# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Work: https://leibnizlegible.com/work/175906937X
# Title: Ps. 2 (shelfmarks Leibn. Marg. 178, Stück 2; Leibn. Marg. 178)
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=175906937X
# Lines: 19,223 recognised on 455 of 455 pages, mean confidence 0.82
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio  -  — 175906937X:0001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
e  
MIIII
  ut
tt
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTH
IEDERSÄCHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK
onatur: Leibn. Mlar9. 178, Stiick 2, (1) - -
e

## Folio  -  — 175906937X:0002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 14 lines, status machine
Citon Clara
amaloemetnupeu nnal Soriete
son lailnireur Hau
ametria L
3
l 7)
 estcat a 71
eruer tiataahcceu
beH
HiowoisdISISMO
londesbibliohot
HOnMOvEs
att
tere

## Folio  -  — 175906937X:0003
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
l1
 I
IIIIIII HIIMIIIIIIII
Cret
CMLEI
EDERSÄCHSISCHE LANDESBIBLIOTHEI
gnatur: Leibn. Mar9. 178, Suick 2, 13
eeeeeeeeeee

## Folio  -  — 175906937X:0004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
WIPIB )IBIMIII
DWILHELM LEIBNIZE
SÄCHSISCHE LANDESBIBLIS
onatur: Leibn. Mlar9. 178, Slick 2, [4
eeeeeeeeeeeeea

## Folio  -  — 175906937X:0005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
e
tt
ILHELM LEIBNIZ
EDERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTHE
natur: Leiton. Mar9. 178, Stick 2, 

## Folio  -  — 175906937X:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
11
FRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIC
ISÄCHSISCHE LANDESBIBLIC
atur: Leibn. Mar9. 178, Stick 2, (0
eeeeeeeeeeeeeeeee

## Folio  -  — 175906937X:0007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
ac.
FAH.
verter
pcoinde
rillenre
+ dndl
enet
Poltici
atuIS re
+. C1
l. Hinc
DuIa A
EL Hp.
nvenm
de 11
R TNCTPI A
AL +L L IIF S
E
NIVERSALIS
S E V
IN TR ODEC TIO
A D
GEOMETRLE METTTODVM
RENATI DES CAR T F S,
Conscripia ab
ER. B A R F H O L TNO, C A S P. FFL.
Editio secunda, priore correctior.
pese
A
A
o
e
a
e
ud
2
A M S T F L A D A M L.
Apud Ludoricum e Daniclem FlZcririos,
CId I. dC X 26. F.

## Folio  -  — 175906937X:0008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 6 lines, status machine
VLHELM LEIB
ERSÄCHSISCHE LANDESBIBI
I   s
III
ir: Leibn. Mlar9. 178, Stiick 2
eea

## Folio  -  — 175906937X:0009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
 L s l
a 1e le L 1 d
PA RS SECUND A.
it i
sus contenta sequens pacina bubibebito

## Folio  -  — 175906937X:0010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
C A I A L O G
eorum,
Duae in hac secunda parte continentur.
FRANOISOT d SCTTOOTEN Principia Mathe.
Peos niversalis, Seu Ineroductio ad C A R Y BS T A N A C+ P O-
M B FR FA Methodum. Conscripea ab F R A SM FO B A R-
THOL FNO.
FL ORTMONDT DE BEAUNE duo tractatus posttiu-
mi. Alcer de Nacura _ Consticutione, alter de Liinitibus
Aquaionum.
OTTANNIS DE WETT de Elementis CurraruM Li-
nearum libri duo.
FRANCISCT a SCFTOOTE N FractatS de COn-
cinnandis Demonstrationibus Creometricis ex C alculo AI8C.
braico.

## Folio  -  — 175906937X:0011
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
i2 Mache
NEGED
1O BAB
eu5 polti
Limitibu
rarum L
15 de Con
29
eneris es vireurum Nobilitate Perillustri
 Generoso FLeroi
D. CTTRISTTANO TTTOMK
TOPAROHA IN STAVGARO.
Equici Aurato, Screnissima Regia Majeltatis
Cancellario Maono, Rconi Danix SenacOri
primario, Regia Academia Flatnienlis Con-
Cerratori lummo, Patrono incomparabili.
On minus vere quam ele-
ranter, Cicero lib. 1. TuIc.
quaelt. Maoni; inquIE, est
incenii revocare mentem a sensi-
bus, e cogitationem a consuetudine abducere.
Cum enim mensnostra, quam in no-
bisconclulam circumterimus, divina
p
quaedam particulahabeatur, nihil la-
ne illi oratius accidere porest, quam,
Cum contemplando a COrPOTCIS FC
bus laxatur, originique lua quam (I
millima redditur. Sentuum quippe
A
ulura
be

## Folio  -  — 175906937X:0012
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
F. P I S T O L A
ulura nori minus truuncur bruta ani-
mantia, quam hoiines, imo, quae
e
dam lonsc nobis praectant; mente
10
rero quia non saudene, univellan
hanc mundi machnam, qualitabu
lam pictam alpiciunt, neC COgITanE
qua de causa quore modo coc varie-
Caces rerum line ordinata. Jurcun-
que igitur hommum non cupiunele
meciplos prirare bono, quo reliqua
atimantia excedune, non temere
permittent sele lentuum judicio ita
mancipari, ut ca lutticere putent,
quae manibus quali palpare postunt.
ac pauca veline linon oculis omnium
obria, pauciora credane quae lentus
non approbant, ex paucillima clioant.
nisi ab experientia firmentur. Non
equidem diffiteri poltumus, hoc pro-
politum utile cse aeque necellarium,
uc inicio juretur cositacio nostra et
intel

## Folio  -  — 175906937X:0013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
aII.
LAM
d
lla
aTIC
ICun.
nCle
ClIGud
Mere
10 IId
Tent,
UHL,
MHIUM
enlus
1gaMti
NeI
CD
ITIUW
Aea
INtet
rente
DE DLC ATORIA
intellectus; unde factum cA, quod
qu
Creometlae fiouras, Arichmetici nu
merorum characteres, aliique alia
lublidia invenernt; Sed experimen
eis ejulmodi vix acquielcere debent
magna ingemia, nec poreltis, qui la-
pientiae tamam affectat. Communis
enim experientia docet, multa taci
lemererimentis astentum e elleve-
rillima, etiamli lentuum judicio pro
e
veris non aonoleantur: a vice ver
Sa, senus quaedam approbare; qua,
quia talla, ratio nullo modo acmie-
cere potelt. Acque haec licet omni-
bus in conteholint, non delune ta-
men, qui nihil nili Praxin amantes,
Lheoriam e speculationes omnes o
dio proleguuntur, acque ut inucilia
e
elimmane: Quos pertinacia lua lero
mimis poenicebit, cum aliorum impe-
eio ita lubjecti eRe CODUNEuE, UE nC

## Folio  -  — 175906937X:0014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
Y. P I S T O L A
in Praxi quidem Tolita obltacula re-
movere lciant, nec unquam novi
guicquam addilcane, nili quod velca-
lus iplis, vel aliorum humanitas sux
q
peditarerit. At alii, quorum animus
lonoius exlpatiatur, et demonctra
tiones caulasque inguirit, ucilia mul.
ta invemiune, qua ab aliis ionoian-
tur; adeoque in Praximulta excooi
tantes compendia, allaborant ut tx-
dlia ex impedimenta obria tollantur:
quorum tamen inventa non ellent
tepudianda, etiamli humam ingenu
imbecillicas, aut ulus rarilas, calta
tim ad praxin cerocare prohiberce.
Llincnon contentidoctiores IIS, Qua
aCrcomettis aut Arichmeticis demon
Crata acque inventa lunt, quaeque
ulus dudum contirmarie, nili vel i
plas demonstrationes penetrare, cal
demque invemre polline; adeoque
(UPer

## Folio  -  — 175906937X:0015
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
lla re
Lcla
S1
2At
e
IC
DIan
ECD
1
ILTa
IMu
esser
19C
an
aca
DeTet
Qud
e
la
VC
edl
Coqu
supet
DIIMIIS
DE DICATOEIA.
CuperAua relcindere, defectus supple
re, e deperdita restituere Gueant.
Nequeenim exiltimandum est, ma-
ores noltros omnem polteris prari
puisse materiem, qua excolatur inoc.
nium; cum contra locordia merito
nOS incularent. sI plus Temporis in
(CxIpEIS suis etiamnum intelligendis
impendi, quam ipli in InCOONITIS In-
veniendis poluere, viderent. Adquae
invenienda cum non aliavia, (quan-
cum constat) quam qua per conipo-
litionem a relolucionem procedit,
UtCTenEuE, Quaeque naturalIS POTIuIS
inoenu taculcas aut industria, ulua
CXCTCIEaTIONC POTIIa, Quam aIS CCTEIS
lesibus et praeceptis contenta, dici
MMCTCtUI; RecentIOreS artem quan
dam excooiarunt, quam vocant A.
nalrcicam, cujus principia eradit hoc
Opulculum. Quae poltquam InMOEVIE.
OrI

## Folio  -  — 175906937X:0016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
F. P IS T O L A
lonoe pluraemajora, quam ab An-
ciguitate nobis relictalune, in lucem
prodière. Non patitur tempus e lex
lcribendi; ut commemorem, quan-
ta exliac arce, non tantum adArich.
p
meticam, Ceomallam, Mechani-
cam, led etiam Opricam aliasque
scientias manarerne emolumenta.
ihilenim lans antchac de vilunori-
ius, cum omnia tric. licut in aliis
22c
arcibus, quae matcile immerlae, non
abstratiuntur a senlibus, ad directio-
nemmentis, dispucationibus hruc il
luc trahebantur; jam omma decer-
minata, omma demonstrationibus
munita. Imenim in Opticisnon pla.
neholpites lunt, lac seiunt, quam in-
certa, quamque defectuola tuerine
ca, qua de Retractionum legibus an-
ceanorimus, et quam talla illa deter-
q
minatiotiouae vierorum, (de quibus

## Folio  -  — 175906937X:0017
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
bAN
cen
e lex
II
CMMI
aSC
Cl
nOrE
 un
5O1
eCla
UC I1
Cte
Quai.
LClIII
15 a1
D EDIC ATOELA.
Dioperica agit) qua nihil jam nobis
Optaripocelt pertectius, nihil CCrEIUIS.
Ted dehis Fortan alias. Id mihi in prae-
lens sutticie, hanc actem libi proprio
jure vendicare non tolum ca, qua de
Matheleosutilitate, deque Arichme
2
TICa, Creometria, AAronomia, et
Mulica praeltantia, toc rationibus.
toc roluminibus, torque seculis dicta
lunc, sed e multo plura; quod tacile
demonstrare possem, nisi plurimis,
quihaec penitius introlpicere dionan-
tur, notum id fore lciem. NecOpIS
mihuiest, multacoram Te, TTerosPei
illustris, de hujus artistotiusque Ma-
thelcos utilitate dicere: quoniam.
dum animus cuus magna lemper et
excellameditatur, Mathematicasc-
tiam sciencias coluilti ex amplexus CS,
nihilque Tibi ad Capientia comple
mentum dcesle roluilti. Sed malo de
X X

## Folio  -  — 175906937X:0018
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
S. P I S Y O L A
Leroicis et eximis tuus vircutibus
cacendo, publicum omnium testimo-
nium implorare, quam in praelens
Daucadicere. Arslane Analycica per-
spectum habet, cujus viri praesidium
expectat, cum implorat cuum: nec
enim Vama unquam, quamdiuMa
thelis aliaeque artes liberales tales in
venerint latronos, vel vutus vel la
pientia deticiet. Patere igitur, LICtOS
Cerillultris; nomimituo Principia haec
x
inleribi, et tluctum incepta peicori
nationis lerena tronte accipe. Tic-
num nommisclrpeomunica, trontem
audent obvertere holtibus, quibus
seculum hoc abundat, guique varia
cela in obvios cAundere non veren
cur, prout affectus malevoli ipsis di
ctavernt. Solene plerique, quirodere
amant, objicere, pervulsata omma
esse ec ex aliis desumpra; qua censura
Quam.

## Folio  -  — 175906937X:0019
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
1
DC
IaC
C
CM
DuS
AIIa
d
et
HId
DE DIC ATORIA.
quamquam lciam hoc lcriptum non
Pollenotari; tamen prae lasIE animus,
tore, ut haec tanquam inutilia e ninis
curiola rejciant. Si enim intellexe
rint, hoc ambitu, etiam Algcbram
complecti; Faltidio commoti, subcili-
Tates ejuS Canc pejus et anoue tu-
ient. Sed vix metuet sibi AiSAna
lotica a talibus hroltibus, nam, cum
doctiltimis quibusque Machematicis.
quibus seculum hoc quali superbit.
probetur, de reliquis ipliminus cst la
borandum: nec ulla alia hujus Me
thodi defentio reguiritur, nisi quam
experientia, e iplius rei intellectae
ulus actulerit. Et, uc verba in pauca
conteram, situoexactissimo limatis-
simoque judico probentur, nullius
in polterum centuram aut nocam per
cimelcent. Nequecoo exilitate ope-
IS deterritus, led contra utilitate po.
+ X
TIUIS

## Folio  -  — 175906937X:0020
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
EPISTOLADEDICATORIA.
eius instigatus, Tibi haec conlecra
0
e
rC lumrecitus: Aquidem canta ma-
JoreAcucia, et Ipe certiore, guanto
certius mitu constat Le omnibus iIS,
qui inter bonas artes ctiam Mache.
matieis incumbunt, tavere; quem
tarorem quocidie tamilia nostea len
cit, et grato animo lemper recolit.
Valercom Dama decus, e aquibo-
nique consule hoc oraci animi monu-
mentum, quod humillime oHert
PERLLLVSZRIS OEZIFROSTZ AZIS
TVA
eribebam Leida,
Inno CIdIDCL.
Cntend. vin.
Derocillinus a Obleguei
cissimus cliens
da _d aL1o 1aL L HCOL. L_145.
LF

## Folio  -  — 175906937X:0021
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
14
es sapientes audire velint, es nihil tam
emerarium tamque indienum sapientis gravitate
etque constantia sit, quam aut falsum sentire, aut
tis exploratum sit, sine ulla dubitatione
defendere: nescio quo fato frat, quod non operam
dent ejusmodi studiorum viam ingredi, qua mens ad suescat ve-
rum a falsis ex dubiis distinguere. Puan doquidem enim à tene-
ris adsuescere multum est, ccrecie sibi consulerent, si ad Mathe-
sin excolendam ab ineunte atare animum appellerent. Mathe-
maticas aurem disciplinas hanc prae aliis habere prarozavam,
vix dubitari potest, modo consideretur, quicquid in iis concludi-
tur es determinatur, id omne ex pramissis necessitate quadam
(equi: vel verum, vel dubium, vel falsum, prout praemissae variis
modis sese habuerint: Adeo ut, etsi non aliis usibus inserviret
Mathesis, tamen vel hoc nomine, ad sui coenitionem trahere
deberet etiam eos, quibus nullum aliud ex ea speraretur emolu-
mentum. Duod cum abunde obser vatum es usu comprobatum
sit a reteribus, quos plerique nostra atate it a suspiciunt ex vene-
rantur, ut majus quoddam anima complexi, plus multo etiam
vidisse videantur, quam quantum nostrorum ingeniorum acies
intueri potest; inter alia mirari subit, omnes fere, exemplum il-
lorum hacin re deseruisse. Duippe compertum est, antiquos Phi-
losophos non permisisse, arecope lenr 35 scholas suas ingredi, ut ad
Sapientta studium admiterentur, quique ante non haberent n a-
645 ~ D1N00o PIaS. Quod sane propositum, non ratione pru-
dentius, quameventu felicius fuit: cum hanc fuisse causam, qu’od
ad illam perticerint scientiam, quam posteritas tantopere mira-
Tur, es quo virtute sua nonnulli eniti se posse desperant; conji-
ciam. Frustra enim spectatur fructus disciplinarum; ab eo, qui
earum altitudinem non metitur: nec in cacumen evadere po-
test, qui non solerier rimatur viam, es adisus, qui eo ferunt,
X X 3
neclo-

## Folio  -  — 175906937X:0022
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
P R A F A F I O
neclicit. Mathesis autem, cum ex notionibus simplicissimis, co-
enimque facillimis, ad difficiliora atque remorissima quaeque co-
enoscenda perducat juniores, qui praeconceptis opinionibus va-
cui non impediuntur varietate rerum, quae animis provectio-
rum inhaerent; non dubito, quin si ea a teneris imbuatur mens,
ad altarum quoque rerum; maxime compositarum at que obseu-
riorum, coenitionem sit penetratura. Et quoniam Mlathesis va-
riis parribus constat, quae omnes circa quantitatem versantur:
res a nostri seculi Luminibus eo redacta est, ut generaliter illa
omnestractari, es quantitas haec in univer sali es abstracto per
liveras Alphabeti concipi possit. Ita enim, facta ad omnes quan-
ritatis secies applicatione, intellectus ratiocinando ad varias
res inveniendas distincte proeredi porest. Postquam amem Me-
thodus illa diularuit, recta verborum involueris, cum quibus
prius luctandum erat quam fructus ullus sperari poterat; oppor-
tune nobis Nobilissimus D. Des- Cartes, insuperabilis ingeniirir
(qui, reclusâ à se hactenus incoenira. ad veram sapientiam via,
post tot seculorum faedissimam servieutem, omnibus imitando
exemplo, itanaturae mysteria pandit, ut verae sapientiae studium,
humanarumque scientiarum encyclopaedia ex perfectio, immatura
ejus ac deplorabili morie, majorem nunquam jacturam facere
poruerii) eam ad hanc facilitatem perduxit, ut, quod difficulta-
eis reliquum est, non alia ratione quam studio ex dilicentia e-
vinci possit. Faceo hic perfectionem, ad quam res Mathemari-
cas hujus Merhodi subsidio redesit: cum ipsarum testimonia
non tantum invitos laudumque suarum detractores in illis pal.
mam ei dare cocant, se d etiam quou sque humanum incenum
in ii(dem proeredi quidve praestare valeat determinent. Perum
enim vero cum omnium maenarum rerum sicut arborum alti-
tudonos delectet, es radices stirpesque non item: sic mulii ad sum-
mapervenire optarent, nisi in elementis baerere opus haberent.
atqui, quemadmodum illa aliicudo sine radicibus, stirpibusque
esse non potest; ita illi frustra se in id fasticium recipi sperant,
4

## Folio  -  — 175906937X:0023
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Iut 1
s n
itert
at
Eum
CM le.
s Gto
It; 
(Mis. 11.
aqVCA.
ibus V1.
orectio
CH
que obset.
elit
es quan
etit
tatas
Ttutent
st
nmatu
infacti
ficulia
remie
phemal
A D L E C F O R F M.
quibus cordi non est fundament a fideliter jacere. Et cum ante-
hac non edita sint ulla principia, quae ad adyta hujus Methodi
ducerent; quid mirum: si multi in ipse limine haesitaverint,
pluresque, quos, re inexperia, desperatio in fucam averterit. Fle-
nim nec hujus Methodi Auctor, nec Doctissimi ejus Commen-
tatores à semetipsis impetrare potuerunt; ut bonas horas, quas
subtilioribus inventis dicaverant, in edendis, quae viam ad
hanc Methodum sternerent, impenderent. Cum itaque nihil
hac inre; omnibus volis, tam a me ipso olim, quam à multis
hodie expetita, praestitum esse repererim: diu multumque inter
Pemes metum haerens, dolui, tamdiu inter tot Mlathemarico-
rum monumenta ea desiderari, quae ad scientiarum incremen-
Taemunelioris naris homines necessario requiri jam pridem ce-
perunt. F∞o sane opporiunitate mira, ante aliquot annos vol
composfactus, postquam ad hasceoras. Academiam Illustrem,
quae Leida est, accessi, Vir Celeberrimus atque Doctissimus
Francisous a Schooten, Matheseos ibidem Professor publicus,
me Artem Analylicam, hancqe Methodum, tam eximia fide
docuit, ut ad perfectionem nihil mihi praeter ingenium expra-
priam industriam defuisse crediderim. Quocirea seposit a pri-
vati commodi aestimatione ut plures felicitatis hujus participes
facerem, es quae propriis usibus destinaveram, publici juris red-
derem, de elementis hisce, quibus inter alia imbutus eram, e-
vulcandis, cocitare caepi. Et licet vererer ne amicitiae jura, quae
inter nos cum fide semper servari optabam; hac ratione viola-
rem; tamen facilem mihi veniam sperabam, si non nisi officio-
sa fraude fallerem, quae eloria ejus, qui se bono publico uni de-
vovit, cedere, nec alias macis animum meum gratum restari
posset. Ac ne primas quidem spes fortuna destituit: quippe ab
ipso, qui nullum ere a me bener olentiae pienus atque indicium
omittit, non modo veniam hujus Zeli impetravi. sed ex eam
humanitatem, ut omnia perlezere ex examinare haud erava-
sus fuerit, lncemque insenit es consilii sui porrieere. Operis
brevt

## Folio  -  — 175906937X:0024
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
DD A E A F ZO AD L ECFOR E M.
brevitarem quod atrinet, non est, quam displicere cuipiam pu-
rem: siquidem copiam exemplorum, quibus ad discendum ni-
hil aprius, nullus (ut opinor) hic desiderabit: in quibus affe-
rendis ejusmodi delectus est observatus, ut, quoad fieri potuit,
in medium adducerentur ea, quae vel in ipso Auctore, vel in
ejus commentatoribus reperiuntur: qua ideo sparsum ita (unt
disposita, ut, meo judicio, non alio loco melius intelliei, si-
mulque praedictis locis illustrandis inservire poruerint. in quem fi-
nem, in mareine parinarum citationem additam esse appare-
bit. Adeo ut, quicunque tantum arithmeticae species, cum in
inteeris, tum in fractis perdidicerit, levique numerorum irra-
tionalium nociria instructus, in allatis exemplis accuraie exa-
minandis sese exerenerit, se non inutiliter tempus, ubi ad Geo-
merriam Dni. Des-Cartes accesserit, consumpsisse experturus sit.
Duin inio videbit jannam reseratam omni ei, quod ab Alee
bra e analysi Ceometrica exspectari potest: ideoque se Mathe-
seos Vniversalis constitutionem animo comprehendisse. neque
enim existimo, hisce intellectis; opera pretium fore, alcebra
vulcaris cognitionem amplius exoptare, licet le viorem ejus no-
iniam, vel ipse D. Des-Cartes, antehac, ad suae Ceometriae
Methodum intellicendam, requisiverit. Vale.

## Folio 1 — 175906937X:0025
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
APH.
ta sunt
8t ist
EIts
PPAI.
11M IH
irra.
exia
d6e0-
rus sit.
A.
Matne
NeguI
Metrit
M MI.
asse.
MluII,
vel in
LICTPTEC
NIV E R SAL T
S F
NTRODY C TIO
A D
SEOMETKLL METTODVM
RE NATIDES C ARTF S.
DE LOGISTTCA OYANTITAEVM SIMPLTCINM.
m in omni scientia, ad difficiliorum rerum
coenitionem, utile sic a simplicistumis X co-
onicu Facillimis ordiri; haud inconsulcum fue-
E, ad generalem acque facilem comprehen
ionem Mathematicarum Scienciarum, que o-
Innes Circa quancitatem verlantur, ad ea pri-
ate altendere, quae non aliquam ejus (pc-
cieim excludere, sed cas, quoelnque le habeant modo, sub cer-
verla illarum Sciehtetas Comccuctene sccelliverta objecta rationem de
relpiciane, non nilirelationes sire proportiones quaedam, quae in methodo.
uIS reperiuntur, considerentur; consentaneum elt rationes atque parce secun-
proportiones illas seortim spectare, easque liceris Alphabeti, ut-
poce nocis simplicissimis nobisque cognicistimis, insignire. Ne-
que enim ratio ulla cA, quo minus per a, b, c, Qc. conci-
piantur magnicudines a, b, c, ec. quam pondera aut numeri iil-
da.
dem characteribus delignati. Actamen quia cum phancalixe tum
sensibus iplis, nihil simplicius nec distinctius extriberi posse Oc-
currit, quam rectae linex, quae que relationes e PrOPOTTIOHES,
qua incer omnes alias res inreniuntur, exprimere ralent: pra-
Aac
tisnoesellique obriis repraelessca o. Unde cum in uni- vide disser-

## Folio 2 — 175906937X:0026
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
P K I N C L P L A
stat per praedictas lireras Colummodo lineas rectas concipere,
Ilinc li dux tuerint quancirates delignatae per a ec b, incellisentur
per iplas dux differentes linea rectae, diver(a scilicet longitudh-
nis: ita ut per a incelligatur longitudo seu quantitas unius, ee per
blongitudo seu quantitas alterius. Non secus atque per a e a,
UE per b _ b dua incelliguntur linea aequales; nili indicareris
suppoluerilre a esse aequalem ipsib, vel a d b ejuldem esse raloris,
id quod sic denotatur a ∞ b. Et sic de aliis.
Cum autem non raro occurrat, ut linca aliqua sic aliquoties su
imenda, oportet tantum numerum conrenientem ipsi litera prae-
figere: Uc ad delignandum, lineam a esse bis lumendam, Pcribo
2a. Sic d ad delignandum duplum, triplum, quadruplum _C.
iplius b, Ccribo 2b, 3b, 4b_c. Nec alicer tc si ad delignandum
Temissem, certiam aut aliam quamcunque parcem lineae a, scri-
batur = a3 = a, ac. id quod etiam hoc pacto tieri Colet =, =, _c.
sic & duastertias, tres quartas, dec. iplius b, ita delignareris = b,
Eb: velsic, -  acque ita de aliis.
Jam cum in unirersa Machesi opcrationes omnes ad quinque
diversas (rulgo Species dictas) reduci portine, quae sunt Additio,
Subtractio, Multiplicatio, Dirilio, _ Radicum extractio; conse-
quens estur oltendatur, qua ratione dictae opcrationes per literas
line instituenda.
De Additione quantirarum simplicium.
Situr ad addendum lineam a ad lineam a, Scribo pro Cumma
L2a: sic d ad addendum 2b ad 3b, scribo 5b. Linea enim cil-
dem liceris (idenOtantur, OpOrtet tantum numeros prxetixos ad-
dere, ee summam eidem licera praetixere. Si vero diverlae fuerint,
addicio hiet incerposito signo F, quod denorat plus. UE Si ad li-
neam a sic addenda linca b. scribo a- F b, hoc est, a plus b, quoin-
cidatur b esse additam ipsi a, rel adhuc esse addendam. Ubi po-
tec dictum sionum semper esse reterendum ad sequentem liceram,
Seu quae priori addi debet.
Nec alicer fic, (i plures in unam summam sunt colligendae. LII
ad addendum 2b, b, 8 3b, Ccribo 6b. Sic _ ad addendum a, b, et c3
Ccribo a. + b F 6.
Exen-

## Folio 3 — 175906937X:0027
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
Cniu
aVeIS
alois,
lestI.
EDTR.
cribo
nal
ndum
Ccri
id
pere
uct.
l per
let
uinqu
daI
Co
literas
lumme
9uo
imeil.
105ab.
(1 3d1.
ibipe
IeraM
B, _t
Ci
MIA FHE SE OS LINLVERS AL1S.
Exempla additionis simplicium.
Add. 54.
Ca.
SuIMa 2a.
Add. -
a
4
10
Summa a F b. a F 2b. 36 F 4d. a F b + 6.
EEbinotandum, in additione literarum dex z d, cogitandum es-
seliceram d sibi praetixam habere unitarem: id quod etiam in le-
quenti exemplo e limilibus est obserrandum: uc d, cum plu-
res adduntur direr(a licera, perinde ese quo ordine scribantur,
Ut a L b, vel b. + 4.
De Subtractione quantitatum simplicium.
Amrero ad suberahendum lineam 2 a a linea 5a, scribendum
eAt 3 a: siquidem linea, quae iiIdem literis sunt delignatae, (ub-
ducuntur, suberahendo tancum a se inricem numeros prXHIXOS.
Sic _ Si 2b auterantur a 3 b, reliquum erie xb Peu b. Similiter Tub-
lato d de 4d, relinquitur 3 d: Aca dea manet o leunihil.
Ouod li vero linex diverlis liceris nocara fuerine, subductio
fier incerpolito signo -, quod denocatminus. CIc (i ab a subera-
henda (Eb, Scribo a -= b, hoc est, a minus b, quo indicatur b esse
sublatam ex a, vel adhuc esse subducendam. UIbi patet dictum s-
ruum semper esse reterendum ad sequenrem liceram, hoc eA, quae
ex priorielt subtrahenda.
Liodem modo, sublatis 4d ex 36, reliquum erit 36 = 4 d.
Exempla suberactionis simplicium.
FX 5a. 3b. 4d. d. FX a.
36.
SUDEr. 24. 2 b. d. a. TubEr. b. 4d.
a.
+b.
relig. 34. b. 3d. 0. reliq. a - b. 36- 4d. a- 4b. 2c - d,
EInde nocandum, in ejusmodi quantitarum suberactione, opor-
cere quancitarem illam, gux ex alia subrrahi deber, esse minorem:
 2
hoc
0

## Folio 4 — 175906937X:0028
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000028.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
P R L H C E P L A
hioc est, ad Tuberahendum b ex an (ut in superiori exemplo) opiis
esse, ueb sc minor quam a. Ouod (iaurem nOn proponatur aue
constet, utra quantiras sic major aut minor, e tamen subductio
heri debeat; disterentia carum denotari poterit hoc modo: a -=b,
hoc est, a =- b vel b - A.
De Mulciplicatione quanticarum simplicium.
Orro ad mulciplicandum lineam a per lineam b, scribo a b vel
 ba. Sic e ad mulciplicandum a per a, hoc est, a in sc, scribo
aa leu a: e aaa seu a ad pexdictum productum aa adhuc Pemel
mulciplicandum per a. Aded ut licera immediate sese consequen-
ces, mulciplicationem carum per inricem tactam, vel adhucta-
ciendam esse, indicent. Non secus, Si mulciplicare relima, bexc
per inricem, scribo abc, vel b ac, vel cb a _C: _ ab b seu a b 2 vel
ba, ad mulciplicandum a, b, ex b. Flic enim, ut in addicione, non
retere, quo ordine scribantur.
Ouemadmodum vero ex ductu alicujus numeri in se, id quod
producitur rocatur Ouadratum ejuldem numeri, e siproductum
illud adhuc semel per eundem numerum mulciplicetur, proclu-
ctus numerus appellatur iplius Cubus, atque ica deinceps; ita
quoque si a multiplicetur pera, productum aa leu a: appellari
consuerit a quadratum, seu a duarum dimensIOnU; _ sI a A PUT-
sus mulciplicetur per a, producetur a aa lcu a3, quod ideo appet
lari poterie a cubus, seu a erium dimensionum: acque ita a +, a 5,
a5,ec. dici pocerune a quadrato quadratum, a surdelolidum,
a quadraro cubus, _c. Peu, a habens 4, 5, aut 6, Qc. dimentiones.
Sicuri aucem numerus aliguis, si in se ducatur, dicitur radix qua-
drata ictius producti seu quadrati: X Si adhuc Pemel per hoc pro-
duetum mulciplicetur, tum radix Cubica hujus posterioris produ-
Eti appellatur, SC; sic ex a dicitur radix Ouadrata ex a a leu a, d
radix Cubica ex a3, e radix Ouadrato. Juadrata ex a +, _ radix
Surlolida ex a5, de radix Guadrato-Cubica Cx a5, atque ita pOr.
ro. Idem de religuis est incelligendum.
Ex quibus constat diligenter esse nocandum, quod magnum (iE
dilcrimen inter aliquam quantitatem, cui numerus aliquis prat.
Zus elt, et incer eandem quancitatem, ubi idem numerus a terso
elt acLCTIPEUS. GITIEEF Z AdE a33 3a e a3, 4. a de a, dec. liquidem
t

## Folio 5 — 175906937X:0029
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
bre
cribo
emel
Iuen-
Acta-
b8c0
vel
nOn
quod
ictum
rodu.
5 Ila
ellari
ANI.
poet
a
dum,
Ones.
qu
CDCO
TOd.
a, d
radte
p0
cab
MLATHESEOS LLHEVERSALTS.
per 2a, 3 a, 4a, _c. Simplicicer incellisitur quantitas abis, ter,
quater, ac. Cumpea, hoc elt, a libi ip(i tories addita: at vero per a
a, at, ec. Ouadratum, Cubus, Ouadrato- Ouadratum, eec.
iplius an hoc est, ipsa quancitas a cories polita d mulciplicata.
Exempla multiplicationis simplicium.
Mulcipl. a a aa ab ab ab
per b. a
a
cd
a a
ab
a3.
a3
producum ab. aa. a3. abc. abb. abcd. a3b. a
Cbinocandum in a3b, producto mulciplicationis quanEIEaTUI
aa ec ab, numerum cernarium quantiratem praecedentem a re-
spicere, non aurem lequentem b: quod, cum brericaris causa leri-
batur pro aaab, in omnibus limilibus calibus quoque est incelli-
vendum. Eadem ratione, ad mulciplicandum a3, hoc ett, a a a per
a eu a a a, PrOdUCETUI a, hOC eA, aa a a a a.
Ouodsi quancicates occurrane mulciplicandae, quibus numeri
sire inceori siretracti, peaetisuntur, oportebit dictos numerosin
Peinricem ducere, ut in vulgari Arichmetica, et eorum produ-
ctum praetigere producto, quod exsursic ex mulciplicatione
quancicatum dictarum. Cc ad mulciplicandum 2 a per 3 b; mul-
ciplicatis 2 per 3, Prorenit 6, quod si praetisatur ipli ab, produ-
eto quanticatum a ex b per inricem, erit quaelicum productum
6ab. Similiter mulciplicatis 2b perc, productum erie 2b6. nam
unitas, qua hic ipsi c praetigi subincelligitur, ducta in 23 pro-
ducie 2.
Nec alicer te, si ad mulciplicandum 3 ab, hoc eA, ter ab per
20d, hoc est, bise d, scribatur 6 a bc d. Sic ex, mulciplicaris = a a
Per= ab, hoc est. semisse iplius a a pertertiam parcem ipsius ab,
productum tier s ab, hoc eH, 5 a a a b.
Nulcipl. 2a
PeF 3b
Exempla multiplicationis.
2b
3a 3ab
6 =d 2Cd
2 a a
3ab
et e
3b3
3 a3.
product. 6ab. 2bC. = a d. 6ab6. d. 7 43b. 3 a3b3. 4a
Ubitandem sciendum, quod licet ex mulciplicatione produ-
cantur quanticates plurium dimentionum seu licerarum; carum
tamen

## Folio 6 — 175906937X:0030
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
P R L N C I P L +A
eamen addirionem atque subtractionem non aliter heri acque
praecedentium. Ut ad addendum 2 ab ad 3 ab, scribitur 5 ab: ee
ad addendum 6 ab ad 2bc, Scribirur 6 ab = 2b6. Non secus, ad
Suberahendum 2 ab de 3 ab, scribitur ab: X ad subtrahendum
2b0 de 6ab, Ccribitur 6a b = 2bc. FF (ic de aliis.
De Divisione quantitatum simplicium.
Eoniam rero dirisio resolrit id, quod mulciplicatio compo-
Lnic: facile apparet, ad diridendam quancitatem ab leu b a
pera, opustantum esse ex quantitate diridenda a b rollere quan-
ticatem a, quae dirisor est, e pro quociente scribere reliquam
quantitarem b. Fodem modo, si diridatur a a per a orietur a; X
a aa Teu a3 per a Orietur a a. Non secus diris d abc per a, Aetbc:
at per b, Het dC: _E PeF C, Het ab.
Ouod si vero quantitates diridende occurrane, quibus numeri
SnEpraetixi; oportet, factâ dirisione quantitatum, ut jam octen-
sum est, similicer dictos numeros diridere, ut in Arichmetica rul-
Baris ee quod orieur inrento quorienti quancitatum praetis ere.
Divid. ab;
Exempla divisionis simplicium.
a 47 437 abc7
Per a 5bQuOT. a5a. Ea a.
3b. 6a367
Divid. 6a b
PeF Z a 5
5ab5+ aa.
a
abc7 a3b7
sbc.
3 a3b3
E6.
ab 5 ab
a57
Cad.
Ea
aa
b3 F2a3 (eu a 3. 3 a3 b37
363
Cum autem occurrunt quancitates diridendae, ex quibus lice-
rae diriloris pexecedenti modo collinequeune; subscribitur Diri-
Coripsi Diridendo interjecta lineola, ad modum Fractionis Arich.
metica vulgaris. UIt ad diridendum ab per c, scribo , quo indi-
catur ab esse dirisam perc, vel adhuc esse dividendam. Sic et ad
dividendum a perb, Ccribitur Z. Cimilicer divisa abc perde, quo-
tiens erit ab. e sic de aliis. Oux quidem quantitares sic divila
appellantur Fractiones.
Est rero hic obiter notandum, divisiS a per an 2b per 2b, Cmi-
libulre, quocientem ese r: liquidem quaeris quantitas se ipsam
semel concinet, ideo que per seiplam dirila, umitatem protert.

## Folio 7 — 175906937X:0031
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000031.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
lalque
ab: d
(15, 3l
LOMPo
leu ba
sequam
liguam
TA; e
hecbc:
mumeri
Nollen.
licarul.
ete.
15 lite.
FDin.
Arich.
0 indl.
ic du
C, qu
diritu
NLA ZHESEOS LLHEYERSALTS.
DE LOGTSTLCA OYANTITATVMCOMEOSITARVU.
L Xplicata Simplicium quantitatum operatione, quoniam ex
illarum addicione e Saberactione oriuntur quantitates, per
sionum. L compolicae, aut per lignum - disjunctxe, (quae com-
munirer generalinomine Compolux dicuntur); conlequens elt,
uc harum quoque operationem deinceps oltendamus.
De Additione quanticatum compositarum.
Citur ad addendum quantitates Compolitas, iildem literis no-
Lcatas, oportet considerare liona L d -, quibus aficiuntur, et
nocare,  eadem tuerine, additionem heri ut in simplicibus, de ca-
rum summae praetiei ideni signum. EIc ad addendum a L 3 b ad a
L2b: additis a ad a _ 3 b ad 2b, Tumma eric 2 a L 5 b. Lodem
inodo 2 a -- b addicum ad 3 a = 3 b, FaCiE (UMMaIM 5 a = 4 b.
Ouodsirero ligna direrla tuerine, suberahendae erune quanti-
eates eildem literis denoratae, sicut in subtractione simpliciu, et
ei quod relinquitur praetisendum est signum, quo major quanti-
tas afticitur. IIE h addendum (IE 3 b F 5 a ad 2 b = 2 a: additis
3b ad 2b, ee lubtractis 2 a ex sa, summa erit s b L 3 a. Simi-
licer sia. F d addatur ad a - + d, FICE (UIIA 2 a - 3 d. UBi p2 -
Tet ( 2b F a addatur ad 3 b = a, TUIIRIMFOTC Cb: GVanEIEaTeS
enim. F a de =a, cum propter diverla ligna sint luberahendae, se
mutuo tollunt.
Jam ad addendum quantitates diversis literis denotatas, Opor-
cet tancum eas luis signis connectere. Ic ad addendum a L b ad
c - d, scribo a F b +c - d: siquidem quantitas c, de omnis alia
cuinullum praeponitur signum, incelligicur libi praefixum habere
Tignum. +.
FNempla addirionis compositarum.
A+5a + 3b2 a = b : ab + 2 bb ad - 2 abc a a + 2 a - 3.
a = 2b 3a - 3b = ab + = bb 2 a3 - 3 a b6 a a + a - 6.
Tummma 2 a = 5b. 5a- 4b. ab. + bb. 3 a3 - 2 abc. 2aa. + 3a - 9.
Add 53b. + 5a a = d. 2b = a aa - 2 ab 3a3 - : aab aa - 5a. + 6.
22b- 24 a 4d. 3b- a aa + ab 2a3 + aab aa. t a- 6.
299r. 5b- + 34. 24- 3d. 5b. 244 - ab. 543 += aab. 2aa- 44.
Add

## Folio 8 — 175906937X:0032
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
Add. 5a F B
SuImImaCC - 0
 R I N C L P I A
244 -7 3 ab -- bb 3 abc
a3- F 2abb- a ab. F abc
5ab - 3aa a3 = a bc a3 = aab - - 3 abb - b3
(Cu aGOr. a + b + c - d. 8ab - aa bb. a3 + 2 ab5. 2a3 - abb. + abc- b3.
F quibus manifectum sc, (cum ad addendum 3 b = 5 4 ad 2b
2 a FCribI PONIE 3 b - F 5 a - = 2 b - 2 a hoc eA, 5 b + Za: (1 -
quidem - = 3b _ = 2 b Faciune 5b, X F 5 a -- 2 a FaciunE F Z a)
quantitates eildem literis denotatas, quando dirersa habene si-
ona, subtrahendas esse. de lumma ascribendum esse signum ma-
joris quancitatis.
DeSubtractione quantitarum compositarum.
DOrro ad suberahendum quantitates compolitas, quae eisdem
L liceris lunc denotatae, sciendum est: Si signa eadem tuerint, et
quancitas e qua subtractio tieri debet, major sic quanticate lubdu-
cenda; cum subtractionem heri ut in simplicibus, de ei quod re-
linguitur praetisendum esse idem signumI. TTE (i Suberahatur a F 2 b
Cx 2 a F 5b: (suberactis a Cx 2 a, _ 2 b Cx 5 b,) remanet a f 3b.
Non secus si suberahatur 3 a - 3b Cx 5a = 4b, reliquum erit
2a - b.
Si vero signa eadem suerint, de quantitas a qua subtractio fieri
debet quantitate subducenda minor sir; oportet, subtract â mino-
re exmajore, reliduo lignum contrarium praeponere. LIE(i sub-
trahendum sIE a L 3 b 4b 3 a- F 2b: subtractiS a CX 3a, _E 2 b CX
3b, reliduum exic 2 a -b. Similicer, sublatis a - 3b Cx 2 a = b,
relinquitur a L 2 b.
Ouod si quantitates iisdem literis designatx, atque ad Subtra-
hendum propolica, diverlasigna habeant; crunt iplae addenda,
ut in simplicibus, de lumrae praetigendum lignum quancitatis, d
qua subductio tieri debet. CTc si velimus Tuberahere a = b Cx 2 a
Fb: Suberactis a ex 2 a, addicisjue b ad b, reliduum eric a F 2 b.
Fodemmodo, 2 a L 5 d Subductum à 3 a = 2 d, relinquet a- 7 d.
Caererum ad suberahendum quancitates diversis liceris denoca-
tas, Oportet quancitates subducendas, variatis signisconnectere
cumiis, a quibus subductio feri debet. IIF Si Suberahi debeatc - d
ab a- = b; eric ditterentia seu reliduu a f - b - 5- + d: variaris
nempesignis quantiratum cde d.
Lne

## Folio 9 — 175906937X:0033
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
denl.
M
ildem
AE, de
obdu-
lodre.
a F 2b
a. + 3b.
Im ett
ioberi
mino.
E Tub.
Lbed
abe
lenda
+15
A0I.
edteit
NIAZHESEOS ETHEVERSALTS.
Exempla subtractionis compositarum.
LX 24. + 5b 5a- 4b : ab. +3 bb a3 -  abc. + abb. b3 244 + 3a-9:
SubEr. a. + 2b 3a- 36
+ab + bb 343  abc. + abb. b3 aa + 2a 3.
Relig. a + 3b. 24 b. =ab +, bb. = 43- = ab60
a4  a 6.
L. X 34. = 2b 24- b 24a ab 5a3 + = aab - 2 abb 3aa 2a +6.
Suber. a. + 3b a- 3b aa- 2ab 243 + =aab- abb 2aa 3a L9.
RRelId. 2a =L b. a. f 2b. aa L ab. 343 - = a ab. + = abb. aa + a 3.
Er 24. +b 3a- 2d 8ab - aa 343- ; aab. + 2 abb. b3 3aa- 2a + 6.
SeVEr. a b 2a +5d 2aa - 2 ab - 2a3 4 2 aab
ad F a- 3.
DiH. at 2b. a- 78. 21ab- 3 a4. 54-- aab. +, abb. b2. 24a- 34 +9.
FX
Suber.
a- F b.
c. 4
2a4- 44 3abc a3 F aab - abb - b3.
Aa. F a- 6 a3- abc aab- 2 a 3 - = C3- abb.
Rel. resid. Seu dift. a. +. b. c. + d. aa- 5a + 6, 4ab5- 43. 343- b3 -c3
E. quibus perspicuum HE (cum ad suberabendum a- = 3 b Cx 3 a
= 2b scribi possit 3 a F 2 b - a = 3 b, hoc est, 2 a- b, suberactis
nempe a ex 3 a _ 2b ex 3b): quantitates eildem liceris denota-
tas, quando eadem habene signa, sed onanticares Subducendx aliis
Cunc inajores, suberaliendas esse, de relicto praeponendum esse si-
THUI CONETATIUIM.
Similiter, quoniam ad suberahendum a = b cx 2 a L b scribere
possum 2 a. F b - a. = b, hoc eAt, a F 2b, (Suberahendo videlicee
a 22a, d addendob ad b) Patet, qua ratione, quanticates eildem
liceris delignata, cum direrla habuerint signa, sint addendae, de
Funima praetixendum sic signum ejus, a qua subtractio fieri debet.
Ouod ouren: Subtrahendo a- b ex 2 a. J b; Scribendum sIC 2 a L b
==a- = b, variatis nempe signis quancicarum subducendarum, inde
manifeltum fc; quod ad subtrahiendum a Cx 2 a L b difterentia
denorecur per 2a. Fb- a, urpore subducendo quantitatem an PrX
ponendocitionum =, ue in subtractione simplicium est dictum:
at quoniam subducendo quantitatem a Cx 2 a = b, plus justo col-
ditur. Siquidem non a absolure collendum proponitur, sed dimi-
AUEA quantitatC B; hinC AC, uE 2 a L b -- a minor CiE quam justa
differentia, quantitate b. adeoque ad reram differentiam obri-
nendam, oporcet addere quancitarem b, _ Scribere 2a. L b- 4 + b,
hoc est, a- F 2b. Ft (ic de aliis

## Folio 10 — 175906937X:0034
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
e
P. R L N C L P. L A
De Mulciplicarione quantirarum compositarum.
DOstHXeC, Id MIuLEIpLICaNdU GUANEILaTeS COMPOSITAS, Opera-
Lrio insticui potest ad modum prichneticae rulgaris: oportee
enim earum partes mulciplicare in se inricem, ut in simplicibus
et oltensum, atque produeta linul addere. Ouod autem ad siona
F e = actinet iildem praetisenda, sciendum est: eadem signa
Choc est. t Per  vel -= Per =) FaCerC SigNUI -F, diver IA vero
(hoc est . f Per =, rel - per. L) Facere-. Ic ad multiplican-
dum a. L b perc: inulciplicacis. L a per. L 6, ec L b per Lc,
Eunt- ac, d ] bc: quibus addicis, tic productum L ac  bc,
Peu ac = bc. Sic Ei muleiplicandum sIE a = b per C, producetur
ac- - b6.
Nec aliFEF AC, (i ad multiplicandUM PFOPONAEUE a-J- b per C Ld:
mulciplicacis enim a =L b per C, UEANEC; _ rUTuS a L b per d (B-
quidem a L bnon tancum perc, sed etiam per d mulciplicari de-
bCt): Hecac . f bc- La d-  b d. Non secus ad iulciplicandum
a - b per c= d Ccribitur ac = a d -- bc. L b d: mulciplicatisnem-
De PrimU a bper L C, Ac. L aC, bc: deinde a - b Per = d,
tic = a d + bd. quipret a per - d, Producit - a d: aC - b
per = dproducic . b d, juxta regulam. EF sic de aliis. Necre-
tercurrum a dexcra an rero a siniltra inicium fiac, sicur sequeuti
bus exemplismanifectum Het.
Exempla multiplicationis composuarum.
MuIE. a F b a -- b a F b
Per C
6
c-d
orod. ac. F b5. ac- cb. ac + b5
L ad. L bd
a - b
d
a0-0b
ac tba aatad
oroduc. ac. Fbc. + ad. + b . ac- bc- act F bd: aa. +.  ab F 1b.
Mulcipl. a - b
Per au b
a- L b
ab
ab. + bb aa + ab
aa ab  ab - bb.
aa 240 F0
a - b
aab.  dbb. bdabad o
a3 = 2aab. f abb. a3 = a ab. + abb
orod. aa- ab. + bb. ad. bb. ad - 3 aab L 3 abb- b3. a3 = B3.
aituo
+ ab L bb
aa ab 16b
n

## Folio 11 — 175906937X:0035
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
Opet
Oportet
plicibus
edligua
nbem
la reto
plican.
t 
q
ucecu
eta 
caride.
candum
15 i
Det
21
dec
Guea
1t
at
AIut
NI A EHESE OS EINEN ERS AL1S.
3dd- + +dem L ee
3dd ee
9d+-  22d3 C, - 3ddee
ddec - 4 de3- et
oroduct. 9d  1200 4de et.
5ab = = aa
a - = a + b - = a3bb
+ +a b-   a 3bb- + = a ab3
15416 3a ab3 a
aa -- 5a- 6
2443-  18a4 T2a  6
2Oa + - +5a3 + TOda 5a
445- 3at - 243,  Taa
L. I
243- +  aab- + 2 abb
Mulcipl. 423- ]- 3a4- 2a L5
Per
product. 4a5- 17a1 + 7a3 + 29aa 27 a 1 6.
Cxeterum adrercendum hic est, non raro urile esse, mulciplica-
tionem hoc modonon insticuere, sed cantummodo caminnuere
incerserendo roculam in rel M. CE ad mulciplicandum 4a3. 1 3aa
2a-  F per a a - 5 a-  6, Ccribo 4 a3  3 a a - 2 a.  +
in a a- 54 t 6, vel 4a3  3 aa- 2a + TM aa  5 4 + 6.
Ouodautem. L per -, vel- per: L Faciac-, (IC Patet. F A0
ab multiplicandum perc, e SIE a = b ∞ e: hinc li utrobique
addatur b, het a ∞0 b, L e. Jam quoniam aequales quancitates per
eandem quancitatem mulciplicatxe producunt aquales; ideo si
uerinque multiplicetur pers, erit ac xb c ec, hoc est, auteren.
doucrinque b6, erit a6 - b0 ∞ ec. Quocirca cum Catuatur a b
e, e utraque parte duca inc, PrOduCAtF aC =, b6 ∞ eC; Per-
Spicuum EC, - b ductum in = 6, Producere  b6., 11 1t
Decalirer ostendetur- per mulciplicatum producere
Fcenim Ea = banultiplicandum lic per c. =  d: Ponendo, ut an-
re, a- b ∞ es erit produetum ex ab inc- dxequale producto
ex einc= d velc din e: id eAt, cem de. SCdce, ut SuPra, X.-
Quatur aC = b0: unde ac- bcm de aequabitur producto ex a. b
i C. d. POrrO cum a- b aequalis sic polita iplie, ec utraque par-
ce ducta in d, productum ad = b d aequecur producto de: hinc si
ex acb0 suberahatur a d - bd loco de, ei aequale; erit juxta
regulam subrractionis ac-bc = ad. ( b d productum guae litum.
E quibus liquetbmulciplicatum per L dproducere f b d.
li
MuIE.
dec

## Folio 12 — 175906937X:0036
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000036.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
PIL LIN CLEEa
DeDiviston quatitacum compositarum.
Raeterea, ad dividendum quantitates compolitas, operatio
L non ablimiliseric et, qua in Arichmerica rulsari duo integri
numeri per se inricem diriduntur. Ouod aurem ligna L e -
concernic, sciendum est, (i diridatur. L per L, auc - per-
lemperoriri L; at (I L Per -, vel - per L diridatur, sen-
peroriri - omnino ut in mulciplicatione. OperationeM auteM
lire a dextra lire a Cinistra incipias perinde erit. CIc ad dividen-
dum ac- f bc per c: divilis.-ac per - ( c, 8c- L bc per L c, hunt
ut in simplicibus est octensum. L a e L b, un de quotiens quxe si-
tus erita Lb. Similiter si diridatur ac - cb perc, Orictur a --b;
dirisis enim - aC per -L C, Hc + a, ee - Cb peF  L C, AE - b.
Non dissunili ratione diridieur ac- f. ad ( bc- F b d per c- Z a,
 Hc a - L b. Cujus operatio calis elt.
Divid. ac- + act. + bc. + bd
PerC + d) ac.  act L- bc- L bd
O
Quociens  a +b.
Dirilo acperc, (ut in simplicibus) sic a, scribendum sub linea
in quorience. hinc mulciplicaro dirilorec. p d per quotientem in-
veurum a, productum ac - ad ex diridendo auferatur, scriben-
doparces ejuldem denominacionis sub inricem, e reliquum sub
linea intra ductâ. EInde cum subducto ac ex ac, e ad Cx a d Ma-
neae nihil, Scribitur sub linea ducta 0. Deinde diriso L bc per
C, c J. b, ascribendum priori quorienci. unde mulciplicato
dirilorec. L d per hunc quociencem b, hc productum. L bc. f bd.
id quod silcribatur, ut ante, sub diridendo, ee tac lubductio; erit
proreliquo sub linea scribendum O. LE peracta erie diritio.
Eodem modo ad dividendum ac- 1d - bc. f bd
Per Cd:) ac. ad bc.  bd
Frit quociens t a- b
f b.
F ac f a. + bc
Lc
cience. Sat aabipien dirilore  d Per a, Cut productum
aC
Dirido priIIII aC PEF C, _ AEa. Ccribendum sub linea in quo-

## Folio 13 — 175906937X:0037
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000037.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
operacio
Mll
la
t
1 alttela
lividen.
=C, hunE
quaesl.
Ab.
lic. b.
L a,
D HHCd
cemin
criben.
um lub
A A Md
beet
iplicno
c. + bd
AO; est
A quo
NI A Z A E SE OS LINLVERSAL1S.
ac ad, subducendum ex diridendo, e relinguitur o. Deinde
dirido - bc per- L6, d oritur - b, Tub linea scribendum in quo-
tiente. Ouoniam autem mulciplicato dirilore s -d per -- b, EF
productum = b0-fbd, e co ex reliquo diridendi ablato, re-
manet nihil; paret dirisionem esse ad finem perductam, ee quo-
tiencem elle a -- b.
Sic etiam ad diridendum aa-- 2ab (- bb
Per a b:) aa ab
O- ab
= ab- F bb
O
Ac quoriens a- -b.
Divido primum apera, de oritur a, Scribendum sublinea in
quotience. Unde mulciplicato dirilore a -b per a, _ ablato
producto aa - ab ex diridendo, scribendum eric religuum - ab
Sub linea ducta intra - 2 a b. Deinde dirido - ab per  a, _ HE
=b, Scribendum sub linea in quoriente. Tum ducto dirisore
a - b in = b, Hc productum = a b- f bb, quod sublacum a reli-
quo diridendi relinquit o. Pt erie operatio finita, ac quoriens
GuaeSICUS a - b.
Eadem ratione si diridendum Sc aa - bb per a F b.
Divies
d d
Diriloa Fb) ia
Incipiendo rursus a primotermino, dirido a apera, ee habebitur
a Ccribendum sub linea in quociente. Unde mulciplicato divilore
a. Lb per quotientem inventum a, producetur a a L ab, quod
Tublatum ex diridendo relinquet = a b: e quoniam hic FerMINUS
praeter superlticem = bb ad diridendum huc accessit, ideo postli-
neam ei adscribitur. Deinde dirido- ab (nempe id quod modo
ad dividendum accessit) per -  a, e habetur- b in quocience
Sublinca Ccribendum. Ouo facto, si mulciplicetur divitor a- L b
perhunc quotientem =b, exlurget - ab - bb ad subtrahendum
ex co, quod relinguitur in diridendo: quod cum post luberactio
DeI
ab
Duo
a a

## Folio 14 — 175906937X:0038
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000038.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
T4
P R L N C L P L A
nem relinquat o; liquet ablolucam esse operarionem, ee quorien
CeMMIFOre a -- b.
NNec alicer se res habet si diridatur a3- f b3 per a- L. b, d inci-
piatur ab ultimo termino.
Diridend.
a3 b3) = abb)- a a b
Dirilor a L b) -L a3  b3 - abb = a ab
Ouociens fA a -- a b 1- bb
aab Aa
Erenim diriso b3 per L b, Fc L bb, Scribendum in quotiente.
tum ducto dirilore a L b in- ( bb, producitur. ( ab b- f- b3: Td
quod si uberahatur ex diridendo, relinguetur = a bb. Deinde
diriso - abb per. L b, oricur = a b, Scribendum in quociente,
quo mulciplicato per dirisorem a- ] b exlursit - a ab - a bb, 2d
suberahendum ex reliquo dividendi, erieque residuum  aab.
Denique dirilo aab per L b, prodibic- a a Ccribendum in
quotience. unde si mulciplicetur dirilor a. L b per - aa, ec prO
ductum. F a3  aab auteratur ex reliduo diridendi, erit reli-
quum 0. Id quod ostendic, diri(o a3.  b3 per a. L b, Oriri a a
ab-  bb, quod erat Faciendum.
Sequuntur adhuc nonnulla exempla ad uberiorem exer-
icl
citationem divisionis compositarum.
Dirilor a -- b.)
a3 - 3aab-  3 abb - b3
 abb- b3
 2abb C
2aab-  2abb
aab
a3 aab
Duociens + aa 2ab ( b0.
sa
2do Lab
a
a

## Folio 15 — 175906937X:0039
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000039.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
equot
iaM
= At
lotiente.
levente,
abb, ad
+ aab.
endumin
2, de D1D
erit rell.
IrIAA-
-b3: le
Ocu
Xer-
DII.
MIA TH ESE OS INEV ER S AL1S.
Dividend. 9d2-+ 22430 -- 4de3 - e4) - 3ddec
Divil. 3dd. e2) 9d2 + 1243C- 4de3 e2)- 3ddec
O
O
Duotiens 1 4de 1 3d t eo
e+ee
ee
= 3ddec )-+ 3dcb.
ee
+de3- 4de.
 C
Dirtacc
Divil. 5 ab-= 4a)
134 2b-  4 aab3 - a5) - 1 a 3bb
L =a b.-) = a ab3 - 45- = a 3bb
a+b
=a+b
O
O
Duociens +3 abb F: aab + 243.
O
a5]-  243.
aa
a1b + aab.
ad
a 3 bb  + - 3 abb
aa
DiVIa. d. b + 2aady. + 2 aaby F aadd- aabb, - bd3) - + bbdd) - b3 d, - aabd eas. 340
Dir. d. +b) dt- b F 2 aady + 2aaby. + aadte. aabb - bd3- + bbdd, - b3 d - a ab l lin. 4.
0O O
O
0 0 O O
O
Duotiens.  d3- bdd- 1 bbd b3- ]- 2aay  aad aab.
d+d3. - ba3) - bdd. + bbad -  bbd. - b3 d)- b3
L d
d
d
F 2aady  + 2aay. + aaddi. 1 aad. - aabd (aab.
L
erictiua
yo - 8 72- - +2 47) - 64
Divitorp  16) + po + 8yr  47y- 64
O 1672- 12877 O
 1692 - 1287y
Duociens + 292. + 81. + 4.
64
16
Pa8. 77.
u 126))16)
(69 +(. 29r.
Diri

## Folio 16 — 175906937X:0040
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000040.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
P R I H C E P C a
y + aay =-26Cy 2-4 29y + C+ yy -a- 2a =CC. aaC+ = 2a4ccyY
Div. gy- aa ) F7 = 4ay4. 66y1- 2a 29y + 6rgy. a - a26C, 446 + aac cy)
D = 2a4y- 1074. + at7y 0 0- a766 0 + aatl))
2aay t. 6692 + argy
a+Cb
DuOtienS L y ) 2aayy- Ccy; + a.  aa6c.
+76)
2.  24474) 24477. 667)- 6677.
+
7)
+ V)
argu,t a aacegy + aac.
I)
+
Pas. 78.
Dividend.
aacCyy
litt. 15. Dir.  =f. ffuu + f3u1)
++9- 2f9 + f3unq - funq - + fa n+G. L +F3Wg. + ffuug
14. 2 59. + fung- funq- 1 fa 129. + f3N9. + ssuvo
O
O
Ouociens q +fuH9.
+9)+ g. = fun9) = + fuHg.
t 4
+
Ouod si quantitates diridendae OCCurrAnE, quae praecedenti
mododiridinequeunt, sublcribendus eric dirisor ipsi diridendo,
interjecta lineola, licur in Fractionibus rulgaribus. CIc ad diri-
dendum ad = ae per d. F e, Ccribo pro quotiente
aaac
a J e. Gu0
indicatur ad = ae dirilum esse per d L e, vel adhuc esse dividen-
dum. Sic de Sibb = b d F cc diridatur per b + d, Ec quotiens seu
Fractio bb = bd  cc
b. + a 3 hoc ett, b +
ut in Arichmetica rulsari, dirisionem, quantum heri porest, in-
Stiruere, e quod superest instar Fractionis quorienti adscribere.
Ec tancum de diritione.
)
DE EXTRACIIONE RABICIS.
Toniam aurem de Radicis Extractione, quae pro dirisionis
peciehaberi porest, asendum restat, sciendum est, ejus o-
peracionem non esse direrlam ab illa, qua in Arichnetica vulsari
radix ex dato aliquo numero elicitur.
FtenIIm
Pag. 380. Diridend.

## Folio 17 — 175906937X:0041
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
2au11)
aH1 1))
1)
+funG
ecedet
ridenodi
ad dirt.
divider.
tiens leu
conducis
diritionis
A, eju 50
ca rulga
Frenin
NIATHESEOS EIHEVERS ALIS.
17
Erenim ue a mulciplicatum peratacie a a, seu a quadratum, cu
jus radix seu lacus dicitura; sic de radice quadrata extraCtd ex a 
prorenietrurlus a. Similicer cum aa, hoc est, a quadratum mul-
tiplicatum per a producat a3 seu cubum ex a; ita etiam extractâ
radice cubica ex a3 heta. Et sic de caeteris radicibus.
Nec alicer fIt si ex quantitatibus compolitis radix st exrrahen-
da. Sicut enim ex quanticatibus simplicibus radicis extractio non
Cecus se habet atque extractioradicis ex aliquo nUMErO, qua Fan-
cum unius sic characteris: ita radix, quancitas existens compolita,
non aliter extrahetur, ac li ex aliquo numeroradix, qua pluribus
constet characteribus, eliceretur.
Cc ad extrahendam radicem quadratam ex aa ( 2 a b. L b b:
extraho primum radicem ex aa, de tica, quae in se mulriplicata de ab
aa ablata relinquic o. Deinde mulciplicato a per 2, divido 2 ab
Duadracum aa + 2ab + bb
a a - F 2 ab  - bb
Racix
Dirilo
d
per 2a, dI. = b: quod adscribo priori radici inventae a. Flinc
li ducatur 2 a in b, Fc - p 2 a b, quod sublatum ex 2 a b relinguic0.
Similicer si mulciplicetur bin se, Het -L b b; qua itidem ex- L bb
ablatas remanebit 0. Ex operatio eric ad trem perducta, exir que
radix quae (Ica a-] b. Ec sic de aliis.
Exempla extractionis radicum ex composiis.
Zuadracum a+ - 2 a abb F b +
Radix aa -
Dirilor 2aa
Quadral 64 X X = T6CX J 10C
Radix 8X -- +C
Divilor 16

## Folio 18 — 175906937X:0042
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000042.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
16
P R L N C LP E A
Ouadratum aa L 2ac -L CC - 2 ab = 2b60
a a  2 aC  CC - 2 ab = 2 bb00
Radix a =c - b
Primus dirilor 2a
Secundus dirilor 2 a L 26
Ouadeatum aa erip ber a + c
utu Radix a CLII PeF 2
2a F 26. Sccundus diritor.
Per 2
a
Primus dirisor2 a aà
ob e lllttdo
L 2a
246)6 quotus primus
+ 2a
L246
Ed 26
ab-  bc.
Cubus a3 +3a ab +3 abb + b.
27X
Radix a f b
Dirilor 3aa
54~ F 27+X+ - +88∞3 + 285XN- 15OX- L +25 Cub. 27p
5445 = 36∞+ - 8 ∞ 3 F 60XX - 15OX F 125 Rac. 3 XX.
OO- = 135∞4- 18O∞3- + 225XX
FT35XF-- 78O∞3 + 225XX
C
RadiX 3XX - 2X +
Primus diris. 27 ∞4
-54
O O 3 XX
3XX
9V7
per 3
27V4, F. diV.
Secundus divilor 274+-- 36X3 F 12WX + 27X+ -2X quOT. primUS.
Eub. 2725-
+ 3a ab) +- b.
ad
e so. n

## Folio 19 — 175906937X:0043
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000043.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
eaer.
1IO1S0
2b5.
Cub. 272
Rad. 3 N
XL
32
9r1.
=~t. 1. d11.
L. PLuS.
MIAPHESEOS IINEVBRSAL1S.
 2.X
L27X  = 2X
2 X
2.∞ + AXX + 4. XX
34XE + 3X∞ = 2X
 12X4 - 8 X3
pet
36∞
BX X - 2 X
=6∞3 L. 4XX
9X2 LLa4XX
2.71 361L2bib.dCCo
+735~+- F 5 quocus secund. L 5
L 27X
B X X = 2 1
9X+ - 6X3
Ct
t 2
=3XX - 2 X
L
+ 27 ∞ + - 36∞3 + 12 X X + 7GXX- 5OX = 125.
+ 5 PeT 3
L135∞ + - 18OX3 F6OXX. + 225XX - 15OX
Cacerum si quantitates, ex quibus radix extrahi debet, cales
Fuerine, uc radix praedicto modo inreniri non possie, designabitar
ipla praetigendo quoncicacibus propolitis signum V. UE ad exErA-
hendum radicem quadratam ex aq. Scribo V aq; quo indicatur
radicem quadratam ex aq esse exrractam, vel ad huc esse exIra-
hendam. Sic et V a a. F b b designabie radicem quadratam ex
aa + bb.
Similiter ad extrahendum radicem cubicam ex a ag, fcribo
VC. aag. UIE de V C. a3 = b3 + abb, ad extrahiendam radicem
cubicam ex a3 = b3- F ab b. Oux quidem radices vocantur quan-
citares Surdx seu Trracionales, ad modum numerorum lurdorum
Seu irrationalium, de quibus Acichunerici asunt.
Cbinocandum, lignum V, rocari Signum Radicale, atque in
enere ulurpari ad denotandam quamcunque radicem, sire Ou2-
dracam, live Cubicum, sive Oundrato- quadratam, eec; sed ad il.
lam distinguendam; communiter scribir o, vel etiam Cimplici.
cer V, ad denocandam radicem Ouadratam: _ V C, ad denoran-
dam radicem Cubicam: ec V 9O Ccu rV, ad denocandam radi-
cem Ouodrato quadratam, dec. quae radices eriam (ic delignan-
TuT: Y(3, V3, Y (4), dec; acque ab aliis, hoc quoque pacto:
83Y (C, V88, ec.
+

## Folio 20 — 175906937X:0044
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000044.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
L 2 N C LP L A
DE LOGTSTTOA FRACTTONVH.
Tlandoquidem ex dirisione quanticatum simplicium de com-
Polucarum octenlum est oriri Practiones, sicut in Rrichmeti-
carulsari, quarum operatio ealdem leges sequitur acque nume-
rorum fractorum rulsarium; latis erit, li suppolicis horum regu-
lis, illarum opcrationem exemplis exponaimus.
Tlinc, cum per tractionem quamlibet designetur semper diri-
sionem aliquam esse faciendam, utpote illarum quantitarum, quae
numeratoris ricem gerunt, per quancitates, quae pro denomina-
tore habentur; Facile constat, li numerator denominatori fue-
sic aequolis, tunc per Fractionem illam designari unitatem. IIE
bb ab + bb
Bb ab f 6B. ec similes. TInde Patet, quanam ratione unitas de-
nocari porsic in formam tractionis, cujus denominator sicis, qui
reguirieui.
Duodsrero ab, aa - bb. ecc. in Formam Fractionis delignare
relimus, oportettantum, altumpto ab ec a a -- b b, ec. tanquam
numeratore tractionis, subscribere pro denominatore unitaten,
hoc pacto: = 8 aa - bb
3dc.
POrrO Si quaneiras aliqua, ut a, detgnanda SIE in FOrmam
Fractionis, cujus denominator ea sE, quae praescribitur, uE d, auE
a-L b, _C; Oportet, mulciplicato a per d, aut per a-L b, Scribere
ad
a a + ab
Y. aUE a = b 3 eC.
Non alicer Hc, ( a- ] =G sit redisendum ad Formam unius Fra-
ctionis. Fcenim, mulciplicaro a per denominatorem d, addatur
producto a d numerator a a de lummae ad- L a a subscribatur de-
nominatord, habebiturque 2d + a a
 Sic de= a in Tormam
unius fractionis reductum, Facie
a  A a
 a a + bb
a-b reducatur ad Fractionem, Aec Zaa
Cxterum notandum hic, cum ad dividendum a a per bb, Periba-
cur  pro quorienre; ideo ad hunc quoriencet sive tracdionem
mulciplicandum per dirisorem seu denominatorem bb, pro
PrO

## Folio 21 — 175906937X:0045
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000045.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
Dec dI
AM, qua
Jomina.
Ori tue.
etm. UB
11a5CC
delieule
Tanquam
nieaten,
Foccitalte
uE d, auI
scrivele
aCom.
ubmeri.
came
I reGII.
16, qui
Muou
adctatur
acur de
Fo.m a
1
e lesibo
11616
bp1
110
BLA T EE E SE OS EINFN ERS ALTS.
producto scribendum esse numeraiorem aa. Non secussI
2.
mulciplicetur per a - b, productum erit bb. Unde patet ad muI-
ciplicandum per 2ab; quoniam mulciplicato, per 2b, prO-
ductum ecta; superesteantum ut hoc productum adturc mulcixsi
cetur per a, ut habeatur quaelicum productum aa. Similicer ad
mulciplicandum = per 2 a b: cum mulciplicato = Per 2, Hac r; hinc
mulciplicandum tancum rectaox per ab, de tir productum quaesi-
cum 1 ab seu ab. Fclic de aliis.
De Deductione fractionum ad simpliciores.
AaC
Am ad reducendum Fractionem, ad simpliciorem; elisa com-
munilitera c, qua tam in numeratore quam in denominatore
3
reperitur, hiec . Sic e ad abbreriandum =: elisisliceris a, b,
numeratoris acque denominatoris, hoc est diriso tam abs quam
abcperab; het =.
Eodem modo ad abbreriandum
aac aad
cd -ad: quoniam dirilo
AACPEECA, OrITUT=, id quod mulciplicatum per cd -d d, pro-
ducit aac = a ad; hinc
ccum, eric
aac = aad
ca- ad ad minores terminos redu-
Pariratione ad reducendum 2ac = aad - bbc f bb d
cd- dd
: quia (uE
supra) diriso a acpered, oritur, id quod mulciplicatum per
Cd --dd, producie a ac = aad; eE rUEIUS = b bc divilo per cd,
Oritur - =, quod percd = d d mulciplicaturm producit - bbc
abbreriatum, Facic = 2 = bb
Lbbd: hinc 2ac = aa d - bbc. +- bbd
cd - dd
ab ccoomm. = 4abCC m3 P
SiCe
oop PZ = Ampo qt abbreriatum, Facie
Non secus
2a C- a a d = a6 d + a a d
cd- ad
a cemm
PPZY.
reducitur ad  vel
A6
PaG. 2140
lin. 15.

## Folio 22 — 175906937X:0046
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000046.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
aa ad
P R L H C L P L A
Nom aaC. aad dirisum per c d - d b, Eacic; e
-ac d - a a d dirisum per cd - d d, FacIc = a.
a3 abb
Similicer Si fuerie aa F 2 a b + 6B: divido a3 = a b b per a a +
2 ab -  bb, de relinguicur post dirisionem- L 2 a b b - L 2b3 (nul-
la hic quorientis a --2 bhabica ratione). Deinde dirido aa
208+
2b
Tiinc cum peracta sic dirilio, de nihil remaneat, diridendus erie
HUIIErAEOF 43 = ab b _ denominator a a- ]- 2 a b f b b per 2 abb
aa
L 2b3, Inrenieturque 2bb
e
.Z PrOMeTatOTE,
266  23. Pro denominatore.
hoc el, mulciplicando ubique per 2 bb, habebitur 2a - ab
Nec alicer tic ad abbreriandum 23 - b:
a ut b
aa - b6. Divilis enim a. - b3
veraa - bb, relinguitur ab b - b3: dein a a - bb per abb - b3
Ec quoriens = e peracta est dirisio ab (que reliquo. OUa-
re Si diridatur a3 = b3 _C a a -- bb per ab b - b3,
aa
Ret
et
3  =-L Z, DFOMAIMCTALOTE.
p LZ. Pro denominatore.
Ideoque si ubique mulciplicetur per b b, fiet tractio reducta
2a  a b + bb
afb
Simili opcratione reducitur
X3 = 25 ∞
1~ X = 5 v
a+ - B+
aa + ab
23- a ab - + abb -= b3. V)
Xx F 10∞ + 25 2 X 5. EF SIc de aliis.
Ostens à isitur ratione, qua fractiones ad simpliciores reduci
pollune superestuc explicemus, quo pacto daris duabus aut plu-
ribus quantitatibus, sire simplicibus, sire compolitis, inveniatur
minima quantitas, quae per iplas line reliquo dividi pocest. id
quod in sequentibus ulum habere patebit. PR autem operatio (1.
milisei, qua secundum prop. 36. lib. 7. Elementorum Fuclidis,
dacis duobus numeris, mImIIuS inrenteur numerus, qui per iplos
sine reliquo dividitur.

## Folio 23 — 175906937X:0047
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000047.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Pet A4 
enduseii
Dex 2411
MA -
nd - 
10. OVI.
reduc
Dreste
invenialu
NIA ZAESE OS IIHEVERSALIS.
UC, ad inveniendum minimam quantitarem, quae diridi porest
per duas dacas aac e cd: consticutis aac de cd in Formam tractionis
hoc pacto: aac
c
ireduco tractionem hanc ad ejus primitiram, Peu
simpliciorem =. Ouibus juxra le posicis, hoc modo; aac a aa
Ca
E mulciplicario instituatur per crucem, procreabitur cadem
quantitas ex aac in d, at que ex cd in a a: fiet enim uerobique
aac d, minima quippe quancitas, quae line reliquo diridi porest
Pet aac _ cd.
Sic ee ad inveniendam minimam quantitatem, quxe dividi po-
teltper duas datas a ac - a a N _cd - dd; reduco (UE ante) Fra-
ctionem 22c - aa d
ca -ad 2d ejus primitiram: Tum mulciplicato
aac = a a d per d, auECd = d d per a a, FICE QUanEIEAS quae (IEa a a C d
a a d d. minima scilicet, quae dirisibilis est per a ac -- a a d ec
cd - dd.
Similicer Sideneur at = b+ ec a a f ab: quoniam 2+ -b+
aa + ab redu-
Citur 2d 23 = aab. + abb - b3
de a =b mulciplicatum per ata-
CicaS =abt; eritaS- ab quancitas quaelita.
Fadem ratione si dacae FUCTINE K3 =- 25 N XC X X - F. TOX - 25-
exir quae lIta quanLItaS X = -  5 X 3 = 25 X X = 125 X. FC SIC de
CaeterIS.
Duodhrero compertum lit aur constee, duas illas datas quan
titates ad simpliciores reduci non polle, led primitiras esse; OpOr-
cecunam per alteram mulciplicare, ad inreniendam quantitatem
guaelicam. Or ad inveniendam minimam quantitatem, quae di-
vidi porest per aa - ab ee a. +- b: quoniam 2a = ab
a+b 2d simplicio-
resterminos reducinequie, mulciplico a a -ab per a- ( b, (cum
secundim pracedencia Scribendum Forec 2a - ab aa = ab
ee HE qua lita quantitas a3 - a b b.
 + b
a- F b
Caecerum datis rribus aue pluribus quantitatibus, inrenietur
minima quantitas qua per iplas ab (que reliquo dividi potest, hoc
modo: EIt ad inveniendam minimam quancitatem, quae dividi
Porest per a3  abb, aa + 2 ab - f bb, _ a a - bb: quaeropri-
am, uc ance, minimam quantitatem, quae diridi pocest per

## Folio 24 — 175906937X:0048
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000048.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
2. 4
P R L N C T. P L A
a3 = a b b e a a -  2 a b -  bb, _ Hic at - L  a 3 b = a a b b = a b3,
quae cum ex dividatur per a a - bb. manitelcum est at + a3b
a abb = ab. esse quantitatem quaelitam. Sic X Ci datae fuerine
at - b+, aa + ab, at- + ab3, ec a- ] b: invenca primum minima
quancitate aab quae diridi porest per duas a+- b+ ec aa F ab,
(ut ante), quoniam ipla diridi nequieper terciam at abi: hinc
2d a - ab+ de at = a b3 limilicer aliam quaero, uE a - a b -
abb - a3 b+ -  a A b5- a b. qua cum hic etiam dirilibilis (ic per
reliqua a. L b, PatetaZ- ab. L a2 bb - a3 b+ + a abE - ab
esse quamticarem quae sicam. Fc sic de exeteris.
De Reductione fractionum ad eandem de-
nominationem.
Elibus explicatis, Facile est ostendere, qu’à rarione tractiones
diverla denominationis reducantur ad Fractiones ejuldem
denominationis. Cc ad reducendum Fractiones
3 a
23
aac d  ad Can-
dem denominationem: quaero primum minimam quantitatem,
qua diridi porest per denominatores aac de cd (ut jam est osten-
CUI), _ Eca ac d: quae erie denominator communis. Jamm ad in-
reniendum numeratores, diridatur denominator inventus aacd
per aac esd unumquem que scilicer ex denominatoribus daris,
d quotientes d ec a a multiplicentur per numeratOreS b3d et a3
datarum tractionum, ut habeaneur numeratores quae sici b3 di _ a
tiumeque tractiones quae sica
63dd e
a5
aacd aacd
Similiter ad reducendum
b4
a3 +- b3
aac = aad  cd - 4 ad candem de-
nominationem: invento denominatore communi a ac d -aad d,
minimâ nempe quancitate, qua diridi potest per a ac - a a d et
cd =- dd, divido aac d - - a a d d pCr a aC - a a d eE6 d - d d, et
quocientes d e aa multiplicO PEF MUIMCFATOreS b+ _ a3- ] - b3, EuINE-
34 a
a5- + a 4b3
que tractiones quxe (II_ nacd -aada  aacd- aadd
Fodem modos
25
X 25
13 = 25 4  Xx L 10∞ = 25 reducaneur ad ean-
125 ∞ + 625
dem denominationem, provenient xt + 5Y3 =25 X X = 125 Y
23 = 30∞ X  125 ~
X Y -+ - 5 X3 -- 25 de X = 125 8

## Folio 25 — 175906937X:0049
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000049.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 83 lines, status machine
11b-
eluerime
mnimo
(a d F ab
Ab: l
a b+
 lIE pe
lactiones
euldet
ellonen
aH al 1.
dello n
incicatem
b3d8 1
ndem de
aal
 AAl
dd, 
it a
MLAEH ESEOS LINIYERS ALIS.
Non secus
45 a3 - a a b a5 = b5 a _ + a b + bb
Eta sub eodem denominatore, Facient
ad = a7 b-+ a6bb
a7 = a6b- + a5bb = a3b4 = a ab5 - a b6,
a = b redu-
ad 3 a7b+ 5 ab bb -- 6a5b3 +5 a + b4 = 2 43 b5 - a a B6
a 2 - ab + 4 5bb - 4 3 b4 = a 4b5 = a b6
28 = 47 b + 46 bb = a5b3 = a 3 b5 = a a b6 -- a b7 + b8
a7 - a0b = a 5bb -= a 3 b4 = a a b5 = a b6
e
a842b  2 46bb - 2 a5 b3 -+ 2 a + b+ -- 2 a 3b5 -+ a a b6 = ab7
a7 -- a 6 b + 45bb -- a3 b 4 - = 4 a b5- a b6
DeAdditione ex Subtractione fractionum.
Odicio _ Suberactio fractionum eodem modo perticiuntur.
La acque addirio ee subrractio numerorum Fractorum rulga
rium. Fcenim litractiones eju ldem tuerint denominationis, opor-
cec tantum earum numeratores addere aut subtrahere, et lummx
vel reliquo subscribere denominatorem communem. IIt ad ad-
a4
bb
a + ∞3 tacie 2ad + 2a c
2ae
d. L
a a L bB
. Sic e
2aa
a F 2ddicum 2c
a +0 seu 2a. Non secus (i addanEuE p. 19
b +  de a-
b =4 ericlumma a- ]
2bd + BB
b. + d
Ouod sitractiones direrla denominationis fuerint, reducendae
cruncprius ad eandem denominationem: quo facto, operandum
25
X = 25
erieur jam dictum est. IEc ad addendum a3 - 25 ∞. 2d r. v. f 10X f. 757
Fiet Cumm
X3  30 X X - 250 X + 625
ae4 + 5 X 3 - 25 ~ X - 125 de
NNon secussiaddantur a5 a3: a ab a5 - b5 na + ab- F bb
at b+3 a a + a b a+-  ab3) e
a + b
18- 647b-]-945bb-945b3- - 7a+b+ - 6a 365- + 3a ab6- 2 ab7- + b8
a7 - a6b + - a5bb -- 43b+- F a a b5. - ab6
2
bb
Tam ad subtrahendum de =, Scribo pro differentia
Lodem modo subductis
2a. Similiter
ba
+
ommaa
 reliquum erit 2 ad = 2ac
2ac. 2ad
ded
b. = a relinquie a d = bb
bd
b+
a
a3.f b3
Nec alicertic, si suberahendum sic aa c a ad de Cd - a d FtC

## Folio 26 — 175906937X:0050
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000050.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
de
a5  a a b3
P X I N C I P L A
aaca = aa d d relInquCEu 25 = a a b3 - b+ d
125.
∞ = 25
b4A
aacd aadd:
aac d - a ad a. SiC de CITollatur
23- - 30 X ∞ - 625
∞3 = 25 ∞ _ N - 10∞ f2,  LCMaNCDIL ∞4 - + 5 ∞3- 25 ∞ N - 125X
Fadem racione ad subducendum aa = ab
a. + 3 dea, reducta quanti-
tate a ad denominatorem a = b, demiptoque 2a = ab  a a + ab
2ab
a + b
het reliquum a. +. 8. Non secus si Cubrrahatur b. ,
relinquetur a - b + d
De Mulciplicatione fractionum.
2b
a + B3
de a - f b.
D multiplicandum = per =X mulciplico numeratorem ab
per numeratorem de, ut ee denominatorem cper denomi-
natoremf (ad modum tractionum rulgarium), ticque productum
abde.
aa- bb
multiplicatum per 2ac
 diC d
b. Fc
producie 243b -- 2 ab3
60 +cc
Ad Faciliorem autem operationem non raro convenit abbre.
viare quantitates per crucem. Cr ad mulciplicandum
aac = aad -- bbc + bbd a3 - a bb
aa + 2ab F bb Per Ca = da: Quoniam A AC = a a d =- bbc
 bbd _ cd - d d reducuntur ad limpliciores a a -- bb de d, ut &
a3 = a bb _ aa + 2 a b f bb adt a a = a b X a j b; hinc loco1muI-
tiplicandi a ac - a a d -- bbc. + bb d per a = abb mulciplico aa bb
per aa - ab; ee loco mulciplicandi aa- + 2 a b - F bb per c d - d d
multiplico a- L b per d: eritque productum -= a3b - aabb. +- ab3
ad = bd
Porro ad muleiplicandum a a - bb pcr 2 a = a b
a + B: Substituto F
pro denominatore ipsius a a = b b, GuOnIAII NUMIETATOF A a -bb
e denominator a L b reduci polune ad a - b e Z, hinc multi-
plicatis numeratoribus inter se, ut a denominatoribus, Hec pro-
duCtum 23 = 2a ab + abB
(eu a3 = 2 a a b F a b b.
Eademratione cum mulciplicatur a. L
aa = ab + bb aa - 2ab + bb
BPeFa- 2b. + =, hOC
: Quoniam a a - 2 4b f bb
80

## Folio 27 — 175906937X:0051
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000051.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
d
lae
1252
Ad quanii.
2a + ab
 +. b
il a +. b
dn
roduetum
5b -2
c
NIE abD1
ad - - bb1
de afr
locomut.
Cd 1
e denomi-
ccd - 1
1+ 2b1
Ostituro1
cA A -
inC muI
tier pro
10B
+
NIATRE SEOS IINEVERSALIS.
217
ec a- breduci polune ad a = b et r; hinc mulciplicatis a a - ab
= bb per a - b, eC a per L, PrOrenit a3 = 2 a a b. + 2 ab b - b3
a a = 2 ab F 2bb - -
Similicer li ad mulciplicandum proponatur = 4 -5 ~
Cei
Xe f5 Per ~X 25
reductisx x = 5 a _ X ad ~ --. 5 X T, ILCI GHC X N = 25 X X F 5
ad x =5 d L, ultipliCOLANEIIM X = 5 PeF ~ - 5, de tic produ-
EtuM X N - 1OX F 25.
Praterea ad mulciplicandum a + -, Per a = b: quoniam a
Pera =bFacica a - ab, d
 Per a - b Facic bb; hinc produ-
ctum quasicum eric a a - a b. f bb. Ou a quoque ratione mulci-
plicabieu. 2a - ab
u PerAA - bb, _ PrOdUCCEUE a3 = 2 a ab - + ab b.
cum eniim a a - bb Hac Cx a - F b in a - b, _
aa - ab
a mulciplica-
tum per a Lb producat a a - ab, Superest cantum mulciplican-
dumm a a - ab per a = b, uc habCatuFa3 2 A a b- F a b b.
Denique si mulciplicandum sie
a3 - a bb
ca = da Per C = d, hec, divilIs
cd - dd per c = d, produCtum 23 = ab6
De Divisione fractionum.
ab3
b
Ddiridendum = per =: omisso communi denOinAtOrCC,
C2 divido ab3 per bb, tetque quotiens ab. Pari ratione (
23 - abb.
-d dividatur per aa = 2 ab + bb
Orietur
Aa - a b
a + b
aa = 2ab = bb CCu
Ouod Sidenominatores fuerint diversi, reductio ad eandem
denominationem het, si mulciplicatio instituatur per crucem, ut
a3 - b3
in rulgaribus. CEc ad dividendum
a+b
Cx aa - a b - bb
niam multiplicato prioris nueratore a3= b3 per polterioris de-
nominatorem c, d hujus nUICrAEOrC a a = a b- L b b per illius
denominatorem a. f b, GuInEa3C = bS C B a3  F b3; hrinc quotiens
erie
23 c -- b3c
a3 = b3
L

## Folio 28 — 175906937X:0052
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000052.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
e8
P R F N C I D L A
Adrertendum autem hic est, ad Facilicatem operationis, sp-
Ctionum numeratores, licut etiam denominatores non raro ad
(impliciores terminos reduci posse. CTcad diridendum at - b+
Per
4a  ab
2
aa 2ab- + 6b
=: CUI NUIeraTOreSAt- b c aa. F ab reduci possine
2d 43 = a a b - F a b b - b3 X a, dEdenOIIMatOFCS A a =- 2 a b f bb
e a -b ad a = b _ F; ideo loco mulciplicandi a+- b= peF a - b,
mulciplico a3 - a ab - + abb - b3 per L, _ Ht a = = a a b-  ab b -- b3:
de loco mulciplicandi a a L ab per a a - 2 ab F bb mulciplico
a per a = b, _ EE a a = a b. unde quoriens dirisionis AE
a3 - a a b- +- a b b -- b3
aa - ab vel a- 1 -. Fadem ratione si
x Z dOFICEII ∞3 53∞ t 25X- 125
dividatur per XX. L 5 v
∞ 4 nnm 625
X X - 10∞ + 25
X X = 5 X. NaI x+ = 625
X Xx + 5 ~ reduci posunE ad x 3 - - 5 ∞X ∞ - L 25 X = 125 eC x, quin
eE X X = 1O X - L 25 eC X num 5 ad x - 5 _ T, Unde producta ex
mulciplicatione per crucem tiunE ∞ 3  5 X X - 25 ∞ - 125 8
X X  5 X0
Porro ad diridendum a3- 2aab + abb per 2a - ab
a- +-3: Substitutor
prodenominatore dividendi a3 = 2 a ab F abb, quoniam nume-
FatOTES A3 =2 aa b = ab b _ a a = a b reduci possune ad a-- b X 13
hinc multiplicatis a b per a. L b _ 1 Per 1, tiet quotiens aa- bb.
Sic _ ad diridendum a a p 3ab6
a3+ 44 a b.- 3 a bb
a + 4b PCL
a + B
a = + b PeF a -- b, hoc est,
: dirido a3 F 4a ab = 3 a bb per a L b.
_ tica a L; ab, unde quoriens quae situS Lo
Si dividatur a a = ab pc,
a a -+ 3 ab
a a- ab
a = 4b. Flaud alicer,
a = b 3 OriCEUFa L b. FC X x + 5a
XX -F 3 X 3. OrietUT =. AC a3 = a a b pCr 24 = ab
4a ab. Lc demque
 5 DC.
a- B OFICEur
∞ X L 5 de
5 Per N +5, exurset.
De Padicum extractione ex fractionibus.
Eim in Radicum extractione ex Fractionibus radix ex nume-
ratore e denominatore extracta exhibeat radicem quali-
 abb
cC QuoniaM EA-

## Folio 29 — 175906937X:0053
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000053.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
niIS, I22.
l. 210 2
2t +b
postine
2 ab + bb
etumb
abb. 1
ulciplico
EC
1 X)
CX, Gut
budet
1258
bHicuco1
in nume
aa- bb.
C eAt
eF A F 1,
ud aliiet,
Oret
5.
ex Mm
1n Oua
ali
NIA THE SEOS CIH ZY ERS A L1S.
dix quadrata ex a abb est ab, ee radix quadrata ex cc estc, Pcribo
proradice quae lca
Fodem modo, si exrrathatur radlix quadratL ex 2t = 2 a abb f b4
Aet =a- bb
aa + 4 ab + 4bb3
+ 2b. Pari ratione ad extrahendum radicem quadratam ex
64. de X = 160 ∞
64 X X = 16OX
ee radix quadratA Cx 2OO-- 16O X
L64 Xx est TO = 8X, de radix quadratA ex 25 est 5; erie radix
Non secus radix cubica ex
27Xb --5425- f -17144 - 188.3- f 28542 - 150X F 125 F
23. OXX + 27∞- 27
3X _ - 2∞ f- 5
X-
Ouod si quaesica radix praedicto modo ex numeratore atque
denominatore extratu nequie, praepontur data tractioni lignum
radicale V. Ut ad extrahendam radicem quadratan ex ccxn
Fcribo V cc
+bb
FaCIECCXX = 4 abbB
4bB
4b6
46.
ac in formam tractionis
de ex denominatore + bb extrahi porest ra-
dix, guae est 2 b: ideo quaelita radix sic quoque scribi poterie
V CCXX = 40bbC
Similiter radix quadrata ex
aabb
aa L. b63 eriE Y aa F 6b
Idem de reliquis radicibus est intelligendum.
DE LOCISTLCA OYANTITAEVM SVRDARVM.
Clemadmodum tractiones oriuntur. ex diritione impertecta
Lquanticatum, quarum una per alteram sine reliquo dividi
nequIE: Ita ex excractione radicis quantitatum radicem non ha-
bencium exlursunt quanticates surdae, quarum operationem se-
quentibus exemplis exponere visum fuit.
De Reductione quanticatum surdarum.
Clencu agues guou eul aoperaltonca lacce t
versa denominationis oporter prius iplas ad eundem denomi-
BaL.

## Folio 30 — 175906937X:0054
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000054.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
30
P R L H. C I P L it
nacorem reducere, ica ec opus sic, quanticates lurdas, si diverta (i
onaradicalia habuerine, reducere ad idem signum radicale. Ouod
Hc, li ad numeros, a quibus radices denOIINAnEUE, minimuS ip.
veniatur numerus, qui per ipsos sine reliquo dividi possic. CIE ad
reducendum V aq (eu Y (2 ag & V C. 4 ag Peu V 3) aag ad idem
Tigtum radicale: Quaero ad. 2 _ 3 (numeros d quibus Y O a V C
denominantur) minimum numerum, qui per ipsos linc reliquo
diridi pocest, qui est 6. Jam cum 6 dirilo per 2 Oriatur 3, et per
3 dirilo oriatur 23 hinc ag mulciplicandum erit in le cubice, et
anquequadrates tienique sub eodem lignorOC. a3 43 (CuV 6) a39
X V 2C. at 49 Ceu V (6 at 49. Sic de V ab a VV a3 b - F ab3 fub
eodem signo radicali CruNE YV a abb _ VV a3 b - F ab3.
Hluc reter cum quancitas aliqua rationalis per mulciplicatio-
nem in se reducitur ad aliquod signum radicale. Exempli gracia,
ad reducendum a 4 b ad idem lignum radicis cum V a a F bb:
oportet multiplicare a L b in se quadrate, ec Fic V a a F 2 ab. L. bb.
Non secus si mulciplicetur a - L b in se cubice, Het
VC. a- = 3aab + 3 abb. + b3 sub eodem (igno cum V C. 43 - b3- f abb.
Et sic de aliis.
Deinde sciendum, quancitates surdas non raro ad simpliciores
reduciporse, tollendo ex signo radicali quic quid est rationale:
nimirum, diridendo quancitares sub eodem signor comprehenlas
per aliquod Duadratum, vel Cubum, ecc. per quod mulciplica-
cione tuerint producta. IIEV 75 a a reduci potest ad5 a V 3: naim
75 aa producitur ex mulciplicatione 25 a a per 3, quarum radi-
ces lunc 5 a de V 3; aded uc, li 75 aa diridatur per quadeatum
25aa, sub higno radicali tantum scribendum sic 3, hoc modo:
5aY 3. Id quod monstrat s a, hoc est, V 25 aa, mulciplicatum
esse Per Y 3:
Fodem modo cIm 43 b - F a ab b airidi posie per quadratum
aa, ec oriatur ab - bb; Hc uE pIO V a3 b - + a a b b Ccribi queac
a V ab -  - bb.
Similiter quoniam a3 b - a a b b -  2 a a bc -  a bcc - a b3- 7
bb6c  2 b3c  b+ dividi potest per quadratu a a-  2 a c +
Cc 2ab -  2be bb, cujus radix est a. t 5- b, ee quoriens elt ab.  bb;
hinc

## Folio 31 — 175906937X:0055
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000055.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
la e
ale. Ho
unimus in.
CM. IE 2d
agadidem
eare
M lerique
F3, d per
cubice, e
6 49
b3
u
uplicatio.
aa. F bb:
ab +b.
63 F All.
pCIOTeS
cationale;
V3: Bati
cum u
UdCLu
de lo
UactaluII
PrC
U
iplicauu
ribi quen
7
24C7
ab. +
hine
MLATRESEOS EINLVERSAL1S.
8I
hinc locoV a b - a a bb. f - 2 a ab c.-  abcc - ab 3 - ] - bbcc - 2b3c-  -b+
Scribi poresta- F c = b V ab = bb.
NonsecuS PrO aaoomm, guams
eezZ Y
pi Leribi poteriF a V00 + 4mP: Pac. 3
reducto enim ultimo termino ad eandem denominationem cum lin. 9.
priori, potestutrius que numerator diridi peraam m, cujus radis
eC a m, Oricurque00. f +mP. Denominator autem cum (it ratio-
nalis, liberabitur a signo v, extrahendoradicem ex ppZ.
Fadem ratione loc0
V C. N -  9 X5 + 27 X + = 25 ∞3- 108 X N + 324 ~ = 324
Scribi potest x = 3 V C. ∞3 + 12. Ft Sc de aliis.
Verum enimrero quoniam Expenumero difticile est inrenire
Oundratum, Cubum, eec. per quod divilio, ad hanc reductionem
necellaria, inlticui polsut; non inurilefuerit, li hoc loco octenda-
muS, Qua ratione datarum quarumlibet quancitatum dirilores
omnesinreniantur, perinde acque in numeris est ostentum. vide
P. 300.
Diridantur datae quantieares per quantitarem aliquam primiti- Ratio in ve
vam (hocest, quae non nisi per unitatem due se iplam dividi po- niendi divi-
celt), de rursus quotiens per hanc eandem sive aliam primiciram, sores omnes
idque tiat donec perreniatur ad quancitatem aliquam primirivam, quarum-
cunque da-
quae per se iplam est diridenda. Cic ad inveniendum dirisores rarum
omnes quantitatis a b -( a ab b: dirido a3 b. = a a b b per an ec HE quantita-
a ab.  abb, id quod rursus per a dirilum dac ab-  bb. Jam quia ium.
quotiens hic per a amplius diridi nequie, dirido ab- L bb per b.
ee provenir a-Lb, quae quantitas es primitira, ideoque per se
iplam diridenda. Ouibus peractis relerrentur dirilores a, a, b,
e a = b.
a3b. F a abb)a ab F abb(ab. F. bb) a F b 1
b
A
Tam ut ex hilce diriloribus inveniantur dirilores omnes quanci
tatis a3b- F aabb, mulciplico primum a per a, de tic a a. Deinde
bper Y, a, de aa, tiuntqueb, ab, ec a ab. Denique mulciplico a- ]- b
DeF Z, a, aa, b, ab, de aab, de tiunE a +- b, a a- ( a b, a3- a e b,
ab  bb, a ab = abb, et a. b F A abb.

## Folio 32 — 175906937X:0056
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000056.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
aLa BPE a
a b. a ab.
a. 1 b. a4 l ab. a3  aab. ab. t bb. dab. ( abb. a3 b. L aabb.
AEque ita dirItOTES OINES CPHDEF, A, a d, b, ab, a ab, a L b.
aa  ab, a3  a ab, ab  f- bb, a a b ab b, _c a2 b  a a bb.
Sic e ad inremiendum omnes divilores quantitatis a = 2 a+ bb
2 a ab+]- B5: divido a = 2 a + bb - 2 a a b+- L b per gitanti-
eacem primitiram a a- f bb, _ HE a  = 3 a a bb + b+, id quod
rursus dirisum per quantitatem primiciram a a -L a b = b b dat
aa = ab -- bb, qua quanticas etiam primitira elt, adeoque per
se iplam diridenda. Frumeque dirisores reserrandi a a-  b b
aa + ab -= bb, _ a a - ab -- bb.
a =- 24 +bb - 2dab + ) b ) a + -- 2aabb- ) b + aa - ab bb; r
aa  bb aa t ab - bb aa - ab - bb
Ex quibus ut inreniantur dirilores omnes quantitaris a -2a + bb
=2a ab+.-  b: mulciplico primum a a  bb per a a ( ab = bb,
de Ac a = f a3 b. L ab3 -- bt. Deinde 2, a a.  bb, a a + a b = bb,
_ a2 f a3b-  a b3 - b+ per a a- ab - bb, FunEque aa ab- bb,
a - a3 b = a b3 = bt, a+ = 3 a a b b  b, de a - 2 a + bb
2 a abt- + be.
ad  bb. aa-  ab- bb.
a7 + a 3b- + - ab3-- b+
aa -- ab - - bb. a  - - a 3 b- - ab 3 - - bF. a  - - 3a abb. f b 2. a5 - - 2a = bb-- 2a ab+ + b.
Tta ut divisores omnes (IDE F, a a ] bb, a a 1 a b -- bb, a2- ] 43b
 ab3 - b+, a a a b - bb, aE- a3 b - ab3- b+, a +- 3a abb- 1 b+
ec a - 2 a + bb - 2 a a b+ +- B5.
Fodem modo ut inreniantur diritores omnes quantiroris
a  2 at CC-  a a c+: divido a  2 at CC-  a a c+ pCF a, _ HC
a5- L 2a3Cc. L acF, quod rurlus per a dirilum, dac a+ L 2aaCC ( ct
Jam cum hic quociens diridi amplius non postie per a aur csimi
lemre quancitatem, divido at  2 a acc  ct Per a a- L cc, vel,
quod hic idem est, ex at   2 a A6C - L c extraho radicem qua-
dratatm
PaG. 78,
lin. 12.

## Folio 33 — 175906937X:0057
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000057.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
0.
F quad
id quon
-bb da
Oque per
L. bb
b
caab. +1
a F A
aabb. 1B
AUIC CHa
LCC, rel
ICeI qu.
quaniieis
ex a, de 1
2aHCC +Si
dedta
NIA ZAESEOS LIHLYERSALIS.
33
dratam a a --cc, qua denuo per sciplam dirisa, provenic I. Un-
de cum dirilores relerraci sinE a, a, a a-  66, E a a -  66; id eo ut
ex iisinreniantur dirilores omnes quantieatis a ( 2a7 CC, - a ac:
mulciplico primum a per a, de tic aa: deinde F, a, et a a Per
a a -  C6, TILHEquC A A -  CC, a3  aCC, _ a  a a c c: dc deri-
que a a 66, a3  aCC, eC a t - = AACC PCF A a- ] 6C, _ EUIME a + ]
2 a aCC- C+, a -  2 a3 CC -  aC+, _ a  2 a = CC- a AC=; CPUHE-
Jue dirisOreS OIMNeS Z, a, a a, aa- F CC, a  aCC, at + A aCC,
2+- 2a aCC- C+, 45-  2 43 CC, - AC+, EC a  2 a  CC  a aC+.
a + 2 a cc.  aac a + 2a cc. + a6 + a h. + 2aacC. + c1) aa. + 60)2
aa.
aa + c6 aa = C0
aa + CC. a + aC6. a -  a a CC.
aa  66, a  + 2446C.  C2. a 1 2466 + 46. a  2426C. + a46.
Similicer ad inveniendum dirilores omnes quantitatis a b-
a abb - F 2a abc - F abCC - a b3 -) bbcc - 2b3 c-  b+: quia, Fa-
Eta diritione per b, oritur a = a a b + 2 a a6 L acc - a b b- ]
b0c = 2bbc- b3, e hujus quotientis per a- ] b, oritur a a-
2 ab - ( 2 a6 - 2 bc - f Cc-  b b, _ radiX quadTaTA CX aa = 2 a b
L240 - 2bc  f Cc-L bb est a + 6 -- b, hoc CA, a a - 2 ab-
246 - 2b6- F cc-]- bb dirilum per a ] c - b, dat a - c - b;
dirido demum a - L c-- b per a f c - b, de HET. Unde cum di-
viloresreterrati sintb, a-  b, a fc - b, _ a- ] c - b; mulcipli-
cobperant b, _ tic ab- f bb: tum X, b, a- ( b, ec a b- ( bb peF
a 6 - b, Tiumque a + c- b, ab  + b6 - b b, a a  ac - L bc
--bb, ec aa b- ] a bc- ] bbc -- b3: ac denique a .  c - b, a b-
b0 - bb, a a- + ac- ] - bc - - bb, _ a ab- f a bc-   bbc -- b3 pCF
a )C - - b, FIunEque a a - 2 ab - L 2 aC -- 2b6 -  - 6c (- bb, a ab- 1
2 abc - = bcc - 2 ab b - 2 b bc- ] b3, a3 2 a aC  aC C - a a b
abb.L b66 -- 2bbc- + b3, _ a3b a ab b + 2 a a bc - abcC
ab3-  bbcc - 2b3c-) b+. AEquC Ita dirITOTES OIHES CTUNEF,
b, a  b, ab F bb, a -  0 - b; ab - bc bb, a a  ac - F bC
bb, a ab. + abc  L bbC - b3, a a - 2 a b - + 2 aC = 2 bc - CC
 bb, 4Ab 2 _b6 = bCC - 2 a bb - 2 bbC  fu b3, A3 + 2 a a6
+466
1. a.

## Folio 34 — 175906937X:0058
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000058.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
4
P R E N C. Y P L A
F acc - a a b - a b b F bc6 = 2 bbc + b3, ec a3 b = a a b b + 2 a abc
L abcc - - a b3- + bb6c - 2b3c + b+.
Non lecus si proponatur a3bc = a b3C, invenieneur ex diriso-
ribusreserratis an b, 6, a - b, dc a- f b dirilores sequentes: 1, a, b,
ab, 6, 46, b6, abc, a - b, a a - ab, ab = bb, a ab - a b b, a6. F bc,
a 4c - abc, abc = bbc, a a bc = a bbc, a F b, a a - F a b, ab F bb,
a ab = abb, ac = bc, a ac = abc, abc - F bbc, a abc. F a bbc,
aa -- bb, a3 = a bb, a a b -- b3, a3 b = a b3, a aC = bbc, a C-
abbc, aa bc = b3C, _ a bc = a b3c.
Neque praetereundum hoc locoridetur, quo pactohorum di-
vilorum ope duae plurétre quantitates datae alia rarione, quaim
ex superioribus facile fuit colligere, ad limplicissimos cerminos
reduci queant. EEE ad reducendum a3 = a bb, a a b - b3, ee a3 +
aab - ab b = b3 ad terminos simplicistimos, eandem cum iplis
rationem habentes; quaro primO (uE ante) omnes cujusque
quancicatis data dirilores: cruntque ipsius a3 = a b b divilores 1,
an 4 - b, a a = ab, a = b, a a- F a b, a a - - b b, e a3 - - a b h: ip (IuS
autem a ab = b3 divitOres CrUNEF, b, a - b, ab = bb, a f b,
ab = bb, aa - bb, _ a ab = b3: at verO ip(IUS 43- = a a b = a bb.
=-b3 diritOTeSCrUNE F, a - b, a F b, a a - bb, a a F 2 ab + bb,
_ a = a ab -- abb -- b3. Jam cum inter ip(ostres sine, qui sibi
invicem respondeane, ut a -- b, a - L- b, d a a = bb, quorum oDe
datae quancitares ad simpliciores reduci possune; hinc ad inre-
niendum terminos limplicissimos, divido a3- - a bb, a a b - b3, ec
a3 F a ab = ab b = b3 per aa - bb (uepore dirisorem pluribus
dimen(ionibus Constantem), huntque a, b, _E a ( b. CIbinOLAM-
dum, quantieares propolitas fore incer se priimas, si nulli ex diri-
Toribus libi mutuo respondeant.
Oux ratio inveniendi dirisores non inepre quoque adhiberi
porelt ad tractionum abbreriationem. Cc ad abbreriandum
a3 - abb
ag. 22. aa + 2 ab + 6B. Quia tam numerator quam denominator dividi
Potest pera. L b, poterit prO
de Caeteris.
a3- abb
aa = 2 ab + b6 Ccribi 2 a - ab
a + b. Fc sic
Inrencis autem omnibus diriloribus, ridendum est num alique
ex ipsis sine quadrati, vel cubi, de c. qui si reperiantur, adhibert
poterunc ad praedictum modum liberandi quantItates ex signOra.
dicalio
vide supra

## Folio 35 — 175906937X:0059
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000059.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
1 + 2 a AbC
ex dirio.
led: 1, d. b,
viac +b
. ab + bb,
c + abbc.
C3 46=
e
cet
tiris
IC, Quam
e
cum iptis
cyjulque
red I
eb
e
: ipluus
-
lorum ope
C ad inre
et
DuS
bInOI
de adhiberi
eriandum
acor dirio
 1 dl19
adhiber
CliBNOIS
licali
NIA THESE OS IIHLVERSALTS.
dicali. Uc quia incer divilores quancicaris a3 b. + a ab b reperitur
quadratum a a, pocerir V a b. + a a bb, diridendo per a as reduci
ad a V ab L bb.
Sic EE cum a b - a a bb L 2 a abc = abcc = a b = bbCC
2 b3C-F b+ pro dirisore habeat quoque quadratum a a L 2 a6 +
CC =- 2 a b = 2bc + bb, POterIEpEO
V a3 b - a abb + 2 a ab c F abcc - a b3 - = bbC6 -= 2 b3c + b0
Ecribi a + c = b V ab F bb. Similiter cum numerus 75 incer di-
rilores quoque habeat quadracum numerum 25, reduci poterit
V75 aa ad5 a V 3. Ica _, quia x200 diridi potest per numeros
Quadratos +, 16, 25, 100, et 400; Poterit proV 1200a a bb
Ccribi 2 ab V 300 vel 4 abV 75, rel5 abV 45, vel r0abV 12.
vel denique 20 ab V 3.
Ouod si inter dirisores praeter unitarem quadratum nullum
aut cubus ec. reperiatur, non poterit data quantitas praecedenti
modo reduci, nisi relis eam in formam fractionis delignare. LIF
quia 20 praeterunitarem quadracum nullum inter dirilores ad
miccit, poterit V10aa, diridendo 10 per aliquod quadratum.
uElubet, ut 4, 25, 200, dc. denotari hoc pacto: 2 a V ?, vel
5 aV =, Vel 10aV 163_C.
Sciendum denique, quod, licet hae quancitates omnes per le
consideratae surdae existane, tamen inter se collarae duorum sint
generum: aliae enim dicuntur Commensurabiles seu COImuNi-
cantes; alia vero Incommensurabiles seu non Communicantes.
Communicantes lune, qua attinitarem habences cum ouanti-
catibusrationalibus, aut etiam numeris, inTeF SC SUINEUE quantICaS
racionalis ad quanticatem rarionalem, Peu licut numerus ad nu-
MerUIm.
Non Communicantes vero sune, quarum unius ad alteram re
latio non est ut quantitatis rationalis ad quanticacem rationaleim,
QHE nUIeri ad NUIerUI.
Racio aurem dignoscendi communicantes a non communican-
cibus est, si, postquam ad simplicissimos terminos lune reducta,
reveriantur inter le ese ut ouantitas rationalis ad OuanLIEAEEM Fa
cionalem, aUE numerUS ad HUICFUM. VEV 75 a a X V 27 a a tunt
Communicantes, quia dirisione per V 3, maximum earum com-
MII-

## Folio 36 — 175906937X:0060
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000060.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
3C
P R L N C E P L A
munem diritorem, reducuntur ad V 25 a a e V 9 aa, hoc ett, ad
5 a e 3a: ad ed ut pro V 75 a a _ V 27 aa Scribi postic 5a Y2
ec 3 a V 3, quae incer se (unt uE 5 a ad 3 4, vel 5 ad 3.
Eodem modo communicantes erunt V a  + aabb ~ V aabb- f b+
quia ueraque dirisa per a a -=L bb, oriuntur V a a e V bb, leu a dc b:
ideoque reducuntuF ad a V aa L bb ec b V a a - L bb, quae inter le
Tuneuta ad b.
Similiter communicantes TuNE V ~0 22 , 4m p 2 2 8
Jaa0omm 4aa M 3
am
02
PpZZ
aa
aa
p7Z: quippereducuntur ad = Y 00- + 4mp et
a m
V00- F 4mp, quarum unius ad alceram ratio est, uF = 2d p
Seu pZZ 2d a am.
Flaud aliter communicantes erunEV ∞ + f 623. F 2INV. F 72X, L 108
_ V xt = 1O∞3 - = 37X X = +2OX -- 300: reducta eniim ad x - f 3
V∞x L F2 _5 = ∞ V X X L 12, habent inter sC eam rationeH,
dux eA iplius N F 3 ad5 = x. Ft sic de aliis.
De Addicione e Subtractione quantitatum
Surdarum.
D addendum vel suberahendum quantitates (urdas, OpOrtet
LL PrIMII ExPIOTArE VETUI SINE CommuniCAnECS neC ne: (1
enim communicantes Fuerine, adduneur tantum vel Suberatuneur
quancitates rel numeri, qui exera lignum radicale reperiuntur. IIe
ad addendum V75 a a ec V 27 a a, hoc eAt, 5 aV 3 _ 3 aV 3.
Scribo, addicis 5 a e 3 a, Pro Tumma 8 a V 3; dE 2 a V 3, PrOCA
rundem differencia, urpote lublatis 3 a Cx 5 a.
Fodem modo situerine V at F a abb ec V a abb L b7, hoc est,
aV aa- F bB_ bY a a- L bb: addendo e Suberahendo a et b, erie
SumImA a F b V a a F bb, ec differentia a = b V a a. F bb. Simili-
teF SI PTOPONaEUIE V
0022 + 4m p 22
m
aa
aa d
aaoomm, Aaam3
PPZZ
P7Z hoc est,
Vo0 L Amp e p Voc L Amp, erie summa P2 2 + aam
apZe
100. + 4mP.
de dif
Pa8. 31.

## Folio 37 — 175906937X:0061
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000061.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
IM P e
21 + 106
ad X F 3
ationem
1M
Oporcet
ec ne: 
TahuINe
ANeuT. l
1 +13
Proed
hocet
_ b, c1
b. Simill.
hocelti
11 + 4.1)
NI A TE ESE OS LIHLVERS ALTS.
De difterentia P2 Z = aam 00. F 4 mp. Nec alicer sE si tabeatur
apZ
54a abb = 4 a a X X
bb
24
rel= Vbb =XX _ V bb = XX: CNiE enim PaG. 173,
=
liib. 10.
Summa 2 a = b Y bb = v X, de difserencia =   V bb = x v. Pari
TatiOnC addicis V X + f 6 X 3 = s 2 L X X -]- 72 N   1O88
V ∞ + = 10 ∞ 3 - f 37 X X = +20 ∞ - f- 300, hoc CAt, ~ ]  3
V Xx F 12 e5 = x V X x F 22, erit summa 8V X v L 12, cif-
demque lubtractis, eric difterentia 2∞ == 2 V X x F 12.
Ouodlirero non communicantes tuerint, non pocerunt addi
vel suberohi ita uc unam radicem constituane, quocirca addenda
vel lubtrahenda lunc mediancibus lignis f dc -. unde Binomia
ee Mulcinomia exturgunE. LTE (i addendum sic Vaa F bb 2d V aa -- bb-
Seribo prosumma V aa L bb- f V aa - bb; ec ad suberahendum
V aa - bb de V aa = bb, Scribo pro religuo V aa Y bb = V aa bb.
Non lecus Li addatur a-- b ad V a a L bb, CFIE SUMMIA
a -  b-  V aa + bb; aE (i TubdUCatUE V a a F BB de a-L b, erie
reliquum at b - V a a + b b. Cum enim a- b sIE quantitaS ra-
tionalis, d Vaa- F bb quanticas surda, non masis communicances
esse pollunc, quam omnes quancitates lurdae, quae divertis signis
radicalibus delignantur. Flaud dissimili ratione concludes sum-
MaIM ex a a-F bb ] a V a a F bb X a 4 - bb = b V a a = bb esse
2aa f a bY aa + bb, ec disserentiam ese 2bb- f a  bV aa. L bb.
De Mulciplicatione quantitatum surdarum.
Equantitates datae sunt communicantes, oportet, multiplica-
eis quantitatibus vel numeris extra signum radicale politis,
productum mulciplicare per quantitatem vel numerum (ub (1910
radicali concentum, ut habeatur productum quaelitum. CIF 2d
mulciplicandum V 75 a a per V 27 a a hoc CCt, 5 aV 3 pCF 3 aV3,
mulciplico primum 5 a per 3a, e Hc Z5 aa: TuI 25 a a PeI 3,
erit que productum quae sicum 45 a a.
Eodem modo ad multiplicandum V a F a abb per V a ab b F b=,
hoc eAt, a V aa + bb per b V aa. + bb: mulriplicato a per b, ee
PrO.

## Folio 38 — 175906937X:0062
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000062.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
35
P R Y N C L P E A
produeo ab per aa. L bb, siet productum quaesicum a 3 b + ab:.
Nec aliter Ac (I ad mulciplicandu prOxOnaEuE
V X +   6 ∞ 3 -) 2F X X - 7 2 X - TOB PCF
V∞ -- 1O∞3 - L 37 X N = 22O X  300, hoc elt, X. ) 3 V NX L 12
per 5 = x VX X L2: Mulciplicatis enim X - L 3 PeF 5 = X, EIC
25. F 2X - x x, quod mulciplicarum per x x - f 12, productum
Facic 160-  24 x  3 ∞ x f. 2 X3 - x+.
Ouod sidatae quantitates non fuerint communicantes, opor-
cet tancum mulciplicare quantitates (ub sionis radicalibus com-
prehenlas, e producto praetigere commune lignum radicale. Si
verosiona radicalia diverta fuerine, reducenda prius (unt ad idem
Tinum, sicut superius est ostensum, et deinde opcrandum, uc jam
dictum est. UIc, ad mulciplicandum V ab per red: mulciplicaris
ab percd, praetisatur producto abcd sionum V, de tic productum
quaelicum V abcd. Sic ex ad mulciplicandum V a a + bb per
Vaa = bb: mulciplicaris aa-( bb per a a = bb, het productum
Va -b2. Similicer Si mulciplicari debeat V a a L bb per a f b,
reduco prius a- L b ad idem sionum radicale, X HE V aa L 2ab ( bb:
cum mulciplicaris a a - f 2 ab- L bb per a a- ] bb, sic productum
V a 1 243 b-  2 a a bb + 2 a b3 L b+, vel etiam scribendo hoc
Pacto: a: f b V a a- L bb. Nec alirer Ec si mulciplicandum sIE
at Vb0 per a t Vbc, hoc est, a- L Vbc in se: mulciplico pri-
mum a. L V bCper a _ HEa a L a V bC: tuIm a- L V bC Per V bC, FIE-
que aVb0- + b0. gux producta li addancur, tiet productum quxe-
licum a a-f bc- ( 2 a Y bc. Non secus si mulciplicandum propo
NacuF Va a F bb. F V a a - bb per V a F bb - V a a - bb: quia
mulciplicando V aa L bb per V a a- L bb, e + V a a -- bb per
=V aa =bB COmissis scilicet tantum signis radicalibus) fune
aa- L bb_C = a a - L bb; aE vero mulciplicando V a a- bb per
Vaa- bb, et V aa F bb per -+ V aa - bb producta erane.
(cunE: hinc productum quae sicum crit 2 b b.
De Divisione quancucarum surdarum.
data GuatlatesCCOMMMICaACES, OpOrteEFantuM arYI
dere quantitates, vel numeros, extra lignum radicale politos,

## Folio 39 — 175906937X:0063
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000063.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
+ 1b
+ 12
S = 1, 
ol
ces, opu.
bus eo
Caetacu
D, CC II
ciPICa
ouecun
rodue
Det a-B,
no M
roductum
endo boc
2BOUIM M
DHCOVH.
EYbC, G
dicle. si
tum quae
In PrOpO
Bb: qu
du5) Eum
Ia Cran
num di
le polio
NIA TA ESEOS IIH LYE RS A L 15.
_ quod oritur erit quoriens quaesicus. Uc ad dividendum V 75 aq
Per V 27 a a hoc est, 5 aV 3 per 3 a Y 3: divido 5 a per 3 a, Ceu
5 Per 3; ericque quoriens quaesitus = Peu 13. Sic e ad dividendum
V a- Laabb per V aabb L b, hoc est, aV aa L bb per b V aa- ] bb:
dirisis a perb, sir quotiens Z. Non secus V abcc scucV ab diri-
Tum per Vab datc. FE lic de aliis.
Ouod si communicantes non fuerine, dividendae CrunE quan-
citates sub signis radicalibus comprehensa, de ei quod oritur
praetigendum est commune signum radicale. UIc ad diridenduim
Va3b = ab3 per V a a - b b: diviliS a3 b -= a b3 per a a - bb, FIE
ab; unde quotiens qua situs erit V ab.
Ec quidem si signa radicalia fuerine diverta, reducenda prius
erunc ad idem lisnum, de deinde operatio insticuenda erie, ut jam
dictum est. Ue ad diridendum a3 - L ab b per V a2 L aa bb: mul-
ciplicando a3- F ab b in se, tic a L 2 a t b b. f a ab2; quare divis i
V a- F2a  bb = a ab= per V a t- L a abb, erie quoriens V a a- L bb.
Sic de li dividatur V a + - f 2 a3 b -- 2 ab3 - b 4 per a ] b: multi-
plico primum a ] b in se, ue hiac sub eodem signo radicali
Vaa L 2ab-]- bb, quo Facto, si dividatur V a- ( 2a3 b - 2 a3B B+
Per V aa F 2 ab L b b, Hiec quotiens quaelitus V a a - b b.
Non alià ratione aq ( bb divilum per V aa L bb, Facit V aa- L bb.
quippe dirilo quadraco per luum lacus, oritur lacus. Unde li
a= abb dividatur per V a a- F bb, orietur a V a a L bb.
Porro si dividendum (IC a3- = ab b ( a b V aa L bb per aV aa L bb-
dirido primiiim as- f abb per a V a a = bb, d FIE, uE ante, V aa L bb;
tum abY an + bb per aV aa F bb, _ Hb, unde quoriens qua sITuS erie
Vaa + bb + b. Non secus si dividatur V a = 243b - - 2 ab3 - b7 - aa + bb
Pera -= b, Oriecur V aa bb - a + b. Similiter (i dividendum pro-
Ponatur ab L b V bc per a L Vbc: quoniam ab divis a per a, ca-
dem exoritur quantitasb, qua provenit diridendo bv bc per Vbc:
hinc quoriens quaesitus erie b. Fodem modo aab - bbc - ab-+
Vb0 dirilum per a = Yb0, Facit ab--
bbC
Postea ad dividendu a a bc per a + V bc dirido a a per a.
_ FE.

## Folio 40 — 175906937X:0064
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000064.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
40
P R E N C. L ~ . + a
_e sic a, quod mulciplicatum ver V. b0 producir a V bc, eritquere
liquum dividendi  aV b0- bc. diviso jam - aV b0 per a, fic
V. b0 Quod mulciplicacum per L V bc, Facic  bc: hoc isitur (1
auteratur a reliquo diridendi - bc, relinquetur o, de absoluta
erit dirilio, critque quotiens quae situS a =V bc. Fodemmodo
ab =cd dirilum per V ab = Y cd, dat Va b. L VCd: _ a3 L beYb0
divisum per a V bc, dac a a L bc - a V bC: E a abb = c6d d
divisum per V ab  Vcd, dac ab F c d V ab + ab = cd V Cd: 8e
a3 b = abb0 dirisum per a a + a V bC, dat a b = bV bc: Ut XC a3 +
abc = a a = bC Y BCdirISUM PeF a =YbC, dat aa L bC. + 2 aVBC.
Denique ad diridendum V at L b+ Per c d: quia V a+ + b4
Perc - d CCu Y6C. 25d + d d diridi nequit, scribo proquotiente
Var F b4
c- d
relV at + b+
ca 2ca + a vel eriam hoc pacto: = V at F b+.
a b
Vaa = bb. Similiter a a = bb divisum per V a a = bb exhibet quo-
tientem
act. L- bb
aa. I V abea
Vaam b6: de a a. = Y abc d per a + Ybc, tacie
a Ybc
Sic etiam ad diridendum 180 + 24 x + 3 v N F 2 ∞ 3 =- v + Per
d V∞x F 12, Scribitur pro quocience
180 + 24N + 3 X. f 21∞3- x+
5V XX 1 12
; vel
quia 180+ 24 X f 3 ~∞ F 2 x 3 -- xt prOdUCIEUE CX 15 + Z∞ - X X
in Xx = F2, quadratum nempe ip(iuS V ~X L 12, Fc ut scribi
quoque POssic 5 = 2 ∞ = v X in ∞x F, 12
8Y ∞x +. 12 3 vel brerius 5 F 2∞ - X v
VXx F +2, uepore dividendo X x L +2 Per V X X + 12. Non
alicer (1 180 f 24 X - 3 ~ N f 2 ∞ d x + Ci dividendum pei
v + 3V x x F +2, Scribo pro quotience 0 F 24X. L 3 ~ x. + 243, x+
Ceu
60 - 12 ∞ - L 5 ~ X - ∞3
N L 3V X X - 12
V∞X + 12. Ma1 18O + 24 X + 3 ~ X + 2 ∞ 3 = X 4
dividi potest per v. F 3, de Fc60 -, +2 X F 5 X X = X3; vel quo
niam 6O - T2 N + 5 X N - x prOdUCIEUK CX S= X IN XX + F2, FIC
ut etiam scribi possie
5=X IN de X L 12
YXx + 12. SCH 5  X V X N F 12.

## Folio 41 — 175906937X:0065
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000065.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
quese
1a, 
suuesi
demmodo
a + hebe
b- ccd
Ut de a +
+ + 
e
vel que
x + 12,
MIA THESEOS LLHLYERSALIS.
De Extractione Radicis Duadraiae en Binomiis.
s
Odus, quo ex quantitatibus binomiis radix quadrata ex-
LVe crahicur, non diftert ab eo, qui in muneris adhiberi solet ad
inrentionem radicis quadratae ex Binomiis; eAquetalis:
Subductis quadratis partium dati Binomii a se invicem, si radix qua- radicem
drata reliqui ad partem majorem addatur; es ab eadem auferatur; erunt quadratam
radices quadrata ex semisse summe es differentiae, per sienum. + vel  ex Bino
dati Binomii connexae, binae partes radicis quaesita.
Uc ad extrahendum radicem quadratam ex a a L bc L 2 aV bc,
Tuberatio q aabc, quadratum minoris partis ex at- L2 a abc L bbcc
quadrato partis majoris, de relinquitur a+ --2 a abc L bbcc, Cujus
radix quadrata a a - bc addita ad majorem partem aa -  bc, et
ab eadem ablata facit summam 2 a a, d differentiam 2 bc, qua-
rum semisses lunt a a e bc: unde radices quadratae lunt a e V b c,
qux si connectantur per signum L, erie radix quae (ITa a + V b6.
Sic radix quadrata ex mm L P
_ a
Eodem modo s extrahenda Bicradix quadrata ex a L bV ab F 2ab:
Subducto +aabb, quadeato partis minoris, ex a3 b. F 2 a a bb F ab3
quadrato majoris partis, erit reliqui a3b = 2 a ab b + a b3 radix
quadrata a - b V ab. qua siaddatur X auteratur ex majori parte
a L bV ab, hecsumma 2 a V ab, & differentia 2 b V ab, unde se-
missium radices quadraca constituunt radicem quaelitam
V aV ab + VbV abseuVVa3b L VV ab3.
NNec aliter sic cum extrahitur radix quadrata ex a L d V bc-)
2 V abcd: erenim Tuberacto + abc ds quadrato minoris partis, ex
aabc. + 2abcd. + bodd, quadrato majoris partis, relinguetur a abc.
2 abcd + bc d d, cujus radix quadrata cst a = d V bc: haec ergo
Si addacur de subtrahatur ex majori parre a F dV bc, erit Cumma
2 a V bc, de differentia 2d V bc: Ex quarum dimidiis siradices
quadratae extratantur, tietradix quae sita V aV bC -L V d V bc vel
VY aabc. + YY ddbc.
Quod
miis.
Regula ex-
trahendi
PaG. 182
lin. 13

## Folio 42 — 175906937X:0066
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000066.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
+2
P R L H C F P E A
Ouod si, Tubductis quadratis parcium dati binomii a se invi-
cem, reliqui radix quadrata e major pars binomii communican.
tes non fuerint: Catius erit ipsi binomio lignum univertale radi-
cis quadratae praefigere. IIt ad extrahendam radicem quadratam
Cx = = a. = V = a a + bb scriboV = = a L V = a a + bb. Gux radio
ces rulso appellantur Univertales.
DE REDVETIOHE AEOYATTONVH.
TToniam ad resolrendum aliquod Problema, id ipsum sup-
Ponendum est ut jam factum, atque nomina imponenda
Tune quanticacibus tum datis, tum quaesitis; et quidem prodatis
a D. Des-Cartes ordinarie ponuntur priores licera Alphabeti
a, b, 6, _C. pro quae sicis aurem polteriores Z, V, X, _C: HIE UE Per-
currendo Droblematis difficultatem, eo ordine, quo omnium na-
turalissime paret, qua ratione dicta quantitates, nullo inter co-
onitas ee incoonitas Facto discrimine, a se inricem dependent,
eandem inreniatur ria quantitatem aliquam duobus imodis expri
mendi. id quod Aquatio rocatur. IInde cum xequatio nihil aliud
SIE, quam mutua comparatio duarum rerum ae qualium, quae varie
denominantur: Facile constat, quantitates halce cognitas e in-
coonitas, prout direrlimode lunt aftecta atque dispolitae, direr-
Pas efticere posse Equationum formulas, qua tamen per sequen-
ces regulas reduci queunt ad halce limilesre species:
V
Z∞b, aut
∞- aZ + bb, aUE
3∞. F a ZZ F bbZ - c3, auF
∞ = a Z3 F bbZ2
132
De Reductione per Additionem.
T P hrabeatur aequatio inter Z - 3_ F2, hoc est, Si fuerit
 3 ∞ T2: guoniam s aequalibus aequalia vel idem addas,
ea quae tiune sune aequalia; hinc si uerinque addatur L 3, fet
D 15. HaM 3 X  L 3 addita FaciunEO.
Sic _e Si fueric Z - b ∞ 0, adden do verinque b, Het Z ∞ b. AUE
s1
Pa8. 6.

## Folio 43 — 175906937X:0067
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000067.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
aleimi.
nc.
e1dI.
qutioum
quemli.
A
ponendi
Prodatis
Alphabeti
Eut pet-
MBUM Id-
Oine.
lependent,
DdiS expit.
Mti uu
quae ratio
DItaS d In.
tae, divet.
ex lequem
idem adu
+
201.
AIA TEESEOS TINLVERSALIS.
Ethabeacur b - Z e00, Fiet, addendo uerobique Z, b 30Z. FF (I Ha-
DCatUE
=a9∞ O, eTII
Fier Z3 ∞ a a4, eec.
∞ ag: UC _ (1Z3 - a a G _GHCEUF O,
Non secus lihabeatur Z+ - - a 23 -- b b27 ∞ dt = c3Z, adden-
douerique parti f a 73 F bb 
n
L a
Ex quibus constat, quantitates signo = adfectas ad di utrique
parti, li eximantur ab una parte, e in alteram partem transte-
rantur sub signo.
De Deductione per Subtractionem.
FindesitueritZ = 3 ∞ 12; quia si ab aequalibus aequalia vel
idem auteras, illa quae relinquuneur (unt ae qualias tit ue, sub-
erahendo utrinque L 3, habeatur Z ∞9.
Fodem nodo (ihabeaturZZ F aZ 0 bb, Suberacto utringue
Y aZ, HCLZ Z ∞ = aZ F bb.
Similiter Z3- f 2C3∞ aZZ F bbZ L C3 reducetUE ad Z3 DAZZ
1bbZ - c3, Suberahendo utrinque + 263.
Unde colligitur quantitates igno -L adfectas ab utraque parte
Suberahi, eximendo ipsas ex una parte de transterendo in alteram
partem sub signo -: atque adeo quicquid rel additione rel sub-
cractione transtertur, adtici ligno contrario.
DeReductione per Mulciplicationem.
DOrro si ad reducendu prOPONATUE = ∞ 5: quoniamm X qua-
lia per aequalia vel idem mulciplicata, producunt aequalia;
Eiet mulciplicando utrinque per 3, Z ∞ 25. Sic de si habeatur
ag
2 ∞= inrenietur, mulciplicando utrinque per Z, ZZ ∞ aq, eC.
Fodem modo si fuerit.
a: quoniam, delendo denomina-
FOrCM Z b prioris partis 22
E. ipla pars mulciplicatur per 2-- b:
hinc oportet etiam alteram partem a multiplicare PCFZ = b, UE
habCaEUL AqUatIOItCFZZ _C aZ. = a b.
Similicer (I (it ~ ∞ 22 -- b2. +- bB
:quoniam, Tublato denomina-
tOrc

## Folio 44 — 175906937X:0068
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000068.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
P R E N C T P F A
tore a partis prioris ?= mulciplicata est pars prior pera, de fic
verA, ut habeatur = 2Z = a b Z + a b)
mulciplicare
UInde cum xquatio pro-
POSta reduCta (IE ad ZZ ∞ aZ2 -= a b 2 + a bb
Si denuo utraque
pars mulciplicetur per Z, denominatorem polterioris partis
c
3 HCEZ3 ∞ aZZ = a bZ + a b b.
a 22 - a b 2 + a bb
Fx quibus pacet, aequationem, cujus utraque pars estFractio,
reduci ad aliam, quae Fractione caret, multiplicando per cru-
cem, numeratorem nempe prioris partis per denominatorem
polterioris, ee numeratorem posterioris partis per denominato-
rem prioris. Ouod idem est ac li binae partes xe quationis ad ean-
dem denominationem reducantur, ip (ae que deinde, omitrendo
communem denominatorem, per eundem multiplicentur.
Ebi nocandum, ad majorem abbreriationem atque operatio-
nis Facilitatem, non raro tum numeratores, tum denominatores,
ante hanc multiplicationem ad simpliciores terminos reduci pol-
23
PC. LIE ( FerIE 4Z - a a ∞
a 2  a e
2 F a: reductis denominatoribus
Z2  a a _ Z- F a ad Z - - a e T, Het
23
D
a2 - a a
. ac proinde,
Emulciplicetur per crucem, inrenietur Z3 ∞ AZZ = 2 a aZ L a3.
Similiter Si habeatu= a a 2 - bbZ a3 - abb
2 ] b D
: reductis nUIEraTO
ribus a d Z = b bZ eE a3= a bb 2d Z e a habebieur
+6 D =, ubi
si per crucem mulciplicetur, Eet ZZ ∞ a 2  a b. Non secus si
HabCAEE =ZZ - bZ Z aa = ab
bb - b2 X
: CUM HUIMeFatOTES aZ Z -- bZ Z
e aa - ab reduci possint ad ZZ e a, ut d denominatores bb - b2
_b ad b = 2 _ E, Fet
22
2 ∞ =; ideoque mulciplicando per
CruCeM, ex(UINGet Z Z ∞ = aZ + a b.
Hluc etiam reter, cum inceorum aequatur tractioni. LIC (i ha-
a23- b23
beatur aequatio inter
22  a2 ] aa de ab = bb: Substituta enimm
unitate pro denominatore iplius inteori a b = bb, cum a Z3 --b23
e ab - bb rediuci possine ad 23 e b, erit aequatio talis

## Folio 45 — 175906937X:0069
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000069.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
a, de t
lepucde
10 uuque
aio prO.
Ali
per CM.
NACOLLM
dmInatO.
15ad Can-
omncendo
Deu.
Opetut.
mnacu
educi pot.
inacotm
AC pFOIU
AAZ  
DUmCCa
ote
irest
22-
licandop
sit
MIA TH ESE OS IINLVERSALIS.
22 f a2 ] a =, unde multiplicando per crucem, invenieryr
XquatiO 2 ∞ bZ Z - abZ = a a b.
Ad lXC SI PEOPONatuE V Z ae quari 5: quoniam x qualium a qua-
lia quoque lunt quadrata, cubi, ecc; hinc liutraque pars in le mul-
ciplicetur quadrate, habebitur Z ∞ 25. Sic ee Ci Tuerit V Z ∞ V 5:
dueca utraque parte in se quadrate, fet 2 ∞ 5. Pari ratione (I V Z
XqueTUEY a ab =b, erit Z ∞ a a b - b. FIaud secuS (I FuCrIEV C. 2
∞V C. aa bb - b, tiet, utramque partem in se multiplicando cu-
bice, Z ∞ a abb - b. FFhC de aliis.
De Reductione per Divisionem.
D OAtea Sidetur ZZ ∞ 4 Z: quoniam, aequalibus per requalia vet
L idem dirisis, proveniune aequalia, Fc uE, Si utraque pars diri-
datur per Z, Oriatur Z ∞ 4. Sic ee Cihabeatur 2+ ∞ 4 Z3 - f - bbZ 2, di-
videndoutrinque per Z Z, tiec Z 2 ∞ aZ F b b. Similicer tc, li propo.
RaTUF 3Z ∞ 12: etenim Ci uerobique diridatur per 3, proreniet
2∞ 4. Fodem modo lituerit a Z ∞ ab, diridendo utramque par-
tem pera, Hec Z ∞ b. Nec alicer Ci habeatur a x -- b x ∞ bb, orie-
tuE, dirisA vErAquE PartC PCTA =b, X ∞ =-7. FTaud SeCUS SI pFO- PaB. 143,
PONATUTAZZ F - bZ Z ∞ ab 2 - f bbZ = a bb - b3: quoniam u- 1B. 27.
traque pars diridi potest per a Lb, Orietur ZZ ∞ b Z = bb. Sic 8
SI FICrIEAZZ = bZ Z ∞ a a Z -- bbZ L abc, diridendo utrinque
Per a - b, ACEZZ DaZ F bZ +
abc
abc
= (eu 22∞ + B~ F a b
Fluc reterendum quoque est, cum bina ae quationis parres, juxta
modum p. 34. octenlum, re duci pollunt ad simpliciores terminos.
CE ( Tuerit aquatiO InEEF aZ +- abZ 3 L abbZZ _ = ab2 3. - 2abbZZ
2ab32 F ab: diridendo utram que partem per maximum com
munem dirisorem aZZ- abZ L abb, OriCtUE ZZ ∞ bZ ] bb.
De Reductione per Fxtractionem Radicis.
Enique ad reducendum Z2 ∞ 25: quoniam aequalium qua-
dratorum ac cuborum ec. aequalia quoque lune latera seu
aliteCs,  uC, h ex veraque parre excrahatur radix quadrata, Pro-
venide

## Folio 46 — 175906937X:0070
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000070.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
+6
P R L N C E P L A
veniat Z ∞ 5. Sic e Situerit Z3 ∞ 125, erit, extraet d utrinque radi-
cecubica, Z ∞ 5. Fadem ratione, (i habeatur ZZWaa- ]- 2 ab. f- bb:
extraeta uerobique radice quadrata, tiet Z ∞a J b. Nec aliter HEA
fueriE ZLWAA L bc- L 2aVbC, erit enim Z∞a L Vbc. Non secus LIEX
Eequetur = + a L V = aa L bb, erit X ∞ V -: a L V = a a-  bb
Elis subiunse lequens exemplum, in quo omnes praecedentes
modireductiOniS (IHLOCCUTTUNE. PFOPONAtUF N22 L 3aa, 22 3a_
a2Z
DV.
:quiaisitur eorum, quae aequalia lune, ae qualia quoque
sune quadrata, tec, multiplicando utram que parrem in le quadrate,
202
124- 9a+ aZZ
A. Z2
D
. Addatur jam verinque p21 - 9 at
e Tub-
crabiatur cransterendo scilicet ipsas in alteram partem sub
a22
121- 544
2Z2 ∞V =. Ouo tacto, multiplicetuF rIESUS uEraque
pars aequationis in se quadrate, ux cranescat sigrum radicale; Ha-
bebiturque = Z +-
a24 aa2t
24 - 94+
bb D
. EIbI CIUErInqUC dematuE
27, 2c reliqua partes omnes addendo ac subtrahendo ex una
parce in alteram transterantur, quod tic mutatis tancum signis, crie
a2+ aa 2+ 09+
6b ∞
. Porroue deleantur tractiones, reducantur
omnestermini ad communem denominatorem 4bb: quo pera-
cto, Puerinque per cundem mulciplicetur, ipsum nempe deno-
minatorem omierendo, obtinebitur 4 ab Z7- 4 a aZ + ∞9 a+ bb.
Dividatur jam ubique pera, hoc est, a ubique deleatur fcque
4bZ+  4 a Z+ ∞ 9 a b b: quo Facto, diridatur uEraque ParS Per
4b = 4 a ut habeatur quantitas Z + ex una parte Cola, crieque
2+∞ Da3bb
ab - 4a bi (iverobique extrahatur radix quadrata, habe-
e
BITIE ZZ D = abV,
: d Si denuo utrinque extrahatur radix
quadraca, invenietur Z ∞V Z ab V
E quibus patet, reductionem per additionem ee luberactio
n
Pag. 6.

## Folio 47 — 175906937X:0071
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000071.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
veradi.
a +.
aersc s
es sIX
ecedeum
perin
a quoque
quadrater
de sub.
re, berque
E dematur
d0 ex UId
signis, erit
eduCaNEUI
quo pet
nDe deno
∞9 at bb.
eatur toeque
IHC PaTSPE
2, eritgst
drata, habe.
chacue radie
Suberactio
AeMI
MIATHESEOS LIN EVERSALIS.
4
em insticui cain dd diminuendam mulcicudinem terminorum,
quat ad aequacten rite ordinandam; reductionem vero per
mulciplicacioitem a cricandas tum tractiones tum quantieates
Turdas; _ reductionem per dirisionem, tam ad depriimendas di-
mensiones; quam ad reducendam aequationem ad debitam For-
am ex limplicissimos terminos; ac denique reductionem per
extractionem radicis, ad obtinendam aequationem ex minimis
terminis constantem; praeterquam quod omnes ha reductiones
etiam ad quantitatem guaelicam ex data aequatione inreniendaim
uriles esse possinE. Acque haec quidem ad ineroductionem Mecho-
diGeometrix Renati Des-Cartes dicta Pufticiant.
L L
ea
LAPI.

## Folio 48 — 175906937X:0072
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000072.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
ER ANOISCUS aSCHOOTEN
F
TE menda, qua in edendo hoc opere huculque commista
L deprehendimus. Lectorem in eo erolrendo remoraren-
tur; sed iplius Cudio, quancum in nobis esset, rite consu-
leretur: monendum duximus, ut illa in antecessum sic emendare
dignetur.
Pa5. 29. lin. F6. lege non absre. P. 33. l. F_ 2 prO = scribe =
ibid. l. 29. pro A P Seribe AB. ibid. l. uIE. clarius exprimatur li-
nea superducta, quae rix ac ne rix quidem apparet. Quod e aliis
in locis est obserrandum. P. 4L. l. 7. lesc C A. P. 46, 1. 25. PTO
= eflesc - 2 ef. P. 47. L. X4. P5O Ze3 ex 3bec
da
d a
ibid. l. Penule. pro 27 7 ex 3b17
da (cribe 373
dde
Tcribe 303
4byq
do
4be0
da
da. P. 67. l. 23.
PrOYZ lese YF. P. 74. in calculo ultimi termini aequationis
adhuc lemel ponendum eft - 7776n5. P. 9F. l. 9. proFA lc-
gCL A. P. 298. in marsine lege Reductio. P. 306. l. 7. Prox3 lege xt.
Cacerum ne locus superttes hujus pagina racuus relinguere-
tur, risum fuit hoc loco Timul indicare (phalinata, quae in Rxerci-
cationibusnostris Machematicis, quas anno 1657 in lucem emis-
mus, tuerunt commissa, ac postmodum a nobis recoenita: uE, iis
sequentimodo correctis, L ectoris Cudium in consimili argumen-
Eo abIqUE MOTA OCCUIPAFCTUF.
Pa5. 6. l. 2 lece pretium. P. 7. I. 8 lese quaestio. P. 263. l. Penult. lege
quaesiverim. P. 293. L. 12. Lege nullae omnino. P. 228. l. 3 lege Ht L
244.
ibid. l. penule. lese incircumferentia. P. 295. l. 28 lege descriptio.
P. 317. l. 22 lege quod est rectum. P. 327. l. 4 legc Ostenso. ibid. l. an-
cep. lege ipsa circa. P. 329. l. 10 pro P6 legc P. C. P. 347. l. 5 pro
FC, LFleseCC, EF. P. 36Y. l. Y lege ad B, ita ut A F sit aequalis AB.
P. 372. l. ancep. POst Duod, _ P. 393. l. 9 post Ouod eo rollerir-
BUlaS. P. 423. l. 25 PFO 69 lege 639. P. 432. l. 7 lege 1634.
P. 434. l. UIF. ex P. 462. l. 30, Ut e P. 450. l. 24. legC ab5re. P. 47I.
l. 22 legC in locum X v. P. 525. lincx 6, 7, 8,9, T0 in locum linea-
rum 2, 334, 5 lune substicuenda, de ricerersd. P. 527. l. 21 lege
Ha autem.

## Folio  -  — 175906937X:0073
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000073.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
M.
e commula
remoraren.
rice consu.
cemendue
scribe-
TIInaturII.
uod ee aliis
l. 25. PrO
a Abec
ad
ad
P. 67. l. 25.
aquationis
DEOFAle
X3 legex
relinguere
a in Fxere
ucem emit
nICA: UI, 1
li argumet
penuleles
EcZ
se descrist
so. ibid. lid
47. l.
sIt aqu alis d
deocollem
lege 1611
locum lines
27. l. 21 1e3
D F
DAATIONUM
Natura Constitutione, e Limiribus
2
Opuscula DuO.
Incaepta a
ILORTMONDO DE BF AVNF,
In Curia Blesensi Consiliario Recio:
Absoluta vero, es post moriem ejus edita
ab
ER ASMTO BARTHOLTNO.
Medicina d Machemarum in Regia Academia:
Hlatnien(i Protessore publico.
e
et A S F F L A D A Mt L,
Apud Ludoricum d Daniclem FlZCrIIIOS,
c1010C L1X.

## Folio  -  — 175906937X:0074
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000074.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 16 lines, status machine
SUIMMO MESARUM
MIECOENATI
TLLHSTRISSTMO ET ERCELLENZISSTMO
DOMINO.
OACTTTMO GERSDORPTI
LOPARCHA IN TENDBPHOEM, aC.
FOTTITI AURATO.
REONFDANIAESEIMMO AILE MAOISTRO
PRINOIPISENATORI
EOTEMATESTATIS PRASIDI BORINOTIOLMENSI
TI OC
StDDIMEN ANALZTIOES
NOrO ARGUMENTO
CONSECRAT
DBSEGWIDM.
3u0

## Folio  -  — 175906937X:0075
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000075.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
SSTHO
l. ac
ISTROB
o
od jam pridem in rotis c
d
aC, Sudiie piccarismca ex
erimentum Libiprobari id
recentistima Mularum AI
obra interpretabitur. Felienim bene
licamaxima, quibusme tocamquedo-
inum nolram oncralti, quam siatoa.
nimo exceperim, mituiple simceltis:
camen mileram cam vicam pucavi, cui
esle gratam probare antea nonlicuit:
id aliquo oblequio, cum ipsilibi, tum
Cateris omnibus indicatum, mazime
que perspicuum esse deliderari. NC9;
aequum cst, victutis depraedicationem
priratistantum pariecibus claudi. In
Cer IMOraIOS CtIam anMuMeTantuI II
Qui beneticia accepta paucis comme-
morant; tocus Orbis, adhibendus elt,
piecatisnoltra celtis e conlcius. Juo
nam vero monmentum luarum rii-
cucum nulla unquam obscurabu obli-
vio; nullum crit talitTeroi diomusse
nus obleguu, quam quodnulla tempo.
 2
EIS

## Folio  -  — 175906937X:0076
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000076.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
riscircum leriptioneterminatur. Ouo-
circa hoc opulculum Alocbraicum o.
porcunislumum exiltimavi, quodmex
perpecua oblerrantiae teltem lempi-
ternum constituerem; in quo hauc
Oblcure conjicio, nihil senectuei, nihil
uccessoribus licere. Mirandam Aloc.
bra vimmuleis verbis exponereluper
vacuum e, quippe lecura demouctra
_7
tionis lux, lemper a pacis et belli ser
vut artibus; in qua hioc eximium elt,
Quodahundantias detectusq; parimo-
mento altimet, neque illi, quae plustia
bene masisnecellaria lunt, quam quae
minus; acq; hroc lux lcientia habet mo
nimentum, quodmorlales taciunt. Vir
CuTIS. Verum artium e lcienciarumin
crementa, non in iplarum modo inoc.
Mo, ledletiam in luperiorum clementia
lica lunt; altimantur quoque pleraque
morcalium precio, quod libido catum.
mandi conlticu; et quis neocE, exI
ium decus, laepius taroris, quam vir-
eutis

## Folio  -  — 175906937X:0077
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000077.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
1
N
t
id
ex
laa e
IMO.
USha
AGud
etMO
IC. 1
UI
ed
l
1
L, C
II
ulI
cutis cRebeneticium: unde patronoet
detenloreiis opus est, lub cujus aulpi-
Ciis Aoreant. Alocbrae nihil ad augen-
dum fastioium luperest, hoctamenu-
nomodocrelcere potelt. Lecroopra
lertim inrocat, cujus cepimus et aAc.
etus es judicu experimentum, quan-
cum maximum Mula Capere Potue
runE. Indulgentia Lux propinquum
exemplum est Alronomia, quam in
Luo oremio lulcepilti, cum nautra-
sium illud oblervationum Irchoni
carum, quas invidiosa tranquillitate
prorectas improrilusturboabltulerat.
Lua beniomtate relarcires. Puo bene.
ticio patriam receperunt. Lacco lice-
raSCraecas, quasmajoribus lussitared
didisti ut illae uerum plus Tibi, an Lu
illis debeas ambioi polsit. Ec ut verbo
ablolram. Lua benerolentiae utum
nec licterisnechomnibus unquam de
negalti. Guare illud extremum oro ut
eidem Crenerolirari, cuicribuilti hOC, uF
s 3
lite

## Folio  -  — 175906937X:0078
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000078.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
px
liceras susciperes, acltibuas, uc lulcep
eaSTuCarIS aC FOrcaS: aEque hOCoraLI
animi, non ommino quale velim, led
Quale poltum hoctempore monimen
cum, tavore exciperedioneris. Cele-
bracum cAtama e acclamatione quan-
cum AAtronomiam ampliticaverie Va
Mla, Libirero renalcentis ACtronomiae
ratia debetur. Fc li propolito annue
rIS, nontam patila quam libi debico
rem constitues cciam Alocbram, hoc
s
est. MathelmOniverlalem. FooAoren
temrircutis lua oloriam aecernam op.
to, Libique selicillimos annos preca
tus, in clientelam Tuam receptum CC,
suprahumanum lolacium recreabor.
2
III E FXCme Bni 17 X
Pasnia, Anno
sLD IDCLYII
Deditissimus
LR ASMTUS ONACLHOLLNUSS
LO LCGit.
Medicinae aaealuLLous

## Folio  -  — 175906937X:0079
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000079.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
ulcep.
ac
N
NeI.
EGuan.
D
JOmIa
AOren
eca
MMesle
l
ut
um Drolet.
 R A S M I B A R Y H O L L N L
Ad Tractatum de Natura e Constieutione
Aquationum
ALLOLOLA PRALIMTNARIS
Ad Clarissimum rirum
DDIOM ITAROE
Reois Callia Conliliarium.
Vamvis sinistra hujus seculi judicia parum
apud me valeant, tamen à divuleandis e-
Jusmodi quemlibet jure absterrerent, qua
diversas hommum censuras vitare ne-
queunt. Verum ero alto supercilio spretis calumniis, a-
quitatis amantior es publicae utilitatis, proposito desi
steronolui, tibiq. Pir Clarissime, exponere constitm, ea,
quae ad praefationem utilia esse pucavi, ed libentius, quo
coenoverim amicissimum tibifuisse, dum in vivis esset,
D. DeBeaune, in Curia Blesen si Consiliarium Recium.
Piam et si vir hic fuerit perelecantiincenio, e in tan-
tum laudandus, in quantum intelliei virtus potest; ta-
men hocin eomaximum fuit, quod Mathemata doctis
simus, ut tempore aequalis Viro summo D. Des-C arteS;
ita Analytices speciosae peritia proximus. Duomomen-
roimpulsus, dum Blescis lineua C allicae exercendae era-
zia decerem, amicitiam ranti r iri colui, dilizenter que
eà familiaritate usus sum, quà ipse me comiter ample-
Etebatur. Interea de rebus Mathematicis omnis sere
Cerme

## Folio  -  — 175906937X:0080
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000080.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
fermo, es quoties alterueri de Analyticis sermocinari
volupe, toties nostra conferri colloquia necesse erat.
Vndenon obscure intellexi, quantis fuerat ingenii dori-
bus acstudiorum eminens, a quo, si publica necotia per-
mitterent, perfectio Alcebra maxime serari posset.
Duare variis precibushoreatus sum, ui, quae medicatus
erat, publicis destinaret usibus. Verum ille multa sibi
obstare, occupationes tam publicas quam privatas, va
letudinem, operas amicorum, ea denique principia, qua
ad intellectum suarum medicationum necessaria erant.
desiderari innuebat. Tum eco, ex meam operam ipsi
polliceri paratissimam caepi, ex sienificare conscriptam
esse a mesacosen Cartesianam, quorum neutrum pro-
posio moram afferre diutius posset. Duibus valde re-
creatus, de edendis operibus suis serio cocitabat. Sed
cum Arthriticis doloribus plus solito, lecto detineretur,
omnem a Mathematicis, ad corporis valetudinem, cu-
ram transferre cocebatur. Peo interim ad perlustran-
das reliquas Galliae provincias avocatus, per aliquod
tempus substiti Flexiae; unde cum varia necotia rever-
i Lutetiam suaderent, placuit Castrum Blesense trans-
ire, ut de sanitate amici certior fierem. Quem in praedio
suo, cum doloribus Colicis acriter constictantem, cum
deprehendissem, e affirmantem parum prosper â vale-
eudine ex eo tempore se usum fuisse; non medioeriter do-
lui, ecreciis inventis fortunam tam esse adversam: mea
vero studia irerato obtuli, promitrens, mebono publico,

## Folio  -  — 175906937X:0081
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000081.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
veI
at.
eniidori-
ratu
stor
itas, i
pia, qua
paerant,
per ditt ipse
se pa
trum piB.
valde re.
bat. So
tineretur.
ineM, CH
erlustran
et aliqua
Otarev
ense tia
peta V
ejusque cratia, quasvis subiturum molestias. Sed post-
quam relaxationis morbinulla affuleeret spes, suspirans
valedixi, icerque susceptumincressus, Lutetiam redui.
Vix ibi consuerastudia revocaveram, cum licera mibi
redderentur ab hospite meo, Viro humanissimo, D. An-
conio Marchais, in urbe Blesense tunc lineuae Callicae
Professore, nunc vero Serenissimi Principis Gastonis,
Ducis durelianensium, Mathematico, quibus nuntia-
batur, acrum nostrum, oculorum usu privatum fuisse,
remporibus solstitii Brumalis, ab acrimonia defluxionis
Arthriticae; exoptase veromeam praesentiam tanto de-
siderio, ut de editione coeitationum suarum desperaret,
nisimea operautiposset; adeoque rocasse, nisioraveni-
mis esset, operam quam pollicitus eram accommodarem.
Exarserat ea tempestate, bellum civile inter Recem
Gallia e Principes consancuineos, sedesque exercitus
Principum erat Scampae, quam obsidione accre diebatur
Dux exercitus Recii. Iac cum transeundum esset iis,
qui ad Comitarum Blesensem pereunt: ancipiti cura
distractus, constitueram tamen loncissimis viarum am-
hacibus, per ormanniam es Ducatum Andecaven-
sempotius iter moliri, quam spes amici deserere. Duippe
ea parscerritorii Parisiensis, Rothomacum versus, tan-
rum militibus vacavit. Cum inex spectato, propter ad-
ventum exercitus Lotharincici, soluta obsidione Stam-
pae acer Castinensis, milice utriu s que parris liberaretur
praedonibus ramen infestari vias fienificatum est.
Dua

## Folio  -  — 175906937X:0082
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000082.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
Duare arreptâ occasione, dissuadentibus amicis, itineri
me commisi; parvi astimans, uno periculo, es amico pro-
desse, e praeclara inventa redimere. Ieque primas spes
forcuna destituit; quippeemenso periculosissimo itinere
salvusrevisi amicum, corpore satis sanum, nisi lumen
oculorum rapuisset acritudo. Sed dubium itineris even-
rum deterior fortuna excepit; cum in primordio nostro-
rum operum, forsan quod dilicentius, quam permitteret
annitempus, Alcebraicis subtilitatibus incumberem,
aestare media, summis caloribus, sub C. aniculam, in era-
vissimum morbum ex febri synocho inciderem. Pt jam
de mea salure desperantibus Medicis, nopinato ani-
mam esstavit Vir Amplissimus D. DeBeaune. Nam,
cum amico aliquo, qui lecto ejus assiderat, de rebus Ana-
lycicis disserentem, subito destituit vox, deinde rorum
corpus vitalis calor reliquit, atque evasit perpetuam
valetudinem die 29 Aucusti, Anno 1652, natus An-
no 2601 die 27 Sept. Sic praecipitantibus faris, fesellit
Pes omnium mortalitas. Feo cum mihiindicari incon-
sulrum ducerent nostri, dum morbus nondum declina-
ret, ne acritudinem ae gravarent, non nisi post multum
tempus id rescivi. Tumnihil cunctarus, operam dedi,
ut fidei mea commitierentur, quae relicta fuerant ad-
versaria, nullam curam mortuo delrectans, quam vivo
destinaveram, publicae utilitatis rationem habicurus.
Reluctantibus verohaeredibus, cum alius pecuniâ soli-
cirasser animoseorum; parum abfuit, quin idem seri
P

## Folio  -  — 175906937X:0083
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000083.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
alimopis
pias ses
IAD IHIIHIB.
nise lctui
er1sro
10 nopib.
or
Mberom
1A, In era.
A. Et jam
inato ant
10. Nam,
ebus An.
nde tOTUM
uctnta
G VII
hi MI
CHI
ido
pea, qui auctorem, casus traxisset. Freo omni studio de
monstrare occaepi, perituros omnes defuncti conatus nist
mihitraderentur; sparsas charcas, sine ordine, sine nu
mero, sine explicatione, noris es characteribus exara
tas suppurationes, non ab alio intellici posse, quam qui
aliquo tempore cum ipso familiariter vixisset. Duibus
perpensis, eandem obtinui propositum, sed majori labo-
re, quam successu. Duippe omnia dilisentius inspiciens,
animadverri plura affectara quam effecta. Inter tot
adversaria solummodo absolurum inveni opus de An-
sulo Solido, quod jam pridem in publicum edidissem, nisi
sumptus, propeer copiam ficurarum, Bibliopolae fastidi-
vissent. Tractarus de Natura es Constitutione A
quationum ne licera quidem extabat, menti tamen
D. de Beaune pleraque conformia esse disserendo dum li-
cuit cum vivo comperi. Fxiis, quae de Linitibus  qua
tionum conscripsi, quaedam reperta suni in adversariis,
quibus, cum multa desiderarentur, ultimam manum
imponere necesse habui. Praefarionem denique, quam Au-
thorhuic operi praemittendam duxit, ne relicio esset o-
muttere, addidi. Nonienoras, VirClarissime, meroca
ru Authoris omnia Callice prius conscripsisse, tibique
es aliis perlerenda dedisse es corricenda; tamen nunc
T atine edere coactus Cum, ne diurius laterent. I Tam et s
ribi, dum in Tralia decerem, adeo cordi fuerit horum
scripeorum a me ribi relictorum editio; ut sumpribus
propriis excudi parares, quo nomine multum tibi debe-
bunt

## Folio  -  — 175906937X:0084
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000084.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
bunt posteri; tamen ne in C allia quidem votum assecu
tus es. Duocirca, cum Amstelodami iteraro praelo subji-
ceretur Geometria Renati Des-Cartes, id operam dedi,
ut haec una imprimerentur. Consentiente vero Typo-
rraplo modo Latine extarent, placuit Larinam inter-
pretationem in consilium adhibere, e potuis auihoris
precibus mobediens, quam publicineeligentior reputa
ri. Duod perpendendum relinquons, qui me violatae
fidei racire accusabunt. Subjunxissem alia, quorum
vestieia adhuc supersuni in adversariis, sed quaedam
ranei indigent laboris, ut de restitutione quasi desperem,
alia remoratur muliitudo ficurarum: cuncta tamen
brevi 2idebit benevolus Lector, si Ty poeraphi obedie-
rint. Interea hisce fruere, tuque Vir Clarissime, judi
ca quid ex meis curis, ee difficillimis irineribus, fru-
ctus colliri possit, ruum nam que judicium erit instar
omnium. Quod si tamen es alii confireantur, hinc
non exiruum emolumentum ad omnes redundare, roco
ut id Manibus Piri Clarissimi Florimondi de Beaune
acceptum reserant; errores vero si offenderint, benigne
corrisant, meaque humanitati ascribant. Vale.
ELC

## Folio  -  — 175906937X:0085
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000085.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
alo subst.
ramdedi,
cd Typo.
am intei
authori
rreputa
eviolata
quorum
quaedam
desperem,
laie, 1
Cale.
masseett
FL
LORIMONDIDE BEAUHE
ereram in publicum cdere holce
ractatus, multo prolixiores atque
pertectiores, proximo inlequente an-
n0. Verum anni hrujus inuo conti-
etatus cum graristimo ad oculos detluru, ocu-
lorum ulu priracus fui. Vnde propolito plane
destitislem, nisi D. Fralmius Bartholinus ope-
ram mihui luam, ne mea circa hranc artem in-
venta oblirione sepulea jacerent, obculislet.
Ejusigitur auxilio hoc opus compolui, ad quod
intelligendum suppono Lectores jam in 6c0-
metria Renari Des-Cartes verlatos, additisque
incam Nlotis, a nobis olim (non quidem ant-
moillas in publicum cdendi) concinnatis; ut 8
doctissimis Francilci a Schooten Commenta-
riis; nec non Principiis Machcleos Vnivertalis,
Ccu Ineroductione ad Mechodum Gcometria
Renati Des.Cartes, ab eodem Bartholino cdita.
l. L 3
PRIOR

## Folio  -  — 175906937X:0086
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000086.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 9 lines, status machine
3121
RTOL
RAC
ATYS
F
 R LL
AIDLLLOTTONE
LTLLLONNUM.
E

## Folio 63 — 175906937X:0087
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000087.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
LLAC
ALLoetM
C a P U X I.
TIe facilius inveniemus Nacuram e Consti-
cutionem sEquationum ex earum generatione
comparatione cum similibus seu ejuldem
formae, quam conterendo earum radices cum
certismediis Geometrice proportionalibus, ur
caltitir Vieta.
Aquationes autem Facilitatis gratià ita dispo-
nere libet, ut omnes termini ab una parte reperiantur aequales
nihilo, ponendo iplos ordine, prouc gradacim per incogniex
quancitatis dimensiones descendunt. Primum enim terminum vo-
cabimus, iplam quancitatem incognitam, quae plurimarum di-
mentionum existens nullis aliis quancitatibus adficieur; secun
dum rero, in quo incognita quantitas un a dimentione minor est;
certium in quo duabus; d lic deinceps, ulque ad terminum omni-
nocognicum, quem proultimo habemus. Deinde, loca, ubi ter-
minorum aliqui deticiune, asterisco complebimus, quae cum (ub
numero terminorum comprehendentur. Flac omnia beneticio
cranspolicionis Facile peraguntur.
Exiis, quae scripta et commentata sunt in Geometriam Renari
des Carres, noca est methodus cognoleendi, quot haberi porsine
radices in qualibet squatione: nimirum, posse AEquationem EOE
habere reras radices, quot mutationes signorum continuxe adtue-
rine, e quoties eadem liona se inricem sequuntur immutata, EOF
Posse reperiri tallasradices: modo in numerum terminorum ii
nummerentur, qui deficiunt.
Porro, duas Equationes lumiles esse dicimus seu ejusdem For-
mae, quando in urraque idem est primus terminus, et reliqui ter-
mini in utraque similirer sune affecti; e Ei in una terminus ali-
quis abtuerie, ut is quoque absit in altera. Nam eum limiles fuNE
Aiguationes, eandem habebune consticurionem de naturaI; e
tieri poterie comparatio seu collatio singulorum terminorumu-
nius cum lingulis cerminis correspondencibus alcerius.
C A-

## Folio 64 — 175906937X:0088
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000088.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
DE N A Z U R A
C A P U F TI.
Denatura es constitutione quationum Duadratarum,
seu duarum dimensionum.
TTando reguaciones hae sune affectae, reducuneur omnes ad
X XtX = MM ∞O
∞ X l X - M M ∞ O
X X = lX- I M M D O.
2 Propositio.
Ad incelligendam nacuram ex constitutionem prioris aequation
nis, Formetur per mulciplicationem harum duarum x - b ∞0 et
X +6∞ 0 lequensaequatio: XX = b x = b5 ∞ 0. Supponendo
LC
isitur c majorem quam b, eandem habebit formam atque prima
Propolitarum Xx + lX = M M D O. ee per conlequens, bina hae
aequationes erunt ejuldem natura _ conlticutionis. Fiat collatio
unius cum altera; ee per comparationem terminorum lecundo.
rum habebimusc =b ∞l. Unde discimus, l esse difterentiam in-
certallam radicem ce reram b; ec, cognita Falsâ c, veram b esse
requalem ipsic -l; ee cognita vera b, tallams esle aequalem ipli
b. L l.
Praeterea, ex comparatione postremorum terminorum habe.
bimus mm xqualem bc. EInde sequiturmm esse xquale rectan-
bulo sub rera _ Falla radice; d, cognic a Falsac, veram b aequalem
MM
2. Propositio.
es m
Pro lecunda xquatione propolita formetur rursus per multi.
plicaTIOne duATUM X- b∞O e X. 16∞O, XquatiOXX -- bX - b6 ∞0
L6
In qua si supponamus bmajorem quamc, erit ipla ejuldem for-
inxe cum lecunda propolita X X -- l x = m m ∞ 0. Et per conse
quens dux illae aequationes erunt ejuldem naturx e consticutio
ms. Lacta ergo collatione unius cum alcera, habebimus ex col.
latio.
Et
ormas lequentes:

## Folio 65 — 175906937X:0089
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000089.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
AIIHI
c omnes dd
is equation
b0bi
acque f
159 Scm
1aC COlut
im secundo.
TenCIAM IB.
veram belle
equalem ipte
Orum 1DB
upporendo
mb aquate
15 Det 
 bx
ejuldem 
Lepet lom
consticuuin
IuS ex Ca
latio
A. O U A F F O N U H.
latione secundorum terminorum 0 - b 3 --l, vel l30b -- 6. ITn-
de dilcimus, quod l est differentia inter veram radicem b et Fal-
Camc; ee li cognita tueric Falla c, eric vera b aequalis l. F6; ec (1
Fuerie cognitavera b, Falsa c erit aequalis b -- l.
Porro, per comparationem poltremorum terminorum, ha-
Bebimus mm∞ bc. Unde sequiturmm esse aequale rectangulo
sub vera ee Callaradice; ec, cognita Falsac, veram b esse aequalem
mm
i e cognica rera b, Fallamc esse ∞
3 Propositio.
Procertia supra polica aequatione, Cormemus, per mulciplica-
tionem duarum x = b 3 Oe x -c∞ 0, aequationem (equente
xX =b x. f b6 ∞ 0, et habebic eandem Cormam acque Propo(Ica.
Terria X X =lX Lnm ∞ 0. e consequener ha binx aequationes
erunt ejuldem naturae e constirutionis. Comparemus ersonnam
cum altera, aeque ex collatione secundorum terminorum habe
bimus b. fc∞l. Unde discimus, quod l est summa clIaruM rera-
rum radicum, e liuna earum, exempli gratia, c, est cognita, re-
liqua b aequabieur 1 - 6.
Praeterea ex comparatione ultimorum terminorum habebi-
mus mm∞ bc, hoc est, mm aequale rectangulo sub duabus veris
radicibus, quarum si alceruera eltnota, exempli gratia, c, alcera b
MM
aequabitur.
Ouaneum ad aquatiONeM quadTATAI XN =M M ~O, GuIX
non elt attecta, ipla oritur ex duabus sequentibus N -m DO, e
X-F m ∞ 0. Unde lequitur iplam duas possidere radices, unam
veram, alceram Fallam, quarum urraque ae quatur ip(Im.
C A P u X ILF
Denaiutaconstuutione squationum Cubicarum seu
etra dmensionis, secundo termino carentium.
Mnes lx aequariones reducuntur ad tres sequences Formas:
X3 X - MM X = 113∞ O.
43 X = M M X = 13 ∞ O.
.   M M X   N ∞O.
Pre

## Folio 66 — 175906937X:0090
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000090.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
E N A F U R A
2 Propositio.
Ad cognoscendam naturam dt constitutionem prioris aqua-
tionis propOlIex, Formemus per mulciplicationem harum dua-
rUI X X bX- [ CC∞ O _ X -- b ∞ O hanc aequationem
X3 X = bb x = b56∞ 0. Suppolico autem cc majori quam bb,
LCC
ipla eandem habebit Formam acque primma propo(IEa X3 X L MMV
n3 ∞0. e per conlequens ejuldem erunt natura d constitu.
tionis. Fiat igitur illarum collatio, d per comparationem tertio-
rum terminorum habebimus c0 =bb m m. Unde constat, si
veraradix b cognoscitur, cc Fore aequale mm Lbb, e conse-
quenter x x.  bx- L mm f bb ∞ 0. Qua aquatio duas reliquas
radices respicie, ac cum rera radice b concurric ad Formandam
aequationem propolicam.
Praecerea, acta comparatione ultimorum terminorum, habe-
bimus n3 ∞b66. Unde lequitur oc esse aquale 7; d COgnItd
rerâ radice b, hanc aequarioneim ax L bx   ∞0 similiter
duas religuas radices respicere, ee cum rera b concurrere ad For-
mationem propOlIEX _quatIOMIS.
2 Propositio.
Dro secunda aequatione propOsita Formetur rursus per mulei-
plicationem duarum x x - [ b x- f- 56∞ 0 _ X - b ∞ O aequatio
X3X - bbx - b56∞ 0. Supposito autem bb majori quaim66, ha-
L60
bebic illa eandem Formam atque secunda ∞ 3 F -m M X = n3 ∞0,
ee per consequens habebune eandem naturam e consticutionem.
Fiac iBIEUE COlIaLIO, _E Cx COIPAFALIONC EETEIORUIM TEKMINOTIIM
habebimus bb -c0 mm. IInde constat, c0 esse ae quale bb -- MM;
et, cognita rera radiceb, aequationem hanc xx L bx. F bb- mm0
duasreliquas radices concernere. POrro, ex comparatione duo.
rum postremorum terminorum, habebimus n3 ∞ b00, unde se-
quitur ec esse aequale; e cosmita rera radiceb, hanc ae quatio
nEM X X L bX F  similicer ad duas reliquas respicere.
210

## Folio 67 — 175906937X:0091
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000091.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Dros aequar
hitum dua-
quationem
X IIIII
e onl
onetlertio
auas letreca
dlormanant
orum, habe
de, cogn
rrere adtor
ori quam bb.
e constat,
B, ee conse
1s per mul
DO aequn
qu
ACb,
icticuctom
cermInIOI
1ale bb -- 1
LBB Miltu
oratiOne dB
vec, undelt
IANC EquaII
1X - B3 W
cele
3 AB
A Q W A Y L O N U H.
3 Propositio.
Acnaturam e consticutionem tertix xguatianis
proposicae, trat ex duabus hilce X X -  bX - 66∞OX X -- b ∞0
aequario x3 X =b b x. f b56 ∞ 0, eandem habens formam cum
certIA pFOpOSITA X 3 X =MM~- L n5∞ 0. Unde e ip IX candem
habebune naturam atque consticutionem. Fiat ergo collatio, et
per comparationem certiorum terminorum habebimus bb.
ccmm. Inde constat, cc aquale ese mm = bb; dc, Cogni-
ta veraradice b, aequationem hanc x x  - bx (- b b -- m m ∞0
ad duasreliguas radices respicere.
Praeterea, ex comparatione poltremorum terminorum, habe-
bimusn3 ∞ bcc, et per consequens c000. Juare, cognica re-
ea radiceb, hxec aquatio xx L b v = ∞ 0 similicer duas reli-
quas radices concernet.
C A e u F IV.
Denatura es constitutione Aquationum Cubicarum seu
trium dimensionum, terlio termino carentium.
A aequationes reducuntur ad tres formas sequentes:
X3-  IX X X - n3 ∞0.
X3  lX X X = 13∞0.
X3 = lX X X. L H3 ∞O.
+ Propositio.
Pro natura d contutione prima propolittons, al Pel-
ciplicationem harum duarum x x - f 6X - L b6∞0 d X D00
haec aequatio X 3= b ∞ x F = b b6∞ 0. upPoa Masere
quam b habebic ipla eandem tormam cum prima Blopola
Xdbibi id, aper conlequens cruncejllae lacula.
Facta ergo collatione, habebimus ex comparatione secundorum
Terminorum c=b ∞l, hoc clt, 5∞ l. J. b. Unde constat, c0g-
nITa

## Folio 68 — 175906937X:0092
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000092.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
68
D E N A F U R A
niea vera radice b, aquationem X x L b X ( bb - f. bl ∞0 duas
reliquas radices respicere.
Praterea, ex comparatione duorum ultimorum terminorumm,
trabebicurns ∞ bbc. unde lequitur esse aequalem; ec, cognita
radiceb, aequationem x x  v 7 ∞ 0 duas reliquas radi-
CES CONCErNCTE.
2 Propositio.
Pro secunda proxolirione tat ex mulciplicatione harum dua-
LIII X X  CX  bC ∞ O eE X  b∞ O eC aequatio
∞3 = bx X X = bbc∞ O. EF suppolita b majore quaimc, crie ejul-
L
dem FOrMX cum secundA PFOPOSITALII X 3 = LX X X - 13∞0,
adeoque erunt ejuldem naturae d constitutionis. Pacta isieur
collatione, ex comparatione secundorum terminorum habebi-
IuS b =c∞ l. Unde constat, c ese aequalem b - l: _, Cognita
vera radice b, aequationem hanc X x . L b x -f- bb -- b l ∞ 0 duas
religuas radices respicere.
Porro per comparationem postremorum terminorum habe-
bimusn ∞ bbc. Unde sequitur c esse aequalem,; _, si vera
radix tueri cognita, hanc aequationem x x f p x f 7 ∞0
duas reliquas radices COnCerHCTC.
3 Proposirio.
Protertia propolitione Formemus ex duabus W X -Cx - b6∞0
_Ex  b∞ O hanC a QuatIONCI X 3 = CN x X, L bbc ∞ O, qua
habebit eandem Formam atque tertia aequationum propolicarum
X3 lXx X .Fn3 ∞ 0, ec per consequens erun eju ldem naturE
e consticutionis. Quare tactâ collatione, per comparationem
secundorum cerminorum habebimus c. L b ∞ l. Unde discimus,
quodc aequeturl- -b; ec, li vera radix b sic cognita, quo d aequa-
EiONX = BX - bb =. bl∞0 ad duas reliquas radices inrestisan-
das reterri debeat.
e

## Folio 69 — 175906937X:0093
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000093.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
100du
permnotum,
de, coguiia
eliquas vi.
parum dun
GeriCj
d DC,
Factu etu
cum cabed
e CoG.
1 20 u
Deblit lube
de, let
laota
03
ropolical
dem natula
parationem
de dilcimusi
quod agu
inreltiea
Ila
A O _ A F L O N U M.
68
Praetereas comparatis ultimis terminis, habebimus n3 D bbc,
un de lequiturc aequari ; ec, cognita rera radice b, hanc X qua-
EIOMEM N X  X=  ∞ O reliquis duabus inveniendis inser-
vire.
C A P 1 F V
Denatulae constrturione squationum Cubicarum (en Ircita
dimensionum, in quibus omnes termini extant.
Clamenes dae reducuntur ad septemFormas sequentes:
X3 = L X X-m m ~ - n ∞ 0.
∞3- + IXX =M M X = B3 ∞ 0.
X3 = l X X = M M X = n3 ∞ O.
X3- lXX. - M W X = n3 ∞ O.
X3 = lX X-  -mM X- ( B3 ∞ O.
23- L LXX =M M ~ - 1 13 ∞ 0.
X3 = lX X = M M X L n3 ∞O.
2 Proposirio.
Ad cornoscendam naturam ex constitutionem primae proxo-
Sitionis, tiat ex mulciplicatione XX -- cx L d d ∞O PeF X - b ∞0,
aquatiO lequens X3 = b X X . F d d X -- b d d ∞00. atque candem ha-
6
= b6
bebunt naturam et constiturionem. Facta ergo comparatione,
ex collatione secundorum terminorum habebimus b. L0∞ l, vel
6∞l - b. Deinde excollatione certiorum terminorum habebi-
inuS d d. F bc mm, hoc est, d d ∞ mm. F bb -- bl, quonia c
est inrenta aequari l -b. Unde apparet, cognita vera radice b,
aequationem hanc xx- l X Lmm. + bb - bloo duas reliquas radices
Lb
respicere. Denique ex collatione postremorum terminorum ha-
bebimus bd d∞n3. unde constat, dd aquari 7; ec, Cognita vera
radiceb, aequationem hanC w N = l x . f ∞ 0 duas reliquaS r2
dICeS CONCETHETE.
L
te

## Folio 70 — 175906937X:0094
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000094.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
 E N A F U R A
2 Propositio.
Pro secunda propolicarum tiac ex mulciplicatione aN L C x 
Ad ∞ O PeF X = b ∞ 0 aequatio hXC X3 = b X X = bcX - bd d ∞9.
C + d a
ex suppolitamajore quam b, d bc majore quam d d, habebicean-
dem formam, quam propolirio secunda ~ 3 L LX X = M MX -
n3∞0, e consequenter erunt ejusdem naturx ex consticurionis.
F’acta ergo adaequatione, ex comparatione secundorum termi-
norum habebimus c = b ∞ l, hoc Cst, 6∞ l- f b. Deinde excol-
lacione certiorum terminorum habebimus dd - b c ∞ = MM,
hoc elt, resticuto ralore iplius c invento, habebitur dd ∞ bI L bb
mm. Unde constat, cogmica rer a radice b, hanc aquationem
Xx + lN- F bb- F bl- mm ∞ 0 duabus reliquis radicibus inrecti-
Lb
randis esse utilem. Denique, ex comparatione postremorum
terminorum, habebimus b d d ∞ n3. Unde sequitur d d Foreaequa
lem 7; e, cognica veri radice b, aequationem hanc
Xx L bx F D0 reliquis duabus in serrituram.
3 Proposirio.
Protercia propolicione, tac ex mulciplicatione xx. L cx.- 1 dd000
per x - b ∞0 eadem aquatio x 3 = b X X - bC X - b d d ∞0.
+ 6 + d cb
Ec suppolica bmajore quam c, de b0 majore quam dd, eric ejul
dem formae cum tertia propolitarum x3- l X X = m M N n3 ∞O.
et consequenter ejusdem erunt natura de consticutionis. Pacta
ergo adaequatione, ex collatione secundorum terminorum habe.
biimus 6- b ∞ =- l, hoc cA, 6∞ b = l. Deinde ex collatione
certiorum terminorum habebimus d d - bc ∞ mm, hoc est, lub-
Ctituto valore invento iplius c, crit d d ∞ b b - b l - mm. TInde
constat, quod, cognita reri radiceb, haec xquatio xx f bx. f bb v0
-1 -- bl
MM
ad duas inreltisandas reliquas adhiberi possic. Denique, ex col.
latione

## Folio 71 — 175906937X:0095
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000095.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
aa +X 
bd d vo.
rabebice.
illicucionis.
UIM TEEMI
nde ex col
D = M II
0b
equacienem
ous inresti.
oltrcndeum
atot a
1 1IIX -
+ ea ddi
-b d A 2
a4, Ces
112  
1On1S. Lu
Jocum Bab
ex COllation
hocel
1t a Foru
Iit i
MII
quela
latioU
A. O U A Y L O N U H.
latione postremorum terminorum, habebitur b d d ∞ n3. Unde
sequicur, d d aequari ; e cognita veriradice b, hanc aequatio-
nem XX L b x F = ∞0 ad duas reliquas quarendas esse utilem.
4 Propositio.
Pro quarta propolicarum tat ex mulciplicatione _x L cx. F dd ∞0
per x - B∞ O CadeM a QuaFIO ∞3 - b X X -= b6X - b d d ∞ O. FF
LC + dd
suppolita c majore quam b, de dd majore quambe, erunt ejul-
demformae ic quarta propolitio x3- L lX X - L M M ∞ - 13 ∞O, e
consequenter ejuldem naturae et consticutionis. F’actâ ergo ad-
aequarione, ex collatione secundorum terminorum habebimus
6u b∞l, Peu c∞ l. F b. Deinde, ex comparatione tertIOrUI
terminorum, habebimus d d =b0 ∞mm, hoc est, restituto va-
lore ipsius c inveneo, erie d d ∞ b b L bl - L mm. Unde constat,
cognita rera radiceb, hanc aequationem xx. f bx. L bb. F bl. L mm0
+
duas reliquas radices respicere. Denique ex collatione postre-
morum cerminorum habebimus bd d ∞ n3. Unde sequitur, dd F0-
rexquale; e, cognica vera radiceb, hanc aquationem
XX + b N F, ∞ 0ad indagandas duas reliquas adhiberi posse.
5 Propositio.
L1oGullcaBioolioe aCaDcacione dd bd AadC
DeF X =b∞ O~GuaTIO ∞3= 6X X =d d x. + dab ∞0. EF suppO(ItOb6
= b0
majore quam dd, eric ejusdem Formae cum quinta proxosicarum
X3 = lX x L M  x - F n3 ∞ O, _ COnSCQUENEeF eju LdEM NaTUTX eC
consticutionis erunt. Factâ ereo adaequatione, ex comparatione
secundorum cerminorum, habebimus l∞ c. p b, vel c∞ l -- b.
Deinde, ex comparatione terriorum terminorum, habebimus
Dcdd ∞mm, hoc est, rectituco ralore ip (IuS C InVentO, CriE
 BDT =bD=MmM. Unde discimus, cognitâ radice rer a b,
X914-

## Folio 72 — 175906937X:0096
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000096.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
e
D E N A F U R A
aquacionem hanC X X = l x - b l. + b b + mm ∞ 0 duabus resi-
L b
quis inveniendis esse ului. Denique ex collatione postremorum
terminorum habebimus n3 ∞ b dd. IInde colligicur dd aequari
13
a, cognitaradice ver a b, hanc aequacionem X X = lN -= ∞O
duabus reliquis inreniendis inservire.
6 Proposirio.
t b
Pro lexta propolicione formetur ex duabus x x Lcx - d d 00
ee X - b ∞ O ae quatio ~3 F C X X - d d x F d d b ∞ O. FC, SuPPOLIEd
B
= bc
cmajori quam b, habebit ipla candem formam atque sexta pro-
POlICarUI ∞3 F b X X = M EB X FN3∞ O, et per COMleGuenS erUNE
ejuldem naturae a consticutionis. P’iat jam comparatio, de ex col-
lacione secundorum terminorum habebiimus l ∞ c= b, seu
c∞l. f. b. Deinde ex collatione tertiorum terminorum crit mma
dd. F bc, hoc est, substituto ralore cinvento, habebitur dd ∞mm
= b1 - bb. TInde constat, si vera radix b Cc cognita, hanc ae qua-
tionem X N L lX mm ∞0, pro duabus reliquis inreniendis
L b + bb
L bb
ului Eururam. Denique, comparando ultimosterminos, habebi-
mus ddb∞n3: de per consequens dd ∞=; adeoque, cogniri
vera radiceb, haec aequatio X X L lx - ∞0 ad inreltisandas
duas reliquas utilis erit.
Lsitio.
Pro septima propolitione formetur ex duabus _ - b ∞0 d
X X +. 6X = _d ∞ O XquatiO X3. F C N x = d d X F d d b ∞ 0. Sup.
-b
b6
Polita aurem b majore quam c, habebit ipsa eandem Formam
cum septima propolitarum x3 = l X X = m mX f n3 ∞ O, d COn-
sequenter erunt ejuldem naturae e consticutionis. P’act a igitur
comparatione, orietur ex collatione lecundorum terminorum,
10b.

## Folio 73 — 175906937X:0097
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000097.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
dunbus rel.
CMMOca
t D0
ddv
lUPPOI
elenta p10
quens erunt
0, d excor
 b, a
M CFIEMBiI
Cur d d eoi
hanc aequ
IMVenIEn
05, Babeo
1e, c08
releGad
b 00
b06. di
detMBIII
∞0, alm
Facta 18i1
ot
AE O _ A F L O H U H.
1∞ b 6, Teuc ∞ b- l. Deinde, conterendo certios terminos,
CxiEmm 20bC- L d d, hoc est, Substicuendo valOrem c InVeNEUIM,
habebicur dd ∞mm-- bb- L bl. EInde discimus, cognita verd ra-
dice b, hranc aequationeM x N F b X - M M- f bb = bl ∞0 ad in-
veniendas duas reliquas in serrire. Postremo, collaris ulcimister-
minis, habebimus dd b ∞n, unde erit dd aequale Z; d, cum
cognoscitur rera radix b, haec xquario xN L b N -  ∞ 0 ad dua5
reliquas inreniendas achiberi porerit.
C A P U F VY
De lomnt a es consticutione squationum quatuor dimen-
ionum, secundo ex tertio termino carentium.
Cjus generis aequationes ad eres formas sequentes redu-
X + X X - H3 X = p+ ∞O.
d + X X = n3X = p + ∞ O.
X + X X -  n3 X  P + ∞ O.
1 Propositio.
Pronatura _ consticutione prioris propolitionis Formeimus ex
duabus X3- F bx X L b b x F 03 ∞ 0 de X - b ∞ 0 hanc aquatiO-
nem a F X F  c3X - bc3 ∞ 0. SupPOlItO veZO C3 majore quai b3,
hrabebic ea eandem formam atque prima propolicio xt X X - 1 - n3 X
=-pr ∞0, d per conlequens erit ejuldem naturae ee constitu-
tionis. Piat erso comparatio, de ex collatione quartorum cer-
minorum habebitur C3 - b3∞n3, hoc Clt, c3 ∞ n3 [ b3. unde co-
onolcimus, quando innocescit rera radix b, aequationem hanc
x3 F bxx L bb x F 1. f b3. ∞0 spectare ad inreltisationem crium
reliquarum radicum.
Praeterea, collatis ultimis terminis, Fic p + ∞ bc3: unde sequi-
tur, caquari; e, cognita rera radice b, aequationem hanc
∞3
CunCuL:

## Folio 74 — 175906937X:0098
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000098.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
D E N A F u R A
∞3 - F b w X f bbX  F ∞0 ad tres reliquas investisandus pos
Te ulurpari.
2 Propositio.
Prolecunda propositione Hac ex duabus X3 f bX X. L bbx L53 ∞0
_ ∞ -- b ∞ O hXeC ae quariO X + X X L C3∞ = bc3∞ O. EF, (1 POna.
b
tur b3 major quam c3, habebit illa eandem Formam acque secunda
propolitarum x =+ X X = B3 X = p 4 ∞0, e consequenter crunE
ejusdem nacurae e constitutionis. Fiat jam comparatio, _ ex
collatione quartorum terminorum habebimus c3 - b3∞ = 13
hoc elt, c3∞b3- n3. TInde coonolcimus, inventa veraradiceb.
hane aquationem X3 I b x x L b b ∞- L b3 = n3 ∞0, od tres reli-
quasradices respicere. Porro, comparatis inter se terminisulci-
mis, habebimus pr 2 bc3. Einde sequitur, c3 aequari; e, cogni-
ca rera radice b, hanc aequationem x3 L b x N L bb x L 7 ∞0
tresreliquas radices concernere.
3 Propositio.
PTOFETCA BLODOLIEIOBEHaE ex duabuS~3- L B ~X L BBN =C3 ∞0
63
Formam atque tertia propolitarum at H X = 13 x L p+ ∞ O, dC Per
consequens erunt ejuldem natura ee consticutionis. Fiat jam
comparatio, e ex collatione quartorum terminorum habebimus
53- L b3∞n3 hoc est, 63∞n3 - b3. Unde constat, cognita vera
radice b, aequationem hanc ∞3 - L b X X - L b b X = n3 f b3 ∞00 ad
tres reliquas inrestisandas adhiberi posse. Praeterea ex collatione
ulcimorum habebitur pr ∞ b03. Unde lequitur, 03 aquariZ; et,
cognitâ verâ radice b, aequationem hanc ~3 L b X x L b bx -  ∞0
ad tresreliquas quarendas esse utilemm.

## Folio 75 — 175906937X:0099
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000099.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
6lASpB
+30+ F 80
EE, Spom.
que scculiaa
entet ctam
aO, u
 it
ed cuceo
d cestett.
erut
crcb
 b
bbx-
ebic eander
D6, a
.
phabebrim
cognitare
L b3002
Illalt
10X   u
M
A O U A F L O H I M.
C A P u Z VII.
De natura e constitutione squarionum quaruor dimer
Ronum, tertio ex quario termino carentium.
vationes lxe ad sequentes tres formas reducuntur:
X+  - LX3 H X = p + ∞0.
∞ + - l ∞ 3 X X = p+ ∞ O.
∞+ = l∞ 3 X X - L P + ∞ O.
+ Propositio.
Ad cognolcendum naturam ex consticutionem primae propo-
Sicions, etae e liplicacione harum duarum x 3. ( CX X ] bCX. ]
bbc000 _ x = b ∞ 0 hac ae quatio X + -  C X 3 X H = b36∞ O.
Suppolita veroc majore quam b, habebic illa eandem Formam
atque prima propolitio x +- p l x 3 X X = p = ∞0, ac per conse-
quens erunt ejusdem natura e consticutionis. Fiac igitur adx-
quatio, e comparando secundos terminos habebimusc-- b ∞ l,
hoc est, c∞l- ] b. Unde discimus, cognica vera radiceb, hanc
Xquationem X3 L b X x ] b lx +- b3 - L. bb l ∞ 0 cribus reliquis
L1 + bb
inreltigandis inserrire. Deinde, collatisultimis terminis, habe-
bitur pr ∞b36. unde sequitur, cX quari 7; _, cognita vera radi-
ceb, hanc aequationem a3  X N f x -F 7 ∞0 aderesre-
liquas indasandas adhiberi posse.
2 Propositio.
Pro lecunca propontione ial ex altabus x L xx +0ba
bb0∞0 e x - b ∞ 0 haec aquatio xt  c ∞3 X X - - b36∞ O. EC
Supponendo b superare iplam c, habebitilla eandem Formami at-
que lecunda propolitio xt = lx3 X F - pr ∞0, e consequenter
erunt ejuldem naturae e constitutionis. Fiat ergo adaequatio, et
collatis lecundis terminorum habebimus b , f. 6∞ i  b, hoc
 2
est

## Folio 76 — 175906937X:0100
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000100.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
D E N A Y a R A
est, 6∞b = l. Unde discimus, cognita vera radice b, aequationem
tanC X 3 - f b X x L bbx L b3 = bb l∞0 ad tres reliquasinresti-
bt
sandas ulurpari posse. Praeterea, comporando postremostermi
norum, habebimus pr ∞ b3c. Unde sequitur, c aquariz,; ec, co-
nica reraradiceb, a quationem hanc x3 L X x   ∞O eri
bus reliquis inserrire.
3 Propositio.
Pro tertia propolicione Formetur ex duabus x3 = CX X  bC X
bb6∞0e x - b ∞ O ae quatio hXC X + - 6X 3 X X + b3C ∞O,
_ erit ejuIdem Forma atque tertia prOPOLIEaLIM X + - L∞3 X +. L
p+ ∞0, ac per consequens eandem habebunt naturam de consti-
turionem. Fiat ergo adaequatio, et ex collatione secundorum
terminorum habebimus l∞ c- F b, hoc est, c∞1 -- b. Unde
constat, cognitâ rera radice b, hanc aequationem
X3 = IX X = bIX - bb1- + b3 ∞0 tribus reliquis inserrire. POF-
Lb
L bb
ros comparando postremos terminos, habebimus pr ∞ b36, _c per
consequens c0; adeoque, cognira veraradiceb, poreritx-
Quatio x3 = , N X -  ∞ =  ∞0 ad tresreliquas radices in-
restigandas adhiberi.
Non operx pretium duximus meminisse aequationum quatuor
dimensionum, in quibus secundus de quartus terminus delunt:
quia illae omnes reducuntur ad Guadratas, ac idcirco carum na-
cura ec consticutio eodem modo habetur.

## Folio 77 — 175906937X:0101
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000101.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
qualionem
quadel.
eosH
62i
 voui
+ b35ib
CXI b6.
a c o
lectoI
CerritC. t
∞bus
eb, poiclte
uas radices.
OnUI Gtac
ITCO CATII
lx34X F
1 - b. VN
A O U A F L O N U M.
C A P W F VITI.
De natur a  constimione squarionum quatuor dimen-
sionum, secundo termino carentium.
ones HX reduCUntur ad sepFem Formas sequentes;
X4 X - MM X X -- B3 X - p+ ex O.
X+ X - - M M X X = n3 X -- p+ ∞ O.
∞t X  M M X X = B X - p+ ∞O.
aet X -  M M X X -  113X = p+ ∞ O.
X t X -MM X X (- n3 X ] p+ ∞O.
∞ + X -- MM X X - n3 X - p+ ∞ O.
∞ t X = M M X X - n3 X  (- p+ ∞ O.
+ Proposirio.
Ad cognoscendam naturam de consticutionem primae propo.
Citionis, tat ex mulciplicatione duarum x - L b X X -- 0C X L d3 ∞0
X x - b ∞o haec aequatio xt X = CCX N L d3 X - b d3 ∞ O, GuIX CaH-
-- bb + b06
dem habebit FOrmaM AEGUC PTIIA PFOPOSIEArUI X + X =M M W X
L n3 ∞ = pF ∞ O, aC Per COnSeqUeNS CrUnE CjUIIdeI MaTUIEK _C CON-
Ricurionis. Fiat eroo adaequatio, et ex collatione certiorum ter-
minorum habebimus m m ∞5c f bb, hoc est, c0∞ m Mm = b b.
Deinde, comparando terminos quartos, erit n3 ∞ d3. f bc6, hoc
CA, rellicuendo ralorem cc inventum, habebitur d3∞ n3. L b3
bmm. Unde comperimus, cognita vera radice b, hanc aequa-
Tionem x3. Lb~x L n3 ∞0 tribus reliquis indasandis inserrire.
M F b3
bmm
Praeterea, conterendo inter se terminos ulcimos, habebimus
pr ∞ bd3. Unde sequitur, d3 Xquari ; ec inremta verd radice b,
hanc aequationem x 3. F b X N = M M X + , ∞ 0 ad eres reliquas
quaerendas adhiberi posse.
L b
PrO-

## Folio 78 — 175906937X:0102
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000102.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
F NV et Z U R a
2 Proposstio.
Pro lecunda Fat ex muleiplicatione _3 L b X X F 6Cx f d3 ∞0
per X b ∞ 0 haec aquatio x + X -  CCX N L d3 X d3 b ∞ O.
bb = ccb
Suppolitorero cc majore quam bb, etccb majore quam d’,ta-
bebicilla eandem Formam cum secunda propolitarum x+ X. L mm
X X = B3 X = - p+ ∞ O, aC per COn(EGUENS CrUNE CjuILdCI natUEX de
consticutionis. Fiat igitur adaequatio, ec ex comparatione tertio
rum terminorum habebimusmm Docc- bb, hoc Cst, c0∞ mm L bb.
Deinde, collatis quartis cerminis, crit = cb3 L d3 ∞0- n3, hoc elt.
reltituendo ralorem cc inventum, habebitur d3 ∞ b m m L
b3 = n3. Unde discimus, coonita vera radice b, aequationem
X3 L bXX. Lmmx L ommoo, tribus reliquis inrestigandis interrire.
+ bb +b3
Praeterea, comparando ultimos terminos, habebimus pt ∞ d3 b.
unde sequitur, d’aequari; ee cognita rera radiceb, aequatio
nem hanc ∞3 F b x X L mM N F  ∞0 ad eres reliquasindas an.
das posse ucurpari.
L b
3 Propositio.
PrO terCa, Hat ex duabus his X 3 L b x X L CCN L d 3 ∞0 e
x = b ∞ 0 aequatio xt X - f 56X N F 43 x -- d3 b ∞00. FF, luppO(I.
bb =ccb
tobb majore quam cc, e cob majore quam d, habebit ipsa candem
Formam acque terria propolitio x+ F-MM XX- 13 X. p+ ∞O, aC per
consequens ejusdem erunt naturae ex constitutionis. Unde facta
adaequatione, ex collatione cerriorum terminorum habebimus
Mm ∞- bb- + cc, hoc eAt, c0∞ bb mm. Deinde, collatis quartis
terminis, habebimus -n ∞ -ccb F d3, hoc est, substituendo
ralorem ce invencum, crit d3 ∞ b3 - L b m m -- n3. unde patet, (1
Cognita sic radix rerab, hanc aequationem x3. L bx x. L bb x F b3 ∞0
M + bm

## Folio 79 — 175906937X:0103
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000103.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
00
 10O.
acior certio
C∞ MIII. F bb.
EquacibHeI
e quam d M.
2 X F X. L MI
em naturae _
N, hoC
DbM M +
adisimlerrire.
MuSP on
eb, a ea
MaS HICBG
1 ∞C
Ec, luppo
Fipla Cati
eus
Undetado
I labeoum
Mlacio etn
substicdemo
da
s + a1
A O u A Y IO N U M.
tribus reliquis inreltioandis inserrire. Postremo, comparando ul-
timosterminos, habebimus pt ∞b d3, 2c proinde d3D Z; e, co.
onita vera radiceb, poterit aequatio x3- L bX x f- b b x 1 Z ∞0
ad reliquas tres inrestisandasusurpari.
4 Preposirio.
MM
Proquarta proxolitarum Formemus ex duabus X3 = b X X L CCX
+d3∞0 e x--b∞00 hanc aequationem x+ F L CCXK f d3 X - d3 b ∞0.
 bb = ccb
Et suppolito cemajore quam b, ac d’majore quam ccb, habebit
ipsa eandem Formam atque quarta provolitio x+ X L m M X X. L n X
p+ ∞ 0, dc per consequens erunt ejuldem nacurae d constitu-
tionis. Fiatergo adaequatio, e comparando tertios terminos
trabebimus mm∞cs bb, hoc eft, 50∞0 mm- L bb. Deinde, Con-
Ferendo quartos terminos, habebimus n3 30 d3  ccb, hoc est,
restituendo ralorem ceinventum, erit d3 ∞ b3 f bm m - 1 n3. Unde
discimus, cognita rera radice b, aequationem hanc ∞ 3- L b XX L MM X
L bB
Lb3 ∞0 tribus reliquis quaerendis inserrire. Denique, collatis
L bmm
L 13
ultimis terminis, erit db ∞ pt; X per conlequens de∞ . unde,
cognica veraradice b, haec aequatio x3. L- b X x I mm x. 1 Z ∞0
ad reliquastres indasandas erit adhibenda.
5 Propositio.
Progunca Poportctone, hat ex duabus x 3.  bXx- CCX. d∞0
et b∞O haec aequatio x+ X = CCNX =- d3 x ( d3 b ∞ O. EF
 bb  bC6
Tuppolito bec majore quam d, habebit ipla eandem Formam at-
que quinta propolitarum x+ +.m MXX - L n3 X. ( p+ ∞ O, aC POr
conlequens ejuldem erunt naturae e consticutionis. Fiatjam ad-
requatio, ee comparando certios terminos habebius WmD6C.t bb.
hoc

## Folio 80 — 175906937X:0104
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000104.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
80
D E. N A F U R 
hoc est, c0∞mm -- bb. Deinde, conterendo quartos terminos,
habebimus n3 ∞ bcc = d3: ideoque, reltiruendo ralorem cc inven-
EUI, exit d∞bMm =b3 = n3. Unde patet, cognita vera radi-
ceb, hanC aQuatIOneM ~3b X x -M M N = b mm ∞ 0 reliquis
L bb  b3
113
tribus quaerendis inserrituram. Denique, comparatis ultimistee-
minis, habebimus de b ∞ pr. UInde sequitur, daquari Z; Ec, co.
onita vera radice b, hanc aequationem x3- L bXX- mM N- = ∞0
ad tres reliquas inrestisandas posse adhriberi.
6 Propositio.
L. b
Pro lexta propolicione Formemus ex duabus x3 -( - b X X - L CCX
d∞ O _ X -- b ∞ O hanC aGUaTIOHCI X + X L CCX X = d3 B
bb = ccb
db ∞ 0. e supponendo cc majus quam bb, habebic ipla
eandem formam cum (exta PropolitaruM x + X -,  M M NX X = N X
L p+ ∞ O, ac per consequens crit utraque eju (dei natUEX _E CON-
Ricutionis. Fiac erso adae quatio e per comparationem secundo.
rum terminorum habebiius mmooec- bb, hoc est, cc∞mm. ] bb.
Deinde, collatis tertiis terminis, habebimus n3 ∞ d3- [- b06, hoc
eA, relticuendo ralorem ccinventum, erit de ∞n = bm m - b.
Unde pacet, daca reraradiceb, aequatione X3  b X X.  M HH
 bb
n. ∞0 aderium reliquarum inrestigacionem posseulurpari.
LbMM
 b
Postremo, comparando ultimos terminos, erit pr ∞ d3b. unde
sequitur, deaquariz; e cosnit a vera radice b, hanc aequatio.
NeM ∞3 - L b X X -] mM N - 7 ∞0 ad reliquastres quaerendas el.
se adhibendam.
+ b
L1.

## Folio 81 — 175906937X:0105
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000105.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
tod
De.
eral
D0 reliquis
 uleimiste
S; e, C
1IX - 
Lc
+b
nabebic
nacura lo
OBeiu
t
dde
-
M HB X X=
s
eodeulur
p
hane aet
SGualCto
7
AR. Q U A Y E O N U H.
 Propositio.
PFO LEPEIMA PEOPOSITarum HaE ex duabUS X. -+ b~X- L SCX - d3 ∞0
_ X - b ∞0 haec aequatio x + X - f CC~ X - d3 N - - b d3 ∞ 0. EFlup-
-bb = bcC
polico bb majore quam cc, habebit ipsa eandem forimam acque
Sexrima propolitio xt X =MM X X = n3 X L pF ∞ 0, Q per conte-
quensejuldem erune naturae de consticutionis. Fiac eroo adaequa-
tio, e comparando certios terminos, habebimus -mm ∞ =- bb
= 66, hoc eHt, 66∞0 bb =mm. Deinde, collatis quartis cexmI-
nis, erie n3 ∞ d- L bc0, hoc est, restituendo ralorem cc inventum,
erit d3∞n3 = b3- L bmm. unde constat, coenita ver a radice b,
hanC aequationem x3 L bxX L bb X = n3 ∞ 0 ad religuaS ErCS
MM L b3
bmm
inveltigandas utilem esse. Postremo, comparando ultimos ter-
minos, habebimus pa 2 bd3. unde discimus, d3 Xquari ; d, co.
Onita veraradice b, hanc aequationem x3. L bX N L b3 X- ∞0
ad reliquastres quarendas adhiberi posse.
C A P I F IZ.
mb
Dtura es constitutione squationum quatuor dimen-
sionum, quarto termino carentiums.
A aequaliones reducuntur omnes ad septem sequentes For-
X+  l ∞3 - M M ~ X X - p+ ∞ O.
∞+ = l∞3 = M M X X X = p+ ∞ O.
xt - lX3 = MM X X X = p+ ∞ O.
aet =- LX3-) M M X X X = p+ ∞ O.
X+ - IX3 + mM ∞ x X + p+ ∞ O.
∞+ - LX3 = M M ∞ X X - L pF ∞ O
XFLX MM XX  t pF ∞ O.
llmulas:
E PY

## Folio 82 — 175906937X:0106
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000106.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
D. E H. A
P. u X
2 Propositio.
Ad investigandam naturam _ consticutionem primae propoli-
tionis, Formemus ex duabus x3 = c X X f d d X F b d d ∞ 0 8c
X = b ∞ O aquationeM hanC Xt = C X 3 F d d X ∞ X - b b d d ∞ 0;
 bc
habebicque ipsa eandem Formam atque prima propolicio ut -
l∞3 LMM X X X - p= ∞ 3, ee per conlequens dua illa _ quationes
ejuldem erunt nacurxe es constirutionis. Fiat jamm ada quatio, de
ex comparatione secundorum terminorum habebinus l∞c-- b,
seuc ∞ l. L b. Deinde, comparando certios terminos, crit mmn
de-bc, hoc est, reltituendo ralorem cinventum, habebitur d d ∞
mm - bl - bb. unde constat, si coonoscitur reraradix b, hanc
aequatiOneL X3 = l XX + m m x. F b m M ∞ O ad reliquas eres in-
restigandas inservire.
Bt
b
2 Propositio.
Pro secunda propolitione Formemus ex duabus X3 L CN N L
d dx - b dd ∞0 X x = b ∞ OhanC XquatIONEIM x = - L  C∞3- L d d X X
=b0
X = d d bb ∞ 0. Supposita rero c majore quam b, e bc majore
quam dd, hadebitilla eandem formam acque secunda propolita-
rUII Xt = L~3 =MM X x + =p+ ∞ 0, X per consequens ejuldem
erune nacura e consticutionis. Fiat ergo adaequatio, e ex colla-
tione secundorum terminorum habebimus l∞c-b, hoc eA,
C∞l. = b. Deinde, comparatis tertiis CeriMIS, Crit =m M D d d
bc. hoc est, resticuendo ralorem cinventum, habebieur d d∞
bI. F bb =mm. CEnde dilcius, cognit a vera radice b, hanc ae qua-
tionem x3 L lX X L bIX F bbb ∞ 0 ad reliquaSeres quaerendas
F b + bb + b3
posse adtriberi.
M =- bm
Denique, comparando ultimos terminos, habebimus pr ∞
Eb dd. unde sequitur, d et ae quari 7; 8, cum cognolcitur rera
radix

## Folio 83 — 175906937X:0107
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000107.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
ima propoli.
bd100 8
bbdd. 30;
Per
aao
115 l2C-
debic  d X
e aquatione
CTIEMMN
cadie b, han
igus rres in
n
ta A AX
enS Esale
V Tlatq
d bc majo
la f.PO
CACOI
 live
Est IIt 3
bebicurda
es Guaeren
ebiuIS
nolei
A O U A Z E O N U N.
Eadia b, hanc aequationem _3. L l. ∞ v L b l v +7 ∞o cresreli
sUadLAAICCSCORCCTMCIC.
Lb
+ bb
HH.
3 Propositio.
PEOC POPOMLIOHe, Hat ex duabuS AS L CxX L ddx L bdd ∞ C
d x - b ∞ 0 haeC aequatio x+ - = C ∞3 + d d N x F - b b d d ∞ O. Sup.
 b
politis aucem b majore quam c, e bc majore quam dd, habebic
ipla eandem Formam acque cerria propolitio x+ -- lX3 -mmXX X
p+ ∞0, e per consequens ejusdem erunt natura e constitu-
tionis. Fiat jam adaequatio, e comparando lecundos terminos
habebiimus - l∞c b, hoc est, c∞b - l. Deinde, conterendo
certiosterminos, erit -mme dd - b5, hoc elt, resticuendo ra-
lorem cinrentum, habebitur d d ∞ bb. L bI -mm. Uinde discius,
cognita rera radiceb, hanc aequationem ~3 L b xx. + b b x. + bb l ∞0
exibus reliquis inserrire.
+ b1 = b3
M. - bM
Postremo, comparatis ultimis terminis, habebimus pr  bbdd.
unde sequitur, dd aequari ; _e cognita rerd radice b, hanc ae qua-
Cione N3. F b ∞ N F bb x + 7 pro cribus reliquis usurpari.
L bb
MM
Propositio.
PrO quarta propolitione hat ex auabus x3.  CNX I adx Fb adt ∞C
ec x - b ∞0liaec aequatio x+ - = cx3 F d d x x X - bb d d ∞ 0. Sup-
-- b
politis aurem cmajore quam b, ee d d majore quam be, trabebie
ipla candem formam acque tertia propolitio xt L l X3- L mmax X
pt ∞ 0, ac per consequens dux illae aequationes eandem habebunt
naturam _ corsticutionem. Fiat jam adaequatio, comparatis que
secundis terminis habebimus lDc= b, hoc est, c∞l. L b. Dein-
de

## Folio 84 — 175906937X:0108
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000108.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
84
W E N A X u R A
de conterendo certios rerminos, habebimus mm  d d - bc, hoc
eIF, resticuendo ralorem cinvencum, erit d d ∞ in m. F bl F bb.
unde constat, cognita veraradiceb, hanc aequarionem
X3 L LX X- F mm X L bmm ∞0 ad eres reliquas adhiberi.
Lb + bt + bbb
L bb + b3
Denique, comparando ultimos terminos, habebimus pr ∞
bbdd. unde sequitur, d d aequari ; e, cognitâ rera radice b,
hanc aequationem x5. L. b XX Lmm X - = ∞0 ad celiquaseres
quaerendas esse urilem.
-b
 b
 b
5 Propositio.
Pro quinta propolitione, tat ex duabus, X3 -CXX - ddx- bde ∞00
EX -- b ∞0, hxC a quatiO ∞ +  6∞3 -- d d X X X - L bb d d ∞ O. FF
L bC
Supponendo bc majus quam d d, erie ipsa eju sdem FOrmX CUIM
quinea propolicione x -- l ∞3- f m m X x F -- pF ∞ O, aC per CON-
lequens eandem habebune naturam e consticutiorem. L’iac jam
adae quatio, e comparatis secundis terminis, habebiius l∞ b L 6,
hoc est, 5∞ l - b. Deinde, ex comparatione certiorum termino-
rum, habebinus mm ∞ bc= dd, hoc est, resticuendo ralorem
inventum c, erit d d ∞ bl - bb =mm. unde paFeE, COrNIEA Verd
radice b, hanC x quationem a3 = l x X = b lx -- b b. l ∞00 ad reli
L. b
quastres quaerendas adhiberi posse.
. hb I bmm
mm. b3
Postremo, comparando ultimos terminos, habebimus bbdd
∞P ac per consequens dd ∞ . unde, cognita vera radice l
laec aequatio x3 l w x = blx=  ∞0 pro tribus reliquis in-
L bb
Lnim
restisandis inlerrire poteric.
6 PiO

## Folio 85 — 175906937X:0109
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000109.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
dd = bc, huC
1m. + bl. + bB.
dem
clit.
abebimus pir
vera radice
reliquaste
=bba DC
AdX Sil
in toca el
O, dC peT COI
rem. Fiatio
imus lob+
Drum cermine
dendo ralore
 cognita
1 ∞0dd
debimus
rela ladio
duSten qu
6D
AE  U s Y ZO H U H.
6 Propositio.
Prolexta propolicarum, fiat ex duabus X3- ] exX ddx bdd ∞0
_ X - b ∞ O haeC aequatiO X = - f  C∞3 = d d X x Y - bb d d ~0.
b0
Supponendo autem majorem quam b, habebit ipsa eandem For-
man atque lexta proposicio, ac per consequens ejusdem crunena-
curae e consticutionis. Finc erso adaequario, de comparando se-
cundos terminos habebimus b∞c-- b, hoc est, 6∞ l- (- b. Dein-
de, exeollatione cerriorum terminorum, habebimus mm∞dd L Bc,
hoc est, resticuendo valorem cinventum, exit dd ∞ mm- bl - bb.
Ende discimus, cognita vera radice b, hanc aequationem
x3.  LXX = mmx-bmm ∞0 tresreliquasradicesrespicere.
L- bl = bbl
bb
f B3
Poltremo, ex comparatione ultimorum terminorum, habebi-
mus pr bbdd, ac per consequens d d D si adeoque, cosnit
vera radice b, haec aequatio x3 - L l X X =- MM X -  ∞0 ad EreS
1
reliquas inrestigandas erie adhibenda.
Propositio.
Lb
Proseptima propolitione, hac ex duabus, x3 -  = C X X = d d ~ -
bdd ∞0eer -- b ∞0, haeC aequatio a = F 6∞3 - d d X x F - F bb d d. ∞ 0.
bc
Suppolita autem b majore quam c, habebit ip(a eandem Formam
acque leprima propolitarum x+ = l ~3 =m m X x X. ( p+ ∞ O, dC
per consequens ejuldem erunenaturae de constitutionis. Fiat ergo
acaegnatio, e per comparationem secundorum terminorum ha-
bebimus 6-- b∞0 = l, hoc eAt, c∞b l. Deinde, conterendo
certiosterminos, habebimusm m ∞ dd L bc, hoc est, subltituto
valore c invento, erit dd ∞ mm =bb L bl. unde discimus, co-
Bnica ver a radiceb, hanc a quationem x3 L bxX mmx bmm ∞0
bb u bb
Lbb b.
rribus

## Folio 86 — 175906937X:0110
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000110.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
e
d E N A Y _ R p
rribus renguis suletrire. Denique, comparando poltremos rer
minos, habebimus pr x bb d d, ac per consequens d d ∞ 5; dc.
cognica vera radiceb, haec x quatio x 3-  b ~ N - M M A   ∞0
2d tres reliquas erie reterenda.
C A P U F Z.
+
b
Dout constitutione sEquationum quatuor dimen-
sionum, tertio termino carentium.
DEdcuus autem hxe aequariones ad septem sequentes For
L. L mulaS:
N +  l∞3 X - B3 X - p+ 30.
X t  l X 3 X B3X - pF ∞ O
Xt -L- b ∞3 X = B X - pY ∞O.
X +   b ∞3 X  13X  p+ ∞O.
Xt∞3 X - B3 X  p+ ∞O.
X + L ∞ 3 X - n3 X   p+ ∞ O.
14 = I ∞3 X 13 X  pE∞0.
2 Propositio.
Pronatura e constitutione primae propolitionis, Formemus,
ex duabus x3 - CX X = b0X. f d3 ∞ 0 XC X = b ∞ 0, haNC ae qua-
tIOneI X+ = CX3 X- L d3 ∞ - bd3000, e habebie ipla candem
L bbc
FOrmam atque prima propositio xt = l X3 X L n3 X - p+ ∞0, de
per conlequens ejusdem erunt natura d consticutionis. Fiac ergo
adaequatio, e ex comparatione secundorum cerminorum habe-
bimus b∞c- F b, hoc est, c∞0 l = b. Deinde, conferendo quar-
tos terminos, habebimus n3 ∞ d3. L b bc, hoc est, restiruendo ra-
lorem inventumm c, eric d3 ∞ n3 =- b bl- L b3. EInde discius, co-
onita vera radiceb, hanC X GUALIONCM X3 = l N X - blX L n3 ∞O
Lb L bb + b3
na bb
adtres religlas quaerendas adiberi posse. Denique, comparando
ulei-

## Folio 87 — 175906937X:0111
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000111.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
eolremos 1I.
WX
dimem.
nenes (or.
nis, formem
ic ipla can
L
Oiisi 
minorum hu
nterendo
rectiruen
discim
b1
 COM
A, O U A X L O N U M.
8
ulcimos terminos, habebimus pr ∞o b d3. unde sequitur, d3 ae qua-
ri ; e cognica verd radice b, haec aequatio v3-- lux- bl X. +  ∞0
ad reliquas eres erit reterenda.
2 Proposirio.
ut b. + bb
PHOTCCMA PIOPOHCIOHC, tiac ex duabus, ∞3. L exX- L bCx L d 3∞ 3
_ X =- b ∞ 0, haC ae quatiOx+ = 6∞3 F - , 43 X - d3 b ∞ O. SipPO.
b = bb0
Citis autem cmajore quam b, e bbc majore quam d, habebit ip (a
eandem Formam atque secunda propolitio x=. L Ix3F - n3X- p+ ∞0,
ac per contequens ejuldem erunt naturae ex consticucionis. Fiae
erso adaequatio, e per comparationem lecundorum termino
rum habebimus, 10C- b, hoc est, 000 l- L b. Deinde, collatis
quartis terminis, habebimus d - bb0 ∞ = n3, hoc est, substi-
tuendo ralorem sinventum, erie d∞ bb l - f- b3 - n3. IInde P2-
cet, cognita reraradice b, hane xequationem x3. L. lvx. L blv. + bbl∞0
+ b + bb + b3
1
cribus reliquis inserrire. Postremo, per comparationem ultimo
rum terminorum, trabebimus pr ∞ b d3, ac per consequens d3 ∞Z
ec, cognicarera radiceb, haec aequatio x3 f-lX X. ] bIX f  ∞0
ad eres reliquas inreltisandas erir utilis.
3 Propositio.
b + bb
oceca Proponcone tat ex duabus, ∞3. L cX X f bc N - F d3 ∞0
et t= D Oa a GuatO x+ - F C∞3 X - = 13 ∞ = d3 b ∞ O. SupPo
=-bb0
Sitis aurem bmajore quomc, e bbcmajore quam d3, habebit ipla
eandem formam atque tertia propolitio x=-L lX 3 X -- 13 X-- p+ 20,
ac per consequens ejusdem erune naturae de consticurionis. Figt
itaque earum adaequatio, de per comparationem secundorum ter
minorum habebiinus lD5 b, hoc est, c∞ l-L b. Deinde, Con-
terendo quarrosterminos, habebimus ds -- b b0 ∞ - n3, hoc eA,
reltim

## Folio 88 — 175906937X:0112
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000112.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
88
D E N A Z U R a
relticuendo valorem cinventum, erit d3 ∞ lb b -( b3 -- n. Unde
discimus, cognica vera radice b, hanc ae quationem
∞3 lX X   bIX  1bb ∞0 ad reliquaseres quarendas esseuti-
L b
bb L b3
 13
Lem. Denique, collatis ultimis terminis, habebimus pr ∞ d3b, ac
per consequens d3∞Z; e, coonita reraradice b, hxc aequatio
x3 f lXX - FblX   ∞0 ad tres reliquas erit reterenda.
-b
L bb
4 Propositio.
DIO GNATEA PrOPOSItiOnC haL ex duabuS X3-L CXX- L bCX L d3∞0
e X - b ∞ 0 haeC aequatio xF -   C∞ 3 X - f d3 X - d3 b ∞ O. SuD-
 b  bbc
politis autem s majore quani b, de d majore quam bbc, habe.
bic ipsa eandem Formam acque quarta propositarum x + -   l ∞3 X
13X = p+ ∞O, ac per conlequens erune ejusdem natuIX d
constitucionis. Fiat ergo adaequatio, collatisque secundis termi-
nis habebimus l∞c= b, hoc cA, 6∞ b. L l. Deinde, Comparan-
do quartos terminos, habebimus n ∞ d3 = b b5, hoc est, resti-
tuendoralorem cinventum, tiet d3 ∞ n3- f- b3- - bbl. Cnde disci
muss cognita vera radiceb, hanc aequationem,
x Lb x X bb a fn ∞0 ad tres reliquas esse reterendam.
It
 bb  b3
- bbl
Denique, conferendo ultimos terminos, habebimus pr ∞ d3b.
ac per consequens d’∞. unde, cognita vera radiceb, HXCX.
quatio r- F bx x L bb x -F  ∞ otribus reliquis in erriet.
5 Propositio.
Pro quinta propolitione, Hac ex auabus, x3. 6X t = bi - B ∞0
e N, b3 O, AXCXQUaTIO X = =- C X3 F 43 X. f- b d3 ∞ O. LUpPO-
L. bbc
nendo autem bbe majus quam e, habehie ipla candem tormaiis
quinta

## Folio 89 — 175906937X:0113
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000113.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
M. Uue
readis ellemi.
Dl
AXC QGud
Cerenda.
X. L A3 X
b D 0. SuB.
mbobs adde
M X  LX
lem Hacla
Ecuretsc
de, ou
noce
11. Undec
eterendum
dimusp
diceb, li
interriet.
be- 
d∞
demo
A O U A Y E O N U M.
aeque quinta propolitio x+ -- l x3 F . L n X L pF ∞O, dC Per CON
sequens erunt ejuldem naturae ex consticurionis. Fidc ergo ad-
aequatio, comparandoque secundos terminos habebius l∞c
b, hoc est, c∞ I = b. Deinde, ex CollatiOnC GUATEOTUM Fer
minorum, habebius n3∞ bbc- d3, hoc eAt, d3 ∞ bb1 - b3 = n3,
Tubsituro nempe ralore c inrento. UInde pacet, cum innocelcie
vera radix b, hanc aequationem x3  lx X  blX -- bb l∞00 tri
Dus reliquis inservire.
+ b + bb b3
 B3
Postremo, ex collatione ultimorum terminorum, habebimus
prxd3b. unde lequitur, d’aequari; e, cognita reraradiceb,
hanc xquationem x3 = l∞X - blX =  ∞0 ad tres reliquas in-
Fb + bb
restigandas esse adhibendam.
6 Propositio.
Prolexta propolitione, Fat ex duabus, X3- L CXN- L b c ~ - d3 ∞0
d X = b ∞ O, aquatio x+ - cx3 X- F d3 x F b d3 ∞ 0. Suppo-
b - bb0
Sita autem cmajore quam b, habebic ipsa candem FOrmam atque
extA PFOPOlITaru XF L L∞3 F = 13 x Y pF ∞ 0, dC per conseqUeNS
ejuldem erunt naturae e consticurionis. Fiat ergo adaequatio,
comparandoque se cundos terminos habebiimus l∞C=b, hoc elt,
c∞ l. L b. Deinde, ex collatione quartorum terminorum, habe-
Biimusn ∞ d3- L bbc, hoc est, restituendo valorem c inventum,
Aec d3 ∞n3 = bbl= b3. Tndepatet, cognita rera radice b, hanc
aequationem x3. L lxx. F blx - n ∞ 0 tribus reliquis inservire.
+ b + bb + bbb
L b5
Denique, conterendo ultimos terminos, habebimus pt ~ b d3.
unde sequitur, d’aequari Z; ec cognitâ rerâ radiceb, hanC X qua-
ionem x3. L lXX. L bl~ - ∞0 ad reliquaseres esse referendam.
+ b
L b
PH

## Folio 90 — 175906937X:0114
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000114.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
DE N A X U R 1
 Propositio.
Pro leptima propolitione, tiat ex duabus, ~3. f CxX. L bex - d3 ∞0
_ X = b ∞ 0, haeC a quatION =- F Cx 3 X = d3 X f b d3 ∞ O. SupPO-
bb0
nendo autem bmajorem quamc, habebit ipsa eandem Formam at-
que leprima propolitaru x+ Ix 3 F - n3X ( p ∞0, ac per conse.
quens ejusdem erunt natura d constitutionis. Fiat ergo ada qua-
tio, comparandoque secundos terminoshabebimusc -- b ∞ - l,
hoc Clt, c∞ b  l. Deinde, ex collatione quartorum termino-
rumI, habebimus n3 ∞ d3 F bbc, hoc est, reltituendo raloreme
InVeNEuI, AeE d3 ∞13 =b3- = bbI. unde sequitur, cognita vera
radiceb, hanC aquaTiONEM X3 F b ~ X + bb x = n ∞0 reliquis
cribus inferrire.
b bb = bbl
f. b3
Postremo, comparatis altimis terminis, habebimus p+ ∞ 13b.
unde constat, d’aequari; de cognica rera radice b, ae quationem
hanc x3 L bX X  L bbx - ∞0 ad eres reliquas esse reterendam.
C A P U F ZI.
De natura constitutione squationum quatuor dimen-
sionum, in quibus nullus terminus deest.
Educuntur hx xquationes omnes ad quindecim sequentes
X+ - IX3 -  MM X X = B3 X-  p+ ∞ 0.
X+ - I∞3  MM ~ X.  B3 X 1 p+ ∞ O.
∞+ lX3 - MM N X - 13 X - p+ ∞O.
∞+  l ∞3 = M M X X . . 13 X -  p+ ∞ O0
∞t + l∞3  MM ∞ X = B3 X  p+ ∞ O.
XF+ lX3 = M M X X - B3 X-  p+ ∞ O.
∞4  I∞3 MM X X - ( B3 X - p+ ∞ O.
xt  ∞3 MIB N N B3 X  p+ ∞ O.
l. L FOrMIAS:

## Folio 91 — 175906937X:0115
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000115.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
+ L- 1DC
DO. duppo
Aetala
aC pecco
150 ad a9u
- b3
IIM TCFIMMO
Loralorem
COEMIEd Ver
D0 reliqui
imus p v
aequatione
Clcteren
 aliMe
1.
cim seque
AE O U A Y L O N U H.
∞ E -- l X3  MM X X- ] B3 X - p+ ∞O.
∞t  b ∞3 = MM X X  B3 X = pF ∞O.
∞ 4 - - lX3 = M M ~ ∞ - B3 X = p+ ∞ O.
a. 4 -  LX 3 -]  M M X X = 13 X - - p+ ∞ O,
X + )  L∞3  MMX X L B3 X - p+ ∞O0
a4  lX3 MM X X B X = p+ ∞ O.
∞ + - (- lX3 MM X X -( B X = pF ∞O.
E Propositio.
Prohatura d constitutione primae propositionis dignolcende
Fiat ex duabus hilce, ∞3 - CX X - ( d d X - - f3 ∞ O XC X -- b ∞ 0.
haec aequatio nt = Cx L d d x x - f3 x. L bf3 ∞0, qua candem
b + bc - bdd
habebieformain acque prima propositarum x+ - l X3. L M M X X-
n3x. 1 p ∞0, ac per consequens ejuldem erunt naturae de consti-
cutionis. Fiac erso adxquatio, unde comparando secundoscer-
minos habebimus 1∞c. L b, hoc est, 6∞0 l = b. Deinde conse-
rendo tertios terminos, habebimus mm ∞o dd ( bc, hoc est,
restituendo ralorem cinventum, Fiec d d ∞ m m - bI- (- bb. Tum
per collationem quartorum terminorum habebimus n’∞f3 L bad,
hoc elt, substicuendo ralorem dd inventum, fiet f3 ∞ 113 - L bb1 -
bmm - b3. Uinde constat, cum innocescit vera radix b, hanc ae-
QuatiOne X =lXX- L mm X - n3 ∞O cribus reliquisinterrire.
L b + bb. - bbl
-b1 Lbm
Lb3
Postremo, conterendo ultimos terminos, habebimus pt ∞ bβ
undelequitur, f aequariZ; et, cognita vera radice b, hanc x-
quationemx3 =IXx L mmx -  ∞0 ad tres reliquas eNCre-
Ferendam.
Fb L bb
2 Froposio.
Prolccha PopoC, Hat ex duabuS, X CXX ddx s. ∞O
 X  b∞0, haeC aequatiO X = - 6∞ 3 - a cb X X - f3X - L bf3 ∞ O.
+ b6 + bdd
N
SuP.

## Folio 92 — 175906937X:0116
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000116.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
32
DE N A Y u R A
Suppolicis autem be majore quam d d, ee b d d majore quâm f3,
habebic ipla eandem Formam atque secunda propolitarum xt-
IX3. LMMX~ -L n3 X L p+ ∞O, ac per consequens ejuldem erune
natura _ constitutionis. Fiat ergo adae quatio, et per comparatio-
nem secundorum terminorum habebiimus l∞ C-( b, hoc est,
c∞ l = b. Deinde, conterendo certios terminos, habebimus
mm∞bc -dd, hoc est, substituendo ralorem cinventum, Ret
dd ∞bI - bb = mm. Tum ex collatione quartorum termino-
rum habebimusn3 ∞ bdd - f3, hoc est, restituendo ralorem di
inventum, fiet f3 ∞ bbl -- b3 - - bm m -- n3. TInde patet, cognitâ
reraradiceb, hanC aquatIONeI ∞3 = IN N. L M M N- F n ∞ O Erd
bus reliquis inferrire.
+ b + bb ut b
-bb + bmm
 b
Denique, collacis ultimis terminis, habebimus p+ ∞bf3. Un :
de sequitur, f aequari ; 8, cognit a ver a radiceb, hanc ae qua
tionem X3 =l ~X x = mmx =  ∞0 ad cresreliquas investisan.
F b + b
das posse adhiberi.
Lroposdi
Protertia prOPOsitiOne AaF ex quabUSX3 =CNN - d dX - β3∞0,
de x - - b ∞ O haeC aequatio X t - C ∞ 3 = d d X X - f3 X. 1 bf3 ∞0.
-b + b6 + bdd
Suppolitis autem dd majore quam bc, ef3 majore quam bdd,
habebicipla eandem Formam acque tertia propolitio x+ - -- l ∞3 -
MM X X -n3 X- L p+ ∞ O, dC PEr CON SEGLENS EjULdEIL CTUINENaTUTA
ec consticutionis. Fiat erso adaequatio, ee per comparationem
secundorum terminorum habebimus c∞l - b. Deinde, conse-
rendo certios terminos, habebimus bc- d d ∞ = mm, hoc est,
Substicuto ralore c invento, erit dd ∞0 b l- L m m - bb. TuI ex
comparatione quartorum terminorum habebimus b dd -- f3 ∞
n3, hoc es, restituendo ralorem dd inrentum, Het f3 ∞ n3 +
bbI. LbMM = b3. IInde constat, coonita rera radice b, hanc
aqua.

## Folio 93 — 175906937X:0117
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000117.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
quam
Compatalio
abe
entur, l
IM CEL
raloremia
et, cognia
N W
i1 1
CaTum N-
aldem erum
habebimus
B, latit e
AB
(2X +
netam
Ompatat
Deinas
1I 1I5
10 X
1, e
21
A O U A F L O N U H.
aatiOne = lXx =bI x =n. ∞ ocribus reliquisinservire.
+b - mm = bbb
+ bb - bm
L b3
Postremo, compararis ultimis terminis, habebimus p+ ∞ bf3.
undesequicur, f.xequari; ec, cognicd vera radice b, hanc a-
QuatiONEM ~3 -l~M =mM X -  ∞0ad tres reliquas essere
Eerendam.
L b
4 Propositio.
Pro quarta propositione Hat ex duabus X3- CXX- ddX - f3∞0
_ X  b ∞ O haec ae quatio x = -- 6 ∞3 - d d X X = f3 X + - bf3 ∞ O.
3 + b0 + bdd
Suppolitis autem ddmajore quam bc, et b d d majore quam f.,
habebicipsa eandem formam atque quarta propolicio x + l X3
MMXN LM3 X ( pF ∞ O, dC peF CONSequenS CjUIdCM CTUNEMaLUIX
ee consticutionis. Fiat erso adaquatio, unde comparando lecun-
dos terminos habebimus c∞ I- b. Deinde, collatis tertiis Ter-
minis, hrabebimus b0 - d d ∞ =mm, hoc est, restitmendo valo-
remeinrentum, tiet dd ∞o mm f bl-- bb. Tum ex comparatio-
ne quartorum terminorum habebimus n ∞ b dd --f3, hoc est,
Subltituto valore d d inrento, erit f3 ∞ bmm-L  bb l - - b3 - 13.
CInde constat, cognita verdradiceb, hanc aequationem
X3 = lXex - MMX = bmm ∞ O cribus reliquis inserrire.
b1
 bb
L bb. b3
L 13
Denigue, Comiparatis ultimisterminis, habebimus pt ∞ bf3.
unde sequitur, faquari ; ec, cognita rerd radice b, hanc ae qua-
cionem x- lNN =mMX-  ∞ 0 ad eres reliquas esse rete-
b
Cu
Pro-

## Folio 94 — 175906937X:0118
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000118.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
E N A F U K A
5 Propositio.
Proquinta propolitione, Formemus ex duabus, x3 -L CX N L
d d x - s3 ∞ O_ x - b, hanC aQuaTIONCI X + -) 6x3.  ddnX f3 ∞
-b - bc - bdd
 bf3 ∞ 0. Supposeis aUEeM C IajOrE quam B, _ d d majore
quam bc, habebic ipla eandem Formam acque quinta propolica-
TUII X+ l ∞3 MM X X - 13 X L pF ∞ O, aC per conlequenS
ejuldem erune natura d consticutionis. Fiac erso adae quatio, un-
de comparando secundos terminos, habebimus c∞ l L b. Dein-
de, collatis terriis terminis habebiimus mm ∞ d d -bc, hoc
est, substituto ralore cinvento, erit dd ∞ m m-- bI- bb. TUIm, Cx
collatione quartorum terminorum, habebiinus n3 ∞ f3 a d b,
hoc es, relticuto ralore d d invenco, eric f3 ∞ n3-Mmb- bbl- b3
EInde patet, cognita rera radiceb, hanc aquationem
X3 -  LX X .M M X = n3 ∞ Ocribus reliquis inTerVITC.
b
bt
bb
ME b
- L- bbB
L b3
Denique, ex comparatione ultimorum cerminorum, habebi-
musbf3∞pF ac per consequens f3 ∞. unde constat, cognita vera
radice b, hanc aequationem ∞3- f. LX X L mM X   ∞0 ad eres
reliquas esle reterendam.
6 Propositio.
Pro lexta propolitione trat ex duabus x3. L CxX  J Adx  f3 ∞0
e x - b ∞ 0 haec aquatio x + - - b ∞3 - bCX X - b d d x [- bf3 ∞0.
L6-) dd - f3
Suppolitis autems majore quam b, ee bc majore quam dd, habe-
bic ipla eandem formam atque lextapropositio x=. L l X3 =MMXX
B3X F P+ ∞ O, ACPCF CONSEGUENS CjUIIdEI CFUNENatUEX eE COH-
Cicutionis. Fiac erso adaequatio, ex per comparationem secun-
dorum terminorum habebimus 6∞ l-p- b. Deinde, collatisterriis
cerminis, habebitur d d - b5 ∞ mm, hoc est, Cubstituto ralores
inren

## Folio 95 — 175906937X:0119
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000119.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
N + CXHt
tadrr fi
b6 - bI
 reo hiasolb
a OpOI
conlequem
scacto ut
+ b. Den
b
3 he
b. TuM, e
ab IbI B3
ela
e.
ui hrabet
CDeI
lta
ntat, Ha
(23 = 11 ta2
acuraa
onem let
Ollatistet
FuITO raton
IM
A O U A Y L O H U HI.
invento, erit dd _bl. L bb =mm. Tum, comparando quareos
Terminos, habebMHEn3 ∞f3- L bdd, hoc elt, relticuro ralore dd
inrenco, cric f3 ∞H3- L bmm = b3 = bbl. Unde constat, cogni-
ea reraradice b, hanc aequationem x3 f lX X- b lx - 13 ∞00
cribus relquISIMterrITC.
L bb - bM
min I 
Denique, collatis ultimis terminis, habebimus pr ∞ bf3. unde
sequitur, f. aequari; _, cognita vera radiceb, hanc aequatio-
DCm X3-L- lXX L bl X- D0ad eresreliquas esse reterendaM.
L bb
WB
Lroposrio
Peoscp prepenscione, Hac ex duabus, x3 L CX X = d d X
(3 ∞ O_x - b ∞ 0, hxec aequatio x =- = 6∞3 - d d X x - f3 X F b53 ∞0.
- b - b6 + bdcb
Suppolitis autem cmajore quam b, ee b d d majore quam f3, habe-
bic ipla eandem Formam acque seprima proxolicio xt - L l X3 -
MM XX L n X ( p+ ∞ O, aC per conlequens eju (deM CTUNE Ma-
cura de consticurionis. Fiat erso adaquatio, unde comparando
Secundos terminos habebiimus l∞06 = b, hoc est, 00b - l.
Deinde, collatistertiiscerminis, habebitur m m ∞ d d - L bc, hoc
est, relticuendo ralorem cinventum, fier d d ∞ m m - bb =- bl.
Tum ex comparatione quartorum terminorum habebimus n∞
bdd = f3, hoc eA, substicuto valore dd invenco, erit (3 ∞ bmm -
b3 = bb1 - n3. Unde sequitur, cognita vera radiceb, aequatio-
nem hanC X3 F b X X =MMX =bmm∞ O reliquiseribus inSeEVIIC.
+1
+ bb +b3
L b1
L bbb
L B.
olceto CoMletenaoulumos ceiminos, habCb2mu3 P 30)
un de sequitur, s. aequari ; e, cognit a vera radice b, hanc aequa-
Ei

## Folio 96 — 175906937X:0120
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000120.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
D E H A Y U R a
tionem X3 -= b~N = mmr ∞0 ad reliquastres esserete;
rendam.
- bb
Lb
S Propossiio.
Prooctara propolitione, thut ex duabus, x3- cux-  ddX. L 53 ∞0
e X -b ∞ 0, haeC XquatIO ∞= C X 3 -  d d X X - ) f3 X - f3 b 30O.
-b bc - bd
Suppolico autem badmajore quam f3, habebit ipsa eandem For-
mam acque Octara propolILIO xF - - l ∞3 .  MM XN - n3 X. - p = ∞O,
ac per consequens ejuldem erunt natura de constitutionis. Fiat
ereo adaequacio, unde comparando secundos terminos habebi-
nusl∞c F b, hoc cA, 6∞lb. Deinde, collatis tertiis termi-
nis, habebiturmm ∞dd -L bc, hoc eAt, restituendo ralorem cin-
ventum, fiet dd ∞ m m - b l- p- bb. Tum ex collatione quarto-
rum terminorum habebitur f3  b d d ∞ = n3, hoc est, Cubsticuto
valore ddinvento, erit f3∞ bm m -- - bbl - n3- ( b3. TInde Con-
stat, coenita rera radiceb, hanc aequationem
X3 lXX L HMX- b mm ∞ 0 tribus reliquis inferrice.
Fb + bb t b3
bb
-bb1.
Denique, compararis ulcimis cerminis, habebimus pt ∞ b f.
unde lequitur, saquari ; ec, cognicd verdradice b, hanc X qua
tiONCM NS = IX X- MM X -L  ∞0 aderes reliquas esse rete.
rendam.
b
L bb
9 Proposco.
Pronena CL MaBIIS, X3- C ∞ X. d d x- ) f3 ∞0
e X m b ∞ O, haec aequatiO X + C ∞3 mf d X X if3 X- f3b∞9.
b bc. -bdd
Suppositorero f. majore quam bdd, erit ipla eju ldem Formae cum
DropOliciOnENONA X =  L1 3  f M MB N X - f B3 N - p+ 2O, dC PeF
COr-

## Folio 97 — 175906937X:0121
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000121.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Ad  f. si 4
Inde 1o
X PE 2C
ioniS. Fia
les habebi.
erciscermi.
aloremein
ione quarto
A, Cubstiru
Undeco
Cerrire.
di
AIB a
anSel
Ad X-
1-
Iocm I
de) ab1
AE O UA .F L O N U M.
ds
contequens habebune dua illa aequationes eandem naturum e
consticutionem. Fiac ergo adaequatio, unde comparando secun-
dosterminos habebimus l∞b-Lc, hoc est, 6∞ l -- b. Deinde,
ex comparatione certiorum terminorum, habebitur m n ∞ dd
-bc, hoc est, subrosato ralore cinvento, erit dd ∞omm- L. bb
bI. Tum collatis quartis terinIs, HeFn3 ∞ f3 =b d a, hoc est.
Tubsticuto ralore dd invento, erit f3 ∞n3-  b3 L bm m - bbl.
EInde constat, cognita vera radiceb, hanc aequationem
X3 = IXX  Mm X 1 n3 ∞0 tribus reliquis inserrire.
L bb + bmm
bb
+ 63
ubbl
Praeterea, comparatis ultimis terminis; habebimus f. b ∞ pr-
unde sequitur, f. aequari ; de cognita vera radice b, hanc ae qua-
tiOnem X3 = LWN L MM N L  ∞0 ad eresreliquas esse rele
rendam.
L b
Pro decima propositione tiat ex duabus hilce ~3 L CN N L d d X
+53 ∞0_x b ∞ OheC ae quatio x + L CX3 F d d XX L f3 x f3b∞O.
b - b0 - bd
Suppolitis autem bnajore quac, _ bc majore quam d d, HCC IIOIT
bddmajore quam fs, habebit ipla eandem formam atque decima
PEOpOlITIOXF IX3MMX X  N3X -- p+ ∞ O, dC Per CONLCGUEHS
euldem erunt nacurae de constitutionis. Fiat ergo ada quatio.
comparatis que secundis terminis habebimus s- b ∞ =- l, hoc cA,
c∞b = l. Deinde, collatistertiis cerminis, habebitur dd - bc ∞
mm hoc est subltituro valore cinvento, eric dd vbb- bI mm.
Tum ex comparatione quartorum cerminorum habebitur f3-bd3
∞ n, hoc est, restituendo ralorem d d InVenEUI, ACt f3 ∞ b3-
bbI - -bmm = n3. UInde constat, cognita rera radice b, HanC X -
quationem x F bxx F bb x + b3 ∞0 tribus reliquis inserrirc.
b1  bbb
20 Propositio.
sM

## Folio 98 — 175906937X:0122
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000122.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
8
DE N A X U R A
Denique, comparatis ultimis cerminis, habebitur pr ∞bfs.
unde constat, s aequari ; de, cognit a verdradice b, hanc aequa.
tioneI X3 L BX x- L Bb~ J  ∞0 ad eres reliquas esse rete-
FendaM.
Imin
22 Propositio.
Pro undecima propositione Hat ex duabus X3 L  CX X  d d X
=f3 ∞O_ X  b ∞ OhaeC a quaciO x + L CX3- dd Xx + f3 x - bf 3 ∞0.
-b - b0 + ddb
Suppolitâ autem b majore quamc, habebicipsa eandem Formam
acque undecima propolicio x+ - l∞3 = M M X X- L n3 X - p+ ∞O,
ac per consequens ejusdem cruntnaturae d consticutionis. L’actâ
erxo adaequatione, ex comparatione secundorum terminorum
hrabebimusc -- b ∞ - - l, hoc cst, 6∞0 b -- l. Deinde, comparando
tertios terminos, habebimusmm ∞ dd-  bc, hoc est, restituendo
valorem cinventum, erit dd  mm- ( bb =- bl. Tum, ex colla-
tione quartorum terminorum, habebiturn3 ∞ f3  d db, hoc est,
Substicuendo ralorem dd inrentum, het f3∞ n3 = m Mm b = p3
 bbl. EInde discimus, cognita reraradice b, hanc aequationem
X3-  bx X = M MX + n 3 ∞0 reliquis tribus interrire.
bb + bbb
 b1 =mmb
b3
Poltremo, collatis ultimis terminis, habebimus b f3 ∞ pr
unde sequitur, f rquari ; e, cognitâ verâ radice b, tranc 
quationem x3 L bx x =mmx L  ∞0 ad reliquastres essere
Serendam.
bI
Produodecima propolitione, hrat ex duabus, a LCX X L AAX
53∞Oe X BB, Iab GlaO  F613 Fad VX. Fs3X 536∞0
22 Propositio.
b bo dat
Suppo

## Folio 99 — 175906937X:0123
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000123.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
 p oss
phunc aque.
uns elle rele.
CXX
X -bs
demtorimam
1x- P 0O
icionis. Fadia
cerminorum
comparande
A, rellituend
UM, ex co
d db, hoce
M Mb-
C aequation
Cerrire.
iuo
ICC 07 laia
dad ces et
t
A. O U A Y L O N U M.
Suxpoliris auteids majore quamb, ec d d majore quam bc, nec
dun se quam f3, habebit ipsa eandem Formam acque
duodecima provolitio xt - lx 3-  m M X X -- 13 X = p+ ∞O, aC
per conlequens erunt ejusdem nacurx de consticutionis. Fiat ergo
adx quacio, unde conterendo secundos terminos habebimus l~C
=b, hoc cAt, c∞l. + b. Deinde, collatis cerriis terminis,
habebitur mm ∞ dd - b6, hoc est, substituendo ralorem cinven-
cuin, erit d d ∞mm L. bb- L bI. Tum comparando quartostermi-
noshrabebimus (3 - b d d ∞ - = n3 hoc est, substicuto ralore dd
invento, eric f. ∞ bmm -   bb1 - f b3 - 13. TInde discimus, co-
onita reraradice b, hanc xequarionem ∞3 f b X X F bb x f. b3 ∞c
+ 1
F b1 = bbl
LMM L bm
cribus religlis interrire.
Denique, comparatis poltremis cerminis, habebimus bf3 ∞pr
ac per consequens f3 x . unde, cognita reraradice b, HXC X
quatiox3. f bax Lbbx L 0ad tres reliquas cricreterenda.
mm
23 Proposirio.
Pro dccusacelcla plopenione. Iac ex Mltabls, 13L Cx X
d dx f β ∞ 0_x - b ∞ 0, hXC aquatIO∞ = -] CX3-  d d X X- ( f3 X
-b. - b0 -bad
f3 b ∞ 0. Suppositis auteM C Mmajore quain b, _ dd Majore
quam bc, nec non f majore quam bdd, habebit ipla candem FOr-
mam atque decima certia propolitio xt- L lX ( M m ~X L n X
p ∞0, dc per consequens ejusdem erunt natura d constitu-
cionis. Fiat erso adae quatio, collatis que secundis cerminis, habe-
BiimuSt∞ C= b, hoc est, c∞ l.- L b. Deinde, comparando certios
cerminos, habebimusmm∞ d d= bc, hoc est, restituro ralore c
invenco, eeomnoo. Lum Copalalis Gualeslet
minis, habebimus n3 ∞ f3 = b d d, hoc est, Substicuro ralore d d in-
Vento, erit f3 ∞ 13- f- b3-  bb1 = bmm. TInde constat, cognica
Verd

## Folio 100 — 175906937X:0124
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000124.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
100
DE NI A F I R A
vera radice b, hanc aquationem ∞3 - L b X X = b b X - [ b3 ∞
reliquis tribus inferrire.
bI
L bbl.
L13
biB
Postremo, ex collatione ultimorum terminorum, habebimus
bfi ∞p unde lequitur, f. aquari; et, cognua veraradiceb,
hanc aequationem X3 L b X X - bb x -p  ∞ 0 ad reliquaS ErES
ese referendam.
LMm
24 Propositio.
Pro decima quarta propositione Formemus ex duabus hisce
43 + CX X - d d X   f3 ∞ 0 e X = b ∞ O hanC aquationem
 Ox3 f d d X x F f3 N = f3b ∞ O. SupPOLIEIS AULEIM CMajOre
66  bdd
quam b, _ bcmajore quam dd, nec non b d d majore quam f3
habebie ipla eandem formam atque decima quarta propolicio
X + -  l∞3 =MMX ∞ = n3 X = pF ∞ O, dC per con lequens ejuIdem
erunt naturx e consticutionis. Fiat eroo adaequatio, unde ex
collatione secundorum terminorum habebiinus l ∞c =b, hOc
CAt, c∞l- L b. Deinde, comparatis certiis terminis, habebitur
dd - bc ∞ =mm, hoc est, substituro ralore c invento, eric dd x
bb. F bl =mm. Tum collatis quartis terminis habebitur f3- bdib
∞ = n3, hoc est, substicuro ralore dd invento, erit f3. ∞ b3 L bb1
bmm - n. Unde discimus, cognica vera radice b, hanc a.
quacionem X3. L b w x L bb x + b3 ∞0 cribus reliquisinterrire.
 bb. + bb1
m =bm
Denique, ex comparatione poltremorum terminorum, habe.
bimus p ∞(3 b. unde sequitur, cognita rera radiceb, hanc X qua
sionem N L bXx LbbK L  ∞0 ad tres reliquas esse referenda,
+ bb
X5 PYO-

## Folio 101 — 175906937X:0125
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000125.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Lbi _
+bbl.
habebime
Ca
reliquas 
duabuS MI
aquationet
MEIIICMIB
Ore quam
ca propolu
veus ejulde
10, unde
D6 -- b,
5, habebi
t0, Crical
f. ∞b +
quis intersi
rocc, in
B, AaIC A
Materen
25 M
A O U A F F O N U M.
25 Propositio.
Deo decima quinea de ultima propolitione, Hat ex duabus,
∞3 -+ CX X = d t ∞ L f3 ∞ O _ X = b ∞ 0, haec xquario
Xt - F C∞3 = d d X X  f3 X = - b53 ∞ O. SupPO(IEA VerO C majore
b = bc + bdd
quam b, habebic ipla eandem Formam atque decima quinta pro-
POlicio x+ L lX3 = MM ~ x + n3 X = PY ∞ O, dc per consequenS
ejuldem erunt natura ee consticutionis. Fiat erso adaequatio,
conterendoque secundos terminos habebimus l∞c = b, hoc est.
c∞l. Fb. Deinde, ex comparatione certiorum terminorum, ha-
bebimus mm ∞dd- F bc, hoc est, substicuendo valorem cinven-
tum, hec d d ∞ mm = bb - bl. Tum collatis quarris terMINIS,
habebitur no ∞f3 f b d d, hoc est, substicuro ralore d d inVento.
exit f3 ∞ b L bbl F n =bmm. Unde discimus, cognit Z verd r2-
dice b, hanc aquatione X3- L b x v- F b b x 1 b3 ∞ O tribusrc-
it
guo e
L1
+ bb = bb1
MM L n3
== b1
Postremo, collatis ultimis terminis, habebimus p+ ∞f3b, 2c
per consequens f. ∞  unde sequitur, cognica rera radice b,
hranc aequationem ~3 ] b ~ x J b b x -   ∞0 ad tres reliquas
MMB
eneTCletCMda.
B SL N SLN
hic in genere nonnulla.
D
Ocandum, nosous pracellentibus adaequationi
bus supponere aequactores comparatas inter Ce trabuisse
que multas FacICeS, aUC VeraS, auC talIaS, aUE AMa~ IMAEIAS. EC da
dignolcendas imaginarias a reliquis, interriet Fractatus Diori-
sticus, quem subjunoere animus est.
2. Quod hdilisenter perpendantur ca, quae praecedune, pa-
tcbit,

## Folio 102 — 175906937X:0126
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000126.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
102
D E N A F W R A
cebic, mucacis lignisterminorum locorum parium, ut 2di, qei, _c,
non mutaris lignis reliquorum, (comprehendendo lubrermino.
rUIM nUIMerO etiaM lOcOS VaCaNteS:) secundum terminum sem-
per aequari summae radicum aequationis, aftectarum cum suis si-
nis- et L; cercium rero, summae productorum carundem ra-
dicum, cum singulae bina in se inricem ducuntur: de quartum,
summae productorum multiplicationis, factae ex lingulis cernis,
acque sic deinceps.
EInde sequitur, deficiente secundo termino, ipsam fallam sum-
mamre Falsarum radicum aequari ipsi verxe vel verarum summae;
ec, deficiente tertio termino, productum rel lummam producto.
rum ex binis, per signum- vel = delignacorum, ae quari sum-
mae productorum relei, quod ex religuis binis producitur ac cum
contrario signo aficitur, et Sc de cxceris.
Primum Exemplum. Fiat ex mulciplicatione x = b ∞ 0 per
X F6 ∞ O haeC aequatio x X = b x -- bc ∞ 0. Ouare mutatis signis
LC
Secundi termini ac retento signo tertii, habebimus X X L b x -
bc∞0. Ende apparet, b = c esse summam radicis verx L b e
Fal(X -6; 8 - bc esse productum ex mulciplicatione Fal(X --6
perveram. L b.
Secundum Exemplum. Fidt deinde alia aequario x x b x t bc∞0,
ex mulciplicatione x --b ∞OperN = c ∞0. Mmare mutatis signis
secunditermini, recento signo tertii, habebitur xx L b x L. b0∞0.
15
Unde apparet, L b. Fc esse summam duarum verarum radicum,
X fbcese productum ex earum mulciplicatione.
Terrium Exemplum. Fiac ex concinua mulciplicatione triumra-
dicum x -= b ∞0, ∞ = c∞0, _ X L f∞ 0 aquario sequenS:
X3 =bxX L bCX L bCf∞0. Ouare mutaris signis terminorum
locoparpolcorum, relinquendo ligna reliquorum, habebimus
3 F b X x F b6X = b6f ∞ 0. IInde apparet, secundum cermi-
nuI

## Folio 103 — 175906937X:0127
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000127.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
 2, 4, .
le
LMuICI
in cum iaI I
eacundem ra.
de quonum
peulis renie
2FallaIIrul
um summa
in produci
aequari lum
eItuIEAC CUI
mucalto siep
 X + b
vela
Onetatu
mucacto
-bX- F- b62
0
rum radica
ione crium
S TeTIINOI
1 Mabe
unduim 1e
A O U A F L O N U M.
20
nuI -L b -L C - f esse summam verarum radicum -f. b, -L C, _ Fa)-
lx -f: e celcu terminum b0 = bf - cf esse Cummam erium
Prodelr 106, = bf, & =cf, prour lingula binx radices
in Ce inricem ducuneur; ac quartum terminum  bcf esse pro
ductum mulciplicationis erium radicum = b, + 6, _ = f. PateF
quoque, deticience secundo termino, Fallam faequari lummae
duarum verarum Fb X Fc; ec, deficiente certio termino, pro-
ducta mulciplicationis =bfe = cf, ligno - aftecta, ae quari pro-
ducto. f b0, ligno- L aAecto.
Ouartum Exemplum. Forimemus aequationem ex continua inul-
ciplicatione trium x -- b ∞ 0, ∞ -- 6∞00, _ X - d ∞ 0, quae sIE
∞3 = bkx + bCX - bCd ∞ 0. Femutatis signislocorum parium,
d
L db
+ d6
recentis signis reliquorum, habebimus x3 F b X X F A CX L bc d.
+c + b d
+ d + bc
Unde perspicimus, secundum terminum L b + 0 p e esse Cum-
manradicum + b, +c, 8 + d; ee certium terminum p dc-  db
Lbc esse summam productorum ex lingulis binis radicibus in le
invicem ductis; ac quartum terminum + b de esse productum
mulciplicationis omnium erium radicum.
Ouintum Exemplum. Fiac ex mulciplicatione quatUOF X- b ∞ 0,
- 6∞0, X-d ∞ 0, e x f f∞ 0 sequens aequatio
dt b0X = bcd x = bcdf∞ 0. Unde mutatis signis
L bd
Lbcs
Lcd 1 ba)
bf
If
terminorum, locis paribus consticutorum, retentis sienis reli-
6
quorum, habebimusxt L b ∞3 f bc x x  bc d. X - bc d f 20.
L bd
bib
obs
oos
Acque apparet, + b f. c. L d -f ese summam quatuor radicum
ascu

## Folio 104 — 175906937X:0128
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000128.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
204
D F N et Z U R A
aequarionis; de certium cerminumi esse summam productorum ex
singulis binis radicibus in se inricem ductis; at quartum cermi-
num esse Cummam productorum ex linsulis ternis radicibus; ac
denique ultimum terminum ese productum carundem quatuor
radicu -L b, - C, - d, e =-s, in se inricem duCtarum. Patet
quoque, deticiente lecundo cermino, Fallam radicem-s aequori
lummae trium veraruI - L b, [6; _  L d. FF, deticiente tertio
termino, Cummam productorum ex binis, pes - delionatorum,
aequari reliquae lummae productorum ex binis, cum ligno-L af
fectorum. Non lecus seres habet cum detecerit quartus.
Sextum es ulrimum exemplum. Fingamus quoque ex mulciplica;
tione continua quatuor radicuI X = b ∞ 0, X --630, X - d ∞0,
eE X  fDO RAMC CXUITOerC aeQUIAEIONeI
et - b ∞3 - f bC~ X -- bc d X L b5 df∞ 0. Ec mutatis signislo.
c + bd.  bcf
  cd  bdf
+ bf
Cs
Id
6ds
corum imparium, retentis reliquis, habebimus
xt f b ∞3  b6 X x  bcd x = bc df. Aeque apParet, seCUIN
F.6 t bd L bcf
d
f
 bf + bdf
 cd
cd5
dum terminu. ] b. ] c- - d- f esse Cummam quatuor radi-
cum; tertium terminum L- bc. ] bd -[ cd. ] bf. L cf. ) df esse
summam productorum mulciplicacionis ex lingulis binis; quar-
cum L bc d. L bcf - - b d f- L cdf esse summam productorum
mulciplicationis ex lingulis ternis; ac denique Lb cd f esC pro.
duccum carundem quatuor radicum - b, f 6, f B, ec + f, in
scinricem ductarum.
A-

## Folio 105 — 175906937X:0129
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000129.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
ana eA
atcum termi.
cadcibus; 
idem quau
Eta u. Palet
N -d
lieaoru
icienteren
l18no. +
TEUIS.
mulciplie
d, X = 1
aret, lecu
quatuoOr ia
Do qu
cf. F d)
producton
bus e
A, d-
A O U A Y L O N U H.
C A P U F ZII.
Recula pro in veniendis reliquis aquarionis radi-
cibus, una falsarum data.
Portet mutare signa terminorum locorum parium aequatio
nis propolica, ita ut talla radices eradant vera, e rerxtal-
Ca. Fransformara hoc pacto xeguatione, suppolitaqueradice da
Fa pro vera, invellatur aequatio, reliquis radicibus inreniendis
inserriens, sicucisepra docuimus. Atque in aequatione sic inven-
Ca mutentur signa cerminorum locorum parium, habebimusque
aequatonem recalito latistacientem.
Exemplioracia FCto aequationis x3 L I X X = M M X - n3 ∞O
una extallis radicibus data, quae sic b, acque mutatis sionistermi-
norum locorum parium, habebius x3 -- lX X - m M X L n3 ∞O.
Supponatur jam radix Falla b hujus aequationis esse vera, atque uc
hrabeatur aequatio, reliquis duabus radicibus inserriens, consula-
cur Capiris V. Propcio 2d2; e elicientur inde hae dux aequationes
X X - lX - b b ∞O e X N   b X - -, ∞ O.
b L b1
MM
Ouocirca mutaris veriusque aequationis signis locorum po-
rium, habebimus x x = lx f b b ∞ O e X X - - b X- f - ∞ 0,
L-b
M IB
quarum quae libet quaesito latistaciet.
C A P U F XIII
Ad tollendum secundum terminum aquationum
QUA D R A T A R E MI.
XX L LX =MM ∞O. SitZ - = l ∞x, ec habebimus Z Z X - = II ∞0.
MM
tu bbde
Mm
Xx = lX - m  d. M
+
DX.
ericque
b ) DX3
772 b6000
MM

## Folio 106 — 175906937X:0130
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000130.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
D E NV. A F U R A
∞X =LX = mm ∞ O. Sit
1 b- F Z∞X,)
CZ2 X = = 11 00.
verieques + mm
:1 -- 7 ∞X Cyy+ - = Il ∞0.
C U BI C A R E MI. ~
Il. + Z∞X,)
l31- y~0X,)
734 - =I1y F 2, 13∞0.
LM - 13
= 2M2
(23X - , IIZ 2, 13∞0.
p3
(y3X = = Iy. + 2, 1300.
m. +; IM
 13
(23+ - 5 Il2 - 2, 10∞0.
berirques +mm +Im
El- y∞X
Jl. f ~~X,)
dtoibe in eoe at
M2  13
 IM
Teriiquez = m -: lm
5l- y∞X,)
Jl. L Z∞X,)
 
MM
(23F - =IIZ - 3, 100.
hericque
Il. L Z∞X,)
+ 13
(y34 - = Ib7- +- , 1320.
LM- IM
3
23X - =UZ - 7, 13∞0.
erirque m -: lm
5l -y,
L 13
(y3X = = lly- + 2, 1300.
M + lM
dl Hoa 1. dtobi Ccs  5 l2. t =, b ∞0.
M + = IM
13
X3- + LNX L MMX = B3 ∞O. SICK  ; IlZ F, B3 ∞0.
LM  IM
X3
106
X3 - lXX L MMX - 13 ∞00. Sit
X3- lax mmx n  sicq

## Folio 107 — 175906937X:0131
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000131.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 102 lines, status machine
- iIl o0.
FM
==Ilve
+MM
ella - : P3
1 - 13
+, lM.
l7 + 3, P W
- 13
= iIm
I2- 2 P∞0
N = lM
13
=ll) + = VN
N + li
L13
II2- 2, 13
st + lM
+ 13
L17 + : 1
1 = lII
- 1
ill2- 3
L1
il17+5.1
A
l2 + 3,
1 + : l11
113
II2. +;
  ilI
 11.
AE C U A F L O N U M.
20n7
∞ FlXX a B _B. Sit Z = l∞ X, erit que 23 X - = lIZ F 3, B∞0.
M + =lM.
DAADRATO- OIADRATARUM
 B
Z1X - 5IIZ2 - 5 13. 2-
11
L M  Im + i Mm 20.
13
non
+
 p4
1+ - 3IIyy F + 13 y -
et
Et
LM - Im + : Um ∞0.
L13
L p+
+ = 3IIZ2- 5132
301
M = Im =, IIm 2 ∞O.
+ 13 + = ln5
L p+
 - 5Iy7. + = B7- 3 1
M + Im =  UIm ∞0.
13 + = ln3
L p+
t+  SIIZ2-- +B3X 3 1
LM + Im= + Um ∞C.
 13 + = ln3
F- 3U yy +
 p+
+ B 9- 31
IM = Im + : IIm2 ∞0.
L2
B  = ln
L p+
= B3Z
1
M = IM = Um 2 ∞O.
M
 3Uy7
y
p+
13
M. 1 Im- Um = ∞0.
B3  = ln
 p+
+.
+ 
t- IX3- MMaX-
B3 X  p 200. F. A07
di
miuer
et. IX MMXX 1
13X  p4 ∞0. Sit
DX
63
)
ritque
nec
-
lX,
lx3. + mmex
N3X  pE 20. Sit
 y ∞X
13Xf pa ∞0. Fltoc
Ox,
IL y ∞X,)

## Folio 108 — 175906937X:0132
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000132.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
100
D E N A X U R A
et - L L∞3 =mMX X -+ n3 ∞ 1 p+ ∞ O. FAO Z = = l D H, Crie
ue Z + X - 3Il ZZ -L 5 B 2 -, 3, l+ ∞0.
L M = IM = + Um
 + lB3
L pE
et -)- LX3 = M M X X - n3 x -  p + ∞ 0. F. AtOZ = = l∞ N, erie-
que 2+ X = 7Il ZZ + 513. 2 = 36l+
Mm L : Im = = lIM M ∞ O.
L M3 =ln3
L p+
e+ - L X3 =M M X ∞ = 13 X - p+ ∞ 0. FAO 2( = l ∞ X, erit.
GuC Z. + X 3 bb ZZ  + l3 Z 13614
MM L =lM  llMM ∞O.
s3
 = lB3
Lp+
∞+X EIZZ ZBZ-
30It
LM. 1 Im +UM ∞O.
B3
1X- 5llgy. + =B3y
Fln3
251+
I M  Im + is lm2 V0.
LB3
= lB3
4
2+4 - 7I1Z2 513Z= 2566
M = Im - , Ibm 2 ∞O.
Ln + =ln3
=3 IIyy + F 1 y - 235t
M + M = Im2 ~d.
13 L = ln3
OX
DX
rit que
C3.  n
n3 x- p2 ∞0. F.A0
Il. + D∞X,
Bt IX3- MmXX 1
tt
6
sicopaq

## Folio 109 — 175906937X:0133
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000133.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Elibh, vi
t ∞oX, e
2 ub ib 3 bb
5
lI
+ =II
L =1II
A O u A F L O N U M.
fl. + Z ∞X,)
GeTIEque
+1 Y ∞X,
+M + =  + 2 IIm ∞O.
+ 13 + =ln
Cy1+ - 311yy + = 13 y -
65514
LM - M + = lIm 30.
B
= = ln:
2+X - ZIIZZ -- = 13Z
ericquequ
+D3)
109
(Z14 - 3IIZ2 313Z 235I+
L 21n3
2781+
=M = =Im = = IIm=00.
-n3
y+X - 7 l1yy + 513 y-
M + EIM = - IIM ∞O.
1 n3
et -  l X3 - M M ∞ X f n3 X = p+ ∞ 0. FAOZ = = l D X, erie
Jue 21 X - 31122 + 513 Z- 3361
M + = Im = = llM. ∞O.
n3
In3
a t - L LX3 =MM XX = n3 X = p+ ∞ 0. F. (tOZ = = l∞ V, erit-
que Z+ X - 3 IIZ Z  31: Z - - 3 14
M + =Im  = =5 llM: ∞O.
B3
FIn3
p2
EIn
6761t
c4. L I ∞3 - FM M L A X = p+ ∞ 0. FAtO 2 = = l∞N, erit
276b
+M 26 lb m ∞O.
n3
2
x l∞ 3  M M X X f n3 X  p+ ∞ 0. FAOZ = =l∞ X, CFIE-
que Z+ 4 - 3llZ X + 513 Z = 3 1+
LM  =IM - = lM ∞O.
LN3 =bn3
Xt- I∞3 L MMXX 1
n3 X p23O. L
El F Z 3X,
13
C4 -- IX3 -MMXX-
n’X pt ∞0. FA0
1e2 + + - 5ll2
1
Unde

## Folio 110 — 175906937X:0134
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000134.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
e IC
D E N et F U R A
Ende colligere licet, omnes suppolitiones, quae ad collendum
secundum terminum adhibeneur, necessario exhribere aequario.
nem realem, inodo reales radices adtuerine in ae quatione propo.
lica; ex li nulla in histuerine, id indicio esse, nullas quoque esse
imacinarias in aequatione propolita. Nam, exempli gratia, sI siC
aQuatio p - l ~3 =-- MM N X - 1 n3 X [ p+ ∞ O: Patet, siradix est
realis, x necessario debere aequalis ese = I, vel major, vel minor.
Si aequalis fuerie = l, ultimus terminus xquationis cransformara
deticere debet; si major fuerit quam = l, xquatio eransformata
denominaca a radice Z erit realis; li denique minor tuerie, Erans.
Formata aequatio à radice y denominata icidem realiserit.
Ouod (i secundus terminus x quationis propolutae afticitur (1-
∞nO-F, uc, exempli gratia, (I (IE Xt -L  I ∞3 -MM X X 1. n3 X - p1 ∞O:
Patet, li adtuerit radix aliqua realis, suppolitionem hanc Z = l Dx
semper esse necellario realem ac denotare aliquam quantiratetm;
adeoque cranstormatam ae quationem admuetere quoque aliquam
radicem.
Deinde constae, radices veras aequationum à radice y denomi-
natarum esse Fallas aequationum a radice Z denominatarum; et
contra, radices reras aequationum a radice Z denominatarum esse
Fallas aequationum a radice y denominataruim.
C A P U F XIV
Continens modum tollendi penuliimum terminum
aguationum, secundo termino carentium.
DRo Cubicis. Supponatur ultimus terminus dirisus per incogni-
tam quancitatem R. esse aequalis radici requationis propolica
de sic aequario transformetur, in qua demum penulcimus deticiet
TermINUS.
Pro Ouadrato-quadraris. Suxponatur ulcimus cerminus divisus
per incognitam quanticatem R. esse aqualis radici aequationis
propoliea, e cum rursus cranstormata aequatione penultimus
terminus deficiet.
Pro aquationibus quinque dimentionum suppOnatuE ulEimUS
terminus dirisus per incognitam quancitatem R+ esse aequalis ra-
dici aequationis propolicae, ec sic in infinitum, tranlmutatis dein-
de aequationibus, uti dictum est.

## Folio 111 — 175906937X:0135
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000135.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
e ad collendu
ibere aequai
lacione prop
ad gu
DE, relmine
Cranstorm
Er austorita
eric, tram
Se1.
a dTe
H d
ne t d
quamicalent
1oque aliqua
et, liradin
licey denon
DInataTUI:
ninacarume
IntMII
IHI.
15 PeF IBCBB
DnISPTOpOlI
alrimus det
CmIutatiSde
A O u A F L O N U H.
ITY
Scd pro aequationibus quaruor dimentionum commodius et,
supponere quadrarum ulcimi termini dirisum per incognicam
quanciratem R esse xquale radici incognitae, atque ita transtor-
IN2IC aGuatIONCM.
1
Exemplum CubicarUM. PFOPONAEUE X3Z- L m MX = n3 ∞ 0. FAO
nE
P2 ∞ X, e, transtormatâ aequatione, habebitur
s
mm n3
R2
13 ∞0. Flinc mulciplicatis omnibus per R, Het n L M Mn
R+ = n3 R ∞0, dd eoque divilis per n3, Het no- L M M R+ -- R ∞0,
hoc est per transpositionem, habebitur R - m m R+ = = no ∞0.
requatio cubica, carens penultimo termino, de in qua cum datur
3
R. ex Luppolitione habetur x ∞ P.
213
Aliud EXempluM. PFOPONatUE X3 X = M M X = 13 ∞ O. FAO
n3 mmus
R: ∞ N, GICTQuC p6
R2 13 ∞O, hoc elt, R 5- L m M R 4 X
n∞0. aequatio cubica, in qua penulcimus cerminus def-
ciE, _ in qua cum datur R2, ex supra polica supposirione habe-
EUF X.
Tertium ExempluM. PEOPOnaTUF ~3 X = M M N 1 n ∞ O. F. AO
nd M m n3
e ∞x, erieque, transformat a aequatione, po
R
hoc est, R- MM R+ X. f no ∞ 0. aequatio cubica, carens penul-
timotermino, ee in qua cum datur R. ex suppolitione id habetur
quod requiritur.
Exemplum Ouadrato- quadratarum. PFOPONaEUY X+ X = M M X X
Ln3 X = p ∞ 0. FAO = DX, _, traNSFOrMALa aequatione, PICF
B mmpr, vpP -p ∞ 0. Htoc est, mulciplicaris omnibus
R4
R2
per R+, habebimus pe =mm p+ R2 - - n3 P P R3 -- p+ RY ∞00, dC
proinde dirilis perpu, habebitur R- R3- L MM R= F -- p+ ∞O.
aequatio quatuor dimensionum, carens penultimo termino.
Exemplum secundum. PFOPOMAEUY X + X - f - M H X N. -- n3 X -L p+ ∞O.
Supponendo D transformetur aequatio, Aetque + - - - R3 +
Mm R  Y -L p ∞ 0. aequatio in qua penultimus terminus de-
ficit.
ENCM-

## Folio 112 — 175906937X:0136
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000136.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
DE II A F U R A
Exemplum tertium. PFOPONAtF Et X =M M X X - 13 X. F p ∞O,
Suppolica x ∞ E, a quatio cransforImata eriER+ - R3 - mm P Y
Lp+ ∞0, carens penultimo termino.
Exemplum quartum. PFOBONAEUE X+ Z = MM XX- F n3 X F pt ∞0.
SupPOlITO ∞x, CrIEErAnSCOEMATA _e QuatiOR+ -+ R3 =MMR.X
pr ∞0, Penultimo cermino destiruta.
Exemplum quintuM. PFOPONATE XF K - L M MX X - 13X - pt ∞0.
FF suppolito ∞X RquatiOtranSFOrIMaLA erIERY L= R3-MMR
X =p+ ∞0, carens penulcimo termino.
Exemplum sextuM. PEOPONaEUF X+ X = M M X X - n3 X- p+ ∞O.
Ec Cuppolito _ crie ae quatio transtormata R+. L R3 F mm R
+  p+ ∞ 0, qua destiruitur penultimo cermino.
Exemplum septimum. PFODONAEUY NF X. L MM X X L nX - pr 2O.
Suppolito Da, transformata a quatio erit P = = R3 =M M R
= - pt ∞0, Carens penultimo termino.
Eix quibus manifeltum est, ex omnibus equationibus auferri
posse penultimum cerminum, quandoquidem superius ostensum
el, ex omniaquatione tolli posse secundum, ac modo jam est de-
monstracum, quo pacto ex aequationibus, secundo termino ca-
rentibus, penultimus terminus auteratur. Id quod annocasse ope.
ta pretium duximus, cum Vieta, Poltquam Capire imo de Aqua-
tionum Emendatione secundum terminum cujusque equationis tol.
lere docuit, rersus finem ejuldem Capicis aftirmet, posse etiam
aliguando alios AUFerrI RGUaLIONIS FCFIMINOS, acque ex hac nostra
quidem methodo conster, quomodo semper penultimus colli
gueat.
 A-

## Folio 113 — 175906937X:0137
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000137.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
2+
2
23-
x - p ∞0
e + MMB
eX - B3
23 - 111 1
IDuo al
SOIlCM
JaM Cl
erminoei
rocale e
10dC A
actoa
Pollec
ehac nole
lciimus1
A C W A F L O N U M.
C A P U F ZV.
Methodus transmutandi squationes Cubicas compositas.
in quibus secundus terminus deest, in squationes
Cubicas simplices, quando id fieri potest.
D RopOnatur HXC aquatiO X3 X -  3 mM X =n3 ∞ ∞. SupPO
namuS Z Z = Z X =mm ∞0, hoc est, x ( EZ - mn
de, cranstormata aequatione, habebitur
Z = 3M M Z + 3 M+ Z2- M ZMMZ Z =3 M +
2
2
.EIn-
=n3 00.
hoc est, mulciplicatis omnibus per Z3, invenietur haec axquatio
Z n3Z 3 = M∞ O, vel Z∞ n3Z3- m, cujus radix ett
2 ∞ = n. L V=no-Lm. Oux est aequatio cubica simplex.
Cornita aurem ejus radice 2, erit ex lupra politis radix altera
X ∞
2Z =MM
2
quam m.
=.Ouxe semper est possibilis, cum Z Major (IE
Aliter. SuIpPONatUE Z Z  Z X = m m ∞ O, eritque
e ∞
.Ende Transformata aequatione habebimus
2 5 f-13Z 3M ∞ 0, hoc Cst, ZE ∞ --n3 23 - m CUjuS Fa
dix cst 23 ∞ = = n3- V = no L m Oux rurlus xquatio est
cubica limplex. Cujus ope, cum cognolcitur Z, habebitur
MI- ZZ
∞ ∞
quae semper erit postibilis.
Proponatur item haec xequatio v3 + = M M N = n3 ∞0, Tup.
DONALUFGUE ZZ =-ZX - L. mm ∞ 0, hoc est, X ∞
Z Z + MM
Unde
ranSFOrmata xquatione habebimus 2 L 3mm Z + = Z m+ ZZ L m
MMZZ
m
=n3 ∞ 0, hoc est, 25 - 13 23  1o ∞ 0,
SCu Zo ∞n2 Z3 = mo cujus radix est 23 ∞ = n3 8 V =n = mo
Einde

## Folio 114 — 175906937X:0138
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000138.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
14
DE N A Y U R A
TEnde pPAtCE, OpOrtere mo non majus esse quam = n ut aequatio
HXC Z5∞ n3 Z3 = m locum obtineat. Nam Ci majus lic, non pol-
Pet propolica aequatio x3 = = m M X = 13 ∞0 sic in simplicem
cubicam cransmutari.
C A P U F XVI.
Methodus generalis, concernens usum secundarum radicum,
ad tollenda siena radicalia ex A. quatione proposita.
EItuerine dux aequationes, in quibus eadem licera reperitur;
licet ipsas reducere comparando cum duabus aliis, in quibus
haec licera pauciores habet dimensiones.
Exempli gratia, habeamus hasce duas aequationes x3 L b XX
6CX = d3 30 _ X 3 - lX X - (MM X - -n3 ∞ 0. OuibUS EranF-
policis, habebimus x3 ∞ = b X X f 6CX F d3 _C X3 ∞ ] I XX -
MMX -Ln3, ac per consequenS l X X = M M X -L n3∞ 0, hoc
eHt, X X ∞
MM X - L CC X - + d3 -- 13
1. = B
 66 
. in qua licera x pauciorum est
dimentionum. Aeque ut habeatur adhuc alia, multiplicetu tan-
M M X X- +. d3 X
cum aequatio inventa per x, de invenietur x3 ∞ 6C
-1
1. +
Duxe comparata cum aliqua ex pexcedentibus, verbisracia; cum
secunda, exhiber sequenrem aequationem LM XX - n X- ln. ∞O.
 C6 + (m  - bn3.
Lbm
1b + d3
in qua liccla a et ccarum Casscum eit dimentionum. Sed l
collara fuisset cum prima aequatione, inrenca fuistet alia, ubix
adhuc pauciores habuissee dimentiones, ita ut eligenda sit ad com
paracionem. Facillima. Acque sic continuando inreniri hic pol-
lunc duae alixe, ubix estunius dimensionis, ee tandem alia ubi
prorlus declt. Quod iplum docet, dari tales x quationes, in quibus
licera, quae in utraque inveniri debet, mutua illa comparatione
plane autertur. UInde apparet, polle quidem aliquando auterri
hanc lireram, quamris non diminuatur numerus dimensiOnUM.
Lxem-

## Folio 115 — 175906937X:0139
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000139.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
u aqui
u, Bonpol
pi
racim
sit a.
 quio
reperitu
3- - bX
ovserant.
LlXr
10, uo
CioruI
ICetUEI
PX +
aeia
=1
1III. Set
ilia,
113d C0
lhicP
N alia
1D
aparation
do duletta
Fret
si
A O U A F I O N I N.
Exempli gratia, si dentur hae aequationes X x  b x - CC∞0
 X X = b X -  d d - b b ∞ 0, habebimus X X = b X ∞6C, 8
X e  b x ∞  bb = d, er90cc∞ bb = d ebo
Venio jam ad alrmmetrias seu irrationales quantitates, pro
quibuscollendis, oportec tantum supponere literas aequales lin-
fulis terminis alpminetris aquationis propolita. Oua quidem ra-
tione non tantum obtinebimus aequationem propolicam, in qua
omnestra licera lune substituta; led etiam tor alias, quotliterx
Fuerunt suppolita. Unde collaris ordine omnibus hisce equatio-
nibus, derenietur ad aequationem, ubi nulla licerarum invenitur
ac per conlequens nullum signum radicale.
Exemplioratia, proponatur xquatioc- L VC. bbx = V dX ∞O.
Ad collendas isitur ejus alzmmetrias, PonamuS R ∞ V C. b b 
_ Z ∞ V dx. Quibus in aequatione proposica substicuris, hobe-
BimuS c. LR- 2 ∞O; aeque ex reliquis supposicionibus erie
R3 ∞bbx, d ZZ ∞ dx. Primo, ad collendum R, habebimus
R∞ Z 63 IdeOGuC R3 ∞ Z3  36R Z - L 36CZ i c3. REqui eAt
quoque R3 ∞ bb x. OUare CrIt Z3 --- 36ZZ  3CCZ =- 63
b b x ∞ O, de per consequens 23 ∞ -  3 CZ Z = 3CCZ -
63bbx. Sed li mulciplicetur superius propolica aquatio 2 L
∞ d x per Z3 habebitur etiam 23 ∞ d X Z. Ergo erie
3622 = 3662 c3 ∞0, de substicuto d x loco Z Z, habebi-
=dx  bbx
MuS 36 d X  3662-  c3 ∞0, hoc CA, 366Z ∞ 36d X - bbx,
eu = ∞
LL X
n dX  bbx
Cdx = bbX - L C3
3C6 + d X
36C- dX
dX
Oux si mulciplicetur per Z, Aet
XZ F bb X Z = C32
.Sed est quoque Z Z ∞ d N. I9i-
Tux habebiius 3 cdXZ L b b X Z -  C3Z ∞ 3CC e X - p. 1b ct X X.
det ab
3CCd X - L c d X X
BC d X + bb X F c3
3Cd X = b b x L c3
366= A X
D 2. Invenca dutem est
Duare habebimus tandem

## Folio 116 — 175906937X:0140
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000140.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 14 lines, status machine
216 DE HV. E TUR A AE OUATTOVUM.
a 3 X 3 - 3c6 cb a X X -  36 + d X = 6 ∞ 0. In qua aquatione nul-
6bb6d - 2C3bb
b4
lus terminus irrationalis reperitur. Ouod si aurem alii adhuc re.
perirentur, oporceret tancum operando uc lupra auterre caeteras
literas, caeteris terminis irrationalibus aequales suppolicas. Qud
quidem ratione omnes ommino termini irrationales rollentur,
calculus rero prolixior cradet.
Necessicas hujus methodi vel hinc patet, quod, Situerintplu.
res quatuor terminis irrationalibus, ligna radicalia, per metho.
dum a Vieta tradicam. Capite quinro de Pmendatione Aquatio.
num, tolli non possint.
eiLL

## Folio  -  — 175906937X:0141
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000141.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
moren
I adtur
RECCI
(icas. P
collen
erit
et mett
Equatio
Ad Tractatum de Limicibus Aquationum
EPISTOLA PRAELIMINARIS.
Clarissimo riro
AR ANCISCO a SOTTOOTEN
Machemacum in Ilustri Leidensi Academia
Protesori,
ER ASMIUS BARTTIOLINUS
S. P.
Isi meminissem, quanto majore animohone-
ratis fructus in conscientia, quam in fa-
ma reponatur; nequaquam opportunum
fuisset, in edendis hisce opusculis Analy-
ticis consilium. Verum quia communibus macis com-
modis quam privatae jactantiae studui, eo anmus au
sus est, deliberato consilio obsequi. Cujus mea con-
scientia interpretem, non alium maris desidero, quam
re Vir Clarissime, quem utilicatibus aliorum, plus
quam propria laudi, indies deservire, comperrum ha-
beo. Venit in mentem studiosum illud otium, quod
Leidae mihi semper emolumento, utrisque deinde so-
latio erat, cujusque varietates si oratione repetere vel-
lem, prout animo pleraque obversantur, non dubito
quin existimationi hominum dilicentia ex fides nostra,
 in plerisque etiam pietas subjiceretur. Ft licet ne-
sciam, an ullum tempus jucundius execerim; tamen
ea de

## Folio  -  — 175906937X:0142
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000142.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
ea de causa marnifacio, quod amicitiae tuae, usque ad
intimam familiaritatem, capacem me redderet. Ne.
que aliam interprecationem habuit, quod Leida dis-
cessurus. Tsaroeen Carre sianam typis excudendam con-
cinnaveram, ut meam samam cum rua extenderem.
Duâ de causâ, cum non modo offensas, verum etiam
simultares varias subierim: non ienoro, quae furu
ra sit de hisce jam edendis sententia. Ie dubites ta
men quin omnia aequo aximo toleraverim, praesertim
quia pietas e obsequium causam junxere. Duem
enim praeterit, fatum liceratorum: Mihi cerre non
improvisa est calumniandi vanitas. Est ita natura
comprobatum, ut benefactis major ex conscientid mer-
ces, quam in ore hominum reponatur: nam plerique,
tantum suae derractum iri eloria existimant, quan-
rum cesserit alienae: postremo, ienavissimus quisque
aliorum seripea carpere non veretur. Sic contendere
pro moribus temporum eruditio est. Quod recordan-
tem, posteritatis magna miseratio subit. Duot enim
praeclara inventa putas obscurari, propter scelus hoc
obtrectandi: Plerique se inera perpetuum silentium
renere amant, pocius quam malionitati interpretan-
tium exponi. Ita communem hunc errorem. bonum
publicum maenis detrimentis expiabit. Feo aliorum
exemplo, quidem didici nullam ex meis laboribus spe-
rare laudem; tanta tamen mihi semper fuit reveren-
tia posterum, ut censuram erroris non tam reformi-
dem

## Folio  -  — 175906937X:0143
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000143.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
usquen
et. IB
cididis.
damc.
este
iM etind
Ha sit
Ites IA
aeserrin
Duem
este noM
 natuim
otia met
plerique
Quiait
quisque
NOF eni
celas Ib
silentin
ex preta
bon
alioit
ribiuss
rever
resori
dem quam inhumanitatis. Sed, ut de pictore nist Ar-
rifex judicare, ita nisi Mathematicus non satis potest
perspicere Mathematica; rua potissimum sententia
haec exponuntur. Eximium habent usum ea quae se-
quenti tractatu exponentur, ad numero (am P quatio-
num resolutionem, ut reliquas utilitates pertranseam,
quia Tu eas ienorare non potes. Duare Lectores ro-
Co. ut judicis parcant, donec penitus omnia inspe-
xerint. Ft si qui fuerint qui haec recusaverunt, sciant
se nec inventis eratiam adimere, nec mihi laudis con-
scientiam. Fevero Pir Clarissime, si offenderint, omni-
bus commendationibus destituta repuiabo. P’ale.
e 05

## Folio  -  — 175906937X:0144
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000144.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
OSTERIOR TRACT ATYS
 lo
ALLTIBVS
ILLLONUM.
001
UO pacto ex Torma Equationum attectarum
detiniri possine limites, intra quos radices
verx debent oftendi.

## Folio 121 — 175906937X:0145
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000145.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
Aarum
ices
IM IT I BCS
A Y
C A B U F I
De Aquationum Duadratarum seu duarum
dimensionum limitibus.
Prop. T. X X - l X + M M ∞ O.
Er transpositionem erie m m D lX = X N, _ lI
prima pars tuerit realis, erit etiam altera pars
ealis, ideoque lx majus quam x x; ee dirilo
Toque termino per x, erit l’ major quam X.
un ae pertranspolitionem propolitae aequa-
tionishabebitur xx ∞ lx - mm: ideoque al-
cera pars eA realis, de la majus quam MM.
mm
Unde dirilo utroque termino per l, erit x major quain =. Oua-
mm
re aquationis propolitae urraque radix x major erit quam, sed
Winor quam l.
Prop. 2. X X -- l X = W M ∞ O.
Per tranlpolicionem habebimus x x ∞ IX L mm, id eogue X X
majus erit quam mm, d x major quam m, ac proinde m x majus
quam mm. Iindexx minus eric quam la- L mX, ad eoque (IUEra-
que pars diridatur perx, eriex minor quam l. L m. Rarlus, quo-
nIaM x x aequatur lx L mm, erit xx majus quam lx; ac proinde
si uterque terminus dividatur per x, etit x major quam l, E l’i
majuS quam II. Hlinc cum  N aquetur lX- L MM, CrIE X X MIajUS
qua II. Fmm, hoc est, x major quam V II- L m M. POCFCIIO,
quandoquidem x major est quam m, erit lx majus quam lm. &
X x majuS quam Im. Lmm, hoc est, x major quam V LM. L M H.
Unde radix aequationis propolitae erie major quam maximaha-
cum duarum V II. + mm ec VIm. 1 mm, sed minor quain l. L. M.
PiOP.
F

## Folio 122 — 175906937X:0146
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000146.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
D E L T N L F L B U S
PrOD. 3. X X - lX = M M ∞ O.
Per transpolitionem habebimus X x L. lx∞ mm, de per conse.
mm
quens = majus erit quam x. Rursus exiltente a x- L l~DMM.
eriemminajus quam ex, e mnajor quaimx, ac proinde mema-
juS quam Xx. AEqui habemus ∞ x L l ∞ ∞ m m. FrCO M X L. LX
majus erit quam mm. Flinc dirisd ueraque parte pet m. L. l, Aetx
mm
Major quaim-
m. Quare invenca eAt x radix XquationIS PrOPO
mm
mm
litx major quam,. J m aE minor quam , ee M.
C A P I F TI.
Delimiribus Aquarionum Cubicarum seu trium dimensio-
num, secundo termino carentium.
Prop. T. X3 X = M M X + 1 3 ∞ O.
DEr transpolitionem habebimus x3 ∞ L m M X -n3, erieque
Lmmx majus quamn3. Unde diri (OUErOqUe FeFIINO DEEMM,
erit x major quam-. Deinde per transpolitionem critmmx
MM
x3 ∞n3, aC PeT COnTEQUeNS M M IMajuS quaIM X X, _ M Major
quam x. Ouareinrenta est urraque radix a aequationis propolita
de minor quam M.
Prop. 2. X3 X - M M X = n3 ∞O.
Per Campeoeadebimus X3 = M M X ∞N3, CFIEGUC XX
majus quam mm, ec x major quam m. F. rit quoque X3- n Cmm,
ideoque x3 major quamn3, _ x major quainn, ac proinde nnv
majus quam n3. Aequi per transpolitionem propolitionis habe
ImUS MM X + 13 ∞ X3. QUaTC MM X + BN X INajUS CrIE quam X3;
ee dirisd utraque parte per x, erit mm. Lnn majus quam xx; ideo-
que x minor quam V mm-Lnn. Inventa ergo est x radix aequa-
tionis propolicae major quam mden, ac minor quam Vmm. L n.
Requeliquet, ad cricandam extractionem radicis cubica ipLIUS N.
quod loconn in rinculo allumi possit quantitas aliqua, gux non

## Folio 123 — 175906937X:0147
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000147.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
rerconte
+lL DMI
indemum
OM X +
o seoe
a yta
Men (1.
1, eriie
AOPeTI
TIEMIIX.
a 1I BIa
propol
eriique
oinden
ionis B
ee quam.
M XX Il
odic ag
MI. +1
Ciplita
GuaM
A, O W A Y L O N W H.
123
GiF pinor. Id quod non erit difficile, cogniris nempe cribus di-
mensionibus ipliusn, lumendoque loco nn rectangulum sub dua
BuS QuanticaribUS; GUIATUIM AIEOTHETA NON sIC ipSa n mINOF. FriE
que hoc ad sequentia nocatu dignum.
Prop. 3. X3 X   M W X = v3 ∞ O.
Per transpolicionem habebimus x3 ∞n3 =M MX, exitquC mM
IMajOr quaMI N. RUrSUS CTIEM M X DN3 = - ~3, _E CONSCGHENECFN3I2-
Jor quamx, enmajor quamx, ac proindennx majus quamr x3. Sed
per transpolitionem a quationis proposita est quoque x3- LMmx ∞
n. Frgommx Lnnxmajus erie quamn3, de diris d utraque parte per
nn. Lmm, erit x major quaim
nn. +mm. Inventa icaque cAtradix X
aequationis propolica esse major qua mn. L. nn. led minor quam
n22
mm ecn. Polumus etiam loco nn accipere rectangulum duarum:
maximarum dimentionum iplius n, ue radicis cubica extractio
eriTetuI.
C A P u F III.
De Equationum Cubicarum; penultimo
termino carentium.
Prop. T. X3 - lX X X -F B3 ∞O.
elcapolitionem erie x3. = n3 ∞ Ixx, ideoque x a majus
quam,. Rurlus erien3 ∞ L~ N = ∞3, e consequenter l major
duam x. Ouxlibet igitur radicum x aequationis propolicae major
exic quam Vu de minor quam l.
Prop. 2. X 3 - lN ∞ X =- B 3∞O.
Per transpolitionem eritx3lxxcons, idcoquexmajor quainl.
Rursus eric x3 =n3 D lXX, _ consequentEF~ major quamn, e
XX Ma)US QuA NN, EC BN X MajuS qua N3. AFquI habCMIIIS quO-
que per transpolitionem lXx - Ln3 D ~3. Ouarc cricl a X - L H X X
inajus quam x3. DiridatUF VErAqUE PArS Per XX, criique l- L 1
major

## Folio 124 — 175906937X:0148
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000148.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
DE L E H E Y L B U S
iajor pe hvenca itaque est radix x aequationis propolitx
major quam len, sedminor quam l -1.n. Manifectum est quo.
que ad cricandam extractionem radicis cubicae ex n3, quod locon
Tumi posheminor erium dimentionum iplius n, quandoxmajor
CA; S quando minor perhibetur quam l. L B, quod tunc locon
maxima erium dimentionum iplius n’accipi queat, e lic de reli-
quis, quibus ob nimiam FaciliTaLeI NON LMMIOTAIUE.
Prop. 3. X3 - L IX X X = 13 ∞ O.
Pertransxolitionem erit x ∞ n =lX x, ac per conlequens,
majus quam x x. FCt etIaI LX X ∞n3 = X3, _ CON(CGUENECFNMI-
jor quamx, _nx x majus quam x. Sed habetur x3 L l X X ∞ n3.
Freonxx. + lxx majus erit quam n3, hoc eAt, diris à utraque paF-
ce vern L I, eric x xmajus quam
nJ1. Inrenta esicaque radix x
n
aequationis propolica major quam Vi p Led minor quam V
_En. Demonstratur praeterea nnx. L Inx majus esse quamn, et
BN
nx. F lx majus quam nn, de consequenter x major quai  F
quandoquidem n major est quam v.
C A P U F IV.
De Aquarionibus Cubicis, in quibus omnes termini extant.
PrOp. T. X3 = lX X  M M X = n3 ∞ O.
DExtranspolicionem habebius x3 = l X X ∞ n3 =m mx. FTinc.
sI X aquetur ip(I L, erit etiam x ip(I-
q
vicistim l’aequetur ipsi
 hoc est, Immon3, erit limiliter xra-
m
dix aequationis propositxe ae qualis ip(Ilet min Praeterea (IX3 =LXX
estrealis, hoc est, x major quam l, crie quoque n3-m mx realis,
de consequenter major quam x. Ouod si autem caden quan-
M
TitaS X3 = lxx nihilo minor sIC, transponatur propolita aequatio
hac ratione LXN - X D MM X = n3. Ec quandoquidem suppon
124

## Folio 125 — 175906937X:0149
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000149.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
M ell quo
focta
quodlocon
oxmjo
coco
LILEI
equens
TerHN
lXX ∞N.
Aaque pAF
u 12dIX
1d
quar
is extan
Idcoque
AII X. P
pilicet
1HX3
AMXsed
ader qui
(It2 291II
A lopso
A O I A Y E O N U M.
12c
tF IX X = X: elle realis, hoc eHt, lIajOE Quam X, CxIE M M N - 13
etiam realis, e conlequenter major erie n quam nn. Inventa eAt
itaque radix ae quationis proposicae aequalis ipsi l ec ipsi cum
Quo hiTerINI RGUANEUF. FF li unam eantuI haBCAE AWCETCS, qua
libec earum erit inera hoslimites, quando inxquales sunt; si vero
requales, hoc est, Immon Tubstituco Imm locon in requatio-
ne propolica, et diridendo per x -l, cognoscemus eam non ha-
bere aliam radicem in hoc casu quam l.
Prop. 2. X3 + lX X = M WX = n 3∞ O.
Percranspolitionem habebimus x3 -mM X ∞n =Lx X. Ouod
C erso ax _mm lunc aequalia, erir eriam x x ip(i, aequale; de li
X X majuS eA quamMM, CrIE quoque , IajuS QUAML XX; ee (I X X
minus est quam mm, minus quoque erit quam x x. Inventiita-
que lunt duo limitesm e V quorum cuitibet a quatur radix
x quationis propolita, si fuerine a quales, hoc eAt, (I lm m _ GuaEIK
iplins; auc necellario inter duos erit, Cinae quales tuerint. Fadem
Mm
ectratio duorum reliquorum limitumn e
Prop. 3. X3 = b X X =M M X - B3 ∞ O.
Per transpolitionem crit x = lX x ∞ mm X L n, ideoque X
major quam l. Rurlus cum per transpolitionem (IE ∞3 =m M X ∞
Ixx + n, Criexx mejus quammm, ec x major quam m, EE m X X
majus quam mmv. Sed per transpolicionem eAt quoque x3 - n3 ∞
lXX + MM X, _ Per COnlequeNS X MajOF QUaM B, eCn X X ajuS
quamn. Juin ee pereranlpolicionem propolitx habetur lXX.L
mm X = 13 ∞ x3, aeque inrentum eA mX x ajuS quam m M X, eC
BXX MajuS QuaIMn3. ErsO eric LX X -L M X X -L n X x majus qua
x3. Ouocirca li utraque pars diridatur perxx, cricI L m Lnma-
Jor quam x. Inrenea est icaqueradix x aequationis propolita ma-
jor quam l, m, ec n, Led minor quam l. L M - L. n.
ProD.

## Folio 126 — 175906937X:0150
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000150.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
DE L L M I F I B a S
Prop. 4. ∞3 -+ l X X -   M M X = 13 ∞0.
Pertranspolicionem erit x3 = - M M X ∞ n3 = l x x, ideoque;
IajuS quaM X V. SCd ec quoque X3. L l vX ∞ n3 =M M N, ideoque
2
m MajOr quAMMX. AEvero estetia LX X - L M M X ∞ n3 -∞3, et
Conlequenternmajor quam x; quare _ nna majus erit quam x3
_lna ajus qudin LX x. AEqui estX3 L I v X L MM X ∞ n3. F 190
Mn X L IB X L mm ∞ ajuS erit quam n3, d a major quam
n = In Lmm. Duare inventa est radix a aequationis propolica
13
major quatr mm. F In- F mm. at minot quam 
n3
mm. de n.
Prop. S. X3  bX X - B M X + n3 ∞ O.
Per transpositionem exitmm a- L n3 ∞ l x x = x 3, ideoque l INa-
jOr quam a. RursuS CrIE X3 L n3 ∞ l X X =mm X, 8 per conse-
MM
quensmajor quam,. Inrenimus erso, quamlibet duarI ra-
mm
dicum aequationis propolitae neceslario majorem esse quam, e
minorem quam l. Sed per transpositionem est quoque xS Lmm ~
∞ lx + = n3, e consequenter xx majus quam,. OIarC XE X IMa-
IOr erit quam V.
Prop. 6. X3 -  LX X = m m ∞ = 13 ∞0.
Per cranspolicionem erie x3 L l e a ∞ mm x = n3, ideoquev
major quam. Similiter erie x3 L n3 ∞ MM ~ = L X X, dC per
mm
conlequens major quam x. Rurlus Cric LX ~- F13 ∞ MM a - ~,
d consequenter m major quamx. Invenimus ergo, quamlibet
duarum radicum aquatioms propolita necestario majorem esse
mm
qua, sed minorem quatm, ee M.

## Folio 127 — 175906937X:0151
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000151.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
d.
ideoque
Ix, ideoe
1
eit
∞13
DF Quam
propolii
d A.
edGue
Det Cone
dUaTUIMA
uam,
~3 L 11I
rede XH
1de0 
1X,C
MIII X-
quamlib
O
A Q U A X I O N U M.
PrOp. 7. X3 - b X X = M M X - B3 ∞O.
Pereranspolitionem erit x3 = lX x ∞ M M X - n3. Unde patet,
S x aequalis est ip(i l, quod cunc quoque x ip(I
Ideoque sil aequatur ipsi
mn hoc est. Imm ∞ n3, una radiCUI X-
n3
quationis propolica aequabitur sinsulis cerminorum lde ; de lI
inaequales tuerint, neurra ex duabus radicibus ae quationis propo-
Cicae poterir esle inter hosterminos. Juia ridemus, cu xiajor
n
Dum: de liminor est
n. Sed per transpo-
sicionem eAt etiam x3 = m M X ∞ lX ∞ - n3. FTINC (I XX XGUCTUIE
ipsimm, erit quoque xx ∞ 7. Ideo que situerine hi terminimm
n
e, aequales, hoc est, Immon, una radicum aequationis pro-
Policae major eritunoquoque terminorum aequalium m et V; de
Eina qualestuerine, neutra duarum radicum ae quationis propoli-
ex erit inter duos ex his terminis. Praeterea per transpolitionem
eAt quoquex3. Ln3 ∞ lX X L mmx, ideoque lX x L mM x m ajaS
quaim x3, e lx. Fmm majus quam x x. AEx exit rcalis, d vel aqua-
lis, vel major, vel minor quam m, li ae quatio propolita tuerierea-
lis. Ecliaequalis fuerie rel major quam m, erit e lx L m X ajus
quamxx, dc per consequens l. Lm major quam v. Ouod si au-
cem minortuerit quam m, multo magisl- Lm major crit quain x.
Porro ex hac eadem aequatione constat, quod lxx-Lmmx etiam
ajus est quam n3. Hlinc cum l. Lm major (ic quam x, ideoque
IIX- F Im x majus quam lxx; erie quoque llx- LlmX- L MM X MI a-
jus quam n3, de x major quam 1. L Im =mm. Turenimus isitur,
quod qualibet radicum aequationis propolicae major est quam
II. L Im L mm. de multo major quamm 11 - = 2 lm = mm 3 aE MIHOF
quam l. Fm. Denique, quoniam l. Lmmajor est quamx, li major
Fueriex quamm, eritincer holce terminos l. L m de m. Ouod (I
verommajor est quam, inrenimus, quod lxx Lmmxestma-

## Folio 128 — 175906937X:0152
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000152.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
28
D E L. Y _ E F T B U S
jus quamn, hinc Imx.- Lmmx muleo masis eric majus quam n; ad.
eoque x major quam n
Im. mm de conlequemer x major quam
minorhorum duorum terminorum m 8
n3
Im. L mm
C A P U F V.
De squationibus quatuor dimensionum, secundo es
tertio termino carentibus.
Prop. 1. X 4 X X = 1 3 X -] p4 ∞ 0.
Eerranspolitionem es xt ∞ n3 x -p, ideoquex major quam
P4
. Sed per transpolitionem eAt quoque p+ WB3 V - XF,  CON.
(eguenter n3 major quai x3, aC n IajOr quai X. ErGO VETA-
que radix x aequarionis propOlEX ajor CrIEquam, dEminoe
quam B.
PrOp. 2. X 4X X = B3 X = p4 ∞ O.
Pertranspositionem es x + =n3 X ∞ p+, ideoque x3 major quam
n3, e x major quamn, ee nn xx majus quam n3 x. Sed elt quoque
at = p+ ∞ B3 X, IdCOquC xF ajuS quam pF, e x major quaM P, d
PPXx majus quam p F. AEper transpolitionem est etiaim n3 x p
p+ ∞ Xt. LrSOnAXX LPP a X majus erit quam x +. Plinc divisi
UETaqUE PaITC PEF XX, CIIE X X InUS QuaI WB L PP, de x minOr
quam V nn. LPP. Inrenimusigitur, quod radix aequationis pro-
politx eA major quamne p, led mInor quam V nn- L PP, dC PFOI
de muleo INOr quaM n F P.
Prop. 3. X + X X - 33 X = p+ ∞ 0
Per cranspolitionem erit x + 2p + = n3 X, dc per consequens
Major quam x. Similiter eric n3 N ∞ p+ = Xt, _ COnsequenter p
MajHS QUAL X=, eE pMIa)OF GNaI X, EC p3 x iajS quam xt. Sed
ett praeterea vt - =n X ∞ pF, ideoque p3 X- n3 x majus quam pt de
major quam p3- 3. Inrenimusitaque, quod radix aequarionis
PrOPOliEX eA major qudWB p3  75 ac minOY quam  ee P.
Ct

## Folio 129 — 175906937X:0153
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000153.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
GaM H, u.
mjor qui
1udC
, d CC
L1BDta
aF qua
 L. MIBO
1a) et qu
lel quo
acionispe
quamp
1aI
Tinc dii
de rmin
PP, dC PB
onteu
eguem
quatu
2IM X.
2quai
1P.
ei
AE Q U A Y L O H u H.
C A P U F VI.
De Aquarionibus quatuor dimensionum, in quibus tertius
es quartus terminus deficiunt.
Prop. 2. XF - lX3 X X L p4 ∞ O.
Eccranspolicionem eAx + ∞ L l∞ 3 = p , ideoque X3 major
quam. AEvero eC etiam p + ∞ lX 3 - xt, e consequen
ter l major quam x. Inrenimusisitur, quod unagua que duarum
radicum aequationis proxolitae est major quam V C. at minor
quam l. Tinc quoniam lmajor est quamx, _ L X3 majus quam pr,
habebitur Ilxx majus quam pr, de consequenter xx majus quam
73 e x major quam.
Prop. 2. X 4 - I X 3 X X = p+ ∞ O.
Pertranspolitionem estxt =lx5 ∞pt, ideoque x major quâm l.
Similiter eltxt =pt ∞ lx3, ee consequenter a majus quam pr, e
x major quam p, ac proinde px3 majus quam pr. Sed est etiam
IX3. F p+ ∞ xt. FrgOl a 3 F PX3 majus eric quam x, dc l. L p imajor
quam x. Inrenimus isitur, quodradix x aequationis propolIEX
ajor eA quam lec p, ac minor quain l. L P.
Prop. 3. X + -f.. L X 3 X X = p+ ∞ 0.
Pertranspolitionem est xt ∞ p+ = lx3, ideo que  majus quâm
23. Similiter e(lx 3∞ pF - x+, ac per consequens p major quam X,
_ pX majus quam x+. Aequi est etiam x L l ~3 ∞ p+. FrGOIX3
LPX majuS erit quam PF, _C X3 major quaM JL. Quare inve-
nimus, quod radix x aequationis propolita major est quam
V C. F. Sed minor quam p ec Y C. . Facillime vero evitan-
tur extractiones radicum cubicarum, sumendo terminos paulo
IMaIOreS AUEInOreS, Prout necesitaS requirit. Atque in hOC Ca
Tu

## Folio 130 — 175906937X:0154
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000154.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
130
D E L L M I F I B 1 5
Cu, quoniam xs major est quam, =p; de P ajor quamH, erieprx
majus quam, et xx majus quam,
ip =p Praeterea, quandoquidem  majus est quam v, erit
B4 X
majus quam v, de Ippa majus quam l∞3, quia pinajor est
P4 X
qua x. AEqui est X +- = lX 3∞P +. ErSO=.L IP PX Majus erir
quam pr. Flinc, mulciplicat â utra que parte per l, e dirisa perpp.
habebitur ppx-L Ilx majus quam lPP, Ec x major quam
6p
II. + pP
De aequationibus quatuor dimentionum, in quibus secundus
de quarrus cerminus deticiune, nihil addimus: liquidem illa ad
quadratas reteruntur, ita uc iplarum limites eodem modo quo
quadratarum inveniri POsint.
C A P U F VTI.
De Agnationtons quatuor dimensionum, secundo
termino carentibus.
Prop. T. X+ X - MM XX + B3 X = p+ ∞O.
DExtranspolitionem erit xt =mmXX ∞ pF =n3x. LInde app2-
rec, quod, situerie xx aquale iplim m, hoc est, x ∞ m, ctiam
xip(I = sE aequalis fucura. Ideoque sifuerie m ae qualis ip(1 , hoC
eA, mns ∞pF, radix x aequationis propolita a quabitur lingulis
: e linxquales tuerine, unaqua que radicum
aequationis propolita, tire unam sire treshrabuerie, Cemper erit
inter duos holce terminos. Praterea cognolcitur, si duohiter-
mini fuerine aequales, hoc est, mns ∞p+, substituro mn. locoptin
requatione propolita, eaque dirisd per x -m, tore, ut non possit
hrabere aliam radicem reALEMI PTRTEF M.

## Folio 131 — 175906937X:0155
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000155.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
M L, Cpt
Mjor quanu
quam.
AD iasere
e Masaoe
115d ft
(0e
11+ 8
lecundu
dem illa 2
modo que
iitab
Inde ap
DIII, e1
icuLne
ipsi-
verad
temper e
ouo hil
13 10CO
ILnOn pO
1
A _ u A Y E O N U M.
Prop. 2. X 4 X , L WWX X - n3 X - pt ∞O.
Per transpolicionem habebimus xt - n3 ∞ ∞ p+ =m m ~ X. IIN-
de constat, six aequalis suerit ipsin, Fore etians x X ∞ 
eAt, X ∞ V 
pE
mn; hoc
;e (IFueriEN D V-
 tunc radiceM
aequationis fore aequalem cuilibet horum terminorum; de si iri-
aequales tuerine, tunc eam necellario futuram inter holce duos.
n2
Idem demonstrabitur de duobus reliquis p etm; nempe situe-
rint aquales, radix ae quationis propoliex a quabitur unicuique il-
lorum duorum; lin inxquales, neceltario constituetur inter duos,
tran(potita Scilicet aequatione in hunc modum Xt = p+ ∞ n3 X -
IH M XX.
Prop. 3. X 4 X  MM X N - V3 X - p+ ∞ O.
Pereran (pOsItIOne CHIEX = =M M X ~ ∞ n3 X L pF, id eogue X ~
majus quammm, ee x major quamm, de mx3 majus quaim mmX X.
Sed est eriam x+ =n3 X ∞ mm ∞ X F p, ideoque xs major quam
n3, ec x major quamn, _ n x3 majus quam n3x. Fodem modo est
X+ = p+ ∞ MMXX - L n3 X, _ Conseguenter x+ ajuS quam p+, de X
major quam p, ee p.x3 majus quampt. Acqui per transpolitionem
eAt quoque m M X X L n3 X L p+ ∞∞ XF. QUaTC M ∞3- L n ∞3. L P X3
majus erit quam xt, _ m. Ln. L p major quam x. Consimilira-
tione demonstrabitur, quod m mXx L BnXX L PP X N ajuS. CrIE
quam xt, ee consequenter mm. Lnn- L pp majus quam x x. IN-
renimus erso, quod radix x propolitae requationis major eA
quamM, 11, _ P, at minor quam m. + n L p, e V mm L nn. L pP.
Prop. 4. X + X f MM X X - L n3 N  p+ ∞0.
Pertransposrionem est x + Lmm ~ x ~ P + -- ne x, ideoque
n3
majus quam X. Similirer est v7 L n3 X ∞ P F = MM N N AC PeF COn-
sequens

## Folio 132 — 175906937X:0156
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000156.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
Sequens
D E L E M L F F B u S
mm MajuS qu aMI XX, hoc es,  majus quam v. Acqui
CA quoque M MX X. L n3 N ∞ p = -  t, e consequenter p+ majus
quam X =, aC P MajOF QuaIX, _ p3 X ajuS QUAI NT, neCNON
mmpxmajus quammmxx. Sed estetiam X+ L MMXN. L H3 X ∞pF
Ouare p3 X LMmPX- F n3x majus est quam pr, ac per conse-
quens, dirisa vtraque parte per p3 L mm P. L n3, erie radix x pro
Policx aequationis major quam ps. + mmp. + nsi aE inor quam
P+ PF
13 m e P.
Prop. 5. X + X - mM X X L n3 X L p+ ∞O.
Pertranlpolitionem eAtnsx L p+ D MM X ~ = xr ideoquemm
majus quam x x, ex m major quam v. Similiter eAt xt L pt ∞
e
nm Praeterea est
X + - ] B3 X ∞ M M X X =-P F, aC Per COneGUeNS X X majuS quaim
3a
mm hoc est, x niajor quam
n
dicum aequationis propositae majorem esse quam
mma
norem quanr m.
Prop. 6. X + X = MM XX - 13 X f pt ∞0.
Per transpositionem est x - = mM X X ∞ H3 X = p, ideoque x
major quam. Sed est etiam xt L PF ∞n3 x = M M N H, dc per
ajus quam x. Similiter est x + L M M X X L p 
∞n3X, ideoque n major quam x3, e nmajor quam x. Inveni-
mus ergo quamlibet duarum radicum aequationis propolicae ma-
jorem esse quam ac minorem qudm m de n.
Prop. 7. X t. X = m MX X = B3 X Y p+ ∞ 0
et crampontionem eAt x+ =M M N X ∞ N3 N = PF. IInde P2.
detus

## Folio 133 — 175906937X:0157
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000157.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
P’ mjo
RCNO
+des
Dec tont
adIX XpI
IMOT qua
eOGVEMM
X + PX
ralereaet
rajus qu
amlibet 1.
ideoque
XX, de
(M XX.
1X. 1
BebIIa
O
IIndet
AE O U A Y L O H U M.
cet, lixx aequatur iplimm, hoc est, x m, candem xtore aequa-
lem iph : ac per consequens, situerine terminihim _== 2 qua-
les, eric una radicum aequationis propolica ae qualis lingulis iplo-
rum; e E inxquales tuerint, neuera duarum radicum aequatio-
nis propolita poterit esse inter illos duosm e. Fodem modo
pertranspolicionem eAt x+ =n X Dmmx x -p+. UInde Cimiliter
dilcimus, si x3 aequatur ip(i n3, hoc est, x ∞ n, Fore ctiam
X X D  n hoc CA, x ∞ . Ideoque sihi terminin el fuerine
aequales, una ex radicibus aequationis proposiea aequabitur sin-
eulis corundem terminorum; sin rero inaequales fuerint, nul-
la radicum aequationis propolitae inter illos duos constituta crit.
exaterea per cranspolicionem eAtxt. L p+ D mm X X L n3 X, ideo-
Que mmxX Ln X majus quam x+, _ mmX F n3 majus quaim X3.
Porro, (i propolita aequatio est realis, erit n realis, et aequalis,
vel major, relminor quam n. Si tuerie aequalis rel major, erit
mm X. L nnx majus quam x3, CE m m: F nn majus quaim X X, hoc
est, xminor erit quam V mm- Lnn. Si fuerit X minOr quaIm n,
minor etiam erit quam V mm- L Bn. Guare patet, quamlibet
radicum aequationis propoliex neceslario minorem esse quam
mm. Lnn. Denique existente x +-L p + ∞ M I X X L n3X, exit
Timilicer mmxx Ln3 a majus quam p2. EF quia inventa eAt
Vmm. +nn major quamx, erit conlequenter mmx V mm. Lnn
Majus quammm XX, ideoque mm X V mm LnN, L B3 XajuS
P
quam pt, ee xmajor quam
mmrmm Lnn. + X3. Ouare inven-
cus est terminus unus major a alter minor quam quaelibet dua-
rum radicum aequationis propolua. Atque ita modo seguenti
capice obterraco propolicione seprima demonstraripocest, quod
x major est quam minor horum cerminorum n et in mn. L. n3

## Folio 134 — 175906937X:0158
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000158.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
E L. YM Y F L B u S
C A P u F VIII.
De sEquationibus quatuor dimensionum, venultimo
termino carentibus.
Prop. L. Xt - l X3- L MM X ~ X = p+ ∞O.
DEx transpolitionem est _t =l ∞ 3 ~ BF =MM X X. EIndecon.
sat, si x CA aequalis ip(I l, etiam X X X quarI
nm. hoc esto
x ∞ ; ideoque sit aequalis est ipsi , hoc est, lm ∞pp, eritra-
dix aequationis proposica aequalis sinsulis terminorum l de
M : 8
Si fuerine inaequales, unaquae que radicum aequationis propolitx,
Tircunam, siretres habuerie, semper erit inter hos terminos; led
si fuerint aequales, hoc est, Im ∞opP, _ IIm m ∞ p, Substituto
Ummlocop in aequatione propolita, ea que diris a per X = l, CO.
gnolcemus in hoc calu non haberi aliam radicem veram prae-
cer l.
Prop. 2. X4  lX3 = M WX X X = p+ ∞ O.
Pereranspositionem est Xt =M M X X ∞ p+ = I x3. EIude CON
34
stat, E1 suerie x ∞ m, etiam V C. aequariips x; ideoque si duo
termini m de V C.  sint aquales, erit radix aequationis aequalis
Cingulishorum cerminorum; sin vero ina quales fuerint, cricilla
necellario inter duos. Similiter per transpolitionem est x+-pax
mmXX =I∞3. CInde discimuS, qudd Six aequalis es ipsi p, Tore
Mm
MM
quoque eam aequalem ipsi: ideoque si cermini p XC =,  X quaII
tur, eric radix aequationis aequalis unicuique illorum; sed (in-
x quales tuerint, eric illa necellario inter utro(que constituta.
Prop. 3. X + - lX3 = MM X X X- p+ ∞ O.
Per transpolitionem eAt N = =L X 3 ∞ m M X X L p+, ideoque 
ajOs

## Folio 135 — 175906937X:0159
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000159.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
Undecor
de
 eritt
1b bHC2
0, lec
labsticu
X - hc
ecam P
Clnc
eu
Aicurd
ideogul
Mot
NF O: U A X I O E W H.
major quam l. Sed ee per transpolirionem est x 2 =i M X X D LX3
p+, idcogne x IajOr quam m, _ m X3 ajuS Qua m M ∞ V. Si-
militer pertranspolitionem estx+ -p+ ∞ l∞3 F mmx x, ideoque
xmajor quam p, de px majus quam pr. Praterea per eranspoli-
tionem propolicionis cst L~3 L mmxx F pr ∞ xF, ideoque l x3. L
M X3 + P ∞3 MajuS QuaM XF, ee l. L M. L P MajUS QuAM X. OLaTC
invenimus radicem x aequationis propolitae majorem esse quam
l, m, e P, at minorem quam l. L m- L. p. Denique per transpoli-
tionem elt x ∞ lx3 Lmm xx + pr, ideoque xt majus quain l ∞3 +
mmxx, _ xx majus quam la L mm. Aequi demonstracum est (u-
periusamajorem esle quam h ac proinde il minus quam lx. MuI-
cdisitur masis xx majus erit quam II. L m m, ec x major quam
VII. Lmm. Non distimiliratione demonstrabitur, quod x Ma-
jor est quam VV 1 + p, VV m + P, _VV mmpP + P.
Prop. 4. X t - - V ∞ 3 -] M M X ∞ X - p+ ∞ O.
Pertranspolicionem est xr- L l X3 ∞ pr =mmx x, ideo que mm
majuS quam XX, X  majus quam v. Similiter est xr. L m M X X ∞
p+ - l∞3, dC per consequens p major quam x, e PPX N IajuS
quam xt, ec llpp majus quam lx3. Sed perrranspolitionem pro-
polucionis elt etiam xt L l ∞3 + MM X X ∞ PF. JuacCPP XX L IP X X
LMMXX majuS erit quam pr, e x x majus quat pp. Y Ip. L mmo de
x major quam V 
pp. = Ip L mm. AL vero existente xt L l~3 1
mm Xx ∞ pF, eric quoque pr majus quam lx3, ideoque, majus
quam x3, e V C.  majus quamv. Inventaigitur est radix X X-
pa
quationis proposica major quam V pp. F Ip. L mmi aeminor quam
m. V C. , e P.
Crop. 5. Xt mat X3MMX X 1.
es transpolirionem eA mmxx L pr ∞ lx3 = v dCDsCIId

## Folio 136 — 175906937X:0160
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000160.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
30
DE L I N F F L B U 8
jor quam v. Deinde elt nt. L pt ∞ l. X 3 = m M X N, dc per conse.
mm
quens x major quam, PEXterCA eAtx L MMXKBL~-p
ac proinde xmajor quam Z, de x major quain V C. Z. Inveni-
musigitur, unamquam que duarum radicum a quationis proposi-
m m
ta majorem esse quam,  e V C. 7 ac minorem quam l.
ProP. 6. Xt + lX3 =MM XX  + p+ ∞0.
MM
Pertranspositionem est at - L pr DMm XX = l x3, ideoque
majus quamx. Deinde est lX3 f pr ∞ MmX X - xt, ac proinde
mmajor quam x. Praeterea eAt xt. L l x3 ∞ M M X N - p+, _ CON-
in y hoc est, a major quam. Inve
B
lequenter xx majus quam
nimus erso, unamquamque duarum radicum xquationis propo
m M
Prop. 7. X+ - lX3- MM XX X  p+ ∞ O.
Pertranspositionem habebius ~2 = L X3 ∞ MM XX =pt. UN.
de patet, six aequalis est ip(iL, iplam x quoque Fore aqualem ipsi
et
n; de per consequens, situerine termini l d  aequales, exit una
radicum aequationis propoliex aequalis singulis illorum; dt Sifue.
rint inaequales, neuera duarum radicum sequationis propolia
pocerit esse inter illos duos constituta. Fodem modo pertrans-
politionem est x+ =mmXx ∞ lX3 -p+. Unde imiliter constat,
Ituerit x xqualis ipsim, fore quoque x xqualem ipsi V C.; id.
eoque li aequales tuerint m ec V C. Z, una radicum aquationis
propolicae aequalis erit cuilibet horum terminorum a qualium; et
li fuerint inaequales, nulla radicum aequationis proDosIEx erit in-
ter illos duos constitura. Porro pertranspolitionem est quoque
xt L p+ ∞ lx3 + MM X X, UndC l x3  M M ∞ X IMajUS CTIE quaIm X
_Lx- Lmm ajus quamx x. Jam (i fuerit xquatio propolitarea-

## Folio 137 — 175906937X:0161
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000161.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
dc per corle
ex olX -
 lren
10r iop
quaml.
deoque
DC PECM
Y. e COn
nL
IONISPIO
1.
es, aIEUI
5 propoli
0 pel cm
cet COM
ees
aGudlio
UdHI
ita ea
oponiale
qualemi
n; de sit
Il quaiua
A O U A Y EO N I M.
37
lis, erit x vel aequalis, vel major, vel minor quam m, e l. L m
major quam x. Duod si tuerit x minor quam m, multo maxis
iplaminor eric quam l. L M.
Deinde ex eadem aequatione xt L pt ∞ IX3 - L MM M X X etiam
constat, quod Lx: Lmm xx majus est quam pr. Atqui inventa
CA l- + m major quaim x. FrsO llX X L I m x N majus crit quaim
lX3, d IIXX L IM X X. LMM XX MajuS quam P=, ideoque XX
majus quat JI. F Im Z mm. Finc cum IIX X L 2 LM X X + MM X X
multo majus sic quam pr, erit quoque per consequens la L M X
ajuS qua PP, ee _ major quam
quamlibet duarum radicum aquationis propolica majorem esse
B4
PF
quam V II F Im f mm _J. L. m AE minorem quam l. L m.
Caeterum quoniam inrenimus, quod x neceslario es minor
quam l. M; Patet, (i x supponitur major quamm, cam Forein-
ter hos terminos l. Lm de m. Ouod sim tuerit aequalis aut 1n 2-
jor quam x; quoniam lx3 Lmmxx majus est quam pt, crit ee
ImXX LMmXX majus quam p, dc va majus quam im f mm d
pa
major quam V Im L mm. Ouare unaguae que duarum radicum
aequationis propolica major erit quam minor duorum termino
rumm ee V im. + mm. at minor quam l. L M.
C A P U F IZ.
Delimitibus aquationum quatuor dimenstonts
terrio termino carentium.
Prop. T. X t LX3 X- B3X = p+ ∞O.
Er trapnem est x + = l ∞3 ∞ p + = B3 X. Unde Patet.
quod  auas est ipsil, tore quoque x aequalem ipsi
hoc ett, ln3 ∞ pF, radix ae qua-
tionis
ideo que si tuerie l aequalis ipsi

## Folio 138 — 175906937X:0162
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000162.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
38
DE L P H E X F B I 8
rionis proposita equalis erit singulis cerminorum l de ; e si
e
Fuerinc inxquales, unaqua que radicum aquarionis propolicae, (i-
veunam, sire cres habuerit, semper crit inter hosterminos. Prx-
terea cognoscimus, quod, si fuerinc hi ulcimi termini aequales
hoc est, ln3 ∞ p+, substituto in aquatione propolica ln locop
ee dirisa aequatione per x =l; ipla non portu aliam habere ve
ram radicem quai bo.
Prop. 2. X 4  VX3 X = 13X - p+ ∞ O.
Per transpolitionem est xt =n3 X ∞ pr - l v3. Unde constato
sxaequalis est iplin, fore quoque x3 ∞7, hoc ett, X ∞ V C.7;
ee siFuerien aequalis ipsi V C. 7, radix ae quationis ae quabitur sin-
oulis horum terminorum; e situerint inxquales, crit neceslario
inter duos. Deinde per transpolitionem cAt x+ -- p= ∞n3 X - lX2
Unde patet, situerie a aequalis iptip, tore quoque x x∞7, hoc
est, X ∞ V; ideoque li fuerit p aequalis ip(i V , tadix aqua-
eionis propolita aequabicur singulis horum terminorum, de sifue-
rintinaquales, erie necellarid incer uerosque.
Prop. 3. X = lX3 X = 133 x - p1 ∞ 0.
Per transpositionem est ~+ = L ∞5 ∞ n3 X L p, ideoque v ma-
jor quam lo. Lodem modo estx + -n3X ∞ l∞ 3 L p4, ac proinde
x MajOr quam n, _ AX3 ajus quam n3 v. Similicer est ~+ -p+
2 lx 3 +n3 X, ideoque x major qua p, _ P x3 majus quampr
Sed pertranspolitionem est quoque l~3. F n3 X L p+ ∞ X +. OUa-
rC l∞3- FnX3 L PX3 majus erit quam x, _ l. Ln. L p Major quam v.
Ergo invenimus sadicem x aequationis propolitae majorem elle
quam b, B, ec P, at minorem quam l. L n - L p. POrrO ex hac a
quatione lX3- fn3 X L p+ ∞ x = etiam constaC, quod l x 3 L n X est
minus quam x +: 8 quandoquidem invenimus l minorem esse
quam x, erit lxminus quam lx3, ideo que l3X + n3 x multo minus
quam x, _x3 major quam 13. F n3. Non distunili ratione demon-
Arabicur, quod x major est quam VV Ir. F p X VV In3 F pr.
P

## Folio 139 — 175906937X:0163
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000163.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
le i d
eropolta, 
CMINS. DEE
u equaler
2 ln loco
habere
de consta
oY
DA dr
i
racta XGL
quabiur (in.
Ie necellarie
11, de Gt.
Oeud i 1
dC prent
ell.
15 Gu 21
a.
jor qua
2Idcem
1 L1
D ex hul
Inorem et
nulto min
(N + P.
Es
one denio
AE C U A F E O ET W H.
Prop. 4. Xt - L l ∞3 X -. n3 X  pt ∞0.
Pextranspolitionem est xt  L l X3 ∞ p+ = n5 x, ideoque Im2-
jus quam x. Fodem modo est xr L n3 X ∞ p+ = lX3, ac proinde
majus quam x3. Similiter est l∞3 - L n3 X ∞ p+ = x +, _E per COn-
Sequens pmajor quamx, _ p. x majus quam x+, aC lp P a majus
quam lx 3. Sed per cranspolitionem propolitionis est quoque
X= + l ∞3 f B3 ∞ ∞ pF. QuarC P3 X F IPPX L B3 X MajuS CrIE quam
pr, de X Major quam pr. L. Ipp L. n. Et sic inrenta est radix X X
quationis prOPOCIX major quam p, f. Ipp F 153 at minor quâm
m. Y C. ep.
Prop. 5. Xt - lx3 X, + 13 X + p+ ∞0.
Pertransposrionem est n3 ~ - L p, ∞ L X3 = Xuy ideo que l major
quam v. Deinde eA xt - L pr ∞ l∞3 =n3 N, GuarC CFIE X N ajuS
quam7, hoc elt, xmajor quam V =. Sed est quoque at L n3 V
∞lX3 =pF ideo que v3 majus quam7,  n major quam V C. .
Duareinvenimus, quod quaelibet duarum radicum aequationis
propolix necessario major est quam V  de V C. , at minor
Guaim lo
Prop. 6. X t -  IX 3 X - B3 X F p+ ∞O.
Per cranspolitionem eAt xt L pF ∞ n3 ~ - l ∞3, ideoque, m 2-
JuS quam XX, hoc est, _ minor quam V. Deinde eA xt L LX3
∞n N =pr, ideo que xmajor quam . Praeterea eA l X3 L pr ∞
M3 x = XF, _ idcircO n3 ajor quam X3, hOC CA, X INOE QUAMIH.
Eroo invenimus, unam quam que duarum radicum x aequationis
propolica majorem esse quam, at minorem quam V de M.
PrOBo

## Folio 140 — 175906937X:0164
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000164.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
DE L EH I E E B I 5
Prop. 7. X t  lX3 X = B3 H f p+ ∞. 0.
Per transpositionem habebimus x = = l X3 ∞ n3X- p+. Un.
de patet, si n aequalis est ipsi l, tore quoque x aequalem ipsi
Pa
; de per consequens, si fuerint hitermini let aequales, hoc
eit, In xp+, una ex radicibus aequationis propolita a qualis exit
+
lingulis horum terminorum ae qualium lX; & li ina qualestue.
rine, neutra duarum radicum aequationis propositae porerit ese
inter iplos. Deinde per transpolitionem elt x -n X ∞ lx 3 -p+
UInde limili modo patet, six aequatur ipsin, iplam n quoque x
quari ipsi V C.; ideo que siterminihin e V C. equales fue-
rine, una radicum aequationis propoliea xquabitur lingulis ho-
rum terminorum aequaliums; de li tuerint inaequales, nulla radi-
cum aequationis propolitx erit inter utrosque. Porro per tran-
policionem eA quoque xt L pF ∞ lX3 Ln3 X, ideoque l∞3 L n3 X
majuS quami xt, e lXN L n3 majus quam x3. Jam s fuerit pro-
polica aequatio realis, eriex realis, de vel aequalis, vel major rel
minor quam m. Ouod Etuerit aequalis vel major, exit lXX LMNX
inajus quain x3. Sin rero minor sIc, erit x multo minor quam
J. Pn. Ouare utraque duarum radicum propoliex aequationisne.
cellario minor exit quam l. tn. Cuin ee existente x+ L p + ∞ lX3
Ln3X, CTIE quOque L∞3. L B3 x majus quampt. Acqui invenimus
I Ln majorem esse quam x, ac proinde lI- L nn. L 2 ln majus
qua X X, ec 13 f InH. F 2 lln majus quam l ~ X, nCC nON L X f
InnX. F 2 LInX majus quam lX3. FrgOI X -F Inn X F Z ILBX +
n X MajuS CrIE qUaI pA, eE X ajor quam B F Inn L 2UIn +. n3
Ec quandoquidem cubus Cx l- Ln major est quam l3 L lnn. L
2IIn. + n3, mulco masis exie x major quam pt dirilum per cubum
ex l. + n. Invenimus itaque quod qualibet duarum radicum. _-
quationis. propolicae major est quam p. F dirilum per cubum ex
L L H, UE de majox quam B3 = Inn F 2 UIm f n5, at minor quam
l. F n. Praeterea, quoniam l. L n major est quam x, Si fuerie X
1na)ob

## Folio 141 — 175906937X:0165
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000165.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
X -
equil
equales, 
aquaeoi
POTCL
Dt~3=
quoque X
2qualotu
lingut no
et
i tuctIEpe
et Masor
lA aF I
Minot qu
AaEIONIS
+
linen
+21
aqualiset
nulla rd
1O PerE
-2LH 19
CnON L
13 +. 111
F CuBIM
IIuBG
n per cub
radicu
Itam
A O U A Y L O N U M.
24 L
major quamn, erie necessario inter hos terminos l L n ec n.
Muodlivero n tuerit vel aequalis vel major quam x, quia l x3. L
n x majus elt quam pr, erit d Innx- L n3 x majus quam pr, ec X
major quam Jun Fns. Ac proinde qualibet radicum aquationis
propolicae major erit quam minor horum terminorum n es
+
Inn. L m3d at minor quatm l. L. H.
C A P W X X
Delomitibus aquationum quatuor dimensionum,
in quibus nullus terminus deest.
erop. 2. X + - bX3 F. MMX N = 13 X 1 p+ ∞O.
DEecranspolicionem est lx3- L n3 x ∞ N= - L m M X X L pF, ideo-
L que lx3- Ln X majus quam xt, _ lX X L n majus quam ∞3.
Jam li fuerit propolica aequario realis, erit e x realis, et vel x-
qualis velmajor rel minor quam n. Ouod (i fueric aequalis vel
IMajOr, erit lxx Y B x x majus quam x3, hoc eAt, l. Ln major
quam x, eexminor quam n. Mulco isitur magis minor erit quam
l. Ln. Eroo x necellario minor erit quam l L n. Deinde Cx ca-
dem aequarione lx 3  n3 X ∞ xF m m X X J p constac, eAe
IX F n ∞ IajuS quaim p~. Sed inrenta est I Ln Imajor quaM X,
2C per conlequens II.- L Bn- L 2 ln majus quam X X, eC l3 N L InnX
 2 l. IB x ajus quam Lx 3. Ouare erir 13 x L lBBX L 2 ltB X
Ba
L B3 X majus quam pF, eC X ajor quat p. L Inn = 21In f. n3 3. 
quandoquidem cubus ex l -]n major est quai 13 -] - lnn. F
2IIn. Ln3, mulro masis eric a major quam p dirilum per cubum
ex l-) n. Invencus est itaque terminus unus major ec alter ini-
nor quam unaqua que radicum aequationis propolitae, sive haec
duas sire quatuor radices habuerie: Praterea, quoniam inveni-
us, quod l. J. n Semper major est qudim , SI PONAtuIE X quo-
que major quam n; manileltum est eam esse inter duos termi-
HiOS I-Ln ee n. Ouod si aucem n luerit aequalis vel IminOF quam
, quoniam est L∞3 -n3 _ majus qudin pa; exit LW n ∞ -+ n3 X
AaGUS

## Folio 142 — 175906937X:0166
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000166.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
142
D E L E M L X L B I 5
majus quam pt, ideo que  major quam
que radicum propolica aequationis, sire duas, sire treshabuerie,
P2
major erit quam minor horum duorum cerminorumn et inn fnio
at minor quaim l- L B.
Prop. 2. X4 - bX3  MM N X  N3 X L p+ ∞ O.
Per cranspolitionem cA m m X X L  n3 X - p = ∞ lX 3 =X +
ideoque l major quam x. Similiter elt x+ - L n3 X L p+ ∞ l x3 -
M M
mmxx, ac idcircox major quam=, . Praeterea eA xt. L MM XV
 p+ 2 lX3 =B3 X, dc per consequens x x majus quam,. De.
nique est x+ - L mM X X - f n3 X ∞ l ∞3 = p +, _ Con(CqUenEEE X3
major quam7. Duare inrenimus, unam quamque duarum ra
dicum aquationis propolita majorem esse quaim
V C. at minorem quâm l.
e
mm
V7, e
PrOp. 3. X+ - IX3- MMXX - B3X. I pE ∞ O.
Per transpolitionem eA l∞ 3.  m m X X 1 n3 X ∞ ∞ + + p 4
sdcoque lX3 - f= m m X XL n3 X MajuS quam a. Jam (I pEOPO.
Sita aequatio tueritrealis, erit x realis, e vel aequalis vel major
vel minor quam maxima duarum m ee n. Guod (i fuerit aequa-
lis velmajor, erit lX3 - M X3 + nX ajus quaM xt, e l. L M
n MMajOr CTIE quam X, ee asis si FUCTIE X IMINOY Qua Ma-
xima duarum m _n. Ouare l. ( m- + n eric neccAario major
quam X. Praeterea m erit aur aequalis, aUIE MAIOY, aUE IIOF
quamn. Guod si tuerit aequalis aut major, e quidem x major
quam m, erit radix aequationis propolia inter holce terminos
l. m. J n ee m. Ouodsi, existente m aequaeli aut majore quam
B, Ctia M sIC X qualis rel major quaM X; exIt de lM M X.LM V

## Folio 143 — 175906937X:0167
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000167.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
L180
vestabueii
1
2n+
dqua
2O.
X3.
pE ∞ LX3-
IM H
De
lequentet
duarum
00.
DXF+
I (1 pcOp
is vel mos
fueric a
et, e
 quam
MarIOI
aUII IIII.
et X MB)
CC LeTIM
13jore qu
WX7
A, O U A Y L O H U H.
243
L B3 X aequale aut majus quam l x3 L m m ∞ X - L n3 X, dC per
conlequens majus quam pa; ideoque x major quam
imm. L m3 F n3. EInde si tuerie m rel aequalis vel major quainn,
eriex necessario major quam minor horum duorum terminorum
A
m _ Imm. L m . f. 25; d S n tuerit major quam m, consimili ra-
rione demonstrabitur x etiam necellario majorem esse minore
horum duorum terminorum n et Inn. Lmmn. f , 3. Turenius
ergo unamquam que duorum radicum aequationis propolitae ina-
jorem esse minore horum terminorum M 
Emm. L. m3- f 13. .
n vel aequalis rel major fuerie quami n; aut majorem minore
inn Lmmn. f n3. Cin major sic quomm; at vero sem-
per minorem quam l. f M + n.
Prop. 4.. X +  l. X3 -MMX X. L n3X L p4 ∞ O.
Per cranspolitionem est lX 3 - m M X N ∞ X + - f 113X- ] p+
Ideoque LX 3 LM M X x MajuS quam X +, _ lX- L m m 11I aj1S.
quam xx. Jem situerit propolita aequatiorealis, erit e x realis,
de vel aequalis rel major rel minor quam m. Ouod si fueriex-
qualis vel major, erit lxmx majus quam x X, e l. f. m M2-
jor quam u; ee multo magis, sifuerie x minor quamm. ErgO x.
necellario minor erit quam l- L m. Unde li fuerit a major quam.
m, eric inter holce cerminosl L m ee m. Ouod lia fuerie vel
aequalis vel minor quam m, quandoquideim d l X3 -p m M X X
majus est quam pt; erie lmx x - fm mx x majus quam pr; ideo-
que xx majus quar
Ouare quaelibet duarum radicum aequationis propolicx majon
erit quam minor duorum terminorum m & V Im. F mmd aEMi-
nor quain l. J.. M.
By

## Folio 144 — 175906937X:0168
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000168.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
144
DE L L M L F E B U S
Prop. 5. X+ .+ IX 3 + MWX X - B3 N. ] pF ∞O.
Demonstrabitur ex transpolicionibus requilitis n’x fore majue
quam xt, ideoquen majorem quatx; e ns x majuS quaM LX3,
ac proinde, majus quam x N; ee denique nx majus quampt.
 perconsequensa majorem quam. Inrenimus itaque termi.
num unum majorem sinculis radicum ae quationis propolita, at
vero duos aliosminores.
Prop. 6. X4. + lX3 =MMXX - n3 X L p+ ∞ 0
Per transpositionem est mM X X L n3 x ∞ X + - L IX 3- ( p +
IdeOqUe M H X X B3 ∞ LIIajUS QU2M X F, eC M M X  B3 MajuS
quamx. Jam si Fuerit propolito aequatiorealis, cric xrealis, de
rel aequalis rel major relminor quamn. Ouod si fuerit ae qualis
vel major, erie m m x L nnx majus quam x3, e V mm. L nn
major quamx; de mulco magis, situeriexminor quam n. Oua-
rC CrIEV mm. L nn Semper major quamx, ee x erit inter termi-
nOS V mm. Lnn den Emajor est quam n. Quod sifuerie xeqyalic
aut minor quam n, quoniam est m mx x. L n’ x majus quam pt,
erit quoque m mn~L n3X majus quam pr, ideoque _ ajor
quam inmn + n5. Ergo quaelibet duarum radicum aequationis
propolica ajOr CrIE QUAIm MINOEhOTI AUOEUIM LCFIHIHOTUIN
e mmn + n3 ac minor quam V mm. L RR.
Prop. 7. X t   IX3 =MMX X Y p3 X p p+ ∞O.
Factis transposicionibus requisiris, demonstrabitur esse x mino-
mm
H
n de PF
n

## Folio 145 — 175906937X:0169
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000169.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
D0.
xloremas
pajus qui
IaGuco
opoa
am M O
inclaet
verice qua
IC X realiS, C
veric aqu
V MM +
UC X M
equalu
ecRuNO
00.
ellext
A Q U A Y L O N U M.
Prop. 8. Xt -= L X 3 - M M X X - 13 X = p+ ∞O.
Pertranspolitionem est xt = l~ 3 ∞ n X - p =mmx x, id-
Cogne li tuerie x = ∞ lx3, erit x ∞ l, _ ln ∞n X, ec 13 X L pF
∞mMXx 2C proinde BM3 = p + ∞ MM XX, _C X D V Ln3. + p
Unde paree, Situerit l3 V Ins. = pr
mm
mm
 hoc est, Sihabeatur IIm m
∞In3Lp; radicem aequationis provolita Fore aequalem sin-
gulis cerminorum aqualium L de V In3 L pt
min: ac idcirco, substi-
turo in hoc casu in aequatione proposita ralore ipsius. Pr, nempe
UImm - ln iplam esse dirilibilem per x -- l. Quod stueritxt
majus quam. lx3, hoc est, x major quam l, erit quoquens X. L p+
ajuS quam MMXX; e si fuerit lx majus quam x+, hoc cAt,
lmajor quam x, erit _ mmx x majus quam n3 x -L p +. Tam
quandoquidem aequatio propolira est realis, erie x realis de vel
xqualis, velmajor, vel minor quam P. Ouod I Fuerit equalis
velmajor quamp, sicque major quam l, quoniam tunc 13 x L pt
quoque majus est quam mm xx, erit d n x = p. x majus quam
MMXX, de
13 + p7
nn majus quam x. Frgo in hoc calu eriexmajor
quam l, ee minor quam
23 t B3
mm. Duod liautem x minori exi-
Stence quam I, ipa sic aequalis vel major quam p, quoniam er
EunCnx  p minus est quam mmxx, eric limiliter n3 x ( p3 X
13 = p3
minus quam mmxx, e consequenter
um minus quai X
Tgitur in hoc casu erit x minor quam l, de major quam n3 = P:
mm
Ouare univerlalicer apparet, aequationem propolitam non ha-
bere praeter unam radicem realem ipsi laequalem, cum estIlmm
∞ ln3pt; modo quaelibet radicum, sireunam, sirecres ha-
buerie, tuerir semper necessario inter maximum ex minimum
erium cerminorum 1, ni L p3
M
de V n3 p = p+
MM
PIOP

## Folio 146 — 175906937X:0170
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000170.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
DE L LH L Y L B 1 S
Prop. 9. X = - LX3 -M M X X - ( M N - p+ ∞O.
Per transpositionem est ~+= LX3 ∞ p+ = M M X N - n3 _, ideo-
que situeritx+ ∞ l~3, hoc CA, X ∞I, CrIEMM N X ∞ = n3 X  p+
ex per conseguens m m X X ∞ -n3 l. L p+, _ X x ∞
e D V
In
mm
P4 = In3
mn3ee
.Ouod serso laequalis est V P+ = In3
mm hoc ett
Si fuerie LImm ∞p + = ln3; radix aequationis propolita aequalis
erie unicuique terminorum aequalium lec V er =In. id eoque l
in m
in hoc casu in aequatione propolica loco pa substituatur ejus
valor, nempe lIm m-L ln3, apparebie iplam dividi posse per
X, aeque nullam aliam radicem reram admittere praecer.
Si vero x  fuerie majus quam lx, hoc est, x major quaim l,
erit _ p majus quam m m ~ X =Ln3 x; d contra, (i tuerie l ma-
jor quama. eric etiam mmx x  n. x majus quam pa. Tam (1X-
quatio propolita estrealis, erit xrealis, e vel xguolis. vel ma-
jor, vel minor quam n. L.Ctoisitur, quodx major quam l sIc vel
aequalis rel major quamn; quare cum _ p + tunc imajus sic quam
MM Xx. L n3 x, erit quoque p majus quammmn x L n3 X; id.
p4
eoque mmn. Fn5 majus quam x. Ouare in hoc CalU CriE X major
quamt, et minor quam mmn fn. Ouodsix, cum major est
quam l. minor tuerit quamn, eric _ pa majus quam mm X X. 
_3x, ideoque multo iajuS qua M M X X + nB X X, e conle-
quentes
P+
PX
mm. f nn ajor quaM N.
Ouare in hoc casu n erit major quam l, e minor quam
mm. Fnn. Ouddsrero_ cumminor elt quam l, vel aequalis
Euerit vel major quam n, erit mm XX -L n 3x majus quam p+,
ideoque mmXx-LBnXx ajus quaim p+, _ X x majus quam
nm. F nn de x major quam V mm. L nn. Frso in hoc casu erit X
minor

## Folio 147 — 175906937X:0171
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000171.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
D0.
n’hildee
M
ita a est
idecu
Maci eju
be
di posse pe
et li
j0c qudm
+1
M Mason
6, e C0
2)OC Gua
1ajud
tuerie lm
1. Jam 
lic. velm
an 1
jus lit qu
CrIEX Ma
I MI III X3
vela
11S GuiM
Cl
A O U A Y E O H W H.
4
minor quam l, ee major quam V mm. L nn. Poltremo, cum v
minor quam l, etiam ip (a inOF SIE quaIMN, CrIE M MX X -Ln3 X
majus quam pr, de mmnv. Ln3 x ulto majus quainpr, ec per
4
conlequens x major quam mnn f. 3. Isitur in hoc casu, minor
p
exie quam l, ec major quam in mn f n3
Dux cum ica lint, constat universaliter, aequationem propoli
cam non habereniliunam veram radicem, quae aequalis est ipsil.
quando estUmm ∞pt = In3, modo unaquae que radicum, (ire
unam tancum, sire eres habuerie, fuerie seniper necessario in-
P
cer maximum ee minimum erium cerminorum li mmu + n33 e
M M. 1 n n
ProD. 10. b X M 16  1   X B.
Factisnecessariis eranspositionibus, demonstrabitur, quo d a
major est quam l, M, n, ec P. Deinde erit quoque pertransposi-
EioneI LXS- LM MX X-[ n3 X L p= ∞ x +, d per conlequeNS l X S
MX -) B~S = p ∞ MajuS quam XF, _ l. I - m - n Y p MI a-
jor quam v. Porro, quoniam elt xr ~L~3-L mmXx I n3 X I p
exit et iajuS quam l X3 L Mm X X, ec x x majus quam lx L mm,
ideoquemulto magis x major erit quam VII L mm ee VIm LmM.
Similiter, cum x3 major siE quam l~ x -L mm X -+ n3, erie mul
E0 masismajor quam 13.  M3.  13, 13+ lM M. L B., e 2 lMM
n. ee sic de reliquis terminis, quos substituere licet loco ~3
minores quam x3. Sic x majus est quaim l+-L m+  n +, quam
m+- L nt  pr, e sic de reliquis. Praeterea, quoniam a major cA
Quam nec P, ee lX3  MMXx  n3 ∞ - J p+ ∞ ~=, CrIE I∞X3 L MMXX
nBXx L pPxxmajus quam x, ideoque lx L mm. L nn 1 pP
majus quam xx aliqua quantitate. Quae quidem quantitas, etiam-
(i Scincognita, (i appelleturz
∞X X-  Z7
Z habebitur lx- Lmm L nn- L p
Ouantitas autem haec incognita ZZ necessario mi-
nOF erit quam mm- Lnn F pP, alias, ablacis ex duabus parcibus
aquationis praecedentis, aequalibus, aur minori quancitate ex pri-
IX a d

## Folio 148 — 175906937X:0172
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000172.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
148
D E L E M L Y T B U S
ma e majori ex secunda, esset reliqua lx aut aqualis, auemajor
quam xx. Quod torer ablurdum, quandoquidem x demonstro-
ea est major quam l. Ouare trabemus hanc a quationem vx D lX
L I M. + BB  pp.
x
Z. quae erit realis, cricque X D; l. L
V =II. L mm Lnn. L pp. Manifectum vero cAt, quod : II. L mm
L nB. L pP majus est qua = lt+ 1B M + B n  pB - Z7. Er-
50 : I. F V : II. Lmm L nn. L pP major erit quam v, ideoque
VII. Lmm. L nn L pD mulco magis ajor erIE quaim X; IEL UE
radix propositxe aequationis necessario sIc inter V II. F. mm 8
1.I. + V =II. + WW. + BB L pB.
Prop. 22. Xt = IX 3 - M M X X F B3X = p+ ∞O.
Pertranspolicionem est xt - l ∞ 2 - - m M ~ X 3 p+ =- n3 X. IIN-
de, (I Fuerit x + = lX3 = M M X X ∞ O, hoc est, omnibus per xx
Sirilis, Xx lX = mm ∞ O, erit quoque pr = n3 x ∞ 0. HIOC
eAt, Cituerit X X ∞ lX- f m m, vel x ∞ ; l-+. V = II. L mm; erie de
pt ∞n: X, velx ∞ ,. Ouare constat, AFuerit = ∞ : I- L V = II L MM,
radicem aequacionis proposiex tore aequalem singulis termino
rum equalium  X ZI F V : II. Fmm. Ouodtuerie ~ + ma-
jus quam lx3 Lmmxx hoc elt, xx majus quam lX + mm; erit
p
pr eriam majus quam n3 x, hoc est,  majus quam x. Jam exi-
Rence ax majori quam lX - mm, erie x x ∞ l x -( min plus ali-
qua quancicare. Ouae quidem quancitas, cciamsi sic incoenica,
Arocecur ZZ: habebitur xx ∞ lx f. mm. f. ZZ,. ec. X ∞ : l. 
V = Ib. + m m. t. 22. cricque x major quam Ll. L V = II. 1. mm.
V =II Lmm. Ouod(iFuerit xr minus quam l x3- F. mmX N, hoc
M, x. x minus quam lx. m m; erie ee pt minus quamn. x, hoc
ost, xmajor quam?. Fsinc existence xx minori quain lv.-f. mm.
E

## Folio 149 — 175906937X:0173
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000173.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
 Ma
atae
lonemuavla
 X v. 17
10d. II + MN
im X
II. +. MM
D0.
nibuspe
De tut
MM, na
NIe
lis cermine
verie X F M
L MM;
X. Tamet
1 1I Piu
CMVEm
l t
it
quac
1I H XX, H
EmB
1ta f.l
= N H. I
A O. U A Y 2 O N W M.
243
exie x x ∞ Lx .Lmm minus aliqua quantitace. O ux sinominetur
Z habebitur x X ∞ l x L m m = Z,
V =II. Lmm = ZZ, CrIEGUEX MInOF qUamI : I L V = II. F mm.
Ereo in hoc casu erit x major quam, de minor quâ. : l 
V = II. F m m. Ouare univerlalicer patet, radicem equationis
proposix equalem esse ipsi   : l. P V = II. L mm, quando 
aequaturipsi : l. L V =II. Fmm; Sin secus, quamlibet radiCu,
Cire unam eancum, sire rres habuerie, semper esse inter holeo
EerIOS  _ =l. L V = II. + mm.
Prop. 22. Xt - f. IX3. F M M X X - _3 X - p+ ∞O.
Pex transpositionem est x+ - p+ ∞ n3 X - IX3 =mmax; id eo:
Que si fuerit X ∞ P, erit quoque n3 X ∞ l X 3 -J m M X X, e
XD Ip. Lmm. Cnde COnAtaE, SiIpP - F MmP EqUETF N3, radF
cemxquationis fore aequalem sinsulisterminorum ae qualium p. ex
EP Lmm. Qudd si fuerir x + majus quam pr, hoc est, X. major
quam p, erit quoque n3 x MajuS quam lX3 - L mm X x. Jam (I X-
quario propolica est realis, eric _ x realis,  vel aequalis, vel
major, vel minor quamm. Ouod si fuerit aequalis vel major quam
m,ec eadem quancicasx etiam major sic quam p, quandoquidem
_ECUNC M3 X majus eA quam lX3MM XX, Crit n’ X majus quatr
13
Im XX. L mM XX, _ im. f mm MajuS quam v. Ouare in hoc catu
exiex major quainp, ee minor quam im  mm. Quod si existence
a majore quam p ipla minor sic quam m, crie n x majus quam
LN3 - = M X3, e T F  majus qu âm. X X. Frgo in hoc calu. exie. r.
n
major quamp, e minor quam V , F Ouod svero;xminori
existence quam p, ip la lic major quamm, vel eidem aequalis, quan-
aoquidem e cunenx minus est quam lX3 - m M X X, exie n3 X
MinOxi

## Folio 150 — 175906937X:0174
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000174.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
25C
D E I F V E Z E B U S
iminor quâm L V3 -L m X3, hoc CsE, X X majus qu’am, L m. Ouave
n3
in lioc calu erit x minor quam p. ec major quam V 1 Lm. Deni-
que, cum tuerie a minor quamp, de ipla etiam minor quamm,
quoniam ec tunc nx minus est quam LX3 LmM N~, exie n3 x mi-
nuS quaML LM X X - L MM XX, dEX MajOr quans
3
constat unirerlalicer, radicem aequationis propolitxe esse aequa-
lem sinculis cerminorum aqualium p et ip. L mm. cuni eAt l pP
mmp aequale ipsi n3; sed cum inaequales sune, esse radicem a-
quationis propolix necellarid inter majorem ee minorem terini.
n3
norum P, V I L m d im L. mm
Prop. T3. Xt L VX3  MMXX L M3X= p+ ∞O.
Factis necellariis transpolitionibus, demonstrabitur x foremi-
P4
xt
nOrem quaM P. V C. 73 V mm. dei ac rero majorem quam
P+
P3 + IxP L mmP L 13
Prop. 14. 24 - =  L∞X3 = mm X X - 13 X - p+ ∞ 0.
Pertranspolitionem est a + = n3 N ∞ mm X X - F p= - lx3; ideo.
que lituerit vt ∞nX, hoc est, x ∞n, exiEmM XX L pF ∞ lX3,
immnn.+ 
hoc est,
∞ x3. Ouod situeriex major quamn, erit de
MmMXX-L P majus quam LX3: sin minor TuCrIE, CxIEMM XX L pF
minus quam lx3. Jam, lix major est quamn, ee etiam rel ae qua-
lis vel major quamp, quandoquide _E TUINC MMXX. L p+ Majus
CAt quam lx3, multo magis eriemmxx ( PP xx majus quam lv,
majus quam x. Frso in hoc calu erit x major
quamn, et minor quam m + e
Ouod Ex major tueric quam
n, de etiam minor quam p, quoniam _ tunC m m Xx L p+ majus
est quam lx3, erit quoque mmpp. L p majus quam lu3, hoc ett,
 minor quam nmpe L pr
Duare

## Folio 151 — 175906937X:0175
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000175.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
21F Du
14 n. De
minor quim
 I
TX, CHLNXN
c elte ne
cum est lpp
cndicem
 tC
ND0.
hicur x FOreI
Majoremq
pt ∞0.
lx
 +
quam1.
IEWMIXX.
tiam rela
∞x. 
2ju5
suerit:
e
x +P
nIX, hoc
A Q U A Y L O N U H.
FSF
Duare in hoc colu erie x major quam n, et minor qudm
C. mmpB + p
vel major quam p, quandoquidem de tunc mmxx- L pr minus est
qua lX3, exit quoquemmpp.  pF minus quam l X3, _C X MajOF
quam V C. mmpp + P+
major quam V C. mmPB + p+
Ouodhrerox minortuerit quam
n, ee ipla etiam minor (IE quain P, quona _E TUNC M M XX L p+
inOF CA quam l~3; Crit quoque mMXN-L pP X x minus quain
l∞3, e mm +BC
Mm. + p∞
radicem aequationis proposux necesario esse inter maximum et
minimum erium terminorum n,
mm. + BP et V C. mmPD. + pr
Prop. I5. X + = IX3 - MMN X 1 B3 X  p+ ∞O.
Pertranlpolitionem eAtx+ -(  IX3 = Mm ~x ∞ p+ - n3 ~; ideo-
que litueriex+ L Ix3 =mm x x ∞0, seu, dirisis omnibusterini-
HIS PEF NX, X X. L lX -MM ∞ O; CrIt quOque p+ - n3 X ∞ O,
hoc elt, si CAx x ∞ = - lX-  mm, vel x ∞ - = 1 L V = II. L m M,
exicp= ∞n3x, Ceux ∞ =. CIndc patEL, Gi == eA ae quale ip (1 - , 1- L
V=II. +mm; radicem aequationis propolicae esse equalem sin-
3dc = l.  V = bI F mm. Ouod (I
Tuerit Xt-L IX3 majus quam mm x x, hoc CA, XX L lx ajuS
qua m m, erit quoque pt majus quam n3 X, hoc est,  majus quam
X. RC proinde cum xx- L lx majus sIE quam mm, Crit Xx L IX MTajuS
quam mm aliqua quancitate. Ouantitas aurem haec, licet (ic inc09-
HIta, VOCeTUTZZ ericque xx L Ixxmm. 1 22 seuxN∞ Ix L Mm 1 77.
hoc est, ∞ ∞ = = 1. L V = II. L mm + 7Z, ideoque x major quam
=l.L V = II. FMm. Ergo in hoc CalU X IInOFerIE quam., e
major quam = = l. f V = II . L mm. Ouod Situerie xt - L- l ∞3 mi-
MIIS

## Folio 152 — 175906937X:0176
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000176.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
252 DE LLMIZIDAS AEOUATIONUN.
nus quammmxx, hoc est, Xx- L lx minus quammm, erie quo.
que pr minus quamnx, hoc est, X major quam . Hinc cum
X X - lae minus sic quammm, Orit X x- L lx minor quammm ali
qua quantitate. Vocetur quantitas hec quamris incopnitaz
t.
Critgue xx. L lx + Z L∞ mm, velX x ∞ = lX L M M - 7
l
2. hOC
est, x ∞ - = b L V : II +mm - 22 ideoque aminor erie quam
I.LV = lL. + mm. Ouare in hoc calu eric x major quam
s
1133
ee minor quam  : l. L V = Il. L mm. Atque ita in genere per
spicuum est, cum equatur ip(I = : 1. L V i II. + mm, radicem
aequationis propolitx aqualem ese lingulis terminorum a qua-
d l.  V: II. +mm; Cn minus, quamliber radicum.
sirc unam tantum, sire treshabuerit, necessario esse interhosce
cerminos : et = = lt V : II + Mm.
a 
0
ceq

## Folio  -  — 175906937X:0177
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000177.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
1I, CuI qu.
Hinc cin
quammmali
DCogniZ
lor erirqu
Or quam.
Generep
M, Tadice
rum 29
decradicum
e merhotu
UH.
OH A NNIS DE WIET
F L F HI F N T A
a L
T A R IV
LIN F A R V M.
Edita
Opera FR A N CZSCF a SCHOOFE H,
in Academia Lusduno-Bacara Matheseos
Protesoris.
e
A V S Z F L A D A M F.
Apud Ludoricum e Daniclem Fl2crinos,
62d IDC L2X.

## Folio  -  — 175906937X:0178
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000178.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 3 lines, status machine
m
EDERSÄCHSISCHE LANDESBIE
Dn. Mar

## Folio  -  — 175906937X:0179
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000179.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
Clarissimo. Doctissimoque Viro.
FR ANCTSCO a SCHOOTEH.
OTTA NNES DE WITI
S. P. D.
Inearum rectarum, anculorum que
quos comprehendunt, ut e ficurarum
ectilinearum, quae inde nascuntur; nec
non Circulorum naturam veram atque
intrinsecam, proprietate sque praeci-
puas, meo quidem judicio. satis perspicue cradiderunt
Antiqui; ac quo pacto ex usdem traditis, imo ex pau-
eis es principalioribus eorundem principis, quaelibet
Problemata Plana, ac ceneraliter quaecunque in linea
rum rectarum, anculorum, fieurarum que rectilinea
rum, nec non Circulorum contemplatione es coenitione
desiderari queunt, resolvantur atque cruantur, univer-
Cali quadam viâ e Methodo Analytica, per  quatio-
num inventionem, harumque resolutionem, plenius
planiusque a Recentioribus ostensum est; Adeo ut vel
unico Circulo dato, utut exicuo aut insenti, quae cunque
Problemata Plana per solas lineas rectas unu squisque
in dictis. Antiquorum Recentiorum que Geometrarum
praeceptis medioeriter versatus, facillime resolvat; ac
proinde de iisdem vel plura vel alio modo proposita ac
demonstrata quaedam desiderare, ex supervacuum es
300

## Folio  -  — 175906937X:0180
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000180.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
meptum semper existimavi. At vero cum caeterarum
linearum curvarum Flementa, prout à Veteribustra
dita atque a Recentioribus explicata sant, dilicentius
considerassem, orieinem earum e solido peti atque inde
ipsas in planum transferri naturali ordini, qui in Mla-
thematicis quam maxime observandus est, omnino
contrarium duxi; quemadmodum e demonstrationes
in isdem Flementis propositas, multis in locis eadem
de causa e propter varias rationum compositiones,
quibus saepeinnicuntur, subobscuras, ac lonca Proposi-
tionum serie Lectoribus taedio memoriaeque oneri esse
judicavi. Atque ea quidem contemplatione excitatus
jampridem, dum studiis humanioribus Liberalium que
artium doctrinae incumbere mihiotium erat, animad
verri, non eas solum, quas vulso Cori lectiones ap
pellarunt, sed e omnes omnino curvas lineas, cujus
cunque sint generis, multipliciter quidem ex varia cor-
porum diversimode compositorum aut ficuratorum se-
ctione eieni; at vero earundem sinculas infinitis quo-
que modis in plano generari, ipsarum autem naturam
e proprietates ex ea generatione multo facilius quam
ex corporum sectione deduci; ac firmiter mihi persua
sum habeo, nullam aliam esse causam, quod linearum
curvarum secundi seneris ulieriorum que oraduum or-
tus, natura proprietas, atque essentia, cum exacta spe-
cierum enumeratione, à nemine antehac explicataac
demonstrata sint, quam quod tam in tractatione or-
tu

## Folio  -  — 175906937X:0181
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000181.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
CateLI
eribus iIo
BGuttei B
Abquio 
retLI
OMMI
Tratione
is cu
sirrono
Propost
me esse
excitatus
aliumque
vetrobiti
etu
63 crp
tis qu
atuait
i15 qua
persit
nediu
UIm 1I
potasse
tus ee generationis, quam in demonstratione essentia
ac proprietarum linearum curvarum primi ceneris à
naturali ex simplicissima via deflexum sit, ulpote cum
earundem contemplatio, prout in plano simplicissime
ex quidem diversimode cenerantur, intellectum ex
emaenationem ad eene (in linearum curvarum secundi
reneris quasisponte ducat. (umque eorum, quae ante-
hac, dum per otium licuit, eo spectantia meditatus
sum, tununc, amicissime Schooreni, copiam tibi fieri
desideres, en, quantum n’me est, desiderio ruo satis-
facio; quae que de eodem aroumento d me quondam con-
scripta ac pene in ordinem redacta inveni, jam tibi
multo, tuique omnino juris facio; catera autem, quae
Parsim tantum annotata sunt, (i modo craviora id fe-
rent necoria, recollicam, debitoque ordine conjun-
ram; recollecta, atque ordinata suo quoque tempore
tibi missurus: Vale. Flacae Com: VIXI Octobr. An-
nt M. D. C. L. VX LF0

## Folio  -  — 175906937X:0182
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000182.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 6 lines, status machine
.
fg. Y.
Fig. IL.
C
L2
V

## Folio 159 — 175906937X:0183
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000183.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
Sug. NV.
159
OTTA NNIS VE WITT
L F M F N T A
L.
7
A R D
N E A R E M.
E YB F R P R I M V S.
C A P U Y I.
DEFTNITIOHES PRIMS.
I.
M
Iper rectam lineam immocam alcera
recta certo sui puncto libi semper pa-
rallela moreatur aut incedat, codem
que illo motu anculi cujusdam rectili-
nei, circa punctum tirum (quod idem
l cum ejus vertice) circulariter mo-
eilis, ctus aut lemper ver praedictum matrilo pun-
etum craliliclis iecum ducat, acque ita limul cruris alte-
rius; de dictx linex incedentis incerlectione curra de-
Ecribatur linea; recta, qua, uti praedictum est, libi sem-
per parallela moretur aut incedie, Describens dicetur.
Alcera verd recta, immotamanens, Directrix VOca
Bitur.
Praccus aurem angclas teuo alsu os
ulc dcinceps. Anculorum mobilium nOiC VeMICAE.
6
L1o
A.1.0

## Folio 160 — 175906937X:0184
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000184.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
60
E L E N. C U R Y A R U M
IV.
AC quos describens ad directricem efticit. Anculi ad Di-
rectricem dicentur.
V
Punctum fixum, circa quod anculus mobilis circulo-
xiteF movetuI, Polus nuncupabIEUF.
VI.
Ea autem describentis pars, quae inter Polum, _ aire-
etricem incercipitur. Intervallum nominatoieur.
VTI.
Crus ansuli mobilis, quod describens se cum dueie, Crus
Patiens.
VTTT.
AIECEUMNCTO CrUS, quod a describente lCCAEUE, CruS
Efficiens, _ per anguli verricem productum, Linea Pf
ciens appellabieur.
TX.
Cum describens per Polum transie, ac proinde e cum
crure patiente coincidie. elc tam describentem quam crus
patiens, ut ex lineam efficientem tarum que anculum mobi-
lem instatione prima consticutum dicemus; ac quocies
de iis limplicitet sermo erit in tali iplas politione con-
Cderabiimus.
Z0
Ouamliber curram, intersectione, uti peaedictum est,
in plano genitam. descriptam dicemus, efficiente acque
intervallo consideraris, uc exhibentur ac libi invicem jun-
runtur in statione prima: ad co uc efficiens cum intervallo,
quodtam cum ipla describente quam cum crure patiente
in cadem Catione coincidic, anculum mobilem utrinque
constituat.

## Folio 161 — 175906937X:0185
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000185.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
u
. H. D.
ilis cireuli
u dicta
dueit, Cru
TE, CIM
ta 
C _ Cum
um mobi.
etum elli
ICem juII
intervul
re patieil
UErIn qu
1
TB. I. C A. P. 1.
cin appoltous. A secla sC, libilemper parallela certo
Tui puncto, puta LI, moreri concipiatur per immotam P. P, co-
denqueillo moin secum ducere crus B FI ansuliHIBC, circu-
P
g. 
C ad 
siguta
IV
lariter

## Folio 162 — 175906937X:0186
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000186.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
162
P L E H. C W R Y A R U M
laricer mrobilis circa punctum B; ita ut idem crus B F semper
transeat per praedictum iplius II G punctum FI, Simulejue alte
rius cruris BC ac dictae linex FI C incersectione C deleribacus
curra linea BC: crunt
TIC describens.
F F directrix.
TIBG, HTBP anculi mobiles.
FFIO, F. TIC ansuli ad directricem.
B Polus.
BF intervallum.
BFI cruspatiens.
BC crus efficiens.
PC linea efficiens.
DK describens instatione prima, sire describens simpliciter
DBC, DB A anculi mobiles instatione prima.
RC efficiens instatione prima, sire efficiens simpliciter.
Curram BCi, efficiense RC, intervallo rero BD descriptam di-
CeIUS; Et apparet, cum efficiens PC eAt in Satione A C, cruS pa-
tiens BFI coincidere cum intervallo BD; ac describentem PTC tune
esse in statione DK, acque per efficientem ec incervallum constitui
uerinque anculos mobiles DBC, DB A.
T Et E O R E M A
Proposirio I.
Oualibet efficiente, de quocunque intervallo, li anguli
mobiles xquales lint iis, qui ad directricem (unc ab cadem
parce, curra delcripta, hoc ips proprium crie, uc quae
vis recta a quolibet curva puncto 2d describentem effi-
cienti aequidistans applicaca possi rectangulum, sub in-
tervallo acque ca describentis parce, qua inter Polum e
applicatam intercipitur, concentum.
Sic efficiente AB C, intervallo BD, S directrice F. F delcripea
curra BC; ica uc angulus mobilis DB A CE x qualis angulo F. D B
addirectricem, Reque a puncto C in curra utcunque assumpro ad
describentem DBK applicata recta CR efsicienti A C parallelas
dico quadratum applicatx C K rectangulo D BR aequale esse.
COn

## Folio 163 — 175906937X:0187
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000187.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
lent
Iue dle.
leridau
riptam d
C; CrHS )
TTGtum
n constim
l ane
ab eade
E, UE qua
entem est
2, sub
F Polum 
P deleris
oulo ED
Patallet
uale esten
ea
L 2B. I. C A P. I.
213
Consticuris enim eam angulo mobili quam describente in Ctatione
uti luere, cum per iptarum incersectionem descripeum est pun-
aum C, reluri in HIBC _ HITCo: Si cam ansulus mobilis quam is
f19. I
Fig. HIL
2
W
112

## Folio 164 — 175906937X:0188
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000188.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
1614
E L E H. C U R Y A R A M
per Cor e qui ad directricem elt rectus lic, uti in prima figura, erit = ue HF
sextE Lel.
2 per 34pri
M2.
ad IB, ica IB ad IO, id eA =; ut DB ad O K, ita C R ad BR.
ac proinde. Quadratum rectae (iR rectangulo DB R aequale
Ac vero si obliguus fuerit uter que angulorum A BD, F. DB,
uti in catetis fisuris, secabune sele efficiens a directrix productu
ad eas partes, ubi anculus mobilis, isque qui ad directricem elt, acuri
CrunE. Sic itaque iplarum incerlectio in L. puncto. Ouoniam ioi
+ per 29pri tur cam anguli L BD, L. DB, ex constructione, quam L. IH,
I
5 per 6 pri- L FII, propter parallelas DB, TTI, aequales suNE+; CrUNE quo
mi.
a in casu
que 5 cam LinCx L. D, L B, quan L FL, LI; ac proinde d com
Ex YI ec S- POlica a vel re(idux b DHI, BI aquales. Cum autem, an-
milibus. gulis DBI, HIBO iildem, sire requalibus existentibus, addico
h incalib. vel ablaco a communi angulo FIBI, angulus DBHI angulo
Ag. TTI 8
V s IBC, id est 5, BOR, tiac aequalis; atque angulus BDHI ex
milibus. Constructione angulo D BI, id est 7, BK C, (it aequalis: erunt 
cincalufis. eriangula BDHI, CR B aequiangula, eritque proinde , ut BD
TI e Sim.
Lin cosib, 2d DHI sire BI, hoc est 20, ad GK, ita eadem C R adRB.
Sic. TYL et quare, ucsupra , quadracum applicatae GK rectangulo DBH
V, auc si-
milibus. aquale erit. Ouod es provolicum.
per 29 primi. 7 per 2) primi. 8 per 32 primi. 3 per 4 seniti. 20 per 34 primi. 11 per 17 sexti.
Constar icaque, curram interlectione, uei praedi-
etum est, delcriptam, cam ipsam esse, quae Vcreribus
Parabola; Polumqe idem punctum quod vertex; lineam
autem describentem in statione prima candem quae diame-
ter, aue si anculi mobiles recti fuerint, gux axis; inter-
vallum vero idem quod lacus rectum sire recentioribus
Paramerer ad eandem diamcerum cundemve axem
pertinens; atque efficienti parallelas, cas, qua ordina-
cim ad diametrum vel axem applicatae dicebantur;
Guarc ex eadem nomina recinento.
Corollarium I.
Per 17 sexti exit.
Cuim describentis essctentisque interlectio quibulcunque lationi
Dus in uno cantum puncto tlat, maniteltum est, de scribentem in qua-
curque

## Folio 165 — 175906937X:0189
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000189.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
i oHI
R odBR.
R aequie
D, FDB,
produde
N elt, de
Oniamie
in L. IH.
TunE quo
e_ COM
eM, 211.
addito
d angulo
BDH ex
S: erun
P.UFBD
R ad XB.
alo DBI
r17scnli.
praedi
eribus
lineam
diame.
S; InteI.
cioribus
JC aXeMt
Ordina.
bantuI.
ectationi
MIAqua
Cunqu
L 1. L. C A P.. l.
265
cunque carione, id
est, rectas omnes
diametro aequidi-
Stances, in uno tan-
tum puncto Para-
bola occurrere.
Corollarium 2.
Cumque continuo
describentis a Polo re-
cessu major major-
que lemper Hac an-
rulus, quem crus efi-
ciens consrituit ad li-
neam effcientem insta-
tione prima, veluti
OBF, manifectum
est, quamlibet re
etam à Polo ad quod-
libet currae punctum
ducta, UI, CX, BF.,
BC, TOLAM IHEra Pa-
rabolam, productam
autem, uti adR, Cx-
era Parabolam ca-
dere.
Corollarium 3.
Constat praeterea
angulum OBK in-
detinite quidem di-
minui, omnique pro-
Polico angulo recti-
lineo minorem reddi
Posse; Ped crustamen
uis splam Eranlire: ad hoc enim necessum Foret, ut crus patiens
E 3
3F
essiciens BC nunquam cum describente B R coincidere, mulco mi-

## Folio 166 — 175906937X:0190
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000190.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
166
F, L B HI. C W R YY A R U M
BFI directrici FF Foret parallelum , aut certe ut caderet intra
eam, qua à Polo directrici x quidistans ducta esset, quod plane im-
possibile est. cum direchricem lemper lecet.
Corollarium 4.
Ideogue appurec, rectas omnes, quae Parabolx axem vel dia-
metrum secant, productas tandem P’arabola Occurrere. Secet
enim recta R Z diaMCErUIM BZ MI, ac erus efficiens BC, in ca sa
tione constientum, uE R B C angulus minor sit dato angule
jurta Cor. HLKC 2, at rero Parabolam in puncto C. Ouoniamisitur recta
praecedens. K Z cruri B C occurrit, aut eidem occurret inter B _ (7, quo ca-
3per Corol. 2 (u ipCa producta etiam currae B C occurtura eAt 3, aut eidem in
Bujus.
ipso C puncto occurret, quo casu de limul P’arabolx ibidem oc.
curret, aut denique ipsi BC occurret ad partes C productx, quo
 per Cor. E utique Catu Ptas PatabOlROCCUTrCE +.
Corollarium 5.
Manitectum quoque est, applicatas omnes, utrinque Parabolo
terminatas, ab axc aut diamerro bitariam diridi. CTE, Si ducta sic
per rhu- APlCata NM O, quoniams cam quadratum NM quam qua-
dratum MI O xequale est rectansulo D B M: erunt quoque eadem
quadrata incer se aequalia, ac proinde e rectae NM, MO xquales.
Corollarium 6.
Patet quoque praecedentis conrerlum, nempenon posse alias
rectas praeter eas, quae efficienti aequidistane, in Parabola ab axe (-
ve diameero bitariam secari. Si enim Oa, qua non sic requidi-
Ttans ipE A C, ab axc live diameero BP bitariam divideretur in P,
ductâ ON efsicienti A C parallelâ, quae que proinde ab eodem
axe sire diametro bitariam quoque secabitur in M 5, Foret O P ad
per 2 sexri = L. ut O MI ad MI N: ideoque 7 ducta recta per N _ G esset
diametro parallela, ac Parabola occurreret in duobus punctis H
jurta Co- _ 9. quod heri non porest 3.
leaque non solum applicaex omnes à diametro bita-
riam dividuneur, scd _ gux 2 diametro bisecantur ad
Ca
C per 29 pr
Mi.
131)45.
GuS
perCorol.
pracedens.
TBl. ThHj H5.

## Folio 167 — 175906937X:0191
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000191.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
adetet IIIIa
od pluneim.
1
aCC anei
SICurTet
Y, GuOet
C CC
Diceto
dueu, qu
remvelll.
rere. Seit
5, ineal
C Parabe
S ductale
Quam qu
OuC Cadet
ADot
la 2b a8C
lc aequid
ereturin
e ab eone
Oret OP.
18O c
ettobila
CANCUI
ed
L F B. l.  A P. 1I.
167
Car quamlibet in Pal avola actam Bicaria alvidat
outes quoquepu aaances bitariam secabic.
Corellarium Z.
Ex demonstratis
quoque facile colli-
bicur, applicatarum
quadrata ad se inri-
cem esse, TicuE ad se
inricem lune diame
eri portiones intee
verticem ee applica
EaS IntErCCPEE. VIC, (I
applicata lint GR,
NM, Crit = qua-  per L B
dracum rectae Co R jus.
ad quadracum ipsius
NMI, uc rectangu-
TuM D BK ad re-
Ctangulum D BM,
id est 2, ut BR ad 2 per 1 sexti.
BNI.
Corollar 0.
Ex ipla porro de-
scriptione manise-
Aum elt, efficientem in
statione prima, id ett,
reCtaM, quae PeF PO-
lum sire verricem ap-
plicacis aequidistans
ducitur, ibidem Pa-
cabolam nec in a-
lio praeterea puncto
concingere, muleo
minus eandem leca-
rC. Sum-
eandem ordinaeim applicacae sinIc: ee s diameter re
9. XII

## Folio 168 — 175906937X:0192
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000192.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
168
E L E HL C U R Y A R U M
re. Sumpto enim in curra praeter Polum B puncto urcunque, relu.
ei C, Ecrus efsiciens eidem applicetur, uti in policione BC, consti-
cuetur ab iplo _ efficiente angulus, ut C B C: atque adeo punctum
C, utcunque sumptum, id est, coca Parabola, praeter Polum B, in-
tra efficientem AB C cadet.
Corollarium 9.
Constat quoque ex ancedictis, non posse aliam rectam praeter
efsicientem Parabolam in Polo eu rertice contingere. Juoniam
enim alia quaeris recta per B ducta, ex. gr., PR, angulum con-
Stiruie cum efficiente AC, UER B C, ( à Polo ad directricem ducatur
recta BFI, ita ur eidem angulo R B C aequalis sic angulus DBHI,
ac per punctum EIagatur recta diametro parallela, uc HICI: erit
ca ipla describens, d TIBR angulus mobilis, uepore aqualis angulo
mobili DBC3 BR rerocrusefficiens: ac proinde iplarum II6.
BR interlectio O in Parabola. Ouare cum recta PR non in
puncto B Colummodo, sed _ in puneto (F Parabolae OcCurFaL, de
3perCtt TOTa BC recta 3 intra curram cadat, non continget recta PR
Parabolam, sed eandem lecabit.
leaque omnes recta in Parabola ductae, guae concin.
genci in verrice aequidistant, ordinatim ad diametrum
applicantur lire ab eadem diametro bitariam dividun
TuT; _ contra, qua cuilibet rectae, a diamerro bitariam
dirila, per verricem aequidistans ducitur, Parabolam
in verrice contingit.
Corollarium 10.
Exdictis qlloque obrium elt, quo pacto datà politione l’ara-
bolae diametro, ejusque rertice, & latere recto, nec non angulo,
quem ordinatim applicata faciune ad candem diamerrum, ipla
Parabola in plano describatur. Si enim describendae Parabola dia-
meter sIE BK, vertex B, lacus rectum ad eandem diamerrum
pertinens BD, (quod quidem ipsi diametro in directum sit poli-
cum,) atque angulus quem faciune ad dictam diamerrum ordina-
cim applicatae ABK rel C B K: oporret, duet a per D laterisrecti
termi-
BujuS.

## Folio 169 — 175906937X:0193
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000193.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
U
unque, Velt.
BG, conti.
ded pundun
Edum B, 1
Ctamprui
Quonim
sulum con
em ducam
lusDBH
HO: es
qualis aneut
aruI HBI
PR HONI
CCurtat, B
recta PI
COIb
MCEruM
airidum.
Ditariau
cabolan
101C lam
On anGuI
TUm, ip
DCa a
IaMCHIIII
n (ic poll
in ordim
terisrec
Terti.
L X, B. L. C A. P. I.
u
169
te A C. de intervano D D dd ie LL CulVAMCiberE, yt
NBC: cise Hacipsa, quae delcribenda proponitur Parabola.
IHEO-
terminum recta PD Fin angulo F. D B ipSi ABD aequali, efficien-

## Folio 170 — 175906937X:0194
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000194.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
E L E M. C u R Y A R U H
I H E O Z E M a II.
Propositio 2.
Si per allumprum uccunque in Parabola punctum
recta ducatur, axi diametrore parallela, crit quoque
altumptum punctum Parabola vertex, ductaque pa.
Fallela itidem diameter.
Sit Parabola quaelibet FI AM, cujus axis diameterre AB, a
latus rectum ad eandem pertinens AC; sicque per punctum M,
in currautcunque assumprum, dueta recta MO, axi sire diame.
ero AB parallela: dico allumprum quoque punctum M verti
cem, dictamque MO diametrum esse; imo si, duct a per MI recta
SV, ita ut ab axc sire diametro AB extra Parabolam abscindat
portionem AI aequalem AB, qua inter rerticem A ee applica-
eam M B intercipitur; productaque OM ad K, ita uc lic MR
ipsis AB vel AI ∞ TMIcertia proportionalis, efficiente S V inter-
vallo vero MK Parabola describatur: dico hanc cum expolita
Parabola FIAM candem Fore, ita ut altera alteri per omnia con-
gruat, ac proinde non Tolum MO diametrum, at que M verti
cemtore, sed _MK lacus rectum esse ad dictam diam etrum MO
vertinens, _ SV Parabolam in rertice Mcontingere, omnesque
ipli parallelas in Parabola ductas ab MO bitariam diridi, acque
ad hanc iplam MO ordinacim applicari.
Sit enim in expolica Parabola HI A M assumpeum praeterea
aliud quodpiam punctum, ex. gr., FI; Cicque ab eodem ducta LIC
ad axem sire diametrum AB ordinacim applicata, nec nOn YIO
ip(iSV aquidictans, quarum prior, si opiistuerit producta, rectae
KO occurrac in P; Posterior vero, icidem producta, ubi opis
fuerie, praedictum axem sive diametrum A B SCCCEIN D. FFap-
 Thujus. ParCE  SI quadratum recta FTO aequale SIE reCFANDUIO R NIO,
Parabolam, qua efficiente SV, intervallo vero MK describetur,
per punctum quoque IIeransituram. FNe autem quadratum re
Ex IIO aequale rectangulo RMO mulcitariam id quidem, dt,
meolalcem judicio, breriter simpliciter que latis in cum qui le-
per = hu quitur modum demonstratur.
fud. s
Sexti.
Duoniam est : ut C A ad MB, ita M B ad B A, erie, dupli-
Catis

## Folio 171 — 175906937X:0195
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000195.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
VuMa
CIL Gadq
a quep
veLeVi
netum i
ive diame.
NM verI
ver M rect
n doscinda
de applies
a uE (IE MII
te SV iIII.
dmnia co.
ICMI rem
etrum HD
Omnes eu
idi, at qu
I PrXLeIe
dueta H6
ECNONHO
ucta, recto
a ubi opi
D. Etq
alo KMB
describet
quidem, di
E. F D. I. C a P. I.
s
11G.C2.
ry

## Folio 172 — 175906937X:0196
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000196.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
72
F L E ML C U R Y A R U NT
caris consequentibus, ut C. A ad duplam MIB scu ad C F. bis, ilg
3 per 29 pri MI B ad BL, hoc cA3, ita HIC ad C:D: ac proinde + contentum
Mi,  4
Seati.
 per 1C
sexti.
 per I hit
Ius.
sub mediis, nempe rectangulum II Cs F bis, aequale conteneo sub
extremis, nimirum rectanoulo sub C A _ GD. Undecum bi-
na quadrata rectarum HIC _ BM seu C P aequalia sine5 binis
rectangulis C AC _ C AB Ceu C AI, id est, rectangulo sub
per 1 se- C A e TC: erunt quoque, addicis demprilre  utrinque aequa-
cundi.
a in calu
libus, nimirum rectanoulo IIC: F bis ab una, ac rectanoulo sub
tis. Idcsi. C A d C, D ab altera parte 7, compolita a vel relidua, nempe
milibus. Quadracum F. FI ac rectangulum (ub C A ec ID Peu M O Xqua-
b in Ca(u
Fis. IIdcTFY lI c.
ac similibus. 7 quippe per supra demonstrata rectanculum LIC P. bis aequale est rectansulo sub C A
es CD. c in casuenim Ap. I, Er ab una paree ad bina quadrara rectarum HG e G F. addatuF
rectansulum HIOF. bis, COmPOSEUM HE F. IF quadrarum, per + secundi; ac H ab altera parre
ad rectangulum suB C A _c IC addatur rectangulum (ub C A e GD, FE, per I secundi, rectan-
gulum sub C A _ ID Peu M O. Fodem modo, (i in casibuS Ag. II et PII ab una parre a binis
quadraris rectarum FTG _E G F auFeratur rectanoulum AIG F. bis, residuum crie, per7 secun-
di, F. HI quadratum; ac h ab altera parte a rectangulo sub C A ec IG auteratur rectansulum sub
CA BCD reliduum erit, per x sccundi, rectansulum sub C A et ID sCu MO.
Ideogue cum SIE uE B MI quadratum ad NI L quadratum, siveuE
per FBu-C AB rectangulum  ad rectangulum suB R MI _ AB 9, hoc est 20
jus, e ex UEC P ad R M, Ceu, alsumpea communi alticudine MIO, ut prX
Bypothest.
Per 17
dictum rectangulum sub C A _ MO ad RM O rectangulum.
serti, es ex Ita == FHI quadratum ad FIO quadratum; licque rectangulum
hypothest.
10 per 1 sex
ii.
12 per 
22 sexti.
a2 per 14
ruinti.
(ub C A _ MO, ut jam ostensum est, aequalc quadrato FYI.
erit quoque 22 rectangulum R MI O quadrato HIO aequale.
Unde cum punctum FI, ubicunque id in expolica Parabola
AFIassumpeum fuerit, semper quoque sit in Parabola, qux effi-
ciente SV, interrallo rero MK describitur: sequitur alceram alce-
ri per omnia congruere, ideoque hanc cum illa candem esse; ita
uc constet reritas eorum, quae proponebantur.
Corollarium T.
Fix ancemensMamtelcum elt, quod, ductis in Parabola binis
quibuslibet rectis libi inricem aequidistancibus, quae utramque
Bilariam diridic recta linea illius diameter existat. Ouippe quae
per medium aequidictantium unius diameter ducetur, tire haec sE
ipla diamerer ex generatione. Cire eidem parallela, per medium
quo

## Folio 173 — 175906937X:0197
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000197.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
L. BIS, IB.
nlemum
tenieiuo
AES VINS.
neulo lb
que agul.
neulolut
 HeImp
Oaqui.
eulo sub Ct
SE addatI
alera parte
adi, rectin.
pane abin
Per7 Secut
adsulum 
hoc est
Paraboll
3 qua est
ecum bin
26014
EUtTaIL
Duippect
lire haci
der medit
Gt
d.
E F B. I. C A P. L.
.. X
II.
17:

## Folio 174 — 175906937X:0198
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000198.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
L L. F HE. C U R Y A R U N
quoque aerius aequidistantium transibie . Atque ita apparet.
Cu. p hujus, Quo Pactdatae cujustiber Parabola diametrum limulque ordina.
Ct ae Castcen applicatas inrenire liceat.
Corollarium 2.
Patetque porro, quassibet rectas Parabolam ubiris contingen:
tes, atque ordinatim a puncto contaccus ad diametrum applicon
tas, aequales utrinque à vertice diametri portiones ablcindere;
e vice versa a terminis applicatarum per diametrum ductas, ita
ut aquales utrinque a vertice diametri portiones ductx applica
taeque abscindant, Parabolam in dictis terminis COntinSerE. RC.
ctain enim SV, ex eo quod aequales (INE AI, A B, Parabolam in
in Zhujus. Puncto M uccunque altumpeo contingere, nunc  demonltra-
cum; ac nec aliam rectam in puncto M Parabolam contingere
3peroCd. Polle, Superius3 Octentum eAt.
Bujus.
Corollarium 3.
Acque hinc non difficulter colligitur, quo pacto à quolibet
puncto, non inera Parabolam dato, recta ducacur, quae Parabo-
+ per rCo- lam contingac. Inrentis enim + diametro quacunque d rectis,
rel. 2 hujus. quae ad illam ordinatim applicantur, si in ejusdem diametri cer-
per dexomino sic dacum punctum, nocum nunc ests rectam per idem pun.
Corol. 2hu Ctum ductam, atque ordinarim applicaris aquidistantem, P’ata-
jus.
bolam ibidem concinsere. Ac (i alibi in curra sit punctum datum,
veluti M, lieque inrenta diameter A D: Oportet, duct a CX M re-
Cta M B ipli AD applicata, sumpeaque A l ipS A B xquali, duce-
re rectam per lXM. Sin aurem extra curram detur in diametro
producta, reluci P: Oportet, Facta A B ipSI A I ae quali, acque BM
ordinatim ad A D applicata, quae Parabolae occurrar in MI, ducere
rursus rectam per I_ M. At rero sineque in curra neque in dia-
metro producta detur, ut, siinventa diamerer (IE M O, datumque
punctum I: Oportet, duet a ID diametro MO parallelâ, quae Pa-
rabolam secet in A, sumpeaque A B ip (I A Iaequali, acque ex B
ducta BMI ordinatim ad AD applicara, nimirum, quae aequidi-
Cans sit contingenti in A, Parabola que OccurraE in M, ducere
per 2 Bu-Iterum rectam per I et M. quipre constar ex ancedictiss, iplam
dus. usque l omni calu Parabolam continsere in puncto M.
81020
per con-
clusionem 6
L

## Folio 175 — 175906937X:0199
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000199.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
Cd dppuel,
IuC OB.
CoMinge
n applI
blesci
luCtas, I
e applict.
sere. Re
abolamin
Guetion
a Parabo
d rectisi
Metri tet
M1, Pa1d
in datum
a ex MH.
uali, duce
diametto
acque BII
M ducett
que in die
datumeu
la, qua l
eque ex 
12 aquid
A, ducett
56, ipla
e
fig2.
1413d
2 B. L. C A P. I.
l
73

## Folio 176 — 175906937X:0200
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000200.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
E L. E ME. C U R Y A R U H
Corollarium 4.
Constat praeterea, assumpeae cujussibet diametri parametruI
esle rertiam proportionalem duabus rectis, quarum una est vel
axis vel data diametri porrio, intercepta inter ejuldem verticem
e cam, quae P’arabolam in assumpex diametri termino contingit,
altera vero ea praedicta contingentis pars, quae inter dataim d
in Lu. 2umpeam diametrum inceriacet. Demonstratum enim est
rectam MI, ex eo quod ipsis AI, IM certia sit proportionalis,
alumpex uccunque diametri MO paramerrum eAe.
Corollarium 5.
Fx demonstratis quoque non difficulter collisitur, quo pacto;
datà politione qualibet Parabola diametro, ejusque verrice, et
latere recto, nec non angulo, quem taciune ordinatim ad dictam
diametrum applicatae, alia ejuldem P’arabola diamerer, quacum
applicata alium quemlibet angulum constituane, ac iplius ver-
tex, e latus rectum inveniantur. Si enim data politione diame-
ETOMIO, VerTICO MI, _E laEerC RCCEOMTK, anouloque SMIK vel
V MK, quem applicatae faciune ad dictam diametrum MO,
aliam ejusdem Parabola diametrum invenire oporteat, quacum
applicata angulum constituant aqualem dato cuilibet angulo
ABM: ducatur a terminoR adS V recta I P in angulOR V V
ipsi dato A BM aequali, dirisaque PM bitariam in L duCatUF per
Trecta IB ipli MO aequidistans. Deinde ab M ad candem IB
applicetur recta M B in angulo M B Idaco angulo aequali, divisi-
que BIbitariam in A, erit quae lica diameter AB, vertex punctum
A, ejusque parameter AC, recta nempe, quae ipsIS AB, BM ter-
tia proportionalis existit. FA enim = punctum M in P’arabola,
qua efficiente ip(i B MI Parallela ac intervallo A C describieur, quan-
doquidem quadratum applicatae B M ex constructione rectan-
sulo C AB est aequale. Deinde quoniam limilia Cune criangula
BIM_ PMK, ob aquales angulos ad B _ P (ex constructione)
4 per 29 pri- acque ad L_M + (ob parallelas AD, M O), erit  ut BIad LM,
mi.
per asexs; Ita PM ad MK. _, Cumpris antecedentium dimidiis, ur A I ad
in 2 bujus. LMI, Ita TMI ad MK. Ouare secundum ca gua superiis s demon-
sraca lune, Parabolae diametris AB, MO, ac parametris AC,
MB
Jus.
Per TBu
3Per 17
sexti.

## Folio 177 — 175906937X:0201
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000201.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
eametrum
and Cll 1el
MVerKM
contiest
PdalaH
ortiondii
d pacto,
ectu
2a _ILIII
C, qudcu
PliuIS vel
ne diame
dA
II MO,
Gudeum
et anegult
IORP
punctu
Parabell
3 Tu
Eriane
Tad III
5 demon
HIBi
s
GtI
L. + B. L. C A P. I.
o

## Folio 178 — 175906937X:0202
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000202.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
8
E L Z ML. C u R V A K U M
HK, in dictis angulis delcripeae omnino eaedemm erunc. Sunt qu-
cem _ anguli, quos Faciune M B aliae que ad diametrum A D ap.
plicata, ex constructione, dato angulo A BM aequales. Ouocircq
effectum est, quod quarebatur. Ouod  vero datus angulus
A BMI rectus fuerit, ip sC axiS CTIE, INVeNEA AD.
Fciamsi curva, qualibet efficiente, ee quocunque in-
tervallo deleripea, l anculi mobiles inx quales lint iis, qui
d directricem lune ab cadem parte, ea ipla lc, cui post
Circulum d Parabolam incer currasprimi generis pri-
mum locum cribuam, uepore quam sequenti specie
quodammodo simpliciorem judicem; cujusque pron
Pterca Ortum, naturam, e proprictates nunc expos
curus cidem delcribendi mechodo insiltere, praemisis-
que in principio detinicionibus inhaerere postem; cum
tamen ca iplius proprietas, quam primam ac maxime
univerlalem exictimo, e c gua cateras Facillime de-
duco, ex aliis generationum speciebus distinctius ap.
parcat acque expedicius demonstretur, quod in Ma-
thematicis, e praecipue in Flementorum explicatione
non parri taciendum puco, cam selegi, jux a jam di-
eta quam minimum deffectat, qua que similiter anguli
rectilinci rectae que lineax motu e incerlectione perti-
citur; ac in qua dicti anguli motus non circularis sed
rectus, ac contra dicta linex non rectus sed circularis
est, uc ex detinicionibus in cum tinem adaptatis, de le-
quenti Capite propolcis, masis clucelcet.
C a P I F LL.
DELIMCTIONOSdONNda
LECclaC. aca punctum tirum circulariter mo-
a ansulum quendam rectilineum, altero sin crure
immo.

## Folio 179 — 175906937X:0203
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000203.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
C. SutHI.
1. D.
Ouociren
15 AIG1
InGuIC I
Cis, ge
cui pott
eris pri
 spect
IuC DIO.
expoli.
ramiltit.
M; Cum
MaxItuB
TIUSap
lIA em
icatione
FaHGC
15, d
A.
ITeT MB
II CTuIB
immo.
L. L B. I. C d. P. II.
179)
immotx rectae linea applicatum, per eandem immo-
cam lincam promoreac, e secum ducat, ita ut praedi-
eta recta circuleriter mota semper per idem applicati
cruris punctum cranscac, simulque alcerius cruris ac
ejuldem linea morx interlectione curra describarur,
appellabitur haec ipla circulariter mota linea describens.
TI.
AlCerA verO immoca manens Directricis nomen reti-
ACDIC.
TTI.
Pexdictus aucem angulus rectilineus, is que qui ei est
deinceps, similiter et luc Anculorum mobilium nomine
VeniCHE.
IV.
Sicuri e punctum Axum, circa quod describens cir-
culariter moretur, Polus nuncupabitur.
V.
Pursusque crus ansuli mobilis, quod à describente peF
directricem pEoOveruI, Crus patiens.
VI.
Alcerum autem crus, quod a describente secatur,
Crus efficiens, de per ansuli verricem productum Linea
efficiens appellabIEur.
VII.
Cum deschidens essotent Dalaltela elt ac Ploe a
iplarum incerlectio existie, tam efficientem quam descri-
bentem in statione prima constitutas dicemus; aC Guoties
de iis simpliciter sermo cric, in tali ipsas CationC CON-
CLabimUS.

## Folio 180 — 175906937X:0204
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000204.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
E L E M: C W X Y A R W N
VTTI.
Intervallum aucem luic nominabimus eam eam cruris
patientis partemm, qua incer anguli mobilis verticem d de-
scribentem InECKIACCE, quam cam describentis portionem,
quae incer Polum e directricem intercipieur.
UIc in apposicatigura, si recta AB C a circa A punctum cir-
culariter moveri concipiatur, motuque luo promorere d lecum
aquae qui ducere ansulum B F C a; IEa uE CruS P. B semper applicatum ma-
dem recta neatimmoex recta lineae HL, ac predicta AB C inobilis sem-
ABC, ut _ per transeat per idem punctum cruris EB, Cx. gr. per B, Cimul-
angulus
BFC inf. Que alterius cruris F. C _ dictxe lincae A B C incerlectione C de-
sura qua Scribatur curra linea cC, Sitque ducta A D cruri F. C parallela.
tuor dictin-
tis statio. aPparet, quo masis recta ABC ad iplam A D accedit, ed mino-
nibus exti- rem tieri ansulum FC B. ac tandem cum ipsa A B C pervenit ad
Dentur
AD, ica ut cum ipla coincidat, cundem angulumm F. C B tunc pe-
nitus eranelcere: cum AD, ac proinde e dicta ABC, Catione il.
Ia Cruri F. C parallela sic; ita ut tunc dictum CruS P C sive recta
CFM eadem sic cum linea C5 F FI, nimirum suppolita D F ipsi
BF, aquali, crumeque
A B C describens in Ctationibus direr(IS.
IL directrix.
BE C, BF MI, sire D FFI _ D FC anguli mobiles
A POluS.
F. B crus pariens.
F C crus efficiens.
MIC linea efficiens.
C F LT essiciens instatione prima, Peu efficiens simpliciter.
ADIdescribens in statione prima, Ceu describens simpliciter.
FB seu F.D ec AD uerum que interrallum.
180
el L.  a l e a dale
Propositio 3.
Duibustibet angulis mobilibus 2c quibulcunque in-
tervallis, juxca deliniciones praemilas delerIpEa CUF-
va, hoc ipsi proprium crie, uc rectangulum COnTCH.
EI

## Folio 181 — 175906937X:0205
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000205.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
eM Cut.
etionem
M Crnia
iatum et
e de lecu
AEUIMI MB
bilis sem.
B, Simul.
ne C de
parallela,
eomino.
ervenitat
BEUNCPE
reret
lationeil
DF
IUC 1
ta CUI.
COnteH
HM
L F B. I. C A P. TI.
18 2
tum sib qualiber recta efficiensi paralle la, e quocunque
curra puncto ad directricem ducta, atque ca directricis
parce, qua inter dictam parallelam e efficientem inter-
cipitur, aequale c ei, quod sub utroque inter vallo con-
cinetur, rectansulo.
seuLD d AD, directrice KDL, delcripta curra cC; ita ut essi-
ciens sIEO FFI, SEque a puncto C in CurVa NEcunquC aRimpto ad
directricem duCca C L efficienti C F FI, dc proinde _ intervallo AD
Parallela: dico rectanenlum F F. C aequale eNe AD P rectangu-
(0, sire ei, quod sub AD, PB ContinCtE.
COn-
Sit quolibet anculo mobili B F. C, de quibulcunque intervallis F. B,

## Folio 182 — 175906937X:0206
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000206.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
+82
V L E H. C U R V A R U M
Constituris enim tam angulo mobili quam describente in Catione
nrituere, cum per iplarum incersectionem descriptum cA pun.
ctuin C, reluri in BF. C, de A BC, guoniam aequales sunt rectae
EB, FD, addicâ vel ablaca uerinque F B vel FD: erune quo-
per 29 pri- que rectae BD, PP aequales; cumque = propter parallelasF. C.
ct110
A D aequiangula linceriangula BD A, BF C: eric = uE BD, id
per 16 CA, FF, ad D A, it2 BF ad F C: ideoque: rectanguluM FF C
sedbt
sub extremis aequale rectangulo sub mediis AD, F. B seu ADF,
Ouod erat propolitum
Ouare cum de omnia rectangula, uE FPC, inter se
quoque linc aequalia; manifestum clt, curram, incerse.
ctione uei praedictum est, descripeam, cam iplam esse,
quam Veteres lyperbolam rocarune, aut, si binas cur-
vas eodem e continuato motu renitas limul conside-
res, elle cas, quas Oppolitas Sectiones dixere; directri-
cem vero R L ac efficientem C+LI cas iplas, qu2s Asym-
PEOEOS nuncuPaverunE, aeque iplarum occursum live
interlectionem, ut L, idem illud punctum, quodITy.
perbola live Oppolitarum Sectionum Cenerum ab iplis
appellacum fuit. ideogue dhaec lingula iisdem illis no-
minibus in posterum indisicabimus, Tolummodo sc-
in Epistola Ctionum nomen, ob rationes superiust expolitas, minus
conoruum critaturi. Rectanoulum aucem sub inter val.
lis contencum, scu, quadrarum ci aequale, FIyperbola
Pocentiam dicemus.
Corollarium T.
Ex ipla descriptione manifestum est, ACy improtos ec FTyperbo.
lam magismagisque ad seinricem continue accedere, tandem-
que perrenire ad distantiam, daca qu’alibet dictantia minorem;
cujus tamen, s demonstrationem exactiorem delideres, duta di-
Stantia sit recta NYO, 2d AIYIMPEOTON F K perpendicularis. SuM
pc2 isicur ND, quae eadem NO minorliE, SIHaEUENP ad AD.
ita D Fad Fe, ac per e ducatur ec ip(iNVP aequalis acque Alym-
Deoto FHIaeguidistans: eris s rectangulum L. ec Porentix AD F
aqua-
per 4 senti
ad Schore-
nium.
per 1C
sexsi.

## Folio 183 — 175906937X:0207
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000207.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
inlu
CTuII quB.
elab lib.
At BV
luNCL vo
ea Lebu
InterI
melle,
aAS CUI.
directit.
S AIym.
um (II
illis nO.
perbolu
mellp
lumrelt
Aypectu
candem
minoren
es, datad
aris, SuI
Pad AD,
que Asp
heiae AV
29
ta
equale, ideOgne juxEa Ca, quXe S dCMMOMTEACS LMIIC, PUNC C in  in 3 bujus.
T B. I. C A P. TI.
Typerbola. Est autem ex ce ipsi P N aequalis, hoc elt, daca di-
Cancd Oo. Mllasea perpendicularis a punctoc ad ACym
peocon FK ducta, id est, dictantia FIyperbolx a praedicta ACym
pcaco, ibidem daca distancia NO mulco minor eric.
Corollarium 2.
acque ita limul apparet, relcas omnes, qua ducix ex guove
puncto intra angulum, qui de restteeh ett et. Gus Petbora
Concinet, per centrum crameuu rel peotoaitea
lccalus ) Petoola candem occurrere, productasouo eandem, dt
In.

## Folio 184 — 175906937X:0208
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000208.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
284
V L. E HL. C W R V A R U M
in uno tantum puncto, lecare: quandoquidem hxe produetae ab
urraque ACymproco magis magisque semper ab scedunt.
Corollarium 3.
Constac pracrca, efficientem in quacunque statione, id ett, re-
etas omnes Asympeoto parallelas limilicer Hy perbola, de qui-
dem in unotantum puncto, occurrere, productalque illam ibidem
secare. Impossibile enim est, ut describens acque efficiens ullà stario.
ne lele in pluribus punctis intersecent.
I H E O R E M A IV.
Propositio 4.
Reca linca, n pet bina qualibet in FIyperbola
punctacrensiens, lire eidem ita occurrens, ut produ.
cta utrinque exera FIyperbolam cadac, utrique Alym.
ptoco, inera angulum, qui curram concinet; occurrit.
Sint in Fyperbola BCD, cujus Alymptoci R AF, HIAF,
ductae F B C C,
trantiens per bina
curra puncta B X
C, aEque MC ci
dem occurrens in
C3 ita ut producta
versus L utrinque
exera Lirperbolam
cadat; Dico eam
rectam F B CC
quam rectâ MCL
UErique AIYIMPEOTO
IE AF _E FI A F in.
Era angULUIM E AF
Occurrere. TIOC C.
nim si non accide.
reE, eade FBCG
vel AI CF aut
AIyM-

## Folio 185 — 175906937X:0209
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000209.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
luetr d
et qu.
dett, 12.
nibiden
a Calio
perbole
BlDe
C AIgm.
lllctu
HAB
Det vul
ad
M
ITTeNS
produc
UETINGI
Derooluto
Dicola
FBC
Ata HC
Isgimpu
HA
lUI Ls
BC6.
1
L I B. I. C A D. TI.
185
Alpeotorum alteruet parallela essec, aue, si rel huie vel illi
A(ynIPEOTO exCSICMI F A F OCCurrereE, ex puncto intra an
gulum X A eI ad verticem ei qui TErperbolam continet dueta
hanc relillam A(ymprocon lecaret; ideogue = CUEVR In UNOFAN- L per 2 (9 3
cum puneto non rero in duobus occurreret, ac producta candem Cor. 3 hujus.
Fecaret, non autem uerinque extra LIy perbolam caderet, contra
Id quod ponitur. Ac proinde constat propolitum.
I HI E O R E M A V.
Propossiio 5.
Allumpeis, vel in una cademque, vel in oppolicis
Eyperbolis, duobus urcunque punctis, ductisque. per
eadem lirc una rectâ sire duabus, sibi mutuo parallelis:
crunc rectangula sub ducta vel ductarum parcibus, IIy.
perbola e Asympoco uerinque interceptis, ibi invi-
cem xequalia.
Sine, vel in cadem, vel
in oppolicis Hyperbolis
BPCD, cujus AIrm-
PEOLI AE, AF, acum
pea uccunque bina pun-
Eta B e C3 aC Per Ca-
dem duetxe bina rectae
BD, C P sibi invicem
Parallelae Asympeoci-
GuC OCCurrenteS In Pun-
etis F, F, G, HI a: dico aquiurique
rectanoulum E B F rC- OCCUrTuS in
Etangulo GC II aequale casu primX
esse.
EDurae AE
intra angu-
Ductis enim per ca- lum E AF,
Per a hujus
dem puncta B e C rC- , per 16 sex
ctis, utrique A(ympEOtOti.
Parallelis alteraque A- = Per 3 Bc-
jus.
outa IBL _ AOHIS a gunta, ac L2 un A C, hoc CA3, utF B mi, e a
2
ad Sexti.
Crmptoro terminatis, BI, BL, CR, CM: eric, ProPter rectan- 3 per 29 pri

## Folio 186 — 175906937X:0210
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000210.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
186
E L F M. C U R Y A R U M
+per 16 sex ad G C, ita C M ad BL, id est, ita C HI ad B F. ac proinde re
Etangula EBF _ CC EI aequalia lunc. Ouod demonstran-
dum Crat.
Fodem modo ostendetur, s per bina puncta, ut B e
D, una recta ducatur BD, qua utrique AImpEotOOC-
currat in punctis E de Fa, rectangula E B F, F.DE. libi
invicem aequalia cAc.
Corollarium +.
In oppors LPeTDONS, Si parallelarum altera per centrum
transeat, ut C P in rertia figura, eadem demonltratione compro-
bacum erie, rectangula sub partibus quarumlibet rectarum, quae
Per AlymptotoS ad utramque curram ducuntur, Singula xqua
lia esse quadrato aequidistantis a centro ad EIyperbolam ductae.
Duare cum ex dictis appareat, si. ducta per centrum rectâ ut-
cunque reluri C C P in cadem tigura; eidem ubiris alia rectax-
quidistans ducatur BD, gux secet ACymprotosin P _ P, rectan-
culum E B F vel FD P. quadrato C C itemque _ C P quadrato
aequale esse: sequitur, iplas quoque GC, G P esse libi invicem
aequales, hoc est, quamlibet rectam ad oppolitas IIyperbolas
per centrum ductam, in eodem centro bitariam secari.
Corollarium 2.
Conseuc queque cusunvet rectae, sire per unam candemque,
sire per oppolicas Fyperbolas ducta, parces Hyperbola _ A-
sympeoris incerceptas libi inricem esse xquales.
Ducta enim uccunque BD, guxe ACympEotIS OCCUEraL In F e
I, cum ex ancedictis,F hic ad D F, uE D F ad B F: erit quoque
diridendo 5, vel, in ponus Firperbolis, componendo 7, BD
per 17 ad DF, ut eadem BD ad D L, ideoque DF, B L 3, ac proinde e
5 per 5 Bu-
sus 910
ean.
Duinti.
et 18
duinii.
d
Duinti.
BF, D E sibi inricem xe quales crunt.
Lidt ouat iit 3.
Unde Pallletcontat, eccala, qula relantus ejuldemque, vel
ollatua L Dclbolalatu. Bin FunelaconsumetC, AHIID a110

## Folio 187 — 175906937X:0211
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000211.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
oinder 1.
emontim
la, UtBB
DEOTDDC.
EDEIB
CCMLIIM
Coia
AM, Qud
Uld X qu d
aim dueta.
rectâ V.
asec
tella
Quade
 invice
perbolo
e Guli
Ola e l
at 1 Ed
IE Guo9t
0 1b
oroinden
igues
VIID dB
E19.
 L 60 L C A P. TI.
sui puncto in Lyperbola esse. Si enim praerer D e B aliud quod-
dam iplius DB punctum, Cx. gr. X, in Hyperbolatoret, esset 2. per Coroll.
ZFip(iBF ac proinde e ip(D Faequalis, parstori, quod est ab- Praced.
Curdum.
rum esse: nempe, si, iildein positis, e rectangulis EBF, 6 C II
aequalibus, punctorum B e C unum in TIyperbola sic, et alterum
quoquetore in eadem vel oppolica Flyperbola, cujus ACymptoti
TunE AF _C AF. Ex eo enim quod aequalia sine rectangula F B F
_ CCHI demonstrabitur xqualia quoque esse rectangula A IB
d AK C eademmethodo, qua conversum supra octensum fuit.
ideoque si punctum B sir in FIyperbola, erie quoque = punCtuM 2 per 3 Bu-
Cin eadem aut in oppolica Flyperbola, cujus AsymPEOtI SUNE A F, jus.
AF, e vice rersa. Debinis aurem punctis in eadem linca, ut B
_ D, idem dictum ecto; imo e idem erit in eadem linea, li dicta
A2 2
puncta
Coollarium 4.
Facile autem apparet, e conrersum quoque propolitionis re-

## Folio 188 — 175906937X:0212
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000212.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
288
E L F H. C U R Y A R U H
puncta, uE B _ D, aequalicer ab Asymprotis distent: quandoqui.
dem, (BF, DF aequales sunE, ad dita verinque BD, vel in oD.
politis Hyperbolis ipsa F F, _ B P ipsi D F, ideoque de rectangi
lum EBF rectangulo FD P aequale erit.
Corollarium 5.
Apparet quoque, cam, quae ex centro quamlibet rectam, vel
in una eademque, vel in oppoliris FIyperbolis ductam, bitariam
diridie, omnes quoque ipsi aequidistantes bitariam dividere. IIE
Si ex Centro A ducta A NO diridat bitariam rectam C P, cuia-
quidistans sIEBD; cum, aequalibus N P, NC additis dempritre
per 2 Cor. xqualibus = PHI, CC, aequales quoque sint NH, NC, ideo-
S hujus.
per a quin. GuC de OF, OF 2: erune smilicer, dempris rurtum addicilve
ii e 4 sca- X qualibus 3 BF, DF, ip(x OBeEO D quoque aequales.
3 per 2Cor. Fjulmodi autem rectae a centro per Flypeibolam
Shujus.
aut AOs- ducta a, intercepex diametri, seu diametri simplici-
milesque in FeF; at qua a centro inter oppolitas LIy perbolas du
Etigura.
BuEAOF. Cuntur , secundae diametri; parallelae vero per cal-
milesque in dem bitariam sectaec, ordinatim ad diamctros appli-
TI AGUTa.
UEPC, DB CatX rocantuI; de si applicata 2d angulOs rectOs a dia-
in veraque
ietris lecentur, caedem diametri LIyperbola axes ap.
Pellantur. Ouando autem lecunda diameter ordina-
tim ad incerceptam diametrum applicatis parallela est,
altera alceri Conjueata diciEHr.
Corollarium 6.
Ex praemissis colligitur, non posse alias rectas, quam dictus
parallelas seu ordinarim applicaeas, a diametro bitariam seca
ri. Si enim Aeri pOssic, secetur a diametro AO bitariam prae-
cex applicacas alia recta, uE O R, AEympeotis occurrens in S
_ T; _ sic per O. ordinatim applicata BOD, AsymptotiS OC-
L. Den 2, eS CUEFOAS II F _ F. AqualES CTOO CrUNE FaM F. O, FO +, quait
Cor. 5. bujus. I 03. 5. 5. Duoniam vero, ducta L V ipli S F parallela
ISUFa.
5. ex Bypoth.
juncto C Or. 5
hujus. 6 per. 25 es 29 Primi:
deu

## Folio 189 — 175906937X:0213
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000213.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
Quandoqu.
et onatl.
. velin op.
ectam, 1
1 bitariur
idere. I
P, Cui2
demprilie
(6, 1de0
addicilue
1ales.
erbolam
limplic.
OlaS dt
Pet eut
O5 d C1d.
2XCS 2P.
Ordina.
leld el
nam dide
riam lect
IFIaI pIa
rrens II.
DEOTSO
1
arallela
f1g. I.
C 3. L. 1.21
5
rquiangula lune eriangula F. OV _ FOS: CrIF = UE FO ad. per 4sex
OV, Ita FO ad OS. OVare CUI F O ipSI FO Sic aequalis, ti.
erit de  O V ipsOS, hoc est, rectae OT aequalis, parS FOL, 2 per 14
quod establurdum. Non ergo bitariam secatur recta R9 a dia- quinsi.
INCETO AO.
Corollarium. 7.
Acquehine maniteltum tic, quod, livelin una cademque ret
ad oppolicas yperbolisbina qualibet rectae sibi inricem ae qui-
diltances ducta sine, quae urramque bitariam diridit recta linca
per centrum eranleat seu diameter (c: Ouippe quae per medium
unius xequidistantium diameter ducetur, per medium quoque al-
cerius xquidistantium eransibie 3. Unde apparet, quo pacto datae 3 per 5C0-
Iyperbolae rel oppolitarum TIyperbolarum diametros quorli- rol. 5 hujus.
bec, lunulque ordinatim applicatas ad ealdem, nec non _E cen
erum, utpore quod binarum pluriumre diametrorum communis
incersectio elt, reperire liceat.
A2 3
THFO

## Folio 190 — 175906937X:0214
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000214.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
 L F ML. C U R Y A R U N
Y H E O R E M a VI.
Proposirio 6.
Recta per quodlibec IIrperbola punctum ad ueram-
que Asymptocon ducta, qua in eodem puncto bita-
riam diriditur, curvam ibidem contingit; de Contra,
concinsens ad utram que Alymptocon producta in pun-
eto contactus bitariam divila elt.
Sit per punctum C in FIyperbola BCD, cujus ACympeotiAF,
AF, ducta recta GCII, utrinque ACympeoris terminata, qux
in eodem puncto C bitariam diridatur. Dico rectam OFICur-
ram contingere in C. Secetenim, lihieri potest, recta OFIIIy-
per 2C0r. perbolam in C _ I: eritque = III rectae C C, ideoque e ipsi
C HI aequalis. quod est ablurdum. Non secat ergo C FI FIyper-
bolam, sea eandem continoit. Dico porro conversim, (iC TI in
puncto C. Hyperbolam contingat, candem quoque in C bitariam
diridi. Hloc enim linon Cic, Cumatur in C HI majori parte ip(a FTI
aequalis C C. Ilinc cum punctum C sic in FIyperbola, crit quo-
per 4Cor. Gdc: punctum I in IIyperbola, totaque CI3 intra curram ca-
dec, ideogne ip(aCFI Fsyperbolam non continget, led eandem
Thujus. In punctis C X I lecabie, contra id quod ponebatur. NTon ergo
OC ipsi C HIinaqualis est. Ideoque casu vtroque constat pro-
policum.
Corollarium T.
Manifectum itaque est ex ancedictis, lingula rectangula, quae
comprehenduntur sub parcibus cujuslibet rectae contingenti pa-
rallelae, inter IIyperbolam ee ACymptotos interceptis, esse x-
qualia dimidixe cangentis quadrato. TIE, ( tangenti CC HI aequi-
distans urcunque ducta (IEB D, A(ympEOtiS OCCUETenS in F _ F.
ver 2C0r. Ct. Crectangulum E B F Sire + BFD, UE_E FD F SIVCDF B aqua-
shujus. le rectant, Id eA, ipsius C HI ret C6, dimidie
Carcbo sllachal.
S bujus.
Shujus.
3 per 3 Cor.
per S Bu-
fus.

## Folio 191 — 175906937X:0215
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000215.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
Autram.
ed oia
Conclai
ipee
Ltea
GHTHp.
ue e ipte
Ltspe
u 
bitariam
ip(aHI
EraM Ca
eandem
On eteo
Cat PIO.
Ula, qua
senti pt
ene
H2qu
AFaI
Daqua
dimidie
b LB. I. C A P. II.
Corollarium 2.
Pacet porro, rectam, pua Per diamerri cerminum ducitur a
quidistans ei, quxe in L perbola ab eadem diametro bitariam se-
catur, id est, ordinatim
applicatis parallela, FIy-
perbolam in dictocermi-
no continoere. (IE, (1 ad
diametrum A N ordina
rim applicata sIc BND,
quae producta ACympco-
TISOCCUTFAL IN E QE F, 2C
per diametri terminum
C ducta sE recta C C II,
ipsi BND aequidistans,
cum aequales (ine N F
_ NVF E: CFINE 2 9VO- 2 per 288 5
que CHI _ C G X. Corol. 5 bu-
quales, ideoque 6 CF7)u5.
per 9 quin-
yperbolam contingetti, ex 4
n C.
Oordaattam 3.
Sexti.
3 per 6Dit
Jus.
senti parallelas, a diametro per tactum ductâ bitariam secari,
ideoque ad eam ordinarim applicatas esse, sed de non posse plures
rectas in uno eodemque puncto FIyperbolam contingere. UL, I1
contingenti GHI parallela sic BD, Asymproris occurrens in P
_ F, due a per tactum C diammetro AC N, quae ductx BD OC-
currat in NI: quoniam + GC, C HI aquales UIME, nCC NON F. HI, + per 6Bu-
NF 5, erunc quoque (dempris aequalibuss FB, DF, d BN, ND jus.
5 pero quin-
aequales, ideoque de ad dictam diamerrum AC N ordinatim aP. et ex a
plicata. Ac vero non posse aliam rectam praeter G FIFIyperbo- serti
lam in puncto C contingere, patet, quandoquidem e omnes ip(i 6 per 2Cor.
S hujus.
aequidistantes in EIyperbola ducta, qua que aliae eAenE quaim, per supra
praedictae applicacae, bitariam quoque per eandem diamerrumm demonstra-
diridereneur 3. quod tieri non posse superius s oltensum clt.. ta.
d in Cor. 6
C. X- 5 hujus.
Hlincliquet, non Polum omnes rectas in FIyperbola, contin-

## Folio 192 — 175906937X:0216
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000216.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
E E E H. C U R Y A R U M
aeterum nteteathic, uc diametrorum quoque
IdSMICudo dCTermInetuI, cam, quae a quocunque
in Fyperbola puncto
pet centrum ducta
Oppolica FEyperbola
terminatur, ideoque
INCCFCCPER INTOF CCB-
trum e curram du-
pla est , UE C AP,
vel Hyperbola, vel
oppolcarum IIyper-
bolarum cranlverlam
diametrum; camgue,
guae in ipluS termi-
no curram contin
sens utrinque A.
simpeoris termina-
Eur, auc qua ipsi per
centrum aequalis de parallela ducitur, ut CTCFI, se-
cundam diamcerum eranlverlae conjuratam; aE vero
illam, guae ipsis PC, CFFI, eransverla nempe sccunda
que diametro certia est proportionalis, ut C. O, rectum
latus sive Parametrum dici.
T H E O R E M A VIL
Propositio 7.
Dux per terminum eransversae cujusstibet diemerri
recta ducitur; contingenti in verrice parallela, oppoli-
tam Llyperbolam continsie, ee qua ad sccundam dia-
mecrum, allumpex cuicunque diamerro conjusatam,
ordinacim applicatur, eidem astumpex diametro aqui.
dictat.
dit
L
perCorol. I
S hujus.

## Folio 193 — 175906937X:0217
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000217.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
quoque
deunque
apuneto
n ducta
sperbola
C AP,
Hyper
Ierlam
camque,
S Term
COnt
que H
ermine
ipli per
VH, sC
aE VerB
ccunda
rectu
dieme
Oppot
dam dia
IuSaCalui
L X B. l. C A P. II.
193
oncarum Fyperbolarum IC, LIF..
quarum AEymptori BC, DF, diameter eran verlauccunque al-
minum P ducta recta FP. O poralle
la ip(i BD, qua Curram IN ver-
tice C contingie, ita VEHXC AE-
que illa Asymprotis occurrantin
punctis B, D d P, C: dico prX-
dictam quoque F F. C, oppol
cam FIyperbolam continsere in
E; ec li per centrum A ducatuF
secunda dinmeter AK, diame-
ero C L conjugata, ordinatim
ad eandem A HE applicatas ip(i
CF diametro aequidiltare.
Ouoniam eniin eAt= FaIM AF. 1 per 29 pri-
ad F C, ut AC ad C B, quam mi. e 4
A F ad F F, UE A C ad C D; et Sexri.
LUINEEAI AF, A C = quam CB, 2 per 1C0-
CD3 aequales, erit quoque + rol. 5 hujus.
3 per Ghu-
ta E C ipEC B, quam L F ipCI jus.
C D, dc proinde _ LC ip(I F F. + per Y 8
quinti.
aqualis. Unde s recta F (7 Op- 5 per 6 tou-
policam leperorum lLCominset in puncto F. Quod primo jus.
loco propolitum suit. Porro li per C de D ducatur recta GD, sC-
cans secundam diamerrum AK in K, oppolitisque Hyperbolis
occurrens in HI d I, cum aequales ee parallelae lint L (7, C, D,
erunt ec quae iplas conjungunt GD, C F parallelae  aequales. 6 per 33 pri-
Ideoque cum secunda diameter A R contingencibus BD, FC, id mi.
7per 3COr. 6
eA 7, ordinatim ad diametrum C. P applicatis xquidistans sIE, UE- Bugus.
Poce ex Fypochesi ips C P conjusata: crunt quoque  rectae  per 34 pri-
OK, EA, ut _ RD; AC, ideoque_ GR, H D aequales.
mi
9 per ICOr. 5
Quibus si addantur aequales o O FI, DI: crun similiter rectx bujus.
Z HI, II libi inricem aequales. Ouocirca cum 2r ad Cecundam 10 per 2Cor.
hujus.
diametrum AHC applicata sic recta LII, CtIaI CXTCTA OMHCS ad i1 per 6COr.
eandem applicatx  eidem FIIac proinde et diamerro C F. X = s hujus.
quidittabune. Quod secundo loco propolicum erat.
22 pen 5146
Cor. StWiuS.
dit Fyperbola svel0
Cumpea C F, Petesle ejus
P.

## Folio 194 — 175906937X:0218
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000218.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
1B
sexeti.
L L E M. C, U R V A R U N
e
0B E E M A I.
Propositio 8.
Dacis quibulcunque diametris conjugatis; Flyper-
bola axes conjugatos inrenire.
Sine datae diametri conjusaex PC, G FT, oportearque invenire
conjugatos axes ejus Lsyperbola, cujus cadem PC, CHI COn-
jugacae diametri exictune.
DuCtis ab A CenErO per C _ TI Asymptoris AC, A FI, ducta-
que a C ad eorum alterutram recto C B alteri xequidistante, su-
MaEUF INteF AB, BC
media proportionalis
A D. Dein ducta D F
ipsi AD aequali, acque
AEymproco AHI Paral-
lela, CrIEL AF, eran-
TIenS PCF F_ A ac ipsiuS
L A dupla, eransrerus
2XIS Qui quaeritur, atque
IE K ad candem per-
pendicularis, ac utrin-
que Alympeoris termi-
nata, axis secundus,
priori conjugatus.
Duoniam enim pun-
cum C: in IIyperbo.
la est, rectangulum que
per3hu- AD E ip(I ABC aequale ; erit quoque punctum F. 3 in IIy.
IuS.
aver s pri Perbola. POrro cum propter rectas D A, D F. aequales + aequalis
mi.
quoque sic D A F angulus ipsi DF A, id eAt 5, P AK angulo,
5per 29 pri- sineque _ anguli AF I, A F. K ex constructione ae quales: crunE
mi.
 per 32 or Eriangula A L. I, A P R ae quiangula; aeque ob latuS A P commu-
mi.
ne etiam aequalia, lacusque PF laceri F. R aequale. IInde cum
7per 26pri- punCtu F.  in HIyperbola existat, dividacque bitariam rectam
mi.
per sup. TK, utrinque Asymptoris terminatam, continget ip(a TR  Cur
demonstr. vam in F; ideoque. e proprer ansulos FF. L, LFK rCCtOS, CON
operbhu jusaciaxes erune FE., LK.
FUS.
T. HEO.
94

## Folio 195 — 175906937X:0219
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000219.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
que
E ID. I. C A F. IL.
A E DL E M A VIII
Propositio 9.
Ouxlibet concinsences ab angulo Flyperbolx A.
symptoris comprehenso aequalia abscindune rriansula,
e rectangula sub corundem triangulorum laceribus
comprehenla inricem quoque aqualia lunE; aC PEX-
terea majora corundem lacera a concingencibus, ip(X-
que bases seu contingentes Asympeoris cerminata, in
ucuo occurtu, neC NOM iplarUI pALEeS CurVam CON-
cingences inces occurlum de ACyMPEOTOSinTexj CCX, iM,
punctis conractus, in cade LaTIONCSCCAREUT.
FIrperbolam CF, cujus ASymPEOTi AG, AR, rectae CFI.
TK utrinque Asympcoris terminata, ac sibi muruo in R OCCUF-
rences, contingant in punctis C de F: dicocam rectanoula quam
crianeuta C AFI, IA K aequalia esse; ac praecerea esse O I ad IA,
SICUEKHI ad HIA; icemque O R ad R HI, SICUEK R ad R I; nec
nOn GC ad CR, SICUL R F ad FR.
Ductis enim a punctis contactus C _ F rectis C B, F. D AIyn-
peororum alcerueri, uc A FI, parallelis, cum sicue CC adG HI,
ita CB adO A, e B C ad AFI =; sicque OHLipSiuSOC dupla 2: per + sexti
erie quoque tam C A ? per 6hu
ipsius C B quam A FF 145.
iptius B C dupla, id -
eoque 3 rectanguluM 3 per 20
C AFI rectanguli O BC SextI.
sive ABC quadruplum.
Eodem modo rectansu-
lum L A K rectanguli
A D E quadruplum o-
Sendetur. Tlinc cum X -
qualia Ime rectangula
rum glladrup la nimirum rC a per 3 Bu
jus.
ABCS ADP. +, erunE quds
Canga AK agcaa. dod esprimum.
nde cum 5 (ICuEO A ad AH, Aa L A ad A FI, criansula qua 5 per 16
que sexti

## Folio 196 — 175906937X:0220
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000220.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Per 15
sedebi.
7 per 16
quinti.
per 17
quinti.
6obto
20 per 27
quinti.
196
quee aguasta ca, utporehabentia larera cipea
communem ansulur, reciproca. Ouod est secundum.
AC cum permutandor
quoque (iE C A ad LA, uE
AK ad A HI: erit ex
diridendo C Tad IA, UF
RFT2dFI A. Ouod est
FCTEILIM.
Porro cum ab aequali.
bus criangulis C A HI,
TAK ablato communi
quadrilatero IR HI A,
relidua, nempetriangu-
IaORIDEK RES, quoque aequalia FeMAnCAnE, crunE corun-
dem latera circa aquolem ansulum ad R reciproca, id ett, erit
CR adH HI, uc K R ad RI. Quod est quartum.
Elndecum componendo ro quoque sic C FIadR FI, ut R Lad
RL, auc, sumpris ancecedentium dimidiis, C H ad HR, uc F. L
i per Co. ad lR: etit ex per conversionem rationis  CII sive 6 C ad
roll. 10
quirssio
CR, uE F IsIVC KP 2d F. R. Mmod est quintum. Arqueita de-
monstraca sunt ea, gux proponebantur.
L H E O R E M A IZ
Propositio 10.
Ductâ quacunque in Flyperbola diameero, crix ut
quadracum secunda ad quadracum eransrerlae diame.
eri, live ue parameter ad eranverlam diametrum, ita
guadracum cujusibet ordinatim applicata ad rectan-
sulum sub ejusdem diametri partibus; uErogue rran
verlae cermino ex applicara intercepris, comprehen.
CLII.
Sit in TTyperbola BCD, Cujus ASyMPEOT AF, AF, ducta
diameter utcunque P A C. N, cujus secunda diameter eranlverla
PC conjugata siCC C HI, Parameter vero C I, ipsis nempe P C,
CHIrerrin proportionalis, dc sic ordinatimm ad dictam diameerum
appli
E L E M. C E R Y A R B M
Ber 25

## Folio 197 — 175906937X:0221
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000221.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
181.
Un-
erie
L. 2D. I. C at +. IL.
quacatum D N ac P NC rectangulum.
97
20 sexti.
RIyMIPEOEOS, UE F BND F, CMMM FN quadrarum ad HIC2 per q, ex
quadracum, id est 3, ad B ccangulum, ue N A quadratum 22 sexti.
ad C A quadraEUI : 3 Per 1 Co-
rol. 6 hujus.
erit diridendo= DN 4 per 6 se-
quadratum ad II C cundi, s. 17
quadratum, uE P NC quinti.
rectangulum 5 2d5 per 6 se.
CA quadratum; _ cundi.
permutando s DZ 6 per 16
quadratum ad P NVC quinei.
rectangulum, utTIC
quadratum ad C A
quadratum, Cire7 UE7 per 15
CEI quadratum ad guinsi.
CP quadratum, auE,
quodidem eAt, utIC
2d C P. Ouod de-
monstrandum Crat.
Corollarium r.
Esinc collisieur,
Oola, ut B C D, ACymprociinre.
MIaCur. Ouippeinventis ceneto A, diamerro qu’à cunque AN
qua Corram secet in C, d oroaulm ad eandem applicatâ BH; (13
producla N A a_ LS_CLSL I AC SC aequalis, dueta GuC PeF C re-
eta e Lapplicarae B N parallera in cadem nocencur puncta LL. 8
C, icd rP HC rectangulum dd B N quadratum, (ICuF AC qua-
dracumt a quadract ads C OteH CHI: CrUNE, GUX ex A CeNETO
per 7C0
roH. S hujt5.
per C d cu ecla AG F e AHIF, A(ymptori quX CIEX 8. 3 per con-
Corollarium 2.
applicata quaelibet D N: dico esse uc O HI quadratum ad C L
quadratum, auc, quod idem est, ut recta lC ad rectam C P, ica : per Corol.
Producta enim applicatâ D N urrinque per FIyperbolam ad
quo Pacoo dacae cujnFypC
Fix demonstratis patet, sI per Y _ L CLAHITCLLA AIALSCCIL PAdA
versut
dujus.
lse cClioo acachiteelatIu. Occurceno clDetdde
3b 3
CaEXy

## Folio 198 — 175906937X:0222
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000222.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
798
F L E H. C U R V A R U M
Catx, ut ND, producta, Si opus tueric, in R: rectangulum C. NK
quadraco applicaca
D N aequale esse.
Quoniam enim est
uE PC ad C L. sire
ut PNad NK 2, id
CAt, (TumPEa NC
communi alcicudi
nC) ut P N C re-
Etangulum ad C NK
rectangulum 3, Ita
idem P N C reCtan-
sulum ad D N qua
dracum, erit + re-
etangulum C WK
quadraco applicacae
DN aequale, id est,
S vecerum Geome-
crarum moreid pro-
Poni placeat:
Ouxe ab FIyperbola ad diametrum ordinatim ap.
plicatur, potest spacium adjacens lateri recto, lacitudi-
nem habens lincam, quae a diamerro abscinditur incer
iplam applicatam de diametri verticem incerjectam,
excedens que hiourâ simili similiterque polcâ ci, qua
laceribus transverlo rectogue continetur.
Corollarium 3.
Per 20hu-
SuS COnV.
per 4 sexti.
per 2 senti.
+ per
quinto
per 20hu-
jus.
deu Guoueelca delonulatio Mlspecbota dppII.
catarum quadraca ad se invicem esse, reluti rectangula sub inter-
cepris diametri porcionibus; ab urroque cransversae termino (uII.
pris. UE; Si appliCaTa (INE L. MI, D N, eric ut quadratum L M ad
rectangulum PM C, ita quadratum D N ad rectangulum PNC:
cum ueriulque eadem sit ratio, quae est poramerri ad transverlam
diametrums, eritque propterea permutatim L. MI quadratum ad
per 16 D N quadratum, ut P M C rectangulum ad P N C. rectangulum.
quinti.
HEO-

## Folio 199 — 175906937X:0223
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000223.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
B. L. C A P. II.
E H E O R E M A Z.
Propositio TF.
St Guaelibet cors ls cuicunque Flyperbola dia-
METTO OCCUTTaE, acque a puncto conractus recta ad
eandem diamerrum ordinatim applicetur, crit rectan-
gulum sub diameeri portionibuS a CeHEEO PEF CONEIM-
sentem applicatam que ablcissis aequale lemidiam ecri
exanlverla quadrato.
Ouamcunque Fyperbolam R C, cujus ACyMPEOLi AD, AF,
contingat in puncto C urcunque lumpio recta F. C F, A(ymPTO-
tiS OCCuTrenS in F d F, diametro aurem A HI urcunque duetx
in L; ex per punctum con-
tactus C ad candem dia-
mecrum ordinatim appli-
cata sIE C. II, que produ-
Cta AIYIMPEOTO OCCUETAE
in M. Dico rectangulum
IIAIaequaletore quadra-
eolemidiametriK A, CIVC,
quod idem est=, continue per 17
proportionales ense LIA, serri.
KA, _TA.
Ductis enim D HC
applicatA CHI, _ RL
contingenci FF paratlelis, notatoque interlectionis puncto R,
cum sIE = R C ad C F, UE R K ad KD, hoc CA 3, MG ad MI F, = per ZCOr.
UEL E adLD: erit quoque + NO ad CF, uEL F ad E D. Oua- Sexti, 8 9
hujus.
re cum porro s sc FG ad GA, UED P ad F A: erit 5 CX XGUO 3 per 2sextI
MO ad O A, id est Z, FTR ad R A, uEL F ad E A, hoC eA , UIE + per compo-
KI ad IA: _  componendo HL A ad R A, uE K A au I A. sitionem ra-
Ouod demonstrandum crat.
tionis con-
vium ad 18 Q vinti. 5 per 9 hujus. 6 per 22 Q uinti. 7 per 2 sexti. 8 Per 2 sexti. 3 per
18 Quinti
trariam.
ville Cla-
HIEC

## Folio 200 — 175906937X:0224
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000224.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
200
F L E M. C. W R Y A R U H
I HH E O R E M A  XI.
proposiio. X2.
Boles dIaMCETO OCCUTTAE, acque a puncto cOnFICIS
recta 2d candem diamerrum ordinatim appliCetur; e-
rit rectanoulum sub secunda diametri portionibus, a
cenrro per contingentem applicatam que abscisIS, X
quale lemi-secunda diamerri quadrato.
Ouamcunque FIy perbolam R C, cujus AsymPtOTI AD, A F.
concinsat in puncto C, utcunque lumpto, recta FC L, Occur-
rens lecundae diametro AB, urcunque duetx in : dico, li ex C
E
ad candem diame-
trum AB ordina-
cim applicetur recta
CB, _ Cx A eidem
aequidistans ducatur
AKTI, SCCanS COn-
tingentem LC 
in lFlyperbolaeque
OCCurreNS in R, aF-
que per R recta d-
BATUIE D K G ip(I
AB parallela, (ita
AE = AKII diame-
ter lic secundx dia-
IMCErO AB COnjuZZ
ta ac Femi-secundae
diamerri magnitudine sine RG, KD,) Forerectangulum B AG
aequale ipsius RO vel R D Pemi-secunda diametri quadrato.
Dueta enim per C recta T CM sccunda diamerro A B paral.
ela, ideoque ad incerceptam diamerrum A K II ordinatim appli-
jus, ex Cor. eroera OeCurrat in T diametroque AITin FI; A-
20 sexti.
3 per 4 e
22 Senti.
(yIPEOTO VerO A F in M: Ouoniam est= HI A quadracum ad
E A guadracum, sire: EI M quadrarum ad X C quadratum
seu
Si quaeliber contingens ceuicunque secundxe Flyper-
per 7 hH.
sus.
Dde TTBuI

## Folio 201 — 175906937X:0225
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000225.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
L T B. I. C A P. II.
2O2
Peu= ad TM C rectangulum, ut II A Peu C B ad I A, id eA 2, UIE L per ICOr.
B ad AQ; erit dividendo 3 HIC quadratum Peu B A quadra- 6hujus.
per 4sexti.
cum ad RC quadratum, ut B A ad AQ. AC proprerea  B A, 3 per 17
KC, _c A C proportionales erunt, rectangulum que B A9 5 qua- Quinci.
drato KC aquale. Quod demonstrandum erat.
Corollarium ad duas propositiones pracedentes.
Ex dictis facillime collixitur, quo pacto à dato quoliber puncto
ducenda sic recta, quae datam FIyperbolam concinsat.
Si enim dacum punctum in ipla curra sic, reluri K, inrentis A-
sympeotis  ductaque ad illarum alcerutram recta alteri A(yMPEO- S per LCor.
coparallela, uER P, ac Cumpca PC ip (i AP aequalis continget jun- 10 hujus.
per 6 Bu-
ca CK D Hyperbolam in KC7. quoniam uti C P ipsi P A, ita C K jus.
iP(IK D aqualis est 3
Eodem nodo, si dacum punctum sic in A sympeocorum alceru-
era, reluri C, dirisa AC bitariam in P, ductaque P R alteri ACym-
Peoto parallela, guX CurrR OCCuTraE in K: continget junct a d per 2COr.
OKD 10 Fyperbolam in puncto occurtusK.
3 Busas.
Sic deinde dacum punctum intra angulum Asymptoris compie. sexti, 86
hentum, reluri P: duet a d cenero :r per Idiametro, uc AIFI, quae bujus.
currx occurrat in R, Cumpeaque A HIipsIS AI, AK certia prOPOr-  invento
per 7 Corol.
rionali, si per IIagatur ordinatim applicata FI C (nimirum, qua huius
contingentiin K xquidiAtet 22), OCCUrrENS CUErX In C, CONFINSCF 12 per 3COr.
juncta IC 13 Fyperbolam in eodem C puncto.
Sic denique datum punctum in alterurro angulorum, qui dein-hujus.
cepslune, angulo FIyperbolam continenti, veluri O: duet a per C
ec centrum A lecunda diametro  AB, tranlrers aque ipsi conju-
Baca AKEI (nimirum, qua producta quam libet rectam in FIy Per-
bola ductam ipsi  AB aequidistantem bitariam diridat), nec
nontansente IE C vel R D, Alymproco terminata; li tac quadrato
ROvel K D aequale rectangulum ( AB, ac per B ad sccundam
diametrum AHI applicetur recta BC, nempe ipsi AR aequidi-
Aans 24, quae currxe occurrat in C: juncta  C 25 in eodem pun - 1+ per 7 hu-
eto C Elyperbolam continget.
sus.
Maniteltum porro est, si dacum punctum vel intra FIyperbo-
Jam foret, vel incra angulum ad verticem ei, qui lIyperbolam
BujuS.
continet: fieri non posse s, ut ab eodem puneto ducatur recta, 16 juuta r
dux producta candem non secet.
4 per COr. 2
Sexti.
Per 1
Sexti.
Fet LsedF.
 per 2
Otjuo.
13 per 11
pet 12
COr. 3 hu) 1t3.

## Folio 202 — 175906937X:0226
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000226.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
F L E HE. C U R V A R U M
C A e u F TTI.
DEFINITIONES TERTIA
1.
CIquodlibet erianguli rectanguli latus, sive id rectum
angulum subcendac, sivc acurorum alterueri oppo-
licum lic, in eodem angulo moveatur, ita ue uterque
moci laceris terminus lemper exiltat, maneacque in la-
cere, cui ab initio junctus fuit, producto camen sive ab
altera tre ab utraque parce, prout opus fuerit; idem-
que ille morus cam per angulos, qui praetato deinceps
lunc, quam per eum, qui ipsi ad verticem est, ordinc
continuetur, donec 2d polcionem licumque pristi-
num lacus motum redierie, acque ita quolibet pun
cto quod in eodem, utcunque etiam producto, notare
placuerie, curra describatur linca, praedictum mobile
lacus Describentis Linea nomine delignabitur.
II.
Punctum aurem quod in eodem ad descriptionem
notare placuerit, Punctum Pfficiens, aue punctum simpli-
citer vocabitur.
TTI.
Distantia vero ejusdem puncti tam ab uno quam ab
altero describentis cermino intervallum dicetur
FV.
Cum de anculo simplicicer Termo eric, eum incelli-
emus, quem subrendic, ee in quo movetur describens.
Anouli vertex, quem describens continuato mocu
quali circumambulaE, Centrum axpellabiEUT.

## Folio 203 — 175906937X:0227
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000227.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
M.
P.
inC
JeM
st
L. X B. L. C a P. TII.
VI.
Alcerutrum anguli crus, utrinque, si opustuerie, pro-
ductum, acque ab utraque parte a centro lumprum,
magnicudine intervalli in altero crure terminati Dire-
Etrix vocabitur.
VII.
Describentem instatione prima dicemus, cum ca ad di-
rectricem est perpendicularis: idem aucem e tunc de
puncto dictum esto, 2c cum de iis simpliciter Termo erie
in ea Carione ConGideTabUINEUT.
TI.
Recta a punCtO PEF CentTuM AUCtA, IIFEKCCPEX INFEF
punctum ee centrum dupla, Secans nuncupabitur.
TIE Si erianguli rectanguli A B C latus B C moreatur in angulo
BAC, Cx. EF, utterminus C cendat ad A, Simulque B vel FCtrO-
cedar rel promoreatur versus L; ita camen, uc iidem termini B d
C semper lint ee exacte maneane in laceribus, quibus ab inicio
junetituere, nempe B
in latere AB, ac C in
latere A C, productis
ubi opus fuerit; eo-
demque illo otu
quolibet sui puncto.
ex. EF. II, alumpto,
proutplacuerit, sire in
ipla B C, sire in ca-
dem producta, (ut 2
nobis plerumque a(-
sumetur, cum id natu-
ra quodammodocon-
venientius videatur,)
describae curvam li-
EICur-
203
8.1
neam: nempe, ue, ubi punctum C pestenerit ad A, ac punctum B.
2d I, simulque HI processerit ad F, delcripra sit per morum puncti

## Folio 204 — 175906937X:0228
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000228.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
204
E L E ME. C U R V A R U M
FI currae portio FIF: deinde puncto C promoto per AadM, (.
mulque termino B rerrogreo rel progresso ab lad R, ita uc H
perreneric ad L, de scriptus sic arcusF L..
eodemque modo, ubi punctum B per
K continuato motu perrenerie ad A, (1.
mulque punctum C per M prosre.
diendo perrenerit ad 9, ac punctum
FI in F inciderie, descriptus sIE arcuS
LF: ac rursus ubi punctum B per A
prosressum tuerit ad N, simulque pun-
etum C ex Qvel recrocesserit vel pro-
oressum sic ad O, ica uc tunc punctum.
FIperrenerit ad P, descripeus SIE arCUS
F P: acque si porro eodem pacto ino-
tus ille concinuetur, donec praedictum
punctum per G _ D cransierie rursul-
que 2d II perrenerie, descripta (Ictora
curraHIFLE. POD: erunt
ibus CAtIA, XM, AQ, NO, _C.
liist
BC, Gua
linea describens.
HI punctum efficiens.
FLC a MI B ucrumque intervallum.
anguli vertex, neme futcu Centrum.
EE Si alteruerum anguli
crus, exempli gracia, AC,
utrinque, si opus fuerit.
productum sic, reluti ad D
_ E; Ita ReMPC, VEFaM AD
quam AF aqualis sIE rectae
IIB, intervallo videlicet,
quod in altero crure cerini-
MaEUE, EOEA D F. directria
erit.
Cum autem describens
B C cidem directrici D F
elt perpendicularis; quod gue sc, quando ipla polirione ea
dem est cum crure AB, uri AI, aneulonempe existente recto,
Utim
Fis. 1TI.

## Folio 205 — 175906937X:0229
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000229.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
L. I B. I. C a P. III.
205
ut in prima au due si obliquus fuerit angulus, in ipla positione
BC, uti extribetur in sequentibusfiguris, eric JA, calu primo,
ee BC, calu alcero, describens in statione prima leu describens Cum-
pliciter, ideoque punctum F vel FI, quod eidem in directum ett,
punctum efficiens in statione prima seu punctum Cimpliciter.
AC proinde F AC a vel II AC B, nempe ab eodem puncto per a in eatu
Ag. Le A.
centrum A ducta aeque ipsus F A sire FI A dupla, secantem reprx- milib
Tentat.
T A E O R E M A ZII.
Propositio 13.
In quocunque angulo, e quibustibet intervallis, juxta
detinitiones hoc capite propolitas, curra delcripta,
hoc ipsiproprium crit, uc quadracum cujustiber secanti
aequidictantis, a quolibet directricis puncto ad curvam
applicata, eandem rationem habear ad rectangulum
Tub parcibus directricis per applicatam Factis, quam qua-
dracum secantis 2d quadrarum directricis.
Sic in quocunque ansulo B A C, intervallis quibuslibet HC,
HIB, delcripea Curra DHIF C, cujus directrix D AF, secans
F AC a vel HI AC6; atque a puncto I in directrice D E urcun- a in casib.
que allumero, ad curram applicata TI sec anti F RC a vel TI AC, BAB. L, IL, ee
xequidistans: dico fore quadratum applicatae L. I ad rectangulum .
DIE, uc est quadratum Secantis FC a vel IICb ad quadratum exterarum
directricis DF.
Ag. _ sII.
Sic enim recta X M describens in ea statione, utituir, cum per bus.
eandem descriptum eAt punctum L. Fc primo quidem, si anculus
B AC rectus lic a, ductâ R N directrici D F parallela, quae oc-
currat applicarae LI, auc eidem producta, si opus fuerie, in W:
cum intervallum R L aequale sic dimidiae directrici AF vel AD,. per 24
ideoque e IE L. quadrarum aequale A F vel. AD quadrato, ab la-primi.
eis verinque aequalibus, nimirum =, quadrato RN ab una, de 2 Per 47 pri-
min e 5se-
quadraro AI ab altera parte, relidua quoque, nempe L. N qua cundi.
dracum ec DTF. rectangulum 2 xequalia erunt. In de cum 3 sIC3 per 4 e
ut L. I quadratum ad L N quadracum, id est +, ad D IF. rectan- 22 sexr.
CC 3
+ per supra
sulum demonstr.
b in casu
Fg. II _
IIIaC A-
milib.

## Folio 206 — 175906937X:0230
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000230.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
e
E L E HC. C U R V A R U M
F18. 2.
L8. l2
ulum, ita L.M quactrarum ad L. H quadeatum, hoc est, ita Fi A
eet 15 quadracu det L Guautacum, lire = ut FG quadracum ad D F
quinti.
quadracum, con-
Itac priori calu
propositum.
de angulus B AC
rectus b, ducan
curque ad dire-
ctricem; camre
productam, A
opiis fuerie, re-
describenit BC
parallela, ideo
on Ec dein-
CtX KO, L. P
Fig. Y
que ad mmectricem D P. perpendiculares, ut _ TN Laless AB pa
Laneta, uapu LL Ciacare producta. oasiderit; occur-
Pet 23 P PC  L3  : n   LC a LL. P, irem-
mdo
que

## Folio 207 — 175906937X:0231
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000231.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
Da.
(
I
d
X B. I. C A P. IIL.
207
que AHTB _
LLN, 2c de-
HIGue JUINSALLIE
XNV. Ouoniam
AEaque elt =, VC2 per + Set.
B A ad K A, ii.
sire ut BC, id
CA 5. MI R, 2d
XO, ItAML,
hoc est, TIC,
adL P; UE au-
tem IIC ad
L P, ica FI A ad
LI, e ita B A
ad NT, aC per
conlequens B A
adK A, uE Ca-
dem B A adVI:
CxIE 2 K A ip- 2 per 9quin
( NL aequalis.
Sunt autem ee
Parallelae, ex hy-
Potheli. Ou2-
rC _E AL, XN
aequales e Pa:
rallelae CruINE 3. 3 per 33 pri
POrrO cum a -mi.
quales (nE re-
EtX KL _E AF
vel AD, ideo-
que de iplarum
quadraca, hinc
Subductis ab iis
aqualibus, qua-
draco nimirum
K NY ab una,
ac quadrato AI
ab altera paITC,
CrunE
Fis. IV.
Fis. Y.

## Folio 208 — 175906937X:0232
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000232.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
200
~L E H. C U R V A R U M
PIg. VIL
crune quoque reli-
dua, quadratumnem
DC L. N _ rectan-
sulum DYF aqu2-
lia 2. Unde cum
sIE 2 L I quadia
tum ad L N qua-
dratum, hoc ett 3,
ad D IF rectangu
Ium, UE AFI qua
dratum ad TIB qua-
dratum, id est, 2d
AF quadratum, (1-
ve + ut HTC quadra-
cum ad D F quadra-
cum, erit etiam hoc
calu propolitum ma-
nifestum.
Acqueica liquet, praedictam curram cam ipsam el.
se, qua Veceribus Elliplis dicta tuit, directricem vero ac
secantem eas iplas; quas conjugatas diametros, aut, A
anculus rectus fuerie, Conjugatos axes vocarune.
Conjugatas itaque diametros appellabimus binas
rectas per cencrum ductas, ac utrinque FIlipsi termina-
CaS;
Eper 4) pri
mi ex 5 se-
cuna.
per 4eg
22 Scabi.
 pel sapti
demonstr..
per
quind.
Eiz. VEIL

## Folio 209 — 175906937X:0233
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000233.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
esi
2
L T B. I. C A P. TII.
209
eaS; ita ut (quemadmodum de directrice _ secante jam
demonstratum est,) quadrata rectarum quae alteri
iplarum applicantur alteri aequidistane, ita se habeane
ad rectangula sub partibus per applicationem factis, uc
quadracum alterius ad quadrarum ejuldem quae per
applicataS LCCATUF.
Echaec quidem, cui epplicatae insistune, eransverla;
illa vero, cui eaedem aequidistane, secunda diamerer
vocabitur.
Caeterae autem omnes, per centrum ductx ac u
erinque Fllipsi cerminatae, diametri simpliciter di-
CENEUE.
Rectam lincam qua transverla secundaque diame-
erotertia est proportionalis, Lacus Rectum live Para-
metrum rocabimus ad transverlem diamerrum perti
MenteMI.
Nocandum tamen est, si anculus rectus (IE, 2C pun-
ctum ab ueroque describentis termino aequoliter distet,
curram, qua mocu ejusdem puncti, uei praedictum eAt,
describitur, circumterentiam Circuli csc.
Corollarium 1.
La ipla demonstratione c collatione tigura pluta cunse
cunda manifectum est: in Ellipl, conjisatorum axuI TraMI-
verlum etiam secundum esse, et contra. Sie m Llrere
vel illi axi applicaca sic, eodem modo semper probabitur ese
quadrarum ejuldem applicata ad rectangulum sub partibus axis
cui applicatio tic, uc quadratum axis alterius ad quadratum axis
pradtet esus per applicatam secarur.
Corollarium 2.
APParet POrro rectam p pmcu adctam directrici paralle
lam, hoc est, eam, qua per cmn secundx diametrierans
veltae

## Folio 210 — 175906937X:0234
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000234.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 16 lines, status machine
210
E L. F N. C W R V. A R U M
verlae aequidistans ducieur, Flliplin in eodem cermino, de in
nullo praecerea puncto concingere, mulco minus eandem leca-
(18. 1.
18. T1
aincatu LC. StCHMII PeI C auc ss celminum secundae diametri ( Fa
tig. I ex (1-
milib.
b in calu
8. III8
Cimilib.
vel CHL ducta recta SF, trantrecta Mametro DF. Paralle-
19 ila
la allunsacat alsce quecunque in curra punctum, retut L.
quod descriprum sic describente in Matione R M, ducaturque

## Folio 211 — 175906937X:0235
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000235.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
LLa vel L. P
L T B. I. C A P. III.
2. +Y
ad eranvertam diametrum perpendicularis, Fer ue a in casu
ACrLahgMMLL velML Po rectaML, id eAt, perpendicu- FB. L dt H
miliB.
lariSF A a vel HICB, major sic = quam L. I a vel L P b; adeo b in casu
ut punctum L, quod in curra uccunque assumptum eAt, id cA, A3. II L d
limilib.
EOTa EILipLIS, Praeter F a auc HI. b punctum, intra ductam ST,. per 18 pri
Teu versus Ellipseos centrum, cadat.
Corollarium 3.
Mameum Quoque elt in Ellipsi applicatarum quadrata ad
se inricem esse, ur rectangula sub diametri portionibus per ap-
plicatas factis. TIE si applicatae sint L. I, W Z, erit quadratum
WVX ad rectangulum DXF, uc quadratum L. I ad rectangulum
mi.
DTE: cum  utriulque ratio sit eadem quae quadrati PG a vel 2 per 13
IIC ad quadratum DF, Sive quae parametri ad tranlvertam hujus.
diametrum; ideoque e permutatim W X quadratum ad L I qua-
dratum, ut D X P. rectansulum ad D PF rectangulum.
Corollarium 4.
Constar etiam ordinatim ad axem sire diametrum applicatas
utrinque ad Flliplin productas ab axc sive diametro bitariam se-
cari. UE, si applicata L Iproducta FIlipsi occurrat in V, quoniam
e3 quadracum L. I ad rectangulum DIF, ut quadratum V I3 per Cor.
ad idem DIF rectangulum, erit + quadratum L. L aequale qua- Praeced.
drato VI, ideoque a ipla recta L L ipsi rectae VL aequalis.
Corollarium 5.
Duintr.
Constac Porto, applICataS FIlipsi in pluribus quam duobus
punctisnon occurrere. Si enim LTV alio sui puncto praeter L
+ per d
ee V, exempli gratia punctoZ, in FIlipsi eNet, rectae IL _ IZ 5, 5 per Cor.
ideoque LV e IZ. pars e totum, aqualestorent, quod est ab- praecedens.
Turdu.
Corollarium 6.
end atobio pocto colle, Et ab Cacletac Calrecta ca
ACETIS

## Folio 212 — 175906937X:0236
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000236.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
2 12
E L E M. C _ R V A R U M
ineosu metri, ut pura Ler a educta parametro FS secundae diametro
ulto.
L Falatteta, jungatur SC; atque ad eandem diamerrum recta
15. 1.
l. L∞
ua dinatim appliCeTUIE, UERC, qua
Cet junctam SC5
in Y: fore rectangulum F. Q Y quadrato applicatx R C aequalc.
E19. 2
ex 23
per C Or
Ouoniam enim est ? O F quadratum ad D F quadratum, id est,
rulum ad
BasaS.
per stai
2oscuri. GF ad FS, sirCCQ ad QY, hoc est, CO F rectam
TOt

## Folio 213 — 175906937X:0237
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000237.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
ale
L LB. I. C a P. III.
1
TOFrectangulumm, uc = idem CO F rectangulum ad R ( qui - per 13
dracum, aequalia erune ? YO F rectangulum _ RO quadra- hujus.
Per d
cum: id est, si vererum Geometrarum more id provoni placeat. guinti.
Duae ab Ellipli ad diametrum applicatur pocest spa-
tium adjacens laceri recto, laticudinem habens lincam
quae e diametro incer iplam applicatam ex diametri
verricem abscinditur, deficiensque figura limili limi-
licerque politâ ei qua laceribus tranlverso rectoque
COntinCEUI.
Corollarium 7.
Patet quoque ex ancedictis, quo pacto, datis quibuslibet dia-
metris conjugatis, Flliplis in plano delcribatur.
Uc si conjugatis axibus D AF. _ F AC a F IlipSis sic deseri- a in catir
benda, describente B C, quae lemi-axium AD, A F difterentia (IF, Ay. l dt 1-
intervallis vero FIC, TTB, ip(IS AF, A D ucroque utrique equali-
bus, in aneulo D AC, curra describatur, crirque haec ipsa FIlipsis
quaelica.
AC E aliis quibusliber conjugatis diametris, oblique se le inter-
nilib.
secontibus, uF DE, FIO6, FIlipCis sit describenda: demissa a cer- b in casu
mino unius ad alteram perpendiculari, uc II C, sumpeaque in ca- H8. 1I L ec
dem seu in ipla producta, si opusfuerit, rectâ HI B ip(I D A ves milib.
A F aqualis _ per B _ A ducti recta B AF, Si describente B C, in-
terrallis vero HICsHI B, in anculo B AC FIliplis delcribatur, erit
haec eaipla qua quaeritur.
leaque cum datis diametro parametroque, nec non angulo
quem faciunc cum eadem diametro ordinatim ad iplam applica
Ex, conjusatx quoque diametri dacx Cine: Timul quoque innoce
(cit, quo pacto ec illis datis Ellipsis describatur.
E H E O R E M A XIII.
Propositio 24.
Cllpuccaquolcunque ares deleripea, ducta qua-
libe diameces eransverla est, haberque secundam sibi
med t

## Folio 214 — 175906937X:0238
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000238.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
2 24
F L E HI. C l IE Y A. R U M
Sic in EILip(I SX ZZ, CujuISCeNErUM A, aXeSVerO SZ, YI
ducta quaelibet diameter DAF; _ sic describens OW in ea Aa-
tione, uri tuic cum delcriptum est punctum D vel P, ita uEinEeF-
valla sine D W, DO. Deinde applicat a eadem describente in sta-
tione reciproca, hoc est, in alcerutio ansulorum qui ipti W AO
deincepssune, reluti PR, ITR UE FECtX A R, A P ipsIS A W, AD
reCIpTOCE LInEa qualeS, nIIIELI A R ipSI AO, _ A P ipSI AWV.
per +er ac proinde triangulum W A O. simile de xquale triangulo
P AR, ab Fllipseos puncto FI, quod describenti PR in dire-
etum est, ducta sc diameter alcera FI AC3. Dico diametrum D F
transrertam esse, FIC aurem secundam ipsi D E conjuratam: id
est, (, duct a TTC ad D P. perpendiculari, in eadem HIC, produ-
M.
eta, S opus fuerit, Cumatur FIB ipsi D A aequalis; duct aque per
Be A recta B AF, in anculo B AC, interrallis veroTIC, HIB,
FIliplis describatur, cujus urique conjugatae diametri lunt in DF,
per 13hu. _HIC2: dico illam cum expolica Fllipsi ommino eandem Fore,
jus ejusque
Corol. 7.
a aUIE CCKFC
ita ut altera alteri per omnia congruat.
Asumpto enim in exposita Fllips alio quopiam puncto L,
quod quidem descriptum sit describente in Statione I V, diame-
eroT V circulus describatur, qui, propter angulum T A V re-
uia pun. cum a, necellario quoque per Atransibit 3, lineasque B AF et
ctorum Y
_ V alcer-
DAF
erum cum puncto A coincidic, uti est casus in Fe. VL. 3 per conversam 3Y terrii.

## Folio 215 — 175906937X:0239
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000239.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
(o1
M
L B. I. C A P. III.
2 2
D AF alibi etiam lecau, _CI IH R _ M. DeindC SuHCTA L M, b auc illa-
eaque producta versis L, aGAnEUFYR, PB.
rum alte-
eam contin-
Sec, alteran
vero seca-
biE, uc in
catib. Ag.
LLaIV.
F1. 9. II.
CuMripsarum DO, FTP, productarum, aopusfuerie,
intersectio ad Hat ad angulos rectos, eudinem erian-
guli OOP Cmueroque CaHBMIOTUM O AW, R AP C, nota- crel, si pun-
co iplarum DF, PH incersectionis puncto I, erunt criangula cta O e P
coincidane,
Ob ano1105
A OW
At teremi
rectos.
t g.
veco due contntem aul au relcem. Lucoue cun ctaisa
OD A, PIIBlateraOD, D A laceribus PFI, FTB, utrumque
verique, circum aequales ansulos aequalia habeane: exie d= balis. per 4 pri
OA mi.
TAD, ICFExquiangula, ob angulos alt  e C rectos, ad 1

## Folio 216 — 175906937X:0240
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000240.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
216
F F E M. L U R V A R u M
OA, Sive recta AR, bali P B, ansulusque DO A, id est P RA.
per 27 pri anguloTTP B aequalis; ac propterea  recta P B ipli R A paral-
MI.
lela. Flinc cum eriangulorum R A P _ BP A laterAR A, AP19-
teribus BP, P A circa aequales angulos, nempe rectos, utrumque
2per 4pri- Verique sine aequalia: erit de = balis AB bali P R, Peu descri-
mi.
benti TV, angulusque AR P anguloP B A aequalis. OVocirCA
ee circulus diametro AB descriptus (qui quidem, ob angulos
ACB, A P B rectos, AC A B P, A R P aequales, per puncta C,
 per con- P 3, X R + tran(IC) circulo TR V aequalis erit. EInde cum an-
Versam 31
terrii.
suliPBC, BPR ipsIS PR MI, R PV, uterque utrigue, aqua-
 per con- les sInE, nempe PBC ip(I T R M d, quoniam uterque cum an.
versam 21 gulo P AC seu T AM, binos rectos conttituic, e BP R ip(
terrii.
a pro ca(u Ho. IL adde: ideoque ec hi qui ipsis deinceps FuINE. 5 per 22 tertii. e in casu,
ig. TI uterque angulo P A C seu Y AMI aequalis est per 20 terrii. In calu Ag. IIL uterque
cum ansulo P aC binos rectos constituie, nempe hic per 13 primi, ec ille per 22 tertii. In
casu Fg. IV aequales sune anguli PBC, TR M, quoniam prior cum angulo PA C, potterioe
verocum angulo FV a (qui quidem PAC, TV A aequales (unt per 32 tertii) binos rectos
constituie per 22 tertii. In calu fis. V. TR M sire T AM aequalis est angulo PBC, quia
ucerque cum angulo PAC duos rectos constituit per r3 primi e 20 ac 22 tertii. In calu
tis. V I aequales sune anguli PBC, T RM, quoniam angulus P AC aequalis est ei, qui in
SEBIENEO A V M constitueretur per 32 tertii, quorum quidem prior cum angulo PBC, po.
Eerior vero cum ansulo FRM binos rectos constiruit per 22 tertii.
sit 9. 1
etos consut Per 13 primi,  22 tertii. 2 per 2680 29 terrii.
sit, acque in
6per 2Oter. R F V, propterea quodcse angulo B AR seH LLL VM
casu Aio. YI) LA V aao S e PeO, 6b glales an8l10SL 11B3
vercandem LLL, Tam peripheriae lB, l R, quamcarum lubcenlae, nem-
De
ec32tertii.
In casibus
S8. IV _E V cam an guluSBPR SCUBAR, quam anpulus K T V cum angulo R AV duosre.

## Folio 217 — 175906937X:0241
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000241.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
cali
eque
loc
du
E. 1 B. I. C a e. III.
De latera P B, T K dictis aequalibus angulis adjacentia inter le
aequalia s: apparec licurirecte BC, P R producta concurrunt s In casu
in FI, It2 quoque rectas RM, TV productas, e quidem, cum tis. III, ubi
recta B A F
ip(I P EI aqualis sic TL, in ipso puncto L concurluras. quippe cangic cip-
ex ancedictis: Similia aeque in totum aequalia lune criangula culum
BPHI, XTL, adeoque _ latusR L lateri BII~e qualC. P. A au- TRV, ~
qualia fune
cem = _ subcensa RM subcensa B C aequalis h, ob a quales 2H- lacera BP,
TR ob an-
ulosBAP, TV R aequales per 32 tertii. In calii Rg. VI, ubi recta P A Y contingir cireu-
lum TK V, aequales sune lubrensae BP, TK ob ansulOS PAB, TM R aequales per 32 terrii.
per 26primi. 2 per 268 29Ferrii. h In casu Ar. III K M ipsI BC est aequalis, quando.
quidem angulus qui consisteret in segmento R TM aequalis FOret angulO F AMI seU B A C pe
32 tertii. In calu Hs. IV K Mips B C. est equalis, quandoquidem angulus R L Mt aequalis
est ansulOR AC SCW B AC per 3E terrii. In Calu Ag. V K M ipA B C est aequalis, quando-
quidem angulus in sesmento BC aequalis Foret ansilo K AM, urpore cum tam hic quam il
le cum ansulo C AB duos rectos concirueret per 13 primi X 22 tertii.
X
sulOSX AM, BAC. OuocircA _ LMI ipSI ETC aequalis erit.
UInde cum describens (IER MI, utporo ip ( B C aqualIS, aC CON-
Cticuta in anguloR AM (qui cum ip(o B A C rel idemi, vel ei adi ut in casu
verricem k, vel denique ip(i deinceps est 1) aut certe cum al- f8. V l.
ke ut in cali-
cerutro crurum coincidens m, atque ex demonstratis xqualia bus fis. I, d
quoque line interralla HB, H C interrallis LH, LM: Sequi-II.
 in casu
cur punctum L, in exposita Flliph urcunque sumptum, id elt, fis. V.
Eocam FIlip(mS Y XZ, esse in EIliplis qua in anguloB AC, In - mur in ca-
cerrallis HI B, H C, describitur, ideoque alteram alteri persibus tis.
C
Omnin TILecIV.

## Folio 218 — 175906937X:0242
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000242.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
218
per r3hu omnia congiuere.
jus, ejusque
E L F M. C LY A R U M
Sune aurem? hujus conjugatae diametri DF.
EOr. .
L16. Sente uo, jua eupla Cadtem CA, C01) 8 at X ctd
Eig12
metrierunt, nimirum D P. eranlversa, _ FIC Secunda. Ouod
demonstrandum erat.
Corollarium T.
Tlinc collioitur non Polum Fllipses omnes suos habere axes;
Led d quo pacto datis quibuslibet diametris conjugatis, ejus FIli-
Pleos cujus diametri lunE, axeS invenianEuE.
EIE Si cujulcunque Ellipleos conjusara diametri (INIE D A F. _
TIAC, duet a FI B, Cemidiamerro D A vel A P. xe quali, acque ad
DE perpendiculari, junctaque B A ac ipsa bitariam in N divisa,
Si centro N incerrallo N A vel NB circulus describatur, secanS
rectam per II _ N ductam in P _ R: erunE rect~TIP, IIR se-
mi axes magnitudine, quae idcircO VErInGUE A CCNErO A versuS aUE
per puncta R e P, aequali lonsitudine in directum politae, (icut
COtX SZ _ YZ, exhibebune magnicudine ac positione quae litos
axes eju(dem Ellipseos, cujus D A F _ JI AC conjugacx diame
tri existune.
per 4 pri. Ductâ enim PB, Cumpeaque AO ip(I AR, ideoque = _ du-
A1.
per 3C.
restit.
etae P B aequali, agatur DO, Occurrens ip(i S Z in W. Cum ita-
que ob angulum AC B rectum descripeus circuluS Ctiam per C
eran(eat 3, erunt ansuli P BFI ex O AD aequales, quoniam uter-
que

## Folio 219 — 175906937X:0243
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000243.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
1
Bes,
FIII.
e
L Z B. L. C A P. TII.
219
que ant angule AC seu P B C duos rectos constitmie. UIn- a nimirum
de cum criangula OAD, PBII laTeTAO A, AD laceribus PB
cum angulo
PAC in Ca-
BFI, utrumque utrique, et quidem circa aequales angulos _ qua- su fig. L et
lia habeant: erit quoque: basis OD baSi P FI, id el, rectaS A similibus, et
cum anculo.
vel A X, ut d angulus AO D angulOBP II PCU3 PR A ae qualiS. PAC, seu
Elinc cum aequalia sinc criangula R AP, O AW, Propter angU- PBC, in Ca-
105 ad R et O aequales, aEque + R AP, O A W rectos, nec non su As. IL et
Similibus.
latera R A d OA aequalia: cric etiam 5 lacuS A W lateri AP, UE a per 12 pri
_ lacus OW ipsi PR aequale. Ouocirea cum describentes (int mi ex 22
tertii.
per + primi. 3 per 29 primi. + per 3Y tertii C 13 primi. 5 per 26primi. 6 perr3 hujus:
AW, PR ejus Fllipleos, cujus axes suntSZ, YZ, e quidem
in catione reciproca constiturae, punctaque efficientia D _ II: ma-
nifectum est ex superiori demonstratione, Fllipsn, quae axibus
SX, YZ describitur, cum ca, cujus diameeri conjugatae sunE
DE _HO, omnino candem esse:
Acque ita, quae de FIliph, circa quolcunque axes de-
scripea, superiori Theoremate propolica ac demon-
sraca lunt, etiam cuilibet Ellipli, e circa quascunque
diumerros, conjusaas deseripex, conrenie, manile.
Mumject.
l 2
ad

## Folio 220 — 175906937X:0244
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000244.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
2C
E L E H. C U R V A R U M
Corollarium 2.
decuuut perieea etomaione nce occalto, I
Flliphi ciametros omnes a centro bitariam lecari. demonltratum
enim elt, in diametro D F, utcunque ductâ, parrem A F parri D A
aequalem esse, cum utraque interrallo LI B _ qu2lis (II.
.ODun  3
Ladet insuper in Fllipsi, quarum cunque diametrorum conju-
acataeaClala LCcandam eMle, de contra. UEs licon-
jugatarum diamerrorum DP, FIC cran(versa sIcDF, _ IIC SC-
per 1+hu cunda; cum in Cpla utdetelet catec
jus ejusque
Corel. 1.
collacione tigurae L cum IL EranlpolIEIS CarEuI LITCFIS AC MMUCd-
tis mucandis demonstracum Cunul apparebit.
Lt Diccoo 1tbbit 110
eodem celtive inlulo Placetla pullele cbla colalsue
quidiltans seu ordinatim applicatis parallela ducitur Fllipln in
per 2COr.
133(93C0r
4tolss.
habeacque secundant et cesasacam, erit quoque IIC tran
verta. AErerO ec D P. Sccundam esse ipE FIC conjugatam, Fact a
Duare ee quae per terminum tranrerix diametri secundae x-
exera A Cadic
1
li
3

## Folio 221 — 175906937X:0245
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000245.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
ose
Conju.
COr.
L TB. I. C A P. TII.
Corollarium 5.
Ade , a quoris currae puncto ad quarmeun-
que Fllipleos diametrum ordinatim applicata, tota inera F Iliplm
cadic; urpore cum ea nec intorum exrra Elliplin cadere =, nCC per Cor.
eidem in pluribus quam duobus punctIs OCcurrere = PONII.
IH E O R E M A ZIV.
Propositio 15.
ua a uaet Ellipleos puncta conjungens Fe
eta linea bitariam a diamerro diriditur, erie auE per
centrum ducto, auc ad eandem diameerum ordinatim
applicata, hoc est, conjusatx diametro aquidictans.
Si enim in FIlip( AB CD, cujus
centrum I, d diametro A H C bita-
riam dirideretur recta F H 6, qua
neque per centrum eranseat, neque
conjusatae diametro BD aquidistans
SIE; applicata ordinatim OTF, dueta-
que percentrum recta OKL: Quo-
niam esseE, UE O FI adTIE, ita tam
GTadIF 3, qua GI ad RL +, rC- 3 per 4COr.
Eta PeF LX F, nCC nOn per P e L du - 13 hujus.
+ per 2COr.
Eta toret una linea recta diamerroque, a Bujus.
A C Parallela 5; ideoque ad alteraim 5 per 2 sexti.
ipsiconjusatam, nempe ad BD, ordi-
natim applicata, atque Flliphintri - 6 per 1388
bus punctis occurreret; quod herinon 3Cor. 14
posse supraz ostensum ett.
Corollarium T.
hujus.
roll. L5hu-
145.
Tdeoque sidiamerer rectam quamli-
betin Ellips non percentrum ductam
bitariam diridat, omnes quoque ipli 8 per + Cor.
aequidistances bitariam secabir . 13, e
E.C 3
25cano Bujus.
Praecedens.
per SCor
23 hujur.
7 in 510 C0-

## Folio 222 — 175906937X:0246
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000246.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
F L F HL. C W R Y A R U H
Corollarium 2.
Ouocirca si in FIlipsi binae qualibet rectae sibi invicem aequi-
distances ductae sinc, qua utram que bitariam diridet recta linea
per illius centrum eransibie, seu ejusdem diamerer exister. Ouip.
Dequae per medium unius aequidistantium diameter ducetur per
per rCor. medium quoque alcerius aequidistantium eransibit ?. CInde appa-
IShujus. ret, quo pacto daca Fllipleos diametros quorlibee, Cumulque ad
ealdem ordinacim applicatas, nec non _ ejus centrum, urpote
quod duarum pluriumre diametrorum communis interlectio est,
per  Cor. ideoque d diametros conjusatas, aresque: inrenire liceat.
Y4BujuS,
aliterve, ut
cuilibet ob-
vium est.
Corollarium 3.
Fx dictis facile apparet, quam libet rectam, quae bina quae cun-
3 per 5Cor. Que Ellipleos puncta conjungit, totam intra Flliplin cadere 33
+hujus. vepote cum ipla vel diameter sic, rel ordinatim applicaca ad eam
4 per 15Bu-
jus ejusque diametrum, guxe per ipsius medium e cenerum ducitur.
GOr. I.
P R O B L F M a II.
Proposcrio 16.
In caca Guacuue Lp ducx cuilibet diamerro
alteram conjugatam invenirc.
In data FIlip(i S YXZ ducxe uccunque diametro D A F. al-
cera conjugata
invenienda liC
Invencis s aXI
bus S A X &
X AZ, atque a
termino D vel
E ad axium al-
terutrum, ve-
luri ad X AZ.
applicata re-
cta; Ut DO
lemiaxi alceri
222
per 2C0r
oujet
S A aequali, qua producta, si opus tuetu, lecet cundem axem
atC.

## Folio 223 — 175906937X:0247
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000247.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
Un.
ul
L I B. I. C A P. III.
22:
alterum, uti in W, applicetur in statione reciproca ipsiOW.
eidem aequalis recta P R, neMPC VE AP, A R ipHS A W, AO
singulae lingulis aequales sinE, ac producta PR L Ilip( OcCurrRE
in puncto H, a quo si per centrum A ducatuE recta H AC.
Elliplicerminata: constat, per ea, qua ad Propositionem Fgtam
hujus libri demonstrata sunc, eandem II AG ese diamerrum ip (i
D E conjugatam.
Atque ita simul apparec, lingulis diametris suas quo-
que diltinctas conjusatas diametros esse, cidemque
diameero unam tantum conjurstam duci poste.
Corollarium.
Unde porro perspicuum fic, quo pacto per datum quodlibet in
Ellipsi punctum recta ducatur, gua currain in eodem ac in nullo
alio praecerea puncto continsat. Si enim ducta per datum pun-
etum e centrum diametro, inventaque alter a ipsi Conjugatâ =,  per 16h1-
per idem punctum recta ducatur invenex diametro conjusata us.
aequidictans: erit eadem recta ? Contingens quae lita.
I E E O R E M A XV.
Propositio 17.
Elliplm in uno coemque puncto praeter rectam,
umerro illi, qux per punctum e
jusaex, alia recta non continsit.
Contingae Elliplin CHIFO in
puncto C recta DCF, parallela
diametro GFI, quae conjugaca sIE
diamerro CF, per punctum C eE
2 per 4C61.
cenerum ductae: dico aliam reEtam.
in puncto C eandem FIlix(Im nON
contingere.
Si enim Reri porest, contingat
eandem quoque in puncto C recta
ICK, diametrogue P M, cidem.
IC R aequidistanti, alcera conjusa-
ea ducatur NO, (quae cum a priori
2
C
24 hujus.
quae paralteta est
cencrum duciru

## Folio 224 — 175906937X:0248
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000248.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
B E E MI. C U R Y A R. U M
CF diverta CIC, punctum N cum puncto C non coincider
ac per NVip(i L. M, ideoque e contingenti LC R, aequidistans dun
etalic PG. Calletitaque: punctum C, adeoque recta LC X in-
fra rectam P N B: nimirum, versis Fllixlens centrum. AC veris
e eodem modo punctum N, ideoque recta P N Q, intracon-
cingencet. e nempe, versusidem cenerum cader. quod re
pugnac. Non contingit erso ICRE PIliplin. Fadem de omnibus
aliis est demonstrario, ac proinde constar provolicum.
Corollarium.
Constat itaque   FIlipli cuilibetrangenti parallelas, xequi
distantes quoque elle diametro conjusata ei, quae per tactum d
centrum ducitur; de proinde ee ad diamerrum per tactum ductam
ordinacim applicast, atque ab illa bitariam dividi. e contra,
quae per cujulcunque diametri cerminum ducieur x quidistanscui-
ier recta, pel candem diametrum bitariam sectae, FIlipsm in
cocem rerihee Contingere.
L HT E O R E M A Z VI.
Propositio 18.
Si qualiber contingens productae LIlipseos diametro
cnicunque occurrat, atque a puncto contactus ad can-
dem diametrum recta ordinarim applicctur: Crit re-
ctangulum sub diametri portionibus, a CentEO PeE CON-
cingentem applicatamque abscistis, lemidiametri qua-
drato aequale, a COnETa.
Ouamcunque FIliplim OD, cujus centrum A, contingat in
puncto D, urcunque sumpto, recta DP, diametro PG Occurrens
in E; atque a puncto contactus D ad eandem diamerrum ordi-
natim applicata sit D C: dico rectansulum C A F quadrato se
midiametri AC aequale esse.
Sic enim primum axis diameter IC5, Sitque OWV describens, in
Cacione utituic, cum per eandem descriptum eAt punctum D; ita
uEO D incervallum Pemi-axi A C ae quale (IE, P R aurem describens
in Ctacione, ipsi OW reciproca; ita uc d curra puncto H, quod
nempe
per + C0
24 Bujus.
per 2C
23 hujus
per idem
2L
 oll.
per Corell.
praecedens.
5 per 4Cor.
13 hujus

## Folio 225 — 175906937X:0249
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000249.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
qui
me
Tam
a
C12,
in
CtD
aA
1C
O
C 2B. I. C A P. TII.
225
nempe describenri PR in alectum est, ducta diamerer HI A Con-
D_H duceretur , ideoque d contingen- = per +Cor.
ti D F Parallela . Mue porro ad secundum axem AR applica- 24 bujus.
per Cor.
F2 FTF, ducanturque OB, RP 17 bujus,
iplIS ACF, A K aequidistances,
qua applicatis D C, HIF, PrO-
ductis, si opiis fuerit, OCCurTANE
in BaT.
Teaque cum similia LInEFrian-
guta O A W _ R A P 3, CrUHE 3 ex constri
quoque criangula W C D S ctionc.
R THI, nEC nOn O BD _
PFHI + Similia. AEVerO _ la- + per 29 pri
teTA W D _ R II, nec nOn mi, ~ 2I
Senti.
OD _ PHIs aequalia lunC. s ex constru-
Ouare de latera WV C dC R T ctione.
Eire AF, nec non DB, _IIF66 per 26 pri-
aqualia erunt. Sunt autem por- mi.
ro 7 criangula F D C _ FI A F 7 per 29 Pri
xquiansula; unde ex antedi- wi
Etis erit 8 D C ad C W Sive oper + sexti-
AF, id est , F C ad FIF CIVC S propter
DB, uti eadem D B ad BO ro triangula
EDC, TIFA
Unde cum proportionales sint aequians.
EC, DB, BO, CrIE ET UEF C 10 propter
ad BO sire C A, ita D B qua triangula
DCW.
dratum ad BO quadratum; e DBOa
compenend, uEF A ad C A, ita 23 DO quadratum ad B O quiangula.
12 per COr.
quadratum, hoc est, C A quadratum ad C A quadratum; ac PrO- 20 sexri
inde  e rectae F A, O A, C A proportionales erunt, ideoque 25 12 per 18
rectangulum C AP quadraro Pemi-axis AG aequale. Cum que in quinci.
13 per 47
puncto D alia recta praeter ipsam D P. Fllipln contingere non primi.
PostitS, Patet convertum quoque rerum esse: nimirum, SI rC- =+ per Cor.
etangulum C A P. aequale siE quadrato Lemi-axis AC, & per C 20 sexti.
25 per 17
ordinatim applicaca Fllipli occurrat in D, junctam ED eACCOn- sexri.
tingentem.
Deinde non sit recta +G FllioseosCDavis, Sed alia diameter
quaecunque, cujus parameter LB, atque ab alsumpro in curra
UtCUM-
26 per 17
pajius.
jugata lic ei, qua
Ex

## Folio 226 — 175906937X:0250
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000250.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Per 23 6U-
2. 20
    I R Y A RR U M
utcunque puncto D ad eandem diametrum ordinatim applicetur
DC, sicque quadrato semidiameeri A C, aquale rectangulum
CAF: dico junctam F. D, productamque, toram exera Plliplin
cadere, id eoque eandem in puncto D contingere, de converlim.
Sic enim in eadem PD, auc in ipla producta, prout libuerit,
umpcum uccunque punctum F, sicque per F ducta recta FH
ip( CD aequidistans, qua dictx
aIaIeErO LGS OCCUTPAEIn FI, Elli-
pliveroOD in K. (Etenim li FI-
liplinon occurreret, manitestim.
me punctum F exera Flliplm Fo-
ret.) Deinde IC uc axc, eadem-
que parameero LB, incellisatur
delcripea alia FIliplis (L, ac per
C _ FI ad cundem axem ordina-
tim applICeNEuL C L, HIM, qua
Cuera OccurraNE in I. de M, jun.
sacurque FL, (qua utique FIli-
plin C:L in L Continget =,) caque
producta, si opus fuerie, produ-
etae IIM occurraL in VV.
leaque quoniam est quadratum
D C ad rectangulum G CI, ut
quadracum L. C ad idem CCTre-
ctansulum, (quippeutriulque ea
dem eA racio, qua parametri IB
ad diametrum (Ire axem IC, 2:)
jus, e Cor. CruIHE S quadrata DC, L C, ideoque d rectae DC, LC aquales.
20 sexti.
2oeroquin. Lodem modo, _ rectas HE FI, M LI xquales esse, demonstrabitur.
22.
Acvero cum sIE C D ad HI F, uEC L ad HIN, (siquidem  uerius-
per  sexti. que eadem est ratio, quae rectae L C ad rectam F HI,) CruNE quo-
per 14
quinti.
que s HIF e IIN aequales. FA aurem HIN. major applicata
HIM, cum continsens (Ic P. L N: erso _ II F applicara IIK
majorerie, ideoque punctum F, in recta P D P uccunque lum-
prum, hoc est, cota FD F, extra FIliplin, OD cadec, live, quod
idem est, eandem in puncto D continget. Cun. que non possie
praecer F D F alia recta eandem FIlipsin in puncto Dcontingere
maniteltum quoque est converlum: li nempe F. D Ellipsin GD
per sup
demonstro
per 17
et )15.

## Folio 227 — 175906937X:0251
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000251.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
L F B. I. C A P. III.
Ep D ComaC, diametroque I occurrarin F, ec ad eandem
diametrum ordinatim applicata siED C, rectangulum C AF. qua-
drato lemidiametri AC aqualc essc.
Corollarium.
Fx dictis perspicuum est, quo pacto à dato quolibet puncto
ducenda sitrecta, quae Fllipln continsat.
Si enim dacum punctum in ipla curra sic, reluti D: jam supra 2 = in Cor. 16.
Octenlum est, quo pacto per dictum punctum continsens ducatur. Bujus.
Duod tamen ee hoc quoque modo per praecedens Theorema
perticietur.
Ducta ex D ad inventam  diametrUM C: I recta ordinatim 2 per 2 Cor
DC, hiac rectangulum C A P. quadrato Lemidiaetri A G ∞ qua- IS hujus.
les jungaturque P D.
AEL exEra FIlipEm Sic datum punctum, uE F.: duet a ad A cen-
erum 3 recta F A, qua Flliplin Secet in C, quadrato AC aequa - 3 inventum
le fiac rectangulum F AC; ac per C ducta ordinatim applicat à Per 2 Coroll.
T5 Bujus.
C D: nimirum, quae  aequidistet contingenti qua per C duce- + juxta Cor.
reTUE S, OCCUrraEque FIlipSi in D, jungatuF E D: ericque haec ip La 27 hujus.
tam priori quam posteriori calu s contingens quae lIta.
A puncto autem intra Fllipln dato non posse duci recta, quae 5 Coroll. 14.
eandem continsat, manifestissimum est.
Atque ita me compendiose via latis plana ac maxi-jus.
me naturali, ab (que ulla solidi consideratione, Ele-
menta proprietatesque praecipuas Currarum, quasVe
ceres coni sectiones appellavere, tradidisse contido. L.
quibus principiis caecera omnia, qua ad Parabolam,
Flyperbolam, vel Elliplin pertinene, ab (que ulteriori
manuductione facillime deducct, quicunque animum
iis debire applicuerit, atque in Gcomerricis per (c ad
Ulteriora prooredi valcac. Adco ut eadem cractandi
Methodo hisce diutius inhraerere superracuum pucemm,
pexelertim cum insionis e sublimior quaedam scientia
lupersit, cui Veteres enixissime incubuisse ex quorun.
dam relatu ac nonnullis antiquorum Creometrarum
tragmentis manifectum est; quae que tam ab iildem
Qua
5 per praece-
dentia, aut
hajus.
per L8hH

## Folio 228 — 175906937X:0252
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000252.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
228
E E E M. C U R V A R U M
quam a Recentioribus Locorum inventio sive composuio
appellaca fuit. Ad quam promovendam, ab ApoIlo-
nio caterisque Cicometris ca praecipue conscripta eAe,
qua in Conicorum tractatione praedictis Elementis su-
Peraddidere, omnino credibile cAt. Cumque penitio-
rem curvarum lincarum nociciam pertectamque ca
rum enumerationem ac distinctionem, ut e distribu-
tionem in lua genera e species, cum legregatione ca-
eum, quae vere Crcomctricae non lune, ab iis quae in
Ceometriam sunt recipienda, ex accurata Loci tracta-
cione imprimis pecendam exiltimem: c retore duxi,
eandem cractationem hic subjungere, non quidem ca
methodo, licut a Veceribus inchoata videtur; cum vix
inteorum ex ingens volumen cidem lutticeret, si vel
tantum Locorum, jux Plana, 2c Solida (quamris, meo
judicio, minus recte,) vocarume, id elt, quae vel recta
linea, vel Parabola, vel Fyperbola, vel Ellipsis, Evc circuli
circumferentia exictune, (quorumque Locorum Com-
policioni cos lolummodo intentos fuisse invenimus,)
doctrinam exacte complecteretur, atque id pOrtO vo-
lumen in immensum excresceret, s ad Loca, quae lune
linex curra secundi generis, uti nobis propolicum cAt,
extenderetur; sed Arre Analrtica per Aguationum
examen e praecepta generalia, quibus omnes ommino
calus possibiles relolrantur ac determinentur. In qui-
bus pertractandis cum ordinem sumus observaturi, ut
jam post explicationem Elementorum Parabolx, IIY-
perbola, _ Elliplis, (suppolta notitia corum, qux ad
lincarum rectarum, angulorum, e tiourarum rectili-
nearum, nec non Circulorum naturam perrinent) in-
ventionem ac decerminationem eradamus eorum loco
rum, quae vel rectae linex lunt vel ex praedictis curris
constan; (Illa aurem esnobis, ne quid temere mute.
2

## Folio 229 — 175906937X:0253
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000253.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
et
Cit
Co
rett
D
L I B. I. C A P. TII.
229
US, Locorum Planorum. Solidorumque nomine venienE)
aEque co iplo oltendamus in primo curvarum genere,
praeter Circulum, non nili Parabolam, TErperbolam, de
Ellipln ese recipiendas. Practacioni aucem ulteriorum
Locorum, qua pertinent ad lincas curras secundi gene-
ris, Cimilicer quoque carundem curvarum Elementa
praemitremus. Cum veco ad iplarum generationem
viam sternant non cantum descripciones lincarum cur-
varum primi generis, hoc libro propoliex atque expli-
cata, sed d multi alii illas in plano describendi modi:
opera pretium duximus corundem modorum, qui cer-
ce infinici sunt, ut quiliber huic speculationi intentus
Facile experictur, vel illos laltem hic adjungerc, quos
aut ad deseriptiones curvarum secundi generis auxi.
lio nobis fore, auc Mechanica curvarum primi gene-
ris in plano delincationi praecedentibus aptiores judi
CAMUS.
C A P u F IV.
Mlia Parabolam, Fyperbolam, es Ellipsin in plano
delineandi Miethodus.
Ie triangulum quodcunque iloscetes AB C, de tam aequalia
DCrura AB, AC, quam balIS B C utrinque indetinite produ-
CaNEUT, ut adD, E, _F, C, nec non IIL; SIEque ab alECrUErO
angulorum ad balin ducta quaeris rectaterminata, oppolitocru-
ri aequidistans, uc BK, d per terminum ejuldem R altera rectas
utrinque indetinite extensa, libere transeat, quae circa verticem
ansulireliqui, nempe punctum A, ut Polum, circulariter mO-
bilis lic, reluri I ARM; ac denique recta FG insistens CHI
ipsi D E parallela cranleat per iplarum FC e HII incerlectio-
nem C. Dico, hiangulus F B HI acque ipsi ad verricem D B Icum
reCtA BRE IOVERTUT IN UEraM QUC ParTEI, IEA LAIMEN UECrUS AB
semper applicatum maneat rectae DP, simulque recta FII huc
atque illud promoreac rectam C NV, Sibi ipsi semper aequidistan-
tem,

## Folio 230 — 175906937X:0254
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000254.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
F L E M. L _ R Y A R U M
cem, de lecla B K ad polum A circularicer moveri laciat praedi.
Cam L. M, per pun-
ctum K sempextran
cuntem, interlectio-
nem iplarum C N,
LM, quae Hc ad O.
Parabolam describe.
re, cujus diamerer est
AD, Parameter R B,
dc FC candem con-
tinsens in rertice A.
In quacunque enim
Cacione constitutus
fuerie angulus FBFI
seu DBL, Si interle-
etio rectarum FO,
FII delignetur per C,
atque ab incerlectio-
nis puncto Oad dia-
quidistans: Crit LCmIPer R B
ad B A, hoc est, ad AC,
ui eadem A C ad C O 23
ac proinde ? rectangulum
sub RB, C O, id est 3
Tub RB, AP quadrato
rectae A C, hoc est +, ipsIuS
OP aeguale. IInde sI B AC
angulus rectusfuerie, erie
AD axis, sin mines dia-
meter, ad quam ordina-
eim applicatce Faciunt an-
sulos ipsi B AC vel BAC
anSulo XqualCS.
In cranlicu etiam hicno-
tandum est, eodem illo
motu per incersectionem
iplarum HII, L. MI, puta
. Elyperbolam sive op.
POlItAS
230
metrum apereuaet l
per29pri-
mi, e 4
Seari.
per 17
Seaeti.
per 34
primi.
 per ean
sem.

## Folio 231 — 175906937X:0255
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000255.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
1
1
E F B. T. C A P. IV.
positas syperbolas describi; uc ec, quamvis criangulum B AC
ilolceles non Foret, nec eriam recta B R ex angulari puncto B sed
ubiris in recta A D educta eset, nihilOMINUS CAIeN CUEVSIM AO
Parabolam FOre; at rero nec parametrum priori, nec verricem.
nec diametrum posteriori calu ealdem remanere, quastamen illis
que que calibus determinare Facillimum est.
Ononiam auten circa finem capitis primi monui
mus, curram, juxta deliniciones in principio ejuldemr
capitis propolicas, qualibet efficiente, et quocunque in
tervallo deleripeam, si anculi mobiles inx quales lint ris qui
ad directricem lunc ab eadem parte, IIyperbolam elle,
idque Mechanica guldem in plano delincationi non
inueile judicamus: idcirco id demonstratione jam
comprobandum duximus, limul ostenluri, quo pacto
cadem Methodus ad praedictas Ilyperbolarum deli-
meaciones commode applicetur.
Sit icaque efficiente LC, intervallo AL, de directrice IEL O, an-
Gulis auTeI LAL. XEXL. A inaequalibus, de(CTIDEA CUEVA D AN:
dico eandem curram Hyperbolam esse; ac si duct a d Polo A ad
directricem recla A K, ita ut anguluS L. A R angulOL A (7 29u2-
lis (ic, cenero A _ interrallo A K circulus delcribatur, secans ef-
ficientem in L_ C, ac directricem in R e 1 a, perque puncta Le a auE ean-
dem in R
R, neC nOn per C _ Q ducantur rectae IK, C C, libi mutuO contin-
OccUErenteSIN F, rectas FI, FC ACymptotOS CMlC b.
sens, uti in
Sumpeo enim in curra. puncto uccunque, reluri D, applice calu Hs. V
Cxhibico.
cur tam ancutus mobilis, ut O A D, quam describens, ut OD, in BE vero di-
cacione uriluere, cum per eas descripeum est punctum D. Guo- ctorum
niam igitur aequales sunt anguli AIR, AKL. inter SC =, nCC nOn BIMACOML
limul lumpeiangulo R AC, (quippe tam polterior quam prio- cidane ve-
res ? cum angulo IAI binos rectos consticuun): crune quoque luc lecK in
TIL, 2c C38
anguli AIR seU AIF _ C AL, urpore equalium dimidia, in- O in IVFio
ter le aequales, AC PrOPTerCA 3 reCtX IK F _ A L parallelX ; tangacibi-
ideoque licur LK F recta FO occurrit, ita e cidem F C occur- dem circu-
lum recta,
renE uE IP; in
ooit. d
eaboletocam conlindele cetnucat. Per 3primi.  Per 3C hce.
et ab
primi. cin calu tis. IIL, quoniam urerque angulorum AIF et C A L. rectus est, recta
,a Dalallta tllti

## Folio 232 — 175906937X:0256
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000256.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
232
F, L E H. C U R V A R U M
rene delcribentes AL _ OD, urpote ip(I LR F aquidistantes.
Sinc itaque iplarum occurlus in B ex C, ac per B agatur recta
BHI directrici K O aequidistans, occurrens que describenti DO
d Lfex. in H: CricsaC AEC, A iph AF, ita G B ipsi B F aequalis. Cum
ti, 24
uinbi.
9. F.
aurem in triangulis L A K, OOC equales sine anguli ad L _
per 29.
O. CPrepter? A Lo CO Parallelas,) licque de ngutus LAtR
sire C AL, id eAt, OPF, aequalis ansulo OOC, (quippetam hic
sua eld cla altelo ice et ie dddo AEcloo Colul
TuI

## Folio 233 — 175906937X:0257
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000257.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
l LB. L. C A P. IV.
23
iE =,) a aequiangula erunc eadem criangula L AK e OOC in 18 11
live = NBC. POrrO, f5. per 13
primi, e 22
quoniam angulus rerrii. in LV
AC F angulo IR O per 13pri-
mi  18ac
seu ALO aequalis 31 terrii
eAt, (quippetam hic dincasu
quam ille cum angu - A8. II L ap -
PareE, Tam
angulum OOC quam L. AI rectum
ese, per 13 primi, &c 3r terrii: ac in
Ag. V et V Iangulos OIFe OOCa-
quales, per 32terrii eE 21 eju ldem. 2 per
29 primi.
IOTO sive IG F 3 3 in fig. 1,
binos rectos consti. Per 13 primi
eg 22 tertiis
in fic. TII, per 13 primi e 31 tertii; in
Ac. LV per 13 primi, 188 31 tertii; in
fir. V per 13 primi ∞ 32 tertii; in fig. VI.
per 13 primi, quoniam ansulo 16 ae.
qualis est LX per 2I tertii.
cuic C,) acque angulis eintis. II
L AC, O AD iis- angulus
AG F. 21-
dem Eire aequalibus gulo ALO
addico vel ablato est aequalis,
Cormuni O A G f, Quia uter-
quecum
compoliti vel relidus angulo
L AO, G AD vel TR O duos
rectos con-
C A F aequales quo- Airuic, per
que lunE, dc LO, 29 primi 8
AO Abi IUTUO OC- 22 Tertii.
fvel, in c2
CurranE; C F quo- su 59. IIe
que _ AD Sibi inu- similibus.
LHIO OCCUTTANENCCCS- BAF.
Sc est; licicaque ipla-
rum occurtus F pun-
etum; ee requiangu-
la crune criangula,
AGE, ALO, exie-
GUE PTOPLErCA + AL. + per 4 sexit
ad AC, UE L. O sive permut.
NB adOF, AC VerO
0

## Folio 234 — 175906937X:0258
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000258.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
dem.
L L E M. C U R V A R U M
ob triangula L AK e N BC: Similia) est quoque 2 cadem
peraseari AL ad A KE, hoc est, ad eandem AG, uE N B ad BC. unde per
per EI consequens erit 3, ur N B ad G F, ita eadem NB ad BC. aC prO-
quinti.
per D quin
Bi.
per sup.
demonstr.
inde + rectae (F _ BC, ideoque  GB sCuS FB _ C F, nec
non BF. e LC aequales erunt. Denique cum, propter triansula
s
per sup.
g. IV
perzopri AB F _ D CF Similia, 7 BL liC 20 C L, HC C FC ad
mi.
per 4
Sederi.
per sup.
IB, ut B A ad C D: eric  rectangulum LC D lub extremis x-
quale rectangulo L. B A. lub mediis. Quod cum lemper accidat,
demonstr. 3. per 16 seriti.
ubi-

## Folio 235 — 175906937X:0259
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000259.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
L I B. L. C A P. IV.
curra D AM HIperbola esse, cujus ACymptoci FI, FC. jus.
ubicunque in curra assumprum fuerie D punctum, sequitur =  per 3 Bu-
Duod ctat occendendu.
cerria _ Guare
Ex antedictis manifectum cA, si efficiens leu : Contingens, Il a pet Bt
IC. ad Alymptotorum alcerueram perpendicularis (ic, veluti in jus.
ura, vel an
alosmobiles L A I _ L A C reCtOS
Fore, linem peintervallum, UE AL, _ GUIMTEAMSHBCLHIIM LIE CI ACym-
prococur essiciens leu contingent it al alos LCClos occurriE, uF
dicularem, li nempe intervallum parallelum tuerit ei Alympto-
to, cui eadem efficiens u contingens G I occurrit ad anoulos
ague i ret t FL, FC. e continsenre TO; vel dia-
682
metris
FIg. VI
in certia fgura, vel certe describentem ad directricem FOrC Perpen
Obliquos, ur in quarta figura.

## Folio 236 — 175906937X:0260
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000260.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
23C
L L E M. C Wt R V A R U M
metris conjugatis HIA, IC,
Hyperbola sic describenda, du- HEI
etis in casu polteriore AIym-
Peotis LI, FG, diametro lC
circulus describatur, quisecet
UETaM qUC AIYIPEOTON, PUTA
.Y
9. LF.
TIE
nam cansar.
et alteram
recta K O, cui ducta AL, ASyin-
secec, ur in procorum alcerueri, uc FI, aequi-
IIFp. se in distans, occurrat in L: Facillime
Id2, a
in LIIfx. Collisitur ex praemissis, (I, efficien-
inC et R. te LC, intervallo AL, ac directrice
XO, curra describatur, candem
Fore FIyperbolam, qua delineanda proponitur.
Nonnunquam tamen, ut obliquos circumterencle ae rectarum
occurlus eriremus, hxc endem 2b (que Circuli descriptione etfi-
cere expediet.
IEa
a auealce. in R et 9 a ductaque per K & C

## Folio 237 — 175906937X:0261
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000261.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
el
L. T B. I. C A e. IV.
23
Itaque h uea SLL. Asymptororum alterueri, ut F I, parallela,
ad eandem Alymprocon ducatur AIE, ita uE L. A IE angulus ansu-
I0L A C aequalis sIE, _C per H recAH O secanS praedictam AL
in L, ita uc angulus FK O ansulo FO Iaequalis sIE: CxiecurVa.
efficiente IC, intervallo AL, ac directrise KO descripea, ea ip (
Eyperbola, qua quaricur.
AdMcchanicas porro FIyperbolarum descriptiones
non inutile tore judicarimus paucis hic ostendere, quo
Pacto vel anculis mobilibus rectis, vel ita ut describens 2d
directricem lic perpendicularis, qualibet IEperbola in
plano delincari queant.
Siitaque rel hoc, relillomodo describenda sic in plano FTyper-
Bola, cujus ACmpEori (InEFS, FP, quamque contingat rectaSI,
utrinque ACymprotisterminata: Ducta ab alteruero punctorum S
rel T recta, vel ad hanc, vel od il-
Jam ACymproron perpendiculari, uti
F V, quam ad FI angulosrectos et.
ficere lupponimus, cidem YV per
punctum I (nempe ita sumpeum uE
TF incer VF _ SF media sIE PEOPOT-
tionalis) agacur ae quidistans lC, qua
continset quoque Hyperbolam quae-
litam? Propterea quod sic V Pad TF,  per 9Ba
hoc eA , PF adSF, uti 3 Y F ad GF. 2 ex Byp
Ideoque descripro super eandem LG rhest.
CirculoTKC, qui tansat A(yInPTO- 3 Per 2Sex-
tin e com–
TOn FY in C, +, atque alteram lecec ponendo per
in I, sI Per X _ C ducatur recta 1B quinri.
si CO, cidemque occurrat ducta ab + per Cor. 16
vel ad candem Le, ret ad adecaRO Sic perpendicularis: crie
FIrpet qua e LO directrice K O, atque intervallo AL,
ad eandem efficientem, dictamre directricem perpendiculari, descri-
Bitur, juxca ea qua mene expolita sunt, taec ipla, qua delineanda
Propontus.
jus.
Ferzii.
A, puncto mediotansentis IO, recta AL in L, quae quidem AL.
Similicer ee vel datis snoilibet anculis mobilibus, vel.
76
ICA.

## Folio 238 — 175906937X:0262
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000262.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
per 20
22 Sexti.
per 14 se
238
F L E NI. C U R V A R U N
ita ut describens ad directricem datos quoslibet angulos
efficiac quamcunque IIyperbolem in plano delineare
haud distrcile crie.
Cxeterum seguentem quoque Fllipsn in plano de-
seribendi rationem hic adjecisse luum aliquando ulum
habebit.
Rectalinea, ut A B C, ad Polum B circularicer mota binis lui
punctis A _ C, in eadem uccunque assumpeis ((ire B (IC inFeF A
_ C, SIre C (ITinEeF A _ B,) pFOMOVCAF reCtAS ADF, DCF,
sibi iplis semper aequidi-
Stantes, dc se invicem ad
rectos ansulos incerlecan-
ces: dico curram, quae
continua carundem inter-
sectione, reluri D, delcri-
bitur, FIliplm esse, cujus
centrum est B, d aXCS
OBHI, IBK, nempe ma-
onicudine iplarum AB,
P C duplae, politione re-
rO ipsIS ADF, DCF
aequidistantes per B Po-
lum ducta, acque ibidem
bitariam divila.
Sumpto enim in cadem
curra puncto utcunque.
veluri D, applicentur ipsi
describentes ADF, DC F
in Ptatione utifuere, cum
per illarum incerlectio.
nem descriptum est pun-
ctum D; noceturque porro punctum, ubi carum alterutra, reluri
AD E, vel hanc rel illam ductarum C,FL, TR, Cx. gr. iplam
GHI, Secat, ut in L. ec sic C AHI circumterentia Circuli, qui per
mocum puncti A describitur. Ouoniam itaque est = AB qua-
dratum ad B C quadratum, hoc cs, G B quadratum ad BK qua-
cundi ve deatuM, uE AL quadratum sirC = OLII rectangulum ad LD
35 Fert11.
Qua-

## Folio 239 — 175906937X:0263
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000263.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 14 lines, status machine
d
eM
T F B. I. C A P. IV.
239
quadratum: comcae, curram CK HI, uti praedictum est, descri - = per 13 Bi.
Dcam Lspelle, cujus axes sunt CTI, IR.
JuSo
Manifectum aurem est, si puncta A e C aequaliter q
B Polo dictent, praedictam curram Circuli circumte-
rentiam FOrc.
Non sic deinde AB C una linea recta, led angulus quicunque.
Circ obculus, sire acuEuS AB C, sineque praedicta rectxD AF,
DC F in punctis A ee C ita junctae, ue, cum carum alcera uni
CTUTI

## Folio 240 — 175906937X:0264
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000264.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
240
F L E NC. C U R V A R U M
cruricomcidic, (quemadmodum in Ctatione AB C recta D C P
coincidiccruri B C,d alcera ad reliquum crus sie perpendicularis,
(Licut in eadem Ctatione recta D A E ad cruS AB perpendicularis
CA: ) dicoiterum, Piangulus AB C circa Polum B circularirer
otus punctis A _ C in ueroque crure utcunque alsumpeis pro-
moreat rectasD AE. _ D C F sibiiplis semper a quidictantes, cur-
vam, continua iplarum intersectione, reluti D vel K, descriptam,
Fllipln esse, cujus semidiametri magnitudine sunt rectae DB,
BC, nempe dictorum crurum, si opus fuerit, productorum, por-
tiones a perpendicularibus AD, CC, per allumpea puncta Ad
C reciproce ductis, ad Polum interceptae; de quidem altera, uri
DB, eciam politione; alcera vero, ut BC, non item, scd BP ipl
requalis, rectae que D A P. aequidictans.
Sic enim praedictus AB C angulus in alia ltatione urcunque,
ex. Er. in HIBI; ideoque pretata incerlectio ad R. Demissis
autem ab I_ IE ad rectam DF, ipsius D B duplam, perpendicu-
laribus TL, RMI, nocatisque incersectionum punctis ad N_O.
quoniam aequales sive iidem lune angulus AB C sire OBL e
ex Bypo. EI BI, erunc quoque, addico vel ablato communi HIBF, anguli
ibest e per FIBO e IBL aequales; ideoque triangula LIBO _ IBL, ob
29 D.
per 21 Sulos praereren ad O e L rectos , aequiansula. Sunt aurem
Sexti.
d

## Folio 241 — 175906937X:0265
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000265.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
Deultu
d
A, Der
12
Me
1
 L B. l.
C A P. IV.
e xquiangula criansBC dMNE, cum cam hoc quat il-
driansulo OBN sime: quare cum sI  DB quadrarum ob ansulos
ad NVB guacatum, ic 21D quadratum, id est 3, FI B quadratum
ad C, , e
M rectos, ad
ad OB quaalu, CriE  per conrertionem rationis DB quadra- B vero e N
cum ad DNFS rectangulum, sicut FIB quadratum ad FIOqua- sive eosdem
deacum, id est7, uri B L quadratum ad IL quadratum, rel uti B C sive ad ver-
ticem.
quadracum ad R MI quadratum 3, id est 2, uri B C sire B P quadra- = per + e
cum ad RN quadratum, _ permutando ro DB quadratum ad =2 sexri.
ex BypO-
thest. 4 per Cor. 19 quinti. 5 per 5 secundi. 6 per 47 primi. 7 per 4 es 22 senti. 8 aequa-
lis est enim BC ipse BL, e Ila ips R M. 3 per +senti, propter triansula C BC ex M R N a-
quianeula. 20 per 16 quinti.
42
BP quadratum, ut D NF rectangulum ad R N quadratum. AC
proinde FIlipsis est curra DR P P, incersectione uri pradictum est
delcripea 22, cujus semi-diametri conjugatae DB, BP; id eoque
BCeHEruI, aCD AF continsens Ellipln in vertice D 22.
Bujus.
Nocandum hic cA, quod Si rectus FOFCE ABC an-
oulus, intersectione, uri praedictum cAt, non curvam,
sed rectam lincam describi.
Duemadmodum aurem Elliplin, guxe superius per
motum puncti in una cademque recta descripta fuit,
nunc per duarum rectarum incerlectionem delincari-
MUS,
per 13
22 per 2COY.
23 hujus.

## Folio 242 — 175906937X:0266
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000266.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 12 lines, status machine
242 FLEM. CURVAR. CFB. I. C AP. IV.
mus, ita ex Parabola Flyperbolaque, quarum genera
tiones solummodo per limiles incerlectiones in prae.
cedentibus expoluimus, per mocum puncti in una ca.
demque recta describi poltunt. ACvero quoniam prae-
dictarum curvarum generationes, uE jam ante quo.
que monnimus, intiniea lune, acque carum facillimas
quidem ac maxime naturales a nobis jam propolitas
exictimamus, huisce diurius intrarendum non videtur;
icaque ad Locorum Planorum. Solidorumque inVentiOnCS 2C
decerminationes prooredimur.
CED

## Folio 243 — 175906937X:0267
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000267.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
el
Pa
quo
llimas
OlITas
eturi
C526
2. 4.3
DT) et N N IS D F X Y Y Y
L E MI F N T A
A R
N F A R U MI.
EZBF R SFCY NDYS.
C A P U F I.
ADEOSTTIO GEHERATIS.
est
N omni quaestione, ubi indagandus
proponitur LOcus, Siro is sc ad lincam
 rectam, live ad curram, suppolitis dua-
_ bus lineis rectis incognitis acque inde
e cerminatis, dacum vel 2pumprum an-
sulum comprchendentibus, tanquam
coonicis ac determinatis, derenitur ad Aquacionem,
allumptum quodlibet quaelici Loci punctum determi-
nancem; in qua quidem aequatione, postquam ed lum-
plicissimos terminos erit reducta, si neutra incognita-
rum ad duas pluretre dimentiones asturgat, hoc cAt, A2
neque in se, neque in alceram incognitam ducta seu
mulciplicata reperiatur, quaelitus Locus erit lincare-
cta: AC si carundem incoenitarum altera ad quadca
tum alcendat; altera veronon item, sed neque in lc,
neque in alteram incoonitam dueta (IE, exit LOcus qua-
licus Parabola. Ouod si vero urraque ad quadratum
alcendat, sive altera in alceram ducta in aequatione re-
periatur (altius enim aquatio non alturgce, (i de loco
l’lano Solidore quaetio (C): crit Locus quaesitus vel
yperbola, vel Ellipsis, rel Circuli circumterentia.
FTI 2
Duo.
s

## Folio 244 — 175906937X:0268
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000268.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
244
E L E HL. C U R V A R U M
Duorum quidem omnium particularis decerminatio,
deleriptio, de demonstratio variis modis Acri potest:
ac vero ex simplicistimis, generalistimisque aliquem
annocasse (UHCCOPIE.
AC primo quidem casu, cum neutra quancitatum
incoonitarum ad duas pluretre dimentiones alcendit, si
Carum una exprImatuT per x, acque alteia per y, porelt
requatio ad aliguam sequentium Formularum reduci.
I. y∞ =, sive (Polito a ∞ b) YDX.
lL. 9∞ = =6, Eive, PoliEo, UE SUPFa, yDN F 6.
TIL. 930 - - c, (VC y ∞ X = 6.
IV. 7∞ - = +6, AvCy ∞ = X - 1c.
Fiac aucem carundem quantitatum incognitarum
secundum regulam calis allumpeio, uc inicium unius,
verbigratiâ, iplius x, cerrum lic ex immutabile, ueque
eadem illa quantitas ex certo e immutabili illo inicio
in linea recta politione data intellisatur indefinite ex
cendi, alcera vero indeterminatae quoque longitudinis
linca priori in exeremitate incerea in daco vel altuin-
peo ansulo conjungi. Ouibus quidem suppouis, ca,
quae praedictalune, sequentibus Theorematis non in-
congrue proponi, decerminari, ac demonstrari posse
videntur.
E H E O R E M A
Propositio T.
a
Si a Gualio Il p00 =, erit locus guaelitus linca recta.
SieluDico d Mcca acabile Flliccumi a aeque Cacelu
illax per rectam AB indefinice le excendere intelligatur. Dein,
Cumpto in eadem AB puncto utcunque, reluti B, agatur B C in
ungulo

## Folio 245 — 175906937X:0269
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000269.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
1
qu
icio
et
inii
IM.
et
in
elle
245
hoc CHt, ut (iF uti a ad b,
ita AB ad B C. Deni-
que per puncta A_C
AUCaEUTFeCEA A C, inde-
Finite extenla, crieque
haec ipla locus qux(IEuS.
Ecenim assumpto in
AC puncto utcunque,
reluri D, ductague DF
in angulo D L A, dato
vel allumpto aequali, si eadem D P vocetur p, erit = ut AB ad, per 29 pri-
BC, hoc est, ut a ad b, ita AF ad F D, hoc est, ita N ad y. FC mi, ex 4
tic 2 a p∞ bx, hoc est, diridendo utrinque per a, erit y ∞
Sexti.
2 per 16
Duare cum punctum D utcunque sumpeum CIE in linca AC, sexri.
erit eadem de omnibus aliis linea a C punctis demonstratio, ac
proinde ipsa AC locus eAt quae siEuS. AEque ita non Tolum Theo-
rematis propolui rericas demonstrata, sed d LOcus quae situs de-
terminatus elt.
I H E O R E M A II.
Proposiio 2.
LC, Crit LocuS quaelicus linca
Positis, Factisque, ut su-
pra, aSatUFInSUIPEF Ex A rC-
Eta A F ips BC parallela,
atque ad caldem cum ea par-
tes, quae sic aequalis c cogni-
cx. Fc ex F ducta FC paral-
lela AC, dico eandem FC
esse Locum quasitum.
Sumptoenim in FC pun-
etourcunque, veluri, du-
Ctaque C F in anguloAF C,
3
dato
C + B. TI. C A P. I.
angulo A B C, ipsi dato vel assumpto rquali; itaut eadem sit ratio
intercepea AB ad ductam B C, qua est a cogniex ad b cognicam.
Di requatio (IC )
recta.

## Folio 246 — 175906937X:0270
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000270.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
246
E L E M. C U R V A R U M
dato vel assumpro aequali, quae secer rectam A C in D, Si cadem
per 29pri C F vocetur y, erit FD ∞ y = c. ACvero eA, uc supea  uti AB
13et
Cexti.
ad BC, ica AF ad F D, hoc est, ut a ad b, ita x ad y = c: aC prO-
per 16 PTCTCA ay = ac ∞ bX, vela y ∞ b x + ac, adeoque, Facta divi-
sexti.
Tione per a, y ∞ =- F 6. Ouod demonstrandum decerminan-
dunique exat.
P E E O R E M A TII.
Propositio 3.
6, erit Locus quaesitus linea
Positis factisque ut in
Theoremate rmo, agatur
in super ex A recta AF,
ip( BC parallela, atque
ad oppolitas cum Ca Par-
Tes, quae licaqualis cc0-
onitae. FF ex I ductaite
TUMI FC ipSI AC paralle-
la, secante rectam AB in
HI, dico FTC esse Locum
quaesicum.
Sumpto enim in eadem
puncto uccunque reluri
C ductâque C F. in an-
sulo AF C, dato vel assumplo aequali, gua producta secet AC
in D, headem C F. roceturr, eric F D ∞ y . F c. Jam vero est
ex constructione, ut AB ad _C, IC H Li ad F D, hoc est, ut a 2d
adeoque, Lacla ae petn, 5∞.- c. Quod eltpropoli
EUM.
di aquatio siC y 3
ecta
3 per 29
primi, 
4sexti.
per 10
b, IEa X ady FC: aC PrOPteTCA = ay L ac D bX, Vel a y ∞ b X = a6.
Sonda
LHEO.

## Folio 247 — 175906937X:0271
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000271.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
linea
iC in
eu
le
Ocu
L. F B. TI. C A D. I.
E H E O R E M A. IV.
Propositio 4.
exit Locus quaelicus linea
Politis, Factisque,
ut in TheOremate
do, excepto quod
punctum C ab op-
Polica parce iplius AB
cadat, quodque an -
SuluS A BC ~Gu2-
liS SIE dati vel alsum-
pei anguli ad binos
rectos complemen-
co, quemadinodum in
adjuneta fgura appa-
ret, aSaTUK ex F re-
eta FO ipli A C Pa-
rallela, OCCurrenSre-
Eta AB in FI: dico
FHesse Locum qux-
SIEUI.
Sumpto enim in PEI puncto utcunque, veluti C, ductaque
O F in angulo AEC, dato vel assumpto aequali, quae producta
Secet A C in D, Si eadem C F vocetury, erit F. D ∞Cy. Cum-
que sic ex constructione, ut A B ad BC, ita AF ad F D, hOC  Per 13 e
est, ut a 2db, ita x ad6 - y: erit PFOPECrCA a6 = ay ∞ bX, vet sa
ay∞ac -bX, id est, dividendo urrinque per a, 7 ∞c- =. Uod = per 16
exac propolitum.
sedoti.
Ac vero heri etiam porest, ut per opcrationem,
peiusquam ad aequationem dereniatur, quanticatum
incognitarum alcera penitus crancscat, alceraque lola
alicui cognita quantitati aequalis remanCaE; aEque
CXIH-
3i XGu a IFy∞6
recta

## Folio 248 — 175906937X:0272
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000272.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
2. 48
P L. E H. C U. R Y A R U M
exinde binx insuper Formulae nalcuntur, qua hucre
Ferri debene: nimirum,
1. y∞ C, Vel
2. X D C.
P E E O R E M A V.
Propositio 5.
Si aequatio  Dc. Locus qualicus est linea recta.
Sic quanticacis x, qua
per operationem Cra-
ruie, inicium imutabi-
le punctum A, atque ca-
dem illa x per rectam
AB indetinite le exten-
dere incellisatur. Dein-
de ex A ductâ A F ∞C,
faciende cum AB angulum, ip dato vel alsumpeo aut ejuldem
ad binos secsemento aequalem, si ex F agatur LiC ipl
AB parallela, dico eandem FC esse Locum quaelitum.
Ftenim assumpeo in FC puncto urcunque, veluti C, ductaque
CBipli A F Parallela, apparet eandem C B omnes que ipli a qui-
per 34 Mlaes rectae A LC aguales, hoc elt, esse y vc. Ouod erat
primto
demonttrandum.
lH E O R E M A VI.
Propositio 6.
Si xquatio (iEx DC, erit Locus quaesicus linea recta.
In linea AB, gux, uc supra
PTO X CONCCDEa SE, CUIaEuE d
Puncto A longicudo AB aqua-
liscCogmitx, atque ex B in dato
vel asumpeo angulo ducatur
recta BC. dico eandem BC,
indetinite productam, esse L0
cum quaelicum.
Sumpeo enim in eadem pun-
eto

## Folio 249 — 175906937X:0273
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000273.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
edl
q
ert.
C Ct
ctam
ler
ilde
ie
1
L I B. II. C A D. II.
249
Aouccunque, veluri C, erit ex hypocheli C B cum priore AB
comprehendens angulum ABC dato vel assimpto a qualem, po-
ceritque proinde eadem C B rocarir. Ac vero est ex constructio-
ne, ee remanet semper AB, hoc elt, x ∞ c. Ouod est propolitum.
C a P u F II.
Orro secundo casu, supra expresso, cum nempe iI
L aequatione, ad simplicistimos terminos reducta,
quancicatum incognitarum altera ad quadratum alcen-
dic, altera veronon icem, sed neque inse, neque in al-
ceram quantiratem incoenitam ductareperitur: poterit
aequario ad aliquam sequentium Formularum ieduei
l. yYD aX
(ay ∞ X X
II. 97∞ ax = bbl
TII. gy∞. ax -bB Erel COnVCTLM ay = bb D X X
IV. 9y∞ - ax f bb
ay - bb D XX
lbb = ay∞XX.
Supponendo y _ x esse quantitates incognitas, vel ab inicio
Conceptas, rel poltmodum allumptas, ur mox lacius explicabitur.
P E E O R F M a VII.
Propositio 7.
St aguatio lcy) , vel converlim ay D x x: erit
LOCuS Quaelicus l’acabola.
Sic iplius xinicium immutabile punctum A, atque eadem illax
per rectam AB indetinite se extendere incelligatur, de lic dacus
vel assumpeus angulus x-
qualis angulo ABC; AF-
Cumatur primo eadem AB
ut Parabola diameter, ad
quam ordinatim applica-
eae laciant cum ipsa angu-
los aequales dato vel aF-
Tumpro ansulo AB C, cu:
usque latus rectum AF

## Folio 250 — 175906937X:0274
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000274.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
L E N. C U R V A R U M
per 10C0. TiE Xquale a CogMa. Dieo Parabola ADC, quXe = Per Pra-
dictae diametri velne A descripta sIE, habeatque latus rectum
secitiaot od ete
32o-
pondens ∞a, esse Locum quae situm.
Sic enim in eadem cura AD C assumpeum punctum utcun-
que, tets  uclaL. in ansulo A F. D dato vel allumpro
per 1pri- aquali, pra D P. rocetur y, erit, ex natura Paraboles 2, quadra-
TuM ex ED ∞ F A F. rectansulo, hoc ett, yy ∞ a X. GVOd erAE
Propolitum.
Ad demonstrationem aurem se-
cunda hujus Theorematis partis
iildem ut supra suppolitis, ducenda
est ex A puncto recta AII ip( BC
parallela, acque eadem AHL asu-
menda pro diametro, ad qua Or-
dinatim applicacae Faciant angulos,
dato vel alsumpro angulo ABC
TCu AEIC aequalES, AC CRTCTA, uE
supra, ericque Porabola ADC
LOcuS guaesITuS.
FCenim 3 quadratum ex CD
sIve A F quadratum requale re-
ctangulo sub F A  AG, PCU F A
ee E D, id eHt, x x ∞ ay. Ouod crat
demonstrandum.
L EF E O R E I A VIIT.
Propossiio 8.
Si xequatio (Ic y y ∞ a x. ]- b b aut convertum a p. (. bb
DX X, erit LocuS qualitus linca Parabolica.
Sic ipsius x initium immurabile A punctum, atque cadem il-
la x per rectam A B indetinice se extendere intelligatur, licque
ansulus datus vel allumprus a qualis angulo AB C. Deinde pro-
ducatur AB versus A usque ad C, ita uE SIE A C, ∞ -; aAUpEa
que CB pro diametro, ad quam ordinatim applicatxe Faciane an-
sulos aequales dato rel allumpro ansulo ABC, cujusque lacus
rectum
roll. Primi
es 4Coroll.
vod tobstis
per
t 60l

## Folio 251 — 175906937X:0275
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000275.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
emte
Pacii
cendi
iBC
ael
IOC-
aos,
DC
2, 11
DC
CD
e ce
FA
etut
ectum C P. Sic xGuale a cognita
ACOP
25+
tabolam CCD, quae
per praedictae diame-
tri verticem C de-
Scripea (IC, habear-
que latus rectum ei-
dem diametio cor-
respondens D a, ese
LOcum quaelicum.
Sumpro enim in
eadem curra puncto
uccunque, veluti D
ductaque DF in an-
sulo AF D, datovel
ac ea Sacuta LatdDOles = quadraTUM CX 2 per Y pri-
E. D ∞ rectangulo (uB F C _ GF, erit py ∞ aX L bb. Ouod
primo crat demonstrandum.
Ad explicationem vero secunda hujus Theorematis partis iil-
dem ur supra politis, ducatur ex A recta AHL ipABC Parallela;
eadem que productâ versus Ausque ad G, ita uE A G (IC ∞ -, di-
mii hujus.
L F. B. TIV D A P. TI.
A C CAt ∞ X L -
aNumpro aquali, sIip (a D L NOCCCE y, quoniam OP. SirC A F +
co, hiadC FFdiametrum latere recto C F x a Parabola describa-
quaesicum.
TUFUEC C, quae secet rectam A n I, curram I. D esse LOCum
Fst enim : ex natura ParabOle C L LuL C. _ O FI 2 per P pri-
COn.  consus

## Folio 252 — 175906937X:0276
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000276.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
252
E L E H. C u R V A R U M
contentum xe quale quadrato ex HID Peu AF, ac proinde; quo.
niam CLI, SIreDF F AC, ∞Y L =, aEquC FC D a, eric, Fact 
debica mulciplicatione, ay = bb ∞ xx. Quod est propolicum.
I H E O R E M a IZ.
Propositio 9.
Si aequatlo lic py ∞ a x = b b auc converlim a y - bb
DXx, Crit Locus qualitus linca Parabolica.
Suppoticisiildem, quae in praecedenti Theoremate, auferatur
ab ABrecta AC ∞ =, tuncque catera, ur ibidem dictum est:
dico curram CC. D esse Locum guaesitum.
Sumoro ciim in ea ponceo ccunque, veluti D, denisa
DF iphC B Pacanta Ieadem L releut Clclaacuta
mi Bujus.
per pri- Parabe quautatum ex L.D icu y y aequale rectansulo lub
FC_C F, id en Poncio Cx a III X =
LaXDb.
Ouod demonstrandum determinandum que erat
Ad explicationem aucem secunda hujus Theoremaris partis,
i(dem uE SuPPA POsitIS, dUICAEUF Cx A reCta ATI ipsi B C parallela,
aeque ab ea subducta AO D =, sumatur C FI pro diametro, etc.
uc supra, dico curram C C D Fore Locum quasicum.
Fst

## Folio 253 — 175906937X:0277
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000277.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
CuI
li 26. 11 L a 2. Ld.
Fs enim = ex natura Paraboles rectangulum (ub F C X G FY. per ean-
contentum aequale quadrato ex HID seu A P, ideoque, quoniam dem.
GHI(rCDF = AC, xquatUr y - -, atque FO ∞ a, erit, Fact d
debicamulciplicatione, ay = bb ∞xx. Ouod erat propolitum.
H F O R F M A X.
Propositio 10.
Si aljuatiols 00d ax auc convertim bo- ay
xX, erit Locus quaelitus linea Parabolica.
Sic enim, uc supra, ipsius x inicium immutabile A punctum,
intellisaturq:
eadem x in
recta AB in-
definice se ab
A extendere
versusB; an-
Dulusrero da-
tus velastum-
DEuS elto X-
qualis angulo
ABC. Deinde ab L ressus D atuCa LLC  LuMatUEC A
li 3
PTO

## Folio 254 — 175906937X:0278
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000278.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
2.54.
F L E N. C U R V A R U p
prodiametro sectionis, ad quam ordinatim applicatae faciane on-
oulos aequales dato rel assumpro AB C, aue ejuldem ad duos
rectos supplemento. Quo facto, si per praedictae diametri verri-
cem C versus A Parabola describatur, cujus lacus rectum (F ei
dem diametro correspondens sit  a, quae que Parabola rectam
ATipSI B C parallelam secer in L: dico ejusdem Parabolae por-
tionem, inter rerticem C de punctum incerlectionis l interce
peam, nempe curram C CI, ese Locum quaelitum.
Sumpto enim in ea puncto urcunque, reluti D, demilsaque
per F pr D F. ipli C B parallela, si eadem D F vocetury, Cum = Cx natu-
mihus. ra Paraboles quadratum ipsius D P. sic x quale rectansulo sub FC
_ GF, d O F sIVC AO - AF SIE∞ = = X, aC FO DA, FaCt 
debicâ mulciplicatione, erit ry ∞ bb = a x. Ouod demonstran-
dum decerminandum que exat.
Ad explicationem au-
tem secundae hujus Theo-
rematis partis, iisdem ut
supra politis, ex A duca-
tur AO ip(I B C parallela
atque  = 2sumaturque
C A pro diametro, Xc.
peromnia, ut luPFa, exCC
Deo quod punctum inter-
sectionis LHIE in ReCTA AP.
Cum enim duca DH.
ipsi AB ParaIlela = CX N2-
tura Paraboles rectangu
lum Tub FC _ C,II cOn
tentum sic aequale quadra-
tOOx TID (eU A F, licque
Cthren= L aequefCa tacta mulcipli-
cacione, ut decet, erir bb = Ay ∞ X H. Quod erat propOlitum.
LCCielb
per ean.
Dem.

## Folio 255 — 175906937X:0279
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000279.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
a1
l. L B. II. C. A P. TI.
Recula universalis, modusque reducendi omnes
aequationes, qua ex convenienti operatione pro-
ducuntur, cum Locus quaesirus est Parabola, ad
aliquem quaruor casuum, praecedentibus tori-
dem FTheorematibus jam explicarorum.
Si contingat ut quantitas incognita, guxe in aequa-
cione ad duas dimentiones alcendie, in eadem quoque
inveniatur unius dimentionis, cum alia, tive cognita,
lire incognita quantitate, vel etiam cum utraque pla-
num aliquod taciens. loco euldem allumenda est alia,
vel iplam excedens, vel ab ca deticiens dimidio quan-
ticatis, quacum illa planum, uti dictum cst, constitue-
re reperitur, pro direrla dicti plani signo L vel - affe-
ctione. Duo opere ipla aequatio ad aliquem quatuor
pracedencium caluum reducetur, ita uc ci convenien-
cem lincam Parabolicam determinare, per ca qua s
perius sunt explicata, haud difficile (IC.
Exempla reductionis aquationum ad formulam Theorema-
tis VII.
Si aequatio sic y y -F Z ay ∞ b a = a a; 2NUm PEO, juXCa Regu-
aIm, Z3 7 f. 4, erit Z - a ∞ p. Tlinc si ubique in aequatione loco
ipliusy substicuatur Z = a, ejuldemque quadratum locoyy: ha-
  2 aZ F aa, -= 2 4Z = 2 a a ∞ b X -- a A, hoc eAt,
Omislis iis quae se le mutuo EolIUIBE, erit Z
Z∞b x. CInde Ratim
apparet aequationem esse reductams ad tormulam TheOreMI-
eis VII, ac proinde Locum quaelicum esse Parabolam. Ad cujus
Speciticam decerminationem ecto in appolica figura ipsius x ini-
cium immutabile A punctum, cademque x incelligaeur se ab A
per rectam A P. indetinice extendere; licque datus vel a NTuMpEUS
angulus, quem y e x comprehendunt, aequalis angulo L A L.
Deinde, quoniam Z est ∞ y -+ a, si y supea lineam A L CX(AITSCTE
incelligatur, ducenda est intra eam recta CB ip h A F parallelum
ica

## Folio 256 — 175906937X:0280
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000280.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
F V F H. C U R V A R U M
ita uc pars teeu   que ips parallelarum, incercepea
IntEF AF _ (+B, re-
luti A C, aquetuE a
COgnItR. POTIO PER-
dicta G B alsumenda
est ut Parabolae dia-
meter, ad quam si per
ejuldem verticem C,
existente C F latere
recto, ip(i diamerro
GB correspondente.
20 b Parabola descri-
BatuT, SCCANS FCCFAIM
AF in I: dico cur-
vam ID indetinite
versus D productam
ese Locum guaelicum.
Ecenim assumproin
eadem curra puncto
utcunque, veluci D.
ductaque D F ipsi A F parallela, B eadem D E vocetuTY, produ-
caturque donec praedictae diametro C B occurrat in B: erit ex
constructione intercepta E B ∞ a, ac proinde toca D B ∞ y L a
hoc est, 2. Guare cum ex natura Paraboles quadratum ex DB
aequetur rectangulo suB FC d GB, vel FG _ AP: crit quoque
y
C∞bx, Cire, restituto y + a loc0Z, yγ. + 2 a7 + a a ∞ b x, id
elt, yy. + 2 a7 ∞bx - aa. Quod demonstrandum determinan-
dumque crat.
Ouod si aequatio tuisset yy = 2 ay ∞ b x - aa, Facta alsum-
prione lecundum Regulam, atque operatione, ut supra; deven-
cum tuisler ad eandem aegnationem, nimirum, 2
(∞ bX. SCd quo
niam Z eo calu juxta Regulam alsumenda fuisset D y - a, idcirco
quoque diameter C B (iildem uc lupra policis) non intra, sed lu-
Pra rectam AE cecidisset, exteraque omnia eodem quo lupia
modo expedienda Fuissent.
Si rero aequatio sic by - a a ∞ N X. F 2 a x, quae est converla su-
perius expolica, altumpto juxta Regulam v∞x. F a, eric v - a
∞ X. Ouare si loco ipliusx in requatione subHIEUAaTULV--a, aEque
hujus

## Folio 257 — 175906937X:0281
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000281.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
at
net
AIC
ente,
seri.
tam
CUIF.
tam
um
D
16
L L B. IL. C A P. II.
tujus scaa LOCO X X: Crit b y - a a ∞ vV = 2 a V + a a,
L 2aV = 2 aa, hoc est, omissisiis, quae le mutuotollunt, erit
by∞ vr.
praedic Lhcoreatis leptimi conrertim, ac proinde Locum
qualicum esse Parabolam. Ad cujus speciticam determinationem
elto in appolica figura ipsius x inicium immutabile punctum A,
IInde Ratim apparet, reductam esse aquationem sd Formulam
intellisatur que eadem x a praedicto puncto A per rectam A P. in-
detinite le extendere, licque dacus vel assumptus angulus, quem
comprehendunt y ee x, aequalis angulo AG FI vel FOFI. Dein-
de, quoniam raequatur x  a, producenda est recta A F. versis A
ulque ad C, ita ut AG SIc ∞a; _ ex C ducenda eAtOII, Faciens
angulum EGFI vel FOFI dato vel assumpeo angulo aequalem,
iplaque CHI lumenda eAt pro Parabola diametro, ad quam si per
ejus verticem C atque latere recto FG ∞ b Parabola describatur.
ut C D: dico curram CD esse Locum quaelitum.
Sumptoenim in ea punctourcunque, reluri D, duct aque DF
ipEiFIO parallela, si eadem D P vocetury, cum GF (ic ∞ x L a
seur, aeque ex natura Paraboles FCFLrectangulum ∞ quadrato
ex LIDsireOE, erit byovr, sive, restituro x L a locov, by
∞X X. F 2aX + aa, seu by - a 4 ∞ X N F 2 a X. Ouod determi-
nandum, demonstrandumque crat.
Ouodsixquatio tuiset by =a A DXX - 2 ax, eadem per omnia
mutatis mutandis secundum Regulam instiruenda fuistet opera-
tio, cecidisset que eo calu punctum C inter A e L.
IE H
Fodeis

## Folio 258 — 175906937X:0282
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000282.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
2.58
E L E HI. C W R Y A R U 1
Fodem modoliaequatio (icyy 1
bbX X
a a
b23 +267 ∞bx -
-C67
asumpto juxta Regulam Z ∞y L -  6: erit y 3Z -. - 6.
Duo substicuto in locum ipsiusy, ejusdemque quadrato locoyy,
expunctisque iis, qua se inricem collunt, atque omnibus ri-
te ordinaris sequentem formam induta erit superior _quatiO:
∞dX, (IOCO == = b substicuatur d.
Unde icerum apparet, aequationem esse reductam ad Formulam
Theorematis VII, ac propterea Locum quaelitum esse Parabo-
lam. Ad cujus speciticam determinationem esto in lequenti Agu-
raiplius x initium immutabile punctum A, atque eadem x ab A
puncto per rectam A P. indetinice le extendere intelligatur, litque
datus vel allumptus ansulus, quem ree x comprehendunt; aequa-
lis angulo F AF rel P. AC. Deinde quoniam Z est ∞7 L 6. +-
Ci y supra lineam
AF exlurgere in-
telligatur, reluti
E D, ducenda pri-
inum est intra
candem recta CB
ips parallela, ita
et partes rectae
FC omniumque
ips aequidistan-
tium incer praedi-
EtaS A F e G B
intercepcae, reluti
AO, F B, aeguen-
crccoonica.  peraci, cin quas secta, quae possit ese y
ad rectam CB producta, uc, exempli gratia, DB, sic ∞ y L 6,
oportet ipsi adhuc adjungere =, ut fiac aequalis Z asumptae.
Ouare, cum CB Peu A F indehnire CUmPEa SIE D X, AI Cx G juxta
IPheorema hujus libri intra eandem GB recta duCaEur, UF G C;
ica ut omnium ipli C F Parallelarum partes inter (B et OC in-
tercepta, reluti BC, ad partes iplius C B inter C d dictas p2-
rallelas

## Folio 259 — 175906937X:0283
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000283.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
E T B. TI. C A P. TI.
rasselas interceptas, veluti BC, eandem rarionem habeant, quxe
esinter bec a. Ouod ipsum ut hac, Ctatuatur ut a ad b, icaC B ad
BC: crieque BC ∞ .. Fodem modo rectxe omnes ip(BC pa-
rallela, guae d GB ad C C ducuntur, erunE ∞ =. AEque itaFC-
cta quaelibet supra AE exlurgens, quae possit essey, postquam ad
rectam C Cerit producta, uc, exempli sratia, D C, cric ∞ y Lc
B3
 (eu Z. Fujusigitur quadratum cum debear esse D d X, A2-
cim inde apparet, si Parabola descripta Foret ad diametrum 6C.
cujus latus rectum C F ita esler allumprum, uc rectansula, sub
eodem latere recto ex diametri portionibus, inter rerticem _E Or-
dinatim applicatas intercepris, contenta, Forene ∞d x eandem
illam Parabolam Fore Locum quae (ituI AC vero cum ratiO FC-
etx CB ad rectam B C, aliarum que similium, cognita (Ic, nem-
De, ut a adb; siqueitidem nocus angulus OB C, sub iildem com-
prehensus, uepote aequalis dato vel aNum pEO F AF: erit pro-
prerea quoque  noca ratio CB ad CC, aliarum que similium,  per 6 sex-
quae situca cosnitae ade cognicam. Ilinc cum GB Peu A P. inde- ti.
tinice Cumpea exprimatur perx, erit C C icidem indetinite Cumpea,
hoc est, omnis diametri portio inter verticem ee ordinatim ap-
plicatas intercepta ∞=. Ouxe cum in lacus rectum ducta pro-
ducere debeat xquacionis terminum du, idem quoque aequatio-
nis terminus dx per  dirisus uc praedictum latus rectum recti-
cuatnecesse est: ac proinde per eandem dirisionem cornoscitur
ad
quaelicum latus rectum equari
Sumpta ergo GF ∞ = PrO
latere recto, (iad diametrum C+C, ut supra dictum ett deleri-
bacur Parabola C ID, Secans rectam A E. in I: dico currai LD
Fore Locum quaelitu.
Acque huc, uc ee in aliis similibus exemplis obiter
nocandum, si Parabola descripea praedictam A F nON
sccaret, id certo indicio Forc, quaestionem propolcam,
per quam legitima operatione ad lupra expressam X-
quationem perventum tuorit, ejus esle conditionis, ut
Locus ad indasandum propolicus sui quidem natura
K K 2
linca

## Folio 260 — 175906937X:0284
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000284.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
260
F L B H. C U R Y A R U M
linea Parabolica existat; sed quod nulla camen quaestio.
ni lacistaciens describi possit, cum propolitx quantica-
ces, co, uc pecitur, modo, conjungi nequeant.
Ad demonstrationem autem eorum, quae supra dicta lune, su-
matur in curra FD punctum urcunque, reluri D, duct aque DF
ip(i F C parallela, qua protracta secet rectam C B in B, OCCUr-
racque diametro C C in C, SI D E YOCetUIE y, Cum FB Peu AO
sIE∞C, _ BC ∞ =, erit tOFAD C ∞ y - Lc. F =, hoc CA, Z.
Cumque ex natura Parabola quadratum ex D C DFC+ C rectar-
Sulo, erir quoque ex antedictis ZZ ∞ d v. Ac proinde substituris
aurrectirurisy Fc L loc0Z, itemque +b in locum ipsius
d, _ ablaris quae proxrer aequalitarem se invicem tollune, ordi-
natisque omnibus, ut decet, erit py p 26 a
c6. Ouod decerminandum, demonstrandum que erat.
Sin autem aequatio fuisset py- 2b 
a
bbXX
=66.
factâ assumprione secundum Regulam acque operatione uri de-
cec, ad eaudem aequationem perrentum fuisset; sed quoniam 
juxca assumptionem eo calu taciendam Fuisset xqualis y ---= -6.
idcirco quoque suppolitis, ut ante, recta C B non intra sed supra
rectam A P., uE de C C non intra sed supra eandem CB ducenda
fuisset, cxeceraque omnia eodem quo supra modo fuinent expe-
diendo.
Si vero xquatio (itby - 6677 =6C ∞ ~ X + = bY = = 2 6∞, Gu 2
a d
est conversa luperius expolita, astumpro juxta Regulam v∞
X +  = C, CrIEK ∞ V = -c. Unde substitmto hoc valore in
locum ipliusx, ejuldemque quadrato locoxx, expunetisqueiis,
quae se inricem tollune, acque omnibus rire ordinatis, superior
aequatio sequenei Form a induta erit = y - = by D vV, auE (AI lOCO
2bC + b substicuatur d.) d y ∞ vV. Id quod rursus arguit aquatio-
nem propolitam reductam esse ad Formulam praedicti Theorema-
is. VEIconrersim, ac proinde L. ocum quaelirum esse Parab olaM.
e

## Folio 261 — 175906937X:0285
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000285.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
2M
Aeis
IuS
di-
L. T B. IF. C A P. IE
Ad cujus specificam derermina
em elt
62
quenti Fidaca
plius x inicium immutabile punctum L., dlque cadem x a punca
a per rectam AL indetinité se exteere incem alut, sae lla
tus vel alsumptus angulus P AII vel F AFI. Deinde, quomiai
ex secunda parte Pheorematis VII constat, pradictam Parabo-
Jam ita esse describendam, ut ordinatim applicatxe ad ejus diame-
erum CincipsI A P parallelae, debeant que juxra aequationem pro-
Politam aquales esse quancitati alsumprae v, hoc est, x +7. F63
ducenda primum est recta C B ip(I A II parallela, ita uE parS rC-
eta L A, Versis A productae, ut _ omnium ip( x quidistantium,
veluE AC vel FIB Sic DCcognix. Ouo facto, cum quaeris recta,
quae poltir esse ipsi A P aequidistans ee xequalis, ac proinde expri-
miperx, uc, verbioratia, DHI, ad rectam C B producta, uti DB,
ZGUetUF ~- LC: ita porro e puncto C ducenda, _, secundum ea,
quae in praecedentibus explicata lune, consticuenda est Parabolae
diameter ab adverta parce iplius CB, quam est punctum F. in
recta GC, uE, Si GB indefinite rocetur y, BC, aliarumque
omnium ipsi A F. parallelarum inter eandem C C de rectam (B.
INTerCePEX ParteS exprimantur per . Atque ita quaelibet recta.
ipsi A F parallela, quae poltir esse n ad rectam C C producta, re-
luci DC, tic ∞ x + c. +=, hoc est, r. Cujus quidem quadratum
cum aquale esse debeat alteri aequationis termino, nempe, dy:
Aacim apparet, si Parabola descripta Foret ad dinmerrum C C.
KK 3
CujUS.

## Folio 262 — 175906937X:0286
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000286.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
2.62
F L F. HI. C I R V A R U M
cujus lacus rectum C F ica esser alsumpeum, ut rectansula conten.
ta sub eodem latere recto e diamerri porrionibus, incer verticem
C _ ordinatim applicatas interceptis, Forent ∞ dy, eandem illam
Parabolam fore Locum quae sicum. Ac vero cum racio recta (B
ad rectam B C aliarum que limilium cognica sIE, niiruI, uE a
adb; sicque icidem nocus angulus sub ii sdem comprehensus, ut-
pet  sex pote aequalis dato vel alumpco F AII: erit quoque  racio ipsius
CB adC C aliarum que similium Cognita, quXe sIE VE a CognitX
ad ecognicam. Ouocirca (i GB sive E. D indetnite (umpea ex-
primatur pery, erit C C itidem indetinite sumpta, hoc est, omnis
diametri portio, inter rerticem de ordinatim applicatas interce.
Pta ∞. Oux cum in latus rectum ducta producere debeata-
quationisterminum dy, idem quoque aequationis terminus dy per
divilusu praedictum lacus rectum restituat necesse est. ac pro-
inde facta eadem dirisione indicabit quotiens latus rectum qua-
a
SIEIIM FOrC =. FIinC, sumPEA O F ∞ prolatere recto, (i ad dia-
metrumCC inrentam, ut suxra dictum est, describatur sectio
Parabolica GFD, secans rectam AHI in L: dico curram ID Fore
Locum quaelitum.
Sumpeo enim in eadem puncto urcunque, reluri D, ductâque
D E ipSI AHI, uE _D C ipli AF parallela, quae quidem DC sC-
cet rectas ATI _ GB in punctis FIQ B, occurracque diaImetrO
CC in puncto C: erit A L ∞ N ∞DHI; F D ∞y ∞GB; AC∞
HIB∞C; BC ∞ =, ideoque TOta D C ∞ N. L c L 7, hoc est, v.
Cumque ex natura Parabola rectangulum FC C sic ae quale qua
drato D C: erit, Factầ mulciplicatione = in =, atque v in le
iptam, dy ∞ v v. Ex subsicuris auc restituris x + c + 7 lOcOV
icemque ?C = b in locum iplius d, acque ablatis quae proptera-
qualitarem se inricem collune, ordinatis que omnibus, ut decet,
by
a a
demonstrandum que crat.
Decaeteris aurem calibus, ad praedictam formulam spectanti
bus, luperracuum tueric plura exponere, cum ex praedictis facile
expli-

## Folio 263 — 175906937X:0287
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000287.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
cen
11.
MII
det
ImnIS
erce.
C_.
Det
NO.
di.
ectio
Eote
qua.
que
le
eEO
e
1I.
e
 + B. II. C A P. II.
263
explicari, determinaris de demonstrari queant; oblerrata Tolum-
modo dirersa linearum pentione, gua ex signorum. L ec - dif-
elcucia oriri debet, cunesce omnes similium locorum calus MOx
per Geletare esalam lum exMbiEuruS.
Fxempla reductionis aqationum ad formulam Theorema-
edt celcete hec 
Lecula (∞y -
2
BbXX
+aa
bX
LBX = d d, asTu PEO juXEZ
exicy ∞ Z F =. quo substituro in locum
24
iplius y. de ejuldem quadrato locory, omistisque iis, quae le in-
vicem tollune, at que omnibusrice ordinacis, aequatio superiorse-
quenti form â erit induca:
∞bX + d d.
is VTII.
_s
Unde apparces eandem esse reductam ad Formulam LheOre:
macis vtL, de Pone Loe Guaus Cle lalauetao aeit
cujus particularem descriptionem esto in adjuneta Agura ipsiuS X
inicium immucabile punctum A, acque eadem x a dicto puncto A
Per

## Folio 264 — 175906937X:0288
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000288.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
264
E L E M. C U R V A R U M
per rectam A L indetinite se extendere intelligatur, Ticque datus
vel altumpeus ansulus, quem y ee x comprehendunt, aequalis an-
bX
guto A F. D. Deinde, quoniam Z ∞y 
2
Ay Supra lincam AF
exlurgere incelligatur, reluti FD, ducenda quoque est supra li.
neam A E ex puncto A recta AB, ita ut eadem sIc ratio AF. ad
F: B, qua estiplius 2 a coenica ad b cognitam, hoc est, ut licuri
2a 2d b, ita A F. Scu N ad F B, critque F B ∞ =. idem incellise
de omnibus aliis rectis ipsi F B parallelis, atque inter AF. d AB
interceptis, quae quidem singulae ip(i 
erune aequales. Flinc;
queadmodum ex supra dictis patet, li ces s a guatio-
ne delicerees pranieta A B Parabola diameter Foret, usesue
verrex punciui , c Polilalatione A L. ad AB, ut 2 a ad e, l2-
tusrectum ipsi correspondens esset 
a
.Jamrero cum rectan-
gulum, quod sub latere recto ee portione diametri, inter rerti
cem acque ordinatim applicatas intercepta, continetur, aequale
esse debeat bn. + d d: manilectum est, si, iildem policis, diameter
AB

## Folio 265 — 175906937X:0289
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000289.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
A
L I B. II. C A P. TI.
AB versis A producatur ad C, ita uc rectangulum sub praedicto
lacere recto e parte Ci A contentum sic ∞ d d, rectam (B qua-
leam Fore diamerrum, ejusque rerticem praedictum C punctum:
aC proinde ee dd per praediccum latus rectum, hoc elt, pei
ade
rilum aequari lonsicudini C5 A, idcoque O A Fore ∞
B
ab
di-
246. Quare
E diametro CB de latere recto CF ∞ = in dato angulo Para-
bola describatur C D d, secans A T ip (i F D parallelam in L: di-
Cocurram ID d Fore Locum guae (itum.
Verum obiter hic quoque nocandum renie, praedictum verti-
cem Cetiam inreniri hoc pacto: sinempe F. A producatur ad C,
ItA UE AC SIE ∞ = dc deinde per punctum C ip(i D F parallela
ducatur C C, occurrens productae AB in C: erit enim in eodem
illo concursus puncto rertex quaesItuS.
Demonstrario.
Sumatur in praedicta curra punctum uccunque, veluri D, du-
etaque D E in angulo AF D, daco vel assumproxquali, secante
diametrum CB in B: Crit, ex constructione, BF ∞ -; ideoques
B
sED rocetur p, erit D B ∞ y -- -= (eu Z; FC ∞ =, G A ∞
ade
eab AB ∞ =
 Totaque OB ∞
20
2
ade q ex
2ab
2a Ac cum ex proprie.
cate Parabolae D B quadracum sit x quale rectangulo FGB, erit,
2ab. dde ex
Tacta mulciplicatione iplus Z in se iplam, acque
2ab 2a
R∞dd F bx. Ende Substicuto y = = loc0 Z, obcinebitur
bxy, bb ∞∞
a
+aa ∞ b x F dd, id est, yy - bxy
L dd. Ouod erat demonstrandum.
d.
bb~ X L b X
Aa
Quoniodo autem pro casu hujus exempli converto Parabola
describenda sic, ex comparatione ejuldem cum antedictis facile
est colligere.
Si xequatiotuerit.
 + b9-
bb97
 =6630 XX - 2b7  - 6di3
aa
aAUI-

## Folio 266 — 175906937X:0290
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000290.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
266
E L E M. C U R Y A R U N
2NTuPEOjuxEA Regulam V ∞ X - 7 = L C, CTIEK DV - 7-f. 36.
quo substicuto in locum ipliusx, ejuldemque quadrato loco X N
ablatisqueiis, qua leinricem destruunt, at que omnibus rite or-
dinatis, aequatio superior sequenei formâ erie induta
by . =CC∞VV.
Ende apparet eandem esse reductam ad formulam praedicti
Theorematis V TII conrerlum, ac proinde Locum quaelicum esse
Parabolam. Cujus specitica decerminatio (suppolitis, ut in adjun-
eta Figura, AF indetinite alsumpram esse quancieatem incogni-
cam x, atque cum altera y constituere anguluin aequalem angulo
F AC relejuldem ad binos rectos supplemento) quoniam ex jam
ance explicatis quasi sponre prostuie, idcirco eam adjunet a fgura
brericer indicasse sufecerit.
Determinario Loci.
A LMaCL NN
FD omnesque ipsi parallela y.
AR ∞ = c∞ CHI, quia RHI Paralleta AC.
Ita ad b, ita K FL seuy ad HIB: undeHIBAE∞ =, e DB ∞ ∞
2c.+
∞ V.
UE a ade, ita K FI scu y ad R B: unde R B (in qua diameter) fic
DE
bydiritum per , reddic =: unde latus rectum FO Fit ∞ =.
66, nempe terminus xequationis in totum cognitus, disilus per

## Folio 267 — 175906937X:0291
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000291.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Bi
nete
djur
en
121
Gura
Sule
L F B. II. C A P. II.
cc0
nempe per latus rectum, reddit-
que CB X
u
2
2ab: unde F C. Fic 
Demonstratio.
6C
a
at
Rectangulum FO B ∞ BD quadrato, erso =CC = by ∞ vr, rel
by ∞ VV = =66, hoc eA, b y ∞ ∞ x + 26y X
c9
+C0
166.
bby7
Ouocirca deleris delendis, Factâque decentitranspolitione,
AeF
60
+- by - 
provolicum.
e a
Exemplum reductionis aegnarionum ad formulam
Theorematis IX.
Sit aequatio py - Bxy
BbXX
4Aa = CC, ANUIAEUL
X. C. Du
juxea Regulam Z ∞y - + - - - 6, eriequey ∞ Z 2
28
substicuto in locum iplius y, ex ejus quadraro locoyy, tient ae qua-
tionistermini, ue sequitur:
Z3 A X - -- - 266. Facilicaris
2A
erGOPTOA=-Scribatur d, Supponendo a esemajorem quam-
ea
2a
eritque aequatio Z7∞ d x - 366. Ec apparet eandem reducta
esse ad Formulam Lheorematis IX, ac propterea Locum quaeli-
cum esse Parabolam, quam exiis, quae jam explicata sune, deter-
minare ac describere Facillimum erit; ut ex sequenti ligura iisque
quae luper eadem brericer annocara lune, collisere licebir.
Determinatio Loci.
26)
Sicim i Puetu s
A F indetinite ∞ X.
F. D omnesque ipsi parallela ∞ y.
LaRreALD alo Gua) Coeenetdedem.
2

## Folio 268 — 175906937X:0292
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000292.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
de
AL∞= 15
L L E. H. C, I R Y A R U N
KHI parallela ipl A L.
UE Z a ad b, ITAKHI scu x adHIB: unde LI B erit D 
TTE 2 a ad e, ita RHI seUX
ad RB: unde KB (in
qua diameter) D 2a
dx dirisum per==, reddie
2ad
: unde latuS re-
ctum, quod siF F C, erit
∞
2
ea
=cc dirisum per = red-
6C
dic 8aa: unde XO FiE
∞
CCC
5 ad atque C, B ∞
BCCC
8 aa
Elinc (i CB diametro _ larere recto FC per verticem C de-
Tcripea (it Parabola, Secans K FTin I, cric ID Locus qualitus.
Demonstratio.
FRo punctum D urcunque sumprum in ID, _ DP ducta P2-
rallela ipsi AK, quae s rocetury; eric HID Dy - =6, ac D B ∞
- 26. 6
a hoc est, Z. Cujus quadratum cum aequetur recton-
sulo LCB, erit 27 ∞ d N = = 66, hoc elt, y7 = 6y.  +66 +
bxY bCX + bb X ∞
2a
4aa ∞ a x - = = 2 C6. AC proinde, Si vErin-
que demantur aquales, terminique rice rransponantur, habebitur
Xe V
gy
CYD AX
bbX X
4a a
66. Ouod erat propositum.
Acque hujus quidem exempli convertum, ut _ caeteros calus
huc spectantes, ex iis, qua jam dicta lune, simili modo reducere
atque resolrere non difficilecrit.
Lrbi

## Folio 269 — 175906937X:0293
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000293.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
ed
d
se
erit
ed.
s
de
2
remassebiez
∞dus tire, quod idem cA, vy - ay. +
egulam Z∞y = = a, exit y ∞ Z + = a
aa - b x. IInde apparet, candem esse reductam
adcalum heeatiSL, Ideoque per ca, qua ibidem lunc de-
monstrata. Locum quaelicum eNe Parabolam.
Ad cujus speciticam decerminationem esto in appolica Agura
ipliusx inicium immucabile punctum A, eademque x se indetinite
ab A versus F. extendere incelligatur; sit autem datus vel aum-
prus angulus, quemy ee x comprehendune, aqualis angulo P. AH,
+ B. II. C A P. TI.
Exempla reductionis aequationum ad formulam
Theorematis Z.
Si xequatio (it ay - y
bx ∞ 0, aNumPEO juXta
Duo substicuto in locum iplius r, e ejuldem quadrato loco ry.
QUEiPS ad BInOS RCCEOS COIHPICICMIO. Deinde, quoniam Z a(
Sumpta est ∞y - = a, siy supra rectam A F exursere intellis acur
ducenda quoque est supra iplam recta R C ipsi A P parallela; ica
UE AK omnesque ipsixequidistantes inter A P _ H G inLCTCCPEX
aa
Sint ∞ Za. Ouo tacto, sijuxta Regulam tat KC ∞
eademque
Tumacur pro Parabolae diametro, ad quam ordinatim applicacae
SInE ip(I A R parallela, cujusque latus reCtum F O sIE ∞ b: erit
iptus portio descripta GDI, quae inter rerticem C a produ
cam AR intercipitur, L OcuS quaesicuS.
C. t 3
dbbtta

## Folio 270 — 175906937X:0294
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000294.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
270
E L F N. C U R V A R W M
Frenim alsumpeo in curra C D F puncto urcunque, veluriD.
duetaque D E ipsI AK parallela, qua secet diametrum KG in B,
si eadem DF vocetuF y: erit DB ∞y = = a (eu Z, ac GB sive
a
GH = XB ∞ = -x. Elinc, cum ex natura Paraboles quadra-
tum ex BD sic a quale rectangulo FOB, crit Z
∞ = A a - bX
hoc eAt, yy - a y F = a a ∞ = a a - bX, CivC Yy = a y + b x ∞O,
Tire etiam ay =yy ∞ b v. Ouod erat propolicum.
y
Sixquatio fuerit a
idem est, X X
by X
a
L dy - 66∞
6697
aa
u
y
=xx sire, quod
=dy - 66∞ O: aNTUIMPEO juxta
Regulam v~ X = =, CFIEN ∞ V -1L. Ouo substituto in locum
ipsiuISX, ejusdemque quadrato locOxX, Fet, omnibusrité ordi-
natis, cc - d y ∞ V V. UInde apparet calum ese Pheorematis X
converlim, ac proinde Locum quaelitum esse Parabolam. OuX
quidem ut specitice describatur, elto iplius x initium immutabile
A punctum, intellisatur que cademx le exrendere ab A versus F
indecerminate, sicque ansulus datus vel altumprus, quem y ee x
comprehendune, aequalis ansulo F AFI aue iplius ad duos rectos
complemento. Deinde sumatur in A FI reCta A C ∞ =, duCaTIF-
que ex C recta C P ipsi A F parallela, aeque in eadem sumpra
CC, quae se habeat ad C A, ut cognitab ad a cognitam, hoc est,
ut lic uri a ad b, ita AC ad C C, agatur A C7, eaque pro diametro
Parabola lumatur, qua per verticem C versis A eric describenda.
Porro cum in criansulo AC. C ob rationem cognicum laterum
AC3

## Folio 271 — 175906937X:0295
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000295.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
jux
et
edi
ust
L F B. TI. C A P. II.
A C; CC, cognicum angulum C comprehendentium, utpoce
dato vel allumpeo aut ejuldem ad duos rectos supplemento aequa-
lem, cognica icemm sIE ratio, quam habet A C ad AC, gux SIE
uta ad e; crit, A C existente ∞, AO ∞ =
Per quam (IteF-
minus aequationis, in eorum cognitus, nimirum cc, diridatur,
Orietur prolatere recto. Ac proinde CiHat 6F∞ =, eticO F.
latus rectum quaesicae Parabolae, diametro C A correspondens;
atque iccirco si ad dictam diametrum, dictumque latus rectum
Parabola describatur, ut G DI, secans A F in l: dicoTDC CUF-
ram esse Locum quae sItuI.
Sumpto enim in ea punctoutcunque, reluri D, ductisque D F.
ip(I AFI, ac D BHI iplI A E Parallelis, si eadem D P exprimatur
per r, erit quoque AHI ∞ Y. Cumque lIEuE AC ad CC, id eAt,
uE a db, ita AFT ad FIB: erit FAB ∞ =, ideoque cum DFT seu
AF CIE∞ N, erit DB ∞ X - - Seu v. Similicer cum SIEUE A C 2d
AC, hoc est, ut a ade, ita A FI Peuy ad AB: erit AB ∞ , e
GA = AB sCuC B ∞ CCG
aa
 e
a. Hlinc cum ex natura Paraboles
rectangulum FG B sit aequale quadrato ex BD, erit, tacta multi-
aa.
plicatione ipsius FO seu = in O B seu
ee
aa
ey
a e iptiusBD seu
vin sciplam, cc - dy ∞vr. HIoc et, restiturox - = lOcOV, CxiE
CC- dY ∞X X -
26y  bbyy
a
bbg9
aa dvel
aa
L dy - 660
Ouod determinandum, demonstrandum que erat.
Y.
= X X.
Obiter aurem e hic nocandum, ut ex antedictis quoque facile
escolligere, alicer etiam diametrum G A acque latus rectum O F.
indagari poruisse, hoc modo:
Cum AFT indeterminate sic ∞ y, juxta primum Theorema hu-
jus ica ducatur AC, ur recta FIB, quemadmodum ee quae libet alia
ipsi AE parallela, qua inter AFI _ AC incercipitur, SIE ∞ = 3
ponaturque ratio, quae estinter AHI d AB Cimilesque, ut a ad e:
ddeoque cu AB indeterminaté (IE ∞
terminus aequationis dy
Pet

## Folio 272 — 175906937X:0296
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000296.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
F L E H. C, U R Y A R U M
per eandem dirisus ostendet latus rectum sectionis FC D =, Si-
milicer terminus aequationis cc per praedictum latus rectum seu
ad
e
dirisus dabie quotientem Pro qua sita AC.
Plura hic exempla subjunsere superracuU FOrCE, CuM MOX
omnes omnino calus possibiles generali regula annotare ac de-
AnONSETarE anIImUS LIE.
Porro quamris Regulas capite primo explicacas par-
cicularibus ibidem exemplis seu calibus in lixpothest
non illustraverimus, neque ctiam id auc hic auc in le-
quencibus ullo modo necellarium ducamus, quippe
cum unusquisque, qui Regulas iplas recte perceperie,
casdem quibuslibet propolitis exemplis seu calibus in
ypocheli facile applicare raleat; quandoquidem ta-
men libro primo insignes qualdam proprictates Para-
bola, Fyperbola, atque Ellipsis consulto praetermili-
AUS, Ca mente, uc in hoc libro suis locis per modum
Problematum non inconorue proponi ac demonstrari.
simulque canquam propolicarum Regularum particu-
laria exempla haberi pollent, carundem explicationem
hic d sub tinem sequentis capitis subjiciemus.
R O B L F M A I.
Propositio TI.
Datis pentco aea Lecta, in plano per utrumque
ducto aliud punctum invenire, 2 quo binx rectae, alce-
ea ad dacum punctum, alcera ad datam lincam perpen-
diculariter ductae, sibi inricem lint aequales: de quo-
niam infinica sunt ejulmodi puncta, qua quaectioni la-
cissaciune, Locum determinare ac delcribere, in quo
cuncta e lingula reperiantur.
Sit dacum punctum A, ee data politione recta linea B C, OpOr-
ceatque in plano quod perutrumque ducitur, aliud punctum inve-
MIF
37

## Folio 273 — 175906937X:0297
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000297.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
Mor
Da1.
hell
se
de
C
in
1d
ill.
IM
11
1
Lo T B. II. C A P. II.
nire, quemadimodum D; Sea_CMIICIX reCtX D A, VF, GHaICLC
haec ad datam B C incene Pelpelidicularis, sibi inricem aequa
e
les lInc.
Ducta perpendiculari AP, quae rocetura, ac luppositis juxta
Regulam binis lineis FP, FD incoenitis acque indeterminatis
dacum angulum rectu F FD comprehendentibus tanguam co-
onicis ac determinaris, quarum prior F F voceturx, ac posterior
f. D nominetur r; si ducta praeterea intelligatur A G ipsi F Fi
aequidistans, erie in triangulo rectangulo A G D baliS AD ∞Y,
Depore ∞ dueta D F; lAFUS VeTO A G TCurectA F F ∞X, _ D,
Eive (li punctum O Cadat inter D ee F.) FD = A P, auE (SI pun-
EtLI D inTeF F _E G CadAL) A F = FD ∞ V = a. TInde, cum qua-
dracum balis ae quale (ic binislaterum quadraris lumul Cumpris, X-
quatio erit yy ∞ xx L py = 2a7 + aa, hoc est, ablatis iis quae le
invicem destruune, omnibusque rire ordinatis, crit 2ay - aa D XV
Dui quidem calus est Theorematis noni hujus libei convertum,
ac proinde Locus quaesicus erit linea Parabolica. Ouare (I juxta
Nm
64,

## Folio 274 — 175906937X:0298
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000298.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
274
F L F NI. C I R Y A R U p5
ea, quae ibidem expolica lune, ex P ducatur recta P L indetinite ex-
cenla atque ips LD aequidiscans; e ab eadem auteratur recta
a a
FFI ∞ = id est, : a: erie describendae Parabola diameter in di-
Eta F. I, (quae quidem diameter axis quoque est, propter angulum
FF D rectum) vertex aurem in HI, ac parameter ∞ 2a. UInde,
per ea qua libri primi capice primo expolita lune, Parabolam
iplam describere facillimum erit. Cumque porro axis punctum A,
uepore quod ab II verrice distat quarta ipsius parametri parte, id
ipsum sic, quod rulso Parabola Focus scu CEm bilicus MuncupacuI,
apparet ex praemissis recte interri, qua SEGUUINEUI.
Corollarium T.
Oux ab Embilico ad quodlibet Parabolae punctum
eecta ducicur aequalis est axis portioni per applicacam
ab eodem puncto abscittae ee quadrante parametri per
verticem producta.
Constat enim ex antedictis rectam AD, urcunque assumpeum
Fuerie in curra punctum D, Si por idem illud ad axem ordinatim
applicata sic DI, xqualem esse perpendiculari D P, hoc cst, rectae
IE, nempe axis portioni, per applicatam DIabscissae, et per
verricem LI, lonsicudine IL ∞ = a, id elt, quadrante parametii,
producta.
Corollarium 2.
Manifectum quoque est ex antedictis, s poltis qua
supra, e producta LD, uei ad MI, per altumpeum pun-
ctum D continsens ducta sIC, UE LDR, anguluum FDR
AIVOMDL angulo AD R xqualem cstc.
por TCOr. Occurrat enim contingens L. D K axi productoin K, erieque
eca LITiphFIIE, ideoque (x qualibus IIF, A EI utrinque addi-
per 5 pri. les ecta IF, hoc est, AD, ipsi AR aequalis; ac proinde = _ an
Sulus ADR angulO AHD, hoc eAt, anGUIOFD H GVCNDL X
qualis licnecesse est.
2 primi hu-
225.
MMto
 A

## Folio 275 — 175906937X:0299
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000299.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
DaIUI
UI
TaM
Per
aliie
eltae
per
etII
Deum
L T B. II. C A P. TII.
C A P U F TII.
Eixtio aucemcasu supra expresso, cum nempe quan-
cicatum incognitarum utraque ad quadeatum a
scendic, sire altela in alceram ducta in aequatione repe-
ritur, neque xenatio ad terminos magis simplices rc-
ditet pocest, ud aliquam seguentium formularum de-
T. Y X ∞ ff.
TT. 3) ∞ X X = fs
TIT. 9y- ff∞
Y.
e a
∞sf = X X.
I HH E O R E M A XI.
Propositio 12.
Si aequatio (c jx ∞ ff, Locus quaesicus est IIyper-
Sic enim, ut in praecedentibus, ipsusx inicium immucabile A
AX 1 2
punctum, atque ca-
dem illax per rectam
AF indetinite sC ex-
tendere intelligaturs
Sit que datus relassum.
peus ansulus, quem y
ee x comprehendun,
aqualis anguloF AB,
aut ejusdem ad binos
rectos Supplemento.
Deinde lumatur in
AE recta A C ∞f, du-
Caturque CC eidem
QuC 2n Corot. au
1I ∞ 123
net nost EP. I. I.D. Prmi hujus tradita sunt.
ventum erit;
Dola.
requalis ac ipli A. B parallela, delcriptaque per punctum C aF- 2. per ea qua

## Folio 276 — 175906937X:0300
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000300.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
276
LL E B. C U sC V A R U M
que Aisce AF, AB Hy perbola (, D: dicO CurraM CD
eAe Locum guaelicum.
Suimatur enim in eadem curra punctum urcunque, velucD,
per 3pri allelaque D F ip(i A B parallelâ, erit ex natura Fsyperboles re-
esp. Ult. PrI
8552 2)25
Etansulum AF. D rectangulo A CC, hoc est, quadrato ex AC
aequale. Ilinc, cum A E. sit assumpea pro incognita quantitate x,
li LD rocecur y, erit y x ∞ ff. Quod determinandum, demon-
Arandumque erat.
T E E O R E M A XII.
Propositio 13.
Si aGal C= D N X = ff, exit Locus quaesicus li.
nea Llyperbolica.
Auc enm lipsis aequalis est aut inaequalis, ee (I ae qualis sIE, erie su-
perior equatio eadem ac si eAet yy ~ X X =fF (quod semel mo-
nuISC (UFACIAE). AC
Facile apparet, si
ipliusx initium im-
Mutabile sIt pun-
Ctum A, atque ca-
dem x se in linea
A F ab A veESIIS F
indetinire extende-
reincelligatur, (IE-
que angulus da-
EuS vel altumptus,
Quem y ec a CO
prehendunt, aequa
lis angulo ACF,
ali describatur ? Plyperbola, ut( D.
CaBdCIL CUEYAI C D FOrC LOCUI QUXSIEUM.
estensa sint. SUIIPtOC
nim in ca puncto utcunque, veluti D, ductague DF
ip(I FC Parallela, crit 3 ex natura FIyperboles, cum CG_ CF
3per 10pri- supxonatus aequales, quadrarum ex D P. agunle rectanonlo
oxis Bazies.
C. L. Ce
quod sITa A C quam A C FanE ∞0 fCOgNIEX, aC C F SLMTatE
2CC, centroque A, d transversa diametro CC ip(iC F lateri
mi Bujus.
per est quae reclo live
Parametioa

## Folio 277 — 175906937X:0301
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000301.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
10.
L B. IL.  A 11 LLL
s
 ine ltocccs canteaspocene leu A
cnS. eLddeAL S. )1∞
CX = 5)
2d77. Lc Diotsalala, sua upracapeatue. Honjam
Paramerer C Fdiametro transrer(a C C aequalis, le d uc l ad 8.
AEverO (I_Slint inaequales, apparet esC, ut l ad 8, It2 X X -ff
ita fat cranlverla diameter C G ad G F parametrum, cateraque
omnia, uc sira, eodem modo quae lito erit Patisfactum.
FCenim = ex hacura FIy perboles, ut FO ad GC, ita BD. per rOpri.
quadracit ae C LC rectangulum, hoc est, ut 8 ad l, itayy ad mi hujus.
Xx =ff, unde, rerocando proportionem ad aequalicatem, erie
lyy ∞8XX =sFf. AC proinde li veraque hujus aequalitatis pars
dividatur per 8, erit  ∞xx -ff. Ouod determinandum, de-
monstrandum que crat.
I. E B O R E. M A ZITI.
Proposirio 14.
Si aequatio Ecgy -ff20 erie Locus guaeticusHy-
verbola.
Ad cujus determinationem speciticam etto in appolicalioura
ipliusx inicium immutabile punctum A, iplaque x Le ab A versis
MBI 3
F. in

## Folio 278 — 175906937X:0302
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000302.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
L F H. CaRV A R aM
18
 iea AL. MacMeCacenacteIMCethBacu. Luque angulus
quem y ee x comprehendunta qualis angulo F. A C aut ejuldem
ad duos rectos supplemento. Deinde, cum sit uel ad 8, icayy- ff
ad ax, Catim appareE, (I tam A C quam AC sumantur aequales
fcooniex, Catque uc l ad e, ita C G ad C F (quae quidem G F sit
ipsi A P Parallela), ac postea centro A, eran(versa diametro C C.
ec parametro C FFIyperbola describatur GD, eandem curraM
ODFore Locum quaelitum.
Sumpronamque in ea punctoutcunque, veluti D, ductaque
DE ip(I AC, ac DB ip(I A F parallela, C eadem D F vocetuTY
erit CB, hoc CA, DF F A C, ∞y. L f; _ BG, (IVCDF = AO,
∞y- f, id eoque C BC rectangulum ∞ y y - ff. Dein cum = ex
natura FIyperbola sILuE C G ad G7 F, hoc est, ex hypothes utl ad
8. iea rectansulum C B E ad D B sire A E quadratum, id cA, it2
Quod demonttrandum, decerminandum que erat.
i
L HL. O-
per 10pI I
mi Bujus.

## Folio 279 — 175906937X:0303
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000303.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
L 1 B. II. C A P. TII.
I H E O R E M A ZIV.
Propositio 25.
Si Xquatio (IE  ∞ ff = X X, CTIE LOCUS QuaeSIEUS FI-
lip(IS.
At vero cum Ellipleos species, qua latera rectum eE
erantrersum aequalia hrabet, angulumque quem ordi-
nacim applicatae faciune ad diameerum rectum, sc C ix-
culi circumterentia: palam hc casu propolito Locum
quaelcurr. etiam Circuli peripheriam cAc polse.
Flinc ad praedicti Loci decerminationem esto in apposita tiou-
ra ipliusx inicium immutabile A punctum, acque eadem x sC per
lineam AE. ab A versis P indeterminate extendere incellisa-
cur, sicque angulus, quem pel x comprehendune, aequalis a1
sulo AOF. Porro cum sic  2d 8, ita ff - ∞ x ad yy: Fa-
cile apparet, Sitam AG qual HL C Sumaneur x quales fcogm-
Exe; tatque ut lad g, ita C C de GF, ac centro A, transversa dia-
inecO C O, _ parametro= FIlipsis describatur C DC, . per 7 C0-
eandem currum C DC Fore Locum quae situm.
rol. 23 e
SumI - = Cor. 14
primi hujus,
t e per ea quae cirea sinem cap. Aejusdem lb. Fradita sunt.

## Folio 280 — 175906937X:0304
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000304.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
F LD . C U R Y A R U M
neo hatique in ea puncto urcunque, veluri D, ductaque
DE ipli FC paral.
Lela, cric = ex natu-
ra FIip(COS VE FC
2d C C, ItA F. D
guadratum ad CFO
rectangulum. Eloc
CA, (IF D vocetuTp
Cum C L GIF ∞f- L X,
_ FG ∞S = X, CrIE
ut 8ad l, ita yy adf5
= X X, UndC =- ∞fs
X X. Ouod Crat
propolcum.
Cxcerum liguido
Constat, (i C G 8C
CF aquales FuerIHE,
hoc est, (1105, quod
CtIaM C L O rectan-
Gulum quadratoFD
aquale sit Futurum. Ideoque (i angulus COF SIEreCtUS, CUErAIM
CDCtore Circuli circumterentiam.
Recula universalis, modusque reducendi omnes
aquationes, quae ex convenienti operatione exi
stunt, cum Locus vel FTyperbola est, vel Fllipsis
vel Circuli circumferentia, ad aliquem quaivor
casuum praecedentium, toridem Theorematibus
jam explicatorum.
Si contingat, ut quantitatum incognitarum non mo-
ao una in alEeraM, QUE nOn Tancu alECTUETA vel UETa-
que in se ducta, sed ec vel hac, vel illa, vel utraque u
nius praeterea dimentionis in agnatione reperiaeur,
constituens planum cum alia, live cognita Tire incogn-
123
de
per 13 pri
mihujus.

## Folio 281 — 175906937X:0305
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000305.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
L T B. II. C A P. III.
28+
ta, Cre etiam cum parcim cognita ec partim incognica
quantirare: oportet loco incognicarum, auc illarum
alceruerius, allumere alias vel aliam, quae iplas exce-
dunt, vel ab iis dehciune; idque inteora quanticace,
gux cum illa incognita, in cujus locum noranon eAt
allumpea, planum constituere reperitur, li nempe in-
coonicarum neurea in se iplam in aequatione dueta lit;
Cur secus, dimidio cantum ejus quancitatis, quae pla-
num constituie cum incoonica, in cujus locum aAuum-
prio facta eAt, calu utroque juxta differentem aftectio-
nem per ligna L vel =, quae praetisuneur iildem illis
guantitacibus, ita ordinacis, uc cum incoonicis ab ca-
dem aquationis parte reperiantur. Ouo tacto, e rei-
cerato, ubi opiis, sad Formulas Pacabolarum, capite
secundo expolicas perventum non fuerie, ad aliquem
quacuor suprapolitorum caluum reducta erit aequatio;
ac proinde iph conrenientem Locum determinare ac
describere, per ea quae superius explicata sunc, haud dif.
AcilC CFIE.
Exemplum reductionis aequarionum ad formulam
Theorematis X. L.
Si aquatio tuerit yX = CX = By ∞ e C: a (umPTOZ ∞ y = 6, et
v∞X L B, erit Z F 6∞y, _ V = B ∞ X.
Unde si Secundium Regulam ubique in aequatione loco y sub-
Cticuatur Z FC, erit Z~ F CX =cX F BZ F B0∞ C es lire ZX L BL
 h0 ∞ ee; ac rursus (loco ipliusx (ubrosetur v - B, erit Z v-
3Z- F BZ, F B0∞ ee, id eAt, ZV ∞ ee - - Bc. auE, ((I lOcOFerIMINI
ee =hc, qui in torum cognituis est, scribatur ff) ZV ∞ ff. LE
opparet aequationem reductam esse ad Formulam TheOrCIna-
eis XI, ac proinde Locum quaelicum esse LIy perbolam.
Ad cujus speciticam determinationem ac delcrixrionem esto
in appolica ligura inicium ipliusximmutabile punctum A, atque
eadem x per rectam A L indefinite se extendere incelligatur, SIF
que ansulus, quemy ee x comprehendunt, ae qualis ansulo P AH
aU

## Folio 282 — 175906937X:0306
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000306.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
282
E L. F M. C U R V A R W M
aut ejusdem ad duos rectos supplemento. Deinde, quoniam Z et
∞y =c, hy Cupra lineam A P. exlurgere concipiatur, ducenda
quoque est supra eandem recta R B ipsi A P. Parallela; Ita UIEParS
rectae AKE, omniunque ipSI aquidISTANEIUI, INtEF AF _ R B in-
cercepta, reluti AK, aequetur ccognita. PorrO, quoniamv est
∞x L B, producenda est ip(a BHE peF R usque ad G, ItA WL R O siE
∞ b. Duo Facto, erit C centrum ipsiuS CUEVX, et C B una ASym.
Deoton, critque altera ip(i A R parallela, ut ( FI. Unde SI juxta
Regulam praedicti Theorematis X L in recta C+ B (UIATUIC C X-
qualisfcognicae, ducaturque C F eidem C C aequalis, ac paralle-
la reCTX AK vel CFI, atque per punctum F, ACympeotis C B de
OFI, sive A(ymptocoCB arque ad axem CF, IIy perbola delcri-
batur FD: dico curram LD fore Locum qualitum.
Sumpto enim in ea puncto utcunque, reluti D, duct aque DF
ipsi A K varallela, quae secer rectam IE B in B, Si cadem DF. vo.
CCTUTY, exIt D BEVCDF. = F B ∞ y =6, id eAt, Z. PA autem et
OBEIrO AF L GK ∞ ~ LB, hoc eAt, V. OLArE CUI CX HaEUTA
Elyperboles rectangulum C B D aequetur GC quadrato, erit
quoque ZV ∞ ff. auc recticuris y = cloco ip(us Z, de x L h in l0.
cum ipliusv, atque ee =ch locoff, Cric yX = CX - L By - cB∞
ee - ch, hoc est, y X = 6X F hy ∞ ex. Ouod erat propoli
TuIo
LiIB

## Folio 283 — 175906937X:0307
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000307.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
M
e
CH
I E B. TI. C AL. LLL
Fxempla reductionis aequationum ad formulam
Theorematis XII ex XIII.
Si xquatio (Ic yy +
b X 
∞y -L = -6, CrIC y ∞ Z
b3
e
-
=c, eoque substieuco in locum
iplius y, atque ejusdem quadrato locory, sublatisque iis, qua le
invicem destruunt, erix  y bbX  2bc∞
 aat
Et Facta congrua transpositione,
y
fX a
66∞-
FXX
e
bb2X
a a
+ ex 1
2bc∞
Ld d- f.cc, hoc est, mulciplicatis omnibus aequationis terminis
per aa productoque dirilo per fa- L bb; ut quanticas x x ab (que
Fractione remaneat, fet
a422
(a  BG∞ X X
Deinde aTuptOV~X. 1
aa Cx  2abcx aadd aacc
a ac = 2 abc
fa + bb F fa + bb
2fa = 2b6 Ut terminus quoque 
quationis, in quox unius dimensionis reperitur, plane cranelcat,
habebitur X ∞V = a a c -2 ab0
2fa = =bb. uo substituto in locum ip(IIISX,
atque ejuldem quadrato locoxx, ablatisque iis quae se inricem
tollune, reducta erit aquatio ad Formulam requi(ItaI. AEVeTO UE
trat aquatio
 a e  2 abc
fa.L bB Scribatur 2B, IEa UE
+a + bB∞ X X  2 B~ a a d d + a a cc
fat bb. Tum 2u-
aa Z2
PEov ∞x. F hleux∞ V - h, eoque substituto loco x in aequatio-
nC, ac ejusdem quadrato lOcOX N: Crie
ad d = a a cc
aa2 2.
5a +- b
3 VV - BB. L
fa.  bB. Unde apparet, ance omnia hic esse consideran-
dum, ucrum hh sic majus quam aad d + a acc
fa-fbb an contra. Ei enim
majus siE, erit casus Theorematis Z II; SIn CONETa, erit ca(US
Pheorematis X III. Ponatur itaque primo majus, ac proinde a-
quatio formula Theorematis XII. Et constat exinde Locum
quaelicum Flyperbolam esse.
Ad cujus peculiarem determinationem esto in apposita FISUITA
ipsius x inicium immutabile A punctum, eadem que x in linca A F.
ab A versis P indetinite se extendere intellisatur; sitque angulus
n 2
que

## Folio 284 — 175906937X:0308
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000308.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
284
E L E M. C U R V A R U M
quem x ec y comprehendune aqualis angulo F. A K aue iptius ad
duos rectos supplemento. Porro guoniam Z ∞y - F 6 + =, (17
supra lineam A P exsurgere incelIGaEUE, UE F D, ducenda primum
ek intra eandem A F reCtAK L ipli A P parallela; iCQ UE parSre.
Ctae AI omnium eque ipsi aequidistancium inter praedictas AF d
Si L intercepta, reluti AI, PL, _C. X gueturccognItX. Dein-
de productâ L R u(que ad FI, IEaUER FI SIE D B, ideOgne FIL in.
detinite lu pta ∞ X F B, hoc Cst, V, ducatur per HI punctum recta
ITC ipsi AK parallela, ita uc V HL ad HI CS SIE, ut a ad b. Ouota-
Eto, li per puncta C d R recta agatur linea GK B, habebunt
omnium ipli AH parallelarum partes, quae inter HL. X R B in-
cercipiuntur (uc, exempli gratia, L B), ad partes ipsiusR L, in-
cer caldem parallelas e punctum R interceptas (ut, verbigratia,
L K) candem rationem, qua estinter b de a: hoc est, erit ut a
ad b, iEaK L ad L B, CUIM UEraguC SIE VEK II ad FIC. Ideoque
CUIM P. L. Cire A P indetinite Cumpra (ic ∞x, exit L. B, ut _ quae li-
Dec ipEi parallela, inter R L _ R B InFCTCePTA, D: ac proinde
omnislivea lupra A E. rectam exlurgens, qua possie esse pinco-
onita, ad rectam IEB producta, veluti D B SIVCDF L FL F LB
eric ∞ y. f. 6- F =, hoc ett, Z. EInde apparet, juxta Regulam li-
neam C B lumendam esse pro FIyperbola diametro, ad quam or-
dinatim axplicata sine ipsi AK seu D B Parallela: eric que ejul
den

## Folio 285 — 175906937X:0309
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000309.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
L. F B. IL. C A P. TII.
283
dem FTyperbola centrum C punctum. At vero cum ex ante di-
etis eriangulum X FIC omnino sit cornitum, urpore laceribus
REI e HIO ansuloque ad FI Tubiildem comprehenlonoris, erit
quoque cognica ratio lateris R HI ad KC, hoc est, ipsiuSOM
(qua Per C ipsi K L aequidistans incelligitur) ad GB, quae (IEUE
a ad 1. Ouare cum OMI CCHHTL indetinite (IE V, GB quoque in-
detinice concepta, hoc eA, qualibet diametri portio, inter Cen-
trum _ ordinatim applicatas intercepta, erit =. Cujus quidem
interCepEa quadratum cum juxta Formulam Regula unum aequa-
tionis cerminum constituat, per mulciplicationem aut diritionem,
vel per utram que ita reducatur cequatio, ut in eadem quoqueidem
100
quadratum, nimirum
a inveniatur. Ouod quidem ut cert a
mechodotiat, praedictum quadrarum rectae CB indetinite con-
cepex, hoc est,
1100
aa diridatur per aequationis terminum, in quo
vrEre limpliciter, sire alia Fractione attectum inrenitur, ac per
inrencum quotientem tora ae quatio multiplicetur. ut in lupra po
sito exemplo, 5 21v0
 dividatur per vr, hiet quoriens =. quare
cota aequatio mulciplicanda est per ii, productum que diridendum
PCFAA, IEaVEEZE 2122 iivu iihh, idd L iicc
Ta = bBd aa aa  fa-L bB. Unde
Et juxta Regulam semi-lacuS ExAnLVexsuM HaE C F vel G C D
ribb iidd - iicc
aa
fa = bb atque ratio transrersi lateris C F ad re-
CtuI FN, uc ii ad fa L bb, et iisdem laceribus, diametroque ac
centro jam inventis (Typerbole describatur PD, Sccansrectam
AF. vel K A productam in L: dico curram VD esse Locum qua-
TIEUM.
Sumpto enim in eadem curra puncto urcunque, veluti D, du-
Etaque DF ipsi A K parallela, caque productâ ue secet rectam
AEL in L, e diametro OB occurraE in B, si eadem D F NOCeTUE V,
erit ex ante dictis DB ∞ Z. FA auTEM, UE jaM annOTatuII, C B ∞
3 aeque ex hypotheli O F Peu C C ∞ 1
ribB = indd = 2icC
aa 5a = bb
ideoque BC ∞ = + V rihh = 11dd = 11c0
A 
Sa = bb
2C B

## Folio 286 — 175906937X:0310
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000310.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
286
F E E H. C u R V A R U M
Vrihb = 22dd - 11c0
aa
110o iihh
fa +bb de rectangulum CBF ∞ a q +
iid d + iicc
(a. = bB. Tiinc cum ex natura Lyperboles NF ad FC, Ceu
fa. L bb ad ii sic, ut DB quadratum, hoc est, ZZ. ad praedictum
rectangulum CBF: erit 11ZZ iivo iihb, iidd tiice
(a +b6
a 
aa 
1a +.66
Mulciplicetur jam utrinque per aa, de diridatur per ii, eritque
a a Z2
fa + bbd VV = BB-
exurset
a a 2 2
aadd + aaec
fa + bb. Dein relticutox L hlocOV,
fa. f. bB∞ X V + 2 BX +
loco2b, CxuIrseF
a a 22
eaa + 2bca
fa = 6b 3 LteIque
Sat bbD X X +
fa + bb
eaax L 2bcax aa dd  a acc
fa + bb +
fa + bb
Porro mulciplicatis omnibus per fa L bb iisque dirilis per a a,
habebitur Z2- fux, bb X ∞
3
aa + ex L
bca
que restituto y. L = = c loco iplius Z, expunctisque quae se in-
vicem destruunt ac omnibus rite ordinatis, Eet yy. +
= eX F d d. OUod Crat propositum.
2b X
Revero ponatur secundo hhminus quam a d a a = ec a 
pra polita aequatio 2122
5a + bB
fa + bb, de (u-
1100 iihh adiit ccii
aa
aa  5a = bb 3 quae
mulciplicatis omnibus ejuldem terminis per fa. L bb, ac producto
diriso

## Folio 287 — 175906937X:0311
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000311.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
CB
I F B. TI. C A P. III.
287
dirilo perius tactaque decentitranspolitione, eadem cum seguenti
L dd = cc+
ahh  bbbb 110
aa
d
aa multip. per fa- F bb ac di-
vil. Per id, id est, x 5a00 + b60v
2a
erit Formula Theorema-
Eis XIII, unde Locus quaelicus iterum erit IIyperbola. Ad cujus
Speciticam determinationem ee descriptionem, postquam ut in
praecedenci figura ductae sunt linCx AF, AIL, K L, IFI, IIO, de
GKB: eric quidem, ut supra, Ocenerum, at rero non erie dia-
mecer in linea OK, sed, juxta Regulam, in linca HIC producta
ad partes C, ad quam ordinatim applicacae sinE ip (IC RB paraI=
lela, cricque juxta eandem Regulam dimidium eranlverlae did-
metri, nempe C F rel GC, aquale V d d L CC= fa BB -- bbh 
aC
aa
ratio diametri ad parametrum ut fa- L b b ad ii. Ouare SI FaE, UE
fa L bb ad ii ita C. F ad F N, quae quidem FN ip( G~H B aequi-
distans (IE, erie F N parameter: ac proinde si cenero Gtran(versa
diametro C F _ parametro F. N FTyperbola describatur FD, Sc-
Cans iplam AF vel K A productam in L, erit ID curra LOcuS
QuaeCItuS.
Sumpeo enim in eadem curra puncto urcunque, veluti D, du-
ctaque DB ipsI AK (sire C F), es D M ipsi GB parallela, (
E. L

## Folio 288 — 175906937X:0312
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000312.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
288
F L. E M. C U R V A R U M
P. D vocetur y, eric, uc suprA, DB EIvC M C, ∞ Z, e BO sive
DM ∞ =. Cuinque (IECF vel OC ∞ V dd. + cC = faBb-- bbbb
CKIE C M D Z = V d d = cc sabb = bbB1
Tabh- bbbB
V dd. +. 60.
e
=dd- 65
aa
aa
aa 3 _ NF ∞Z-
dC propterca rectansulum C MI F v
Sabh + bbhB=
aa. FauteM DM quadratuM ∞
ivr
Ouare cum ex natura FIyperboles sIEut F N ad FC, itA D MI qua-
dracum ad CMF rectangulum, hoc cA, ut ii ad sa L bb, Ita
1100 1177
aa
=dd = cc  Fahh + BbhB
aa: erit quoque Z7 - d d = c0
fahb. + bbbb 5a00 +bb00
aa
aq. Ec mulciplicatis omnibus per
aa ac dirisis per fa. L bb, factaqne transpositione cogniti ter-
mImI, erit aa Z2
sat bb ∞ VV = BB
X L B IOCOVS
 d d a a L cc a a
fa + bb. Dein restitutis
fa =bb OcO2B, acque y + = = cloco ip(IuSZ.
expunctisque quae seinricem destruunt ac omnibus rice ordinatis,
Hetyy. +
2 b X)
e de
demonstrandumque erat.
Si

## Folio 289 — 175906937X:0313
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000313.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
L F B. II. C A P. TII.
Si aquatio SIE N X L 2 a y ∞
2by X
a 3 QUEN X -
2b1X
ANumDEO juXta R egulam V∞X - , CrIEX ∞V L , eoque sub-
Sicuto in locum iptius x, ejuscem que quadrato loco x x, sublatis-
Que iIS qua se inricem destruune, crit vr-
 24Y ∞C. e.
Factâ congruâ eranspositione, vr ∞ Y =2ay; hoc est, mulci-
et 1
plicatis omnibus aquarionis terminis per aa, productoque diriso
Per bb,
aa0D
=83)
2
6b ∞yy -
bb. Dein, aumpco Z∞ y = 55, habe-
bicur y ∞ Z. F eo que subsiruto in aquatione loco ipliusy, at-
que iplius quadrato locory, erit 2000
d
440∞
bb
DV2
46
r ac
L 64 lire L ba
hp. Dui quidem casus est Theorematis rzcii, ac proinde
LOcus quaelitus erit PIyperbola.
Ad cujus itaque peculiarem determinationem esto in appolita
Figura iplius x inicium imutabile A punctum, eadem que x in li-
nea AB ab A versus B indetinite Pele extendere intellisatur, SIF-
que ansulus, quem x ecy comprehendune, aequalis angulo AB F.
Deinde, quoniam ex ancedictis facile collivitur FIy perbolam hoc
calu a similibus ica esse describendam, uc ordinarim ad ejus dia-
metrum applicaca sincip (i A B ae quidistantes, dueta recta AC ip (I
BF parallelâ, quoniam v ∞ X - , ducenda porro est recta
AM; ita uE omnium ipsi AB parallelarum partes, inter AC e
AMincerceptae, reluti C MI, ad partes iplius A C inter A ee di-
ctas parallelas incerceptas, veluti A C, eandem rationem ha-
beant, quae estinter be a; hoc est, ut sic quemadmodum a ad b,
ita AC ad CM. EInde si A C seu B P. indetinite SuMPTA VOCC-
tuxy, eric CM de Similes D, ac describendae FIyperboles dia-
meter in dicta AM. POrrO, quoniam Z ∞ y = , Si ab A C au-
FerAEUE A F ∞ p: erie F C indefinite TumpEa ∞ Z, X, ductâ F N
ip(i AB parallela, N centrum. Ac proinde, cum rario ductx NVD
ip(IF C aequidistancis e aequalis ad rectam D M aliarum que simi-
lium sic cognica, nempeut a ad b. sieque icidem notus ansulus
DF

## Folio 290 — 175906937X:0314
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000314.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
290
F L E M. C U R Y A R U N
NDM, Tub iildem comprehensus, urpore aequalis dato vel a(-
sumpeo ansulo AB L, erit quoque racio ND ad NM aliarum-
que limilium nOTa, quxe sIE UE a cognitx ad e itidem cogniam.
Elinc cum ND Ceu FC indetinite sumpea exprimatur per Z, erit
NM icidem indefinite sumpea v =, cujus quidem quadratum
cum juxta formulam Regulae unum aquationis terminum con-
Ricuere debeat, mulciplicanda est supralcripta a quatio per ee,
exZ eeat ec0
productum que diridendum per aa, ita uEHaE.
et 
b4 3
D
Ouo peracto, Si juxta Regulam lemi-lacus tranlrertum Fat N C
e a a
vel NHT∞ ac ratiotranrersilateris ad rectum, ut ee ad bb:
iisdem que laceribus ac diametro et centro jam inventis FTyper-
Bole deseribatur GF: dicOCUrraI CS F eNC LOCUM QUR TIEHI.
Sumpeo enim in ea puncto urcunque, reluri P, ductâ que P B
in angulo AB F, dato rel assumpeo aquali, nec non P C ip(I AB
parallelâ, secante diametrum AM in M; Si cadem P. B, hoc est,
AC, VOCCTUTY, erit, ut supra, CM ∞ =, ac proindeM P, sire
AB- CM, ∞X = . Z, hoc eAt, v. F.A autem, ut superius anno-
eaa
catum, NMI ∞ =, atque ex hiypochesiNO Seu NHI∞ pp ideo
Gue HM ∞
eZ
eaa
. + b6, d MC ∞
ea a
66 ac proinde rectan-
Sulum

## Folio 291 — 175906937X:0315
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000315.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
ri
p
I F B. II. C A P. TII.
Sulum FIMO ∞ CCZZ eea
au b: hinc cum ex natura Lyperboles
Sic utlatus rectum ad tranlverlum, sire ut bb ad ee, ita M F qua-
dracum, id est, vr, ad praedictum rectangulum HIM O: erir
ecvV CCZZ eeat
bb3
qb4 e multiplicatis omnibus terminis per aa
Factoque per cedirilo,
aa00
vy
a0
bb ∞2 p Dein restitutoy
in locum ipluIs Z, exurset
YV V
BB ∞yy - 243y
60; adeoque, multi-
plicatis omnibus per b b, Factoque diriso per aa, habebieur
VV∞
2 a
== 2 ay. Denique restituto x -- in locum ipliuSV,
expunctisque iis qua se inricem destruune, atque omnibus rite
Ordinatis, tet W N L 2 ay ∞=
. Ouodtuit propolicum.
P R O B L E M A IL
Propositio 16.
Datis duobus punctis certium invenire, a 9uo 2d
bina data ductx rectae lincae dato differant intcrrallo,
locumque decerminare ac describere, quem quaesitum.
punctum contingat.
Sint data duo puncta A e B, oporteatque invenire tertium, ut-
Duca C, Uanempeuc duex rectae C A, C B differant datointer-
raliloFC (eu AD.
Ouoniam in quaectione angulus datus non est, quo Facilior (IE
operatio, assumatur rectus, ideoque a puncto C in rectam A B,
qua data puncta conjunsit, productam, siopus fuerie, intellisa-
cur demicsa perpendicularis, uc C F; cum, suppolitis, juxta Re-
sulam, AF X F. C incognitis atque indeterminatis, assumpeum
angulum A F. C comprehendentibus, tanquam cognitis ac deter-
inatiS, CaTUM PTIOF, NIIIFUI AF, VOCCtUE X, ac PolterIOE,
nempe EC, nominetury, ipsa autem AB, seu datorum puncto-
rum coenita distantia, rocetura, _e data FC sive A D exprima-
tuT Per b. FIinc cum BF sive (si punctum B CadAEINEOF A _ F.)
AF = AB, auc ((i punCtu P inter A e B cad at) AB - AP (IE
C
∞ X

## Folio 292 — 175906937X:0316
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000316.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
292
E L E H. C U R Y A R U M
∞N = a, ec A C ∞ V X X. +. y9, aEBC D V XX = 2 a. X + a. 4 + yy;
SIEGUC A C =- A D ∞ BC: aequatio crie
VXX -F yy = b ∞ V XX = 2 a x F a a + yy, Factaque operatio-
ne conrenienti, ut veraque aequationis pars à signo radicali libe-
retur, e transpoliris transponendis, crie
4bbyy ∞ 4 aa ∞ x - +bb~ ∞ - + a3 X F 4. bb a X F a + - 2 bb a a F a
Uinde Facta dirisione per 4a a = + bb habebitur 3677
aa = bB ∞ X X
a x -F = aa = = bb. Deinde asumpeo juxta Regulam v ~ N = = a,
erie x ∞ v. F = a, ideoque substicuco hoc ralore in locum ip(IuISX,
atque ejusdem quadrato loco xx, expunctisque us quae le inri-
L18. L
cem destruune, crie
13
aa = b8 ∞ VV = = bb. Dui quidem calus etE
Theorematis 12mi hujus libri, ac proinde LOcus quaesitus erie
Hyperbola. Cumque rallumpea lic Prox = =a, ( ab A versuSF.
sumatur A HI∞ = a, erit, juxta Regulam, FIcentrum, ee Cemi-
diameter tranversa (puta HIC ob una, e EI E. ab altera Parte,)
∞ V = bb, id eA, = b; ita ut diameter erantrerta F C (quae qui-
dem, ob applicatam C. P. ad diametrum FI F pervendicularem,
crancrerlus quoque aXis Cst,) sic ∞ b. Ratio autem transverla
diametri ad parametrum, seu quadratieran (ver sa ad quadratum
lecundae diametri, erit uE bb ad a a - b b. Unde per ea quae libri
primi capiribus secundo e ultimo expolica sunt IIyperbolam
aplam delcribere haud difficile erit. P orro cum quadratum semi-
diame.

## Folio 293 — 175906937X:0317
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000317.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
L. T B. II. C A P. III.
diametri tran(versae sIC D = bb, erie quadratum lemi-secunde diz-
mecri ∞ + a a = = bb. AEqui cum F B live BLI. L IIF SIE∞ = a + =b,
e BG sive BII -- IIG∞ = a = = b, eric quoque rectangulum
FBC ∞ = aa = = bb, nempe  quadraro semi-secundae diammetri;
Cire, ut Veceres loquebantur, aquale quadranci higurx ad trans-
vertum axem factae: ideoque puncta A e B ea ip Ca lunes quae vul-
50 oppolicarum FIxperbolarum Foci lire CEmbilici nuncupaneur.
Clnde apparet, ex pramissis recte interri, quae sequuntur.
Corollarium 1.
Si ab alsumpeo urcunque in LIyperbola puncto ad
ucrumque CEmbilicum rectx duCanEUT, CATUM MajOF
minorem longitudine erantrerli axis luperabit.
Fciamsi veritas praecedentis Corollarii ex antedictis omnino
constet, cum tamen illud a Veceribus, Recentioribulre, quod
Sciam, non nisiper multas ambages lonsaque difficilium Theo-
rematum concatenatione hactenus demonstratum sic: id ipsum
hic demonstratione unica, e quidem breriore latisque simplici,
aliter oltendisse non inurile Forre judicabitur.
Ectoisitur Fyperbola qualibet CC, cujus cenerum LI, Eran(-
verlus axis FG, atque CEmbilici A _ B, adeoque rectangulum
FBG ut _ C A F semi- secundae diamerri quadrato ae quale. Du-
etis aurem ab altum pro quolibet currae puncto C ad puncta A e
Brectis C A, C B, ordinatim ad axem applicetur C P, Hacque ut
quale rectangulum F FIM. UInde cum (IC =, uE
Scabt.
HIFgadO AF, ita F F C ad C Fg: erit quoque, per compol. 12-  per 10
tionis contraria, ut
TIFgad (HIFg. I O A F, id CAt3, 2d) FIAg; itA P P G ad F F. C candi.
 C Fq; adcoque + ut
FIFgad HIAg, ita (TIFg. L FFC SIVC 5) HIEq ad HI Ag - denrium ad
FF C, F C P g. EH autem quoque 5, ut
TIFqadTTAG, icaFTFgad HIMg. OuocircA 7
FIMg∞ HIAg. L FF C5. L CFq; hoc elt, addito utrinque LI F g celentes ad
SeuHIOq. erit
FIM 12 quinei.
ex Byeoth.
Primihujus.
3per 6 se-
+ Cum SIEVE
un2 antcce-
VMaM COn-
SCg., IFa 0-
MDCS anTC-
Omnes
conseq. per.
5 per 6 se-
curdi.  ex constructione  per 22 sextt.. 7 Per 9 Cg YL quinst.

## Folio 294 — 175906937X:0318
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000318.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
294
E L E MI. C W R V A R U M
HIFq CTIA9
per 6se HIMg + E Ceu ∞8 seu L (HFg F FFO, I. C. +) HIFg, F CF9.
cunc.
ETIOq CHIB9
Flinc additis rel sublatis ab veraque aequacionis parte ae qualibus,
FFIM
ATIF
nimirum seu bisabuna, et seu bis ab alteraparte:
COTIM
CBHE erit
3 per 47 pri- F NI9∞ (AF. 9. F C F9, id est 3) AC q; icemque +
mi.
+ per 7 se-
cundi.
GMg∞ (BFg + C F g, id est 3) B C g. Cum que PrOPECrCA
FMI (E∞ A C; SE GM ∞ BC; sieque iplarum FM d C M dif-
per 47 pri ferentia FC, manifectum est iplarum quoque AC _ BC ma-
mi.
jorem superare minorem, ejusdem FC, nempeaxis tran(rer-
si, longicudine. Ouod demonstrandum crat.
Corollarium 2.
Ductis a quolibet FIyperbola puncto ad utrumque
Umbilicum rectis, qua angulum iis comprehensum
bitariam dividit linca curram in eodem puncto con-
cinsit; _ converlim.
Si enim qua angulum A C B bitariam dividic recta ICR non
contingat Hyperbolam in C puncto, secet eandem, steri potest,
L18. 20
aeque ita lalcem aliquo sui puncto, veluriK, intra FIy perbolam (it.
a elte
cundi.
per 4 se-

## Folio 295 — 175906937X:0319
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000319.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
L FB. TI. C a P. III.
295:
Cum ductis KB, LD, _K A (quarum posterior Fyperbolam
secet in L, a qu a B ducta sIE B L.); cum in criangulis D CR,
BO latera C, C Klaceribus BC, C. K utrumque urrique,
L15. 220
circa= aquales angulos, equalia sine, erie quoque balis D K Ba=- L Cume-
BK equalis. Cumque porro, juxta Corollarium praecetens, Miexhy
Superet inctrallo AD; licque B R, ideoque de R D, ipsiS B L, et BCL X-
LK Cimul Cumpeisminor: per consequens A R eandem H D in2- quales po-
RANEUF, C-
Jori lonsicudine quam est AD excedet, id est, ipsa AK binis rC- runc quo-
FIC. TIF.
Dothesi an-
AL iplan L B, id eoque d AR rectas B L, L K, Cimul sum PtaS, culi A CI
dele anculi
e
ipsIS TUINE
deinceps,
Per 13 pri
imi _equalES.
L ella
Al
BC
etis RD. DAlnul lumpeismajor eric. Quod cuni ablurdimutu
sIc 2, non sccat itaque Flyperbolam recta ICIE, Led candeim COn- - per 20pri
cinsit in C puncto. Cumque non possic in eodem puncto C alia mi.
recta

## Folio 296 — 175906937X:0320
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000320.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
296
F L F H. C U R Y A R U M
recta Hyperbolam continsere quam LC H, manifectum est con-
verlim, eam, qua LIyperbolam in C continsic, ansulum quoque
AB C bitariam diridere.
Exemplum reductionis aequationum ad formulam
Theorematis XIV.
 hoc ett, y ∞Z Fc -
2b ∞y
Si xequatio (ic yy- F
Deo juxta Regula Z ∞ y -- c- + =
eoque substituto in locum ipliusr, ejusdemque quadrato locory,
sublacisque iis, quae se invicem destruunt, eric 27- bbxx, 2bc3
a
a
=66∞ = X X F d X- F RR. id est, Fact a decenei transpolitione,
eriE
22
s
L∞ = ∞ X- F
b3
 + d X = 2
a a
= a  ∞ X -  bb ~ X d a d = 2bc.
∞
aa
C 
LCC- F R R. SuppOLItO ay-
tem a majore quam b, ac mulciplicatis omnibus aequationister-
minis per aa, productoque diriso per a a = bb, uE quantitas X X
ab (que tractione inveniatur, erie
cCaa- kk aa
aa2
daax - 2bacX
aa = bb
aa = 6b. Jam vero si Facilioris operationis sratia loco
aa a - 2b ac
aa = bb Substieuatur 2 B: erit a quarie
cca4  k k a a
a a 22
aa Z 2
aa - 652 -- X N F 2 B X
aa - bb 3 aUIL aa = bb F X X =- 2 B X ∞
ccaa -+ kk a a
a a -- bb
Flinc (juxta Regulam astumatur v∞  =B sive N ∞ D. L B, atquC
hoc in locum iplius a, ejusque quadratum loco ex subsituatur.
aC expUnSanEuE quae se inricem destrunne, habebitur 2a 2Z
= VD = BB ∞ Ccaa. + kk a a
ne, erie
a4Z 2
aa bb
aa= bb. HIoc es, Facta decenti transpolitio-
aa - b3∞ - vV + BB + Cca a -+ Re te a a
a a - bb. AEquCIta aPP2
ret aegnationem esse reductam ad Formulam Theorematis Z IV.
ideoque Locum quaelitum aue Flliplin aut Circuli circumferen-
riam exictere. Rurlus vero Pacilioris operationis ergo loco
a a
ea = _ FCribatuE =, de lOcOBB.
ut aequario sictalis =
ccaa  Pe kaa
aa bB Scribatur ff, ica
+ per 3C0-
rol. 6 primi
hujus.

## Folio 297 — 175906937X:0321
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000321.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
P F B. II. C a P. III
297
A Deculiarem autem praedieti Poci determinationem ac descri-
ptionem elto in appolica tisura iplius x inicium immutabile A
punctum, atque eadem x sc in linea A F ab A versis F indefinite
extendere intelligatur, sicque angulus datus vel assumptus, quem
ex comprehendunt, aequalis angulo F. A R vel ejuldem ad duos
rectos complemento. Hinc quoniam Z∞7 - c f, Ci y supra
lineam A F exlurgere incelligatur, ducenda quoque eA supra ipsam
recta R L eidem Parallela, ita ur pars rectae A K omniumque ipA
aequidistantium incer praedictas AF. _ R L. incercepca, reluri A I,
EL, _C. aequetur ccognitx: ac deinde per punctum R intra re-
Ctam RI ducenda est recta R B in tali angulo, ut rectarum o-
mnium ipsi AK parallelarum partes, guxe inter K L X R B inter-
cipiuntur (veluri L B) ad parces iplius IEL, inter ealdem paral-
lelas e punctum R interceptas suc verbi gratia L. K) candem ha-
beane rarionem, quae estinter bee a, hoc est, ut sic uri a ad b, ita
XL. adP B. AEque ita pOsIEa R L (IVC AF, indetinite Cumpea,
∞ X, L. B omnesque ipsi parallela inter IE L _E R B InFCTCCPEX
ErUNE =.Unde ex praedictis constat diametrum FOrC in FCCtARB,
2

## Folio 298 — 175906937X:0322
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000322.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
E L E M. C u R Y A R U M
ad quam ordinatim applicatae lint ip (I AK aequidictantes. Jam vero
cum veE∞x = B, d recta R L sive AF auterenda eAK HI, ita ut
cadem X HI sic ∞ h, ideoque IIL indetinite quoque lumpra x
X =B Ceu V. Deinde per punctum LI ducenda eA IIC ip(i AK
Parallela, lecans inrentam diametrum in C5, Critque idem inter-
sectionis punctum C quaelita Fllipleos centrum. Porro quoniam
similium cxiangulorum R IIO _ R L B nota est ratio lateris HII
ad HIC sIVC K L ad L B, ut ee angulus sub iidem laceribus con-
centus, uepore aequalis angulo dato vel aNtum peo F: A K, erit quo-
que noca ratio lateris R FL ad latuS R G Sive R L ad K B, quae po-
natur ut a cogniea ad e itidem cognitam. Ideoque cum FIL. live
GM, qua ipsiTIL Parallela incelligitur, indecerminate Cumpta
sic ∞ V, erit CB, Similicer indeterminate lumpea, hoc est, quaeli-
bet diamerri portio inter centrum ex quamlibet ordinatim appli-
CaTAI INEETCCPTA, ∞. Cujus quidem interceptae quadratum
cum in Formula Theorematis ZIV ulcimum aequationis terimi-
num constituat, a quatio supra expolito modo ita reducatur, ut
ec vD
terminus ejus extremus Aac
aa id quod factum erit, si singuli
aequationis termini mulciplicentur per e e, productumque di-
vidatur per a a. inde enim sequenci modo se habebic aequatio
20Cz2 ffee eevo
saa aa aa. Elinc si juxra Regulam Cemi-latus eran-
ef
verlum C F vel C C Cat ∞ V eess
aa id est, = e ratio tran(rer(
lateris C. Fad rectum latus F N, ut lee ad eaa, iildem que lateri-
bus, ac diamerro, ceneroque, modo inrentis, LIlipsis describa-
TUF FD C, SCcanS rectam A F. vel A R productam in L: CTIE CUEVA
IDC LocuS quae litus.
Sumpro enim in ea punctoutcunque, reluri D, duct aque DP.
ips AK Parallela, ac si opus sic productâ ut secet rectas KL. d
B in L. a B, li eadem DF. rocetur y, erit D B, hoc est, DF.
FL. F L B∞ y - 0 + =TeH Z. FA AUFEI VE jAM AHNOTatUI
eAt GB∞ aeque ex constructione  F ret 6C ∞ ideoque
et
FBD + =, aBCX
eeoV
f-
ev
a aC rectangulum FBC ∞Ssc
aa
aa. Eline cum ex nacura ElipsiS SIE WEN P ad FC, hoc est,
298

## Folio 299 — 175906937X:0323
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000323.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
L I B. II. C A P. TII.
ulfaa ad lec, iuDesaaeum, hoc cA
Ctansulum FBC; erit ec22 x ssec eevo
CCA  = R k aa
299
ad praedictumre-
saa aa aa id ett, mulciplica-
tis omnibus per aa-
ac dirilIs per ee, exie
122
∞ ff - vv, ideo-
que restituto X =B
locor, atque hh. L
ccaa = kk a a
aa = bb l0c0f5.
UEd
aa
aa - bbl0c0
CTIE aaZZ
a a - bb ∞ BB.F
CCaa + RKaa
a4 - bb XX L
2BX = BB, hoc ett
a a 2Z
4a - b3 F X X - 2 BX
cCaa F Kkaa
aa = BB. POF-
ro resticuro
d a a - 2bca
a4 - bb Oc021,
Het aa ZZ
I X X
aa ax  2bC a X
a - bb
~
aa- bb id est, Factâ mulciplicatione per aa - bb ac divi-
Tione per a , erit 7 y L X X -
ve
bbXv
aa = dX +
2bc ∞
vc5 = PR
Acdenique locoz Factâ restitutione ipsius p - c +  deletisque
iis guxe seinricem collune, ac omnibus rite ordinatis, obtinebi-
TUIT y y + 2b ∞,
dum ac demonstrandum crat.
Nocandum porro hic est, quod hiangulus AR B Foret rectUS,
ac proinde ordinatim applicata, ut DB, KL, ec. ad diametrum
RB perpendiculares, ac simul FN aequalis F C, praedictam cur-
ramtore Circulum, quemadmodum ex elementis perspicuum est.
2
PRO-

## Folio 300 — 175906937X:0324
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000324.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
de
E L F H. C U R V A R U M
P R OB L E M A III.
Proposiio 17.
Datis duobus punctis certium invenire, a quo ad bi-
na data ducta rectae linex limul sumpex daca longitu.
dini aequales linc; locumque determinare ac delcribe.
ec, quem gualicum punctum concingat.
Sinc daca duo puncta A d B, oporteatque invenire tertium,
urputa C; ita nempe, ut ducta rectae C A, C B simul CumPEX
aequales sint dacae rectae lincae D.
Ouoniam in quaestione angulus datus non est, quo facilior
sic operatio, assumatur rectus; ideoque a puncto C in rectam
AB, quae data puncta conjunsit, productam, si opus tuerit,
118. 2.
incelligatur demissa perpendicularis, ut C P. Tum suppolitis,
juxta Regulam, A L. _ P. C incognitis atque indeterminatis
allumprum angulum rectum A F C comprehendentibus tan-
quam cosnitis ac determinatis, earum prior, nunirum AF., V0.
cerur x, ac posterior, nempe FC, nominetur y; ipla aurem
AB leu dacorum punctorum distantia cognica appelletur a, de da-
ea D exprimatur per b. Elinc cum BF sive (Si punctum F cadat
Inter A _ B) AB -- AF, auc (Ei punctum B inter A _ F cada1)
AE - AB sIE ∞ a == X; aEque A C ∞ V X X L py; _ C B ∞
V aa = 2 a X F X V L 7y; sIEquC D = A C D C B: aequatio erit
- V XN + yy ∞ V AA - 2 AX L X X L y y; Factâque operatio-
nC

## Folio 301 — 175906937X:0325
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000325.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
L 1 B. II. C A P. TII.
ne decenti; ut urraque aequationis pars a signo radicali liberetur,
_ transpolicistransponendis, erit
4bbX ∞ = 4 a a X X - + bb a x + 4 a3 X ∞ b + - 2 bba a. + a7 - 4bby y.
hoc est, Facta dirisione per +bb - 4 aa, erie
X X - - a X ∞ = b b = = a a-
6673
Gulam v ∞x = = a, exit x ∞V. F = a, eaque substituca in locum
iplius x, ejuldemque quadrato locoxx, expunctisque iis qux le
inricem destruunt: Crit x x ∞ = bb -
6b97
66yy
bb = a a lIve bb = a a ∞ = bb
=xX. Oui quidem calus est Theoremaris rztui, ac proinde L.0-
CuS quaesItuS Flliplis. Cumque r asumpea siE PTO X = = a, (1 ab A
versiis E sumatur AII ∞ = a: erit, juxta Regulam, II centrum,
e lemi-diameter tranrerla (relut HI F ab una, _ IIC ab alcera
PartC) ∞ = b; ita ur diameter tranlversa FO (quae quidem, ob
applicatam C F. ad eandem perpendicularem, tranlvertus quoque
aXIs est,) sIE ∞ b. Ratio autem transverlae diametri ad paraime-
erum, seu quadraci eranlversae ad quadratum secundae diameeri
erit, uc bb ad bb - a4. Unde per ca, quae Capicibus tertio de ul-
timo libri primi expolica lune, quae lica P lliplis Facillime describe-
tur. Porro cum quadratum Pemi diametri eranlrer(x (it ∞ = bb,
erit quadratum semi-secundae diametri ∞ = bb = = a a. AEqui cum
FB seu C A sIF D Z b F = a, _ BC seu AF ∞ = b - = a, erit quo-
que rectangulum FBC seu C A F ∞ = bb - + aa, nempe aquale
quadrato semi secundxe diamerri, sire, ut Vereres loquebantur,
aequale quodranti figurae ad tranlversum axem Factae. Ideoque
puncta A e B ea ipla sune, quae rulso Ellipleos Foci sire mbi-
licinuncupantur. Unde apparet, ex praemissis recte interri, qua
Seguuneur.
Corollarium T.
Dux a quolibet in Ellipli puncto ad urrumquem-
bilicum rectae ducuntur, simul lumpex erantverlo axi
aequaleS SUHE.
Duemadmodum aurem in Hyperbola superius demonstra-
cum elt, ductarum CA, C B differentiam tranlverlo axi lC a-
quari, ita e hic earum acoregatum eidem tran(verlo axi ae quale
elle oltendetur, nempe, li non per additionem ee compolitionem,

## Folio 302 — 175906937X:0326
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000326.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
302
F L F NC. C U R V A R U N
ut ibidem Factum est, sed per subductionem ec dirisionem argu
mencatio insticuatur. Ouod iplum eamen, adhibica nonnulla mu-
catione, elesantius quoque in hunc modum absolvi polle ri-
detur.
FHoqualibet EIlipsis FCO, cujus centrum II, axis major
FC, minor OP, atque UEmbilici A S B; adeoque rectangu
Iu FBO uE _ C A F aequale quadraro lemi secundae diamerri
1IO.
per 16
Sexti.
per 22
sexti.
Ductis ab assumpto quolibec curra puncto C rectis C A, C B,
ordinatim ad utrum que axem applicentur CP, CN; _ Aat ut
HIF ad HI A, ica HIE ad HIMI, adeo ut = AHIF rectangulo
aequale sic rectangulum FHIM; Cumaturque IIO aequalis ips
HIE. IIinC Cum LIE = UEHIFg ad HI Ag, ita HIF gadHIM9, erit
3 ex hrpo. quoque per conrertionem rationis ut TIFgad C AF Ceu 3 1I09
thest.
id est+, ut C Ng Sire TTEgad O NP, ita idem HIEgad FM C;
per 13Pri.
ni bujus dc proinde aequalia sunt rectangula O NP _E F. MI Q. Quocir-
jusque Co- Ca Cum STIMIguna cuM F MI Q, id est, cum OHP rectansulo,
rol. 2.
peru quin
1.
aequale sic HI F g; Sirque _ IIF q7 aequale quadratis recta-
rum HI A e (1IO 5 ICu 2) CF una cum rectangulo ONP:
per 5 se- CruNEHIMg. FONP L HIF qequaliaHIFg + HI A9 + CF9
cundi.
per5 se-
cundi.
+ONP. ACproinde si utrinque auferatur ONP rectangulum,
remanebunt bina quadrata rectarum TIM _ IIF SCuFTC Simul
quippe aequaliacribus quadratis rectarum HIE, Il A sen HIB, e C L.
Quaci. Cx
IIOaequa
le est C AF rectanS. ex ByvOth. 3 per 5 secundi.
Hlinc

## Folio 303 — 175906937X:0327
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000327.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
LX B. IL. .C A P. III.
303
Flinc additis ablatiere ab ucraque aequationis parte aequalibus, ni-
AITUI FHIM scu G HIM bis ab una, e AIIF seu BH F bis ab
altera parte: erit = FMg aequale (A Fg. L C F. 9, id eA :,) ACg: 2 per 7 se
itenque OMgaequale (BF. g. LC. F g, id est 4) BC 9. Cum- cundi.
per 47 pri-
que propterea recta FM aequetur ipsI AC, _ GM ipLIB C: erit mi.
iplarum A C e B C aggresatum transrerso axi FC ~qualc. 3 per 4se-
Ouod demonstrandum crat.
Corollarium 2.
Ductis a quolibet Ellipseos puncto ad utrumque
Umbilicum rectis, s per idem illud punctum altera re-
cta agatur, aequales cum utraque ducta angulos con-
Cituens, eadem curvam in dicto puncto contingie; de
COnTIa.
Si enim recta TCK ita ducta, uE aequales sinE anguli A. C F.
BCK, non continsat Flliplin in C puncto, secet eandem, si
feripotest, in C d K. Deinde productâ A C ad L, ita vETOTa AL.
E18.
cundi.
mi
+ per 47 pri-
requales angulos, aequalia sin, erie quoque basis P H bali B1
aqualis. AC rero cum punctum R in FILipsi SuppOnatuE; erunt,
1 11
Ded
axi FG, ideoque ACC CL SPI. C B _GHAHS HC, JuIZ atL 5 per Coret.
EUE AR; BR, L. R. CSC, S CMAHISHAS LCA, BCY. 2bujus.

## Folio 304 — 175906937X:0328
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000328.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
304
F L E M. C U R Y A R U M
per Corollarium praecedens, rectx AR, KB, hoc est, latera
AK, KL simul sumpta eranlverso axi F. C, ideoque de bali AL.
es. L
per2opri- sequalia, quod est absurdum . Non igitur secat recta ICR FI-
lixlm, sed candem Continsit in C puncto. Cumque non postuin
perrzori eodem puncto C alla lecta Fllipln contingere quam ICRR =, m2-
nitectum est, e eonera quoque eam, quae Plliplin in C concinsit,
etticetC atGbo AC B, BC R aquales.
C a P u F IV.
Recula universalis inveniendi ac decerminandi
loca quaelibet plana ex solida.
Jam vero his omnibus ita pramissis, pro gencrali
Regula concludi porest, xequationes omnes, quae in in.
daxacione Locorum. praedicto modo obrenire acque
obringere possum, ita ut in iis neuera quanticacum in
cognicarum in se ducta, neque tactum sub iildem adt l0-
lidum
Mrlocsato.
Mi.

## Folio 305 — 175906937X:0329
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000329.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
E F B. II. C A P. IV.
305
lidum excurrat, sed aur quadratum, aut planum non
excedat, ex aliqua sequentium formularum constare,
vel ad carundem aliguam Mechodo jam explicata rc.
duci polle: nimirum,
mo
y∞
b3
lire, quodidem est, yox: cum supponi
Postit esse a ∞ b.
ly ∞ = 8c, vel y∞C
Sedhic nocandum, heri eriam posse, ut per Opera-
tionem quantitacum incoonitarum altera cranclcai,
alreraque sola nocx alicui quancirati ae qualisremancat,
sicut superius expolitum elt.
do
yy ∞dx, auc converlm dy ~X X.
yy∞ ax. ff, aut convertim dy. ffD X X.
c
D dx, aut converlum dy ∞ VV.
RZ∞ d x. ff, aur converlim dy. ff ∞ VV.
VyX
x
ad; 
77
a
IXX
yX ∞ ff.
X ∞ ffo
1∞ ∞)
v∞ff.
Supponendo ubique r e x esse quantitates indeter-
MINaTAS aC pFIMIO CONCCPTAS; at verOZ ese quantita-
cem allumpram, e qua compolica (ic ex y 8. alia qu’a-
dam quantitate, vel in totum coenita, vel cui criam
altera incognita primum concepta, nimirum x, permi-
xta sc; aeque 2 quidem allumpram quoque eAc, scd
eo casu constare lolummodo ex x e alia quantitace
cognita, ab sque ulla iplius pincoonita quantitatis pcr-
mixtione: aUE COnETa V esse D X B alid quada quan-
Titate
Signum E
sinificat
v

## Folio 306 — 175906937X:0330
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000330.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
306
F L E M. C U R V A R U H
citate, cui e y incognira perminca elle pottu acque eo
quidem calu Z ex y e alia quanticare in eocum cognitâ
constarc.
Ecl aequario similis sic alicui formularum (ubNo c.
comprehentarum, erit Locus qualcus Linca Recta;
(Ub N. 2. Parabola; _ (uBN 3. secundum signorum
ansulorumque rarietacem vel Llyperbola, rel EHliplis,
vel Circulus.
Uc aurem praedicta Loca specitice determinentur sire praedi-
Eta Linex in plano Geometrice describantur, sciendum est, ali-
quod debere praesupponi punctum, uc e aliquam lineam à quo
exordium lumat, de per quam indetinice le extendere intellio2
tur altera incoenitarum quantitatum primo conceptarum; item-
que ansulum quendam esse praelupponendum, quem dicta quan-
titates incognx consturuame in puncto, in quo libi inricem jun-
etx incelliguneur.
Sit itaque in apposita figura, ut e in sequentibus omnibus,
praedictum punctum A, dictaque linca AB, a quo, & per quam
quancitas x se indetinite extendere concipiatur; atque angulus
ABF, quem Caciune quancirates y ee x, in puncto B libi inricem
junetae.
Fcprimo quidem catu, cum Locus quaelicus est Linea recta,
nimirum, aequatione existente y vx vel y ∞ = iplum A pun-
etum erit inicium dicta linea, acque ur eadem specitice describa-
tur sumendum est in linea A B punctum urcunque, exempli gra-
ria, B, ac per illud dueta rectâ, velurH B E, ica uc angulus AB F
praeluppolico vel concepto angulo sic aqualis. si in eadem recta
Tumatur puvetum, veluri D; IEa UE A B _ BD sine xquales, vel
UE AB SIc ad BD, licuE a ad b, atque ex A per punctum D duca-
cur recta AD: erit eadem A D indetinite extenla L ocus quae(.
cuS. Aclim aequacione inreniatur quoque terminusc, ac iple qui.
dem liono. + attectus sit, ducenda est e puncto A ad eandem par.
cem linex AB quam est punctum F, aut E Signo - adficiatur ab
alcera parce, recta AFipII FI B P parallela acque aequalis c cogni-
Ex; ductique F F vel FC, quae rectam AB seceE in O, ipsi AD
paraltela: erir FL rel OC indetinire producta Locus quae licus.
Sec

## Folio 307 — 175906937X:0331
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000331.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 20 lines, status machine
L Y B. II. C a P. IV.
3017
Scuaquaco) B=, in dicta linca HIB F. lumendum est
ab altera parre linex AB, qua datus vel astumprus angulus ABF.
exiltie, punctum EI, ita uc AB ad B FTCC, Sicut a adb; duet aque
AEI, ex praedicto puncto F. ab. oppoluca parce linex AB, quâ lum-
Dcum est punctum FI, ducenda est F P ipsi A II parallelas erirque
eadem FIproducta donec cum linea A B coincidat L. OcuS quX-
CIEuS.
Ecenim, cum tam AB quam BD SIc ∞ X, aut A B ad B D ab
una, uE et AB ad B HI ab altera parte, sit ue a adb; ac proinde
BD velBH D =: itemque, cum A F seu D F. vel DO uc _ HII
sine aequalesscognitxe: erit BF. sive BD. + D F ∞= + c, e B(3
sireBD - DC∞ = -c, ac BTSre HIT -FIB ∞C--. UN-
de cum punctum B sumpeum sit urcunque, eadem erit de omni-
bus aliis, in linea AB, pradictisre locis, assumpris punctis de-
monstrario: atque ita patet praedictas lineas AD, FF, FC, e
FPese Loca guxsica. Ouod determinandum, demonstrandum-
Gue Crat.
242

## Folio 308 — 175906937X:0332
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000332.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 20 lines, status machine
308
E L E NE C W R V A R U N
Ac vero si juxca Formulas sub No. 2 exhibitas LOcus quae situs
Sic linea Parabolica, erie
I. Primo casu, quando aequatio est y7 ∞ dx, ip (a AB Parabola
diameter, ad quam ordinatim applicarae Faciant angulos, dato
vel assumpeo ansulo ABP aequales, atque ejuldem rertex
a punctum.
CT. Secundo catu polit a aequatione rr∞ dv. ff, manence diame.
ero in eadem linea A B, sumpraque, ut in sequenti Aisura,
AF ∞ Z. erit ejuldem vercex in puncto F. Quod quidem
punctum I:, Si uterque terminus tam d x quam ff(iono L. TIF
affectus, ab altera parce puncti A, qua est. punctum B, Tumen-
dum est; sed Ei vel terminus dx, vel terminus f fligno - afte-
cusuc, ab eadem parte puncti A, qua est punctum B, sumi
debet: e quidem si cerminus dx Piono. L affectus (IC, ab A
versis B Parabola describenda est; sin contra terminus du
ligno- attectus tuerit, in contrariam partem, ab. F nempe
versus A, delcribi debet.
AC

## Folio 309 — 175906937X:0333
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000333.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
L. T B. II. C A P. IV.
AC M aequario SIFZ
Z∞ dX, vel ZZ ∞ d v. ff; cum Znon SIE
quancicas primo concepta sed aslumpea, vel alumpra erit pro
y86, vel proy 8=, rel denique Proy 8 86.
TTI. Ec E quidem Z alsumpea sic proy 8 c, qui sic calus tertius, du-
cenda est per punctum A recta AD ip(I B L Parallela aEquE
20C; Ita uC, (1Z aumpea sic proy = c, punctum D cadat ad
eandem partem linex a B, quam conceptus est angulus
ABE: LC, (I Z sIc asum PEa PrO Y. L C, pUnCtI D C CONETZ
ad alteram partem linex A B cadat. Deinde ducta D K ipsI
AB parallela, erit in eadem D R Parabolx diameter, _ D
vertex, Ei Xquatio (IcZZ ∞ d X.
IV. Sed Si(iEZ Z ∞ d x. ff, qui sic quartus calus, sumpea DL. ∞
L erit vertex punctum L; quod quidem procerminorum d x
e ffper L vel - affectione eodem modo, ut supra de pun-
Eto F dictum est, vel ciera vel ulera D. punctum cadet; uti e
vel in hanc rel inillam parrem, proutterminus dx ligno. 1.
vel - adfectus tuerit, ipsa Parabola, ut supra nocatum est,
delcribi deber: erit que omnibus _ lingulis praedictis quatuor
calibus Parameter ∞ d.
V. Si vero Z alsumpta (IE PrO Y 8
qui casus sic quintus, Tum-
peo inlinea B F. punCtoMI, ica uF sic A B ad BM, Sicuc a 2d b,
(quod quidem punctum M lumendum est ab cadem parte li-
nex AB, qua conceptus est angulus AB F, Sihabeatur -3
Sed ab altera parte, si habeatur L =) ducenda est per pun-
Eta A _ MI recta AM: CriEGue A MT eoCalu Parabolae diame-
ter, ad quam ordinatim applicatae faciane angulos angulo
AME aequales, e li in aequarione terminus ff deticiat auE
nullus sIC, erir vertex in puncto A.
YP. Sin minus, qui sic casus sextus, ductis per puncta F _c L rectis
L. FL, quae incerlecent supra dictas dinmerros A MI vel iis in
directum adjunctas in punctis N: erit vertex in DI, vel cieram
vel ulera A. punctum cadens, prour termini dx e ff in ae qua-
rione vel ligno. L vel ligno = aftecti tuerine; uri d vel in hanc
vel in illam partem ipla Parabola pro varia termini d v. dAc-
ctione, ue lupranoratum elt, delcribenda erito.
a
309

## Folio 310 — 175906937X:0334
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000334.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 20 lines, status machine
320
F L E H. C U R V A R u M
Si denigue Z aumpta sit prO y 8 = 8C, ductâ, ut modo
expolicum luit, AD ∞c, ex puncto D (quod pro quancitaris
cperlionum. L vel - affectione, ut supra, vel ab hac, vel ab
illa parce linea AB Cumi debet) ducenda eAt recta D O ipsi
VII. AM, qua estad candem parcem, parallela, si termini = _c
eodem signo sint affecti, qui calus lic septimus.
VITI. AcSi direrlo, qui sic calus octarus, ducenda est recta DP
parallela ip( AM, qua eA ab adverla parte lincae A B, atque
eadem DO vel D P sumenda eAt pro diamerro, ad quam Or-
dinacim applicata faciant angulos anculo DOF vel DPP
aequales: erirque rerrex punctum D, licerminus fs in aqua-
tione deticiat.
ax e ff per ligtum  ret alectione rel ciera vel ultra D
punctum cadit; quemadmodum ec ipla Parabola rel versis
hanc
X. Sinminus, quu (c calus nonus, erit idem verrex ipsarum DO
vel DP diametrorum _ linearum L FC communis incerse.
etio, ridelice pnctum C, quodque iterum procerminorut

## Folio 311 — 175906937X:0335
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000335.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
L + B. TI. C A P. IV
honc vel versusillam partem pro diverla termini dx affectio-
ne, ut supra estnoratum, describenda est: Ac poltremis qui-
dem iltis quinque calibus jam explicatis Parameter erit ad d
coenitam, licuc A B ad A MI, hoc CA, crit ut A M ad AB, ica d
ad Parametrum.
Duorum quidem omnium demonstratio pertacilis est. In-
celligantur enim Parabolae praedictis diametris ac paramerris
descripea, qua per annotatos verrices cranseunt, licque ordi-
nacim ad ealdem diametros applicatarum aliqua in rectaO F
uccunque sumpta, de supponatur ealdem Parabolas praedictano.
applicacam lecare in F. puncto: eritque primo cau, Cu parS
diametri AB incer vercicem A e quamlibet ad candem dia-
metrum applicatam intercepta, reluri A B, ConcipiaEUE, UE X,
2c. lingulae illa applicatae, uc y; sirque Parameter D d, aEque
ex natura Parabola rectansulum lub dicta P’arametro _ rC. 1 per F prii
4. Cta AB concentum sit ∞ B P quadrato: crit d x ∞ y y.
rit Bujus.
Secundo calu, ubi verrex est in puncto F cum eriplici distin-
ctione, ut supra monicum est, nocandum primo venic, in casi-
bus, ubi aequatio eA ry ∞ d x Bff. punctum B in linca F B ab
A versus B indetinire sumi posse: cum ictis casibus ab A versiIs
B Parabolam describendam esse (UPra anNOTATUIM SIE; AEVerO
calu, ubi aequatio est yy ∞ff - dx, cum juxca Regulam Pa-
rabola in contrariam parrem ab F versus A sic describenda,
punctum B non nili incer F de A allumendum esle. id quod
etiam ex ipta aequatione manifeltum est. Quoniam enim in.
prxdicta aequatione ry ∞ff - d x live quodidem eAt ff- yy ∞
dx, cerminus ffmaior est quam dx, uepote eundem excedens
quantitate yy; idcirco quoque li utrinque dirisio hac per d,
majus erir quam x. Ouare cum secundum Regulam = X-
quetur rectae AF, de x p rectae AB, erit similiter recta AF
major quam AB; ideoque B punctum inter A e F puncta.
licuc dictum est, cadec. id quod ad casus quoque sequentes ap-
plicatum esto. Porro quoniam A F est ∞7, erit F B (hoc CAt,
obserratâ criplici distinctione, ut praedictum elt, AB B AF,
AEque etiam AF = AB) aequalis x 8 F, atque criam , - X;
Caque musciplicata per parametrum d, fuc rectangulum dx Bff3.
atque

## Folio 312 — 175906937X:0336
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000336.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
1.2
F L F N. C U R Y A R U N
acque eriam ff = d X. quod aequale est quadrato applicata BF.
e. livery, ac proindery ∞ dx 8 ff, acque ry ∞ ff = d X.
s
Tertio casu, ubi vertex est in puncto D, ac diameterin re-
Eta DK, quoniam AD sCu B K est ∞ C: CTIERF, hoc est,
BF -L B R ∞ p = 6; _ RBF, hoc eA, BF f BK ∞y. F6.
Cumque eo calu Z allumpta sic proy Bc, erit K F _ R BF. ∞7.
FA aurem DI seu AB Dx, Parameterque ∞d, e rectangu.
lum sub dicta ParAMCErO _E reCtA D R Contentum ∞ quadrato
ex R F. vel R BP. Ouare cum hoc quadratum sIE ∞:
rectangulum illud  dx, crit ZZ ∞ d X.
C. AEque
Ouarto calu, ubi manente diametro in recta D R vertex est
in puncto L, quoniam D L sivC A F CR ∞ Z, CriCL. K (hoc
eAt, obserrata triplici distinctione juxta R egulam, DR BDL,
aEguC etiaM L D = DK) aequalis x 8 Z, acque etiam  = X.
qua mulciplicata per Parametrum d, sic rectangulum d X 8ff.
atque etiam ff -- A x. quod a quale cAt quadrato applicatae K F.
velRBF, hoc ett, 2
y
2∞ff = d X.
: eritque proinde Z (∞ d x 8fF, atque
Ouinto casu, ubi rertex est in puncto A, diameterque in
recta AM, cum sic uE a ad b, ita AB, hoc CAt, x, ad BM: erie
BATD =, ideog; M E, hoc eAt, BF -BMI∞y - =, _MBF,
hoc est, BF L BM ∞y F =. Fc quoniam eo ca su Z a(AUPEA
estprO Y 8 =, CFIE MIF. _ MBF ∞ Z. Ac cum in criangulo
A BMI coOnitA SinE X anguluS A BMI, e ratio laterum AB,
BMI, dictum angulum comprehendentium, nota quoque cA=
racio reliquorum dicti criansuli laterum ad inricem, atque in
specic etiam laceris A B ad AM, quae licut a ad.. ACproinde
cum sicut a ad es ica AB, h. C. 3 X Ad AMI: CTIE AM ∞ =. Cumque
Porro juxta Regulam eo casu sic ut A M ad AB, hoc est, uE C
2d a, ita d ad Parametrum: erit Parameter v . Oud multi
plicata per AM Scu = Per rectangulum ∞ d v. Ouod aequale
est quadrato axplicata MI F rel MB F, hoc eAt, Z (: ac proin-
5. de est
∞ dX.
abo
per6 sexti.

## Folio 313 — 175906937X:0337
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000337.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
L F B. II. C A P. IV.
823
Sento catu, ubi vertex est in puncio H, e diameter inre-
cta NVM, quoniam eA uc AB ad AM, ita AF ad AN, hoc cA,
ve a 2d e, ita  2d A N: erit AX D e
obTerrata juxta Regulam eriplici distinctione, AM B AN,
Ed
ess
4 atque etiam et
a
. Oua mulciplicata per Parametrum=, sic rectangu-
lum dx 8 ff, acque etiam ff - d x. Ouod cum aequale sIE
s
quadrato applicatae MI F vel M B F, hoc cA, Z2: exie
Z∞dx 8ff, acque ZZ ∞ ff - dX.
Seprimo calu, ubi vertex est in puncto D, de diameter in re-
cta DO, quonium AD Peu MO est DC, CritO F. ((IVCBF -
BN = HO) ∞y = = -c, _ OBE (SiVC BF. FBM LMO)
∞y + = +6. Cumque eo catu Z a um pta (IE PFOY - - - d,
vel proy + + A: erit O F. _ OBF ∞ Z. POrrO cum DO
RF
seu

## Folio 314 — 175906937X:0338
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000338.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
374
E L. E. HI. C. U R Y A R U M
SeUI AM SE  = Parameter que sectionis   erit rectaner.
lum sub Parametro de recta DO contentum ∞ d X. Cumque
idem illud rectangulum aeguetur quadrato applicatae OF vel
. OBE, id est, Z7: eric;
73
∞ d X.
Octaro calu, ubi, manente rerrice in puncto D, diameter
est in recta DP, quoniam AD Peu B K est DC, _ R P ∞=
erIt PEuna (Sire BF - BK -L R P) ∞y -- c + =, _PF al.
cera (sire BF L BR - KP) ∞ y +c- =. Cum que Cocatu
altuumpEa (IC PTOy .+ = -c vel prOy -- = FC: CricutraquC
PF ∞Z. POTrO CUI DP SCU AM SIT ∞ =, aC PaLaMeteF ∞ =
3
eric rectangulum sub ParametrO _ reCtA DP contentum D d X
Cumque idem rectansulum ae quale sit quadrato ucriusque ap-
3. Plicatae P F, hoc est, ZZ: eric quoque ZZ ∞ d X.
Nonocalu, ubi vertex est in puncto L. de diameter in recta
2Ovel OP, quoniam, uc Tupra, OF est ∞y -  - c, atque
OBF∞y - = FC; aC reio PE una ∞y - c- F =, aC P F al-
cera ∞y. + c - =, siE que eo ca(u Z a NUMPLA PFOy 8 = 8c:
erIEOE, OBE, atque utraque P P ∞ Z. PECUMDO AUEDP
seu AM lic ∞ =, at que DO TCu AN ∞ =: erit OO vel OP
Choc est, obserrata juxta Regulam triplici distinctione, DO
vel DP B D, atque etiam () D --DO vel DP) aequalis
ex
efs
 E a d atque etiam
ad
.UInde si eadem O vel OP
mulciplicetur per Parametrum x=, erit rectangulum ∞ dx
8 ff, acque etiam ff- d x. Ouod quidem rectangulum cum
aequale sic quadrato applicatae OF, O B F, aut utriu (que PF,
D: hoc ett, 7Z: erir quoque Z7 ∞ dx 8 ff, atque Z7∞ ff - d X.
Dux quidem omnia lune, quae hic demonstranda crant.
Ouod aurem ad aequationes superioribus norem casibus
conversum correspondentes spectat, ut linea Parabolicae de-
Ccribaneur, quae sine Loca guae lita: Poliris iildem, ut supra, per
punctum

## Folio 315 — 175906937X:0339
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000339.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 18 lines, status machine
E. + B. II. C A P. IV.
blinctum A ducenda eAt recta A C ip(i B P parallela, ac dein-
de ipla AC, ubique consideranda, ut considerata tuit recta
AB in superiorifigura. Porro lumpromenem  C puncto
uccunque, reluc C, aeee per et eta recta ipsi A B paralle-
Ja, velueOCF, cric limilicet hac nosque conside-
randa, sicur cotetaca l recta OB P in praecedenti tisura,
nuliâ scilicet alia muratione adhibitd. Fxempli graria, l1 a-
I. Quatio (IEdy ~ X X, exIF A C diameter, Avertex, et Parame
F. 2
cer od. Cumehs sed BL lit concepeaurp, ec C L leu
A BuEx, rectangulum que sub ParAMCEIO _Z AC COnteNEUI,
hoc est, dy, aequetur quadrato recta C P. seu AB, hoc CAt, X N:
CTIE, UEPCEITUI, dy D X X.
TI. Si aequatio sic d y. fs ∞ XX, sum PEA A F ∞ 7, exit F vertex,
manente diametro in recta F. C, atque ParaeErO D d. FA
RF 2
enim

## Folio 316 — 175906937X:0340
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000340.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
26
P L E M. C U R V A R U M
enim pro triplici juxta Regulam distinctione F C ∞y gY
atque etiam, -y: ac proinde rectansulum Cub Parametro
ac eadem FC contentum ∞ dy 8 ff, atque eriam ff - dy.
Duod quidem rectangulum cum a quale sic quadrato appli-
catae CF, hoc eA, x x: Crit, uF PetituT, d Y. ffD X N.
TTT. Si aquatio (E d y ∞ V v, vel dy. ff vV, acque v primum
assumpea sic prox 8 C, Facta AD ∞ C, Pumproque puncto D ab
A versis B, CIV Sic aNumPEa PTO N = C; at contra ab altera
parte, Cir altumpta tuerit prox - L c, erit, ducta DR ip(I A C
parallelâ, diameter in recta DI. Ec literminus ff deticiat,
TV. erit vertex in D; Sin secus in L, cum triplici rariatione, ut
supra expolitum cAt. FF patet, D B SiveD AB, hoc eAt, RF.
siveK C. E FOrCV, DK ∞Y, aEquC L K ∞ Y 8 7, atque eriam
-p: ac proinde rectangulum sub Parametro d dictaque
DR comprehensum ∞ dY; at vero id quod sub d_ L R com-
prehenditur x dy 8ff, atque etiam ff = dy. Ouod quidem
rectangulum cum xquale lic aut supponatur quadraco appli-
catae K F SireK C L, hoc elt, vr: eric, ut petitur, dy ∞vv, vel
dy. ff∞vv.
Y. Sit deinde r a(uPEa PTON B = sumptoque in lineaOC F
puncto MIa C rersiIS E, S habeatur = ; at ab altCrA PartC
lineae A C, Si habeatUE L =, ItA VE A C sIE ad CM, SICUE A
ad b: erit in recta AM diameter sectionis, ejusque vertex in
YI. puncto a, siterminus ff deficiat; sin minus, in N. FE Polita
EatiOnC A C ad AMI, ut a ad e, ac proinde rectâ AM ∞ =
erit Parameter ∞ =. F.R enim recta C MI ∞ =, ac proinde
ME ∞ y - =, aEquC N C F ∞ y. L =, id cA, M F. vel
MC F ∞ V. Ouoniam ergo ex natura Paraboles rectangu-
lum Tub dicta Parametro ex recta A M contentum ∞ quadr2
EOCXM E veIM CF, crIE, dy ∞vV.
POrTO Cum N A siC ∞ 
3 CrIE NM ∞
3e
3
da 3 atque
etiam

## Folio 317 — 175906937X:0341
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000341.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 18 lines, status machine
etiam
L I B. IL. C A P. IV.
et
5.17.
ideoque rectangulum sub Parametio.
e recta NYM contentum ∞ dy B ff, atque eriamff-dy.
Duod quidem rectangulum cum lic ∞ quadrato ex NI F.
ret MC E, hoc est, rv; exir quoque dy. fs ∞ VV.
e
Sic demque ValaPrO X B
 8 c: erieque, suP-
I. VIII. Politis iildem quae lupra, diameter in DO, vel in DP3
TX. S, s terminus ffdeticiat, vertex in D; Sin minus, in .
EE posita ratione D K ad DO, uF EE D K adt D P, SICUE
aade, dc proinde recta DO, uF _ DP 3 =; erit pa-
rameter ∞ =. Fs enim OF ∞ X - = = 6, aeque.
RF 3
OCF

## Folio 318 — 175906937X:0342
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000342.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
318
E L E H. C U R Y A R U M
OCF ∞ ∞ + = FC; ItCmqUCP F UnA ~ ∞ = = F 6, dC PF al-
tera ∞ X   = = 6, hoc eAt, OF, OCF, d P P una vel altera
es
CrIED V. FAque OO VeI OD (SICUE SuPTA NMI) ∞ -= 8 +∞, 3-
que ctian
OO vel P ∞dy 8ff, acque etiam ff - d y. Ouare cum idem
rectangulum ae quale lic quaclrato ex OF vel OC P, aUE CX Una
alterare PF, id elt, vr: erit quoque dy. ff ∞ vV.
Atque ita demonstratum est generaliter, quod hoc locopro-
politum fuit.
AC si denique aquatio similis sic alicui Formularum
Lub NN 3 Comprehentarum, erit Locus quaesitus, liter-
minus in quo invenitur x x vel vV signo- sc affectus,
Terperbola; sin idem terminus signo = 2FFectus (C, FI-
liplIs: excepio cancum, cum polteriori calu ordinatim
2d diametrum Epplicatx cum ea rectos angulos ta-
ciune, & simul eranlverla diameter paramcero cA x
qualis: quippe eo calu, ut patee, qualitus Locus Cir-
culus existic.
Etprimo quidem casu, cum nempe terminus in quo x x vel vv
Ciono- F aftectus reperitur, ac proinde Locus quaelicus eAt L (yper-
bola, erit quoque terminus ffcum illo ab eadem ae quationis par-
te consticurus vel signo. L affectus, vel contra; _ (i ligno - aF-
fectus lic, atque in aequatione habeatur tractio, ipla majoris per-
spicuitaris gratia in terminum ry vel ZZ rejiciatur. Quo tacto,
remanente utraque quancicare incognita primum conceptâ, le-
Casus ims quenti Forma se extribebit aquatio: py ∞
de de
e ety -ff∞-) aUF
de d
∞X N =ff: critque, ut in lequenei Agura,
calu primo, nempe literminus ff cum cermino in quo x xunam
aequationis partem constiruens signo. L affectus sIc, diameter IIy-
perbola describendae in recta A Z, quae ducieur per punctum A
politione datae B F. Parallela. Sin contra, hoc est, si terminus ff
tiono - affectus sic, uti casu lecundo, eric diameter in data posi-
eione recta AB, qua InAETERIINatE PrO x ConCIpITUT; ita ut ad
CaIdem
cum LOCUS
bola.

## Folio 319 — 175906937X:0343
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000343.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
L F B. IL. C A e. IV.
329
eadem diametros orma appcacae Faciant angulos, dato vel
alipco angulo AB L aeaaS: eritque calu utroque centrum
Flyperboles in puncto A, ee semi latustranlrersum x s, quod in
POrrd si l sic ∞8, rel, quod idem est, litermino x v rel gy nulla ad
haereae
dictis diametris respectire per lineas A C vel A F exprimatur.

## Folio 320 — 175906937X:0344
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000344.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
320
F L E NI. C U R Y A R A M
haereat Fractio, crune lacera tranlversum et rectum sibi inricem
aequalia. AC vero politis la sina qualibus, erit ratio lateris eran-
verli ad rectum ut l ad g.
Si enim descripea incelligatur praedicta FIrperbola per pun-
ctum C in veraque diametro versus Z e versis B respectire; lup-
ponatur que eandem secare rectam Z E, qua ducta lic ip(I AB ~-
quidistans, ue de iplam B L, ad dictas diametros respectire ordi-
natim applicatas, in puncto F: erit
FX ∞ y + 5,
C X ∞ y - f,
FB∞X L f.
C B∞N -f;
ideoque rectangulum
FZC ∞ yy - fF, de FBC ∞~N -ff.
Cum autem lacere recto ipsi crantrerlo aequali existente re-
per ropri Clangulum FX C = SIE ∞ quadratO ex Z F seu A B, hoc CA, X X;
icemque rectangulum FB C (ic ∞ quadrato ex BF, hoc ell, yy:
exit py = ff∞ Xa, hoc eAt, Yy ∞ X X L ff itemque
X X - ff∞ yy, EIYCy y DXX -fs.
Sed cum secus recto latere ips erantverso inaequali existente
unius ad alterum ratio lit, ue l ad e; Cimiliter que etiam ratio re-
ctanguli FX C ad quadratum X F, aut rectanguli FB C ad qua-
dracum BF cadem sIC 2, quae trantrersi laceris ad rectum, hoc
pruci hujus. est, eadem quxe lad8: exit ur lad 8, IFa yy = ff ad Xx; icemque
uE l ad 8, Ita X X = fFad yy. hoc est, reduetâ proportione ad a-
qualicatem, eric lX N ∞ 8yy -8FF, ut ec lyy ∞ 8XX sFf. unde
Xe X
dirilis omnibus pers, tc-- ∞yy- ff, hoc est, yy ∞
e ∞ x x =ff. Ouod demonstrandum erat.
X _ +ff.
Ac si quantitacum incognitarum primo conceptarum un d ex
aequatione sublatâ, aliaque in ejuldem locum juxta Regulam a(-
Cumpea, aequatio (IF
l2Z
y
IaX
L
+ ff (id CA, ZZ-- ff ∞
lXe X
D. vel
D XX -ff: auc Z auMPEa CxIF pIO y 86, vel PrOY 8 =, aUI
8. T. PrOy 8 = 8 6. Et quidem primo (iZ altumpea sic proy 8c, du-
cenda est per punetum A recta A D ip(I B F. parallela _ ∞C; ita
uc, (1Z Fuerit altumpea pro y -c, praedictum punctum D cadat
ab eadem parte linea AB, qua dacus vel conceptus est angulus
ABF. Sin contra Z fuerie allumpea pro y. +6, idem illud pun-
ctum
ni hujus.
Per 10
Casus 2dus,
cum LocuS
est H) per
b0la.

## Folio 321 — 175906937X:0345
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000345.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 9 lines, status machine
L T B. TI. C A P. IV.
32L
tum Dreperiatur ab altera parte MMex AB. Deinde per puneu
ducta recta DR ips AB Palancta, qua SCCeCa BL. P1O.
ductau opus iuerie, in puncto K: erit describendae LIyperbola
Malseter, alterminus ff signo. F aulcus HC, I recta DX. Tin
comtra, hoc est, sicerminus ffligno - aftectus sit, in praedicta
55
recta

## Folio 322 — 175906937X:0346
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000346.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
22
F L F HE. C U R V A R U M
recta DR; ita uc ad ea(dem diametros ordinarim applicatae an-
oulos Faciane, dato vel asumpto angulo ABP vel DK P sive
DZ P aequales. Frirque calu urroque D cenerum sectionis, e
Temi-lacus trantrersum f, quod in dictis diametris respective
per lineas DV vel DL exprimatur; erit que porro tranlversila-
ceris ad rectum ratio, ut lad 8. Si enim delcripta intelligaturprae-
dicta FIyperbola per punctum V in ueraque diametro, versus Z
_ K respectire, eadem que secare supponatur rectam ZF, ut d
iplam R P, ad dictas diametros ordinatim applicatas, in puncto
E: erIt D A X LIVCR BF ∞y L C, QDX CCuR F ∞y -c; ideo
que eadem D A X _ R B F. rel D X _ R F. ea ipla, qua prO Z est
aUPTA: AC PFOPECrCA L X ∞Z Lf, _ELK∞N Lf
acque VX ∞Z -- f, _ VK ∞X - f:
ideoqne rectangula
LXV ∞ZE ss, _LKV ∞XK-ff.
Cumeue Cacem sic ratio cam unius quam alterius rectanguli
L X V ad quadratum XF, uc ec urriulque rectanguli L K V ad
quadratum ex K F vel K B P respectire, qux est lateris tranlversi
ad rectum, hoc est, uc l ad g: Crit quoque uE
1ad8, ICaZZ- ff ad X X3
itemque uc l ad 8, ita X X - ff 2d Z
hoc est, rerocat à proportione ad ae qualitatem,
IXd
CxIE
∞
22
e-
y
L f5. lve
d
IXX Xff3
∞ X X = ff: auE, ( l (IC ∞8.
erit ZZ∞ X x Lff,
de ZZ∞ X X - f5.
Duod quidem hic demonstrandum erat.
8. 2. AErero secundo, (iZ astumpta SIE prO Y 8 =, sumpeoin linea
B E puncto M, It2 UE AB ad B MI SiC, Sicut a ad b; hoc CAt, uE BMI
sic ∞ =, (quod quidem punctum MI, (iZ astumpea tuerit proy --
ab eadem parre linex A B qua datus rel conceptus angulus ABF.
sumendum est; sed contra, si habeatur Z07 f =, ab altera par-
re ejusdem lineae AB sumi debet, ) opOrtet per puncta A_ M
rectam lincam ducere AM, Secancem HIC HI _ O F ( PEr PrR-
dicta puncta C _ F ductas ipsi D F. parallelas in punctis C dc N.
Duc

## Folio 323 — 175906937X:0347
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000347.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
L. IB. II. C A P. IV.
Suolacto, literminus ffliono. L affectus lc, crit quaelica lIy-
perbola diameter in recta A WV ipsi B F parallela, ad quam or-
dinatim applicatae, uE F W. Cunt ip (i AM aequidistantes. Sin con-
Eta hdec acostem  altelcuo. et dsat
praedicta recta AM, ita uc ordinatim ad eam applicara cum ipsa.
55 2
Faciane

## Folio 324 — 175906937X:0348
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000348.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
324
E. L E NE C W R V A R U M
Faciant angulos angulo AM F. vel AM B F aequales: eritquetam
unius quam alcerius Hyperbola centrum in puncto A. Fc quan-
cum ad carundem latera tam eran lrerla quam recta, erit ejus Hy.
perboles, quae ad diametrum AW describitur, Semi- lacustrans.
verlum ∞f (id Gue IECTUI ExPPIIAEuF PEF A C vel A F), a rario
ejusdem tranlversilateris ad rectum, ut a a l ad e eg; Politonimi.
rum quod ratio ipsius AB ad duCta AMI SIE UE a 2d e; at VerO
Fyperboles, quae ad diametrum A M describitur, semi- latus
tranlversum erit AC rel AN. Oux quidem AG vel A N erir
∞ =; CUM SIEVE A B ad ANI, Sive uE a ad e; ita A C vel A F, hoc
est, f, ad AG vel ANI; ex ratio ejusdem trantrerli lateris ad re-
ctum, ut e et ad a ag. Si enim praedicta FIyperbola descripta intel-
ligatur, transiens per praedictum punctum C in diametro AW
ec per punctum C in diaetro AM, Prae supponaturque rectam
MIF vel WV P ordinatim ad casdem diametros applicatas a praedi-
eta Hyperbola lecari in puncto F: Crit MB F. vel AXWV ∞y +
3X
ZdMF vel A W ∞y - =, hiOc eAt, AZ W sCUMBE, uti e
A W (CUM E ca ipla eric, qua proZ a sumpta elt. F st AULCM A M
Teu WV P ∞ = ac porro calu priori, ubi descripra eAt Lly perbola
ad diaetrum AW, (cum nempe terminus ff signo. L eA affe-
ctus) FW SIVCFZW ∞Z +f.
_E CW sIrC C XWV ∞Z-f:
ideoque rectansulum
eeaX
FW CVelEXWC ∞ZZ.=SF, ee quadratum WV P. ∞ a a
Cumque sit nelacus tranlversum ad rectum, ita praedictum re-
etangulum ad pradictum quadratum, hoc est, eo casu ut a al ad
ee8, Ita 77
Jec 1 v
Lffac
a: CTIEBElXN DECGZZ = eegff, e, 0-
lav
mnibus per ees diritis,
laeX
DZ Z = ff, id elt, ZZ ∞
+ff.
Ac vero calu posteriori, ubi descripta est Fyperbola ad dia-
MICETUI AM, cum nempe terminis ff(ignO- eA aHectus, crir
e Xe
et
NN∞ - 1
X
a
a e GM∞
eex eef
 es
a: ideoque rectangulum NMO
aa aa. Cumque situr latus cranlversum ad rectum, id
est, hoc casu, uc cel ad aag, ita praedictum rectangulum NHC

## Folio 325 — 175906937X:0349
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000349.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 9 lines, status machine
L I B. II. C A P. IV.
325
ad MIF. vel MB F quadratum, hoc CA, ad Z Z: crie ut eel ad a aC
+a e EX  = e esf
Aa
ad 2Z: ac proinde eel ZZ ∞ CeS XN = ee955.
Hoc elt, tuctâ diritione per ees, eric ∞  -ff. Ouodhic
demonstrandum exat.
55 3

## Folio 326 — 175906937X:0350
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000350.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
F E E N. C U R Y A R U M
a
8. 3. Si denique terrio Z a umpra sit prOy 8 = 8 6, ductâ, ut Iu-
PTa, AD ∞f, _ D K ipsi A B parallela, Tumproque in linea R P.
puncto O; Ita UED K ad R O Sic, licut a ad b, hoc eA, ut KO sIt
∞ =, ducenda est per puncta D _ O recta DO, secans praedi-
Ctam FTCFIin FI, atque occurrens praetata OF Q in O. (Con-
stat autem ex superius explicatis pradictum punctum O, Si in x
quatione habeatur - -, ab eadem parte lincae AB sumendum
esse, qu’a datus aut astumptus est angulus AB F; ac si habeatUF
L= illud ipsum punctum ex altera ejusdem linea parte sumi
debere.) Ouotacto, licerminus ff Siono-L aftectus sic, erit dia-
meter quae litx FIyperbolae in recta D W. Sin concra, hoc eAt, I1
terminus ffligno - sic affectus, erit ipla in praedicta recta DO;
ita ut ad caldem diametros ordinatim applicatae anoulos Faciane
aNSUIOD W ESIVC D X WV E, auED OE lireDOK P aequales:
erieque tam unius quam alterius IIrperbolae centrum in pun-
EtoD. Ft quancum ad carundem lacera tam tranlverta quam re-
eta, erit ejus FIrperbola, qua ad diametrum D WV describitur,
hoc es, cum terminus ffliono-L afficitur, latus eranlvertum ∞f.
id que hiciteruM ExPFIIaEuF peF DV vel DL, ac ratio ejusdem
laceris tranversi ad rectum, ut a ab ad ees; at vero FIrperboles,
qua ad diametrum DO describitur, nimirum, quando cerminus
ffliono - actectus est, erit lemi-lacus tranlrertum recta DO vel
DTT, id eAt,=; acqueratio ejusdem lateris erantvert ad rectum,
ut eet ad a ag. Si enim descripta intellisatur FIyperbola, tran-
iens per punctum V in diametro DWV de per punctum FI in dia-
metro DO. supponaturque eandem FIyperbolam secare rectam
WVE vel O E in puncto F, CrIEORBF SIVCD AZ W ∞y L C L
bX
,ee OFsive DW ∞y -c- =, aC OBF (IVCD AW ∞y +6
E. aeque OR F vel D Z WV ∞ y - d F . FIOc est, CrInE
omnesilla praenominatae linex caedem, qua pro Z aumpeae lunt.
Fst autem DO Peu WV F ∞
e a
eex _
ideoque quadratI W E. ∞ aa
ac porrocalu priori, ubi descripea est IIy perbola ad diametrum

## Folio 327 — 175906937X:0351
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000351.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
(iC
1.
P.
II
CUF
mi
1a-
A1
i
adC
Cd:
+1.
1C.
IF,
os.
en
Cd.
IUS
vel
M,
1C.
1a
M
+
es
11
L FB. II. C A P. IV.
BN, cum nemspe terminus ff lieno L afficitur, I W sive
L. Z W ∞ Z F f, _ VW CiveV XW ∞Z-f: ideoquerectan-
SULU L WV V SIrC L XW V ∞ ZZ-ff. Cumque sIE vE latuS
careu ad rectum, ita PFAMTCLMI SCCCAMSaum ad W F
quadeatum, hoc est, eo calu, ut a a b ad ees, IF a ZZ- ff ad
eed i

## Folio 328 — 175906937X:0352
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000352.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
e e X d
F L F N. C U R V A R U N
aa: erit e el X X ∞ eCB
IX X
de
y
(T = eegff ac, dirisis omnibus pereee
AC vero casu posteriori, ubi descripta est FTyperbola ad dia-
Metrum DO, erit 2O ∞ = + =, _ IIO ∞
rectangulum OOH ∞ ecxx = eets
aa
- ; ideoque
 CHImGUE IECFUMI SIE, UE latuS
tranversum ad rectum, ita praedictum rectangulum OOHI ad
QuadraLII Cx OAEBF vel OF, sireOBE AUEOKF: id eAt,
eocalu, ut eel ad aa 8, it 2 E C X X = c efs
a a
C: erit quoque proin-
de eel Z2 D Cegxx = eegff. Hloc est, dirilis omnibus perees.
Cric = ∞Xx =ff. Oux quidem omnia sune, quae calu supe-
riori in triplici sua distinctione determinanda ac demonstronca
erant.
Casus qius, Si rero quantitatum incognitarum ab initio ConceptarUIM, al-
Tum Locus Tera ex aequatione sublata, aliaque ejuldem loco secundum Re-
culam altumpea, ae quatio (ic yy ∞
02
Lff, (id est, yy - ff∞
00
AIE= ∞ VV =FF, AEQUC IPCADEANELIIM ANTUIMPEA LIE PFO N 8 nOF a-
liqua quancitare, Sit vallumpta prox B B; IIoc casu in linea AB
vel eadem producta sumendum est punctum L, ita ut A I sic ∞ B
(quod quidem punctum I, si v assumpea Fuerit pro x -- B, 2b A
versus B; Sin concra, ab altera parte puncti A in producta B A
Tumi debet.) Ouo facto, erie idem illud punctum L cenerum de-
Scribendae Hyperboles, d, mutatis mutandis, caetera omnia, ut
lupra calu imo memoratum est, nempe, diameter in recta ll vel
in recta IB, Semi- latus cranlverlum ∞f, ac que proportio lateris
cranlver(i ad rectum, ut l ade.
Casus aeus, Si denique quantitatum incoenitarum, primo conceptarum,
est ApC. 0. Veraque ex xequatione sublata, aliisque carundem loco juxta Re-
culam astumpris, a quatio (it 2=
100
2
10∞
Ifs, (id cAt,
E fsX
), auc = ∞VV =ff; acque Z primum asum pta (IE PFOY 8C,
ducenda cA vtrinque LR parallela B F, e ∞ c: quo Facto, c.
ric idem illud punctum R centrum, de diamerer in recta R Y
28
est Hyperbo
Cam Locas
Ie

## Folio 329 — 175906937X:0353
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000353.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 9 lines, status machine
L T B. II. C A P. IV.
29
si lateris ad rectum, ue l ad g. quemadmodum ea omnia, mu-
catis mutandis, calu secundo. 5. 1. Fulniis explicata lunt.
vel RK, ejusque semi- latus transvertum x f, ac ratio erantrer-
5.2. ACli Z allumpra tuerit pro y 8
IC
CEIE punEtUI S, IB
9u0

## Folio 330 — 175906937X:0354
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000354.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
B3C
E L E M. C U R V A R W N
quo M A, vel qua ipsi in directum adjungitur, per praedictam
IR, vel eandem productam, si opus lic, interlecatur, centrum se-
Ctionis; e caetera omnia, mutatis mutandis, uc supra casu secundo
5. 2. memoratum elt. Nempe erit sectionis diameter in rectasD
e3
velSM (acque utibidem AML SCU F WV cCrat ∞ =, ita hIC SMseu
Fi P erit ∞ =: CUIM SIE HE AB ad AMI, hoc CAt, uE a ad e, ita BI,
hoc elt, v, adSM); critque porro semi- lacus transverum ∞ fec
respectire, ac ratio tran (versi lateris ad rectum, ut a al ad eeg,
velute et ad aa8.
5. 3. Sidenique Z assumpea Fuerit proy 8 = 8c, eric punctum I,
in quo DO. vel qua iphi in directum adjungitur, perpraedictam
IR, vel productam, si opus sIc, intersecatur, centrum sectionis;
e reliquaomnia, mutatis mutandis, ut paragrapho praecedenti,
ex supra casu secundo 5. 3. tusius expolitum est. AEque eorum
omnium demonstratio in praecedentibus explicite est compre-
hensa, cum termini de quantitates omnes hic cum prioribus con-
reniane, exceptotantum, quod, quae ibidem delignabaneur PeFX,
HIC (InEx B B, hoc est, v. Ita enim quod ibiCrat AB _ L Z ∞ X
hic eAtIB_ F. Z ∞ V; quod ibi erat DK de F X ∞ x, hic eARK
_ F. Y ∞ V; quod ibICrAE AM X F. WV ∞ =, hiC CASME E P ∞
2
; quod ibierat D O _ F WV ∞ =, hic estTO_E L P ∞-
Ouamris aurem secunduim Regulam accidere etiam posiC, ut
Vcompolita sic ex x B alia quadam quancitate, cui de incognitay
permixta lic; ita tamen, uc eo casu Z Colummodo ex y 8 alia quanti-
eate in totum cognita constare queat, haudquo quam tamen operx
pretium existimamus, casus omnes ed spectantes speciatim perse-
qui: cum ex iis, qua cam in Locis Parabolicis quam in polteriori
exemplo reductionis aequationum ad Formulas Theorematum
22m ec 13 ei superius explicata lunc, iidem illi casus per se manifecti
sinc atque in praecedentibus etiam omnino plene que comprehen-
dantur, sinimirum, (ubsticuro per omnia x locoy d rice rersa, ca-
dem x non per rectam AB led per eam, quae ex A ip(I B E paral-
lela ducta (ic, atque y non per B F sed per rectam ipsi AB ae qui-
distantem, delignerur. Ouod hic generalicer monuisse sufteceric.
AI

## Folio 331 — 175906937X:0355
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000355.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
I F B. II. C A P. IV.
Aiquatuor casus, cum Locus est Fyperbola.
am vero quod supra annocarimus accidere quoque
Posse, uc aquatio lE
I. y X
3. )
40
Omnonse s Canbus Loemm Guancum AcFlrpci
bolam, ejus determinatio live deseripeio acque demon-
sracio ex iis, quae jam ance explicata lunE, sponte quon
que protuunt.
Primo enim casu, si in recta A B sUMaTUF A C ∞ f, aEquC CX
puncto C educta rectâ C D, quae ip (1 BF. sic xe quidistans _ se qualis
priori AC, hoc est ∞f, per A _ D recta linea ducatur: erit A
centrum FIyperbolae, cujus anis est in recta AD, e punctum D
Vertex, acque AB alymprotOS. Sive (ducta rectâ D F ad AD
perpendiculari ac in AB cerminata) erit AD seni-lacus tran
verlum, ee racio cranlversi ad rectum, uc AD quadratum ad D F.
ex AC ret CD. Ouat  L ) AC ∞f: exit mi hegus.
x y ∞ff. Quod pino calu erat demonstrandum.
Secundocatu, cumnempe aguaciben zabss. Opolutz
juxta Regulam sic aumpta proy 8 noca quadum quantitate. FAo
2
IEaque
quadratum. Si nampu praea Lpenon secate suppoacur
rectam BE in puncto F, erit rectangulum ABF. ∞ quadratO  per 3 pri

## Folio 332 — 175906937X:0356
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000356.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
332
E L P HI. C U R Y A R U M
itaque astumpta proy BC, acque idcirco ad describendam Hyper.
bolam ducacur per punctum A recta AC ip(i B F. parallela, 2c
∞c: Cumpeo nimirum puncto C rel ab hac vel ab illa partelinea
AB, PTOUL C quantitas SignO L vel - fueric affecta; duetaque
porro CHIipsi AB parallela, CentrO C, ACymptoTOGHI, care-
risque, ut supra, mutatis mutandis, Fyperbola describatur. Haec
isicur (i lecare supponatur rectam B F. in puncto F, eric rectan-
oulum CFIBF vel OFIF ∞ ff. Unde cum sic OFI DK, _ HF
velHIBE∞y 86, id est, Z: erit GHI E vel GFIBE rectangu-
lum ∞ZX, ac propterca Z x ∞ ff. Ouod 2d0 calu demonstran-
dum crat.
Terrio catu, nempe sI aequatio (IF y V ∞ ff: v quoque tantum
PrOx 8 noca quadam quancitate sumpra sic oportet, reluti pro
x B h. Ideoque ad inventionem Loci quaelici, in recta AB vel in
ipsa producta sumenda eAt AI∞h, aC POrrO CenErO L, atque
ACymptoto TABveIIB, caeterisque, ut lupra, utatIS mUTaN-
dis, describenda est FIyperbola, qua si rectam B F. secare supPO-
natur in P: erit rectangulum I AB F vel IB P ∞ff. OUarE CUM
IA B vel IB sic ∞ x B B, hoc eAt, v, d BF ∞y: cric y v ∞ff.
Duod ztio casu demonstrandum erat.
Denique quarto casu, Cinempe aequatio sic Z V ∞ ff: erit Z a um-
Peaproy 8C, _vprox B h. Ideoque per praedictum punctum Ldu-
cenda est IK ip(BF aequidistans X ∞C; duet a que R FT ip (I AB P2-
Fallela, CenErORL, aEquC AIYMPEOtO R G II vel R FI, caeterisque,
ut calu rmo, mutatis mutandis FIyperbole describenda est, quae
si lecare supponatur rectam B P in F: erit rectangulum RG IIF
velKTIE, AEBKGTTBF veI RITBF ∞fF. Hlinc cum IIBF
vel HIE (IC ∞ y 8c, id CA, Z, _R GHIVel RII ∞x B B, hoc eA,
V: erit Zv ∞ fs. Ouod qo calu demonstrandum crat.
Acque haec quidem omnia unE, quae circa inrentionem LOcO-
rum eo calu, quo iidem sumc in linea Hyperbolica, consideranda
veniunt.
Altero aurem calu generali Formularum (ub No 3. Compre-
henlarum, cum nempeterminus, in quo inrenitur x x vel vr. si-
BnO = Cic affectus, ac proinde LOcus quaesitus rel FIliplis vel
Circuli circumferentia existit, si in aequatione Fractio reperiatui,
rejici quoque illa poterit majoris perspicuicatis gratia in termi-
humpu vel ZZ. QuotaCtOPTIMO, rEMAHENEEUETaque quantICate
inCO-

## Folio 333 — 175906937X:0357
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000357.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
n
0
M
L + B. II. C A ∞. IV.
33
incognita ab initio concepta; lequenti formula se exhibebicae.
quatio
∞ff - X x: erieque, ut in sequenti figuras delcribendae Casus rmus
Ellipleos diameter in recta AB, qua pro x indererminare eltou
concepea, ita ut ad eandem diametrum ordinatiur applicata cum vel circuli
Ca angulos Faciant, dato vel allumpro angulo AB F ae quales; ac circumse-
rentia exi
cencrum in puncto A. a semi latuseranlverlum ∞ f. id quod in sit.
dicta diametro per lineam A C vel AF exprimatur, erie que ratio
ejusdem erantrers laceris ad rectum, ut l ad g.
Si enim descripea intelligatur praedicta Flliplis, transiens per.
puncta C e F, secansque applicatam B F. in puncto F: erit FB
∞f. F X, _ B C Df = x: ideoque rectangulu F B C ∞ff - X X
Accum ex natura Fllipleos, laceribus recto tran (verloque ae qua-
libus, praedictum rectangulum F B C = sit ∞ quadrato ex B F, 1 per 12 pri
hoc eli, yy: erir quoque proinde eo calu yy ∞ ff = X s. F.F Faeile mi hujus.
perpendicularis, hoc est, uc angulus quem ordinatim applicatx
taciune ad diametrum sic rectus, praedictam curram Fore Circuli
circumterentiam.
Cum aurem porro, lateribus eran verlo rectoque inaequalibus
E 3
aEque
apparet, (, iildem positis, BP super rectam FC. Foret quoque

## Folio 334 — 175906937X:0358
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000358.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
334
E L E H. C U R Y A R U M
per 13 pri acque in ratione ut lad 8, eadem sic ratio rectanguli FBC ad
BE quadratum, quae est lateris cranlversi ad rectum, hoc est, yx
lad8: ex praedictis palam est Fore uc l2d8, 1taff = X x ad py.
hoc est, esse ∞ ff = x x. Ouod eo calu demonstrandum erat.
Ac In quancitatum incognitarum primo conceptarum und ex
aequatione sublata aliaque in ejuldem locum juxca Regulam al-
2Z
supEa, aequatio sic ∞ff = XX: auE Z aNUIMPEA CTIE PTOY 8C,
aUEPFOY 8= aUIEPFOY 8C8
V. P. Exprimum quidem, si Z asumpea Fuerit pro y 8C, ducenda est
per punctum A recta AD ip (I B F paralleta ac ∞ c, ita uE, S1 Z
Fueric assumpea pro p - c, praedictum punctum D cadat ab eadem
parre lincae AB, qua datus vel ConceptuS est anguluS ABF; sin
concra Z Fuerit allumpea pro y. Lc, idem illud punctum D ab al-
cera parte linea AB reperiatur. Deinde ducta per D recta DH
ipE AB parallela, quae secet rectam B P, productam versus B, II
opistuerie, in puncto K, erit quae sita Fllipleos diameter in recta
DK, ad quam ordinatim applicata cum ea angulostaciant, dato
vel astumpto angulo AB F (eu DR F aquales. Punctum autem
Dcentrum erie, d lemi-latus tranlvertum ∞ f. quod in dictis
diametris per lineas DV ee DI exprimatur, erieque ratio erans-
vertilaceris ad rectum, ut l ad e.
Si enim praedicta Ellipsis delcripta intelligatur trantiens per
puncta L a V, qua supponatur secare rectam B F, ad praedictam
diametrum ordinatim applicacam, in puncto L: crie K B F ∞ y LC,
ee K P. ∞ y - c, id eoque eadem R B P vel R F Ca ipla, quX PTO Z
alumpea est. Cum que LR SIt ∞f. L ∞, _ R V ∞ f = x: CrIEre-
ctangulum LR V ∞ ff - x x. Accum eadem sic ratio dicti re-
etanouli L K V ad quadraLUM Cx KB F vel R F, hoc el, 2d Z
Z
quae estlaceris transrersi ad rectum, hoc eAt, uc l ad g: crit ut l ad
8. itaff - X X ad 23
Z. hoc est, erit
(1 I SIc ∞ 8, idem est aC 
22
∞ff - X X. Ouod quidem.
∞ff - x x. Reque hic iterum Facile ap-
Paret, quod, existence ansulo DKB F. vel D H F recto, e l ∞5,
hoc eAt, rectangulo L. R V ∞ IE F. quadrato, praedicta curra Cir-
CuluS SIE SUEUTa.
5. 2. Aerero, (1Z aumpra Tuerit proy 8 a. sumpro in linea BF.
PIO
mi hujus.
Casus 2Au5,
cum LOCuS
est vel FIi-
Pses vel Cir-
culi circum-
ferentia.

## Folio 335 — 175906937X:0359
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000359.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
E F B. TL C A P. IV.
3
producta rersiis B, Si opiis fuerie, punctoMI; iC2 uE A B adt BM
sic, Sicur a adb, hoc eAt, uEBM sic ∞ =, (quod quidem punctum
M, (1Z aTumpea Tuerit pro y = =, ab eadem parce linex A B, qu à
dacus vel conceptus est angulus ABF, lumi debet; Sin contra, Z
PrOy L =assumpeatueric, ab altera ejusdem linex A B parte (U-
mendum est) oporret per puncta A _ M rectam lineam ducere
YTAMO, Secantem rectam II CFI, acque occurrentem ip(I
DF 2, quxe per praedicta puncta C _ F ip(1 B P ductxe sunt aequi-
diltantes, in C e NV. Quofacto, erie quae sicx FIlipleos diameter
cum ea ansulos Taciane, ansulo AMI F vel AMBF x qualC5.
Porro cencrum ejuldem erit in puncto A, de lemi-latus eranlver-
Tum eric recta AN vel AC. (qua quidem AN vel AO, liratio
AB ad AMI SUPPONatIE UE a ad C, _GuIAbICUE = : CUII SIE VE A B
ad AMI, sire ut aad e, ita AC, hoc est, f, ad AO.) Denique ra-
tiotran (rersi lateris ad rectum erit ut eet ad aag, id est, SIL siF
∞5
2n recta C, scauc ad eandem diantcar ma appiscata

## Folio 336 — 175906937X:0360
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000360.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
336
F L E HI. C U R V A R U N
∞8, live, quod idem est, si termino ZZ nullo achaereat tractio;
AE ee ad aa, hOC CA, UE A MI quadracum ad quadraEUM A B.
Ecenim (i praedicta FIliplis descripta intelligatur, transiens
per NV & C, supponaturque eandem secare rectam MI F. vel
MBF, ad praedictam diametrum ordinatim applicatam in pun-
eto F: erir eadem MI. F. ∞ g - -, X MIB F ∞ y + =, dc
proinde ea ipsa, quae pro Z alsumpea est.. Cumque AM sic x
eX
 erit NN ∞ = + =, _ NO ∞ = - e
SulU NMO ∞ eess CEXX
aa
: ideoque rectan.
aa. Ac cum eadem sic ratio dicti re-
ctanguli NVMC ad quadratum ex M B F vel MF, quae est la-
ceristrantrers ad rectum, hoc est, eadem quae e el ad aag: crie
Eeff - CEXX
ae
2
y
L ac proinde eelz
Deesff - eesxx. id est, Facta dirisione per ec8, erit
∞ff - X v. EIVC, POSIEa l ∞8, Z2
22
etisiterum apparet, quod (i anguluS AMB F vel AM F rectus
TIE, ac limul e el ∞ a ag, hoc es, rectangulum NNIC, ∞ qua-
drato ex MF. vel MB L, praedictam curram Fore Circulum, cu-
juscentrum (ic A, ee Semi- diameter A N vel AC.
5. 3. Denique si cerrio Z astumpra sit pro y 8c8 = duct a, ut su-
Pra, AD ∞ f, _ D R ipsi A B paraltela, Sumptoque in lincaR F.
puncto O, Ita UED R ad K O Sic, licut a ad b, hoc est, uE R9
lIF D =: ducenda eAt per puncta D _ O recta ODOFI, secans
praedictam TTCFI in FI, aEGUE OCCUTTENS PEEFALA O F Q in 9.
(constat aurem ex iis, qua jam lxepiusmonita sunt, si habeatur
b
. Praedictum punctum O ab eadem parte linex DK, qua
datus vel assumprus est angulus DK E, Cumendum esse; at Si ha-
beatur. L =, illud iplum ab altera ejuldem linex parte lumi de.
berc.) Duo facto, erit describendae Fllipleos diameter in pra-
dicta recta QD HI, ita uE. ad eandem diametrum ordinatim ap.
plicata

## Folio 337 — 175906937X:0361
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000361.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
L T B. II. C A e. IV.
plicatx cum ea angulos Faciane, angulo DOK F vel DO F
aequales. Porro centrum erit in D, ee lemi lacus cranlverlum
DQ rel DFI∞ A N (Cu =, ac rario erantversi lateris ad rectum,
ut e et ad a45.
Si enim quaesita Fllipsis de Scripea intelligatur, transiens per
puncta  d II, eademque lecare supponatur rectam OF vel
OIE F in puncto F: erit OIE B F. ∞0 y F 6 - + -, OP ∞
= c = =3 OBF ∞ y - f 6 - = , _ O R F ∞ y - c -
de
: ac proinde praenominata illx linex exdem erunE, quae PrO
ex
aumpex lunt. Cumque porro (it DO Teu A M _ Z, ideoque
OD
 = =, _ OH ∞  - -: erit rectangulum QOFI
cess = CeXX
. Ac cum eadem sic rario dicti rectansuli OHI
Nu
ad

## Folio 338 — 175906937X:0362
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000362.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
338
F L E M. C U R Y A R U N
ad quadratum ex OK B P vel O F, aut ad quadratum ex OBF.
vel OKF, quae esteranlversilateris ad rectuim, hoc ett, ut eet
ad a a8: eric quoque uc eet ad a a8, it a eess = eexx
aa
dd y y
CL
ac propterea e elZ2 ∞ eesff - ee8 x v, e, dirilis omnibue
12Z
Per eeg,  ∞ff -  X. id est, si L sIc ∞ 8, erie Z Z ∞5
X X.
Atque hic irerum Facile apparee, si angulus DORBF, DOF,
DOBF, vel DOK P rectus Forec, & limul e el D a aG, prae-
dictam curram Fore Circulum. Oua quidem ommia lunE, quee
supra dicto catu in criplici sua rariatione demonstranda Crant.
Casusius. Si vero quancitarum incognitarum ab initio conceptarum al-
cum Locus tera ex aequatione lublata, alià que ejuldem loco secundum RC-
culi circum. Sulam allum pea, aequatio sit ∞ ff = vr, acque ipla v assum-
PEa SIE PEOx B noca aliqua quantitate; Sit r a um pta PFO X BB,
ericque eo calu inlinea AB vel A F sumendum punctum L; ita
uE A PCL ∞ h. (quod quidem punctum L, Ei v allumpta Fuerit pro
x = B, ab A versiis B; lin contra ab A versus F Cumi debet. )
Ouo facto, erie idem punctum P cenerum describendae FIi-
pleos, e mutatis mucandis, caetera omnia, ue supra, casu
primo memoratum elt. Iloc est, diameter erit in recta IB, dc
Semi-latus cransverlum erit ∞f, acque ratio tran(verli lateris ad
rectum, ut l ad c.
Casus geus, Si denique quanCIEALUI INCOSNIEALUI PTIIMLIIM CONCePEATI
utraque ex requatione ublata, aliisque carundem loco juxta Re-
122
circumse. Sulam assumpris, aequatio (Ic-- ∞ ff = v v; atque Z primo
asumpea sIE pro y 8C, ducenda est utrinque IR, parallela ipsi
S. T. BL, ac ∞c. Quofacto, eric idem punctum R cenerum FIIi-
pleos, _ diameter ejus in recta R K vel R L, eritque ejus semi-
lacus tranlverlum ∞f, ac ratio tran (ver si laceris ad rectum, ut l
ad 8. Quemadmodum ea omnia C a (u 240 5. Y, MUTatIS IUEAH-
dis, tulius explicata sune.
5. 2. ACSI Z alumpraTuerit prO y 8 Z, erie punctum S, ubi M A,
est vel Elli-
Psis vel Cir-
ferentia.
aest Locus
Bet Fipsis
vel Circuli
rentia exi
stit.

## Folio 339 — 175906937X:0363
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000363.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
1
d
)
(U
2C
1
0
L F B. II. C A P. IV.
vel, qua ipsi in directum adjungitur, per praedictam LR,
productam, si opus fuerie, interlecatur, centrum FIlipleos;
_E CRFCTA OIMNIa, MUEatIS UTandiS, uE Supra CaTU SeCUN-
d0 5. 2 memoratum est. Nempe erit sectionis diameter
in reCta SMI, (atque uE ibidem CFAE AMI ∞ =, ita hiCS M
CriE = : CUM SIE DE B A ad AMI, hoc est, ut a ad e, ita
BI, id est, v, 2d SMI:) ericque porro semi-latus Frans-
vertum ∞ =, _ ratio cranlrersi lateris ad rectum, uE e et
2d a d8.
5. 3. Denique (1Z assumpra fuerit pro y B c B =, eric pun-
ctum T, in quo DO, rel, quae ipsi in directum adjungitur.
per praedictam TR, productam, si opisfuerie, interleca-
cur, centrum Fllipleos; ex reliqua omnia, mutatis mutan-
dis, uc parasrapho praecedenti ac lupra calu secundo 8. 3
Vu 2
FuSIIS

## Folio 340 — 175906937X:0364
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000364.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
340 FLEM. CURVAR. CFB. II. CAP. IV.
fusius explicatum est. Nempe eric diameter in recta TO, et
semi-lacus cranlversum ∞ =, ac ratio tranlverti lateris ad re-
Etum, uE e e l ad a a e. Acque eorum omnium demonstraris
in praecedentibus explicice est comprehensa, cum termini et
quancitares omnes hic cum prioribus ConreniaNE; exCCPEOFIN
cum, quod quae ibidem desienabantur per x hic delignentur
perx Bh, hoc eA, v. Ita enim quod ibi erat AB ∞ X, hic est
TB∞V; quod ibi CFAEDK ∞ x, hic elt R R ∞V; quod ibi erat
2
AM∞ =, hic est SM∞ =; de quodibi eratDO ∞ =, hic eAt
TO D
Oux quidem omnia sune, quae circa inventionem Loci illo
calu, quo idem vel Flliplis vel Circuli circumferentia existie,
Consideranda veniune.
Aeque ica generali Regula calus omnes inveniendi LOca per
aequationes, in quibus neurra quantitatum incoenitarum in le
ducta nec factum sub iildem ad tres dimentiones ascendit, sed
vel quadratum vel planum non excedie, complexi sumus.

## Folio  -  — 175906937X:0365
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000365.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
RALATCISCI a SCHOOTEN,
L F F D F N SIS,
dum viveret in Academia Lusduno- Batava
Matheseos Professoris,
R A C T A Y U
D F
C ONCINN A NDIS
MLONSTRATIONIBOS
E E OM ETRICIS
ex Calculo Algebraico.
Ir lucem editus
DETRO a SCTTOOTEN
Francisci Featre.
d
A MI S T F L A. D A M. L,
Apud Ludoricum e Daniclem Elzcririos,
CID 1DC L Z. F0

## Folio  -  — 175906937X:0366
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000366.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
Nobilissimis ex Splendidissimis riris. Academiae Luedunen(is
Curatoribus visilantissimis.
D. A MIE LIO a BOUCTTORST, Wimmenumi
Domino, de Ordine Equestri in Delegatos Praepoten-
tium FTollendia Ordinum adscripeo, e ejuldem ho-
noratissimi Collegii Praesidi, Rhenolandiae Aggerum
Comiti, ecc.
D. GER ARDO SCTTAEP, I. C. Corcenhoerii
Domino, Exlesaco ad Screnistimos Dania Succiaeque
Reres, ancehac in Consestu Ordinum GEeneralium e
Collesii Ordinum PTollandia Consiliariorum Dele.
raco, Magnitica que Reip. Amstelaedamenlis ExcOn-
suli, ex nunc Prarii urbani Praefecto.
D. CORHELIO DE BEVERE, Equiti AUTatO,
Screvelshoeckii, W est-iselmondae, Linda, Qc. Domi-
no, Exlegato ad Screnissimos Maonae Britannix Da-
nixque Reges, Exconsuli primae in Hlollandiâ Dor-
drccheanorum lrbis, in Concilio Praeporentium (Iol.
landiae Ordinum ordinario ANCcOri.
EOROMOVE COLLEOIS,
amplissimis, spectatissimisque, forentissimae Reipublicae Ecidensis Consulibus,
D. COR NE L IO a B IY YFV F ST.
D. GIIL H E L M O P A F TS, T. C. AggerUM
Rhenolandia Chomarcho, _c.
D. P AUIL O a S WV ANENBERC, T. C. in PEx
porentium Caederari Beloii Ordinum Consessu Hlollandix no-
mine Delegato de Asestori.
D. RIPPARDO a OROEHENDYCR, J. C.
N E C N O N
amplissimo. Consulcissimoque Viro,
D. TOTA NNI a W EVELENOHOVEN, T. C.
Reip. Lcidensis Syndico, e DD. Curatoribus a Secretis.
Nobs.

## Folio  -  — 175906937X:0367
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000367.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
Nobilissimi que amplissimi viri, Domini
plurimum honorandi,
minam allequenda vericacis mectio-
dum, quarum alcera Synchelis live Com-
policio dicta, alcera Analysis rocara sire
Relolurio, cumprimis in Machesi à Ve-
ceribus Frequentacam critamque fuille,
palam faciunt celebria corundem mo-
numenta. Guorum imitari exempla cupiens incus p. M.
Fracer, postquam methodo Synthetica scientiae hujus
praeclara multa publicis cam scriptis quam pexelectioni
bus cum tructu rradidisset, ad Analrlin quoque, cerrissi-
mam inveniendi arrem, ejulque perticiendae rationem
lua Ctudia convertit. Neque dubitabat quin pleraque
Omnia, qua Veceribus tancum slorix peperistent, An2-
lyseos beneticio ac ope reperta essent: sed quae illi, ut
inventorum major admiracio force, dissimulato hoc ar-
tificio e suppresso, vulgari tantum Syntheleos forma ex-
tribuissent. Sed cum Vecerum dissimulatione factum vi-
derec, hunc Analrcicae methodi praestantem ulum non
modo a mulcis ionorari ac neglisi, sed iplam ejus certi
cudinem ac evidentiam a nonnullis suspectam haberi,
atque adeo soli Syncheli milerando labore inhxereretur:
consulcum judicarit hac peculiari diatriba oltendere,
iplum quoque Syntheticum demonstrandi modum in
Analyli concineri, atque ex ea elici posse; ut co argn-
mento quemvis convinceroe, quantum illa e praevaleat,
ee praeterenda lic. Sed rix huic cractatui supremam im
poluerat manum, cum, proh dolor, vita ejus, aEque
omnis reliqua de eo expectatio, intercedente tato ab-
rupta fuic. Aevero, uc posthumus idem atque novissi-
mus industriae ejus feetus in publicam lucem, cui delti-
natus erat, rite es honelte prodire poler: cg0, ut detun-

## Folio  -  — 175906937X:0368
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000368.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
etitrarer unicus, mei esse officii acque pietaris existima-
ri, non tancum in me recipere cditionis promorendae ac
jurandae curam; Led eriam pro veneratione de observan-
tia, quae vobis, Nobilissimi acque Amplictimi Domini, ju-
Fe mulciplici debetur, cundem faecum inclyea dignitari
veltrae achonori consecrare. Ilrique Fucurum spero, ut
cujus ingenii primicias, illustribus vectris nominibus olim
inscripeas, propitia benignitare excepistis, hunc quoque
ultimum ejusdem tructum oratiole suscipiaris. Neguelo-
lica humanicas vestra obstare linee meam OHerenEIS EC-
nuitatem, qui simul hoc quantulocunque COnaEu prO
vestris non modo in Frarrem, sed criam in p. m. Paten-
cem meum, longi cemporis benchciis meritilque oratum
animum proticeri ac celtari exoptem. Ouod quidem
pro illis, meque ipso, luculontius aliquando me factu-
rum contido, si e mihri, a prima acace similibus Au-
diis innutrito, benevolentiae ex tavoris vestri auram
aspirare ContingaL. INECTim D E N M O P F. MI A X.
suppliciter oro, ut consilia vestra de pro Rcip. Palute
atque Academix decore curas secundet, optimisque suc-
celsibus donct.
humillimus cliens
PEF RUS d SCHOOFF N.

## Folio 345 — 175906937X:0369
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000369.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
dR ANC ABI a SCHOOTEN
Tractatus
De concinnandis Demonstrationibus CC0-
metricis ex Calculo Algebraico.
L. B C Y O R E S.
Soniam, qua in Tractatu hoc docentur,
evidentius per exempla quam praecepta ex-
licari atque intellisi possunt: sufficere judi-
cuvi varus diversorum renerum exemplis
rem aperrissin exponere, can didéque impertiri. V ale.
P R O B E E N A.
Datam rectam AB, uccunque sectam in C, ita PFO- Vde sequen-
tem fxu-
ducere ad D, uc rectangulum sub AD, DB compre ram
rensum aequetur quadrato rectae CD.
Series Analyseos sive Resolurionis.
Suppolito Problemate ur jam facto,
YOCOAC. a
CB. b
_BDVeIDF. N: erieque AD. a = b F H d C D. b + X
Deindeuc habeatur sequation
Mulciplico AD. a + b + X
PerBDVeIDF.
prehientum, hoc est, ∞ AD F. P. a x L. b X = Y X.
Z X
Frirque rectangulum sub AD, DB com.

## Folio 346 — 175906937X:0370
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000370.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
DE COICENH AHDES
Similicer, mulciplico C D. b + X
per C D rel DC. b = X
+ bx L X X
bb F bx
Et tic quadratum ex C D, hoc est, HCDOFI. bb. F 2b X L XK.
Cndetalis emersit aequatio
aX F b X - F X ∞ ∞ b b F 2 b X F X X.
Ad quam reducendam tollatur verinque bX _C X X,
erieque ax ∞ bb L. b x. +
Deinde transteratur bx ad alterum partem, ur incognitx quan-
citates ab una _ cognita ab altera parre haDeanEuE,
_E AE a X =- b X ∞ b b.
Cujus utraque pars si dividatur per a = b,
InrenICEUE X ∞
. HIoc est, resoluca ae qualicate
En proportionem, erie uea =b ad b, I2 b ad x.
Id quod docet, ad producen-
dam AB ulque ad D, qualisre
quiritur, sumendam eAe C I ∞ -
qualem C B, Ita uE AP SIE ∞ a -- b3
ac deinde ad AI_ IC vel C B,
hoc eA, dd a - b e b, esse inve-
niendam zcium proportionalem
BD
Unde tale Formari poterit
Elcorema, supponendo rectan-
Sulum AD B quadvaTO CK C D
aequale else.
Si AB producatur ad D, ic2 uc rectanoulum ADB
Sic aequale quadrato ex CD: erit A C major quam
CB, _ excellus AI ad IC vel C B candem habebie
rationem, quam CB ad BD.
Cujus demonstratio eodem ordine procedic quo Analy sIS;
Sequendonimirum ejuldem reltisia, hoc pacto:
Cum
in D
X
1t
pt

## Folio 347 — 175906937X:0371
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000371.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
tX
XH.
en
e
D E MO HS FR A FTOHFBRS.
Cumenim ex hypochesie AD B sit ae quale (IO ex C D,
aX = b X F X X ∞ bb. F. 2 b X - L X X
ablato utringue ∞ l0 suB C D S D B,
bX = X X
erit aD sub AC _ D B aequale ∞10 sub C D _ CBb.
aX ∞ bb. + bX.
Rursus auferatur utrinque D sub TC vel C B_ BD, id est, bx
eritque D sub AI_CBD aequale FIC Cx C B d.
aX = b∞ ∞ bb.
FToc es, relolura aequalitare in proportionem, erit
uE ATad IC vel C B, ita C B ad BD.
a - b - - b - b) X., OUod CraL prOpOTIEUI.
Duoniam autem praestare videtur, loco horum aequalium
rectanculorum considerare laterum proportionem, quandoqui-
dem in demonstrationibus Ceomerricis, ubi hae aequalitates vel
proportiones schematum contemplationi insuper sunt astrincen-
da linearum haec inter se collatio simplicior est censenda quam
planorum aui solidorum, ipsaque etiam ficuras requirit minus
intricatas, vel saltem ratiocinationes, quae circa illas fiunt, ma-
eis liberas reddit: idcirco convertenda erit aequalitas in pro-
portionem atque haec eou sque continuanda varieque transmutan-
da utendo sc. ad id modis arcumentandi libro so Flemento-
rum expositis, donec appareat quaesitum ex tribus prioribus
proportionis terminis constare seu inveniri posse. Quod ipsum
ut rectius percipiatur, visum nobis fuit aliam praecedentis Theo-
rematis demonstrationem hic afferre, qualis illa a prinsipio us-
que ad finem per propercionalia procedit, es prioribus aquali
tatibus ad amussim respondet.
Etenim cum ex liypotheli sit
OADB aequale FTO Cx CD:
a N + b X F X N ∞ bb F 2 b X = X. X:
XX 2
a Per 1 se.
cundi.
per 2 se-
cundi.
C per Y se.
cundi.
d per 3 se-
cundi.
Per 17
Sedisi.

## Folio 348 — 175906937X:0372
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000372.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Per 17
Errbo
3 Per 29
obeb.
 Per 17
Qrcoet.
op
mato
348
DE CONCTHH A NDES
Fric S, relolrendo aequalicarem in proportionem,
uE AD ad CD, ita CD ad BD.
a + b+ X mam b. + x   _ 1. Ho
TIINC CUIM SIE
UEEOtuM A D ad EOtum CD.
a = b L X  b q X
ita ablatum C D ad ablatum BD:
b. L X
Crit ecia S
b
reliquum AC ad reliquum C. B, uc ablatum C D ad ablatumm BD.
Ft diridendo
 b. L X
ut AI ad TC vel C B, ita C B ad BD
1.
a - b  b  b ) X. uE proponebatUE.
Etinc, ue Droblemati huic sElOCUS, PateC, rectam A C ipsa C B
debere esse majorem; acque adeo hanc conditionem Problemati
esse praetisendam, cum line ea constare nequeat, si velimus uE
L
l
quae licum ex datis inveniatur, ut-
Pote ad quod obtinendum BC
ex C A est suberahenda.
Idem etiam liquet, supponen-
do AC aequalem aut minorem
quam C B. NNam A C aequali exi-
Aence ipsi CB, non posset re-
ctanguluIm A D B quadratO CX
C D aequale esse: cum illud: una
cum quadrato ex CB ei tancum
aequale exictat. EE quidem sI A C ipsd C B minor sic, manifectum
eMt, rectangulum A D B quadrato ex C D cunc adhuc mulco mi-
nustore.
Cumisitur constet Determinatio, Problema construetur hoc
modo:
Constructio.
ANUmPEa C L aequali C B, Si fat ut reliqua AI ad
TC vel CB, ita CB ad BD: dico rectan gULUI ADBF,
quod
et
 mrovoriat

## Folio 349 — 175906937X:0373
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000373.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
DE MOHSERA TTONEDUS.
48)
quod sub AD _ DB seuDF comprchenditur, aquale
eNC quadratO C D GHI, a recta CD descripto.
Ouod iplum recrogrado ordine sicmanifestum, incipiendo ab
analyleos tine ee per ejuldem rectisia redeundo ad illius prin-
Cipium.
habebitur L
Finis compositionis.
∞ Tub ADQ D B (CU ADP F aequale FHIO ex C DICUCDOFL
ax F bx F X N ∞ bb + 2 b X = N N.
Ouod erat Faciendum.
Rursus addito verinque L10 sub CD e D B, id eAt, bX L X X,
Fiet m ∞ sub AC e D B a quale ∞ 10 Tub C D e C B n.
A X
∞
bb. F bX.
Deinde addico verinque 21o sub LC ret CB de BD, id eA, b N, ut cunai.
in alteram transeat partem,
erico ∞ sub AT e BD aequale F1O ex C B.
aX = bX D bb
rerocata proportione ad aequalicatem,
ut A Tad LC vel CB, ita C B ad BD:
a - b b - b 1
Etenim Cu ex Constructione sIt
3
Principium Composirionis.
Alia ejusdem Problematis Compolitio; per restigia pro-
portionalium secundae Relolurionis regrediens.
Finis compositionis.
eritPS sub AD _ BD seU ADF F aequale FIIO Cx CDSCUCDCII, P per 17
aX F b X = X X ∞ bb- F 2 b X F X N Sediti.
Quod eractaciendum.
id est, rerocata proporrione ad aequalicatem,
 in 60
NOTA
Hujus atque
sequentium
Problema
tum Compo
SItiOnES RetTO
legendas este.
k per + se
cundi.
I per 2 se-
cundi.
 per 2 se-
cundi
1 per 3 se-
D per 17
sedeti.

## Folio 350 — 175906937X:0374
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000374.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
8 per 17
sedti.
DE CONCTHHANOES
M ADTad aHECC. ad C D Cumma ConP, Ita C. D una antec. ad BD
a + b LX 
b -+. X
b+
unam conleq.
ita C D anceced. ad B D consequentem:
b. + X
X
FIINC CUM SIEUE A C antec. ad C B conleq.,
a
UE A C ad C B, ita C D ad BD.
a b nm b. L X I X
erit componendo
ut AIad IC vel CB, ita C B ad BD:
-b
3
u
Cum enum ex construetione (IE
Principium compositionis
Elis igitur ita se habentibus, s velimus, ue, neglecto artificio,
quotum Constructio Problematis, tum ejus demonstratio fuit in-
rentas tancummodo conster, allat a Constructione quaelitum Pem-
per obtineri: poterimus, calculi restisiis nunc praetermiiis, hu-
julmodi ad id afterre demonstrationem.
Demonstratio.
CI CMSIM CR CONHEaCHOne A I SiE ad TC vel C B, SICUEC B
2d BD: erits rectangulum sub extremis AI _ B D aequale
quadrato mediae C B. Ouibus (I
addatur commune rectangulum
ub IC vel CB _ BD, crit
e rectangulum Cub AC e
B Du aequale rectangulo sub
CD _ C B. HlisigituT SruIEIUS
addatur commune rectanoulum
subC D _DB, crichmiliter 
rectangulum sub. A D _ DB
Ieu AD F. F y aequale quadrato
 Per 12
quinei.
eric etiam q
T
Po
quinii.
e Det L se
cunao.
U pet 3
6unl.
_ per
CUCt.
per 2. se-
cundi.
ex C. D. Ouod erat faciendunt.

## Folio 351 — 175906937X:0375
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000375.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
D E MON SFR A FION LBUS.
Veb etiam sic:
Cum ex constructione AT sc ad TC vel CB, Sicut C B ad
BD: Crit componendo a A C ad C B, Licut C D ad BD. Sed uE a per 18
una antecedentium C D ad unam consequencium BD, ita lune b quinti.
b per 12
ancecedentes A C _ C D Simul, id eHt, EOFA AD, ad consequen- quinti
res C B _ BD Cinul, id est, ad totam C D. Aqualia igItUP TUNE C C per 17
quadratum C. D _ rectangulum ADB. Quod crattaciendum. Senti.
Quoniam itaque Problemate ad aequationem perducto Al
cebra munus est eam deinde juxta certas reculas transmutare,
servando semper aequalitatem, sic ut tandem constet, quo pacto
illius ope quaesita quantitas ex datis inveniri possit: non incon-
veniens duxi, si una hic ostenderem, quibus modis aliquot il-
lius ustrariores transmutationes in proporriones resolvi queant,
cum hae, ut supra monitum fuit, in Problematis Ceometrice re-
sol vendis ac in Theorematis solito more demonstrandis, concin-
niores sint judicandae: praesertim ubi eadem aequalitas ad tres
pluresve dimensiones ascendit, atque idcirco illa cuique minus
obvia est, qua ratione per Geometria Elementa sit explicanda.
Eypus aliquoc aequationum, secundum AIgcbeX le-
sesreductarum, _ carundem in proportiones cor-
relpondentes relolucio; tam ad Problematum RC-
solutiones Geometricas ex calculo cliciendas,
quam ad Theorematum Demonstrationes ex co-
dem componendas, ucilis.
Reductiones Aleebraisae
SI FueriE a X D BC:
dividatur verinque per a
HEX ∞
Si CiE a X 8 b x ∞ Cd:
dividatur uerinque per a 8b
EE X X a 8b
Resoluriones Geometricae.
exit d uE a 2d b, IFa C ad X
vel permutatim
uE a 2dc, ita b ad X.
eriec ut a 8 b adc, IEa 1l ad N.
vel permutatim
ue a 8b ad d, 1ca 6 ad .v.
d per 16
sexti.
C per 16
Sexri.

## Folio 352 — 175906937X:0376
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000376.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
F per 16
Sexti.
52
DE CONCTNHANDES
Si GE a X 3 bC8 dC:
diridatur uerinque per a
FIEX ∞
c8 dc
3 per 16 Si Ca X E bN ∞ cd B ed:
sedeti.
diridatur verinque per a 8 b
cd8 ed
GEX ∞
a8b
h per 16 SI (IE a X ∞ b b = CC:
sederi.
i per 16
sexeti.
OE supra ad
nOtaI +
K per 17
guinti.
diridatur utrinque per a
AEN ∞ b = cc
Si sIE a X ∞ b b + b ∞: X
auteratur utringue b x
erIEque ax - b x ∞ bb.
dividatur utrinque pera - b
FIc N ∞
a- b
per 16 Si CIE a X ∞ Bb = b X
sedti.
M per 18
quinti.
addatur uerinque b x
CriEque aX L bx ∞ bb.
diridacur uerinque per a + b
HE X ∞ a L B.
1 per 16 Si (IC a X = a 6 ∞ b x:
Sexti.
O per 17
quinti.
P vide Cla-
addico utrinque ac
erit ax ∞bX L aC.
auferatur utrinque bx
eritque aX =bX ∞ AC.
vium ad 18 diridatur utrinque pera- b
quinti.
EE N 3 a - b
 per 26 Si (IEaX = a C ∞ b X F bC:
Seat.
per 1
guinti.
addico uerinque ac
Crit ax D bX L bC. L a C.
auferatur utrinque bx
exitque aX- bX ∞bc L AC.
exit s uc a ad b 8t d, ita b ad H
ut a du C, ita b B d ad X.
vel pecmutatum
UEa 8 b ad a, 1ta c B e dd H.
rel eclac
ut a 2d b - 6, iCa b - Fc ad X.
etic : ic a au d Ita b F X ad X.
 ltcctale 
UE a = b ad b, ica b ad v.
mus proportionalis quanEILa
tem
Det fermucaam
erit S uE a 8 b adc 8 es IEa d ad X.
erit B ut a ad b -f c, ita b --- 6 ad X
erit ut a ad b, 1t2 b X al b
e componendo n
a adeb, lla alld
eriE n UE a ad b, iCa X ad X = 6.
ee diridendo
ut a - b ad b, itac 2d x - c.
de per compolitionem rationis
contrariam p
ab aet ntlab ullib
etes den adb, Ica X. F6 aa d. 1
ec diridendo
Lbiliquet, etiamligtus hic cer-
UE a = b ad b, ica 2c ad x - c0

## Folio 353 — 175906937X:0377
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000377.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
1o
4.
co
353
eracc c es fet ao rem quaelitam x leor(uI HON ex-
hibeat, iplam tamen ex tribus
prioribus, qui quidem omnes lune
cogniti, inreniri posse. Id quod
similicer de praecedenti dc se-
quenei formula aliisque est intel-
ligendum.
AC vero si ipla x quarto loco
Separatim delideretur, licebicul-
terius sic argumentari.
atlaud secuS, Cum SIE
UE a adt b, ita X F c dd X -- 6,
erit invertendo a
UE b ad a, iE2 x = 6 ad x F 6.
ee per compolitionem ratio-
nis contrariam b
D vide Cla
vium adt 18
ucb adb = a, ICd X - c dd 2 X. quinri.
TTinc CUIM A-- b -- b...-.. b + a
sine 3 magnicudines ab una Parte,
_ 26 X- 6.000 000 2d
tres alix ab altera parte, quae bi-
na in eadem lunt ratione, qua-
rumque proportio es ordinata:
crune ipla quoque ex aquali c per 22
tate in cadem ratione, hoc es, quinti.
a-- b ad b. F a, licut 20 ad 2x seuc ad v.  d per 15
quinti.
erit Ut a adb, Ita c - X adc- F N. 0b C per 16
e componendos
ut a. L b ad b, it 2 2C ad 0 p. X.
Lis cum (IE
sedti.
a ut a ad b, itac - x 2d5 F X,
erit invertendo s
E per 18
quinti.
S per CoroI.
uEb ad a, iEaC- L ∞ ad C -x. 4 quinsi.
e per convertionemrationis  l per Coroll
utb ad b - 4, ItaC. F X ad 2∞. 19 quinti.
LLIn
DE ML ON ST A A YTONIBUS.
aumb.
Ec ib ∞
SI SIE AC F a X D bC = b v:
addico uinque bX
erit ac + a x L b X  b6
dutetacul ucttis ab
cruque a da ADCAC.
dividatur uerinque per a L b
à PerCorol.
quo
EIE X ∞
C- ab
+b

## Folio 354 — 175906937X:0378
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000378.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
P Per 22
quinti.
 Per 15
quinti.
DE CON CLHN A NDFS
Flinc cum a L b -- b .. .. b - a
(ine 3 magnitudines ab una parte,
eE 26 6  X . 0 2 X
tres alia ab altera parte, quae bi-
na in eadem lunt ratione, qua-
rumque proportio elt ordinata:
erunc iplae quoquei ex aequalica-
te in eadem ratione, hoc est,
a + b adb- -a, lICuE 26 ad 2~ (eu 6 ad N. k
erie uebad a, ita x F Cad X -- 6. a
de diridendo m
ut b - a ad a, it a 26 ad X - 6-
RUTLUS CUIM (IE
a uEb ad a, IEa X - F C ad X = C,
erit invertendo n
ut a ad b, ita x = c ad X f C.
ec per compolicionem rationis
contrariam o
UE a 2d a F b, IEa X - 6 dd 2 X
Hlinc cum b- a a .-- d L b
sinc 3 magnicudines ab una parte,
ee 26 -X = 6 100000 28,
tres alix ab alcera parte, qua bi-
nae in eadem lunt ratione, qua-
rumque proportio cAt ordinata:
erunt ip(ae quoque P ex aequalita-
tein eadem ratione, hoc est,
b - a ad a F b, TicuF 26 ad 2X (cuc 2d v. 4
eper 16sex- st HC db  a ∞ ∞B ∞ F b6: erier ut b ad a, It2 c- X ad X.  6. a
5 per 18
quinti.
e per Cdrou. Macut atie Det b 1
 quinei.
ut per CoroA.
29 quinsi.
de componendos
urb.  a ad a, IEa 26 2d X. F6.
aco Cam GE
a uc b ad au ICd6 - x dd X F C3
crit invertendo
ut a ad b, iCa X - C 2dc - v.
e per convertionem rationis
Ut a ada b, Ita N. (62d2X.
FIinc
1 Per 22
quintr.
K per 13
quinti.
Iper 16 sex - S1 lIC a X F aC ∞ bX - b6:
+
M per 17
quinti.
nper Corol. Alridatu atrinque petba
4quinti.
O viaeit
vium ad 18
quinti.
addco uerinque b6
erit a x L a6 + bc ∞ b X.
aaledec uerinque aX
Ccicguendet bodd n
aCb6
ft
∞ X
addito uerinque a x
erit ac 2 b X = a ∞ F b6.
dutetatur uerinque b0
CritGue aC - b0 ∞ bX F a X.
sI
46  b6
B. +  3 

## Folio 355 — 175906937X:0379
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000379.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
ite
lIIa.
ebi
Iud.
ald:
IX. L
bib
oniS
N.
rte,
6
bi-
11d -
11a.
I1d-
H. E
b. B
2M.
InC
addatur uctingue Dx
exitq: ax F b x ∞ bc. L aC.
diridatur uerinque per a. L b
AEX NC.
d
Hlinc cum b. F a - a an. a - b
Ene 3 magnicudines ab una parte,
e 26 X L 6 an 2 X
tres alix ab oltera parte, quae bi-
na in eadem lune ratione, qua-
rumque proporrio est ordinata:
erunt iplae quoque a ex aequali- 2 per 22
tate in eadem ratione, hoc est, quinti.
B. + 42d a -- b, (ICut 2C ad 2∞ (euC ad v. B B per 15
quinti.
erit ut a 2d b, IC2C -- X 2d X = 6. C per 16
Unde concluditur c esse ∞ X. sexti.
Nam minor esse non potest,
quoniam componendo a Foret, d per 18
ut a Y b ad b, ita0 ad x - c. quod guinti.
est absurdum. Similicer major
esse nequic, quandoquidem per
compolitionem rationis CONETA-
ria  FOVeE UE a ad a - b, iEa c vide Cla-
c = x 2d0. quod perinde abTur- rium ad 18
dum est. Nec aliter se res habee
in sequentiformula.
guinii.
erie s ut a adb, ita X = c 2dc = X. F per 16
Unde rurtus ut ante concluditur sexti.
c esse D X: CUI nCC MajOF neC
minor esse PON.
DEMOH STR AFTOHLBUS.
SisIEax =AC D BC = b v:
addito utrinque ac
eric ax VbC L aC - bX.
Si sit aC = a x D b~ = bC:
addico uttue a
addde eeseD
diridatur uerinque peraL b
ea d vo
Cum isitur in resolvendo Problemate appareat, supponendo
illud ipsum ut jam factum, quo pacto quis argumentari possit,
ut id quod in eo quaritur ex datis inveniat: rite me facturum
judicavi, si ulterius hic ostenderem, qua ratione praecedenium
reductionum vesticiis insistendo per illa eadem retrocradi li-
ceat, ad aequationes propositas, quas ipsius Problematis conditio-
nesadimplere suppono. Ceometrice componendas.
erit a 6 ∞ a X   b X - bC.
Critq; ac. L bc D aX ( bX.

## Folio 356 — 175906937X:0380
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000380.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
DE CON CLNHANDES
Irpus restigiorum, juxta qua aequationes superius
reductx aC reloluta tursus componuntur, initium
Faciendo a tine reductionis _ per cadem resti-
si2 regrediendo; ad Compolitiones CFCo-
metricas ex catculo cruendas utilis.
Compositiones Aleebraica
HC a X ∞ b6.
Compositiones Ceometrica
CxiE a ax ∞ bC.
Mulciplicetur verinque pera facto rectangulocum sub extremis
cum sub mediis
Situerit a ∞ =: h. C. 3 EI Sic ut a ad b, ica c ad v; vel pErMUEaLII
AE a X 8 b X ∞Cd.
a 3d6, 1c2 b ad X:
erit B a X B b X ∞ C d.
mulciplicetur utrinque per a 8 b facto rectangulo cum sub ex-
tremistum sub mediis
Si (IEN ∞= G: h. C. EICIEUE a B b ad6, ita d ad x; vel PeruTa-
Fc a X ∞ bC8 dC.
tim a 8 b ad d, Itac ad X:
Crit ax ∞ bC8 dC.
mulciplicetur uerinque per a facto rectangulo tum sub extre-
a
miscum sub mediis
Si (IE X x BC BC: h. 6.3 (I SE VE a ad b 8 d, ita c ad x; vel permu-
EIE a X B b X DC d 8 Cd.
mulciplicetur per a 8 b
catim a adc, 1Ea b 8 d dd X:
erit d ax B bX ∞ C d B e d-
facto rectangulo tum sub extremis
tum submediis
Si sIE~ ∞ Cd B ed: B. C., SHEuE a B b ad c B e, ita d ad X; vel
a8b
EE a X ∞ b b - 66.
verinutatim a 8 bad d, itac 8 c ad x:
exice a x ∞ b b = cC.
uscixlicetur utrinque pera Facto rectansulo tum sub extre.
Si lic X ∞. -
miscum sub mediis
=: tr. C., Gsic ut a ad b - f c, ita b -- c ad X; Vet
permucatim a ad b -6, icab - f. N ad N:
2 per 16
Sedsi.
b per 16
Sentt.
C per 1
senti
d per 1
sedrta
2 per 1C
seb
F

## Folio 357 — 175906937X:0381
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000381.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 83 lines, status machine
ie
nis
EII
1Cd.
ere
AII.
nis
ve
etre.
et
d_i
si
DE MOMSTR AFTOHEBUS.
HE a X ∞ bb - L bx.
addatur utrinque bx
critque ax -b x ∞ bb.
erit f a x D bb - f. b X
id est, reducendo proxorrionem Sexri.
2d aequalitatem
ut a 2db, ICa b- f ∞ 2d X.
mulciplicetur uerinq; pera. b eric componendos
Si GIEN ∞ =: hoc CAt, BIAIEUE a - b ad b, ica b ad v: +.
Fie a X ∞ bb --b ~.
auferatur uerinque b X
Crirque ax L b x ∞ bb.
exith a V ∞ bb = b ∞.
id est reducendo proportionem soxri.
ad aequalitatem
Ut a ad b, ita b = x ad X.
mulcipliceturuerinq; peca +b erit diridendo.
Si biL X ∞ p. L. B: hoc CA, ASEuE a - F b ad b, it a b 2d v:
EE A X = aC ∞ b X.
auteratur utrinque a6
exitque a X ∞ b x  a6.
addatur utringue b X
CriCax = b X ∞ ac.
mulciplicato ueringi pera-- b
hper 10
eric L a X = 4 c ∞ b X.
k per 16
id est, reducendo proportionem sexti.
ad aequalicatem
uc a 3d b, ita x ad X = c.
et componendo
UE a -- b ad b, ita c 2d ∞ - 6.
erit per diritionem rationis
COAETALIAI n
Si CIEx ∞ : hOc eAt, (I SiE uE a = b ad a, it2 c ad X:
erit n AX = a6 ∞ b x L bC.
R per 16
id est, reducendo proportionem sexti.
ad aequalicatem,
ut a ad b, ita X L c 2d X -- 6
e componendo
UE a = b ad b, IEa 2C ad X - 6. Gu
vel, sumpris consequentium se-
missibus, p
Ut a b ad 2b, iFa 26 2d 2X - 2c.
id ett. per diritionem rationis  vide Cla-
Contraria, 4
E per 16
5 Per 18
quinto.
A supra ad
AOlatt f.
1 Per 27
quinbi.
1 per 18
quinti
EIE BX = a6 2b d - = b6,.
auteratur utrinque ab.
ericque ax ∞ bx. f. b6. +-46
aadatur utrinque bX
erit d X b X ∞bc - F a6.
mvideCla
vium act
27 quinti.
0 per 18
P. vide Cla-
vium ad
22 quinti.
vium ad 17
muL Quinsi.

## Folio 358 — 175906937X:0382
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000382.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
x per 15
quinti.
E per 17
quinti.
DE CONCTNHANDIS
multiplicatontr Per a b VEa = b ad b. F a, ita 26 ad 2 X.
exitque ac.  a x 1 b x ∞ b6.
X vide Cla- addatur utrinque ac
vium ad 18
Y per 15
quinti.
2. per 16
erit etiam
:hoc elB, HL SEUE a - b 2d b F a, i12 6 ad X:
V vide Cla - HiE ac -  a X ∞ bC = b x.
vium ad 22. auferatur uerinque bx
quinti.
quinti.
lexti.
erit ax L b x ∞ bc - ac.
mulciplicato utrinq; per a L b
Bc- ac
erit ac-  a X ∞ b6 = b X.
id est, reducendo proporrionem
ad aequalitatem,
uc a ad b, Itac -- x ad c -  X.
d dividendo
UE a -  - b ad b, ita 26 2d c.  X.
vel, sumpeis consequencium sc-
missibus, u
UE a- J b ad 2b, it2 26 2d 26,-  - 2X.
id est, per compolitionem ratio-
nIS COntrarIaI, 
ut a - F b 2d b - a, It2 2C ad 2X.
erit etiam y
Si SIE N ∞  F B: hoc est, (I SIt UE a - F- b ad b - a, ic ac ad v:
Crit Z ax  ac ∞ b X =- bc.
id est, reducendo proportionem
ad aequalitatem,
UE b ad a, ita X -  C ad X - c.
a componendo a
ut b - a ad a, IEa 2C ad X = c.
vel, lumpris consequentium le-
missibus, 
ut b - a 2d 2a, IFa 26 ad 2X = 2C.
 est, per dirisionem rationis
contrariam, 
Acb = a 2d a.  b, ita 2C 2d 2X.
esICCFIaM a
SIIIL b - ∞x: hoc est, sI SF uEb - a ad a F b, itac ad x:
ac
Si CIE X ∞
5 per 16
Sedetr.
a per 18
quinti.
B vide Cla HC AX - a C ∞ bX = b6.
vium ad 22 auteratur utrinque b5
quinti.
C vide Cla-
vium adt 17
quinti.
a per 13
eritque a x . L ac. (- b0 ∞ bX.
ddatur ucrinque ax
eiteab b60bX
mulciplicato uerinq; perb-a
ac + bc
Guoet.

## Folio 359 — 175906937X:0383
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000383.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
el
X.
se
m
6.
et
2c.
iis
+
sit
DEMD ASLLATTONEBUS.
EE aC = a X D b ~ -  bC.
auteratur utrinque a x
d
erit e aC = a X ∞b X  - bc. C per 16
id est, reducendo proporrionem serri.
ad aequalicatem,
UF b ad a, iE2C = x ad X F c.
ee diridendos
UE b - f a acl 4, IC2 26 ad X L C.
vel, sumpris consequentium le-
missibus, 8
uEb.  a ad 24, IC2 26 ad 2 X L 26.
ericque ac ∞bx- f ax. L bc. id eA, per compolitionem ratio-
addatur utrinque bc
erit ac -- bc ∞ b x  a X.
mulciplicato utring; perb. f- a
ac - - bc
nis contrariam, h.
ut b. F a ad a - b, it2 26 ad 2 X.
erit etiami
Si (IE = F  ∞ v: hoc eAt, (I (EuEb. L a ad a -- b, ita c ad X:
EIE AX = aC ∞ b6 = b X.
auferatur utrinque ac
Critque ax ∞bc - L ac = b X.
auteratur utrinque bx
erit a X  b N ∞ bc. ] - ac.
mulciplicato urrinque per a- L b
Si lic x ∞c: Ceu, quod idem eAt, li _ sic ad 0, sicur a. f. b ad a- f b:
AEaC = a X ∞ b∞ = b05
auteratur utrinque ax
CFIEque aC ∞ a X L bX -- bc.
auteratur uerinque b0
eritaC. f bc∞ aX F b X.
mulciplicato uerinque per a. f b
Si (IEC ∞N: Seu, quod idemm est, CrC se adt X, sicuE a  L b ad a f b:
Cum in duabus praecedentibus Formulis nON OCCUEEAE qu’a
vid per proportionales, ut ante, ad aequationes priores perre-
niatur: licebit per aequalicatem procedere, a qualia per aequa-
lia mulciplicando, ac deinde ab aqualibus a qualia auterendo,
omnino ut in Compoluionibus hisce Algebraicis lactum est.
L per 17.
quinii.
S vide Cla-
rium ad 22
Quinti.
n vide Cla-
rium ad 18
quinti.
Per 1.
quinti.
P RO.

## Folio 360 — 175906937X:0384
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000384.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
DE CON CEN N A NDFS
P R O B E F M A.
Vacam recam AB, uccunque sectam in C, rursus
secare in D; ita ut rectangulum sub AD, D C compre-
henlum (ic aquale quadrato ex DB.
Scries Analyseos live Resolutionis.
Suppotito Problemare uejam tacto,
VOCOAC. a
CB. B
e C D. r; erirgue AD ∞ a F x, e DB ∞b = X.
60
 eraia 
o
iF
Deinde ut habeatur aequatio,
Mulciplico AD. a L X
PeFDC SCUDF.
X
Fc H FCClanSUIUI ADF F. aN L X N.
Similiter mulciplico DB. b - X
Per DB seu BC. b = X
 bX L X X
bb bx
Lc tic quadracum D BC FI. bb - 2b _ = X N.
Unde talis exurgit aequatio
aX F X X ∞ bb - 2 bX - L X X.
Ad quam reducendam collatur uerinque XX;
exitque ax 3 b b - 2 b X.
Deinde transteratur Lon aualtetat palles i incozta
ee HF A X F 2 b X ∞ bb.
fualates ab una paitoadem ecoga ad alleta patle,
Clsad

## Folio 361 — 175906937X:0385
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000385.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
1C
elUS
DE MONSFR A ETON FBIS.
Cujus utraque pars si diridatur per a - F 2 b,
invenietur x ∞ a = 28. Hloc CA, relolur â aequalicare
in proportionem, erit uEa L 2 b ad b, ica b ad x.
Id quod docet, ad secandam A B in D, qualis requiritur, pro-
ducendam esse AB ad L, ita ut BPSc ae qualis B C; ac deinde ad
AI _ IB vel BC inveniendam esse ztiam proxorcionalem,
hoc est, uE A Y sic ad IB vel BC, licuL B C ad CD.
UIc autem pateac demonstratio, repetantur Analy leos restioido
Si enim per taec ipla regrediamur, incipiendo ab ejus tinc e desi-
nendoubi illa inicium sumplic, invenca limul erie via a dato, seu
concesso perreniendi ad quaesitum. In quem igitur finem binas
seguentes compoliciones, quarum altera Alsebra, altera 6C0-
merrix genuina elt, ob oculos ponere visum tuie, adhibira utrius-
que calculi interpretatione sire ad figuram relatione.
Compositio Alcebraica.
AAD, CDreIADEF
ADB rel DBCFI.
bb = 2 b X F X X.
Addatur verinque XX,
QAC, CD
critque c a X ∞
Compositio Ceometricz.
Finis Composiionis.
e HEA N -L ~ X 3
GC. D vel D
BDB- BCD VeIDR) i. C. d
bb - 2 b N.
DCBK
DCL, CDreL.DCDIFHCD
Auteracur utringere 2b∞,
DAI, CD HIBVeIBC
eriE S ax F 2 b x ∞ bb.
OAD, CDVeIADF. F
ECFE, per 3, 2di, a V = X X ∞
EDBrelDBOFI.
bb - 2 bX L X X. Per 6. 2di
ACDVeIDK
AddatuE vErinquC X X
OACD BCBR
CxiF, Per 16. 611 a x ∞ bb -- 2 b X.
Id est, reducta proportione ad
aequalitatem,
AC CB BE KDreICD
UE a 3d b, 1Fa b - 2 X dd X.
Et, Sumpris consequentium sc- casus
miltibus, vide Claium ad 22. 51i. d et se
AC CI BR. RC
ut a dd 2b, ita b -- 2 X dd 2 X. cper 2 se
Undedividendo erie, per 27quinti. cundi.
AI TC BC ZCD VeICR
UE at 2b ad 2b, it a b ad 2 X.
id sentre
52
2 per 3 se-
cundi.
 per 650-
cundi.
c Pet se
Cunai.
F per 17

## Folio 362 — 175906937X:0386
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000386.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
362
DE CONCLHNANDES
id est, reductâ proportione sire, sumpris consequentium du-
ad xequalitatem,
Plis, vide Clavium ad 22. 5ii.
AI
IB BC CD
Ex constructione est, uE a F 2 b 2d b, ita b ad x.
Principium compositionis.
Adaperta itaque tum ad Constructionem tum ad Demonstra.
eionem ria, licebit Problema construere atque duplicicer demon-
Srare, ut sequitur.
Constructio.
Producta AB ad L, donec BTAExqualis BC, AaE VF
AIad TBvel BC, ita BC ad CD: dico rectangulum
ADC ICU AD E F quactrato DB Icu D B CHI aequale
esse.
Demonstratio.
Cum enim ex constructione R F sic ad TB vel BC, ut B C ad
8 per 17 CD: erit s rectangulum sub extremis AI, C D, id cAt, B eC
seati.
n per Y se-
ctangulum (ub AC. C D una cum rectangulo sub CT, CD, p-
vundi. Quale quadrato medix IB rel BC. A quibus si commune autc-
. omumanamum. C
nmmmmummmmmmu F
ratur reCtanoulum (UB CI, C D: CHICTCHGAAIISACC
AC, C D aequale B C quadrato, delspe euem rectangulo sub
i per 3 se CI, C D, sucu, lectangulo CDLuna cum quadrato C D.
Glncaro
cundi.
k per 5 se
canai.
ccudemp DLICclatsuto a Guadrato C B vet BIEre
Lincuacu scaccacu DB. Pacet delum rectangulum AC D
ladraco DB aquale ChC IMuS quadiato C. D. Iline cum, lu-
mendo

## Folio 363 — 175906937X:0387
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000387.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
ndi-
Astra.
NOn.
ut
I
dd
re-
de
ute-
niud
otub
C.
KrC.
CD
pendo
DE MO N S FR ATTONEBUS.
363
mendo C D _ DR aequales, quadratum D B minus quadrato
CD vel DK aequale sic rectangulo C BK: manifeltum est, (I l per 6 sc.
sequalibus hisce rectangulis AC D e C BR addarur commune cundi.
quadratum CD vel DK, etiam tocum tori aquale esse, id est, m m per 3 se-
rectangulum ADC sCU AD E. F ip(i D B quadrato seu D BG FT. cundi.
Duod erat Faciendum.
Vet sic:
Cum ex constructione siE ut A F ad TB, ita B C ad CD: erit
quoque, sumpris consequentium duplis, n ut A P ad TC, ita B C n vide Cla-
vium ad 22
ad 2C D Teu CK; & diridendo ut A C ad C I, ita BR adK C;
quinti.
id est, Tumpris consequentium semissibuS, P uE A C ad C B, Ita 0 per 17
BK ad K D vel CD. Aquale isitur est 2 rectangulum sub extre- quinti.
inis AC, C D rectansulo sub mediis C B, BH. Ouibus I ad da- P vide Cla-
Vium act 22
tur commune quadratum C D vel DK, erit de torum toti xqua quinti.
Le, id est, rectangulum ADC sCu A D F. F ipsi quadrato D B 9 per 16
seati.
scu DBOH.. Ouod eratlaciendum.
P R O B L E Mt A.
Data recta AB urcunque sectâ in C, crect aque ex
ejus termino Bsuper ipsa perpendiculari indetinit a BD:
Cx altero ejus termino A rectam lincam duCCFC AV,
hiuic occurrentem in D; ita ut ipsa aequalis sic rectis
DB, BC limul sumptis.
Series Analyseos.
Ponatur factum quod
fuaerituI,
SIEque AB ∞ a
C B ∞b
e BD ∞x: eritque
AD ∞b-F X.
linc cum angulus ad B
sic rectus, erit a Quadra- 2 per 47
cul Cx L.D aequale binis primi.
Quadratis ex AB _ BD.
CInde
Per 3se-
Tundi.
5 per 6 se.
cundi.

## Folio 364 — 175906937X:0388
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000388.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
DE COH CLHH ANDES
UInde ealis resuleat aequatio
BAD
EIAB. F EBD
bb + 2 b∞ L X X ∞ a a L X X.
Ad quam reducendam, Follatur verinque N X,
eritque bb L 2 b X ∞ a a.
Deinde transferatur b b ad alteram partem, uEinCOgMIEZ Guan-
citas ab una parte habeatur ee reliquae ab altera PaFtC,
_ HC 2 b X ∞ a a = bb.
Cujus utraque pars si diridatur per 2b,
obtinebitur X ∞ = a = bB
2b. Hoc elt, relolut a ae qualiEate
in proxortionem, erit ut 2 b ad a F b, ica a = b ad X.
Ouodipsum docet, ad Problema hoc solrendum, prourBF
in directum iplius A B sumpta est aequalis B C, opiis tantum esse,
ad CF, AF, _ A C inrenire qam proportionalem BD.
Ad inreniendam aurem demonstrationem, hat repetitio resti-
siorum Analyleos, incipiendo ab ejus fine de per eadem restigia
proorediendo ulque ad iplius initium; ita videlicet, ut quod in
Analy(i seu Relolutione addendum praecipitur, id in Synchesi seu
Compolitione suberahatur, dE COntrA: Cum AnalysiS _ SynthelIS
directe omnino (ibi inriceI OpPONaNEUF.
Finis Compositionis.
EInde de ip(ae rectae F D d AD.
A qualia igITUE SUINEBF D QH AD.
b per 4) DEB F ZBFBD FBBD, VeIAFDO. BAB FEIBD, reLFADC
LFGcbb. F2 bX L XX ∞ a a L. X X.
ABD
Rursus addatur uErinqUC X X,
AFB F ZDFBD AAB d
erieque bb. F 2 b X ∞ _d.
AEB vel BC
Addatur utrinque bb.
DCF, BD SCU LDFBD DEAC.
erit = 2 b X
X
a - bb
primi.
 F
canat.
a per 6sc.
curai.
id est,

## Folio 365 — 175906937X:0389
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000389.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
Guan.
tate
IX.
F
etti.
813
din
Ceu
elis
elt,
DE M O N S FR A F LO N FB I 8.
365
id elt, reducta proportione ad aequalitatem, Cumptaque FB
aequali BC,
CF AF AC BD
Ex constructione eAt ut 2b ad a F b, ita a - b 2d a 
Principium Compositionis.
Tnventa igitur tum Constructione tum C ompolitione lire De-
monstratione, poterie Problema, neslectojam artiticio, quo
utraque tuir inrectisata in huncmodum construi atque coponL.
Constructio.
Producta AB ad F, uE B F. sic aequalis B C: FIaEUE C F ad AF,
ita AC ad BD, junsaturque AD. Dicohanc iplisDB, BC
Timul Cumpris aequalem eAe.
Demonstratio.
Ctenm PtOCL DB ad F, ita uE BP sic a qualis B C, quo-
niam per constructionem
C F eltad AF, SICUE AC
ad BD: erie s rectangu- F per 16
lum sub extremis CF, sexti.
BD, id est, duplum re-
Etangulum FBD, aequale
rectangulo sub mediis EA,
AC. Ouibus S addaCuE
COmInune quadratUI Cx
FB vel BC, eric etiam
quadratum FB una Cum
duplo rectangulo FBD
quadratum ex BD: erusse u Va ca CA SB, BD (I- cunds.
aqualia binis quactacto Ck eB, BD, sue, aeuale quadrato cundi
i per 47 pri
ex AD. Unde d ipla tecca 1Da D aues crunt. IIinc mi-
cum FD aqua ps BBC pe, crit ctiam AV
iptis DB, BC sumul supo astalls. Ouod erae Faciendum.
aequale quadrato ex AB 8. Quibus sI TUESUS acdaEUE COMIIUIDE 8 per 6 se
mul cum duplo rectangulo FBD, id est , quadratum rotius FD, h per + se-
L etL. 

## Folio 366 — 175906937X:0390
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000390.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
DF GONCLNHAHDES
L HI F O R E M A.
Si  Geaucara CCuli ABC sumatur arcus quilibet
BD minor quam 45 gr. Cujus duplus sic BP, corumque
cangentes BF, B Cr: eric ut quadeatum radii AB minus
Quadrato BFad duplum quadrati AB, ita BF ad BC7.
Series Analyseos.
Fsto AB ∞ a
BF ∞ X
BC ∞ y eritque F C ∞] - 1
de AG ∞Z.
Ouoniam itaque arcus B F ipsIIS
BD duplus ponitur, ac proinde an-
sulus B AC)duplus ansuli B AF: erit
angulus ad A in triangulo ABC re-
cta A F bitariam sectus.
CInde a Crie
UE FO ad BF, Ita AC ad AB
)- X X
Ideoque DBF, AC aqualCD OF G, AB
dir. urrinque perx
EIE
NZ ∞ ay = a x.
2 ∞
4y = a X
Flinc duetâ utraque parte in se quadrate.
exit ZZ ∞ a apy
COLL. dETInQ; a a X X
lyy
dir. utrinque per)
acta. VErInqUE 2 a a
FoIl. utringue X
CIr. uerinque Per a a - X X
add.
SHAB. ad
EaaXy. + aax EDBO. yy CAO, per 17
X X
∞
aa Fy7 3
a
primi.
=2 a a X ) + A a X X D a a X X + X X y y
a a y y = Z a a X y ∞ X X y y
a a Y = 2 a a X ∞ X X Y
a aY ∞ 2 a a X L X X V
aa Y = X X Y ∞ 2 a a X
Et y ∞. 2a a X
ae  X X
HAB- EBF 2IIAB BF BC
Hloc elt, eritut da = x N ad 2 a a, ita x ad y. CIt proponebatur.
aP et 3)entr
b ct 10
sedett.
36C
muLE. UErinG; PCF XX

## Folio 367 — 175906937X:0391
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000391.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
iiliber
mque
minuS
21-
erit
Ore.
olIuS
Per 4
Primi.
IHI
De
DE AI ONS FR A FFOH FBUS.
367
Demonltrationis series eodem modo Pe habet quo AnalycOS,
cum ueriu (que rectisia consentiane, quibus ab hypotheli ad qua-
iti conclionem perducimur. ETci hic ridere est.
Fxenim cum C SIE
UE F C ad BF, ita AC ad A B:
Y. ∞ X 
erit quoque d
2
UCEIFC ad EIBF, ItaB AC SeuA AB. F BBGadD AB Sexri.
Yy - 2V7. (-∞ X - - X x = ZZ, Id CA, a A -+ yy 1 a 4.
ee diridendo
UEDFG - BBF vel FII,
id est, ∞BOHIS adHBF, ita HBO ad BAB
yy = 2 X y = - X X - 7) 1 aa.
permutandoque s
utD BOFTadEBC, rel h’ucHTC ad B, ItaHBF adD AB
y -- 2X - - y - X X I a a.
Fd est, invertendo st per conversionem rationis
ut D AB ad A AB - BBF, ita GB ad BFI
aa -  aa = X X - - Y 1 2 X.
ee duplatis antecedentibus k convertendoque
utEIAB = (IBFad 2EI A B, ita B H ad 2G B sCu B P ad BC
a a = X X - - 2 a d
Ouod erat octendendum.
X 1 y.
Ouod liaurem Algebrae ignaris sire in inreniendi arre impe-
ritis ipla demonstratio sic exhibenda, pocerit ea praetermistis jam
hisce restigiis sic adhiberi.
Sumatur FHI aequalis F B. Cum igitur in eriangulo ABC an-
ruus ad A recta A F bitariam seCtuS LIE, CrIE m UE FO ad BF, ita m per 3
AG ad AB. Sed cum linearum proportionalium etiam propor- sexri.
tionalia sint quadrata, eric de n ut quadratum FC ad quadratum n per 22
BF, ita quadratum AC, id est, per 47 primi, Cumma quadrato- sexri.
rum AB, BC, ad quadrarum A B. FF diridendo ur quadratu 0 per 17
FC minus quadrato BF vel F HI, id est P rectangulum BOFI, quinti
ad quadratum BF, ita quadratum BO ad quadratum A B; Per - P per 6 se-
cundi.
mucandoque q ut rectangulum BC FI ad quadratum BC Peu r UE 4 per 16
FIO ad GB, ita quadratum B F ad quadratum AB. IlOc est, guinri.
11)
1per 1 sexti.
Cper 3 sexti.
d per 16
C per 17
quinti.
F per 6 se-
cundi.
5 Per 10
quinti.
Aper I sexti.
i per Cor. 4
quinti, e
Per Cor. 10
quinti.
vide Cla-
Dium ad 22
quinti.
1per 15
quinti.

## Folio 368 — 175906937X:0392
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000392.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
3.68
DE CONCTNHA NDES
inrerrendo d per convertionem rationis, ut quadratum AB ad
per Cor. 19 Mdratum AB minus quadrato BF, ita G B ad BHI; de dupla-
tis antecedentibus conrertendoque, ut guadratum AB minus
quadrato B F ad duplum quadrati AB, ica B HI ad duplum iplius
CB Icu  BF ad BC. Ouod erac demonstrandum.
33
TTinc
Si. Fancens cujustibet arcus minoris quam 45 gr. ducatur
in duplum Duadratum Radii; a Quadrato Radii auferatur
Fancentis quadratum: illud productum dividatur per hoc re-
siduum: Duotus erit Tansens arcus dupli.
Theorema hoc a Clarissimo viro D. Joanne Pellio excogita-
tum atque ingeniose adhibitum pluribus modis demonstratum
reperitur in cractatu ejus de controrersiis, circa veram circusi
menturam, incer ipsum d Clar. virum D. Chrictianum Sererini
Longomontanum ortis, ac anno 2547 in lucem editis.
IHI F O R F M A.
Si fuerie criangulum ABC, cujus angulus ad B rC
cta BD bitariam sic dirisus, _ ex BC abscindatur BF
Xqualis A B, JunO2EUEquE AE, sccanSBD in F: dico,
EagatuF F. C+ parallela AC, OccurrenS ipSI BD in C,
essc uE B C+ ad BD, ita AD ad DC, _ ABad BC;
nec non DC bis esse ad excessum, quo DC supetaL
AD, Sicut BD adDF.
Scries Analyseos.
FAO BD ∞ b
AD ∞ O
DC ∞ y
_D F ∞
uoniam itaque trian-
ILOTUI A BF, F B F 21 -
ruli ad B ex hypothesi sune
balIs-
5 per Coro
 ouinti, e
Dide Cla
quinti.
Dium 4 22
Quintt.
e per 13
G1ob1106.
a per 4 pri-
aequales, nec non latera AB, B F X F B, BF, quae iplos compre
1td.
hendume, aequalia: crune deAns et Laequales, id est recti,

## Folio 369 — 175906937X:0393
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000393.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
ABa
dupla.
MInuS
ACatIY
YatHI
b 16
euli
eIII
re-
BF
CO,
C
C;
Pat
111
2M.
(unE
Dre.
ecti
(I(
DE MONS FR ATTONIBUS.
369
balIsque A F basi P F aequalis. Porro cum b propter parallelas b per 29
AC, CF anguli D AF, FF C incriangulis AFD, FOP. Xqua- primi.
lessinE, uc _ anguli ad verticem AFD e G FF, latusque A F c per 15
lateri FP, uc ostensum est: erunt quoque d reliqua latera A D, Primi.
d per 26
DF reliquis lateribus F. C, C P aequalia. Hlinc cum propter (1. primi.
milicudinem triangulorum BGL, BDC, BO SIC ad CP, id elt, cper Cor. 4.
AD, sicut BD ad DC; necnon BC ad BF, id est AB sicue quinti.
F per 16
BD ad BC: erie quoques permutando BO ad BD, SICUE AD quinsi
ad DC, de AB ad BC. Ouod est primuIm.
Caeterim D C. bis esse ad excessum, quo DC. SuPCrAE AD, SICUE
BD adDF: Ita PATCE.
E.senim, ut BO ad BD, ita A D ad D C
b.- 27-. b
5
y.
Ideoques DBO, D C D ∞ lOBD, AD.
2dd. utrinque 272
by - 27Z∞ bc.
colI. utrinque bc
dix. VEringuC PeF 2y.
by ∞ 27Z +b6
by - b6∞27
b9 = bc
FIt
2y ∞ Z. HIOc elt, erit ut
2DC DC- AD BD DE
27 2d y =c, ita b adZ. Ouod est secundum.
Vel eriam, hoc modo:
Etenim CuI (IE
ut BO ad BD, itA AD ad DC
b- 2Z-- b  0
erit invertendo h
uE DC ad AD, ita BD ad BC
 6-
b 1 b - 2
e per convertionem rarionis
UED C ad DC = AD, ita BD ad DC
- 6  b
id est, duplatis ancecedenribus, X
UFZD CadDC == AD, ita 2BD ad DC seu BD ad BF dnt ad 22
y
A 2 a
8 per 1C
sexti
M per COr. 4.
quinti
i per COr. 19.
quinti
L vide Cla-
quinti.

## Folio 370 — 175906937X:0394
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000394.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
DE CONCLNHANDES
Ex his Facile ell, cogniris AD, DB, _ D C, invenire DF.
Si enim, exempligratia, AD sIc 39, DB 45, _DC 325:
EatuE ZDC 650ad D C- AD 286, ica D B + 5, ad D F 197.
T E E O R F M A.
Tisdem policis, dico rectangulum AD C una cum
quadraro DB aquale esse rectangulo ABC.
Series Analyseos.
FAO AB ∞ A
BD ∞b
AD ∞C
BC Dx
DC Oy
de DF ∞Z
Eteni CUI a 2D BD FSIE DHI AD L BDB. =B AB,
id est, 2bZ ∞ c0 + bb - 44.
eric, diridendo utrin que per 2b,
Z∞ Ec + bb = aa
EInde cum per antec. Pheorema inventum quoq; siF.
exip cc = Bb = aa by = bc
To1 Per 2, inticellatur
mulciplicatio per crucem
aul. utrinque a a y
Ccy + bby -aay ∞ bby - 00
CCy. + bby ∞aay. + bby . bbc
coll. utrinque bby
667 ∞ a4) -
add. utrinque bbc.
667-
1oco a y Substit. CX
C6Y. F bbc∞ aC X
dir. utrinque perc
DADC LEDB DABC
-b6 ∞Z
UE AD ad DC, ita A B ad BC
ac proinde per 16 sexti
X.
OAD, BC ∞D AB, DC
CX ∞
a
EcHc cy. F bb ∞ ax. Ouod erat propolicum.
Ouo autem pacto in adaequatione hac resolvenda argumen-
tandum lic, ut sequendo reltisia allata reductionis, quae ob su-
Periorem mulciplicationem per crucem proprie Alsebraica est,
qua-
2 per 13 Se-
cundi.
Sivilo utroque denomina-
Ex demonstraris in antec.
Cheoremare vel sria Seuri est

## Folio 371 — 175906937X:0395
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000395.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
cum
ec.
BC
1.
en.
sU-
est,
12-
DE M ONSFR A FIO N IBUS.
371
quaelitum Theoremaris Ceometrice concludatur, sequens ter-
minorum dispolicio docebie.
Ex praecedenti Theoremate es
UE 2D C ad DC = AD, ita BD ad D F
27- y - 6 -- b
ac proinde b2D CD F aequal. D BDC =~ ADB
a 272 ∞
by = bc.
Deinde eAt, ut BD aet D C, ita 2BBD F ad 2D CDF. 2(- cper 2 sexri.
Tlinc Curr d
2b
Cumpea (c. Com. 3Ic. 2 D F, id eAt, 2Z d per 13 (e
EL BDFRqu. EIAD FFIDB -HAB, _E AZDCDF ~QU. DBDC =∞ADB:
2bZ ∞ c0 + bb = aa, et 27Z ∞ by = bc:
erit ut BD ad DC, Peu HBD ad ∞ BDC,
bb -
ItABAD FEDB- HABad DBDC -∞ADB.
C6 + bb - a a -  by = bc
ideoque s
Fper 19
quinti.
ee relig. DAB. BAD ad rel. D ADB, uEtotum ad totum Ceu BD ad DC.
aa - C6b6
Facile hic esset quaesitum Propositionis concludere, revocan-
do hanc proporrionem ad aequalitatem, es deinde in locum a y
substimendo c X. Sed quoniam sic ad solida ascenditur, de qui-
bus in posterioribus Elementorum libris agitur, qui ob difficul-
tatem suam macis praeteriri quam pro Elementis Geometria
addisci solent, poterimus iisdem sepositis in quaesui conclusio-
nem sic ulterius areumentari.
y.
Sed uc BD est ad DC, ita quoque eAts D ADB ad D ADC; 8 altumpet
1
bc 1
67; COMML. aLEIE.
EuEBD ad AD, ita quoque eAh∞ ADB ad H AD; de i, BastumpEa
b0
EBD ad D AD B Ccubb ad bc. i attumPEA
A d2 2
Erune D scu b.
b per 16
sextis
cundi.
e aAUIPTa
com. altit.
BD, id cAt, b.
AD CCuC.
comm. altit.
AD seu C.
Comm. alcir

## Folio 372 — 175906937X:0396
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000396.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
per 1
quinti.
n per 10
quinti.
Aper 1seath
relicta (C.
com. aleic.
AD TCu C.
O peraNECC.
Theorema
vel 3 sexeti.
DE CON CTNHANDES
fixUnE ItaGUEHI AD -FIAD, O ADB, QEI AD tres magnicudines
a A66 b6....... 66 ab una PAFEC;
_DBD, D ADB, _ B ADC tres alix ab alcera
ob 000000 b6  Cy
Parre, quae bina
lumpexe in ca-
dem sunt ratio
Be 3 Guarum-
que Proportio
est perturbata:
quare etiaim L ex aequalitate proporrionales erunt,
id est, _A B =B A D ad EI A D, SicuFABD adD ADC.
a a CC 66 
et componendo.
t. 6)
IA B ad BA D, SICEH BD FO ADC ad ∞ ADC
AA C6
Permucandoque n
-bb =6)
67.
AABadFIBD. FD AD C, SICVEH A D ad D ADC seu
aa  bb. +67-
6y
AD ad DC, id est, c ad y. n
Sedut A D ad D C, ita. est quoque AB ad BC, sCU P, H AB
2d ∞ ABC, id CAt, a a 2d a X.
Paltumpei CInde erirutB AB ad BIBD. F D ADC, ita B A B ad D ABC.
com. altIF.
AB (eu 4.
IPer d
I.
aabb. LCya a 1
aX0
SEqualia igitur sunE 2BBD LO ADC _D ABC.
bb. +c9
∞ ax. Quod
erat otendendum.
Idem quoque alicer a nobis deinonstratum reperitur Propne
20ma secundae partis prioris tractatus Fxercicationum noltrarum
Machematicarum; ac praeteren etiam adhuc alirer ab aliis.
I per 2.
Suenti.
alia

## Folio 373 — 175906937X:0397
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000397.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
ludines
aetC;
altera
le binae
FatiO.
a12:
10
DC
Ceu
AB
C.
od
opue
cum
Aia
DE MONS TR A FLONEBUS.
373
Alia praeceactos rematis Analysis, supponendo vantum
684) Propostiones primi libri Fuclidis.
BC, perpendicularibus DF,
DC, Patet, ob angulum ABC
rectâ BD bitariam dirisum,
ipsas D F X DC7, Ut _ FB X
BC per 16 primi esse eequales.
Deinde esto etiam B F per-
pendicularis ad A C, sique
BD ∞b
AD ∞C
BC ∞X
DC∞y
EB vel BG ∞F, CtIEGuC A F ∞ a - 1,
_C C ~X - 1.
e E. D ∞V, CrIEGUC AF ∞C -V,
per 47 Primi.
SDAD. C0
DemissIS ex D sUPer AB,
AB∞ a
A L. da- 2 at. L tF.
et F. C ∞ y. F. V.
Suber.
bb. HBD
EIF. HFB
AED. CC- aa F 2at - tF ∞ bb = tt. HFD
ED ABF BAB LEIBD =AAD
2 at ∞ aa F- bb = cC +
FIE + ∞ = a + bb = c0
Sed F in alo Guosde cemssareni potelt, quarendo cum
per 3 latera trianguli D BC, hoc pacto:
22 3
DubEr.
dele utrinque 1V, a
tanster c0 de a0
div. utrinque Per 2a
SuDEF.

## Folio 374 — 175906937X:0398
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000398.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
DE CO N CEN N A N D FS
Suber.
EDC. yy
2IOC. X X = 2 X 1 = 1Y
Suber.
bb. HBD
tI. HBO
HDO. 7y - xx L 2X5- et ∞ bb -- 1t. BDG
del. ueringue TB e
ta1SE. yy de nn
per 47 primi.
dir. utrinque per 2. v
2L CBC ABC. FHBD-- BDC
2 ∞ F ∞ X X + bb = yy X
HE F ∞ X X + bb - yy
2 X
Sire iSIEUT QUATaTUY F PEE 3a LaFETA Al ABD, Cire Per 3 a la-
tera Ali DBC, elucet urique inde X Propolitio +3 secundi li-
bri Fuclidis, ac praeterea quomodo haec ipla adhibenda sic ad F B
vel BC inveniendam.
Frit itaque
diri(O VITOqUC deHOMLINatOTC PeL2, in-
Aicuatur mulciplicatio per crucem
EanSF. Quancitates, uc, quae in b b ductu
Cunt ab una parte habeaneur
dir. utrinque Per X - a
a a + bb = c0 X X + bb - yy
AAX + bbx CCX ∞ aXX L abb- ayy
bbx abb DaXX- ay) + CCX aaX
eritque bB ∞ ux ayy L CCK a aX
Duaeratur jam v per za latera trianguli ABD
Per 47 primi
Suber. SD A B. a a
EHAF. C6- 2CV L vV
cl. Utrinque VV, d
Suber.
s
BBD
vV. HF. D
HEB. aa- Cc. F2CV -- VV ∞ bb -- DV. LILB
transC. a a ee 00
div. utrinque per 20
26V ∞ b b + 6C - a a
HEV ∞
a
b Cc- a a
Sed v quoque in alus termins inremri potelt, quaerendo cam
per 32 latera triansuliDBC, hoc pacto:
SubEr.

## Folio 375 — 175906937X:0399
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000399.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
BC
DC
C
ex 3a la.
ndi li.
ad FB
caps
X AaX
L AAX
BD
F. D
HEB
A0Cdl
Sube.
DE MON SFR A FEON LBUS.
per 47 primi
ABD. bC
SubEr. Z
HED. vV
Suber.
37
XX. DBC
yy = 2y V. FVV. DFC
DEB. bb = vV ∞ XX- py - 2yV- VV. CIEB
del. uerinque vv, d
EanSE. bbeC27D 2DCDE. ABC =BDC FBD
dir. utrinque per 2y
27V ∞ X X = yy - bb +
1X d - yy - bb
FFV∞
Ouarendo itague v per 32 latera Ali D B C, emanat hinc
Prop. T2 secundi libri Fuclidis, ac praererea quomodo hec ipla
debeac adhiberiur inveniatur E. D.
Ouare erit
divilo utroque denominatore per 2,
-
bb = CC = a a X ~ - y y - bb
institmatur musciplicatio percrucem bby - = C6y = a aY DCX X - c7y - cbb
ErAnSF. quanritates, ut, quae in bb
ducta sune, ab una parte habeantur bby + - 6b b DCX X + a 4y - c7y - 6Cy.
div. urrinque per y +c
C ∞ X + 4 aY - c9y = c0y
X Ftbb ∞
y
+
Duplicicerigitur invento bb, habebitur aequatio
inter 2uX = aYy + cC~ = a a ~ CX X + a ay - 0yy = c CY
mult. per crucem
A X X y = a73 + C6Xy = a A X Y + a6 e X = 467) + 63 X = A AC X
D
CX3 - = a4 X y - 6X y7 - 6CX y -- aC X X = a3 y. + aCyy = aCC y
eranspolitis transponendis, sic
2a C X X = C X yy + 63 ∞ = 6X3 = a a6 X = 266X y
D
2A 4 X 7 + 4y3 - = aCCy - a H X y = a3 y = 2 a C g. y
dir. uerinque per 2 a x F yy + 6C - X X = a a = 2Cy.
AD DC ABBC
etiEguC CX ∞ a y. HIOC es, erit vec ad y, ita a ad X.
u
Oux terria eA Propolitio li-
bri sexti Fuclidis.
ETine
ac proinde x ∞, e = ∞Y.

## Folio 376 — 175906937X:0400
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000400.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
DE CON CLNHANDES
Flinc existente bb x a X X = ayy = CCX = a a X
X
Si in locum ay
Substicuatur ex de rice rersa: habebitur bb  =X- ex) F ca) - aav
DADC FGDB DABC
id est, bb∞ax =cy; Seu, quod eodem recidit, cy + bb ∞ A X
Ommino uc in antecedenti Theoremate. Unde Facile elt, cooni-
EIS AB, BC, AD, e D C, invenire BD.
Ouod si autem, existente bb D A X = Cy, PrO x Scribaeur
 tiet bb ∞ -- = cy vel b bc ∞ a ay - c07. id est, diridendo
C
Utrinque Per A4 = 66, erit a a = c0  y. Vel, resolvendo X qua-
GAB--LAD EBD AD DC
litatem in proportionem, erie uE a 4- c6 2d bb, itac ad y. Simi-
CCX
liter, ( Proy Scribatur erit bb ∞ a x - - vel bb a D AAX- CCH.
bba
id est, diridendo utrinque per a a - 66, etie a a - c ∞ v. Vel,
AAB= HAD
resolrendo aequalitacem in proportionem, eric uEaa -5c ad
VIBD AB BC
bb, ita a ad x. Ouae quidem insuper ostendune, quo pacto ex
eribus laceribus al ABD inreniri possint BC e DC.
Atque ita constat, si ad praecedentis Theorematis in vestica-
tionem duntaxat adhibeantur 26 es 47 Propositiones primi
libri Fuclidis, qua ratione ex calculo non modo idem Theorema
emanet, verum etiam Propositio 22 15 23 secundi libri, 3tia
sextr, aliaque proposiiones, in Fuclide non extantes, quae trian-
culum concernunt, cujus angulus bifariam est divisus.
Caterum calculum hunc mulio prolixiorem esse calculo an-
recedentis Theorematis nemini (ut opinor) mirum videri de-
bet, cum ad illud indacandum supposuerimus Theorema, quod
ei immediate praecedit, tum etiam Prop. 22 aut 23 secundi:
signidem rationes, quae in iis comprobandis cunctae ac singula
sunt perpendenda, illis sic jam prae suppositis omnino praetermit-
Euntur; qua alioquin, si rem ipsam penitius inspicere atque a
prim

## Folio 377 — 175906937X:0401
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000401.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
DEuM A)
eaj - nan
OABC
ad AH.
E, coeri.
Cribatur
idendo
P-C1H.
DAD
66 2d
aAt0 ex
ga-
primt
13 3lia
TIaB-
quod
netla
Mit.
Gue a
rimis
DE MONS TR A FTONTBUS.
primis velut principiis, (quemadmodum in alcebra praeseriim
fieri solet,) deducere velimus, loneâ serie forent spectandae.
Quae quidem hic refero, ut quilibet intellicat, nonnullos repe-
riri, etiam in Mathematicis haud leviter versatos, qui viden-
tes hujusmodi calculum sapenumero valde prolixum evadere,
plurimi (ve terminis constantem; demonstrationes Ceometricas
ei lonse praeferunt, non animadsertentes ejusdem beneficio eli-
ei Theoremata, quibus ad id concatenatim utuntur. Existi-
mantes praeterea Alcebram vel hoc nomine non marni facien-
dam esse, quod solummodo circa aequationes versetur ac eas
dem continue respiciat, quod sane exo maximi momenti judi-
caverim; quippe harum ope infinita genera Problematum pro
uno genere Problemarum haberi queunt; ac demum quicquid
in universa Mathesi arduum seu difficile occurrit, id omne per
aequationem absque ulla ambase ex verborum in volueris quam
simplicissime potest explibari.
P R O B L E M A.
Dacs politione duabus rectis lineis parallelis AB,
 as aaous punctis A de E: C puncto F’extra
Plas dato rectam lincam ducere FBD, quae a policio-
ne datis abscindat rectas AB, ED, dacam inter se ra-
aes AF ad C C, seu a ad d.
Series Resolutionis.
Ponatur Factum, quod qua-
rieur, hoc est, sIE A B ad LD,
Ut a ad d, SIEGue A F ∞ a
C F ∞ b
CF. ∞B
e AB ∞X.
Finc

## Folio 378 — 175906937X:0402
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000402.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
DE CONCENHANDES
FTINC UE AF ad C C, ita A B ad qcam (CU F D
a - d -  X  d X
Sed ex similirudine NIorum A F B et C F D est quoque
DE AF ad AB, it2 C F
add. CF. c
a X  b) adCD. C. 1 2
OUarC CTIE per 16 setI D AF, CD D AB, CF
ac- F db X ∞. bX.
Transferatur d x ad alceram partem, urincoeniex quancitates
ab una parte habeantur
erieque ac ∞ b x = d X.
Diridatur jam utraque Pars per b = d
ee FIEN ∞ , 4. FTOC est, relolut a aequalitate in PrOPOI
tionem, crit utb - d adc, ita a 2d x.
Id quod arguie, ad Problema hoc solrendum, Ratuendum ese
ut GF ad C F, ita A F ad A B. IIE dutem iplum COMPONaEUE;
repetantur Resolurionis restioia e ab ejus fine per eadem redea-
cur ad id unde inicium cepit. Ouemadmodum superiiis jam (X-
piusmonstracum fuie, aeque etiam hic ridere est, praemittendo
prius Constructionem, quae sic se habet.
Constructio.
Ductâ CFI parallela A B vel CD ac aequali CF,
aSaTUE CX F per HIrecta FHID, sCCanS AB, CD in B
e D: dico ABadE D esC, licUE A F ad C C7, Peu a ad d.
Finis Composirionis.
AF CC AB FD.
Unde per 16 sexti erit, ut a ad d. ita x ad f.
OAF, ED DCO, AB
erie similiter a f ∞ d X.
D AF, CF
Elinc dempro uerinque communi ac,
atC

## Folio 379 — 175906937X:0403
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000403.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
peirates
los
um esse
Olatu
redea-
JaMla-
itendo
IN L
pad d.
Oare
DE MOHSERA FTOHLBAS.
19
DAE, CE FDAF, ED BAF, CF FDCO, AB.
Duare erit ctiam ac - F a f ∞ ac + d X.
DCF, AB DAF, CF FBCO, AB.
Erat autem de b x ∞ a c - F d X.
DCF, AB DAF, CD, SCU, OAP, CP. FOAP, FED.
Duare per 16 sexti erie bX ∞ a c -  af.
AF AB CF CD
exitque ex similicudine Nlorum AFB, _ C FD, uca ad X, it a b ad c. + f.
FAO ja F. D ∞ f,
DCF, AB OAF, CF FDCO, AB.
eritque b x ∞ a c  d X.
DCG, AB
Addatur uerinque d X
GOF, AB SCUD CF, AB DCO, AB OAF, CF.
Crit per 16 sexti b X = d X
D A6.
id est, reductâ proxortione ad aequalitatem,
OF OFIVCICF AF AB
Ex constructione est, ut b = d 2d 6, it a ad X:
Principium composiionis.
Relictis isicur hisce restigiis demonstratio eisdem superstru-
cta eric talis.
deooiset ctobo
Ouoniam itaque ex constructione O F est ad GII vel CL,
SiCuE At ad AB: erit a rectangulum sub extremis G F, A B 2 Per 16
xquale rectangulo sub mediis AF, C F. Ouibus si addatur COIM- Sexci.
imune rectangu um sub C C, AB, eric b rectangulum suB FOtA B per 2 se-
CF ∞ AB aequale duobus rectangulis sub AF, C F d lub C,
AB. PorrO, quoniam ex limilicudine criangulorum A F B ec
cundi.
CFD, AF CA ad AB, sICuE C F ad CD: crit rectangulum c per 16
sub mediis C F, AB aequale rectansulo sub exrreimis, AF, C D, Senti.
hoc est, a aquale duobus rectangulis uD AF. CF _ SUb AF, d per Y se-
F. D. Frat aucem quoque rectansulum (ub CP, AB ae quale duo- cundi.
3bb 2
b

## Folio 380 — 175906937X:0404
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000404.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
380
DE CON CTNH ANDES
bus rectangulis (UB A F, C E _ sUB C G, A B. Aqualiaisitur
crunc bina rectangula ub A F, C F _ sub AF, F. D binis rectan-
oulis (ub AF, C F _ sub CG, AB. A gnibus Si commune au-
teratur rectangulum sub AF, C F, erit etiam reliquum rectan-
oulum Tub AF, F. D aequale reliquo rectangulo lub CO, AB.
UInde uc AFad CG, ic2 A B ad P. D. Ouod erat Faciendum.
Tlactenus quae praecesserunt Problemataes Theoremata istius
naturae censeri possunt, quorum difficultas in demonstrationi-
bus ex calculi vestieiis eliciendis porius quam in iisdem per Al-
rebram solvendis es ostendendis consistere judicari debet. F.t-
enim cum in Alcebra Problemate aut Theoremate ad A qua-
tionem perducto haec secundum certas reculas reducatur resol-
vaturque, at vero demonstratio Ceometrica, quae ex eorum sal-
culo depromenda est, non semper eisdem lesibus sit obnoxia,
(ed diversimode pront requiritur, immutanda veniat, ut ipsa
commode feliciterque per Ceometriae Flementa explicetur: visum
nobis fuit hic consequenter illius contrarium in adductis aliquot
exemplis patefacere, utpote in quibus praecipua difficultas in
ipsorum per alsebram enodatione sita esse appareat. In quem
finem duas primum Duastiones Arithmeticas in medium af-
feram, ut, ipsis beneficio calculi hujus Ceometriae soluris, cuique
fiat manifestum, quo pacto illius ignari deinde ad easdem sob-
vendas ratiocinari possint. vulcaribus tantum Prichmetices
reculis instructi. Duibus aliquot Quastiones Ceometricas eju(-
dem generis subjuncturus sum, quo simul constet plurimas etiam
tales reperiri, post quarum solurionem Alcebraicam ultro velut
sese offert solurio ipsarum Ceometrica, it a ut quod illius demon-
strationem insuper concernit Geometria Flementa jam edoctos
non effuciat.
U  S LL
e per 1C
sed
duaestio 44
primae par-
tis libri pri-
mi KNerCI-
rationum
nostrarum
Mathema-
ZICAPUM.
OEnopola duplex habet vinum, unius 8 stufris, alterius 14
Tusris consta. ult autem mixtionem facere, it a ut
dolium

## Folio 381 — 175906937X:0405
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000405.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
IBITuE
ectan.
ANC du.
rectan.
 AB.
dum.
aistius
Y Ab-
Lit-
qua-
eset
16ab-
ut ipsa
liguot
ta5 IB
quem
M af.
1IIS 14
doliui
DE M O N S FR A FIO H IBUS.
38+
dolium vini vendere possit 35 florenis. Duaritur, quot can-
haros ueriu (que ad hanc mixtionem faciendam sumere debeat?
Ponatur eum debere lumere x cantharos primi 8 CuEr. Ieu a,
_y cancharos secundi 14. Sutr. Peu b.
Deinde supponendo dolium continere 80 cantharos (eu c. 8
pretium 35 Aor. vel 700 Autrorum, quo iplum rendi debet,
rocari d: Crit X L Y ∞ C
et X ∞ C - y.
Ouaratur jam quanei constene conthari veriulque rini, quo
dolium impleri debet: dicendo
Canth. constat Cutr, quanti constabunt Canth. Autr.
amemu
X I FaCIE AX. CONCTANE
canchari prini
vini, in doliume
intundendi
Canch. constat Ctutr, quanti constabunt Canch. Stutr.
onum
n y1 Facie br. constane
canchari secundi
vini, in dolium
infundendi
mu nFro
erieque lumma a x L by ∞d.
EranSF. By in aII. Part. 
a X ∞ d - by
tL. Derinque Per a
Frat autem et X ∞ C - y.
AECCTIE O
malt. utrin que Per aL
EANSE. quantitateS, UE qua
in y ductae suntunam te-
neant aequationis partem by -- a y ∞ d - a6
dir. utrinque per b -- a
1
ac
d +aC
dell Cu
 FIE
b = a 2d F, It2 d - a6 2d 7.

## Folio 382 — 175906937X:0406
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000406.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
382
DE CON CEH H A N D FS
Duactione hâcitaresolura, ue constet, quo pacto in quaesiti
invencionem circa haec Pacienda ratiocimasi liceats inspiciatur le
quensillorum interpretatio.
MuIE. c. 80 Canth. Peu, dolium Suber.
ver a. 3Auti.
Ex d. 700Cufr. constat dolium plenum
vino 8 d 14 Autrorum
Fiunt 40, 640 RuEr . . . . . . . . a6, 640 AuEr.
constar dolium ple- Reling. 8 -4c. 60 Rutri, quibus dolium plus
num vino 8 Autro-
XIIII.
Ctuta
FX b. L4
subEr. a. 8 Cant.
constat implecum vino 8 sutr. X
r4Ctutrorum, quam plenum (0l0
vino 8lutrorum: vel etiam, qui-
bus canthari r4 Sutrorum in do-
lio contenti cariores sunt cantha-
ris 8 Autrorum, illorum loco
sumpris.
b- a. 6IIuFr. =+ = d -ac. 60AaEr. 1 FaciE
differentia pre-
cii unius can-
chari
asib 4
primae par-
differentia pre-
D
1d. 2ac
TUBEE.
c. 80 Canth. dolii
b -=a Ceu 10 Canch. T4 Au-
Frorum ∞y
rel. c - 7. 70 Canth. 8 Au-
I A S F F O.
FrOrUMI D X.
Ancillatorum petie, habens 9: Ctutros, uc iis poma
tistibrp e picu etat; ubi veniens, 10 poma ipli oferuntur
it Lderct.
ontionunt
2Cutr. ∞25 pira 2 cutris. Quaeritur, li ueriusque tru-
nostrarum etus limul 100 habere relit, quot poma d pira scortim
Mathema-
carum. aCcipere debcac:
Donatur ancillam debere accipere x poma, unde cum vtrius-
que tructus 100 seu a limul pro 9; Stutr. Peu b habere relic, equi-
cur iplam recipere debere a = X PITa.
Hlinc cum sopoma Ceu c oferantur r Autro seu d, de 25 pira
seu e Autris 2 seu f, quaeratur quanti jam constent alsumpta x
Poniu, de a = v pITa.
eetccceecb
II clio

## Folio 383 — 175906937X:0407
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000407.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
sucet
aeat .
plenum
III
n plus
21010
qui-
1d0-
Tha-
OCO
+Cu-
∞y
8AuI.
∞H.
Omd
Tru-
rlum
trius-
sequi
5 pira
DEd 
Di
DE MO RSLR ATTONZBUSI
omtonum seut quait constabunt Poma
Autr.
X 1 FaCIE
ila Cdisca dutr., quanti constabunt Pira
. Constant poma lumend
mm A X ) FaCI= 5
menda
AtuFr
 ex + Cfa - cf X ∞ b
mulc. urrinque per ce 
c
dex +Cfa- cfx ∞ cbe
ErANSF. cf a ad alE. partem
dex -cfx ∞ cbe - cfa
dir. utrinque perde -ef.
de FIFX ∞ Cb e = cfa
de- cf
Ad Fractionis hujus resolutionem, Aatut c2d d, ita e 2d quar-
tam, quae rocetur s: eritque c8 ∞de. IInde pro X ∞ C0C=ef a
Scribi pocerit X X
cbe - cfa
be-fa
55 - cf vet
de- cf
=f. Deinde Hatuc eadf, ita
a ad tam, quX VOCetuF B: Critque eh ∞ fa; IEA UEPTOX ∞=a
Tcribi POsTIEX ∞ 
es
.Tlinc si demum Aac, uc 8 - f ad e, ita
b - B ad qam, erie ca ∞ x, quancitati quae lita sumendorum po-
IMOrUI.
Oux itaque ad quaestionis solutionem citra AIsebram seguen-
ti modo argumentandum esse interunt
Poma Autr. POma
10 - - L = - 251 facit 2 = AuFr. ConAant 25 POMa.
Suber. F. 2 Cutr. precium 25 pirorum.
Reling. 8 - f. = AuEr. quo 25 Poma cariora (uNE 25 PIrIS.
Pira Aul. Dira SubET.
de
a
b. 9: Autr. constant 200 poma d pira limul
L 20D, FacieB. S AuFr. COnSTANE LOO PITA
reling. b - b. 12 Cutri, quibus 100 poma et
pira limul cariora lune 200 piris, vel etiam,
qui
Dicendo:

## Folio 384 — 175906937X:0408
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000408.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
DE CON CENN A N D TS
quibus poma in centenario contenta cario
ra lune piris eorum loco sumptis.
Ir. citter. Poma Sutr. difter. Subti.
b - p
a. 100
12) FaCIt X. 7 5 DOIa
E  - X. 25 PIFa.
R O B L E N A.
Metiri alcicuciCM curris AB, ut _ distantiam AC,
beneficio duorum bacutorum CD, RF, daris (D ∞ a
C F∞b, e TIF∞C.
34
Esto A C DX,
d A B ∞ Y.
Series Analyseos.
Ducta LF parallela AP, erit propter similicudinem acum ABF
 CDF
uc AB ad TF vel AF, ita O D ad R F vel CF.
X ]. b -
AC proinde peF 16 TextI
by ∞ a X + ab.
Eodem modo, erit proprer similicudinem arum BDC _ BF HI
ut BD ad BF, sivC PR ad Y F
hoc est, A C ad A E, ita C D ad TIF.
  X. f b - - 
6
AdCo

## Folio 385 — 175906937X:0409
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000409.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
ed Cdt
rAC
DDa
un ABF
D E MONSFR A F IOH LB U SH
Adeoque per 16 sexti
CX D A X  a b.
RuFeratur utrinque AX,
ec BCCN = a X ∞ ab.
Diridatus jam UEEaGUC PAIS PCF C- a3
erieque x  . HToc est, resolvendo xequalica-
tem in proportionem, CxtEut
c - a ad a, ita b ad X.
Jam cum eidem a qualia inter le quoque sine aequalia
eric by DCx. HToc est, crit ut b adc, ita x ad y.
Ouod Eaucem invenire lubeat p, non inventa prius x, Tubro-
retur in hujus locum in aequatione ultimo hic invent a ralor ejus
InVentus
Aetque by ∞ 2b0
C
Ubi, Ei verinque diridatur per b, invenietur y ∞ - -. OuX
6
quidem aequalicas in proportionem sic resolvitur, dicendo: UE
c- a ad a, ita c ad y. P. quibus itaque hujulmodi C’on structio seu
operandi modus olucelcit.
SumpEa ITL aequali CD, junctague DR, AAE UE
c- a ad a, HOC CA, UEFL ad L FI, SIVOFD ab DB, SirC
ctiam FC 2d C A, ita P C scub ad C A seUN; X ita
quoque FHIIcu c ad A B scuy.
Cujus demonstratio ex 24 X qta sexti libri F lementorum per-
Spicua elt, quippe considerando rectam DL. ipsi B HI parallelam
lecare proportionaliter rectas BF, FFI, perinde nc D C, quae ip(
AB est parallela, seCAF reCtAS AF, AE; ut _ rectam F F cidem
AB parallelam, Facientem AIa similia CFII _ G AB.
Caeterum uc praxis hujus Problematis cuiris obria sic, vilum
Fuic illud per numerosillustrare, ue sequitur.
digit.
EAtOOD ∞ 4 ∞ 24
C F ∞ b ∞ 30
d HIF ∞C∞ 25.
Ce

## Folio 386 — 175906937X:0410
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000410.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
DE CON CTHH ANDIS
UIE F L adL II,
PCuFD ad D B,
lire etiam FG adC A,
7 - - 24, It2 SF C. 30)
24
digie.
CA. 720.
EFTI. 255 EAB. 600.
P R O B L F M A.
ratiri dileaea CMIITUmI A, B, cum ad A perve.
niro licet, datis CAD a, AD ∞ b, C D∞C, AP∞ d,
_ C L∞C.
FAO AB ∞ Y.
SCrICS Analyseos.
Ductâ OF parallela CD, Eat
oropter similicudinem Arum ADC
_ AFO,
UE AD ad D C, ita A F ad F. C
temque
UE AD ad A C, ita AF ad AC.
b
a- a
Flincpropeer similia
A C BF S GBF
erit ut
1
aa
CFad CB, ItaG F add. AB. X.
ed
Ad f. bae
t
e = a- L X - = 12d(B.
Ac proinde per 26 sexti erie
DCF, CBaequalCD CB, OF.
a d e- F b e X - acd-  c d X
ressea ssitur aequatione, ut
eranelcane Fractiehes, mulciplice
tur verinque per b, e tic ad e +
b e x ∞ ac d F. 6 d X.
ranstetuet sal Glacaleo
ita
3d

## Folio 387 — 175906937X:0411
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000411.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
600
AperiL.
AC od
D, HaE
DC
adFC
dA6.
d. ABmmo
B, CF
CdX
DBe, UI
Aciplice.
ad e +
aritates,
DE MONSTR AZFONFDUS.
ita ut quae in x ductae unt unam partem aequationis obrineant,
reliqua aurem alteram
Ferque be x - 6 d X ∞ aC d = a d C.
Denique diridatur uerinque per be -c d
eritque X ∞ acd - ad0
be-cd
Jam ut aequalicas hac omnium facillime in proportionem re
Solracur, simulque inde elucent, quo pacto quis ratiocinari tenca-
cur, ut quaelicam lineam AB seu x ex datis quam brevistune in-
reniac: animadrertere oportet, quaenam licera plurimum
omnium in hisce terminis reperiatur. Oux isitur cum hic de-
prehendatur esse d, iplaque le ter prodat, ubi reliquae non nisi bis
oftenduntur, Faciendum est, ad deprimendas dimensiones, ut illa
in omnibuscerminis inreniatur. In quem sinem (i Fat uE d 2d b,
ita e ad qtam, quae roceturf: erit dsxbe, ac proinde x ∞ acd = a dc
Peu
c - a
af cd
.nimirum, abbreriando cerminos omnes per d. EbI
Si demum Fat uE f - 6 2d 6 = e, iEd a 2d qtam: erie ip(a DX, hoc
eA, ∞ quaelicae lincae A B. Atque ita apparet lonsitudinem ejus
duabus regulis erium seu proportionum inveniri polle, quae alias
zbus gue pluribus inrestisanda foret, si nullum in relolrenda hac
Fractione heret discriimen.
Ubinocandum, candem Fractionem ac d - ad
be -= ct
etiam aliomo-
do in duas proportionum resulas esse resolubilem, qua lingulae
licut praecedentes non praecer unam dimensionem agnoscunt live
omnino simplices exictunt. Nimirum considerando in duobus
terminis reperiri cd, de in linsulis reliquorum duorum reperiri es
adco uc, si planum cd in aliud transmutetur, cujus unum latus
Cic e, licera e sic in omnibus terminis haberi raleat, quae deinde
Omicti polic. Ac proinde (i Catuaeur, uc e adc, Ita d ad gram,
2e5= adc 48 - ad
acd = a d
e Cb
Scribi PONiE
pe- es C b -. Unde si rursus AaEuE b - 8 ad 8 = d, ita
aad gtam: erit ea ∞ a, linex quae licx AB. Oux quidem animad-
vertio, cum in abstracto hiac nullâ Facta calculi relatione sire re-
Srictione ad figurx lineas, luculenter ostendic, quat perperam
judicentilli, qui non rite perspicientes hujus Geometrix Metho-
CCC 2
du

## Folio 388 — 175906937X:0412
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000412.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
8E
DR CONCTHN ANDES
dum constructiones concinnas aliunde porius quam ex ejus ca)-
culo derirari aucumant. Ouod utique plurimis exemplis demon-
Strare possem, iisque non inelesantibus, sed cum id prolixius
explicare non sic hujus loci, hiaec in medium acculisse luftecerie.
Deniquent paceat, quo pacto praecedentis fractionis resolurio
ad figura lineas pertinent eaque limul nobis manifestet, quales
linex ducenda sinc, quae nos ad quae siti finem perducane: conse-
quens fueritur ea quae ad Facilitarem reductionis circa calculum
Teorlim Cumus medicari ad Rgurx lineas referamus. Constructio
igitur lire operandi modus talis est.
Fiac ut d ad b, hoc cst, uE A E ad A D Sire C II ad
CI, ita C F seu e 2d CK seu f. Deinde Aacut f. -c ad
ce, HOc CA, uE I D ad D F sivo ID ad DB, ita C A
Pei a. 2d AB TCU X.
Cujus demonstratio ex ipla proportionalium applicatione ma-
nifesta est.
Eadem manente Fractionis resolutione possunt dicta propor.
cionales dirersis aliis modistirura accommodari, indeque velur
alix constructiones concinnari, quibus licer Esurx valde dissimi-
les appareant; operatio tamen una eadem que existit. Mutas qui-
dem omnes hic exponere propter earum mulcicudinem superra-
cuum duximus. Idem intellise cum prxcedens tractio secundo
modorelolvitur.
EInde collisere licet, cum ex Pola applicatione harum propOr-
cionalium, manence relolutione tractionis aur eadem aliquantu-
lum immutata, complures vix ulero quali sele prodant, quibus à
datis ad quaelicum perducamur, quanto ideo cum emolumento
hujus Geometrix calculus ad omnitarias quaestiones adhibeatur;
utpore cujus beneticio non modo difficultas omnis breriter ob
oculosponitur, sed eriam quid circa illas sic Factu opis plene cdo-
CCtUF.
Caterim ut iis, quibus hujus generis Problemata arridene,
qua ab (que ullo instrumento Mathematico in campo pertici
gucune, etiam praxis allari Problematis constet, visum fuit illud
Terrando priorem Fractionis relolurionem secundum superiorem
ejus applicationem pernumeros illustrare, uc sequitur.

## Folio 389 — 175906937X:0413
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000413.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
IS Cdl.
deinon.
rolixius
CerIC.
elolurio
quales
:conse.
Alculum
tructio
ITad
-6 2d
dCA
DrOPOr.
de velut
dissimi-
Uas qui
superra
secundo
PrODOT.
liguantu.
quibus a
Olumento
hibeatur;
eriter ob
plene edo.
orrident,
p0 pertiei
ntuicillud
speriorem
EAto
D E M O N S F R A F LONLBUS.
Dedum
FAO C A ∞ a ∞ 450
AD ∞ b ∞ 390
C I ∞C ∞ 420
A F ∞ d ∞ 225
_ C F D e D 252.
SiC u CL, Ita CFad C R
225 = 390 = 252 1. 4365
CD. 420
TUbEr. C D. 42O subEr. C F. 252
Ped.
Deinde, uEDK. 26= ad FD. 168, Ita C R. 450) ad AB. 4500.
Sireut ID ad DB
PR O B L F M. A.
Trianguli ABC producto larerC AC ad D, duct â-
que recta D E F, lecante CB, AB in P ex F, dantur
ABD a, BC ∞D3 1LCDC, CDDd, _ C. F DC:
Fum Eat
ETE A E ad A D,
opOcCa CL.
Serics Analyseos.
Ductâ FC parallela BC, hrac propter similicudinem criangu-
c 21D ad DC, sed AL ad FC
GCC 3
lorum ABC _ AFC
drem.

## Folio 390 — 175906937X:0414
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000414.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
DE CON CENH A NDES
lcemque
Uc AB ad AC, ita AF ad AC
a C - a1
CX
C quae subducta exc, relinquie
Einc propter similia AL C F D et OFD
Crit
UEF C ad CD, IC2 FC
1 2dC
Ac proinde per 26 sexti
mule. utrinque per a
add. Utrinque ce x
dir. utringue per db F ce
ab 
d a e = Ca C -- C e X ∞ d b X
da c F C a C ∞ A b X - L C CX
de HF d a e = ca0
db - F cC ∞ X.
6d
aa
DEC, OD DCD, FO
da c CaC = CC ~
Ad resolvendam hanc Fractionem, Fat ut e ad d, ita b ad qtom,
dac Lcac, da  ca
Sent c0
Deinde Hacur f. Fc 2d a, ita d Fc ad x. Ouod ipsum docet, uE
ex datis lineis inrestigetur quae sita linea A F, ducendam esse ex B
lineam B II ip(I F F D parallelam, donec occurreat productae
ACD in II. Cum enim Cacuendum (iEuE e ad d, hoc CA, UF C F.
ad CD, ita b seu C B ad qam f: patet hanc Fore ipsam C FI. AC
proinde (i Porro Hat uc f. Fc ad a, hoc est, uE AFI ad AB, ita
d-Fc seu AD ad x: manifectum est inveniri hinc quantitatem
qua sux linea A F; ita ut hic sicut in duobus praecedentibus Pro-
blematis demonstratio ex Pola proportionalium applicatione per
se perspicua (II.
Ouodsi aurem quis alio operandi modo aur eriam eodem sed
aliarum linearum ductu quae sitam lineam A P inrenire desideret.
obserrare poterir ea, quae a nobis in ancecedenti Problemate in-
dicata PuInE.
Caterum cum ee praxis hujus Problematis in exeruendis FOr-
calicus, chomatibus, promontoriis, aliitre, non parri ulus exi-
Atac: nimirum, ubi intlurio, mari, aut locis paludosis a Certo
puncto
AC
C
add. C D. d

## Folio 391 — 175906937X:0415
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000415.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
4
5+
DCeL, aC
dueta
uclL
H. _C
ABilla
TItaCe
ISPTO.
One per
lideret,
natein-
purec
da. ea
IC exB
D E M O N S F R A F FON FBUS.
puncto cen cermino recta linea determinari debet, datum conci-
nens rirsarum pedunre numerum: non absre tuerie, si de illius
praxin parcis huc explicarero, praelertim cum ab (que ullo instru-
mento Machematico negotium hoc expedire liceat.
Ponamus itaque in directum ipsius A C a C u(que ad D defi-
nienda esse recta C D, continens ro perticas seu rirgas. In quem
tinem crectis tribus baculis, A, C, _ B, efformancibus criangu-
lum qualecunque ABC, ac inter B de C crecto ubicunque quar-
EOE, Simenlurentur AB, B C, AC, d C E, lIEGue, CK. BI., AB ∞
a∞ 25, BC ∞ b ∞ 23, AC ∞C∞ 14, d C F. ∞ e ∞5 perticarum
Ceu rirgarum: Oportebit ex his juxta ec ipsi C D ∞ d D T0quae-
rere lonsicudinem linex AP, perinde ur supra atque ex leguenti
operatione videre eAt.
CF CD CB
10- - 13, ad CII. 26
Add.
AC. 14
add. AC. +4 AB: CD, 10
AFL. 40  15. AD. 24 ad AF, 9.
FIinc (I ab A versIIS B in rECTA A B IMeN SUITentuY 9 pertica Peu
riroa, atque in F hujus mensurationis termino baculus crigatuI,
tec, uc, Ei a C in directum iplius AC progrediamur, extruendo
aegerem auc etiam narisando cum (capha, donec perventum
tuerie in directum ipsius PL, recta C D cunc 10 perticarum seu
rirgarum sic Fucura. qualis requirebatur.
Oui plura hujus generis Problemata videre delideret, adeat
Appendicem nostram de Simplicium Problematum constructio-
ne, quam una cum Exercicationibus nostris Machematicis haud
ita pridem in lucem emisimus, ubiista Fulius pertractantur, eriam
Sine ullius calculi adjumento.
P R O B L F M A,
cujus solutione innorescit, qua ratione priora duo Theoremata
mi Capitis mi libri Almagesti P F O L. E HI A. L
inventa fuerint seu inveniri possint.
In Fectas A B, A C ductis urcunque rectis BP, DC1,
se mucuo decussantibus in Z, detur ratio C D adD Z,

## Folio 392 — 175906937X:0416
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000416.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
IDE CONCTNHANDIS
UE a aet D, ICC HOHLACIO Z B ad BB, ut c ad d: OpOr-
ceacque inrenire rationem (F A ad AF.
Serics Analyseos.
EctOGD ∞ a
DZ ∞ b, exit que ZC ∞ a- b
BZ ∞C
B L. ∞ d, erieque Z. F. ∞ d -6
AG ~X
Se AF ∞ Y, eritque F G ∞ X - 7.
Ducta D F parallela BC, erie
Per 2 Cexti
uEGZ ad Z D, ItAGF FX AF. y
a b - - b - X - y, 2c F F b~ - by  lubEr.
rel. AF. 2y = b X
Cum hat propter similia AL G Z F _ C DF
utC Z ad Z F, itaCD
B- b  d- -6 -
adD)
ad ac
Duibus sic conscicuris, eric ex similicudine Nlorum D AF _B A F.
uE DF ad A F, ita BF ad AF.
ad ac y - bX
8. b
a b
Ec sit per 16 sexti
ad y - acy
aum b
a dy. b d∞
Froc est, omisso communi denominatore a =-b
Crit a d7 = a cy ∞ a d y = b d X.
Inde dempto utrinque ady, 2c reliquis hinc inde tranctatis,
AC ligno-L adticianeuE
trabebitur b d X ∞ ACy.
Dux aequalitas in proportionem sic relolritur
UC X 2d7, ICa AC dd b d.
Quod

## Folio 393 — 175906937X:0417
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000417.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
d: Opor.
15.
 id 
2. ∞ d -1
 
eriC
aBAE
ranIatis,
Quod
5
Duod iplum docec, rationem quae lita O A ad A F. PCu x 2d y
esse compolitam ex ratione OD ad D Z. Peu a ad b, e ex ratione
Z. B ad BF. seuc ad d, id est, rationem C A ad A F. per 23 sexri
esse eandem, quam rectanguli sub GD, BZ Ceu ac ad rectangu-
lum Tub BF, DZ Ccub d. Acque ita constat, quo pacto primum
dictorum Theorematum inrentum fuerie seu inreniri possIF. Id
durem ex Rheinoldi rertione ita Conat.
In duas rectas lineas AB es AC deducta dua recta linea 
BF es CD secent se mutuo in puncto Z. Dico quod ratio C A 3
ad AF composita est ex ratione CD ad DZ, s ex ratione Z B 33
ad BF.
Hinc postquam innotuie, quo pacto datis rationibus CD ad
DZ, _ Z B ad B P etiam dari intelligatur ratio ipsius C A ad
AE, urpore quae ex datis hilce rationibus est compolita: haud
inveile fuerie, si ulterius hic ostendam, quibus datis lineis haec
quaelica racio exprimatur, quandoquidem rario dari dicitur cui
candem exhibere ralemus.
In quem tinem sinvencaratio ac ad b d ad communem alcitu-
dinem redigacur, quod quidem quadruplicirer tieri porest, lumen-
80 ad hoc aliquam ex datis lineis, obtinebitur quaelica ratio in
Cimplicissimis cerminis.
Ftenim assumendo communem
alticudinem c, Si Fat uc cad d, ita
b 2d +tam, quX VOCetUF C: CrIE
ce ∞bd, ita ut quaelica ratio (IF
cadem, qua ac ad ce, hoc est, re-
jecta communi altitudinec, ut a
2d e. Juod ipsum Prolemaeif-
suram prodit, in qua ex puncto L
ducta eA P. I parallela ip(I GD.
Sienim in ea taF ut cad d, id est,
uE Z B ad BF, ita DZ Peu b ad
qtam es exit ea linea F. L; ita VEG D
ad FI seu a ad e quaelicam rationem manifestet, candem quippe
quae est ipsius C A ad AF. EEpatet ex qa sexti, proncer limili-
cudinem Lrum D AO SEI AF.
Sic etiam alsumendo communem altirudinem a, litrat ue a ad b,
Ddc
hoc
D E M O N S FR A FFOH TBAS.

## Folio 394 — 175906937X:0418
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000418.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
hoc est, ueDC ad DZ, ita I1O
vel BF seu d ad ptam, quae ro-
Cetur f: Crit Ca DZ I. FF EE
af∞ bd, ita uE quaelIcaratIOSIE
eadem, quae ac ad af, hoc est,
rejectâ a communi alticudine,
eadem qua c ad fseu BZ ad Z. I.
Tlanc autem eandem esse, quam
ipsius O A ad A F, IEa PaFCE.
Productisnamque AB, G FI
donec Coeant in K, CrIt PEOPFeF
Similicudinem Nrum B D Z,
KDC, lineamque D HI Cunisi-
ter in uErOque dueta, ut BL.
ad Z I, IE2 AC ad G FT SCUS L. AE autem RC ad BF, ita est,
AE. Ouarc etiam BZ ad LVerit, ut C A ad AF. UIndeliquet,
Liapro communi alcitudine sumatur, ducendam esse ex C rectam
OHI ipsi BF parallelam, donec occurrat rectae ex B ductae ipsi
AC parallela in FI: erirque, juncta HID, BZ ad Z. L ratio
quaelIca.
Flaud secus, S asuma-
tur communis altitudo b,
Fatque ut b ad a, hoc est,
ut Z. D ad DC, ita BZ
seu c 2d gram, quae roce-
cur 8: Cric ca ∞ IG. FF HE
b8∞ aC, IEa UE qua TIEa i2 -
eio G A ad A F Cadem (IE,
dux b8 ad bd, hoc est, re-
jecta communi alcitudinc b.
eadem qua s ad d Peu IC
ad BF. ut patet ex simili-
cudine rum IAC_ BAF.
Duodipsum arguie, lumen.
dob pro communi altitudine, ducendam esse ex C rectam G5Y
ip(I B P. ParalleLa dohec occurrat productx AB in T, uc habea-
cur ratio qua sits IO adBF.
Nec
DE CONCLHHANDES
propter limilicudinem arum R AG e B A F, quoque C A ad

## Folio 395 — 175906937X:0419
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000419.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
L, HIaHO
9u2 10.
LL. FEMI
caratio(
hoc ett,
lcicudine,
2.3d 2.I.
le, quam
Dacet.
B, OH
tOpter
DZ
limisi-
NBZ
Ied ectu
CA_t
liquec
rectam
lratio
asuma.
loc est,
em(IF,
(eu 16
(umen.
a1N G1
habea.
Nec
398
Nec alirer fic, SI, aumpea
communi alticudine d, Frat ut d
2dc, hoc est, uE BF ad B L, ita
GD rel IC Teu a ad atam, quae
rocetur h: erit ca ∞ DF. FcHC
dB∞ aC, ita UE quae (IEZ LatiO SIt
eadem, quae dh ad bd, hoc est.
rejectâ communi olcicudine d,
eadem quae had b sCu D F adt DZ.
Hanc autem eandem esse,
quamm C Aad A F, ita Patet.
Fltenim, proxeer similitudi-
nem a BDF a D LC, lineamque B F. in veroque similiter
ductam, ut D F ad DZ ita C I seu DC ad IP. IIE auteM DC
ad TF, ita est, propter similicudinem Acum D AG de IAF, G A
ad AF. OuOcirCA _ D Fad DZ Crit, ut C A ad AF. Aeque ica
liguet, sumendo d pro communi alticudine, ducendam esse ex C
rectam CC ipsi B A parallelam, donec occurrat rectae per P. ip(i
DC parallelae in C, rationem quae licam ese DF ad D L.
Caterum ut patear, qua ratione demonstratio praecedentis
Theorematis, qualis a Prolemaeo aftertur, ex allatis deduci pot;
uc dx quo pacto exinde plures alias demonstrationes similes con-
ficere liceat: visum fuic eandem una cum aliistribus, a me dedu-
ctis, hic subjunsere, calculique restigia, quibus innituntur, simul
c achibere atque patetacere.
CIE supra est
B BF D.
Ratio
3LL dd A
D E MOHS FR A F FON FBUS.
et ce ∞ b
Ddd:
.
--- b 
Vet 1d.t. be
teulit
C
DZ. BF
e tH.  d.
De

## Folio 396 — 175906937X:0420
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000420.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
DE CON CFNHANDES
Demonstratio P F O L E M AE L.
Ducatur enim per punctum E. linea F. I aequidistans linea CD.
33
Duoniam icitur linea GD es F.F sunt aequidistantes, ratio
3 lineae C A ad AF. eadem est, qua est linea CD ad lineam FI.
3Adsumatur autem deforis linea ZD. Frit isitur composita ra-
33 tiolinea CD ad lineam F T ex ratione linea C D ad lineam
3DZ, ex ex ratione lineae D Z ad lineam F. I. Quare ex ratio
linea C A ad lineam AF. composita est ex ratione linea CD ad
lineam DZ, ex ex ratione linea D Z ad lineam F I. Est autem
es ratio lineae D Z ad F. T eadem rationi lineae ZB ad lineam
BF, cum aequidistantes sent linea F L e ZD. Ratioizitur li-
33nea CA ad lineam AF. composita est ex ratione linea CD ad
lineam DZ, es ex ratione linea Z B ad lineam B F. Quod
erat demonstrandum.
aliter.
UE supra est
Ratio
DDE BErClHIC LI GA od AF
b- 0
 4) 1bd.
ab --0-- bb
vel ac...... af
BZ L
TCu C....... 
BE. velFTC
medoterm. d.
GD.
a.
Ducta W AL PataCta IpII BL doncc occurrat producta AB
in K, agacur B FI aequidistans AC, occurrens ip(I R C in II, jun-
aturque TID, secans BF in I.
Ouoniam icaque, propter similicudinem NRM R AC _BAF.
GA es ad A F, SicuER C ad B F vel FTG; sed UE R C 2d CII,
ita quoque est, propter limilicudinem rum Y DO _BDZ, li-
neamque D EI in urroque limiliter ductam, BZ ad Z. I. Ouare
etiam

## Folio 397 — 175906937X:0421
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000421.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
ea GD.
S. TaIIO
lineam
5 ratio
tur li-
bD at
Quod
AF
bd
: DI
46
ca AB
H, jun.
2, I1.
Ouate
CtIaM
197
s2la120116S.
ad VL, ee ex ratione BF Hes s Cad ZI, id est, proprer similitu-
dutem rum HIDC_ IVZ, exGD ad DZ: crit perinde ratiO
A ad A F compolIcA CA LacHC BZ ad BF, X ex LatiOnC OD
Adhuo aliter.
Ratio
a6 100-0 bab
n. Ielb8.... bd
IC BF
TCu 3....... d
GD. BZ.
6 med. ter.
Frenm cdct a C L Pacasera B C, uguelum occurrat producta
AB in I: eric, propter similicudinem arum I A G _ B A L, uE C A
ad AF, ita TC ad B P. Flinc cum, alsum peâ Torinsecus rect a BZ.
racio iplius IG ad B F compolica sit ex ratione IG ad BZ, id eAt,
eropter limilicudinem anim ID G _ BDZ, CxGD ad DZ, _
exratione BZ ad BF: erit pariter ratio C A ad A F ex iildem
racionibus compolica. Ouod erat ostendendum.
Vel etiam hoc pacto:
UEsupra est
Ratio
BE BZ GD DF CA ad AF
 - c -- a 1 B
a6....... b d
de db ∞ ac. vel dB.. . . . . . b d
DF
etia erit C A ad A F, sicuF BZ ad Z I. Flinc assumpta Forinlecus
linea BE, quoniam ratio BZ ad Z T composita est ex ratione BZ
adEd L. Ouod etac otensdendum.
c supraet
DZ OD BZ 16 CA ad AF.
mb 8
Lc 2
el 1 100
dL
DCrel TC
d. i.
BF.
a
Luta

## Folio 398 — 175906937X:0422
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000422.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
398
DE CON CLHN ANDES
Ductâ CC ipsi B A Parallela, donec occurrat rectae IF C ipsi
DC parallelae in C, junsatur B, secans DO in F.
Quoniam itaque, propter limilicudinem rum D AC d
TAE, GA est ad AF, siCuE C D vel IC ad IF; ac ut IC ad
TF, ita quoque est, propter similicudinem arum BIC, _BDF,
lineam que BF. in utroque limiliter ductam, DF ad DZ: erie
etiam GA ad AF, SICUE D F ad DZ. ANUmatur jam Forin-
secus linea D C. Hlinc cum rario D F ad D Z SiE Compolita
ex ratIOnC D F ad DC vel IC, Sire BZ ad BF, _ ex ratio-
ne DC ad DC: erie similicer ratio C A ad A F COpOLIEA ex
ratione BZ ad BF, X ex ratione DC ad DZ. Quod erat
Octendendu.
Idem paricer de 2d0 D F OL EM L. L Theoremate aliisque Cimi-
libus est intelligendum.
rude constat, praesupposua Alcebrae coenitione, haudqua-
quam necessaria esse existimanda, quae de Rationum Locistica
communiter traduntur, non maris quam si ad cuju fvis generis
quaestiones per Alcebram solvendas multifaria addiscantur
Theoremata: cum ex invenire illa ex demonstrare ipsins Al-
rebrae sit munus, quam quidem excolendo non modo incenium
exercetur, sed res ipsa funditus ernitur, citra eam vero saexissi-
me illa ipsa Fheoremata non satis felicirer adhibentur.
P R O B L F M A.
Lacifundii A B C D cognitis omnibus laceribus de
angulis, ab eodem datam portionem resecare, li-
ReIS PF, FC, GTI, S TIE latifundii laceribUS AB,
BC, CD, _ D A Parallelis, ex ab iildem pari ubique
incerrallo dissitis.
Junctis AE, BF, CG, _ DFI, deMICTANEUE ex F, F, _
E+ super AB, BC, CD, _ D A perpendiculares FL, FL,
FMI, GNI, GO, _FK; ac ex D super G, FI _ HIF perpen-
diculares DP _ D.
Duoniam itaque in rectansulis triangulis A IF _ AI P. qua-
drata

## Folio 399 — 175906937X:0423
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000423.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
2IE Cipi
DAO8
CuCIC d
a BDF,
DZ: ei
am Forin.
ex FaLIO.
velimi-
Cosistica
Generis
genium
osaxissi.
ubique
L, FL.
PesPeH
CF qua.
drata
DE M O N S T R A F IONEBIS.
396
drata quae HUINE CX A I,
TE BCCNON CK AR, K F
quadrato ex A F. per 47
primi Elementorum lunE X-
qualia, erunt ee ipla in-
ter se aequalia. P.s autem
quadratum ex L.I equa-
le quadrato ex P K, quip-
pe ob aequaliratem recta-
rUI FI, FR, aequale
interrallum indicancium;
Duare etiam quadeatum
ex A I quadratO CX AK
aequale erit, adeoque d
A I aequalis A K. FIinC
cum tria latera trianguli
APF aequalia sine eribus
laceribus crianguli ARE,
erit quoque angulus IAF
angulo R AP. per 8 primi
aequalis, ac proinde an-
pulus B AD per rectam
A F bitariam dirilus.
Hlaud lecus liquet, angu-
105 ad B, C, e D per
rectas BF, CG, _ DTI
bitariam dirilosesse.
Series Analyseos.
Elto AB ∞ a
BC Db
CD∞C
D A ∞ d
_LI, FL, FMI, GN, 6O,
DD, DO, VeLEK DX.
aCnropter datos angulos A, B, L, _ D etiam corum (C-
misses dati linc, erit in unoguee ca setad ansulosholce
CoCu aa sost ahaceruo
a OBd.

## Folio 400 — 175906937X:0424
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000424.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
DE CONCTHHANDES
POHaTHL LEaque F. I ad TA vel F K ad K A esse, ut e ad f
Tumtiac
FL ad L Bvel FMI ad MB, ut e ade
GNadNC vel CO ad OC, ut e adb
ee DP ad P FIreI DO adOHI, uc e ad 1.
FTVeI FK ATvel AK
HE e ad f, ICa X 1 ad s
FL VCIFM L B vel BMI
HE e ad e, IFa X 1 2d SX
ONrelCO NCvelCO
uE e ad B, IF2 X 1 2d Ba
DPrelDO PTIreIHO
uc e 2d i, ita X, 2d 2
Addicis jam AI, AK, L B, BNI, NC, CO, Ciplarum summa
fx =25∞ + 2b~
auFeratuF ex a. F b. f c. F d, Cumma lateruM AB,
BC, CD, ec D A, relinquerur a + b + c. + d = 2s~ - 25∞- 2b X
Cumma rectarum LL, MIN, OD, _DK, id est, ip CaTUMI E F,
iX
FO, OP, _ OF. Ouibus Paddatur = summa iplarum PHI,
HIO, eric a F b + c + d = 2 fx = 28∞ - 2B X + 2iX
Cumma late-
TUML INCCrNOTUM F F, FO, OTT, _FIF. Porro quoniam portio
abscindenda, qua roceturk, protraperio accipi potest, cujus
duo lacera sunt parallela, AEuE SI AB, B C, CD, _ED A in rectam
lineam AR junetim colIOCeNEUE, uE_E EP, FO, OTI, 8IIF in
rectam lineam P. T, Traperium AR T F ipsi portioni abscin-
dendae le futurum sic aequale. Ouocirca si juxta vulgarem regu-
lam hujus area quaratur, addendo scilicet latera parallela AR
_ FT, _ semissem summae multiplicando per ipsius latitudi-
nem PI seu x, habebitur aequatio inteF a X L b X L CX L d X
=f∞ v - S V X = B ∞ X  1 X X
d R, id est, aequatione rire ordinata,
eFIEX X ∞ C ∞ F b Cx L c ex .L d e X
5. + 5- B - 2
kc
5+5. FB =; Cujus radices
inreniuntur operando ulterius, quemadmodum pas. 7 hujus
Geo-
100

## Folio 401 — 175906937X:0425
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000425.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
im summa
TuI AB,
X- 2B 2
Nrum PH,
RHF in
ni abscin-
tem reGI.
allela AR
15 lacirudi.
=. CX F A8
Ocutatum
Mo lac
7 huiju
Geo.
DE M O HSER ATTONTBUS.
40
Ceometriae indicatur, quarum quidem majordum lineam exhibet
qualica FImanifeste majorem, idcircomerito hic eritneslisenda.
Duoniam autemm ex P, F, C, de D interrallis FIvel ER, FL
vel FM, C,H vel CO, ec DP rel DO descripeis circulis recta
AL vel AK, L. B vel BMI, NC rel CO, _ PFIreIEIOTan-
ences unt complemeneorum semictium datorum angulorum A,
B, C., _ D; HeE uE, Si e pro radio sumatur, ip (X f, 5, B, di di-
etastangentes delignent. Quod cum eodem modo de omnibus
aliis liguris rectilineis incellisendum sic, d quibus hujulmodi por-
tiorelecari debet: haud difticulter poterimus, (i anculos A, B, C
similesque VOCemUS exTerMOS, ac angulum D internum, ut _
eos omnes, qui hujulce generis exiltunt, aeque praeter equatio-
nis consticutionem spectemus inluper, quaenam ad illam resol-
vendam lire ad quaelicam lacitudinem ex ea obtinendam sint Fa-
cienda, regulam inde generalem formare, quae sic se habet.
Addiris figura laceribus, mulciplicetur summa per
radium 100000, productumque diridatur per sum-
mamtansentium, angulorum qui semistium datorum
lunt complementa, cum videlicet dati anguli omnes
lunt externi, auc per carundem differentiam, quum
externi ac interni exictune, e tic primum inventum.
Deinde mulciplicata area portionis abscindenda
per radium 100000, diridatur productum per pex-
dictam summam vel differentia LangCnEIUMI, eE AE
sccundum inventum. Duo subducto a quadrato semil-
sis primi inventi, hreliquiradix ab eodem semisse au-
Feratur, relinquetur laticudo qualica.
Invenca isitur per Algebram via, qua Problema propolitum
Tolvendum lic, iplius veritas ex sequentis calculi applicatione,
qua ab ea pariim est aliena, manifesta fiet; si modo ibidem
conliderarerimus, completo parallelograIMO AR S F, produ-
Etisque AL, R T donec coeant in Z, rectam S T, duplum CuPFa
dictae summxe vel difterentia tansentium reterre, atque demiltis
perpendicularibus R V d Z Y rectam SI ad RV, ob Cimilitu-
dinem criansulorum ST R de AR X, eam habere rationetm,
quam AR habet ad XY.

## Folio 402 — 175906937X:0426
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000426.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
402
AnguI.
A. 50. O
DE CON CLHHANDIS
CeisIS. 25. 9, ejus Pans. Compl.
Add.
B. 50.38 AIvel AR eAt 21445F
CemistIS. 25. 19, ejus Tang. Compl.
C. 54. 22 L. B vel BM Cst 2F2392
PemilIS. 27. 6, ejus Tans. Compl.
D. 205, 70
NC vel CO clt 19547,
62T260.
Cemilti5. 102. 35, ejus Tans. Compl.
PHvel HQ est 223225
differentia 598938
UE = A R ad X X,
TiVeCFiaI, PFOPTCE
Simil. Dcim STR
2 Rad. RV. D A. 248
Partes ST. 1797876- 100000- A R. 149(6+ (3)
ITEA AR X SeU IXY, AR
adHZ Y ICUZY, XY,
vel, relicta communi
altitudine XY
_E ARX
Esuber.
mulcipt.
AH. F496L (2
adXY. 2249(2).
234649
59344
29922
+496L
product. 1668628914)
Cemistis seu trianS. AR X. 934 (3F44 (4)
TUDEE. PATE. TC
NE: STadRV, ita sec. seucrap. ARI F. 600)
98938-100000- sel.trians. P. F X. 334(3244. (4)1ad1 2.55(81]78(1
eritque XZ. 7) 4) 72).
Elinc subducta XZ Peu 7 47 3) 0x Z Y Peu F249 (2), relinque
TUF 502(2) PIo Y Z latitudine qua lita portionis abscindendae.
Caecerum cum non ablumili modo a data qualiber figura recti-
linea portio darae masmitudinis abscindi postue, aut etiam qua
ipliustisurx certam partem sire partes contineat, lincis quibus-
dam duntaxae laceribus parallelis de ab iildem aequali interrallo
distantibus: plura hac de re afferre superracaneum duximus, PEX-
Tertim cum materiam hianc nec non determinationes eo spectan.
ces jam Caepius in Lectionibus nostris Publicis abunde pertracta-
vetimus
Add.
A B. 53]64
BC. 50
2
CD.

## Folio 403 — 175906937X:0427
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000427.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
dd.
celinque
elu qub
ei5 quibl1
linterrallo
ImuS, Dr2
eo spectun.
Cperera
idenda.
gurared
rerims
VE MONSTRATIOATdUS.
403
verimus, caque caee illa multis cllat sab almnoruise cer
osciret.
L H E  sCL s
urod ad lolutionem artificiosissimam Peoble-
matis pa8. 372 ut concesum supponitur.
Cum in rimanda olim solutione Problematis p. 372 nonnulla
deprehendissem, qua ad eandem ut concessa supponebantur, eage
post commentarios meos in hanc Ceometriam Theoremate adt id
Ceometrice resoluro corroborassem: visum fuit calculum e quo
eandem resolurionem tunc deprompsi hic in medium afferre, ac
quo pacto idem a me sit praestitum ea qua potero perspicuitate cui-
vis ab oculos ponere. In quem finem si huc revocetur Theorema
jam dictum una cum illis, quae ad explicatione ejus p. 369 es 370
alterius sunt allata, inspiciendus erit deinceps sequens calculus.
ANumpio quxsi
Eoutrero, hoc eAt.
C A esse ad AF,
siCut C B ad A C
AUICREUF POTTODL.
Parallela AB, Sc-
CanSC A, C B in MI
_EN, aC OCCUETENS
P(i OHI In L, PO-
naTUITqUED A ∞ Y.
Deinde calculus
Sc procedat
Ex assumptione est
CA AF CB AC
cdb1ad - 3 2
imilicudine louu B A C et AIO eAt
F. X
BC CA AC GI
Tau. Unde lReric∞C- 8, PrO qua
brericaris causd scribaturf.
it apparet ex hac almeloe C L inveniri aequalem P A.
L.Cc 2
icem

## Folio 404 — 175906937X:0428
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000428.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
404
itemque
D E CONCTHH ANDES
CA AB GT TA
C a  d) 20
6
d
Cadd.
Exsimilicudi AF. CS
nC RTum CAB
de HLB est F pcC+ a d
CA AB KI
= a = f, ad TB, 2Y
EMule.
Ex hypocheli est
BA AF BC AD
a -- e -- - - b) 2d = ∞y
Ex natura FILIpLIS, Per 17. 3ui
Conicorum ApolloniI, pro-
Portionalia Punt
GEIB, ceas. + acas CFAC DGIEM BDAO DCRB
56
Denique ex natura FIli-
P(IS, Per 17. ZEI C ONICOTUI
Apollonii
D GTEL estAdDFAC,
SeI, PropteF reCtaSOI, FA,
supraaquales.
ceafada)
dc -- CX -
seu rejectis communibus alticudint-
buS AC, GK; _ AC, CK
FA XII DA RB
X -
hoc est, reltitutis raloribus ipta-
TUMy aZ
d X--
cb- ab
IInde KIL PeuX, Per 16. 6i
TIIad AC, UED FIB ad B F AB
ces. + adf
Ectic, mulciplicando tum medios eum
extTCMOS, aCC L Aad ∞ ac e. + a a d.
EF x 2cd. add
eu.
as
add. TR. f.
FI
cef. + ads
Id quod arsuie, cum astumendo guaesitum tanquam concel-
sum per calculum hunc Geometricum ad rerum concessum de-
venerimus, guaesicum illud, quod cum hoc concesso omnimode
connectitur, esse quoque rerum. Ouod erat ostendendum.
Porrout intellicatur, qu’à ratione ex hos calculo supra dicta
resolurio à me deducta fuerit: haud cravabor eundem calcu-
lum hic ulterius ita disponere, dictamque re solutionem illi à late-
re sic adhibere, ut cuivis sedulo haec inspicienti enucleate ap-
pareat, quisnam inter illum es hanc resolutionem mutuus con-
sensus existat. Praesertim cum hujus resolutionis inventio dein-
de mihi ansam, complures alias demonstrationes Ceometricas
COn

## Folio 405 — 175906937X:0429
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000429.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
AD
ad = v7
Per 17, 31
onii, pro-
GCAB
b7- 27
cicudin.
M
RB
cibusipha.
ab
leu
6. 61,
seua
IR. 5.
5 + ads
omnimode
adum.
ipra dicta
em calei.
illi à late.
teleate ap-
AIHIS COH-
cometricus
CBB.
DE MOHST R AYIONIBUS.
405
conficiendi, subministraverit; atque ipsa etiam artificium de-
texisse mihi visa sit, quo Veteres, in multis difficilioribus de
monstrationibus concinnandis, usi sunt. Dui quidem id unice
studuisse videntur, quo sua inventa corumque demonstrationes
posteris majori admirationi forent; ut modum, quo ea ipsa in-
venerint ac demonstrationibus muniverint, prorsus supprime-
rent es absconderent.
Ex alsumptione
C A AF CB AO
C- d-b, dd = ∞
Ec permutando per 16. 5
CA CB AF AC
C- b - d) ad
Ex limilicudine Num BAC, AIC
BC CA AC CI
rertendo C A ad C B, SICuE
GIad AG: CFIE AF per 9. su
b -  c-=1 ad d. Ouia hic ex alsumptione repe-
Ec convertendo per COr. 4.. 5
CA CB OI AO
b d1 ac
ip(iGIaequa-
ritur C P exprimi per ean- lis. Lodem
dem quantitatem quam nodo de qud-
Juonialis sieut LuppOnItuE
C A esse ad AF, SiCUFC B ad
ermutando
AC; Crit etia
C Aad C B, SICUE A F ad AC.
an quia, ex similicudine
Arum BAC _ AIO, BC est ad
C A, SiCUE AC ad C5I; QE CON
aequales esse.
AF, colligitur inde iplas Jes erunt L. A
Hlaud secus aquales erunt e DMI.
E A eE D M.
s

## Folio 406 — 175906937X:0430
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000430.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
406
I. X hypothesi
DE CON CLHHANDES
BA AF BC AD
a -- e -- b1 2d = ∞)
FX natUTA EIIpSIS, per 27. Zui Conico.
rum Apollonii
G FAC DGHII GDAO BCK
aC CX
TI. C, rejectis communibus alticudinibus
AC, OR; _E AG, CR,
FA XII
d d
DA
y
Ecrecticucis iplarum y ec Z valor.
FA XII DA
A munum
de 
eb
CC
RII C
FiEX ∞
1d)
ce
R 1
Jam ut ex Flementis constet, quo pa
eto ratio ip(ius D A ad R B in simplicii
iniscerminis exprimi possut, cum ria il-
POrro cum ex natura
EIlipsiS DF AC (ic ad
DOKHI, Seu, propter
rectarUM AC, GR X-
QualiEaEEI, FA ad KII,
(ICUE D D AC ad
DCK B, l2. C., PrOpter
aequalicacem rectarum
AG, CK, UtD A ad HB;
e quidem ratio D Aad
KB, Compolita (IC Cx
ratione D A ad C B seu
F Aad AB, Q exratio-
ne C Bad K B Peu C A
ad LI: erit quoquera-
tioF A adK IIcompO-
lita Cx ratiOnC P A ad
AB, Q exratione C A
ad TR. Ideoque cum
ratio compolit2 CxFa-
tionoF A ad AB, E
exratione C A ad IK,
lam inveniendi mulciplicatione per cru- sit c2, quam habet
cem (quemadmodum rulgoAL) ommino DC AF ad DKI, AB:
sic Algebraica: calculum hic apponam;
E quo ipa D A _ RB relulEAnE.
BA AF BC AD
a = e - b1 ad  Eibi apparet, cum in
erie limilicer ratio 1-
PlUS F A ad KHI CA,
quam habet D C AF
adDKI, AB.
CA IK BC KB, utraque hac proportionis regula idem ter-
C- f - b, 995 minus B C iplis AD _ IE B pracedat, quod
c
ratio ip(iuS AD ad RB, per hujus BC in-
LA AB cerpolicionem, sIE COmpOLICA CX FatiOnC AD
e nnu a
ad B C. Ccu F A ad AB, hoc elt, e ad a, _x Cx
CA IK ratione B C 3d K B seu C A ad TK, hoc Cst.
23.6.6-f
cadf. Ac proinde, cum ratio ex his compo-
DCAE DKI, AB Cita, Per 23. 6, SiE eadem rationi, quam habet
seas DCAF ad DAI, AB, scuc e ad a f: eric quo-
qu

## Folio 407 — 175906937X:0431
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000431.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 87 lines, status machine
I ex ntu
FAC speud
leu, propret
IC, CR2.
L. FA adKH,
AC _
C propret
n rectarum
DAad KB.
tioD Aad
Cexratio.
teu C A
quoque ra-
Hcompo.
DC LAV
Dque CuIm
RH et,
quam habet
si erie que
Gut
DE MONSERATCdNIbUS.
que ratio ipsuS F A ad K FT seu d ad x eadem, quam habet
DCAE adDKI, AB, ScucCad af.
437
Adcom Esto jam
parandam KIadFA,
III cum sicut linca
AC, quia Oad C A.
inventa Unde, al-
RFI∞
ads CuPEa
ce
adR FI ad-
di prius
debet TR
∞f, ut ha-
beatuFTTI
d
es.  aas
A F PrO
communi
alcicudinc,
CritK. I ad
FA, SICuE
∞ Tub O
ce 3 e AP. ad
sed hOc D C AL.
Pacto ea- FraC au-
tiO ip(IuIS teM PA ad
LHI ad A C non Paris commode videtur Geomerrice ex- RFI, SicuE
plicabilis: quaesiri prius rationem ipsius IFT ad TK; inde D C A L.
per compositionem rationis converlam, e per alias deni- ad DK 1,
que comparationes renio ad rationem iptius IFI ad AC, AB. OUd-
ut sequieur.
FAOKI ad FA,
ut O 2d C A.
X
e
MuIE. Per AF. C....... .. e
RFI
.. X
IOC eHt; UEDO, AE AdD CAF DRI, AB
PeFI. 6, 6C..... 0 af
Inde ex 2quo ec per compolicionem rationis
conrerlam erit
IIEKI L RII scu IHI ad XI,
f+ X 
SICDO, AF FORI, AB ad ∞ O, AF.
ces
+af
TCCXXQUO
CTIE UE R I
ad IFI, SC
DO, AF
ad D K I,
AB; ex PCF
compoli-
tionemra-
tionis Con
ver(aIm K I
L XIISeu
TIIadRI.
SICUED O3
A F L L
RI, AB, 2d
DO, AF.
die

## Folio 408 — 175906937X:0432
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000432.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
DE CONCTNHANDES
Sic II ad AC, Deinde SIEuE
= X. ..... f KIad AC, Itd
utO
NUIIE. PEF AF. C
hoc est,
ad P. 4+ Oad P. UInde
GO, AE LDKI, AB UIEGO, AE ad LP, P
cef a df
.
0
s
IInde ex a quo erit ut TII ad A C, ita
∞O, AF F OK I, AB ad ∞ P, A F.
SedurIEI ad AC, ita quoque est
propcer rectas IC_ F A supra aquales
inulC. Per ICF. .. --. F A
per L. 6. BOIILadDFAC, hoc est, Per
27. 3ti C Onic. APOII. UED FIB ad D F AB
GUOCIrCACTIEUEDO, AL LGRI, AB
ad D P, AE, ItAD FIB ad D F AB.
F
alTu PEd AF
pro communi
alcitudine, erie
R Iad AC, (IC
UE = O, AF
ad D P, AF.
Sed ut PTI ad
R I, ita est
DO, AF .+
GHI, AB adDO, AF.
Ouapropter ex ae quo
CricuETII ad AC, SIC
BO, AF FDKL, AB
adD P, AF. Cum ve.
ro ruruS, ut anTC,
BOTH SICAd DFAC.
SICUEDF IB ad D F AB; ex quidem TO _ AF, ux Tupra, equa
les sine ostenx: erit quoque TTIad AC, SICHLD F IB adDE AB.
EIc aurem IHI ad AC, SIC quIOquC CraLDO, AF. F D R I, AB 2d
OP, AB. OUOCITCA CTIEUED O, AF LDKI, ABadDP, AF,
ita D F IB ad ∞ F AB.
FIaEjaMI, UE AF. ad AB, ita RI ad C
e a - f,
FIaC jaML UE AF
F. 5X ad AB, ita R I ad
Critque per 76. 6. DKI, AB DBQ, AF,
Adeoque ut
Q: CritGueDRI,
AB aequale= 
A F. IIINC uE
GO, AE. FOKI, AB, seu O, AF ad GP, AC, ∞ O, AF Dlue
hoc el rejectâ communi altitudine AF,
DRL, AB IcuO
uc O. F  dd P, sic D F IB ad DF AB. AF, 2d∞ P, AF,
et
1
as
cc
ceasadaf
ea hoc est, destruen-
do communem
altirudine AE, ut O. F O 2d P, sic O F FB ad DF AB.
Explicita itaque est rario, quam habet D GIIIadDF AC,
duippeoctensa est eadem quae iplius TTI ad AC, Peu O. F Q adP.
D20.
8

## Folio 409 — 175906937X:0433
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000433.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
Deindeliemr
lad AC, iI
DadP. Unde,
lumpra AP
eo communi
icudine, esi
lad AC, sIc.
OO, AF
DP, AL.
uc III ad
3 Ita est
D, AF +
lOD, AF.
et ex aquIO
=DKLAD
Cumre.
ut ante,
dOFAC,
Dta, 2qu a-
AdDEAB.
RL, AB ad
dOP. AF,
EjamUEAF
B, ita H l ad
cqueDRI.
equaleD.
Ainc ut
, AF pluS
edGP, AF,
CommuneNI
EAB.
ad OFAC,
O + OadP.
2V0.
DE MOA SERA EIONESAS.
Duocirca jam ractes et pialcta Leltat, quae eA inter D F. IB
SE DF AB.
ditur, dereniendum erit ad pauciores dimeniones, uE Foca relo-
lucio duntaxat per rectarum auc planorum considerationem ab-
Loctubu.
t
uoniam aurem in hac explicanda ad qoe dimentiones ascen-
POrIO
guoniam
EF Sc
3. 6.
OF IB seu D sub F A F A T in TB DFAB
ceas. F ad af
CILF I seu F. A. F AI est ad F A,
ce ad
MuIE DeE C A. 6.....- 6
SIC BE A, C A F D AL, C A est adD C AF.
6e a d
CC
IB ad  13
de qui-
dem E A
Vel, sIPTODF A, C A, proprer similicudinem + AI ad
Aum C AB e AMD, ubi C A est ad AB, F. A, si
Ft
COmm-
L A L AI
al1o D l
E IB ad
DEAD
Composi
in est ea
eaec
EILCULA
L AI a0
E A, a Ex
ratione

## Folio 410 — 175906937X:0434
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000434.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
410
DE COH CLNH A NDTS
SICHE AM adMD PeUF. A ScribatuTD B AMI, communis
SICUED B AM F D C AIad ∞BAM. astumatur al.
Vel rursus, (prOD C AI, propcer similicudinem ticudo C A,
videtu. Nrum B AC _ ATC, ScribaturD B A, CI, sic sicuE
pra ad no-
am  sIcuE O B ANI F D B A, GTad∞ B AMI, DCAF, seu
hoc est. sicuE AM. L CI, hoc est, GL ad AM.
relicta com-
muni alcicudine BA,
CE IB eA ad AB,
af
MuIE. PeF C A
...-
icaDTB, C A est ad D C AB.
af.
a
Vel, AprO D IB, CA, propter similirudinem
Vide Cupra
Acum C A B _KIB, SCrIBAtUE D KI, AB,
ad nocam lIC DKI, A B ad D C AB, hoc est, relictâ
communi alcicudine A B, SICuEK I ad C A.
B A M, +
DC AI seu
BA, 6F ad
DC AP seu
B A MI, hOC
CAt, relin-
quendo
communem
alticudinem
B A, SICUE
AM F OI
seu GL ad
AMI; aEVerO
IB ad AB,
SICUED IB,
C A SCVKI, AB ad D C A B, hoc est, destruendo communem al-
ritudinem AB, SICUEKT ad C A: Frit quoque ratio Dli L IB ad
DE AB, hoc est, iptius O. F  adP, compolita ex ratione (L.
2d AM, _ ex ratione H Iad C A.
Constat isitur, rationem Dli F I B ad D P A B Peu ipsiuS
O. =O ad P esse compolita ex ratione (S L ad AMI, _E CK F9-
tione RI ad C A.
Jam quia superior ratio ipsius O. L O ad P nulli rationi linea-
rumm, gua in EIliph ductae lune, respondet; neque etiam adhue
luculenter patet, eam, si cum ratione (L ad AMI, auE IEIad C A
contertur, ex his compolicam esse, quemadmodum ex assumpris
jam fuic deductum; hat praeterea ut
KI ad G, (IC F A ad R.
exitque, PeF 26. 6
GKI, R DDO. PA
64
Denigue FaE VER I
2d, Sic F A ad R:
erItque D KI, R X-
quale= , F A. AC
proinde cum O. F O
ad P)

## Folio 411 — 175906937X:0435
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000435.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
communis
allumatura.
citudo C A
sie Pieue
GCAE, leu
BAM, +
DCAISe
A, 6Ia
DCAF set
3 Telin.
MIUnEM
rudinem
A, PieuE
M. F BT
dd AB,
utDTB,
iEIB dd
seu ipsius
L,_ ex Id.
FA ad R:
um O + 
adP,
D E A OASLACMLLONLBUS.
422
UFO + O est ad P,
et + as -
MuIC. per F A. d. . . . .. d
ad P, alluumendo communem al-
CALHIMLHCI F A, SIE (ICUE D O, FA
(euKL, C A, L ∞10G, FA seu
K I
SiICDO, FA (euKBCA, L BO, FA (eu KB R estAdOP, PA PCvBC A. R ad
videsupra ad cf. + 4af
NOTaM 3 X
CuFD D, F A SIE DE C A, ita concluditur
+ EA namque R L ad P A, ut O adC A;
e convertendo
 d-
F A ad R I,
-
CA
a-f. . .. -- 0 Vide sipra
ut C A 2d O.
C
Inde ex aequo eric
..
b
OP
F A (eU
BC A: Fritrario
compolita Cx Fa-
tiOnE OL ad
AM, _ exratio-
neK IadC A Ca-
dem racioni e si
D ad nocum K I, C A. f DK I,
uE F A ad C A, ita C A ad P.
C- C.
+
CC
RadLC A, hOC
Clt, eadem rationi, quae
componitur ex ratione
KIad C A, _ ex ratio-
nC C A F R ad C A.
Ideoque si COm-
AC proinde, Per 17. SE, OP, F ADBIC A. munis auteratur
FFF 2
k

## Folio 412 — 175906937X:0436
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000436.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
2.3. 6. C A FR
A
CA
DRL, C A LDRI, R AC A
f + 2af
6b
ratioK Lad C A, erit quo-
que reliqua ratio C L. ad
AM eadem religuae ra-
eioni C A. F R ad C A, LOC
CAF, erit GL ad AMI, UE
C A .  R ad C A. Quod
rerum esse deinceps sIc
octendieur.
Tlinc cum ratio BliOTTTad D F A C sive ipsiuS TFI ad AC
eadem siC OCtensa qua ipsiuS O L O ad P, e haec rursuS Cadem
rationi, quae componitur ex ratione KI ad C A, & ex ratione
CA F R ad C A; at veroratio D i F IB ad D F A B cadem ia-
tioni, qua Componitur ex ratiOnC C L ad AMI, _E CX rAtIONEKI
ad C A: Sequieur, (i PariODli G FFTadD F AC (quemadmodum
Suppolicum fuic) eadem siE rationi Dli F IB ad D E AB, ratio
nem compolitam ex K I ad C A, _ ex ratione C A f R ad C A
debere quoque eandem esse rationi, guX ex CL ad ANI, _ Cx
KI ad C A componitur. Acproinde, si utrobique communis
auteratur ratio R Iad C A, rationem reliquam C A L R ad C A
eandem quoque fore reliquae rationi (L ad AM.
Hloc aucem cum nondum per se cridens sc, Superest ur iplum
lequenti argumentatione relolramus atque penitus manitectum
reddaimus.
Fix Similitudine Nlorum ABC eE H D A est
AB AC NDSCUAF MASCUTL
A-- 6 -  - - - et 2d =. (Inde CL. Fic ∞ d 1-
Ex similicudine AIorum A B C _ I AC est
BA AC AI IO Seu AF
AC
2
AC proinde, per 26. 6ri, O B AF DD C AI.
Ex similirudine Nlorum C L. D eC AND est
OL ad AM,
1+--
Duo
Manae
liclem
EitaIEa-
lorum
GL. I
RI
nIM, PrO-
prer limi-
DE CORCFHHANDES
CsLHCCST
Al LL NI
Ica DI
act LLaC

## Folio 413 — 175906937X:0437
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000437.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
CM, eticqu.
ralio G L. I
a reliquae M.
R ad C A,tiB
L ad AII, 1
CA. Ouoe
deinceps l
ex ratione
eddem 14-
ralione KL
nudmodum
LR ad CA
Ommunis
R ad C A
Ouo.
niam c.
nIM, PrO.
prer limi.
licudinem
CTIaHSI-
lorum
OL.D_
AMD,
estutBL.
ad AHI
ita DL
(en PIa
DE MONSTR ALTOAEBUS.
3
 L. leuL LaDMLeu L. +L3
e+- u
MMULE. Per C A. C..
oC
da LL3 a
autem
P. I 2d
relper HICMD EL CASCU C AF L CAI ICW AL, A ad DCAF. P. A, ita,
C aumD-
hocelt, relietâ communi alticudine ta con-
C. F
ICCMIGUC AF AB
 Cupra ad
AOtam5F
60  ad-
Ex constructione est
EL
e-
IdeOgue AF AB FA
AF SICuE C A L R ad C A. muni al-
F
per IF. 5l. e - a -- d -
AC proinde per 16. Sti, O B AF DDD AF, R.
ticudine
CA, DFT, C A leu
C A F pluS D C AI
seu AF, R ett ad
DCAF: FrIEAEGL
ad AML, ItAL C, AF
= ∞ R, A F ad ∞
C AF, hoc est, de-
Aruendo communem
alcicudinem AF, SIC
C A. F R ad C A.
EinC CuM D B AF etiam sIL DD C AI, erir SumiliteF D AF,
R ∞D C AI.
Patet icaque CL. ese 3d AM, Sicut C A. FR ad C A. TIE CTaE
propolicum.
Ouare cum hoc PactO, aNUIENEES GUX SIEUMI EANQUAM VerLI,
per relolurionem Geomerricam derenerimus ad veruim conces-
Tum: Sequitur, quae sicum illud, quod cum conceno isto omniimo-
de connectitur, rerum esse. hoc est, umbram baculi C, quae
cransibat per A, transiisse similiter per B. Quod erat demon-
Strandum.
Et hac quidem, quae Resolutionem Ceometricam Theorema-
iis concernunt, quod ad solutionem Problematis pac. 372 ut
concessum supposirum fuit. Caeterum quoniam iis, qui cum LO-
sicis statuunt ex falsis etiam posse verum concludi, resolurio
haec ad quaesiri ostensionem inceria videri potest: placuit majo-
ris certitudinis ereo idem Theorema Synthetice verificare, pro-
cedendo à concessis ad quaesita, prout ad hoc me instieavit prae-
F
stan-
241
Vide supra ad
MOtam6
DMCeu

## Folio 414 — 175906937X:0438
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000438.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
+14
DE CON CTNHAHDES
stantissimus ac un dequaque doctissimus juvenis D. Petrus Flari-
sincius, Taponensis, quondam in addiscendis Mathematis disci-
pulus meus solertissimus.
Demonstratio autem ipsa filum calculi sequitur, qualis extat
PaC. 370 5 37T, at eodem nonnihil hic immutato: ut appa-
reat passim arrificium, quo sineula Geometrice explicari
queant.
POTIta, UE ante, AD ∞y
exit ut B A ad A L, ita BC ad AD
a- e  b1 ad y seu -.
ac proinde per 16. 6i
DBA, AD, OBC, AF
a ay ∞ be.
A D. y
RB. b - 2
AC. Z AOveICR
eA OD AC. yZ ad ∞CKB. bZ -Z
F A. d
XTI. X
AC. C AC vel RO. C
Ut D F AC. Cd ad ∞ GK TI. CX.
Ouoniamisitur ex
Otheli eAtB A ad
A F, SICuE BC ad
AD: erit clum sub
extremISBA, AD a
aquale ∞lo Sub ne.
diisBC, AF. Dein-
de quoniam ex natuI
ea FIIipsiS eAt, ut
DDAG adD CKB,
Cive, rejecta commu-
ni alticudine AO vel
CK, UE D A ad
K B, ild FAC
ad
Ex natura LI.
liplis per 17
Conieorum
epollonii

## Folio 415 — 175906937X:0439
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000439.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 95 lines, status machine
Pematis disit
. Petrui HuI.
1Foites bsit
atv, ut ap
tbe criptib
 IBITUIF et
(1 eAtB A 3
CuE BC d
it ∞lum sub
BA, ADA
lo Subme
AL
iam ex natll.
ad
CeMMI
line AOM
(15 ett, 1
AE D A d
1∞F
DE M O N S FR A F IONFBUS.
425
AC AC ad DORHI, id elt, re-
id est, rejectis communibus alcicudinibus Z etc,. lictâ communi altitu-
CrIE UE D A ad R B, iFA F A ad KFT
y --- b- Z - d 1 2d X.
BA
Tire, dlumendo communem alcirudinem a
dine AC vel OR, it2
FA ad RHI; ee qui-
dem D Aad R B, SI B A
pro communi altitu-
UEDBA, AD seuDBC, AE ad ∞BA, HB, ita F A ad NFI
a ay vel be - - ab = aZ = - d 1 ad X. d
dinc CUIaEUL, SIE
SICUEDBA, AD
Teu a BC, A F.
ad ∞ B A, NE B: CriruED BC, AF. ad ∞ B A, KB, ICA F A adKFI.
ECto jamm K I∞ f.
eric que propter similicudinem Num BC A_BIE L
ut B C ad C A, ita BK ad KI
B - C2
b- c b- Z1 adf (eu -
add. TIK. X
. ac proinde
PeF 16. 61.
mult. III. f. Fx DBC, REI DCA, BK
Per LC. B 5 bf ∞ cb =cZ.
Deinde sic IO ∞ B.
GOTTI. fh F BX
erieque prope. Simil. Nrum BC A _t ACI
uE BC ad C A, ita AC ad 6 I
-c = - 21 ad B(eu : ac proinde per
Similiter eAto AI ∞ R.
eritque propter tinil. Ncum
BC A de ACI
26. 61
∞BC, IG DCA, AO
at B C ad B A, ita AC ad AI
3 bB ∞ 6
a - Z1 ad R (CH  . ac proinde pet
add. AF. C
76. 61
ul. L L. R F C OBC, AI BBA, AC
per IB. 1
DEIB. RI - F eb
E bk ∞ aZ
Porro cum
ex Cumilicudine
Rum BC A 8
BKI, BC SIF
ad C A, SICUE
BK adKI: CriF
D SUDBC, KI
aequale = lo sub
C A, BK. Fa
dem ratione
cum BC Sit ad
BA, SICUEBK
ad BI: CritL
SubBC, BIX-
quale ∞10 Sub
BA, BR.
Ilaud secuS
cum similia (INE
Na B C A _
AOL, ac idcir-
coBC ad C A.
SICUE AG ad
GT: CricD (ub
BC, GIaequa
C L 10 (uBC A,
AC. Similiter
cum BC SIt 2d
Sicitem IB ∞.
erirque proxeer simil. Knm BC A_ BKL

## Folio 416 — 175906937X:0440
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000440.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
DE COHCLHHANDES
C alD L. laB de BI
b- Z) ad1 (eH 2b - a 2
16. 61
BA, SICUEAO
riter L subBC,
OBC, BI DB A, BK AIaequaleD1o
bt ∞ ab - aZ. Tub AB, AO.
FL6
Exnatura Fllipsisper 27. Zuui Conic. Apollonii
eAt _ F AC ad L C:IFI, UEDF AB ad DFIB
C onum Bf  BX  aC, ad Rlt eb.
FRautem Per 23. 6ii ratio Dli F AC ad ∞ GTII
Cd Bf. L BX
Tam vero, quia ex
natura FIlip(IS =
FAC est ad D OITI.
UEDE AB adD FIB;
et quidem ratio Li
compolita ex rationo F A ad ITI TCUPK + RFI, _E FAC ad DGTFTI
f. X
ex ratione C A ad GI, id est, alsumendo commu-
C nonnm B
BC
nem alcitudinem b, ex ratione li
BC, C A ad D BC, CTrelE C A, AC, CIVC, reje-
b6
um bB seu
CA
Aa communi alcicudines, exratione BC ad AC.
composita (IE CX ra-
tione F Aad TTIseU
IHit KIS,_ CXF2-
cione C A ad CI, id
est, assumendo com-
munem alcitudinem
BC, exratione L li
BC, C A ad ∞ BC,
GI vel B DCA,
AC, Eire etiam, rC-
Simi-

## Folio 417 — 175906937X:0441
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000441.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 99 lines, status machine
A, licur AB
lAl: etiep.
ter D sub BC
laequaler
DAB, A6.
eto, quia ex
 
ad DBIH
ABadGEIB;
em cacioe
IIBI CNY2.
AduL
tha
eit
Meluocom
alcituomn
eracio
Aad 
BDC
reclta
ad BGIH
SIII.
DE HL O N S F R A F FON TBUB.
Similiter ratio D li E AB ad ∞ F. LB compolita eA
aeBl-L et
exratione F. A ad IB, _ ex ratione AB ad F I.
e
a + e.
Duarum quidem F. A ad IB, ( B C pro communi
em
altitudine suInatur, eadem est quae ∞li
BC, E A ad ∞ BC, IB seu D B A, BK, hoc est, ca-
be bb vel ab = A Z
dem quae s F A ad K II.
d-X.
Sed AB ad F I, (i B C similicer pro communi alticu-
a - k + e
dine lumatur, eadem, quae ∞li AB, B C ad ∞ BC, EL
ab  bk L bC
velDBC, AB id CAt, B A, AC, L ∞BC, F A vel OBA.
sive
aZ +
ay,
AD, hoc est, relictâ communi alticudine AB, ICu a,
eadem quae B C ad AG L AD.
Z. Fγ.
tric isitur racio compolica ex ratione
F A ad IK. F KII, _ ex ratione BC ad AO, id cst.
d f. L X
Der 23. 6ii, ratioD lF A, BC ad D IK, AO LD RII, AC
bd -
Z F ∞
eadem rationi quae componitur ex ratione F A ad N FI.
d- x
et exrotione BC ad AO F AD, id eAt, Per 23. 61i
+
eadem rationi, quam habet
DFA, BC ad DREI, AG L DRFI, AD.
bdma X Z = X Y.
jecta commune
AG; ACratiOL
L AB aHCL 1B
ee exratione A B
ad F L; quaren
quidem F A ad
16. aDC pe
COITUMS aLEIEU.
dine sumatur, est.
SICUED BC, F A
adDBC, IBsCu
YOBA, BR,
quae cadem o
Senla eAt d ratio-
ni FA ad XII3
sed AB adF I, (
BC Cimilicer pro
communi alticu-
dine lumatur, ut
O AB, BC,, ad
∞BC, F L, id eltu
ad DBC, AIVeL
EBA, AC, F
DBC, F A vel
aD BA, AD, Si-
reetiam, relicta
communi alciru
dinc AB, uFBC
ad AC L AD 5
Fric ratio comm-
Polica ex ratiOnC FA ad TK LKFI, _ ex ratione BC ad AC7, id est, PCF 23.
62, ratio BiF A, BC ad DIR, AC L DRFI, A C3, Cadem rationi, qua
COmpONIEUE Cx P A ad KHI, _ exratione BC ad AC f AD, id eAt, Per 23. 6 1)
eadem rationi, quam habet D F A, B C ad DK II, AG L DRFI, AD.
538
Ilinc
alcitudine C A,
Ca LacioMB C ad
compolita ex Fa-
LIOBCLSFuLBS

## Folio 418 — 175906937X:0442
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000442.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
4
DA CON CFN. N A N D LS
Eline cum
GIA, BC, sICad BIIE, AO LBKII, AC, sicut idemD FA, BC ad TTinC
oe
L X
ORHI, AC FOKHI, AD: Crie, Per 9. su,
2d
X Z F x y:
SIIE, ACILFDKHI, AO Xg. DHFBAG FOKHI, AD.
+ XZ ∞ X Z. F ~ y.
Einde, dempro urrinque communi D Io RLI, AC.
X
erie quoque reliq. D LIE, AC xquale reliquo ∞lo
AH, AD.
X
fZ
Ac proinde, per 16. 6i,
uc IK ad R HI, ita D A ad A6.
X  y1 ad Z
eb 1
cum ∞
FR, BC
ad ∞ TK, AC. L
DTEFL, AC ean-
dem habeat 1a-
tionem, quam i-
demDFA, BC
ad DRII, AC
FDKHI, AD.
CTIEDIK, AC
L DKII, AC
Xquale ~ IOR TI.
AC F ∞IOKTI.
A D. A quibus
li Commune au
FCratuE D RLII,
AG, Crit quoque
reliquum DTK, AO aequale reliquo ∞Io K II, AD. Unde eric ut lR ad
KHI, ita D A ad A C1.
SC0

## Folio 419 — 175906937X:0443
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000443.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
Fine
cum D.
FA, BC
R, ACF
AG CaN-
abeat 12-
quam i.
FA, BC
EH, AC
CH, AD:
TK, AG
CH, AC
OORH,
∞OKHL
A quibus
ImIINe all-
OKH,
rIC quoque
ut IR ad
et
D F MO H S FR A TTON FBIS.
429
BC Sed uE LR ad
Sed uc IE adRHI, ica eA, ali. comm. altit. b, XH, ica est, a(-
TK, BC velD CA, BR ad DRII, BC.
6b - cZ   bX.
A B
ACD A ad AO, ita, aI. COn. alF. a, eA D D A, AB
velOBC, AF ad ∞ AO, AB.
be
 aZ
Guare eritut
 CA, BKad DKH, BC, itaBBC, AF adBAO, AB.
cb - cZ  bX be ad. aZ.
BC
Cumautem supra (ic FA ad RFI, i. C,, aP. Com. alC. b,
c mamm X
GFA, BC ad GKLI BC, SICHEDAE, BC ad GRB, BA,
bd bx .- - b e 1 2d ab -- 42
hoc est, convertendo
GKH, BC ad GFA, BC, SICUED KB, BA ad BAC, BC:
bX  bd  ab - a Z 1 2d be:
LTUNEDCA, BK BRII BC DFA, BC rres magni-
Cumpra commu-
ni alcicudine BC,
∞IK, BC vel
C∞ C A, BR
ad ∞ AEHI, BC.
AC (ICUE D A ad
AC, ita, a umPTa
communs altieu-
dinc AB, ~ D A,
AB vel a DBC,
AL 2d ∞ A C,
AB. Ouare erie
UtD C A, BK ac
DHFI, BC, ic2
DBC, AF ad =
AG, AB. Cum
aurem supra (IC d,
Uc F A ad H LI, (1-
re, altumptacom
muni alcitudine
BC, DF A, BC
ad D RLI, BC,
ItAD AE, BC ad
DRB, BA; id
cb - 6Z - b X . . . . . .. b d cudines ab eA, convertendo,
UNa paKtC, DKII, BC 2d
ADRB, BA DAF, BC DAO, ABeres alia ab
ab - aZ..... b e  a Z altera paI-
te, quae bi-
na sumpexe in eadem
DF A, BC, SICUE
DKB, B A 2d=
AF, BC: CrUHE
DC A, BR, ∞
sune ratione, qua. IEHI, BC, _∞
rumque proportio FA, BC 3 maeni-
est perturbata:
tudines ab una
PatEC, QDHB,
sea n cace Cune raciore, Guatunque proportio ese percurbata
3552
Ouare
BA, ∞ AE, BC, _ D A G, A B eres alix ab aIECTA PATTC, quae binae

## Folio 420 — 175906937X:0444
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000444.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
42O DE CONCFHHANDESDEMONSTE.
Ouare etiam per 23. sci ex aequalitate proporrionales Unde _ iplx ex
erunE
id est, O C A, BR ad DF A, BC, (ICUED R B, BA
cb - cZbd  ab- a
BA
ad ∞ AO, BA, seu, rej. COM. aIE. a, UEK B ad AG.
a. . . . . . . . . ... b- Z--
Ed quod convenit cum aequatione invent a pac. 37T, multiplicando
sc. tum extremos tum medios terminos, ostendens nos in eodem
calculo Geometrice explicando eo pervenisse, ubi
cbZ = cZZ aequatur bb d = b d Z.
Denigueue inreniatur AC Peu Z, quoniam sumen
doC A scuc procommuni altitudine,
IEB est ad AC, lICuED C. A, EB adD C A, AC:
b-
CriEUE
m
cb - cZ1 2d 6
2
DC A, BK adDFA, BC, itaDCA, RB ad DC A, AO.
Cb -- 6Z  b d -cb = cZ1 2d. 6
FTInC CUI D C A, BK ad D F A, BC _ adDCA, AC
cb- 6Z
eandem habeat rationem, exit per 9. su
DFA, BC xg. ∞10C A, A6.
bd ∞
EInde Per 16. 6li crit,
ut C A ad AF, ita BC ad AC.
C nom e mum b1 ad
Duod erat propolicum.
xqualitare pro-
portionales e-
rune, nimirum,
CrIE UE D C A,
BR ad ∞ F A,
BC, It2 DRB,
BA ad ∞ A C,
BA, id est, reli-
eta communi al-
cicudine B A, ita
RB ad AG. De-
nique, quoniam,
aAUIPTa COIM-
muni alcicudine
C A, R B est ad
AO, SICUEDC A,
K B ad D C A,
AC: CriE ut D
C A, BR ad∞
FA, BC, ItdD
C A, X B ad ∞
C A, AC. Quo-
CIrCa CUMD C A,
B. K ad ∞ F A.
BC _ adD C A,
AC candem ha-
beac rationem, c-
rit D F A, B C
aequale ∞OC A
AO; ac proinde C A ad AF, sicur B C ad AC. Ouod crat demon-
Strandum.

## Folio  -  — 175906937X:0445
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000445.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
TR
de iple e
alitace pro.
jonales e.
nimirum.
AtDCA,
ad DFA
Ita DRB,
D AC.
dest, reli.
nmuni al.
BA, Ita
AO. De-
quoniains
la Com-
aliicudine
TB est ad
UEDCA
exie ut D
BR odD
C, IIaB
XBad∞
16. O10-
UMDC M
ed21
eandem ha-
FA, BC
i  C
Errata quae post dilisentius examen in prima hujus operis parte insuper
reperta fuere. sic emendet benevolus Lector.
Pa3, 33. lin. 1Y prO = V 00 lese f X V 00. ibid. l. 12, prOV00. F 4mp. L mm
SeribeV 00- f 4mp. L m m. P. 79, l. penulc. pro f +r seribe - 4 r. P. 83, l. 8, de-
am am
P. 120, l. PenWIE. PrO lese
lege aa X =  a
a +. +
O2
f02
2nV Ceribe
02
4nn V
02. P. 183, l. 7 PrO - seribe -. P. 298, l. 10
. P. 306, l. 3 pro 1140 Ceribe 1440. D. 3Y1, INEEF R BEM in Fi-
Sura notetur litera O. P23. 327, l. penulc. loc0ur Donc -. P. 355, l. penulc. PrO
3 a + b feribe 3 a4 b b. P. 357, in margine pro 349 lege 348. P. 370, l. +2 deleatur
linea eran (rerta. P. 371, l. 25, Ca scribatur liceris minoribus, quibus calculus no-
1 p.
tatur. P. 375, l. 2 lege =-. P. +15, 1. 36. 40d0- + 4a b_ X. P. 416, VIE. L. Feribe
d
X= V XX. Y a a. P. 423 in princip. seribe d + ∞ a d 3. = 2 a b d d - 2 a a b d ∞
bb ad. + a ad d = a ab b. P. 442 in tinC PIOX V C. r~O, POnC v L V C. r∞O.
P. 443 in finc xx 8 Y - = ∞O, POnC X X f = ∞O. P. 45I, juxta 9, 5,t, dele C.
P. 457, l. 4. lege A, B, C, D. P. 4601. 22, 2dde f Eb bc cx. p. 470 in fine, dele,
in hoc exemplo. P. 475, l. 8, pro- L 8B) F 45, Seribe - 8By = 4s. P. 476 in AnC,
Pro non pocerit radix extrahi, pone, porerit radix extrahi, inveniturque y ∞ - 1,
Sed aequatio Propolira non porerit dividi per xx - 1 x f 1 ∞0. p. 478 in medio,
Seribe y3.- f 37 = 10300. p. 483 l. 10, dele cujus ultimus terminus fractione caret.
EcI. 12 lese quantitates rationales fractione que carentes. P. 407 dele, quae raroiti-
dem eundem dimensionum numerum habent, uipore jam antea dictum. P. 499 l. 12,
pro = PponC = = P. P. 505l. 2, Teribe 1, 2, 12,13 dt 14. P. 517, l. 13, lege inventam.
Caterum errara secunde parris hujus operis sic restituat.
PaG. 48, l. 8, PrO L. 1X 2 Ponc l. 2. P. 258,59: 3 linea AC continua HE, quod a
aiis locis in eadem Agura est obserrandum. P. 166, l. 9 PrO MK C 2, at vero
parabolam in puncto C. legeM RL X2, per parabolam transeat in puncto 6. P. 17F
e segg., in AB. 2 PrO MR lege MB. p. 189 in AS. I, linea B F. Continue, aC R S PeF
puncta tantum ducta sit. P. 197, l. 3 pro aclese ad. P. 206, in Ag. II desideratur
licera L, ac in Ag. III, loco inferioris V repon. Z. P. 225, in utraque fisura linca
ETA continua (T. P. 226, linCx HIR _ TTM ad F_ N productx SInE. D. 233, l. 2F
legCO AD vel O AP. P. 239F9. Superioris linea B HI per puncta ducta sic, quod
et obserrandum p. 240 in eadem Ag. P 244, l. I 1 à Fine prolinea lese linea. P. 254,
l. Y dele rocabulum sectionis, quod ibidem uti Er p. 262, l. 17. P. 316, l. 9 a FInc,
P. 322, l. 3. P. 330, l. 12, e pluribus Forlitan locis praeter menrem auctorisirre-
P(IE. P. 292, l. 6 in fine loco a+ substirue b4, ibid. in A8. nocentur puncta ad D,
F _ HL, ita ut sIE AF D BG, FH DOHI et C D D CB. p. 295, l. 2 a fine dele
itaque. P. 311, l. 11 Pro eritque legc 8. P. 324, l. 4 d̀ tine pro terminis lese ter-
minus. P. 332, l. 6 pro Hyperbolae leBe Hpperbole.
1.663

## Folio  -  — 175906937X:0446
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000446.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
T. TI a D D E S. P
NGalliis eram cum existolae meae imprimerentur, ideoque domum redux.
onus in me suscepi ommia de inceoro revidendi et ad calculum revocundi,
ut probe mihi constaret, num quaedam nimis obseure exprelta eAent, vel
etiaM erratZ irrePAAenE; Duxcunque inveni, iIla sUnE quae SEqUUNEI.
Ad clariorem Tensum.
P. 42 + l. 15, EXCePtOSEC. Cum _ = a ∞0, multiplicatue per b = c, resitEAE
bX - cX - a b + a c ∞0, TeW N D p - -; A pOnaSjam b = c ∞O, non sequitur
valorem x per hanc aequationem non posse inveniri, quandoquidem Nominator
a b = a C Der B = c, diridi pocesE, sed EUM SCGNITUY CUM NTOMINALOE PeT DenO-
minatorem non dividi porest, vel cum ambo per eandem quanticatem indirisibi-
les lune: Nocandum erso est Denominatorem hic considerari sine relatione ad
Nominatorem, reluri patet ex sequencibus, 1. Observandum venit num ejus-
modi quantitates in aequatione reperiantur _c. 2. So reperiantur, num utramque
aequationem dividant. Sed haec omnia Fortassis clarius sc intelligentur. R. XCCPtO
tantum si. aequationis primus rerminus non affectus quancirare cognita sit ab una
Parce, reliqui, qui ab altera sune, Faciant fractionem, cujus Denominator, vel
Denominaioris divisor aliguis, Nominatorem dividat; quod si continsat, vi-
dendum est, priusquam concludatur non dari duarum aequarionum communem
aliquem diritorem, num eriam altera aequatio per huncDenominatorem, vel
Denominatoris divisorem aliquem, dirisibilis sc. P. 459, l. 10. vel sc lere, aequa
tio illa semper indirisibilis erie per N, ∞3, ∞5, _EC., 8, rel DeF _ X, ∞+, X, etC.
quantieare quaris coenita acque rationali. P. 462, l. 29. Pro omnes quancitates.
Bone omnia membra. P. 402, l. 13. pro Resula, Ccribe Methodo. P. 451 e 456, l. 1.
lege, nullus terminus est ∞ 0. P. 500, in medio, pro Ouoniam tunc V C. ex = Y
LVErr = == q3 extrahipoterit; seribe, extrahendo V C. Cx = r. L V Err- , 93.
ec Pro, sed cumr C exc. usque ad, liceat, eoc.; pone, sed cum V C. ex bino-
mio numerali ope Regulae p. 389, vel perfecte extrahi queac, vel rulgari modo
praecerpropier, quod sufficie, porerir etiam ejusdem benéhcio radix ex aequatione
Proposica lire numerali, sire licerali sic, inveniri, cum pro liceris numeros, velo,
2d arbitrium aBiimere liceat. P. 502, l. 3T. _x p. 505, l. 17. reduci hric sumitur pro
redisi ad duas alias, ex quarum musciplicatione Propolita aequatio produci po.
ces. Prrata, quae irreplerunt, inreniuntur inter crrata primae partIs.
Nec cacere Fas est me, non sine admiratione, in exittolismeis, quae eam se.
dulam expochetarum operam requirebane, tam paueos errores oftendisse, nil
cogirarem D. Eleririos e Clarissimum Schorenium coris viribus huic operae in-
cubuisse, quapropier nullus dubito quin reliquUM EOLUI OpuS acCULATIUS iM.
precsum uc, quam quis torralsis exspectasset.

## Folio  -  — 175906937X:0447
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000447.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
OL0
ue domum redu
Culum reroeue
Orella eltent, i
UnEUI.
b - c, resiu
, non sequitu
em Nominator
WOT Per Deno.
celemindirisibi.
line relrione ad
venit num ejus-
num ulranae
CnTUI. ExceptO.
Enita sit ab un2
lominator, vel.
contingac, vi.
um communem
painatorem, vel
elhclege, aequa.
t H, Xt, d6, dc.,
mesquancitates,
D. 451 d 456, l. 1.
tHMC Y C. ex 
+VErr- 2 9
im Y C. ex biuo.
el rulgari modo
dIX ex aequation
isnumeros, Velo
ei hic lumicur po
urio producim
pattIS.
eis, quae ram le
ottendisse, ill
Is huic Opera 1I
uS DcCuratiIS I
A R M F.
IN L AVDF M
AC. 2 SC TTOOTFVY.
Machemaricorum Ocelli.
Loten lcum scripia leors, se promit ubique
Ingenii mira dexteritate vigor.
Cum vitam ac mores spectas, se praebet ubique
Spectandam integritas, ac sine fraude manus.
Sic quae perraro concurrunt corpore in Uno.
Hic jungi ingenium cum probitate vides.
Adde quod, ingenium cum sit superabile paucis,
ix tamen invenies in probitate parem.

## Folio  -  — 175906937X:0448
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000448.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
e e
LLTRIZ HOY
ZRCTFFNOY
3 ManaetrS,
AICoZ O MadyoECS, EvorbCiaS, i Odoinops.
MaD.  PXnaicis; oDc epS n veor pBeras incto nerd;
(F Eauda, nai uon nagE vo, FVsEBIn)
 HdEodurA MENaIaVEENSaO; Zuan TSTW
ruala ngi naoas rontas EDECopon;
GoprPHS Ot yoS aTWORET, PE5a)O ardecur,
O5 200 in dcilu puiZe rancirosuulu.
Tor Ba(aScor ASy Seror Exciralo, ror rpraedllu
Acoxa 00t EE an_NS a tZivoor βBEE9.
ZNcorles 9; F. veiv ∞. M. ENcorlu 9; ncil avor ardecor
Zevoeis quE9, Xcilaror nui decor;
Zncorlu ∞;  quoior ioor paeeco plnyou;
EDE u LC aSCOr aVTEPINHOE OEcor
O5 ropor de dropcor, aici pnase onolever
ZuuVSaIS, CoDEpCO veir Evi onorci;
FivI OKOTIO KCLTCI3 NEO MEpOnEOS DacvOS,
Oi r naj Evorbilu, nai or, Dian, EPINOV.
MaD. Oux aNorCS axeITUS TE, Ica, n Saneva ncibeS,
Kai sceror ny res aier odupoulon.
AOS TONOV, 8Z ÖIZWS (1o na raza nonoaipulu
Oar El aerIcor WV8AV MANaP P aKapCOV)
Failu xeryoaiu, axirrior res essar,
AVra orcoS, rooir ocio cregotoupeson.
AVri aexirn 9 psperco vcaepiS TE NVa por
Mriua nenco HIoEnS naoV EOnuceiOIS.
Soct. Su dcai, oox esi sangicor aniS; SnolE VEKeOS
Darevor nai soraexais cis D a O audis Ebn.
am ire, n doduoor posos na laasale vailu,
Acierae purEauluat noi nvaraures ior
EVZa, coarce Elu pEponcor Bapis 3dEri 70005,
Oura nai usen gaia veneco renehu.
et. 2 A A L 2
1a 805 ApSEN.
Euo.
eta
Evs.

## Folio  -  — 175906937X:0449
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000449.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
VHILHIIIMIHBIIIIIIBIIHIIEMSIMIIIIMIIIEBIIiIIHINMIIIBiBIIIIIII
11III
e
ED WILHELM LEIBNIZ BIBI
ACHSISCHE LANDESBIBLIO
Etur: Leiton. Mar9. 178, Stiick 2, [4
eeeeeeeeeeeeeeea

## Folio  -  — 175906937X:0450
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000450.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
1)I111
ss s spiisti
1
N
DERSÄCHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK
atur. Leibn. Marg. 178, Sick 2, 145
eeeee eeeee

## Folio  -  — 175906937X:0451
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000451.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
CWLB Hannover 35
036876 110
n a al
IIMIII
1
SACHSISCHE LANDESBI
atur: Leibn. Mar9. 178, Stiick
ee

## Folio  -  — 175906937X:0452
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000452.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 12 lines, status machine
111II
pstttiiisi
H
et
ee
II
ee
M
TFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIO
DERSÄCHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK
Signatur: Leibn. Mar9. 178, Stick 2, [AC
eeeeeeeeeeeeeeeeee

## Folio  -  — 175906937X:0453
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000453.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
Hiedericsismo
lemsosbiblioinen
ABREBO
tttittti
Bllii
li
li
i
11
t
ACHSISCHE LANDESBIE
atur: Leiton. Mar9. 178, Stiick 2
eeeeeeeeeeeea

## Folio  -  — 175906937X:0454
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000454.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 12 lines, status machine
r
1
p
q
e
pe
e
Mss s HBIBIIA  HIIL MH IHeene l ib. sAIIIIIIIIIIII.
HSISCHE LANDESBIBLIOT
natur: Leion. Mlar9. 178, Suick 2, 14
eeeeee eeeeee
e

## Folio  -  — 175906937X:0455
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/175906937X/jpgs/default/00000455.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
dealle
ute
 
LSILM.
llam.
l. 17. 1
Aet
 are
e
X
MH pe
F
0
U
UI
C
0
B
D
 
e
∞5
0
E