# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/908/text
# Catalogue record: 908 — Depressio formularum per explicationem indeterminatae
# Incipit: Sit formula y + b = (1) [Sonne] fiat y = (2) px+qq, : , x+r
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=908&katnr=58489
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068049
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 4
# Folios: Bl. 17–18 (from the shelfmark LH 35, 6, 4 Bl. 17-18): 4 pages, canvases 33–36, page ids 00068049:0033 to 00068049:0036
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068049&page=33
# Lines: 390 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.83
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 17r — 00068049:0033
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 18v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 82 lines, status machine
de pressio formularum per explicatione
Ende terminatae.
PXF 99
e formula 9 + b = fint y = pX + 993 : X + Y. fit O = bX + bt 3:, X+Y
pro tollendo termino rimo fit p2 -b si srimumet secundim simul velinus sollere siciet praeterea
Y =C - 99: b et 2 O=0, nieoque y2 -b
sit semper y = px + 44,: XtY et formul:
+9 +Bbp
+bp XX + bpYX
+ b 99X + b 9gr
+ cC XX + 2CCY X + CCYY
seu fe
gy+By + cc = O et explicudo
xraere
3 FX- EYX+ ir
seu p = 4-b+ C
uet tollatur terminus suemmus pmmus
fit p2-  b + 1 Hbb +cc
ut tollatur primus et secundus
fit: r b92 + Sbb Sacc  bg4
si compendii causa bb - 4cC Pocemus et,
fiet q p = =b + L e
(1) C x + 94
X + 299
e- b
2bb - 2B bb - 4cc - 2cc
et r- De.
Zee - 2te
B299 c8
C- b
Nam si p- b+e fii pep - bb + 2bC + bb - 4cC
seu g  = X + 299
e-b.
40) e
e b = 1. Exgre seu y=
XL 2
- b
go duo termini primi simul tolli, non possunt, quin eadem
epera ex odianta indeterminata y fiat determinata
contra propositum.
si processisset haec via, licuisset
formulas indeterminatas semper reducere ad rationales quoad
inde terminatas simplici explicatione adhibita. Et continuari
Termingea posset perpetua depressione, quod tamen non
est admittendum. Nam ex formula Nam pro formulu
y + p y3+ qyy + r y +5 = C, ponendo y
Px+ 49 feret
X4 Y
( = P: X +. X +. X ita opus esset solum formulam uXX +. x +. p 
LIX+Y
aequare oto, quia anminator jam est qtus.
Illad vider licere simul tollere terminum summum et infinum nam
sed tunc fit: x3 +. X +. X verum, ita si rursus velimus pergere tollendo
L X+Y
possumque quidem frere X = 1. Z
facere X = 10 Z + 11. 1 sed ita Prodit fomulae aequoata
12
et ila poncndo. X +. p2, . x = D. fiet D = 202 + 21Z88. sed hanc
(2) Z+12 7+ 12 
non statim est in pte aequare gtd. sumamus. 20Z + 2Z = 
et si sumamus:
203+217
R+ 12
=9
ac si 20Z + 21Z +12. 21Z esset aequandus quadrato, quod aeque
c3
+ 13. 202
difficile est ac Xha X + X) et nihil inde
lucrat sumus
idem est si in x = 3IX +32X pro X poneremus 1: Z. fieret sane
20 + 31
+32ZZ ubi 30+31Z + 312 aequari debet quadrato.
 Quodidem est ac si dicamus 30Z+ 31Z2+ 3223 debere oqumi yto
ustio
termineat
tollere possumus. Sed s quia pulla hinc rascitur de pressio ideo
si altimum provenientis ad huc semel tollere, velimus. one
peceunt tot fecmini quot ante
Sed sed si velimus uliam summ
euriam tollere, id sime fractions none possumus fit enam ul y -. 40i
fit O = +PPxX + 2p49X + 9
eg

## Folio 17v — 00068049:0034
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 18r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 82 lines, status machine
Ilud ad huc tentandum superest, ust
aliquid
tollamus simul
Utlimm terminum un nnulae numeratore e nominatore, revera
cum de formulis est agitur, quae habent nomnatores aut semper
res ad illas potest reruci.
O-
+99
um - ter 47. fiat y = P=
mm- yy
sum XX + 2mr X tum
fiet  Y.tipp.
X+Y.
2hp99. - ht9
= mm XX + EmmrX 4 mutu
= 2p44 . - 4
Et quidem in praesenti exemplo tollere simul utrobius et summum, et ultrum
non licet si tollamus ultimum numeratoris et primum nomina
tons vel contra sies quidem procedit, sed tunc idem est ac si in
ac si mulliplicalo prius Nameratore per neminatorem
ut nominator novus fat extrahibilis, voluissemu
in producto Sumetatore tollere terminum priamle utfium,
quod non gelevat
si et faceremus
Pum 78 = hh DD
fiet O=1
et
mm 44 - DD
tb p ee
FX Aa +  PX + q9X + r
de 15 sax +A XX + 5X + +
mtst- hh nm DD4Y + hh
mm 8Y- D)
Si. formuta aliqua aequatur Ito, semper binae
Unde aequaniiele lato:
quaevis radices debent aquari inter se
itaque  si esset m fingamus mn-layus in min-yy =0
eimul quatuor radices m+ hy m hy m+y m.y evel pro y
cnbendo Ay. eraaa fiet m + hex+haq. et radices novae erunt
Xr
 + m X + hgq
+MX 6 = k94
+ m X + 49 + mX   -9q
+ Ep X + mY y - hpX + n  + BX Y mY ) + pX
+ mY
ubi debent duae comnbinates ac duae quaedam equari inter
se
X +
ut et duae reliquae ita de verbi gratia si aequentur
- h4q+mt
hgq+ m et X +
in +hp
m-hp
vel debent squari
h9gtmr
m+hx
et X+ 2
etia aequabuntur X + 49 +nir et X + 99ima
in + p
ex quibus posterius est umpossibile
+ X lungs1
49+mr
m+p
hqqumt
im- hp
et X + = 99+mo
m + p
unde fit mhgu (+ mmo + phgus + part = mqqu + rm n + hpnir
seu p = m gu B ,- h: 11 F ehqq + -h
et rursus .hmqu (+nmD = - mqque (F mmV) + hgqB = h mY p
=ri94 + mer
in +p
et B = 1. n 14 Dm nhgy Y. higq- r
et p = 1 - h mgqe  n4q - mr :, h 49 = mr
valores duos aequando fit: mgq. 1 - h h99- nir = i h hm gg - h 99 hgq - mY
1 = h murgqu  - . -k mr hgque my
sit hag = mr = ao fei p = muqu. 1=h
trevitatis capesa hg9 + nir = 10 4q+nir. a =l94tmr =1 = 49+ mY = 13
ruasus fix. r ) Ergo fit 10- n h -   13h. D - 12 seu (h44 mr . hgot. bons -= ( hg qu hn, fugu 2n
et fit 1- h = h -1 quod est impossibile nisi sit h = 1
fit  10p + iom  uhp + 1 m. seu p = 1 - 10 m: 10 - 1h seu 1 - 10 = 1= h 99
P = 13- 12 m: 12 - 13fi sed 13 - 12 = 1 -h 99

## Folio 18r — 00068049:0035
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 114 lines, status machine
Genculiss
Sint quatuor radues yt a
debet aequari quadrato. fiat y=  +
et radices seu factores erunt. PX + 44 pX + 99
snfactore,
y + b
X + 99
bx + br
ax + ar
 8 X + 99+b.
p+ b
otc ytd unde productum
e PX + 9
a X + ar)
px+ 99 px + g9
ex + eY Cdx + dY
X+ 49ter, X= V rd
+c
ubi duo sit bis  fit duas radices inter se aequari, factum aequatur quadrato; ergo
Ci
fiat
99+ aret q9+br. (a seu (99p t 99b + arp  arb = (9907 9ga + brp + bra
p+a=
seu 99 a- b = r pr. a- b. seu 99: r = p  seu 99 pr
p+b
Quo valore substituto in aeq. fiet  ex + PY hoc est X = p quod est
yde est indeterminata
et erit yta = a XX+ asxrat isXX + Sx + +t
contra posit propositum, nam 
PXX + 99X + Fh
XXY SX + +F
itaque faciamus; y =
(2) pXX + 99X + p
et eodem modo  habetur y + b=... tantame in 2 pro a ponendo  b
et  si volumus duo quaedesyta et y+b, inso nvicem ducta
et Nominatores s divisi per vefficientes ipsius  XX erunt
XX + 99tas X + r3+ aH
Xx + 19+bE x F  + bH  etc
P+b
etb
quos duos valores si aequemus fiet: (990 + 99b + a 5p f asb= (p G9 + b5p + aq9  ab5)
eta
pta
e et 99(a - b) = sp. (a = b) et  fit  19= sp  superest jam:
Y+ at = 1, bF. seu (V∞ + rb + atB E att b) = (P)+ Va+ bEp Abta
seu p = V: 16)
p+a
et fit y=
P+ b
PxX + spx + Ep seu y = pB quod est absurdum
X + Sx + e
99+b5 r+bF
49tas x + V + at et _ + p+b prb
+a
Ergo non debent ad inter se aequales poni XX +
pra)
sid fantum efficiendum est, ut divisorem habeant communem, nempe opsidere
ei considerando Xx f f9+ aC X + 1+ QF.
+a
pta
ut = 0. etsi revera non sit, fit
99+ a X + D _ + 299a5+ hass -
XX + L
pta
seu X = 
 et factor est
X
4 pp + 8 pa+ 4aa
g+ 29gast aass= pr pat. p 
4pp + 8 p a +4aa
9 a5 + 49+a- ap ra. rtact.
2p + 2 a
49 + a5  - f 94tas - a pta. r ratt
2p +a
et alius tadior
et alius factor X + 99+ a5 +  4quas = 4 pra. r + att  ib - 20 2C = 1d
et factor
factor.
et alius factor
2p+2a,
Et simiciter secundum b, fiet
99 +b5  -  49+b5 - 4 p + b Y3+ b1t
2p + 2b
X + 44+65 + S99+ b5 - 4 p+ 6. Y +bF.
Et tales adhuc aliu qvatnor dantur secundum cx et d.
2p + 2b
et unum secundum a, aequemus cum cogreo alio secundum b,
Brevius res conficeretur si possemus facere, ut XX + 99 + a5 X + v +at
seu ulsit sit
4 + 299 a5 + aa s5 () r+ at p+a
p +a C
sit quadratus
+qaatt
. adeoque 9 +ggas t aass = 4 pr. +. 4 ApC 140
4 p p + 8pa + 4aa p +a (3)
et similiter est : q + 299b5 + bb 5s = 4pr + 4 apF4 4ar4 qua t
2)pF + 4 13 + 4a F et auferendo invicem)
et residum dio cldendo per a -b. fit
aquationes 4 et 5 fit acb 5s 4 C - b f
seu s= 2t
+atC = p+ a+C F ex ag. 5 dividaber eq. 4 per a + b. fiet
et r3D e4+
obe  aeq. 2 t., 9+ 499at + 4aalt- 4pr a I9t. pHt +lta a
seu Y = 49t - ptt seu pt. (a9ua 4aa  = 4 pst ( 4 agqb opptl napte attaat alta
ruis
 ergo ex
99 = 2p +
exx + EptX  pF
4O. ser ex r9. 1. fit ly -
seu set qua AppHF 9- 4 p+ 9d + 4 pp et L
= PF et B seu 3 = P. quod abtusunt 2tX + F
facroies ia 1b 2b
ca = ib 2a = 1c
1a, 2a, 16, 26, 1c, 2C, 1d cd

## Folio 18v — 00068049:0036
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000036.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 112 lines, status machine
Dideamus in casibus ubi obtinemue
quomodo demum res otingat:
Mirisicissi
nec andeo
eo fndere
successum
de sideratur
sit y t bege cr aequa yy - bb aequandus quadrato, fit
Methodus
ante
Y= e u+ um = yy 4 - 2ye + ec. fit y = e + bb
seu y =  ec + bb, et quid egc nam e + 2ec bb + b - 4 eelb
namyu - bb =
Hieres omnis
aequalitates
qumir conpotialis
q ec
seu Goryy -bb = re-bb. Sed videamus quomodo hoc influat
in factores.
y +b = eet bb + 2eb
et y - b = Cet bb - 2eb
ita ambo factores sunt quadrati in numeratore
faciamus similiter y- Rodeamus ad nostre
quatuor factores: 7+a y +b, ytc, y+d. sit
RXX + 5X, + ∞dTa =  pxx + 49X + B
y = PXF( 99X + B
Dhex  asx 1 et2:, x x + sx + 
Hoc si quaesissemus Z naa factoru fores
in experimen
reducitur ad
multiplices
y = eet ine nd
netr fit: t ee+ ue f 10
cujus numerator aequandus quadrato
re
+21ae + 20. a 3:, , 7C + 20
Ergo  11 +21 4 = 10 + 20a
seu 11 + 2. 11. 21F 21. 21 aa = 4 18 + B. 10. 20a + 20 aa
ubi faciendo 11 =0, et 20 = 0 fiet 21 a = 2. 10 Yi seu 21 = +a. 10
unde posito 10 =1 fit 21 = + = a vel - 1 a. vel et si a sit (Ib
id est + b verl - b utiue res succedit.
d= Es V + C. i+hh = C ithib - 4tia
4+
4sit
sed si sit aequali
ce B0 +C. fiet.
ec
fiet VD = + cc. it hn
2hh
Di-hh
et ∞ = E  hh + 1 4 tih seu v = = CFC1+, + 1+ i th
h.
quia ergo hoc sensu V includitia vel b, vel c vel d seu est
lambigna, fiet e
y = ee + 10 et y+ v - tee  ove + 10
21C
et  21. v = 10. qui vaon succedit proinde pro duobus at
et succedit solutio pro duabus solationibus i duobus valoribus ipsius v, qui solim
differunt offirmatione et negatione, neque enimi ambiguitas  ex illis orta
ingreditur in valorem ipsiu y.  Verum ut  valer ipsius y proquatur
radicibus valeret, efficiendum essebt ut eum ingrederetur tantum v- fEvx +
 seu ut tolli possit, y ex speciulis sui valores, sed ambiguitate remota
a
sit ergo y + v e y = 10e0 + n e +12. fit y+b = 1o eC + ne + 12
a
C+  C + v2I antiov
ec v 
debet esse   = 11+D2 Ut 21. v. seu 1 + 2. 11. V + vv 4. 12 + 4. 2. v
Quadretur adhm, semel, (CC 1 + 4. 1V + 6p p. VB + 41 V, v seu 16. 12
= 2. 11 V = 11. 11
141212141
B 12. H. 1
4. ll. 11. VD+ 2.11 5 -11 F1 5
destrnamus B, quod fit farends 2nt V quod non licet quoniam sic est.
et destrueretur
uo quam volumus retigere vel postius faciendo,
si jam possemus destrulre V, et residuum e coefficiente ipsi VV
ita inferphelavi ut faciant e I+hih tolleretur V. seu ambignitas e
invemendo n pro v ith substituendo cx deinde per residuum inveni
retur aliqua litera ad huc superctes, cujus rationali nihis hos turbaret
irrationalitas. Sed quia hic res non procedit in aeg. 5. nam tollendo faciendo
4. 21 = 2. f11 = 0, follitur X vD atfaciendo 4 12 = 11. 1 = 0. tollitur
ut unius aqua teminus absclutus; ideo loco aeq. 4 in seipsam dyora ducamus ea in arbitrariam
tiouis arviguis, vv 43, V + 32. fit V + 31V3+ 32 vP = +4. 21 V +4 Y
sublata amtigunte it 3) = 4. 21. = 2. 11 et 4. 21 - 2.11. 32 4 4. 12-11. 1131 =3. 1
seu ∞. 32 + 4. 12- 11. 11=0, et gen
C0)
2. 112
4. 12_VD + 4. 237 V 4. p
11. 1.
 et senique debet esse : 4. 21 - 2.11 31 4 4 12 - 11. 1. -32 = e 1+hh
=II. HI
seu cu
4, 21. - 2. 1)  + B. 12 - 2. 11. 1 E C, 1+ hit et postremo - 4. 12L1LII B= C: hh
seu 4. 12 - 11. 11 = C = CC: tr; per  (12t hibetur valor literae 1.2
es ex
(5) et ex aeq. 1o per aeq. 12. fit 4. 21 = 2. 11= V, C 1+ hh + Y et 10 maneat =1.  sut
sit _2120 et
u
fit 1. .2
est in deferminat
e fiet y-ce Et tctht e gitia  ebes
ih eh
sl
A. ope a
terisseum ie desertntatus
B. v et AtBi Bt 
quid omnibus
radicibus falisfit
reductis onitus
ad id quod oibu
commune est