# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/9400/text
# Catalogue record: 9400 — Johann Bernoulli an Leibniz
# Incipit: Cum ante octiduum a rure (ubi per aliquot menses commoratus aquarum Fa
# Date: 1694-09-12 (94-09-02)
# Sender: Bernoulli, Joh. — Addressee: Leibniz
# Akademie-Ausgabe: AA III,6 N. 055
# Other printings: -Joh. Bernoulli: Opera Omnia I,267 (teilw.). -Gerhardt: Mathematische Schriften, Bd. 1-7, 1849-1863, 3 S.143-152 -Leibniz. Matemática-Física-Metafísica, hrsg. von B. Orio de Miguel, Madrid 2025, S. 51 (span., teilw.)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=9400&katnr=30249
# AA III,6: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-iii-6
# In the Akademie-Ausgabe: AA III,6, p. 240 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/III6A.pdf#page=240
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-958803
# Title: LBr. 57, 1 · Bernoulli, Joh.
# Folios: Bl. 9–12 (from the shelfmark LBr 57, 1 Bl. 9-12): 8 pages, canvases 17–24, page ids DE-611-HS-958803:0017 to DE-611-HS-958803:0024
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-958803&page=17
# Lines: 530 recognised on 8 of 8 pages, mean confidence 0.85
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 9r — DE-611-HS-958803:0017
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 10v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
a compusime et (eleberrimme
fautor Honoratissime
um ante ociduum à rure (uti per aliquot mentes comoratu aqnarum
Fabariensium gratia mihi potandarum) in Urbem reverterer, portremae
Tuae gratissime mihi denum tradebantur; quod caura est ut ob in
gruentes nundinas Liptienres ad quas Kortrates jam jam abituriunt
Je lui petiti omnino compotem reddere nequeam. Breviter tamen
quantum per temporis angustiam licit ad Tuas respondebo.
Gaudeo Tibi quoque esse consideratas curvas illa quas vocas esponen
tialiter transcendentes ejo autem percurrentes; quid peculiare in illis
observarin paucis exponan: Aequatio percurrons contat quantitati
bus percurreatibus, quae sunt vel primi, secundi, tertii vel ulterioris gene
ris; quantilas percurrens pritur generis ed, uin ejus esponens eit numerus
vel quantitas simpliciter indeterminata ut ; secundi vero generi
(
cum ejus exponens et quantilas percurrens purimmi generis ut ; et ita
de aliis. Siguidem autem esponentes dimensionum sunt numeri, hic vero
per literas indelermnatas qua litreas denotant exprimuntur, assunitur
quadam linee condans b prounitate, per quam si linea indetriminata
dividuntur provehiuat numeri, sii itaque  = y, pariter si aequationis
percurrentis membra non ubique aequatem numerum dimensionum habeant, mul
Liplicata intelliguntur per b ad sufficientem dimensionem elevatam ita ut nu
merui dimensionum compleatur, sic si proponatur aequatio f - y, intel–
ligitur y multiplicata per b, et sic aequatio x = bF y, utrolique aeguules
dimensiones habebit. His praeliminatis sit ABb curva logarithmica en quaa
g applicata AC = b = 1, subtangens = a, et BD ordinata varians vel
indeterminata = X, appello CD, Ex ad eit logarithmum iprius
X: Si BD = y, m, n X erit pariter CD = ly, lm, la y: sit bd
elementaliter diitans, erit, BD exirtente X, y, m, n p, bg = dx,
des, dm, du : Dd = alx, aly, dlm, ila x id est = differential:
ipsim Lx, ly, Im, In y: quoniam autem ex natura logaritho
cae BBX Dd = a xbg, erit Xdlx, ydly, malm, nala ip = adx, ady, adm, adm x:
ideoque alx, aly, alm, dln ∞ = eds adye, adm, adn p. condtat eliam
quod logarithmus quantitatis ex multiplicatione progenitae sit = summa
logarithmorum partium multiplicanlium, ut lxy2 = ly + ly +CZ, et contra
logarithmus quarti lalis diisae = differentiae Logarithmorur dividenda et
dividentis, ut l = lx - by, CF = 1x + ly -lZ, 1F = lx - 12 - ly, item logarith
y
mus quantitatis percurrendis = exponenti duito in logarithonum radicis:
Sic l= mlx, Lyen
=m Ly, Cy=mlx+ ulis, l = ulx-ulus
Ortendendum num quo parto quantitatum percuvientium differentialia
sumenda scnt, sit quanitas percalrens sei to generis neiu quaa ponatar = d, ergo

## Folio 9v — DE-611-HS-958803:0018
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 10r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
alm = 15. sumtisque per modum vulgarem differentialibus nalm + ln da = als;
per ea autema qua supra diximus dem = adm, et ill= adi, ideoque andm
londa = adi = (ob m = 5) a ds
n
: invenitur itaque ds ide diff. m = nm d
L mdn -. 2. E. 1. Eito nunc quantas percurrens secundi genaris ml
C
cujus differentale invenitur sic: sit ut ante m =5, ergo N Im = l5, santis
modo comun differenti alibus im+lndul = als, quoriam autem ut modo
-1
it
C
M, als = adi adi
aa
ul habebitur.
inveniuntur differenti alia quantitatum percurrentium tertii, quarti exgenerit.
Non majoei difficultate reperiuntur differentialia quantitatum quomodo-
cunque compositarum ex percurrentibus ejurdem vel diversorum generum, nam
m p = s du + m dp, et d- dm - m p
(2
9
x. in quibus si subitituatum
valor iptarum dph, dm modo supra inventus, habebuntur differeatialia coecaesita.
ut horum quae hueuque esplicuit unu videntur, unuta vel alterum problema
resolvam circa curvas percurrentes. I. Ecaeritur F longiludo subtangentis eur
vae percurrentis =y. o. Sumtii per methodum exhibitatu utrobique diffbus
erit Xds + XId = des, vel subilitu lo y loco X) ydx + y ldt = dy = (ut dinea
sionis numerus compleatur) boly, et ordinatà aequatione ayde + ylxde = abdly,
ab
ideoque ay +ylx. ab:: dy. dx:: y. subtanu. qua proinde erit = a+ x, et quia oblx
geometrice deterhinari non potect, ope logarithicae facile sic conctruitur:
sit etim curva proposita FGH, Ct = X, IH = y, determinunda
eit tangeas in panito sl: Fiat logarithmica AB, cujus subtangens
=a, et sumta in illa applicata CA = b = 1, producatur At do
nec ocurrat logarithnica in B, erit DB = X, proinde Cd vel
IB = lx; si itaque tiat ut 18+ subtanus. logarit. ad eandem sublans
ita AC ad IL, erit IL subtangent quasita curva. Coroll. Ex
Lac condintione patet subtangentem quae repondet punito G
este iptam AC. Curva autem ipea FGH sic conducitur: -y
et proinde Xlx = ly = bly, erit ly = XX = CIXCD. sumta ergo CM
CA
aequali ClX CD, erit CM = ly, et ideo MN = y = 1H. Exende sequitur AG = AC.
CA
Quadiatura spati CFH) peculiari artificio perserieta ita exhibetur: Quia
Ht = X erit integr. X de = spatio quaesito, hoc autem integrale ita invenitur
As = MX, CA = b. subtang. logarit. = a, C M (per constr.) = C1XCB
XF, es
datis autem CA, CM et sublangente per modum aliunde cognitum invenitur
applicata MN seu HI Seu X = b +
Xdx Leu elem. sp. C F H1 = bdx + Xlxdx
X7
a
+ XxlX
xIx3
X+(∞t
1. 2aab = 1. 2. 3 abb 1. 2. 3. 4a 63
exle de
1. 2aab
XlXde
1. 2. 3 a26b
Xxl
es ideoque
1 2346 ∞ Hujut
serici terminorum singulorum integralia sumi poterunt, port quam orteaderiuo
quo parto quilibet len nus in alios plures convertendus, Quorum integralia
haberi postunt ut sequent caterculres ortendit qui supponit alx= aux
axalx+ aa ppd
dlx ds = X  ap + 3 X( alx s- 2 ay2(X ds - 3 a p xdlx (4   aux xdx + 32 aax dlx
H. H. 4
l. 2
44 a f df
filp dx = f.  ap + 2 X p lX (- Z ax 1F ds - 8 a f  als) + 4.  aa p (X ds + 432 aas pallx (- 4. 3= a ds
4. 3.2
5 sie5
a x allp s + 4. 3. 2 atpd
5. 5. 5.5
11
1
ax= dx
flxde = xlXdx + L X x allx )- L axds
Xxld= XX dx +  F XalX)- = applxdx-

## Folio 10r — DE-611-HS-958803:0019
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 9v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
Sumtis itaque integralibus per partes duabus linelis intercluras provenit
int. dx = X
int. xlxde = L XxlX -  axX
Eat. pal dx = f x1 -= ap (7 + aap
int. XL dx = pElX - Z as  (p + 3.2 auxlp - 3.2
. 4. 
4. 4. . 4
12x4
ru
int f  lap =  F. Ep L = ap E + Q. aux Es - 9.32 a x x +   
(. 5. 5
a
5. 5. 5. 5
Multiplicalis his e integralibiis per correspondentes terminos lujus seriei
bi a 1 ab 1 12 3 a bb 12 1 4263 x et positis seriebut quae sunt verti-
cales Lorizontalibur proveniet int. fde  seu spatium CFs11
X3(∞
1. 2. 3 aab
X3IX
1. 3.3ab
+
XYLX3
X5lx4
12. 2. 4a bb 1. 2. 3. 4. 5a Ib3
X1(C)
1. 2.3. 5. 5 a2 L3
XIX
1. 2. 5. 5. 5 aab
X
1. 5.5.5: 5ab3
ex
∞
ex
ex
5. 5. 5. 5.5b3 
Hinc si F = b = 1, erit lx =0, proinde quaque lX, 1X, ( x = 0. spalium autem
CFHI degenerabit in CFGA, quod itaque eoanescent bui singulit serverut ter-
nis exceptis primis erit = 1- +  - . + - ix.
modus hic quodraturas determinand. per serie intonitas non solum succedit
in curois percurrentbus, sed non nunquanin aciis quoque adhiberi potet
HI. Qccaritur subtangeat curvae c = y. Sol. flc = ly, ledx = aly = adque, yledx = adis
orgoyle. a:: dy. de:: y.s id eoque s== conrtanti; quod indicat iprat cuvvam qlin
sitam este Cogarithmi cam, et viceversa cogarithta eam esse culvam perorrente.
III. Detertcihanda est subtangens curva X =; sol sumatur utriurque diffecentia
le et habebitur X’ix + Exd = leds, vel (ob cl = ∞ (5) de+ lxde ledys
aut ad +xd= lecly; ideoque a + lf. lc:: dy. ds :: 7. s ergo s= a +7
facile ita invenitur: quoniam yle = XlX, erit y = 2F, et yd = Xa=
alxde + L ppallX) - L apat ideaque integr. yds = L ( - = axx
c
Methodus hac applicari etiam potest ad curvas percurrentes quarum aequa
tiones pluribus quam duobus terminis condant qualis ett haec f +X = X +y
sumlis enim separatim differentialibus cujurque tertini per modum generalem es
hibitum, prodibit aequatio differentialis, in qua si fiat ut suma terminorum
cum de ad sunam terminorum cum dus multiplicatorum ita y ad s, habebitur
valor subtangentis quaesita: D iff.  =  de + X 1fc
(7 - 1
Ilxdo
1
-1
yxls1x + ay
_= X Olpdz +dy, ideoque S a    acti n ayt
quae quantum vis composita ope logarithmicae conctrum potent, quia quaevis quantitas
percurrens separatim sumta per illum constrim poten.
Eadem hac metlodut eliam locum Pabet in curois percurrentibus altioii gene
ris, omniaque quae duta sunt deoi peccurrentibus primi generis applicari possunt
ad cjurscunque gereris percurrentet.
Diutius quam par est, vir Celeberrime, his imoior, qua forsitan jam me
Meliur noni: interim meac super hac materia meditationes lecum conunicare volui
ut quourque cum Tcis conspirent videas; id unicum adhuc oddere liceat, quod
catera qua circa Rujurmodi curvas invenienda redant, ut earum applicatae masima
et h no, panita flesiu, caulicae et evoluta aliaque ope calculi percurrentis etiam faci
le eppediantum
bX + FX(Y
e
XFlx
1. 2. 4A aad
XlF
1. 4. 4. 4 abb
1.3.36
4. 4. 1. 46
qlcadratura

## Folio 10v — DE-611-HS-958803:0020
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 9r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Egregium est (ut ad alia pergam) quod anolaro, curvas interdum extangentium
proprietate describi posse per intersectiones intinitarum curvarum; ratio modi quem
trodis cuivis attendeat maniferta fit; interim observo intimmodi curvas plerumque essce-
algebraicas vel sactem ex algebri carum evolutione generari, quarum proinde punita
etiam algebrace determinari postunt. Sic si DC (Fig. I.) normalis ad curvam detur
et AP, i. e. si DC sit aequalic opplicata ER curva data AR, determinabitur
punclum C, abscindendo subteasam PC aequalem PR ex circulo DCD descropta
subtangente PB tanguum diametro; hinc et ipra ducta DC erit tangent
curvae AC. Si detur relatio (Fig. II.) inter AF et AB, c. e Li AT sit=
applicata dR curva AR datae, habebitur punctum C. sumendo
DC quartam proportionalem ad AD, OP, et 67.
Circa quadraturas qua redim postunt adquadraturas circuli
vel hypertola hoc habeo: omne spatuim cujus elementum et
primitur per quantitatem differentialem quae per aliam fautam
positionem literarum redicitur ad de xxVaa vel dx XXF
Vaa Z XX
erit aut quadrabile aut dependel à quodratura circuli aut hyperbola quod denon
Hrore possum, sed vice versa si aliquod spatium et quadrabile vel si dependet ab ab
ferutra irtarum quadraturarum, ejus elementum necescario quidem mutari posce
debet in aliud quod exprimatur per alterutraa exprestionem differentialem ope
nova cujudam suppositionis literarum; negulam autem generalem pro hac suppo–
sitione generaliter inctituenda adhucdum desidero, nec unquam inventum iru speco;
saltem non magis quam illam per quan cognosci poscet num aequatio algebraica quantion
gradus et quantum vis composita deprimibilis ehet nec ne. Siguis enm quantitatio al
cuipu irrationalis et valde composita sumeret differentiale (quod taciletit) illudue mihi
insegrandum proponeret, netrio sane an non diu ipri ixkaererem et tandem honnisi
casu et paspedo vel etiam nunguam eopervenirem. Id saltet asserere ausim
rertificationem Ellipris et hyperbolas ad carundem quadraturas redui non posse,
Larum ouippe curvarum elementa adneutiam duturum formularuta redigi possant,
facile enim omnes possibiles et necestariae suppositiones initituuntur
Quod concerrit rediutionem quadraturarum ad veclificationes curvarum, aliqualio
modus prodibit in artis, ubi curvam aequabilis accessus et recesius a punito dato ut et
etaslican construo per recisicationem curvae algebraicae, quod frater meus non nir
per quodraturam spatii et rertificationem mechanicae conitruxit. Simulque genera
lem adnecto ideam constucitionis cujurvis data agerationie differentialis primigra
dus nulla adhibita separatione indeterminatarum.
Mirifice placet methodus Tua in artis jam explicata per quam quamvir qua
draturam ad seriem revocas, generaliscima enim est et in peopi faulis, id tomen
incomodi habet quod Li in aequatione differeatiali repenatur y et dys vel x et dx
duarum pluriumve dimensionum, seriet inde orta nullum manfecam legen
pragrestionis observet, ut accidit in cocadratura figurae X=y: mea autem seriet
licet numero infinitae, si modo inceptae fuerint quantumvis continuare possunt
quia evidente lege pragrediuatur: adde et hoc quod per aggregationen termu.
porum homogene oua in unicam seciem converti possent
Comode hic mentionem injician seriei universalistima non ita puidem mii repertae
quae omnes quadraturas et neclificationes generaliter exprimit, quaque methodo tangen
tium inversa aptiscima eit: Proposita enim quacunque differentiali integranda ndz
(per n intelligo quantitatem quomodocunque formatam ex indetertinalis et condantibui)
erit posita dz conctante ejus integrale aequale huic seriei n Z -. L22 du
d2
clatu
+
34 dadu. 8. quea L. applicetur in proposito quodatm esemplo
12.32 d2 1. 2. 3 4 23
dertuentur du, ddm, deldn E. per d2, d2, de . totaque series considet terminis
pure algetrairis. Un versalis Kujus seriei ope facile invenio sinum rectum etf dato
arcm et radio, caterage problemata solvo, quae solvirti per Tuam metlodum in
actio

## Folio 11r — DE-611-HS-958803:0021
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 12v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
Vir celebarrime
Nituum est, quod Tuc
autor Honoratissime
mihi ab ifinere aliquo reverso
reverso mihi ab itinere ab samico lisia
 sunt redditae, quidudum Lipsia attulerat ini sunt redditae
quod amicus qui Lipsia attulis non recto huc venisset; et i et me decuoe
non invenisset.
Grabiat Tibiago, quod de Calculo mearum Exponen
tialium, vel Tuarum percurrentium, aliisque id rebu genus rebus egregiis ad me
scribis. tamet si enim fortse ex prioribus meis facile intellexeris, principic
ed tempare
cirea
Calculum tamen  altiores earum
species, non ita lorge produxi. et saepe ita distrahor ut propemo-
dum valedicere his studiis cogerer nii plus mihi ab amicis
imposterum, quam a meis meditationibus pollicerer. Unde
illud quod de infiniti scientia cogito opusemum, si vestris 
vide(ut Tuae innuere videntur auxiliis destiuetur vercor
ut mature prodeat in lacem, aut omnino utue prodeat. Quanduam id vestra
parum referre judicem, eui ose amplius mea adeo nons egetis, ut amili potius opus sit vestra
Quadratulam figuro cujo Ordinasa
sit X vellem ditra seriem posse dari
 in quo esset aliquod scientiae incrementum
Certe ad quaedam vicina gradum olim promovere memini
sed non vacat inter chaas schedarum ivordinatarum
inquirere, e aut actum agere.
Minime improbo
quod lx, in serie uteris valorem ipsius Xu exprimente
fee ame puto tamen serem podituram non minis simpli
eregans  quo in de ducitur specialis series L -  + - et
tamen abstineas lx, solaque  vel ejus potentiis utaris, prodibit oprior
netsracis non minus simplex aut certa lege procedens, quan
am ob aequ. fdy + ydx + ylx dy: a =0 possm
catu
Le X = 1-
e
et aF1 et y-1+ CZ+ d2te
39 Z4 f64 3
+f
+9
+
 etc. fiet
AC
etc
etc
ete
etc
er
s
c
faur
acicm
et lg  log. X sit +Z- 2
s
-
4
3e.
x =
+ d
3C
+0
ets
etc
Unde prodeunt aequationes destructitio sclis ordinotaec=+ d- c e-
c= 1 d=  + 7C d =
9 =
+ L. C - L. d + = e +
+ C
et
B =+ = - LC + -d = = C + L f + 9
quius evoludis ipse C, d, e, 5, reguin satis sie habebuntur numeris salis igntaniter proceden
qu
universali quadam constunctione procedentibus, nn difficuter habebuntur
quae eo ipso regularem atque universalem ex habent constructionem nume torum
c, d, e, ete. sed si adhibene velimus ipsa quantitatem logarithniam
res siplicius res simplisisima ratione  fiet,  quaerendo non y, sed ly.
sic quoties variant morbi variabimus artes.  Quaerendo igitur
non ordinatam sed ejus Cogarithmum sic procedo; (verte)
Idemus est in colers scultus quasinea Mettodo invenio nec potentae ultores ipsius 
vel dy et. regulares proguesas impediunt, etsi majis compositos reddere soleant
d
=
ete
f-
++0 + e

## Folio 11v — DE-611-HS-958803:0022
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 12r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 121 lines, status machine
Quia Posun X = 1Z, ut fiat lx = C +)  - L yt + 1 53 etc, et Xlx = IX + Z(x et ob
aequ. y = XC est ly = X logX seu lys + lx +GEx 0, faciamus ly- rZ + pZ2+93 + rZ et c et
explicatione aequationis C prodibit: tun lx+ ex, siet t9 = 2+  seu -ly + lX + 7lX = 0
Exceiptum ex mea responsione faciamus ly = nZ + PZ +433+  E etc. et explicatione aequationis e pro dibit:
Videtur lex progrediendi in ea quoque serierum Met hado generali, quam publicaevi semper haberi posse efsi sit pro
rei natura plus minutve simplex. Inerdum proire nata variabimus artes, nille malispecies mulle salutis erunt.
sic interdum quaero non ordinatam, sed ejus logaritumum, ut met pro ordinata y = XE quia est
fit ox=  iZ hG2 Z etc. it - B +2
1(9_. B l9 = - n Z - pZ -923 - r  etc
+x=
+L. gx-
1Z = 15 + 5Z et
it ply =nq sit pZ +92 +rZ etc
Sg  p+ q2+ 1Z etC
Ergo n = 1  p = + ∞ 2 9- +  r =  +
+1Z ∞L 22 + L ere gererut
adeoque fiet: bolys = 7 + _13t = 1 3+ + 3 B 89+
e et sehoc calculo primo obtutu,
io
ficialis  it
3d nopen se
n A dx esse exase
et quiuta. 
Epistolarum tas Detonoillaei seu pascalii
eem cum varia circa varii gradus differentias rentaverim, etiam in similes tuae series
series
olim
parisienses Loccasione.
Exi imo hae meditationes fuere inter meas primas
b, c, det. Ejus diffeaentiae primae e, f, g, hE etc. Secundae l, m. n, 0; ter
l+ 4v + ∞oW +30
10 - 2 l + 1f
semes
et Le soriba
eri
et ita po
 Jam rem ad calculum differentialem in infinite
11 = 4l +6 p - 4t +  
et
quartae txi
dursut
Eequintae  B f -e - 1l 9- 1e - 2l+ 1p her h+ ct 10 3 + 3p - t 1- e- dl + 6p - a
a = 1C
- 1C
12 = 3
parvis  nobis folitum transferendo, et sit a  pro a ponatur )
et pro e, t, p,  e, l, p, t, B noni poterit respective
dy, ily, y, dy dy.
infinite parvam
Et 1+ 1+ 1 + 1 ete est X, posito dx esse unitatem constantem
et 4+2+ 3 +4 etc est Ex seu Sns) at et 1+3 +6 +10 etc est sX et 144 + 10 + 20 et estss
ideo
et ita porro Ergo Y = d dy X = ddy sx + d’y X - d’y sX. sed
Sed (X = = XX et Ix =  X et sIX = = x ete. Unde demum fit
homogenectum per dx ejusque potestates, fiet 11+  y etc Vel supplendo leges
es
magna simplicitate expressa; unde ex Tabulis logarithmorum habetur facile naturalis. idue sufficit in praxi c de
notandum atg q est tg aeus alu: at esse l 1 + Z +
Cum de at
si sit lym
ecrescen
1e
s
Y = dy X X dy - + X d + L X dy - e
V = + X dy - = X ddy +
ex
X y - -x dt y et
1.2
sive dx
x id est vet (ut  ad rem
opina
13
l. 2. 3. 
quod hic eodem redisfiet, (ydax = = X _ - = X du + L X d’y et.
dx
Unde facile etiam habetur
nomovendo y, dy, ddque etc
talium
Sed paulo minor est Ea serierum usus
ly = sx +x- 1= ) quod ipsis y ex X non valde simplici relatione datis datis (alioqui non opus foret tali serie) plerumque
x
l. 2
1.2. 9
dx
etiam dus et ddue, etc. ex X, et dx non admodum simplici ratione dantur, et obscurum declaratur per
aliud non multo clarius. Est tamen ubi usum habere possunt, quemadmodum egregie nofassi. Et certe ob genera
Serres Harmonica id hobet greculiare,
litatem suam merentur ista considerationem
ut termini a, b, c, d, etc. coincidant ipsis a, e, f, g et a, e, l, p etc
de reductione quadratirarum, ad quadraturam circuli et Hyperbolet
ad hus amplius inqurrendum censulrim. quomodo ego curvam jsochronam
paracentricam per rectificationem construxerim, in actis videritisC prosequendas
doleo temporit non satis sibi suppetere, ad praeclaras meditationes Mathemalicas
quibus pae aliis plerique plerisque te parem esse constat. Itaque de alia agere cogeris pon
Ego
non sine multo scicotiae jactura ipsius detrimento ad alia a TE agi dedere video.
ipse pro affectu quo egregios viros complector, obviam ire cogitaveram; sed pati recte
junis sturmius locum nunc
 sed consilium tuum ornandae patriae non potui non laudare
obtinuit, qu Tibi paratus erat et lautasatis conditio est,
pro remata.
E acim Nicalans facius duillerius in Anglia ut
stationem sinvenit. fratrem ejus spalrissare exliteris tins indelligo.
Fatri Tuo celebericum ihi rogo ut n me efficiosissine salutes
Boisotius Abbas ex Comitatu Burgundiae vir egregius siem nihi
fecil monumentorum quorundam Histrriectum Raegavi ut Basileam
adad Thatrem cuuu mitteret, ea fiducia quoniam locorum situs
doticissen ita ferre videtur inde lipsiam naudinis mitere per occasionem liebit.
spero hanc deferri poterunl occasione nugdinarum deferri poterunt
ad cebe. Menselenium nostrum. Vale
accepi non incommita
tuoi opioor exeomplo
ly =  fIx + x = _ F 1X
styeus -sx ysetu
St l- Z
Ex = s
SixA X - 1 =X Ix
lxs+ x- Ex tdx
a cujus be–
e mrot
nabor

## Folio 12r — DE-611-HS-958803:0023
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 11v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
so 67
quan inquirendic
actis mens. April. 1693 explicatam: Modus quo ad hanc seriem perveni oppa
rebit in artis, cuju urum furrus ib explicatum videtis.
Hai quidem sunt Vir Celeberrine quae raptim conscribere potui
trevitas temporis plura inprusentiarum non perm sit: pleraque eaque notabiliora
quae feci inventa mihi non sunt in scripto, sed in aliorum manibur versantior
it quorum gratiam ea scriptis mandaverat, quae si de novo concinnanda escent
non parum laborit mh faressereat, qui nunc alia prortio ago, ea nimirum ad
quae magistratus noder me devinavit. Preves omniso horulae meditationibus
e rathematicis inpendendae supersunt mihi, quod mecum multoties reputans non
possum non optare quondam occasionem etiamsi extraneam ubi me totum itu
dio mallematico applicare possen: Ea enim capacitate qua Tu polles
pluribus totoque cvelo different huc incumbendi inque iis simul excellendi ego non
polleo, sed cum me adduo id me totum regcirit.
Juum opus de scientia infiniti impatientes expertamur, faxii rogamur ut pro
pediem lucea videat; T Tbi iptinet satis scopedilabis materia, et si quadum
adjicies de nortiis, urbaritati rua, non necessitati tribuimur. Vale et Fave
Omplitudinit huae devinit: stimo et
Acdiosistimo (altori
Lohann Sernoul.
Lasi et c. 2 soci cogt
P. S. Eodem hoc momento quo praeseates harce obsiguaturur sum, adfertur
mihii artorum meacis Gulius, in quo Novam Tuam calculi differeati alio appsi
cationem et urum video. Quantum fugitiva adhui perlurtratione cernere licet
ert, quod eas curvas quarum in portiemis ruit ad me dalis mentionen seuii et
quarum unius vel alterim consirutione  supra dedi artificiose describe
re earumque calculum ad certas regulas revocare doceas; ex quo sane non parun
delecanent capio; et omnia Htudeose perlegam. Memini ne olim Genevae similes
fere speculationes habuisce, et occasione insignis problematis quod mihi D1. Fatio
De Daillier frater Kicolai proposuerat, de invenienda curoû quae singulas parabolas
a globis ex singulis elevationbus mortario ejeclis descriptas tangit, quam depre,
headi et ipram esse parabolan: simulque modum inven perquem hujusmodi pro
blemata per vulgurem Geonetriam Cartesianan solvi postunt, quorum exemplum
de determinandis Cauricis in aiti Jan. 1b92 exhibin. Aliud hunc jam pridet
roblema
etiam misi consideratum, non minus ulile quam elegans ob sumum affinitatem
quam cum kiica habet proponam: Datis infinitis curvas positiona invenire
curvam quae omnes ad angulos reros secat; vel ut Ampl. Tua verbis utar Lineit
propositam hormaliter secantibus, positione ordinatim datio, invenae propositam
Si positione ordinatim data sint parabolae eundem axem et eundem verticem sed
parametros variabiles habentes, curva optata erit Ellipris. Si positione ordina
Lim datae sint paratolae eadem eundem axem sed variabiles vertices habentes, ccorva
quae sita erit logarithmica vulgaris. Sic in quovis exemplo peculiari rem facile ex
pedire possum, Tibi autem dofficile non erit generales pro hoc excogitare rega-
las. Caterum hoc probleme insigaem uum praectat in determinanda curvatura
radiorum lucis per medium inaequaliter densum transeuntium jupta hypothetes
AB, X. BCy 2bX =yy BP = _ est b ex natura parabolae et y: b = dy: dx ex natur
problemati( seu b - ydx: dy. Ergo exi per 3 fit Zydx X: dy = yy seu 2XdX = ydy seu XX + aa = L yy
sigum = prsefipo in aeq. 2 vel 3. quia crescentibus X decrescunt y
1Z

## Folio 12v — DE-611-HS-958803:0024
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 11r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 9 lines, status machine
Di. Hugenii, sigendem radius nihil aliud ert quam linea undulationes ad angulos
rectos secans: (voyez son traité de la lamiere pas. 44) uli quidem radium
AHEB undulatiores BC normaliter secantem incurvari ortendit, sed qualea
propiie curvaturam enduat non innuit.
Pasiet prasens problema odhuc latius extendo, nempe sic Lineit propositam
ad angulum datum secantibus, positiore ordinatim datio, invenire propositam
Si linea datae sint rectae in panito coeuntes, curoa quae sita erit (cen matiferua
es) lopodromica plana. Sed lator harum impunito diicesiurus me abrum
pere facit