# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/895/text
# Catalogue record: 895 — Tangentium inversae per quadraturas rationales resolvendo datam (prius sine exaltatione si placet transformandam) in partes absolutas seu quadratura datas
# Incipit: Et sub finem de transformatione generali pro reductione Tang. inv.
# Date: 1691-07-25 (91-07-15)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=895&katnr=58476
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068047
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 2
# Folios: Bl. 8 (from the shelfmark LH 35, 6, 2 Bl. 8): 2 pages, canvases 15–16, page ids 00068047:0015 to 00068047:0016
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068047&page=15
# Lines: 164 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.83
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 8r — 00068047:0015
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068047/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 56 lines, status machine
3. jul. 169)
16 Jangentium
 inversa per quadraburas ravales
resolvendo datam C prius sine exaltatione si placet transformataa)
in partes, absolutas seu quadratura datas
de transformaoe geaerai pro reductione langi  ad conturas sene
)
by+ ce d + lxinx + gdy + qdx =0
ey +f)
EX+ pp
 et sublatis nominatoribus fit:
+ bn XY + bpy + cpd se ex , bugX+ lp Y. + L5 X
+ eL.. alee.
+ bn_ XL. + bp Y + CnX
el.. +emus +st
+t.
me. c
ey.f enxipp= en xy + BnX. (Cp) B
+ b n yx dy + bppydy + ce n Xdy A pp dy + _ le Xydx + lgx dxrme y dx tonsx dx
+ eng + eppus +fng
+ enue +Gng. + epp9.
2
quae comparanda est datae. Sae Quod si in data sint  cubi a absoluti
lentemus lollere ut si sit in data  Rx 3g p + 3 X dy + ZHX y
 3012dX + 302 Z dx + 211 ZyAZ + 212ZV av + 121ZY4+ 1E Vav videamus
031V dZe + 032 V dv + 121Zv dZ+ 122 ZV dn
faciamus Z = m. X + ny et v = pX + qy, licebitne sic tollere X, y
sane habemus quatuor arbitrarias sed ea aequivalent solum dea tribus
Video, etiam in aeq. 1. glys et ydx esse imtiles et jam
later has arbitrarias in prioribus. Itaque nil lucramur, nisi
sic procedamus: bg cc
byy + ccg+ e
fy + 99
du + 1x+mm
cyf
nx+pp
dus + xx+ nimX+en
PX + 9
61
reducatur haec aequatio ad carentem fractione; deinde explicetur X ety
per Z et v, suo exaetatione prodiens aequatio comparanda erit data habelumus
autem nabitues datae tertii gradus. Et quidem, habemus arbitranis
sed aequalio 3tii gradus habet terminos 12, itaque res sape quidem
non tamen in omnibus  succedit
Si O sit in num. gr. g, , in nominatore gre. et qsit gradus hi
maximus, quod si Be +h = e+ 9
deonen e + vel 2 + gh uter horum
Siit et terh
d arbitrariae autem
ob C  D sunt bi CR _g+ n - 1 seu 2C+ 3h -1 sed ob G arbitrariae
sunt tot quod terminorum cor summa correlatorum saria sunt in
gradu h, id est quot sunt unitates in A+1,: 2 habemas
ergo arbitrarias 2C + 3h - 1 A h+ 1. sed in gradu sunt
termi e +h sunt termini (bis ob duplices differentiales computandi) eth+I et h+2
para
ergo aliusque resprocedit, sed non in altioribus.

## Folio 8v — 00068047:0016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068047/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 108 lines, status machine
Si sit equatio dx dy = uXX 4 3 + xyp et 5., ax x t ayy tutus et
Si sit aequatio dx: dy L WoNX 12O Gy +MOKy A MX + 21 yt 122;, doxxet qu vy t Z Nyt 1ry 1 342
videamus an liceat eam reducere ad talem quae leges homogenectum secvet secundum
data
indetermmatas per se solas, fat nempe X Si +_ y+
+. V. . Z+. v quia e
e +GGeEXC et y=
sed nec
licetefacere simulqus BC  - - Z+ vel x - ZZ ∞ p F. ZV, :, Z3 +. vu g. . 21,
fortisse non licet autem facere Xe =
y hoc modo, quia ita tam X  quams
Z. V. il Videndum. Et aerdeo cur non
liceat eo ipso eum, dan datur X per Z V, et rursus y per zu
et similiter A
per
V. cs
datur ergo X per y absolute quod ab surdum
sic, ut faciamus quidem X = . Z + . v, ., i q. L. Y
Qui desi sic. aquatio  ex Analogia, 1. fiat
quo
qualio multiplicatione per cuicem,
hac aequatio constabit
ex partibus aequigratalibus gradus 0 1, 2 erc usque ad
ulliumus gradus totius, quot ergo sunt unilates in altissim. gradu tob
assumantur literae per quas explicentur X et y. inde divellati
aquati i tolidem partes, quot continet gradus, ta in unaquaque
indetermmnatae servabunt leges homogeneorum.
video, quod  non licet tollere indeterminatas
sed
flitu sit
 fiat Z=
verurm id mali subesse
hoc sunt alterius loci
 +_ + EnZV. 1g2dy + P (1 X 117
ad
X. y addus nter sedrsmit hesade aliter. et jgi= _
aequatu pix
et v = Z. yA et V = X. y.
13 Lx per p, 8, ex ay habebiur
E X. y. lx. d =0
compainda dulae t dateuli suo montiganda sege data
per 2, 3, +, si pses
 tot institior
ad aequ.
Q
=X. 9
redu
dx. ly c
seu dxcey
ty
la erit ad quas
1D = a X. y.
Ax: dst
Generaliter calcum
y. a v X. y. a
616
tailes
F. 9. a
Eivisorem, tunc 
vel a alliyres dobeant 
.. Kuy a d nra gotu ny a d
in X.g. a. X. y, + d. Xapa
duci vel instituta mult.
reducibilis ad quadituram nemue ut e sit formela facta ex Ze
quae est
delligere licet, ut aequ. l.
Jam.
dentica
altera ex v sola.
Transformand entam  per X et y qualis g
duabus in
Contraria ejus qu
et Y; Hic cocra quae
asumendo valores ex et y. per
n
in in quaesitam
per Let formo in datam
trans
paer p et g. assumendo valores 2 ipsarum Eit W per X et 7
un ubi
ductis
Haec videtur methodus generalis.
pro reductone Cang. ad quadraturisq
 detur ex Z sola
plins usus
aequalio n
oot sunt gundo
dis
 jam munerator et nominator in ag. 8 data non habeant coem
l
scrvantibus inper solis leges homogeneorum vel formula facta ex
pe curcem, fiet aequ 9.
quarum
Ligo vel debet labere numeritorem et noratorem ejsdem gradus cum ∞g.8
.y
= d igta
galoe dx 3
C
x + XXp a dy. et ex 
(seu ar: 40 =- 9. d
LGC) 
t X X. y-
quarntum exozetu, a et dv = :. et tollendo
autem
reductu s
quae ut A
du. do
d22. d X. y. a Ex +