# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/899/text
# Catalogue record: 899 — Quadraturarum promotio
# Incipit: ∫dy √[[ay+bb]/[cy+ee]]. = [Sonne] (1)
# Date: 1691-05-30 (91-05-20)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=899&katnr=58480
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068049
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 4
# Folios: Bl. 1–6 (from the shelfmark LH 35, 6, 4 Bl. 1-6): 12 pages, canvases 1–12, page ids 00068049:0001 to 00068049:0012
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068049&page=1
# Lines: 1,085 recognised on 12 of 12 pages, mean confidence 0.81
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068049:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 98 lines, status machine
in semnia hari schediorum
andem curra Conico est redusta
dationalem quadrraturam
avadraturarum promotio Im scheda (20 Maij. 169)
(1) Habetur C per alibi inventa
adeoque (3)
issarale,  hreg tiri-
c+ ec. = O. figt y = XX: a ee dy=
fi e fa. Znete a 2  bb S.  in E2g. 1. C  p 6-2 55
DOZ2 (aax S Xx+ bb. Quoe proinde quadratura etiam habetur.
4 et
a +bx. Ergo Falis
cae+ ee XY Quadratura habetur
Nrtus illud quaeritur an possit similiter haberi dmnmati qualis est
de  aciamus
Solys y2 Sagt bb: cgrtf C) sit y - 4Z fietdus d
 4 b  a  Euca3. GuZ. 5, st C = BC. s. 2i +  e bB. X . ff. du c. 14
potus sai sit fao se
ine y = Z, fiet 
it (do Ssuag
Batui so sit
et fiet 
+E San. q. s aX2 bb. XG
a biv i et S)2
= D fiol av = XX +X et fiet D a s. 1X +brida (Six t, nX 48
so da sncet re 
 1 siat daco =  xX r X tavEt P.
txx thmXLaKt
ixx+ ax suthexrante panto
quaxtapt u
eficiamus ut in 5q. 10 pariter et in aeq. 13 irrutionales som formulae sint eaeden
qvia igitur D et e sunt cognita, efficiamus, ut addendo, vel anferendo a se
fint y- ZC  dy
aetu (prius si hubet per cognitam multiplicando alteruorum)
scat (Xdx S:, ita ut res ad una tuntum quadraburae de inven
en ionem reducatur. Quae proinde erit inventa adeoque et altera. itaque
eopmis utdiu
Irrationalis
dubus ernt intentam 
armn aeq 6. eadem sit formula
vinculo  surditatis comprehensa nempe debent
am
Le
fit na af: r. et t( sm: nb = fmr: as = mr:a et pp = Hagg - nuW: a = rgg - Af mo: ar
rursus q= ah. Y et t= (hm: q- rm: att 2) mr: a et coincidunt 89. 10 et 14, quod felicitus
evenit, quanquam et si non evenisset redredium in promtu erat
et denique ss= aKk-aquW: a) KK = hvro, :r postremo
faciamqus r-a video autem licere ponere W02
0 et siet denique
aal
ita non assequinur destinatum nam aoferendo ita collendo fxdx s collemus
imo etsi relinquamque
et (de P contra intentum. Uno qualemcunque rebet
Y it determina lam, ut et 2,  tamen quia F. mi.a fiet 2L X + C = 2X + m
Itaque relinquamue Y indeterminatam ahuc et faciamus t Wo= O. itaque multi
plicemus  alterutram ex his 2X+m, et 2X X+ t per arbitrariam, ita, ut
deinde audendo ens nivicem seu 2XX + mx. per arbitrariam ut β, sa ut
additione decu facta possit destim X. et fiet: 2X + m + 2YBX + Bmr
verum ibi video infeliciter evenire, ut destruendo fiet B = -a: r, verum
ita destrnetur non lantum quod destruendum est sed et reliquam
 inclusige
ascicaenis tantum
omissis omnibus aequationibus inde a
Y -a, et fiet D+ Y - m Et dx bitoatn
iopX + 1X + 12
dxn sit s.
sit a X = 30 vy + 31 9 + 32, fiet
Aliter S. dx
S10xX + 11X 4
(3) ce
O-52.30y + 31
20X +2
20. 30yy +20. 3 y + 20. 34. 2
sit XZ yy. a fict C y ay
urse sopul tam
(1) qui
,fet posom
(i030 y 4 10. 2. 10 7 1 etc
0g rnayys tau2
seu 9e q S0t nayy quae proinde quadratura  datur
Zl3) 77: b fiet 5 e
( x+ 21Z+22. sit
 a latissime patent aequationes potuet, 2, 3 nam 
comprehendit sequentes. Sed est tamen ta adhuc genenlior expressio in usum
Htb dy Sy+. yruyeryt.7
nestrum: si ubia faciamqus 20 = 0 et, 21 = 1 habebitur
Hoc an verum teatemus. (dx SExX + 11X + 12 = C sit a X = 30yy + 39+32 et dx = ~ 3oy + 31 ay
per consequens: ( - [, dx. 2304 + 31 Y, 10. 36 p +2. 10. 311 et C. quae videtur compamtilis
viderturan et in eg. sequnda aeg. 6. sit x formula ipsius Z compambilsq enecali: ArX 1 dx Sux +51X + 52
60XX + SIX + 62
fiat +x gea. 2 41, _ fiet t = 41 n= S1: a4 Z fanimus W = 0 fiet 
q= 61: 9. 41 r = 60. a. 41 : 61.
ss = 62: aa. Hinc datur PX+b ax IDXX+ MX + nA
quaserigodatum et sil ex sds termet in
 sie ut sesx 
B
obs c
At artba:, c

## Folio 1v — 00068049:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 84 lines, status machine
parna proredente, secunda aeque olatione6
sed reu actu ipso tentemus pro invenienda dimen
∞(1,
fiet aa dio= 2rX x + at dx et ex aq. . fiet qa ta s. rx tatax surax tantx + a aaep
orxxtagex + aass
j ra Quaeritur  saus, Pyy -cc esit y = aX + h. fiet esqu.
oori
r= gg: 2a h= at - bg, : 9
(10)
bg X+hX t aete
  r = 1099. seu nog: 2a = 1299 seu n= 2a. 10
et ant = 2 10 agh seu f. a. 1t = f. sB. 9h ergo per 9 fit at = at - b, g. et fit 60
pp = 10 t et h= at: g jam pp = 10tih - 10. cc fit pp = 10a a tt  = 10 cC995dd
Similiter qu = gg seu 999: 2a =99 seu 9= 2a. et aqt ragh seu arat = 2agat: 9
pro nominatore,
quae est aequatioe
identica seu per se succedens ex positis per 19 et 14 denique restat
55= (hh - ee = aatt - ggee, : 90 Ergo fit  fy b
(23t (5x + at, ex, 1099XX + 2. 10 ate 1  aa tl - c199
Ergo fit  ex 7 fit Z: aa si a
e9xx + 2a + X + L aatt - ee0d
posito esse co = 8 agr yy 2agpty + arC
+et y - 49t
: 9
Eb q. e 21 si pro x ponatur - X, (aderq pu dx - dx) et pro + ponatur - t,
sed ex his b patet ipsam  non esse arbitrariam,
 sed determinari. Nec quicquam aliud hinc discimas
yu Lcc
yy- ee
says.
quam posse quadrari
in penultinis 1, 2, 3  paginae pracedentis, habemus. Ibi ponumus
2. 30y+ 31 duct. in 70y+ 71 seu 230. 70yy + 31. 70y + 31. 71
+ 2.30.71 y
aeuari coincidere cum 20. 307y+ 20. 31. y +20. 32 et fiet
+ a. 31
70 = 230. et 71 = 20. 32 + a. 31,. 31 ergo fit 31. 2. 30 + 2. 30. 20. 32 + a. 31 = 2031
seu 21. 2. 30 + 2. 30. 20. 32 + 2. 30. a. 31 = 20, 31. 31 et fi 7 23 -20- 23031 - 243031
arxy + +20. 3- 303 = a. 30 + a. 3, 1p0. 30 Y, 21030 31 y + 2 1. 20.  1y , 2 20. 30
703 l.31 yy +210.31.32y410.3232
Fu∞30 yy + 1131 y + 132
unde faciendo 31 = 9 fit (9 - (dy
nde palto  posse nheeus a 10. 30y +210. 36 3L yy + 10. 32. 52
11432
+ 110
tia12
nde parto eliam posse oni 32 =0. Uuo video posito 3 = 0. fieri
2aa
Ergo sic res procedet trevissime.
aliquam ex his 32 vel 30, vel 20 =0
Sodx Siax LuXE, ) O e sit x ytax eydy
sit ergo:
( - 23 fydg sitar 2130yy +32 et adx = 2 30ydy et fiet
20 X +2
O =  (2. 30y dy (10. 30y , 2. 10. 30. 329y + 1032. 32
20. 30yy + 2130
+ 11. 30 79 + II. a. 32
+ 12. aa
iffertur jam multiplicetur summandum per unum factorem alterutium divisoris
Summae ex quadraturis productorum sponunt C, itaque dantur
sit (C) sux 1XM Sio XX + UX +I2 sit  ax= 30yy + 32 et adx 2 2. 30yty
fit (= 2. 30, 30. 40yy + 3240A + a. 41 (10. 30 y + 1. 10. 30. 32yy + 10. 32. 31
20X+
 11. 30479 + I1. 32a
+ 12. a4
20.30y9. + 20. 32 + a. 21
Habemus. Ayy s, y + ju + y _ et sdu sy . gy + y. prius ex aeq. 4
vel faciendo num. et xomaiquates
ponendo 3240 + a. 41 = 0 = 20. 32+ a. 2). P posterius ex 4q. exdem, ponento 40 =0 = 20. 32+ 44
habem, et 57dy 15a.. yyt.i, ponendo 40 =0. et fygay+.fy. y. y
gyt.  fauendo in in uta nempe faciendo ut inag. 4 numd e hom habertit diisorcauem
posito esse c0 = rXX +atX: a per 2. set qquia X = ay - a t; g9 per 67)
fiet
d
et fii 
du
ex L= i S83sux Sodntriaom iteh
y- ee
 ia fB ix Aexxaphan patit
(11.
Sione curvae Conice sit   = S, deo Snct.  sit aco L r I afit C =   2. 72 50
900+55
(26)
8d

## Folio 2r — 00068049:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 113 lines, status machine
(1)
fit O=
 a el
et fet 2 ((t 2. 30. 52
=2. 30. 509)-
2.3250y3: (2)50yy+52
( 403o y +40 230. 329y + 40432. 32
Jau 
30yy +32
8y 1 509y+52
41430. 509 = 41a 30. 5299 + 41432. 51
2.50
grat. 2oytq . 22021 9y + 42R. 21 21: 10 X etc. explicundo cex
mod sec. aeq. 2
+20309y +2032 in 5097+52
+21 4509y +2157)
Nondum possum solutionem obtindere pro eo casu, quo numentor et
(e seu sartere csre
2aco+. at 0
yu
et dL dx sebs 2. 3050y 23052y
(254
40X+ aXM LWXXL UX+ 12. sib x
AF 20X + 2
nominator sunt dimensionis aequalis. Nisi forte ascendendo ad 5.
ut si sit (. = ax (40F + 41 su XX A uIX. sit  Z = 30gy+ 31y+ 3
et fit ax =
20X + 21
230y +31. 50y+51 +50. 30yg +317 +32 
e
50y+51
A 30y+51. 5094et
......
a. 30y+31. 509451 + 50. 30yy +31y131 44A1 ....
 (3750y +51
20x + 21
Quia ex data coydus datur (yydio, ideo late quid
tenlemus ad progrediendum: Ditur  summa sit co- e.
sit co- +Bg +14. datur utique 5 codu, quaeritur jam yy deo
Wdd
seu +209uycdco + 2. 20. 21y C010 = 21, 21C4 Noter
20y+ 21
1294+ 13y+14
202yy +, 20 21y+ 21. 21
fit c yu=
Ergo quaerenda  restat
jam yu +
2. 20. 21coco - 13
- 12 yy - 13 y - 14.
2. 20. 21 4 coco - ] 13 y - 21. 21 c0c - 14
E.33 - 12
2. 20. 210e0 -(3 y dy 
2000 = 12
+ 4, 20. 21. c = 4. 20. 21. 1718+13. 8 1420. 210 - 4, 20. 21. 13c0 + 1
I) 20=n
20c0- 12 3
4. 20c= 820. 12104+4 12
=p28. 2. 2114. 2000
+ 13. 21. 21C0 - 12.14
sed ita evanescit co+ nec proinde novi aliquid him discinus Et 20 co 4. 20 12+ 12
potest etiam  qu deo aliter quaeri nemper
quia cd =  B(2gy + 13y + 14=
20G +2)
jam d sa = e  da: sa et
sed hinc unt luciamur
co-
1agy + 159+16
209y +219 +22
Ja fis deo - b dva - db sa
da = 212y + 13 dy et ab = 20 dy
est enim una tantum irationatis
datur scdco du ergo dabitur et coydco
y, 2Ococo yy + ycocdy = 22c0c0
1c1
= 15.
+ 2126 - 21. 15. C L15
seu  yy + 21c0c0 - 15 y +  (25. =, 20. 221 t 20. 1660
et habetur
2000-19
= 16
14. 22 c0∞ -14. 16
(doco p= 920 32. 4 4. 14. 12. - 4. 14 b,
20 cor- 14
d = saxsoX + 11. sit X -  +1, fiot: O st Vydys Si y F 21. H summi datur
O=X dx sit X = Svroyy +ngt fit dx = 2 g 2. 10y 411 eonnestet
relatione
O = (dx suxx + 12 O sit  X = hogy + 21y+ 22 fit dx = 2. 20y +21, dy
sec et fit
(10XX + 12
20Xx + 22
et (dx XX SIOXX+ B2
20XX + 22
4. 20. 31. 3+4. 10. 31. 22. 32 + 271
(4. 20. 1. 31 + 4. 20. 22. 31. 31
10. 20yy +10219 +10.22 S20 Gy +219+22
20yy + 219 +22
( = (2. 20y + 21. dy
sit Xx 31y+32 fiet Xdx = 31 dy et dx = L dy 131913
Ergo C = 3( dy. Sio3i9 + 10.32
= 3. Sdy (13194105
YL
20.319 + 20. 32 in, 31y+32
in31t3222
V +12
20. 31 yf20. 32
Aa XX + Zab X + bb
et debel esse
16. L3F9+223
420. 31220.32 = (3) 2. 20. 31. 32.
Aatv se (4. 20 31. Dt 4. 20  -1. 28. 357 4. 20. 1 Z ( + 21; 32
52=, Lu: 10
-22.10
20. 3C9G +l26. 3l. 5CG+205C

## Folio 2v — 00068049:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 89 lines, status machine
ym sit
yy - nn
yyc 80r0X + 12
et fiet
a(dx
et valor 4 videtur pvalore 1. simplreior
f1x + 1
2 SIXFI AXL 12
1
ueruum
Aliam rationem trans formandi ex cogito. In omni irationali sumplice y
Cuique quadatum  est rationale, (etiam ydu est cu seu cujus quadratum
eham ydy est rationale et yddus
jis est rationale, (it  G = Sex  nm
vel et dy sau etc. et au, et daque, et generaliter ubi numerus dimensior
est par secus si impar. sit ∞ Y  vy m,: 1099+22, fiet
d+C = O: D sit ded = DaB - OdD, : DD fit da Broriu
12. 1o s 3+ C2OGy+ 2102y + A2
d0 = 1 317 + 11 dy dD = 220y dy et fit ded d
et fit da =  20y  in v sit C0 = 1 3+ nyE+ 1 y + 13
10gy+ 22
fit _ d0 = dy3. 109y + 2. 11y + 12 et dD = 1, 2. 20yB.
ergo ded = d
F3.10. 29+ 2. 11. 20y + 12. 20 yy
F3.1022.. + 2. 11. 22y + 12. 227: 12 (20y9+ 22
-2. 10. 20 = 2, 11. 20 2. 12. 20.. =2. 120y
od video qui ubi tollendi sunt termini pares.
Sed video quemcunque assumam
alorem ipsius ce rationalem, si  y simplex sit in nominatore, non posse tolli ibi;
quandando; sed in numeratore video non posse tolli s.
 Cd = ir y + 12: 20y+ 21. fit deo =dfl. 201 + 1. 21 -
11. 20. = 12, 20)
n
seu deo =H. 10
deo= pa run de: vv
Sit C = 119+12: 20y fit, dco  11201
sit jam y= s un fit dy d sa mm
an
orgo datur Cdx C2 tum
sit deo - dyy8: 99+ ab
(2(20y+21
jam  ax-nun +2x 2an X Et
x-naxd +cum.  ( (Xx. n
Et ita innumerae alia habentur
quatraturae
datur relatio inter co et y ex suppositis quadraturis
 erit du yu rationalis et dy y etiam rationalis
sit deo = ydgs. a ofiet a= quaeritur sydx vel sxdue datur sydx
vel (y’ix vel gy dy Cydy
sit C0 = sex + 2y + 309:, 40X+ 517 460 d. fit deo-
sit C0 = 18X + M 9 X + 0Xyt 11 X y L 12XG ratie Ca o ay. 1Gax LXay  Hgy
Est auteum ex aeg. data yu = xx mn:, x nn seu Xxyy - nngus = xx- nim
seu X bet AxXydy +aB Xyydx. = 2X AxtnnyA Cg. 2. multiplicebur pere
per 20 X + 30y +, 31
Cd =  + 11X + 21 y + 10X + 20y + g0_Xy sit dco = 1et 2idy + 210XdX + 2. 20 y dy + 30 Xdytseydu
ducatur dec in X aY  fit W. VX _. deo in 40X + 50y +41, fiet
Ugu Xdx +21. 40 xdy + 210ff0 Xx dx + 2. 20. +0 pydy + 30. 4oxx dy + 2040 xydy.
4.p0 21 xdu
collamus neque et rylus etga et xtx et
deberent tolli Xdy xyax Xdy ydys
sit 50 = 0 evanescent Xyax et y d
Xay potust tolli,
ergo; restat Aodun Tollend  Xxdr ; vel si colli non pt
datur simul (XX dy et syax seu mo dato datur alterum ex casu praecedent
a in casu y exi lentis simpliciter irrrtionalis per X sed generalitr. ex
Ergo ex se linvidem eantur)Vdx et sxydo
e invicem cintur XXdus et Xydx.
. Sed (X y ex datur in casu prosenti. ec itaque  haberetur quaesilum remm
I potest oontti et 10.
reassumamus 30 et g1 debent manehe, item 21 et 40
itaque fiat Co = 21y + 20)+ 30 Xy fit deo = =1 dy 1,20ydy + 30x dy + 30y dx
et LCo = 21) + 2 u 10y + 2. 21 1oryy- Et Zlo= 2t u sh  ntys
282. y7 + 2. 20. 30 X y2 + 30. 30 XXyy
additus Agtu ydyt quistu igato
fit XX X y dy +Z Xyydy = fnn y dy = fx dx
Fhop. 3o xydus X31. 30gyax.) 4eo y y
320. 30 92 X 620. 30. y X ax (36. ∞2y dy. 2(30 X x
gX y dx gxyd y
=2unxy dx
nhut ni discormus qua
ocris aota namloter
Hicis demanteatur dari sxytusa essum
mndlliplicetur per y, et XX yy dy + Xy dx = nagy dy +∞y dx. Ergo Xdu et xydx pendent aje
luvicem, E seid X sxy ex pendet ex Exxyydus quaedatur ergo et sxydx datur
imulliplices per
xytit xx xytdus + Xy dx = naxudu = X ydx. sed sx yd dx pendete aya
sta set pis ayt, fq. e iest sumatitis absiure nm sum r pe h est et pogcus psetts a siam set
Xy ax pendet et
16. Su 4

## Folio 3r — 00068049:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 99 lines, status machine
en hic so contam curix
tiovera
aliasa
quadiaturam
mistio
ou omline titumin ites i eracisoaen il o ni hati cum
em incendi qua–
patitur sit de y: a = L XX - mm: XX - nn
e
sit  quantur Sydx.
Ex  fit XXgy = nngu = aaxX- naum ujus differentialis est
Xxy dy +xyy dx = aaxdx + unydy.
ei
jam datur rationaliter Sxyydx, 
quia jus est rationalis per X. datur et rationaliter Exxynus quia ydy est rationalis per X
sed quia aaxdx + nnydus funt aliunde summabiles nihil hinc discimus.
Multiplicemus aequ. 3 per X fit X ydy + XXyy dx = aa xxdx + un xydy, sed nihil hinc
discimus novi multiclicltur pery. 59. 3. per y fit XX 9ydy + xydx= aaxydx + nngydy
jam generaliter dato termino uno datur alius cum eo compositus, ut XXyydu datur ex Xy ax
na X 5 summ de 2XX yy dy + 2X 1s3 dx, = , XX y ergo _ Xx yy dy + X y dx  = Xx y -xxyydu
X2
et ex ay. 4 et 6 fil WXxy = :XX yy dy = aaxy dx + nngy dy Asus xyex pendet ex
exdu nam X  d Xy = ExydX +X dy et Xy +x id X y L Xty et ex aq.7
fit  d xxy axgydu - = exu - xdus + angusdus Oorro in casu
proesenti vatur (Xydx.  Est enim momentum omnium  ex onder ectrice
Omnium ydx ex condirectrice. Quod datur ex data (xxdy. at sxdus
datur _ hoc loco rationaliter per 2.
datur ergo xxyus dy adeoque et x dx
Mulliplicetur org. 3 per xy fit X gydys + XX y dx = aa xX ydx + nuxyusdus
XX y dx datur ex Xdy et X gydy datur ex xx y dx et Xyydus datur ex stdx
d (2 dx exm m -a SXxunn, ixK -mm: (.I XX - un
Haec ergo summa datur
(16)
C1C)
sit L sit v:a = S, acc )- _R:, + -  = 1K
Bi0i
fit d v L.  duocaa d, vv: ta:  va dk: 2_TK. dk =
seu dk(+) x 2.1-cC Xdx: 1 XF. ec. Eggo 
=ee 27dX - cc ec 2
 f. ee C
Ergo do = a. 1- Cc X dX, V, X- Ce: cx - ee: () eZ-e, quae summa datur
16
pro Z fint Ze et  X et fiet dy =  aa. i- cc  Xdx Si XX- et : XX - ee B 
et maltiplicando tam uirrationalem per C seu per sec, et quadralum per 
(211 x eC per B) ec seuper et, fit
_ agudx LXX - nI Xx- mn
et faciendo ccee = rin, et et ee-mm: o-
LI Xa -H
fit du (17) amm Ixx- un: xx-mm Cujus proinde datur summa
12 Xx-nn
ce
it SXX un: Xx mm: () xx nn c: a datur (Cox dx per aeg. 9.
(19) 10
ergo datur et sXx deo fl OXX-nn eoco  pxunm = a. dabitur
scubatur XX = bZ fiet: _
197 - 363 n + 3b3  - laZ n
(28 10
-mnte Z + 3m BZ-mbZ + mmn
Quae proinde est aequatio ad figuram cujus datur quadratura
(2)
ca
+h
a
fit habemus aequationes quatuoo faciendas, literas vero C + a C3b+ah
rutiles A, ni, n pitaque non sucedit quadratura haec pro
omni formuta est 1. Yy2 attamen pro magna ejuspertest
ec
C0
videamus an formulae C possit aequari datu aX+d aeX +s fint XF Z:  sine f
et ex 22 fiet b ee b + +bah + 6 bb aa hh  4ban  a F
C, + aaccbb + 2 ba a cchsi
C+ a2f
+n
20
ponamus esse e =0 conferendo aequitiones 23 et 20, paset plerasque
a quaas formulas 1:  X +CCX.. posse summari; non tamen omnes hac
via quia aequationes comparatitiae sunt quatua literae vero u solim tes
 utiles solum tres, nempe, h, min.. si sit e=0 seu si quaeratur
samma 1: BX + CCXX + f fiet h = - 3ng mm,: a, et inveniebur certa
quaedam relatio inter Cet f.
Brevius forte sic procedemus semper formula
dato X F etc. reduci pt ad tatem 7+ CZ + eCZ+ f3   sublato altimo termino
similiter in aeq. 19. faciamus nn = _97. fielus a Zcocd in Z n
et sit  um -nn-mim = ab, fietus
Quadraturam per ravales dari jam sejm
nin
-7b= a: cd0 sed hujus figura
x aeg.
Imo sequitur hinc absotule
dari summam omnium Cd, bel a. 70 +7t bZ quod jam etiam aliunde cimus
scimus ob aeq. 17 sit du= V: aa quia patur (vxdx per aeg. 17 dabitur et (xx dea
Set ponendo XX - nn =7 aZ ec et -nn-m= abfiet, 7. 3b aZ+ 2aZnn + n+ = a. V
ubi rursus succedit extractio, et hinc sequatur suaque seu
absolute
ex
0 2
Z a2+ tin 123 2b dari
t
i

## Folio 3v — 00068049:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 69 lines, status machine
Datur Sra  = Sx co  a
ergo aco  sit  = Ex + bb Sart exis: X+g datur sei dx per
quadraturam rationalem. Ergo datur et Saedco. Quae ratur valor
ipsius X per co, fit aa coco hh XX + 2 hbbX + b, JXX + CX Af = X 129X rgg. Coco
expere mvsi
si sit g = 0. et ehh + 2hbb_ = 0. et 2 hbbff + bt e = 0, fiet eh = - 2bb
unde ex praecedenti fit B Chh = etnff et e = +2f
et aa coed = hAXXF ebsipt echh, XX + ex + _ ec: 4, fil
q
hh X (Cchh XX + 1 ehih = XX con X coco aa
+Petih
+ eetti
unde utrobiis extrahi potest redio rihilque
lucramur.
sed si pro X+9 scubamus X + gX, fid in aeg. 1. loco X+ g. fiet
h_ RXX - = eeh = X + grCo, sed nihil hinc
sit X + thXX + g =bx +C co, et fiet
X = GhX  AB- 2hlibCoq q +h- at hb C + bb co co
gt +eC3 +
bcX Hocobb
2tht c + bb coco
14c3cd
Huius ergo formulae
datur summa
Sit data formula gentralis X= suv   pV. fiat
D =  bco: p. e. fiet  in 5, X V=  F L abco + L psup  nacb co + bblito
fit  - htia et p = a
naat
Nct ibee + Ebpe C0
et mmaa B nahh(t H) = (hF) seu n  mma: sis
et immaa hh EbAH) = (= 2btb) + 4C3 seu vel tih = mma: n
nab
cu fiet c c3- nab et fit
X = Omma
2H
+Lb Co +: na +rigmaatim ed + bb coa
+ nab.
Haec autem fomuta comparari potest generalidatae s aus 
Sit scilicet px = D+ Saamm taari +ppoV isis mn, si modo
se e id unum observetur, ut sit in data r= p
Itaque jam formulum Assumamus jam formutam
e   p ab Z= bx + 12+ siam altrm v
= Y bx + 12 + SbbxX + 23x + 24 = Sbxtnt sit, debet
debet 14= bb pX + 23X +24 aequari quadrato, bb XX P 2bX y + ccyy
et fit, X= cc yy - 24,:, 23 + 2bc9. et fe 14
et fit 14  bb c y - 2bb cc 24 yy + bb. 24. 24 8
+ 23. 23CC y9 8- 23. 23. 24) 83 2
F4. bbcC 24yy 24 23. 23
(7, 2bCyF23
23. 23Ccyy - 2323.29
23. 2bCC9= 23. 2bc 14)
+26C. 23yC- 2bcB2y 24. 23. 23 +24. g. 23. ky
sentia q de Abcc yy + 23cy + 24b,:, abcy + 13
debet esse +  altorvio evantsceret indeterminatas
64)
+4b023. 24)
+b ec y + 23Cy + 24b
+
Y 2bC12Y
=24 u+ bbccqy
:9 2bcy+23
2baC S,  4317y + 34yt 3,:, a + H fiet Posito 20 =1
Sbc 43 - 13bC et 32 c et 39 = 23. b fit c = 3t et 23: 2b + 12 = 39. seu 12 = 37- 25. 30
et eb 24: C + 12. 23: 2bc = 34. sel apt 2 et. +bb + 12 23 2b = 34. 4bbc
(9 seu 24: c + 32. 23:2bC, = 23, 23: 4bbc = 33 seu 424bb + 2b.3223 = 23, 23 = 4603) in 
seu _ C = 4. 24 blet 2b. 32. 23 -23. 23, :96633 = 21 41. 2. Ergo
23: 412b
 u ulum  sueanium et, vie ntren cilica
ita videtur haberi Eddsirum aequaturus 14 summandam reduximus dimensionem cuvarum colicaram

## Folio 4r — 00068049:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 126 lines, status machine
a: ebc da qu videndum an pendeat ex (rac: B de  vec sumli
posilo db = da = de
q a +tC da
21 4
a beC ta A  am PMN =  mn) + 3 l’m  n t a lm n
Ejgo s. a b c da pendet ex 
F.e 1. 1.8 1:
suc
abc Ab sa
et ex
(et JIe
da pendet ex V
m habem
-1:  de seu s SAx Sa:be peut ex S a Va te et  
1. C 1 - 1. C+1
l
a
ee de Si saibe
1. C - 1 j - 1: C +C, 1e
1.C 1 - 1: C 1 e db pendet ex ( a
et ex
= 1: C - 1
-1 - = =- 3: 2
(Sa: bc dx pendet ex (rb: ac dx, etrs Vab: cic
Ag saue (ai
Et quia per paginam prae cedentem, imo et per fignata per 1B1BBB hujus pagina
gatur S. ta. bc  ergo datur et frabe ic, Eodenque prodo et fox fuc. b :b
ab:C pendet ex
r.8+1, 1: C∞1 ape db
l. 4 11. 8 -l:C da pendet ex s, a: b
ee
a
qet
(F. C -1:  =+ dc. seu six tab: C prutilex s. dx a: bc∞
et ex S, dx a: c tab: C itaque (dx. ga: C Tabic vel sax. arb tac b
et ex
natur ex (dx Tab:c et s,dx faibe sit antem stx. Vab. 51  e
si
6P+1
s a a
 11 -1 -+
C ab
je sylie le de pendu ex sq’ pue c
eseu (ax fab: C pondit ex (ax _bEP. a et ex sax, AC: b
ullimi
divisa per b. posto datur autem semper si abic. itaque ex hoc nihil discicmus
a ex fata si a : b = q = fac: b :c. sit c = x (posito esse
db = da = dc = dx) quod oblineri semper potest pontu toltendo comprehendendo
ut m:n. et pro nec constantem sub a indelemminata, si Ergo cum detur sax tac: B per paginae
praecedentis finem, dabitur utique momentim ipsius q’ex condirectrile
Urgo datur et (XX dqe sed P ponamus C = X et a = X+ m, et b =  +
fiet q SXbt. Xtn LX+m: X. XIn se = YX. XIm: Xtn: X
datur autem (9 dx per finem pagao praecedentis ergo ditur et
Xx d est autem qq = Xtm, : XX + XI. seu fit
et X X = X F m = xngq, : qqe = X + in - XH et prdu = Xem1- Xndus
3P.Y) datur autem XX dq, per dicta, ergo setm d et dus dantur es
end- 5, sic atur ex (X dq seu (Gax dantur ex se invice superest  ejus o inveniri Xt m dq
 dq, seu
Quil sq
X d:. Ergo sxdqsC, et sx d9 dantur ex se invicem
jam (X di datur ex s+ dx. Ergo fxdu datur ex si dx
Saxrbera seu parreria
Ergo (xdq uel (4dx datur ex S Gux sed Sdxsc a senria
pariu seqventisite datur quae datur per finem paguae praecedentis. Ergo denique
pay 2. sim a  inventa est etiam sadx seu  x a: bx
seu (X dx X+m: XX + nX. sed ad hanc summa
sert tarr
educitur dimensio curvae Coniea s na ibi quaeritur
yy- AC
sit X yy = ax fiet dy = adx: sex et fiet denique
ax= rY
( = sa dx vaaxx - a+Fx
ita reduxim,s cuquam conicam
sil yy = H = vv. fiet  (d ae fit ydus = vdv seu dy- vav: ort H
et fit ( = (dv: (1D+  ergo et haec pendet excurva Conea
sin sit yyerr= coco fiet ydy = eo deo seu dy = codeo: ooFrY. Ergo
= (dcoW: a fietus
itaa
V∞ + tE
fiet C = (cocd da: S, C+ + Er coc + n 
t a cece
ww-aa 
o-aa
WW ve y-gyHt = y+ - Erryy + r4. seu y
inde l reditut sit tletta r  u t- atau Drqa
Ergo et hoec summidatur ex d
pruncodulm ex cuva lgnica
2 W-raa
da = 40 - dc = dx
a = x + M
=X + n
6 =x+ P
x Xa. b
ax YX M: n. se 
sit X = 12: v. et i
M pono esse rationalem incegum
∞X it et n. trage smali
Ergo in in vel n ponendo
L pro X. perdit
loquendo at
ler
tegra ejusdem forme f
n in ascendere ad xe.
um utrol in et a sunt
ede dimensionis, lva
divisor cornan
et prodibum
in quibus v,
t prius X
 jam ere
=12 dv: v = e
det ( (ax Sxm: n =
1 sex Sp: Br
ad X.
et M ad X.)
fiet (dx VXm: R=
purit quo
r. vr = seb B
quid si sit C- 8-5 = 1
tunc utique ex se invi–
cen dantur duae for.
mulae similes inter se
quod en juget
videndum test in
siitio in ascendat Quaeramus jam Xx
ootrrett

## Folio 4v — 00068049:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 76 lines, status machine
e unt
  (x +mX + n oc R
Geraliter   sit factum ex _X+ 11, X+ 2, X+3I, Xr 41 = 0
videamus an dco a: O fcomponi ex _ 12: X 4 11 + 22: X + 21 + 3E: x+ 31 nC = a: 0 D
Ssiumo
prodisa2 XFZI. XF3I + 22. X + 11. XF3I + 3IXFI. XF2I:O  irtplures sint
sermini et addendi et in se ductimeisi plures sint partes ipsius et jim videamus
an in nominatore aeq. 3. licelet destinete omnes terminos in quibus L ita ut res reducatur ad
ad 4: O m 3I: O. sunt autem arbitrariae tot quot tollendae, fiet qu
12 + 22 +31 =0 et 12 21431 + 22 u+ 31 + 3X 12122 = 0 + 12, 21.31 + 22. 11. 31 F 32. A. 22 = 0
Verum ita video  literas arbitrarias, esse una panciores quam videntur
quia solae impdent reges homogeneorium, et ita res reducitur ad earum rationes aeliqua
rum ad unam, ergo generaliter non possumus tollere omnes terminos praeter
certam inter se ce relationem habent. Verum, hanc relationem licet obtinere
per ex alicationem simplicem ipsius X ubi lucramur arbitranam novam.
verum tamen est quod hujus arbitrario novae inventios ascendit ad gradus
admodum altos. Cum priores arbitrariae simpliciter inveniantur
Et semper simpliciter invenire licet duos terminos quoscunque x
vel inferiorem manentes in numeratore.
Et se polia possumus efficere
ut semper maneant duo termini infimi, seu ut pro aqu2. fit  in ag. 2 pro
a C prodeat ba X + Ch: C = 12: X+I + 22: F +21 CM= D ubi jam
141
divellere hanc ba X + C? possumus in duas, quamu una aequ partes, quam
una sit aequalis fe X F1 altera Bg et fiet D = 8: O + S: Xr. KFSI etc.
seu 5 = 8. O+ f: Y adeo et 8 est uno gradu inferior quam C. sed eade
Qi arte dicta reduci polut ad a: C et fit a. D =g: 0 = fe-: 8
seu aB1; O - : a  _. Et ita hac arte reduci potest formulu
Et haec rursus ad aliam proxeme inferiorem
ibi tamen nolandum est seu 1: C = f. a- g8. Ita p. C datam
F. B ad proxime inferiorem, 1.
ita 1: C datam saf mutando indeterminalam per explicationiem simplicem
seu pro ∞ Z ponendo x+f) in l: O possumus reducere ad 1: 8. quae
est uno gradu inferior. Erat ad hac alius modrs hoc efficiendi statum ab initio
ili expli nae cuissa explicatione asimplce tali ipsiusx, ut
ide otarhnariam, angendo cum ipsis 12 22, 32 erc. possunt omnia
L
conescere, destrui praeter numerulorem qui sit 8 X + g 11
vel sale quid ita statim patet, resolvi posse 1: 8 in plures radices quam
unt divisoles nomenatoris. Sed nobis sufficit 1: e posse semper  in
tot resolvi radices quot sunt numeratoris. Imo et ad inferiorem
si pro 12_: X+11 poss poscimus six +5B: X+1, simuliterqus in celiquis
videmur duplicare numeram arbitrarianum sed revera quaevis ut
talis, ut 51X452:, Y+11 reduci potest ad constantem cum 12.  nam
sit 52 = 5161 et 61 = 11 + 71 A quod semplr licet ob 61, 7) arbitrarias
el: SIX +52 : x + 11 = 5IX + 51. 11451. 71,:, X+11 = 51, 4 = 51. 71: XFI
et quoniam quotres hoc fit toties talis assumitum, deo facierdo
51. 91 =12 et plures illas similiter h ne 51 inventendas
nunum, a pro nova arbitraria, patet nos revera non
dupli casse numerum arbitrariarum, et sed unam tantum lucratas
eaque opus etam habere, evia cum sit h + 12: X + 11 + 22: X+ 21 et
pon Revera jm oideo non esse illam quam putavi difficultate
s Nm  cirea numerum arbitrariarum. Nam resumtis aqua
nonibus 2 et 3. patet si gradus numeratoris sit adeoque
arbitrario sint e fore gradus numeratoris solum Xe adeoque tollendo
esse sufficientes, sunt enim numero e, qui’aequi valent
ipsis e-1. Et hiiapoterium efficere, ut terminus quivis unus supersit
terminos
nempe vel xe- vel xe- vel et.  vel X vel X M. A
ita etiam sine explicatione ipsius X, efficere possumus depressionem
ita 1: B resolvi potest in 1: a+ 1. + I: XFEI, ser. tot quot opus et praetere
vel etiam in 1: 8 proxime cuferiorem. quia Hinc ergo generaliter
formula dZ YX...:: X Y8 solvi pt in Sx.  12: XFI + ZE XrZ + 32. pr 3I exC.=
Hicit
peraliter invenris
112: XF summa. poro et_ R 5IZ+ 51. 71. X1 =3
Zu XL. XFI 4t
12
ts
x+Y summanis a se invicem pendent et
ditis datur tertiam
serotur scheda 3.
21, 31 dato
12. 22. 32 gubi-
trariase esumtae
eogo ad pst solant

## Folio 5r — 00068049:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 81 lines, status machine
SchedaBtia de promotione quadraturarum 20 Maji 169,
est peculiure quoddam genis considerandi unum ex alio invenum
n
exrumm is us
Nam dupliciter unum ex alio dato, nempe vel si ipsa quantitas adetur
et func ostenditur, ob relationem inter a et b catam dari etiam b
Sed alias est modus sublinior et nobis proprius. Cum, quae situm ut
est formula  verb. gr.
SAx NIPXKHIXLIE :X C, daturque ( non
tantum in casu aliquo speciali, sed et datur generaliter pro onni simili, ita, ut valor
C possit  ex hiberi per X, 10, 1, 1221. Hoc posito sequitur jari
non tantum (Ex Sioxeu seu C sed et dari _S, axFN 3OXX+ 3IX 1 32: Xa
Ergo et datur C + D, sit D rd ∞B sit O= Si dx  et 3= sidx Z et
sit Q+ F  dabibur utique Ss  de sit  AN 21 = 41. et
fiet 22 g IOXKA LTX + T2 _ ta VV, () X +29 = 10XX + uX + 12 4 Sioxx et in 2oXx et
9 Xx + 3IX + 32
sit 10XX + uX L 12 = 102, et 30XX + 31X + 38 112 etux +2= 120. itaque fiet
r102.12I et gi12: 12D et ex 5 fit 1o2 +112.: 1252 v. a adeoque
ex ∞g. 7. fiet 102 + 112 ∞ +2 Y 102112 = vv. 121. aa et denique fit
102 1 112 + 2 10CH2 + a pr H2- v 1
102 + 112 + v7. 121 (F 2. 102. 1122. 1
3X 4) 102. 12. ubi
si 12D poneremus constantem (a _ abesse X in forml.  X+ 2dn 20 = 0 in formula
2X +21, res redit) ad + 10X F2. 10. 11X3+ 2. 101. 1IXX 
ad
inV F eL OSOMEIC
II. H XX + 2.11. 12X + 1212
B 30X + 2. 30 3IX + 2. 303LXX
A.B B 211H31X (iis
410A X 212432
+ 31. 31 XX + 2. 3p3Y + 32. 32
-2.10. 30 -2.1231X3 - 2. 10. 32 XX -2. 11. 32X 4, 12. 32
=211. 30X3 (212.30 XX - 212. 31X
2. II. 31 X
14 + 19= 5
4+9 =  16
L3b. + 125 = 13
36+25 =
sed apparet  aq. 15 esse geaeuiliter extrahibilem, nec opus
frusse expaltatione, et fieri 102 + 112 1 vV
Ex aq 15 posito 121 = a fit 105 + 0 +v 2 102V  et s seu
12
= 2. 102 11
v - 2. (AEWV + CB 1 = 105 + 1 - 10 HE
00+
7 2. 102. 112
P aeq. 15 generaliter fitae 
12, 102. 112 42, 102. 112
(17)
F121∞ - 2102 12  = 102+11 = 1024 112 = 102- 112
2112 a +2. 102112 +2. 102. 112 + 2, 102. 112
et  121V = 102+ 112 R + 2F102. 112 seu 121V = Vor+ sur ut ante
sed nos potius inveniri debemus Xe per V.
Et prodibit valor irrationalis
ipsius X, satis implicatus per v et V. cujus dabitur summa
 simplicis quam alia ratione difficilius invenissemo
imiliter quia Sdx. HIOKXLCXL C: 20X+a datur
Simpliciter, dabitur et
Si ax SXXT UXA: 50X+3
similiter quia datur ationalibus quadaturis e generaliter x 2Xt+ Y
ponendo scilicet 13X + 14 = yy. unde fit datur et compositi ex
ce
+14
duabus talis summa sit v = (21X + 22 + F13X+14 + 3IX +32 13X119
fi vr = + 21X + 22 (F SiZX +14 (+ 2 O-13X +14 ∞. 2IXF22 f13X+19
31 X +32-
+31X +2.
et xB = 21X + 22
322 44. 4. 13X +14 = +3IX + 22 S13X+14
Ci vursus quadrando assurget v ad gradm octavum X ad quadatiquadalus
et valoris ipsius x potent haberi summa poferit haberi.
4 dam Sed applicemus nostram Methodum ad alia
sit
constat  dan Exidu et sydo dari ex se invicem seu esse sx dy + ydx =xy
idemque est in similibus, sit X =  Sroto et y = SvotaL, et
erit ex = vdo: Sortab et du = vdv: Sootac
et fiet
Xdy = Vdr Sovtab: vet ac et ydx = vdo Sortac: votab
et datur Sxdy + Pydx =0 a- (veu Sortab: vrtac + sudr Svvrac: votab = otu 
De var O sit = (db4 fiet 47 oitab + vprac +verab rotab; vimab vrrac
Sir Slo: Yvorat. verac hantur ex se micem. sed non est hoc propote

## Folio 5v — 00068049:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 66 lines, status machine
quadratum aggregati
id quod quoro. sed hoc potius si detur sumartuarum formularum
eodem modo formatarum, quarum una sit ab altere nempe
iso et quidem generaliter; an non inde
re da haberi possit simma cerquadrutura
cujusque partis seu si detur generaliter artar aa + bx- bb= ban
Va
sequa inde possit invenir (ex Tax -aa =) Res go, redit se
do
Exsara
dividatur videtur postulari, ut divitatur C in duas partes, quarum
una se habeat secundum a, ut altera secundum b.
temu
e non
non sequereru
sequitur hinc unam earum pertium aequari ipsi D. iam videtur
eadem formula plus uno modo dividi posset in duas partes, eodem se
modo habentes secundum duas literis. sit firmula XX + gX + ab = 2
Ea non nisc an midi dividi potest, induas partes,  eodem modo
se habentes una secundum a, ut alteru secundum b, nempe. fit
fiei Xx  A LXXFax + L ab, et L XX + bx + = ab. verum
revera jam video tatem divulsionem fieri posse plus uno modo
nempe a 2XX +  atb + + d X + = ab, et ZXX+ : atb + 1 b X + + ab
hae duae etiam salisfaciunt, quia non minus licet agb bisecare, quam _.
d, ab. Verum si rem strictius sumamus ut formula sit diverlenda
in duas sic in utq una solam habeat d, alteri solam b, ut
revera opus est si partes, ut sin iM datis in datis ita sunt coparata
seu si) ce non continet b; tunc quaritur aures sit magis deter
minata. Et quidem pil res succebat oportet in formula 4
Cqualiipsi D revera tocem divuls ionem fieri posse. Quod si autem involutae sunt irrationate ia X+bX
tamdium exaltandum erit, donea sublata sit irrationalitas, et
Omnia sint reducta ad integra rahonali. Et habebitur ae quatio su
in qua extabunt hera a, b, et 4 jam pro 2 substituatur
D +G in illa aequatione N, quaeritur aequatio alia 4, se cundum
ipsam d et ali 3 secundum ipsam D. per b. harum ope tollendo
un per a
5et 8 ex oy, N, debet inde prodire aequatio identica si
Atque, hoc quidem bene procedunt, si agitur drclatront,
Analyscaes ordinariae, sed si agatad de Analysi Transcendente
res non aeque procedit. Si lame analysis transcendens reducta
sit ad Cogarichmos vel quasi cogarithmos poteit exprimi
incorpilum per aquationem ronscendentemo sed qu’indeshitor
dentibiis si non habemus generales ferautas finitaomnem
s
quantitatem incognitata relatione quadam designantes; sed
liactems adhibere coginur series revera finitas et ideo ista mellum
ad rerationes non bene applicari ab quando 4 est quantitas
transcendent. Iterim magnisatis momenti et illam servire
posse, quando  quadraturae dantur absolutae.
Interim fateor, non facile contingere talem casum osolent
oui praecerea videtur, non ute plures literae su il non pluribus
literis sed una tantum differant duo quaesita seu duae partes
quia alio qui nimis difficile foret aequationem procixa foret aequatio
indefinita generalis, a pro pluribus literis inter ex
si detar summa duorum, etiam si non sint diversae literae. sed unum
se habent verbi gratia ad bb, ut alterum ad b. (posita aliqua
data unitate) ulique eadem methodus procedit idem est si focctum
ductum detur, quorum unum se habet ad b, ut alterum ad C
fn
1
Habetur sub
Linem pagina
sequentis
adte pag. 3.
scheda rdae in
margine sigu

## Folio 6r — 00068049:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 88 lines, status machine
de Lo rbb datur ubsolule. sit X =  C vy+ B
(x SeIXm =O ubi C ditur absolute per Geometriam communem, ram pendet ex quadra-
tura paabolae. sit X = 20 99+ 23, : qyt 32. fit dx = 8, 21 istg yyt32 = 2ydys 219yt 23
yy+32
ex dx 2. ydy. 21 32 - 23: () qy +32. 5+ ex ∞g. t et  etq fit
De et LuX+ ((1 2199 + 11. 23
e
2
deuu + 11.23
Nylt 32
e
12 gy +12. 32 0:n 7y+32. Ergo ex aeq. 1. 4. 5. fit
G
= (Edy y 2B -2
S(
11. d
quae quad ratura talis summo datur absolute.
y
0
quo
12.32 Z f2y 58= es y  se
vy + 32
finc sequitur
Lryt
edus y: f2syyet 1C d  et  s, dy y: y+32 +4 dari ex seinviceu
prior enim summundi silcex est sus D du, posterion est (9 + 32D. dy et 
et D3 yd +328 - yD = 32D. datur autem, S32D dy per 6 et 1
ergo datur et
FyD+32Ddus = Fyoaque adeoque uno horum dato, datur
alterum cum differentia eorum detur absolute. HHoc nostrae
G
de (uvis sonicis dimetrendis inquistioni per utile eribae
x9y+ bXX = _a. hub qu fit XX +89yyX+, ut 2)  +4ab, seu
bb
Fit X =) = G h +, y+ + 40b et y (= sa - bXX ) =: Sax - bX
Ergo vulorum X, et y. summae ex se invicem dantur, et omnino ex
in erius da
du y+e et (de Saex- bx
umpiet set (X ydy Ergo. per aeg. 3 datur
s
alem. Ergo datur
Hyperbilae st alibi ostendi f, du Sy2+e coincidere cum
dimensione curvae Hyperbolae primariae.
 Unde equitur
219 =  (5 +C. dari ex quadratura Higp. datuo autem sizdus per quadatum
communem ergo datur et Lyz seu absolute; qu E2. yy+ Ergo 
nam Z= y+e2. ey Erguazque = yy + 79 itaque etiam absolute datur Zi dx
seu 58(y + etdZ est antem yt + ZZ y9 +
ergo y =  + 224 -= 22Z + C. Ergo, datur (Aq (2e + 1E∞- LZZV5+C
oper qua draturam absolatam quod memrabile. Fy-
Ny
Qyay seu (hy site et (9ydZ seu a2
s interventu quadraturae absolula
(q - = 22+ Zerac
dantur ex se juvicem Ergot- (du Sy + e et) dze AZ+et Dantur ex
in civentum quatralurae absolutu
se invicem quod est valde memirabile  Hfinc jam videtur haberi quadra
fura partiepharis Hiac vadit videtur e dari ratio applicaddi
line Methodum paginae praecedentis. Nam inveniatur valor
compositi est formula 3 quam ingreditur y vel 7 daturque
expliscuvi potest, ut eam tam iigrect
u
um
si
am Z cum 4C
tets a quaesita
arquatso generalis
datur eta autem tr + ho = 4 serbatur ex
ye
finita indefinita ipsius F relationem exprimens ad ; et alia
similis ipsiu 6 relationem exprimens. Earum duarum aequationum
et a
ope tollatur  tam  quam S ex aeq. tr + h6 = 21 habebitur
nova aequatuo inqua dabuntur d, Z, y, e (nam 2 etiam datur per e
et Z vel y.) a jam Z et y dantur ex se invicem ibaque tollendo unam
necesse est prodeat aequatio, identica. Et falis esse debet relatio
illa ludefinita finita arbitrarsa, assumta, ut tande in identicum
desimatur hoc posito illa arbitraria dabit vitorem, quaesitum ipsius 
s, velo. Et  si non procedit impossibilis est absoula quadratura
Nesclo an non hoc applicabile
sen inventio, quotitorm per Geomeluam cori
ad quadraturam speciale, ut hoc modo generoliter in cor geometra impossibise est
elm set impotbale casu speciali quoenaque. Nam si casu peciuli datur, dabitur aliquis
modus etiem aetitionem smile aliobiaue avenend,. Iino nescud auha sequatio 
 Xydx (quod
ex xyy tx, seu
datur es 
33Yy+ 44b

## Folio 6v — 00068049:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 96 lines, status machine
ex qua sequem
Dirersa hoa inquisitio est  a Gregoriana jui qua ssAentitur
debere formulem esse eodem modo forma quositum ex primi posse per formulam
eodem modo formatum ex a et b, it ex b et  c. Haec formula sit transcendem
In caso speciali contingere potest, ut evanoscat transcendentia si igitur in casu speciali haberi
potest quaesitum ex a et b per relationem ordinariam  dantur
duo aequationes una ordindia Q. a. b alterae trumcendens g. a. b quammi ope
tollendo Q necesse est, ut oriatio aequatio  in qua solum exlent, utique
tunc, quae silum sit E. haberus
per rationales
 datur asyyax. Erquet sxydus quam quaeramas; fity
xxonn
gyxx yynu = aaxx. namm. seu xx gyrm aamm:guaa
num per rationales. Porro datur Sdu.  jam
Ergo datur sugus sdygs y-na
ex 1 est dy XX -nuEXx = XX - mm 2Xdx, sXx- nn
V () XX- nn
y
Xenn
t
 absolute
ablite, nomus mm nn44 et XX- un = v, (it Xd X = vao seu du Z vdo: suotnm
ex aeg. 5 fit dus    vdv: v RaB: OV - 49. seu dy = agq v: vv sor-gq qui
proinde datur absolute
Hinc porro discimus, quandocunque valorem ipsius dy (ut in eg.
hiradol non ingreditur  aliter X dimensione impar quam cum dx, seu non reperitur quam
 in xdx. at et non alia ingreditur irralionalis quam ex  ductis inviem
vel divisis  hXX + K et lxx + m, vel earum potentis, semper posse rem
dem reduci ad iirationalem simplicem  et per eam proinde id quadraturas
datuonales. faciamus X+n: X+m = coc: aa. Et pro aeq. 1. et X tollendo per
honc aequationem, qu ex aeq. 1. toltmus quaeramus (ydx (adx LXx mne mun
fit Xaa + naa = X cout moco seu X mcoco-naa. aa-coco et fiet
dx=) aa L0C) 2mcodio + (m  C - naque 2codeo : () aa -coco. Ergo ex aeq. 13 per 12e4
fit ydx seu sadx SXX-mm: XX nn Z sa esdu aa- cocom + M BD. naa sineoco naa- M aa + m cot
( aa -c0co (:a
meoco naa-naa + nes
it - ataituium = 2a m-n fdCo: B aa -coeo Sonedto. Maa m eoc - rnaa. ponamus in aeq. 13 angeri
pohsa steraam radicem seu pro X poni Zth, et et esse  n t m 1 2h = es fiet.
narmati tunc in aeg. 16 tantum pro 1i m et n poni poteret m+h, et neh, sed suttamen
mutatio in rg. 17. et ft fadx EXx mm: Xx un = 2a m n saco: (et ac. adao sieri
sit aequalio yy + by = X2+ Cx+ Cx + f quoritur S ydx gyXX+ yx
yyXX + byyXLCHXX + _exy + fXX + gXy + f =0 quaeritur set ytx assamatur alia
aequatio 
12t m-
tollendo X habetitur a
Xn 22 + PZ+9 + 122+ + =0 has duos mvi ope heau duamm
nter y et Z cum ope quaerendo y, et ope altertus quaerendo 
fiet uant videatur an  ihis morcem ductis prodeat producti valor rationalis.
 longe amplura esse possunt, ut C sit X yax = v do + Zdque ea posito esse
V rationale per v et 7 rationale per 7 etsi lam. v quam y non siit rationales per
verbi gratia posito Ye nita: x y acE- nm: XX nn sit ydq= vC: yte do +
LxF: Z. f dZ. et fint v = X +.   et Z- A +X  et vel v = +  cop et Z =2 B+ XH
ato at omnia dependeant ex X, siet dv di + code + en duo ex posito des deo etc. esse absolutas evantita
+ L3+ h~N +C d d d(3+ n det Y dec  = a trx mm: xx- nn
Piconte
Optinum erit synthesi uti et locendo Xd retenta aeq. 2. facere 00 = gX + h et Zq = pX +
B +con + 5
et ydx bv+C, etC d + hZ+K. E+ F de videre quod inde prodeat pro relatione inter
 et X. par = x et ZaZ = Dp X et v = sgX+ h et E = SpX + 9. tetqe
Sy = l. G2th +C. BX: Sg2h + _ + hY pX +q ex: pXth +C Sed ab video non
prodesse tatem Gpositonem. fart secus esset si fe sspsu ax = B SiDFC L: vte VSZ. Z
fieret G yd  PFdq.Z bDEC Av, veC + seu b∞ +C Av. BtC = Yax: NsaZ.Z  Syax VE: Z+ sari d
velsosrax=
brC do: vC (aZ: Z dv + StvFCaB: vre V Z: Z + Y (ay. 9 bvF v., 3V. S 
et bolletur ax. debet y tam involvi saepe sub samma, ut  nunquam  es liberetur, aequalio a
summis, antequam veniatur ad ayt
(8 ax Sax y + (X y dx = X fyax seu Sax suxy = X Sydlr - (Yy. x
nesax (yax X =  XyZax + Sy2 dx x seu Syz ex X = sXyZ de + (sy G
O
Syenx d5y Zdx y = yyZ ax + syzue ex dy. seu syzx 1 = (yy7 x + yzax ay
ergo si 7Z per x expressa sit rationalis et y et dus nationales intilicete pb.
si sit X y =
Saxerum: Yx-nn quaeramus differentia quae est nn rxax-
hane vocem sent= dys, fuermus x per y, si ergo quaecunue
nraaxi durmt
sit  ordinata mallis licata
per xx=mn: nn vel ejus diquitatem potent reduci ad y di aus hac modo
ves
cuntur ad problema trplicis equalitatis indefinite solutum
seu ut X + a X+b, et X +C singula aequentur quadrato, seu
numerum invenire qui tribus datis anctus totidem exhibeat quadratos.
03
solatione indefinita Hor pisitalae solat fermatius
Let y -4
Arorgu: V
X
rerecice
 um un an
mbe
m 6
mtt R
amn. seu fil
MC- 2ma + 2 = 0
eu m = n, quod
tra intentum
aqe nongredit.