# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Work: https://leibnizlegible.com/work/1023099829
# Title: [Traite Du Triangle Arithmetique, Avec Quelques Autres Petits Traitez Sur La mesme Matiere] Traité Dv Triangle Arithmetiqve, Avec Qvelqves Avtres Petits Traitez Svr La mesme Matiere (shelfmark Nm-A 605)
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## Folio  -  — 1023099829:0001
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1 laal11 r11 l11121111111111 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111

## Folio  -  — 1023099829:0002
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Hietioesi disdi0)
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3 HonnOVOI
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## Folio  -  — 1023099829:0003
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030617952
   
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MIIFHIIII GHIHIHIII

## Folio  -  — 1023099829:0004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000004.jpg
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isti

## Folio  -  — 1023099829:0005
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 l 1 1 1 111 11111
sls   

## Folio  -  — 1023099829:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000006.jpg
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1III

## Folio  -  — 1023099829:0007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000007.jpg
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ECLALNTOLF
ITrC
AVEC OVELOVES AVTRES
DETIES TRAITEZ SVRLA
NTESMIE MATTERE.
Par onsieur P ASC AL.
de
A P A RIS,
ACL GIVTLLArME DESEREZ, rue Paine lacques,
2 Saint PFOIDEF.
MI. DC. LXV.

## Folio  -  — 1023099829:0008
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ibd -d ld C t. L
Eiecie rocheiocre 
andesiblicmek
21
TIONNOVEI
M Hehive. 1
le alocl
L
Eades

## Folio  -  — 1023099829:0009
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iis res rls res
2fs
de rse ic
i e  tssshee soh b oss ese
es rs e ut
23
copdotio
coeda
le sse se s e t
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i
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opo pont
dispe
apsporpo
oe
ote
et
t
ete
ete 
lsse
ARIISSF NTEN
 LFAITTCZ N’OME POInE CnCOrC Paru, quoy
qu’il y ayc delia lons temps qu’ils Poiene
compolez. On les a crouvez tous Impri-
 mez parmy les papiers de Monsieur Palcal.
ce qui faic voir qu’il avoir cu dessein de les publier:
Mais arane, peu de temps apres, entierement quitté
ces Forres deltudes, il negligea de Faire paroiltre ces
Ouurases, que l’on a juse apropos de donner au pu-
blic apres la mOre, pour ne le pas priuer de l’auantage
qu’il en pourra retirer. C’eR l’rnique buc que l’on a cu
dans cetre publication; Car: quor que Ces TraicTeZ
ayenc csté admirez par touces les pertonnes qui les One
leus, on ne les juse pasneantmoins capables de pouvoir
Beaucoup adiouster à la reputation que Monsieur Pal-
cals’eltaquile parmy coucesles pertonnes Pcauantes. Par
les Ouurages plus considerables qu’on a veus de lur.
Fc l’on lupplic le Lecteur de les regarder aussicomme
une cholc qu’il a neslisée lur meline, d à laquelle
il ne sest appliqué que lescremene, de plutost pour
delasser Con clprit que pour l’emplover, la juscant
indione de cette application Forre d lcrieule qu’il avoit
accoutue d’apporter dans les choles plus imporrances,
d qui meritene scules, comme il le diloit Couvene,
d’occuper l’esprie des pertonnes railonnables e Chre-
RtienHCS.
6

## Folio  -  — 1023099829:0010
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s ss s s s: oft ffl or s s i s M s: B2 _
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d l li di . it  i
COnTenUS dans cC RecucIl.
Pairé du Friancle Arithmetique.
II. Divers vsaces du Triangle Arithmetique, dont
le Generateur est l’uniré. Scauoir;
YCare du Friangle Arithmetique pour les ordres Numeriqnes.
sace du Friansle Arithmetique pour les Combinaisons.
TII. V Sare du Friansle Arichmetique, pour determiner les
partis qu’on doit faire entre deux ioueurs qui ioient en
plusieurs parties.
IV. Vsare du Friangle Prithmetique pour trouver les puis-
sances des Binomes (t) Apotomes
V. Traitee des ordres Numeriques.
VI. De numericis ordinibus tractatus.
VTI. De numerorum continuorum productis, seu, de nume-
ris qui producuntur ex multiplicatione numerorum serie
naturali procedentium.
VIII. Numericarum porestatum Generalis resolurio.
IZ. Combinationes.
X. Potestatum Numericarum summa.
XI. De numeris mulciplicibus, ex sola Caracterum numeri-
eorum additione agnoscendis,

## Folio  -  — 1023099829:0011
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eeee
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## Folio  -  — 1023099829:0012
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l
e

## Folio  -  — 1023099829:0013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000013.jpg
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divers
Langs paralleres
urerum unitates
Vierum com2nationes X, v-
Cimbinuisons
 in Tabula
1 dans se peut prendre à 6 differeutes fois N
2000.... ...5.-- ---
3. .. . - - 20..
S
............. 15...... K
5............ 6.. . .. 2
6.. . . .. . .. . . . 1.. ..- 2
con3nationes V, y-1, y-2
congnationes v, y - 1, y- 2, y -3
124, 3,
c
rangle Aruhmelique

## Folio  -  — 1023099829:0014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000014.jpg
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A
in Tabula
---
...
s
Xe
Hereutes 50is)V
e

## Folio 1 — 1023099829:0015
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000015.jpg
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ee
ARITFIMETIOVE
DBF YNTTTONS.
elle Priangle Arichmerique, une scoure dont la con-
pruction est telle.
Le mene d’un point quelconque, G, deux lignes perpen-
dculaires, Dune à l’autre, GV, CC, dans chacune des-
quelles ic prensrant que je veux de parries égales, ex con
tiniies a commencer par G, que ic nomme 1. 2. 3. 4. ∞∞ c. ∞ ces nombres
sont les expolans des divisions des lienes.
En suitre je joints les points de la premiere division qui sont dans
chacune des deux lienes, par une autre liene qui forme un trianele
dont elle est la bale.
Je joints ainsi les deux points de la seconde division par une antre
liene, qui forme un second trianele dont elle est la bale.
Et ioienant ainsi rons les points de division, qui ont un mesme ex
posant, d’en forme aurant de eriangles e de bales.
Je mene par chacun des points de division, des lignes paralleles aux
costez, qui par leurs intersections forment de petits quarrez, que l’ ap-
pelle Cellules.
Et les cellules qui sont entre deux paralleles qui vont de cauche à
aroit, s’appellent cellules d’un mesne rans parallele, comme les cellu-
Les, 6, 5, X, ( C. Ou 8, +, 6, C.
Et celles qui sont entre deux lignes qui vont de haut en bas, s’ap-
pellent, cellules d’un melme rans perpendiculaire, comme les cellules
C, 8, A, D, C.  celles-Cy, 0 , B, C.
Et celles qu’une mesme base rrauerse diaronalement sont aites cel-
lules d’unemesme bale, comme celles quisuivent, D, B, , n, e celles-
Cy, , +, ∞.
Les cellules d’ une mesme base écalement distantes de ses extremiteZ.
sont dires reciproques, comme celles- Cy, , R,  B, D. Parce que l’ex-
posant du rane parallele de l’une, est le mesme que l’exposant du rans
perpondiculaire de l’autre, comme il paroist en cet exemple, ou L, est

## Folio 2 — 1023099829:0016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
TRAFETE DV TRTANOLE
dansle second rans perpendiculaire, ex dans le quatriesme parallele;
es sa reciproque Z, est dans le second rane parallele, e dans le
quatriesme perpendiculaire reciproquement. Lt il est bien facile de de-
monstrer que celles qui ont leurs exposans reciproquement pareils,
sont dans une mesme base, ex éxalement distantes de ses extremitez.
Il est aussi bien facile de demonstrer, que l’exposant du rane per-
vendiculaire de quelque cellule que ce soit, joint à l’exposant de son
rans parallele surpasse de l’oniré l’exposant de sa base.
Parexemple la cellule F, est dans le troisiéme rans perpendiculaire,
e dans le quatriesme parallele,  dans la sexiesme base, e ces deux
caeposants des ranes, 5 + 4 surpassent de l’unicé l’exposant de la base
6. ce qui vient de ce que les deux costez du Frianele sont divisez en vn
pareil nombre de parties, mais cela est plustost compris; que de
monstré.
Cette remarque est de mesme nature, que chaque hase contient vne
cellule plus que la precedente, ex chacune aurant que son exposant
d’unitez ainsi la seconde e 0 à deux cellules, la troisresme A + n ent
a trois c.
Or les nombres qui se mettent dans chaque cettule se trouvent par
cerrte methode
Le nombre de la premiere cettule qui est à l’angle droit est arbi-
traire, mais celuy-là estant placé tous les autres sont forcez,  pour
cette raison il s’appelle le Generareur du trianele. Ft chacun des au-
tres est specisré par certe seule recle.
Le nombre de chaque cetlule, est éxal à celuy de la cellule qui la
precede dans son rans perpendiculaire, plus à celuy de la cellule qui la
precede dans son rans parallele. Ainsi la cellule , c’est a aire le nom-
bre de la cellule F, égale la cellule C, plus la cellule F;  ainsi des
autres.
D’ou se tirent plusceurs consequences. En voicy les principales, on je
considere les triangles, dont le cenerareur est l’unité; mais ce qui s’en
aira conviendra à tous les autres.
Consequence premiere.
Pn tout Priangle Arichmerique, toutes les celtules du
premierrans parallele, ex du premier rans perpendicu.
laire, lour pareilles à la generacrice.
Car par la construction du Friangle, chaque cellule est égale à celle
qui la precede dans Pon rans perpendiculaire, plus à celle qui la precede
dans Con rans parallele; Or les cellules du premier rans parallele, W’One
aucunes cellules qui les precedent dans leurs ranss perpendiculaires, ny
celles du premierrans perpendiculaire dansseursrangs paralleles, donc

## Folio 3 — 1023099829:0017
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
ARETHMETTOVE.
elles Sone roures égales cner- elles, ee parranc au premier nombre ge
BCTaTeUT.
Ains, o, égale G F zero, c’est a dire e, égale, C.
Ainh A, égale o F zero, c’est à dire e.
Ain( 5, ésale C Y ZerO, _ n, égale 0 Y Zer0.
Fe ain(t des auEres.
Consequence seconde.
Encout Lriansle Rrichmerique, chaque cellule est égale d
la Comme de toures celles du rans parallele precedent.
compriles depuis son rans perpendiculaire iusques au
premier inclusiuement.
Soierne cellule quelconque a, je dis qu’elle est égale à R + d Y L
Ye, qui Ponc celles du rang parallele superieur depuis le rans per-
pendiculaire de co, iusques au premier rang perpendiculaire.
Cela est cuident par la seule incorpreration des cellules, par celles
d’ou elles Lone Formées.
CaE co, edC L 1C.
1 22
 Cat ALI PIOHE EGAUX CMII eun.
DOnC ad Gate LC Y8 f at 7 8.
cun apedeacteo
Consequence troisiesme.
En tour Lelanele Arichmerique, chaque cellule égale la
Comme de coutes celles du rans perpendiculaire prece.
dene compriles depuis son rans paralleleiusques au pre-
mier inclusiuement.
Soirrne cellule queleonque C, ie dis qu’elle est égale a B F L 703
qui Cone celles du rang perpendiculaire precedent depuis le rang paral-
lele de la cellule C, iulques au premier rang parallele.
Cela paroist de mesine par la leule inxerprerarion des cellules.
Cat C égale B + B.
VCas x égale o par la premiereo
DonC L c8ale d 6 

## Folio 4 — 1023099829:0018
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
R A
EF DV PRTANOLE
Consequence quatriesme.
tn couc Esae Lecug Chasde Celtule diminuee
Soir rnecellule quelconque 5, le dis que E-C égale R f  f 1 
diculare exclusiuement.
de lrnicé, est égale ̀ la Comme de roures celles qui Pont
compriles enrre son rans parallele, e lon rans perpen-
Y n Y x Y 0 F C; qui Conc ebus ses totibres compris enerelerane
aC B A, & le ranS G us exeluHMemenE.
Cela Paroist de melme pas Lhrerpreration.
Cat E esale n + R + co
+ 6C
+ +
5F e T A
Donc E ésale n Y R Y ~ F B 7 0 + at + C + 8 +C.
AduerrisseCNE.
P’ay dit dans l’enonciation, chaque cellule diminvée de l’rniré, par-
ce que l’unité est le generateur; mais si c’estoit un autre nombre, il
faudroit dire, chaque cellule diminuée du nombre generareux
Consequence cinquiesme.
En couc Priansle Rrichmerique, chaque cellule est égale
à la reciproque.
Car dans la seconde base e s, il est evidene que les deux cellules
reciprogues o, 0, Tone égales enerelles, et a C.
Dans la croilielme A, n, X, il est visible de melme que les recipron
ques r A, Conc égales ener elles e a 6.
Dans la quarrielme, il est risible que les extremes D, a, LOHEenCO.
res égales ener elles e aC.
Ec celles d’enere deux, B, B, Pone visiblement égales, puisque B éga
le A Y + ex D égale .t F r, Or n f L Tonr égales à A Y L parce qui
est monstre donc ec.
Ainsi l’on monstrera dans toures les autres bales que les recipro-
ques soncégales, parce que les exrremes Contronsiours pareilles à C

## Folio 5 — 1023099829:0019
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
ARLTHMETTOVE.
& que les aurres s’incerprererone rouliours par d’aurres égales dans la
bale precedence qui lonc reciproques ener elles.
Consequence sixiesme.
En touc Lriansle Arichmerique, un ransparallele, eern
perpendiculaire, qui one rn melme expolane, COnecom-
polez de cellules rouces pareilles les vnes aux autres.
Car ils Pone compolez de cellules reciproques.
Ainsi le secondrans perpendiculaire s it B F. MI O est entierement
pareil au second rans parallele pt OR SN.
Consequence septiesme.
Fn eout Priangle Rrichmerique, la Comme des cellules de
chaquebale, est double de celles de la bale precedente.
Soic rnebate quelconque D B O n. Je dis que la Comme de les cel-
tules, est double de la Comme des celtules de la precedente A al X.
Car les exrremes, , 23
egaleneles exrremes, A, X,
Ec chacune des aurres B,
en égalene deux de, A Y 4, 1 F X9
l’aurre bale.
Donc, D + a + B F O, egalent 2 A Y 2  Y 2 7,
Lamelme chole le demonstre de mesme de roures les aurres.
Consequence huictiesme.
FB toue Frianole Arichmerique, la Comme des cellules de
chaque bale, est un nombre de la propression double,
qui commence par l’uniré, done l’expolane est lemel-
me que celur de labale.
Car la premiere base est l’uniré.
La Seconde est double de la premiere, donc elle est 2.
Carroisielme est double de la seconde, donc elle est 4.
Ec ainse à l’intiny.
Aduerrissemene.
Si le renerateur n’estoit pas l’unité, mals. Un autre nombre comme
3. la mesme chose seroit vraye: mais il ne falatoit pas preatas
nombres de la procression double a commencex par l’onité, sçavoir, 
23 4, 8, 16. ∞c. mais ceux d’une autre progression double à commencon
pur le renerareur 3, f5avoir, 33. 6, 22,, 24, 18, es Co

## Folio 6 — 1023099829:0020
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
PRAETLL DV PRTANBLE
Consequence neufcesme.
Fntone Friangle Rrichmerique, chaque base diminuée de
l’onice, est égale à la Comme derouresles precedentes.
Car c’est rne proprieré de la progression double.
Aduerris(emenE.
Si le generateur estoit auere que l’onicé, il faudroit dire, chaque
base diminuée du GenCTALCUE.
Consequence dixiesme.
Fin tour Friangle Arichmerique, la Comme de tane de cel-
lules continiies qu’on roudra de la bale, a commencer
par rneexrremité, est égale a aurant de cellules de la ba-
se precedente, plus encore à aurane hormis vne.
Soirprile la Comme de rant de cellules qu’on roudra de la bale D a
par exemple les trois premieres, D F B + 9.
Je dis quelle est égale à la Comme des crois premieres de la balepreco.
denre A Y i Y r, plus aux deux premieres de lamesme base A F nt.
CaF D. B.
0.
im
egale A. A F +. it Y r. DonC, D FB + B égale, 2 A Y 2 + Y 2.
Dehinicion.
l’appelle. Cellules de la Dinidence, celles que la ligne qui diise
l’anolé aroit par la moicié, traverse diasonalement comme les cellu-
les, 6, 4 C3 P, _C.
Consequence onziesme.
Chague cellule de la Dividenre, eAt double de celle qui la
precede dans son rans parallele ou perpendiculaire.
Soierne cellule de la Dinidenre, C, Le dis qu’elle est double de, D, de
aus de, B.
Car, C, égale, D F B, X, B, égale B, par la cinguiesine consequence
AduereisseMCHE.
Toures ces consequences, sont sur le sujet des écalitez qui se rencon-

## Folio 7 — 1023099829:0021
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000021.jpg
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ARTTHMETTOVE.
rent dans le Trianple Arithmetique. On en va voir maintenant les
proportions, dont la proxosition suivante est le fondement.
Consequence donziesme.
En tout Friangle Arichmerique, deux cellules contigues
estant dans vne melmebale, la superieure est à l’infe.
rieure, comme la mulcieude des cellules depuis la supe-
rieure iusques auhaut de la base, à la mulciende de cel.
les, depuis l’inferieure iusques en bas inclusiuemene.
Soient deux cellules conrigues quelconques d’unemesme bale, F, C,
Ee dis que P CA à C COmE 2
inferieure, superieure, parce qu’il y a deux parce qu’ily atrois
cellules depuis P cellules depuis C
iusques en bas.
insques en haut,
Sçavoir, F, IC; Sçavoir C, Z, 1.
Ouoy que Celle propoltion aic une infinicé de cas, i’en donneray
rnedemonstrarion bien courre, en suppolane 2 lemmes.
Le r: qui est enidene de Coy-melme, que cerre proxorrion Ce rencon-
ere dans la seconde base; car il est bien visible que p est as COnMeT, a F.
LC 2. que si cerre proporrion se rrouve dans vne bale guelconque,
elle se erouvera neceslairemene dans la base Cuiuanee.
D’ou il se voic, qu’elle esnecellairemene dans roures les bales: cai
elle est dans la seconde baso, par le premier lemme, donc par le second
elle est dans la croisesme base, done dans la quarrielme, et à l’infinr.
Il Faur done Ceulement demonstrer le second lemme, en cerre forre.
Si cerre proporcion le renconere en une bale quelconque, comme en
la guarrielme D n, c’est à dire, si D est a B comme r à 3. EcB, a b
COmC 2 a 20. FF D a n CommC Z a I. _EC.
Je dis, que la metme proporrion le rrouvera dans la base suivante,
FI p, ee que par exemple F est a C COmme 2 a 3.
Cac D eA a B comme ra 3. par l’hypochele.
Donc D F B eAt a B comme L F 3 a 3.
Detee, Dende L a 2 par l’hypochele.
Donc, B Y B a B comme, 2 7 2 a 2.
x
2
C
a B comme 4 a 3.
à lcomme
B
Rtais
a F comme
 aCoc sclco
Donc par la proporcioi l, Ca a LCone a
Ce qu’il Falloir demonstrer.

## Folio 8 — 1023099829:0022
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lR A
E DN LRTANOLE
On le monstreca u esine dans toue le recte, puisque cera peo
nestfondée que lur ce que cerre proporuon lerrouve dans la bale pro
cedenre, ee que chaque cellule est égale à la precedente, plus à la su-
perieure, ce qui eAt vray paE TOUT.
Consequence treiziesme.
En couc Friangle Arichmerique, deux celtules continues
estane dans un melmerans perpendiculaire, l’inferieure
est à la superieure; comme l’expolant de la bale de cerre
superieure, à l’expolant de Conrans parallele.
Soiene deux cellules quelconques dans un mesme rans perpendicu
Taire, F, C, Ie dis que,
F est 2 C comme
Pinferieure. La Cuperieure expolant de
la bale de C.
CaF F eAt a C comme 2. a
DOnC F Y C eA à C comme 2 + 3 a 3.
F
un
est a C COmME 5. 2 3.
Consequence quatorziesme.
Fin cour Triansle Arichmerique, deux cellules continvés
estane dansrn melmerans parallele, la plus grande est
laprecedente, comme l’expolant de la base de certe pre.
cedenre, à l’expolane de son rans perpendiculaire.
Soiene deux cellules dans un melme rans parallele P, F,
Te dis que,
F est 2 F
comme
Lapluserande. Precedente
CaF F est à C comme 2.
5
exposant de exposant du rane
labase de.
a
DOnC F Y C eAt a F comme 2 F3. d 2.
F est a F. comme 5. a 2.
Consequence quinziesme.
En tour Triansle Arichmerique, la comme des cellules
d’un quelconque rans parallele, est à la derniere de ce
rans, comme l’expolane du criansle, est à l’expolane du
FaDS.
exposane du rans
Parallele de C.
perpendicul. de L
Soie

## Folio 9 — 1023099829:0023
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ARITHMETTOVE.
Soir un triangle quelconque, par exemple le quatrietne C D a
Je dis que quelque rans qu’onyprenne comme le lecond parallele, la
Comme de les cellules, sçavoir, e F al F B, est a B comme 4. 2 2.
Cax ∞ Y at Y 8, égale C, _ C est à d comme 4. d 2. par la ercixié-
me Consequence.
Consequence seizième.
Fin couc Priangle Rrichmerique, rn quelconque rans pa-
rallele, estaurans inferieur, comme l’expolant durans
inferieur à la mulcieude de les cellules.
Soic un eriangle quelconque, par exemple le cinquième u O FI. Je
dis que quelque rans qu’on y prenne, par exemple lerroilième, la
Comme de les cellules, est à la Comme de celles du quarrié̀me, c’elt a di-
re A Y B Y C eAt a D + F. COMIC 4. CXPOLAHEduTaNE quatrième
a2. qui est l’expolane de la mulrieude de les cellules, car il en Con-
FIeME 2.
Car A Y B + C égale F, _ D Y F egalC M.
OF P est à M comme 4 à 2. par la douzième Consequence.
AduerrissCMCNE.
On pourroit l’enoncer aussi de cette sorre.
Chaque rans parallele est au rans inferieur comme l’exposane du
rans inferieur, à l’exposane du rriansle, moins l’exposant du rans lu
Perieur.
Car l’exposant d’un trianele moins l’exposant d’un de sesranos est
touscours éxal à la multiende des cellules du rans inferieur.
Consequence dix. septiesme.
En cout Triansle Arichmerique, quelque cellule que ce
Coic ioince à toures celles de son rang perpendiculaire,
est à la meline cellule joince à toures celles de Pon rane
Parallele, comme les mulcirudes des cellules priles dans
chaque rane.
Soir vne cellule quelconque B, Je dis que B f L 7 5 est à B Y A
COmMC 3. a 2.
Je dis 3, Farce qu’il y a trois cellules adjoustées dans l’antecedent,
ex 2 parce qu’il y en a deux dans le consequent.
Car B F il 7 8 égale C par la croisielme consequence, d B + A
esale F par la leconde conlequence.
OrC est à P comme 3 à 2. par la douriesne consequence.

## Folio 10 — 1023099829:0024
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a L LLL
LaLLAOLB
Consequence dix-huictiesme.
En tout Priansle Arichmerique, deux ranes paralleles éga
lemene dictans des extremitez, COnt cner eux, comme
la mulcieude de leurs cellules.
Soic un criangle quelconque C V 5, e deux de les rangs égalemene
distans des exrremirez: comme le lixielme P Y  de le second e +
a F B + R + S Y N,
le dis que la Comme des cellules de l’un, est al la Comme des cellules
de l’aurre, comme la mulriende des cellules de l’un, est à la mulrieude
des celtules de l’aurre.
Car par la sixielme consequence, le Second rans parallele o it B R
SN, est lemelme que lelecondrans perpendiculaire s it B F. M 9.
duquel nonsrenons de demonstrer cerre proporrion.
AduerrissemenE.
On peut l’enoncer ains.
En tour Friangle Arichmerique, deux rangs paralleles, done les ex-
polanes joines ensemble excedene de l’onité l’expolane du Triangle, LonE
enreux, comme leurs expolans reciprOqLeMenE.
Car ce n’est qu’une mesme chose que ce qui vient d’estre enonce.
Consequence derniere.
En couc Priangle Arichmerique, deux cellules continués
estant dans la diuidenre, l’interieure, est à la superieure
prile quatre fois, comme l’expolant de la base de cerre
superieure, a un nombre plusgrand de l’ruice.
Soiene deux cellules de la dividente p, C,
Te dis que p est a 4 C comme 5.
exposant de la
base de C.
a 
Car p est double de con de C de B, donc + B égalene 2. C.
DOnC 4 O TOnE a C COIMC 2. a L.
Or P est a 4 C comme co a 4 d.
ou en raison compolée de con d C Y C a 4 b
arles Consch.co
+
33 cy 3.
40 e 20
Ou 3 a 6.
b Pet a 4L CoMAHAC 5. a 6. CCquil Caltoredemontice

## Folio 11 — 1023099829:0025
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A REX HI M P X LOV R.
AduertislemenE.
On peut tirer de la beaucoup d’autres proportions que je supprime,
parce que chacun les peut facilement conclurre, e que ceux qui s’y
voudront attacher en trouveront peut estre de plus belles que celles que
je pourrois donner. Le finis donc par le Probleme suinant, qui fait
l’accomplissement de ce traitté.
P ROBL F M P.
Fstane donnez les expolans des ranesperpendiculaire dt
parallele d’une cellule, trouver le nombre de la cellule,
Cans le Peruir du Triangle Arichmerique.
Soit par exemple proposé de trouver le nombre de la
cellule E, du cinguielme rans perpendiculaire, e du Eroi-
Cielme rans parallele.
Ayant pristous lesnombres qui precedent l’expolane du
perpendiculaire 5. (canoir L, 2, 3, 4;
Soiene pris aurane de nombres narurels, a ComenCeK
par l’expolane du parallele 3, Icauoir 3, 4, 5, 6.
Soiene mulcipliez les premiers l’un par l’aurre, e loit le
produic 24. Soiene mulcipliez les autres l’un par l’aurre, ec
Poir le produit 360. Qui diuilé par l’aucre produic 24. donne
pour quorient r5. Cequorient est lenombre cherche.
Car Z est à la premiere de labase V, en raison compolée de toutes
les raicons des cellules d’enere deux, c’est à dire,
E est a V, en raison comp. de E a p Y p a R F K dO + 9 à V
Ou
par la 12. Conseq.
v lu vvre
3 a 4. 4 2 3. 5d 2. 6 a 2.
Donc E est a V Comme z en 4 en 5 en 6. a 4 en 3 en 2 en Lo
Mais V est l’rniré; donc E, est le quoriene de la dinilion du pro-
duir de 3 en 4 en 5 en 6. par le produic de 4 en 3 en 2 Cn L.
Aduerrislement.
Si le gentalent n’estoit pas l’unité, il eust fallu multiplier le quu
rient par le genernteur.

## Folio  -  — 1023099829:0026
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## Folio 1 — 1023099829:0027
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DIVERS VSAOES DVTRIANOLE
ARITTTMETIOVE.
Dont le generateur est lVnité.
Dres avoir donné les proportions qui se rencon-
erent entre les cellules es les rangs des Triangles
Arithmeriques, je passe à divers osaces de ceux dont le
renerateur est l’onité; c’est ce qu’on verra dans les trai-
Etez suivans. Mais i en laisse bien plus que je n’en don-
ne; c’est une chosé estrance combien il est fertile en pro-
prietez, chacun peut sy exercer; l’auertis seulement icy,
que dans toure la suite; je nentends parler que des Trian-
les Arithmetiques, dont le generateur est l’onité.

## Folio 2 — 1023099829:0028
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Bet es
de
cors cb eso cb rsocbcbo e    C
dodo
   
oou
 ets e
2.
do
CLTHMLCL
1 d
POVZLES OZDRES NVMERTQVES.
a Consideré dans l’Arichmerique les nombres des dit-
ferenres progrestions; on a aussi consideré ceux des diffe-
nees puillances, de des differents degrez; mais on n’a
ceme semble allez examiné ceux done ie parle, quoy
qu’ils loiene d’un cres orand vlage, e melme ils n’one
pas denom, ainsi i’ay ecté oblisé de leuren donner; Ex parce que ceux
de prooression, de degre d de puillance, sont déja emplorez, ie me
Cers de celuy a’ordres.
l’appelle donc Nombres du premier ordre les simples vnitez.
23 23 23 2, T, dEC.
l’appelle, Nombres du second orare, les naturels qui (e FOrmenepar
l’addition des vniter.
23 233, 43 5, C.
l’appelle, Nombres du troisséme ordre ceux qui le Forment par l’ad-
dirion des nacurels, qu’on appelle Triangulaires.
1, 3, 6, 10, eC.
C’est à dire, que le second des rriangulaires, lcavoir, 3. ésale la Pom
medes deux premieres naturels qui Cone, 2, 2; ainsi le rroisiémerrian-
fulaire, 6, égale la Comme des trois premiers naturel5. 1, 2, 3, dec.
l’appelle, Nombres du quatriesme ordre ceuX qui se FOTEHE pAE
l’addirion des criangulaires, qu’on appelle Pyramidaux.
13 4, 10, 2C, eC.
l’appelle, Nombres du cinquiesme ordre ceuX qui le FORIBCHE paP
l’addirion des precedenes, aulquels on n’a pasdonné de nom expres,
ec qu’on pourroir appeller rriangulo. criangulaites.
13 53 15, 35 _C.
P’appelle, Nombres du siviesime ordre ceux qui le Formene par l’ad-
dicion des precedenes.
23 6, 21, 56, 126, 252, _C.
Ec ain( à l’infiny. 2, 7, 28, 84, Qc.
X, 8, 36, 120, _C.
Ae i oa cacediae caca a cocorCo Olalco aes hocaotto. sudot
Macque d COHlC l6d CsOtao dCSOEdcCs, CE aIt dCSLH5 1C5 LLaCdHC5, C6
CerrC COrrE.

## Folio 3 — 1023099829:0029
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
POVR LES ORDRES NVMERIOVES.
Cacines.
Vnicez Ordee
Narurels Ordee
Triangul. Ordre
Pyramid. Ordre
_C
On rrouvera cerre Fable pareille au Friangle Arichmerique.
Ec le premier ordre des nombres, Pera le melme que le premier
rans parallele du Triangle;
Le Second ordre des nombres, sera le melne que le second rans
parallele; Ec ainsi à l’intny.
Car dans le Friansle Arichmerique le premier rane est tour d’uni-
cex, e le premier ordre des nombres est de melme tour d’uniteu.
Rinsi dans le Triangle Arichmerique, chaque cellule, comme la
cellule F, égale, C Y B Y A, c’est à dire qu’elle égale la luperieure,
plus roures celles qui precedene cerre superieure dans Con rans paral-
tele; comme il a esté prouvé dans la 2. C on leg. du Frairré de ce Prian-
Ele. Ec la melne chole se rrouve dans chacun des ordres des nombres:
Car, par exemple, le rroilième des Pyramidaux r0, egale les trois pre.
miers des criangulaires 1 F 3 F 6, puis qu’il est Formé par leur addirion.
D’ou il se roid manifestemene, que les rangs paralleles du crian-
ole, ne lont aurre chole que les Ordres des nombres; Ec que les expo-
sans des ranos parallelles, sont les melines que les expolans des ordies,
d que les exposans des ranes perpendiculaires, lone les melnes que
les Racines: Fc ainsi le nombre par exemple, 2r, qui dans le Trianole
Arichmerique se rrouve dans le croilielme ranq parallele, et dans le
Eixielne rans perpendiculaire; estane consideré entre les ordres nume-
riques, il sera durroisiéme ordre, e le lixielme de Con ordre, ou de la
Sixielme racine.
Ce qui fair connoistre, que tour ce qui a esté dir des rangs et des
cellules du Triangle Rrichmerique, conviene exactemene aux ordres
des nombres, ee que les melnes égalirez d les melnes proporrions
qui onc esté remarquées aux vns, le trouverone auhaux aurres; il ne
Faudra seulement que chanser les enonciations, en Cubstirnaneles rer-
mes qui conniennene aux ordres numeriques, comme ceux de tacine
ex d’ordre, à ceux qui convenoient au Prianole drichmerique, comme
de rang parallele ex perpendiculaire. l’en donnerar un perie crairré à
Pare, ou quelques exemples qui y (ONETADPOITCZ FerOnE aylement ap.
Percenoir tDUS les aUTTES.
e

## Folio 4 — 1023099829:0030
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
et
d
SAOF DV TRIAROLE ARITHI
 e c
te
B
e
at ol eraatral: i a2ari llioiob  a ab ibaa
rose
os
ostont
SA6C L
a Lc e  a ea dca a elato dac a
POrZ LES COMBTKALSDNd.
dena
moc de combinaison, a esté pris en plusieurs lens dit-
aebrre que pour otter l’equiuoque, ie luis obligé
ommene ie l’encends.
Lors que de plusieurs choles, on donne le choix d’un
cerrain nombre, toures les manieres d’en prendre aurant
qu’il est permis, enrre roures celles qui sontpresentées, s’appellent icy.
les differentes combinaisons.
Par exemple, si de quarre choles exprimées par ces quarre lerrres,
A, B, C, D, on permer d’en prendre, par exemple, deux quelcon-
ques; toures les manieres d’en prendre deux differentes dans les qua-
ere qui sont propolées, s’appellene, Combinaisons.
Ainsi on rrouvera par experience, qu’il y a six manieres differenres
d’en choitir deux dans quarre; car on peur prendre, A e B, ou A e C,
Ou, A e D, ou B, et C, ou B X D, Ou C, _ D.
Leneconcepas, A, X A, pour unedesmanieres d’en prendre deux,
car ce ne lont pas des choles differentes, ce n’en est qu’vncreperée.
Ainsiie ne concepas A, _ B, ec puis, B ex A, pour deux manieres
differences, car on neprend en l’une e en l’aurre maniere que les deux
melmes choles, mais d’un ordre differene sculemene, ee ie ne prends
poine sarde à l’ordre; de Corre que ie pouvois m’expliquer en vn moc
a ceux qui one acconstumé de considerer les combinailons, en dilane
simplemene que ie parle sculement des combinailons qui le Fone Cans
chaniger l’ordie.
On crouvera de meline par experience, qu’il y a quarre manieres de
prendre rrois choles dans guaEre, CAL On peur prendre, ABC, ou
ABD, OU AC D, ou BCD.
Entin on crouvera qu’on n’en peur prendre quarre dans quarre qu’en
une maniere, (CavOIE, ABCD.
Le paxleray dOnC eH CeS TETIES.
1 dans 4 se combine
2
dans 4 le combine
3 dans 4 se combine
dans 4 se combine
Du ainsI.
La mulricude des combinailons de L dans 4 cAt 4.
1
Fois.
F015.
2 FOis
+ 1015.

## Folio 5 — 1023099829:0031
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
POVR LES COMBEHAESONSi
La mulcieude des combinailons de 2 dans 4 est 6.
La mulcieude des combinaisons de 3 dans 4 est 4.
La mulrirude des combinaitons de 4 dans 4 est
Mais la Comme de toures les combinaisons en general qu’on peur faire
dans quarre, est quinze, parce que la mulciende des combinailons de
2 dans 4, de 2 dans 4, de 3 dans 4, et de 4 daMs 4, estans jointes
ensemble, Fonc 153
En suirre de cerre explication ie donnetar ces consequences en For-
me de Lemmes.
Lemme T.
Vn nombre ne le combine point dans un plus pecit, par
exemple, quarre ne le combine poinedans deux.
Lemme 2.
Vn dans vn le combinerne fois.
2 dans 2 le combine x Fois.
3 dans 3 se combine F Fois.
Ec generalement un nombre quelconque le combine
vne fois sculemene dans lon égal.
Lemme 3.
X dans r se combine + Fois.
E dans 2 se combine 2 FOIS.
 dans 3 se combine 3 F01s.
Fegeneralement l’rnice le combine dans quelquenom
bre que ce foit aurane de fois qu’il contiene d’unitez.
Lemme 4.
S’il y a quatre nombres quelconques, le premierrel qu’on
voudra, le lecond plus grand de l’unice, le croisiesme
cel qu’on roudra, pourveu qu’il ne loiepas moindreque
le second, le quacriesme plus grand de l’uniré que le
croisielme: La mulcieude des combinailons du premier
dans le croisielme, joince à la mulcieude des combinai-
Sons du lecond dansle rroisielme; égale la multitude des
combinailons du second dans le quarriesme.
Soiene quarre nombres rels que j’ay dic.
Le premier cel qu’on roudra, par exemple,
Ce Lecond plus grand de l’uniré, scavoir
PC rroilielme rel qu’on roudra, pourveu qu’il
ne foirpas moindre que le lecond, par exemple, 3.
Le quacriesine plus grand de l’rniré, scavoir,

## Folio 6 — 1023099829:0032
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
YSACE DV IRTANOLE ARETU
Je dis que la mulcieude des combinaisons des L dans 3, plus la mul-
cieude des combinaisons de 2 dans 3, égale la mulcicude des combin.
de 2 dans 4.
Soient crois lerrres quelconques, B, C, D.
Soiene les melmes rrois letrres, e rne de plus, A, B, C, D.
Prenons luivane la proposirion coures les combinailons drnelertre
dans les rrois, B, C, D. IIy en aura 3, Sçavoir, B, C, D.
Prenons dans les mesines 3 lerrres toures les combinailons de deux,
il y en aura 3, scavoit, B C, BD, CD.
Prenons en Ain dans les quarre lerrres, A, B, C, D, coures les combi-
naisons de 2, il y en aura 6, IcavOIE, AB, AC, AD, BC, BD, CD.
II Faur demonstrer, que la mulcieude des combinailons de x dans z
 celles de 2 dans 3, ésalene celles de 2 dans 4:
Cela estaisé: Car, les combinailons de 2 dans 4 POnE FOrMÉES PaF
les combinailons de r dans 3, e par celles de 2 dans 3.
Pour le Faire roir. Il Faut remarquer qu’enrre les combinaisons de
2 dans 4, (GavOIE, AB, AC, AD, BC, BD, CD; il y en aou la ler-
ere, A, est employée, e d’aurres ou elle ne l’est pas.
Celles ou ellen est pasemployéelont, BC, BD, C D, qui par consen
quene lont formées de deux de ceserois lerrres, B, C, D; Doncce lont
des combinaisons de 2 dans ces erois, B, C, D. Doncles combinaisons
de 2 dans ces erois lerrres, B, C, D, Fone porrion des combinaisons de
2 dans ces quatre lerrres, A, B, C, D, puilque elles Formenecelles ou,
A, n’elt pasemployée.
Maincenane (i des combinaisons de 2 dans 4 ou A est emplovéc,
FCanOiF, AB, AC, AD, on oste l’A, il restera rne lerrre seulemene de
ces rrois, B, C, D, Scavoir, B, C, D; qui lonc precilemene les com-
binailons d’une lerrre dans les rrois, B, C, D. Donc h aux combinai-
Tons d’une lerrre dans les rrois B, C, D, on adjouste à chacune la ler-
ere, A, X qu’ainsi on aic AB, A C, AD, on Formera les combinaisons
de2 dans 4, ou A est employée; donc les combinailons de L dans z FOnE
porrion des combinailons de 2 dans 4.
D’ou il Pe roid que les combinailons de 2 dans 4, Pone Formées par
les combinaisons de 2 dans 3, e de r dans 3; e parrane que la mul-
ciende des combinailons de 2 dans 4, égale celle de 2 dans 3, e de
2 d215 3.
Onmonstrera la melne chole de rous les aurres exemples, comme.
La mulcieude des combinaisons de 29 dans 40.
Er la mule. des combinaiions de 30 dans 10
F0ale la mule. des combinailons de 30 dans 4r.
Ainli la muleieude des combinai sons de 15 dans 55.
Et la mulciende des combinaisons de 16 dans 55.
Fgale la mulcieude des combinai Pons de 16 dans 56.
Erainsi à l’intruy. Ce qu’il Falloir demonst: er.

## Folio 7 — 1023099829:0033
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L LES COMBLHATSONS
Proposition I.
Tin tout Triangle Arichmerique, la lomme des cellules
d’rnrans parallele quelconque, égale la multieude des
combinailons, de l’expolant du rans, dans l’exposane
du Frianglc.
Soic un eriangle quelconque, par exemple le quarriesme G D n. le
dis que la comme des cellules d’un rans parallele quelconque, par
exemple, du second e Y il F 9. Egale la Comme des combinailons de
ce nombre, 2, qui est l’expolant de ce lecondrans, dans cenombre, 4,
qui est l’expolane de ce rriangle.
Ainsi la Comme des cellules du 5 rans du 8 criansle égale la Comme
des combinoilons de 5 dans 8, _c.
La demonstration en sera courre, quoy qu’il y aierne intiniré de cas,
par le moyen de ces deux Lemmes.
LC r. qui est euidene de luymesme, que dans le premier criangle,
cerre égalice le rrouve; puilque la Comme des cellules de Con rnique
rans, sçavoir, C, ou l’riicé, égale la Comme des combinailons de Y,
expolane du rans, dans s expolant du Priangle.
LC 2. que s’il se rrouve on Priangle Arithmerique dans lequel cer-
ce proportion le rencontre, c’elt a dire dans lequel quelque rans que
l’on prenne, il arrive que la Comme des cellules loir égale à la mulci-
cude des combinailons de l’exposant du rane dans l’expolant du Trian-
Sle; Le dis que le Priangle luinane aura la meline proprieré.
D’ou il s’ensuir querous les Priangles Arichmeriques Ontcerre ésa-
dicé; car elle serrouve dans le premier Priangle par le premier Lemme,
ee melme elle est encore euidenre dans le second; Donc, par le second
Lemme, le suivane l’aura de melme, d parrane le Tuiuane encore; et
airsi à l’infiny.
Il Faur done Ceulemene demonstrer le Second Lemme.
Soir rn criangle quelconque, par exemple lerroilielme, dans lequel
on suppole que cerre égaliré se rroune, c’est à dire, que la lomme des
cellules du premier rans C F a F x; égale la mulciende des combinai-
Cons de = dans 3; e que la Comme des celtules du 2 rano 0 f L, éga-
le les combinaitons de 2 dans 3; e que la Comme des cellules du 3
rang A, egale les combinailons de 3 dans 3:
Je dis que le quarriesme eriansle aura la metmo égaliré, de que, par
exemple, la Comme des cellules du second rans o f. L F B, ésalela
mulcieude des combinaisons de 2 dans 4.

## Folio 8 — 1023099829:0034
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e Lt L lora 
as e +
a
ou la mulcieude ou la muleirude
Pac Chypole
Paxle a Lemme
des cobinalL.
de 2 dans 3. 7
o C
de X dans 3.
Ou la mulrieude des combinaisons
de 2 dans 4.
On le monstrera de melne de rons les aurres.
Ce qu’il Falloir demonstrer.
Proposition 2.
Le nombre de quelque cellule que ce loir, égale la mulci-
cude des combinailons d’un nombre moindre de l’yniré
que l’expolane de son rans parallele, dans un nombre
moindre de l’rnité que l’expolane de la bale.
Soicrne cellule quelconque, P, dans le quacrié̀me rans parallele et
dans la Cixielme bale: Le dis qu’elle égale la mulciende des combinaisons
de 3 dans 5, moindres de l’inire quo, 4 86: car elle ésale les cellules.
A Y B F C. Doncpar la precedente, ec.
Problesme 1. Proposition 3.
Fstans propolez deuxnombres; Frouver combien de fois
l’on le combine dans l’aurre, par le Triansle Rrichme-
eigue.
Soyene les nombres propolez 4, 6, il Faur erouver combien 4 se
combine dans 6.
Premier moyen.
Soir prise la Comme des cellules du 4 rans du 6. criangle. FIle Paris-
Fera à la quection.
Sccond moyen.
Soit prise la s cellule de la 7 bale, parce que ces nombres s, 7 exce-
denr de lrnirè les donnez 4, 6. Sonnombre est celuy qu’on demande.
Conclusion.
merique, aux combinaisons, il est aisé de voir que tour ce qui a ette
prouvé des rns, connient aux aurres suivane leux maniere; C’est ce quo
de monstreray en peu de discours dans un pecie crairre que i’ay faic des
Combinaisons.

## Folio 1 — 1023099829:0035
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ARITHMETIC
VE.
Pour decerminer les pareys qu’on doit faire entre deux
Lorieurs qui roient en plusieurs parties.
Ore encendre les regles des partys, la premiere chole
qu’il fanc considerer, est, que l’argene que les ioiieurs ont
mis aujeu, ne leur apparciene plus, car ils en one quiere la
propriete; maisils onr receu en reuanche le droir d’arten-
dre ce que le hazard leur en peur donner, Cuiuaneles con-
dirions done ils lone convenus d’abord.
Mais comme c’est une loy rolontaire, ils la peuvent rompre de gré à
re, ee ainsi en quelque terme que le jeu serrouve, ils peuvene le quie-
TeF, e au contraire de ce qu’ils ONE FaIE CN V CMFrAME renONCET a l’ac-
renre du hazard, X rentrer chacun en la proprieré de quelque chose; Lc
en cecas, le reglemene de ce qui doir leur apparrenir, doic estrerelle-
mene proportionné à ce qu’ils auoiene droir d’esperer de la FOrrune,
que chacun d’eux eronve entieremenr égal de prendre ce qu’on luy al-
fione, ou de continuer l’avanture du jeu, e cerre iuste distribution s’ap-
Pelle le Parer.
Le premier principe qui fair connoistre de quelle Porre on doic Faire
les parris, est celuy- cy.
Si rn desjoiieurs se rrouve enrelle condirion, que quoy qu’il arriue,
une certaine lomme luy doir apparrenir en cas de perre e de gain, lans
que lehazard la luy puisse octer, il n’en doic taire aucun parer, mais la
prendre enciere comme asscurée, parce que le parey devant estre pro-
porrionné au hazard, puis qu’il n’y a nul hazard de perdre, il doir cout
recirer Cans parey.
Le Sccond es celuy. ey. Si deux joiieurs se rrouvenrencelle condi-
eion, que si l’on sagne il luy apparciendea une certaine lomme, ee s’il
Perrelle apparriendra à l’aurre; Si le jeu est de pur hazard, de qu’il y aic
aurane de hazards pour l’un que pour l’aurre, et par consequeHe nOI
am alm tia
n
e

## Folio 2 — 1023099829:0036
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VSACE DV TRTANOLE ARITH.
plus de raison de gagner pour l’un que pour l’aurre, s’ils reulene le le
parer lansjoiier, et prendre, ce qui leur apparriene legirimemene, le
parcy est qu’ils separene la Comme qui est au hazard par la moirié, et
que chacun premne la Lienne.
Corollaire premier.
Si deux joiieurs joiiene a rn jeu de purhazaed, a condicion
que li le premier sagne il luy reuiendra une cerraine
Comme, _cs’il perr il luy en reuiendra rnemoindre, s’ils
veulent se separer lans ioiier, et prendre chacun ce qui
leur appartiene; le parer est, que le premier prenne ce
qui luy reniene en cas de perre, ec deplus la moirié de
l’excez, dont ce qui luy reuiendeoir en cas de sain lur-
Passe ce qui luy reviene en cas de perre.
Par exemple, (i deux joieurs joiene à condirion que li le premier
aone il emporrera huie pistoles, e s’il perr il en emporrera deux; le
dis que le parey est qu’il prenne ces deux, plus la moirié donchuic lur-
palle deux, c’est à dire plus 3. car 8. Curpasle 2. de 6. done la moirié
CA 3.
Car par l’hypothese s’il garne il emporre 8. c’est à dire 6 + 2. ∞
s’il pert il emporte 2. donc ces 2. luy appartiennent en cas de perte
e de cain; Pt par consequent par le premier principe, il n’en doit
faire aucun party, mais les prendre entieres. Mais pour les 6. autres
elles dependent du hazard; de forte que s’il luy est favorable, il les
saenera, sinon elles reviendront à l’autre, e par l’hypothese il n’u
a pas plus de raison qu’elles reniennent à l’un qu’à l’autre; Donc le
party est qu’ils les separent par la moirié, e que chacun prenne la
sienne, qui est ce que d avois proposé.
Donc pour dire la mesme chose en d’autres termes, il luy axpar-
rient le cas de la perre, plus la moitié de la difference descas de perre
 de cain.
Pt partant sy en cas de perte il luy appartient A, e en cas de
sain AF B, le parcy est qu’il prenne A F = B.
Corollaire second.
Si deux jolieurs Cont en la mesine condicion que nous ve-
nons de dire, Le dis que le parry le peue Faire de cerre
tacon qui reuiene aumeline, que l’on assemble les deux
Commes de sain ec de perre, et que le premier Prenne

## Folio 3 — 1023099829:0037
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
PODR LES PAREES DV TEV.
J2 moirié de cerre lomme; c’est à dire qu’on ioigne 2
avec 8. et ce sera 10. done la moitié s. appartiendea au
premier.
Car la moirié de la somme de deux nombres est touscours la mesme
que la moindre plus la moitie de leur difference.
Et cela se demonstre ainsi.
Soit A ce qui revient en cas deperte, ee A Y B ce qui revient ent
cas de rain.
Le dis que le party se fait en assemblant ces deux nombres, qui font
A Y A Y B,  en donnant la moitié au premier qui est A +
=A + = B. Car cetre somme égale A Y L D qui a esté prouvée
faire le party iuste.
Ces Fondemens estans posez, nous palserons ailemene a determiner
le parey enere deux joiieurs qui joiiene en rane de parries qu’on roudra
en quelque estat qu’ils se rrouvene, c’est a dire, quel parey il Faur Faire,
quand ils joiiene en deux parcies, e que le premier en a une a point, ou
q’ils joiient en rrois, et que le premier en a rne à poine, ou quand il
en a deux à poine, ou quand il en a deux d vnc. Fc generalemene en
quelque nombre de parries qu’ilsjoiiene, ee en quelque sain deparries.
qu’ils Coiene e l’un de l’autre.
Sur quoy la premiere chole qu’il faut remarquer, est que deuxjoieurs
qui joiiene en deux parries, done le premier en a une a poine, Pone en
melne condirion que deux aurres qui joiiene en rrois parries, dont le
premier en a deux, et l’aucre rne: car il y a cela de commun que pour
acheuer il ne manque qu’une parrie au premier, e deux à l’autre, de
C’est en cela que consiste la difference des avantages, ee qui doirreglex
les parris; de Porre qu’il ne taur proprement avoir ésard qu’au nombre
des parcies qui restent à gagner à l’un e à l’aurre, ee non pas au nor-
bre de celles qu’ils onc sagnées, puilque comme nous auons déja dit,
deux joiieurs se crouvent en melne estar, quand joiiane en deux parcies,
l’on en a rne apoint, que deux quijoiians en douze parties, l’un en a
veze a dix.
II Faur donc proposer la question en certe Porre.
Estans propolez deux joiieurs, à chacun desquelsil manque rn cer-
cainnombre de parries pour acheuer, faire le parrr.
l’en donnerar iey la methode, que le pourluiuray seulemene en deux
ourrois Exemples, qui Peronc haisez à continiier, qu’il ne lera pasne-
cellaire d’en donner davanrase.
Pour Faire la chole senerale sansrien obmertre, je la prendear par
lepremier Exemple, qu’il estpeur estre mal à propos de roucher, par-
ce qu’il estrrop clair, je le Fais pourrant pour commencer par le comt-
MenCeMeHE, C’est celuy. CY.

## Folio 4 — 1023099829:0038
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LLLAHOLE ARTTH
Premier Ca5.
Si a un desjoiieurs il ne manque aucune parrie, de à l’aurre quelques
vnes; la Commeenciere apparriene au premier, car il l’a gagnée, puit
qu’il ne luy manque aucune des parries dans lesquelles il la devoit
SagHCI.
Second Cas.
Si d un des joiieurs il manque rne parrie, de à l’aurrerne; le parry
est qu’ils separene l’argene par la moirié, et que chacunprenne la len-
ne: cela est euidene par le lecondprincipe. II en est demelme s’il man-
que deux parries à l’un, ee deux à l’aurre; et de meline quelque nom-
bre de parcies qui manque à l’on s’il en manque aurane à l’aurre.
Troisieme Ca5.
Si a un des joiieurs il manquerneparrie, et à l’aurre deux, roier l’are
de rrouver le parer.
Considerons ce qui apparriendroir an premier joueur (à qui il ne
manque qu’une parrie) en eas de gain de la parrie qu’ils ronejoiier, et
puis ce qui luy apparriendroir en cas de Perre.
Il est visible que si celur à qui il ne manque qu’une partie gagne cer-
re parrie qui se ra ioiier il ne luy en manquera plus, donc tour luy ap-
parciendra par le premier cas. Nais au concraire, si celuy à qui il man-
que deux parties gagne celle qu’ils rone ioiier, il ne luy en manguera
plus qu’rne, doncils serone en relle condirion, qu’il en manquerarne
à lrn, de rne à l’aurre. Doncils doivene parraser l’argent par la moi-
rié par le deuxielme cas.
Donc ( le premier sagne cerre parrie qui se ra ioiier il luy apparriene
couc, e s’il la perr, il luy apparciene la moirié, donc en cas qu’ils reiiil-
leur se Ceparer sans ioiier cerre parrie, il luy apparciene  par le le
cond Corollaire.
Ec hi on veur proxoler un exemple de la somme qu’ilsjoiiene, la cho.
se sera bien plus claire.
Polons que ce soic 8. Pistolles; donc le premier en cas de gain doir
avoir lecour, qui est 8 pistolles; e en cas de perre il doir avoir la moi-
cié qui est 4. donc il luy appartiene en cas de parey, la moirié de 8T a
cest a dire 6 pistolles de 8, car 8 Y 4 Fone 12, donc la moirie est 6.
Quatriesme Cas.
Si a un des joiieurs il manquerneparrie, de à l’autre rrois, le parcy
le trouvera demelme, en examimane ce qui apparciene au premier en
cas degain et de Perre.
Si lepremier sagne ilaura coures les parries, ee parrane cour l’arsene,
qui est par exemple 8.
Si le premier perr, il ne Faudra plus que 2 parries à l’aurre à qui il
en falloir 3. Doncils serone en ectac qu’il Faudra une parrie au premier
et deux à l’aurre, et partane par le cas precedem il apparriendra 6 pistol
Les au premier.
SACF DV

## Folio 5 — 1023099829:0039
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LOVR IFS LARTES OV IEV
Donc en cas de sain il luy en Faur 8, e en cas de perre 6, donc en
cas de parey il luy apparciene la moirié de ces deux Commes, (GaNOIL, 7,
Car 6 Y 8 Cont 14. done la moicié est7.
Cinguiesme Cas.
Si a un des joiieurs il manque une parrie, e a l’aurre quarre, la
chose est de mesine.
Lepremier en cas de sain gaignerour, qui est par exemple 8; _ en
cas deperre il manque rne parrie au premier, ee 3 à l’aurre; doncil luy
apparciene7 pistolles de 8; donc en cas de parry il luy appartiene la
moicié de 8. plus la moirié de 7. C’elt à dirc 7 =.
Sixiesme Cas.
Ainsis il manquerne partie à l’un, de 5. à l’aurre, e à l’infini.
Septiesme Ca5.
De metme s’il manque deux parries au premier, ec crois à l’aurre.
car il Faur cousiours examiner les cas de gain de de perre.
Si le premier gagne il luy manquera rne parrie, d à l’aurre 3. donc
par le quarriesme cas il luy apparrienc 7. de 8.
Si lepremier pert il luy manquera deux parties, de à l’autre deux;
doncpar le deuxielme cas il apparcient à chacun la moirié, qui est 4:
donc en cas desain le premier en aura 7, & en cas de perreil en aura
4; donc en cas de parry il aura la moirié de ces deux ensemble, (c2-
eoir5 ..
Pax cerre methode on fera les parris sur roures Porres de conditions,
en prenane rouliours ce qui apparriene en cas de gain, et ce qui appar-
siene en cas deperre, et alsignant pour le cas de parey la moirie de ces
deux (Omries.
Voyla vne des manieres de Faire les parris.
Ily en a deux autres, l’une par le Friansle Arichmerique, de l’aurre,
par les combinailons.
Methode pour faire les parcys entre deux Toieurs qui
jocent en plusieurs parties, par le moyen du
Friangle Arithmetique.
Auant que de donner cerre Mechode, il faur faire ce lemme.
Lemme.
steux joucns funta vn jeu de purhazat, a conaciou
ue seener esle, il luy appartiendra une porrion
quelconque lur la lomme qu’ils joiient, exprimée pas
se facison, lu esce sl perd, il luy apparciendea vne

## Folio 6 — 1023099829:0040
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
VSACE DV TRTANOLE AREFE.
moindre portion sur la melne Comme, exprimée par
une aurre fraction. S’ils reulene se separer lans joiier,
la condicion du parer le trouvera en cerre Corte. Soiene
reduires les deux fractions à melme denomination si el.
les n’y Pont pas, loit prile vue Fraction donc le numera-
ceur loit la lomme des deux numeraceurs, ec le deno-
minateur double des precedens. Cerre Fraction expri-
me la porrion qui apparriene au premier lur la Comme
qui est au jeu.
Par exemple, qu’en cas de sain il apparrienne les = de la Pommme
qui est au jeu, de qu’en cas de perre Il lur en apparrienne=.
Le dis que ce qui luy apparriene en cas de parey le trouvera en pre-
nancla Comme des numerareurs qui est 4, ee le double du denomina-
ceur qui est r0. donc on fair la Fraction 
Car parce qui a esté demonstré au 2. Coroil. il falloit assembler les cas
de cain e de perte e en prendre la moitié; Or la somme des deux fra-
ctions 3- +  est  qui se fait par l’addition desnumerateurs, e
sa moitié se trouve en doublant le denominateur,  ainsi l’on a
ce qu’il falloit demonstrer.
Or ces recles sont senerales, e sans exception, quoy qui reuienna
en cas de perte ou de cain; car si par exemple, en cas de cain il ap
partient = e en cas de perre, rien; en reduisant les deux fractions
à mesme denominateur, on aura = pour le cas de zain e e pour
le cas de perte, donc en cas de party il faut cette fraction = dont le
numerateur écale la somme des autres, es le denominateur est don-
ble du precedent.
Ainsi si en cas de cain il appartient tout, ex en cas de perte
en reduisant les fractions à mesme denomination, on aura ? pour
pour le cas de fain, e: pour celuy de la perre: donc en cas de
parcy il appartient
Ainsi si en cas dezain il appartient tout, e en cas de perre rien-
le party sera visiblement= car le cas de cain est  le cas de perre
e donc le party est
Ft ainsi de tous les cas possibles.
Problesme I.
Estans proposez deux joiieurs, à chacun desquelsil man-

## Folio 7 — 1023099829:0041
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
POVR LES PARTES DV TEV.
que vn cerrain nombre de parties pour acheuer tron-
ver par le Priangle Rrichmerique le parer qu’il faut fai-
re (s’ils reulene se leparer Pansjoiier) en égardaux par-
eies qui manquene à chacun.
Soir prile dans le criang le la bale dans laquelle il y a autant de cellu-
les qu’il manque de parries sux deux ensemble. En suice loiene priles
dans cerre bale autane de cellules conriniies a commencer par la pre-
miere, qu’il manque de parries au premierjoiieur, et qu’on prenne la
Comme deleurs nombres. Donc il reste aurant de cellules, qu’il man-
que de parries à l’aurre. On’on prenne encore la lomme de leurs nom-
Bres. Ces lommes lont l’une à l’aurre comme les auantages des joiieurs
reciproquemene. De Corre que si la Comme qu’ils joiienr est égale à la
Comme des nombres de roures les cellules de la bale, il en apparcien-
dra à chacun ce qui est contenu en aurant de cellules qu’il manque de
Parries à l’aurre, et s’ils joiienerne aucre lomme il leur en apparriendea
a proporrion.
Par exemple qu’il y aic deux joiieurs, au premier de squels il manque
aeux parcies, ex à l’aurre 4, il Faur rrouver le parer.
Soientadjoustez ces deux nombres 2, e 4, & Toirleur Comme, 6, Coiu
prise la sixième bale du Friansle Arichmerique D sdans laquelle il y
a paF ConsequenE sIX celluleS P, MI, P, c, S, S. Soient priles autane de
cellules à commencer par la premiere P. qu’il manque de parries au
premierjoneur, c’est à dire les deux premieres P. M; donc il en recte
autane que de parries à l’aurre, c’est a dirc 4. F, co, 5, S.
le dis que l’avancage du premier est à l’avantage du lecond, com-
MC F Y c Y S 7 S, a P Y M. C’est à dire que (i la Comme
qui se joue est égale a P F MI Y F Y c Y S Y S, il en apparciene
a celur à qui il manque deux parries la Commme des  cellules, s +S
i co Y F; & à celuy à qui il manque a parries, la lomme des deux
cellules P + M. Eesilsjouene rn aurre lomme, il leur en apparriene
d ProDorciOn.
Ecpour le dire generalemene, quel que Comme qu’ilsjovenr, il en ap-
parriene au premier une porrion exprimée par cerretraction,
P + co F S Y S
P F MI Y F F c Y SY s done le numerareur est la Comme des 4. cellules
de l’aurre, et le denominareur la lomme de toures les cellules; de a
l’aurre une porrion exprimée par cerre fraction
P + M
D F NI f F F co f S Y s
dont le numerareur est la Comme des deux cellules de l’aurre, de le de-
nom inaceur lamelme lomme de roures les cellules.

## Folio 8 — 1023099829:0042
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
s
ACF LRTANGLE ARETE
Fie Sil mangue M PaLCa LV, e 5. à l’aurre, il apparrienE aU Pre
mier la Comme des s. premieres cellules. P + ML i F Y c F S, de a
l’auere la Comme de la cellule s.
Ec s’il manque 6. parries à l’Vn, e 2. à l’aurre, le parey s’en trouve,
ra dans la huictième base, dans laquelle les sixpremieres cellules con-
ciennent ce qui apparriene à celur à qui il manque deux parries, de les
deux aurres ce qui apparrienr a celuy à qui il en manque 6. Fr ain (2 a
l’intruy.
Quoy que cette proposition ait une insinité de cas, je la demonstre-
ray neantmoins en peu de mots par le moyen de deux lemmes.
ZC 2. que la seconde base contient les partis des joueurs ansquels il
manque deu parties en Tou.
FC2. que si une base quelconque contient les partys de ceux aus
quels il manque aurant de parries qu’elle a de cellules, la base suivan-
re sera de mesme, c’est à dire quelle contiendra aussi les parris des
joueurs ausquels il manque autant de parcies quelle a de cellules.
D’ou je conclus en un mot que toutes lesbases du Trianele Arithme
rique ont cette proprieté, car la seconde l’a par le premier lemme
donc par le second lemme, la troisiesme l’a aussi, ex par consequent
la quarriesme, ex aussi à l’infiny: Ce qu’il falloit demonstrer. Il faut
donc seulement demonstrer ces 2. lemmes.
ECY. est euident de luy mesme, car s’il manque une partie à l’un
e une à l’autre, il est euident que leurs conditons sont comme e à 6,
c’est à dire comme, 1, à 2, ex qu’il axpartient à chacun certe fraction,
LC2. se demonstera aoredeset.
Si une base quelconque comme la quatrième D n contient les par-
tis de ceux à qui il manque quatre parties; c’est à dire que s’il manque
une partie au premier, e trois au second, la portion qui appartient
au premier sur la somme qui se joue, soit celle qui est exprimée par
cetre fract
B +
D + B + 9 +
qui a pour denominareur la somme
des cellules de cettebase, e pour numerateur sestrois premieres; ex
que s’il manque deux parties à l’un,  deux à l’autre, la fraction
qui appartient au premier soit,
+ B.
D + B f. 0.
: que s’il man-
que rrois parties au premier, ex une à l’autre, la fraction du pre-
1sates
c
qui est,
Ze dis

## Folio 9 — 1023099829:0043
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POVR LES PARTES DV TEV.
Je des que la cinquiéme base contient aussi les partys de ceux aus-
quels il manque cinq parties, es que s’il manque par exemple deux
parties au premier, ex rrois à l’aurre, la portion qui appartient au
premier sur la somme qui se joue, est exprimée par cetre fraction
TI + F + C
EY + F Y C + R F p.
Car pour sçavoir ce qui appartient à deux joueurs à chacun des
quels il manque quelques parties, il faut prendre la fraction qui ap-
partiendroit au premier en cas de fain, ex celle qui luy appartien-
droit en cas de perre, les mertre à mesme denomination, si elles n’y
sont pas, e en former une fraction, dont le numerareur soit la som-
me des deux autres, ex le denominateur double de l’aurre, par la
demme precedent.
Fxaminons donc les fractions qui axpartiendroient à nostre premier
joueur en cas de cain e de perte.
Si le premier a qui il manque deux parties, carne celle qu’ils vont
jouer, il ne luy manquera plus qu’une parrie, e à l’autre tousours
trois, donc il leur manque quarre parties en tour; donc, par l’hypo-
these, leur parry se tronve en la base quatriesme, ex il appartiendra
au premier cette fraction,
I + B + b
D + B + B F X.
Si au contraire le premier perd, il luy manquera touscours dex
parties, e deux seulement à l’autre, donc par l’hypothese la fra
ction du premiersera,
D + B
D + B + B + 2-
Donc en cas de parry il apparriendra au premier cerre fraction,
D F B F B, Y D + B c’est a dire, II + F + C
2 D + 2 B + 26 + 2 2; cest a dire, II F F Y C Y R Y H0
Ce qu’il falloit demonstrer.
dinsi cela se demonstre en toutes les autres bases sans avenne dis-
ference, parce que le fondement de cerre preuve est qu’une base est
touscours double de sa precedente, par la 7. Conseq. e que, par la
dixiesme Consequence, rant de cellules qu’on voudra d’une mesme ban
se sont égales à aurant de la base precedente (qui est tousours le deno-
minateur de la fraction en cas de zain) plus encores aux mesmes cellu-
les excepté une (qui est le numerareur de la fraction en cas de perte)
ce qui estant vray reneralement par tout la demonstration sera rolln
jours sans obstacte es vniverselle.

## Folio 10 — 1023099829:0044
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000044.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
VSAOE DY TRTANOLE ARITH
Problesme 2. Prop. 2.
Fstansproposez deuxjoiieurs, quijoiiene chacun remet-
me somme en un certain nombre de parties proposé;
Trouver dans le Prianole Arichmerique la valeur de la
derniere partie lur l’argene du perdane.
Par exemple, que deux joiieursjoiient chacun erois pistolles en qua-
ere parries; on demande la valeur de la derniere partie lur les erois
pistolles du perdant.
Soic prise la Fraction qui a l’unicé pour numerareur et pour denomi-
nareur la Comme des cellules de la bale quarrielne, puis qu’on joiie en
quarre parties; Lc dis que cerre Fraction, est la valeur de la derniere par-
eie lur la mile du perdane.
Car si deux joueurs jouans en quatre parties, l’un en a rrois à point,
e qu’ainsi il en manque une au premier, e quatre à l’aurre, il a
esté demonstre que ce qui appartient au premier pour le cain qu’il a
fait de sestrois premieres parties, est exprimé par cetre fraction,
HI F F + C + R
II + F Y C Y R Y u, qui a pour denommateur la somme des cel
lules de la cinquiesme base, ex pour numerareur ses quatre premieres
cellules, donc il ne reste sur la somme torale des deux imises que cette
fraction
TI Y F Y C Y R + V, laquelle seroit acquise à celuy qui
déja les trois premieres parties en cas qu’il gagnast la derniere; Donc
la valeur de cette derniere sur la somme des deux mises est
c’est à dire
l’vriré.
HI Y F Y C Y R Y 1, cest a dire 2 D F 2 B + 2B + 2
Or puis que la somme totale des mises est 2D + 2B F 2B + 2n.
La somme de chaque mise est D Y B + B Y X, donc la valeur de la
aerniere partie sur la seule mise du perdant est certe fraction
D + B + O Y a aouble de la precedente, e laquelle a pour nume-
rareur l’unité, ex pour denominateur la somme desceltules de la qu-
triesme basc.
Ce qu’il falloit demonstrer.

## Folio 11 — 1023099829:0045
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000045.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
POPR LES PARTES DV IEV.
Problesme 3. Prop. 3.
Estans propolez deux joiieurs, qui joiiene chacun vne
melme Comme en un cerrain nombre de parciesdonné;
Prouver dans le Triangle Arichmerique, la valeur de
la premiere parcie sur la mise du perdant.
Par exemple, que deux joiieurs joiiene chacun erois pistolles en
quarre parries; on demande la valeur de la premiere sur la mise du
perdane.
Soic adiousté au nombre, q le nombre, 3 moindre de l’rniré de
Poir la Comme, 7, Poir prile la Fraction, qui aie pour denominateut
eoures les cellules de la Sepriesme base, _e pour numerareur la cellule
de cerre bale qui serenconire dans la dividenre, sçavois cerretraction
V + O + R F P Y E F N +5
Je dis quelle Paristair au Problesne.
Car si deux joieurs jouans en quatre parties, le premier en a une
à point, il en restera, 3, à caener au premier, et 4, à l’autre; donc
il axpartient au premier sur la somme des deuxmises cette fraction
F O + K + P
V + O Y R Y p F E + N + 8 qui a pour denominateur toutes les
cellules de la sepriesmebase, e pour numerareur ses quatre premie-
res cetlules.
Donc il luy apparrient V + C + R + e sur la somme rorale des
deux mises exprimée par V + O + R F p Y E Y N Y S; Mais cet-
re derniere somme estant l’assemblare des deuxmises, il en avoit mis
au jeu la moitié, sçavoir V F O F R + = e (car V + O F R, sont
eau a  + N + E)
Doncila=e, c’est à dire, co, plus qu’il n’avoit en entrant au jeus
donc il a saené sur la somme rorale des deux mises une portion expri-
mée par cette fraction
co
V Y O FK Y p + E Y N + 8 doncila eaene
sur la mise du perdant une porrion qui sera domble de cellela,
voir celle qui est exprimée par cetre fraction.
V + CTk FP FEF N 15
Done a fandi tote ncte cns aquos dibd stildnus nb
la valeur est bento

## Folio 12 — 1023099829:0046
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000046.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
VSACE DV TRTANOLE ARETE.
Corollaire.
Donc la valeur de la premiere parrie de deux, sur la mise du perdane,
est exprimée par cerre fraction=.
Car en prenant cette valeur suivant la recle qui vient d’en estre
donnée, il faut prendre la fraction qui a pour denominateur les cel-
lules de la troisiesme base (parce que le nombre des parties en quoy on
joie est, 2, e le nombre moindre de l’onité est, 2, qui avec, 2. fait 3)
cx pour numerateur, la cellule de cette base qui est dans la dividen
te, donc on aura certe fraction,
A Y at Y X
Or le nombre de la cellule  est, 2, e les nombres des cellules
A, F +, Y X, Cont, 2 F 2 Y 2. D onc on a cetre fraction
c’esta dire, = c’est à dire .
+ + 2 +
Donc le rain de la premiere partie luy a acquis cette fraction, done
sa valeur est telle. Ce qu’il falloit demonstrer.
Probleme 4.
Prop.
Estans propolez deux joiieurs, qui joiiene chacun vne
melme lomme en on cerrain nombre de parties don-
né; Trouvuer par le Friangle Rrichmetique la valeur de
la seconde partie Tur la mile du perdant.
Soic le nombre donné des parries dans le squelles on joiie 4; II Fayr
erouver la valeur de la deuxielme parrie sur la mise du perdane.
Soic prise la valeur de la premiere parrie par le Problelme prece.
devr. le dis qu’elle est la valeur de la seconde.
Car deux joueurs joinns en quatre parties, se l’un en a deux a point
la fraction qui luy apparcient est celle-cy
Y MI Y F Y co
P f MI Y F Y co f S + si
qui a pour denominareur la somme des cellules de la sixiesme base,
x pour numerateur la somme des quatre premieres, mais il en avoit
mis au jeu cette fraction
D + HY f F.
P + M + F Y co + S + s
sçavoir la moitié du tout.
Donc il luy reste de zain cette fraction
P + M Y L505318, Qu est la mesme chose que ceuey

## Folio 13 — 1023099829:0047
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000047.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 18 lines, status machine
POVR LES PARTES DV TEV
Y Y O Y K Y P + E Y N + 8 donc il a sarné sur la moirié de la
somme entiere, c’est à dire sur la mise du perdant cette fraction
double de la precedenté
2
V F O F R + p Y E F N + 8
Doncle eain des deux premieres parties, luy a acquis cette fraction
sur l’arcent du perdant; qui est le double de ce que la premiere par-
rie luy avoit acquis par la precedente, donc la seconde partie luy en
a autant acquis que la premiere.
Conclusion.
On peur ailemene conclurre par le lappost unt) aea Ldnole
Arichmerique aux parrys qui se doivent Faire entre deux jolieurs, que
les proporrions des cellules qui one esté données dans le Prairre du
Friangle, one des consequences qui s’estendent à la valeur des par-
ries, qui Conc bien ailées à rirer; et dont j’ay faic un perie dilcours
en rraierane des pareys, qui donne l’incelligence ee le moyen de les
etendre plus auanE.

## Folio 14 — 1023099829:0048
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000048.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
VAABE DV ERTAHOLE HAITH.
e rec ite ec dc rec ile e re rec e
e 
e. he bo ert o i oun eln at n sn
ssosoporoo
es se
Eos
NSAOF DV TRIANOLE ARITMETIOrE
Pourtrouver les puissances des Binomes (5 Apotomes.
2. II est proxosé de rrouver la puissance quelconque, comme le
quarriesme degré a rnbinome, donele premiernom Pone A, l’au-
L Derelrnicé, c’est à dire qu’il Faille eronver le quarre quarré de A f L.
II Faur prendre dans le Frianele Arichmerique la base cinquielme,
sçavoir celle done l’expolane, s. est plus grand de l’uniré que 4, ex
polane de l’ordre proposé; Les cellules de cerre cinquielme bale Lont
2, 4, 6, 4, T. Donc il Faur prendre lepremiernombre, 1, pour coefti-
ciene de A au degré propolé, c’est à dire de A+. En luicre il faur pren-
dre le secondnombre de la base, qui est 4 pour coelticiene de A au
degre prochainement inferieur, c’est à dire de A3, d prendrelenom-
breluivant de la bale, sçavoir, 6, pour coefticiene de A au deore inte-
rieur, sçavoir A, e le nombre luiuane de la bale, scavoir, 4, pOur
coetticient de A au degre inferieur, sçanoir, A racine, _ prendre l0
dernier nobre de la bale, i pournombre ablolu. Fcainsion aura, 1 A + f
4A Y 6 A Y 4 A F r. qui Pera la puissance quarre. quarrée du bino-
me AY J. De Torre que si A (qui reprelenre tour nombre) est l’unicé
e qu’ainsi le binome A Y L Poir le binaire, cerre puisTanCC + A + + a
AF6 A F 4 A Y 2. Pera maincenane L, L. + 4, L3 +6, I Y 4, IF2.
C’est à dire, Vne fois le quarre quarré de l’rniré A, c’ett à dire,
Ouarre Fois le cubede, 1, c’est à dire.
Six Fois le quarré de Y, c’est à dire.
Ouarre Fois l’rnicé, c’est à dire,
Plus l’rnicé,
qui adjoustez Fone
Et en eHer le quarré quarré de 2 eAt 16.
Si Aestrnaurrenombre, comme, 4, e partane que le binome A Y r
Foir, 5, alors lon quarré quarre lera rouliours luinane cerre mechode,
2A F 4 A F 6A Y 4 A F 2, qui SigNiACMAINEEMANE L, 4 2 7 4, +
6, 4 Y 4, 4 Y I.
C’est a dire, Vne fois le quarré quarre de 4, scauoie,
Ouarretois le cube de 4, Scauoir
Six fois le quarré de 4
Ovarre Fois la racine 4
Plus l’unicé
Done la Comme

## Folio 15 — 1023099829:0049
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000049.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
POVR LES LVISSANCES.
Faic le quarré quarré de 5. Fr en effer le quarré quarre de 5 est 625.
Ec ainsi des aurres exemples.
Si on reur rrouver le melime desré du binome A f 2.
II Faur prendre de mesine, + A Y 4 A Y 6 A F 4 A Y X.
Fc en luiere elcrire ces gnatre nomDreS 2, 4, 8, 16, qui loncles qua-
rrepremiers deorez de 2, Tous les nombres, 4, 6, 4, 1, c’est a dire lous
chacum des nonsbres de la bale, en laislane le premier en Cetre LOrres
2 A  Y 4 A3 Y 6 A Y 4 A YY
2C
Ec mulciplier les nombres qui se répondene l’un par l’aurre.
I A Y 4 A3 Y 6 A Y 4 A Y L
EN CCEE POrEO Z A F 8 A. F24 A Y 32A Y 16
Er ainsi on aura le quarré. quarré du binome A f 2. De Porre que A
A es l’vniré, ce quarré quarré sera rel:
Vne Fois le quarré quarre de l’vniré A,
Huict fois le cube de l’uniré
24
32
Plue
Done la Comme
Sera le quarre quarré de 3. FF en effect ex est le guarré quarré de 3.
Ec (I A est 2, lors A F 2 Tera 4, ec son quarre quarré sera,
Vnetois le quarre quarré de A ou de 2, Scavoit,
24.
32,
PLIIS
Done la Comme
Sera le quarré quarre, de 4
De la melure maniere on erouvera le quarré quarré de A Y 3
tin mecrane de la metme Corre, A Y 4 A3 Y 6 A Y 4 A + L
Fc au dellons les nombres
8+
qui Concles 4. prem. degrez de x A 22 A F 54. A F 108 A + 85.
3. X mulciplians les nombres
correspondans, on crouvera le quarré quarré de A + 3.
Ecainli à l’intinr. Si au lieu du quarré. quarre on veur le guarre cu-
Be, ou le cinquielme degré, il faur prendre la base sixiesmne, et ett
vser come i’ay dic de la cinguiesme; et ainM de tous les autres de
STCZ.
On trouvera demelnes les puissances des ApOromes, A - T. A - 2 e5c.
Lamechode en est roure lemblable, e ne differe qu’aux sizuee, cat las
16.

## Folio 16 — 1023099829:0050
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000050.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 16 lines, status machine
26 VSACE DV PRTAHOLE ARTTI. POVR LES PVTS.
sienes de Y de de le suivene cousiours alternacivemene, de le signe
de Y est cousiours le premier.
Ainsle quarre quarre de A 1lerrouvera de cerre Porre. Le quarré
quarre de A Y L est par la resle precedente L A. Y 4 A Y6 A Y 4 A Y X
Donc en chanseane les lignes comme iaydic, on auta.
2A = - 4 A Y 6 A- 4 A F F
Rinsi le cube de A- -2 le crouvera de melines.
Car le cube de A F 2 par la resle precedenre est
A F 6 A + 12 A + 8.
Done le cube de A 2 le trouvera en changeane les siones:
+ A3 6 A Y 12 A 8.
Ec ainse à l’intnr.
Je ne donne poine la demonstration de ront cela, parce que d’aurres
en ont déjarrairre, comme Hlerisogne. Ourre que la chole est euidence
d’elle melme.

## Folio 1 — 1023099829:0051
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000051.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
a
IVMERIOVES.
E preluppose qu’on a veu le Frairre du Priangle Arich-
 mericlle, e Con vlage pourles Ordres Numeriques; Au-
cremene iy renvoye ceux qui veulen voir ce dileours
ul en eApropremene une luiere.
ay donné la desnition des ordres numeriques, et je
ne la repeceras paso
Py ay nliltré aulsi que le Priansle Prichmetique n’estaurre chole
que la cable des ordresnumeriques; en suirre dequoy il est cuident que
coures les proprierez qui one etté données dans le Frianole Arichmeri-
que entre les celtules ou entre les rangs, conniennent aux ordres nu-
meriques; De Corre que Epeu qu’on aye l’art d’appliquer les proprie
cez des unsaux aurres, il n’y a poine de propolirion dans le craicré du
Friangle qui n’air les consequences rouchane les divers ordres. Fccela
est cour ensemble ec li Facile d l abondane, que ie luis forrelloisné de
rouloir cour donner expressemene, l’armerois mieux laisser tour à fai
re, puilque la chose est (i aylée; mais pour me renir enere ces deux
extremirez, i’en donnerar seulemene quelques exemples, qui ouuri-
Fone le moren de ErOnveE TOnS les aUFreS.
Par exemple. De ce qui a esté dic dans rue des Consequences du
Frairré du Friangle, que chaque cellule, éeale celle qui la precede dans
Con rans parallele, plus celle qui la precede dans son rans perpendieu-
laire. l’en torme cerre propolicion conchane les ordres numeriques.
Proposition I.
Un nombre de quelque ordre que ce loir, égale celur qui
leprecede dans son ordre, plus Con corradical de l’ordre
precedent. Fepar consequent, le quatrième, par exem-
ple, des prramidaux, ésale lerroilième prramidal, plus
8

## Folio 2 — 1023099829:0052
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000052.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
LLLCLLLE DES ORDRES
equarrième criangulo. criansulaire. Ainli le cinquième
triansulo-eriangulaire, égale le quarrième criangulo-
eriansulaire, plus le cinquieme prramidal, ec.
Aurre exemple. De ce quia esté monstre dans le Frianole, que cha-
que celtule comme, F, égale F. Y B F + + 5; c’est à dire, celle qui la
precede dans son rans parallele, plus toures celles qui precedent cetre
precedente dans son rans perpendiculaire; Le Forme cerre propolirion.
Proposition 2.
In nombre de quelque ordre que ce soit, égale rons ceux
tant de Con ordre que de tous les precedens, dont la ra-
eine est moindre de l’uniré que la sienne; et parrane le
quacrième des prramidaux, par exemple, égale le eroi-
sieme des prramidaux, plus le croisième des criangulai-
res, plus lerroitième des nacurels, plus lecroisième des
vnicez, c’est à dire l’unite.
D’ou on peut maintenanerirer d’autres consequences, comme cet-
Pe. cy que ie donne pour ouvrir le chemin à d’aurres pareilles.
Proposition 3.
Chaque nombre de quelque celtule que ce Poit, eAt com-
polé d’aucane de nombres qu’il y a d’ordres depuis le
Sien insqu’au premier inclusivemene, chacun desquels
nombres est de chacun de ces ordres. Rinsirn eriangulo
criangulaire, est compolé d’un aurre rriangulo. trianou.
laire, d’un prramidal, d’un criansulaire, d’un nacurel
et de l’rnicé.
EF S on veur en faire rn problesme, il pourra s’enoncer ainsi
Proposition 4. Problesme.
Fltane donné rnnombre d’un ordre quelconque, rrouver
vunombre danschacun des ordres depuisle premieriul-
qu’au sien inclusmemene, donc la somme érale le nom-
OEC aOLILI
La lolurion en elt tacile, il taur prendre dons rons ces ordres, les
nombres dons la racine est moindre de l’rnice que celle du nombre
donneo

## Folio 3 — 1023099829:0053
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000053.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
N V MERFOVES.
Aurre exemple. De ce que les cellules correspondantes sont exalb
exes-elles, il le concludo
Proposition 5.
Due deux nombres de differens ordres LOnt egAUX enEr
eux, E la racine de l’on, est lemesinenombre que l’ex-
polane de l’ordre de l’aurre. Et partane, le croillème
prramidal, est égal au quarrième criangulaire. Le cin-
quième du huictième ordre, est le melme que lehui-
etième du cinquième ordre, ac.
On n’auroir iamais acheué: Par exemple.
Proposition 6.
Pous les quatrièmes nombres de tous les ordres, Pont les
melmes querous les nombres du quarrième ordre, ec.
Parce que les ranes paralleles e perpendiculaires qui ont vn mes-
me exposant, sont composez de cellules toutes pareilles.
Par cerre methode on trouvera un rappore admirable en cour la
relte comme celuy. cy.
Proposition 7.
In nombre de quelque ordre que ce soit, est au prochai.
nement plus grand danslemelne ordre; comme la ra-
cine du moindre est a cerre mesme racine jointe d̀ l’ex-
volane de l’ordre, moins l’vnicé.
Ce qui s’entuir de la quarorzième consequence du rriangle, ou il est
monstré que chaque cetlule est à celle qui la precede dans son ranspa-
rallele, comme l’exposant de la base de cette precedente, à l’exposant
de son rans perpendiculaire.
Ec atin de ne rien cacher de la maniere dont le rirene ces correlpon-
dances, i’en monstreray le rapporr à découverr: Il est un peu plus difti-
cileiey que rancost, parce qu’on ne roid poine de rappore, de la bale
des rriangles, avec les ordres des nombres; mais voicy le moyen de le
trouuer. Au lieu de l’emposant de la base, done j’ay parlé dans cerre
quarorrième consequence, il Faur substiruer, l’exposant du ranspa-
rallele, plus l’exposant du rans perpendiculaire moins l’unité. Ce
qui produie le melmenombre, & auec cer anantase, qu’on connoist
le rappore qu’il y a de ces expolans, auec les ordres numeriques: Cae

## Folio 4 — 1023099829:0054
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ERATETE DES ORDRES
on scaie, qu’en cenouvead langage, il Faur dire, l’exposant de loi
la mechode pour Faire a pout facilirer ces reduetio
Proposition 0.
Vinombre dequelque ordre que ce loit, est à Con corradi-
cal de l’ordre luivane, comme l’expolant de l’ordre du
moindre, est a ce melme expolant joine à leur racine
commune moins l’rnicé.
C’est l2 13. Con sequence du TF. AInA ON PTOUVETA CnCOrC que
Proposition
Vn nombre de quelque ordre que ce soie, est à celur de
l’ordre precedent, done la racine est plus grande de l’u.
nicé que la senne, comme la racine du premier, à l’ex-
polane de l’ordre du second.
Cen est que la meline chose que la donzième consequence du Frian-
Ele Arichmerique.
l’en laisse beaucoup d’autres, chacune desquelles, aussi bien que de
celles que ie riens de donner, peur encore estre augmenrée de beau-
coup par de difterenres enonciarions: car au lieu d’exprimer ces pro-
portions comme i’aytaic, en dilane qu’un nombre est dun autre com
me un troisiéme à un quatrieme. Ne peue-on pasdire que, le rectan-
ele des extremes est éral a celuy des moyens. Ec ainli mulciplier les pro-
posirions, e non sans vriliré; car estans regardées d’un aurre colté elles
AONMEME d’aUTreS OMVETEUTeS.
Par exemple, si on reur rourner aurremene cerre derniere propoli-
rion; on peur l’enoncer ainfi.
Proposition le
Vnnombre de quelque ordre que celoir, estane mulciplié
par la racine precedente, égale l’expolant de Pon ordre,
mulciplié par lenombre de l’ordre luinane procedane de
tcpacer este suan suate nmteotom propoonala selcllat.
le des exrremes, ou des moyens, estanc diuise par vn des deux aUTLES,
donne pour quorient le dermier; on peur dire ail.
AInLiOncTOC
cecce racine.

## Folio 5 — 1023099829:0055
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V M F R IOV C8.
Proposition
Vn nombre de quelque ordre que ce soit, estane mulci-
plié parla racine precedence, e diuisé par l’expolant de
Con ordre, donne pour quoriene le nombre de l’ordre
Luinane quiprocede de cerre racine.
Lesmanieres de courner vne mesne chole Continhinies; en voier on
illustre exemple, et bien glorieux pourmoy. Cerremelme proposirion
que ie riens derouler en plusieurs Porres est rombée dans la penlée de
nostre celebre Conseiller de Thoulonze MIOnSeUT de PCRHAE; EC, ce
qui est admirable, lans qu’il m’en eust donné la moindre lumiere, ny
moy a luy, il écrivoie dans la Prouince ce que l’invenois à P’aris, heu-
re pourheure, commenos lerrres elcritres e receiies en melme remps
le cémoignent. Hcureux d’avoir concouru en cerre occalion, comme
i’ay Faic encore en d’aurres d’une maniere tout a Fait eAtrange, auec vi
homme i orand e Liadmirable, e qui danscoures les recherches de la
plus sublime geomerrie est dans le plus haut degré d’excellence, com-
me les ouurages, que nos longues prieres onr entin obrenu de luy, le
Ferone bien- tost voir à tous les geomerres de l’Europe qui les arren-
dene. La maniere dont il a pris cerre melme proposirion est celle.
En la procression naturelle qui commence par l’onité,
connombre quelconque estant mené dans le prochainement
plus erand, produit le double de son trianele.
Le mesme nombre estant mené dans le riane le du pro-
chainement plus orand, produit le triple de sa prramide.
Le mesme nombre mené dans la prramide du prochai-
nement plus grand, produit le qua druple de son triansu-
lo triansulaire: Et ainsi à l’infiny, par une methode ge-
nerale eo uniforme.
encerrepropositions’entendant de roures les autres, ie ne m’arresteray
plus à cerre maniere accommodance de traierer les choles, laisant à
chacun d’exercer Con genic en ces recherches, ou doir consiser coure
l’eltude des Geoerres: car li on ne lçair pas courner les propolicions
a touS senS, X qu’on ne se lerue que du premier biais qu’on a ennila-
se, on n’ira iamais bien loins: ce Tonr ces diverles roures qui OuUFCHE
Voila commene on peur rarier les enonciations. Ce que je monstre

## Folio 6 — 1023099829:0056
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LRAPETE DES ORDRES NNMERIOVES.
15
metrie, et ce que i’en diray lera comme on nouveau traitre des ordres
numeriques; e melme ie le donneray en Larin, parce qu’il se rencon-
ere que ie l’ay elerir ain sI en l’InUenTAnE.
Sujec, liene des proxolirions, qui sembloienE n’aNOIT AUCUN FaPPOLE
dans les cermes ou eites enbiem conteues aadorus le commullas
donc celujer en la Mancre doc oit a acconstume de rraitrer la Cco-

## Folio 7 — 1023099829:0057
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exubbe 
abeb eto eto ep eso et
10610606100106010r0010or derootooo
s est est ost cp e C3 e es
u u u a es
coeto eto es eso e es
eeooroat
Eet cs ao es es
30f3 et3
DE ATWMDRTCIS OKOITCISVo
TR ACT A TVS.
Riangus Drichmerici eractarum, ip siulque circa numeri
raes rlum, supponir rractarus ilte, re ec plerique
renabus: huc ergo mirritur lector horum cupidus,
nolder quid sine ordines numerici, nempe, rnicaress
numerinarurales, crianguli, prramides, criansulo- crian-
BulI, ec. Oux cum Perlegerie Facilé haec allequetur.
ADC proprie ostenetur connexio incer numerum cniuluis ordinis
cum lea lae eenre Cui ordinis, quae calis est, ve ex his cribus,
daris duobus quibuslibet cerrius inveniarur. Verbi graria, daca radice 
exponence ordinis, numerus iple dacur; he daro numero et lui ordinis
exponence, radix elicieur; nec non ex daro numero ex radice, expo-
mens ordinis invenitur: haec constiruune Puia priora problemata, quar-
cum de Cumma ordinum agies.
F AVMDRTCORVM ORDINVH
GOMDOSITIONE
Problema F.
Dacis, Bumeri cujussiber, radice de exponente ordinis,
COIPOHCrE NUIMErUM.
Productus numerorum qui praecedune radicem, dini-
dac productum rotidem numerorum quorum primus sit
exponens ordinis, Duotiens erit quaesitus numerus.
Propositum sit invenire numerum ordinis verbi ora-
iia tertii, radicis vero quinta.
Productus numerorum; X, 2, 3, 4, qui pracedunt ra-
dicem, 5. nempe, 24, dividat productum coridem nu
merorum continuorum, 33 43 5, 6, quorum primus sit
b

## Folio 8 — 1023099829:0058
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ANMERTCOEDM ORDTUrM
exponens ordinis, 3, nempe, 360, Duotiens 25, est nu
merus quaesitus.
Nec difficilis demonstrario, eadem enim prortus construetione, in-
venta est, ad Anem cractarus Triang. Prich. cellula quineae leriei per-
pendicularis, cerria vero Periei parallelae; cujus cellulae numerus, idem
est ac numerus quinrus ordinis cerrii, qui quaeritur.
Porest aurem ex sic resolui idem problema.
Productus numerorum qui praecedunt exponentem or-
dinis, diuidat productum rocidem numerorum continuo-
rum quorum primus sit radix, Quotiens est quaesitus.
Sic in propolico exemplo, productus numerorum, 2, 2, qui praece-
dune exponencem ordinis, 3, nempe, 2; diuidat productum coridem
numerorum, 5, 6, quorum primus lic radix, 5, nempe, 30, Ouoriens,
25, eAt numeruS quaCIEUS.
Nec differt haec constructio a praecedenre, nisi in hoc solo, quod in
alcer a idem Ar de radice, quod hr in alrera de exponente ordinis. Perin-
de ac hidem esser invenire, quincum numerum, ordinis rerrii, ac rer-
cium numerum ordinis quinri, Ouod quidem verum esse iam osten-
dimus.
Hlinc aucem obicer colligere possumus arcanum numericum, cum
enim ambo illi quorienres, 15, sine iidem, constar, dinilores esse inter
Ce re diuidendos. Animaduerremus icaque.
Si sint duo quilibet numeri: Productus omnium numerorum pri-
mum ex ambobus propositis praecedentium, est ad productum rocidem
numerorum quorum primus est secundus ex hisambobus, ut productus
ex omnibus qui praecedunt secundum ex illis ambobus, ad productum
toridem numerorum continuorum quorum primus est primus ex ijsam
bobus proposiris.
Flxc qui prosequererur, ex demonstrarer, et noui Forrassis rractatus
maceriam reperirer, nunc aurem quia exrra rem nostram Lune (iC Pex
simus.
DE NVMERTOORVM ORDTNNM
RESOLVPTONTF.
Problema 2.
Dacoameto, ae expoHee thi ordinis, invenire radicem.
Pocest aurem  sic enuntiari.
ooCueIo, MdeMIreTaMLCBMMLAIaLIIMI MMMeTI
Ordinus

## Folio 9 — 1023099829:0059
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RR ESOLV PFO.
ordinis numerici cuiusliberpropoliri, qui in dato nume-
rO contineatur.
Sit Datus numerus quilibet V. 5. 58, ordo vero nume-
rieus quicunque propositus verbi gratia Cextus. Oporret
igitur invenire radicem lexri ordinis numeri, 58
Exhibeatur ex cona s concinud Exponatur ex alte-
parte exponens ordi-
nis
ra parce numerus da-
I5,
Mulciplicetur ipse, 63 Ec concinud Mulriplicetur ipse nu-
pernumerum7, proxi-
memajorem sit que pro-
ductus,
e
2
merus per, 2, sitque
productus,
XX6
Mulciplicecuriste pro. Et concinud Mulciplicetur ipse
ductus per proxime se-
quentem multiplicato-
rem, 8, sitque produ-
Etus,
3
productus perproxime
sequentem mulriplica-
torem, 3, sit que produ-
etus.
34E
Mulcipliceturiste pro. Zc continud Mulciplicetur iste
ductus perproxime se-
quentem multiplicato-
rem. 9, sit que produ-
Etus,
3024
productus perproxime
sequentem multiplica-
torem, 4, sit que produ-
Etus.
1392.
Et sic in infinirum, donec olrimus productus exponen-
tis, 6, nempe, 302 4, major euadat quam oltimus pro-
ductus numeri dati nempe, 1392: Ft tunc absoluta est
operatio, oltimus enim mulciplicator dati numeri, nempe
4. est radix quae quaerebatur.
Pgicur Dico, numerum sexri ordinis cujus radix est, 4, HempC, 56, MaXI-
mum esse eius ordinis qui in numero daro conrineatur, seu Diconume
rum sexti ordinis cujus radix est, 4, nempe 56, non esse majorem dato
numero, 58. Numerum vero eiusdem ordinis proxime majorem seu
cuius radis est 5, netpe 126, esC majorem murvera dato, 58.

## Folio 10 — 1023099829:0060
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PIVMERTCORNM ORDTNEM
Ecens Poclctus ille vlrimus numeri dari nempe 1392, Factus est ex
numero daco, s8, mulciplicaco per productum numerorum, 1, 2, 3,43
nempe, 24. produccus veropracedens hunc vlcimum nempe, 348, ta-
ctus eAt ex numero dato, 58, mulciplicato per productum numerorum
, 27 3, nemPC, 6.
Ergo productus numerorum, 6, 7, 8, non est major producto nume
rorum I, 2, 3, mulciplicaro per 58. Productus vero numerorum 6, 7, 8,
9, est major producto numerorum, 1, 2, 3, 4, mulciplicato per 58, ex
constructione.
Jam numerus ordinis se rri cuius radix est, a nempe, so multiplicarins
Per numerOS, 1, 2, 3, ae quarurproductonumerorum, 6, 7, 8, cx demon-
sraris in cractarm de ordinibus numericis.
Sed productus numerorum 6, 7, 8, non est major ex ostensis, pro-
ducto numerorum 2, 2, 3, mulciplicaro per dacum 58, igitur productus
numerorum 1, 2, 3, mulciplicarus per, 56, non est major quam idemn
productus numerorum, 2, 2, 3, mulciplicacus per dacum 58. Igitur 56.
non est major quam 58.
Tam sic 126, numerus ordinis sexri cuius radix est 5. Igicur iple 126,
mulciplicatus per productum numerorum 1, 2, 33 4, ae quatur producto
numerorum, 6, 7, 8,9, extractaru de ord. numer. Sed productus ille
mumerorum 6, 7, 8,9, eA major quam numerus dacus sd mulciplicars
per productum numerorum, 1, 2, 3, 4, ex ostensis. Igieur, numerus, 126
mulciplicacus per productum nuerOrUM, 1, 2, 3, 4, est major quam
numerus dacus se mulciplicatus per eundem productum numerorum
2, 2, 3, 4: Tgirur numerus, 126, est major quam numerus dacus, 58.
Ergonumerus 56 sexri ordinis cuius radix elt, 4, non ekt major quam
numerus darus, numerus vero, 126, ciusdem ordinis cuius radix s eAt
prexime major, major es quam dacus numerus.
Ergo ipse numerus, 56, maximus est eius ordinis qui in dato conri-
meacur, _ eius radix 4 inventa est.
d. E. F. L. D.
DE NVMERICOAVM ORDTNVM
RESOLYEIONF.
Problemit 3.
roquolibernumero, et ejus radice, invenire ordi.
LIS CXPOHeNTE
M.
or eteno Plobrema a praecedente, radix enim, ee exponens
Ordinis, RCCIPEOCC COHMETTINEUT, ita vE dato numerO v. 8. 58, ee cius
radice, 4, reperietur exponens lui ordinis6, eadem methodo, ac li daco
numero iplo, 58, _ exponeure ordinis, 4, radix, 6, eRer invenienda

## Folio 11 — 1023099829:0061
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SV ME NT A.
quartus eus dumerus serei ordinis idem estac sextus quarti, vejarre
DE NVMERTCOAYM ORDIVVA
SV MI M A.
Problema 4.
Ropolici cujustiber ordinis numerici, cor quoe impe.
rabitur, priorum numerorum lummam invenire.
Propositum sit invenire summam quinque, v. 8. prio-
rum numerorum ordinis verbi graria lexei.
Inveniatur ex praecedente numerus quintus (quia quin-
que priorum numerorum summa requiritur, ordinis lep
cimi, nempe ejus qui propositum lextum proximé se-
quitur; ipse satisfaciet problemati.
Numericorum enim ordinum generatio talis est, renumerus cuiu-
vis ordinis, aequecur summae eorum omnium ordinis praecedentis quo-
rum radices non lunc lua majores; ica re quincus seprimi ordinis, aeque
euT, ex nacura de generatione ordinum, quinque prioribus numeris
Sexti ordinis, quod difticultare caret.
Conclusio.
Mechodus qua ordinum resolurionem expedio est generalissima, re-
rum ipsam diu quaeliui, quae primo sese obculic ca eAt.
Si dari numeri quaerebarur radix certii ordinis, ira procedebam. Su-
matur duplum numeri proposiri, istius dupli radix quadrata invema-
tur, haec quaesira est aut salcem ea quae unitate minor erit.
Si dari numeri quaericur radix quarri ordinis, Nulciplicetur numerus
datus per, 6, nempe per productum numerorum, L, 2, 3: P roducti inue-
niatur radia cubica, ipsa, aut ea quae unitate minor est, satisfaciet.
Si dari numeri quaerieur radix quinti ordinis, Maltiplicetur datus
numerus per, 24, nempe per productum numerorum, 1, 2, 3, 4, pro-
ductique inveniatur radix 4 gradus ipsa vnitare minuta, satisfaciet
problemari.
Ec ita reliquorum ordinum radices guarebam, constructione non
generali, led cuique proprii ordini; nec camen ideo mihi omnino
displicebat, illa enim qua relolummur porectares non generatior el,
demonstrarum est.

## Folio 12 — 1023099829:0062
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2 utaatedam aLa M
alicer enim exrrahicur radix quadrata, alicer cubica, exc. quamuis ab
eodem principio ria illae differenres procedane. Vc ergonondum gene-
ralis porectarum resolurio daca crar, sic de vix generalem ordinum re-
Tolurionem assequi sperabam; conacus ram en expectarionem (uperan-
ces eam quam eradidi praebuerune generalissimam, et quidem amicis
meis, universalium Colurionum amaroribus doctislimis, grarissimams
A quibus excirarus ec generalem poreltarum purarum resolurionem
centare, ad instar generalis ordinum resolurionis, obrem perans quaeliui,
e Caris Faelicirer mihi concigir reperisse, ve infra ridebitur.

## Folio 13 — 1023099829:0063
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ris
ol
de
s
l
 p oso po Eoo qo  E Epo
ese
GONTINVOLrM PROMIL
S F
DE AFATLAIS OVI PRODVeNE
ex mulciplicatione numerorum lerie naturali
Secici.
PTOCCdEREIM.
Tmeri qui producuntur ex mulciplicatione numerorum
ninuorum a hemine, quod sciam, examinari sunE. Ideo
neisimpehonempe, producti continuorum.
une aurem gul ex duorum mulciplicarione FOranEuE;
reiste, 20, qui ex, 4 in s orirur, ee possent dici secundu
Sune qui ex es larione Formaneur, ve ilte 120, qui Cx, 4
in s in 6, Orirur ee dici pollene ternae speciei.
Sic quartae Beciei dici polenE qui ex QuaFROE HUMeTOTUM CONTI-
nuorum mulciplicarione Formantur, de sic in infinirum, ita ve, ex mul-
cicudine mulciplicatorum. Species nominationem exponentis Porrire.
EUT; e Sc nullus esser productus prima speciei, nullus est enim pro-
AIICEUS Cx VHO FAMEHM AUMICTO.
Primum huius eractaruli cheorema, illud est quod obirer in praece-
denre cractaru annoranimus, quod quaerendo, reliqua invenimus, ime
Se generalem porestarum relolurionem; adeo sricta connexione sibi
UEuO CohRreME veritateS.
Prop. 1.
Si sinc duo numeri quilibee; Productus omnium numero-
rum primum praecedentium, est ad productum rocidem
numerorum concinuorum a secundo incipientium; ve
productus omnium numerorum secundum praeceden.
rium, ad productum coridem numerorum continuorum
a primo incipiencium.
Sine duo numeri quiliber 5, 8. Dieo productum numerorum, 1, 2, 33
iis
+
tinuorum
progressione
n
lohutr copaeriom
70t
servavi
0
 ex
estseries progcessionis
nuncs
nivae reducendo
ad unum nomen
E + 113, 4 + 12,+ + 13

## Folio 14 — 1023099829:0064
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D F L V NI F R O R V ML
4qui pexecedunt, 5. nempl 24; esse ad productum coridem conrinua
rum nucteorum, 6, L0, IL, Hehhpe 7920: reproductum numerorum
1 2,343556, 7 aclaul 6, Hempe 5640; ad productum coridem
concinuor CLO 5, 6, 7,8,9, 10, EI, nempC 1663200.
Exenim productus numerorum, 5, 6. 7, ductus in productum istorum.
2, 2,3. 4, efficieproductum horum, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Eridem productus
numerorum, 5, 6, 7 ductus in productum numerorum, 8, 9, 10, XI.
efficie productum horum, 5, 6, 7, 8,9, 10, II, ergo, re productus nu-
merorum, 1,2, 3, 4; Ad produetum numerorum, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7; lta
productus nuerOTum, S, 9, 10, IE; ad productum numerorum, 5, 6
7383 93 te3 1t.
e
Propi
Omnisprocucus d Guorlibernumeris continuis, estmulri-
plex producti a coridem numeris continuis quorum pri-
mus eAtrnicas; ee quotiens eltnumerus figurarus.
Sirproductus quiliber, a rribus r. g. numeris continuis, 5, 6, 7, nempe
210, _ productus coridem numerorum ab rnirare incipiencium, L, 2, 3.
nempe, 6; Dico iplum 210 esse mulciplicem iplius, 6. Fc quocientem
esle numerum Aguracum.
Erenim ipsc, 6, ductus in quintum numerum ordinis quarri, nempe,
35, xquacur ip( producto ex, 5, 6, 7, ex demonstraris in cractatu de Or-
dinibus numericts.
Prop.
Omnis productus a quorliber numeris continuis est multi-
plex numeri cuiusdam figurari, nempe eius cuius radix
est minimus ex hisnumeris, exponens vero ordinis est
ruicare major quam multicudohorum numerorum.
Hloc paret ex praecedenre. Fernica verique connenir demonstrario.
Monitum.
alrer alcerius lic quoriens. Ira ve quilibet productus à quorliber numeris
concinuis, divilus per productum coridem numerorum ab rnirare inci-
piencium, re Secunda propolicio docer heripolle, quoriens sic nume-
rus Agurarus in rerria proposirione cnunriaTuS.
Ambo divilores in his duabus proposicionibus osten(i, tales sunE, ve

## Folio 15 — 1023099829:0065
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SOriaronm LnteeS
rop.
Omnis productus a quorliber numeris concinuis ab vnitare
incipiencibus, est mulciplex producti à quorliber nume
ris continuis eriam ab ruicare incipiencibus quorum
mulcicudo minor est.
Sinc quoclibeenumeri concinui ab vnitate, 1, 2, 3, 4, 5, quorum pro-
ductus, 120, quorliber aurem ex iplis ab rnitare incipientes, 1, 2, 3, quo-
rum productus, 6, Dico, 120 essemulriplicem. 6.
Ecenim productus numerorum, 1, 2, 3, 4, 5, Ac ex producto nume.
rorum, 1, 2, 3, ulciplicaro per productum numerorum, 4, 5.
Prop. 5
Omnisproductus a quorliber numeris coneinuis est mulci-
Plex producti à quorliber numeris continuis ab vnitate
incipiencibus quorum mulcieudo minor est.
Ecenim productus conrinuorum quorumliber est mulciplex coridem
concinuorum ab rnicace incipiencium ex secunda, led ex quarta pro-
ductus continuorum ab rnicare est mulciplex producti conrinuorum ab
vnicare quorum multicudo minor est. Freo, _c.
ProP. 6.
Productus quortibet continuorum, est ad productum to-
cidem proxime maiorum, reminimus mulciplicatorum
ad maximum.
Sinc quorlibernumeri, 4, 5,6, 7, quorum productus 840; & coridem
proxime maiores 5, 6, 7, 8, quorum productus 1680. Dico, 840, esse ad
2680. VE 4, 2d 8.
Erenim productus numerorum, 4, 5, 6,7, est factus exproducto con-
cinuorum, 5, 6, 7. mulciplicato per, 4, productus vero concinuorum, 5,
6, 7,8, Factus est ex eodem producto continuorum, 5, 6, 7, ulciplicato
PeF, 8. FrBO, ec.
Minimus productus continuorum cuiusliber speciei, ille
est cuius inulciplicatores ab rnicare incipiune.
Y.3. minimus productus ex quaruor continuis factus, ille est qui pro-
ducitur ex quaruor his continuis, , 2, 3, 4, qui quidem mulciplicarores
2, 2, 3. 4 ab rricare incipiune. Hoc ex le dc ex pracedentibus parer.
7
Prop.

## Folio 16 — 1023099829:0066
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D F LA t P R O R V N
TA COHTTNrORYM RESOEVERE
S E V
Relolurio numerorum qui ex numeris progrelsio-
ne naturali procedencibus producuntur.
Problema.
Ac Ghoculsdenumero, invenire tor quor impera-
hu uletes continuos ex quorum mulciplicatio.
nefactus numerus, scmaximus eius speciei qui in dato
numero concineatur.
Oporcet aurem datum numerum non esse minorem pro-
ducto coridem numerorum ab rnicare conrinuorum.
Datus sit numerus verbi gratia 4335. Oporteatque
reperire verbi gratia quatuor numeros continuos ex quo-
rum multiplicatione factus numerus sit maximus qui in
dato 4335 contineatur, eorum omnium qui producuntur
ex mulciplicatione quacuor numerorum continuorum.
Sumantur ab onitate tot numeri continui quot sunt nu-
meri inveniendi, nempe quacuor in hoc exemplo, I, 2.
3, 4, quorum per productum, 2.4, dividatur numerus
datus sitque quotiens, 180. Ipsius quocientis inveniatur
radix ordinis numerici non quidem quarri sed sequentis
nempe quinei sitque ea, 6. Ipse. 6, est primus numerus,
Secundus 7, tereius 8, quartus 9.
Dico iraque productum quatuor numerOruM, 6, 7, 8,9, esle maxi-
num numerum qui in daro contineatur, id est. Dico productum qua-
tuor numerorum, 6, 7, 8,9, nempe 3024, non esfemajorem quam nu-
merum darum, 4335; productum rero quatuor proxime majorum nu-
MCTOTU, 7, 8,9, 10, nempe, 5040, elle majorem numero dato, 4335.
Erenim, ex demonstraris in cractaru de ordinibus numericis, constat
productum numerorum, 1, 2, 3, 4, seu 24, ductum in numerum quinei
ordinis cuius radix ett, 6, nempe, 126, efficere numerum xqualem pro-
ducto numerorum, 6, 7, 8,9, nempe, 3024. Similicer, ec eundem pro-
ductum numerorum, 3, 2, 3, 4, nempe, 24, ductum in numerum eiul-
dero
PRODI

## Folio 17 — 1023099829:0067
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COHTTNrORVM PRODVOTIS.
dem ordinisquinei enius radix est, 7, efficere numerum aequalem pro-
ducto numerorum 7, 8,9, 10, nempe 5040.
Tam vero numerus quinti ordinis cuius radix est, 6, nerpC L26, cum
cmaximus, eius ordinis qui in 180 contincarur, ex constr. parec ipsum
126 non esle majorem quam 180, numerum vero, quinei ordinis cuius
radix est, 7, nempe 2ro, essemajorem quam iplum, 180.
Cum vero, numerus 4335, dinisus per 24, dederic 180 quorienrem
Parec, 180 ductum in 24, Ceu 4320, non esse majorem quam 4335, sed
auc xqualem esse, aur differre numero minore quam, 24.
Traque cum (ic 210 major quam 180 ex constr. Parer, 210 in 24, Peu
5040 majorem esse quam 180 in 24 Peu 4320, d excellum esse ad mi-
nimum, 24, numerus rero dacus 4335, aur non excedie ip sum 4320, auE
excedir numero minore quam 24. Ergo, numerus 5040, major est
quam dacus 4335, idest productus numerorum, 7, 8, 9, 10, major est
daco numero.
Jam numerus 126, non est major quam 180, ex constr. Igirur, 126 in
24, non est major quam 180 in 24, Scd 180 in 24, non est major daco
numero ex olten(Is. Erg0, 126 in 24. Ceu productus numerorum, 6,7
8,9 non eA major numero daco, productus aurem numerorum, 7, 6,
9, 20, ip(omajor eAt. FrgO, RC. O. E. F. F.
sic ereo exprimi porest e enuntiatio, es seneralis constructio.
Invenire tor quor imperabitur numeros procrestione na-
curali conrinuos, ex quorum mulciplicatione ortus nu-
merus, Ciemaximus ejus speciei qui in daro numero con-
tineaEUT.
Dividatur numerus datus, per productum roridemnu-
merorum ab onitate serie narurali procedentium quot sunt
numeri inveniendi, inventoque quotiente, assumatur ip
sius radix ordinis numerici cujus exponens est onitate ma-
jor quam multitudo numerorum inveniendorum. Ip sa ra-
dix est primus numerus. Reliqui per incrementum oni-
tatis in promptu habentur.
Monicum.
Flxc omnia ex narura rer demontitais porelates ausque crianguli
Arichmerici aue ordinum numericorum auxilio, non camen fugienda
illa connexio mihi risa est, praeserrim cum ea sic quae lumen primum
dedic. Fr, quod amplius est, alia demonstrario laboriolior esler, dt pro-
lixior.

## Folio 18 — 1023099829:0068
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VMERLCARVM
POTESTAT
5
 o 
s
 o 
VMERLC ARVM
ENERALIS RESVETEI
ralem Nuarelicarum Porestarum Resolurionem inqui
haec mihi venic in mencem oblernatio; Nihil aliud
TerCadicem v. 8. quadratam dari numeri, quam
ere dus numeros aequales quorum productus aeque
cur numero dato. Sic e quaerere radicem cubicam nitril
aliud etle quam quaeEres numeros aequales quorum productus sit
darus, de lic de
Traque, Porestaris cuinstibet Tesolurio, est indagario roridem nume
torum aqualium, quocesponens porestaris conrineernicares, quorum
productus aequerur daro numero; Porestares enim ip (a nihil aliud sune
quam aequalium numerorum producti.
Sicur enim in praecedenti rractaru, esimus de numeris qui produ-
cuncur ex mulriplicatione numerorum narurali proorestione proceden-
rium, sic ∞ in hioc de porestaribus cractaru, agieur de numeris qui pro-
ducuneur ex mulciplicatione numerorum aequalium.
Visum est ieaque quamproximos esse ambos hos rractatus, ex nihil
elle vicinius, producto ex aequalibus, quam productum ex concinuis
Colius rniraris incremento differentibus.
Ouaproprer poreltarum relolurionem generalem, seu productorune
ex aequalibus relolurionem, non mediocrirer pronectam esse censui
cum eam productorum ex continuis generalis relolurio praecesserit.
Daro enim numero, cuius radix cujuluis gradus quaericur verbi gra-
eia guarti, quaeruncur quatuor numeri aequales quorum productus ae
quecur dato; Si erso invenianeur expeaecedenre eractaru, quaruor con
rinui quorum productus aequerur daro, quis non vider, iuventam esse
radicem quaelicam, cum ea sic rnus ex his quatuor continuis; Minimus
enim exhis quaruor, quater lumprus de cories mulciplicarus manifeste
inor est producto continuorum, maximus vero ex tis quatuor, qua
ter sumptus ac rories mulciplicarus, manifeste major est producto con-
cinuorum; Radix ergo quae sira vnus exillis est.
Verum lacer adhuc ipta in mulcicudine; Reliquum est igirur re eliga.
tur, e dilcernatur quis ex conrinuis Carisfaciat quaestioni.
Hluic perquilicioni nondum Forrelaris incubui, crudam camen me-
dirationem proferam, alias, si digna videatur, diligenrius elaborondam.
EIS.

## Folio 19 — 1023099829:0069
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GEHERALIS RESOBIIIO
Postulatum.
Hloc autem praenorum esle postulo; Oux sic radix quadrata nume.
Ei, 2, nempC, 1. Ftenim, I, est radix maximi quadrati in 2. contenti
Sic de quae sc radix cubica numeri, 6, scilicet qui ex multiplicatione
erium numerorum, I, 2, 3, oritur, nempe, r. Sic dx quae Cucradix quarti
gradusnumeri, 24, scilicet qui ex multiplicatione quatuor numerorum,
2, 233, 4, oritur nempe, 2, d sc de caereris gradibus. In vnoquoque
enim pero nolci radicem istius gradus, numeri qui producicur ex mul-
ciplicarione cor numerorum conrinuorum ab rnitate quor exponens
gradus propolri continet rnitares. Sic ergo in inveltisarione radieis
V. 8. decimi gradus, postulo noram esse radicem ictius decimi gradus,
numeri 3625800, qui producitur ex mulciplicarione decem priorum nu-
merorum, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8,9, 10, nempe 5. Fe hoc vno verbo dici
Porest. In rnoquoquegradu, postulonoram esse radicem iltius gradus
minimi producti roridem continuorum quor exponens gradus conti-
neernicaces; Minimus enim productus continuorum quorliber, ille est
cuius mulciplicarores ab rnicare sumune exordium.
Nec lane molesta haec peririo est, in vnoquoque enim oradu vnius
cancum numeri radicem suppono, in vuleari aurem merhodo, muleo
gravius in rnoquoque gradu, nonem priorum characterum, poresta-
LeS exigUMEuT.
Nocum liC ergO.
PEoducti nUMCEORUI, I, 2,
Peoducti num.
Producti num.
PEod. BU.
Prod. M.
PF. H.
ecC.
nempe 2 rad. quadr. este,
2,2,3, nempe, 6 rad. cub. esse
13 233,43
nemp. 24. rad. 4. grad. esse
1,2,33 435, nempe 120 rad. 5. gr.
1, 2, 3, 435, 6, Bem. 720 rad. 6. gc. esse
2, 33435,6,7, nem. 5040 rad. 7. Gc. eAtC
Problema.
Daro quolibet numero invenire radicem proposiea pote-
Racis maximx quae in dato concineatur.
Sic dacns numeTUS V. 8. 4335, ex invenienda Cic radix gradus V. 8.
quarci maximi numeri quarri cradus leu quadrato quadrat qui in
daTO HMICTO CONTInCATUE.
Inveniantur, ex praecedente rractaru, quaruor numeri continui, quia s psecedente
quartus gradus proponicur, quorum productus scmaximus eius spe-
ciei oui in 4535 Contincacur, lineque ip(1, 6, 7,8,9.
Radix quaelira est rnus ex his numeris. Ve vero discernatur, (iC pro-
cedendum est.
Sumatur ex postularo radix quarsi eradusnumeri qui produeirur ex
defu
radicum extractio
tracte

## Folio 20 — 1023099829:0070
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2. 0
NIVMERLDRErM POTESTAENM
mulciplicariche quardt paccum numerorum, 1, 2, 3, 4, nemperadix
quadrato quautara eti, 24, quae ck, 2; Iplc, 2. cum minimo con-
tinuorum inventorum 6 vnicare minuro nempe, 5, esticice,
Hlic7 est minimus qui radix quaesira esse possic, omnes enim infe-
ciores lune necellario minores radice quae (Ica.
lam, criangulus numeri, 4, qui exponens est propoliti eradus quarts
nerrpe 10, dividatur per ipsum exponencem 4, sicque, quoriens, 2, su-
perstuum divisionis non curo iple quoriens, 2, cum minimo coninuo-
rum 6, iunctus, effcie, 8.
Ip(c 8, est maximus qui radix esse possir omnes enim superiores lune
necellario majores iadice quaelica.
Deniq; constieuantur in quarto oradu ipsi exrremi num. 7, 8, nempe,
2401, 4096, necnon d omnes qui incer iplos incerjecti Cunr, quod ad een
neralem methodum dictum sit, hic enim nulli inter 7  S interjacent
sed in remorissimis potestaribue quidam, quamnis perpauci, contincent.
Flarum porestarum, illa quae aqualis erie daco numero. si ita cue-
niat, aue lalcem quae proxime minor eric daro numero nempe, 4096
lacisfacier problemari. Radix enim 8 rnde orra cH, ca eAt quae quaerirur.
Sic ergo instirui porest ec enuntiario de generalis constructio.
lnvenire numerum qui in gradu proposco constirurus ma-
Zius sic eius gradus qui in dato numero contineaeur.
Inueniantur Cx tract. preced. tot numeri continui,
quot sunt onitatesin exponente gradus proposici, quorum
productus sit maximus ejus speciet qui in dato numero
contineatur. EF assumpio producto totidem continuorum
ab onitare, inveniatur ejus radix gradus propositi, Cx
Poltulato ipsa radix juncatur cum minimo continuo-
rum inventorum onitate minuto, hic CTIE mINIMIIS CX-
ErCIUS.
Jam trianculus exponentis ordinis per ipsum exponen-
rem divisus quemlibet praebeat quotientem, qui cum mini-
mo continuorum inventorum iungatur, hic crie maxi–
MAS CXITEMUS.
Ambo hi extremi ac numeri inter eos interpositi in
radu proposito constituantur.
Trarum potestatum, ea quae dato numero erit aut aequa-

## Folio 21 — 1023099829:0071
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CTF N E R ALIS RESOLVTIOI
2Y
lis aut proxime minor satisfacie problemati, Radix enim
onde orra est, radix quaesita est.
Florum demonstrationem, pararam quidem, sed prolixam erl fa-
cilem, ac magis raediolam quam vrilem lupprimimus, ad illa, qua plus
afferune fructus quam laboris, rergenres.
ii

## Folio 22 — 1023099829:0072
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rcccccibeoeo
10010610010010010210010106100100e
BEpep     q at au osu es
e
bo eto eto e ex c eb eb eso et eb
Ordotoordetde
ef et c  ess c3 ep ess otu d
 e
2l aa+221110
Ombinarion nomen diverse a diuersis vsurparur, dicam
e que lentu incelligam
expena mulcicudo quaenis rerum quarum liber, ex
quibus liceal aliquam mulcicudinem astumere v. 8. (I ex
quatuor rebus per licceras, A, B, C, D, expressis, liceat
duas qualus du bitum allumere. Singuli modi quibus possune eligi
duae differenres ex his quatuor oblaris, vocaneur hic combinationes.
Experimeneo igirur parebit, duas, pose altumi inter quatoor, sex
modis, porest enim assumi AeB, rel A _ C, vel Aec D, vel B_C,
vel B_D, vel C ee D.
Non constiruo, A de A, incer modos eligendi duas non enim esene
differences, nec constiruo A_ B, d deinde B e A, tanquam differen-
ces modos, ordine enim Colummodo differune, ad orainem autem non
artendo, ita verno verbo dixisse poreram, combinariones hic conside-
rari quae noc muraro ordine procedune.
Similirer experimento parebie, eria incer quatuor, quaruor modis
alsumi poste, nempe, ABC, ABD, ACD, BCD.
Sic de quatuor in quatuor, unico modo altumi poste, népe, ABC D.
Iris isirur verbis vrar.
2 In 4 combinatur 4 modis, seu combinarionibus.
2 In 4 combinacue 6 modis, seu combinarionibus.
3 In 4 combinarur 4 modis, seu comb.
4 In 4 combinacur x modo, seu comb
Summa aurem omnium combinarionum quae heri pollune in 4, est
25. Cumma enim combinarionum L in 4, dx 2 in 4, ec 3 in 4, ec 4 in 4,
eAt, 15.
Lemma T.
rumerus quilibet non combinacur in minore.
Y. 8. 4 non combinatur ii 2.
Lemma
 in E Coonacut
2 In 2 COIIBLIIaCHE
E COMDIMaTIOME
E Combinacione

## Folio 23 — 1023099829:0073
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COMBTHATIONS
 in 3 combinatur + combinarione.
Ec lic generalirer omnis numerus semel rancum in xqua.
li combinatur.
Lemma 3.
2 in r combinaeur, L combinatione
 in 2 combinacur 2 combinacionibus
 in 3 combinatur 3 combinacionibus.
FF generaliter rnitas in quonis numero cories combina.
tur quories ipse continet rnitatem.
Lemma 4.
Si sine quaruor numeri, primus ad libitum, secundus vii-
care major quam primus, cerrius ad libitum modo non
Ec minor secundo, quarcus rnitare major quam cerrius;
mulcicudo combinacionum primi in cerrio, plusmulei.
cudine combinationum secundiincerrio, aquatur mul.
cirudini combinationum secundi in quarto.
Sine quaruor numeri ve dictum est.
Primus ad libicum verbi graria
Secundus rhitare major nempe
Terrius ad libicum modo non
AE minor quam secundus V. 9.
Ouarrus rnirace major quam cerrius nempe 4
Dico multicudinem combinationum, Z, in 3, plus mulcieudine com-
binacionum, 2, in 3. x quari mulcicudini combinarionum, 2, in 4. Quod
ve paradiemate fiat euidentius.
ANTUMaNEUE Eres Characteres nempe, B, C, D, jaM verO aNTUMANEUE
iidem eres characteres de vnuspraecerea, A, B, C, D; Deinde aluman-
cur combinariones vnius lictera in tribus, B, C; D, nemDe, B, C, D;
Allumantur quoque omnes combinationes auarum liccerarum in tri-
bus B, C, D, nempe, BC, BD, CD; Denigue ANTIIAMEUE OmneS
combinationes duarum licreraruM in quaruOr, A, B, C, D, nempe,
AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Dicoicaque, cor esse combinariones duarum liererarum in quatuor
A, B, C, D, quorlune duarum in eribus B, C, D, X in luper quor vnius
in tribus B, C, I.
Hoc manifestum est ex generarione combinarionum, combinario-
nes enim duarum in quatuor Formancur parcim, ex combinarionibus
duarum in tribus, parcim, ex combinarionibus vnius in tribus; quod
ica cuidens Aer.

## Folio 24 — 1023099829:0074
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GOMBIHATIONESS
Ex combinarionibus duarum in quatuor, nempe AB, AC, AD
BC, BD, C D, quaedam Cune in quibus ipla licrera, A, vSUEPaTUE, ve
istae AB, AC, AD; quaedam qua ipsa A carene ve iltae, BC, BD,
CD.
Porro, combinariones illae, BC, BD, CD, duarum in quaruor
A, B, C, D, quae ipso A carenE, constanc ex residuis tribus, B, C, D.
Tune ergo combinationes duarum in tribus B, C, D, ioieur combina-
tiones duarum in tribus B, C, D, Cune quoque combinationes duan
rum in quatuor A, B, C, D, nempe illae quae carene iplo A.
IIla vero combinationes AB, AC, A D, duarum in quatuor A, B,
C, D, in quibus a rsurpatur, E iplo A spolientur, relinguene res-
duas lirreras, B, C, D, qua Cunc ex tribus licreris B, C, D, luncque
combinationes unius licrerae in tribus, B, C, D, igicur combinario
nes vaius liccerae in tribus B, C, D, nempe B, C, D, aCcirO A, eA-
CInnE AB, AC, AD, quae constieuune combinariones duarum lirre-
rarum in quatuor A, B, C, D, in quibus, A, vCUIEPaTuE.
Peicur combinationes duarum liccerarum in quaruor A, B, C, D.
Formancur partim ex combinationibus vnius in tribus, B, C, D, Par
rim ex combinarionibus duarum in tribus, B, C, D; Ouare mulcieu-
do primarum aquarur multicudini reliquarum, 9. F. D.
Eodem prortus modo in reliquis ostendetur exemplis verbi graria
eoc elle combin. numeri
quoc lune comb. numeri
29 in 40
29 in 39
x insuper quorlune comb. numeri 28 in 39.
Ouacuor enim numeri, 28, 29, 39, 40, condirionem requisiram ha-
bene.
Sic eor lune comb. numeri
_C.
quoc lune comb. numeri
16 in se
26 i1 55
acinsuper quorlune comb. numeri 15 in 55.
Lemma 5.
In omni criangulo Arith. summa cellularum seriei cujusti.
bec, aequatur mulcicudini combinarionum exponenris
Ceriei, in exponente erianguli.
Sic criangulus quiliber v. 8. quartus, C D n. Dico summam cel-
lularum seriei cujuluis v. 8. Secunda a Y L F B aequari mulricudini
combinationum numeri 2, exponentis secundae seriei in numero 4
exponente quarti triangli.
Sic Dico lummam cellularum Periei v. 8. quinca crianguli v. 8. octaui
aequari mulcicudini combinarionum numeri, 5 in HUmCrO 8, RC.
Ouamuis infinici sine huius proxolirionis calus, lunc enim infiniri
erianguli, breuirer ramen demonstrabo, poliris duobus assumpris.
Primo
4

## Folio 25 — 1023099829:0075
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C OM BTHA TTOHES.
Primo, quod ex le parce, in primo trianculo eam proxortionem con-
rinoere Summa enim cellularum rnicxe sux Perieinem pe numerus pri-
mae cellulae C idestrnicas, aequatur mulcieudini combinationum ex-
ponenris seriei, in exponenre crianguli, hi enim exponences lune vni-
taces. Vnicas vero in rnicare rnico modo ex lemm. 2. huins combinacur.
Secundo, Si ea proportio in aliquo trianculo contincat; Id est si sum-
ma cellularum vuiuseujuscunque seriei trianculi cujusdam, aequetur
mulcirudini combinationum exponentis seriei in exponente trianeuli
Dico ex eandem proportionem in trianculo proxime sequenti contin-
gere.
Flis astumpris, Facile ostenderur in lingulis eriangulis eam proporrio-
nem concingere, conrinsir enim in primo, ex primo assumpro immo
de manifecta quoque ipta elt in secundo criangulo, ergo ex secundo
assumpro e in sequenri rriangulo contingie, quare de in lequenci dein
inAnitum.
Tocum ergonesorium in secundi assumpri demonstratione consistie,
quod ita expedieeur.
Sic criangulus quilibet v. 8. Terrius in quo supponitur HXC PFOPOE-
eio, id est, Cummam cellularum seriei prima C F0 f x aequari mul-
ticudini combinarionum numeri, I exponentis seriei in nUmeTO, 3.
exponente triancali. Summam vero cellularum secundae seriei e +
aequari mulcicudini combinarionum numeri 2 exponentis seriei in nu-
mero z exponente rrianculi, summam vero cellularum terriae seriei,
nempe cellulam, A, aequari combinationibus numeri z exponentis
Seriei in 3 exponente trianculi Dico et eandem proportionem con-
cingere ex in lequenci criangulo quario, id est, Cummam cellularum v.
8. Secundae Periei e Y i F B, aquari mulcieudini combinarionum nu-
meri 2 exponentis seriei in numero 4 exponente trianeuli.
Frenim o Y L. aequacur multieudini combinarionum numeri 2 in 3
ex hyposh. Cellula vero B Xquaeur ex reneratione trianeuli arith. cel
lulis C + ∞ F ∞ hae vero cellulae aequantur ex Byp. mulricudini com-
binationum numeri F in 3. Frgo cellulae o f. L F O aequancur mulcieu.
dini combinationum numeri 2 in 3 plus multicudine combinationum
numeri r in 3, hae aurem mulcieudines eequaneur ex quario lemmate
hacius mulcicudini combinarionum numeri 2 in 4. Eroo lumma cellu-
lacum e Y il F O aequatur mulciendini combinationum numeri 2 in
4. Q. F. D.
Idem Lemma 5. Problematice enuntiatum.
Daris duobus numeris inxqualibus invenire in triansul.
arith. Quoc modis minor in majore combinetur.
Propolici line duo numeri r. 8. 4 ex 6, oporret reperire in criangulo
arich. quoc modis 4 combinetur in 6.

## Folio 26 — 1023099829:0076
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LOM DLH ALLOA1S.
Prima methodus.
Summa cellutatum guarrae Periei, sexei erianguli, Caristacie, ex prae
cect. nempe cellula D + F Y F.
TLoc est numeri, + Y 4 Y 1O, Scu 15. Freo 4 in 6, combinatur 15
modis.
Secunda methodus.
Cellula quinta, ba(IS Seprima K, Paristacie, it numeri, 5, 7, sunt
proxime majores his, 4,6.
Fcenim illa cellula nempe R, Peu 15 xequarur summae cellularum
quariae seriei seti erianguli D + F. Y F, ex generarione.
Monitum.
In Bali sema tanc seplem cellule nempe, V, 9, K, P, E, H, 8
ex quibus grinta allumenda est; Porest aurem ip sa duplici modo a(-
Tumi. Cune enim dux balis exeremicares V, 5, s ergo ab exrremo, V
inchoaueris, crie, V prima,  secunda, R cerria, p quarra, E quinta
quaesica. Si rero a s incipias, erir s prima, N sccunda, E terria, p
gnarra, K quinca quaelica, lunt isitur dux quae portune dici, quintae;
Sed quoniam ip(a luneaeque ab extremis remorx, ideoque reciproca,
sune ip(ae eaedem, quare indifferenter astumi alcerurra porest, de ab al-
cerurra balis exrremirare inchoari.
Monitum.
Tin aparee, quam bense conneniane combinationes se crianoulus
aichmericus, ex ideo, proporriones inter series, aur incer cellulas rrian-
suli obseruaras, ad combinationum rationes prorendi, vein sequenti-
bus videre est.
Prop.
Duo quilibet numeri, xque combinantur in eo quod am-
borum aggregacum elt.
Sine duo numeri quilibet, 2. 4, quorum aggresatum 6 Dico, nu-
merum 2 cories combinari in 6, quories ipse 4 in eodem 6 combina-
EuT, nempe sinculos modis 15.
Tloc nihil aliud est quam consect. 4. triane. arith. ex potest hoc vne
verbo demonstrari, cellulae enim reciproca lune caedem. Si vero am-
pliori demonstratione esere videarur, haec satisfacret.
Mulcirudo combinationum numeri 2 in 6 xequarur ex s lem. Periei
Secunda criangulisextinempe celtulis e Y + Y B Y R F 5, Seu cellulae

## Folio 27 — 1023099829:0077
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COM BIHATTONES.
25 Sic mulcieudo quoque combinarionum numeri a in 6 XquaEur ex
eodem Ceriei quariae crianguli scari, Nempe cellulis D + F + F, seu
cellulae IE; ip (a vero R, est reciproca iplius E, ideoque ipsi aequalis,
quare e mulcirudo combinarionum numeri 2 in 6, aequatur muleiru-
dini combinarionum numeri 4 in 6. 9. F. D.
Coroll.
Ergo omnis numerus cories combinatur in proxime ma-
jori, quot suneruicaces in ipsomajori.
Verbi gracia numerus 6, in 7 combinarur sepries, d 4 in 5 quin-
quies, ec. Ambo enim numeri, r, 6, aeque combinantur in agGrCGATO
eorum 7, ex propr. hac, T. Sed, Y in 7 combinatur sepries, ex lemm. 3.
Tgitur 6 in 7 combinatur quoque sepries.
Prop. 2.
Si duo numert combinentur in numero quod amborum
agoregacum estrnitareminuro; Mulcitudines combina.
tionum crune inter sc, ve ips numeri reciproce.
Hhoc nihil aliud est quam consect. 17. trians. arith.
Sine duo quilibernumeri, 3, 5, quorum summa 8, rnirareminura cA
7. Dico, multicudinem combinarionum numeri z in 7, esse ad mulci-
cudinem combinarionum numeri 5 in 7, VE, 5ad 3.
Mulricudo enim combinarionum numeri z in 7, equaTUE, ex G. lem.
tertiae Ceriei, seprimi erianguli arich. nempe A F B F C Y co F E, Ceu 35.
Mulricudo aurem combinationum numeri 5 in 7, aequarur, ex eodem,
quineae Ceriei, ejuldem seprimi crianguli, nempe II Y M + R, Peu 2Y
in criangulo aurem seprimo, Ceries quinta ee terria lunt incer se Vez ad
5, ex consect. 17. Triane. arirh. aggregarum enim exponencium serie.
rum 5, 3 nempe 8, xquatur exponenri crianguli z rnirare auet0.
Prop.
Si numerus combinerur, primo in numero qui lui duplus
est, deinde in iplomet numero duplo rnitace minuto,
prima combinationum mulcicudo, secundae dupla crie.
oc nihil aliud est quam consect. 20. trians. arith.
Sic numerus quilibee 3, cuius duplus, 6, qui rnicare minurus ctt 5.
Dico multicudinem combinarionum numeri 3 in 6, duplam esse mul-
ticudinis combinarionum numeri z in 5.
Possem uno verbo dicere omnis enim celluia divicieneis dupla est prae-
cedeneis corradicalis sic autem demonstre.

## Folio 28 — 1023099829:0078
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COM BTI A ETORES
ulcictaoeM Combinationum numeri 3 in 6, Xquaeur ex 5. lem
cellula 4, baliS 7; nempe p, seu 20, qua quidem p, medium balis oc-
cupar locum, quod inde procedit quod z sit dimidium 6, unde fit vt 4
proxime major quam 3, medium occupet locum in numero 7 proxime
majori quam 6. Tgicur ipla cellula quarca, es est in diuidente, quare
dupla est cellulae, F, Peu c ex 10. consect. triang. arith. quae quidem, co–
est quoque quarta cellulabasis sertae, ideoque, ex lemm. 5, ip la co leu
F aeguarur mulcicudini combinarionum numeri z in 5, eroo mulcieudo
comb. 3 in 6 dupla est mulcirudinis comb. 3 in 5. 9. F. D.
ProP.
Si sine duo sues proximi, et alius quilibee in veroque
combinetur, mulciendo combinarionum quae Rune in
majore, cricad alceram mulcirudinem, vemajor nume-
rus, ad iplummer majorem dempro eo qui combina-
Tus eAt.
Sint duo numeri vnirare differentes, 5, 6, de alius quilibet 2 combi-
nerur in 5, e deinde in 6; Dico mulcicudinem combinarionum ipsIuS
2 in 6, ese ad mulcirudinem combinarionum ipsius 2 in 5, ve 6, ad
2
HLOC ex 13 consect. triang. arith. est manisestum e sic ostendetur.
Mulcieudo, enim, combinarionum ip(IIS 2 in 6, XGUAEUIE SUMIX
cellularum seriei 2, trianguli 6, nempe o f + Y B Y R Y S, ex lemm.
5. hoc est cellula 5, Seu 15. Sed, ex eodem, mulcicudo combinarionum
eiu (dem 2 in 5, xquacur lummae cellularum Periei 2, crianguli 5, nempe
∞Y + Y B Y R, Ceu cellula con Peu 10; eAt aurem cellula E ad co, V16
ad 4, hoc est vr 6ad 6- 2, ex 13 conlect. rrians. arich.
Prop.
Si duoness proxtni, in alio quolibet combinentur, erie
mulcieudo combinarionum minoris, ad alEeraM, VEIa
jor numerus combinatus, ad numerum in quo ambo
combinari lune demprominore numero combinaco.
Sine duo quiliber numeri proximi, 3, 4, ec alius quilibet 6; Dico
mulcicudinem combinationum minoris; in 6, ese ad mulcicudinem
combinationum majoris 4 in 6, e 4, 2d 6= 3
Thaec cum X2. consect. tr. arith. convenit ex sic ostendetur.
Mlulcicudo enim combinacionum numeri z in 6, aequatur, ex lemm.
5. Summae cellularum Periei 3, crianguli 6, nempe, A Y B Y C Y con
seu cellula p, Peu 20. Mutrirudo rero combinationum nummeri 4 in6,

## Folio 29 — 1023099829:0079
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COM BTHAYTONES.
aequatvE, ex eodem, summxe cellularum seriei 4, erianguli 6, nempe
D Y F F F, scu cellula K, Seu 15. est aurem p ad R, re + ad 3, Icu re 4
2d 6-- 3. ex consect. 11. Tr. arith.
Prop. 6.
Si sine duo numeri quilibet quorum minor in majore com-
binetur, sinc autem e alii duo hisproxime majores quo-
rum minor in majore quoque combinerur, erune mul.
cicudines combinationum inrer se, re hi ambo rleimi
MMIeri.
Sine duo quilibernumeri, 2, 4 alii vero his proxime majores, 3, 5;
Dico mulcicudinem combinarionum numeri 2 in 4 esse ad mulcirudi-
nem combinationum numeri 3 in 5, VE3, ad 5.
Consect. 12 triane. arith. hanc continet ex sie demonstratur.
Mulcicudo enim combinacionum ip(ius 2 in 4, aquacur, ex lemi.
5. Tummae cellularum seriei 2, crianguli 4, nempe p F L. 7 6, Peu cel-
lula C, Cen 6; Mulricudo vero combinationum numeri z in 5, Xqua-
cur, ex eodem, lumma cellularum seriei 3, crianguli 5, nempe A F B F C,
Seu cellula F, Peu rO; F.K aurem C ad F, Vr 3ad5, Cx T2 consect. triang.
arich.
Lemma 6.
Summa omnium cellularum basis criang. cuindlibet arich.
mericirnicace minuta, equatur lumme omnium com-
binacionum que feri pollune in numero qui proxine
minor est quam exponens balis.
Sicrriansulus quilibecarichmericus v. 8. quintus CHI u Dico lum.
mam cellularum sux batis II F F Y C Y R F u, minus vnirare, set
minus vnd ex extremis HI vel u aeguari summae omnium combina-
tionum quae heri possune in numero 4 qui proxime minor est quam
exponens basiS, 5. Id est. Dico summam cellularum R f C f F f FI.
Supprimo enim extremam u, id eAt q Y 6 Y 4 F F, Ceu 15; Xquari
mulcieudini combinacionum numeri r in 4 nempe 4; Plus muleieu.
dine combinationum numeri 2 in 4, nempe 6; Plus muleicudine com-
binarionum numeri z in 4, nempe 4; Plus mulcieudine combinatio-
num nameri 4 in 4, nempe I. Quae quidem sunt omnes combinatio-
nes quae fieri possunt in 4 superiores enim numeri, 5, 6, 7, ∞ c. non
combinantur in numero 4: major enim numerus in minore non com-
Binatur.
Mulcicudo enim combinarionum numeri Z in 4, XGUaTUE, ex S. lem.
cellula 2, balIS5, nempe R, seu 4. Mulcicudo vero combinationum

## Folio 30 — 1023099829:0080
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COM BENA PTOHES.
numet 2 Ia 3 sac Ccta 3, balI6 5, nempe C, Ccu 6. Mulcieu
do quoque combinarionum numeri z in 4, aequacur cellula q, balis
5. nempe P, Peu 4. Mulcieudo denique combinationum numeri + in 4.
aeguatur cellulae 5, basis 5, nempe II, Ceu r. Igitur Cumma cellularum
balis quintae dempra exrrem a sen vnitare, aequarur lummx omnium
combinarionum quae pollune heri in 4.
Prop. 7
Summa omus combnationum quae fieri porsune innu.
mero quolibeernitare aucta, estnumerus progressionis
dupla qua abruitace lumie exordium, quippeille cu-
ius exponens est numerus proxime major quam dacus.
Sic numerus quilibet r. 8. 4. Dico summam omnium combinario-
num quae Reri poltune in 4 nempe is rnicare auctam nempe 16, clle
numerum quintum (nempeproxime majorem quam quartum) pro-
srestionis duplae quae ab rnirare Cumie exordium.
Hoc nihil aliud est quam 7 consect. trians. arith.  sic uno verbo
demonstrari posset, omnis enim balis estnumerus progressionis dupla,
sic tamen demonstro.
Summa enim combinationum omnium quae feri possune in q unica-
ce aucta, aequarur, ex lem. 6. Tumma cellularum balis quintae, ipla ve.
obalis est guintus numerus progresionis duplxe quae ab rnirare lumie
exordium, ex 7. consect. crians. arich.
Prop. 8
Summa osu cobinationum guxe Reri possune in nu-
mero quolibeernicare aucta, dupla est lumma omnium
combinationum quae fieri possune in numero proxime
minori vnicare auctx.
HLoc convenit cum b consect. triang. arith. nempe omnis ba(is du-
pla est praecedentis, sic autem ostendemus.
Sinc duo numeri proximi 4, 5, dico summam combinarionum quae
fieri polluneins nempe z vnicare auctam nempe 32, esse duplam Cum-
mae combinarionum quae heri poltune in 4 nempe is rnitare aucta
nempe 16.
Summa enim combinarionum quae heri possune in srnitare aucta,
aGUaTUT, ex PraecCd. eato numero progressionis duplae. Summa vero
combinarionum quae heri possune in 4 vnicare aucta, X quaTUC, ex ca.
dem, quinto numero progrectionis dupIX. SC.NTIS AUTEM HUWCTUS PTO-
prestionis duplx, duplus est proxime praecedenris nempe quinti.

## Folio 31 — 1023099829:0081
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C,OM BIALL = LOHL S.
Prop. 9
Summa omnium combinarionum qua heri possunt in quo-
uis numerornitare minura, dupla est lumma combina-
tionum qua feri porsune in numero proximéminori.
aec cum praecedente omnino convenit.
Sine duo numeri proximi 4, 5, Dico summam omnium combinario-
num qua heri pollune in 5, nempe 3E, rnirare minuram nempe 30, esle
duplam omnium combinarionum qua heri postune in 4 nempe 15.
Frenim ex praeced. Cumma combinar. quae Rune in s rnitare aucta,
dupla est lumma combinationum quae hune in a vnicare auctae, (I ergo
ex minori LAII a AUFCTATUErnITaS, _ ex aupla Cumma aUFeTaNEUE duX
vnicares, reliquum Cummae duplae nempe summa combinationum quae
funt in s unitare minuta, remanebie dupla relidui alterius (UMIMa
nempe summa combinationum quae fiunt in 4.
Prop. 10.
Summa omnium combinacionum qua hieri possune inquo-
libet numero minura iplometnumero, aequatur lumnia
omnium comibinacionum qua hieri poltune in singulis
numeris proxosico minoribus.
HLaec cum 8 consect. Er. arith. concurrit quae sie habet, balis quaeli-
beernicare minuca, aequatur summae omnium peaecedentium. Sic au
tem ostendo.
Sic numerus quiliber 5. Dico summam omnium combinacionum
quae possune Reri in s nempe zt ipsos minutam nempe 26, aequari
lummae omnium combinacionum quae polluncheri in 4 nempers; Plus
Cumma omnium quae possuncheri in 3 nempe 7; Plus lumma omnium
qua pollune heri in 2 nempe 3; Plus ea qua porest heri in Lnemper,
quaru aggregacus eA 26.
Ecenim, Proprium numerorum huius progrectionis duplae illud est,
ve quilibet ex ip(S V. 8. PexeuS 3E, exponence luo minurus nempe 6,
id est 26, aequecur lummae inferiorum numerorum huius progrectionis,
nempe 16 78 Y 4 f 2 = 2 vnicare minurorum nempe, 15 + 7 + 3+ 170
nempe, 26. Vndetacilis est demonstrario huius propolirionis.
Proble .
Daco quooto ee ulha co
macionum qua I a. atB.

## Folio 32 — 1023099829:0082
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CO M BIN ATIOHES.
Numerus progressionis duplae quae ab vnitate sumit ex-
ordium cuius exponens proxime major est quam numerus
datus, satisfaciee problemati, modo onitate minuatur.
Sicnumerus dacus r. g. 5. quaericur summa omnium combinationum
guxe in 5 heri postime.
Numerus sextus progressionis duplae quae ab rnicare incipie nempe
32 rnicare minurus nempe zF laristacie, ex lem. 6. ergo posumeheri 3C
CombinatioMeS IM MUMCTO 5.
Problema 2.
Datis duobus numeris inequalibus, invenire quor modis
minor in majore combinceur. Absque trianculo arith,
ICoc est proprie ultimum Problema tractatus trianc. arith. quod
sic resolvo.
Productus numerorum qui praecedunt differentiam da-
torum onitate auctam, dividat productum cocidemnume-
rorum continuorum quorum primus sit minor datorum
onitare auctus, quotiens est quaesitus.
Sine dari numeri 2, 6; Oporrer invenire quormodis 2 combinetur
in 6.
Alsumatur eorum differentia 4 quae rnicare aucta est 5. Tam asTuman-
cur omnes numeri qui praecedune iplum 5, nempe, 2, 2, 3, 4, Guorum
productus sic 24. Allumantur coridem numeri concinui quorum pri-
uS (EZ, nempe proxime major quam 2 qui minor est ex ambobus
datis, nempe, 3, 4, 5, 6, quorum productus 360, dinidatur per praece-
denrem productum 24. Ouoriens i5 eAnumerus quae lIcUS. Tta venu-
merus 2, combinetur in 6, modis 25 differentibus.
Nec difficilis demonstracio. Si enim quaeratur in criangulo arichme-
cico quocmodis 2 combinerur in 6, altumenda est cellula 3, ba(IS7, ex
lemm. 5, nempe cellula E, e iplius numerus exponet mulricudinem
combinarionum numeri 2. in 6. Vraurem inveniacur numerus cellulae
Ecuins radix est 5, ec exponens seriei z, oporter ex probl. triane arith.
ve productus numerorum qui praecedunte, dividat productum toti-
dem numerorum continuorum quorum primus sit 3, e quoriens erit
numerus cellula E, Sed idem dinilor, ac idem dividendus in constru-
etionehuius propolitus est, quare de cundem quorienrem Corrira est di-
vilio, ergo in hâc constructione repertus est numerus cellulxe E, quare
e exponens mulcicudinis combinarionum numeri 2 in 6, quae qua-
REBATUE. O. B. F.F. D.
Monitum

## Folio 33 — 1023099829:0083
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C OM BTHA ETONES.
Monitum.
FToc problemare eractarum hunc absoluere constimeraM, nOn Fa-
men omnino sine molestia, cum mulca alia parara habeam, sed obi
canea vberras vi moderanda est tames, his erro pauca haec subiiciam.
Frudicissimus ac mihi charissimus. D. D. DeCanieres, circa combi-
nationes, assiduo ac perutili labore, more luo, incum bens, ac indioens
Facili constructione ad inveniendum quories numerus darus in alio da-
eo combinetur, hanc ipse sibi praxim instiruie.
Daris numeris v. 5. 2,G, invenire quotmodis 2, combinetur in 6.
Assumatur inquie procressio duorum terminorum quia inOF Nu-
MeruS eA 2 incheando à majore 6, ac retrocrediendo, seu detrahendo
vnitatem ex vnoquoque termino, hoc modo, 6, 5: Deinde assumatur
altera proere sio inchoando ab ipsominore 2 ac similiter recrorredien-
do hoc modo 2, r. Mulciplicentur invicem numeri primae proeressionis,
6,5, Sitque productus 30. Multiplicentur e numeri secundae proeres
Sionis, 2, I, sirque productus 2. Dinidatur major productus per mino-
rem. Quotiens est quaesitus.
Fxcellenrem hanc Colutionem ipse mihi octendic, ac eriam demon-
Reandam propoluie, ipsam ego sane miratus sum, Sed difticultare Terrirus
vix opus suscepi, sc ipsi authori relinquendum existimaui; ACramen
erianguli arichmerici auxilio, sic procliuis facta est via.
Ins lemm. huius, ostendi numerum cellulae E, exponere mulciendi
nem combinationum numeri z in 6, quare ipsius reciproca cellula R
eundem numerum continebir. Verum, cellula ipsa K est quotiens di-
visionis in qua productus numerorum L, 2, qui praecedunt z radicem
cellulae R, dividit productum totidem numerorum continuorum quo-
rumprimus est s exponens seriei cellulae L, nempenumerorum 5, 6. Sed
ille dinisor ac dividendus sune iidem ac illi qui in constructione amica
Cune proposiri, isicur eundem quorientem Corrieur diuisio, quare ipse
exponic mulcicudinem combinacionum numeri 2 in 6, qua quareba-
EUT. O. F. D.
Elac demonstratione assecuta, jam reliqua quae invirus supprimebam
libencer omicro, adeo dulce est amicorum memorari.

## Folio 34 — 1023099829:0084
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LOTESTAETML ANMERIOAROM
e
e es
es de
es
ies rts
soo no oe pos  
et
es nes
da
otorprs
ATVA NVMERIOAEVM
SV MI M A.
M O N ITV M.
ab onitate, quoccunque numeris conti-
∞. 8. 2, 2, 3, 4, nuenire summam qua-
dratorum eorum, nempe 1 Y 4 F 9F 16, id
est 30, tradiderunt veceres; imo etiam ex summam cu-
borum eorundem, ad reliquas verd porestates non pro-
traxerunt suas methodos, his solummodo eradibus pro-
prias. Hic autem exhibetur, non solum summa quadra-
torum, es cuborum; sed es quadrato quadratorum, es re-
liquarum in infinitum porestatum. E. + non solum a radici-
bus ab onitate continuis, sed a quolibet numero initium
sumentibus, verbi eratia numerorum 8, 9, 20, (5C. FF
non solum numerorum qui progressione naturali proce-
dunt, sed eo eorum omnium qui proeressione verbi gratia
cujus differentia est, 2, aut 3, aut 4, aut alius quilibet
numerus. formantur. Vt istornm, 2, 33 5; 7, (eC. v el
horum, 2, 4, 6, 8, qui per inerementum binarii auzen-
tur, authorum, L, 43 7, CSC qui per incrementum ter-
narii, es sic decaeteris, sed et quod amplius cst a quoli-
bet numero exordium sumat illa procressio. Ture incipiat
ab onitate, oF isti, 2, 43 7, 10, 13, (9C. qui sunt ejus
proeressionis quae per incrementum ternarii procedit, e
ab onitate sumit exordium; liuc ab aliquo huius pro
oressionis numero incipiat ∞t isti, 7, 20, 13, 26, T9, I-

## Folio 35 — 1023099829:0085
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S V M MI A.
ve quod vlcimum cA, à numero qui non sit eius pro-
gressionis, et isti 5, 8, IF, T4, quorum prorressio per ter-
narii differentiam procedit, es a numero 5, ipsiproorel
sioni exrranco, exordium sumit. Et quod lane taeli-
cicer inventum est, tam mulci differentes casus, vni-
ca ac generalissima resoluit methodus; adeo lim-
plex, et absque litcerarum auxilio, quibus difficiliores
esent enuntiationes, paucis lineis contineatur. Ve ad A.
nem problematis sequentis parebit.
Definitio.
Si binomium, cuius alcerum nomen sIC A, alcerUM verO nUMCTUS
quilibee re3, nempe A F 3, ad quamliber constiruarur porestatem re
ad quarrum gradum, cujus haec lc exposirio,
A+ Y 12, A F 54, A Y 208, A F 81.
IpSE numeri, 12, 54, 208, per quos ipse A mulciplicarur in singulis
gxadibus, quique parrim ex numeris hguraris, parrim ex numerO 3, qui
binomii est lecundum nomen, formantur, rocabuneur Coefficientes
ipsus A.
Erie ergo in hoc exemplo, 12 coefficiens A cubi, de 54 coefficiens A
quadrari, e 108 coefficiens A radicis.
NumerUS verO St numerus absolutus dicerUE.
Temma.
Sic radix quaeliber, 24; alcera vero sic binomium 14 F 3 cuius pri
nam nomen (ic r4, alcerum vero alius quiliber numerus z, ica ve ha-
rum radicum, r4, X T4 F 3, differencia (Ic 3. Consticuaneur ip (xe in quo-
liberoradu rein quarro, erso quarrus gradus radicis 14. est 14 . Ouar-
cus veco gradus binomii, 14 Y 3, eAt,
24 7 12, 24 F 54, 24 Y 108, r4 Y 81
Cujus quidem binomi primum nomen 14, eosdem coefficientes sertitur
in sinculis eradibus, quos A sortitus est in similibus gradibus in expo-
sitione ciusdem gradus binomii A + 3, quod rarioni consentaneum est,
harum vero porestacum, nempe huius r4 X huius 14 7 12, 243754
24 Y 108, 24 F 81, differencia eA, 12, 14 7 54, 14 F 208, 14 + SI
qua quidem constar Primo, ex radice r4 consticura in singulis gradibus
Propoliro gradui guarco interioribus, nempe in tertio in secundo et in
primo, et in ruoquoque mulciplicarâ per coefEcientes quos A CorrieuT
in similibus gradibus, in exposirione eiuldem gradus binomii A Y 3.

## Folio 36 — 1023099829:0086
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36
POTESTATVM NVMERLOARNM
Deinde, ex iplo nuero, 3 qui est differentia radicum consticuro in
propolico quarto oradu, numerus enim absolutus 8t est quartus sra-
dus radicis 3. Elinc igieur elicierur Canon iste.
Duarum similium porestarum differentia, aequatur, difte-
rentix radicum consticuea in eodem oradu in quo lunE
porestares propolicae; Plus minori radice consticuta in
Singulis gradibus propolio sradui inferioribus ac in v.
noquoque mulciplicara per coefficientes quos A lorti-
recur in similibusoradibus, si binomium cuius primum
nomen esset A, alterum vero esser differentia radicum,
constiruererur in eadem porestare propolica.
Sic ergo differenria inter 14 _ 2F, erie 12, 2V, F 54, ZL, F 108, II,
8T.
Differentia enim radicum est 3.
Ec SIC de careris.
ad summam Potestarum cujustibet progressionis inve-
niendam unica ac generalis methodus.
arithimetica
Acis quorcunque numeris, in qualiber progressione
a quouis numero inchoance, invenire quarumuis
porestatum eorum summa.
Quilibet numerus, 5, sit initium procressionis quae per
incrementum cujusuis numeri verbi graria ternarii pro-
cedat, ex in ea progressione dati sint quorlibet numeri
verbi oratia isti, 5, 8; 1F, 24, qui omnes in quacunque
porestate constituantur et in tertio gradu seu cubo. Opor-
tet invenire summam horum cuborum, nempe, 5, 7 8,
11. F 143
Cubi illi Tune 125 F 512 + 1331 f 27 443 guorum
Cumma CR 47 12 qua quaeritur e Tic invenitur.
Exponatur binomium A Y 3 cuius primum nomen sit
A, alterum vero sit numerus 3 qui est differentia pro-
rressionis.
Consticuatur binomium Boc A Y 3 in gradu QuartO

## Folio 37 — 1023099829:0087
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S V M N A.
qui proxime superior est proposito certio sit que haec eius
expositio.
A+ Y 12, A F 543 A Y 1O8 A Y 81
Jam assumaturnumerus 17 qui in progressione propo-
sita proxime sequitur olrimum progressionis terminum
darum 24. Et constituto ipso 17 in eodem eradu quarto
nempe, 83521, auferantur ab eo, haec
Primo, summa numerorum propositorum, 5 7 8 F 117
4, nempe 3d mulciplicata per numerum 108, qui est
coefsiciens ipsius A radicis.
Secundo, summa quadratorum eorundem numerorum,
5, 8, 1F, 24 multiplicata per numerum 54 qui est coef-
ficiens A. quadrati.
Ec sic deincepsprocedendum cset (I Superessene
gradus alii inferiores ipsi gradui cerrio qui propoli.
EuS CA.
Deinde, auferatur primus terminus propositus 5
in quareo gradu constitutus.
Denique auseratur numerus 3 qui est difterentia
progreltionis in eodem gradu quarto constirutus, ac co-
Fies sumptus, quor sunt numeri proposiei, nempe qua-
ter in hoc exemplo.
Residuum, erit mulriplex summa quaesica, eamque tO
ties continebit, quocies numerus 12. qui est coefficiens ip-
sus A cubi, seu A. in eradu rerrio proposito continet v-
mitatem.
Si ergo ad praxim merhodus reducatur, numerus 17 consticuendus
est in 4 gcadu, nempe. 83521, ex ab eo haec auferenda LunE.
Primo, Cumma numerorum propolicorum, 5+ 8 Y II Y r4 nempe
38, mulciplicara per 108, unde oritur productus 4104.
Beinde, Cumma quadratorum numerorum propolicorum id elt, 5, 7.
5, F 21, Y 14, nempe, 25 + 64 F 12F F 196, quorum summa elt
406, quae mulciplicata per 54 efACIF 21924.
F iis

## Folio 38 — 1023099829:0088
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38
POTESTAEUM ANMERIOARVM
Deinceps anferendus est numeruss in quarro gradu nempe, 623
Denique auterendus eA numerus 3 in quarto gradu nempe 8I, qua
er lumprus nempe 324. Numeri ergo anterendi, illi lunc, 4104, 2192.4,
625, 324; quorum Cumma elt, 26977, qua ablaca a MumerO, 83521,
Coperest 56544.
Hlocergo residuum continebie Cummam qualicam nempe, 4712, mI: l-
ciplicatam per, 12; d profecto, 4712. per 12 mulciplicara efcic, 56544
Paradisma Facile est construere, hoc aurem sc demonstrabitur.
Frenim, numerus 17 in 4 gradu consticurus qui quidem sic exprimi-
EUE, 27.F aQuaCUE, 17 - 143 Y 14 - 1Y,  7 1Y4. 8, + + 8+ 54 4 5+
Solus enim 17+ Sienum afformationis solum sortitur reliqui autem
afformantur ac necantur.
Sed differentia radicum, 17, 14, est 3, cademque est disterentia ra-
dicum 14, Ir, eadem que radicum _r, 8, ac eriam radicum, 8, 5. Tgitur
ex pramisso lemmare.
174- 24 + XQuaTUE 12, 14 Y54, 14 Y 108, 14 7 81
Sic r44 = ZY4 XQUaTUE 12, 773+ 54, IF F 108, ZY + 87
Sic TZ4 = 8+ XQUATUF 12, 8F 543 8F 108, 8 Y 81
Sic 89 - 5+ XquaCUF 12, 5Y54, 5 F 108, 5F 82
Non interpretor 5+.
Csirur 17 4 aequatur his omnibus.
12, 143 T54, 14 7 108, T4 Y 81
7 12, 113 7 54, TF2 Y 208, IF + 8Y
F 12, 83 754, 82 F 108, 8 + 87
F 12, 5 F 54, 5 F 208, 5F 81
FIoc est mutaro ordine. 27 + xquacur hia
5 + 8 + 21 F r4 mulciplicatis per 108
5 Y 82 Y 11 F 14 mulciplicaris per 54
5. + 8 + 123 7 24 mulciplicaris PeF 12
7 85 F 81 7 8F 7 8F
54.
Ablaris vndique his
7 8 Y 11 F r4 muiriplicaris per 108
5 7 82 + 112 7 14 mulciplicaris per 54
F 81 F 81 F 8F + 81
4.
Remaner 27 4 minus his nempe,
-5 - - 8 - T1- 14 mulciplicatis per 108
5- 8- 11 - r4 mulciplicaris per 54
81- St - 8t - - 82
aequalis 5. Y 8. + 12 Y 24 mulciplicatis Per 12.

## Folio 39 — 1023099829:0089
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OY M M R.
Sic ergo peceutints
cem chunctalso d scheralis conttructio
duia L vocscabii.
Atis quorcunque ueris, in qualiber progrectione
his teethicum lumence, invenire summam
Guaturuo pereltacum coru.
Exponatur binomium, cuius primum nomen sit a, al-
terum vero sie numerus qui differentia progressionis est, (s
constituatur hoc binomium in sradu qui proxime lupe-
ror est gradui proposito. e in expositione potestatis eius
nocentur coefficientes quos a sortitur in sinculis cra-
dibus.
Constituatur e in eodem oradu luperiori numerus
Qui in eadem procressione proposita proxime lequieur
vleimum proeressionis terminum propositum. Et ab eo
auterantur haec.
Primo, primus terminus procressionis datus, seu mi-
nimus numerus datorum in eodem luperiori oradu con-
Sticutus.
Sccundo, numerus qui differentia est progressionis
in eodem luperiori oradu constitutus, ac tories sumpeus
quoc sunt termini dati.
Tercio, auferantur linguli numeri dati, in lingulis
radibus proposico gradui interioribus constituti, ac in
rnoquoque gradu multiplicati per jam nocaros cocsi-
CICnTeS quos A sortitur in isdem gradibus in expositio
nehuius Luperioris gradus binomii primo assumpti.
Reliquum est multiplex summae quaesita, eamque co-
ries continet quories coefficiens quem A in gradu prO
Dolico sorcitur continet vnitatem.

## Folio 40 — 1023099829:0090
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
POTESTRZVM NINMERLCARBM
Monitum.
Praxes jam parriculares sibi quisque pro genio suppedicabie, verbi
gracia. Si quaeris summam quorlibet numerorum prorrectionis nacu-
xalis a quoliber inchoanris hic, ex methodo generali, elicierur Canono
In procrestione naturali à quouis numero inchoanre, dif-
Ferentia inter quadracum minimi termini e quadrarum
numeri quiproxime major est vlcimo termino, minura
numero qui exponic mulcicudinem, dupla est asgresati
ex omnibus.
Sint quodliber numeri nacurali progressione continui, guorum pri-
mus sic ad libitum, v. 8. guatuor ilti 5, 6, 7, 8. Dico. 92- 52- 4
xquari 5 F 9 + 7 + 8.
Similes canones de reliquarum porestarum summis inveniendis de
reliquis progrestionibus Facile apcabuneur, quos quilque libi com-
PaTeT.
Conclusio.
Ouantum haec noricia ad spariorum curuilineorum dimensiones con-
Ferac, Caris norune qui in indimisibilium doctrina rantispet versari SunE.
Omnes enim omnium generum P’arabola illico quadrantur, e alia in-
numera Facillime menluraneur.
Si ergo illa, qua hacmethodo in numeris reperimus, ad quantira-
cem concinuam applicare liber, hi poltune incticui canones.
Canones ad naturalem progressionem, quae ab unitate
sumit exordium.
Sumnia sea Cicaa quadrarum maximae, ve 1ad 2
Summa quadracorum est ad cubum maximae ve + ad 3
Summa cuborum estad 4 gradum maxima ve 1ad4.
Canon generalis ad procressionem naturalem quae ab
onitate sumii exordium.
Summa omnium in quoliber gradu, est ad maximam in
prexime superiori gradu, re ruicas, ad exponentem su-
Perioris gradus.
Nom ab secesco elan GuaCLoCsnon c, haCobIlet AOcal,
reliqua

## Folio 41 — 1023099829:0091
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
S V MI NT A.
reliqua Facili negorio penerraneur, eo poliro principio, in continud
opantite, quorlibet quantitates cujusuis gereris quancicati superioris
generis addiras; nihil ei superaddere. Sic puncta lineis, linex Cupert-
ciebus; Coperticies Colidis, nihil adiiciune, seu, ve numeriets, in numerico
tractaru, verbis vear, Radices quadraris, quadrara cubis, cubi quadra-
eo. quadraris, exc. nihil apponunt. Ouare, inferiores gradus nullius ra-
loris existences, non considerandi lunc. Ilaec, quae indiuilibilium Audio-
sis Familiaria Lune, subjungere placuie, re nunquam Paris mirata con-
nexio, qua ea eriam qua remorillima videntur, in vnum addicar rnita-
eisamatrixnarura, ex hoc exemplo prodear, in quo, quantitatis conti-
nuae dimensionem, cum numericarum porestarum summa, conjunetam
concemplari licet.

## Folio 42 — 1023099829:0092
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
E NVM F
RIS
3
e es e
oeorbeloa
Cdoreoto
E  
Lx Losa Chalaclelus Maericorum addicione
addo inveni
MOX
TV M.
IL Ctirius ec apud arichmericos, quam numeros, nume-
ylciplices, constare characteribus, quorum aggre-
uu quoque ipsius o mulciplex. Si enim ip(IuS V. 8.
upli, 18, Cllaracteres numericos, I, F 8, jungas, aggrc-
sacum erir g. Ued ve ex Tola additione characterum nume-
ricotum numeri cujuse, liccaragnolcere, verum sic ipsius 9 mulei-
PleX. V. 8. I Mstetl, 1)19 Characteres numericos junsas, r f 7 f 1 79,
agoregacum 18 est iplius o mulciplex, unde cerro colligirur, ex iplum
1729 eiuldem 9 esse mulciplicem, vulgara lane illa obseruario est, ve-
rum eius demonstratio a nemine quod sciam dara est, nec iplanorio vi-
reriiis pronecta. In hoc aurem Fractaculo non solum istius sed ee va-
riarum aliarum ob servarionum generalissimam demonstrarionem dedi-
ac methodum rniversalem aonoscendi ex (ola addirione characterum
numericorum propoliri cujuluis numeri, verum ille sic alcerius propo-
Sici numeri mulciplex; F.c non Polum in proorestione denaria, qu’a nu-
merario nostra procedic, (denaria enim ex insticuro hominUM, nON eX
necessitare narurae re rulous arbieratur) de Pane laris inepre polira est.
Sed in quacunque progressione insticuatur numerario, non faller hie
eradica methodus, re in paucis mox videbirur paginis.
Propositio unica.
Aonolcere ex Cola addirione characterum dari cujussibet
numeri, an ipse sic alcerius dari numeri mulciplex.
Vr haec Colurio hac generalis, licreris vremur vice numerorum. Sie
ergo dinisor, numerus quiliber exprestus per lirreram A; diuidendus

## Folio 43 — 1023099829:0093
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
MIVL PIPETOTBNS.
ADTeM, BNMeruS expresuS per LicrerAS TV N MI, quarum vlrima N
exprimie numerum quemlibee in rnicacum columna collocarum; N,
reco, numerum quemliber in denariorum columna; V, numerum
quemliber in columna cenrenariorum; T, aurem numerum quemlibet
in columna millenariorum, ee sic deinceps in infinirum: ica ve s lirre-
ras in numeros connerrere relis, allumere possis locoiptius, M, quem.
liber ex nonom primis characteribus verbi gracia 4, loco NI quemli-
Dec numerum re 3, loco V quemlibee numerum vE, 5; e locoT,
quemliber numerum rr 6; de collocando lingulos illos characteres
numericos in propria columna; proue collocare lune liererae quae illos
exprimune, proveniet hic numerus, 553 4 divisor aurem A erie nu-
merus quilibet re 7. Missis aurem peculiaribus his exemplis generali
ecta enunciarione omnia amplectimur.
Daro quocumque dinidendo T V N MI, e quocumque dinisore
A, agnolcere ex Cola addirione characterum numericorum T, V, NI, M.
verum ip(C NUMCrUS T V NM exacte diuidarur per ipsum nume-
rum A.
Ponaneur seorlim numeri serie nacurali continui 1, 27 3, 4, 5, 6, 7
8, 9, 20, H1, X caer. a dexera ad sinistram (IC.
_ CaF. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 L
_C CAE. R I HI G F F D C B I
Tam ipsi primo numero, E Subleribatur rniras.
Ex ipla rnicare decies Tumpra, Ceu ex 1o auferatur A quories Aeri
Pocerie, et Supersie B qui sub 2 subscribatur.
EX B decies Cumpra Peu ex r0 B, auferarur A quoties porerie, de (u-
PerHE C qui ipsI Z SubCCribaEUE.
Ex 10 C, auterarur A quories porerie de super(ic D qui ip(i 4 sub
Teribatur.
EX FO D, aUFeTAEE A dC. in continuum.
Nunc sumarur rleimus charact er dividendi MI, qui quidem de primus
est a dexera ad sinistram, Scribacurque Ccortum Lemel; P rimo enim nu-
mero 1 subjacet vnitas.
Tam, CumatuE SecunduS ChaTACFeF NY _E EOTIES FEPCTATUF quor Cune
rnitaces in B, qui secundo numero subjacet, hoc est mulcipliceeur N
per B _ sub MI ponacur productus.
Tam Cumacur cerrius character V, ex tories reperatur quorlune vni-
caces in C, sub tertio numero subjecto, sen mulciplicerur V Per C de
productus (ub primis ponarur.
Sic degue mulepLetur quarrus P per D, d Sub aliis scribatur.
T il D, est iplius s iupes daeton, ex quoqueipsum numerum
Fre S PropOMC Mdendus unicum haberet characterem M
EE Sic in infinieum.
Dicoptou sanaorum numerorum, M, Y N in B, + V in C;
PV NMI, esse einsdem mulciplicem, vel non.
10)A aequ. B
100a fA, 0 -gA aequ. C
1003.. 10. g A10. h Aa1

## Folio 44 — 1023099829:0094
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1023099829/jpgs/default/00000094.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
1n N = B5. a97
CN - BN + BN + M aequ. A  +V
1 4
DE IIV N E R TS
Cave prour ipse esset muleiplex ipsius A, numerus quoque MI esset
ciuldem A mulciplex, cum sIEip (C HUMCRUS EOTUS.
Si vero conster duobus characteribus, NVI,
Dico quoque, pronr M, F N in B, est mulciplex A, a ipsum nume-
rum, NM, eiusdem mulciplicem esse.
Erenim character N in columna denarii, aequarur 10 H,
Verum ex constructione, est
Ouare ducendo 10-- B in NV est
Si ergo concingit e esse
Ergo amborlcimi mulciplices juncti
Id est N in columina denarii dc M in
columnarnicaris, Ceu numerus
D. F. D.
10- B. muleiplex A
20 N B in Nmulciple L
M. Y Bipce 
10 N + M erunc mulcipl. A
NM est mulciplex A
Si numerus dinidendus constee eribus characteribus, V NM,
Dico quoque iplum esse aurnon esse mulciplicem A,
prove, M, F N in B F V in C, erie iplius A mulciplex, vel non
Exenim character V, in columna centenarii, X GUaTUE 10O, V.
Ac ex constructione, est
Ouare mulciplicando ro B peF YO
Ecducendo iplos in V
Sed est eriam ex constructione,
Ouare ducendo in V,
Sed ex ORen(s
Ergojuncti duo vlcimi
Tam vero ostendemus re in secundo casu
10- B, mulciplex, A,
100-- 10B, mulcip. A
10OV = 10B in V, mulE. A.
10 B C, multip. A,
TOBin V - C in V, muIE. A.
200V - 10B, in V, mulc. A.
20OV - C in V, WWuIE. A.
rOD- Bin NI, muIE. A.
Frgojuncti duovlcimi 10OV F TON - C in V - B in N, muIE. A,
Frooli conringar hosnumeros C in V F Bin NI F MI, este mulE. A,
Amboricimi juncti nempe
700V, + 1OHI, F MI; d muIT. A,
Seu V in columna cenrenarii NF denarii se MI vniraris, hoc est nume
ruS V NMI, est mulciplex, A. O. F. D.
Non lecus demonstrabitur de numeris ex pluribus characteribus
composiris. JHarCPYOUTEC. G. L. D.
Exemplis caudeamus.
Varo, qui sinenumeri mulciplices nurmeri 7. Scripris conrinuis.
 327 33 4, 5. ec c. Tublcribo, 1, Cub L.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Ex rnicare decies sumpra, seu
4 6 2 3
ex 10 autero7 quories porest, superest 3 quem pono sub 2,
Ex 3 decies Cumpro, seu
cx 30 autero 7 gnocies porest, luperest 2 quem pono (ub 3,
Fx 20 autero 7 quories porest, superest 6 ex pono (ub 4.
10 - B a
rgo 10N + M a qu N) A + H A
c
eol- e
A
1 10B
+10N- BN qu
V +BN + Ne qu.
4
100V +o +M aequ..

## Folio 45 — 1023099829:0095
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MIVETTPETOTONS.
Ex 60 aufero7 quories porest, luperest 4 _ pono sub 5,
Ex 40 autero 7 quories pores, superess et pono lub 6,
Fx 50 autero 7 quories porest, Luperest L ec pono (ub 7,
Ex 10 aufero7 quories porest, et redic 3 X pono (ub 8,
Ex 30, aufero7 quories porest, et redie 2 e pono (ub 9,
EF SC redic serieS nUMCTOTUI, 1, 3, 2, 6, 4,5, in infinicum. est period, decimalis
Jam proxonarur numerus quiliber, 287542 178,
De quo quaritur verum exacte dividatur per 7
hoc lc agnolcecur.
Sumarur semel eius character qui primus est a dexera ad sinistrant
nempe 8 primo enim numero seriei continua subiacet vnitas
Ouare ponatur ille, 8, primus character semel
Sccundus, qui est 7, ter lumarur, scu per z mulciplicerur,
Secundo enim numero seriei subiacet 3, lrque productus
Terrius bis lUMaEUE, Subiacet enim 2 ipsi 3, quare
cerrius character qui est x per 2 mulciplicarus sic
Ouarrus eadem rarione per 6 mulciplicatus
Ouincus per 4 mulciplicarus
Sexrus per s mulciplicatus
Seprimus semel, septimo enim subiacet I
Octauus, ter Tumpeus
Nonus bis sumpeus
EEsic deinceps G Supereltene. Tungantur hi numeri
Si ipseasgregacus, irg, est mulciplex ip hus7, numerus quoque p1o-
Poticus, 28754. 2178, ciuldem 7, mulciplex erie.
Porest aurem dignosci eadem merhodo, verum ip se rr9 sic mulciplex
Ccilicer, Cumendo senel primum characterem
Secundum characterem rdx
de praecedenrem bis
Si enim summa r4 est mulciplex7 eric e 119 eiuldem mulciplex
Sed _ li, curiolicare porius quam necessirare mori, relimus agnol-
cere verum T4 Sicmulciplex7 Cumatur character vlrimus Cemet
d pracedens Ter
4.
Si lumma est mulciplex ipsius 7 erir e 14 mulriplex 7, quare et 14, et
179, eC, 287542 178.
 Is agnolcere quinam numeri dividaneur per 6.
Scripris, re laepius dictum est, numeris nacuralibUS 1, 2, 3, 4, 5, dc.
S 2 Tub, r, Polico
_c. 4 32
etc. 4 4 4 1
sesiduorum
1
fidui
qu. 014285714
251
dete. sunt minores

## Folio 46 — 1023099829:0096
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DE N VMFRTS
Eix se dunet tenguum 4, Tub 2 ponito
Ex 40 acter resipum 4, Tub 3 Ponico
FX 40 alter 6 renguum 4. sub q ponico
Fr sic temper redibic 4. quod agnolci poruierbi semel rediie.
trso, Si proponatut numerus quiliber, de quo quarebatur verum
sic dicullendus per 6 hempe 2487423 Tume rlcimam eius. 113 Hala
semet
pracedentem quacet
encem quatet ce.
lummam quater,
PTaCCC
ec, uno verbo, priam semel, reliquarum rero
Si Tumma 202 dividatur per 6 dividetur de ipse
numerus propolrits 2487 42 per cumdem 6.
nolcete crum numerus dinidatur per 2
Scripris reprius numeris nacuralibus, de rTub L Polto.
B
2
+ 1
Fx 10 auFer 3 quortes potet, religum x sub 2 poniro
Ex 20 adter 3 qualunt Porest reliqum r lub 3 ponico
sume semel vlumam figuram
praecedentem Cemel
ee lemel lingulas
ee sic in infinicum.
Ergo Ei proponatur numerus quilibet, 2451
ve (cias verum dividarur per 3
si summa dinidacur per 3, diuidetur a numerus propolicus
DeF 3.
YIS agnoscere verum numerus dividatur per 9.
Scripris numeris 2, 2, 3, _c. d + (ub L Poliro.
Ex 20, auter 9, ex quoniam superest F, parer, vnitatem continee
singulis numeris. Ergo; si numeri propoliri linguli characteres simul
Is agnoscere verum umerus dinidatur peF A.
Scripris numeris naruralibus, remos est, ex posiro r lub. r.
Ex 20, auter 4 quancum porest religum o, pone (ub3,
Ex00, auter 4, lupcrest semper
Ouare s Proponarur numerus diuidendus, 2486,
sumpei alsaaltem pet 9 diuidetur e ipsc.

## Folio 47 — 1023099829:0097
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pono rlrimum characterem semel
praecedencem bis, subiacet enim 2 sub 23
Prxcedens per o mulciplicatus Facie zer0
_ Sic de reliquis; quare ad iplos non accendiro; et (i summa priorum,
nempe 22, per 4 dividarur, dimiderur _ ipse, secus autem, nOn.
Ic numeri quorum vlcimus character lemel, praecedens bis, prae-
Ocedens quarer, (relignis neglectis, zero enim sorriuneur) limul
juncti numerum efficiunt mulciplicem 8, sunc iph _ ciuldem 8 mulri-
plices, lecus autem, nOn.
In exemplum aurem dabimus ee illud.
Cnolcere qui numeri dividantur per 16. Scripris vedictum est nu-
LAmeris naturalibus 13 2, 3, 4, 5, 6, 7, dc. _, 1, Sub, 1, PosIcO.
4 3
2
0 0 0 8 4 10 1
Ex 10, auFer 16 quancum pocest; superest ip(e 10, Fx minore enim
numero major numerus subtrahi non potest, quare ipsemet numerus
10 ponatur (ub 2.
Ex ipso r0 decies sumpro, ve mos cAt, Peu ex 100, au ferO 16 quan-
cum porest, superest 4 quem pono (ub 3.
Ex 40, autero 16 quancum porest, reliquum 8 pono sub 4.
FX 80 aHFCrO 16 quantum porest, Superest, 0.
Tdeo omnis numerus cujus vlrimus character Cemel Cumpeus, penul-
rimus decies, praecedens quarer, e praecedens octies, efficiune nume-
rum mulciplicem 16, crie d ipse iplins 16 mulciplex.
Sic reperies omnes numeros, quorum penuleimus character ae
cies, reliqui aurem omnes scilicet rltimus, anre penulrimus, prxeance
Denulcimus, de reliqui semel sumpri, etticiune numerum divisibilem
Per 45, vel 18, vel 15, vel 30, vel 90, e ruo rerbo omnes dinilores
numeri 90, duobus constances characteribus, dividi quoque e iplos
pet hos divilores.
TOn difficilis inde ad alia progressus. Ced incentaram huc vique
Lemaceriam aperuisse, ex saris obscuram lucidissima demonstrario-
ne illustranisse, (ufficir. Res exenim illa, qua ex additione characterum
MMMeri, HOLCIEHE peF qUOS SIE divi(IbilIS, CX IIIE NUMCFOTUM HATUTA, ee
ex eorum denaria progrectione rim luam Corrirur, E enim aliz progres-
sione procederene, verbi grariâ, duodenaria (quod Cane grarum Forer;
e lic vlera primas nonem Aguras, alia duae insticura eflene, quarum al-
cera denarium, alcera rudenarium exhriberer; Tunc non ampliiis con-
eingerer, numeros quorum omnes characteres simul Cumpei eAiciune
numerum mulciplicem g esse ex iplos ejusdem o mulciplices.
Sed uechodus nostra, em ee demonstrario, et huicprogressio.
 et omibus Poo bo
At YELLLQTCFBYS.

## Folio 48 — 1023099829:0098
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48
DE NDMERES AIVETEDETCTONS.
Si enim in hac duodenaria progrestione, proponieur agnolcere aM
numerus dividarur per 9.
Insticuemus ve ancea numeros naturali ferie Continuos L, 2, 3, 4, 5,
dec. _ F (ub L POlItO
2
d 3
Ex vnitare jam duo decies Cumpra Peu ex 20, (qui jam potest duo-
aecim; non aurem aecem) auterendo o quantum porest, superest 3.
quem pono (ub 2.
Ex 30, (qui jam porest trisinta sex scilicer ter duodecim) auter 9
quancum porest, ex superest nihil, continerur enim g quarer exacté in
triginta sex; ponoisitur, o, Tub, 3.
Exideo, zero sub reliquis characteribus conringer.
Vnde colligo, omnes numeros, quorum vlcimus character lemel
suPEUS, penuleiuS VeTO teE, (de caeteris non curo quales sint zero
enim sortiuntur) efticiume numerum divisibilem per 9, dividi quoque
per 9, in duodenaria prooressione.
Sic in hac progrestione duodenaria omnes numeri quorum linguli
characteres simul Cumpei efficiune numerum dinisibilem pex ET, CUHE
e divilibiles per cumdem.
N nosra vero progrectione denaria, contingit omnes numeros di-
Luisibiles per ir, ica le habere, re vleimus semel Cumprus, penulci-
mus decies, praecedens lemel, prxcedens decies, praecedens lemel, prX-
cedens decies, et sc in intinitum, contlare numerum mulciplicem Ir.
Haec  alia facilistudio, ex ista methodo quisque collicet: Teti-
simus quidem quoniam intencata placent, relinquimus verone nimia
perscrutatio raedium pariat.

## Folio  -  — 1023099829:0099
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t
l

## Folio  -  — 1023099829:0100
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11

## Folio  -  — 1023099829:0101
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## Folio  -  — 1023099829:0102
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 sa
e

## Folio  -  — 1023099829:0103
# No recognised text on this page (skipped: no_lines).

## Folio  -  — 1023099829:0104
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NNHNHMIIEHHIIMIIISIBIAIHIBHEHMIIIIMIHIBNHIHHHIINNHAHEHEBIMEIIIBEMBIMIMIIHIIIIIIMMMISHIII NNMBIBHHIHOHIIIII