# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00066619
# Title: [Differentiae in seriebus numeralibus constituendae ad instar regulae Slusii in figuris] Differentiæ in seriebus numeralibus constituendæ ad instar regulæ Slusii in figuris (shelfmark LH XXXV, V, 12, Bl. 1 - 4)
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00066619
# Lines: 600 recognised on 8 of 8 pages, mean confidence 0.78
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio [1]r — 00066619:0001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00066619/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 13 lines, status machine
CF
sI
q
FA +
eA
br
a GC -GA
si bria. erit CF +GAA FAFGC
GA FA
CFHFA +CG -GA
Ergo CFGCY) 2FA + 2GC
G
FA - GAA FCCF- CG

## Folio [1]v — 00066619:0002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00066619/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 1 line, status machine
1

## Folio [2]r — 00066619:0003
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00066619/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 77 lines, status machine
s
isferentiae, in series mimeralibus constituendae ad
instur regulae sta
14
iguris
it aequatio a = 3a + +a p
men non difficite. Kilicet:
N.
Ergo 3 a E
a8 a +1, a +2 seu Sa + sa p
112, 3
Hoc method.
sit da pB
api a a+ β. Ergo 2 sap a + a.
Ergo: 2a p dae + β. Ergo da  2a - β.
a +a 
3a
a
2
a
2 2a
a3 3a L
a+ 3a +2a
Ergo a 7 65a - 94- 7a
2
(2a-(3
it ergo da p β. erit
6
tori
ergo a =a integeu
a + 3a + 2a. Ergo sa, a +9a +7 a
ta 3a + 3a
e
La 43a - 9 da
u
=7 da. Ergo da3 1, 3a -9a + 9 B 3a -ga Fβ
2c
-
ZC
da 2a - β. et das 3a= 9a + (.
Hinc facite demonstratur pi si primae differentia ab a sint 1.
func
eundus ab a fore 2. tertias ab a3 fore 6. quartas ab at. fore
in fallor 124.
nempe. 1. 1,2. 112, 3.
Nam dd a  2β -0
6
2
12, B, 4
24
1V (3
dda3 6β 96a6a - 3( - 9β +0
Ergo ddd a2 116β-0-0+0 Unde facile patet
7
biud
latro cur non nisi
isti numeri, 1. 2. 6. 24. de. prodeant facti scilicet naturalium in
senevicem caeteris evanescentibus. i quia semper dβ 0. ex hypothesi
Hinc proposita eformula: a F +Ba + ea B N erit LN
3a - ga + β
ta
1
daN  6a = 12β
+ 2b6
intervallum B
ddd NB
6(
e
huius progressionis
Arithuraticae valde parvum non tntam duo ingentia commoda
+c
habebimus, unum quod omnis numerus intelligi protest cadere in hanc pro–
pressionem, alterum quod evavescent multa, ut dec fiet 3a. dafierba
E
mo si C tum parva est, nogligentur et differemtne disferentiarum
gusti
16777

## Folio [2]v — 00066619:0004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00066619/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 17 lines, status machine
eeeeeea
Mta
e
M
eee
10e2
e
13
itit
eeee
t A
5
e
6   + 7 18
3e
teee
deeo

## Folio [3]r — 00066619:0005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00066619/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 171 lines, status machine
est
xp1
d L H- X
d SxBL
X
dX H 2X
21
-. 2
etc
d
e
dX H. 3X ia
G, H - _3
Ex his colligitur regula generalis
d X  _ CX
ec
Eatlu Tangentium dispeintiatus
quiecta sub finem Novemea 
dc Machina construendi aequatione:
tuy, G
methodus
haec po differentiis ac summi simplicium
et contra
2
X 1
C +
Unde lore d = sce d X erit . 3X seu 8. 2
Ct
it
deX seu
seu.
L, A
rit  (+-)- 2 A
2
seu 2
 EI y + βB A Z. scu +y  y 4 2y β +. β
 V
X2.  et d euit dyp  + 2xdX A dx
t
ergo:   2X. Quae ratioainatio est generatis, nec
velque
refert quae sit progressio obsarum d. Eodemque modo
a
gneralis regula ita stabit:
et vicissim
X dx s X
BC
e - 1
dX  C X = d
et 1 dX seu tyxus 5 
C+ 1
sit aequatio quaelibet, vigs.
((- LN ( +22 + Z. Ero 3p22
Ergo si TA
t
pri
potesttum
Z   . 2q poterit
Z
4
ay + byx + Cx + fx + gy + h310 et pro v  alia cursae relatione, et comparabitia
2+1
scribendo y + dy. ac pro X similiter X + dx, fiet omissis p. +2
omittendis alia aequatio:
sentie, Z
ay + b vX + CXX + fX + g y +h o N. 442  + 2
1+1, 22
artyy + byAX. 12c XAx + f+x + g dy  po Quae est regulae
 bxdy
ady + b dxdy + cax ps
caeculo
a slusio publicata origo
Eam vero ita in infinitum amplificabimus:
sint literae
quotcunque, et ex iis composita formula verbi gratia ex liten
tribus sit formula: au + b rag,
as Dx. c
Cage
Fyr. OyZ hYZ
Unde fiet alia aequatio:
ay bx
cX
fyX
adyy 2b AFX uc dz2 fydx
a b dx d
fxdis
ady bdx sq Faxa
sii siu
liter
un
li
2
Sd
Cy nX
eo
ly
mx
lay max
nZ
cun
modiit
quod steristuc
mice
uli
tem
bles
ma1
ipsius
simu
e
 rugeris cta
Ga
lris
esistnn
ad rectas
curvar
ou
cendis pun
)do. DCp dy.
sit
Ergo XHI .NZ d
1Z- 4d
2+ dys2.
atuo auter
nemestri
utio
ipsarum Z. ad X vel ad y
g
valore ipsius Xvel ypro
ad alium nem r
aeclara daec
in veniendi
BBX. BCB y. E
Xy sorntio est ad calculum
si su
fore byx + Sete 1io
et ita de caeteris. videndum
quid de h3 faciendum
differentiarum esse
y tere
Ad. istos calculos melius faciemo
quatio m ay tby
y5 22E t C  Hania
x gorovemens, alio, differentiarum
Alteratra ex his dx vel
Ay prr artitrio explicari
potest, adhibita aequave
nod etatena datum
dulet 8y suolum
etSi suntopli
vel y aliter per quamlibe
explicatdu  non
puto id esse, quia catulagi
omnoum euluatum ptabi
linm prorta edit. itto
tram suendo comstanum
quae fa qaren
a ad desclibendim
tallam curvam. sed
nota injus formitzae
Unde patet eadem
mitem pendere
ex quad circuli
ediader iveri tangentest
superficierum ptana, et
alioqui nihil referre an
unde fiet
calia a quatio
non ipse hoclae A. 9. aliquam
deunt cognitire relatinem, ea
enim postea subistitui potest

## Folio [3]v — 00066619:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00066619/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 95 lines, status machine
ac.
etsi
Hinc praeclare seroret eadem methodus etsirirationales inguediantur composita
fractiones aut irrationales calculum insttuant ingrediantur
dearum tollendarum causa cetera exaltari, cum potius ipsarum
rec opus est
differentiae separatum
inveniri ac substitui possint; deinde cum methodus tangentium publicata non nisi tuns
procedat, cum ordinatae parallelae sunt, ista et ad convergentes et alias quascunque
und illas quoque relationes accommodari potest, quae sunt ordinatarum ad curvarum portiones
c2.
aut in quibus angulus ordinatarum certa lege mutatur. Unde ihilGeatialius vel
fingi potest
asterum speciatim operae pretum erit rem ad irrationalsaut
ae frnctiones compositas accommodare
 a + b2 +c
jam
ergo
2,
et
d fa +bZ + cz2
ref
ponatur a +bX+X
et erit a
i
ergo et
-
+2CZ
2dZ, a +bZ4ct
V. X
X. 1
ex sumbis suibus literis duabus Sumta aequatione duarum literarum pra curva
et determinata
aequatione ad tangentes, tolli potest alteruta ipsarum X. et y. ita ut restet Meretits
tantum una cum dx et dy. quod per omnes casus carculari operae pretium est
Datis tribus literis, ut X. y. 9.
vel y. (vel etiam utriusque.) expresso,
et vahse ipsius
dy ope ipsius X. 
habebitur demque aequatio in qua etiam erit tantum
tantum alteratra harum   X. et y
 ipsa
Z non poterit colli
et duae di, dx. Hve etium per omnes casus assunti valoris iporus d deduc,
 tangentium, in qua
e
nam amquando
potest, eodem modo plures adhuc literae assumi possunt. Et conjunctis a unum calculis
inversalibus omnibus, universalissimus ex ipsis fiet. Caeterum assumtio plurimarum literarum
I sum habere potest ad methodi tangentium inversae problemata, ose quadraturarum solvenda
si propositum sit problema solvere, in quo summa rectarum CB, BY sit data
LY dy y fiet ax + dus r Xdx seu
X+ seu X + VB X. ita habemus curvam in qua suama
seu y+ 
L X L
d
X
earum cB+ BP (in constantem Y) equatur re tanus ulo ABC
y dy + y dx p
Ydx dy + dx p  seu Y + A 13
1+ y
 dy sme
seu y a(x rI V 1+y
sic. y dy + ydxp
vel fiet:
ydx.
X P
M
ety
1+)
dx
fiet: X ydy YZ dx L y dx.
Ydy  dx. vel X
1- d
Y Et pro Z posito
ejus valore exdato Y reductum erit problema ad
quadraturas. Sed si sit Sy data ex hata X tunc ex datis equadrabuis dabitur
s
TaX. Ergo siet
+
d Sisdx
tas
Zap
et
Nota si curva af explicaretm hoc modo, at non certa aliqua detur vel
aiinatae vel abscissae natura, differentiarum, sed ut fiar sem per differentia
unius aequalis differentiae
actrius proximae, fiet 2y dato Z
jam
 p6 4 2c
ja e
 axlie
dy
ty
alio

## Folio [4]r — 00066619:0007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00066619/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 180 lines, status machine
ositae
paratum
tuns
enque
oitiones
et
t
ntant
ti
alitum
educ
solvenda
dat
ees
a
E
A
posito Z dari.
2
t
VAx + dy 
2
ex data X. pribe
seu dy +
Z
dx. fiet
2dx dy + dX + du
x V7d
Jdx fiet dx + dY ps
d
dx + 2dxdy
ut ista tractari possint circambi ax, vel du et
a
similia, ut dxdus, quoniam illa ex simplici inventione
differentiarum duci non possunt,e
ideo spribatura
siedi possunt variae aequa tiones simplices differentiales eaeque
cooi multiplicatae per ax vel du aut eorum potentias
componi inter se ad inveniendas aequationes
novas
poterunt ejusmodi excilari aequationes ope Theore matis Huddemiani
quo nihil refert quae adhibeatur arithmetica progressio, ita uga 
restam
aequatio multiplicari secundum unam progressionem poterit in hunc duci
seum dum aliam, nec ideo multiplicatur numerus radicum problematis quia
Uina algi aequivalet, imprimis si sumil in eam ducatur, et ei addatur,
ex his compositionibus credibile est varia formari posse blaata, apta
solvendis method. tungentium inversae problpuatis
seu 3 + y dy y0 pone Z dariex data
unde dabitur problema. Sin detur Z ex data X, difficilis
y
BC + BP rZ,
fiet dx p
Ax
solutio est ponamus x anthmeticam fietue:
- t HZ seu ( sincus B SZ datur autem
ex hypothesi quadraturarum. tantim ergo hujus modo
sum salitui, haberi poterit per series infinitas.
didendum, si sit yaydx Y
X liceatne ponendo
a
X ut conpputem sentrmeticam in de facere, y dy pi X,
su
C ut
x. ita puto.
BCBC
Ergo ACY
ABBe. AD fe BD, 1- f et B
venc. ets er Aerfetc rceti
AB + BC + EBD, BC 2CBD
ef2
et c dy et angulus expressus per f, fiet
lemento currae: 
dy + ax = 2ax dy S.-fv p
honc Z dan ex duta X, fier
cmone invennefiguris proport
Max inu foret momenti ad per fectionem heometriae
A
Cp Ax.
1
e
fier 4 dy 4 si - f
dy-dysi- f +1- fr 1053
(SZ- fv. seu  +_ + X sins
am si. y arichmelic tunc fit res ita D C curva AC santio ABDA propoctionatis.
ad huc res fieri ptr, ut
hnc
curra til, proportio nalis spatio HLM
pesito Dl esse certam curva ex iato
portiba puncto D describendam, B
tuvrs Ha occm renlm
fiei  ex. gr. Curva AC. proportionalis
i
unde amplissimus patet cumpus spatia ad
inens revocundi
repenendi curvam dalotum
elementorum ex datis sihi
uadraturis.
videtur male proposita
quaestro, neque tatis esse
Aiquatio: x t d B Z X
vel p Ztys, sed pZ.
V
fier ax + dy B Z
ex  si Zdatum exdata 3
fiet: XpS (Z-1
vel si datu Z ex X, fiec y) sigo.
itaque ad quadrandam pambolam
per extensionem curvae in
rectam opus est quadratum
cyperbolae alunde autem
quadratura Hyperbolae invenori
potest per curvam parabolas
argo per curvam paralisua
t venri potest quadtum
parabolae; sed non contra
Resumatur aequatio:
X
 y2 C. 1
pontnt meutrque
esse progressim
anmelicae, scilicet
+n ity
H
LX.
ty
t
Eu
intia
seu
pran
desi 
y
dx
est
+
lonen
dac
2dX du
e
et sumendo
dan ex
datay
cabetur sodo
ex quadraturis, sa
Si Z datur ex data Xx
tunc ita procedendum
dus  dx -
IXxF
b priclo ponendo
 esse anumetrcae pro–
jossionis fiet.
posteriore
e
e
ponendo X authmeticam
 3. 
solutum est ergo problema
sae
neqie terneus 3n2
ponatur ta quam
explicari ex alia ta
et ejs
Z2 dy
iet habebitur
deta curvae
rum
s
summa
s
ty
nodi, it folinula
sit quidrabiis
adrntur a figurae e
spatio EFGE, verur
fiat,
D
sin aliter explicetur y scilicet masus per aliam
s2
e x tersiene in

## Folio [4]v — 00066619:0008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00066619/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 46 lines, status machine
Mrachimam tandem cgmerus t puta aequationus semper describenda ope cupo ronarstnias
logarichmicas cytrudricae. Nimirum sit aequalio X +pX By
BCp ejus loganthmo. CE est curva logant humiea
HDes logarithimi triplo. AF, numero loganthm Tripli seu cubo ser
erit AF X3 debuit scilicet Angulus Betatis esse esse A
scilicet debet semper cd sibi paralleta ata progredi, t es sitio sit
ste locata ut.
exigue
si DE parallela ipsi AH. gerens in DE perpendintanter mb en EF
s
uper determinetur AF,
ut in 2da figura rursus (AHB X  et (B(C) ejus logue anthmus sed s.) (D) sit
dupla BC non ut ante tupta. et (DG logunthimus cipsius p. e
semper constans, erit (I)G vel (F(E) log. a pX, et A(F) eni pX
ponatur. jam () ipso facto sive ipso motu addi ipsi AF quod dupliciter fieri votest
vel portando effredendo, ut punctum A) incidat inpunctum F figurae superioris
dum anum altium portat ac reportat et ita etiam ipsi (A) mobili alia logarihkmice
erit annoxa vel si volumus (), (C), B) esse in rectam cDde Cd (D) esse unica tantum
sc EE) efficiendum, ut A(F) transferatur in F eu
addatur ad A1. video portatione non procedere, quia portaretu BC, obC, portatum. Ergo et
Girva opus exset connexiorie, Taciente ut eadem semper sit AB.
e Ua res fiet, sit angulus MAF groduum 45. eiit FM p AF, mddendo
et (M (F) pu AIF) addebua (C) (N) ad FM, ope parallelogramim
mobitis du antim M, proplitur F (R, a rectim AM, itiu (M) et (P
ita M F seper manebit recta data
centra propelli possunt
movo  ll totas sua et Mronnde et DDM qbod
es
ipsi 
n
unde marebit semper panatelo qranntum. Eodem modo
conneoretur tentia CF), ut ipsi M secunda et ita porro connect
Connecti poherunt omnes affirmativi termini inter se. 3 omne, negatioi
retro computondo seu incipiendi a novisimo affrmatito. Sed observandum
ut altimu terminus aequationis sit ant affirmativa quantitas, semper fieri sblest
su
quia posumus facere hiic sumu terminum negatioum, et ita unqa affirmata
procoplebunt negatis, nec unquam cis AF versus 6 excurretur.
Illud habebit conmodi hoc instrumentum ut etiama irrationales simploces ipsim
X valores traectari possuit non subtata irrationalitate, ut X +pYX
mo potius sus
ifice es
la n
ut et curon logarithinta
opturum foret ambus AF, addi in B2
vel