# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Work: https://leibnizlegible.com/work/1047377675
# Title: [Geometriae Pars Universalis, Inserviens Quantitatum Curvarum transmutationi & mensurae] Geometriæ Pars Vniversalis, Inserviens Quantitatum Curvarum transmutationi & mensuræ (shelfmark Ms IV, 377a)
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=1047377675
# Lines: 5,799 recognised on 172 of 174 pages, mean confidence 0.81
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio  -  — 1047377675:0001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
e
a
et
it
e
e
 e
e
t
d
e
e
u
t
a
dn e
les
e
t
a
e
e
  e
a 
u
edo
e
am
 
a
oi 
l
ei
t
s
t
u
i
l
da
s
e
v
p

## Folio  -  — 1047377675:0002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: k3-trocr@runs-615-epoch-5, run 617, 2026-10-30T12:51:04Z — 5 lines, status machine
l2
Die Bemerkanzen im Procompen, sowie
auf §. 3, 16, 86, 26, HB, 180, nammen
von Cha-Kuggens
D. Michael

## Folio  -  — 1047377675:0003
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio  -  — 1047377675:0004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
MSAAHEAC. SA IB. SE.AH.H. I
11 .15 11II
NIZ
ASÄCHSISCHE LANDESBIBLIOTH
15I

## Folio  -  — 1047377675:0005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 14 lines, status machine
en
m  se en a
ES VNIVERSALIS.
Interviens
uanticatum Currarum eransmurarioni d mensura.
AV Y H OR F
ALCOBOGRECIOEIO
A B R F. D O N F N SI
S C O TO.
e
ee
ATAVII, NDCLEETIE
Dis Feredum l’auli Framborci, Superiorun L
VM D R IVIL E CIO.

## Folio  -  — 1047377675:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
litietA
Nest
R2
eI
ACHSISCHE LANE

## Folio  -  — 1047377675:0007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
N
DeedCSdC
ad eseB) d
Ssernutum est a nostri seculi reometris ma-
emaricam ab antiquis male fuisse diuisam
in ceomerriam, arichmeticam, c. se d potius
muersalem ex particularem: Matheseos
pars Eniversalis tractat de proportione in
communi abstrahendo ab omni quanticatis specie, quae com
muniter (etiamsi fortassis abusiv e) geometria appellatur.
cui affinis est recentiorum analytica: matheseos pars parricu-
laris diuiditur; in seometriam proprie sic dictam, quae nihil
aliud est nisi matheseos pars 2niversalis figurae restricta; in
prichmeticam, quae eadem est mathesis 2niversalis numero, et
staticam, quae eadem est motuirestricta, er c. ego (nifallor)
idem video in reometria: cum enim obser varem generalissi-
mos analy (eos canones omni problemati inservire, dummodo
possibile sit illos applicare, er analysem nihil aliud esse nist
examinationem quanticarum isnotarum, donec randem redu-
cantur ad aequationes cum quantitaribus coenitis; cosicabam
analyseos defectum (quae praecipue apparet in mensuratione
2
quan.
C

## Folio  -  — 1047377675:0008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
quantitarum cur varum) posse aliquatenus suppleri; si modo
e data cuiuscunque ficurae proprietate essentiali, daretur me-
thodus eam transmutandi in aliam aequalem cosnitas proprie-
rates habentem, ex huius in aliam,  sic deinceps, donec
tandem transmutatio fiat in aliquam quantitatem coenitam;
sic enim exhiberetur quantitatis propositae mensura quaesita,
non secus quam in aequationis analyticae resolutione. neque
existimo meam opinionem esse frustratam, puto enim hunc era-
ctatulum continere oeometriae partem adeo 2niuersalem, ∞F
nullam respuat particularem fisuram eorum senerum, qu’ae a
geometris adhuc contemplata sunt; quod si alia fisurarum se-
nera contemplanda sibi proponant. promouenda est haec scien-
ria; sicur enim ficurarum genera sunt infinita, etiam haec seo-
metriae pars, sicut omnis alia, infinita erit; nihilominus mul-
tobreuius (ex elegantius erit xniversalem doctrinam unicui
que particulari casui secundum figurae proprietates applicare
quam de 2naquaque ficura interrum volumen evulsare.
Fuius methodi scudiosus ante omnia versatus esse debet in
analyse, nam absque illa, cuius vis insenii vires superat,
propositae cuiuscunque fisurae proprierares examnare
on difficeor me lesisse apud praestantes reometras multa
talis methodi vesticia, se d plerumque 2 el particulariter v el
parum seometrice demonstrata; quae mea sunt et quae aliena
indicet lector, qui hunc tractarulum cum aliorum compara-
verit, ego enim nihil affirmo, ne videar ea mihi adscribere
quae ab aliis (meetiam inscio) antea reperea sunt. Demon-
strandi methodo utor (nifallor) milii peculiari, quippemulto
bre-

## Folio  -  — 1047377675:0009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
breniore quain Archimedea et non minus geometrica; utor
quoque inpropositionibus maris ob ziis methodo Caualleria
na, quae etiam nullo necotio reducitur ad Archimedeam vel
nostram. Duod si geometra, post dilisentem huius methodi
applicationem secundum figurae proprietates, nullum inveniat
problematis exitum; recurrendum est ad seriem convercen-
tem, cuius terminatio sit ipsa fgura incognita vel alia act
eam in ratione data; ob hanc enim rationem; conatus sum
aliarum fisurarum proportiones reducere ad proportionem in-
ter ficuras planas; in his enim exiscimo faciliorem esse serie-
rum convergentium doctrinam: non tamen au deo affirmare
seriem converrentem semper posse in veniri; suspicor enim hane
methodum esse insufficientem ad omnes proportiones non ana-
lrticas inveniendas: 2icunque nostrum tractatulum de
vera circuli ex hyperbolae quadratura volumus esse 2lti-
mumnoserae methodi refusium, nam serierum conxersentium.
doctrina est generalis, quae efisurae proprietatibus semel inuen-
ta solutionem possibilem exhibebit; ex proinde objectionibus
contranoscram doctrinam hic satisfaciamus.
Primo obiicitur contraritulum; nempe tractatum meum
male appellari veram circuli ex hryperbolae quadrarura, cum
pocius sit conatus demonstrandi illam esse impossibilem; re-
spondeo, si esset impossibilis, nulla daretur proporeio inter
circulum et diametri quadratum, et ideo fal sa esset 5 defini-
tiolib. 5. Fuclidis; si aurem sit possibilis, monstrandus est
nostrae error, si nostra vera non sit. Alii sic obiiciunt: haec qua-
dratura nulla est, quoniam non assisnatur proporcio inter cir
culum

## Folio  -  — 1047377675:0010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
culum e diameeri quadratum; huic obiectioni respondeos
posito circuli diamerro b, erit ipse circulus terminatio seriei
convergentis, cuins primitermini sunt b, b2, e secundi
Yqua
264
e proinde quadratum diameeri est ad
2 b2 f. v92b4
circulum ut b2 ad praedictam terminationem, quae torminario
nobis nullo modo est magis incornita quam radix sur desolida
numeri 40. dicune alii non bene esse demonstratum (in scholio
prop. 5) sectorem AB IP eundem esse cum terminatione seriei
conversentis, cuius primi cermini (unt crianculum ABP O
trapecium ABFP, D socundi rectilinea ABTP, ABDL P:
ex proinde plenam demonstrationem hic subiicio: si sector 
praedicta terminatio non sunt aequales, sir inter illas differen-
tia Z; er producatur series convereens donec termminorum
conversentium (nempe P e Q) differentia sit minor quam
Z euidens enim est (ex prop. 6.) hoc fieri posse; hisce positis,
patet cam sectorem quam seriei terminationem consistere inter
e
terminos P e ; e proinde quatuor sunt quantitates,
quarum maxima ex minima sunt P e Q intermediae au-
tem sector e terminatio seriei, erit que differentia intermedia-
rum nempe Z maior quam differentia extremarum, quod
est absurdum, nulla erso est differentia inter sectorem e serrei
terminationem, er proinde aequales sunt, quod demonstran-
dumerat. Alii obiiciunt contra prop. TT. ita; si addatur
23 termino 23 F a2 b (er, termino b 22 ++ b2 2, enerverur vis
utriusque demonstrationis; respondeo 23 esse quantiarem in-
defi-

## Folio  -  — 1047377675:0011
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
B
Me
M
et
a
ea
set
2
Ht
definiram et alias quantieares indefinitas praeter ipsos termi-
nos convergentes compositionem non pose ingredi, quod analy-
sam larere non pocest. Obiiciunt alii: hac eadem methoda
potest demonstrari inter duas quantitates indefinite commen-
surabiles P. d non posse inveniri mediam proporiionalem il-
lis commensurabilem, quod tamen est falsum si P, Q sine
planosimiles; respondeo maximam esse discrepantiam inter
radicum extractionem ex (extam illam operationem, nam in
radicum extractione, cum divisor dividendum metitur, quod
in praedicto casu evenit radicis extractio coincidit cum qua-
ruor operationibus prioribus, sexta aurem operatio, cum ex
natura sua si infinita; cum prioribus nunquam coincidit.
Obiicit quidam non vulcaris geonetra circuli quadraturam
ope quadraticis peractam ese operationibus analyticis; quod
omnino neco desiderando ab affirmante, et illas operationes
analyticas assisnet, ego enim existimo basem quadraricis non
esse magis assignabilem ab operationibus analyticis, quam
radicem quadratam binarii a primis quatuor operationibus
arithmeticis.
Soluris obiectionibus quae contra nostram doctrinam vel
ab aliis afferuntur vel a meimarinari possunt, satis faciamus
etiam illis, qui operationibus organicis delectantur. Si quis
velit oreanice circulum quadrare vel anculum in rarione
data dividere; non existimo ullum modum esse simpliciorem
quam vulcaris linea quadratrix in materia aliqua solida
e plana accurate es punctarim descripta. Quod a d qua
araturam hyperbola arriner, existimo saris facile esse trian-
guli.

## Folio  -  — 1047377675:0012
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
suli, seu trapezii inscripri (sunt enim inter se aequalia) ad
crianculum circumscriptum rationem in rectis extibere, e
ab illis rectis seriem debitam conversentem continuare, donec
conveniens fuerit approximationem adhibere. Omnia quae de
sideraripossunt de losorithmis (ex rationum compositione ope
sequentis curuae nullo nesotio inveniri possunt.
Sit linea recta DF, sitque alia recta illi normaliter insi-
Pens AB, in qua sit punctum mobile C, quod punctum C mo-
veatur earatione, ∞t, dum perpendicularis movetur versus
E 2 el D normaliter semper insistens rectae E D, interceptae
inter punctum C e recta D E sint ad ipsam C B in rationi-
bus inter se multiplicatis in ratione motus rectae perpendicula-
ris AB: 8. 8. moveatur AB in K MI D XV P; oporcet ut pun-
ctum C moneatur ea lese, xt ratio C P ad C B sie mulciplica-
carationis CMI ad C B in ratione PB ad MI B: eodem modo
ad partes D, supposito AB moveri in 1C d7 LO, Tot pun
ctum C ea lese moneatur, ut ratio CO ad C B sic multiplicata
rationis CG ad CB in ratione OB ad G B: atque e recta DF
ex duobus punctis curuae quaesitae a moru puncti C descripta
ad libitum daris; facile est curuam ipsam punctarim describe-
re, e. 5. Supposcto curuam in rectis AB, K MI, transire per
punctum C, oporcet alia huius curuae puncta invenire: diui-
datur BAL bifariam FI, sitque perpendicularis TIC media
proporrionalis inter BC, A1C; dico C esse onum ex punctis
quaesieis, est enim ratio C MI ad C B duplicata rationis C FI
ad C B, e recta MIB est dupla rectae BFI, est igitur C in +
eurua quaesita. Deinde sit recta dMaequalis rectae ALB, et
Ut

## Folio  -  — 1047377675:0013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
a
16
ut Ca CMa C. Mad perpendicularem CS, ui prius de
monstratur C ese punctum curuae. quaesitae ; at que hac racio
ne possunt inveniri puneta quotlibet, e curua quancumlibet
produci DTorandae sunt quaedam huius curuae proprietates exi-
mia; quae nullo nerocio deprehenduntur; prima est, quod ex
viraque parce possit produci in infinitum; secunda, quod
ex 2na parre nempe F. licet rectam E. D semper maris ap-
propinquer, nunquam tamen cum illa concurrat, efficiens spa
cium ex parce FD sinitum in quancitare eriamsi insnicum in
lon
vadio

## Folio  -  — 1047377675:0014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
longieudine; certia; quod, posita una perpendicularium
seu ordinarim applicatarum loco onitaris,  reliquis loco
numerorum, intercepta recta in D F seu curva asymptota
inter onitatem e numerum semper sit locorichmus numeris
c. 8. Posita C O onitare e C Ci binario, item CB ternario,
CII quaternario, erc; erit OG locorithmus binarii,
OB ternarii, OEI quaternarii, Oxc. Si describatur haec
curua exacte in plano solido, non solum eius ope cum recu-
la  circino invenientur inter datas duas rectas quoccun-
que mediae proportionales, sed omnia problemata imarina-
bilia de rarionum compositione etiam facile perfici possunt;
sed haec, quoniam facilia sunt, consulto omitro, lectorem in-
terim admonens sparium, contentum a portione pradictae
curuae, sua a sympeora e duabus or dinarim applicatis, non
habere rationem analyricam ad rectanculum illi inscripeum,
sicut demonstrari posset secundum renorem prop. LI. praedicti
tractatuli.
lae operationes non existimari debent areometricae, quo-
niam sola ope resulae ex circini non perficiuntur, sicut op
time obseruat subtilissimus Mathematicus D. Carolus Re-
naldinius in geometra suo promoro, dum tractat de nouis il-
lis lineis, quas Mediceas appellat; quod ut clarius fiat,
hic conabor ostendere nullam 2el aequationem cubicam posse
resol vi ope solius regula ex circini: omnis aequatio cubica
habet vel 2nam solam vel tres radices reales, quae si in-
venirentur ope solius regula et circini, seu intersectione cir-
culi ex linea rectae, linea recta circulum secaret vel in uno
si ee
em non
tne est ear lur
nro
1.

## Folio  -  — 1047377675:0015
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
M
oc0
solo puncto vel in iribus, quod verunique est absurdissimum:
ob similem etiam rationem, aequario cabica eres habens radi-
ces reales nunquam potest reduci ad puram, quae unicam tan-
cum habet: nam in his aequarionis reductio nullo modo
proficiet, cum impossibile sit eius ope radicem imasinariam
enrealem mutare vel econtra.
03
ii
U-
B-
au
At
ta
O1
19
tt
0-
pa
e-
il
9
se
ca
Bt
po

## Folio  -  — 1047377675:0016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
Le Rscda o.
ad id
it Cu
le
adtii
Ct
C
ee
rC
C
M
8
c
+
1

## Folio 1 — 1047377675:0017
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
L La
surandi quantitates curvas
tra
PROD. I THEOREMA.
Ic curra quae cunque KB Simplex d non l.
nuola, hoc est a K ad B, rectam quandam
politione datam M P semper appropinquas
vel lemperab illa recedens. Sic (in prima
sigura) punctum in curraRB recteMP ma-
xime propinquu, KL. ex duobus quibus.
cunque punctis curre HB, nempc C, B, de-
mictaltur perpencularis CO BP, in rectam M P, e a pun-
etocurra repore puncoR proximiore ducatur recta C A
curram tangens in C, et PB producte occurrens in A. dico
rectam CA majorem ene curra C B. curram tangens in B, e
reCtECA OCCUTreNS in R, d OC producte in D, dUCAEUF FC.
Eta BRB. quoniam in prooreltu a AE ad B, curra IEB Tempet
ndeiselongatur arecta PM, igitur recta BD currum can-
Bens in puncto B, de vergens versus R C contra rendic ac
concurlum cum recta PM, d idco angulus ABR eAt obcusus,
Luperans nempe rectum MPB illo an guto; in quo cum PM
producta concurrie, ckisitur angulus ABR major ansulo
RAB, e lacus AR maius lacere BR, et commune addendo,
recta AC maior eA rectis BRRC. sed BR, RC, curram FaM-
sences in punctis B, C, luncmaiores arcu BC; _ ideo AC TC
eta eodem arcu C B est mulro maior, quod demonstrare op.
DOrEHIE
ransmutanas ex
3e

## Folio 2 — 1047377675:0018
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
Secundo dico BD rectumminorem esse curra BC. ex ha-
aenus demonstraris, angulus ABD eAt obcusus; d proin-
de etiam, ob paralleIIas AP, DO, illi ae qualis CDB; e ideo
ducto subcendence C B, angulus BDC maior cs angulo
BCD, ee recta DBminor recta BC, scd recta BC minor est
curra BC, _ ideo recta BD mulco minor cst curra BC. Cx
punatis extremis R, B, in rectam MP demittantur perpendi-
CulareS KM, BP; deinde dividatur rect aMV in pArreS quor
cunque aequales MN, NO, OP, _ a punctis P, O, N, M, eri
hantur perpendiculares PA, OE, NII, NL, curram secanceS
in punctis B, C, F, K, in quibus lingulis ducantur recte cur-
ram cangeres versus Ba perpendicularibus proximis cermi-
naTE, NEMPCKH FEs C A, _ in puncto B sICFABGCNS BD a
perpendiculari proxima versus K cerminara in D, licque re-
AEBD porallella RI: manifectum eA RII maiorem esse recta
HI ob angulum HII obcusum aequalem ansulo ABD.
DicoomnesrectasKH, FE, C A, Simul maiores ese curva
HB
ec
P
CI
et
d
Ce
ex
R
et
de
sIH
C
est
1
M
De

## Folio 3 — 1047377675:0019
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
2
EC
10
Est
RBL exceNUM LECGTIK supra rectam RI maiorem eNse ex.
CENU OMMIAM LCCLAAU RFS. FF, CA, Emul suprA CurrAM RB.
producantur tangences AC, F F, ad proximas perpendi-
culares versus Kin C d L. Cx primo propoliros AC est maior
CVErA BC, FF MaIOE CUrVA FC, _E FIK MAIOT CUIEVA KF; e
ideo omnes simuIRII, FF, CA, Cune maiores incegra curra
KB: deinde ex secundo propolico BD, hoc est, RI minor cR
CurraBC; _ C C hOCCR, C A minor eA AECU FC; _E LF,
hoc eA, FF minor eAarCU R F; _ ideOOmnes KI) FL, CA.
limul sune minoresinteora curra RB; e ideo maior est ex-
CetuSreCarUM KHIB FF, C A, SuprA rectaS HI, FF, C A, quam
Lupra curram XB; (ed rectE FF, C A, sune communes urrique
rectarum summe; e idco excessus rectE KHI Cupra rectam RI
ek aequalis excesui lumma reCtarUM XHI, FF, CA. CuPEA
summam rectarum RI, FF, C A; qui demonstrarus est maior
excellu rectarum XII, FEs CA. Cupra curram RB, quod de-
monstrandum erot. Si vera curva fuerie conrexa ad rectam
Mes ve in secunda AgurA, X deDCE CNC pUNCtUM CUEVK a FC.
etaMP maxime remocum, de aliquoc demonstracionu ver.
ba Cunc mucanda, licur per (e incellis ee inductrius L. ector.
PROP. 2. YH FORPM A.
lecurra quaecunque 79C D simplex, Ccu non linuola,
(Ei enim Fueric sinuoles oporcet illam in plures simpli-
ces diuidere) super qua imaginetur superticies cylindrici
recti, cuius alcicudorecta X. 2 puncto quolibet curuxe nem
Deo in quamliber rectam nempe 26 demicratur recta per
pendicularis 93. e dueatur in eandem 26 recta 9B CUrVaM
perpendicularicer lecons in puncto 9. producarur rect a 38
in S, Uc 35 Anc aequalis recte 96, idem quoque suppONIEuF
tieri in omnibus punctis currxe 79CD, ita ve ex rectis in cur.
ram perpendicularibus per propria sua curre puncta ad re-
Atam 26 normalicer prorraetis consetur sparium RV d2a
CIEVA
1.

## Folio 4 — 1047377675:0020
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
CUrVARSTV ATCuISK2, Y S. sescomprehentum. Deinde
Aac uc 93 ad5] ita Z alcicudo cylindrici ad 3 N; idem RerI
supponimus in omnibus aliis rectis spatiiRV S2 recte 28 per
pendicularibus, uc compleatur spnrium PHI SE comprehen
Cum a curra PII _ rectis HS, P 23 28: hoc est inrelligo duo
mixcilinea esse delcripea quorum primihaec es proprietos,
ue ex eius currae puncto quocunque Sin rectam 26 demilla
perpendicularis 53 sic aequalis perpendiculari ad curvam 79
CD in puncto cransitus g nempe 96. secundi vero haec HE
Propriecas, ve ex eius curree puncto quocunque Nin rectam
26 demissa perpedicularis NZ sc ad alcicudinem cxlindrici
X. re eius pars incercepca in primo mixtilineos; ad eius
partem incercepeam a curra daca 93. dico mixcilincum se-
cundum PFISE esse aequale superficiei cylindricirecti, cuius
Basis CA curra daca7oCD, e alticudo recta X. Si mixcili-
neum PH SE non est aequale superhiciei cylindrici praedictis
inter illas erie aliqua differentias quae sic a planum: applice-
cur a planum ad rectam X, sicque lacicudo inde oriens B. du.
CaCuE ex punCtO7 recta7 A curram 7 D eangens in puato7:
e Cx puncto D ducatur recta D_ curram cansens in pun-
eto D. Acque recteD parallella7 v, e ex punctis 7. D, in
rectam 26 demitrantur perpendiculare5 7 23 SD; dividatur-
que recta 2 din EOT ParTES ae QualeSS UEAb CXETCMIEATE CA-
rum primae crecta perpendiculari 3 A, excessus tangentis
abicissae A supra parallellam ablcisam 7 r sic minor recta
Bhoc enim lemper heri posse manifectum CA, s FanSenS
Anon scperpendicularis recte 2s, nec curra daca sinuota.
a dinitionum punctis 2, 3, 4, 8 exciceneur perpendiculares
2P, 3N, 4L3 SII, curram datam secantes in punctis 7, 97
C. D; Curram prima invencam secontes in punctis R, S, T, V.
e secundam in punctis P, H. LHI; deinde curram daEam CAN=
Sences in punctis 7. 9, C, D ducantur rectae 7A, 9B, C F, D3
aproximis perpendicularibuscerminoca, (ncque recta 783
90, CF, D5, YV, HIK, L. C, HII, LM, NO ipsis parcibus aequali.
b

## Folio 5 — 1047377675:0021
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
busaquales e parallella, a perpendicularibus proximis cer-
minacae. Angulus BgSCs rectus ob gB tangencem, e ille
perpendicularem 96; angulus quoque 095CH rectIS, dE
ideo communem angulum 396 auferendo, relinquitur an
sulus OgBaequalis angulo 693; triangulaigitur rectangula
09B, 593, suc limilia, _ proinde ut 93 2d96 ita 90 ad 9B, (c d
NF 93 ad 96ica X dd 3H; _ id eo ut 9O ad 9B ica X ad 3N; &
deitur rectangulum 90 in zVI nempe rectanoulum Nq CA
aequale rectangulo oB in X: Codemodo demonstraeur rectan
sulum P3 esse aequale rectangulo7 A in X, item rectangu-
dum L.S essexquale rectangulo C. F. in X; dc id eo rectangulum
rectae X inrectas 7 A, 9B,C F, limul, est aequale toci recti-
LInEO ZPYNKLCS; eA ergo rectangulum X in rCCIS 7A,
9B, CF, Simul, maior mixcilineo P NL. IId2. currae in puncto
Bhacnormalis D e ideo rectus est angulus  DZ, sed
rectus quoque est ansulus dis, de proinde commune aute-
rendo nempe sid; relinguutur anguli ae quales SDn, D5:
Lunc ergo criansula rectansula sD, 8D5, limilia; a ideo
UE SId AaD, hoc CA _5 ad DX ita X ad stI, X ideore-
ctangulum sEI in D5, noc cs rectansulum II4, aequale clt
rectangulo Z in DX, hoc est, X in 7 V; sed rectangulum
M4 est aequile rectangulo L. S, hoc est rectangulo X in C. lis
e rectangulum s elt equale rectansulo N4. hoc est rectan-
Sulo X in gB; _ igitur rectilineum ONMLIIISZ est ae quale
rectangulo X in rectas FC, B9, V7 simul; est ergorectansu
lum X in rectaSFC, B9, V7 Simul, minor mixcilineOPNLEI
82. POrro rectae FC, B9, A9, Simul lune maiores currA 79C. D,
de rectae FC, B9, V7 simml, Cunt eadem curra minores, quod
UErumq: PACCE ex ancecedente; de isitur rectangulum X in
rectaS FC B9, A7, maius clc crlindrica luperticie luper cur
Ya7gC D_ rectangulum X in rectaS F C B9, V7, eadem su-
pertcie minus: sed demonstrarum est rectangulum X in re-
CTaS FC, B9, A7maius ese miscilincO PNLHSE, de rectan-
Bulum Rin rect AS L. C, B9, Y7. C0 dem mixrilinco cAC MInUS,e
D1S

## Folio  -  — 1047377675:0022
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
s
e
1
a
B5
le
ine
lur
d
da
lec
mi
10
eo
Cu
Mis
lup
de
ec
De
79
ete
NI
ec
et
Cur
1
cie
1D

## Folio 7 — 1047377675:0023
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
proindemaior eA differenria ineer huec rectangulas qua incer
superticiem cylindricam de mixcilineum; ledrectangulorum
differentia est rectangulum X in difterentium rectarum 7A.
q;ectaucem differencia rectarum  A, 7v. minor recta B Cx
Coppolitione; _ ideo differentin inter rectangula X in FC,
B9, A7, Simul, d X in FC, B9, V7, Simul, minor es quancica-
ee an nempetacro ab X in B, hoc es ex policione differentia
incer superticiem cylindricam de mixtilineum, quod est ab.
Curdum, ostensa enim est maior, superticiesisirur crlindrica
e mixcilineum (une aequalia, quod demonstrandum erat.
Duod S curus 7D non fuerie simplex sed sinvolas diriden.
da est in plures simplices, de demonstratio in rnaquaque
Peorum insticuenda:
Sivero tansens7 A Fuerie perpendicularis ad recram 78,
mixcilineum PHL. EIsE exrendecur in infinicum ad parres P:
hoccamen non obstance; dico adhuc mixeilineum PNL. IIS2
equale cse superkicici crlindrici recti super curra 79 Cil
cuius alcirudo X. Si non lunt aequalia, sic (si heri pocele)
mixcilincum maius (uperhcie, _ FCCEA NZ FCCEA HS P2PaI
lelta ablcindatur mixtilineum NLFIsS aequale superticiei
super curua gCD, hoc enim absque dubio heriporelt: co-
demque modo, quo ances demonseratur miscilineu HL. HIdS
aequale esse superticiei super gC. D; (unc ergo aequales, su-
perficies cxlindricirecricuius alcicudoZ, luper curvis gC V,
79C D, quod elc absurdum; mixcilineum erso PNL. HS2nOn
elcmaius dicta superticie cxlindrica: lic (si heri POcelE) mi-
nus; e abscindatur oD curva, ica uc superticies exlindrici
recti super gD exilcens, aequalis Eac mixtilineo PNLHS2,
ee ducacur 3 9 N reccae H d paralleIla: dCIOBSETAEUF VEANEC
superticiem cylindrici recti superoD existenrem, aequalem
esse mixrilineo HLHB3; sed ex suppolirione eadem lupeck.
cies cylindrici rectia qualis ele mixcilinEO PNLHdZ; mixri
InERErBOPHLHSES NLHS3, suncinter se aequalia, quod elE
ablurdum; ec ideo mixtilineum non ese minus superticier
sCd

## Folio 8 — 1047377675:0024
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
sed eriam demonsrrarum ele, nec esse maius, superticies ige
tur cylindriei recri super curva 7D cuius alcicudo e(c X,
aequalis esc mixrilineo P NL. H82, eciam quando cangens
7A recEa 78 ese perpendicularis, quod demonserandum
eraL.
Fix demonseratione manifeltum ese mixtilineu PHLFISL
e superticiem exlindricam super curra 79C. D esse quanci-
racesmagnieudine e grarieace anal09as, quoniam eadem
aequalicas quae demonseratur de inceoris, eodem modo de
monteratur de parcibus carum proporcionalibus; de ideo
earum cenera aequilibrii eodem modo diridune receam 28:
Ted ipla curra 7D ele magnitudine e gravitare ana loga
cum superticie cxlindrica; de ideo curra elc eriam magni
cudine e graricare analoga cum mixtilineo idem cumre
liguiscenerum habens aequilibrii in recea 2 8. perspicuum
quoque estmixcilineum PHL. FIS2 eAe ad rectansulum X. in
25, UE Curua 79CD ad recram 28.
P ROP.
3. T H F O R F M A.
IIdem potieis quae prius; supponatur praedicca (uperf.
 cies cylindrici recei super curra 79DC Cccari a plano
perrectam 2d transeunte, de in angulo lemirecro ad planum
Od2 inclinane. inferiorem superticiei cylindricae partem a
plano secram apellamus trunci superticiem. Dicotrunci su-
perticiem aequalem ese mixtilineo RSPVSZ. LUPPONAEUT CX
cendicurra 79C D in rectam sibi aequalem e  0 a, de iuna
acurrecra ax aequalisrecta L, uE compleAEUE rCCTANSU.
Jum Bx a R, quod necellario aequale esc eam (uperhiciei
exlindrici quam mixtilineo PNL. HS2. Sic R it aequalisre.
CTK 273 de a puncco  ducatur curra t   St calis NATUEX3
uc sumpea recta quacunque F Z Equalicurra particulae cui
cunque nempe 79. perpendicularis ad reCEaM R. A CK
DUMCTO Z in curram  St, nempC _ , AaF ae qualiS DErPeM
dli.

## Folio 9 — 1047377675:0025
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
AM
21
C
IM
i
A
1t
A d
1
eX
1A
I
iet
C
X3
ai
CK
1t
diculari ex puncto pinrectam es, nimirum s3: manitectum
CAt mixtilineum z o st a P esc aequale luperlicicirrunci,
quoniam inclinacio plani secaneis lupponieur ene angulus
lemirectus: noctrum erso est demonstrare aequalicarem mix-
EilinCOrUM RSTVS23 sit ∞ ZSI A P: primonoshunc aequali–
cacem demonstrabimus in poltremis fisuris, ubi supponimus
curram RV in prooressu ab R ad V rectam 2d sempermasis
appropinquare; ecccium curvam = D in progrestu a 7 ad I
ad eandem rectam magis appropinquare; ee ideo curra est
in proorenu a  ad si eo masis appropinquac rectam E A+
quoniam eodem modo appropinquaE CuErA ESt FeCtAM R AS
quo7 Drectam 28. Si praedicta mixcilinca non lune aequa-
lias lic incer illa a differencia: E mixrilineum R V d2 diuida-
cur a toc rectis rectae Re Parallellis, nempe 53, I4, Vd, l23
eE ab earum cum curra incerfectionibus R, S3 T, V, verinqua
ductis ad parallelas proximas perpendicularibous RE, 57, 5a,
IB. Tus Vn Ranc duo rectilinea, nem pe RES N P id Z CXEra
mixtilincum ee 7 SOTnV S2 intramixcilineums quorum dit-
Ferencia Ec minor quam a, eridens enim est hoctieri posse.
peoducancur recta 53, T4, UE utra sque currAS PFI, 7 D incer.
secent in penccis N, L, on C, e iunganeus parallella, recim
28; PX, NO, NK, LMI LC. IIB arectis mixcilincum diuiden
cibus terminacae. Deinde diuidaeur rectangulum B a arC-
eris, recca x a paraIleliS, T. F, XF, nuD, ∞ A, in receansutUI
B 5 ae quale mixeitineo P N32, rectangulum X  aequale
miscilineo HL. 4.3, de reccangulum in L aequase mixcilineo
L. IS4: de ab incer lecrionibus rectarum rectangulum Badi-
videncium cum curra siEst, nempe r, or, 273 St, aUICANEUT Per.
Pendiculares verinque in diriAenCeS proximAS, NCMDC LZ 
st g
nP, HSB, S2D, IEA UE F 2M Z pS2 A R Aac reccilineum
inera mixeilineum, s fit  o 2 H 58∞ X AAF recrilineum ci-
dem mixcilineo circum seripcum. Pater ex ancecedente l2
ese nd X seu B R, UER2 d472 Teu F F, _ permutando uE PZ
ad R2 IEB D P a d  R; _ isCOUEP3 ad R3 ica B X ad H X; (Cd
1C.

## Folio 10 — 1047377675:0026
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
reccangulum DZ est aequale mixtilineo P N 3 2; _ ideo per
mucando, uE P3 ad mixeilinicum iea R3 ad XF F, cumque P3
Sc maior mixtilineo, erie R 3 maior quam sit Z: eadem me-
thodo demonsratur 5 4 rectangulum esse maius quamo,
e Tdmaius quam ZA; es ergorectilineum RESN TudZ ma-
iusrectilineo it o2 Z SA R. Eodem modo ut NZ 2dX ICu
XZ ita 53ad93 Ccu ∞ Z. de permurando, veHz ad5zita
XZ ad o Z hoc cst ur 23 2d23 ita B Z leu mincilineum PH
32 ad FF _ permucando ut 23 ad mixcilineum D H Z 2 it_
23ad F~) Ced Qs est minus mixcilineo, ee ide07 est minus
quam +Z; eodem modo demonttratur 4 eReminus quam
ovo, ee nd minus quam ea: de ideo reccilineum vSoTnVdZ
minus estreccilineo FomZBAAF; _ proinde amborectili
nea t  _ v2 Z 6B a F. F oi n H pEd a  consictune incer
duoreccilii. ea HESN TudZ, SDTnVSEs hoc est maius priorum
receilineorum minus estmaiore lecundorum, de minus prio-
rum maiusminore secundorum; sed mixcilineum f o  SB
E consicticincer duo priora, ec ideo consistir criam inter
duo posteriora nempe RESX Tud2s ySOTnVd2 sedmixa
xilincum RSTV d2 consiltit eriam incer haec reccilinea, de
proinde maior est differencia reccilincorum RZS X I ud 2.
2SOTn Vo2 quam mixcilineorum R ST V S2, tit o  st a Xd
sed expolicione differeneis rectilineorum est minor quam as
de proinde differentia mixcilineorum est muleo minor quam
an quod est absurdum, ponitur enim aequalis; non igicue
differune mixtilinea RS T V d2,  o ZS a X, sed aequalia
Tunc, quod demonstrare oportuit.
Secundo nos eandem aequalicarem demonstrabimus in
primis Eguris, rbi supponimus curram R V in prooressu abd
R adV rectam 2s semper magis appropinquare, ec ccon
era curram 7 D inprooressu a7 ad D ab eadem recramagis
elongari; e ideo curra st sin proereslu a Xt ad st eo magis
clongatura recta F a, quonium eodem modo clongacur
curra s a rECTA  A, quo curva 7 D aFCCFa28. Sipra di
Et2

## Folio 11 — 1047377675:0027
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
I
d
US
m
et
m
st
et
e
23
a3
m
AE
13
AE
cea mixtilinea non lune aequalia; sie corum differentia a3
deinde mixtilinca RSTV52, H ∞ ZSLR, dividaneur a
rectis perpendicularibus ad corum bales 28, R a, omnino
uc in ancecedence demonstracione Faccum est, hac camen
legeut differencia receilineorum RESN TudZ, ySOTnVS2, icem
de differentia rectilineorum ZorMBSAX,  _  SBDFF,
limul, Cincminores quancitace a: manifectum c enim hoc
esse postibiles cumhee dirisio in infinicum Aeri pOtC. C2-
dem mechodo, qua in priore demonstratione rl TumuS,
demonstracur recrilineum RESN TuS2 maius esse reccilineo
 o  6Ba X, de reccilineum y SOTnV se minus esse
reccilincox om es a e. Frilce intelleceis, si data mixti-
lineanon lunc aequalia, (IE RS T V S2 maius alcero: manite-
cum est excessum reccilinei RES N Tu d2 supra recrilincum
t  s 2  68a F aequale ese omnibus receagulis re, Da, nus
F mur e58, Cimul, sublaco excellu reccilinei FoMZES) a
Tupra rectilincum y SOTn V d2: sed excessus mix-
cilinei maioris supra mixcilineum minus, est minor dicto
excestu rectilincorum, quoniam mixcilineum maius est
minus rectilineo maiore, de mixrilineum minus est ma-
ius reccilineo minore; ee ideo excenus mixtilinei maioris
lupra mixcilincum minus, minor est dicris rectangulis A-
muls lublaco excessu reccilinei F o n  P S a e supra recti-
lincum 7SOTnV 52: sed diera recrangula limul exhypo-
cheliminora lunc quanticate as ee ideo dicra reccangula li.
mul sublaco dicco exce (su muleo minora lunE quantitate a;
et proinde mixtilincum maius excedieminus muleo minore
exceisu quam a 3 quod ek ablurdum, ponicur enim a ex.
celsus mixtilinei maioris supraminus; non est ergo mixtili.
ReUM R STV d2 maius mixcilineoit e  st a F: AF (B HerI
PoceK) minus; manifectum est excessum reccilinei ForP
est a e supra rectilincum  SD TnV S2 aequalem esse omni
bus recransulis F, n, sd3 E. BX, nus limuI, sublaEO ex
celsurecrilinei RE SA FuS supra recrilineum t    6b1F:
(Cc

## Folio 12 — 1047377675:0028
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000028.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
e 2
Ted excelsus mixtilinei maioris Xk o Z Se a R supra mixrili.
neum minusRSTVsZ eAtminor dicco excelsu reccilinco
rum, quoniam mixtilincum maius estminus receilinco na-
iore ee mixeilineum minus est maius rectilineo minore; de
ideo excessus mixcilinei maioris supra minus minor est di-
etis receangulis limul Tubloco excelsu reccilinei RESNTudE
suprarectilineum ti  o u 58_ R; sed dicca recrangula
Simul, exhypochesi, minora lunc quam a; de ideo dictare
ccongula simul sublaco dicro excessu muleo minora lunE
quam a; e proinde mixrilineum maius excedie minus mul-
tominore exce lsu quam ae, quod est ab surdum, ponitur enim
a excessus mixcilinei maioris supra minus; non elcergomix-
cilineum fF o 2 st a R maius mixcilineo RSTVSZ, Ced de:
monstrarum es eriam nec esse minus; sunc igitur mixrilinca
 o  St AR, RSTVS2, incer sC aequalia, quod demonstran-
dum CraE.
Sune eriam alii huiuscheorematis caTus, quibus omnibus
pores opplicari haec secunda demonstrario; volui tamen
priorem ceiam adhibere, quoniam mihi apparer simplicior.
etiamsi non Acgeneralis; lectorem tamen admoneo illam
priorem poreodhibere in calu maxime ordinario, nempein
Aicuris prioribus, reliquis manencibus dum curra RV in
prooressu ab R ad V magisa recta 2 d elongaeur.
Fx demonstrarione manifectum est mixrilineum RSTVSZ
ee superficiem crunci esse quancicares magnicudine de gravi.
eacc analosas, quoniam endem aequalicas quae demonstra.
cur in inceoris, eodécciam modo demonstracur in parribus
carum proporcionalibus; de id eo earum cenrra aequilibrii eo-
dem modo dividune rectam d2.
Nonexitimo opus esse Lectorem admonere, quod data
haerna trunci superficie, deneur omnes alixe, quorum plana
secantia, balem (A opus est) producte in eadem recta secant,
cales enim cruncorum superticies incer se lune uc carum al-
cicudines, vel ur rangentes inclinationum planorum secan
ciuI

## Folio 13 — 1047377675:0029
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
Da
4a
ee
1
2
la
AE
n
5
A
M
n
M
a
3
eium, ue ruleos de Facillime demonstratur.
A2. 4. ZHBOAPM A.
_le curra quecunque OIC E simplex se non hnuola, du-
 cancur dux rectae recunque inter se parallellae AV, LEr
cui rerique hcnormalis recta R V. Sic mixrilineum RVXBD
calis naeurae, ue, dueta recta C,S Bad libicum parallella rectis
AD, LS, reCtASB contenta incer rectam R V se curram V Y
BD AC semper aequalis rectae CM cansenci curram in puncto
prorractae ad rectam LE. concipiatur super curra OIC. L
Ccuinstalis eAt curricass re quo longius a punctoO produci.
cur eominus dister a recta R V) Superticies crlindrici recti
Secta a plano rranseunce per rectam L E de cxlindrici balem
in ansulo Cem Ccume. Dico mixtilineum RV XBI
Elleaquale superticici erunci interioris exlindrici a planore
ectae. Si non line aequalia, siceorum differencia a, divida
curque rectaR V in eoc partes aequales in punctis R, S, T, V)
ve duais rectis parallelis RD nempe SC, TS, VZ, e comple.
eis rectangulis R C, RB, Sd, SX, TZ, differentia rectilinei
Ra BX Y Tmincilineo inscripei a rectilineo RDCBdYZ V
eidem mincilimeo cireum scripeo HiE minor quancitare a; ma
nifescum

## Folio 14 — 1047377675:0030
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
nifectum enim esthoc heri posse, quoniam recta RV diridi
pocestin plures, ee ad huc plures parces in infinicum. Produ-
cancur rectae paraIleIIX DR, C. S,ST, Z.V, per curram propo-
Sicam in puncta F, C, B O, de producantur reatx F. L, C,H.
IN curram cangences in punctis E, Cn I, O, ad rectam L. E
in punctis L, M, N, O, qua parallellas proximas ex utraque
parceincersecene criam in punctis F, FI, HI, co, D. ui de ad pa-
rallelas proximas sine perpendiculares F.(, GR, IP. manite-
sum eA (ob parallelismum rectarum C R, S V) C:K essead
CFTuESV adCM IcuSB, d proinde rectangulum Sd, nempe
rectae C. K in SB, aequale eAt rectangulo C HI in SV, Sed re.
etangulum GFT in SV maius es porcione luperticiei erunci
insistente curve CI. quoniam GHI recta maior est curua CI
_ rectaSV aequalis es maximE alcicudini porcionis superh.
cicicrlindrici insisteneis curre C,I ob planum Ceminormali-
terbalem secans per rectam LE; d ideo rectangulum Sd
maius eciam estportione superticiei erunci insistente currae
CT: eodem modo probarur rectangulum RC maius ese
portione superticicierunci insistenre curvae C P. de rectangu-
lumm TZ maius erse superhcicierunci insistenre currae OI; et
ideo rectilineum RD C B dYZ. V mixcilineo circum scripeu
maiusesteoca rrunci superticie. Deinde ob parallelitinum
rectarum IP, SV, uc IP ad IHN, CCv CK velST adOI, ita TV ad
IN vel TX; ee proinde rectangulum SY nempe recte SI
in TX aequale es rectansulo rectae OI in TV, Sed rectangu.
lum BI in TV minor es porcione supertcicierunci insistence
currae lCn quoniam recta DI minor es curra CLe recta TV
aequalis cstminima alcicudini eiu sdem porrionis superficiei
trunci insictentis curre CI, ob planum seminormalicer basem
secansper rectam L Z; et ideo rectangulum S Y minus eAt
porcione supertcici erunci inlicente currae CI: codemmon
do probatur rectansulum R B minus esse porcione superA.
cicicrynciinlistentis currae CF; _ ideo reccilincum Y Y X
BaR mixcilineo inscriprum minus est incesra superticie
erun.

## Folio 15 — 1047377675:0031
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000031.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
a
a
De
ac
ec
DC
1d
C
su
e
cit
M
ac
d
1.
cC
et
m
et
d
C
erunci, sed differeneia inter reccilineum inPeriprum ee cir-
cum lcriptum minor est quantitare x ex suppolirione; d ideo
differentia incer superticiem erunci ee figuram mixcilincam
muleominor est quam a, quoniam earum urraris demonstra
cur maior reccilineo inlcripeo ec minor circum scripron quod
hieri non pocele, bonicur enim x difterencia incer superte.
ciem erunci de mixcilineum; nulla igitur ele differentia incer
Eguram mixtilineam ee superticiem erunci, ee proinde lunt
aquales, quod demonstrandum exae.
eildem poliris, Remixcilineum V Y BD2 3E talis naturae,
UEs a quolibet puncto currae FO nempe C ducta parallella
rectxe LEnempe C2, incercepea recta B 2 incer duas curras
VD, DE. Hac aequalis cangenticurram proxolicam in puncto
EPEOEFACEA ad reCEam A D, nempe receX Cu. dico mixei-
lineum VXBD23E aquale esse superficicirrunci superio-
ris ciuldem prioris cylindrici polica ejus alcitudine recra
AV. FECLE M Cu in punCEO O RE rectanormaliS C7 reCtam
R V secans in puncto7. ob similicudinem criangulorum S7)
GKII _E GS ad C7 ita GK ad OFT, _ VE OK ad OTTITASV ad
GM rel SB, _ SR ad Ouu rel BZ; de id co CS est ad G7 uERV
ad Se eodem modo demonstrari pocelt IT eNe ad lB uERV
ad T3: cum que hoc hac in omnibus punctis currae E O, mani-
Fectum eA ex huius 2 mixcilineum R D 2 ZEV esse aequale su-
perticiei cxlindricirectiinAistenei currae EO, cuius alcicudo
RV; acque luperkicies crunci interioris xe qualis est mixcilineo
RV YBD, e proinde sperticies crunci superioris equalis
est mixtilineo DBYVE 32D, quod demonstrare opor-
cuit.
Elinc eriam manifectum est superficiem crunci inferioris
de mixtilineum RV XBD ehe quancicoces magnirudine
de sraritace analogas, quoniam endem aequalicas quae de
monltratur de inccoriss eodem modo demonstratur de par
cibus earum proporcionalibus. Manifectum quoque elt lu
verticiem erunci superioris e minsilineum V XBVZ3E elle
quam

## Folio 16 — 1047377675:0032
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
e
ditu
u
qu
ait
28
quancitares magnicudine s pravitace analogas; mixrit;
neum enim R V E 52 D masnicudine dc gravitace analogum
cRrori superkciei cylindrici recti, de mixrilineum RV ZBI
magnieudine ee srarieate analogum es superticiei crunci
inferioris; ec ideo (quod superest) mixrilineum DBXV L
32D analoeum est relictae superticiei rrunci superioris,
quod _c.
Fruius proposicionis diverh lune calus; Ped in omnibus
eodem modoreriticari pores praecedens conclutio.
P A O P. 5. 2 EI P O R F M A.
D rectam A F ducaneur dux evrra AF, AD, ee recta
  AF sc perpendicularis recta LD curras lecans in
punctis F, D, ducanturque rectae GF, C D, currastangenteSo
DicorectaS LO, DC, non ene parallellaS: sine (A heri pO
rect) Parallelaes de ducatur recta ABparaIlela de aequalis re
eta E. D: deinde per puncta B, D ducarur curra congruens
currae AE, simodo punctum a superponatur puncto B et
punctum P puncto D: manifectum elt curram BD sCCAEC CUE-
ram BB, irem e rectam C D parallelam rectae C L FABGCFO
curram AD; acque CD ex suppolitione cangie quoque cur-
uam BD, quod est absurdum, quoniam currx AD, BD, sC
inuI.

## Folio 17 — 1047377675:0033
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
B
15
e
1d
d
IE
EC
quod dciion
ex isitur CD, CFs non sune parAHIeIIX
AdUM CTAE.
Animaduereendum estnos hictantum loqui de illis cur.
sis simplicibus, quae (quo longius distant ab A) comaiorem
incercipiune rectam F. D; nam ex hac suppolitione pendee
PROP. 6. PROBLEMA.
Imenire curiam, quae ad suum axem eandem babeat rationem 
quam fcura qualibet exhibita ad rectanculum sibi inscri-
ptum,  recta data seu quasita curva axi axplicatum.
 Pctigura exhribica ABSO, rectangulum inscripeum AB
DR O; (icque cuera BS simplex seu non linuola, li aurem (IE
diuidenda est in plures simplices, se demonstracio seortim in.
Airvenda. deinde AE CUEVA AELP talis natuEK, UE, ductL re-
eta quacunq: INTnormalirecta AO, CUrVam AFL P CCCanCCII
L recta IN sic aequalis pocencia verique IL, IM: deinde du-
catur curra ALx Gcalisnarure, ue, dueta recta quicunqua
IM rectae AO perpendiculari de curram AFR ( lCCanEC
inR _ AFL P in L, rectangulum MIL Cic aequale mixci-
lineo TAFE. dico Aguram ABSO esse ad rectangulum
ABRO NECUrra A F. KO ad rectam AO. Sc in curra AFL. B
punctum ad libicum H, per quod ducacur recta IN perpen-
dicularis recta AO d lineas A F L. P3 BR, BHINS, CccanS
in L, M. N punctis; seque ucIL ad IM ica TRad IC e du-
CaCUE RC: recta KC curram A( secaF vel eangit in puncto
Ki AReri pOEeK, eam secet inK, _ ideo intra curram cadee
nempe intra punctum F verlus verticem Ai ducaeur per pun-
etum E recta DEI rectae IN parallella lineas AO AP; BR,
B5. lecans in punctis En F. Cn HI, de rectam L. C in a, icem
compleacur rectansulum IL. L. C cuius lacus LZ rectam DH
lecer inX. quonium bL. CH ad LM HEIR ad FC, exir rectan
Sulum
nnicem sec
demonstrationis vis.

## Folio 18 — 1047377675:0034
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 16 lines, status machine
+8
oulum MIK seu mixcilineum IA FL. aequale rectansulo
IZ: de quoniam rectangulum C ed F: est aequale mixcilineo
D AF, erit ucIKad DE ica mixtilineum IA FL ad mixrili
neum D A F, ac IR ad D F maiorem habecracionem quam
ad D∞; Sc ideomixtilineum I A F L maiorem habecracio.
nem ad mixcilincum D A F quam IK habec ad Da Ccu IC
ad DC; e igicur mixtilineum IA I. L’maiorem habet rario-
nem ad mixcilineum _ A F quam rectansulum IL ad rectan-
oulum DZ, e per convertionem racionis mixtilineum IAFI.
admincilineum lB EL habee minorem rationem quate
atoneulum IL. ad rectongulum IX, _e permurando mixcilincu
A F L ad rectangulum IZ minorem habec racionem quam
mixcilineum IDF L ad rectansulum IX, cumqireccansulis
Q _C aequale mincilineoTAEL, erir recrangulum IX minus
alliX

## Folio 19 — 1047377675:0035
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
la
sid
2M
10
Ast
mixtilineo IDEL, sed de maius est, quod est absurdum; d
proinde recta RC incra curram A O non cadic versus verri
cem: S heripoces, cadarrecta C Kintra curram vertus ba-
lem reliquis se habencibus ur inpriore politione; cricqueuE
IK ad D E ica mixcilineum I A F. L ad mixrilineUm D ALF,
aC IK ad D E maiorem haberrarionem quam ad Da; e ideo
mixcilineum I A FL. ad mixcilincum D A L. F, maiorem ha-
bec racionem quam IK ad Da Peu IC ad D C: e ioitur mix-
cilineum IA F I. ad mixcilincum D AL I maiorem habce
rationem quam rectangulum 12. ad rectangulum DI, de
invertendo, per convertionem racionis e rurtus inver-
cendo, mixcilineum IA F L ad mixrilineUm IDFL maiorem
haberracionem quam rectanguium IZ. ad rectangulum IX2
de permutando mixcilineum I AF L ad rectangulum IZ. ma-
iorem habet racionem quam mixtilineum IDFL ad re
ctangulum IX, cumque mixcilireum IA F L SC aequole re-
ctansulo IZ. eric rectangulum IX maius quam mixcilineum
IBFL, Ced _ minus est, quod cs absurdum: non cadic erso
reCCA C K inera curram A D verlusbalem; e ideoreceaHC
Curram A G ranSIE In PUnCEOK. rCCTE CKGF perpendicularis
RCCEAKEECCCA AO OccurrenS in T; manifeltum cAClCAC ad
CXUCIKadRP; acque C TCK ad C R urMII ad NI, quoniam
rectae lI. IM. IL, eficiunt criangulum reccangulum limile
eriansulo C LI, cuius lacera IM, INi, Cunc homolosa laceri-
buSC. L, C. R; de proinde ue IK ad R Iica lM ad LN; cumque
hoc eodem modo hiac in omnibus punctis curvae A CB, mani-
Feltum est exhuius 2recram AO eNC ad CuErAM A G VErC
ccungulum OB adhguram ABSO, quod demonstrare OpOE-
Cltbo
S C H OL TV M.
Vius proposicionis invertum Facile quoque demon.
Lacur; nempe, lirecta AO sic ad curram A Dvere
ud OB ad tisuram ABS O, irem si curra A P calis
 2
si

## Folio 20 — 1047377675:0036
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000036.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
2
SIC nacurX uE duCTA YN quae cunque AO reccae perpendicud
laris aequiraleat porencia urrique IL, IM; cric recransulum
MIKaquale mixrilineo IA FL: Rnon AFica ducatur curra
AVY calis nacurae uc rectangulum M IV Aac aequale mixtili
neo IA FL, e demonstrabitur secundum cenorem huius
propolicionis rectas (qua curras AX, AG cangunt in pun
etis V _K) Cse incer se parallelas, quod est absurdum conz
era propolicionem praecedentem.
Hluius eriam propolicionis rarii sune casus, (ed hocincel
decto, in reliquis nulla rectat ditticuleas.
PROP.
7. PROBLEMA.
Rectam ducere datam curvam tangentem in ejus puncto dato
s modo curva sit ex earum numero, quas C arte siuts
appellat Ceometricas.
IEcurra BHI C hyperbolas cuius diameter recta AK _
ordinacim applicaca FHI, IEC, calis naturae, uc Colidum
ex quadroco a B E in AF sC ad solidum ex quadraco a BI i
AK AE cubUS AB F II ad cubum AKC. Sit AB daCa a BF b, ee
rario solidi ex quadraco a BE: in AF ad cubum ab FFI uE a3 a0
c3: Oporcet invenire punctum F, re ductarecta FHhyperbo
lam eang ae in pucto HI. ex dacis AB, BE, dacUT AF arFb _E PTB
VC (ab 2c3rk b3C3). SiEF FZ _ D L nihil leu PeruMO; et
proinde erie BDb -08C A D a rf. b - 0,F D Z -0it CM DC VC
C3 a b2 = 2c3 a b0 rta c3 a02 fC, b3 - 3c3b20  3C3b02 (303)0
quoniam supponimus ordinacim applicaram DC incidere
in curram in eodem puncto C vbirecta FH eidem (simodo
Domibile HC) Curra OcCUErIE CrIE UEFHI ad EF ita DC ad DF;
e ideo rectangulum ex D F. in E FLnEMPC VC (b2C3 a23-

## Folio 21 — 1047377675:0037
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000037.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
CU)
AM
va
iliq
Ud
1n)
dNq
la
8E
MI
AFa
et
da
B
e
0
8b2c3aZ 2O Fe 3b2C3aZ02 B2c3 403a b3C3Z3 = 3b353220
3b3c3Z02  b3 c303) aequale crie rectangulo L. F in DC
nemPC Y C (c3 ab 2 Z3 = 2c3 abZ30  c3a 23021 c3 b323
8c362230 F 3c3bZ302 = C32303); _ denominatores
propcer aqualirarem suterendo, icem de uerumque equatio.
nis cerminum cubice mulciplicando de aequalia uerinque au
Ferendore suIeat a quario heC 3b2C3aZD2 - 3b2 C3aZ20 - b2 C3403-
5b3c3Z20= 3b3C3202 b3C303 C342392 - 2C3ab230 - 3C3 b2 Z30 t
5c3b2302 = c3Z3033 _ omnia pero diridendo 3b2c3a20 = 3b2 C3 aZ
imb253402 = 3b35322 + 3b3C3X0 -- b 36302  c34 230 = 253462-

## Folio 22 — 1047377675:0038
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000038.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
2536223+ 3C3b230=- c, 23023 _ quontieares reliciendo in quibus
reperituro vel eius pocestas, restant . 3b2c3a 22 - 3b3c3222
chu
115.
 2c3ab23 = 3c3b223, d ubique defectus addendo ee omnis
diridendo per c b223 ae quacio cA 3ba 3b2=, 2421F 3bZ, e
ideo 2 = 3ba rF 3b nempe recta FF, quae invenienda Crat.
a 2 r 3 b
PROT. O. PROBLEMA.
ATE CUrrA A D IM cuiuSaxis AL, Aeque alIA CUrUA AFKO
aDeius nacurx, uc duca recta quacunque HIR, re-
etxe AL perpendicularis curra AISIE ad rectam IR uF P ad .
ODOFEEE QUCCTEFECTIMEAnSCREEM CurVaM A F RO in pun
AtOK: ducatur recta BIEanSenS CUrram AD IM in punaOL
Chocenim Aeripore supponimus) lirque rects IB aequalis
Curra AI _ ducacur rectA BK, quam dico cangere curvam
AFK O in punCtOK: E eam non tansaE, cadac intra, sIEque
punctum C inera curram rersus verricem, de duicaeur rectae
KII paxAHeIIa GFF D C. manifectum CH IR eNC 2d F C UE
IB ad E B, Se per convertionem racionis II Clt ad differen-
eiam incer IK _ F: C: UEIB ad TF _E pETIUEANdO UE YK ad TB
scuTA curram, hoc est ue Jad P, ita differencia inter IK _ F (7
ad FI, aeque uE Qad P ita D F ad D A curVI; _ id CO UE IK 24
TA curuam ita D E adD A currams d PermutandOUC TK 3d
DF iCATA curuZ 2d D A curvam, S per convertionem ra-
eionis, UE TK 2d differeAEIAM INFEF TR _ D L IEQ CUEVA
IA seu recta YB ad curram ID; aF differenEIA INCETTK _ F C
maior es differentia incer LK de V F, quoniam punctum 
supponicur cadere inera curram; e proinde LK minorem
habet racionem ad excessum supra EC, quam ad CXCCNUM
Tupra DF; _ ideo TB est ad TE inminore ratione quam ad DI
estisitur PE maior quam DI, quod cM absurdums non ereo
CadIE RCCtA BK InEra Curvam A FK O versus verticem: cadaC
inera (sitieri porest) verlus balem nempe producta in pun.
E10
at

## Folio 23 — 1047377675:0039
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000039.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
115
iid
et
0
C
V
1M
O1
lIS
aM
Iue
eta
ab
et
ITL
20
3C
r4)
EC
TuI
lat
es
rE
d2
2t1
3
3
etoR. IK es ad NR uE IB ad NB, _ IR eH ad differenciomio-
TeF IK de H R uE IB ad IN, d permutandoue TR adIB seu
TA curuam, hoC eC ut Qad P ita differentIA INEEF LR _C NR
adIN, acque ut VadP ica MO adM A curram, _ IdCOUEIK
ad TA curram ica MI O adMI A curVa, d permutandO UETR,ad
MO ica TA curra adMI A curram, _ uc IK ad differenciam
InEex MI e MD ica LA curra seu IB a d IM curram; aC diHterCN-
FIA InECFZK _ NR millor CM differenEiA InFeT IK de M O, quo-
niam lupponimus R Cadere intra curram; ee proindeR ma-
iorem habet rationem ad difterenciam inter TK _ NR quam
ad differenciam inter TR d MO; e ideoIB cAt ad IN inma-
iore proporcione quam ad TM; Cs isitUT IN minOr quam LM, Lhud
Quod est ablurdums non ergo cadicrecta BK inera curram ius.
versus balem, d plunde curram cangie in puncto K, quod
Per hanc propmnem pollune omnium excloidum cur.
Va
demonltrate OpOrTuIE.

## Folio 24 — 1047377675:0040
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000040.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
24
ex comparari cum culs anihus velbalibus lecundum me
chodum 2huius.
 s LLBL LMA.
securra AETO, cuius axis A R; Sicque alia CUEVA AOMY
calisNaLuTA, UE dUCEA reCtA qUXCUNQUENLM reCtK AR
perpendicularis curra ATsE ad rectam NM uc P ad G. OpOF-
cec ducere rectam tangenrem curram A C, M T in puncto
MI. dUCACUE FeCtATC FANGCNS CUIEVAM AF TO in I (hoc enim
Reri posse lupponimus) _ occurrens recta A D ipANM pa-
rallelae in B. liEMZ. ad rectam IC ut Qad P, Acque L D pa-
rallella reCEK AR _ ducaturreera D M, quam dico eNC FAA
entecura HBMMlin puncioM: lcanincans ae la
doc ineras licque punctum II intra curram versus verricem d
ducatur ip( NM Parallella reliquas lineas secans re in Agu-
DuTA. AE eA ad B C:uEP ad O _ AI CA ad NM VEP ad 
_ ideovE AF ad BC ica AL ad NM SC permuTandOVEA F ad
ALita BC ad NMI, _c ur AF. 2d F L ica BC adISM, S permU-
Tando

## Folio 25 — 1047377675:0041
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
R
e
Ec
m
OrandOut A E 2d B C hOC CRuE P ad O ieA F P AdKM: de-
indeuC. l ad Z M, hoc eH uEP ad O ica FI ad L M, quod 10
proboi racio CIad ZM componitur ex ratione C I adD L. de
DZadZ M, e racio FL ad LM componitur ex ratione F l ad
FIL CeHC Tad DZ _EFTL ad L.MI sCuDZ ad ZM, de proinde
AE FI AdXMICA FI ad P. M, _ permurando uE FI ad FL ItAKM
ad LM; Ced quoniam supponimus EI cadere intra curvam,
AM erie minor quam L. M. S proinde F.I minor erie quam FI,
quod est absurdum: _ ideorectAD MI non CadEF INFTA CUF-
ram verlus verricem: cadar (si heri poMe) incra verlus b8
lem, nempe producta in puncto V. A. L est ad N M uc P ad 
d AO Cs ad R P uc P ad , _ ideo AI est adNM uE AO ad
RT, _ permurando AI CA AA A O UENM ad RT, e ue A Iac
IOItA NM ad ZT, de permurando ut A I adN M sCU VE P ad
Lita 1O ad XT: deinde vE CF adZM CCuP ad Oita IS adX V
(quod probarur licur in priore posicione) de proinde urto
ad XT ita IS ad ZV, dc permutando uE IO ad ISIEAZI adZV;
led (quoniam supponimus V cadere inera curram) critX L
maior quam XV; ec proinde IO maior eric quam lS. quod est
absurdum, non ergo cadic recta DM intra curram versus rhu
balem, e proinde curram ransie in puncto M, quod demon- ius.
atrare oporeuit.
Per hanc proposicionem porest curra, cuiuscunqs superticiei
trunci cxlindrici recti expansae in planum, comparari cum
eiuldem axe velbale opchuius2, limodopollir ducirecta
cangens balem cylindrici in puncto dato.
PROP. 10. THIEORP M A.
 TECUrVA QUECUnquE AD _ recta quEcunque BN: ducan-
2 cur ex duobus currae punstis quibuscunque A, l du
recta parallelae ad rectam BN, nempC AB, DE, _ iunSREUF
LD recta producta in II ducanturque D C, AN rectE cur-
aMst FAMBCAEESir punCtis A, D: dein de compleaneur paralle
10
hu

## Folio  -  — 1047377675:0042
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000042.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
loc
C0
nec
1
pe
Ide
pur
Bir
ACC
riur
CF
AB
ec
IIIS
au
Ae
+
1d
e
rC
leo
di
bx
i
in

## Folio 27 — 1047377675:0043
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000043.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
IOOratAMMa ABGO, DEHS, _ prOduCANEur reCtX AO, NS, UE
concurrane in 1. dicocraperium AD F. B maius essemixeili-
nEOADLO. ducatur HIKEparallela ec ae qualisrectae AB; m2-
niFeCUM CA EFAPCZIUM ADEB eNC Xquale ErAPCZIO ADMR
IECM _E EFADEZIUm A D MR maius cNCErAPCZIO AD L O, X
ideo mulcomaius mixtilineo ADL. O; PATeF ergO ProPOlI-
Tum nemDCErEDeZIUM ADEB maius ese mixcilineo ADL. O.
PEODUCLEUFRECta D C in C: dicorectilineum ABF Id C
minus esemixeilineo A D SO. ducacur recta C F. parallela
rectis AB, 1DE, _ C R parallela rectis AO. DS: PAFCEFrapC
Zium ABF C esse aequale craperio AC R Q d craperium
CFFD eRe aequale trapezioC BL I; ee proinde rectilineum
ABEDC aequale eAt rectilinCO ACDLIRC, quod minus cA
rectilineo ACDSO; _ ideo rectilinCUm ABELC. mulcomi
nus estmixtilineo ABSC qua demonstranda erant.
P R O P. FT. Y H F O R P M A.
Ie spacium mixeilineum quodcunque ABKI comprehen
lum a curva BR, recta AI e duabus rectis parallelis
BA: X I; SEque Curra M Y calisnacurX, ve (Cumpeo in curra
Bk quoliber puncto C de ex eo ducta recta C. F purallela rc.
etae AB, _ reCtA C Z CUIFVAM BR CONEINOCNEC FeFMINATA A FC-
Eta AB si opus ect, producta in L.) recta PZ semper (ic ae qui-
lis recta CS ParaIIelX reCtE A Z _ Terminaca d CurU. Y M.
dico mixcilineum BRM Y, comprehensum e curris BK, i Y.
_ rectis BY, KEM, rectae AZ Parallelis, elle aequale mixcili-
neoB AIK. Si non (unc aequalia; sic eorum differencia X; _
dividacur currilincum BRM Y a FOFreCtIS CS, CFP, KM, rectX
BY parallelis, re (ductis rectis OM, IN, FR, Y V. paralle.
lis rectae AB) omnia parallellogramma O N, O Z, IV, limul
minora line quam X, hoc enim hieri porest ab indetinico p2-
rallelarum numero. ducantur subcendences recta BC. C C,
vk, e cansenres in punctis B, C, Cn R, BD, DF, F L, L. K: ma-
2
nitectum

## Folio  -  — 1047377675:0044
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000044.jpg
# Model: k3-trocr@runs-615-epoch-5, run 617, 2026-10-30T12:51:04Z — 27 lines, status machine
n
Die
vo
ici
er
88
Di
nis
e
cor
b
en
Die
lij
i
ux
led
b
en
20
e
it
lib.
C
l
in
e

## Folio 29 — 1047377675:0045
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000045.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
micelcumala praceaato erapeulua Lab a alusel
mixcilineo BCSTicem d craperium CtlC maius essemir
rilineoC CP Q e traperium CTIIK maius ene mixtilineo
GRMO, e ideorectilincum A BC C RImaius est mixcilinea
BRMOPQST. Pater quoque ex ancecedence rectilineum
ABDCE minus esse mixcilincoBCVY _ rectilineu ECFOFI
minus esse mixtilineoC CrR S de rectilineum II C, R I minus
mintilineO GKNP; ec proinde rectilineum ABDEL RI minus
CAmiXFIlInCO BRHPRSVY: cum igitur mixcilineum BATL
Consistac inter rectilinea ABCOKEI; ABDFLEI e mixtiline
BXML Y consiltat incer mixtilineA R M OPOSTB, RNPRS
V Y B, icem rECtilinCA ABC GKI, ABDFLKI COnSStAMEIMEBE
mixcilinea BRMOPOSI, BRNPRSVY, monifectum est mix-
cilinea ABKI, KM PB, minore quancitare difterre quam mix
EiLInEA BKMOPQSTI RNPHSVYB, Sed horum differentia ex
suppolitione est minor quam , e ideo diftereneia mixeili
ReOTUM ABKI, BKM Y, est muleo minor quam X, quod elt
ablurdum, ponitur enim maior quam Z; nulla ergo est diste-
reNEIZ INEEF MIXEILINCa ABKI, BKMX, ec ideo aequalia lune,
quod erae demonstrandum. Eiadem ferc esset demonstrario
in duabus praecedeneibus, criamsi conrexitas currae BK eNCE
verlusrectam A I.
l
I F I N I T IO NL S
EIFuerit Agura AB F F comprehensa a rectis parallelis
 AB, FF recta AF Parallelis normali e a B F liner qua-
libet, item Agura CFIK comprchenlaa rectis HI, GR, (ita
HE EHI siE aequalis recta AB _ CDH reCtA L F) de linea HIK,
quae eriam aequalis est linea B F, hac lege, ur, sumpeis ad li-
bicum lineis aqualibus BD, HII, iuncta recta OT Aac aequalis
rectae DC. perpendiculari ad reetam AF: appello tiguram
GHR, Asuram ABFL inroluram; _ sipuram ABFB Aguram
DHK CrOLUFaMa
ppCl

## Folio 30 — 1047377675:0046
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000046.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 12 lines, status machine
Appello quoque puncta B. F, vel D, I, rel F, K, Sibimuruo
relacira.
punctum Ci appello cenerum involutionis.
Angulum HIC X voco angulum involurionis.
Appello rectam AF evolurae hgura axem, icem quamlI.
Dec C. D illi perpendicularem axi ordinacim applicaram.
P ROP. 12. 2 H E O R R M A.
IE rectangulum AF CB, quod inrolurum efficiae le sFO-
rem circuli BF. C, icem rectangulum ADFIB, quod in
volurum effciat sectorem BCII. dico angulum involurionis
B Hmaiorem esse ansulo inrolurionis E. B Cr. est enim uE
BC

## Folio 31 — 1047377675:0047
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000047.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
UIH
Ml,
e
402
isa
AiS
2Ut
Y
BC a BEI ica arCUSF C SCU arCUS C HI
cum OTT Ted
monstralidum.
BCmaior est quam BHI, e ideo CHI maior cAt quam OFI, de
ideo angulus C B Hmaiot en ai ino L Gubd erat de
P AO P. 13. Z _I F O R F M A,
ETEFGUTA ABMT, quae involuta efICIAE AgUraM NDZ. SIF
excenero inrolucionis N arcus circuliD T: dico arcum
PTminorem esse recta AI, seu Roure erolure axe. dueaEuE
recta BK parallela e equalis rectE AI, Sicque rectangulum
ad libicum FCLI, uc honea ABMI inscribatur rectilineam
ABFCLI, quod hi involracur, erit eius angulus involurionis
minor ansulo involucionis rectansuli ABKLinroluris hoc au.
tem icainnorescie, rectilineum AB F C L. I inuolurum idem
est cum inuoluro rectanoulo AB F F rna cum inuoluto re-
etangulo E CL. I; e rectangulum AB K Linvolurum idem
est cum priore involuco rectangulo ABF P una cum inuo.
luro rectangulo F. FK B. Ced ex praecedence angulus involu-
tionis rectanguli F: C. L. I minor est angulo involucionis re-
Aanguli F FKI, e proinde angulus inrolutionis rectilinei
ABFC:L.I inuoluci minor est angulo inrolucionis recransule
ABKI inuoluci: eodem prorsus modo (si ducaneur rectE IH,
SV, Parallelae reccis AB, IM, _ reCTA RO, V Y, Parallelae aXi
AI, uc compleatur rectilineum ABOROCISVYI) demondra
bicur eius aneulus involutionis esse minoransulo involucion
AIS

## Folio 32 — 1047377675:0048
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000048.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
as lectilinei ABFOLI, e proinde mulrominor eric angulo
inrolutionis rectanguli ABRI, nepe NT, supponimus enim
lectorem q NT esse rectangulum ABXT involurum: denique
eodem lemper modo demontratur, quod, quominus dit.
Cert rectilineum inseriprum a figura ABMI, eo semper maior
sic excessus anguli z NT supra angulum inrolurionis rectili-
neiie ideo mulco excedit ansulus zNT ipsius AgurA ABMI
aneulum involucionis  N X, de proinde hgurx crolura axis
AL leuarcus zE excedic arcum PT, quod demonstrandum
Crat.
Sit secundo ex cenero inrolurionis Narcus circuli OZ: di-
coarcum OZ maiorem esse recta A L neNBC AXC AGUTK PHX
evolurxe. ducacur recta M D Parallela ee aequalis recta AI
ee producatur AB in D, sicque rectangulum ad libicum
AC. OB3 (uERgurE ABMI circum scribatur rectilincum AC C
TIMI, quod involratur, crit eius angulus involutionis maior
ansulo inrolutionis rectanguli A D MI, hoc aurem ita inno-
celcie, rectilineum ACCHIMI involurum idem est cum in-
voluto rectangulo EHMI una cum involuco rectangulo
ACCF, de rectangulum A ed M I involurum idem eR cum
priore involucore ctangulo F.FLML rna cum inrolurorectan.
sulo
e
dn
ie
s10
1
AXC
8
it

## Folio 33 — 1047377675:0049
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000049.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
qu
dit
2iOL
tiIi
BM
21d
UA
di
A.
UI
CC
IO
nO
Is
ute
UB
AA,
N
ouloADFTE, Sed ex pexcedente ongulus involutionis re
Ctanouli AC C F maior est angulo inrolurionis ADTIF, de
proinde angulus involurionis rectilinei ACCTIMI inuoluri
maior est angulo involurionis rectanguli ADMI: eodem
prortus modo (A ducantur rectae RB. VZ, Parallele rectis
AB, TMI, _ recta R a, V X, parallella axi AI, ut compleatur
rectilineum AaR BCTXVZ MI) demonstrabitur eius anou-
lus involutionis esse maior angulo inroluriouis rectilinei
ACCFIMI, e proinde muleo maiorerie angulo involutionis
rectanguli ADMInempe SNX, supponimus enim lectorem
SHIX ese rectangulum ADMI inuolurum: deniq; eodem lem.
permodo demonstratur, quod, quominus differe rectilincu
circum Peripeum a figura ABMB, co semper maior AC exceltus
anguliinrolurionis rectilinei supra angulum SNX, ee ideo
muleo excedit angulus inrolutionis ipsius Agura PNX angu-
lum sNX, _ proinde Agurae evolurae axis AI seu arcuS d_
mulcominor est arcu OZ, quod demonstrare oporruit.
PROP. 14. PROBLEMA.
Fic data Reura involura, ejus dem evoluta auem invenire.
Ie figura inrolura I. BK, cuius erolueae oporrec invenire
D AXCM. C CHETOL HE CirCULI AECUS ME; lEque AcurAOP78
concenta: ceris parallelis OP, 87, receaque OB illas norma
licer seconce _ linea Py calis nacurae, vc (in involura sumpra
qualiber recea L. C produera in H, icem in AguraOP 78 du
CrareccaSV recex O8 perpendiculari ex cam secance in ra-
EIOnCMH ad NE) 87 scadSV uE LK ad L. C. dico receansulI
circum scripeum OR 78 eNC ad AGUTaM OPZB UE AECUSMK ad
AXCI AIDUTA L BIE cuolVEX: A nOn SC iEA, SIEVE OR 78 ad O P
78 IcaMK ada, quae disferat ab axe tigura L BR cuoluex qud
citace s: deinde c cenero L. circum lcribancur sigura involu.
ex L. BC Similes arcuS circulareS AC, FC, HIK, e eidem in-
Tcri-

## Folio 34 — 1047377675:0050
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000050.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
34
CeriDAACUE EOFIdCI AMIMOS AECuS CMLaLAreS BD; CF, GT, vE
differencia incer arcus inlcripeos ec circum scripeos sic minoe
quam s; deinde diuidatur recca O8 in tor partes equates (
5, 543 48, in quor dividicur arcus MR a rectISLC, LG, pro.
duccis, ducancurque iph 08 perpendiculares rectae Sl, 4
lineam D7 Cecances in puncris V, 2, ee iunganturrecre S
ParallelE PY. OV33X26. manifectum cs ex houre OP78 de
Scripeione SV eNe ad SV DE LNT ad LC SCU VE ArCUS MNTad
arcum AC; e idco verectangulum Ox ad rectangulum OV
ita arcus M H ad arcum A C; codem modo probatur, vErC-
crangulum SZ. ad receangulum S2 ita arcus NIY seuArCUS
MN ad arcum FC, de rerectangulum 47 ad recrangulum 47
icA ArCUS HK ad arCUM HK, cumque omnes prime inter sC e
omnes cerrie inter se sine equales, erie ve omnes prima
nempereccangulum 97 ad omnes secundas nempe reccili.
nCU OOVX 227B ita OMRES TErEIX nemPC arCUS M K ad
OmneS quarEaS NemDC arcuS AC, F:C, HIK; est aurem vEO7
ad tGUTA OP7B IEA MK ad a, at reccilineum OOV X2278
maius est quam Agura OP 78g d idco arcus AC, RC, TIK, 11-
mul sunc maiores quama; sed arcus AC, F. C, HIK, maiores
eriam
n
n
D
7
B
te
B1
de
On
De
IC.
aec
C
Su
Par
dU
1
et
uti
din
d
UI

## Folio 35 — 1047377675:0051
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000051.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
C
Ma
eciam sunt quam axis Agurae L. RB enoluex, quo d sc probo,
existorius fgurae L. BK cuolure est aequalis axibus figurarum
BL.C, CLC, GL.K, cuolutarum. Sed ex antecedence axis A-
Sura L.BC cuolurae minor es arcu AC, _ axis AguTRCL C7
cuoluex minor arcu FC, item axis Aigurx Cil.R cuoluex mi-
nOr arcu FIK, e isitur axes omnium Egurarum parrialium 
mul seuaxis fgurae L BK cuoluea minorerie omnibus arcu-
bUSAC, FG FR, limul. Deinde ex delcriptione Agurae OP
8) VEOR adOF SCUVEOY adOT IEAL M ad L. B velMN ad
BD, codemque modo demonstracur, veSZ. ad S3 ica NHI ad
C F, e 47 ad 46 ica HIK ad GI, cumque primae incer le de
terriae incer se semperline aequales, erie re omnes primae ne
peoz ad omnes secundas nempe rectilineum OPTV 3268
iEd Omnes tertiae nempe MK ad Omnes quartas nempe arCuS
BD, CF, Cl; cumque lic ve 07 ad Eguram OP78 ita MR ad ad
ee rectilineum OPTV 3268 Sicminus quam ABUEA OP7S, CTUE
omnes arcus BD. CF, CI, simul minores quim a, le d arcus
BD, CF, CI. minores eriam sunc quam axis AGurA LBR cuo.
lucae, quod sic probo, axis eocius Asura LB R euolura CA
ae qualis axibus ficurarum BL. C, CLC, CLK, cuolutarum
se d ex ancecedence, axis Agurxe L. BC cnolurae maior est arcu
BD, e axis Agura C LCr cuolutae maior arcu C F de axis A-
Surae CLK maiorarcu C.I, ee igitur axis omnium hgurarum
parcialiu limul seu axis AgurX L BK cuoluex maior est omni-
bus arcubus BD, CF, CiI, simul; cuidensisitur eA quacuOE
elle magnicudines, nempe prima omnes orcus BD, C. F, Cl,
limul, secunda axis Asure L. BK cuolure, rerria a, quarca
Omnes arcus AC, E. C, HIK, limul, quarum maxima ee mini-
ma lunE, omnesarcus AC, FC, HIK, CimuI, e CMRES ArCUS
BI, CF, CI, simul, harum ergo differencia maior erit quam
differentia duarum reliquarum nempe axis Agure LBK CHO
ucE ee quanciraris a, quoit est ablurdum, ponitur enim mi-
nor, nulla ergo cs differentia incer a ee axem figure L. BK
CuoturE, e ideo equales suns, quod demonstrare oporcuico
Ei

## Folio 36 — 1047377675:0052
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000052.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
CONSE CT A R IV M.
Inc manifectum est ex daca figura involura inveniri
 posse eandem cuolucam, nam extrac datur houre in
HoluceL BK vel eius cuiussibee partis BLC (dum cuoluieur)
axis, dancurque ordinacim applicarE, quoniam sune cadem
cum rectis incer cenerum involutionis L. de puncta lua relati
ua in Agura CuOlUTa L. BK.
PROP, IS PROBLEMA.
In antecedente feura oxortet invenire rationem inter sectorem
M L. X e ficuram B LR.
TcFgura OP,Sconcenta rectis parallelis OP, 87, recta
 que OBillasnormalirer secance d linea P7 calis nature.
ve (in involuca sumpea qualiber recta LC producta in N, icC
in Agura OP 78 ductarecta SV rectae O8 perpendiculari de
eaM SCCANEE In FATIONEMH ad HK) 87 SiC ad SV in duplicaca
racione recta L R ad L. C: dicorectangulum circum scripeum
OR78 eNe ad Houram OP 78, ve (ecOFLMK ad inuoluramL.
BK. Sinon sc ica, sIC rE OR78 ad OP78 ita MLK ad asquae dif.
Ferat ab inuoluca BL. K quancitare S: deinde circum leriban-
tur Boura involura BL R Smiles fectOres CirCULArES L AC3
LEG LFK, de eidem inscribantur coridem similes lectores
circulares IBD, LCF, LCI, ve differencia incer mixcilineum
INSCTIDEUM L BDDC FCII _ CIECULCRIPEUM LACEOHK AF mi-
nor quam s: deinde dividatur OB in toc parces ae quoles S)
34348, in quoc diuiditur arcusM R a rectis L. C. 3 L. C, produm
atis, ducanturque ipsi 08 perpendiculares rectae SY, 42, H
neam P7 secances in punctis, V, 23 e iunsantur rectae O5 pa
rallela PTB (V33X26: manifestum est ex Agurx OF 78 de
scripeione SY else ad S V seuO X adO V’in duplicacaracio.
ne L. AI ad LC seu vesector LMN ad Sectorem L. AC; codem
1B C

## Folio 37 — 1047377675:0053
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000053.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
etu
ati
Etd
UPE
I1
eid
ata
EU
n
dis
Dat
C
rC
WI
21
aI
p
Eil
e1
modo probatur SL eNe ad SE VELNHI ad L F. C35 e 47 ad 47
DELTIK adLETR, cum que omnes primae inrer Ce ee omnes cero
eiae incer Pe sineaquales, erie re omnes primae nempe rectan
Culum O7 ad omnes secundas nempe rectilineum OV XB
L7S IEA Omnescertix nempe (CCEOFMLK ad omnes quartas
nempe mixtilineum L. AC FCFK, est aurem re07 ad tiguram
OB78 ica sCCtOTMEK ad asac rectilincum OOVXe2 78 maius
est quam Agura OP 78, _ ideo mixrilineum L. A C F: C HIK
maius es quam a. Deinde ex descripcione Agura OP 78, OR
CH adOP vel O Y adOT in duplicataracione L. M ad L B vel
VEMLN ad BLD, eodemque modo probatur, SZ. adSZVENI.
TIa  CLE, _ 47 ad4GVEFILI ad C,LI, cum que primae inFeF
se e cerria incerse semper sint aequaless erie reomnes prime
nempe 07 ad omnes secundas nempe rectilincum OD TV 32
68 ita Omnes CerEIK nEMpE MI L I ad omnes quarrasnempe
mixeilineum LBDCFCI, se rectilineum OP Y V 3268 minus
eA quam AguraO P 78, _ ideo mixcilineum LBIDC FOIL mi-
nuS es quam a; cuidens isieur est quacuor esle magnieudi.
nes, nempe prima mixtilincum IBDCFOT, sccundi, inuo-
lucaLBR, cerria a quarea mixcilineum LACEOFIK, quarum
maxima de minima lune mistilinea L AC EOTIK, LBDC FCIS
hurum erxo differentia maior erie quam differencia duarum
reliquarum nempe a se innolutae LBK, quod est absurdum,
ponieur enimminor, nulla eroo est differencia incer a ex in-
diolutam BLK, Tunc er 80 aquales, quod demonstrare opor.
enic.
P ROP. 16. Z H F O A E M A.
Omnis ficura evoluta est eiusdem involurae dupla.
cRoura involuea LBK, quae evolura efficiat Rguram OP
B: dico figuram O P 78 duplam esse FGurX L BK: AICA
nonsies Aae cuoiuea OP78 dupla quanticaris a, quae
AnHoluFA LBK quanTITAES S; inscribatuE inuOIUEI
L. BK
diEExAE

## Folio 38 — 1047377675:0054
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000054.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
L. BK mixtilineum IDDCFCI_ cidem circumscribacurmix.
cilineum LAC FOTIK ve eorum differentia sic minor quam si
13 hu Ancque punctis B, C, C. K, evolueae puncta relaciua P, V, 27
IuS.
q. ee compleancur rectansula OV, 0E, 52,53, 473 46. recta
L.C eA aequalis rectx S V ec curua AC es maior rect a JV, &t
Ideo Tector circularis L. AC maior est dimidio rectanguli OV.
eodem modo probatur sectore circularem LGF maiore cf
Ce dimidio rectanguli 52 ec sectorem circularem L FIK maio-
13hy rem esse dimidio rectanguli 47, ec id eo mixrilineum L ACL
ius. GTIK maius esse dimidio OOVX2278, e proinde mulco ma-
ius quam dimidium eroluea OP 7 8 nempea. deinde recta
OPekxequalis rectae LB e curra BD minorrecta PT, de ideo
sector circularis L. BD minor est dimidiorect anguli OF, con
demquemodo demonstracur sectorem L. C F minorem esse
dimidio rectanguliS3 e lectorem L. C I minorem esse dimi-
dio rectanguli 46, _ id eo mixcilineum L. BIDC FCt minus elt
dimidio rectilinei ODTV 3268, e proinde muleo minus
quam dimidium eroluexe nempe a: eridensigitur est quaruoi
essequoncicares, nempe prima mixcilineum L. BDCF. C, l
secundas inrolura LBR, certia a, quarta mixrilineum L AC F
CHR, quarum maxima ec minima Cunc mixcilinea L. AC F (
HIKSLBD C FCI, horum erso difterenciamaior crie quam
difterentia duarum reliquarum nempe a de involura L. B R3
quod ectabsurdum, ponieur enim minor, nulla ergo est dit-
ferencia incera e involuram LBK, sune erso ae quales, quod
demonltrare oportuic.
P R O P. 17. Z HI EO R F M A.
Tetigura involura ABC; producatur recta A C et in eam
sic perpendicularis recta BI, quae FOTa CadAE CXETA CUF=
ram BC: dico rectam BR non ese minorem quam exis
sigurae ABC erolucX: SIE Si heri porest minor prae d: C0 2XC3
sirque axis Aigurae A BC. crolurae minor quam excesuS AXIS
ABUra

## Folio 39 — 1047377675:0055
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000055.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
Mit
aM
V.
ret
V
C
et
2at
AC
DD
ret
10
39
Agurae ABC evolurx supra rectam B KL; dUCANEUr ex CCMErO
A arcus circulares C I, TIO; manifectum estarcum C Y maio-
rem esse axe sgura C AHI evolutae d IIO maiorem ese axe R
SUTA FTAC eroluca, acque recta DL maior eA arCU C L de re.
eta lK maior est arcuHO, _e ideo recta D R multo maior est
quam axis Agura C A FT evoluEX rna Cum AXC AOUEX IIAC
cuolura, hoc elt recta DK maior eltaxe figurae C. AC, cuolu-
ta, sedaxis Agura BAC euolurae supCrAEreCtam BKmajore
ExCCHTU quam axc Agura B A C. cuoluex, e proinde axis A-
3C
il
56
IB
Cu
d
li
Ud
10
CH
XC
Sura BAC cuoluea mmusaxis Roure BAC cuolure, hoc est;
dRis AgUTEC A C cuolure, maior est recta BR, Ce d ee minor
eArectEDK, quod est obsurdum rects ergo BK non est mi-
nor axe Aoure BAC cuolure, quod demonttrandum crat.
Fix punctoC in recta AB sir perpedicularis recta C F, quam
dicoesse minorem axc AgurE ABC cuolurE. centro A liC aF.
cus circularis O F, quimaior ek recta C. F.de minor axe hgu.
rE ABC cuolure, _ ideo recta C. F. mulco minor est axC figu
rE ABC cuolure, quod demonctrare oporruit.
PROP

## Folio 40 — 1047377675:0056
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000056.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
PROP. 18. ZH EORP M A.
VIEFsura enolura ACRQ, in qua sic ordinarim applicara
 adlibicum OI. deindemanence recta Ol involuatur A.
rura ACRQin Aguram involuram IBO P: dico lineam
BOD cadere incer lincam AOO d eius axem CR, icem lincas
AO Q. BOP, Ce inuicem ransere in puncto O. E Aeri porelt,
cadac lincaOP exrra lineam O( in punctoH: suppono cur
nam O2(quo propius ad O) colonsius distare ab axc lR, e
isicur NM perpendicularis recta in rectam 1O productum
cadic exera curuam ON, ee proinde recta NM (ex ancece.
dence) non et minor quam axistigure l0 Ncuolure. Sic in
cuolura ordinarim applicaca VSEqualis rectE IHI; manifestis
II
M
C
de
ev
id
BB
CC.
cur
Me
eCAguram OVSI eNe TO Ncuoluram, acque IN seuS V est
maior quam L.T, _ id eo SI est maior quam II, nempe axis A.
sure TOH cuolure maior quam M H, quod est ablurdum; et
proinde OP non cadic exera oq: eodem modo probatur Ot
non coincidere cum OB, cadic erso ineras quod demonttrare
oportuic.
de
DO
EP
dex
InU
du
C
Edt
8u
io
1

## Folio 41 — 1047377675:0057
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000057.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
ic
11
iC
C
Secundo, Si heriporest, cadac linea OB exera lineam O A
in puncto D; Suppono curuam OA (quo propius ad A) eomi-
nus distare ab axc C. L; cadar D F perpendicularis in rectam
OInon productam inera curuam DO, de ideoD L cA minor
axC AgurerDOcuolute: lic in cuolura ordinarim applicata F
II equalis recte D I; manifestum cst Aguram OFLII eNc IOD
cuoluram, acque ID Ccu HIE maior cA quam rectAR E, d
idco CLesmaior quam FIE. nempe ld Fmaior quam axis A-
BurEIB OeuolurE, quod eltabsurdum exhuius anceceden.
cc, e proinde Bo non cadic extra AO: eodem modoproba-
tur OB non coincidere cum OA, cadic ergointra, quod den
monstrare oportuit.
Ouod si perpendicularis DF cadat in IO productam, non
Potelt (OB esse figura IO AC. involuta, quoniam lI maior
erie quam vila ordinatim applicaca in figura lOAC.
CONSFOTARIVM.
roniam AgurECAOOR; IBOP, se muruo rangune in
puncto O manifeltum eltrectam, unam ex histiguris
eansencem in puncto o, alceram eriam in eodem puncto can-
Sere; deque hinc cuidens ekmechodus ducendirectam, que
inuolucam in daco puncto eansaI A modo decur methodus
ducendirectam que cuolutam in dato puncto concinsae, de
C contra; recta enim eansens cuolucam eodem inclinat an
Dulo ad ordinarim applicaram, quo tansensinuoluram in-
clinac ad eandem ordinatim applicaram in cenerum involu
cionis cum reliquis concurrentem.
Omnia predicta de ficurarum involutione eodem modo
demonstrantur, quando cuolure curua est conuexa vertus
anem, eriumsi im noAris ABuriS SuOduTS CurUa sE versuS AdC
COREaUA.

## Folio 42 — 1047377675:0058
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000058.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
P ROP. 29. Y H EO R P M A.
 lefigura quecunque AB super qua imaginetur cxlindris
cus rectus seccus a plano transeunre per rectam LC de
planum baseos AB seminormaliter seCanEe. AF reCTAML rC-
ete FC parallelas eque superrecta MI. mixrilineum MOL.H
TalisnaturE, VE (dueta recta quacunque EDCNO rectXFC
normali ee Aguras AB, LOMI secance in punctis D, C, 1, O)
recta aBionaca P SiC ad mediam ariehmericaM INCEFDP, CLs
VEDC ad NO. Dico cylindricum rectum cuius ba(S MOLH
de alcitudo recta P ese aequalem inferiori rrunco eylindrici
super AB secti re suxra dictum est. Quoniam enim P elt ad
mediam arichmericam incer D L, C E, ve DC ad NO, igitur
rectangulum P in NO aequale cA erapezio a rectis DC, CFr
DE. rectangulo ad D a C. led cale crapezium eM communis
sectio plani super recta FO ad basem AB recti cum trunco
interiore cxlindrici; cumque hoc semper hat rbicunque du-
CatUT reCTAF. D C NO, manifectum est ex doctrina ductuum
Cregorii a S. Vincencio cylindricum rectum cuius basSMO
L. N ec alcicudo P aequalem esse crunco inferiori cylindricire)
Ai supeF MOLM lecti ve supra dictum cR, quod demonserare
oporruie.
Hinc quoque pacet cylindricum cuius ba(S MOLN _ al-
ricudo P esse magnitudine ee grauicare analogum dicto eru-
co; cumque cylindricus AE lua bah analogus, parec eriam.
cruncum elle cidem basi magmitudine ee grauicare analogi.
e RO P, 20. Y H C O R L M A.
Tidem politis quae in ancecedente, screcta FZ rectX F
L Cnormalis, super qua sicmixcilincum OT VR calis ne-
TUTa, VE (ducta recta qua cunque RTDS recta FRnormaliee
figuras OTVR, AB, incerlecante in punctis T, D, 5) rectaal-
signata Phc ad DS,rerecta RE ad rectam RT. dico cylindri,
CuI
CF
ne
10
Eta
ri

## Folio 43 — 1047377675:0059
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000059.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
ndit
Cd
L.tC
DLN
F6
B0
CB
DLN
drit
+ a
IEuI
CB
UN
InC
du
WUI
et
iIb)
xa
C 21
ErI
IaA
eils
43
cum rectum cuius balis OTVR de alticudo P eNe aequalem in
Feriori erunco cylindrici Cuper AB secti ve supra dictum cle,
nempe per planum in recta FC trantiens de balem A B Cemi-
mormalicer lecans. Duoniam P elc adDSveRE adRT, crie
rectangulum P in R T equale rectangulo R F in IS, ledre-
Cransulum R E. in DS elc communis inter sectio erunci inte-
Xt
Bd
Iid
2
dr1
rioris cylindrici cum plano super recta R S plano ba (COS AB
normalis d ideo rectangulum P’in R T eidem communi le-
eioni est aequale, cumque hoc semper Aac rbicunque duca-
cur recta RS, manifestum est ex doctrina ductuum Cresorii
3
a5.

## Folio 44 — 1047377675:0060
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000060.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
44
25. Vincentio exlindricum rectum cuius baus OTVR _ aIFI
doP aequalem esse erunco inferiori cylindrici recti super AB
sectire dictum est supra, quod demonstrare oporeuie.
Hinc eriam evidens cA cxlindricum cuius BasS OT VR &
alticudo P esse magnirudine ee grauicare analogum dicto
crunco cylindrici recti, de proinde bolis quoque cxlindrici
recti OTVR eidem erunco est analoga magnieudine ee gra-
uitace.
Suppolico omnium Agurarum quadraturas ee cenera gra.
vicatis daca esse, Facile eric omnium truncorum cxlindrici
cuiusliber recti cubaturas ee cenera gravicatis ex hac pro.
Policione de praecedente invenires vele contra: eodem mo.
do ex huius secunda cerria de quarea dacis omnium Aouraru
guadracuris de pravicacis ceneris non disticile est invenire
superkcieicuiuscunque crunci cylindrici recti quadraturam
e grauicaris cenerum vele contra, quod hic admonvisse sut;
hciaE.
PROD. ZF. PROBLEMA.
Te Polidum rocundum quodlibet sectum per diamerrum
ADplano normali ad balem circularem BOCN a dia-
mecco BC, d incersectione cum plano cfficiens tiguram
ABC: secetur solidum rocundum ABC ab alio plano quo-
modocunque F.NC:O ad planum ABnormali, ita ve commu
nis solidi de plani incer sectio AaF AgurA F NC. O, cuius inter-
secrio cum planO ABC CArCCTA F CT: AUICATUF PR FCCEX BC
parallella _ recta AD occurrens in l. concipiatur solidum
rocundum, diamerrum habens FC, ex circulis consacum,
quorum radii lune omnes perpendiculares ex reCTA FC in
curuam; FO, ica re diamerer higura F, C per centra infinico-
rum illorum circulorum transiens, ad illos omnes inclinet in
ansulo aequaliipsi F C B. ex daris, Colido AB C. de punceis fin
C oporcer erium exhibere mensuram Colidiillius rorundi,
su

## Folio 45 — 1047377675:0061
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000061.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
is
R
lio
drit
8rt
quodliclioCilott
rallella ducacur per E rectaL FL. Cx datis punctis F, Cn da-
cur punctum B, quoniam lupponieur dari AB C. Egura: intra
Z ducatur quodlibet planum bas BOC N parallellum ee
cum planis ABC FOCH communes intersectiones Faciens
rectas PORS: manifectum R S eNe radium circuliin (olido F
OCHper Reranscuncis; se ob rocundiracem solidi AB C, de
sectionem normalem plani ABC ad balem, punctum Sestin
Femicirculo, cuius diamerer PQ; de isicur quadratum rectx
all
et
9pd
dxib
peo
1nO
raI
BIIb
PaII
(u
EEAM FC PCCCML  a BC pa
UI
did
raD
quo
BU
B6
dU
M)
(+1
I1O
eFI
15F
d17
RS aequale eA rectangulo PR O, e circulus ex radio RS
aequalis armillae circulari P R Q; cumque hoc lemper hatin
cer F _ C; erit portio Colidirorundi FOON intra P aequalis
omnibusarmillis circularibus inter circulum X F Z de armil.
Im BOC, hoc. cAt, Polido excanaro aequaliporcioni folidiro-
cundiXZ C B pos ablacum conum cuius verrex E de semidia
mecer baleos DC: eodem modo probatur portionem solidi
rocundi FOCNinter F _ Faqualem ese Colido excauato l
HC.X postablorum conum, cuius verrex L de baleos lemidia-
mecer IF: de isirur A a porrions Colidirocun di daca L. HC. B.
au

## Folio 46 — 1047377675:0062
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000062.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
auferatur quadruplum conorum ad verricem datorum FFI3
DE C; relinquerur solidum quae sicum rocundum L. O C, N. Si
vero darecur cenerum gravicaris solidi rorundi ABC _ Cen
erum ablari A F K; daretur eriam cenerum grauicatis porcio
nISFKCB, quo dato rna cum cencro gravicatis conorum ob
Arahendorum, dacur etiam cenerum gravicaris porcionis ex
cauacae, quae cum Colido rorundo LOC. NeA proportionali
cer analoga re liquer ex demonttratione; ergo datur eciam
centrum gravitaris Colidi rorundi FOC. Sune criam aliihuius
proposicionis calus, sed hoc incellecto in religuis nulla re-
Aac disticuleas.
PROP. 22. PROBLEMA.
Y Te solidum rocundum sectum per diamerrum A F, plano
normaliad basem circularem a diameero BC, _ inTer.
sectione cum plano etfciens Aguram BAC. SIEFALC
porallellogramum, e describacur linca AL D eius nacura
ve ducta recta HIL vecunque bas B C parallelIa, rectx HIK3
TK, IEL, Inc continue proportionales. ex daca Colidi rorundi
ABC ad cylindrum darum rarione, oporcer hisura ALDFL
quadraruram invenire. ducacur recta recunque HIIKL. N: qua
drorum a lacere IK, hoc cA rectanguluim FKL eA quarEA parS
quadrati ex IN; _ id eo rectangulum FIKL. eHt ad circulum cx
diamecro INinracione compolita ex ratione subquadrupla
e exrarione quadraci diameeri ad circulum; se d punctum R
lumprum est arbierorie; ee proinde cylindricus rectus exba-
sC ALDER in alcicudinem FIK est ad Colidum rorundum AB
Cin racione compolira ex rarione subquadrupla de exratio-
ne quadraci diamerri ad circulum; et ideo quadruplum cy-
lindrici praedicti est aut solidum rorundum ABC, re quadra
cum diametri ad circulum, hoc est, re parallellixipe dum re-
etangulum ad cylindrum eiusdem alcicudinis sibi in scripeu 3
de permucando, quadruplum cxlindrici est ad paralsellipi
pedu

## Folio 47 — 1047377675:0063
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000063.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
1
Fit
+
Cel
rEi
Bd
15C
3Md.
e1d
ruit
2 1
Dedum ve solidum rocundum ad eplindrum; ee proinde da
cur ratio quadrupli cylindrici ad parallellipipedum, et ideo
datur cylindrisi cubatura, e ba(eos AL DEI quadraturA.
las
B
AIX
IM
uB
De
qua
Dasd
nea
Ex demonstratione eriam manifestum est solidum rOTUN
dum ABC CNCHGUTA AL D F R analosum eam in magnieue
dine quam in gravitare, quonium eadem quae demonstran
pis cur de toris, eodem modo demonstrari possune de partibus
Md
b4
AB
+10
C
Id
TC
1)
ipi
Corum proporrionalibus; de igieur cenerum grauicaris solidi
rocundi es cenerum x quilibrii Agura.
Elinc eriam manifectum es cylindricum cuius balis AKFL
L.e alcicudo HK duplum ese crunci cylindrici recti cuius ba;
l1S AIBE secti a plano in angulo semirectoinclinance, de per
rectam AE baleoS planum secante; hoc aurem erunco dato,
dacur quiliber aliuseruncus per eandem rectam AE abscil-
usu quoniam eales crunciineer se sune realcirudines, vel ve
Cli

## Folio 48 — 1047377675:0064
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000064.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
48
inclinationum tansentes, quod Facile est demonstratu.
Nullo quoque negocio demonstratur huius problemacis
converlum, nempe ex dacis figura alicuius quadrarura et
Grauiracis cenero; Colidi alicuius rocundi ad exlindrum dacit
proportionem, ee eius centrum grauiratis, InUENITE.
P ROP. 23. Z II F O R F. M A.
Si cylindricus rectus exictens suxer qualibet ficura, secetur plano
quilibet truncus huius cylindrici erit ad solidum rocundum ora
tum ex ejus base rotata circa communem sectionem baseos (sopus
est) producta ex plani secantis, ur alticudo cylindrici ad circume
ferentiam circuli, cujus (emidiameter est radiusrotationis.
Tcerlindricus rectus ABDC super figura quacunque D
aCF, qui sececur plano quocunque KLAM, ita rE COmmU;
AACab Blada  b and et bB BdlCOS CL PlAMuM seCeC II
recta
etectio piu ueoen araa CtC. PIO

## Folio 49 — 1047377675:0065
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000065.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
U
et
Blat
Ad
rectaKP, e planum AB in recta MN: ee a puncto quolibce
recte IKnempeL, ducatur eidem I_ perpendiculare planci
OLP, Tecans plana IKMN, DF C normalirer inrectis OL, L
P; licque perpendicularis in L. P recta OP. Supponimus hic H
Lesc axemrocacionis; de rectam P L. illinormalem, appella-
musradium rocarionis. dicotruncum cxlindrici RDDC eNC
ad Colidum rocundum oreum exrocatione AgurEDF FC ciri
ca IR axemrocarionis, reoP alcicudo cxlindrici ad circum.
Ferenciam circuli, cuius Cemidiamerer es radius rocarionis
L. P. perbalem DE FC ducacur rbiliber recta P L, a ba lcos
circumterencia verinque terminata in L ex F, quae produccas
axi rocacionis normalicer incidat in punceo V: 2 punccis F, F,
excirentur perpendiculares ba(eos plano F: HI3 F.Cr, d plano
fecante terminacae in HI de C, qua necessario (une in superA-
Cic crunci ob erlindricum recrum, du-acurque VHrectar
qua necessario exictie in IK MN plano sccance: manifectum
CA eriangula OLP, TTEV, recrangula ad P _ F (cum habe +F
ansulosOLP, HIEV, aequales inclinacioni plani secancis lR
MN) esse similia; de ducca recra CV, ob eandem racionem
Similia sune eriangula HIF V, GFV, cumque C F SC paraIleIIA
recta HIE, de FF in direcrum F. V: Coincidenerecrx CIV, FIV
in rnam receam plani IKMN, cricque CII F. F communis in-
tertectio ploni CiFV, plano OP L parallellis cum cruncocy.
lindriciRDDC: pacec ergo OP ad PL. ese, VrHIF ad FV; de
ideoreOP ad circumferenciam circuli cuius lemidiamerer P
Lica LTF ad circumferentiam circuli cuius CemidiamererF
V; de re OP ad circumterenciam circuli cuius lemidiamerer
P L ica (reliquos rerminos in eandem alcicudinem, nempe
lemissem rectae FV, ducendo) criansulum HI F. V ad circu-
lum cuius lemidiameter P V: eodem modo demonctracur
ese, re OP ad circumferenciam circuli, cuius semidiameter
DL, ita criangulum CFV ad circulum, cuius lemidiamerer L
V: est igicur eocum criangulum G FV ad torum circulum
cujus lemidiamecer I V, ica ablacum eriansulum HF. V ad
abla-

## Folio 50 — 1047377675:0066
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000066.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
O
ablacum circulum cuius lemidiameter PV; de proinde in eg
dem racione erie relictum crapezium CF FFI ad reliceam ara
millam circularem genicam ex reuolurione recex FP circa
axem rocationis TK, nempe inrarione OP ad circumferen-
eiam circuli, cuius Cemidiamerer L. P: acque haec proporcio
eodem modo demonstratur de omnibus rectis ductis in b2-
sCDF F C, quae (A opuS es) producae, in exem rocarionis L
K normalicer incidune; acque ex omnibus iltis rectis conAa-
cur ipta basis DC; ex omnibus erapeziis super ictis rectis de
Teripeis conAacurerunCUS RODC, d ex omnibus ormillis ab
iltarum rectarum reuolucione genicis, conAaeur (olidum ro.
cundum genicum a reuolucione Ba(eos circa axem rotatio-
nisIR; de proinde verna ancecedencium adrnam conseque.
ciumnimirum OP alcicndo cxlindri ad circumterenriam cir-
culi cuius semidiamerer PL radius nemperocationis, ica
omnes ancecedences, nimirum omnia crapezia, hoc est, cru,
CuSRGDC, ad omnes consequentes, nempe omnes armil-
las circulares, hoc est, Polidum rocundum orrum exrocario
nehgurae DC circa exem IK, quod demonstrare oporruie.
Hloc cheorema eodem modo demonstratur de erunco su-
periore, s Ecura AB concipiacur rocari cirea rectam MH.
Patet ex demonstrarione truncum RODC de Colidumro
tundum orrum ex reuolutione Ba(eOs DC circa aZeMFOTA.
tionis IK, esse quancieaces magnicudine _ gravicare analo.
Ba5, quoniam eadem proporcio quae demonstratur incer in-
cegras eodem modo demonstrarur de carum parribuspro-
porcionalibus.
In sequencibus nocandum (quando loquimur de Tuperh
cie cylindrici vel crunci) nos incellisere solam superticiem
sinc basibus; hoc est nunquam contideramus Aguras quae
sune exlindricibases, nec communem sectionem plani cy.
lindricum secanris.
2

## Folio 51 — 1047377675:0067
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000067.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
it
C
A
PXOP. 24. THFOAPMA
.
Eildem positis, quae in antecedente: superficies trunci erit ad super
ficiem soliditorundi orti ex ejus baserotata circa communem (e-
etionem baseos siopus est) productaees plani secantis, et altitua
docylindrici d circumferentiam circuli cuius (imidiameter est
paratio int eadem sicur in ancecedentes did
co supcenciem erunciR ODC esse ad superticiem solidi
rocundi orti en LOEDEIONE AGUrR DE FC CIFCA TK AXCM FOCA-
tionis, et oP alcicudo cylindrici ad circumferentiam circuli
edus lemidiamrecer estradius roracionis L. P. in anteceden-
ce demonutoum est OP esse ad circumterenciam circuli cu.
justemidiumeler PL., ve IIE ad circumferentium circuli cu-
jus lemidiaer FV: acque haec proporcio eodem modo
deonstracur de omnibus rectis in superhcierrunciR ODC
ed darem BL FC perpendicularibus, ad omnes circumteren.
cias circulorum ab earum punctis intimis in circumrocacio.
ne descriptasi atque ex omnibus illis rectis condatur ipsa su-
perticies trunci, e ex omnibus circumterenciis circulorum
ab intimis rectarum punctis seu a baseos ambiru descripeis.
consarur superticies Colidi rocundi orri ex rotatione baleos
circa exem IK; ee ideo verna ancecedencium ad vnam con-
lequencium, nempe OP alcicudo crlindrici ad circumteren.
tium circuli cuius lemediamerer elt LP radiusrocationis, ica
omnes ancecedentes, hoc est, luperticies crunci RQDC, ad
omnes conlequentess hoc est, luperticiem Colidi rorundi or-
ei exrocatione ba(eos DEFC circa axem rotarionis IK, quod
erac demonstrandum. Hoc eriam cheorema demonstrarur
eodem modo de rrunco superiore s Agura AB conCiPIATUE
rocari circa rectam MII.
Pacet ex demonstracione superticiem trunci RD C de
superticiem Colidirorundi orri exrocarione baleOs D E FC
CITCa
radiusrocationis.
SUra _ pE

## Folio 52 — 1047377675:0068
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000068.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
circa axen Locationis IK. esse guancirares magnicudine d
Grauicare analogas, quoniam eadem proporcio quae demon
hracur esse inter rocas, eodem modo demonstraeur esse in
cer partes carum proportionales.
e A O P. 25.  _ F O R F M A.
Eisdem politis, supponendo anculum inclinationis; Plani secantit
cum base cylindrici (sopus est) producta, esse semirectum: Dica
quadratum semidiametri circuli aequalis superticiei (olidi rotun
di duplum esse superficiei trunci.
Sc enim ex praecedente, re alcicudo cylindrici ad circu-
a Ferenciam circuli cuius Cemidiamecer eA radius rOcan
cionis, ita superhcies crunci ad superticiem Polidi rocundi s
in hoc aurem casu, quando angulus inclinarionis eR Pemire
aus, altirudo cylindrici es aequalis radio rocarionisi d ideo
in nostro casu; re lemidiamerer ad sui circumferentiam, ica
superficies erunci ad superficiem Colidi rorundis ve AUFeM
Temidiamecer ad circumferenciam ica semistis quadrari se-
midiameeri ad circulum; de ideo re lemistis quadrari semi
diameeri ad circulum, ita superticieserunei ad superhciem
Folidi rocundi; e convercendo e permutando, circulus eAt
ad superficiem Colidi rocundi ve semissis quadraei semidi-
mecri ad superticiem erunci; se d circulus supponitur xqua
lis superticiei solidi rocundis de isicur Temistis quadrari lemi
diameeri illius circuli aequalis elt superticicitrunci; et ideo
quadracum Pemidiametri est duplum luperticiei eruei, quod
demonstranaum CraE.
Duxe praecedenres propolitiones eodem prorsus modo
demonstraneur de superhciebus rocundis genicis exrocus
tione rnius vel plurium linearum quarumcunque sive recta
rum, curuarum vel mixearum, Aguram non claudentium:
semper enim ad superficies exlindrisirecti sup er linea vel li
BCL5
auo
a
Pus
etu
con

## Folio 53 — 1047377675:0069
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000069.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
et
Otd
10
neis a plano refectass superticies rocundxe ex linee rellinea-
rum roracione geniex prae dictashabentrationes.
P R O P. 26. F HI POR F M A.
isdem positis quae in antecedente; Dico cubum semidiametri spha
e
ra aequalis solidororundo esse ad truncum verria ad duo.
Scenim (in hoc calu) eruncus ad Colidum rocundum re
 Cemidiameter ad sui circumterentiam, hoc eA, ve du-
plum quadeaci Cemidiamerri ad quadruplum circuli, hoc est,
ve 2 cubi semidiamceri ad sphaeram: es isitur eruncus ad
Tolidum rocundum, ve 2 cubi semidiameeri ad spheeram; de
convertendo _ permurando, Polidu rocundum est ad sphae-
ram verruncus ad 2 cubi semidiameeris sed sphera supponi;
cur aequalis solido rocundo; s ideo 2 cubi semidiametri
Sphaerae est aequalis crunco, ac cubus semidiamerri ad sui 2
racionem Habet quam 32d 2; e ideo cubus lemidiamerri
phaera ad cruncum eandem haberrationem, quod demon-
Arandum erat.
P R OP. 27. ZEI F O R F M A.
Si duo cylindrici recti quicunque aequialli, lecentur a planis qui-
buscunque, onusquisque in duos truncos; proportios solidi rorun-
diorti ex rotatione baseos cylindrici circa communem baseos (s
opus est) producta cum elano secance intersectionem, ad solidum
Forundum orrum ex simili alterius cylindrici baseosrotatione, ett
composita ex directa proportione radiorum retationis es directa
proporcione truncorum cylindriet inferiorum.
Mo
anisu
Dit
TMiB
ire
91
e1
M
jel
Ii
14
131F
de
0d
DEd)
IM

## Folio 54 — 1047377675:0070
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000070.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
Ine duo cylindriei recti ae quialEI ABC D, NMOLXL, 642
1
Cibus DC, X Y Z, insstences, a planis incersecti, vnu( (D
quisque in duos truncos; nempe crlindricus A BC D sic in 
cersectus a planOKHIFO in cruncoS AB43, 43 DC, e cylin. Ir
DriCUS NMOTXZ aplAnO PSVR in ErUnCOS HNO7653765 r
Z X X. Sinc plani HIFCK cum balium planis cylindrici paral. Aio
lellarum (si opus est) productis, DC, OB, incersectiones,
rectae RHI, CF; sneque planieSrR cum planis balium crlin
drici parallellarum AMO, Z. XY, (A opus est) produsis, in:
lun
idP
lio
cerlectiones, rectae RP, V S. Sintque plana rectis F C7, SV
normalia, quae plana secancia intersecane in rectis IF, OY, et
plana balium DC, Z. XY, (G Opus CA) producta in rectis L. L,
ecT; lincque anguli IL. F, Oes P, recti. Manifectum eA Cx hu
Iu5 23, PObeis HFCK, DS VR, planis secantibus _ CF, VS+
luc
rocarionis axibus, L. F, es P, esse rocationisradios. Dicoisi
cur Colidum rocundum orrum exrocarione AgurX D C circt
C Fy ere ad Polidum rotundum orcum exrocacione tigurx L

## Folio 55 — 1047377675:0071
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000071.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
Xt
3V
DI
EC)
59
Epa
1O1
XY circa VS, in cacione compolies ex proportione crunci 34
CD aderuncum 567 YXC ee ex proporcione radii rotationis
L.E ad radium rocacionis ex P. Rario Colidi rocundi orri ex R-
Bura DC ad solidum ortum ex Rgura Z. X Y, eA compOIIEA,
exratione solidirocundi ex D C orri ad eruncum 34 C D, Cx
racione erunci 3 4 C. D ad truncum 567YX2, d exratione
crunci 567YXL ad Colidum rocundum ex Z. XY orcum; led ra.
eio Colidirocundi ex DC orri ad eruncum 34 CD est aequatis
rationicircumterenrie circuli ex Pemidiameero L. P delcripei 25
ad IL. alcicudinem cylindrici: de rario crunci 567 YXP. ad (0. huius
lidum rocundum ex XXZ. Orrum est aequalis racioni 1 seu
IE alcirudinis cylindrici ad circumterencium circuli ex le-
midiamerro Tes descripri; ee proinde racio solidi rocundi
orci ex DC ad Colidum rorundum orrum ex . XY eAt compo.
licas ex racione trunci 34 C. D ad truncum 567YXL, CKra.
cione circumterentix circuli ex semidiamerro L. F descripei
ad rectam II, de exrarione rectae IL. ad circumferenciam cir.
culi ex Cemidiameero Te descripei; ledhae dux poltremae ra-
tiones componune rarionem circumferenrix circuli ex lemi.
diamerro L. F. delcripei ad circumferentiam circuli ex semi-
diameero Te deseripei, quae eadem est cum rarione lemidia
merri LE. ad Cemidiamerrum Te: ee proinde Colidum rotun-
dum orrum exrocarione fgura DC circa axem LC est ad (o-
lidum rocundum exrocacione Agurx X Y Z. circa axem V Sin
ratione compolica ex proporcione crunci inferioris 34C Id
aderuncum inferiorem 567FXZ, e ex proporrione radiiro.
cacionis E L ad radium rocationis Tes, quod demonctran.
aUM CTAE.
C)
15
PR O P. 28. T H E O R F M A.
Fisdem posuis qua in antecedente; Proporrio suxerficiei solidirotun.
di orti ex rotatione baseos cylindrici circa communem baseos (st
opus est) produlta cum plano secante intersectionem, ad superfi-
ciem
l

## Folio 56 — 1047377675:0072
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000072.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
24
huius
5C
eiem solidirotundi orii ex smili alterius crlinarici baseos rota
tione; est composita ex directa proportione radiorum rotationis e
directa proporrione superficierum truncorum inferiorum.
curae ee praeporario sine exdem scur in antecedence.
Dico superticiem Colidi rorundi orti ex rotatione Aou
ra DC circa C F ese ad superticiem Colidi rocundi orei ex
rocatione Agura Z XY Circa V Sin raLIONE COMPOHEA EX PrO
portione superhcicierunci 34CD ad superkiciem erunci 567
YXI _ ex proporrione radiirocacionis L P ad radium rOca
tionis erT. Racio superticiei Colidi rocundi orti ex Agura D
Cad superticiem Colidi rotundi orti cz HourarX Y est com
Polieas exratione superticiei solidirocundi cx DC Orri2d (u
perticiem crunci 3 4C D, exracione luperhcicierunci 34C
Dad supertciem erunci 567ZXZ, Q exratione superticici
trunci 567ZXL dd luperficiem solidirocundi ex Z X Y orri;
sed ratio superhcici solidirocundi ex D C orti ad luperticie
crunci 3 4C D eR aequalis racioni circumterentiae circuli ex
lemidiamerro L F descripei ad IL. alcicudinem cxlindrici: et
rario superficiei erunci 567 YXL ad superhciem lolidirocun
di ex YXL orei eR aequalisracioni des seu IL alticudinis c)
lindrici ad circumferenciam circuli ex lemidiamerro T ex de
scripei; e proinde racio, superticiei solidi rorundi orri ex L
C ad supersciem solidirorundi orei ex Z. X X, Cs compOsI
exratione superficiei trunci 3 4C D ad superACICM ErUNC
567XXZ, exrarione circumterencix circuli ex lemidiame
ArO LE descripei ad rectam IL, ee exratione rect ae l L ad cir
cumterentiam circuli ex semidiameero T_; Ped hae dux po
Aremae raciones componune racionem circumferenria cis
culi ex Comidiamerro L. P descripei ad circumferentiam cit
culi ex semidiamerro Tes de scriptis quae eadem cA cum ra
eione semidiameeri L P ad semidiameerum Fe: e proind
superticies solidirorundi orti ex rocarione AguTa D C cIrCI
aXem FC est ad superficiem Colidirocundi orti exrocatione
Aigu.
c
ita

## Folio 57 — 1047377675:0073
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000073.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
51
DI
d
t
U
el
np
FGuex XYL cirCA axEM VSInPATIONO COMPORCA; ex PFOPOPA
tione suverficiei eronci inferioris 34 C D ad superhciemerui
ei inferioris 567 Y X2 e ex proportioneradiirocacionis F L.
ad radium rocacionis Ter, quod demonstrandum erat.
HIoc Theorema ctiam locum habee eodemque modo de
monstratur in supertciebus rorundis genitis a rotatione li-
nex vellinearum quarum cunque tiguram non comprehen.
dencium.
P RO P. 29. Y HI E O R F M A.
Si super qualibet sicura circa axem intelligatur exlindricus rectus.
ita sectus a plano in duos truncos, ve planum per oppositarum cy
lindrici bascum axes ductum, siat plano secanti normale: truncus
onus erit ad truncum alterum reciproce, ut partes radiirotatio.
nis resecta a centro eranitatis ficura.
Vver qualibet ABUFR L RM cirCL LXeM K N sic cplindri-
a CUS RECtUS ABDMLK sECtUS IN ErUNCOS ABDZYZ, ZYZ
XLM, 3plANO E TV C ad planuM ACNK, per oppolicarum
exlindrici balium axes AC, RN, ductum, normali: AINEP, O,
cenera gravicacis balium oppolicarum, quae iunsantur recta
PO. Producatur planum (ecanSi dOnCCAXES AC, RN (A OpuS
eA) productos incersecet in punctis F,S; de in co(dem axes
(E OpuS CH) produstos line perpendiculares FL, SO; mani.
Feccum eA FIS Desse Parallellogrammum rectangulum, icem
FPesse cylindricialcicudinem, ee IS rotationis radium, quip.
Dead incerfectionem plani secancis ec ba (cos L. RE MI nemDC
rectam TV es perpendicularis, quoniam ducieur in plano F
2ST, quod verique plano ee sccanci dc b2 (c05 L. ICM est nOr.
male. Dico eruncum ABDZ Y Z eNC ad cruncum 2 YL
MLK re reciproce IO ad 05. amediis punctis rectarum
FI, IS, nempe H, R, ducantur rectA HIS, RF, necnon
TR sCCANS O P in X; crune icaque inter se Parallella d
aequa

## Folio 58 — 1047377675:0074
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000074.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
50
aequales LB3 PO3 33 HCM LQ, HIR, IS, item FR, ISS
Ouoniam FR bitariam lecae QS, bitariam quoque secobie
in criansulo FQS omnes rectas ip ( QS ae quidiltantesi ee pro;
inde bitariam secabir omnes diamerros rectangulorum in
ETUNCO ABDZ Y2 2 PlanOFIS Qnormalicer seCatOruM; de
idcoeransibit per centra gravicaris omnium corundem re-
etansulorum, cumque iple eruncus consetur ex omnibus
ictis rectanguliss idcirco cransibic eriam recta FR per cen-
crum staunuli iao Ccunch HocTapPoMaca CllC 3. Code
modo demonstratur in HISeNe cenerum gravitaris erunci LL
MEKL: cum erso X medium punctum rectae OP AIECeHErUM
prauicaris corius cxlindrici; (ia 3 per X producatur recta 3 A
donec rectam IIS incerlecer in 4) exis 4 cOMErum GraVICA,
E15
115
lid
1
U
1l
le
ille
ee
bi
d
Or
lec.
dp
dr
il

## Folio 59 — 1047377675:0075
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000075.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
ibl
e
db
in
et
LL2: d Quia erianguIAZR3, XIIq, Tunc Gmi-
alellaSkF, HIS, CAVEX 4 ad X 5 ica XII ad X
105; lea vEX4 2d X3 ita truncUS ABDZ YZ
ad truncum M LI2; e proinde UE ErUnCUS ABDL.Y2 ad
2 itareciproce IO ad OS, quod demon
eistrunci Y
lia PrOPECFF
R, hoc eAt, 10
truncum YLK
atrandum bino
CONSEOTARIVM.
eComponendo FOTUS CylindrICUS ABDML R
A Eltad unicum inferioren YZ ML R2 veradiusrocatio.
nis 1s ad diltamtam incer cenerum granicatis sgurae et axem
utdem nempeos.
P R O P. 30. Z HI F O R F M A.
Fildem postis quae in antecedente; superficies trunei onius est ad su
pciendrunci alterius reciproce, et parres radi rotationis
resectae a centro crauitatis perimerri fieura.
Adem Cic Agura de praeparatio, quae in ancece denres hoc
 TOlUM CRCEpEO, Quod O, P, punetA nUNC SUPPONANEUE
elle contra gravicaris perimerrorum balium opposicarum.
Dico superticiem erunci ABD Z Z2 cNC ad supersiciem erUnCI
2YZMLK, ve reciproce 10 2d 05. A mediis punctis rectarum
El. OS, RempC FI, R, dUCaMEUF reCtX FIS, RF, necnon IIR se-
Cans OD in X; erune iesque incer se parallelsae ee aequales re-
EtX FL. PO; 2S, item FG, HR, IS, ItEM FH, FIS. Ouoniam FR
bitariam secac 1, bifariam quoque secabit in trianeulo F
Sonnesrectas ipsi S aequidistantes, et proin de bitariam
lecabic omnes diamerros rectanguloru in EruNCO ABD ZX3
2plono FIS Onormalicer secatorum; ee ideo transibic per
omnia cenera grauicacis oppolicorum lacerum basi cylindri-
ciperpendicularium rninscuiusque ex illis rectangulis, quo
1L 2
BtaM
rocationis e

## Folio 60 — 1047377675:0076
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000076.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
de
niam in e ae eA cenerum gravicatis lacerum op
polcorum; cumq; ipla trenci superticies consetur ex omni
bus iltis laceribus oppolicis basi cxlindrici perpendiculari
bus idcircoeronsibit etiam recta FR percentrum grauieatis
Superhiciei ipliuscrunci, hoc supponatur 3: codem modo de-
monstratur in HIS esse centrum gravicaris superticiei trunci
YZMLK2; cum ersox medium punctum rectae OP licceneru
Erauicaris corius superticici cxlindricis ha3 per X produca-
currecta 3X4 donec rectam HISincerlecet in4, erir 4 cencru
Pravicaris superficiei trunci YZMLK2: & quiatriangula XR
3, XII4, Cunc similia propcer paraIlelIaSRL, HIS, CAVFX4 ad
5 ita XHI ad X R, hoc cA IO ad OS; sed veX 4adX3 ica (1r
perticiestrunci ABDZY2 ad superEciem rruncI YZ MLK2; et
proinde, ve superticies rrunci ABDZT2 ad superkiciem erun-
cirZMLKZ, ica reciproce IO ad05quod demonstrandum
eTac.
CONSEOTARIWM.
Tcomponendorora superticies cxlindrici ABDMLK
 eA 2d superticiem erunci inferioris YZM LK2 veradius
Locacionis ISad incercepcam incer cenerum gravicaris peri.
merritigurae et axem rocacionis cinsdemnempeOS.
Demonctrantur quoque haec eodem modoin eruncis insi.
Rentibus linexe vel lineis quibuscunque figuram non com
prehendencibus, si modosintad aZCm.
Dux praecedences propoliciones lunc eriam vere in omni
Cylindricos sedincricara es constructio generali demonstro.
cieniinteruiens, ec ideonoarum incencum alio modoenim
CemUS.
eROP, 3T. XH EORE M A.
Si sint ana M  quaecunque circa axes, qua sic rotentur ut axesro
tationis sint feurae oniuscuius que axi normales; ratio unius so-
lidi orsi ex tali retatione ad aliud solidum ex eadem genitum
C07.

## Folio 61 — 1047377675:0077
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000077.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
nOt
MII
Ila
ieat
Ddb
UAI
AE
HC.
A
25
4
12
23
EPH
1a
At
10
DM
AIa
6+
componitur ex ratione directa fieura ad freuram; ee ex ratione
directa intercepta inter centrum cravitalis es axem rotationis
unius furae ad similem interceptam alterius feura.
 Inc duE ABUrE quECUnqVe ABC, HIIL, Circa aXeSBF, IN,
aquerocentur circa rectas FC, MO, axes figurarum Cli
Opus cst) productos BF, IN, normalicer lecances in punctis
F.N sincque Fgurarum ABC, HIIL, centra grauitatis D, R.
Dicorationem, Colidi orri ex Rgura A B C rocata circarect a
E: C ad Colidum orrum ex Agura HIL L. rocaca circa rectam M.
O, componi ex ratione Apure AB C ad Aguram HI L X CX
racione DE adIH. Super Aguris ABC,3 FIL L incellisaneur
Cylindrici rectiequialei lectia planis rranscuntibus Per FO
A.O, rectas, rnusquisque in duos truncosnempe superio.
rem ee inferiorem. Racio solidi ex AB C orciad Polidum ex
HIIL orcum, componitur exratione crunciinterioris cxlin-
drici super ABC. ad cruncum inferiorem cy lindrici super H L
ost
15)
AM
L, ee exratione radiirorarionis Agure AB C ad radiumro-
cacionis AgureHIIL; led eruncus inferior cxlindrici luper A
BC eA _d truncum inferiorem exlindrici super HIIL in FZ-
eione compotira, ex ratione crunci inferioris cylindrici su.
per ABC ad corum eslindricum super ABC, exrationeto
TIS
UI

## Folio 62 — 1047377675:0078
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000078.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
62
eius exlindrici super ABC ad eorum cxlindricum super HIII.
ee exratione corius cxlindrici super H(I. ad eruncum lui in-
Feriorem: Sed eruncus inferior cylindrici super ABC eA ad
torum cxlindricum, ve FD adrocacionis radium AgurE ABC
ex consectariohuius 29 converrendo, et cylindricus super
ABC est ad cylindricum superHIIL ve Agura ABC ad Agu-
raM ETIL, icem cylindricus super HTIL est ad eruncum Cuum
inferiorem veradiusrocacionis Agure HIIL adRH, exconle-
etariohuias 29; ee proinde rario erunei inferioris exlindrice
super ABC ad eruncum inferiorem cylindrici super HIIL. Co
ponitur exratione rectae D Sad roracionis radium Agurae A
BC, exratione Rgurae A B C, ad Aguram HII L, e ex rarione
radiirorationis AGUTA TTIL ad rectaM KN: ee ideorario (0-
lidi orri exrocarione Agurae ABC ad solidum ortum ex rO.
eatione ASurX HIIL componicur, exracione AgurK ABC ad
Ecuram IIIL, ex racione rectae D Iad radium rorationis A-
Sura ABC, exratione radiirorationis Agurae ABC ad radiu
rocationistiourae HIIL, e exracione radiirocacionis fioura
TIIL ad rectam R N; Sed eres postremae rationes cOmpOnURE
rationem D F adKH; d igicurratio (olidi orti ex rocarione
tigura ABC circa FC. ad Colidum ortum exrocacione Agura
HIIL. circa MO componitur exratione Agure ABC ad Agu
ram HIL, d eZ ratIOBC InFETCCPCR inter CenEruM GPaUITATIS
figurae AB C e eius axem rorationis, nempe DF, ad incer
ceptam incer cenerum grauiraris Esura HIIL. et ciusdem
axem rocacionis, nempe KH, quod demontrare OPOTTUIE.
P R O P. 32. Y H E O R F M A.
eisdem positis, quae in antccedente; ratio, suxerficiei unius solido
erri ex tali rotatione ad superficiem alterius solidi ex eadem ce-
niti, componitur ex ratione directa perimerrorum fieurarum e
ex ratione directa interceptarum inter cenrra cranitaris perime,
hrorum ex axesrotationis.
Fad

## Folio 63 — 1047377675:0079
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000079.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
edem sine siguex ee praeparatio quae in anrecedentes
L hoc Tolum excepto, quod D, IE, punSta, nunC SUPPOnE
cur elle centra gravicaris perimetrorum hgurarum. Dicora.
cionem superticiei Colidi orri ex Agura A B C rOEAEA CirCA re-
etam F C ad superticiem solidi orti ex hgura MIL. FOEaTa CIE.
Ca rectam MO, componi ex ratione perimetri ABC ad peri-
meerum FTIL. _ exratione DF adK N. Super AgurIS ABC,
FTIL, incelligantur cylindrici recti aequialeis lecti a planis
eranscuntibus per FC, MO, rectas, rnusquisque in duos
cruneos, nempe luperiorem de inferiorem. Ratio luxertciei
Tolidi ex AB C orti ad superticiem Colidi ex HTI L. orci, com.
vonitur ex racione superticiei erunci inferioris erlindrici
Super ABC ad supertciem erunci interioris cylindrici super
HIIL, de exratione radii rocacionis Agura AB C ad radium
rocationis figurae HIIL; Eed superticies trunci inferioris cy
lindrici super AB C es ad superticiem erunci inferioris cy.
lindrici luperETIL in racione compolica, exracione (uperti.
cicierunci inferioris crlindrici (uper ABC ad coram luperti.
ciem crlindrici super ABC, ex racione corius superticiei cy.
lindrici super ABC ad tocam superficiem crlindrici super II
TL e exratione eorius superticiei cxlindrici superFELL ad
Tuperficiem crunci sui inferioris: ed superficies trunci inte.
rioris cplindrici super AB C est ad cocam superticiem cytin-
drici re FD ad rocacionis radium Figure ABC ex consectario
huius 3o converrendo, ee superticies crlindrici super ABC
es ad superticiem cylindrici super HIILs reperimeter ABC
ad perimeerum HIIL, icem superticies cxlindrici luper HIII
Ck ad superticiem sui erunci inferioris re radius rocacionis
EigureHIIL. adK N; ec proinderacio superficici erunci inte-
rioris cylindrici super ABC ad superticiem crunci inferioris
Cxlinorici superHIE componitur, ex ratione rect E D Fad ra
dium roracionis fisure ABC, ex ratione perimerri ABC. ad
Perimerrum FTIL de ex ratione radiirocationis figure FIIL ad
rectam H. M; et ideoratio superlisiei solidi orei exrocarione
id
t
A
ut
s
sut
3Bta
d
id
eio
0
X
C
IiS
1d
e
AH
ril
Ed
AE
uit
M

## Folio 64 — 1047377675:0080
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000080.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
64
Figure ABC ad superticiem solidi orti exrocarione figure HI
IL. componitur ex rarione perimerri ABC ad perimerrum HI
IL exratione recte D Fad radium rorarionis FisurE ABC,
ex rarione radiiroracionis figure ABC ad radium rocario-
nis Fioure FIIL, ee ex racione radiirocationisfigure HIIL ad
rectam KN; Pederes postreme rationes componune ratione
DF adK N; _ igicurracio superficiei solidi orri exrotatione
Figure ABC circa F. C ad superficiem lolidi orri ex rocarione
Fioure FTIL CirCAMO componitur ex rarione perimerri ABC
ad perimerrum HIIL _ exracione incercePEE inter cenerum
pravicaris perimeeri AB C d eius axem roracionis, nempe
DF ad incerceptam incer cenerum granicaris perimeeri HITL
ee eiusdem axem rocacionis nempe KH, quod demonstran.
dum exaE.
Hec quoque locum habene, eodemque modo demonstrz:
cur in superticiebus rocundis geniris a rocacione linee vel
linearum quarum cunque fisuram non comprehendencium
e ad axem exiltencium.
PROP. 33. YH EOR P M A.
Si sint duae sieura quaecunque, quae rotentur circa axes quoscunque,
ratio onius solidi orri extali rotatione ad (olidum alterum ex ea
demcenirum, componetur ex directaratione ficurae ad Rcuram;
es ex directaratione interceptae inter centrum eravitaris ex axem
rotationis unius ficura ad similem interceptam alterius ficura.
O TnC dux AGUITX QUIRCUNgUE ABC, NQ P, GUX FOTeNEUX
circarectas F F, X4: lineque carum contra gravicacis
D,R, C quibus in axesrocationis FF, Z4 demittantur rectae
perpendiculares DC, RZ. dicorationem solidi orti ex houra
ABC rocata circa rectam P. F ad lolidum orrum ex Aguri
N AP rocacacirca rectam Y4 componi ex ratione AgUIFR
ABC, ad Aguram NOP, e exratione DC adRL. ParaIIeIIX
ec

## Folio 65 — 1047377675:0081
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000081.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
pet
M
BC
1
Ld
101
101
O1
B
PHIB
M)
e
Pd
iul
aas ABC, t
Tansences B Le circar
CCa LL _ALBBCOHCI.
pianeur reuoluusuta bC Clb donec ex alcera axium
Paree planum accingenres, efficiane Aguras BL.M, QIX, Cbi
spisa qualess similess de 2d rectas BI, FF; 223 24, candc
Pror (usposicionem habences: sine Agurarum BL. M, GFX3
cenrra Grauicatis, O, Vi ducantur in rectas F.F, X4, Perpen-
diculares OI, V3, iunsantur quoque rectae DO, RV, rectas
BFI, Cincer(ccante in punctisi, S: manitestum est pum
Eectis DO, RL duCanEUFrECX BFI, O
ssibi
X
MM
Ab
b0
FUI
aCt
e
91
UI
11
1
etum R esse cenerum grauiearis inceorae Agurae B A C BL. M
Circa axem BTI, ItEm pUMCTUI S CNC CEMErUM OFAMITaFIS R-
BUITK INLESTR MHPOTX cirCaaxeM 9Z; Pacet quoquerectas
DOKHI, OI; ItOM RL, S2, V3, esse incer le aquales. Ouonia
ABUTX BACBLM, ONPOTX sune circa ares BFB 12, axibus
rocarionis E F, T4 normales; igitur solidum rocundum or-
cum ex rotatione AIgurR B A C BL M circAreCtaIM FF est ad
Tolidum rotundum ortum ex rocatione Agura ONP OTX ii
racione compolica exratione Agurae BAC BL. MI ad Acuram
CHPOTX ee ex racione XHI ad S2 per huius 3r; sed solidum
Ortum ex RourA B AC. BLMrocata CirCA P F est duplum Coli-
diorci exsioura BAC circa eandem F. Froraca; irem Colidum
ortum exfgura CHP OTXrocca circa rectam Y4 eA duplu
(0-

## Folio 66 — 1047377675:0082
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000082.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
5C
Tolidi orti ex tioura OH Procara circa eandem Y 4; ABUra
quoque BACBLM dupla est Agurae B C, _ AGura ONP
TX Aourx ONP; cumque dimidia sine in eadem racione cum
Suis duplis; solidum rocundum orrum ex Agura ABC rOcaTA
circa rectam F F erie ad solidum rorundum orcum ex hgura
HOProratacirca rectam Y4 in racione composira exratione
Agura ABC ad figuram NOP _c ex rationCK HI adS 2, Ceu I
C ad RZ, quod demonstrare oporruit.
e et
h _ C  E.50d 
1
CONSECT A RIV M.
Ine sequitur, E cenera gravicaris Agurarum a rorationis
aD axibus aequalirer distene, Colida rocunda ex Ripurarum
rocacione genita ene in directararione iplarum tgurarum,
quod hfgurae ipix sine xequales, sequitur Colidarocunda ex
carum rocacione genica esse in ratione directa intercepta-
rum incer cenera gravicatis de rorarionis axes: quod sincer.
cepiae linc aequales de figurae criamli inter se dissimillime,
Colidarorunda ex illis orta xqualiaCrUnE.
S C HI O L IV M.
X dictis manitestum est inter duas quascunque fguras
cresesserationes, nempei hgura ad figur ams solidiro-
cundi exrocatione rnius tisurae genici, ad Tolidum rocun
dum exrocatione alcerius figurae genitum, de incercepre in
cer cenerum gravicacis e exem rocacionis rnius Egurae ad s
milem incerceptam alterius Agures c quibus duas dataster;
ciam ienoram semper pacetacere.
FR OP. 34. Z HI F O R P M A.
Si sint duae fieura quaecunques quae rocentur circa axes quo (cunque; ra
rio superficier unius solidr orti ex tali rotatione ad superficiem al
terius

## Folio 67 — 1047377675:0083
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000083.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
derius solidi ex eadem ceniri, componitur ex directa rarione perio
metri ad perimetrum  ex directa ratione intercepta inter cen-
trum gravitatis perimetri es axem rotationis vnius feura ad 
milem interceptam alterius feura
Enc duae Egurx quae cunque ABC, N OP, qua rocentur
a cirearectas EF, Y4: (incque contra graricatis perime-
erorum D, R, a quibus in axes rocarionis F F, Y4, demietan-
cur recte perpendiculares DC, RZ. dicorarionem luperticiei
Tolidi orti ex Agura ABC rocora circa rectam F. F ad superti-
ciem Colidi orti ex Agura N OP rocara circa rectam X 4 COm,
ponis exracione perimeeri ABC ad perimeerum NO P e CX
ratIONEDC ad RL. paralsellae rectis DC. RZ ducanturreCtE
BII, 92, Rguras ABC, NOP, tangences in B, Q: de circa BHI.
Qu3 SCUFaKes concipiantur revolvi AGUEA AB C, ONP, do.
nec ex altera exium parre in idem plunum reuoluex Aguras
eHicianE BLM, OIZ, Cibi iplis aequales, similes, de ad rectas
BtB FF; 22, X4, candem omnino polirionem hibentes. Sint
perimeerorum BL MI, ZTL, cenrra grauieatis On V; ducantuE
in rectas EF, X4. perpendiculares OI. V3iiunsuntur rectae
DO, RV,rectaS BI 2 incerlecances in punctis R3 S; ma-
nifeltum es punctum K esC centrum grauicatis incegriperi.
metriBAC:BLMi elcque Figura B LCBL.M circa axem BFI; CO-
demmodo punctum Sest cenerum graviraris inreoriverime
eri FisurE OHPQTLcirca aXem C2iPAter quoque rectaSIdi
KH, OI, icem R2352, VZ, ese incer le aequales. quoniam fi
Sura BAC BLM, QNPOTA, lunccircaaxeSBHI, O2, axibus
rocacionis EF, Tq normales; isitur superficies Colidirorun.
dior ri exrotacione figurae BAC BL.M cirCa reCtAM L F elt ad
solid i rocundi Cuperticiem orri ex rorarione ABUrE QNPC
LX inrarione compolua exratione perimerri BAC BL. M act
Perimerrum ONPCTX e ex rarione KH ad 52; scd superA-
cies Colidi orti ex Figura BAC BLM rOrata circA P F. CA duPla, 32
superticiei Colidi orei ex tigura B AC rotara cirea eandem F huiusa)
LgIECM

## Folio 68 — 1047377675:0084
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000084.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
e
 icc luperticies lidi rocundi orri ex figura ON D OTX
rocata circaua Z 4 es dupla superficiei Colidi orri ex fi-
sura NP rocara circa eandem Y4; perimerrum quoque
BAC. BLM duplum es perimeeri B A C, e perimerrum
PADOTX PerimCEri a H P Choc es Si figurae se inui-
cem rangane in puncto Tolummodo; quod a le cerise-
rinc in rectalinea, oporcet imaginari aliquam distantiolam
incer fisurarum rniones, ve generalis fiac demonseratio )
cumque dimidia sinc in eadem ratione cum suis duplis, su-
perticies Colidirorundi orti ex Figura AB C rorata circarC-
Ctam F F erie ad superticiem Colidi rocundi orti ex figuraN
OProtara circa rectam Y4 inracione compolita, exratione
Perimeeri ABC ad perimerrum NOP e exratione KHI ad52
(Cu DO ad RL, quod demonArare opOrtuiE.
CONSEOTARIVM.
c
Inerequnur, si cenera grauieatis perimerrorum a ron
 dibus aequalirer distene, superticies (olido-
rum rocundorum exrocacione genitorum este in directara
rione iplorum perimeerorum, quod s ipla perimeera (nE
equalia superticies Colidorum rocundorum ex roracione
genitorum esse in ratione directa interceptorum incer cen
era gronicaris perimerrorum ee rorationis axes, quod li in-
cercepre linc equales de perimerra equalia, superticies (oli
dorum rocundorum semper ese Equules.
C II O L
LL
X dictisere manifectum est inter duas quascunque fi
suraSeres s esse rationes a cribus precedencibus
aellas nemel perimerri ad perimerrum, superticiei
Colidi rorunus ca olacionernius figure geniei ad superti.
eiem Colidi rorundi exrorasione alcerius fisure senici; de

## Folio 69 — 1047377675:0085
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000085.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
1l
1
e
a
d
et
DBb
s
A
eAt)
ist
ol
etit
in
cie
(t3
69
incercepse inter cenerum grauieaeis perimerri et aXem rOTA
tionis vnius figure ad similem incercepeam alcerius figurES
C quibus duas dacas cerciam ignocam Pemper PaFeFACerE.
Lodem modo demonstrantur hec omnia rniuertalicer in
omnibus, lineas vel lineis figuram non comprehendencibus,
ica re omnium demonstracionum seomecricarum hE lInE
maxime rnivertales.
P R O P. 35. TH F O A F _ A.
Omne solidum rocundum aequale est cytindrico recto cuius basis est sc
cura excuius rotatione eienitur solidum es altitudo circum-
ferentia circuli in qua circumuoluitur centrum
granitatis ficura.
Te Figura quae cunque AB cuius grauicacis centrum C:
D extigurae ABrocatione circa rectam D F. Fiac Colidum
rocundum, quod dico ese aquale cylindrico cuius ba.
(I5 AB figura _ alcieudo circumterentia circulis in qua cir-
CUIMEOEaEuE CenErum GravicaEiS C. Sic rectanGulum HICIKI
rEct
nguli HOKI
cuius ctaaISL
circa latus HiI concipiarur fieri cxlindeus, ee ex graviearum
1d

## Folio 70 — 1047377675:0086
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000086.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
23
70
ceneris C, L, inrorationis axes DF, HII, demitcaneur perpé.
diculares rectae CF, L. O, quae sunerocacionisrodii: maniter.
Aum est cylindrum genicum exrocatione rectanguli HIR cir-
CaHIaequalem esse Colido cuius basis eA circulus ex radioL
 de alcicudo FII, hoc est Colido cuius balis eA rectangulum
ex Iu in semicircumferencium circuli ex radio IK velToTam
circumferentium exradio OL. d alcitudo HI, quod idem elt
cum Polidocuius BasS es rectangulum IIR e alcirudo cir.
cumterentia circuli ex radio OL; Ced cylindrus exrocatione
FIK circa FII eK ad Colidum rocundum exrocatione AB cirCa
huius. DF. in rarione composica ex proportione Fisurae LIR ad tigur
ram ABd rectae OI adrectam F.C. seu circumterencia radii
OL ad circumferentiam radii F. C, aeque Colidum cuius ba(IS
TIK e alcicudo circum ferentia radii OL, seu crlindrus geni
Eus exrocatione figure HIK circa HII, CM ad Colidum cuius ba.
sis A B e alcicudo circumferencir radii E C in eadem rario.
ne; e ideo cxlindrus exrocacione tigure HK circa HIlest ad
solidum rocundum exroracione fisurae AB circa DFve idem
praedictus cylindrus ad Colidum cuius balis AB e alcicudo
circumterencia circuli ex radio F. C; & proinde Colidum ron
cundum ex rocacione fisure ABcirca D L aequale cs cylin
drico cuius balis A B e alticudo circumterentia radii L C3
quod demonstrare oporeuit.
P RO P. 36. T H FO R F M A.
Omnis solidirorundi superficies aequalis est rectaneulo cuius basis este
Perimeter feurae ex cuius rotarione sienitur solidumes alit
tude circumferentia in qua circumfertur centrum era
uitatis Perimetri fieura.
de Poes quae in ancecedence, sine cenera gravieatis
Perimerrorum ABurarUM HIR, AB, puncta L, C; dico
superticiem solidi rorundi orri exroratione fgurx AB circt
D

## Folio 71 — 1047377675:0087
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000087.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
B.
M
O
Ct
3
DF ese aequalem rectangulo cuius balis es perimerer hquu
xa AB e alricudo circumferencia radii P C. manifestum eAt
Supertciem erlinari geniti ex roratione rectanguli FTK cir-
CaIl equalem ese rectanculo cains balis est circumterentia
xadii IK _ alcicudo CKEuna cum IR, hoc es rectangulo cuius
balis circumferentia radii OL e alcicudoeotus higurae am-
Bicus HIO,F CKKI III, quod idem est cum rectangulo
cuius balis est rectanguli IIK ambicus ee alcieudo circumte.
rencia radii OL: sed superticies cylindri geniei exrotacio.
ne rectanouli AIK circaFII estad superticiem Colidi rocundi
genici ex figurae AB rorarione circa DF inrarione composi.
ea exproporrione ambitus tgura FIK ad ambicum Agurae AB
ec exproportione rectae OL. ad rectam F C. seu circumteren nuiusi
rix radii OI ad circumterenciam radii F C; aeque rectanou.
lum cuius Ba(S eR am BiEuS AgUIEX FTK X altirudo circumte.
rentia radii OL, Seu superficies crlinari geniei ex rocacione
rectanguli HR circaHII, eAt ad rectangulum cuias DalIS CA
ambicus sgurae AB e alcieudo circumterentia radii F C in
eadem ratione; de ideo superticies cxlindri geniei ex rota.
eione restanguli FIK circa HII est ad rectangulum, cuius balis
ectambicus foura AB de alticudo circumterentiaradii P C
ve idem laperheies ad superticiem solidi rorundi geniri ex
xocacione higurae AB circa axem roracionis D F; X proinde
Superticies Colidirorundi orri ex rocarione Rourx AB circa
DE aequalis est rectangulo cuius balis est ambitus Agura
AB de altirudo circumterencia radii P C, quod demonstrare
Oporruit.
Non dissimili fere merhodo demonstratur haec propolicio
eciam si perimerer hgura non sic clausus.
P kD1. 3).  HI EOR F M a.
Si cylinarieus rectus secetur plano ad basem seminormali: truncus
inferior aequalis erit cylindrico cuius basis eadem est cum cylin
dric
et
d
u
OI
tit
P
b
ed
it
B
it

## Folio 72 — 1047377675:0088
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000088.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
673
55
-.
05
.
ariet proposri base; es alritudo intercepta recta inter centrum
cravitatis baseos es communem intersectionem baseos es plani se
cantis.
Inc cedem figurae, quae in ancecedente: super hsura
AB (cuius gravicatis cenerum C) concipiatur cylin-
dricus rectus sectus a plano basem AB Ceminormaliter
lecance in recta DE: dicorruncum eius inferiorem aequalem
cre cylindrico super base AB habenei alcicudinem F. C. 50,
lidum rocundum orrum exrocarione Agure AB circa rectam
hnius. DF aquale cs cxlindrico cuius basis AB e alcicudo circum-
23
uiuss
ferencia radii FC; acque idem Colidum rocundum clt ad
eruncum inferiorem cylindrici recti super AB relectam a
planobalem AB Ceminormalirer secance in rectA D F uc cir
cum ferencia radii C.E adradium C F; sed cylindricus cuius
bas AB _ alricudo circum ferenciaradii C F seu praedictum
Colidum rocundum eCt ad cylindricum cuius basis A B ec a]-
cirudo F C, ve circumterencia radii BC ad L C; e proinde
eruncus ille interior relectus aequalis cs cxlindrico cuius
basiS AB e alcitudo F: C, quod demonstrare oporruit.
P R O P. 38. Z. HI F O A F M A.
Si cylindricus rectus secetur Plane ad basem seminormali: superf
cies trunci inferioris aequalis erit rectanculo; cuius basis est pe-
rimeter baseos cylindrici es altitudo intercepta recta inter cent
trum eranitatis Perimetri baleos es communem inter sectionen,
baseose plani secantis.
T(dem policis quae in anrecedente, (IE C centrum graui-
catis perimerri baseos AB. Dico superficiem erunci in
ferioris aequalem esse rectanoulo cuius basis est ambicus A-
surae AB ee alcicudo recta F. C. Superticies Tolidirocundise-
niri exrorarione Agurae AB circa D F aequalis est rectansulo
cuiuSC

## Folio 73 — 1047377675:0089
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000089.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Cuius baks est ambitus Rgurxe AB de altiendo circumFeren- hucuss
Tia radiiF C; aeque eadem superhcies Colidi rorundi est ad
Syperficiem erunci inferioris exlindrici recti soper ABreCC.
2.+
Eti aplano balem AB Peminormalicer Pecanre in recta D Fix huiusi
ve circumferentia radii C F ad C F; sed rectangulum cuius
halis estambitus Rgurxe AB ec alcitudo circumferencis radii
E C. Peu superticies Colidirocundi genici exroracione tigura
AB cirCa D F est ad rectangulum cuius balis es ambiruS A.
Durx AB _ alricudo FC, re circumferentia radii F.C ad FC:
ee proinde superticies erunci inferioris relectiaequalis est re.
Etansulo cuius balis est ambicus Agura A B ee alcirudo LC
quod demonstrare oporcuit.
Lodem modo demonstrarur hec proposicio, i superticies
exlindricirecti inElcac line E rel lincis perimecrum non clau.
dentibus.
SC F OL IV M.
Hduabus praecedentibus eiidem mediis demOnseratur,
a quomodocunque secetur cxlindricus, in prima, crun-
cum inferiorem esse aequale cxlindrico eandem cum propo.
hieobasem habenti se alcicudinem aequalem perpendiculari
recte ad basem ex eius gravitaris centro excitare vique ad
planum secans, e in secunda, superkciem erunci inferioris
esse aqualem rectangulo basem habenci aequalem perime-
crobaleos exlindrici propolici de alcitudinem aequalem per-
Pendiculari rectae ad basem crlindrici propoliti ex CenErO
Grauiratis eius perimerri excitata vique ad planum lecins.
PROF. 39. THI FORE M A.
Cytrns s habens basem ab ona parte a recta termina
tam, secetur plano per illam rectam, e rotetur basis cylindrict
circa eandem rectam, ut fiac solidirorundi porrio qualibet; erie
portionis centrum cranitatis idem cum contro eranitaris areus
C2
1i11)
131
st
alio
cto
ale
et
C
C
s pI
et
iu
d

## Folio 74 — 1047377675:0090
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000090.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
74
circularis, in quo circumfertur centrum aquilibri irunci cyli
drici inferioris in cylinarici base notatum.
IE superEgura A BC ex rna parre a recta B C terminaca
cylindricus rectus, qui sectus a plano cranscunte per
rectam BC exhibeat eruncum suum inferiorem BC. AC, cuius
cenerum aequilibriiinbase GIEF. Fx rocatiOnC AGUrA ABC
circa rectam B C hac porrio solidi rocundi: dico porrionis
cenerum gravicaris idem esse cum cenero gravicaeis arcus
circularis in quo circumroratur punctum F: sinon sint eade.
incer illa sic distantia recta B; e concipiarur porcioni Colidi
rorundi circum seribi Colidum polvedium constans ex 2 vel
4vel 16,323 e vel quorcunque (dummodo numerus sc in
proeressione dupla a binario) ae qualibus eruncis inferioribus
cxlindrici propoliti recti secti a plano habence communem
incersectionem cum base rectam BC, e eidem porrioni lo.
lidirocun di inscribi aliud polyedrum priorisimile, ita veco.
rum cenera gravicacis diltene inceruallo minore quam recta
B: hoc enim possibile est, quoniam calia polyedra quo plura
habent laceras eo in infinicum porcioni (une propiora: dein
de per centrum aquilibrii L rectae BC normale ducatur pla
num Faciens cum crunco communem incerlectionem erian-
culum HFD rectansulum ad F. icem cum porcione lolidiron
tundi communem incersectionem lectorem circulilVLO, &
cum polyedro circum (cripeo polygoni regularis ad secto
rem circumscripei, item cum polyedro inscripto similem
porcionem polysoni regularis sectori eidem inscripri. Ma-
nifectum cctradium IV cNcaquolem rectae DF. Radio l
aequali rectae DE Sc sector circulilX9 ec lectori IX9 circum
Scribatur polygonum TS8 simile polySOnOKM N, icem et
dem inscribatur poly sonum 279 circum scripeo limile. Du
cdcur recta lL. quaruor lacera limilium polygonorum 7 23
T, PV, MR, bifariam lccans in punctis Y, R, Q, L; manifettun
est criangulum IL. KE rectangulum ad L. esse communem l6,
etio.

## Folio 75 — 1047377675:0091
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000091.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
ind
ic
a0
Orit
1
ps
idi
sed
b
1
B
ib
13
ctionem plani secantis cum uno aequalium cruncorum e qui
bus constat polredrum portioni solidi rocundi circum serip.
cum; quem eruncum supponomus esse eundem cum erunco A
BC. C (quod sine absurdo efficere porumus, quoniam Ome
nes erunci inferiores, quorum plana secancia balem secan.
in recta B C3 idem hobene in balc cenerum aequitibrii F) de
proinde poree erunci, communem habeneis cum plano (e
cance interfectionem LTR, centrum aequilibrii inbasc cRe
punctum R: codemque modo probatur punctum R cMeim
Base centrum aquilibrii cruncis cuius intersectio cum plano
secance eRMIL; de ideo horum cruncorum simul iuncetorum
cenerum gravitaris estR punctum: eodem modoprobatur in
duobus quibusliber eruncistorius polyedri circum (cripei ad
unam superticiem iunetis, reriusque limul crunci cenerum
Grauicaris este in puncto, rbirecta exvereice Ibalem trian-
Suli (quod criansulum cA communis sectio plani secantis
cum duobusiunetis cruncis) bitariam secans, arcum circulan
rem ey incersecat. Facili quoque nesocio probaeur punctum
este centrum gramiratis duorum pruncorum iunctorum
 2
210.

## Folio 76 — 1047377675:0092
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000092.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
quorum cum plano secanre communis interlectio PIV crian
culum; icem ee puncium X cre centrum granitacis duorum
junctorum truncorum, quorum cum plano secante commu-
nis incersectio plP criongulum: iunsatur recta XY, quebita-
riam secatur in puncto s; manitectum est punctum sene cen
trum gravicatis quatuor iunctorum cruncorum simul, quon
rum cum plano secance communis incerfectio est troperium
IVP D: acque punctum scenerum eriam est gravicatis recta
rum 273 72, simul: eodem modoprobatur a esse cencrum
Grauiracis quacuor iunctorum cruncorum simul, quorum cu
plano (ecance communis inter ectio cA craperium I∞dO, 
Ctiam rectarum ors rL. Simul. Cenera grauicacis as iungantuE
recta, que bitariam secetur a recca LZ in punccoz; manite
Rum cHt 3 cenerum eravicaris polredri inscripei esse etiam
cenerum gravicatis recearum omnium simul arcui 9r inscri-
prarum: eodem modoprobutur cenerum grauiratis polye
dri circum scripei nemper idem esse cum cenero gravicatis
omnium reccarum limul arcui or circum (cripearum. Sit cen.
trum granitaris porrionis Colidirocundiq, e centrum sea-
nicacis arcus 9r, 2, quod necectario eAt in recen IZ inter pun-
Cca X, 3: iungancur rects 14, 243 54. Ex concruccione 23 mi-
nor ea quam 24: ansulorum 1243 423 Ecmaior vel Calcem
nonminor 1243 e ideo lacus r4 maius cric latere 243 scd
24 maior cA quam 13; de proinde 14 maior est quam 13; hoc
eHt centrum gravitatis porrionis solidirorundi distac a ce-
ero erauicacis poly edri sibi circum seripei maiore incerual1o
quam cenerum erouiearis eiusdem polzedri circum scripei
distac a cenero erovieaeis similis polgedri inscripei, quod
eAt absurdum, maiore enim interualo distAnECenErA GraUI
catis polyedrorum inscripei e circumlcripei quam ailEAnE
centra gravicatis porrionis lolidi rocundi ee polredri cir-
cumseripei; de proinde nullo interuallo difeani centra gra
Hicaris porrionis folidirocudi de arcus circularis oy et ideo
idem est eorum certerum grauitaris, quod demonserare
oporcuit.
PIon

## Folio 77 — 1047377675:0093
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000093.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
eiat
eHI
IMHI
ita
ceM
H0
jus
Ad
UI
1C
d
ItH
itl
1d
(Ct
yb
alio
ei
B1d
HI
M.
est
set
B0b
C8
21B
ipl
100
aUI
aB
eit
r4)
led
1tB
Norandum in sequentibus nos semper incellisere luper-
liciem portionis lolidirocundi absque planis quibus cermi;
MaEUE.
PROP. 40. THEORF M A.
Pisdem positis qua in antecedente, erit suxerficiei porrionis solidiron
tundicentrum crauitatis idem cum cenrro crauitatis arcus cir-
cularis, in quo circumfertur centrum aequilibrii (uperficiei trum
ei cylindrici inferioris in cylindrici base notatum.
Ildem poliris que in ancecedenre, sic superticiei crunci
 BCAC cenerum equilibrii inbase F. Dico Cuperticiei
porcionis Colidi rocundi cenerum granicatis idem esse cum
cenero gravicaris arcus circularis in quo circumrocatur pu
Ctum E: Sinon sinc eadems inter illa HC differentia recea β; _
concipiatur portioni solidirocundi circum leribi solidum po.
lredrum conseans Cx 2, 4, 8, 16 vel quorcunque (dummodo
numerus sic in progrettione duplaa binario) equalibuseru-
eis inferioribus cxlindrici proxohcirecri seccia plano habe.
ee communem sectionem cum bale rectam BC, de eidem
Porrioni Colidirocundi in seribi aliud polzedrum priori simi-
le3 ita ve cenera orauicatis eorum superficierum discene mi-
nore inceruallo quam B; hoc enim polhibile elt, quoniam ca
lia polredra quo plura habene. latera eo in infinicum eorum
superticies minus inter se discrepane, ita ve eorum disterens
cia minor potis esse quacunque propolira quantitate. Dein.
de per cenerum equilibrii Erecre BC normale ducaturpla-
num FaeieMS CUM trUNCOABC C: communem secrionem eria
Sulum FIF D reccangulum ad F, irem cum porcione solidiron
cundi comunem sectione, Seccore cireuliIVI.D de cum polre
dro circum seripeo portione polrsoniresularis ad sectorem
circum Ccripei, irem cum polredro inseripeo similem porcio.
nem polygoni regularis lectori eidem inscripei. Manifectum
est radium IV ee xqualem rest_ D F: radio ly xqualireAt E

## Folio 78 — 1047377675:0094
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000094.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
DECc sector circuli(7 9, _ Pect ori P9 circum seribatur po.
roonum TSBI simile polySonoLAMN, icem eidem inscriba.
cur polygonum 1779 circum (cripeo simile. Ducatur recta
IL. lacera quaruor parallela similium polygonorum 7 y, SI,
PV.MK. bitariam diridens in punctis Y, R, Q. L; manifectum
es eriangulum II. K rectansulum ad L esse commune sectio-
nem pluni sccancis cum vno aequalium eruncorum ex quibus
constat polyedrum porcioni Colidirocundi circum (cripeum
quem eruncum supponamus esse eandem cu trunco ABC C
(quod sine absurdo efficere portumus, quoniam omnes cru-
corum inferiorum superticies, quorum plana secancia ba sen
secant in recta BC, idem habene inbale cenerum aequilibris
L.) ee proinde pacet luperhcici eruneis communem habencis
cum plano secante incerfectionem l. lK, centrum aequilibris
in basc ese punctum R; eodemque modo probatur punctum
Relle in base cenerum a quilibrii superhcieicrunci, cuius in
cerlectio cum plano secance cAMIL, de ideohorum crunco
rum simul iunctorum Cuperticici cenerum gravicatis cAR.
eodem modo probatur in duobus quibussibet eruncis eocius
polvedri circum (cripei ad unam Caperticiem iunctis veriul
que limul superticici cenerum grauicaris esse in puncto, vbi
recta ex vertice Ibalem eriang uli (quod criangulum est co.
munis lectio plani secaneis cum duobus iunctis truncis) bi
Fariam secans, arcum circularem 9r incerlecat: Facili quo-
que negocio probacur punctum Y esle centrum gravicatis
luperticiei duorum iunctorum eruncorum, quorum cum pla
nolcconce communis incerlectio IPV; item ee punstum 
elle cenerum gravicacis superticiei duorum iunetorum erun
corum, quorum cum plano seconce communis incersectio
IP criangulum: iungacur rect + X X, quae bitariam seCaTUFiM
punctos; manifectum est punctum s cRecenerum grauitacis
Superticiei quacuor iunctorum eruncorum limuls quorum cu
plano secance communis incerlectio est craperium IVBo; 2c.
que punctum s centrum erdum est cravicaris rectarum 2.7
dec
a
in
lur
raI
tun
eA
AC
eA
CA
ld

## Folio 79 — 1047377675:0095
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000095.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
iet
41
1
IU
e
I1
AB
B
6
grimul: eodeni modoprobacura centrum gravicaris re
Ctarum orrz, eNe cenerum grovieatis superhciei quaruor iun-
aorum eruncorum limul, quorum cum plano lccance com-
munis incerfectio est traperium IoS0. Cenera gravicaris a
Si iunsantur recta a 5, quae bitariam secerur in 3. manifectum
CA 3 cenerum gravicaris superticiei polredri inscripei esse
etiam cenerum granitarisrectarum omnium simul arcui ou
inscripeorum. eodem modo probatur cenerum grauitatis
superficiei polredri circumleripti nempe + idem esse cum
Centro grauicaris omnium rectarum arcuio y circum lcripio.
rum: Sic cenerum graritacis superficiei porrionis Colidiro-
cundi 4 de cenerum gravitaris arcus 97, 27 quod necessario
eAin recta IZ incer puncta 2, 3; iunganeur recta 14, 24, 54
de constructione 3 minor elt quam 2q. angulorum 124, 423,
Sc maior vel Caltem nonminor 124, e ideo lacus 14 maius
CA lacere 24. Scd 24 maior eA quam +3, e proinde ra maior
eA quam +3 hoc est, centrum oranicaris superticici porcio.
nis Colidi rocundi dictac a centro grovitacis superhiciei po.
lyedri sibi circum scripei maiore inceruallo quam cencrum
Grauitacis superticiei ciu (dem polycdri circum scripei distae
a cecro gravitatis superticiei similis polyedri inscripeis quod
eA ablerdum maiore enim inceruallo diltant centra oravita-
eis superficierum polredrorum inscripei de circumscripei.
quam distac cenerum grouiratis superticici porcionis Colidi
rocundia cenero graricacis superticiei polvedri live inlcripei
siuc circum scripeis et proinde nullo inceruallo dictane centra
erauicacis superticiei portionis Colidirocundi de arcus 9r, 8
ideo idem es eorum centrum gravicatis, quod demonstran-
dum erat.
Eodem modo demonstratur haec propolicio de superhcie
quacunque rocunda Facta aroratione rnius linee rel plurium
mearum circa axem; modo radius rocarionis illasnon lecet
in pluribus punctis.
PxOP.

## Folio 80 — 1047377675:0096
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000096.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
P AO P. 42, Y _ B O R F M A.
Si cylinaricus rectus secetur plano quocunque ex roceturbasis cylin-
drici circa communem intersectionem baseose plani secantis. V
fat solidi rocundi porrio qualibet; erit portionis centrum eravi
ratis idem cum centro eranitatis arcus circularis, in quo circum-
fertur centrum aquilibri erunci cylindrici inferioris in cylindrio
ci base notatum.
Oncipiarur cylindricus rectus super base quacunque
RECD lectus a plano habenre cum base communem
incerfectionem AB rectam: sc que crunci inferioris cenerum
Equilibrii in basenocacum punctum F. exroratione Rgure RF
CD circa rectam AB hat portio Colidirocundi; cuius cenrris
gravitatis dico idem ene cum cenero grauiearis arcus circu,
laris in quo circumtertur punctum F. iungantur ad libirum
linea C. H. KB apponacurque crlindricus rectus superbale
AC DKB sCcari eriam a praedicto plano lebae pet sectam
AB, _ eius cruncr inferioris cenerum aequilibrii in base eAe
punctum H, icem erunci super fgura AC. LKB cenerum xqui
dibrii
eni
BuI
Est C
W
1

## Folio 81 — 1047377675:0097
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000097.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
librii in balc ese punctum G. exrOraTIONC SIBUEX AC D K B
circarectam AB (itaut eius pars exrrema, nempe hgura
CDRE deleribar praedicti solidi rorundi porrionem) AaE
Colidi rorundi porcio, cuius cenerum grovicacis M; manise.
Rum eA Colidirocundi porcionem genitam a rocarione Asu-
rX ACDRB esse aequale porcionibus, Colidirocundi genicu à
rocatione HSUEX C DKF (cuius centrum gravitaTIS L.) e Coli-
dirocundi geniexe a rocarione tigure ACEKB(cuius cenerum
Sravicaris N) icemeruncum super HgurA AC DKB aequale CNC
Eruncis (Uper AOUrIS CDRF, ACERB; de proindeparer pucta
F, HI, GCKC in rna recta, ICOM F FTeNC adFT C uE eruncus Cu.
DEF ACEKB ad eruncum SUPeEC,DKti, icem puncta L, M, N,
eseinrna recta, _ LM ese au MN re porcio Colidi rocundi
Geniti a Agura AC FRB ad portionem Colidirocundi geniti a
tiguraCDRF; Cc d porciones solidorum rocundorum inter le
Tunc in directa ratione eruncoru, ve facile colligitur ex huius
23; _ id eo reFFsadFTS ita LM ad MINI. per puncta F, L3 (IE
reCtAFLO, _E PEF DUNCTAFI, RI RECEATTMB, icem peC PUnCCA
C H, SCrecta C NO; CaeiS PaCCErCEtASHIMB, CL (cum linE
rediicirculorum, in quorum circumterentiis rocuntur nun-
CFAFI, G,) ee ideo rectam erism FLO esse incer se parallelas
de rectae ABnormales, _ ideove PMadP IIreI ONadOC
ita OL ad OF; sCd M, N, lunt centra gravicaris arcuum cir-
cularium similium in quibus rocancur puncta HI, C, CirCA CeM.
Era P, Q; d ideo L. elteciam cenerum gravieoris similis arcus
circularis in quo rocatur punerum Lcirca cenerum O, aeque
L. eR ecium cenerum graviratis porrionis solidirorundi se
nici exrocatione Agura C DKF circarectam AB, quod de-
monstrare oporeuit.
PR O P, 43. T H F O R F M A.
Si linea vel linea quorcunque rotentur circa rectam, vi ex yssenere.
cur porrio superticiei rocundae, etiamsi radius rotationis illas in
quoscunque punctis secuerit; erit porcionis supersiciei rotunda
cem.
it
5+
rA
CAH
19
Ab
1
irc

## Folio 82 — 1047377675:0098
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000098.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
B2
in quo circumfertur centrum aquilibru in base notatum suxeri
ciei trunci cylindrici recti secti a plano habente communem (ectio
nem cum base axem rotamss
lclincas vellinex quoccunque ABO, quae sUPPONANEUL
aD FOtari CIrCA AZOM TK, secencurque in duobus punctis 
radiororacionis. Super lineis AB O imaginetur superhicies
exlindrica ad balem recta, quae sececur a plano basem eriaim
centrum erautatis idem cum centro eravitatis arcus circularis
C
10
n
dea
Ue
Anc
e
secanre in recta IK; Sirque superfcicierunci inferioris cen-
erum aequilibrii in base F. ex rocacione linearum ABO AaC
porcio superficieirocundae; cuius cenerum gravieaeis F. dico
ese idem cum cenero ornuicaris arcus circularis in quo ron
cacur punctum F. sic B punctum in quo radius roracionis I13
neas ABOcansit, lirque porrionis luperticici erunci super le,
nea vel lineis AB cenerum x quilibrii in base C, de porcionis
superticicirorundx ex AB BenirX D. Crque luperticicicrun
C1
Ep

## Folio 83 — 1047377675:0099
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000099.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
ia
AM
ei laper OB cenerum aequilibeii in bale Cis de porrionis su
perhcieirorundae exea geniea centrum grauitacis FI. mani-
Fectum est puncta C, E, C, esse in eadem recra, icem e C F
eAe ad F. C uc superticies crunci luper OB ad Cuperticiem
crunci (uper A B: eodem modo pacet puncea D, F, TI, ene im
eadem recta, irem DF eNC ad FHI reporeio luperhciei rocun-
dae geniex ex OB ad portionem luperticiei rocundae Beni
ex ex A B; Ccd porriones superticierum rocundarum incer
Pe Tune in directa proportione superficierum truncorum
ur colligitur exhuius 24; Xc idco ve C F ad F. C itaDF ad FFI.
producantur recex C D, F. F, CFI, donccrectam Lh lecene
in puncris L, M, N; cum puncca D, FI, sinc cenera Brauicacis
arcuum circularium in quibus rocaneur puncea C, Cn mani.
Fectum esreCEASC DL, OFIH, ese axi rocationis IK normI.
des de incer se parallellasi _ ideo recta E. F.M cidem IK est
eAnormaliSI CUM AIEVECF ad F Cita DF 2d FHI; e proinde huiusi
AEL D ad L. C vel NIT ad NG ICA MF adM E, (Cd D, FP, sUnE
Cenera grauicatis arcuum circularium limilium in quibusro
Eaneur puncta C, C; se igitur punctum LCM etiam cenerum
Srauicacis limilis arcus circularis in quororatur punctum Lis
quod demonstran dum erae.
Fodem modo demonstratur hoc cheorema quando ra
aliusrocacionis lineas lecac in cribus punctis supponendo
hanc propositionem, sicuchaec supponie huius 40 e sic dein-
ceps (quando secatur line a in pluribus punctis) aMEexIOTeS
demontrationes lemper supponendo.
P R O P. 43. Y H F O R F Mt A.
ldem poticis quae in huiuss; dico solidum rocundum
d
genitum ex rocatione Agura ABSO circa rectam AB
esse ad exlindrum genicum exrocacione rectanguli ABR O
circa eandem AB, re superticies genitA ex rOratiONC CUrVR
Acirca eandem AB ad circulum ex radio AO. ABUrA ABSO
EH proporciomalirer amalosacurrae A C e idCOCCNETA GFa-
la 2
vitatis
huins.

## Folio 84 — 1047377675:0100
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000100.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
84
vicaris Agura ABSO ee curia A 9 eodem inceruallo distane
recta AB, quod intervalIum AcR: cenera quoque gravicatis
recta AO _e rectanouli ABRO eodem inceruallo distane a
huius. recta AB nemBC BK, aEque Agura ABSO eA ad rectangu-
35
tuius.
lum AB R O recurVa AC ad rectam AO, _ ideo primam e
terriam ducenda in circumferentiam cuius radino R, et se-
cundam ee quaream in circumterentiam cuiusradius BR; erit
Cxlindricus cuius bass ABSO ee Altieudo circumferentia ex
radio r nempe lolidum rocundum genitum ex roratione A.
Gura ABSO circa A B, ad cylindricum cuius baliS ABR O &
altieudo circumferencia radii ex nempe cxlindrum genieum
36 CxrOTatiOnE ABRO circa AB, Scur rect angulum cuius baAS
huius. AQd alcitudo circumterencia radii R nempe superticies gc
NIEA CKFOEATIOnEA O circa AB, ad rectangulum cuius balIS
AO _ alticudo circumferentia radii BR nempe circulUOx FA
dio A0, quod demonstrare oportuir. 2
P X O P. 44. Y H P O R F M A.
ICFgura quaecunque BCF cum rectangulo circum scripro
 ABED, quae Alibrentur ex recta BF; dicomomeneum
rectanguli ABED ad momentum Agura BC F eNe ut cylin-
drusfactus ex rerolurione rectanguli AB E D circaB F. ad
Colidum rorundum Factum ex revolutione BC F circa can-
dem BF. Sic rectae AB Parallela e aequalis quae cunque FHL
tiguram BC F lecans in C: bisecentur rectae F FI, CFI, in pun-
AtiSO, P; manifectum est momentum rectae FH esse ad mon
mentum rectae CHI in ratione compolira ex ratione L FI ad
GHa exratione OHTadDH, hoc est in duplicata rarione
FH ad CHI (en uE circulus ex radio FH ad circulum exradio
CHI, cumque hoc semperira ereniat, e primae de terrix lem
Det
Det

## Folio 85 — 1047377675:0101
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000101.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
ia
A
nd
t
1at
et
d.
68
st
t
IH
MI
Os
a
est
perlihE exedem; erie, remomenta omnium EII nempemo-
mencum eorius rectansuli ABED ad momenta omnium GFI
nempemomencum Ligurx B C F, ita circuliomnes ex radiis
FHnempe eplindrus ex roratione rectanguli AB F D circa
BF ad circulosomnes exradiis GFI nempe Colidum rorun.
dum orcum exrocacione lisurx BC. L. cirea eandem BF, quod
demonstrare oporcuit.
P R OP. 43. Y H F O R F At A.
IIdem positis quae in ancecedence;  solidarocunda or:
Lta exrocarione rectanguli ABFD _ AgurA BC P CirCA
BF secentur per rectam B F. plano quod horizonei sIE per-
pendiculare, et lemisolida ex recta BF libreneur: dicomo.
mentum semisolidi A B E B esse ad momentum Cemisolidi
BCE ve omnes cubi ab FFT ad omnes cubOs a G H: AnE semi-
circulorum FFI, OFI, centra cravicaris O, P; manifectum est
momentum semicirculi FFF ad momentum Cemicirculi CHL
eRe in ratione compolica exracione lemicirculi FF ad Cemi-
circulum C FTnempe ex duplicata ratione FF ad C HI Xt CX
rATIONEOFT ad PH SCW FHT ad CHI; _ ideo momeneum lemi-
circuli FHT est ad momeneum semicirculi CH in eriplicaca ra
LIOnC FH ad CFB seu re cubus ab Ets ad cubum a C FI, cum.
que

## Folio 86 — 1047377675:0102
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000102.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
in er
3
a anno 1651
vicrcte dea
30
que hoc semper iea eveniae, e primxe e tertix semper BnE
exdemierie, ve momenea omnium Pemicirculorum FfI nem-
De momentum iptius remisolidi B AD F ad moinenea om-
nium Cemicirculorum C II nempemomencum iplius lemiso.
lidi BCE ve omnes cubi ab FHI ad omnes cubos aCHI, quod
demonstrare oporruit.
EIOC TheOrema ab aCUEINIMO GECOMCErA R. P. ScephanO
de Angelis nuper invencum porerie eodem modo demon-
Arari de qualibee Colidirocundi parce relecta a duobus pla,
nis in Colidirorundi axe se invicem secantibus.
HIxc dicta linc de quancitacum curuarum cransmuratione
e mentura in genere; nunc accedamus ad applicationem
in calibus parcicularibus, quae cerrae Facilis ek, porest enim
nullonegotio ab Analrsta perhci; led nos rarierati Auden.
tess aliquando pure geomerrice, aliquando pure analyricer
aliquando parrim seomerrice parrim analycice propolicum
demonstrabimus; hinc enim Facile percipiet (a5ax LCCTOF
quid in omni casu exhibico agendum AE.
PROP. 46. PROBLEMA..
Invenire circulum aequalemi super ficiei conoidis Parabolica.
Icconoisparabolica genita ex revolurione semiparabo-
L lae ABC. circa axem AB; cuius superticici oporret inve
nire aequalem circulum. Producacur BA in D VE ADAEquaF
ca parslacerisrecri, cansacque parabolam in vertice A rC.
m. Cuos constrecta AF. ae qualis dimidio laceris recti; ee asC DB Per P. duCa:
s scans
Nallisus l
cur parabola DEK ordinacim applicata BC pr OdUCFE OCCUE
rentin K: Scque X recta diamerer quadraci aequalis segmen-
r0 porabolico A EKB. dicorecram Z esse radium circuli
aequalis superticiei conoidis parabolice genitae ex rorarione
Cemiparabolae ACB circa axem AB. Cx quolibeE PUnCEO CuFE
ux parabolic AC nempC M demirearur in axem ordinarim
ap

## Folio 87 — 1047377675:0103
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000103.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
sI
CM
OM
ill
1100
nOB
Plb
1O1
Bet
enit
det
EHI
Ct
applicacaM C
paraboli
amL
dimidiolacerisr
cexte
etI PaF
u
ReCtam MET tansencem in punceoMnormaliter (ccare. Oe
inde exdocerina parabolarum alrmpeocarum a Gresorio
UY dOnCC Ex
in NiC
IreM CurvaNI
que GAIrecca aequalis
im demonctracionibus
i Cc  LaGLE    x Ln d dat alnvbaatatnum t X  at aM 
ab0
B1b
1d
i
96a
C1
Ae
ect
10t
C
16
Ia
DBK; esle esempiocas; _ ideo (ex eadem docerina)
quadratum recrae CFHI eA aequale quadraris recearum C3M,
AF, hoc eK, quadraeis recrarum CM, CII; illis aurem qua
dratis ae quale eA quadraTuM reCEA M EI; recca igieur HIM,
CsHI, Cuneaquales: cumque hoc sempertiac in omnibus pun-
ceis curux parabolicae AMC; manifectum est ex huius 3 (c5.
mencum porabolicum AF. K B eNe aequale superficieitrunci
Luper curuA AMC Sccta a planO per rectam A B cran(cunTE,
de in angulo semirecro cum parsbola cu base crunciinclina. 25
Cei de isicur cum quadratum resrae X sic duplum superticiei huiues
Erum.

## Folio 88 — 1047377675:0104
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000104.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
88
crunci, eric X radius circuli aequalis superfciei conoidis aro-
ratione curuae parabolica AM C circa exem AB genit_,
quod demonttrandum crat.
Hlinc eriam manifectum est cenerum orauitaris superticiei
conoidis parabolica idem ene cum cenero aequilibrii leg-
menciparabolici AF NK B in axC A B: est enim scgmencum
AEKB magnicudinc ec gravicare analogum cum superticier
crunci ex huius 3, ee superticies crunci es mognicudine 
Brauicare analoga cum superticie conoidis ex huius 24: SCd
ex hac ip la proposicione lequitur illa analogia in mognicudi
ne e gravicare, quoniam eadem quae demonstrantur de in-
ceoris eodem modo demonstrantur de parcibus earum pro-
portionalibus v. 8. eodem modo demonstratur sectionem
superticiei conoidis parabolica genira ex reuolutione cur-
VXMC esse aequalem circulo cuiusradii quadracum duplum
est sesmenci CNKB, quo demonstrara clt praesens propos
110.
PROD. 17. PROBLEMA.
Invenire circulum aqualem superficier (pharoidis oblonea.
Ic Spherois oblonga genica exrerolurione semiellipseos
ElEcircaaxem longiorem P P; cuius superticiei opor.
rec invenire circulum aequalem. In verricibus T, E, ellipsem
TANGANErECEA TR, FD, aequales semisilacerisrecci: deinde
cencro Con verrice F per puncca D, R. ducacur ellipIS DFR;
e Segmenco ellipcicO D FRY E AAC a quale quadrAEUM,
cuius diameter sic X. dico X else radium circuli equalis
superticici sphaeroidis oblonsa propolicae. producacur et.
lipss DFR, donec axem L P productum incersecet in
punctis Z. B; Facile paterrectas CL, FCesse semiaxes conius
Satoslemicllipleos BFZ. lemielliplestangences inverrici
DuSB, F, T, Z, ducancurreccae B A, F. C,3 Y O. Z Y, omnes
aquadeSrCCEX FC, de IUNBATUI recTA AC F QZ; aUCANEUT
7

## Folio 89 — 1047377675:0105
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000105.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
quoque bk, a; qua  deceemo. exquolibet sen
Fran: a schorcen commeneariis in C arcesum pa9: 2F4) HIN
aib
piet
ficie
seb
REUII
ficit
ne
S
EU
miellipseos daca puncco N in aXem F T Ec perpendicularis
et e a
AYD, qux producatur verectam A Y secec in L
ER, C, 9 in ps B, 1 L _ elsiplem B FZ in R. ACRCCCZ
PHlaequalisrecrae lM, de iungatur lNN: maniteltum elt (ex
DA
CH
Iu
10
sc
00
DsC
IB
t
11
ad
1F
et
Bt
rsit
nA
At
normalicer secare tangentem ellipleos in punceo N. ob Cl-
lipsem FRZ de recrangulum ex Lemiaxibus FOZ Y, cuius dia-
IBCTEF CT, quAAEALUI RECEA CIr est aequale quadracisrecta
rUI R P) TS; CHIIQU RECFA LP, MP, OP, lincin eademracio.
nC cum rectis OT, RT, SF; erit quadracum receae L. P equale
quadraris recFEruM MP, OP; sed quodrocum recte IP equalis
CH quadratis recearum L. P, NP, ob ancenominatam proprie-
carem ellipseos; s ideo guadracum recce lP equale est qua
AFAEISRCCFATUM MP, NP, OP; Ped quadracum reCFE IP equa
de est eriam quadratis recearum OP, RP; de proinde quadra-
eArECEArUM MI P, NP, OP, sune equalia quadracis recearum
E P, OF; _ egusia auteren do, quadrarum recte I P equale
eIE QUAdEOTIS FECCATUI MP, NV, SCWHP, Ne, sed quacracu
rectEHN aequale est cisdem quadratis; _ ideOrecEX HN,
HP tunc egualeS; cumque hoc semper A.c in omnibus pun-
CeIS curus ellipeics EFF, mavitectum elt ex huius3 segmen-
cum ClipEiCUM L. WFRT esse equale superticiei erunci supee
CurHA F FT FCCEX a plARO PEr RECEaM F Y eranseunce, de in
ansulo lemirecro cum hals rrunci inclinance; de isitur cum
M
Gud

## Folio 90 — 1047377675:0106
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000106.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
quadrarum recra X he duplum superticici trunci erie X r4
dius circulixequalis superticiei sphaeroidis genica arocario
ne curue FFT circa axem F.F, quod demonstrare oportuie.
Hinc eciam parer quod superticies spharoidis sic magni
cudine e graricare analoga cum lesmento elliprico. L D F
RT, idem enim quod demonstratur de inceoris, non dissimile
methodo demonstratur de parribus carum proporcionalibus
v. 8. Codem modo demonstratur superticies genita ex rota-
tione curua P N aequalis circulo cuius radiiquadracum du
plum est CcemenciellipriciFRPO, quo demonstrata est prx
lens propolicio; quod eriam in cribus lequentibus est intel
ligendum, cum eadem sic rario huIuS de ilLaRUI,ME CNIM
eader eadem lemperreperere.
DROP. 48. PROBLEMA.
invenire circulum aequalem superficiei spharoidis lata.
Ic sphaerois laca genita ex rocatione Pemiellip(eosMC
Rcircaaxem breviorem MR, cuius Cuperticiei oxortee
invenire aequalem circulum. In verricibus M, R, ciliplem
tansane rectae MA, RD, aequales lemissilaceris recti. Dein-
de cenero P, verrice C, per puncta A, D, ducarur hyperbola
ACD, _ Legmenco hyperbolico ACDRMhac aequale qua
dracum cuius diameter recta X. dico X esse radium circuli
aequalis superticiei sphaeroidis laex propolire. Sic hyperbola
alymproca PF rectam DR sccanS in L, licque hyperbolam
tangens in verrice recta BC. C, d IUINBAnEuF TCCtX PD, PC.
ex quolibec ellipseos puncto I in axem MR Sic perpendicula
ris IO rectASCC, PD, PF, PC incerlecans in punctis II h
O Licem hyperbolam incerlecans in E. Sic recta CN ae qua
lisrectae OKi manifectum eA (ex commenearius Franci(c. a
Scorrenin Carrelium Pa8. 214) rectam HI elliplemtansen
rem in puncto lnormalirer secore. quoniam PF est hyperbo
IX

## Folio 91 — 1047377675:0107
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000107.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
X
ati
EU
iM
lib.
rotd
nd
s
B
et
lae esympeoc2 e C C recta hyperbolam cansens inverrice de
CoR a qualis aris semissi C P, erie quadrarum recte I R equa-
lequadraris rectarum RB, RC; cumque recte r, O L. 
sinc proportionales rectis DR, FR, CR; crit quadratum re-
ACKD aequale quadraris rectarum OD, L. C, sed quadracum
ad e
L
s
De
pbb
9
9d
30
iet
BI
es
et
15
et
1
truiudo
recta F D es aequale quadracis rectarum H (, OO, de qua-
dracum rectae Haequale est quadraris rectorum l9, L. O; de
ideo quadrarum rectae F  aequale est quadraris rectarum I
L02 hoc est, quodraris rectarum IQ KQ, Ccu 1G, ON,, 2
sed quadracum rectxe l. N aequale eA eildem quadraris; sunc luius.
M 2 ersO

## Folio 92 — 1047377675:0108
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000108.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
2
ius
ersqualesecta FO, IH; cumque hoc semperhnr in om-
nibus punctis curux ellipricx MCR, manitepum cA ex huius
3 Teomencum hrpertiolicum AC IdR M esse xquale FuPerR.
cieierunci super curua elsiprica M CR lcAx plonoper recta
Mcronscunte, se in ansulo semirecto cum hase erunci in-
clinante; ec igitur cum quadracum rectae X sic duplum super-
hcicierunci, eric X radius circuli aequalis superticiei sphaeroi
dis lacx genitx exrocatione curux cllipeica MC R CIrCA aXE
BR, quod demonstranduM CTAE.
PROP. 49. PROBLEMA:
Invenire circulum aequalem suverficiei conoidis byperbolica.
Tcconoishyperbolica geniea ex reuolurione lemihyper-
a bola FST circaaxem LS, cuius superticiei oporret inve-
nirc aequalem circulum. In vertice Fhyperbolam rangac re.
eta FFI aequalis semisi lacerisrecti. Deinde describaturhy-
perbola crantions punctum HI, idem habens cenerum nempe
Idec eundem semiaxem coiugatum nempe DF cum hyper-
bolapropolca LST; Erque hyperbola descripes BHIR ordi-
nacim applicatom ST productam secans in R; de Pcomento
hyperbolico FHRS Aacaequale quadrarum, cuius diameter
Ridico X esse radium circulia qualis superticiei conoidis hy.
perbolicae propolica. Sic hyperbola propolicae a(ymptoca
DV, rectom FH productam secans in R, licque hyperbolae
invencae a(yMpEOcA D Y, F H eriam productam secans in C3
e producacurrecta D HI. Ex quoliber hyperbolae propolira
puncto Laxi applicetur ordinacim recta JC, quae produc
rectas DF, DV, D Y, incerlecet in punctis 2, O, L, de hyper.
bolam invencam in puncto P; licque e A aequalis rectae CZ)
manifectum est (ex Fran. a Schoccen commeneariis in Cor-
celium pa8. 216.) iunctam rectam OA tangentem hyperbo.
dam in puncto AnormaliEer (CCALC. Guoniam reca F.K hyPEx=
Bola

## Folio 93 — 1047377675:0109
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000109.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
Ont
uiv
ett
eit
ji
Det
r0s
ad
93
bolam rangens in vercice producieur ad eius a(ymPEOEaM
in punCEOK eric FK aequalis eius semiaxi coniugaco D B; Se
obtrpertiolam BHIR ee eius assmpeocam I Y, quadracum
rectae FC aquale elt quidraris rectarum F HI, D Es hoc clt
EH, Ex; cumque recta CZ, C, O, C. L, Ancin eadem ratione
Del
1B
s
Di
C
Ob
b
cum rectis FH, FK, FC; eric quadrarum rectxe C P aequale qua-
dracis rectarum C: O C,Z; led ob hyperbolam FDI e cius
alsmpeocam D V, quadracum rectae CO, aequale est quidra-
eis rectorum C , I E; e ideo quadracum rectae C. L aequalc
Quadratis rectarum CZ, CO D E; led quadracum rectae (7L
QnalE CACrium quadraTIS rEctarUM C P, D E; e idCO EqUA=
dat

## Folio 94 — 1047377675:0110
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000110.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
lia acCo quadracum recte CP aequale es quadraris re
ctarum C L C,O. hoc est, quadracis rectarum C A, C. Chis
aucem quodraris equale est quadracum recce AO aequales
ereo sune recte C. B, AG; cumque hoc semperereniac in om
nibus punctis curre hyperbolice F. QP, manif: um est exhu-
ius 3 segmencum hyperbblicum FHRS equale eNe suPCrA.
cicirrunei super curua hrperbolica FOT seccae a planoperre
cram FScranseunre, e in angulo semirecro cum balc crunci
inclinance; ee isitur cum quadearum receae X sic duplum su-
perticicierunci, erie X radius circuli equalis superticiei co-
noidishrperbolicae geniex exrocarione curux hyperbolica
FDTcirca axem FS, quod demonstrandum erat.
PROP, SO. PROBLEMA.
Si curva Byperbolicaroretur circaaxem coniucatum; invenire
circulum aequale Cuperficiei ab illa curva hyper-
bolica rotata genitae.
 Ie curra hyperbolica a C, que rocata circa axem suum
d coniugacum FZ. signie superticiem; oporcet huie luper-
ticiei aequalem circulum invenire. Sic curux hyperbolice a
cenerum Z, vercex an asymprocon Z. D: hyperbolam cangac in
verrice arecta ak equalis lemilsi laceris recti ciuldem hyper:
Bolx: lF rectA TTK rectx Za ParaIleII3 _ aequalis, quae produ.
catur indehinice hyperbolam secans in R ee eius alympco.
EOnZ. D in M; _ in illa SUMAEUF reCEA H V, cuius quadracum
aquale lic quadraris reCtArUM HIR, HK: deinde cenerOZ ver
eice a lichyperbola aV A, qua prOdUCAEUE dONCCRECFAM FC
A Parallelam rectae Za incerlecer in A; ec PCBM eNEO By PeF
bolico F A V aZ EAC ae quale quadratum, cuius diamecer X:
dicoZ cNC radium circuli quaelici. Sic hyperbolae invenca
alyM PEOEON ZB rectan HV CccanS in L, e ex quolibechy.
perbolae propolicae puncto Pin verumque axem (li opus Clt)
PTO.

## Folio 95 — 1047377675:0111
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000111.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
181
1
10db
Os
eM
Dest
ersb
WB
nt
Produetum demirtantur perpendiculares YI, TB: Ccque cur.
uam typerbolicam normalirer Cecans in puneto T, recra (17
verumque axem (E opus est) producrum secons in puncris
C. 7: producantur (E opus elt) recta TB, TI. d rectam ZKY
incerlecens in Ye O punctis; manitectum est ex loco citato
9b
3a1
Da
00
ps
21
eb
p.
t
1
et
9.
Francis.a Schootenrecras B Z, B7, ese aequales; est aurem,
ve (y ad BT seaF OiTaIT Ceu BZ 2dIC; X ideo uc ZBadOF
1ca 2. Bad l6; sed uEYB adOE ita ZBad Z. P. seu lO; Punc er3O
aequales rectae CI, 10. Producatur recta lP rehyperbolae in-
venta occurrar in Qe eius alzmproro in P, cque eius in-
cerlectio cum asymproro hyperboix propohex punctum H.
ex contructione quadrarum recta HV (hoc est quadracare
ctarum FIL, Za) ae quale es quadraris rectarum HIR, HIK, seu
Quadratis recturum HIM, FIK, La; ec ideo idem verinque du-
Cerendo, relinquitur quadratum rectxe FIL. xquale quadracis
rectarum H, EM: cumguereAX IB, IN, 10. Ainc in eadem
1a

## Folio 96 — 1047377675:0112
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000112.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
rAEIORE LALILCCLISLLL, CAM FK; eric eriam quadracum re a
IP aequale quadratis rectarum IN, IO; _ idem quadracum L
averinque addendo, erunt quadeaca rectarum lP; L a (hoc
est quadracum rectxe Y() aequalia quadraris recearum IO, l
H. Za hoc est quadraris receorum IO, IT Ccu TCrIT, hocelt
QuadraEOreCTA TC; (uNE ergO XqUalES RCCEX OI, FC; Cum
que hoc lemper cueniat in omnibus puncris curux hyperbo.
licxe a FC, manifectum est ex huius3 segmencum hyperbo.
licum F. d aZ. ae quale esse superticieierunci super curuahyper
bolica a TC seceae a plano per rectam PL cranleunce et in an-
oulo semirecto cum bale crunci inclinante; ec igitur, cum
quadracum rectae Z sc duplum superticiei erunci, cric X ra-
huius, dius circuliaequalis superticiei genice a rocacione curuehy
perbone naxem coniugacum L. L, quod demon
Arundum erat.
PROSSST. PROBLEMA.
inuenire rectam aequalem curuae Parabelicae.
em erota  lecurua parabolica CH, verricem habens C _ aXCm C
O, cuioporcec rectam invenire equalem. ProducaEVE
axis CO in A, veCA Aac equalis Pemissi lareris recti, (IEque
CK recta parabolam tangens in verrice e NR axi parallella
illi OcCurrenS in R: deinde sIC recta C. D angulum recrUM A
CKbitariam dividens, Astque hyperbola AC verricem ha
BenS A, CenErUMI G _ A(YMIBEOEON C D; PrOdUICAEUERCCFAN
R donechrperbolam sccec in puncro C lIcque A F rCCLE
X ParaLellai AaE Eandem VE recraBDUIUM AFKC ad leOMCN
cum hyperbolicum ACKC, ita recta C Kad rectam X; dico
rectam X Equalem else curue parabolice C: N. FX quolibet
curue parabolicE PunCEO M demitrantur in recFAS G O, CK,
perpendiculares ML, MHI, Ecque recra OTcuruam paraboli
sam normalirer (ECanS In PUNSTOM, _ reCFIS GO, C R306;
CUTTEM S
 a 

## Folio 97 — 1047377675:0113
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000113.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
et
UH
CUM
rb0
rb0
opei
D
DeC
nd
s
(I
B
AI
MI
B
rrd ts l. Moum eufeccam LO equalem
 lemilu lateris recei leu Cidi producacurrecca Mtsrehy.
verbolam ecec in puncro B e alempeoron C:D in Pimanite.
cum erium elt ob alymproson C I quadracum recrE LL 1
E
a
6
b
Equale esse quadratis recearum A Cr, HF, vel ob angulos
aequalesFTOF, HIFC quadraris rectarum LO, OTI, SCu LO,
L.M; sed quadratum recra OM aequale CA qusdTaTIS TCCEATU
DE; LM; d ideoreerae OM, FIB suns ae quaes. Deinde, ob 1.
e
mili.
t
6

## Folio 98 — 1047377675:0114
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000114.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
de
MilicudinEM ErIAASUIOTUM FIMI, LOM, CAVEHM ad MI ita
OL. 3d OM, seu C:A ad FIB; cumque hoc semperhac in omni.
buspunccis curux parabolicae CN; cric extruius 2 rectansu.
lum AFKC 3d segmencum hyperbolicum AC. K G, VE recEa
Ck ad curuam parabolicam C N; Crat aucem re rectangulu
AEKC ad segmentum hyperboticum AC R C, itA ReCEA G R
ad reccam X; e proinde recca Xae qualis est curue C N, quod
demontrare oportuie.
Fodem modo demonstratur recean gulum PP K H eNe ad
Fegmencum hyperbolicum BHIKC vE recCA HIK ad curuam M
N; se proinde legmencum trperbolicum ACKC elt magni-
cudine d ernicace analogum cum curua Cx N, quod eciam
ex truius 2 est perspicnum; cumque decur Facile eruneus in-
Ferior cylindricirecci suPer AC KC ex huIuS 2F, 35 e 37 d2.
bicur cenerum gravicacis scgmentihrperbolici A C. K CY; de
ideoinnocescieeenerum ae guilibrii CUrVA (E N IN RCCEA CFR:
hine quoque nocatu digna cs analogia in magnicudine dt
BC. VItare, quae concingit incer curuam parabolicam. Cuper.
Aiciem Sphaerordis laex ee superhciem genicam a FOFATIONC
curux hyperbolicae cirea axem luum coniugatum, quae cui
dens els ex lola Aigurarum huius 48, 50, SE In(pCCTIOnE.
lALOP, S2. PROBLEMA.
Si curua parabolica vertatur circa rectam, eam in verrice tangei
tem invenire cirenlum aequalem (upersiciei ex tali con-
versione genita.
IEcurum paraboliea IE D, cuius rerrex D, rocata circa
D rectam BD cam in vereice consencem, ve gisnae luper.
hciem rocundam: oporcec huic superhcieiinvenire circulit
aqualem. Sic curux p. rabolicae lacus recrum quadruplum
RCCTA DR, _E CIMS AXISDK. PX PUNCIOIIN AXCM LK BETECTA
verpendicularis l_, de axc rruntuerso AD ( cui eliam aqua
UIS

## Folio 99 — 1047377675:0115
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000115.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
ist
11
31
1b
O
D.
et
duccam secans in L. deinde lemi hyperbola DKL. AaE ae qua
le quadrarum, cuius diamerer X: dico X enc radium circule
quaelci. Ex quolibet curua parabolica puncco B in axem
demictacur PerI
dicula
risrecta FF, quae produecahyper-
bolam incersecet in puncro C; sicque parabolam tangens in
puncto F recta FA tangenei D B occurrensin C de ani pro-
lis GFaxIS COnISAFUS) HaChyperBOL DC L FCCFAM LK PrO:
ducroin A, Stque CFI aequalis d paralelAreCTEDF. MAnI.
Fenum eA F A duplam ese recra D A, _ id eo F F est dupla
rectae CD, est eroo FH equalis recrae HI F. recrangulum R F
in F.D est aequale GVadrAEOrCCEK DF vna cum reccangulOR
BF, acque reccangulum ROF aequale eA quadrarO F H quo.
niam R D est quorea pars laceris recri; e ideo quadracum
recra C F (quod aequale eM quadracisrecearum E HI, HC=
DF) aequale eRreceanguloRF in FD, sed quadtaTUM reCEK
FC eidem recransulo est aequale, _ proinde reCTE L C, FC
insex se sune aequales, cumque hoc semper hiac, paret ex hu-
2 Iud

## Folio 100 — 1047377675:0116
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000116.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
25
jus4 lemihyperbolam BKL. eNe aequalem superAciei trunct
supercurua parabolica DB I sectx a plano perreccam DB
transeunee e in angulo semirecto cum balc erunci inclinan.
ec; e ideo, cum quacrarum recea X sic duplum superticiei
trunci eric Xradius circuli aequalis superficiei genitx aro
huius carione curuxe parabolicx cirea rectam D B, quod demon
Arandum Crac.
Fx hac propolitione pater Pemihy perbolam DKL. eNe ma-
enicudine ee granicare analosam cum Cuperticici: ex haC,
ancecedente e huius 38 non difticile est invenire centrum
Gravicacis curux parabolicx rel eius portionis cuinscunque
datae, guod admonnisse CuHciaE.
PROP. 53. PROBLEMA.
Invenire centrum gravitaris semicylindri recti oblique secti.
IE circulus BC OOcylindribasis, cuius diamerer B,
a lirque recta B A circulum eangens in A semicrsindriat
sicudoxequalis rectae BC, perinde enim elt cum omnes Pemi
cylindri luper eadem balc unc analogi, quae producarurad
parces Bindehnire, sicque ei parallela ee indetinire longa
recta PE; AAnECTIAM AP, CR, DT, parallela dimetroB)
ee dueotur AZ recta reliquis le habencibus ve in Agura. Sit
Sigura CRM ealis nacura, ve (dueta rect a quaCUnque EYKMI
paralLela rectae PC) FY SE Ad FY DE OT ad RM: ABUTa CRM
eM analoga maenieudine et gravicare Cemicylindro; acque
huius fipura scu semierlindri cenerum aequilibrii ita invent
EUT: AnEC R, RS aequeles reliquis se habencibus re in figu
ranhacque tigura DOT ealis nacurae, re (ducta recta quacun-
que F XKMNC) EY HE AAKL VEK Mad NO; de Agura DOI
circum scribatur rectansulum DV: sic deinde re figura CRM
ad siguFAM DO T ita F. Y sCu R C ad C Z, manifectum est ex
hnius 37Q eAC CBMrum aguilibrii ABUrX C. M Ri ABurA AII
EC

## Folio 101 — 1047377675:0117
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000117.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
esuI
n+
In
ACI
21
MO
p
AG
Aoc
rem DOT innocelcie doc no: datur rectangulum DV
quoniam DP cA aequalis B A DX CCu TV est quarra cOnCIn
nuc proporrionalium, quarum prima es FV ee sccunda dis
midia recte BOideinde HO eA Semper quarta ceneinue pron
est
1t1
Bl
e
1I
1B
b
et
t
3
orconanum, quarum prima eA F Y e secunda C Y, quod
Ac
eobo: ex praedictismanifesta lunclequentes analosix.
FY: FY = OY:: GY: RM
RY: RL  BX: : RM. NO
EY2: BY XY G= GY2:: KMX C X: RM X NO
de ideo FY3: 6Y2:: GY: NO, et iBiCuF

## Folio 102 — 1047377675:0118
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000118.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
29
O2
CYI= FY2XND; e proinde pohrea P. Y prima de C, Y EeCuN:
das erie NO quarea concinue proportionalium, et ideo Agu
eaDOT eA ad rectanoulum DV, ve conois parabolica (cuius
basis est circulus BC2O) ad cytindricum parabolicum ille
conoidi circum (criptum, cumque dentur proporcio conoii
dis parabolicae ad cxlindricum sibi circumscriprum et re-
ctangusum D V, dabitur quoque houra DOT. e ideopun-
ctum quoque Z; de ideo dacur in lemicylindribase eius cen
erum aequilibriis de proinde semicylindri cenerum grauicaris
eric in data perpendiculari ad balem c centro aequilibrii ex
cicaca, atque idem gravicatis cenrrum est in rect a O a ducta
inter punctu e a mediun punctum rectae A B ex punCtO B
buins, bdsBC. perpendicularis, suppolica nempe cylindrum ese
seaum a plario baseos planum in rect a PO secaDEC; AEigIEUK
DERC ad CZ ica Da ad as, erit dlemicylindricenerum graui,
catis, quod inveniendum erat.
In huins 62 docebimus aliam mechodum inveniendi pro;
DOrTIONEM INEEF DV _DOT.
PROP. 54. ZFI FORF M A.
 Se paralelOgTaMUM ABIK, AEquE curvA ACI calis Na-
curX, Ve (duca recta quacunque DF Parallela et ae quala
rectae AB CurVam sECANEC in C) racio AB ad FC SC mulcipli
caca racionis A K ad A L inratione P ad . dico parallelo
Bramum ABIK eNC aa SgurAM ACIKVEP it Qad O. produ
tacur reCta IB in C RE IUASATUF CUrUA A HI C caLIS NATUTK, VE
ductarceto CF tangenec curuam AC I in quolibee puncto
C e ductis, parallelis FC, FH) recta C HIlic aequolis de pa-
ralleta rectae FF: manitestum est ex huius 7 rectam AL ad F FD
Teu LC adHC esse vEP ad O cum que hoc lemper AaE, CuI
dens elt Aguram AC IB esse ad Fcuram AC IC TIVC P 2d3
aeque ex huius 12 Agura ACIOHI CA ae qualiS ABUTX ACIR3
e ideorsura AC IB est ad Aguram ACIK vE P ad C de com

## Folio 103 — 1047377675:0119
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000119.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
A
103
ponendo parallelogrammum ABTK eA ad Eguram AC IH
reP t Qact Q quod demonstradum erac.
Sil sIE minOr quam  erir A C. IK quaelibee ex parabolis
intinieis, l vero Phc maior quam C, erie ACIK quodlibet Cx
crilineis infnicis. Fix hac quoque propolicione manifectum
eA parallelogrammum ABIK eNC ad AZuraM ABIC VEPC
Rad P; quod eriam ica inmorescie guoniam rario AB ad L.C.
ect
pl
p
2t
1
et
1
e0t
est mulciplicocaracionis AK ad AE in rorione P ad9, hoc CA
racio AB ad AL. est mulciplicaca racionis BI ad L C in cadem
racione P ad G, erit conuerrendo. BIad L. C mulciplicaca ra-
cionis A B ad AL inrarione  ad P; e id eo ex ip(a propOLi:
cione, paralleloerammum ABIK eAt ad fixuram AB IC ve
ita 2ad P, quod demonstrandum erac.
PA91.
1
ib

## Folio 104 — 1047377675:0120
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000120.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
C
P_6 P. 55, E HE O _ E M A.
lldem bheis, quae in ancecedente: dico rarionem Boure
RACIK ad Aguram ACF eNe mulciplicaram racionis IK ad
C E in rarione P,F. ad P. Fx anECCCderE ABIK CC ad AC IH
re PfO ad Beodemodo ALCF est ad AC F: ve Pus Pad
 idco ABIR eA Ad ACIK VEAL C F ad AC L, _ p. Fmurando
ABIR CIE BA ALCE rE ACIK Ad ACL, AErATIOA BIR ad AL
CF el COMPOSEA CK PAEIONE AK ad AF _E ex raFIOHE IK ad
CE ee proinde ratio AC IK ad AC F componitur ex cildem
racionibus; ac ratio IX ad C F est inulciplicara rarionis AK ad
AE in racione P ad O e converrendo, rario AK ad AF Cl
mulciplicacaracionis lR adC E in ratione 9 ad P, e compo
nendo, racio compolica ex racionibus AR ad AF _ IK ad
C F (nemperatio Agurae AC TK ad Aguram ACF) est mulci.
plicaca racionis Ix au CE in ratione P 9ad P, quod de
monltrare oportuit.
P ROP. 56. 2 TI FO A F M A.
repolico ABIK rectangulo _ reliquis posiris ve in ante
a cedente, li super AOUrIS ABIK, AC IK, suppOnantuE CY
lindrici recti, cuius veriu (que alticudo A B, icem suPPOSitO
cylindricum super ACIK sccari a plano ipli bAC A C. IR (C,
minormalis de cam secance in recta AK: dico parallelopipe.
dum super ABIK eNe ad inferiorem cruncum cxlindrici su
per ACIK rE qP, f. 20 3d9. dupponacur planum (CcanS CY.
lindricum super ACIR produci uc lecet etiam parallelopi
pedums manifectum esteruncum ejus inferiorem ese prisimd
criangulare parallelopipedi dimidium. Deinde hc rectan-
BULUM AMTK cum inscripea linca ARP ealis propricCAEIS,VE
(lumpeo ad libicum puncto F s ducta recta DF. O ipsi AR
perpendiculari ee lineas ARYI, ACI, secarC in punctIS R, C3.
iem
Mu
AE
c
W
SuI
2

## Folio 105 — 1047377675:0121
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000121.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
Ol
A ∞5
irem ductover puncto EF plano IpA ARnormali ee inferiores
exlindricorum truncos lecanre in triangulis rectangulis ilo.
Scelibus quorum ba(eS TunE D E, CF) OF BE ad R F BCVE
eriangulum luver D F. ad triangulum super CB. Pasecerion.
ulum super DE esse adcriangulum super CF (eu OF ad RF
in duplicaea ratione D F edC F, aeque ratio D F adC F est
mulciplicata racionis AR ad A E in racione P ad Q; ee ideo
racio OE ad RF: CAmulciplicaca rarionis AK ad A F inracio-
nc 2P3dO, cumque hoc semper hac rbicunque sumaeur pu-
Atum F, Pacet exhuius 54 rectangulum AM T K esse ad Acu.
RAI AR TE rE 2PF Qad Q: aF OF semper es ad RF, ve trian
sulum supeE D F, nempe communis incerlectio plani nOr.
malis ad AK cum prismare criangulari, ad eriangulum (upex
C Es nempe communem sectionem eiuldem prioris plani cid
trunco inferiore cxlindcici super ACIK; ancecedences quo-
que quancieates; nempe omnes recx OFinter le de omnia
criangula luper DF incer se, lune aequales; e ideo re omnes
recta OE nempe rectangulum AMTK ad omnes R Enempe
AGUTaM ARTE ica omnia eriangula Cuper D P nempe prilma
erionsulare ad omnia criansula uperC L nempe inferiorem
eruncum cxlindrici super ACIK; de proinde prilma est ad
ErUNCUM rE 2 P ,F Oad 9, _ id eo duplum prismaris nempe
Paralleloxipesum super ABIK est ad interiorem eruncum cy.
lindrici recti supeF AC PK vE 4P of. 293d quod demon-
strandum erat.
Reque exhuius 54 parallelopipedum super ABIK CA ad
exlindricum eiu (dem alciendinis super ACIK vE P . Dad
hioc est rE AP f 2O ad +P Ot 2O, e proinde parallelopipe-
D. F
dum super ABPK est ad ejusdem cxlindrici cruncum supe
riorem veq PPolO.F 294ad5PD Q; acque calistru-
Cus superior idem eltcum erunco ciuldem cylindriciinterio.
re relecto a plano basem secante leminormalicer in recta BI,
 ideohuims quoque trumci nd par aIICIOPiDEdUM PRCCETAS
eio

## Folio 106 — 1047377675:0122
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000122.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
106
FiO, nempe VE 3DO O2ad ADP  6PO, F 2V.
duins.
PHOP. 57. ZTYEORP M A.
DOlieo parallelopipedo a cylindrico habere alcicudine
 AR _ reliquis re in ancecedence; ( cylindricus rectus
luper AC IK secetur aplano ad balem Peminorinali ee cam
seconre in recta AB. Dico parallelopipedu super ABIK eAC
ad inferiorem eruncum cxlindrici super AC IK in racione
Poto 204d9. Sic quadracum AM TI cum inlcripea linca A
R Pealisnacurae, ve (Cumpro ad libicum puncto F de ducta
recta D E O ip(I A R perpendiculari _ lineam AR T sCCANEC
in punctoR, icem ducto per punctum F plano ip( AR nOr-
mali, cuiusincerfectio cum erunco inferiore es rectangulum
LAEC) AE AE ad RE SCUE BA adCE. Pacer ex constructio
ne rationem AE adRE esse mulciplicatam rationis AK ad A
L in racione PadO, ee componendos rario AK adR F, HOC
eltracio RE adR, CAmulciplicaca rationis AK ad AF in Pa
tione P.F adO; _ id eo quadracum AMI TK cs ad Aguram
ARTKVED t 2 Qad G, AE VE ABIR aa AM TKica LK vel AB
DaTK (CW AK, & ideo rectangulum ABI K cl ad fguram Ak
IKin rarione compolita exratione P f. 222dQ ee exratio.
ne ABad AK. Quoniam AE. CA adR E VEB A ad C B, Cric re.
atansulum AF in C E nEmPC A E C. L. aequale rectansulo A B
in REs cum que hoc semper har, erit cylindricus super ARTI
habens alcirudinem AB aequale inferiori crunco cylindrici
super ACIK; e ideo parallelopipedum super ABIK cum alei
cudine AB eCt ad cylindricum luper AR Y X lcu truncum in
Feriorem cylindrici super ACIR vE balis ABIK ad basem AA
TK, hoc est in rarione compolira ex rarione PrF. 29 adO d
ex ratione AB ad AK, ac parallelopipedum super ABI K cum
alcirudine AB CC ad parullelopipe du super ABIK cu alcicudi-
HC AK VE AB ad AK; de proinde parallelopipedu super ABI K
cum alritudine AK est ad truncum inferiorem exlindrici su.
DEF
d
V

## Folio 107 — 1047377675:0123
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000123.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
1
per ACIKVED  202d9, quod demonttrandum exae
Acque ex huius 5 4 Parallelopipedum super a B IK cs ad
exlindricum ciu sdem alcicudinis suDee AC. IK rc P if 2 3d 9
hoc est ve PF 2 Oad GPF2OQ; de ideo paralletopipedum
PIFO
super ABIK alcieudinis AK est ad eruncum superiorem cxlin.
drici super ACIK eiusdem etiam alcicudinis AK vE PP f.3PO
2ad4; aeque calis eruncus superior idem est cum
inferiore ciuldem cylindrici crunco relecto a plano balem
Teminormalicer secance in recta IK, _ ideo eiuldem parallo-
pipedi ad hunceruncum interiorem eadem clracio.
Fx huius 29, 56 8 57 manifectum est centrum aequilibrii
RourE AC IK ica dividere rectam IK, VE pars versus IsC ad
parcem verlus K in rarione 3P,F.  adP  9. icemcentrum
aequilibrii ciusdem ACIR ita dividere aR, uc paIS verlus A
sic ad parrem versus R in racione D. F  2d.
In duabus praecedencibus, cciamlifacilicacis creria Cup.
ponacur A BIK rectangulum, concluliones camen nonmi.
nus rera lunt de Parallelogram mo quoliber; nullo enim ne-
Bocio demonatrantur ex aequalicace et analogia in magnitu.
dine ee gravitare cruncorum luper rectangulis ee corum A.
suris cum truncis super parallelogrammis quibuscunque de
eorum tiguris; quod eciam in sequencibus de Aigurislongi.
endine infinicis incellisi relim.
PROP, S8. PROBLEMA.
E TEAEE anguluS reCUS CEguE CUrrA ADF calis RATuTA, ve
(ducta recta DC ad libicum perpendiculari ad AF) 12-
EiOFF ad CD sc mulciplicacA rariOnIS AE ad AC in racione
numeri imparis cuiuscunque ad numerum proxime minorem;
Oporcet invenire rectom aequalem CUEVA AVF. v. 8. SIcraciO
EF ad C D mulciplICaCA FaTiONIS A F ad A C in rATIOnC 5 ac
Hi AIEquE (OpChuIUS 2)ur recta AE. ad curuam AF iCa re et An-
BuLH
re
P

## Folio 108 — 1047377675:0124
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000124.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
10
Sulu e  NVE ad mixtilincum ACLF, cque l2
cus rectum (nemperecta caa iu Guauaeds d se
  lempeCB  3
Luius.
I; ACb; Cl c: IL, d; CFF quorliber aequalicer crescentesa; HO
vel C A;2; manitelu est ex hums7 BC esse 1E e CD Y99 25
_ BD V9CY92S  X6Z2) ericisitur BC ad BDuEC L adt CO,
hocel+2: Vq(Y925 = 16C2) :: b: b a; e ide0 4b2 + 4 a2
2.5
Y4( Y4b12S  266222 et Equarione reducta invenitur
HO (CHZ = 2024162a2 4 5F 21ba3 4. 256lat; de ideo manite
62564
cum est analysta trilineum C IL. eNe compositum ex addi-
cione rrilineorum, quadracici, cubici ee quadracoquadraci
ci, quorum omnium axes lunc GI, de bales, crilinei qua
duins Ardciei 20241b7c2, cubici 522lbc3 et quadratoquadTaEICA
62564
6256+
2561543
De
15.
dd
Mar

## Folio 109 — 1047377675:0125
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000125.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
25 alct; de proinde rrilineum 6OLI C( 1024 (c3  12815+ 
6256+
 287562 62563
236lc5,  idco recta AF es ad curuam, AF VE ba seu reCtAR-
3725b4
Sulum AC: NF a d ba F ca = 2024 (c3 - 7281c4 - 256lc5 TCU
187562 62563 312564
mixcilineum AC L.F, dacur isirur recta ae qualis currae AF, quae
inveniende erse. Quomodoinvenineur superticies Facta ex
rocacione curra A F circa rectom A C. cuidens elt ex huius
45. Quoniam ex huius 57 Facile est invenire centrum orari-
cacismixtilinei ACFF. quod si in aequatione reducta, ex vna
Parce invenca Fuisset non 2 scd 22 (quod semper accidie, (1.
raciOFF od C D sic mulciplicaca rationis AE ad AC in rario-
nenumeri paris ad numerum proxime minorem) invenea
EUISTCE EANEUM (UPCTFICIES GENIEA CX FOFAEIOHC CUIEVK AF
circarectam AC, repat et ex huius e3 _ 43.
P R O P. 59. F E FO R F M A.
en Tc parallelogrammum ABF F, seque curra F C: HI ealis
anacurae, ve (ducta recta quacunque C+ Parallela rectae
AB Curram F FI secanCC in C: _ rectam BF in D) rario AB
ad CC Et mulciplicaca rationis BD ad BF in rarione P ad.
dicoparallelogrammum AB FP ense ad ficuram longicudi-
ne inANIEaM IIAEFOHI DE( = P adG. producatur recta BF
in M _c ducatur curra MKHIcalis nacura, ve (duccta recta C5I
tangence curram F. C HI in quoliber puncto Cr d ductis pa-
rallelisCC, KI) recta CK lic ae qualiS _ Parallela rectae C I:
manifectum cst ex huurs7 rectam AC. ad CI vel L. C ad CK
eHe veP ad G, cumque hoc semper hac, cuidens est figuram
HIFBH CNC 3dEgUrAM HI FM HL UE P ad G, aEque ex huiUS
IF ABUTA EI FM HI est aequaliS Agura HI AF FH, e idc0
figura EIA E FH elt ad Liguram H F BH ve Q +a P, 8 Per
conuertionem racionis. H AL F HL CH ad parallelOBram
tDum

## Folio 110 — 1047377675:0126
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000126.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
10
mulI S aC  = L, ee convercendo ut paraHelO:
GPAMIUM ABFF ad AGUTAM AIAEEH ita D- P ad O, quod dd
demonttrandum crae.
AO P. 60. E _ E O R F M A.
VepOlitO A BF F rectangulo de reliquis posiris sicur in
ancecedence; si super AGurIS ABFE, HIAFFHI, CupPO.
nantur crlindricirecti, cuius prioris alcicudo AB, secundi
aurem alcicudoinfinica, icem suppolico cylindricum (uper
HIAEFEI Cecari a plano iph bali seminormali de eam (CcancE
in recto AF: dico parallelopipedum super AB F F esse ad
inferiorem cruncum cylinarici suPCT HAE. F H NT29 - 41.
dd.
AC
eC
rior
dd. C
D
d
CUF
mu
de
plic
deat
3
rec
lca
eA
rc
COM
per
pOrI
Prio
HA
aqu
De)
Reu
CUr
CuIr
bdE

## Folio 111 — 1047377675:0127
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000127.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
FIL
ad. consideratis considerandis demonstracio non dittert
ab huiu556.
PROP. 62. ZHEORF M A.
Ildem suppolicis exlindricis, qui in ancecedence; lc d
L cum alcicudine BF, de suppotiro cylindricum Cuper II
AEFH secari a plano ipsi bali seminormali ee cam secance in
recta AII: dico parallelopipedum super ABF F esse ad inte-
riorem eruncum cylindrici superHIAEFE in racione 2Q = L
ad9. Sic primo Pminor quam 9. lirque re AB ad C C ita B
Dad DRprorractam verlus A E, d compleatur quadeueum
ABFO ex parre A tis icem ex omnibus punctis R imaginctur
curua BRO: Pacet ex constructione rationem BD adDR eNC
mulciplicatam racionis BD adB Finracione P ad G, de diui-
dendor ratio DR ad B F, nemperatio D R ad FO, estmulei.
plicataracionis BD 2d BFin racione O= P 2dC, d ideo qua
dracum NB FO est ad Aiguram BR O Finracione 2 Q= P ad huiuss
B AEVEABFE ad NBFO ica EF seu AB ad OF sCu BF, _ id eo
rectansulum ABFF est ad figuram BROFinratione compo-
lica exratione 28 P ad O ee exracione AB ad BF. Ouoniam
eA VE AB ad CC It2 BD ad D R, eric rectangulum AB in DR
aequale recrensulo BD in C6, ac reccansulum aB in DR CA
communis incerleccio crlindricirecri super BROF alcicudi-
nem habensis AB cum plano secance super R D ad basem
normali, ee recrangulum BD in C C est incerseccio eiuldem
prioris plani producci cum erunco inferiore cxlindrici super
ATAEFM; cumque hae incerlectiones semper coneingant ellé
aequales manitestum est inferiorem eruncum cxlindrici su
DeAHIAEEH equalem esse cylindrico super B R OF alcicudi.
nem hrabenci AB; et ideo parallelopipedum super ABF F
cum alcicudine AB cC ad cxlindricum (uper BROF scu EruM-
cum inferiorem exlindrici luper IIAEFH ve balis AB FF ad
batem BHOF, hOCCH in PationS CompOHICAEX FaFIONE Z
E

## Folio 112 — 1047377675:0128
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000128.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
12
adO_ exrarione AB ad BF, ac parallelopipedum super AB
FF cum alticudine AB elt ad parallelopipedu luper cade AB
FE cum alricudine BF ve A B ad BF; e proinde parallelopi-
pedum super A B F F cum alcicudine BF est ad interiorem
truncum eplindrici (uper ITAFFHI VE2O =P ad On quod ac.
OuodsiP Eic maior quam O; sE ve AB ad C C ita BD adC
R DFOEEACEAM VerSUS LK, _ COMPIOAEUT QUAdFAEUM NAEO
ex parte L. R, item ex omnibus punctis R imaginetUF CUrUa
ORII: paret ex constructione racionem BD ad CR eNse mul-
ciplicaram rarionis BD ad BF in ratione P ad 9, e sumendo
excellum ancocedentis supra consequentem ad conseguen-
cem, ratio BF ad C R nempe ratio FiO ad CR es mulciplica
Ca raFiONIS BD ad BF (CU AC 2d AE in raeione D - O2d C; 8
ideo quadraEum NAFO est ad siguram longicudine infni
EAM FTAEOH NE 2O = P ad Q, AEVE ABFF Adt NAEO iFZ F F
SCu AB ad FO seu BF, e id eo rectangulum ABFE eA ad H
BUTam ATAEOIT in eatione COmPOLICA CK ratione 2O -P ad
D_ exrarione AB ad BF. quoniam eAt vE AB ad CC ita BB
ad CH, eric rect angulum AB in C R aequale rect angulo BD
in C C3 de rectangulum AB in C R es communis incerlectio
Cylindricirecti super HIAEOII alcicudinem habencis AB Cu
plane seconce super C R ad basem normali, et rectangulum
BEd in C C est incerlectio eiuldem prioris plani cum erunco
inferiore cxlindrici super HAEFHI; cumque hae incerlectio
Dessemper contingant ese aequales, manifectum est inter
riorem eruncum cylindrici suPex HAEFH aequalem esse cy
lindrico super ITAE OFI alcicudinem habenci AB, 8 id eo pa
rallelopipedum super ABFE cum alcirudine AB cA ad cytin-
dricum super HIAFOTI seu rruncum inferiorem eylindrici sun
DeTHIAEEISUE BBHS ABPE ad baseM HIAEOEI, hOC es in raTIOL
ne compolica ex rarione 29 = P ad d ex ratione AB ad
BF, ac parollelopipedum super ABFE cum aliicudine AB es
ad parallel opipedum super eadem ABFE cum alcieudine BP
ut A B ad BE; e proinde paraILELOPIPEAHM CUPET ABFE CUm
alCi

## Folio 113 — 1047377675:0129
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000129.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
et
d
10
1Or1
1
et
Iu
II
1
d
A
e
O)
273
alcicudine BF es ad inferiorem truncum cylindrici supep
ITAEEET VE ZO -P ad C quod demonttrare oporcuie;
Exhis de huius 29, 37, non distieile cs colligere cenrrum
aequilibrii Agura PIAEEM ica assignari in recta AIB nempo
AB ese ad diltanciam centri equilibrii a puncto AVE2C qV
adP; item eiusdem Reura cenerum ae quilibrii ica diuide.
re rectam AF ur pars versus A sic ad partem verlus L in raz
tione  P ad0.
P R OP, 62. Y II PO X F M A.
en lEquadrans circuli K DO EI _ recta DA parallela radia
LDEIK, Sicque curra DEHIcalis nacura, re (ducta recta qua-
cunque Erl parallela de aquali recta D_ curram circularem
(d
16
Seconre in O _ curram DFH in F) rario CFde ad EF sic eripli.
cacararionis (t adOI. dico quadrancem circuli KDOHesla
AA SGUTAM RDEHI vE4 ad. 3, hoc est, curram DFHI diuidere
IU
anCC circuli inrarione 3 ad r. ducacur curra FBD calIS.
d
MB.

## Folio 114 — 1047377675:0130
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000130.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
114
naTurX, ve (ducta recta F. C tangenEe curvam BIED in quoli
bec puncto F. _ ductis parallelis FF BC) rectA FBACaqua
lis e parallela rectae CF: manifectum est ex huius7 rectam
CF seuBF eNe criplam rectae P O, cumque hoc semper Aac,
evidens cA Fguram HIBDE eNcrriplam Hgure FIODFs acque
ex huius eY AgUTATIBDE eA xqualis Agura TIEDR; de prO-
inde Egura FIFDK eR ad Rguram FTODF in ratione Z ad 13
dividit ergo curra HIFD quadrancem circuliin ratione 328
2. quod demonstrare oportuit.
Ouod si rario CIad F I eNer quineuplicata racionis Cl ad
OI curra HE D quadrancem circuli diuideree in rarione 8
dd 3; E aurem sepeuplicata inratione 7 ad5; d lic in pene-
res liratio C Iad FI he multiplicaca rationis GT ad OI in ra
tione cuinscunque numeri imparis adrnicarem, curra HIFL
dirider quadrantem circuli in racione ciusdem numeri im
paris adnumerum imporem proximeminorem, qua omna
demonstrantur sicuc hoc cheorema. Lodem prortusmodo
demonstracur no solum illa Vallihi incerpolicio qua spacium
cissoidale mensurat inlibro de creloide, sed eciam omnes
Fortalis aliae quae imoginaripossune, suppolica primae incer-
Pohica tigura mensura. Guod Ciracio C lad E. lGc mulripl1
cacarationis CTadO I in ratione numeri cuiuscunque paris
adrnicatems Facile daretur Agurae IEFIED quadratura opC
huius 5q. uc docer Vallihus in sua Arichmerica intinicorum;
e ideo innorescie in recta DR centrum aequilibrii hgurae
DEFK opChuius 37. Hlinc cciam evidens cst DEF eandem
semper habere racionem ad D E.O quam habet I F HI K ad
DE FIO, quod summopere nocandum, nam (praecer mulca
alia pulcherrima problemata) si secetur conois parabolica
plano ad anem porallelo, ex daca eiuldem ab axc diltancia
dabirur huius ope urrumlibes conoidis scemencum.
Sa
Dat
N

## Folio 115 — 1047377675:0131
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000131.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
qu
e
edt
1
Dt
Eccurrae cycloidis primaria semilts C BAeiuS BaHSCC; avitu du
acirculus
genitor AF. C: basem tangens in puncto C, a
diameero CA. dico curram C BA duplam eNC reCtR A C. RIC
AILC quadracum, SiEque Agura NACLN calis naturE, ve
(ducta recta quacunque PM parallela rectae AI) rario AI
vel AC ad FM sic Cub duplicata racionis AF. ad A C: manife.
PRO P. 63. Y E EO R F M A.
RuM eA ex huius 59 Fguram inAnicam NACL. N esse duplam
quadrati AIL.C. per Ldiamerri A C punctum quodlibet du-
Cacur BM rectE AL Parallela Cyeloidi _ CurVX L N OCCUrrCNS
in punctis B, M. Secans circulum de rectam IL. ve in hgura;iun-
DanEuF recta A E, F C, d illis parallela DB, BH: ex huius8
Patet BD rangere cycloidem in puncto B de BMI contingenci
esse perpendicularem. nE BF adBIT ItA EF ad FC: SeuFA ad
AE, acque racio AF ad AC duplicara es racionis AF ad AF,
e ideo ratio A F ad A C est duplicaca rationis BE ad BHI,
sed. ratio AF ad AC eA eriam duplicaca rarionis AC ad FMI,
Ridcoue BE ad BFT ita AC VeI FK ad FMI, cumque sCMPCE
iCA sIE, PATCE ex hHIMS 2 rectam A C eNe ad curram AB C. IM
P. 2
F4

## Folio 116 — 1047377675:0132
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000132.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
2Y6
racione subdupla, nempe re quadracum AIL. ex ad Aguram
NACFN quod demonstrare oporruie.
aR OP. 64. X EI F O K B M 1
Tecircull lectore AB includens spiralem AFC calis na.
a curx, re (ducta recta quacunque AP. productaareum
secance in D) racio A C ad AF sic mulciplicaca racionis CB
ad DBinracione P ad 9. Cic angulus rectus FIK de curua FFII
calisnaturx, re(ducta recta quacunque GtIparallelarecta
IKD racio IK adCHI sic mulciplicara rarionis Ll ad L. C inra;
eione Pad O; patet ex huius r4 rectangulum F NK I AGuEK
FIK circum seriptum ese ad Aguram P IIK P VE arCUS BC ac
axem Agura spiralis A F. C erolucae, de proinde exhuius54
arcus BC CA ad AXCM AOUTK AFC eroluca ut P,L. G ad O. AE
veP Dad O itaarcus BC ad rectam FP, cui lic normalisre-
eta lK aequalis rectae AC, AIEqUe AGUTA FFTKL caliS RAEUERS VE
(ducta recta quacunque C HI Porallela recte IK) racio PR ad
CHICe mulciplicoca rationis FT ad FC in racione P ad P. :
dico hguram FHIMI eNe Spocium spirale AEC CVOIUEUM. P.X
rectae Fil quoliber puncto C sic rectae Flnormalis GFI OcCur.
TENS CUEVX FHK in H sicque rectae CtI aequalis AP producta
in D. AECuS BC CHad axem ABUrX AP C cuoluEx nempe LL
l
llc
Are
ue
dec
EI
aC
ip
ut
a
dC
eA
c
D
nC
O+
en
eR
ec
e

## Folio 117 — 1047377675:0133
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000133.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
pi
ve Dsi  2d C; eodemq: modo arcus RL CC ad AveM ABUTH
AE CuOLUEA DE Ps CE ad C _ idcOvcarCUS BC ad rectum PL
ita arcus Ce ad axem Egurae AE cuolura, de permurando, re
arcuS BC ad arcum L B iEA reCCA FI ad axem AgurA AF cvo
luca, ae racioarcus BC ad ArcuM LP eA Compolica ex ratione
arCHS BC adBID de ex ratianc arcus BD ad arcum L F scureCtE
CA ad rect EEA, Se ideo recta FI CH ad aXem AGurE AB evOlU.
te inrarione copoliea exracione arcus BC ad AECUM BD SE CX
racione rectae C A ad rectam F A; Ced rariO C A ad F A eAt imul.
ciplicara rarionis BC ad BD in racione P ad O, de conuerten-
dos componendo de rursus converrendo, racio AC. ad AB Peu
IXadCHIeA malciplicata illiusracionis (quae componieur
exracione arcus BC ad arcum BD de ex racione recte C A ad
reCtaM E. A) nempe rarionis rectae llad axem AgUTE AE CuO-
lurae in racione P adP. 2. Sed rarioTK ad G: FI est mulcipli.
Cata rationis FI ad FCin racione P ad P O; a proinde F. C
esaxiS ASurA AF cuolutaes Puncque FA, CiHI, aequales; e idco
(cum hoc semper Hac) manifectum est ex huius r4 e eius
consectario Aguram FFIKI eNC Aguram AE C crolucam, quod
demonctran dum eraE.
Figura FITKI est illa descripea in huius 5 q, cumque pore-
ric inreniriresta illam cangens in puncto dato ope huius 73
porerie quoque (exconfectario huius 18) recta duci spira-
lem AEC. tansens in puncco daco: Caepisime criam (VEDaTCE
ex hViuS 58) inveNIEUFRECEA aequAIIS CUEVA FHIK, quae eciam
aequalis eA spirali CurVa AFC.
Ope huius +5 vel 26 nullo negorio probatur secrorem
BAC esse ad spacium spirale AEC UC 2P F Pad.
P R O P. 65. F IZ F O R E M A.
Ic circuli secror C AB includens spiralem AF C caliSMAS
cura, ve (ducrrecta quacunque AF producta arcum le.
CanECin D) rasiO D ad BA SC mulsiplISaTA raTiONISC. D ac

## Folio 118 — 1047377675:0134
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000134.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
T+8
CB in ratione P ad O. SF FN equalis rectae B A, icem anouluS
rectuS FHR e curra FK calisnaturae, ve (ducta recta quacun-
que HIMI paraIIClAreCTE FN) PAEIOHIM ad FN EEmulciplicata
rationis RM adKNin racione P ad 9. copleatur rectansulum
FNKI producacurque MEI in C; de ducatur recta D A, ita VE
DE Cc aequalis rectae HM, de ideo F A aequalis erit recta
CTI. RatiOD F ad BA CCuFIM ad FN es mulciplicararario.
nis CD ad CBinrarione P ad 9, acque ratiO FIM ad F N eAE
mulciplicacaracionis RM ad KNleu LC adIE in cadem rario-
ne Pad O: _ ideove CD ad C B ita IC, ad IF, eAque reiK ad
CHIita AC ad AFs _ id eo C ex huius r4) ve rectangulum
FK ad ASuram FFTKI hoc eA (ex huius 54) uc P, F. O ad P ica
aecus BC ad axem hgurx AFC evolurae, qui sic F Preliquis
manencibus uc prius, licq: curra FTK calis nacurae, ve C ducta
recta quacungi SrII parallela rectae LI) IF Sic adST ut Agura
FtIulad tguram FTIC. Dico Aguram FTKI eNe spacium spi
rale AEC crolurum. Manifectum est constructione rectam
II esse axem Agura AF C euolura; codemque modo (rE
prius oMenlum cst) demonstracur rectangulum FFI esse ad
fOOTAM INSCrIDEAM FFT C UE AECUS L F ad aXCM (IOUE~ A P
evolucae. RacioFI Seuaxis ABUEX AFC euolurae ad axem A.
Gurae AF erolurae est compolica, exracione rectae F I ad oY.
CU BC sEW AOUTA FFTKI ad rCCtaNGUIUM ANKI, ex racione
arcus BC ad arcum B D scu recta IF ad rectam FC. (quod C
probo, ve CDad C B ita IC adIF, e diuidendo, de con
vercendo, ve C B ad BD ita IF ad FG) Peu rectangu
li FNXI ad rectangulum FNMC, ex racione arcus BD
ad arcum L. E seu recte D a ad rectam F A nempe rectE
CMad rectam CTTT seu rectanguli F NM C ad rectangulum
FSHC, de exracione arcus P L ad axem AgurA AF cuolUTE
leu reccanguli F.SHIC ad Aguram FHC; ac parec rarionem
Asure FHK Lad Aguram F. H C componi ex eildem rarioni
busu de id eore Flad axe Agurae AF erolucae ita Agura FFIKI
ad Aiguram FII Om hOC CAVE F L adSY relEV, estisieur LV
aRIS
Ca

## Folio 119 — 1047377675:0135
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000135.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
BUI
et
axis AGurA AP evolurae, cumque ordinacim applicaca V Y
sic aequalis rectae AF, de hoc semper hac, vbicumique lumacue
punctum E, manitectum est (ex conseccario r4 huius) figuram
LTKIese spacium spirale AF:C cuolurum, quod demonstra-
reoportuiE.
Opchuius y porest ducitansens ad curram FTK. cum (IC
e numerocari quas Cartehus appellat seometricas, de pro-
inde pocest per huius 2. comparari cum luo axe vel balc, cui
li reperiseur rectaaequalis, erit eadem recta ae qualis curra
AFC; ve cunque potest semper duci recta FanBEHS CUEVaM
AFC in puncto daro opc consectarii huitis 18.
Exhuiusss de 5y nullonegocio invenitur sectorem BAC
esse ad spatium spirale AFC UE Of3PO 2P2ad 2P2.
Suppolico rellurismocus linea descripra à graui descen.
dence rerlus centrum cerra A esec C F A, Si modoratio P ad
Ouc dupla; de quamaena orea est concrouerlis incer cele-
berrimos Machematicos RR. P P. Scephanum de angelis de
T0an. Bapciltam Ricciolium, quae Forcasse dirimetur, si con-
Aderet doctimimus Ricciolius rires impulsuum esse in dire-
eta proporrione cum velocicacibus, quibus oppropinquaE
corpus mobile ad corpus relistens, abstrahendo ab omni
aliomoru; mihi enim nihil apparee cridentius; neque rilus
CA architectura militaris pericus, qui praecedens axioma
non supponie in tractando decormentis bellicis. Quod ad
concrouertiae parcem pure geomerricam, exictimo nullum
nune dubirare, quod graue cadens in centrum cerre tempo-
re sexhorarum semper sc extra semicirculum. Pridens est
calculum R. P. Scephani de angelis (dia lo80 primo Pa8. 29.)
esse lesicimum; demonstrario aurem D. Mantredi (qua con-
crarium octendere conatur pa8. 57.) in hoc cA erronea, quod
cacice supponac (ponendo C HI A lemicirculum) gravis de
censum ad centrum cerrae durare sexhoras; nam cencrum
accinsic (supponendo Riccioliobserrationes de cerrae lemi-
dimerrum pedum 25870000) tempore minutorum 21 le:
Can

## Folio 120 — 1047377675:0136
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000136.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
(2C
cundorum 53; neque in his vilius est momenei Eive motus
tiane ab inerinseco vel exerinseco, geomerria enim de catica
abcrahune eb omni causa phylica, quippe incerta de non
evidence.
PKOP, 66. ZF FORF M A.
 Tecirculi (CCEOFL RM, CodemgHE CeNErO aECUS HITSimI
Lis areniLM, Aeque spiralis NOM calis nacures recducta
RECEA QUACHNQUE RSOR) PATIO RECEA SO ad RECCAM TM CE
mulciplicatarationis arcus LK ad arcum L. M inrarione P ad
 FBC aequaliS reCEA MI P, BEI ad libitum, irem anpuluS
rECEUS C BFI, _E CurVa BVL EalIS RACUTR, VE (duCtA reCEa qua
cunque L V parallelareccae BC:) racio F V ad BC Scmulciplio
Caearationis B F 2d BFI in ratione D ad O: Complenturre-
Ctangulum BCITI, _ siE rectangulum ABIIC cuiuS lacUS AB
EqualerecreTR: ex huius sqpacer rectongulum BCIIT eNe
aA EGUTAM BVITTVEP F. QadQ; dUCAEUERCCEADEVL, IFAVE
L.V sc equalisrecre OS e ideoRO eAt EqualiS RCCEE DV
ratiOF. V ad FII seu OSadMT est mulciplicaca rarionis BF ac
BHinracione Pad C, sed racio OS ad TM est mulciplicaca
rarionis LK ad LM in eadem rarione P ad O _ ideoveBF ad
BEITA LK adt LMI, _E uE DV ad CI itA RO ad RM, _ ide0 ex
huiuS =4) uE ACIC ad ABVIC ica arcuS L. M ad axem sigu
TEMONR euoIuEX: sICVE ACIC ad ABVIC iEA arCUS L. M
adrecram BEI reliquis in Agura ACIC sC habecibus ue prius3
Aeque curra B Z I calis nacura, ur (ducrarecca ad libieura
XZ.V ParaIlelareCTe BHI) AGurA ABVIC SIC ad figuram ABVI
ve recta BHIad rectam XV. vel A8. Dico Acuram ABZIC esC
spacium spiraleR N OM erolurum. Manitestum eA CX CON
ATUCLIONCRECEaM AC CNC AZEM ABUTK RNOM CuOluEX; CO-
demque moco (uc prius octensum est) dEMONArATUF RCCFAN
Sulum AV esse ad AgurAM ABVD uC arCUS 4O ad axem H-
Surae RHO enolurX. Rario AG sCH aXISABULA RNOM euO
IBEIE

## Folio 121 — 1047377675:0137
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000137.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Ol
21
em AOUTKRNOC
eroluEX
d.
e
Ura RI
luex 
NC aZIs
Vie
LK seu
io
AB
et a
nACIO
ta lC ad rectam
e
1SL. I
ouli ACICaC
Etangulum ACFD, ex ratione
rCuSI.
1
m
IM
Oleure.
etxKR adrectant npe auecalis al
FD ad rectan gulum AXVD, _ exracione arcus 4d ad arem
L
e
it
0
sit
it
C
it
Egura RNO crolurae seu rectanguli AXVD ad Aguram AB
VD; ac perspicuum estrarionem Agurae ABVIC adhisuram
ABV D componi ex cildem racionibuss ee ideo uc Asura
ADVIC AAROUFLM ABVD (CUVE A C+ ad AB Ita AC, 2ZISR-
Surae R N O M eroluea ad axem Agura R NO evolucae, qui
sieur est A8; cumque ordinatim applicata 82 scaequalis re-
Etae VR, ee hoc semper hae rbicunque lumatur punctum O,
manifettum est (ex Consectario r4 huius figuram AB L ICX
ese Aguram RENOM cuoluram, quod demonterare opOrruIE.
Curu. BZ L es ex carum numero quas Carrelius appellaE
Seomerricas, e isitur per huius7 Pocest duci recta cam
cansens in puncto daco, porest quoque comparari cum re
eta opc huius 23 a proinde curua quoque NOM illixequaliso
eique duci consens in punctodato.
Lxhuius x5 _ 56non disticile crit demonstrare (Pohea
ratione LIL ad HGreP ad Y) sectorem RLM eAC ad figuram
2
R NOM
td

## Folio 122 — 1047377675:0138
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000138.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
RNOMvED ad V2
Da
V  2P 
el
D2. +.2PO
Norandum demonstracionem 65 e 66huius esse maximé
vnivertalem, Ced praelo currence non memini illam debito
Locoinserere.
Hric examinauimus eria spiralium genera; quorum primu
idem cA cum illis duobus, quae mensurauit R. P. See phanUS
de Angelis in libro luo de Spiralibus ec in fine lib. 5. de pa-
rabolis; secundum quoque idem est cum iltis duobus, quae
dimensus est in libro de Spiralibus inversis; cercium eriam
excositauic idem Machematicus Pagacissimus, illudque mihi
nuper communicauit.
Summopere nocandum omnem figurum porte concipi
licue inuolutam, ee mechodo notra invenietur eadem cuo,
luca; hinc enim non parum augmencerur geometria.
AdeoFercilis cAhaec nostra mechodus, ve disticile fere AE
aliquid proponere illi omnino imperrium; quod uc experia
mux, Coluantur duo illa problemata quae proposuie RenaEUS
Francilcus Slulius in prop. 8. ac infinieis hrperbolis R. P.
Scephani de Angelis. Sit AB, b; BD, a; sicque sccundum ce-
norem quaestionis, veb. ad ba = a ica a ad ba3 = at quadra
12
cum rectae DC, de ideo (ex huius 54) summa omnium qua
dracorum ab inAnicis DC eric bz, ac lumma cocide qua cruco
20
rum reCta AB CA b3; cum ieaque hae quadrREOTUMI sUMML
sine duplae cruncorum inferiorum, qui secaneur in cylindri
eisrectis super ACB, AE FB, a plano baCi leminormali, crit
(exhuius, 23) uc b3 adb3 nempe re 20ad x, ica cylindrus ex
20
rOTAEIONE AEFB circa AB ad lolidum rocundum ex rocario
neACB circa eandem AB. Sic secundum propolicum vein
eiu sdem de intinitistyperbolis prop. 10. lrque racio AB ad
C
d
I
NC
eX
de
er
CC
EI

## Folio 123 — 1047377675:0139
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000139.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
b
BD mulciplicata racionis AD ad DC inrarione P ad O: sIE.
queracio AB ad BD mulciplieoca rarionis E A ad DO in ra
eione P ad O, manifectum est FOB esse curuam in huius54
descripeam; _ ideo cubus ex lacere F A vel A B est ad inte-
riorem eruncum cylindrici recti super FOBa relecti a plano
halem seminormalirer secanre in recta P A UF P2,f. 3PC
 29 adOSClt AUTEM DE EA edDO ita ex posiciOne AD
velxHIadDC; d ideo rectangulum F A in DC aequale cA
rectangulo DO in RHI, cumque hoc sempertiac, manite
Aum est cxlindricum super ACB (cuius alcicudo FA) aequa-
lem esse rrunco inferiori cylindrici recti super FOBA relecti
aplano basem leminormalicer secance in recta P A, e idco
VeD. F3PCf. 2920d92 ica F ABF ad AC B.
Hlaecproblemata parcicularia a me lelecta lune tanquam
difficiliora e maioris momenciinter geomcrrarum inventas
rlera quedam a me nunc primum foluca;cocus namque archi-
medistractarus de sphaera e Crlindro Facile demonstratur
ex huius 3ad modum huius 46e aliquot sequencium; libee
de conoidibus spheroidibus ee cora Luce Valerii doctrina cx
huius2c; coca Culdinis loannis de laFaitle de Andcexe lac-
quec docrina ex huius 35 ee aliquoc sequencium: FacCOELa
menme nullomodo pocuisse invenire rationem inter CuruT
ellipticam vel hrperbolicam de rectâ, cciam (i in hoc tracta-
culo mulei diverli linc modi illas examinandi; ica uc Facile
credam hanc rationem esse non Analvrica de vnooradu ese
superiorem illa incer circulum de diamerri quadratum, sed
hioc demonstraru non elt edco facile. Non praecendo hanc
mechodumr inservire retolurioni omnium problemarum ir-
reculorium, quae infinita unc numero d ditticulcare, qualia
praelerrim unc illa de corporum ee superticierum sectione
irre sulari 3 planis, rel aliis superticiebus, incer quae tamen
lequens exhibeo lacis pulchrum, placer enim miscellanea
Judedam non prorlus inurilia hicadiungere.
0

## Folio 124 — 1047377675:0140
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000140.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
24
e ROP. 67. E E E O R F M A.
IECOnUS reCtUS AFO, CuiUS aXIS A MI, qui sCCETUF a duo
aD busplanis AML, AMC, quorum incerfectiones cum co-
ni superticie (int rectae AL, AC; secerurque ad huc idem co-
nus AFO aplano recunq: eficiente cum superticie conicom-
munem sectionem GF BIL curuam; ica re abhis sectionibus
 Carctur aOPramIS Gua COMCAAIMCEBICuIUS
ALM AMO. MCtBlL de luperticie conica ACLbIL: C4
2 2 15
veriex Ac vaustisala oemaa tetbusplanio
eu
d
2
1

## Folio 125 — 1047377675:0141
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000141.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
Mb
aris punctoM erium plinorum communi sectione in lacus
coni AFlc perpendicularis rectaMF. Dico prramidem (Cu.
susbalis cst planum aquale superticici conicae AOFBIL. e
alcitvdO MF) aequalem eRe prromidi COnICA ALMOFBI.
Si dicae prramidesnon lint aequales, sc earum differentia as
se prramidiconicae in seribatur prramis AMCFBIL. conttas
ex prramidibus erian gularibus MOFA, MEBA, MBIA, MI
LA; eidem quoque prrammidi conicae circum scribatur alia
prramis conttans ex prramidibus crian sularibus MTIIdA,
MDCA, MCKA, ica re difterencia pyramidis inscripex _e cir-
cum seripea sie minor quam a. Manifectum est prramidis MFI
DA alcicudinem esse M F, ex suppolicione enim criangulum
FrDA conum cangit, _ ideo normalis Cx M ad ETDA in rectu
contactus seu lacus coni normaliter cadit: eodem modo
probatur M F ese alcicudinem, ex rerrice M, omnium reli
quorum prramidum erian sulariums c quibus conaacur pyea
mis circum scripea, e ideoprramis, cuius balis aequalis est
omnibus criangulis AHIO, ADC, ACR, d alcitudo MI,
aequalis est prramidi circum scripeae; ae proinde maior prra
mide conica, sed maior criam eAt prramide cuius balis est
planum aequale superticiei conica ACFBIL. de alcicudo MIF,
quoniam eandem cum illa habens alcicudinem, balem habce
maiorem, quippe illi ( dum connexa existic) circum scriped.
Deinde preamis criangularis MCTF A (POACA vertiCCM) mi-
norem habee alcicudinem quam M F, quoniam eius baHS Ca
dicinera supertciem coni, eodem modo omnes prramides
triagulares prramidem inscripram componences minorem
habene alticudinem quam Mt, de ideo prramis (cuius alci-
tudOMF _ balis egualis balibus omnium preamidum erian-
Sularium prramidem inlcripeam componencium) maior est
prramide inseripea, Cedhaecprramis minor est prramide
balem habence plonum aequale superticiei conica ACF BIL
e alticudinem M F, quoniam eandem habens alcicudinem
basem habee minorem, nempe illi dum convexa exittirin-
TCrIPEALd3
l2

## Folio 126 — 1047377675:0142
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000142.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
F26
Ecripram, ee ideo prramis inscripea mulco minor est eadem
prramide balem habence planum xquale superticici conicE
ACFBIL d alcicudinem MF. Ccd pyramis inscripea criam
minor est prramide conica; prramisisitur inscripea minor
eA prramide coniea er minor eriam preamide conicam (u.
perticiem basem habence, prramis rero circum scripea utra-
visharum pyramidum demonstrata cA maior, et ideo maior
est differecia incer pyramidem circumscripeam et inscripeam
quam incer pyramidem conicam ec prramidem quae Cuperhi
ciem conicam probase habet; sc d differencia interpyrami
dem circum Ccriptam ee inscripeam eAt minor quam a, de pro-
inde differentia incer prramidem conicam e prramidem
(duxe supersiciem conicam pro base habet) est muleominor
quama, quod cA abCurdum, ponitur enim a differencia inter
dictasprramidesi non ergo differunc pyramis conica AMC
EBIL _ prramis cuius balis eA superficies plana equalis co-
nicae superticiei AGEBIL d alcicudo recta MF, de ideo
aquales lune, quod demonstrandum eroc.
Ex verrice coni Ainbalem prramidis COniCA MCFBII. (A
OpusCA) productam demitratur perpendiculoris recta AI;
manifeltum es ex hoc Theorcmare M F eHe ad ANVEDaHIS
Pyr.midis conica MG EBI L. ad superficiei COniCX pOrrIO.
nem ACEBIL.
P R O P. 68. Z HI P O R F M A.
Si in rectilineo quocunque aequilatero assienetur punctum; e ab illo
puncto in omnia rectilinei latera demittantur perpendiculares
recta; erit rutanculum ex semisse summa perpendicularium es
es perimaro rectulinei ad rectilineum, vt numerus laterum re-
Etilinei ad unitatem.
SIcrectilincum aequilaTerUM ABCDE: a puncto O intra
rectilineum demiccantur in omnia rectilinei lacera PeI:
Den.
U
e
21
et

## Folio 127 — 1047377675:0143
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000143.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
det
inot
+1d
i0
A
s
Ib
LL
pendiculares rectae OR, 95, DY,OG. OP. dico rectangulu ex
Cemissae summae perpendicularium et ambitu rectilinei ese
ad rectilineum renumerus lacerum adrnicatem. Fx puncto
Odividatur rectilincum in criangula AOB, BOC, COD,
DOF, FOA, quorum criangulorum bales ex suppolicione
lunc incer se aequales. Triangulum AOB est aequale rectagu-
lo ex lemisse perpendicularis OR s balc AB, cum que omnia
rectilineilarera sinc aequalia rectxe AB, erir rect ansulum ex
Cemille perpendicularis OR de ambitu rectilinei ad rectan-
sulum ex lemisse perpendicularis OR e recta AB scurrian.
sulum AOB, re numerus lacerum rectilinei ad rnitarem, co.
dem modo in quoliber ex reliquis criangulis, re rectangu.
lum ex Cemisse perpendicularis ex crianguli verrice Oin ba-
em demissa e ambitu rectilinei ad idem eriangulum, ira nu-
merus lacerum rectilinei ad rnicatem; cumque omnia erian-
ula simul sine aequalia ipsi rectilineo, ee omnia dicta rectan.
sula sine aequalia rectangulo ex lemisa lummae perpendicu.
larium ee ambitu rectilineis erit re rna ancecedencium nem-
Denumerus lacerum ad rnam consequentium nempe rnita.
rem, ita omnes ancecedentesnem pe rectansulum ex lemil-
Ec summae perpendicularium ee ambicu rectilinei ad omnes
COB.

## Folio 128 — 1047377675:0144
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000144.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
BE
OPOTEMIE.
consequened ipsum rectilineum, quod demonstrare
CONSE CT A R IV M.
Tnc sequitur (A in rectilineo aequilatero quocunque
a a assignentur duo puncta ee ab eildem ad omnia recti-
linei lacera ducaneur perpendiculares) perpendiculares ab
uno puncto demisas aequales este perpendicularibus ex al
cero puncto demis.
P R O P. 69. T HI PO R F M A.
Si circuli circumferentia dividarur in partes quotcunque aequales es
numero impares, e a quolibet peripheriae pucto ad omnes eiusdem
divisiones rectae ducantur: (i circulus dividatur intres partesi
equales, erit summa primarum aequalis oltimae: si in quinque,
erit summa primarum es ultima aqualis summae secundarum;
si inseptem, erit summa primarum es terriarum aequalis Cumu
mae secundarum es Ultimae: si in nouem, erit summa primarum
tertiarum es oltima aequalis summa secundarum es quarta
rum; atque ita deinceps in infinitum.
Dicimus antem rectas primas esse illas, qua ducuntur ad divisiones
ex viraque parte puncto assenato proximas; secundas, iltas rectas
quae ducuntur ad divitiones primis ex vtraque parte succedentes;
tertias, quae secundis (uccedunt, _C: rectam verooltimam, il
Jam qua ducitur ad divisionem a puncto assenato remorissimam.
Iccirculi circumterentia ABC DF diuisa in parreS quOE
cunque aequales in punctis A, B, C, D, C, licg; O quod
libet punctum in circumferentia; à quo ad omnes divisio.
nes ducaneur rectae OA, OF, OB, OB, OC: dico summam
primarum ee vicimxe nempe OA usa OF  OC esse aequalem
Cummae lecundarum nempe OB. f. DD. Lix puncto O aUCaTUE
cir

## Folio 129 — 1047377675:0145
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000145.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
220
dE quoniam rectaOA, OB, OC, OD, DE, CMCIUNEInEeF CC AM-
Y, RFSS FXY, MFN,
Ecium inser (c eciam angulos xquales: censro isitur lde-
t
B9
recte
Circuli diametar O F, de per punctum F ducaneur rectis O A,
OB, OC, OD, OE, PaFAIIOIE OFD, ETV, RES, FXY, MFNB
esd
28d
s
sa
MI
iM
q
i
ss
11
2d
Ecribatur polygonum aequilacerum ee aequiangulum GHIL
H L, cuius lacera bitariam ee ad angulos rectos (CCenEUE a
rectis per F ductis; e proinde eadem lacera normaliter le
ceneur a rectis per ductis, prioribus quippe parallelis, de
ideorectae FP, F.S, FN, FV, FY, Cune aequales rectis O2, O2,
05.

## Folio 130 — 1047377675:0146
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000146.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
F3C
05, 04, O3, Ex intecedentes arque recta 92 luperat rectam
FP CxCCRU AO, e recta 05 superat rectam FN exccNu OF,
de recta OZ. superac rectam FSexcessu C O; igitur rectae O2
OSuf OZ. sUperanEreCtAS FP FN afLS CxCCNU AO uta OF.
 DC: recta quoque FY superat rectum OZ exceHuOD, de
recto FV superac rectam O4 excettu OB; _ ideoFY LFV lui
Perat 13,O4 excessu OD,OB; cumque in serie quancita-
tum C2.O5O2 F.P a.FN.FS, PY sa FV, 03.FO4, Tum.
a extremorum 021F, 65,,OZ f O3,F. 04 sic aequalis Cum
mae mediorum FP, F.FN. F. FS.FFY of. FV; eric differentia in-
ter primam ee lecundam nempeOA,, OF.FDC aequalis dit.
terenciae incer cereiam de quartam nimirum OB f. OB, quod
alemonctrandum erAE.
P R O P. 70. Y H E O R F M A.
Si circulus parabolam in pluribus punctis secuerit, e quibus in axei
eectua
ex vtraque parte rectae perpendiculares demittantur; erit ea ab
vna parte axis aequalis illis ab altera parte: quod si ab utraque
parte in duobus punctisillam secet: erunt similiter duae ab Vna
parce simul aequales duabus ab altera parre simul.
IEpara bola P ABC C quam secet circulus in punctisP,
 A.b,C: quorum nullum cst parabolx vertex. a puin-
AisP, A, B, C. demittantur in axem eidem ordinacim appli
CATX AFI, BX, MC, PH: dico ordinacim applicacas exrna
parce axisnempe AHI, PH, aequales ene ordinacim applica.
Eis ex alcera parte axis nimirum rectis BX, CM. Producan-
cur rectae PA, BC, donec concurrant in D; ericque rectansu-
lum BDC ae quale rectangulo ADP, e isitur rectae parabo-
lam PABCCtansenteS pATAIICla rectISDC, DP, aequales
erune, quae igitur se mutuo incersecent in parabolae axc, ta.
ciences cum cidem ordinacim applicaris triangula io(celia:
igitur DP, DC, illis parallelae Faciune cum eisdem ordi.
natim
sint puncta earum contactur E, T, Ergo guncta QY socabitur
a
ob ano parabala bitaria et ad augu. nietos. Et e erit
aqualat dimidio duuu AH, XN. EA TC aeque dimidio duam
3X, CM.
Ergo aissanet AH N, aquar PX, CM.
est
t. 1. e
ob circo
17. l.3. (on
A
EP
1

## Folio 131 — 1047377675:0147
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000147.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
O
l
nacim applicaeis criangula iloscelianempe DL. B, DOP; aH
BuliergODBL, DeZ. Cuncaequales, Ced ee anguli ABD, DP
C, lune aequales, et ideo anguli ABO, CFZ lune aequales,
criangulaisicur rectansula AOB, C.LP, Cunesimilia, de pro-
inde
AdB
OEi
e0
eIt
NII
d
qud
V
ot
D
(5P
s
d
B
a11
sidt
10
Sic R lacus rectum parabola
OB: OA: : PB: ZC
OB: OA: : R: S0
PL: ZC:: R: SO
PDB: ZC:: R: Z CK
R: SO:: R: L CK
Sunc isitur aequales S0, ZP, e proinde eadem est differen.
Cla inter A H primam _ B X seu SX sccundam, quae inter
B 2 CoMt

## Folio 132 — 1047377675:0148
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000148.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
L32
EM cerciam de PH seu C H quartam; _ ideo summa primae
e quarca AFIPNest aequalis summa secundae de tertix BX
F MC, quod demonstrandum erat.
Alii sune huius cheoremaris casus, sed in reliquis nulla
reltat difficuleas, modo hic incellisaeur.
Hoc theorema interuit coonitioni aequationis cubicae de
quadracoquadraticaes praecedens aurem aequarionibus am
Phibologiis, ec linvum compolicioni; qui aucem deliderae
plenam angirleos _ aequationum doctrinam, expectet ab.
Lolucissimum D. Caroli Renaldinii opus de Resolurione d
Compolicione Machematico, quod nunc est sub praelo.
Tluculque concinuarimus speculariones pure seomerri-
casire aucem videane phitolophi seomecriani non essendeo
abstroctam de inueilem sicuc ruloo exictimatur, scaruimus
difticuleares qualdam phliscomachemacieas ex principiis
opcicis geomecrice enodare.
DE SIDEEFM SCTXTILLATIONE
ex magnitudine apparente.
XOpica nosra promora eridens est primo, omnem riu
lionis confulionem provenire ex radiorum rnius pun-
etis in recinae sensibilem parciculam incidencia; secundos
quo maiortueric iltarecina particula eo maiorem esse villo-
nis contutionem.
PRODOSITIO
2.
Oculus humanus non potest esse Cermerrice perfcctus.
 Ir punctum aliquod radians A; s oculus humanus esset
 Bcomerrice perfectus, congrezaret omnes radios pun
Ctrradiancis A in pupillam incidences in vnum recinet pur-
ctum geomerticum nempe C: ut durem hoc ACreE; OpOr-
CCTEE rE oculus eReL figurx alicuius geomerricae, sed A3
SUIFX

## Folio 133 — 1047377675:0149
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000149.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
t
AC
eb
1d
1611
 
in corporibus auamss jua Guoctutatis mucacionibus
Cune obnoxia. locum habere non ponunt, ideoque oculus
surae geomerricae in indiuisibili consictune; de proinde
cum talis Asurae esse non possie non est geomerrice perte-
etus, ec isitur radios a puncto Aprovenientes non congre-
hac in rnicum punctum C, scd in aliquam superficiem nem-
DeBC D.
PROPOSIrIO 2.
Proposuum sit inquirere, quid efficiat haec oculi imperfectio.
DOnimus commodissime naturam assimulare iaculatori
 PEricO, qui lagiccaS a puncto A in scopum C inculatuxS
omnibus enim luis lasieris valde exisuum scopum C’aerin
gerenonporest, led aliquando in parra quadam diltantia d
Scopo nempe in B Pasictam omiteie: unde evenie uc post
mulcasjaculatas lusietass circirer seopi C punctum medium
reperiontur Posiecae quam plurima licuc Ixtrula quaedam
denlisima; ac in paulo maiore distanria a (CopO C neMPE
spaciis E, F, rarior omnino invenieur icta (y lrulas ee in exere
micacibus B, I, videcur raristima: ita re generalicer dici
Possic ytrulam quo mogis ad C acceditur esse dentiorem, de
DUO MIuS EBE rariore. Ouodsi aahus muIEaS AliaS jaCU=
dETUE

## Folio 134 — 1047377675:0150
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000150.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
E34
lecur lasicrass densior eradet haec sytrula dt versus me-
dium et versus extremientes, sed semper quo magis accedi;
cur ad C erit denlior et quo minus rarior. Eodem modo
natura radiis lucidis conatur punctum geomerricum C at
cinsere, (c d ob uam imbecillicarem seu oculi imperfectio-
nem cogitur a Scopo Cxpissime aherrare, hoc tamen sicuE
Pericus inculacor evincens, ve radiorum (ytrula quo magis
accedicur ad medium eo sic denlior, de quo minus co (Era=
rior: manifectum eciam est quo plures suneradiis radiorum
Cylrulam eo esse densiorem, ita eamen ue semper denlor (IE
versusmedium quam versus exrremicates. Hlinc colligimus
si punctum radians A debilicer radiee, ica ve rix percipiacur
a lenlo densior leu media pars sytrulae C. reliquas sytrula
parces rariores ee minus illustratas non omnino percipi:
quod aforrior sc radiacio, rariores etiam sylvulxe partes
nempe P e P perceptibiles deveniene, quoniam illustraneur
senlibilicer ex suppolitione: quod si forcissima sic radiario,
rarissima eriam de exrimae parces nempe B, D, Censibiles Rene
ita ve generalicer diciponie, quo torcior lic radiacio eo ma,
iorem opparere Censui communi lyrulam radiorum, (eu paF
riculam retinae ab unius puncti radiis depictum.
PRODOSTTIC
3
Duo lucidius est objectum, eo confutor est ejus viste.
Volucidius est obiectum, eo forrior Aeradiario rnius
eius puncti radiancis nempe A; de quo Forcior fuerit
rausacio, eo maior apparer sensui communi parsrecinae ara
diis puncti A illustraro, per huius 2; & proinde per2 pecicio
nem maior apparet ritionis confulio: cumque hoc eodem
modo demonstrari possie de omnibus obiecti punctis, mans-
Fectum est propolicum. Guod (i pars recinae ab unius puncti
radius illustraca sic minimum sentibiles distinctissime ridecur
Ohic-

## Folio 135 — 1047377675:0151
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000151.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
GM
Ot
AI
A
i
b
t
Ab
obiectum de nulsa apparet contulio, re ex prima huius peci.
eione necellario sequitur.
 L Ldaa
Fiusdem obiecti confusior est viso intenebris, quam in luce.
Hcenebris oculirerina a mulris radiis non illustratur, de
_ ideoleris illa illustracio versus extremicaces superhiciei
BD Facilius percipitur quam in luce, cum exilis illa illu-
Aracio a Fortilmis lucis radiis plane deleacur: de proinde
cum recinae pars ab vnius punctira diis illustrara maior videa-
cur incenebris quam in luce, maior erit (per2 huiuspecicio.
nem) rilionis contulio in cenebris quam inluce, quod est
proxolicum. Alia criam racio cse Pocest, quod in cenebris
maxime dilacetur oculi pupilla, a ideo maior est obiectiin
rerinam radiacio; e proinde perhuiusz maior eriam viho.
nisconfulio. Terria racio est, quod in magna pupillae dila-
cacione plurimi sint radii exerauasances, rude contula criam
oritur rilio.
d d a d ed a aa
Duo confusior est objecti visio, eo maior est obiecti ma-
enitudo apparens.
Terisibile MH oculirerina AFI; supponatur in retins
aAII depingi contulam imaginem rilibilis M N, ita vE
radii puncti exeremiM incidane in rerinae superticiem FC, de
radii exeremi rilibilis puncti N in recinxe superticiem BC;
manifestum cs magnicudinem risibilis apparentem iudicari
secundum quancicacem recina BC a radiis corius ritibilisil.
stracxe: quod si caereris paribus hec maior imaginis contulio
in recina depictae, radii puncti Mnon Polum incident in su-
verhciem FC, sed in superticiem E HI, superticiem FC (Cu

## Folio 136 — 1047377675:0152
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000152.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
8
sylrula mediuu riusde cinsenrem; de radii puncti WnOn
Tolum incident in superticiem BC, (ed in maiorem BC vndi.
que cingenrem, nempe AD: Sc in hrac ritiones manifectum
CAmasnicudinem rilibilis apparencem iudicari secundum
quancicarem superticiei AII aradiis risibilis illultraca; eA
ducem superticies AHImaior superticie BC; de proinde obie-
etum apparet maius in maiore confusione quam in minores
quod demonstrare oporeuit.
Acque haec estratio quod corporum exlectium diameeri
maiores appareane, quando sunc masis lucidas quam quan
do sunc minus lucida; in huius enim cerria demonstracum
est obiecta magis lucida (caeceris paribus) magis contula
videri quam obiecra minus lucida, ee nunc demonstracus
obicera magis contula maiora videri (cereris paribus) quant
minus contula; ec igicur obicera lucida (caeteris paribus) ma
iora videntur qua minus lucida. F.x huius criam 5 demostrars
Porelt, quod (cereris paribus) obiecta minora in maiOrE
proporcione a contusione augmeneari videantur quam mas
ior: Sire enim obiecrum sic parrum sive mognum, Cquall
Temper a contulione recipie incremencum, ac equale ad mi
nus maiorem haber proportionem quam ad maius; de prOIn
de si obiecrum sIE pArVuM, aUSmenEntur a contutione in ma
iOrC

## Folio 137 — 1047377675:0153
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000153.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
t
Jore proporrione quam si eNee magtum. ex his COnCUEEON.
tibus causis pacer ratio cur scellae Axx rideantur, criam (I
in cam valta dictancia line omminomensibiles: ob ralidam
enim earum radiacionem de in renebris vilionem, contusim.
me ab oculo ridentur, _ ob insignem carum paruicarem, im
maiore proportione abhac confulione augmeneantur, quam
EeRent maiores; ita ve deciesmillies forre e amplius ma-
iores appareane; quam in cali dictantia videri debene; nul-
lius enim celescopii ope in hunc rique diem distinctae e cer-
minaea videri polsune. Ob ea (dem raciones parua candela in
cenebrise longissimo inceruallo videri porest magnicudinis
Tacis considerabilis, et lideris instar scinrillans. Fx praedi-
etis manifecta hc causa, quare scincillene lidera, aliquibus pri-
moconsideracis: primo scincillationem esse obiecti lucidi
contulam de cremulam seu mucabilem ritionem, aliquando
enim ridetur obiectum maiuss aliquandominus aliquando
lucidius verlus unam parcem, aliquando versus aliam: le.
cundo eius caulam esse inurarionem aliquam seu cremorem
in medio, cales enim omnino ridemus effectus, cum incer
Oculum ee risibile eleuaneur rapores rel exhalaciones, cuius
racio in optica verlarum non pocest latere: certionorandum
eH, quod natura dum confutam percipie rilionem humores
Oculi aimuler ad mocum seu mucarionem aliquam, re con-
fulioni percepta medeatur; cumque narura seu senus com
munis distinctem seneie visionem, oculus suos humores a
mocu impedie, hoc enim rationi, experiencix, ee auchoritari
eA consencaneum. Ouod si sensus communis distinctam vi
Tionem Pencire non porest, dico oculihumores asieari de eo.
corisionis cempore non quiescere; hoc probari potcs ex
magna lassicudine, quam pacitur oculus ex contula rilione;
neque exiltimo ese racioni consenraneum, uc licteretmo-
cus, dum adhuc riser eius causa nemDe Contulo percepta.
hilce praelibaris, dico scincillacionem siderum provenire ex
ac humorum muracione, dum Fructra conacur oculus dictin.
EtAN

## Folio 138 — 1047377675:0154
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000154.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
etam reac CBu HMCs mocus enim humorum eun
dem cum mocu medii porest exhibere eRfectum, ucfacillime
demonstrari porest; probatur; sidera lune obiecta quae se
cundum haccenus demonstrura contusisime videntur, lcd.
vilio confusa oculihumores stimulat ad morum, erso in vi-
lione liderum humores oculimonentur; ac exhumorum mo.
cu aliquando ridebuntur sidera maioras aliquando minoras
aliquando masis lucida, aliquando minus lucida, aliquando
rnius Agurae5 aliquando alcerius, sed haecrremula de incon-
Aansrilio est scincillacio, de igicur Cdera Peincillane. rario
etiam evidens es cur Scellae Exx magis scincillene, quam
alia obiecta; in scellis enim fixis contulio est adeo nocabi-
lis, re illius ope decies millies maiores rideaneur quamre;
neratune; quid ergo mirum s contutionum mucacio seu
Scincillario in illis hc maxima. Sed contra hanc doctrinam
obiiciet Forre aliquis, a celescopiis male claboracis maxi
nam Reririsionis confulionem, le dnon maximam scincilla,
cionem: respondeo iltam contulionem, cum non Aat abip-
Pooculo ab humorum mocu rix sensibilicer mutari, e pro.
inde istam seincillationem non esse valde sentibilem; quon
niam scincillario nil aliud estnisi confutionis mucatio, Obii-
cient Forrase acthuc illos qui oculi ricio laborane maximam
percipere visionis confutionem. Ced plerum que paruamvel
nullam Ccincillarionem; respondeo oculi ririum maxime or-
dinarium esse humorum immobilicacem, ee linc humorum
vel medii morunulla pores heri scincillario.
50L
SIT RF ALIT F R, LL LO
maliter calidus.
 Pocest deduci exnottris optica
n promoca decomracionibus; sed in hoc locomasI
deburact se geontee alc iptam probabimus.
decproposiriota

## Folio 139 — 1047377675:0155
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000155.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
It
Ot
 Sci
DR O B L. F M A. l
213 5. C135 13 3 5t. =C ~S est IV~ 1 CIHCZ 13G (12~
Ex combostione speculi vel lentis ustorii obsernara; distantiam
sole invenire, inqua Col suis radys directis eodem prorsus modo
comburit quohic comburit speculum vel lens ustorium datum.
TETOIBCF, cuius cenrum A, speculum vel lens vltorium
 dacum INKO omnesradiossolares in le incidentes in
circulum MPL D reducens, ee in illo combultionem accen
21t
31 C
 OesI 
ido  il
dens. Supponimus speculum vel lentE THKO else circulore;
cuius axis ad cerrum tolis vergic, e proinde conum AIOKH
esse recrum. Sic ur IK diamecer leneis vel speculiad LM dia-
mecrum cireuli combuctionis, ita RA vel IA diRanria speCu
liaconero solis ad DA. DicoDA esse distancium qualicam,
hocele, solem eodem modo comburere in discancia D A,
Juo comburie lens vel speculum LOK N in circulO MPL
2
DEt

## Folio 140 — 1047377675:0156
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000156.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
T. 40
Per speculi rel leneis POKN exErEMILALCMS EX CCNErOA HaC
Sphera IONKII; icem per punccum D ex eodem centro AhaE
SphEFA FRDSC coius superficieiportio a Coni AIOKN sun
perticie comprehentas (icRFSD Ouoniam solex omni parce
aequolicerrediae, Facile cse deducere ex s detinitiones cle-
mentori omnes radios solares esse ad radios in speculu rel
lentem TOKN incidencess uc inceora superticies spherica ad
eius porrionem IOKVI. Se d ex archime de de Sphera ee cylin-
deo, inceera superticies sphaerica ese ad eius porcionem 10
KN requadracum diameeri ad quadracum chordae semissis
arcus IK; & proinde omnes radii lolares une ad radiosin
speculum vel lentem TOKNincidences, hoc escradios in ciru
culum MPL. Q congresatos, uc quadrarum diamerri ad qua
dracum chordae Cemissis arcus IR. Fodem modoprobatur
omnesradios solares esse ad radios in circulum DRES inci
dences, uc quadratum disceri ad quadrarum chordae sc.
missis arcuS D F. Ccd quonism orcuS IR, DE, unc similess
quadracum diamerri circuli IKHI eandem habene rarione ad
quadracum chordae semissis arcus RI, quam habet quadrarum
diamerri circuli EDC ad quadracum chordae semisis arCUS
FD; d ideo omnes radii solares candem habec racionem ad
radios congresaros in circulo L. PM Q, quam habene iidem
omnes radii solares ad radios congregatos in circulo RESD;
Eunc idicur radii congregaci in circulorPM Caqualesradiis
congresaris in circuloDSER. Deinde ex constructione Rl
est ad L. M UEK A ad D A; ee ob similicudinem criangulorum
XAI DAE; KA es ad D A vcKI adDE; d id COLM, DE, sunc
aequales; de igirur circuli LeM C, DSFR, CuneX qualeS: acque
aquales radiiin aequalibus spaciis cundem producune ette-
ctum: se proinde combuttio in circulo I R ES aqualis ett
combuttiomi in cirento LPMC
quod demandum eras.
Eeet.
1r1.1339t  a

## Folio 141 — 1047377675:0157
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000157.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
Od
1. ∞ 5
CONSEOTARINM
dic
Tqueracione d experientia constar, quod cadem speo
 culivelleneis diameero IRmanenre, quominor fue-
rie circulus combultionis LPMO, eo maior sic combuctionis
violencianempe (urnos alibi demonstramus) in circulorum
combultionis ratione reciproca: de quo minor es circulus
combuctionis LPM O vel illi aequalis DSERsCobrerior estre-
Aa D A, seu punctiD à Pole distantia, et c contra: ideoque
quo propius accedic circulus DSE R ad lolem: cO ma-
ior in circulo est cslor, seu combustio; e igitur Sol non cAt
solum rircualicer Cederiam Formalicer calidus, quod de
monurandum sulcepi.
DE SOLIS AVMILIS ET SFBLIMIS
magnitudine apparente.
Omiraneur nonnulli solem humilem maiorem appare:
AR re eciamsi instrum eneo astronomico obserracuss C con-
tra minor se eius diamerer apparens: quare minor ple-
rumque sic eius diameter apparens prope horizoncem
quam in loco calielerariore caula in prompcu est, que à nul-
lo actronom oignoracur, nempe refractio quae msior est in-
ferioris limbi quam superioris; led quare cunc nobis maior
apparene conabimur hic explicare. Primoicaque sciendum
elt sensum communem indicare de rilibilis mognicudine, si-
curitaciuns seomerrae, nempe exeognitis dictaneis et an
Bulo risorio, ee ideo quomaiorem percipie senlus commu-
nisvitibilis distantiam, eo exeteris paribus maiorem iudicae
vilibilis magnicudinem; sed dum sol existie prope horizon.
tem, iudicae sensus communis maiorem esse solis distanciam
quam in loco Coeli eleraciore ob mulea corpora inceriecta; d
ideo prope horizonem indisas criam eius magnirudinem
Md
ul

## Folio 142 — 1047377675:0158
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000158.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
maiorem quam alibis vbi corpora interiecta non ridentur, 
proinde de eius masna distancia iudicare non pocest. Ali-
quandoramen obnubes convexas inter nos e solem incer
iectas apparer Sol crium instrumeneo obserratus, multo ma-
ior quam ordinario riderur, acque hoc eveniceriam quan-
doSol est sutolimis. Sc d lxpius quando est humilis ob maio
rem nubium Frequencium. quae hic diximus de Solc eodem
modo incelliguntur de reliquis corporihus exlestibus.
ut L
STBILIVM PTCTVR A
sub recto obscuro.
Ncellectis illis quae demonstrauimus de imaginis naEura
 se loco, Facile est percipere, quare pinganrur visibilia
illustraca in albis obscurati cecti pariecibus, s paceat exi-
Duum aliquod Foramen in recto obscuraco radiis visibilium
liberum praebens cransicum. Vnumquodque enim rilibilis
punctum dirioic conum radiosum inera rectum obscuracums
cuius coniverrex est rilibilis punctum, ee balis foramen il
lud exiguum, qui conus producicur rique ad album ee im
policum pariecis planum, illic aliam coniradiolibasem de
Scribens, a qua illi radiis ob plani inaegualicarem, undique
refectuntur; cumque haec coniradiol in pariece balis oculo
appareat licuc punctu opticum ob foraminis paruicacem, vi-
debuncur omnes radii lingulorum rilibilis punctorum re
cum ingrem a singulis parieris punctis diversi; cum que nEC
ic ipsaimaginis detinicio, manifeltum est in pariere esse vili
Bilium imagines. Duod si Foramen illua sic nimis largum
viderurimasoilla contusa, quoniam radii singulorum vill
bilis punctorum non a punctis parieris opticis, led a luper.
siciebus sensibilibus diverguntur. eodem modo s risibile
Foramen nimis approxinguer, conus productus balem de
leribet in pariere non punctum opricum le d luperficiem sen
sibilem; et ideo imaso viderur contusa: idem eriam dicen-
dum

## Folio 143 — 1047377675:0159
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000159.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
1
dum eet h paries recederer a Foramine. Quae hic loguurus
Tum de pariere, eodem modoincelligen da lunc de quocun.
que
plano altoo se impolico.
DE COMETAErM CAVDIS.
Kictimo plero lque huius seculi philosophos in hoc con-
L venire, quod comcrarum mareria siE corpus aliquod
humidum ex raporibus sc exhralacionibus cerra vel alicuius
corporis celelis genitum; guare autem luceant eorum cau-
dae omnino conerovercitur: exiltimo eamen hanc opinionem
enemaxime receptam, nempe, quod radii solis per retra-
ctionem in comeres corpore polt eius transirum rniti, cau-
dae luceneis efticiane similicudinem; cui opinioni non sub.
Feribo obhanc praecipue ratione demostrariram: omnis lueis
vel coloris apparencia provenie a reftectione; led lric nulla
estrefectio, ergo; probaeur minor, A hic eNet aliqua re-
Rectio, cNeFreRectIO FAdIOTUM CX COMCEX COrPOLC CMEK-
Porum ab iploaechere, sed ab aethere nulla porest RcrireRe.
etio, ergos probaturminor, xether omnibus consenciencibus
estcorpus maxime diophanum (hoc est) radiis omnibus a re-
Rectione liberum praebenstransitum. Hac igitur funditus
everlas novam Habiliamus sencentiam: sed primo animad
verrendum est Colis absenciam in corporibus praeserrim hu-
midis e raporons crattas e opacas caulari enhalationes,
quas lua praesenria omnino dispellic: hoc enim nobisterra
incolis est nocissimum; num tempore nocturno crassusille
aer ob omnibus seneitur, se minus validis praecipue aeri se-
renoalueris laepissime mortalicer nocet: ac in zona frigida
ob raram Colis praelentiam ica sensibilicer incrasse (cit aer,
ve sexissime illic obscruetur retractio horizonralis 4vel5
graduum, sicue a naucis bacaris commemoratur. deinde
conliderandum est cometas ex omnium fere consenlu elle
Corporr humida se maxime raporola, exnebulis, fumisrel
CX

## Folio 144 — 1047377675:0160
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000160.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
144
exhralacionibus genira, (vel Fortare corpus quodam hu
midum proprios luos rapores emitrens e athera semper
perrerans ab sque vilomoru circa axem) ee ad solem cun
dem semper fere lirum retinencia: hisce postis neceMario
lequicur medicracem comera soli adverlam ee ab illo nun-
quam caletactam nec illutracam crassis e valde opacis inte-
Adriraporibus, qui a raporola illa comcex maceria ee à le
mucuo concinuo nurricis nulla rnquam (ob debilem e ob
liquam Solis lucem) Facta iplorum resolurione, in immen-
lam alcicudinem excrescune, de Colisradios non laris ralidos
dd exalaciones dispellendas vndique reRectunt. inhachy-
Pocheli ilta extalaciones a radiis solis illustracae in lonsum
excenla opparene licuci cauda loli semper oppolca, (c dob
irregularem raporum ex cometa cleracionem, aliquando
curraca, et aliquando inrnam, aliquando in alteram celi
Plagam desectensi licuri eodem Forcasse modo apparererin
omnibus planeris, l omnes luas parces ad Solem vicilsim
verrendo, rapores rndique non dispellerentur a validis et
directe incidentibus Solisrodiis.
Luna existente plena; illustratio terrae a Sole ad illustrationem terra
a Luna, est in ratione composita ex duplicata proportione chorda.
rum Parollaxium horizontalium Solis, ex terrae elobo, e ex
Lunae elobo observati: es ex duplicata proportione chorda era
duum 90 ad chordam parallaxeos borizontalis Luna.
Tres (huc illustrario) omnium radiorum solarium in
cerram incidentium, ad rires omnium radiorum sold
rium in Lunam incidencium (h in aequalia spacia COnBrCSA
rentur) sunc in rarione duplicaca chordarum semiangulo.
rum cadiolorum, seu in cerminis attronomicis, in rarione
duplicara ch ordarum parallaxium horizonealium Solis, ex
cerrae globo. _ ex Lunx globo, obseruaci, ve in consectario
2. 33. Opcic: promoex est demonstracum. Sed quotiam lund
CXI-

## Folio 145 — 1047377675:0161
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000161.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
X
Existence plena; eodem modoillustratur rerra à L unae hemi
Sphario radiance, quo illustrarecur li vndique radioret lu.
na; supponamus rndique radiari lunam: Puexonimus eriam
lunam radios solares absque vila debilicatione de ex omni
parte aequalicerrefectere. his suppolicis, cvidens est vires
omnium radiorum Colorium in cerram incidentium ad cemis-
Tem virium omnium radiorum lunarium esse in rarione du-
plicata chordarum parallaxium horizoncalium (olis ex FerrL
e ex luna, suppolico lemper reriusque radios in equalia spa.
tia congregari: acque vires omnium eadiorum lunarium
Tunc ad vires omnium radiorum lunarium in cerram inciden-
eium, in duplicaca ratione chordarum, semicirculi ec paral.
Laxeoshorizontalis lunxe, radiis Peil. in spacia aequalia con-
gregatis: d sumendo ancecedeneium dimidia, semissis viriu
omnium radiorum lunarium est ad rires omnium radiorum
lunarium in cerram incidentium, in duplicaca ratione cROr-
darum 90 graduum e parallaxeos horizonealis lunae: p2-
Fene ergo sequenres analosix; rires omnium radiorum (o-
larium in cerram incidencium sunt ad semissem virium om-
nium racliorum lunarium, in racione duplicata chordarum
parallaxium solis exterra ec ex luna horizontalium; deinde
Temissis virium omnium radiorum lunarium est ad rires om-
nium radiorum lunarium in cerram incidencium, in dupli-
caca ratione chordarum 90 graduum de parallareos hori-
Zoncalis luna radiis lemper in aequalia spacia congregatis:
aeradii lolares de lunares in cerram incidences in aequalia
spacia congresantur, nempe cerrae hemispheria. Suppona
tur quoque cerrae hemisphaerium a Cemisse omnium radiorit
unarium etiam illustraris eruncque terrae hemispheriorum,
aradiis solaribuss a lemisre omnium radiorum lunarium, et
aradiis lunaribus libi debitis, illustraciones, in eisdem racio-
nibus cum riribus radiorum eadem hemispheria illustran.
eium: proportiones isicur pradictae iea se habene; illustra-
tio cerre a sole est adillustrationem cerre a lemisse radiorit
1

## Folio 146 — 1047377675:0162
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000162.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
140
lunarium in ratione duplicata chordarum parallaxium ho-
rizontalium solis ex cerra ee ex luna; deinde illustrariocer-
re2 lemisse radiorum lunarium cs ad illustrarionem cerrea
luna in rorione duplicata chordarum g0 graduum de paral.
laxeoshorizoncalis luns: sc illustracio cerre asole est adil-
loltrationem cerre a luna, in racione compolica ex prOPOr
tione illustracionis cerre a solc ad illustrationem terrea se
mise radiorum lunarium, e ex proporeione illustrarionis
cerre a Cemisse radiorum lunarium ad illustracionem TerrE a
lunaique proportiones cedem demonstrare (unt cu duplica
Ea proporcione chordarum parallaxium horizontolium lolis
exterra e ex luna, e duplicata proporrione chorctarumd0
eraduum ec parallazeos horizonealis lunae, quod demon
Arare oportuit.
Fodem prorsus modo demonseratur hoc generale Theoi
rCMa.
Duolibet planeta existente pleno; illustratio vel calefactio terrae a
Sole est ad illustrationem vel calefactionem terrae ab illo planeta
in ratione composira ex duplicata ratione chordarum, paralla-
xium borizontalium solisu ex terrae ex praedicto planeta obsera
vati, es ex duplicata ratione chorda eraduum 90 ad chordam
parallaxeos borizontalis illius planeta.
DE STELLARVM FIXAAEM DISTANTIA.
Nctellis Axis nulla obseruari pores parallaxis; dt id eodc
 earum distantis mulca sb (que vilo Fundamenco dicun.
cur; cso cerre exictimo illam cNe maximam, neque fortaAC
absque omniracione, sicur nuncparebit.
Cerrum es terram de omnes plonetas esse corpora ob.
scura e aliena (ola suce fulgentia, icem solem de omnia -
dera Axa esse lucida e proprio tancum fulsore splendencia;
haecenim ex multis sc cerrissimis phaenomenis sune manite-
A2. Cum que Sol e AellXe sxx SinE Cola rniuersi corpora lu-
cida3

## Folio 147 — 1047377675:0163
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000163.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
cida, ciuldem generis censeri possune, iea ve sol quodam.
modo dici possic ella hra vicinas & Celles soles longinqui:
hisce consideratis non erit probabilenolcram (cCIlan AXZM
vicinam Ccu Solem, inter eormillia ese omnium AXorUM M 2
ximam ee lucidissimem; possumus isitur haud ab surde aAe-
marernam (alcem lcellam Axam (nempe Crrium, quae nobis
omnium maxima ee lucidissima apparet) ipsum solem de in
Splendore de magnitudine aequare: atque sprius in splendo.
re inferior elc Toui in licu acronrchio, sed re cuidencius AaE
nolerum propolicum, supponamus lucem Cyriiluci louis esse
aequalem: le d lux Tolis elc ad lucem Touis in sicu acronrchio
in ratione compolica ex duplicaca racione chordarum paral.
laxium horizoncalium Colis ex cerra e ex loue obscruaci, de
ex duplicara racione chordae oraduum g0 ad chordam paral.
laxcostorizontalis Pouis, vepacet ex ancecedence; de ideo
lux Tolis elt ad lucem Crrii in eadem ratione: parallaxis au-
tem Colishorizoncalis ex cerra obscruaci secundum plero(.
quc e(c 3: e lemidiamerer apparens Touis in lieu acrony.
ehio (hoc ese parallaxis horizoncalis cerrae ex loue in sicu
deronychio obscruaEX) C(F 22U; cumque in hoc sieu discan.
tia terra a sole ad discantiem louis a lole vulgo AEVE 10ad
52; erit distantia solis a Tone ad discanciam cerrae a TOuc. VE
52 2d42; de proinde horizoncalis porallaxis solis exloue
observari c(c 28: cumque in paruis angulis arcus incer le
sinc rechordae, chords Parallaxeoshorizontalis Colis ex ter.
ra obleruari ad chordam parallaxeos horizoncalis Colis ex
Touc obserrari est in racione 3 +d 18I, CCu uF 180 ad 18 vel ve
20adr, cuius ratio duplicata cst 100ad r. deinde chorda
Praduum 90 (policoradio +00000) CA F4F42F: cumque di-
Stancis touis a Sole ad distantiam cerrae a Sole sic in racione
52ad20 et Solis parallaxis horizoncalis sIF 3, manifectum
est Toris porallaxem horizontalem cNe 35 cuius chorda cA
27. polico eriam radio 1000000; e ideo chorda eraduum
90 CA ad chordam parallaxe oshorizontalis lovisuC TAT42F
a

## Folio 148 — 1047377675:0164
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000164.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
C40
2d27 SCV ut83792d F, cuiusratio duplicata cA 69205761
ad z; illusracio igitureerra a Sole eh ad illuArationem ter
rae a Syrio in racione copelita ex proportione 100dd L exd
proportione 6920576Y ad 2 hoc cR inrotione 6920576100
ed Li cerique Sol ee Sprius supponantur ese eiusdem ma-
emicudinis ee splendoris, manifectum cH illuBracionem ter-
rae d Solcdillustrationem rerrae a Syrio ese in duplicacara
tione chordarum remiangulorum radiolorum solis ee Syrii
in cerram, hoc eAparallaxium Solis e Syrii exrerra ROriZOn
talium; de ideo chorda parallaxeos horizontalis solis est ad
chordam porallaxeos horizonealis syrii in subduplicata ra-
TIORC 6920575200 2dI, Seuin ratione 83190ad 1, sed in
lris paerulisangulis chorda inter se TunE uE LinuS, lnuS ergO
Parallazes horizoncalis Colis est ad sinum porallaseostori-
zonealis Syriis re 832902dF, sed Sol e Sprius eiusdem sup.
ponuncur magnicudinis, ee ideoeorum diltaneie a cerra in-
ter se sune in reciprocaratione sinuum porallaxium horizon-
ealium; e proinde dittantia Srriisterra ad dictantiam Solis
a Ferra CA UF, 837902d2; e ideo distaneia Solis a cerra ad
distanciam Syrii a cerra non est in ratione sensibili, quod de
monstrare oporcuie.
uod si assumatur parallaxis horizontalis Solis minor
quam3(certissimum enim est eam minorem ene vno minu-
10) mosis adhue insensibilis erit dicta proporrio: Nos aute
nonexistimamus omnes Axas aequalicer diltare a Sole, nam
probabile es quarundem distacias aliorum multis vicibus su
perare. Existimer FOrre aliquis MEUM ArGUMENEU NON
concluderes quonium forcassis omnesradii lolares in Jovem
incidentes ab eonon reRectuntur, sicut cgo suppono: re-
spondeocamen arsumeneum ese a forciore, quo enim pau
ciores supponuntur radiia lore refectis comeis insensibilis
erie praedicta proporeio, ut cuiris compuranci parebit.

## Folio 149 — 1047377675:0165
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000165.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
E
M
S est
ISIO OP_ TELBSCONIS
vel microscopii non sit fallax.
Erum opticarum non satis perici semper exelamane
 celescopia emieroscopia rilum Columodo decipere d
nihil verum ee realenobis monstrures neque cridencinsimis
experientiis omnino conrinei porunE; d ieieur ratione ten-
candum cs illos ad veritarem revocare. Visus Fallacia po.
cest duobusmodis accipi, primo de ralde impropries quan-
dorisibile eodem modoviderur in una distantia, quo in alia
videri deber; hoc enim ablolure non porest dici visus talla-
cia, etiam srespectiue ad iltam distanciam ica dici porerie, in
alia enim distaneia est vera de debica rilio: aeque in hac ac
ceptione rilio per celolcopium vel microlcopium omnino
eKFalIaX. Secundo e proprie, visus Fallacia eHt quando rin
sibile releius pars aliqua non apparee in propris lua Agurar
licu,  propriis suis coloribus cinctum: aeque in hac aCcC
prione nulla ineM Fallacia ritioni per celeleopium vel microm
Ecopium perfectum, quae hominis vilioni pertectissimae non
inesse porest: in 50 enim ei sE optica promorae geometrice
demonstrarur, quod omnis ritio perlences vel specula, AE
vilio vera de realis in cali astienaca diltantia nudo oculo de
bica; hiigitur nulla se Fallacia in vitione oculinudi, nec vila
erie in rilione percelescopium vel microlcopium, cum illa
viliones demonstrentur esse cedem. Sed dicer force aliquis
eclelcopium vel microscopium repraeleneare aliquondo visi
bile in litu everlo, led Oculus ita nunquam FACIE, ergO: re
Spondeo in hoc calu relelcopium red MierOsEOB,UM ECPIR
lentare rilibile eodem modo quo appareree oculo nudo et
everto in tali assienara dictaneia, retocile videtur ex 50e
SF OpF. prom: sive enim obiectis sire oculi everhon nihulinum
EAC, PTATermeru ATU GuO ddnOS, nec in riliOnC NCCI
visibilio
OD.

## Folio 150 — 1047377675:0166
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000166.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
DA NF
V ISYBYF F
infinitum sit divisibile.
ue
Ivilibile in infinicum non sc divisibile, accipiorur minima
eius parss qux ex opt: prom: 55 vel sooculo repralen-
cecur in angulo aliquo risorio sensibili ex. 8. 20 graduum; aF:
que oculus percipie rilibile in angulo rilorio 20 graduum in
multas parces divilibile, de proinde apparet haec minima vi
libilis pars oculo in muleas parces dirisibilis; cumque han
cura homininon dec oculos Fallaces de nec celescopiumnee
microscopium risum prebeat magis Fallacem quam ipse ocu-
us; necellario sequicur quod ilta minima pars sic realiter
divilibilis, quod est ablurdum, ponieur enim indirisibilis; et
isicurnon pore dari rilibilis pars minimas est isitur omne
vilibile in insinirum dirisibile, quod demonstrare oporruie.
DF
IV
OBSERV ATIONF STMILTTVDI.
nis inter Terram er Lunam.
IlcC remporibus magna est controverlia, num L.una
slobus sic ex terra d aqua; sicue noster hic globus
cerreltris; quae facili experiencia sit dirimi porest. Sic cele-
lcopium cuius lens obiectiua in lacicudine ad minimum con
tinens ceneies diamerrum urex obleruatoris, ex Vna parEC
Plana ee 2d alceram conrexa ex diamerro 5o palmorum; (IF-
que eius ocularis plana ex vna Parte ec ex alcera L pAInL
convexitatis. Huiuscelescopii ope videbieur Luna ((uppo-
sica ejus a cerra distaneia 240000 mille passuum) omnino (1
cuc ex dictantia 2400 mille passuum. Deinde in loco aliquo
eminencissimo (ex quo rideri porune maria, mOnteS, praCd
lacus, Poxas omnia rastissima, od discanciam 40 mille passuum)
e lub cectorolco ad vlcimum obscurato, dempro vno lo.
dum
de
dc
C
le
de
se
Ai
1a
iC
ib
e
et

## Folio 151 — 1047377675:0167
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000167.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
I1II
I. 5I
lummodo parro Foramine versus praedictamaria, monces.
_C, a delcripei celescopii lence oculari impleco, per quam
obleruentur ancedicta maria: Montes, ec. (dum a Solc FOr.
ticer illuserancur) ab oculoor palmis discance à lence, vin
debuntur omnino lcut ex discantia 2400 millC paNTUUM, Cx
qua eriam distantis videbatur Luna; de proinde similicudi.
nes ee dissimilicudines inter Lunam _ Ferram ab ob scruaco-
ribus videripocerune. Huius praxeos demonseratio clc ex
opticae promotae 50e 5r; ex illis enim deducitur aequalis
distantia de illuseratio distancie debita veriusque risibilis, e
e(c in veroque aliqua riericinctura. Sed dicer aliquislunam
hac racione plus habere tincturae ritreae quam cerra, quo.
niam illius radii duopenecrane viera, huius vero Tolummo.
do, rnum; cuitacile medetur, addendo in observacione
cerrae rrum vierum ex veraque parce planum eiusdem cum
lence celescopii obiectiua crassiciei, ad alteram lenteM CK
parte plana iunctum; dicet adhue aliquis raporesterrestres
velcerra obseruarionem omnino impedire, vel salcem eius
colores mutare: respondeo quod terra obseruari debeae
e loco alcistimo ee tempore lereno, et Luna dum propehon
rizoncem exiscie, veidem semper in veraque oblcruarione
defectus adlic. hilce consideraris, ( luna apPATCAE FerrA
plendidior: dicendum esc Lunam terra esse candidiorem
et omnino opacum, quoniam nieredo de diaphancitas reAe.
etionis rires impediune: Siveroconerarium videatur, con-
craria terme lune indicanda: _ eadem in veraque oblerua-
tione oppareane phaenomena, nulla racionos docer cellu
LIS et Lunae macerias ese diverlas. Eadem quoquemetho-
doporese experiencia heri de similicudine inter duos quos-
libec planecas, incersolem de Scellas fixas, inter nubes de
COMETAS.

## Folio  -  — 1047377675:0168
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000168.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
ii
8
er
t

## Folio  -  — 1047377675:0169
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000169.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
AH
pro sectore, circule ellipse vel Hyperbolae BIP, ox ceutro A
AF AF bisecat . itaque aequalia triangula quedfaciunt bina ex
punctis A, Qil, F, cunque B, et quod faciunt cum P
AZ, AI, AF sont continue proportionales Geometrice et APG, A.
hinc et BAP, BAPI, BA pF sunt progresionis heo metricae
datis B et B, adeoque et F invenire l, inter AQ et AF med. pro porotionalis
vaeratur quae hrit
perpendiculares in Al ex E et ex O sunt aequales
_lectorE A BAIB et PAIP. Tars. D L parull BC.

## Folio  -  — 1047377675:0170
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000170.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
C8
15)
Has e miorcte carois arur st
st
lu

## Folio  -  — 1047377675:0171
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000171.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
M MI
li
MII
HELMLEIB
BACHSISCHE LANDESBIBLIC
Se
1IS N, 377

## Folio  -  — 1047377675:0172
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000172.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 6 lines, status machine
tttstttto
i
e
iitii
HIIIIIII
enosene rarocoo

## Folio  -  — 1047377675:0173
# No recognised text on this page (skipped: no_lines).

## Folio  -  — 1047377675:0174
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1047377675/jpgs/default/00000174.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 11 lines, status machine
s
u
dee
e
e
t
o
e
a
1
 rauo