# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068056
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 11
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068056
# Lines: 2,522 recognised on 48 of 50 pages, mean confidence 0.83
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068056:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 98 lines, status machine
Galilei s’est avisé , d’examiner
figure
 la  d’une chaine pendante,  ou d’une corde
rd corde, dont les deux bonts sont attachés licu
soutenue par les deux bonts, mais il n’en a pas connu la
nature, mais il n’a point reussi dans cette recherche, et la
tigne d’une chaie pendante n’est pas la para e
et la ligne de la chaine n’est pas une parabole et la figure
qu’il et la figure dont car la ligne qui se forme par cette
suspension n’est pas une parabole comme il avoit crung
queqent Joachim jungius, qu’on peut compter parmy les restaurateurs
de la philosophie, et qui estoit un des meilleurs Mathematiciens de son temps
et qui a des pensées importantes cou teh avant que des Cartes a
paru ac ayani fait des calculs et des experiences la dessus,
a bien trouvé que la Parabole n’avoit point lieu; mais il n’a pas trouvé
exelu
donné la veritable figure. Mons. Hugens quand il estoit ences
tres jeune avertit aussi le pere Mersenne, que la parabole n’y
pouvoit avoir lieu? On peut dire que de puis ce probleme
aqu
a reposé, jusqu’à l’occasion suivante, qo
fi
et qui l’a fait resonei
que Monsieur 
eonsieur de
le
publia d
eoais ctes des sçarans qu’on donne tous les mois à léisla
ayant publié dans les Actes de Leipzg, une Maniere de
de Calculer  toute nouvelle, ou il se sert des sommes
j’est servi jusqu’icy
et des differences apeu pres comme l’on  des racines et
des puissances; et par moyen de ces no affections des de la grandeur
grandeure expliquíes exprimées en caracteres certains caracteres
nouveaux de speciense, il donne moyen, de calculer analytiquement dans les cas
dans les problemes que A: Descartes avoit exclus de sa
d’assigne
Geometrie, de doer des Equations pour des lignes Transcendantes,
enfiu
de trouver des verites
.que M. des cartes a tort d’appeller Mécaniques), et de resoudre des problemes,
aux quels on n’avoit auxequels il serait difficile d’arriver
par d’autres voyes.  is comme il en a donné des preuues
Il appelle ce calcul differenti il appelle cela le calcul des
sommes et differences et des sommes; il va souvent aux
somnes des sommes et aux differences des differences, et encor plus avant.
il appelle encor tout cala deee toute cette Methode prise dans
son étendue; se peut appeller la Methore des infinis
p
Analyse des infinis. Car
cavalieri, et l’Arithinetique des infinis de M. Wallis
point dans le calcul et capaliori  de tous les auciens:
neidonnent quela commentem
est tout autre chose
aes dArchimede, qui
Car la methode des indirisibles est tout autre chose et on n’en reconnoist
point dans le calcul, l’Arithmetique des infinis de M. tullis n’a rien
de commun avec cela, n’estant quCependant M. avoue
que leur decoavertes luy ont esté utiles: et sur tout il reconnoist
avoir profité des écrits de  feu M. poscal, et de Mons. Hugens
jIl eroit que personne est plus appromé de ses pensées que
aus un onnrgo donne depuis peu
 Cependant Mons Bernoulli s’estant abtache
lqes sare eperere en testettir et atturis asunt
Solution du fameux probleme de Galilei
de la courbure qu’une corde ou chaine pendante
prend par sa propre pesanteur; avec la de
 son rapport aux logarithmes, et l’usage
d’une nouvelle Hnalyse des infinis
As.
M. de Leibniz
Mons. D. L
l’est ce que M. Huyens
et d’autres ont monstre
il y a longtemps. Ceper
dant on peut dire
que ce probleme 
cest ce que le B
Pardies a aussi encor
monstre dese
apres luy
sieur
adre que slls effieurs
Gregus et
a dean
lug est  dessus
De
 oos rer
oct
ubstances
et
er
omme l’on peut
ee jo
d
 esserit
dopna gul
an atemvant

## Folio 1v — 00068056:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 89 lines, status machine
depussr a toun dans les H de M. Barrou, et dernierement danMe l’excellent ouurage de Monsi
deputs atconu dat  ses pensees quand il p Ausse test qu’il erit publie sa nouvelle
façon de calculer, quelques habiles xGeometres on Angleferre et ailleurs, témoigneren
temoigued appuuuer cette nouvelle fahon de latonler que ous
de l’approuver, et voulurent même s’en servir
deavoit propost́e, Mons. Bernoulli professeur
de Bale  s’y estant attaché avec plus d’attention, et ayant
et en ayant fait un essai  sur la demonstration
de la ligne d’isochrane, c’est à dire dans que 
avoit donnés de la ligné Isochrone, (c’est à dire dans la
quelle un corps pesant descend uniformemente, et approche
egalement de l’horiion en temps égaux) s’avisa de
pendante, et le pria s d’y penser. il luy repondit fdans
a au mois de juillet soivant) qu’illavoit resolu par
nfi
cette nestode qu’il  avoit donné lasolutio trouvé la
solution, et qu’il donneroit aux Gegnetres le te et qu’il
cine ofameux
et qu’il differeenr de la publier, afin  de voir si d’autres
jusqu’à la fin de l’année  à fin de voir ce que d’autres
pourroit faire par leur Methodes; pour choisir à fin que le
fblic paisse chorsir la meibeur pour donner moyen au
public d’en choisir la meilleure
Mons. Bernoulli fut
convaineus par, sa propre experience de l’avantage de 
biento
cay son frere, jeune
et dont on a lieu de se prometre beau cous
cette Methode, d
homme fort avancé en ces matieres, s’y estant attaché, en
vint à bout et Mons Bernoulli poussaila chose en
luy même poussa la chose encor plus loin. Quant aux
autr et envosa ces decocertes a Messieurs s collecteuos
de Leiptg  Quant aux autres, il n’y ent
de Zulichem, qui témoigna d’estre
ven trrive au bo du probleme, et bien qu’on eust attendu bien
particulierement pour les
luy demander n ddans les Actes de Leipajus
si sa Methode ne se pourroit pas appliquer aux proolemes
 tels quest a celuy de  de la figure,
on
que Mons. Hagens
qu’il venoit de trouver lat
touchantes et la dimension
donneroit la nostre
attacha
tio
au delà du terme, personne ne se presenta plus. il est vrag
quae M Hugens ne communiqua que la solution de quelques
cas particulier, mais comme il elle s’accorde avec les, autres
solutions  on juge qu’il a d eu en  cela les
emêmes regles generales il y a pourtant de la varieté dans
les constructions; Mons. Hugens a remarqué que pour la
rostr
ous qu’on peut construire  courbe demandée, en
supposant la quadrature des espaces figures dont les
abscisses et ordonnées estant X et y, les equation
seroient XXyy = a= aayy ou XXyy = 4a + -X F. Mons.
M. Bernoulli  a re duit le probleme a la quadrature de l’Hyperd
a Parabole) comme
Ccou bien à la rectisication comine on.. . .. avoit fait aussi
 leu Metode calculer estant la meme, il, its ont aussi
pet hode
tous deux ont donnes la quae apeu pres la même ils
et les calculs deces deu heimeres routant sur la, mame
ils se sont encor rencontres pour donner la dimension de l’espa
et de centre de gravité de la courbe;  ontre le centre
de gravi à quoy M..... a jours le centre de gravite
de l’espace. Mais il a juge de donner la constraction plus
pot est parc, micux aime
mogennes proportionu
les Logarithmes que par les quadratures; dont il u bien
croit avoir des draisons, et 
autres, celle cy que par ce moyeu, une
on
seule proportion estant ps trouvée une fois pour toutes
nsuite
la Eourbe
peut trouve une infinité de points demandés, par la geom
 par les seules sperotions de la Geometrie ordinaire
voicu donc les constactias de M. .....
que Mi.
de la courbe.. Et Messieurs
Hugens et Bernoulli ont encor
remarque des proprietés considera
bles de celle dont l’evolution
et même une inficnte
ourbes quireus
convenables le tout

## Folio 2r — 00068056:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 106 lines, status machine
soyent d exposées deux droitesquagen
D et K, qui ayent entre elles  une certaine raison
constanteet perpetuelle poux pour toutes les constructions
de tous les cas de ce probleme, qu’on voit exposée dans la figure cyjointe
puis les droites indefinies N ∞(N) et DAB, faisant angle droit; N estant egale à OA
les panalleles COA et 3N3Y entre elles ee soit 3N3E parallele à OA,
et du meme costé, et en raison de D’à R; puis interposant autant de
mogennes proportionnelles qu’on voudra entre ces dex puis soit 1NIE
moyenne proportionuelle entre. 3N35, et OA, et NB entre  3N3E et 1N1E,
et une autre entre 1NIE et OA, et continuant tousjours d’interposer
autant qu’on voudra de moyennes proportionelles, et less leur troisiemes d’adiauter leur troisiemes
Autes de (daus les Actes de Lecpzius du May de l’année passée) proportionnelles, la ligne qui passera par leur extremités, comme 3721Z A 12) (E) E)
eo
est ce q appelle sera ce qu’appelle la ligne des logarithmes,
dont les extremités dont la proprieté est, que les distances desquelconques, comme
3NIN, 1NO, O, N) 1()) estant egales, les ordonnées 3(3E, 1N1E, OA,
1() . (8), 3 (N) 3) sont en progression Geometrique continuelle de sorte que
les Nombres estant NE ou () (N) (E), ON ou O(N) seront leu comme
Logarithmes,  et OA sera comme l’unité dont le logarithme est rien. Maintenant pour a construction
cela estant s deux nombres d’un même entre deux nombres N5 et (N) )
d’un même Logarithure ON  ON). sont lo moyenne propo
l’est à dire entre deux nombres dont la moyenne pho to elle est l’unité 8A,
prenons la moyenne Arithmetique NC eg ((C), c’est à dire
prenons NC egale à la moitié de N~ + (X) (Z); et C ou (C) sera un
point demandé de la courbe de la e corde ou chaine peudante
ou de la chaine perdante ou plus tost de la chainependante Car la chaine;
est plus propre, parce qu’elle garde la même extension et se plie mieux
De sorte quen le doubile d N(N) Ou C(C) deuble du Log arithne N o ON)
se
Mrends
estaut la largens du double ordonnée de sorte que la moitie
Chaine, depuis 1, FN alors N(X) ou C(C) double logarithme commun
du Logarithme commun des Nombres, sera la  largeur, ou la corde de l’are
ou bien la double de l’ordonnée. Ainsi  on trouvera autant de
points de nostre courbes qu’on assigue e moyennes on troisiemes proportionnelle
j’appelleron  le parametreUsage, au lieu de construire cette
ligne Geoetrique e (ce qui ne sert que pour entendre sa nature) on la
pent construine physiquement, par le moyen d’une phainette bien deliée
effectivement suspendue; et alors on s’en pourra servir à trouuer les Logarithmes
ueses moyennes ou autres
ou leur Nombres, sans calcul et sans tables et à trer
germetriquement proportionnelles c’est à fire à faire les negles de operations
car le hombre estant
de la multiplication division, regle de trois et extractions.
donné OF ∞c0,  soit  faite 3P à OA comme OA à Oc et la
moyenne Arithmetique entre OI et 115 soit OB,  menons l’odań BC ordonnée
à la chaine, et BC ou c N sera le logarithme démandé Mais le Logarithme e
estant donné ON, menons  à la chaine N  verlicale la verticale NC aquell
prenons egale OR ou la hauteur DB, à la quelle prenons egale OR, en sorte
que R soit dans l l’horizontale qui passe par A; alors la difference et la
somme des droites DR et AR seront les deux nombres HNE, (N) repondans
au logarithme commun N ou D(N), l’un  monide tre pls grand
que l’anité l’autre plus grand.
voicy maintenant, les solutions des
Ta ligne de la chaine pendante, dont on peut tirer la pluspe
des autres: Menee sstangente Ayant houne R comme il ape dit menes c7
principaux problemes
antiperallele à OR, Ce à dire que l’angle BTC soit egal à l’ange   ARO)
et C7 sera la tangente en c trouvet une creie egale à l’are de la chaine
i c’est que AR est egale à Varc AC, ou ce  est egale a l’arcentier C A(C)
quadrature d’un espace quel conque compris de la chaine et des droites
et d’une ou plusieurs droites. le Retangle OAR est egal au quadriligne AONCA
ce qui suffit pour tous les autres cas Trouvente centre de gravité de la
chaine ou de sa partie. soit faite   à OA, comme BC à AR ou AC
et la moyenne arithmetique extre O. et OB estant 9G, le point G sera le centre
de gravité de  la chape CA(C). Or la t tangente cT coupant
l’horizontale par A, en E accomplissons le rectangle AEP et p sera le
centre de l’arc AC il est oussi à noter, que lors que deux tangentes CH et CN se
conpent en H, alor AM distance de TAB entre X et AB, est aussi la
ou doit aussi que BG est la
distance entre AB et le centre de l’are C (C)
plus grande descente possible d de G  centre de gravité, d’une ligne pesante
flexible et non extendible CA(C).   Centre de Gravite d’un espace compris
cinett viane et no diute vuta pdrie it de li nolort es.
catse drnita AA sera
gerame
Geometrique
de la ligne de la
chaine pendante
=ou bien l’abscisse
ou la fleche
Het le logarithme
ON fera l’ordonnée
BC et OA le paramet
sons
aussi les rectangles
ONCONC)
et O)P
des autres: Ok
=OBAipab
eolget Rindet
is imantamu
paginae sequentis
H
mandes
+radt OR - n R est N ~
et OR + AR est (N) E)
comme en ectenge
OR est la moirié de l
somme de NX et ()
et AR est la moitie
de leur disference
+il est remarquable
que les ares, sont pro-
portionuels auxaires
que je viens de dire

## Folio 2v — 00068056:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 97 lines, status machine
OR = OB; OR - AR = NP; ORL AR
(X) (5). pour la Tangente lles Trian
OAR et CBT sont semblabes. La
dimension de la courbe AC = AR
ou bien; CA(C) = coV = deux fod AR
ont propbitionelle
Ruadrature de l’espace. Rectang.
RAO = quadriligne AONC H.
Centre de gravité de la course, soit
FG celuy de la chaine CA(C), et
et P celuy de la partie AC.a
suit OA a OA, comme BC a Hkon
et DG moyenne arithmetique eritre
D et DB. puis TC coupant
i
Be
o 
 avoir p. C’entre de Gravité de
l’Espace comme par exemple de
AO AO NCA, soit g: enene
pour l’avoir moitié d0G, et
remplissous le re ctangle AR
EA3Z il est fort remarquable
que les non seulement les sires A
sont proportionne et hieu d’auses
aux Espaces, mais que les disstances
de leur centres de gravites sout aussi
proportionuelles de l’horizontalanssi
par O, aussi bien que de l’Ape
an.
sint aussi e
gentes C H et IC r se recontrent, A
AB sera celle de
centre de gravité de lareCil
et si CN, et (= avant que d’alter
CiN coupent
AE en ) et 11ator) a de venir
1J. J en AC moins au moindre
C. C en i). M (changement afsig
sera = iB. B assignable
en OA. Messitur
Hugens et Ber noulli
intencor naerque
 proprietes
itis
accomplissons le rectangle BAEQ, et Q sera le centre de Gravité du
Quadriligue AO NCA, d’ou l’on tirera encoy le centre de tout autre espace
tel qu’on a dit. Il est remarquable que non seulement ces quadrilignes
sont proportionuels à leur aresAC, mais: en cor les distances de leur centre
pris de l’horrzontale par C; puisque OG estitousjours d double dOβ
Et les distances de ces memes centres, de l’Axe OB, sont tellement propor-
tionnelles, qu’ellez sont tout a fait egales, sçavoir 9G et B3. par le
le moysen des centres de ces centres, il est aisé des trouver es  les
les les contenus et lassur la dimension des contenus et les surfaces
des surf solides faites faits par leepace compris entre la lare de la
chaine et des droite par le tournoyément de l’espace quelcongue
susdit à l’entour d’une droite quelconq.
On peut resoudre
bien d’autres problemes par exemple le sommet A, un point C, et
ceyeur la longueur de l’are de la chaine compris AC estant donnés
trouver le parametre A. puisque B est donné, et AR egale à AC)
joignons BR et de B faisens sortir R en sorte. dique les
Angles _ ABR et MRB soyent egaux, et le concours des droites
BA, Re sera le point  qu’et vinet seme
ex pliquer toutes ces choses, et pour les demonstrer à la façon ordinaire des Geom
mais Monsieur de ... P. qui n’en a hy le loisir ny la volonte, juge qu’il
sa facen descalcale
que ceux qui aentendrea sa nouvelle Methode le tr  ou quelque chose d
equivalent, n’eu auront pas besoin, et sa Nouvelle Methode, ou
quelque chose d’equivalent, n’en auront pas besoin ar le calcu même
mene à tout cela. Et il n’estime ces choses, qu’autant qu’elles servent
distance de  de l’axe (à avancer afdie d l’art d’inventer. Monsieur Bernoulli cependa
 ayant la facilité curprenante qui se et servent d’exe
pour liqr mieus appliquer. En effect, comme o la nature S.
passé ddus ses operations par une infinité de degrés mitoyens, on peut
dire, qu’il n’y a ga que cette Analyse des infinis ne contribue pas peu
à rompre la barriere qu’il y a entre la physique et la Geometrie
Monsieur Bernoulli apres en avoir pesé les consequences et l’usage
reconnu l’usage _ et les consequences, dit dans son addition
à ce probleme publiée au moin mois de juindes A dernier
ec les lautres selatlons e à seiprius dans les actes de Leipziq au
amois de juin de cetteannée qu’il trouve ce calcul merveilleuse
ment propre à ces sortes de retherches, et qu’il le tient pour une
des princi plus considerables inventiins de ce siecle. Aussi.
la l’at -il porté plus avant, pour déterminer les figures des
chaines dont l’esperisseur seroit inegale, ayant même marque des cas
ou ce seroient des lignes ordinaires; et quelle figure viendroit si la chaine
ou corde se peut estendre;  la igure  une lame Elastique oubée
par un pords atracheil a aussi examiné la figure que le vent donne
aux voites il sans pesanteur affennice par en bas, schar
gée au bont d’en haut par un poids, qui le tire jusqu’à ce que
la direction du poids soit perpendiculaire à la lique de la lame,
il en Doune la figure sous unrenigme, veutant attendre ce que
d’autres donnerent en donneront avant la prochaine foire de Leipzu
du mois d’octobre. Il a aussi examiné la figure que le vent
donne aux voiles, qu’il juge plas difficile, et  utile  dans la
dont il juge la recherche, plus difficile, et utile dany la navigation

## Folio 3r — 00068056:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 154 lines, status machine
3 = 2 = 13
23.4 2.345 2345. 6 2.3. 4. 5.67
L = 90.50000000000000000000000
L = 0. 1666666666666666666 6666
= 0.04166666666666666656666
245 = 0.0083 3333283339 333333333
dE8 88888 8888
L 4.5. 6 = 0. 001 3 8888885.
13. 2.5.6.7 = 0. 0001 984126,9
=, 0.0000 2480158
23. 4567.8
2.3. 4. 5.b. 7. 8. 
velo minus quam
10000090000
+G
-0.000000000V1605
3= +0.3690794394(2632
(V1 24 234.5
 0. 17520119348242
0. 175201193498477
= 2+ = +  +, 11 555 1
1
ex
h.3 23,4. 5  2.3. 45. 7 Y 2.3. 4. 30 1. J. 9 2ete11.
00001841269
00000627
00000
00
D. 17520119.
6
54308003271
718
c
ne bq2 dB L10838
282180171828182619845
23.4 5. 6.7, 9 = 2345. b. 1. 8.9 2ete 10 hetei =
24F
asesie
0. 16.66666b. 6 6b.0V
000
3
2.71828161d232
12 c4209aqac
000000000208763
+0. 54. 3080632924 70
+0. 1252011434984
9. 71 828182642320]0
2. 00000000160000]2
 + 23 4+ 21, +5. (2 1 4 5b 1, 456, (281826423C6)
15. 4
2.7182818264) 2b B
2.718281826
idem 2. 7182818 etc. prodibit, si dividamus 1. 00000CC per o36787 et.
2. Ptc. 12
1.0000
4ZY6
1.0000 (367
2. 7182 28 p15 = 3 = 060646 = 28
Se 13.5 = 4-17B172
223.3 = 27453071
60
33
19
d B
22
5. 5. = 6- 1264 264L_ 20.
6i5 =
5.5 = 8-
E12
(0666009 6B0000000000000000000=27
83647443422 in giu. propetsne 11). une isica
By gg4
X 36.73
60
56f208767
A
= 0000000 02505 21083854417187750521
23et2. 3 = 0. 00000000016 0590438
3= +0. 36787943923361
+0.00000000020876
3
000000006001605
f  1
0. 3678H
qcet
ex 5036787943944632
858906525,573
2. 3 Ct12 =0,0000000B,20976715698
0.0000248615873
32 2 262439
+ 1
RL
et error est mino deficit
30158730158730158
L+ 1, 4 = 3.3,4. 5. 6 =2. 3.9 5. 6. 78 = 2.34. 5b. 18. 10
0. 5000000000000
0. 00 1. 3. 8. Y8
99002755
est
-6. 1752011934824 3
e
18158906525157
1922398
2.3. et14 = 0.00000000081 1 ege
L
lC
23. Ct. 141
41 269921269841269
 23874100q
-0.60000 276573 1922
23. 45. 678. 9101000000027557:
ul
23. 4. 5. 67 82710.
0. 04 16 6r66666 6.66
18
+ 0. 4430800.
c
20876
2248
p
2
00
81
2
 e 009
2bs E31250
si
52 =
3
105 13 4
Et
2
16
E6
2
u 100  (2
7182b8 164
000000000266
4
0
3
I2XFR2DEdib3
s 1b4
L87675b941605
1283B, XBB
aliaa
432
hb fib b ust1605ac
138338712
438
160590438
AAATI
60e00 ct27
13618

## Folio 3v — 00068056:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 84 lines, status machine
WN 2N 2 qH
7V 8 9
1
1
e
18 1 -1 -0
∞  0 
O
aad Ce X 1 16 ∞
36,7879 = 1N. L
9 271. 8281 = gN9L
308.6160
WNc  pr. 1 54. 3080. 4x mery roc
F
247, 2181
8 211. 7000
258. 9181
2MC. 81BC+ 12 9. 45 90
3 60, 6550
164. 3721
225. 5251.
2113 C- 7ayC. t3G
qu
 Xx
17. 9800
6 1 28. 4005
206. 280,
L
+540
(64. 7295
6. 381E
macababedt GX. C4∞Zi (51. 8E 81
x
1000000
5 1000000
2000000
1090000+50.
722
5NSL vel 5N5C = 1. = 1. 00000 eH
INIL = (3 = 0. 367879 etc. )Hoc funda
9NgL = ) =2.718281 etcS mentatia
3N3L =NiLin 5ASL = D 50b53OCK
4N4L = Y3Nm SHGL - 0. 77800 etC
2N2L = S3NL im 1N,L =047218I et
7NIL = 1SFLingr9 L = 1. 648721 et
8NBL = LINILin gN9t = 217000a.
b45L = 15 N5 L in N7 L = 1284005 etc
in figura nosera lineae Calenaria ( β cadit
supra T. posita AR = OA Nam seu Cd (Bp OF Rem si probo
46) β= OD + (3β. sed CB =AM = BC nostro in casu = y. et n seu arcus = 1. jam
+i
s. 2,  + 5,4.1-
3. 6 2
l  su y =  n - = n = 2 n - Y 5. n + 35 1 - 53
jam si n = 1. fit y = 1 - + + Z -2 et. porra 281
a
1152
1. 3.5.7.9
1
1. 3.5. 7.9. 11 n3
pono (D = y et OBCB
( (= e si A(= OR, A) = S2. si AR = OA = 1 fit 4C β = yt S2, et Oβ- y+ 12
comparemus Oβcum C)T, seu cum OB - BT seu DOB - BC (non in calu hoc. BC = BY) seu cum 12-y
seu compatumus see y+ N2,:4 cum 2-ysseu t 4yum y + t2 am 412 -4y, seu
+0 in fit  14 141 7: 1690
57 cum 3(2. sen  25 yy cum 18 si el faciamus y - - - = + 3-
cujus quadratus multiplicando per 25 prodit 17.  88657 seu 0. 84345238. si
e
2
t
1152 2916 fit
y =e 6g8 37 f C quadratum
08f146216
cujus licet justo minoris quadratum 07249878 et 072498781 divisum
et magit accedet ad posterius, sed umamus minus, nempe o.72448790 id ad huc  e alio
capite eit justo minus, quia sumsimus y =  -  +Z - 3
40 112
+ 35 -63 quod est justo (minus
7157 2816 V
et tamen hoc quadratum nulluplicatum per 25  seu quod ide est mulliplicatur
per 100 et divisum per 4, dat 18. 12 etc. atque ita plus quam 18. Ergo in nostro caasu
2579 est major quam 18 seu 5y p 35.
seu y+ Mr p 4 12-4y, seu 7+ 1B,: 4 p 12-y
seu 0B p cF quod propomebatur

## Folio 4r — 00068056:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 88 lines, status machine
+
154 01d 10 e 4076182879
s
et
166
4
ad (ar 1001000f0761B
6) A8 6456666
+ 8 88 88
35 = 63
203 = 400080097
1152 2816 25349
20300000600
LBBA_  4
2
26
e
olo 3 tr
20300516∞960.00800978
253A44444
203000070008
A2x B44444
a a 200
L 5
20000
76985376
6
7.
O. 7610279
0.0086097
0. 7bG
: 2
46190256
53888032
57 3095128
e
58.7008
09285384
46. (90256
388562
S B. Ab, A993∞3 376F 14816298259.
34
A A A+ 4 A AA 4944A4V
C8224
200770900070.
11
422
48
I6
a) (4A A86800008A3452
880100800c
XCN X,
0851 462 166
b p
ol1
222243
5926. 293. 3037
1000000000010000
B
249878099118656_= 1812
A4g4
618279(4
76182794
n. d: 3. B. l. 3
. 327. 953
1523.655e
60946232
279
69674
95
45
14 33
1803817492184117
8514621616
8514621 6)6
108772C
851462 1b
0292432
510 8 77296
340584864
4257 3. 1060
60110944d
5
146216
425731090
81189728
987 809911865b
d

## Folio 4v — 00068056:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 2 lines, status machine
5181 i
agn

## Folio 5r — 00068056:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 26 lines, status machine
Si Catena CA sit ex filis FC, Eit utrinque annenis ac gravitate
carentibus, ita ut capita C. E sint pari altitudine, detur que anguluo
inclinationis filorum produitorum CGa. et eatinae totuis positus, cujus
vertee sit V anis VB.
1. Licetit hinc invenire tangentiam in dato quovis catenae puncto
gelut si punitum datum sit L, unde duita applicata Lu dividat.
aequaliter anem BV jam si angulus CG A sit gr. 60. erit imelinanda
a punito A ad axem recta AW, equalis  AB, cui ducta paralleta
Le, tanget eurvam in punito L. Ien si lafera. GB, Bi, Alg
sint partiam 3, H, 5, erit Alo, ponenda partium A
. Onvenitur porro et recta linea eatend aequalis vel datae cuilibet
ejus portioni. Semper enim dato angulo CGe, data erit ratio
axis BV ad curvam VA.
Velut si latera GB, B+, aG sint ut 3, 4, 5, erit curva V tupla
axis Y1.
3. Item definietur radius corvitatis in vertice V, hoc est semidiameter
circuli manimi, qui per verticem hunc descriptus totus intra evrvam
eadat.
Nam si angulus CG et sit b0. gr, erit radius Curvitatis ipsi axi
BV aequalis. Si vero Angulus CeAt sit rectus erit radius curoitatis
aequalis curvae VA.
. otait et circulus aequalis inveniri superficiei Copoidis ex
revolatione Catend ciria axem suum.
Ita. sin angulus
CGA sit 60 g2. Erit superficies Conoidis X Catena CVH
denita aequalis circulo, cujus radius possit dupeum certangulum

## Folio 5v — 00068056:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 32 lines, status machine
onvenientur etiam punita quotlibet curvam
RN cujus evolutione una cum recta
ZV radio curvitatus in vertice curva
VA deseribitior. Abque evolate ipsius
RN. longitudo. Velat si angulus
Cera fuerit 60 gr. erit H tripla anis
3V.
Si vero latera GB, BA1
AG sint ut 3, H, 8
erit illa  aris BV
6. Praeterea spatu
NRV A N quadhatura
datur: Posito enim an
gulo CGA g2 60. Erit
spatium istud cequale
nectangulo ex are BV
et ea quae potest tripplum
quadratum ejusdem BV
sivero latera GB, BA, Ali
sint ut 3, 45, erit idem spatium aequale septuplo quadrato VV, eumue
parte octava.
Porro punita quotlibet catenae inveniri postunt ponita quadhatura eurvam
alterutrius barum XX yy = a  = a a yy vel XX yy ∞ 4 a H = X 4
V’et etiam data distantia centri gravitatis ab axe in portionibus planis
quas abscindunt rectae axi parallelae in curva harum prioret
Luadratura autem hajus curvae pendet a summis secantiun arcuum per
minima aequaliter crescentium. Sud summa ex Tabulis sinnium
egrenio quodam adhibito compendio inveniuntur quanlibet proxime.
Hinc Ex. gr. inventum quod si ang. CGa, sit rectas et ponator anis
BY partium 10000, erit BA, 212E9 non una minus. Curva auteme
NA per superics indicata cognoscitur hic esse partium 24142
non una minus.

## Folio 6r — 00068056:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 9 lines, status machine
la his omnibus non nisi ad casus Lingulares solutiones problematum
dedi vitandae prolixitatis studio, et quoniam non dubito, quin regulas
universales viri docti aftatim snt exhibituri. Quod si tamen aliqua
ex nostris requizentur eas libenter mitam. c jum pridem
omnes ajud (1. Virum G. Leibnitium involuero quodam obtertas deposua
Rogantur Viri Caristimi de quer scientiarum sudiis quam optrine
meriti Actorum Lepsiensium seniptores ut quae de problemate Catende
ernouliano invento hisce pagellis expotui si digna videbuntur eum
cieteris qud eruditorum conors suppeditabit in lucem edant.

## Folio 6v — 00068056:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio 7r — 00068056:0013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 65 lines, status machine
 1 +L
a
1.2 112.G
L
12.3. C 1. 2. 3. 4. 5 1.2,3,45.b
500000000006000 1:2
166666666656666 1:, 2. 3
4) 41666666665666 1:, 2. 5.4
191
12
et
2
833
33(333333 1:,2. 3. 4.5
3888 1:, 2. 3, 4. 5, b
984121612612 11, 2.3. +. 5. 6. 7
24 801(57 b576 1:, 2. 3. 7. 5. 6. 7. 8
27 85730730 1:, 2. 3. 4.5. b. 7. 8. 9
730731,, 2. 3. 4. S. 6.7. 9,918
 2965209+
slo
94
0000000008 5000000000
1666666666 146666666
83333333
1984126
1388888d
249015
245
1752011682 5430806327
5
430806324 6= 6. 6221207b
32 1205358 odmitur
2296 quam co
321207 654 C0. 000000001972
10b22c
trsosro
+
1000000600000000
)
3
)
 7t
De
s
e
dos.
11 C
9
336f160
bA7 bL 160
s 43
20) _
Axt
SD
per
L2
Asirr36
b
250520974
2087674
2296442
505
9
siil

## Folio 7v — 00068056:0014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 13 lines, status machine
M
o p.
Sb
. Sig. Mio sig. eednes
B
S
no
Sy. Gotofredo Guut.
ce
C
Leibni
COnsig. di J. A. S. de Bransvic
annovit

## Folio 8r — 00068056:0015
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 90 lines, status machine
5 Jannar. 169,
Nihil hinc
a
io pnoluanio melhodus egearu
G. centrum gravitatis incumbis horizontaliter concursui duarum 
dugrum sustinentium rectarum AG, EG, quonam in ipsummet concursum incidit
magnitzu
irdis
et pudctis A et L
gravem et datis punctis A ex L
Datis rectis AB, LM, sustirentibus rectam rigidam BM invenire puncta Bam
deblete esse ehes sit 3 medium punctum DM, debet esse h3 omnium possibilium maxima
sunt S est AB+ A A5) et SIF constantes datae
:i
sit chorda pondere carens du neque extendibilis, duabus exromitatibu
F et F ajtixa, esque ii partes aequales divisae, in punctis divisionum appendan,
tur pondera aequalia inter se 1, vel 112, vel 12, 3, quaeritur situs in quem
situs ponderum, hordaeque
Et quidem manifestum est situm ponderis  anius haberi, si ex punctis Fixis F
et F tunquam centres, radio qui dimidiae phordae aequetur, describantur arens circularis
quorum infima intersectio erit locus quaesitus
Si duo sunt pondera l et H, et puncta fixa F F sint in eodem
honitonte describenda rursus centris F et F)  radio qui sit tertra pars
Chorda descubantur arcus coculares. Iisque ita accommodetur recta magnitudine
data in(oqualis  eidem tertiae parti) ut simul utrum, arcum circularem uttingat
et punctum ejus medium tam sit deprassum, quam possitale est, is situs erit quositus
decum ubi quidem eo s casu quo F et () puncta fixa sunt in eodem horizonte
facilis onstructio est, tantum enim oportet in F(() sumere BBBsaqualem ipsi Fi ita A
medium ipsius BB, coincidat medio ipsius F,F et ex BB normaliter eductae secabunt
2s2
GFC+ Cr = FP et EB + EH. _) = FH d. bet
=12
eu lit
C1+EK esse mexima= M. Praeterea CE = IK - E CV et FC+ CE+ EB = FB
ubi habemus s iocognitas FC, CE, EB) C), E1 et totidem aquationes tollantur
+2 (6
Ci, FC, EB et fiet sFi- CP + SF1 - Ep C1 + VF P - DEA -B(F) L FB. cujm
differentialis est - Ci dC1 Df - E C1 FEH dei EY H) EI (2 0
NFp-C1
VEr- EI -BF)
)SFI - EN- c
et ex aeq.3 est dei + dEi =0 quo valore substituto in aeq. 7. evanescit tum
dEH quam dei et fit +C1, +2Ep. C1 EA B(F)
SF1= CI SEP- E C SFP- EH RF)
0
ubi ope aeq unde jam ope aequationum 6 et 9 debent inveriiri EH et C1
Quaeramamus punctum concursus rectarum Fi et (F) H, seu rectam
F(I  Et antum F ( ad FC A FL ad FE. Kursus BM ad BE, ut AL ad ( seu X)
(1
Ferem
i _ FA + Bs = FB aut ML. Est autem FI: FC: CI:: FL: FM: ML, et
(2)
BEFEM
similite (E)H: EB: EH = B(F) :: (F)L: BM: ML = B()
FC + Ci = FB BE + EH- (F) B = F j2
FC +C E+ EB = FB. dei= = dEH
CE F = Fs - EH- Ci
C1 + bi eH C1  et - BF 
FC
CE
CM + M E = CE, quaeratur CM: A EM (10)
etot
EB
ex tet MCLENI ML = (F Et: Ci  jam ex 2 e _t = Ex 1est ML = F Ct CM. CI: FC
ex 2 est ML - B(F) = BE+ EM: EH = BF: EB = FC+ CM CI = B(F) oFC,: FC
confesido aequaliones 3, 4, s sit s et Ex ∞q. S est EH - CI  SF12- C5
et ex 4 est EH = SFP = BE + (F) B. Ergo ex 3, (3, 14, fit SF- BE + (F) B - VF 2 FC2-F - B
seu (F) B = SF p - CE2 +F  - FC - SF 1- BE et ex ay. 8 fit XFp - xCt + WyVF. CF - SF. B(B
CE
eBE
et ex jam ope aequationum 6, 15, 16 inveriendae FC, CE, BE, quae tres 
in aequationibus, 6 et 15 eodem modo, se habent sed in aeq. 16 modo nonnihil diverso
ut ergo calcutus reducatur ad homoeoptotos, sic enim una quantitate inventa, eadem operas
erunt invento omnes, sit FI, a
 35) +1. et 4, sit +2 et 5 sit +1
FB
(F) B C
FC p
l(1
CE, q EB,Y. et
sig ej. 6 fiet p + 9 +r = b epegus 1i sit a
ex eq. s fiet saa -pp + Saa -= 49 + Vac - rr c et ex aeg. fict: qtaa- pp + 4 a a - 49  stac - v7 (9)
+aa -94 = - ct taa- pp + saa-rr = 3h- pa Y f 4- pp + 5 6- p. Y Vaa- rY  seu  collendo frntiones firt
Eh
4)
60 + D =   a6O 35  bis 6. 7OD = 9 et quater 6. 201- 167
 - bis 66 - bis 7 5  bis 629 1 19
MCX. CI +. EH
CM = B. CE.
=+rpC + 4 pY aa - pp + 4pr aa = rY

## Folio 8v — 00068056:0016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 42 lines, status machine
quid si reducamus rem ad ratiomales (aa) xp = (a A 2x ( . siet ea p - 2G : ff. 41 = aci 3
et faa p = a  As = a - 45B: f++1 = a - aff .5f ran = a: 5f + aa
(aa = pp = (aa) - 2p f + pp ff: aa seu E p= 2f,: it ffica = 2faa: a4 + s
vaa PF=
et saa - pp = a - pf: a = a - 2ffa: a a +5f = a - f a, aa + ff
seu taa -p = a. aa - f: da + ff
ita p explicando per f, et 9 per 9, et Y per (h. fiet:
idfaa bisgaa, biehaa = b ter  + biEfsa Abisqua +bishitia =  3 a =c
aa +sf aa + g9 aa + hh
ivi
bix fad aa. ss,
t
aaff aa+g9 aatsih
3 4+ aa-gg aa- hit
fi 34 - c - = = b: 2 = d 3a -C, 2 = C
ade a
25a
29a
aa - hh
t
2ha
d. aa rsf. aa rgg. aantih = faa. aa tg carhh + gaa aarsf. aa + hih + h a4. aa Y ff. a 4 F g9
da + daafsrggehti + daassog + fftih t ggts rdff ggh = fa + fa gg thi + faagytiti a
da +ga ff +hh + gaa ff hh
+ hae + ha ff +gg + haa ff99
ea +Ca55 + ggatib F C aa fgg ffiti rgu iti +  gghih = 5 a  5f 99 + 3a f 9 hi
da +das + da 55 + dSgh - af + a fg + a 59.5
ed + ed f + ea fg + ef 9h = a f + 2059 + 3 a 5gh
quibus accedat postremo equalu 3F
aa
seu B 3t 249t 5h at Naa H + 4
fit a zaagh - 3 f9
gaa fh = 4g fh
5a a f.9. = G tih f9
80
aa
38 +
l
aa = hh. = 0
fph
ita ffhh.
Hha r243 99tin

## Folio 9r — 00068056:0017
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 11 lines, status machine
q ad l ut dx ad d, dusidc
ad 1ut dx ad de ddy - dyddc,: dede
 ade 9. de day-dy adc = dx de
si g= c n ddc = 0 fiet utas
 Cde Cddus = dx de
_ dx ddx + dyddus = ddC =0
= SSdxax+ dydus  dx
:l
et summando
eCaus
de dx = cdx = 0

## Folio 9v — 00068056:0018
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 10 lines, status machine
gd0) = C (ydc) = X dy: dx de
C dy = c d Xdy. dx
yax-dy = tdc = c dy - c dt
x C = +de) dy- dt
dC = Fddc + de dF
ce
dy- at si dy- at sit constans
seu si ddus = ddt ou bi aut si du
aut si du - xdy: dx constans aut
si ddus = x ddy: dx +dy

## Folio 10r — 00068056:0019
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 65 lines, status machine
Examinemus Calculo solationem problematis de figura in quam
c
se pondere proprio carvat funis.
S
Ca veccece
ranscementem dy=aax: Exx-aa
2
Invenimas autem Aequationem
Aequatio autem praestanda est
y Sax +du: (Nax +dus = y - X dy: dx.
seu fiet.
Fyraxrdu  (Sapidus V- (sax tau el der  dx
X dy: ax
en (y Faxadus) (Fax edis dyst y dxray) - udx +ay X dy: dx(= ssatus dus son.  dus
a
 jatum ayx per I est dy: dx = a: 1XX - aa. adeoque fiet
e
seu vax nau dy. dx = =Sranaau d ay. dx
4x
d dy: dx = axdx: _ (.2) Xx- aa adeoque per . , ex A~9. 5 peretu
co = (-1.2 Cd dc) fit EF +a a: SXK aa = = XadX. XX- aa ExK-aa seu
1.2
23: 2
sit C0 = Xx - aa. de
fiet d 1.rxa na
sex aa d
e
et a a: LXX= aa
red
ap 
 sublato communi divissre irnationali fit. ( sit Hrixa
= = (, 2 2 a X AX: XX. 04 Yer  aa
ex +que = X dx: XX- aa. Adeoque Ax idy  dx. Xx. ( nr a
seu 1 + dy idr = XX: PI xX a4
seu 1 + aa. XKG XX. 1 XX aa.
seu 1 + aa: xx aa = XX. B( ex aa
C
ergo subest error inralculo
eu XX aa +aa XX
XX aa P) XX aa
Vdx + du a: (XX -aa = - ( Sax +du a XaX: XX - aa 1XY-aa seu divisione facta
L (10)
adeoque er aequ. 5. ex n 6 et 7. fit:
eu Yax +dy - x (Sdx +du X: Ex aa. sive  Sit dy. de =- sot lyX. n a
lesen pro du: ax ponendovalorem ex aeq. 6 fit 1+ dy: du = X: rxx- aa. Ergo ex 10 et I1 fiet
(11)
1=-Fax +dg: sex aa seu Exx aa  _-Ssaxraus.  cujus differen
1
tialis est: Dx dx : Ixx -aa = - Sdx + dus seu XXdx: XX aa = dx + dy. seu
(14)
XX: XX =aa = 1 +  du: dx quod succedit test enim ipsissima aequatio 11
(16)
Itaque habemus solutionem desiteratam
si velimus a dx: exx-aa invenire rationaliter sic licebit procedere. Sumatur
XX  aa = (X ZXC DC00 et X = co:2 + aa: 2C0. fit adeoque YXX- aa = X
Ergo isiet denique
dx = deo: 2  - aa dco: 20000 sen =coco- aa . ticoco
A dx aa: YxK- aa =  cocoto coco -aa duo: 2c0co aa: aa = 4c000: 10 =- d0 : o
+aa: 2C0  W: L= aa loco: rd
Ergosetdentr
quae pendet ex quadratura hyperbolae. Itaque problema est solutum. Nam
qdordinatae hujus curvae ad tangentem verticis su basius, sunt lagarithmi ipsarum co
1 L
paxem
 seu ipsarum X = Xxaaa posito X ese abscissas seu AB

## Folio 10v — 00068056:0020
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 46 lines, status machine
Nequasio
mocum
C
s
Exagen
du = a dx: Exr-aa Aeqquatio praxestanda est: sy dda atu: stax us -gu Xdsi d
3
C Ldx + du = TF + dx an: XK a4, = XV x dx: syp aa. y = a (ax. exx-aa
y rax +  =a)ax: ser aa xdx: Exr aa Ergo denique cx 69. 2. fiet
a
 ex: TXX - aa X dx CxX-aa = (Xdx XX - aa = A sdx. sxx aa = x p: xr aa
dx: Exx-aa vocemus  M fiet
MXM: (XM = (m = Ma posito dx-
seu (FM XM = sem sm - (Xm (M.
seu
SM XM = (XM sA + sXM M L XM M = SX M dM
sed a M = X X M. Ergo (XM = M. Ergo fit
MM - X M M= X Ma Male
dy = M-  dM = XM Y = fM - (X M
m
dy = 1: YXY - Aa
Comisso a dx ut constante.) Aequatio inventa
Py fax+ay: (saxraque= y- x dy: dx aequatio praestanda
ss
1
sit 1: 1XX - aa = M (= du y = SM Sn dM = +C:M SAX+y = XM
Ergo ex aeq. 2. fit
Sn XM: SXN = (n - XM. seu ((a XM = SXMsM = (XM XM
Ergo diferentiando sn xa  XMSM + (XM M - ( XMXM = sXMM.
 sin XM = X (M + suM XM XM (XMM. (XMX dm
+
seu pe ex. 8 per 6) -S(MXm: M = (M - Xm seu -((M XM = M Sm = XMM
et differentiando SM XM = (MM Y ((M dm seu) -sM No (= _MM + X M XM
fee 2M =XMuod falsum. itaque soorte peccatum est signis
debet esse dy 1: fXM = 1aM itaque non procedit
 ax + a du  Ax + dx a: XX aa = AX XX = dx aa + de a: XX -aa
Name hago fdx 4 du = LX X. SXK - aa sed (AxX. SxN-aa = Vxx-aa
 Aequatro efficienda sy saxa: (Tax tdue = y - Xdy: dx Aequalio inventa dy=ar. XX. aa
siet sx aecus X dy et adx: dus = Sx dy q frg etvu lifiet (Y Xd9 dy: adx = y - x dy: dx. co
seu fx sg du gydx = aX dy. Ergo Ex 3. 4. 2 fit sodx  a = XXX- aa. Ergo ex tet
n
henata
fiet Syxdus = y ExX aa - Xa adeoque Yx= dserentiando (y xy) = Ay sar. aa A(yR L. 1ac
adx
hoc est dy = adx: YXX -aq. Itaque res succedit
1.L Z

## Folio 11r — 00068056:0021
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 59 lines, status machine
celebris:
solutio problematis  invenire figuram  lincae
in quam funis  duobus extremis suspensus proprio pondere cuvnatur
sie funis FAV suspensus ex duobus punctis, et quidem primo hni in eadem
recta horizoutalis posities puncto A tanquam vertice deorsum verso, axe per
nor perpendiculariter assurgente AB describatur Hypericola  cujus tat semilatus rectum a
describatur diinde alia curva u E5 talis naturaeut ordinatae ejus _ ad eundem axem sint respon–
denlibus ordinatis Hyperbolae reciproce proportionales, ita quidem ut rectangulum sub ordinatie
curvae et Hyperbolae aquetur quadrato semilateris recti. H habebit duas asymptotos, axem scilicet
riyperbolae, et ejus rangentem verticis AT. Hujus finurae quo ratur quadcarixe lujus 
proportionales areis prioris nemperipss t licet infiits tamen mensurabilibus e etc.
ia quidem ut rectangulum sub BC et constante a aequetur areae hanc figuramitajo esse quosita
ita ut si funis F AV ei applicetur, bicunque in figura sumantur puncta F et V is proprio
pondera a figura non recedatu. portet anea la  oportet tamen latus et latus
rectum aliud abque aliud esse
entime
enstineq
. Potest autem descriptio ejus haberi ex suppositis logarilhmis, ut
non difficulter jadicabunt in his versati, sed nunc suffecerit demonstrare quod silisfaciat
e
HixHm cadere in he
quaesito. El. Notum est figurae quaesitae eam esse debere naturam, ut recta Axi
parallela seu horrzonti perpendicularis  per G centium gravitatis arcus AC ducta
Acet extremitatum A et C tangentes in mutuo concursu T. sit ABV, BC, y.
momrentum arcus ex q AC ex erit arcus (Fdq+u, et momentum arcus ex ACe
erit Cy sadu quod applicatum arcui dabit AT distantiam  ipsius G ab que AB
 AF debet   seu y - Vay:  aequari y d +du: Sa,  ostendendum
ergo est a cora proposita hoc praestari. Est autem in ipsa  itus= dva:so
ln ray-cxd aa Ergo seu tertio faciendo X = v - a se adeoque quarto x = dv fiet quinto dy = _ axa: (XX - aa seum
et popta nus aestiptione
CH ad HF, at a ad ordinatam Hyperbolae Hinc sexto Ydx + sy = Xdx: sXX- aa ut calculanti
patebit adeoque septimo = X dy (per 5 et 6). jam sXX: TXx -aa = XXX - aa, ut rursus
iy calcalo nostri moris constat. Ergo (C none (sap au = Exx - a a (per 6 et 8 ) unde
patet theorem memorabile, ipsum arcum curvo. seu se  partem funis inde a vertice, aequar
orrinalo Hyperbolae, adeoque dari curvae dimensionem, adeoque pasiti eus descriplione et tangentibus
rari etiam ejus momentum et axe adeque superficiei rolando circa axem genitae aequallem circulum
sed haec obiter. Nunc ut propositum confictamus F Ex 5 este.   dy Yxx-aa - a +x =0
Et rursus ex 5 est andecimo yx dus = yx dx a: TXX - aa. Ergo jungendo 10 et 11. fiet
duodecimo yx dy dy Xa = + yx xa: Sxa - aa - a dx. adeoque summando
u
secu et hanc fmmaqu. summundo fist s   (C L C X trederimo (ys - yoruaa.
vel qualuerdecine Syxdu: sexaa = y - a: Exx-aa. In qua aequatione pro xdus substituendo
Sax + dis ex 7. et pro Exx aa substituendo sYdx + au ex  9. et pro ax: aa substitu.
endo B: dx, Cx _5. habelimus postrema ex 14 denique quindecstro
rcc
substituendo (ex 4) aequalem du, habebimus aequationem primami quae desiderabatur
prastanda
dy: x = a: Sido adi ex 5 et 9
(1t
ex i et op fit sy fovra =ys va=va
codi= et sux- aa
dco: dy: v a: co
ay: deo = a: rcocoraa
A (ex constructione)
CH ad HY ut a
ad ordinalam Hyper
volae supradica
erpo serundo
semo s

## Folio 11v — 00068056:0022
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 2 lines, status machine
iill
i

## Folio 12r — 00068056:0023
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 86 lines, status machine
Solutio illustris problematis a Galilaeo
primum propositi de figura  chordae
aut catenae ex duobus extremis pendentis. pro
specimine novae Analyseos circa infinitum.
l
Galilaeus inter caetera praeclara cogitata, primus in catenae aut
 chordae ex duobus extremis suspensae figuram inquisivit, etsi quod
temporit
quaerebat non sit assecutus. Nondum enim ejus empsts eo quo
nunc profecerat Geometria, ut talia in potestate essent. Sed nec ab eo
tempore solutionem dedit quisquam donec Gode fridus quilielinus leibnitius
ea quam dicemns ea quae sequitur occasione, ad hanc meditationem fuit
invitatiis. Ediderat is Analysia quandam novam 
Calculi speciori circa infinitam a cavaleriana Geometria indivisibilum, et Arithme
tica infinitorum Wallisit plane diversam, nec ut ista illautem
ideos, aut ut
d l
hec a nab numrspendentem; in qua loco calu sed peciosam seu symbolica
sed in qua loco vulgaris calculi analytici per potentias et radices, adhibetur
calculus per differentias et summas; que eaque ratione non tantum mira
pro Tangentibus maximisque et minimis compendia prodeunt, sed et ea
am problemata t quae Algebrum lineaeque Algebram Transcend
perent
quae Cartesius a sua eomeia   reventi heb enrica tumsende ses
1
analysi subjiciuntur, ut (aequationibus exprimiqueant ad modum irdina
queat
riarum, et sine imaginationis ortu labore inveniai
t
quae mulps quae alioqui vix mulbo circuitur
 Hoec Methodus cum nonnullis viris egregris
a
quiqu mo sepe aliterson
patent antnde et in ilalip
ntu discecul tombes suteta
Basileensium professor, Berno lac. Bernoulliusd in eandem studiosum
nventure
am
regis alterius
peteret publice peteret, an non ut ad
a problemata Geometrico- physica feliciter applicata faerat, ( velut
in eandem stuniosius incumberet, et ab Cerbnitio
ad lineam isochionam, in qua grave descendins uniformiter accedit
n
ad leges motus planetarum harmonicas; ad resistentiam
catenarium Galilaei. Uti desideratum infactum esst. Cibnitius
solidorum et liquidorum
Nam autor Methodi rem vix angressus statim successum habuit
 Et scriptis Et ut aliis quoque suarum Methodorum exercendarum
occasionem daret. _ publice pariter et literis intra extraque Germaniam
datis eruditos invitabit assed annuo spatio praestituto. Sed nemini
sed nemidi sibi successisse inquisitionem si gnificavit praese
N hoc
eus qui vel toc
ipsie (miBernaclli, vel ejus fratrem
quod serarullius quia eadem Methodo
aret innetri uverspru
utebatur, ea ad ad eundem etiam  ultimam problema non
celebernimum
n
pecimine ostendis aculi
Cotamen discrimines
imipus quam scilnitius reduxit ad quairaturam Hyperbolo,
veri et si veram constructionem dederit, non
net et
non tamen aliam tamen magis compositam quadsaturam
ita
sed Ia
spposuit, ato pudia plae eia
n
a et Bernoullius
 det
haberi poterat
ad Quadraturam. Hyperbolae. Hugeniana autem solutio aliam
uterque sus
ad erum ad genus adimatir situ
quandam magis compo etsi verissimam et ipsa constructionem
contineat supponat tamen quad raturam magis compositam
qua
dequa, quoum e cujus naturam et reductionem non explicabat
de caetero interim egregius apparunt consensus inter eos qui et si
nulla intercessisset communicatio, non mediocrates veritatis
p
psi aulore
ab inventore ad
u

## Folio 12v — 00068056:0024
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 127 lines, status machine
indiciot apud eos valitutota qui talia per se commode
examinare non possunt. Leibnatiana tamen constructio per
Cogarithmos id plane exiiam singulare habet, et in hoc
quod per ipsam oblinentur infinita vera lineae quaesitae pru facta
unica hypothesi, de unica quadam prtione semel in universum
assumta, de caetero cefi inveniuntur infinita linea puncta vera
lanumera, seu quot lubet, puncta lineae quaesita vera (ine suppo
sitione quadraturarum, quod in hoc genere est palmatur in proble
taaue
matibus Algebram transcendent
remque abgressi sunt
honeu
y face
nunc taui ei po
ex his qui alia, Methodo usi sunt Hugenium veritatem circa hoc
t
problema attigisse, eo minus mirandum est, quod eum constat
in hoc studiorum genere in paucis eminere, et Leibnitius ipse
taletur, seise ipsius et pascalius et Patris Gregorus a Si viscentio
vi
scriptis maxime adjatum ad novae suae Artis inventione 
Quoniam autem Leibnitia
serveni eil cmunsme logarithmis per solas mediais proportionates
Logarithmos) et prima fuit inventa, et omnium simplicissima
est quae vel optari posse videantur, placet eam paucis
subjidere: Rectae infinitemopitionae Y) ordinatin ad angulos
rectos applicentur rectae CNE, OA, (Y)(E) aequalibus intervallis NO, (NO
atque ita ut  ratio NE ad OA sd sit eadem quae, rectaruub
samper in ceata rempe est semperque eadem manens pro catenaria
a
is
acunque aut punctore eaque semelhabita cuncta deinde procedunto
per Geometrram communem. Nempe sim inter has didinatis quotum
medias proporbionales aeqvalibus intervatu
omni mutide exi dut detembatur
linea Logarithmica, E A(E) Y. jam si in recta OAD quantum
satis producta sumatur OB, media a ubi eA exitente unitate
unitate, et  caterisque applicatis  consideratis ut
quibus cungus
et  ordinatis, ut NX
Numeris, erunt intervalla ON ut logarithmi abscissae
seu intervalla ON, ut Logarithmi. jam in recta
CAB quantum satis producta sumatur media arithmetica
opraecu
inter duos numeros N5, (N (N) (3) Mediam Geometricam
et compleantur rectangula BONC
A(C)
BO(N) (C) erunt puncta C, (C) in linea Catena quaesita
habentes unitatem
ansas pro hibitrio asu
cujus vertex inversus erit A, parameter AO et AC
NX () Geometricam mediam
ex A angulo  Ox recto usque
inter Numeros
a punt
 erit catenaeC, altitudo
t
a eN
Logarithmus  numerorum
suptia horctontatem p
erit catenae latitudo Tangentes autem
et quadratura areae, et centra gravitatis tam lineae quam
spatii areae, adeoque superficies et contenta solidorum rotatione
genitorum circa ax rectam, quamcunque pro axe sumtam
he habentur ex paucis lincis adjectis
Tantum usum,
Sabiicerelacet, quomodo lineaum Catenariam in plano
stam
physice describendo ope catenulae suspensae possint per eam
maor unitate coganitimum igveniri logarithmiae et quotcunque mediae proportionales, alleoque multi–
plocatio, divisio, regula aurea, et quaecunque radicum extractio peragi
sins calculo. Nempe dato Numero Oco fiat C tertia proportionalus
it ipsis OA OOCd et DA tertia proportionalis di, et inter Oco. O4
Num
sit media Arithmebica  OB, ex _. B ad catenariam lineam ducatur ordinati
DC, habebitur Loganthuns BC vel ON Rursus dali Leganitino
quolcun deindetertus
aut medus 
portionalibus so
policatis biseo
intervallis
observato,
lo a
u.
an
simper
onbinue propor
les aquidistent. et
ut exg. sit et1 E medu
iter CA e  VE
ed
o Ox habebitur
st XE
t i
ita ut 1N, s
sint imedia puncta
rectarum on
O(N), palue ilis
subsecendo po
exu
etiam progiet
medias ge propsttionales
inter ponendo
si
nu
simiiter contrinuando
intrapas atque ultra,
describatur
X caeterum catenutam.
e
sum
s
chorue praefero,
pondere nou pra falil
tenditur Rectiturque facibus
eA umus ad latenaria
ria  ducamus verticalem
NC aut altitudinem ejus sumamus
OB, eique aequalem C) R itantR
sit in horizontali ducta
per verticem A, quo
facto differentia et summa
rectarum OR et AR
erunt duo numeri quaesitit
NE et N)E) unus
megimalter minoralte
habentes ON datum

## Folio 13r — 00068056:0025
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 14v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 104 lines, status machine
sixa
Et sectioni
Theorema joh. Bernoullii Act. lips. Augr 1695.
si super curva ABC incidat recta rigida vel regula ABC BAC, sita ut partes reguloe par-
tibus curvae successive applicentur dico duaiturvasum DLG et  EMF duobus re
rectae rigidae punctis desciptar vl d aequari ipsi summam
i sibi concavitates obvertant aequari arcui circuliri ENo conpreheuso.
despriplo radio qui sit rectae rigodae pars intercepta inter duo
puncta, angulo vero quem duae situs regulae primi et postiem
inter se compietendant; si sim obocitunt subi concaortatem
condescriptae
co sin parallelasibi  ram mius Ma
a
suire arememuamm rr timul mhcsti tolcui
a
si
u
Di
radio
paral
esse si= 
nes
Hs parrolex aeris medi cationibus qubu. cit Mu. eraonllius hinc
patere urium curva proposita onnexconem habeat cum
dimensione arcus circularis. Sed nonto verum etsi hinc
sae pe inveniri queab connexio curvorcum arcu circulari hinc
tamtus non sequitur reciproce quod nondetur
Iddit: omnis evoluta curva, cujus evoluta ABC duas habet partes
les AB, LB similes et aequales, est comparabilis cum arcum, quia ita congruent
curvae EF, et DG, adeoque una quaeque earum erit arcus circularis dimidium
Et si ex pluribus curvis evolutione condescriptis una sit mensumbilis absolute vel
ex sapposita dimensione arcus circuli, omnes tales erunt.
Notendum quod hic non est pus defuiptione curva extensone in rectum
(a proferendum hoc thecreua ad curvas eoevolutionem diversarum curvarum
Ccuvae evolvendae
Applicentur haec ad meam dimensionem areae pueratae per evolutionem
et lineas sic quoque condescriptas
aequales inter se. area D PG CD = DB mEF Et avea EARFE
q EAseo op et area E sint DP et TR aequales inter et rectae aequales inter
etE
sunt deEp,
so, et ipsius DP medium E, ipsius TR medium V. patet _ areu ACK
et arta TRSGF aeq. TR vel Dp in VW. Ergo Ark DTOG, ar PRs Z rq.
Ergo Area D PZ Gd - ar. TRSD7, il est ar. DT FG - ar. pR 5Z aequ.  
TR vel Dp, in EF - VW. Ergo differentia _ DB = TR dlep seu DT + Fp = T P + PR
e aralles _it
Ergo 17 = PR Ergo si duae sint areae inter papellelas hifferentia  ares exciiculi dimentione
ab alia area Phiter i aequie alta inter isdem parallilas, semper septo sectori circulari
jas duasi
aari potest. Nam EF- VW ex dictisfectori rculari equatur arcui circuburi aequatur
scil. ducatur EX aequalis ipt et parallela ipsi et arcus centro VX centroF radio EV vel Ex
descriptus ert aequalis diffe rentrae inter arcus +,  EF, et VIV, seu EF- W. Eurgo
De vel  TR in VX aequatur differentaae inter duas areas aeque altas ejusdem
Et speciatim de
G. G. L. De Novo usque centri gravitatis ad dimensiones et s d  quibus
parallelismi
areasum dimensione, inter curvas parallelas,  vel eootution
motu.
Pappus subjadicalligat quod Guldinus denerabius ostendit, aream generatam otu aequari
expressiu
facto ex viqu centri gravitatis ducta in mobile generans. Hac intelligitur tam Hac
regula osi sant poti simum in notu area rotationis asse circa quendam apem; sed sumedt
et P dimensione solidorum ac Superficierum quae sic generantur. Sed non is
fc minus succedit negotium si axis vel centrum continue matemutentur
si curva AB
ut ut parillel isque
durante motu generantes, ut fit in evolationibus 
ope fili DAB evolvatur, pars sili initio recia DA, describet aream DA(A) (d) d duabus  curvis 
D(B) A(A) comprehensam, quae aequabitur rectanus uto sub recta AD,, et curva E(E) iisdem paralleta a punctortus
a
abharia
scripta. Quin amplius, quod nendum observalum est, in Dydanicis in libello Elemen
norum uo torum dynamicorum olin adtaveram  etiam si parsi mobilis q psuccessive quiescat et moveatur tame
1
productum e dia sentri gravitatis totius, in totum, areae generatae aequatur. Quod et hic locum habet.
Cantri gravitatis totius fili DAB centrum in situ primo sit G, in statu altimo (G) quod punctum (G) cadit
ncecsuns corum rectae AD media 
estmedium in ( recta B(d) l sit linea G(G) locus ons continuunt hujus centri, dico B(D) in G (G) aequari
tantur
qui notavit qui ostendit duorum avcuum para condescriptorum, et ut ego voco parallelorum differentim ut D(M
tim
El Hant Horum et re
inam
ut DB) et A(A) differentiam aequari arcui AH sectoris, mis circuliradio e descenti cus tte t sbenti aequale
areae DAF B(D) D
de sum atitaii cui tute aequentur fit inter duo latena aequatu duos rades equales, et aralitos luobus filiss exrem
pedximi. His
araleos videantur Acta Angusti
stro cheoremate conjunctis sequitur differentiam t duar areas parallelis interceptas D (X) et LA)
extremis sitibus fili inter puncta describentia intent
odandtum aeque altas (sisi DX es (scilicet  si DX = LA) posse mcusurari ope  dimensionis circuli
oequantotatum
rationouli po
e
 ipsi DK vel LA aequalis MN  in recta DA, medio loco inter D et A et describantu paralle ra
n(M) et L (N). jam DL = KA. et DL in M (M) = D(L) et KA in N(N) = X(A). Ergo DL) - X(A) id est HK) - 2 (A) =
um
alculo n
eri oset Nam collocatur 
licel
e p posito pp isse arcum
dnune
tum, centio l, ltie mp e letatei
DErin Mm) XM = DL

## Folio 13v — 00068056:0026
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 14r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 21 lines, status machine
l
F- V
2
sil.1
a1= a
=1p = L. Y0
d, rsa =  de Ao Xlvnto = dre drso + xdoto L2vdr t irae so
= HV. fiet irh N fiet 2dr + rdo = 2 vh dx fietque sudr + vr = 2svhdx
seu 2 2dr + rdx = 2h dx 2logY + log. V  seu log rrD = (hdx
posito rse = SihdxIn sit  sstant siit 3dvar traot 
Ioha+ 2 de dvh. vr- srdo = 2 soldx. seu sit
(xdo = si do = v ded seu si xprogress. Geom fiit 2dr + rdeo = 2hax
ubli co elemeritum est logari hni ipsius D
dr + Zrdco = 2hdx dco. tiet dr: deo = 2hdx - Lr_l = dr: dco = q + 8Y
ubi 7 et gantur atcunque ubi Q et 8 dantur utcunque ex co et a lis positis
q- ihdx: deo fiet Y siat 1og d = sdx hoc lao = - 2X + B seu 1o et fiet
r = W Sdco zB.  seu r= W0 stax. Ergo fiet:
LW0 sE Vo = sVhax posito log. W = ixt 
daro +1D + dc. + + ae.  + d f9 
Lib + rep + en + 45m +5gt
8=- 

## Folio 14r — 00068056:0027
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 13v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 57 lines, status machine
dderve d, rse = rdise +dr io
ex 1per2F (31
Erqo d, r= (rdo + drix -) rav + rvaras
se
d, S (= d, Bi2 -  2 v. 2- ) )dv
Sit (sax s rso quaeritur Y, fiet hdx rd+ dr v. seu
 hVdx cardo +radr. sit deLdco: a fiet vhdx - Yfco + 2Ba dr
seu _ 2hdxdco :do - rdco = dv, seu Ehdx: deo - =r_  dr: du
2V0
prer sit hdx: deo = Z et - + = 8, et ex 9 fiet dr: deo  Z + 8Y. jam
alibi invenimus in casu aequationis. H. si sit logu  sdco, fore r W ( Z. 10: a
Ergo per 12 erit log. WV= - = co + β,: a seu dW: W = (-  deo =) ( (per 7.) - = adv: V. Ergo
ex aeg. B fiet _ r = W Shdx: W ia posito B dv: W0 2. : sav. B
Ergo denque  fiet ( shaxs W Shax.u Y, pusito sduvin a istr
quod calulo comprobemus nempe differentiando aequ. 18, fiet hdx Iv ( hdx: u) + Thariu d W. i
ergo W S debet esse quantitas constans qua seu d W0 ip =o Quod et verum esse
sie patet d, W so = So dio + Wdv: 25  0. Ergo duv: W = - do: 2v. Res
pro cuculo r aa - xx fiet h = 1 v = aa - xx H. ) Saa -XX dx = W S faa- XX. posito
ergo succedit.
esse  du : W = - dv. 20 se nL   lg. W = loge - : log. B. E. gu 1 = 
Vaa-X
aequatio identica, nan fit Saa x dx = (ax tuaa.  itaque et aequ ++
seu generalis est inutilis, na fit d 1: Y. ergo aeque 8 fib identica
Frustra sc. aequadem quadratoriam vvocavimus ad Fangentialem, et hanc rursus ad quadratoriam
redit enim ut video quadratoria prior
interim didicumus solvi posse squ vetida  do  dx =. hdx- d Y seu de = Z+ Gr
si quia datur dr- _Ax  aV Y cum reducatur ad di = Z + gY, posito Z et e dari ex 
potermus et fontie X vd. dr = Z + dor seu de   vdr +
dr = E + gY datur sit sed quid si rr = Z+ gY sit r = co
fiet 1 dco = Z + 8 teo
C d= Z +9 r= f9 + 8Z fit 8 -L(. r
  r=  e 1. e sit +   = Za 8 seu dip-   Z9 p. seu de - Y2- g
quae datur sit dY: 4 = deo fiet de = num. cdZ _ -8
dy: dx = lamys + ngy, :, 9+rg + sgus etc sit yc . ficblus =
Ergo fit- do: nodu = R + m  love, s+ rve quu et adevque
O8:))-
v b
v
c
dy: dx = t bx + b + cy + ete +  fG = +gG., : l + mG+ etC+ p V= +95.
Sit B y = i fit = dv = bB + C vC  et + fV + g, v2 e t2
ndx L0  tmp
possumus, et pro X fucere yze, et sit ax = X ly + ydz et dx i du = Z + yd2 = f D: C)
et du d = et 9 d- 0Z: O =y dz: dy seu dy: d3 = 0y 3 Z. ita necessario
omnes termitai numtraloris habent
Centemus Aliter sit y X = xy fiet du = Xdv + vax , :dx = C: D. fit dv:dx = 0 - dv, : DX. sed
ita quaesim non asinetu ax
ydy= 8tg +m dy- t+mytngu dus =myrngu: gtry. A quaeritur
aequalio salisfaciens: a +bys + cgys + eh etc. et a sit constans vel unitas quod semper
pt intelligi frat da et per reguum per regulum da 9= rbl dar + db. g = 1bm +  Ahabetur b
dbY + dc  = ibn +2Cm et per regulam nostram habetur C. et de r + deq = 2 cn +3em habetur e
et db et deg= de. Y = 3em seu de = 3en: Y quo inserto in praecedente, fit: der + 3 en g.Y =
2 enF 3em. seu rrde = 3CnY, :, 3YM - 3 R9 = e Unde et habetur de, quos vatores
Citistituendo in aeq. der = 3en habebitur aequat in datis, quae linutat quae situm. Ergo
restituamus da a, et sit du = l+ my,: gtrus. sit q. a + by + cyy +C G3 et =C
a daq = 1bl. Ergo HH. g Y + db g  1bm + 2Cl. fit db = v t q g bmu seu da = b. 1l: 9
et b. Ulriq + db. 9 = 1b m + 2cl. fit db = - b. ilt. 44 + b. 1m: 9 + c. al: 9. quo valore substitutet in aequave sequenti, fit

## Folio 14v — 00068056:0028
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 13r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000028.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 40 lines, status machine
Aa. 9
da .r 4 db. 9
da. + db. Y +dc. 9 _.
ibo +2,cl
ilon ven +3. et 
u lamvanguste yeu. Difirentialus
1bP. 2. cn 3. em +4. fl 1
da. v db + dc. r tde. 9
xqurys Htyy+vote aequatio dit
da. W db. B, de t de Y +df.q 1bn 2. cp 3. en 4. fm +5gl
o= a + by +cgy+ ey fyr9y
summatui quaesita
01
Nota coefficiens nominaloris
una aequationa longius it quam
da 3 db. 10 lc. B de+ d. F fig qlib co 2 ex 3. ep asu sgm +bhl coesiceusmanetatori ressondlus
itd sit dutae l, m, _), q. r. absint reliquae, in aequsta supere supererunt de. r +df. 9 = 45m + 5gl. se Et cum aequa
i in bxta tones praecedentes sint 4, sufficient literae, a, b, c, e. sufficerent, sed qu ita manciet de. Y tenminus solus
in eq. tsta, ergo opus est literis 5. ad minium ab, es e, f. Sed si his contenti sumus videamus an evares
aequatio s, in qua sed in hac rursum eto, extat df. Y unde si nolumus venire ad aeq. Sexeam
V Ad sint datae L m, n, absini q. absint reliquae. Sint tres solum equatones
oportet, ut aeq. 6ta sit determinatiix.
literae quaesitae, a, b, c; st itaque ex+ ta aeqe fint en = 0 quod non procedet, si adsit n.
Ergo ad hibenae 4 literae a, b, c, 1. Ergo ex aeq. 5ta ficet rusus f se n= 0
dg. r + db. 4 = ibme. Ergo efficiendum ut destruatur aequd
Bo generaliter, si aeq. quaesita habe at solum a, et b
in aeg. 3tiab est a, et b, nempe da. v  +db. + = ibn, ergo aberunt
fiet da g = ibl
LiN , n. sit ergo + Y B netr. 9 + db. q = b m. Et sit db: b = n.  4 19
q
destruantur
3sin qu est
Si aequatio quaesita habeat a, b, c ex tunc ex aeque. 1, 2, 3, fiet: da. q = ibl et
Ergo ob quartum
et da t + db. Y + dc. 4 = ibn + 2Cm
destini debent: da a. V, t, r, p, n. Et ita video nihil nos obtinere, quod non ogtinue–
c da. Y + db. 4 = 1b an + 2cl
rimus ex praecedenti; s nisi velunque ad hiberet aequationes plures quam literas, sentem
reddere determinatum
10

## Folio 15r — 00068056:0029
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 16v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 63 lines, status machine
6u
Ni hil ha
sit cura Rigida MEN pendens ex duobus filis LM, PN, fixis in punctis LD,
quaeratur situs quem curva sumet. Is autem debet esse talis, ut centrum gravitatis G
descendat, quantum his datis potest in fra horizontalem LS.  sit autem S punctum
in quo normulis ex P in Ls horipontalem per L transeuntem ipsi LS occurrit.
dantur LS, LM, AN q. Ex punctis quaerendis
AN, MB
M, N, E, B, G in eandem hocizontalem agantus normales nque, NA, EF, BC, GX,
 ubri ex solis tatis punctis  et R caetera omnia sunt determinata quae ritur situs
talis, ut GX, fiat omnum possibilium maxima.
MB sit Z BE, B ex natura curae siet  SCo- sido  so svt: ssvna
et ME = (Z dv  du: (dt f (av +a2
sit RS Y et LZB q  quas ponamus infinite parvas nihil enim refert
quae sit earum longitudo, et hypothesis calculum contrahit.  et LM, m et PN, n, infinte pare
q itaque coircidunt AN, et sP, quas vocemus p. erit p data, ut et m, n et
LS quoque data sit l et MN, _a et MCo co, et GC g. nam naturam
curvae, seu relationem inter MB, et BE, calculum non ingredi manifestum est,
cum sufficiat dari Meo et Geo. seu situm puncti G, respectu rectae. M N.
Recta pN continuata occurrat horizontali L6 LS in Y, et ipsi LM continualis
in H, et quaeratur punctum A quo determinato erunt determinata
omnia. Ex itaque ex puncto eH, agatur in  Horiz ontalem LS, normalis HY
et  LY sit y et XY sit h quibus assumtis, tanquam habitis quaeratur
recta X G, quae deinde efficienda est omnium possibilium maxima
_ Astm Habitis L X, NA _H, HX, habetur LQ, adeeque punctum M, et quiahabito
pncti seu ra Habito puncto H, adeoque _ habetur sollo Q, ideoque ob datam LM
habetur et M similiter a datm ob  habetur adeoque et ratio  e SY ad ad pH
ergo et ratio ST ad SP, adeoque et punctum T seu recta S, coincidens ipsi RY ob
ipsam RS infinite parvam, unde et LS aequalis censetur ipsi QR, t  seu MW,
et WN ipsi SB, c  edelMsdatae jam Ex jum
jam ex puncto G educta Gco ecurrat nermalis ipsi MN, producta si opus occurrat
psi tRi  cara igida EN, ob triangula similia MwX, (cujus omnialatera sunt
data) et coZ N, (cuius unum latus GV, datum est) dabitur magnitudine triangulum coZN
porro recta GX (producta si opus) secet MN in K patet angulum GKeo esse aequalem
et illius unum latus Geo datum, etiam datum esse illud triangulum
angulo M K gudine
magnitudone datum Geok esse magnitudine datum.
et ob hoc datum
Ex puncto G in rectam
RN agatur norimalis G Y, patet ob angulum Geom rectum esse Geo datum ad G ad Z
ut ut M data ad MI seu LS datam. datur ergo ZV. quam ad jungendo
ad AZ seu Sp datam, datur et fit GX data sed ida oideo omnia esse
data, quod et praevidere poteram, quia, utique punctis M et N coincidentibus
cum L et p determinatus est situs ipsius rectae suss, adeoque e
Va culum
et quorum puncta affisionis L et p sint data. datur magnitudine recta MN, et
sis
itar
ponamus sublat uno sila pun
 se cenrae s gravitatis e, adeoque ducta ex G normali Geo in Ma, dantur Medi Gco.
per L transeat honzontalis Ls, sui ex p acta normalis es occurrat in S, parat dari
est
rectas LS et PS. intelligatur ex puncto G quaesito acta roatis in LS noviralis GK
anantrs
quaeritur situs suspensionis talis, ut GX sit omnium possibilium minima, cum enim situm
habebit suspensio ut G centrum gravitalis, quam maxime descendat, unde jam patet curvae
naturam et omnino ponderis figuram non ingredi calculum, sed tantum puncti, situm ad
puncta pusprationis filorum exsrenm in rigidae M NG ex punctis M et N filotam extremis suspenso
ExD Ex M et N in LS siu
M in NR normalis Me sufficit triangulum MWN
ed G, et ad G est ad Z ( ad Med ut M1d se A ut MN data ad M seu ZR
inveri ntignitudine ut laetera habeantur. Nam ex G
un

## Folio 15v — 00068056:0030
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 16r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 47 lines, status machine
sit grave quodcurque rigidum A MG, une quidem puincto A mobila cira punctum
fixum  A, altero autem
sit grave quodcunque rigidum   ec MEN cujus centrum gravitatis G.
suspensum ex duobus filis LM, PN, fixis in punctis datis L, P, quaeritu situs
suspensionis. per L summum punctum fixum agatur horizontalis LS
cui ex p normalit et occurrat ps, agatur huic parallela GX, debet situs esse talis
ut sit eX omnium possibilium maxima, seu ut centrum gravitatis maxime descend
 dabitur autem situs quaesilus si detur punctum H, in quo L M, et pN futa
concurrant. Datur porro Ged, et NCo. Ex punctis pGet Co, agaaturm AN
(normalem ipsi LS) re normales MW, C0Z, G1. Erit G   ut Ged data
ad Z V, ut MN data ad Mu se QR.  daturus ratio Z P ad ZR quae Gcd ad M N.. rr
ZV eta ad AZ ot Z P adjuncta a) AZ id est ad. Rursus ob tiangula co Z N, et MH N
similia est ca Neo data ad NZ ut MN rata ad WN Est autem
CX = NR - NZ GX seu VR V Qxe AN - N4, et NI = NZ- Z i
ergo GX fit   aequ. RN - NZ + ZY. sed ANaequ. SNdat + PF
sed RN aequ. 5 P (dat) + pF. Jam si habeatur punssum H habebitur L
C
Psa LR vocetur y et Bey HY vocetur E, et sit fet.
reducantur;
 et LH vocetur l. patet esse H- gy + hh. et fiet
LM= Q= LM y: l et MQ = LM h: l (oMW  PF = PN (AY. SPsen) E. Sp: Y
_RE CPN Exg. CBG Est autem LH = LY + HY. porro similiter
L=CQM = LM. HV: LH PF  pN. PK: pH Est autem
PK = HY = SR et PH = PK + HN. et HK == L5- LY. Quoniam
ergo ex 5 et 6 est GX = si + pF - NZ + Z P adeoque  i
ad (per 11. 1012 a yfit PH = HY + SP =  bis HY. SP + L5 + LY = bis LS. LY. unde
(per 9, 10, 13. fit pF  PN. HY- SP: SHY + SP - bis HY. 3P 1 L + 1Y - bis B.LY,
porro ex 5 et 6 est GX = sP + PF = NZ + ZP porro NZ = XCB. WN: MN
et M W N = (A N seu) sP+ PF - qM. Ergo per 16. 17, 7. fi et 
 NZ = NC SP+ PE = LM. HY. LH: MN  et per 1 fit ZP = GCOrMN QR
per 1 autem est ZPE QR. GCo: MN et QA =Lf( CG sA) ren
20
FN= PN - PF. Erx ER = 1 +1 m et Zp = L5- DLmOL Y: LH -pr. L5Ir PH 
Ergo denique ex 15, 18, C3 fil GX = SPA pF = ACO: MN SP+ PF - L M. HY. LNHLS - LM. LY. LH - pN. 25- L Y. pA GCS: MX
seu sE GX LSER GX. MN = MSPKPF MCD = LM. NCB. HY. LH + L5. GCD - LIT. GCI. LY LHP pN G( L5. PH F eN 5 0. IY. pH
A SP EntPH. HNBM. N  , - GCd. L5. PN OH + PN. GCd. L.Y
Exassit 0 = SPF - d NZ + d Zp ApF = ( H PA apC PH  PN: PN PH SPKD. PK spA
(25
(26) 
A eK = dHY  PH ApH = PK LHYBHK ALY. Ergo dpe = p
Erso  p F =7 ex AHV: pH - VX pR AB Y. BH3 + PX. HK aLY. pHet
s
... 
W
..
p
tn

## Folio 16r — 00068056:0031
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 15v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000031.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 7 lines, status machine
si dareter punctum u sticeu harentur omnia. Nam sentro G radio GM descripius circulus
intersecaret circulum centro L, radio LM descriptum in puncto M, et similitur duo circuli rrdus
N o N descipti darent punctum G, tum ergo Gi hoc loco debeat maxima assumum,
pro quaerendis ipsas GY. LY, ad determinandas reliquas
sint duo puncta fixa L et P, unde pendeant fila LM, PN, quibus
annexa sit recta rigida MN, quaeritur oscillantibus filis quam lineam
describant puncta necta et quidem manifertum est extrem.

## Folio 16v — 00068056:0032
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 15r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio 17r — 00068056:0033
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 18v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 62 lines, status machine
curva Catenaria RAV.
Esto curva Catenaria FC AKV, cujus natua investiganda,
sit axis ejus AH, ad quem normali recta CBK axem secantem B
abscindatur portio CAX pendens ex punctis C et X tanquam
fuleris.  Posito igitur C et R esse data, utique iis semel positis,
 catena suspensa CAK ita disponetur ut, centrum gravitatis
ASustinetilabu
ejus tantum descendat, quantum datis punctis, C et K, et longitudine catenae
CAK fieri potest. Jam pari ponatur datum Cutrum gravitatis catenae CAK
nempe R. eadens in axem patet perinde esse sive seu tantundem descensus fieri
debere, sive pondus sit pier calenam dispersum, relinsive lotum sit collectum
in centrum R. un sublato pondere partium catenae, sed a anente firmitaer
adeoque longitudine. Desc semper enum desplndere debet rentium gravitalis quantum longi
ludo catenas permittit Nec quicquam mutabitur si in C et K affigi  ponas
clavos, a quasi calena in C et L inciperet. positus igitur clavis fictitus in C et X
deorsum vi e tota dtrahamus catenam ita ut in rectam extensa transeat in cork
finitas
compositam exduabus rectis C2 et 2K. ita quidem catenam Catenae centrm
gravitatis descendit quantum possibile est et quidem erit in R, si sa Rdimudia
Et ipsius A2B sumatur. Nec gravitate effici atique posset ut descendat inf
calenae centium gravialis infra f, cum non possit infra B tergi infinita appensa
dedui
gravilate, ut si catenae reliquamque pondus quod habet, et aliud praeterea quodennus
appendamus in , quaa incompambnnter majus centium gravitatis plus
sola quam infinita coppensa in
praestare quiam gravitas dispersa per carenam
dimissa non reditet plus cum delo vel ipsa graortus cateras redacta in R et ope coluan. AAgra
vilare larent  instite R  graggale carentis quam infinta vis in A
retur quani ippensa se applicata eam adjuvans. eo Aedento enim infinito poner appenso in A
ascenditur, seu   , utique cutena quidem sero ponderq se curvabit in A, sed utiue plus descensu
efficere non poterit quaedam sese eleva lmae quid in laxer  videtur plus
ane partes versus C minus sunt deorsumtroctae quam partes versus A. ergo
descendent illae versus, C, ascendae ut quae versus A _ (eutrum autem gravitatis
utir. tac mutaivne ascendere non pt, alioqui  ponderis ascenderet a savor
quod si ergo nnn possit neterius descendere. Q utique maneret, R.
n
imo breviter ves: pondus totum applicatum directioni. Brerius forte sic:
sit pondus totum collectuus i B,  C calena CAK collectum in B centium gravrtalis
insistens ipsi ut ope a colmmnae R12, Reddaturjam ipsi calenae sum
siondus aequabiciter distubutum nnhulo plus ager. Superest seuper alius vid difficultalis
Consuham inteum quod vis illa infinita addita nullo alio in loco plus effilit
detrahendo, quam cum nypenditur in A, ut lithal in 2, ut pateb ex Ellipsi
taque ubi  est s infra (R) reperretur enim tendendo versus (S centum
grar. B cntinue ascendere
nam 
Erronca inquisitios
veracentium
gravitalis nu
catenae CAK
eadit intra pun-
ctum ruedium
inter A et B
seu infraceutrum
gravitatis ipsius
et C 2KCip
alioqui enim catena
CAK vitracta
in CSK et rursu
ad CAK, nisi hoc
resitu plus descando
nisi descenderet
centrum gravitatis

## Folio 17v — 00068056:0034
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 18r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 48 lines, status machine
Aduussa interum hac hypothesi, quod eit infiunta vis uppensa
adhuc in Ahoy, minus ponderis caterae deducat, quam ipsa latena sola sequem utique
B esse centrumgr. calenae, adeoque posse semper dari data ejus magnitudine
hinc jam facimnus calculum. sit AB v, et BC, y. fiet Aex
curva AC = (Fartdu = C A et fiet BA = S75 Tar rdy-y
et BRF.
R BR.. sed BR in C2 est momentum curvae AC ex basi CB
bis
et fiet SA +di in V Stavtau -yr = mom. AC ex CB
Juim momeatum AC ex CB habetur, si ab AB in AC, detrahas
mom ex vertice seu (v idverdu
ergo fre
+(Sdv+ dii in FF5 Sdr + dus -yt = (Sdo + du in V-
Sdv + au vocetur ( deo et fiet : co sco -y = ved - (vdco
2s
 c0 - yt deo +d 1odco - ydy: Sco - y = (v d e0) + co dv ( v de
fiet L co deo = L y deo + = cd deo - 2cydco = eo sio -y deo
unde
seu
vel L co Scor- yt = (eo dv se Edidutem vel 1 co+ co-y = (co deodus re
ort : tco- est deo + LCo codco - ydy: sco - y = co Sdes - dus =co av = (0 dg. 1)
seu  co-y deo + L Co co des +i lis - 2coydeodus: co - ist +  Codes -y deo dus
seu vemus.
H
codeo - Co dysq
4C04 y deo (- = cos deo + L Cot de + Co y des-(  ydodus
e
(+ L co dco = = Co y d co di - 1 c0 5 did; + = co  dco dis
 2
=(Cot deo) - cot dus (= co ist deo)  Co is dy
H
seu y deo - 4 cohy deo dy + 2 co 1 deo dys = - 4 co dus +3co y dys
y dud + 4 co dus f 4co y dydio = +4W0 y dys dio f 3co 9 du + 4 c y dcodus - 2Coy todus
doB deo: dy = 4 fiob y9 - 4 coy 9 + 2c05 9 = - 4c + 3c0 yt
seu qel . 100:y19 = - +c0: 
+ 36:y2
sit co:y = r fiet
qE - qnq = - 4r. seu 9 - arr 9 + 1br 2161 , 1Y - (4Y 4Y et (4Y + 3r ni gr
2
+26: y5
+ 2Y
seu 4- rrer = _ 2rSi -Y seu g- 2r tar 4 rr, posilo q- dev: dus et r= C0: y
+372
+ 2Y..
unde ces est reducibilis ad quadraturas sed seu q- errtr = 2r24 2Y. adeoque
 q = f2Y +2rr  42 -1 Y posito g= aco: dy et r = co: y
unde haberi pt saltem per vadraturas curva, inqua  cosco-y = 2 sed do
posito esse cd= se foro Sidv + dy

## Folio 18r — 00068056:0035
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 50 lines, status machine
Videumus an conciliari hic calculus possit cum nostra prima survae (alenario Hypothesi
nempe . lic yasav uetrva et Co=, sdr trr. eo= s fortovrm
d Tor ia videamus an 2 Co co- y = seo do te feodo (do (desor.ha
(52 vv Cd = EKD ov -2Va + Y
y = a sdv: co-r
dy: dv = a:c0 y = (a dv: co = asixim
 vV. 2Va + rr + XY sor- 2va -aa F fdv: suo iva 
in Z vv-2va+ 2Y vv. 2va +rY
t  e a
dv  vag: a
2 S  (coag:a +edy: a
dua- cody.
dy: do = a: Yvo- 2av
Iv: dus = svo- 2av: a
Cddo = Cdt dus:a -
Cco1)
L  scvan te 
da-tdo +du
Ava: dy = a + C = svo-2 av
Xx-ua dxf: sxN- aa =
et ded
de xx-aa = dv Svv. 2av
co-y d + coto du -: coydeo = co du co -y
sei Co do = L it ded - = coy de = co dus Y co- yn
Cotdeo
dy = dva: sov- 2av
va dy = fVV-2aV 7 1d
dv + du = dV + draa: v0-2a0 = du, v- 2av +aa,: vo-2ay.
dy: dv = srv. Z ar a
Ergo deo = dx v = a: sor - 2a0 = d Fvr- 2a0 = fvdv- fato: x srv.  a
et dy = dva : cd
Ergo c0 = vp - 2aV
co = vo - 2a0 et codo = vdv-gad  et da: dv = v= a: c0
et dy = d0 pa: cb v- a
Y  cocotaa = XX  seu Coco+ aa = X = v-a
pag. naeced inventia
quod si haec alibi inventa conspirant, cum hes sequeretur ideo
du :dco = a: scoco taa
sequeretur dio:du seu 4 seu locotaa S dari ex Y seu co:y
seu dari relationem inter co et y verum etiam datur relatio inter co et V
ergo daretur et relatio inter  y et v seu curba (at enar esses
ex numero ordinatriarum. Quod contra sriora Ergo non consentit haec c methodus
deret pro Curva Catenaria
otro investiganda curva cafenaria cam priore:
nam non tit motus, nisi plus ponderis descendat. Ergo catenatitracta in F  non tadiret sponte
K
videtur debnisse proviberi quod haec Methodus agnsuca
soi proader suo n peltei quod ist fasr, crp Redit cii necqu edit eu cereum grarlals stu eat
in fra punctum medium in ter B B et A
+r6-+r 4r= aY + 3Y = 4r - dr + 45

## Folio 18v — 00068056:0036
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000036.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 47 lines, status machine
= a+ b0 + CD+ ev ete.
minatarum tans, ut
e
quaeritur explicatio ipsarum deter,
ponderosa
infinito pondere appenso in medio catona F 2V facit
ponderos
ungulum rectilineum F SV. Si ratena divisa in tres
e
partes FA, A(52) ()V in punctis At ett)
suspendantur pondera aequalia infinita
prodibit figura FA (52) V, ubi centrum gra
vitatis magis descendet quam ante
 si catena ponderosa seu pondus per se
habenti, ut 4 partes divisae in punctis divi-
sionum appendantur tua pondera aequalu
2, (A) (as ad huc magis de prime curcentium
gravitalis Calcuae.
Quod sdenus a quod
verum esse calculo no estigandum. Quod si denique
infinita sitit ponderu, A(A) (2) etc
tunque Taa sutume deprimetur centrum gravitatis calenae
a est tantundem ac si solius patenae adesset pondus
cum nihil referal quantum pondus cujus arnnto
at appecusum,
aigorsannuli pondus sit aequale
ne
infinata autem pondera catenae ponderosa
per se, erant appendendus alioqui partes culer
pondera intercepitae non frebant rectae. idem
est si pondera sint finita sed cafena ipsa careat
stondere
C
quaependum aliquod recrema commune, Jeuni
sit numerus ponderum appensorum
dignum etiam memoratu est unumquodg
pondus cateniae appensum ita situm esset
a
caeteris omnibus (resectu situs) aequigrabitet seu
c ut cum caeterorum omnium aggregato sit in aequilibrio
alioqui unde patet momentum seu aequilibu potentiam
spectivam nn esse proprie quanlitatem absolutam aloqui
forret pars aequalis toti nam foret a = b+C
et rursus b= a + c. quod absardum est et c = a + b
Hoc anotandum in
nostro ciadlatu
Mredhnico

## Folio 19r — 00068056:0037
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000037.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 123 lines, status machine
4 y n-
di= duxa: aa +nn
pro relatione inter demifilum
n e by rmxy, y = bn + Cn + dn + ent +f n etc Brc n, et y semi-
dy = ib 4cn + 3dn +4 en +fi ecc
distantia, clnvorum
auva
aaeut, du = 11b2 + 22 bc n + (23 bd n + 2) 4 bC n +(2) s. l f n (216. bgn (1) 1. 7b1 2, gb fatsnariae
dy2
b, e, d, e, 5, , H, t, in
untu
=aa= = aa
b = d
c~0
+ 3. 2CC n 4 (3). 2.3Cd n H2L9. CC. n H)2.5. C5 n 1826c gl.
-r
=
vota
aro
+N
 ua
5+
 y vyy- a =1
d 2.2CC (2)2. 3Cd
X ∞ =
in
.4. AC L 5. 5. f.F
X(2) 1. 5bf(2, 7bh
baa
c
40
a 
a
a
sin  po
in 
t pu l 
e
(4). 1. 1. f.3. 2.5
3dd(2. 3,5d5
= 3b
2.5
= 51 35B. et ponendo n varde parvam
10
non vjn est longius continuare
 e
pF
5 e unde datis y et n habetur a
g. semel itis propinque, quod sit
und
Ee odu esto
1. FDSF~
cocain
2
un
cum distantia s
paxillorum non multo minor
est longtudine curve, itque enim
reti der ad du
aequalitatis,
et proinde
est exiguam.
ea
vigna est rationi
D
E2
5 8 8
repa arespectu ipsius
88∞B
E∞a+ D00 0400040_
a
1127- 8 818,
a
2. 5a f + 3. 3aa = 2. 344 =0 seu 10f + au -aa = 0 seu F = 3 ae
10
12) 1. 3
Ba 14 ah . 6 - 3aa + Z aa + a4 = 0 sex 14h + E at Cs
4. 3.3
1. 4.5
2 11246F u5E(res pectus a) viu
3
6y-n   ∞
Ia 1
 
D b = a c=0 d = -R - =  C = 0 f = 40 g-0 h= =
2.3
(2)7. 4c0. a
d = -b. c =0 f - 3b - 7. 8. b  + b
() 1.3
I iac fit a ∞ s + n aa
103
4
+3.3dd n (, 3. 4 de (2)3d f237 d
 bb + (2) 1. 2. bc +(2) 13bd 43) 4bc
fit y =  n - M Ex D Z
(4
E
2. 7 an +  Z. 8.5. =2, 3a + 2.5a. 3a + 3. 3aa
R. 4a
40 4. 9
pd
Y
au s 9
112
346+225
2. 7. t _ -3a +3a + a, =  14 h - 3a + 8a 14h - 5a; h = f. 14
a
a
continuatio in infinitum dac est quod numeralores.
l
sunt impares s 1, 3, 5. nominatores fact
 
6 = 2. 7
40 - . . . 5. si
112 -. . . .. 1. 14
ex arithmeticis 2, 5, Detc respective ductis in arttameticos3. 9. 1
sed jlacet unum adtuc teminum Experin
1. 19
2. 5
112
Se
112
3B. 14 19

## Folio 19v — 00068056:0038
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000038.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 28 lines, status machine
sed quando M est major  non multo minor quam a, immatandum es
nempe fat Pd  SBet erit dn- aq et aequatio erit dus aax
 fit dy epqq
q
doccirpa ppanaada =d
- b4+ c4 +d4tCq+fq
e
aa C4
dy=1b4 2c4+ 3d4+ 4eq etC, et dy = ut pay.
oeceo
quandot n e major quam a. faciamus A= 1: n et fiet dn - - dg: qu
c
24
et prodibir a=-da: (1  =  - ag: 9+1d44. et fit dus 4 + dyq∞ aq =0
14
a
Sed mirut quod hic prodit quaedam impossibilitas in ferre insirta indaganda
quondani a =1 seu aa Non invento alium fermmuum cum quo pos bit
Comsarari; et fera deberet aa =0 quod absmonu. Cui al obvra
eatr heril debeh de y-
X
e+ 14 b, + cq+ da
+
 + b + 3c9+ 5d94 etc. et fiet
H. 1. 4
f1. 119 4 2. 1. 3
e
pen

## Folio 20r — 00068056:0039
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 21v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000039.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 36 lines, status machine
Nihil hac
Filum ACB ita inflestere, inter extrema data A et B, in duas rectas AB AC, BC, ut fial descensus
centri gravitatis G asus horitontem  omnium possibilium maximus, seu recta He
maxima, quaeritur punctum C. Dantur AF, et BF, quaruntur AE CE. patet esse
AE + EC= AC et (EF= seu AF- AE, + FB- EC CB et ACFBC~ L filo dato
Momentum ipsius AC ex AH, est AC in LAE, et momentum ipsius CB ex AH est, CB in AF - L EF
seu CB in ERF + = AE. Ergo debet esse AC in LAE + CB in tAF + L AE = Max siu AC. E AC+ L. AC. L. AF+ AE- map.
AEB A5 - - AF. AE (+ AE) + FB = 2FB. 5C (+EC) = AE (EC) = (CB - AC ) L. (BC- Ae son) L . AC
AE AAE F EC _EC = AC LAC ex 1 - 2AFAAE - 2FBaEC = L. - 2 +AC seu AFdAE + FBd EC = 2 L d AC
 Ge = SAC - AC = AEB LA AF + FB2 - ZAF. AE - L. L-EAC, : 2FB. cujus differentialis, erit:
EACdgC - AEABE  AF dAE + LdAC, : FB seu 2FB. ACdAC - AE dAE = L dAC- AFd AE, AF = rB - 2F A5- L. L. 2AC
ASR-AE Ex ag. 4 fit ZA C  AC. AE + CB. AF + CB. AE = M. seu AE = M - CBAF : fC + C Bteu) :L
Exa seu AE L3 M -  C- A AF. L et dAE = dAC AF: L quem valorem substimendo in aeq. 10. fi
EFBI AC- AE. AF: L  L = AF AF: L, AFLA FN -2AF. A5 - L. L- 2AC
ob 14 in casu Maximi fit AE d AE seu AE AAC. AF: L.  - AC +AC = EC dec seu fit
dec:  Draa = AE. AF = AC. L, : L. EC
ACAEE in aequ. 8, AF + FB - L. L; 2FB vocetur Mf N:FB, et siet:
AC- AE 27) N - 4 N. AF. AE - 4 N. L. AC + 4 AFI AE + BAFAE. L. AC + 4 LL AC,: 4 FB
ubi pro AE substituendo valorem ex aeq. 13. fiet: N - 4N. LAC + 4 LL AC.
AEB AC An = 2M. L-AC. AE  + S - IL. ACFAC NE: V = A AB A PEN PE AC. L. FEbAC~ VI MAT A LACAF. L
... 
i
FE = et Z CQ _eZ CE = W
W = a + bZ+ c2Z + eZ3 etc
et duo = bd 2CZd2 + 303342 + 4 f23 dz et
Q+ dio co = Sdque (1 + b + 2c9+ 3eZ et a + bZ + CZ2 et = max-
 ubi summam actu ipso instituendo fit = l+ mZe nZ etc. (2bi
L, m, et exprimuntur,er a, b, e, ete, ubi in casu totius pro Z
substiluitur ACFV et f = f et sit l+ mf + nf erc = max et sic
m + inf + 3p f  ex = 0 ubi f date, m, n, p, eadeoque a, b, c, ea isitae
an prus  quoque Sed hoc pro toto,  in parta quoque descensus debet esse maximus. Exempli cansu; Assumatur
aliquod punctum curvae C, et suntu FE( pro arbitrio dabitur ex ea CE, er aeq. initio assumtum curvo naam exprimente
dabitur et eodem modo ac ante aequatio M +2DZ Y 3pZ et C = 0, unde cum hoc debeat fieri quaecunc sit Z
necesse est a b C ote assumi tales, ut fint m =o, et n = 0 etc. ipsa maxima seu doscu momentum fieret
=l. quod dlamen ii fator alsurdum, quia l est ostans, sed momentu, hoc non pt esse ostans, hoc ergo
prosundius contideranda

## Folio 20v — 00068056:0040
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 21r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000040.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 50 lines, status machine
HHuic cacculo
id deest, quod
non exprimitur
FC et AC cohaerere
gravis
sit catena (F CACF suspensa ex duobus punctis FF in eodem horizonte
existentibus, quaeritur quaem figuram assumat. Et certum est eam assumere
per quam centrum gravitatis descendit quantum potest. Hoc centrum
sit M, et  assumantur duae partes catenae una FC, altera AC
ponanturque datun punctam A, uti datum est punctum F, et debunt partes FC, et AC
ila locari ut eorum centrum gravitatis commune et debebunt partium FC, AC
centra gravitatis P et R, ita locari ut f punctum M, fiat tam
depressam quam fieri potest, seu ut M fiat omnium possibilium maxima
Est ante sit HP, p; AM, m. HA, r.  AC, C AF, F, eIFC faC
PM = m - p  RM = Y - m, et fiet  PM: RM:: AC: FC, seu filt
m- p, : r-m :: c: f c sen m - p. f -c = rumC. cujus differentialis et
FC nccessaro adlaeter  Hujus quaerendo differentralem, cum f et c sint datae determinatae, sed
p et r sint indeterminate, fiel am- ap f-c = ar-amc ubi in casu maxinae
est din = 0, et fiet . - dp f -c = ar C, seu -dp: dr = c: c-f. 
ergo =dp: d = im - p. r -m. adeoque - dp: m- p = dr: r- m. sit q - 2m - Y
seu r = 2 m = 9 fitt r = m = m - 9 et dr = - dq unde fiet dr: r m - d9. m -9
ergo fit - dp: m p = dq: m-g seu dp: m- p = dg: m -9. Est autem q quantilas
affiemativa, seu constat esse 2 2M majorem quam r, majoremque  adeo
quam g. Quod sic ostendo: catrna FAF vi extendatur in rectiuneum angulum
Fs F, erit utque et intra A, adeoque et infra R. Centrum autem gravitatis calenae ita extensae
in Fs F cadet medio oco inter A et A. sed M centrum gr. calena libere
se disponentis FAF est infra punctum med Centum gr. catenae extensae in FAF, quin
dimissa sponte ex FS F ad FAF redit  suo pondere, ergo tunc centrum granitalis
calenae FL Z F, quod erat in medio inter H et s2, descendit, in M, ergo M est infra
medium inter H et s2 ergo et infra medum inter H et R adeoque dupla HM seu
Manet ergo esse
patet
dupla M, est major dupt ipsa HR, seu ipsa Y.
dp: m-p = d dqu m - q
Notardum  autem quo
manente magnitudine ipsarum partium FC et AC quo major fiat HP
manente puncto M, ut constante, eo minorem fieri HR adeoque crescente
AP deltescere HR, seu crescente p decrescere Y, adeoque crescente p, etiam
crescere q
quia haec meditatio non valet, videamus an liceat
Ut si sit FN X, etL7
curvae natura, ex primere,
Ne NQ, y. fat HC= Ft Sy idy +dC. Sidu raa ita ut ullima X
fit determinata +N sufficit tamen sydurd, momentam curva ex A
usqus ad FN, seu  + (X) et NC Eu (7
et S saxrdius _usque ad (X) = FH, ) sit data lnam FX data est,
quaeritur nelalio inter X et u ut sit (y axdus omnium
postibilium maxima sed non hoc sufficil
seu habere punctum
commune sed nec

## Folio 21r — 00068056:0041
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 20v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 8 lines, status machine
qeriua si gravis rigida recta AB, chordis LA, MB, susensa
sulbtur medium ejiu punctum lineam describet, cujus centrum lineae
non centrum gravitates sed punctum infimum dabit maximum descensum
itaque nec licet sic procedere, in siti curvatura invenienda, ut mar iime detrahamus
manu idque dibus modis possialibus dt qualibet cata nobm descensum 
centuus gravitatis, et linea horum centiorum verua constatuentis centorum
gravitatis inveniamus
y = a + bX Y ex x + Cx er

## Folio 21v — 00068056:0042
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 20r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000042.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 34 lines, status machine
istidubin eteiu
mloru
inc patat ut obiter dicam si olem
ercus sint equalia esse diperentias elenon
idut
a = AB = BC = Cd2
Q 1A
nntae ad sumam let
fig. 1. 2AZ in a +   ad in a = = A Zr  R iA Q in a, (+ AR - 1. 98 in aen) t AR - A R + L. Fq in a = AZ + L AR n a
g. V.- AZ + L AR a +
S vel Z + AQ+ L QR a, ubi ut AR sit minima quae ut sit minima
bscissae
fir. 2. po GB = 2B A2 + 28 = a = LR + TC C  resde et 2B + TC = RC datae, et A + QR = datoe AR
A2. 2a - _ fit n A  = aa: A A2 - 2N = . FC2 - gB2. ergo AR. 2. qR = RC. FC. 2
2B + TC + 22B. TC = RCY
et AQ + QR + 2. AZ. ZR = AR
Ery (RC + AR = AC = 2B2 + TC + A~ + aK + 2EB. TC + 2A2. gR
2da
29B. RC- 298 + 2A2. A R - 2A
2RC. BQ + AR AQ = 244)
s Ancta h hiein reb
sen 2eR IAR. AZ + ERC BZ = RC + A RC
quod consentit
e lit B3 = AC - 2AR. A2, : 2HC _ et B~ = AC - q AAC , AR. A qH + 4 AR. A8,. + RC = a - A3
et fit  AC - AAC. AR. HC. AZ = 4 RC a - 4 AC. AQ. seu 43 - BGAR. AB A2 = L AC + gla
seu AQ - LAR = L  AR - L AC + RC a. AC, =  RC. AC s, a a - AC
seu A2 = 2 AR + BC Sqa = AC posilo AC = L et AN + AC
et A2 = AC2 - 2RC. Bg: 2AR et AQ = AC - 4 AC. RC. BQ FGRC. BZ, : 4AK
= a - B92. gen fit AC+- 4AC. RC. Bq = 4 AR a - 4 AC. B8
seu B22 - RC. BZ = A 4 a AR - AC: 4 AC
et B2 - 2 RC = 1 + a N-
seuA A. A3GB. = RC. RC- 2B.
seu AR. AE. ARtAB = RC. AC- 28 - 98
Momenta ex AH

## Folio 22r — 00068056:0043
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 23v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000043.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 54 lines, status machine
investigemus magisne descendat centrum gravitatis, ipsius B, aequalis ipsis C+ d, vel E+ F +G et
si sint aqualia B, et C+D, et E+F+ G etC. patet pridus collectum in B
maxime descendere.
Sed omissis ponderibus, videamus qua nam ratione ipsius fili centrum
gravitatis maxime cescendat
ponamus nt partes totius fili esse aequales.
si partes sint  duae res res manifesta est. Si partes aequales sinl tres
sumatur aujus una C0, in coredio XY, ita un medium ipsius XY, et AIt coincidat, et ducantur
rudrfiils verticales XC, Yd, inde centros A et s radio = XY descrpti Arcus circuli
secabunt XC et Y in C et D. platet autem investigare calculo relateo ectionem
iphe  relationem inter. AX et AC. Et patet esse AX = (AH - HX = ) RC
Et quidem cum duae solum sunt partes AB, AB, sit AX = R AA. Cum vero tres
sinl partes fit AX - (K A H- XH) st   AS 3 Fil seu AS e
es AX. AB= aZ A∞ A 1 distantiam fitor vocemus plavorum, vocemus C, et filum vocemus
fis AX: AB:: EC: LF:: C: F. sed Ax (in altera tius) = AH - XH = = C  2.3F et sit.
In quarta figura res est paulo difficitur, veniendumque est ad maximum et minimum.
s AX: AC :: C - _ZF,: 2. 3F
Sit AX, X, tunc EG vel XY = A c - 2X AE, Zf. Ergo XC- Y f- XX erit
LF= si f- LCC + _CXH - XX Et punctum N med. LF erit Centr. gr. EFG, et Mmed inter H et L.
erit centrige. AE, AG. et A. med inter M et N, etit centram gravitatis totius fili.
es erit HB= HL  seu XE, + LNs LF MN = 2 XE + L LF et M P = L MN
ergo MB = q XEFLF jam HB = MP + HM seu Mp + LXE. ergo fit
HP = 3 XE +  LF = 2 (16ff XX +   f - Cc + _ CX = XX = M2 ax.
ne fit: X-3x C: XE = 4X -DC: 2 LF  sentC. XC.: _ XH: EF
samornur  seu (a sX) - ()uC xx + (6, eX - (6  - B  XA ( 167 - 16 f CX f16c p 4 + ( qe D
seu ter AX: XC:: XH: LF. seu AX: XE:: XH:  3LF
Videamus an verum sit fila suspendentia AE, GF, Suspe ndentra articulum, EF
Concurrere in puncto q, ita ut QR, sumens Z. cum R medro ipsius Et sit verticalis
AFiSq i; AX. XE E+ : Tq:: AX: XE . GT : F9:: GL seu XH : LF. Et E7+FG- bis X H
tres Equationes oor tivus Ceteris E, _,TG, TQ: ET = Tq. AX: XE = bis XH -1G
+ HN
B Erso G = bis XH = Tq. AX: XE, = TQ. XH: LF. sit. LF. XE. bis YH
fil bis XH. LF. XE = TQ. AX. LF + TZ. XH. XE. Et sit ZZ YX HHFEXC. x. tstxn
Ergo E7 = bis XH. LF. AX:, AX. LF+XH. XE, jam quia per priora AX. 3LF = XC. XH.
fit AX. LF + XH. XE. = 4. AX. LF. Et fit ET( bis XH. LF. AX: 4AX. LB = XH: 2
Est ergo 2T dimidia EN seu XH, ut praevideramus, adeque adeoque que 7 bisecat EF seu
arliculos consideremus ut infinite parvos
transit per ejus centrum gravitatis R. prout debebat
 fVray +d: s tagrdr in fiu  ita procedamus: Ilnamquemque articulum
incamus in suam, HB, distantiam ab AS, quae sit v, ponamus ves articulos cesse aequales a
et numerorum esse n, fiet  ac  a se: n = HN posito HN esse distuan
centri grao ab  omnum asticulorum infra AE, ab AS. Jam AM, sit distantia
centri gravitatis ipsius articuli sumni AE, (infiile parvi) a ab AS. seu lile
seu do quaeritur s centum gravitatis omnium lale, ut sit M P: NP.: na: a
seu MD = Np. n. siu MP s HB, V, et cysit odinata, fiet
MP S1v + dyt = NP (Sav + dus et HN = (V savtdy: (saridu
restat ut jam quaeramus 3p. Est autem HM + M B + BN = H N. seu MP = AN
Ergo HN Taridus = Np (Savrdis seu Sutartdu de Sartdu= NB (2) 5Savtdi
ubi NB est plement distantiae entrorum gravitatis NS est differcatia inter HN et Hp
et H et FN Et distantari centr. gr. areus F i vertices lmF lujgente
N (e+ elementam
F  F B
dis dstatis centro
adtuiquo. tug CCA e salis eb

## Folio 22v — 00068056:0044
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 23r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000044.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 66 lines, status machine
sit filum trectum
duo
GE, EF
sit articulas rectolinem GF, suspendeneplibu  catenam
Em
FA. sit cenlius ,  in N et centum cntenae a FBC
sit in P. erit AP = sX san gus: 5 sdx  di AH, X. FH, y
st AM = + AB m. HI et HN = L_ eA X -X, : 2.
et AN = p - X, : 2 +X = N+X,: 2
sit G. rentum grav. totius eFAFC fiet pg. F = Nq. EF
Aq = Ap + PZ et P NP = AN = A B et PZ: Np:
ii EF: EF+ FA sErgo pu = NP. EF: EFAFA = AN- ApDEF: EFAFA
fia AQ minimus, erit seu AG = X Saxtadu + Z r+Y. EF; EF+ FA, ubi sola Efi
varians
Et sbtique noinam, et d Aq = = EF +FA i vix = SX Laptatus B E rt X. EF ubi imior Loanssere EF
Tigum FF cum inde dependente chorda A FAF pendeat ex
artienlis GCF. sint Z EF et FAF ponderosa. Debet
manenles distania  punctis GG et distaum =4 si disponi
lolumut centr. y. mux une descendat
Dideamus an non possit esse uius maximae et
minimae ad determinandam curva parametium investrus ata
am speco in qquam  catena curvasri debet: Et hoc videtur
samino debere lonum alaquem habere
Curvae naturam esse invenimus ut posita A, HE, y  et OHia
af.IY. Scax tx sit  y = as, dZ. (Z2- aa = nc et
sit (Sd q + diu = syn - aa = AF
Ponamus jam dari HF seu y et A AF
Quoritur ergo datis punctis, F et H, et aequatione 1, naturam curvae
exprimente, qualis sit parameter a, seu BA, ut centrum ipsius
AF quam maxime descludat,
A3= Z Saque dus: R=
dz = du = Z4Z: se- aa
Efficeedua este rvantur
vaeritur data suqaa dataque as, dz. _7 aa, ptalia quae nam sit a
et Ay = (ZZZ: X2-aa: ut txna B
ut fqaadus. Sat aa fint omniam possi bilium minima.
33-a4:77-aa fiat omnium possibilium minima
Equidem q non est constans
e
Sit (ZZ- a a = f
et y = C, nempe in casu dati puncti F
et 532.2: 122 aa: f = Min im
Sed difficultus est, quod hic caliulum de maximis et minimis non videtur commode
fiet CL a5, dZ: 122. aa
2 Sq aa.
Si aequatio 1. esset cli absolute calculabilis, seu
relationem confineret inter solas c, Z, a, ejus ope Utique ejus ope daretur relatio
Z per a et C sed ex aequ. 1. datur hy  per a et f
licere applicare.
hos duos valores ipsius Z, dabitur d per c et f datas, itaque
video  admissis aequationibus E, 2, dari aEex c et f, adebqe et sine
nicet cut
ergo jungendo
Et proinde  non dari applicationem calculi
 maximis et Minimis, si utrumque datum ponamus, c et A, sed si datum
intercedente. aeq. 3.
it alterum tantum ponamus ergo dari C, non vero dari f. itaque
et AP AZ = (AP+ Pq =) (AP. ER+ AP. FA + AN. EF (- AP. EF): IE riA
et AP. FA = Tx Sax + du et AN. EF = . V. EF + = X. EF. sot
filu EF
ut S2
E
ly + yd
a
.
pt

## Folio 23r — 00068056:0045
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 22v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000045.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 58 lines, status machine
Sed ut calculis ad eem nostrum sit aptus, remta seu
Res ergo huc redit. Datur C dantuque aequationes dus sequentes,
ceatur quaeruntur Z et a
FH = C∞ = as, 1Z: s22 aa 2Z +Z: 122 - aa: 1Z3- aa = Minim = _ m = AZ
Porum aequationum quaerendo differm Ubi lices aequationio 2 quaerere differentialem
sed cqu. 1. differentialem quaerere nonlicet,  nisi ponamus etiam c esse
debere minimam. Ex aequ. 1. fit (YZZ aa) ZZ dZ(: sy- aa). lat = 0
137 aa SREZ. rpp aa. seu seu 1242
1.  seu fietur Z = Zdz- ada
m242- ma da
Quod si e non esset plane data, sed ebiam muxima aut nimima odr liceret ipsus.
quoque quaerere differentialem et faciendo C: a = (idz: sqaa podiret utique
C5 - c da: aa = dZ: 17Z aa et fietet da = = aa Z: c722- aa quem
V. lorem substimendo in aeq. 4 fieret Z2 mZ+ mat: csq7. aa, et
tollendo M et C per 69y. l et 2 ex. 69. 6.
hb restatit aequad inter
Z et a, posito summalorias, quantitates communi more exprimi iaterim
d sae nun datur hine ipsa a absolute.
itaque resumamus, aequationes 1 et 2. ponendo c esse datam, et _m
esse minimam, piugamus autem oqqualiones et 2, esse absolute calculabiles
Lex aeg. 2 tollaous Z ope aequationis 1. restabunt in og. 2. tit fiet 8g. 3
in qua restabunt a, c, m. Hujus differentialis  tollet m, et dabit
a per c, quia exanescet ta et habebium a per e, adeoque et Z obdenue iu 
jum jam video etiam sic plocedi posse; o RC sumtis 599. 1 et 2
et posit c esse datam, m esse minimam licet non tollendo Z ex oy 2.
sed reliaquendo utriusque quae rere diff dentialem, et ita prodibunt aequades
CC 3,45,6. et jauldante calculaviny et sublata in fiet ex aeg. 6.
et aeq. 1. tollando m, et Z ope aqq. 1 et a. habebitur a absolute seu ex c
Unde habetitur ebam Z, et seu OH, et ipsa eA. AH, seu vertex.
sce scilicet peinde etat uc si quaesivissemus data
digtantia  paxillorum quaentum deberet esse cro, ut filum ut
quam miapine descendat centrum gravitalis. Quod hoc modo consequitlur
Sed nos maluissemus invesstigare dat data distantia paxillorum
duboque filo et data aequatione relationem inser paxillum et filum
expremente, invenire parametrum, sic, ut descensus fili, fat centri
fici fiat maxorum. Verum apparet satis quae situm fuisse nimias
Ita assignutas fuisse aditiones nam dato filo, et distantim paxillorum
rataque aequade alationem inter haec duo exprimente, eaque unius parametri
dagi ipsam parametrum neci esse electioni locum. Demoranale itaque
est interim est hoc solvi. Interim ncalo vertice, et filo licet absolute
Linvenire parnte pammetium quia 1ZZ aa = p, posito n. simifilo
datoque filo dataque jagilta, Z a = X ct licet inverire parametrum.
fit scilicet  _ XXC XXF 2aX = nn. seu a = nn -XK: 2X
eut muximu
sed dato filo inverire sagittam, sic ut paxameter tiat possibilium minima
Eilo invenire parametrum sic, ut sagitta fiat omnium possibilium minima aut maxi
 itemque data sagitta, e sic tructare filum et parnmretium, duobe proflemalibus.
Et duta suniter item et data parametio iterum sic tractare filum et sagittam
Commodissima tamn sunt ea in quibus
praetermittitur mentro, parametri. itaque haec duo problemata
ium duobus problemalibus lice
et uno a paxillo invenis s invenire
eu sagittum; seu seu dato chacta invenire sagittam
ato filo
sorvere licet
lineae altitudinem mixim
omnium minimam aut maximam; et data sagitta invenire segit invenire
cho filum omnium nrhuiturm, aut maximum.

## Folio 23v — 00068056:0046
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 22r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000046.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 40 lines, status machine
Quoniam dato arcu ordinata, et aequatione cunius para metri
dabur pecies  Curva, adeoque et pa parameter ideo fingamus aequadem
datam esse generaliorem duorum parametrium atque ita ex data regula maximae
quaerere possumus a relationem inter parmmetros
ponibus vertei gratia
dari _, FH = c = aa: b, (AZ: tymaa fretue
SAX + dis = saZ 2- aa + a: bb: 422 aa = f = AF et denique fiet
debet esse SAZ. Z  aa + a. bb: 22. aa :f = m. Minims
Ex his Tuibus aequabionibus calculo invenini debet esse a = b. ed
Quod ut tentelans, fiet ex aeq. 3 fiet: (dZ Z) 1Z7 a a + a bb: 22 aa = 0
quod tamen ni fallet, quo desideramus, non ducit. Hic scrapulus eximendus est
imo male. Nam b est arbitruria, seu variabilis, et vorlor ejus inveniendus.
fingamus aequationem ominariam. sit cerva 2aX- =  yy.
A
datama sum magnitudo arcus FAL datur ordinata FL.
L datur et aequatio ad Ellipsiu 2aZ- 49y - gy. quaeritur
et
btalis, ut centm AG centins gravitats depressio, sit
tium possibilium maximia. Aease
momentum est fZ AH est Z.
saq sae tay: F min.
t
quaerenda est curva ubi datur momentum arcus ex Geom. cor
FH, y = C datae, sit
Z Z l dy.
(rit g= 9Z + a  du = dy a dz C a a - 2 - s  ua - 2  a. 2+  a +a lec 22
= du _: aZ Ergo di + dgt = a saa - 22 et (Sdis tdu = Yr - Z2
E
t Z_ i = dque ergo aly = L Z+ A 1 e et di + aq - saqs
.d Z - = = dysde fit  = 4 q +
+
1.
dy +Z = + IZ +q
y
 + . et Say +d -  1sq+ 
s
quo si   8t
a
245.
x

## Folio 24r — 00068056:0047
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000047.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 30 lines, status machine
articuli
cortena
d
ACB ea
tamburgente
c
DB 600d.
DC
 pa
m
e peve nste
ed pto duob, pedibus
eraul 2
CO
cum adjicerem 30 articulos
sagitia erat aequalis
horda
seu B
epore sunt
a
et
52 artium
redum, et AB=D
a
catena
A pedum et c
vollicum.
Ex
junguers
C

## Folio 24v — 00068056:0048
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000048.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 3 lines, status machine
aun
lroron)simpa
fi

## Folio 25r — 00068056:0049
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000049.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 26 lines, status machine
figum veli vento expansi
imo ro est
exd perinde est ac sipendera aequaliaubius velo
lanitantur vel ex eo suspentantur quae repre–
eutabuntur per ipsas ex aequales. starum
Centir gravitatis G directio GE, cadere debet
in concuisum duarum langentium C.
ult
E
ex y: X = AE
.est autem
y BF et BF: AE seu X.. dy. dx
ula
Ergo AE = y= xdy. dx Fexy: X
seu (dy) - X d dy:de ( dy = dxsres
Sex.  y:x = exy dx: XX
seu Xy -Xx dy. dx = Fax. y
Lu
Xdy (+ ydx - (2) dy = (ex d dy: dx, = (dx y
seu posita dx constante ddyus: iys = = dx: X seu
g Ax a
X: ady ut a X seu C
:dx
+
a. plaa
s

## Folio 25v — 00068056:0050
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068056/jpgs/default/00000050.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 19 lines, status machine
imo sic potius. ut aequalab dus poniera
put appensa aqualia: iaque
sumantur ipsa dus proponderabus
et fietXdx: X 
xy y - xitus: dx
seu 2X = y = x dy: dx. seu
A uakki idg. ax
2
V dx exax Xdu
dum
seu a y dx = x dy = 2X dx
seu Dn Exx posito
seu X dy = ydx = ele C = 2Ax_
XX
X
 3: X = = 2 dx: X
seu sarvorrationes ordinatarum ad
eu
abscissas, sunt ut logarithmi abscissarum