# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/944/text
# Catalogue record: 944 — Pro Diophanteis, et speciatim de regula duplicis triplicis quadruplicis etc, (ut vocant) aequalitatis
# Incipit: pro duplici aequalitate; debet esse: ax + b = ll et cx + e = mm
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=944&katnr=58525
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068049
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 4
# Folios: Bl. 62–63 (from the shelfmark LH 35, 6, 4 Bl. 62-63): 4 pages, canvases 123–126, page ids 00068049:0123 to 00068049:0126
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068049&page=123
# Lines: 247 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.85
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 62r — 00068049:0123
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 63v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000123.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 60 lines, status machine
pro diophanteis,
et speciatim De regula
duplicis triplicis quadmplicistetc
(ut vocant) aequalitatis
Regula suplicis aequalitatis simplicis est, ut  x +2 sit quadratus
seu = aa, fiet X = ac. 1 - 211 Numeris CCL et 2 existentibus datis
Regula duplicis aequalitatis est uts, 1x + 2te
numeris 12 Nem v, 2e existentibusdatis. Hoc ut assequerer artificio
quod etiam ad aequalitates magis compositas pro duceretur, nec artitrariis
nec literis assumtitia ad potentias assurgentibus judigeret, cogitavi
si  sit 3V 1X + + 4 Spt 20 sit  rationalis a ita
enim supposito 1X +2, et 10X + 20 tractari generaliter, adeoque comprehendere
etiam illos qui non habent divisorem communem, necesse est tam , X +2, quam
S1ox +20 etiam esse  rationales, seu adeoque 1X + 2 esse et
10X + 20 esse quad ratos. Sumamus ergo 3Y1X +2 + 4 Y 10X + 20 = a
et 30 1X+2 + 4 10X + e0 = b, et multiplicatido ae quationes in se
invicem fiet: 3.so 1XF2 = 3. 40. YiXtrin SioxtIO ab
A. 40 10X +20 + 4. 30
ubi faciendo 3.40 + 4. 30=0 evanescit irrationalitas, et habetur simpliciter
valor ipsius X, faciamus 3 et 30 alle et 4H, esse 1; at 40 esse - 1
fiet 1X+2 - 10X - 20 = sab. seu CbRC X = ab  -2+20, 11
poxe
Eodem modo effici potest, ut Clrghl compositum aliquod ex
tribus (ext; s ox sed melius erit, ut 3 et + ponamus
datas fiet,  3o 40= 4. 30: 3 adeoque fiet.
Efficiendum est ut data formula composita ex quotcunque
ir rationalibus,  simplicibus, in quibus ab irrationalitate
liberatis reperitur communis litera X, in numeratore assurgtns ad
nullam potentiam; sit aequalis rationali, et eum in finem
invenire valorem ipsius X.. veri grosit a sXt C t es fx +g -  ubi
es a,b, c, etc usque ad h. sunt datae quaeritur X. communi modo
procedendi verbi gratia a Ybx+C + e afxt9 = h = 0 ubi a, b, c, Fg
sunt datae, quaritur X, (quidem communi calculandi ratione ut tollamu
e videamus an evitari nunc possit
pro irrationalibus literas
et scribamus solum iC ditera)
Al, m _, seu faciamus
Bi +B2m, +, 13 20
C
(m 1nC Chas un + l A 2m + tX = 0, et has multiplicemus
per aliam formulam, sic ut insproducto tollatur L et m, et em
seu ut prodeant setum l et mm
formula multipli cans sit
1ol + 20m + 30=0 et fiet t 1. 10l + 1. 20 lm + 3. 10 l + 3. 26m + 3. 38
(4
+2. 20 mm + 2. 10 .. + 6820 l, +, 2. 30 m
ubi faciemus 120 +2. 10 = 9 et 3. 10 + 1. 30 = 0 et 3. 20+ 2. 30 =9
Est dantur autem 1, 2, quaeruntur, 3, 10, 20, 30, et fit 20 = - ∞10: 1 2 per a
et 30 = = 10: 1 3 jam per 6 ex 7 et 8 fit = 3, 10:1 2 = 2. 10:1: 320 Ergo fit
36 3 = - 1 seu 2 = s-1. Quibus valoribus ino Unde sumi potest 10 pro
arbitrio et fiat) = unitati seu (1) numero vero; adeique habemiqus 10 = - 2: 1
et 30 = = L-(1) et pubstituendo in aeq. 3. habebimus deniqu.
iU_ =  2:mm  - (1) = q seu 1ll_ -2: um = unitati.
itaque a sibtC + e fx+g semper ex hiberipotest in numero impossibili
seu aequari ipsi L-1, et fiet  1 = a et 2 = C et l = bx + C et ato = sx
unde habetrus:  ab X + ac  - C: a fX - C: a 9 = 1. seu X -gB: a = aC: ab - eg: a
satis haec mira, et inquiri digna uatc= egia -ac + abe = egia C,; abn egi a
se bx+c
ed
is i taleor non procaedit. A esumamus

## Folio 62v — 00068049:0124
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 63r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000124.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 37 lines, status machine
C1
et 1l + 12 m + 13 = 0
et 2al + 22 m + 23 =0
ducantur in se invicem fil . 21. I + iu Im 4 1. 23 + 1. 23 m + 13. 23 -0
+12. 22 mmr + A1. 22 Cm + 13, 24C +13. 22 M
sint jam 11. 12, datae, reliquae quaesitae, ut supersint solum U et nun de l’etm
ergo fit 12. 21 + 11. 22 20 et 11. 23+ 13, 1  = 0 et 12, 23 + 13. 2 20
perE
 fit Ce per per 4, 23. HL. N 21 ) et  23 B. H 22
fit per 4, C 22 1d. 1  t per 5, 2
ergo
fit per. 5 23 = -6 13: 1 21 et per 6 fit 23 = -13: 12 22
eidE per 8 et 7. fit 22= 12: 15 21 sed ex aeq. 4 fit 22 = - 12: 11 21.
Ergo fit 1 +12: 11 21 = -  _ 1: 1121. U Quod vel est absurdum
vel  docet debere aut 12 aut 21 e quari nihilo. 12: H 13 esse = 0
vel docet debere esse 12: 11 21 =0. quod fit vel 22 e vel 2)
=0
j quia ergo 21 - 30. 11. 8 12 jam substituamque, fiet
(14) Ssn
O.H. H + 23= 6. 1: 12 et 2 8 22 = 1-0 per gen
et 23= (2 70. 13: 12 per 7 et 14. Quibus valoribus substitutis
in ag. 3. fili. 0.112: 12 U D - ∞ mm  Be - 0. 13: 12 =0
et divisis omnibus per 0. fit 11: l =mm = 132: 12 20
seu 112 H - 12 mm = 132 (2 a
Sed perplexu res est, utrum hoc procedat
sane videamus an l + m + n attolli possunt ad quadratum
una sola multiplicatione per a l + bm + cn, fet enem:
al + + bmm + cnn + a im + aln + bmn + cnn = 0
+ b.. + c ln + C..
ribi fiat AB a- g, et b --c. Ergo a = b
ubi vel erit n = 0 vel fiet a = = c, et b = - c adeoque a = b
r
ma
ubi ut toteantur C et
non esed sed ut tollatur lm, etiam fieri debet a = - b.
quod est absurdum, nisi B = 0, adesque et a = 0, et c quoque = 0.
quod absundum

## Folio 63r — 00068049:0125
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 62v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000125.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 81 lines, status machine
pro duplici aequalitate; debet esse
a X + b = Il et cx + e = mm fit X = l - b, : a = mm -e, :c
ergo fit ac H - abe= 1 cM - bc = amm- ae, seu fit
  amm - cH = ae = bc
15(3)
sit m Sa + lsc = Y et m ta = l sc = s5 fit g - ae- be
d  a in meris ta
oporlet a et buel
gobdratas, vel esse nune
sit porro fX +g = nn et hX +K = pp fiat similiter epe dumme
nes pss = + + D: 2 et n th = + -v: 2 et Lv = fK - gh
sed rursus X - l - b: a et x = nn -g,: f. Unde fiet.
nsa = W +y: 2 l1+ = W-y: 2 et Wy = ag - fb
qua ita habemus novem aequationes, pro inveniendis literis
rast, v
es
W, y
(10)
L, m, n; P, rS
quidem l habemus bis fit l = r- 5: 2 tc = W0-y: 2 lf
et n habemus bis per 5 et 7. fit F - v: 2th= W + y: 2Ya
faciamus W - y = 9 et W+ y = co. fief.
D~ r - 5 S5: sc
et c = t- v ta: sA, et W = co+8: 2
5. u.-
(16)
(17)-
 Ergo Wr et GY W = G1c0:2, et y =  co: 2 per 12e1,
e
2
et ergo per y fit 88-c0c0 = 4 ag- fb Unde haberi possunt
et co rationaliter seu vr= 2r5 + 55 f: C - H- 2tv + vn Ba:h  4ag 27b
ex 19
seu rr + Ss f: C = Ht + vV a: h =  gag - 4fb + 2aC -bc f: C, + 2 GK- gh a: h Tor 3es
seu per compendium  G Err+ 355, = BV Et- Vvv = d, ubi (3, V, d dato
Itaque res eo reducitur, ut in rationalibus reperiamus aequationes
3, 6 et 20. componantur in unum et assumatur ad huc
Una aequali, pro arbitrio quae sit Ara (5 
22a
10 rer + 115 + 12L + 13V + 1b
mulliplicama per 20Y 4 X5 +22F + 3V + 24 4 0
(22s
fiet 10. 20 rY + 10. 214 11.20 r5 +14 14 = d, 10r + 115 = 12 f + 13V
Ss + 128. 23+1382 EV
Cujus quadratum est + 18Y + 10 1r =,, EF2 + 12. 13. LV
et omnes aequationes componendo f =BrY + (255 -9 LL -5) vv .8 + 1B
a
2E2 E
13. 23 vn
peosito, ae - bc = A et ag- fb = ( sit
-147 14r5 8
-150 +1tv
(1orr + 1555 - 12lt - 13V 4101Y5 - 12. BtV)
0
quae aequ. 23. e utique fieri pb deprimibilis; tollamus si place
267
(25)
v et f, fet 12 = L 163 et 13 = + - 16) et 1169 = - 15 seu
()
15= = 16 et restabit +16β rr + 16B 55 + 14 r5 = 16S
+ 10 . + 12 + 1011 - 14 X. (2 p27
ex quam aeq cuarando cum +185 + 19 0 ducta =16) 
5
in 2gY + 285 +29, seu in 17. 27 rr + 18. 2855 +17 28r5 + 17. 29Y + 18. 295 + 19. 298
+18.27, + 19. 27Y +19. 285
5 et faciendo fient 17. 29 + 19. 27 = 0 et 18. 29 + 19, 2920
et 16( = 17. 27. -10 = 18. 28 -112 et 142  17, 28. +18. 27 = 10. 11,
(33
et , et 16 = (7. 28 s + 18. 27. A - 10. 11 A 19.8, -8 +) 6)
5
et. 36, 36
Tubi ex q 33. fil 17 = 8. 29 H + 10, .27 quo sulstituto in 8g. 30
Et  19. 29 - r5: β = 18 28 = H+ 10 28 5t. 27 + 19. 27 2 - 10. 1I. A = 19, : - d. 1
aderque siptet
ubi ig habetur per aeque 36. et 1y ve 2) velre
at  19 et 17vel 17 vel 18 vel 18 per aeg. 33
ex 47.17
ras prestitent dutbere o ex per ro
divisos
fieri qua
dradeos

## Folio 63v — 00068049:0126
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 62r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000126.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 69 lines, status machine
U
et X + b = m, sro + fiat yy+ ∞Y+ 1020.
fial X a = ( fiil X = 3y, 105 + 1. et fiet y+ 1y+ 1  H et qut royu mm
id hebet esse y + 2207+28  ∞ vy rroy+  fiet et 47 72.304 30-
et
a
Y +3. 3014 3a ∞ yy+107 + (1
ergu 20 = 30 sit l = 10 + uy + 12y + 13 y + 14 y et.
seu
fit sit
 Liet
 m = 26 + 21y + 22  +23y +4 y et
X = sit X = + 10 + y + 12 , 413 y + 14y +15y et
+a
2V7(2) 20. 4Y + 20. 22V + 2. 23y4 224y eu
+ 212 pr  422 + 2. 82 f2. 2. 29) etc
seu 20 = Aot a et 21 = 11: 2 scota 22 = 12 - 11: 4 tota,: sofa
1 221 +2. 2213y etc
sit a quadratus, et A+b quadratus, centemus primum in inlegis
sit ab quadentus cet BC
sit 20 X + 21 quadratus et 30X + 3Y quadiatus, etc
tentemus primum in duabus lateris X =  10 + 1y F 1E YCB
siet
Se terminus
+20. 10 + 20811 Y + 20. 12y
21.
sit abho+ EX
aequando quadrati ergo fit beot roiar
fit 20. u = 20. 12 in 10. 20 +21
simililer 3. 11= 30. 12 in 10. 30 + 31
Sit 8 10+ u X +12 X + 13X , 14X + 15 X +16 X + 17X + 18X et O
aequandus quadrato
a + 2abX + 2aCA + 2adX trae X +ra fX + 2 aGN F 2ahX + 2ak X
+ b X + 2bCX + 2bd p + 2b EX F2bf ~ F 2b9X + 2bh X d
eN +2Cd X +2ce X Y2fx +2Y
itoque si ascendtur ad p opus est una aequatione. si
+dX +2d ex + df X
+C X
ubi formulam  aequando quadrato, si ascendat ad X opus est una aequatione
s X (quia aequatoes suit tres literae auteri a, b,  sunt diae) si ascerdat ad X
in universu
opus est aequalionibus 2, (quia aequationes sant 5, literaeautem ab, c sunt tres) si
ascendat ad X, opus est aequationibus 3 (quia aequationes universam sunt 7 litero
autem  ab, esd, sunt 4). Et ita porro potentia somulae summusat p, erit opusoetus.
A si _yy . y. +. y aequandus quadrato si valor ipsius sit termin
, formula aquanda quadrato erit Et, ergo opus aaequo aequae t.
si.  +. 7 +. y + y aequandus quadrato si valor ipsissa sit termoiorum F
formulla aequande quadrato erit terminorum 3F, adeoque opus esset eris aequa
trombus 2t Erm tamen non adscnl sufficientes nmer arbitrariaae.
potentia
si g si Ry assumatur in fractis, si valor ipsius _ sit terminorum t, erit
a habebrimus literas arbitrarias 2F, vel sallem 2++1 si jam sit
yet aequandus quadrato, opus est aequatioibus e
xt
jam si  y aquuntus quadrato situe maginia in valore y potentia
1t
l y ele
Ergo opus ditens aequationibus t,
habenus autem literas C+1 si P. y. i y. aequandus quodato sitque y= X. et
fiet ascendet valor B y etc ad Et X ergoopus aequationibus 3nt: 2 habetmus
autem literas ++1 Ergores non est in potestate. . sit ergo y explicandis per
fractum ergo si in valore is potentia p
ites et +2. e 
V6 quandque quadrato. Ecqu, apus aequiiomibus 2+
emantem siteras ut +2, ies ergo procedet pro yst gentraliter. Nonvers altus
C + a =
+1 ab  2. 8. 20.1
L 12. 6+102
1410