# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/939/text
# Catalogue record: 939 — Hic modus reducendi curvam Conicam per duplicem viam, et generalis ratio omnem summam irrationalem quadraticam reducendi ad rationalem
# Incipit: [2 in Quadrat] ax² + bx + cc = (1) a²x4 + 2abx³ + [...]
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=939&katnr=58520
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068049
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 4
# Folios: Bl. 55–56 (from the shelfmark LH 35, 6, 4 Bl. 55-56): 4 pages, canvases 109–112, page ids 00068049:0109 to 00068049:0112
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068049&page=109
# Lines: 353 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.81
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 55r — 00068049:0109
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 56v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000109.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 99 lines, status machine
ic modus reducendii curva conicam per duplicem viam,  generalis ratio omnem
commam irvibionalem quadraticam reducendi ad rationatem
 a X + bX + cC. = a X + 2 ab X3 + 2aC N2
conferatur datae
(8)
+ bb XX + 2b ccX + C)
ext + f X3 + gg X X + h X + K4
et a2 se V t ceR cc= YK
et S9g - seK+ =b
2 l9ge - e set = f
bofrete 
Epp Yi 4
 prietirqx
supersunt ergo duae aequationes
et 2 YK 9g - K4 s eK + = h, adeoque ex 6 et7
adeoque sla B3: f = s K: e
sit jam aequatio ad curvam conicam
Iaus Semm. = nyy = co. fiat.
mm= yy
Co p X + 49
D= X + Y
ft e cm nyg mm-nyu. mm yy  m mongus + psmrramextbX+ 
mrgu
= mmnyy
Videans anliat Hujus fractionis Numerator
ponatur designari per formulam 2. et fiet: 
p6
137
irq he = K f.
Ergo
ut
Ex 8.
4mr3- m tnen 2r9+ 2pgr +aupq
chtr marXm  +24X IYX
+H9 F214X Apark
8G2pq rX L pprrXX
n+onpaX+qXtanqX +n BX
D) X 4Y
14
m - pp vi in + np =
= mr-rm ion + nq (( amr-mmprp. a +pY + 4 np g
Et una ad huc aequatio (15) ex aea. 6 explicata.
Quod si calculum retigere in compendium placeat, nova suppositione facta.
+
faciamus b =0 fiet f= 0 et h = 0, et ob b-0 fit g = ek sed ita pro
tribus equationibus non sufficiuant tres literae, quando inter se servant legem homogenecru
quoad incoprita nam gque tgmo pro pualitera quasi essetat; ita enim in effectu
nae sotum sunt imognitae _ K P: Y et 99. ar seu p: r et L: Y
et puto rem
succedere, quia in cognitae non solae servant in ter se legem homogeneorum
ita ob d ob 17 fit r= q  pqt m 4 mn - 2 npp: 2m - m pp- minpo
imil ter ob 18
sisitum reperit.
y habebuntur aequationes.
Sed calculus en protixior.
ita res utiue
Eu ergo aliam
viam simpliciorem, torlamus in forianta 12. duos maximos vel
duos nnimo Qumeruloris terminos, et hrabemrus depressionem
nfingos
ab X ad X. Ut si tollamus duos infimos
potius q. rr
l f21)
fiet mr +ng= manen Yg
ita habetur  vel rr per aequationem planam. et 4M  anpu=m 
et 4m  + anpq = 2r4 + 2peet r m + nin et habetur p; perrationalem.
et ad huc in arbituo nostro, manet aliquid, quantum velimus esse vel er vel qu
modi havem earum proscriplam servenius
imo quod est maiqus sublatis hoc modo duobus terminis et xt depressa ad
XX, licel potro XX  deprimere ad X, et ita rdeere omnem indetermi
galam ex radice eximere.
Et generaliter hac methodo pergere licet
lam in radicilu universalibu reducendo eas ad singulare. et deinde
ex singularibus red eximendo indeterminatam certe hoc loco
Ex oq. 2 fiet a L n n q 4 m itn = m in = m rt = mr it intnn - An = mY ,n
+nn
aun
ann
ann
4(29)
fit q- mt x Fa = +m p n seu g3) mr c vel q =  nir vel 99  de
Su qu meti
ex aeg. 22 fit  in 69. 22. substituendo hmr in locum Bubi h = H1 vel. sn)
et 4m + anptom = e  2hhm + 2thnm + phG 2phm F Eptnm
 P = 2m = hh m - hhnm,: h + Dhn = 2n H, ubi posito esse A Cx h= +1 fiet
si facimus et sit
X P = +M i-n: 1 = n seu p = + n sin sit n- sn
y = +m X4 + MY,: X+ Y quod est absurdum sit enim y= t Ergo 6 dentemus ad hibendo n
fiet qu
rgo h= in fiet Am + n sn P = Lnm + L num + Xp In XB + Zph i
_ 2- n. nn: C. n+  rna et y BY m 1 n na X + mr In: X+Y
M. nor2an
seu y - p inmumn X x mrantiam quod jucedit
PPxX + EP
x tirxim
 + qt Xx + EpuX
sid
XY+2YX + X
9. +293f21117

## Folio 55v — 00068049:0110
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 56r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000110.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 68 lines, status machine
fluo deinde Di bcebrte abgredi
Sed qua hdc nous
non poringitur, ad radices cubicas
aliasque  quaguim sporces habent alios divissres quam binarios
Cegitavi Ogo de tali methodo. sit formula aequanda
quadrato, vel Cubo sint ejus divisores Xta Xeb xtc, quae
sit aequanda cubo erunt tolsitres producti cubum facientes etC
eC C 1 mn sin lmn Ime Lrr et fiet
X = Imn-a = lmr - b = lnr = C et fit l = a - b e  = 4.c
et fiet m mn- = a- b
n nm-n a-c
nomB.
per compend. a -b vocetur β
et et ac vocetur k
fiet mn mrR = mpk mK nen B - rrB, seu fiet
nC
4
ane 
seu DPC m nC + mirK = m nb + ur B A seu rr - XB = mt. nb-ne
= a nt B + 4W K nb -nC
4mmkK
mk
AK
sit m= nv, a
ergo rebet nt B + amn Xb - pC esse aeqe quadrato et pe se
Firtann BB + anhXIBa =  cdc.
cart. Quantitatem dalam ex X + qXX + abx + abc aequandum ubo
quod set si X+a, X+b, x+C, consideremus ut primos inter se
fiot X = m -a = n3- b = g-c 
M  CX Lq .  ubi fiant m - 10 + 11X I et n = Ct. et 9=..
cient semper, de quo non despero sermadum modum prioren
certe si stemus intra corxe emi novem literae et aequaones
comparatitiae eruut g. si ascendamus ad , eunt aequationes compara
Atiae 14 et temin iterae erunt 15. si ascendamus ad X3 erunt aequa
rationes comparatitiae 20, et literae erunt 2)  et notandum est thectema
semper uutate excedi. in tribus nempe sit exponens in
naiximus ipsius X in salore in vel nvel q sit e, erut 
assuigel mha ad  terminos 3C + qui bis comparandi, sunt
aequationes be +2, sed arbitrariae literae sunt ter 2e+1. seu
sunt 62+3. Itaque sufficit stari intra simplicem
 seu fieri e=1
video pro usu quadraturarum, ubi non est necesse
ut coefficientes santmeri constantes sint rationales modo
indeterminatae extra irrationalitatem serventur
Methodum illam ere plagla cha plegulae parinae
preecedentis posteriorem, quae qnistit in sublatione
terminorum ese generalem, et sufficientem.Nam semper
tolli possunt termini duo, quibus sublatis nova, explicatione
facta tollantur alii duo et ita porro tollentur termini
quotcunque, donec postremo restet solus terminus simplex
y = PX+ 9. et rursus X=
Et notandum est, (faciamus 
VF m. ut pergatur in tollendo, fieri
B+n
y= pl +m +4 xt r seu y = +4. + qn.
sed haec considerans cojor de successi dubitare
indetermnatae, quo facto res est absoluta Haec methalis
pro omnibus irrationalibus, cujuscunus gradus et ufcunque
compositis sufficit.
redur nnn ad quantitatem aequandam quadrato
2+xca Certe non suffi-
sed sed vrx safficiuent hoc modo arbitrariae;
1247
n. pT 
quiae ditae
(trina) - mene - nirk = (mna - ninb - er B si m + WX
seu rr- nBY + nB
nik ammka

## Folio 56r — 00068049:0111
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 55v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000111.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 93 lines, status machine
t
et
X bX 1 C ex yy + by + Cc explicetur
PX +4 fit ApP XX + 2pqX + 49
aX +Y.
Abap XX fopr X + bgr :) aa + 2ar + AX
e
yy aebus ncer
+baq X
FaaUXX + 2aur X + CYY
sit pp Hap +aac = 0. seu pp + ba p + = bbaa = = bb aa - aacc
seu p = - ba +Bfbbaa  -  ab + a S 4bb - cc
et filt 77 uby +ce
=ab9 + 2aq SLbb -cC
- L abbY = abr s bb - cc
y y + by +cC = (+baq + 2a cer
X. + 49
XX + 2aY X + YY
et quia ad huc literae supersunt, faciamus 2aq - - abr.
seu q= = 2br et fiet ynyaby rcc - b6+ corarX +S+ bo -Lbbrr + cer
e
seu  ee seu faciendo = bb + 2CC = ec, fiet -  bbrr + Cerr
Jy + by +CC = eearx - Cerr
9 =
XX+rarX +XX
ex +rare
Noture etiam tolli termini duo sed videams
quis sit hinc valor ipsius y. scilicet fiet
E  ab + a 14bb - cc X - L bY
ax + Y
potiissent etiam tolli duo termini posoremi, seu vato tantum
Sed omnum optime suecessus alicujus securi reddemur si res succedit
pro reducenda dimensione curbae Conicae Re sumamus eruo calculum
parinae primae, ut rei reddamm securiore
mn-nyus (1) eo fiat y = P X + 49 et fiet + mm XX + EmmrX + myrr mnxtenna dm
+ Y
E= -IPp XX = 21p99X = n 97 3. ppex. 2p9gl. 4)
+M X+ amrX + 6mrrXX + 4mrX + mt r
vel C0= =n X +4np qX3 + 6n pp Et XX + anpg X tn q
itnmap l. 1 inmpus X 
mmppr.. itu  maipasgt   H  X - 1tn Am 
pomat ex R pgqunBX
tumpprr Xx
ubi in nostro arbitrio est tollere vel duos sumnos vel duos ultimos temminos. Tollam
ponendo y -
ergo (a B(3 4 uBa = Quaduto :CaB Ea B vroco seu quoda = 2a BW + vWH
lentern casu simplicissimo
duos ultimos seu infinos ad repetitionem examinis gratia calculi paginae
es ha
ptrimae instituendam. Ad tellendum terminum ultimum,
9- i nmerq +  nr e ncemner qnn.
e
n
4 (6)
02,
292
S) m+r + 2namrE  m A - 4namira, adeeque q = ion num f  qee
2n
4 nn
in 
1+n + 14 n -h ubi si + sit + fiet h = 2
seu rnq. murr
sin + sit = fiet h=n q seu h = 2 vel  2n. Unde fiet
ager e m queme s vel l: In nempe 1 si + sit =; sed 1: In si 4 si
e
gq: mr = 1: In vel S1 nempe 1: In si + sit +, et V si + sit-
sit 4q: r= XM, posito K valere 1: In vel 1,  et ex termino
Et jam pro termine penultimo tollendo, fiat est qur+ enpus-  itnmq
seu p (3 Atnmmar - 2mr3: En 4 - 1in mm GpY. Et pro 99 ponendo X131
fiet p iAn mKKE)-2nY: Enkem- _ IAn RXKCEP)
a
ex a9. 11
ubisi faciamus K_ - s+ sit K = _ fiet p = 1 + n - 2 m: n - 1 et g - mY
XFN
X + Y
seu p = n - 1: m in -1 seu p = n et qq = rm et ex rg. 1 foret y -=
sinu = in quod absurdum. sin fiat R= = 1, fiet p = 1 + n - Em: = 2n +1 +n.
seu p = 4n = 1 : F1 - n. seu p = - m et 9g = mr. et y = -mx - m
+
quod iterum absurdum. fiat ergo K= 1: In, erit p 1+ n- 2n m:, 2in - in -  in
seu p = 1-n m: in n  seu p = m: Yn. et 9q2 m: In Y
fiet
3-
m: In X + m. In Y
et seu y = m: in, quod est absurdum.
sint  aicetabturbitas capiamt ratum
sint quia hhaec absurditas non apparunt
+ CC1
+bgr
quoa puto esse simplicissimum
min- yy q
Frumo temnra Tacs
E pp 3. =Epqus

## Folio 56v — 00068049:0112
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 55r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000112.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 93 lines, status machine
Vedeamus an non transformatione aliqua effici posst
formula in qua duo termini suimm vel altimi tollibiles
sunt qualuor factores
e m +ysa m- ysa m+y m - y. seud in ponanusta
fent mst mhy m-hy ntus m-y. qui a ducti in se invicem
debent producere quadratum vst
La2
et
sit mahus = sv ioZ et m- hy = spo ZCo et nty = + moga t
pro ducentes
. 
et fiet mahius st V  im hy s
2
Engus 2m = stv + stoz
communem
quatrat
3 a. et fiet quadpitum (SsEt vxuroZZCoc
5.: s. ... .. + v  M+ hy = stv m - hy 2 spoZ
u.-
. z
L
se im + y tloco m. 1= vzco
.- co 
(∞)
= FWco + vZco et 2hy = stv - sZ = 2htWco hoq
solvendae ergo ae quationes b,7, 9, ut obtinentur aeq. 8. post illas. Ex 8quo est
(62)
+ + s 2m: lv +WZ= (ex q) M CDONCo, W +VZ: tv+noZ= se 1) to so- v2
v2
E = ubi ut inveniomus s vsi per aeq. lo. resolvamus aeq vationes H et c2. vatores V et 12
idi aquemus cun vatire 10. fit 2m = cotevW + torZ+ thoWZ + VWZZ seu
co=n: trW + tuviot tuW Z+ vuZZ sei c 1d
a + et similiter co m. Hov -W10ZZ: a, tW pqe Exvalire id et 72.
1+ 1
i V ujam duos. ipsins Cd valores  13 et 14 inter se aequando fiet
At
83E 2h. 2v + WZ. tW-BZ = m. +vtoZ. t
700.
 papc es S Cee 2M: evau2 eB    ritou
es
 + et ex aeq7 est 5= Cd, tW + vZ:, +V+ WWZ et ex aq. 9, s 2hco, tW -vZ tv - W Z
11 de 2
(14)
oc = et denique ex 1 et 12 fiet: 2h, tW - vZ tv + WoZ = t W + v7, tv- WZ
de
 es faciendo multiplicationem actu ipso sac 2hFLWB + LHWZ - vozt - vWZZ= FWV-tw Z1 vV, t v1 2
is
SC
seu  2_ AVV
2h - 1, vWv, Et -Z2
C 
2h + 1, +Z, v -w1 ubi saltem eo casu
quo poneretur h= L facilis prodivet solutio, fieret enim vv- W010 = 6, seu
seu
li v = =D = W: quod si v = 1o fieret co = 5 =  2m: B, L +Z
et ∞= per 8 fieret y = 5B, t-. Z  seu y = B 2 mB, t. Z.: fp, L1Z
ergo saltem illo cusu Hyperbolae vel Ellipseos haberetur solutio, et
quadrali latus soret am:  (B E+ Z on tZ(VD seu ammtz:, F +Z2
Sed stemus in generalibus, et sit v = 10X + 1 et W = 20X + 21
et t = 30 X + 31 et  = 40 X + 4) fit vd v0 = 10. 10 X+ 2. 10. UX L 1. 11
et (WWW = 20. 20XX + 2. 20. 21X + 21. 2) et tF = 3a 30 XX +2. 30. 3IX F 31. 31
et _ZZ = 40. 40. XX + 2. 40. 41X + 41. 41
et VW = 10. 2OXX + 10. 2) X = 1. 21 et tZ= 30. 40Xx + 30. 41X + 31. 41
+ 11. 20 X
et tE. Z2 vWV = 10. 20. 30. 30 X F 10. 21 7 3. 30 X3 + 11. 21. 30. 30 XX,
11. 20
2. 10. 20. 30. 31 X) + (10. 2 j2 2.31 xX F 2. 11. 21. 30.31 X
+ 31. 40 X
= 10. 20. 31. 3IXX + 10. 21731. 31 X = 11. 21, 31. 31
ed ante quam in calculi prolixiore pergamus 1.
considerandum est
posse aequationem 16 ita divelli in duas, ut sit 
2h 1, +F- Z2 e2) BtZ
et βVW 2h+ 1, v-wW, quae divulsio
quod summe notandum fit sine suppositione, quia B est quae cunque
ex aeq. 17. fit H- B ZF + B
sit (3: 2h- 1 =B si 3. 1 42 - B + 
Z= ( +Bh-27. seu t R
Eb122
seu 1 - D4Z + = BB, = 472+ 8837. 4 seu fiet
F= LByt 1a2Et 06 seu t e E2t: Z B+ 54+ BB. et eodem modo, si faciamus
22)
MF 3: 9 2h+1 = A. fiet vY D vv- Ay W= WW seu vV - AW P+ SW - WX, A1X
quia antem
seu  v- = AW = 12d 1, 4 +X seu 20: W= S + 14+ M. ubi si β  adeoque et D est
habeauus pro constantibus non opus est ulteriori aliquo pro aequuationitus 21 et 24
his positis v: Wd est constans _ +: Z
copans. fariamus B.I
ii valoribus
1d, 5, et y, aequationum 13, 10, et 8, fiet co= em:  t ; et S Em: it enat, et denique
 erit 2hy = 2m: 1+ N. 1 (. sed ita fiet y constans contra intentionem itaque nihil actum est, nise
sutlo
faciamus (3 esse indeterqusam 3: 2= 6, it .  = iea res in arctum contrusa est