# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068243
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 A 30
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068243
# Lines: 1,637 recognised on 23 of 26 pages, mean confidence 0.76
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068243:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
29. Noventi 1678.
De absolvendo (alculo Diophanteo
a X + by + Cxy + dx + ey + Z aequ. 0 aequalio generalis solvenda ratio naliter
quando id fieri potest. a
Assumantur aequationes duae lx + my+n aequ. 0. et pX + 4y + r aequ. 0B
Ducantur in formulas arbitiarias Ae
+(AX
1X + ny +V _C
+lux +mry UV
+ mprus + luxys +nsi 
+mry tnix
ax + by +Cxy + dx+C
s
WX+ Ky+p. 8)
es asto
Apox + qX y ApKxy +ppx + qPy + rp ex
+gio Xy +rcox +rKy
aequ. 0.
Comparandoaequ aequationem I cum aequ. R sex terminos unius cum sex terminis
poterunt inveniri ipsae _   t. scilicet sex literae, quarum scilicet
generaliter
nulla in alteram ducitur, adeoque videtur semper solvi posse problema in numceris
 quod nisi in parccis casibus qui facile determinari poterunt, impossibile reddetur
10
n + re aequ. Z.
clequeaque
LA + p D aequ. a.
n n +gK aequ B.
mA + l en + 9 + pR aequ. c
ne
C3)
nA + lV+ rcoAp aequ. d
nn + mV ark+q5 aeque
Itae sex aequationes cum sint simplices, seu cum sex incognitae A  Y . P
ad nullam assurgant potestatem, utique resolvi possunt in numeris
exhibent)
(13
Rursus sit aequatio data (aX + by + cxyt dxy + ex + fy + gXy+ hXt iY +Z aequ. v.
fuce relinquemus aquationes 3. 3; et loco formularum e scritumue
assumamus XX + BY +Y xy +dx + Ey +B(6) AX + MYy + Y Xy +C X + py + 6VC,
CB
it ducendo 2 in 16, et 3 in 17. ut habeam, AC. Bd et ex his com–
ponamus AC +Bd cende fiat aequalio (19. comparanda cum aequ. 15. anc
Hic quam jam quaeritur utrum literae l. m n. p. 9. r. an vero potius
literae l 12, nempe L. β. 7. P. 5. D. A. (. V. Ed. p. 6V; sint quaerendie
ad inveniendas eo aequationes. Et quidem patet si stat A. B. sumimus pro
aequationibus, et C od pro formulis multiplicantibus, tunc si literas ac. B. )ec
quaerimus non invenierus,  aequationes simplices quaesitas A. B. ei finstra
instituta est comparatio itaque hoc quidem casu, si A. B. volumus esse
aequationes, debemus tantum quaerere, quaerere primum literas d.m.n
l. m. n. p. 9. r. et quia sextantum sunt, aequationes autem compa–
ratitiae sunt 10, hinc assumemus ad huc aliquas ex ipsis a. β γ. ubi tamen
idhoc incommodum quod hoc modo quaesitae incognitae comparatia
s seu sux
in se invicem ducuntur, quoniam tamen ad sunt adhuc et arbitrariae inter
ipsas a. β Y etc. harum explicatione videtur ex itue reperiri posse. sed
Altera via prolixior quidem sed huic incommodo non subjecta est haec
si C. D. seu 16. 17. sumamus pro aequationibus seu formulis nihilo aequalibus
+ressabunt CF eas ex his 12 literis quaeramus 10, ad aequa 19 comparandam cum
supernume, aqu. 15. supereo sed ita quidem res sine ullo ductu incognitarum in se invicem
rariaedue suecedet, verum posstea adhuc t aequationea 16. 17. tum etiam aequationem
plerum deprimere et ad  simplices reducere necesse est, assumtis novis duabus
ut
aequationibus (quae sint similes aequationibus 2. 3) et novis formulis multiplicantibus
nec
(quae sint similes formulis 4. 5.) ubi cum hae novae assumtae aequationes dabunt
simplicis dabunt pobis adhuc imognitas 6. comparatitias, quae additae duabus
supernumerani residuis dabunt nobis et comparatitias, quarum ope producta ex novi
ssumtis aequationibus et formulis comparrabuntur duabus aequationibus 16. 17. quanqua
sus santeri sut er crsati tae ae qbationes coe famlitia
rys

## Folio 1v — 00068243:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
12 litero comparatitiae reduci ad 10 nam effici poffest ut
aliquis terminus in aequ. 16. item in aequ. 17 sit datus seu idem cum
eo cui comparandus est. Nihilo mivus tamen duae adhc adhuc
n
desunt comparatitiae, nec dabitur solutio universalis, in hoc
gradu, uti dabatur in praecedenti
videamus an remedium quaeri possit haec modo: sipro
aequationibus sumamus non 2. et 3.
formulis.
sumamus non 16 et 17
simamius v.g. pro aequationibus 2 et 17. proformulis 3 et 16, ita res
diversaliter succedit. Nam in aequ. c sunt termini 10, adeoque et opus est
literis comparatiis 10, vel saltem novem, quia quilibet terminus potest
datus optime autem talis fiet ultimu. Jam vero tres quidem
as comparatitias dabit 2, et sex comp dabit aequ. 17. sunt novem
res succedit. Superest resolvende
superest jam resolvenda
aquatio 1I. hoc pulitire succedet tum assumendo novam. aequa
artitiarium assumtitiau novis literis tribus c postea inveniendis instructam
perus. simplicem. eamque ducendo in formulam ettinus a arbi
nam; tum vero aequationem 2 quae jam data est
endo in formulam arbitrariam rursus tribus literis postera
rivemendis instructam, haec duo producta addemus in unum
podibit aequatio instructa 6 literis comparatitiis compa
auda ipsi aequationi 17. sex te rminos habenti. Et res succedit
que habemus etiam absolutam Cubici gradus in numelis
ationem, pro duabus incognitis
esset gradus quadrato quadraticus. Xp. Xy. Xy Xis, patet prioribus
0 gradus cubici accedere terminos 5, fiunt termini 15
relentis ergo
3 et vel aequationibus 2. 3. Et pro f 16. 17. scribenduat alia
ei gradus adeoque 10 literarum, pater tantum conflari posse 13
ibihrarias, jungendo 2 et 17. Itaque ut absolute eam vesolocum
eo facilius teusandum prius an explicatione aliqua incognitarum
possimus reduccere ad inferiorem. Verum  cum istud sit non
certa methodo sed tottando procedere, et quod una methodo
ino universali X perfecta im fieri non potest, nec aliis omnibus
ambagibus obtineri potest, satis est insistere rationi semel initae
Imo nota orte et sae res procedet, nam sunt aliae adhuc
multae arbitrariae adhibitae inter ulculandum, quae
Quio si sumamus aequationes duabs unam gradus
secundi alteram gradus terti et illam ducamus per
formulam gradus secundi, hanc per formulam gradus, primus
Haberus ola ob aequ gradus serundi, sex summa itaque
Habers liteus compara ob aequ. gradus tertii decem
s
res reducitur ad duas
tiudigemus cilerarum quae erit 6. sedecim. vibus
aequationes unam tertii alteram secndi gradus, Ergo duae ad nc
supernumerariae. Habemusan 2 aequationes resolvendus unam
secundi alterum tertii gradus, adeoque opus est comparititiis literis adhuc
sedecm; itaque possumus jam assumere ducs simplices, quae sunt graduum
lterambitrariarum sex easque mulliplicare per arbitrarias unam ut fint gradus
quinti alt secundi, Calteram ut fiat grodus tersii. imo et sic ambas simplices multipli
edin pur sonisus, patus pul sia quod decunt, nddar, simit, cnil sex en licers
st
si
cum 14

## Folio 2r — 00068243:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
factenus ergo omnesque aequationess duarum tantum literam
usque ad gradum quadrato- quadraticum inclusive generali calculo
ad aequationem duas simplices reducere documus. Superes
Et credibile est semper absoluto et generali calculo rem confici
posse etiam in altioribus gradibus. Nunc progrediendum
esset ad casum trium literarum, et duarum aequationum
rursus eundo per omnes gradus. Inde ad quatuor literas
in aequationibus tribus alque ita porro, ad absolvendam
penitus hanc scientiam, condendasque Tabulas, quibus praestetur
quicquid in eo genene fieri potest

## Folio 2v — 00068243:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio 3r — 00068243:0005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 100 lines, status machine
Problema Arithmeticae Diophanteae
Tres numeros invenire, ita ut duorum quormmlibet summa et differentia sit
Quadratus.
sint illitres numeri quaesiti a. b.
5
a + b Fi 1. a- b pini Ergo ex additione 1. et 2. a p l + m. Eodem modo a +C p et a - cp
et addendo 4 et 5 aequ. fiet a  n + P. et duos ipsius a valores ex aequ. 3. et 6 aequando fiet l+ m  n + p
(0)
Rursus b+ c F9 et b - c r. Ergo bp 4+r. Porro componendo aqu. 2 et 8. fiet
a +C sg m + q at idem ex aequ. 4.  valet n, ergo 1 m + q aequ. n. item ex odditione
ipsius aequ. 4 et aequ. 9 fiet a+ b aequ. n + r. sed idem per aequ. 1. valet l ergo n + Y aqu. 12
Denique in aequ. Z. pro l substituatur ejus valor ex aequ. 14. fiet l + m H () + p seu m +r
Tres ergo invenimus aequationes certe simplicissimas 12. 14. 15. 4
nec vero aliis pluribus opus esse
sic patet. Primum tres erant literae quaes indeterminatae a. b. c. sex autem conditiones
expressae aequationibus 12. A4. 5. R 1. 2. 4. 5. 8. 9. reliquae enim non nisi harum
sex consequentiae sunt. Ope harum sex aequation inventi sunt valores trium literarum
a. b. c. restant ergo ad huc tres literae inveniendae, sine tres ad huc aequationes 
rationaliter efficiendae, ex qu quae cum varie exprimi possint, suffectrit tres eligi simplicissimas
nempe: 12. 14. 15. Uebi illud valde notandum est in qualibet harum esse literam, quae in nulla
pentra duarum reliquarum reperiatur, ut in prima q.) in secunda l. in tertia p. Incipiamus a tertia
nempe 15, quanquam nihil reserat. Et p Et fiat YF 3Co et  p 5E0. et ex
aequ. 15. fiet. m + 9  25 c seu In p 164 sive mp) 4.  in aequ. 14. pro p
substituendo ejus valorem ex aequ. 16. fiet n + gto p 12. et ponendo IFi n+ v fiet:
et
3
(n) + 9cF ( + 2nv + V. vel _ n aequ. 9c - v. adeoque l aequ 92 - v + v, ex 21.  sine
laqu 922+ V. sed tollendae fractionis literalis causa utile erit fieri  3 aequ. Sv. sive
a
E0F s∞. ergo pro aequ. 22 et 24. habebimus: n aequ  Sv - v Fin. et Su+ v )I.
(25
et ex 16 et 25. erit Y aequ. sv. Restat jam absolvenda aequatio 12. quod ita fiete
item exi9. et 25. erit m aequ. Z sv. valoribus autem ipsarum m. en. in aequ. 26. et 29. repertis
30
in ultima quae efficienda restat, aequatione nempe 12 substitutis, fiet. 1 pV +9 aequ. 5 s 
Ubin saciendo q’ aequ V. sive q aequ. V. tunc ina Desublatis hinc q illinc v habtimus hanc
aequationem 64 f 6p2V (+ 42) aequ. Sv- 2)V + (V. sive sublatis fractionibus et divisis omnibus
62
per sv, fiet 64 s aequ. 95 - 18.  adeoque erit saequ. 18 adeoque solutum est
problema. Datet autem indefinite solutum esse, quia litera V manet arbitraria
64
57
nec refiert quod s. nihilo minor est, nam praeterquam quia id corrigi potest per v, etiam
nihil nocet quoniam non latera sed eorum quadrata quaeruntur. Hinc jam ralores
quaeramus: _, 4. habetur ex aeq. 31. per V. arbitrariam a ipsa s inventa est aequ. 33. eax
ragua  v per 29 eria M aequ. 4 C- 1 D, seu m vgu. - 24 v. et ex 38. et Y p  v
ex aequ. 27. erit 1 . 18 v +Y, seu 1(0) 32 V. at ex 26 erit n p
EE
IiC
 ex25 erit lo H.  V.  et  et ex ig erit p aequ. - 6 v
5
(37
evar seu n+ -73 B
110
et
Inventas ergo literis
37
subsidiariis sex. l. m. n. p. q. Y. non habebimus et principales a. b. c. nempe per aequ. 6. fet.
a cet 737
2, 1107
+os
st  + 3b p, seu a p 73 + 3600 pr. seu per aequ. 2. fiet 37 +4d
Ei1
Refumamus inde ab aeq. 12.
2,1107 C16.
2, 1S
in +47 n. sit n aequ. m + d. eit ( 49, (metmid +d
et maegu. P d. et faciendo  ed fiot m aequ ed- d. et n  ad +d
(10)
jam nunc valorem
substituendo in aequ. 14. fiet: et + 2ed + d + r aequ. 1. adev l aequ. Y + f. et fiet;
2304 1
eod eu (+ ars +f adeoque - f(Y. sine faciendo dfof fiet: 195 + re9 f + 8 f- 45 4
et ((23
S
f+209f +9f +4f S
superest ultima aequalio: n +r AP. seu capp- 2695 + 95 + C3, +2 g. + g- 4 ) f2p
(25)
pro p suibatur h h9f et seu t hat. et aequ tin es
erorsi regse
y
(24)
22
anis divisa fiat
73
 p patet hic primum f. esse inutilem et ubique tuuli si faciamus pFihf
aae fiet enim hYH 4g2 ( e =1 + 1() 9.79 e+ 4
(29)
sit hp 5 L. 44. et phe ponatui erit P P + 2S t + F. resolibili in quadrata duo fit, 4 (t= as fu+ A2  5 4 + 2s F F y h
divellendo faciamg: 5+ - +1= 9e
et StN 3dF1 2 - 4 +⊓ Z9 -1  hd F) C97 - 4
vel str) 29  1. et si + + B 331C 21 -4. eno tr 29C2, 9 1C i1 4 S
52t
3+ 48
4C
384
1369
2304
3673
prop

## Folio 3v — 00068243:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
e
uatrien aronre
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
5- 3
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

## Folio 4r — 00068243:0007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 109 lines, status machine
Invenire tres numeros ita ut duorum quorumaibet summa, et diffe
rentia sit quadratus.
2
(4
(5)
1
sumeri a. b. c. Conditiones a+ b ( a - b p m a +Cpu a-c F pr b1c. 1. 5
a(tB) +a CB) F) l’ + M  Ergo a FI lL m. a( d + aCD ,, n + p, Erx aF n+ P. Quos duos ipsius
1
a valores aequando erit 1 + m p, n +p. Eodem modo b +c + b - C B q +Y. Ergo bps e r
a- b + b +c p7 m + st ergo a +c m +q. et idem aequ. n. per 3. Ergo n Fi m + g.
(14
a+c + b - C ( n +Y. Ergo a +b, n +X. Ergo per 1. ae erit P f  + 1
si in aequ. 9. pro
1 substituas ejus valorem aequ. 14 fiet (∞+1 + m  ( + p. seu pm +r. Utamur
ergo his tribus aequationibus 12. 19. 15. Quippe simplicissimis
Et primum in aqu. 14. V_ n + N.
faciumus (F r+ e. fiet: C (Varre + e p n LB seu rei n -e et 10) n 4C Eodem a mod
2c
resolvamus aequationem s ponendo Gp n. f fiet (D) A n AX- 2nf 4 p. seu nfi m+ f. et m-flG
se d utile erit facere frhe. et mti hgc: erit n, h. g  + tc
rhe
C2)
vilche the. ex
es vitix-4e. Nunc
seu r
ergo solam quae restat aequabionem , 5 absolvamus  explicando n et r in ipsa habebimus:
p  lge + a v he - 8vhe 4 16e
4
2
scribatur: 6 P p, 649 si + V ht - 8VH
=XV s
+ 4 X
110
seu 64P 5 64tig + v+ h2 - 8Vh + 16.
+ A16
+ XVH - 4X quae aequatio dissolvatur in duas:
64 P1 8. es 6 8pG Yt - 4 + x
59125 XV - XVCX, 9X -∞, 10. sive
nat
fiet 64gco X - Vc X + 4 - x f16 s? scribatur ruisus: siet inde no
648 co X - 4G x 4 - GX  YCo X + 4 + 4GX G
35
645c6 48   X,70 seu X p64918- 48 3
6
epe
(32t  onis
Vel et aliter 6co X - Y Co X + VX + 4 - x - 4 X. 7. aequivalet aequationi 31
seu X645co + 
seu   16
144
et
fiet: 649 c5 + P + 6. 645co 4 + 4 p  16v c0
(36)
vog
Quos duos valores inter  aequando
Ponamus vsesse cognitam
quantitatem, q. scilicet pro arbitrio sumta, et faciamus geo 1 γ:sid: eo
tut turbamur quod _ g. +1 et fiet: 649c0 +1 +6491c0 4  +44 169 + 39 + 168
649  se 2 + 69 c0 4 p+ 40 f 1692  510 + 1610
dividatur haec aequatio induas ap +64g 54 et 4  Ponatur 97
+o g fiet: i 164 i,  ac2A 16 64+ dco
9H.
Y+ 649  44  + H B (g c -64 9 1o + 16o seu Bf 165t-149  +rc d 5-
scribatur 1 +649c0 41 C  A 4AY N   + ansutu
seu
+ or
et fui:
sit  (3Co et fic
Blo B∞ +649to +(3 + 4 at  1692 ct-g  + .C coV
ficit birg Eo β ( 1694-649+ 16. et B + ap opper se  p
64q
ergo int oveut non et
1+ 4bc0  et 
oaedis e  et aB F o
aliter Fo 169t - 6 g + 16 et 644  + AB. rusus absurdium
64g co + (3 +64 g c0 4 β + a (Co p 169t co + est g eo + 16co
2co 1 169 0+ 329 co + 16Co
aco
se 5+6  p ihos  (329 + f. seu _ d( 1 49 - 4
et β + 649c5 4B + aB C 5  co p. seu 1 +649 co 4 + 4βco - s βa p7 0.
249
BF
1
77 e 
et rusus ext 4 fiet: veok p 2 + gX. seu
(39
divellatur in duaf. 649 co - vceX +  X po. et 4 -  - 1x 0
50)
et et 649 k - X rH + 4X - X 57 0.
Faciamus hp, cox. fiet. 64  siveltopt 10d
Div ellatur in duas
61
110
con
C
19S 482co p, S 4 64 d g co . sit S5, Bco
fret: 49  co- 4 pi cot - 1b f + 16 ( du + 64 nga
269+16
ged - et rursus = 1691 4+ 16464 9 c6. seu (1 649 5
2 4c g o1 16 
6 4 (nco4+ n co + 16
50Y 2+ 156
4e
256
+
89r+90
5 -29 + 110
297-9-1

## Folio 4v — 00068243:0008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
(5V
quatio 31. nempe 6464g 0 ∞ - vco X + 4- X p ita commodissime
(37) 
(33, 
divelli poterit in duas: 649c0 X - X 70. et -vco X +A0. fiet ex priore
+
64g c0 A4. seu 8ga seu  H 169. et exposteriore seu 33. fiet vcox fh. seu Xp
(+2
et.
seu ex 35 substituendo valorem ipsius eo ex 34 fiet: X)(
E)) agth2d. hu, et vh  (+) 2 sed udc sit r, 0 quod esse non debet
649 pX  16. Ergo 88 p4. et 29 Y g +, inde ge 9r1)
+9+1
veo
. seu X B9. et quia ve 9e1. fiet
64g c5 X - Gco X - 2 g10 x = 1o X 1 4 - x 70
64 9c5 X - v 10 X + 4 - X (0. i 6ag A _ XH 169 5 )) 4VC
b4 g co X - g co X - 2 g es X = co X + 4- X +gF) 2v. Ergo aVB 2g. p5 +1
10.
seu faciamus 64go
I + 2Co Xg B + 2CoXβ + ( - 64g cs X - 4
X
fiat: 2c0g β + 21o Aβ - 648 c0 +  Yv. seu βF
ex (3- 4 sit quadmtus.
3+2 sit p N C. et B. 2 p Apst
1649c6 -
2c09 42c0
seu BaE sit p ()- n A
seu β1 Nn - 2. F Ap +2. et AM - A M p, a
sit A ) N. et A -   . fiei Ap 2 + p Y) N
et Zn + pi g, N. seu  sep 3( fiet ++ e p, 3
seu np 35. fier 3BV + D N B 1 et Np 1= 7 3
et n p 1-23 et A
12
12
3
Ergo 1- 13 - , - 213+ 7 
145)3 seu 433 ,3. 43, + 12 3 . j
seu a3  2 - Z 3 sita
(P. 4 ⊓  (B+ ep 2 βs Ergo Brjo- 
25Y seu 649 est 2N = L s p) 2C09 N = 8 Cog 4 rco - 810
seu 648c5  N- 4
2C09 + 1c0 H
= 4

## Folio 5r — 00068243:0009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
i invenire tres numeros, ita ut duorum quorumlibet summa
et differentia sit quadratus
Numeri a =
a. b. c.
Non absolutur. alibi absoluti
a+b  12. a - bf2) m a+ CFn. a - cp.
a + b + a - b p 12 + m.. Ergo. a, 12+ m
a+ C + a - c H n+ p. Ergo a net p
b+c + b -c p q+r. Ergo bf ) qu+r
b+ C 9. b - e, 1
) Ergo (+ m F n+ pV
C2
a - b +b +C 1 m +9. Ergo a +C m + st. Ergo per . erit W p m +qV
2
a+C+b-C B n + r. ergo a + bf n+ r.. Ergo per 1. erit 12 t 4Y2
N in aequ. g. pro l substituas ejus valorem ex aequ. 914, fiet pr +ni +p
adeoque erit  p fi m+ r. Utemur ergo his tribus aequationibus 12. 14. 15.
Et primum in aequ. 14. PBNr. faciamus ledr + e. fiei. Vtrete nr) et Y n-e
Guippe simplicissimis.
ac proinde 1 n +C. et faciendon . Eodem modo resolvemus aequationem 12, quae dabit:
punendo qpH - f. fiezu: ( m  v  2nf + f2. seu m + F + n. et m - pr (10
e
sed utileerit facere fB he. et m ghe. eit np Ph C+ hCZ
20
2he
(22)
hurc valorem ipsius n. substitueu in valoribus literarum ret l. aequat. 16. 17. t sed prius compendii
24
causa faciamus 9 + 1 v. fiet nti vhe. et r vhe ex 1olie-4 et  0k et 4e
his ita praeparatis ad aequationem 15, ultimam resolvendarum in qua p m+
per
sive ert P 1, 9 per aeg. 21. et 25. erit p SthC + vh e - 86hCr+ 1602
seu ex ( 64gLi + vTh- 8Vh + 46. Ergo ut valor ipsius far 54
 sid quadratue nece est
e opu est fieri Ubi necesse est valorem ipsius
V ex aequatione 24 rusus
in ejus locum substitui est autem ve 92+ 49d + b9t A4 g + 1 et v, d429 +1
sosi posset fieri 67gk ) 16) si fieret 649h + v h4- 8Vh + 4 , V h2 + 8Y + 4
ac pro proinde guadratus. habent ergo aequari 4 et 49, et Y seu aber poni
e
a
4g 29] P, seu 2977 g + 1, quod fiet ponendo 97,1. posita enim 9p,1.
erit yβ2 et ex aequatione 27. fiet: 64p  64h + 64 ht - 32 h + 4
seu 64 P 1. 64 h4 + 32h + 4, et ex p, seu 16714 1614 + 8h + 1
ac denique extrahendo: 4 p (33)
et
N +h + 1. seu pe ate+e
Nunc ergo a ex aequ. Grent: 7 erit pet 2t 30  erit h5 +  + te; 3hC +e
et ex aeq rursu erit a p, he+ sed nunc video absurditatem, fit enim ita n pyhe. per 24. 30.
et m etiam p, he per 21. unde M Fn. Ergo a - bB atc. Ergo c+ b 70. quod absurdum
Ergoaequatio qu. 294+ p0 Ergo non licet facere uti aequatione 28 sod alia
sed alia opus est arte, ut si fieri posset: 64927 6v h - 3. et generaliter debet
foeri: 64g ⊓ _  x XVte + y. ita ut sit 64g C v h- 8Vt + 4 sit quad
adeoque debet esse 4 4 +yp, 64 - 16X + X. seu 7 46- 16x+ ~
seu yp, 12 = 4X + X. et 64g5 X Nti + 12 = 4X + X. est autem vp 1 + 5,
fer 649 p Xh + 2Xtig + Xti g + 12 - 4X + X
sed hoc nimis prolixum, aliter ponre. 6497d  - 16
vp 1+2g agt
+x .... + y
pro aequ. 27. scribabur 6+p p 64gH + V h 4 W h + 4 pv. 4 +y164 - 16X +X
da
Et dividatur hoc aequatio induas
=Xvs
+
2
+X vto +y
seuy12 - 4X + X
 quarum una erit eti - B +X 0. et Xp 8 - 28t
si scubatur: D(2 aDH - 64gk  - 4v h + 12.
64 p  64g2h + vt h - 8V  + 16, hoc ferco si v h4. 11t + 6p, 0. sed hoc fieri non debet.
aequanda quadrato idem fieret si 64G h - 8 n h + 16p7 0 sen64 q h  161 hi cgt tiagtti
ubi debet g+ + 2 9 + 1. aequari quadrato quood imposibile
Ergo seneraliter faciendum ut sit: 64 g h  - XVk - y p0. posito esse Vh - 8 v s + 16 quadaq
- 64
quod ut fiat erit y + 1bp  1X +x 16 64 - 16X + X, 16- aX + X seu yp AX + X
et fier 649h - x vh + 4X - 5 r0 seu
dividatur haec aequatio in duas. 64gH p X.
1. +X- 4X erit quadratus p, te 2
649v
et V h p4X. fiet vhp 2. et Ggh X et solutum erit problema
est hp  Ng et XB  N
in
XX
+y
Vis

## Folio 5v — 00068243:0010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
Onissis ergo caeteris resumemus aequationem: 27.
e2
64 pr (28) 649f + vt hY  8 vh 
et 1 = xut
+ 4X
+x vhi + x
t
4ax p 16. - 4X + X
(29
Ergo si 649h - X Yh + 4X - X 7 0.
potent exresiduo extratu radix et
inveniri p
Ut ergo efficiatur in nmes rationalibus aequatio 29. divellemus eam in duas:
(30)
64 gh - X fjo et =xv h + 4X H0 ex priore posteriore, ubi feliciter evanescit
fiet vh r 2. seu hF 2. Ex aequ. 30. fiet X p, 8ghr seu Xp 16gh, 1 169, 2
3
est autem supra V p g + 1. ergo fiet X , 32g
eierit E BP vsi 4 + 
+1
N4 +4 4 169
9+1
(∞)
seu PH  + e +  16g. sit compendicansa p p - 1ege
92+1
2+1
Et ex 24. n+ e. foret etiam L∞ e. quod est absundum foret enim Ypo.
ergo non licet sic divellere aequationem 29
si esset vhp. 2. fieret hp 2 et fiet n1 - e et ex 17. fici lyte
seu lp.n. idem lprte, ergo rursus Yp.. non ergores procedit ne sit quidem
v
64 qu - XV, eut X p, (+ 9. et rursus Xp, 16. Ergo v B4g2. et v, 29
quod rursus non licet aliter. 649 tr 77- 4X erit X, 19 hi. mitus ti X
uende idem rusus
si esset Bh +Vh + X( A() X p0. seu X 1 (p ti0 + 2
rursus X Vte L 4X - X 0. seu vtir 4 - X seu Xp 4 - vt 
sed ita fieret psghe  in quod absudum.
siu in aeg. 29. faciamus hp CX. fier 64928 X - rco x + 4 - X 
uunde divellendo A= 64g cd X BZ. seu dCoB i sive Misco et
vcXA. seu vCOKHL. est autem ve 9 41. fiet XN C +C
sed ita rut sus Vh pu2 contra atentum
C4gx - V in aequatione ascribatur:
+6+ g’ coX = X 10. et rursys: vcd X p 4 + 4GX + X G
xa
=
+
2
fier vcX 2 + GX et XM nong
et X p 64915- 49- + p 2 +2
645 HXH  Ergo 495  8. atsurdum
vco-9
649e5 X - vcs X + Xp0. fier: X 1, 649 c + G
v
 quos des valous aequando habebilio
rursus 64 4 - x - 44, 0. seu Xp 16 - +4x valor ipsus Y, qui solvet problema
seu 4 16
1+ a H
fier: 619c0 + Y + 649254 +4  16γ c
+
qua divellendo aursia
ug aga
fiet  16 6a gC0 Gco 7V. et Bc 3. fiet
6FV + 1, 6474 ( + 41 p, 168. fiat 148,,D 2p + 1.
eutus 6a) +  + 64V a  + (, (44) + 4 + 1v ego habetur Y.
et ex 28. et 29

## Folio 6r — 00068243:0011
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 145 lines, status machine
Profentus Alyebrae diophanteae
Aprit. 1676.
Quoniam factus duorum numerorum non potest esse quadratusue quim factores sint ve numeri plani
similes, ec id est quadrati vato multiplissatuorum quadriterum per communem menfuram, ut cb in cde
num
dabit Equadratum. Neque alia orma numerorum quadutum producentium excogitari potest, quae non
huc redeat. Ideo sequitur cum faces edutrun mulli quad duo
numeri aequandi sunt quadrato, eru suffecturum ut factus ex ipsis aequetur quadrato, modo postea
observetur, ut communis mensura vel tollatur, vel ipsament ad quadoatum postea  arbitrio explicando
attollatur; ut: Ve_ 1 4 X et y -x. aequandi gradrato. Sufficit factum ex ipsis,  -X, aequam
ita
quadrato, ided fiat: (ya( 2yb + b erit:  31
b+ qio
2
B
 et y + xp b + x + 2bx. et
y-X p b + x- 2bX Quorum factus quadratum, sed et vinguli quadrati sunt multiplicati percommu–
nem mensuram . quod si jam pro b substituamus 2C. fiet . y+
c++X
4c
Y- X 4c+X- 4cX. ita statim fecimus, ne singuli quoque quadrati sint.
AC+X4CX. et
4c
Videndum jam an hinc
problema illud resolvi epossit facilius: Tres numerogi invenire, quorum binorum summa et differentia
e
quadrati. X. V: Z.
Ergo
debent X + V
X = 1
etiam ... . . . X -yt
X+Z
X -
X ya
V+Z7 esse. quadrati ergo
Ly
V2Z erunt quadrati, hi ergo summarum
ac differentiarum facti aequentur quadratis, et videamusan inde fieri possit, ut et singuli quadratis
aequentur.
X2
 d2+ qu
c+I
e
Y H1X∞2bX+ 6. ergo
id Restat +x
qu
XC
s b
A
Z2F
x Z  aequandus quadrato. quod ut fiat facilius ponatur.
par
i
sse  VF CC. fict X  + ee
15 1 4 c e 6)
2c1
et erit Xp C14 + 2C2 it Ct + c e4 et X. Z, erit C147 2c18 + e2 e4- 4147v
+
quod sacili et luribus modis fieri potest.
X seta ZsE At supra
27
fiet 270p
itef
id
ee
jam
ecce
ci2+ ce
2,2
41+v.
Resumto enim tantum (X- ZV p  (X  2fX + fr, fiet:
ct, quem valorem aequandi superiori num. 6. 
it 3 
i+ A
erit
5. et ex. 5 et 8.
+5CyeiZ+e Z
yp e, 1 L
, 1+02 5i 4 se
et Z adhuc manebit arbitraria, quemadmodum et e, et f. jam ex his summas differentiasque formemus:
(10)
_ Xty, H
1)
icqra efri ste f
et X - Y i 275
d1-
2 fr52 + 2f2 et
tref
12 +C + 2e1
+2e1Z2+ 2eid fr. 2+ f
1 21423f
fi+ fer
superest adhuc V F) d4 z0 aequ num. 4. aequanda cum
14+ e +2ei
five
y num. 9.
ei
reif + fez+ se
f1 + fer 61)
eu
Ponamus Z1 ad. fiet
(13) i4 + g d. quem valorem aequando cum 9. fiatfici
2175)
f p +C, 14 et pro Z ponendo g   fiei d p c, 1, S a4+ ir fr, divellatur hoc aequatio in duas
e,1, 2+ f, 212
(16) e, 11
V+Zp viz +ei f, Z,
ex aeg. 4. haec: Ypp  + gud eia, _ siuc YF
(1H)
ap
+
d
(0
5, ietet 11+9
F e, 1, 94+ i2fV
 ex sen d F,1tC i+  et et fier d, f, 1 + 11+q
e,i, qu
551 et C, 149
vel df 14 + dfir g + df et p + df e g  ei g d + ei fr. ponc fp hd. et ex
fiet dhd
A dhdi 29 + AhoD F + dhd aeg
fiet dfit + 192+dfd
+ ds afs
13
(1dig d + (d P Hd pone ep 3f 4
18 + 8 isg + dus ti i + d si gr p A135d + h155. pore d Mi ser in aequatione
a(iy
IB +1697+ m 15 + mi s sp Xihapii hissi ponamus: itgti
fiet df, iltC
rgd+ sa
ei unde sie spriori inveniri posset 9. Salisessea Bn + Bn s ga2 = j2 f. etgu
C
(117)
(Dividatur aequatio 17 in duas ds11+ 4i gr eidt sen fit + fic
e
28)1
sive dei + deq f ei3f erit de ex 19. de  f. 1+ pigt et exri. de  13F s. quos valoes aequando ft
quod est imposibile non ergo sic divellendum. Ero daliter, quidem hoce
iTui
Auidu
ed gr et dfei edfeg
1+9
gei3 fa
a
oB 23. et AS A

## Folio 6v — 00068243:0012
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
 pone e 3fh. per Ca
sicas onon no
(19)
+ 1891 + d f sir; 2 gpr  h139d + hisf
4 c
di
 mlanto rntinE miniuo
Divelluum in hac duas: 18 + g + X + 2. AficC e 
(20)
Divellatur in deo scribatur 18 + 1692 = dF t P 4  f29 + I 4 dF h rig- 1 d hjus p
11+E
s
id +h5f 
est
(27) acut ooata TF
sui fet gna.
27), ip laerum A
 actis
die
 218024 1i 2 p hi ceet his fr et d p - 218= hisfa  - 15a 2hf
dipdepitest ha ex ferhoqratio niper rshet A  hts tns
 pone 121 + hfrp, 14+2hf. fiet du FNN pic
et 213+ hsp
deti X- y
d
t
duem.  p
miu
v 
24 +2h pi  et hp, 213 p = 1 aa C00
e
en
aat per onome
2
vy Z tWv. y tratur
N - Z 1 a 37
2
2f2- sp
+
EF
X
+v- +W2  C. K
Xp ~β2+ a H q  aβ - ay
ee
 Ego  d5726
AI
ti
N ed Ar X1, B qr x. y  r9 S2. Ergo Xp grEp, 9 + y Erro gr. Y 7 Cy
r
d=Z  et XB gr2 +9+
x
vur, 127
sd, vW H
c
nacor e 1xd
rpra p +A insi
57718
.Ergo
nuper
a
a 
 CuPY
r norior
 consiceantur haec cum prollema calculo alibi a messuscepto, pro problemale,
quod de tribus numeris quorum summe et differentiae quadratus,
Partin
in
facilius difficilius invenire tres numeros, ita ut duorum quorum cibet differentia site
quadialus, quam nes numeqs, quorum quadratorum differentia quadcatus
quod magnopera imposterum nitandum est

## Folio 7r — 00068243:0013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
X X. y. Z.
X. y
  guadrato Kp Gb. X. yp c42.
X Erge X- Yr Cd. Kp cb ypCdy.
17y7 cB. ce ret XH bcd.
X Y (_2CKF C. Ergo XH et
eue
X y-Z HXN - 2d5 + d2. et yd+
denique. X= Z X = 2CX + C. et Xp e+ 92ea
jan paulo ante XH C+Y. et pro y, substituendo
valorem, X X pC Dd4+ 2d1Z +34 ∞+ ZV
et fiet:
un du I
2C
4caetde(+2d2C+ 244 + 2013
divellatur in duas
At
1dc 11e120f. eni ci
d
gt  oc d42 si dt 27a
+29
sier d + d9  et d5-F er es
superest V
8
Ec
Cx72Z
et sed pce AZ Add H 
e d9pX. et
dAd
1.
AC
t g+D(dC et sumta egh. fiau gh
seu g h. Et slutum
v-9 + = 1I _ + X τ0c00V

## Folio 7v — 00068243:0014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
a
e
v
at
e
Ae
a
t DrL
.
eu
 Ja
an
a numd
al 6,0. 10 0 p7 100
L. L.... t
2000 0
53Y
1
 + + tp
12t
2.0000
9
e de
 xP
et
eu u
s
p
e

## Folio 8r — 00068243:0015
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 147 lines, status machine
tres numeros invenite ita et duorum
quorum lebet, sumaia qua
ath aequsar.
4
2) Sit
3
atb equy. Bc aequest
(6)
t
a aequ. X+ b. ea a isqu s- Gaequque
per 4 et 6. serit b aequ X - y +c
(3)
Ergo per aequ. 6 et f. fiet. C aequ. - X +y.
b aequ. (X v +Z
(10)
a aequ. Xtg 
2 quorumlibet
us inverite ita ut differ
si ruaduiu (11)
N
(17
(13)
Rur a- b aequ. l). a- c aequ m. b- caequ
(14)) 2
(5)
(6) a
aaegus  +b. asegu. n +C. b aequ. 1 +C
(17)
per 14 + 15 erit B aequ.  lm +C
Ergo per aequ. 16 1 16. ie  ec evanesce
(18)
C. fiet 2 aequ. - 1 + m seu fiet
M aequ. l
B quod est mira bile
nempe C posse assumi pro apbitrio
+
2
itaque non potest effici ut tres dati mulri
Vgn r XL Z2
x
tnt
p A
aequet numeri inveniputur, quorum differentiae tribus datis quadrt
equentur sed tantum quad ratis pla assum ts ut dequatio u monstrat
nugerus abignis mmi potest pro arb minimus potest sumi
prouibitrio, poterimus et afficere ut medium et  art
manmincu pro arbitrio assumere liceat sed tunc mitandu nonnil
erit calculus. Quod si jam quaeramus tres numtros ita ut summa et disse
nenti quomanlibet sit quadratus, prodibunt aquationes talest: 
a aqu2o2+ n+ (per aequ. 19. 16 seu a aeui 124n - 4+ t 1Z
 supra
aafi X p 7a frgo 1+ pe aeqo. XZ2 Rurs 9n per 16 et 8. fit bgu nt- +y 4Z2
Lca)
et ideu B aequ siqu X- x +Z. Ergo n aequ. X yt nia ergo adgm ad fic aequa
v
cinsia se in vicem indeundentes :72 a qu. l4n- X ∞per 22. jungamm cum
aequ. 24.
fiet 
po
1e
o)
2
aequ
2y
ngdus et 
nameror auis
quibus tribus aequibionibuscontinitur phoblem invenire tres quantilates ita
quae sunt in potustate, 1
facilligua certissimar ab
ac
bc
ut facti ex binis quibuslibet
di
ili ut dirisi deu
intioge nam (ab aequ. X. aC aequ yt. bc aequ.y2 majoris per minores semper
in aequ. 28
explicetur
a aequ
in ag 20 per
 et aliquid ivefiatur
praeturea
in aequ. 24
explicilur 
X per y et aliqs
praeterea ut
invensatur V
deniqe vel com
D
aqu 2
fiet b aequ ZX
laqu
a aequ 2V.
ident quadratos cmus junque enda
 et dyb problemata in duum)
G
b 2bC aequ2, x
caequ 72
aego X.
aeques
aequ 32
Ceego 7ZX
nx. et n
te
erit aaegu Xy. baego XZ
in aequ. 26 Quae et si Exprimi potest Y aeqo ( Q explicetur
praeterea ut inveniatur (De l. vel contra
itaque in listribus aequationiem ultum:
il per
yr
et in integris b aequ  ZX. a rego xy. Caequ.d
Sper  t invensa ab
qu
x
Ergo in integris id fieri non potest nisi singuli sint quadrati
pendu sa potius aut iidem ut b aeqo Zxy. a aequ xyz.
cunt anl
 denique
2
(28)
e
Caequ. yh
Zaer l. et aliqs uid
)r aequ. 129. 
aqu
2 = n
explicando scilicet
et M per y, et  per M habebuntur Z et  at l bis
spes tam est erit magna 1aequ. t
aequ. ZV
a cgux.  aequ. y.  aequ. Z. Ergo a aego X b aequ Y C. Ergo aequ. L aequq
Ergo fiet  aequ. Z. s
n
respondet  prollema
multialie nide et attitiam et divi sione p. blemati aodditionis
et poltr actione
e ce
M
v N+C
(XGG
+
111
o
Bnx
ty
X y ntnt 2
 aylZn -X 4 1Z
X. +y1. Z 12

## Folio 8v — 00068243:0016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 97 lines, status machine
problema praecedentis paginae
indemre hes numcromm
ita ut binorum quorum libet summa et difflcentia sine
quad rati reductum est ad has tres aequatione:
2 aequ. y +72. 1 aequ X +n
s
(2as
fociamus in aqu da Nan. fint; pt
a aqu.
m aequ. l2n2
t2
v
 L  LN+M+2N
incipiamus ab m, quia non rotitur et faciamus, m aqu A+ n. fiet.
m aq. n+ p + EnM. Ergoscum 34fit:  n aequ. l-  Et quia
2
extra lo
20
(3)
X etiam non repenitur faciamus. X aequ.y 15. fiet X aequ y +C
t
cum aequ. 32 fiet:  _ aqu. 72 + e2
(dx
extra aequ. 31 faciemus Z
2
Denique quia Z non repetitur
40 pu2 2 1Z adeoque
qu Z fiet:  aequ
(1
laequ. y +a. jam per aequationes 36. 38. 41. quaeritur exitus
ab
1
haber mulatis fractionibus habemus: per 36,  aequ. 2n +  et
per 41. fiet l’aequ et lnG
2
4
l. Ergo 14qu An nZ +2
E, far:
 aequ. 41. et 44 fict
ve
 (15)3 + 52
22l aequ nn +.
Sed majore compandio omnia fient si equaones 36,38, 41. ad integros
(161)
revocemus faciendo: laequ M.  n aequ VE. Y aequ 0Z.
fiet: exaequ. 36  et 47,d
aeqo 1 38, et 48. fier CZ aequi V7 +Y
e
91
et per 41 et 4. 6. fier.
(52)
O a. x aesu. 50 est VY aq. 213-7. quae
Mpr aequ V7 +7
(53)
aequatio juncta cum, aequ. A4 dat AME (3 aequ 439 - 28
14
le
rursque ex aequ. 53. st aequ ab 4u9 27 + 2E jungatur aequ. 51. fit
8
e
(6)2V
3. unde rursu 0Zaequ AZ214E- 2nZ
quae aequanda cum aequ. 50 feliciter aequari pt sed haec prof. 8- vole
3
jora
potius vassumamus aequ. 31 32. 33. et primum qua ramus y
ipsam
tum per 31 tum per P3. fit: l’aequ. y49u; et 12 aegu he- 72
et jam l’et laequales ergo yh, 16
V
aequ m- n se
m - n - Z. jam eisu aequaetn fit me m gu
2
es
seu M aqu X + 2n +7. Ergo ( per 36, 3y fiet
v
1
x aequ n1  set 1 aequ  seu ni aejo mZ nvem
ergu illas uberas quae bis aderant, . si st. Nam jam erit etiam
07
m -m +Z2tX Z seu 
a
s
vx deniq
per 34, erit  aequ 12) m +∞ Z +X invenimis ergo 12) y. n per
s aequ 439
X. possumus autem 2 invenore n per 39 nisi explicando et
inveniendo M. quod ut fiat quanta possibile est generalilate primum
per 31. exflicande, n per Im invenietur et. Tursus in 41) explicando
 ita sit contineatur in invel L. habebimus duos vatores isssi in ex
aequ 39. et 41. et sentetur inveniti valor ipsius Zet deniu ipsius
F. Si quid si faciamus n aequ 
quoniam multipler his deletis calculi
eror ixrepserat ideo omnia in alia
scheda iirate et feliciter
absoluta saltem
ut constet problema solutum haberi

## Folio 9r — 00068243:0017
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 97 lines, status machine
Insigne calculi compendium in diopeanters
a
X - y p b. X + Z et
(
2
2
X - y p a b
x- Z d
e
X= ZH cd Y. 27e52
Si ultimae tres aequationes efficiantur, et sint X. y. Z. primi inter se
necessario effectae erunt priores omnes.
jungantur 7 et 9. fiet: 
2C11
X H aT+y  Cd +7. Ergo y H Cd + Z - a b, H c5 +Z per 9.
(10)
(12)
Ergo fiet: Cdi a6 + e 
2
(4)
163) Css est + yt Ergo ZH ( Ca b F (X Cd
VH Xab H
2
seu cd
(15)
5+CS ut ante: sit cd p + ab(4) ef + g
(13
fiet cd (ab + cf+ g + +(F) rabes  F 2abg (4) 2efg 1 (a6 + e77)
et abp 97+) 2049
=(+) 2ef =
sit ve xAhx a
X ab + (X 2xh+ h
thd
Cdpi.
=1
2h
2m
ca
2
 et X cd + m ab+h
et 2m A 2h
Aim, -ne  ab +ef2
2h
fiet: ab  2hef +2hm-imiti xhers +tm
ua
2m - 2h
I Am. ph
dA
resu ( 3(Bresu(+ rgest r9
(H2etag
rh
XY CZ+ m effiet ex 8. 2+ 2Zm + m, Z+ Ca
L
n
a
retqe
A() ref =29
fier XC aeb +h. et yp, +ab  +2)ti ab- t
Ek
et Z1 Scd-m
s
-y
e
sunt hes plure sese formulae quadrato aequandae, factum
ex omnibus in se in vicem aequetur quadrato, quod si
illae omnes ponantur primae interse, necesse est
etiam
bXy + CXY + dX
6X t cy + d7
1X
X+y  b
(4 bX  CG X+y ⊓4
Y+ZB C. y- Z H f2
D
ingulas esse quadratas. idem est de Tubo
uod
si hoc aequatio
av
=X
+X y LXG
X-y
X -9V
X7- Xy = 7Z0 + yZV
2
+ et 7V
Axt -g4
XZy) xyt
V7u
solvatur, in numeris integris
strimis inter se, habebitur habentur tres numeri x. y. quaesit
X
qu +yZ2 abedtu
cy
y-
2
1
rutionalite

## Folio 9v — 00068243:0018
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
Pondres
7

## Folio 10r — 00068243:0019
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 121 lines, status machine
v. octobu 167
promotus re
Arithmeticae diophant
habeae minorum rationatem, ita enim si
s
ratis seriibus ex quibjagnosci possit an aeiquatio data
preter datam aequationem
v. 9. X + V (3. adhnc aera supponatur
ut X + 6V + X + Y + C. p0. videndum in sufficiat una imognita sublata provenore aequationem
divisibilem sive rationalem ita emius ut s hoc loco fiet: X + y 1 - dy - C 113. Ergo erit yp, e+3
a
ergo sed ita substituendo non habebimus valorem ipsius X absoluto. Quod tamen ita assequemur si pro X faci
9+ b. fier Z + 2bZ + b + y 13. et
modo, qua non remaneerd Z.
eiit ergo
3V + 267 +6 +y  FdY + C 11. sed hoc inutilo; hoc
t
X +(3. C +bC7G
1 A1 Y3a2 = et -60 = 9
a
ergo debet 3d = e = 6C = 9 esse quadratus. quae difficultas est aequalis curo difficitor data
ergo aliter praeter aequationem X +y 3a ponamus X +Y + dY + cX +C1v.
i
d
fier
st
dy +
CX
+C  - 3.
+ 2d eV + 1d + C
+ 6.d.
aequatio
+b ea
9a2)
-
6a.
1
et X H - dy - e - 3a
)
bec 3- y
a
sive
=
d s - 64
d
= 6aY (F 9a). Quae aequatio videndum est an solvi possit
in numeris quem in finem faciumus
+
d
2 + 2d ba
+ 36a
d+ + 2d6a (+36a
4
CH- 3a
( 9a) a= 18a
4, 3a= (0
Co
crit
et deber dt + 2ba esse quadratue. quod  fieri potessi
sit ille _ d+ 2deo +co. fiet: 26ap 2 dco + co  et dp 364 434 = co
et fier
2
+ C0). et y 1)
A
a
cas
+ 3a 4
co
u
1594 - 8, 3a + Co
sed satis agnosio nos non multa hiecu
con
ducturos nisi quod
quaestionem propositam simplicem mulide poleriu en mide
ompositas quod dicissimi seroiet ad posilas rednebuda, ad simplicest.
sioner
Gene
vera methoiu redo, in eo consisteret. ut generalis fiait substitutio v.g. data aequalio est
+ 2
B
Xy
e
3. Fingatur aequatio: ed
dl
+ Xy
+ X
a- 1 1
Va-2
etc.
+
X.
c
 - 1
d
XC -2
o- 3
+ V2
sed satius ne in in infinitum rabeat
+ Y∞- 1
certuri
efigere gradum pro X+ quo X et V. summa aeq potestates aequalis sumuntur et fiet
Bat
N + XC
X P
X
-2
erc. et X. v
d
3-2
et X
X
X
β-1
81
ata ordine; porento quaslibet mulliplicati, excepto. uno y. quod mulo affectum, quia
calculum explicationios explicabimus generalem.
4
Y-2
(3-7 2
a
(

## Folio 10v — 00068243:0020
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
e
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
natu
30
eeeeeeeeeeeeeea
GOTTTMLS TRICHLLMELIBHIL BIBLIOTHE
AIEDeKCHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK

## Folio 11r — 00068243:0021
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 12v); this page is its right half.
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio 11v — 00068243:0022
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 12r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 128 lines, status machine
(17
invenise tres numeros ita ut duorum quorum libet
summa sit quadrajus.
a + b  X.
4
fiet: c aqu. - X + y +2
a - b aequ. 12.
(2)
a+ c r yt.
btC s 
b aequ. +X- 9 + 22
a tqu. 1x +y 
a - C aequ. m.  b - c aequ. n
(12)
(15)
a aequ 1 + b a aequ. m +C. Ergo. b aequ - 12 + m +C rursus b aequ. a C.
(10)
invenire tres duo numeros ita ut duorum quorumtibet
differentia sit quadratus
(1)
4
fiet n l’ aequ’m- n manonte C arbitraria
(11)
12
(4)
 aequ. m - n
invenire tres numeros ita ut duorum quorumlibet summa
et differentia quadratus.
xnssniua
per 6. 11. fiet: 2m +5 aequ. X . per 4 erit 2m -X ( y  Z aequ. X (  et
(15)
seu fiet: m aqu. x - Z2.
(17)
per 5. 13. fiet: 2n + 2C aqu X- 7 + Z2. per 4 erit 2n- X +y Z equ. X. es( 2d
(18)
seu fiet n’ aequ. X yt
Omnia ergo reducta sunt ad has tres aequationes,
12 (14)
aequ. m - n2
quas ita absolvemus.
(+
(16)
m aequ. X. Z n aequ. x= y. seu
(19.)
sit aeqo  fn fn
 m 42 ms + n aequ mn seu f
(24) 
seu im aequ A
f2+1
fiet
C2
in +n aequ m +n. et m aequ. 
+n
16)
sit Z equ XPp. a fiet ex   hitm n aqu (X - ∞ D p + 2xp
(2)
seu
It + 1
ns
et X aqui n 1)  +P seu x aeqo 2 1))
t
(14)
ecece
aequ m- n
(19)
m+n aequ P9
(24)
X +Z aequ
X+y aequ Up
(34)
Lu 65t
(20)
(18
(1)
(12)
f+sn
(13)
m- n aequ pat. fiet l aequ. pg. m aequ P 4+ PY. Mago Yq. p
25
X- Z aequ r52
X. y aqu tr.
fiet irsaequ p4, psq per 22 et 26
2tV aequ. p4, pg per 23 et 31
36
rs, r+s Eequ tv, + +V per 27. 32.
en
2
(2
(16)
fiet maequrs X aequ r(+rsi xeg. rS. rs1
32
fiet: n aequ. tr xago tv+ t. frgo tx. tr
v
(31)
(37)
aequ
25
etq prs- qus aequ txpt tvu
p - 9
v
dolrs+ tr 
rs- +
es -tn, . typ (t)
AvH ras (fiet rsi 1
 irs+ sin aqu pus pr 14 + 15 cuit gaego sastr
a
rs+ +p f2)
rs - +v
(29)
Ergo 1 +0 aequ rs+ e p- tto osilv - es+ t
(40)
Ers- YtV ago 7p92 erit 14 aequ rs- +
aequ L. Ergo P aequs
seu fiet: rs
r
rs+ tv- rs+ Av
Is aeqo  + +v. +D aego r+s
4u is+ to H
25+ +V
9. et per 37. fiet: 1) aeqe is to
5. 1v
P s+ +
+v
+q
rsntn q
ra de grreit
A
suit

## Folio 12r — 00068243:0023
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 11v); this page is its right half.
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio 12v — 00068243:0024
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 11r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
TFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTH
HIEDERSACHSISCHE LA

## Folio 13r — 00068243:0025
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 97 lines, status machine
2. Feb. 1677. Melioro habemus
pes mullas meditationes hanc tandem certam ad ac determinatam reperi viam
silvendi problem e Arithmeticae dio phanteae; per calculum
 eligi
Anplyticum cuus ope non
entum solvi potest problema, sed et enumeram omnes imol
possibites et demonstrari
 impossibilitas; sit ergo problema datum quodcunque (in quo scilicet incognita non intrat
in exponentem, qualia propre nec sunt diophantea) constilut on scribantur tot aequationes
quot sunt conditiones problermatis, et ope literarum indeterminatarum sublatatam reducabitur
 aequationes omnes ad unam, quod semper fieri potest, si problema est possibile In aequatione
ultima erunt plures una litera indeterminatae, nam si una esset tantum, foret problema
determinatum, nec ullo modo arti subjectum.
si sint plures explicentur omnes per
assuntam literam novam, ejusque potestates ut lubet coefficientibus affectas, substitutisque ubique valoribus
 habebitur aequalio unius literae in determinatae capitates intercedentibus multis minulis. Tentetur
jam destructio seu explicatio talis indeterminatarum minatarum, ut tollantur omnes termini decntis duobus
sibi immediatis, quod aufieri possit valoribus utcunque progredientibus poterit diiudicari, aliis atque aliis sclices
leris suppositis nihilo aequalibus et inquorendo primum in inferiorum potestatum coefficientum valores
actum nec hac viares absolvi potest Sin filri potest per aequationem quandam simplicem pul
reducibilem ad simplicem, tunc absolulum est problema.
quod si hac vin res absolvi non
ia
gyratio ullima
possit, alia superest sumatur aequatio ut a 1 Exemplo opus sit + m + aequ. 3. ex hibenda
in humens, ponatur laeq. a + bn + Cn _c et m aego et fn +gn ec. sumt sposset tamen
et fractio subscribi, ut l equ atbut cnd hc. sed et subititelligatur) quibus in aequatioire exhibenda ubsti
 ne+ abet Cnt ubi lentandae quales drx. destrnctiones
n + InX n Hc
talis fiet:  +anbn + rac ro
e trefn + regn
faego. 3.
si hoc vinres non sucedat
nulla destructuum succedat ad Alteram viam prragrediendum, quae est eMultiplrcatio
+5 n2 2f9u +gnt,
a aequationis datae divisio vel cum mulliplicata comparatio, ut itaque in haneo
a Y n aequ. 0. vel an + n, vel a n + n3 ryn.o. Ducatur aliqua arbitraria
quantum atis est  exurgens, ut aequari possint. semper autem si sint an +n, vel an + n
uea
ultimi in data termin destim posse debent
In eo uno superest difficultas ul sciamus an problema
fortasse autem natura in ea re certum
servat ordinem, aut rem semper reducit ad problema propositum, quoties comparatio non
quod reducitur comparatio sit dato facilius.
Et hoc quidem illud est quod Analysis generalis efficere potest
C sunc contiveremus, quicquid fieridebet innumeris fieri defere aut in integrs ant
succedit
problema autem in fractis reduci posse ad problema in integris ut
ad  l + m aequ. 3. ponamus l’aeqo AF et n aiqu. g. fiet:  + 4 aequd. et erit
corp r+ qp aequ. 3 pr adeoque inopeniendus est numerus quadrati triplus, secabilis in duos quadratos, quod
in fractis 
intener
an pos postibile sit poterit definiri in numeris, debet autem nr esse dibisibilis per p. seu
i nr divisibilis per p. et eodem modo qp diosibitis per Y seu nr aequ. sp et vr aequ. qu.
E et qu divisibilus per n ergo n aqu. SP et q uequ. vr sed ut hae quoque aequaliones
in nomins
quam generaeissimae repraesententur sine fractionibus resolvatur r in tot literas quot
 sunt literae in numeratore sp,  cintiliter enim resolvetur in plures, et fiet
raequ. +y, et ponatur saequ. +W, Ep aequ. yX sed quia moxpterum rediret p resolvea
oda in Y, ideo videndum an hoc caveri queat hoc modo: Fn aeqo sP et raequ. 4P
vel sic P aequ. nr et r aequ. qP ita enim non sint in nominatore nisi literae novo assumtae
et faciendo Sagu 27 et n ongo +W, et Y aqu. yX, fer p ego WX
eodem modo effieiemus Y oego. qP faciendo V ( aequ. 84. et 9 aeqo GB et p seu W0X aequ4 
quae postrrema ut effici possit, runsus deber esse id aeqo YA, ergo Y aqu. 25. et
 aequ. d, et Aaequ. E0. quibus substitatis omnibus, tunc demum in integis
ar aequ. sp. et vr aequ. 9p.
Sedeundo jam ad aequatione np+ qpe aequ. 3pr per videndum quae aliae substitur debean
habebuntur haeducr aequationes
aequationes adhuc quaerendae explicationes, ut tota in integris fiat, seu ut omnibus modis succedat
 divisio, nam etium n hpur - quis dicidi potest per bi debet cujus de divisionis
omnes modi posibiles etiam generali expressione unica exhibendi. eodem modo dividenda
p rero per qu item 3+p27 per nr ut q p quia 3 est numbrus pramus, sed hoc videtum
inptile videndum etioq an non plures, ut r  2pr dividi debent per per, sed
hoc nihil novi dare videtur. Examinandum hic quaenam deb explicationes sunt sufficentes
 o et alias includant, ut an ista 3 p nr per q includatur hac 3per quaper n
itemas
si non ex una saltem ex dirabus pluibus sequatur; caeterum re se non est cur ea dere simi
isolicili, id enim ua sponse patebit, si vidine faciamus explicationes, incipiendo a facilioribus
dEvidenda elia,
numeros depeniri
nrt qp per 3 ergo vel n et 9. vel n et p. vel ret q vel ret p vel ponendo nr aepo 3Co)
videtur hac methodo
2
tandem ad unitatem
eadem expressio continet cuncta, quodin hissemper quarendum
55
E
e
112
am idem
revis
contedem
ei
redus
et
 un
2

## Folio 13v — 00068243:0026
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068243/jpgs/default/00000026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 113 lines, status machine
Q Quoniam nunc tondem habemus radices omnium aequationum, ideo nunc totiores eo redi
hinc omnia problemata dirphantea huc utique reducuntur, sive omnis execntro aequationum in numeris
rahinalibus hac reducitur, ut i radives earum extrahamus, et formulis fingamus ejusmodi quo radio extrahi
possit, m + CM + b. poejus aalix inde M  em + C pC - b. seu H + E  VC b Ergo  = b aequanda
quadrato: aequare formulam quadrato hac redit:
sit c+ b aqu. at ad. ponamus d H C C+b
b+0  b = be + C 5 ∞ e Etrcb+ V hec: b- bctCH C C+b. unde b- ∞b +E
Ergo hoc quantilas 3C + ee+ et debet aequari quadrato
4a
13C+ 
E +c0
+
a
2
Ja
Ut formula aliqua aquamr quaedruto, videtur hac methodo untoersalite fieri posse, sum explicetur,
quantum libet generaliter, i ut C. et b. facieudo C+ a + bx + cot + d  et
est b1 g + fX + LX +KN+L  gC.
Hocum cubi in unum additi comparatur cum aliquo quadrato universplipimo:  cujus radix M + uX + pX 4 que
Unde fit m + 2maX + EpX + Emq X
+-r N 1 epN 1 2n9
quod quadratum cum sit omnium universalissimum
comparandum est formula prposiae A si non
nx +Epp X3 + 2nqa c516 succedit com paratio, demonstrari potest impossibilitas
xgA+) quaesiti.
p
Ulle autem ferte peritadrem melius peranenX Aquadratum Generala comparare cum aequatione denerati.
a A a BX + Cx + DF + Ex + F ent
meA. nn B pB C-  equod si absi
A
s
absit p. seu aquelur intilo, non cu sepo debent ( et B aquarism esselr  ACp  seu B media
prportionalis inter A et C. sed pergamus, , in 9B  Det B
2 vet DA- ABC + B3. Exhis ergo generaliter
 investigaripoterit cgditio aequato num quae quadraticam ridicem habert A eodem modo apera pet
et hac mettiodo tollitur omnis diinquisitio in divisialitates, nam formula tis detet aequari quadratto, neque
refert, si praliquam quadrata aequabitem dividi potest. Continuelu hoc
m +, 2 mu X + empX + 2mq X +2m X anis X da
a H
+ N + 2pP +2p9 tp inX.
ubi notandum simper deplo majorem esse +p2 + ep9 +rpr. tips X
mumerum teminorum quam literarum semper ergo ex necessarum +G. +2gr. +29sX
Ne L Ancto teminerum
numero angatur diff
cublas ayuvandi
quadrato, sed tam
ex alio capite
minutur
quoidenti, tum ut reliqui conditiones habeant quas colatio ostendet.  + X2. + 2 SX gio
esse in aequatione proposita, tum ut terminus primus et ultium sint
M A ne Er PH C-  seu 2CA-B
SFYL. rH Y
t 4n
aYA
8AVA
+iL - K
2mque 4IL+ A - KYA L imp p + biL- Bx BL sL
4L+L
a + b 5 Duad. a. b, quad
PLViL
9n AD BC V  r, EfE. dgA   oc HB- cr
PH
16A2Y
194BC -B4
16L D - 4 LXI+ K3, innumera quaestiones diophinteae
16L2
hic uno solvi possunt simul, sossunt
enim includi unq aequatione generati eligamus
tantum eas quaestiones quae eodem modo
ate  quad. aucus quad bt est quad. b c e quad ac
2a 5 quad + quad. 2b p) quad + quad. res quada quad.
xx componuntur.
atbr 12. aubez m. ates n au p. bt CB qu. b - cp rv. (fet a l 4ne. b7, 1 + . e ato
(en + 44 p 12. seu net q r 1. _ grer nt len n  u. seu l + M + BB n (et 4 nr 
C1
a2+ p (7 (2 + m
auc + b +Cp a +bp, l  p  92
aC, P. Ergo a + b P7 P + 8 mursus aterin  a. Ergo n + r, 12)
BrC nFqu a+bpI
atbr
+97,n
ngrinI
vitr t
verte et
videsignon
A Eodem modo a +CBn. au Ergo a B n t p
atb
a- b1 m Ergo ap 17m
. Ergo bp P +r. Porro a -b Hmi. Ergo a +Cpm +4 n
bcn 1
b+cnq
ilem qeN n. E Equatb seu VB n r. Exnont aequ. (n tr s faciemus le r+ C, fiet: (Arret e r n ()
boc HY et fier re n et et l n 4re pn t eodem modo resolvemus aequationem m n
fucando Ae naf, pei n. (deruf + Fe) ( seu LBn. et 914 52
D
Lam HE+ p Ergo prsi m + 5. fiet P mog sei m  v seu p m + n 2ni Ste et pro
2
AC
n substituendo ejus valoem f erit n et SHif M + Mt. et n A 5 49 flni +0fntq f M + m8
4
+f+f + 6fm jus n t m -9ef- 16f et a  - 8 n  exest
a5V 2B 4
seu exs f + q+m 46 fest + 4FM F m Aliter p , f8 + a( Gs p6f m 145 m + m aus ete sie
641 4 56 +9m + f 16f T
=8e27dm+sC + 16f4C4
hujus formune frectionis numerator, debet esse quadratus, 64P4e
et soluta erit quaestro fam F+ id. fiet. ad
initio pomada: me Xfg. fier: f np F+
nB+Cf rds
fiat noeh erit r hee. et p fig-
rursus f5 e, he ent nr ghe, et un he + hed et Y Le 1g 29E seu 17y hC 1+ 29419t
pt p he 1nsC ergue, AghC + hct- 2 tC +1 quae aequatio facile effici potest
119V e  hec e