# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/968/text
# Catalogue record: 968 — Reduction Tangentium inversarum ad quadraturas ope Tangentium inversarum jam reductarum, quales sunt in quibus x et y in valore ipsius rationis dy : dx servant per se solae legem homogeneorum
# Incipit: Si proponatur dy : dx = (1) 10x + 20y + 121, : 30x + 40y + 341
# Date: 1691-07 (91-07)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=968&katnr=58549
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068050
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 5
# Folios: Bl. 1–2 (from the shelfmark LH 35, 6, 5 Bl. 1-2): 4 pages, canvases 1–4, page ids 00068050:0001 to 00068050:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068050&page=1
# Lines: 340 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.86
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068050:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068050/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 81 lines, status machine
1D. Hec scheda
praestat aliga
magni monere
proponatur
Reductio Tangentium inversarum ad quadraturas
ope Tangentium inversarum jam reductarum, quales
sunt in quibus X et y in valore ipsius rationis dy: dx servant
per se solae legem homogeneorum
laX + by +C,: ext sytg solvi potest aequatio, nam sola
es
si de dy: du
explicatione ipsarum x et y colli possunt c et g, nihil mutatis dy, dx nempe
sit Y2 3 +n et y = v + K fiet Ao: dque = aZ + bv + at
destruantur termini determinati, seu fial an + D=-c et ch + ft-
R =  -cia - bk: a  - g: C = fK: C sen ce + beKZ aq + afR
+ fK
et fiet
seu fiet
agce be-at, fit h= cbe+ caf - abg + cbe,. abe-aaf
seu h= bg
popopatur
iti qaius coc u deelr
Si sci sissemus: dy: do = 10X + 20y + 121, : 30X Ny +341 (sit x = Z + 51 et E yL veSI
fiet dx : dz = 10Z 4 20v + 10.5)
40.61
341
sit 10.51 + 20. 61 2 - 121
et 30.51 + 40. 6) = - 341
Cimultiplicandae aeq. 6 per 30, et ag. per 10. et aufferendo hanc, ab illa fiet.
+30.20 - 10. 40 61 = + 18. 341 - 3012 seu 61 (8) 10. 341 - 30. 121, :, 20. 30 - 10.40
et pari jure 51 = 20. 341 - 40. 121,:, 10 40 3 10. 40 -20.30
et fit: X = 4. BeC Z +  20. 241 - 40. 121
10. 40 - 20. 30
2ta
et y= V + 2030-10. a
et fiet dv: dque = 10Z + 20V, : 30Z + 40V, ubi Z et V per se solae
servant leges homogenectum, ac proinde revocari hoc aequatio potest
ad summatoriam, Methudo alibi inventa
ex
resobubili
Videamus jam quomodo aequatione ly. x=op oeet
dy: dx = 10x + 207 +121, : 30X + 40y + 341  transformando possint
fieri alia, quae adeo etiam sint resolubiles. sit X = 50Z+60V+
sit x L foZ + 60y + sa 560 1 51Z+ 61Y + 562
sit X = 10Z2 +60V + 560 ZV + 51Z +61V + 562 dx  2.502
is
60042614
60d av 78001Z 81dy
quos valores gg aequationem 2 45. subst. mendo in aeg. 1., fit aequatio, in
qua ent dv: dz = O. ∞ et tam O quam D eut formula ex Z et B
assingeas ad gradum tertium. cujus reperto communi diveore praedita arbi-
trariis quinque ob aeq. 1, et bis 6, vel potius bis 5, ob aeg4. 2., 3
ergo in universam habebimus ad minimum literas arbitrarias,u qea
tamen in effectu non possunt esse plares quam quol sunt inritra in
gradu tertio, quae non sunt plura quam 3+1, 3+2: 2, seu 10.: itaque
pla
ad est adeoq
sufficit quationem 6 esse tam generalem quam defiderari
posse conse seu posse conferricum Generali; et si jan ternim summi, 2
sunt autem in tertuo quationes 6 mnemtore parter ac nometur
 si tam in O quam in D termini 10. itaque si efferri debet
itaque conferamu
foruuta : D cum data smmli, opus foret 20 arbitrariis a
potius  6g. 6 cum orgs. data dv: dus . Z +. V et, ,Z v erc mul..
et
tiplicata per  +,. v +. tam in immedatore quam nominutore
velu habemmus arbitrarias 17 possumus tamen ad hut aliquas
sed
a acquirere explicando Z et b. itaque ut sufficere res videatur
pro comparationibus 20
et aliter sine un multiplicatione aequationis in Numeralore eNomi
natore, facnus  possum sic progredi,  et duae Analogiar 6, et 7 aequentio
invicem mulliplicaive per crucem, itaque si aequad fit identica, debet destini ora
nec opus est mulliplicave in quo comparao Analogiarum differtea com
paraoe aequationum. Itaque Hac imilliplicaione per rricem ascenditur ad
cum tamen habeamus tantum
fradum , cujus ideo termin sunt 5+c, 5+2: seu 2
arbitracias 15, ubi miror quod ista multiplicad possit plus arbitariam
gates cn lareg iter modus
per se videatur esse debere sufficiens
r 109

## Folio 1v — 00068050:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068050/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 84 lines, status machine
sic in exemplo inferiore
sunt arbitrariar
2
2
funda
ax +by +CxG+ Cx C fy +g - Sx+ ty+ W
Ex +mu +nxy +pX +q +Y ∞x+6y+ 
per curcem facta prodeunt termin 3+1, 342, 22 seu 10
coparandi sed si puus laters dextrilam numeraloret, quam nomnatore multiplicemus
per 3X + Ny+  habemus arbitrcarias abundantes tres
. Si in ory. 2. et 3, pagmae praecedentis valire ipsius  velus
fecissemus habere nominatorem simplicem, et quidem utrobius eandem, ascendissem
nno gradu altius.
Si fecisseums tam numeratorem quam nominatorem
simplicem, et quide nominatorem trobius (in X et 9) eundem.
tunc itiq ascendissemus tantum ad gradum. secundum an numeralore et ut
nominatore itaque hroc ajamus.
sid dued dy: dx =  10X +20 Y + 121, :, 30X + 40y + 341
sit X3
(1
50Z + 60V 4. 561, :, 70Z+ 80V + 1781, et y = q0 2+ 1oV + 9101, : ⊓oZ L g0V 
fit: dx () 30 Z+ 80V + 781 50d3 + 6odv - 503+6OB456] 70 L 3 18AV
d
t
dys
70Z+80V +781 90d31
u
tatus dextrum
Rursus expliando aequdopis per 3 et 4 fit
6
1050Z4 1060V + 10. 541
10.
40. 90
C
2o: 100
12I. 8
60v +
30. a
20 9101
121. 78
4o. 9101
ubi aequando valores aqualionum set
satet haberi dz: dx per valore cujus
itam, numerator quam hominator non
ascendit ultra t
smil autem termini tam in numeratore qua nominatore sex, adeoque in summa
34170
341. 88 341. 781
12,  itaque ut 6qualio dz: du O: D comp facta ex 5 et 6
oraretur datae iubi valor az: dv, elim non altius assurgat opus firet
comparatinibus 12, quanquam fortasse sufficiunt 10 aut 11 Nos autem
in aqu. 1, 3, 4 habemus arbiliarias, 18, ex quibus tamen  profi-
ciunt tantum 12 aut 14. itaque habemus arbitrariis sufficientes,
et resprocedit.
chilud quoque considerandum
quod si aequatio 1 ascendat ad secundum gradum, seu sit
du e 10k + 20 v + 120 XycB et WX + _2y+ 122
dx
31X + 419+ 342
30 X + 40 y + 340 Xy
et 6qu. 5. proxime p raecedentes Sed pro aeg. 6. fiat alia in
qua s tantum ascendet a Qua tantum ascendetur ad 7Z. Ergo in
aequatione+ tantum ascendebur ad 33. seu du: de = C: D
lantum ascendetur ad gradum contium. Habemus autem arbitrarias
9b aeg. 1. arbitiarias mimmum de 10; et ob aequationes
minium , vel ad minimum 8, sunt ergo
3 et 4 arbitiarias 7
omnino arbitrariae 18 et sed in gradu 3bio, sunt tam in numeratar
opus est terminis 20, quod
subducamus calculum arbitia
quam nominatore termini 10, adeoque
procedit auxilinndo sed generaliter
Nempe
riarum corequisilarum, etiam in altioribus.
aag. 1 sit gradus e, fiet fient arbiliariae, e+ 1, et 2 L 2
et ob aey. Z et 4 sal arbiliariae 7, habemus ergo arbitrarias
ee + 3C(+2 =2) + 107. Ascenditur autem ad terminum e+1 cujus
termini aabitrariae sunt
et 2. et 3  itageve seu ee +5e, quod
2e itaque res succedit, quamdiu
e non assurgit ultra A. Nec facile mobis opus altius ire
detrahatur ab ee +3e +10 estao
possum enrim resolvere, ita aquationes dq: dn = C. D -bi f
vel ), vel amtrobus assurgitur netra

## Folio 2r — 00068050:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068050/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 69 lines, status machine
Sin sumamus aequationem 1 gridus e ut didtum est, adeoque arbitrariarum
in tot aequationem 3 et 4 assurgere in numeratore ce
L1.
natore ad Z,, tunc 69. 3 et 4, dabunt circiter arbitrarias ergo
in ioi nominalore ad
in summa forent arbitraniae ee + 3e + IZ verum in ay. C assingetur ad gud2
seu
gran
et in aeg. b. ad gradum 2C., ergo habemus teritinos 2C+2. in aeg. 7
ergo termoni ad sunt 2C+2+1, 2e+2+2,  Unde longe minus
sufficunt arbiliaria.
sed jam video cur videatur sufficere Methodus proxime
raecedens eliam pro  altioribus, nempe
non opusef: 6
AZ. d 8: 6
Numerato inventa 6g. 7. et collati cam firmula data)
O:
conferri numeralorem cum nominatore nominatorem cum nominalor
sed suficit multiplicari per cracem, ea tuge seu 6 D.
et assurgetur ad aequationem gradus dupli seu ad 2e +2, cujus ter aini
sunt 2C+3  in 2e+4:2 seu 2C+3 in e+2 seu 2ec+ 7C+6,
umgubitrariae nobis data sit tantum ee +3e +Y, ubi
mipor nos minus lucrari, cum magis supponimus, seu cum compara cuy
Numeralorem mominatori, et Nominatorem Lominator ete.. Quid si partu
= itaq
mamoe illa antamur, partiur imeliplicave per crrenem
An fortasse siclicebit procedere ut sidus
dalaa aequationem qualis D, prius accommodemus transfor
memus ut si esset d dco du de d: deo =  V ea
et scribamus r = a  aZ + bv + C. : 8 eZ + f v + g, et si militer
getum dco explicemus per 3.0 ita prius tos bileras adhuc lucrabum
 lamen hoc suls facit, quia cinatatum est. et transformabituus
nohil umtato
dalam sine exultatione
si faciamus ax iby cetus tcxasyac
y5.
si data 67.
a X + by + CXY+ Cx+ fG+d
(XX + in qy + n∞ Y C pX+47 1
ajy
et faciamus axxLbyy +CXy = V et Exx + myyanxy L
squaeritur an
aequalio hac transforimae proditura futria sit iniuus alta aut
Omnino quomodonam sumi oporteati, ut minus alta siat
hinc
Si aequatio 1. sit gradus e, erunt Carbitraria ce+ 3C si jam aequationes
3 et G siit gradus h, erunt rureus arbitrariae ht + 3b bis, seu bale 2hh + 60
communi tamen existente nominatore fient arbitrariae in s tib + 3h
ob aeq. quidaue 3, hh + 3h, sed 1b aeq. 4,   h+I, h+2, : 2 - 1 seu
sih + 3h (+ 2 = 2,: 2 ergo sunt, arbiliaria in universum ee +3C + Z sih+ 3h
sed aeq. 5 ascendit ad gradum 2h - 1, et aeq. 6 ad grad he. Eergo aequatio
cujus proindem
ex ambabus conjuncta 7. ascendit ad gr. hB + 2h - 1
termini sunt h+ h, net 2h +1,  seu he + +he+ Ahsi + he+ 2h, 
si sumantur tam in numeratore quam in nominatore. Sit jam data aequaled
ad gadum e reducenda gradus et 1. Haec ut etiam attollatur ad gradum
he +2h -i, debet multiplicari per formulam gredus het rh - e - 2. quae
itaque habemus in universum
habet arbitrarias het ih - e -1, het rh - e,: 2
arbitrarias seu hhec +4h e- 2he + 4hh- ghet ee ihte,: 2, et
in unversum habemus arbitrarias ee + 3C + 2h6~3 3eC +6C + ghh +9h + hheet Ahhe-2heet  Jhe. idte
divis. per 2. Et efficiendum ut sit 3ee F6C ex. usque ad- 2h+C  non minus quam 2hhee+ Bh e + 9tih +h + 4h
seu gee +dC+7h_ non minus quam hhec + 4lie + h +Ghe 4 Thee. si H sit 1. fieb,
3eC +7C +8 Z non minus quam 3eC + gC H  sed hoc videtur succedere tantum cum -1
en e 2 non minus quam 2e quod saccedit solum cum C=, quando tamen est e
altior, oportet prius aequalionem datam trans formare quantum licet in aliam satae gradu
in tanle deac altquol lteras tucramur
t
de

## Folio 2v — 00068050:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068050/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 106 lines, status machine
sit dy: Ax = X. y: X1y
si ambae ejusdem que
154. B
et
∞c
 et d: =5. :  co. 2
X
4
C6
et Wd = X y: X. y
rende habetur di, deo, generaliter; et substituendo valore(3, 4,5,6
in aeqe 2, prodibit aequ. 1, quae est transformatio quam maxime
generalis. Esto aeg. 2. gradus dati e, ag.  3 sit gradus h, fient
arbitrariae hh +  et aq. 4 siulliter, fiet rursus sih + 3k arbilraria
sed in ag. sed nominatove existente communi, erunt arbitraria.
3hh +3h. sed ex aeq. 5 et 6, fiet dip: deo, gradus Zh -1 et
 o. : co. p erit grad. he. Ergo oq. Gposita ex
69. 7. et aeq. 8, fiet _Y: dx =, gradus he + 2h - 1, cujus
termini sunt he+2h, he+ 2hFI  nempe simul addendo
terminos Numeratoris et Nominatoris
quae si deberet
esse reducibilis ad gradum proxime minorem ipso e,
feret seu ad quedum e-) mulliplicandus esset hic gradus
Aec formulam cujus gratus esset he+ h. 1 te  Eorum
differentia, seu he +Zh (D) = e(FD
sirent AC + 2h = L + 1, het 2h-e + 2, :2
cujus proinde arbitraria
hhabemus ergo
in universum abbitrarias he +2h - e +1, het 2h - e + 2,: 2
+ 2 hh + 3h quae quantitas debet esse non minor quam
he = 2h. he+ 2h+1
Fortasse optiremdata
una assumtriae as data
ussumtitia dua trausformades
L
Sibi occurrant, Nempe sit aequatio dy: dx L X. y: X. y
Se
2) 1
gradus 9 erunt ejus arbitrariae 99 + 39 sit X = Z. v: g. v
et
gradus f; ita tamen ut sit nominator communis, erunt
1(4) 0∞ fi
aibitrariae ZGF+3F, porro dy: dx (inventa ex aeq. 2 et 3(
est gradus 2f - 1 et X. y. X.y (reduct ad Z, V)
JL
Z. D: E. D est
(6) 0 
gradus fB. Ergo ex aq. 4 et 5 facta . _ dv: dz = Z v: Z. v
est gradus f9 + 2F-
ed
3 grodus e
sit jam rarsus aequabio
1I 
data ded: d 8, cd: P. co (assumatur 1p = Z. V
E et c0
o
: Z. V
(10)(
(8
porro  deo. dp sinventa ex aeq. 8. et 9). Z.D: 2.
arbitrariae Z hh +3E
od
et Lid
est gradus 2h - 1 et (10: P. Co (radut ad 2 V) = Z
12)
 est put
et. Ergo ex eq. 10. et 11 facta dv: du = Z. B: Z.0 est gudus
erit utique du gradus Cn + 2h =1. Cujus differentia
a gradu priore rerit:
+f9 + 2f(4 1) 4 etr 4 2h (+ 1), itaque
terulra, quae minus alta est, multiplicata per forimalam (13)
grado
us
caius
gradum
scee micrs 
andiserente
vinula autem 13, habebit  arbitiarias 
+ f9
quadit gradus
dv. d2
+2f 4 eh 4 2h + 1, in + fg f25 + et  2h +2.
sit jam assumtide gratus uferior gradu datae, seu e major quam g, et
videm differentia sit unitatis, seu sit g = e+ 1, et gradus formulae  etit
 se +3f + Ch = 2h , eruntu orbitrariae Hse + 2 = en + 2h+ 1, + 5ef 35. + eh  h +E,: 2
et praeterea supra (9g +39 seueet Se+ 4 2ff +3F et 3 h+st iato sed gradus
est in ey E 6 vel 12 est  vel a f9 +2f-1 seu fC+ 
vel ek + 2h -1 horum lterhom major; purgrad itaque termini sunt
itaque ut aeg. 14 fiat idenlica cum g. 6 vel 12. utra raltior destment
sunt Meruiui bis eot, quot sunt in gradum alliore, nemxe FP+ 25_, fC + 3+1  et
(si id altius) ek +2h, Ch + 2h +l, et debet esse C summa arbitratia mrr
non minot quam 
Summu
conticietam, quicquid tias
cionuliu
ecu
Nominalim
sempa sumo
communem, tum
56 compeum. calculi
tum, quia si non
isset potenres
eo reducit, et
ideo manet
eneralitas.
salvie c