240+ (DCC = eAF  a2a e(t eC) L AAF - aX( CAB - ex +XAF
seu fit AF= ee aa + RX + aX:, x- aN voluissemus collere e ex a per
Na a sconstans
jam xE sit e et fiet AEX: X9: C: a +e. x
(0)

## Folio 7r — 00067956:0013
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067956/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 125 lines, status machine
possumus tamen concipere f R tollere e fi Et ita e inventis per axe
rectis AF, FR, eatur, punctum R, litea RB) quid taxen postulatur lineo
EA extensio in reciam satius sortasse erit  pro FR poneudo Y et pro AF ponentos
collere e 1759 per 6y9 et 10 Mempe ex aequ. fist  a tC = FA + AF: V
C(15)
ae a+e = Y+f, : 2. et ex aeq. 9 fit er = a Fe  ade f+X + XF et ex 1 et 15
quan evolvendo, sit
fiet.  YY +5 - 241, :2  r+5: 4 - r + 5: 2 f+x + XF
_r E 2rS)- 4ar  (XErS(S) - 2rf - 2rFOst C 2sX) , 4f
non est al
ica
debet esse
et X per explicat
s apud nos nunc nihil
seu fit f+ rr + 2rf f2XF + 2XY =0 quae lingas
x tolli possea, per
refert. Hujus curvis quaeratur differentialis fit: Et fd5 a rdr H ds = far - Ex af. + dr =0
da
seud dr: d= X- f - Y, : r + f + X = 2a seu dr: df : - 2X - a - e, 1 a +8 + 2X -4a unde
ans
minifestum est dr: df esse reoem cgnitantem, seu _ lineam RR) in hoc egt eno tulesaman
aliud elipere exemplum, nempe redinhoanda
C2
C7 est numerus fictitius generalis
e e
XP seu dy: dxL y: a +7y- X u  arrelx
Uende  ere
sit
notum e ut p Ey X  seu yifiet EX: Xq= e:, a + 7 x Pungatur recta
Patre
sit XP = a + 7y =x  fici
tFR vocetur Y, fit  jam A= a re ( AQ AQ E XZI AX
et fet AQ = a + YC per 4 et 6 est autem FQ = A2. AF ergo per 7 et 8 fit FQ= a + 7 C- f. Et quia
Ergo per 9 et 10 fit r. atre f.: e: arre. X
d cujus aequationis quaerendo
exem
eAF vocetur F,
_C
cisseentialem sccuntum e efet var solam variatam, habebitur intersectio duarum linearum
seu ar  DCY -XY = aC + 7ee - ef fitaque paulo ante giralu
EZ, nempe ex 12 diffeentiando secundum solam e variatam, fit: 2Y = a + 2.7e- f seu
fit f - - 7r + 2. 7e+ a, et ex 12 fit artt 7eD XY = (a e, ees 7rC - 37. ee ( ad
seu fit:  r= 7CC:, X -a et ex 14 et 16, fit  li .1 E a 
(4)
si velimus _ toilere e per f . pe a4. 14 ex a9. 12 (fet (4. rery 4. ) er -xr- 4a7C
Mulltiplicemus aequ. 12 per (4. 7. fiet: 4.7 ar + 4. 5 er - 4. 7 ∞ Y = 4. 7ae + 4. 7 ee - 47. ef
2a5 + 4, per 15 fiet 47 ar + 2. 7Y5- a  4ypr = 2a 5, 9+ 5. -25F, a
et quia 4 2.7C = f- a et 4. 7 e = Sa regrarau
seu (4ar + 2a2
p. Y
(4+2an) (4+ 25.7) -24. 73F 7 Y)   f - a vsr
(21) Nrasa =2 TTX
seu i Y + f + 2. 7Y5 - 4. RN - 2a f + aa = 0 quae est aequatio ad conjcau
Compendie cansa  se A SCBG
et cum oppareat istum Z nihil juvare, omittamus seu facramus, 7 =1. ja
et apparet turo et non transcendere Onicas Quaeramus
+ 2. a.
em proprietatem differentialum fiet: a var + fdf + rdf + fdr - 2xdr - adf = 0
et a
C er: I = f+ Y - a, : 2X - a - r - f. seu dr: df = 22:, 2X - 2a - 2e per 23 et 14
sed hoc per se patebat sine
gential
quia ex lend
calculo constat enim alu nobis aliunde lineam a Eq langere curveam,
mulando signum, quia sta
interfectione factas nihit alimm esse quam rectas
seu fit, dr: df
dec lerescit r decrescente f vel contra. Et hoc est siguum carculia nobis
 esse a adeoque fore - dr: d f = C: a +e - x
Ex aeq. 14 est df + dr = ree et ex aeq. 16 est
(23
2 X
recte 16) 2 e de: x - a erjo, df = 2dex - 2de a  - 2e de
nistituti
df elemento
sed ex 26. 27
 qodoei sem
et
deee
redit aeg. 24 signum calculi recti quaeramus jam dr
fier
et ds L 4 de  Y X - a - e: x- a
dr = d5 = 2 de: X a 0 X + a +, C - 2Xa - 2XC + 2a CF seu Vdras = 2de:X a Vrare ara. et
de=
ubi cum X et a sint constantes patet, tantum opus esse quadratura parmbolae
dr = 4 ee de: X- a
syperbolae, ad dimensionem curva proposito  Unde arbitior curvam propositano
 esse mboe, ita habituros nos hivc obitet dimensionem curvae Husperbolicae. arie linea
+ 
auopali, AE seu e investigeter
con
u
les probant
R(A) non sit esse recta, quia d ur: t non est onstans. Nec circulus quia in circulo
nunqua contingit ut in quaerenda aequaive ordinatae normalis prodeat rectangulum
suib odinata et abscissa, nec E ut toceam non dari ermensionem arcus circularis ex
at
t
Ecipea implici
gimensione hyperbolae. Nec erit Ellipsis, nam dimensionem
superto igitur esse
Hyperbolae Quadratura dari non est consentancum rationi.
gubilam ar iti anatini excntienda
dinersionem sypellar nova
vel si manis hujus cao quoF
verum si sam
sipiend =
consid undm esse t
6een quo al) incidut
E occureut ips
Nunc evolutione
asu ubi e = 0, adeoque et r = 0 et f = a
et Ese sit nCC, RN: FG. E3: x
FG= AF- AGEF -9 et ex 5 (1 2C +49029e:, C- 9 :: E2: QX. adeoque ex 33. 36
efium erio investigare puact
et GH- FRD  RN - FG
seu pro ax sembendo 9 fiet A N- 2 fdee rigerus
nosito XL= Z, et incipere e ab eo casus quo = x- q atque inde
Nade re txe
RN 29 de Viceaqe + 99 B  Z
decrescere. perd
perro AGsit
   nes it im iu in eu ae iret ar 
e at eltis sanseale pries. aerir e iriabee e l ui ertaen t. 
Tomillatu

## Folio 7v — 00067956:0014
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067956/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 114 lines, status machine
+
e
fabemus igitur valores ipsarum n et 9 per e, nam, ex aequo 39 est
n = ee: q + C. RN: Sacergg. requ et ex aequ 37. e fit, FB  q E KN: verg9. 2eq t2e + a - ec: 9
Hins ut obiter dicam n+g = q RN: Arcetq. 2e4+ reta Habetur autem RN etam per vaciabilem e
sed quadatorie: quod se jam ope aequationum 40 et 4) tollamus e, habebitur aesquatio, in qua
solae erunt variabbiles n et g ipsa a existente constante et ipsa a constantissima
sed  quia sune calculo satis longo non pe tolli e, ut solae supersunt g et n praeseat ambas aequi,
go et  simul ad hibere. Porro, si aequatio ex 40 et 41 sublata e facta vel ipsae aegus. qu. et
differentientur constantibus manentibus n, 9, e, variata vero g, (ab x pendente) habebitur inter
fecto duarum linearum. NN) et (rZ in puncto Wd. posat autem differentiatit frat
Easacilior et ut possimus adhibere a RN simpliciusus fiat ex 40 et 4l. RN nq= ee I. n: C9 =equagtee uiq
en e se 19- ee q e 99 - 2e9 - aq+ ee C. seu ngy (eca n9 (  = 99e (3 C 9P - aqeF C)
seu na -ne  ge - ee = a C. Ex 47 differentiando fit n dq - a 9
Et hoc est nemirabile
encrum in easu gcuisus fieri na. sed hot suspectum  Repetamus exaeq. 37 et 39
sit RN: ..
f.g,:, e- 9 = 1q- ee,: eq Et e per 14  fl) a + 2e -  et: q
C98
seu b se f = aq+ req- ee. Ergo ex 5o fit aget req e eqre  n9 (e) - nog + qee
en -. ng( ee, et coincidunt aequs. 47. et 54 quod est signum calculi boni
 sed hac aequationem diferentia evanescunt omnia, nec qui quam inde discitur. Porro
EF seu ea +3
x 49 fit AN = et 31 fit RN: 9 = 2(de . - Z.9 = n9 ee,  t....: e99. Et fil
2de f. = (dz: 9+ Zag. 49 s sed hic magna et subtilis nascitur difficultas
quomodo scilicel differentrania sit quantitas (de Scetqu eq, scundum variabilemq
poteto d non esse variabilem e. E Et ert aequalio hoc summatiria
edupenda ad absolutam Dducatur licet xTranscendentem exponentialem, rempe
ad loganthmos, uti sune fieci psres habetur. Nec aliam vil viam, nec enim licet
ic tollere 4, pel aeg. 51, ad tallendam istam. (de F.. itaque opus. Inter possumus
raestare hoc cesideratum, atque e interim licet facere scribere a fun sec rpd. q vel per
 sempend. aq. G. e: ges siet dq .    d9. G.e:94 = 942 + 249,: 9q = ndqu s. iequ 
 C49 9 e: Sicet 4 req = Ircerque requ 2eq seu fiet
2 q. e eq f.. -eqz: dq.  - + Ze99 F.. = neq4 BEeet 4q. 2eq
+ nq- ce eg - Cq = 2eq rect qq requ ng - ee
seu fier
2 q. e e99 F. . - e9 . di Su. + Zeq 5... = En ec + ngt neqng neq eeEq
(58
Deenqe (negtre. Beq q
Unde
 ser dividendo per e fit f..n 2. 9e99 - 9947. 19 +29 = - 2 enq + ng9 + 4 e + eq9 - 3 eCq
ope aeg940. 47. et 58, habe cuiuslibet ex his tribus literis R, 9, e, haberi potest vud
e
salsst 1 ex 9 seu x-a quoc unentamen manente incommodus, quod in
aequ 98. Z non datur smarie sed si admistam de. de quo mox sed quia
punctum intersectionis W, seu lillaps AG seu 9, et GN seu n desideramus
ubi corncidunt C Id et N seu ubi punctam intersectionis duarum xN, incibit
in ipsam  XE. hinc fit eo casu, ut  incidat G in X, seu ut fiat, AG= AX
adeoque  g X. Non ergo id agitur ut tollamus et g una cum n et e, ino potius
in aegg. 40. 47. et 58 pro 9 substiluatur nunc X sgantea non licuisset) atque jam
Et quidem si velimus tollere 9 et n et e omittemus eg. 4 in que est n, eccontenti
sunus ag. 41, in qua abest, quam jungendo cum. ceg. 58. tolli poterit e et habebitur aeq.
0) in qua solum sapererunt Z et g et dZ et du per quam datur relatio inter
n et q quaesita. sed malum est; uod ea recatio non est nisi langentialis seu
hon tantum posse nos ponere t in casu
n y in hoc casu scilicee sperrali inte rsectionis
Verum sciendumest
itaque si in aeqit  pro n substituamus y. Possum, sane possumus sane ope ejus
crenitialis.
praesenti 9 =X sed et (6)
e sublata prius  tollere e ex aq. 47.  sollere deinde  ejus ope quel x exoy
X. Verum frastia, quia ita
I ad huc novum remedium cogitemus
et ita habebitur aque vel dx sine ipse G vel 
quod hoc est: considerandum non tantum ea in casu puncti W coincidere. Ocum X
nostram quae sitam prima
linea
quaeramus ad hac tongentem proprietatem
N. si
ei loco nascitur nobis alisi in determinata, y.
00.
et n cum y, sed et ibidem lineam, NH) 
generalem langentium linea H(V) quau deinde restringemus ad nostrum casum. Hoc ut fiat ope
du: dxtergo
adem fieri a ap: da
ex aegg. 40 et 47. considerando ad huc g et Z ut constantes quaeramus differentiales (6) et C8,
quam  quatuor aequavum ope tollantur
H R, d, X, Z si in altera est dn, da  n, 9, XZ
dariam Y(V)
in quibus erunt de an, d9, e, a 9 X y
adque statum X licebat si prius sustulissemque e ex ag. 46, et 47 et inde productorquae ilsinus differentratem
in ais aqq. 68,64 pro n, g A du, dg, siestituratuus y,X, dy dx per 59, 61, 6465. habebimus
alterqua
e c8 suenta
in quarum una (78) est X, 8
qatuo5 His jam pingatur aeq. fl (72
e et de habebuntur duae, in quarum na
in quam uta est, X
altera 171). est X, y Z dxi du hinc pse
X Z, dx: du verum in
isi nic tandem ad
quod habeti
uin d u
lacit per 47, ha tabiltus S. Autendum 2 bi , c t 
u
Et FF
ee
de
pilt refert E
maeterquam
in differit alibu
ubi quaedar
aliunde nota
auter
tiadem
contiel
posito de
exprimiet.
penentialiter
seu absolute
a dx
a
oc fit
lysen du