# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/890/text
# Catalogue record: 890 — Methodus Tangentium inversa sine Transformatione
# Incipit: Necesse est omnia sine transformatione demonstrari posse retentis
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=890&katnr=58471
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068047
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 2
# Folios: Bl. 1 (from the shelfmark LH 35, 6, 2 Bl. 1.7): 2 pages, canvases 1–2, page ids 00068047:0001 to 00068047:0002
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068047&page=1
# Lines: 162 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.87
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068047:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068047/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 80 lines, status machine
huc
pr Methotus sangentium invesa sine
Transformade.
ex i
Et Sx y at  X y dy ~) B X _ sit mte
ex = dx dy= dus dry drg - Xhy+ ydx dx
dxx 2Fd CGC sgy = 2ydy exu = xdys + y dx
xf- d. Xy = Xdy rydx
fet Ergo saxe ex feri X y 
et
Lxy = Exyax + Xedqe Generliter d Xm M = m. X y Ax + n. X p 
Sit formula rationalis  differentialis, in qua diffecertiales non assungunt ulta smplicem gradum.
adx bdy + (xd 101 x rody + u X L 001dx + 00r dy + 101 X ax 4 01 ydx + 10Z Xdy +012 ydy Flo
+ 201 X x + 021 yy dx F 12)Xy dx + 202X 1y + 022yy dy + 1Z Xy dy et =0
Hanc ary. 2. ut red camus cuiemus in primo padu fiet ooa +0c si t ubi non haeretur, in secundo
Gr.
fit ∞ 2101 X + = 01277 + So1ydx+ 102xdys = Gr. 2. sed fo per 4 fis sit
sit Ergo per coq. 4 dobit ( fieri 102 + (102 =  (01. 1: oF1 () o1 et 0 +(02) Xdy fit = 0⊓: 1 X y
d
=5
ergo fit 2. 101X + L. ∞12 yy + O1 Xy  Gr. Z. + 6011 -10r (= (102).) sXdy. jam
32o1 X e +o21 yydx +)131 Xydx +(202X dy 18022Su2 xydy 2Gr. 3 cujus ut
tentetur summa  consideremus ad yydx summandum  debere yxdu et xydx a combinui deber
per a c So2I yyax +  ort. 2 Xylx + 112 - 02+2 y dx = 021 X V +
(13, a
112- O2t fxyax
per + fit seu 5, 021 yy dx + i12   c  + 021. 2 = 091. 28 O21 XY +  112 - 021. Z Gxyag
14
Et S, in XyAx + 20n  + 11: 2 = 121. L Xdys  12I. 2 Xy + 202 - 121.:25X dy
Et quia  Ex ag. 5 fil Er 1 + Gr2. +Gr.3 = 0. Fet ideo ex 5g. 6. H1. 12. 13. 14 sit
o2 001 X + 002y + L1OIX + L oyy + ouxy + +B FO(Xdy + L2OIXFL orcy L ouxy + 1- 02 Iy y
+ D2I: 2 Xy + 202 - 121. 2fX dy
itaque si gradus tertius non excedatur
Betento igitur X sumamus yL X. V: X. V. quae est retatio datonalis sod comprehendens des possibiles
upalat haec smmmetrc lotre
resaets: con
Cita sablatur y exaeq 6 per ay. 17. efficiendum est, ut fiat D= dx. X + av. v et gradus
 1g. L B 6B log V  r.a sit  y - ( et log. y = b +  tdy. y
secundus habebitur generaliter absolutus
(ag.  sit Hay: y = bex et dy = ba D
potest ebram aequ. 5 transformare pro x nonendo ZX et pro y ponendo V, vilore Tabali
et deido ita explicando teriminus ut perfecta simcedut summatur e vel saltem per quadraturas.
Hoc quod nunc re erimus; idem est ac si assumsissemus formulam generalem ex X et y. Ejusque quae
sissemus differentialem, rao Eamque cum oblato valere dato valore rutionali ipsiadx:du confulissermus
Quod sinim horc non sucedat collatio, proximum est ut nllvideamus utrum possibile
sit cobtinere cu aequationem  adinariam pro curva quaesita; quod ita sciri potest.
sit aquatio data dx: dus = CB X (significat hoctio
hoc relationem formulam rationalem ex X etus)
e
sumamus (rt. .) X. y = 0 id est assumamus aliam
mu ex et g e qualem nihilo seu ratio natem formulam ex xetu aequalem nihilo. Hujus quaeramus
differentialem, et fiet dx: dus (rt. 2) X. y alia scilicet formula e rationalis ex X et y, aequ. dx: dy
has duas aequemas valores ex aeq.  + et 3 aequemus inter se, fiet aequatio novast quae coincidere debet
uet melius res instituatur redueamus omnia ad formula ratioales integras
et sit dx: du ~ (C) (rFi. 1) X. y: (rLC) X. y sit Erti. 3. ) X.y =0 (trat x d (rti 3) K. y + dus d erti. 5) X3
Cum aequ. 2.
Fjre E et tollendo dx. dy ope a99. 1 et 3, fet ErLi. 1) X. g. derfi. 3) X.y + (rFI. 2) dErIi. 3) X y  0
quae aequatio debet esse itentica cum aq identica esse cum aeg. 2. id est vel coincidere ipsi vel cum ea
communem habere divisorem Equidem  videtur asseri posse (xti. 3) X. y non hobere communem
divisorem cum  suo  vel  dicissim suppono (rt1. 1) Xdy et (rti. 2) xiu non habere communem
divisorem. itaque si  sit 6D + 2 8 = O quaeritur an haec aequalio possit deeis ut a
ut O et 5γ + 7 habeant divisorem communem, cum tamen O et D, ilem 0 et QC, item 6 et 4 non habeant
divisorem communem divisor cois sit Z is potest dividere O, non tamen D, nec D, eo ipso quia C; nec aliquem habet 
divisstem suum qui dividat D vel Q, alioqui is ipse foret cors ipsis O et D vel 9. Ergo si dividere potest BD, necessario
dividet  (vel sultem si divisorem habet commune cum 6,)itique enma habetitc dividere poterit 8. selse Et eodem
modo si dividere potest 4B, dividere poterit 2 sed si dividere potest unum dividere etiam debebit
otent alterum, quia alioqui totum compositum 5Dd +3G non posset dividere). veum hoc est otra Hypothesu
an  6 et 2 haberent divisorem loem. Ergo oportet nec 6) nec 2G singulatim esse divisibiles
interim nondum ex his sequitur esse totum cqmpositum incondivisibile cum C
erum   quid prohibe re porro considerata quid pronibebat quia C est formula generalis,  ex X et y
per aliquem divisorem ipsiu C
quid prohibet concipi C et Y coincidere. Nam _ cum Z utique sit aequati ad  aequalio rationalite formitu ex X er,
formula rationaliter integre formata ex xetsu atque succedens, ponumus eam assumi loco ipsius , et cum ea procedi ut in aeg.
 3.4.5. Utique eo ipso quod est maximus divisor sitccedens alium non Et (ehoec accuratus demonstranda nam sent vera) Itaque
videtur demonstratum aequaves 2 et 4 debere esse, coincidentes; alio qui rem esse impossibilem
si hinc pateat fieri non posse Et sane nihil protullet assumi cogitari C esse aequa–
tinem indivisibilem alioqui tambiguat quia aequatie data e 1. non est ambigua
e
es prntet suutus lavatea
et (rti) ratinale, iulega

## Folio 1v — 00068047:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068047/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 82 lines, status machine
amperto igitur quod impossible sit Aequationem Adinarium reperiri salis
facienem. Jam procedendum est ad Quadraturas, et quidem si feri potest rationales
taque sit aequatio differantiatis ratimalis data:  (t. 1.) X. yde (YFI. 2) xjdus - 
Scribatur: x e dx. (rFi 3. ) X: (YH1 4) X + dus ErH1 5) y. (YF1. 6)y + Ex A(rri. gX. 7 + dy d Crti 71X9
quae aequatio datur ex datis quadraturis ratibnalibus. Et sublatis fractionibus ext aequ. 2. fiet
AX. ETFI. 3) X (rfi 6)y F d (nt. Dn + dy(rtiA)_. (Xti. 5) y + deotisdau 0. quae quidem
aequatio debet esse identica aequationi 1, ita ut vel coincilere debeant, vel habere divi–
sorem communem verum aequ. 1 ex hypothesi nona est divisibilis Ergo necesse est aequ. 3 vel
ipsi coincidere vel per ipsam aequire esse divisibilem per aeq.1. qua posito accesse est catam ter:
 in aq. 3 formulas duas unam multiplica tam per ex alteram multiplicatam perdo
minum d habere divisorem communem. Quod si verum est, utique necesse est et in 2 hans
divisionem posse exiri ostendi. Verum id patet fieri non posse, nam cum pro aequ. 2 scubi
possit dx O + dy D + dx  dx 5+ du D =0, patet O et D non posse habere commune
divisorem, nec 6 et O interim si possibilis est divisio, debere O + 8 et D+C habere communem
divisorem e cum divitorem si ingreditur _y. per tum non potest dividi C Ergo  q Et ipso 6 per eum doiso
residuum debet esse = - 0, si procedere potest divisio sed ut seilcet divisione facta per  nihil maneat
residuum in O+6. n sed hoc est absundum, quia rsi est fractio et residuum 6 diviso per 
est integer per X. Ergo impossibile est 0+ 6 dividi per divisorent  quem ingrediatur y. Ergo non
Sed pari ratione ostendemus
potest  coem divisorem, ipforum 9+6 et D+ ∞ ingredi y.
impossibile esse S + dividi per divisorem quem ingrediatur X. Ergo O Q divisorem
communem ipsorm e+6 et D +9 non potest ingredi y Cum eergo _ nec X nec is continere
possit, omni non dabitur scitic divisor indefinitus. a quo agitur. et proinde aeqq. 1 et 3
debent coincidere. . Quod etiam eo modo ostendiis poterat quo int praecedenti ad in
si aequ. 2. sit divisiblis quid  eam cum generalis sit et quacunque quamcunque vera
adeoque et dinsibulem indioisibilem afossumibilem contineat, potent intelliae indivisibilis
Ex hic etiam apparebit quo usque res procedat. Hinc calculi est hunc habent usum quod
etiam apparet, quousque procedere necesse sit, pro aequave data, ne nos nimis calculis
oneremu Et operae pretium erit quemcumque gradum datae differentialis rationalis hac
methudo tractare se mel in universum.
sia ne hoc quidem calculo proposita aequato resolvi potest, proximum est,
ad plurium quadraturarum rationalium  compositiones progrediamur. Nam fieri potest
ut sequatu ut detur aequatio differentialis rationalis revocata ad quadraturas revocabilis
sine transfirmatione, si scilicet ibi non tantum occuriad (dx X et idu . sed
etiam (g. Z posito Z esse forimulam corationaliter, sed non integre formatam
ex X et V i plaeerzes Et tales formulae rationales fracto  ex
c et d constantes X, y dx dy formala summabiles dari possunt plures, quae omnes
sit ergo aequatio differentralis data
demum inter se compositae dent datam.
ad quadraturis revochbilis  ut supraaequ (1. et ad aequ (2.) paulo ante scripta
sid ut ltras et pro equ. 2. fiet
ddatur. +Z. (r+8) Z + dv (t9) v M
dx 0 + lyD + dx 6 + dy + dZ(74: s)Z + du (rti. 9)   sed ut appareat resatu
iut et Z vel v; et X, Y scribamus Z = (rH. 10) X. gu fit dz=  X d(rf. 10) p. y + dy. d 10) Xy
(rA. 8) (rH. 10) X.y pue simili M
similiter pro. V. sed quia hic adhibicimus Yta ut prius rti videte licelit, quomodo
et fit dZ (rf. 8) Z = dx d (. f. 10)X. y + dy d el 1o x
alias commodi res eo reduci. queat. Verum illud potius disquirendum est, aud ex duobus nempe
dZ Ert. 8)Z + do Ert. 9) non possiton slari unum compositum, quod sit deo (rt. 11). co. possit, quod co
Illud
Verum pulo hoc locum non habere.
tumen utiliter observari poterit, ut omnes illae assumendae quantitates ut
 habeatur ex x. y rationaliter
v. co,  explicatae, per x. y habeant unum communem denominalorem
Et fortasse pro altioribus
nam sa non habeant utique poterunt ad eum reduci.
gradibis differentiatium aquadum ad quadraturas reducendis opus erit
pluriam id ejusuidi forimularum per Z vel vel co, exassam conpendiose designatarum adhibition
ila illud considerare operae pretium erit a in si etumsit an scire possimus, utrum possibile
sit quaesitam curvam ex sola pendere quadratura Hperbolae, et unam assumendo literam novam
inseterminatam  praeter X et Z X er y, verb. grat  h.; ita li quae sit sax. X, vel
tale quid, et utrum necesse sit posito carvam quaesitam ex sola pendere quadratura hyperbolae, ut detur
sane, log X Ret 20g. Xta inter se non
aequatio ordinaria inter X yt ejus naturam exprimens?
possunt explicari per aequatinem ordinarium, si interventu, quide
fit 15 = dx: X it et de =  dx: Xta tit  dx = ah X = de X + dea et X = de a:  - de per 5 et 6.
fiet denique:
s
)an de aB: d- de. Ergo ex aeg. 3 per Y et 8 lollendo AX et X
notandum R eculariter
igovnteres, et ex aequs. et7. siet ex
 ancea ioticiem  a erti dica
tanen licstit dattum b et es srutorie dulonr
ntibus omnibus fit 1 =1 quod
ex se invicem
Brteo
et cla
 ditcontiales
Deo sensu
vo
pauto
ante