# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Work: https://leibnizlegible.com/work/1815201908
# Title: [Problema Austriacum Plus Ultra Quadratura Circuli] Problema Avstriacvm Plvs Vltra Qvadratvra Circvli (shelfmark Leibn. Marg. 230, Stück 1)
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=1815201908
# Lines: 60,403 recognised on 1,293 of 1,294 pages, mean confidence 0.83
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio  -  — 1815201908:0001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 114 lines, status machine
nt
de
dt
se
s
d o
 si
A
s
 a 
1a
e
eiet
ace
tra
t
s
s
e
se
o
et 
o e
q
e
dus
 
a
d
at
a
ve
 
p
etis
a
aun
 es
e 
peri
rt
n
oia
s
sn eusn
uet dt
t
 
d
ad
a
d
tes
2
eo
tea
n
  e
a
oset du
e
lact
it
sa
at
at a
t da viic  
t
aes
ane
sie
e
tlo
s
e
p
pt
deate
 re
na
30 
 e en
doge 
   
t
 
r
etiais
eata
e e
ot
i aium 
c
o
 eud
e
qdi
fie
a
sia
ec
as
dge
es
 
e
id 
t
s
i
s
n
ati
  e

## Folio  -  — 1815201908:0002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
Na-
052
Leclen. Mlarz. 230
BIBSIDTHEDA
piile

## Folio  -  — 1815201908:0003
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 6 lines, status machine
2
 P. 26. p. 30 P. 3) p. 52
P97. y. 101 1.193 p. 200 p215 q 251 p. 268
1022 1040 1857 1073 1077 10s1
randbumentinis Laburec In 2, 34, 66F, 113Y
Matuhe

## Folio  -  — 1815201908:0004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
 tete ett pe su t te es  a   e tet  u  et    es e  t e eti ete a   e purete pe pe e ut u s a st s te  iu e  es    t  e   (  .        t 1 1 . 1
CHSISCHEI
O
L 222. 32. 4 2.5262.7 28

## Folio  -  — 1815201908:0005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
P. C R E GOR TI
11O
AS VTICLITIO
O P V S
LOMIETRLEVM
2V ADRATVR A
llC
1
ET SECTIONYM CONI
Decemlibris comprehenlum.

## Folio  -  — 1815201908:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
e
ii
soe
....
e
iee crrcil
d

## Folio  -  — 1815201908:0007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
a
sE
5
c
i di

## Folio  -  — 1815201908:0008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 14 lines, status machine
DLAMA L
LVS V
LADHAT
ePC
THOV
Auctore
ROORIO
CKIETI
Telu.
od
trum
 
ANYVERPTE, APVD IOANYEM EY IACOBVM MR VRSIOS. ANHO M. DC. XLVII.
Cum privilegio Caesareo et Regis Hispaniarum.

## Folio  -  — 1815201908:0009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
tBLIOF tlo
RBCTA
11
Mttttthttttsitti
 26 27 28

## Folio  -  — 1815201908:0010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
BEMLLE AVEVOTA
sse
t
tc veniam, Rugucti Principes, (I act
Voluminum mcorumtrontem Veltras
columnas transterre, et meis lucubra
tionibus VOstrUm PL VS VIOTRA
adscribere ausus Cum Non eam sum
drrogans rearburer ad Mlatheleos apicem ita me per-
venisse, quemadmodum Vos Ctaturas Llerculi metas
praeceroressi, exeremos gloria mundique terminos atti
sistis. Verum cum a benignitare Veltra tucelam, a no.
minis splendore lucem peterem, consilium fuicijs co-
lumnis, qua magnam mundiparcem lultentant, operis
mei limen fulcire, e scriptoribus simuloesse, re in la
pientia regno nullas sibi metaspolicas rati, scientia-
rum quam latissimè tines propagent: quiqs Mlachema-
ticas colunt disciplinas, verlera quam meis coo vigiliis
enicipotur, liis ips laboribus contendant. Guod si
cui aliquoulque prooreslus ridebor, e in reperienda cir-
culi quadratur a ceteris ante me felicior fuisle,; nontam
mihi gratulabor quia repererim, quod alius nemo;
quam opto, re, dum Vobis ofero, quod aliusnemini,
lingularis id obseruantiae argumentum permittatis el-
d 3

## Folio  -  — 1815201908:0011
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
Sc. Sunt ca Austriacorum Principum in familiam no-
sram merica, veis agnolcendis nulla oratia par, tc
Pandis omnis conatus luperuacancus (C: Lleque
aliam beneticentia Vestra, quam lic iplamet libi, repo.
Tcimercedem. Juemadmodum camen Aumina in ma-
re, indeorrum habene, redire non ideo delnune, quod
illius immenlitarem luo non auseant attuxu, ita ta-
metlimaonitudini V estrae nostris nihil sudiis polsit
accedere, adeo camen ettulam benignitatem qua por-
Tumusanimi restificatione non prolequinetas TII. (7u0
Titaciane roc ingeniorum, qua per Vos Societas aliE,
conseerata nomini Vestromonumenta, quod cidem
cooL. MI. C. dedico, veinam e inter ca locum, et apud
Vos tauoris aliquid arque approbationis reperiar: Rc.
si quidem Hlieroni scio nihil dicaturum Fuisse liben-
tius Archimedem, quam dimetiendi quadrandique cir-
culi rationem, neque impocentiore onquam laecitia
Tuum iisnnae, quam hac reperea ingeminacurum fuissez
verum quod eanto augultiore nomine insigniatur; et
canquam robis non indionum, Rustriacum vocetuI,
quanto inceruallo illius vora ve luperet, necelle cste
lominis Vestrimenluram nemo expleat praeter V05.
Sedctudii e obleruantia, non ambitionis tuit, dige
Cum ame problema Austriacum vocare. Pedomino.
rumliberti, et patronorum cliences sibi induune no-
mina. Nec quidquam cutius quam quod Regionomi-
ne signoue munitur. In arduopolita atque inaccella
est estra gloria. Sed Facilis ad benisnitatem patet adi
TUS

## Folio  -  — 1815201908:0012
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
cus. Propterea potentes eltis, ie benetici licis. Propterea
lacilsimerconacis, ve complectamum quamplurim05.
Nlon adpauciores patrocinum, quamimperium exten.
dicis. Juid quod Cacholicum nomen Vectris quo.
que columnis impolicum sc, nec nili his deiectis
illius calum, qui Eccleliam in robis oppuonane, hae-
retici sperent: Ac li tamiliarum trmamencum religio
elt, mucuamque luis detensoribus praeltae curelam;
dum prima illius cura crie, quidni sitis aeternitatis se
curi: Nihil in humanis Cabile, nec raro Dominos
mucault orbis. Vecralectos per quadrum radiosin or-
Dem deducens Dundrata rocundis mutat SOl. Ita prolpera
aduersis, ima ummis inverrere saudet interdum, per
quam Reges regnant, prouidentia; led ex quomodo
li vice versa rocunda quadraris mures, globumque in
cubum formes, luam eimobilicacem adimas; icaincta-
bilem reonorum potentiam pietaris ac religionis Cu-
dium frmat. Christiam conditor Imperii Constan.
Cinus quadratae arae mundi globum impoluit, pro.
fessus orbis Imperium non cam viribus, quam lacro.
rum cultu nici nequetam abarmis, quam ab arisre.
onorum pecendam tranquillitatem. Redactus ad qua
drum globus operis mei argumentum est; lic a Ve-
Ara Felicitatis omen: qua modo caret ac termino
Veltram magnitudinem exhibet, qua scellis inocci
duis cum intioniu, gloriam morus inter ac turbas
non occubituram repraelentet: veque rocunda qua-
drando Cuam illi rolubilitatem ademi, ita fortunx
2

## Folio  -  — 1815201908:0013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
inconstanciam Vestra vircus ex religio cocrceat, la
uremque ac pacem populorum in laudem lcalsres
TaF. LEa rOVCE L CI Li
S
siet e ci sit cie
se p dicter est c
1 ir ri
it A
s 3at 
NONTNT VESTKC
 CditAC
aS
 E lIS
C SI SeB1CO i
.sdii 
bese iosoise eic
21
eteli t
eet d
1
it BCCt. IlI
e. SD.  1: AIBISOI, dENS Ni 20
ectola ri isriter aecernum devora
ee
i
SIMEH SISLSOOIETAS IESV FLANDROBELOICA:
 et  EIE  O
Cuiusego minimus Gregorius a Sancto Vincencio.
11C. . (11EI 1 1
 o scericle iBMIEA SiB
deet
1Bs
2115
d ME lcs noa sceroel dictio eri
S) EE CB FABLE BirALCBEET SEBOM :IIR CHeI CI
1S3C  CBTIILIIBAEIS CILASSDGNIIOC
de sit: H sOCI iora Errgo evclolo cVI
et O5 3315 OBCTE EreP: 13sO disssi ilot sil
e illost spcsicle oeribrssicronca rist,
ects 35 1311 21 sistc iirrcteri rero eiot
.sbiese iper: 14C CSUSSICISNO AOC
ucit i: cbosi csesitictelor ille carcit obrasil
L LL2

## Folio  -  — 1815201908:0014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
E R E NISSIMC
 
I
ARCHIDVOI AVSTRIA
DVCIBVROVNDIA, ac.
BELOILEF BVROVNDLE PROREGE CAFHOLICO
GV B F R N A T ORI; ec.
DRDIHIS FEVTONIOL
SVPREMO PRKFEOTO, ac.
Sriaco nomini consceratum opus ad
LC,SEREHISS. LEOPOLDE deterO, quI
Lugulta Domiisparsmagna cum(IS, t0.
tamnobisreprxsentas. Duabusea stirpi.
bus caelo se actollens; Ferdinandum JII.
_ Philippum IV. capica habet. IIlo Germania poci.
cur, hoc Hlispania: verumque in le aonolcit Belgi-
Ca. Alcerius in Fracre genium, alterius in Vicario po.
celtarem reneratur: dubium veri plus obstricta, il
line quod carere Te lultincat, on huic quod habere
concendac. Lrac aliquor abhunc annis quod gaude.
rEF

## Folio  -  — 1815201908:0015
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
ret rnico Regis sui Fratre dignam se xstimari. Ouod
nunc Caelari tam cara sic, ve et vnicum luuni iple
concedat, quomodo vel inter milerias luas non bca-
tam se puret: hoc masis, quod reparandis Impery
rebus admorus, e traterns exercitibus praefectus BCl-
sis dari non pocueris, quin Ciermanis cripereris. AF,
si regionem, non virtutis campum mucalti. In Bel.
sio Cermaniam repercurus es, hoc est, Prouinciam
prudencia, maonanmicati, visilantia Iux parem.
Duris exercitus ad nihilo molliora renicti. Sedt ad hac
ec natura De aptauir, ec virtus instruxit. Sux linc aliis
delicia. Libi pro quicte labor est, proaula commo-
dis puluis e campus, pro oblectamento equus ex ar-
ma. Juid quod, quantum Tibi, quantum iIs, per
quos Lehabemus, debcamus, minus constaret, (I
ad Feliciores venisses ? Non peritiam modo medici,
Ced ex beneficium morbi commendant. Tibi quoque
optabilius Belgas bearos Facere, quam reperire. Vti
Colpicacem nobis dulciorem anrecedens calamitas.
ita illustriores triumphios Tuos praeteriea clades fa-
cient. Juis cum cito diem det, quo, quos delide.
rio Tui veniens compleuisti, pleno latitia fructuri
ctor exlacies; quo, convertis alio belli calarncatibus,
pristinus Prouinciarum decor, rbi pacc non licet,
ibi rictoriis rehorelcat: caepit a Screnitate Lua ca BCl.
ris lux attuloere: neque luastantum in Tecollocane,
cd elispanix Cermanixq; spes Tibi credune com-
millas. Experire vicissim Tu quales gubernandos sul-
Ceperis,

## Folio  -  — 1815201908:0016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
CI: Deoque, cuiuS TIMOR E. gloriaris, pro.
dicio in curanda Belgii Caluteregionum multarum ro-
nOrunguerem GCIC.
SF R E NIT AFIS YV A
minimus Cliens
ORLOAtrS ASANETO VINCENTIO
Societatis LESV.
R

## Folio  -  — 1815201908:0017
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
Ogiranti mihi persaepe quid caussae esset, quod retro tot actis saeculis, problematis de
eando circulo, quam nunc inuesticamus, socvrio; à toc maenis praeclarisque vi-
uidquam tentata, acdum expedita sic, facemque ipso praeferente archimede,
mihilominus suis adhuc teneotis involuta permanserit; illud praecipue occurrit, lu-
men quod ab antiquis nobis tradta Geomeria exhibebat, nimis debile esse, quam vetam in-
tricatae rei pervestieandae sufficeret. Id sane praeterquam quod astruerent tantorum virorum, quot
Bactenus Geometria eduxit, indefaticabiles quidem, vanitamen labores, Archimedaa certe
Spiralis, e Lap Lautm pjam calhcere mihi visa sunt. V+ quid enim deserta Ceome-
eriae trica semita, aliam ipsi plane viam ingrederentur virin Geometricis acutissimi, si hâc
quae omnibus patet, quaeque omnium vestreiis teritur, ad optarum finem duci se posse exstimas-
sent: Adde quod a praeclaris hoc auo viris factum video, ut, dum ad idem problema soluen-
dum se accincunt, veterireluta, nouam sibr Geometria formam effinxerint, e per praeruptos
calles quos suo sibi marte aperuerunt, eniti eo conati sint, quo alios tendere quidem semper, num-
quam tamen perventuros videbant. Iaec mihi serio consideranti, idem profecto in mentem ve-
nit accredi, quod ab aliis summa cum laude 2idebam attentatum: illudque Poëtae praesertim
animos dabat:
FNc aliquo prodirerenus, si non datur vlera.
Adnonas itaque artes, nonaque inventa animos studiaque converri; nihilque non tentatum re-
liqui, donec non prodiisse tantum penetra sse que hunc montem aliquousque, sed metas ipsas (absit
verbonuiata) altisisse nobis vist suius.
atque vt aliquam hic immerum meorum rationem, ambace sque quas, dum in incertum erro,
percurri aperiam, primo Archimedis exemplo inductus, difficultatem hanc in aliam haud paullo
difficiliorem, Spiralis inquam contincente, conieci. quod dum aco, impen siusque diu Spiralis con-
templationi in sisto, admirorque quae continsentem Spiralis inter es Circuli quadraturam sit con-
nexio, eccetibi aliud plene in mentem incidit, mira scilicet sumbolizatio concordiaque Spiralis
cum Parabola. quam dum prosequor, ost endo Spiralem inuolutam esse Parabolam, ex vicissim
Parabolam non nisi Spiralem esse euolutam. Romam, ut mox aperiam, postmodum euocatus,
rem hanc cum P. Christophoro Grienbercero, acurissimo sane in Mathematicis viro, totaquetum
Fralia celeberrimo, aliisque contuli: a quibus cum forterozarem, num simbolizatio haec Ar-
chimedi forcassis nota occasionem sue cessisset Spiralem ad Circuli quadraturam tam admirabili
artificro applicandi, non ejusmodi esse inuentum affirmabant illi, quod ab archimede, si ei inno-
tuiset, vllo modo celandum fuisse crederent. XE quus L ector statuet quid sit de re, cum ea quae li-
bro de JLyperbola subunxi, peruoluerit. FTdc tamen cum absolur via problema pose diffiderem,
a Spirali ad Duadratricem animum cudium que converti: quam dum nouis efformo producoque
modis, plurima (que ejus exhibeo proprietates, quae sola ustum librum constiruere poruissent (con-
situissentque, nisi is qui ceteros fere omnes labores meos, etram hos abstulisset casus) ne hie qui
demadiumenti satis reperio, quo tam arduum problema possim absoluere. Inde icitur rursus ad
noua consilia conversus, reperi tandem materiam eam quae de corporibus arit, ab antiquis in-
choaram, plane impersectam in ipsis adhuc haerere incunabilis: ne scio ramen quae meae hac in par-
t0
s oo o oaC SO O2
11

## Folio  -  — 1815201908:0018
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
te luxmenti obuceretur, ex ad nonarursus studia animos daret. Fotumisitur me in corporusto
contemplationem, efformationem, comparationem, pervicili multorum annorum cur â contuli,
ve tandem aliquam miho viam complanarem; qua ad montem hunc, imperuium hactenus, possem
eniti. Res ex sententia randem successit, complanaui quoad potui omnia; an autem axicem ipsum
atticerim, docebit res.
lbrohuicis operis sepeimo continentur; es quia corporibus iis indisebam quae cum spharicis com-
parari possent, librum de circulis, qui terrium hic locum obtinet, tres praeterea conicorum praemisi,
qui exinde sur ordine quarrum, quintum, sextum que conficiunt, quartum quidem de F. llipsi, quia
maiorem cum circulo coenationem habet, illi subiunxi; quntum de Parabola, sextum denique de
FSyperbola; copiosi sunt sinculi, quippe quibus naturam abstrusam hactenus sectionum illarum,
ab appollonio forcassestudio inuolutam ita euoluo, vt a communis Geometriae perito, nullo Ap-
pollonii adminiculo, intellici possit. Forum vero demonstrationes, cum a lnearum proprietati-
bus dependerent, alterum de lineis praemittere necesse fuit, quo earum affectiones quae vsui nobis
furura erant, lemmatum instar explanarem; hieque totius operis primus est, eiusque quasi basis.
Tam vero cum tam in Conicis quam in corporum comparatione inscriptionibus, exhaustionibus.
que indieerem, librum de Procressionibus Geomerricis placuit conseribere, rum quod non parum
viderem subleuandum L ectoris meumque taedium longisillis, archimeditamen osicatis, ratio-
cinationibus, quibus xtitur, quoties exhaustiones demonstrationibus adhibet; tum quod pluri-
manoua, ex non iniucunda exhibeat, quae non medioerem fortasse lecenti afferent; vel admira-
tionem, vel voluptatem, hicque secundus liber est. Pursus quia corpora duversarum in quan-
ertate specierum comparare inter se non poteram nisi in exhaustionibus octo plane vierer termi-
nis, iisque saepe dissimilium rationum, quarum tamen in Geometria hactenus non fuit 2sus, li-
brum de Proporionalitatibus, quas octavus exhibet, nouam quasi Geometriam concinnare me
oporcuit. Pcquando enim hactenus Geometria proportionibus vsa nisi quae in similicudine ratio-
num consisterent? mihu vero etiam dissimilibus rationibus xtendum fuit. Pisce itaque rite ex-
positis, cum demum ad Duadraturas varias, ac demum Circuli, quas reliquis libris absoluo, hoc
fere tenore me accinco. In libro de Parabola conscripto, sectiones produco Parabolicas, praeter alias,
illas quoque quas circulus mihi offerebat. dein ex illis duas semiparabolas aequales assumo, alti-
eudinem vero habentes eam quam latus rectum ipsius axis exhibet; quae in se inuicem subalterne
duitae, corpus producunt aequale sermicrlindro, cujus basis semicirculus est, ex quo Parabola illae
oriuntur, es altieudo Parabolis communis, vei in libro de planorum ductibus, septimo nempe,
demonstro. Fandem partes corporis orri ex Parabolis proposito modo ductis, per Provortionalita-
tes consero cum partibus cylindri cui corpus illud aequale est. not â autemratione partium corpo-
ris Parabolici, innote serratio partium cylindri quae illis aequales sunt. Duare, cum parcuum cy-
lindricarum bases, quae sunt circuli seementa, parallelis lineis intercepta, eandem inter se propor-
tionem habeant quam partes ipsa cylindricae, nota etiam fit proporcio segmentorum circularium,
quae inter paralle las lineas sunt posita. Tum denique ex seementorum illorum ed not a proportio-
ne, nullo necocio circuli ad rectilineum proportionem exhibeo. Fadem pene ratione FTyperbolae
quadraturam exhibeo, per Parabolas parallelas in se ductas, quae cylindro aequantur hyperbolico.
Atque haec est operis corius adumbratio, obscura adhuc ex tenvis, se d quam operis ipsius de-
ductro faciet manifestam; praesertim aequis rerum Geometricarum, quibus hoc opus conseribo,
astimutoribus, quibus spero ved mtriarum novitatem, vel ob Proolematis, quod soluendum
diorum  san iterruperint parcum que hune meum, quem à vixinciquinque annis
conceperait
Priu us cra fuit noua omnis ceneris corpora, nouo e Ceometrico more efformare, qua
suscepi, non infelicem, vt quidem reor, accessum, non omnino displiciturum.
rerum non iniucundum sorcass fcta, cdrere qui casus quasi concatenati semper stu-

## Folio  -  — 1815201908:0019
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
conceperam tamdiu recardarint, quo minus lucem hanc in quam modo prodeunt, cirius aspice-
rent, invat enim praeteritorum meminisse nonnumquam, neque sine erata recordatione eorum
mentio fit, praeserum sicum amicis, beneuolis inquam Lectoribus, defaecato nunc demum, 2Y
cum Comicoloquar, animo communicentur. Annoitaque huins saeculi vicesimo quinto, cum
omnia quae hoc opere continentur, sElibrum de Proportionalitatibus excipias, parata haberem,
licet non ita concinnata, vrpraelo subiici statim possent, sed summarantum capita, propositio
nes inquam cum demonstrationibus summatim memoria tantum caussa scripias. Romam ab
Admodum R. P. Generali Nostro euocatus abii, lucubrationes meas solutionem que problema-
tis de quadrando Circulo cum P. Grienbereero, eo quem dixi summo Dathematico collaturns:
cum que per plures menses loncostudio mea explicare essem decressus, e ille ad calculos indefesse
labore singula revocaret, dimidium operis absoluere numquam poruimus, tum quod ea quae Pro-
porcionalitares concernunt, necdum plane perfecissem, quamquam in iis nulla esset, difficultas;
tum vel maximè quo d ipse eraui ex diuturno, saepius que interrupto implicitus morbo, maiorem
moram requireret, quam maximorum Princixum, quorum nutus imperia sunt, preces litterae que
permittebant.
In eaitaque dum Romae incumbimus, ecceribi binis elocis lirterae ad Admod. R. P. Genera-
lem perferuntur, quibus Roma ad Mathesin docendum euocor; C’ atholict Regis Philippirona
quibus Madricummitti postulat; ab Aucustissimo imperatore Ferdinando altera, quibus me
Pracam destinari vult. Verique cerre Imperio obsequi cum non poset admodum R. P. Genoralis,
huicme assienat, illicoque cum res moram non ferret, eo meproficisei ubet. Pracam vix attice
ram, rursum secundis litteris in Fispaniam euocor, amq; ad iter accincebam me, cum eccepara
lysi subito correptus morem cerere tam iusto Recis mei desiderio non porui: ex quamquam vim
subiti mali infrecerim aliquousque, non tam feliciter tamen eluctari potu, quin inteerum quin-
quennium me isthic moroi vis incens detmuerit. Vix hoc malum euaseram, non iva tament
quin cum morbireliquiis toto deinceps vita tempore mihi fuerit decertandum; euaseram tamen
aliquonsque paularim que à morborespirare iam caeperam, cum alius haud paullo cristior casus
Scripta mea labore (que excepit. Saxonca enim Dux post funestam illam cladem nostris ad Lipscae
muros illatam, deditione Pracam tum forte superat: victoritaque miles,  hareriens, quod
unum saris erat ne nobis parceretur, in Collecium nostrum errumpit, diripir que miserrimum in
modum omnia: quidquiducaque breuissimo ante tempore aliquorum dilicentia militum ma-
nus non eua(t, cessit eorum libidini, aut cerre flammis, e quod incommodomititum non exi-
cuo, imo commodo fuit manimo, ea hora reliquia incendio secuturo subducebantur, quà ego ad
aram sacrificaturus stabam: incommodo; quod plero (que incenii faetus amiserim, commodo cer-
te quod eum saltem praemanibus haberem tunc, quem qui habet, habet omnia. Rescinit id R. P.
Rodericus de arriaca celeberrimus hoc tempore, multis etiam exinde tomis clarus Theolocus:
festinus itaque ad cubiculum meum aduolat, scripta quae in mensa exposueram expolienda ad
huc, una cum suis in currum conricit, eaque cum solertia summa hostium manibus subduxisset,
Viennam defert. cetera omnia quae cistam interram implebant, eaquefere erant; quae, cumiue
vlcima adhibita iam esset manus, praelo parabantur. praedae aut ftammis relicta, cum tempori
subduci non possent. Inter plurima quae isthic deperdita, liber erat quo totam Staticam Geo-
metrice ex Archimedais de ductam principiis comprehenderam, iustae Spissitudinis tomo. Inerant
praeterea Geometrica plurima quae tomos duos hiscenon absimiles maeniudine expleussent. At-
que ita labores plurium annorum, Deoita volente, suaviterq; ad maius virtutis exercitrum diri-
sente omnia, vnico hora quadrante deperdidi. Perdidi illa, non tamen animos, quos exinde ma-
iores mihi suffecit Deus. Spoliato it aque Colleeio, V iennam cum ceteris remissus sum: inde ad Bel-
sas meos, cum Traliae rursus destinarer redii, non eà rame valeendine qua ab iis discessera. Scripia
mea

## Folio  -  — 1815201908:0020
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
mea quae cladi fupersuerant, cum mecum deferre non possem, Craecio Oenipomem Z yrolis aman-
data sunt, secundo demum Rheno in Beleium deferenda, sed cum impeditae semper essent via,
variique bellorum casus omnem Rhem tractum quotannis exciperent; neque manifesto peruul
exponenda iudicarentur, decennium tocum ea expectare necesse fuit: donec tandem non sine 
enis impensis, magnaque amicorum cura summo meo e audio, decimum post annum, Gandauuim
delata sunt, eae que scriptorum meorum sunt reliquiae, quae mihi materiam huius operis prabue-
runt. Duo nomine quantum quidem debeam, imo omnes qui hisce rebus delectabuntur, R. P.
Roderico de Arriaca, qui tantum milii beneficium inopinato praesticit, eso seio: omnid ehamfere
exciderant qua ults charcto saerant complexus; quis enum omnium iam senex recordetur qua
trieinta (5 quod excedit annis, fuerit commentatus? praeserrim cum breuissime sincula quuse
per compendium diceßissem. Gratias itaque aco maximas bono Patri amicissimo meo; es 
siltem alicuius eratiae loco rependo, extare me velle publice aliquod debiti mei montthe 
publicam que restificationem beneficii privatim quidem impensi, sed ex quo, publico etiam Ceome-
triae bono, nisimea mefallat sententia, otilitasemanabit.
Atque haec sunt qua tecum, Lector beneuole, more meo, id est candide communicanda duce-
bam. Interim si quid in operis decursuminus expolitum occurrerit, id sane festination nimiae ad-
scribas velum; cum enimrursus morbimei Praca contracti vires recrudescerent, senemque jam
defectis viribus oppressurae nonnum quam viderentur, Superiorum iussu, quorum nutus etiam,
non imperiatantum obseruo, conquisitis ondique auxiliis, hoc quale nunc vides opus effudi
dicam, an concinnauis ante quam mors subita, expectata tamen semper, faetum hunc opprimera.
Mihi sane rebusque meis parum esse laborandum censebameeo; sed cum in eorum manibus eeo
sim, qui cocere possint, malui qualecunque hoc opus publiciiuris facere, quamrefracari minimo
etiam eorum nurui. Peienim nos nostri minime sumus, ita faecus etiam incenii non nostri, mi-
nime nobis arrocandi sunt, quos Religioni obnoxios fecit professio. Si quid tamen laude dienum
fortasse duxeris, tocum id Deo adscriptum cupio, cujus honori ex gloriae laborani toto vita mea
tempore; neque sane sine incenti admiratione, aeterni, etiam in minimis, arcifici: non enim
cumordinem simmetriam, proportionem, quam in sinculis superficiebus corporibus que demon-
stramus, nos ipsi industria nostra aut arte essineimus, sed facta iam, es aeternis legibus ita dispo-
sica, felicitare aliquâ incenii, aut, quod mibi concieisse proficeor, eius favore qui omniatam con-
oinne in parces suas distribuit, invenimus, es inventa demonstramus.
Sua

## Folio  -  — 1815201908:0021
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
Summa Primleey Casarei Societari lE SV concessi.
m exmandaro lacrx Exlarex Maiestaris omnibus e Cingulis Fypographis, Bibliopolis
acque aliis quibulcumque librariam negociationem exereencibus serio, lricteque inhri-
Deacur ne quislibrosillos a Sociecalts Abctra Pacribus liactenus cdicos; aur cdendos iinpolte.
ruta inera S. R. I. Reoriorumque ec Vominiorum Sacix Ca Carex Maiecticis hicredicariorum A-
nes, limili aliole charactere auc Fochas huc in coro. sine in parre excudere, vel recudere, vel
alio recudendos miccere aut alibi etia impressos inuehere, vendere, seii distrahere, elam seu
palam, cicra supradietorum Parrum Con sensum ac cestimonium audeat; vel pra sumac. F∞0
Toaunes Bapricta Engelseaue per Prouiam Flandeo. Belgicam, Prepolicus Provincialis con-
CedOTOANIT X IACOBO MErESIIS, Lacem excudendi Opus Geomerricum Quadratura Cir-
CHII, AACIOTEPAErE GREBORIO A SANOTO VTHCENTIO SoCietdtiS Tesr, in cuius Adem liE-
ceras manu mea subleripeas ex sixillo ofticii mei municas dedi Craudaul 31. Marti) 1647.
Loannes B axtista F. ne eleraue.
Coinfrascripeus Sociecaris TESV in Proincia Flandro-Beleica Prouincialis iuxta Priuile
Loecum a Serenssimis Princixibus eidem Scsecari nostrae concessum, quo bibliopolis omnibus
prohibet, ne libros ab ejusdem Socieratis homnous composicos absque Superiorum permissione im-
primans: Facultatem do IOANNE _E TACOBO MLEVRSIIS Zypotraphis vE librum cuiritulus
est Opus Gcomerricum Ouadraturxe C Aculi, AUCtOrE P. GREGORIO, ASco. VIN
ExNTIO Socieracis lusV, imprimere, es trahere possini. Dacum Cand. 3 1. Marcii 1647.
Joannes Bapricta FnscleraUE.
PR OB A FIO
IBTuM HuNCE COMPOSITUM a R. P. GRRGORIO ASANCTOVINCENTIO Socleraris
lesrean quam nihil conrinenuem Religioninostrx orchodoxx concrarium,
aucmoribus; sed re veilem Scienta ictius; quam eractat, amacoribus approbo,
Christianus Vooches Archipresb. anruerp. Lib Cenfor.
SVMM A ERIVTLEOIE
Dttrereers Dei Graria Fispaniaru, Maiarum, _ec. R ex Cacholicus, Archi-
dux Austrix; Dix Burgundix, Brabancix, aec. Serenistimus Beloarum Prin-
Sccus Faxic, consilcarione librorum, de ala slauipcena mulctabitur, rei larius pa-
e pralo dignistimum censco. Docum Ancuerpix 25. F cbr. 1617.
ceps, diplomace suo lanxit; ne quis librum, cui ciculus cAt, R. P. GREOORM A SAN
CTO VINCENTIO SocIeratiS lESI Opus GedMerricum Guadratura Circuli, CIETA IOANNIS
_ IACOBI MernsIORM voluncarem,  Mlodoimprimat, auc alibi cerrarum
impressum, in inferioris Gerriahiae diriones imporret, venalémrehabeat. Oui
rer in licreris datis BruxcIlA XXVIIL. FCBE. M. DC. XLVII.
Senat
o e e pu u u s e  pue e ut u pu   s   u  . . Beot i  e   it  e a e  et  p  et t u  e  u et           t i ni
LOyenSi
L EL

## Folio  -  — 1815201908:0022
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
GLENOIVS MATERIAEVM
QUATOTOHOCODETECONEIHENEUI.
L I B F R P R EM V S.
Delinearum potentiis.
P A R S P R I A A.
De varia linearum inter se proportione.
ea ditisio excrema ex media ratione proporcionali; aliaeque propositio-
nes ex hac divisione eruuntur. PaB. 2. Pr. 23. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10, 11. 12. 13.
In eadt M basi consticuris duobus trianculis inaequalis marnicudinis, duci-
turlinea parallela bast, 2e partes linea inter lacera trianculorum interceptae datam
Datis auabus rectis, rectae adduntur vel detrahuntur in data ratione, vel compositae
vel reliquae datam habeant rationem.
P A RS SFCVHVA.
Detrianculis eorumqe proprietatibus.
14. l5.
habeant rationem.
De trianculis isoperimortis.
9. Prop. 16.
3Pr. 1B.
21. Pr. 19, 20. 22.
22. pr. 21. 22.
c. pr. 23. 24
Varia problemata absoluuntur dato anculo, es intra vel extra eum puncto, circa li-
neam per datum punctum in data ratione diuidendam. 23. pr. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
Irem ijsaem datis exsom una s uo o a m exbeant re-
Proprieratestcum orum ortorum ex varia inscriptione parallelarum in trianculo.
Proprietates gutu qua orcun la caltins ianu, conatorum c qua
Pythazoricd aliter sl.Lrop. 12.  (G. b. 2. CMb. aonaltor eodemt as-
sumplorum.
Rianculiisoscelis proprietates.
Proprietates trianculi rectansuli
imo ex dato aequale exhibetur.
27. pr. 36. 37. 38.
26. pr. 34.5)
dratis aneae ex ono an a susi aurva.
28. pr. 39. 40. A1.usa
cursu  constructione qua Pytharoras 2 sus prop. 47. P.ucl.
30. pr. 43. 44. 45.
In dati paralletoeramm aores continue proportionales assenantur. 33. pr. 46.
In paralleloerammo, diamtot quddrata aqualia sunt quadratis laterum simut
46. pr. 47.
Datoerlangulo obeusaneulo, lacus obcuso anculo opposicum ila dividitur; d quaas
ermentorum aequalia sint quadratis reliquorum laterum.
4. pr. 49.
Varia problemata circa criansulorum duisionem per lincamrectam. 34 pr. 50. 5l.
c
54.

## Folio  -  — 1815201908:0023
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
E L P N C H V S
P ARS TF R TI A.
Derectangulorum inter se proportione.
Esionantur Ma aequationes rectanculorum es quadratorum quae oriuneur ex
sermentis la rectae duusae aut in aequales, aut in partes maequales. Pas. 37.
Equationesa morum problematice inveniuntur.
40. pr. 63. 64. 65. 66.
Variae aequationes, e comparationes rectanculorum es quadratorum quae fiunt super
lineis proportionalibus.
42. pr. 67. 68, pas. 43. pr. 67. 68.69.
Problemata varia, de linea didendaant auzenda, sic vt rectaneula aut quadrata
nata ex sermentis linea divisae inter se certam habeant rationem. 44. pr. 70. 71. 72.
73. 74.75,76, 77,78.79.80.81. 83.84.
Data basi, accrecatolaterum, ex alticudine crianguli, exhibere triangulum. 49. pr. 83.
C IBF R S F CV ND V S.
Deproeressionibus Geometricis.
L Desinitiones eressionum earum que explicationes.
PA R S PRIMA
Procressiones non terminatas considerat.
Ontinue proporcanalium mirae proprietates. 59. pr. 1. 2. 3. 4. pas. 60. pr. 8. 9. 10.
Proprietates aua serierum trium aut quatuor continue proporcionalium. 58. pr. 5. 6.
Si sit prima ad secundam, e terria ad quaream, erit vt prima cum secunda ad terciam,
ita omnes quatuor ad primam cum quarta, vel t prima cum secunda ad secunda,
ita omnes quatuor ad secundam cum quarta.
Pappiprop. 18. l. 3. proponitur 2niversaliter.
Asionatur series proportionalium in proportione Arithmetica.
Proprietates quaruor proportionalium etiam non continuarum.
Decontinuato proportion alium processu variae es iucunda proprietates. 69. pr. 23. 24.
25. pas. 74. pr. 30. 32.
Proprietates duarum serierum continue proportion alium eandem habentium primam.
71. pr. 26. 27. 28. 29.
Datarum rectarum altera ita secatur zt partes linea secta cum insectâ sint in continua
analosia.
76. pr. 36.
Dacarum duarum atum t selat dteblb b s inselta Parrel
nea sectae, ad residua linea quadratum, datam habeat rationem.
78. pr. 37.
Data mediarium continue proportionalium, e acereeato linearum prima e tertian
0. PP. 500
Daramaxma e Cotarut,  excessit quo media superat minimam, exhrbetur
pr. 55.56.57,58.59, 60, 61. 62.
Roumentum eS scopus huiuslibri.
11. 12. 13, 14. 15
65. pr. 16.
66. pr. 17
67 pr. 18. 19.
68. pr. 20. 21. 22.
1. par. 74. pr. 31. 33. 34.
exhibetur primae testia.
meua oitima
79. pr.3).
Datto
 e ari p s se tte  sat a e u  et et  p tet ot et st ste   si ut  ett  pt eat   estet st  e  su t       et et  e   et p t ta  t pt   put 1

## Folio  -  — 1815201908:0024
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
AE A X F R I A R V M.
Datis duobus excessibus trium maenicudinum continue proporcionalium exhibentur rres
continua.
Pas. 79. pr. 40.
E. quationes rectan sulorum aut quadratorum ortorum ex sermentis linea in proporiio-
nales quoruis continuas divisae. 81. pr. 42. 43. 44. 45. 46. pas 89. pr. 63, 04. 65. 66.
A. qualitas rectanculorum ortorum ex sermentis duarum linearum, quarum sinculae in
quotuis continue proportionales sint diuisa.
82. pr. 47. 48. 48.50.
Continuatio rectanculorum aut quadratorum in eadem proportione, ortorum ex varia
dispositione aut dius sione linearum in parces proportionales continuas, aut discretas.
84 pr. 51. 52.53.54.55.56.57.58.59.
Proporconalia rectancula orea ex lineis proportionalibus.
De duplicaris, es emiplicaris rationibus, quas habent rectangula ex varia divisione li-
nearum inparces proportionales.
87. pr. 60. 61.2.
Plana quaevis proporcionalia, super duabus rectis eadem ratione diuisis, it a constitura vt
pland inter se sint similia.
Friancula ex trapezia quorcumq: semper proportionalia continue.
Friancula tria ad circulum constituta quae eandem rationem continuent. 9+. pr. 73.
Friansula ad duos circulos constituta quae reciprocam habeant rationem. 94. pr. 74.
P A R S S F C V N B A
Terminum prorressionis in infinitum continuata assienat.
DRoporciones speltances ad cerminum procressionis inveniendum. 95. pr. 75. 76. 77.
LPrima 10. Encl. niversaliter proposita ex demonstrata.
96. pr. 78.
Ostenditur maenicudinem assienari posse, quae aequalis sut toei seriei proporcionalium in
infinitum continuatae: imo es maenitudo ea assenatur.
97. pr. 79.
Terminus cuiusque procressionis in infinicum continuara diuersimode assienatur. 98.
pr. 80. 81. pas. 100. pr. 85. 86. 87.
Respondetur ad argumentum Z enonis quod ipse in materia de continuo Achyllem vo
cat.
101. pr. 87. in Schol.
Proprietates iucundae seriei continue proporiionalium in infinitum producta. 99. pr. 82.
83. 84. pas. 103. pr. 88. 89.
Problemata circa divisionem datae magnicudinis, aut magnicudinum in certa ratione,
sic vt cerrus habeatur terminus datae rationis.
103. pr. 90. 91. 93.94.95,96.
Duae series infinitarum proportionalium sunt inter se vt duo primi termini. 106. pr. 97.
Comparationes variarum serierum infinitarum proportionalium inter se. 107. pr. 98.
99. 100, 101. 102. 103. pac. 119. pr. 116. 117. 118.
Comparationes variarum serierum orearum ex rationibus similibus quae sunt inter al-
ternatim positos terminos. 1II. pr. 106. 107. 108. 109. 110. 11I. 112. 113. 114. 115.
Diversae continuationes rationum quae sunt inter quantitares, per quas ad maenitud-
nem data minorem, auc dati maiorem deveniatur.
 121. pr. 119. 120, 121. 122.
A RS. YL K L1A
Proctsaas planis apat aseri to.
Va de rationibus maenicudinum in infinitum continuatis duta, pecullariter ra-
Ctionibus superficieru sic continuatis applicatur. 125. pr. 123. 124. 125. 126. 127.
Fot
86. pr. 57.
91. Pr. 69.
Supr. 71. 720

## Folio  -  — 1815201908:0025
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
F L F N C. Ht Y 5
Tori quadratorum seriei datur rectangulum aequale.
pac. 130. pr. 128. 129.
Iem serier quarumcum que superficierum, una similis superficies aequalis exhibetur.
131. pr. 150.
Ostenditur lineam eandem transire per omnes omnium rectilinearum similium, simili-
terque positarum anculos, modo bases indirectum sint posita, es series datorum
ejusmodi rectilneorum determinatur.
Idem circulis accommodatur.
132. pr. 131.15L.
135. pr. 135.134
Varia triancula varis quadratorum, trapeziorum; es c. seriebus in infinitum conti-
nuaris aequalia desienantur.
138 pr. 138. 139. 140. 14. 1.
Series diversarum superficierum in infinitum continuatarum, inter se comparantur.
141. pr. 142. 143. 14 4. 145. 1. 46.
Dato plano exhibetur serres planorum similium incipiens à dataratione, quae aequalis
sit dato plano.
14+. pr. 147. 148.
Exhibetur series incipiens à dato plano, aequalis seriei datae planorum similium, aut quae
habeat ad seriem datam; rationem datam.
146. pr. 149. 150. 151. 152.
Series planorum similium quorum bases in eadem sint linea, comparatur cum plano si-
mili consticuro super linea in qua toca series planorum similium terminatur. 149.
pr. 153. 154.
Series complementorum ad onam partem diamerri in paralleloerammo constituto-
rum comparatur cum serie quadratorum ad aliam parrem diametri constitutorum,
torique serrei aequale rectanculum determinatur.
150 pr. 155. 156. 157.
In serie quadratorum quorum bases indirectum sunt constuut a considerantur quadra-
ta impares bases obtimentia, hoc est primam, tertiam, quintam, es c. 152. pr. 158.
Comparantur parces serieruminter se.
PA RS OV AR F
152. Pr. 159, 160, 161. 162.
TIac quae inplanis demonstrata, corporibus applicat.
Etei cudorum in infinitum continuarorum in eadem ratione, terminus inveni-
Partes seriei cubica cum parcibus seriei linearis comparantur.
Seriei cubicae aequale parallelepipedum exhibetur.
Serres cubicae binae comparantur inter se.
Seriei cubica aequalis series paralle lepipedorum datur.
37. pr. 166. pac. 161. pr. 171.
157. fr. 167.
Pyramidi quadratam basim habenti inscribitur series culica, ex includentis ez inclu se
diffetentia assienatur.
158. pr.. 166. 169.
Datae seriei cubicae, prramis super dato quadrato aequalis assienatur. .  100. pr. 170.
Serces cuboram quorum bases omnes ad eandem lineam terminatam constituta, com-
paratur cum paralle upe do quod fit super duta linea terminata ex latere quadrati
135. pr. 163.
155. pr. 164.
156. pr. 165.
tut
in primo cubo
1ol. pr. 172
Superficiebus omnibus totius soa i as da. Datia praterea crrca
hassuperficies, e supes pat anelexipedorum ex prramidum certarum deter-
162. pr. 173. 174. 175. 176. 177.
inantHI.
LIBEK
Aet   i   A i e  s. e  . .  pe .     .  1. .       p pu    u      e   p u  tt u a

## Folio  -  — 1815201908:0026
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
H A Y F R I A R V M.
L IBF R YE R T IV S.
De Circulis.
D A R S P R F M A.
De linearum in circulis proportione.
Do Farune tres circuli quorum communes intersectiones in eadem sunt li-
Pac. 167. pr. 1.
iem linea auti p Suttas circulorum intersectiones bisariam secatur.
Pererium alum aequilatorum circulo inseriptum linea quae da crifariam secta. 169. pr. 3.
 qualitas mbatum ex determinatione circulorum se intersecantium aut tancen-
num.
169. pr. 4. pac 170. pr. 6. pac. 171. pr. 89.
Super bases trianeuli descripto quovis seemento circuli, super aliis lareribus similia se-
ementa describuntur.
Divisio linea in partes aequales per descriptionem sermentorum similium super triancult
lateribus, dum linea per verricem trianguli transit.
Inueniuntur item diuersae linea aequales in ditis seementis.
175 pr. 14.
177 pr. 13. 10.
Tnuemuntur multis modis continue proportionales ex varia circulorum,  in ijs linea
rum constructione. 180. pr. 17. 18. pas. 181. pr. 19. 20. 21. 22. pas. 188. pr. 34.
pag. 190. pr. 39.
Item quatuor proporrionales licet non continud. 182. prop. 23. 24. pas. 184. prop. 26.
pas. 188. pr. 35. pas. 189. pr. 37.
Irem duae linea quae triplicatam habeant rationem aliarum duarum. 184. prop. 25.
pus. 190. pr. 30.
Proprietates Dutra Connm aut asereuum proporuonalium, extrema e mediaratio.
Miraprobrus  pundor qua in Maeoro circuli assienantur, quorum mum
nea.
168. pr. 2.
a 
173 pr. 11
nesectarum, es c. quae competunt    quaaa ins juo panio
quod non si punctum contaltus, per circulum ducuntur linea. 185. pr. 27. 28. 29.
30. 31. Pas. 189. pr 36.37. Pa5 191. pr. 40.
intra circulum alterum extra cauu; ajuldus slnt t octa 
per lineam, quae ab aneu qud in circumferentia est ducitur ad punctum in quo dia
187. pr. 32
fectantut anculum quemeum que continentes, un mlusis somper dividetur bifariam
meter secat circulum.
Problemata varia de ducendis lineis a puncto extra vel u u 
a circulo diuidatur in racio cocta, au et alatia aqualis st data; aut Dt in circu–
d instera dacam habtunt alio b, 5c. 191. pr. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49.
 2 e d dd2l  Idet
Deanemorum arcnum comparatione.
Neuli inter se compn fans cinis atcubus elichit, ea puncto dato
La duae lineae dimitcuntut aes duos arcus datis aequales. 195. pr. 50. 51.
3.. 13. 34.38

## Folio  -  — 1815201908:0027
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
E L. I LY C H V S
P A R S Y F R T I A.
Demutua circulorum intersectione es contactu.
N circulos se contincentes immittuntur linea à certo puncto, sie u interceptae à cir-
culis sint aequales inter se, aut certae certis.
pac. 199. pr. 56. 57.
Annulo qui intercipitur a duobus circulis concentricis datur circulus aequalis. 200.
prop. 58.
Decirculi seementis similibus super lateribus trianculi descriptis, circum seripro circulo,
ea aut contincente aut secante variae proprietates. 200. pr. 59. 60. 61. 62. 63. 64.
Datis duobus circulis, punctum invenitur, per quod acta linea dividat circulos in simi-
les paries.
P ARS QV A R Y A.
Delinearum in circulo potentia.
204. pr. 67.
Ariis modis ducuntut ea in circulo, sic ot rectancula super linearum segmen-
205. pr. 68. 70. 71. 73.74. pac. 212. pr. 85.
Item quadrata aGu Ccdnis, aut quadrata quadratis aequalia. 207. pr. 74. 75.
pas. 208. pr. 77. pas. 209. pr. 80. pas. 213. pr. 86.
Tiem rectancula aequalia certae ficurae.
205. pr. 69. pac. 208. pr. 76.
Iem sie ducuntur linea et circuli super eis ue diametris descripti aequales sint 2ni
certo.
209. pr. 78.
Considerantur rationes quas habent certa rectancula ex quadrata inter se, aut deter-
minatur quantum 2num excedat alterum. 209. pr. 79. p45. 210. pr. 81. 82. 83. 84.
Pac. 113. pr. 87.
Poly conanscripta circulo conferuntur cum quadrato semidiametri. 214. pr. 88. 89.
Rectangula desienantur qua triplicatam habeant rationem ejus quam certa linea in-
terse.
215 pr. 90. 91. 92. 93.
In diametro circuli linea per puncta desionatur, suver qua ve basi si ad peripheriam con-
stieuantur quavis transula, semper quadrata laterum quae non sunt bases simul
sumpra aqualia sunt fucura inter se.
Prolecomena ad sectiones coni.
216. pr. 94.
Considerant u culti Mcunculorum scalenorum, qua sii  ua s
tis sint. aequalta.
Efinitio coneinsque expositio, es quotuplex sit.
220
Variae es a consurationes circalineame Ati onscent pepeniculari-
ter dimissam ad basim trianculi peraxem, cuius puncta incidentiae circellos in base
In dato conoscaleno exhibel mnmues maximum irtaneulorum quae sectione per
lem trianculum qudd lum t otan pet naeit. aulam hadent racionem,
niscaleniper verticem es centrum basis.
cont describere ostenduntur.
221. pr. 1. pa8. 2.23. PY. 30
222. Pr. 2. PaG. 224. pr. 4. 5.6.
axem facta exsursere possunt.
228. pr. 7. 8.
230. pr. 9.
Proprie-
cum De axem.
qua tamen matornon sit quam ed qus tet a ammum trianeu
ooo122526+71O 2O 20 22 223334 252027

## Folio  -  — 1815201908:0028
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000028.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
N A Y F R I A R V M.
Propacares coniscaleni, dem coniresti rectanculi es acucaneuli. pas. 231. prop. 10.
Datoerians aftione conirecti secti per axem, aliud erianculli o pet uXem
exhibetur, quod aderianculum per axem habeat rationem datam.
253. r113.
In cono recto triansula non per axem ducta, quorum bases in eodem puncto se interse
cani, habent perpendiculares ad bases ee vertice ductas, in peripheria circule, cums
diameter est rectaincer centrum basis conica, es punctum inter sectionis interiecta.
235.
12
In conorecto exhibetur trianculum quod per apicem coni es punctum datum sue ex-
era sive intra conibasim transeat, habeat vero ad erianculum per axem datam ra-
tionem.
In cono quocumque sectro basi parallela circulus est.
In conoscaleno exhibetur circulus basi non aequidistans.
Ostenditur in conoscaleno duos axes esse.
LIB ER QV A R F V S.
DeFllipsi.
P A R S P R IM A
Sectionem econdducit primasqe ac essentia les ejus exhibet proprietates.
so cor educitur ellipsis, es prima ejus piopnus demansunt ex
cono, nempe quod quadrata ordinatim applicatarum sint inter se, vt
rectanma super sermentis diametri sectae per ordinarum applicatas. 244.
Ostenditur differentia erellipsim ed circulum.
tiones.
Pr. 1. 2.3.4.
236. pr. 15.
238. pr. 16.
239. pr. 17.
240. pr. 18.
2460
Trem ellipseoscentrum.
Item diamel Koniurata.
Circulus super axe matore cpsco  ua infer ssexterius in duobus
264. pr 40.
it circuluo centro ellip sis descriplus sbul st selat it quatai puraris secabit. 265. PP. 41.
247. in Schol.
248. pr. 5.
248. pr. 6.
249. pr. 8.9.
38. Pr. 10. PaG. 252. pr. 13.
11. 12.
255. pr. 21. 22. 23. Pas. 158. pr. 27.28.
Delineis ductis ex extremitatibus linea ordinatim applicatae concurrentibus in idem
punctum diametri ad quam linea ordinatim erit applicata.
257. pr. 24. 25. 26.
Fllipseos diameter assenatur.
Considerantur ordinatim applicatae.
Latus rectum exhibetur dato axe aut quavis diametro.
De contincentibus ellipsin.
Variae proprietates ortae ex contincente ellipsin, aliisque lineis certa ratione ductis. 259.
Pr. 29. 30. 36.33.34.33. 36. 37.36.39.
tantum punetis occurrit.

## Folio  -  — 1815201908:0029
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
 eti asper ur piquI
B F B N C HI V S.
E A R S S E CVN D A
Desectoribus es sermentis ellipseos.
Diancula man ma seemento ellipsis inseribuntur, eorum que proprietates exper-
pac. 266. pr. 42. 43. 44.
Diametht contuula quacumque ellipsin quadrifariam semper diidunt; sive in sectores
quatuor aequales.
Sectores ad verricem oppositi semper sunt aequales.
Sector varie bifariam dividitur.
Sermenta aqualia diversimode inveniuntur.
pac. 273. pr. 57.
269. pr. 48. pac. 270. pr. 50.
270. prop. 49. Pa5. 271. prop. 51.52.53.
Seementorum ex sectorum circa diametros coniucatas consticutorum, e conveata
rum diametrorum per serment a es sectores de scriptarum mirae proprietates. 272.
pr. 54. 55. pas. 274. P. 58. pas. 278. pr. 67.
Fllipsi hexaconum reculare inscribitur.
Proprietates aliae seementorum, item sectorum aequalium e inaequalum.
61. 62. 63. 64. 65.66. pac. 278. pr. 68. 69.
P A R S FE R FI A
Inellipsi considerat axium Mametrorum coniuratarmaquatium
ac inaqualium proprietates.
Nellipsi diametrorum maxima ex minimae sunt axes.
Rectanculum sub diumidiis axibus aequale semper est paralleloerammo quod fit a
quibusuis semidiametris coniucatis.
28V. fl. 72.
Parallelocrammum quod fit à lineis extrema axium coniuncentibus aequale semper est
Paralleloerammo contento lineis quarumuis coniuratarum extrema coniunsentibus.
. 282. pr. 73
Variae quadratorum ex rectanculorum aequalitates ex comparationes ex variâ se-
Etione diametrorum coniucararum. 282. pr. 74. 75.76 pac. 295. pr. 99. pas. 296.
pr. 1Or. pac. 297. pr. 103. par. 198. pr. 105. 106.
Axium quadrara simul sumpra aequalia semper sunt quadratis cuiuscumque coniuca-
tionis diametrorum simut sumptis.
284. pr. 77.
Ares ellipseos simul sumpei, minimae sant omnium diametrorum coniucatarum simul
sumptarum
284. pr. 78.
Quadiata linearum extrema axium iuncentium simul sampra aequalia sunt qua-
draris linearum qua extrema diametrorum cuissuis coniucationis coniuneunt. 285:
tpr. 80.
Duadam alia proprietates linearum coniuncentium extrema diametrorum coniuea
tarum.
285. pr 81. 82. 83.
Axium extrema coniungentes simul sumprae maxima funt omnum qua quarumuis
diametrorum coniucatarum extrema coniuncunt:
Mira circaanculos Arithmetice proporrionales proprietas.
286. pr. 040
288. pr. 67.
Data quanis diametrorum coniueatione ellipseos axes reperiuntur, es suppletur defe-
260. pr. 43. 40.
26). P1. 47
275. pr. 59.
277. pr. 60.
280. pr. 71.
Etus
auntur.
e puie ue i  e  er e  e e ete. e s  e u u st  p   p   u  u  e    u e e t  u  ue  s e s    si e ud spie e ppe   p

## Folio  -  — 1815201908:0030
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
AI A Y E R I A R V At
Aus qui in demonstratione huius propositionis apud Pappum obrepsit. l. 8. pr. 14.
pac. 289. pr. 90.  Schol.
Daris axibus in ellipse, duae aequales diametri coniueara reperiuntur, quales in omni
ellipsi tantum duae sunt.
291 pr. 91. 92.
Equales diametri coniucarae simul sumprae maximae sunt omnium diameirorum con-
incatarum simul sumptarum.
292. pr. 93.
Proprietates linearum extrema diametrorum comucataru coniungentium. 292. pr. 94.
95.96.
Linea coniuncentes extrema conineatarum aequalium simul sumpea, minimae sunt om
nium quae quascumque diametros coniucatas iuneunt.
294 pr 97.
Duadrata dimidiorum axium simul sumpta, dupla sunt quadrat semidiametri onius
coniucatarum aequalium.
294. pr. 98.
In ellipsi diametri conuscatae exhibentur quae inter se datam raiionem habeant. 300.
pr. 108.
Varia proprietates circa contincentes diametrorum coniueatarum es axium; quae se
camtur per diametros comtucatas productas. 300. pr., 109. 110. 111. 112. 113. 114.
P AR S QV A R T A
ocnus polos, C lineam a puncto in axe dato adperiphe
riam, breuissimam desienat.
. Clipseos poli assienancur.
306. pr. 120. pac. 308 pr. 124.
Polorum proprietas praecrpua, quod à polis inflexae quavis ad peripheriae quodais
punctum simul sumpra aequales sint aixi, ac proprerea aequales inter se simul sumptae.
307. pr. 121 paz. 311. pr. 129.
Proprietares duarum tancentium ellipsin in duobus punctis, in quibas axis ellipsin se-
cat, sectarum per alteram tancentem. 307. pr. 122. 123 124. 125, 126. 127. 126.
E polis axis duae recta inclmantur ad idem punctum peripheriae quae datam rationem
contineant, determinatur que quaenam ratio dari possit.
312. pr. 131.
Brenissima linea assienatur quae a daro puncto ad ellipsin duci porest. 313 pr. 132 133.
Proprietates circuloru super aliquo pucto axis ellipseos descriptorit. 314. pr. 134. 135. 136
Proprietates quaedam linearum ex polo ad peripheriam ductarum simul cum quadam
e per eas sperbola cuplou. 310. Pr. 137. 131. 159. 140. Paz. 516. Pr. 142. 143.
Databasi accreeato laterum es alticudine, exhibetur trianculum.
319. pr. 144.
Data subtensa euusuis arcus circuli per alteram lineam secatur, sic et sermenta linea
secantis datam habeant rationem.
320. pr. 145.
Dara recta es altitudine, describitur ellipsis cuins poli lint extrema linea data, item
cipsto fapet uata recta describitur.
E ARS QVIA I a
Varias exhibetellipsis geneses.
Cmsis ellipseos ex sectione quands cba, bi colis parallelis ex punctis linea secta.
113. 16. 117. 110. 119.
tancentes inveniunturque mira aequalitates quadratorum rectaculorum, linearum,
320. pr. 146. 141.
Oetolsbo
322. pr. 148.

## Folio  -  — 1815201908:0031
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000031.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
venesed biorulto.
E L: E N C FT V 5.
Geneses ex parallelorrammo.
pac. 322. pr. 149. paz. 32. 4. pr. 151.
323. pr. 150.
Geneses ex circulo, semicirculo, segmentis circuli. 324. pr. 152. 153. 154.155, 156. 257.
150. 159. 160.
Darurellipsis secans circulum in puncto, ex quo educta tancens circulum, etiam nibiu
lominus tancat ellipsin.
Geneses ellip sis ex ellip si.
P ARS SF X T A
Circulum cumellipsi comparat.
328. pr. 159.
329. pr. 161. 162. 165.
DRoprietates linearum diuersarum in circulo ex ellipsi super eodem axe descriptis.
332. pr. 168. 169, 170, 171. 172. 173, 174. 175 paz. 937. pr. 179.
Quadrata ordinatim applicatarum ad vnam coniuratarum aqualium, aequalia
ostenduntur rectanculis super seementis diametri coniurata sectae per ordinatim ap-
plicatas, prout est in circulo.
Seementa ellipsis aequalia seementis circuli.
336. pr. 176. 177.178.
338. pr. 180. 181.
Ellipsis ad circulum super eodem axe descriptum, est ut ordinatim applicata in ellipsi
ad ordinatim applicatam in circulo.
339. pr. 182.
Sermenta ex sectores ellipsis es circuli super eodem axe descriptorum comparantur inter
339. pr. 183. 184. 185.
Comparantur segmenta e sectores ellipsis eo circuli non descriptorum siper eodem axe.
342. pr. 186. 187. 188.
Comparantur triancula maxima ellipsis sermento inscripta, cum triangulis maximis
inscriptis seemento circuli, es ex comparatione horum triansulorum comparatur el
lipsis cum circulo.
Daro circulo vel ellipsi exhibetur ellipsis aequalis, ex contra.
Darur quaedam ellipsis, duabus certis aequalis.
34). f1720
546. Pr. 194
Daro circulo diviso in duo seementa, in similia dividitur ellipsis, ex aquale seementum
ellipricum datur seemento circulari.
347. pr. 195, 196. 197.
Fllipsis a dato in peripheria puncto, in datos numero sectores aequales diuiditur. 348.
pr. 198.
Polysona recularia ellipsi inscribuntur, qualia inscripea daro circulo. 3+9. pr. 199.
Pas. 359. pr. 201.
Seementum circulare ab aliquo laterum polyconi ablatum, est ad sermentum ellipei-
cum ab aliquo larerum eiusdem polyconi ellipsi inscripei ablatum, xt circulus ad et
lipsin.
350. pr. 200a
Omnia quadrata polyconi in scripri in ellipsi, aequalia sunt quadraris polyeoni eiusdem
inscripti circulo, cujus diamerer a qualis est ni ex diametris conuratis aequalibus
Elipseos.
351. Pr. 202,203.
Ostenduntur duae linea in ellipsi, quae eandem habeant inter se rationem, quam omnia
quada polyeontsusiit, habent ad superficiem ipsius volyeont. 354.
344. pr. 189. 190.
L. IBFE R
pr. 204.
oooMI3La 15 2OLI 2O 29 20 2L 32232A2550273C

## Folio  -  — 1815201908:0032
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
a
2
At A X F R I A R V M.
L IBE R QV IN FV S.
DeParabola.
PARS PRIM A.
Larabola e conoeducitur; passione (que illius fundamentales exhibentur.
finitiones parabolam spectantes.
putabola proprietas econo demonstratur, quod ordinatim applica-
arum quadrata sint ve parces drametri inter parabolam es ordinatim
ductam applicatae.
359. pr. 1.
Problemata varia quibus invemuntur diametri, ordinatim applicatae es latus rectum.
361. pr. 4. 5. 6.7.8. pa5. 371. pr. 22.
Lacus rectum a nobis inuentum ostenditur idem cum eo quod invenit Apollonius. 364.
in Schol.
Variae proprietates lateris recti.
365. pr. 9. 10, 11. 12. 13. 140
Decontingente parabolam, eiu sque inventione. 367 pr. 15. 16, 17. 18. pas. 370. pr. 20.
21. pa8. 399. pr. D2.
Ex cono demonstratur quod cameter incercepta inter ordinatim applicatam, es pun-
ctum in quo contineens cum diametro concurrit, a parabola bifariam dividatur.
pas 368. pr. 17.
In parabola omnes diametri ae quidistant axt.
Parabolae axis inuenitur.
Varia circa oecursum linearum cum parabola.
PARS SEC VRDA
378. f. 19.
Lnearumn paradolatam Continuam quam aisere
tamproportionem contemplatur.
371. Pr. 23.
Taluis homs inueniuntur in parabola tres continue proportionales, praecipue ex la-
tere recto.
Imo ex quinque continua.
377. PP. 32.33. 34.35.
379. pr. 36.
Item linea quae ad se inuicem in duplicara, criplcata sint ratione. 379. pr. 37. 38. 39. 40.
Tres proporeionales inveniuntur, per lineam coniungentem puncta, in quibus duae dia-
merri parabolam secant. item aliae aequationes rectanculorum. 383. pr. 42. 43. 44. 45.
Comparationes es aequariones rectanculorum, ortorum ex sermentis duarum parallela-
rum quomodocumque posicarum, quae secta fint per duus diametros. 385. pr. 46.
47. 48.
Comparationes eS aequationes rectansulorum ortorum ex seementis parallelarum in pa-
rabola sectarum per conam aut duas lineas.
386. pr. 49. 50.51.
Irem comparationes rectanculorum super sermentis parallelarum sectarum per diame-
trum ex aliam quandam lineam.
387. pr. 52.53.54.
Tandem comparationes paralle locrammorum ortorum ex eribus diametris quibusdam,
es ex contincente diamerum cadentem intra parabolam, reliquis extra eam caden-
ribus.
389. pr. 56.57.58.
Parabolae diamerrum secet quaeuis, occurrens parabolae in duobus punctis, ex quibus
5
dua
Pac. 357.
372. Pr. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 33.

## Folio  -  — 1815201908:0033
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
IIIIIHI
F L F H C H Y 8
duae ordinatim dueantur ad diametrum, ostenditur ea diameter in tres proporciona
les dimisa.
pac 390. pr. 60.
Frianculum in parabola describitur, cujus basis transeat per punctum cerrum diametri,
quod habeat anculum rectum in peripheria.
392 pr. 63.
Idem fit lonce unuersalibus, quando per punctum in axe desienatum transeunt bases
trianculorum, omnia enim ostenduntur habicura anculum rectum ad peripheriam.
392. pr. 64.
Considerantur huiustrianculi quedam proprietates.
392. pr. 65. 66.
Fres proportionales inuemuntur ex contincente eique parallela, e ex lnea iuncenté
puncta in quibus se parabola ex inea parallela intersecant. Ttem alia circa haec pro-
prietates.
393. pr. 676869.
Tres imd ex plures continue proporcionales inveniuntur per incersectionem diametro-
rum, ex onius linea eas secantis, item aliae proprietates. 394. pr. 71. 72. 73.74.75.
raria in parabola linea per varias intersectiones proporcionaliter divisa. 396. pr. 76.
77. 78,79.80
Ex quonis puncto concincentis parabolam demiltatur recta, quae parabolam secet in
duobus punctis; ex puncto contactus dimissa diameter eam lineam sic secabit, 2t
totae pars inter diametrum e tancentem interiacens, item inter parabolam, e
tancentem sint tres proportionales.
Variae circa lineam ita ductam considerationes.
398. pr. 81.
399. pr. 83. 84. 85.
Duorurancentium puncta contactus iuncantur, tum ex puncto quocumque vuius tan
Eetis ducatur alteri tacenti parallela, erit ea duisa in tres proporrionales. 400 pr. 86.
Hlinc duae sequuntur proprietates.
400. pr. 87.  Coroll.
Alia rectanculorum aequalitates, erium continuarum; es quaruor proporrionalium in-
ventiones, aliae que determinationes, qua per contincentem decerminantur. 401. a
pr. 88. 2 sque ad 111.
Quaedam linea in parabola extrema e mediaratione secatur.
408 pr. 107.
Item quaedam extrema es mediaratione proporrionali. 408. pr. 108. pa5. 410. pr. 112.
e A R S Y F R TL A
Sectionis focum, es mutuas parabolarum vel circulorun
intersectiones Geometrice desienat.
Imuaia e Quara pars iateris recti cheorematice assienatur, alae que proprietates
ex data quarta parce lateris recti deducuntur. 412. à pr. 114. 2 sque ad 123.
Datae parabola focus problematice exhibetur, explicatur que ratio combustionis in eo
puncto in speculo parabolico.
Determinacur circulus qui parabolam in cmoranium puncto interius contineat. 416.
pr. 126.
Item qui parabolam praeter contactum incersecet in duobus punctis.
Comparantur rectancula inter se quae fiunt ex seementis ordinatim applicatarum sectis
per parabolam C circulum iam dictum.
temper eum circulum decerminatur latus rectum.
Propriccates circuli contincencis parabolam incus in duobus punctis, isque circulus de
terminatur.
414. pr. 124
41C. pr. 127.
416. pr. 128.
417. pr. 129.
Determi-
417. PY. 1ZOCque ad 137.
 t  p  .  .      .          a e   p t u en e pt  pe   p e e  e p pur  t u  u  ro di

## Folio  -  — 1815201908:0034
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
d.
O
riu
33.
es
6.
6.
in
∞E
At A Y B R L A R V M.
Determinatur circulus maximus qui parabolam intus in ono tantum puncto contin-
eat.
Pa5. 4.20. pr. 136.
Ex dato in axe parabolae puncto linea breuissima ducitur earum quae ex illo puncto ad
peripheriam duei possunt.
420. pr. 137.
Decirculo secante parabolam in quatuor punctis, eiusque proprietatibus. 42 1. pr.
138, 139. 140.
Puncta circulorum, item linearum secantium parabolam Geometrice desienantur.
422 a pr. 141. 2 (que 145.
Determinantur parabolae ad eundem axem constituta numquam concurrentes, sive
parallela interse.
424. pr. 146.
Determinantur parabolae sibrinuicem occurrentes, intersectionum que puncta. 425. a
pr. 147. 2 sque ad 152.
e ARS OV AR FA
Proprietates parabolarum se invicem, aut circulos
contingentium, intersecantuum.
DRopriecates duarum parabolarum ad eundem vercuem es axem constuutarum,
sic 2t vna intra aliam contineatur.
nijs septem continue proporcionales inueniuntur.
429. pr. 153. 154. 155, 156.
454. pr. 217.
Proprietates parabolarum ad eundem verticem  arem, aut ad solum axem consti-
tutarum, sic xe parabola parabola opponatur.
431. pr. 157. 158. 159.
Proprietates parabolarum inuer se ad eundem axem constitutarum, sic ot apex vnius
intra alteram parabolam sit. 432. pr. 160. 2 que 164. pas. 443. pr. 188. 189.
Pa8. 4+5 pr. 192.
Proprietares parabolarum ad eundem apicem constitutarum, sic t axis aut diameter
vnius rancens sit alterius. 43+ pr. 165. 166. 167. pa5. 136. a pr. 171. v sque 174.
pac. 140. a pr. 181. ∞ sque 165.
Tuillis parabolis suc constuuris linea defoenantur, quae alcarum linearum duplicatam,
triplicaram, quadruplicatam, imo octuplicatam habeant rationem. 437. a pr. 175.
2 sque 180. pas 442. pr. 186.
Propretates parabolarum sic adeandem tancentem constuutarum, ut dametri per
puncta contactuum dimissa, parallelae sint. -435. pr. 168, 169. 170. Pas. 444.
pr. 190. 191.
Proprietates parabolae sectae bis per circulum. 445. pr. 193. 194. pas. 451. pr. 206. 207.
Proprietates parabola quam interius tancit cireulus.
A16. à pr. 195. 2 (que 203.
Proprietates parabolae quam taneit circulus ex in duobus punctis praeterea secat. 450.
pr. 204. 205. pas. 453. pr. 211. 212. pas 454 pr. 213.
Proprietates parabolarum subalterne positarum ad eundem axem, quas in verticibus
451. pr. 208. 209. 210.
tane circulus.
Problemata cirea diuisionem  i cela alort fod pet tet soltio parcobea.
454. pr. 213. 216217.

## Folio  -  — 1815201908:0035
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
E L. R N C E V S.
e A R S OV IN F A.
Dnadraturae parabola.
DRopositiones praeambulae ad quadraturas.
pat. 457. a pr. 218. 2 sque 226.
Triancula maxima sermentis inscribuntur, eorumque proprietates explicatae.
460. a pr. 227. 2 (que 230.
Duadratura parabolae conuexa.
Triangula maxima parabolae concaua inscripta.
Duadratura parabola concana.
Connexa parabola dupla est parabolae concana.
Sermentum parabolicum datum quadratura.
40. Pl.23
Parabola convexa inter se, item parabolarum serment a tam concaua quam connexain-
ter se variae comparantur.
466. à pr. 240. 2 que 248.
Inter duas datas duae media proportionales oreanice extiibentur. 470. pr. 250. 251. 252.
P ARS S F X F A
Sermexta primum es parabolas inter se confert, deinficuras
maximas sectioni inseribit.
Inea quae extremitates parallelarum duarum in parabola connectunt, seementa
auferunt aequalia.
472. pr. 253.
Daro in parabola segmento, aliisque datis, auferuntur seementa dato aequalia, aut quae
Parie assienantur sermenta sesmentis a qualia.
478. pr. 268.
472. a pr. 254. v (que 257.
473. pr. 258. pas. 477. pr. 266. pas.
Constructio facillima, qua quorcumque seementa aequalia à parabola auferantur. 478.
pr. 267. pac 479. pr. 269.
Linearum E secmentorum cam conuexorum quam concauorum admiranda proeressio
Arichmetica.
481. in Schol.
Variae constructiones linearum in parabola, quae auferunt seementa quae in duplicata
triplicata sont ratione certarum linearum, auc compositam habeant rationem linea-
rum quae isthic determinantur.
283. 284.
474. a pr. 260. vsque 263. pas. 480. pr. 282:
AEqualium sermentorum pulchra proprietas:
Sermenta quorcum que in continud analoria assienantur.
Omnis parabola parabolae similis est.
Parabola cum suis seementis comparatur.
Parabola cum parabola confertur.
Parabolae maximum inscribitur paralleloerammum.
Polyconum reculare dato numero laterum constans, parabolae inscribitur. 489. pr. 287.
Quadrilaterum maximum eorum quae parabolae terminatae inscribi possunt, determina-
tur.
posstt.
sint in data ratione.
462. Pr. 231. 232.
463. pr. 233, 234.
464. pr. 235, 236
465. pr. 237,238.
476. pr. 264.
479. pr. 280, 281.
483. pr. 276.
184. pr. 277. 278. 279.
485. a pr. 288.  (que 284:
488. pr. 285, 286.
469. pr. 268.
Polyconum maximum inscribitur eorum qua dato numero laterum parabola inscribi
490. pr. 289.
( pte  e  ui u   puiti e. et i s pite t  ut u es p e e e p pi  p  p e  e  pa e e  et  te    1t e    t.  .  e  ip a 1rt  ea  uIIa

## Folio  -  — 1815201908:0036
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000036.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
N A X F R I A R V M.
P A R S S E P T PM a
Variasparabola cerreses exhibet.
VEmesis parabola, item determinatio lateris recti, ex ondlinea corcumque divi
Geneses parabolae, item determinatio lateris recti, ex duabus lineis anculum quemeum-
que constituentibus.
Geneses ex trianculo.
491. pr. 291. 292. Pa5. 492. pr. 293. 234.
Geneses ex semicirculo. 495. pr. 299. pas. 496. pr. 301. 2 que 304. pas. 500. pr. 309.
Geneses ex sermento circuli.
495. pr. 300.
Geneses ex circulis pluribus se intersecantibus auttancentibus. 4)8. à pr. 305. v sque
308.
Geneses ex paralleloerammo quod circulo inscribitur.
Geneses ex ellipsi.
Geneses ex parabola.
504. a pr. 319. v sque 332. pas. 5I l. a pr. 335. v) gue 339.
Geneses parabolarum parallelarum sive asymptoricarum.
P ARS OCTA V A
509. pr. 332. 333. 334.
Niram ex hibet parabolarum parallelarum, cum hyperbola inter asym-
ptotos constituta symbolizationem.
Srabolae in infinitum productae, maxis semper ad se inuicem accedentes, numquatio
tamen occurrentes assionantur.
514. pr. 343. 344. 345.
Omnia rectancula facta super scementis linea, parabolis parallelis sectae inter se aequalia
sunt.
515. P1. 346.
Et aequalia dimidia contincentis cujusdam parabolis parallelis interceptae. 517. pr. 351.
Triancula quae fiunt à contincentibus parabola parallela interceptis, es diametris per
contactuum puncta ductis, inter se aequalia sunt.
Aliis modis parallelae parabolae desionantur.
516. pr. 349.
applicantur materia praecedentes parabolarum parallelarum, hyperbolae inter asempto-
tos constituta.
Deparabola inclinata:
320. Pr. 361. 362.
In parabola diameter assienatur, cui data linea serviat pro latere recto, modo minor ea
sit latere recto axis datae parabolae.
521. pr. 363.
Data linea applicatur ad parabolam, quae sermentum auferat daco aequale; oportet au-
tem lineam datam non minorem esse lineâ subtendente sermencum dacum. 522.
pr. 364.
Pas. 41) l. pr. 290.
49L. Pr. 295. ∞)9ue 296
5O1. pr. 310 ∞(que 313.
L. a pr. 313. V (que 318.
316. pr. 350. pas. 317. pr. 353.
518. a pr. 354. V sque 300.
IBFK

## Folio  -  — 1815201908:0037
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000037.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
s L F N C H V S
L IBF R S F Z F V S
DeF Tyberbola.
Efinitiones hyperbolam concernentes explicata.
D A R S P R I N A
yperbolam sectionesque oppositas, denique C a (emptotos e conoeducit;
primasqe ac fundamentales hyperbola passiones demonstrat.
DRimahyperbola proprietas, quam seilicet habeant inter se rationem, quadrata or-
dinatim applicatarum, e conoipso demonstratur.
Flyperbola opposite, earum que aliquae proprietates.
Fyperbolae similes.
FEyperbolae coniueata.
Explicatur dilucide natura hyperboles.
Deasymptotis.
asimproe ex cono eruuntur, eorumque proprietatos exposita.
540. Pr. 12. 2)que 180
Propositiones varia es fundamentales circa inventionem es determinationem dia-
metrorum, auo e dedinatim applicatarum, contincentium, lateris recti hyper-
boles.
P A R S S E C V ND A
Sectionum oppositarum ac conincatarum affectiones considerat.
Ectiones opposita communes habent diametros. item latera recta habent aequalia
quae communiinseruiunt diametro.
In sectionibus opposiris varia rectancula comparantur inter se.
Diametri coniuratae determinantur.
155. pr. 40. v) gul 4).
Omnia rectancula asymptotis ex hyperbola terminata; quorum latera asymptotis pa
rallela sunt, aequala sunt inter se.
Omnes contingentes hyperbolam terminata ad asymprotos, cum iis faciune criancula
semper inter se aequalia.
Axes minimae sunt omnium diametrorum coniucatarum.
In binis hyperbolarum coniucationibus, paralle locramma quae frunt sub lineis quae aequi-
distant diamerris coniucatis, es sectiones continsunt, omnia aequalia sunt inter se.
160 pr. 49.
Rectanculum quod fit a lineis extrema axium coniuratorum connectentibus, aequale
est illi par auliberammo, quod fit à lineis extrema diametrorum cujusuis coniucatio-
is c70
duadrata linearum extrema axium iuneentium simul sumpra, minora sunt quadratis
que haetres proprietates communes sunt hyperbola cum ellixsi v+ suprâ ostensum.
160. pr. 51.
vac. 528.
531. pr. 2. PaE
533. Pr. 4. 5.
53I. pr. 3
534. pr. 6.
535. in Schol. pr. 8.
539. pr. 9. 10. 11.
pac. 530 pr. 1.
545. à pr. 19. 2 sque 31.
332. pr. 32.83
533.f. 54035. 360
35d. Pr. 460
559. pr. 47.
559. pr. 40
nis connectentibus.
lineatum quae extrema diametrorum n atus contaationis conneltant. At-
Varhae
( i.   pt 1  e  1     1   1      u u.  p  . .        1    p     i p  e  1 i. e   i e in t u  aui

## Folio  -  — 1815201908:0038
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000038.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
et A Y X R i a te V ni
ariae ex incunde proprietates, circa aequalicates linearum, ex rectaneulorum cur
quadraris, iem crianculorum ex trapeziorum inter se, denique rectanculorum, 5
quadratorum comparationes in sectionibus comueatis. pac. 561. à pr. 52.  sque 65.
par. 569. pr. 70.71.
In omni hyperbold diameter transuersa, ejusque coniueata, ex rectum ficurae larus sunt
in continua analocia.
567 pr 0.
Ex quonis puncto asympeoti nius ordinatim positarum quadrata, sunt inter se vt la-
tus rectum ad transuersum diametrorum coniucatarum.
568. pr. 67.
Ordinarim quadam posita in hyperbola secante diametrum, erit quadrarum diamerrt
ad reetanculum super tota diametro, es parte interiacente inter sectionem eS ordi-
naiim ductam ve larus rectum ad transuersum.
568. pr. 68.
Omnes diametri coniucatae sunt axibus proporcionales in quibusuis hyperbolis coniu-
A RS YER TIA
568. pr. 69.
Asysconum conemplatur hyperbolam, ac linearum prae-
fermasimptotis aequidistantium exhibet proportionem.
YAriae proprietates linearum paralletarum ad asymptotos, concinue S aiseretim
proporcionalium.
571. pr. 73. ∞ sque 80. pac. 580. pr. 96.
Item quatuor ex quinque continue proportionalium.
575. pr. 86. pas. 576. pr. 88.
Imo ex septem continue proporiionales linea desienantur. Pde. 574. propos. 81.
82. 83.
Item linea quae in duplicata ex criplicatdratione sunt aliaram. 575. pr. 84. 85. pas.
576. pr. 87.
AE qualitates ex comparationes rectanculorum ex quadratorum, quae ex sectione pa-
rallelarum ad asumprotos exsureunt.
576. apr. 89. ∞ (que 93.
duatuor proporcionalium, quarum duae ni asymproco, alia alteri parallelae sint extre-
mitates iuneuntur sic Et duas fieuras constieuant aequales.
579. pr. 94.
A:qualicates erianculorum ex crapeziorum dutis parallelis determinatorum. 580.
pr. 96. pas. 581. pr. 99. 100. 101.
als aata.
ulto.
De sermentis Beroonis coa conum.
demenasyperbollca condexd aequalia varys modis determnantur. 585. pro-
pos. 106 paz. 588. pr. 114. pas. 589. pr. 115.
Sermento conuexo hyperbolico seementum aequale problematice aufertur ab hyperbola.
589. pr. 117.
Fmo 5 aequalia in infinicum seementa continuantur incipiendo a dato puncto. ibid. in
Coroll.
Irem seemerorio orovan barso roberto agsuatiio cbstesr ellat Guaende Dred cbn.
Struetioneo
583. pr. 102. 2 (que 105.
Conebte
585. pr. 107. 0 que 21I.
Eerianeulis seemento hyperbolico inscripeis.
e X

## Folio  -  — 1815201908:0039
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000039.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
11
E F F, N C. HI V.
Concauo sermento hyperbolico inter duas asymproros parallelas intercepto, alud aequa
ausercur ab hyperbola, ad datam lineam parallelam asimptoto constitutu. pas. 587.
pr. 112.
SEquationes e comparationes varia seementorum duarum hyperbolarum coniusata
rum.
591. pr. 118. 2 sque 12.4.
Proprietates admiranda de superficiebus inter hyperbolam, asimptoton vnam e duas
parallelas alteri asymproto interiacentibus, totres sese continentibus, quoties certae ra
tiones linearum aut superficierum per parallelas illas abscissarum, continent ratio-
nes aliarum ejusmodi linearum aut superficierum:
594. pr. 123. 2 sque 129.
Linea parallela rniasymptotorum, inter alcerum asimproton es hyperbolam inter-
cepta, quae auferunt sermenta aequalia sunt omnes in continua analoeia. Duin e5
terminus procressionis harum proporcionalium assienatur.
597. pr. 130.
Terminus proeressionis exhibetur linearum quae ad se inuicem sint in duplicata ratione.
598. pr. 132.
Imo es minima exhibetur linea omnium quae in tali procressione dari possunt. 599.
Pr. 133.
Terminus proeressionis exhibetur linearum quae ad se invicem sint in triplicata ratione.
600. pr. 134.
Mira proprietas proeressionis linearum quae ad se inuicem sint in quadruplicata ratio-
ne siterminus huius proeressionis detur, ad inveniendas duas medias proportiona-
les
600. pr. 135. in Schol.
Yna e duabus mediis proportionalibus inter duas datas assenatur in hyperbola. 601.
pr. 136.
Imoc duae aspenantur conice.
602. pr. 137. 1300
Paralleloerammum assignatur aequale spatio comprehenso inter duas hyperbolas num-
quam concurrentes in infinitum, es sempermaxis ad se inuicem accedentes. 603.
Pr. 139.
R S QVIN F A
Eyperbon n pendie aparabola intersectam.
Ineae ni asumproto paratla expenduntur quae in duplicata, triplicata sint ra-
oe alat lost caermnararum. 604. pr. 140. 141. 142. pas. 608. pr. 149.
dementa per euosoat parallelas ablata à concaua hyperbola aequalia designantur.
605. pr. 143. 144. 145. pac. 607. pr. 147.
Item seemenca seementorum dupla, quadrupla. 606. pr. 146. pac. 607. pr. 148. Pae.
608. pr. 150. pas. 610. pr. 177.
Item mixtilinea mixtilineorum dupla.
G. Pr. 13l. 136.
Sparium interparabolam es hyperbolam, es quandam parallelam asymproto inceria
cens, cum alia quadam superficie comparatur.
610 pr. 153. 154.
Scementa per parallelas quasdam asymproro ablata ab hyperbola convexa comparantur
interse.
610. pr. 156.
Si linea eres sint parallelae asymptoto, quarum prima es proxima asimpeoto cui est
Pasatdelar auerase Pet Mtcectddten pat abola ed 1) Pet boled dstenartus quodralio
secundae
pas. 613 pr. 161. 162.
 u   e u  st  i   .         u   e   u q    a     u 1 .  . t       eniui

## Folio  -  — 1815201908:0040
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000040.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
a
tio.
d
ter
9
e
M A X F R I A R V M.
secundae ad terriam tories mulciplicet rationem prime ad secundam, quoties superst
cres conuexa hyperbolica inceriacens inter secundam ex terciam parallelam multi-
plex est superficiei concaua interiacentis inter primam es secundam. Pas. 611.
pr. 157.
Deduabus hyperbolis inter eosdem asymptotos sectis per parabolam. 611. pr. 158.
159. 160.
Duas praeterea, quae adhanc materiam spectant, sed locis suis excidere, vide 631.
pr. 189. 190.
Ostenditur quod hec materia vereat ad inventionem duarum mediarum proporciona-
lum.
S1q. in Schol.
De hyperbola inter asymptotos constituta, e secta per duas parabolas, quarum axes
sint asymproti, es vertex sit punctum concursus asymprocorum, ac in primis inue-
niuntur tres es quatuor continue proportionales.
614. pr. 163 164.
Ex puncto concursus eiusmodi parabolarum, ad a symptotos dimittantur duae parallela
habebuntureres superficies aequales, duae quae inter vnam parallelam, unam parabo-
lam Ss hyperbolam interiacent, alia quae duabus parabolis es hyperbola continetur.
616. pr. 166.
Icem aliae supersicres residuae ad paralleloerammum quod ex parallelis dictis, e asym-
peoco fic, aequantur inter se. aliae praeterea comparationes ficurarum a (sienantur. 616.
pr. 167. 168. 169. ∞48. 618. pr. 171. 172. 173.
P A R S SE Z F A.
Solutio variorum problematum, aliaque theoremata ad pleniorem
hyperbolae coenitionem spectantia.
atarum conuexarum hyperbolarum exhibetur ratio.
Elyperbola ad eandem applicatae diametrum, ex communem habentes diametru
transuersam, eandem habent inter se rationem, quam ordinatim posita ex eodem
puncto diametri.
Datarum hyperbolarum concauarum exhibeturratio.
Fyperbola communem habentes diametrum transuersam, habent ordinatim positas ex
eodem puncto proportionales.
Explicatur in quo consistat similicudo hyperbolarum.
Darae huperbolae similis exhibetur.
624. pr. 178. 179.
Dux hyperbola, diversae magnicudinis axem habentes reducuntur ad duas similes, ean-
dem diametrum habentes.
625. fr. 100.
Daris asymprocis exhibetur hyperbola, quae per datum inera asymptotos punctum tran-
seat.
625. pr. 181.
Datae hyperbola alia aequalis datur, cujus asymproti datum contineant anculum. 626.
pr. 182.
Problemata circa divisionem linea rectae, quae per hyperbolam absoluuntur. 627. pr. 183.
184. 185.
In omni cono sectiones hyperbolicae parallelae similes hyperbolas exhibent. Pac. 628.
pr. 186.
In parabola pars diametri à x ercice erusdem es concineence intercepta, aequalis est ills
4XH 2
linea
620. pr. 174.
621. pr. 175.
621. pr. 176.
622. pr. 177.
623. in Schol.

## Folio  -  — 1815201908:0041
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
D L B N C. H V S
tineae quae ab ejusdem vertice es line a contactus coniuncente intercipitur, in ellipst
autem maior est, in hyperbola verominor, idq: ex ipso cono demonstratur. pas. 629.
pr. 187.
Linea aliqua in hyperbola in continue proportionales duiisa.
630. Pr. 1006
Irem sic divisa vt rectansula exhibeat proxorcionalia fact a suxer seementis linea. 632.
pr. 191.
P A R S S F P F FM A.
Geneses varia hyperbola, CS ex hyperbolareliquae sectiones educta.
Enesis exrectanculo.
Geneses ex tribus lineis se decussantibus.
Genesis ex duabus lineis anculum quemeumque constituentibus ex assumpro intraeum
Genesis hyperbolarum oppositarum ex duabus lineis se ad rectos intersecanribus. 635.
pr. 196.
Irem hyperbolarum coniucatarum.
Geneses aliae ex duabus lineis quemeumque anculum continentibas. 636. pr. 198. 199.
200.
Genesis ex trianeulo.
Geneses ex circulo, quarum aliquae etiam oppositae aliquae etiam coniue at a. 637. Pr. 201.
2 sque 205. pac 641 pr. 211.
Geneses ex pluribas circulis se rancentibus, secantibus, concentricis. 640. pr. 206. 05
que 210. pa5. 642. pr. 212. 213. 2 14.
Geneses ex parabola.
Geneses ex hyperbola.
Ceneses ex ellipsi.
644. pr. 215, ∞ (que 219 pas. 646. pr. 221. v (que 225.
649. pr. 226. 2 (que 234.
653. pr. 235. 2 (que 239. pas. 658. pr. 243. 244.
Omnestres conisectiones ex duabus parallelis ona recta decussatis, und eademque
praxi educuntur.
Ex parabola ex hyperbola generatur hyperbola.
637. Pr.240
In ellipsi ex puncto axis incerracente inter centrum es focum, ductae ad peripheriam li-
neae producunt hyperbolas oppositas.
Ex puncto verointer verticem ellipsis es focum interiacentes ducta ad peripheriam,
generant hyperbolam rancentem ellipsim in vertice.
Ex foco verd ipso ellipsis ductae ad peripheriam producunt lineam rectam. 317. pr. 139.
Fyperbola cuius axis communis est parabola ex qua orta est, reducitur ad parabolam.
661. pr. 247.
Eyperbola communem habens axem cum ellipsi ex qua orta est, reducitur ad ellipsir.
Parabola duparaborum a cuum equibus orta est redueitur.
Eyperbola quae cum que reducitur ad hyperbolam, cuius asymproti rectum concinent
aneulum.
puncto.
662. pr. 248.
633. pr. 192.
34. pr. 193. 194
635. pr. 195.
636. pr. 197
646. pr. L20.
658. pr 242
639. pr. 243
660. pr. 246.
662. in Schola
c3.F 1t470
Spiralis
 e  u . i p. t   s p u  e    p p . 1  1            e et    te  e . 1 e  pa .  nit

## Folio  -  — 1815201908:0042
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000042.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
H A Y F R F A R V M.
Spiralis es parabolae symbolizatio.
Pag. .
Ca Genesis spiralis archimedeae applicatur cenesi plane simili parabola. 665 pr. 1.
Parabola eadem concinuarur eodem modo vei spiralem Archimedes roncinuac. 667.
Pr. 2.
Linea ex verrice parabole ductae ad quandam rectam eodem modo secancur velinea a.
principio spiralis ductae secantur a spirali.
Pappi prop. 19. l. 4 de spirali applicatur parabolae.
669. P1. 3. +.
Archimedis 12. de spirali applicata parabolae; nempe quod lineae ex principio spiralis
ad primam circumuolutionem ductae quae contineant ansulos aequales, se aequali ex-
cesi excedant.
applicarur parabolae Archim. pr. 14. in qua comparatur ratio linearum ductarum d
principio spiralis, e6 quae interiacent inter circulum ex Spiralem.
674. pr. 7.
Applicatur parabolae Archim. 15. in qua comparatur ratio rectarum a principio reuo-
lutionis ductarum ad revolutionem secundam.
Applicatur parabolae admiranda illa proposicio archim. 18. qua ex contincente spira-
lis ad terminum secundae revolutionis, quadratur theorematice circulus. 676. pr. 9.
Applicatur parabolae prop. Archim. 19. cum manifesto 8. qua per tancentem in termino
secunda circumuolutionis invenit duplam secundi circuli.
678. pr. 10.
Applicatur parabolae prop. Archim. 20. in qua prosequitur hanc materiam de tancenti-
bus quae non sunt in terminis circumvolutionis.
680. pr. 11.
Applicatur parabolae prop. Archim. 24 in qua ostendit quod comprehensum spatim a
Pirali ex prima revolutione nata e prima linea, quae principium est revolutionis,
tertia pars sit circuli primi.
681. pr. 12.
applicatur parabolae Pappipr. 21. l. 4. qua oniuer salius ostendit etiam sectorem spira,
sectoris circuliterciam parcem esse.
681. pr. 130
Applicatur parabolae Arch. pr. 23. qua osten dut spatium contentum sub secunda revolu-
tione spirali, ad secundum circulum habere rationem quam sepren. ad duodecim.
683 pr. 14.
applicarur parabolae Arch. pr. 26. qua comparatur ratio sectoris belices, ad sectorem cir-
culi sectorem spiralis includentem.
684 pr. 15.
applicatur parabolae Arch. pr. 27. qua ostendit spariorum comprehensorum subspiralibus
es rectis lineis quae in circulatione sunt, certium quidem secundi duplum esse, quar-
tum verotriplum, quintum esse quadruplum, e3c.
686. pr. 16.
Applicatur parabolae P appi pr. 22. l. 4. qua ostendit, si recta quae est in principio circula-
nonis producta, per sirae principium normaliter dividatur recta, seementa quoque
eandem servare rationem quam 1,7, 19, 37.
687. pr. 17.
Applicatur parabolae prop. Arch. 29. in qua ostendit, sin spirulemex 2na revolutione
ortam a princixio spiralis recta inciderit, spatium comprehensum sub spirali ex li-
nea prima, eam habere rationem ad Spatium comprehensum sub prima spiralis par-
te e lineaincidente,. quam cubus primae leneae ad cubum incidentis. 288. pr. 18.
applicantur vicissim spirali quaedam proprietares linearum quae sunt in parabola.
289. Pr. 19. 20. 21. 22. Pa8. 696. pr. 25.
Duaedam proprietas parabolae applicatur spiral orta ex circulo, cum spiraliorea ex et.
ipse
Reumentum.
672. pr. 3.
67L. pr. 6.
675. Pr. 8.
d3. Pr. 2.3.
Fodem

## Folio  -  — 1815201908:0043
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000043.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
E; L F N C H V 5.
Lodem modo quo quae dam punctamueniuncur ad parabolam, inveniuntur qua sol 
siralem.
Pac. 697. P1.240
Prouc in parabo la desienantur seemenca continue proporeionalia in infinitum, ua es
aspenantur suo modo in pprrali.
697. f. 2.
tem prout in parabola mueniuntur seementa semper proportionalia cet s ans
696. pl. 2
Derra pa preptumtes inventae in vna parabola, axplicantur spirali.
L LB ER S F P T F M V S.
Deductu plani in planum.
fimiciones es et plliciones ductuum plani in planum.
P A R S P R IM A
Superficies primo exhibet,  quales sint determinat, viie omnes
intersectiones ortas ex dultu rectilinei in rectilineum. Deinde
corpora sic oducta inter se comparat.
Trianculum rectanculum ductum in quadrarum aut rectanculum ejusdem ali
eudims produce corpus habens quaruorhaedras planas, quarum intersectiones sunt
linea rectae.
707. Pr. 20
Tmanculum rectaneulum in se ductum produrit pyramidem cuius basis est quadrarum.
707. pr. 3.
Trianculum rect anculum in se subalterne ductum, pyramidem producit cujus basis est
triangulum.
708. f1..
Erianculum rectanculum in se ductum sub alterne, aequale est dimidio pyramidis quae
resultat ex ductu emsdemtriansult in se.
700. Pr. 1.
Trianculi rectaneuli larus onum bifariam dividatur per lineam alteri lateri angulum
rectum constituenti parallelam, sic vt trapezium à trianculo auserat, ostenditur il-
lud crapezium ductum in se, ad idem ductum in se subalterne rationem habere quam
14. ad 13.
709. Pr. C.
alia agnario trapeziorum in se ductorum in eodem aut similibus ex aequalibus trian-
culis.
710. p. 1.
Ostenditur proporcso parcium pyramidis divisae per interualla aequalis alcicudinis. 7I1.
Corr. 2.
Friancula, rectaneula, aur travezia tria sieandem habeant alticudinem, ex bases
proporcionales, corpus ortum ex ductu prim in tercium aequale est illi quodoritur ex
Varie comparaut Corpora ex auclu vario trianculorum, quae ex sureunt ex trapeziis
13. Bt. O. ll.
St quaruor rectancula aut criancula in eadem sint alestudine, e bases habeant propor-
tionales, corpus quod fi ex ductu primi in quartum, aequale est ei quo d orreur ex du-
Atu secundiin 
as. 704
06. pr. 1.
11. pr. 8.9.
14f.160
Idem
 ininfinitum, hasuo modo dantur in spirali–
699. pr. 28.
Vadracum in se ductum producit cubum.
ductu medim seipsum.
esam allicudinis per diaconalem  L displane.

## Folio  -  — 1815201908:0044
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000044.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
M A Y E R I A R V M.
Idem est si trianeula illa subalterne ponantur; secundum primo; es quarcum ceritd.
Pal 13. Pr. 13.
um evemet srrapezia in eadem altitudine consticuta, bases habeant proporcionales,
Elatera quae bastons opponuntur ij sque parallela eandem cum basibus servent ra-
A R S SF C V ND A
Supersicies contemplatur, ( communes intersectiones natas ex
duetu plani circularis in rectilineum. Deinde corpo-
ra sic producta exhibet.
TEmicirculus ductus in rectanculum eiusdem alticudinis superficiem producit cylin-
dricam.
Semicirculus ductus in se, superficies duas producit cylondricas, quarum communis in-
tersectio est ellipsis.
Idem est si sermicireulo adijciatur rectanculum eiusdem alticudinis.
Sencrculo rectangulum circumseriptum, ficuram concauam cum semicirculo facients
ductum in torum rectanculum; corpus producet habens superficiem concauam, e
extimas tres planas.
718. fr. 18.
Ficura concana orta ex rectaneulo circum scripto ipse semicireulo ducta in se duas super-
ficies cylindricas producit, quarum communis intersectio est ellipsis. 719. pr. 19.
Eadem ficura ducta insemicirculum cui coneruit, producit superficiem cylindricam.
719. pr. 20.
Semicireull duo aequales serancentes sic t toti extra se inuicem cadant, duiti in se in-
uicem, supersicres producunt eylondricas quarum communis intersectio ellipsis. 720.
pr. 21.
Ostendiur differentia corporis orri ex ductusemicireuli in se ex corporis orei ex semicir-
culo ducto in semicirculum aequalem, quem tansit es extra quem cadit. 720. in
Schol.
Circuli duo aequales se excerius cangences, in se ducti supersicies producunt exlindricas.
72I. pr. 22.
Et harum communis intersectio est ellipsis.
Exponitur quid sermenta circulorum ducta in reliquum circuli, aut in se ipsa producannt.
Item quid superficies concaua interiacentes inter tansentem es circulum, ductae in
722. Pr. 23. 2 )que 30.
CA23 LL.LLL1L.
FIOBEM.
reliquum circuli.
3. Pr. 14.
716. pr. 15.
717. pr. 16.
717. pr. 17.
L2. In Schol.
Mllibe saabbo Qcoaiscluores pesooo eod edlolo etbo
quibus corpora inter se comparanto
Rianculis ex freuris quadrilateris scot a sset ot qua fet set pa Matores
sint dimidio firura nsctibuntur.
26. pr. 32. ∞Gab 3).
Itemfreuris quae lineis rectis anculum rectum continentibus, es linea curua terminan-
cu AE tese a ttto sot      d toi
et atsta

## Folio  -  — 1815201908:0045
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000045.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
ii
F L B N C H V 5
eramma inscribuneur quae maiora sint simul sumpra dimidio freurae cut inseribun
tur.
pas. 730. pr. 36. 2 sque 41..
Inscribuntur eiusmodimincilineis concauis aut convexis rectansula aequalem habeniia
alticudinem, et residuum ex ficura mixcilinea auferant quovis dato minus. 733.
pr. 40.
Corporibus quae oriuntur ex ductu concauarum superficierum in seipsas, auc in se subal-
terne positas, inscribuntur paralle lepipeda communem habentia alticudinem, quae ab
illis corporibus ablata relinquant residuum quovis dato minus. 733. pr. 41. 25
que 44.
Si cria plana qualiacum que eandem habeant altitudinem, linea vero parallelae per il-
la plana ductae eam habeant proprietatem, vi semper sint tres continue proporiiona-
les, erit corpus ortum ex ductu primi plans in tertium aequale ei quod oritur ex secun-
doducto in scipsum.
738 pr. 45.
Et si quatuor plana fuerint in eadem alticudine, linea vero parallelae sint proportiona
les, elit corpus ortum ex an tu primi plani in quartum aequale ei quo d oritur ex du-
P A R S Q V A R Y A.
740. pr. 46.
Compataur corporaotia ex ductu rectilinei inrectilineum, cum cor-
poribus ortis ex ductu partium circuliin se vel in alias circulares.
Emicirculus ductus in se aequale prosert corpus et quod profertur à rectaneulo
Manculo in se ao subalterne, cujus latera anculum rectum continentia a
742. pr. 47.
Superficies conaua inteta inter quadrantem circulies duas tancentes quadran-
tem includentes ducta in semtcirculum es in illam ipsam superficiem ditis tancen
tibus contentam, equale prosere corpus illi quod sit à vrianculo rect aneulo in se du
Eto, cuus latera anculum rectum continentia, sint ipsa rancentes. 7 12. pr. 48. 49.
Varia corpora ortd en partibus circuli ductis in alias parces circulorum, aut ductis in
Seipsas reducuntur ad corpord orea ex ductu treanculorum aut rectangulorum in se-
P ARS QVINT A.
Ariae aequationes ex propoiones solidorum quae sienuntur ex dultu parcium cir-
cularium cauarum an convexarum, in alias circulares cauas, convexas, es c.
Etu secundiin tertium.
qualia sint diametro circul.
74,. a pr. 50. Vsque 57.
749. a pr. 58. 2 9ue 66.
 LS SF XT A
Ampliorem continet comparationem corporum productorum ex ductu
plani circularis in circulare. Cam ijs qua oriuntur ex ductu circula-
rium partium pricas parabolicas, hyperbolicas.
Spenaneur dua parcescellipsis, quae in se auctae corpus proseruns aquale illi, quod
oritur ex ductu semicirculi in se.
341do
Ali
epuie se e n  pta e  u u e ea e u pite    p pn e  qur p e e u u u  su sate sa pet ee  e  e ita    t e   piu

## Folio  -  — 1815201908:0046
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000046.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
AI A Y E R F A R V H.
alia comparationes corporum orcorum ex parcibusellipsis,  ex parcibus circuli.
par 77 4 pr. 68. 69.
Assirnancur parces parabolae, quae ductae in se proserunt corpus aequale illi, quod fit à se-
micirculo dusto in se, cuius diameter aequalis est laterr recto parabola. 755. pr. 70.
Semiparabola iam dicta, ducta in se aequatur semicirculo ducto in se, una cum man-
euto rectanculo in se ducto, cuius latera anculum rectum continentia sint aequalia
lateri recto parabola aut diameero dicticirculi.
756. pr. 71.
Variae aequationes corporum ortorum ex parcibus circuli ductis in se, aut in alias parces
circuli, aut etiam in parces parabolae, cum corporibus ortis ex ductu parcium parabo-
la in se, aut in alias parces parabola, aut eriam in partes circuli. 756. d. pr. 72. 2 f.
que 90. par. 769. pr. 96.
Corporanata ex ductu parcium hyperbola in se, aut etiam in alias partes hyperbolae, a
qualia, aut comparata corporibus natis ex ductu partium circuli in alias circuli par-
tes.
766. à pr. 91. 2 que 95. pac. 769. pr. 97. 98.
P A R S SE P TIM A.
Conferi inter se corporanata ex ductu paraboliei inparabolicum.
Torpori orro ex ductu parcium parabola in alias parabolae parces, aequale datur cor-
pus ortum ex ductu parabolae in seipsam. 771. prop. 99. 100. 101. pac. 776.
pr. 107. 108 pas. 777. pr. 110. 111. 113.
aliae aequationes corporum ortorum ex ductuparcium parabola in alias parabolae partes.
772. pr. 102. 103. 104 pas. 775. pr. 105. 106 pas 778. pr. 112.
Comparantur corpora nata ex du stuparabolarum in parabolas sub alterne positas. 774.
pr. 10+. pas. 776. pr. 109. pac. 778. pr. 113.
PARS OCTAV A.
Corpora huc  (que ex vario planorum in plana ductu, reducit ad cor-
pora determinatam habentia basim es altitudinem.
Orporanata ex parcibus circuli, ductis in partes circuli, reducuntur ad corpus ha-
benspro basi parcem circuli, ex alsicudinem notam. 780. a pr. 115. 2 (quo
118. pas. 783. pr. 120. pas. 784. a pr. 122. 2 (que 125.
Corporanata ex ductu partium circuli in partes parabola, reducuntur ad corpus habens
basim cerram ex altiudinem.
782. pr. 119. pac. 784. pr. 121. pac. 788. pr. 126.
Corporanata ex ductu partium ellipsis in parces ellipticas, comparantur cum corporibus
ortis ex ductu partium circuli, in partes circuli.
787. pr. 127.
Semicirculus ductus in se, corpus producit aequale illi quod fit ex parabola habente latus
rectum aequale semidiametro illus circuli, duct a in altitudinem lateris recti. 788.
pr. 128.
Alicer determinatur hoc corpus, habenspro basi aliam parabolam es aliam alticudi-
nem.
790. pr. 132. 134.
Corporibus orris ex ductu plani circularis concaui in conuexum, datur corpora aequalia
habentia basim mixtilineant, du parabola ex circulo, es certam altitudnem. 788.
pr. 129. P48. 790. pr. 133.
Corporibue ortis en midtilinea supersicio circillari et Parabolica aeat miatblineam
de eo e. 
super

## Folio  -  — 1815201908:0047
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000047.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
111
T F N C. HI V S
superficiem ex parabolica ex circulari, dantur corpora aequalia habentia superficiem
eiusmodi mixcilineam ex certam altitudinem.
pas. 788. pr. 130.
Corporibus ortis ex ductu circularium convexorum in convexa, datur corpies aequale ba
sim habens mixtilineam ex circulo ex parabola, ex certam altuudinem. 790.
pr. 135. pac. 796. pr. 147. 143. pa5. 797. pr. 150. PaC. 300. pr. 155, 156, pa5. 801.
pr. 158. 159.
Corporibus orris ex ductu circularium concanarum in convexas, datur corpus aequale
habensbasem parabolicam ex certam alcirudinem. 79L. pr. 136. pac. 792. pr. 139.
Pag. 798. pr. 151. pac. 801. pr. 157. pa5. 802. pr. 160. Pa5. 808. pr. 175.
Corpori orto ex circulart concauo in conuexum, darur aequale orrum ex ductu parabola
concaua in convexam.
791. pr. 137.
Corpori orco ex connexo circulari in se ducto, datur corpus aequale basim habens parabo-
licam es certam altitudinem.
791. pr. 138. pa8. 795. pr. 146. pa5. 797. pr. 149.
Idem fit de corpore nato ex circulari concauo in se ducto.
798. pr. 152. 153.
Corpori orro ex ductu circularis convexi in convexum, datur corpus aequale habens ba-
simparabolicam ex certam altitudinem.
795. pr. 145.
Corpori orto ex ductu circularium concauorum in concaua datur corpus aequale habens
basum mixtilineam ex parabola e circulo, ex cerram altitudinem. 799. pr. 154.
Corporanata ex ductu superficierum mixtarum ex circulo ex parabola, reducuntur ad
corpus habens basim erianeularem ex alticudinem notam.
789. pr. 131.
Corpora nata ex ductu parcium parabolae in partes parabolicas subalterne positas, redu-
cuntur ad corpora cylindrica habencia altitudinem notam. 792. pr. 140. 141. 142.
Corpori orco ex ductu parabola conuexae in se ipsam, datur corpus aequale habens basim
crianculum, es notam alticudinem.
803. pr. 161.
Corpori orro ex ductu parabola concana in certam altitudinem, datur aequale corpus ex
trianculo in se ducto
804. pr. 163. pas. 806. pr. 170.
Corpus ortum ex parabola convexa in concauam, reducitur ad corpus habens parabo-
licam basim es notam alticudinem.
803 pr. 162.
Corpus oreum ex sermento parabolico convexo ducto in cerram alticudinem, datur ae-
quale corpus ex ductu trianculi in seipsum.
804. pr. 164.
Corpori orto ex ductu superficiei parabolica concaua in convexam, reducitur ad corpus
habens basim triancularem, ex certam altitudinem.
804. pr. 165.
Variae aequationes ex ductu segmentorum parabolicorum in alia parabolica sermenta
aut incriancula. 895. pr. 166. 167. 168. pac. 807. pr. 172. 173. pac. 810. pr. 178. 179.
Sermento parabolico concauo in se ducto, datur corpus aequale, habens basim parabo-
lam concauam, e certam altitudinem.
806. pr. 169. pac. 897. pr. 171.
Corpus orrum ex sermento mixtilineo circulari ex parabolico, ducto in certam altitudi-
nem, datur aequale corpor orto ex sermento circulari ducto in alccudinem determi-
natam.
808. pr. 174.
Datur corpus orrum ex parabola ducta in certam alticudinem, quod ad semicirculums
in se ductum habeat rationem quam linea ad lineam.
809. pr. 176.
Corporr orto ex ficura quam constitut rectanculum cum semicirculo eiu (dem altirudi-
nis, in se ducta, datur corpus aequale quod basim habeat notam ex datam altirudi-
nem.
810. pr. 177.
Datur corpus habens alticudinem certam aequale corpori nato ex semiparabola convexa
ducca in supersicrem concanam, se d subalterne positam.
8I1. pr. 180.

## Folio  -  — 1815201908:0048
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000048.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
NE A X F R Y A R V M.
P A R S N O N A.
Praxis huiuslibri de planorum inter se ductu seu multiplicatione.
Eplcantur variae propositiones ex libro nostro de linearum potentiis, ad corpora
D. nata ex superficierum in se ductu.
Pac. 813 apr. 181. 2 sque 189.
em varrae propositiones ex libro nostro de Procressionibus Geometricis, corporibus ap
plicatae.
Applicancur ex L. 2. F. uel. prop. 456. 10.
Irem onica ex Frederico Commandino.
820. a pr. 199.  sque 202.
830 pr. 203.
applicantur ex l. 7. Pappi. prop. 23. 24 41. 42. 43. 63. 149, 151. 160. 178. 179. 831. 4
pr. 204. v sque 213.
P A R S D F CIM A.
De Parabolis virtualibus. item aliqua materia quae prioribus excidere.
TSus ex definitio parabolarum vircualium.
840.
inuerio cercarii parabolari parabolis vircualibus sub seruienciu. 841. pr. 214 215.
Inuentio prima e descriptio vircualium parabolarum.
842. pr 216.
Varae aequationes corporum orcorum ex seementis parabolarum in se ductarum. 8+4
pr. 219220.
Tnuentio secunda es descriptio parabolae vircualis.
Inuentio terria eiusdem.
inuentio quarca parabolarum duarum vircualium sese implisantium, quas bifariam
secant duae vera parabola.
849 pr. 225, 226.
inuentio quinta eusdem; item aequationes corporum ex ductu superficierum parabolae:
aut parabolae rircualis, in alias superficies.
Inuentio sexta parabolae virtualis.
Inuentio septima es octaua.
853. a pr. 231. 2 (que 25).
Parcae ex hac corporum aequationes. 858. pr. 236. in Corr. pas. 859. pr. 238. pas. 860.
pr. 240. 241. 242.
Trianculum rectansulu sectum linea sit basi parallela sic vi crianculum à toto auserat;
ostendiur crianculum hoc minas in se ductum ad totum in se ductum esse in tripli-
cataratione lineae resectae ad totam.
858. P1. 277.
Trianculum in se ductum datur, quod ad totam parabolam in se ductam rationem ha-
beat quam duo adtria
859 pr. 23G.
Equationes corporum ex ductu seementorum interceptorum inter parabolas paralle-
las, ductorum in reliquam parabolam.
861. pr. 243.
E quationes seementorum parabolarum subalterne posicarum. 663. pr. 244. vs9, 247.
L IB F R OC T A V V 5.
De Proportionalitatibns Ceometricis.
Defintiones propetanatum, earum que explicariones.
a qu  orcionalicatibus asumuntur.
de  
821 à pr. 19. V sque 196.
64). pr 22.1. 22.2.
647 pr 224
850. pr. 227, 228.
852 pr. 229. 230.
TEcessitas es xcilitas proporcionalicatis Ceometrica.
865
867. 80 seq.
870

## Folio  -  — 1815201908:0049
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000049.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
11III
11
 I E N C HI Y
P A R S P R IM A
Fundamentales propositiones complectitur naturam denomi-
natorum concernentes.
Pa rationes habentes commune consequens, eam sortiuntur rationem qua inter
antecedentes terminos reperitur.
pac. 877. Pr. 2.
Ex praecedenti rationes proporeionales quatuor assienantur, es ex quatuor proporriona
libusrationibus, quatuor quantitares proportionales.
878. pr. 3. v sque 6.
Rationes duae commune antecedens forcuta, eam obtinent rationem quam secundum
consequens ad primum.
880. pr. 7.
Tom ex hac varia rationes proporcionales, es ex his rationibus quantitates proporrio
nales dantur.
880 pr. 8. 2. (que 11.
Daris tribus quantitaribus quibusuis, ratio prima ex secundae, est ad rationem primae
ex tertia, vt ratio prima ex tertia est ad rationem secundae e primae. 881. pr. 12.
Denominatores datarum rationum inveniuntur.
Varia comparationes rationum exposita in denominatoribus.
pac. 885. pr. 23.
882. pr. 13. 14.
682. pp. 15. V sGue 19.
AEqualirares e comparationes quantitarum, ex rationibus varie inter se comparatis.
884. pr. 20, 21. 22.
Datis duabusrationibus duae aliae rationes exhibentur qua communes habeant ratio-
mibus datis denominatores.
Duasrationes exhibere quae datam inter se rationem contineant.
886. pr. 24.
886. pr. 27.
Datis duobus terminis aliquamrationem continentibus, es datis duabus quantira-
tibus, duae alia quantitares exhibentur, xt ratio primarum quantitatum sit ad ra-
tionem secundarum, xt terminus primus datus est ad secundum.
887. pr. 26.
Datis duabus rationibus, es data recta eaita secatur, vt partes linea inter se sint t
dataratio prima est ad secundam.
887. pr. 27.
Dataratione duorum terminorum, es duabus lineis, ea ita secantur, xt ratio quam
habent parces sectae primae linea ad rationem quam habent partes sectae secundae linea,
sit 2+ primus terminus ad secundum.
887. pr. 28.
Data ratione duorum terminorum, ex duabus quantitatibus, exhibentur duae rationes
quarum antecedentes, aut quarum consequentes sint quantitates datae, quae habeant
inter se rationem quam terminus primus ad secundum.
888. pr. 29. 30.
Data ratione duorum terminorum, es denomnatoribus duarum rationum, E5 termino
quovis assienatur quartus terminus, it a ve ratio data ad rationem inventam, sit rF
denommator primus ad secundum.
889 pr. 31.
Data ratione quavis duorum terminorum, duae quancitates exhibentur; vtratio prima
ad secundam, adrationem secunda ad primam sit u terminus primus datus ad se-
cundum.
P A R S S F C V N D A
890. pr. 32
De similitudine proporinnum qua interrationes existunt.
891. pr. 33. 2sque 36.
Variae proportiones ortae et Gao crmnis datis, es ex proportionibus datis va
892. pr. 37. vsque 42. pas. 899. pr. 54. 55.56.
Suae proportiones orta ex rationibus duabus similibus.
894. pr. 43.
Dua
DRoportiorationum ex rationibus composita.
tatationes terminorum.
e   pi  ut.  1  . . i  1u i e  ai   ul. u  . t    p    . . 1 . t.   . 1     . 1 u put te

## Folio  -  — 1815201908:0050
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000050.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
N A F E R L A R V M
Duae propors comparantur inter se permutando, inuertendo, componendo, duii
dendorationes ex quibus proportiones constituuntur, item per conversionem ratio-
nis, ex areumentatio ex aequo propositis tribus proporcionibus. Pas 895. a pr. 4 +.
2 sque 49.
Varia proporciones ortae ex quatuorrationibus proportionalibus. 897. pr. 5O. pas 900.
pr. 57.58. pas. 901. pr. 60. 61. pac. 903. pr. 64. 65.
Proportiones orta ex duabus rationibus es vnaterria.
Proportiones ort a ex octo quibuscumque quantitatibus.
Item orta ex quantiratibus quinque.
Proportiones orrae ex duabusrationibus es duabus quantitaribus.
902. pr. 62. 63.
Datis quotuis parinumero rationibus, exhibentur rationes quae inter datarum ra-
tionum denominatores continentur.
904. pr. 68.
Daris tribus quibuscumque rationibus, es quancitate quanis invenieur alia quanti-
tas, sic vtratio prima sit ad secundam; vt ratiorertia ad rationem quae est intet
inventas quantitates, imo vi proportio prima rationis es secundae, ad proportionem
tertia  quartae datam habeat rationem.
Ex octo rationibus proporcionum similitudines determinantur.
905. pr. 69. 70.
Datis duabus rationibus, ex quadam tereia maiorratio adillam tertiam maiore ha-
bet proportionem quam minor ratio ad eandem. Et quae ad eandem, maiorem ratio-
nem habet, ea maior est.
A R S TF R TI A.
Derationum multiplicatione (eu compositione.
907. pr. 13. 74
Eterminatur quam rationem producat ratio in rationem ducta. 908. pr. 75.
76. hanc emendatam vide pas. 954.
Varia rationes quae in se ductae eandem producunt rationem. 909. pr. 77. 2 (que 80.
Par. 913. pr. 88.
Dara quavis racio duorum terminorum ductain se, duplicata est eius quam habet pri-
musterminus ad secundum.
Duae rationes similes in se ductae producunt rationem aequalitatis.
91I. pr. 82.
9I2. Pr. 05.
Datis quatuor quanticatibus considerantur rationes ortorum ex ductu prima in quar-
tam, e secundae in tertiam.
912. pr. 84. 85.
Datis quaruor rationibus proportionalibus, idem produciur ex ductu primae in quar-
tam, quod ex ductu secundae in tertiam.
912. pr. 86.
Fr si prima in quartam idem producit quod secunda in tertiam, erunt ea rationes pro-
portionales.
916. pr. 94.
Si quatuor rationes proporcionales sint, terminus primus primarationis, est ad secun-
dumquarcae; ve verminus primus secunda rationis est ad terminum secundum ter-
tia.
913. pr. 87 hancemendatam V. paz. 954.
Variae proprietates rationum compositarum ex pluribus rationibus. 924. pr. 89. V(9: 92.
Ratio quaenis ducta inrationem aequalitatis, producit seipsam.
916. pr. 93.
Daris quatuor rationibus, exhibetur proporcio rationum quas producunt prima ducta
in secundam, B terria in quarcam.
916. pr. 95.
Quatuor proportiones rationum varie in se ductae, idemque producentes. 917. pr. 96.
Datis quoccumque racionibus, proporcio prima ad olcimam ex proporeionibus media.
rum est composita.
se X 3 4
918. pr. 97.
690. pr. 51. 52
901. pr. 59.
904. pr. 67
906. pr. 71.
Datis

## Folio  -  — 1815201908:0051
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000051.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
E L F N C H V S
Datis quotcumque rationibus, ostenditur ex illa quomodocunque dispositis, earundem
semper produci rationem.
P A R S QV A R T A
Pas. 918. pr. 98.
Rationum proportiones considerat, maxime secundum rectaneulo-
rum comparationem quae siunt ex terminis rationum, termi-
ni autem statuuntur linea.
atis rationibus duabus linearum, rectanculum quod fit à prima linea es quarta
ad rectanculum ex secuda ex tertia, est vtratio prima ad secunda. 920. pr. 99.
Comparationes rectanculorum inter se quae fiunt ex terminis datarum rationum. 920.
pr. 100. 101. 103. p45. 925. pr. 112.
Datis duabus rationibus, ostenditur quomodo se habeat proporrio illarum rationum ad
ratione rectanculori quae fiunt ex terminis dataru rationu in se ductis. 92 L. pr. 102.
Mira comparatio rectanculorum ex terminis duarum serierum trium proporrionalium
certo modo in se duotis.
922. pr. 104 pa5. 924. pr. 110.
Variae comparationes rectansulorum ortorum ex terminis quatuorrationum, quarum
bina inter se sunt similes.
922 pr. 105. 106. 107.
Sint quatuor line proportionales licet non continue, quadratum prima, rectanculum
sub secunda es terria, quadratum quarta, eandemratione continuant. 923. pr. 108.
Dua rationes quatuor linearum in se ducta, aequantur rationi quam habet rectanculit
sub prima es quarta, ad restanculum sub secunda ex tertia.
924. pr. 109.
Rect ancula quinque assienantur eandem continuantia rationem, orta ex tribus propor-
tionalibus, es duabus quibuscumque aliis quae inter se rationem habeant quam pri-
ma continuarum ad secundam.
924. pr. 111.
Proportio rect anculorum ortorum ex terminis quaruor proportionum; certo modo in se
ductis.
P A RS OVIN FA
925. pr. 113.
Cxponuur ca Ga proportionalicatibus communia unt
cum operationibus Arithmeticis.
Pantim adis duisa sit vecumque, ex data sit alia quatitas; ratio totius pri
ma ad secundam, eadem est cum rationibus partium primae quantitatis, ad
parces secunda
926. pr. 114.
Duauis dua rationes reducuntur ad duas ip sis aequales quae idem habeant antecedens
aut consequens.
926. pr. 115. 116.
Datae rationis dupla assienatur aut dimidiata, aut alia in data proportione. 927. p. 117.
Data quanis rationes in 2nam illis aequalem ascresantur.
Dataratio minor ex maiori detrabitur.
Dataratio per datam multiplicatur eribus modis.
927. pr. 118.
3acpr. 169.
Dataratio in duasrationes ipsam componentes diuiditur, qua tanien datam inter se
habeant rationem.
929. pr. 123.
Ostenditur quod omnis ratio, in duas ipsam componentes diuisa, rursus coalescat, per
partium ex divisione orrarum inter se multiplicatione.
Data ratio per alteram diuiditur.
930. pr. l24.
Data praporcione inaequalitatis duorum rationum, assisnacur excessus quo maiormino-
rem superat.
929. pr. 120, 121. 122.
930. pr. 125.
930. pr. 126.
 u tu u i eus  pute u  piuu e  pu ute u   u   u . a uu e  p i pu p  uae a su  es i e p e  u p   e   ete  t  et

## Folio  -  — 1815201908:0052
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000052.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
M A Y E R L A R Y N.
P A RS S E X T A
Varias proportionalitatum proprietates complectitur.
atiseribus continuis, ratio prima ad secundam, ducta in rationem secundae ad
tertiam, idem producit quodratio tertiae ad secundam, ducta in rationem se-
cundae ad primam.
Pas. 932. pr. 127.
Proprietates amcenae serierum quae ab eadem incipiunt. 932. pr. 128. 129. pas. 934.
pr. 132. 133.
Proprietates duarum serierum septem proportionalium quarum quarta sunt aequales.
933. pr. 130. 131.
Propriecates serierum crium continue proportionalium quae ab eadem incipiunt. 935.
pr. 135. 136.
Vira proprietas quatuor serierum continue proporcionalium, quarum binae ab eadem
incipiunt, es rursus ad duas alternatim terminantur.
Tresrationes continué proportionales determinantur.
Inter duas datas rationes media proporeionalis invenitur.
Datis duabus rationibus media proportionalis inuenitur.
936. pr. 137.
936. Pr. 138. 139. 140.
937. pr. 141.
938. pr. 142. 143.
Datis tribus rationibus quarta proportionalis invenitur. 939. pr. 144. Pas 940. pr. 145.
Ostenditur differentia incerrationes continue proportionales es quantitates quae eam-
demrationem continuant.
939. in Schol.
Sitres quantitates sint continie proportionales, rationes primae ad secundam, es secun-
dae ad certiam minima sunt omnium rationum, quae rationem primae ad terciam com-
ponunt.
940. pr. 146.
Determinantur rationes quae duplicatam es quadruplicatam rationem habeant alte-
rus rationis determinata. 940. pr. 147. 2 sque 157. pas. 947. pr. 159. 160. pas. 950.
pr. 165. pac. 952. pr. 169. 170. 171.
Determnanturrationes quae triplicata haheant ratione. 946. pr. 158. pac. 950. pr. 166.
Imo ex series continue proporrionalium datur, in quarationes ad se invicem triplicata,
quadruplicata, quintuplicata ex sic in infinitu ratione habeat. 947. pr. 161. v59 164.
Ostendieur duversitas inter rationes simplices es rationum proporriones. 949 in Schol.
Danturrationes quae quadruplicatam habeant rationem ejus, cujus alia determinata
ratio est criplicata; imo ex quae sit sextuplicata, cuius alia est quintuplicata. 951.
pr. 167, 168.
rlimus terminus exhibetur procressionis rationum quae ad se inuicem semper sunt in
L IB F R N O N V S.
953 pr. 162.
Decylindro, cono. hara, spharoide, (9 vtroque conoidepara
bolico o hyperbolico.
P A R S P R I M A
Vneulaseylindricas, etusque partes, planis ad cylinari a
barallelis, rescissas adcubum reducit.
duplicataratione.
Efinitiones.
957. pr. 12.
Segmeto circuli inscribitur paralleloerammum marus dimidio seementi. 95d pr. 3.
d Xe Hc X 4
Trian-
DRismata diuisa in certa ratione.

## Folio  -  — 1815201908:0053
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000053.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
1IIIIII
E L F N C. E V, E
Trianculum maximum cuuis segmento circuli inscriptum, quod sernicirculum non ex-
cedit, maius est sermenti dimidio.
par. 959. pr. 4.
Cylindro, e uncula inscribuntur prismata quae ablata a cylindro e cncula relinquat
quancitatem quavis dataminorem.
960. pr 5. 6, paz. 963. pr. 10. 11. 12.
In eodem cylindro oncula ad onculam est vi altiendo ad altitudinem. item aliae on
cularum aequationes.
961. pr. 7. 8.9.
Solida maenicudines habentes veramque basim parallelam similiterque positam, eam
inter se sortiuntur rationem quae ex basibus ex alticudinibus composita est. 965
pr. 13.
Frustum cylindricum frusto cplindrico aequale datur.
Seementu eylindricu duabus basibus parallelis inclusum dividitur bifariam plano quo-
dam transeunte per diametrum parallelocrammi quod est basis seementi. 966. pr. 15.
Seementum cylindricum segmento onculari aequale datur.
Parces conculares dantur quae inter se sunt et altitudines.
Comparantur sermenta onculae inter se.
Oltenduur quod semicirculus ductus in se sit vera vneula eylindricaiitem quibus super
ficiebus ductis in alias superficies aequinaleant partes 2neula.
Yncula ad onculam triplicatam habet rationem laterum homolocorum. 971. pr. 20
Vncula confereur cum suo seemento.
972 pr. 21. 22.
Basi onculari inscriptohexazono, per cuius latera posita sint plana parallela axi aufe-
rencia sermeta ab ungula, erit uneula ad reliquum ablatis sermentis vt octo ad sex.
973. pr. 23.
cubarura oneulae.
P A R S S F C V N D A.
974. pr. 24. L).
Deinvoluero ongulari ejusq ad cubum vel parallelexipedu reductione.
Equationes corporii ortoru ex ductu circulari concauo in conuexum. 976. pr. 26. 27
La Ostenditur hoc corpus esse involuerum vnculae, illudque exhibetur. 977. in Schol.
Involuerum totius oncula adrotam conculam est 2t pars involueri ad partem on-
culae quam inuoluit.
978. pr. 28.
Cubatura involueri onculae E ex hacnoua cubatura vngula. 979 pr. 29. 84 Corr. pr. 30.
Alia comparatio involueri ad onculam.
Comparationes es cubationes partium inuolueri.
980. pr. 31.
981. pr. 32.33
Vncula quarum alticudines sunt aequales diametris basium cylindrerum à quibus de-
cussantur, rriplicatam habent rationem earundem diametrorum. 982. pr. 34. 35.
P AR S Y F R TIA.
Superficies cylindrica quae onculam cincit ad rectilineum reduci
tur aliaque ejus affectiones notaredduntur.
adam propositiones huic materiae necessariae praemittuntur. 985. pr. 36. v 9; 40
alibet polysonum reguldre semicirculo rneula à cylindro abseissa inscriba-
ut,  secundum latera polyeorfiant sectiones quae sint axi exlindri parallelae;
erunt plana omnia vnculae inscripu aequalia rectanculo quod fit sub tota diametro,
C later quod omnia latera polz Loni subrendit dempto ∞ lemo.
987. pr. 41.
tem si eusmodi poly conum drcum scribatur circulo, perque ejus latera fiant duta se-
eioneo, quaedam plana parcem onsula ambientia dempto vltimo trianeulo, aequa
tur certo rectaneulo. 989. pr. 42.
Imc
965. pr. 14.
967. pr. 16.
967. pr. 17.
908. prito.
969. in Schol.
p ae  Bi.  1  1 p . i   s .  1  ea     i u pu.  ut p  1   p  p    a  p   . 1      p   e   podi  .1

## Folio  -  — 1815201908:0054
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000054.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
I A I L R I A R Y M.
imo omnia plana totam onculam ambientia dempris duobus vlrimis trianculis aequan-
tur quadrato diametri.
Pae.p 43.
Tota superficies cylindrica onculae cuius alcicudo par est diametro circule qui basis est
Enoula, aequalis est quadrato diametri.
Paries superficiales eusmodi vncula etiam quadrantur.
Omnia plana vneulam ambientia ex ad elliptuam unculae basimtermmata, dempris
trianculis laceralibus superficiei cylindricae onculam cincentis, simul sumpta a
qualia sunt.
9937. 40.
Plana contincentia onculam, parii determinatae superficiei oncularis aequalia. 994.
PP. 49.50.
Vncularis superficies cylindrica secundum datam rationem dividitur.
995 pr. 51.
Comparationes parcium superficierum onsularium. 995. pr. 52. paC. 997. pr. 54.
par. 998. pr. 56. 2 sque 61.
Supersicies oncularis ad eylndricam eam obtinet rationem quam diameter circuli ad
perimetrum.
996 pr. 53.
Cmuscumque vneulae superficies, sive altirudinem parem habeat diametro baseos sive
non, equalis est rectanculo, quod diametro baseos, es ipsius oncula alcitudine con-
tinetur.
997. pr. 55.
Corpora ambientia ongulam contenta planis ambientibus ex polyeonis duobus cireu-
lo ex ellipsi circum scripeis cubantur, e comparantur inter se. 1002. pr. 62. 6364.
Cylndro parabolico datur prramis aequalis.
Exhocrursus cubatur oneula.
P ARS OV A R T A.
1004 pr. 65.
1004 pr. 66.
Comparatio oncula cylindrica cum sphaera CS aliis corporibus.
Vaedam necessaria praemittuntur.
1005. pr. 67,68.
LPrima oneulae cum sphaera proprietas quam Arch pr. 38. l. 1. de Sphae.  cyl.
demonstranit.
1007. pr. 69.
Aliter demonstratur prop. 24 huius de cubatura vneula, e altera cum sphaera analo-
eia ex hac ostenditur.
1007. pr. 70.
Omnis oncula à cxlindro recto abscissa, dupla est inscriptae sibi pyramidis maximae, cu-
iusnimirum basis est trianculum maximum quod semicirculo qui basis est oncula
inseribi potest, alticudo vero eadem quae 2neula. Et in hoc mira ostenditur symbo-
lizatio sphaerae ex rnculae.
1008. pr. 71.
erisma cumis vneula a eylindro recto abscissa circumscriptum, ipsius ronculae sesquial
terum est, in quorur sus pulchra analoera sphaerae cu 2neula ostenditur. 1009. pr. 72.
Analoera superficierum oncularium cum superficiebus sphaericis. 1010. pr. 73. 74.75.
Imo n omnibus convenire superficiem oncularem cum spharica ostenditur. 1012. pr. 76.
Sumbolizatio sermentorum oncularium cum sermentis sphaericis.
1013. pr. 77.
Symbolizatio pyramidu vnoula inscriptaru, cu cono inscripto sphaerae. 101 4. p. 78. 79. 80.
Elenchus simbolizationum ongula cum sphaera.
P A R S OV IN F A
1017.
Vneuum parabolicam constaerat, insuper cylindricam onculam (0
Sharam confetm purabola CS cylindro parabolico.
Ationum habet vncula unurica ad suum seementum confertur cum parabola
 osmondb. 1BLV. B1. 61.
Cylinu
991 pr. 45
992 pr. 46. 47

## Folio  -  — 1815201908:0055
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000055.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
11
E L F N C HF V
Cylindro parabolico datur corpus aequale orcum ex ductu trianguli in se subalterne.
pas. 1020. pr. 82.
Sphaera divditur per circulum, prout parabola per lineam rectam, ex ex hac aliter di-
undicur shaera secundum datam rationem, quam archimedes pr. 4. l. 4. de sph. eam
divisit.
1021 pr. 83. 84.
Vneulae corius sectae per planum basi aequidistans, ad suum sermentum racio datur in
lineis rectis.
1023. pr. 00.
Comparantur parabola quaedam concaua ductae in se. item ductae in se subalterne. 1024.
pr. 87.88.
Proprietates corporum inscriptorum cylindro parabolico eius que vnculae.
pr. 91. 92.93.
Pyramis oncula inscripta ad pyramidem inscriptam ejus seemento quod sit e neu-
la, eam rationem habet quam oncula ad ongulam.
1029. pr. 94.
Imo tota oncula ad ongulam quandam quae fit per sectionem basi zneulae primae pa-
rallelam est ve tricinta duo ad vnum.
1030. pr. 95.
Ostendicur quantum superet vncula parabolica prramidem sibi inscriptam. 1031.
pr. 96. 97.98.
Vncula cylindri parabolici cubatur.
inuoluerum cxlindri parabolici ad evlindrum parabolicum habet rationem vi onum
ad duo.
Seemento cylindrico parabolico datur pyramis aequalis.
1034. pr. 101. 102
Sphaera icerum secundum quamuis rationem diuditur, aliter quam ab Archimede di
1isa. 1036. pr. 103. 104.
P AR S SF X T A
DeSpharoide.
Omnis sectio shaeroiats per axem facta exhibet ellipsin a qua sphaeroides formatum est.
Omnis sectio pharoidis per centrum facta, resta est ad aliquod planum ductum per axem
Sphaerordeos.
Omnis sectio shaeroidis per centrum non transiens recta est ad aliquod pianum quod per
axem sphaeroideos duci potest.
Omnis sectio sphaeroidis normalis ad axem qui in constructione sphaeroidis immorus fuit
circulum exhibet.
Omnis sectio Phaeroideos ellipsin exhibet, si obliqua est ad axem.
De communibus intersectionibus sphaeroidis secti per duo plana. 1043. pr. 114. 115. 116.
Sectio sectioni ver axem facta aequidistans, eidem similis est, es si obliqua sit, dissimilis.
Datishaerous axis e centrum exhibetur.
Sectio per aaem maloie facta maxima est ommum sectionum quae in sharoidefieri
Data quamsrecta quae minor sit axe maiore sphaeroidis, maior minore, exhibetur 
Shaeroide sectio, emus axis aequalis sit datae.
Omnes sectiones per centrum Spharoideos transeuntes eam inter se sorciuntur rationem.
fuL. 127
1033. pr. 99).
1634. pr. 100.
1038.
1098. pr. 105. P sque 108.
Efinitiones.
Lemmata ad sequentem materiam necessaria.
1040. pr. 109.
104+. pr. 117. pac. 1045. pr. 120.
possunt, es per axemminorem est minima.
1040. pr. 110.
1041. pr. 111.
10+1. P. 112.
1042. pr. 113.
1045. pr. 118. 119.
1046. pr. 121.
1046. pr. 1220
quam
A 1i  .  pu   .  i 11 . 1. 1. .         p  .   pu   1. . 1.           .   pu    .      

## Folio  -  — 1815201908:0056
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000056.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
N A Y F R I A R V M.
quam continent axes maiores inter se.
pac. 1047. pr. 123.
Problemata varia circa inventiones sectionum ellipticarum qua certam habeant ra-
tionem.
Comparantur sphaeroides cum sphaeroidibus.
1050. pr. 129.130.
Sphaeroides ad sphaeram inscriptam eam obtinet rationem, quae inter axes reperitur.
1051. pr. 131.
Omnes coni maximi sphaeroidi inseripti insistentes alicui sectioni quae fit per centrum
inter se sunt aequales.
1052.71. 132.
Ratio coni inscripci ad sphaeroides in superficiebus parabolicis exponitur. 1052.
pr. 133. 134.
Seementorum sphaeroidicorum ratio in parcibus parabolae exposita. 1054 pr. 136.
D A R S S F P F A M A:
Deconoide parabolico.
Omnis conduns patabolici sectio per rectam facta quae in formatione condais im-
mobilis fuit parabolam generat.
Omnis sectio conoidis parabolici ad axem conoidis recta, circulum format. 1056. pr. 137.
Omnis sectio conoidis parabolici ad axem obliqua ellipsin format.
Omnis sectio axi conoidis parabolici aequidistans parabolam exhibet, es quidem ean
dem cum parabola facta sectione per axem.
Dati conoidis parabolici axis exhibetur.
Variae proprietates planorum parallelorum, conoides parabolicum secantium. 1060.
pr. 144. 2 que 146.
Conoidium parabolicorum rationes in rectilineis expositae.
1002. p1. 148. 149.
Conoides parabolicum ad conoides est t conus inscriptus ad conum in scriprum. 1063.
pr. 150.
Comparantur parces conoidis parabolici inter se, imo invemiuneur quae sint in rationer.
3.5.7. c. hoc est numerorum imparium.
1064. pr. 151. 152. 153. 154.
Conoides parabolicum adconum sibi inscrintum eam rationem habet quam sex cd qua
tuor.
Conoides cylinari quo continetur dimidium est. Icem conoidis ad cylindrum inscripeum
nota fit ratio.
1066. pr. 157. 158.
Vnica sectione à cylndro, conoide parabolico, ei inscripto, item conohuic inscripto ause-
oos ulconoides est VECunder ad cylindrum quibus inscribuneur. 1070. pr. IBL.
Laris condrarum comparantur inter se.
P A R S OC I A V
Deconoide hyperbolico.
1070. pr. 163. 10+.
1047. pr. 124. v que 128.
Efiniciones earumque explcario.
1055.
1055. pr. 136.
1057. pr. 140.
1078. pr. 141. 142.
1059. pr. 143.
1000. pr. 150.
1006. pr. 160.
runtur sectiones similes.
Ffinitiones.
cum illa, qua informatione conoidis 2 si sumus.
1072.
1072. pr. 165.
Omnis sectio in conoide hyperbolico basi aequidistans circulum format. 1073. pr. 166.
Omnis
omnis sectio conoidis hyperbolici per axem facta hyperbolam generat eandem
Omnis sectio comvidis o  dbt lqud ellipsim exhibet 1075. pr. 171.

## Folio  -  — 1815201908:0057
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000057.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
F E F N C E V 5
Omnis sectio conoideos qua transeat per centrum hyperbola facta per axem conoideos;
hyperbolam exhibet.
Duahyperbola in cono parallela inter se sunt similes.
Omnes hyperbolae inter easdem asymptotos constitutae similes sunt.
fas. 1076 pr. 172.
Conus factus ab asemprotis cum conoide hyperbolico numqua concurres 1078. pr. 175.
Aliae proprietates dicticoni e conoidis.
1078. pr. 176. 177. 178.
Omnis sectio conoidis hyperbolici axi parallela exhibet hyperbolam illi similem quae fit
per axem.
1080. pr. 179.
Parabola generatur ex sectione quadam conoidis hyperbolici, e ex duabus ostenditur
quae sit minor.
108I. pr. 180. pac. 1082. pr. 182. 183.
Item ex conoe conoide nascuntur parabolae parallela seu asymprotae. 1082. pr. 1811.
Alia proprietates sectionum hyperbolicarum in conoide hyperbolico. 1082. pr. 1 84. 185.
Similes ellipses, e similes hyperbola in conoide hyperbolico assienantur.
pr. 166. 187.
1083.
spacia conoides hyperbolicum cincentia comparantur inter se. 1087. pr. 190 pas.
1088. pr. 192.
Datur conus conoidi aequalis.
Rario conoidis hyperbolici ad conum inclusum exhibetur.
Ratio conoidis ad cylindrum illud includentem assienatur.
Conoides hyperbolicum cum conoide parabolico comparatur.
Irem cum sphaeroide.
Datur pars coni quae ad pyramideni quandam rationem habeat quam quatuor ad tria.
10G3. pr. 198.
Parces coni cum parcibus eylindri comparata. item inter se sisecta sint sectione faciente
parabolam.
Noua quadratura parabola.
1093. pr. 199. 200. 201. 202. 203. 204.
LIB E R D E CIM V 5.
De ipsa circuli quadratura.
P A RS P R LM A
1098. pr. 205.
ria Lemmata complectitur quae variis quadraturis concinnandis inseruire
P A R S S F C V N D A.
poterunt
1077. pr. 173.
1077. pr. 174.
1087. pr. 191.
1088. pr. 193.
1089. pr. 194.
1090. pr. 195. 196.
1692 pr. 197.
Orpori producto ex ductu mutuo parabolarum sub alterne positarum nihi prorsus
habenti circulare, tripla via cylindrum invenit aequalem pr. 46. 47. 48. 49.50.
5I. item prop. 68. item plop.. ex ipsius demum circuli varias quadraturas exhi-
bel, modos que reaucendi cylindrica corpora ad rectilineas maenitudines solidas.
P A R S YE R TI A.
Yverbolem quoque per cylindrum p ou a solida reductum ad
fcuras rectilineas planas un. At que und miram quadraturae hyperbo-
lica cum circular smutudivem prosequitur.
  u  1   A (. .  e 1 1 1 . 1    1 .     ut.  1  t   p a   1 e   m  t  ap    u  v

## Folio 1 — 1815201908:0058
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000058.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
os
t
78.
sit
79.
tur
85.
IBER PRIAVS
DF
INHAENM POTENTIIS
A R G V M F N F V M.
Liber husere Lemmatieus est, quemadmodum Es alter, qui de Cir-
culorum variis proprietatibus tractat. Porro quo magis materia Lectori
admanum sint, omnem in tres partes diuidere placuit.
Prima quidem maxime circa linearum proportionem versatur.
Secanda varras trianculi affectiones exhibet.
Terria illas linedrum contemplatur proprietates, qua earum po-
tentias concernunt.
AR S P R I M A.
De varia linearum inter se proportione.
PROPOSTTTOPRIMA.
s Hi LD, DC, CD, DE, lineae in continua proporrione;
media AE FTI.
licaurem media
e
  FC, incer AB,
 BC; e IRTET
AB, CD; neca GFI:
Deniqueinter AB. DF.
dco AB. FC. CII. FII. lincas esse in continua analogia:
Semonstratio.
Vadrarum AB est ad rectangulum AB C. a vE AB. ad BC. _ AB C. rectat. a 1. SonM
Contum ad AB. CD. rectangulum est ve B C. ad CD. id est ve AB, ad BC.
Lodemh modo rectangulum super A B. CD. ad AB. D E rectangulum; eAVECD
rectaneut t Ab. C D. I ell ale Gealilarten l. Cauidem cacionem conei.
BUanE
adDLd Cs. AB adBC. uaa aldeM AB det Le. Glacal. C de HV
ad BC. Igicur quadracum AB. est ad quadracum F CY; vE ABC rectangulum, ad

## Folio 2 — 1815201908:0059
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000059.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 102 lines, status machine
1 1 1 11 1 11 1 pu1 1
sn
ru
1bs.
dian
nac
sit in extrema et media ra
. Circa
escrib
propor
uma
CINE A KV B
MIanE quadFAEA AB. F C. CL1. LII. ac promde ipla linex; quod fuit demon-
PROPOSIIIO
scur altera DO Occurrens AC, in FI. X circulo in C & I
AIrculum AB C conringnnE rectx D A, DC. et duct a AC, pon
b Ibid.
ne data rectae B)
in A, hebesi potest
H
li
strandum.
Dicorectam DC. Sectam esse
in I _E FI. VE SIE D G ad GFI.
quemadmodum cst DI ad IFI.
Demonstratio.
Vper 1O. diamerro, describatur
circulus ELK dt per HI punctum
crigatur normalirer FTL, vel FTK, ad
diameerum EFI; ponaturqueD L, crie
itaque GFII rectangulo, a hoc est
AFFC, aequale rectangulu L TTR,
sine TII quadrarum; percinene igi
cur ad eundem b circulum puncta
c 34. Ferry. Quacalu ae ancarectangulo C FIBid eAc ATIC vnacum
436. Sexii. Quadraco lO: id elt quadraris HIFi, F. D. vnde L. D. quadraco rectangulum dIDC
crib. 7. xquale; ac proinde cum PC. diameter sc circuli CP. I. exir per Pappumc ve DC 2d
er. 155. OFI. ita DI ad IFI. quod fuic demonstrandum.
Scholion.
L 35. Ferrii.
G, ita at secta
idu
tiaaque arcus
T AP C. iunctaisitur DP eAt aequalistangenti D A, ad eoque tangensinam L D
Lest: Oerapretium existimtun, auqd as peculiare nomen adiungere, quo illius coenitio
maris innore cat:; placut autem homenclaturam illi appropriare, sectionis linea. secundum
mediam ex extremam rationem proportionalem: quoniam similitudinem non exicuam habet
cum ea divisione, quae in elementis vocatur, ratio media ex extrema: differt tamen ab ea, quod
illa solum sit aequalitatis, haec vero de qua acimus, omnem omnino proportionem admittat: so-
roniam multories in hoc opere recurret divisco linea, prout prasenti propositione expolita
lam aequalitatis excludens.
dbeut
a
BC, D
circula
i
ac
um, quid
omnia DE
ari
todibitue
b extremo rdian
odem
et licat practa
ut F
nehan
aB
t
intr
potes
tian
ocales liveu
 tinecm
dati
h
a
ri
1b
tuta
aetd222 Al.
X Termino diamerri circuli AB C: luman-
seur arcus hinc inde aquales, BC. BD. e
ducta qualibet C F, qua occurrar perimetro in
E, POnatur DE incerlecans AB in 6.
Dico rectam FB. Sectam eNC in A e C. me.
dia e exrrema rarione proportionali.
Demonstratio.
Emonstracum invenicsoo CIECuIS, pro.
DOL. FOT. rectam BF ad F A. eandem habere rario.
pem, qua be erH. hoccittocam lB. ad alcerum
extremOrum F A, candem racionem obtinere, quam
C alterum extremunt, Dabel aumedium A G; ergo lecta es recta FB. in A e G.
eca  exrrema racione peoporcionali. Sccundaia explicationem praecedenei
cledcco cactalit
tal
fsiaatis anet cus
8
data re
uet 
 cus aelat
rapuncto G
 ut e e   te tut p  ue eta seteat  ut e te t t et e e  at  e uet   pt ut  se   t t ete e teq ue t pat t s  e    p s a p e spue

## Folio 3 — 1815201908:0060
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000060.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
oM.
Re
A
OLLHLIIE.
R OPOSITIO IV.
Ecta SIE AB: in C ee D. nedia e extrema ratione propoctionali, de
Dcompoltca ex acesd exemarum; de media; Verbigracia C B, bifa-
OICO L L GuaataC tectangulo D E. A, Xquale exlurgere.
Demonstratio.
DRoduCaTFC A. IM F, VE C A, AF aquales snEinter SC: guOMIAI CAL BE B A 20
AC: ita BD ad DC; eric componendo, B A cum AC. hoc eA BF. ad Ti R.
id est AC, ve BC ad DC. Sed corius BF, dimidia est A F, ipsus quoque BC, di-
midia eAt FC, per constructionem.
Igitur AP, ad AC, CAVE F C ad CD. e conuerrendore AF. ad C P ita est,
EC ad DE. ErBO AF. CE. DF. sune in continuara racione. Vnde _ quadracO, 16. s
CF. rectangulum AP D. aequalc. ODuod Fuic demonstrandum.
P R OP OSIT1O 
DOancureres h ContinuaratIONO F D, F. C, FA. X LB, Hac~qu2-
II LC, _  C A. aqualis AF. dico A B. in C. d D. diuisatm este
media _ extremararione proporrionali.
Demonstratio.
riam seceturin F.
ad AC. Guate d bC da DC. Ita BF. ad AC. hoc ett ad AF. ex diuidendo
BD ad DC. ve B A ad AF. hoc est, ad AC. Ouod tuic demonstrandum:
eain etratiOCON
Lcinuata, Erium FD. L
F C. P A. erit quoque di
nidendo, DP ad Ve. e LC. de CA. lecomone eL al. MA
Corollari.
role Consequum,  ICclatSatam BDC. SCCLAHSHNO AVL. CHC
aequale, allete BA C. rectanoulo aequale exittere, Ii AD cectangiilun.
Primi demonstracio inde parec: quoniam BC. in P. Sectâ est in aequalia, et hioi
aequalia in D. rectangulum lub inx qualibus legmentis cocius BD C. ina Cu 2 qu2- 2 S. Sccun-
deaeo quod sic ab incermedia DF. aequale est ci; quod a dimidia CR. describieur
quadrato. Rurlus cum P. F secta Ac in D. recunque erit rectatiguluim AR D: b ae qua- b 3. Secun-
Lerectansulo ADB, _ quadraco D R. sed iam octensum est, AF D rectangulum 
euadraco CFi aequale, Igitur BDC rectanigulum, una cum DF quadeaco, aequa:
se est AD F rectangulo; vna cum D F quadraro. Sublaro icaque communi D F, qua-
ataro, reliduum erit BD C rectangulum, rectangulO AD F. X qualc:
que addicmrpars C. A, erie rectangulum B R C. cvria cum quadrato C F, Xqualcc 6. Sccun-
quadFaEO A P; sed CuM SCCCFUE A F, in D. VecUngUC, eriE quadeatUm AF, quale ai.
duobus d rectangulis AF D; 8 F: AD. Toicur rectangulum B A C, vna cum quadra- d +. Sccun-
t0 C F, 2qualc est duobus rectangusis AF D; F AD. Sed HOTUNI AIECTUM A F: D, d
octentum eA quadrato CF. essec xquale, his Ieaque derractis, residuutn mancbiee +. Huiu
B A C rectangutum, rectansulo P A D aequalc:
AIECEUM quIOGNE HE MANIFCIEUM CFIE. Suonta BOinF; secta est bitariam; ipsi.

## Folio 4 — 1815201908:0061
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000061.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
b31. Lt.
IN F A R V M
P R OPOSIFIO VI.
Inea AB. secta in C. d . lretant eurm de extremam racio
nemplopertionuter Haleculus luper AD. diamerro, cuius cen-
cum F, etacucent et e. adet AB. ex puncto B.
Dicorectas omnes per C. ductas quae circulo in R. _ L. OCCUTruNE ex
FB. normali in aliquo puncto C.. diuilas esse lecundum medium de extre-
mamrarionem proportionalem.
2 3. Ferrii.
C34. Ferris
Demonsraba.
EX F. centro Circuli AF D.
Lducatur recta F FT, normalis ad
rectam R CF; CLHC ICAGHC A L. VI
Fariam a dinila in II; et quia rectus
esreerque angulorum ad FT, e B
Circulus diametro (+F descriptus,
Percurret puncta HI, b e B: RC.
etangulum icacu   caqua
LCctCC Elrectansulo; elequo-
rium praccais ploponcios;
huic aurem aequale eA d rectangu-
que rectansulum BC F; rectan.
suto ACI aquales per Corolla-
d Ebid.
lum RC L, Igitur rectansulo CCFBrectansaL, aequale criciadde ergo veriqi
rectanoulo quod ex C FI. Ac quadratu, erie denuo rectangulum R C L, una cum qua
se clt TTL quadrato: reque CFT alt 1LL, sea CM LLL ad TIG. quo HC, ve
E5. Huius. Cun lIC IIE aequalis FIK. Ipla VI.  C. _ L, lecta sc secundum rarionem
drato CFI, aequale rectanoulo CCTI, vna cum quadraco CFI; sed rectanoulo
RCL, vna cum quadrato C TIostensum cAt aquari rectangulum CrMIC, Euc CC TI
C S. Secun vn a cum quadrato C FY id est quadracum cFT L. Leaque rectangulum GFTC, aequa-
excremam e media  et PalCdCACCM PEOPOATIOneM. Cuod LuIE
DR OPOSTFIO
VIY
Seo ABC trianguli b2-
SS AC dinisa bitariam
l D; actaque per Da
BL Pacateta ba(1LLC3 ac u
Cut Det 1 lllleastaculasae
LL. cElello lilaiteat Lute
latetiolto, al+6. 1.
Dico EL lincat iL de
C Punellsextrema a Mcaia
E F ad FD, sc L. C ad OD.
racione proportionali esse divilam: id est eReve
Demonpratio.
demonctrandum.
d CD. Suoderat demontctaldum.
Voniat EB, X A C lineae aequidistANnE, CFIEVEF B
dDC, id cst ad AD, SIC E F ad DF; Sed estv
FB 2aBHCL Cd CB BIE VLL L ad LB, HCL C
1
Eu i  a oi t  t  ptitu  i  i   t      su ue  s pit  e  p  e                       gu n  v

## Folio 5 — 1815201908:0062
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000062.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
POTFNELA.
In 2. fgura est FD linca in P. _ C divila media eE CXITCMA FATIONC PFOPOr.
cionali.
PROPOSITIO VITI.
IE angulus AB C dinilus bi- C.
 Fariam rectâ BD, ad quam
crecta ex B normali BF, agacur
linca quacunque P. C per pun-
CEum D.
Dico E G lineam in F _ D,
media _ extrema ratiONCPFOPOT-
cionali cediuilam.
Demonstratio.
DOnacur per D, linea A C, paralleta reCtXBB: OC.
currens anguli ABC laceribus, in A _C. Duoniam
isitur A C linea aequidistac, rectae FB. qua normalis
ponitur ad lineam BD, crunc anguli ADB. CDB rC-
cti; lunc aurem per constructionem, e anguli ABD.
CBD inter (C aequales, ec BD linea communis, igieur
criangulum ABD aeguale cscriangulo CBD, e AD
balis, aequalis bas DC: ISIEUFDETPERCCdeNLEI VE F. C
ad GD, SIC F F ad FD. Ouod erar demonstrandum.
In 2 Egura linea CD. diuila est, secundum medliam
de excremam rationem proporrionalem.
PR OeOSIFTO
ISeo ABC erian-
sgulibalis AC, in
D bitariam dunla, iun-
Atilque BD, aGATUE PCF
B linca BF, varallela
ba(I A C; dein ex C, rC-
Eta dUCAEUFC E OCCUY
rensricunquelinea BF.
in E, BD rectX inF, _
laceri AB in C. Dicoin
prima fgura: lineam
F C; in lecunda lineam
F C; intercia rectam F G extrema e
media ratione proportionali esse di-
nitam.
Demonstratio.
Onontam AC, L B. CH linex Xqui-
distanE, erie AB ad BG. VI CF ad G F;
sed eA ve AB ad CB, sC AD ad CFB
Vescur CFTlinea parallela baA AC;

## Folio 6 — 1815201908:0063
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000063.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
 1 p m 1
L IN F A R V M
hocCA DC ad GTF, HOC CH CF ad F G, iBiTUIEVE CF ad F G, siC CF ad FC.
eR O P OSITIO X.
FMIEEANEIF Ex A puncto; LInCX EreS AB, AC, AD, qux angulon
ConsticuanE B AC, C A D rectis minores. Ponatur autem quauis
E. D. Oecurrens ductis ex A. lineis, e dinila in B. X C. exrrema e me
Dico omnes lineas ex L ductas, occurrentes rectis AB, AC, AD, ab
dem media e exeremaratione proporrionali diuidi.
Demonstratio.
)VcatuT ex E, quaenis linea P F, occurrensli-
NCX AD in V, reaX AC in C, _ AH
linexe in FT deinper C, agacur linea TK; pa-
Fallela rectae BD. Ononiam BD; TK lincx x
quidistane; erie ve DC ad CB, SIC KG ad
ErT, Sed per txpocheum elt; DC 2d CB; ve
DF ad EB, IGITUECFIE VE DF ad FB, SICRC,
ad CF, ex perinurarido vi DF, ad RG+, SCF B
2d TC. esF aurem ve DF ad. RG, SiC F F ad
FC, _ vE F B ad IC, sC F FI ad FIC, igieuE
ve F F ad F Ci, AC F FT ad FTG, SE permUEan-
dove EF ad F IT, SC F C ad G TI. Ouod craE
demonstrandum.
P R OB OSITIO XI.
Seo ABC crianguli basIS AC, cui
speF B, verticem agatur aequidictans
BE; ODOFECEEK A RCCFAI dUCCTC A L, VE AF ad
EC. datam habeat rationem maioris inxqua-
licaris II ad I.
Constructio Co demonstratio.
Tuisa AC Bifariam in D, RaE, vE FY ad Y sIC AD
ad DR, iunctisque punctis BD, CriSAtUF CX H
allela ipE BD, OCCUTtENS BC LatEFI in G, THM CX A PeF C, 282-
cur linea A F, secans BD lineam IH L, et rectam F B in F; dico tactum este
quod pecitur. Ouoniam FD GR HIHCX TunE parAIleIX EFIEVE AD ad DR, SC AF
ad FC, sed AD eA ad DK ve HI dd I per constructionem igieuE, VE FI ad I sic
diFEuinS. AF ad F C= CsTAUEEM DE ~ AF A FC+ siC A F ad F G, isiEUFVE FF ad I AC AF
ad FC. Duximus  ex A Aneam, Xc. Ouoderac taciendum.
PR OFOSIIIO AII
de  lusea Meede amila iu D
Doporret illi rectam quandam C. F. adii-
CeTE, VE AE COca, in D e C, dinita (iCmE-
aia e excremaratione proporcionali.
l’on-
Ouod erac demonsteanduim.
dia rarione proporcionali.
ruie
pui i s e u 1 . . u  i . e t   A   u  u u s higu . p   tem u ue  nm onur mmu mm

## Folio 7 — 1815201908:0064
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000064.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
DO FL N FI A.
Constructio ex demonstratio.
EVDeE AC ve basi constimacur criangulum rectangulum AB C, habens ad B
Drectum angulum, _ Cx B demicratur linca B E Conticuens AIIV IIum P B C Xqua-
lem angulo D BC; DCCULECNS AC linex in F; dico tactum esse quod peciEur.
uoniam anguli DBC. CBF. per constructionem lunc intet e a guates, e AB li- 3
neanormalis adrectam BC, 2 erir AD ad DC ve AL 2d L C. dala BMMC
A C, adiccimus, ee c. Ouoderat postularum.
P E OP OSIFIO Y
Sto ABC trianguli balis AC, in
D bitariam divila, innetisque BD
ponatur per B linea BF parallela ba(I
AC: cum in LB linca, punctum Ca-
matur quoduis F, ex quo linea demit-
taLUE E C, OCCUErONS AB linex in (1,
_ rectae BD in F; dein ex C recta cri-
sacur CH, Sccans orthonalicer lineam
AB in FI. iungancurque
puncta LIF FFI.
Dico angulos FHIO,
FHC elle incer lexquales.
Demonstratio.
VCaEUX Per G linCA RL,
Parallela rectae IIC; oc-
CurreNS TTE lincx in R, _ FTY
recta in I. Duoniam isitur
ITC. RG, lINCX SUNE
Parallela, CFIE VETTC
2d RC, SC C. F ad
EC: sed ve C F ad 
FO, CCFaeAadF Cr
IBIEEVE TTC ad RO,
sC CF ad FCr: CA au-
Tem VE CF ad, FiC, GC
HC ad CL, igicurve
HIC ad KO, siC ITC
est ad E+ Li quarER C.
GL. linex (unC InCCE
Ce aequales. Rurlum cu
TTC linex, aequidistce
linea RO, CIE aurem
e TTC normalis ex
typocheli ad rectam AB, erit ex R C linea perpendicularis ad lineam AB, adeo-
que anguli FPOR, HOL recti; igicur cum ITC. G I. linex duabus lincis II C
CR luncxequales, e anguliillis concenci recti, crune ITCR. HIOI. criangula in-
cer lexqualia ex limilia, ec anguli PHC, FHI Cr aequalibus lineis subrenti, ae qu al e5.
Duoderat demonAtrandum.
bnius

## Folio 8 — 1815201908:0065
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000065.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Y. LN E A R V MI
P R O POSITIO XIV
Seo ABC trianguli balis
A C, bitariam dunila in D:
Junctilqs BB, agatur per B li-
nea BE, parallcla rectae AC,
ducaturq: C. l, Occurrens linex liB in R.
in qua alumpro pucto quonis
E, ducacurrecta LC, _ CxC
erigatur linea C F orchogona
rectX AB, OCCUErENS F. BlineX
in C2; dein ponatur L F iNCCF
secans BD in 1, _ BC in II.
Dicolincam EB in G _ V, diuilam extrema de media ratione pro
Cortionali.
Demonstratio.
Gratur per C linca Y. NI, paraHIela reCIL A B: OCCUTeNS FK in M. Ouoniarri
Lainea EC, per constructione Hormalis est ad rectam AB, crune anguli
AF L: sSiCur reliquus aSus OF L aequalis est reliquo GFR; rurIum CuM LM
linca aequidisterlinex AB normali ad rectam GC, cruneanguli F CL, FCTM rC-
eti; isicur cumtam anguli E GTM, FCFL, quam GFM, GII. linc incer sc xqua-
Les, _ FC linca communis, crune F C+M, FOT. criansula, adeoque ex lateraL. C
CM incer sexqualia. OuarC VE F B ad L C, lic FB ad GM: Sed est vE FB ad L G
sic BF ad E C, ex ve EB ad GM, hC BK ad RC, isitur vE B E ad F C, lic
BK ad K C. Ouod erat demonstrandum.
ROPOSITIO XV
Onsticuane AB, DC scccumangulum, _ AB maius HClalitC BC.
oporrer A lalus producere in D, vriuncta DC. hancproporrio
Constructio es demonstratio.
normalisipt A C, ex alia queda Cu
angulum DCB consticuat duplum anouli
C AB. dico factum eNc quod pecitur. Fri-
ganEUT ex D lincx D E, D C; _E D Fquidem
aequidistet ips F C; DG vero, rectX CP.
Duoniam angulus ACF per constructio.
nem rectus elt, ex CB linca normalis ipl
A F, CrUIHE ABC F B C. criangula similia,
ex
ddia
GF R, GF B rectis elt aurem anguluS RE B aequalis a angulo BFL, id est angulo
nales DC. AD. _ C B. AB.
Vat a C A, demiteatur ex C linca C F,
de angulus L. C B aequalis angulo C AB;
guare _ angulus D CB, recta C. F. bitara e S. Nurtum cum DC linca,
per Censtructionem aequidister recrx BC; et F D linca, ip(i F C; crit angulus
OD C aequalis angulo DCB, e angulus FDC, equalis anoulo P CD; adeoque
ODC drioulus, recta FD bitariam diuisus; sune aurem de an du DH∞, DLC
recci (cum FD linca ague C; Hoa ad A C) ec LDlinea communis,
cut cllatoccua aLEi alate cllatico dte   tacuo latelt e
aequalc.
  e   1 e. .  1 1 .  1 1  e  ti       . .  .  u    e    u 1. . 1 . 1  .     . . 1  u pu  p  11

## Folio 9 — 1815201908:0066
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000066.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
POTLN FIA.
aqualc. Ouare CD ad D A ve GD ad D A; led ett (B ad DA, ve CB 2d
BA, igicur ve CB adt BA sic C, D adt D A. Ouoadisiur AB lineam produXI
mus, ecc. Ouod erar faciendum.
P R O POS
GInE ABC ADC criangu-
Lla, inaqualis alcicudinis, (u-
per eadem bali AC consticu-
ta; oporret ducere lineam P F,
Parallelam balI AC, vE F L. ad
MF datam habeac racionem
TV ad XV.
Constructio, es demonstratio.
Onsicuancur per B & D lincae
BCo, DIT paraHlela ba(I AC:
_ DF quidem occureAEcriangulo ABC in F; dein AD producla,  ec B C. HI.
DCX OcCurraF in C, 29aTUTPeFFI, linea AFII. Occurrens BC lined in I: diuida.
curque BIin R, Ve BI ad TK datam habcacrationem YV id Y LL3 _ Cx K dc-
ictarur linea R A, OCCurrenS B C linex in L, cum per L ducacurlinca L L parat-
selabali A C, occurrens AB C criangulo in F. et L, rectae C. D productae in F, e
AD. LINCX IN NI.
Dico F L ad MF datam habere rationem in TV ad VX. P F recta ocCurraE
Lincae AIin N; Duoniam II AD, TICD criansula super eadem ba(I LID XinteE
ealdem parallelas consticuta lunc, crunc L. F, MN linex incer le aequales: dempta
isicur communi NF, vel addica M L, crunc L. N, FM, linex aequales; IgIEUE VEL L
ad T, N SIC P. L est ad M F, sed F P eAt ad L. N, 1d eAt BK 2d KI ve FV ad A;
IBICUEVET V ad V X, siC E. L eAt ad M F; duximus igirur lINCAM PF, Xc. Ouod
crac praectandum.
Idem parec euenire h dicta duo criangula, aequales hrabeane bales in directu positaS.
P R O POSITIO XVII.
VIE AB linea divila recunque in C, opOr-
cecillirectam addere BD, VE COTa A D SIE
ad AB, ve A. C est ad BD.
Constructio, ex demonstratio.
Elcripco Laper AB ve diametro, circulo AILB
erIOREUE Cx B canGCNS F B, gux SIC edia INCCF
AB _ AC; dein Cx L per F centrum circuli AIIB
recta duCaEUE F C Occurrens circulo in FI, 2dda-
curque linea AB quaedam BD, aequalis ips P. II. Dicotactum eAe quodpetieur.
Ouoniam FTB, B D linex sunE aequaleS, CrunE FTF C BD A rectangula inter le
aequalia; sed FTF; C rectangulum est aequale quadraco P B, id est ex constructione
rectangulo C AB, isicur C AB, BD a rectansula sunc inter sc aequalia; quare
AD est 2d AB vc AC ad BD. dacaeixicur lincae AB qanda adiCCIMUSYE, etC.
Duoderac poctulatum.
PR O POSITIO ZVITI.
L1O XVI.
Aco duabustcccts AB, CD, rectasaddere, Vel dettatiete, Mdala
ratione E ad F; ve compolicae vel reliquae daram habeane racio.
nem GHI ad fIL.
Con-

## Folio 10 — 1815201908:0067
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000067.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
L FN E A R V
Constru otio.
Y. T)AEx reCtX A D CB SnE inter Le Xquales.
eccamratio Lad L, quam CrFI adt FII,
Sc xequalicaris; ad dantur aute, vel decrahaneur in
racione F ad P, LInCX BR; D L, PaTCE VerItaS PrO-
POlicIOnIS.
2. Si fuerie A B maior quam CD; Sc rario
OTIadFTT, maior quoqueratione AB ad C D,
ratio aurem F, _ F aqualicatis; Dico aquales
addinonposte re compolicae linein ratione daca
OTT ad FIT. Cum enim A B ponacue maior qua
CD AaC Y B aegualis ipA C D: addacurque re-
EX AB, quaenis BK; d si ficri polIIE, HE AK
ad LK vC EFFL ad FTI. erit igIEUT FaTIO AK ad
T. K maiorratione AB ad L B, id est ad C. D: e
quia ratio CFIad TIImaior ponitur racione A B
ad F B, eric dividendo, quoque rario GT ad TTI
maior racione AT ad L B: led esEVE EF FT ad FTT
HC A K ad L K ex hypochelis adeoque ve G Fb ad
TTT,SC AL ad LK, igitur se ratiO AL adt L K
maior estracione A T ad F B: Ouod Aerinon po-
cest; ceum IB minor (C ip l2L K. Ouare lincx
Rquales addi nOH POFCFUHE; VE, _C. Demii vero
poterune aquales, vereliquae SinEMIlarione OFI ad FTI: Facta enim L. B aquali ivs
CD; Hac vECTad TTT. SIC AT ad L M, cadet M inter L ex B; (cuim AL ad Y B ostéla
Reminorem habere rationem, quant I ad TII) dein rectae MB, Aac aqualis ND:
Ononiam ipiciir per constructione est ve GI ad IFI, SiC AF ad LM, cric compo
nenido, AM ae L M, Id ett sd C. N per constructionem ve C LL ad FII. Ouod erar de
3.
Si: AB linea rursum fuerie maior rectâ
CD; _ ratiO O FTad FTTminOFPaTIONC AB
ad CD, cacio aucem P ad F aequalicaris, aqua-
les addi pOcerunE ve composiex rationem Ha-
beanc CTIadFII: hac enim I B linca, Xqu2-
lis recta CD; quoniam perhypochelim, racio
AB adT B, id cA CD per construct. maior cst
rarione CrFI ad HII) eric a dividendo, racio AY
adTB, maior racione C:I ad III; Factoisicue
VE GT, 2d TTI, SC AL adLN, PaECE T N ma-
iorem esse linea L B; nam racio GTI ad FTI
tinot ponieur raciorie AB ad IB; id eA
CD, adeoque ec rario G F b 2d LFL,MLCH A L ad L N MinOF CAFaTIONC A L a IL B:
tam CD linex addatur quadam DO ae qualisipli BN: Quoniamigitur cIE AI
aa L. XT, VECIadFII, erie componendo; AN ad T NF, id est C, O, ve CII ad TTI.
LaoactacDiilau.
Tisdem politis, LGuaes deminon porernne, ve relique datam habeane racionem
CFTad HIl: anterantur enim xquales R B, NT D; EE B heri PONIE, (IE VE CEFEadFIICIC
AR act L Rsid elFad C. M. Cumisitue perhypochesim, racio C FI ad FT I mINOE SC PA.
cione AB 2d T B, id est ad C. D, sIC aurem VECSFP a.lTII, SIC A K a dI H, id est ad C. NI,
29. G CxIEraCIO HL R ad L R, Mitsor qlogueratione A B ad L. B, d diuidendo, rario AL ad
b8. Ouinci. L R minorratione AL. 2aI. B. uod herinonb pocest cum P. P linca, maiorlicli-
ea L K. quare hoc calic demi xquales lin CX MON poreruE VEreligUIX, eC.
40 52
monstrandum.
c8. 6)uB1.
po u e is a ti a u pi  ute u i p u e . qut u    e  ti    pt ul .       pgu   em pu g . p   mru

## Folio 11 — 1815201908:0068
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000068.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
POT F NFI A.
4. Situerine A B, C B lince aquales, et rario
I, 2d F inxqualicaris, de cadem cum ratione OFI
adFTL:
Dico addi non posse lineasin racione P ad F,
vecompolice dicam habeane racionem TFI ad
FTI. Racioni enim GFIadTII non pocestaddi
racio xqualicaris, quin producatur rario minor
illa, quam haber CHI ad TII. Ergonec racioni
Equalicaris pocelt addiracio (TI adFII, quin
producatur racio minorillâ, quam habecOFF ad
III. cum caedem linr que relulEant.
Iidempolicis; deins recte porerune se-
cundum rationem R ad L, verelidue obci.
neane rationem CHI ad HIlreciproce: id
CIE, VE VETIUIGHC FATIONISANECCCdeNEeS HON
Ene in caden linea: CrigANEUE enim ex CY A
et I parallele GK, IL, Equales ipsIS AB,
CD; _ CX L PEF K agaCUE linCA P RM
equalis recta C HI, ducacurque linea M FI
occurrens CH, IL rectis in N e O. Ou0-
niam igIEUE NK OI lince siBi UEuO
aequidittane, erir O L. ad N K ablaca adt ablataM DE L. M adML R, Id CALVE GFTadFTI,
id eAt vc F. ad F per hypochesim; e ve GFTadIFT, SicNC est ad  lehdua ad rel.
duam: isicur lineas abstulimus se cundum rarionem P ad F. ve relique daTam ObEInCAME
rationem reciproce GHIad TII.
5. AB, C D lince linc rurlum incer (e aequales, ec
ratio F. ad Fminor ratione OFI ad FIT:
Dicoaddinon posse lineas lecundum racionem
F 2d ti, ve compolira racionem obtincane CTI ad
FTI. Pacec: cumrario CII ad FTI ponaeur minor
racione P ad Picatiovero P ad F aucta ratione x-
qualicaris, hacminorrarione R adF.
Tildem polcis: auterriporerunelinea, in rario.
nC P ad F, ve reliqua rationem habeane
CrHIadFII reciproce: criganeur enim
ex C d I, ParallelE CR, IL, aequales
ipsIS AB, CD: dCin CX L POF R, agaCUF
lInCA LKM: FaCtAGUC P MadRM VEF.
ad F; duCacuT reCtAM FIOCCUTTONS(FR,
II. lincis in NV e O: cricisieur LO ad
NR, ablaca ad ablaCaM, VEL. MI ad MIR,
id eAt ve F adF; _ NV C ad OI, religna
ad reliquam, ve GTIadIII.
A
6. Sincicerum AB, CD linex aequales, d ratio P. ad
F, maior rarione (TIadFII;
Diconddi posse lineas, in rarione E ad P, vecompo-
Scae habeane rationem CFIadFII. Demitrantur enim
ex G _ I, parallelae GK, IL, daris AB, C D lineis xqua-
lesi e exK per L agacur parallela GFI recta RM, VE
RMTSICadLM, licuc li ad F; cum ex HI per M rect a 292-
cur YLN; occurret illa lineis IL, GKin O _N: Cum
enim racio F. ad F, id CstK M ad L MI, maiOE PONaCUEFA- C
tionc G FF ad FTI, eric a dividendo, rario R L ad L M,
maior ratione OIad TFI; adcogue LMI recta minOE
b ipsa FII. Duare et AM producta secabir lineas II,
GK in O_N: vnde N K est ad T O addica ad addicam,
vEKMad F. M, id CA P, ad F, de C, N ad FO, ToTaad 10.
cam, VcC, FL ad H I. Ouoderac prium.
Tildem

## Folio 12 — 1815201908:0069
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000069.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
L IN E A R V V
Tisdem POstiS, POTCFUnE auFerrI
lineae, in racione F ad F, ve reldux
datam habeane rationem C FI act
III reciproce. Friganeur enim ex
C_I Parallela CR IL; Xquales
rectis AB CD; _E CK L PCF. X
AUCAEUELINCA PR MI, VEL M CC ad
MK, quemadmodum cst P ad F;
ducaturquerecta MFT, OCCUETCNS
ad MK; id cA F ad F; ee N C 2d OL, reliquam ad reliquam, ve C FI ad III.
y
Sit AB maiox recta CD, habCAEqUC F
ad F eandem cacionem, quam AB ad CD,
quae ex cadem sic cumratione G FT ad FI F. Ad-
di porerune lineae in ratione F adF, VE COm
Polica, rarionem habeane GFT ad FTT. addan-
TuT enim BK D L linex, Sccundum rationem
P ad F: Ouoniam igitur per hypochelin, AB
est ad CD, ve P ad F, id est perconstructio-
nem ve BK ad D E, Cxit ~ AR ad CL, VE AB
ad CD, id cA CFI ad FI1.
Tildem politis: demi pocerunelinex, irarione F. ad F, vereliquae racionem h2-
beanE GFT ad FTT. demantur enim BAI, DN; Ononiam isitur CAvE AB ad CD.
sC F ad F, id est per constructionem BMI ad ND, cric AM b ad C N, reliqua
ad religuam, ve AB dut C_ saCvE OTI ad HII. Duodcrac demonstrandum.
8. Sic ratio AB ad CD inxequalicatis; de
maior quidem, ratione OFI ad TIL; GIC
aurem racio F ad F, maior ratIONC AB
ad CD.
Diconddiposse lineasinratione P ad F,
vecompolex habeane racionem CFTI ad
TII. Facto enim RL ad NIT. vE F ad F,
CFISANEUE Cx R _ M ParaIICIa, R N, HIO.
aqualesips AB, CD; innetilque N, O,
AaCVE OTI ad HII, AC N P ad OP; QE CX
P per L linCAASAEUE PR qua (cum ratio
NP ad OP, id est OTT ad TIF, minor
AcrationC KL ad ML, id es F ad F, ad-
eoque PLnoxquidistec ipsi OM) cone-
niet cum OVI, NK lincis, in O eE R. Vn-
de paTCE MIO ad RR addicam ad addi-
FaM CAE, VE KE ad LMI, id est peF CON
Cructionem ve F ad F; _ OO ad NR,
cocam adtoram, ese ve NP ad O P, id est
OTI ad FTI. Tildem posieis:
Dico demi posse lineasin ratione F ad F,
vereX obtineane rationem OFT ad TIT. ProducatuE enim ON, donec cum
MK linca, conveniat in Z: Factoque OT ad NT, ve OTT ad TTI, _ sumper
LS aquaMipE ML, criE NT maior ipla NZ, X RS minor recta RZ, veosten-
dam; quare s ex T per S aZAEUE LinCA OCCUIEFeNS NK OMI lincis, in V dt Z,
factum crie quodperieur. Ouoniam enimratio OZ ad NZ, id est OM ad NR.
id estper constructionem AB ad CD, maior ponicur ratione GFI ad TTI, id est
29.6 C alt L L, erie diuidendo, ratio ON ad NZ, a maior rarione ON ad NT.
vnde NZ minor est linea N T. eodem modo cim rario F ad F, id cst MS ad
KS, exhypocheli licmaior, ratione AB ad B C, id eAt ONt ad NK, id est M L
2
Duod exat demonstrandum.
OK IT lineis in N et O. Patet LO ad NK ablacam ad ablacam CHC, VE L MI
Brbid.
M     e e.  i       1      et  e a t a       t  ta t   u            t  t u  p  .

## Folio 13 — 1815201908:0070
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000070.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
O TFNI L A
ad K Z, erie quoque dividendo, FAIO NIK ad KS, maior racionC NK ad K Z.
guare e KS linea bminor linea K Z: _ recta FS, secabic lineaS OM, N R. vn - b 10 guinet
EC PaTCE X MI esC ad V K, ablacam ad ablacam
ec OZ elle ad NV, reliduum ad residuum, ve
9. Sifuerine AB, CD linca inaquales, e
ratio Ii adE eadem cum racione OTI ad FII,
quae minorheratione AB adCD;
Dicoaddiposse lineasinracione P adF, vE
compoliex racionem habeane C Flad FTL, rC.
ciproce. Fiac enim ve L ad L sIC KL ad NIL, e
MN adRNI; Crectilque ex M _ K, paraIlelis
RO, MI P, Xqualibus, ipsis AB, CD; iungan-
TUF O P, tacque vE C HI ad FTI, SC O H 2d
PR, _ PS adOS, et PO productAOCCUITAE
MIN linexe in O. crie PS maior quam PO, 8
NIO minor qua MN, ve ostenda; tu recta du
CaLUFSL; GuIX SCCCF M P O K lineas in V exT; 
PM ad O K, id est per constructionem ve AB ad C D, _E MN ad RN, VEF ad F
sit aurem ex hyporhetiratio A B ad B C, majOFrationC L All F, CTIErAtIOM O 2dKB. C,9. Ouin
maiorracione MI N ad K N, _ dividendo, crAEIO M K ad R Q, MaIOEraTIONC MK ii
ad KNI, QuarCM  linca minor est linca MI N. eodemodooledicur PO rectaminor
recta PS. Vndc R I cA ad M V addica ad addica veKL ad MI L, Ia CA P, ad F, _ P V
adOTcocaad eocam, ve P S ad OS, id es CTIad FII. Similiter addicio hec recipro-
Ca lrecta dUCAEUE N R OCCUETONS OK, P Mlincis, in Z e L: cric enim Z O ad Z B,
addica ad addicam, ve OR ad P R, id es per constrnctionem ve CFIadFTI, id est
exhypoches ve F ad F; dE ZMI adZK, COFA Ad EOLAM, RCCIPEOCO, VE MI N ad KN,
id eA per constructionem ve D ad P, id est ex hypochesi veC HadII l.
Tisdem policis: Dico addinon poste lineas in ratione P ad F, DE COMPOLCA ACad
composicam, in ratione GHI ad HII ordinace; id eA re veriu (que rationis antecCF
denées sine in eadem linea: addaneur
enim secundum racionem P adF, linex
BK, DL, _ G Aeri pONIE, GIE AR ad CL.
VE CTIad TII: CFIEIGITUIEVEAR adCI
SC BR ad D L, (quia ex hypochesi r2-
eio FadF, eadem est cum ratione G FI
adHII) adtcoque de AB ad CD, VEAR
ad CL, id cst ve CTI adFTI; quod eHt
concra Suppolicum: nam racio AB ad
CD maiorponicur, rarione WFIadHII:
quare ordinaca additio non continger.
Sed neque hoc calu decractio ordinata, aUFrCCIPHOCA COnEinSEE. DerrahAnEE
enim ordinacim linex BMI, D N, in ratione P adF; _ SI ACrI pDSIESIE AMI ad CN,
vE GHI ad FTI. Ouoniam isitur AB ad CD, maiorem habellarionem, quam BM
ad DN, id est F ad F, eric AM reliqua ad reliquam C N, in maiori ratione a 33. Guin-
quam AB ad CD; adeoque mulcomaiore quam E ad F, id est cHlad HIl: quod est
concra hypochesim, cum ponatur eadem cumracione OH ad FI L: quare ordinata
decractionullaAec.
Dereciproca derractione sIC ConAaBIE: RAE VEF.
2dF (icL D ad K B; C SIACRI POHIE, (C AR adC L,
DE GFTad TTI. Cum igitur ratio AB ad C: D, ex
hypochelimaiortc ratione A K ad CL, id est C FI
ad FTF, AAC AK ad CMI, vE AB ad CD; cricq:
CM linca, b minoripsa C L: quarECLM SEDE AB
ad CD, SiC AK ad CM, eric quoque cK B ad M D,
relidua ad reliciuam ve AB ad C D; adeoque KB
aIOT, quam MD, de mulco maior quam LD
Sundet coneca trpochetim; non ioicue decractio.
reciprOca COntIHSCE.
vE MS 2d RS, id est vE F, 2d F:
DT ad NF, id est ve CH ad FII.
iamrsItur MIO eA adRO, ve
Ouim
10. Sine

## Folio 14 — 1815201908:0071
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000071.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
L IN F A R V X
F0. Sint AB C D linex inaequales, XC F2-
tio P ad F, eadem cum ratione CFI 2d
FTT, quae maior sic rationC AB ad C. D.
Dicoaddicionem, neque ordinacam, ne-
que reciprocam Acriposte. Addancur enim
ordinacim in ratione F ad F, linex BL,
DM. XSiticri POME, SIC A L ad C. NI, VEOTI
ad TTI. Ouoniam cA BP. adDMI, VE AI
ad CM, isitur eric quoquea ratio AB ad
CD, eadem cum BL ad DNI, hoc eAt V
ad F, vel ETT ad FTT. quod est CONTrA
suppolicum; ponicur enim ratio AB ad CD
minor racione F ad Fi. led neque reciproca
additio Continger: AAC CnIM VE F, ad F, sIC
DL ad B K, addica ad additam, d sheri
DOME, SIC AR ad CP ve GIT ad TII.
Fiacq; ve GFI adFTI, sicAB ad CM D crie
CM minor quam CD, quia racio AB ad
CD minor est ratione GFT ad FTI, id est
AB ad CM. isitur cuIm (IEVE AR ad CI
id est GFF ad FIT, siC AB ad CMI, crie
cBK ad ML, reliduum ad rcliduum ve
A B ad CM; adcoq; B R MaIOF IpLA NIL,
e mulco maior quam ID. Ouod cst con-
erahypochelm: quare nec addicio reciproca
Concinget.
Tisdem policis, neque ordinata detractio
concinget: decrahancur enim in racione F ad
F, linCR RBL D, _ Si hcri PONIC, sIC AK
ad CL, VE CTT ad FTI; Ouoniam igieur
ratio AB ad CD, ex hypoches minor cA
ratione F ad F, id est RB ad P. B, ablacX ad
ablacam, eric d racio AR ad CL, reliqua
ad retiquam, minor racione AB ad C D.
adeOGuE MUIEO MIOF ratiONCRB ad L. D,
id es CFFT ad FTT: quod estcorra suppolcum
quare decractio ordinata non concinset.
Conringet vero derractio reciproca
hoc modo. Friganeur dux paFaIIClX RNI.
L. NV, aquales iplIS AB CD; innetisque
Punctis MN, KL AaC VEF ad F, SIC MO
adNO, _ NP ad MIP, icem vE CTT
ad FII, AC RO ad LO, _EPR adRR:
CadCnER _ P incra concurlum lincarum
OP, OR, vc octendam: quarc rectx du-
cancur RO, P O: X PO quidem sCceF
lIneaS RMI, XT in S ec T. R O veroli
neam P Oin V, Q TcctASMR, LNIin Z. ec
Z ConveniantO P. RO lincxe in B. Ouo-
niam ratio AB ad C D id eA per constru-
ctionem MR ad NT., id eA N B adt MB,
minox esratione F. ad F, Ia elt Per constructionem P N ad M D, crir diuidendo,
Duin-c quoque rario NM ad MIB, l Lacione NM ad M P; ad cOquC MTP lincaeminor
110. Bum. Tuaut MB. Cocemmoe ochaitur R R linca minor quam KB: quare innatx RO.
O secabune lineas M R H L. Marctum elt: inde NY cst 2d MS, 2blata 2d ab-
latam, ve NNP ad MP, id eltF. 2dF, _ SKcst ad T L. reliqua ad religuam, veSO
d LC, id est Gi H ad HI: Cimilicer exic M Z. ad N X, ablaca ad ab laCaM. vE MC
2
e ui pas pui ert tse pet p ete    p   te at a  te   tet 1   t es       p s  prte  at   i  t e p it ue pr teae s ap  1 e   A 1

## Folio 15 — 1815201908:0072
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000072.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
LLLLLal
ad NO; id est B adF; e XI. 2d ZIC, reliqua ad reliquam, ve L R ad R R, id eAt
G FI ad FTI.
ET. Sincicerum AB CD linex inaquales, e ratio C FL ad TTFminOF raTONC AB
ad CD; ratio aurem P. ad Pminor racione CFI ad TTI:
Dico cam ordinacim quam reciproce addi posse lincas, inracione P ad F, ve com
policae racionem habeane CFT ad TII. AaCCNIM VE F 2d F SIC I MI adK N, _E K I
adIN: crectilque ex K de P. ParallelisR O, I. P, qua rectis AB CD, lint xquales;
iungancur pancta P O, Rarquere CFIadFII, siC P R ad O R; OCCUETAEAUTeI PO
recta ips LM in O, Cric O R MaIOF
rectaOO, e I O minoripla LMI: vE
octendam: quare ducta ex M per R
linCA MIRS OCCUITTCE OR, PL lincis
in S ex T: iunetaque RN, caldem lc-
Cabic in V ex X. Quoniamergo racio
FNIad RMI; id est per constructioné
racio P ad F minor estracione L. O ad
KO, id est L P ad OK, id est AB
ad CD, Criediuidendo, a quoque ra-
Eio P K ad KM, minor raciONC L. K
ad K O, adteoque LM linca, b maior
recta LK: eodem modo ostendieur
OR recta maior rectâ 0O Vnde
L Tad K 5, Ordinatim addica ad addicam est vE L. MI 2A RM, id est P ad T; X F P
estad SO, compolira ad compolicam, Ve PR ad OR, id cHt C LL dd LI L. ISHE OI.
dinacim lincas adiccius, Xc.
Reciproce rero posse rectas adiici; in ratione R ad Ld0. MC ossendo. VH est ad
T X ad dica ad adcticam; ve K N ad L N, id est per constructionem ve D yd F; de X P
est ad OV eota ad roram, uc P B adt OR; id est C HL ad HILi isITUF; _C.
lildem potiris: Dico detractionem caim
ordinacam, quam reciprocam ticrinon pol-
sc. Derrahantur enim ordinacim linex RB
T. D, inracione F ad F: e Cheripolic, sic
AK ad LC, vE CFI ad HII: Ouoniam
igicur racio AB ad CD maide ponicur ra-
cione F ad F, id eA KB adLD, erie quo.
queracio AR ad C F relidui ad reliduum,
cmaiorratione AB ad CD, quod eAcon.
xrahrpochelim; cum racio AR ad CP id
CA CHI ad HIL, minor ponatur ratione AB
ad CD. quare ordinata decraetio non COn
EINGCC.
Dercciproca derractione sic consta-
bic. Decrahantur reciproce LD AB,
inratione P, ad F: & lteri pollic, sc
AKadCL, vE GFI 2d FII; tiac deinde
VEAB adCD, sC AK ad CM, exir
recta CM minor quam CL, quia racio
AE ad CD, id est AR ad CM, ma.
ior Donicur ratione C FI nd TII, id
CA AK ad C. L. isitur cum (IC VE AB
ad CD, SC AK 2d C M, ablaca ad ablacam, erir R B ad M D; d reliqua ad re. dig. 9uit
ligua, ve AK ad CM: _ RB linca, maior linca ND: adeoque mulco maior .
recta L D. Ouod est concrahrpochelim: quare decractio reciproca non continget.
12. Sinc AB. CD linex inxquales, et ratio P ad L minorratione AB ad CD,
maior veroratione CHT 2d FTY;
Diconeque Sacim, nec esproce Mmeas pose derrahi, in ratione P ad L; ve
religuae obtincanc rationem C HI ad HI. deatur enim reciproce in rarione Lad F,
CCC2
b. 0 Qim
c93. 8uit

## Folio 16 — 1815201908:0073
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000073.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
  m puapem p an 112
3
L IN F A R V M
rectX F D KB, _ Aheri pONIE, SIE AR ad CF vE OHI
ad FTT, Hacque VE A B ad CD, SIC AK ad CNI, erie
CM minor ipsa CE, quiaracio AB ad CD, id est
AK ad CM, maior est ratione GFTadFTI, id cA A K
ad C L, CUM IGIEUFSIEvE AB ad CD, SIC A R ad CNI,
exit _ KB ad NID, reLduu ad FCLIdDUI, VE AK
ad CM; adeoque KB maior ipsa DID, e mulcoma:
ior recta F. D. Ouod est contrahrpochesn: quare de-
eractio reciprocanon continget. Sed neque ordinara de-
tractio, calu hoc COnFINSCF.
Decrahantur enim in ratione P, ad F, linex RB
FD; e A AerI DOMIE, (IC A K ad CF, VE OFT ad FII.
cumigiturratio AB ad C D, maIOE PONAEUE FaTIONC F
adF, 1d est KB ad = Ed  eric _ rarIO AR ad CL,
maiorratione AB ad CD; adCOGUE MULEO MAIOEEa-
cione OHI ad FIT, id est AR ad CL. Ouod cA CON-
era hypochelim. Pgicur neque ordinaca detractio Aeri po.
test.
Tisdem positis, neque addicio ordinata continget.
Addantur enim in ratione F ad F, linex BL, DNI.
_E SI ACrI POSIE, SE AL ad CM, ve GFF ad FTT.
Duoniam igiturratio AL ad C NI, id cA C TI ad
FTE, MINOT POnieUT PaCIONC P ad F, id cA BI
ad DMT, Crit BraCIO A B ad C D, mInOE PAEIO-
nCAL ad CM, id est G FT ad FTI. Ouod est
contra tirpochelim; quare nec ordinata addicio
Contingct.
tildem posicis additio reciproca heri porerie:
AaE enIM vE E ad F, AICK F ad M L, eE MDT ad
RN, crectisque ex M _ R parallelis RO, MP, qua
rectis AB, CD sinc aequales, iungaNEuE OP, e Aac
OOad PO, item PR ad OR, vE GHI ad FTI, oc
curracque PR linea, rectX MIN in S; pacec ex Expe di-
Etis, 5O lineam minorem esse rectâ OR, _ SI mi-
nOxem ipCa RN; quia racio A B ad CD, id cH NP ad
OK, id eAt PS ad OS, maior est ratione C FI ad FIL,
id est PR ad OR: iEeM NIS ad RS, maior ratione
MN ad RN, id es F ad F. Ouare iuncta R L sCCA.
bic rectas, OR PM, in F _ V. Vnde R L est ad
MV, addica ad addicam, vE RL ad M L, id csF adF
_E P V ad OT, COMPOSIEA AdL COMPOTIEAI, VE PR ad
OR, id est per constructionem C IL 2d TII.
Addiicerum pocerune linex inratione E ad F, VEO R
minorveriu sque racionis ancecedentes habeat: ducaeur
enim in eadem AgUFA, ex O per E recta; occurret illa
lineis PV OT in Z, _ X; quiaratio OO ad PO id
IL GFT ad FII, MINOE PONIEVEPaEIONC RP ad LM, id est R ad F; nam B L2
lireanon concurrerercum PV, OF lineis, sed illis aequidistarec, csecratio RL ad
ML, eadem cumratione OO ad P. . Duod CA CONETZ HYPOTHeSIM: OCCUTFCE
isitur LO linca, rectis PV, O T in Z eFX. Vnde R Z eA ad MZ, addica
ad addiTaMI, VE KL. ad M E, id eA F ad F. e OX ad PL, vt OO ad PO. id
eA GTT ad TII.
13 Sinc AB CD linex inxquales; eatio rero GH ad FIF, minorratione F. ad
F; quae maior sic ratione AB ad CD. feri non porerit addicio reciproca. ad.
dancur enim DK, BL in rationC F ad F, _ Si tieri pOHE, sIE AF 2d, CK vt
CH ad HI. dein hac vE AB ad CD, ita B L a D N: eric DN linea minor
recta
o si   i i ui       t n          m     mma

## Folio 17 — 1815201908:0074
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000074.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
recta DK, cum ipsa B L minor po-
NatUE reCtADK, adCOGUC EOTA CN
MinOE, CR. isitur cum lIC VE AB ad
CD, Sic BL ad DN, ee componen-
do, vE AB ad CD, SC AT, ad CN
cricratio AI ad CN, minor racione
CTT ad FTI, id est per constructio.
neMFaLIONC AL ad C R. quod Reri
non porest; cum CN linea minor (E
recta CK: quare addicio reciproca
NOM COnEIHSCE.
Neque etiam ordinara detractio hc-
ri pocerie: demantur enim linex RB,
T. D in ratione P ad F, e si fieri pos-
SIE, SIE AK ad CL, ve OFF ad TTI;
Ouoniam igicurracio AB ad C D, mi-
NOE POnItUIEEaTIONC RB ad L D, siuc
P 2d F, crit ratio AR ad CL, id cA
GTF ad FTY, a mInOE FATIONC A B ad
CD, quod est contra SupPolcum:
quare ordinata derractio non contin.
SCC.
Decrabicamen porerune linexe, in ratione P ad F, ve reliqua LeCiproce habeane
racionem GFI ad FTI. Fiac enim ve E 2d F, hC RL. adNL, _E MIN ad RH;
crectilgue ex R ex M paraHlelis RO, M P, quae rectis AB, C D, Mhexquales, iun-
SanCUE O P; d HaEVE GFT ad FTF, sic OO ad PO, _ P R ad OK: OItchaCU
vein calu decimohuius proposicionis puncta N _x R, CNC INEFA CONCHEIAI HNCANHM
LN, OR, quare ductx RL, NO lecabunt lincas OR, PM: d NO quidem il-
lassecet in S T, recta vero RL cildem occurrat in V e Z. PaceE FM esse ad
SK, ablacam ad ablacam, veM N ad RN, id est per constructionem ve F. ad F, e
SO cNcad PT, reliduam ad reliduam, veOOad P9, id est C F1 2d L1 L.
Addi eriam porerunt ordinarim linex in rarione F.
adF, ve compolica racionem habeane C: II ad ITI,
agacur enim ex R per N linca R N, occurrerillare
Etis OK PMT: quod laepius ostensum cst, cumracio
Z R adV R, id est P R ad OR, id est per constru-
ctionem CTI ad FTI, minor ponacurratione F ad F,
id est MI N ad K N. OccurraEisIEUE In Z _ a. CFiE M a
ad RZ, ad dica ad additam, VE MIN ad R N; id cAt F
ad F, et Fa ad OK, compolica ad compolitaM, VE
PR ad OR, id est GTIadTII.
Rurlum ad dipossune linex ve minor OK, veriusque
racionis, habeac ancecedentes; ducatur enim ex 
per L recta, gua cum OR, P MI lineis conveniet vE
octesum (xepius; quiarario OO, ad PO minor estr2-
tioneKL ad M L: ConveniatigItUE in B _L Y CrICK y
adMIB, addica ad addicam, ve R L ad ML, id eAper
constructionem ve P, ad F, _ Oy ad PB, cota ad t0-
tam, vtOOad PO, id est GH ad H I.
24 Sincicerum rectx AB, C D inxqua-
leSs FaLIO VerO P ad E maiOE FaTIONC AB
ad CD; gua eadem sic, cum ratione GH
ad FTL: neque addi, neque demi ordina-
eim pocerunt linea, in racione R ad F, ve
composiex vel religua, rationem habeane
GFT ac FTI. addancurenim ordinacim li-
nCx BR, D L. inratione P ad F; & SiReri
Postic, Ec AK ad C L, ve OFI adt III. Ouo-
D. O Y ENF
a33. Guim

## Folio 18 — 1815201908:0075
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000075.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
 ua pu n ur u
L IN F A R V M
219.  in. Miam isieur A R est ad CL, vE AB ad C D, eric a relioua BK ad D F reliqnam, id est F
319. G
linec, dec.
GFIadEII, id est per constructione AMddC N, eric b M B reliqua adreliquam ND,
VE AB ad C D; Ouod cA conrahy hC, M. Duare ne que ordinarim demi porerunr
Ticdem polcis; neque addicio reciproca
feri poceric. addancur enim lince D K. BL.
secundumrationem F ad F, et s heri pol-
SIE, AEA L ad CK ve OFTad FTI. cric igIeUE
AL ad CK, VE AB ad C D, e HL reliqua
2d religuam DK, rE AB ad CD: quarc
BL maior quam D K. Ouod est concraty-
Pochelin. Vnde addirio reciproca heri
nOn Pocerit.
Pocerunctamen decrahireciprocelinex
in ratione F, ad F, verelique rationem obrineAnE
GTT ad FTT: FaC enim KL ad ML, VE GFT ad
TTI, crectiIque Cx R _ MI paralleliS RO MN,
quae aequales sinc lineis AB, CD, ducaeur recta
ON; occurretilla lince KI in I; quia OL est
ad NL, VE O K ad NM, id cs re AB ad CD, id
est EFT ad FTT; id CAEPEF CONStrUCTIONCI VEKL
adMI: dein OP facta equali ipA NL AACVEF
ad F, (ICK O adM O, ducaturquerecta O P: OC-
curret illa lineis OK, NM, quia ratio OL ad
N L, id est O FI ad FII, id cs raTIO RE ad NTL,
MInOE PONITUEFaTIONC F. ad F, id cstR Q ad M O:
adeoque MO lineac minor rectâ ML: secerigi
TuF P O linca, rectaS O R, NYM in V _E Z: PATCE
V M eNc ad Z R ablacam ad ablacam, VERO ad
M O id est F adF: X NV essc adO X, reliduum
adresduum, ve N P ad OD id est CFTad FL
Addi etiam porerunelinex in ratione F, ad F,
reminor veriulque rationis habcat ancecCdenteS.
Factâ enim RR aequali ipsi MO, ducatur recta
PR: occurret illa lineis OR, NM in S _ T:
quia ratio MI R ad RR, id est F ad F, maiorponitur ratione G FT ad LTT, id est N P
ad OP. VndC PAECEMI T ese ad R Saddica ad addiFaM DE M R ad R R, id est F ad
E, et NT esse ad OS, compolicam ad compolicam, ve N P ad O P, id est C, II ad FI I.
15. Siciterum rario AB ad CD, eadem
R cum ratione OFI ad FTI, Gux maiOE SIE
ratione F adF; dico ordinacim addi, nec
demi posse lincas, in ratione F ad F, Ve
compolice, vel relique, racionem hrabeane
EFT ad FTT, addancur enim linca BK, DV
in ratione F ad F, de E Aeri polSIE, CIE AK
ad C L, VE GFF ad FTT: CFIEIGITUIF DE AR
ad C T, SC AB ad CD; vnde _ BK 2d
DE, id estper constructionem F ad F, ve
AR ad CF, id ett CHL al ILL. addest concrahypochelm: isitur ordinata addi-
AE SC A R ad C L, D BALaCSLA CIHLHHUT AR ad CL, VE A B ad BC, quare _BR
ad I. D, id est P ad F, VE AB ad C D, quod eAt concrahypochesim isitur, etC.
Neque
adF, VE A R ad C L, id cCt exhypocheli OTTad FI L. Ouod est contra Suppolicu. Ouare
ordinaim addi non porerune linex, dec. Neque dernipollune linex in racione Fi adL
ve relidux rationem obcincane CFT adFIL, auferantur enim linea MIB, N D in ratione
E adt F, dc (IBCri pOMIE, (IEVE OTI ad FII, SIC AML ad C N, CuigIEuFSEVE A B ad C D, (1∞
c10. D) uino
cionon continget.
Fodein mododecrahantur ordinatim BK, F D, in ratione F ad F. ex S heri pOL
pi ui  i su suie a pt sui u eset tis ae i e  ur  e i  in e p     tu e e p    ap  u   m mup

## Folio 19 — 1815201908:0076
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000076.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
EOF ENYI A.
Neque clam acat, vel demi re-
ciproce porerune linCx In EaTIOBE
E ad F, verclidux vel composiex
racionem hibeane CFIad FII. 2d.
dancur enim DL, BR in ratiOnCP
adF, _ S Reri pOSTIE(IE AR ad C I,
De GHIadFTL: cricIgITUEDE AR 2d
CL, SIC AB ad C D, quare _ BR ad
DL, CA vE AB ad C D, ideoque BK
maior ipla DL: Duod es concrahy-
pochelim: ergo, dec. eodem modo
octenditur decractionem secipro-
cam heri non postc.
16 Sicratio P ad Fendem cum ra-
C
cione AB ad CD; minor aucem L
racione OTTadFTI: dico ordinatim
addi nec demi posse lineas in ratione C
E ad F; sic ve compoliex vel reli-
quae, rationem habeanc OFIadTII.
addancur enim BK, DL in ratione
E ad F, de si heri postic sic AR ad
CE, vE OHI ad FI L: cricigiturra-
eio AR ad CL, id est C FL ad HI I, maior racione BR ad C L, iil cA F, 2 F, Guare
_ratio A B ad C D amaiorrationC AK ad C R id est C HL ad HI L, uod elt conEra ~ 33. Quim
hypochesim: igicur ordinaca addicio non continget.
Eodem plane modo octendicur, ordinacam decractionem Aeri non poste:
Derrahi cumen reciproce pocerune linex in ratione P ad F, vr reliquae rationem ha-
beanE C HI ad FII. FIaE enIm DEF ad F, SIC X L. ad ML _ M O ad XO, crectis
que ex Z _ MI, Parallelis Z O, MN, quae lineis AB, CD, SnE xequales; duCaEUF
ONlinca, gua occurrec Z L linea in L, quiaOX
es ad NM, id elt A B ad C D, vE X T adMI, id
eAt F ad F; dein hacve OTT ad FTI, siCO P adN P,
eric NVP lincaminor linca NVL, quia rario OP ad
NVP, id est OFIad FII, maior ponicurratione OL
ad NL, id est Z L ad MT, id est F ad F velapius
octensum: quare iuneta PO secabir lineas OX.
NM in R _ S: CriequE SM id R X ablata 2d
ablacaM, VEM D ad XO, id CA F ad F, _ recipro-
ce OR ad NS, veOP ad N P, id est C HCad HI.
Addi vero reciproce linex non po-
cerun in racione F 2d F, _c. addan-
cur enim linCx DL BR in racionc F
adF, e sI ACrI POME, SIE AR ad C. L
ve C HInd FII. FIaEquC vE A B ad C D,
ita BM ad D L, cric BM maior quam
DL, adeoque muleo maior ipLa BR.
eAIM IDITE SIE VE A B 2d C D, SC BM
ad DL, e componendo, AM id C I
VEBMI adDL, id est AB ad CD, crie
FACIO AM ad C L MInOF FATIONC AR
ad CL, id est C HI ad FII; Ouod Aeri
non porest, cum AM recta maior (II
recta AK. quare reciproca addicio non
COnTInSCE.
E
17 Sic icerum racio F, ad s inaequalicacis, e eadem cum ratione AB ad
CD, que maior sic ratione CTT ad HII, dico ordinacim lincas in cacione F ad Fi
demi vel addinon posse, vereliquae vel composirae racionem habeine CFL ad FII.
deman.

## Folio 20 — 1815201908:0077
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000077.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
13.6)ob
L. N F. A R V 1
demaneur enim in ratione P ad F, linex
BRL D, SIEGUCL ACrI POMIE AR ad CL
ve OTI ad HII; CumigieOE (E DE AV
ad CD; Sc F ad F, Id eAt K B ad F D
ablaca ad ablatam; exir _ AK ad C L
reliqua 2d reliquam, ve AB ad C. V,
quod est contra hypochesim: cumracio
AK ad CL, id est perconstructionem
EFT ad FTL; minor ponatur racione
AB ad CD. Ouare ordinata decractio
non continget.
Eodem modo probatur ordinatatm
additionem herinon polse.
Sed neque detractio reciproca con-
cinger: demantur enim in ratione F. ad
F, lincx RD, LB; _ GhCri pONIE, BIC
ve GFT ad TII, siC AL ad CK: AAE
dein VE AB ad CD, HC MB ad HD
eFIE MIB maior, quam RD, adeoque
muleo maior rectâ L B. igitur cum sE
vE AB ad CD, SC MB ad RD, CriE
_E ANE ad C K, vE A B ad CD, sed
ratio AN a 2d C K, minor es ratione
AI ad CR; ioitur SE Fatio A B 2d CD
minor est ratione A T ad CK, id eAGFF
ad FII: Duod est concra hrpocheum.
quare nec reciproce linex decrahi Po-
terune inratione F ad F, EC.
Pocerictamen heri additio reciproca, _c. Fiar enim
vEF ad F, (C RL ad ML, crectisque OX R e H
Parallelis KNI, MIO, qua AB, C D lineis sinC X qua-
les; ducatur recta ON, Racque O P ad N P, iTCM NR
ad OR, ve GFI ad HII: OCCUErAEquE OP linCa LC-
etx RM in O; crit NO lincaminor rectâ N P, quia
ratio OP ad NP, id est GHI ad TI  minor estracio.
ne OO ad NO, id eAt OM ad NR, Sinc AB ad
CD: quare _ iuncta PL SCCaBIE linCaS NK, OM
in S _ T. Vnde RS esad MT, addica ad addicam
VERL ad HL, id est F ad F, _ OF ad NS, ve
OP ad NTP, id est GFT ad FTI.
Addi eriam AC Pocerune linex in ratione F ad F, vi
NK minor veriulque rationis habeat antecedentes. du-
catur enim recta RI: occurret illa lineis OM NK in
 _C Z, quia ratio RI ad NE id CH F ad F maior
DOMIEUFFATIOHC NR ad R O. Vnde Crit R X adMV, addica ad additam, VE KF
2d MF, id est F ad F, eF NX, ad OV. compolica ad composITaM, VE NR ad
RO, id est OFI ad TTI.
Scholion.
3C
ossent in hac propositione plures casus determinari, ex aliqui etiam, quibus propositio 
soldi non potest: sed ne taedium Lectoto auserum. onsa absctatobi fatio esse an, viam
ad reliquas determinations ota slcso axeruisse.
   a pt ut s e  puea put  u u e u u u  s it   te pu e   e  pi  p (    u  p . .   p 1   v u a u  p  Mpure

## Folio 21 — 1815201908:0078
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000078.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
Ca
A R S
PO TENTLA.
dF. C
De Frianculis, eorumque propriecatibus.
PROPOSIFIO X
 Sto AB C ciangulum Ilolccles, habens
sds AB, AC, lacera aqualia; duCanEUTG.
ao ex A et B normales AF, BD, adt op-
in F.
Polita latera, occurrentes (ibi muruo
Dico esse AF ad BC, vE AD ad DB
Demonstratio.
Voniam anguli ARB, BDC; per constructionem LCCISunE, de anouluS P BF,
Lcommunis eriangulis E BE, DBC, erune R B F, DB C crlanoula incerse simi-
lia. F. odem modo ostenditur criansulum AF D, simile criangulo DBC: vnde ve
AD ad DB, sc AL ad BC. Quod erac demonstrandum.
P KO P OSITIO XX.
X quovis puncto baleos eriangu-
Lli ABC IIolcelis eductA DF, D F.
extribeane angulos aquales E. DC,
FD A, IUAGANEUTGUe AE, CF.
DiCOAED, CFD criangula else
incer se aequalia.
1
Demonstratio
iVmenimcamangulus FD A, angulo F DC pet constructionem, quam an-
LguluS F AD, angulO F CD aqualIS SE, CFUNE A FD, C F. D crianoula inFCF
se similia. OMarC VE AD ad DC, AC ED ad ED. Rursum cum angutuS FD A,
aequecur angulo ED C, addico comuni angulo F D F, eric angulus F D A, xqua-
lisangulo C D F. Vnde cum ex latera, ae quales ansulos contmentia, reciproce sInE
proporcionalia, aerum AP. D, C FDccians ulaincer se aequalia. Ouod ex ac demioH- a ls Seut.
Arandum.
PR OPOSITI O LAL.
Tne duo criangula LCOperimeErA
ad ABC, ADC, super eadem bal
AC consticura; divisilq; AB, C D la-
ceribus proporrionalirer in F _ (2;
AHCaHEUE F F, GFI parallelae Ba(IAC:
Dico lloperimeera quoque
EBF, DGHI criangula.
Demon-

## Folio 22 — 1815201908:0079
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000079.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
E. LN E A R V MI
Demonstratio.
Voniam in criangulis ABC, AD C pro-
Lportionalicer lectae sunE lineae super b2(
CrECtR CFUNEVE AB C limot CuMPEX, adt F BF
Cmul Cumpeas, ica AD C simul lumpex ad
TID Olimul lumpeas, S permurado ve AB C
lacera ad lacera ADC, SC F F B 2d IIDC
Timus Lumpea; Sed ex liippositione aequales
rectis ADC: ErgOeciam F B F, rectis FIDC. Sed _E reCtA FF
xequalis est linca C PI. Peicur Iloperimetra quoque sunc criangula E BF ec HIDC.
ROPOSIF1O XXII.
Riangulorum I(operimetrorum super eadem
baliconsticurorum, maximam habet alcitu-
dinem ICoscelium.
Demonstratio.
InE ABC; ADC criangula iloperimCEFA, et ABC
quidem ilolcelium; dico AB C maioris esse alcicudi-
nis quam EE A D C. Flabeac enim si tieri postic eriangulum
ADC, candem cum A B C criangulo alcicudinem: produ-
Cacus CB III F, VE PF linea sic aequalis linex C Biiun-
Bancurqne BD, F. D. Ouoniam AC, BD linex ex suppolciore lunc parallele.
eric anoulus ABD, aequalis angulo C AB, id est anguio A CB, id CA angulOT B D;
sune aucem lacera duo BF, BD duobus AB, BD laceribus rqualia; igirur erianguli
ABD aequale rriangulo F BD, e AD lacdsslaceri F D ae qualc. ScdF D, DC lacera (-
_ AD, DC lacera limul Cumpea; inaiora lune lateribus AB, B C. Duod est corrahy-
Pochelin. inde criatscant AD C, cande non habet alcicudine cum criangulo ABC.
Hlabeaciam ADC criangulum, maiorem alcieudi-
nem quam ABC; ducacur ex B linca BF, ParaHe-
la basi AC; OcCurrenS AD laceri in F; iungancurq;
CF. Ouoniam AF C criangulum, candem habec al-
cicudinem cutriangulo AB C, _ ABC Sc TIOCcelium;
CEUHE AF, CF lacera smul lumpra, maiora laceribus
AB, BC Smul sumpris per primam parcem huius peo.
polcionis; sed AD, DC lacera maiora lune laceribus
AF, B C; cum B cadar intra D, igitur _ lacCTA AV,
DC, mulco maiora sune laceribus AB, BC. Ouod
est concrahypochelim. igirur eriangulum ADC, n2-
iorem non habet alciendinem criangulo AB C; Led neque xequalem haber; isieur
eriangulorum iloperimerrorum super cadem basi constiturorum, _c. Ouod erac des
PR OPOSITIO XXIII
Sco ABC criangulum rectangu-
lum, de exB, ad AC balim, de
missa normalis BD
DCo AB C triangulum; ad eria lare-
rum quadrara, cam hrabere rationem,
quam BD linca ad quadruplum linex
suine
X
A B
abd Fuic demonstrandum.
mul sumpca, maiora lunt lacere R C, hoc estlaceribus AB, B C limul lumpeis; igieur
Demon-
Monltrandum.
eroposicio haec aliter demonstracht bro nostro de Fllipso.
 u i it ut ius e  er  t   u u  i pe te  u e a  p  ip i  pa u  pi u e t i  t     e  p  t  u . e    t p    pur

## Folio 23 — 1815201908:0080
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000080.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
2.
261
3Ii
2d
C
6
les
m
C
li-
m
1-
1.
di
Iu
-
DF
1.
di
d
POTFNTI A.
Demonstratio.
Voniam AnguIUS AB C. ponitur rectus, et B D normalis, CrUNE ABD, A BC
Leriansula limilia, e AB ad BD, ve AC ad CB, inde ABC 2 rectangu- a 17. SexrI
lum aequale rectangulo AC, BD, Scd AC, BD rectangulum, est ad quadracum
AC, veBD linca ad lineam b AC; igitur ec ABC rectangulum, eAt ad quadratum b L. Sonti.
AC, ve BD linca ad lineam A C; estaurem quadrarum AC, aquale quadracis
AB, BC. igitur rectangulum ABC, est ad cria lacerum AB, BC. C A Guade2
ea veidem rectangulum, ad quadratum A C bis sumpeum; id est ve B D line a ad AC
lincam bis sumpeam. Sed A B C criangulum, dimidium est rectanguli ABC, igicux C47. Primi.
criansulum ABC, ad AC quadracum bis sumprum, id eA ad eria lacerum quadra-
ca, illam habecrationem, quam BD linca, ad quadruplum linex AC. OuOd CFAE
demontrandum.
PROPOSITIO XXIV
IIdem positis, diuidatur BD bIFa
ariam in L.
Dico AB C criangulum, ad quadra-
cum BC, cam habererationem, quam
trabet FD linea, ad lincam DC.
Demonstratio.
Voniam BD linea in P diuisa est bitariam. C ABC criangulum, aquale
Lrectansulo AC, D B; nam in praecedenci propolicione olletum est, rectangu-
lum AB C; aequalerectangulo super AC e BD: rurtunt Cu ALBC angulus sit
rectus, et BD normalis, exic AOD rectangulo, aequale quadratum BC; quare
AB C errangulum, est ad quadracum BC, ve A C DF cecatontum, ad rectan-
sulum ACD; id est ve F. D linea, ad lineam D C. Quod erac deb andum.
P RODOSIFIO XNI
Aceri AB, anguli ABC, aequi-
distet DF. OpOrTCE peF F pun-
ctum inera angulum DEC, rectam
POneTC AG, VE AD ad FC, datam
habeaerationem FI ad l, 
Constructio ess demonstratio.
VCaCF FC, quae aequidister ip( AB;
_ Aac ve II adI, SCB P ad C C: dein
BONAEUE C F A. DicoFactu quod requiris
EUF. CUIM eNIM AIC eam E B ad AD quam
COad F G, vEF G ad D G, (Ob A B. E D, C F paralletaS) CMM AB adt A D, vE CG
2d F C; ee permutando AD ad F C ve BF. ad C C; id elt Pel constructionem rE
FFad I. isicur ec. Ouod erac Faciendum. IHc
P R O P OSIT IO X XV V
N dato criangulo ABC, parallelam vni
lacerum constiruere, recta DF: Vequa-
dracum E D, aquale sIc AF C, rectarigulo.

## Folio 24 — 1815201908:0081
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000081.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
L. IN F A R V
Mt
CUE F D, qux aequidistet ipsi BC. Dico F D soluere problema; quoniam enim
tum, ad CB: hoc csvelinca AF, ad F. C: isitur unc eres in concinua racionc A F,
duplicara sic rarionis A F. linea, ad L. D lincam; eR igicur quadracum D li, aequa.
eR OEOSITIO XXVII.
FIIdem poliris constiruatuF GFL, quae xqui-
distet BaHA.C.
Dico rectangulo C F HI aequari rectan.
gulum FDF.
Demonstratio.
plum GFFF, 2d FD F reccanigulum, rationem habet composicam, ex
EGF, ad F D, hoc es AF Ae F. D; _ exrarione FFI, ad F. D, hoc est
ED; RIgITuE AAEVE F C, ad D, ita F. D ad aliam, erit illa pCF PEXCC
dencem ipla AF: igiCUF VE A F 2d AP., ica rectangulum O F HI ad F D F: paTCE
IIO XXVIII
Aco A. puncto, intra angu-
lum BCD, perillud lineam
BAD ducere, quae dinila (ic in A
iuxta daram rationem P ad F.
Constructio es demonstratio.
DOnatur AE, aequidistans ips DC:
=_E AAE DE F adF, IEa C F ad E B: de-
inde exB, per A duCaEuE recta B AD,
quxe perringat in D. Dico facu qod quaritur: manifectum est ex elementis.
tAOPOSTTIOXXIX.
Daro puncto D exrra angulum ABC.
Prectam ponere qua diuidatur secun-
dum dacam rationem à lineis angulum
consticuentibus.
Constructio ex demonstratio.
Constructio es demonstratio.
Perole-
menca.
le rectansulo AF. C. Uod erar extibendum.
TE AC quadrarum, ad C B quadracum, ica tiac linca AF ad a F C: et erie2
DF aequidistat rectx B C, crit quoque quadratum AF, ad FD, ve AC quadra
F D, F. C. cum ratio quadrati AF, ad D F quadeacum, hoc csratIO A F, ad F C
E
F, C:
isicur aequalia esse rectangula illanet (c. Ouod Fuic demonstrandum.
P R O POS
lalaratio li ad Li, ec cx 6 puncto duca
Cut Guas OTI: Ita VEHE D C ad GIT VE F
CUIA LEcS DC OH: hde e d P. Plalcuimus igirur quodrequituum tuic.
RC
ad F: quo Factoponatur FT A parallela ipS B G. _ dueaEuE D A, OcCurTeNSBC
producta in C. Dico DC ad C A, candem rarionem continere, quae reperitur in-
CClatas F, F. Cum enim aequidistent ILII. C . MMMcin cadem rationc DC, C A,
eu u     uet  e e e  e e e t e ei p  et e ta e  t  e  p   p  ue u   pa u e  t  s  u         p     p  1 1. 1 1

## Folio 25 — 1815201908:0082
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000082.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
POTEN TIF.
P ROPOSITIO XZZ.
Acoangulo ABC, e D puncto extra li-
neas datas: rectam D F ponere quae rectas
EB BF auterac, in daca ratione C ad FI.
Constructio ex demonstratio.
TTac vEG2d FT, ica B A ad B C. iunctae que AC duCaTK
DF aequidistans: pacet ex elementis factum esse quod
DCCIEUT.
P R OPOSITTO ZXXI.
SEo ABC trianouli BaIIS AC; qua diuisa in D, vED E recta aequi-
distans lateri BC, media quoque SIC, inFeF A D, D C: duCaEuF quX
vis GF, parallela basi A C, occurrens F D linexe in FT.
Dico GHIF rectangulum, aquari rectansulo DF II.
Demonstratio.
Sc enim ve A D ad DB, SiC GTTadFTF;
Lquia AD, CFT linex requidistane; sed ve
AD adt DE, sIC D F es ad DC, ex hy-
Dochel; ergo eciam veOTI ad FTF, ACDF
ad DC: est aucem FI F ips D C a aqualis,
igitur ve GFT ad HIE, sC D F ad FTF: e
OFTF rectanoulum, b aequale rectanoulo
DE FI. Ouod fuic demonstrandum.
PROPOSITIOZZXII
Sto ABC crianguli balIS AC, Bifariam aIMIIa IM D; act àque per
sD linca F F, occurrente crianguli AB C laceribus, in F _ F, du-
cacur quadam HIC varallela recta F. F, ve IIL illius dimidia, media
quoque SIEInECF F. D _DF;
Dico CBHI criangulum, aequale csc triangulo ABC.
Demonstratio.
Cti perD ex Y, linea KE, eri-
LLoantur ex Ie D linCOTML, DN:
ec IMTquidem laceri C Bi D N verO
AB laceri paraIlela. VCFD ad ∞ 1,
sc GT est ad D F per hypochesim,
scd ve FD ad GF, sic DK est 2d
TK, _ VETFI adDF, SCTF ad
DL, IgIEUT DE DR ad TR, siC TL
ad D L, e diuidendo veD Tad TR,
sC DP ad DL: Quare IK, DI. li-
nex Cunc incer  sc aequales. dc
proinde cum (ve ex constructione
DACCE,) criaNSULA RMT, DNTP, Cin-
gula criangulo RBL Similia AINE,
crune e incer se Cimilia, adcoque
(CuM TK, D I reCtR AQUeNEUT) crunE
de inter se aequalia; Lacusque RM L
+.Lrimia
B17 Sexii
lacexi
ruimi.

## Folio 26 — 1815201908:0083
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000083.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
IN F A R Y M
alctis) igIEHEDE RMI SIvC DN ad MB, Sic LH live PM ad NB: Sed quia CA
dupla ponicur ipsiuS CD, crit e AB ipsus DN, ee CB iphus CB id eA recta
NTB dupla: Similicer quia CrFI linca, iplius CI dupla est, eric quoque BII dupla
linca ML; vei ex C+ B ipsius MB; Cune aute DE, MB; IM, NB octenlx pEO
LaECKID N, _ AETIaTUS, N L laceri xquale: R OrtuM Cs VEK FadTL, SICR MI ad MB.
AVE L D adDR, SIC F N ad __ M HEadTL, siC LD ad DR, (ex ance
portionales, erooe AB, BC, BHL, BC illarum dupla quoque inneproporcionales:
 ABC, CB FTacriang ea e se aequalia, cum circa communem angulum ABC.
X X X L1
IIdem Policis quae lupra: (s FIB C crian-
sulum aquale fuerie criansulo ABC:
Dico quadrarum GI, dimidix scilicer
ipsius C FI, aequale esse rectansuIOFDF.
Demonstratio.
OPOsttt0
15. Senri. Iacera habeane reciproce pption. lia. Ouod tuir demonstrandum.
1. 10. 211
Vngantur pantela 1LL1, CrC. aontam ABC
criansulum per hypochesin xquale cA crian-
sulo (B FT ablaco communi criangulo ABFI,
aequalia remanent criangula A CTTI; A CFI, vn-
de _ AFI, CC linex b sibi mucuo xquidiltanc.
e cum PR linea, bitariam sccet rectas AC,
FTC, extrpochelierit _ L. K; ips A FT par2I-
lela, e TKrecta, aequalis rectae DP: QuarC VE
DI ad TR AC FD ad D L, _ componendore
DR ad TK. (0 TF. ad DL: Sed CAt VEDK ad
K, HC L D adTC, SEVETL adDP SIC ITY
 aeuale quadraco CI. Quodctac monArandum.
OSITIO X
Ad DE; igicur ve FD ad CT, SC Fe  GP ad DF: ad eoque FDB rectansu-
Ato angulo ABC, d in.
eraillum puncto F, OpOr.
TEEPeF E rectam duCere, OCCUT.
rencem verimque ansuli laceri
Dus, EMlusleomencaminiuu
Concineane sectansuloru quod
seomentis cuiuluis lincx PeF P
ducta concineri porett.
Constructo cumonstratio.
ccaHC. Det Ladclabcelem A mbraclum esse quod peci-
EUE: aSQCUF enIM PCF F recta quaenis asta LR D, X HI. C L A rectanoulumnon lic
music DL PFecS, LGuaCFCCCaHSCIO A P. C, vel minus: primo SCCqua
Et Serri IC. OuOniamIBITIT A E. C, D E F LECAHGUta LInE InCEF Ce X qualia, CFIEVEDF c. 2c
AB, SIC F C adF C,  auen al st ad L. OpPolieiincer le aequales; isitur eriati-
gula AF D, F Fi, C suneincer le amna; adeoque angulus l A lis id est B C A ex-
8r6. Primi. ternus, aequalis angulo Mct CHH. Quod dherinon poreltiquare D R P rectan
sulum, aequalenon est rectangulo A F C.
 ca tills teclatisulo AL. C. PrOait. L L  
V
o i e pitu  u iptu e o pee  e e  ui s  u    ue  te  pste    e  e t  t   t s     t  t   e    t   p 11 el 1

## Folio 27 — 1815201908:0084
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000084.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
B.
Ice
10.
et
c.
I1-
VC
edt
1
POZL NTIA.
EROPOSFFIO XXXV
Aco puncto A inera anou-
lum BC D; per A rectam
ducere pertingentem ad lacera
BC, C D, vrrectangulum quod
Cub Ceomentis ContineTuT, X-
quale sc quadraro dato Z:
quod oporrer eAe non minus
minimo rectangulorum qua
segmentis linearum per A du-
CLAEUI COHTINCHEOT.
Constructio es demonstratio.
Vadcacum Z vel aequale est mi
Lnimo rectangulorum qua sub
Tegmentis linearum per A delcribi
Possune, vel maius. Si x quale, a8acur
per Alinca B F exhibens R C Perian
sulumiloscelesi pacetper praecede-
cem P AF rectagulum equari qua
draco Z. Sicigicur quadracum Z ia-
ius minimorectangulorum. DucA.
cur per A linca D B re in A divila sc bitariam (quod ROr S duet a ex A linCA RC
parallelalareri C B, hac D C linca aequalislinea GC: d ex D per A recta ducaeUE
DB) dein ducatur linca FIK, parallela rectae FF, a criangulum auferens ITC R a32. Ruiuii
aequale criangulo BCD, cricq; HIC K quoque ilosceless ec, FII quadrarum b quo d b33. Ruins
Ec a dimidia linex FIK, aequale rectangulo F A F: quod per hrpochesim minus est
quadraco Z. duplaigicur rectx Z maior eric linea TIK, Porericque auterre criangu.
lum isosceles sub angulo C, maius criangulo TTCK. DUCAEUF CFGO L.M, dupla re-
ax Z, auterens crriangulum P. CM aequale rriangulo TIC R; e per A rect 2 292- c,2. Xuius.
cur NP, Parallela linex P.M. Dicolactum eNe quod pericur. cum enim recta BD
in R dinila sic bitariam, e per a ducta quaedam NYP, cuius parallela P MI, crian-
sulum auferr aequale criansulo EICR, id et per constructionem xquale criangu- dy3. Huins.
I0 BCD; cric N A P reccanoulum aequale dguadraco dimidix ipsius L NI, id est per
constructionem quadrato L. duximus ixicur per Alincam; ex c. Duod erac Faciendum.
PROPOSITIO XXXV1.
Sco A BC criangulum Ccalenum ductâq; ex
LC, linca CD, ad oppolirum lacus; quae
angulum ACD aqualem Faciac angulO AB C,
ducatur ex D linca DE, Paralsela ip (iC B, quam.
in FI secent recta quorcuriqué FO parallela
ipsi CD, Occurrenees C a D erianouti laceri
Dus in F, _C
HC) t etC)
DicODHE rectangula, aquari rectangulis
FHC.
Demonstratib.
Lxqualis angulo A B C, id cA AD F: sunc aurem e
anguli PHD, E. HC ad vercicem opposir incer se
Noutus, A O FidCA ACD, per ConRrcciorem est
aequales.

## Folio 28 — 1815201908:0085
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000085.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
nermm
Arandum.
LIN E A K Y M
23. Slali
2 17. Seuri. FTO, adeoque DFTF arectangula, aequalia rectangitis FF 1. Ouod Fuie demon-
aequaleS, IBIEVE DFFT, HEE C eriangulatu Smilia. VndCFFT ad FTD, VEFTF, ad
Seo AB C triangulum, ducaturgue ex C, re-
Sctaquaenis CD, secans AB lacus oppolicum
in D; dinila autem C D bitaria in P, IGAEUF PEF
E linea lH, parallela ba( AC, cui et alia queuis
FI, ducacur aequidictans, occurrens C D Lincx,
D F.
Dico LFK rectangulum, maius ese rectangu-
P R O P OSIFIO XXXVII
FFFI.
Coblstict
pATa eCL CXratiONO LB ad GF, id est DF ad DF,
_E ex racione L R de L HL, id est F C. ad FC: sed et
Ario TF K rectanguli, ad rectangulum GF FF, b com-
drapp. 1.7. Ctanoulum OFFI. est aucem D H C Teccanoulum maius recrangulod D FC (cûm
Dudderac demonstrandum..2
a ecc L01eL D. R 9 POS
Sta CtH  ACe ( 134 LFN
C Ibid.
iisdem quoqueccomposica est ratio rectanguli D F. C, ad rectangulum D F C. Igitur
Prop.13.
VE DE C rectangulum, ad rectanoulum DFC, SC TFK rectangulum, est ad re.
DC in P, divila sic biFariam) isicur d EP. K recrangulum maius est rectansulo (r P. LI.
10c1 2i1
XXXVIII
e tatttela l
eucet le parallelae, rectis
I.c 119. H1, t.
les
t A 1513. 1
i 17. EC B. S. F1
ers. Seunt.
1∞ 11
139H0 Bi ctA et
resest nriosit
13
12399L∞B 2I AV E BL LC, LL. Quad BMMCS (CCCE
it 1t.
ceb ap linea F AD. s
d sibC sectangulum, ad
ar cccatsuu ABC, Cal Hade
rationem, quam HabeE DB F rC-
ctargulum, ad rectangulum DBF.
sdia
Domonstratio. qu
a A ol su
D Atio recranguli AB C, ad rectangulum ABC, c componitur ex rationC AB
ad AB, id est DB ad DB, et exratione BC ad B. C, id eAt BF ad BF, sec
ex ildem compolica e racio recranguli DB F, ad recrangulum B L, IOICuEPC
CTaHISMIA, ABC, au se DC rectangulum, ehm habecrationem, quam DB L rC.
Ccansulum, ad rectangulum DB P. OuodFuir demonttrandum.
3il21. 2115, 339Z LBHHDS, C
LLOIOOEELC aLaLE
Sco ABC Matc balIS A C, bitasiam diula m. D, e recta, aucta
(1)3D15 3EIL: T. CF A 53 ho a  sictuait
srei isiocrc 13315 C
et lDico
Neguiuu ui ur   u iu u i e i  p  e   i e t p  t  i p u  .  pu    u  eat p o pmpu

## Folio 29 — 1815201908:0086
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000086.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
d
1.
c.
Det
iis
2,
U.
3
F.
1C
c-
1M
1I.
1
3
et
d
C
POT F NTI A.
Dico quadeata AB, B C Simul TuMPTA, X qua-
lia esse quadraris AD, DB bis CumPcis.
Demonstratio.
DEmictatur ex B linea BF, normalis ad Balim A C
ec BF quidem r. cadac extra triangulum AB C:
Ouoniamisitur B P. normalis, cadic extra criangulum
ABC Formans angulum AF. B rectum, parec angulos
BAF, BDF, BC P acuros esse; quare AB quadratum
superaca quadraca AD, D B, Eectangulo AD P bis sum.
PCO. _ BC b quadracum ab iildem deticie rectanoulo
C D F, id est AD E bis sumpeo: addendo igitur ad qua-
deacum BC, excessum quo AB quadeacuM, (UIPCTAE
quadrata AD, DB, sieve AB, B C quadrara simul Cumpra
aequalia sine quadratis AD, DB bis sumpeis.
Sic iam FB normalis, eadem eum latere BC,
adeoque angulus ACB rectus; guadratum AB.
superac c quadrata AD, DB, rectangulO ADC
bis lumpro. 1d est quadrarum AB, eA aequale
quadracis AD, D B, ex D C quadraco bis sumpto:
sed BC quadeatum, deticie da quadrato B D
quadrato DC; igicur si quadrarum DC, id est
dimidium excectus quo AB quadeatum (uperAE
quadraca AD, DB, addacur quadeaco BC; PATCEI
AB, BC quadraca, xequari quadracis AD; DB
bissumpcis.
Cadat BF normalis, inter BC et BD lincas:
Ouoniam anguli AF. B, CP B TunC rectI, (CrUNE
AB, BC quadraca, aequalia quadraco B s bis
sumpeo: vna cum quadracis AB, F C: sed A F
FC quadrata, c dupla CuNE QUadTAEOTUM AD,
DE; ioicur quadeaca AB, BC, aequalia Cune.
quadratis BF, AD, DF bislumpris: est aucem
BD quadratum bis sumpeum, aquale quadraris
DE. B F bis Cumpris; ioicur quadcaca AB, B C Simul
sumpea, sunc aequalia qadracis AD, VB bis
sumpeis. Ouod ceat demonstrandum. I. 10
Est haec Pappi Lib. 7. PrOp. 122.
P R OF O SPF IO XB.
Sco ABC, triangulum isolceles, _ ex C, alceru-
sroansulorum aqualium, ductanormalis CD,
ad lacus oppolicum
Dicoquadrata cria laterum crianguli, ABC ae qua
ri quadraco AD semel: quadrato DB bis, _ DC
Quadracorer CuMPTO.
1
Demonstratio.
Voniam angulus EDR per constructionem rectus Cl
Lerit C B quadratum, aquale quadraris CD, DB: (cd AB
linea ex constructione est aequalis linex CB; igitur et quadea-
cum AB, aequale est quadraris CD, BD. Rurtum quadra
rum A C, aequale esAt quacratits C. D. D A. 1Bicur cria lacerum
(2C 1. p
213. Secum.
b12. Sccun-
C2bid
d13. Secum.
it

## Folio 30 — 1815201908:0087
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000087.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
L IN L A R V M
crianguli AB C. quadrata, sune aGualia quadrato AD semel, quadrato D Bbis, e
C.D quadraco cer sumped. Quodcrac demonttrandum.
EROPOSITIO XLI.
Sco ABC criangulum rectangulum, _ ex B
srecta demitratur quanis BD, ad oppolicum
latuS AC.
Dico AD, BC quadraca simul sumpra, xquari
quadratis AC, BD simul Cumpris.
Demonstratio.
Voniam angulus B A C rectus ponitur, eric B C quadra-
Ccum, vua cum quadraco AD, xquale cribus quadeacis
AB, A C; AD: lediiidem aequale est quadearum BD vna
cum qua drato AC, ixitur LD; BC quadraca; aequalia lunc quadraris AC BD.
ABC ertangulum, _ ex singulis angulis du-
ctx lincae BB, AF, C E SecenE latera oppOlica
DicOAF, FC, BD, quadrata, ad quadracatria la-
cerumerianguli ABC, cam habererationem, quat
Luoderac demontrandum:
PR OPOSIFIO XLIF
d
bitaltam  D, L, F.
tria ad qualuo.
emonstrate.
Vadrata AB, B C limul sumpta, aequalia tunC quactalis
BD, 2AD bis sumpliS; _ AC, BC quadrata, aequalia
sunc quadlraris F C LFbis sumptis; quadrata verd AB, AC
aequancur quadracis AF, C F bis lumpeis; ipieur quadraca
Cemel sumpea, aequalia TunE quaatatis A F, C F, BD, AD, AF, CL
is, Sed AD, A F, C F quadraTa, suNE quarta parS quadraEOTUM A B,
Neriangulis rectagulis qu2-
dracum, quod sc à lacere
rectum angulum subcenden-
ces aequale est eisqua a laceri-
bus rectum angulum conti-
nenribus, describuneur qua-
draris.
Demonstratio.
IE AB C eriangulum rectangu-
cum AB, BC, AC. Duod crac demonstrandum.
Cintet su
BC, A C; igicur quadrara reliqua AF, CF BD, ires habent quartas, quadrato
P ROPOSITIO XLILI
AL, LL, CHI, _ FB linea (CCCE AD in C. OUa alS RC L L. C A MI
eteaequales dempio communi angulo E. C. B. Ct lG AC B. L. C. R reliqui.
lum, et lacerum quadraca line
LaeL
e po o preptr upeies i pei tu usetr ari pupe  at p et se ett t i t tat t   p i tp e   t   p et e e e  s e a e u aoe s  ien opnu

## Folio 31 — 1815201908:0088
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000088.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
B
m
ri
tis
n2
d.
1-
Ca
M
i5
12
ca
e
.
2
1C
1i
POLLNTIA.
InECE Se requaleS: UINC AUECI F. C,
FC duo lacera, aequalia duobus
Laceribus AC. C Biigitur reliquum
lacus crianguli CR B, reliquo la-
ceri crianguli ABC est aqualei
unde punctum P elt in recta FIK,
e PKC rriangulum, aequale
criangulo ABC. Fodem modo
ostendicur criangulum ABC ∞-
quale criangulo DL A, ec pun-
Ecum D esc in directum cum L P
producta. Rursum cum D L lacuS,
equalc sE laceri C K, HOC eAR FI,
eE FL aequale ipA AB, id est F K; crir relignum lacuS FHT, aequale reliquo DF3
est aurem angulus FOD (ob BF, L A parallelaS) aequalis angulo D AL, id eA
LAC, id eltansulo PIFI; ec angulus E FII, aequalis angulo D FC, iBiEEDFC
FFIL criansula, d VO, LF latera sune incer se xequalia. Tcerum cum arguli AD L
CAC sinc incer Le aquales; de AC, AC lacera, aequalia laceribus AD, DI, erie
ID A criangulum, aequale srransulo C AC; vnde dempro communi eriangulo
ABC, erir ABC criangulum, aquale Trapezio IBODI. Isieur cum criangu-
lum ABC, id est ER C aequale sic crapezio IBGDI, _ DF C triangulum,
aequale criangulo F FTI, reliqua veto sine communia, crit A F quadratum, lace
ris rectum angulum subcendentis, aequale quadratis AF, C II, laretum rectum an-
culum concinentium. Ouoderac demonstrandum.
Scholion.
emonstrat hanc Clauius ad 47. primi Elemens. Pripliet alia he d do; secus quam Pele-
carius fieri posse existimauit: copiae ramen, non necessitatis ergo, etiamnos illam, alia
via demonstrandam a ssumpsimus, maxime occasione sequentium duarum propositionum.
PROPOSTTIO XLIV
Sr0 ABC criangulum amblyconium, ex laterum quadTaEA A D, AF,
CF. ducacur q ex C linea C H secans orthogonaliterin LI ee l, linegs
AB, KF.
Dico A D quadratum, SuPCTarC QuadTATA AE, C F, rectangulo AB FY
bis lumpto.
Demonprario.
L M aet MICASCB
EF, ex super A C: ve diamerro de-
scribatur lemicirculus AIIC; 2 er 2(1-
biris PeF FP_ L. Iungancurq; pun-
et2 AC, CK BD, BN, dein exB,
recta demictatur BO, lecans ortho.
Conalicer inO P, lincaS AC, DN.
Ouoniam AM, CGlinCX, PeF CON-
Aructionem aequidistanE, exiE, ACC
criangulum aequale dimidio rectan.
buliCL: eodem modo criansulum, lic
CAR, aequale est dimidio rectansu
li AI. Rurlum cum anguli A BF,
CAH. per conttructionem reci:
u adao commumaisuto B A. C ceinlira ris. 
crunc anouliB AN, C AK incer sC
aequales; sunc aurem AB, AE lacC-
1
ari AN
Veacur ex Alinea AM secans in

## Folio 32 — 1815201908:0089
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000089.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
LIN F A R V M
ra, aequalia duobus laceribiis AC, AK; isicur criangulum NV AB, xqualc est crian.
sulo C AK, _ A F rectangulu, xquale rectangulo A P: eodem modo oltenditurre.
2
EtanguM C M, a GeaSLSBCCAIGCN CL. VIC HD Quadlratum, aequale est re-
ctancuns AL, CMlimul Cumpris. SeLLLCCa a perat quadracum AP, rC.
ctangulo BF, idCCSo ABH, dC M rectangulum, superac quadratum C F.
rectangulo BM, la CMccanslo CBL, id olt AB FTrectangulo; ioieur quadra-
cum AD, Superac quadraca AH, C F. rectangulo AB IT bis Sumpro. Ouod erar de-
monstrandum.
derorions
iniucundum tamen fore putaur, si Deramque Cosent su quo Pythacoras 47. primi Element.
hocloco demonsturem.
DRopositionem hanc, vii ex sequentem, licet demonstret Fuclides Zib. 2. prop. 12. Cx 13. non
eROPOSITIO XLV.
ST0ABCtriangulum orygo, d lacerum quadraTa AD, C F.
lineas C B, IF
EBC bis sumpro.
A F. DuCaTUEGNE ex A linca AC, Secans orchogonalicer in LI, e C,
Dico AD quadratum deficere a quadraris CF, AF, rectangulo
231. Zerrij.
Demonstratio
Vcatur ex C Li-
nea, lCCanSOF=
chogonaliterinL 8
R linCaS AB, FMI.
iungancurque pun-
CTa AL, CM, BD
BNV. delcripeo dein
(uper AC ve diame
cro, lemicirculo
AFTC, (GII EraNSI.
bicpeF = TIR R) de-
miccacur ex B, linca
BO, Cccans ortho-
gonaliterin OexP.
LInCaS AC, DII.
OUOnIA AM, L C
lincae aequidictane,
CFIE NAC crian
gulum, xequalc di
midio reccanguli
AK Codemqg; 1n0-
nem sint aequales, audico communi angulo B A C crunc anguli H A C, B ANquo-
que inter (C _GHALES, sUNE AuLE _ LaCCTA AMI, A C aequalia duobus laceribus AB,
APT, igitur ertangulum MI A C, aquale triangulo B AVF, _ A R recrangulum, aqua-
le rectangulo A P: dupro Mu crianguli B A RT. Eodem mOdO OCECNdICHIE RECFAN-
sulum CC, aequale cAe reclate ao P: quare AD. quaaratuM; aguase et re-
a cctalis clcaet
aequale dimidio recranguli C G. rursum cum anguli AX AB, C AN per constructio-
crangulis Cer HR. LedCeecatouu deticic a quadraco C F, reccangulollt
id est rectan sulo TTBC; X AR rectansulum, deticit a quadraro AL, rectarigu-
IOT F, id ele LCCaoulo AB C, id cM CCCLAHBMIO HLBC; IBITUE quadrarum AD.
u tu ti u u i u u pi u    u  u  p  u e  p i                   nmu

## Folio 33 — 1815201908:0090
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000090.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
1.
F-
de
A.
n.
in
c.
10
A-
lc.
Ca
0-
P,
N.
C
n.
di-
uli
0-
10.
10.
B.
(2.
Cn-
C.
Fi
V.
O
IuI.
.
POTENFI A.
eR OPOSTFIO XLVI
Dhrallelosrammi ABC, diameErum AC, Secet FF, aequidistans
ipsi AB in C. Ponatur in supeF BF.
Dico OHI, HA, HIC. cres esse in continuaratione.
Demonstratio.
Cimilia namque lunccriangula, AHTF, BHIC,
quemadmodum e criangula GTIF, AHIC.
quare ve CTI ad HIA; hoc est BH ad HF,
ita HI A ad HIC. Duod crac demonstrandum.
PROPOSITIO ZLVII.
Inc AB C D cuiuscum que parallelo.
grammi, diametri AB, C. D.
Dico diametrorum quadrara limul lumpea, a Guata C Guaatats la
cerum AgurX.
Demonstratio.
DExcrigelimam nonam huius, quadeata AC.
AD aequancur quadracis RC; F A bis
sumpeis: ec per eandem quadraca CB, BD
aqualia lune iildem; scilicet quadraris R C,
EB bis sumpris, sed quadracum C D .Xqua-
TUT F. C quadraca quaceE CumpcO, d AB qu2-
dearum, quadeaco F A quaTEF SuMPTO: PaTCE
erxo vericas proposicionis.
P R O P OS
T1O XEVI
uBC. triangulum ilolceles, duetagueet C, alcetute alet
rumxqualium, vecunquelinca C D, quxe AB laceri, occurrac in D,
hac ip(i C D aequalis D F, iunsancurque L. C.
Dicoangulum BCD, duplum esse anguli AC F.
Demonstratio.
Neutus DA C equalis D eA duobus
angulis D F C, A C F, id est percon.
Aructionem, ansulo DC F vna cum an.
Sulo ACF, id est angulo DC A una
cum angulo AC F. bissumpro. Sed angu-
10 D AC aequatur angulus BC A, cum
ABC sic ilosceles; isirur angulus BC A,
aequacur angulo DC. A, vna cum angu-
10 AC F bissumpro, demproisitur com-
muni angulo DC A, manet angulus BC D, aequalis angulo AC P bis sumpco.
Ouoderac demonstrandum.
b16. ert

## Folio 34 — 1815201908:0091
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000091.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
   . n Be an1
L. :D W F. id AC -Y ML
PR. OPOSFTFO LLL
Cum ansulo obculo ira lCatCIM B
Sine quadertis AC, CB.
Constructio, es demonstratio.
SeO AB C criangulum obcta GM, OpOrteaE AB lacus CubFen-
L    d te
1CLL L
cuca AC i L3 D C, C F
linex lnc incer le aequales, iungan.
L.  TEUE FB, Producacurque A B in C VE
GB, BF linea HC X GualeS: EIIM AC
bitariam secec  L. Sco lactum
esse quodpelut: Suonam AC. CF
lince lunt incer Ce xquales, Crut ABC,
CBF criansula aequalia, ee quia an-
tus ACB obculus clt, eric AB
CB. quate punctum P cadec inter A ec B. Su Cum A C linca diuila lic bita-
9. Secun. riam in F, d non bitariam in B, crune AB, B C quadrata dupla 2 guadracorum
b39. Huius. AI., L B; led se AB, BC quadrata, id cIt AB, BF, alpIaTMHE GUadFatOrum
Aliter.
Emictatur ex B linea BD, normalis ad rectam AC, LCCCMG ABII L, VE
A F. B rectangulum aequecur rectangulo ACD (quod tcri postc ex coconstat,
quod AB lincamaior sc linca AD.) Dicofactum ehe guou pelcut. Mladrarum
c12. Scnn. A B aequale est quadraris AC, CB _C A CD C reClACOS IPIO, ICIA AB
quadrata AC. C B, vna cum rectans LaGuana um adraris AF, FB,
lacus, subrensum angulo ACB, maiuslatere BF, id est per constructionem, latere
AC, CB, igIEUE quadEAEa A F; F B, a qualia lune quadraris AC, CB. dinisimus
igitur lacuS AB, _C. Ouod crat Faciendum.
a4. Socun. Quadratum aequale d est quadratis HL L B u HLL.  cal MobismpIo, lBicut
sructionem xqualia, igieus d Guaaca LLC, C B, aequalia lunequadraris A P, F B.
dinisimusisitut, LC. Suod cractaciendum.
ina cum rectangulo AP B: TUnE autem ACD, A F. B rectangula incer sC percOn
LLei e Leo
BAcis duobus crianoMHI LLDC, C DL Ia GUaL A, LupC
eadem, vel aquali bani  Cou, alCCLC, Pacal
lelam baIL AC, qua auterac eriangula in data rarione M ad N.
Constructio ex demonstratio.
Vcacur ex D linea DR, p2
rallela ba(I, AC, OCCUIFECNS
ABC criangulilaceribus, inR
 L. ACM aL MLRadNY, SC
Fulum autriansulu
. quod Simile SCtriargu
oCDF. cum quedam ducacur
Leco LEC Cclansuli laceribus
EG, ParaIel2 Da ALC, OcCUT.
IaLaer a Cciangu
LacetouS in FI _ L, vec IC lC
Ld. LLL, HcuE L R ad PD. Di
colactum esse quod pecieur. Quoniam  al HIL. A LR ad P9. criepeemu
EatO inverEendOVE L R ad FG, SIC P O ad TTT: sed T BK criangulum, est aa
Erg. Seuii. trianoulum F BC, in duplicata Fratione eius, quam habec L. R linea, ad lineam FC,
5Ibia.  POO criangulum es ad criangulum C D P. in duplicara B racione e
2c
  i.   .     . 1 . 1 1 .  1. 1 1  . 1    .  .    .    p  .    pd    d un  puu 

## Folio 35 — 1815201908:0092
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000092.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
B
m
n
15
n
B
IF
65
2.
3.
EF
2
15
K
AC
lu
AE
i
2d
3
2
POTE N FI A.
ad FTF, quin P OO, TF D Teriangula Cunc similiasisicur vecriangulum L. B K ad erian-
sulum FBC, ica est criangulum POO, ad criangulum HDI, e permucando ve
L. BK criangulum, ad criangulum PO9, Sic F B C criansulum, est ad criangulum
ATDT: sed L B K criangulum, per constructionem est ad criangulum PO O. VEM ad
N, isicur ve M ad N sic F B C criangulum est ad criangulum HI D I. Duximus 1gi-
cur lineam, _c. Ouod erac Faciendum.
PR OPOSI
Ato rriangulo A BC, linea DE, d angolo ABC. Oporreat in eo-
dem angulo ABC rectam subcendere L. M, daca DL aequalem,
quae auferac criangulum, dato ABC triangulo ae qualc. OpOrFCFaUEEmM
ABC criangulum, non elemaiusilosceli, quod super D F. poni pocest,
habens ad verricem angulum, dato AB C xequalem.
Constructio es demonstratio.
Vper DF linea segmeneum hac circuli,
concinensangulum, AB Caqualem. Di-
vilaque DE bitariam in C, crigatur recta
OT. normalis ad lineam A C, iunganturque
puncta DE, IP. Dein ex B demircarur li-
nea BF, normilis ad basim AC: Racque
VE DE ad AC, iea BF 2d FTG, crIInE
ABC, DHIE a criongula incer le aequalia,
e TI punctum non cader supra I, quia ABC
criangulum per constructionem non cA ma-
ius, criangulo DIF: cum recta ducacur FIK
Parallela bas DF, occurrens circulo in R.
lunctilque punctis DR, ER, AAC BMI Xqua.
lis ipE DR,  BL aequalis ipA RP, iun.
SANCUEqUC L.M. DiCO LBM criangulum
lacistacere pericionie Ouoniam IIK, DF
linex lune parallelae, eric R R D criangulum
xequale criangulo D FIF, id est per constru-
ctionem eriangulo AB C: est aucem angu-
lus ABC, aequalis angulo DIF, id eAt an-
GulOb DR F, _E DR, RF laECTA PEF COn-
sructionem aequalia laceribus I B, BN, 1gi-
curcriangulum IBM egualc est criangulo DR F, id eltEriaHSIO ABC, QML
lacus aquale lareri DP. isicur angulo AB C rectam subrendimus, ecc. uod cxat
Eaciendum.
PROPOSIIIO LIL
Aearecta AB, vecunque diuisa in D; super A B criangulum consti-
iuere AC B, habens ad C verricem, angulum dacot, a Glale, Gdem
recta ex C per D acta, diuidarbita-
riam.
Yper AB recta legmentum delcriba-
eur circuli, concinens angulum BC A
aequalem daco F: pertectoque circulo
ACB, SCCCTUIT arCUS AF B bifariam in
F,CE Cx E PeT D lINCAAGACUIF F C,OCCUF-
rens circuliperipheriae in C; iunganeur.
que puncta AC, C B. Dico factum esc quod pecitur, cum ent atcus A F. B Per
Constructio ex demonstratio.
b
Contru.

## Folio 36 — 1815201908:0093
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000093.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
  a m p11
36
L INF A R V M
27. Ferrii. Constructionem bifariam in P. Sc dimlIIS, CFUNE AC P, BC P anguli inter se a aequaleS,
b Per An
dersonium
alios.
O25. Sensi.
adeoque ansulus A C. B bitariam diuilus, sed ansulus ACB per constructionem
Csaequalis anoulodatot,  et AB recta criangulum consticuimus, eC.
ACOIOSITIO LIII.
ACO AnguIO ABC, rectamsubrendere, gux AB C crianoulum X-
quale constiruat, figita rectilineae C; sic Vr AB, BC laterum, dit
erenria Ciquaa X HI.
Constructio, es demonstratio.
F,TaEF F. D crianoulum ilosceles xqua-
le houra rectilinex C habens anou
lum ad verricem aequale angulo ABC:
habica dein media DF, _ Cxccltu CX-
TremAEUI FY; b INUCHIANEUE exEremX
AB, BC iung incurque puncta AC. DI-
cotactum cAe quod pecitur. Ouoniam
anoulo AB C, per constructionem equa-
liS CA AngUIUS E FD, SICAUECI VE A B
ad DE sC DF ad BC per constru-
ationem, id est F L ad BC, erir AB C
triangulum c aequale criangulo D F Fs
A id est per constructionem, Agurx recti-
linea C7: est aurem FI differencia late-
rum AB, BC; igitura LLDC Lecam subcendimuS; _EC. OUOd CFaL Facien-
PR OPOSIIIO LIr
AcO AngulO ABC, rectat lubcendere AC, ve ex B in AC; de-
missalinca BD, alts as Ploducat ADB, aequalem angulo ABC;
ablcindale; rectam C D, ad quam AB linca, datam habCAE FAEIOHCM
Construitio es Demonstratio.
Filac ve HI ad L, sC AB linca 2a HIHCAIM
FCr. daraque AB media, _ F C+ Cx-
tremarum ditterencia, InVenIRHEUE exEre
MX EG, FF: CTIE F C MaIOK FCCEa AB.
Ducacurigitur ex A linca A C aequalisre.
CtX. P C, Occurrens BC laceri in C, Tum-
peaque CD aequali ipB F G, iUngANEuE
Puncia DB. Dicofactum esse quod peci-
EUF. DUOMIAM EaM AC, F C linex, quâm
DC; FC Tunc incer (E a quales, CxiE A D
ia, aequalis reliqua F F. UatC AD est ad A B, VE AB ad A C: CsF auEem an-
per constructionem sic xqualis ip L C, C AL del F, IC AB ad DC, sCd
Quoderar Faciendum.
dum.
ad 1.
CAB, communis criangulis ADB, A C B; igicur criangula ADB, AC B
223. Sexti. lunc dincer le similia: angululque AD B xqualis ansulo AB C. Rurlum cum D C
AB est ad FC per constructionem ve EP ad I, isicur re II adI, sic AB est 2d
DC, vndeansulo ABC tella aemus ec. Duoderat Faciendum.
PARS
   t.     . e  1  ta  . 1  1 1 1. 1 1.  1  e  1  1.  1  . . 1.   ut     i

## Folio 37 — 1815201908:0094
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000094.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
lesi
em
X
12-
3U-
C:
CX.
nX
DI.
2m
IB
BC
tC-
C1-
le
e
2m
2x-
B.
c.
M.
EUIF
im
D
1-
B
C
ed
2d
5
LLLHETA
 R
Derectangulorum inter se propotone.
P E OPOSITTO LV
ABlinca; divilatuerir vecunque in C d B:
Dico AC B, C DB rectangula, aequalia esse rectangulis BD A,
DC. A.
Demonstra
dracis AC, CD, DB, unacum rectanss ACB, C. D B, bistuBEIS, e un
B A quadrarum aequaeur quadracis BD; CD. C A. Va CaM TCCAMOUHS BD A.
DCA bissumpeis: Igitur ablaris communibus quadracis AC, CD, DB; FEIMa-
nEnE ACB, C DB tectangulas xqualia rectansulis BD A3 DC R.
Corollarium.
DRopolitio hxec quoque rera et, Si AB linca; recumque de quorcumque punctis
dividatur. Eademque elt methodus progrediendi, d demonstrandi, qua in pro
Posicione rui lumus.
PR OPOSIII
2I Fuerit ve AB ad BO, Sic AD ad DF, _ BC linex equalIS L F.
d
DICOABDE, rectangulum x qualc esC rectangulo CBD.
Demonstr
Voniam per constructionem A
Lect, ve AB ad BC, SiC AD
ad DF, cric permucandos inver-
cendo, ve AD ad AB, sC DF ad F B, id est ad BC: X dividendo, ve AB ad
BD, SIC FF ad D E, id eA BC ad D E; quire ABD P rectansulum; aequalc
eA rectangulo C BD. Ouoderac demonstrandum.
Vadrarum AB, aequale es B A quadratO; sed A B a quadratum XQUAEIT a L. Sccun
LVI.
e LdEddetce Ldet
tuerie AB recta diuisa in C e D vE AC DB, linex sinE inter se
a quateo
Dico CD Guactatu; aesualt quactato C via Cu CCClaG
ABCD.
Demonstratio.
Vadracum AB,  C Guaatis AC, C B, bna cum ACB rectangulo
pC. ed HC quadracum, una cum reclatsalo A C b3 a quale cl re.
ctangulo

## Folio 38 — 1815201908:0095
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000095.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
iscundi
b bid.
1bia.
22bid
E LN F A R V M
estrectangulis AB CD, CHLB, DB H. Glare tempro communirectangulo C ABi
aequalia remanene CB guacum tud cumrectansulo ACB, rectangulis ABC. D.
DBA, id est rectangulis ABCD, BDA, rna cum quadraco D B: ablacis igieur
aequalibusrecla s BDH, ACB, mance CB quadratum, aequale quadraco
DB, id est AC aCccaalo ABCD. Duod fuic demonstrandum.
P R O 1OS. IFIO. LVIII.
CTFerie A D linea, divila in B
L. _ C, ve AB CD linCx (INE
aequales; lumatur aucem inter B e C, punctum quoduis F;
Dico A ED rectangulum, aqualcese rectangulis G F A, F. B A, vna
elat lacitale tit.
Demonstratio.
Ectanguium AF D, aquale est FCCLanguliS A ABF. C, BL. C, BF CD, vnX
Cllin quadraco AB: lediildem, xequalia sune reccangula AF C, AB1 ia
Cum quadraco AB; (quia AFC, b aequacur rectangulis ABEC, BF C) igicur
AF D recrangu aguale eit recrangulis CF A, F B A, vna cum quadraco
AB, Ouod crac demonstrandum.
LLOTDSITIOLCA
ctangulo CAB, igitur quadrarum A B, aequale est quadrato CB, una cum re.
ctanoulis ACB, C AB. Rursum A B quadracum, aequale est rectangulis A B CD.
CAB; DB Ai igicur quadracum C B, rna cum rectangulis ACB, C AB, Xqualc
Dicorectangula AVC, AF. C, DBF; aequalia esse lectatss
Fuerie AC linea, vecunque dinila in D, B, F.
e, 13BBADFC.
Detaot.
DFcranoulum ADC, AGNAIE CH TCCLAHZUMo ADB, C ADBK. ADZ C: 8
LF C rectangulum, d aequale estrectaneuS CLB LLBB CEDa; guace
AAdIEO RCCEANDMIODBE, CTUNE ADC, AE C, DB P reccat Maa Guana lCClat
lis ADB, ADBE, ADBC, CEB, CFBD, CFD A, DBF. scd _ ABC
recrangulum, aequale est rectangulis DBF, ADBB, CFBD, C E D A; addicis
rectangula, aGuaa reCTangUliS ADB, ADBF; ADF C, CEB, CFBD.
CDDA DDF. Ced _iildem rectangulis, octenla lune xqualia, recrangula ADC.
AF C, DBF; IgituT reCTangUIa ADC, AFC, DBB, aequalia luncreccangulis
igitur eccangulis ADB, BFC, ADFC, crum ABC, AVB, BCC, AVCC
ABC, LDB. DBC3BC. adu demonstrandum.
Leolt L
Fuerie AB linea, diuisa in quinque partes equales, punctis C, V.
OGCB.
Dest.
eiqueuis in directum adijciaeur G A.
Dico CD quadrarum, Elale ee Gladtato AC, ita cum rectansu
 u que u i e u et e . e e   e  s e pt p te u  1uu e  u e pt e  es u p e e ei pu. e  e 1et e t 1 tu a p te  e  e A p t  te pl pute es t  

## Folio 39 — 1815201908:0096
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000096.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
E
2a
ux
0
is
de
cC
1-
sis
POZFN EIR.
ostt atto.
leatum ∞B, agnale est quadraris AC, AD rna cuma rectangulo C AD a+ Sanm
bis lumpco: sed AD quadratum, aquale est quadraris AC, CD, vIa CUIM FC- d.
ctangulo ACD bis P sumpco; id est rna curri quadearis DF, L. F; _ C+ AD FC- BPerean
ctangulum bissumprum. aequale est rectansulis, G AC P; C AP B, id es rectan- dem.
Rurtum rectangulum Ci CB. aequale est rectangulis ( ACB, ACB: sed AC B
rectangulum aquale eA, rectangulis ACD, ACDB, ACFF, ACFB, id cst
quadratis AC, CD, DP, FP, una cum rectangulo C AC B; igicur addico qua-
deato AC, cric C C B rectangulum, una cum quadrico s C, aequale quadraco CD.
Duoderac demonstrunu.
sulo C ACB (ob C L., I B lineAS aguaseS HCa CB) igitur quadratum OD,
aequale est, quadraris AC, AC, CD, DL L F. vna cum rectangulo CA, CB.
ECetUT AB, in quoruis partes
Dico quadrata A. =, CD, DE, E B, simul cum rectangulis AC B.
EDB, DLBOIS IMMIpES, aquari quadraco torius AB.
Demonstratio
recunque in C, D, E, _c.
e
e
1b
adeacum enim AB, aquatur quadratis AC, C B et rectanguloC A C B biS c +. Scclm
Llumpeo; eodem modo quadratuim CB, aequale eAt quadeatis C D, DB, _ rC- ai.
ctangulo C DB, bissuipto; denique ee quadracum DB aequalc eAt quadraris D R,
F. B, e rectangulo D I B bis sumpro. collectis igicur in rnum quadraris AC, CD.
DE, E B, e rectangulis AC. B, CDB, D E B bis CumpEisi Ex(UITBET QULANEITAS, qua-
deato AB aequalis. Ouod Fuic demonstrandum.
Corellarium.
hecollisere licet; quod de duabus rectis lineis, quomodocum que divilis ecium
Csccundum distimillimus rationes, iudicium ferre debeamus. Ex discursi enim
polico in demonstrationc huius propolicionis constat; quadraca parrium cuiuscum-
que linex, cum rectangulis bis sinul sumpris, que sub partibus fune, secundum ce-
norem propositione conrencum, aqualia esse quadrato cocius; inde cam proportio-
nem habere necectarium est quadeita parcium vnius, Cimul cum rectagulis bis sumpeis,
ad quadeaca omnia parrium alcerius, cum rectangulis luis bis sumpris, qnam iplamet
quadraca cocarum incer se obtinent. Ouod admiratione non carec, cum vria quancica-
cum, in paucistimasparces possic dividi, alcera vero in quampluximaS.
credibile; li dicum numerum verbi gracia r00. quis iubeatur, lecum cacitus in plures
vro libitu partes parciri, deinde singularum parcium quadeaca, in vnam summam col.
recca, seponac; qua cumsa, ex pcaonos paltium incerle, lecundum len-
tum proposicione concentum, coniuneca, cerrum quendam numerum sibI Cop
carit. Alcer vero Geomerrie onarus, sponsione cum eotacta, cercet le divinacurum
cumnumerum, quem suppucatione facta, in codicillis conlcriplerir. Cres eriam
cyLOUM CapEUi masiS ACCOmMOdCCUT; cam Euliuis monmiluil deduca.
Foc eriam quod subiungam, ignorancibus Cieomerriam maxime, videbicur parum
POnaTUF

## Folio 40 — 1815201908:0097
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000097.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
L IN E A R V X
Lortacu numeruSIOO. Cx.
Posicus; diuilus in quotuis
parces; verbi gracia in AC
CD, DB. ACqUC AC PaF-
Ctu LO: CD, ParcIu 30.
relidul Pacclun
iubetur linsulas parces mul
ciplicare per lciplas: produ:
cene lx mulciplicaciones
cressummas; quarum prima
400. Secudla 900. FCTEIA 2500
Parres continebie. Vlcerius
iuberur AC, mulciplicare
per numerum C B. hoc cA
20. per 80. & cmeroit lum
ma1500. guxe bislumpta, ex-
crescic ad summam 3200.
Denique hoc Facco, ctiam
numerum CD ducere in
DB. X exlurser Cumm a 1500.
lam, cuius summa elt 10600. quam Cicomerra discursu propolicionis iam polux, ola
mulciplicatione numeri 100. per 100. tactam illico manitestam habebir, scilicet
10000.
SITIO LXIL.
VI Fuerie AB linca, divitave-
cunque punctis C D.
Dico rectangulum sub AB, _
comboia ca HODB, Ia Cum sectanoulo (ub CD, _ COmPOTITA CX
ACDB; aquale esse rectangulis BC A, DBC, ADB, C AD, simul
Cumpris.
900
2500
3000
3200
10000
qux es sumpea efficie numeruim 3000. canem collioir haec producta in vnam mas-
PROPC
Demonstratio.
21. Sccundi. Z EClatiSutu LUPeL AID, d CopOliTa Ex AC DB, aquale a cA rectangulis
AB, DB A; id CM CCMAANS ACB, ADB, una cum quadratis A C, DB;
id es xquale rectangulis C DB, ACDB, DCA, BD CA, una cum quadraris
AC, D B. Rursum rectangulum super C D, d Composica ex ACD B, equale cAt
rectangulis AC D, CD B: igicur rectangulum super AB, _ COmPOLITa CK ACDB,
una cumrectangulo super CD, e composita ex AC D B, aequale est rectangulis,
CDB, ACDB, DCA, B DCA, ACD, CDB, una cum quadraris AC, DB.
Icerum rectangulum B C A, xequalc est rectangulis DC A, BDC A; icem DBC
rectangulum, aquale est rectansulo BDC, vna cum quadraco DB: icem ADB
rectangilum, aequale est rectangulis CDB, ACD B; denique rectangulum,
CAD, aequale est rectangnlo ACD, vna cum quadrato AC; igitur rectangula
BCA, DBC, ADB, C AD, aqualia lunc rectanigulo (ub AB, _ COmpolICA ex
ACDB, rna cum rectangulo lub. CD, ex compolica ex AC D B. Ound crat de-
monstraudu.
PROPOSATIO La
ectangulum, aqualeherectangulo BF. C.
Lclatu D cat icumsdeC B Aelumin L. Mulaerc, Vt AL.L
Con
e ui  ei pii u et  pr iu p u e u      u  it  i   te pti     t   t         . 1  p   u 1e   pr  u. t  11 

## Folio 41 — 1815201908:0098
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000098.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
t
Pappi
PO FEN FL A.
Constructio ex demonpratio.
per AD, CB ve diametris, circuli
describanEUE, AF D, DF C. qui oc.
currane libi mucuo in F: cum ex F recta
demictatur FP, normalis ad lineam AB.
Dico punctum E, Cacistacere pericioni. pa-
FCF; CUM EaM AF. D, quam B F C rectan.
gulum aequale a sic quadraco FP. isituE
lineam AB, vecumque in C. ec D diui- H
sam, icerum lecuimus in P; e C. Quod erac
Faciendum.
PROPOSI
Ineam AB diuilam vecunque in C, D. icerum dividere in L, ve
C F. A rectangulum, aequale lic rectangulo I3 L B.
Constructio ex demonstratio.
Escribantur super AC, DB li-
neis, vediamerris, circuli AIC,
BTTD: quos in FI d I concinonE
linea TTI; qua bitariam in C diui-
Ca demitratur ex C linca GF, nOr-
malisad rectam AB, Dico punctum
B, ese quod querieur. (CcCEur BP
linca in F, VE B F quadracum (IC
aequalc rectangulo DB B. d Per F,
ex C duCATUT reCta OTTY, OCCUI-
rens circulo DHIB in M, ex N. et
ex C ducatux altera CK, occurrens circulo AYC in F. e K. Facta Conttructio.
ne reprius. Duoniam per constructionem, P F quadrarum, aequale panitur rectan.
sulo DB, B; _ HC recta est tangens, crie F C quadracum, xquale b recrangulo L. 7. pr. 159.
MIGNI; Ced F C quadratum aequale est quadraris F CI, F L IDIEUT _L NT GNT FCCTaN-
sulum aequale e quadratis, P G, F. F: id est quadraro F, C, rna cum rectangulo
DEB; eodem modo octendetur PE R reccangulum, aequari quadraco F C, vna
cum rectangulo, AP. C. Vnde, cum aequalia linc recransula I. CrR, M CNY, dem-
PEO COMMUNI qUAdLAEO P G, CTUNE AF C, DP B recransula, incer le aequalia.
Divilimusigicur lineam A B in F, _C. Ouod crat Faciendum.
PROPOSITIO LXV.
Ac Huc dua AInex A ee BF. oporret BF linex, quandam L.C
adiscere, ut quadrarum A ad BC L rectangulum dacam habca
ractone L ad L.
Constructo  demonstratio.
Si2: quod Aec si data differentia excremarum BF.
_ media C. IIVENIRNEUE CXERCIX F C, CB. PCF
Andersomum et alios. Dico Facrum eNe quod De-
ritur. Ouoniam BC, C. FC dinex lune conci-
Elac ve D ad P, sc A quadratum, ad quadra.
cum C; dein FB lincx qua dam adiunsacue
E+V.
FC, VE BC, C FC, des hcinconcinua analo. B
AUX

## Folio 42 — 1815201908:0099
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000099.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
put.  m puIyI
L EN E A R V M
nux proxortionales, erie BC F recrangulum, aquale quadrato C: igitur quadra-
BD A rectansclum, aqualc (ic quadrato C D.
cum A est ad receangulum BC F ve A quadracum, ad quadracum C; id cA peF
constructionem VE D ad F. Isitur recta B F quandam addidimus, etc. Duod crae
P R O P OSITTOLXVI.
Faciendum.
AEX linCX AB, inx qualicer in C diuila, quandam B D adiicere, vE
Conderuetio es demonsl acto.
tar AF aequalis C B. e AAE qua-
drato CB aequale rectangulum
CBD. Dico factum eNc quod peri
II Fuerie A ad B, ve C ad
BaLdat, ve  adFI.
 ico All rectangulum,
ad rectanoulum BC, cam
tur. Sunt enim per constructionem concinua DB, BC, CF, 8 quia AF xqua
25. Huius. lis est CB, CrUNEX BD, DC, D A a Concinux proporcionales; unde CD qua
draco a quale est rectangulum B D A. addidimus isicur rectam. Duod crac Facien-
F
STTTO LXVII.
auttt.
habererationem, quam habet C F rectansulum, ad rectan SulUI D F.
Demonstratio.
b23. Seuri. p Ario rectanguli AFI, ad B C rectangulum, ell ComPOHTA Ex rationC A ad b B,
_ ex FE ad C. Sed ecam ratio C F rectaHeII, du rectangulum DF, Compo-
SIca est ex FatiONe C ad D, Id eIE PCL COMICTACHIOHCII IL al D, d CK L AH F, id
est H ad C. isitur rectangulum A FI, ad rectangulum B C, cam habet rationem,
quam CF rectans, t ceast DP. Quod erat demonstrandum.
FInE
STTIO
Lin concinuaratione, line
L aurem e aliae qualuor Lt, C
FI in continua analogia;
Dico AII rectangulum, ad rectangulum D F, rationem habere eri-
plicaram eius, quam habetecai at, a ectan ulum C F.
demonsratio.
cIbid.
D Acio rectanguli AFF, ad rectangulum F. D, Ccomposita est ex ratiONC A ad D,
+20. Defn. L; d est sextriplicaca dracione B ad C, giia L, B, C Conla cumt proporcio-
duinti.
eZSei nales _ ex II ad B, id est ex criplicata Taloe e At F; led B C rectangulum,
de lectangulum C F, rarionem habet compoam ex cB ad C, _ Cx G ad fi: lgieUF
reccansuu A FL, acrecasc DC, rationem habec rriplicatam, eius quam
habec D F rectangulum, ad rectangulum C. F. Quod erac demonstrandum.
 ut t e e  i e es s . e t et  e i  p tle 1.     e p    p . 1    1.  1 t 1a   1 t qu  d Mrpn 

## Folio 43 — 1815201908:0100
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000100.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
ex
2c
1
M.
1.
2
m
B.
O-
id
n
e
NE
5
M.
ut
n
POTFNLLL.
P R O P OSTYIO LAVTI.
AB, AC, AD linea Fuerinc continux, quibus aegltales tanE AF,
AL, HO, in direCFUM;
Dico DCC rectangulum, ad C B F rectangulum, elle ve D A ad B A.
Demonstratic
Enero A, inceruallis AC., AD, semicirculi
deseribanEur DFILC, CR F; crectaque ex C
normali C FI, ducatur recta AF, occuerenS Cir-
culO CKF in K, WUNSANEIEquC BR, vE AC ad
AD, HC AR ad ATI, sed vE AC ad AD SIC AB
estad AC per constructionem; igitur ve AB ad
AC, AC AK ad AFI: adeoque BK, FC linex
sune parallela, d BR recta, normalis ad lincam
AC: quare DCC rectangulum, est ad rectangulum CBF, DE TTC quadratum,
ad quadrarum KB, id est in duplicaca ratione linex IIC ad KB, id eA AC ad AB,
id estre AD, linea ad lineam A B. Ouod crac demonstrandum.
P R OPOSITIO LXVTTL
SI Fuerint quoreunque linex concinux proportionales AB, C B, DB.
DEB, FB, CB
Dico rectancula ABDE, CBDE, CBEF, DBEF, DBFC,
FBF C in concinua cscanalogia; e quidem inratione AB ad C B.
Demonstratio.
Eaangulum enim AB D E. ad rectangulum CB D P, est RE A B 2 linea, ad lineam LL. Sexti.
CB; _ CBD E rectangulum ad rectangulum CBF F, est ve b DF 2d F F, b Ibid.
id cst, ve AB ad CB; Rurlum rectangulum CBF F, ad rectangulum DBF F,
estve CB ad DB, id est AB ad C B. (qiia AB, CB, DB, SC. ponuneur conti-
nUX, e DBF F rectangulum, ad rectangulum DBF G, est vER I: 2d F G, id est
icerum AB ad CB; d lic de cereris. Pgitur rectangula ABDE, CBD B, CBBF,
ecc. in concinualunm analosia, es quidem in racione AB 2d C B. Ouod erat de-
monstrandum.
lFuerinteres ordines continue proporrionalium A, B, C, D. L, F, C,
DtI. L,K, L, M. _e AF rectangulo aquale hac quadracum N: e R
quadrarumxquale rectangulo FH; sir aurem ee lF. rectangulo, aequale
quadrarum O, _ E. B rectangulo, quadrarum S. dein e rectanguloC FI,
xquale quadracum P; ex T quadrarum, aequale rectangulo CM; denique
rectangulo L H, aequale quadrarum 1, e OD rectangulo, quadea-
cum V;
Dico quadratum N ese ad quadrarum P, ve cA quadrarum 5, 2d qua-
dracum V: e R quadrarum, ad quadrarum F, ve O quadracum 3d qua-
deacum 
A OABSITIO LXIX.
Detrot

## Folio 44 — 1815201908:0101
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000101.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
  em napamm nen
L IN E A R V M
Demonstratio.
Vadracum enim N ad quadrarum P, id eA peF COn-
Lctructionem, AF rectangulum, ad rectangulum
CFI rationem habeta compolicam, Cx A ad C, id est
Perhypotheum ex duplicata racione A ad B; _E CX F
MI. adFI, id est duplicara racione F ad F; scd ratio qua-
draci S ad quadracum V, id est per hrpochelim rectan-
guli EB, ad rectangulum CFD, etiam componieur ex
ratione B ad D, id est duplicata ratione A ad B, eF CX
rarione P ad G, id est duplicata ratione P ad F, IgIEUE
requadratum es ad quadracum P: sc quadrarum 52d
quadrarum V. Fodem  Osendicur quadratum R, ad quadrarum Y CNC, vE
quadracumt C dd qladracum O. Duoderar demonstrandum.
PROPOSITIO LXX.
AC linea diuisa inx qualirer in B, oporter verim que rectas X qua
es adiicere AD, CL, Vr ABC rectangulum, ad rectangulum DBF,
Constructio ex demonstratio.
Fscripeo super A C, re diametro, Cemicirculo AF C,
eriontur ex B, nOrmalis B F; e AacvE R linea 24
S. lineam, ica BF quadrarum, ad quadratum B C.
cum centro communiTI; inceruallo TIC, delcribacur
lemicirculus DGF occurrens A C linex productx
in D _ F. DiCO AD, CF, lincas CacisFaCCrE DC-
cicioni. Rectangulum enim ABC, aequale est qua-
drato b FB, d C B quadrato, aequalc est rectangu-
lum DBF: isicur rectangulum ABC, est ad rectan-
sulum DBF, VE FB quadracum, ad quadratum B Cn
id estlinea R ad lineam S per construetionem. dacx
sicur lCa A C rectas aequales rerimque adiccimus; ec. Ouoderat praestandum.
AOPOSTFIO LXX
REo quadrato A, a lInCa D F, vecunque in E diuisâ, extribere re
ctam, quae dinila decundum rationem DF ad F F, extribeac qua-
dracum sub toca, vua camrectansulo sub segmentis, ad quadratum A,
Constructio ex demonstratio.
NDCnEA MI, mecIa inEeF B_E C , HaC vE quadra-
Lcum B ad quadeacum NI, ica D E quadratum
una cum rectangulo D R F, ad quadratum C, dein
ve C linea, ad DF lineam. AC lacus quadraci, A.
Aiac ad quandam PR; gux IER LCCCEUFINL, VED F
est divila in F. Dico IK lincam eAC quaLEam.
Ouoniam est ve C linca, ad lineam DF, Sc lacuS
quadrari A ad receam LK, CxiE inVCREendO, pCF-
mucando, DF ad TK, ve C ad lacus quadrari A.
Rurlum cum TK, D F linex proporrionalicer (InE
divita,
A.
123. denti. L.
E2
B.
C
dacam habeatrationem, R ad S.
in data ratto B au.
puasuiu  e u e u ui  su ute  s e e dit   u e e p i u .  n    e  i    pu pe ae  r du  un

## Folio 45 — 1815201908:0102
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000102.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Um
est
AM.
ex
ex
CUIF
2d
ve
E.
AF
1-
N-
e
POFF NFI A.
dinix, exiEvE TR ad D F (ICL K ad F F. FR aurem ratio rectanguli IL K ad rC-
ctangulum D P F, a compolica ex rarione LL ad DF, _ L. K 3d FL, id est cx 2 23. Sext.
duplicata racione TK ad D F, icem quadeatum TK ad quadracum D F, duplicacam
habet rationem, eius quam habet LK linea, ad lineam DF; igieur, CriE ILK rC-
dangulum vna cum quadraco IR ad rectangulum DF F vna cum quadeatoD Fi,
in duplicata rarione IK ad DV. _. quia cAvEDF ad C SIC IK ad lacus quadea-
ei A, ceir ve rectangulum D P. F vna cum quadraco D F, ad quadracum C, SC IL. K
rectansulum rna cum quadeato TK, ad quadracum A. sed per constructionem elt
DET rectangulum vna cum quadraco DF, ad quadrarum (7, ve quadeatum B ad
quadrarum M, id est ve linea B ad lineam C, isicur rectangulum TI. K va cum
quacraco IK, CA act quacracum A, vc B ad C. Vnde daco quadrato A, Rc. Quod
crartaciendum.
P I O P OSI
Sto AB linea divila vecunque in C,
sOpOrret eam augere recta BD, ve
ACB rectangulum, ad rectangulum
ADB, dacam habeac racionem L. ad F.
Constructio es demonstracio.
TTAEDEP ad F, SC A C. B rectangulum ad C quadrarum; deinde dacâ media 7
LBE CKCCIU CXEFOIMAFUM A B, INVCNIANCUE CxErCIMX AV, VB. Per Andertonium
X alios. Dico factum ese quod pecitur: est enim ve Li ad L, siC AC B ICCLIBI-
lum, ad quadrarum C. Sed quadrato C, per constructionem aequale est rectangulum
ADB, IBICUEVEF 2d F, SiC A C B rectangulum, ad rectangulum AD B; dutx igieuE
linex AB, quandam adiccimus, _cc. Ouod erue Faciendum.
PROPOSTEIO VARETI
acam rectam AB diuilam in C vecungue, HICFHM IB D leCaTC, vE
DAB rectangulum, ad rectansulum D C B, data Hablal ratio-
nem F. ad F.
Constructio es demonstratio.
IIac VE F ad F, SiC A B linca ad lincaM
C, dein AB secetur IN D, VE AD Sic
2d DC, sicur CB est ad C. Dico ta-
ctum esC GuIOd PCCIEUE.
Racio D AB rectanguli, ad rectangulunt DC B, C
ad CB, _ A D ad DC, id eAt per constructionem CB ad C. Cod eriam rariop AB b D fin 5.
ad C, id est Li ad F, componitur oxracione A B al OB, e CB ad G, isitUF 10.
etansulum D AB ad rectangulum DC B, cam habeclalionet Gualu AB Cd a
C id est P ad F; recram isicur AB in D secuimus dc. Ouoderac Faciendum.
PROPOSIY1O
Ectam AB diuilam vecunque in C, NCLUM SeCarE in D, ve ABD
Preccangulum, ad quadracum C, D, dacam habeacrarionem L. dat.
Constructio es demonstratio.
Gtat ve F ad F, SiC AB ad G. dei
AB (CCCFUE IN D, VE DB, DC,
_ E LInCX LINE COntinUX. DicOFa.
4
polica est ex ratione AB
exri.
LXIV
CTUm

## Folio 46 — 1815201908:0103
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000103.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
1. . . s i u. 1 1 1
seixeri.
L IN F A R V M
ccum esse quodiubetur. Ratio enim rectanguls ABD, ad quadeatum C D, compo.
nitur exratione AB ad C D, _ D B ad C B, Id es ex ratione CD ad C. Sed X
4b
a5. Desin. ratio linea AB ad C (id est P 2d F per construcrionem) compolica cstex rarione
a AB ad CD, XE CX CD ad G, isituE ADD recrangulum ad quadratum C D.
eam habetracto suu L. de 2. Mat ergo AB lineam in D, ec. Duod
b 5. Defin
exe
etacLalienauu
OSTEIO LXXV.
nem F ad 6.
Ineam A B dinisam vecunque in C ex D, icerum diuidere In F, vE
E. AC rectangulum ad rectangulum E. BD, daram habeac rario
Constructio, es demonstracio.
itat ve AC ad DB, sc F ad II, et
AF ad E B, VEET adC. Dicotactum
esse quod iubetur. Racio lincxe F adC
compolica est ex ratione F ad FI, _cHI
2d C; sedratio B AC rectanguli, ad
cclansuu EBD, compolica eAt Cx
c23. Soxsi. Cratione AC ad DB, ii est per constructionem F ad FI, X CX AF ad F B, id
CAHI ad C, isitur vE F ad C, sic F. AC sectangulum, ad rectangulum F. BD.
Divdmusigicur lincam AB in F, _C. Duod erac Faciendum.
PR OPOSITIO LXAVI
c AB, C, uilx quo
amodocungue
Dico quadraea parcium
AB, ia Cu scCaSIS
AE B, F FB bis sumpris, ad quadrata partium linex CD, una cum re-
quam AB quadracut ad quadraTUM C D.
ctangulis C GD, GHD, HID bi pio, ca habete latorem
Demonstatio.
161. tnrus
Emonctratum est AB dquadracum xquari quadraris parrium linex AB vna cum
rectangulis AFB, F FB bis sumpris, quemadmodum eriam de quadraris par-
cium CD ciusque rectangulis COD, EFTD, FTFD bis sumpris; Pacec ergo ca in-
cettelllalae Oocllete laliodeu qua llcet Gldclata AhCC Ledccu.
SIILO EXXY
Learum duarum alteram ita secare, ve lectx parres cum insecta, in
continua linc analogia.
nem hanc demonstraa  in dio oro in p 
00 (. 36. duplici methodo. labet alia ramen prarii hic eandem expedire.
Sp  .  e     t .        pti  1 . 1.        p     i u a    Bm. e e        i

## Folio 47 — 1815201908:0104
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000104.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
ne
d
Dd
C
H
d
m
is
M
cc
t-
A
In
POTFN LIA.
Constructio es Demonstratio.
Inc AB, BC linca quarum alEe.
eam B C, ita OpOrceaE parciri in D.
VE LinE in COnCINUA raTIONC, AB, BD,
D C: diuisa A B bIFarIA In F, HaEFC-
etangulo luper dacis ABC COnTeNCO,
rua cum quadeaco dimidia, F. B 2 qu a-
lC QuadtaEUML F, D, cadec punctum D,
incer C e B, cum LC quadracum (IC
aequale a quadeato BF vna Cum Fe-
crangulo ACB, quod maius est ic-
ctansulo AB C: adcoquC_ F C qua-
deacum maius quadeaco B D. Dico icague peractum quod postulatur: consticuto enim
super A B Temicirculo A F B, QUICAEUEFANOENS F D, IUnOAEHEGUe F R ad Cenerum. erie
ieaque quadrarum DF, quadrato D Fi, hoc cAb rectangulo BD A; vna cum qua- b35. Ferri).
draco E B, hoc el quadeato F F xqualc. Adeoque rectangulum AD B, una cum
quadraco F B, ipsi ABC. cum eodem quadraro aegnabicur, ablaco igicur communi
quadrato BF. remaneE ADB sectangulum, aequale ABC reccangulo, quaro
AD est ad AB, ve est B C ad DB. SE re AB ad BD, ita DB ad DC; sunc igi-
EUE C D, DB, B A in concinuaratione; igicur dacarum duarum alceram ica secui-
mus, _c. Ouod erac Faciendum.
PROPOSITIO LXXVILI.
Acarum duarum alceram ica parciri, ve recrangulum lub etena l
alcera parce diuila, ad quadrarum relidua, datam habeac rationem.
Constructio, e demonstratio.
Deoposctionem quam prius parricularem soluimus in ratione aqualitatis, conabimur quoque
universaliter soluere.
Sintigitur, AB, C D, lineae, oporceacque dividere F
CD, In P. verectangulum AB D R, 2d quadracum
CF, racionem habeac datam FT, adI. Fiacve TTadI,
SIC A B ad F C; dein C D dividaCuM iN F, VE F, D, F. C.
FC line concinuae per prxecedence. Dicotaccum eAc
quod pecitur. cxic enm rectangulum liper ABF D,
ad quanracum CK; ve idem ABF, D reccangulum,
ad reccangulum FC F D, id cstDE AB, 2d FC, id
est per construetionem ve HI ad I. Dimsimus isieur
lineam CD, 8c. Quod erac faciendum: 
Hluius Proposirionis aliam inuenies demonstracionem in libro baro deprosres
hionibus. Propol. 37.
ita secare in F. puncto, incet
C d Dconicuco, vercecangulum
AC.D, dd CEB sectansulum;
dacam obcincat rationem quadra-
Ei F, ad C quadracum.
Acam AB CccCaL I UL
LXI=
Con-

## Folio 48 — 1815201908:0105
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000105.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
mua
IN E A R V M
Constructio ex demonstratio.
Tuidacur A D in YF; e CB in Fbitariam; _ recta TYF divitA SIE in F VE BE
HIF ad F I, sicuc eA P ad C. Dico rectaulum AFD, adC F B rectangu-
Lumhrabere rationem quadraci F, ad C, quadracum.
Fluiusseaeeactoneme pectes oo Palabbta. LCs Poptetaribus ett
Cruca.
L. a 4, a
acam icerum A B, Cectam
recunque in C _ D, de-
nuo pateri in F, verectangulu
A F C adt BF D datam ratio
nem corincal quadrati F, ad6
PACO POSITIC
Tuidaneur DEpriuisrectE AD, CB, in FI, X P punctis bitariam; quo Facto divi-
dacur FTI recta in F, secundum proporrione , ad F. Dicorectangulum AP C,
ad BED rectangulum, dacam habere rationem quadrici I, at0 quadratum.
luius quoque demonstrationem invenies codem libro de parabola.
POSITIO
onstratio
ie
L X Z XI.
Acam denuo AB, divi-
lam vecunque in C _D,
icerum diuidere in F, ve re-
ctangulumm ACE, ad BDF.
Constructio e demonstratio.
rectanoulum, dacam obtincat rationem quadrari Fad C.
E CLIS N  N T, I ZTAEVE AC ad DB, IEa H B
F 10Ct. ,= ad KF; _ VEF ad G+, ica
ta u
TM ad, KN, tandem Aane in
continuaca analogia III, M L. )I; S Similiter RP GNK, PR: denique diuidaeur
CD in E. secundum rarioneM LO a RP; Dicotactum quod requirieur. R ectan.
a23. seuri. Gulum AC F, ad B B L, LHDELLatiOneM COPOSTAM CX AC, ad DB, hoC ct
HIL, 2dRL, e ex ratione C L. 2d LD, hoc cAt. OI, ad K P. Igitur rectangulum
AC. F, ad BDF. candem obcibectacionem, quam recrangulum TTIO adLRP:
sed AEsO ad L KP, Cama Haberracionem, quam quadratum IMI ad RNV, (ex
constructione enim linceres in concinua analogia cam IO, TM, III, quam KP,
RN, XL.) hoc est quam quadracum F, 2d G, quadracum; TSitur recrangulum
A CB, ad BD L, candem rationem concince, quam F quadrarum, ad Cguadra-
. Lextecimusigicur quod imperatum Fuic.
PROPOSIIIOLAASII
Aca bali, agsregaco lacerum, ee alcicudine crtansuli, extIBel
Gulum.
3
isu pis   sui u e p u eptis u ue  p utpe  p i  e e e    et    o    1a    u  a  pu o mu rop

## Folio 49 — 1815201908:0106
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000106.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
2F
Pi
P O F 21 LLLL.
Constructio e demonstracio.
lacerum aegresato, xqualis po-
nacur AB; Qua bitariam diuisa it
ac DF xqualis balcriangulis bitariam
dinila in C, _ alticudini aequalis pona-
CuF F; ex laceribus AC, CBS D F, haE
criansulum DHIB; nam AC, C B Simul
TUI PEX maioreS LUNE DR. exic igITUE
DFTF TIO(celeS: deindo AAEVE FI C qua-
dracum, ad quadearum F, sIC A. CB rC-
ctangulum, 2d rectangulum AKB, &
CrigaEuE R C aequalis ips F, parallela
FTC, inngancurque DG, GF. Dico D CL cangulum ese quaesicum.
Demonstrationem huius invenies libro de cllipl. LLOPOl. lLI.
PROPOSITIO LMAXIII
Acam AB sectam in C, diuidere in D, re quadracum AD, aqua-
lc sic CDB. rectangulo.
Constructio es demonstratio.
Tuisa CB in E BIFAFIAM, PONAEIT EX P NOr-
malis P C aequalis ipsi A B; iunctisque AC,
describatUE per C, B. C puncta circulus C BC,
Occurrens P C linex in P: diuisaque LiC bita-
riam in T, agacur per I recta IFI parallela ip(
CB, Occurrens AC linex in II puncto; ex quo
normalis erigatur TID, occurrens CB linea in
D. Dico Factum esse quod pecicur: cum enim
TTT parallela siE ipE AF, Ponancurque AL,
P. C linex xequales, crune e TII, LC quoque
inter se aequales, e FI communis interfectio lincalum FTT, FTC cum circulo. Vn.
de e FTD eundem concingir in HI: estque CD B a reclatis um aequale quadraxo 235. Luiy.
HTD, id est AD. Diuisimusigitur AB lineam, _c. Duod crartaciendum.
PROPOSITIO LXAAIV.
acam rectam AB sectam in C, denuo parciri in b, ve quadracum
AD, ad rectangulum BDC, datam obcincacracionem.
Constructio ex demonstratio.
ACA STraTIO F, 2d F, XE
hac rectanontu aliquod
OTK, quod ad rectanou-
lum L IMT rationem can-
dem curacione F, ad F CoOn-
TIneaE; hOC FaCEO PONAEUE
quaedam IS, orchogonalis
ad GTM _ invenca IN me-
dia INCCFK V, I Ci diuidatue
KObitariam in O, ex criga-
cur OF parallela (S, donec
CONCUEFAE CUI YS, qu2
aequidistet GNI, in T: d
IUngaTUE TN, qux S I
producta occurrat in P.
Deinde invenei media YO inter L. I, e TM, ducatur recta PO, OCCUT-
FCnS

## Folio 50 — 1815201908:0107
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000107.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 16 lines, status machine
L IN F A R V MI
rens TS PrOcAC_ in R. tandem dividacur L M bifariam in V, _ CrigAEUF V X
aequidistans TO; Concurreus cum PO in a; ee tinc ve V n quadratum, ad qua-
dracum Zn, ica quadracum V L; ad Xy quadracum: DicoT Z lincam divilam
esse in S, v, secundum rarionem postulacam; vide E diuidatur A B in D, _ C.
veest dinila TZ; in 5, dz; habebitur racio quadrati AD, ad CD B rectanou-
lum, inracione F. ad F. quod fuiepostulacum. VIcerius non pergo in demonstra-
tione huius rei, cum non sic huius locis le d oam reperres libro de parabola Gieome.
crice cractaram, ex pertectam.
50
nis.
l111
6tt4t8q
iseraisero
111
1920 2232 23 24  23   26

## Folio 51 — 1815201908:0108
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000108.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
DROGRESSIONIBVS GEOMETRLCIS.
a I
L Fi
OR F MI.
xlensliber, quem de prosressionibus Crcometricis in-
Cetibimus, omnino neceslarius est ad sternendam viam,
Tam inimus circulo ad quadratum reducendo: non ita
tamen hoc relim incelligas, re omnes omnino propolitiones,
que in toroeius decurlu reperiuntur, ad cum tinem requiricredasi
ledquodlinerluhuius libri, quoad partes maxime principales,
difticulter ad scopum pervenire quispoltic: exizebat aurem libri
argumentum, ad doctrina Formam rel leuiter Calcem concinnari,
ecoonatismaceriis exornari, ne facum imperfectum ederemus.
Idem de sequentibus libris iudicium ferre dignabere.
IL  NME N T V M.
Furimi de hoc argumento Speculationes non tantum Theorematicas; 
netiam Problematicas conscripserunt: sed omnes, prout ex libris hil 2)
riplis coenoscrepoa, amelleas materios concernentes, in
Medium actulerunt: quas authoribus suis ommino intactas relinquo; mei
enm instituti est procressoscicare sedmecteas, non Aruthmeticas: ed periaus
cornoscere quantitatum omnis speciet maenitudines, sive illae in lineis, sive supersi
crebus, veletiam solidis exhiberi debeant. Occasionem huic considerationi subministra-
runtnonnulla, cum in Archimede, rum in Fuclide loca, quae iubent in constructione
Geometrica, auferri (verbi grasia,) ab aliqua quancitate dimidium, ex huius iterum
dimidii dimidium; ex proclausula adfertur, e hoc lemver Aac. Tirillauit me haec
particula e coeeit morosiore cocitatione cirea haec versari: tandem post loncas vexas
intellectus, ea quae mibi inciderut, tibibeniene Lector communico, vt quae huie materiae
desunt supplere dieneris. Illam etenim solum direxi ad coenoscendas quantuates, quas
instituto meo necessarias esse arbitratus sum: communi enum Geometria, quam à Vete-
ribus

## Folio 52 — 1815201908:0109
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000109.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
ec   i L1L to
ribus accepimus, non existimam pesse quempram viam sibisternere, ad problemata
soluenda, quae à Mathematieis per saecula desiderantur: 2nde nouas arces e5 me-
thodos nouas indicamt excontandas, quae supplerent Zeometriae antiquae defectus; di
snaberis itaque beninne L ector, boni haec consulere, es cum aduerteris, multa hic esse
quae incudi reddi debeant, vepote male cornata; memineris velim ita scientias in or-
bemesse incressas; primo mutilas ex inconcinnas, quas multorum tandem mansis ad
persectum nutorem reduxerunt; facili erenum necotio inventis quidpiam addi potest,
plura quippe vident oculi, quam oculus; qui domini suriussit certis terminis se conci-
nere cocitur.
In quatuor partes parrimur hune tractarum, quo distinctius procedamus, ex captuI
tyronum maxis inseruiamus.
Prima inserviet contemplationi proeressionum inchoatarum; sive necdum termina-
tarum, quod rerminus proeressionum nondum in considerationem adducatur. quid au-
tem sit Procressio Ceometrica, quis ejusterminus, Co his similia, patebit ex sequenti-
bus. Sed tribus verbis conabimur praesentis partis nomenclaruram explicare.
Detur quaenis ratio Aad B; e petatur tertia
proportionalis ad has duas quantitates, exhibeatur-
quetertia C: continuariotrium horum terminorum
dicetur esse proeressionis interminatae; eo quod possit
olterius procedi in eadem serie: nam si dentur tres
quantitates D, L, l, ex addatur quarta C, quae continuet eandem rationem D ad F,
prooressio terminorum D, E, F, C. xlterius est producta, quam sit procressio termi-
norum A, B, C: cum haec consistat in duabus rationibus; illa vero in tribus. Porro hac
methodo procedendo, continuo auctis rationibus; aucetur procressio: manet interim
semper interminata. Faecicitur pars prima non percet elterius, e sistet in sola conside-
ratione Proeressionis huius, quam vocamus interminatam, ad distinctionem alterius;
qua tota exhaurietur, ac proinde terminabitur seipsa. variis isitur proprietatibus in
choatae proeressionis in medium allatis, subsequitur
Secunda pars, quae tota versabitur circa prooressionem terminatam, absolutam, siue
exhaustam; at que hoc omuersim in quocunque cenere quantitatis: indacando scilicet
cuiuscunque rationis, si in infinitu censeatur continuata maenitudinem, seu quantita
tem. neque velum quis in animum inducat, nos materiam incredi, quae placitis philo-
Sophorum contradicat: imo ostendemus luce clarius, häc nostra methodo dissolui etiam
gravissimas difficultates, quibus in Gymnassis e Philosophorum Licais solent in ma-
teria quanutatis invicem esse molesti. Duod et exemplo vno manifestius explicetur,
subeat memoria areumenti, quod Achilles Zenonis nominatur, quo omnem motum eli-
minare ex orbe se posse contendebat: omnibu (que studebat persuadere, falli oculos, duim
quid loco moveri arbitrarentur; argumento ad id formato duorum, quae mouerentur;
Achillis seilicet veloci ssimecurrentis, e restudinis cardissime reptantis.
Ponatur, ingulebat ille. Achilles cursor pernicissimus, ex A puncto, restudi-
nem percentem per semutam DC cardissimo motu, velle assequi suo cursit: Quo
tempore Achiltes tendit ex A in D, mota est testudo ad aliquod spaem, per
veniens in D. Nicur necdum Achiles assecuruo est rescudinem: iterum quo cempo
re
etet1e121221516 27 18 29 20 3Y 3Z33 34 355027 2

## Folio 53 — 1815201908:0110
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000110.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
im
EHte
lo-
AM
ad
eli-
ai
Duo
p
e
A R G Y HI E N XV N.
re ex B. Achilles currit, ut assequatur restudinem existentem in D, mora est testudo
perveniens ad F. punctum; isitur nondum assecutus est testudinem, atque hocin infi-
nitum contincet; isrtur nunquam assequetur Achilles testudinem. Areumentum
hoc Zenonis facillime expedietur per ea, qua secunda huius libri parte adferemus; nam
ex doctrina illius parcis, non solum manifestum fiet, Achillem peruenturum ad restudi-
nem, sed ipsum punctum assienabitur in quo apprehensio testudinis futura est.
Tertia Parshuius libri versabiur circa proeressiones terminatas, planorum prae-
sertim similium, quae commodiora sunt ut ad doctrinae seriem reducantur: v+ si datis
duobus quadratis in ratione maioris inaequalitaris, quis reguirat suverficiem exhiberi,
quae aequalis existat maenitudini, quam tota illa series quadratorum produceret, oria
ex procressione rationis primi quadrati ad secundum, ex hujus secundi ad tertium, (5
sic in infinitum: at que uc idipsum familiarius exponam, ponatur quis equum genero-
sißimum velle à quoxiam mercari, qui xulei opinione mille aureis aestimatur: cum que
mille aurei eidem non sint ad manum; hac sponsione contrahut, se post mensem centum
aureosei donaturum; post secundum veromensem quinquasinta, post certium iverd
vizinciquinque, at que ita deinceps; post sinculos menses, perpetuo censu dimidium dimi-
diipreciipendat eius, quod postremomense credicori persoluerit: tandem percasus mole-
Aiarum, conetur pacisei cum eodem, offerendo ducentos aureos pro residuo, et ab illo
censu sese expediat, quishorum duorum tali contractu decipitur; emptorne an exdi-
tore huius ex similium quaestionum solutiones, doctrina rertiae partis huius libri, liqui-
dissime expediet: ex assionabit; quae post sineulos menses summa sit residue debitr:, imo
ex si quis postularet nosse qualis summa residua esset fucura, post centesimum, imo mil-
lesimum mensem, Ceometric a certitudine ex praesentis Partis screntia coenoscet.
Duarta Pars totam doctrinam prioribus partibus expluatam corporibus solidisque
applicabit: Sperohmus tractatus arcumentum non fore illis ingratum, qui communi
Geometria excultisunt; admiranda enim Theoremata huius librinoricia eruuntur, e5
Problemata (quae communi Geometria difficili methodo soluuntur) praxi commodissima
expediuntur: sine adminiculo enim huius libri nulla esset huius operis lucubrationum
corcicudo, quae maxima eu parce buie suleimencomnira est.

## Folio 54 — 1815201908:0111
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000111.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
 p  s B. . se  p1B
2. L C22
tACL Et A.
Eometricam seriem rod quanticarem finitam, divilam secundum
Explicatio.
Pramuis sensus, quem verba indicanc obleurus non videatur, nihilominus men-
Lcem meam circa definitionem pexesencem censiri apponendam: ponaeur icaque
linea quaenis AB, dinila in C. secundum quam cumque proporcionem; et fiatquem-
admodum est toca AB ad CB, ita CB ad DB, e denuo ve CB ad DB, ica
DB ad FB, _ hoc semperhac. Oricur in hacracione procedendi duplex conside.
ratio; prima, rationis AB ad CB, e CB ad D B, ec vlcerius D B ad P B, alque
ita deinceps: alcerarationis AC ad CD, _ CD ad DB, itCrUM DP ad B F, d
ita consequenter; et licethae considerationes videantur diuerla, in rnum camen (co-
pum collimanc: nam cumratio A B ad C B, e C B ad DB, eadem sic cum rarione
A C ad C D, et CD ad DF, aeque ita vIceriS, A AaEreCtX A C aequalis FTL8
hac FTL
dividatur in punctis R, C, M, Secundum rationem A B ad C B, _ C B ad DB, REC.
tunc apparebic ratio, qua dua iltx considerationes invnam coalescune; E quis igi-
tur pecat, quid velim incellisi nomine scriei: respondeo menominescriei, totam
illam concinuationem lincarum intelligere; quarum prima est A C, sccunda CD, ica
veracio AC ad CD, eadem sic cum illa quam obrinet C D ad D F, atque ica dein-
cepscerminacam eodem eermino, quo terminatur racio AB ad CB, _C. Et quiain
definicione, particula adiuncta cA. finitam; hinc hoc loco explicare cogor Periem per
rationes AB ad C B, _ C B ad DB, _ ita consequenter, cum necdum demon-
Aracum Er quo punctolinex ACD cerminus existar scricirationis AC ad C D. nam
plusquam nocum est, apud philolophos, nunquam perueniri posse ad cerminum con-
cinvationis, per parces proporcionales AC ad CD, _ CD ad DR, cum residua
semper remaneat quancitas dividenda, secundum caldem rariones; quare rerminus,
hoccenore progrediendi acquirinequie: Ced si quis procedat iuxta considerationem
concinuationis AB ad CB, _ C B ad DB, de sic in infinicum, semper includieter-
minum, ad quem per concinvacionem rarionis AC ad CD, perueniri ne-
quir; seriem itaque voco, quanticatem tinicam AB, diuilam secundum continuacio-
nemracionis AC ad CD, e CD adD P. guae eadem semper existir cum ca qux
Ac continuando raciones AB ad C B. Quocielcunque igitur occurree mentionem
feri continuarionis alicuius seriei AC ad C D, _ CD ad DF; lubcac animo con-
tinuationem hanc finiram esse, ee coram illam cerminorum infinitorum collectio-
nem, alibiterminatam ese: que collectio series alicurus rationis Greometriex nun-
CUPAEUE.
concinuationem curulcunquerationis datae.
FI
SE CV ND A
Kosleo eomedica ele quorcunque terminorum secunaut Cal-
cu lalllt olllal
xplicatio.
St itaque omnis progressio pars seriei, cum ve explicarum est, omnis series (E COn-
Lcinuatio alicuius rationis consque producta, donec amplius prorrahinequeac, mo-
doprius explicaro; Progressio vero prour diftere à serie, proprie incerminata cAt; aC
Proinde eius pars: vbicamen inveneris in concextu sequentium, agi de cota progres.
sione Lallons alteuus continuata, deletreasemhetis, heque chimhac masis
Cexu-
M  1et ie . u1. . 1  1 . u 1. A  .  1    e 1     .  1   1  . 1  11 1   B. A n   .     pui tuVu

## Folio 55 — 1815201908:0112
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000112.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
D-
X
M
p.
D.
2.
Ecrupulose obseruari volo, quam à Geometris omnibus SCrIIAEUE NOMenCLLTA PTO-
Portionis, vel rationis; quarum licec alcera in duobus cerminis conlistar, alcera in plu-
ribus, nihilominus, pro arbicracu lcribencis, passim confunduneM SMMIL IBITUF hXCPEX-
mista, linon exactarum detinicionum loco, Calcem rberioris explicationis lupplemen-
c0. Dacis icagne A _ B: vel
alto A 2d B est maioris inX-
Qualicacis, vel prorlus aequalica.
cts, vel minoris inxqualitats:
Tuoeh Aanc cocinux proportio.
lates ABCD. huiusmodicon.
CMuaTIO proetelSIO VOCCEUT.
A
A
2
quoccunque candem cermini exstane.
Progressio vero Greomerrica iam explicara duplex eltta continua, alia discreca
Concinua eR cum omnes cermini rarionem connectentes, HaDCML TAtONEM AnECCC-
dencis, e consequentis; ve in Ccemarerarionum explicacarun, it lietC Gucaao-
dum A ad B; ita B ad C: ex quemadmodum B ad C, Ica C ad D, acque ica in
quovis candemnumero cerminorums huiulmodi progrelsioneM concinuam voco.
Discreca prooressio est similium rationum secundum aligum continuationem po-
sicio, ve consequences non hancancccedences. exempli calla; It hdl scemadmodum
A est ad B, ica C ad D. S
BFucric minor quam A, vel
C, calem proorelsionem in
quorlibeccandem cerminis consticura sic, voco discrecam; etiam in his terminis L. 2.
5, 10. 336, 8,16. Vbi discreca rario ralde incerrupea est, quia eAt concinuario lmiliumm
rationum.
F. F Y N
Frminus prosrettionis esleriet MMIS, det Guenula progressio per-
cinset, licet in intiumun Commuciut; led quoms inceruallo daro
Plopius ad cum accedere porerit.
Fxplicatio.
Donacur recta AB, diuita in CD E F C. ve continuent candem rationem A B,
CB, DB, EB, FB, CB. Cum siccadem racio AC aCD, d CD ad DF
acque ica deinceps, cum ea, quae reperitur incer lincas AB, CB, DB, ac. Similis
quoque eric ciuldem rationispreoressio AC 2d CD; cum propressione AB, 2d
CB. Terminus autem racionis AC 2d CD, dicicur punctum B, (ive illum incrin-
secum velis, huc extrinsecum, perme licet; nam de re nobis est hic quaeltio, non de
verbo: ad quod punctum nulla progressio percinzere valee; cum omnis progressio
incerminata pars seriei existar: nihilominus camen, porerit ad illum prooressio per
concinuationem magis ac magis accedere, ica ve vicinior vlcimus cerminus progrel-
Gonis incerminaex existac ipsicermino serici, quam sr distantia qua cunque propo.
AIca
bro secundo huius cractaeus discepeabitur, illud incerim insinnacu hoc loco delidero;
huiulmodicerminum Colum repeririin ijs profressionibus, que proporrionem maioris
inaegualicacis continuane, nam carum prooressionum quae vel cerminis semper aequa-
libusconctane, vel cerre cerminis minoris inxqualicacis, nullum alsignari poste cer-
minum, manitestumnimisest, quam ve explicacione indiocac; quandoquidem dictae
Prooressiones; i conrinuentur, magnitudinem quavis daca maiorem exhibere natae
Sinc. leaque le cundo libro, cerrio, et quarro, in quibus prosretsiones iam rerminatx
An aurem talis decur terminus progressionis, ee quo pacto investigati debeac, li-
COnC -

## Folio 56 — 1815201908:0113
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000113.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
COnSidCrANEuT, nuIIX PEOPONeNEUE, Praeter eas, quae maioris erune inxqualitatis: in
primo vero, quonismillie à cermino, adhuc abstrahitur, eriam progressiones xqua-
licaris, ee minoris aequalicaris concemplabimur. Terminus igitur progressionis
talis elt, quemadmodum explicuimus, cum scilicet aggregaEUM, SiVC (UMIA FeF-
minorum progressionis, quancumuis continuaex, numquam exce dic quandam ma-
onicudinem; excedierero omne minus illa magnicudine, aeque ica polleccriam di-
ci productum siuc quancitas corius, darx prooressionis, e magnicudo illa aequalis
dicetur cori progressioni datae; hoc est omnibus cerminis provortionalibus simul
sumpeis. Idem isitur quoad rem eric, siue terminum quaerere progressionis, sve
mapnicudinem coriprogressioni parem, huc iplammet inceoram seriem prooressio.
nis exhibere. Sed haec melius proposicione quinta, secundx partis, huius libri, per-
cipiporerune. Si quid praecere a perrinebic ad cerminorum explanationem, in de-
CUITLU OPCTIS CXPONCTUT.
ei
igoso

## Folio 57 — 1815201908:0114
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000114.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
PROGRPSSIONV COMLTAEBARVM
A
Procreptones constacrat indeterminatas.
PROPOSFTIO PRIMA.
Ontinuc proporcionalium diferentix sunc in continua analo-
duldem racionis luorum intesrorum
Anemasnirudines continuae proxortionales AG, BG, C, EC
C. Ollendendum est AB, BC, CD, DF, F. F differencias in conti
nua elle analogia luorum inccororum; e concra (IAB, BC, CD, 8C. Fue-
rinc continux, e F C addatur ve AC, BC, AB, BC sint proportionales;
DicO _ AG, BC, CC, ec. essein concinua analogia.
Demonstratio.
e
roniam AC est ad BG, ve BG ad CO: eric diuidendo ve AB ad BC, sC
LBC ad CC: ee permurando AB 2d, BC, ve B C ad C C, (AuC (VE A C+ ad
BO. Similiret B C elt ad CG, ve CG ad DC: _ dividendo B C ad CG VECD
ad D C e permucando B C es ad CD, Ve CC ad DG, id cAt ve BC ad C 6,
id est vE A C ad B G. aEqUi CFAE VE A C ad B C SC AB ad BC, ergo BC est ad
CD vE AB ad BC. Conrinuxe lunc igitur proporrionales AB, BC. CD, ex qui-
dem in analosla luorum incesrorum AG, BC. Simili ratione oltendam reliquas
cum histribus esse concinuas: quod erac primum.
Sinc iam AB, BC, CD, ecc. Concinux, quibus ad dica sE FG, SIC DE A C Sic 2d
BC DE AB ad BC. DicoOmneS AC, BC, CC, DC, dc. esle in concinuranalo-
sia differentiorum. Duia ve AB ad BC, SiC AC ad B C, ergo permutando ex di-
videndo, _e rursum permucando ve A B ad BC; hoc est ex daris ve AC ad BG, SIC
BC ad C C. quoniam aucem iam B C est 2d CD, ve A G ad B G, hoc est ex da-
eis vE AB ad BC, hoc est rursum ex daris ve B C ad CD, eodem plane discurtu
osendemus B C C Cs D C ese concinnas, ex quidem in rarione BC ad CD, hoC
est AB ad B C. Juare cum eriam AC, B C. CD Unc in eadem rarione concinux,
OmNeS QUAEUOE A C, BC+, C Ci, D Ci crune in racione AH ad B C continux. Simi-
lirer ollendemus ex reliquas cumildem esse concinurs. P’acetisicur rericas propoli-
ionis.
PROFOSL1O 1I.
quatuor Fuerine quanticares in continuata analogia, cruneaggregaca
exprimaceccunad, ex secunda d Ferria, ex cerria e quarra, in conet
nuaproporrione.
Demonstra
Vneo quaruor in coninua analosia AB, BC, CD, DP. DIcOCTiaM AC, B D,
DCF, CNC concinue proxorcionales. cum enim sic ve AB ad BC, ita BC ad C D,
ei

## Folio 58 — 1815201908:0115
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000115.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
1 .  p2 1 A 1BL 1
DROGRFSSTOHLS
212. Quin- exita verague ancecedens A C, ad vEramquE COHICHInEem BD, ve AB ad BC,
CD ad DE, cri veraque ancecedens BD, u CP veramque consequencem, ve
BC ad CD, id est re AB ad BC, hoc est re AC ad B D. Suncisicur AC, BD,
C P. in concinua analogi2. 9u0d fuir demomerandum.
ina ancecedens, ad rnam consequencie. Umilimodo quia BC ad CD, cA ve
5LL L
A B dinisa In C, Q D. VEFa
O AB a RC aMPIICaCa IB
eius, quam habet BD ad DC.
DICOAC, AD; AB.
Demonstratio.
BOnatuE A F, media incet A B,  AC, IBIEUE Eres etune continux quanticates
EAC, AF; AB. quare per primam hurus cric racio A B ad A F, eadem Cum ra-
tionc BF ad F C. led rario AB ad ACs cuplicara est rarionis AB ad AF., igi
tuE e racio AB ad AC duplicara cM Facionis B F ad F C. quare divla eAt C B
in e rediuila est eadem CB in D: ac plonte punctum D, vnum idem q. est cum pun-
DC ad CB
DS
elle in concinuaratione.
erunc quoque in concinvataracione AC, AD, AB. Ouod demonstrandum tuic.
A0 F. VndC Cum AINEErES ContinUX propOrrionaleS A C, A F, AB, ex constructione,
T 1O IV
si AB, AC, AD, Cine quancieates proportionales
O AD ad AB, racionem cius abele aupcaa, quamtra
de
atio.
Acio enim A D ad AB, duplicata est rationIS AD ad A C, sed per primam
huius ve AD ad AC, ita quoque eAt D C Alt L. B, lBItur rario A D ad AB du
plicata estrarionis DC aus. Guelelat demonttrandum.
e
LHE ETES CONLIHAX PTOPOECIO-
habet D ad L: ratio quoque B
ed etttd tadtitu d detto
Onales A, B, C; Sic aurem ratio
A ad B, criplicaca eius, quam
Dico D, E, F quancitates, in continua fore analogia.
aosoblo.
Vm eaeio A ad B, sc eadem cum ratione B ad C: ioicur eriati ratio B ad C
eriplicaca est rarionis D ad F. est aucem _ rario B ad C CX IHPPOMEIOHC CIHI
caca eius quam habet F ad F; igicur racio D ad F, est eadem cum rarione P ad F.
Suncisitur in continuaca proporcione O. L, li. Cuod demonltrandum tuit.
P R O
 a           u n  e pe a         mm

## Folio 59 — 1815201908:0116
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000116.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
C.
ve
Vt
D.
lit
r2.
ates
rd-
8i
CB
UH.
nE,
c.
14.
aM
du-
tio
aM
eB
C
li-
F.
D.
GEOM E YR LC A.
PROPOSTTIO
A ad B K inminoreratione, quam C ad D.
Dico A ad E I mediam proportionalem inter A e BK, eNe in mi-
oriratione, qualu C ad t mediam intet C l.
Demonstratio.
TacenIB A ad BC inratione C ad D, exic a B O minor qu aI B H. CLHaL IIIIEF 210. Bul
a e BC Media P HI, cric quoque FHI minor quam F. I. Rursum quia A 2d si.
8C apLacam haberrarionem A ad F II, d C ad D camdem ex constructione
habecrationem, quam A ad B C; habebic eriam C ad D racionem duplicacam
eius, quam habec Aad P HI: sed ex C ad D duplicatam habeceius, quam C ad F;
isicurratio C ad F, eadem estcum rarione A ad F HI. sed F. P ostenla est maioe
quam P FI, isituT A ad F P bminorem haber rarionem, quam Aad PHI, id est 8. Dvinsii
quam C ad F. Duod erac ostendendum.
Corollarium.
Cimili modo demonstrabitur si plures medix inter primam de secundam, et inter
Scerciam et quarcam ponantur, tuericgue in prioribus maior proporrio vel minoe
Primx ad se cundam, quam in polterioribus cerrix ad quaream; orC cciam in prioribus
primx ad primam mediarum, vel secundam, aliamque quamcumque maloremt vel
minorem proporrionem, quam cerrix ad similem ordine mediam incer posteriores.
PROPOSITIO. YII.
Ine duo ordines continue proportio.
D nalium A, B, C, D, _ L, F, C, LI: Xn
ior sicrario A ad B, quam F. ad F.
Dico suatorem eubque esse racionem
A ad C. certiam, vel D quartam, quam
E ad C certiam, vel HI quartam.
Demonstratio.
Vmenim sic eadem ratio A ad B, quae B ad C; sc C ad D; Similiter F 2d
racio, e CadTI eadem, gua cA R, ad F, sirque A aet B latot latio, quam
F ad F; criceriam eam B ad C quam C ad D maioxrario, quam F 2d C, aurC ad
H.  Ponaee AadC Mortato, quam L. ad Cr: d Met B al  Malot Ch. a.
Laclo. Glathe ad ll; d A dd e Maiet quam L ad Ll. Ila et aede eitenate atterdo

## Folio 60 — 1815201908:0117
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000117.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
  i 1 . 1 1. 1 . 11. 1 1. 1
P _ OGR F SSION FC
P R OPOSITIO VITI.
IInEEreS maonicudines AC, AB, AF; _ F F aqualis (IC C B.
DicO S A C minima CHIIIII, d CD MIInOr difforentia, e BF.
veriulque ditterencia, eCla line concinue proportionales, iBlas quo-
quemasnicudines LC, AB, A F ese in continua rariolC.
Demonstratio.
a3. Secundi. D F AanOnIUM F A C L XGULaEUE FCCTAHIBIIO F C A vna Cum quadratO C A, rectan-
B1. Sccundi. Lculum aucem F C A aequatur brectangulo AC B, _ rectangulo AC BF (id cA
c17. Sexri. couadrato B. Cu aC. C bF Ponum Commua) ab praccilacuanuee
EF; id est ACB, quia aquales Cunc CB, F. F: igitur rectanoutm lAC aequatur
d4. Secudi. Gua ato AC3C B3 celectangulo AC B bis, hoc elt quadraro a AB; ta eu
el Sentr. ures proporcionales maxnicudines AC, AB, AP. Quoderat demontrandum.
dC.
lat
Mliter.
TT BC ad CA, sC FB ad BC, i CH L L. IBIur componendo ve B A ad GA.
.
Sc BF ad F. F, hoc est BF ad BC: ergo permucando et componendo LA ad
BA, VE B Aad C. H. Saouctac demonstrandum.
Corellarium.
relcix; cruncrurtun AC
TauTeM A C, CB, R F Fuerune proportionales, ee B F aqualis C B minori difte-
dem est, que Plopocibusal pola.
AB. AF concinux proportionales. Demonstracio ca
kOFOStLIO 1X
Int in concinua analodta AB, AC, AB, dMminori disterentia BC,
aequalis sIE FD
C
Dico minimam AB, c MC CLCa BC, deinde _ C F,
veriusque dinctenra elentiam, esse proporrionales.
Demonstratio.
C3. Sccundi.  Fctangulum D AB Eaquatur rectangulo D B A, ec quadrato AB: rectangulum
BI. SccuL aurem D B A B XquatuE rectangulis ABC, _ AB F D, id ch LMuS tCuanou-
l0 AB C (suncenim F D, B C linex aqualeS) e rectangulo AB C F: CF~O rectAN-
Sutu AB, aquatur quadraro AB, ec rectangulo AB C bis, a praletCateca.
ulo ACL: quaccacua del ac: aguacit guacale aieclati aABC Oto
ex quadrato BC: Acsut Cum AB, AC, AD ponantur concinux proportionales.
7. Sexri. ex Cellangulum hD AB aequalequadrato AC; ergo quadrarum AB, rectangulum
A BC BIS. arectangulum AB C F Simul Cumpea, aquancur quadraco AB, Fectan-
eto ABC BI, a guadraco BC simul sumpris. Peaque dempeis communibus qua-
deaco AB, ee rectanoulo AP C bis, aegualia remanene quadracum BC, _ reCtAM-
gulum BC e GlaleAB. DC.Cmes Crua Proporrionales. Suo etae
deonulandum.
Alter.
        n

## Folio 61 — 1815201908:0118
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000118.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
10.
2M.
est
AC
uX
euE
at
se
4
C
E.
m
u
N.
153
25,
1m
n-
12.
N.
aC
er.
GF OM E TRIC A.
Alict.
FOniam D A, C A, B A PONUNEuIF PEOPOritES, C1GO Pet Pam LiilS DC
id CB eAvE C A ad B A: guare (cum aequales sinE I F, B C ex hypOcheSI) vE
A. Ouoderac demonstrandum.
CD ad F. D, A0 C A ad B A, ergo diuidendo CP ad F. D, hoc eAt, CB, VeC Bad
Corollarium.
Vod Epolcis continue proporcionalibus AB, AC, AD, SUMREUE C F, X qu2
isminori differentix B C, CrunE AB, BC, L. D I continua analogia: quod
demonatrabicur proctus oe  u propotico la Bo.
R OP OS1Y
Inecres magnicudines AB, A C, AD, in continua analogIa; pOnanEUE
ducem maxima erium A D, _ maior differentia C D, MMI d Certa
quaepiam F. D, Concinu piepONaleS.
DicoBC, CF, aequales esselincas.
NMETES PONANCUECONTINUIX AB, AC, AD, crit V C ad = CB, VED Aad C A: LL. Hau
Lgnarecan A Feclanollo DABC, aequale elt. Similicee cum B16. Sevri
PONABEHE CONCINUK AD, CD, FD, est AC ad CF, CVE AD ad CD: ergo rectan- cu Huins.
gulum idem AC D aquaEuE CtIam rectangulO AD C F. rectangula eron ADBC,
AD, C. P, incer LE XQUanCUT; vndC BC., d C. P. xqualeS (UME. quod erac demon stran du. d1. Senti.
Aliter.
Vandoquidem BONANEIE CONEInUX A B, A C, AD, CrGOPCL PMMAII HIIUS VE
LDA ad C A, SC DC ad C B. TTerum QUONIAM PONUNEuE COnCInUX AV, CV
F.D; per Pcam huiusrE AD ad CD, SC AC. ad C F; _ PetMcaHaO H AB
ad AC,lcCD adC. Sear ADda AC, HC onehdi eAC CD ad BC, ClBOCD
cAtadC E, ve C D est ad BC. xqualesisitur lune BC, C F. quod crac demonstran-
dum.
Corollarium.
IIa plane modo, siposcis continuis AB, AC, A D, etiam A D erium maxima,
DicoBC, F. D aequales eHc. Demonttracio eadem elt que proposicionis decimx.
CD maior differentta, d lerca qua Plam C L therine concinua proporrionales.
OOSIIIOZI
IS (IECL
DICOFD, CD, AD in continua quoque analogia essc.
Demon

## Folio 62 — 1815201908:0119
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000119.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
PR O GR FSSIONF S
imonorratio.
apsccunai D Eclangulum ADE aequarur  rectangulo A F D cum quadrato FD: rect anou-
2. Sccudi. = Ium aUEe A F D, aequacurrectangulob DF C, _ DF C B, hoc eA rurtuS rC
Elandulo DF C (cum CF, C B MM aguates) e rectangulo DV B A. Scd percorol
sulo DHC bIs, a Guadio F. C. quare rectangulum AD P. aequatur rectangulo
c4. Secun- D L.C, bis, ee quadraris P CC eA c quadracO C D. VndC AD, CD, E D lunE
d7. Sexti.
Aliter.
Voniam DA, C A, B A PonuC Concinux, exicper primam huius D A ad C A.
CUE DC ad C B, id cs C F. Guia aequales sunc ex daris BC, CF: Ieaque di-
uidendo ve D C ad C A, sic D L dd F. C: _ inverrendo vE A C ad CD, ita C F
ad F. D, et componA D ad CD, sic C. D ad F. D. Quod erac demottrandum.
Corollarium.
IX hac propolitione educitur hoc
TheOTCMA. SInE AB, CB, DB prOPOF-
tionales, crigatur aucem ad angulû quem-
cunque recta B K, aequalisipsi C B, iun-
santurque puncta AF, CF, DF. DicO
AF C, CF D angulOS CMC aequaleS: d A
AE C, C ED anguli Fuerinc aquales, e
CB linca aequerur recte BF, dico AB,
CB, DB esse proportionales: s vero
AFC, CFD anguli aquentuE; _ AB,
CB, D B sincproporcionalesi dico C B,
EBlincas eseae quales.
Demonstratio.
Voniam ponitur ve AB ad CB, hoC est BE, sic BF ad DB, ee anguluS ABF
LMEcommunis, erie D F B d criangulum, A F. B ctiangulo simile, adeoque angu-
IuS D E B angulo F A B aequalis. Rursum cum C B, F B LaFCTA XGUENEUE, CrUnE
c32. Primi. anouli CFB, F CB aequales; est aurem angulus F C B, aequalis eduobus angulis
E AC, AF C isicur angulus C R B equacur duobus angulis A F. C, F. A C: Sed D F. B
aequalis ostentus est angulo F. AC, dempris ixicur aqualibus F. AC, D F. B, manenE
AF C, CF D reliquixquales.
SinEiam anguli AF C, CFD _ CB, BF linex aquales, dico AB, CB, DB
esse concinuas. Ouoniam angulus F CB hoc CA CF B equocur angulis F A C, FAF Cd
ee C E. D ponacuraequalis ips AL. C, erie D F. B reliquus reliquo P AC aqualis:
estaurem angulus AB F. communisi ergo cerrius certio equatur, adcoque _ AF B,
DE B criangula similia: vndeve AB ad F B hoc CA CB, ita F B Euc C B ad DB.
Duod craclecundum.
ta VCrO SInE AF C, C F, D anguli equales, d AB, C B, D B ETES CONFInUE PEOPOF.
cionales: dico CB, F. B lineas aequari: (i enim non sinc equales, (c C B maior, fiarque
CC ip(F BF. aequalis. eruncigiur per secunda parrem huius propol. A C, C C, DC
Huius. concinue proporcionales. vnde Ii hac FI C aequalis ipH C D, CrUNECaMB AC, AC.
A TI; quam AB, AC, AII concinue proportionales; isitur eam A C A II rectan
sulum, quam AB AEIrectangulum, aequale quadraro AC medic communi: quarc
i A G A FI, A B A FL rectanGUIA RQUANEUF INECFSC. VndCVE A FL, ad AFT HSC AB
ad A C; led A FF sunEXe quales, CrgO A G A B rectX egnancur, ex e punctum idem est
quodpunctum B: e C B, C C, id est B F. linex aequales. eodem modo ostendicur
CB non ehe minorem ipsa BF.
PRO.
Erbid.
 50.
larium nonx huius, AB, BC, F D sunc continue, ergo rectangulum F D A B aequale
CAquadraco B C, hoc est gnadeaco P. C. rectangulum igitur A F D aequacur rectan
ciescof dod erar demonstrandum.

## Folio 63 — 1815201908:0120
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000120.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
3l.
Ee
Ol.
ale
1n.
Ulo
InE
1
1
e
1.
Dc
OF-
m.
N.
c0
cA
e
B.
20
B.
B.
F
ne
lis
B
ne
B
5:
B.
2.
c
B
C
GE OMET RIC A.
PROPOSITIO XII.
Eneur reslinex in concinua ratione AB, BC, CV, ad veBC sic
Demonstratio.
MI POnACL U COMEMU2 analoBia A B; BC, CD, iditur erie ve B Ca aa C D a L. Huin.
Ita AC, hoc est ex constructione BF 2d B D. Frgo diuidendo nDD daDC.
ita F D ad D B: _ inuerrendo vei CD ad BD, ita le habet BD ad D F. OuAFC
BBD qUadrATM RQUATUE F. D C rectangulo; quadrarum autem cB F, aequale cA c q. Secuni
7. Sext
quadratis BD; DB, ∞ rectansulo F. D B bis lumpro: acqui rectangulum ABP D
Eequarur iisdem: nam rectangulum. A B F. D; EguaTuF F D C srectansulo(hoc est, ve dL. Secundi.
octendi, quadrato BD) ex rectangulo F D AC (hoc es rectangulo BE D, id est
rurtum e quadrato F D cum rectangulo F DB, _ rectan sulo inUPEF FDB, rC. c3. Sccundi.
ctangulum icaquo AB F D, oum iildem e quale sic; sequabieur B P Guadrato: pacet
sicur AB, EBB, BD eNelneoncinuaatulbsia. quoddehohsratidum Fuie: t l. lE17. Sexii.
maior AC, _ hacrecta AC aequalis BF.
Dico AB, B L, F. D esse proportionales.
La
DOnaneus AB, BC) C, lres linea in conrirsua propoitione; e Hac
Dico AL, LC, C L   Concinua analogia.
Demonstrario.
ondoquidem ponuneur este Con CmuX BLoporcionales linex AB, BC, CD, cC
Liam erunc continuxe proporrionales RB, DEs C Di et B C. medixe equalis D L
Crir quadrarum D E rect angulo AB C. D _ ualO, quadTALH AULEI SC P XGUAEUFCD, 5 +. Secun-
BC aequalis DFC.
DF quadraris, e rectangio C DR bis lumpio. Gurous ciam a quatuErectanoU-
Ium AE CD. nam rectangulum AF CD aequacur F C D rectanoulo (hoc est qua-
draton C D cum rectansulo CD F) ec rectansulo D C B, hoc CA (quia ex constru. h. 3. Secun-
atione BC, D F aquantuT) icerum rectangulo C D P. ex rectangulo in uPeF AB CD,
(id est, vemodo ostendimus, quadraco D E) quare rectangulum A P CD cum ijsdem
equale GE, quadrato C P. aequarinecessc CA: ad eo que CD, C P, P. A esse in conci-
noa analogia. Ouod erac demonstrandum; o
INE AB, AC, AD, in continua analogia; ee hacve AB ad BC, it2
eam ceADdaDe; HCB Mat 2aF.
F lit
DicOF _ F cNcinter le aquales.
Demonstratio.
Voniam supponuntur concinux AB, AC, AD, A Aac D G a qualis B C, CFUHE
Lconcinux AB, BC, C C, ergo cum ex daris eriam sine in concua rarione, 13. Ruius.
AB, BC.

## Folio 64 — 1815201908:0121
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000121.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
 . t . 11
64
L LKL 5SIOHES
AB, BC, de F, erir linea F. aequalis C E: deinde quia COnFINUX (UNE AB, AC, AD
AII. HMInS. B Aac B C xqualis CFD, CrunE quoque in continua analogia C G, DC, D A. p0.
isicur L aequalis C C: vr L L. GuC HUNC XQUDL CS, VEpOEC Ip A C C L C5.
Duod cratpropolicum demonsteare.
i
513
BAIHEAFAUECM CONFIHUX A D, DC _E F; CrUNE IgIEUE CONFINUX F, DC, AD: est
Lema.
il et coctaris3: 12.
B cob 113Z 3ea
 F.d D es CFX m F
11. ∞t12C1. 3
Demonstriov
E  5
1
cunda ad CFi cerciam, ica in ordine alcero L. prima, eAt ad B A sccundam, ergo ex
b23. Ouin. Zqu0 in proporcione perturbata, veC F, ad C F, ita Z. b ad D A: acqui ex hypochesi
CHat C A CIdC ae D H, VE CF ad G+ F, CrgOVE CA ad D A, SC L (maior vel mi-
Ld. Duinm 1 Guat C A er a D A, quod est cab surdum: non olt ixicur C. A ad B A, in alia
proxortione, quam P. F ad C F.
PR, OPOSIFIO:121
cionali AC, aqualis sic producta A G. -. l vorrog
DicOFC, FB, F C in concinuara esse proporrionE.
Aei sne duo ordines erium quancitatum C A, B A, D A _E C F, PF, GF; e
sEDE CA ad D A, AC CF ad C F, sEque icem re B A ad W A, SICC F ad FF.
Dico eriam esse C A ad B A, vE P Fssest ad ( F. P sNi
de clire
EP enimnon est C A ad, B A, VE F F ad, C: L, eric erso aliqua maior vel minor
quam C A. nempe Z ad B A, VE B F, est ad CiTis quoniam ergo ve CF prima ac
EF secundam ica in Mctooe B sebuda cst ad D A cercIam, L V L F 1C
ncprovortionales AB, AC, AB, d linca BD COMPlITa ex vEra
 que nterea De, e Mlaturbitariam in F, ac medix PrOPOF-
Demonstrati
Vn enim GC bilecta sic in A, e BD in F, eric C C ad AC, vE B alLD.
PracerCa cum AB, A C, AD Ponantur concinua, C Pet PaSB C aC
C. D, VE AB ad A C, id est A C; e componendo ve B C act LL, Ia BD al CD: Sca
ante ostenderamus esse ve C Ci ad A ∞ ita BD ad FD. Ouare per lemmapeacl
dens etiam eric ve C C ad B C; ita CD ad BF, hoc est F D; e diuidendo C B
ad BeCaLDHoCCHFB llaque mucclenao, petmulanao. d componen
docricve CL ad BF, ica BLad C L, er30 Ct hL, Ct lunt proportionules. 1dd
erac demonstrandum.
Corollarium.
X hac provolicione hoc Theorema de ducimus. Sinceres proporcionales AB, BC.
CD, diuilaque sc AB biFariam in F. DICOAE, F C _E COMPONICAM CX AF 8
Lineis BC. C D bissumpeis, esse proportionales, _C sI A R, E C, _ COIPOSIEA CK AL
de DC, CD lineis bis sumpris, sinc continux; dico AB, BC, CD esse in continua
F
2d 16B. do
Demon-
A s       i u  1 1i    M    1       ue  t    a    e   pou a m ma

## Folio 65 — 1815201908:0122
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000122.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
elt
es
et
EF.
OF,
14
le
ex
est
ni-
lia
ud
id
c-
B
N.
34
C.
&
F
G F OM P TRIC A
Demonstratio.
DROduCatuE C D in F, vE DF linca aquetur BD composix: B A vero produ-
CaEUE IN GE VEGA, B C aeGuCNEUT. CNOmam C A, B C linex MML a GuatES, CTMI
DC, DB, D C continuxe proporetoales. Rurtum cum E R Xequelt LCCLa BC,  28. Huins.
AF ip( F B licxequalis, Crit C C in F bifariam quoguc aiiIa: CH AMLCM D L a qua-
lisipl BD per constructionemierso EB, B C, b P F, hoc est AP, P C, e compolc2 b15. Fuius.
Ex A F ex BC C D bis lumpris, sunc CominuX propOrtiOnaleS, GuIOA CTAE PTHHEM.
2. Ouoniam R B, F C, E F sunE ContinUX, ex F C liHCX XGUIAEUE F G. de BF lI.
ea ex construc. sic in D bitariam dta, crune D C, DB, C DC continuX: qualC d a.
X V
BbC. CDEeS erunE SConcnux proporS. quod erac demonstrandum. 11, 89. Huius.
R0P051f10
prima ad secundam, ita cerria ad quartam, CriE ve prima CUIM
aned a cectaus, la Bisites Gualttot de plititum cum cerria; vet di
rima cum secundzad lecundam, ica omnes quatuor ad lecundam cum
JuaITa.
Demonstratio
ISto AB ad B C, DE DE ad FF, dico eNse A C ad AB, VEASSrCGATUM Cx AC X
LD F adAGOrCSATUM ex AB, D F. Cum enim sic AB ad BC, vE DF ad PF, eric
inuerrendo e compotiendo AC A AB, S DF ad DL: GuapoP CCCAII
veraque ancecedens AC, DFc ad veramque conlequenrem AB, D L, VEra aN. cr2. Duinct.
recedens AC. ad AB vnam consequemem. quod erat proxosirum.
Corolarium.
Lio Cx Quacdor proporrionalibus hat vna equalis omnibus quatuor, verbi oratid
C: e hacalcera S aequalis primae, ac cerria, d rande recta Y exto a Guas
Primae e se cundae:denique siponacur V aqualis primxe, eric R adS, ve T adV: limili-
cer  omnibus quatuor hat aequalis C, et secundae cum quarra, aequalis H, d pla
cum lecundaxqualis +, de lecurca dfclanis e C Lad R. resA2C 2
PappO

## Folio 66 — 1815201908:0123
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000123.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
( u  prm pu . r vur m u 1
PR OGR E SSTON F S
Pappo lib. cerrio propolicione decimaleptima in cribus continue proporrionalibus
dum ad ampliorem rlum.
propolica fuic: guxe cum vnivertalis sc, censuimus eriam hoc iplum verbo indican.
L
7
IE A aequalis B, e C xqualis D; omnibusa A, BBC, D, P
cur aequalis F; duabus vero B, D, ponatur equalis t: limilicet clabus
CD, aequalis C; _ rectae D, xqualis FI.
Dicorationem L ad F, _ C, ad II esse duplam. Duod ( rectisF, F, C, Ll,
aequalis ponaturl, ee duabus Fd HI, a qualts Hacuacu B, ex lincis 6, 11
aequalis ponaturL, denique ea L, at M aGualis;
Dicorationem lad R, e L ad M eNecriplam.
Demonsblalio.
cum B, dupla est ipsusB; ex C cu D, iphius D dupla est: eroo criam A, B, C, D si-
Cmul sumpex, duarum B, D, Cmul sumprarum duplxe sunc. Sed lineis A, B, C, D
aequalis est F, _ lineis B, D, aequalis F, ergo F dupla est F: Similicer C, D, limul
sumpexe, hoc est G, ipsus D, id est FI, sinc dupla. Ouoderac primum. Secundam
Parcem ita expedimus. E continet rectam A bis, _ C bis; ipIa verO F ContineE A Sc-
inel, _ C lemel: ipla candem C continer C bis; _x TI xequalis est C; igITUE OmneS F, F.
Cn FLhoc es recta I, continer A corrio, e rectam C (exies: recta verd R, COnTIHCE CX
Bypothesi F, _x FI; (ed F continee B e D, hoc est ipsam A Semel, et lemel rectam C,
igitur si addacur II, hoc est C, recta K eric lemel A, ex C bis sumpram. Sed A sum-
Pta Cemel, cum C bis, eAt certia pars A linex rer Cumpexe, e linee C sexies (IMPEX:
Facio ergo I ad K cripla cst. Fodem modo ostendemus quod L, Sic cripla linceM,
nam I aequalis cA C, II; ipla vero C concineebis C lineam, cui si adiunoaturHI,
ips C aequalis, cric C cum FI, hoc est L, cripla recta C. hoc cstFI, hoc cAt M:
Pacec ergo veriras propolrione expolta.
Scholion.
appus lib. 3. proposicione 18. tribus continuis quantitatibus applicuit hanc materiam, quae scili.
cetcandem continuant rationem. quia veroddueriinon solum continui rationidus conne-
nire hanc proportionalium propriecatem, verum etiam discretissimis, modo rationes simtles ast
sumancur: hinc opera presiumduxi, hoc insinuare. Nocaru aurem dienum existimo, se quis v1.
terius
M  ee e  1 .    1e 1.        a  e .  pet su  u  e   e   u     n    a u u  upu

## Folio 67 — 1815201908:0124
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000124.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
caH.
na.
bus
H
H,
Ei
nul
am
sC.
esF.
E ex
C,
D.
c2:
AC.
H.
6
s.
GEOME tRTCF.
serius proportiones ita conuertat, que madmodum hac propositione fecimus. En infinitum repe-
siet plures ac plures subdivisiones rationum, sola praxis in propositione posita obseruatione.
PR OPOSITIO AVIII
Inc quacum que e quorcumque magnieudines A, B, C3 , L; Pona
curque F omnibus (praecer vleimam) bis sumpris, ac vlcimxe F. lemet
sumpeae aequalis; C vero aequalis omnibus simul Cumpris, denique FL
qualisvICIX F..
Dico F, C, EI arichmeticam A
analogiam continuare.
demonstratio.
IncaF, id est A, B, C, D, bis lum-
ex, una cum E semel, excedic rect a
Steet l, B, C, D, P semel sutipeas
exCCH A, B, C, D, semel sumpeis. Sed eodem excellu exceaclinea C, iplam fI,
quX aqualis pOnIEETCCtX F, igITT F, G, FT LINOX ATITHIELICAM CONCIHUANEPEOPOFL
cionem. Duod crat demonstrandum.
Scholion.
ae mirum videri non debult Frederico Commandino, P appum, cum lb. 3. ex C eometri-
Pappi desectum, ut vocat, eodem libro propositione 29. Supplerenicitur, continunale e
metricam aplenare, exqua, cum quapiam ratione Prithmelicam analoeiam deduxisset, non
ideo caeleris non proportionalibus quantitaribus commune esse, posset aemonstat: siquidem a
problematicinitoris splendore alienum videtur, certum es determinatum quid in constructio-
nem aamibere, cum obuium quoandet fuerii jufficiens. Sed hac in cratiam antiquitatis dicta
Leaproportione, analogias, ac naatats etu net. Cas nestexisse quanaoquiaeo
non ex Geometrica rantum se d quacum que quantitarum serie producatur; quou Lappl ica
reris sacacisimum latere poruisse vix crent potest:; vel certe oportuiss et C ommanutu antis
sint, quam venerart omnes dederent. Tuls hi sal drum labores, es ingeniorum parta
hucusque no diat a recentioribus acaequata.
PR ODOSITIOATA.
Atis duabus progresionibus cCotuM I Cora ratione A-
richmerica A, B, C; D, P, F; ex veriulque scriei cerminis A, D,
F in vnum conslaris constiruatur certia leries G7, FI, l.
icoeciam C,  l este in comunameliea apalogis.
ei t
Denton-

## Folio 68 — 1815201908:0125
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000125.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
prr
PROGRESSIONES
Demonstratio.
Tumpeos, SC CL ExCessibus M ec N simul Cumpeis, hoc est excessu P: Similicer
oltendemus II luperare I excestu P. Cuncixirur Cr. FP, L in Axichmeticd alalous
Duoderac demonstrandum.
loset. nt. adt 
P R OPOSITTO XX.
ISto AB. ad BC, ve BD ad DF; _ Rac ip SI BC aequaliS F. F, vbi
Dico esse ve AB alt AC, SC AD ad AF, et BD ad BF.
Erminorum seriei A, B, C, MUEVUS CxCENUSSIEMI; N, vero excesus alCeriuS; M au
tem ex N sibi addici, Facianc P: quoniam igitur A superac B excesu NI, _ D Su-
DCrAE F excestu N, A e D simul sumpri, hoc est C. Cuperabune B _ F. simu
scumquetandem cadar punctum F.
Demonstratio
aC uti
216. Fnino
Voniam eAt vE AB ad H C, ita D D ad D F, erit componendo, convercendo vE AB
at AC, ica BD ad BF: vIcerius, cum (InC FF, BC aequaleS, CrIE FOT2 AL
aequalis quaruor proportionalibus AB, B C, BD, D F: e AD aequalis pritIX e
TeKEIX, vei _ A C prime aC secundX: QUATCVE a AC ad AB, ITa AF ad AD:
e inverrendo ve AB ad AC, ita AD ad AF, ex reance otendimus, ica BD ad
DF: quod erat demonstrandum.
PROPOSIITOZXI.
Aex linc quacuor propectonales, minima AB, ICCHHOA AC, CetIIA
AD, QUATTA AF.
 piluo difterenciam primae de cercia, mhorem ele L C al-
terentia lecundae e quarix:
adllla
  

## Folio 69 — 1815201908:0126
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000126.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
au.
nul
314.
i
1B
et
D.
ad
2
G E OM F T R IC A.
6
ad BD, vel vE A C ad CF, sic BC difterenciam primae et sccunda, Fore
ae C F difterenciam difterenriarum b aCl.
Secundo (i BD minori auFeratur aequalis EF, ex C F maiori, VE AB
Demonstratio.
aVm exhypole AB sic ad AC, ve AD ad A F: isicurpermurandove AB ad
AD, SiC AC ae AE; _ diuidendo re AB ad BB, siC AC ad CF; ivicue
permutando ve AB ad AC, lic BD ad CB: aEqui A B MIMOF CIE quam AC, IBHHL
e BDminor est quam CF. Duod crarpirmum. deinde ex AHCHIEI iam FaCtO, Ve AB,
etiam AB ad AC, VE PF ad CF; ac diuidendo ve AB + BC, HC L F A FC.
de permurando ve AB ad F F, id est ve A B ad BD, Sic BC A C. F: ACGUIL CHAM VE
AB 2d BD, GC Cs AC, 2d C F, (VEanEE oRendt) 115O M AB ad BD, vel AC
ad CL, Hc est BC ad CF. Quod crac demonstrandum.
2d AC, sc CA BD ad CB; quare cum eli ex hypochel aGaSipI BD, eriE
PROPOSITIO
L AL1.
tlauadopobuateo, la AB, lecunca AC, ccilla
AD, quacta AL.
Dicopio ametena plina d lccunaa Be, minorem elle ditte
rentia DE, Tertix _ quarEX:
Secundo lex E D maiori Eollacur EF, aequalis minori BC, Fore ve
AD ad DF, sic BD differenciam primx e cerrix, ad D F differenciam
differenciarum BC, DF.
invercendos De A B a B CBHC AD ad DF: leaquo pernucanuo de AB ad
AD, SC BC ad DF. sed AB minor est AD, eroo eE BC minor eA quam D E.
Ouod erac primum. 1
Deinde cummodo ostenlum (c, esse AB ad AD, ve B C elt ad D. P; d cum LL
ponacur xequalis B C, eriam A B est ad AD, VE P F ad D P. Leaque inuercendo, ac
converrendo ve AD ad BD, SiCDE ad F D: ac demum permuLALCO VE AD 2d
DE, SC BD ad DF. Aequi eriam ve AD ad DF, sic est AB ad BC, (VE anCC
ostendi) ergove AD, ad DB, vel AB ad B C, sc est B D. aet DP. Ouod crac de
moullandum.
Demonstrario.
VIMI SC AB ad AC, vE A D ad AE, igicur inuerrendo; dividendo, rursumque
e R
CitsesC
Inc continui proportionalium processus AB, B C, CD, D L, LL. ALIUIE
ia vero quavis alia W, hac vE AB ad N, Sic N ad FII: veque BC al
N, (ICN hac ad IK, _ vEC D ad N, SIC N ad ALL, c H CMHCCPS.
Dico HIL, IK, IEL, Xc. esle in continuaanalosia.
Demon-

## Folio 70 — 1815201908:0127
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000127.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
. 1 . t t 1. 1. 1 1
P R O GR FSSIO N FS
emonsratio.
217. Sexri.
16. SeX1
similirer rectangula BCTK, _C D RL, aem incerse, quia eidem quadrato N,
EX hyporhesitincx AB, NI. HTE lunc concinux proporcionales; icem B C, NY, YY:
Leroocam rectangulum ABFTI quam rectangulum BC IR a Xequatur quadrare
NI. ac proinde rqualia luncincer se rectangula; ergo ve AB ad b B C, SCIK adIII,
aequalia lunc; igicur re B C ad CD, siC RBKI: acqui ex daris BC est ad CD, ve
A P ad B C, hoc est, re octendi, sicur IR a LLL ergOR L, cstad TK, ve TK ad TIT.
continux lunpropooalessu  , R L. Quoderac demonttranaum.
Ke votii
X L LV.
3. Seriio
continue proporrionaliu caaorum bales LInE in CoMCHua
plosia: erum e alltlidires in conrinuald proportione.
Demonstratio.
EINE AB, BF, F C, GB LL, intupeF _ rectangUIA AB CD, BE DF, E O F H _C.
in concinua analogia. Dico eriam C D, DF, EFTXC. ellecontinue proportiona
les. Rectanguli enim ABC D proporcio ad rectansulum BF. DF, C CompOnIEUE ex
rationibus AB ad BF, de CD ad DF: irem rectanguli BF DF proportio ad
FC FHI rectangulum, componitur exracionibus B B ad F Ci ec DI ad FII: qua-
re cum ex hypocheli rectangulorum AB CD, BF DF, L G F FI, xquales sive eedem
PFOPOETIONES HME, CrunE quoquerationes AB ad BF, _ CD ad D F, simul sumpex
aequales, sivc exdem cum rarionibus BF. ad E. C, _ D F ad FHI Simul Cumpeis. sune
auTE ex hypochesi eciam aequales raciones AB ad B F, _ BR ad F. G; OuarCS ab
aequalibusrationibus, nempe a composica exrationibus A B ad B F, _ C D ad DF.
icemque a compolica ex rarionibus BF ad F. G, _ D F ad FHI, auferas xqualesra-
ciones, AB ad BB, e BF ad P C; Pacet reliquas proporciones CD ad DF, _
DF ad F FI Forc aequales: ve constae ex definicione compolicionis proporcionum.
continue lunc igicur proportionales CD, DF, FHI. Simili dilcurlu cciam reliquae
TTK, RM. XC. cum praecedencibus oandem concinuabunt rationem. ConstAE eryO
quod propolicum exar demonstrare.
Corollarium.
Odem genere discursus, s rectangul2 A B C N, BF DN, F. GFN, eec. icemque
pases AB, B P, F. C, exc. sine in concinua analogin, demonstrabimus eorum alci-
cudines CNY, DN. F.NI, ec. concinuam quoque seruare analogiam.
E R OPOSITIO ZXV
Suantur denuo AB, BC, C D proporrionales, vei criam Ll
(7. GFI; _LacIo L1D al L F, concinuetur quomodocue iu 1
RR. P: _MIIMIMet TACO DC a FC producarur in L, NI, O: e rario CD
adCitl, pergacim l,, t, clc.
Aled eltato tofuteo d tenc  edtui corteltluate tlanitla
tOHCtIL.
Demot
   t s. i . 1 . p . 1. 1. 1  .  e  1 i u  . 1   u. p 1   u t ie   t.  s   1  tt. 1 1     e   11   et

## Folio 71 — 1815201908:0128
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000128.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
210
AL.
aua
rec
n2-
 ex
ad
14.
DEa
AnC
ee
2m.
Ua
190
que
Uci-
1
D
N.
CF OMF TRIC A
Demonstratio.
Vadrarum enim F F est X
ualerectangulo sub AB 8
L; _ quadracum FG, aequale est
rectangulo sub BC d L; ver
eriam quadratum CFI, re-
aangulo sub CD et N con-
cenco: isicur ve quadraca PF,
FC CHlincer se lune, ica etiam
rectangula sub laceribus AB X
T, Tub BC X C, icem sub CD, _ N COnCenCA: LCa QuaTACZ LMMCMCOMMIMUaEa an2.
logia, (cum lacera super quibus tunc ex hypocheh   Coeu analosia) ipieur
etiam rectangula, sub laceribus AB _ I, BC _ L, CD _ NY, sune concinué prO-
porcionalia: cum aurem ipsorum bales ponancur in conrinuaca ratione AB, BC
CD; Cciam I, L, N, alcicudines erune in concinuata analogia pex prxecedente. Podem
modoquir exhypoches F F, F Ci, CFT, ex ex demonstracis modo L, L, DF, liinc con-
cinux; icemque exhypocheli F F, T, R: _ F G, L M; irem Cn FF, N, O, concintaM
Ceruanc analogiam: demonstrabimus K. MI, O esse concinuas. similiter quoquepro:
cedetur in lineis P, G. R, acqueira in infinicum. constat ergo rericas propolicionis.
P R O POSITIO ZXVI
Int leries concinux proporcionalium, habentes primum cerminum A,
LCOmMunCM, A, B, C, D, F, F, _ A, MI, N, O, P, O; continuaEEautem
Cerie veriulque, hac ve B ad A, ita A ad G, deC. d ve M ad A, ica A ad
R, GICVEOmneS F, E, D, C, B, A, G, FBI, K, L: irem omnes , P, O, N,
M, A, R, S, T, V, X Sincin concinuata analogia.
Dico este B ad ML, ve R ad
G, _C ad N, ve S ad FI
D ad0, vc Y ad 1, Xc.
Demonstratio.
Vn B, A, O, SInE EreS conti-
nux, icem NI, A, R, cric eam
brectangulum BC, quam rectan-
Sulum MR, quadrato A, idcogue
d inter se aequalia. O vare ve B ad
NIACcR ad C Similicer quoniam
C, B, R, C FF sunE ContinuX, ic2
vemediam A, xqualis verimque
proporcionalium numerus cingat:
Pacec exelementis, A ese mediam
proporcionalem, incer C ex HI:
rectansulum isitur FTC aquatur quadrato A; eodem modo rectangulum SN qua-
draco A aequale erir: ergo incer sc aequancur rectangula TTC, SN. O uarCd vEC 24d Ibid.
NV, Cic S ad FI, simili dilcursu exie ve D ad O, Ac Y 2d P, e sc de exceris. Ouod
erac demonstrandum.
117. Scieri
C1b. Seuti.

## Folio 72 — 1815201908:0129
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000129.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
umpmmmn
P R O GR F SSLO, N F S
PR OPOSITIO XXVII
Vine duo ordines continue pro-
Lporcionaliuma avee
a A, b, C, D, F, F, e A, 63
Dicoproportionem FI ad C, el-
se duplicatam proporcionis  ad B;
 rationem lad D, rationis C ad B
essecriplicatam: e rationem R ad F
quadruplicaca. ret a Gu
cuplicacam cruldem rationis ( ad B:
. Sexti.
quorcunqe es alia plane methodo demonstrabimus.
10
cC1. L
eet
Llum FTA, QuadraTO G, _CTCCAMBMHI C H, Guadracoa B equale cric. vnde re-
b20. Sexti ciin guadraca G, B, sinc b induplicaca ratione basium C ad B, erie e rectangulo-
rum ploporcio duplicaca, rationis C ad b: led lactoetanguli ITA, ad rectinou-
lum CA, estracio cHI ad Cs ergo proporcio HI ad C est duplicaca racionis Cr2d B.
Deinde quonian cam G, FI, I, quam B, C, D, sunc continux, eric rectangulum LC
quadraco II, et rectangulum DB, quadrato C aequale. icaque rario rectangulorun
16, DB, hoc est racio d compolica ex proporcionibus lacerum L ad D, ec C 2d B.
aequalis est racioni quadraci TI, ad C: aequiracio quadrarorum HI, C, est quadrupli-
cacarationis G, B; (eA enim racio quadrarorum HI, C duplicaca racionis II ad C.
quae octensa modo eA duplicata rationis C ad B:) ergo proporrio compolica exra-
tionibus I ad D, _ C ad B, cA quadruplicaca racionis C ad B. ex quo pacet racio-
nem Iad D Colam, esse criplicaram rationis C 2d B. Simili discursu demonstrabi-
musrationem K ad B, eAe quadruplicatam; de racionem L. ad f. quincuplicacam
rationis C ad B. Constar ergo veritas propolicionis.
PROPOSITIO XXVII
InEduo ordines COHCCALI AI, B, C, D, E; _ A, F, C, FI, P eandem
Mactiprimam A: Penalut aduen tertius ordo continue proporciona-
lium; K, L, M, N, C, lecumoordini similis; ita tameH VE A de IL, Sine in-
aequales. DCieMCL FErTIAS C _ C, Donacur media P; dt InFEF QuaFFaS
D _ HI, ponancur aa ea_ R; candem incer quintas ponantur
CT. SexIi.
a rronni
100
ee su ncum.
Demonstras hanc Zucl. lib. 24. pr. 28. de quaruor concinue proporcionalibus. Noseandem de
demonstratio.
Voniam eam A, C, FI quam A, B, C lunc concinua profbiconales, rectangu.
ctangulum FTA, ad rectangulum C A, eA re quadrarum Cn ad quadracum B: itaque
eres medix S, T, V, _ ita deinccps.
Dicoesse ve a la alL, le alt, t alt , lec
Demon-
oti u i   e .  uu u   .i1    i   1  i  t  i.    t a  a    p  1 a   u g pu 

## Folio 73 — 1815201908:0130
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000130.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
pro
en
adF
juin.
2d
nou
2C
ngu
1dB.
10
drum
dB
dC
XF2.
acio.
abi
atam
det
Dna
REUI
GIE D M E PR LCIAE.
Voniam veriulque Cerieisprimus cerminus idem en A s erzo x er pracedenrem 
est adC, in duplicicaratione F ad B: led Ci criam eltad C, in duplicaca racione
 2d P, isicur C est ad P, veF ad B: led ex Upponco E ad C est ve L ad M; igi
cur alcernando M est ad C, re T. ad F; elt igitur ex aquo M ad P, ve L 2d B.
Simili modo perpracedencem B ad D, criplicacum habecracionem, F ad B: Icd
etiam E ad D. habec criplicacam eius, quam hrabec El ad ls ergore L al B, I
FI ad R: deinde est F ad TI, ve L ad N, onde alcethando, _ ex aquo N ad R
DE L ad B. Eadem prorlusracione demonstrabitur esse O ad V, re clt L ad B. Du.
repacet vericas propolicionis.
HInC CEIRM PACCEB, P, R, V ese concinuas cum C, M, H, O, line contudun
quidemineadem analoxia in qua sine linex A, H, C, H. L. VEPae.
PR O P
Donancur dux Peries
continuarum; A, B,
C, D; d A, L, F, G, Com-
munem ihabonces pri-
nam R; d inter Iccun
des B, F, sinc quoruis.
media Id, BA, lesicoci
dem Gueincer cercinsin
TerponaneuT; M, N, O.
e; Sispiliterincer quar-
FaS D e Ca, POnaneuE
modia . R, d
Dico A, HI, M, i
irem A, L, N, R; _ A, K,
O Si de A, L, P F ettein
concinua analosia.
Demonstratio.
5IT1O Xi3
Demonstratio.
Onancur enim incet a d M, media proporcionalis Vo de inter a de N me.
dia X Similicer Y, L a medix ponantur inter A, O, de A, P, _ A, F.. Ouoniam
ereo A, B, C _ A, V. M Cuncconcinux proportionales, ericarario C adM, duplica. 227. huinoi
ca eius, quam habee B 2d V. bicerius cum A. V, HI, et R. X, HT eriam sinc concinua
proporrionales, cric racio b M ad H, duplicaca ejus quam habet V ad Z: eode ibid.
pactootendecurrationes N ad O, ee O ad P, et P ad F, esse duplicatis racionum
X ad Y, _ Y ad Z, _ Z ad a: O uare Cum C, MI, NI, O, P, F PONAREUF CNC COn-
cinux, eciam B, V, X, Y, Z, a Pacer ee concinuas. F. s igiur racio B ad a, guineu-
plicacaracionis B ad V, e quia tama, quam F, medix SUMEinEeF A _E F, intex se
aequales crunc; iéoque deratio B ad a sc rario B ad F. eadem est; ergo rario B ad
E quincuplicaca est rarionis B ad V. quiaaurem B, II, I, R. I. Ei ponuncur concinua,
etiam rario B ad F, eA quinmplicara rarionis B ad FI, cRigitur B ad V, veB ad
FI. vndexeguales lunr I _ V. Similicer oRendetur L _ Z, R ec Y, L et L equales
ese. Quare cum ex constructione R, V, MI; A Z NY; AXO; A, Z, P. Unc concinux;
eeiam R, FI, MI; A, L. N: A. R: Di A.L, P concinux crunc. Non alia ratione osten-
demus, eriam iplas A, H, M, O: irem A, B NV, R, eC. ese in concinuaea aialoxiai

## Folio 74 — 1815201908:0131
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000131.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
e  . s.  nipeni.
PR O GR E SSIO N L S
(Sinempe ip(S A, FI, M incetIamuS quartam B, X ipsiS A, F, N quarFaM Y, d iptis
4
de omnes quatuor A, F M, Q; A,BPI,R; _C. eAC concinuaS. Quod erac demon.
Arandum.
A, K, Oquartam d. _ iplis A, L, l gcartam es denique ipls A, E, F quartam E) de-
monstrabimus esse ve pis sspliS O, R. SiI, C+ equales: AC PFOI-
tKO. D5I L 1 I L2.
eet d
iES
B l a C ID. FFOTII
umHtma Ni AO P, D. R5
Eneurbina Peries conrinue proporcionalium in diversis racionibus,
 B, C, D, ec. IL, L, M, N, _C. ita camen ve A IE, L. B sine criam
concinux popooales.
1
Dicoomnes A, IE, L, B, N, O: C, Q, R, D, d Sic deinceps, (omisso
in serie IEL. cerrio quoque tertmino M, P, S) esse in concinur analogia.
Demonstratio.
i
VIa A, R, P, B PONIINEHFCONTIHUE, CFBOVE R ad L, sC L. ad B: sed eriam est
Lextrpochesi ve K ad L, siC L ad M, ergO F. ad B, de M candem habCE La
7. Einsac. rionem; xquales aigitur sune B e M. ideoquerationes B ad C, M ad C aequales
TUnE. OVOnIAM AUEEM A, K, Z, B sunic quaruor continue proporcionales, cric rario A
ad B, id est exhypochesiracio B ad C, id est ex demonstracione rario Mad C; cripii-
cata racionis A ad K: Sed rario A ad K, exhypothes et rario R ad L, id est racio
M ad NI: ergo ratio M ad C, criplicata est racionis M ad NV: est auremrario M ad
P. criplicaca rarionis MI ad N, (sunc enim M, NV, O, P concinux) igitur ve Mad C
SICMI ad P: vnde de aequales sunc C et P. quare cum loco M, in serie Ratuatur illi
aequalis B, e loco P, illi x qualis C. crune A, K, I, B, PY, O, C concinue proporcio-
nales. Similicer ostendemus seriem hanc per rerminos 9. RR, D, erc. concinuari in in-
finicum. Ouod crac demonstrandum.
Corollarium.
Tnesequitur: racionem A ad B, criplicatam eRlerarionis, R ad P: _ B ad C, eri-
plicaram ipsius L ad M: irem C ad D, criplicatam ipsius M. 2d N. e Sic de cc-
ceris. nam racio A ad B concinuatur, est que illa criplicara rarionis R ad L, que DeF
TElIGUOSFERINOS CONFIHUAEUT.
elOOoeeiOana
Veriangulo quovis ABN GMRTOFPONANEUEPATAIICIA AB, C. D, L1
LO FI, in concinua analoslaracinter AB, C FI, media sic. LK; inFCF P F
plicaram elle FatIOMIS L. M al
+II
Dcolactonem AB ad IR et
Demonsitata.
AB ad C+FI, duplicaca est ex
pochesi, racionis AB adTK: &
racio F. P ad CrTI, duplicaca racionis
T Mt a C LL. CrSocumiterum, ex hy-
oche. catio AB ad erF criplicata lcLallous LL dc Ct crultatio AB 2d LL
DuIX
.. l 5
vero ae Citl, meclalit L LML.
5. Ouins
   i  e  u  n   1 . e     t t t        eu  ue ue pu e n ue u u m

## Folio 75 — 1815201908:0132
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000132.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
cipt
1)d
oroin
Dor
DUS
risse
3
M el
C
Vale
eioA
racio
Mad
1dC
F ilII
reio-
MIN.
 teto
ecc
EDel
e
e
erio
ad
TCK
: d
hy.
onis
CK
(11X
GEOME FRTC F
quae dimidiaea estrationis AB ad G FE, criplicaca racionis L M ad OFI; quxe dimi
diaca estracionis B F ad CrII. Ouod erac demonstrandum.
eROPOSTTIO XXZII
Vancicas ex quocuis conciue propercionandus componta; a
aliam ex parinutet cerminorum ciuldem leriei producta contla-
cam, mulciplicem rarionem habet proporrionis primx ad secur-
dam, exquolCess Alcerurra quantitacum componitur.
Demonstratio
Donacur terteslationis alicuius, constiruere quancirarem AB, _ series vlcerius
producta conticint quancicacem B C; HOC EAIEN PACEO VE verague pari nUMerO
constecrerminorum concinue proporrionalium eiuldem serici producta; verbigraria
Si numerec AB quancicas terminos octo conrinue proporcionales, de BC cocidem
eiuldem serier productae; dico AB ad B C, octuplicacam habere racionem ejus qua
AD ad D E. Cum enim rora series rarionis AD ad DE, pergac vniformicer ex
concinue ex luppolico rsque ad C, de linccorrermini eiuldem loriei in AB, quoclune
in BC, exempli causa in singulis octo; habebic erso prima AD ad B F, octuplica
cacaestracionis DP ad P HI, id est rarionis AD ad D F: quare cum rarIONCS A D scrrs
ad BF, _E DF ad F C, octuplicaca sinc eiuldem racionis AD ad DF, CrIEVE AD
ad B F, SICD P ad F Ci; codemmodoCriE vE DB ad F G, Sic F FI ad CI, & Sic devir. 9uin-
cereris. Duare omnes bancecedences, id est octo termini qui constituunE A B, (C h2- 3i.
bene ad omnes consequentes, hoc est ad octo cerminos qui consticunne BC, vevna
antecedens AD, 2d unam consequentem BF. Onare cum AD ad BF, rarionem
habede octuplicatam racionis A V, ad D F; habebic quoque AB ad B C octuplioa.
cam eius, quam habee AD ad D P. Ouod crac demonstrandum.
 L LL LC. 1
KDTOSITIC
TT
cescres comnue Ploporttohales AD, BD. C B, medialine B;
AED: rurlum incer AV, B, modia liCLD, a ine BB LD, media
sic HD: _hoCcpet Mal:
Deo ellere AB ad BC. IAC au De3 aA da BEI, a.
monsraio
Vminter tres continuas A D, B D. C D, medix SInE CD, E D, erune AD, C D;
BD, FD, CD, (vE PaceE ex clemencis) omnes concinux proportionales:
proindeque eriam cA G, G B, BE, F C CTUM CMMICA PropOrtiOnaleS: ergO A CTC L. Huius
ad EB, VEBR ad F. C: e componendo ac per convertionemracionis AB ad A Cm
ve BC ad B F. Tsicur alcernando AB ad B C; vE A C+ ad BF: Deindequonian
AD; CD, BD, L. D; lunc continua, AD cAt ad CD, ve BD ad L D: Duare
Si incet AD, OD media sIC F D, _ intel BB; LB, MCI HB, PatCE CKCC-
enEIS esse AD ad FD, vEBD ad HID. acquicum AD, FD; ED, sinc conci-
nuaes AF eA ad FC, VE AD ad Fi D. per r. huius. EE CUIm BD, ETD, FD SincCOn
cinuae eciam BFI eAt ad HIF, ve BB ad HB, hoc cM (scurran oen d H
versonem

## Folio 76 — 1815201908:0133
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000133.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
  1.  1. 1. 1. 11
DR OGR ESSION ES
versonem rationis ve A G es ad AF, sic BF ad BFT: _ permurando ve AC ad
B F, hoc CA (lCuEOstenaI) M AB du BC, sic AF ad B HI. ConltaCCrSOPEOPOU-
tionisvericas.
P R ODOSTFIO
XL LIV.
Intin continua altate sa AB, CB, DB, de incer AB, CB media (IC
A EB; inter C B veto _ DB lr media F B; acinde inter L B, C B, ac
CB, FB medix sine B, HB: Denigue inter (B, CB, _ CB, FIB
Dico rationem AC ad CD, duplicatam esse rationis F C ad CF,
quadruplicatam aurem rationis C. C. ad C HI, e octuplicatam rationis
IC ad CIE: acque ica in intinicum.
sine medix IB, ILB. X Sic deinceps.
denapto
Vm AB, CB, DB unt concinux proporrionales, exit A C ad CD a ratio ea
Lidem cum ratione A B al C B. Icem quia concinuxiunt AB, L. B: C b, Cl
ratio AF. ad F C eadem cunt rarione AB ad L B: d quia inter eres concinuas
1bidu
AB. C. B. DB media (unt B, EB, Patcec clemens AB, L.B, C6, Fb, 1B
omnes elle concinué proporconales: quare rario AB ad C B; id elt veram olccH aI Fa-
rio AC ad CD, duplicaca eAt rarionis AB ad B B; id eltreoltendi, LattonIs HL
ad F. C. quid aucem concinux proportionales sune AB, EB, CB; LB, ccam ctaI
D2. Anins. A F, F C, C F CONFINUA: CFGOVE A F, ad FC; sC R C ad OFs ergoratio AC 2d
CD, Cciam duplicata est ractonis B. C ad C F; quod erar primum. Eodem dileur-
rendimodo demonstrabimus, rarionem F C ad CF, duplicatam esse racionis GC
ad CHI:. adeoque rationem AC ad CD, quadruplicatam esseracionis C C ad C FI
denique ostendemus eriam limili rarioeinarione, rationem GC ad CFT, duplica-
eam esserationis TC ad CK. Vnde manifestum est rarionem AC ad CD, cius-
dem octuplicatam cNC. Dux eranc demonttranda.
P R OPOSTTIO ZZXV
Acam lineam lecale in quoruis continue propotctates, lecundum
constabtde. Mbtrdisoari.
dacam racioe.
Aca Cc linc.
diui
denda (CuE PO.
Aulac PrOPOM
cio, uGdacuor concinuas, secundum racionem dacam C D ad V B. GOKCHECLI
coctes Talio CD ad DB, quoc concinuas numero desideras in linca data AB,
10 dent. NempC CD. DP., PF, F. C: cum divide lineam c AB, Sicuc divila cst linea C C:
in plultis HL. I. K. Dieo AB, eAc diuilam prour exisic propolicio: patet demonstra,
contructione.
eOPOSITIO LLLI
acarum lincarum alceram ira lecare, veparces linex sectx, cum in se.
ta, cincin concinua analoxia.
Con
  u  s  se s e ete e e u e eta ese s e te  t       et    te u e t e s e  s e 1 1e 1    1e  u   t e  si ls  

## Folio 77 — 1815201908:0134
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000134.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
d
2
E
3
GF O N E TRIC A.
Construmo e atmonstratio.
Aex sinc duc linex AB ec B C, quarum
alceram lcilicet AB, oporreat diuide-
e In D puncto, DE AD, DB, BC sinc in
corinua analogia. pro constructione, (upCF
BC diamerro describatur circulus, icem
super linea AC, compolica ex duabus da-
eis AB _ BC. qui linE BF. C _ AF C,
ex ex puncto B crigatur perpendicularis
BF, ad rectam AC; duCAEUEqUO EX F
puncto, linea FI. Per cencrum minoris
circuli C; hac denique rectae CF, X qualis
CD. Dicotactum esse quod imperacum fiic: quonsam quadrato F B tam aequLaTUE
rectangulum AB C. quam = F FI, hoc eA BD C, crunt BBC, ABC LCCHOI erc.
aequalia incer se: Ced AB C rectangulo aequantur rectant a ADBC BC; a
BDC rectangulo aequarur rectangulum DB C, vna cum quadraco DB: dempio
isicur communi rectangulo DBC, manec DB quadrato, aequale rectangulum
ADBC. isicuc AD; DB, BC Canc concinua.
EX linc AB, CD
quarum vna CV
Iea Cecanda sIE in F,, VE
AB, CB, P. D sinc in
analogIA COMFIHUA.
Constructio s a
monstr alo.
SIUIPEA LEr MIICd
LLmaiori quam AB.
hac super FGeanquam
diamerro circulusLiICr
deinde (quod ex cle-
mentis Facile perHCI
cur) rectangulu GHIF
aequale Aat rectanenlo
ABCD; _ expucto FI
ica duCAEUE FIRL, vE
Aliter.
RI aequalIS SE A B (quod ab aliis Factum, et nos libro nostro de circulis alia aeque
alia methodo praestabimus) denique ex R crecta normali RL, aequali iph CD,
praescindaTUF ex K L. (ostendam enim cNemaiorem) linca KN, aequalis ipAI HIR.
Dieotactum quod pecebatur.
Nam rectangulum b IF R aequacur rectangulo CHIF, Id est ex constructione rC. B 36. Sentio
ctangulo AB C D, id eAt rurlum ex constructione PRL, ergo ve III ad KI, ica eAt
reciproce RI ad R II: acqui IEI maior cA quam IR, ergO e I. R, quam K HIma-
ior erie, quoda umpcum fuerat in constructione: perticiancur iam rectangula ITIR,
TK L. ductis per N _ L parallelis ad H I, ee normalibus HIME, IO P. Ouoniamisitur
rectansula TN, TE aequalia lune, ablaro communi KO, roliqua OL, KMt xqualia
CEUNE. DUaFC CUM KMI (VE Cx ConStruCtIOHC PATCE) NICGLadFAEUI, CFUINENO, RN.
EN cres concinue. Acqui N O est K I, hoc est AB; _ N P. eA C D. Factura igicur est
quod petebatuE.
deno.
11
 h
111
LIIIII

## Folio 78 — 1815201908:0135
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000135.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
 puerem uuuam u
PR O GR E SSIONF S
Scholion.
Clauins Maxister meus (curus per pues ans familiaris es domesticus auditor fui) Pele.
PROFC
Anc eandem propososionem nonnulli alii ex proposuerunt, es feliciter soluerun. Vil R. V
tarius, es Cuidorbaldus: sed exerettii causa, eriam meo eam Harte expedire volui; ne alieni
plumis me exornare velle videar: nusqua um propositionem statui meis lucubrationibus in
perserere, quam diuersi discursus demonstratione meam non fecero; vel authoris nomen in pu–
blicum non proculero. Roeo benisre Lector huiusrei memor esse velis, dum in posterum simile
occhrret.
O, XXXVII.
Acarum duarum rectarum alceram iea secare, ve rectangulum sub
nlecta, _ parce linex lecta, ad reliduae linex quadrarum, dacam ha-
Jaca sic racio A ad B, deinde daia H1.
nex snEC _ D F, Poctular proposcio,
secari rectam DF in F3 ve rectangu
lum sub C e F F, ad quadratum DF:
cam racionem habeac, quam daca B3 2d
dacam A. FIAEC ad CF, VE B ad A, e PeF
peaecedencem secetur DF in puncto F,
ve sine eres concinua proxortionales li-
nea;C, DB, P F. Dico Factum quod pe.
cebacur. AaF enim vE B ad A, sIC FI ad D F:
erit erso vE C ad C, siC DF ad FI: de permurando ve C ad D P, ita C ad FI: Sed
ve C ad D F ita DF ad F F ex constructonC; ergOVED F. ad F F, ita C ad HI: rC-
rorectangulum sub lineis DP. _ II Constructum, ad quadratum DF, cam habee
Br.Sesti. Proportionem quau a ipx, scilicet quam haber b FT ad D Fi ergo e rectangu
tum C de P F, est ad quadracum D P, ve H ad D B: id est ve B ad A: isicur dacarum
rectarum alceram, e c. Juod fuirpractandum.
PROPOSITIO XXXVIII
ca e erium in concinua rarione existentium, e aggresato
erium lincarum primam ee rerriam consticuenrium, extribere pri
5
Scacrarionem.
Constructio ex demonstracio.
Ab. Sexsi eanoulum iricur super lineis C _x P F, aequale elt a rectangulo (ib DF e FI. pOr
mam de vltimaM.
35. Fersij
CVpecaooresato tanquam atametto, CH-
culus describatur ABC; in quo recta
accommodetur B D, quae equalis se duplae.
darae medie: quod Acriposte costat ex daris
_ ex constructione: dein aGaTUF PeF cen-
trum linea AC. sccans orchogonalicer in
E, lincam BD. Dico factum esse quodpe.
cicur, est enim A C liner aqualis aggrCg2
eo, _ BF (c dimidia ipsius B D) daceme-
dix xqualis: quare cum A C orchogonasE
ad BF, CrIE AF C d rectangulum aequalo
BaC Co PlC ut Laclen dI.
d tructio nmonstratio.
Loctao
Glladrato F C: isicur data mecia clu Coue proporrionalium, illarum que asorc.
 i ii t .         e   u       p  . e p             a  .   

## Folio 79 — 1815201908:0136
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000136.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
ed
De
P.
Por.
sed
rC.
abet
ngU
AEuI
3al0
pi
CIF
recta
iplaer
cent
datis
CF In
dpe
cC82.
me.
nalie
quale
S1C.
mnao
L. ON. L LRLC L
Lemma.
TFuerinerres B. A. D As C A in concinua analopia, rectangulum supet maxima
us AB.
AB, _ excessu CD lecunca laPC CerCa; Hon et iC ss Geacuco CIE IP.
Demonstratio.
Voniam enim B A, D A, C A sunc continux proportionales, crit vE B A 2 A L L. Huim
1. AC D D ad DC. Ouare rectana B AC D, _ BD A aGUAHTUL. SCa . SexII.
Cllat t BA, non ele Maius quadrato dimiaia AB C VEPACCE ervO neque C5. Secnndb.
rectanculum B ACD maiuseric quadraco dimidia AB. Ouod crac demonstrandu.
TKOLOSTCIOZXXIX
Acamaxim a erium concinuarum, ee excessu quo media superaE m P
nimam, exhribere MCCTAML LL MMMMIIITAII.
Constructio es demonstratiu
ctanoun Abes asuale Guactaum f: Quomam ers per lemma pracedensqua.
dratum F F, id est rectansulum AB C, non maius est quadraco dimidiae AB. pacoc
ica d secari posse AB, ve rectangulum sub parcibus; Lquale AE quadraLO F F. lca-
que dividatur recta AB, in puncto D, verectangulum ADB xquale sic quadraco
F. L. Dicopunctum D este quod problema loluies hac enim recta C7, aequalis linca
DC: crit ieaque rectangulum AB CD aequale rectangulo AD B, cum verumque
5. Secundi.
seglia le sEquadratO P F; ergO vE AB adc AD, ica eA BD ad D C: E iam a rect at - C 16. Sexsi-
sulo ABC D, auferas rectansulum BD C; remanebic rectan guluni AD C; s VCFO
2 rectarigulo ADB, auferas idem BD C, reliquum erit rectangulum A C D B: acqui
EOta ABCD, AD B sunc xqualia, ieaque ablaco communi, crunc de reliqua rect an-
sula ADC, AC. DB xqualia iicer (C; isItuF vE BD ad DC, Fid eA (SicuEiam ORet F14. Sent
si) ve B A 2d D A, sic D A dd C A. Suncigicur eres in concinua analooia AB, AD,
AC; _ CD aequalis C, eA excessus, quo media AD, excedic minimam AC. Fa.
dum igitur eA quod requirebatur.
Aca sic AB linea Manm aexium PrOPOMONAuI, d C aqualis excestui quo
media superac minimam: oporreat isicur invenire mediam ex minimam. Aac re-
ER O POSITIO AL
aloclobuscaCcBuS, crium masnicudinum in continua analosia
existentium, exhibereeres continuas.
Constructio ex demonstratio
AceCeus AC. C B, Guiponan-
cur in directum; de CrISANEUE AD
 Patallela, quainter se candem ra-
cionem scriene quam AC ad CB; 8
ducta pet puncta D _ F rectaDF, con
veniae cum AB producta in puncto quo.
dom P. Dico Factum quod postulaturo
sidra

## Folio 80 — 1815201908:0137
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000137.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
PR OG R E SSION F S
nam AD 2d CE. eandem habec rationem, quam AIICa A F ad C F. Sed quam
parionem habet D A 2d C L. Candem ex constructionc habet AC da CD, puu
ounin Farionem abet cota A F ad rocam CF, eandem habet A C abtala ad CH
atq. Omh. Lblaca. elore Al cocaad. C. licocam lic quoque a CS celiqua adtelqua Be.
Ouarelecta B adiuncta elllinca Bfi, guae Faciat A F, C F, B F in concinua pro-
porcionesquod PeleDatur.
aliter.
e
eto lineis conveniae lublu als allatur sux inomnipe
DaEI IBIEUE SNE CKCCHUS A B, BC: AaE A F. MMctenca dacorum excelluum, ipBI-
Que AF, AB inveniacurcercia proportionalis concina L D AD abi
reproblema. Cum enim ex constructione A F sIC ad AB, ve AB ad AD, cric di-
videndo AF ad EB, vi AB ad BD: e componendo AB eric ad B R, hoc eA
BC, ve AD ad BD; d Permurando AB ad Ad, ve BC ad BD; e dividon-
do AB ad BD veB C ad C Di componendoigicur AD, BD, CD sunc concinux.
Fecimus ergo quod percbatur.
PR OPOSITIO
X L l
vntixc conctru
onere guancitacis locum habeac:
Acam magnicudinem AP. Semet sectam in C, propotuone mdioris
inaqualicaris, ica in duobus aliis punctis B ee D Subeluidere, ve qua-
CHOF ParceS AB, BC, C D, D F. Sinc in concinua proporrione; qua dimi-
diaca sic racionis AC ad C F, ex prima divissone Orta.
Constructio es demonstratio.
DEx quadragesmam huius Addatur F. F, vE AF, C F, R F sint PFOPOOCS cum
incer AF, C L media ponaour Btis incer C Fi quoque e FF, media D F. Dico
Factum quod pecebatur. Cum enim incerrres continuas AF, C. F, P. F modix Anc BF.
D F, Patec exelementis omnes AF, BF, CF, DF, BF, elle concinue proporcion-
lcs. Quareeriam AB, BC, C. D. D F, luncb concinua. de quidem in rarione A F ad
BF, quxe ex constructione dimidiara est rarionis AF 2d CF, hoc eA AC cad C. F.
Factum igicur est quodporcbatur.
aliter.
NEer AC, C F invencam mediam F ET ita diuide, vE FC sic ad OFT, vE A C ad
FFI, (CU F H ad C F: Rancque C B. CD ipSIS F G, OFI aquales. Dico Factum
quodpecitur. cum enim siE A C 2d F HI, ve F C ad GHI, id eAt BL ad CD, erie
quoque AC ad BD (qua ex constructione aqualis est F FI) veBL a C V. a 
nucando AC ad B C ve BD ad C D: et dividendo AB ad B C, IL B Cad C D.
Suncigitur AB, BC, C D eres continux proporcionales inracione BC 2d C D. Si
milicer cum FFI (ic 2d C F, ex constructione De FC ad C FI, cric quoque B D ad
=L Ve BC ad CD, ac permurando converrendo BD ad CD, ve C F. A LI.
lacoque dividendo B C eAt ad CD, ve CB ad BF. Sune igicur ces Conmva
_L, CD, DE, inrarione B C ad CD: ac proinde omnes quaruor sune convina
oporcionales in rarione BC. ad C D, id est FC ad C. H, id eAt AC ad F HI, qua
et e . . a 1 1  1e 1 1 1 1 .  . 1  e.  1  e 1 1e  1   A.  1  11B. 11t 1 e 1. 1 u  1 t. .   e    e 1 u 1  1e 1. 1 1. .  . 11

## Folio 81 — 1815201908:0138
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000138.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
icur
B1
Dro
pil
cdi.
den.
IUX.
12.
m.
BF.
012.
E a
CP
tum
erit
Det
.
dP.
et
_L D ME FRACA.
ecltuetione dimnidiara est rarionis A C ae CB; tormus eteo quod lverat pro-
POLCum C.
it
Cordnarium.
Asc problemare licebie praxim delumere, non lorum lubdiuidendi duas in
quacuor concinuas, sederiam in sex concuas; imo quoruis datas in duplo plures
Concinuas, ec quidem in rarione dimidiara eius, in qua iplae exiltun.
Ed1
VIEAB, BC, CD in cBriL A
Ocinua artalo eid; deinde Foces
eut quapiam linea FO in B, ve
s
3F
FF ad F C, eandem habcacrationem, quam A B ad BC
Dicotoctateulu BC FB, aquale elle duobus ABFC  LFC
rectangulis.
Demonstratio.
Vaienim heve AB ad BC, lta FB 2d F C, Rectansylum BC DF + quale eA a1s. SenI.
rectansulo AB P C. Similicer quia ve B C gu C V, ica Fi, H est ad BB Ca
rectangulum BC FC =quale rectangulo CD F. F. duo 18IC BC F FBC F CY FC-, B 1. Socudi
clangula id csb rectanoulum B C. F C, aequalia sune duobus BBC, CD F B ren
ctangulis. Quo derat ollendendum.
R
1c0 m M210ch ilum
Y fuerinc quocuis contimix proporrionales AB, CB, DB, EB, _C.
D Dicorectangula ABE FG CBDF, DBCD, E B. AC eNe inteT Ce
aequalia. Hloc est rectangula sub linois seriei AB, CB, DB, _c. e (ubKe
Siduis FF, DE; CD, AC eseinter. se aequalio; modo rerrograde con-
IUASAREUL.
Demonstratio.
Voniam est ve A B ad e CB, siC DE ad FF, rectaneutum ABK F aquacur CI. Huius
Ldrectansulo C BD P. similicer quia ve CB ad DB, ica C D est ad DF, CxIF L 16. Sexil.
rectangulum CBDE, aquale rectansulo D BCD. rurlys quoniam DB est c, ad e1. Hmins.
E.B vc AC ad C D, rectangulum D BC D equale cric ip A BB AC, xequalia fUNE
sicuromnia incer se. Ouod erar demonstrandum.
ldem pontto.
Root
AL. tV
Dicorectansula EB AC, DBCD, CBD F. ette inter le xqualia.
monset atloi
Vitemm CB ad DB. IaC BdOF: COMC BDF aequa-Eibid.
ClFSFCCanO D B CD. Sed curtum ve D B ad P B, SiC AC ad h C D, quarC  I. Huim-
ant ectansulum DBCD, xequalo cric rectangulo R B A C; oRenlum aurem fuic
canoulum CBD F, elle rectanoulo DB CD eequalC, quare d haC duo FB AF
u CBDP. proindecsuc omintairla inter se crunr aqualia. OVOd etaE demonctran.
dum.
Edet

## Folio 82 — 1815201908:0139
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000139.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
 pmmm
DR OGR E SSION ES
Pariratione si ponacur vlcerius produci leries progressionis, ita ve A B, C B, VB,
F B, F B, XC. Ponantur continux proportionales, demonstrarr porerie quacuox re.
EtarIgUIA FBAC, EBCD, DBDF. e C BB F incer lelexqualia cMc.
55
i PnR. Cd P, O. S FrZI, L, O 9ZL. V. 10120
cest s
15t .s ei SSCN BC RSCC CEECI iCEsWNIMCS LNEM
aCte  enis D iuuib nar B aimobiu
CInE AB, CB, DB, FD in conurua analosia, dec.
2tuii B
Dico quinquerectansula incer se aequalia esses quorum primum, est
illud, quodlub AB, BC tanquam una linea, e sub D F, continctur; al-
terum, quod delcribitur a CB; e DB eanquam vna, ac recta C D;
certium, quod a DB et F. B tanquam vna, e recti AC conticitur:
quarcum, quod ab fC, e C B; denique illud quod ab AD, DB de-
Ccribitur.
243. FInIHS.
Demonstratie.
Ectangulum enim AB DL. aequale cs rectanoulo CBCD: _ rectatou
b1bin. CBDF aquale estrectansulob D B CD: duo isitur rectangula ABDL, ex
EBD B id estrectarisulum sub ABC B ranquam vua, ee D P. Xe qualia lunc duobus
CBCD _DBCD, id est concento sub C BD B cariquam vnd, de sub recta C D:
eodem modo octendam sub DB P B _ AC contentum, aequari prioribus; de reli
quis quoque idem simili discursus demonstrabitur. Constac ergo veritas propositionis.
eROeOSIIIO ALMI
VIncconcinux proporrionales AB, C B, IB, LB, _C.
D
Dico rectangula ABCF, C B AD, e duo simul sumpca ACB,
ACDB, deniquerrium aggregacum, Scilicor quadrari l. L, rectanguli
AC F, e rectansuli C F. B, esse inter se xequalia.
errlaius. 
Demonstratio.
Voniam est ve AC ad C D, ita CD ad DF, eric componendo _ altetMaMdO, M
AD ad CF, AC CD ad DF: CCd vE CD ad DR, ica cst AB c ad C Bi igieur
8r6. Scxri. VE AD ad C P, SiC CH AB ad C B, SE rect angulu d ABCF. Xequale crir rectangulo
CB A D. InSIpeF quia es vE AB ad C B, ICa A C ad C D, crie rectanguluM ABC. D.
aequale rectanrulo AC, CB. Ouia vero ex aequo criam cA vE AC ad DF, ita AB
ad DB, erit quoque rectangulum ACDB, aequale ipsi ABDF: sed rectangulum
L.ddunai AB DE, una cum AB CD, aequalia C sunc rectangulo AB CF: rectangulum ixi-
TUT AB CF, aequalceriam est duobus ACB eC AC DB. Deinde quia recta AB
pai. secta esin C _ B, erir F A B CF aequale rribus CF in C A. _ CF. in C F ducto
(hoc est quadrato C F) X eidem CP in E B ducto: aqualia LunEiBIEUT inEEF (o.
Duod tuerac demonstrandum.
tROFOSI
A la2
Ine in continua analogia minoris inae qualitaris, AB, AC, AD, AF,
dc. et Torider lta u  esulatato er eriei, CH,
222. 41, c11 cel.
Dico
 u e   t   ue an   usu u e s e a  . u . u  e   1 t     d  e  u 1      1t   .   s  t A p11

## Folio 83 — 1815201908:0140
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000140.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
D
Or re
Met
3, de
3
sulum
1
uobu
CD.
ereli
ionis.
CB,
suli
Sicu
sul
CD
AB
AlUI
AB
igi
140,
ex lei
H
E,
th
1c0
GEOMETRICA.
DABTCCLAHSHIA ABGFI, A CIET, IECM ADHH, A E L FL, AFMIT,
ac. ese omnia incer se xqualia.
demonstratio.
6. dedi11
LdatIo VE A B de AC, HC LEL A_ OFL, CBOTCCLAHBuluM, 2 ABGFF, X91I2-
ux rectangulo ACTTI. rurlum exdacis ve AC ad AB, sIC RII ad TFI; Cr9O
cclanum ClEl brectangulo ADREF aequale crit. Simin e Tengb-bidin
rum aequalicarem olten demus. manifestum eA isitur quod fuerac demonstrandum.
Corollarium.
Voniam perprimam huiusposicis concinué proporcionalibus AB, AC, AD
AL, icemque L, THL, RFL. L. LemLe cusum difterencIK YP, P D,
C, _c. GT,IK, KI, dec. sunc eriam in racione continua, manitecte pacec eadem
Mcctendi mechodo demonttrari rectansula LELM, DF LCCDEK3 BCF
llose inter le aequalia eMe.
R O
Ine dux Peries quete Comaru CMIdCMFaTONIS, A, B, C.
,tl, D, L, F, C, R. IC dutem rectangulum AB, aequale DI. re.
Dico etiam rectangula BC, EF: C C, FI; GiFI, TK; d HC deinceps
tangulo:
aequalia esse.
Demonstratio.
oportio rectanguli AB, ad rectangulum D F, componitur c exrationibus A 2d L3. Sexit
D, B ad F; sed rectansuli B C, ad rectangulum F F, proporcio quoque com-
iiidem rationibus componuntur proporriones rectanoulorum A B, DLi: BC, F. P,
adeoque cadem lunc. quare cum rario rectanoulorum AB, DF ponatur aquatta-
es, rectansulorum quoque BC, F. F aequaliraris proporrio eriri eodem modoreliquil
rellesuus oltondenturxqualia. Duod crar demonstrandum.
ponieur ex Laliontbus B de L. dC das hoe el si al  aanteun eaatsle
exaequo lic A ad C; ve D ad F, cric petmutando A ad B, vE C adt) CrgO CX
PROLOSIIIBRVaIa
ngula , bC, Cb, bHl; aDL, L. 13t1, Ik lingula Cin
xqualia:
Dico esse A adC, b alt f, a Bad 6, H L det L, a Medlcinceps.
Demonpratio.
Em rectanonlum AB, aequAlC SICRECtANSMIO D L, _L LCCLAHIECLHNI BC, RECCAII-
sulo F. F; ergo verecransilum AB ad D V, sic BC ad P F: e permurand

## Folio 84 — 1815201908:0141
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000141.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
84
LLk1.ddCeC0
de DH de F F eAt vE D alt L; C150IL a C, veD ad F. Fodem discurlu eric P ad
C. Me L al 1. Macaccemoatum.
ve AB ad BC, sC DF ad F F. acqui rectangulum AB ad BC, est vE A ad C.
ROPOSITIOL
Lrectangula AB, BO, CB, GH, _c. rectangulis DE, F. F, F L, IK
Dico veram que lacerum letiem A, B, C, G, HI; _D, E, F, L, KL, E pO-
nantur esse continuae proportionales, esse quoque continuas ciuldem ra
C E
Demonstratio.
DEF PFACCHEMEM CNA ad C, VE D ad F: quia aurem eam A, B, C, quam D, F, SF,
Llune concinux proportionales ex datis, eric tam ratio A ad C, (id cst D ad F,)
rationis A ad B duplicaca; quam racio D ad E (id eA A ad C) duplicaca AIE ra-
cionis D ad P. Duare re A ad B, Sc D ad E; _ B ad C, ve F 2d F, exc. Cuncigi.
Eur A, B, C, C FBB _ D, L F, I, K concinux cuuldem proporrionis. Ouod erat de-
monstrandUm.
P R O P OSIFIO LI.
prima A ad securdam B, eamdem habeat rationem; quam cerria
Dico eria rectans und ex hilce Facta, ese in conrinuata proportionei
Demonstratio.
Diireula linguns ataITA HHE:
rionis.
DC ad quatcat.
nembe cccatigua AB, BC e CD.
danigulum AB, C ad rectangulum BC; re A ad a C, sed eriam rectangu.
SC; 2d CD Tob eandemracionem) estve B ad D. cumigitur Sc ratiO A
ad C eadem cum racione B ad D; cam quoque rationem habec rectangulum A B,
ad BC, quam habet BC 3d CD rectangulum: sune igitur in continuata ratione,
dutac demontel attcc.
LCOIOSITIC
ma A ad securtca eandem habeat Laclonem, qualtunta
quarcam , Hacque ve prima A ad cercIam C, ica cerCIa C ad
m F:
Bicorectangula exisesConuta, et
le in concinuaca racione; nemve rectangula
AB, BC, CID, DF.
Demonstratio.
Ectaisca HB dd BC seltansulum, habee
camracionem,  quam A ad C; ledracio Aad C.
cadem

## Folio 85 — 1815201908:0142
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000142.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
ad
sipe
M Ed
Est
dF,
IC rd.
acigi.
C den
onei
0A
B,
ne,
C
2d
s.
et
GE OMF TR IC A.
eadem ek, cum ratione C ad P ex constructione, igiturratio rectanouli AB, 2d
BC, cadem elt cum Fattone Cad L. lca guantre A Cn alt B, Ha C alt B, CM
permucando A ad C; vE B ad eSCHS AB a BC, CMLaCO B a
D: Sed rectangulum BC ad CD; etiam eAt a ve B adt D; ergo racio AB rectanoui 
ad rectangulum BC, cademmen Cumracione ecation BC, 2aC Drccanouta.
eu adcemeaaudde et a e cacequa enC alte vide cclaalio
ectanguli C D, ad DL. seclansulum, eadem elt cum racione rectanguli B C, 2d
CD rectangulum; quocirea in concinua analogia sune rectangula AB, B C, C D,
DE, cum unc inratione A ad C. Constacigitur vericas propolicionis.
R OPOSEFIO
C, tres in continua rarione. Sincq D, F, F, in eadem vel di
tinuata ratione.
BICb rectansula CD, CE, C F, item BI, BF, BF: ILEM AD, AF,
ese incona alaZCa.
Celangulum CD est ad rectangulum CF, ve D ee C CCclat- b1. Sent
Suru CM Ad rectangulum C I, VE F, ad F: Sed D, F, F ex hypochesi sunc conci-
Demonst
nux proporcionalesiereo aTeaa CD; C L. CF lunein concinua analovia. L0-
demmodo probancur B D; B F, B E rectangula, item AD, AP, A F esse concinue
proportionalia. Duod crac demonstrandum.
aetstetL
Ic A prima ad B secundam, ve C terria ad D, quartan.
Dico quadracum capetu, ccansulum lub secunda ee rerria, et
Quad uu   upe edo
Demonstratio.
Acio quadrati A, ad rectangulum CB, Ccomponirur exracione A ad B (LL CM C2) Senri.
C ad D,) e exracione A ad C. Se lalto eclatsu BC, dd D quadrarum,
compolica elt exiildem rarionibus: nam ratio recranguli BC, ad D quadracum,
componitur exratione B dd. HC et A ad, C; ee ex ratione CadD, hoc ell A
fauaum D. Ouoderac demonstrandum.
ad B: erso luneeres concinuae quancirales, quadrarum A, recrangulum B C, et
eROPOSLTIO L.
Inetres linex AB, BC, C D in continua analogia.
Dico AB quadcacum primae, rectangulum ABC, lub prima ee
de Cellas delilee Dquadracum cerrix, esse in concinuara leric ciuldem
lacionis AB ad BC.
Secunda; quadrarum B C sub lecunda; rectangulum B CD Cub sccunda
Demon-

## Folio 86 — 1815201908:0143
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000143.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
  t uu pu u    HHI
Ar Sexti.
bIbid.
P R O GR F S S FO N F 5
Demonstratio
Vadracum AB a eA ad recrangulum ABC, ve AB ad BC: _ ACClatSu
ad rectangulum BCD, ve BC ad C D, id est exdacis, ve AB ad B C; _ FCCFAN-
oulum BCD est ad quadrarum CD, ve BC A CD, HoC en setu d AB da
BC. est ad quadracum BC, ve A B ad BC. Rursum quadracum B C D est
BC, erBO quinq B    B a DC. 810d
crat demonstrandum.
P R O POSTF
M C
u
InCx GI, DF, A C ita sint dinila in II, E, B, veratio DF, ad F F
duplicata sicrarionis OFI ad HII; _ racio AB, ad BC eriplicata
racionis C H ad HI: sincque praeterea OHL, DE, AB, in concinua
anal091a.
Dico e rectangula GHTI, DE. F, ABC, in continua esse analogia.
Demonstratio.
TAEDE DD ad OFE, SIC GF AdR, EE VE PF ad FTY, sIC HTF ad L. igituFrCCTn.
sulum sub DF e K, quadraco GFI, _ rectangulum sub F F _ L, quadrato
i. FTT, oaequalo cA; ergo reccangulum D F K, eA ad rectangulum F P L, ve quadea-
cum CII ad quadracum FII. exlrpochelaurem D E cAtnd P F, induplicata racio-
ne OHI ad FII, hoc cA, DP CAt aX F F, ve quadeacum CFT, ad quadratu HII: ergo
rectangulum (ub D F ex R, cA ad reccangulum (ub B F _E L., VE D F ad F F. FF-
50dK _ L. lince lunc xquales: quia aurem ex hypocheli CFI, DF, AB, _E CX COn-
Aruccione R, GTI, D P, TUNE COnTINUIX; PaTCEOmNeS quatUOE R, CFI, DR, AB CAC
ContinuaS. Jam alias quoque lincas L, FII, F F, B C dico esse continuas; si enim
non linc, hactribus lincis L, TII, F, F, qua ex constructione lune concinux, quarca
continue proporcionalis, quaenis BM, maior vel minor quam BC. habemus ergo
duas concinuarum series K, GFI, D F, AB: L, HTL, F F, B Mt quae incipiant ab equa-
ps. JibuS TerminIS K ex L. quareracio AB adc B MI, cric criplicara rarionis OFTadFTT.
Aequi exhypocheh eriam ratio A B ad B C, crarrriplicata rarionis CFF ad FFI, est
ergO ve AB, ad BC, ica AB ad BM, quod cs absuEdUm. erGOL, HIL, F F, BC CF.
iam sunE CONEInUIX. Itaque ratio composica ex tacionibus C FL ad D E, ec FT L ad L F,
ei hoc cs, racio rectanguli CFTTEad recrangulum DF F, eadem est cum racione com-
Polica ex racionibus DE ad AB, _ BL ad BC, hoc cA cum racione reccanouli
DF Fi, ad recrangulum ABC. rectangula igieur GTII, DEF, ABC Tunc in con-
Finua analogia. Ouoderac demonstrandum.
eR OeOSITIC
E
lc racio A ad B, eadem cumrarione C ad; d llet relaguecam
B quam C, D incerponancur quxvis linex: L quidem incer A, B;
EDEIBINCCIC, .
Dicl
mmmm

## Folio 87 — 1815201908:0144
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000144.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
duo
ECTAN
EL
CaTA
nua
can.
Ira-
180
FF.
esse
EEd
180
14-
1.
est
et.
F,
n.
E F OM E FRIC A.
Dicorectanculum AE, ad F. B rectangulum, candem habere rario-
netu, quam habecreccangulum CF ad tD scctangulum.
Demonstratio.
Ario rectanguli AF ad F. B rectangulutr, eAt ex  quam habet A ad B; sed B A a 2. Sendt.
Lad B, ica ponitur C adt D, ersorectangulum A F 2d F B; est H C adD: Scd
rectanoulum C F, ad FD rectangulum, eriam est velinea b C ad B, igieur rectang- b ibid
lum AF, ad F. B rectangulum, eandem habet cacionem, quam habet C E ad F D
rectaneulum. OuoddemonAtrare oporrebac.
P R OP OS TFIO
DOnanEUEtres HMCx A, B, C, e aliX EreS D, L, F. retat primae, quam
secunda, suam analo slam licer diyet lam ContinuenE.
Dico etiam rectangula AD, BBs ob A110MH~ B ouC
CF esse in concinua analosia.
Demonstratio.
Lsicat ca luctornous l e  d D au L. Boporco gu quorecan B B
ex F. 2d rectangulum sub C ee F compolira ex racionibus B ad C, hoc est A ad
B, _ exratione B ad F; hoc est D ad F; inde racio rectanguli lib B _ F, ad
rectangulum C P; componirur exyldem, ex quibus racio rectanguli (ub A de D, 2d
rectangulum sub B ex E est compolica: Junie cum proporciones exijidem racioni:
buscomposica exdem linc, erunt rectansula AD, DP, C F in concinus analogias
Duod erat demonsteandum.
H HOIMIDO A d D, ad rectanontuim suB B et R HABCE C FATIONeM EOHiDO-C23. SexIt.
RO POS
TIC
ine loa aueasualou lelses continue proporrionalium A B,
DAC, AD, AE, AF; GFL, IIT, KFE, LFE, MHI.
Dicorectaneuta ABCHL, ACIH, ADKHL, AE LH, AFM H esse
alconrinua analogia.
demonstratio.
Eccangulum enim sub AB G FT; ad rectangulum sub AC YFT racionem habet
compolicam ex racione AB ad AC, _ racione C TT ad IFI: ex rectanoulum
ACIFI, daCcaneu LKMCactorre habel compolcam exracionibus AC d
AD, e IIL a XCI. C MMEABAdACS HC AC. ad AD; _ ve
GTI ad TFI, hic LH ad RHLSM TacOreCtanguIOruM ACIFL _ ADR H; ex
cur rectangula ABCH, ACIFL, ADRHL in concinua analosia: idemque  le.
quis eodem alcurtu ollendetur.
Iiidem EacionibuS COPONIEUE, CX GuBuS TCCLAISMIOTUM ABC HL; ACTFI: Cuncist.
Corot

## Folio 88 — 1815201908:0145
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000145.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
s . e n B2, B P I
PR. OCR ESSTON LS
 1dBCt 55~ L CIL B EeE.I
lis t A CELeSCAS CslS
ti.  CCorollarium. sleE BR  M Clvel e, CBE
etocum perpranam huius, etiam continue proporcionalium, disferentix sne
in concinua at210gi2 luorum inceororum; manifectum est rectangula quoque
ABOLBCLR, CDKI, DE L. M, e c. ese concinue proporcionalia.
. PROPOSITIO LX.
Ine in contindaanalogia AB, AC, AD.
Dico reclangulum ABC, ad AC D rectangulum, suplicaram
astatione eius, quam habet AB ad. A C lincaminoy , e pe
d. . 2 8 i _M5. i  LL B5. 2 d BL Ir A (5i1 133 leB E B  aMLWBMER
 L 15 1 D SuC 13IEDP CLIBHOM. Demonstratio: .1 2L1 1 B32 A et L.5 cil L. 1I
cst BorG,d. CaVIBC. Ba
Voniam D A, C. A, D A ponuneur continue proporcionales, erie DC ad BC.
ve C A ad B A, et errendo BC aAl C D, ve AB ad AC: icaque cum rectan.
b23. Sexti. fullarum AB C, bZLCD racio componatur exlacerum racionibus AB ad A. C, et
BC ad C D; que La ostense lune aequales, constat eam esse duplicatam, rationis
AB 2d C. Subderas demonstrandums
eR OP OSITIO LXI
Dico ABC rectangillum ad rectangulum A DC, eriplicaram ha-
bere lacionem etus sam habet AB ad AC.
et 
racti Demonstratio.
 datisrario A. B ad A D, duplicara estrationis A B ad AC: RE DE PAFCE Ex PEX.
cedence ex per primam huiusrario BC ad CD, aequalis est racioni AB ad A C
ergo racio composica ex racionibus AB ad AD, e BC ad CD, criplicaca est
rationis AB ad AC. Quare cum rectangulorum ABC, ADC ratIO Ex PFOPOT-
Nonibuslacerum AB ad AD, _ BC ad CDc componatur, paree caim ese eri.
plicacam racionis AB ad A C. Ouod exac demonstrandum.
LR OP OSITIO LX
aT. FIHIUS.
IIdem politis:
et clot ilises oei
Dicorectangitunt c. FI, de L. Drectangulum, criplicatam ratio.
nemhabere eius, quam habet BC rectangulum, ad rectangulum F C.
Demonstratio.
DOnaneur dux series quaruor concinuarum A, B, C, D; eC E, F, G, H.
um lub L. _ D, cacio es compolIcu dexra
tone A ad D, d II ad B: racio vero recranguli B Cx, ad rectangulum FC
compalica est exratione B 2d. C, ex C7 ad F: rarin aurem A ad D, criplicaca eAt
P
3. Sensi
sub A _c FI, ad FCCLAH
rarionis B ad C, ex rario FI, ad. F eriam eriplicara est racionis  ad F; igitur racio
reccansuli AEI ad D P criplicaca est racionis eius, quam habet B C reccangulum,
aC. uba po at.
R0.
i  e   1. . . t      e          p     1 . e p     mu muad

## Folio 89 — 1815201908:0146
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000146.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
de
lon
BC
a
onis
SE2
3
est
DOr.
CtI.
12
10.
e
10
eMC LACC A
PROPOSATIO LXIII.
Arxe sinerres concinua prepe onales, AC, CD, DL. aDL 
SCo Quaaratum AB, aqualc esse quadcaris AD, CB.
Demonstratio.
cca licin B.
Via AC, C D, DF Sunein CONENUa prOPOrtiOnC, quadTALIH C D LXGUIALUIEFC- 217. Sexsi
clatguto ACDF. HoC est (quoniam D F bilecta ponitur IIB) rectanoulo
RCDB bis Cumpeo. ale u verisque commune aadatur rectangulum CDB BIS.
elic quadcacum CB, cum FectansIo CDB bis, aequale rectangulo ACDB bis.
cum rectangulo CDB bis; jux quacuor rectangula consticuuneo rectanoulum bI. Secudi.
AD B bis. Rursum ergo communi addico quadraro DB, erir quadracu C D. C
rectangulo CDB bis, d quadraco D B, id est cquadearum CB, xequale rectangv. C +. Sccun-
10 ADB bis, cum quadraco DB: itaque communi addico quadraco AD, cricre.
ccangulum AD B bis, cum quadracis DB, AD, id est d quadeacum AB, ae quale qua. d ubid.
dracis CB, AD: Quod erac demonstrandum.
LLOFOoTEIO LMEI.
Vinccrese in concinua analogia AB, BC, C D, _ dividatur C D
Sbitarian MIF.
Oeo uadrarum AC, a Gualt Glladratis AC, F. B.
Demonstratio.
Vn sinc continux proporrionales AB, BC, CD, CrIEDE BC CAd C B, HC A C et. cuius.
ad DB. Hiee reccangula CBD, A CD aequancur. Sed reccanoistum C BD est
rectangulum CD B, cum quadraro DB, hoc est (quoniam ex daris C D bilcera cA
in B) recrangulum R DB bis, cum quadrato DB: rectansulum verO ACD, CA rC-
crangulum AC F, bis; eroOrectangUIUm F, DB bis, cum quadraco D B, XGUAEUERE-
crangulo ACF bis: _ communibus addicis quadraris A C, CF, SInC F D, CrunE
receangulum F D B bis, _ quadraca BD, F D, AC, Simul Cumpea, aequalia rectan-
sulo ACF. bis, _ quadraris AC, CF: Acqui reccangulum F D B bis; cum quadra-
eis DB, F. D, AC, ae quale cA quadraco FP, B, ex quadraro AC; recrangulum veroF4. Secun-
ACF bis, cum quadratis AC, C P, xquancurs quadrato AF s erBO quadrata P. B,  ibia.
AC XQUaNEUT quadraLO AF. Ouod cras demonstrandum.
eROPOSIFIO LXV.
TOnrinux proporrion AlesHInEAB, A C, AE, ec ex BC, lumi poLL
Scorcratisalum LubBA ex Tub C D, A L, camquam rna linca col.
Aructum, aequari quadrato AD.
1bD aequalis AC.
Demonstratio.
D ECCanGUIUm B A CD, BXC UNEUTRCCEangUIO BC DICHTGHAALLO CD, d h L. Secun-
reccansulo BD C) una cum i: cransulo C. D. ua a flates Milil B0l iu sccundi.

## Folio 90 — 1815201908:0147
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000147.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
   e 1 1 11. 1 11
R
C
GR F SSIONF
Ex AC. BD) equalIa TuNErectangula BDC, ACD; erso rectansulum ABCD.
aeguacur rectanpulo A C D bis, cum quadrato, : _ quia (UINE CONEIMUX B A, C A,
F. A, rectangulum B A F, ae quale est quadrare C A: Ieaque s rectangulo ABCD
b +. Secuai. C D A P. canquam rnam lincam) aGaa eacitatis CD, C A, et rectangulo AC Ld
PR OPOSITIO
LXV
Donacurlinca AB, diuisa in cres prepotionales AB, CB, DB: dui
Dicorectangulum CDF, rectalt oAB aGalC CHC.
Demonstratio.
a2. Secunai. addas rectangulum B AF: e rectangulo ACD bis, cum gitadrato C D, addas qua.
aracum C A, crunc rectangula B ACD, B AF, (id estrectansulum a ex B A in
bis, id est b quadraco AD. Ouoderat demonstrandum.
bus aurem C B, DB, in directum consticuancur aequales, BF, BL;
c docundi. ) Voniam AB, CB, DB, ponuniur concinux; eric recrangulum ABD (id est
squadrato CB; ergo reccangulum A D B; cum quadraco DB, aequatur rectangulo
CDC, cum quadraco DB. Quocirca ablaco comumt quadraco DB reccanioulum
ScrecranoUIum A D B cum quadrato D B) aequale, quadrato C B: acqui eriam
85. Socunai. (cum ex dacis C F bilceta sc in B) recrangulum CD F cum quadraco D B; equacui
CD F, reccangulo AD B xea CI. Suod tuic demonau.
PROPOSITIO LAMII
IIE AB ad A C, vE AD ad AF
lub AD certIL:
Dico primo rectangulum (ubpHma AB, _ DL aMCICHCd quar
Ex e cerrixe, xquarirectans  Iub BC, differentia primae e secunda; de
secundo rectangulum sub prima AB; _ BF differencia priML 
quarta, xquari duobus rectangulis Tub AC; BD, e sub AB, BC.
monpratio.
AVIn AC VE A B ad AC, siC A D ad A F itaque ineKCCHdO d MMIaendO VE C B
ad B A, SC F D ad D R; quarE rCCLAHBMOIH L. L AL B aguacut seccanoiilo
C2Sccui. D ACB. quod crat primum. Deinde cum (ic R L. A al D H, HC C A da BA, creO
rectato L AB Lguacu Ccao DAC, HoC et.sectangulo DC A cum
C4. Socunai
quadraco CA. Duod li aurem a rectangulo F AB absuleris quadracum AB, Tema-
nec receangUlum E B A; _ E idem abculeris a rectangulo D C A cum quadraco
C A. Temanenececcanulum 1C. R, reccangutum CBA bis Cutu guacaio ve
Tcaque cum coca Fuerine x qualta, erunc ablaro communi, xqualia adhuc reliqua; re-
Crangul um nemPC F. B A, e rectangula D C A semet, C B A bis, _x quadratum
BC limul Cumpea. aequi recrangulum ACB, equale cst rectangulo ABC cum
ladraco B C; cui li addas rectangulum A C D, orictur SrCCtanGUIUM A CBD.
quod cum rectangulo AB C aequale crir reccangulo APB C bis cum quadratoBC
e rectangulo AC D: qua cum limul sumpra aqualia esse ostenderim recrangulo
EB A, eric quoque rectangulum AC, B D cumrecransulo AB C xqualC reCtan-
Bulo F. B A, quod erat demonstrandum.

## Folio 91 — 1815201908:0148
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000148.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
C
B
d
aluI
par.
X
et
era.
siilo
CreO
eum
Iraco
BC
;re.
cum
Cum
BD.
BCo
fulo
CaN.
O.
t
DEIOMETIRIC S
TIO LZVIII.
Iquaruor linex proportionales fuerine, A
lumpca, maiora luncrclsquacu quadratis
limul lumpris.
rema eadem Ferepolica demonttracione quibulurs planis d lolidis tumilibuls appliea- 1.
cipocett.
maxima e minimae, quadrata Cimul
Demonstratio.
Vm enim quacuor linea ponancur proporcionales, etiam a earu quIAdFAER CFUNE~ 23. Senii.
proporcionalia, ica camen ve qua deacum maxima lineae maximum lies quadracum
vero minime, sic minimum, repacec ex elementis, ixirur b constat propolicum. Thco- b25. Guin.
DUS
LABEAP
ruil ∞100
1
lin
AB, C D lC.
cundu can-
dem rario.
nem divili.
in F e H,
Aac CupeF
carum vna
AB quanis Agura AP B: et tad paios ca es et qua Maloca;
CHD, siue similis praecedencibus, siuc dissimilis seu rectilinea seu curui-
lineai lub parcibus aurem Pacuantur dux alix C L. H, K ID, similes ei qux
AEATOTA.
Dicove A PB ad CHD, sICdUA AFF, FC B adduas CLK, KID.
SAPB, CTIE AFF, alt 21F F in, auplicaca rarione lacerum c homologorum c19. Sexit.
AB, AB: limilicer quia CL R. CH LunensbX siviles, erune in duplicacara-
tione CK ad CD, id cst ex dacis, in duplIcaca racione A P ad AB: ergO AP P est
ad A PB, vE C F K ad C HTD: non alirer octendemus FCB cAC ad A PB, VEKID
ad CFF D. igIEUE A F F d cum F EB, eA ad A PB, VE CF K cum RID, ad CFD, 824. 6 iih-
laque permurando AF P. eAt cum E. C. B, adt CL X cum XID, vC AP B, ad C H B..
linci
nempe A FE, F. CB. Deinde sub alia C D hiac quae cum que alia Rgura
Demonprum.
Omooremus primo ecmea Cum Cinciss quia Agur_ MMMLCS IUIMC AF C,
Comparemus deinde rectilinea cum clruilineis. Super CD ConSZICHACL LSIIICHS
tum circuli C FIDi de luper C: K, I D, (egmenta C LR. R IV, Ma le C HID:
cum isicur similia circulorum legmenca, dupical labea prefercionem lubcen
sarum, G rectilinea linexe AB, cum lesmericis linex C Dcopaleu aden plor-
sus deinonstracione concluderui propelicum; qua vilcamusu pea Commpalacione
Tertio h curuilinea cu curuilineis ciulde speciei coteraneur, paret L Forrioripropolicu:
Lodem

## Folio 92 — 1815201908:0149
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000149.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
  . p11. 1. 1
P RIO G RIE IS. SLO, NE.S
∞ O 4 Cs s c
resiiorit csluaoirogonze oril 1OMLEPI
Cerit sisret tBH P e SICISC A _ SBR S.IL
etZB2BBLB SNESE elo ME Si GICN
(1ct lisre
113 (R 11CV1D9NIENOG. rBCIL H CZLEB 
ntA BC.MSLI P 35 S L3.dt
EEADCIS) C 3~BEGDD ALIMLABMIKE i. 71
Si EEhLSHSS etCt S Bd sA et BLeCSOP VC Ci13BBAOMOH 13LCC  9LLD AL
1133
Fodem IDdoS Caa, cum dinersae speciei curuilineis, cres nempe parabol
similes, cum cribus hyperbolis similibus, conferaneur, cadem his quoque demon-
Arandi racio conveniet: cum cam parabola limiles, quam hyperbola sint in duplica-
ca racione subrenlarum. Constac igirur huius cheoremaris rniuerlalis reritaS iil
PROPOSITIO LXZ.
 eiba
Ie DC cridus aamisum rect a linea DB; ducancurq; lIneE D E,
DEEstCSG  baLI AC, _ lateri BC parallele quor libuerie.
Dicoomnes AD, EF, CFI, lK, ireM DE, F C, HII, dec. essc in cadem
concinuata anal0gIa.
 :C3d 6: 3 st 5HP. 1
Demonstratio.
:2
erit
11~IS Bit B 31BFLSSBB DEH CLCB le CDRoducaneur enim linex GF in L.
10203 13 escilis3o2 v3l alliur Pu
ep 13 esleeriit
aEXuim. cit
b 2bia.
2
b
caron
l CD 
A F F in M, GHI in YB CE TEIinP.
sicur cum paralelxe sInE AC, P.M, exir
AD ad DC, VE FI adFM. d com
ponendo AC ad D C, VE FM ad FM
es 3 L CB E te n Ea CA V DC ad F C: Cunc igicur in
Sit crop ceim l.B.
 .  B FE 11
continua ratione AC, DC, L. C, qua-
rCd AD . ad D L, id CAt F F VE AC
est ad DC. Similiter octendam este
COnTINUAS EM, FM, P M: vnderursuS
CAVGPM B ad FML (id CA vE AC ad BC, id CA AD ad RF) BC F. F ad FP, id
CA C TI. continue proporcionales luncigitur AD, LF, CII: eodem modo osten-
dam TK, ee alias quorcumque in eadem seric eAse concinuas. Dein de cum AD ip(
E F, _ D F ipG EC Sicparallela, pacer similia esse criangula AD F, F F C+: CF-
BOVE AD ad EF, ita D P ad P C: Similicer ostendam essC vE F F ad OFI, ica
ti C 2d FTI. quarcerunc etiam D E, FC, IFI, _EC. continux, ex quidem in ca racio.
nC in qua sinE AD, F F, GFI. Ouoderar demonstrandum.
P R OPOSITIO LXZI.
Va linex A L, F L angulum FacienEES, SCCtX LINEIN CONEIHUC PFO-
portionales, quarum cumque rarionum AL, BL, CL, DL, FL,
dec. irem LL, GL, tIL, _c. dein oppolica sectionum puncta lineis AF,
BG, CHI, DI, RC. ConiunganEuT.
Dicorriangula AFL, BCL, C FTL, d carera in infinicum esse in con-
cinua analosia
o lFEsiloyey stao3d2u3
Demon.
 tit ia .  a . e e 1 1   e    pui a  puu  e    et   t    p e      t  i n  ar n n   i

## Folio 93 — 1815201908:0150
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000150.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
b
erII.
det
inF
berit
IEIU
Aten
c
acio.
F.
DA.
_I
EBOME,
id let
ec. Similitet Cum POHanEuE Concinux
FL, GL, _C. erit V FI. ad CrL3 ica
CP. ad HL, aeque ita lemper: igieue
tacio compolica exracionibus AL ad
BL, _ HF ad C I, CadtCM CTIECUM FA.
tione, compotica ex racionibus, RI. ad
CL, _ CF ad HIL) _ composita ex
racionibus BL. 2d C. L, e CF adTTL,
eadem eric, cum compolica exrationibus C L. 2d DL, _ HL A LL. HCGOTCLII.
suli AF. L3ad criangulum B CI proporrio compolica est ex racionibus AI ad
BL, X FL ad GL; e racio crianguli B C L, ad crianigulum CHIL, compolira
CA ex rationibus BL ad C. L, _ CF ad HIL, ve ex Commandino demonstrat
Clauius, ad proposicionem 23. Texri: eadem isitur est rario trianguli AFP., ad
criangulum B CC, quae huius, ad criangulum CTIL. Similicer ostendencur reliqua
criangula elle m analosia concinua, Duod erat demontran dum.
LCorollarium.
eee 
demonstratio.
COnCMUX PCCCALCS, CAtVE AI
ad BL, AC BL 2d _ CL adt DL
VmIAL, BP, CF; 8c. Poilaneur
sunc enim crapezia, priangulorum concinue proporciopalium disteseycix, unde
exprimatuiuspatee corollari) retitas.
ROLDSITIO LXXII
lice pliris ducancur ilingulis erapeZISMae, A6, BtL, C l, _c.
Bicorriangula inderata, AGB, BHC, CIB, Lc. Hemsle crian-
Sla LLC, DIL, dc. ele concinue proporrionalia.
Demonstratio.
Fiuc contequicur etiam Frapezia AC, B H CL, eEC. esle in concinua analo8i2.
ec. rallo crianguli ACB, ad crianou.
rum BFTC, componitur ex a rarionibus
AB ad B C, _ alcicudinis G: NI, ad alci.
cudinem HINT: Cedquia AL, BF, CL,
ac. ponuneur concinux proporrionales
eriam A B, BC, CD, bSCC. erunt conci. 
AUX In FATIORE (UDEUM INECBTOTUM AL,
ad AT. HoMaS  Mele Pacallela sine, eric CM ad ALN. M CL ad FL
hoc es exdaris, ve FI L ad IL; igitur racio crianguli AO B, ad criangulum BFIC,
componitur ex rarionibus B C ad CD, ec TTF ad TF. Simili plane discurtu octen-
demuss rationem crianguli BFTC, ad triangulum C TD, ex ijidem racionibus esse
compolicams igicur criangula AOB, GFIC, CFD sune in continua analogia, Cii-
licer de aliisidem demonttrabitur Patet isicur veriras propolicionis.
X punctis enim Cn FL. F, etc. 2d A L,
Ldemicrancurnormales OMI, FTH, 1O
BL, CL, _C. e quia GM, HN, aC
e ROPOSITIOLXKILI.
Moncinoane circulum B C B a_a IINCA AB, H C; ex eodem puncto
seductae; a CenErO LL MMCKaHO B, C, describatur arcus B F. C. dein-
A
do

## Folio 94 — 1815201908:0151
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000151.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
   A GAII.   B IHI
EUTOD, E E, FF.
R O GI RIF SISIION ES
IY S ls oqin
demonstratio.s
2. Let Be lel 3it, d et
. 3CLAOB LBCLSOq aus oliri
Vin AB coneingat cireulum, erie
a rectangulum DIA F Rquile qua
deaedt A B) hOC es gHAdFALO AR. Vn-
de D N) F A, F A sunc coneinux pro.
Portionales. Similicer reliqua omnes li-
nCA I A, P A, F Al erunc in concinua
aralogia crianguta IBIEUFD ADS F A F,
F AF b etiam in concinua sunc analo-
Ba. Quod erat demonstrandum l
L 
rectet
de expuncto a, ductis quorcumque lincis, secanribus AF C. D iungan
136. Fereis.
32. tovin.
Dicorrian sula inde naTA D AD, E. H C, F A F. esse in cocinua analogia.
idea sa
de05]
AB, GFI: X expunctis A, GCdUICANEUT SCCanTES ACD, AFF, CIK,
BILIMS
toa
Sersteeh.
25  SI A il 12 a1 D
36
Vos circulos inaquales eBD, TIL, concingane aquales linea
porcione.
GML concinences ansulos aquales E AD, LOK: iungancurq F C,
ED, MIL. B
Dicorcciprocam esetriangulorum F AB, YGL: HIIO, FAC pro-
Demonstratio.
c. Xcrius. CVoniam tansentes AB, GHX aequales sUINE, PAVEF C rectuS DHC, L
14. 602e1.
xequalia cNC: isitur SE ratiONES A D ad R C, d IG 8 u I qualeS SUnE.
Similicer cum rectangula F AF, L. C:M, x qualium cansencium Guactacis aequencur,
incet se crunexqualia; quare ex rariones P. A ad C Cn MC ad LH Cale; 12
tiones, F. A ad L C MC ad. F. A, crir racio compolica ex rariombus A 3a
RO, a P A ad Y C aequalis compolica ex rationibus IC ad C A, _ M al
ceribus tabeati a  aui.
isicur racionibus aequalibus AD ad. K C, _ I. C ad C A, aequales addaneuT ra-
F Aihoc est rario crianguli F AD, ad T CK criangulum xqualis racioni criangule
MGT, ad. F AC criangulums cum ob angulorum AC xqualicarem, rarionem ex la-
=PRO.
   e e es   e  t e u t t e su e sta u 1   ues t e e eti ui s  e e is  .      e  t  e    p t 1

## Folio 95 — 1815201908:0152
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000152.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
San.
o8i
1
q
nest
Prinus
EAB
nalo.
iIK
FC
PrO
sUn
icuI
AC; A
rd
i
D
GEOML =RIC X.
PROGRESSIOMVM GEOMETRTCARVI
L a
O
S F
Terminum culuscunque proeressionis in infinitum continuata desienat
L LdtLe Laa
IFuerit magnicudo AB, ad magnicudinem B K, vemagnicudo B C ad
Omagnicudinem CK.
Dicoproporrionem AB ad BC, sinc termino continuati actu pollé
incramagnicudinem AKE, ica venum quam ad IL perveniatur.
Demonstratio.
FTacenim ve AB ad BC, hC B C ad F. quiaisitur AB eA ad B R, veB C ad C K,
cric alcernando ve AB ad BC; id est ve BC ad L, lic BK 2d CR: ex rurtum
alcernando, veBC ad BK, licP ad CR: quare cum B C ex daeis, minor (IC, quam
BK; Cric eriam L, minor quam C R: poreric ergO IpAL, ex C K Cumiaqualis CD:
crancautem A B, BC, L, ires concinuae proporcionales; ergo _ AB, BC, CD treS
Cunt continux. Fiat iam his cribus magnicudinibus continue proporcionalibus AB,
BC, CD, quarra proporrionalis concinua M: quoniam isicur paulo ance ostendi cAe
BK ad BC v CK est ad L; live C D, eric dimidendo ex inverrendo, BCadCR,
Ve CD ad DK: eodem plane discurlu octendam, M esse minorem ipsa DR, quo
ance L Octendi eite minorem ipsa CK: porerir ergo ipsMI, ex D K abscindi D F xquia
lis. Sunc igitur quaruor magnicudines AB, BC, C D, D F. concinux proportionales:
Reque ica demonstrabimus proportionem AB ad B C, inera lineam A R fINC TEF-
mino posse actu concmuaris ita re nunquam ad K petuemiaeur. Ouod erac demon-
ArandUI.
R OPOSITIO. LXZVI
IFUCTICMIASHILaO A B, ad magnicudinem B K, remagnicudoB C, ad
dmagnicudinem C Is; e proporrio AB ad B C, concinuetur in magni-
cudine AK; per plures Terminos CD, DF, E F, _C.
Dicoctiam CD, Tore ad DK, et D F. ad F. H, de sic deinceps, vt AB
eAt ad BK e BC ad C K, _c.
Demonstratio.
sic CD, ad VR. non alicer oltendemus ve CD ad DR, SC cA0 D E Ad ER3 aF
que ica deinceps in intinicum. Quod erar demonstrandum.
Vandoquidem AB est 2d BK, BE BC ad CK, eric alcetnando AB ad BC
Lhoc est ex datis BC ad CB  K al CR: de rurlum alcernando ac inver-
rendo K B ad BC, vei R C ad C c Macnao seecendo, bee aCR,
P R O

## Folio 96 — 1815201908:0153
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000153.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
PR OGR ESSION F S
S1F10
L. XXVI
Ata (E proportio quaenisminoris ina qualicaris A B ad AC.
Dico h haec concinuetur, exhibeullam magnicudinem quauis da-
camlaiorem.
Demonstratio.
Ecur enim magnicudo quauis L: manifestum est A BC, excasus secundxe ma-
enicudinis AC, lupra primam AB, aliquoreslumatur, maiorem Fore magni-
cudinc L: debcac ergosumi BC quater, De excedat L: COncinUCTuE racIO AB ad
MaIOF quam CD, _E RF quam P D. ersb RB ex quacuor differenciis compolita
maior eric quam BC quacer sumped. Duare cum BC quater. sumpra maior pona-
TuE quam L: CrIE RB mulco maior quam P, ideoque AR adhuc mulco quam L
maior cric: constar isieur quod fuerac demonstrandum.
AC per Quinque TerminOS A B, AC; ADSCLL, LLH. aua ea habebimus quacuor diE-
2I. Hnins. FexenciAS BC, CD, DP. P. K. quoniam aurem est ve a D A ad C A, GC D C ad CB
_ cum D A maior (C C A, Crit quoque DC maior quam BC: AIIIIITEF CFIE F D
OSITIO LZZVIII
Magnicudine AIE auteracur quanis pars AB; _ a reliduo BIL au-
LA Feratur BC, ea leoc velicur est AB ad BK, ica siE B C ad CK.
Dicolitaecablatio lempertiar, relinqui ex AIC quancicacem daca mi-
nocem. est Tiuersans pna decimi.
Demonsracto.
Ecur enim quantitaS L M auE alia quancumuis parua: detn ve KB ad K A, GC
AK in B, C, LB L. VHOMIAIHCISOCK COnSruCtIONC L ML. L. N, L. O, Xc. suneconci-
nuae, CriE VE I. M ad L. N, id eAt ve BK ad K A, sic L P ad L R. guaremuerrenda
VE AR ad BK, (IC R L ad PL, _ perMUTandO VE AR ad RL, ECBR ad PI.
Aequi ex constructione AK minor est quam RL, ergo _ BK quam PL minoc
cric. deinde quoniam ex constructione est A B ad BR, ve BC ad CR, _ CD ad
DR, SE D F ad E R, PATCE COMPOHENdO OINES AK; BR, CR, DR, F R eNC CON-
cinuas: itaque B K est ad CK, VE AR ad BR, id est ex constructionc vE NL ad
ML: Ccd PL es ad OL, VE NP ad M L, GUIaOMNES RL, PL, OL, QLC. TUNC CK
constructione concinux; ergo B K est ad CR, VE P L ad OL; e permurando ve
BR Csad P L, sICC K est adO F. dequi iatm octendimus BK minorem esse quam
PL, ergO_ CK quam OT. minor eric. Cimilicer demonstrabimus D K minorem
eAe quam NI; ac candem FX esse minorem quatri HL, qude crac data quancicas
minor; ergo relinquicus quatilicas: quod epac demonsrandum.
LMI Aiac ad P. NV: acque haec proportio per roccerminos concinuetur, doncc L. R
maior sic quam AK; hoc aurem aliquandotucurum eA per praecedencem. Deinde
quocies in M, N O, P dinila cA P R, cocies in ratione AB ad BK lubdinidatur
L

## Folio 97 — 1815201908:0154
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000154.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
5
13
De
olca
OnE
2U1.
mi.
inde
acu
MEi.
de
inOF
On.
id
ex
et
in
em
145
EEOMET RIC F:
Scholion.
Ota: dum in propositione dicitur, S HxeC ablatio seniper HaE, dICO FCHIIHOL CK A R
quancicarem daca tmmorem: sensum proposirionis non esse, relinqui ex AK quamila-
rem dataminorem, post ablationem terminorum in infinitum concinuatam; sue post rotam
seriem absoluram, relinqui danc quantitatem daraminorem; sed auferenu etos ex AK.
in racione ante dictas aliquanad hot auferendos, Deresidua parsrorius a3 htor sit quanei-
EaEc datd. qudd  et altam quorundam dictum sit.
ece Laata
Ata hc maghicudo quacumque AK: Si fuerie
AB ad BK, VEBC ad C, H.
AB ad AR, VE BC ad BK.
vet ZAK, BK, C H concinue proporcionales.
AB ad BC, VE BK ad OR.
AB ad BC, vE AR ad BK.
Dicomagnicudinem A R xqualem esse rori progressioni magnicudi-
num continue proportionalion, racionis A B ad BC in infinitum con:
cinuataes suc quodidem est, rationis AB ad B C in infinitum conri-
nuacae terminum esse L.
Demonstraiio.
Vin AB hC ad BK s DE BC 2d C. R, POTCNIE FATIO = A B ad BC, IHCIA MIa:
PonirdICIM AR ICIDEL CBMMMHAri, IEa DE NUIQUAM PCTUENIAEUE 24 R, 275. MIS.
Id est AK maior erie quacunque Perie Aniea rerminorum; ergo AK, non est
minor Terie coca rationS AB Sd BC: Deinde quia AB est ad BK, ve BC ad
CK SIFactO AB ad BC CEMPCF COntInUEtN, exit vE AB ad b BR, huC VEB C ad B, S. huius.
CR, HC CD ad DK _E DP ad BK, acque ira deinceps in inhnicum: Ieaque si con-
rinuecur temper ratio AB ad B C, relinquerur crandem ex AR magnicudo quauls c, 8. huins:
Aica minOT: Cuare AK nequit ene maior; serie racionis A B ad B C: nam si maioe
eset deberecaliquo excessu esemaior. ponatur is TK; isitur A L seriei rationis AB
ad CD aequalis erie: ergo rario AB ad B C quancumuis concimtaranon tranalice
unquam I. ergo relinquerur ex A R magnicudo semper muior quam IR. ergonon
minot quavis daca, concra iam demonstrara. non cricisitut A R maior serie racionis
AB ad BC: Juare cum nequeminorem esse ancea sic octensum, sequalis AEnCcCI-
(e eAt. Duod erar demonstrandum.
Religuarum hypochelium demonstraciones ad primam reducuneur. nam A Fuerie
AB ad AR ve BC ad BR; cric diuidendo AB ad BK vE BC ad C R. CrgO per
primam demonstrationem, rationis AB ad BC seMPEF COMTIUAEX cermIHUS CA
In R.
DcindeA Tuetine AK; BR; CK continux, etir diuidendo A B ad BR, ve BC
ad C R. Rurlum igicur per primam demonstracionem pacec propolicum:
Denique sfuerie AB ad BC, ve BR ad CK, vel AR ad B R; eric permutando
vel ABadBR, vEBC ad CR, vel AB 2d AK rE BC ad CR. Vnde irerum per pri.
mam demonstracionem contcicur propDAum.
R O POSI
Aca Perie continue proporrionalium AB, BC;  ul. cuiul
cumque proporcionis, et quoculsesce in genere quancicacs, cal
niremagnicudinem, qua omnibus cerminis corius serieidux in intini-
cum contunuala, il desctatts.
Con.

## Folio 98 — 1815201908:0155
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000155.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
(e puti. p II uII u A B
L 2CIC655LHLS
Constructio prima.
B.I: 1217 1 did Moserianun
IE AM ditterencia primorum duru celminorum: siacque de ANL Aet BB CIC
ueidua
cundum cerminum de BC ad cerrium quempiam C k. Dicde  ast
cum primo AB. d lecundo cermino BC, aequalem ee serier vhillelsitu A L A L
CD, _CC.
Constructio secunda.
FlaE VE A ME duorum primorum terminorum disferencia, ad A B primum cerii
num, ica lecundus cerminus BC; ad cerciam aliquam magnicudinem BK. Dico
maxnicudinem B H, cum primo cermino, exhibere quancicarem, equas epp c9si lerici.
Constructio cercia.
TFerencia duorum primorum cerminorum A ML. de primo termino AB, cerria
proportionalis tac A R. Dico AKcoram leriem exhibere.
Demonstratio
Daimae constructionis; AM es ad BC, ve BC ad CK; isieur componendo AM
cum B C, hoc est AB, exir ad BC, VE BK ad C R: e permurando, AB ad
a79. blius B. K, ve BC 2d CHAk magnicudo, tioc est CK, cum AB et B C pri
Secundae constructionis; A M est ad A B, ve B C 2d BK ex constructione: igieUE
dividendo; ve AMI est ad NT B, id eA ve AM ad BC, SC B C ad CR. icaque per de-
monstracionem primae constructionis, AR(hoC eAt B K una cum primo rermino AB)
aequacur chetfelici.
1
Terriae constructionis, Cum sic ex constructione A M ad AB, vi A B id AK; erie
inverrendo, dividendo, rurlumque inverrendo AM ad MB, vE AB ad BR: 8
componendo AB ad M B, hoc est BC, vE AK ad BR. OUAEC AK b cori seriei
679. huins. _e qualis cst. Factum isitur es quod perebatur.
erimâ ieieur constructione exhibetur coraseries prater primum ex secundum terminum.
2. constructione habetur series tota praeter primum. terminum. 3. constructione simul tota pre-
ducitur series. Duius aurem problemalis, ac constractionis ejusdem vniversalitatem amplius
deductam habes in proposisione 123. huius, ex corollario quarso ibideM.. WP P. C1- + 1C
t2 = ldettdtek
enu
15B A
Vla velo vicuo
lacio guatum
miscerminis, tori leriei xequalis est.
Culitele llaci
catun ac eas Lccu
Porest, hinc, eriam se-
quenri mechodo, li
Deam cori Terici pro-
cortionalium linea-
ru, reperierius aquale.
Constructio ex demonstratio.
X punctis A ee B, erige ad quemuis angulum, patallelas ANL BN5 quae ipsis
A B, B C sinc proportionales; _ per puncta M _ N ducatur recta M N, con-
CurrenS Cum. A BC in R. Dico AR, cori serici AB, BC, CD, ec: xqualem esse.
uvane   BC. PBa PatetCXCO, quod BC ex
tiypo.
uoi u ii.  i  siuu u  piu u ite  te e . s   iu  e s   u pe t s i  t 1        t  m puen

## Folio 99 — 1815201908:0156
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000156.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
1d
B.
Term
ci
Det
time
FUM.
TanE
educt
i
p10.
nea
ale.
con
e
po
GEOME TRIC A.
Hypoche, t c quam AB; ac proinde cha BEV. Cu XLML, BH PFOPOTTIO-
nalessincipsis AB, BC; Ccisicur concurtus in R; eric ve AB ad BC, SC MA
2d NB; sed ve M A ad NB, sC AH al BK, ergo AB cA ad BC, VE AK ad
BK. Vude AKcori seriei a qualis cst. Factum igirur est quod perebatur.
LO
DSTTIO
L. L2 a L21.
lemagnieudo AK, Peries eoca rarionis AB ad B C continUAEX in
infinieum.
(AB ad BR, VEBC 2d CK.
AB ad AK, ve BC ad BK.
DicocHc L AK, BR, CK, ec. continue proporcionales.
1AB ad BC, VE BK ad C R.
(AB ad BC, Ve AK ad BI.
Demonstratio.
IX A B abCcindatur NB, aqualis B C: A ergonOn est A B ad BK, ve BC 2d
LCK, neque permutando AB eric ad BC, id est BNY, ve BK ad C Ri ergon-
que dinidendo AN, eric ad N B, veBC ad CR. FiaE ixiEUE vE AN ad NB, SIC
BC ad aliam magnicudinem CM, maiorem vel minorem quam C R. Teaque com-
Ponendo, AB eric ad NB, hoc CA BC, VE BM ad CM: d permurando AB ad
RM, DE BC ad CMI. Ouare corius serieibtacionis AB ad BC, TermINUS CFIE M;
sine AM aequalis cric lerici racionis AB ad BC, quod est absurdum, cum A R n 2-
ior velminor quam AMI, sic ex hypochelaqualis lerici daca. non cricisitur alia ra-
rio AB ad BK aracione BC. ad B K, ergo cadem. quod erat demonstrandum.
Reliquas aurem asfertionis parres ex prima deducemus. Cum onim iam demon.
Aratum sic ex hypochesi cheoremaris, sequi AB cNC ad D K VE BC ad C R, compo-
HCndOCTIE AR ad BK, VE BK ad CK: quod erat secundum.
EC quoniam AR est ad BR, VE BR ad C R. igitur per convertionem racionis,
AK estad AB, VE B R 2d BC; de inverrendo AB ad AR, VE BC ad BR. quod craC
cercium. rurlum quoniam AB est ad BK, veB C ad CK, erir permutando AB ad
BC, VE BR ad CK. quod erac quarcum. denique quoniam ostensum est AB esse ad
AR, VEBC ad BK, etiam permurando AB est ad BC, VE AH ad B K: quae omnia.
eranc demonstranda.
79. huius
Corollarium
X quinea assertionis parte hoc cheorema deducieur: data hc series maonicudi-
Vicoemre vna ancecedencium, nempe AB, ad unam consequencium BC. (10
Sumes, hoc est intinicas ancecedences, siuc AK, ad omnes liue intinicas consequem
SCd, lvC BK.
num continue proporcionalium AB, BC, CD, eC. Sine termino ContinUAFA.
SITIO
EX XIIB
IE AK magnicudo producta ex ratione AB ad BC, IH MLIMMTCHM
cinuata; primi aucem e sccundi termini differencia (IC AMI;
Dicoprimo; difterencium AM, um, e CKtoram
seriem,

## Folio 100 — 1815201908:0157
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000157.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
R O GR F SSTON FS
Periem, (praecei duosprimos cerminos) in concinua elle analogid.
Dicolecundo ANI differentiam, ad primum terminum AB, CC 1
BC lecundus terminus, ad BIC coram seriem, praecer pitulum terminum.
Dicorerrio, differentiam AM, primum CC AB, C COCaITCKICI
AU, in concinua ce analo5ld.
Demonstratio
100
roniam AK magnicudo producta est ex racione AB ad BC in intinitur
Lcontinuata, eric per praecedentem AB ad BK, vE BC ad CK: ioieur permu-
candove BK ad C K. sic AB ad BC; hoc est e uldendo AM adM B, hoC
CA BC, ve BC ad CR. quod cracprimum.
RUELUM CUIM BEVE ANI ad BC, hOc CAEM B; SiC BC AII C H, CHIC COMPOHCM-
doinverrendo, ve AB ad MB, siC BK ad C R; ex converrendo inuercendo ve
AM dd AB, ica B C ad BR. quod erat secundum.
TECrUM CUM AIE VE ANL ad AB. SiC BC ad BR, CFIE permucando, VE AM ad
BC, hoc CHt MB, sic AB aa BH, aMuccando componenao, ex icerum inuer-
cendo ve AM ad AB, sic HD au H R. quod crac ccrrio locodemonstrandum.
ROPOSITIO LXXXIV
Aex Cincleries bea  MM Lesguadee appenaedet.
cudinum Concintue plopolcoan i cadene plopotctra.
Ceriei AR, ad ML N primum cerminum lerrei Mt l.
Demonstratio.
DEroctuasesimam secudam huius AR est ad BR, ve AB ad BC, hoc Ct, (CMIII
exhypochesi AB ad BC, MN ad NO, limiles SINE rariOMCS) DEMN adNO
Sedper eandem eriam est NIR ad NTR, VEMHT ad N O, ipitur AR eA 2d BR ve
MK ad NR. indeper convertionem rationis A R cA ad AB, VE M R ad MNI.
_ permucando series AR; est ad seriem MI R, re primus cerminus A B primx Ccrieis
adprimum cerminum MW Cccunda leriei; quod erat, eC.
P R O POSITIO LXZL
Dicoleriemtoram AI, e a ee   A P e
umquam exiis, quae hablenus Tmuersaliter demonscrammus propostione octo-
esta pma noca sit proportio totius seriei, ad primam maeni-
eudinem; placuit tamen exercitii causa, norisimis quibusdam proporrionibus applica-
re maxime cum de illis saepe mentio futura sit.
DRimum isicur daca lic, quocumque in genere quancicatis, proporria
Dico rocam leriem proporcionishuus, ne cemo Conuala, Cont
Cirueremagnicudinem, que dupla sir primae maxnicudinis.
eo
dupla, AB ad BC.
 ei s e   s .  p 1 1 e t.      1      . e      s  1  e   .  te   u   se    t e   e e u   i   sta

## Folio 101 — 1815201908:0158
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000158.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
IDaI
Perier
Cnit
Perm
B. 10
BOnen
ndo
in
nen
pinu
(crim
NO
1
erieii
octo.
ni
olica
reio
DN.
H
C FD M L LKIC A
Demonstratio.
ETac enim ipsi BC, aequalis BI, d AAE vE AF ad AB, BC AB ad AK: CM R
Saracionis AB ad B C, semper concinuaca. e quoniaM B R, dupla Cu a 8o. huins.
BC, eAtque BI aequalis BC, etic Guoque B A dupla IA; Duare cum (IC ex CM
Aructione ve B A ad TA, lic AR ad AB, cricctiam AK, (id est cora sertes rario-
nis AB ad B C.) dupla DH, prumx magnicudinis. Quod erac demonstrandu.
E HOFOSTTIO LZXXVI.
Dicocotam leliem, Fore Pelquialceram prima magnicudinis:
Demonstratio:
Ecur deinde proporrio cripla AB ad BC.
lac enim lecunda magnicudini B C, aequalis BF; eric ergo BI, cercia PaES AB; e
AI excellus, Cedmerencia primae de secunde; rndeH AaCrE A Iad AB, SIC AB
a ARI CTIE A R b aequaliscocileriei; de quia IB, certia pars est B A, Cric B A Ce squi-
alcera ipsius AT: quare cum sc ve B A ad AI, sic AK 2d AB; CrIT quOquO AR,
Selquialcera primx magnicudinis AB. Ouod etat demonstrandum.
PROPOSITIO LZLAVII
ibid.
Dico toram seriem Cne lelquirerciam primae maxnscuuIs. Hac
cam habereracionemm ad primam magnicudinem, quam quacuoi ad eria.
Demonstratio.
Clatenim BC aequalis BF; exit ersO B F quarta parS AB, d COnseqUenLeT D A
Se(quiterEia ipHuS TA. FIaEIBIEUE vE A I ad AB, sic AB ad AK, eric A H cxo c ibia.
raseries, Ouareeum R A SC ad B A, Ve B A ad IA, eric X A selquicercta primX
magnicudinis B A. Ouod crat demonstrandum.
Sed de his modo saris: porerit enim quilibet ex propositione ex octuazesima huius bene intel-
lecta, data proporiionis rationalis, seu numeri adnumerums totam seriem; es consequenter ra-
sionem seriei, ad primum terminum exhibere.
Scholion.
Enique proporcio data sic quadrupla AB ad B C.
ra si constructionem secundam octuase sima propositionis adhibere placiert, habeotus
Cunica operatione propor p alanis. ad reliquam seriem: si vero prima constru-
etione veamur, exhibebitur proporeio primae ex secundae mdenitudinis simul sumpearum, ad
seriem reliquam.
Praesens materia memorem me facit eius, quod in areumento huius libri praefatus (um, eum
mentioincideret Zenonici discursus, qud selteaedat omnem motus rationem e mediotollere
posse: nucleus aurem argumenti tanta apud authorem authoritatis exstirit, ur eundem Achil-
lis inueti (simi Dueis nomenclatura dienaretur: persuasum habens, eum nucleum 2s que adéo
duro corrice fucurum, qui par foret omnibus Philosophicorum Elenchorum malleis sustinendis:
Repecam discursum Zenonis, iisdem verbis, quibus in praefarione huius libri sum vsus. Con-
sistebat ille in duobus, quae moverencur:primo achillis, velocisime currentis, aliero restudinis
taraibime repeandis.
Ponatur

## Folio 102 — 1815201908:0159
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000159.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
PROGRFSSI
YF
Ponatur inguiebas illes Achilles cursorpernicissimus, ex R puncto restudinem reptans en per
chillem, quam testudinem in suo cursu oniformiter procedere: ita vt celeribas, prima parte
motus assumpra, perseueret in eodem statu, vsque ad vltimum temporis momentum quo sua
Spatia decurrunt; supponemus insuper; (quoniam omnis motus species est quantitatis) duoshosce
motus, cum oniformes ponantur, in suis partibus. Cortiriinter se aliquam proportionem, quod
necesse est eveniat inter omnes quantitates, quae in eadem specie versantur: 2t sunt duo motus
semitam B C, lentissimo motus velle assequi; quo tempore Achilles rendit ex A in B, mota est
restudo ad aliquod spatium cmnns . vetcur necaum Actles asset est escuanem.
iterum quo tempore achilles ex B currit, e asse quaat esa existentem in , mota est
restudo ad P punctum; ent asstens in  nonaum assechlus est restudihem; at que
hoc in infinitum eveniet: quonam continuum duisibile est in insnrtum, Onde stum qua A-
chilles assequetur testucumo dent nodis dum effringere, cx ada alus
librii quod assecutos nos esse cognosces, cum ips simum punctunt assenancrus, quo achilles
testudinem apprehendet.
inodum hunc Cordium, ex principiis huius libri disoluamus, supponemus, non minus A.
Fonatur icitur proportio duorum horum mobilium; secundum celeritatem, consistere in ra-
recti e oniformes.
tione dupla; ita vt Achilles duplo celerus parca ccuttat, qua sndo: isitur quo tempore
restudo ad quartam partem stadii promota fuerit, medium stadium confecerit Achilles. F. duet a
itaguelineae AC, D C, in ratome aupla ex C puncto, drvidantur in B, L, Ll, (5. c. 0 L, Cr, l.
secundum rationem duplam, et ampla, sit e empn  et m e impla
FC, ec. FP. C dupla C C
Consistat itaque Achus LL.  RC semitam repraesentans stadio loneitudine aequalem;
restudo vero construta in dimidio stadii; in puncto B, vel D. posita D C aequai ip BC
Duoniam Achilles ex a moveri incipit, quo tempore ex D inchoat cursum restudo: icitur
pervenerit achilles ex A in B, quo tempore ex D, testudo perringet in E: ex quo tempore A-
chilles ex B pertincet in F, eodem peruenerit testudo ex F. in C. ex sic consequenter: quia ve-
roterminus proere ssionis rationis AB ad B P terminatur in C, prout propositione octuace si-
ma quinea demonstratum est: similiter cum proere io; secundum rationem BF, ad LiTI.
vel D P ad F O, finem fortiatur in puncto C. secundum eandem propositionem: icitur con-
cursus duorum horum mobilium, achillis scilicet es testudinis, continget in puncto C: Quod si
loco proportionis duplae, assumatur proportio cripla, tunc assignabitur concursus per propositio-
nem octuacesimam sextam huius. Si vero quadrupla inseruiet propositio octua cesima seprima,
ex sic de reliquis.
Captiosus Zenonis discursus molestias creat non consideranti discrimen, quod in eo exsur-
sit, inter duplicem proere ssionem, qua arcumentationis filum dubium facit; alia enim est pro-
gressio per partes aequales; alia per partes proportionales; hic vtrius que cursus supponi-
eur fieriper partes vniformes. sive per passus aequales, cum passus primus a secundo, vel tertio
non discrepet, licet duos passus Achillis, verbigraria, eodem contineant tempore quo vnus pas-
sustestudinis: secundum vero hos passus fit verinsque cursus: Zeno aurem in decur su areu-
mentisui distinguit motus cursorum per partes proportionales. secundum quas mobilia nullo
modo moventur; ac proinde in idem eous discursus recidit, ac si dicat quis, eo tempore quo diui-
infiniti termint partium proportionalium: Achilles enim es testudo decurrentes a L. spatium.
perparces aequales, suorum passuum aequalium terminum randem acquirunt: Zeno vero dum
hac concineunt, à cursoribus diuidi vule spacium AP. inparces proporrionales, secundum
quas mobilia non succedunt.
dam lineam A L, in parces quaruor aequales, alius eam subdiuidet secundum aliquam seriem
per parces proporiionales; profecto cirius a (fienabuneur termini quatuor parrium aqualium, qu’a
s
2
10
 aC rEo oEoea es o

## Folio 103 — 1815201908:0160
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000160.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
p
pen
ta
1tqu
part
ho
not
punie
6
alem;
igisur
oreA
ia ve
HH
acest
uod s
ositio.
xssir.
 Dro.
oponii.
tertio
s pas
areI
it
diui.
1
rium
alui
GF O M E HBR IO A. 51
Ad argumentum porro respondendum est; dum dicitur: Priusquam Achilles ex A
verueniae ad B punctum, indtd CA cestudo ex B in F:
sensum huius propositionis coincidere cum hoc quo dicerur, prius debet Actoles apae p
ctum B, quam notet phuctum F. quod repuenat cursui secundum rationem motus; nam omnis
assienatio in hac materia contingurationem sub sistentia v Mathemarici serriunt, salcem fet
cundum incellectum acpreinde alicuius quietiso quae morui repuenat. erum hec in et atu
Philo sephorum dicta sufficiant. XD cuuxilSI L5 . A EL ILS ~ SIID Et tB ET A
Moina2 c3 mbfi RO P,
ighi edu
XFI. F
XX
AEd A B, CuiuS cercIA ParS AIE GB, RAE VE EOEA A B, Id C B eerciam
Tui parcem, ita C B ad C D, _ C D ad DF, e DF 3d LF, aC
que ita LeimpeT.
1F 12 040 5
Dico K cerminum huius prooressionis, bitariam dividere propolicam
magnicudinem AB.
Demonstratio.
CiRicenim ex hypocheti AB cum B K, aequalis coci seriei properrionis etiplX. aE-
Lequicoca series rations eriplae, a sesquralcera est magnicudinis primae, ergo AB a 86. huinso
cum BR, selquistera est prima magnieudinis ABs ergo BK, est eiudem dimidia.
quoderacdem onstrandum. :c st sih 2501100 il canibi
crgdusi credtii fis
p
37934. 7
S5
 BGCHII 23AOIDEL
tatur daturom Edant itcinup aidaoins
A ieu eril, eelae rirchreilonait OKFFIB, es l eoseq pluneg
2
1p S. SCI, EDBC FEIIBAO:
Etur quanticas AB, cuius quarta pars (ic B C; (I AaE vetOta AB ad
quarram lui parcem BC iet BC adOD, _ CD ad DF, E DF
ad F. F; acque ita semper concinuando, punctum Hhujusprogressionis
Terminus emersaC: C)  et se: olenih esi IA. L essiul. 10 230 31BI1F : b 3, 1A 
Dico B Hellc certiam parrem propoliex quanticatis AB. , 3: il BC A
Ba. S YA 10121CIET 3V 53I. YLN.
vissir
3C. acEI c Demonstratio:  1Ct. () Y. Isi uI tci
B1I
est 2i5.
Y 1
15. 1111
TAmexhypoches AB cum B K, est cora series proporcionis quadrupIx. Acquico-
caseries rarionis quadruplae est b auprimam magnicu dinem, re quacuor ad cria, b87. huius.
ErgO BK cum AB, est ad AB, ve quaruor ad cria. et dividendo K B ad AB, VE
urum aderia, hoc eA, KBcerria parS est ip suS AB. Quod erac demonAtrandum
et BC
P R G P OS, Lt. F. L. 8 mc HE.
AE1C ELCIEZ CCHEYISI BGCLCHLO S B, 3HAOSCI ssIOCIBEIN
15.
103
Acam magnicudinem A R, im in duobus punctis B, C, dividere, bE
AB ad B C, habeat TactMCaca CaCLL. L.POPLCIILB
ad BC. Concimuacae prooresio cerminerur in l.
C02

## Folio 104 — 1815201908:0161
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000161.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
i un mnuui
et
19. 9 uin-
1
P R O GR F. S SIONF S
Constructio es umontracio.
DTuide AR in B, ICA vE siE AK ad B R, BE G IdFT: eE VE R K ad BK, SC AB
F
Fac ad BC. Dico Factum eAC quodperebatur. Cum enim sC ve AK 2d BR, AC
AB ad B Ci ertareliquum BR 2 ad reliquum C R, BE AR al BR. underacionis
b73. huiu. A B de BCterminus est K: est aurem AB ad B C, ratio eaac cam lacione
AK ad B K, id est C ad FI. ConstaciBIEE PEOBOLTuM.
Corollarium.
X hac proxoletone manifestum est, omnem magnicuac, Oes rasionum se.
PRO POSITI
GEIESCOHEICFC.
ato
 C1It. BIE C C
t
 X
1.t.51B
Aris quorcumul Lacte  aet 2, C a , L ad F, datam ma-
Elucudinem , Opotiat aludete in corpasles, quordarae lune
rationes, nempe  L. fH, MN, NO, ica re parres illa eandem dabeane
racionem, quam primi dacarum rationum cermini, A, C, F; _ praereres
Cngula parres L. MI, MN, NO singulis daris rationibus, sinc termino
continuaris, lint aquales.
l
Conpructio e demonstratio.
STAEOHFK Ohtinibus A, C, F, Equalis; et ve divila est CK, sic divide F. O in
MI _ NV: denique per 90. huius I. M ica diuide in P d 9, vesic L. P, 2d PO, ScuC
A ad B: de rationis L. P ad P O, cerminus sic M. Similicer M N. NO diuide inpun-
atis R, S, T, V secundim rationes C ad D, E ad F, ica ve rarionum NI R ad R S, IF Y
ad FV, cermini sinE N ec O. Dico factum quod pecebatur. Demonstracio ex ipla
constructione est manifesta.
A 1.
PROPOSITIO XCII.
AoA BbcB C D NF B G HI
Acto Quoccum que tationibus AB ad BC, DE ad EF, C H ad
El, ac. magnicudinem invenire, quae omneshrarum rationum, se
les progrestionum adxequet.
Constructio e demonstratio.
adaequeric; aeque omnibusillis magticudinibus, una tiac X qualis. ha C. VEPaceF, ad.
aquabicomnes series dacarum racionum.
DEx octosesimam huius invenianeur maxnicudines, qux singularum rarionum series
eRO
 pii t itise u eit t  t eet u t si et e e e pi pute et s e  e et tu  ot es te eu te s e e e     e e  t     e  o 

## Folio 105 — 1815201908:0162
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000162.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
22
acione
am le
ma
eTun
Dcan
ceres
Mino
ACuE
Oia
pun
NY
1ad
seu
eries
64d.
O.
EEON E FR IC A.
PROPOSITIO LCIII
leas quoccumque series diuerlarum rarichum ica Coclete, ve
inc in continua analosta cuca PoPBtIOMIS.
Constructio e demonstratio.
Aciones divera snE AB ad BC, DP ad PF, G FF ad FTT. de alia dacarario Y
Fianccres magnicudines RI, MNI, OP concinue proporrionales, inratio-
ne Y ad Z. _ KL ita 2 dividatur in OT, d c. veleriem consticuacrarionis A B ad ag0. huini.
BC: X MN icd MaaIM R V, _ c. veadxequecleriem racionis DL 2d L. F: 2C
deuta uidacur limilicer OP in S _c Z, ve rationis GHI ad HII conttirune le.
en lactuhque eric quod pecebatur.
A t EIO ZCIV.
Acammagnicudinem AF, semel sectam in B, ita rurtum secare in C
ee D, vecam progrellio rarion etD a BC quata ptosteoatio
nis AD ad DB, Terminetur in F.
Consoe amonracto.
Exeriatur primo ipss AE, BE, cerria propoerionalis CF. Dicoprodressionem
AB, B C. cerminari in F. Pacec ex seprungelima nona huius. Deinde incer AB, BP,
inveniacur media D P. Pacecrurlum progressionem AD, D B cerminari in F, VEF
cundem pope. ACcUIS erso quod perebaTUE.
eRorosiiioLe
Aca magnicudine DC, e proporcione maioris inxqualicatis A ad
B, icemque aliamagnicudine C: examinare quomodo scries proercs-
honis dacxracionis AadB, Culo Pllluus temimuslic C, le habeacad da-
cam DC magnicudincm.
tru-

## Folio 106 — 1815201908:0163
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000163.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
   ie 1 4 . 1. 1 11
179 touia
PP
GR F SSTONF
Constructio e demonstratio.
ETaEVE A ad B, SICD. C ad F. C. Primoigicur E daca magnieudo C, que primus cermi-
nusproorelsionis cse deber, aqualis (icD E, cric seriesrarionis A ad B haberts pi
106
mum terminum C. aequalis datx magnicudini D G. nam hac D F (id est C ad F F, ve
A ad B. quoniam igirur D C CM ad F C vE A ad B, erie B quoque D F ad F F
ve D C ad F C. ergo prooressioa rationis DE ad B F, (id est progressioracionis A
Secundo si magnirudo C, quu cebetene penuscerminus, maior sic quam
DF, CMeprooressio A B, habehpimum cermmC. maior quam DG. Fiac enim
ips C aeualis LL, vesee  Cu alt B, HC HLL sc ad LR, a progressionis I L al
eo huiu K b rCPCHIAE CCMMuS L. TBIcuFCrIE C VE HII ad D F, SIC HI L cora series pro.
S+.huiuo. Bressionis, HII, IK. ad D C toram Ceriem progressionis D E, P. F. atqus I Lmaior estr
quam DR; erBO _ HIL, maior est quam DC.
Sidenique C, minor sic quam D F. eric quoque progressio rarionis A ad B, habens
primum cerminum C, minor quam D C; quodeodem modo oltendemus, quo pri.
mum. Fecimusigitur quodpeccbacur.
ad B, habens primum cerminum C) constiruer magnicudinem D C.
Y
P R O
ACA SIE prOdrelsioratIOHIS A F ad F G, terminata in B; _ alia ma
onicudo C F: Oporredtinmagnicudine C. C, ica verim que ad C e
F consticuere prosrelsiolterarionis AF ad F G sprogrelsiones, nempe
CHI, HI, aC. U L H, L. L, _C.) ve cundem habeane terminum D, qui
ita diuidat C F, VE AB, C D, D E, Cinc in concinua analogia.
Constructio ex demonstratio.
D Ecta CP ita Mun Per erigelimam sextam huius vE AB, CD, DL. linc
concinue proporrionales. Deinde pernonagelimam huius ita diuide CD, in FI8
L veracio CFY ad TII, eadem sc cum racione A F ad F C, ac simul progressio C II.
TII, cerminetur in D. Idem Facico in P. D. Factumque erir quod perebatur.
PROPOSITIO ZOVII
Iduarum Perierum AM, B N cermini A, B, C, D, E, E, C, _C. alter
Onacim in concinua sint analogia.
DreoMasMcel se eam proportionem habere, quam primi cermini.
Demonstratio.
Voniam A, B, C lunerres continux proportonalesi ergo A est ad C, in duplica
Ledracione A ad B; icerum cum C, D. F Cnceresconcinux, Ceric ad Fi, in du pu
cacaratione C ad D; hoc eAt, repacer ex dacis A ad B: erso cumrationes A ad C, et
a.
  p p   u   ue ie . 1     pie   . u i4  i   . n  u  e at  pa 1    e au u ei   

## Folio 107 — 1815201908:0164
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000164.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
AUSTer
abens
dPF.
P ad
acionis
CE qua
ri
Fiac en
Balor et
 habet
quo p
liama
dC
nempe
D, qu
In Ita
E sI
0C1
alter.
C, et
C. al
plicae
suplio
EEOMETRLC
ercottates u ra.
onc duplicaca LL alc B. late ane en Torics racionis duplicacae; ra-
cionis A ad B. deinde quia B, C, D sunc continua proporcionales, cric ra-
cio B ad D, acpbala cacoo B ad C. similicer octendemus, rationem D ad F,
duplicacam cMe raciols B dd C. concinux proporcionales (une ipitur B, D, F.
ad F ejul
S,F ErC
duplicaEA AnE,
vndeleries BN, cAseries dupliaca Lactes  a C, Id el CX dacis, A ad B. MMMCS a6+. Mns
eestune A_ ec BN. quare lunc aincer sc, ve primi cermini AaV. Quoi
exal deontrandum.
PROPOE
Montinuecur rario AB dd BC, HaBCIquC CCMMM S. AcMMdC HaC
Dico IIK agnicudinem maiorem esse quam (IE L N.
Demonstratio.
ria HK est series AB, C D, A  L N est series AB, D R, REC. SUMAnEE
LCL HR, Parces HII, IP aGualeS ipIS AB, CD: CX L N vCTO pATECS LMI, MO
aequales ipsis AB, D F. Ouoniam isitur serici TTF, IP terminus cst R, Cric LLK
bad TK, Ve HI ad. IP: e quia serici LM, MO, _c. terminus cM N, CrIE L N c 2 8 b 8L. huivs.
MH. ve Y. M ad M O. sed HIY ad IP minorem habec rationem, quam L M, id est
TIIadMO ErgO HIK ad IR, minorem habec, quam L I ad L. MI, 8 per conver-
sionem racionis RFT ad FTT, maiorem haber quam L N ad LMI. croopermucando
TTKad E N, maiorem habet, quam FTF ad L M. Ouare cum ex const. FII, L. MI sinE
aequales, necese est HIK maiorem esse quam L. NV. (Duod orde demonsttandumsi
pece
OStT1O
EC
Ecesrationis AB ad B C, terminetur in M; assumatur aurem ex lerie
Dicorationis AB ad DL leriem, una cum lcricrarionis BC. ad L. L
ae serie rationis C. D ad L, xquari Coricirationis AB ad BC.
nust
F. F DO FT TKF cirilc M
lcricirarionis AB ad C D, aequalis magnicudo LIIE: Seriei auremta-
tionis A B ad D E, aqualis L N.
AM, cerminus quicum que DF.
Demonstratio.
Vandoquidem omnes AB, BC, CD, DF, ecc. in continua sine analogiz, BaceF
militer B C, LL, HlL, _c. icenique C D, FC, TK osse concinue proporcionalesi eteo
Cerieserium rarionum AB, D F, BC, F F, CD, F C, concinuantur perpecuo; in
cra leriem AB, BC, CD, _C. ita ve inhiscribus seriebus simul sumpris, nec plures,
nec pauciorescermim reperianeur, quam lincin serie A B, B C, C D, ec. manifestum
igirur esthaseres series, seriei AB, B C, X c. xquales eMte. Quoderat demonstrandu.
R O
exclemencis AB, D F, C TI ex Sic in infinicum esse coneinue peoporcionales, Si-

## Folio 108 — 1815201908:0165
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000165.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
12
DROGRESSTONES
5.1111
Demonstratio.
d
dS IT
Friesrarionis AB ad BC cerminetur in C; seriei aucem rarionis AB
100
iadC D aequalis (ILHIR; icem serici rarionis B C ad F P, aequalis (ICL N.
Dico seriem AC7, duabus FTK, L N maiorem esse.
e
BE
rodhuins. GErres BC; L F, _C. 2minor el lerie BC, DL, dC. ergolerieS B C) P F, deC. cum
lerie AB, C D. dC. minorerie, quam sertes BC, DF, Xc. vna cum seric AB,
CD, SC. acqui per praecedencem leries B C  M. cum lerie AB, C D, _c. Con-
FF, _c. cum leric AB, C D, dec. minorem contticur, quamm ACr: C18ILR, LH
series aegnales sericbus AB, C D, _C. B C, P P, ex c. minores lunc, quam series, AO
Duoderae demonttrandum.
Ricne leriem AB, BC, CD, D F, ec. hoc esmagnieudinem A Cr. ergo leries BC
P R
C+ L X
1 C
113 bS, (X (151
(4d
Eries continue proporcionalium AB, B C, C D, dc.
Lcorminetur in L. Vecur aurem proporrio a ad B,
mulciplicata rationis AB ad BC, iuxta darum aliquem
numerum (quacuor exempli caul2) de quor lune rnicares in daco nume.
co coernaminustac magnicudines L.M, OP, RS, aequales dacx scrici
terminis AB BC, GyId.
Dico Ceries, rarionis a ad B, quarum primi termini (InEL, O, R, Cimul
Cumpeas, consticuere eandem magnicudinem, quam series rationis AB
ad BC. 111 11.
et 12 5
Demonstratio.
2 1
TaErea 2dB, sic F NI ad NNY, _ OF ad P O, _ R S ad S YJ CrUCCESO OmneS
haerariones quadruplicaex encicinis AB ad B C: _ quoniam L MI, A B, Xquales
sune, candem habebunerationem 2d MI NI; ergo e racio AB ad MINT quadruplica-
caestrationis AB ad BC; est aurem _ rario AB ad DF, quadruplicaca racionis
AB ad BC. ergO VE A B ad D F, iT2 A B ad NTN. RQUAnEUE igIEUE DF _E MNS
CeriesigieurratIOnIS L MI ad MNV, eA Ceries rationis AB ad D F. Similicer osten-
Jam seriem racionis OP. ad PO, esse seriemrationis B C ad I FS ex Ceriemrarionis
RS ad ST, seriem ese rarionis C D ad F C. acquilx cres b series smul sumpex,
adaquane seriem rarionis AB ad BC; ergo criam e illae candem ad aequabunt.
Duod erar demonttrandum.
CELBILM
riis
2
3 hui
A   ue euu e  e s  te ete s s  p se t ue pet qe ue e eus u  ses  ur ue se  e et s.  e  e te  1 t . s 1. 1)e
(11   spTIII
C
CI.
R

## Folio 109 — 1815201908:0166
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000166.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
S(ICL
deC. eu
2O. e0
R,
ies AC
D, de
ad 
quem
lume
e Perie
Cimu
mnes
uales
olicd.
ionis
MNI
Aen.
ionis
Dea,
Unt.
O.
GFOMEERIC A.
5TFIO
CII
R
acions LL au DC. Comcuuca cerminetur in KE. Daca aurem
E i
l aequalis AB, X quinis numerus (puca 3.) deinde hacracio L. NI,
ad M N muPiCaa LacOS AB ae BC, luaed dacum numerum; (ICG3
cacionis l. M ad MN cerminus O.
Dicoletent AL, da lessent L. O, Calde habere proporcionem, quam
Cocue ce lellai AB, BC. C.D quoc lunc onicares in daco nume
Co, habenc ad primum AB.
Demonstratio.
 exempli eaula, numerus dacusponatur cernatius; crie racio L N ad MIPI
eriplicaca racionis AB ad B C; ostendendum nobis est, A K ellC ad F O, ve
cresprimicermini D A ad primu AB. Cx sCrIC A K (UIE seX CerMINOS A C: IGIEUF LZ2. hNiuS.
Proporrio ADa ad D C, criplicaca est proporcionis A B 3.t B C; aequalisioitur est
rationi LM. ad MN, hoc estbracioni LO ad M O. cum enim O SC terminuS (CrIEK b82. huius.
L. NMN, CrIE L O ad M O, VEL AT ad MN, Dcinde quia R cerminus est Periei AB, c pbid.
BC, CrUIHECErES AK, BR, CR continux proportionales: adeoque omnes eriam le-
QuenLES CTUHECONCINUX: DUAEC _E AK, DR, GFK, inter quas par concinue prOpOE-
cionalium numerus incerijereur, ex elemencis pacec esle concinue proportionales.
Vnde AR, d estaIDK ve AD ad DC, id est (quemadmodum iam ostendi) veL drhuinso
ad M O. Leaque per convertionem rarionis A K est ad AB, VE I. O ad LM, e
permurando AK ad LO, rE AD ad I.M, id es exdaris AB. Quoderas demon.
Arandum.
R O
PO5
 C1I
H 15 F e II. IO
X serie continue proxoltionalium AH, Tumacur quivis cers
Vet
Dicoreriem rationis AB ad B C, habere proporrionem ad leriem ra-
cionis AB ad HII, quam haber HI A comnes nempe terminiiplum H L
Praecedences) ad AB primum terminum.
Haecpropolicio, ve consideranti Focile parebir, eadem est cum praece
denci, led alicer e commodius Forcasse propolica. Ouare eadem erir
veriulque demonstrario.
Corollarium.
iLhoccheoremare licebit pranm acmmere, aisionato quonis termino Hl, in le-
Lete AK, rarionis A B A B C, reperiendi magnicudineim eori leriei racionis AB
ad FTI equalem. Nam si Aac vE HI A adt A B, SIC K A ad aliami L. O; cric I. Oaequ2-
listoci scriciracionis AI 2d HII.
Faccortam en opus non esle ad hancpraxim recurrere; cum vniuertalem mectio.
dum, camque facillimam reperiendi magnieu linem, cori seriei eninleumque FAF:O.
nis equalem, propolicio 80. huius suppedicet.

## Folio 110 — 1815201908:0167
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000167.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
Mi uii.  p MIAIEHII
R
DGRESSTONFS
EIV
Aex Ine concinue proporrionalium series binx, AX KC V racionum
divertarum, iTa TAMeN VE A, K, L, B eriam sinECOntinUX.
cionem duleemt, o C  cl. Cllalali an Gluluta i Li
Cumpci ad A primum cerminum.
DICO SCTICM A, R, L, NI, NI, _C. CCLIMIHACALH AIS V CALH HaBCLC BIOPOT.
Semonstratio.
Odacur ips R cerminus T in directum, aequalis ips A: raeio isitur (quod ex hy-
LLPoceli colliges) Lad M cripllaca cAtracionis Y ad R. Ouia Auce A L, L. B
ponuntur continux proportionales, cric L. ad B, ve R ad L: lederiam P. cst adM, ve
29. Ouini. K ad L, ergo L, adB, et M, eandem habec racionem: adcoque a B et M xquales
lunc. Sunc vero cciam aquales AT, ergo ratio A ad B, cade est cum rarione 2
ad MI. quare rario A ad B, criplicara est rarionis Lad R. cum erso vrriulque serici
inicium, idem Cccerminus A, eric Ceries T, R, L, eC. id cA series A, R, L, M, _C.
b162. Au. B ad seriem A, B, C, D, dC. ve cres priim Termini L, R, T, hoc eAt L, R, A, Cimut
lumpri ad T, hoc est ad A, primum cerminum: quod erac demonttrandum.
iui.
R O
V
Acae Cinc bina selles concinue proportionalium magnicudinum in
diversisrarionibus, cerminaca in K _ MI; e ab xqualibus cermi
niS A B, FC incipiences. Fiat aurem secundo cermino BC, unius scrici
aequalis NO; _ C HI secundo cermino alcerius scrici, xqualis OP; Dc-
inderatio NO ad OP (vel ratio OP ad NO, Si OP maior sic quam
VO) in infnicum conrinuCeur.
Dico NO esse ad PO, VECD ad FI, e NO este ad OR vE DF ad
IC, acqueicain intinicum.
Demonstraiio.
nin. Vm LCrICS A K, F. M incipiane ab aequalibus cerminis, eric rario c C D ad  L, r2.
tions BC ad GFI, hoc est, ex constructione, rationis NO ad O P. duplicatas
Requietiam eacO NYO ad P O. duplicaca est, ex dacis, rationis HO ad OP, exdem
igitur sunc rationes CD ad HI, _ NO ad PO; similicerrario D R ad LL, irI-
plicata est rationis BC ad GFI, hoc est rarionis NO ad OP: Ouare cum et ratio
O ad OR, ciuldem racionis NO ad OP, sictriplicata, caedem crune rationes
DE ad TE, _ NO 2d O R. Arque ira in intinirum, limil deonstratione proce.
lemus. Pacecisiur Theorematis veriras.
       t   e  .    u u    e      n un  mon

## Folio 111 — 1815201908:0168
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000168.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
iomu
Eopo
lim
exti
equale
cleu
ion
M
TermI
Perie
P: D
qual
L, 1d
licato;
1
cratio
DFOCC
tiones
GEOMETRIC A
PR OPOSITIO CVI.
AEx Sne dux rariones similes, AB ad L V, a DC A DF, qua
cerminis (ic alternatim politis, ContinuentuT.
AEULMLL.
Dicoveriulque rationis in in Cortuata Me Cemu
Demo.
ronam ex hypochesi AB est ad C. D, ve B C ad D F; crir permurando compo.
nendo, rullumque permucando A C aet C L DBC ad DL: similicer quia
cando, CF ad F C, vE DF ad L Cii hoc est ex hypocheli ve BC ad D F, hoc estex
iam demonstraris, ve AC ad C. P: TUnEISIEUT A C, CP, F C COnFINUIX propOrciOMA-
les. Ouodsiraciones AB a l C.D, ex B C adD F, in infinicum concinueneur, osten-
dam paricer, rarionem AC ad CB, in infinicum concinuari, per cerminos continue
proporrionales AC, C B, P. Cn eC. Inueniaturisicur a cerminus serici AC, C B, P C1, a8. huins.
Kc. licque R. Leaquenon espunctum alsignabile, incor puncta A d R, vlera quod
non cadat alignis cerminus seriei A C, CF. F. G. Ouare cumrarionum AB ad CD,
ex B C ad D E concinuatarum, cermini omnesica concincantur in serie AC, C F,
ec. vesinguli cermini seriei AC, C F, _cc. concineanernum cerminum rationis A B
ad CD, de rnum cerminum racionis BC ad DF; manitestum quoque est nullum
punctum alsignari pose incer A _e R, vlera quod non cadac aliguis cerminus, cam
rationis AB ad C D, quamracionis BC ad D F; neucraisiur leries terminabicur
inter A e R: Sed neque rili dictarum rationum cermini eran siliene K, cum perpe-
cuo concincuneur in serie AC, C R, P C, _C. (quae ex constructione non transilie
onquam K) ergo binx seriesrationum AB ad CD, e B C ad D F, cundem habENE
cerminum K. Quoderac demonstrandum.
CD Cs ad P F, VE D P ad F G, cric permurando componendo, FuRTUM GLE PErU-
V
Ronicudo AB bisecta siC LH C, DC AMICIMMB; aC DIM L; 
ADE in F; _ F F in CI; d F C in l; acque hoc semiper hac:
Dico alterna huius progrenos cel lore in puncto, quo ma-
onicudo AB, diuidicur in parces, habences rationem quam vuum ad duo,
siucrerminum progretionis ablcindere BC, certiam partem magnicudi-
nIS AB.
etbd otib.
Voniam DC dupta cst C. E, e BC dupla DC, exit BC, hoc eA A C, quadeu-
pla iplius C P: similicer Cunt LL cpia  CL, _ D L. dupla L R, Cric _E DL,
hoc es CF, quadrupla P C; lunc isitur AC, C R, F. C tres concinux in proporcione
quadcupla. Deinde cum B. D ex hypochesi dupla sic D F, ec CD dupla F. D; Cricice.
rum C D, hoc eA BD, quadrupla DF: Similicer quia CF dupla elt FI, ex F L du-
Pla GF, eric P F, hoc est D F quadrupla F L. luncigieur BD, DF, F. L concinux in
ratione guadrupla. Jeaque E alcernailla bil ectio sine Racu continuetur, consticueruE
verimque progressio in intinitium, proportionis quadruplx: _e quoniam AC qua-
drupla est CF, exic _ BC ciusdem CF. quadrupla: cA verO _ CF, quadrupla
L C, acque ua in infinicium: progrelsioisitur A C, C L., L. C, XC. endem eAt cum pro.
Bretsione

## Folio 112 — 1815201908:0169
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000169.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
E. SSTO N F S
289. tninc.
Gressione BC, C E, F C, _c. e cundem cerminum habet: Acqus progressionis qua-
druxix BC, CF, de c. terminos FI, Secaca C B in ratione rnius 2d duo, ergo CMaH
cerminus propressionis AC, C B secaC C B, in racione rnius ad duo. Juare C’Hl di-
midia est ipsius FIB, _ C B selquialcera ITB: ideogue A B cpIa IpluS HB; ac
aenigue A FT dupla HIB; ergo cerminus propressionis AC, CP, el. UCat AB, in
Lachonernius ad duo. vlcerius cum prooressiones AC, C B, dC. BD, 3 PB C.
_c ad rocam seriem progressionis BD, D F, _c. b ve AC ad BD: QUarC CHM AC
dupla Ac DB, cric quoque series propressionis AC, C B, ecc. id CH A HL. AdPIa
seriei BD, DF, XC. Aequi AEI iam ostendimus criam duplam ese LLB, C18
AFI, ad seriem prooressionis BD, D F, candem habecracionem quan a LIB. Vu
de EIB aequalis estleriei B D, DF: vnde prooressionis BD, DF. setres l
cur eriam in puncto TI. Juare per eadem procedens puncta, cum alcerna illa bile-
etio Constiruar veramque proxressionem, illius quoque cerminus erir punouu ll.
qsuius. eiuldem sincrationis, nempe quadruplae, exie tora series prosressionis AC, C E, E C.
quo dividicur AB in racionernius ad duo: quod erac demonstrandum.
Corollarium.
X hoc Theorematereperietur areuscxilectio, s independencer L rrilectione, al
Lcernx illius propressionis cerminus inveniarur. Cum enim Theoremarniuersale
SIC, ex in quavis magnicudine demonstracio allaca valeac, s in arcu daco A B, Similis
ctio repCrICEUT.
alcerna Aac bilectin cerminus quoque progressionis alcernae FI, abseindet cerciam ar-
cus parrem BFI: proincese lepelto alla ba alclorermino, arcus eriam dari crile.
Aca sic magnicudo AC vrcunque secta in B: Deinde HaE ve A C ac
BC, siC BC ad BD, d BD ad E D, _ E D ad L F, _ L. F ad HIF;
Dico verim que consticucum iri duas progreltiones limiles, magnirudi-
num AB, BL, LLL aC. _CO, DF, FC, ac. continue proporrionalium
in ratione duplicata proporrionis AC ad BC.
Demonstratio
Voniam ex dacis A CB C, BD, ED, E F. XC. III Cmnux proporrionales.
er CMeCHCACAB, CD, BF, DF, FH, FC. XC. CCaMIMCOMMMUA
Thalogin, et quidem eo ordine reprima, cercia, quinca, seprima, e sic deinceps (in-
cermisso semper numero medio) constimant seriem A; Secundo vero, quarta, (exta
Octaua, _ Sic deinceps (semper omisto numero medio) seriem C, conticione. igiturve
AB ad BF. prima adcerciam, (c. CD est ad D F, secunda ad quarram; d sic dein-
ceps; adeoquerationes AB ad BE, _ BB 2d E FL, exc. limiles erunc racionibus
CD 24
atque sc alterna divilio semper Har;
Vi   i  .   1                   u        ue    s   n     e e n   id

## Folio 113 — 1815201908:0170
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000170.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
i0
verta
SC
iama
i erile
tl.
cudi.
lium
males.
cinua
CCXta,
20
cUEVI
dein-
nibus
E OMEFRICA.
CD ad DF, de DF ad F C, _C. est aureni AB ad BE, vE a AC ad B D, hoc est ; 1bid.
in rarione duplicata AC ad B C, _ CD est ad DF; ve BC est ad F D secuinda
ad quartam, hoc est inracione duplicata BC id BD, hoc eA AB ad BC, ersX
illa progressiones
demonsteandutms
imiles erunc, ec inracione duplicara AB ad BC. Ouod erac
5
C1X
Ulde pos ploscoloraque AB, BC. L.F1, dol. C  6,l
Lex alcern illa divisionenaca, cerminum hrabebic cundem in magnieu-
dinc AC.
Viac SL aQuact AC, a CapTAML CA Ca ML ES LF, MT, 1Y
DOT, ac. qu LGHalCS HHE Continue proporrionalibus B C: BLd, L D, L F, _C.
CrUnCISICUE SL) LM, MN, NO, _C. ipliSquoque AB, CD; BR, FD, 8c. Xqua-
les; cum enim EOTA A C, S T, _ ablata BC, LT, aequalia sinc i necesse est criam
reliqua AB; SI. esse xqualio: _ cursum quia cora BC, L. T, _ ablata BD, H Y
aqualia sunc, paret quoque religua C D, LM aequalia esse. Similicer octendam et
BE ipE MN. D F ipG NO, acque ica in infinicum, reliqua reliquis xqualia cHc. C
soreraque progressio A e C, prosretsioni SL, LM, Eequales Tunc simut sumpEX
_ quoniam SP, L P,MT, _C. aequancur continue proporcionalibus AC, BC
BD, Rc. etiam ip(ae erune continuxe bideoque SL, LMI, MNV, _C. Tunc concirux B L. huivs:
proportionales. acque ica sine termino concinuacurracio, S I. ad I. MI; CrgO PTO.
retsioc SL ad L M, cerminatur in Y, huc consticuic magnicudinem S Y: quare c7d huins
cum veraque progressio A d C simul sumpea, aequentur progressioni SL, LMI
eciam consticuene magnicudinem ST, hoc est AC ex constructione: cundem igi-
cur cerminum habeane in magnicudine AC necesse est. nam A diversoS habeane, TiHC
illi Y ec Z. vel inter verumque terminum Y, Z. Supererie media quaedam maoni-
cudo, que ad neucram seriem perrineae; vel aliqua crir magnicudo, verique lerieicom-
munis, exieque Z. terminus seriei A, ex Y terminus seriei C: neurrum aurem Aeri po-
ecst; nam primo daco, consticueret veraque series magnicudine minorem quam AC
e potico alcetos maiorem quam A C. Duod verumque repusnar modo demonitrats;
non ixicur diverloshabebunc cerminos dicts progressiones, sed cundem: quod crac
demonstrandun
eROPOSITIO CK
IIdempolicis, seminxe prosress L1D, VL, _CD, OF CL a
lectionenax, communis reast, Ialcudinem AC; diuidee in
racione AC adBC
Demonstratio.
DEF PFXCCdENEEM POnaEuF P CNC communis veriusque cerminus; quoniam IuF
miles sut proretsiones A ee C, erir roca series proeressiotIS A, hOC eA A P.
B. oto

## Folio 114 — 1815201908:0171
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000171.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
FSSIOIIL
re ad toram lette proscessionis C hoc est C P, ave AB ad C D. quia aurem ex hypo
dmns. CCH LLC, BC, BD lunc continux proportionales, etc AB ad CD, bvE AC ad RC;
estigitur AP ad C P, VE AC ad B C. terminus ct8  reriulque progretsionis,
dividir AC, inratione AC ad BC: quod erat demonstrandum.
RO POSIFIO CXI
ABB F. D, E. F, Xc. diuidet magnicudiem AC, inratione AC. ad BC.
Demonstratio.
IIdem politis; cerminus alcernxe sectionis, siuc progrectionis AC, BC.
ratione AC 2d CB; ergo ex alterna progressionis AC, BC, BD, ac. terminus
in endem racione diuidermasnicudinem AC. Quod erac demonstrandum.
)Priusque proscessionis AB, BF, _ CB, DF, terminisimul sumpei sunciidem
cum cerminis progressionis AC, B C, BD, F. D, _c alcernarim sumpris. ergo
nes AB, BC a CB DF. Sedharum cerminas perpracedencem, diuidic A C, in
ProBre(SIOdErna AC; BC, BD, dl. Cundem habet cerminum quem progressio
PROPOSITIO CX
RS, Sec, diuidere L. N, inrarione AB ad BC.
Acatic continue proporrionalium series, constiens magnicudinem
AR: Scaurem L. N, aequalis AR, harque prima AB, a qualis L. M:
secundae vero BC, aequas sat LO cerrix aurem C D, sic aequalis
DE, F C, HTI, _EC. (INECK PArTCN.
MIP, _E QUATEX DE, aequalis OR: aeque hoc alcernarim Cemper AaE,
itareomnes AB, C D, EF, CFI, eC. Cnc ex parre L; omnes vero BC,
Dicocerminum huius alcerne proscessionis, AB, NO, MP, OR, PO.
ebetseddboei
Voniam AB, BC, CD, DE, sune concinux proportionales, eriam AB, CD,
LE F, ec sun continua, ex quidem in rarione duplicaca AB ad B C; VE PaTCE eK
elementis. Similicer in eadem racione duplicata AB ad BC, CrUHE COnFINUX pro-
POrtIOnateS OmneS BC, DB, F C, _C acqui omnes AB, CD, _EC. TUINE CK parre
L, _ ones, BC, DF, dc exparce HI. Igitur in magnicudine L. NI per alcernamil.
lam prosxessionem, consticuuneur dux series appoliex similes, eiusdem nempe rario-
c84. huius. nis duplicatae AB ad BC. QUAEC SCrIESEOTA LM, CMP, dcc esthdseriem toram
AO; OR, _EC VE LMI ad NO, hoc es AB ad BC. Deinde quin per series AB,
dg9. huins. C D, F. F, _C _ leries BC, DB, _ c. Cimul sumpeX, aequantur seriei AB, BC.
CD, DB, dec series quoque L, & NV, Cimul sum pexe aequabuncur leriei AB, BC.
hypochel L Claee L H  F. ex BO cum
CD, DF, ec Ouare cum haec ex hypoches consticuar inagnicudinem AK, id est ex
dem
( e i   B .  1  A. . A.  B B .  . u u s  s p 1   . H B 1 B5  p B B HEIH HB B EB  s  pP B A     , u. u  1 1

## Folio 115 — 1815201908:0172
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000172.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
din
c
Pa
10
este
G F OM E T R IC A.
dem in mabnicudine L N, habeanecerminum necesse est: Senim diverlos habCaue
ad neurram lcltem peteal, vel algula cileverique commune, ia receasu
rici L, Cc L. celus veroeet H, C L. heucrum aucem heri pocelt: nam primo
Daco consticueret veraque series magnicudinem minorem quam L N, AIECTO AULCM
Policomaiorem; quod verumque iam demonstraris repugnac. cun demigitur cermi-
num X, habebuneleries I e N: cumisicur octentum priissir, seriem L. esse ad sc-
riem N, Ve AB ad B C, veriusque leriei terminus communis X divider magnicudi-
nem VNV, in rarione AB ad B C. Aequi alcerna illa magnicudinum L, NB. NO, MP.
OR. aec. pio com it 1 G ee  a3
dimdens L. N in racione AB ad BC: quod erac demonstrandum.
VE X, Z; vel incer recumque cerminum supererie media qua dam magnicudo, qua
PRO1OSILIOCXIII
Centesima ondecimaliter demonstratur.
BC, sic BC ad CD, _ C D ad D E, _ D B ad FF, _ E F adFC:
alque hoc lemper tat.
Dico alterne huius progressionisterminum a, diuidere AB, in ratio-
 AB a0bC.
aca lumagnieudo AB reclssde ta 1iC; Halducem ue AB2d
eota abtei
ermatur enim F Z aqualis A B, e SinguLI II GUASMMIAILUT AICCFHACIM Et B, COn-
cinuis proporcionalibus AB, B C, CD, DR, _C. XqualeS AaNE M Z, V Z, R 2.
_c. Cunc isitur eriam hxe 2ideoque de LML, M N, NTR, _C. CONEINUX PROPOFCONZ- QV. huiu
les; e progrestionis huius LM, MN, X c. brerminus eric Z; de quoniam AB, (, ∞673. huin-
BC,MZ, RGUANEUE, CrIaIM AC, F M aequales crunE. rursus quia BC, M Z, _C D,
NZ aGualeslune, etiam BD, MIN aequales crunc. Similicer octendam CF, ipit
NR, a DF ipi RS, _ GF ipS ST, _ F TT IpSIYV (RICM MMICUIM) a quales
cscihabehus isicur proesoem aa a u AC. BB, CF. DF, alt
qualisin praecedence propolitione proponebatur, cuius cerminus X dividic AB
in racidHC LM ad MIV. Pgitur cum ex proslemoe e ie propona AB3
BC, CD, DR, BF, _C. illa alcera orratur, ita ve cam progressio AB, BC, CD,
DF. ac. quam progrestio AC, BD, CF, DF, _c. in punctis ii(dem C, D, P, F. C
FI, _C. diuidane magnicudinem A B, huius quogee ces Cla siidens AB in
ratione A b de Ch. lodctat demonttrandum.
FatIONC LM ad M N, choc es inratione L.Z adM Z, hoc est ex constructionc in CsL. huius-
Corollariun.
Ivero HaEve A C ad CB, SC BD ad DC, _E CF ad HD, _ DF ad F R, acque
veraquererminum habere debet.
ia semper: huius quoque alcernae progrectionis rerminus, dividet A B in racione
AB ad BC. cum enim SIC ve AC ad CB, Ac B D ad DC _ CF ad FD, _C
componendo eric AB ad BC, ve BC ad CD, _ CD ad DF. dc. aequi cermi-
nosprogrestionis AB, BC, DC, CD, ec. dividic AB in ratione AB adBC. ergo
e prouressionis AC, CB, BD, DC, exc. terminus, diuidec AB in rarionc AB ad
BC. cum enim verague hac propcelsio in puncis sempet istdem tecec AB, cundem
Exm

## Folio 116 — 1815201908:0173
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000173.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
  e   BI Iu GuIB II
126
PRO GR F SSIONFS
i
Temma primum.
eta in C, InTEF A _ T. 1.
Dicobilectionem partis C B, cadere incet Ld L M D; d bilectionem partis D A,
cadere inter Le C in L; rurlum oilectionem parris L B, concingere incer Da R,
in F; ipsius aurem P A bilectionem, inter P. d I in G: aeque ica in infinicum.
Acasiemagnicudo AB sectain EeS partes equales, in FNt R: ex rursum aliter se-
bobnslatto.
Lquam AI. ergobilectio iphus CB, Cadic vlera B, vertus B. lcerum C B plus
est quam dupla RB, adeoque ipsius C B dimidia, maior quam BR; quare bilectio
CB, cacMera R, verlu  adeoque cadicincer Y et K in D. Deinde cum CB
plus sicquam ala cerTIX, ipuS AB, erie CD eius dimidia, plus quam rna cerria
iplius AB; lIC aucem AC ex dacisminor, quam vna cerria; ergo CD maior est
AC. E bilectio ipsius D A, cadec vlera C vertus B. Similicer cum A L cciam maior
sic quam DI, cadec bilectio ipsius D A vlera Y ver(uS A, adeoque intex C d P, in
Fi non alicer octendemus reliqua, quae in asserrione propoluimus. Constacisieur ve-
riras lemmatis.
Lemma sect.
Voniam CBmaior est, quam FB dupIa A T; CHIC IPHAS C B MIMIOIA, IIAIOP
cadere inter C, e Li, in L; bilectionem aurem parcis F B, Cadere inTeE R e D in
Fs Parris vero F A, bisectionem concingere inter F _ I in C; acque ica in infinieu.
Demonstracio eadem prope qua lemmarispraecedenris.
P R O POSIFIO CXIV
X maonicudine A B lect a MIIctes parres aequales in LX K, Cuma-
Scur A C minor vel maior tcsla parre rorius AB, ex bitariam divida-
cuF C B In D, _ D A bIcaltam in E, _ F. B in F, e F A in C. RUF-
Cum G B bitariant I FI, _ HI A in L. acque hoc semper Aac.
Dico huius progressionis alcernae terminos diuidere magnicudinem
AB in cres parces a quales.
INEeEIQR, in C.
DACA rUrTUM RE AB secta in trespartes equales, in T et R; d rursum alitex sect a
Dicobilectionem parcis CB cadere incer R X B in D; de bilectionem partis D A,
Demonstratio.
219. Duin.
Vm CB dupla sc DB, _ F B dupla FB, eric CB ad DB, ve EB ad FB.
ergO C F adDF, a VE F B adFB. Guare cum P. B dupidHL FB, Cca CF,
iplius D F. dupla erir. Deinde cum D  du  batse L A capra ipiu
Et A, erie
 i i  .        e        mm nm

## Folio 117 — 1815201908:0174
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000174.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
tet
eMt
eit
E
ON
Len
SH eriE D A ad F A, VEF A ad G A; ac proinde D F eric a ad GF, vE D A 2d a 1bid.
L. Duare cum D A ipliuS F. A dupla SIE, Ctraim D F duxla eric P. C. vnde CL
Glladcupla est ipsius P. C. Similicer ostendemus F. C duplam eAe PHI, iplam aurem
E duplam eAe GL, proindeque F C ipsius CL quadruplam ese: aIguC ita CON-
cinuando line caru, per alcernam illam bilectionem consticui proorectionem maoni-
cudinum CF, F, C, C+ L, ec. proporcionis quadrupla. eodem aurem discurlu quo
priusrltuimus, demonstr abiinus DF esse quadruplam PHI, d FHI quadruplam
sequencis cermini, ac proin de etiam hic progressione rationis quadeupla Cacui. VIce-
rius quoniam cam ratio CB, ad D B, quam IB ad K B, dupla est, erir C B 2d DB, vC
IB ad KB, _b CI 2d DR, vE IB ad KB. Teaque cum IB dupla sIC R B, ctiam brbid.
C. I iphus DR dupla eric; similicer DK iptius F.I duplam esse demonstrabimus.
Psitur CI quadeupla est R L: ideoque Cl est ad P L, ve C F ad P G. vnde pro-
srectionis CE C P. C exC. terminus est I; eadem mechodo discurrendi, ostendecur c73. huiusi
DK CAOZd FK, vE DF CA ad F FI. OuarO _ progrelsionis DF, FFF, _C. cermi.
nuSeriE R. dum igicur reraque progressio C F, F. G, _C. DP, F FT, _cc. constiCAEuE
ab alcerna illa bilectione, in propoticione propolica, ipsius quoque termini crunc in Y
e Kirbicritariam diuiditur magniendo AB. Ouoderac demonstrandum.
Sssumpsimus A C minorem aut maiorem terria parre magnicudinis datae AB; quia si
aequalis uni tercia foret, bisectiones alcerna in eadem semper puneta L es K inciderent; vii
manifestum est; assercionem proposicionis consideranii.
Lemma
e ARS PR IM A.
Aca sc magnicudo A B secta in P ec K secundum rationem V ad Z: ILL BC A R
AEad RB, ve BI ad I A. divisa SE deinde A B adhuc aliceF intOF A d LM C
Dicosi C B dividacur in racione V ad X, sectionem heri vIera K in V, item (
vidatur in cadom rarione, lectionem conrinsereincer K et D in F; ex si F. A, sectionem
Fore incer Lec P in C. aeque ica in intinicum.
D A dicac  Lactene au X MCOCI CadCTCMETA LIH F: TMIIaI A AB di-
Demonstratio
M
Vm ARSiEAdK B, vEB Fad J A, erie comporendo AB ad KB, ve AB ad LA: ex-
B0 RB, IA, addicoque communs IR etiaI AR, IB aequantur: vnde cum AR
AC adR A, VEV ad Z, veique TB ad R B, in eadem ratione crie: quare C B (ex daris
maiol quam IB) maiorem haber racionem ad K B, quam V ad Z: erga lectio ipsius
CB, in raciene Vad Z, cadic vlera K in D: LimILIECT CUM A R SIC ad K B, id eA I A. liCuE
V cltad X, eric D A ad eandem P A, in minori ratIOnO, quam V ad Z: vnde sectio
ipsius D AMacOnCV ad X, cadec rlera lin F: Ouod aucem sectio ipluS F B cad AC
olera K. Codem edo prius modoostendetur. HcM quod Mctd D. Vetas B lc oltendo:
Facta C. B at DB, in cacione Y act X. eric P. B adt D P in min oricacione quam V ad. H.
ed Ed

## Folio 118 — 1815201908:0175
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000175.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
2
P R O G R F SSTONFS
erro sectio ipsius F B, in rarione V ad Z, Cadic vlera D, versus B: ergo cum criam vlera
R versuS A CadaC, InCEFD e K, continsaenecesse cA, nempe in F; similicer lectionell
ipsius F Aincer I _ F, Fucuram in C demonstrabimus, acque ica in infinicum; alleu
P A RS SE CVND A.
IIdem positis: ( C CadaCinEeF L _ R (NZ RInCeF B _E K caderet, Forer casus prima
parcis) simili plane dilcurtis demonstrabimus eadem omnia contingere que prius,
lus enim idem omnibus diuiliomibus sequencibus quadrat.
hoc lolum mucaco, quod ligna divitionum en Cn LoR, ex C. D F, FIM, e C. ad alcerum
acus orde Conaeu.
2
TF
Aca (ic proporrio V de Les emascsao AB ita lectain le R, n
 ia au B, aD alA, HelCV elt ad X. Alicer deinde di-
uidacet B L GuoClgue tandem loco cadac C, modo noninci-
FiaE aurem C B ad D B, vEV ad Z; ee D A ad F A, ve V ad Z: icen
EB ad FB, dF AL Aa GA, _ GB ad BEB, _ FI A ad L A, Fucrincin.
cer sc reV, eltad X: Arquehoc Cemper concinuetur.
Dico alcerna huius progrestioniscerminos, Forein L et K, ubi AB, di-
vidicur inratione V ad X.
dat in I auE R .
omomratio.
Voniam est ex constructione C D au DB, M L. B ad F B (luncenim veraque 2d
arg. Guin. Linvicem in ratione V ad X) criam C B reliquum, D F reliquum, erie ve CB ad
D B, id est sicuE V ad Z: _ quia D A cA ad F A, vE F A ad C A (nempe inracio-
AC V ad Z) rurtum eric D F 2d F G, VE F R ad E A, hoc est ve V ad X: sunc igi-
TuT C E, D F, F Cntres continux proporcionalesinrarione V ad X. ergo racio C F
ad FC uupmeala eh laliono V dd a. Smmer olendems L. bHL. CL CMC
continuas in ratione V ad Z, idcoquerationem F. C ad C L, duplicatam cAC r2-
tionis V ad X. Cum ergo criamrario CF ad F C, Sc racionis V ad Z duplicaca,
CrUNE CF, F, C, CFL, in continua analogia; aeque ica continuando (ine Aaru alcer.
nam illam divilionem, demonstrabimus consticui progreltionem magnirudinum C B,
EC, OL, LN. ac. concinue proporrionalium in ratione duplicara V ad Z. ab alce.
ravoro parre, eodem plane discurlis ostendemus D F, F FI, FIM, _C. eNe continuas
inracione duplicata V ad Z; ac proinde sic quoque constirui progresionem pro-
porcionis duplicaex V ad X. vlcerius quia A R est ad R B, ve B Lad L A, componen-
do AB cric ad R B, ve AB ad A I; ideoque K B, AI aequantur: addicaqi IR com
muni, aegualeS CrUNE IB, A R: ErSOVE AK ad R B, id elt ex costructione ve V ad Z,
b1g. 6 uin- RB. AItaCt C1BO FB, RB, CP erir b ad DR, reC B ad D B religuum ad reliquum,
hoc est ex costructione ve V ad X. similicer demostrabimusD K ese ad L G VEV ad X,
Crun
sc IB ad KB: Dunre cum e CB al DB. Hee ad L.cciam CB cric adD B, velB
u u     as es  p  e  e  pt         1 . i         .      . i t  u     1u a  aa iuo u

## Folio 119 — 1815201908:0176
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000176.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
ile
at
(C
GE OMEFRICA.
1TG
eruncisieur OF, DR, F. Lcontinue proportionales inratione V ad X: ideoque rario
CTad F I, duplicaca cric rarionis V ad X; guare cum _ rario C P ad F, C, eiusdem
ostendetur, etiam D K esCad F K, vE D F est ad F FT; quare huius quoque prosreso.
do AB, diuidicur in racione V ad X. Ouod erat demonstrandum.
octenta sic esse duplicata, exie C F ad L L, N C F, A B C, C PCMHLAIAO VE CF ad
CB C F C ad F. I, vndererminus aprogressIonIS C E, F C LC. CIt L. lmiM auCuxtu 27G. huims
nis cerminus erit R. Leaque cuin recage piose CL. L.Cn aC. DL, FFT, XC. 2b
Scholion.
ret, divisiones quo que alterne, in eudm semper puncta les R, deberent ineidere; Vt pase.
rum quia in particularibus casibus eiusdem Fheorematis veritas, clarius non raro atque illu
Atrius emicat, cum qura apartuat  casann ooe saltlns de petcistetdao diolets
lium Theorematum demonstrationes proceditur.
Jc quoque voluimns punctum C non incidere in L aut L; ed quod si in alterutrum incide-
consideranti statum Theorematis.
Caeterum qui hanc propositione cum priori contulerit, facile intellie et hanc vniversalem es,
illam vero particularem casum complecti. placuit enim id subinde rum hic, cum alibi factitare,
R O
DS
X V
cecaa quantirades LB, C, D; lirque AB divila in F _ G, ItA VEAF,
Dlic non minor dimidio AB, & FC non minor dimidio F. B; codem
mododiuila sic CD in F de HI, lineque AE, F C; C B, FH proporriona-
les: _ hoc lemper heri pollit.
DicocOTam AB eNC ad eoram CD, vt cA AF ad C F.
Demonstratio.
Tenim non est proporrio AB ad C D aGUaHIS PFOPOLLIOM AF ad C F, exie vel
maior vel Minor: sic primominor. cum ergoponatur AB ad CB ha-
bererationem, quam AF ad CF, habebir A B ad aliquambminorem quam C D b8. Guiniti
nempe ad CK, candem proportionem, quam A F. ad C F:  quoniam ex quancica-
tibus AB, C D, carum que residuis semper non minis dimidio autereur, ICOnEI-
nuecur haec ablario per aliquos cerminos, verbigracia pereres C F, FTP, HO, relin-
quecurrandem OD eminor quam RD; ideoque CO crie maior quam CR: R CI. Decimis
iam ex AP cocidem parres ad mencem propolicionis AR, B. Ci, OI, Eollaneur, exie
exhypothesi AF ad E G, VE CF ad FII, ∞ F C ad CrI, ve LH ad HIO: ideo-
Que permUTandO VE AF. ad C F, SiC F G ad FFI, _ vEF C ad F FI, SiC O Lad FTO
ErGOAVE AP vna anrecedencium, ad C F rnam consequeneium, sic omnes ance- d8. G uinrio
cedences, id est linca AI ad omnes consequences, id est ad lineam CO: sed ve A F
ad CF, sic eA ex constructione AB ad CR; ergo AI, eAt ad C O, VE AB adCR:
quod estabsurdum; ve pacet ex elementis. non estisitur proporcio AB 2d CD mi
nOF PrOPOrtIONC AB ad C F.
Siciam, Siferi pores, proxorrio AB ad CD maior proporrione AL 2d CF: ita-
que aliquac minor ouam AK, habebir ad CD eandem rationem quam AF qq C8. Duinsi.
CF. _ quomam aufertur semper non minus dimidio, post aliquor partes, exempli
Gracia Post EreS AP, F. C, CB ablacas, relinguerur eandem IB minor quam AR.
idcogue AI erie maior qual Le l. Sai Cocdem deean en suancnate CD.
epe Palles CC. LLh AlB, eric exhypotheli, depermurando Ahiade Live LC

## Folio 120 — 1815201908:0177
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000177.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
OHL
212. guinei. 2d F FL, icem DE ET ad FTO. CFGOAVE A F viid ancecedentium, ad C F vnamconse-
quencium, ica omnes ancecedences, id est linca LL, ad omnes consequences, nempe
lincam CO. Acqui ex constructione re AF. ad C,  C AR al CB, ErSOAI
cst ad CO ve AK ad C. D, quod esse absue paet ex elementis. non est igitur
racio AB ad C B, maiorracione AP ad C F: Patec ergo propolitionis rericas.
odudrium.
quancicas alcerius dupla.
Duabus quancitacibus AB, C D, aUFErrI pOsSinEA F, C F, Xqualta; de nonmino
ra dimidio iplarum AB, C D; ec a reliduis F B, F D rurlum auferri polsintF. C,
CrunE quancitates AB, CD. Pater ex demonstratione proposicionis.
F FI, aqualia ex non minora dimidio rehduorum: Si hoc temper heripolsic, xquales
alcerius quadrupla. Requeicam intincum per proporciones quadruplam, quintu-
plam, etc. licebic procedere.
Duamquam Facear hoc Fhicorema aliud non continere, quam parcicularem ca-
Cum proposicionis prioris: tamen quia in libris sequentibus non lemel vlui veniet
vilus mihilum operae precium lacca acilitalis Caaephelee apponerem.
Similicer hoc quoque Theorema ciuldem proposicionis vnivertalis calus erie: A
Fuerinc dux quancirares, a quidus auterri semper possint non minora dimidio, liC de
ablaca lingula rnius, dupla perpecuo sinc lingulorum ex alcera ablacorum, criema
Duodhablacarnius, semper eripla Fuerincablacorum alcerius, crie vna quancitas,
PRO1
NOPE
ACx Sinc eres magnitudines, aut plures AB, CD, E F ex a Cingulis
auterri polli nonminus dumene, la Habiaca t, LL, Le mu
in concinua analogia Oad R. Beinde a eluus auretus porsieneu tiou
minuisdimidio, ira ve ablaca I, RL, N O sinccontinue proportiona-
lia inrarione eadem O al H: & hoc semperheri polF.
Dicopropolitas maslucudines AB, C D, F. F esse in continua analoslat
Demonstratio.
bi6. tu
Voniam AC est ad C K, ex hypochesi ve 9 ad R; e OH ad R F, e HY 2t
L M, VE O ad R crunc partes ablacX AC, CR, CFP, RC; II L, L MI, acque ica
in finicum invicem proporrictates. uac Cum cxnspocnencctau ngura ucnon
b minores dimidiis suorum inescora ee ABadC B. be AadC L HoCCC
dacisve O ad R. Similicer Menaam C D eitc aa bL, ve CR ad L. N, hoc cle
cacis ve . Clum  B. C B.FC. Colcina Blopocoates a
nes. Ouoderat demonstrandum.
o

## Folio 121 — 1815201908:0178
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000178.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
_ EDMEFRLC AS
GHT BC REMD E NOPF C
DROpOSIEX SnEeres, auc plures magnicudines AB, CD, E F, et rario O
ad R guacumque, minoris ina qualicaris: Auferantur a lingulis A 6,
CR, E. N ita ve ablaTa AG, CR, L N, Sinc ad lua eoca, inratione O ad
R X incadem ratione  ad R inter se continue proportionalia;
Dicolihoc lemver heri postic, propolicas magnicudines AB, CD, L. F
esse in continua analogia.
Demonstrat.
Via ex hypochesi AG es ad AB, vE GFF ad GB, etic eriam  reliquum G B a 29. uin-
Lad reliquum EIB, vecoca AB ad coram EB, CuncisituIE AB, CB, HIB et co-
dem discurlu eciam IB reliquae que in infinicum continux proportionaless onde ce-
iam b ablaca AC CFI, HIT Xc. Cunc in concinua analogin, de ccerminus huius pro- Br. Huius.
BrecionIS AC, GFI, _C. eA B. Similiter oltendam abIATA CK, RL, L. M, _C, esse C73. huins
in concinua analogia, culus cerminus sIc D. ex quoniam ex hypocheli AC est ad AB,
VE O adR; _ CK ad CD, VE  ad R, CrIC A G ad ABVE CK ad CD; e in-
verrendo ac per convertionem racionis AB ad G B, VE CD ad RD. ACqui AC,,
OF, FII, 8C. Cunc d concinux proporrionales in racione AB, ad GB; hoc est d 6. hminti
reiam ostendi C. D ad RD, e per eandem CK, R L, dec. sunc eriam concinux in
racione CD ad R D: IBIEUE A G, GFI, _C. CR, X L. 80. limilium racionum (0.
riessunE. Ouare AB est ad CC D, vE RC ad C R. Similiprorlus discurtu octendam c8+. huimo.
CD, CNC ad P F vE CK ad F NV. sunc aurem ex datis AO, CR, RNF, eres concinux
proportionales; ergo et A B, CD, P P in concinua sune analogia. Quod cracde.
monstrandum. csic
P R OPOSITIO CXVIII.
det
erati
eROPOSITIO ORIK
1111
11.0e
pe  
ldata qualiberprooato a Gaca  al B, CoMuetur
perperuo; deuenictur  aeea inorem.
Demonstratio.
b: .t. C 22 3e diti Sd E+ BeCBEIEEFFSE E
dOnatur enim magnieudo quaenis F; _ HAE F ad aliam J. ve B ad As continue-
curquerario I ad C donec por lepllasena lopeimam hurusiabeaut K Ma
 llat t llallaniled.de Del colldem cetmnos concinucine raclo L da
e el quatu. el onum vi A ad B, lic C5ad. ti; ecveBadC. Hc
AL ad. Cr, C. ergo exaequo in proportione perturbacas veA ad B, he K ad F, sed A
minor est quam R, ergo _ F. E quam P. Ouod exac demonstranduti LI: 1ICI4. Ruin-
Scholion.
rC etiam pertineret propositio septuaa u  otes=
sionis inveniendum esset necessaria, coacti essemus citeriori loco collocare.

## Folio 122 — 1815201908:0179
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000179.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
ROGRESSTON E S
1
1O CZX
TE magnicudo aliqua AD, Secta in ErES parceS AB, BC, CV. ablata
+  media BC vel alEErUETA CxCICMTatU, reliduis AB, CD Hal aGuas
E HI, quae diuidatur in crespultes L F, Fb b H in cadem ratione quu
Dicorclinqui candem ninicudinem daca minorem.
Demonstratio.
niam AB eAt ad BC, H LF ad F C e BC au C D, VE HC 1a , IL. 181
axpermucando AB ad F F, VE BC ad F C, _ CD ad GTI: CrBO = VE AB
ad E F, sCA D, ad F FI: d permutando AB ad AD, VE FF ad F FI. Cmilicce
624 Guin- demonstrabimus DC esse ad D A, VE FIC: ad HTF: ergo AB b cum CD, ad AD
Ht cum GFI ad R HI. d invercendo AD ad AB cum CD, id est ex hyporhesi
FFT, ve L.TI ad FF cum C LB id est ex hypochesi IM. Cuncigitur AD, F FI, IM in
concinua ratione minoris ina qualicaris. non alicer demonstrabimus NT 9, CaerCra-
que relidua in infinicum cum prioribus eandem proporcionem minoris inaequalica-
Cug sin cis concinuare. Duare crelinquecur cundem magnicudo daca minor. Oyod exat de
monstrandum.
eRordstrIO CXAI
F
Cta cst AD: Si hoc concinuetuT;
d
115.
Aca SIE A B magnicita vrcum que secta in C, ac inFeF A B, C B me-
dia proporrionalis Pbhacur D B; rurlum inter DB, C B media (IC
Dico ex AC. relinqut lan demmagnicudinem dacd minoret.
Demonstratio
L ehocconcindecu.
Exprimam huius; AD est ad DC H AB ad D B. LCgu AB Mdior est quam DB.
erxocriam AD eAmaior quan BC: ergo AD maior est quam dimidia AC:
quare DL. Macet en Guau P.C, laeoque e maior quam dimidia D C. Podemmo-
do probabicur F F ese Pes atlo F C. aeque ica in infinicum semper plus dimi-
S. Ao ab A C, eluq; Feltans auterecur. Quare d relinquerur randem magnicudo dara
minor. Ouod erar demonstrandum. 1.
P R O
  e pet  . o  s s  p e  e i    p t  .    i .  1  . .  s  1   1      e   t           1      t ue as  l 

## Folio 123 — 1815201908:0180
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000180.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
abla
qua
H: ieI.
veAB
M
id
porhelt
IMI
Caceta
Ualita
ras 
BMe.
Lia li
1DB.
AC:
IFB:
1MO.
ditri
aatd
EEOMETRKCF.
PROPOSITTO CXXTL
xer duas maonitudines itaGaaICs AB, IIdeMatur media provortio-
alis C. acetasces   mancut cca Meca  tum
ce llao Gulscu. claluor llallatuu cCula a doclelaDeCa.
Lconac prantcataelu CbCaad ACdS Qua liut LuMIPCa aIOreS
ldala quas magnirudine.
Demonsoatio.
Voniam C media estincer A _ B, habebic A ad B maiorem racionem, quam ad
C: ergo C maior elt quam Biethoclessaes A. C. Bmaiorescrune quam
ccipla ipsius B. Similicer octendam D _ F maiores esse lingulas, quam B: 2c proin-
aC A, D, C, F, B Simul sumpeas maiores esse, quam quincupla iphus B: acque HLa dC-
monttrabimus il plures temper medix reperianeur, lummam mapnicudinum, excellu.
ram B magnicudinem decerminatam, secundum quemuis numerum assignabilem.
ex quo liquet magnirudinesillas simul sumpras, Tucuras quauis dacâ quanrieare maio:
red.
RO.

## Folio 124 — 1815201908:0181
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000181.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
PROGRESSTON ES
PROCRESSIONVMGEOMETRTOARNM
AR S T F R TI L
Prorressiones terminatas planis applicat, praeseruum similibus.
Vae de proctesponions Geomerricis secunaa parie halenus amonstummus;
ab sque ollo discrimine lineis, superficiebus, corporibu sque conveniunt: hac enim
ae causa nomen marnitudinis, non lineae perpetuo assumpsimus, 2t propositio-
num uniuersalitas indicaretur. quia tamen superficierum corporum que similium simi-
literque positorum progressiones, si extra invicem in directum constituantur, sinculares
habent proprietates non paucas, visum est operae pretium fururum illas hac tertia ac
quarta parte explicare.
Nota, duplici modo planorum ac corporum procressiones institui posse. primo qui-
rem et termini proeressionis simul sumpri, onam maenitud  a, ac ho-
oeneam comona. Sinis appositi exhibetur: secundus enim terminus N O
amprimo M V, onam maenitudinem MO componit; e tertius OP, cum secun-
ao ac primo, constituit unam maenicudinem MP; omnes denique termini simul
m am componunt maenitudinem MR, continuam ac homoreneam.
Secundus modus est quando termini progressionis similes inter se sunt, similiterque
fa nequeuata positionem qua dantur, constituunt (imul sumper onam maenitu-
linent. BulosModi procressiones (quas quidem in sequentibus prosequemur) exhibent fi-
curae appositae A, B, C, V,
F. I: in quibus termini
constituli; ita vt neque se-
cundus terminus BC; cum
omnes similes sunt simili–
terque positi, ac in directum
primo AB, neque tertius
es secundo, neque caeteri sub sequentes cum praecedentibus componant
SlM

## Folio 125 — 1815201908:0182
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000182.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
CF.2L aLC A.
nam magnitudinem. (s
Ecuris sic positis terminum
quidem ad quem bases illa-
rum ficurarum excurrent
scilicet L, per praecedentia
reperremus; in heterozenea
vero illius seriei (ita enim
lubet appellare) quam figu-
rae similes similiterq; ex ex-
era se positae componunt,
coentionem non veniemus,
nisi ficuras has similes simi-
literque extra se positas, ad
illas revocando, quarum
primacum secunda, e se- 
cunda cum tertia, ex sic de-
inceps vnam aliquam maenitudinem constituit. Ve si exempli eratia sint ficura A B,
BC, CD e similes similiterque ex extra se invicem posicae; harum termini in infi-
nitum continuataru sumpti maenitudinem non vnam aliquam, sed acereeatum quod-
dam ficurarum constituent: siicitur maenitudo huic seriei ficurarum aequalis quaeratur,
oportebi ficuras similes AB, BC, CD, DE, C∞ C. ad ficuras MI N, NO, OP.
ec revocare. quae figura W N, NO, OP magnuudinem unam constituunt; 53 si
proporrio MI N ad NO, e NO ad OP continuata terminetur in R: erit MIR
tori seriei proeressionis fieurarum AB, BC. e c. aequalis; quae omnia sequenti propositio-
ne demonstrata fient clariora.
eROPOSIT1O CLAIII.
Acaleitur lic lecunal generisprooressio AB, BC, CD, L, aC.
conslata ex similibus cerminis similicerq; e in directum poliris, (1-
uc planis, sive Colidis, e quidem planis vel Colidis cuiuscum que generis.
Dico omnes prooressionum proprietates luperiori parre demonstratas
huiulmodi ctiam proeressionibus convenire, ac proinde propolitiones, in
quibus illa propriccates demonstrantur, prorlus rniverlales esse: in hac
Sicur demonstratione, progressio posterior hucheterogenea, reducieur
apriorem CiuchOogenCam.
eni
ositio
plare
dina
ect
r4
niti
TuI
CHit
etius
pant
20n.

## Folio 126 — 1815201908:0183
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000183.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
C
C
R
ESSTO NES
Demonstratio.
Tcenim primxe MaSicudini AB, aequalis qua cumque alia H L _ H A B ad BC.
ica sC MI N ddaliam NO. Jua cum M N, unam maonicudinem concinuam a ho-
mogencam compone: concinuecurque racio M IY ad NVO, in infinicum per plu-
res temper cerminos OP, P 9, dec. qui perperuo cum praecedentibus rerminis vnam
maonicudinem componane. Ouoniam ipieur aequales suInE AB, NTNT, erit AB ad
NO, VE MN ad NO; sCd MN eAt ad NO, ve AB ad BC; ergo AB eA d 
ve AB ad BC: aquales ergo lunt BC, N O; ergo BC est ad OP, ve NO ad OP:
sed NYO est ad OP, ve MN ad NO, id est ve AB ad BC, id est ve BC ad CDS
eroo BC cA ad NTO, Ve BC eA ad CD. aequales ergo lunt CD, OP. Cimilicee
oltendam lingulos veriusque prooresonisterminos incer se aequari in infinicu. Dua-
re _Ccries tora AB, ecc. aequalises eori leriei MNV, ec. repore constans xqualibus
sivc iidem cerminis: aequi qua cumque coro se cundo libro demonstrata lunc de pro-
pressionum propriecacibus, conveniune progressioni MN, NO, _c ergocriam con-
veniuneprogrestioni AB, BC, ec. Ouod crac demonstrandum. Verum re res cla.
rius pareas, idiplum per aliquor consectaria seu corollaria explicabimus.
Corollarium primum.
Xhis igitur (ii (dem poliris) intero primo: progressionem vnivertam maonicudi-
Lnum AB, B C, ec. producere eandem decerminatam magnicudinem seu quanci-
carem quam scries NEI, NO.
Demonstratio.
Eries enim A B, BC, etc. xqualis est seriei ALNY, N O, RC. erBO CAIIICI PTBdVCH
quanticarem: aequi series M N consticuie. finicam de decerminaram guanticarem
(exempli caua M RR) ergo ex series AB producir quancitarem finitam MR.
Corollarium secundum.
IIdem Polts MetoeCuao, leries AR (id est omnes ancecedentes) est ad seriem
BK (id estomnes consequences) re AB ancecedens ad B C rnam consequencem.
Ec series BR eA ad leriem CR VE AB ad BC.
EFEreSSerICS AR, BK. CR, lunc in concinus analogia. de similiter alia interemus
ux prop. octuagesim à se cunda habeneur.
Demonstratio.
(E NTR aequale tori seriei AINI, BY O, e C. Crit erdO de coTa leries, AB, BC, eC et
iam VE OstCMMCa aGa ML. CuMICT a ALB aqualIS SIE MN, crie
quogees BC. CB alaGaiBHR. ColeneS KCnaeeBR
3o2. huus. it le adt le. Agu ee  DMI al HO. eBBleS AR eU Lale.
riem
pt  .  e  e .  1 p e     e      e    t   1  1   e e   e 1   l t  . 1    nt   i ap 

## Folio 127 — 1815201908:0184
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000184.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
en
eit
se.
uM
EEOMETRIC A.
ACMM B. R HC AA H ad _R, id est ve AB ad B C. Guoe ac PLIUMM SIIMILITOE celi-
qua quoque demonstrabimus.
Corollarium Tercilch.
e PolcS intero cercio; A F difterentia primi ec secunditermini, A B primus
Terminus, cora leries AR, lunc in continua anglogia.
Ec A Fi diftferencia, est ad AB primum cerminum, re BC secundus cerminus ad
cocamseriem dempeo primo cermino nempe ad seriem B R: _x A F differencia, BC
secundusterminus, cora series dempris duobus primis rerminis, (leries nempe CK,)
sunc in concinua analosia.
Demonstratio.
Le ML ditterencia primi de secundi cermini, in progressione M R. quoniam igitur
AB, MNT, BC, NO, aequancur, excessus quoque AF, M I, Equales erunt: de quis
iam AF ipA MI, _ AB ips MN, aqualis cA, ipAS AF, AB eadem magnicudo
cric cerria proporrionalis, qua ipsis M S, M N, vepacet ex elemencis: acqui ipsis aMIL, aBq huius.
MN. cercia proporcionalis M R: CA toca series racionis M N ad N Oergo ipsis criam
AF, AB cadem EOTA CerieS M R, cerria proporcionalis crir: acqui series AB, BC,
peccorollarium primum, candem producie magnicudinem MR, quam Ceries MI,
NO, ergo eriam productum seriei A B, BC, dec. snc tora series AK, criccerciL pro-
porcionalis ipsis AF, AB: luncicaque AF differencia, AB primus cerminus, cota
Ccries AK in continua analogia. Ouod crac primum. Similiter reliquas corollarii
Parces demonstrabimus.
Corollarium quartum.
YFdempolitis infero quarco, hic eriam valere rnivertalem illam ac criplicem constru-
ationem qua propolitione darae leriei maonicudinem equalem invenimus.
Fiac enim ve AF differencia primorum cerminorum ad AB, sic AB ad aliam ma:
enicudinem L. Dico, L. aequalem esse corisimilium maxnicudinum serici AK.
Lcbiotalte
nest Z aequalis erei sexiei, ergo alia magnicudo maior vel minor quam Z. ipR
aqualis exic; (aliqua enim magnicudo per Corollarium primum cori seriet AK X-
Qualis cH.) sicilla P. eroo per corollarium praecedens AF, A B, Y, Cunt concinux. acqui
cllam ex constructione AF, A B, Z. lunccontinuae, ervo AB est ad Z, VE A L clt ad
AB: _ AB est ad Y, VE AF cAt ad AB. candem isicut AB ad Z. ec Y cacionem
AabCE: xqualesigitur sunt Z de Y concrahypochelim: ponebacur enim Y maioraue
minor quam L. non erie ergo alia minor maiorie quam  aequalis Perici AR. crgO
Laqualis exie. Emilicet duno alias propolcionis odtunselinde telo oneo
demonstrabimus.
Corol.

## Folio 128 — 1815201908:0185
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000185.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
ni  
PR O GR F. 3SAOHL.
Corollarium quintum.
TIIdem positis intero quinco: si Fuerir progressio AB, eec. similium magnieudinum
mis. interolat lolao teteo a a Cattabetac e lat plt
cermini AB d d.
icenque alia prooressio similium incer se magnicudinum a. (, y, d, ec. uc similes illae
Tnccerminis alcerius siue dilsumtes; il duce ploslemoreraque ciuldem proporcio-
152
Demonstratio.
eto
1
DEr Corollarium secundum series A R, est ad seriem B K, ve AB ad B C: Scd ex
BVPOTheR AB CK ad B C; vea adB; ergo series A K est ad seriem BK, ve a ad 6,
hoc estper idem corollarium ve series aZ ad seriem βZ. Igicur per conuersonem ra-
tionis series AK es ad AB, vescries aZ, ada: e permutando series AK est ad (e-
riem aE Ve AB ad a. Quoderac demonstrandum.
Corollarium sextum.
l Quamquam hactenus solum aMampserimus progressionem planorum, corpo-
rumve similium Cmilicer que poncorum, non est camen quod existimet lector, que
hactenus demonstraca sune non subsistere, E planorum aue corporum non similium
Racuatur progressio, eadem quippe verobique, ve cuilibeerem expendenci manite.
Rum est, et vericas est _ vericatis demonstrario. idcirco aurem Aguras similes aNu-
mere placuic, quod ex rlus earum frequentior, ee magis unc ad demonstrandum ac.
commodaca.
Ex his hunc in modum demonstracis manifectum est progressionum proprierates,
secunda parte explicatas progressionibus magnirudinum in directum policarum, quas
deinccps prolequemur, non minus quam aliis convenire: ac proinde propoliciones
superioris parris in quibus ille tractancur, prorsusrniversales esse. Juare has deincep.
vei revera cales in sequentium cheorematum demonstracionibus citabimus. n
PROPOSITIO CXXIV
cit.
TALR CINE PFONOTCHHALES EDHCMUX AB, BC, C:Vd, _c. 8 Cuper ij5
constructa plana limitia
Dico plana esse in conrinuaanalosia: ex si plana deneur concinue pro.
Portionata.
Dicoetiam bales Fore continue proporrionales.
Demona
  . u  t is  t s      e t       e it e   1. e t e  e    i    p    t           a  u a  a l 1

## Folio 129 — 1815201908:0186
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000186.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Ot
Ceale
M, qu
inct
Det 1
BFOMETRIC A.
Demonstratio.
DLanum AN
est ad planiim
BN, in duplicaca
BC.
ratione AB ad
planum
BN est ad planu
duplicaca
racione BC ad
C. D, id est ex da-
tis AB ad BC: 11-
milicee planum
COestad planu
DC in duplicala
racione CD a0
CAFUESII
ABadBC: Cmi.
licet octendam
COi
ert
L3
ommla celiqua
incer se esse in duplicata ratione A B ad B C: manifectum est ipicur omnia este iit
conrnuz analogia: Duod eracprimum. secundu pars simili plane discurlu ostende:
cur; pacecisitur vericas propolirionisi
RO FD
Eseile CCM 2G IE
D
F X V
ea be
Ademposica fisura daca line duo plana similia, batibus tomolo st
indirectum politis, A M maius, B N, minus. Pecicur inveniri cermi
nuslonsirudinis, ad quem proporcio dictorum planorum sine HaTuCOn-
ciruata CHCUEreES 
2C5OMI
Mrre
Constructio es demonstratio.
DEroctua gesim Lluiusinueniatur proeressionis balium AB, D C terminus, Cicq. K.
Dico etiam R cerminum esse lonsicudinis ad quem series planorum excurrec: pla-
na enim similia quae hene super terminis progressionis basium, per praxecedentem
erunt concinue proportionalia, ac proinde linearum planorumq; in infinicum pro:
pressio, pari palsu procedene: quare veriusque cerminus exie R. Ouod erat detmon.
strandum
Corollarium.
Demigitur punctum, terminus est progressionis balium, ec cerminus longicudinis,
quemhabet seties tigurarum similium: sive, quod idem est, linca quae aequalis eAt
exiei balium, est lotigicudo seriei figuracum Emilium, super balibus deseripearum:
PROPOSITTO CZZVI
Ata sic planorum similium continue proportionalium leries, homo-
losisbalibus AB, B C, CD, ecc. in directum policis, habenstermi-
num longicudinis punctum H;
Dico, cotam planorum sexiem MI H eNte ad primum cerminum AM,
ut cltrora leries balium imparium AB, C D, L. F, dec. ad primam AB.

## Folio 130 — 1815201908:0187
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000187.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
pum um mmm quue an1
11
DR OGR ESSIONES.
Demonstratio.
DEroctuas cHMaMIC.
cundam huIuS; co-
la planorum leties Ml
M ad seriem NK, ve
Placum AM ad placiu
aabesut ve plana
Enc similia; duplicatam
hiabenc racione balium
AB, BC; crgo series
MdalcemKdu-
plicaram Habet ratio.
eibi eadacte. lla
autem per corollarium
Propolc. Praecedentis.
progressionis bahum
AB, BC, aC. terminuS
es R, CrUnEIgIEUE AK
BR aC. K ereS corinuR
proporcoales. unde
l
Eit SE tCC 20NCI S 1IS..
 Et L. 11
CaciotLade L clpu
eata est rationiS AR
ad B R, idestrarionis A B ad B C: erxo series MK cM ad Ceriem NR, vi AR ad CK:
croz. A. Quare per convertionem rationis series M R, est 2d planum AM. VE A R ad C R: de.
inde quia series AB, B C, CD, DF, _C. id est linca A K, est ad seriem AB, CD, _C.
ve C A ad B A, eric alcernando AK ad C A, ve scries AB, C D, _C. ad A B: scd
serieS planOTUM MK, est ad plaNuM AMI, VE AK ad C A, cr9O FCrICS MK est ad
planum AM, releries AB, CD, aec. ad AB. Duoderat demonstraridum.
Manifestum.
Xdemonstrationis dilcurtu patertoram planorum seriem esse ad primum planum,
ivc K A ad C A. Quod quia poste a vsus veniee, lixillarim nocare placuic.
PROPOSITIO CXXVII.
IIdem poliris (IC AL differentia primX AB, X cerri C. D.
Dico cotam limilium planorum Ceriem esse ad primum planum ANI
ve A B prima balis, ad A Lprima de cerria differenciam.
Demonstratio.
13 huim. Fulaclincis A L, AB certia S P concinue proporcionalis. Ixicur S F saequalis eAtro
ei scricibasium imparium AB, CD, F F, e c. ergo per praecedentem tora series
planOruM M K est ad planum AM ve S F ad AB: Acqui ex constructione AB est
2d AI vc S F ad AB; erZo coca series cA 2d planum AM, ve AB ad AI. Quod
erac demonstrandum.
er0103t11O
212
2. hnima
HS.
Octum politis, terminum habens longicudinis, punctum RL: AaF aurem
per octuagelim ahuiusS P, aequalis seriei balium imparium AB, C O, _c.
Dico rectangulum super ST in alcicudinc AB aquari cori serici qua
dratorum M L.
Ademmanente Rgura, data sic quadrarorum series balibus in dire-
Demon-
 o ute ue e   e  iu  e se   p e  e i ue   u    p    e        .  e t  t      pnndi

## Folio 131 — 1815201908:0188
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000188.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
si
ret
dt
E OMF TR IG A.
emonstratio.
Dex propositionem cencelmam vigelimam sextam huius, Fora series quadracorum
MIK, elt ad primum quadracum AM, vE ST ad AB; acqui rectangulum super
ST in alcicudine AB, est ad quadraruM AMI, ve2S Y ad AB; ergo series qua-
dTAEOTUM MK est ad quadraTuM AM, ve rectangulum S F AB ad quadratum = 2. senm.
AM: aequalia Cune ixitur rectatigulum, es coraleries. Ouod erar demonstrandum.
Corollarium.
Ine sequitur quadratum SY, cocam seriem NTK, ex quadrarum AM in conci-
lnua esse analogias nam quadracum S T ad rectangulum super SY _ AB, est
vc SY linea ad AB lineam: Se d rectangulum idem, hoc est rocu leries M K, eAt ad
AM quadracum in eadem rationCI eTGO, e C.
ina
eROPOSTFIO CXXIX
IIdem potiris ve AB ad BC, sIC HAE A X ad ZK.
Dicorectangulum Z AB, rori quadratorum scricixquale esse.
Demonstratio.
VIa AL CH +d XR, ve AB ad BC, cririnnerrendo ac componendo, R A ad
LX A, VE C A ad B A: Acqui eciam R A b est ad seriem lincarum AB, CD, ve b1O3. hu-
CA 2d BA; CrgO R A candem haberrationem ad X A, ex ad seriem AB, CD, ins
aequales suncigicur series AB, CD ec linea Z A. unde per praecedenrem rectan-
sulum X AB, coriquadrarorum serieiest aequale. Quod erac deMonarandum.
Corollarium.
Lduabus proposicionibus colligere modum licet, quo quadratorum darx seriei
reperiri possie quadracum rnum aequale. nimirum s incer AB & SY, vel inCOF
AB, REC. AX, media hac proportionalis; crit haec lacus guadrari aequalis, coci seriei:
repacer ex duobus iam demonstraris cheorematibus: Verum luculencius et vniver.
aliushoc Theorema sequenri propolirione construemus.
PR OPOSTETO CKK
Aca Cicleries planorum quorumcum que balibus in directum AB,
BC, CD, _cC. policis, ac terminum habens lonsicudinis punctum H.
Clicurplanis serici rniver (a planum ae quale ac simile extriberi.
Ca

## Folio 132 — 1815201908:0189
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000189.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
t  . . 1 . 1 12. pe. 1 1. 1
1
PROGRFSSION ES
Constructio ac demonstratio prima.
Gytac DE AC ad AK. RC primum Ceriei planum AHI, ad aliud simile cuius diame.
cer rolbalis sic Z. Dico hoc cori scrici x quale cNC.
Per manifectum propolicionis 126. huius, cora planorum series M K, est ad planum
ABT, VE AK ad AC, id est ex constructione replanum Z, ad AM planum: ergo
planum Z. est ad planum AMI, vecora series M K, ad idem planum AMI. X quancur
igicur incer se planum Z, _ coca eries MK. C uni icaque eriam simile siIE Ex Con-
Structione planum Z, planis seriei daca M R, pertecimus quod in problemate pete.
BAEUT.
Constructio ex demonstracio secunda.
FVmacu A P PrimX A V. ac cerrix C D, basium differencia: Aac que vt A L ad AB,
hcprimam sericiplactum AM, ad aliud sibi Amile Z:
Dico L Planum Cactstacere problemari. Nam FOTA serieS M K cst ad planum AM
De2 AB ad Al. Acqui ex constructione criam planum Z cst ad idem planum AN.
ve AB ad AI; ergo planum Z, ec cora series aequalia sunc. Invenimus igicur dacx pla-
norum similium lerici, planum aequale ac simile. Ouoderar demonstrandum.
Constructio ac demonstratio tertia.
FTac ve AB ad seriem dalu imparium AB, C D, Xc. Sic primum planum ad aliud
amile L.
Dicohoc Ceriei planorum dacx equari. vel (quod idem est) Fiat ve A B ad BC, GC
AF ad FR, reque AB cMt ad AF, Sc planum primum Aac ad aliud simile.
Dico eciam hoc conticere problema: demonstrario eadem est qua primx ac lecun-
da constructionis, cacancum differencia, quod propolicio r26. linius, sic adhibenda.
Dixi aucem sccundum huius cerria constructionis modum coincidere cum primor
eiusdem constructionis cerria, quod ex praecedencimaniteltum Ac, F Kxqualem este
Cerici balium imparium.
Scholion.
Ouerre constructionem illam eriplicem propositonis dcla esti  C Vauer jatto
= (t hurc etiam seriet conventre. Derum quia in procresonibus hulus cenerio. fachltores
subinde ac maxis expedica constructiones suppecunt, visum est opera pretium illas rum hoc locor
sum aussetiam deinceps in medium proferre.
Temma.
n uu q   sat u e  e uie  p    s e  e 1s       1.  u  i  . 1    1. 1.   1    1    tis  1a l

## Folio 133 — 1815201908:0190
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000190.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
12
d
lec
prine
leme
i
hoch
CEOMETRIC A.
Lemao
Seo linearum AB, BC)
ED progrectio cerminaca
In R, ee ex punctis A, B, C
EC. crigancur parallelE AM,
SNV, CO, _C. qua PEOPOE-
cionales sinc ipsis AB, B C
CD, XC. ducatuTq; Cx pun-
eto Madcerminum proerei.
sonis R, linCA MR. Dico
hanc per omnium parallela.
cum exccemicaress N, O, P, sec. transice.
Demonstratio.
psideremus primo lineam BN; AI EFGO HLK nON ETAnAE Per NI, Sccabie li-
neam BN supra auc infra N, in T. Cric ergO MTK vna recta. Et quoniam
cogressionis AB, BC, eC. Terminus es R per 82. huiuS, CrIE VE AK ad BR E0
AB ad BC, hoc est, ex datis AM ad BN: aequi cciam ve AK cA ad BK, siC
AM ad BIs ergO AM eAt ad BN, ve AM ad B I maiorem aucminorem quarii
BN, quod est impossibile. Non ergo secabiE MK ipsam BN lupra aUE inETa N
ergo in Nisimilicer ostendemus rectam N K (hoc est rectam MNT K. ostendimus enim
modo puncto MNK. essc in vna recta) cransire per O. dx sic de cereris in intinirum:
Parerixicur vericas temmacis.
P R O P OSITIO CZZXI.
Seoplanorum rectilineorum similium similicerque policorum leries
LMK, balibus indirectum collocaris, cerminum habens longicudinis
punctum R. Ex verriec aurem MI, ad K ducatur recta MIK.
Dicohanc per omnes omnium angulorum rocius seriei rertices N, O,
C, Q: eec. tranlic: sive coram planorum seriem ansulo AFM inferi
peam essc.
aca licprimum teriestigu.
rarum erium quacuorile
lacerum. Cum ixieur ex hypo-
ches planorum series termi-
netur in R, balium quoque
proscessionis cerminus eric R
perr24. tuius: _ quoniem pla-
nA A N, BNI. de C. Similha CunE,
Timilicergs posica, ex elemen. a
eis paret lacera BM; CN.
DO, _c. incer se para IIela cf.
sC, ipElque AB, BC, ec. proporcionalia. ergo per lemma priecedens HK eranCE
per omnes vercices W. O, P, C ec. Quoderar demonstrandum
demonstratio.
Sitar

## Folio 134 — 1815201908:0191
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000191.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
CF
plana AMB, BHB. cl. uma mer que Polta Cut B a, C B, V. 16, Pd.
rallelae incer se, ipsisque AB, BC proportionales. quare per lemma praecedens pun-
eta as B, 3, ec. cum puncto R Cunc in vna cademque linca a R. que cum similiter
dinila (C, ac linca BK, manifectum est proorestionem linearum aβ, By, ec. termi-
nari quogue in R. Sunt aucem ex punctis a B, y, ec. crecta parallela latera aM
BN, 7O, _c. quae laceribus BC, C D, D R, hoc cA ipAS aB, By, YE, TUINEPFOPOT.
tionalia (qua oma palent ex coquoa AML. BN. C. O. ec. limilia plana uunc limili.
cer Gue POlica) ergo per lemma, linea M X crancper omnia puncta M, P, O, P, 
eec. Quod erac demonttrandum.
eet
Sinciam plurium lacerum figurae quarum series cerminetur in K. Ouoniam igitur
Seo lincarum AB, de
CD, ec. Prosletsio ter
aca In R. d ex punctis
A, B, C, _EC. CFIGANEUE AM.
BN,
DP
se parallelae; de p
c. inte
ortiona.
_C
Leta.
c
pl
lal32
allumpinque duabus lineie
LAISI AMI, CO, PCF M _ Odu-
cacur recta MO.
Dico hate productam incidere in K ac per omnium reliquarum extremicates
TFanEITC.
Demonstratio.
CTeNiM IERNON CE; igiTuE MO producta, cis vel vIETA R in B concurret cum li-
nea AK; d quoniam progressionis AB, BC, C D terminus eA R, CruNE AK
a82. huins. B R, 2CR, DK, F. R proportionalES CONCINUIX. QuarC CTIaM A K, C R, F K ex Xquo
br. huius.
c106. B1
sunE continUX. vnde BVE AR ad CR, SC AC ad C F. Aequi C A C est ad C B, in
duplicata rationis AB ad B C, id est ex hypochesi racionis ANI ad B NV; CESO AR
est ad C K, in duplicata rationis AM ad BN: sed ec rario AM 1A CO (VE ex da-
eis colligitur) duplicata cAracionis AM ad BN, ergo AM cA, ad C O, hoc est
NO V ad OV, vE AR ad C R; quod est impossibile: non igirur OCCUErCE MO
ips AK cis vel vlEra R. Ouod erac primum. hoc aurem sic demonstrato, pater se
cuncapars ex lemmare propolitionis praecedencis. Dux eranc demonstranda.
1n2s XLC 240IS P R O. P O S + F 1O - C.XLXHI
At, eC 2B+ 
e
115.
Scplatoul Lcclltula lu nllcccque Polucorum locics
MK, reiprius; e cerminus sic K, per quorumlibet aurem duorum
planorum AM, CO rerrices ducatur recta MO.
Dico hanc productam cadere in terminum IE ac per omnium reli.
quorum
e t   erst e   se A e    et  u  p  te ate  et e  e    pe u   ut   e e t    e     t  te e  e        s e e e  ete  e  e   1 

## Folio 135 — 1815201908:0192
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000192.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
dens
n H
Ecilet
Acera
AE
D.d
u
c
eries
rUm
celi
UI
G E O NTF F R IC. A
sulo AKM inseripcam elle.
quorum rerrices N, P, Q. dc. ates u  a
Demonstratio
ctuus demontrationis plane idem eric qui propolitionis prXCedCHIIS. Nat
quenao ue Del lellima illi propolcioni appolicum demonstravimuspro
palcutm, ica hic per lemmacis proxim appucacionem propolcionis verieatem con
cludemos.
YR eC. eAe continuas.
demma
INE AK; BR, CK, DR, ac. in continua atalogla; d differentiae illarum nem-
DC AB, BC, CD, DEi exc. Bileax Ape in aB, Y, erc. Dico eriam ak, BK,
Demonisa
ria AR, DK. C R, XC. line Concinuae per primam huius, AB cst 2d BC, hoc
1
ereste
VE EOTUM AR ad TOTuM BK, crit d teguu i K ad religUUM BR; VE Eocum
AX adcorum B K. similiter oRendemus BR esle ad g k ve BK est ad C R, tide
es exhypochesive AK ad BK, hoc ost ex demontas a N 2d bk. SuBL 181.
rur a K. BK X concinuse. Duod er de domonstranidum.
Sedencue poslcillo dlametris in dircetum politis; cerminum
L.Mabens longicudinis ponctum K: de ex K ducta linca RLM tangat
quemuis datae Ceriet circulum, rerbi gratia circulumi AM B.
Dicolineam IEM coram circulorum seriem conringere.
Cst Aa Ct ad BB, VE AK ad BK. cum ergo atilacum A a sic ad ablacum BB
eR O+ OSILIO BAKXIII
Demonstratio.
X Cc a ae cori-
Lcactum ducacur a M
linca, cui ex CenerO B
Parallela SE B Z SCCaNS
circutum BNC in H. 
ReCta IVIEUE MK OC:
curric ipA BX vel in
pOnAON, vel SUPFA aUE
intea N in P. non au-
cem supra aur intra pos.
sC OCCUErerC, sIC de
monAtrO. OCCurraE enim, s Heri porelE; lupra ret inFra NI in J. quonia
dancur circuliin concinua analosia; cuan pe 124,  AB, BC, L, 8c.
sunc concinux: ergo AB ett ad BC, M BC ad CD, hoc est ve BB ad C y:
sed e AB elt ad BC, ve ab ddbC; 186 AB MMd4 BC, siCaB est ad
Bg. Praecerea Guoma LCetus Cu PBSeoS BHOM AB, B C, XC: PeF CO-
rollarium 125. huius, erunc per 82. huius continuxe proporrionales AH, BR, CR,
DK, quare per lemma etiam aeR, BR, y K erun continux. ergo per primam hu-
ius ve aK adBK, SC est a B ad By. Hoc CA siCUE ance ostendimus AB ad BC.
hoc est a M ad BN. Acqui eriam eAt vE a K ad BR, SC aML 2d BL: CUHE CHIMI

## Folio 136 — 1815201908:0193
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000193.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
c
E. SSI
F
i 13
IFI
ex constructione linea
a M, BL paralscla
B0 aM Clt ad BL
V
ad BN maioret
auc minorem quaiie
quod ectablurdum. No
ABIEUF FectAMROccuF
tet tecta BI supra vet
intra N: ereso in N.
Duoniam nurem ex
cencro ad concactum
o lela sit aM, angulUS quOqUE R N B rectUS CHE: Cr5O b linea RM tansit circutum
BNC. limiliraciocinatione demonltrabimus RMl religuos criam omnes circulos
COMLISCFC, Dusd etaC demontrandum.
Corollarium.
eragin; ducta est aM angulus AM a L cuSCs GuaCu e Contructione BN paraI.
Vod in hoc Theor. de circulis demomes ausmus, etiam de similibus L. Ilipsibus, P2-
Ccabolis, Flyperbolis demonstrari pocest.
; Et 1s12C la. l5.
eROPOSITIOLEXKRI
Idem posicis duos quolcum que circulos seriei datxe circulos, verbi gra-
Aria AMB, C. OD tangac recta. MO.
Dico hanc productam cadere in cerminum longicudinis R, de reli.
quos circulosomnes ContingCrC.
Demonstratio
Eneta circutorum
AINE a, B, Y, E,C
Cum Cx a dC y adCOn-
tactus duCANEUE aM.
y O. A IgITUE nesCEuL
producta occurrer li-
nex AR cis vel vltea
K in V. de quoniam
per corollarium pro-
policionis 125. huus
aNerciO, TaNGENSMO
Jr. huius.
cB2. buins. Terminus progressionis basium est in R, CFUNEC A R, BR, CR, DK, RR, RC. 2
duo
analobia. Guare parec exaegnoctiam a l..Ea eecoasi elgacu ad
cros. hu. mus quo in praecedenri ostendimus AB esc ad B C vE a B dd B y) a HC en ad
CL. inc duplicaca racionis AB ad BC, id eAt ve AB ad CD; _ AB Cu aCV
ve a M ad 7 C7, ergo a K est ad yR, VE aM ad 7 O. Deinde cuM aN, yO ex
centris de concactus ductx line, cruncperpendiculares ad MI V, id eoque parallela
incer sc. Qarc MV crit ad OV, re aM ad. 7O, hoc est per iam demonstrata ve
a K 2c y K, quod est ablurdum. non isicuE MIO OccurrecipsI AK cis vel tala L
proinde per lemma propolicionis praecedencis cciam aR, BK, yK, in concinu
YR, ve ay ad 7E. Acqui ay est ad y E, VE AC ad C F (quod simili modo ostende
circulos continsut, demouletatio lonsc cric tacilior, quam proinde omilimus.
(ed in K. Ouod eracprimum. Ouo demonstrato, parex per pra cedenrem secunda
Pars; guix cranc demonstranda.
Ouodsiloco circuli COD altumatur circulus B N C, ita ve linea alos HEMS
Cdrol.
   ap si ae  M 1 ) e s . i.  a  )1 .    1 1    1       p 1     1 .   1    p u    u     m a u mau

## Folio 137 — 1815201908:0194
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000194.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
_F O ML XIR. V C. A..
.Conda .
Oc qu0que Fheoremanon cancum ciculis, le d eliam alissumilibus lectionibus
explicari pocele.
oi PROP C
Priearum AB, BC,
CD, _c. ProgreNiO E
cerminetur in K: crectaq
ad quemuis angulum re-
Eta AMI, dUCAEUF MIK:
Deinde ex Cingulis pun-
Ctis in progrestione AR
repertis, ad A HI, parallela
CrIGANEUE BN, CO, DP,
aeque ica emper.
Dico exeriangulo AML K relinquendum randem triangulum aliquod
quavis daca superfcie minus.
maie
que
rdve
Y
supe
ucem
oncal
cirene
ciecule
libus i
ebie
_I
ca
o
a
TUE a
que
neget
ensH
EUIIret
ac
onti
Aen
2
prallem
FaCd
lera 1
ECu
vici
_LLXV.
Demonstran.
Voniam similia Cunccriangula AMR, BNR, COR, ac. CitapCalaC.
Lrum proporcio, proporcionis lacerum AKS AL, CK, Rc. quia aucem
progrestionis AB. BC terminus CA K, CrHHC + HHC, BR, CR, REC. Continux aB2. hninS.
proportiona les. vn de similia EriangULa ANH, BNY R, CEC, CEIAM LIHEIM FaTIONOCON
tinua ex diuidendocrapezium AM NB adrriansulu BN K. ve craperium BN OC
ad criangulum COK, e craperium C D ad criangulum D P R: apque ica sempert
sicurbrelinquerur candem criangulum dato minus. Cad eet . 676. uso
PROPODLIIO CXXXVI
aat.l
Scoplanorur ees tacousMancm commutis, let
mnus aucem lonsicudinis licL.
Dico exablatlone conciullata planorum AM, BH. C. O. dec. relinqui
cll eltet olto ado platio HIUS.  inet Cleril. s Di tICL itt
Demonscratio.
1d.d utt E12d EC. 15ICCU
 ee
C, 5 2d IsC
 l . 1 4 enet aa
DEroctuasesimam secundam huius, AM est ad reliquam seriem planorum NH
replanum B N est ad reliquam Ceriem OK: _ per eandem planum BN csF ad
religuam teriem OK, ve planum C O, elcad seriem reliquam P R: Aequeita in infi.
nicum. ergo experperua planorum AM, BN, ec. ablacione relduum serieipropol.
C78. lininru
 cncamett buto ea platto o.  at laa.

## Folio 138 — 1815201908:0195
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000195.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
n1
PRO GR= SSTONES
tAOLOSITIO CXZXVII.
locaris, terminum habens lon cnus punctum R: lumproau.
Excr series planorum similium, homolosis basibus in directum col.
IV, _c. cocidem lemper incermissis quoccer practen a printan
G5, _c. exprovolura lerc autetl.
rem quonis plano CO, numerentur alia plana in infinicum P. Q, 65,
esc 3 S1II.
Ccrici planum A M incercedune. Leruncur omnia plala A M, C
Construditoe cmonsratio
AM, C. O, F 9 _c. ideacur plunum xequalc. hoc liauters ex plano, quod per
candempropoib 26. tactum tueric a qualc teriei daca MK, Hab CBICUEDEOPO
Ceum.
PRODOSINIOCZXXVIII
Noniam exhryBorhe( plana AMI, BN, CO, D P,F Q, FR, GS, sunc in con.
Ccinua ratione; erium ex aguoraa  Ce l b. laconica  altum
logia. isicur per propolicionem 126 huius, Cetiei planorum concinue proporrionalium
ecur progrectio qualao sabeno vales, de cerm.
num longicudints lL. le Ct H Det Al ducacus recta KHl, quae per
propoluionem oeal a sellet qualtaca d conteutat
cum AL in 6.
Dico criangulum ACR Corcaperotum 8B, 1tC, 1, ac. IC
verigue Guacatoru AHl, BE, eec. ac criansulorunt L C Lldh
c. prosrettioni, a quale ee.
il.
2 er. 117VAC.LC) C IC. ( 3C3 IsSi E
C) 1
et CBt CV. 25.3 
t 12I NNI A7I AFEA : s C 11I.S SIS B~3LC 
i est hiacel
121.
11ei
Et.
CA 1VLCC
Demon.
 t   s  t  e t    es 1   p  su  1) s t su        e  ste  1 e   . 1) 1  . 1 e 1t  e   tl

## Folio 139 — 1815201908:0196
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000196.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
tume
pio
D. C
prim
de
su
0
quod
EpeOI
FCII
Ua
ACUII
TI
DEc corollarium pro-
positionis 125. huius
teries balium AB, B C,
CD cerminacur in R.
vnde AR, aBR
CK.
_EC. TuInE ContinUIX pTO-
vorcionales, ee criangula
at anus eetet
DIK.
EFOME TRIC A.
Demonstratio.
EC. In Cocinua luncana-
losi2. Ouarerori scriei
proporcionis quam -
sorriansulum ACK, crapeziorum lerloirmuerla ele aequale: uoderne denou
strandum.
Dec crapezium G B dd craperium FIC. sineltacu concinuare, crianisulum AC R
aequale est. Requi ErapCLIa (D, ZF, ac. concinuane racionem crapezii (FB, ad
crapezium ITC; (cumt enim criangula AGK, BIIK, CTK, Xc. Unc concin
proporcionalia, eorum quoque differenctae nempe dicta EFAPCZIZ CLMME CONCINUA) CF-
C73. hratinr.
ADPOSITIC
XXXIX
Scoquadratorum series FTK, bales habens in directum, ex terminum
oncudinis K: _ ex K per HI ducta recta I HI cangat per propol.
eionem Bl. Mus omma rectet guaaca, de Concultalcum AL in G; in-
venta deinde per propol. 80. huius linea A O, gux aequalis sit seriei balum
impariu AB, C D; F. F, divilag. bitariam L. C in MI, harrectangulu Q AMP.
Dicohoctriangulo AGK, aqualc esse.
Demonstratio
DRoducatur L FT in R, _ B EIM O; IINCA MN OPALAHCHCMCK CaCIS d A G,, f
aequidistaE P FI. CrBO M HO patallcta cttaa L H. SEquia C+ M X qualIS ett N(.
etiam GH aequalis etic NFI: lunc aurem ex OFI. M L. la cit M C aquales, de anou-
OFIN, MON, aquales: ergo aequaneur ctianpula MICN, NOFI: acaloque
communi LM NFL criangulum L GFI, rectaritulo TO aequale est: quare qua-
Tmilla sunc, e homol0ga lacera LHl. L l. VK. AdCOGOCMMaaPICACA LacOLaUC-C. .
deacum AFI est ad crianoulum L CH, Veidem quaaracam; ad reclandulum L O.
hioc dest velinea AI ad lineant L M. Pracerca trangula L CF FL L LLL, V LL, dr. SoXII
TUM TFP, TT, V Z, aC. 1SHAI CaI 902aCACA AEL. BL, RC. HI II COTaHACMI tal-
lum FFFI; _ quadtatum C X, ad criangulum VIZ: acque lca in intinicum. Preo
requadracum AEI ad criangulum L. O HB hoc eAt ex ance demonstraris ve AL. 2d
N.
rum duplicaca rattone; PaCec eriaBoMa auta, quaMlaco ProBOcOa CHC. MC Pel
nucando ve guadrarum A HI AA LETAHBMIAM L C FI, HIC GNAMaCAM BL ad CMaIIZU-

## Folio 140 — 1815201908:0197
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000197.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
ummummmu
PROGR F SSTONFS
ar2. quimi. F MC, a sic omni quadraca, ad omnia erian sula. AEqui vE AL ad L M sic eriam est
inso
140
sula, lic rectangulum AR ad recasum L. P. Reguirectangulum AR, aequale
rohuius C cocib quadeatorum serier, enen A aqualis seriei balium imparium AB,
CD, al. a AL LB) eCumienes suaatorum octenla lic xe qualis ese rectan-
cr4. quin. 8ato R Clans colaaloutorum leriescectangulo I P caqualis cric. Quareto-
1S. ha. Trapeziorum GB, HIC, LD, _c. aequabitur: Se d crapexiorum series, a consticuie
criangulum AC R. ereo rectangulum AP criangulo AC. K xquale cA. GuoderAE
demonstrandum.
rectangulum AR ad rectangulum P. P. Igicur ve omnia quadraca, ad omniatrian-
cum rectatigulum XP. risgue lectet quacatorum ac criangulorum, hoc est scrici
rouiunt.
X discursu demonstrationis collisitur, rectangulum M L. R P, proecesionierian.
Loulorum OLII, FITL, ec. ese aquale: rectansulum vero C L. R, duplum el
se cjuldem crians c ppresionis.
eROPOS1FIOAL.
Dicorectangulum sub A, c ites C A, AB, tamquam vna con
cchtum, Ecclatisulo AL aequale cAE.
Sco, veprius, quadratorum series HK, inscripra criangulo AG R;
SCEGue A O aequalis seriei balium imparium AB, CD, QC.
Demonstram.
luidatur enim LG bifariam ini MC: iBitur linCA COmPOSITA ex C A, AB, bis
concinec lincaSL. MI. L. A. quare compolita ex ( A, L B dupla est linCK AM. ergo
rectangulum sub AO sE CompOSTA ex C A, AB, duplum es crectanguli sub AO
ee AM. Acqui per rectangulum ub A O _e AM, aguatu Hrian gulo AC K: er.
eorectangulum sub A9 se GA, AB eanquam vna IIca, duplum est crianguli
ACK. Ouare cum ee rectanoutum C+ AR, ciuldem erTaHUM OAL R _C duplum,
aequabuntur incerle, rectangulum sub AO d COMPOUTa ex C A, AB, e rectan.
Perdacta.
ACuS AR criangali AFK.
Ec dinisum per lincas la-
ceri A F parallelas, in con
cinue proporrionales AK,
BR. C R. &c.
Dico craperia FB, GC.
D. dec. eneumilia.
Demon
sulum C AK. Ouoderar demonstrandum.
e a   1e 1. e e 1  . 1   . 11 1  ti   t 1   e  1 1 .  e a s e    p1.   e 1  1e   1t u 1 it. p1u1

## Folio 141 — 1815201908:0198
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000198.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
eriam
Maa
ei
Peree
qu
Quod
onin
A6
naC
R
ian
ecta
A
C F OMELLLC
Demonstratio.
Blinearum AF, BC. CHI aequidistantiam, angulus F AB, angulo GBC,
XCF A, angulo HIGB, e BCF, ansulo CHIC, e ABC, angulo BCFB
usclaceoe   decei ltle cle ccllla etcan l
eD dl BC, a e BC adCD, DE AR ad BK. Cum igicul enam A (IC 24 = l haus
CB, HEAk ad BR, CrIC L A ad CB, ve AB ad B C, e permurando L A ad A B,
De CiB ad BC: limilicer cum AB scad BC bVE AK ad BK, hoc es extiypochC- bIbi.
IL, DEBK ad CR, hoc eA ve B C ad HC, CM PCTMIMCAHCO ALB au BO, VE BC
ad CTI: non alicer eriam ostendemus B C essc ad GF, ve CHl ad H, L F
2d F A, VE FIC ad CFB. quare cum trapeziorum F B, CC ec anguli omnes sInC X
quales, ee latera circa aequales angulos proportionalia, Prapezia c F B, C C d omnia cD,f. 1. Sox-
reliqua, erunc similia. Ouoderar demonstrandum.
PROPOSITIO
Ata sic quadratorum series, Habens BalES IAITCCFIMI, d TermInuM
longicudinis IE, inscripta criangulo AGIE; ac primi quadrari la-
cerc L. MI bilecto in F, per F ducatur recta FK, occurrens ipsi A C in I.
Dicorriangulum AIK seriei quadratorum; criansulum vero LOK,
Ccricicriangulorum L. G M, TM N, Xc. Xquale esse.
sF, _ S. NI, LL Cx ly.
Pocheli sinc parallela, Pacet
criangula IF L, SFM a
qualiaese, ac proinde ad-
dito communi ALF SB,
crapezium AISB quadra-
20 AM aequale. Doinde cu
Percorollarium propolicio.
nis12s huius, proorestionis A
basium AB, BC cerminus
AIE R, CEUINEd AR, BK, _C.
continux: quare cum etiam AI, BS, CZ, Qc. Sinc parallele, crunc per lemma, era-
Peria IB, SC, X D, Xc. similia incer sc. vnde _c erapezia IB, SC, XD, _C. Tunc c20. Soxst.
in duplicata racione lacerum homologorum AB, BC, CD, _c. acqui ee quadrata
AM, BN, C O, ec. sune in dictorum lacerum duplicacaratione, ergo trapezia sunc
quadratis proporcionalia, ee reprimum Ecrapexium TB, ad primum quadearum, ita FI2. sexri.
coca crapeziorum series, ad quadracorum seriem. Acqui primum crapezium, oltendi-
musprimo quadrato aqualceste, erso craperiorum eriam e quadratorum leries
equalessunc. Deinde Seriestrapeziorum s G B, M C, ND, consticuic criangulum 5138. hu-
GK, ergo e series crapeziorum IB, SC, criangulo ATK aequalis crit; GuarC
ansulum AIK, quadracorum serieix quabicur: Quod erac primum; ex quo eriam
Daceclecundum. qua erant demonstranda.
LCdstati
Vm L M bucca M
PROPOSITIO CZLII
etum, ee cerminum lonsirudinispunctum l; licque leriei racionis
D Plua. aelertiam C. D, ae qualis linca V I. linea vero Y Ccricirarionis
AB Pa, da CF Guucam sic xqualisi
Aca Cic planorum limilium series savens vales Homorosas iume
82. hroins.
Dico

## Folio 142 — 1815201908:0199
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000199.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
planorum imparium AM, CO, F. O, aec. velinca VI est ad lincam T.
DR OGRESSIONES
Dico leriem coram planorum AM, BN, CO, DP, XC. eNe ad Periem
Dto.
Eries batium imparium AB,
CD, F F, KC: Consticuacue
separarim; ve V X ipA AB, 8
XX iph CD; _ V Z ipA PF
Sc aequalis: icemque plana su-
 Perhis facta planis AM, CO.
P.  a qualia linc, de Cimilia. pa-
cecigitur leries racionis AB ad
E F, ee rarionis V X ad YZ,
caldem esc. quare cum T X.
qualis sc scrici AB; F F, criam
leriei V X, XZ, aequalis crie
Deinde series a plaMOTUM AN.
BN, CO, est ad planum AM
er linca VI ad AB: d Ccrics
planorum V a, XB, ecc. est ad
planum V X, id est ad planum
AM, ve T ad V a, id est AB.
Acqui re VIad AB, lcrectan-
culum sub V I_ AB, ad qua-
dracum AB: ec VE T ad AB, AC
rectarigulum sub Y ec AB, ad quadratum A B: crgo leriesplanOrum AM, BN.
_c. est ad planum AM verectangulum sub V I ex AB, ad quadracum AB: ee se.
ries planorum V aes XB, Scc. cAad planum V as hoc eA AM. verectangulum T AB
ad quadracum AB. Igicur permurando series AM, BN. eA ad rectangulum Cub V I,
AB, veplanum AM, ad quadeacum AB: icemque permucando leries V a; ZB
eR ad rectangulum Y AB. ve idem planum ANI ad idem quadeacum AB. ergo
Ceries AM, B N; est ad rectangulum sub VI AB ve scries V an X B ad rectangulum
F AB: _ permucando series AM, B NI, est ad seriem V an ZB, id est ex constructio.
ne ad leriem AM, CO, F. 9 verecangulum sub VI AB ad rectansulum T AB)
hoc est ve linea VI ad lincam T: Ouod crac demonstrandum.
PROBOSITTO CXLIIL
Acx sine quadratorum Ceries Dnta, qua habeane bales indirectum,
e lonsicudin os pusscca IL L R. Sic aurem AR divisa in
O, inrarione AB ad BC uR divila sic in P, sccundum rationem
FO ad OH.
nem habere compolucam ex rarionibus AB ad FC, et AO ad F. P.
Scolenem quadratorum N_C, aletem Guaatatorum AIC, Talto.
25. 11.
t        M 1    pir ti ne  .    e  1 1 1.      aa 1   .      a  ugu p

## Folio 143 — 1815201908:0200
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000200.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
erie
e
DAE.
2
GE OMETRIC A.
Demonstratio.
ErieS quadraTOrUM MIK, 1X - 2 139. hM-
quatur rectangulo O AB. 8x ins.
Teries quadeatorum NR, rC-
cangulo PFC aequalis cA.
Acqui racio rectangulorum
OAB, PF C exlacerum AB,
FO, _ AO, FP, rationibus
componitur, ergo criam lcrie.
TUM NIK, NR, ex iildem ra-
cionibus proporcio componi-
cur. Ouod crac demonstran-
dum. Sed hoc Theorema vni-
vertale reddamUS.
PROPOSTTIO CZLIV.
Adem manence Rgu-
Lsta, daca linc series bi-
na planorum similium,
quarum longicudines lunE
AK, FR: lIFAUECM AR
amila in C, in ratione AB ad BC, e F R in P, in racione FC, ad G FY.
Dicoleriem plariorum similium MI, ad feriem planorum limilium
AFR, habere rationem compolicam exracionibus AB ad FG, e AO
ad FP.
Demonstratio.
pex ijdembalibus hanebinae quadratorum leries, de lineis CD, HI, Xquales
fiane aB, EC: deinde ve Aa, ad AB, et BE, 9d F C Hac quadearum A B, ad AB
quadraru, ee quadratum F.C ad quadratum P. B. ieaque quadracum super ABx qua bi
cur b seriei quadratorum MR: planum vero super AB simileplanis A S BT, EiV.
GX, ec. aequabicur seriei planorum S R: Cimilicer ab alcera parre quadracum lu
per FB Cerici quadratorum NVR, e planum simile super cadem FiB, planorum (c-
riei V R aequalia CrunE. Ieaque series planOrII SK est ad seriem planorum V R,
replanum super AB, ad planum FB: Irem series quadeatrum MK est ad seriem
quadracorum N R, ve quadrarun super AB, 2d quadeacum super F. D. Aequi pla-
num AB est ad planum F B, vequadracum A B. 2d quadracum HD: (cum enim cam
quadraca, quam plana ex constructione sine similiq veraque sunt in duplicata ration
nis AB ad F8:) ergoseries planorum S R cM ad seriem planorum V R, ve scries
quadraEOrum AT K 2d Teriem quadracorum N R. Acqui per precedent. leries qua-
dracorum MX ad seriem quadracorum NR, rarionem habet compolicam, exracio-
tBuS AB ad F CI, eE AO ad F P, ergo _ planorum series S K ad seriem planorum
VR, racionem habec ex ijdem racionibus compolicam: quod eruc demonstrandum.
PiOPO5II1O CLL. V.
3130. Lu-
Laca tulaulatotula alao Uliul ei lcul lto Lactin
aqualibus quadacs elpientes: sicque linca S Cericirarionis primae
AB ad cerriam C O, Gue linea T, Ccricirationis DP. primae ad Cer-
Dicoleres quadratorum cam proportionem habere quam linea, 5, I.
Ddemon-
ctam Ll aqualis.

## Folio 144 — 1815201908:0201
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000201.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
B2. (au1 b.
PROGR ESSIONFS
Demonstratio.
gulo. d AB, Nem leriesL.
aequacurrectagulo FDF, hoC
eAt, (guoniam quadraca AH
DE idcoque e linex AB.
DP. exhypochel aequaneur)
rectangulo Y AB. cadem
isicur est scrierum, _ S AB,
I AB rectangulorum rario
Acqui rectanoulorum S AB.
T A B, eadem est ratio b qua
rectarum S, T, ergo de serie.
rum eadem quxe S, T, linca.
rum est proporcio. Ouod erac
demonstrandum. Iloc quoque
Theorema Faciamus rniuer-
Calc.
PROPOSTTIO CXLVI
Adem manence sgu.
ora; denrurplanorum
libus incipran planis, sincque aates seriebus AB, C. G, NC.
AB, F1C8C.
Demonstratio.
Lriocinationem l adhibcat; qua propoutione precedenti Fuimus rui, non alicer
propolicionis praelentis vericarem ex praecedenri deducet, quam propolicionis 144.
Ex 143. huius deduximus.
PROPOSIITTO CZENTI
Sablacum hc. Poriur exhiberi series quadracorum, que xqualis lICre.
ctansulo AC, et incipiar a quadcaro AM.
Constructio es demonstratio.
Eries LLRa Rquatur rectan.
Similium binx terres gularumais proDOrtionUM NK, PC, quae ab aqua-
Dico eandem esse Perierum ec rectarum S, P, proporrionem.
Dhuius Theoremaris demonstrationem, candem lector constructionem aC ra-
Scorectangulum altera parre lonxius AC, a quo A MI quadratum
I AF ad BF, SC
ABAaC ad BL: _C CX
Laucta TFI, Parallela ad
BM rectansulo IBMH
aequale tac quadrarum
BH, basi BC Mencum
el
Polica cum AB. Cum po-
Eeto quadratorum
AM, BN, cconcinuaTE
longicudinis. Dico leriem
QuadtatoruM MR, Pro.
lemari
inveniaeuE R Terminus
o  e ussus  pi  su u     ut p            5u     e   e    e    u uu  s   te e e 1 1 l  t   . 1 u 1. 11 1 i1

## Folio 145 — 1815201908:0202
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000202.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Erel
rie
LLII
i
A
n
erie
ALOM E FR +C
blemaci lacistacere. Nam
cum ex constructione AB
sIc ad BL, vE AF ad BF;
CEIE AF aequalis a serici
ationis AB 2d B L. Dein-
de ex constructione re.
ctansulum BH aequatur
quacraco BN, ergoqua-
deacum AM ad rectan- 
culum BH, d quadra-
cum BIV, candem Habec
Facionem, onde cum qua
AraEUM AM, Sic ad guadracum B N vE AB ad CD, erie quoque quadratum AMI
ad rectangulum BII, ve AB ad C D. acqui de guactacum AM da rectangulum.
BFI, Ec AB ad BI: ergo AB est ad CD. Ve AB ad BI: aquaneur isicus CD
BE, ergo AF eciam aequalis est seriei racionis AB ad C D: quare rectangulum
F AB, id est rectangulum A C B X qualc est serici quadratorum A M, B N, C O, X c. B 12D. BM
hoc eAt seriei MK. Factum igicur est quod postulabarur.
Demonstrario alta.
Oea sCrieS QUAdFAEOTUM NIK es peF BE huius ad reliquam LCHCI NR, vE qua-
deacum AM ad quadrarum BN, hoc cst ex const. ad rectangulum BFT. AC-
qui ex constructione, rectangulum A G est ad rectangulum BC, ve rectan-
dulum AM ad rectangulum BFI, crgO SCriCS MK eA ad ScrieM NR, ve AC ad
BC. Isitur dividendo quadracum AMI, est ad reliquam leriem NK, vequadra-
cum idem AM ad reliquum rectangulum B Cis ergo serioo NK. de rectangulum I Ca
EquanEuT. Duare communi addiro quadrato AM, cora lories MIK, et rectansulum
AC sunc aequalia.
LPCtTOE addi LK, VE A
SIc 2d LR, VE AR ad BK.
Constructio es demonstratio
Vper AF hac in alcicud
ne ABrectan lum AC a
cui aequalise muegiatur se-
ries quadracorum basibus
ndirectum POGcIS MNK:
ncipiens 2 quadeatO AB, SIvCAM, _e terminum habens longicudinis R: DiCOFa-
etum quod pecebacur. Cum enim rectangulum AC ex constructione sic aequale se-
lici MR, AL Crit, ad TR; ve AB ad BC, vei ex 129. huius facile demonstrart apcty
Sccs: ex quia terminus longicudinis seriei quadratorum est K, progresionis eriam ius
DahumTerminuS dCTIE X, erGO AR est cad BK, ve AB 2d BC, hoc est per demon- cvr. huins
traca vE AP ad GR. Factum ixicur est quod pecebREuT.
Scolinea AI Cecta in B.
Corollarium.
DPOSILEO CXLVIII
Sco fouta plana quaecum que F., L G_A LIIIHIS AUIFETATUTFC, Petitur
sexhiberi Cecies planorum ulum, quae incipiar a plano ablato FC,
de daco plano F L lcaequalis.
Con-

## Folio 146 — 1815201908:0203
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000203.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
PROGRESSIONES
Constructio es demonstratio.
OI. Sc planum F C, tiac ad
seomencum aliquod OII, dende
Plano FC Fac simile de aequale
AM, _ scgmenco C, II aequale sC
planum BN, simile aurem plunis
AMI, F Cn FI. Denique proerel.
sionis planorum AM, BN, conci.
nuacae inveniacur cerminus losi-
cudinis R. Dicoleriem planorum
limilium M K postulaco satisface.
re. est enim cora series planorum
MK. ad reliquam Ceriem NR
vebplanum AM ad planum B. N,
hioc est ex constructione, repla-
num FC ad scemcorum CHliled
rurlum ex constructione planum
FL cstad scgmencum CI, ve pla-
num F C ad segmencum G FI, er-
80 Teries MK, cst ad reliqua NK.
veplanum FI ad scomeneum GI.
Ouare per convertionem rationis
neplana AMM, FC a quasa Mus els ellam series planorum similium MK, e pla.
num F L aequalra lunc. Quod etatlaelendum. P. il. 1
minus esc debet lerie M K. pecirur exhiberi alia series quadrarorum,
incipiens a quadraco D P, aqualis scrici MK.
constructio e demonstracio.
verectangulum tocum DS, 2
quale sic rectangulo AC: tum
rectanoulo D S. d InveniaeurX.
qualis leries quadeacoru POH.
incipiens a quadtaco D P. Dico
seriem POH Toluere Proble
ma. Nam ex constr. Ccries qua-
drarorum POH incipic a qua
deaco daco DP; _ xqualis c
rectanoulo D S, hoc CA Cx CON
structione rectangulo AG, hoc
est cursum ex constructione le-
ricidacae MK. Factum ipicur est
quodperebATUT.
PRO.
L Plalu LL ad scomencum
182. tain.
FerieS MIK, est ad planum ANT, re planum FP ad planum F G. sed ex constructio.
P R OPOSITIO CXLIZ.
Ata lic progressio quadratorum LKL, _ quadrarum aliud D P, quod
Ilacrectangulum AC in XlC-
cuae AB; CaGuae reltei
daca M L. Cctridc, (quoniam
quadratum D P ponitur minus
serie MK, id est ex construatio.
ne rectangulo AC,) auge qua
deaium BP, rectatipulo LS
ostu u u it es se  pe  e  e   e     u e te e    a      ui  st   p   a  e      e   n        Vi u    

## Folio 147 — 1815201908:0204
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000204.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
9
i
a
ratio
s
Cor
10
sieus
et
GE OMETKFCLL.
cem ratio quanis live maloris live minoris inaequaliraris V ad T.
cicur exhibeetes quadrarorum incipiens a quadraro D P, ee habens
ad seriem M les caclonem daram V ad T.
R O P OSIFIO OL.
Aca sic icerum quadratorum series M R, de aliud quadeatum D P.
Construetio e demonstratio.
Fitac a rectangulum AO.
aequale lerici MR, de in
eadem alcicudine rectanou.
lum AL; quodad rectangu:
lum A G, dacam HabCAEFZ=
cionem. Si iam quadracum
DP matus HC au aguare
rectangulo AL, impossibile
est problema. Minus crebu
OpOrtet quadratum DP sC.
ctansulo AF: leaque al.
Beacur rectangulo .3, Ica v 1+7. hno
ve cocum DS b cedangulo im
AL xequalcHc. Lum rectan.
gulo DS inveniaeur a Tua-
lis, series, quadracorut
incipiens a quadrato DP
Dicohane Coluere proble.
inas
series POH incipie a qua
draco DP, ee aequalis el
sectanculo DS, id elt ex contructione rectangulo AT. quare cum rectangulum
AF ex constructione sic ad rectangulum AC; ve V 2d T, cciam scries P ∞ II
eric ad rectangulum AC, id est rutlum ex constructione ad Ceriem dacam MK, vt
V ad T. Fecimus ereo quod perebacur. Nunc rero reram que propolicionem pra.
cedencem univertalem faciamus.
13.har
ROPOSITIO CBI
Ex constructione enim
aca sic planorum sum progrellio ve Peus apon M IL, 
aliua planum Ot imile planisterici Mk: lecutur exhiberitimi-
unt planctum series, incipiens a duro plano D P, aequalis vero sexiei
datae MB.
2.. . Ct..L 12S S : C S t A
11i
t L c. 11
cererercit
e 
Consteuti

## Folio 148 — 1815201908:0205
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000205.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
30. 110a
170. bit.
on
PR OGR ES SIONES
Constructio ex demoriratio
DLanis  Cexiei MK aequale ac simile
Aac planum ZV R, liam planum da-
can OP, aquale auc. maius lc plano
EV R, hieri problemanoo. II-
nus ergo sic necelle elt. lcaque invenia.
cur series b planorum similium POII
qua x qualis sic plano YV R, de incipiae
a plario daco DP. Dico hanc loluere
Nam ex constructione, series V OH
incipic a dato plano DP, et aequalis est
plano FVR, id est ex constructione le-
riei dacaxe MI K. Factum igieur est quod
PottulabatuE.
PROPOSITIO CLII
vetrinoris inxequalicatis à ae B. L’ecitur exhiberi series planorum limi-
lium, qua incipiaca prante L, d ad seriem M IE, dacam habeat ratione.
p  Conrtioamonstratio.
problema.
Aea Se icerum planorum similium lerios MIK, ex aliud planum
DDe, Simile daca seriet Prans, cque ratio quaevis, lue maioris, (I-
uin
113
cisher.
priu es eerrum
sal
a
e atei
itima
1
mmia p fosonds nenoatum
tac planis seriet
MK c aequale
planum L, dein-
de ve a ad B, 1
ac planum limilé
TV R ad planum
F. E iam planum
dacum DP, aequa
ete atus est
plano F KyHeri
Problemanon po-
cerit. Minus ergo
Planum DP GC
oporcet, plano
 erilereti isires ve gistoror cmilice
tVK: HaguIn.
1 1. diclrm 113is : A la iuicit pl. olerarit 4. veniatur MelIes
e ediiti   da
planoru similium
PeHI, incipiens
a Pratio. DP. X
qualis vero plano
LtR. Dicohancproblematoluere. hantex Comaetone eese E. Mheipila
alIo dato DP, e aequalis est plano TVR, quare cum planum TV R ex constru-
etione dacam habeat rarionem ad planum P, etiam series P OHI ad planum L.
hoc estrurlum ex constructione ad seriem datam MK, habebic rationem dacam:
Factum isicur est quod perebacur.
u ut p u e  u ue  i  et a  e u   pi  e  at u  put a  u e    si e et   t  i   i  .         un p e

## Folio 149 — 1815201908:0206
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000206.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
olat
cerie
de
le invee
nC (ol
lle
egton
x est
Plan
FatioI
anis le
2
um sI
id plat
n
P.
na
V
21
n
e
0
inc
Const
nUm
data
R
BE OME TRTCR.
DROPOSTTIO OLITL.
Scoprogressio quadrarorum G FTIE, valibus in directum politis, t
sccminum lonsicudinis habens putccam KE.
Dico quadrarum supercota AL Lactum, ad leriem datam, proportio.
nemnade pa, exlatlohe L A ad B A, e C A ad B A.
Demonstratio.
tac enim AD ad DK, vE AB ad B C. IBicur rectangulum D AB, siuc AP,
2aequatur tettei OR. ergo quadracum AF, candem a HeM CK, X ad rC. 2129. hn
ctangulum AP habec rationem. quoniam aurem AB cit au DK, M A B al BC.
erit invertende de componendo R A ad D A, VE C A au B A. Ergo cumquadra.
cum AI ad rectatisuluim AB, rationem hiabeac bcolmpolicam exracionibus R A ad b 23. sexri.
DE, _ R A ad Da, habebie quoque quadracum AF, ad idem rectangulum,
COmPOSICam exrariOHIDUS R A ad DE, et C A ad B A: quare cumseries CR de
rectangulum AB, aquaasinE, habebir quoque quaracum AF ad seriem OR
Duoderat demonsit ahdum. pla cechoc quoque cheorema rniverlalicer demonstrare.
rationem compolicu ex rationibus RA 2d D Ls hoc est B A, _ C A ad B A
Aca sic plariorum limilium quoro Cuque progreiOFOK, Ha-
L.lV
bensbales hoe adaltectum, ee cerminum longirudinis H, da-
Dicoplanum AP K ducolamm leriem FC L habere rationem compo-
licans exrationibus A A ad B A, _ C A ad. BA.
exproorcilionis.
Demon

## Folio 150 — 1815201908:0207
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000207.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
PR O G R F SSTO NFS
Demonstratio.
exoh. Similium F e KC aquale CriC; CrBOICIICS LOK MH ad PlanUM ANTT, ve seriCSD P, R
ins.
adquadracum A FTI: acqui platum A NI est ad planum AP R, dve quadearum
22. sexri. ATII aa Gdadeatum corius HK. ISIF CX xequalirare series FC K es ad planum
APK, VE TetiCS DFK ad quaetatum AK, _ invercendo planum A P K est ad lc.
Ersz. buins. riem F C L, ve quadeacu A R 3d lCrIC D E R. sed quadratum A K c ad seriem
D P. R. proportionem habec compolicam ex racionibus K A ad B A, e C A ad B A.
ergo _ planum A P K ad seriem F C K, proporrionem haber ex ijidem racionibus
compolitam; quod erat demonstrandum.
Perii
B22. Sexri que planum AF est ad planum A NF quadracum AD ad quadrarum AHI,
130. Bu-
1n5.
que qu
dembalibus AB, BC, etc. construatur quadtatorum series D EK: RaF-
racum AD ad aliud ATII, vE AC. ad AR; quod rocia scrici quadra.
Eorum D E R xquabitur. Super AI verosdc planu AN I simile plano AF. Ica.
hioc es ex constructione re A C ad A R. Duare criam planum ANFI, Cerici planorum
eROPOSITIO CLV
L. S; _C. icem in 9, O, R, _C.
Scoquadratorum series habens bales in directum, de terminum lon-
sgicudinis IE, inscripea CaSa AGKE, iuxca propolicionem 13I.
huius, et completo rectangillo AI, lacera quadrarorum producantur in
ctangulorum MLL, NL, dec. limilium, de continue proporrionalium,
ux progressioni quadrarorum quoque sic ae qualis.
Dico exhaclarerum productiome pespetua, oriri progrelsionem re-
Semonstratio.
Tus. huiu.s Oroniam ex hyporhesi K cerminus est lonsicudinis quadratorum seriei, etiam R
huiue. cerminus Ferir progrestionis balium AB, B C, _ C. ixirur B K B est ad
B ac
 ue i u utos a t t . a     u  que e   p t te e te e e  u pu   e     t    p t     1   e at  i     1.1

## Folio 151 — 1815201908:0208
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000208.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
P
19
A
plane
1ac
1d
rion
neu
raliu
iam
B
E F OMIE T R IC A.
AB ad B C, HOC Cs VE P MI ad FTN, HOC CALDEOMBdMN, hoc es (quia O AN.
ETMN Cmili CCAngula) vE OM ad NET, hoc est denique M ML ud ON.
primo igicur au Hem; BK est ad CK, hoC eC MIL au NNS, vE M ad
ONV: rectangula eeu M I, NVP, proporrionalia habenelatera. Duare cum LInE X
Deinde dicta rectangulLBIPTEMIENCa sinE coTUI, que Circa diameerum lunE.
Lrgo lingula quadracis lingulis daca lerieia aequantur. ergo et progcessio cora cori a 13. primi.
progrestioni aequalis erie; ex quo eriam secundum pacec. Cum enim quadraca exhy-
Dochesi sinc in racione concinua, eriam complemenea illis xqualia, in ContinUR CruNE
analogia: qux cranc demonstranda.
aequiangula crunclimilia; quoderac primum.
C1. VI.
eR OPOSIFIO
idem velicis Anc AXBaqualis teset Lactonis AB ad C D, de ex puncto nnins
X, ductanormalis X Y Cccerlincas PL, GK, in TXV.
Dico rectangulum sub BK V X, cori complementorum seriei MI,
NL, _C. Xquari.
Veacur enim AR Per Banitum V Parallela aB. Isirur rectanoula c VI, A V
icemque rectangula MZ, a MI, X qualia sunE incer sC. Pgitur tiguTa MO IBV
fGUEA M P A X V aequalis elt. quare communi addico rectangulo LT, crunE re-
etanguta ZI, AT equalia. Acqui rectanoulum Z I est rectangulum lub ZB, id cst
BK, _ sub Z. O, id est V X; rectangulum vero A T seriei quadeacorum, sest àe qua-
lc. ergo rectangulum sub BKV Y, Scrici quadracorum, hoc est per peacedencem
serici complemencorum cA aquale. Duoderat demonstrandum.
PROPOS1L1O CLVII.
IIdem poscis, quae supra,
Dicoea quae circa diamerrum lunt rectangula PG, HIO, _c. eNC (1-
milia incer se e continue proxortionalia; rectangulum vero (ub AB et
VV, coricorum progressioni cslexqualc.
E. Prim
8ba
Demonstrulio.
morato.
P PMCRad MO, sivC HN, sic G P est ad ON, ob crianguioruni OMP.
MON, Similicudinem: quare cum rectangula PO, FTO, et lacera habeahe
propolcionalia, ee angulos xquales, crune similia; ac proinde e rellqua omnia eo
dem discuriu MMMaerune: quod fuieprimum. Deinde eum similia Unc dicta rectan-
sula, erunc in adpicacahomologorum laterum PMI, FIN, XxC. tarione. Ouare cumt
e quadraca line in coluem lalerum rarione duplicara, callet Checinutorum
ac quadracols proporcio. Acqui hxc ex hypochesi sunc in concinua analogia, crgo
de illa; quodcactum. Deniq; rectangulu a M, XquacUE CFECtarBuIOM X. AUCA. Ba.
alt.0

## Folio 152 — 1815201908:0209
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000209.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
mmuumm
PR OER F SSIONF 3
diro isicur communi PO. aequabitur rectangulum a 9. hoc est rectangulum sub
AB e VY, rectangulo P Y: Aequi rectangulum P Y, a duplum est progressionis
eriangulorum C P M, AI LL NB _C. ergo et rectangulum lub AB _ V Y, progressio-
nis criangulorum est duplum: quare cum pragrelsiorectangulorum PO, IIO, etc.
etiam Reprogressionis criangulorum dupla, rectangulum (ub A B _ V Z, e pFO.
srellio rectangulorum xqualia erune: uod postremum fuic corum, qux erant de
monstranca.
LlOeIO EVII
Aca lic quadracorum series, Datous indirectum policis, de rerminum
hrabens longicudinis IL. MPares aurem quadratorum bales AB,
Dico, primum quadracum AMI esse ad secundum BH, ve AB ad C D.
139. 1l.
CD, E F, _C. norenturnumteris imparibus L. 3. 5. 7. dc.
_ ad quarTUM D P, ve A B ad  FI. Acgueira in inAinicum, baleS HOTaEE
imparibus numeris, Cuie pmo quadraco cum lubsequentibus compa-
e rurtum primum quadracum  enc ac ceum CO. ne AB ad LI3
raco, proporrionales.
Demonstratio.
Opalemus exempli graria quadrarum AM, cum cerrio CO; Quoniam qua-
deaEa OmAIA ANI, BN, C O. Qc. in concinua tu aoaC a Bales Con-
tinue proporrionales; ex aequalicare igitur etiam AB, C D, F F, crunt continuae; (cu
cetcet tcad astatiue Pitca Mllco lio vit caccalula
AM est ad quadrarum CO, vE AB ad P F; (cum raciones tam quadrati ad quadra-
cum, quamlinex AB ad lincam F F, sincrationis AB ad CD duplicala) Cacen
ralebic demonstracio, si quadrarum AM cum quovis alio comparetur. Constac ereo
propolcionis conclutio.
eR OPOSITIO CLZIX.
Adem polica ligura, cala  platoru u etes n i laveis
bdleshomolosas  directum, de terminum longicudinisR.
Dicoletset i ad nullam lui parcem, verbi oratta sa lchem HI
aucleriem OK, vel seriem PH, Xc. eam habere rarionem, quam incer le
habenc dux quacumque in hac balium scric, recta linea, inter quaspar
lincarum numerus incercedic.
Demonstratio.
minuni, vel par incer ce dat planorum numerus, vel impar; compareneur primose-
riCS MK. _ OK, incer quarum inicia, impar cerminorum numetus incer cedie; quia
SiCuX
Fries enim data MR, cum cx sui parre comparatur, ve incer veriulque primum cer-
i a ui u u u ei  te te ae t u pt e t  e se  p   t p . 1 1. e e    et o p ti     ua  a quet pa  . HII

## Folio 153 — 1815201908:0210
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000210.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
n
d
ret
 L OHE TRIC X.
isitur plana sunt in concinua analogia, eriam bales AB, B C, xC. CTUNE~ COnFIHUIX 2 124. hu.
proportionales. Ouare exxquo ctiam AB, C D, P F, erun concinux: ergo p l2. ius
num AM est ad planum CO, vEb AB ad F P. Acqui sCrieS MK c est ad seriem b20 sexti
OK, veplanum AM ad planum CO. (sunc enim similium racionum leries) ergo
TerieS MIK est ad seriem OK, ve AB ad F P; incer quas impar numerus balium
incercedic, nempe, 3. Requi in coca serie basium, non postunc reperiri due aliae li-
nex, quae eandem rationem habeane, quam A B, P. P, nili illa incer quas idem cer-
narius numerus linearum incercedie, vei ex elemenris demonstrarur; isicur nuIIX li-
nex ex seriebalium, inter quas impar linearum numerus incer iicieur, candem hat
bene rarionem, quam series MIR ad liri parrem OK.
Compareneur modo dux serieS MIK, PK, intet quarum iniria paE planOEUM AE
numerus: Kurlum isicur octendemus rei prius seriem MK eMe ad leriem PK, ve
AB ad O TI. quare cum incer AB _ C TT, impar liNCATUM SIE NUMCRUS, nem-
pes; coca demonstracio prima pareis huic etiam quadrac: unde pacet propolitionis
VeriTaS.
PROPOSTTIO CLZ
Aca lic quadratorum series habens bales in directum ex cerminum
longicudinis IC. Deinde ex lingulis punctis B, C, D, _c. crectae sine
perpendiculares AI, BL, C MI, exc. proporcionales continux in ratione
dimidiaca proporcionis AB ad BC; e Cuper illis perpendicularibus in
alticudine linearum AB, BC, _c. hanc rectangula IB, L C, MD, _C.
Dicoleriem rectangulorum PI, ad seriem rectangulorum L K, cripli-
caram habere proporcionemrationis AL ad BL; cuius quadruplicaram
habet leries quadratorum P K, ad seriem quadratorum F H.
Demonstrario.
DRimumenim rectangula LB, L. C.
ecc. ese in concinua analovia siC
octendo. ratio rectanouli IB adL C,
coponieur ex racionibus AP ad BI.
hoc est exhypochesi B L ad CM, e
AB ad BC, hoc eAt BC ad CD;
Acqui cciam rectangulorum LC
MID racio componitur exracionibus
BE ad CM, e BC ad CD; CrgO
eadem est rectanguli TB ad L C, e
T C ad MD ratio: erooillarectan.
sula sune in continua analogia, ha-
DEFUEGUO PFODFCMO COnTIHUE PEO-
porrionalium rectanigulorum L. L, N.
84. huins
NVi K: quare series TK es d ad seriem L K, ve rectangulum LB, AA FCCIAMOMLAM L C: 82 haiu
Requirario rectanguli IB ad T C, componirur exratione AI ad BL, ec extacio-
nC AB ad BC, quae ponitur esse duplicara rationis AI ad BL; ereo ratio re-
Aanouli IB ad F Cs hoc est sicir modo ostendimus, ratio seriei IK ad Teriem L R,
est eriplicaca rarionis AIad B I. Series aurem quadracorum R R est ad feriem FR,
ve quadracum BP. ad quadrarum C F, hoc est in duplicata rarionis AB ad BC, c Nbid.
hoc est (Vcex hypoches collioitur) in quadruplicaca racionis A I ad B L, cuiuseri-
plicaca est racio seriei rectansulorum EK, ad leriem L. K. Quo derar demonstran-
eM.
1

## Folio 154 — 1815201908:0211
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000211.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
1am
PRO GR F SSIO NFS
P R O POSITIO, CLXI
IIdem policis loco rectangulerum incelligacur super normalibus AI,
Dico seriem quadratorum CR, ad seriem F. H, duplicaram haberera-
tionem eius, quateadeeries quadratorum AI, BL, CM, dc. ad (c.
riem quadracorum B L, CM, DN, _C.
Demonsoratio.
ErieS FK est ad seriem a FR vE
quadracum BF. ad quadracum
CF, hoc est in duplicaca racionis
AB ad B C. Smiliter racio heri qua-
dracorum AI, BL, XC. ad seriem
quadracorum BL, CM, Xc. cadem
eAt quae quadraci AI ad quadratum
BL, hoc est duplicaca racionis AF
2d BL: hoc est ex hypochesracio
seriei quadracorum AI, _C. ad sc.
riem quadracorum BL, _cc. eadem
cAt quae AB ad BC. quare cum
ostensum sicracionem seriei R R, 2d
Serrem FR, esc duplicatam rario-
AIS AB ad BB, erir quoque duplicaca rarionis, quam haber seriesrectansulorum
TK, ad seriem rectangulorum L R: Ouod cracdemonstrandum.
PROPOSITIO CLXII.
IIdem polIIS qua supras incer BA, AI, CB, BL, DC, CM, ac. in
Lueniantur medix proportionales AO, BP, C O, _C.
Dico quadrata AO, BP, C ∞, _ec. cubis AI, BL, CM, aC. CAC prO.
portionalia.
Demonstratio.
non suri Voniam B A, A O; AB Cunc concinux proporcionaleS, etic quadrarum AO, re.
ctangulo B AIB eguate: Similicer reliqua quadrata B P, C . dec. Tetgs l.
etangulis CB L, DCM. eC. crunc aequalia quare cum rectangula cdicta lunc conci-
nuc proporcionalia in racione criplicara A L ad B L, quadrara quoque AO, BP,
_c. erunc in dictorum lacerum AI, BL, _c. criplicata rarione COnEInUE PFOBOF
d33. dnac- tionalia. Aequi etiam cubi A I, B L, _c. sunr in lacerum A I, BF, XEC. d eripliCATA
racionc; erpo quadraca AO, BP, XC. cubis AP, B L, e c. sunc proporcionalia. Ouod
erat demonictrandum.
Ibidu
2
ni.
ABL, aC. Construi Peries quadracorum.
  ue i uli is e ur st e pus ue e pue ut e este u  e t pta e e u e  et  t       . te e u    a a 

## Folio 155 — 1815201908:0212
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000212.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
e
XC. C
ac
ct
GE OM E E R IC A.
PROGRESSIONVM GEOMETRTCARVM
A R S
A R T A
Doctrinam pracedenti parte in planis demonstratam, corpori-
bus, selidisque applicat.
eROPOSITIO CLZIII
Aca sic quadratorum continue proportionalium leries, balibus in
directum polcis, cuius longicudinis cerminus sic K; Tupet singulis
aucem quadratis cubi constrnantBE.
Dico consticui leriem cuborum continue proporeionalium, quae cum-
dem quoque habeant rerminum lonsicudinis l.
Demonstratio.
CC _EC. IM Concina alalO.
porcionales. Ouod crat primumr. ex quo pacee eciam secundum: Cum eriin qua
dracorum ec cuborum series, paricer Cemper procedant, idem reriulque cerminus sit
longirudinis necesse est. Oux eran demonstranda.
Aeio cubi AN ad cubum BP
cubi BN ad cubum CO, er
AB ad BC; (ponemeur enim quadeats
aesraciBIIS A B ad BC, IECM PALIO d Ss. Babes
est rationis bBC da CB, Id eIE FATIOMS VEV. sonb
sia) quare cumraciones verxque, cubi AM ae cubum B NF; d cubi B N ad cubum
CO, triplicacae Eincrarionis AB 2d BC, eadem erunE. Suncisitur cubi ANI, BN
CO in concinuaanalosias eodem modo erune de reliqui omnes coneinue pro-
P R O DOSITIO CL XVI.
Ildchrpoliris; primae AB, e Guacta L a GualeSHaHC 15, S l: Con-
Lcinuerurque rario R S ad S F, per plures semper terminos Y V, V X, _c.
Dico cubum primum AM, esc ad quemlibet cubum serici propolur
verbigracia ad quarrum D P, vrestlinca RS ad quarcam V X.
lbito

## Folio 156 — 1815201908:0213
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000213.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
DROGRFSSL
E S
g.
seriei Cao Caneeae nem, quam habec R S ad lincam quae aque di-
stabic a prima R S, _que cubus a cuboprimo AM. Duo lerac demonctrandum.
Corollarium.
Vohuccheoremata eidem terdaca demontratione, ael omnia limilium corpo.
inonae
b80. buiu s
AVBuS AME ad cubum D P, est in eriplicaca a racionis AB ad D E, hoc eA per
constructionem rationis RS ad ST. Aeguicciam RS ad quarram V Z, elt in
eriplicata racione eiuss quam habee R S id ST: ergOVE R S ad V X. Se cubuS
AM ad cubum D P. Simili raciocinacione ostendemus cubum primum, ad quemuis
rum genera liccor eke.
DROPOSITIO CLAI.
lonsicudinis R. Cuper quacracis aurem lingulis, exstructi line cubis
Constructio es demonsrato.
Ata sic quadratorum leries, habens bales in direetum, ex terminum
Pecitur seriei cubica aquale paralle lexipedum exhiberi.
Eriei racionis primae ba-
seos A B, ad qUATEAMDP,
Tac. b Xequalem AF; _ (UPCL
LL alcicudinc AB, rectan-
sulum AC: deinde (uPCF
rectanoulo A C in alcicudi.
alcicudine linex, aqualis le-
ne AB; construe parallele.
pipedun Leccangurum. BCo
hoc seriei cubicae aequari.
Vel siper quadraro AB in
riei Pacionis AB ad D F, Fac parallete PpCC. DBHOVEHC GuLMCMI. PTaCCMUL
BF aequalis D F. Ononiam igitur ex constructione seriei rationis A B ad B I, sue
=82. Bains. AB 3d D F, aqualis est A F, CrICC A F ad BF, ve AB ad BL, hOC CA vE AB
d22. sexci. 2d D F: quia aurem quadraca ex hypochesi lunc conua,  CL AB, BC,
F33. Dnc. C D, DF, _c. in conrinua analogra; vnde de cubuSC AM ad cubum BN, VE AB
ad D F, hoc est (sicucoltendi) ve AF ad BF: Onare cu palatteteppe a
Cic ad parallelepipedum B C, Erebalis AC+ ad ba BC C H IL L alt BL,
ime
F25. Vnde.
ii
51 fexri. crie cubus AM ad cubum BN, ve parallelepipedum AC, ad parallelepipedurm
BC: Aequi cotan scriescubica MK, cA ad feriem cubicam NTK, ve cubus A M ad
huins. CuBum BI, C180 Palanetepecuus AC, Ci se palaserepipecum B C, ve series
pipeduim den decubus idem AM, 2d leriem cubicam NK; (cum enim parallele.
Pipedta AC, BC conttructaline lupra bales A C, B C in communi alcicudine AR.
Dacet cubum AMI eAc excessum parallelepipedi A C: luper parallelepipedum BC.)
leaqueleries cubica NK de Parallelepipedum BC, erunc equalia; communique
addico cubo AM, cora seriescubica, es paralle texipedum A Ci aequalia erun. Fa.
tum igicur est quodpccebatur.
cubica MR, ad leriem cubicam NR: ergo dividendo cubus AMI, es ad parallele.
Corol.
o  ue  p  et  pta e ti e uite e u  pue ete puet ur  uti i  ute et u  e  ea s e  et a to    t t    e  1.     p  e e  ep   l nlstt

## Folio 157 — 1815201908:0214
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000214.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
2n
InE a
prine
rTam
B,
p.
Para
e
baralle
ata
net
pun
1n1.
EEOM F FRLC, A.
Corollarium.
anes Tuerine propolux binae. velplures clborum proprectiones, clairaltem
ingulis cuborum prosrestionibus aequalia paralle lepipeda conttiruaneur.
LL0C031L 10  L. 2V1.
Encurca, l aquales cuborum progressiones rationum dissimi-
cum dissimilium, cognolcerur carum Propolcoe il, l Perhlale plopolcionem
lium.
Dicoleriem cubicam AK, ad seriem cubieam HTR, rationem habere
compolucam, ex ratione peu quadcallAF, ad primum quadracum HIO;
ee ratione sericirationis AB primxe, ad quarram DF, ad Periem rationis
HI, prima, ad quarcara M N.
Demonstratio.
Darallelexipedum Factum super quadrato AB, in alcicudine linex seriei raclonis
AB ad DF, per praecedenrem Tericicubicae AR, cricaequale: Amilicer paral.
lelexipedum super quadraco FI J, in alcicudine linex serici rationis HF ad MNT, se
nei cubicae FTR aequale est. Ouare cuim serios cubicx ponaneur aequales, dicta quo - 2 3g. toindo
que paralle lepipeda aequalia erunc; ergo reciprocam habene balium ex aaleicudinum cimi.
ationem, hoc esthabenc rarionem compositam ex racionibus balium e alcirudinu:
Ouare _ series cuBrCE AR _ HIR illis sequales, rationem habene conipositam ex
actse dictarum alcicudinum, hoc eA exratione serici AB, D F, exc. ad leriem III.
AN, ec. ec exrarione balium; hoc est ex ratione quadrati AF. ad quadrarum HIO.
eod erat demonctrandu.
eROPOSITTO CLXVII.
Aca Cic quadralotum progressio, balibus in directum polieis; quae
cerminum lonsiuduris habeat IE. de iuxea, 1zi. huius inscripea sic
criangulo AH; compleco aucem rectangulo A. M, producanturlacera
quadratorum in N, O, P, _c. e in H, l. L. NC.
etCB
etin

## Folio 158 — 1815201908:0215
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000215.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
DR OGR ESSTONFS
Dicoleriem parallelepipedorum, supet cclagulis FN, FN, CO,
eec. in allicudinelinearum BL, C. F, lB, ac. xqualem elle leriet cubl.
ex, super quadratis exstructx.
Demonstratio.
O1I
Icta enim E M. FN, Xc. rectangula, sune complementa rectangulorum, quae
e. unc circa diamecrum, ergodlhoula Guamesingulis ornre lunc aequalia. Qua-
reparallelepipeda super complemeneis illis exstructa, cum caldem quoque cumcu-
b7. duodo.
fimus.
bis quadracoeum habeanc alcicudines l l. C L. ac. Pacet ungala b pacallelepipeda
Eingulis cubis aequalis este: ergo tota parallelepipedorum seriesscori leriei cubice x-
quacur: quod erar demonstrandum.
PROPOSITIO CLZVIII.
Cuper lineis quadraca, super quadraris aurem cubi. Peritur cuborum
Series inscribi pyramidi, quadracam balim habenti.
Constructio ex demonstratio.
Ata (IE progressiolinearum AB, BC, C D, ac. terminata in IE, 8
Z puncto R, per I, S, F, ducanEUF reCE RL, LS, RL, GNALMMTGIE PEIIIS RL.
S, OECUrtaNE lincis AR, A X productis in I e Z: producto deinde plano
A B, OCCUErAELINCA R F in MI, IUINSANEUEGUE P N, ZM. DicoFactum quod pereba
eu. Ducalcuc emu acers Cabotum Planis damerri A L, Bli. 6 P, D dC
PEMOISICuE Cx hypocheli maniteltum ett veriulgi leriet quacraca AL. BH, CO, deC.
A d
 uit ua pui spe t et t sp  pes te t t u e   e  u   pe u   e  t et   e    u t e t    e     t e  1      et t a p  i  p u

## Folio 159 — 1815201908:0216
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000216.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
i1
e
GEOMETRTCA
AS, B P, _C. CAC in eodem planO. quarE LINCX LKIL, K S Z CTAn(CUNE Per OmMIA AY3L huius.
puncta NV, O, Ac. T,Y, _c. hoc est rangune rocam cuborum leriem. Superest ergo
vedemonstremus lincam RFMI cransire eciam per omnia puncta P, O, ec. quod
sic pexCtabimuS. IF estad HIC, DE TB ad FIB, id CA vE IK ad N R, hoc CA VE
BK ad C. K; Acqui cum serici AB, BC, C D cerminus siCK, b AK, BR, C K linE V 82. huii
continua proporrionalesi ergo BK cAt ad CR, ve AB ad BC: _ IF 2d ITC ve
AB ad BC: quare cum AB, TF aequales sins, etiam BC de incercepea IIC; X-
qualeserunt; erso B Li cransicper verricem anguli C, quadraci SBIIC, cum in:
cercipiae parallelam IIC aequalem laceri dicti quadrari; unde B, C. F sunc in dire-
etum. leaque cum ex clementis conster diamceros aduertas C P, B C+ elle paralle.
las, eciam CP, B F crune parallelX. Ouia isitur linCA BF eA in CplanO BF K, CF. m Endeci
iam CP in eodem d plano BFK cric. Similicer oltendemus lineas D9, CP, eMle dDefin. 34.
Parallelas, et proindecum CP sic in plano B FK, eriam D O esse in plano B F K. Primi.
eodem dilcurlu demonsrabimus omnes BF, CP, DQ, XB, ec. ese in eodem
planO BFR, SinC AMR: deinde BF, C P, _C. cum sinc in oppolicis planis paral.
lelis, Productx nunquam conveniene. quare cum sinc omnes in plano BF C, CrunE
omnesincer se parallelx. Praecerea ex elementis e ex dacis parec diameeros BF, cibid.
CP, exc. eRe laceribus LB, NC, e c. hoc est AB, BC, C. D, _c. proportionales:
Comma
QuAEC EK FM crantic per omnia puncta P, O, B, Xc. Duod aucem eriam balis Z ML adiyc hu-
quadraca (iE, Cc osendo: Z. A es ad X A, VE Z. K ad S R, hoc cA vE AR ad B R, ins.
hoc est re T X ad IK, hoc est denique re L A ad R A: Qui2 ergO X A, R A X-
qualessune, eciam Z. A, I. A SaequaleS CrUHD. PEXFCrCA P M, CA ad IF ve LR ad 514 quinit.
TR, hoc cArE AR ad BK, hoc CAvE AZ ad BS, acqui TI, BS XqualeS (UIME, CF-
i
Soeriamt LM, AZ. xouales crunc. Deindecum L K siC ad LR, VE HMK ad FK, am  Endo-
eric LM parallela ad IF, que cum ad AX Z parallela CIF, etiam L M 2d A X 7
paralleta exir. Duia isieur M Z _ AL. aequales de par2HlelaS LM, AZ conne-
ctune, ipse quoqueiaquales e parallela crunt; est aurem angulus L. AZ rectUS, 2C i 33. primt.
proinde eriam angulus ML A, et conlequemer anguliillis oppoluci suncrecti, balis
sicur L I. eA quadraca: Factum ergo eAt quod pecebarur.
e R OBOSITIO CLXIZ
Lilteo teupscamio cubicapa  Pal A CCL. Opa
Oppramidis includentis, ee inclula differenciam exhibere.
Constructio es demonstratio.
ex quadrato A B in alcicudine linex aequalis sericirationis A B ad DF FaC p2-
allelepipedum, hoc est seriei k cubica aequale eric. Deinde Rac ve Gua aC L B F 105. hi-
ad quadracum AT. C ita prramidis Ci L R alcicudo A K ad aliquam O: denique ius.
super quacaco 1D I MMane lineae; que contineaernam cenantella  hac
valat  aa L LeaeeB et eld.
drato
1
1
1
rat.1

## Folio 160 — 1815201908:0217
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000217.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
ESSTONE S
23+. onde draro AB in alcitudine linex O, aequale est a parallelepipedo super quadrato A3
n
in alciendine AK; cum habeane bales ex constr. e alcicudines reciprocas. Ouare
cumpyramisB L. K sic rna certia paralle lexipedi super A G in alcirudine AK (est
enim A K alcicudo pramidis, quia AK vE ex construct. precedencis proposicionis
pacer, est normalis ad A P.) itemque parallelepipedum saper quadraco A G in alci-
cudine cerria parcis rectae 9. Cc eiuldem parallelepipedi cerria pars; crune preamis
ee dictum parallelepipedum aequalia. Juare cum prramis maior sc inscripea cubica
prramide, etiam dictum parallelepipedum nempe luper quadearo AB in alcicudine
Tertie parris recte O, crit maius parallelepipedo quod prramidi, cubice equale Fece-
ramus. Fadem isirur erie pyramidis includencis ee inclula qua horum parallelepi.
pedorum disterentia. extibuimus ergo, ecc. quod perebatur.
PR OPOSITIO CLXX.
Aexe seriei liudauldi cubica, prramidem super F quadrato da-
co, aequalem CxMIBCTC.
b7. vna
cimi.
165. huiu.
Construco demonsratio.
leterico cubocum aM. Ba. C. aec. de aacum quadra
eum SIE F, ec hac ve quadracum E ad quadracum AB, ica
linea aequalis serici rationis AB ad D F ad lincam O. Dico
prramidem cuius balis sic guadratum F, alcieudo aurem cri-
plaiplius O serici cubicx x qualem eAe. Nam parallelepipe.
dum cuius balis sic quadracum F alcicudo  aequatur c Pa-
rallelepipedo, cuius basis sic quadracum AB, alcicudo rero se.
ries racionis AB ad D F, hoc cs oseriei cubicxe. Ergo pacal.
lelepipedum cuius basis sic quadratum F ee alcicudo cripla
recta Oeriplum crie serici cubica. atqui c idem parallele.
pipedum eriplum cAprramidis habentis basm F, alcicudinem
verorriplamrecta O. ergo pyramssilli seriei cubica aequalis
ric. Lactum isItHF elt quod perebatur.
F
t u  s n    p   t  p e ete  ete   e  u  A pt     i ut et a s  e  t t  ta    te  p i t  .    n  ptl ts. 1

## Folio 161 — 1815201908:0218
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000218.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
EE OM E PR IC A.
PROPOSITTO CLXZI.
t
Erx cuborum series quarumuis rationum ab aequalibus cubis AD,
cipianE.
Dies cubicas series camdem habere. de uecs propocoes, quam
navemnea Slu 1O aequales seriebus racionum AB ad DI, et PF
dflM.
omonstralto.
AB, LF aGcaa CtuM. Uare dlcta patallelepipeda caldem bales habebunc; itaque
dicta parallelepipeda, hoc est series cubica camdem habebune racionem, quam alci-
cudines SL, NO hoc estquam habene series rarionis AB ad D I, _ racionis R P
ad HIM: quod erac demonstrandums
DArallelepipedum super quadrato A B in alcicudine S L, aquatur a Ceriei cubiex a16s. huius
PR. Iem parallelepipedum super quadraco R F in alcicudine NO, aequarur (c-
riei cubica OR: cum aucem cubi AP, F  Ponanur aequales; eciam quadraca
LCdt220 Ltcaaaee
Ata HE quadracorum progresio Colita, sup erque illiS CAMLHCLA KLMS
cuborum, de interipea parallelepipedo a culus va saalu
AB, alticudo AK, eadem nempe quae longitudo seriei cubicae.
Dicoparallelepivedaleecubicam, camdem ellerationem, quae ett
BA erium primorum lacerum, ad lacus primum AB.
2
icliosolbid
LB A. Duoderae demonstrandum.
Inea AF aequalis tac lericira.
tionis AB ad D R; erit paral-
lelepipecum Rper quadrato AB
in alcicudine AL. (quod rocemuS.
Paradlelexipedum AFT) aequalc
bseriei cubiceise d parallelexipedux rbid
AC est ad parallelexipedum ALL.
(cum eadem sicbalis veriu (que) vi
AR ad AF, hoc eA vEc DH 9dc103. bis
BA; ergo parallelexipeoum AC
exiam exit ad leriem cubiLa PE

## Folio 162 — 1815201908:0219
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000219.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
 e m  1
PROERESSIOHL.
PR OPOSITIO CEXXIII
Ara CE ve tupra cuborum Ceries. Oporret exhibere superkiciem om-
nibus superticiebus omnium cuborum progrestionis dacae aequale.
Demonstracio.
150. hums , TaC LTCCLAHSAM P FXGF aequale progrestioni quadratorum AN, BN, eCc.
cum F I sexcupla hac linex PII. Dico rectangulum FI esse id quod queritur.
Cum superficies singulorum cuborum conster sex quadraris aequalibus, manifectum
est omnes scriei cubica supertcies consticui ex sex seriebus quadeatorum A M, B N.
_C. aequi rectangulum FIF ex constructione seriei quadratorum AM, BD eA X.
quale. Ersolex rectangula FH, hoc eAt ex construct. rectangulum F I, consticuet
omnes serier cubiex dacae superticies. Fecimus ergo quod perebaeur.
PR OPOSITIO CLZXIN.
Aca sic cuborum prodressio sibi muruo insistentium, consticuens
toreliduas baltaa uperficies, nempe BKICHC, BONE MV
de reliquas omnes in intinicum limul Cumpras, quadraro primi cubi x qua-
les este.
ctontario.
Psladem cubica.
Elacenim seriei rarionis primae A F ad cerriam F. O aqualis V Z; lup ex qua in
alcicudine AEI hacrectangulum Za, Cumpeaque V X equali, A FY ducatur ad
Rectangulum a L. per 79. liuusxquatur leriei quadratorum AC, CL, F P, ec.
hoc est (quoniam cuborum plana omnia tunt quadeata aequalii) leriei quadracorum
AB. HD. OF. dC. ergo cum a X ex conser. quadraco AB aequalo lic, cric reli.
Quum BZ reliquae quadrarorum scrici ND, OF, ec. xequale. Acqui series qua-
dracorum
V a parallela ZB, qua abrenat suaca La asate Guaca +V.
 u u et s  a qul t e u u itt ut  et e   pui a ti i ut   pi e e   pen  e   1  a   e  e  pe e s  . p l.

## Folio 163 — 1815201908:0220
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000220.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
M
A
diaq
Ira
erit
ries
leate
GEOMETRIC AE
dEAEOTUM MD, 9F, ec. eadem est cum serie quadratOrum RC, OB, esc. rectan
sulum isicur B2. lerici quadracorum CR, OB, _cc. Xquatur. Ouarc cum rectan.
sulum a Z _ series quadracorum HIB, ND, Q F, aec. icemque rectangulum BZ
_ series quadracorum C K, F. O, dec. aequalia sine, eciam excessus rectanguli a L
super B7, et excestus seriei FIB, MD, _C. super seriem CR, F. O, Rc. aequales
CrUNE. Acqui exCesuS a Z CupeE BZ est a X, id est ex construct. quadracum FTB.
excessus vero serici quadrarorum BII, MD, _C. Super seriem quadracorum C R.
FO, REC. UINE ASUTX BKICTTO, DONEML, F RdTOP, aC. ergo RgurX
illa omnes Cimul lumpex xquancur quadraro HIB. Quod erac demonstrandum.
PR OPOSITIO CLKAI.
IIdem poliris,
Dico superticiem cubicx pyramidis, a qualem elle luperticier paral-
lelepivedi r8, cuius balisr = sic primi cubi quadracu, alcicudo vero y n x-
qualis serici rarionis primae A FI ad cerriam F. 9. Per Suxertciem aurem
prramidis cubica incelliso hic superticies omnium cuborum, excepris
quadraris CH, F. O, TR, _C.
Demonstrato:
Eetangulum nd concinetur li.
nea va, aequali seriei rarionis
AFF ad R 9. de alcicudinc yd, que
equalis est. A FI; est enim quadea-
umy E xquale quadrato RC: igi.
cura rectagulum ad omnibus qua-
dtacis AG, CL, Xc. Xquale eA.
teliguae ivicuchederx rB; d0, V n
aequales sune seriei quadrarorum
Opposta seriei AG, CL, _C. _
Cerici quadracorum BY, DI, _C.
nec non illi que intra huius oppoli-
ea est: est autem de quadratum Y E
basis paralle lexipedi xqualis qua-
deaco

## Folio 164 — 1815201908:0221
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000221.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
amprnus
s. huia
Or. sevei.
P. R OGR ESSION FS
drato AS bas pyramlaIS CHBICX, ex per praecedenteM, quaMatum FTB, id cst aB
164
aequale es omnium balium reliduis. Crgo cora luperticies parallelepipedi, cori py.
ramidis cubiex superticiei ae qualis est. Duod erac demonstrandum.
PROPOSITIO CEXXVI.
Acalic quadrarorum prostemoucemnus lonsicudinis lic H; lu-
per quadraris aurem exstructa sic cuiborum Peries. Deinde per 165.
huius Factum sic parallelepipedum MP, Xequale Seriei cubica.
Dico superkiciem huius parallelepipedi, ad superticiem prramidis cu-
bicae. (sumendo hic superticiem prramidis cubica, ve in proposirione
praecedenti sumplimus) eam habererationem, quam linea aequalis scriei
rationis AB primx ad D F. quarram, una cum dimidia ipsius AB, habet
ad aqualem leriei rarionis primae AB ad CD cerriam, una cum dimi.
dia AB.
C15.  et
ISLIFSS
35t 12 111V.IC.C
A1d c
51 ciil
1NII7C.
Demonstratio.
Pacanet edum MP factum est xquale scriei CaDIcL, HIcur Lacus A L. a Gud-
se cu eltetratioo L al . e HO. O aquates tue unga ipu
AB. Flac tam super quadrato RY quod sic aequale quadraco AB, parallele.
ripedum L  alene , aguan sectet lacions AB da C1. 1180
perpracedenteu dpecles parallelepipedi I aequalis crie superticiei cubice
pyramidis. Deinde superticies parallelepipedi M P aequalis est rectangulo b quod
linea compolca ex Guaarupia Mt  de dupla NO, e alcicudine NO siuc OP
continetur. Similicer superticies parallelexipedi OT aequalis est rectangulo cuius
Bastoncomponta ex quadrupla k d dupls R S; alcicudo veTO RS Eue SY
TunC enim RS, SY aequales) quia lacera (unc quadraci RT. Quare cum dicta
cectanoula Anc ve bales (alcicudines enim NO, RS aequales habent cidem AB,
ideoque aequales incer se) etiam erir paralle lexipedi MP superticies, ad suxerti.
ciem
qu e e ee e eat u tt u sat  e st t  ut. qes t   et       t. et  A  t  as e t   t    t et   t  te  l et vdl 1

## Folio 165 — 1815201908:0222
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000222.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
lB
edi,
is
adep
Tan
20
AB
M
GF OM L lRIC A:
163
ciem parallelepipedi L, rebalis ad balim, nempe vecompolica ex quadrupla
AIN ee dupla NYO, ad composicam ex quadrupla OR ec dupla RS. REqui vE
quadrupla MN cum dupla NO; ad quadruplam 9 R cum dupla R S, (C NN
cum dimidia NO ad O R cum dimidia RS; eroo suporticies parallelepipedi
MP, est ad superticiem parallelepipedi OT, hoc. est ad suxerticiem prramidis
cubice, re MN cum dimidia NO, hoc cst ve series racionis AB ad I) F cum
dimidia AB, ad OR cum dimidia RS, hoc est ad seriem rarionis AB ad CD
u ea AB: quoderac demonttrandum.
EROPOSITIO CLXXVII
Roportionem exhibere qua cuperctes prtamtais Habet aa MM-
serpea libe pslamtals cublea superticiem: eo modo incelligendo
superete leriei cobica, quo in praecedenei propolicione.
Constructio es demonstratio.
Sumemus hoc loco prramidem isosceliam, Facilicatis Grati2. sIC C19O pyF4-
LLnis OLM R N isoscelis, cnins basis sic quadratum OMI, cur prramis cubi-
La AB, CD. ecc. inscripra incelligatur, Factogue quadrato OR aequali quadrato
LB reperiatur linea OFI aequalis seriei racionis AB prime ad cerriam F L; ex (UpeF
Juadraro OK in alcicudine CFI, Fac parallelepipedum, cuius superticies aequabi-
asuperticiei prramidis cubicae. Dico verectangulum super dupla I N et L. N 2175. Ian
camquam vna recta, in alcirudine LM, est ad rectangulum liper quadrupla CFI
et dupla AO camquam vna recta, in alcicudine HO; lic prramidis includencis
superticies, ad superticiem inclusa preamidis cubicxe. Ducatur enim ex verrico
Pramidis N ad I. M normalis NP, quae ve ex datis Facile colliges, bisecat L MI
in L. Icclans msu NVC.eaupium cit trianguli rectanguli L. P N. ve patel
sulcm NL. M duplum elt crianguli L. MH. crxo rectanoulum sapet alplaLN,
IM alcicudine L. M, eAt quadruplum crianguli L MHI, hoc cs aeguacur coci (upCrH-
iet Pstumiais PrEcet balim: quare rectangulum supet dupla L.N ee L M CaM.
Gllam
ex cremmemis; elso recanoutum AL P, aquale est criangulo LNN. _ rectan-

## Folio 166 — 1815201908:0223
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000223.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
166
ERODRESSTONES GEOMEFRTCA.
2. sccunai. quam vnZ FCCCA In alcirudine L M, aequatur cori a superticiei pyramidis. Simili
discursu demonstrabimus rectangulum siiper quadrupla GFT ex dupla FO cam-
quam vne recta, in alcicudine HO aequari superticici parallelepipedi; ergo super-
acies prramidis N, es ad superticiem parallelepipedi; hoc est ex construct. ad
superticiem pyramidis cubicx, ve sune dicta rectangula incex sc. Exbibuimus er-
80, _c. quod pccCbAIT.
Liibri sccundi finis.
 p . 11. 1. 11 f1r. 1. 1. 1 6 1. 41p. s. 1r. 111 1 118. 110 1 1611. 111 . 1815. 12 p. f. 15 5. 1. 1. 1 151. 1. 56. 1716 1 . . 11 185. 116. 11 81 (126 5. 1 1 1. 11. 2 1 1111. 12. . 117. 1 1. 4 p. l11 11 1. 1. f. 11  6. 1. 1. 1 1 16. 6. 19 119 11 141 . 1 0 1 1 60 1. p f. 61 1 . 124 1. 0 181. 1 1. 0 1 151. 1 1 5. p. 11 1. 19 1. 1

## Folio 167 — 1815201908:0224
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000224.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
167
B F R TF R F
I
2C
d
A R C V ME N FVM.
Liber hic omnis in quatuor partes veluti membra dividitur.
Prima de linearum in circulis aeit proportione.
Secunda anculos ES arous circulares inter (e comparat.
Tertia circulorum mutuas intersectiones 5 contactus exhibet.
uartalinearum in circulis potentiam contemplatur.
IRCVLOR
A RS PR IM A.
Delinearum in circulis proporiione.
PR OPOSITTO PRIMA.
Lquales circuli lesc iner (ecent in A d B; CenEroque A, In-
 ceruallo AC, circulus describatur, occurrens aqualibus cir-
eculis in C. D.
Dico C, D, B, puncta esein directum.
Demonstracio.
tiens A B. Pechnecto in B. iungancurque
LF. L C. Vaoutam angulus ABC, verique CIT.
culorum aequalium ADB; A CB communis est, CrunE
accuSa AF, A C, illorumque lubcensae aequales; hoc est
recta AF; aequalis AC, _ F. punctum in peripheria cie-
cusi AD C; sed idem F, per constructionem estinperi-
mecro circuli ADB, igicur  punctum cum D, idem
eAt, cxansicq; C Brecta, P eF D, et C. quare in directum sunE
puncta C, D, B.
VIE primoeadiuS A C, minor AB, duCaTUTqUe C B,

## Folio 168 — 1815201908:0225
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000225.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
biae
b26. terg.
22. terti.
R CV LVS.
2. Radius A C maior (IC recta A B: iutGAH-
cur C B, BD: X AB rectae, aequalis ap-
plicetur CF, iunsancurgi AB, AD. Ouo-
niam isieue CF. linea, xqualis ponicur re
etx AB, e C. A aqualis ipli AD, AnC au
tem e circulI ABC, ABD per construc.
incet le aequales, Crit aEcus +C F. X qualisar-
cuI AB, _E arCUS CF A, aequalis areui
ABD: vndc angulus AB D, aequalisb an.
suto AF C. sed anguluS AF C vna cum
angulo c AB C duobus rectis est equalis,
isicur ex angulus ABD, cum angulo ABC
duobus rectis aequatur. quare CB, BD li-
nex in directum lune.
3. Racius AC. aequalis sic radio AB. p2.
cec punctum D, incidere in B. igieUF, etc.
Ouod Fuir demonstrandum.
PROPOSITTO II
uo xquales duvenculi in A e B. circuli quoque
E B diaMeFer (IE AB, duCaEUTG: recta quenIS AD, OCCUFFENS
Ccurranelibi
Dico in F. bitariam diuic rectam DC.
perimetris circulorum aequaliura in D, e C, e circulo AE B in F.
emontotatio.
TAdANEDMMO PaNCId L. eE D, ad can-
dem parcem lincae AB; ducantur rectae
DB. CB, EB: Duoniam angulus C AB,
duobus arcubus D B, C B circulorum equ2-
lium insictic, x quales crunc subrenle D B, C Bi
ac proinde anguli F DB, F CB, aquales;
Cuncauce anguli D F. B, CE B, Fecti ob AF B
Temicireulum, _ F B verique criangulorum
DBR, BF C communis; criangula isicuE
DEB, C F B, Xqualia suncincer se, de similia;
quare _ CD in F bitariam diuila.
Secundo sic A punctummedium inter D,
ex B: Cum circuli ACB, ADB, UnC aequa-
les, e AB linca, verique communis criangulo:
DEB, FB C, erunc anguli ADB, ACB, in-
ter le aequalesi quare cum anguli quoque ad
E recti (ine, crunc eriangula DF B, K B C in-
cer le aequalia e similia; ac proinde D L rectE
EC aequalis.
AFB in A: punctum quoque D idem sic
cum A, quia igitur AC contingie circulum
AFB, cric angulus C AB, xqualis sangulo
Ccomenci DFB, ac proinde angulo AC B
(cum AFB, AC B Tegmenca sunc a qualiai)
quare aequales quoque Tune anguli B AC.
BC A: de quia angulus AF B rectus est in.
cemin
Tercio linea AC concingae circulum
ut  pui  t i s a   ti u te pie i e  pua  pute  u pe ut . e e t   u       e  tt   t   e  e    1    e   p en t

## Folio 169 — 1815201908:0226
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000226.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
P
3A
e
CIRCV LV
Femicirculo A F B, crune similia triangula e
aequalia ABF, E B C: vnde _ AP, F C Xqu2 - 3
les lune lincx.
Ouarto. Contingar recta C D, circulum dia-
merri AB in A, adeog d punctum F, idem sic
cum puncto A. cum igicur D C sc ContinsenS,
erune B AD, B A C anguli recti: lune aurem
aequales anguli ADB, ACB, aequalium sc-
mencorum; igicur criangula ADB, ABC, A-
milia Cunt e xequalia. uod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO III
luilo circulo in sex parces aequales, punctis A, B, C, D, C, F. ductis.
Que BF, C F, PONANEuE BD, F D, Occurrentes C L. in C de HI.
Dico C. F. lineam in C 8 HI eritariam esse divilam.
Demonstratio.
Vm enim arCUS BD, DF, F B pONAnEuEX-
quales, eric BDF criangulum aequilacerum.
inde cum CF, aequidistee BF, crit _ GDHI
aequilacerum: CA aueC GD aequalis b C C+ eCFID
aequalis FTF; igicur C G, GTF, FTE linex, lunE
incer lexquales, ex CF in C e II critariam di-
vila. Quod erat demonctrandum.
PROPOSITIO IV.
Ecent seinuicem equales duo circuli ABC, DEF- per mutua cen
DEra C, F, tranleuntes: linex vero BD, per veriulque contrum actx,
parallelaponacur quaenis HIC, occurrens perimetro in F; de per F li-
nea C F A.
Dico GF, F A, aquales este.
Demonstratio.
VCaCUE F FI; quoniam FTG quidisAE BC CFIE AM-
suluS FHIP aequalis angulo HIF B. e quia arcus
HB, FF ob circulorum equalicarem xequales quoque
Cune, erit angulus FC F. xequalis angulo HIFB, adcoque
ansulo FHIF; unde parallelogrammum vel Rhombus eA
CHI: de HIF lincx aequalis C F, id elt CF; estaurem
rectansulo CF A, Cqualec HIF C rectangulum; ixieur
AF, C F linex dquoque inter le equantur. Juod tuie de-
monstrandum
Corollarium.
Inclequitur HF, BF lineas quoqueincer le requari
CUm HIF linca aquetuE ip(I F C: _ quia IIC cA
quaecumque aquidistans diametro BC, sequirur paral.
lelasomnesrecta. BF. caua circuli ABC, e conuexa
PFD peripheria incercepras, esse inter se aequales, cum
singula xquencur ipli BF.
B Deducien
1x105
lit
C35. 21r1i
sexsi

## Folio 170 — 1815201908:0227
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000227.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
1n
LKC. VLVS
P R OPOSITTO
Tprinonne sele circuli ABC, C D B. extCrIUS In C, lInCa VelO AF,
iper veriulque cenerum aeta, ac aluila bitatsam in F, delenBalde qul.
vis circulus cenero F, dpe C. punctum conractus, recta ponatur 6C H.
Demonstratio.
Dico GB, D EI aequales esse lineas.
VnganEuE AB, F D, illisq; xquidistans,
ponacur FI, cric haecnormalis ad GH,
cum ABC angulus rectus sE; vnde e
CEI in I dinila eA bitariam, eAtque AF
ad FC, ve BI ad IC: ex permurando
A F ad BB VEFC adTC. DeindeveDC
ad OF, ica DC eAt ad C I, e coponendor
permucando, De FC ad IC, ICa PF ad
IDi scd ve FC adIC, AC AF 2d BB
ISICUE VE A F 2d B L, ic2 F F 2d. D L, 8
permurando ve AF ad P F, ica B I ad D L
sune aucem linex AF, P P CX Aypochesi aequalesincer se; ergo DI, BT, quoque
tacer le Xquantur; quae l demantur ab aequalibus IFI, TC, manene residux GB,
OFB incer SCxquales. Duod Fuir demonstrandum.
PR OPOSITIO VI.
AECHIECEnE Pese GuS duo circuli in A e B; assumprisque in ACD
perimetro punctis C, D, agancur per illa lincae AC. 6, ADHI: d BC L,
BDF.
Dicoiunclas FO, FH aequales esse.
neri
torei.
Demonstratio.
DRimo, arcuS ACB ambicu A EB inTCrCeptIS,
unque punctorum C _ D, contineat;
quo casucum anguli C A D, CBD arcui CD in
sictenceo GeMu, crone LF, C Hl arcusb quoque
incer lexquales; adaicoisiur communtaccl LC1
 2213 L.er arcns adcoque d linexcaquales.
occunao alcuo tel. ealeatit E altibil
COACCM.

## Folio 171 — 1815201908:0228
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000228.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
oc
CTR CVLVS
ConteneuS, puncta C e D obtinear; cum
igitur anguli C AD, CBD, arcui CD
insistences sincxquales, crunt quoque an-
ouli HIAO, FBF reliqui aquales; a0
proinde arCUS FOF, FOFT, adeoque
iunatx F, C, FTF equales.
Tereio punctum C inera A CFB circuli
spacium concincatur; D vero punctum
exera collocacum sIE. Ducatur CI aequi-
distans CB, iungancurque HII: quoniam
CT. CB aequidistane; anguli ACB,
ACI, aequales lunc; unde ee angulus
A FTI aequalis eA ansulo ADB: quia
ATTL, acum AOT, hoc cA ACB
duobusrectis equalis est, sicuC est anBu-
lus ACB cum ADB. Vnde aequi-
distanEeS TunE FTI _ DE, adeoque
_ areus FTB, FPe consequonter LIF,
BI xequales. quare _ iuncta HTF id cA
BI iph F C aequatur. Ouoderac de-
monstrandum.
PROPOSITIO VII.
Seo AB C criangulo rectangulo, cemicireulus interiprus AF D con
Scinsens AB, BC. lacera in A X F: _ per P ponatur recta D F. Occur.
renS AB, in F. 1c1
Dico AB, BF lincas, Equales esse.
Demonstratio.
Vngantur A F: etirigicur angulus AFD in Cc. X
micirculo rectus, vei ex reliquus A F F: qui pro-
inde aequalis est duobus angulis E F A3 P AF:
esaucem angulo F A F aequalis BP A, cum AB,
B F Iinc concingenees ex eodem puncto eductxs
adeoque aequalesi reliquusigicur angulus AlF.
reliquo BF F aequalis cAt: quare BF rectE BF,
hoc est AB, aequalis cAt. Quod erac demonstram-
dum.
PROPOSITIO VII
iEse
Virculum ABC, contingar intus circi
slus DE B, in B. transienS peF D cen-
erum circuli ABC; ductis in(UPEF PEF D rectis AD F quX CITCHIODE B
Occurrantin E: Ranc D F. rectis aequales DH, e perpendiculares po-
nancur FII ad diamerrum BC.
Dico FB, H + lineas, aquales este. i
lacer
121C
demon.

## Folio 172 — 1815201908:0229
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000229.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
  m  m  11B . 
18. verois
CTR CNLVS.
Demonstratio.
Voniam BD, lince iph D A sune aequales; veluri et
Let D, rectis  D ex hypoches erunc reldux HB, r0-
sduis F A aequales. quare A E F rectanoula, rectati-
sulis BFTC aqualia, hoc est quadrata HI, quadra-
cis E B: aqualeS ISITUE TUNE P B, FII. Quod demon.
eandum fuic.
eROPOSTTIO IX.
circulo LDC, cuius diameter AB, _
Secucrum P circum scriptum quadracum C F;
Det AF ve diametro, deleripeo circule
LHE, percenerum F, linexe ponanturHI, de
per l parallelae rectae AF, occurrentes FC, dia-
metro quadratiin L, rectae vero FD in H.
OniuneuntuE H, A; _ reCX R L, secenc
AB, diametrum in M: Duonia LR
lincx, cangenei GB aequidistanE, CrUNE TM.
anormales ad diameerum AB, acleoque inguli
TME, angulis F IT A aequales; sune aurem d
TF. M anguli, aequales angulis TIF. A, ad rer-
cicem policis, _ F. I linca, x quales rectae DA;
triangula igice TTF A, criangulis IMB lune
aequalia: vnde HIF, lincis RNI, STIA, rectis
ML aequales. Rursum cum L. MI, linex CB X.
quidistene, eric ve GB id BB, ita L M, ad
M F. sunt aurem GB, BF aequales, erBo et
VM EM aequales quoque sunt. Ouare cum
ARI hOC est E B, lineis F I, _E FCCtA LN
ipsiSMF, id est FE, ex demonstratis sine aequales; crune FII lince, ae quales rectis
DICOHL, IEL lineas ICeF se equales eNse.
Demonstratio.
C. K, quol fuic demonstrandum.
15.t V
PROPOSITIO Z
Dico duasillas Pele orthoxonalicer decussare.
Demonstracio.
Vod siper circulorum sele Secancium centra, recta ducta (ic, quam
alcera incerlecer, sectionum puncta coniungens.
let Cs coletistio 
des
Int enim cucculi duo aBC. AlB quocuta
centra F, Fs coniunsac FF recta: _ puncta
incersectionum, recta AB, OccurrenS F si linea
D in G, oporcet ostendere angulos ad Crectos esse.
ducta LiC normalicer ad AB, lecta cric ABbI.
tariam in G; Ced recta gua ex C ducieur, ad F
centrum, diuidens AB bitariam in circulo ADB.
cidem quoque AB orchogonalires inliltic, pacee
iBIeuE
Ai            u       

## Folio 173 — 1815201908:0230
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000230.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
21
lest
CIR CV LVS
lBitur lineas AB, F F sibi inuicem normales esse. Quod fuie detonitran.
dum.
Corollarium.
lnepacer, F. F. lineam, qua circulorum sese incerlecantium cenera conjungies
bitariam quoque diuidere arcus, muruisperipheriis inTerceptOS.
P R O POSITIO XI.
A ABC crian cum, Cuper cuius bali AC, de seripEuM uo-
bet circuli segmentum; oporret super reliquis crianguli laceribus,
legmenta de scribere, similia illi, quod super base delcripeu est legmento.
Constructio es demonstrario.
Ranseat primo segmentum luper basi policum, per
Cngulacriansuli excremas describatur aurem cix-
culus per BC, vei ec per B A, qui rectaS AB, BC COn-
cingac in B. Dico factum quod postulatur. Ouo-
niam BC linca concinsic circulum ADB in B: crIE
angulo AB C, aqualis angulusa segmenti ADB. CO.
dem modo angulus sesmenci BP C, ae qualis est angu-
I0 ABC. quarc segmencorum anguli AR B, ABC,
BDC, aequales sunc incer se; de similia proinde (c.
Bmenca.
Sccundo B verrex crianguli ABC, cadac intra po-
rimetrum scomenci, super AC exstructi: productis
laceribus AB, BC, donec occurrane peripheria
circuli AF. C, in F e B. delcribantur circuli per
AF B, BF C: cricque peractum quod postulacue.
iunctis enim AP, CF. exturgent anguli AR C, AFC
eidem arcuiinsittentes aequales, ac proinde ADB.
AF C segmenca similia crunc: rurlum cum anou.
IuS AF C. SE aequalis angulo AF C, id est BF C,
CrUnE _ SCOIMENEA AF C:, BFC, incer le similia.
QuarCErIa ADB, AFC, BFC, limilia TunE.
Tercio B vercex crianguli AB C, extra sermen-
ei ambicum consticurus sic, quod super bas ex-
Rructum est; occurracque perimerer crianguli
laceribus in punctis F, _ C. Tum Per BFC,
BCA, circul describantur. Dico tactum esse
quodpecitur. lungantur AC, F.C. Quoniam an-
suli AFC, AC C aqualessun, crunc_ B Fi C.
BC A reliqui aequales. QuaTE _E AECUS AD B,
B F. C quibus insictunt, limiles func. Rursus cum
angulus ACC cam cu ansulob Ccomenci AH C.
quam cum ACB angulo, duobus rectis aque
cur demprocommuniangulo ACF C: CrunEAN
suli AGB, AHC, adeoque ex reliduorum le
smencorum anguli AD_ AC, C, aequales, e
AGC, BD A, Scomenca similia: cA aucem B F C segmoncum oltentum limile le.
smenco AD B, cria igitur segmCnEa AG C, ADB, BF C suncincer se similia.
Ouarro B punctum cadens exera segmencum baleos, constituae B A, crianguli
lacus. Contingens circulum AOC in A. lacus vero B C, cundem secet in C. per
puncta B, A, C, et A, B, O, circuli describancur; dico illos saristacere pecirioni
ium-

## Folio 174 — 1815201908:0231
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000231.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
IR CVLV S.
inriganeur A, G. Ouoniam AB contingie cir.
culum A C C in A, erir angulO 2 B AC 5 X
qualis angulus segmenti AFC. vnde BAC,
AFC, ideoque reliqua AOC, BHIC se-
S enca lunc similia: vicerius cum angulus AOC
cam cum angulo ACB, quam cum angulo se.
emenci AF C, b duobus rectislic xqualis, dem-
procommuni angulo AG C, CrUINE AC, B, AFC
aquales angulis onde ec angulus legmenti AB B.
aequatur angulo AC C, adcogHe A F B, ACC
sCGMCHCA CUEAMILIA. IBICUTCONHAEDETICASPIO.
Policionis.
Corollarium.
Inc pacet in sccundo casu, AI supeF AB C. crianguli laceribus similia de Ceripea
Ent circulorum seomenta rectas AB, C B productas cadere in communes inter.
sectiones E; F: li enim per B e puncta quibus A P C perimCErO OccurrunE circuti
dE(CTIBAREUT. CrUNE AE B, B FC sexmenca similia sEBMEnTO ABC.
PROPOSITIO, XII.
Vper A BC erIIS MIIAtCrBUS ACICTIpTA (INE AEB, ABC, BDCB.
milta circulorum se seMa; du etxe que linex ex A e C circulum ABC,
continsam u in u, Pelipheriis aurem occurrane in D, _ F.
Dico E, B, D, puncta essein directum posica.
Demonstracio.
32. terris.
terris
Voniam E A concingu Circulum AB C oricangUI.
locF A C, requalis angulus segmenci AHIC, hoc
est Scomenei A C B quod illi simile est, sed angulus
AFB, vna cum angulo segmenei AG B, duobus rectis
dest aqualis, IGIEHE AL B, F A C anguli duobus re
ais sunt aequales; adeoque PB, AC lince parallela
eodem modo OICHAUNEuE AC, BD, equidistantem
eAe; quare constat FB, B D, in directum esse consticu-
ad es erac demonctrandum.
t85111O XIII
accribusliunsuli A BC, limilia circulorum Ceomenta delcri.
 pet gutum centra C, Hl, ex concro F, lesmencilupet B
bal1
oi  ut   i e   ue e  e    s     pt    t i  e                   e e      p nnvi

## Folio 175 — 1815201908:0232
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000232.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
E ve
ulum
_F.
pelleca
BC0
ei AH
0
duobu
11 due
ec p.
XI
alupe
eA136
GIR C V L V S.
bali eriansus deleripei educaneur rectae occurrentes perimerris in D e F.
Dico puncta B, B, E, in directum constirura elle.
Demonstratio.
DRimo vertex crianguli ABC in perimetrO BE
circuli, qui super bali A C, delcribicur. iungan-
curque DB, P. B. OUONIAM E D, PEF CCNETA F_ C.
acta est, secabir bitariam, cum a recta A B, cum arcum
AD B. eadem quoque racione radius F FL, diuidec bi-
fariam cum BC rectam, cum B F C arcum. IgituE
Cu ADB, B F. C similia sinc sermenca anguli A BD
CBE. Cimilibus arcubus insistences, aequales (UnE:
quare ex angulus ABD equalis est angulo BC F,
qui2. F B arcus aqualis estareui P. C. est aurem an-
sulus ABC aquales angulo BR C ex hypocheli, igicur anguli ABD, ABC.
CBF. aequales sunerribus angulis crianguli B P C adeoque duobus rectis xquales.
quarelinea DB, BB b sunc in directum.
Sccundo B apex crianguli, Cuper bati ABC Crc-
cti, incra lesmenci AK C aream CadAF; PTOdUICANEUT
AB, CB, cadec illa in comunesc circulocum interse.
ctiones I_R. Duoniam L. C, F. II linca cenera coitin-
Bune circulor sele INECFICCANCIUM CTUHEAECUS AD I,
RF C in D ex F Bitariam adiuisi, vnde AB D, DBI
anguli, ITCm RBF, CBP sunc aequales, sed ec an-
suli ABI, C BR ad verricem oppolici quoque inter
sc aequantur, isitur _c angulus ABD, ipSI RBF 8
TBD, angulo F. B C est aequalis. quare in directum
IMED, B, E puncta. Quodexar demonstrandum.
PROPOSITIO XIV.
Vodsi super ABC criatsuH caletous lesmenca circulorum limi-
sdelcripca tuerint; a recta qua dant Le per  reulem acta:
circulorum AF B, DDC, perimetris occurrat in D, de F.
Dico lineas inter cauas circulOrUM A F. B, BDC peripherias e exti-
mam circuli ABC incerceptas, aquales elle.
Demonstratio.
ee L.DContinga Clculum ABC in B.
JUngancurque AE, C D: Ouoniam R B el
contingens, eric angulo R B A, aequalis can-
sulus ACB: eadem raciome angulus
C AB aequalis est angulo CB D: vnde cum
anguli B A C, BC R per BypOchCSIM SInE
requales, crunc quoque ansuli E B A; CBD
incer se aequales. sune aucem ee anguli AF B,
CDB, (0b AR B; CD B Scomenca Cimilia)
aquales, insuper ex AB, linca aequalis lince BC, a AE. B, Ctianeu-
SCCHHCO F D POnATUE COnCIIISCHS, Cllanoulo A B C existence Scaleno, dicL L
in B bitariam sccari. sic A B lacus, altero B C. maius, et P D contingeni, po-
naLUE
Ie primo criangutu Lelium ABC;
10 CBD SE F B lacus, laceri BD cAaequale
32. Verris
  i ea
e

## Folio 176 — 1815201908:0233
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000233.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
IP
CV LV S
Hatot Lquidiltans CF: iunetaGue AF, cOnCUr.
rat cum DB, producta in F. quoniam parallela
TUnE CF, DF, cric angulus AFC anguto AF D
aequalis: scd AFC aequalis ponitur angulo le
ementi AE B; igicur cOnCUrIUS A V. cum DB
producta, Acin perimerro circuli A F B: Rurlum
quia xoncingens est FD, cidemque aequidistar
CF, crunc legmenta B F, B C x qualla, ac proin.
de iunctx FB, BC, quoqueinter (C Cquales. vn-
de similia sunc, de xqualia exiansula F L. B, BDC,
id eoque F B aequalis BD.
Terrio, recta E D circulum non contingae su-
pex basi AC crectum, led intersecet in. pun-
eto quodam C. scque F. D aequidistans AC. dico
F C, BDlineas aeguari. cum enim P D, A C aequi-
distenE, CrUnE, AG, B C arcus adooque _ subien-
(x aequales: vnde e anguli C A C, BC A equa-
les sunc, rei ee anguliillis alcernarim posiciF ( A,
DBC; quocirea limilia lune e xqualia criangula
E AC, BDC; _ recta P. C, ipA BD aequalis.
Ouarco, quod si recta F D per B ductaoc.
CUEreNS PerimeEro A B C in C, non aequidi.
AECE A C, duCaEUE A F parallela F D, de ducta
C F, OCCUTTAE F B, producte in D. quoniam
DaraIICLA TUNC F D, AF, CxIE A F C angulus
angulo EDC equalis: led AF C equatuE an.
sulo seomenci BD C expositione, isitur D in
perimetro eA circuli BD C; ec quia xequidistane
E. D, AF CrUnCarCUS A C, BF, Xquales, adeo-
que e subcense A C, BF. cumque x qua les sine
anguli GAF, BF A, equalibus arcubus insi-
Rences, crunc de anguli F C A, DBF quoque x.
quales; sune insuper aequales anguli AF. C
BD F, ob segmenca similia; igirur criangula (i-
milia sunc de xqualia A F G, BDE; inde e tinex L G, BD, equales.
Ouinco cadar B verrex crianouli A B C: in-
cra aream circuli supra baum crianguli deleri-
pri: _ primo recta F. II P er apice B cranhens.
baleriansuli nOn OCCUrEAE. duCatuF C F aequi
distans F FT, dOnec. COnGeNIAE CUM AF pEO-
ducta in B. Ostendecur rei priuspunctum P in
Perimetro cAe circuli AE B, _ FF D, CTIC
criangula, 2dcoque de lacera F. D, CHL incer (0
aequari. Secundo recta per apice B acta, OCcur.
racbali criansuli: quo calu demonstrandum
elt linem F. B, lCaE C. EI aequalem ese. uoniam
H LL per B ducta occurric basi crianguli A C; vel alce.
Cum Circulorum ontinsic in B, (quo CalU APBAFCE ED,
CFI, aequales eNe: cum FHIC, AD E criangulataci.
le ex dacis ostendancur aequalia.) vel verumque circu
lorum super laceribus crianguli AB C descriptorum
secat in C ex F. circulu aucem luper bah Factu, in D, 8
HI; quo cali ducaTUT Cx A per C, linca AC F, lung acur-
que puncta F C, CF, FFI, CD; angulus AG B vna
cum ansulo segmenci AIB. axequalis est duobus rectisi
ed angulo ATU a caiS est anpulus A F C ex hypocheli, et angulo AC. B xqua
  is s s t t e ut b sati sa e  eee t  t est tet t st s  e p  peta nte  et a p

## Folio 177 — 1815201908:0234
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000234.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
l
eran
C
au
Dil
H in
Cta, d
istrat
vel
DaTet D
quec
il
Cripro.
u1, 11
un
b051B
C IR
tis ariguluS F G F ipE AC B ad rercicem po-
LcuIS; igicur anguli AF C, F. G F, sune duobus
Fectis aequalesi adcoque BD, FC. parallela, de
arcuS HIF, CD, corumque subcensx aqua-
les; vnde ec anguli DHF, FTD C aequalibus
arcubus insictentes, xquales lunc: elt aurem
angulus AOB, aqualis angulo CFB.
(cum AGB, BF C segmenta reliqua sinC Si-
milia) ad eoque d celiquus F eII. aqualis ce-
liguo CF D; isicur criangula LIL C, CF D,
unc inter se aequalia; ee II C latus xequale la-
teri F. D.
Sexto, quodsrectaD per apicem acta,
per communem incerlectionem F cranseat;
sic ostendetur aequales esse rectasCF,
F D: Snc primo seomenca similia semis
circulis maiora; ductaque ex A peE
E, reCta AEF, iUnSaNCUT CF, CF.
ED, C C: Duoniamigitur sesmenta
Timilia, semicireulis sunc maioea, cric D
extra lineam A C. E enim heri pOME,
(IE CF A rna cacemqie linea cum
AC. cum ergo ob limilicudinem lc.
emencorum, anguli BR A, BF C sInC
inter se aquales, crunc etiam recti:
quodherinon pocest, cum segtmenta
surt semicirculis maiora. quare punctum P. non est in linca AC. Cum ixieur ansu-
lus AFC. vra cum angulo segmenci AI C, duobus arectis sic se quas; sicque al. d n.
pulo AD C, aqualis angulus AE B (ob ADC. AF B segmehcalimiMa) id el an-
vulus DF F ad verricem oppolicus, cricintulus AF Cs una cum ansulo DL. L.
duobus rectis aequalis; unde F C, BD, linex aequidistant; _ arcus OF, D C, adcoque
ex arCuS CC, D F corum que subrenla equales, _c. veprius.
Si vero scometa similia minora fuerine lomicirculis:
demonstrabitur repriuis, punctum t, esse extra lineam
baleos A C. quia verO AF C, A R B segmenta (uncSi-
milia, crun anguli AF B, AFC aequales; sed angulo
A EB aequalis est angulus ad verricem DF F; isirur
anguli D P F, A F C sunc aequales, e BD, F C rC-
etae aequidictanCeS; quarC _E arCUS C C, DF, corum.
que subrensa xquales sunE: dc. vei prius.
Reliquum esset casus eosdem explicare cum veriex trian-
guli ABC cadit in peripheriam vel extra aream circuli
qui supra basim A C constiturus est; se d quia omnes illi, de-
monstrationes communes habent ex constructiones cum casibus quos explicuimus, dum nimi-
rum vertex B, ipsa areacontinetur, lectorem non olterius defaricandum censeo: hoc tamer
pramoneo, vi dum B vertex trianguli, cadit extra sermentum baseos, casus excludat, quos in
medium proculimus qui BD lineam iubent earatione duci, ut cum basi trianculi non conve-
vias, quosineptos esse huic maveriae manifestum est.
12 L23 X837V CMEM2IZ
_ O. Sit Tta. Xa amivvani
Et OleBAS 
rici
denus luper A BC erian suli laceribus segmenca circulorun, sta
constructa fuerinr; ae per B verticem ponatur P. D, ad cuius extrema
ex scenero F circuli super basi descripei, alic antur PP, F.D . evlunria siro
DBIMSHLSEFC.) is CMIVF
Dico casincer sexquales e. P. Q et si w Sninnm (1 X. TEL HI CMMIIIEETS
SIEOFAS MaC

## Folio 178 — 1815201908:0235
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000235.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
eCTREVEVS.
Demonstratio
B3. cerris. Ca F Cperpendicularis ad L. D: igicur HC CB xequales sunc; octendimus 2y.
+. hnim. Dem P. FB CBD quoque xquales estC ;IBITUT FE, FD aequales lunc. Quod tuic de.
monstrandum.
eR OPOSITIO XVI.
ard sereii.
Oncinent recta E D, circulum A BC in B, ericibitur B F normalis = ipSi F.D.
onde cumlinex BE, BD, per praecedencem aequales sinc, cruncetiam aequales
F L F D:
tam vero E. D, circulum AB C secec in puncto quodam H: ducatuFGUC CX P re.
vet L C triangulilaceribus, Ccomema Cccorua comi
cucatine, ee ex C recta edua CD; Cutex B velcue Mats  paralle.
laponacur BF, occurrens circulo AFIB in F:
LDicOFD, B L, asscats e Cas
1p0t  Ct et 1 2d31
llicu. Demonstralto
hunor a. u tagunin i
Teprimo verrex eriansuli in perimeero circuli A B C consticurus; linea vero DC
lcestra criangulum ABC: Ponacur iuneta BD aequidistans AF, OcCurreNS
ex C BIM L; IuI anSO BDC, aequalis cA ARC, scd _ BD C aeu
eGuacut aligolus sepena AB C, ipicur punctum F, communis est incerlectio cir.
eati ABC a Hoc CD e gdia segmenca circulorum AB C, B D C similia sau
oporeun demontrale.
cric angulus AFB aequalis s Gu se, LC Cometur, isicur de put.
etum LCommunis est incerlectio circuli AHIB, _ recte BF: Cum totur patanelo.
grammum sic BF P. D, manifectum est F. D, BF. lincas incer se xquales essc. Ouod
ACCHO
 stis u s  s s  oBs  etet et u si te u   t et es s   e es e      e 1 et t ut  e    1 

## Folio 179 — 1815201908:0236
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000236.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
1
Jucent
endim
uod
iliaco
Ii
eed
CC
d
IR CVL VS
xequalis duobus rectis. Sed anguts B F H, Per Comuuectonea cA aequalis angulus
scomenti CGB. lgitur C DB alsulus, una cum angulo defueli C GB duobus
rectis es aegnalis. quare punctum D est in perimerro circuli C FB _ AC linea
cidem bisoccurrie: quare cum E. D Parallelostammum C: Pacee FB, I D lincas
aquari.
Sccundo, C D linea in directum posica se, cum AC, _ recta BF requidistans
baCI A C; IAnGAnEUE AF; _ BP PaC A F OCCUEEenS AC in
D. Duoniam AC, BF, icem AF, B D agaa, eric angulus C AF (id est
CDB in sccunda ficura) una cum angulo B E A (id eA BDC in prima fxura)
Terrio, recta C D cadat intra balim erianouli A B C, occurrens circulo BCD, in
D; _ circulo ABC in R; ita tamen re ducta B L Patallela iphC D, cadac supra lo-
tus AB, dico BF, D F lincas esse incer se aequales. allacur enim ex L per A linca
Occurrens BF in F iungancurque BD, cum isicut legmenta BDC, AFC
similia sinE, cric angulus BD C, aequalis angulo AF C, adcoq: BD, FF. linex x qui-
distances. vnde F D parallelogrammum cM ex FB, D L. lacera aequalia. Rursum an-
sulus R F B ona cum angulo F F. D id est angulo Cesmenet LGB aequalis est duobus
rectis: quare punctum F, est in peripheria circuli A F B. M le cunda vero Roura, quia
angulus BD C id est AB C una cum angulo AP C, duobus rects e X Guats, CtuC
BD, AP parallelE: Teliqua veantE.
OVareo, SE B F linea eadem cumre-
At2 AB; duCaTUE ex C recta C F aequi-
dictans A B: iunctague E R, deMIETaTuE
ex B recta BD, qua aequidister F F:
DCCUTTeNS C F. in D: OAendetF vE
prius punctum D esse communem in-
cerlectionem circuli BDC, ex rectarum
BD, CF: quare cum EB, CF _ BD,
FF, SinE aequidistAnTeS, PATCE FB, F D
xquales esse.
un
st
t
litte25
1
 iet e  1 ua . 1
111

## Folio 180 — 1815201908:0237
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000237.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
mmumon
dc
R CYLYS.
Duinco, quod lirectae DP, B F in.
Fea lacus AB conticuanEUE, _ BP
quidem secet circulum AF B in F: p0.
RaCUE RCCtA AF F, OCCUETEHS C F. in
F: _ AF xquidistans BD; osten.
decur ve prius punctum F in pe-
FIMEErO AF C circuli consictere, vei
ex punctum D in perimerro circuli
BDC: unde cum parallela (InEFB,
DE, PB, BD, manifectum eAt, FB,
F D ese aequales.
Sexco, candem linex FB, D C, supra
BaSIm AC constituEX (INE, _ CD
occurrat circulo ABC in P; agaTUF-
GuE PEF F. FECtA AV, OCCUTTENS FB
in F: deinde ex B Ponatur BD pa.
eallela ipA A F: CxiE angulUS A F B in
sEoMentO A F B: ex punctum D, Com.
munis incerlectio rectarum CD, BD,
ee perimecri BD C: cum angulus
BD C. aequalis sic angulo segmenti
AR C. qui cum angulo AF C, hoc est
AF B, hoc CABD P, duobus rectis est
aequalis: Parecigicur lincas FB, DF,
aequales ese inter (c. Quod Fuir de.
monstrandum.
P R OPOSITIO ZVII
COncingane sele incus in B circuli duo ABC, E B G: TIEG; F cenrum
Maioris; politâ deinde BF COnTINGENEC, dUCANEUE P F, OCCUTEenteS
circulo F. B C in C: ex quibus normalesponantur ad BD diametrum,
rectae CI.
DicoFI, F. C, F FI, F. F ese quaruor in continua analogia.
Demonstratio.
Vnc cnim ex erementis concinuae
proportionales P, I, F. C, F. B, hoc
est F HI: (od ve F, I, 2d F, C, ITa CAF. B,
id est F FI, 2d B F; Cune igitur in con-
cinua rarionC R I, F CI F FL. R F. Quod
Fuic demonstrandum.
rum cenera contincar diameter
maioris A B, ad quam polucis
Oaet CG, DH, quX OCCUETAnE PerimCEO AEL, in F. et F. collo.
CHEUE AC, AD: _E AC, AF.
PROPOSITIO XVIII
oncingant sese irem circuli
duo ABC, CF, in A; quo
ledAC ad hD, candemtationem habere, quae icel At.2
Demon-
exetiu.
1 i  s i s e i  i.  1 t e s . 1 1 . e e       .    1    e u t   p  a 1   p or 1     ae e  pi

## Folio 181 — 1815201908:0238
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000238.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
et
EC
bu
cen
CCUIIE
iament
ItaB
icuei
RI
XVI.
iM ct
nA;
dia
F.
CIR CVF VS
Demonstrario.
VAaTAFUMENIM A C, ad AD quadratum est
E AB rectangulum ad rectagulum ITAB
elemenca: hoc estve C A linca a ad lincam
LLL. lcd ve C A ad FIA, Sc C+ AI rectangulum
dd rectangulum IT AI, id est quadracum A F,
ad AF quadratum; ergo ve quadratum AC, 2d
AD quadracum, ica es A F quadrarum ad qua-
deacum AF, quare ve A C linea ad AD lincam,
ita AI, 2d A F. Ouod erar demonstrandum.
PRO POSITIO XIX
InE ContInuX proportionales AB, AC, AD, diamerri circulorum
leincus in eodem punctocontingentium, crectaque ex B normalit
Ter BO occurrence perimeeris in HI de G, iungANEUE AG, AFI.
Dico AB, AHI, AC, esse in continuaanalogia.
Demonstratio.
VnCeNIM IN CONCIMUAEA TaTIONC AB, ATI, AC.
veluri eriam AB, ACi, AD per elemenca.
quare AC media cA incer AB, AD; Ced exhy-
Pocheli ipla quoq; AC media ponitur incer AB.
AD. Igicur AC, A C linex (unc aequales; adc0-
que in concinua lunc rarione AB; AHI, AO.
Ouod tuic demonstrandum.
eROPOSITIO XX.
Ldurta fueric dtAMIELET AB in COTIHUC PFOPOHIONAleSAC, AD, AF,
DAL, _c. Potlamurque normalirer ad diametru, _HI, EI, FL.
Dicoinetas LFB, AHI, AI, AK, in continua quoque ccanalogia.
Demonseratio.
Vncenim quadrata AC, AH, AI, AR intex sC vE
rectat ta B AC, B A D, BAF, B AF VE ex cle-
Henas pater; se d rectangula ilIa sUINE VE A C, A D, AF.
AF; igituE e quadEATA AC, AHI, AL, AK CunC
vElineX AC, AD, A B, AF: quae cumponantur con-
einux proportionales, patet e quadrata AC, AII
a AR. adeoque de lineas, in continua essc 2
Bia. Ouod crat demonstrandum.
eR. O POSIIIO XXI.
Veenicuio ABC recta collocara lic BB perpendiculatis ad ala-
metrum AC, qua dinila bitariam in HI: centro HI, inceruallo HTB, de-
Ecriba

## Folio 182 — 1815201908:0239
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000239.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
 . p. 1 1. 111.  1 1 . 1.
TR CVLVS
circuli B GD in G, rectA VerO DB, AIAMerTO A C in F.
Cb AD, DE, F. C, cres MCas, Caudem rationem continuare.
Demonstratio.
182
Ccribatur circulus BG D, Ponancurq; FI C, quidem occurrens perimetro
DOnacur PP, aequidistans BD,
iungancurque DC, CF, AB,
quoniam F F xequidistac BD qua
in FI divila eAt bitariam, cric P IX.
qualis IF: vnde ve F I ad BFI, id
est F I ad FTD, SC F C ad G B id
CA IC, ad CFI, e permurando ve
FI ad TC, ica DFI ad HIC. qua-
re cum anxuli DFTC, FTC laceri-
busproporcionalibus contenci sine
aquales (ob FTD, F I parallcla5)
crunt eriansula FTO, HIDC: Scu_ O IF, BHIO, ItCM FP G, BDO.
lunc ergo in directum D, G. F, puncta, veCL elementis parec. Vicerius quia similia sune
criangula BD C, DGF, eric BD ad BS VE BG, ad D G: id eA F C ad G F: sed
etanpulum BDEF, quadrato DF aGualc. (unc aucem similia quoque crianpula
ADB, E F C. IsITuEVE AD, ad D D, ita F F ad F C. unde rectangulo ADR C.
aequale est rectangulum BD L F, hoc est quadracum DF. Cunc igitur continux
proportionales AD, DE, F. C: quod tuic demonstrandum.
Emicirculo ABC inscriprum eno criangulum cujus alcerum lacus
Dico BC, AB, d agorcaum Cx A C, C. B, eres esse in continuaration.
Demonstratio.
Flac A D ECsquialECTA C D: iuNBACUEquC BD.
arcus AB duplus eAt arcus BC, quia C BI2.
cus hexagoni est; igitur e angulus BC A, du.
plus anguli B AC: scd angulus BC A, quoque
duplus estanguli= BD A cum AC BCD IIOICO.
lesper constructionemigitur angulus BD A x.
Oqualis est angulo B AD e AB, BD laTCTA X
qualiaincer se; unde similia Cunceriangula BDC.
BD A: _ veC D id eAt BC adDB, ita DB
hoc est AB L AD, hoc cA 2d AC, C B. Ouodtuic demonstrandum.
EROPOSITIO XXIII
scersecent sete ac ACos, diametri AC, BD; polIri (GUC AF C, APC,
ungatcur L LD.
Dico , adOF, candem habere rationem quam agereeatuu
auacum AL, F C, ad aBBCcgncum AF, FC.
similis
VEF C ad G F sIC DF est ad R F cum DOF, G F. F similia sincriangula, igitur
BD est ad D F VE D F ad R F; quare sunc proporrionales BD, DR, R F d rC
eROPOSITIO XXII.
DC, Penidiamerro MLa GualC.
Demot
sustt t os su  sate  ute t  te tt e  e a p ei e te e  e se tut pe   tet e e t te a ee te e e  pete e te  it te     il e

## Folio 183 — 1815201908:0240
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000240.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
spei
Iudie
ridistum
6, 61
tac BI
a, ett
EI adB
162d
ETMUI
ad HB
P16I
Content
EB, C
ia lime
2d
aCM
10
t
UI et
cerum
iuata
coreu
BC
dC
8
EC,
Brest
EIR CVL V S.
Demonstratio.
Enero B, inceruallo A B describatuE cireu-
IaS AC C, cui peoductx AB, A F, A F, Oc.
currancin G, FT, I: Duoniam A C. BD cieculorum
fuorum diamerrilune, anguli AHIO, AIC+ xqua-
les erune angulis D F. B, D F B, sed ec anguli B AF,
E A F aquales suncangulis BDF, FDF. quod
iisdem insistane arcubus; limilia igieur sunccrian.
sula e AFE EI AL criangulis BDB, EDLi; de
AFI, AL lince proporcionales ipsis F D, FD.
quare cum sincequales AFI, AI, rectiS 2 AF C.,
AFC, PACCEAGGrCGACUM AF, B C, ad agorcg2-
cum AF, FC, candem obtinere racionem, quam
ecta D E, ad D F. Ouod fuic demonstrandum.
eROPOSIFIO XXIV
Ontingac AB inxquales circulos, conveniens eum recta per verius.
sque cenrrum acta in A: ex quo ponacur AD occurrens circulis in
F, 6, D.
Dico AB ad AC candem concinererarionem; quam obtinet AC
ad AD, vel AF ad AF.
Demonstratic
12515
Opuncta concactuum ex centris duCaneux MIAMCHII LC, et B, nemque alix bI-
FTOL ansuli (quod HIO: IR Ctic BarAHelC,) sunr equaleS; CEAHS CLa LRK, HIOL.
EruntsimIIa, 2C proirde FTI est ad TR VEHIO ad LKL NOC elE (lcuriam oltendi)
diamerri FTNI, PNt, _ ad rectam D Anormales, guoniam isicuranguli ad B
EC recti lune, parallelae erutre tectae HB, IC. ErgBHE AB, ad AC, SC HTB ad
CC, hoc estHO ad TR. Deinde, quia anguli, TKR, TILO recti tunE, _ IRR.
DE TIB ad IC, hoc est (quoniam FTN, IM diameeri, aequantur diametris HIB, TC)
DE ITN ad LMI. MMigicur est FTI ad IR, vE FIN ad IM, etit permucando
acinvertendo NII ad PEL. ve MI ad KI, adebque quadiacum NNII ad quadea-
IONLl cu quadrato I. HI; ec pundracu MI, rectanoulom Leu quadioeci
rectangulu NL P, cum, quadraro L El est ad quadraru L. Fl. ve rectansulu MK O cu
quadraco KIadquacracK P. erso Miidendorectansulu NP P CA ad quadraFuL. FI.
cum P. FB vequadracum B(L ad quadtacum HP. se do quadrarii N FX ae quacux rect aeu. B5. secundi.

## Folio 184 — 1815201908:0241
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000241.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
. p .  t. te 4 i. 1 .e1 11. 1
Csnoi
IR CVLVS.
verectangulum MIK O ad quadrater k I. Aequi reCtanguIA N L P, NIK O aguaneur
quadracis CL, D R, quod GT, DR sinc ad diamerros NP, M O normales; ergo
quadracum CT. est ad quadracum P. FI ve quadracum DK ad quadratum R Ler.
Borecta GL cst ad rectam F HI, verecta DK ad rectam RI; quoniam isicuran.
Fuli quoque GLHI, DKI, repocc recti ex constr. aequales lunc, crune criangula
GLFI, DRI similia, adcoque anguli HGL, IDR aequales. ergo OFI, D Ip2.
rallelX SUnE. ErgOvE A G es ad AD, SC AFI, ad AI, hoc es quia FTB, IC Cr.
iam sunc parallela, Ve AB ad A C. Ouod crac primum. hmili ratione ostenduneur
iunctx LF, IIE aequidhistare, adcoque esere AHI ad AI, id eA AB ad AC, sic
AE ad AF. Duod erac demonstrandum.
PROPOSITIO XXV.
NIF ABC LCMITCMEIMI MaMCCE RC divisa vecunque in F: descripeil.
DGue TuPEF A E, E C lemicirculis ADE, EFC, crigacuF F B normali-
cer ad diametrum, ponancurque AB, BC, occurrences perimceris in D
_eF.
Dicorationem C. F ad D A, eriplicatam ese illius, quam habet C. B,
dd AB.
Demonstratio.
VnGAnCUE DE, E F. Ouoniam E B norma.
lis est ad A C diamerru semicirculi ABC,
CTUnE AC, CB, C R, ItCm AC, AB, AB
concinue proportionales; Cedve BC ad C B
sCF C ad CF (obF FC, B F C criangula
similia,) _ vE AB ad AF sC A F ad AD
(ob ABF, ADF. criangula similia) ibicur
tam AC, C B, C F, C F quam A C, AB, AP.
AD sune concinux proporcionales: inde
 P. cum verique scriciprima sic communis AC
Aquartam, in criplicata rarione C B 2d A B, sccundx ad
PROHOSTEIO XX
o C lco B, esse proporrionales.
Hi
honibur. Secundam. Ouo d erac demonstrandum L MIL cB
ac Pelerres circuli in pltelis, , d ex A quavis rectX AC, AD.
Deon.
Perimertis OCCUranEIN E, F, C, FI:
 t   ue 1 1    p   5  1. e it  . u i.        1. 1  t  u 1 1  te . 1 1 1  1 t    t ) A

## Folio 185 — 1815201908:0242
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000242.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
O2
males
31
am B
InEcIII
CHI
AB
octet
2d
deli
B noI
Det
trabe
ircult
C
mb
nales
3, seb
ACi
CIR. C V V Y S.
Demonstratio.
Gacur reCtA BR peF GS OCCUEreNS AD in F
x perimecris in Ide K, cum rectangula AL. TI.
EF B,xqualialinc, rei ex rectangulaIL B, AT. Iis
_ RPB, ALD; cruncraciones blacerum recipro.
ca: hoc ett, eric AP ad L B, vE OP ad FTL, e
AL. ad F B, VEIF, ad L. I, vel KL adt L D: qua-
re cciam ve GT. ad I. FI, cita IG ad TTF, _ LR
ad F D, sivc LR ad F D. rursim cum sIE VE A C+ ad
G B, ita IC ad F G vel KC ad CC (Ob AGF.
CGB, Icem KGB, AG C. rectangulorum aequali
cacem) erit IG ad G L, VE RIad F C. QuaEC CX X
quo F. C ad F D ve Ci F ad FIF. Ouod fuir de-
monstrandum.
PR O POSIFIO XXVY
Puncto P exrra circulum posito, ducta ad cenerum ejuldem H
Linea AD dinila licineres continuo proportionales. quarum media
Sc lemidiameter BD, terria C D: crectaque ex C perpendiculari CF,
IUnGRnEUE AF.
Dico A F contingencem eNe _E COHETA.
Demonstratio.
DOnatuE DF. Ouoniam DC, DB id
eAt DF, D A, circum angulum Com-
munem ADF proportionales (WHE,
CrunE FCD, AFB criangula similia:
unde angulus AFD aequalis est anou-
10 FCD per hypochesim recto: quare
AF circulu corinoit. Ouod erat primu.
Tam vero sic AF contingens _
FC normalicer ad AD diametrum po-
Sira. Dico AD, BD. CD in concinua
cleanalogia: Cum enim AF siE Concingens et FD diameter, erie angulus A L D
rectus adeogue aequalis angulo F CD, est aurem angulus AD F communis crian-
sulis AF. D. FCD, igitur eriangula illa sumilia sune, et AD ad D F, id cst D B, VEDF
id DC. Ouod crac demonstrandum.
Est bac apollonus L. prim. propo s. 35. alicer demonistrata,
PROPOSITI LAVIIL
TOntingat AB linea circulum BC D: ductaque AD Per cen-
serum ponatur ad illam orchosonalis BF, quam in C. secet quxedam
AF, occurrens circulo in II, F:
Dico quadrarum AB, aequari rectangulo F C HI, rna cum quadra:
id GA.
35. Lerri
Demon.

## Folio 186 — 1815201908:0243
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000243.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
11
IR CYLV S.
Demonstratio.
Lisc enim quadracu A B agua.
Lse quadracis BR n B, A, hoc
estrectansuloB CTrna cuqua-
dracis Calis L. A. Veex clemen
eis pacer: est aurem quadearum
A. aequale duobus Critis  A
ergO AB quaATACUM XquaEuE
BCl hoc est CFl rectangum
do rna cum quadraco C+. A: quod
fuic demonstrandum.
l cde a Le
IIdCTHI POMCISILAHSAMIAT ITE, FF;
L 2 l X.
Vicolimeasres HE, B tn F. F, in conrinua este analogia:
Demonstratio.
Penim FTD incelligatur produci in R, exit F R ae qualis ipA R F, VE cL Cie
eis educicur, unde _ HFF rectangulum, aequale est rectangulo BL L, id eAt qua-
draco BB. Ouoderat demonstrandum.
Ildem POlICIS:
PROPOSITIO XA1.
Dico AF ad AII, eandem habererarionem quam FG ad GHI, (1.
ve AF in C e HI diuilam, excrema e mediararione proporrionali.
Demonstratio.
Ectangulum FGFI, ona cum quadrato OA; aequatur B A a quadeato led
BA, quadraro aequale estbrectangulum F AFI, isicur FOHI rectangulum rua
cum, CA quadraco aquacur F AHL rectangulo: quadrarum aurem AC xqualo
Acrectangulis AC, H; C AH; rectanguta isicur F C FF AC HI, C, AFP, aequancur
i. FA H rectansylo: Rectanguto autem F A FI xqualia quoque sune s cectangula
GTTA, GATI. ablaco igicur communi rectanoulo (+ AFL MAnCE FCHI A re-
ctangulum, rectangulis AO FI, F C FB id est rectargulo F AC HL xequalc. vnde re
F A, 2d TI A, EC F C 2d GFI. Ouod Fuic demonstrandum.
Scholion.
Aec Propoo Pontur a lappotoro septimo proposrione 154. ed quia sort casut viaetu
applicata quo recta RD. per centrum ducta est circuliB D C. adeoque ex videatur casum
ecta A F excludere, placuit ostendere vniuersalem prorsus esse: Diio dipsum praestas apollo
nics lib. 3. Proposuione 37 sed diverso à praesensi discursit. .
R

## Folio 187 — 1815201908:0244
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000244.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
R
C IR C V E VS.
LICOEODLLIO LLLL.
Z A ducta (ICPer CMMIM CITCUM BOF sectA AB, que AD ad
87
ABraciocademlalione , adC B.clcbla eleoMaC. F,
Dico At concingere circulum.
Demonstratio.
Penim nOn COnTInSAE, POnatuF PCF L
contingens FG OCCUTrCNS AD in
Ci eric ergo per praecedencem DG ad
ErB, Ve DC ad CB; sed exhypochesi
veest DC ad CB, ita cAD A ad AB,
Tgicur ve DG ad GB siC D A ad AB.
e dividendo ve DB ad B C se DB ad
D A: Guodherinon porest; cum puncta
A _ C supponantur diversa: quare
F C non est tangens: (cd AF. Ouod
crac demonstrandum.
IUnSREUE AF.
ROTOAITIO XXXII
VIc AB recunque divila in C, ee ex A ducta quaenis AL, extri-
bens angulum E. AB rectominorem: Oporceacin linea AF, pun-
AtaalIgnarE F. d F, a quibus ad C ee B rectae eductae, angulos AFB,
AEB bitariam sCcCME.
Constructio e demonstratio.
PRoducta AB in D, HaC vE
AC ad C B, ita AD 2d
DB: _ suPCF C D diamCErO
descripeus sic circulus CFD:
cuiuscenerum H: Cccabit au-
cem ille, vel concinger rectam
AD vel neuerum peaectabit:
Sececisicurprimo A F lincam
in F ec F punctis: Dico illa
ense, que deliderantur: crecta
enim BC. perpendicularicer
ad diamerrum C D, JUngANEUF
AO, FC, FB, FFT: CK, BF. HT E: quoniam ipituF VE AC ad CB, ita est AD 2d
DB; a normalis sIE B C, diametro CD: erir AC recta concingens: circulum. Lr hain
vnde _ AH, CTI, b B FI, continux sunc proporcionales. est aurem Fi FI, vel F. FI, b27. huius
medix CH, aequalis; ergoc anguli AFB, AF B, Per rectaS C F, C P. divisi lunc bi- c u. dopro
fariam.
presionibum.
Ouod si circulum C ED contingat AC, in C: iunganeur punct a G B, GC, GTF
quoniam AHI, CII, B FI. Cune in concinuata rarione; e C. II linca media CFL, 2.
qualis est, deric AGB angulus bifariam divilus per rectam CC:
Manitektum aurem ck A A F. F recta circulonon occurric, ccMarE MaCeTIat PEO;
POLCam.
1 2bia
Corolla

## Folio 188 — 1815201908:0245
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000245.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
3. sexii
11. de
rossionibus
1. depro
5. 1b. ac
111011.
L YS
Corollarium.
a quiblis da C de B duaxe lincae, angites AFB, AF B bifarianmi sccanE, problema
Coluuncinam an susIo AF B, AP. B, divisis bitariam per rectas F C, F C, crune AF
ad FB, _ AF ad F B vE HC a C1.
ressionibu
32 bouitt .
N idemrecidic, codemq: modo Coluieut problema, quo ijdE postispecuntur in AR
linea extriberi puncta F _ F, ad que ductis ex C e B lincis; AanE AC, CB prO.
portionales rectE AF, FB, AE, E B: inventa enim per praecedencem puncta F _ P
P
PROPOSITIO ZXXLII.
Dico AB ad BC candem rationemobrinere quam AF ad F.C.
sE BF F circuli diamerer B F. producta vEcunqUC in A: ex qua sCCAHS
BaEUT A F: _C CxF, reCtA C F, VE AF siC ad FC, SCur AB ad BC.
ementsorit
VngantuE DF, BF: cumigicmr SF
AF 3d F C vC AB ad BC, crune
anguli AFB, B
C aqualeS; RUr.
sum cum D F. aequalis (ic D B, erunE
2251SCD.
concinuta analo
8ia. vnde AB est ad B C, veb c AD
id BD. _ cum D E recta (ICXquA
is DB, eric ve d AB ad B C ica AF
d F C. Duod tuit demonttrandus
PROPOSITIO LLLLI.
IE AB ad BC, vE AE ad F. C sieque B L. dimila bitariam in L
Dico AD, BD, CD Fore in conchua aBalogia.
C27. huius.
Demonstratio.
 CeuS. centrO
incerualo D, e eri
gatur C F normaliccr ad AB.
ocurrens circulo in F. ducan
EUEQHCDF, AF: cum isicur AC
AB ad B C, VE AF ad FC
cxic linca c A F contingenscir
culum, vnde AD, BB, CD
Elinex in concinua lunc analo-
sia. Ouod crac demonctradum.
PROPOSITIO XXXV.
E AB recta, per cenerum circuli C F D ducta; HaF AUTCM VE A C al
BF, C F
Dico AC, CB, d AF, F B, proporrionales esle linens.
muenies hanc in libro de lineis proposssione quarsa vel quinta aliter demonstratam.
D, ita C B ad BD; _e ducta A F secanre circulum in F: iungantuT
Demon.
qus eu u ui u tet e  te  q e  tet e pi ee e    pe e e te e e et et u e  ut e   t t ste e e tet e e e te et  e e   et le et ste e st e  1 .1

## Folio 189 — 1815201908:0246
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000246.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
exun
ualen
dle
D
12
ve
alita
Ci
trane
BBenS
D.
Ar
tam.
AC
19an
e
C. IR C V LVE
Demonsnto.
iX F Cehiro potratur F. F. Ouo-
Loniam PONIEUE VE AD ad AC)
ACDB ad CB; CrUnE AF, CFs
B F linca : in continua rarionc. 191-
cur cum FFCc aequalis medix CF,
CA AC b ad B. C, vE A F ad FB:
Est hac conuer sa rricesimae cerriae hu-
ius.
P ROPOSITIO XLVI.
IE AD linea vecunque dinila in C: de seripeoq super C D circulo,
D Ponacur ex A linea AP. Occurrens circulo in F: duCaTUT aUTCM FB,
ve AF, FB proporcionales sint, lineis AC, CB, d ex B crecta normalis
occurrac circulo in C.
Dico AO lineam circulum contingere.
Demonstratio.
Vm sc A F ad FB, BE AC
ad CB, erie angulus AFB
divisus cbitariam: quia vero linca
FHI, rectae CH aequalis est,
erune AIB dCFB BE in conei
nua ratione: Unde e G A circu-
lum cconcingir. Quod fuit de
monstrandum.
PROPOSITIO XXXVII.
Irculi ABC diamerer AC, verimque producta lic in D ee F. pun-
cta, aqualiter a CeHErO FT dictantia, Polca deinde DB contingen.
rein B, demissague normalicer B G, ad C A diamerrum, AAEO F, aqua-
lis AG: ductisque rectis DI, TE. innoaneur IG; IF.
Dico DI, IE, iplis LO, LP proporrionales esse.
vngacae Al. Guolicacu
DB concingir ciecu.
tum ee BC normalis po.
nicur ad diaMETEUM, OFHNE
FDEL, AHI, BHin con-
cinua analosia veile BII,
CFI LHlicltaucem f1L
IPA ALL LGuacoS BIEUE
adIF. lcdveL CadC l,
iins
B22. Lib. dC
non
du
et
C27. hnins.
c3.
ve EC ad C F ica 5 F. I
ita D A ad AG, hoc eAt
Demonstratio.
ronibum
DF ad I6, quareve B L ad IF, ita D F ad IO. ee permurando inuerrendo DL2d
Llve LC ad 165
PRO

## Folio 190 — 1815201908:0247
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000247.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
L 2aC. L3.
eRO PD SILIO AXXVII.
Ireuli ABC diametruM AB ICCCE in F recta quaenis DE, Cumpeo.
que AC arcu aequali AD, Ponatur ex C per P. linca C G COnuE.
Dico AC ad S Casidem habercrationem quam AF ad FB.
Demonstratio.
VNGANEE AE, EB, X PeF B POnatuE TR aequidis
sanSipA A F: quoniam AC., A D AECUS (UINE Xqu2.
les, crunc ex anguli AF C, AF D quoque aequales:
quia veroangulus AF B in lemicirculo rectus cA, 2.
deoque duobus AF C, CF B angulis xequalis, dem
Pris AF C, AF D aqualibuS, aqualeS reMAMenEAN.
guli DE B, G F. B. suncaurem e anguli FBC, E BI
recti, cum IK aequidistet AF, aequalia isicur lune
lacera YB, RB: quare VE A F, ad TB est B, id cA AF.
ad FB, SIC A F est ad R B, id est A G ad CB. u0d
crac demonstrandum.
ROPOSITIO XXXIZ.
TIrculum ABC incerlecer alteF, Cenerum
habens in perimerro AB C: iunctilquein.
cerlectionum punctis BC, PONANEUE ex A
irculiincerlccancis, quals AL, occurrences perimerris in D de
mienseum diamecro in Ci.
E, recta vero BC in F.
cen
Dico lincas AF, AD, AP. in concinua esse analoxia.
20. hotritr.
emorstratio.
SOCUE Cx A per cenerum circuli
ABF diaMCTCF A G OCCUErONS pC.
terris in C _ TI, ecca reto BC. in li
iungancurqueoL KC. Camtonut AG
Canlcacpercentta CMCorarele incer-
dinila: vnde angulus ALF aqualis an.
Cccancium, eric BC in Ia normalicet
sulo AP. C in Cemicirculo posico: c
aurem C AF angulus communis veri
que criangulorum AIF, ACF. simi-
QutarC VE AT, AF, MC AL a C+ A: 2.
acdGC F AF rectangulum equalc,t.
lia Cunc isicur criangula AIF, AO B
calo IA Cid C quaaato AC, I
cA AD quadraro: proporcionalesigi
cuclume ACL ublbla.
monctrandum.
t stu    s sse uss  et a e ptet ate a sit tee ea u  t ei s  e ti ia ut es  et e e p  e  e    tete e   ote  e e s t  tte us  s  pu

## Folio 191 — 1815201908:0248
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000248.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
C, lun
C 6c0
PB
C IR a
rectuse
qualis,
CManeM
CBO.C
12 igitur
B, id et
cus lun
I9uC 29
d CB.
EXIK
Cent
rista L
ve
JOrma
UTreM
0B
ut
ietou
qualis
Olito
B
quale
nales
Ecat
EAR EWZ N 1B.
PROBOSITIO XV.
ic A B, AC contingences circulum BD C. duetxque BC, ponacui
quidistans AF, e ex A diamerer AC, occurrens perimerro in L
ex quod ex B, aBacur B H; dein pet quodliber purictum in perimerro at
Cumpeum F duCaNEUE C FI, BFF.
Dicoreclan ulum lAL. Guacato AFL aequale essc.
emons
Vmacur arcli C F, aqualis BE, RE peF L ducta BL OCCUTFAE A L in R: L F
quoque iuncta secec AB, concitigemem in M. _ HIB in NI: deniqueponatur 
concingens. Ouoniam C F, BL. atcosponuneur a juales, crit L F IOI BC 2de0-
que _ reCX AH agnidiltans: quis vero OD, OB contingenres ex eodem cdu-
cuncur puncto xequales sunc O B, OD, adeoque _ MB, MN: ac proinde quia ML,
AIB, MF sUNEPTOPOrTIONAIES, CTUNCRE M L, M NV, M F quoque concinue: (c d ve
ME ad MN SIC AK 2I AFI, _E rE MN ad MF SIC AET eA ad AF, pro-
portionales igitur (unE AK, A HI, AB: CA aurem ipEi AK aqualis AI (quia BC il-
li xquidistans, ab A C: diamecro divita hebitariam) isitur AI, AHI, AF inconci-
puntumcanalosia. Ouodcrat demonttrandum.
P R O P OSIFIO XLI.
AoTegmento cCuli ABC e recta C D, recunque ad A C poli-
ta; oporleat lectam ducere AD, quam dividat arcus ABC. in B,
sccundum dacam rationem Fad 6.
Constructio ex demonstratio.
luraatur AC Vans lexmenci in F, secun
dum dacamrationem F ad C: crecta dein-
de PB, qua aquidister C D, Occurrence peri.
metro in B, ponatur AB D: Dicotactum quod
Dericur. Pacec ex elementis.
possit non solum in termino recta AC. sed vel intra
vel exira circulum. in quanis parre AC productam
Hic Hotaru dienum es, quodpinctum C assumt
RO

## Folio 192 — 1815201908:0249
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000249.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
 11
CTR CVLVS.
ad AC.
PROPOSTTIO XLII.
AEocirculo ABC, linea AC, quae non sitmaior diatmerro BB, ee
catione C ad HI, Oporreat aceram FC, circulo inlcribere, quxe X.
juiditer AC, ve quam C, dd tl, haber rarionem, habeat quoque F. F.
onstructio es aemonstrato.
DOnacur BD diameter normaliter ad
A C, RaEgnC VE EI ad C7, ica AC ad
TK: guxe in circulo A BC applicaca, di.
iidatur bifariam in puncto L; iunctaque
ML, AaC ReCtX M L aequalis M P, POn2.
CUEG; F P Fquae aequidistet AC; parecta.
ctum quod quarieur. nam rectae LB, IK
cumsineaque a centro remoex, incerle
Equales sunE.
OeOSTTIO ZLIII.
Ectam AB quxe non sic dia.
Llmeter, altera C D incerlecer
ad angulosrectos in F, VE DF ad
E C daram habeac rarionem P,
ad C.
Constructionem ex demonstrationem
huin invenies in libro nostro de ellips: quae
hic non ponendas iudico co quod ab elipst
planie sit dependensi
eaDAOSITIO. XLIV.
Puncto extra circulum dato, lineam
lcirculo immittere quX daEx SIEX qUA.
lisimodo ea diameero circulinon (ic maior.
Constructio es demonstratio.
eplicetur dare rectae A in circulo BCD X.
qualis BD; dein ex F centro delcribatur
alcer circellus, conringens BD. in II: Deinde
EUM OX F puncto daco POnaEuF F C, concingent
cundem circellum in C; Occurrens vero circulo
ABDC in R et C. DicO CK, Fore quaesirami
cum enim xequalicer DB, C R, distenE a CCHITOP
quia concinsune eundem circulum Et THI:)
aequales cuncincer (e: 2c proinde recta A, Equa.
dem poluimus C. K: quod tuir prxstandum.
PR O.
  te e t e   s  p 1e p 1 .   e 1   p 1 te    s . 1   et A  1. e  s s e    e. 1es 1  1. 1 te 1 1 1. 1 1 1. 1

## Folio 193 — 1815201908:0250
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000250.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
n (Ic
incet
CI
Onet
onstrain
uo
e licaqt
Cicpe
BC
delerie
Concin
10
qual
p
E Ait
JUm.
CIR CV LYS.
e R OPOSIFFO XLV.
Dem praectare a puncto inera aream circuli posito. Oportet aurem dat2
hoc calu non minorem esse rectaillâ, quxe per P. polica ad diame-
rum, per L quoque cran lcuncemnormalis (II.
Demonstratio.
Aex A veprilis, accommodetur in cir-
culo, equalis BD: cenerogue F circu.
Ius delcribatur concingens BD in HL, EFaN-
sibic ille per punctum dacum F, vel infra
illud cader: cum enim ex hyporhesinorma-
lis per E ducta 2d diamerrum, Det P, quo-
que ductam, maior essenon posie daca li.
nea A, id cA D B: PatCE _ P F diameerum,
qua rectam per R ductam sccat orthogona.
licer, maiorem non esse diamerro, quxe li-
neam D B daca A Xqualem orthoxona-
licer diuidercc. vnde circulus radio F II deCoriprus, vel cransic per F, vel intra cadet.
veraque calis agacur per P concingens circulumradio F.HI delcriprum, parecillam
requari recta DB, id est dacae A: quare Fecimus quod poltulabaEUT.
PROPOSITIO XLVI.
Dato extra circulum puncto lineam educere quae in data ratione à
Laperimerro dividacur: oportet aucem rarionem daram, maiorem
non esse illa que repericur incerparces linexe quae a dato puncto per cen.
erum ducicMI.
Constructio e demonstratio.
Ec dacum punctum A ec circulus BCD:
daca quoque ratio AIE B ad Li, quae minoe
sic racionis AB dd BD, parrium diamerris
Aac rectis P, F aequalis CTT, e CIquidem
ApAE: intentaque K media inter IG, CFI)
POnAEUT Ex A COnTinSCNS AC, _ VE R ad
GIsiC AC AaC ad AL: Pacoe ex datis
AL minorem ese A C, e non minorem
AB, adengue punctum T in perimecdcl.
se circuli: ducatur igirur per L ex A linca
AM occurrens circulo in P _ M, dico
AM Cacistacere pecicioni; cum enim L AM
rectangulum aequale sc quadratO AC e
TOTI rectangulum quadraTO R, POnacuE
aliem e I. A 2d AC ve IC ad K. crune
CI. R, CII linex proportionales ciuldem
ACELHS EUM ALS AC, AM; vndo vePrI.
in2 OI ad excessum FII, id est per con- 
Aructionem DE E ad F, SiC ,A F. quarra ad
excessum L. M. eduximus igicur à dato punrc
40, _c. Quoderartaciendum.

## Folio 194 — 1815201908:0251
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000251.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
et    p u e 1 e1 11
IR CF L VS
P R O P, OSITIO,XLVII.
ectam D BF. Poneres eua recta, aqualem BF. consticuat.
Constructio ex demonstratio.
DOnanEuE AB, C B concingences in B, circulos
ABD, BP. C; occurrences perimetris in A e
C: dein per A, B, C, circulus delcribacur ABC,
quem in B concingat D P: dieo Factum quodpo.
Culacur. octensum est enimlesmenca, ADB, BEC,
ABC esse incer a le Cimilia adeoque DB
tangencem in B diuisam bbifariam: poluimus igir
cur per B rectam; _C. Duod cras Faciendu.
PROPOSITIO ZLYTII.
Ecencinnicem repriuscilculi duo ABC, AHB in A de B. Opor.
ceac ex B rectam educere BF. F, ve E Fperimerris incercepra sic data
Construitio e demonstratio.
Onsticuneur BC contingens circulum A HB in
B. oporcec dacam lineam D, hac concingence ma.
iorem non eNC; iunetis A C AAE VE C B, ad AB, ita
D, ad C. Dein ips C Hnc aequalis AF, d iuncta BP
perringat in B: dico factum ese quod perieur. Ducacur
enim AF. quoniam angulus AF B cam cum angulole.
smenci AHIB, id eA ABC angulo (ob C B cangen.
cem) quam cum AF B, duobus rectis cA xqualisi dem.
Peo communi AF B remanebunc equales anguli AFP,
AB Cisunc aurem e anguli ACB; AF B cidem inf.
Rences areni equales: similia igicur lune criangula A P P,
ACB. vndo AF est ad FF. ve AB ad BC, id ct
per constructionem ve C ad D: de Permutando ve AP
ad O, sC PF ad D: quare cum AF, _ C aequales
POHANEUT, CTUHESE PF, D linex aquales. Pertecimus
isicur quod postulabatur.
PR OPOSFFTO XL. IX.
Ndato segmeco circuli A BC, ex A, ex C duas
lincasinclinare, Pele inperimetro decussantes:
quae datam incer se racionem contineant G adH.
Constructio es demonstratio.
Tuisa in D rectâ AC, seomencum subcendente, se.
cundum racionem C ad FI; bilCCCET AFCUS ARC
In F3 _E PEF D ex E, rECtA PONAEUE FD B, iunganEuE
AB, BC: Dico AB, B C ese quelicas. Cum enim an-
Suli ABE, P B C aequalibus arcubus insIsenEeS equa
c3. sen. Les line, eriec AB ad BC VE AD ad D C, id est per constructionem ve C ad FI.
ClRCV.
Neerlecent seleinuicem duo cireuli AB D, BF C in B. OporreaL per B,
2II. huiu5.
ta Amiuia
Equalis.
 ie e u es e ue  s e u .  e u  it e  a p  1   t  (  1  i  e    p   . . 1    p i a u.  n  pr  u  1

## Folio 195 — 1815201908:0252
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000252.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
at
AI
eeud
iunde
n
sula A
indon
Pertet
X.
_C
Clla
1c64B
ndenter
reus AB
nEesE
5
IRC
CIR C Y L Y S.
IRCVLORVM
L R S SF C V ND
De Anculorum es arcuum circularium comparatione.
PR OPOSFFIO L.
Irculum AB C, cuins diameter AB, ContingaE in A reCTa AF, in
qua alsumpto quonis puncto F, Bonatur F C continsens quidem
circulum in C, occurrens aurem diametro AB prorractae in D, iun-
ancurque C A.
Dicoangulum C F. A duplum este anguli C AD.
Demonstratio.
DET CENErUM P dIAMCTCF PONaTuE C C: Ouo-
niam ED circulum concingit in C, & C
diameter est, eric a angulus C CD rectus, adco-
que angulo F. AD aqualis. est aurem angulus
E. D A communis criangulis CFD, FD A: igieur
CFD angulo, angulus AF D aequalis est. sed
angulusb C FD duplus est anguli C AD, igi-
cur ex angulus AF. D, eiuldem C AD duplus
eM. Duod erac demonstrandum.
PROPOSITIO LI
Slumpris in perimerro AB C, cribus arcubus xqualibus, AB, BC,
CRCD, ducantur per duo guaedam puncta F, E, FeCtX AF, BF, C F, e
BE, C F, DF, occurrancque in C, H, I.
Dico angulos I, HI, C, inter se aequales esse.
Demonstratio.
DOnantur ex puncto H, reax F. R, Ll
B MI, quae aequidistene lincis AF, BP, CF.
eruncicaque anguli R B B, I. E C, ME D, X.
quales engulis L, FI, G; quia vero arcuS AB.
BC, CD Ponuntur aqualeS, _E AR, BL, CM
arcus aequancur arcui F F. ad eoque d inter se,
reliquiguoque arcusRB, L C, ND, ex anguli
RF B, LEC, MF. D illis insiltences xquales
sunc: quare de anguli L, F, C, Cuntinter (C x qua-
les. Duoderac demonstrandum.
1
cerriu
6b
PRO.

## Folio 196 — 1815201908:0253
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000253.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
CTR CVLVS.
Ldeositio AII.
Ontingant invicer interinseculiduo ABC, DLC, in puncto C:
sexquo cductis C A, C e lumancur puneta b, F, ih lHSuorum ar-
Dicolilinex illae concniane, angulos C IF, FHC aquales esse.
Demonstratio.
cubus ex quibus rectX PONaNEuE GF, GD, FB, FA.
DE_ aequalis exit.
Incprimo O de P, punctavet sixravel intra angulum A C B posica: Ouoniam
arrsersii Danouli C BF, CAF, C F arcui insistences aequales a sune, vei ob eandem caulam.
2. 207
anguli C F. C, CD C, id est IFB, IID A ad verricem polici, crunc anguli TEB,
E BI simul sumpei, aequales angulis TID A, D AFI; quare _ tercius F IB, cerrio
Ouod si vicumque pun.
ctorum F, de G, angulo
AC B, ContinCAnEUF, HaCFA.
cione alterrione demostrabi.
Mus: cuanguli b AC B, AFB,
duobus rectis aequales sint,
vei ec anguli F CD, B CD:
dempro igitur communi an-
SuIO BCD, MAnCE AFB,
al Bulo F. CD, ac proinde
reliquis AB L TCHGuODCI
aequais. lune decem ad vet.
FHC aquales quoque luliu
ricem anguli FRFT, OKI
aequales, igicur reliqui F1O
adac Jam alcelderum punctorum, pura F, inera, de aliud exrra angulum
EB: dico rutu adsalos HI, I esse incer se aequales, cum enim angulusF BC
cam cu anao ela cu ooud rellone eascanto oCo.
munl

## Folio 197 — 1815201908:0254
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000254.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
neto
um.
b
HC
IOSF
Oct
C. IR CYL V S
muni FBC, cricangulus F BF aqualis
anguIo E AC id CA D AHI, Cuncaurem
e anguli CFC, CD C cidem insisten-
ces arcui aequales, isitur reliquus I, X-
quatur reliquo angulo TI. Ouod crac der
monctrandum.
PROPOSITIO LIII.
Vex sinenormales a terminis
crianguli ABC, ad oppolica
acCTA.
Dicoillas lese in eodem puncto decultare.
Demonstratio.
Ircumlcribatur AB C criangulo circulus; d
Der AC puncta alcer circulus describacue
ADC, aequalis circulo ABC. Productagne BI,
occurrarperimetris in D, _ K, _ per D quidem
ex A _ C, AGAHEUE CDF, AD F, iungancurq;
AF, CF, CK. Cruncieaque anSUII AF C3 AF C
arcui AC insistences xquales; quia vero anoulus
F AC, rerique circulorum equalium communis
CH, aECUS quoque DC. CF aquales sune, vei illoru
Subcensae; ob eandem rarionem quoque linex AF,
AD sunC xqualeS. Rursum cum angulo DKC, id
CK K DC (ob circulos aequales) duo anguli incerni
DCB, DBC, aquales SINC, CrunE duo arcuS E B,
R C id cst D C aequales duobus arcubus B R, F C;
ablacis itaque aequalibus arcubus KC, C B, rema-
nene quoque aequales arcus F B, B F; quare anguII
FCB, BC F. quoque lunc xquales. licur e anguli
FAB, B AD. vnde cum AF, AD lince, adeoque
e anguli AF D, AD F aequales sinc, erunc sc reliqui FTIA, D II A quoque incee
se aequales, adeoqne de recti. eodem modo ostendicur angulos ad C polcos, esse re-
eto5. quare paretnormales BI, CFI, AC, Pele in eodem puticto decustare. Quod Fuie
demonstrandum.
lLOFOSIIIOLIV.
Ndacum circulum ABC, a dato extracum puncto D; ducta lint
OL, BOF auFCTCNEES ArCUS FB, GC. Oporret ex alio puncto ex-
Lacirculum assignato, H, duas rectas in circulum immierere, quae ar-
cus duosincercipiane, duobus FF, CC arcubus aequales.
Demon-

## Folio 198 — 1815201908:0255
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000255.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
+ huiaes.
Ibid.
Cta
LVS.
Constructio e demonstratio.
rCaNEUF CX FE linCR FI B FTA, AVE KI, BA, circu.
lO inEercepex, equales sint rectis C P, C F; e factum
e quodun imperacum. cum enim AB, LC sint aequales
lIHCX, CTUNE aECUS GF F, AIB aegnales, vei CarCUS
ONE LMT, ObTK. CP aequales lincas. ablacis igi.
E XGULDUS AECUbUS KNTT, CN E remanCBUNE areiiS
R B, FL arCUbUS GC, FF aquales. demisimus igie
= FT puncto lineas, sec. Ouod pexectandum fuit.
PROPOSITIO LV.
Daro exera circulum puncto, demista sic per
Acundem recta AB; ovorrcat alteram ducere
AE, quae arcus auterat C F, B F, qui simul Cumpri, angulum concineane
inConstructio es demonstratio.
Itac angulo D, aequalis BC B: _E CX A pORauE
AF, qua rectam F F, aequalem linex C C. b exti.
beac; cricque peractum quod requiricur: cum enim
CC, F P. linCX AqVeNEUE, eric arCUS F B F, xqualis
arcui CBC; rnde ablaco communi CB, remanet
arcus B C, aequalis duobus BE, CF. quare angulo
D. aqualis cA angulus, qui duobus arcubus CF,
B F. lmul Cumpris concinctur. per tecimusixitur quod
DeleBaTUT.
aqualem dato D.
L 1

## Folio 199 — 1815201908:0256
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000256.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
u
I
ne
jiu
99
R CV I OR V
PARS TFRTTA
De murua circulorum intersectione eS contactu.
eROPOSITIO LV
Ecta AB, concingat circulos
LBDC, Celeineodem B puncto
CONTInGENLES, CCnErOGue A, quo-
nisinceruallo circulus delcribatur, oc-
curresperimerris circulori sese contin-
encium in D, ponanturq rectx ADF.
Dico D F rectas inter le aequales esse,
tiuc ad eundem esse circulum.
Demonstratio.
Vmenim AB sc concingens rectangu.
IaD AF, aequalia crunc quadraco AB, 2.
deoque _ incer lesisitur linex D A, D B, DF,
in concinua sune analogiai lunc aurem D A
primx incer Ce xquales ex AB media com-
manis, isicur etiam primarum ex corriarum
difterentix DF, aequalesorunt. Quod tuie
demonstrandum.
PROPOS1 F
Vper AB radio quadrantis circularis ABC, culus descripeus, se
DAE B; ductisque rectis AF. D, occurrentibus circulo in L L, pec L. L.
POnantur D F normales ad radium AB.
Dicoreeris AF, aequales esse AF.
Demonstratio.
Lo L. I. D eIHIm E
VneancuF BE: edm AD aqua-
les sine AB, dc anguli AF B,
AFD recti; Iinc aurem e anguli
F AF communes; crune BF A
eriangula aequalia ec similia crian-
gulis AF D: vnde reliqua AF, A F
lacera aequalibus angulis subrenta
luneaequalia.
1ot. 1
Duod

## Folio 200 — 1815201908:0257
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000257.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
27. buia.
8 25. Purins.
EIR CY LVS.
Ouod si rectA DF demiceaneur nOrmA:
licer ad balim AC, SC oltenderur propol.
Cum: cum D P sinc aequidistantes AB, igi
cur anguli B AD, A D F, aquales lUNE:prO-
indegi cu de anguli A P B. AF D, recti linE,
Sinilia sune d aequalia criangula ABF.
AD F, X lacera aequalibus angulis lubrenla.
Duoatuir demonstrandum.
EROPOSITIO LVIII.
DEr duorum circulorum parallelo.
rum BDF, CFO CEnEruM A
Dico circulum radio B C deletiprum aequalem esse annulo duabus
circumterenesShlelceplo.
Demonstratio.
Veatur AB, be AB quadeatum, ad
duo guadrata BC. CR, ita circulus
aD BF, 2d circulos HIBC, CF C; sed
AB quadracum xquale est quadraris AC.
CB. isicur d circulus D BF aequalis est
circulis TTBO, CFC, Smul Cumpeis. ab.
lato isicur communi circulo CLC, re-
manebic annulus perimeeris x quidistan-
eium circulorum intercepeus, circulo
BHC aequalis: quod tuic demonstran.
dutm.
5
IA
ribus descripea, limisIa tuM
inneta cBL uasccam et
E punctum commune peri.
Pheriis circuloru FF, BFC1
a diamelro interlecatur.
acta diaerro DC E ponatur C. B continsens minorem à puncto quo
 dnotecim
2.t
P R OPOSIITO LIX
cuantur, centroque cireuli, qui laper bali exstructus est, circulus de
Vpertrianguli ABC, laceribus segmenta circulorum similia consti
seribacur qui alcerurrum circulorum AC. B, BFC. concinsat.
Demonstratio.
VEaNCAE CxD, Per HIa
GCerra circulOrU A B B,
DEC FCCtR DF, DF: e
circulus ED radio descri
pruscontingar circulu ABB
in R; igitur reCtA D FTR Pet
id il cencra  HLClaensd
curree, veclesdle in b, puncto
conractus E. quia vero se
ementa supet clat li late
ips F B; vnde cum DB.
a D F lince sinc equales, erit
Dico quod d tercium quo que concinsel.
ui    s   au u e taeo se ut   ut u at e eue e u us ee ste e sie et e se       .  e i ee e et e  e  s pri il s 

## Folio 201 — 1815201908:0258
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000258.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
EuENOI
CuIE pr
ses AB
eslun
Vilec
alis lobe
VI
Paca
indoc
EMPTuM
10du
ca
an
ica ciict
CFO;
deacis
umpris
CF
mont
2 COn
culur
ru
1
1
umC
les, et
CTR CVLVS
 cum cadem DF centra D C. veriusque conungat, pafet CHCum L. F, a in L aschol aa
contingere circulum BF C. Duod erac demonstrandum.
P R OPOSPTIOLZ
Ildem policis: Sicirculus cenero D descriprus alcetum circulorum
AF B, B F C secuerit:
1113HC
NLS
Dico quod es alrerum lecabic; ex secures ab veroque auteres.
Demonstratio.
Ccurrat circulus CenEEO D
deleriprus, circulo AF B in
M _ NV: Cadecigicur intra F, e
F. D lincam secabit in I; quiqves
OreCtA DF, D Fb aequales lunE
pacec circulum radio DI delerin
orum, quoque intra P cadere, 27
deoque e circulum BFC sCc2.
c in I e O. Duoderarprimum.
Hlocpolco dico secures M F. N
T. F O oblacas incer le esse similes.
ductaM B occurraE CircUIOT. FO
in L, octenlum eA propolcioneI5.
huius, iunetam DL, aequarireatx
DM quare cum punctum M in perimetro et
eadem perimetro. eadem ratione ostendetur, iunetam ( B communi occurrere in-
cerlectioni circulorum NEB, MI. O in N, inde cum NBM angulo anguus
LBO ad vercicem insistens, Equalis lic: similes exunc arcus M L, N, L. L O. Duod
erac demonsrandum.
P R OP OSITIC
Vver ABC trianoulilareribus semicirculi delcribaneur A L B, A R C,
DBF C quos contingat circulus centro D, deleriprus, in F _ L.
Dico L.C damertum circuli verum que continsentis, aequalem esse
diamerris circulorum AL B, BFC.
Demonstratio.
Del centra Da Il ponatur recta
FG IIInGANEOEGUO CCHETA D, Ps
quoniam segmenca similia super crian-
suli laceribus deleripeas semicirculi
TUnE, et AB B C a diamCEris D FI, DF
in circulo ABC bitariam divilX, CrUNE
anguli DIIB, DP B recti, vnde AB,
DHI aequidiltane de TIF parallelogra-
mum, adcog; B F, TID, icem B IT, ED
lincx aequales lUnC. quare cum FC
dupla sIEDF id est dupla duarum FFI.
TTD, id es BFI, B F, cric FC xqualis
duabus diamercis AB. BC. Duod etae demonlheandum.
2OT
13. cetl9.
b15.1
culi NL O, erir de pohaum L in
eRO

## Folio 202 — 1815201908:0259
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000259.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
IR C V L V S
oiB, d vd, db du. BBe L A LI
2C02
il cic  c. l03717
Lguli ABC centroque D circu apet Bali descripei, circulus describa.
Dico quod d alceru LC. concinser in B, P11I
PToIHc BI
3S BBISBB Cd 111BS  icl Demonstratio.
131
DETCEITA CIrCUIOTUM ACB, BL C;
rECtR PONANEUE Cx D, DG, DL:
e DC quidem producta occurret.
perimetio circuli ABB in puncto
concactis F; DF vero in aliquo
puncto FCirculi BP C, iung aneur.
que DF) Fi P, cumisieur DL, DO
cranseant per cenera circulorum
AGB, BT C, crunELB, GB duda
2m direetum: quia verO LMF dia.
mecer es circuli BPC, crie angulus
T BF adeoque de OBF reCtuS, ac
percinget in F. Rurtum cum LD, D C linex sinexquales, erune de
(ynFD F, D Fi X punctum F perimetro circuli RP F communes _ cum ND, li.
SMC Eis CHL GB B C. PA dedum. Ad.
t0nC). 9. 4
c
eR OPOSTFIOIZ
Vper crianguli laceribus conructa sine segmenca limilia AF. B,
FC, BL. C. _ ab incerleclionum punctis D, F, ad puncta A
aputur  circulo KHI aequalis F.C, _ paral.
lela rectae D A: describatur deindo circulus LK C H aequalis circulo
BL. CO, d transiens per puncta IE, FI.
Dico hunc tangere circulum ADI.
13. hrainn
Terum similia sermenta constructa sine super sinoulis laceribus crian.
CuTKFB qui circulum NOB concingat incerits in L.
anguli quoque BT. D, BCD aequales; sunt aurem anguli ad B osteni recti, reli-
quusigitur BF D aequalis reliquo est L FB, id cA P FD: vnde _ xequales linex
B13.serig. nC2 Per F ducta, CeHETA COMIUIBAED _ M, patet circulum R P P b in L concin.
C 10. huius.
Demonstratio.
S,NI L. PerCenErA S, N ducatur
recta QSINP C, OCCUrrenS
F, N Ponacut Tecla LRLH
Decurrens circulo BL C in O.
N, S, normalis c est ad AD, ac
proinde ec ad FTK iph AD p2
rallelam. Cenerum ioirur circuli
telum circulorum AF B.
DFC; BLC CCnETA Cine
Cductis lineis D A, FC
circulo AF B in T, _ circulo
KGHI in C. DEL CCMCa Vero
Ononiam OC iunsit centra
RC TTest quoque inlinca OG. consideretur iam punctum Lguarenus est inverle-
dpareser ctio circuli AEB acrectx OC. Ouoniam NIL, eA aequalis NP, _ RL d aequalis
N. erso OL equalis est I Ci, qua nempe polica est incer punctum C, e punctut
element. PC7. CtIC +V L a_aIo N CT. FIEVEEOSPCL ACIHOMETAEa 63 huius, etiam ON equalis
e t  erst  A   eu t   e e s   e e te 1  e e      e e  it t et 2 1  te et qee    a  e  tu     e t   1e  e te  e   1 1 1 .1

## Folio 203 — 1815201908:0260
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000260.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
ele
BV
de
11
ertin
a
les li
ND
AI
ncta
et
cet
A
n
ud
CIR CYLVS
in quo circulus A EB secabar recam QC. Ount cum circuli K G H diametex
aequalis sic rectae OL, diametro circuli BL C O, sequalis quoque crie rectae IC
circulus igieur R GFI cranlic per P. Aequi eciam lupra oltenaus cenerum eius df-
Cc in recta OC tranlcunto percenerum circuli A E B; CFFO CITCHIUS R OLL CalIZHL
circulum AF B C. Ouod crac demonstrandum.
PR O P OSI F 1O
per ABC crianguli laceribus semictcus calibantur ABL, BIC.
RGC, QuOTUM CCHETA SINED, E, F, cemtris aurem F vel P, circuli
Construancur HC, KN, qui circulum AC C Concingancin C d H.
Dicocoldem, quoque reliquos concingere In. L, L L.
emonstratio.
TCaNEUE FF, DF G, DF. quoniam
diamerri AB, CB bilectae Cune in
Cencris B, _ F, erie P E parallela AC.
ergove AB ad EB SC AC adt F F. quac
ec cum AB dupla SIC F B r eFIC AC du-
ola quoque EF. Ergo AD dimidia iplius
a C, hoc est CD, aequalis eric F F lmi-
licer quoniameres diameeri AC, AB, BC
bilecta sune in cenerIS D B, R PACCE
ED; BC, _D F, AB essC Parallelasip2-
Fallelogrammum isicur est R BF D. ergo
FB hoc est FL aequalis est DF. OuarE
CHIM EOTA F P EOti GD, _ ParS FF, parti D F. xequalis sic, rehiduum quoque TF
aequale crirresiduo C F, Hoo est circuli diametro CF, siue F. FI, quare punctum 1.
commune elt duabus peripheriis OII ec BIC sive puncta FI ex I omnino cadem
sune incer se. Vnde cum. R. F Per cenera circulorum ducta per Lpunctum eranteae,
manifectum est in eo concactum heri eodem pacto de alcero circulo cenero F de-
Ccripio demonstracio proceder.
PROPOSTTIO LXV.
Netiansulo ABC, sinc in continua analosia BD, B A, BC: d per
puncta A, D, C describatur circulus.
Dicocum rectam AB contingere.
Demonstratio.
Tonam ADC. puncta in perime.
lunc circuli, igicur sinon concingae
ecta AB, circulum, occurrac eidem in
alcero puncto F: igicur rectangulu AB R,
aequale erie rectangulo DBC, hoc est
perhypochelim quadrato B A, quodb eAt
absurdum: quarenon occurret B A, cir.
Monikiin A.
P ROPOSITIO LXVI
1 super AB C rrianguli laceribus segraenca circulorum similia deleri-
Peatuerint,
L X IV
Dico

## Folio 204 — 1815201908:0261
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000261.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
LR CY LVS.
C B laceta rrianguli producta concingere in B scemenca
Demonstratio.
Noutas A B C tam cum angulo AB F qudn
aticulo segmenci rehdui in eodem circulo
duobus rectis agualis estiigitur angulus relidur le
Smeti, angulo F B A Xqualis est: quia vCTO ADB,
AB C. Ccgmenca sunc similia adeoque de illorum
anruli aequales, eric angulus E B A limul cum an.
suloresmehei AD B duobusrectis aqualis: qua-
Fur angulo residui atcas Circuli ADB: vnde FC cundem
Aris duobus circulis ABC, SLF, oporreat extribere punctum
n per quoa la aluidare cireblos in similes parres.
Constructio ex demonstratio.
A Cca pet veriulque. Centra
RL recta AF, dividacur
iA C, veracio AG ad OB, AIC
eadem cum rarione A C adDB.
Dico punctum. C esso quod
quaericur. ducatur enim quaeuis
B CF occurrens perimeeris in
I_ HI: quoniam AC+ ad 6B,
eandem habec racionem quam
AC ad DL, exconstructione
CTIE A C ad C GI VEDF adD C.
ac proinde AC, ad GR VEF. C,
ad E I. _ CK ad GL VEKA
2dL F, id est BK ad L. F. de.
missis igicur perpendicularibus
KN. LM ad FB lincam, erit
simile criangulum K C DP, crIan.
BulO GM L. QUArC VEK C ad
GE, hoc cA AK ad F. L, id est
AC ad DF, ica cA KN, ad
LM; isicur BIL ad IF, estrE
AC ad D K, cum cadem pro.
portione dictene à ceneris qua
mtet Mrce. PCdIBICUE quo dimperacum tuic.
204
Dico AB
ADB, BFC
B circutum BF. C. Ouod erac demonstrandum.
Est hac conversa undecima huius.
continsic in B, re ex elementis parer. eodem modo octenditur A B contingere in
PRO POSTTIO LX
inter se sunc diameeri cixeulorum, quare similia segmenta lubcondune de circulossi.

## Folio 205 — 1815201908:0262
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000262.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
lcom
ABP
dem e
usreli
veron
1C d ill
mul eur
Qualis:
EC cal
pundi
(que et
ad 61
A Cad
eltec
erimet
C2d
ReM C
srudi
E2
3t
OD
1
ad L.I
licala
IE, C
CaM
61
VEK6
EL
XN,
eNETIS
dem P
arcula
de lineatum in circulis potentia.
R OPOSITIO
Oncingane selecirculiduoin A paticto, per qliod acta concingens
 ultaa allt  lo HBD aquale esse.
AB, Occurrat cuinis F BD ICCaHe PCrimeErOS in E, G, II, D.
demonstratio.
Dacec, cum vecumque quadrato contingentis AB, xqualCSE.
PROPOSITIO LXIX.
Egmento circuli AB C inscriprum hccriarigulum ABC, à cuiusver.
Drice B, normalis demictatur BD.
Dico parallelosrammum AB C in angulo ABC, equari rectangulo
AC. BD.
c. e
Demonstratio.
DAralleloerammum ABC, duplum est  crianguli
ABC, sCd e AC, BD rectangiilum, ciusdem du.
plumest, cum basim habeac eandem AC, e BD alci- 
cudinemsigicur parallelogrammum AB C in angulo
ABC; aequale est rectangulo ACBD. Ouod CraL
demonctrandum.
PR OPOSIFIO LZX.
turlum lcomenco ABC inlcripcum tuericeriangulum, a curus ver.
icedemilla BD, aequidister conrinoenti CF.
eo rectangulum ABC rectansulo AC. BD aequale esse.
CC
o

## Folio 206 — 1815201908:0263
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000263.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Senci.
pus
69. h1
106
E
EIR CY LVS.
Demonstratio.
Vn enim F C, BD aequidistene, erune anouli
DBC, BCF, id est anguli DBC, B AC 0b
P C tangencem requales; hmilia igieur sune crian-
suta DBC, ABC. vnde vE AC ad AB, 112
BC eAt adB D: PacCFigITUT ABBC, d AC BD.
rectangula cAC X qualIa.
eDPOSITIO LXXI
cinuicem circuli duo quotum vnus per cencrum alcerius cranscat
AC. quae punccalectionum coniunsir, lc diamerer cir
culi cran lcuncis per cenerum alletius; ad quam erigarur per B, in perime-
Ero ABC alsumpeunat, dormalis DB C; occurrens AD C. perimcero in
Dicorectangulo DBC a Gua AC BF rectangulum.
Demonstratio.
Veta CBFT, cum circulus AB C per alEe-
eius cencrum cranscae, cric b HIB aqualis
AB. inde ABC rectangulum xquale est re-
etanoulo TIBC, scd TTBC aquale cA rectan-
sulo DBC; isitur e D B O aqUaEuE ABC
id est c AC BF rectangulo. Ouod crac demon-
Arandum.
PROPOSITIO LXXII.
lamerrum circuli ABC, secet AB,
normalicer in E, ponancurq. quaeuis
EHI, Occurrences AB in C.
Dico E G HI rectangulum vnacum F C quadraco, aquari F. G HTrC
l G, _ AC in F.
angulo vna cum quadrato FC.
Demonstratio.
oacadinila in F, ex quianon bitarium
dinita elt in C etlc A C+ B, rectangulum vua cum
quadraro LG, daequale quadraco AF. Ccd AC B
rectangulo aquale est FCrHIc rectangulum; addico
isicur FC quadraco, cric PC II rectangulum vna
cum quadraco FCr, quadraco AL aequalc. igicue
Toniam AB ans Cu au Mamcrrt CD.
e LCitl cectangulum, rna cum quadcaco Ln
aquale cA F. C HI rectangulo vna cum quadrato
FC. Duod crac demonstrandum.
PRO.

## Folio 207 — 1815201908:0264
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000264.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
CIR CVL V S.
PROeOSITTO LXXIIL
F ABC seomentu circuli, cuius AC Subrenta, LCCCLCL ECCLA LD
Irrence AO in F ve angulus AF F SIE aGUaIIS LIIGHIO LCGMIenEI
BC. ducta deinde ex A quoruis recta AL occurrant pet MertO M B.
3CI S.lC
Demonstratie.
uclune
ad 1
ae AC
e L linexMM L
erum.
BC. B1
jusM
AMete
FIIIII
I per
10
12
esti
21
EXII
secet
L61
t
11
21
7
Dicorectangula F. AB, incer (c esse xqualia.
Voniam aequales sunc anguli AF P, ABC, ec Compiunis anvulas BAC, (-
milia igitur existunEErIANSUIA AFF, AB. C, vnde ve A D ad AF, siC A B ad
AC, rectangulum igicur C AF rectanigulo P. AB a xquale cAt. quare e rectangu. 217. sexro.
la E A B, inter se sune aequalia. Ouod tuic demonstranidum.
R
elsi 22L doa a e
AF omentO AB C inscriptierianguli A B C lacera producta exhibeant
Dcriangula ABC, C AF habenria hy guloS D AC, AC F lingulos
angulo legmensi equales.
Dico quadrato A C, xequari rectan gulum AIC F..
Demonstratio.
Voniam angulus AB C aequalis cA D
alo D AC3 e AC B communis
exiaSuS ABC, ADC, limilia crune
riansta ABC., ADC. codem modoh-
Macaehcer crianouta ABC AFC.
ue ADC triangulum limile eAt crian. 1I
ulo AF. C, U DA, AC, C F. laterS
coportionalia: vrideb A C quadraro xequalo eAt rectangulum D A C F. Quod bIbia.
ic demonstrandum.
aetBEI KLI.
Dico quadratis AC, BB, aGuari AD, CB, quadraca.
Ccurranc inuicem ad rectos in circulo ABC linex AB, CD, in F.
Piunctilque extremis, ex surgat quadrilacerum ACBD.
Dem d

## Folio 208 — 1815201908:0265
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000265.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
 1  m p.1 1  . 11
208
LA C. V. L V3.
Demonstratio.
Vn enim anguli ad F recti AInE, etunequa
deata AD, CB, Xqualia quadracis A P
P D, CF P. B. Ced iiidem aqualia quoque sune
quadrata AC, D B. igicur quadraris AC, BD,
aequalia sunc AD, C B quadeata.
1. Oli nt eo
PROPOSITIO LXXVI
Dictutat Suta ADCB, ACDB simul sum pca, dupla este heu-
ea acatera ACBD A.
Demonstratio.
Eatanoula duo ADC B, AC DB aqualia sunE 2 rect anoulo AB CD, sed e
ABCD rectangulo Gualia suncrectangula AP. C, AED, BF. C, BF D, qua
Cmul sumpea b dupla lintt Agura AC BD A, igicur e rectangula ADCB, ACDB
equalia sune rectaS S AF. C, AF. D, BFC, BF:D adeoque ex dupla AguEK
ACBDA. Abulum demonctrandum.
eROPOSITIO LXXVII.
Fceriticerum sele ad rectos in circulo linex AD, BF in C
Dico quaruos quadrara partium AC, C D, C B, C F, simul Cum-
oeaus Guacat amerri esse aequalia.
Demonstratio
Ranseac primo alcera linearum, puta A Da Celcu
circuli, iunganturque AB, BD. cum igicur anguli,
ACB, DC B recti(inE, erunc quadraca AB, BD, Xqu2-
lia quadraris AC, C en de CB, CD sinc CF, CD, (quia
BF. in C ab A D diamecrodiuita est bitariam) scd qua-
dracum AD, quadratis AB, B D quoque aquale est,
cum AB D Cc anoulus Temicirculi adeoque rectus, ioituE
etiam quadracum AD, equale eAequatuor quadearis
AC, CB, _ C B, hoc cA CF, CD: quod tuic primo
demonstrandum.
Ouod Sincurra lincarum AD, BE Cran(CAE pEF Cen-
erum, iuncta AB, delcribatur semicirculus AC B. qui
per C punctum cransibic, cum angulus AC B rectus
POnAEUT ex A, veri diamerer duCaTUF A C OCCurrenS
circulo ACB in F, per quod collocetur BFIT: iun-
sancurque HI C, PD, cruncisituE HC, FD linex a-
deoque quadrara incer c sc aequalia: quia vero qua
draca AB, HI C, Cunc aequalia quadeacis HIF, FC, AF,
FB, id est quadraro diametri A C ve prius ostentum
esti igitur de quadrata F. D, AB, quadraro diamerri AC
aequalia lunes sed quadrata B. D, AB, aequalia sunc qua-
deacis F C, CD, ec AC, CB, igitur _ quadrata RC,
C. D, AC, C B, quadraco diamerri sune aqualia. Quod
Fuic demonstrandum
PR
IIdem policis.
l. a
DPatet es
temensis.
      t t tete pe te et s  at pet e   e     ate  qe  t et e it A  a t  e       te t ite t      a   t l 

## Folio 209 — 1815201908:0266
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000266.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
ctune
deat
clle
e
M
a
Ei
Ie
Iuni
vero
etsi
raCa
CTR CYL YS.
eROP OSIT1O LXXVIII.
Ecenc teledenuo in C adrectos dux quavis AB, D E, in circulo
ABD, ee luper parcibus, circuli describantur.
Dico illos simul lumpeosxquales esse circulo ABD.
Demonstratio.
eculiinteele cam rationem habene quam
a diamerris a deleripra quadraca: octendi-
nus aucem praecedenci propolicione quadra-
ea AC, CD, CB, C F. aquari quadraco dia-
mecri circuli ADB; igicur de circuli supee
AC, CD, CB, C F, deseripci xquales Cunr cie-
culo ADB. Quodtuic demonctrandum.
PROPOSITIO LXXIZ.
Emicirculo AB C inscripra sine
Periangula quECUnGHC AF C, A DC,
actaque contingente HIK quae A C diametro aequidistet, POnAnEUE L. I,
DK normales concingenti FI R. v1
Dicoquadrarum composiex ex AF, P. C, ad quadracum composicx,
ex AD, DC eam habere rarionem quam concinet E. I ad D R;
Demonstratio.
DOcea HB diametto duearrut ad illaim
normalicer R F, D G iunganeurque P FI
DII E B. D B, quoniam F F normalirer in(I.
Rit rCCtEBHI, CTUNCEHI, HIF, HIB, lincx in
corinua analogia, ve ex elementis pacee. vn-
de rectangulo FTIB, aquatur TIE quadra.
cum; cademqué de czusa quadraco HID,
rectangulum GFTB; quare ve FTIadOTI.
hoc est F I, ad DK, AC F HT quadracum adt
DH quadracum: Rursum cum sIE vE HIF
ad HD, ItA COMPOSICA B CK AF, FC, 2d
COmPOTiTa CX AD, DC, erit re quadra-
um HE, ad HID quadeacum. sc quadra.
um composica Cx AF, F C, ad quadracum
compot ex AD, DC; igicur ve F Lad
OK, ica quadratuM COMPOIILX CX AR, PC.
ad quadratum composiix ex AD, DC.
Quod demonctrandum Fuit.
eKOEOSHIIOEXXK.
uodecr
Emicirculo ABC inlecipea line crlansula duo aBL, Ldi ae
que ex C, ad oppolica larera recte ducantur C F, C. F, vrcunque.
Dico siincra aream circuli occurrane rectis AB, AD, in E, F, quadra-

## Folio 210 — 1815201908:0267
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000267.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
mu mmppnem
DLR, OV, L
5.
AF FC Vna CUM reCtanGAL AFD bis Tumpto:
11.
AE B rectingulo bis Cumipeo, aelari quadratis AF, F C minus AFD
Ouod si aurem alceta ineta aleam circuli callar, alceta CKITaS dico
quadeara AF, LC e l B lectansulo bis Cumpro, x quari quadratis
5B Sii
o. Dem onstratio.
2 21s c
Lenim CAdAE CB, CF, inea aream temi-
circuli, constitucne angulos obculos, AFC.
AFC, Cum ABC, ADC recti unc, unde
per clementa quadrate AP, P C, cum rectan-
Bulo A B B, bis CumpCO, QuadrREO AC aqua
lia crune; sed cidem AC quadrato aequalia
(IINE AF, F C, quadrata una eum rectangulo
A E D bis Cumpro; igituE qUIadEATA AF,, FC
cum AE B rectangulo bis sumpro xqualia
sune quadraris AR, FC una cum rectangulo
AFO bis sumpeo. Ouoderacprimum.
Si vero CF, C, F exrra cadane; Pater angU.
lOS AF C, AF C eNC ACUTOS : quALE tam
quadraia AF, FC minus rectansuIO AL B
bis sumpro, aequabuntur quadearo AC; quam
quadraca AF, F C minuis AFD rectanigulo
bis sumpro: unde vericas secunde parris quo
que manifesta est.
Parris cerrix demonstracio ex anre dictis
clare pacer; isitUI, XC, Duod erat demon.
Aranaum.
eROEOStTIO LXXXI
BC triangulum iuatibatuE ABC, 2 cujus verrice 2d
Dico ADC rectangulum. _ lcclangulum ABC; denique quadra-
Demonstratio.
EA A F, F C, rnacum rectangulo A E B bis CumPtO, aquari quadratis
bis lumpeoi
Si vero extra circulum occurrane, dico quadrata AE, F. C, minus
AF, FC minus rectansulo AFD bis lumpco.
cum AC in concinua esse proportione.
cum demictatur verpendicularis BD.
Vadracum A C cIF 44 FCCLAIISCIII A BC, hbC ett
AC BD rectangulasu ve b AC, ad DB: led a
est rectangulum ADC, re AC 2d BD, igicur con-
cinvane candemlarionem A C quadracum, rectangu.
lum ABC, rna cum rectangulo ADC. Duod tuir
aeonaha
rectangulum ACBD es ad quadracum BD chOC
RC.
  p     e  ete  en et  ee    e   t      e   e   e   e   i sa  a   at que

## Folio 211 — 1815201908:0268
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000268.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
C. TR CV L. V S.
PROPOSITIO LXXXII
DEx extrema diamerri A B circuli A B C, circulus deferibatur ADB,
POlicaque AC, quXOCCUTEaE AD B perimetro in D, demittatuF
hormalicer D F ad diametrum AB, iungancurque DB, C B.
Dico rectangulum ex AB, DE, ad rectangulum ADB, cam rario-
nem habere qua eA incer rectas CB, DB.
Demonstratio.
Voniam ansulus AC B in semicirculo rectus cR
adeoque aequalis angulo AF D; _E AF D, ACB
criangulis COnUNIS ANGUIUS D AF. CTUNC AD F, AC F
riangula limilia. rule ve AB adt C B siC AD ad DF.
_C ABD F. rectangulum aquale rectangulo AD CB:
Ced rectanguluns AD CB est ad rectangulum ADB v
CB ad DB, igicur de rectangulum AB D F ad rectan-
sulum ADB csrc C B ad D F. Duod erac demon-
ctrandum.
PROPOSITIO EXXXIII.
Ceurrat circuli ABC dIAMeEEO FG In F.
orchosona AC, quam in D Scceenormali-
Ter BD, iUngANCuEqUC AB, BC.
Dico rectangulum ABC ad rectangulum AC BD rarionem obci.
nerceandem, quam FC diamerer ad A C lincam.
Demonstratio.
VnganEuE AFC. quoniam AC liner in F bitariam
adeoque ad rectos est divisa, CrUNE AF, F C linCX X-
quales, de AFC rectangulum xquale quadraro AF id
eAt2 rectanogulo E I CT: quia F E, E A, E C TUNC PEOPOE-
tionales. Sed E F C reccangulum est ad receangulum
AC. F E VE F C ad AC; igicur ee rectangulum AFC
2d A C F E reccangulum id estb parallelopramum AFC.
VE F C ad A C; quis vero est AFC receanoulu ad recE2.
sulu ABCVE AFC parallelooramum in angulo AFC.
ad parallelogrammum ABC, in eodem angulo ABC
cu ex iidem rariones habeane composiras) eric permucando AB C recrangulum
a Parallelorramum AB C, id est ad rectangulum ACBD VE A F C recrangulum
ad parallelogrammu AF C id est ad c A C F P. recrangulum, id cA ex demonstraris cibia
eFC ad AC. Duod erac demonstrandum,
eR, OP OSITIO LXXXIV.
cenelc vicunque circuli ABC, AD C in punctis AC, iunet aque AC.
OHanEuF C F. HI, C BC, Occurrences perimerris circulorum in B, F, 6,
IUNGANEUEGVE AB, AF.
Dicorectansulum ABC, ad AF. C rectangulum cam racionem obri-
are, quam C BC, ad rectangulum HE. C.
D
47. prim
5
b69. huin
Detn

## Folio 212 — 1815201908:0269
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000269.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
∞V L V 5.
Demonstratio.
VnGAnEUE AG, AHI: quoniam anguli
ABC, AF C ciuldem scomenci equales lunc,
crunc e reliqui ABC, AF FI quoque inter (0
aquales: vnde cum ex anguli AC C, AHIC
cide insistences arcui sinc x quales, cruc A G B,
AFEF criangulasimilia: _E AF ad AFI; Ve
AB ad AC. est aurem racio rectanguli
ABC, 2d AF C rectangulum compolITa ex
ratione AB ad AF, hoc est GB ad HTF, et
ex BC ad CC, e exiildem quoque compo.
sca est racio rectanguli GB C ad FIF C; igieue
ve rectangulum ABC ad AFC; siC G BC
rectangulum ad ITF C. Quod crac demon-
Atrandum.
Corollarium primum.
Inc consequens est demissis normalibus BD, F F esse G B C, rectangulum ad
rectanoutum FTFC, veelt recta BD, ad F F. CAenim rE AB C rectangulum
ad AF C sic OBC ad rectat lum HIFC; scd ABC ad AF C, rectangulum
Cst, re AB C parallelorrammum in angulo AB C, ad parallelogrammum, AFC
in angulo AF C (quia ex ii(dem racionem habene compolicam) hoc est verectan-
69. bnins. gulum A C BD ad a rectangulum A C F F: igicur ve rectangulum A C B D, cAt ad
rECLAHgUIUM sUPCE A C F F; AIC GB C rectongulum ad rectangulum FTF C: qua-
reve BD ad L F, HC CBC rectansulum ad rectangulum HIF C. Ouod fuit de.
monstranduu.
Corollarium secundum.
TAdemmanenEC Agura, patet AC eNC ad AFF vE A B ad AF, siuc vE G B ad
HE, quia ACB, AFIF criangula ostenla lunc incer se limilia: quod speciarim
ideo volui apponere, quia aliquories postea alumendum est..
eROTOSITIO LZXXD.
Ranlear percirculi A BC centrum, perimeter circuli AGC, iun-
Atisque AC, POnantuT qua cunque BF, D P norrmales ad AC: ex
cnero deinde C, pet D_ D, IBanTTrECtE CBL, CDH.
DicoDE, BF lincis HD, LB, CAEprO.
portionales.
Demonirar.
catiut Det e de B ceclaL 1l L Btdeito
ad BF, sc HIDC b Eccatiouum ad lBC
ctangutum, hoc ettRDC ad L. BCr: led est quoque
VE KD 2d C B; sic RDC rectanoulum ad rectan-
rulum T BC cum DC B C linex sint xqualesiioi.
TUEVE DE adt BF, Eic KD ad L. B. Quod tuie de-
monstrandum.
        1a   1 6  o     se  S

## Folio 213 — 1815201908:0270
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000270.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
1
to
CTRCVErS
P R O POSITIO LXLAYI.
Ccurrar icerum circulus ABC, cuins diametet AC, ClMTO CTTCuM
AF. C, ductaque ex A recta A B F, ponacurnormalis BO Lad AC.
Dico lincas AC, AF, e compolicam ex AC ee BF, in continua cf-
cadalogia.
Demonstratio.
Vadracum AF, xe quacur quadraris AB, BF, et
A BF a cectangulo bis sumpco: cst aucem qua-
dracum B F aquale B C b quadraEO, eC AB F rC-
etangulum bis lumpeum aequale AB C rectangulo
(hoc CAC AC. BD) bis sumpco, hoc est rectangulo
ACBF Cemel lumpeo; igicur quadratum AF, X-
quale est quadeacis A B, B C, hoc est quadraco AC.
e rectagulo AC, BF, lemel sumpeo. Sed AC, qua-
dracorna cum rectangulo A C B L, aeguatur rectan-
Bulum Cuper AC _ compolica Cx AC, BF; 1gi-
cur quadratum AF, aequale est rectansulo (uper
A C de compolica ex ACBF. Vnde linca AC,
A E _ COmpOLICA CX A C B F in contina luncana.
logra. Ouod Fuic demonstrandum.
PROPOSIFIO LXZXVIL
Xera aream circuli A B C, sumpeo puncto E, demMacut ad alaHe-
Lerum AC normalis F. D, Ponaturque quaenis alia F. IK.
Dico (i D punctum communis lincarum AC, D F: incerlectio cadac
intracirculum, quod E. D quadratum superet rectangulum IF. K re-
ctangulo ADC: sivero D, extra cadat, dico quod E. D quadratum detr-
ciae a rectangulo lF. K, rectansulo ADC.
Demonstratio.
DRoducta D E, circuli perimetro occurrat in B: qua-
dracum DE aquale est quadraris DC, GF vna
cum DCF rectangulo bis sumpro id cst reccangulo
BO E Cemel sumpeo. sed BCF. rectangulum vna cum
quadrato CF. aquatur rectangulo BF C, igieur
quadratum D F. aequale cA quadraro DC, id cA rc.
etanguloC D Arna cu reccangulo GF B id CAIF R.
Ouod HD exera circuli arcam occurrar diamerro
AC prOdUCEX, AUICAEUF CK E FCCTA F A, OCCUETeNS
perimerro circuli in F, iungancurgue CF: cruncica
que similia criangula ADF, _ C AF, QDA, AF.
lacera proporcionalia laceribus AF, AD: vnde _ re-
crangula C AD, F AF, lunc incer le xequalia; quia
VerO QUadraTUM A P aquacur recranoulis A R F, F A F, cidemgue AF gnadrato
xquantur quadraca A D, D Esquadracum aurem AD, aquale cAt reccangulis ADC,
DAC, cruncroctangula AP, F, E A F, aequalia recrangulis AD C. D A C vna cum
quadraco DF, octensum aurem est reciangulum D AC, recrangulo LAF. aquale,
quare relidua quoque inter le xqualia sune, id cA CD A reccansulum auctum qua
draco DF, aequale reccangulo YP. A, id eA LV. K. Guod erac demonstrandum.
lic
P0s. 4
c69. huins
e

## Folio 214 — 1815201908:0271
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000271.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
bPerta
EIR CV LVS.
PRODOSITIO LXZEVIII
VIrculo ABC, quodliber pors sonum inscribatur regulare; ductaque
SCx G CenErO, GFI quae laceti B C normalicer insiltat; ex H pona-
Dicororum polygonu ad BC quadrarum cories lumprum, quoc la-
celu e pers Bim Camrationem obcinere quam HIL recta, ad B6.
Demonstratio.
VcaltuE ex C centro ad angulos polygoni
tCca AC, BC, C C, ec. Guoniam poly
coniregularis lacera aequalia lunc, crune singula
criansula AGB, BCC, COD, Xc. incer le X-
qualia: ac promde duplicia crianguli BFI G, cum
BC in FI dinila sc bitariam: sed _ BFI Ccrian-
suli, duplum est rectangulum BFTC, hoc cA
aBOFI, isitur BCC criangulo aequale cA
BOTII rectangulum, eA aucem BOHII, re-
ctangulum, ad quadracum BC, VE. EIB, adBC;
isicur eriam BCC criangulum, est ad B C+ qua-
deacum, re TTT ad B C: quia vero idem de lin-
Sulis polygoni criangulis eodem modo demon-
Aracur, Paceerorum polrsonum ad quadeacum
BC cociessumprum, quor lacerum cst polyso-
num eam proporcionem habere quam Elllincar
adreccam BCi. Uoau onAtrandum.
Tur FII, ad rectos aHe OS ip(IBC.
PR OPOSI
IC
 t 
IIdem polits,
Dico duplum polygont al Guacacu ca, qua porsconi peri-
merro suxqualis, cam rarionem habere, quam HC linea ad hlCa
Polysoni perimetro aequalem.
Demonstratio.
Scenim cocum poissonum, aguale triangulo balim habenci xequalem b linex
Locoriperimereo agnalis alcicudinem vero FTG; isirur duplum polygoni aequacur
rimetro e HIC alcicudinem; led rectanoulum hioc ad quadracum lineae aqualis
cociperimerro polrsoni, cam obciner proportionem, quam YIC lincaad lincam
xqualem coripecimetro; ergo polysonum bis sumpeum ad quadracum lince, quae
Perimerro sic xequalis, cam haber racionem, quam FTC linca, ad rectam coci peri.
meeropolyroni xequalem: quoderac demonstrandum.
Corollarium.
triansulo illi, bis sumpro, hoc est rectansulo balim habenci aequalem polysonipe.
Oc loco non videtur omicrendum sequi ex hac propolitione per ex quae in li-
beo de progrectionibus Creomerricis diximus, circulum bis sumpeum, ad qua-
dracum sux peripheria, eam seruare racionem, quam lemidiameter ad perimerrum.
eleculum alcea Cemeitam peata ad Guac ac pelnechenculalis. Calui picboi
eoee Glati quarca pars aammceri ad circuli perimeet acsce alleo
elPblicio.
t tu  ui.  1  e  s .   e  e   . 1 1.  a  . 1 1. 1 t t e        p   t  i. i e e            t  i

## Folio 215 — 1815201908:0272
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000272.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
HC.
161
Otit
est
t
CIR CV V Y Si
propolicionis Archimedex vericacem de comparacione circulladrectonsulum a X
quale alirer hinc porse demonstrari.
PRODOSEDIO ZO.
TatHeCtO CtCai A BC insistac ad rectos angulos recta B D, iungacut-
Dicorectansulum ABD, ad A C D rectangulum rriplicaram eius Ha-
bererationem, quam obcinet linca DB, 2d DC lincam.
Demonstratio.
Via DB normalis est ad dlame.
Ltrum AC recta CB, BD, B A,
icem CB, CD, C A per clemenca
in concinua lune analogia, onde cum
prima BC verique seriei communis lE,
eric 2 eacIO AC ad AB cerrix ad
cerriam duplicata eius quam habet secunda CD; ad D B SccM LCAFAEIOFC, sionibne
Etanguli AB D, ad rectangulum AC D composica cA ex ratione AC ad AB,
hoc est duplicata D C, ad DB, _ exrarione D C, ad DB, parecigicur rationem
ABD rectonguli ad rectangulum ACD; triplicatam cAC linex D C ad DB. Juod
fuir demonstrandum:
eR OP OSITIO ZCI.
Emicirculo ABC criangulum inscribatur AB C, ècuius verrice ad
balim demissa Bcnormalis BD.
Dico rectangulum D AB, ad DC B rectangulum, criplicatam rario-
nem habere eius, quam linea AB ad BC.
Demonstratio.
um enim BD normalis sic 2d dia-
WMCEEUM A C, CFUnE deMUOETeS AC;
AB, AD, _ AC, CB, CD in conci-
nuaca ratione: quia vero communem ha-
benc primam AC, crie AB ad DC, in
riplicata rarione AB ad BC; scdD AB
ectangulum ad D CB rectanoulum ta-
ionem haber composiram exrarione D A ad D C, id est duplicata AB ad BC e
X AB ad B C, isicur rectangulum D AB, ad V C B eriplicatam habet rarionem
LB ad BC. Ouoderat demonstrandum.
PROPOSITIO XCII.
tmicirculi ABC diametto A C in F e Foccutamnorles l 13
O, TaHSanturque AB, AD
Sico L. AB rectangulum, ad F AD rectangulum, rarionet abele
ciplicatam rectae AB, ad AD.
127. Eib
deproeres
que DC.
Demon

## Folio 216 — 1815201908:0273
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000273.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
TR
s
Demonstratio.
Inea A F 2d A F duplicatam habex rarioneHi
LA B ad AD, cum Eam AC, AB, AF, quam
AC, AD, AF concinue sinc proporcionales, ha-
beancque communem primam A, unde cum ra-
eio rectanguli F AB ad F AD compolica sic ex
raTIONC AF ad AF, _ AB ad AD, PAFCE
E A B rectangulum ALCcaSulum F AD rriplicatam habere rarionem ejusquam
hrabet AB ad AB. Duodsudemonstrandum.
PRODOSTTTOXCILI
Fomento cuiuis B C criangulum inscribatur AB C, ductisque con-
CsCus HC, CL, Pohuncur ex B verticerrianguli dux BD, BF,
contingentibus rquidictantes.
Dicorectangulum D AB, ad F. C B, eriplicaram concinere rarionem
eius, quam habet AB ad BC.
Demonstratio.
Vm RC Ac concingens, eric angulo
G AB id cst ABD (ob A C+. BD P2-
FallelaS) aqualis angulus a AC B: e quia
FC quoque circulum concingie, angulo
FCB id CA RBC (Ob B B, FC Paralle.
la5) aequalis cst angulus B A C: criangula
isicur ABD, BP. C Similia lunc criangulo
ad secundam: rario aurem rectan  AB ad F C B, rectangulum, composita est
exratIONE AD ad F C, d AB dd CB, criplicacaisicur racio est rectanguli D A B
ad P C B rectangulum. Ouoderat demonstrandum.
CKet ootIO XCI,V
irculi ABC diamerex Sece  D d F, punctis, aqualirer à cen-
Mclo semoris; ex quibus bia ad duo quaedam perimerri puncta B, P
rectae dcua B, DF, LB, F F.
Duo quadrara DB, B E. sitmul Cumpra quadraris DF, F F. esse xqualia
Demonstratio.
Vngancur AB, BC, AL, FC, Ct V
de F demiccantur perpendiculares
BG, FFT ad diameerum AC, qua ca-
danc primo incer D ex L, erunc igicur
anguli ADF, C F. F rectis maiores; vn.
de quadcatum c F C excedic quadra-
cum FF, guadraco C F una cum re-
ctangulo C F HI bis sumpro, et quadra-
rum
AB
IdC vE AC ad AB, SIC AB ad AD: _C VE A C ad CB, itA CB ad C F
duxe ivicur continue proporcionalium series communem habene primam AC; unde
26. terris.
27. de
Eropureton
AD ad F C, cerria ad cerriam b duplicatam habet racionem AB ad BC sccundx
12. Secun
 p

## Folio 217 — 1815201908:0274
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000274.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
DecraIE
AB
orale
decir
vIII
leiu
aie
CIREVLNS
cum TA F TperAF D F quadracum quadrato AD, vna cum rectangulo A D FT Bis
lumpro, eAt aurem rectansa CF. II, bis sumprum, una cum rectanso
bis sumpto, :xquale rectangulo C F. D bis Mpco; scis isieur quadraris a quali- menca-
bus BC, AD, eric C P D. rectangulum bis lumipeum una cum qua dearis AD, P. C
hoc est rectangulum P. C A Lemel lumpeums cxceNuSquO A F, F C, quadeara si
peranc quadraca duo DF, FF. Eodem modo otendetur quadraca duo AB, BC
excedere quadraca duo DB, B E, reclaiouIO D A C Ad eltF C R:idirur cimqua-
drata AF, F C aequalia sinc quadeacis AB, BF, _CACCHS DAC, L C A. laper
quadraca, aequalia quadratis AF, FB.
quadratis DF, FB, DB, BF, aequales quoqueline, illis ablacis manene DB, B P
Secundo normales ex B de F demista cadant incra puncta AD, L C; BC+ qui-
deminter A eC D; F EI vOrO InEeF F _ C, cum anguluS ADF rectO maIOEHE,
quadratum AF, luperac quadraca AD, DF, rectargulo b ADII, bis (umPCO, b12. secum
hoc estrectangulo AD F, vna cum rectangulo A D F. H bis Cumpeis: quia verO c 13. secun-
E F. C angulus recto minor est, quadracum FC dehieie a quadraris c F F, F C rc- di
ctangulo CF HI hoc eAt A D F. HI bis lumpro; ipicur AD P. rectangulum bis lum-
ecum est excellus quo quadrata duo AF, F C superane quadrata quacuOE AD.
DF, CF, F F. dempris igicur aequalibus quadraeS AD, CF, TCIAMCE ADF Fe-
ctangulum bis sumpeum excesuS quo AF, F C, gnadraca, excedune quadeata DF,
FF; cadem ratione ostenditur quadrara DB, BF, Superari a quadratis AB, BC.
rectangulo C E. D bis Cumpro. isitur cum AB, BC, quadraca xqualia sine quadra-
eis AF, F C, _E AD F: rectangulum (excessuS quadeaTUM AF; FC, IUPCE DF,
FF, quadracis) aequale sic C F D rectangulo, (excestui quo AB, BC quadrata, lu-
PCTANE DB, BE quadraca) dempris excessibUS, TCMAMENE D F, L F. quadrata, X-
qualia quadraris DB, BF.
Terrionormalium B CF, F FI, alECTA InETA DF, alcerd VeTOMLa AB, Spactam
concineatur: Ostendetcur veprius, CF. D rectanoulum bis sumprum, dempris eequa-
Bislumpeotempe Guauratis AD, L. C: teitur cum eota line aqualia ex excelsusin-
supet aGuaSE, relidua quoque quadrara D F, PF, crune reliduis qua draris D B,
BL uGuad.Udatur demonstrandum.
libusguadratis AD, F C aeguale esse excessui quo CB, BA quadraca Cuperane
EB, BD; IceM DF, F R, quadraca luperari a guadraris A F, F C, rectangulo AD B
Schoe-

## Folio 218 — 1815201908:0275
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000275.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 11 lines, status machine
CIR CVLV S.
A 
Scholion.
I pri re C et
11
Dosset aliter ex commodius proposirio haec demonstrari, ac facilius fortassis, sed aliam
studio in aliquorum gratiam adhibere volui demonstrationem.
1. 
c. 11 t cti
t  . oit
Libri Ferrii Finis.

## Folio 219 — 1815201908:0276
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000276.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
301 t
tott
Onicarum sectionum affectiones ex accidentia indacaturi, alieno nonnihil
ab anliquis consiliorem ac credimur: illi etenim proprietates quas pluribus
sectionibus communes esse aduerterunt; communi quoque demonstratione
innoluerunt; nec immerito, exicente talem scribendi rationem ipso doctri-
naetenore, ordine ac nitore: nos autem in alium scopum collimates, in gratiam eorum, qui
Geometria afficiuntur, singillatim sinculas explanare intendimus, quo faciliore metho-
do es minus consusa, eyrones ad conicarum speculationum contemplationem inuiten
cur e alliciantur. Nam ut recte Fredericus Commandinus ait, quod si aliqua pars est
Macheseos quae nostris incoenita Philosophis, interpretationis lumen aliquod postulet,
ea profecto est quae de Conicis appellatur: quanquam enum à veteribus dilicenter tra
ctata sit, tamen eorum monumenta aut ad nos non pervenerunt, ant it a peruenorunt vt
vIx propter vecustatis iniurias maximasque difficultates intellicantur: conabimur au-
tem ita planas reddere quas prae manibus habemus conicas materias, 2r v el leuiter in
elementis Fuclidis versati eas percipere queant, sine ello taedio, imo vero cum orexi ad
elteriora tendendi, e has lucubrationes in immensum extendendi. neque enim Ceo-
metria scientia terminis contineri potest, multoque minus exhauriri, cum abyssus
sit vastissima, omnem Oceanum quarumcumque speculationum absorbens. Ordie-
muricaque ab ipsius nominis notione, phaleris omissis, exponentes, quid Coni nomen-
clatur a e natura ex ipsins descriptione aut construendi ratione denotetur.
DE FPN IFIO.
Quid sit Conus.
Ionum ippello corpus Habens originem ex circumductu linex à
spuncto in sublimson intinicum prorenta circa verimcerum
circularem, qua in diverlo ab eodem puncto plano consticuta lIc.
Fxposi

## Folio 220 — 1815201908:0277
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000277.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Expositio.
Oncipiacur in hunc tnem circulus
quidam ABC, extra cuius pla-
num in quoiacec, actuimacur quoduis
punctum D, a quo ducta sc linca AF
concingens perimerrum circularem in
puncto aliquo A: 29acur vero linca
DE circa peripheriam inceoram cir-
culi AB C donec in A redeac, haC
camen condicione ve D punctu fxum
permaneat, hoc est, ve exeremum pun-
ctum linea D A, quod applicacum est.
inicio circumuolutionis puncto D, 2b
ipsonumguam recedat, cali inguam cir-
cumlatione linex DF, orictur Rgura
D AB C. binashabens superhicies, vna
mocurectx DF efFormatam, alceram
vero circulum AB C. Priorem appel.
lare lolene topetnetem praecer basim. secundam aurem iptam conibasim; punctum
Drercex coninuncupatur, axis vero linea à verrice D ad ceneru baleos perrinsens.
Exhac coni delcriptione se quieur a quovis puncto in superticie conica astignato
posseducirectam lineam ad iplum verricem D. cum enim per rectam D A circ a b2-
sim. AB C. circularione Facta, producta c coni luperticies, necesse est re a quouis
puncto perimerri ABC duci possicrecta ad verricem D.
Hinc superuacancum credo demostrare quod recta omnes sine linex quae a verrice
ad quodlibet punctum in conica superticie ducuncur, proindeque laris esse manite.
cum ex ipla racione conttruendi conum, omnem lectionem quae tic per verricem,
triangulum exhribere cuius lacera line in conisuperticie.
Suppono quoque eque nocum, omnem lineam a puncto in luperticie coni al-
sumpro ductam ad quoduis aliud, quod in recta non existac qua ad verricem cendic
inera conum iplum penccrare s infinice verimque producatur, licechxec omnia pla-
cuerir Apollonio demonctrare: quarum demonstrationes hlector de sideras, in eo.
dempoceris cognolcere.
Hoclocooccurrie nocandum pluribus aliis viis conum describi posse; pura cir-
cumducendo ex eodem puncto D, in sublimi posito rectam AD circa figuram el-
lipeicam auc quamlibet aliam e conicis: (ed placuie non sine caula anciquis circulo (0-
lovii, eo quod, rein docurlu libri apparebie, commodior hgura sic ad demonstraciones
Formandas: adde quod hourarum aliarum eformatio conum prius (upponAC, Cx quo
tere solo orcumhabent, praecer elliplin, qua verecre Serenus octendic, ex Cylindro
quoque excludi porest.
Duotuplex sit conus.
Vplex est COnUS; alIUS TIOSCCHMIS eIE LDC A. GUIETUTIS, QUI _E FCCENS AICIEUF; alIUS
Scatettus. L. Guieruris ett a cuius verrice linea ad balim normalicer demissa in
Baleos cemrum pertingic. Scalenus aueem omnis ille conus appellatur, qui perpen-
dicularem duccam a Velrice ad circularem basim, Ei opus est ceiam excenlam insini-
ce, exrra cenrripunetum consticucam habee, quod balis medium cst.
Vnderectum quoque dicune conum qui aguieruris est, obliquum qui scalenus:
dilcrimen incer verumque in eomaxime licum, quod reccum conum R per axem
Plavo dispelcas, ITolcelium relulcabie in parcibus divisis criangulum, cuilibee alceri
aequale e simile quod per axem tic: lcalenus aucem sine numero raria producie
triangula sectionibus per axem repecitis, quae incer le neque Amilia linc, neque aqua-
liai eirca quxe has sequenres propoliciones praemicremus. Ad quas perlesendas prius.
quam accedasamice L. ector,
o e t eat tit t     a e  et pt  . t  te t  l pt u e t  t e sta  p e    u   e t a    1t.  a      se   u  l

## Folio 221 — 1815201908:0278
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000278.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
averbu
ut Eit 3UG 1MIIBS A
S.TEII LCE dEAS:
DCeraque cheoremara, quxe in hisce prolesomenis adteremus, proponi criami ac
demonstraria Sereno Antinsen i Philosophoac Creomerra, Mololecundo de le-
ctione cogi. Omminomihi memoria exciderae cractaram à Screno candem ontema-
ceriam: jam enim agnilunc riginci ee amplius quod auchorem on seerim.
Velimicaque, qui hac leger plasii reum niene faciac; sedcogicet, l demccps tor-
caste quaedam mihi cum serenus communia occurrene, mihicadem, pa DerenO
olim, pouisteincidet
TR orerbacp A3 eb  
OPIOSITXYO PF
Ncono scaleno st a vercicesinea ad perpendiculum aetmutatur, a pet
dverricem, cencrumbalis; ac punctum a perpendiculo denoracu pla-
num adacuE, p ilcop il e oyHstan AB EHI
Dicocriangulum per hanc sectionem Factum concinere maximam de
minirmam linearum quae in Cuperkicie conica exhiberi postunt.
Demonstratio.
Riplex est hic catus: vel punctum perpendicu.
lo denocacum incra peripheriam baleos ex-
iltic, rel in ipsa peripheria, vel denique exrra iplum
circulE. Pro primoioicaE Ca(U BONAEUECONUS AB C
e baleosceneruim Fi: vertexaucem B: a quo demis-
la perpendicularis, occurrac balinera peripheriam
in puncto D, perquod ec per centrum, agatur Pla-
num quod pertingac rique ad B coniverticem; ex-
hibebichaec sectio criangulum A B C: nam ex COn-
Aructione coni BA, BC sunc redtxe lincae; octenden-
dum est icaque AB esse minimam omnium linca-
rum, BC rero maximam quae in luperticie conica
existunE.
Ducta quanis B G siponatIE ex G re- l15
eta GDF; quoniam ADC per centrum B
EPANSIE, exIE A D minoc a quam C D rHCII
e quadearum AD, minus quadeato CD: MC
addiroque communi quadrato DB. 5 quar 1b∞,
deaca AD, DB, minora Cunecquadeacis A.
ED, DB. angulus aurem GDB D rectus RAMC
est, quemadmodum e angulus ADB: igi-
cux quadratum AB, aquacur ciquadraris in
AD, DB, quadracum vero GB aqua-
cur quadratis CD, DB. ergo quadeatum
AB; minus est quadraro CB. ergolinca
A B minor recta BC.
Lodem pacto oltenderur recta BC om-
nium maxima: ex puncto quippe quovis F,
S duCacur quaevis FB: _E PeF D PONAEuE
5
FD, quia AD C peF CenErUM EranSE, sD C maior est quam F F. vnde quadraca d7. terrii.
CD, DB maiora lunc quadracis ED, DB, sed cum rurlum anguli CDB, FDB
Eincrecti, quadrarum CB quadraris C D. DB, ex quadrarum F B quadrais FD.
ADASE CIZEOM ES CIONY
eA
b oup ni  Eitris exuxili Si
anlu he zygeresoib
er odito sid A.) OuL
D_PMM
ED EisC ZL SIB
5i
2. criu.
e L dblia
13
15
22e2
1

## Folio 222 — 1815201908:0279
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000279.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
    pro p 1p r 11 12.
35. 1
LH CPROLR GOMEN AAC
209029., 215511 2 13B
3t 0reliter ~1OFC
0ae C
ecrscrtorie ta
DB aequale est. Erzo quactacum C. B maius est
quadraco FB, adcoque reca C B maior quam
E B. vndemaxima BC estcarum que in luperti.
tam vero BD perpenolcularis e eoni verei-
S. FI
e1
cic Coni assignari postimes AB vero minima.
Ouod demonstrari oporeie.  e Leslac
ce demicta eactae in perimeerum circlli AFC
CuBic Guacatum BF a aequarur quadra–
Vndq BF, linca maior eA recta A B: clarum est
dico iterum AB lineam esse minimam, de BC
aximam illaeum quae in luperhcie coni existune.
Ducacur enim guaeuis BF, iungaturque AF,
eis AF, AB, adcoque mais cA quadraTO AB
insuper BC rectam omnium ese maximam, nam
quadrarum BC X qualEquAUTaLIS C A, A B m2-
ius est quadraro BF xequali quadraris, F, A AB.
3111
sit 11231
Religuus casus est in quo daco scaleno cono AB C, linea A D domisa perpen-
dicularicer ad planum B F C productum, exrra ipsum conum signac punctum D.
quo colu dico rurlum AB minimam esse, RC vero maximam. Ducacur enim
quaecunque recta, AC; b BD minor est DC, igitur quadeacum AC xquale
quadraris CD, D A maius es quadrato AB. ergo AB minor cA quam A C, du-
cacur iam queuis AFI; C Demaior est quam FT D; ergo quadracum C A, x quale qua-
deaeis CD, D A, majus cA quadraco HI A; aequali quadracis HID, D A. crgD
C A maior HIA.
In conoisicur (caleno ecc. quod fuir demonstrandum.
PR OPOSITIO. II.
Ececur conus scalenus (a cuius verrice linea ad basim perpendiculo
demilta extrabalim non cadic) per cenerum de verricem, sectionc ex-
hibencecriangulum, ad cuius balim demirracur normalicer recta à verci-
CC Coni.
edataebc Cdli
1
58 Iatg.
FD. tersis
et crceretito p Et il 1E
Demont
oi qu pe su s  ue  p ti ete u  ta u  e  etu e      te  t  e     pi  1     p   uli  

## Folio 223 — 1815201908:0280
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000280.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
1
ladeaio
di elaiu
A D SE CZLONES CONI
Demonstratio.
Vplex est calus; primus quo conus A B C cuius
BasiS BDC, habec B A perpendicularem à pc-
rimetro aliquo puncto ad vercicem crectam; alcer
dum linea a vertice ad balim ducta perpendiculari.
ter intra balim cadIE. Igitur hac sectio per cenerum
F, e apicem A, exhibens criangulum AD E: osten-
dere isitur oporrec, normalem ex A ad basim D F.
dermillaminera conum, hoc est inter puncta D e F
occurturam diameero DP. Dueantur enim BD et
B F; deinde ex puncto B ponacur B G, normalis ad
diameerum D F (cadec haec necellario inter puncta
D, F) _ jungantur A C. quoniam AB CX hyp. nOr-
malis estbali, recta F. B in bali ad iplam ducta per
dckin. 3. Ir. nOrmalis est. ergO quadraEUM A R, XqUAEUF
quadratis AB, BF: hoc es aquacrariS A B, BIS, G F. guadracum aurem AC quod bibid.
angulus AB Cb etiam rectus hcx quatur quadraris AB, B C, igICur quadratum A F
excedic quadrarum A C, quadraco G F. vnde quadrarum A F, xquale est quadracis
A G, CF. angulus ergo ACB, rectus cst, et AC Porpendicularis. Aequihac ducta
est  verrice coni de occureu bali crianguli inera conun. Perspicua ell igi Vericas
propolitionis in calu primo.
Eodem modo procedet demonstracio si loco linca A Ps veamur LInCA AD
Ouod si perpendicularis a vercice coniad coniba-
m demissa cadac incra conum re AF rurlum duca.
cur F G normalis ad F, D, innoacurque AG. Fodem
plane discurtu demonstrabimus quadratum A P X-
quari quadratis AO, P C; adeoque angulum AOF
rectum este, e AC perpendicularem ad balim
crianguli ADP, ex quo manifecta in hoc eriam calu
propolicionis est vericas.
DROPOSTTTO II
Acerum quadraca cuiuscun que crianguli
in cono lcaleno per axem tacti aequalia
lunc quadraris laterum cuiuscunque alierius
crianguli per eundem axem.
Semonstratio.
Cc enim ABC. conus lcalenus cutus dAls BL.
per quem hiac quaenis sectio BF. F: tiac aurem
AB C criangulum aliud sectum por axem BD. Di-
Coguadraca AB, BC, quadraris BF, BF esse x-
qualia, quadrataenim AB, B C octenla sune libro
quem de lincarum pocenciis scripsimus, aequalia c-
sc quadraris AD, DC, _ BD biS sUMPEO; AE CF-
iam eodem discursu octenlum est quadracis BF,
B P aquari quadeaTA FD, D F vna cum quadrato
BD bis Cumipeo: isitur cum PF, A C linCx C2-
rumque dimidix FD, DF, AD, CD SnE inter (C
aquales, patec verieusdemonstracionis.
Corella

## Folio 224 — 1815201908:0281
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000281.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
DROLR GOM F N A
Corollarium.
TInc colligere licet Facilem praxim cohno(cen-
di lacera criangulorum quae per axem sectio.
ne facta emergune, d proportionem illorum incer
Cc. Ponacur enim Cemicirculus AB C: cui ABC
criangulum scinscripcum habenslacera AB, BC
aequalia laceribus maximi crianguli alicuius coni
Per axem secti: Juoniam ergo quadraca larerum
minimi crianguli per axem eiusdem coni xquan-
cur quadrarislacerum maximi AB, B C, (hoc est
quadraco AC) Pocerunt de minimi lacera inAecti
in Comicirculo, quae snE AD, DC. quod s cerria
quedam lectio hac per cundem axem, proporcio
lacerum illiuscrianguli, reperietur neceslario in
aliquo criangulorum quodhabebic balm AC, e
vercice in rno punctorum que lunc in parceperi
mecri BD. cum enim aqualia  quadrata lacerum vnius criansuli quadracislace.
rum alcerius; quod per axem Lacta lectione relulcae, sincque ABC crianguli qua-
drata AB, BC aequalia quadraris lacerum maximii quadeata vero AD, I C aqua.
lia sinc quadraris lacerum minimi; sequicur lacera cuiuscunque alcerius, quod per
axem coni producieur, in aliquo criangulorum reperiri debere quod balim habeac
AC. ee lacera reliqua se sc in aliquo punctorum decussantia que in arcu B D, assignari
porsunt, quod ex decursu sequencium propolicionum maxis clucidabitur.
eROPOSIT1O
1V
Nconoscaleno à cuius vertice demissa perpendicularis in perimerrum
baleoscadic, si quoduisum per axem sectione facta exhibeaeur:
Dicoquodnormalis a tetetee coni ducta ad balim crianguli cader in
cilcun perca gu ucscribetur diameero incercepta incer perpendi.
cularel a verrice ad balim ducta e cenrrum baleoseiuldem.
Demonstratio.
mista perpendiculariter, cadac in B
punctum perimeeri bascos BF C,
descripeo deinde circulo BCD,
supec diametro BD, agarur planum
per axem quodcumque AR L, exhi-
benscriangulum AF F; cuius balis
primo secec circulu in punctis DC:
ad Ci ex A puncto verricis, demic
catur AC. Dico illam esse qua bali
PF normalicer insistie; duCaTUF
enim recta linea B C, iunoncurque
BF. Ouoniam ixitur ex liyporhiele
AB recta cA plano balIS BP, C F
angulus ABF rectus cAt: ad coque
quadrarum AF aequale quadratis
AB, BF; hoc est, quoniam angu-
lus BC F in semicirculo eciam re-
Aus
CleigimE ABC conus cerrubaleOS
D. 2 coni verrice A recta AB de-
 ue s   te is pit tat a  su  t ut  . u u   pa a e et  e et  e p et ut  t t p sa   t   a  se     e        l el

## Folio 225 — 1815201908:0282
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000282.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
c0d
et
De
D
c
AD SEC FTONES CONI.
ectus est, quadratis AB, BG, G F. quadiatum ducem AC xquale est quadracis
quadeatum AC, quadraco LO: quare quadratum A Li aequarur quadratis AC,
CF. vudenormalicer insictie brecta AC, ipsi G F in puncto 9. quod est in peri- b 48: primi
merro circuli habencis diameerum BD.
Secundo basis crianouli P F Contingat Cir=
culum BOD in puncto D; ducaEurque AD, A
ad punctum conactus, quod idem cA cum
cencro balis coni BTTC; IUNSANEUEQUC AF,
AF: quoniam c anguli BDF, BDF recti
TIIHE, eE F. L lacus laceri D F, ac B D Sibi ipsi
=quale cM, cciam bases BB, B Faquales c.
TUHE. CrgOqUadEaTA BF, BA, quadraris BF,
B A aequalia lunC. AEqui quadeatum FA ∞ -
quacur quadracis BF, BA, _ quadracum
E A quadracis BE, BA, quod recta AB
olano balis comi lic recta, adcoque anouli
ABF, ABR recti: quadraca igitur L A
A, dc proinde criam recta P A, F, A equan.
cur. Duare cum in Ilolcele P AP, balim bi-
CCCE AD, cric haec e perpendicularis ad
balim. leaque in hoc eriam cali perpendicula-
is AD est ad circulum BCD.
Tertio LIcrianSUIUI PEF axEM, cranLCAEPCF
AB normalem a vercicc ad balim coni du-
ctam, ac proinde ejus basis eadem sic cum B D C: tum perpendicularis a verrice ad
balim trianguli, eadem quoque erir cum perpendiculari AB que aUCIEUE A VCTEICC
ad basim coni. Ouare eciam hoc calu cerrio perpen dicularis ad balim criansul ad
circuli peripheriam exister; in conoigicur (caleno, et c. Duod tuic demonstrandum.
PR OP OSITIO V
IOnus scalenus à cuius verrice verpendicularis cadicinera conum, (1
Alececur per axem exhibens triangulum, ad cuius balim normalis du-
catur a verrice procedens:
Dico illam perimerro circuli oc-
curluram cuius diamerer aequalis erir
linex incer perpendicularem à verei-
ce coni e cenrrum baleos eiuldem
COHIITETCEPCA.
ccimin
Demonstratio.
DCOnUS AB C Q CUIUS VEFEICC Per
Pehareutaris AD demilta cadat inErS
conum; occurrens bah in D: a quo ducta
sIE D F, recta ad cenerum basc05, super qua
ve diametro circulus DHIF describatur:
deit peraxem hiac que cunque lectio exhi.
bescriangulu A L Ci: cuius BasiS F. C primo
secer circulu in F _HI, cu exverrice A dc.
miccatur AII ad rectam  C. Dico illam
in perimeerum circuli DFI F. incidere. du-
cacur enim ad punctum H, in quo CtY
circulooécurric recta D Eli iunsancurque

## Folio 226 — 1815201908:0283
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000283.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
PROL F GOMEN A
DO: cririgitur quadrarum AC xequale quadraris AD, DO, hoc cA quadraris
AD, DFI HIC: quadracum aucem AII aequale cA quadraris AB, II. 
excedic AC quadracum, quadratum AHI, quadrato IIO: igicur quadratum AC
quactatis AFB HIC MMaGa adeodeca HEl horinalisadlincam L Ct. unde
L2b
pacernormales omnes a verrice A hoc uCal all bales criangulorum perarem de
millasin circuu l Cadere.
Calus secundi e cercii quando balis criang uli auc concingie circulum DFF, duE
incidic in BF. C, eadem est demonstracio, qux proiildem calibus superiori propoli-
cioncallaca eHt; conusigicur lcalenus, ac. Ouod tuic demonstrandum.
PR, OPOSTFIO YI.
in cono scaleno perpendicularis a verrice ad balim duera extra
balim cadac, productum sir aurem sectione per axem facta quod
cunque criangulum:
Diconormalem a vertice ad balim crianguli ductam, eNe ad peri-
pheriam circuli, cuius diameter est recta incer centrum balis coni et
perpendicularem a verrice ad balim coni inceriecta.
Demonstratio.
Xcrabalim coni scaleni A B C perpendicularis a vertice cacac recta A D, 1dt2-
GNC per CenEruM BaseOS F, recta D F circa quam circulus deseribatuE D HF.
Donatur quodcunque rriangulum per axem F AC: e procracta OF vique ad pe.
ripheriam circuli D HTE (ponimus enim primo Basim F F secare circulum DHIB)
domiceneur deinde recta AFI ex puncto verricis A, 2d punctum quo lecaeurcireu-
IuS D EIF 2 linea OF. Dico illam Fore normalem, ad rectam EF productam. du-
cancur enim DC, DII: cricigitur quadrarum A C Xqualc duobus quadracis AD.
DC: (quoniam A D normalis cst ad plani balcos productum, a deoesi eciam ad DO)
131121
 Hoc

## Folio 227 — 1815201908:0284
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000284.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
DHE
ip
4
acti
SFCFIONES.
N
hoc esteribus quadraris A D, BH, EI C, cum DFR sic in Cemicirenlo anguluS re-
aus; led quadratum FTA aequatur quadraris AD, D FF, quo d angulus AD FPicE-
rum a rectus sc; igicur quadearum AC excedic quadracum AFI quadraco FIC.
onde AC quadracum, ditobus quadracis AFI, TIC aequale existic: quare anou-
lus rectus est AFI C. CAque pundtum EI in perimecro circuli DITF ex con-
Pructione; manifectum ixicur est in primo casu omnem normalem à vercice scaleni
adtrianguli per exem balim in circuli DFT F perimerrum incidere.
Sccundi casuscerriique quan do balis crianguli auc contingic circulum DFTF, auc
incidir in rectam D E. C, demonstrario convenic cum ea, quam propol. 4. proiildem
calibus acculimus.
Siigicur in congscaleno, ecc. Duod Fuic demonstrandum.
Corollarium primum.
Inc pacet in omnicalu quo e verrice coni scaleni ad basim eiusdem protractam,
Ldemitcicur perpendicularis, exera balim coni, in eriplici differentia producenda
criangula per axem coniicum linearum quae a verrice ad bases crianoulorum nOrma-
liter ducuntur, quaedam ocourrane punctis circuli DFIF, quae exEra ConUMI lUnEs
nonnullae punctis inera cum eosticuris, duxe aurem numero ipsi perimerro baleos, vi-
delicoc I et K, quod pacet ex parcibus circuli DII F: quarum nonnullae exetaba-
sm exictune, quaedam veroincus, puncta vero I. ex K, cum linc incersectionum nes
cellarid in veroque circulorum consictunt.
Corollarium secundum.
Detpendicularis incidens in perimerri DHIF; punctum R; quod idem est cum
cenrro balis coni, est omnium maxima. sic enim alta quaenis AFI. quae ipsa criam
def. vnab.
imi.
incider in perimetrum D HB, _ iunsC DHI: quadtatum F. A ae quacur quadracis
E. D, D A; quia aurem B, D diamerer circult quauis adid rect a ducta incra circulums
2c proinde de recta D) FT maior est, crune quadeata E D, D A maiora quadraris
HTD, D A, hoc est quadraro FIA. Ouare quadratum P A maius quoque cA qua-
drato HIA, e recta B A maior quam HA. Oucd aurem P A maior etiam si
quam AD, manifestum cH, cum in eriangulo P A D; OpPONAEIE F A FectO, AD
ACUcO, F. A maiorem eRe quauisalia v. 8. ITA; Sic quoque e breuins oltendemus.
quoniam IIA ex lypochesinormalis est ad balim CF crianguli F AC, angulus
ATIF rectus est, adeoque alcer ABHI acurus. Quare P A opposira angulo recto
maior est quam H A quX ACUEO OPPOHITuT.
F
Per-

## Folio 228 — 1815201908:0285
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000285.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
11a
A D R OL E G O M F HM 
228
minima. Ducacur enim guaeuis alia perpendicularis AFI, (nam quod AD minor
sic quam B A, iam octenlum cst) eric lixc eriam ad peripheriam DFTF: iungatur
DTT: in criangulo ADFT, A D opponitur angulo ACUTO AFTD; AII rero angulo
recto ADTI. croo minor est AD quam ATI.
Hloccorollarium rerum quoque esse in calibus duarum praecedencium theOre.
macum, eadem plane demonstratione probabitur.
PR OPOSITIO VII.
cono scaleno daro exhibere minimum criangulorum sectione per
Perpendicularis vero quae incidir in punctum D, ac proinde eadem est cum recta
AD quae a vercice ad balim coni normalis ducicur, omnium perpendicularium est
Constructio es demonstratio.
scalenus ABC, da.
EnS AC, cuius vercexB: Cen
erum baseos D: axis vero BD.
demiceatur ad balim coni per-
pendicularis BF. & iunganteur
LD. quae continvetur vique ad
vecnerrum balcos. verimque in
A e C, Factaigicur sectione co-
ni per apicem B, _e lineam
AC, Producecur eriangulum per
aXem ABC. Dico hoc esse
minimum corum gux excond
ABC postune educi per arem
sectione Facta. Demonstrato est
manifesta ex corollario 2. propOI.
pexced. hac enm quauis alia
sectio per axem, scilicet D FI.
d e vertice B demiccacur norma-
licet BI ad diameltum L1
junea
emfactâ.
 ue u se e ese et qute es t e   te t  u u es  u pue e te  p ue ste e  i s p 1t 1 t   te  at  e  pt 1 1

## Folio 229 — 1815201908:0286
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000286.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
a1d2
ctione
AD SECTIONES CONI
neacurque recta F I. Cum BF recta sic planO A FT C, angulus BF F rectus eries
juare angulus BIF acurus: eAt. maior ergo est BI quam BF. itaque cum crian-
suta CBHI, ABC aquales habeane bales HI, AC, erie ABC criangulum
Moe habens alcicudinem BF. minus las esBHI, maiorem habenco
alcicudinem BL. Simuiter oltendemus criangulum AC ab a 
ibuImuS eFBO, eC. Quoderas Faciendum.
P3
dSITFO
de t
II
criobai
2. 11.d. 3. 11.l95OS
oto lealeno anlblate la eriansulocum qu bBME
ila pel dcttactacduci potett.
l
li Constructo es aonsat
135C A3 acp AIlE 3ABLEAI AC I SCIL.
i
et
5.VF
lxl4
12OHSIS
1113a+ et
cB6
IE conus Icalenus ABCD,
Per PEXCedenTeM VerO prO.
policionem inveniatur criangu-
lum minimum corum qua per
axem hunc, nimirum A BD: de-
inde per cenerum F ColIOCCtuE
CF. C diamerer normaliter ad
rectam B D. secundum quam e
verricet A plano ducto Racua-
cur criarigutum ACO. Dico
hoc omnium esse maximum.
ex caluenim secundo propoti-
tionis quATEX PaTCE A L norma
lem ese ad balim C Cr: BL Cx CO-
rollario secundo proposcionis
Textx pacet perpendicularem
AF, ad baum crianguli C AC,
eRe maximam omnium perpendicularium, quae ad bales reliquorum per axem crian.
sulorum ducuneur. Ouare cum omnium per axem ertangulorum bales sine diametri
balis coni, ac proindeaquales, criangulum C A C maximam habens perpendicu.
larem, hoc est alticudinem, omnium est maximum; in conoigitur (caleno extibui.
mus, deC. Duod erac laciendum.
BC
eX
rero
eot
erit
a
Iu
hoce
CCXB
Det At
stracio
EnO
iu
orolu

## Folio 230 — 1815201908:0287
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000287.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
0
PROLE GOMENA
Corollarium primum.
per exem ad criansulum minima. Laclum a tete, esse in proporrione.
axis ad centrum balis ducti, ad perpendicularem A F, III Ig. Propoucios depuq
cum ille veriusque eriatisuli aequaliba inlictentis perpen diculates BIDE. 
Dacet deinden conoscalchoaGuu a LaClA ACCCIONC PeF AxeMNA-
cum Iloscelium esse, cum A F. perpendicularis ostenlx sic secare lineam C C in
parres xquales:  acl
R OF DS1
C
A
ea
inc ex ex corollario secundo sexex huiuspacec eriansulum maximum lectione
Corellarium secundum.
Ropolicum sic in conoscaleno eriangulum peraxem extribere quod
cum minimo criangulorum per eundem facto daram obrincac racio-
nem: quxe tamen maior non existar illâ qua est incer criangulorum
maxiraum se minimum lectione peraxem facta productorum.
Constructio es demonstratio.
AcuS EE conuS sealenus.
balim habens BC D, in
quam normalis cacat AL: 2klo
(C A F. cencrum bau L. d.
eio aucem daFg Hc M ad e. L.C
quoniam illa ponitur non md
ior racione maximi per axem
crianguli ad minimum, neque
maiorerie racione ipsus AF.
ad AF, recollisicur ex coroll.
prxced: Ducto iam per A, L.
E, puncta plano prodacacur
criangulum ABD quod per
7 huius eric min pet adcta
criangulorum; a ssumpca deinde rect a C FI, que lic aequalis P. A, describatur semicir.
culus GTHI, cuius diamerer C+FI, e rectx AF xqualem HII inCcribe lemicirculo:
donique re N ad MI, ica hac FII ad TTO, qua ex puncto FI aptari pocerit in lemi-
circulo incer puncta I, Cn cum racio data M ad N, non sic maior racione AF, 2d AF.
hoc es, iob lincarum ex constr. aequalicarem, TIC ad TTI. Dcindeiuncta O C, qux
cum FTO anoulum rectum constiruer repore in lemicirculo, AanEG L, CR aquales
serridiaMCEO P. B, iungacurgue HL. I. Quoniamisicur bales BD, E, K, 2q l
les
un   e a uiis ui  pi  pi u e   1. te  e  et t  .  e             u   o   e  p  pa aet  au a   paoit

## Folio 231 — 1815201908:0288
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000288.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
aReu
AD SECTIONES CONL
Les lune, criangulum L. HI K erir ad criangulum B AD, ve perpendicularis FIO ad
perpendicularem AF, hoc cA vE IIO adHII, hoc cAt vE M ad NV. restac igieuT
velicum huinstrianrali in cono AB C. D assionemus, asTumpea lineZ PO quae sic
aequalis FIO, deleribacur inceruallo P O lemicirculus PR . deinde apeccurin
lemicirculo P R aequalis FTL, hoc CA AF, X iungaCUE R O: candem super base
FF Raceriangulum ex lineis OCi, R O, nimirum FSF, ve FS ipA O G, _ FS
aequalis sIC QR. EUI peF F. _ S agaCUF dIAMCTCE FV, PONANCUEQUe AT, AV,
ee AS. Dicorriangulum A TV, eAte aequale criangulo L FTK d lmilc. Ouoniam
A Fducta estnormalis ad basim coni, erica angulus A FS rectus, _ quadracum AS 2 dcf. 3. vn-
aequale quadraris AF, FS, hoc est (quia ex constructione A F eAt PR, _E F S est
RO) quadearis PR, RO. Requi eciam quadracum PO, aquacur iisdem quadraris
PR, RO: isituEquadrarum AS aquale CA quadraco PO, adeoque _ recta AS
aequalis est recte PO, hoc est rectae FIO. Iam rero AS normalem eNe baS TV, DE
TIO eAt baEI P R, lic ostendo. Ouadracum H C aequatur quadraris IIO, CO:
quare cum ex constructione A F. ipAIHI C, _ SF ipsi O C, de ex demonstrar. AS
ips HIO sic aequalis, a quabitur etiam quadracum A E quadraris AS, SP: 2C pFO-
indeangulus AS F rectus est, ec AS perpendicularis bah. Ouarc cum in criangu-
lISLTIR, TAV _ BaTCST R, TV ex constructione, es perpendiculares sivc
alcicudines FIO, AS, aequales sinc, ipla quoque rriangula crune aequalia. In luper
cum OC ips SE, e CK ipA F V aequales snE, erir OK aequalis SV, sed de
HIO octenta cst aequalis AS, angulique HIOC, ASV redilunce aequales. FrgO
TIK aequalis est A V. Similicer octendam HIL, aequari AT. Leaque similia cciam
Tunceriangula LFTR, T AV. Ouaro assignauimus in conoscaleno criangulum
peraxem ATV quod ad criangulum ABD, habec datam racionem M ad H.
Duodcratfaciendum.
decimi.
P ROPOSAILOA.
Comlealeh criansalum per arem, ad velllcem angulum rectum
OMtinear.
e a pet aclLaa  ecum ee.
Demon-

## Folio 232 — 1815201908:0289
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000289.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
PR OL E C O M L N 
Demonstratio.
Calenus conns secetur per axem sectione
AB C, quodcriangulum producat habens
anoulum ad vercicem B reCFUI: ICCCEUF au-
cem quonis alio per axem plano exhibence
eriangulum BF P. Dico angulum FBF, FC.
ctum ese. Ouoniam angulus AB C est re.
ctus, quadracum A C aequale est quadracis
AB, BC; led supra. octensum est quadraca
AB, BC aguari quadeatis FB, E B. PrgO
quadracum AC aequacur quadraris Fi B, EB.
esaucem F F aqualis recta AC, crgO e
F F quadracum ijldem quadracis EB, BF
aequale exir. quarc b angulus FBP. rectus.
leaque  coniseateni, ec. Ouod tuic de-
monctrandum.
Scholion.
per verticem quidemtranscunt, minime vero per axem; qua cum sine numero sint, hinc
determinatione exigunt ve solutiones problematum qua circa ea versantur, recte expediantur.
ARODOSTFIO XI
per axemmaius est quolibet non per axet.
Demonstratio.
AM A Reti pOTes, POnREux erIargulum
aliquod AF Ci non cransiens PeF AXCM
A F, Equale criangulo per axem dueto B AC,
quod ica in cono ductum concide, ve eius
basis BC sic parallela bah L C, quod heri
Posse constac, cum omnia in COnOFeCtO PCF
axem criangula sinE X qualIa. DUCALHIE CX Cen-
crO F recta FD bilecans basim F. C, iun.
SanEUEGUC AD, PF, _ super recta HIK
xequali ipsi AF, consticue bina criangula
TTIR, ITL R, aqualia ex similia criangulis
AE F, AD F. sC vElacera HI, TR, lace.
ribus AF, FF, d lacera HIT, T K, laceribus
AD, DF equalia snE, adcoquo anguti L
_ L, angulis AF F, A D F LinF X qualCS. Ouo-
niam isitur axis A F Cx hypoc. rectus est pla-
noDaliS, exiecangulus A I E reCtUS. AnguIUS
quoque AD P rectus elt, ve colligitur exde.
monstracis in lecundo calu quareae huius.
Duare recti eriam line anguli I _ L, pun-
eta isitur I, C, EI, E Conc ad circulum cuius
diaeTex IIK. Ec quoniam conus dacus est
rectangutus vel acucangulus, axis AL crit
vel
DRater criangula quae ernuneur ex conosectione per assem facta, alia quoqi assienantur qua
N cono recto acurangulo ee rectangulo impossibile est eriangulo per
Laxem Facto, aequale triangulum exhibere non per axem. Ciue criansulu,
b 48. primi.
u    e e es et ite tete eto t e  e  t ta be t  te e tete e e  t pe t t t   t   e t te 1 e  t ste it s t e t  te  te e e e ( t e t.     e el

## Folio 233 — 1815201908:0290
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000290.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
D SEC YIONES C
N
vet aqualis semidiameero P F, vel maiot. O uare cum A T ipE A F, _E TR ipE FB,
SinEEquales, erit quoque FI Iaut aqualis IK, aucmaior. Ergo verrex Tcrianguli AIR,
vel bilecabicarcum FIK, vel eric alcori punctum bilectionis verlus R. Dcinde quia
AD, hoc est AL. maior CA quA AF hOC eAFILCTICAECUS HI L maior arcu FTL, AC PEO-
inde vErEEK L crianonli FT L Rnon Coluim Eadec viera punctum quo BilecaEuF ar-
cus TTEK. Sedetiam propius adhue incideeversus K, quam alceriuscrianouli ver-
cex I. Minorigicur est alcicudorrianguli ITL R, quam crianguli HTK, adcoque
minus est ALK hoc eA ADF, criangulum, criangulo IIIK hoc CA AFP. AF.
qui criangulum A F P aequarur criangulo AFB, cum omnia veriusque laceca vi-
eissim sncaequalia. Prsocriangulum A DF minus cciam est criarigulo AFB: ac
proindecriangulum F A G duplum ipsius AD F (est enim P C ex constructione
Bilecta in D) minus est crianoulo B RC duplo ipsuS AF B. Similicer demonstrabi-
musquoduis aliud criangulum quod per axemnon sic Factum, minus esse crianguto
per axem. In consisitur recto, _c. Guod crac demonstrandur. ul
Duod aurem in demonstrarione tuic alsumprui, (in recto) nempe conoacuranoulo
axem semidiametro basis eAc maiorem, in conorerorecto rectasulo x qualem, Pau-
cissic demonstrabo.
SiE COnUS FCCEIS acuranontus sectus crianoulo per axem B A C. quoniam in
criangulis BF A, C F A, lacerD B A, C A, BF, F C aequalia sunE, ee F A commu-
nes anguliquoque F AB, F AC aequalia lunc, sed eocus B A C eA minor recto ve-
Poceacucus, ansulus isieur PA B ipsus dimidius minor est semirecto. Ouare cum
angulus BF A rectus sic, eric reliquus AB F. minor semirecto, hoc est maior angu- 219. primi.
10 F AB, ergO axis AF 2 minor eA semidiamCErO F B.
Ouod h conustuerit rectus rectanoulus, tunc anvulus B A C crir rectus, ac proin-
de BAF, dimidius eorius B A C, semirectus est. Ouare cum angulus B F A rectus
lic, necesse est, vereliquus FB R eriam sic Cemirectus, adeoque aequalis angulo
BAF. vnde axis A F. ex Lemidiam eter balis conixequales erunE.
PR OPOSITI
XII.
Lter expedillus pracedens cheorema hunc in modum demon-
Alat.
Demon

## Folio 234 — 1815201908:0291
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000291.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
PROL E GON F N. A
Demonstratio.
N conprectansulo vel acucangulo sic trian-
sulum peraxem BF C de quoduis aliud ex.
Era aXCM IB FI dliameTer aUFCM BasIS CONi BIF
AF C. ex punctis C aC HI AUCANEUECTL, FIK
normales ad BF, FI. Quandoquidem conus
sic rectangulus vel acucangulus, CrIE aXIS BC
veostendi lupra, aequalis semidiametro (FP, auc
aior. Fx quo liquerlesmencum P L non esse
minus SCGIMENEO L F, ac proinde punctum
E caderc vel incer F ex punctum medium recte
FB, vel ad lummum in iplam medium punctum
incidere. Deinde quia angulus BOF, BFI,
rectisine, vepacet ex dictis prop. 1I. _ ab iis nor-
males dimiltae, OL, HIR, crunc a rectangula
LHB, R IB aequalia quadraris F C, FII. Acqui
quadrarum C F maius est quadrato HII, rectan.
sulumigitur I FB maius est rectangulo RIB.
esed cum BE, B B aequales ABE, LR Mor est quam FL. quoniam isicur, ve anee
oltena punctum L Cadicincer fe punctum medium rectae BF, punctum R er
iam cadec incer I ex punctum medium recta BI, id est BF, e quidem propius vec-
65. scundi. su5 F, quam L, verlus F. liquee isitur b rectangulum BK L minus ese rectan-
sulo, BC. F. Aequi quadraca T. C, KFF, aequantur rectangulis BL. Fb B R I, cr80 qua-
ATaCUM K FT minus est quadraco L C, ersonormalis K HIminornormali L C, Oua-
recumbases BI, BF aequales linc, criangulum YB H minus est criangulo B F Cr. (1.
milicer octendam quoduis aliud exrra axem criangulum minus elle criangulo pae
axem FBC, illudigirur maximum est. Ouod Fueras demonstrandum.
LROTOSTIIO ZIII
AEUS (IE COnUS rectus
axem habens BD d ratio
maioris inxequalicacis RL ad L.
Oporcere criangulum extri-
bere exera axem ad quod BE. D
eriangulura per axem datam
habeacrationem R ad L.
Constructio es demonstratio.
iX puncto D ad B F normalem
ducico DI, tiacque reK ad L.
AC DI ad M. Tum quadrato M
aequale fac rectangulum BNF, 8
quoniam quadracum. MI minus est
quadrato DI, hoc eA (quia ex
anoulorecto BD F ad basim ducta
est normalis DI) rectangulo BIF,
cxreguoque B NF rectangulum mi-
nus rectangulo BIF. crigatur de-
inde ex puncto N normalis NO
par rectX M ium g acurGIBO, FO.
Ouo
8. fegti.
e e e ue te t. es 1 . e eis 1. 1e. a e . e  u. . e  e 1 e pe e te  u et ir  e  te     e p  t  1 a  t e   te a p ta pi 1

## Folio 235 — 1815201908:0292
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000292.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
AD SF C FIOHLS CONI
Duoniam igitur quaciracu NO
aequatur quadrato NI, hoc est
rectangulo BNE, crunE BNF.
NO, NE LECS COnTINUX. An-
ulus igicur BOP rectus cAt.
Duare cum criangula BOF,
BDF liper eadem basI BF V-
craque sincrectansula; e viius
nempe BOF alcicudo NNO mi-
nor lcalcicudine alcerius D L, P2-
cet alcerurrum V laceribus BO.
OF maius elle alterius crianguli
lacere BD, quod idem est cum
aXC coni. AE lacus BO maius
axC BD: cricq; hoc mhilominus
minuslacere coni BF, liueBC.
Duoniam igitur lacus BO maius
est aXC BV, dminuslacere BC:
inEra COnUM aptari POTCTIE CX
puncto B ad diametrum AC,
recta AC aequalis laceri BO.
Factum sic, _ ex G ad B G nOr-
malem duc GF _ iunge BF.
Ouandoguidem anguli BOF,
BGF recti luNE, quadraca BP, BF quadraris BO, OE; BG, G Faqualia CUnE
sed quadraca BE, BF aequantur, aequancur isitur quadraca BO, OF, quadracis
BO, CF. Cum isicur quadraca BO, BC ob rectarum ex constructione aequali-
eatem, sine aequalia, reliqua eriam OF, G F aqualia crunr. aequancur isirur recta
OE. C.F; in criangulis ergo BOE, B C. F lingula lingulis lacera lune xqualia. Prgo
ipsa quoquerriangula sunc aequalia. Requirriangulum per axem BF. D ad crian-
gulum BOF. eandem haber racionem quam normalis DdI ad normalem NVO, hoc
est quam DI ad M, hoc est quam K ad I: ergo criangulum per axem BF D 2d
criangulum quoque BCF rationem eandem haber quam R ad L. Exhibuimus
erxorrianguloperaxem, etc. Quod eractaciendum.
lROEOSEEIOaCI.
Aconorccto crianoula nonperacem alcla, uocula valeo il coctu
puncto se incersecant, habent perpen diculares ad bales e verrice ductas,
in peripheria circuli cuius diameter eAt rectainter centrum balis conica
ex punctum incerlectionis inceriecta.
Demon-

## Folio 236 — 1815201908:0293
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000293.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
PROL E GOM E N A
Scholion.
Demonstratio.
N cono recto ABC incerse-
cent sese muruo in F puncto
quaevis balesF F G, IF R erian-
sulorumnon per axem FBC
IB R, _ CIFCA DF, inteF cen-
crum D ex F punctum incerie
ctum describe circulum DEI
LF: dico perpendiculares L
verrice B ductas ad FF. C,
TF K, incidere in peripheriam
DE B. jungancur enim BL.
BFT, DT, DTI. eric angulas
DE F in Cemicirculo rectus;
vnde rectae IP. X I. K a qua-
les crunt; est aurem recta B I ∞
qualis BK; igicur ctiam BI
normalis est ad rectam IK. A-
milirer ostendemus P normale
esse BHY ad F C. crgo omnia
triangula per F punctum et
verricem ducca normales luas
inveniene inperimetro circelII
DE F. quod oporruit demoi
Arare.
Vm intersectionis panclum E. aut intra basim dari possit, aur inperimerro basis, au extre
basim, fit vt hic triplex casus oriatur. primus, quo circellus D E. F totus base comprehen-
ditur. Secundus quo idem occurrit puncto perimetri AIC eundem contincendo: in quo casut
quarea est pars circuli, qui fungitur basis vice coni ABC: tertius vero quo extra basim dif-
fusus circulum baseos secat in duobus punctis; se d quia triplex hic casus diversitatem nec in ip (a
constructione, nec in demonstratione inducit, hinc silentio ram in propositione quam demon-
stratione suppressus est.
P ROPOSITIO XV.
cono recto exhibere criangulum quod per apicem coni ex pun-
ctum datum sive inera, sine exrra coni balim cranseat, HabCaE VerO
ad criangulum per axem dacam rationem.
Constructio es demonstratio.
esto AB C reccus, d per cius axem tacto erian suro B. C decur punctum
am D. OPOTTCAE verO per punccum D, de verricem coni contticuere
rsusum L BL quod ad criansulum per axem A B C racionem habeac I ad R
dacam. Inveniacur per duodecimam criangulum Y. BMI, quod habeat ad criangu.
TAMI AB C rationem I ad R. DeindC CX D pUNCEO dUCATUE DF F, SIC VE FF lB
equaS ipAI LM. per ca guxe de circulorum b proxrieracibus conscripsi: X secun
culis. dum P F _ B, agatur planum, hoc iplum exhibebit criangulum BostulacuM BP. P.
erie
  e i  i es  1 1e    e    . 1.    p oe e e  e        u  te t A    e ua u au    e

## Folio 237 — 1815201908:0294
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000294.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
AD SECFTONES CONV
erit enim E BF aequale criansulo BC.M, cum balis I. M aequalis (C E F Cx COM-
Aruccione, e linea B B, F B non Colum sinc aequales incer (e, se d cciam linc xe quales
rectis L. B, BW. IBicur pertecimus quod imperacum tuic.
Scholion.
Actenus conati vtcunque sumus sectiones coni explicare quae per apicem transeunt sive in
ecto, sivem scaleno cono: quia vero apud antiquiores maxime archimodem, alia nomen-
clatura inscenitas reperies relquas com sectiones, quutum eaplanatiot regueons otas
prosequi intendimus: hinc opera precium iudicaui pramittere quae ad rem hanc percinere vide-
buntur.
in triplici differemta posderunt. Sudsaam alerunt conos rectangulos; nonnullos acutiansu-
los, alios denique obtusianculos, denominatione sumpta ab angulis quos sectio per axes facta
contineret ad verticem coni: unde illis distinctio conorum rectorum es scalenorum ienota
fuisse videtur, cum scalenus conus, omnis generis angulos admittat ad verticem; variata so-
Cummodo, secundum diuersossrus, sectione per axem. Rectanculum itaque conum dixerunt
omnes alos anzulos excludens praeter rectum. Cionum vero rectanculum prius dispescebant divi-
one per adem  unde trianguli labas alio plano secabant ad anculos rectos quod insuper
Est aneio eset oriisoonu nfectionem appellabant cont rectangulu recentiores autem
varaodiam cum. Conu deto acatianu smiliter loscelium partiebantur bifariam per
axem, ac primo quidem sectionem per axem cominstituebant; deinde trianeulum ex sectione
per axem productum, alio secabant plano, quod tam plano quam lateri rrianculi rectum esset.
quo fiebat ut alteri quoque crurum occurrens, ficuram alterius forma proferrent, ex a parabo-
la lonce diuersam, quae scilicet zota clauderetur incercapedine linearum rectarum trianeuli per
axem: sectione inde resultantem contacurianculi dicebant I soscelem, denique conum obtustan-
sulum, eadem praxi es peraxem dividebant, deinde plano ad onum laterum, ee ad ipsum
trianculum recto per conum acto. sicuram formabant quam coni obtustan zuli vocabant, quae in
idem recidit cum hyperbola recentiorum. Haec icitur antiquorum ratio diuidendi conum, a re-
centioribus maxime vero ab Apollonio, nonnihil est immutata: conus enim qualiscunque sit
en natura sua tale corpus est, ex quo sincula harum sectionum erui po ssint; quoduis enim irian.
culum
In duplict differentia conos esse posuimus, alios scilicet rectos, alios scalenos: antiqui vero eos
conum Isoscelium qui nullam admitteret varietatem in trianculis per axem exsurgentibus,

## Folio 238 — 1815201908:0295
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000295.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
PR OL E GOM E N A
culum per axem exhibicum trifariam diuidi porest à plano huic ad angulos rectos constituro:
aut enim communis inter sectio horum planorum, trianculi scilicet peraxem, ex plani orthoeo-
naliter eidem insistentis aequidistat uni lacerum trianguli, ex hoc siru parabolam eienit: aut
verique occurrit intra trianculi lacera producta, quaratone emereit Ellipsis; aut vni laterum
occurrit exira trianculum producto, atque ita hyperbolam exhibet. has omnes sectiones ea (dem
esse cum illis quas anriqui eruebat, horum librorum decursu intellices: non ita tamen vt quae
cunque sectio a recentioribus facta exhiberi nata sit in coni alicuius sectione ab anriquis factai
nam anriqui unam solam Ellipseos speciem proferre porerant unamque Peciem Fyperbolae in
dato cono, ita uF si diversam requirerent, Ellipsim aut hyperbolam, ad conum confucere debe-
rent macis minusve acutum aut obtusum. Insinite aurem varietares oriuneur in quonis cond
secto iuxra methodum receniorum, prout cognoscere poteris benigne Lector si sequentia pro-
sequaris.
Insuper Recentiorum raiio secandiconum, perhibet circulum sectione non facta ad basim co-
ni aequidistante: quem circulum antiqui cruere nequibant, quia hunc circulum exhibere non
valet conus rectus sive Isoscelius, quem anriqui solum consideranere, sed solummodo ex cono
scaleno eruitur. vri sequentia docebunt.
Priusquam huic discursui finem imponam, verbulo insinuandum mihi est cur axem cons de-
terminent lineam à verrice coni ad circuli censrum demissam porius quam ad cerrum Ellipseos,
cum Ellipsis non minus centrum obtineat quam circulus, ex secundum Ellipseos perimerrum 
puncto in suolimi posito si circumagatur recta linea eandem prorsus conicam superficiem de
scribat quam si ab eodem puncto circa circuli eiusdem coni produchilineam circumduxeris. In
prompturesponsum est, neque enim filiamaerem praecedit, gienitur quippe e cono Ellipsis. In-
super circuli proprietates cum ex elementis supponantur omnibus nota, in scruiunt recte ex com
mode demonstrationibus proposicionum qua ex cono eruuntur: Fllipseos aurem cum accidentia
ienota sine, frustra ea adhiberetur ad theorematum aut problematum veritares manifestan-
das. posissima vero ratio mihi videtur, quod Fllipses in cono assienari queant sine numero inter
se diversa ac proinde pro singulis deberet mutari axis coni: non enim idem esse possunt axese
verrice coniad circuli centrum, cum axibus ab eodem verrice ad centra Ellipseon, varietas er-
eohaec inimica doctrina ellipsin meriio excludit ne baseos munere funceretur in cono, perfe-
etior tamen videtur cono scaleno Recrus qui prater onum axem alterum non admitrit, vii
conusscalenus, ex quo capice imperfectionem includit.
N cono quocunque omnislectio bali parallela circulus est.
PROIDSTLLaI
Demonstratio.
FEUF COnUS AB C cuius
basS BO C, _ sectio F. P
aguentans planobaseos di-
Co DEF cueCirculum. du-
Cacteur eniim ATI PeF cen
ecuim es AL guauis alcera
 plano crianguli per axcm
ABC. OcCUErenceS reCtX
D F in punctis NI, NI et HO.
LLnormalicer eriganeur ad
BC clamerum, ex iunetis
AC. AI occuenibS IC
el DFF in L. X R. IBD.
BaCL MF, NK: quoniam
plana aequidistancia sune
DFF, BC C. Cam Ga
MFE, HIO, aHK. LL d
ettit adatataedica
Bieur

## Folio 239 — 1815201908:0296
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000296.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
AD SBCTTONES CONI
ISITAEM E, ad FT GS VEAM ad A FHS hOC CS DE AN Ad AL, HOC CAVE MK ad L I.
Jeaque permucanido, MI F est ad NK ve HI ∞ ad. L. I, adeoque eoquadracum N F ad
quadracum NK reguadeacum FI C ad quadracumr P. I. sed quadracoTIC aequale cAt
BHIC rectangulum, de LI similicer quadracum ae quale rectangulo B P C. Igitur
MF quadracum cA ad NVK quadratum ve BFFC recrangulum, ad recrangulum
BL C, est aurem velBH C reccangulum ad BPC reccangulum, ica rectangulum
DM Fad DNF rectangulum, cum exii dem rarionibus compolica HnC, isituF qua-
dEaTUM MIH est ad. NK quadeatums vereccansulum D MI Fad DNF, reccanguli
lam rerO D MI est ad BFT, vE AM ad AFI, hoc CAVEMF: 2d FIG. ergopermucando
DM CItAAME, VEBII ad HIO. (Cd BFI, HIC CunCaequaleS, CrGO _E DM, MP aequa-
les lunc lgicur quadracum DM, hoc estreccangulum D M F (nam cum B C scbise.
CFA in FI, CFIE BE D P IN M) EQUAEUE QUAAEAEO MIH. OMARE CUMI GUAAEACUMIME, ve
lupra octendimus, SIE ad QUAdEAEUM NR, VETCCEaNGUIUM DMF, ad reccanoulum
DNE, criam reccangulum DN F, aequabieur quadrato NK. Denique cum DF, BC
sinc parallelae icemque GFI, P M, ec vna CII licnormalis ad vnam BC, crie aleera
F. Mnormalis ad alceram D F; similicer octendam R N normalem esse ad DF. ICa-
que cum normalium P M, K N quadraca equalia sine reccungulis D M F, DN F, (C.
EciO D E, B F circulus elt. Ouod Euic demonstrandum.
Corollarium.
X diccurso demonstrarionis liquec centrum circuli D E F eNC in axIS pUNCEO F, in
quo nimirum axis occurrie recex DL, qua est communis seccio criansuli per
Xem _ circUli DPF.
P R O POSITIO XVII.
N conolcaleno circulum exhibere qui bali x quidistansnon (IC.
Constructio es demonstratio.
CalenuS COnUS PONatuT ABC. (C-
ccus plano per axem proterence
crianoulum ABC minimum illorum
quae per axem heri postune erie illud
scalenu, cum omne icalenum sc quod
Per axem Ac peaecer maximum per Cor.
2. Oct au_; angulus isieur AB C minor
ponatur angulo AB C: quarC HaL an-
sulo AB C aequalis AC D _E PCFFECTA
DC duc planum rectum ad crianoulu
ABC: Dico sectionem inde nacam
DLC esse circulum. Ducaneur enim
duo alia plana bal parallola F LC,
TTMK, quorum communes secciones
cum planO DL C. GINERCCEX F L, INI.
ex7. huius parec batim coniad minimu
triangulum AB C rectum eAC. ergO e
alia plana parallela FPFI , HIMK (
ctiansulo ABC recta crunc: sed e
planum DI. C criansulo reccum est.
ergo communes lecTIOnCS L F, M I,
receae lunt criangulo, adeoque e lincxe
DC. Ouoniam AUCCM FL G, FTMK,
circuli lunc per praecedentem, _ FL, IM normales DC, eric cam rectangulum
F F C aequale quadraro P L, quam rectangulum FITR, quadraTO TM, quia vero
Similia suncrriangula DIFI. e IKC, cum anoulo ACD, Sc ex constructione X-
qualis AB C hOC eA D HI: CruNE punCta LID K C in eodem circulo: Similiter
octendum

## Folio 240 — 1815201908:0297
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000297.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
240 PR OL E GO MI E N A AD SFCIIONESCOH
ostendam puncta quoquo F D, OC esse ad circulum: quare rectangula DIC, HTIK
xqualia lunc, rrid rectangula F F C, _ DF C: ac proinde aequalia criam quadra-
eis TM ex FI. perpendicularium ad D C. Isirur puncta DM L C, circulus cAcu
ius recta DC est diamereri isicur de c.
PVR OPOS
clit
03
e
ad 
condendum modo elt in quontscne eese ce axes esse.
Demonstratio.
Onus itaque scalenuS AB C secetur plano peraxem BF, quae ex vertice B ad
cenerum circuli ACC balcosprocendicur: criangulum productum ABC sC.
cetur recta CD, gux angulum BCD aequalem exhibeat angulo B A C: X diuida-
cur DC bitariam in F, de iungacur BF. Dico illam esse axem secundum huius
coni: quodica parebic, praecedenti propolicione ostensum est sectionem Factam pet
rectam D C, comodo quo illic praeceptum fuie, circulum producere: igirur recta
exapice B ad punctum F quod huius circuli est demissa axis nomen obrinere de-
bet exipla axeos detinicione; restar igicur ostendere P P P rectam non estelincam
sine BF productam non incidere in P. cencrum bals, sc proinde B L axem esc
alium ab axc BF. quod inde pacet, quod E I recta tc aequidistans linex AB, cum
lecec duas rectas CD, C A Bitariam. Igirur A recta cA linea R FB, sequetur duas
parallelas se le incersecare, quod est ablurdum. Constacigitur omnem conum scase.
num duOSaXCS admICEFC. Quod demonsrandum fuic.

## Folio 241 — 1815201908:0298
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000298.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
MB
red
cCc
inct
rdua
seit
A
an
A R G. V M. E N T V M.
Llp s propriecates illusque nacuram methedice proposicuri, rem totam
 parces dividere placuit. Ac prima quidem e conosectionem educit,
affectione sque illius essenttales; dein actidentales reliquis necessarias e
fundamentales.
Secunda ellipsem diuidic illin (que sectores es seementa comparat.
Fercia, arium ac diametrorum conineatarum tam aequalium quam inaqualium
ampliorem continet considerationem. Ac illarum primo quidem contemplatur poten
eiam: deinde lineas, quae extrema diametrorum coniuneunt. CCWI
Quarta sectionis polos eorum que passiones ac lineam breuissimam à puncto in axe
dato ad peripheriam desienat.
Duinta varias ellipsis geneses quae rum ex lineis, rum é circulo, tum ex ipsa ellipsi
oriuntur continet:
Sexta ellipsim cum circulo comparat, in qua hic etiam ordotenetur, ut primo li-
nearum proporciones acpotentia secundo sermenta ex ipsa sectiones, dein fieurae viriq
inscripia inter se conferantur.
Caterum propositiones nonnulla huius libri ac sequentium duorum sunt Apollonii.
sed via longe alia à me demonstratae, paucis exceptis, quas nihilominus cateris appo:
nere visum fuit, ne quid hoc in opere quod ad conicam doctrinam pertineat, studio sus
Geometriae lector desideraret. Caetera omnia, quae lonce maximam atque praecipuam
operis parcem constieuunt; à nobis es inventa sunt es demonstrata. Quare si quis in
recentium quorundam Geometrarum libris theoremata quaedam reperiat quae cum no-
Aris conveniant, is velim intellicat, ea ab annis iam plurimis ac muled ante fuisse à
mereperta, quam authorum illorum libri in lucem prodierint. Quae paucis lectorem
meum docere volui, non ve cunisquam inveneis dutraham, sed ~+ plaeii suspicionem
ame remoneam.
233CHETB NI 2NZCBECHI. CL disCiHHBNI: EX .F 391 N3IS. 19Y 5115 .
29351327133O. CLEl OrOMBIB 2BLAMTON D IL BBpEESCEAM
Elleseit 23 s.ils. UPS: usilcq isscitio sibeu auii
cilegeBs E 3BEIAB  Ceunicaso eniciel scnioher deccrisilogoru 3
CIEIrC ilge lecert olums
Hh
DEEI
2

## Folio 242 — 1815201908:0299
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000299.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
M  ppu ulpuempen
E L. L. IPSIS
E FLNP T LO NF S
lineas, recta cuidam x quidistances bitariam dindic. d li guidem ad
rectosillas lecetangulos, axis dicetur: in quavis aurem ellip(i binos etse
axes, e quidem coniugaros (qui extrema dicuntur diametri) hoc est qui
mutuas parallelas bilecent ad angulosrectos, luo locopatebit.
1I.
Ordinatim ad diametrum applicari dicitur vnaguxe que linearum x-
quidictantium, ac bitariam diuilarum.
Cenrrum ellipleos est punctum quod diametram oltariam diuidie.
Ouod aurem linex in ellip si per centrum ductae biFarIAM LCCCNEUE, prO-
poL. leprima huius libri demonstrabimus.
DiaMCcI cOMIUSaCa aICUNEUE quE mutuge Pdlallelas Bllalat leca
lamerer ellipseos est rect ipm ducta; quxe omnes
Lacus rectum roco lineam, iuxea quam postune ordinarim ad diame-
crum applicacae. huc, lacusrectum estmensura iurra quam comparantur
porenrix lincarum ordinarim ad diamerrum posicarum.
TT, Ponaneus que LOaLeS aIamCErO BD, OCCUIETONCES ED II L. AHBd
In ioitur quadrara ordinatim poncarum a guanu ctum lingulis rectangulis BHB
ve proposicione ondecimz huius demonstrabimus) quae deticinne a rectansus
FBHb rectansulotmili, ipti L bD.
d33HE
DEsin eremplo ericclarior: SC AB O. Ollipleos diametet B D, illiusque lacus re-
Cu ciresibae
 a a  
GDM FCDEXLenECE FB: iunctisque FD, Sumantur in diamerro puncta quavis
Aeque
  ie  e  e t e p   u  .  i     p        t  p.  e   e   b e    1 

## Folio 243 — 1815201908:0300
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000300.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
li
BHI
qu
F L. L TF St3.
Requeica quinem lacus rectum cum Apollonius, tum
Execeri illum hactenus securi expoluere. Verim mihi mi-
nime videcur neceslarium ve larus rectiin diamerro ad
rectos applicetur angiilos: d quadracorum ac rectan
sulorum loco possune Rhombi ac Rhomboides incer (e
comparari. icaque ad vecerem laceris recti acceptio
nem, nouam aliam adliicio ciusinodi. ad cMtipleos diame.
erum iinc ordinacim posex quoruisrecta CtHI: et quae
dam BF lacus rectum; aequidistans ponacur ordinacim
applicaris: singuli ordinarim policarum Rhombi IIC
in ansulis IFIB aequales crune singulis IFIB Rliani-
boidibus inijsdem angulis, qui deficiunc a Rhomboidi.
bus FBHI per Rhomboides Similes Rhomboidi FiBD;
Demonstracionem huius vide propol. r2. huius libei.
Porro latus rectu eo ab auriguis consilio invencum est.
ve cerrialiguid e noci haberene; per quod reliquas le-
ctionum propriecates incelligere ac nocas sibi redderé
Facilius postene: e ve in singulis cons sectionibus illa
plane diuerix sunc, ica de lacera recta diuerlas in singulis obeinene pastiones; de ré
etangula laceribus reecis ac diamerrorum parcibus incer verricem carundem de pun-
eta quibus ab ordinacim policis secaneur incercepeis concenea lonse diverlam in Cn-
sulis, ad quacrara ordinarim policarum habent proporcionem; in ellipe quidem qua-
deaca illa deficiine figura simili illi quxe lacere rectO _ cranUICTIO CONEIHCLUE L re
ccangulis praediecis; in parabolaii (dem aequaneuri in lyperbola veto excedune A-
sura similiilli, _c. Vnde e nomenclacuram singulx suam lorricx (unc.
Exrerum ver porentia ordinacim policarum ad diversas diamerros; diverix quo-
que sunc, ica de diameeris singulis. proprium de rnicum lacus recrum astignacur: quX
omnia, vei ec lacerisrecci invencionem, luis locis demonstraea invenies:
Figura estrectarigulum quod larere recto e cransuerlo (id est diaime:
ero, nam illa quoque trantuerla vocari Colet) conrinetur.
Apollonius) in quibusaxis divilus rectansulum exhibe lub scomentis
contencum xquale quarrx parri fisurx: de quo luo locongendum.
Poliseii toci ellipseos, purieta Tune (qux ex compararione facta votat
decuo abeotacla en ualiuo cocuo pratio Der atclulecu claa-
lum producenres alio rursum secarur plano; quod abscindat fcriangulo
producto) criangulum limile quidem, sed icapolicum ve ansuli qui ird
vero querriansulo lune a quales ad diverla sinclateri: D .I) CsI

## Folio 244 — 1815201908:0301
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000301.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
244
15. Onde-
16 prole
c34. deli-
Mers.
835. cerris.
P
T. NI A
exhibet proprietates.  111
iret
2e
SiII L LO E R LM A.
et aslerinttect
IOnuS rectuS AGC B sectus ACplano periaxem faciente criangulum
+ABC. Sccetur alio deinac planio bals coni AC C non parallelo.
cum veroque crianguli lacere conveniente in D e F: ex qua (secrione
producca) sic in cono Agura D E. F. W, communis aurem secrio illius
plani lecaneis cum eriangulo AD C sIE DEI; ciuldem vero sectio com
munis cum plano in quo est coM balis AGC, SIE reCTA LK, quam per
pendicularem esse oporiet ad A C diamerrum basiscotii, vel ad reccam
quae diamerro AC. in acclu consticuIeuT. i Craxit s
Dieohguram DF. F enculum non eso. lad eg a
np strneit e  mun Demonstratio
2e
D Ex PunCtu aliquOd MECCLX D P AUCAEUFNF.
Parallela ad TK, in plano ABUTX DE FN: et
per idem illud punctum M ducatur in plano
crianguli ABC. recta OP parallela ad ACL
per LinCaSAUTCM NE, OP agacur planum. Frie
hoca parallelum basi AC, C, ac proindeb produ
cer circulum OF P N, cuius diameter cric OP.
Ouoniam isitur OP est parallela ad AC,
criangula BOF, BC A similia TunC. Scd BC A
ilosceles elt, ergo e BO P ilolceles cA. FrgOCKC-
aangutum F MD maius est rectansulo OM P;
sed rectandulum OM P d sequale lest rectangulo
NME crgorectangulum LM D maius est rC.
ctangulo NM E Parec isiEUF CX 35. certII Agu.
ram DB. F N, circulum non eNC. Ouod crac de.
monstrandum.
ilg r.D R O, P O SI.TIO, L. L.g en
Acusiam sic conuS (caten A B C, ee planum secans quod producit
in ConO fguram D F FN, neue sic parallelum ba(i coni AOC,
Sectionem e conoeducit primasqu ac essentiales, ejusdem
3LME
P. C
er
ilerc CF rce
quepropolicione prima.
neque subconcrarie policum. C aleta vero omnia ponancur e hanc eadem
Dicorursum fguram D C. F. N circulum non cAC.
Demon.
pa is     s   s ur u   es tng u seu at p  asete et se  sit u ote at pep et state an sr s   sie qu stip 

## Folio 245 — 1815201908:0302
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000302.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
Demonstratio.
: L. L. LF 5 +8.
proniam OP CA parallela ad AC CaI-
Lque seCaE FD in M non subconerarié, hoc
est angulum BFD non consticuens aequalem
ansulo B AC, Pacec ex 36. libri nostri primi
reccangulum FMD inaequale esse recrangulo
OMEP. Sed reccangulum OMP ZONAEUE re-
crangulo NMI F. ergo rectangulum FMD FC=
ceangulo cciam NYME inxquale est; liquecioi-
EuT Cx 35. cerris figuram D P F N non eMccireu.
um. Ouod crar demonstrandum. 1C
e R OP OSIFFO III.
AEUS SIE conuS quicunque Live re
ctus sive lealenus,  CxFCFa POnanEI
ex tianc eadem que Cupra:
DICOTECTam N E. a recta D F Secari bi-
Cariam in M.
Demonstratio.
Ecca PM ex hyporhesi est parallela ad rectam AC, _ NI R paracla 2d IK.
OuatC PM, P. M ansulos comprehendune aequales, acgut at MuS ATK ex hV.
Pochelirectus est, communis enim sectio TR Posta fise petpenas ad ACL
propolicione primaierso eriam PMR rectiS eHt. IEaque CUM LCCTiO ONF L HECIE-
16. prote
culus, ciulque diameter OP; manitestum cn F. M H a Mameco eculi OP, 43 eerii
quam normalis est, bilecari in M. Sed ex hypochen panccu n cous lel .
NE. DF communis est. erSO NE a DF, bilecac u . u etat detmon.
Corol-
itrandumi.
CL l 3

## Folio 246 — 1815201908:0303
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000303.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
L L IPSIS.
Corollariuim.
TInCpacec, E ducantur quorcinque reax ad JK sive N F parallelae; omries i.
DF Bifariam diuidi: eadem enim est in omnibus demonstracio. Px quo vlceriis
semanifecstum sectionis D P. F. N. (quam elliplim deinceps nominabimus) diame-
Dom 2. truim a ese lincam DF; FCCtam Vero NF. b exceralque hiuic parallelas ordinacim
Ccaddiametrum D E applicatas. 
PROFOSIIIO II.
IIdem posiris; ducacur in ellipe DE F N linea quaenis R T, parallela
Lad F. N LBC lR, secans Mamerrum D F in puncto FI.
Dudtectangulum MF ese ad rectangulum DHF re quadracum
E M ad quaau LCLL.
Defir. 
Demonstratio.
DEF punctum FH duCAEUE REcta QHS PALAHICIA PCCE O P occutenslareribus
crianguli ABC in 9 e S. cum perrectas S, TR agacur planum, crichoc
cir onde cParallelum bali AC C ac d prosisce seccionem producer circulum (R S, iam
16. prot. Vero racio rectanguli DMF _a TeclAMS DHLF componicur ex racione DM
2d D FY, Choc est, quia P M, O FIluncparaCLL CL COM. ex racionC PM ad OH
racione MO ad H(S.) Acquirario reccanguli  M lecla aa OFIS com
poulcur ecium exracionibus PM ad OHI, _ MO adHIS. erBO fCLI DMF
est ad receangulum D HIFi ve recrangulum PMO ad rcccangulu HS; hoc est
quoniam sectiones PF O. R S.CCutn, Veccerangulum P. M N ad reccaN.
eribuin sulum ffLT, hoc est, quia c F. N, R Y bilceexe sunc a diametro D P ita AL _ H, vt
31.
_ exraciONC MEF ad HIF (hoc elE, quia ATO, FI S ex construcc. sune parallelX, ex
quadracum F. M 2d quadrarum R HI. Quoderac demonstrandum.
pom
15
1 b 24. 23 l951
Scholion.
et es e ut set t t e t t ituu e ea  e te 1 s e et p u et  s pta ta te  et et Ae e t ee  t  stet t tt t te ut e    e         t et   ia 

## Folio 247 — 1815201908:0304
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000304.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
= 2=2515.
Scholion.
Exhibuimas propsstione hac provoriionem
rectanculorum quae à sermentis diameire
ellipseos constituuntur ad quadrata ordinarim
ad eandem diametrum applicatarum: quae
quidem proprieras ellipseos est primaria, es es-
Tenrialis: verum quia haec ita ellipst inest, vt
etiam in circulo suo modo reperiatur, opera
precium facturum me existimani. si differen-
tiam, illum inter ex ellipsim, breviter in sce-
mate apposito ostendam.
Esto circuli A BC diameter BD: cen-
erum E: ex normales ad diametrum AF:
sit aurem es ellipsis LTIK diameter quae
cunque LL, quam ordinarim secent TIN: centrum vero section aL. Duoniam iei
cur in circulo, AP, rectae sunt normales ad diametrum BD,
erunt rectancula BFD aequalia quadratis AF, proindeque
A F. quadrarum, est ad quadrarum AF VE B F D rectanculum
ad rectanculum BF. D: eodem modo cum FIN recta in ellipsi
ordinatim positae sint ad diametrum LL, erit FIN quadratum
ad quadratum TINI, VFINTI. rectanculum ad rectanculum
NL: illudizicur virique sectioni convenit; eam esse proportio
neminter quadrata ordinarim positarum, quae rectangulorum est,
(ub seementis diametri ad quam ordinarim sunt positae: in hoc
vero differunt, quod in circulo proportio rectanculorum sub se-
ementis diametri, ad quadrata ordinarim positarum sit aequali
taris; in ellipsi vero (si casum diametrorum coniucataru aequa-
lium excipias, de quo plura suo loco) inaequalisatis, quod prima es
secunda huius planum fecimus.
Ex quo sequicur primo; in ellipsiaxem unum altero maiorem
esse. quod sic ostendo: sit in FL I K ellipsi axis aliquis II. quem
ordinarim secent FIN. acaturper M centrum recta CK aqui
distans ipse II N: dico illos axes esse inaequales: est enim vELN L.
rectangulum ad rectangulum, M L. sic quadrarum FIV ad quadratum C, M. C peruta
do 2F TN L rectanculum ad quadrarum FLV sic TM L rectaneulum ad quadratum CM
sed rectanculum LN L. quadrato TINI p est inaqualei erzo e rectanculum LM L, (hoc est
quadratum LM) quadrato CM inaequale est: erco recta LM rectae C M est inaqualis, ereo
tota TL nempe axis, tori C K hoc est axi alieri, inaequalis est. Ouod erat propositum.
Deinde si axes in ellipsi aequales essent, jam non differret ellipsis à circulo: eo quod rectancula
sub sermentis axeos, aequalia essent quadratis ordinarim positarum.
Sequitur secundo, si super axe AC ellipseos AB Cs describatur semunnms ADC,
ducanturque ordinarim linea BL occurrentes
Semicirculo in D: quod BF. sit ad BF, UtDF.
est ad D P. est enim tam in ellipsi quam in semi-
circulo, vI AP. C rectanculum ad rectangulum
quoque est ei quadratum BF. ad quadratum BP.
sic DF. quadratum ad quadracum DF.
mino.
2.
AF C sc BC quadratum ad quadratum BF,
 DF, quadrarum ad quadratum DE. onde

## Folio 248 — 1815201908:0305
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000305.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
a esi B. 1.
ta
1
e 20 2 tt 1t.
daca cllipsi diantectu inuenire.
O
PR O POSITI
Construstio ex demonstratio.
Nera elliptim ducancur varallelx AC, DE, quas bita-
riam leca in punctis Fi, Ci; _ per F ac C, ducaturrecta
BFI.
Dicohanc esse diamerrum.
Demonstrario est manifesta. A enim DEF non est
dIaETEF, SIC L F M, SCCanS DF in R. Duoniam igiEUE
C. Mt ponitur esse diaineter, _ bisecac e parallelis vnam
AC, in F, bilecac 3 alceram quoque DF in R. Quod
heri non porest cum exconstruct. DF. bilecta (IE CY. NOn
isicur P. M aur alia quevis ducta per FCA diameter pra.
cer eam, quae criameran per C hoc est pracer iplam
BFI. In daca igicur ellipli invenimus diametrum. quod
erac Faclendum.
eR ODOSIFIO
Aex ellipleohutum reperire.
Construclio umonstratio.
DErPExCedentem quaere illametrum cllipseos. B H, quam seca bilariam in L. Exde-
finicione cerria pares ellipseoscencrum ele l.
Corollarium.
DACEL ex hac proPOSitiOne Omnem aIRMEETUM EFANAITC PEF CONFruM. EX quo se
converlam tacile deduces, omnes nimirum lineas per cenrrum cranleunres este
diametros.
c24. sexti.
 definit. 3.
R OPO5 1 F
cum, quas propolicioneleta dujus demonstrauimus à diametro se
Cari statu Cetampo.
Dico omneslineas per cenerum ductas in cenero diuidi bitariam.
Demonstratio.
Aca Sicellipsis AD B, cuius diaMeTEF AB, rectaVerO L P, via SITCa-
C 3. htius.
Vaa scenim quaeeunque recta DO, per cencrum
C. Cx D ducantuE D F C Parallela ad L P, GL
parallela ad AB, a LL. CiR Parallelae ad CxD, sive
P. Ouoniam igicut sCi F. HI parallelogrammum cll.
erun OF, B H aequalcs: vnde et quadrara CF, B, F
equalia m. Aceatb be quadrarum CF. est ad, quadez.
cum F HI, ita reclacs um AFi B cM ad rectangulum
AEIB. aequancur isla rectangula AFB, AHIB. et B
ve AF ad AII, sic BI ad BF: ereo dividendo re
AF adF FI, SC B E dd FIF. aequancurigitur AF. BH.
Duare cum cora quoe utameter AB bilecta lic in C.
veparet d ex dehmtoneceneri, reliqua eriam FFI. bi
secta eA in C. Suemah isitur R C ipsiS GD, F HI cM
parallela, recta qubque CF. Bilecacur in R. CA vero cd
DC bisecta i F, MPocCipl L P paxaILela. FrgO CA vt
D
t ets e ury et   tt es tat e t e t s e t. el ptte e pe es Atapute u p   ate s e e  e pe  u  p e e t A   i  e et         e pe   rs e

## Folio 249 — 1815201908:0306
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000306.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
meter
calerip
cum
int
ExO
eunes
n
CCM
B
Pit
H.
etoc
pest
D
F L. LIP SIS.
DO ad CiF, hoc eAVE DG ad CK, sic G P ad RF. ErgO punCtA DCF TunE
in directums (ed eciam puncta DCO, lune in directum, cum ex Hy porcn DC.O
siclinearecto. Vnaisitur cademque recta TunE DC B, de DCO. Aequi, DC R. bi-
secta est in C, (cum enim ex constr. C+F, F C sinc pacallelae, cric ve D F 2d F C, (c
DC ad C F.) Ergo etiam D C O bilecta est in C. Ouod erac demonstrandum.
P R O P O, S L, F, L. O oV IIL
Aea Ecellip(IS A DC FB, cuius diamerer SIC BHI; OcaInatIm NIO aa
diameu aPPIICATA L PR: cenerum cllipleOS G. DVCTA AUFO CIE
percenerum C, recta AC. C. ordinacim applicaca parallela.
Dico BH, AC diamerros elso coniugatas.
Demonstratio.
Vmacur in AC quoduis punctum MI, per quod duca-
PEUE KD diametro BFI parallela, occurrens ellipli in
punctis D _EK; ex quibus dUCANEUE DFR, RNL.
ipA IR parallele. Ouoniam igicur VR. NEparalle
logrammum est, rectxe DF, RN, adcoque e quadraca
DF, RN aequancur. Duarc cum 2 rectangulum BF II
Cic ad rectangulum B NFT ve quadracum DF ad qua-
dracum RN, rectangula BF PT, BNII eriam lunc X.
qualia, ac proinde, vrostensum in praecedenci, B F X NTII
EquanCUT. TUNE VerO _ B CF, FI C aequales. UrgO e reli-
que FG, N C aquales sIIMC, Sive FN bilecta est in C.
Eroo dRD parallela diamerro BFT bilecacur in MI ab
AC. Smilicer ostendam quasuis alias diameero BF Pa-
rallelas bilecari ab AC. Dugro cum eriam b AB BilCCCF
DE, L, R coceralque omnes quae sune ordinatIm POCEX
ad BHI. _ Parallelae ex hypochehi ipsi AC; Pacec exde.
finicione cBH, AC diametros esse coniugatas.
Corollarium.
Va per cencrum 2d ellipleos axem dacum perpendicularis ducieur, est axis dato
Laxi coniugacus.
Exdilcursuiam allaco Facile sibi lector demonstracionem huius reieliciet.
PROPOSITIO 1X.
Atalic ellipus ciulque diameter BHI.
Oporceat diametro BHI coniugatam diametrum exhibere.
Constructio e demonstratio.
eacur recta aliqua K D parallela det BFI, ee veraque DR, B IL dsuisa bitariaru
in M de C, Per M d C, duCREuT AC
Dico AC, BHI coniugacas cAc diamerrOs.
AC primo quidem reCFaM AC CNCAAIHCCEMIH PACeL CL G. CtiuS. eF B FI diameter
est exhypochelis amba igitur sunt diameeri. Onod aurem sine coniuracx sic osten-
c defin
d0. Ononiam AC diamecer est ex bisecat R D, erir dF D ad A C ordinacim appli- d definit. v.
eata erro d reliquae ipsi RD Pacanera, ctam aa A C ommaum applicatae, hoc ele
Cz diamerro A C bitariam lecabuneut. Lea DR ex Constructione cum libi paralle. c ibid.
IS, Palaela cMad alametrum B fl. ergo diamerer AC bilccac diamerro BII p a-
Callelas. Ducancur deinde DP, parallela diamecro, AC. es L _, Parallelar eAta D H.
Facal.

## Folio 250 — 1815201908:0307
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000307.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
 ui per pi qur que  pi1
EL L. IPSIS.
paratlelosrammum ixitur es MD F C, in quo quia FC
ipSIS DMI, F O ducta cA porallela, CxIE D F ad FF, ve
MO ad CO. lacera quoque parallelosrammiD M, F O
adeoque a quadraca BM, F O, equaliz crunE. lam ve-
roquia DM, P.O. sunc 2d diameerum A C, ordinacim
Poliex, ratio inter rectangula AMC, A O C crir cadem
QUZ INECF QuadrAEA DM, F. O, hoc est xqualicatis: ac
pronde vepacec ex demostracis in sepcima huius, eequa-
leSOrHNE AMI, (C. OuarECUIMA_ IOEX AO, CC X.
quales sine (est enim B centrum ellipleos; quiz BILCCAF
L drametrum BLI) eriam reliquae MO, QC: aquales
sinc quoniam igicur CR ve M C ad GO, sC DF ad
FE; Ctiam D F, F F Xquansur, hoc est D V Bilect a CA
in Fi. Ergo exdetinit. bD F est ad diamerrum B FT ordi-
nacim polica, ergo e relique iph parallela lune ad BFI
ordinatim polex, hoc est bilecaneur a B HI. AEgUI D F.
ex constructione, cum sibi parallelis, est alceri diamerro
A C parallela. Eroo diameter B LL bilecat parallelas diamerro AC. Ouaro cum
dosin. 4. etiam prius ostenderim A C Mecare parallelas ad BFI, CrunEC BFF, AI diame.
cri conjugala. facluaur est quod pecebatur. a
Corollarium primum.
ircesimi
ran
eA et
1avlc. 12. LC 1
Jaco ellipseosaxi, axem contesarum invenies; (i per cenerum ellipseos, duxeris
rectam lincam daco axi perpendicularem. res parer ex corollario octaux s ileu
Corollarium secundum.
. 11t CtcLI
= HOC problemare sc manitetum qua ratione ex daco in ellipsi puncto D, ad
Ldiamerram BFI, recta liheodinacim debeac applicari. Inveniatur enim. AC
diaMCTEF COMIUSAEL MalHeErO BHI; ec ex daro puncto D duCATUF D F B ipB AC
Parallela.
Dico DF F. ordinacim esse posicam ad diamerum B HI. Demonstratio paEet ex
propolicione.
eROPOSITIO X.
Rdinarira policarum (AC, DE, ec.) illa maior eA quae centro (I
Demonstratio.
FcanguluH BOFT maius es rectangulo BPH,
vE patet ex Quinca secundi. Requi quadeatum
F Cr est ad d quacrncum C. Fi ve rectangulum B C FT ad
rectatigulum BF FI. Frgo quadracum F C+ maius est
QuadratO CF. ergo e ordinatim pOsIFA F C maior
ordinacim posica C F. Ouod erac demonstrandum.
11O
2115i
B deferid. 2.
+ huiius
EROF. OSI
 ABC ellipsis axis BD. Oporcet illius
lacus rectum exhibere.
vicinior.
o ptotste e  te t  p tis es te tet  pest t o  te e et et t  et    pte et e  e  pu e    a   ue  ei sa  e  it u et a e  l ut 

## Folio 251 — 1815201908:0308
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000308.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
EL L IPSIS.
Constructio es demonstratt.
XI BD per E centrum ducatux = coniusaruS A C, RanEq; continux B D, A C, acorol. 9.
BF: dico FB ese lacus rectum. aequidister enim B F ipE A C: ducaneur que huins.
Ordinacim linea OII guxe iuncta F D occurrane in I: ip (a vero F D secec AC li-
ream in R. Ononiam P. C, C FI ordinacim polcx sune ad axem BD, CrIE VE B qu2- B +. Buius.
dracum C HI ad quadracum F. C, sic B H D rectangulum ad rectangulum BF D:
(cdveB FID rectangulum ad rectansulum BFD, SiC TH B rectangulum c est ad c23. sexti.
rectangulum R E B (guia ex iisdem rationem habene compolicam scilicee ex BII
ad BB, _ CX HTD ad P D, hoc CA HI ad F K. )igicur ve quadratum O HI ad qua-
deatum CB, Sic TFIB rectangulum est ad rectangulum RR B, ee permucando in-
verrendo ve RE B rectangulum ad quadracum C F, sic PFTB rectangulum est ad
quadrarum GFI: sed cum d A C quadratum sic aequale rectangulo luper FBBD d 17. fexio.
(cum exconstruct. BD, AC, B F SINEETCS CONTINUX) crie F. C quadratum, (nimi
rum quarta parS quadrati A C cst enim F, CA C bilecta in P.) aequale rectansulO c 4. huius.
R EB quarea parri rectanguli super FB BD. igirur ec quadracum LIC aquale est
rectansulo IIIB: ergo TIC: porest spacium quod adiacecipsiLi B lacirudinem ha-
bens FB, desciens ab F B Frectangulo, similis fgurx rectangulo, BL D: quare
FBElacus rectum eAt. exhibuimus ergo, ec. Ouod cracFaciendum.
Corollarium.
E detnit. 0.
Inc lequicur primo quaruor lincas, nimirum lacus rectum aAIS LIHOFIS, AXem
maiorem, axem minorem, ex lacus rectum axis maioris in continua esse ana-
losia.
Sequitur lccundo qui datislareribus rectis axium, ellipsin extribuerie, quodin-
er Binasdaras, duas mediasinuenerie.
LKorsicie all
Seo ABC Mipae Ga SFC.
Slum exhibeto.
n

## Folio 252 — 1815201908:0309
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000309.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
E. L L IPSIS
constructio es demonserculo.
deaco xquale rectangulum luper F B, B D; isitur _ quadraco A F. (nimirum GuartX
parri quadraci AC, cA enim AC bisecta in F) aqualC reCtanGUIUM SUPCF RP, F B,
quarca parsrectansuli FBD: quale, vein praecedenti ostendimus, ica criam hie
b23 sexri. ostendemus FT C quacato Guase eHe rectangulum TFTFTB. acqui RhombusBTHI
ad rectangulum TFTB, (rationes ent Llomei ad Rhomboidem de quadrari ad
rectangulum exiisdem rarionibus componuntur nempe ex TFT; 2d IFI ex THI ad
HIB, )etgocum quadracum THL deale sic rectangulo TFIB, etiam RhombusIFB
ordinacim applicacx LFFB. Qu(quod demonstratu cst Facile) à Rhomboide F BHI
in codemansulo, deticie khomboide limili ei qui in eodem ansulo sc à diametro
hntc. 7. DB d recta bP. BIMI FB est lacus, c redum. Quod perebarur.
Mnis recta (BF,) quae perterminum diamerri (BD) ducitur ordina-
Ecquae caris enri ducirur parallela, eA ordinarim ad diametru applicata.
Demonstratio.
otnins. PD VCatuEpEF E cenrum diameTEF A C (2) coniugata ips BD, haneque conci.
et ex
huins.
nux BD, AC, BF, ac B F quidem xquidistet diamCEO A C: ducacurque li-
nea F D, qua AC rectum secer in K, ducancurque ordinarim linex C FT, quX FD
linex occurrane in I: Ouoniam BD, A C, FB linex sune continux, erit A C qua-
in angulo IFIB est ad Rhomboidem THI B in eodem angulo, ve quadratum IHI
Rhomboidi TFTB aequalis crie; recta igitur PFT porest Rhomboidem in angulo
erOPOSITIO XIII.
tim applicatae (AC) r quidistans, elliplim contingit.
enim recta BF non concingar ellipum, secer illam
in C; diuisaque B C bitariam in FI, agacur per TI8
E, K Loccurrens vemque peripherix in L _ R. Quo
niam recta BC per Construccionem xquidistar AC
recamque aurem bisactam seccerecra IK d cric lR d12
meter e AC, BC lICa ordinacim ad illan poliex; leca
detem perconstructtonem recca A C ordinacim quoque
diameerum P D, igiettevna cademque reCTA A C ordi-
naC LCCat duaS diaMeCtOS BD, TR. Ouod Aerinon po-
cellidlias enim que ipli AC daceretur parallela, criam al
veraque tameero BD, K I ac proinde in duobus pun-
ccis bisecaretur; igirur patet FB lineam, sectionem
con-
 ue  u t ot a t t  . u     u  que  t   pt t te e t e e  u pu   et   e  t  t    p t     1   e      t i l 1 

## Folio 253 — 1815201908:0310
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000310.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
F L X I P S +5.
Contingere: quod erac primum. Ouod si tangenti BF parallela ducatur Gua IS
AC, occurrens diamerro in F, eric ordinarim ad diametrum polica. Si non dueatur
ex A ordinatim AP: eric A F parallela contingenti B F. quare _ ips AC xqui-
dictac, quodherimon pocest, cum eandem secec in A: igitur AL non cA ordina-
tim polica nec guauis alia praeces AC, quod erac alterum. PacerigICUT VCTITASPTO-
Polcionis.
P R OPOSITIO XIV
DEF dacum in peripheria punctum contingenrem ducere.
Constructio es demonstratio.
ESto ABC cllipsis ex punctum in peripheria dacum B.
LOPOTTCE per B rectam ducere que sectionem contingae
in B. inueni a cenerum, ex per hoc ex dacopuncto B due dia-
mecrum BD, ad b quam ponacur ordinarim quaevis linca
AC, cuiper B agacur parallela BF. manifectum igieur est
cBF elecangencem; isitur per dacum in peripheria. pun-
ctum, dec. Quoderac Faciendum.
PROPOSITIO XV.
Inex qua per extremicares diametri ducta, ellipsim contingunt,
inter le aequidictane.
Demonstrario.
Veacur enim quaevis A C ordinarim ad diametru:
manifectum est ex r3. huius cam B C quam D F li-
neasillix quidistare, adcoque ec incer (c. Quod fuic de-
monstrandum.
lKOEOSIIIO aV
TOntingentes ductae per excremitates ordi-
nacim polix, conveniume cum diamEEO
extrasectionem.
Demonstratio
2
 ade cloco claltlcet i: de Occllacua pollla
LE C, ASAECUIEQUE PEE A canigenS AP, dico illam cum
diamerro convenire in Fi. Inuenca enim FTC sdiameero
coniusata ipsius BD, demirtatur ex A linea AI aequi-
distans BD. quoniam igitur AI, BD aeguidistan, ex
A F Occurracrecta AI, Parec productam quoque con-
venire cum BD. Ouod Fuic demonstrandum.
exoPOstFIC
ri
IBCCaS asIS BD, CoMMSACM D MICa PG, Cumpeilq
a6. hiuiins
b
c
trius.
3. tnino
rhusius
S Colcuselle aeuatbus Parcibas EB. BC. dem iccancur ex la
diameeri dux FL, C. F. occurrences ellips in H ex l. dico iunctam HI
aquata p L.
Demon-

## Folio 254 — 1815201908:0311
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000311.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
1 112 11 1 1 1 1 11 1
a + huins
E LL IP. S
d
Demonstratio.
DOnatur HL R ParaIlela FC, quae producta OCCUErAE
L.C in l; cric ieaque HIK aequalis RI. Ergo, cum
rectangulum BKD ad BF D, a cam habeac racionem,
quam IIR quadracum ad quadracum A F, crit quogne
BKD rectangulum ad rectanoulum BF D, ve IK qua-
dracum adquadracum F. C: unde punctum I est 2d el-
liplim, ee FIT linca perimetrum BIC, _ F. C rectam
in eodem puncto inter (ecar. Ouod tuic demonstrandum.
PROPOSITIO XVIII.
Adem manente Houra, sine A BC ellipleos
saxeS AC, BD, _ HIF diameter quaecunque.
OPOTTCE Ex E vertus C diatellum educere, x qualem ipsi HF.
Constructio ex demonstratio.
Gtat angulo BP F aequalis anguluS BFF, dico rectam F. P Patisfacere pecirioni,
productx enim linex HIC, L. L, Sccurrane actae per B concingenci in F _ C.
Tungantur puncta FF, I. quomam auvli B F FT BF F POnuneuE aqualeS, lunE LU-
cem _E F B F, F B C anguli rect a BF linca communis, PATCE FBF. G BR
criangula, adeoque de lacera FB, B C incer se esse aequalia; unde _ HTD equidi-
b parry. Aac FC, CAqUC DE FF ad L, SC FTF 2d TF, quare HTF, TF linex aequalesi
PROPOStTIO XIX.
Inex in ellips coniungentes extrema quarumcunq: diamerrorum
incer se sui a guates a Parallela.
Demonstratio.
ECenE AB C elliplm diamecri dux quaevis A C, BD.
dicoiunctas AB, C D, icem AD, BC, CNTCINCCFCC X-
quales _ parallelas: cum DB, AC bilecta SnE in F,
CFIE DE DF ad EB, sC CF ad AF, e permutando
DEDF ad CF, AIC BF. ad AF. sunc vero ec anguliad
F Xquales, similia igitur Cunceriangula DF. C, AF B;
ergo ve DF ad F B, sic D C ad AB; quarE CUMDF,
F. B aequencur, etiam AB, DC xquales crune. similicee
octendemus AD, BC Equales eAse. Ouod exax demon.
Arandum.
LADPOSTTIO XX.
Inec que da extrenmates diametri, inera sectionem equidistantes
ohacu, equales quoque cruncincerle.
hurus. ixitur ex F. diametrum cduximus, et c. Quod erac Faciendum.
7. hviuio
Demon.
es  u u  ei . ue  u. e a rt ti te 1 e u pt   eta p  t t ste   e   t    1t.   1 1   sa    s  1

## Folio 255 — 1815201908:0312
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000312.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
EL. L. IPST. S.
Demonstratio.
ECCE ABC elliphim diameter quxe cunque BD, ducan-
Diurque ex B e D, incra sectionem parallela AB, CD
dico illas incer se ese aequales. InHCNEO a CenETOF, &
AB bisecta in F, iunse FE, e produc in C. ex quoniam
F. F diamecer bisecat A B, bisecac eriam DC ipA AB, Pa-
rallelam. Deinde quia limilia lunc criangula LB B, D F C,;
CFIE D E adD C VE EB ad BF: 8 PermutandO VE D P
ad F B, sic D C ad BF. Sed DF, BB RGUAREUE. CrZO QE
BF, D C, que lunc, reiam ostendi, iplarum AB, D C dimi-
dic. Ergo eE cOTE AB, D C aequales lune. Duod crat demon.
Atrandum.
Corollarium.
InCtEgLIEUF IUNEtAS A E, R C ese in directum: cum enim laCCTA A F, F L X=
ralia line duobus laceribus C G, GF. e anguli ae qualibus laceribus conten-
aequales. paret AFF, CC F criansula esse inter le x qualia, ex angulum AB P X-
rualem ansulo CR. Cm 2dc0que A B BC lincas in directum.
P R O POSTTTO XXI.
Inee per excremicates duarum parallelarum inequalium in ellips
hducte, conveniune in eodem puncto cum diamerro, ad quam Or-
dinacim poluxe lunc parallelE.
Demonstratio.
n
ECCHE F CD ellipum due queuis paralletae in equales AC, F. F, ordinarim pon
ordinauim Cbe Puncio Conene. ubia bimuacu ponntur ca sil.
F. P ad alametrum BCh amba bilecancur in C, e Hl. vnde AC, ad 6C v L,IL
sitam ad diamerrum D B. dico iunccas B A, F C cum B D diametro quam sCCANE
at TIF. ec permucand  AC ad LIL, HOCC ad HIF. Concaac tam F A cum
diametro in I allera vero C  ll. Cueson1et al 211, C211 ad 12. ll
etiam ve IC 2d LF HC AC de AL, eA enim R C ad RF, VEC C ad F HI, hoC
eAt, ve ance oltendi, De AC ad FFI, hocCRvETC ad IFI. ergo puncta L _C R
erac demontraiaum.
eadem lunc; ergo pu L.L13 L. abU
LRC.

## Folio 256 — 1815201908:0313
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000313.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
1111I
F. L. L LL 5L5.
lipli vero in A e C.
eR OPOSITIO XXII.
Ir AB C ellipseos diamerer D D ad quam OrAIMALII POMLA IL LF,
ducanturque ex F. _ LMlea occurrences diamcero in puncto (1, el.
Dicoiunctam AC, aequidictare F F.
e
Demonstratio.
DOnatur AY paraHlela P. F _ producta OCCUTrAE F C linex in C. quoniam igi
EUx FII aequalis cA HIF, eric ex AI ip( IC aequalis; scd quia AI xquidictae
BF, eric BID rectangulum ad rectangulum BHID, ve AT quadeacum ad qua-
deacum E FI. Eroocciam, verectangulum BTD ad rectangulum BFTD, ita qua-
dracum YC ad quadracum IIF. inde punctum C est ad elliplm ee communis in-
cerlectio rectarum F C, AI cum perimerro BC F; ac proinde A C iungens pun-
ata A, C, aequidistaE P F. Ouod erac demonstrandum.
PROPOSITIO XXITI
Nellipsi ducta sint para llela AC, E. P, per quarum cerminos ducan-
LEuF E A, F C cocunces in C. et per C ducta C,IH bilecet paralle.
lam AC.
Dicoetiam alceram bilccari.
Demonstratio.
FHL ad AL, ve HF ad lC. ergo permucando LHl ad HIF, ve AI ad IC.
scd AL, TC aqUanEuT. CrgO _ P FI, HIL aquantur, adeoque cam AF quam 
sunc bisecta. et BO C TH diameter CA. quod erac demonstrandum.
YF HG ad LG, sC FH ad AF, _ vE HO ad FG, lIC PH ad CT. cr00
(   ee  s    u se  te  s p.  i 11  e1        .  1 11       p    pie

## Folio 257 — 1815201908:0314
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000314.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
EL E IP S 1S.
P R OPOSITIOAXXIN
ECenE ABC ellipsm diameeri duae AC, BD, innetaque BC, afatuIF
Dpex E cenerum diameter IL L, secans BC bitariam in DLB _ ex B e
C rectae ducantur BF, CC, ad idem diameeri punctum C secances
AC, BD lincas in FI e 1.
Dico rectangulum AHC essc ad rectansulum DIB ve quadratum
AC ad quadratum DB.
10c
Demonstratio.
otiatue ex C linea CF paralleta BD; occurreris
diaticero RF, in L, R iunse BL. quontam C L X
quidistaE D Rs EFUnE PMB; CM F crianoula inter se
similia: guta VerO C M, M B Xquales sUNF, a qualia quoq;
CFUnE ErIanBUIA CM L, R MB e laceri FM, XqualelacuS
CM: igitur in criangulis BM L, CME, duo latErA C NI.
AF. aequalia sunt duobus laceribus BNI, NI L. Ced _ an-
suliiis concenti BNI L, P. M C Eaequantor. Frzo adbiles
atgoli LBM, B O B EquaHCHT. erSO BD, CF A CunE
parallelae. Ergo BITad HK, VE L F, gd F K, hoc est
(quoniam ex constructione BL, CL sune parallelX) ve
CTadTK. Ergo TIIxquidistac CB, ex cA ve HIR adF C,
EC IF ad F B, _ componendo aC PermUEANdO VE F C
ad F B, SC HIC ad BI, s0d vr CB ad BF, sIC A C est ad
BD, cum veraque in cenero: diuisa sic bitariam; igieur
DE AC ad BDS SC HIC ad B I. ergo eciam bre RC 2d
DBs AC A EI ad D I. Quaec cum rectandulum AITC
ad rectaroulum D IB cacionem habcarcomposicam ex lacecum racionbus A HI, 2d
DIS de PIC gd B F, quae ambae loltentx lune exdem ese Eutm ratione A C ad BD;
Hoc eReadem quae qua
dracorum AC, BD. Ouod erar demonstrandum. A
PR GP, OS +Y1 O XXV.
elinex C, DF inerque elsiplim ducte occurrane diamero ellipseos
MA in codeM pancto K. Duax sine scinde binx alix diamecri
D. Ck qua ita lecencur a rectis C C, BF ux rectangulu BIB
quadratis BD, A C peSBOFTIONaIIA RINE.
Dicoiunctas THI, C B ese parallelas.
on Demonstratio.
CHK
il sucsi
odie
Voniam cM quaaracum BD ad quadracum C A, hoc est ve quadratum L. V
ad Gudaracum L. A, sic vectangulum BID ad rectangulum CII A; erir permu-
tando vt quadrarum F. D Phoc eAt rectangulum BID cum quadrato F P) ad re-
ctangulum BFD. ve quadracum R A. (hoc est rectangulum CFI R cum quadraco
F. H) ad roctansulum C ITA. ergo dividendo, rectanoulum BID est ad quadtacu
P L.vcrectaneulum C EI A ad quadrami BHI. Permurando isitur rectangulum BID
eAad rectangulum CTI A vc quadraclit I’ad guadracui F HI. sed cciam est rectan-
sulum BID ad rectangulum C II A requadratum BD ad quadracum C A, HOC
eA ve quadrarum P. D ad quadracum P. A. leaque quadracum B P est ad quadracis E. FL
vequadracum F H ad quadratum F A: adeoque rectque P I ad rectam F D, hoc est
EB, vE recta F H adrectam P A hoc eAt P. C. parallelae tuncixicur LF, C B. Ouod
exat demonstrandum.
27. hui
d
quins.
P KO

## Folio 258 — 1815201908:0315
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000315.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
 m   1
E L L IPSIS.
PKD POSTI TO XX VI.
Sto ABC ellipseos diamerer BD, ad quam ordinarim polira sitre:
Octa AC: ductilq ek A e C lineis que diameerum in eodem puncto
B Sccene, ducacur F.C parallela AC, occurrens AB; C B in HI e l, dia-
Dico FHI, Cl lineas esse aequales.
Demonstratio.
12
Voniam FC aequidistat AC ordinatim potices ad BD,
Leric ex F. C, quoque ordinatim polica ad diamerrum BD,
2dc0q; in K bitariam diuilas se d ex FIIin K dinila est bitariam,
vei AC in E, dempris isicur aqualibus HIK, IR, relique
FH. LC aequales sunc. Ouod erat demonstrandum.: iliuu
=21 3E1O2
FROFOSIFIO XRVII. . 1
A d
ersciria
lit 35.
ECenE ABC ellipsim due quevis parallela AB,
DCD, iunctisque AC, BD5 ducaeur P F parallela
AB, Eccans AC, BD lineas in C e H.
 EEI AHEHCWB
Demonstratio. a l. 1. =. i
ricii cemchari t it e BS IC
Lanis AB, C D bitariam in I d K; agaCUT per I ∞ R, lis
L, LK; crir  illa diamecor, ec F P lincam, rectx AB Pa
rallelam eCabir bitariam in L. sed de HIC in F. secta estibi.
Tariam ve CD in R. vel AB in L, ablacis ivicur aqualibus
CL, LLB manenc B C, F II, religux ae quales. Ouod eraede
nonstralum. ∞3 AAOC L 31I3 bou C. CI it cd L. c0201 ∞2B
DROBOSIFIO ZZVIII.
EAB C olliplim ade quenis parallese A B. CD, iuncisque A D.
ucacur F. NMF parallela AB, ec ex F. et L, lemidiamerri po.
Dico F. C, FC in H de lproporrionalirer esse diuilas.
o Demonstratio.
Sorentsop Ba Ci et muser BCap WV A ciOV
CaEUB PeF G KT. aquidistans AB OcCUEreNS
D, BO in K _ F. Ouoniam R F, RP aquidi.
ISanC, CHIE VE ENS ad R 9S ACF ET ad FF G; _ FI ad
l
1
 DE FM ad P G5 sed ve F N ad RO, SCFM cA ac
eum FN, FM icem b KG, L O, aquales(in,)
T rigIcE vE F, HI ad HIC, sic PL ad LC. Ouod tui demon.
Aeantelum. L. 1 B iV
vrul
irubpest. N  Corollarium.  el estWre P NA
PInc patet iunctam E F equidictare DC, adedque
cas AD, BC, in BL et L proporcionalicet ese
diveltad.
PR O
27. tnicas.
merro vero bD in R.
F II rectas esc equales.
ManCuFF G, FC, que AD, BC lineas lecenc in H _ 1
is
    .   e  e 1   . u ee i   u  t t   e     as p s  num cmm

## Folio 259 — 1815201908:0316
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000316.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
EL L FPSIS
e R O P OSITIO XXIX.
L. Culus aamecer B C, centrum O, concingat AD Occurrens
Lsdiamerro in D, ductaque ex puncto A ordinarim AOF, e iunct a
AC, per B ponaturrecta PBG Parallela rectae AC.
Dico FB, BG aquales esse.
Demonstratio.
G occurrac ellipsi in FI, iungancurque HO, AO
quae erunc in directum. Tum AC bilectâ in I, du-
Catur per I diameter IOP BCCUTTeNS rectX AR in
L, X iungantur puneta L. C, per rectam L C OcCurren
cem ellipliin R, ec recta FTIin M, cCdR verOFTO in P.
Ouoniam AC ex conttructione ordinarim posica
cA ad diamerrum II, rectaque per A e C dupla
occurrune diamerro in eodem puncto L, erit b L K pa
rallela AC. EAverO d B FF Parallela ipS A C ex hy-
Pochel: et Cemidiamerei OB, OTI IcCanE AF, C K in
2 e P. ergo OP equidistace recte BHI, tres isieve
AC, OP, FR Lincpar allela. Ouare cum ex hyporhesi
A F. bilecta lic in C, eric ex CR bilecta in P, ac proin-
de ordinatim polica ail diamecrum A FT. Leaqued CK ∞-
quidictaccangenci A D. est aucem e FM ex hypocheM
Parallelaad AC, ergoc dim aequalis eAt AC, (cd F cF-
iam BHI aequalis eA AC. ISituE FM BH aquales sunc. quare COMMI. dempea
BM aequaneur F B. HM. Acqui eciam s C, B, HM Xquales CunC. icaquC F B, C B B17 huin.
aquales lunc. Duoderat demonstrandum.
PROPOSITIO XXX
Elipsim ABC cuius diameteF B C continsac in A recta AD Conue-
niens cum diamerro in D: ductaque ex A sic linea A F ordinarim ad
diameerum BD.
Dicorectam DC in B e F diuitam elle exrrema de media ratione pro-
porrionali, hoc cst, veC. D cA ad BD, (iCC HI CA ad HIB: ee li dinila Fuc:
ririn B ec I exerema ex mcdia rarione proportionali agacurque per F. Or-
dinarim linea AF ad B C: dicojunctam AD, sectionem contingere.
Demonstratio.
Vrcta AC, agacur per B linca C H parallela roctae A C
Occurrens A F lineae in PI e A D cangenei in C. Ouo-
ntiam RC, B HT lincx aequidistane, eric ve A C ad BII, (iC
CF ad R B: sedVE A C aA B FI, SC A C est ad ∞B, (quia
GB BH TunCh X qualeS) isieurve A C ad GB, sICC F
esad BF: CA aUECM DE AC ad GB, sC C D ad DB
(quia C B, A C aequidittane) igitur ve C P ad D B, sICC P
ad F. B. Quoderac primum lic iam ve C D ad BD; Sic
CTT ad PVB, S per F ordinaum agaeur AP: dico
surctam AD sectionem comcingere in A. TI enim AD
tron tanoit, ponarur pera eangens quae BD diamerro
occurrarin K, cricigieur ve CH 2d F. B, SCCK adRB;
Sed osve CF ad F B, AC CD ad D B, igituE VE CR ad
RB, Hc C. D ad D B, e lliuidendo re C B ad B R, siC CB
ad B D, quod fieri non porest, cum punctum K Cupra vel
intra D cadac. ixicur AK non est cangensnec quauis alia praecet AD. OuodFuit
Bi5. lnitis.
C28. biviuio
d1.
ins
13. Buins
19.
R
demonstrandum.
ba
Corol

## Folio 260 — 1815201908:0317
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000317.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
oroll. 30.
28. decir
15
331. decir
 L. L LL 5+5
Corollarium.
DRopolitiones 29. d 30. eriam in circulo sunc verx, quamuis aucè laepius conciteae
vequae hoc libro de cllipsi dentontramus locum etiam habeane in circulo, circu-
licamcumentionem nocaclo hillad lequences demonstraciones assumi debeat.
EROPOSITIO XXXI.
Adem manence Rgura provolirum (t à daco
sexera lectionem puncto D. tansenrem du-
Constructio ex demonstratio.
Catur ex D diameret DB C, AaEquO ve CD ad
OB, SIC CB ad BB, _ Per F ad BC, ordinacim
PONACUE AF, IUnSANEUFqUE AD, PaTEE PET PrXCCI
denrem AD lineam sectionem in A contingere; igitur d
daco exrra ellipum puncto, ec. Ouod cractaciendum.
P R OPOSITIO XXXII
lipsm AB C cujus diameret e C. contingat recta BD in B, conue.
miens cum diamerro in D: et lLB ducarur B F. ordinarim ad diame
DiCOFE, FA, FD lincas CM In contInUATaTIONC: _E SI FE, FA, FD
tuerine continux preporrionales, e per E. Ordinatim recTA aBAtUE E. B,
dico innictam b Blecrionem conringere. F. A Apollonis.
Demonstratio.
tuine
cerc.
ad diamerrum AC occurrens circuloin Cr:. duca-
curquerelta CD. quoniam EB recta Ponicuror-
dinacim ad diametrum A C. e per B acta tangenS
ad D A SiICC F. At L. R: elt alcem iM cHtCMIO, recL
Enero F incetuallo P A circulus deseriBATuE
AGC, cum ex L Pusscto Hoa educacuE
convenir cum eadem diamerro in D, Crit 2 VE CI)
trum AC: centrum aucem sectionis (IEP.
runc LP, F A, F uca Comma Ploporcionales
Cuncdurem exdem linex communes cllipu; igicul
ex in clPCtACF P, F A, FD in corinua analogia.
Duod  FF. LA, F D concinux proporrionales
Cinc, ae per L. aucacut ordinarim L B, dico iunetam
D recta DR concuigens ellipuim in R, _C CX Rol
dinarim Ponacur RHI; isicur per primam parrem
huius FI ad F A, VE F A ad F D. Ced cciam exhy-
E. C normalis ad diamerrum R C, isicur ec b recta
OD circulum ComM C. Guate M Chclocc.
BD ellipum concinsere in B. lin vero: ducacur ex
Ocelis FF eA ad F A, vEF A al F (. CrBOF P CA ad F A, VEF II est ad F A, quod
Bens, eB. CQuodturdeandum
herinon pocelt, cum PPIlichtator auor quam F R. rndc D R. non cstconcin-
PR C
   pt  toes tet ute ete ee e e   ete te t u eu pe pete s sti pute te  tit tite es este t e se se et e te e  se  p  t s u ete eti  e    l et u s e t  t  e s  Ate p 

## Folio 261 — 1815201908:0318
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000318.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
ELLIPSISE
PROPOSITTO XZXIII
Sco ABC. clip (CoSaxIs A C, Super quo ve diameero Pem lCirculus ac
cribatur AD C, alsumproq; in axe puncto F quod non sIECenEruM,
erigatur ex F. orchosona FD occurrens ellipsiinB.
Dico conringences per B et D actas, axi AC in vno eodemque puncto
OcCurrerE.
Demonstratio.
Ciaturper B concingens BF, conveniens cum axe
CLin F, iungancurque P. D. quoniam FB ordinarim
Polica ecadaxem de BF. sectionem concingie, CrIC = C F
ad F A, ve CF. ad B A: unde e iuncta F D circulum
contingie isitur contingences per B _ D actx, con-
veniune cum axc inruo eodemque puncto. Quodtuir
demonstrandum.
Corellarium.
Inc facile eriam demoncrahimus E dux rangeures
in eodem puncto diamerro occurrane normalem
O. quae liperrnum conractum D cranscac, cransire
etiam per alcerum.
PROPOSTTIO XXXIV.
Sto ABC ellip liIS diamerer BD, ad quam ordinatim pOnAtuF AC
LsaGAnEUTG Per A _ C contingences.
Dico illas diametro in rno codemq puInCEO OCCUrreTE.
Demonstratio.
DEriS huius pacet singulaS ConringenteS pet A d C ductas
cum diameero convenire: A isitur non convemane in co-
dem punctos occurrat A F concinsens diameero in F, _ C IY
in H: Ouoniam cansens AF concurrir cum diamerro in F,
CrIECVEDF ad EB, lic D F2d F B. cursum quoniam cangens
CHI concurrie cum diameero in HI, cric veD F. ad FB; hOC
estDE DF ad EB; sic D FI ad HI Bs ex dividendore DB ad
BF, Sc DB ad B II, quod fierinon pocest. quare cangences
non occurrune diamecro in diuersis punctis. ergo in codemi
Quoderar demonstrandum.
eAOIOSILIO RZEV
102
a30. huius.
b de circulo
vel perc
a. 10 tut
suins
denua in cctortemtcos alea.
eorunetam AC, ordinacim elle policam ad diamerrum BD.
Sco ABC elliplis, diantelet  proucla iue L dCk
1E H Z
Demon

## Folio 262 — 1815201908:0319
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000319.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
  .   A 1 5 1 2 1I
LEP.
Demonstratio.
BOnalue A F ordinarim ad B D SIEGuCHX een-
erum ellipleos; eric igicur 2 linea F II diuila
in B X F in cres continue proporcionales. de-
mictatur quoque CC ordinarim ad BIB crie
denuo F EL divila in B, ex C, in eres lineas in
analogia continua; igitur L ex C. puncta lune
cadem. quare recta AF C, est ordinacim posica
ad diameerum B I. Gduodtuir demonstrandum
s.. Corollarium.
Inc sequicir. R cllipum AB C contingane
LlinA e C, rectae dua A D; CD convenien-
ees in B; iurrelaque AC, bitariam sececur in
F, rectam D F. Trarilire per cenerum sive innctam D P este
diametrum sectionis. E enim F. D non lic didmeter, duca-
cur ex D diamerer DF, ocCurrenS AC linexe in F. crie
isicur per precedencem AC linca in F; dinila bitariam,
adeoque punctum F, idem cum F. unde D F recta eadem
comlinea D F: Quod est concra suppolicum: quaro D F. (c.
ctionis cst diameter. Ouod erac demonstrandum.
PR OPOSITIO XXEVE
EPelliplim canganc bina recEx cocunces in D, et
D ex cenero ducantur G A, GC, OD.
Dicorriangula GC. D, CAD esse xqualia.
Demonstratio.
3s. hnins. D Vncta concactuum innganeur recta A C. quoniam c A C bilecta eA in B. crian-
sea C AF, GF C, IICM DF C, D P A xqualia crunc: duo icaque criangula
DBC, DEA. hoc cst torum D C C, aquabuneur duobus cniangudis D F R, F. AC.
hoc est cori C AD. Quoderac demonstrandum.
PR OPOSITIO RRXVIL
LALIM ABC SecenE AC, DB: diameiri quaeuis aSRNEuEPCK C. &e
rangentes, qua per 34. huius comneminur cum diamerno IIl in
1215111
J2. bnim 13I
opercanat
codem puncto.
il.
Dicoleas ala ce aa, us agataucali.
res, diamerrum HIK, in vuo eodemque puncto incex lecare.
Demon
u  n    m

## Folio 263 — 1815201908:0320
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000320.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
He
ELLIPSLS.
Demonstratio.
DOnatur A F occurrere diamecro in C de BF in
M; iunisancur que D C,AB, D A. C B. Ouoniam
DC iungICEaNGENECS DR, CR, bilecacur a 2 dia-
MEErO FIK in L, eAt verob AB parallela ad DC.
ergo e haec a diamecro bilecacur in L. quare cuco-
EA DC, AB Encc xequales, erunc ex carum dimi-
dix DL, AL aequales. cumigitur eciam DL, A, I;
sinE d Paral elae, quae eas iungune D A, TL paraIIC
Ia CruInE. ergO FIgUTA A G R D parallelogrammum
cA, proindeque D A aequalis est CR. Cimili modo
octendemus BC aequalem eAC MK. Quarecum
D A, B C, CnE C aequalOs, etiam R G KM xequales
erunc, ruum igicur idem que punctum (unt C _E NI)
in quo parallele cangentibus DC, CK, ductxe e
punctis A, B, occurrume diametro. Ouod Fuir de.
moncrandum.
R O. P O S.t Y I O, XX
Eliplim cuius CenErum A SCcCHE quaeuis dux diaMCFEI DD, CF, iun-
Setilque BC; D F ponatuF FC diametet, quae BC bitarram dividat
in H, iplIaUEEM E D Occurrat in l, cum per C de B, irem D _ L, Contin - F3+. buius:
sencesagancur, que E C diamerros occurrentin ij dem punctis F e C1.
Dicoxqualia esse incer les primo triangula AC F, AB F, Secundo crian-
Gula AC F, ADC, cerrio criangula CBF, DF C.
Demonstratio.
CcurraE F C diamieter elliph in K ex L. Ouoniam
sicur BC ex hypocheli in H diuila, est bitariam,
eric tam A CH ertangutum aequale ertangulo AITB.
quam HICF aquale eriangulo  F B, vndetorum crian-
sulum AC F, aquale CAEOTIErngulO A FB, quod c
ratprimum. Rurtum cum e BC, D F. xquidistenE e BC
in H diuila sic bitariam a diametro. FC, eric e F. D in
L bitariam divisa: quare Cum heota C B, DP sInEX qua-
les, erune et harum dimidix RC. DI aequales: quare cu
etiam unt parallelE, recte C D, IT I. qua illas innoue, lune
parallelae, criangulaigicur AC HI, ADI lune incer ca(
dem parallelas. Siine aurem ee Bales AH, A L aequales
(es enim AK aequalis; AL; ee Y R HI ipC IL.) ergorriangulum ACHI XgUIATUE L27 huuius
criansulo ADI. lam VEEO AFI, AR, A F, icemque AI, AL, AC TunCL ConcinuE. l32: huivs
quareraiiO AEI ad AEs duplicaca est Facionis AFI ad A R: ec racio AF ad A C+
duplicarararionis AL ad AC. Cum igIUF FatIOnOS AFT, 2d AR; AI ad AL;
eadem linE (A FI enim ipS A I, SE AR; ipsi AL aequalis est) CrunE d PaTiONeS
A ET ad AF, AT ad AG, catundem rarionum duplicata; exdem incerle: 2c
proinde m criangulum quoqi AFC est adcriangulum AFC, vecriansulum A TD m2. sousi.
ad crianoulum A e D. Ouare cum criangula A CHt; ADY olensa sinc aequalia;
eriani AFC, A CD aequalia CrHHE: quod etat alterum. Fx quo iam patec etiam
ECTT, CDI aqualia este, quibus si 2ddas F BFI; CF I, quae eodem plane dileur:
su ostendemus aequalia, crune cora criangula C B F, Id F. Cri a qualia. Ouod craerer-
rio loeo demonstran dum.
Corol
263
huii
hai
. Biiii.

## Folio 264 — 1815201908:0321
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000321.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
  1 1 11 . 1t. a1. 1
164
ins.
=13. tuiin.
e L.  L.C d2.S
Corollarium.
TIncpatet quadrilatera C. F B A, DCF A, equalia esse, eodem enim diseursi
probabimus equalia esse cangula ABF, AP C, quo probauimus aequa
tROTOSATIO XEXIX
EcentA BC elliplim au quevis parallela AB, C D, junctisque AB.
recta EM paralteta ip I AD, concingar sectionem in F, d exF
ducacur EF, XqCaHS AB, secans AD, C. B lineas in G X FI.
Dico continscillem per P ductam aequidistareipa B C. ui ba
XA ol reit.
Demonstratio.
3+1
VeaneuF ex LcenerO linCX IP, LP OCCUTFeMEOS AD,
CB in K e F: quoniam igitur PM concingens, x-
quidistat AD _ PF diamerer ad contingencem ducta,
secet AD lincam in R, cric A D in R dinila bitariam;
est aurem recta B C in T. divisa sCuE A D in K. recta
enim KT. iungens puncta K, L parallela eAt b ipsIS AB,
DC. igicur _ BC in T. secta est bifariam a diametro
F; vnde e cangenri per si ductae c aequidistat, uod
Tuie demonstrandum.
121is dC
11 311B etseetI A
PRODOSITIOLXI
Alrculus super axe maiore ve olamerro deseripeus ellipsi excerius in
ei ACF, ADO.
Demonoorum.
AB C cllipKB axto BL CnEOque
duobustancum purtelis occurrit.
ilius F MMeccallo F B circulus declibacr
dico illum ellixsi in duobus cancum punctis B e
Doccurrere. occurrarenim si heripostit insuper
inpunctaA, de per A ordinacim ad axem aggtuF
AF. dycaturque axis minor CF. cric isicu r
BF D rectangulum ad quadracum L AHC B P. L
rectangulum ad quadearum B Co: sed BL. D rC-
ctangulum in circulo cA ae quale quadrato F AI
isitur ex rectangulum BF D, id est, quadracum
BF aequale est quadrato CrP, quod heri non
Porest cum B, P. linea maior sic quam OR. ixicur
circulus pum occurric in A: nec in alio quouis puncto, prXTex B e D. Quod
tuic demonttratu.
6
imili discurtu ceabuus circulum circa minore epicos ae acteri.
prum in duobus tancum punctis excremis axeos elliphocCurrCEC, de forum inera
etdesiti
 crutocaosio ut
vtas illa B R O
(51
Corollarium.  d L b~ 1
elliplim existere.
( e e ee.   e e  1 . n  p 1 1 1.  e s .    u  u   .          p       iet 

## Folio 265 — 1815201908:0322
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000322.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
EL L. IPSTS
PROPOSITIO ZLL.
lrculus cenero ellipleos deseriprus, (i ellip sim lecar, in quaruor punctis
Alecabit.
Demonstratio.
Tcenim ellipleos cenero C descripens circulus secas el.
lipam in B, ducacur axis F D, _ recta BOF; cum ordi-
natim applicetur BK A occurrens ellipliin A, ducancur
icem recta AC C, TC; in criangulis BR O, AR C. BR,
AR, XGUaNEUE, _E KC est communis, angulique ad R RC-
eti; ergo FB, C A equales. quare cum punctum B (c 2d
circulum, eric de punctum A est aurem idem punctum
etiam ad elliphm, ergocirculus elliplum secac in A. Dcin-
de A B, IC Cunca parallelae, adco9: cum angulus AKII
rectus sc, cric criam rectus IHI Riac proinde IC ordina-
cim cst polica ad axem DF, ac bilecta in FI. Cunc aurem
EOtEAB, IC b aequaleS, ergO AR, III carum dimidix
etiam lunc equales. In criangulisigicuE CK A, OHIL, AK
ipE TH, ex KC ip BTIC+ est aqualis, anguli vero ARC
IHI C etiam aequales lunc; ergo C A, C L aquaneur. qua-
recum punctum A sc ad circulum, eric de punctum l. acqui criam punctum I est ad
elliplm. ergo circulus ellipum se cac in I. similicex ostendemus circulum clliph oc-
currere in C. Inquacuor isicur punctis (cca5. Duod erac demonstrandum.
cum Corollariur. cuium
o uet NOn sec et ellipum circulus in pluribus punctis quam quatuor, Facile
colligecur ex demonctracioneiam polica.
viun uut iistat he rusisilo cixerg eslisnt ort
sice chaesa: ce tnes oscur
 . as. D et. et A gech
TELHEIIRBET CsesleanES.
Ae FiglIBieISL NZGIRTA AOC
 od stuin oit
nii
un
co
D_:
ACMLAFE pBlI:
eati eelie sits est
il A 1t ti  ei
aeraic set este
lasii 5l3II
Et 139 LSN DCEBEOD Z IL ∞1D
iit s.3 e A cl: e al A ouDrOn
a 16. 7
tr 13 38 2.12CI csMHill
 CHC SVC
27g 24c
3113it  lei  nit 317
1
Lacsto e1. 
DA pA. 5) s iumergol3IlaqA
e

## Folio 266 — 1815201908:0323
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000323.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
S. huit
SI
Desectoribus s enis Fllipseos
e
iunsanturque ABC.
ABC inCcribi poNunE.
42. primi.
VHa
PROPOSIIIO XLII.
ABC ellipscos diameter BD, ad quam ordinatim PONAEUE A P. C:
a
Dico ABC criangutu maximum esse illorum qua segmento
S
Demonstratio.
Eca p et B concinvente B F, ex A recta ducdeur quae-
Luis AF, Occurrens ellipa in C ee contingenti in F.
iungancurque GC; FC: Ononiam FC concingens
Cadic suPFa C, igirur eriangulum AF C maius est crian-
sulo AOC; sed AF C triangulo sequale est triangulum
ABC ob AC, BF aequidistancesiisitur _ AB C crian-
sulum maius est criansulo AGC: unde cum idem de
aliis omnibus criangulis ostendacur; pacec AB C crian.
sulum, maxitmum corum esse quae legimentO ABC in-
scribipossunt. Quoderae demonstrandum.
Coril
Corollarium.
Inc Facilis praxis elicirox ad inscribendum cuivis se.
smenco criansulum maximum: crigendo iinirum
dialectum L B, ulgendoque AB, BC. puncta. demonstratio patet expriori.
PROPOSITIO XLIII.
Riangulum maximum segmento cuiuis
non maiori lemicllipliinscripeum, maius
est dimidio eiuldem Segmenti.
Demonstratio.
spcum eriangulum maximum AB C. Dicoillud ma-
ins esse dimidio segmenri AB C: ducta enim diametro
BF, qua AC subcensam diuidac bitariam in D, eriy 2
CAF Cx A e C linCR AF, C C Parallelae diamecrO BF,
qux FC concingenti per B actxe occurranein F e 6)
iungancurque AB, C B: criangulum AB CD dimidium
est parallelogrammi AC. AEguI AC paraIlelooram.
mum maius est (OGIeNEO AB C, Cum AF, C G, F G li.
nex cadane exera elliplim; igitur ex criangulum ABC,
maius est dimidio ciuldem segmenti. Ouod fuit de.
monstrandum.
PRC
EiSto ABC segmento, non maiori semielliph inseri-
q   p   . e 1 e  1 1 e  1  e e 1   e      B   . 1 1 A e  p .   p B B a  s     Bus . p  B  e  t per 1    1      vr

## Folio 267 — 1815201908:0324
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000324.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
CAt
LLIDSIS
ROPOSETIO XLIV
Llipsima ABC Secet diameter BD, ad quam ordinatim pOSICa BIE
AE. C: jutictis AB, CB inscribatur LGho AFB triangulum
axIuAFB, e ex FPonacur F C; Parallela A C, iungancurque B G,  C.
Dico BCC criangulum esse maximunt corum qua seomento BO C
etor poctum, de  ata, aico f. li elle paralle-
tam ad AC.
Demonstratio
DVoniam = PFI G I linex lunc aquales, criangula FBH, GBL eandem haben
Lcia alcicudinem, ae qualia erunc. Similicer criansula F A FI, CTC incer paralle-
laS F G, AC consticura crune xqualia ac proinde a quabuncurcora riangula B F A,
BOC: S isicur BC C non sic maximum, ponatur aliud BP C, maius criangulo
BOC, e ex L ducacur L. M aequidistans AC, cririsiturre priuscriansulum BL. C.
aequale criangulo AMB, adeoque ec AM B criangulum, maius criansulo BCC
id ek AF B, quod est concra supposicum, cu B F A maximum ponacursgitur B GC
criangulum maximum est eoru quxe segmento B C. C inscribi posunc. quod erac pri-
mum. sinc deinde exiangula BF A, BC C. maximque demonstrabimus iunctam LiC
parallelam eAe AC. E enim non est parallela, sc alia lupra vel intra iplam F C P2-
callela ad AC, nimirum recta F L: iungancurque BL, CI. ergoper primam par-
cem huius criangulum BL C eriemaximum, quod heri non porest cum LCC ex
hypochesi siemaximum. Non igicur F L, aur alia vIla praecer FC est parallela ad AC.
Ouoderat secundo loco demonttrandum.
226. hulus.
Corouarui permum.
Ine lequieur si erianoula BF A, B C C maxima Cnc eorum gua segmentis inseri-
Apipostune, esse aequalia. Nam per secuman palcemuuas ee en parallela ad
AC. Vndeb FHI, CI aequateslun, de proinde eriansula liBL, BLCr, _ F AR, 1bid.
BC acebs de tota BL A, BC C. equalia lune.
Corol

## Folio 268 — 1815201908:0325
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000325.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Corollarium ecundum.
L L. +D 5+S.
policione et corollario pritmo,  ao immacaco. quam quod 10c926. blius astil-
menda sic vigesima Sepea.  E
ROPOSFFIO X P V. Domloqiirilu
 B5
IE AB C ellipsis diameter quaclnque BD ad quam ordinacim pond
Demonstratio.
rnais AB. C B, inceribaneur asesmenisre.
liguis eriangula maxima A C B, C HIB CrUNE
illa perprimum Corolli praecedencis propoli
cionis inter se aequalia e bmaiora dimidio se.
ementorum ABG, CBHI: dein ex reliduis v.
erimque seomeneis criangula inscribaneue
maxima AR C, GIB, CMIT, BLEI crune
veprius criangula AR C, C: IB parrim PeF CO-
rollar. primum, parcim per sccundum equalia
criangulis CMHI, BLII. e maiora dimidijo
legmentorums igicur cum ca inscripeio semper
Possic concinuari in veroque segmento AC+B,
BITC, de verimque parces ablaca line incer le
aequales; ex maiores dimidio, leomentoru a qui-
bus anteruntur, constacc A C B segmencum a
quale cseseomento C FIB. Ouare addicis X-
qualibus criangulis ABF, C BF CFHME FOtA
legmenca AC, BF. C FIBF xequalia. Duod erac demonstrandum.
Corollarium.
Inc seouicur d quauis diamerro ellipsim Bifariam se cari: sic enim diamerex qua-
Luis BD, et ducatur per quoduis illius punctum ordinacim A F C, per provon-
tionem iam demonstraram segmencum AB F, Segmenco B CF, xquacur. rurlum
pereandem proposicione lesmentum AD F, sermento C D F aquale cAt. erro se-
GmenEA A BF, AD F, hoc est eorum segmentum D AB, xquantur Segmentis B C F.
CDF, hoc elt cori sesmenco D CB; bitariam isicur diuila est cllipsis à diame.
EO BD.
Vod E Fuerinc Binae A C, F. C ad diamerrum ordinacimi pohtae, iunganicurque
FA, CC, criangula quae leomencis AF, C Ct inscribuntur maxima, incer se
quoque agnalia esse, eodem plane discursu demonstrabimus, quorsi sumus in pro-
AFC
Dico ACBF Segmentum aquari segmento CH BF.
Laeooli ali
elpl    Luncincex (C COnIUS AIX.
lamerri dux coniusacx ollipsim quadritariam dividune, de diametrt
12. huins.
rsion.
Demon
ut  t  s B    1   ute tu p t le et patet  e   s   e cu p   e e   et   e  e  a   e a s e  u al te e e stu et et  l p  

## Folio 269 — 1815201908:0326
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000326.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
p
EL L IPS1S.
Demonstratio.
Incin AB C ellips diameeri dux coniusatae AB, CD.
dicoillas elliplim quadritariam diridere; de _ AB, CD
diameeri ellipum quadritariam diuidane, dieo iIlas esle con-
rugatas. Ouoniam AB, C. D diamecri lunc coniusaex, cric
AB ordinacim polica ad diameerum D C, vnde a FaM AF. C,
CFB quam AF D, B F. D sectores lunt xquales; sunc au-
tem eE AF. C, AF. D sectores ob eandem racionem xqua-
les; leCtoreS igIEUE QUaTLIOE AF C, CF B, BFD, DF A, lunE
incer se xquales, et AB, CD linca quadritariam dividune
elliplim: Quod erac primum.
Siciam ellipes quadritariam dinisa, dico AB, CD dia-
metros esle coniuxacas. sin vero ducarur ipsi CD, coniu-
Paca FC, igirur fi F C, lector quadrans ellipleos est per priorem partem huius. AF.
qui seclor AF C ex hypocheh eriam quarra ellipleos pars cAt, ereo lectores FP C,
AF C aequales lunC, pars ex cocum. quod heri nequiciigitur F C diamerer non est
coniuxaca iptius CD, nec guaeuis alia prXTCE AB. Ouod erar demonstrandum.
Corollarium.
Inepatet lectores quarum cum que conturararum, equales esse sectoribus eu
juscunque alcerius coniugacionis lingulos lingulis: linguli enim quadrances
Cunc ellipseos, e s sectores lint xequales ac larera vuius sine coniusaex, alcerius
eriam lacera este ConiusaTaS.
PROPOSITIO XLVII
Eclores ad verticem oppoliri lunc incer sc aequales.
Demonstratio.
ECenE ABC ellipsm diametri quacunque
AC, BD. dico sectores ad verricem oppolicos
eNc incer (c aequales. ducancur enim ex F centro
diameeri dux PF, F. Ci _ F F quidem coniusata
iph FB: F C vero coniugaca ipl AF. Ouoniam
ibirur sectores BF F, AF. C, b aequales luncdem-
pro communi AF F, eric sectOr AF B, aqualis
Ccdtori F F C: rursum cum sCCtOTES FF. D, GPC
nc equales, dempro communi DF C cric lectoF
DF C aequalis sectori F F G, id est A F B ad ver-
cicem oppotico. eodem modoostendunEUr AF. D.
BF C sectores aequales. isicur, etc. Duod fuic de.
monstrandum.
LLOcLI
IE in AD C empit IcCt Guca ADB, OpOTTCL ex B rectam
ad peripheriam duccte, qua cun b nca lccloreoa a
10 abC a Glae.
Con

## Folio 270 — 1815201908:0327
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000327.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
 litet.L. d11d+
Constructia e demonstrario.
Vedcur ex C ordinarim ad diameerum AB, recta
C D, iungacurque BD. dico Factum esle quod pe.
rcu. e, enim segmentum AF, D a aequale seximento
AF C. et cum xquales sinE CB, F, B, criangulum DFB
xequale est criangulo CA B, igicur _ lector ABD equa
is sectori AB C. eduximus isicur, 85. Quod Tix fa-
ciendum. 13.
1. 1.3
PROEOSITIO ZLIX
in 1
AbCanE ADB, C DB sectores equales com
Amunelarus B O, IunOanEurque AB, C. B. .
Dico seomenca lineis AB, C, B ablaca esse InFCL
ChTogmencatuear aequalia, dico ec lectores aquari.
Demonstratio.
VnGAnEUE A, C Oceurrarque AC, linca diamerro BDin
F, cum si A C non sic dinisa bitariam in F: diuidacur bita-
riam in FP aGacUTque per FI diameTeF D R: Ouoniam AC.
linea ordinacim ducta est. 2d diatmeerum DK; erune
ATTR; C TTKD seomenca aequalia: lunc aurem _ ATID.
CTTD criansula xequalia, sectOCS ISITUE ADK, CDK
inter se equales lune, Sed ex hrpochesi quoque sectores
ADB, CDB equalessunE, igicur sectOF C. D K, aequalis
est lectori C D B pars cori. Ouod absurdum. quare AH
linca non dividieur in EI bifariam: nec in alio puncto que
in F: adeogueisitur AC, linca polica cAt ordinacim ad dia-
mecrum BD. vnde AE B scomentum c est aequale le-
Eento CFB. CuncddeM A C B, C L. B criangula aequalia, erxoreliquum segmen.
SInE iam AB, C B SexMenCA = QHalIa eE ex A, B, C punctis diAMCERI PONATUT AD,
BD, C D, dicolectores ADB, C DB, esse incer se xquales. Sin vern: hac CDB se
Rad.huns. CtoriX qualis sect Or dBDF, iunsancurque puncta L B. crir igituF L B segmen
cum aquale segmento C B hoc est AB per hypothelin, adeoque pars aequaliscori.
Ouod heri nonpocest. isitur sector BD L. non est equalissectori CDB: nec alius
quilquam praecer ADB lectorem. Quoderac demonstrandum.
P ROPOSIFIO L.
IF AB C sector quicunque.
Dico lineam ex cenero ductam; que AC
Tubrenlam diuidir bitariam, sectorem quoquebi-
Fariam secare.
Demonstratto.
e
crbir.
cum AB, aqualc elticoteno CB quod erac primum
=45. huius.
AC lincamin L: dico ABD. C BDIccores cAca-
quales: Cum enim AC in F digila SIE BIFaTIAMI, CrUHE
ABF. C B F criangula xequalia, sed, quia A C est ordina-
eim polica ad diamerrum BD, eriam segMMCNEA C AF D.
C FD Cunc aequalia, igicur eorus sector ABD, sectori
C BD aequalc cA. Duod erar demonstrandum.
PR O
Veaeur ex B ceniro diamerer BD. le cans bilariam
 ut ai uttut u suesi su s  e isu es u et otte  t u   us   esti e  t    e e e e  es t  te     u  B   e   s   

## Folio 271 — 1815201908:0328
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000328.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
cellet
da
cao
CLLIPSLS.
eR OPOSITIO LI.
Eliplm ABC secent dux quaenis parallela AD, BC, iungancur q
1AB, CD.
Dico AB, C C scemenca esse aqualia, ee si segmenta fuerine aequalia,
dico BC, AD lineas aequidictare.
Demonstratio.
Tuisis A D, B C BiFarIaMIn F eE F, AGACUE PEK F e
F linea F F; occurrens elliph in FP, eric illa diame.
CCF. QuarE BFFI; C FFT Tegmenca a sune aequalia, rUT-
Tumquoniam A E; D F aqualeS (UINE, RE SEGIMCMEA A FI F,
DHTF equalia erunc: ablacis igicur aequalibus seomentis
BHIF, CHTF FCMAMENE SESMENEa AB, FF, DC, FP
aequalia. Deinde quoniani AF, F. D sune aequales, et
alticudo communis paraHelarum BC, AD, CrUNE AF
EB, DFF C crapezia xqualla, igicur ab aequalibus se.
BMENEIS ABFR, D CF E, crapeziis, ablacis xqualibus
manene AB, CD teliqua sermenca incer se aequalia:
Duoderacprimum.
Sineiam AB, C D sesmenica equalia, iunsancurque
BC, AD; dico AD, BC lincas a quidictare: sin vero, du-
catur ipsi B C parallela AG lungancurque CC: erie
igitur perprimam parrem huius segmentum AB aqua-
Delcemento CC: sed _ CD segmentum ox hypochesi xquale est AGMenEO A B.
Tesmenca igitur CD. C. C sunc aequalia, quod heri non porest, cum punctum Gca-
dac supea vel infra D, adeoque CC Termencum inaius vel minus sc legmenco CD:
isicue AC lincanon a quidistar ipsi B C; (0d Sola A D. Ouoderac demontrandum.
DuodEpunctum dacum D idem sc cum puncto A.
duCatur AL cangens. ellipsim in puncto A SIvC D; (TUNE
enim A e D iam ex hypochea bnum idemque pun-
atum) ductaquo BC parallela adt AP iunge 1O.
Dicohane abscindore segmeneum DFO a quale sC
emenco ACB.
Ex contactu dueatur diameter A K, igirue DC qui
cansencix quidistar, est ordinacim b posita ad diatheerum
AK, adcoquebilecta in FI; criangula igitur B AFI.
CA HL equantur; xequancur veric _ segmenica B C AFII
CF AHI. ergo reliqua eriam scomenca BC A, GF A(.
hCCEB EGUAREUT. FaCUM isICUE eA quod pCLCBATUT.
PROPOSTTIC
Ecet elpuim rocta quaenis AB: auterens
CDresmentum, e decur in peripheria
punctum quoduis D, oporter ex D rectam ducere DF, que auterat le-
smencum DE F, aequale seGenTO ABC.
bouint
b13. huins.
C45. htoito
Con-

## Folio 272 — 1815201908:0329
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000329.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
S2. Mius.
143. vorodu .
E LLI.
d
Constructio ex demonstratio.
Vneancur B D, _ ex A ponacur A F 2. quidistans BD,
LiAnOAnEUEGAC E D. PACCE DCFPTRCCdeNEEI DE F LC-
mencum aquale esse legmenco ABC. IBITUT ex pun-
eto daco, al. Ouod cractaciendum.
PROPOSITIO LIII
ECenE ABC elliplm dux guaeuislince AB.
LdDE Segmenta auferences aequalia: divisis au-
tem AB, I E rectis bitariam in C et LI, du-
CanEUE ver C _ FI diamerri IG C, IIIF.
Dico illas in C d IL proportonalicer este divilas. FF si diametri sine
Demonstratio.
VDSANEUE AD, BE. AC, DF, OHT, CB, FP, CF. Ouo-
niam AC B, D F F segmenca ponunturaequalia, AD.
DET ad TTF, cum AB, DF linex in G _ FI divila
Sinebitariam, igitur ec C FI linea aquidistat AD, BF
Jam vero cuim AB lic ad diamerrum IC ordinacim po.
Sica, crunc seomenca AVC, BC C b xequalia, ad coque
resencum ACC amndium segmenci ACB. Cimili do
calla scemencum D I IIdimidium est Ccomenti DFF.
OuatC Cum TOCA LCGMENCA AC B, D F F. Ponaneur aqua.
lia. Ctunc etiam sCgmenEA AGC, DF TI, eorum dimidia
incer le xequalia. Deindec triangula AC B, D F F. maxi.
ma lunc corum quae seomentis inscribi postune, de quo.
+4. buius. niam A D, B P Osten(x lunc pataster, eriam dinter se aequalia crune; X quabuneur
C52. huins. BUS A G C, DF I. LemaCC A. GuaI2 A C, DC, ergo C F linca c xqui-
diltarrecle AD hoc est CLL. Guate veC G ad OI, siC FH ad HTI. Quod crac
demonterandum. Alinc tam vericas converla tcmanifesta.
proportionalicer diuile: dico legmenra este xqualia.
E B linca a parallelae lunc. CA auTeM VE AC ad G B, SC
e cccotobtti
a C Orol. 2
igicur ex corum dimidia rriangula ACC, DF II: quae si autoras a sesmentis x quali-
PROPOSITTO LIV
IIEin A B C elliph quaenis diameerorum coniuratio AC, BB, iun-
ctaque AB, ducaru Guacs  C Pacalicta LLB; aC L a , fecta
ponantur GHI, Fu canua au cacctos BD, AC.
Dico AC, B     L. PPOOCL C aIIaS.
Demonu
A te ee p i t  e  pe u    e   e  p et se et e       e   a t a ee et e te      e e e   at    ee te a e 1e   e e et s s et   1 

## Folio 273 — 1815201908:0330
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000330.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
listane
1D
et
Iee
perc
1
recta
E L L IPSIS.
Demonstratio.
Vnoancur OB, BFE, F A, AF, FTT. Ouoniam AB,
GF lincx aequidictane, CrunE GB, 2 F A SCGMEHCA
aequalia: sed G B segmento est aequale legmentum HIB.
(nam Scomencudinex CFR B aequaEuT SCGMENEO FTRB,
ee criangulum GB K criangulo HIBK) ex L A segmen-
100b candem caulam aequacur segmentum AI: igieur d
TTB scgmencum eAt ae quale lcgmenco AI, ex TIIxqui-
distac blincae AB, hoc ek FC. quare eocum legmentum
OBHI, Equale eA cori legmento L AI: adeoque per
pracedencem AC, BD diamecri in R ee I. Similicer
lunc dinilx. Quod erac demonstrandum.
PROPOSITIO LY
Vellipsi data sic quacunque diamerrorum coniugario AB, CB, e
iutSatuE AC, cui parallela lic quaenis E D, ex punctis aurem D, ec F.
ducantur ordinatim ad diamerros DF, P HI, D G, F. I, cruncisitur EgurX
ODFBG, EIBHI parallelogramma.
Dicoparallelogramma illa aequalia esse.
Demonstratio.
Via per praecedentem B A, BC proporcionaliter
Lsune diuilx, erie AB ad BF, ve C B ad BFT: _E Per.
mucando ve AB ad C B, Sc BF 2 d B FT. Smilicor AB
pet praecedencem est ad B L ve CB ad B CF, ee permu-
cando ve AB ad CB, SC BI ad BG. ergo B F cst 2d
BTI, ve BI ad BC. orgoeparallelogramma AC, FII
aqualia lunc. Ouod ctac demonstrandum
e
D ROPOSITTO IT V
10l
Aester
InE AB, BC diamerri coniusaces innetis pun-
Dais AC, ducacux F. D pacallela rectae AC
cum ex D e E recte ponantur E L, DF, B C, F. H
Ordinarim ad diamerros AB, C B, iungancurque out ciin c
EB, DB.
vctiluru
Dico FBD sectorem, aequaritigura F IFD K F.
Demonstratio.
DEr praeccaencem parallelosramma FG, FII: a illorum dimidia, triangula D FB,
F TB incer se sunexequalias ablaco igicur communi DIB, eric F P B crianoulum
aqualetrapeZIO DF LL. quare addica AgUTA ComuNIVF. L DR E, sectOE EBD
aequalis est AgUEA F IF D K Fi. Quod cracdemonstrandum.
PROP OSIT IOILV
a
huins
ins
huins.
d GL. haius.
C2+ sex1t
1p16 53
cclabe clbla clla ucltolce aB.L E Oddc 
aud parallelam ducere, que legmenrum auterat xquale lesmenro AHB.
Mt m
Coesltn

## Folio 274 — 1815201908:0331
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000331.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
L IPS
Constructio es demonstratio.
Tuisis AB C D bitariam in F. _ F, ASAHEUE CX
G CCnErO Per F e F diamerri CII, Cl; cum
eL dividacur in R, Sicur FY Ci diuisa cA in F, POna
curque per R ordinacim L. M, PaFeE per 53. huius
LIMI, AHIB segmenca esse aequalia; est aucem L. M
paralIela dace C D, igirur daco in cllipu sermento,
dec. Duoderar taciendum.
LABPOSTTIO LVITF
Demonstratio.
Voniam R L, ELL sunc parallelX rect_ AB, qua
es dIaCEEF CBNIUGAFA ip (I DC, CTUNE RL, FILOr.
dinatim posira ad BC. ergo ve rectangulum D GC,d
rectangulum DF. C, ica quadracum R C, ad quadrarum
HF. adeoque cum rectangula sine aequalia, cciam qua-
dracacruneaquaa, unde de rectae RC. FTF aequales
Cunc. Suncrero d CF, P I aequales, e anguli R OF.
lLL (quod HIBKC sinc parallela) aequales lunti igi.
cuF RC. F. criangulum aequale eAt criansulo PP. L, angu
lusque IF P Equalis angulo G FK, _ quia G F F. lines
recta cAt, anguli IF ES R F C ad verricem consticuri
sunc aquales: vnde R F. I, puncta sunc in directum, adc09;
(ectores RF D, CFL luncad vercicem constiraci: quia
aurem ostendi eriangulum K F C, aequari eriansuloIF F,
de simili discicsa ostendi possir criansulum quoq; DK C
Aequi e sectores D F R, IF C ad verricem posici. sune aquales. Pgitur reliqua etiam
segmenta DK, JC inter se aequalia crunc. code modo octenduntur D L, IL C legmen-
caxquasta. lcerum cum duo lacera RC, C FHnc duobis laceribus DC, C+ L. Xqua-
lia, de angulilareribus equalibus concenci ad verrice aequalesierune eriangula O7K F,
DOF Me aqualia, _ angulus CRF equalis angulo alcero CTL. D: ad eoquo
b st. Muus. K F L D F linexe parallelX. quare D D R, L L segmenea lunc inter se ae qualia: eA vero
iam ostenlum (cgehea quoque CI DR xequalia eNe, aequancurisicureria legmen.
Ea DR, LI, CT. vicerius quia DC, P. I jungutir equales d parallelas GL, FP I.
ipla eciam eruneparallelae unde rurtiim c Cegmenta CI, D Po aqualia liimrei ae quan-
cur lzicur quatuor sezmenea DL, C BFT, Id K. Rurlum quia K HI, L L. iUnSUnEKL,
HEaquales _ parallelas, suncipse eriam parallela: orune ergo nae qualia, criam se-
Ementa KHI, L. I. aequancur isicur quinque segmonca III, L ISR D, DF, CI. ACqui
etiam ostentum est requalia esse segmenca HIC, DI; aequaneur igitur omnia sexle.
omenca. Duod Fuerac demonstrandum. 
Vocetur aurem figura D K FTCIL, ellips inseripta, polrsonum regulare.
EenE ABC ellipum coningaex duae diamerri A B, C D. diuilaque
D illarum alcera quadritariam in P G, aGRNEUE peF F _ C rectae
II, IE L aequidistances diameero AB, iunganturq puncta D, K, L, C
dico L. D, DR, KH, HC, CI, IL. lincas legmenca auterre aqualia
aequari eriangulo TCF, cricrriangulum cocum D K F, xequale rori criangulo IC F.
111
47. huin
2bid.
d ibid
deL e
esto et
bit
i  s ts  pu  t s a tet at s    t et. p eti te te t e tt u le s ta  e  te ps et  e  e  et e e sa e e e  ute u e u u  e e    i aiut

## Folio 275 — 1815201908:0332
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000332.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
E L L IPS+8
eR OPOSIFIOLIR
Adem manence Egura propolicum sic ellipsi heragonum regulare
inlcribere.
Constructio e demonstracto.
Vmancur dux quaeuis dinmetri coniueata AB, CD, duitaque ED quadrita-
riam in F e G7, AGAHEUF Per F _ C lincae FTF, RL aquidistances AB: du-
CaNEUTGUC DR, RFI, ETC, CI, IL, LD: Pacec per praecedencem: rectas illas se
smenca auterre aqualia, adeoque figuram hexagonam DR, ITC, TT. D, eAcregu.
larem; igicur ellipsi hexasonum inscriplimusregulare. Ouodcrac taciendum.
PR OP OSITIO LX.
ECenE AB C ellipum duxe quanis linee A C, D E auFerentes (esMen-
ea equalia, dueaneurque adillarum extremirates Pemidiameeri P A,
iC, FD, FF
DicOlectOTES AFC, DFF, este equales, et Si Pectores fyerinE e qua
les, dico legmenta esse aequalia.
Demonstratio
Tuitis A C, D F bitariam in C _ FY aGanEuF PeF
G e II, diamerri FB, F P iungancurquo AB, BC.
DP, ET. quoniam (CDMONES AC, D F ex Bypoches
sunexqualia, ergo rectae, qux puncta C _ F; A _ D
iungerene, Forencaparallelae. ergo bcriangulasesmen-
eis AC, D P inCoripeorum maxima, sunc aqualia, sed
ABC, DTF, csunt inscripeorum maxima erunc igi-
cur rriangula ABC, D TF, aequalia: quia aurem F B,
EI diamerri in G et FT, lunc propoecionalicer ddiui-
Ex:isicur ve ABC triangulum est ad criangulu AF C.
Ac DFF. criangulum est ad crianoulum DEF, dE Per
murando ve AB C criangulum est ad criansulu D IF
sIC AF C criangulum est ad criangulum D F F. Cum
isicurtriangula ABC, D TF xqualia Cine, criam erian-
sula AFC, DF P aqualia cxunc. Ouare addieis equa-
libussesmentis AC s D F; erune (CCtOTESF AC, FDF
aequales.
Sinc iam lectoFes A F C, D F F aequales, iunsatiturque AC, D F. Dico AB C.
DIF segmenca quoque eNC aqualia; sin vero: SC alcerverum (puca) DTF minus
alceros duenturquec ex D linea D R. segmentm auferens xequale segmenco ABC:
e iunsantur ti, H Ononiam igiturscomentut D IK equale CA PeginenEO A I C
TCCtOT DFR aegualis est sectori AFC, id est sectori DH F. quod hcrinon pacest.
(cxtchea cleo AC, L F non plaequalla sunt. le daequalia. Duo d exac demonstran dut
Corollarium.
52. hutus.
Bubes
quales, corumque subceme er de Il une btariam. Quod diamecriper du
HI ductxe, ijldem pirtes proporcionalicer dividaneurs
SCcoMO eccoreS O HFC. DF F terine aquales, lubcendancurque iplorum
ansulirectis AC, D F: quoderiansula AFC; D F F. sncequalia.
Fercio hinc cale problema Colurur: daco AF B sECtOTE quOCUnQUE, OpOEtCE Cx F.
MI 2
duas
EX hac _ Cx sz. huius se quicL PEILIO, A A F C, D F L Leclaes gutuis tuerine a-

## Folio 276 — 1815201908:0333
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000333.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
paue ngun
E L L. IP SIS. I i
duaseducere semidiamerros quae lectorem constituanexqualem sectori AF B: PrO
constructione juncta AB; ducatur ex F Pemidiameter quecunque ED: Cum a CxL
recta ducacur D I Ccomiencum auferens aequale legmenco AB iungacurque II.
PATCE TFDTCMCBCMGA RctOTI AFB. 19O1Z 5.12L∞5.131IC
eROBOSIF1O L. X1.
InE ABC, DBF sectores equales: iuncti(que AC, D F duCAEUE
Dex B quaevis linea BC. lCcans AC lineam in F: dein lectori ABC
hacequalis lector DB LI lececq; HTB linea, rectam F.D in l. 1 suprom
Dico tam AC, DP. IIHCas quam BG, FIB in F e l proporrionali
tex esse dinilas.BoCd
Demonstratio.
VnGATUT AG, OC, DFE HF. Ouoniam exhyporhes
sCctOreSTaM ABC, DBHI, quam ABC, DBF Cune
aequales, crune ex reliqui GBC, TIB F. X qualcs. quare
AC B criangulum aquale eriangulo D FIB, de criangu-
Jum COB aquale criangulo HIF B. quare vecriangulum
B A C ad criangulum G CB, sic BD FI criangulum ad
criansulum BHI R, scd (quod Facile cx1. 6. eAt demonstra-
EH) raciOneS reCtarUM AF, FC, ex DT, TF, cadem sne
cum racionibus criangulorum B AG, C CB, _ BDII.
BTTF. Ergoo cciam, AF est ad FC, VE DI ad TF.
Deinde cum rrapezia C+ ABC, BDTIF aqualia sinc (est
enim ceriangulum B A Gs criangulo BD TI, e criangulu
BC C, criangulo B FTF, aequalc) sc aurem _ AC B crian-
sulum daequale criansulo D F. B, eric reliquum eriangulii
uale religuo DFTF: igieur ve AO C criangulum ad criangulum AC B,
onsra id est c ve G F ad F B GC D FTF criangulum ad criangulum D BB id ost ITI ad
ext IB. Ouoderax demonstrandum. 1a WL LB: WilBPB. elC1
rib  hueilhoeg0rsantM23 
P R O P OSGI. T Y O WIL. X I. I.
3 cet  et CCWlBAA EHBe
lug
Inc iam AC, C linet in F. de L proporetonalices diuila: nxlricur
DEF F e I, CCMiametr BC BH. aitrgV
a
Dico AB G, DBHI sectores, eAC aequaleS. rocileup.
TelT. A 11010So mo
Demonstratio.
∞:CT 7 et.  R 91P 1099E7ONE, E leV
I erG iHE AICCTUTEL N, A H C minOr alcerO: Hac AB K sector aqualis sectori
DBLB secetque BR InCa rectam AC in L, quoniam ABR, D BHI sectores
luncxequalessi Exis perprimam parxemhuius AL, 2d P. C, ve D IadIF. Aequi eciam
AF CA 2st F Co vE D L, ad, IF, igicur ve AF ad F C. Sc AF ad L C, quod heri
non porest: quia punctum. P. cadic vlera aut ciera F. quare sector AB K non est
ae qualis sectori DBHP nec alius quilquam praeter AB C. Duod crar demonstran.
dum.
21L Eiritp 22 20 5St. E I C eD F A i. GuEG ViIrBSIEHEE
D5
13rABIL BOBP. et adiiist 2S 1 2 ei trorcliit 39p C NSCColC
tituih cdits. sCOgBG etBNOG C2H ∞Bu
urole upuant nodui colrup ninsud et iLC  Y R ovb 2310Bl a q R O.
la 33t it CI dY A AlniBOM: N C A e13.
10g0, 3uxuorp 220 st _ 7 A. oral zuslot ay tcory slus siul oire
27C
2bid.
bCorol. 60.
nins.
Egcit
(e  ue i e  ttis u et ue t p  ut  sa pst a      at  u e  t et  e  pe ue   e e u te e    su a  nai

## Folio 277 — 1815201908:0334
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000334.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
E L L PP SIS.
e CSSEISI.
114.:
ACP AO P, O S VTIO L XLII, 1llic
3
1et 1 et
Vine due quaeuis diamerri AB, AC, iunctisque illarum extremicari-
bus, ducancur due quaenis aliae diameeri AD, A P SiC ve iunct a DF.
SInE ABC, ADE criangula aequalia: divisis autem BC, D P. BIta-
riam in F ex C1, aganeur per F e C, diametri AFI, AI: que si in Lde
C, proporcionalirer line diuile,
Dico BAC) D AF sectores eNeaequales.
Demonstratio.
Voniam AYI, AI diametri in F et C proporcionali.
Lcersunediuile, crunc BHC, D LF Scgmenta 2 xqua
lia: Cune aucem ex liypocheheriangula ABC, AD P. xqua-
lia: sectores isicue B AC, D A F. sune inter se aequales
Duod erac demonttranclum.
eROPOSTTIO EX
HInE duo sectores D ABC, DFPF, ductisquere.
Dais AC, L. MI, _ bilectis in FI, de C7; duCANEUE
diametri DHB, D C. L. Sic aurem rario D C ad DI
minor ratione D FI ad DB.,
1. (11
Dico sectorem DELF radiorem, este, (eCOTs
DABC.
Constructio es demonstratio.
Toniam D C est ad D L in minori proportione quâm
LD HI ad DB. Fiac DR ad D I, vi DFI ad DB. m2-
iorigicur erie DK quam D C _ punctum R cadet inter
C ac I. Per K ducatur ordinarim Y RM; iunsancurque
DE, DMI; Scomenta igitur T. IMI, ABC B xequalia CunE.
Duare sectores oriam cDI. IM, D ABC. sunc aequales.
ac proinde sector. D F IF maior cA sectoroD ABC. Quod
erac demonstrandum. i. I, etli uB C18. 3 20677 1i pIR
IPROPOSIETOLE
nt
11313
NInE ABC, D B F. sectores duu inxquales, (IC
DOVe ABC, DBE criangula sine equalia:
Dico ABC, DBF sectores simul Cumpros aequ
3331()1V~1F.  
Demonstratio. D V
Vm sectores sinc ex hypochesi inxequales, sit maior
BDGF. quia ergo criangulum DB F ex hypoches
aequacurcriangulo B AC crir sesmentum DCF maius
seomenco A C, abscindatur dicaque F C segmencum ipsI
AC aeguale iurgancurque BG, CD; de F B producta in
Ei ducarur F D. quid Egicor Pegmenta GB; AC. aqualia 
(unc, c’etiam sectores aeguales luHe, adeoque ee crianou
Tum GF B, criansulo AC B, hOC est criangulo BDF X-
quale cric. quare BP, DG me parallele adeoque ele-
emencum OF, hoc ett legmentum AC aquale cAt le-
emenro DE; sectores itaGUeAB AC BFDS Equancur.
M m 3
253. tuius.
Shuin
d
uius
u
111

## Folio 278 — 1815201908:0335
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000335.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
agumm cuntu
E LL FPSI5.
(tIO LXVI
VManEuESECtOres duIO B AC, D A F, sic verriangula ABC, ADF
Dsinc xqualia: Si Sectores M limul lumpri, maiores fuerinc vel mino-
Dicoillosincer (c equales esse.
Demonstratio.
enim non sinc aquales, lE B A C minot lectore
DAF: cum igicur criangula ABC, D A F. sune
aequala, erune B A C, D A F sectores limul cumpei
aequales semiellipsi: Quod est concra lirpoclietim.
igicur sectores BAC, D A F. non sunc inaqualeS
ledaequales. Quod erut demonstrandum.
PROPOSITIO LXVII.
InE AB, BC diamerri coniugatae, ducta-
que ex C recta quanis CD, duCATUT ex
Demonstratio.
Luna C D Orcariam in F, ducarut diamerer B C, d
quoniam BF. aquidistac ordinarim posex CD ad
diameerum B C ipla eriam est polica ordinacim d qui-
dempercenctum, lunc ixitur coniugacx diamceri BO.
BF. lunc aurem ex hypochesi CB, B A criam coniura.
E. Eroo bseAorCB ABar es sectori G B P, dempeoque
communi GB A, sectores C B C, AB P aquales exuie.
Acqui sector CBD duplus cH lectoris C B G. erpolc-
Ator CDD duplus quoque est sectoris ABF. 110d
crac demonstrandum.
ex OPOSTTIO LXVI
I(CCTOTES ABD, ADF, AE C Sinc x qualos, du
cancurquerecte DF. _ BC, ICcanS rECtaS AD,
DIcbBF, VL, CC ellcaqualc.
Demonstratios
ins.
Corollgs. ACqui sECtOreS BFD, BDOE, =constiruune semielliplm, er sodt sectoresBC. A.
BD CF, Cemiclliptm constreuunt. Ouo derac demonstran dum:
res lemiellipe:
B linca B F parallela rectxe C D. iungacurque DB.
tn
e
i
eb0 huino
E s1 Bain
Dico DBC. lectorem duplum esse sectoris ABF.
AF. in F _
neut recta
BD, FC, DC, DC. Ouin se
ses ADF, AF C sunc xquales, eriam eriangula
DE A 3xqualia sunc. ereo aequales sune recta
DH. HC. Dein de qu llores A DB, AC L aequales
sunc, eriam (exeC B D, F. C sunc a qualia. Froa C B.
 lunce paraluela. Anguli igitur GC H, EDH, a
QuanCUF. LunErecO impuli qUOqS G HC, B HLE xqua
les
s st sute eos  as i e ete ts t e tut te tete pete  est  tete e e t  pite  e t et p  t ste e t e te se e pat te e  te t   e e te   p   1 1

## Folio 279 — 1815201908:0336
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000336.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
B
E L L IPSIS.
les, e iam ostendi aeguales oriam esse rectas D FI, FT C; isitur =CC F D, Xequales 226. Promi.
tunc. similirer octendemus BF, D E. aequales eAte. C onstac ergo vericas propolicionis.
PROPOSITIOLXIZ.
TIdem posiris producarur D G, donec AC linex occuratin I.
Dico A6h AGC, AFC criansula in conrinun esle analopia.
Demonstratio.
X superiori demonstratione, in eriangulis CFC, F HD, pacec omnia ense
equalia, adeoque latera eriam P FI, IT C lune xequalia. considereneur modo crian-
Sula DFTO, BIIC, in quibus cum duo lacera DEI. HIF, duobus laceribus CFI, HIF
equaliatine, angulusque DHIC aequalis angulo CHIF; ad baum criam aequales
crunc anguli HIGD, CFFI ac proinde DI, CF sunc parallele: adeoque ve A T ad
AC, SC AC, ad AF, sed eAt ve AI ad AC, sic ACT criangulum ad criangulum
AC C: _E VE. AC ad AF. siC A C C criangulum ad eriangulum A F Cs igieuF vE
AC Irriangulum adcriangulum AG, C: sic AC C criangulum adcriangulum AF. C.
Quoderac demonstrandum. ivs cbcu
AEC
i. PROBOSITIO LXX.
Eliplim lecenebinae diameeri AF, A F in punctiS E _E F, et QuIBUS
GdUICANTUL FC, E B cangences elliplim, occurrentes diametris in C
e B, IUNGAHEUTG; P F. LS8L 111
Dicorriangulum AC F erianigulo AB F. xqualccAo.
1292
onratioI.ari
31ISZBIT SI.
X puncto F. ad A F duc ordinatim L. K, eric hEcBCaH
Ldenei LParallelas ideoque criangula AF K, ACL
similis lunc, ac proinde duplicacam habenerarionem ra
cionis AR 2d AF: hoc est quia c AK, AF, A B CunE
eres concinuxe proparcionales, rarionem habene quam, oci
AR ad A B. scd etiam est vE A K ad AB, GC Friansy.
lum idem AF R ad eriangulum AF B. ergo criangu.
IUI A E K ad eriangula ACF; AF, B candem habeC
racionem, aequancus ixicur erianeula A C F, A F B: 940d
erae demonstrandum.
BGe
IaieA e op 403GMCI
C A 35 sAB CITEI 10221C19Y :5. IIpi 1
11be. 33I.
3E. HOC): CMIVEEBE
ed odil. I D Cesol
3o.la: ct 2) crimnon
:e p adtiil
139 ACCB N 5. 13~ G12C 1. 1 2
t
31 23BE 1H 3e29 BOVC.D E ISF Sla 2CC
 reser eti 2B de
1.
.et L. 3 31.D0 1013 3: a) 5.XHt d 1. Si L. N (15 19
sit. BBCB it tAI.
b 13. tviu 5.

## Folio 280 — 1815201908:0337
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000337.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
d
R
R ILLL
5
OeoIO LXXI
Considerat axium ac diametrorum coniusatarum ramaqua-
lium quam inaqualium proprietates.
ellipsi diamettorum mana c Mnima Tunc axeS.
Demonstratio.
InE A B C cllipicosaxes AB, CD, _ AB
quidem maior, CD vero minor. dico AB,
diamerrorum estemaximam, C D vero mini.
mah, cenero ellipss F: inceruallO F A circu-
lusdelerrdacur AF C: transilicis per B, _rC.
liquo tui eocus exera a cllipsim cadcc: ducatur
det per L. diamerer quacurique F C Occur
rens cllipA in EI _ I. circulo aurem in F ex C
Duoniam circulus A FC corus cadic extra cl.
liplm, exic FC linea maior rect a FTT: igieur
ec AB maior est quam EII. idem octenditur de
quavis alia diamecro; igicur A B axis maximus
est diameerorum ellipsis AB C. Ouod cracpri.
itium.
Rursum centro F inceruallo RD circulus
de(CribatuT DRL OCCUTEEMS PC linea in R
EL: cransilic is per C, ex reliqua las pacelotus inerab sectionem cadec. igiene. FT Lli-
nea maior est quam X P hoc ell C. B: Juare cum idem de ommalia linon qux Per
C e D non cransie ostendarur, ec CB diamerer omnium minima qua in ellipa
Corollarium primuit.
1. 112t3
lamecer quae maiori axi est propior, illa maior csri
ee qua remorior, minor. sic AB C cllipleos axis
AB, Cencrum C: Ponaturque C C diamecee propior
axi quam CF. dico C C maiorem ese ipsa CF. Cen-
eroenim C inceruallo C C circulus delcribatur, Oc.
currer is cellipli in quaruor cancum punctis CKHD.
quare C F ad peripheriam non percingic. vndemi.
noc est quam CC. Duod erac demonstrandum.
Corollarium secundum.
Eccrollia
ADB ducipostunE. Cubu erac demonstrandum.
erro diameter axi vicimtot eu. Que cum axCmi-
Patclaleum CPehoneoienao. Lpieos axis ma-
ior EC A C. Faciacque diamerer B Feumaxe sectorem
BE A
norem vel angulum facic vel sectorem. primum
o ut uori putis ti pta ss uptre t epue asustepietite  itsete otes  s st atu  t sue pe  ut e u e u ste  u e tu t  e et a e et a e te  e et  ti e  ue u a  pi  tu

## Folio 281 — 1815201908:0338
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000338.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
EL L IPSI
BF A minorem lectore DF. C, quem cum axe facic did.
MCTEE DF.
Ouoniam igicur sector D F. G maior est sectOre BF A
AaEleCEOE FF C aequalislectori BL. A3 _ FL occurrat et
lipsi in C ducacurque BO C; sector BF A cquacur sectori
Fi P C ex constructione hoc est: sectori ad vercicem AF. C.
Ergo DBC. bilecta estm O ab axc A C. anguli ergo adO
recti lunc. pacec ergo angulum BE A aequariangulo AB C,
hoc est angulo FF C, hoc estminorem ese angulo D F Ci
liguecigitur ex primo BF. qua sectorem facit cum axemi
norem axi propiorem eAlc quem D E, quae MaiOTEM.
PROPOSITIO LXLII
Ectangulum sub dimidiis axibus aquale cle PX
Crallelogrammo sub Cemidiametris coniugaris.
Demonstratio.
2InE ABC elliplisaXCS AC, BD: cen-
Derum E, e guanis semidiameeri coniu-
SaEX EF, BG. actilquE PEF F eE G can-
sencibus qua convenianein FI, X axi AC
OCCUTrAHEIN T_EK: ducaneur ctiam per C
e B linca quae ellipsim concingane in C
_ B: CONVENIANE AUTEM In MI: _E FTR, PF
secenem O, L. N: cum iunctis punctis F. O
agacur per Acanigens, secans F. N lineam
in P. Duoniam cam NO, R F. clince quam
OK3 NE. Sbi muruo aquidistane; crie
NOKF paralleloprammum, diamerro
OF dinilum bitariam: sune aurem eriangula d F OB, F O C aequalia, igitur _E rC. 838. Duius.
liguarriangula PBN, P OK InCCF LCRQUANEUE. Rurlum cum C A P, C. L lineX  is huius.
xquidistene, _ AF, C F lineae sincaequales, crie F. C L criangulo xguale crianou-
lum E AP hocEC CF. IF. Ouoniam isitur eriangulum F. C K sequacur criangulo (70. huius.
E BDT d rriangulu TE F crianguloF C L, provortionalia crune quatuor illa erianou.
lai sune vero eciam similia incer se, nimirum F. C R ipA IF F, _ F BN ipA F CL.
ergoreCA KE, P L, N Fs F L, proportionales CUME. quare cum super propOrtIO- S E2. savel.
nalibus indirectum politis consticura sunc eriangula PF F, F GK, IFIKincer Ce simi-
lia ex criangula C L F; P. BN, L M N incer Pe quoque similia, re sunt duo criangula n60. de 163
TFE, FCK ad duo criangula L P. C, PB N, ica hi ctiangulum F HIR ad criangu. nei:
Ium LHNI: Acqui duo triangula PF F, F CK aequancur, re ostendi supra, duobus
TCP; F BN. ergo criam eriangulu PFTR criangulo LMN aequale est; ac proinde
dempris aqualibus paralleloorammum G F P ET sub semidiamerris coniugatis, x-
quacur rectangulo B F C FI lub dimidiis axibus contento. Ouoderat demonstran-
dum:
Corollarium primum.
 eMlucutacllipaaua quanilucalametcocala Conu altolco e en latis
PF, F. C. criangula TuPeF F A, PB, P. F, P C in angulis AF. B, FF O, eNcin-
cer se aqualia: lunc enim dimidia pacallelostammorum ae qualium.
Corollarium secundum.
Cquicur secundo patallelosrammalub cocis alamccti Comuzalio celteellea
qualia: cum linc quadrupla eorum que hac propolcione octeula tuneaqualia.
i tt 
c 13. Bt1.
t t  is p  tr ee p

## Folio 282 — 1815201908:0339
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000339.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
ELL IPSTS
PROPOSITIO LXXIIF
sencibus aequale cM parallelogramito concenco lineis exrrema qua-
rumuis Matecto Comuhalau Comungeneibus.
Demonstratio.
InE ABC ellipseos AXeS ABCD, ex alia quauls
diametrorum comiusacio P F G FI Tungancurquetam
2xium, quam diamecrorum exerema: dico C AD B Pa-
rallelogrammum aequari parallelogrammo P, IT F C. rC-
ctangulum ex A B _ D I duplum est crianguli AD B:
de rectangulum ck AB _ CI, duplum est crianguli
ACB. ergorectangulum ex AB, CD, duplum est p2-
rallelogrammi ACBD, Sinc A C B D parallelograM.
mum, dimidium est rectanguli super AB, CD. limili-
cer octendam patallelosrammum F. C F. II dimidiun
esse parallelogrammi (uper F F, CFI in angulo FIFI:
sed parallelogrannum super RL, CFT. xquale cst pa-
rallelorrammo supet A B CD; igitur _E AC B D paral-
leloprammum aequale est parallelosrammo P. C FH.
Demonstratio.
Vm exhyporhek DE sic ad E. B vE A F ad F C, exie
permurando DH ad AF, VE BF 2d FC. quare
SEFOTA DB, ad EOFAM AC, VE DF ad AF, _E F B, 2d
FC. ioicurrationes BC, ad F C, _E DF ad AF, simul
sumpre duplicaex sure racionis D B ad A C. AEqui ra-
tio rectanguli BF D del rectangulum AFC, compo-
nitur exracionibus BL 2d F C, _ DF ad AF. CrgO
rarto rectanguli BF. D dd rectangulum A F C duplica
ea estracionis BD, ad A C, hoc est rationis BI ad AL
ergo lectanguluI DL. D est ad rectangulum A F C, ve
quadracum BI ad quadracum AI. Ccd idem quoquere-
atangulum BF. D est ad quadracum CE, ve rectangulu
N ellipsi paralleloerammum quod hc à lineis excrema axium coniun-
Dubature demonstrandum.
ROPOSITTO LZZIV
VInE ABC ellipleos axes vel dianerri coniugatae, AC, BD. diuise
que BD vccunque in L, diuidatur AC in F proporrionalicer, de per
F. _ F ordinarim ducantur linex L. (1, F II:
quadrato HIF, e liguaatacum CF. lic aequale rectansulo AF C. dico
Dicorectangulum A F C aequari quadrato C F, et B F. D rectangulum
BD, AC proporcionalicer esse dinilas in F. _ F.
EIL xqualia csc.
Sineiam aequalia quadrarum C+F. _ rCclaHOIum AF C: dico BD, AC pFOPOr.
cionalirer esse sectaS: Nam si non eA ve B F 2d E D, sIC AF ad F C, SICVE BK, 2d
BFD, hoc est, quadratum B I, ad quadratum A I; Xquancur igitur quadracum C L
de lectangulum H C.  nmus rectangulum BF. D, _ quadrarum
172. huiuso
Iam
ED, GC AR dl LC. L C a L de rectansulo AK C per pri

## Folio 283 — 1815201908:0340
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000340.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
E LLIPSIS.
mam parrem huius: Ouod herinon porest, cum quadratum G F. ex hypothesi sic
aequale rectangulo AFC. Nonigicur AC in R auc alibi quam in V crir lecta pro.
porrionalirer ad BD. Ouodcrac demonstrandum.
PROPOSITIO LXXV
Paxes aut diamerri coniugace sine proportionaliter sectae in F X F,
_ ordinatim duCaHEUE F (7, F FI.
Dico quadratura FHI esse ad quadratum E. C, ve quadrarum BD,
ad quadracum AC.
Demonstratio.
Vadrarum FH. aequatur rectangulo BF. D, sed rectangulum B F D est ad qua. 2 74 huius
Ldracum F. C verectangulum BLD, hoc eM quadracum BL, ad quadeacum IA.
CrGO CtIAM qUadTATUM F HT est ad quadracum F. C, re quadracum B P ad quadrarum
TA, hoc es, requadracum BD ad quadracum AC. Quod erat demonttrandum.
Ouod li ad diameeros coniugaras ordinarim Polce lInC F G7, F FI, eE SICVE qua. Fa-
cum BD ad quadracum A C, ita quadracum siEl ad quadracum F, CF: DICOBD,
A C proporcionalicer eHe lectas in R _ F. Benimnegas eNe A F ad F C, vE DF
ad F B, HaC AR ad R C, VED E ad BB, e sic ordinacim R L. ergo re quadracum
BD ad quadracum AC, sic quadracum KI. ad quadracum F. C: quodtieri non po-
cest, cum ex hypocheli quadratum FII sic ad quadracum P G, ve quadeacum BD ad
quadracum AC. non isitur est re quadracum B D ad quadracum AC, ita quadra-
cum RI, auc quoduis aliud praecer quadracum F.HI, ad quadratum P. Cr. Ouod craE
demonstrandum.
PROPOSIIIO LXaMI
Ine in ABC ellipsi dux quaenis diametrorum coniugaiones AC,
ABD; EF, GFI; ducanturque ex F de C linex F I, CK ordinacim ad
diamerros BD, AC.
Dico EI quadracum, aquari rectangulo AIEC, e BID, rectangu-
lumaequale esse quadraco CH.
Demonstratio.
BOnantur E B, CC. Ouoniamigiturram AC, BD,
quam P F, C HI diamerri sunc coniusacae, crie b (c.
Etor BL C aequalis sectori R L CF, e dempeo commu-
ni BL C, SectOEF L. P aequalis sectori C L C. aleoque
ex L. F. Bcriangulum caequale criansulol. CC: e quia
BD est coniusata ipsi AC, crir B D parallela ad RC
quae est ordinacim posica ad A C. ergo angulus GRL
aequalis angulo BL A. similirer quia A C est coniuga-
ca ipE BD, Cric AC parallela ipE F I ordinarim poli.
Ex ad BD; angulus ergo F IB aequalis est anguloBL A
hoc estangulo CK L; igicur cum criangula sine xqua
lia, erie (veintea ostendam) ve balS P. B ad balim L. C,
ita K G dd F I, ad eoque re quadracum B L ad quadra-
cum L. C, hoc est re quadracum BD, ad quadratum
A C, hc quadracum K C ad quadracum F I. vndeBD,
A C linca in IX R a proportionalicer line divilx. quare F. I quadracum caequale d, s. huius.
rectansulo AKC, icem B ID rectangulum aequale quadrato OK. Quodtuic de. c74 huius.
Monstrandum.
BCorol. 46.
uin
CCoroIl. 60.

## Folio 284 — 1815201908:0341
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000341.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
76. haius
u
siseb
scctiti
L L L IPS. IS.
PROEOSLTIO LXZVII
Xium quadrata Cimul Cum pea aequalia lunc quadratis cuiuscunque
Demonstratio.
Inc ABC cllipleOSaxES A B, C D, dt alia quaenis dia-
mecrorui coniunatio F FI, C: L. dico AB, CD quadrata
Simul Cumpea Eguari quadraris F HI, GT Simul sumpeis.
ducancur ordinatim linea. FI, CK quae, quia ad axes du-
CUnEuE, Perpendiculares crune; cenerum aurein lectio-
Disponatur B. Ouadeacum F C a x qualc CA quadeaTO R L
vira cum CID rectangulo id est b guadraco CK: quadra-
cum aurem F B c aequale cA quadrACO F R Vna CUm rC.
ctangulo AR B id cA d quadrato F L: vnde quadeaca dues
F. B, P C simul Cumpra aequalia sunc quadracis FL, IF,
FK, CK Simul sumpris. Sed ij Idem quadracis a qualia lune
quadeata F F, F. G, quadrarisigitur F P, F. C xqualia lunE
quadraca L B, P. C. quare cum AB; CD quadraca simul
sumpeac quadrupla linc quadracorum F B; F C d FH,
GT quadraca quadrupla quadeatorum B F, PC; pater
AB, C D quadeaca simul sumpea aequari quadraris PHI
CL. limul sumpeis. Duod erat demonstrandum.
ROPOSITIO LXXVIII
Xes. ellipleos simul sumperminimae sune omnium diamertorum
Demonstratio.
InEaxeS AC, BD et quaeuis diamerrorum coniugacios
F F, C FI: dico axes simul sumpeos minores esse diame-
eris coniuracis simul Cumpris. Ouoniam AC; BD qua-
deata limul sumpea, x qualia sunc quadeacis F F, C+ FI II-
mul sumpris: Sicaurem ee BD maxima diametrorum, AC
vero minima, eFunEFAC, B D Smul sumpEx minores te.
Ais E P, C H: isicur, e c. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO LXXIX.
VInE AB C ellipsis axes AB, C D, divili pro.
portionalicer in P. d F: ducti sque ordinarim
(que hiclune perpendiculares) lineis PG, FH:
iunsateur AC, GB, CHI, HD:
Dico quatuor quaata AC, CB, CH, HAB, Simul Cumpca, XGlat
Lconiugationis simul sumpris.
Aconiugatarum simul sumprarum.
duobus axium quadraris.
Demon.
ee  p p a psn p  as  e  p .  en e p t t a se at e u   e ete t pi at  e u e e  t    a te    t e e   e  u 1 1 1. p 

## Folio 285 — 1815201908:0342
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000342.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
E. L. L. IP 5 IS.
Demonstratio.
Vadrarum AB aequale esta quadracis AF, F B vnZ
cum rectangulo AEB id est b quadraco HIF bis
Cumpeos quadracum vero C D aequale cAt quadraris CF,
ED, _ CFD rectangulo id est quadraco F C bis sum-
pro, sed ijidemcquadraris aequalia lune quadraca AC
EB, CFI, ITD, igicur axium quadraca simul sumpea a-
qualia sunr quadraris AC, GB, C FB TID. Ouod eraE
demonstrandum.
P R OPOSITIO LXXX.
Vadraca linearum extrema axium coniun:
gentium aequalia Cunic quadracis lincarum
qua excrema cuiuluis coniusationis coniungut.
Demonstratio.
InE ABC ellipleos axes AC, BD e alia quaevis
diameerorum coningacio P P, OFI. iungancurque
BC, C. D, F FF, FFI. dico quadrara BC, CD simulcum-
Dcaxquari quadracis P FTT, FFI simul lumpris. quadraca
BC, CD Simul Cumpca d aequalia sune quadrats BI.
TC biS Cumpeiss quadFAEA aUFeM F FTS FTF AGUANEUE
quadraris F I, PFI bis sumpris: Sed quadeata P. L, TTI. si-
nul Cumpeac sunc aqualia quadraris BI, TC Cimul sum-
Peis; igicur quadrara BC, CD simul sumpra; aqualia c
luncquadraris PHI, HIF. simul sumpris. Quod erarde-
monstrandum.
eROPOSITIO L.XXZI
ECenE ABC ellipsim, cuius cenerum D dux diametrorum coniuei-
L.DtiOneS AB, DC, BD, DE, iunctisque punctis AB, C P dividateur
AB, C F linec bitariaM IH F et C, duCanCUTq; DF; DC qux producta
Occurranc ellipli in FI e 1.
Dico HID, ID diamerrosesse coniusacas.
Demonstratio.
FOMaHI AB, DC, B D, DF, olameeri sune coniu-
SACX, CrunEE A DC; BDE lectores xquales: ablaco
SICuE COMMUNI BD C, CrUNE ADB; CD P reliqui a
quales: rursum cum AB lineam secec in F; bitariam
diamerer DH, erlinecam AD FB, BD HI i sectoreS, qud
AF D, BF D crianoula aequalia. eodem modo ostendi-
cuF F. DI sector aqualis lectori CDI, sectoros isicur
AD FTS F DI sunexquales incer se: Addicoigicur com-
muni IDI, eric sector ADI aequalis sectori HDF,
contusaca ersoh sunE DFI, DI.
H 3
erim.
a. 10. dete
E77. huius.
FCoroI. 46.
haius
8) . Muiuts.
1 erot. 60

## Folio 286 — 1815201908:0343
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000343.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
aso. huius.
646. huius.
oll. 2
haius.
Bu-
ouius.
15.
SSL. huius.
 BL. ha-
286
LL LIP SL3
eR OPOAITIO LXXXII.
InE ABC cllipICoSaxeS AB, CD, sic aurem et alia quaeuis diametro.
Drum coniugatio, DF, F. D, Quas iUnGANEDF, F F; D L. quidem secans
axem maiorem, F. F vero miltorem: ipsas deinde DF, F F. bitariam se-
Dico 1B diametrum mtaiorem esse diametro K B.
Demonstratio.
Voniam diamerri BI, BK bilecanE rectAS FD,
LF F sectores ambo a DBF, F BF BilCCANEE
Duare cum biphxquales sinc, eriam iplorum sectores
dimidii TB D, R B F aequales crunt. sectorigicur +BD
minor est sectore RB L; ergo sector TB A mulco mi-
nOr sectoreRBL. ergo IB cpropior axi est quam
BK, ac proinde maior quâm B K. G uod crat demon.
Arandum.
PROPOSTTIO LXXXIII.
EABC ollipscoSaxes AB, C D, et alia quaevis diametrOTuM COn
Dico lineam F. II quae axehmaiorem sccar, minorem essc linca F.6,
Demonstratio.
EFI, F C dividanenr bitariam per diameErOS L. M.
TN, in I, _ R. Duoniam CTI, P F (unc coniu-
DatXidsCCEOrOS CT F, E LTI aequaleS CPUNE, aC PFO
inde ClegMentA ON E, FMHT aequalia CUNE. Ouare
L BC, L. N bisccances SubEen(aS F FI, F. C, proportio-
nalirer Esunt dim (X. ErGO ML ad IL, VENK adRI.
_ coponendo ac permucando ve L M ad L N, SIC L I
2d L. K. Sed L M Smaior esquam L. NI; ergo L. Lcriam
maior quam L. R. lam vero cum P. NV, L. M cciam L sInE
coniuoace, e F C sc ordinarim ex constr. polica ad
L N, exit LM Parallela ad B R. ob similem caulan
T. N, F. Pparallelae crunc; parallelogrammum igieur
eAt F I, I. R, adeoquC P. I, KB, F. R, E. L, xquaneur
Cum ergo LT BICMaMMiOx esC quam L. K, CriC _ RF maior quam L. R, hoc est
quam L. l. Quare dupla cius. L. Cn maioe dupla tetl. Duoderae demonllrandum.
cent diametri BGI, BIILL.
qua minorem sccat.
EF, CHI, iunganturque F II, FC.
L lD. LCd nt. C Cc taat.
LCacieura Conuns lestat lumpla Matune tunc omnium
fua GIlat AIRHIS CIAICLEOTUIM COHIUBALATUM CONVCTTUHL ExCTCML.
Demon.
e  e   e ous  A pti t u ue. u tie u  pe e  t us   te p  pete  e e a e     t  ut     t e u   e       pt e a e e   e   i p

## Folio 287 — 1815201908:0344
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000344.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
ma
alec
EL L IP SIS.
Demonstratio.
InEaxeS AB, C D d alia quaeuis diamerrorum coniu-
Satio DF, C II: inniganeurque excrema cam axium,
quam aliarum diameerorum. dico lineaS C A, AD, DB,
P C simul sumpeasmaiores esle lineis FG, GF, FFI FTF
Cmul sumpeis. Duoniam CK ips FTK aequalis cAt, F R
vero communis, ec F HI a recta maior quam F G7, erie
anguluS R RFI, maior angulo FR C ioicur e angulus
F. K HI maior eAtrectO A K C. (InE AUTEM B AR C, LR II
crianoula aequalia, quare _ F FI C es maior quam AC:
eadem modo octenditur AC linea maior ele recta R C+.
ergo F. C minima eA, _ F FT, maxima linCaFUM F FI,
AC, AD, F. C. igitur cum d F FP, F. C quadeara simul
Cumpea uncaequalia quadracis AC, AD Cmul Cumpeis,
CrunE CF TI, FC linex simul sumpre minores lincis AC,
CD simul lumpris. eodem modo ostenduncur linex C F, P. IY minores lincis CB,
BD. ergo, _c. Ouod crar demonstrandum.
PROPOSITIO LXZXV.
N nulla ellipsi est inuenire diametros coniuxatas qua lese ad rectos
LlCCCNE, PTXTCE AXCS.
Demonstratio.
IDE axCS, AB maior, CD minor et alia quaevis dia-
mecrorum coniugario B F, GII: Centrum aucem cl.
LipESSIEK. diconeucrum an gulOFUM F RG, CR F re-
ctum este: iungancur enim puneta F C, GF: Ouoniam
ER, R C duabusrectis FR, X C aqualeS SUINE, DE F C
eminor quam FOn cric angulus F. R C minor angulo
CiKF: Cuare cum eorum summa sic duobus rectis equa-
lisneurer illoru rectus est: idem de aliis omnibus osten-
dicur: igicurinnulla ellipsi est invenire, et c. Quod erat
demonstrandum.
PROPOSIFIO LZZXVI
InF ABC ellipsiS axes AC, BD ex alia quaeus diamerro
Dgatio EF, CHI: iunetisque punctis AB, BC, rectX duCAHEUE
FFL, FC.
Dico angulum ABC qui circa
minorem axem existie, maiorem
esse anguloCFH, ac proindemaxi-
mum esse omnium angulorum
qui concinentur a lineis exrre-
ma diamerrorum coniusatarum
coniungentibus.
a83. tinins.
3iea ex7.
dd0. huius
c
1. 2. Prop. 45.
lu coniu-
Demon-

## Folio 288 — 1815201908:0345
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000345.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
BFX ele-
denris.
mentis.
isituE C F H muleo minor est angulosLB C. Duod crac demonstrandum:
DA
PR OPOSITIO LXXXVII.
 el
Demonstratio.
Vn e FI linea minoE sIC aXC AC.
producacur verimque equalicer inK
e L VE LK, Sc aqualis axi AC, iun-
BaIuEque punCta F K, F. L; _ CX P de
nICEaTuE F M normalis ad L R. cric igi.
CUF K P. L. criangulum maius criangulo
GE FI id est criangulo a A B C: quare
cum inxqualium criansuloru bales AC
LK Sinc xquales, cric L. MI b alcicudo
cranguli K F L, maior IB alticudine
trianguli ABC: adeoque c angulus
AF L maior angulo ABC: angulus
Demonstratio.
Voniam tam A C quam P F paral.
Cleloprammum eAt, CrunE caIn ABC.
BCD anguli, quam R GF, GFFT duo.
busrectis xquales: quare de ansuli ABC.
BCD, simul sumpri aequantur angulis
E. O F, O F II simul sumpeis: est aurem
angulus AB C, ostensus s maior angulo
E C F, igitur _ GFHI maior est angulo
BCD: _x quia, veiam octendis al  B, ex C simul sumpei aequancur angulis C.
_ F, Cimul lumpris quo excellu AB C. angulus superac angulum P C F, codem ne.
cesC csre angulus C F H superet angulum BCD. Quoderat demonstrandum.
Corollarium.
TIncpacecansulum B C. D qui circa axem maiore existie, minimum esse omnium
Lanculorum qui hunc a lincis diamerrorum coniugacarum exerema coniungen.
tibus.
PROPOSITIO LXAAMIII.
Lliplim ABC cuiUSaXES AC, E. G contingat in B reCIA Qualau
DE conveniens cum veroque axc in D de P: excenero vero C recta
demiceatur C F parallela linca DF.
Dico DB, CF, BF. lineas eAc in continua proporrione.
273. huin5.
InE AB C ellip(eOS AXeS AC, BD: iunganturque illOFUM exFremd
B, BC, C D, D A: Sic aurem _ alia quae cunque di2MCEEOrUM CON
iusatio EF, CFI, quarum extrema quoque coniunganeur.
Dico ansulos ABC, FO F, HIF G, BC D arichmecice CAC prOpOr.
tionales.
186. bol 1115.
Denon-
 u qui ete ut e e e  u e ee e te   .   e e ne t   a           t  (     iti a  t      e e   e at   putett

## Folio 289 — 1815201908:0346
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000346.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
Demonstratio.
E L. L XPSIS.
Fnero C inceruallo A G Circu
Ius deleribatur AFIC: 8 ex P
linca demitratur D R concingens
circulum in A OCCUEFeNS F C, axi
Cllipleos in R; ductaque ex II li-
nea FIL norinali ad axem qux
per C Oroll. 33. huius cransie etiam
Per B, agacur per F normalis alia
LMN, iunganturque puncta NC
HIC. OuOnIaM LHI; MN lincae
aequidictane; crunc anguli LDB.
MOF aequales: sunc aurem eC an-
Buli BL. D, FMC recti per con-
Iruction esigitur e reliquus L. BD,
religuo MF C aequalis cAt. quare
anguli DBH, OFN ipcer lc X-
quancur. Quia aurem criangula
OTB, GMF sunc Cmilia, CFIE vE
L B ad M F) SCDB ad G F. scd ex
demonstraris in scholio quarrae huius, ve LB ad NF3 SC B F ad FN: er so DB
ad GF, Ve BHI ad F NV. quare cum anguli DBFI; GF N iam osten Ei line xquales;
limilia crunceriansula D BLBC FNY. ergo HD eAt ad BD hoc eAt HI K est ad a 6. sex sb.
BF, vE G N ad GF. e Permucando ve FIK ad GN, sic B R ad GF. Deinde cum
in criansulo DC K angulus ad C rectus sic e GII ex cenero ad concactum du-
Aa normalis ad DK, eric HIK ad OTI, ve O FI ad TI D: Sed ON, G IT EguanEUF, b8 sovt
ergo, DE K HLad GN, hoc est sicuranre ostendi, ve BF ad C F, sic GN ad DFT. (CA
ob similicudinem criangulorum ve CN ad DHI, sic C F ad DB. ergo, ve BF ad
SF, sic CF ad DB. Quod erar demonstrandum.
PROPOSITIO LXZXIA.
IIdem poliris ( C F. sic proporrionalis media inter DB, BF.
Dico punctum F esle ad elliplim.
Demonstratio.
Puncum t non est ad ellipum; occurrat ergo elliphs rectae CF in l. lupra vel
IITA F. Eroo perpraecedencem DB, GP, BF lunc concinue proporcionales;
quod terinon porest; cum DB; GF; B F. ponancur concinue: Non igitur aliud
unctum rectae GF ad ellipsim est, quam F:. Guod crat demonstrandum:
eatdoiti a
cica sacto MalttetBilliot Chlteoo daboterettao
Demon-

## Folio 290 — 1815201908:0347
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000347.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
EL + L 515
Constructio es demonstratio.
Incdata diametri coninsaCX AB, C D (cCan
ces sebitariam in F; 2ct aque per A lincaF CY
que aquidistet CD, AAE VE AF ad F. D, sC
ED ad AIT: cum F. II diuila bitariat in R,
crigatur ex Knormalis RI occurrens LCF InL.
dein centro L. inceruallo L F circulus describa-
cur P. L C cransbic hic per HI lccabicquo FO li-
neam in punctis quibusdam F de C: IUnGANEUE
demumpuncta FL, R C. dico lincas P F, F C
lacistacere pericioni. Ouoniam enim rectae AF.
ED, AFIlunc ex constructione in concinua ana-
logia, erir quadraco F. D aequale rectangulum
E AII, hoc est. F A C rectangulum. icaque C A,
D F. F A rectae in continua eriam lunc analogia,
acaproinde, erie punctum D ad elliplim: cuius
axes luncin lineis F F, F C. led e A in eadem est
cllipl, igicur ex B, C puncta, in eadem crune el-
lipa.
Porrotermini axium iea invenieneur: ductis AM, ANY normalibus ad F C li-
neaM, INVEHIATUEInEEE FMI, P. C media R O, _C IntEF FNY, P F media F. R: de
scribaturque per D, A, C puncta elliplis; quoniam CD iph AB est coniugaca, adeo.
que ad iplam ordinarim polica ex FC linea aequrdictacipli CD, crir F C tangens
b19. huius. p ellipsm AB C; Cunt aurem AM, AIY normales ad lineas in quibusaxes sectionis
L. huius. ExIAUNE; _CLaM PM, F. O, F Cn quaM F N, P R, P F concinux, igieur c ellipsis
Patet C
ABC tranlieper puncta R O: quare R ee O cermini lunc axium, quos oporruic ex-
hibere.
Scholion.
DRopositum est hoc problema a Pappo, lib. 3. Mathem. Collect. prop. 24. ac veram quidem eius
constructionem eam nempe quam ex illo nos iam attulimus, sed non demonstrat. Fredericus
Commandinus demonstrationem supplere conatus est, it a Ccribens:
PEOdUCAEUE AM vique ad P IEA VE TMI ipS NI A, Sic agualis: pEOdUCAEUE eF-
IaM AN veque ad Y vE YN sc aequalis NA: crunc puncta TY in cilipA, exiis
quae demonstraca sunt ab Apollonio in provol. 47. 2. lib. Conic. (ed. R S parallela est
ipE A T, est enim angulus in sericirculo rectus, quare _ OP ips A Y parallela
cric. Ouoniam isitur C D at AB ordinarim est applicaca gne per A ipa D C pa-
rallela ducicur, videlicet FC sectionem in puncto A continget, e cum F C sectio-
nem concingens diamerro occurrat in Ct ec AM ordinarim appliCCEUE, CFIE PeF 37.
Prim. Coni. Apollon rectansulum C F. MI aquale quadraco ex F. O vel P P. Fadem
quoque racione cum A N ordinacim applicetur rectangulum E F.HI quadraco ex
I R vel PS aequale cA; ergo O P, R S ellipsis coniusati aXeS CrUE.
Hhac Commandinus. quibus recte ostendit OP es RS coniugatos axes esse ellipsis, quae per
puncta AY Y incedit, es a linea FC in puncto tancitur: verum hoc proposirum non fuit.
Nam ad inveniendum ejusmodi coniucatos axes non opus erat ad describendum circulum
FF C. facere rectanculum F. ATI quadrato P. D aequale, ex secare L. LL bifariam inR in-
deque normalem excitare, quae congrediens cum F. C in L, centrum praeberet L. circuli F F C
sumpro si quidem in linea F. Ct centro quocumque, si per P. circulus circum ducatur, qui secet
lineam FC: non iam quidem in punctis F es ( sed in aliis quae ex F rectae emittentur an-
culum rectum continebunt, non secus ac F. F es F C, quare si ab A ad has ipsas postremo
ductas lineas, normales ducantur, quales erant AM e ANV, duplicenturque Vt A Y ex A Y,
erunt puncta quae vices punctorum T e Z subibunt in ellipsi, quae per A incedit, tanciturque
ab F C in A, axesque habet in normalibus illis, quae ex F. ad communes insectiones circulies
linea FC infinita destinancur. At per spicuum est hanc ellipsin (quod fuerat demonstrandus
a 89. huius.

## Folio 291 — 1815201908:0348
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000348.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
I. L L IPSIS
291
perpuncta C es D minime transire; propterea quod circuli centrum aliua ab L. assumprum
sit, nec sit quadratum L. D rectanculo sub F A, es alia linea quam AII contentum aequale
Itaque vt ostendatur OP es RS coniuzatos axes esse ellipsis, quae perterminos diametrorum
coniucatarum AB, e C. D incedit, alia ratio est incunda, quam in demonstratione nostra
iam proposuimus.
FTac hactenus super Commandini demonstratione
Caterum ipse Pappi rextus temporum iniuriâ nescio quid inforrunii passus videtur; ita enim
habet: Facileautem est invencis quibulcum que coniusacionibus diameirori ellipsis,
axes ciusorganice invenire. quod quidem hiac racione her. Qua verba legitimum sen
sum non habent, cum ea, quam adfert constructio non orcanica. sed omnino Geometrica sit, Vti
eam legenti satis patet: quare puto omissum verbum Geometrice, sicqe legendum: Facile
aurem est invenris quibulcumque coninsacionibus cdiamecrorum ellipsis, axeseius
organice invenre quod quidem Geomerrice hac ratione fet. Deinde addita
sunt in ipsa constructione illa verba: cum sIE D P maior quam E R: cum enim constru-
etio vniversalis sit, siue DF. minor siue maior, sive ipsi P. A aequalis ponatur, et ex nostra
demonstratione collizi potest, quodque Pappum etiam latere nullo modo poruisse certum est, fru-
Stra assumitur D P maior ipsa F R. Mirum proinde est hunc errorem Fredericum Comman-
dinum non aduertisse, praesertim cum illo assumpto in demonstratione sua, quam superius dedi-
mus, esus non fuerit: sed universalem acrulerit demonstrationem: Unde cum ex ipsa desit de
monstratio, quam quin Pappus addiderit, dubium non est. satis manif estum est eorum errore id
conricisse, in quorum manus venit haec proposirio (quae pene tota, ut existimo interciderat:) qui
eam plane iam mutilam es imperfectam, frustra resticuere conatisunt.
 et autC1.
Constructio e demonstratio s VB S.su CTEI
et
des
 ABC Cllipsis ALCS AC, BD: OPOTECAE aurem
AD; dividancur recta AB, A C bitariam in P _ F; &
per P _ F ex C cenpro rectae ducaneur G TI CFK, ocL
Currentes Cllipsin FIsK L, M punctis. dico illas lacis.
Facere propolicioni. Duoniam enim recta dux F. B, B C
aequales sune duabus lineis F D s DC (lune aurem de
ongulis sequalibus laceribus concenci incer (0 aquales)
erunc eriam anguli ad balm, F C B, Fi Cn V, adcoquo e
reliqui AC P, AG F aequales. Rursum, cum argulus
ACB sic rectus _ balis AB in F divita bitariam, s
cencro F interuallo F A describatur circulus, cransibie
is etiam per B, adcoque F A, F G linex CrUINE Xqua-
lCs. Ouare _ angulus P. A C, ae qualis angulO P. C+ A, hOC
est ACF. erxo AB. RM linex parallelae: eodem
modo ostenduntur rectae AD, HIL. Parallelae: vnde
cum diameeri HL, RM mucuas parallelas Bisecene,
CrunE commonca. quia vero angulus FICA estangulo
A C R ostensus aequalis, eric quoque HI C linca aequalis CR. ve parcc eR 1d huius. er-
80LYF, KM diametrilunt coningat e aequales. extibuimus er8o, e c. Duod exac
Faciendum.
Acis aribusinellips, aquales diametros coniusacas exhibere.
nitu dutut Ouna Cet 1.
rnaellips dasap OS CoM ald Lesuae.
Demon-

## Folio 292 — 1815201908:0349
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000349.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
aCoroll 46.
oti
CgI. huiu
I. huius
Seron. l. 2
rop. 45.
1
E L. L. IP5 L5
Demonstratio.
lE ABC ellipiis cenerum D ec in ea dequales dia.
MCErI COnIUGAEX F D, F D: dico alias diamiectOS COn-
ingacas e aquales in ea exhiberi non polte: sinc enim, (1
Pocestheri, Praeter E D, FD diamerros; alixe aquales et
Coniugaca GD; TID: cricigicura V D I sectori aequalis
sector EDFT. Ouod herition porest; nam CD; HD
diamerri cum linc ae quales necese est inaiores vel mino-
resillas esse diamerris F D; F D, adeogi ambas simul ca-
dere supra vel inFra diameErOS F. D, FD. IGIEIIE PPRTCE
F. D, FD diamerros coingaras aequales, nullas alias xequa-
les in ellipsi est exhibere. Juod erac demonstrandum.
PROPOSITIO XCILI.
ellipsi requales dIAIEHL CMMaSaEa Simul CumpEx; maximx lune
omnium diamerrocum Ciugacarum simul Cumpearum.
Demonstratio.
Inc AB, CD diamerri coniugacae aGuates, HC alcetm
ec alia queuis diametrorum coniuisatio F. F, ( Ll: dico
diameeros AB, C D Cmul sumpeas mdiores ese diame.
eris PF, C FL Gmul sumpeis: cum enim sCCtOFCS ARC
GR F b. Snc incer se xequales, necesse est unam coniura-
carum inaqualium (AER F) axi viciniorem esse verauis
aequalium AB; C D: alceram vero IIC; remotiorem
vride c ex quaruor diamectis P I’maximas. et OF
minima cAt. lunEauTeM R F, OFI d quadraca simul sum-
Peaaqualia quadracis AB, C D amul Cumpeiss ixitur AB,
CDlinex Simul sumpex maiores c quoq: Tunc lincis R P,
C. HI simul sumpris: Ouoderac demotistrandum.
eR O POSITTOXCIV
Inex gux extrenia damerrorum coniugatarum aequalium coriun.
c ab axibus Mlariam secattur.
Et A: E l
12SSLEL. NI , EL II. 1
s. u. emonstratio.t
Inc AB. CI diamecriconingace aequales, innoaneu
queillarum exttema AV. AC, C B, DB. Dicoillas
ab axibus bifariam secari, divisa enim A D bitariam in
F, AGaEUE(PEF F CenErUM P F C NCCUEreNS C B rectae
in et. Duautequidem orso AB, C. D ponancur ae quales,
harum dimidia AE, DdB, eriam (UME aqualeS. XqUanEVE
aurem ex const. similiter A F, D F. leaque in criangulis
A F F, D F F cum F P sic commune, omnia lacera sibi in-
nicem aequantur. ergo anguli ad L equales, adcoguere
Etii ∞ angusi quoque F F A, F F D, aequales. OuarO an.
suli criam GF C, GF B prioribus ad verricem oppo.
BEi RqUaNEUE. CunE vero lacerarurIum CF, F B xqualia
ex F. C communeverique triansulo (EC, G F. B. I8i
CUIX
o   s    e  pue e ee o eus   ut. u fut us e ua   pet . ee e  u  1  i t t. e  t     et   ete e i i te   . e     e  p pu t ul 1

## Folio 293 — 1815201908:0350
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000350.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
r
E. L L. I P S L3.
293
t_E C C, BC aequales, e anguli ad Ci aequalesadeoqueredi. Cum ervot uas
AD, C B, (qua per r9. huius lunc parallela) bitariam ex ad angulos rectos iccel, dAIs
est. secancur igitur ab axe bitariam recte AD, CB excrema coniuracarum aequa-
lium connectences. Fodem modo ostendemus religuas duas AC, BD ab aXC FTY
bisecari. constar erso reritas propolicionis.
PR O POSITIO XCV
Ilinex qua extrema coniugatarum connectune, ab axibus secentur
bitariam:
Dico diametrosillaseseincer se aequales.
Demonstratio.
DOnacur eadem fgura guXe priuis, sinEque AD, CB, AC linex, exrrema coniuxa.
carum connectentes in Fet _ K bitariam ex ad rectos divila axibus TTI, F C. di-
coAB, CD, diamecros coniugaras elle inter se aequales: cum enim AD, C B pei
29. huius sinc parallelae ee ex hypochesi ab axc in F d Cbilecentur, arieuli ad F recti
sunc, de lacera duo AF, F P aqualia Cune laceribus DF, F B; reliqua igicur lacera
AF, F D quoqueinter se aqualia. similicer ostendam C P; P B ae quales. vnde _ COTE
diamerri AB, CD aequales. Quod Fuic demonstrandum.
Corollarium.
Ine pacexlinens, quxe inaqualium coniugaearum excrema coniurigune, nunqua
ab axibus auc alia quauis diameero bitariam es ad FCCOS LCCaFI.
PROPOSITIO XCVI
Inearum que exerema coniugatarum guatumurs contungune; illa
aIa CICQIa Coniugatas aequales connectens, axemminorem le
cari minima, quae maiorem.
Lbonstabteo
RTNC AC, bD atCG. CIHBLCOS,AB C
coniusaca vero aequales. FC, FII
iunetaquo FII maiori axi occurrac in
R: e HC minori in L. dico FTC li
neam maximam esse illarum qua cu
inscunque coninsacionis exrrema con.
iungune, e FFF minimam. Fiac enim
juxuis alia dismerrorum coniugatio
MR. NO. quarum exrrema iunsane
MIN, NR, quibus in O ex S bilectis
ducancurper centrum ZOP, VSI.
Duoniam ergo FC, TTI sunt coniuga:
+x, sectores EFBHI, aP IIC Caquan;
cur. Eroob scomenca FBII; IIC C ∞
qualla linc. Ouare, eumi axes BD, AC
etiam bilccentc rectas FII, IICi, quae
aequales coniusatasiungunE, CrUnEaKES
ipsid in R de L, proporcionalicer lecti, L. et Le1N
Ergo c rectangulum BR D aequalc est
quadrato L HI. simili plane discursu ostendemus rectangulum PO L aequari qua-
araro NS. Deinde quia Esectores M F. N, FPHI aequaneur, adeoque B lesmenta = Coroll. 46.
0
nus
2 46. Buins.
B 60. hroilis.
C9+. huins
53. huint
74. hain
LL L Ll1B60. Lotorrio

## Folio 294 — 1815201908:0351
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000351.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
5I. huius.
20o huia
L. L IPSIS
At P NS F B TE, TUINEGUC AMIBE F FT. MVI
bisectX in R ee O, CrUNE+DB, X P
proporcionalicer (ecta in K et O; led
DB axismaior es quam KP. Ergore.
ctangulu BK D, hoc eA, veance osten-
di, quadrarum HIC, maius estrectan
gulo POZ, hoc cst quadtatO NS.
Ergo recta FTL maior recta NS. sed
HIC dupla cA iphuSHL, veance osten-
dis _ NR ex const. ipsuS NS dupl 2
elt. crgo HIO maior quam NR: quia
aucem N Rb maior est qua MNI; exie
HIC criam maior quam MN. Fodem
modo ostendemus FTC maiorem esse
quarumuis aliarum coniusatarum ex-
crema connectencibus. ergo HT C est
omnium maxima. quod cracprimum.
Duod aucem PEI sic omnium mini-
ma, discursu plane simili demonstrabi-
mus. Cumacur enim guauis alia diame.
ucm erorum coniusacio MI R, N O, ec cade,
quxe suprâ estadhibica, repecatur constructio. eodem modo ostendemus quadracum
FR nmus elle quadrato MO, d ectam FK minorem recta MO, ac proinde
FFT minorem quam MN. CH aurem CR N maior quam MN. ergo L HI criam
minor est quam N R. Regue ica demonstrabimus F FIminorem esse guarumuis con-
iusacarum extrema connectentibus. Omnium isitur minima est. Ouod erat secundo
locoostendendum.
e ROTDSITTOZCVTI.
reisi
Oniugacarum xqualium exerema coniunsentes simul Cumpexe mini-
me lunc omnium que quaunq; diamceros coniuzacas coniunsunE.
Demonstratio.
ac in A DC ellipK contUSAEa a qualeS R F, O FI. POna-
cur decem ee alia quanis diamecrorum coniurario, E F.
CH. dico Aneas gua exerema coniugacarum equalium
comingune, limul sumpeas minores esse lineis qud extre.
maalcerius commsarionis connectune. sunc enim F O, C F
quadraca equalia quadraris A B, B C, insoper dE F C li-
nea conneclencium minia, de FC maxima per PEXCC.
dencem. SIEUE C F G, C F lineae minores lunc lineis AB,
BC; eodem odo ostenduncuE F FL, ETF linex minores
lincis AD, DC: igicur linex, exc. Quod tuir demon-
ict
eROEOSITIC
ZCVIII.
IHC ABC CMpICDS axes AC, BD de F F vita
ex diamerris coniugatis xqualibus.
Dico quadraca A K, BK lirnul sumpra esse dupla quadrati E. H.
683. teninr.
cxbido
Demon.
trandam.
e e   p su ate  t ti  e te  e e a e  u te u e et t t  e  e e  e   s    t  t ue  site u ite   te  e p t et e  e      i it pr t ul 

## Folio 295 — 1815201908:0352
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000352.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
F L. L. IPSYS.
Demonstratio.
Veatur CFT alcera diamerrorum coniugararum x
qualium. Ouoniam AC, BD quadeaca a limul sum-
Oea e qualia (unc quadraris EF, GTTCmul Cumpeis, crune
ec quadraca AR, BK Cub dimidiis axibus, a qualia qua-
draris B K, CK lub dimidiis diamerris x qualibus; lune
aurem F. K, CK quadraca inter se aequalia, ixieur qua
draca AR, BK simul Cumpea duxla fUME quadrati E R
Ouod crac demonstrandum.
PR OPOSITIO XCIX
Apollonius l. 3. Conic. prop. X6. huiusmodi habet cheorema: 
ellipsim tansant AP, CF, convenientes in F, ex sumpro in
sectione puncto C ducatur O FI F rancentium uni parallela
OHIF. eris rectaneulum C F. A ad quadratum B C, vt qua
drarum AF. ad quadratum C F.
Verum non similitudo tanium rationum sed sariorum etiam equalitas reperretur si ran-
rentes a diametrorum coniueatarum aequalium ductae fuerint.
Elipleos diametri coniug aEX aqualeS sInE AB, C D, in quatUM FCF-
minis A, C, elliplim cangane dux recte conveniences in F, lialcetu
eri ducaneur quoruis parallele C HI orune rectangula C F H quadraris
FC aequalia.
Demonstratio.
Voniam C D eA diameter coningaca diametri AB.
Leric ad iplam ordinarim polica: ergotangenti AF.
Parallela eAt. Eodem modo AR cangenti F C parallela
Cst. AigurA IBITUE K A P C est parallelogrammum. O u2-
re cum AK, RC ex hypocheli sinc aequales, etiam AF,
CP aquales lunciae quancur isitur quadrata AE, P. C.
Aequi est requadracum AF 2d quadracum L.C, ica
rectangulum GFEC ad quadratum FC, erzorectan-
lum CFFP quadrAIO FC aquale eAt. Quod erac de-
monctrandum.
Erquoniam Theoremaillud Apollonii iam habemus
in manibus, etiam hoc addo quod similiter Apollonius
non videtur ob scruasse: nimirum E ductis cansencibus
AE. C F, iungancur puncta concactuum A, C, rectan-
pula OFH, quadraris R F aequalia esse.
Onomam F K, A F. CunEPar: HLCla,
criangula AR C, RFC Smilia PONC. CE-
SOVE AF ad F. C, AC RF ad FC. Cr.
s0 vequadratum AE ad quadracum
R C, Ec quadrarum RF ad guadracum
FiC. Sederiam requadracum AC ad
quadracum L C sic rectangula G FHI
ad guadeacum RF. Erpo quadeacum
KF X rectangulum O F II ad qua-
dearum PC, eandem habene ratio-
nem; aequancurisicur. Ouod crat de-
monstrandum.
hrins

## Folio 296 — 1815201908:0353
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000353.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
L. L. IPSIS.
R O POSITIOC
Ine AB, B C diamerri conius Alx inxquales, et ex A recta guauis
ducatur AD Sccans elliplim  D; cui ex C porallela ducatur C F
Demonstratio.
DRimo cadane parallelx ad eandeni partem ellip (eos: Du-
cancur rectx linex P. A; D C. Ouoniam AD, F. C linca
Sibimucuo aequidistanE, CruINC = lEGIENEA P AS D C in-
cer se aequalia, adeoqueb AB F; DB C sectores aquales.
addito igicur communi ABD; crunt F BD; ABC sC
ctores incer se aequales. quare cum virius sectoris larera
B A, B C sincdiameeri coniusacx, cciam alcerius laFeTA F B,
BD sunc coniugacX
Sccundo cadant AD, CF parallelae ad parres elliptis
opposicas: producancur semidiametri AB, D B in HI e
T iunganturque puncta HIT. Ouoniam AB; BC TUnECOn-
ugaca eric csectot A B C quarca pars elliplcos, led AFI dia.
merro dbisecar elliplim, adeoque porrio ACII, dimi
eium est ellipscos. Freo AB C sector dimidius est lemi
ellipseos AC FT. ac proinde aequalis sectori C BII. quie
durem YFT per rg: huius est parallela ad D A. cui exhy-
Pocheheciam C P est Parallela, crune IFI. C P incer (o
Parallele. ergo setimenta c CI, F FI adcoque de lecto.
resFC B I, (sB F. xquancuriaddico isicur communi LBH.
sector IBF aequalis est sectori C. B FI, hoc est, re iam
ance octendi, sectori AB C. quare cum sector ABCS AF
quarca pars ellipleos, sive dimidium lemiellipleos; eriam
sector PB F erir dimidium semiellipleos, hoc est portionis
TF D, quam esse semielliphim pacec ex C oroll. a5. huius.
Eroosector TBF hoc est lector ABC eqvalis elt lecto-
ri EBD. Duare cum AB, BC sinc coniusatae, ctam
DB, E B erunc coniugaca.
Sintiam AB, C B, icem, F B, DB diamerri coniugata iunganEUrGUE AD, F. C.
dico AD, P C lineas ese parallelas. Sin vero; ducacur ex A ipA F C paraHlela AF
innoancurque F B: cricisitur IB diameter consupara ipli F P persecundam pais
cemhuius: Ccd DB per constructionem coniugara est diamecro F B, ergo cidem FB
plures diamerri unc coniusarx. Quod herinon porest. isirur AF non a quidistacipu
P. C. idem ostenditur de quauis alia. ergo AD sola parallela eAt recta F. C. Quod
crac demonstrandum.
eR0P051I1O Ct
le in AD C empCasasCetum B guauis diamectorum Contugalio
AB, BC: iunetisque punctis AC, lecer AC lineam in L Mlaierer
quaecunque BD, cui coniugata ducatur BF, ductâque linca FD secet
AB diamerrum vecunque in 6.
divilas.
LUNGANEUFE C B, DB.
5I. huit
huin
C46. huius
1Coroll. 45.
huius
BicO E B, DB diametros eAc conivsardS _ CONETA.
Dico AC, FD lineas, vei ec BD, AB in F. et C proporcionalicer esse
Demon-
o

## Folio 297 — 1815201908:0354
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000354.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
est
ELLIP S1S.
Demonstratio.
Voniam eam AB, BC diamceri quam DB, FB
Lconiusacxe lunc, sectores ABC, a FBD aquales
erune: ablaco isitur communi ABD, XqualeS MAMCnE
DBC, ABF sectores. rnde BD, b AB linex, icem
AC, FD in P. de C proporcionalicer sunc divilx.
PROPOSITTO CII.
IIdem posiris:
Dicoiunctas AD, FC aequidistare.
Demonstratio.
DErpraecedentem lectores DB C, ABF OCENS suinE aquales; leSmenta lGIEIE =s0 hudur
DE, CAF quoque inter sC aqUanEUE: ergO AD, FC slinca xquidictanE. Ouod dsr. huinos
rac demonstrandum.
PROPOSITTO CIIL
ECCE ABC ellipsim quaenis diamerrorum
Dconiugatio AC, C D: Sic aurem de alia diame.
trorum coniugatio, FF, OF que iunctas AD,
AC sccet in II _ I:
Dico essere AHI ad HTC, SiC DI ad IA.
Demonstratio.
YCaTUE F G quE AF sCCCE In R. vE A FT ad HIC.
AC FK ad RC: LCdVE FR ad RC, GC DIC est ad
AI, ipirur ve AH ad YYC sic DY adt AI. Ouod cxat
demonArandum.
PROPOSITTO CIV
Ecet ABC ellipsim dia-
meter quacunque BD:
sIE aurem _ F F G, ellip(iS (i-
milis e aqualis ellip(I AB C:
quam secer quaeuis alia dia-
meter FHI: dein BD, FHI
diameeris proportionalicer
diuisIs in LR RL, aGAREUF PCF
I_I, ordinatim lInCx AC,
F O: Cquarum extremitatibus
ducantur semidiametri AL,
CL, FM, OMI.
DICOAL C, E.M C criansula esse requalia.
aCorol. 46.
661. hovino
2. Hit
Demon-

## Folio 298 — 1815201908:0355
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000355.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
Demonstratio.
Plamerro BD coningaca d
CaTUTNO, _ FHI diametre
PC. Tangancurque ND, PHI
Duoniam diametri P D, F FTeam
in lK quam L MI proportionali.
cer lunc dinila, erie rerectangulum
BID ad rectangulum BL D sic
FK HI, Tecangulum ad rectangu
lum IM FI: quarc requadratum
AI ad quadracum NL. lic qua-
dearum FK ad quadracum PMt.
e ii AI linca ad lincam NLsC
ad FMI id est M H NItur ve criangulum NE. D ad criangulum AIL, (IC PMH
criangulum ad criangulum P RM (quia ex iisdemillorum raclo componitur:) d pers
mutando ve DTT D criangulum ad criangulum PM II, Sc AIL criangulum ad erian.
SUlum ERM. ICdNT D, PMEI criangula Tunc aequalia, isIEUIE AIL, PR Mcrian-
suta, adeojuCEOTa AC L, F: CM equancur. Quod erac demonstrandum.
F CC A B C ellipsim aUa MIaIHCEEorum coniusariones AB, CD, EP,
LOHI, domnes quatuor dlamerri proporrionalicer (int diurilx in l, I,
M, L panictis, per qua ordinatim ducaneur linca NO, PO, RS, TV.
Dicoquadraca LVO, PO simul Cumpea aequari quadraris R S, TV
Cimul Cunpels.
Demonstratio.
Voniam eam AB, L. F, Idam CD, FTO proporciona
licer sunc divisx, etA ve A B quadratum ad rectangu-
lum ATB, SiC FF quadrarum ad rectangulum E L F.
e quadrarum CD antectangulum CRD, _ IICqua-
dracum ad rectangusum FIM C. Ex ijsdem enim racioni-
buslingulae quadratorum ad rectangula proportiones co
ponuncur. Pgicurve AB, C. D quadraca simul sumpea ad
rectangula ATB, C RD Simul CumPCA, SIC guadEAFA F F
CFT Cimul sumpea, Cum ad rectangula R I. F, IIMC P
mulsumpra: ex periturando ve AB, CD quadraca ad qua-
aald LF, G TT, AC ALB; CKD rectangula, Cunc ad re-
etangula R L P, AIM C. hoc eA a Quadraca PR, NI ad
quadrata 5L, L A. LCd AB, CD quadraris cmul Cumpris
74. huiris.
FR ad PN: Sed eriam est per constructionem ve TF ad B L, id est L. D, sICRM
PROPOSITTO CV.
b77. hujus. B Xquali2 TUnE quadrAEL F F. CFF Snul sumpea; igicur de quadracis NY, P F X9V2-
lia lune quadrata S L, TMI: ergO NO, P O quadraca simul sumpea xqualia sunE
quactacto dRitV. uda latcema.
   i  u e  e e e e e e e ete e e e   t e a   te tete ae e t te    ut ete     e  e e      es  s e e t te   e t. e pe  1  e1

## Folio 299 — 1815201908:0356
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000356.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
EL LI P SIS.
PROPOSITTO CVI
Ecet ABC epl quems ciamerrorum coningario C.B, l.t, qui.
us ploportionalucer dinilis in O ec P: ducatur vna ex diamerris
Comuraris aequalibus AS que dividarur in N, ve C D est diuila in O.
per NOP rectae ducantur ordinacim GFI, II, L. MI.
Dico IK, L. MI quadrara simul sumpea esse dupla quadrari OFI.
Demonstratio.
Veacur altera conusatarum aequalium OR, qua limilirer diuisd in L, ve SA
est in DY. _ CD, F F, in O ∞ P. per punctum Z ponatur ordinacim V T. quia
igitur O R, AS sun xquales de similicer secte, rectangulum (Z R RQVATUEKC
Ccangulo ANS. sed rectangula OZ R, ANS axequancur quadraris GN, I L. CF - ∞
 hadis.
205. BH-
30quadraca CNI, T L adeoque d quadrata GII, TV aequalia Tunc. sed quadraca ins.
ME, IR b aequancur quadratis V T, CHI. ergo quadrara M P, TK dupla Cune qua-
draci GFI. uod erac demonstrandum.
PROTOSIIIO CYI
NECeNE ABC ellipsim dux diaCETOTUM COnIUSATIONES AB, CD,
DEF, GHI: (IEquE AB maxima e P. F magnicudine secunda.
Dicorationem AB ad P. F minorem esse ratione CH ad C. D.
Demonstratio.
roniam AB, CD quadraca simil sumpea aequalia
a Guadracis F F, CTI limul sumpris: non eAtve
AB ad F F, siC GFF ad CD, nam eunc quadraca AB.
CD maxime e minimx maiora essene quadratis P F,
CFI. hacigieur ve AB adt F F, ScOHI ad CI: crune.
que AB, C I quadrata maiora quadratis F F, G FI, hOC
est quadracis AB, C D. quare C P linea est maior rect â
CD,ex rario CTI ad C D; id est ex constr. racio AB
ad F. F minor est catione CH ad C D. Duod etut de
monctrandum.

## Folio 300 — 1815201908:0357
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000357.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
9. DC
islo
b77. Mottis.
L. LIPS
30
Constructio es demonstrario.
Inc ABC cllipis axeS AB, C D: Cenerum F: racio
vero daca maiOrIS A minus E ad C, quam non ma-
iorem esse oporcecratione axium AF, P C. C rario da-
ta aqualis est axlum racioni; res pacec: sminor, luman-
TUE HLT, TK lincx, tectis AE, F C equales, ponan
curquead ansasum rectum HIIK: ductaque HK, e
divila bitariam in L, cenero P inceruallo L. HI circulus
deseribacur FTIK qui cransibic per puncta Lex K, in
Segmento dein HTIR inclinentura dux linex HIFK ha
bences datam rarionem F ad C. Ouoniam igiturFIM
eAtiad MR vEF ad G7, eAtque rario F ad C, minor
ratione axium, hoc est ex constr. rarione TIL ad TK,
pacet punctum MI cadere incer L _ FI, adeoque re-
etam FTms minorem quam FTI, hoc est quam R A, rC.
etaM VeTO MI K maioreni quam IK hoc eA quam P C
centroisieur F inceruallo FIMI, descriptus circulusle-
cac elliplim in puncto aliquo NT inCeF A _ C, duCATIF
igitur diamecer NF, eiq; coniugaca R O. dico NL,
OF diamecros sacistacere pericioni. Juoniam quadra-
tA NF, O F b sunexgualia quadraris AF, F. C hoc est
FTI, TK hoc est quadraTIS FTM, MIR S SICAUECM ANF
lincaxqualis recta FTM. Crit _ OF linea xqualis li-
REx MK. IsIEUT VE AIM ad MR; id cA ve F ad 6, IC
Demonstratio.
PROPOSITIO CVIII.
N daca ellipli diamerros exhibere coniugatas in darararione.
NF ad OF. exhibuimus ergo, eec. Ouod cracFaciendum.
P R OP OSITIO OIZ.
LECCE A C D elliplim guauis diametrorum coniusario AB, BC. a(-
aCumproque inperipheria puncto quonis D inFeF A _ C, aGAEUF PCF
D contingens EF, quae cum AB, B C lineis COnCUETAEIN F. _ F, cud
percentrum utut aa 2.
Dico DF, BC, D E. lirtedsete Ia conrinua analo 8la.
Corol. 60.
: 102. hs -
crune similia, ac proinde DF cs ad BC, ve DH 20
niam ex hypothes DF, BC Tune paralleIX.
riangula DF LL, BFTC, re ex elementis paret
FIC: hoc est verriangulum D HB ad crianguluBL1C
Deinde, quoniam B C percencrum es eangenti DP
Parallelas liquer cam coniugacam ese diametrum ipli
DB: Cunc vero extiypocheli etram AB, BF conivga
tx. Ergocsectores BDCC, BADC, adcoque d es
criangula BDG, BA C aequantur: Ouorum bales
DO, AC, cum cproporcionalicer sinc diuila in II d I,
sc xquulla. eCum priusoctenderim DF esc ad BC
DE D FT sic ad FTG, Sicur C T est ad IA, ConstAE Ex
elemenris triangula BFTD, BTC _ BFIO, BIA el
  

## Folio 301 — 1815201908:0358
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000358.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
A0
B
EL L IPSIS
30+
vecriangulum B HD ad eriansulum BFTO, eric quoque D F ad B G, verrianou-
lum BEC ad criangulum BIA. Vicerius cum criangulum BHIC sic ad criangulum
BFD, ve OHI ad LTD, hoc esta ve AI ad TC, hoc est ve KI ad LB (cum enim bili
C B sic coniugaca ip(i AB, _ AR, ex constructione tangenS, PatCE AK, CB esse
Parallelas) hoc est vecriangulum A TK ad criansulum AIB: eric componendo
criangulum BDC ad criangulum BITD, vecriangulum A KB adcriangulum A IB:
e permucando criangulum BD C ad criangulum A R B, vecriangulum BHTD, hoc
est sicur ance ostendi, vecriangulum BIC ad criangulum AIB. sed criangulum
ARB eAtberiangulum F. DB, ergo criangulum B D C est ad criangulum F DB, b7r. huins.
hoc est, quoniam E, D, B C sunc pacallelae, B C est ad F. D, ve criangulum BIC ad
criangulum AIB, hoc eAt sicur oltendi supra, ve D E ad B Cn. Luncisicur in ratione
Continua D F, B C, R D. Ouod erac demonstrandum.
PR OP OSITIO CX.
IINE AB, BC diametri quaecunque coniugatx, a sumproqi in peri-
pheria, incer A ex C puricto quovis D, agatur per D concingens,
occurrens AB, BC diamerris in F _ F, iunctaque A C occurrar diame.
ero DB in C.
Dico rectam DF ad DE, rarionem habere duplicacam, eius quam
hrabet CG ad C A.
Demonstratio.
)Veacur ex B linca BF parallela ipA B F, _ CX B
recta DII ocCurrenS FB linex in P. crunc igitur
Perpraecedencem, concinua FD, BFI, F. D. adeoguera-
cio FD ad E. D, duplicaca racionis FD ad BFI, id cA
DI ad IEI, quia DF, BFI per constructionem aequidi-
Ranc: rurlum cum FIB recta aequidister cangenti DF,
erune DB, BII diameeri coniuratae; Cunc aucem Cx CON.
Aructione criam AB; B C coniloaca, igitur c ve DY ad
TFT, AC C G ad G A: quare _ racio FD ad DF, dupli-
cata estracionis C C ad C A. Ouod erar demonstran-
dum.
eROEOSTLIO BAL
VIncAB, BC diametri coniugAEX _E per A _ C FANSenFES aUCANEuE
DE, FC. Cc aurem ex alia quaeuis diametrorum coniugacio fLI, I L
quae producta OCCUTaEtangentibUS DP, FO in F., F, D, e
Dicolincas D F, FC in A e C proporrionali-
cer esse diuisas, nimirum esse E A adt AD, VE GC
ad CF.
Demonstratm.
nis R M ad MHI, _ GC ad C F, duplicata est racio-
nis IN ad ER. Aequi ratio RM ad. MH aequalis clt
cracioni IN ad NYK. ergorationes F A ad AD, eCC
adC Faequalium cacionum duplicataes lunt aequales, pro-
porcionalirer ergo secta sunc DP, C F in punctis C A.
Duoderac demonstrandum.
rCaHTUE LinCX FIK, R T quae rectas AB, DC UCCM
In N ex DY. RaciO E A ad A D d duplicaca est ratiO.
hic

## Folio 302 — 1815201908:0359
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000359.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
2
2o 2. 22C d l30
Corollarium.
ec P, dico tore OK ad R P, HL. A ad AD. quod ducta rectâ A C codem modo
LEagUE CrES tanS CCS D L, OP, FC similitee sune divila siC VE P. A sit ad AD,
sicur OK ad L C, d C C ad CF.
lk0105111C CAI1.
InEdux diametrorum COMS ALIONeS AB, BC, F G, DE, aganturquo
Sper A _ C tangentes LLLs LL L, guae F C, D F. diameeris occurranE in
quo vu lumus demonstrabieur.
Vod Rper K ducatur certia eangens, conueniens cum B A, B C coniugatisin D
FI, I, RE, L. punctis.
LXIO. B1
Dico este ve BC ad B A SIC FTI ad R L.
Demonstratio.
Voniam recta B C xquidistat recte
LHLL, SER E linca ipS AB, CrunC
eam TIA, BC, AT quam RC, AB,
CF linex in concinua analogia. cum
CrgOAC VETTA ad AI, prima ad cer
ciam, (C= K C ad CL, prima ad cer-
ciam: cric criam ET A ad B C, prima ad
secundam VEKC est ad A B, primaad
secundam: quare permucando est FI A
ad KC,ivc B C. ad AB, cum igitur
anee ostenderim FY A eAc ad AL, vE
KC ad CL, adeoque invertendo.
componendo, ac permurando: HC VE
FTA adRC, ACHIF, ad RL, CrIE DE
BC 2d B A, it2 HTI ad RL.
Corollarium.
Odemmodo ostenditur, siper P axdl tanxens quae cum AB, BC conveniac in
Inedux diumetrorum coiugationes AC, BD.
a EF, FC: actisque per Fd Gtangentibus qua
diameeris AC, B D occurrancin FL, I, L, M. duoa,
EUFrecta F C: secans B F diamerrum in R.
DICOLK, H F, R L lineas ese conrinuas.
Demonstratio.
P _ 9 eAle ve BC adBD, scHI ad PC.
P R OPOSTTTO CXITI
oniam LiE, repore conugata ipU L CGaa
LFANGENEI ZG, CrIE L R ad RF, vE OR ad RF
Smilicer guoniam F O repoce conivonca ips R F, paral-
Iela AEEaNgENEI F I, CA VE GTR ad KF, SIC K E ad KF.
sicur vE L. K   Duod exac demonstrandum.
R
p e eis estu s   s qu es s e  e ste e  e e  tete e e s  t e te  1 e  te pe 1 t .  t  1 e. e te .  ste e  u te        s e s A. et    11 11 11

## Folio 303 — 1815201908:0360
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000360.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
atd
20
IIdem posiris:
E L LIPSIS.
PROPOSITIO CXIV.
DiCOIHE, L M E criangula cMexqualia.
Demonstratio.
VCaTUE ReCta AB quX F P lineaM seCCF In NV: ex ex B reCtX duCAHEE RO; FP,
normales ad lincas FII, LM. Quoniam I. Mlinca a. quidictac ipEF P (est enim
LM cangetiS, d FP. coniugaca ip A F. C) erir angulo F F C xqualis angulus F G P.
eodem modo eric angulus OFF. aqualis ansulo F P C. quarc anguli OFP, F, C P
sunc incer se xquales: sunE aurem F. P G, FO F anguli recti; isicureriangula P O P,
E FO similia. quarC VE B C ad F F, SiC P. P ad P O. sed est a VE F C ad R F, AC FTTa HO. ha-
ad LM. IBIEUE VE P P ad OP, Sic reciprocd HII ad L. M. ergOPHIE, L HIMcrian- ino.
Bula lune xequalia. Ouoderar demon ctrandum.
PRODOSITIO CXV.
IIdem positis criangulum E. G MI, criangulO P FL, _ F. C. L. eriangu
lum, criansulo FF H xquale clt.
Demonstratio.
SCenimbrE HF ad FT, AC L G ad GM, _ ComponendODE FTL ad FP, SICL. MI BMI. hnim.
ad OMI: sed estve ETI ad FiL, Sic FTTF criangulum ad criangulum EIF, e ve
TM ad OM, SIC P P M criangulum ad criangulum F GM; igITIEVETITE crian
sulum aderiangulum FPF, SIC F L M criangulum est ad criangulum F CNI, d Per-
mucando ve FIIF criangulum ad criangulum R LMI; Sic F LL criangulum est ad
criangulum F GTMI. quarC F PF, F. CMI criangula sunc aqualias eodem modo
octenduncur reliqua F. C Ius II F P aequalia.
PR OPOSITIO CXVI
T elliplim AD C dux secent diamerroru coniugationes AB, BC; F. B,
BD: aGanTIITGUC PEF A, F, C. contingentes FC, FY I, IEL que diameeris
quidem E B, BD occurrat in C, IE, F, L. diamerris vero AB, BC, in HI e I.
Dico criangula FGB, HBI, X L. B esse inter (e xqualia.
Demonstratio.
Am eriangulum BPF caequarur criangulo
BRC; hoc est per TIS. huiuscrianou-
l0 BF A: de criangulum BHE, d aquaTUE
riangulo C AB: ergo criangulum torum
BTFI aequatur eori BF G. quare cum eriam
iGB. EKBL aequalia linc, liguer eria crian-
suta este aequalia.
er 0105111O CXV
im cpicos ale alametriconusa-
Dex AB, BC; e ex puncto aliquo
inter A e C atumpro, (cilicet D duca-
TUT TANSCHS D E coniugatis AB, BC
c70. huins
uato
prO-

## Folio 304 — 1815201908:0361
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000361.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
ELLIPSIS.
productis occurrens in E _ F. deinde ex cenero B ducarur BG, ipSIF F
Dicopunctum C eAc in Peripheria ellipleos, cuius diamecri coniusa-
Demonstratio.
IXcencro ad concactum dueacur BD, ex quia C B ex
Chypochesi est parallela cangenei LD, eric OB ordi-
nacim polica ad BD, _ quidem ad centrum. vnde BD,
OB sunc diameeri coniugacx. iunsantur deinde AHIC
et DE, ex C duCatUE CK paFalIela ipH AB, Oc.
CurrenS BD procracta in K: qua sectionem in C
concinsit, crirquore AHI ad TIC, ita BHI ad TTK:
sedre AII ad FIC, ita est AB FI criangulum aderian
sulum HBC, _ ve BHI ad FTK, ica est criangulum
HIB C, adcriangulum HC R: ergo vecriangulum ABII
ad ipsum FTB C ica est criangulum FTB C ad criangu.
lum FICK: erro componendo, ac permurandocrian-
sulum AB C; ad criangulum BC R cst. ve. criangulum
BFT C ad triangulum FIC K, id est re iam oltentum, ve
criangulum AB FT ad criangulum FIBC, id est velinea
b Pares ex Sulum AB C. ad criangulum BD F, VE AFI ad FIC. Vicerius quoniam DF, GB
olemensis. Lune parallela, eric criangulum b G DB, ad DB F criangulum; ve GB, ad DF:
sed, quoniam ex hypochesi FD, GB, DF sune concinux, ratio GB ad D F,
crog. hy. eH dimidiacarationis F. D ad D F. Frsoracio crianguli C D B ad criangulum DBF,
dimidiara estrationis F. D ad D F. Aequicracio AEI ad IIC, hoc est reostensum
supra, ratio crianguli ABC ad criangulum DB F, dimidiaca quoque est rationis
FD ad DF. crootriangulum GDB est aderiangulu D B F, vecriangulu AB C ad
idem criangulum DB F. aquantur igicur criangula CDB, AB C. ergo e parallelo-
erammum concentum semidiamerris, re supra ostendi, coniugacis, CB, B D in angu-
aeacaex lo OBD aequacur parallelosrammo concento sub semidiamerris coniugatis AB.
2 huimo. B C. Ergo spunctum C eAt ad ellipuim. Quod eras demonctrandum.
eROPOSITIO CXVIII.
Inc rursum binae diameeri coniugare B A, BC. FF sumpeo inperime.
Vero ellipsis puncto D inter A, ac C, tangac elliplim F F in D, Oc.
currens diameeris in P. de F. Deinde ex centro B ducatur ad perime.
erum BC parallela tangenti.
DicoFD, CB, D F eseinconcinua analogia.
304
aquidistans, (EGue G D IHCdIA INECE F LD, DF.
Ex AB, BC, _ TangCIIS LV.
2 30. huius.
Demonstratio.
FHOI HC AIIGA L B MHIOT VeI MaIOI quam CB media inFeF F. D, DF. FreO
ver praecedentem punecum L estad elliplim. quodtieri non potenteum ex
Docheli punctum C ad ellipsim existar. Nullaisicur praerer CB media estincer BD,
DF. erSOF D, CB, D F sunc continux proporcionales. Duod erar demonstrandum.
e e e  e  e i. 1 st e  e  e t  et  e   t te ste   1  e t t  te 1e  p p e  e      t s t s e   e s  s e e tt e t e u et  e uss 1  1

## Folio 305 — 1815201908:0362
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000362.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
E L LTP 5IS.
PROPOSTFTO CZIX
VIncinelliph diamerri coniugare AB, BC iungacurq; AC cui paral-
lela haclinea D E ransens elliplin in F, de occurrens diamerris coniu-
aris prorractisin D X F.
Dico criangulum E. D B crianguli C AB duplum ese.
Demonstratio.
X CeNEO B perEnctum F ducacur diameter BFTF,
cuioccurrat in K recta C K ellipuim cangens in C,
deinde exractu F ponacur ordinacim FPC. Duoniam
AC parallela est exhypochesi eangenci DF, crie a ad
diamecrum B F ordinacim polica. ergo RB, FB, IIB
lune concinuae proportionales. ergo c eA veKB ad F B,
AIC RF ad FHI. sed RB est ad FB, de criangulum
KCB ad criangulum F C B, hoc est, quia d criangula
CCB, EFB aequancur, ve criangulum E FB ad idem
criangulum CFB, hoc eAt ve F B ad C B. IBIEUF VEFB
ad CB, sC K F ad F FI. Deinde quia ex conAr. KC
cangic, de FC est polica ordinaum ad BC, rectae F B,
C B, GB TUNE CONEIHUIX. FrBO VE F B ad CB, sCFC
ad CG. Sed eriam est veiam octendi, sicur R B ad C B
ITa R E ad FTI. EFBOVE RF ad FHI, AIC F C ad C C.
Ergoreeriangulum K CF ad criangulum F CFI, Sic criangulum F. F C ad crian-
Gulum CF C. AEqLi CUM EOTA RCB, F. FB, aequaliasine, ablaco communi F BC
reliqua RC F, B F C aqualia sUINC. FrgO ex F C HT, C F C aequalia sune; ablacoigi-
cur communi FIC; aequalia rEMANOnE FIII, CTC quibus si commune addis
BHTO, FGB aequabitur CHIB. Jam vero quia AC ordinacim polica est. velupra
ostendi, ad BF, bilecta est AC in II, adeoque e criangulum C A B duplum est
crianpuli CTIB, ec DF parallela ad A C criam BileCACUE in E: CA VCEO L CF, VE-
Pore ducta ordinacim ad C B, Parallela ad C B, diamcerum coniugaca ipsi C B. ergo
e BF. bisecatur in G. proindeque P F B duplum est GFB. Aequi CHB, F C B
ostenta lune aequalia. Frgo ex eorum dupla C AB, F F B xe qualia lunc. sed criangu-
lum DE B duplum est crianguli P F B, est enim D P bilecta in P. Ergo criangulum
DE B duplum quoque est eriangrili C A B. Duod etal demonstrandum.
23. huoin3
b32. huius
erest
d70. huius

## Folio 306 — 1815201908:0363
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000363.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
n
11 1. 1 1 . 11
306
t
Sectionis polos, es lineam à puncto in axe dato ad peripheriam,
breuissimam desienat.
artem hanc, quae de polis est, accressuri, paucis praemittemus ea
quae adinuentionem polorum ab Apollonio libro terrio propositione 42.
 e 45. demonstrata sunt; es quidem hoc necessarium esse duxi; tum quod
ad illorum intellicentiam quae Apollonius in rem hanc contulit, necom-
nium captuiica patent, plurimum conducant; tum quod adrem nostram plane iudicem
necessaria. Apollonius isitur Et in axe ellipseospolos exhibeat, hac vtitur constructio-
ne propositione 45. e 6. Ouarre, inquit, parti figurx aequale rectangulum
COIPATCEUE Ex Veraque ParEC: id est, sectionis axis R C ita secerur in duobus
punctis C e4 HI, ∞t ram ACC quam C. HI A rectanculum aequale sit quartae
partificurae: quo posito vlerius ostendit C ex H polos esse sectionis: quos puncta
vocat ex comparatione facta; videlicet ex comparatione rectanculorum sub sermen-
eis axeos, cum quarta parte ficurae. Ficuram porro hic vocat Apollonius rectaneulum
quod fit sub latere recto axeos maioris es ipso axe: atque illud cum quarca sui parte ad
osus serviret eximios; videlicet inventionem polorum ES c. singulari prae reliquis rectan-
sulis appellatione fisuram appellauit antiquitas: huius aurem quarcae parti aequale est
quadracum semiaxeos minoris: quod P er eaus lib. tercio, propos. 42. praeclare demon.
stravit, es nos verbo vno sie ostendimus.
Lemma.
DEr vndecimam huius, Agurx sucrectangulo sub axe maiore de lacere illius recto
Lxequale est quadracum axeos minoris; led quadrari minoris axis quarta pars est
quadracum dimidii axis minoris, igicur quadracum dimidii axeos minoris xquale est
quareae parti hsura. rnde cum roce illa in hiac parce rear, quarta pars figura, incel-
ligi volo quadracum semiaxeosminoris.
Occurrent in hac parte propositiones aliquot eadem cum illis quas apollonius de focis, de
monstranit: quod eo consilio feci, ne quid in hac materia studiosus lector desideraret.
PROPOSITIO CXZ.
TInE A B C ellip(ISaXCS AC, BD, aCTaGUE PEF B FANGCNEC E F: cen-
ero BD inceruallo D A circulus delcribAtUT AF FC, qui can-
genEI OCCUTrAE In F. _ F. dein ex F. _ F, normales deMItEAnEUE FC,
FHIad axem AC.
DicOTaM AC C quam AH C rectansulum aequale esse quartae parti
ISUTa.
Detobi

## Folio 307 — 1815201908:0364
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000364.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
el
pat
LL Y
Voniam eam P. B linea aequidistac
recta AD quam P C+ 2 ipA BD,
CTUNE F, C, BD lincae xquales: CA
aurem AC,C rectangulum aquale
quadrato B C, quodrecta FC ducta
sic ad diametrum circuli norma-
lis; isicur ex quadraco BD aequale est
rectangulum ACC. eodem modo
est F EI quadrato, hoc eA quadraro BD aequale rectangulum AHIC. led BV
quadratum estx quale quarex parci hgurx, igicur cam A C C quam ATIC rectan-
sulum est aquale quarre parri fisurx. Ouod erar demonstrandum.
Corollarium.
INCPATCE AC HTC lineas eNe aequales de G HI bitariam ese divisam in D.
PROPOSITTOCXXI
Idem posicis ducancur rectxe BC, BFI.
Dico BC, B HLlincas limul sum pras axi A C este xquales.
Demonstratio.
Voniam aqualeS sunE B A G, FF C, quadratum A C Xquacur rectangulO ex AC
L_ TIC. Icerum quia aequales lune GD, DII, aquabitur rectangulum AC DvCoroIl.
bislumprum rectangulo A G FT. Ouare cum cquadracum AD aequa le sE quadra- n2o huimii
eis DC, AC de rectangulo AC D bis, idem quadracum A D aequabitur quadracoc+. secundi.
DO _ rectangulo ex AC, HIC rna cum rectangulo AOFI. Acqui rectanoula
AC, HIC, e ACFhAxquantur rectangulo AC, C. Ergo quadracum AD aequate
est quadraro D C una cum rectangulo AC C; hoc cAt quadraris D O CF F, hoc est d r. sceunat:
quadratis DC, DB. Sediildem aquacur quadracum CB, equancur ixicur quadraca
AD, GB, ac proinde rectae AD, C+ B xqualessunc. Fodem modo detmonstrabitur
rectas CD, HIB aquales esse. Ambe igieur CB, B HE Cimul sumpex axi lunc x qua-
1es. Quoderac demonstrandum.
Corollarium.
Tincsequicur: A ABC cllipsis axeS Fuerine A C, BD, d ex B vertice minoris mmii..1
LPaxis rectae dimictaneur BC, BFI, aequales lineis AD, D C, lCCanTeS aXem AC
in C e H. Ouodcam AC, C quam AHIC rectangulum, aequale s quarea parri
tixurae. adeo que C e H lectionis poli sune.
k01031I1O CXXII.
Demonstratio.
plm ABC, cuius
sclanet Comzala
C, DE contingane in A
e C; e alio puncto quo-
uiSBTreslinCX AF, CO,
F6: _ FC Quidem Oc-
CUITTAE AF, C C rectis in
F e C. productacue E D L
occurrat FC linex in l, 8
ex B, recta demirtatur BHI ordinarim ad A C diametrumm.
42
Dico

## Folio 308 — 1815201908:0365
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000365.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
  e 1 . 1. 1. 11
Sico rectangulum (uper AF, C. C3 line rquari rectarisulo super
30d
BHIO.
32. hmined.
BCd d.
2L. Bliitas
C6. fon 11.
Demonstratio.
DRoducatur FC linca do.
nec cum axc conveniae in
T. Duoniam DEI, D A, DI
linex a Tunc in continua rario-
ne, cxic ve L D ad AD, hoc
CA ad D C AC F. A ad AFI,
e inuertendo componendo
VECL ad DL, SiC FTI. 2d
AT, CCd cA VE CL ad DL;
sc C E ad DH _ ve FF ad A L, ScHIB a0 A F, ioieur ve C C ad DL, sIC FB
Corollarium.
ad F A: adeoque rectansulum lupet AL, Cadleis xquale rectansulo BH, ID.
Ouod erat demonstrandum.
quadraro F. Diisicur e AF, C CCcasua el ae quale quadraro L: D hoc est quar.
TInc sequitur rectangutum AF, C C vel HB, ID, aequale este quarre parti hou
te parci hoaa.
ex: dueacur enim BK parallela axi AC. erie rectangulum DR, DI aequale
ROI
Clipsim AB C cuius axis AC, conrinsanc in A d C, de alio quouis
TIF
SITIO CXXIII.
puncto B, linca AD, CF, DF: _ DF quidem conveniat cum AD.
ngulOSDCF, DHFessereab e s sinc recti dico D F, lineam
e
Demonstratio.
R Ectangulum DA CF B cR aequale
quarre parti Rgure, hoc cAt re.
ctangulo AC C. Ergo ve AC ad AD,
AC F C ad CC, lune aucem inguli
DAC, FC CrectisigituED AC, FCO
criansula clmilia: _ angulus ADO
aequalis angulo CCF, est aurem an-
gulus AD C, rna cum angulo AOD
aequalis vni recto, cum D A E noulus
incriangulo A D C Sicrectus: isitur e angulus CGF, una cum angulo A C D vni
recto lunexquales. ergo reliquus DC F est rectus. Codemmodo octendicur angu.
lus DHIF rectus. Ouod erat demonstrandum.
P ROPOSITIO CZXIV.
Cliplim ABC curus aatoA C continsaCM 1B C, 0, Paneica
A D, CL, DL: _ DF. Quidem occurrat rectis AD: C L. in D _F:
trancaurem quarcae parci sisure, ae qualia rectans ula AFC, AC. C, sece
curque E. D bilariam in H:
CF lincis in D _ F. diuidatur aucentnca AC in C _ HI, vE AO C,
GF, DI
ransercelipsin.
AFIC rectangula Cinc aequalia quarex parci figure. ducanturq lincsD6.
DicO
uttiti  et ee i a e     qei e  1  , e i s i i e u  i a   i i .  i t t    . pe  1  1  1  ueit  ete u   d

## Folio 309 — 1815201908:0366
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000366.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
linet
eb
see
Dico
E L. L. IL 515.
Dico circulum cenero el inceruallo D de l delcripeum camlite pet
_ C.
Demonstratio.
Vneancur puncda DF, FF, DG, GF.
Duoniam eam angulus D F. F, quam
DGF. est rectuS, S D F linea verum
que subcendens diuila bitariam in
AI, Pacec circulum cenero TI incerual.
l0 HD deleriprum eransire per F d C.
Duoderat demonctrandum.
1GAB L
Corollarium.
Inc sequicur angulos E D O F D A
CHc incer se equales, eAt enim an-
sulus AD F in demonstratione pEX
cedencis xqualis ostensus angulo C F. P: Se d ansulo C F P. aequatur angulus F DC
cum cidem arcui PC insittac, erso anguli E D G5 F D A lunE incer lC aqua-
C50
PROBOSFTIO CZXV.
Lliplim ABC cuius axIS AC CONHMS AHELM A, C, B, HHCX AV.
LCF, DF: _ DF. quidem conveniarcum AD, CF. lineis in D _ F.
HaHEAUTeM AFC, AO C rectangula x qualia quareae parti figura: ductil-
que lineis FF, CD qux scincerlecent in tl, ex puncto H ad concactum
B, ducaturrecta HIB.
Dico FTB normalem esse ad cangentem D F.
Demonstratio.
305
Vcaculte FB, C F. 2 AIISII
DFF. F CD recti erune. lam
TupeFHID, HB lincis ve diamerris
circuli describaneur D BFT; E BFI.
Ononiam DFI FTF, linex non lune
in directum, pacet DBFI, EBHCir-
culos se invice secare in puncto ali-
quo B. iunetis isieur punctis HIB.
dlucantur rectae DB, V B: crunc an-
euli DBH, E BEI recti; adeoquo
DB, F. B linca in directum, e IIB
linca normalis rectae D F. lune au-
cem veance olcendi D Fi F 3 F GD
anguli rectiisicur D F B linca est cangetis. Ouare recta BHI est normalis ad P. D ćducrterur.
cansentem. Duoderar demonctrandum.
PR OBOSITIO CXZVI.
iniu
eat
125. huius
Ademmanence uta. aucancur FB, BC1
Dico ansulos D BFs FBC ad concingentem estexquales.
iluma
243
ictiter
Demon-

## Folio 310 — 1815201908:0367
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000367.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
 e 
350
143.1
esteise
123. hu-
ibid.
P5
demonuratio.
Voniam anguli DFF, E CH
Lrectilune, cransibuncperFi 8
C, circuli DF FBFOFI: CranEIE aU
tem veerque eriam per B: quia Ban-
guli E BH, DB ET lunc recti: isieur
cam anguli DBF, DFIF quam
E B 3 L LLC aDuLI TUnE inEEF CC
aqualesiled angulus DHI L aequalis
cst angulo F HIC: ergo d DBF x.
quacur angulo F BC. Duod eracde
monstrandum.
Scholion.
um punctum B in peripheria al-
sumprum, sit quodcunque sequitur
paratione facta dicuntur. porro haec in eb
lipricis mirabiles habent proprietates. 
ter reliquas placuit sequentem hic au
lineas omnes ex F inperipheriam ellipsi
ductas, reftectendas in C. Quare ex pun–
EtaFC poli seu foci a nonnullis vocan-
tur: quae ab Apollonio puncta ex com–
huneere.
snt te det ellips eos quorum at
C. Dicdiuum per tocu speculum appa
stantia par sit interuallo oculorum, pona-
curque in a oculussinister, es dexter in
gereoculo dextro, in C polito: ex vicissim oculum acatram . per totum speculum vidert
ab oculo sinistro in R. demonstratio patet: species enim ocesi A. per torum speculum diffusa
totam speculi lupersciem aissus.
reflectuntur in C. e secies obiecti C per iorum diffusa restectuntur in A. quare obiectum A
per totum apparedit speculu, demo C. di tum C. oculoA. hunc sequitur quod mini-
mum ex visibu postum in C, manouona apparebit oculo in A posito: quia apparebit per
PR OPOSITIO CXXVII
diplim ABC, cuiusaxis AC _ POMDL CMIZAI L PutCS
FC, iungancurq; Paneca 1IL, CII.
SA, C, BreCtE AF, C G, FC; _ FG quidem conveniac cum AF,
COlineis in F de C. crigatur ex L, linca L. El normalis ad carigoirem
Demonstratio.
Vatislineis P R, P C+ actII
NEUE CUpeF F F, P O di2
merris circuli E FTK, FTG C: 40
circulus quidem FFTH, cum an
Dicoangulum AHIC rectum ese.
suli P IIF, P AF Sncrecti, tran
EibIEPEF FL. L. A. Punctai cicct
lusivero ITOC; cum DHF
E CC anguli quoque recti suI
Cransibit per H, C. crunixicur ram anguli AHI F, A P. F AuI P LLC., F. CC, an
Puie us e te u is e   u s.  ue    u s s  te u e 1u e s  1 e   e  t e e  1 e e e t  1 s 1 A p 

## Folio 311 — 1815201908:0368
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000368.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
ett
cedt
irct
Et
E L L IP SIS.
3II
guli aequales: sed an gulus C C F. per demonstrata in 121. huius aequalis est angulo
E A. igicur e angulo CTIF aequacur angulus ATIE; addico ergo communian-
b a e  A C tecto agualis angulus AEIC, quare ex iple rectus
l. CllodeFaC demontrandum.
PROPOSITI
CXXVITI.
Elipsim ABC cuius aris A C conrineane in A, C, B, Ma I B
cempolit, e cenerum El ductasueea Lielca fB ad punctum con-
aCLUS aucatur ex FI linea HII parallela rectae FB OCCUErENS F D linex
AI.
Dico Hllineam aequalem linex ITC, d (I FIL OcCurrCNS E: D recta,
C aqualis HlC. dico HI lincam ae quidictare F B.
CE, DE, ac D E quidem occurrat AD, C F lineis in D d F: Cinc
Demonstratio.
tat BI aequalis IR: iungantUrque BG, GK, de rectae dueaneur AF TC: Ouo-
niam TB, LR sunExquales, erir BI ad TR, vE FFI ad FTC: adeoque BF, K C
lince parallela, et angulus BR C xqualis angulo DBF, hoc est a IBCr: Quare ausc huins.
B C, CR linex aequales: sune aurem e duo reliqua lacera BL, IC aequalia
duobuslaceribus RI, TC. Angulus ergo BTC, aequalis angulo RIO: adcoque C I
lineanormalis canrenti DF, e angulus ATC rectus. quare circulus cenerO HI in-
ceruallo TIC descripcus cransibic per Y, crieque FI I linea a qualis linex FIC. Quod
cracprimum.
Reliquis manenribus, sEiam FY Z linCR quX OCCUEEAE tang enti F. D in T, aequalis
linex HC. Dico FII rectam aequidistare linee BF: sin vero; ducacur ex FI linca
ETL, Parallela rectae FB OCCUErCNS F, D tangenti in L;ericigieur FTL linca aqua-
lislinex FT C, hoc es FTT. quare circulus cenero FI interuallo FTC. descriptus eran-
Elic per Id P puncta. Ouod impossibile: isicur HIL non csparallela iphi FB: nCC
Juxenis alia: precer HII lincam. Ouod erat demonstrandum.
PRoedo111 BaatL.
IE ABC ellipleos axis AC, poli aurem
et D _ L rectae inAectaneurDB.
convemences in puncto quodam peri
pheric B.
Dico DB, E. B lincas limul Cumpras
quatdat AC.
Demon.

## Folio 312 — 1815201908:0369
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000369.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
rectontine.
EL. L FPSLS
Demonstratio.
IE F cenicrum elipleos; 2ct aque per Bcangen-
ce BC: ducatur recta F C parallela linca DB
secans E. B lineam in II. Ouoniam BD, FC lince
sine parallelae, eric angulus FGB aequalis angulo
DBF hoc cA . F BC, ad eoque HIB, FIC linex
aquales: rurlum Cum sIEVE D F ad F F, liC B F ad
CZX X
Demonstratio.
Fscribatur cllipES quae cunque ABC
cuiusaxeS AC, F B poli D, F, iun-
Fancurque puncta DB, BR: cum super
F. D bali criangula COnSIEUANEUE gueCUN.
que DCF, quorum verrices Ci sine in
Peripheria. Ouoniam eam DB, BF. linex
quam DO, C:F simuI CUMPEX TUNCXqUIA.
Csemaximum eriangulum DBF: agacur enim per B tangens: quae cum in vno
tancum pulseto B ClpiDCCurrac a reliqua lui parte EOta CadAE CXETA, PATCE DOP
criangula qua rerminantur in ellipsi minorem habere alcicudinem criangulo DBP.
adeoqueillo cseminora: est aurem DB F. triangulum ilosceles, quia DF, FB
lacera xqualia Cunc laceribis E F, E B ex anguliillis concencirecti: igicur criangu.
lorum iloperimerrorum maximum est ilo (celes. Ouoderac demonstrandum.
ROTOSITIO CXZZI
Porrear eFocis ellipseos VL. duas inclinare ad idem punctum pe.
Oebecaucem data ralbdior osse rarione AD ad DC, minor vero
Constructio es demonstratio.
Ececur axis AC in C, secundum da
eam racionem HI ad K, que cum po.
nacur maior racionc AD ad DC, e mi-
AOE racione AF ad F C, manifectum est
A C lincam maiorem esse recta AD: mi-
nOremM verO AF, ac proinde punctum 
cadere incer polos D, F. crisacuripieur ex
axi AC, sc aurem per constructionem D B linca aequalis linca. A C, erie B F rC
liqua aequalis relique C C: igitur VD e alt BL, vi AC ad C, C, id est veHI ad
cac dehonstrandu.
PROPOSITTO
ETE, SEque DF dupIX FF, erit de F B, dupla rectx BH id CA FG: sed etiam
BD dupla cst LHI, cum (ICVE D P 2d F II, SiCDB ad FiHI. igicuE F B, BD linex
Cimul Cum pex duplae sunc rectae F. Ct hoc est F C: quare _ xquales axi A C. Ouod
Liangulorum iloperimerrorum Maximum estiloscelium.
lesaxi AC: PATCE DBF, D GF criangula ese iloperimerra: dico aurem illorum
aiose AL acL C.
rimetri quae datam contineane rarionem HI ad R.
Dad peripheriam linca DB aequalis rect L AC. Tungancurque puncta BF. dico
Factum esse quod pecicur. cum enim rectxe dux D B, B F. Simul sum pex sinexquales
E. Inclinavimus igicur, ee C. Quod eractaciendum.
Ll
      ti t . e  t. e uet    tete  e .  e e  ste  a titi te e t i e et t e    te e  e  te te t tt te   e t  a et    ete  e t  e  sti

## Folio 313 — 1815201908:0370
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000370.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
H
DRC
E L L IPSIS
PROPOSITIO CXXXIL
Tliplim ABC contingar in B linea BD Condeniens cum axe maio-
sre C A, inD. ex B aucem concactu, normalis ad conringencem po-
LaLUE BF, Occurrens axI INE.
Dico FB lincam breuillimam esse illarum quxe ex L. puncto ad peri-
heriam ellipleos duci poltune.
Demonstratio.
Enero L inceruallo F B circulus describa-
CuF F B C OCCurrenS axi in F _ C. Cen-
erum ellipseos sic II. Ouoniam D B ellipsm
concingens cu axemaiori convenic in D, dt an-
sulus D B F rectus est, BP linca non cran(IE
per II cenerum ellipseos: E enim P. Cencrum
est, recta F B, normalicer ad contingencem po-
lica axis erie coniugacus axi AC, (cum aequi-
distances omnes contingenci DB abitariam ec
ad rectos dividerer.) adeoque DB aequidistarer
Axi AC: non igieur P cencrum cs ellip(cos,
neC P B diameter: quia vero DB cum aXC
connenic ad partes A, F B lineab minor est sc.
midiamerro, sibi parallela: adcoque de minor
est lemiaxe HC. e mulco minorrect a FC, qua-
re circulusradio FB descripeus, occurric axi in
C incra ellipum, punctum ioitur , Cupra C eAt.
Rurlum cum ETCid es R FI, maior licosten-
sa quam P, B id est P. C, ablaco communi F. FI,
MANCE A E maior quam FTC, POSICA AUTCM FF
aequali D HI, recta F L XquIaTUE FIC, isitur AF quoque maior est FI: ablato ex-
8O Cx F E _ AF. communi IF, manec I A maior quam IF: vnde e L punctum
cadic inera elliplim intra A. vIceriuS Bonatur Per F, contingens FR, cui aequidistet
PONM, CTILISITUE DE MB quadracum ad quadratum BK (IC CO MO rectansu- C35. terrus.
lum ad quadratum F K. sed re M B quadracum ad quadracum BK d SIC PNINT re
ctangulum 2d rectangulum a R B; igicur ve O MO rectangulum ad quadeacum
FK lic PMN rectanoulum est ad rectangulum a RB: _x permutando, inverten-
dove PK quadratum ad rectangulum a KB, EC OMO, rectangulum est ad re-
99. hacius
ctangulum PMN: est autem F K quadracum maius rectangulO C aKB, igitur _ C6. sccundi
MO rectangulum maius est rectangulo PMN: icerum OMO rectangulum
vira cum quadraco ZO aequalc est quadraEO ZMI, _ PMN rectangulum una cum
quadraco Z. N, eidem quadraro ZM aequale cst; aequale isicur est rectangulum
DMO arnicum quadraco Z O, rectangulo PMN, una cum quadrato Z. PI; a
quibus si maequalia auferancur rectangula OMO, PMN, inaequalia FCMAMEHE
quadrata ZO, ZN: ∞x quia OMO rectangulum manis est rectangulo PMH.
quadracum ZO minus CsF quAdFATO Z N: X ZO minus quadraco P Z; puncta igi-
cuE O _ O inera ellipsim sime: similicer ostendeneur puncta Z F, et quaeuis alia
perimerri circuli FB C eseinera elliplins circulusigieur FB C eorus intra ellipum
codic: unde cumrecte omnes ex Fi contro circuli ad elliplis peripheriam ducte prius
circulo occurrane quam ellipli: adcoque semidiameeris eiuldem maiores linc: igi-
TUF EB, quae in B puncto communi cllipsi _e circulo cerminatur omnium illarum
brenictima cA quae ex F. puncto ad elliplis peripheriam duci poslune. Ouod erat
demonstrandum.
2 13. huins
10. huinr

## Folio 314 — 1815201908:0371
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000371.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
1.
LLIP SIS.
PROPOSTTTOLR LXIII
Luissimam ducere.
Puncto (H1) in axe ellipleos altignato lineam ad perimeerum bre-
Constructio es demonstratio.
Axem A C leca in F, ica Ve
AF SIC ad F C, SICUE D H est
adHIE. Tum ex polo adpe-
rimecrum apCCtUE D B Xqua-
lis ipA AF, lungancurq: HIB.
Dico IB cMebreuistimam.
Ducacur enim ex polo F
2d B recta F B, _ LM can-
vens cllipum in B, DB, BP
2aequancur axi. scd DB X
qualis eAt AF. ergOBF X.
puncto I adperimeerum erie pars axis, repacet constructionem ac demonstratio.
InE D, Lp
1. 6. tu.
HL ad perimeerum ducipollunt. Lactum isicur eAt quod pecebatur.
nem prietem eonnde tanil.
PROPOSITIO CKLSIV.
qualis est F C. Ergo DB est ad B F, VE A F ad FC, hoc est ex CONSEF. VE DH ad
ETF. ergo anguli DBII, F. BHI aequancur, xequancurb aurem ec anguli ad concin-
BenCem DBL, F BMI, cociigicur anguli FXBL, LI B M aequales sunC; normalisigitur
est FTB ad tansenrem, ergo per prxcedenrem brevissima omnium qua ex puncto
Si punctum E incidat in polum D, auE inter A, ex D; cunc breuissima ex dato
Ydata ellips circulum describere marimum eorum qui ellipsim in
cerm uloC de ab ellipsi comprehenduneur.
Constructio ex demonstratio.
Polcipeo, C. aC BCC
AC F F ad F D. Dico circulum centro F inter-
vallo A descriptum cum esse qui peritur. Cum
enim ex const. (ICC D, ad D A, VEF F ad FD, P2
cet ex peaeced. F A essc breuissimam omnium.
quae a puncto F ad perimerrum duci poNune; cir-
culusigitur cenro F per A descripeus cangic et.
lipsim. quoderat primum: quod aucem cansentium
intra ellipum maximus sE, sic oltendo. Sume vice.
rius punctum aliguod C pro cenero maioris cir-
colis quoniam igitur P C7 est ad CFD, in minori
ratione quam P F ad F D, hoc est quam CD ad
D A, ACCxCMP. SFAT. VE F C 2d GD, sIC C F ad
F A: ericque FA neceltario maior quam D A:
adeoque punctum E cadet vlera polum D verlusFE:
E isitur ex polo D ad PETIICERUM ApFCTUFDB
ergo centro C per A delcripcus exera ellipum cadir. similicer ostendemus quemlibet
circulum alium maiorem circulo qui incerualo P A ance deleripeus et, cad ete
CXITZ.
aqualis G A, IUNGATUIFGUE GB, BatCF CXPEXCCd. CR Foreminimam omnium qua
ex C ad perimerrum duclcur. aate e aior es quam CB, circulus
  e       t tut t ete uet e te t a ti  e e et a    e.  t  t   i   e et   t s   t e e e  e s e s  e e e e et s e e s  t   t. 1 1

## Folio 315 — 1815201908:0372
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000372.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
eH1
E L L T. PIS IS.
extra ellixum: ergo ille omnium inera elliplim, cangencium, mannus ell. LI dat 2
igicur ellips, e c. Quod crat faciendum.
Corollarium.
GHuus propontionis discurtu clare constac circulos omni inceruaste clepios
quodminus estincervallo. FA ellipum ipera concingere in puncto A. (CenErO
inCOr I _ A consticuro perringane vlque ad A. verricem axeos. Illi crenimcir-
culi concingent cum qui radio F A descripcus est, cogue minores crunciquare eriam
elliplm incra concinsene cuius axis AC.
PRODOSITIO CXXLV.
IIE AB C ellipleosaris maior A C e in illo poli D, E, RaEGUEVECD
Dad DA SICEF adF D, e DG ad GF.
Dico ex quonis puncto rectae FC circulos posse describi qui elliplim
incus in duobus punctis concinsane: cetiera vero illorum conlistere inter
F e C exclusis terminis.
Demonstratio.
Vmacur enim quoduis in FC recta punctum FI, ex ex
DH linea ducacur II B, breuissima illaru a guXe ex FT ad
peripheriam duci porerume; dein ex B ordinatim ad axem
POnatur BLR, X iunse FTK, TTB, pater per elementa
TIK iunctam aequari FIB, adeoque circulum cenero II
incernallo HIB descripeum eran(IrC Per R ee B: e cum
FIK, HIB linca sincbreuissimae per constructionem, pa-
tet circulum BD R, corum cadere inera ellipsim ac prO-
inde eam in B e K, punctis concingere. Duod aurem
cenera circulorum ellipsm in duobus punctis continsen-
cium consistancincer Fes C exclusis terminis, ex copa-
rec quod PA, GC linex breuistimae sine illarum qux Cx
F. X G, ad peripheriam duci porerune, adeoque circu-
li cenero F vel C, e inceruallo quouis maiore quam AC
F A vel CC deseripei ellipum secene: radiis vero F A
vel C. C deseripei omaximi sine, illorum qui ellipsimin-
cus in vno cantum puneto concingune.
EROPOSIIIO CX LXVI
Adem manence figura: propolicum sic in axe punctum delignare
squo cenrro circulus deleribatur, qui elliplim in daro puncto intus
Continsat.
Consttncoid e acthondetalto.
6. 134. hc
Ic dacumin peciphecia punctum B, pec quod l acta incelligaeur concingens, demIE-
cacur ex B linca BFI, normalis ad tangentem, occurrens axi in FT. ManiFeCUM CCEC YZL. hu-
Fipunctum lacistacere pericioni. nam cum c FIB linea breuissima sIc Carum qux Cx ius.
FIad peripheriam duci pollune, concinset circulus cenero FI inceruallo ILB de- dr3s. huius.
scripcus clliplimin d puncto B; isicuc, e c. Duoderac taciendum.

## Folio 316 — 1815201908:0373
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000373.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
ar2y. hriios.
LlipSeoS axis SE A, C, poli D, L, ex quibus ductx SInEDB, PFO
Mormales axis ellipsim aurem canSac IL B I in B, occurrens axi in R,
recta VerO OF in L, iUngaTuTqUED F.
LL LP SIS
POSTFIO CXXXVII
Dico rectangulum F LC quadcaco D F aequale esfe.
b120. hucines.
Demonstratio
Voinam DB, L. B auc
clcte Fetio del rlcabu
aBut ABB, LBL 2 xqualc
Mmeote suta DB.llparalle-
lae anguluskBD angulo L lB
aqualis CIt, Xquanturigicur au
Sct LBR, F lB, C130BR, II
xqualeslunc. Dende quia le
ctangulaC L. LL, C DA baqua-
unexqualia, ad eoque _ rectae
LF, DB a. quales. Juare cuu
lia Cune, ccra quadraca L. L, DB
2x. huiu
OB, BHCXgu LL3LL
etiam BP. D F Xquales erunE.
Algur BF onca eC equalIS
EI. erso e DF CAaequalis F I,
e quadracaproinde DF, B IX.
qualia sUnE. Sed quadrata DP.
E F, aQUanEUE quadratO DP3
_, quia OF bilecta eA in P ci-
que adiecta FP, rectangulum GLF cum quadrato P. F aquacur quadraco FI.
quadeata ergo DB, B F aequantur rectangulo GTF cum quadrato F F. Dempro
isicur communi quadrato P. P, remanene xqualia rectansutum C PF ee quadratum
DE. Ouodera demonstrandum.
EROPOSITTO CXXKVIII
AIACH pOMIS AMCantur quorcunque alix O, FL, R, MI, normales aXI.
Dicorectangula HI, Q, M, quadraris DK esse aequalia.
Demonstratio.
Lcans M IIO, dIC In 5. quoniam NC, TC, OM luncnormalesaxi, aequi
distanc. erro per ca quae propol9g. huius demonstrauimus, rectanoutum F LE, aequa-
tur quadraco SI; de rectangulum IIO M quadraco O aquale cA: quare requa
dracum IS ad quadeacum O, hoc est requadrarum S B ad quadratum OB, hoc
elt ve quadeacum F. D ad quadracum RD, ita rectangulum F. PC ad rectangulum
EIO M, e permucando vereetangulum FLC au quadracum P. D, ita rectangulum
HIOM ad quadratum R D, sed rectansulum F PC Per praeced. aequatur quadra-
EO F. D. Ergorectangulum quoque ITOM a quatur quadratO RD.
Similicer dem onstrabimus ad alceram parcem poli D, rectangula ITOM qua
draris KD elle aequalio. cansar enim ellipum A P, in A occurrens rangenci in P, d
cactus iungac AB sCCAnS O MI in R. in crianoulo BCN, Ducatur aliqua O, Pa-
rallela NC normali ad axem, ira sc habens ad O B, Vr O R ett ad OB. cricixicur
PETU.
GLLIpSIM FANEAE CN in C, OCCUrTENS tanBCnEI BN in N, ducarurque BC le
u e e  e e u 1 s e e  . s e  et  e u1t t e e   t p t.   e u  e e e e 1e te    e e t   e   e   e te e ut  s  1 e e e ss  

## Folio 317 — 1815201908:0374
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000374.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
b
EL L IDSIS
permutando ve O B ad B HOCCH H KD ad DR, ita 9O ad OR. crBO vi
quadrarum RD ad guactallta DR, ita quadracum 10 ad quadracum OR, hoc
sulum FIOMt adquadracum AB, ita rectangulum HOM ad quadracum DK.
Acqui supra demonstracum est rectangulu FIOM (illud nempe quod est verlus C
aequari quadrato RD, ergorectangulum quoque FIKM quod elt verlus A, aequa-
cur quadraco D K. Ommiaixicus rectansula FLK M, e C. O uod erat demonstrandum.
CoroarB.
o tetioue
esta rectangulum FTOM ad rectangulum FTO M. permurando igicur ve rectan. 2 nas
x discurtu demon AraS iam allaEX LICEL COMSCLC G CMCS
LL. Guacacto C A ee aecacta.
eR OPOSITIO CXXXIZ.
aca Cic elliplis cuius an  Pont D, Hl, ex polo D ducta lic 2a
Ducarte aurem quorcunque normales axi GF F, iunGAnEuTG DF, DF.
Colineas omnes Dh, lincis omnibus C F. aequales ese.
perimetrum DP normalis axt, ce la c’episucansar linca 6PC.
Demonstratio.
ouadrato DF. dao rotor Communt quadraco L. b, aequaneur quadraca De
LF, hoc estquadearum DF, rectangulo FGM cum quadraco R F, hoc est, b qua-
draco OF. Ouia igitur quadratum D F aquarur quadraro CF, eriam recta DF
rectX CF. equalis eAt. F. odem discurlu reliquae omnes D F, reliquis omnibus C F.
equales sunt. Duod erac demonstrandum.
In libro de hyperbola, eria sequencia cheoremata licet sine demonstranda quod
abhyperbole propriccaribus dependeane, ob miram camen cum ellipricis affectio
mibus connexionem visum eAnon alienum HOCIOCOPEOPOHCFC.
PR OIOSITIOCZI.
Ademmanente txura, si rectis D F. c volo ductis aqueneur lInCA
06. octitialo
DROdRCALUEVA RECtarUM C Z In M. PEF PEXCCd. rECtanGUIUM FCM EquaTuE
SE FO normales au aXeM AC.
IM P.
Dicolineam per puncta C ductam esse rectam quae ellip (Im ContinGAE
Dentomao ea e ex propoltione praecedenti.

## Folio 318 — 1815201908:0375
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000375.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
tc
: LDLDSFSL.
318
qu on 1
20 c
mm R O F85IZIB CFL p
cci
 cb . 1. 751 1512BG. Is C)Y~ aIV. eS.
1d
YI
ellivlis, anem
Ar
1
AB, cen
atur in axc punctum
t
rum
CEcenerum el.
N
a X ci
contingit in C.
acurad pe.
nalis axi D) C
cideinde quorcunque alix
L
DE: quibus xquales
iloca Dico lincam per puncta
C
ipcan C
Rane linca FF. C axi nOr-
lllateoo
perbo.
2 habeac cum
lipscta u
demonstrationem vide in lib. de hyperbola.
P R OP OSITIO CXLIL
Cume Pussel nsc e cetu e ee polum D, ex quo
ducatur adpelnecum DL normalisaxi, ac acuc quauus alia DF,
DE; quibus aequales Fant G F HI axi normales.
Dico lineam per puncta Hl, EL deleripeam MMeA) Petboa ual
liplm cangaE in F.
Demonttrabitur in libro de hyperbola.
Aea siE ellipsis axem habens AB, centrum C, polos Z, Z. in are
DRC

## Folio 319 — 1815201908:0376
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000376.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
e
lis
E L LIPSIS.
PROPOSTTIO CXHIIL.
Aca curtum Cic elliplis axem ha-
bens AC, polosD, O, in axeCU-
matur punctum E. inter polum D e
verricem A, ex quo ducacur ad peri-
mecrum normalis axi EB: d quoc.
vis alix FF, quibus aquales AanE
GFHI axinormales.
Dico lineam que per puncta LI de-
Ecribicur hyperbolam esse quae ellip
sim arabiar e rangar in puncto B.
Demonnracionem dabimus in libro de
hyperbola.
PROPOSITIO CXLIV.
Ata bali agoregaco lacerum de
alcicudine triangulum extribere.
Constructio es demonstratio.
Aco agerCeato larerum ponatur AB.
aequalis; qua bitariam divila in C
hac D F. aequalis bali crianguli bitariam
divilxe in C sic reverim que relinquaneur
aquales AD, BF. alcieudini autem SIE
aqualis F, ex laceribuS AC, CB, DF
hac criangulum DIIF: (nam AC, CB,
Simul Cum pex maiores (unE DF,) crie
DTTE. Hlolceles. Deinde Rac DE qua-
dearum FTC ad F quadracum, ita re.
ctangulum AC B ad AR B, _ erigAtUE R C+ aequalis F parallela FIC, e iun-
BAnEUE DO, OF. DIcODGF, cMC criangulum guxesicum. quoniam ACB, Fe-
ctangulum est ad A R B rectangulum, ve quadcacum TIC ad quadeacum Fs hoc est
CKiquadrarum, crunc pundta A, C, FI, B ad candem elliplim cuius AB, eltaxis: _
qui2 AD, ipS E B, itEmQUE D FI, HIE, aquales sunc ipSI AB, CTUNE D F, a DuN- ~ CoroL. LII.
cta excopararione facta sine Foci ellipseos, quare D GF, lacera aequalia luncaxi AB,
hoc cM asercxaro larerum estque basis data DP, e alcirudo P hoc cAt C K, lgi-
cur exhibuimus criangulum quod quaerebatur.
uius.

## Folio 320 — 1815201908:0377
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000377.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
E. L. L L+ 3L5.
Fad 6.
eROPOSITIO, GXLV
Lecidem ad angulos rectos  ad F. D, datam obtincac rationem
11
Constructio e demonstratio.
Hro de circulorum proprietaribus proposui-
mus hoc problema: sed quoniam ejus demon-
stratio ab elliprica proprietate dependet; idcireo in
hunc locum eam distulimus constructio vero est. Du-
cacur diamerer HII normalis ad AB secans
AB, in L. Fiacque vE F ad G, SIC HR ad
KI. Cumpca deinde IM aequali iph FTR, di-
uidatur diamerer HIP, in O puncto rediuidi-
TUF RM in L: deinde rectangulo NOP, Aac
xequale quadracum L F; tandem ducaeur per
E, rectanormalis CF D. DicO C F D, divi-
sam in F, secundum rationem F ad G. Quo-
niam Cunc linex NP, RM ad angulosrectos
bitariam divile; isitur descripea ponacur eirca
illas cam quam axes cllipsiS NR P, crunc ita-
que OO, I. F, ordinacim police ad singulos
axes: _ quia axes similicer dinisx (unE in O et
L, eltque rectangulum DOP aequale qua-
Ectam A. B, subrensam cuiusuis arcus circuli A B C, alFer Z SCCarEC D,
174. hains. deatO L. F, PareE a punctum F. esse ad ellipsim per puncta N, K, P, M de
esde
(criptam. ergo eAVE TIK ad RI, hoc CA VE F ad C7, SC C F ad R D, Pacec rectam
D applicacam elle in circulonormaliter ad CD, VE C E. ad F. D dacam rarionem
obrineat F ad C. ubuun demoau.
PROPOSITIO CRLVI
Aca recta A C. e alcicudinc DD, elliplim delcribere cuus pou
Constructio es demonstratio.
Filac super AC linea in alcicudine
BD criangulum ilosceles ABC.
dein AC linca verimque xequaliter
produCacuF In F _ F: VEEOTA R F SII
aequalis duabus AB, BC, tum per
F, B, F, puncta ellipsis delcribacur:di
coillam esse guxpecieur. Duoniam
F F linea dinila est bitariam in D e
hon bitariam in A: CrIE F A P B recta
Sulus vita Cu Guactaco AD, a.
(INE A, _ C.
quale quaratO F D hoC CAE Pet COMMTACLIONEM Qu2AEACO A B; IC a CCIAM quaded-
manet LAt rectansulum a uale qud aato BDIa ee quarta Palc tsurx. codem
E0 AB aequalia sunE quadraTA AD, BD: dempro isitur communi quadraco AD,
∞I2
suius.
upa pe E. B L. Cald lulinea de alcirudine, ec. Quod etat l
ciendum.
modoostenditur quadeato BD aequari rectangulum F CP: quare CA _ C, Foci
Corol
ostus      s   p te  e e t   e    te e  at   t ut      t   p  a 1 e    . 1   1 a e   i  1  11

## Folio 321 — 1815201908:0378
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000378.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
D
oc
la
pel
EL L LLS I5.
Corollarium.
A re quicur cdco quonis crianoulo ilolceli A B C commente dd vereicem, an=
gulum quemcunque, describi posse ellipsim cuius foci sinc extrema baliscriar-
ruli dari ABC. demonstracio pacet ex proxositione.
PR OPOSITIO CXLVII.
Vper AC linea descripra sinc quorcunque eriangula ilopetimetra
DABC, AOC.
Dicopuneta C, B, B ele ad eandem elliplim cuius poliline A d C.
Demonstratio.
DRoducacur AC rerimque aequalicer in D
e F; VEcOc D B Sic ∞. qualis duabuS AB,
BC, tum per puncta D, F, C ellipsis deseri-
bacur. dico illam cransire per reliqua puncta
B, B. sin vero; transeac supra vel intra B. 2C
primum supra per punctum F, producta CB
donec peripherie occurracin F, iunganEuE AP. quonaL Pa alM.
Pum sunc, cuiusa poli A _ C, CrUNE A CC, AF C criangula b Hloperimetta: est feavr ox
cedent
aurem AC C criangulum per constructionem iloperimerrum criangulo AB C; isi b Pates ex
cuT AFC, AB C criangula sunciloperimerra. Quod hcri non porest. quare D C F, 121.
ellipsis non eransic supia B, Ced nec intra B, cadere eodem modo demonstrabieur.
ereoper B, B punctasipitur C, BB sunc ad ellipum cuius poli sunt A, C. Quod exap
demonarandum.
12SSAI
es e Bitrc s.llti
13. n
te nor cr c
illo B1. c01a0 et meta
tch
ei (
atl1
.
de 1BEII
te eedie 3
CeBIBCI
c1ta des Bs e
 31C AE BWICq 3022 ∞OLE. WE.LI
In ceritus
Et eseces arpilor
L1c
e no iminiunet:

## Folio 322 — 1815201908:0379
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000379.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
Varias exhibet ellipsis geneses.
B31
AB lines vicunque dicila in C, et ex C quoccunque cri-
ur parallele CO, hacque ve AC B rectangulum ad re
ingulum ACB I C. quadrarum ad quadrarum DC.
Dico AD B Putela ee ad eandem elliplim vel circulum.
Demonstratio.
B bisecta in G, crisaTur O F pa.
Lrallela ipsis CD; RaEqUE VE TO
ctangulum ACB ad rectangulum
AG B, Sc quadrarum C D ad quadra.
tum CK, incellixacur deinde deleri-
pea esse ellipiis cuius diamerri coniu-
SaCX CnE AC, C F: B ergo elliplis non
eranhc per punctum D, Occurrarrecte
CD supFa vel inEA D in F. quia A G, F, C sune diameeri CONIUSAEX; CrUNEDC.
ipsi F C Parallelae ordinacim poliex ad diameerum A B. Ouare cum ellipls dica-
+ huins. Tur cransire per F, erit a quadracum FC ad quadracum R C verectangulum AC B
adrectangulum AC B, hoc est ex constr. ve quadratum D C ad quadratum P, C:
Ouod est absurdum. non isicur punctum vilum F supra aur intra D, est ad ellipum,
sedipsum D punctum ad ellipsim est. sumacur iam aliud quodlibec punctum D, ex.
empligracia punctum propius seguens; si rursum cMlipsis nOn ErANSIEPEF D, OCCUE-
eac recta C D supra vel intra D in XI. Ouoniam est ex hypochesi requadeatum
DC ad quadrati DC, sic rectangulum A CB ad rectangulum A CB, _ ex constr.
vequadratum DC ad quadeacu F. C, ica rectangulum AC B ad rectangulum AC+ B:
eric ex xgnali re quadrarum D C ad quadracum F G, ita A C B rectangulu ad reCari.
Sulum AC: B: Sed eriam est quadratum MIC ad quadracum F. C, ve rectangulum
ACB ad rectangulum AC, B cum punctum M ponatur cne ad olliplim. Ergo
quadraca DC, MC ad quadratum F. C, eandem habene racionem. Ouod est ab.
surdum. Non igicur punctum M aur aliud vilum praecer D ad Mllipsim est. Amili dil-
cursu reliqua puncta D ad ellipum esse demonstrabimus. ex quibus constac vert.
cas Theoremacis.
PROrOSIIIO LACIA.
Ir ABC criangulum quodcunque, divisoque lacere B C vecunque M
punctis DD: ducantur ex D rectx D F parallelX AB, de ex A demir.
cancur lincae P. F (IC vE quadraca F. F, SinEBD P. rectangulis xqualia.
Dico puncta A, F, C. esse ad candem elliplim.
PROPOSITIO CXLVIII.
Betton
  e e  u te e  t  t e 1 e  e te s  e e te  es  t ste te 1 ta    A i s. t. A a aes e    .           1  a     e    l. .  

## Folio 323 — 1815201908:0380
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000380.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
ELLIPSFS.
Demonstratio
recrangulum BDC, hOO DAE RECEANSMIUM A F. C ad rectangulum AF C: sed
ve BD F Kocrangulum est ad Fectangulum BD F, sic F F quadracum est ad qua-
dracum P P, igicur vereccansulum AR C est ad recrangulum AL. C, lic H F qua- 2 Per1 49
drarum est ad quadracum RH. orgo a AFC, punccalun ad elliplim.
ROP OSITIO CL.
Ic AB, CD parallelogrammi diameter AC, ducanturq; AB lareri
huius.
quorcumque parallela FC, sccances AC lineam in P: dein hanc in-
TOF PE, EO medix E FI.
Dicopuncta A, C, ec omnia puncta HL, ese ad candem elliplim, nisu
Cineadcirculum.
aete
mno Demonstratio
les
Ario BBC reccanguli ad recrangulur
FF. C est compotica ex ratione F R 2d
FF, id ost AF ad AF, _ CX F C ad F.C,
id est F C ad F C: (cd ex ij (dem compoti.
tur raciorectanguli AF C ad A F C, rectan-
sulum, igicurve F F C rectangulum ad re-
Crangulum FF C hoc est quadrarum F FI
Sd quadraTUM E FI, SIC A F C recrangulum
CA adreccangulum AP C. guarAH AHL, HIC
puncca sune ad elliplm. Duod erar demon.
Arandum.
lie E
I AB rectaBEnOrmalis ad A C, et illi FuE
Dric aequalis, crute A FIH puncra ad cundé
cireulumserit enim XD C rectanoulum x
qualo recrangulo r P C MOC CA quacaco P. H. qdeoque punera H HX ad eiroulum.
T BDE roctangulum ad recranGulum B DE, sic B DC, reccanpulum est ad
Corollarium.
u
1
1os. 341
SEHOME

## Folio 324 — 1815201908:0381
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000381.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
 L. F 1+ 810
eROPO5111O CLI
rectansulis aequalia quadrata 6 l.
Dco puncta I, I, Feneactemp.
324
Dla AD, BC; iunsancur icem puncta AC: cum rects duCANEUT FO
parallelae lineis AD, BC, Occurrentes AB linex in FIHI, AanCQ HCIF,
an 13. ha-
b Ibid.
Ecene se in F dux quaeuislinex AB, C D quas coiunsant due patalle
Demonstratio.
Acio HOF recranguli ad recrangulum FOF
est compoa ex rarione HIG ad FIC, id est
ACad AC, e exracione FC ad FC, id est 6C
ad CC: sed exiisdom est compolica rario reCFaN-
gulis A GC ad A CC. igicuT VE FTCF rectangu.
um est ad reccansulum HICF hoc est quadracum
ad quadracum LO, sic AC C recrangulum est
adreccangulum AC C: quare I, I punsca= lunead
ellipum. Ouoderat demonstrandum.
Corollarium.
cacus ex F. puncco incerlectionis raTA LK
Daralleta linCA AD: SI AR, F R, K C fuerine
continux, de L. R linca normalis ad reccam AC.
dico T,I, punteca esse ad circulum, cum enim sIc ve
AK C recransulum ad A C C reccangulum. SIC
F R quadratum ad quadrarum PG: (id enim eo-
dem discurluprobabimus, quo receangula AC K
octendimus cReadreccangula A CrK ve quadrata
CI, ad quadrata C I.) ersepermurando De AK C reccangulum ad quadracum F. K
Cla C C. ixice,    LI. ∞ A17.
EIC AC C reccansulum ad quadrarum C, P. ad eoque quadracum LC aequale re
PROPOSITIOCLI.
E AB C semicirculi diamerer A C, didila vicunque in D D, d ex L
normales erigantur DF, hanrque ve BD ad BD, sICF. D ad F. D
Demonstao
T quadratu DB al Gua
Dicopuncta E, F. escad eandem ellipsim.
acacutm LhrcMeite qua
racum es ad quadracum ED.
n. sed ve quadracum BId. ad. qua.
op Aracum BD SIC AD C reccan
sulum est ad reccangulu ADC:
isitur ve quadracum R D ad qua
dracura F. D (IC A D C rectangU
lum elt ad reccangulum ADC.
Duareb I, F puncca lunc ad et
lipum. Duod cras demonstran.
P KO
dut.
u   t  uute u e e  e u e pe e ute 1e 1e  1e   e   s   u u    t e e e e sta . e u e   t  e e te tu t te e  t  p te p et t   e e e e e ste to 1 

## Folio 325 — 1815201908:0382
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000382.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
dqua
ca18
1DC
Aede
O
EL L LF 3+3.
LR OPOStLIOBLCCL.
IVper ABC Temicirculi diamerro AC rectangulum aclcHDATUE
AF: ductilque lineis D G parallelis lateri A E. quxe circulO OCCUErANE
in BB, ducatur quaeuis lK parallela rectae F. D occurrensD C lineis in
L L. Racque ve AI ad IE SiC B FI ad FID.
Dicopuncta HH elle ad eandem ellivlim.
Demonstratio.
TF AB ad AL, HOCCA CD ad
LD, AC BD cstad DH, 1gi-
cur permurado diuidendo, icerum-
que permucando ve GB ad L TI,
Ec B I ad DFI, acqui B D est ad
FID, De BD ad FID, sunc enim
ambae raciones BD adHID, Cx-
demracioni A F ad TF. quarC ve
EB ad T. II, Sic GB ad L FI: _
permucando ve GB ad GB, siC
F. FTad L. II: _ vE quadracum G B
ad quadrarum GB, SiCL II qua-
deacum ad quadracum L JI: CA au-
tem requadearum C7 B ad quadra-
cum GB sic A C C rectansulum ad rectan Buu A G C, Id est LE. K. rectangulum
ad rectangulum IV K, igitur ve P FI, quadracum cst ad quadracum L. FL, lclL. R
rectangulum eA ad rectangulum IL. R: quarc a F LL puncta Cunc ad ellipum. uod 2 Xbid.
exar demonstrandum.
P R O F 0SHAO CF
VIE ABC legmentum circuli quodcunque, cuius A C subrensa, diui-
D Carccunques in DD, crisantur ex D normales D B, AatquC VE BD
ad BD SIC LD ad F. V. 1, i1
Dicopuncta F, L ese ad elliplim.
Demonstratio.
DErtectosemicirculo AB C: ducaeut.
CH diamecer circuli EBFI Paral-
lcla lineae AC, qux BD, lincas pro-
ductaslecerin FF: Aacque veBD ad
D Eis sIC FD ad DR: Tum CX C &
EI rectae crigancur CL, FIM paralle.
lx lineis, BF secances KR lincam in
T ec M. Duoniam est vE B. I ad DF.
AC d F dd DH exixpermutando, ve
BD adF D, sic, D B ad D K. Acqui
BD est, ad D R, VF BB ad DB. 181
cur vE DF ad D, K, sie D L, ad DR; quare puncta R. R ad candem lincam, de
quidem parallelam linex C. FI. Kursum cum sic ve BD ad DF; ita F. I ad DR,
etccbponendo ee permurando BF ad F R, VE D F ad DK. igitue De BF 2d
Lt ACiBFi aet L, t. _ pup sum Permurando, vE BF ad B B, siC F. K ad F. H. XC VC qua-
e al la tat
sti

## Folio 326 — 1815201908:0383
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000383.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
129. h1.
Ibid.
LLIPSIS
quadratum B F ad quadrarum BF, SIC F K, quadratum ad quadrarum FR: sed ve
BF quadrarum ac adracum B F, sic FIFC Eectangulum est ad rectangulum
sulum ad rectangulum MHL HC quaaTaCM LR ad quadracum BH. quare = B, B
puncta lune ad ellipum. Duod erar demonstrandum.
ROPOSITIO CL
26
HIFO, id CA MR L rectansulum ad rectangulum MIR P, isiEUE VE MRI. rectan-
que normales BD: de sectis BD fianc aequales B P. parallela
Dicopuncta Fe ad pCuu Maiherer cA AC.
Demonstratio.
Vcancurrectae DR. quo-
niam anguli BDC recti
sunE, et B H Parallela, anguli
quoquo DBF crunc rectis
QuacFATA ISIEUF DR, Rquancur
quadratis; BD, BB, hoc est
quia BD, B F. Punc aequales,
dupla sune quadracorum BD.
Crro ve quadeacum BD ad
facile apparebit si pertecto Cco elsiplis eadem constructione ad parcem alte-
ram producatur, cunc enim parallelae omnes DP a recta AC bitariam dividenturs
linex BI aGdaICStCCCS FG SCcanteS F G lineas in FIFI.
Dico puncta B, HI, F. esse ad eandem clliplim.
Sco AB C Temicirculi dianieter AD, quam in D SCCENE quOEcCUn
diaMCErO AC.
quadearum BD, hoc est ve rectangulum AD C ad rectangulum AD C, ita quadra.
anvuli D BF recti sinc, et lacera BD, BP aequalia, erunE BD F Comirecti. cum
cum D F. ad quadratum D R. Suntvero d DP rectae incer se parallelae: cum enim
erso etiam BD C rectus sic, reliqui F DC sunc lemirecti; a deo que xequalos; vnde
DE Parallelx. Punctaisicur P, EBlunc ad ellipum. Quod aurem AC (c diameter.
PROPOSITIO, CLVI.
tIrculum ABC sccent ad anoulos rectos diamerti AC, BD ductir
aque rectis FG que AC, diamerro xquidiltent, demittanEUF ex B
Demonstratio.
Poniam F C+ guadtato a
ale eB rectagulu BOL
Hoc eAt BC F, 2 rectarirulur
bis sumpeum sua cum quadra.
to BG; crit a Quaatatm
AB aequale rectangaIO BbL
B
SlUMDEO HHA CAMI Guaatac
: sed F B quadracum elt
equale quadraris 1L, B6
ablaco isicur communi qua
dracum aequale rectangulo
BC F bis sumplo. Smiliterre
drato BG Manet HIO, qua
liqua quadraca H C duplalune
ecta
qo ueusiei eiue aese u es ue e 1       u. t   s  e  s e n ete 1e  e es te  e e e e  e  et a  et t ut   (    e t . 1ete  t  s  1 

## Folio 327 — 1815201908:0384
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000384.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Oreo
itert
rectat
ELLIPSIS.
32
rectangulorum BC F. Ligitur ve quadracum LTC ad quadrarum FTC: Sic BG L
rectangulum elt adreetansulum BC L. quare puncta B, li, e omnia puncta LL, ad
eandem lune elliplim. Quod eracdemonstrandum.
PR O P OSITIO CLVII.
Sto ABC circali diameter AC _ ex C recta quaeuis alela C Boc.
curranic circuli perimeero in B, dein ex B demiltarecca B l que AC,
diametrum ad reccosangulos secet in IC. ducaneur quorcunque linex F. F
parallela rectae B l’occurrences AC. diamerro in C, de lince, BC in D:
hanEque E D F rectangula aequalia quadcaris (7FI.
DicoLLHC puncta eslead candem elliplim.
Demonstratio.
J Z ED Frectangulum adrectanigulum
P. DF, SiC BDC rectangulum est ad
rectangulum BD C, id est rectanoulum
KOC ad rectanoulum R C C: sed
(quemadmodum alternando patet ex hy-
Pocheh) veP. DF recrangulum ad reCEan-
sulum F DP, Sic ITG quadrarum est ad
quadeatum HIG: IBITUEVE RG C FCCTAN.
sulum est ad recrangulum KOC, SiC LTC
quadracum est ad quadracum FI 5. quaret
KHC puncca lunc ad ellipsim: Ouod Crat
demonctcundum.
eROPOSITIO CLVIII.
VECenE ABC circulum OrEOGO.
Dnalicer diametri AC, B F act 293
Per B tangente BD: ducacur per P. centrum recta Gua uIs L.D, Occur-
renstanseni BD in puncto quonis D. dein rectx ducancur FHTI, pa.
rallelae cangenei BD, OCCurrenteS E. B diamerro in LIFI, et P. D linex in
LI: RarGuC VEF HI ad F HE, SIC TK ad IK.
Dico AKD puncta esse ad eandem elliplim.
Demonstratio.
DE linea donee accx per Mcangencioccur.
FaC in N. Ouoniam BD, NM; FTI linex aequi
distane, eric ve reccanoulum BIrM ad reccall
sulum BHM, Sic D LN reccangulum ad FCCTAN-
sulum DIN; Sed cst ve BHIM recrangulum ad
rCCEangUIUM BITM, sic Fi FT quadeacum ad
quadratum FHI, id est quadrarum TK ad qua-
dracum TK. igicur ve DIN reccangulum ad re-
cransulum DIN, sic est quadrarum IK ad qua-
dracum IR. quarE AKD puncca sunc ad el
lixtin. Quoderac demonctrandum.
DROduCTA B F diamecto in MI. ProducaLIE dt

## Folio 328 — 1815201908:0385
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000385.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
L. L IPS18.
SeOSITIO CLIX
TuT Per C tangens C L, occurrens AB linex in L. dein reCEX duCANEUF
quordunque FF. parallela linee DB bccurrenres A B linex in HH: &
Virculum ABC cuius diameter AC contingane dux linex AD,
BD Sccances Fele orrosonalirer in V: junctilque punctis AB, 252
aGutates L. C.
CircuLOIM L E. EUIMI PEF P FCCEX ACantuF C KL parallele linex AD Oc.
currences AC diamerro in De NC linea in II. Rarirque FF. lineis
Dicopuncta  e a ep.
irclnsttotibo
T A D Cst ad DB, siCAF
de ElL. ledkdit
aa aequales, igicur d
AF, FH linex aequaneur. qua
FC_ FK, LAIlinex luncequa
les. Rurtum cum SIC VE AF 20
FHI, EC F L ad F FP, CruNEBI.
la cer c xquales: cl
aucem ex construccione e
linca x qualis linea L. C: ixiculi
coca IC, eA xequalis toriBH
Hoc est F A id cA F K, quare
deguacae LR ae guaa
EUM PK, EC FC quadratum
est ad quadrarum FC. led ve
srandum.
TU FR; HC ARC FCctAHB
lum estadrecrangulum ARC
id cst AIF reccangulum al
rectangulum ATF, ieieur r
quadrarum. LC est ad quadr2
cum IG, SC AIL FeCEanOII
cstadrecrangulum A LL
DuarE AOL. Puncca CunE 24
elliplim. Ouod erar demon.
Duod si eadem construccio ad alceram parcem continnerur, pertcietur clliplIs,
alcera sui parce, quae inera circulum cadec. Vbi hoonoraty dignum occurrit, quod
licer circulus de ellipsis sele invicem secenc, eandem camenrectam D A in seccio-
nismucux puncto A concinsant. Ogod enim circulus COntINSAEFCCLaM AD p2.
cet exhypocheli: quod eandem contingat etiam ellipls, in de Ec manitectum quod
omnia perimecri ellipeici puncta lint in lineis Ci K jux incex puncta C et A, WA
D A ducuncur parallela.
eROPOSIFIO CLX
F K quadracum est ad quadea-
11
Ecencleduo clculAbC LC. d Moram sicer L. BL canlea
nex quaecunque EF occurrenres circulo ABC in punctis l’a a
circulo in punctis Cru per G recrx aganeur lilnormales ad lineam AC,
OCCUT.
per E. cencrum circuli AB, junctisq. punctis A C ducantuF ex P li
e t  er st e  s M  t s e t  ut e e te at    e   te pe    t  e       e t     t  e t t   e i    se     e te t e e s  e 1 16  p  1

## Folio 329 — 1815201908:0386
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000386.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
pledo
e
AC,
CCHI
EL L TPSTS.
22
OcCurrences AC linex in LTHI, e circulo ABC in II: Fancq rectis CF
aequaleslince C L.
Dicopuncta A L. L. esse ad cllipsim.
Demonstratio.
VCanTIE Ex C per C lineX CGK. ve
ROC rectangulum est ad rectangulum
KGC, siC = FC F. rectangulum est ad rectan.
culum LiCtRi sed eAbrEKC C rectangulum
ad rectangulum RCC, sic OH linca ad li.
neam CIB, _ VE FCF rectangulum ad rc-
ctangulum FOF, SIC FC linea ad lincam
FC, igitur ve GHI ad GFI, siC F C ad F C3
id est L. C ad IC, e componendo permuran-
do L. HIad I. HP, vrC HI adCHI. Ouare pun.
aa ALL. sunc ad ellipsim.
PROPOSITIO CLZI.
VIE ABC ellipsis diameter quaecuin-
 que AB, actilque per A lincis C D,
que cllipli OcCUEraHE in C C, AaEVEAC
ad AC, siC AD ad AD, _ VE AC ad AD, sic AB ad AP.
Dico puncta A, D; F ad eandem elliplim elso.
Demonstratio.
e cua
Votam eh e l palalteta ClansaGC
Lproinde LC A, DC A lmilia, crunc ve linCa
C a ad lincas AD Cinsulae ad Cingulas, ica singula
FC ad singulas CD. Aequi singul_ C A CuHE 2d
singulas AD VeB A ad AF. EroOsingula FC sunt
ad singulas DO, VE B A ad AF. Ouare quam FA-
tionem habet vna FC ad inam DC, candem ha-
benesinoulx reliquae F C ad singulas reliquas DC.
lgicur permucando velune F C 2d FC, ita CD PunE
ad DC, ddcoguere lune quadrara FC ad quadraca
F C, ica quadrata ED sunead quadraca OD. limili-
ter demonstrabimus, VE A F sUnE ad A F, AC eNC AG
2d A9. Vnde vereliguae FB sune ad reliquas F B,
ica reliquae G P. sunc ad reliquas OF. O uare cumre-
etangula AFB racionem habeane ad lele invicem
compolicam exracionibus AB ad AF, _ F B, ad F B.
quae ostenla lunc eadem esse rarionibus AC ad AC,
_ GF, ad OD, ex quibus componicur racio rectan-
sulorum AOF; erunc ve rectangula AFB ad rectangula AF B. Ic rectangula
AC Pi adrectangula AO B. Arqui rectangula AFB sunc adrectangula AFB, VE
quadtaca FC ad quadrara F C, hoc est per luperius demonstraca, ve quadrata CD
ad quadrata GDs ergo rectangula AC F sune ad recrangula AG F, ve quadraca
CD ad quadcaca CD. Puncca isicur D A, AD F sunc ad ellipsim. Oyod exac
demonstrandums

## Folio 330 — 1815201908:0387
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000387.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
EL LIP S+5.
DC, DdF divise Punc in F _ 
Dico L. P. C M puceta esse ad elliplim.
StO ABC ellipsis diameter gexuis AB, diuila vecunque in D: 8
ex D ad peripheriam recta AUCANEuF DC, DF qua proporrionali-
ter diuidantur in E ee C: dein AD diuidatur in L, e DB in M, ve
Demonstratio.
VCANEUF ex C de F ordinarim linex
CTT,F. Pad AB, diameerum quibus ex
E d C paraIICLA duICANEuF P R, GN ve
DC ad D E, siCD F ad GD, igIEUEDEC HI
ad F, K, AC F Iad CFNY, _ FK ad ON.
DE CTT ad FI: isitur ex quadratum RR
ad quadrarum CNV, VE C HI quadratum ad
quadracum FiT. Deinde, quoniam D I
CAad DN, VE DI ad DG; _ D A est
ad D L, VEDF ad D C, cric ve DI ad
DN, SiC D A aAD L, CrSO VEVnA AntCCCE
dens DI ad vnum consequens DN, (hoc
eAVEDF ad DC, hoc CAVED C ad DF.
hoc cstvE DFI ad D R) ita ambae antece.
denres, hoc est eora A I ad ambas conse-
ad coram DMI. Similicer inferemus L B CHCdd KM, vE DB ad DM. ErgoLBad
rectangulum ATB, e rectangusi ARB ad rectangulum ANTB, ex racionibus il.
lis aequalibus compolirx, exdem Crunc. Led rectangulum AIT B cA ad rectangulum
ATB, vequadratum C FI ad quaAcum FL, hoc cA per superius demonstrata ve
quadracum P K ad quaacum C NV. Ergorectangulum L. RM cA ad rectangulum
L. NM, vequadrac L.K ad quadrarum C HY. ergo puncta L, F, C. M lunc ad el.
PRC
10 CLXIIV
InE ABC clliplS areS AC, BD.
ductisque ex D semidiamerris
quibuluis DE, DE, AGAHEUEPCF F &
E linea IO, K H aequalesip(ISFD,
ED, Parallele verO axi AC, OcCur.
rentes axi BD in G _ II.
Dico puncta AIK esse ad elliplim
ODOSITLO CLX
quences, hoc est Eoram L. N. SimiliceF InFeremUS A FF cNC ad L K, ve D H ad DR
Vnde AI es ad L N, VE AEI ad DK, se permucando AT Cst 2d AFL, ve L. N ad
T K. Praecerca, quoniam cAve DF ad DC (hoc eAt. ve coc2 D B ad EOTaM DM)
sic ablaca DFY ad ablacam DN, crir ex reliqua IB ad reliquam NMI, VETOTA DB
NN, ve FTB ad KMI, permucando isicur ac inuerrendo HIB ad TB, VER M ad NH.
Cum igicur ostenderimasrariones AFI ad AI, X AR ad A N, icem raciones HB
2d TB, _ KM ad NM caldem esse, rariones quoque rectanguli AFTB ad
t LXIS.
Demonstratio
Der AC ve diametro describatur cil
culus AL C, _ DF, DF linea verim
que producaneur donec circuls pelaett
lipum. Duod erac demonstrandum.
oiteu  seu e e e  te t qes tet te te e t  e te s e e t ete e it eat et eta  e e te ite ta   e  e  tte tit e e   e e es   ei   t e e e   e e e t e  e     a    e

## Folio 331 — 1815201908:0388
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000388.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
ion
Occ
c
rimet
Oeb
E L L. IPS
OCCUrFANEIn E, M, N, O: actilque per P e F, lineis PF R, SFV dux circulo oc
Curranc in R, V e AC diametro in 9 e T, de aequidistenc axi BD, ducantur
ordinarim ad axem AC linCx IZ, RZ. Ouoniam PFR., SFV lincx in F _ F,
proportionalicer lunc dinila, racio rectanguli PP R ad rectangulum SFV duplica.
ca es rarionis P B ad SF, adeoque cric PF, R rectangulum ad rectangulum SF V
requadrarum PF ad quadratum SF id est re quadracum P.  ad quadratum FY,
id est requadracum IZ ad quadratum R Z. Quare cum rectangula L P. N, PFO
aequalia sintrectangulis PF R, SFV, etiam L F. N rectangulum est ad rectanou-
lum MFO, re quadracum IX ad quadratum RZ: deindocum IC hoc est ZD
Ac aequalis F D, _e DC aequalIS DN, Crir Z C aequalis L N. eA vCTO _E COLA AC
aequalis tori L NV. ergo reliqua A Z reliquae L P aequalis est: adeoquo AZ C rC-
aangulum aequalerectangulo L F. N: eodem modo ostendicur rectangulum AZ. C 2 142. h1:
aequari rectangulo MF O, crit igiturvE A Z C rectangulum ad rectangulum AZ. C, ins.
sic quadrarum I X ad quadrarum RZ. Ouare. AIKC, puncta ad ellipsim. Duod
exat demonstrandum.

## Folio 332 — 1815201908:0389
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000389.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
610bo
huius.
f21270
DF X I La
Circulum cum ellipsi comparat.
P R OPOSTTIO CLZVIIL
ABCanE AB C ellipls, ex circulus AD C communem axem A C,
ductague ordinatim FF, occurcat circulo in F ex ellipa in G: inn-
GANEUEGUE AF, AC. dein ducta D EI parallela AF quae circulum
contingat in D, occurracq; axi in Hls demictacur ex D ordinatim linca
D I ad diametrum AC secanS Clliplim in B _E A F, A G, in IE _ L: iun-
sancurque HB.
Dico AC lineam aquidistare rectae HB.
nea lune patallera. bdea o
Demonstratu.
EF C ad RF, sC FF
ad IK. SCd aVEF C
2d F F. AC TB eA ad ID
igicurve IL, ad TR, siclB
ad FD; _ PermutanO ve
TK 2d II, SiC TF ad lB
CA aUTCM VE IK aa LD. SIC
IA ad TFI (quia AF, FL
ex hypochesi aequidistane
isicur ve TL ad IB, SC L A
e LIL. HCatC 260L2B 
PR OPOSTLIO BLAIK
IncABC, DCF cliplessimiles, limilicerque ad idem centrum lcon.
AicuTE: X SupCF AC, DF diamerris, circuli describANEUE AGC
DFIF: ponatur aurem ex centro quaedam lK occurrens circulis in L. et
KC, purictis, Equibusnormales demistae L. M, IEN, SecencellipsEs in O
de P: ducancurquelince 1O, OP.
Dico esse re IL ad L IE, lic 1O ad OP.
Demonstruto.
Rigatur ex Lcentro normalis LGO1.
currens ellipsibus in F, B; crcuHSVC-
rd in II e C. Ouoniam exM circuli
AC+C; D FTF quam ellipleS ABC, DLF
Similes lune similicer que ad idem centru
consticurx, ve LC da IB, sic IHI est ad
LE, led ve OIad BL, sic KN ad PN
u    e t es ee tete tete t t e  te  e tt  t te te pete e te peste tete  t ate e  e 1  t te  tete A t  t  te  et  tit      t ite 1e   e e  t    

## Folio 333 — 1815201908:0390
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000390.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
1
DE.
CenII
esta
F L L IPSIS.
REVC HII ad F I AC L MI ad OM: IBICUEDE KN ad PH, AC LM CM d OM. d
permurando ve K N adt LM, hoc es EN ad IMI, sic PN ad OM. in directum
igitur TunE I, O, P. GNArOCUM RNI, LM ad AC, sine perpendiculares, ac proin-
de incer le parallelaes criere II ad P. R, Ac IO ad OP. Guoderac demonstrandu.
PR OP OSITIO CLXX.
Virculum ABC secent diamerri dux AB, C D ad rectos sele angulos
decultances, actxe que per C e D linee que circulum contingane inC
d D, concinganccriam ellipsim A F. B cuius aliqua sic diamerer A B. dein
quaeuis ducatur C HI parallela C F; occurrens circulo in G dc l, ellip(i
vero in I e FI, e C D linee in HI.
Dicolineas GI, HIK essexquales.
Demonstratio.
EX concactu ponacur ad centrum
FN, quae aproducta incider in
punctum concactus L’ad hanc dia-
mecrum, vepacet ex alibi hoc in libro
demonstracis, eruncordinacim poli-
Ex K HI, AB, inde rectangulu P L. F.
eA ad rectangulu F. NV, ve qua
deacum L. II ad quadracum NB, Scd
rectangulum P L F est ad rectangu.
Ium FNF, ve rectangutum CMD
ad rectangulum CNYD, (cum enim
CF, DF b dC K HT exhypoches sInC
parallelae, rectangulorum illoxum
rariones ex ijldem rarionibus Com-
Ponuneur,) et rectangulum CM D, est ad rectansulum C ND; DE quadratuIM ML
ad quadrarum NB, quadeacumigicur M I est ad quadracum NB, ve quadeacum
E II ad quadratum NB; x quantur ergo quadrata MI, L. IT, adeoque _ rectX NI I
LH carumque dupla C, L, K HL x quales lunc. Ouod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CLXXI.
VEmicirculum AB C cuius diameter A B ee concrum F; contingat
recta CD, aequidistans AB, et per A de B, puncta elliplis describa-
cur que diametrum habeat AB, e rectam C. D concinsat in puncto
quonis D: ex D vero ponatur D F occurrens circuli peripherix in F, 192-
curq per P parallela CH, secans elliplim in H ex I, circulum vero in 
de F
Dico lineam CHL in 1 et F, critariam c e divilam.
Demonstratio.
3
ona el per praecedene e aqua
lis efablata Co LF, aset FHI,
aequalis CI; sed iph FII aequatur IF (quia
FEI ordinacim posica est ad diaetrum DP)
aequancurigirur GB, IF; FR linea. Quoe
Cracdemonstrandum.
B13. bol 11

## Folio 334 — 1815201908:0391
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000391.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
27O. hu
LLIF5IS
PR ODOSITIO CLXKII
erum circuliin H, C F vero ellipleos diamerum F. D in C.
Sicoiunctam CH aGuidittare BF.
Demonstratio.
DOHaTUE PEF F, linea TK aequidistans B. B.
iunetilque punctis FD, ex FY recta duCacVE
HC, Parallela IK, occurrens FD linex in I.
_ F. D in C. Duoniam TK aequidistacrangenci
F, B, 2IF, F K linex incer (e aequales lune; quare
e FFO, linca aequidistans PK in L, diuila quo-
que est bitariam. E iam punctum C non sC com-
mune lineis FC, F D, FIGI, OCCUTEaEHI C ipSFC
in M: Ouoniam ergo FEM aguidictac R B adeo.
que AC, vE AD ad DC, SC FIL ad LM,
cur C e MI, rnum idemquelune: onde C commune lincis Fi C, F. D ae quidistanti
isitur FIC, BF. Ouod crac demonstrandum.
rirculum ABC cuius diametri AC, BD se ad rectos decultent in
LsD, contingat in B linea BF, ducta deinde per A _ C ellip(IS AF. C
continsens BF in F, occurrat circulo in F, e polita ex contactu ad cen-
trum recta F D dUCanEuT AF, et e A F quidem lecans BD diame.
quarCMEI in L diuisa est biFariaM: Se d _ FIO, in L bitariam est diuila; punctaigi
PROPOSITIO CLLLIII
ircidum AB C cuius diamcte (C, BD sese ad rectos decuNanE, COn-
in II, occurrens diametro AC, in C: dein ex HIponacur HI, parallela
BF occurrens cllips in l, iunganturque 16.
Dico lC lineam conringere elliplm in I.
Demonstratio.
scingat in Brecta BF, ductaque ex E recta linca F. D, de lcribatur ellipsIs
AF. C, ContingeNS F F, in P: ponarur quoque F.C contingens circulum
Dnaeur La aequidulcans LD, Cu IIla O.
dinacim posira ad diametrum AC, cum AC,
DF diamCtEI SnE COnIugaTE: CX R vero cri-
SaCUE KHI, Parallela BD, ocCurreNS FI li.
nex in FI. Juoniam tam IIK, BD, quam IR.
dracum HR: led requadracum L D ad qua
dracum TR, sC AD C rectanoulum ad re-
etangulum AR C. reigitur rectagulum ADC
adrectangulum ARC. HC BD Guadrarum ad quadratum FIK. Ouare punctum H
in peripheria circuli est: isitur cum ITK sic normalis _ FTC contingens, ve GC
ad CR, SiC CR ad AK: est aurem TK ad diamerrum AC, ordinatim poltA; et.
veattia 30 Clb linca est Cansens. Guod erat detohlitatiaum.
F. D aequidistane, eric ve quadeacum F D ad
quadratum TR, SC BD quadratum ad qua-
D. BH1115.
t   .  s .    u es . e i s e t   a e     1. u   e i pe. 1u  .1e t.     1  1 .   1u. 1u.   . 1   p 1t e . 1 1. 16 1. u

## Folio 335 — 1815201908:0392
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000392.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
sene
de
+61
O
EL LIP(STS.
P R O POST F TOLC VIXIXLV di
TIrculum AB C cuius diamerri (c decullant ad recos, Contingat
sin B linca B F: dein per A e C puncta essiplis actloatur contin-
gensB F lineam in E, cuius una c diametris sic AC. intC L D, auca-
TUE Ex A SCCANS AL, X per FagacUT F FT; paFaIlela BF, OCCUTTCHS CIAPIE
in I. Tum per A X l ducaehir recta AI. eoncinsac aurem circulum recta
MIN in MI, parallela Secanti AF, _ ox M ducacur HI O, parallela tansen-
ei BE, occurrens ellipsiin P; Ponacurq; pex P, recex B F. a quidittans P R,
secans F H lineam in R VI
Dico PR lineam, concingere ellipsim in P.
Demonstratio
 ∞BIS
PFCanCeS A E A TipISD BDR
Doccurrane in G e L. Deinde  cui
FFI OcCuErAE ipE BC in T)5 ex
cangenci in N, _ rOCtADP. In R.
SIMILIECE NIO OCCUEEAE ipA AF
in V, _C AL in S, _ D F in O.
de CD in X. Omniam ACD,
AL D criangula, candem habenE
basim AD, SIINEqVC FT, KI
requales, crunceriangulab AC D.
AL. D incer caldem parallelaS.
ste
Rursum cum MO lincaxequidister FK, crune V X, S Mhex aequales; clt vero
d MX icerum c ipA P O aqualis; ergo e reliqua M V relique H S aequalis est: cClavins
ledrectae MV aequatur linea N F, et PS, est aequalis RI, isicur _ N F, R I lincC ad 40. 1.
sunc incer se aequales: CA vero _ FT ipsI RI aqualis, isicur NY, RR aquales
TunE. Sed, quia MIN cans enS CadicEOTa exera circulum, N P maior est quam FT.
hocest quam R I. ergo _ R R maior est quam R I. erso punctum R, cadic exera
ellipsm. eodem modo sicam suBra quam InEra MO, ParaIIC lE du caneur quorcuque.
octendentur omnia puncta rectae PR, cadere exera ellipum precer punctum P, re-
cta ixitur PR, tanget elliplim. Ouoderat demonstrandum.
P R O. POSITIO CLZZV.
Sco ABC ellipsisaris AC vecunque productus in D, ductaqu ex D
slinea D B, quae ellipsim contingat in B PonatuT SCCanS AlECTADF, Oc
currens ellipliin E. X F: demissis deinde F. F ex B, B, FnormalibusF C, BIL,
F. I ad axem AC; IUNGANEUF F HI, FTI.
DicOFOH, E. LHL criansula esse limilia.
Demonstratio.
aryrtuius
ponstra
AR C, occurrens rectis FC, BII, F Lin
RP MI, duCANEUFAUTeM FeCtR MIFT, KTI.
FFI, FHI: Cum isieuE SE d ve F C+ ad F I
(hoc est ve GD ad ID,) SIC RG ad MI,
DATCE MK productam convenire in D: est
aucemC D I contingens, igIEuF TIRO.
FTMT criangula Similia TUnC. quare vE
RC ad MT, sic HO ad HTT: led est ve
RG adNL, AIC F G ad FL, igItUFVE FO
2d P. P, Sic H C est ad F L: lunc aurem an.
pec e mantecio ceterau eucus

## Folio 336 — 1815201908:0393
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000393.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
 1.  1  1 ai1
LVIPSIS.
836
di x
tcc
Sulilaceribus proporcionalibus conEenei recis crian sula iBITUK FOFI, P. LH sunE H-
mitia. Quod etac demonstrancat,
an quam ordinaciiri poraulus quorcunque DF.
CF.C
113. LCS 182CCI PIR IOB OISITIO CLZRVI
mesticia
CI in ABC ellips diameter A C vna coniugacarum equalium: ad
rectat cla aquari quadraris DE
 3. 17)
2dC .p 11 et
Demonsratio.
BOnacle BC alcera diametrorum coniuigacarum
aequalium: cenerum aurem sectionis sIC F: erié
EBitUE AF C rectangulum ad quadratum F. D; ve
AF C rectangulum ad quadracum FB: sed AFi C
rectangulum id est quadracum A F aequarur quadra-
eo EB; cum diamecri sine xquales, rectangulum igl.
TUT AF C de qualc est quadraco DB: quod crac de:
monstrandum.
PROPOSITIO CLXXVII
Ecet AB C ellipum una exdiamceris con-
iugatis aqualibus AC; quam in D secet
FD, Tumpeaque FI Flinea que lic xqualis AC, de(cripio-
ApEr A ACircuIO FIL I, auidatur FII in B, ve AC est divila in D,
_ ex Kvormalis erigarue R L.
Dicb F. D, KL quadrara ellc incer se ae qualia.
Ordinac.
Demonstratio.
Veacur coniugataruxqualium alcera F B: sectioniS aureM CeHEruM SIEO, Eectan.
sulum ADC, est ad quadratum F. D, vE A C C rectangulum hoc e Gualla
cum AC. est ad quadracum CB: sed AC, C B quadtara Cune aequalia. isieur e
ADC rectangulum est xequale quadraro E. D: curlum cum FII, AC linex ponan.
cur xquales ee proporrionalicer in D _ R divile, crir AD C rectangulum hoc est
Quadracum E. D, aequale rectansulo HIK I, id est quadraco L. R. Quod erat demon.
Aralcum.
  p ss e . e  e  e    i e   s 1     e  e  1  e e e  e   e us  e e t  es   t Ate  1 .  1  te   e l .  Hu

## Folio 337 — 1815201908:0394
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000394.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
mon
O
SLLIPSFS.
DROPOSITIO CLZKVIII
Ececellipsim una ex diameeris coniusaris aequalibus AB, ad quam
Dieo quadraca AC, A D mu pla  esatt ualilatis IF, F H s.
mullumpris.
Dponacur recta C D ordinarim; iunganEuTG AC, AD; cum CuPeF F P
xequalticce b amesprepecenuet ma i Bacictibatutc-
culus E. FK: actaque per oan lansale LL, LIL.
Demornio.
Vadraca AC, AB limul lumpea =GuaIa IBNCGHaaACS a C, C A  B1 TurPIIS, L +. BCM.
Lee quadeata TE, F K b aqualia sunc quadraris LFI, HI bislupeie pelpiae.
are
cedencem C O, IEI quadraca sune xequalia, luncque lcem xequalia incer se quadraca 17. primo.
AG, B HI, quod AC, F. E recte aequales sinc ex constructione, quadracaigitur CC.
AC bis sumpra aquantur quadratis GHI, P Hbis sumpris; lgitur ec quadraca duo
C A A D simul Cumpea equalia lunc quadraris LP. F. K simul lumpris. uod exat de.
monttrandum.
3t
lkdeOdItLata.
IncAbMpSaSAB C . C ao C CeC.
LEcribacur C F. D; Polucis EL ordinacim ad arem C.D, qua circulo oc.
currant in F  MI, axi aurem in I ee ellipE in L; ducancur Cx IF por O)
centrum, FHoccurrentes circulo in H de H, ellips aurem in FI.Ii
Dicoeltevequadrarum L. L ad quadracum F I, sic P R. II rectangulum
ad rectangulura FKHI. . l3
il 180 Demonstratio.
ix lcholio quarie huius libri pacer has
Lduas proportiones FF ad F F, _ F L
2d F L. caldem ehe com CattoC L. L, al
FP quare cum ratio rectanguli F P. L ad
rectangulu LP. L; componacur ex rario-
mibus FI 2d F F; _ D L ad F L, erit
racio rectagulifi P L. ad reccangulu F P L,
duplicaca racionis F I ad FI, ac proinde
eadem que quadeaci E Lad quadracum F. L. lc a teclat Ba FL. L u elatiBula
t

## Folio 338 — 1815201908:0395
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000395.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
1 1 . 111
236. tersi. M F R, hoC est rectanguI2 2 N FR, I_ CH L RTT. CrGO reCtAnGUIIA FK TT sunE ad
POSLTIO CLXXX
E L L IPSIS
3d
se invicem re quadrata F. L id est quadeaca J. I. Quod erac demonstrandum.
Demonstram.
eca LLLCParaIICla ipAI AB quxe cir.
Dico AFF, AElB segtenta esse aequalia.
Airculum A B C cujus diameri AC, B D le decultane ad rectos, con-
scingar in B linea BF: descriptain ellipli per A, C puncta qua
contingat BF. lineam in L, iunsancur puncta AC, AB.
culum concingac in El ducacur exI
linea FFO, paraHlela ranseneI B R OCCUT.
teelliph in Li ex rectis AB, Al. L. B,
BD in N, PP, B Oiunsancurq; pucta BII
AFI, FF, F A, dein per s ducatur siMCa
FL aequidistans ip(i AP: Duoniam tan
FIK cangens aequidictat rectE AB, quam
E L ipA A F, CED aucem dE IL cangenS,
CFUNECAEIB, A F F. criangulorummaxi
maque leomentis AFTB, AF F inscribi
dicta triansulorum ncpCo. Aritque semper aequalium de maiorum dimidiis se.
Bmencorum snC cermino concinuari poliE, sesmEntA B AHB, AF. P. xqualia sunt.
Duoderat demonstrandum.
Corollarium.
Lenim Ccortiencum ATIB octenlum aquale sCgMENEO AF F, Cunc aurem criangu.
la AB D, H F. D Cuper eadem basi e inter ca(dem parallelas costicuca incer le equa-
lia, isicur quadrans circuli AB D Equalis est quadranti ellipsis AF. D. ergo semi-
circutus AB C. Equalis est semietlipa AF C. Quoderacoltendendum.
nectu a cans DE, parallelam diametro AC: secet
aurem AF. C ellipsis circulum ABC in F, ducancurq. linex AF, CF.
Dicolesmenca AIF, CC F esse xqualia.
Paret
13. g 42.
vins
43. bu
i15.
us
F43. buint
haius.
3174. 1
PONunE; dac proinde plus quam dimidia suorum segmencorum. Rurtum cum
criangula ABD, AF D sinc super eadem basi _ intra caldem parallelas Con-
RITuCa, _ FTM linca xequidistee basi AD, crunc OI, NM lincae c aequales; sed
170. hu- 8 cOEx FII, FM, sunc Exequales, Suu e relique HIO, FNinter (C xquantUr: Oua-
eecam criangula TV (D B, NF. F, quam criangula HI A O, N F A, adeo que tora crian-
316. ero Sula BHA, P F A sune xqualia. eodem modo s residuis Cesmentis criansula inferi-
rss. siuel.2. Bancur, ostendemus criangula reliduo circuli inscripea xequari eriansulis residuo elli.
Breosinscripea, _e veraque maiora amenss esse luorum legmeneorum. Ouare eum
Iidem potitis sequicur semicirculum A BD Equalem esse Cemicllips AF. C; est
PROTOSICIOCLRKAI
AbCANE A BC Pemicirculus de A F C semiellipsis communem dia.
Demon.
ttus u  ite hti te  e ate  te  t  tet  e et   e te  e  e p e te et t e ta te ete t ei t te u t u e pe i e ite    e 1 1  1 l

## Folio 339 — 1815201908:0396
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000396.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Demonstratio.
EL L IDSF
Vata O FT linea parallela rectae CF, quae
circulum in E conringac, ducatur ex G li-
nea CT Parallela rectae AC, occurrens lincis
CF, A F in K _ L, ellipli vero in I: actaque
Per I linea IM, qua AF lincae aequidictar, iun.
sancur puncta AL, FL, CG, FO: Duoniam
IMI linca aequidistat secanci AF, Crit = IMrC-
ctacangens, ideoque AIF criangulum beorum
maximum quae AIF segmento pollune inscri.
.F tot
bi: quod aucem C GF CriangUIII COTUM SIE maximUM qu_ C G F lCBIEHEO CIE- p eauus ex
culi inscribuncur manifectum est, verumque ergo criangulum Eplus est quam dimi-3. en +2.
dium lui scomenci. Deinde, quia PI, K C sunc requales, ve facile ex r7 4. huius dedu- huius.
CerUT, sunEque LG, A C parallelX, criangula TAL, CCK sunE ae qualIa: SUINE VErO C+3: huius
ob candem causam aequalia criangula IF L, GF R. cocaigituE AIF, C GF aequalia
Turic. Similicer demonstrabimus segmentis reliquis ellipeicis ac circularibus intcribi
Polle, sive cerminorriansula maiora dimidiis segmencorum es Equalla incer lcixqua.
lia igicur lunc scxmenca ALF, C CrF. Ouod erac demonstrandum.
PROPOSITIOCLZZKII
AbeanE ABC ellipsis e circulus AD C cundem axem AC, duca-
Lcurque recta guaeuis P. F normalis ad axem AC, occurrens ellipt
in C1.
Dico esse ve E. C ad F F, Sic ABC elliplim ad circulum ADC.
Demonstratio.
EiX centro EI normalis CFIEAEUF ETB D: OECUTTeNS
ellips in B ec circulo in D. ve FB ad HD, RC
F.C elt ad B F: sed ve FTB 2d FTD, ACd ABC ct
liplis est adcirculum AD C: IgITUEVE E C ad F, F, (IC
ellipsis ABC est ad circulum AD C. Quod erae de.
monstrandum.
PRDBOSTFIO CLRKKILE
AbeanEA B C ellipsis de circulus AD C cundem axem AC ad quem
Lordinacim polica lic recta P. F. occurrens ellipsiin O d circulo in F:
Dicoleomentum ADFF. esse ad scomenrum ABC F. vE ADC cir.
culus est ad elliplim ABC.
Demonstratio.
i
oroil. 4.
auu aenab. alcacuique Eecla
El aequidictans ipsi A F, concingens
circulum in puncto D: ex quo ordinacim
demictatur adaxem recta D I, OcCurrenS
Mllipli in B _ AF, AC lincisin I _ M,
asacurque pet Brecta BR parallela ad
A G, quae per 154. ellipsim tanget. dein
linex duCANEUT A D, D F, AB, B G, VEF F
ad F, C, HCFL CA ad TMI, Sed es VE F F ad
F C, EcID adIB. isicur ve ID adTB, GIC
CE ad TM. ergo e reliqua DE ad reliquam BM, retota ID ad cocam IB. eAt
autetu

## Folio 340 — 1815201908:0397
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000397.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
LL IPS 13
auTeM VE D F ad BM, sic criangulum
D AL, ad criangulum B AM, e (quia
Parallelae TuntDI, F. R, )criangulum DFP.
ad criangulum BO MI, igicurtriangulum
D AL est ad crianguIum B AMT, vE ID
ad TB, e criangulum D F L est adcrian-
culum BOL ve ID ad TB. ergO torum
criangulum AD F es ad tocum criangu.
Ium ABC, ve FD ad IB. quia aurem
DFT, BR sunc cansentes, criangula ADF.
AB C maxima: (unc eorum quae inscribi
emaiora b le sencorum dimidiis. similirer demonstra-
em. hoctieri poenne cemeeeu ROF olt ad scomencum ABC, vELD ad IB:
curetoce angulum AF B aiCaSI ACE, ve E, F ad F. C, hoc eA ve ID
2dTB. ergororum legmentum A DFli eltad cocum segmencum AB CT F, vE ID
2dIB, hoc est re circulus ad elliplim. Ouod erat demonstrandum.
DiCO ANF Sectorem eAC ad ICCIOreM ANC, ve circulus ADC ad
elliplim ABC.
Pan ex
3.842
uius.
seomentis possune
b 45. huius. Bimus seomeneis reliduis eam circuli quam ellipseos inlcribi posserriangula, quae sine
maiora reliduoruut cscs, ce acteme habeanc, quam ID ad IB. Ouare cum
P ROPOSTTIO CLZXXIN.
AdeMMAMENEC AGUTA AUCATUT Ex CenErO N quaenis diameteF NF,
sdemissaque ex Fnormali F F. que elliplim secet in G, IunganEuFNO.
Demonstratio.
AIBZ. C CFOMenEUM A DF F d eA ad sEBMenCUM AB G R, NE F R ad G B: _ criangulum
182. huius. DF XYF eK ad criangulum GNR, DE F F. ad E F. Ergo ex reliquumnempe sector
c 185. hu. A N F. est adreliquum nompe lectOreM AN C, VE F P. ad O P, hoc est c recireu
ilts.
lus 3d elliplim. Quod erac demonstrandum,
laseottle ebaLa
ICellip(S ABC, _ CIECUTAS
ADC habentes communé
anemmalnapelcclluu cor
mucte Luaeut cua Manteeri
circulilele adangulosrectosin.
cerlecanres, occurrentelque cir.
culo in punctis D, F, G, FT: de
inde ex D _ HI, ordinarim ad
A C applicencur linCR DI, HK
occurrenres ellipliin B d L
IUnganEuTGS F B, L. L..
Dico LFB quadranrem el.
lipleos esse, sicuFHIE. D est qua.
dranscirculi.
Demon-
t   .  s .    u es . e i s e    uue e     1. e t  t. . 1u  1  Et.  u.  1  1   t. 1. 1.    . 1 1 1. Au 1l e  e 1 1 1    1s. pur 1

## Folio 341 — 1815201908:0398
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000398.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
E L. L. IP S LS.
Demonstratio.
Fomencum ABL ad seomentum a ADT es re TB ad FD, vigne cadem LB L 184 B1-
ad TD, ica elt criangulum TF B ad criangulum IR D. ergo ve LB ad FD, ius.
ita eA seCtOr AEB ad sectorem AF D. simili modo oAendemuS seCtOTEM BCOr. 1
T E A ad sectOreM FIF A, ese VE RE ad RFT, id eA, b vE YB ad YD: erGO VEPr. B. B.
IB ad ID, ita esteorus sector BL. L. ad tocum sectorem DF FI, Sed ve IB ad TD,
hoc estminor axis ellipleos ad diamerrum circuli, per 5. Axchimedis de Spher. ic2
est ellipss AB C ad circulum AD C; ergo sector BF I. ad sectOrem DFHI, ve
ellipus ad circulum, e invercendo ac permutando ve sector D F FT ad circulum
AD C, ica cA lectOr BF L ad elliplin ABC, Sed seCOF D F II cA quadrans circuli, c +6. huius.
ergo e lector BF I quadrans ellipseos erir, adeoquec erune BE, E. L. diametri
coniugacxe, ergo, ec. Ouod erat demonstrandum.
Noca idem demonstrari s AD C AE CllipHS cuiuS aXIS A C, SIHEqUC HTF, DC
ipsius coniusaca diametri; si verO D P. II non sic quadrans cllipleos vE sCctOTD RHI
ad circulum, ica erit sector B P L ad Mlliplin, ve ex demonstracione constac.
PROPOSITIO CLXXXVI
A Circuli A BC quicunque sectOT AO C, de ellipsis D F F SectOF
DHE: Sc autem lector ad lectorem re circulus ad cllipsim: ducan-
curque recta AC, DF.
Dico lesmentum ABC eNC Ad sEGMENEUM D F F, vecirculus ABC
estad ellip (I DF F, _ CONEIa.
Demonstratio.
Nueneo CpieosMatoe ACTR deletibaturlu-
per IK diamerro circulus, ductaq; dad axem ordi.
nacim LMI qua auFCraE leGICNEUM L IM ~qu2-
le segmento DPF, occurrat circulo in N et O,
ducaneur que recta LII, M FI, N FI, OFI. Duoniam
Ceomentum MIL aequale eA (CDMOnEO DFF,
eric csectOr L HIMI aequalis sectOriD FTF. Rurlum
Cum sE VE CIlIpSIS ad CirCUIU NOK, SICLTTTIC-
ctor cadlectorem NTII, adeoque _ L FIM (cctOF
ad lectorem NIIO, sicque P. HIMcriangulum ad
criangulum NFT O, DE LM ad NTO, hoc CA sVE
elliplis ad circulum NOK, crie ve ellipas ad circu-
lum NOK, IC T. IM segmencum ad segmencum
NCO, e permutando circulus NOR ad Ccomen-
cum NTO, ve ellipls ad seomencum L. IM. iam
vero circulus ACV est ad sectorem AGC, ex
hypochelircelliplis ad sectorem FTDF, hoc est (Ve
octendi supra) reellipsis ad sectorem L. TIMI, hoc
CA ve circulus NOK ad sectorem NIIO. ergo
ociam hcirculus ACV ad sCOMENEUM ABC, VE
circulus NOK ad segmentum NTO, hoc cst, VF
ance octendi, ve elliplis ad segmencum LIM, hoc
eA (quoniam seGmenTA P. TMI, D F F (UNE ex COn-
Bruct. aqualia) vi clliplis ad segmentum D P. F. igi-
rur permurando re circulus AC V ad elliplim, sic
sesmencum AB C ad segmenEuM D P, F. Ouod erat demonstrandum.
tam vero si tuerir legmencum ABC ad segmencum D P. P, ve circuliis ABC
utlt
d57. BuI.
c59. huin.
E182. B

## Folio 342 — 1815201908:0399
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000399.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
ad ellipum IDE: dico ex sectorem AG C cNe ad sectorem DFTF, ve cs circu-
lus AB C ad ellipsim ID F: invenco enim ve ance ellipseos D F. F maiore axe IK.
arBg.h- Supex IK ve diameero describatur circulus NOK: ductaque ordinatim P. M quX
Termencum L. IM auteracaquale seomento DF F, hanc reliqua ut prius. segmencu
isicur NVIP estad Ccomentum L. IP, vea circulus NO K ad ellipum ID F. Icaq; (c.
ementum NTO ad sesmencum L IMI, ve circulus NOK ad ellipsim: de permu.
tando, circulus NOK ad Segmentum NTO, rcelliplis ad segmentum L. TH, hoc
est exhypochesi vecirculus ACV ad segmencum A B C. Cum ergo se ve circulus
NOK ad scomentum NITO, ita circulus A C V. ad sermentum AB C, CxiF CF
iamb re circulus NO K ad sectorem NFFO, ica circulus A C V ad scCOrO AOC.
Acquire circulus NOK adlectorem NET O, Sic clliplis ad lectorem L. TIM, hoc
est quoniaM segMENEA L TMI, D P. F sunt aequalia. ad sectOReM D FTF. CrgODE Cir-
culus AC. V ad lectorem AB C, ita ellipsis ad sectorem DFF. Ouod erat demon.
Arandum.
PROeOStITO CIMNa
Ao A D B circuli diametet AB divila vecunque in C, dE per CnOF
LIaLIS DOLITA DE, SIE aurem d FC, diamerer quacunque ellipseo
dinila in HI, ve AB est In C, _ per HI ordinacim ducta lR.
Dicoleomentum DBF. eNead segmentum LC: IE vr cA circulus ADB
ad clip(I FL C, dECONETA.
Demonstratio.
18.
rectangulum B C A est ad rectangulum L. NM, ve quadratum D C ad quadratum
ON, ledraciorectanguli BC A ad rectangulum I NM; componitur ex racioni-
bus BC ad L. N, _ C A ad NM. ergo rationes B C ad L N, _ C A ad NM
Cmul sumpex aequancur rarioni quadraroru D C, O NT, hoc est rationi ad D C, O Nbis
Cumpeae. Aequirariones BC 2d LIF, _ C A ad NM, sunc caedem siuc aequales,
cum sinc B A, IMI ex hypocheh proporcionalicer divilx; ergo carum vna B C ad L. V
eadem eAracioni DC ad O NV: Cod, cum sC ve BC ad I NV, SC C A ad NM, crie
quoqueve BC aa L H, lC B A ad L. M. Guare b A adt L. M, id ett SI ad0l.
Nuento ellip(eoSaxCMmBIOrE L MI, de LCHBACTMIPEL L H CHCUIUS L.OM. MMaGi
LMI in PT, DE AB est dinila in C, agatur per Nnormalis OP, secans elliplim in
Oe R: ducantudetemidiame L.L. ALit L. KCaaMMIUM BC AC
ad quadracum D C, ve rectangulum L NMT ad quadracum ON, de permucando
 e at i   ste tete  t e a te s e te te ee    et  t ste tet  t e s t i   e e te et e e es et   e t  t  et st  te e 1 1  u e e      p  l u 1t 1

## Folio 343 — 1815201908:0400
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000400.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
erit
DTr
EL L LPSL
5
343
ve DC cltad ON: sunc aurem anguli DCS, ON T rectisigitur criangula DCS.
ONT sunc similia, angulique DSC, OFN aequales: quare ex anguli DSL
OT P illorum dupli suncxequales _ DSF, OT P sectores sunc similes, adeoque e
SEGMENEA DBF, O L P sunc limilia. igicur ve sesmencuO F P ad circulum L,OM, li0
lesmencum DB F ad circulum D B A: sed eciam ve scomencum OL. P ad circu-
lum LOM, SIC ScEmencum a O FR ad elliplm. quare ve segmencum DBF. a+
cirgulum AD B, SC O I. R segmencum est ad ellipsm FL G, hoc est ex ContrU- ius
ctione segmencum TC,K ad elliplim FP Ci, e permucando cA sermeneum DBP
adscomentum IOK, vecirculus ADB ad ellipum FP. C. Duod crac primum.
Sic iam Cermencum DBF ad scomencum TCK, ve circulus AD B ad ellipsm
E LR: dico B S, C F lincas in C _ FI, proporcionaliter esse divilas. POn AnEuF CA-
demomnia quae prius: Ouoniam est legmentum D B F ad segmentum FGK, id est
OIR recirculus AD B ad ellipsim F L. R, ex permucando DBF. sermeneum ad
2. ha
circulum ADB, VESESMENEM O L R ad cllipsim F L. R; siC auremB et OY PB shil.
seomentum ad circulum OLMI, ve OL R seomencum ad cllipsim F P R, cric vese
ementum OL P ad circulum P. OM, SiCD BF segmencum ad circulum ADB.
Duare _ sectores DS F, OT P sune similes d anguli DSF, OT P adeoque _
illorum dimidii DSC, OTN xequales: sunc aurem et anguli D CS, ON T recti;
ixicur criansula DCS, ONY similia: _ ve DS ad O I, id est BS ad L I, SC
SC ad NT. quare BS. L T in C ee N proporrionalicer lune divilx. Scd cum per
constructionem segmenta OL R, IOK sinexequalia, erie ve L Y in N, SiccC F cs2. bniuni
dinila in H. isitur ve BC ad C S, sic OTI ad H Y. Ouoderac demonstrandum.
PR OPOSTTIO CEXZEVIII.
Sio ABC ellipleos sexmentum quodeunque ABC, sumacur
aurem incirculo D F F. Scgmentum DF F, quod ica se habeat ad
luum circulum, ve AB C segmencum ad ellipsim suam: dein- ABC.
DE F segmentis triangula inscribantur maxima ABC, D P F, divililq
AB, D F. lincis bitariam in LI et L, agantur per H, et L, diametri C 1,
KM.
Denon
Do illasin H e. Propraet esc lcctas.

## Folio 344 — 1815201908:0401
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000401.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
AIIIIIIII
12
LL IPSIS
Demonstratio.
quidem pacet DF bisecari in C; in CpH aurem bilecari quoq: A C colliges Cx 42
truius. Cuare ca in ellipsi quam in circm lectores AGC, DK I bilecancuT. ergo lC.
20 cum permucan do lixpochielim, segncum AB C sic ad sermencum D R F, ve
ellipsisad circulum, etiam sector A CC crirad sectorem DR L, hoc cs (veian
octendi) sector AC B; ad sectorem DLL, rt ellipiis ad circulum. Fe quoniam est
sector AG B ad sectorem D KL, Vemplis ad circulum; etic quoque legmentum
ALB ad seomentum AM F, Vcellipss ad cireulum. Ergo diumerri LG, MIR PF0.
porcionalicex in H et L. lunc duvila. Quadorac demonstrandum.
DSITIO CLXEXIX
navence lgura: sifueric lesenrum ABC ad sexmeneum
i Dico esse de criangulu aximum ABC ad ertangulum maxitmum
DEF BE ABC eltipiss ett ad circuluIDEF.
Demonstratio.
culum AC cocum lesMencum ABC ad eorum sesmencum D F. F.
ixicur ee reliquum criansulum A B N est ad reliquum criangulum D E O DE ABC,
ellipsis ad circulum DP. D. Quoderat demonstrandum.
erian sulum inseripcume larimuti A F C. (1 Fuerinc ABC, A F. C exiangu.
Aco e semicircaum ABC aequalem
EX B ee F ducantur diateeri B G, FK, iunGANEUTGIE DK, KF, OA, OC, d
Lguoniam e verticibus maximorum triangulorum duetx lunc diameeri; in circule
Aor A GB est ad seCtOrEM DRF, VE sectOF A G C ad SCCtOrEM DRF. Tam ve-
Adc
CC, Ve clApSIS
DE F, ve ABC ellipsis ad circulum DFF.
(7F ABC cllipss est ad citculum DEF, sic ostendimus in priori segmenca
AIB, BC. eHC ad seBENES DM B, BF. Ouare cum eriam ex hypoches
PR OP OSIT1O CXC.
ScoABC semicirculo inseripeum criangulum maximum ABC; (IC
laaquallai
saurem de AE C semiellips que communem A C habcat diametrum,
TemicllipC AFC.
demon
nEnHEHE puncta B et F. O uoniam erlangula
ABC; AF. C lupc Cacem BaM delcripea per
spechen a aesdalia; criciuncta BF. Parallela
rectae ACi adeoque cum cam AB C. quan A L. C
1 e s e tte se  e  Au e e ete e t 1 e    a  e  e e t    e   e   e e e   e      e   e   u    p p. 16

## Folio 345 — 1815201908:0402
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000402.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
PROPOSTTIO CNOI
ELLTPSTS.
348
Scrriangulum maximum, continger recta BF. _ circulum _ ellipsim: igieur a (C- 2159. hu-
micirculus AB C aequarur semiellips AP. C. Ouod erat demonstrandum.
auclemiellipl.
Lliplis est ad cirtu et Cmpm veeriangulum Maximum inseri.
spcum semiellip l ae asulum maximum inleripeum lemicirculo
Demonstralio.
Vm enim se velemiellipls ad semicirculum aue lemiellipum, ica coca ellipES 2d
eorum circulum aur ellipsim; erieb verriangulum maximum AF C SemieslIp (IBIgO. hu
inseriprum ad criansulum maximum D P. P semicirculo auc lemiellipsi interipeum, no.
ica ellipsis ad circulum ad ellipsim. Ouod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CXCII
 circulo vel CliplI DF F elliplim aqualem exhibere. Ft dacxe
elliphreteuut aqualem.
Constructio e demonstracio.
Emicirculo VeL SCMTCMPU D F F inscribacur crianculum maximum D P, F, cui
Aat aequale aliud quodcumque criangulum A B C, dinisaque A C bitariam in C)
dueaeur B G, _ procrahatur B CF in FI, DE B C, GFT SnE aequales, _ S AC, BFI
selead rectosinterlecene, describatur ellipss A B CFI cuius aXeS SInE A CBFI, A
aurem non ad rectos sele interlecent, daris A C BHI coniugatis diamerris axes in-
venianEuEC circa quoS deseribacur ellipsS AB C TI. Dico cMlipHM ABC FT circu. C60 huins.
10vel ellips D F F aeguari: est enim criangulum AB C maximum eorum quae se-
mielliph inscribi pollune aquia A C BF ponuneux diamerri coniusacX. quare cum  A2. huius.
criansulum maximum semiellips inscripeum aequale sic criangulo maximo cir-
30. hu-
culo vel elliphi inscripro, exic e elliplis AB C circulo vel ellips D E. F. aqualis. Cx- ins:
BO quodpecebatur.
Ex his secundx partis constructio et demonstrario est manifesta.
Corollarium.
paceaasdari eiples cleculo vel ellipu ABC aequales, qud cltalis
ABC dancur insinica rriansula aequalia.

## Folio 346 — 1815201908:0403
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000403.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
40
P R OPOSITIO OXCILI
EL L. IDStS
Dicotucus AC ABF in C d II, limilicer diultas ehe.
Demonstratio.
NIE CemiellipAS AB C CUTAS ALIS IIL RC, LCLIILHICOTOS AUILCMI DEE.
Temiellipsi A B C aqualis po; MMICrBANEE cn lemiellipsi
de Pemicireulo criangula ABC, DLF intet IC a GUaIIA. IL CAD _ F, nOr.
males ad balim demicraneur BG, F FI.
ipsum P. A: led requadrarum L. I ad quadrarum BG, ita est rectangulum AIC
ad rectangulum AC C: ex re quadtacum MK a F FI, quadracum, ita CA DRP
rectangulum ad rectangulum DHF, ergo ve AI quadracum ad rectangulum
AC C, ica est quadrarum D R ad rectangulum D HF: e permurando ve qua-
deacum AY ad ipsum DK quadratum, sive ve quadracum AC ad DF ira cRFC-
atangulum ACC ad rectangulum DFTF, constacipirur ex Sereni l. L. prOP. 12. li-
neaS AC, D F in C e H, proporcionalicer esse divilas. Ovod erac demonlteandum.
PROPOSITIO CZCIV.
FCenE A BC elliplim diametri guxuis coniugate AC, BD iunctis
punctis AB, C B, diuidantur AB, C B linca bitariam in F e C: du
CANTUTGS ex P. CenerOlinCK P F, P. G: dein tam pet
puncta AEB, quam C F B ellipses describantur
quarui coniugaca sinc diametri A B, E. F, C B, F. 61
Dico ABC elliplim aqualem esse duabus cel.
ipsIbuS AEB, C EB.
ik Cenris T eC K, ad diaMCerOS AC, D FnormaleS CriBANEOFTL, RM iungAn
Lxurg; AC, F C, _ DM, MF: quoniam semiellipss ABC semicirculO DMF
aqualis eA, crun de maxima criangula illis inscripea nem pe AI C, DM F incer (0
190. hu. xqualia 5 a erie ixicur ve criangulum AI. C, ad criangulum ABC id cA vi
bea
ed
FI ad B C, ica criangulum DM F 2d criangulum DF F, id est ica linCA NTK ad
F FI, adeoque re quadracum I. I ad BC quadtacum, ita eric quadratum MK ad
cCorol. 191.
isus.
Etbns dbtbo
Voniam eam ABFF, CR L.G, HC BF Blameert
LIUNECONIUGREX, CrUNEB ABC, AF, B, C F. B ctiangu
la maxima que suis semiellipsibus inscribi postune: est
aurem AB C criangulum duplum crianouli CF B, igi
rur ex cllipsis ABC c dupla est ellipsis C F. B. Similiret
osendamelliplm ABC, auplatu ellC elliplIS B L. A. 2.
GLanEUE
qu et et eui uepues et e t et pt t t es te e  Me   t s tit at uet e e e e  ti e st   st te e  e  e    u ete   et tu e te e  e  a  pe ste  si stu 

## Folio 347 — 1815201908:0404
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000404.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
EL. L IPSIS.
quancurs igitur ellipses BF A, CL. B ac proinde csliplis ABC lingutatum dupla
7
aequacuererique limul lumpea. Cuodcrat demontleandum.
DR OPOSTFIO CXCV.
NIrculum ABC. le ec recta quevis AC auferens segmencum ABC:
porcet in aCIP(I E. FC, ad datam diaerrum F. F ordinarim
ducere C, qua scomencum auferac HF C, quod ad elliplim cam ha-
beacrarionem quam ABC segmencum ad circulum ABC.
Constructio es demonstratio.
BD. dein in ellipli P L C
luisa in circulo AB C. rect a aIaIH IM L,aBatur per Lpormalicer diameter
dica L.L dn R, Vcdigita CltBD in L, 284
rurque per R ordinach ea  e, dd fi dametrum, pateci lFC lcmenunt alB9. hu
en alt Cp L L C, HC AB C seomencum est ad circulum ABC. daco ixicur in ius.
circulo lermento, ecc. Ouoderac taciendum.
StO ABC l
PROPOSITIO CREVI
10p
Scomento circulari ADB.
Ceripeum eriangulum quodcunque ABC,
recat luper BC linea legmemun loea aeuale
Constructio es uonstratio.
I
requalis ips DB. qua diuisa in HIbi-
FariaMI duCATUIE PEF FI CX T, CCHTTO
circuli recta IO occurrens F C, li-
nex in O: Cum PCT A, C, C puncta
b ellipsis deleribatur: cuius diamerrt
conyatx sinE AC, TC. e quoniam Le C  IC per excremicacem diametei
moniam LiCME in Plaea aese oenemus ex etemen ellu ulum huinc
(ub CFI. ee reliqua parre diamerri; elle ad rectangulum lub rl. ce telleua palle
diamerriverectansulum sub L M. X reliqua parte dramett ad eclats OLL
ex reliqua parce diameeri. Acquirectangulum lub LM, d Tenqua Palte MaC
645. hniur.
Veacur recta F G parallela dia-
Merro RC concingens circulum
in F, dein per B recta a9atuF D F
parallela diametro AC, hacque BF.
TOparallela, con  P. GuatepS c circulo aequalis cst. Deinde cCorol. 1Bo.

## Folio 348 — 1815201908:0405
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000405.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
11. 111 1
ELVIPSIS.
ectangulum sub FF d relIqua
parcediameeri re quadracum D NI ad
quadrocum AI, hioc est, ve quadratu
BEI ad quadracum AI. ergo ctiam
rectangulum lib OFI d reliqua par.
ce diamerri est ad rectangulum lub
OB e reliqua parre diametri, ve qua-
dracum BH ad quadratum A I. el
liplis eroo crantic per punctum B. Lamm
quia cllipas circulo aqualis eAt ve
lEGMENTA BF C F, A N B D; quibus I addaS sEGMENEA B P C, AN B; gua 2 Equa-
lia sunt, segmentum ellepricum BC E. basim habens rectam B C xquabicur lemen-
cocirculari AD B, balim habencirectam A B. Factum isicur est quod perebatur.
PROPOSITTO CXCVII
Sto ABC lecemu quodcunque circulare, OBOrTCE (uPeF AC
lubrensa leomentum consticuere ellipricum, daco AB C Peomento
aquale, cuius vna e diamerris conincaris sic data quae sic maior diamerro
G circuli ABC.
Constructio es demonstratio.
NvEnEO P CenErO circuli A B C duCatuE
Per P diameter FC aequidictans rectx AC
crectaque ex P normali EB, quX AC li-
neam bitariam diuidet in FI, AQACUE PeF B
cangens BD, deinper FI recta ducarur ID,
aequalis daca occurrens cangenei in D eC FC
liamerro in I. Racque TK aequalisrectx PP,
ex IE aqualiS P G, CHM PET RDE puncta
ellipsis deleribatur, occurrens AC lincx vE.
182. Mm. Octendi supra, ablaco communi segmento curuilinco A N B P C, XguaLIA FCMAHCHE
118.
Collisis
in5.
or 280. hn dum.
cunque in MI. dico factum esse quodpecitur. Ouoniamenim L K, D Y diametri sine
coniusaix _ BD Parallela ip(I L K, PaCeE F. D concingere clliplm KDL, adco
170. hu. Guc b rectam MHI aequalem ipsi AFI: elliphs igicur eransibic per punctum A. Co-
dem modo ostenditur eransire per C: isitur cseomencum ellipricum AD C aequa
Collisitur Ie est scemento circulari A B Ci super data isirur linea AC, etc. Quoderat Facien
eROPOSITIO CACVIII.
attculu a cato iu Decit
sia puneto, in dacos nume.
olectores aequales diuidere.
Constructio es demonstratio.
Aca SE ellipsis A B C axis maior
AC, cacum in Peripheria punctu
B. Opcatab hoc cllipum sccare ilI
sectores cor aquales quoc volueris.
In lCx.
lu. cuinseribe A Flacus poligoni cor
Ba
Biamerro A C deleribe Lemieireu.
e ee et    e e   e  s. .  e e e t s e  se e e te 1  p e p t u t e e e e  u t ut  e t   e 1 e   1

## Folio 349 — 1815201908:0406
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000406.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
E L L. IP 5TS
tiabeneis latera quor xe quales perebancur sectores. quoniam auce pereban sellores
aequales lex, erir AF lacus hexagoni. ponacur ergo P. P C normalis ad A Cdiunsancur
icE vE F F ad F Citacriangulu L. De ad criansulu GD F: ergo vecirculus ad elliplin
ica cAlector F. D. A. ad scctorem DA: led loctor LD A es parscerria lemicie
culi, cum linea AP. ic lacus hexasoni; ergo e sector CD A cerria pars semiellip-
sCOSCrIT. Cum aucem EB ips AHI aquidistCE, CFUNE SCGMCNCA AG, BH: adcoqi
_ sectores ED A, P D HI aequales inter se: hoc elE (exTa parS CMipseOS EOTIUS. AaNE L 57. BHE
modolesmenco BHI aequalia lesmenca LIP, TK iunsancurque DHI, DL, DK ins.
sectoresisicur D BFI. D TTI, D TK aequaneur adeoque linguli sinc sexrapars ellip.
(co5. ex simul sumpri lemiclliplim consticuune B C R, reliquam isicur lemiellipsm
B AK seca vedinila est BC K, ericque cora olliplis in sex x quales sectores divita.
Duodtacere oporcebat.
PROPOSITIO CZCLA.
Scocirculo ABC Cus cenerum F. inscripeum porssonum quod-
Sus regulare AB C D: ductaque diamerer FC secer lacus quoduis
AD bitariam in II: IE alrem _ P R L ellipleos diameter quae cunque IL.
divisa in M siCuE FC CA diuila in HI, agacurq. per M ordinarim linca
NO ad diamerrum IL.
Dicorectam N O, esernum e laceribus polygoni regularis inscriben-
dielliplicoclacetum, quoc est polygonum circulo ABC inscriprum.
Polrsonum aurem ellipticum regulare roco, cuius singula larera ab(cin-
dunc elliprica segmentaa qualia.
Demonstratio.
n
que E D, CD, BD, CB. a aequidister A HI: dico Factu eNe quod petitur. re cir-
culus ad clliplin ica est leomoncu FF A ad legmencu C F A id elt vE F C+ ad F B: CAq:
VCatuT EK O linea O P auFerenS sesmentum a qualC SeGI eHEO NY F O ,  ex
P recta PK quesesmencum auferac xe quale Segmenco NL O, dein ex R II.
nea KO auterens legmenrum equale legCHEO NLO, eric O punctumidem
cum puncto N. Junctis enim in circulo AB C punctis R A, E B, R C, S D dueancue
in cllipsi Semidiameeri, R R, R NI, R O, RP. Ouoniam diamerri F G, TF CuHEinHI
_ MI. Proporcionalicet dinilas se AD, NVO linex per II _ MI; acte ordinarim ad
diameeros F C: TL. erit B VESeCFOT A F D ad circulum A B C, SIC NR O scctor ad b iso. M
ellipsIM TR P: SUINEAUEEM CAM A E D, DF C. C F B, BF A SCCtOTCS, qUaM CNR O, ins
ORP, PRK, K R O sectores incer sC aequales, (quIA NO, OP, P R, K O sCg
ta luncaequalia) igieur re sectores quacuor circulares ad tuum circulum sc cllipeiet
Sectoresquatuor ad suam ellipsm: Sed tori circulo x quantur sectores cirluates, st
cur e ellipsi (unc aequales sectores elliprici. quare punctum 1 idem est citi punle
N; _ RNO P polygonum est regulare roc larerum fadt en polssouum circulo in-
Ccrixcum. Ouoderat.
X
hat-

## Folio 350 — 1815201908:0407
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000407.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
E L L IPS1S.
2010ott1O ee
Seo circulo ABC inscriprum polrsonum quodcunque régularé
SA, B, C, D, F, F: sic auem _ ellipli. C FII inscriprum polygonum
regulare C, TI, I, IE, L, M, coldem lacerum, quoc cst polygonum circu-
Dico leomencum circulare ab alquo lacerum polysoniablacum, este
ad seomencum ellipricum, ab alieuo lacerum polygoni ellipriciablatum;
loinlcripeum.
veest dculus AB C ad c p CIHI.
Demonstratio.
le O contrum circusi dc Ncenerum eMlipsiS: ducancurque ex O ec NY. semidio
mecri ad angulos suipolygoni: Ouoniam C FI, FTV, TR, Qc. segmenca in cIlipB
per constructionem sunc aqualia, crunc e 2 sectores ON FI, FTN L, INR, _c. xqua-
les: sunt aurem e sectores circuli AOB, BOC. COD, ScC. aquales se pares nu-
mero ellipricis, isicur estsedtor AOB ad sectorem C N FI, ve omnes sectores cir-
culares, id est circulus AB C ad omnes sectores ellipricos, id est ellipum G FTT, qua-
re eseementum AB eAt ad scgmencum C HI, re circulus ad elliplm. Quod exac
demonstrandum.
PROPOSTTIO CCI.
Irculo A inscripeum sic quedcunque polrgonum, oportec dacx et
liph BC D polrgonum. pari numero lacerum proporcionale inscri.
bere, hoen gudu e une ad elliplim proporrionem habeac quam
circulare ad circulum; de cuius sinsula lacera, seomenta auterane que ad
ellipuum Cuam ealem habeane rationem quam habene scomenca circulz.
rias lingulis laceribus polysoni circularis ablaca ad Cuum circulum.
Demon.
N eiE AHI   i.  A   si.  LBII
edt

## Folio 351 — 1815201908:0408
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000408.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
ELL IPS
Demonstracio es constructio.
Nucneo cllipssmaiore axc BD, describatur diamerro BD circuluS BR F, cui
polysonum inseribatur BF. FO FI, Aimile illi, quod A circulo inseripeum cAt po.
IrGonos sececque FG lacus; exem BD in 9; dein ductis ex P. F, C, FI ad axem
BD normalibus F I, FR, GL, FIMI, gua elliplim sccenein C, NY, O, P. ducatur rectx
BC, CN, NO, O9;OP, PB. dico factum esse quod pericur. Duoniam GL
F K suncparallela, crunceriangula C7L. 9, K FiO limilia, adeoquereoT. ad KF,
hoc est ve OE ad RN, sic P. 1 ad OR. lunevero ex anguli OL9. FR 9 rectii
erporriongula OLO. R FO sunc similia. ergo 09, O F. lunc in directums tigura
isicur B C, N O, PB est polrsonum elliph inlcripeum. ve LF. linea est ad lineam L C, , EX et:
sic IBF criangulu est ad criangulum IBC Scd. est ve TB ad TC, hc ID. F. O crapexium menrir.
ad crapexium ICNO; ixicur cocatigura BF. FO eA ad hgura BCNO. vel P linca
2d lineam IC, id estb segmencum IB F ad seomentui IB C, id est ve circuluS B F F B1 81. 
ed ellipsim BCD. eodem modo octendicur Agura BFIC9 ese ad siguram
BFOO vE circulus BF. C ad ellipsim BCD. Quare cric torum polysonum
BF FC:HI ad polygonum BCNOP, vecirculus BE F ad elliplm BCD, _ per-
mucando, veBLFCHI polrgonum ad circulum B F. F, hoc cAex const. ve polygo.
num circulo A inscripcum ad suum circulum, sic B C N OP polroonum ad elliplm
BCD: Duod cracprimum.
Rursum cum eam sexmencum IB F. SC ad sermencum LB C, quam TB F criangu-
lum ad criangulum IBC, ve est circulus B F. D ad clliplim BC D, erie ee Segmen-
cum BF ad segmencum BC ve B F D circulus ad elliplim BCD: de permucan-
do vescomentum BFi ad circulum BF. D, SCB C segmencum est ad ellipsim BCDS
idem similirer de reliquis segmentis ostenditur: isitur daca cllips BCD Polygo-
num inCcripsimus, ec. Duod erac Faciendum.
PEOPOSIIIO CCII.
83. huiur.
Seo ABC Mllibipu Guaaterum lesulale AbC.l. ad-
ecaec pel la Cehherum vri cdiamerris coniugaris aequalibus P. l; ee
qualis lumatur recta FII: qua diamerro circulus describacur HIIK, cui
in Ccribatur quadraTUM IE L MI N.
Dicoquadrata R L, L. N, NM, MK Cimul Cumpra x quari quadraris
AB, BC, CD, D A Cimul Cumpris.
De

## Folio 352 — 1815201908:0409
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000409.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
CL115
Demonstration
Tuita KI bitariam II DaUCatUT per O diameter HT: dein appliceeur ad
F F. diameerum ordinacia PO. segmencum auterens aquale segmento
AB: divih(que AB, AD bitariam in R ee S, dueancur semidiametri CTR I, CrSV
iunsancurque puncta AC, BC CC, DG. Duoniam seomenta AB, BC, CD, DA
per constructionem Cunex qualia, crune ec lectores AEB, BC C, CCD, AG D X
246. huius. Quales, adeoque A C B C a diametri coniugatx pexcere a cum ex const. GT, GV
650. bums. BilCCenEC CenErO rectAS AB, A Db sectoreS AC F, AC V, dimidia parssunc sectO.
rum AC B, A C:D, hoc es Semielliplisslector isitur TC V quarca pars est ellipleos
C46. huius. CrSDCO F, C V sunE conIUBAEX _E AB, AD lince ordinacim ad illas polIEX: isieur
2187. hu-
15.
cum per constructione segmentum, PF. O aequalC SIC(COMENEO AT B, EIUC AFD:
exic P O quadrarum bis sumprum, aequale quadracis AB, AD simul sumpris, 2dc09;
P O quadeatum quarro sumprum aequale quadraris AB, BC, CD, D A. Rursum
cum Ccgmenrum P O sIT adsCGIENEUM RI, vrd ABC ellipES ad circulum R L. NI,
=188.hu- F, F, FII diamerri sunc e in X e O, proporcionalicer dimla, ad eoque FPO linca
15.
C178. Lou-
aequalis lincx KL. isicur ee quadratum K P. quater sumprum xequale est quadraris
AB, BC, CD, AD. Ouoderac demonstrandum.
eR OPOSITTO CCTII
Sto ABC ellipsi inscripeum quodcunque polygonum regulare
ABCD, EFGFT: duclaq; TK vna ex diamerris coniugaris rquali
buS; desCTIDACUF CITCMIAS L MI N habens diamerrum equalem diamerro
LK: dein circulo inscribatur polygonum regulare tor lacerum quor est
Polysonum elliphinleriprum.
Dico omnia quadrata lacerum poly goni ellips inscripri, simul Cumpra
aquari quadratis laterum polysoni circularis limul lumpris.
Demonstratio.
10.
Paruantes L, C, ollipuae emompa cuc barsona regularia, eadem quip.
Dc demostracio polygonis omnibus convemiet. in circulo L. M N ducatur diame.
CeF NO sCCAnS LM, lincam bitariam in S; diameerum vero IR secet ordinarim
linca PO seomencum auferens x quale legmento AB, cum ducancur semidiame.
60. ha- ErI TIX, A X, BZ, CX, item TZ, V X que lineas AFT, CB dividane bifariam.
IHS.
Duoniam sesmenta AB, BC. CD, XC. lune ex constructione xqualia, erurit s ee
secto.
( e u u     1   .  .  s  .    Au nu n   u  u H .           A   tuttu              a u u r pui i

## Folio 353 — 1815201908:0410
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000410.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
F. L L I
sectores AZB, BH C, ecc. xequales: sunc aucem illi smul sumpei aequales toci et-
lipH, ioiene sectores duo AZ B, BZ C hoc est quarca pars sectorum, crune
quadrans ellipsis ABC. Jam guta XT, XV ex centro ductae BisecanE BC, a 50. BN-
AHLa crunclectores C X T, X A V dimidii sectorum aequalium BZ C, A Z FI, ac in-
proinde incer se aequales. addicoisteur communisectore AZ T, corus sectorVX I.
lectortori AX C aequacue quare eum A X C. sic quadrans cllipleos, eric de VXI.
ErgodVZ, TX diameeri sune coniuracx, 2d quas A FTC B sunc ordinacim po- b46. huins
Tice auterences sexmenca aequaliasigieuc quadratum PO bis sumpeum, est xequa-.
le qualtaris AII, CB simul sumptis: eodem modo ostendicur idem quadratum
PC bis Cumprum equari quadratis AB. C FT Simul Tumpeis: adeoque P9 qua-
dracunt suario sumpcum aequari quadtacis CBs B A, AHI, EIC, id est. quadracis
GF, P_. E D, D C. quare de quaulacum P O suniptum octies quoc lacerum est por
ygonum, aequale elt quadracis lacerum corius polysoni ellipE inscripei lrerum cum
1
106. bv-
dEc vresliplis ABC ad circulum LMN, ita sexmencum AB id est P  2d (c. 8187. h.
simencum LN erune TK, NO diamorri c in R ee S, proporrionalicer divila,  C 188. hi
quadratum. POC aequale quadeaco L M. ergo quadtacum P,  octies lumpeum ins.
aquacur quadraris laterum polygoni circularis. Sed quadrarum. P O octies sumpeum, E177. b-
equacur eciam, ve lupra ostendis quadrarislacerum polygoni xllipricis ergo quadrara
lacerum polysoni ellipeici simul lumpra aequantur quadracissacerum polygoni cir-
cularis mut lumpris. uod erur demonstrandum. I
Corollarium.
Incpater: E eidem ellixs duo intcribaear porsroua patium numero lacerums
Quadracalacerum vrius polygonisinul sumpra, aqualia eAC quadracis laceru
alcecius vols Bohl biul tchipcis.

## Folio 354 — 1815201908:0411
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000411.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
aen mun i
ELLIPSTS
eROPOSTTTO CCIV.
Lpi inscriprum Cepolygonum resaace, Maaucem coniugatarum
aequalium sic OP, ad gnam sic oratmarim R3.
Dico quadrata larerum polygoni limul lumpea esse ad corum polygo.
num velinca RS ad dimidium rectae YO.
Demonstraiio
VCaNTUE Ex A, B, C, D, LIL, C, H, R, S punctis semidiamceri. Ouoniam RS
60. h- legmencum per contcructionem cst aqualescemento AB, cric. ec criangulum
115, e C0-
roll. cinsae.
Sxquale criangulo QB: similicer ostendam criangula lingula B( C, C QD.
_C. aequarieriansulo ROS: adeoque R OS criangulum octies sumprum aequale
b 106. hn- cori polroono: cA aucem b RS quadracum octies Cumprum aequale quadracis om-
nium lacerum polrooni; isicuere R S quadracum octies sumprum est ad criangu-
lum ROS odies sumprum hoc eA ve R Squadracum Cemel sumprum 2d R, 1, S,
eriarigulum semel sumpeum, ica omnia quadeaca lacerum polygoni ad corum poly.
Bonum. Sed cum RS quadearum sic ad rectangulum super R S, T O, vE R S linca
adlncam TQ. crie RS quadrarum ad criangulum R S, dimidium rectanguli
RS, T Q vE RS linea ad dimidium recta F Q. igicur, ec omna quadeaca lacerum
polyxonilunc ad cocum polygonum veR S linca ad dimidium linex F 9. Quod
etac demonltrandum.
juse
a01OSII1O. CC
Acis axibus ex diamerro ellip leosinuenireillius coniusaram de poli.
cione cula dats datb e eontiruere ellipli.
Constru
i .  .       p  n et  u  t   p  on  A p  ut  u            t.   eate    at    apn

## Folio 355 — 1815201908:0412
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000412.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
ELL IPSTS.
Constructio e demonstratio.
invenire diamectum comgatam ipti A, quam
cum daris axibus oportet in cadem collocare ellipa.
AXCS ED, BC ad ansulum ponaneur rectum F CB,
iunetaque BP, super ca lemicirculus delcribatur
E CB, in quo daca, A aequalis apFeTUE P F, ducacuTGs
FB: quoniam isituE F C, C. B axium quadrata aequa-
lia sune quadearis cuiuluis coniusationis in ellip(, c2-
demque axium quadeaca aegueneur quadratis R. F, F B,
_ F F aequalis A una sic ex diamerris, recta FB di2-
mecer est coniugata FP: exhibuimus isitur didmetro
A, comuertum, quod primo taciendum fuic.
CTE A diamerer data, _ aXCS daci BC, D E, OPOTFeE
Tunganeus deinde arium exerema DB P. C qua parallelosrammum extribeane
DBE C: cui aquale hat parallelogrammum = IHI R C, quod IK, OHI diamerrOS a Perele-
habear rectis D F, F B aequales. daca isicur diamCerorum LR FI C coniusatione, menca.
extribeantur positione aXeS B L M, NY O adeoque e cllipsiS L. MIN. cric illa ae qua- b ge huins
lis ellipsi BF. C cujus axes daci sune BC, F. D; cum enim per extrema coniuracio-
nis posirone darx, vnica raneum cellipliS Fran (CRE, _ LK, C FI coniugatio policio- c 1bid.
ne sic in ellips L. MIN, cademq; pertineat ad cllipsin B R C, cllipleS L MNI, BF C
ad eoque _ aXes aquales simE: ellipsS igitur L MN, illa est in qua coniugacaS R P,
FB, id est IK, C H polirione cum dacis axibus BC, DB, id est L M, NO collo-
care oporrebat.
PROPOSTTIO CCVI
cala ellipsi _ circulo IIIdM
incerlecante puncta inter-
Cectionis reomerrice exhribere.
oporcet aurem circulum de ellip.
lim idem habere cenerum.
Constructio es demonstratio.
ILlipum AB C cuIuS CenErANI D3
incerlecet circulus AB, CF, 0-
porcer incersectionis puncta exhibere.
quoniam igitur circulus _ cllipss
COIMUnO HABCRE CCHErUM D, ( CX
illo ad incerlectionis aliquod punctum
323
iatsii

## Folio 356 — 1815201908:0413
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000413.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
1e6
EL L IPSIS.
recta inrelligatur duci, erie illa semidiamerer circuli de ellipsis, diameerus igicut
aliqua, circulo depicoms nelu LC. caCu ep caos act
quoque mcaxes FC, FIT. daris isicur axibus ex diamerro A C, inveniatur illius
coniueara X per praecedencem coniurario illa cum daris axibus in cadem pol.
ciohc collocerur ellipli, illarum vna, puncta assignabic incersectionum. Oyod erac
praectandum.
nevdictam cu
123 5. 1E.t
duine
cres.ters C1. e1
Finis libri quarii.

## Folio 357 — 1815201908:0414
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000414.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
F. P
LL LCL
etionem hoc libro explanadam aggredimur ab anciquis com
rectunsuli sectionem dictam, ab Apollonio ee recencioribus
parabolam nominatam, atque in ciuldem explicarione nonni-
lmoroliores erimus; quoniam plane lectio illa ad circuli qua-
dracuram et alias equationes cum circularibus perticiendas necestaria cA,
ob admirandas cius proprietates qua cum circularibus ec ellipricis plane
COnMexX (UNE.
ta
A R Gi V ME N L V M.
 det  . parhes omnino octo.
Prima sectionem econo edueit, passione (que illius essentiales es reliquis
fundamentales exhibet.
Secunda linearum in parabola proporcionem eam continnam quam dis-
cretam considerat.
Tertia sectionis focum, ex mutuas parabolarum intersectiones Geometrice cs
Duarca parabolarum, sese mutuo, vel circulum intersecantium contemplatur af-
fectiones.
Duinta parabolam tam convexam quam concauam quadrat.
Sexta, parabolas e segmenta inter se consere, dein maximas sectioni inscribit fi
curas.
Septima varias exhibet parabolae reneses quae tum ex lineis, circulis, ellipsibus, tum
ex ipsa oriuntur parabola.
Octaua miram exhibet parabolarum parallelarum cum hyperbola inter asymptotos
posita, tam in ortu, quam reliquis proprieratibus simbolisationem.
DEFLNLFIO N F S.
lameter parabola esrectamentapalabora aucca, que es
lineas cuidam aequacalces bitariam diuidir, de siquidem ad rectos
Illas leceransulos, datsaleerul.

## Folio 358 — 1815201908:0415
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000415.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
(et si . ri a111.
358
In omnivero parabola diameeros axixequidiltare, et section ubcall slh.
Ao occurreles luo ontrabicur.
ero occulrir: punctu ae suba ant a eon peeoo
ett, verrex cut patabola.
aequidiltancium, ac biCaria aMIaE.
pocenciae lincarum ordinacim ad dlamccrum policarum.
Verricem diamerri voco punctum in quo daet sc felne.
Olclatu e cametrum applicari alcllut aguaue Ca
Latus rectum voco lineam iuxta quam possune ordinacim ad diame.
erum appileaca acastdu MMmmraelcruxca quam comparaneue
Porro illud peae reliquis sectionibus peculiare in parabola Tibi vindieat latuSre:
ctum, quod rectangulum lacere recto et parre diamerri ab eiuldem verricc, d pun-
eo quo ab ordinacim polica aividieuE, INCCTCCPCA COnTEMEUm, Xquale (EI PEF CON.
Ricuat quadraco lineae que ordinarim poni dicieur.
Sic exempli causa in A BC parabola diamerer A D, illiulque lacus rectum A F.
ordinarim vero posicx sneBD, C F: cricigitur ex mence Apollonii, quod d nos
quoque demonstrabimus, quadrarum BD aequale rectanguloD AF; _ F, AF rC.
Aansulo aequale quadratum CF. de sic de cereris ordinarim politisidem oltenderur.
TIlud quoguehic obscruandum est, quod e in elliph octendi, diverla diameeris
Sngulis asignari lacera recta, cum linearum quae ad illas ordinarim poni dicuneur, di
verlx quoque existaneporencix.
Deindenecessarium non esse lacera recta ad exeremicates diametrorum suarum,
normalicer poni, le diidem eo posse applicari angulo quo diaceri ab ordimatiI PO.
AcisincerleCanCuI.
V
Focum parabolx appello, punctum in axepolicum, à verrice incerual-
lo disticum. quo daquale eA quareae parcilaterisrecti.
Parabolas parallelas voco que ad cundem ixem conltiuca diverlos
quidem habent apices, sed lacera recta aequalia, et concauas perimetros
verlus candem parcem.
Larabola aequales lune, quacum lacera iccla aribus meruicncia tuut
aequalia.
PAR A.
 m p ts e t st tetse ite qtt ott ot   u eses se u  t    tute t b tite  a s o unt

## Folio 359 — 1815201908:0416
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000416.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
teA
ARS PRIMI A
Parabolam e cono educit, passione (q illius essentiales ac fundamenta-
les exponit: C5 primo quidem diametros (5 ordinatim ad illas posi-
tas, praecipua sq illarum proprietates exhibet: secundo latus rectum il.
linsq naturam, dein secantium ac contincentium primarias desienat
affectiones.
eROPOSIFIO PRIMA.
SeocOnuS HL BC sectusrriangulo per arem ABC, ductaque
s C D parallela laceri B C, HaCpeF E D sectio DF C, Secundum
rectam F. C normalem ad lineam AC; PONAEUFAUTEM PCF LI
punctum quoduis in E. D linca asumprum, recta lK xequidi-
stans AC diamerro balis coni: de per LK planum ducacur IFK xqui-
distansplano baleos ACC occurrens plano D FC lecundum commu-
nem incerlectionem F FI.
Dico HF quadcacum ese ad quadcarum F. C, ve H D linea est ad li-
neam ED.
Demonstratio.
roncalis planum LF K 291IOI-
LAacplano baleos A C C: circu
IOSACTIE IFR, _ FHI, F. C com
munes incerlectiones b parallcla.
quia vero AC, IR aequidistane, &
P C normalis estad A C, recta quo-
que HIF normalis c cA adTR: 20
proinde FH quadratum rectangu-
10 TITR d aquale: (cd _ FG qua
drarum, rectangulo AF C aequale
elt; quadratum ioicur P G est ad
quadrarum FII, VE AF C rectan-
sulum adrectansulum IHIK: quia
vero F. H aequidistaE RC adeoque
HIK, C F. linex in parallelogram.
moxquales sune, rectangulum LHK
eAt ad rectangulum AR C, ve TFI
nd AF, c id cA BII ad BF, qua-
dracum igieur FHI ad R, C, qua-
dracum cA ve recta BII ad rectam
BF. Duod crac deMonitrinaum.
Vocecur aurem lectio huiulmodi
parabola curs diamerer DR, _ OF -
dinacim act illam POLICX PHI, CP.
Pre
26. 2nde-
deto

## Folio 360 — 1815201908:0417
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000417.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
160
A R A BC
Scholion.
Emonst utio haec uniuersalis est es omna
conoconvenit; ea tamen differentia, quod
in scaleno dum ABC trianculum non est
maximum eorum quae per axem fiunt recta
I G, F FI ordinarim ad diametrum F. D po.
sita, secent illam ad anculos obliquos, in recto
autem ad rectos: cum enim planum ABC in
scalenoper axem ductu, ad basim sit obliguumi
sit aurem es F. D linea in plano ABC, illa
quoque ad basim RC C adeoque e ad lineam
F. C quae in plano basis, ipsi A C normalis esti
obliqua. Dsicur inscaleno, rectae F. C, FH ordinarim ad diametrum DF. positae, ad obli-
quos eandem secant angulos. similter optendemus; in cono recto, ordinarim positas diame.
rrum suam ad rectos diuidere.
Elinc porro non leuis exsureit difficultasi cum D F C. parabola in veroque eono sit eadem
id est virum diametrus F. D in scaleno, censeri debeat diameter aliqua secundaria parabola
quae in cono recto exlibetur: sive quodidem est, an in sectione coni recti, diameter aliqua sit
quam ordinatim ad illam positae ad angulos secent obliquos: licet enim per priorem propositio.
nem in veroque cono demonstretur D F. lineam diametrum esse, quam in cono recto ad aneu-
los rectos in scaleno ad obliquos secent ordinatim ad illam positae, illud tamen ex discursu Apolu
lonynon constat, in quanis parabola plures posse assignari diametros quarum unam recte, al-
teram oblique secent ordinatim adillas posicae: es quia de parabolis inclinatis necdum constat,
posset P. D linea quoq: inclinata sectionis axis censeri, quem ordinatim positae ad obliquos se-
cent angulos: sed difficultatibus illis omnino satisfacere conabimur: ostendemusque in vna ea-
domqe parabola diametros dari aequidistantes, quarum vnam ad rectos, ad obliquos alteram;
secent ordinatim ad illas positae, ac nullas deinde inclinatas dari parabolas.
Fxe dictis ex prima parabolae proprietate constat primo, si AB lineam ad anculum quem-
cunque aequidistantes secent DC. fueritqe vi AD linea ad lineam AD, sic D C quadra.
cum ad quadratum D C: puncta AC C esse ad parabolam.
Secundopatet si C. D P. ordinarim posita ad AB aequidistans ponatur C D, cui indirectum
addatur DF aequalis C D, punctum F esse ad parabolam: cum enim sit ut A D ad A D, sic
quadrarum C D ad CD quadratum, ipsis autem CD aequentur D F, , DF: quadrata
quoque DF, D L proporrionalia sunt lineis A D, AD: quare ea quae diximus puncta P ex
F ad parabolam sunt: quae singulariter es explicite hic notare volui, eo quod postmodum sa
pius sint assumenda.
PROeOSII
IE AB C criangulum productum plano per arem ABCG, poCiId
A que DF laceri AB aequidistante ducatur F. C normalis ad diame.
erum balis AC, sccundum quam, _e rectam P. D, planum pOnaEuT ex
hibens in superficie conica lectionem F D C: affum atur auremm in P D,
punctum quodcunque l per quod in plano F. DC recta ponatue HK
xquidistans PCI;
11
Demon
( 1 1  A 1 C 1 B. 1I L1111
Dico Hiaa .

## Folio 361 — 1815201908:0418
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000418.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
P A R A BC
Demonstratio.
DOEra per L punctum? LM paralleta
AC ducacur secundum LM; planum
LKM aequidistans plano baleos ASC:
circulus ioiEmE a CA L RNI, _ TTK, FC
communes incerlectiones b parallela. e
quia FF C ex hypochelinormalis ad dia-
merrum A C, ab eadem in R bitariam est
dinila, TTK quoquecnormalis est ad L. M,
_ d in Ibitariam divila. Ouod erac. dc.
monstrandum.
Corollarium.
JX hac proposrione paret, in parabola, si
diamecer rectam quandam bitariam se-
cec, omnes quoque eidem bislecta aquidi-
Cances bitariam secari. pater, cum P. D dia-
mecer scquae cunque, _ TIIK queuisaequi.
dictancum recte FO in P. bitariam divilae.
PROPOSITIO I
Acalinca, parabolam in duobus punctis secanie illius exhibere dia-
mecrum.
Constructio es demonstratio.
Tuicae A C bifariam in D POnaEuT F F xqui-
distans, qua limilirer bissecta in Cn duCaTUE PEF
C _ D, linca BC D: dico illam diamerrum esse
quaestam: SinOn, SE L D diameter, quae produ-
Eta sCCeE E F in NI: quoniam igieur L D diameTEF
Bitariam secar AC, bissecabic C quoque in M, F F.
ips AC xequidistancem, sed F P. bissecta ponitur in
D: cric igitur in D et M, bissecta linca FF. Ouod
fierinon pocest. non igitur LD diamerer est sed
BD. exhibuimusisicur, ecc. Ouod cxar Faciendum.
PRO P OSITIO IV.
Daco in perimetro parabola puncto, ad da-
LAcam diumerrum ordinacim ponere.
Constructio es demonstrario.
cin Pechaelto patabola AB C. datum punctum A, d
diamecer data sic BP. D ad quam ex A ordinatim 0.
Porterponere lineam ARC, iuneta AB producarur in
F, vE A B, BF aequales linc, d ex F demissa F C Paral.
leta BF, occurrac parabolae in C. iungacurque A C:
PATCE AC Fin P bitariam esse divilam, cum AF, bis-
secta sic in B, _c FC, BP aequidistenes a dacoigicur in pe-
rimetro parabole puncto, et c. Quod erac Faciendum.
b1b. Vnde-
C EX clemet
Xer.
Pro-
Corol.

## Folio 362 — 1815201908:0419
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000419.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
7. buin
6.
P ALADOL A.
rollarium.
Inc Facilis praxis orirur, per datum in diamerro punctum ordinacim ducendi
lincam: ex alsumpro enim in Perimeero quouis puncto ponatur ordinarim que
cunque, cui per darum in diametro punctum aequidistans ducatur. parecillam ordi-
nacim ad diametrum ese policam.
br. hus tos.
c9. quinet.
DR OPOSIFIO
Acam lineam ad dacam in parabbla diameerum ordinatim ponere.
Constructio es demonstratio.
Aca sic parabola ABC, d in ca diameret A D, ad quam
oporceat dacans lectam F ordinarim applicare; altum-
Peo quovis puncto Bin sectionis perimerro, Ponatur ex B
2HHCa B F. ordinacim ad diameerum AD, AaEG; vE B E qua-
deacum ad quadrarum F; ica AF ad AD lincam, ee per D
punctum constiruatur D C parallela F B. Dico Factuin esle
quod requiritur: est enim ita pars diameeri A F ad AD dia-
mecri patrem, sicurb quadrarum ordinatim posce BF; ad
quadracum posce CD, sed ex constructione cM BF qua-
dratum ad quadracum F, ve A F linca ad lineam AD. Igi-
tur C D c est aequalis ip(i F _c est parallela ad F. B; datam
i  buarim posuimus, etc. Quod eractacien.
dum.
P R. O POSI FI
O
verricis xquales fuerinc.
Rdinatim applicararum ad duas diamerros quarum alceta est axis,
illa minor eAt quae ad arem applicacur, modo distantix à puncto
Semonoitato.
ac parabolae AB C axis LL L O
lacim ad illum poula HC. ducta de
inde AF Parallela BD, hac B F qua-
deupla BD. Ponacurque F C paralle-
Ia D A dein L Cn bissecta in FI pona-
nem habet quam rrum ad quacuor ex
constructione, igieur quadracum AD
2d C, F, eA vernum ad quaruor; isicur
OF linea dupla est AD, hoc est HF,
Ns ac proinde BC dupla OD; icem A F aequalis ipa BD, e
cur HIA aequidistans BL, iungacurque
BO: quoniam BD ad BF, cam ratio-
huins.
EX ele
mentis.
de BF dupla
proposicionis.
dDesn. 3. A C ipl CF. vnde B C ordinarim d posica est ad diamerrum AF; est aurem G B
chraior GF hoc est AC, isicur C B ordinatim polica ad A F. aequalem BD, maior
est recta AC quae ad axem ordinacim collocara est; e quia eandem rarionem ser
EL. huins. Uane quadrata applicatarum, quam sparces diamerrorum incer verticem de ordina-
rim applicalas constirurae, hive uniuea  cucblis applicaris conttac rericas
Mliter.
oitete et pe p t e es   t te e e te tu te tue  tet e u tte e a e  st. et e  et  et et tit  ute  e t   te e te   a        e           1

## Folio 363 — 1815201908:0420
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000420.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
Don
aliter.
P A R ABO L A.
DRopolicio hac aliter per Archimedem demonstra-
TuF. Sinc BD, F. F diamerri eiusdem alcicudinis,
e BD quidem axis: ponanturque per D de P, ordina.
eim linex AC, G FI.
Dico RC minorem esle recta CFT, iunganeve
enim ABC, GRHI: _x ex F recta dCMIETAEUF F. I
normalis ad G FI. cum igieur xquales sine distantia
FF, BD, aequalia lunccriangula, G R FT, ABC per
Archimedem. quare De E I ad BD, SC A C adC FI: 
eltaurem BD id est F. E maior P I (cum angulus L in 
criansulo P. IE rectus sic) maiorisirur eric EHI quam
AC. Quoderac demonstrandum.
PROPOSITIO VII
D datum punctum in diamerro parabolx ordinacim pottelet
Constructio es demonstratio.
Iedata parabola ABC, cujus dia-
mecer aligua BD; de in ca punctum
aNignatum D per quod oportcaere.
etam collocare ordinacim ad B Ddi2-
mecrum; alsumpeo in perimetro quo-
nis puncto A ducta sic quaeuis AC,
ordinacim ad diameerum BD cui Pa-
rallela ponatur per punctum D: PaTCE
FDC ordinacim esse. policam d in
D bitariam diuilam. Fecimus igieur
quod petebatur.
RolBsITIO rIII.
A diametri in Parab La CCM ExhIBCFC.
Constructio ex demonstratio.
LB C parabola, d in illa diamerer BD cuiuslacus rectum oporreac extribell
ohca sic quaevis BD ordinacim ad diameerum AD, hancque concinux propot-
tionales AD; DB, AF. Dico A F latistacere pericioni: applicetur enin quLdIS alia
BC pacallela D Bb eticisicur vC A D ad A P. sic DB quadeacum ad quadracu F. C. b. tuiut.

## Folio 364 — 1815201908:0421
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000421.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
AR A BOL
arsexi. sed vEA D ad AE, SC F A D 2 Kctangulum ad rectangulum F A R; igitur ve qua–
dratu DBcit ad quadracu B C, lic F. AD rectangulum ad rectangulum L AC; e
permutando ve DB quadracuur, ad rectangulum F AD, SC F. C quadracum ad
rectangulum FAV, scd BD quadraco xquale cArectangulum F AD, quia AF.
BD, AD, proporcionales sunei ivicur _ FC quadratum aequale est rectanoulo
FAP, ac proinde P. A lacus rectum diameeri AD: extibuimusixitur, ec. Duod
cractaciendum.
Scholion.
rbet hic apponere methodum, ex constructionem qua Apollonius lib. L. Conicorumlatus
rectum parabolae adinuenit: vnaque breuiter ostendere latus rectum praecedenti proposuio.
ne a nobis invenmns cum ed quod Apollonius alia constructione adinuenit.
Sit, inquit, coni vertex a basis, circulus
B. C: Secerurq plano per axem quod sectio.
nem faciat triangulum A B C: secetur e
altero plano secante basim coni secundum re-
etam lineam DF quae ad BC. sit perpendi-
cularis, ex faciat sectionem in superficie cont
DF F. lineam, diameter aurem sectionis FC
aequidistans sit uni larerum trianguli per
axem: atque à puncto F lineae FC ad rectos
anculos ducatur FFI, ex sat vt quadrarum
BC ad rectanculum D AC, it a linea HF
ad F R; sumatur autem in sectione punctu
quodlibet K, et per K ducatur K L, ipse
DE aquidistans. Dico quadrarum K L re
etanculo FIF L aequale esse. Assertionem por-
rodocti simo ex sublimi discursu demonstrat;
qui cum eyronibus difficilior sit, faciliori nos
latus rectum methodo praecedenti propositio-
ne conari sumus expedire, ostendimus enim
posita eadem ficura, si sant F L,, KL, FF
continuae proportionales, FFI latus rectum
esse. Nuncrestat vi ostendam, illud idem esse
re ipsBC, erit planum quod transit per L. LM N. aequidistans plano coni baseos, adeoque cir-
guarerectanculum ML. N ad ipsum L L H, est Vt FIF L. ad L F A: sed AET est ad
cum eo quod apollonius constructione anredicta adinuenit. Acta per L. linea M N, aquidistan-
culus: ex L K quadrarum, id est ex hyporhesi rectaneulum IL F. L. aequale rectangulo NI L. N
LL3Ot LL a L 3 C 2E LL ad L A, sic M I. N ad L. F A: Sed ratiO M L. V
(  ip  i  o se  .   e i  e p  A. e       e   t. . .       t              1    B   

## Folio 365 — 1815201908:0422
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000422.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
P A R A BO L A
ad L. F A componitur ex ratione  L. ad L. F, ex ex LN ad F A; reitur propori FTF
ad F A, componitur ex MIL ad F L, e L. N ad F R: est autem AL ad LF, etMN
ad IYA, adeoque es L. N adt LiA, V2 ML N ad M A; igirur proportio HLL ad LA, com-
ponitur ex proporrionibus MI N ad N A, ∞ ex MN ad M A, id est ex BC ad C A. es
CB ad B A: sed ex iisdem quoque componirur ratio quadrati B C ad rectangulum B A C,
igitur ILE est ad FA, vt BC quadratum ad rectanculum B AC: sed polita proportione
quadrati IIF lineae, ad lineam FA eadem, cum ea quam habet B C quadratum ad rectan-
culum BA C, erit FI F linea per apollonium latus rectum parabolae; reitur si L L, RL. F HL
fant consinuae proportionales, erit EIF latus rectum idem cum eo quod aliter adnuenit Apol-
lonius. Unde patet vtram que constructionem in idem incidere es alteram alterius rantum es
se conversam; posira enim proporiione LLF ad l. R. quae est B C quadrari ad rectaneulum
BAC; infert apollonius LIF, KL, FI. continue esse proporiionales, adeoque L. L lineam
posse rectanculum HIFI, nos vero posiris rribus conrinuis LLF, RL., F L. inferimus ElL
lacus esse rectum, es omnes lateris recti proprietates habere; quia vero tribus illis positis conti-
nuis sequitur quoque HF esse ad L A, VF B C quadracum ad rectangulum B R C, pates L l L
idem latus rectum esse cum eo quod apollonius proposuit.
Ex antedictis vero patet ordinatim ad diametrum aliquam applicatas eo maiores esse quo
remotiores sunt a vertice suae diametri, nam semper excrescit rectangulum sub latere reo
parce diametri intercepta a vertice eiusdem es puncto quo ad draittam postrasccatat: unde
C dnatm posai ordtun ulumti anatetataessestuatudgne iet sel
laterirecto sint quales, culus casus sequentibus proposionibus assinabemus.
365
PROP OSIT1O 12.
NIE ABC parabora Mamecer AD aequalis laceri recto, ex D Pona-
cur ad diamctuM AL. Ordinarim linca C B.
Dico DB lineam aquari AD, X si AD, DB linex aequelu, c
AD aequarilaceri recto, quod inseruic diametro AD.
Demonstratio.
sccluselo supet  _ lacere recto, ideoq; e AD linca
laceri recto xequalis. Duod crac demonstrandum.
Voniam BDlinca, ordinacim applieatur ad diametrum
LAD, erie BD quadracum aequale a rectangulo (uper
AD ee lacere recto, sed AD linea x qualis ponitur laceri re-
eto, ipicur quadracum BD aequale cA quadraco AD, adco-
que BD, AD lincx XqualeS SUnE.
Sineiam AD, BD linex aquales, _ BD quidem ordi.
nacim posita ad diamerrum A D, dico AD lineam aequari
lacerirecto. Cum enim quaaratum BD aequale ponacur qua-
draco AD, Sc aurem e BD quadrarum xequalerectangulo
b super AD e lacere recto, cric e quadracum AD aequale
L en C dCC+ .
Idem posiris ducaneur ordinarim linex C L, F6 d C L. quidem
cadat intra BD, recta vero FC TUpFa.
Dico AC a F rationem minoris inx qualiraris esse, ee AF. ad F. C.
monstcobio.
maioris.
Voniam A D linea aqualis ponitur laceri recto, erie FC quadratum xquale
rectansulo CAB, acediul 2 6. 6t. AB Cocilua ptdcadidnau cdetom
tlitat

## Folio 366 — 1815201908:0423
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000423.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
P AR ABOL A
Schol pro. QUtCM AD CA BD, maior quam = F C, isicur X FC maior est quam AC. Ouod
Rursum cum D A F rectangulum L. quale sIc quAdrATO C E, proportionales CrunE
AD, CF, AF. linces sed AD id et BD, minor est quam C P Cx ance demonstra.
risi igITUE e C F, minor eA recta AF: adeoque racio AC ad C F. eA maioris in-
aqualicacis. uod crac demonttrandum.
PROPOSITIO XI.
Seo parabolX A BC quaenis diaMCFEF AD, _C ex
A POnatuT AE, aquidistans ordinatim posucis
ad diamerrum AD;Ponatur quoque ex Alinca AB,
diuidens bitariam angulum F AD, occurrensque
arabolae irerum in B puncto, ex quo ordinacim ad
diametrum ponatur BD.
Dico AD lincam xquari laceri recto.
Demonstratio.
roniam AF, BD aequidistanc, ansulus F. AB a qua
curangulo ABD; sed angulo F AB ex hypocheli X
quacur angulus B AD, aequales igitur lune ansuli ABD,
B AD: adeoquec e linex BD, AD: vnde AD, dlaceri
recto est aequalis. Ouoderac demonstranum.
366
eos. 8. buius. erac primum.
B EX ele
pentis.
c. 6. Primi
hubirs.
8. bvi
PROPOSATIO XII
IE A BC parabole axis AD, e ex A demissa linea AB, parabolx ire-
Drum occurrac in B puncto ex quo ad arem ordinarim ponatur BF.
ducacur aurem es BD normalis ad AB, occurrens axi in D.
Demontrati.
Dico D E lineam aquari lareri recto.
Voniam angulus ABC rectus cA, _ B F normalis ad
Laxem A D, proportionales c sUnE AE, F B, RD: _CF B
quadraco aequale rectangulum AE. D: (cd _ F B quadrato
aequale esrectangulum luper AP. see lacere recto, rectan.
Itcanaum.
sulum ibitur AF D aeGaC c lCD AF. a LalctC
recto. aequalis ergo F. D en Lalelteclo. uod crat demon.
diametrorum.
eROPOSITIO ZIII
Acus rectum axcos, minimum en Lacerum sccorun, LenGcatu
Demon.
 e i e pe u e.   )  1. 1 ti  .   .  1  ie 1i  1 .     .      1 B     1  .   ie     t  1 .   . a s e   u um tt

## Folio 367 — 1815201908:0424
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000424.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
emontarto.
DAcabOa ABC a BL
illiusque lacus rectum BF, sIC
aurem ec alia quaevis ciameter
F C cuius lacus rectum ponatur
FFI: dico B F minus ese lacere
recto FHI. Ponacur enim ADC
ordinacim ad axem; sumpeaque
FC aequali BD; ducacur pet C
ordinarim ad diameerum FG,
linea LR. mgior igitur eAt, a 1C
quam AD, e TG quadracum
maius quadraco AD: sed FC quadrato aequacuro rectansulum luper HL, F. C,  d. hmins
E BD rectangulum aequale est quadraro A D, maius isicur est rectangulum HF C
rectangulo F B D: aequales aurem sune ex constructione B D, E C, igirur F FI la-
cus rectum maius est larerc recto BP: isitur lacus rectum a xeosminimum est, _C.
Duod erat demonstrandum.
PROPOSTTIO XIV.
IEABC PataBOla axis BD maior lacere recto: de per D ordinarim
ad axempolica ADC: Factaque D F. xquali laceri recto; PONAEUF F F
aequidistans AC, iunganturque D F.
Dico FD lineam xquarilinex DC.
Demonstratio.
Voma P. D lach recto aqualis est, quadrarunt
F F aeguatur scctangulo BF D. addico igitur
quadrato DB, quadraca P E, D P. simul Cumpta; id
est quadrarum F D, ob anpulum F F D rectum aequa-
lc cA. rectangulo BD F: sed e BD F rectangulo
aequale est quadearum D C: aequaliaigicur lune qua-
AacA FD, DC. Quod erac demonctrandum.
PROPOSETIO AV.
Ithislinca per apceuamtel acca; e ordinarim politae aequidi-
stans; lectionem contingic: d conula quae concingenti xquidistat
ordinarim volica est ad diamerrum ex conractu demillam.
Demonstratio.
It dd ABC Pacabolae diametrum
C3. secuta
dictans BB, dico illam, concingere
lectionem in B. S enim non concii-
sic parabolam, sccecillam in F: di-
uisaque BF bitariam in Gs Ponacue
per C e D, linca C D: cum isielir
FiB, AC aequidistances bitariam diuidat CD, erie illa a arametet da Guatu ordina- d i. D. fn:
rim polica est AC; led e A C quoque ordinacim applicata eM ad diatcerum BD, huius.
cum
DBD ordinarim posita ADC: cui
per B verrice diamerriponatur xqui.

## Folio 368 — 1815201908:0425
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000425.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
cu ab illa bitariam secetur; linca igi-
tuE A C ordinacim posica est ad duas
diametros, quod feri non porest: alias
enim ipsi AC aequidistances à diame
eris BD, OD bitariam in divertis
Dunctis diuidereneur. non isicurBP
lccac, scd concinsic sectionem in B.
Sic iam P B concingens, illique
xequidistet AC: dico illam ordinarim
esse applicaram ad diamcerum BD.
si enim non, ponarur AL ordinacim
ad BD, aequidistarigitur AP. ContingeHE BF; de quia A C quoque contingenri
parallela est, ipla AL aequidistat A C, Guoheri non porest, cum in A puncto sese
cCMenE. non isicur AL. ordinarim polica ci ad B D, led AC linea aequidistans
Concunseni BF. Ouod crac demonctrandum.
tROPOSITIO XVI
25. ttrino:
DEr dacum in parabola permecto Punecum, concinsentem ducere.
Constructio es demonstra.
Ic in ABC parabolE Pett
mecro dacum punctum B,
oporceat per illud concingente
Ponere: demissa sIC ex B diame.
cer BD, ad quam ordinacim
Ponatur AC, cui aquidistans
per B ducacur BF.: = PacCC II.
lam esse concingencem; per da-
cumisitur punctum, ec c. uod
exactaciendum.
eROeOSITIO XVII.
Arabolam contingens tonueMa cum diametro: ad quam ex puncto
ctum in quo contingens cum diamerro concurric, a parabola bifariam
diuidi.
contactus ordinatim quae dam Polica lIC.
Dico diamerrum incerceptam, inter ordinatim applicatam de pun-
Demonstrati
IE ABC conus quicumque, Lectusan aPer axem A B C, diAMCFeF aurem
baleos AGB, SC A B, in quaa Numpro quovis puncto F quod cencrum non sic
Donatur F II aequidictans AC: _ F. I normalis ad AB: cum per HF, F L haC
sectio, exhibens parabolam CIIL Pontoq; CD, alccomt, pelnclatur patalletor
Sxammum C DB, cuius lacCri BM OCCUEERE F FY producta in F: iunctague CF,
peere
menta.
dinmCero AB protracta OccurraE in K: ponatur dein per T concingens circulum
ATB in P, conveniens cum AB in L, puncto quod idem est cum puncto R: cum
enim CK, sic 2d B FK, ve CD ad FB, id est MB ad FB, id est DB ad E B,
L. D, d compolehao D ad DB. b.  DF; proporcionales isicue sune
crie quoque DR ad B R, veD B ad FB, _ dividendo BK ad DB, ve BF ad
(e  ui    1    . e    .  . 1u u    p   u H 1 1 6     .   H   e     n   pu p     t  .     1 e e i pe  p 

## Folio 369 — 1815201908:0426
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000426.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
D E, BB, DK: isicur a ConingenS PeF Y posira cum diametro convenietm R: idem a 27 lib. dc
ergo punctumest X ex I; vicerius, iungancur puncta CP, CI; quoniam isicu circulo
CI linca in luperhcie est coni, criangula lune, CF I, CIK, ee planum CIR con-
cinger conum in linea CI. ponarur eandem in plano CIK linea PE; concinsccil-
la parabolam in I: cum enim planum C TK conum contingat, linea aurem FLia
eodem plano sic, et limu l in plano parabolae, cum puncta R de F, in codem sinE, p2-
EeE FP concinsencem elle parabolx in T.
Vicerius cum CM linea aequidistans ex parallela se Cemidiamerro D B, aguidi-
Aac quoque de equalis est AD: vnde AC, DM parallela. e quia L F. aequidistat
AC, aequidictabic BF ipE DMI: eAt aucem MD diameter parallelogrammi DN,
in N a diamerro b C. B bitariam divila, recta isicur P P in IT; quoque ab cadem dia- b eer eto-
merrobissecta cA: aequales ergo lunc linca F. HI, EIF. isicur parabolam contingens,
_c. Ouod erac demonstrandum.
Ouod Gpunctum alsumpcumipsum cenerum sic, pacet demonstrario. eodem enim
modoostendetur Om ese concinsencem parabolx quxe per lincas N D, DO, et c.
duCCTUF.
eROPOSITIO ZVI
ladolam ABC Cltus Mamelet BB, Contingane in A a B; recta
LAE, BE conuenienres in F: X EB quidem AP, aequidiltanri BD
Occurratin F.
penca.
Mco LB Ia L. bitaciam ele alultatu.
Demonstratio.
oducta AB corveniar cum diametro in C, ponatu-
que ex il ordinacim ma iD. Guontam AV, LB X-
quictanc; A B da D, HCLDCM d AB, SdCILFB.
sed CB amdiacel eB, siut a Li B dimidia quoque
eA FB. Ouoderar demonAtrandum.
Corollarium primum.
TNCBALEE, S idtCIA A D GUOLBI EL L POHAHCF X qUI-
anca L D, illas bitariam à coricinsene AC di:
uidenctas.
C17. htius
il

## Folio 370 — 1815201908:0427
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000427.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
d1. Sexti.
L AL
Corollarium secundum.
GF B exians ula Xqualia. PaFCE, CUM F F, P B aequales sine octenla, _ AFF.
lROCOsIcIaCA.
Demonstratio.
IE ABC parabolx axis AD, cui in P OCCurraC
contingens B E, policaque AC parallela con-
tingene B F, demitracur ex B, linca B C aequidi.
stans axi, ponacurBF, C FTD ordinacim ad axem
AD, _BC producta occurrat concingenci per
A ductxe in K: Ouoniam B F. coringens cst e BF
ordinacim adaxem AD applicara, aequalessune
linex 2 F A, F A. _ quia B F communis alcieudo
est, triangulum F. BF, b parallelogrammo B A x-
quale cst: TUrSUM VE AF aet AV, SICC F B qua-
deacum ad quadracum CD, _ FK paralleloora.
mum ad parallelogrammum DK: ve quadracum
igieur F B ad quadracum C D cAt, (iC FK paraIIC.
loccammum dadparallelogrammum DR, Led ve
FB quadracum ad quadracum CD, AC F BA
19. Sonsi: eriangulum cadcriangulum C. A VSitur ve F K parallelostammum ad parallelo.
Grammum DR, Sic F BF criangulum est ad criangulum A CD: _ permurando ve
FR paralleloxrammum ad criane IH B F F, SiC D K parallelogrammum est ad
criangulum ACD: aequalia aurem ostensa sunc, criangulum BF F. _ parallelo-
exammum FK; xequalia igicur lunc DK parallelogrammum ec triangulum A C D:
ex ablaco communi AOFTD, aequalla remanent. criangula AGR, CFTG. vndo
cum similia quoque sinc ob AK, OLL aequidistances, xgualia sUnE LaFCTA FK G, C: FF
_ CC, C A: diuisa igitur bifariam est AC. eodem modo si TK ponatur aequidi-
AanS C A, _ Cx R diamerer pontAHC L. K occurrens B F. concissenti in L, oAten-
decur TR in MI, bissecari a HCd B C: diamerer sisicur sectionis eAt B C: quare
cum FB concingens sc qux cunque, alleoque et B HI queuis aequidistans axi, patee
Ex quo sequicur diametros omnes inparabola cAe parallelas.
Fanitur secundo rectas F A, G B, iECI AF, O F equales esse adeoque _ A F L,
G F B criangula similia ob GB, F A aequidistances.
Nparabola diamerri omnes xquidistane axi.
.toniu
Exorele
Metta.
diameeros omnes axi aequidistare. Ouod erac demonstrandum.
PROPOSITIO XZ
nlscontinseas pel callo
nacalem ocamaciu pola
ductas cumnus alanenoio
uenH.
Demonstratio
Orca Mamerer BD, de ad illatu
otcualim applicara C. aalurqu
per A concingens, dico illam B D dia
MClioCCiece: ductaenim diame
na. Fam quoque D B, Proalca  II. Duod erac demonstrandum.
Perole
hEg. huius, ErO A F ha quidistabit illa B D, vnaC CM A L lCCEC A L aequidistancium rnam, alce
C0r01
o i i   pt 1 e         e    a t   i p 1           ue    e  p  e ne  o a   e    i uu

## Folio 371 — 1815201908:0428
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000428.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
Ca
P A R ABOLL.
Corollarium.
lnc pacee qualcumque duas contingences parabolam, convenire in aliquopun-
Ao excca lectionem: pacec exiam demonstraris.
PROPOSITIO XXI
Tontingences actx per extrema ordinarim applicacae cum ciuldem
diamerro, in rno codemque conveniune puncto.
Demonstratio.
Icad ABC parabolx diamerrum BD, ordina-
eim applicata A C, AICO CONEIHGENLES POT A ex C
ductas, diametro BD occurrere in vnocodemque
puncto D. demonstracio patee, cum pars diamerri
a sectione de concingence incercepca aequalis sE
porrioni à sectione e ordinacim, applicaca inter-
cePEX. isitur concinseneS, de C. Quod crar demon.
prandum.
PROPOSTEIO XXI
DErdacum punctum in perimetro parabolae diametrum ducere.
Constructio ex demonstratio.
Ie in ABC perimetro astienacum
punctum B, ex quo oporrcat diame.
erum poncre; ductâ quavis secance
B E, exhibeaeut illius diameter a HIF,
cuiper B xequidictans ponatur BD: P2-
ret illam bsectionis esse diamerrum: à
daro isirur puncto, e c. Quoderacta
ciendum.
rollari
rum oporrearponiere. Constructio ex demonstratio pacec ex plima propositione.
a3. trinr.
6
huius
ihdem omnino praxi vremur, A et dato, exera velinera leaionem punato D, dlame:
OPOsITIO XXII
Aca parabola
attet racllte.
Cosmuro es libiibi
IcA BC Pataboracuts
PatalleeenAC quatu
stratio.
axem oporcear exhibe.
res Ponantur dua guaenis
cxoearus Maels
BF: da gdaM ex V a C
normaliret dUCANEUIEPC
LMi accclalsae Mllatcllui
cuta L. C bilarta clllla

## Folio 372 — 1815201908:0429
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000429.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
P AR A BOL A
in FFpOnAEUEPeF FL xeguIaanS diamerro B F. dico illam axem ese. quoniam enim
Ehaini diameero B Fxquidileae, erica illa quoqe diamerer sectionis, de quia xequidistancium
cr. Desnii. F C, C M vnam ad Cbsbilccat angulos, bile cabic erb alceram, ad rectos: axis cigi.
iuo. cur sectionis est K B exhibuimus ergo, _c. Ouod crarFaciendum.
PR OPOSIFIO XXTV.
Mnis linea in parabId axi xquidistans, sectioni in vuocantum pun-
Demonstratio.
DOnacur ABC parabolE axis BD; e aliaqueuis ei aequi.
ailtans AC. dicos AC in vno cancum puncto fectionioc.
currere: Ha vero, occurrac icerum in C: d ponantur ordi.
narim ad AXeM RectE AF, CD: CFiE igIEUIF VE BF linca ad
lineam BD, AC F. A quadracum ad quadrarum D C; quod
feri non porest, cum AF, CD quadeaca aequalia sine
incer(e, (ob A D Parallelogrammum) _ BP. linea minorre.
cta BD. isicur AC diamecer, parabolx cancum semel oc.
curric: Ouod Fuic demonstrandum.
PROPOSITIO ZXV.
Mnislinca in parabcha, quae non est diameter lectioni occurrie in
a2g. huius.
rrhuius
Demonstrario.
OnaluE ABC parabOI~ axis BD, de linca
RD quae non sc diamerer. dieo illam sectio.
nibis occurrere: Ouoniam R D non est diame-
cer 2d eoqueaxinon aequidistac, productanecel
Cario illi occurrec in puncto quonis D (cum in
eodem plano existac) quod E D punctum Fuerit
DOCCUTTIE.
obus punctis.
Coroli
rima
45.
vuo catum puncto: ae gula cacem dalaquidi
Aac produeta quoque occurrer R Roduca
in F puncto, quod exera sectionem elt. viiu
KD F peiusneccslario occurric in punclo quo
uis F. ductaisitur ex F. ordinarim F. C hancpio.
porcionales BC, BD, BEI Policaque ad HI ol.
dinacim linca, occurrar ipEK D in Puncco quo
nis A. quoniam BC, BD, B FT POnunEur prO-
Polllehales, eric HID ad. DC, DE HIB ad BD.
e IID quadrarum c ad quadrarum D6, ve
TIB quadrarum ad quadratum DB, id est re
ETB linca, ad lincam BC: scd ve HID qua-
dracum dd quadratum DG, SC FI A quddracum ad quadratum C F: igitur MH B
linea ad lineam BC, SiC FI A quadracum ad quadracum CtF, vndepinelu 
est ad parabolam, et D K, linca 2xi non palaltetu tusue seccioni occurrie.
Si vero DR linea occurrar axi exrra seccionem, Pacet ance parabole occurrere
in puncco quonis F: ex quo ducca ordinarim linea R. C, hanc BC, BD, BHI
proporrionales, d ex HE duCATF EL A parallela E C, OCCUrrenS K D linex in A.
10
incra parabolam, ponacur ex D ordinacim DC,
_ per C diameter P F; occurrecilla sectioniin
o su pe e tate e tu e sue te ete ptt e pe e set ti  t  eit pt est te u pe t pit   ta tt t  s ta  et e pti e t te a t  e  et e ti e   te tt  et     tt  t e  l s e 
1. DCprO
cessionibus

## Folio 373 — 1815201908:0430
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000430.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
P AR ABOL A.
quoniam igitur est IIB ad BD, ve BD ad
B Cm erir componendo permucando FID 2d
DC, ve DB ad BC, est aurem re FTD ad
DO, AC AHI ad FC, ereo ve DB ad BG
id est per construccionem B H ad BD, SC AII
2d F, C. unde a FI A quadrarum ad quadra-
cum EF est ve HIB, quadracum ad quadra-
cum BD, id est (cum AIB, BD, BG, sinc conei.
DUx,) ve FT B linea eA ad lincam B G, aC pFO.
inde punctum a es ad parabolam, d AD li.
nea leccioni bis occurrie. Quod fuii demon-
Atrandum.
Corollarium.
Fincpulchra educitur proposicio: nimirum s B C, BD, B EL ponantur concinux
ex ex C ordinacim linea CF P; agaEUEqUC per pUnCTA F. eC D linea, OccurrenS
TCCEX ex HI ducta e iph C. P parallela in A: quod punccum A sic ad parabolam.
demonstracio habetur in priori propositione.
Sequitursecundo nullam lineam parabolx in pluribus quam duobus punceis oc-
currere. Cum enim parabola, secrio sic coni, ex ipsi cono nulla linea, in pluribus
quam duobus punetis occurrat, parec nec rilisectioni coniea, lineam in pluribus
QUaTA AUOBUS PUNCTISOCCUTTETO.
PROPOSITIO XZVI.
Darabolam ABC secent dux quaevis parallelx AD, B C quarum dia-
mecet ponarur L. l.
Dicoiunctas AB, DC diamerrum in eodem puncto C decustate. l
(IAC, AD aequidistenciunctx q. AB, C B conveniantin C. dico C pun-
ctum esse in diameero linearum BC, AD.
Demontio.
Voniam E P diameter est rectarum
LBC, AD, igitur diuilae sunebitariam lIM.
BC. AD inpunctis F_ F. vndeve AF
ad BF, ACH ACi ad B G: hoc eA F C
ae L V. ICAM AL ad B F, ica F. D 2d
FC; HMI BLD ad F C, ica cAt F C, 20
Fe, noeca De a CC. isicurpunctu
CConun Mcribus lincis AB, DC,
LL. uodtuit primum.
Idem quoque ostendieur si C punctum
cadu uabolam. si iam ponancur AD, B C parallela, d IUINCEX AB, CD cOn-
deahe in puncto quonis C, dico C punerum esse in dinmerro ad quam B Ci AI) Or-
Linacim. ponuneur: ouc
Divila enim B C bitariam in F demirratur ex C per F linea C P. quoniam igi
Cu AB, BC aGdictanE, erit AF, ad F D, ve BF ad F C; sed B C in F. bitariam
elincacum B C, , cc. Suoeateorandum.
ponirur diuilas isicur _ AD in F, 2 quoque divila est bitariam: vnde C P diameret, u.tmini.

## Folio 374 — 1815201908:0431
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000431.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
D AR A BOL A.
e R OPOSLFIO XXVII
ad diamclt BD.
IsC ad AB C parabola diameerum BD ordinarim axplicata AC 
diameclo in D: cum punctum Cumacue , GuocuC I diametro BD:
A SANCUEG; Per A X C, contingenteS AD, CD, conveniencille cum
e ex B rectae ponancur BE, BL, agaeahles conrngentibus, Patabo.
le vero occurrentes in P _ F.
Dicoiunctam L. F aequidictare AC, adeoq ordinarim esse poliram
Demonstratio.
C: ProductaqueB B, F B; concingended occurrane in EIe C: cric igicur TI
est a diamcero BB, eric ee lF ab eadem in R bitariam dinila; es F. R, R F aqua.
les incerse; quia vero A C. xquidictat FF O, X quidistabune quoque F P, FC: et
F. P quoqs re TTO, a diamerro BD bislecta cAt: aequancur igicur R P, R F: ex puncta
FP inum idemq; sunc: eAtque P. communis incerlectio lincarum F. F, B F cum pa-
rabola. equidistane ipirur B P, AC, HV C. Ouod erar demonstrandum.una
acbes
EMIETAnEUT Cx A _ C, diametri AR, C L occurrentes rectis BF, BF in L _
GB parallelosrammum, _c FC bissecta a diamerro DB, aquidistane ergoTIO.
AC: X quia A D, B P quoque parallelae sunc, aequantur HIC, AM: similiter cum
XGUENEUE FY C, NC, recta AM, N C aequales sune: cA aurem AC in C bitariam
dinisa, Xquaneur ergO _c reliqua M O, ON: quaTCIVE AM ad MO, sC CN ad
NO. (Cd rE AM 2d MO sC A R ad BO; de ve CN ad NO, SC L. C ad BO,
isicuE VE AR ad BO sC CL ad BO, aequales ergo sune diameeri AR, C L.
2. pujus Quia vero FB, D Comingcous a Gulccac Porcones Malu Parabola incerce
peae, in a K _ F bitariam sunc dinisx. V Icerius ponacye per L. aquidistans AC, li-
nod F P, Occurrens parabolX in F. _ F, rectae BF in P. quiaigieur AC bissecta
loro
u e e e et ste uet et et te e ta   it e e e se se. et at lt  e  tt Ae ste   i sita a      t e tt  e   pt   1  e      t et  i 

## Folio 375 — 1815201908:0432
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000432.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
AKAB
Corollarium.
Xhis sequitur primo: posica E. F Ordinarim ad diametrum B D qu als III L LLCHE
GCOHEIHSEnEeS duX A D, C D. AI CAS ex F X L ductas ipsiS AD, CD aquidi
sances diansccums quesc BB, In Vio codemque puncto decullare. Patet demon-
Aracio ex praecedenci, cuius converla eAt.
Sequitur lecundo: Polica A C ordinarim ad diamerrum BD demissisque ex A
et C aqualibus diameeris AK, C L, quod rectX Dex R _ F, ordinatim posica,
DB diametro occurrane in rno eodemque puncto. Pacec ex ance dictis demonstra-
tio, cum tansenteS per A e C acta, ordinacim per R de L. policis xequidistene, dt
BD diamecro in rno eodemque occurranepuncto.
Sequicurrerrio: lineam (OT) coniungencem puncta, in quibus recta (BF,
BF) continsencibus aequidistances, parabole occurrune, equidistare recta (F. F) ex
crema linearum B F, B F coniungenti, adeogue lincas O) T, AC, R E esseparalle.
la5. ex ance dictis demonstracio manifesta est.
PROPOSITIO ZZVIII.
Sio ABC parabola clamerer BD, in qua a ssumpro puncto quouis
sD, demiccatur DP. UCans parabolam in duobus punctis A _ F. X Cx
F. Ordinatim ponatur P. F, iunetaque FD occurrac parabole in C.
DicoFF, AC lincas aequidiltare.
Demonsrio:
aequidiltans L. L, _ ex L per Cn duca.
cux FO, convenier illa cum diametro BD
a in D, est aurem ex constructione DF
linea recta occurrens sectioni in C, ipitur
recta FCD, eadem eA cum FC D. onde
ex punctum C idem cum C puncto, igirur
aequidistanE P F e AC. Quod fuir de-
monstrandum.
EP enimnon (inEparallelE, PONAEF AC
eROPOSII1O LLLX
Equidistent in parabola quenislince AC, L. F, iunctisq: AF, C F
Laponatur alia quauis  Pau  Meucns utIs AL, C L
in I_ R.
Dico CI, K HI lincas esse incer se xquales.
monsirat.
DOnatuF L. D diameter rectarum AC, GFI. Ouoniam HIC equidistac A C oI.
nacim posiex, eris HIC in D bbitariam divila: eAt aurem YD Xqualis D R cum L. du

## Folio 376 — 1815201908:0433
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000433.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
376
AR A BOL A.
SEb. huius. sE TD ad DR, vE AE adt F C (quia F, A FC lineae in idem punctum diamerri
conveniune) ixicur et reliquae LC, HIK quoque sune aequales. Duod erat demon.
RC
T1O XXX.
Arandum.
Equidistet rurtum in ABC
Lpatabola, reCtR AC, L F, po.
nanEH Que per A e C diamerri
AG, LIC OCCUTFCNEOS P. F linex
in 6 _ FI.
DicO F O, FFL lincas esseiner
Ce aequales.
Demonstratio.
DOnatur AD diamecer linearum
AC, B F. Ouoniam F F, AC li-
n DOSIEX Cunc ad dIA EErUM FD, CrUNE A C, B F in D de Pbitariam
DROPOSITIO XXXI.
Aco angulo ABC et puncto in ilo D, 0.
orcetper B e D parabolam delcribere cu-
ius diamcls sic BC _ A B eandem contingens.
Constructio es demonstratio.
n
dinilae, sed _ GTI in D bitariam est divila, cum GHI aequalis sc rectae AC, isi.
cur reliquae P G, FPF, sunt incer se xquales. Ouod erar demonstrandum
cacur ex VmesDC parallela AB occurrenSBC
linceinC: harque M BC ad D C, SIC DC ad AB
erir AB lacus rectum parabole quaelite, ac proinde de-
cerminaca est parabola oue pecebaFUF..
0 S 2td
vimd. sc sc lae 3t C8 3. 15. 1 112 Ct L ct 1. 1115 113 : 1 it ee 1dst

## Folio 377 — 1815201908:0434
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000434.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
Il A
L
ARS SF C VND A
Tinearum in parabolatam continuam, quam discretam
contemplatur proportionem.
eROPOSITIO ZXXII.
IE ABC parabolx axis AB, in quo assumpro quouis puncto D, cdu-
Dcancur ex D ad peripheriam linca DB, DC consticuences angulos
ADB, CDF aequales; cum recta ponantur BE, C F ordinarim ad
AZCM A F.
DicO AE, AD, AF, in concinua esse analoBiA _CONFa.
Demonstratio.
roniam LB, C F ordinatim pOsEx sunE ad AXEM,
Lanouli BFD; C FD rectilunE: aequales aurem po.
nuncur anguli BDB, CD F, Similia ivicur sunc criangu-
la BED, CFD: _ VE BB ad FC, HC F. D ad FD: x2-
cionis aucem F. B ad C F, duplicata csa rario AF. 2d
AF. ergo e duplicaca est racionis F D ad D Fi. unde
AB, AD, AF, concinue lunc proporcionales. ve Facile
deducitur ex prima de progresl. Geomerricis.
Sintiam proportionales A F, AD, AF, Postilque OF-
dinarim BF, C F: iungantur BD, CD: dico angulos
BDE, CD F. aequarr. cum provorrionales siInE AF, A D.
AFi racio AF ad AF duplicaca eA rationis AD ad
AF id est P D ad DF, sed eriam racio AH ad AF,
duplicara eAt rationis B F ad C f, igicur ve P D adDF,
HC BF ad CF, _ vE D F ad BF, SC DF ad FC: vn-
de cum anguli proportionalibus laceribus concenti recti sine, similia sunc criangula
BED, CFD, X anguli BD F, C D F aequales. uod erat demonstrandum.
ROPOSTTIO XXZIII
CUA. DC parabole diamerer AD divitain FI, DF,
LDVEAH, AD, AF corinue linc proporronales: pO-
nancur aurem ordinatim linee IIO, DB, FC.
Dico illasin concinua esse aMalosia.
Semonsctata
ex dupialam allohc habeanc lincarum CH. BD, CF.
DAacOV; cum A H, A D, AF Cinc continus proporrionales

## Folio 378 — 1815201908:0435
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000435.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
P ARADOL A
PR OPOSTFIO XXZIV.
Sco ABC parabole aris AD aequalis lateri
recto, ductaque ordinarim linea quacunque
EB, iunganeut AB.
DicOAF, AB, C. D lincas esse proporcionales.
Demonstratio.
Vadeacum A B aequale est quadraris AF, F B: led
LF B quadratum aquatur rectangulo F A D; igicur
quadracum AB aquale est rectangulo F. AD vna cum
quadrdco AF; id est rectangulo A F D. qUATC A F, AB
ED lincae sunc proporcionales. Ouo derat demonstran
dum.
PROPOSITIO XXZV.
DArabolam AB C cuius diamerer. AD contingar in A linea AF, de
missilq; ex A lineis AB, AC guae parabOlX OECUTTANEIn B e C
reanguli E. AB, D A C xquales sine ductisque ordinacim BF, C. D, in
veniatur A G, media INEeF A F _ A D.
Dico AG aequarilareri recto; _ (i anguli P AB, D A C aquales fuc
rinc, ee AC linea aequalis laceri recto, dico AF, AC, AD ele pFOpOr.
tionales e sI AF, AC, AD Fuerinc continux, e A C media aqualis la-
ceri recto: dicoangulos E AB, D AC esse incer se xquales.
Demonstrati.
Sulus D AC exhypocrehiequalis elt ansuIOL. AV
addico vel dempeo communi angulo BA C, angulus
B AD, aequalis est angulo F, A C, id est angulo AC D,
(Ob A F, C D paraIIClaS) aequales aurem lnE ee an-
suli BF A, C D A, criangula iBICuE AB F, A CeDin
cer se similia sune ee ve BE 2d F A, sic AD ad DC.
inde FAD rectangulo, aequale rectangulum BF.
CD; est aucem F AD rectangulo ex hypoctiesi equa
le quadratum AC, _ quadrarum H C aquale re.
aansulo BF, C D, cum BF, AC, CD linCX prOpOE.
cionales sint per pennuleimamsigirue quadrarum AC.
aequale eAt quadraro HIC. e A C linea equalis linca
Ie adeoque d lacctrecto. Duod cric primum.
Siciam AC HCa a Qualis laceri recto, de dneull
L AB, D A C EGUaLLS, dico AF, A Cm AD in conci
raa esse anal0912. St cinur non sine proporcionales, in-
VCMHIAEAE INFEF AF _ A D media A T: cric igitur per
primam parcem huiuslinea AP, aequalis laceri recto.
oulos F. AB. DLC cere a saut queam enim AF, AC, AD concinua
sunc proporcionales, F. AD rectangulu X quale est quadraco A C id est quadracO HC:
sed 8
Veacur ex C ordinatim linea G FI. Ouoniam An.
2bid. B2deoque _ A G linCX. quarC AF, AC, AD in contitua sunc analogla, HOC quaeuis
alia media InEeE AF _E AD, pEXPeF A C. Ouod erac secundum.
Rurtum AC A C+ aequalis laceri recto, _E AF, A C+, A D proportionales, dico an
opta u pte sui sue it t el t i a pet ut ut pue ue u p te i i u   u e u s    e p t e  t    tee et et  t t       ee   a eta a st t s

## Folio 379 — 1815201908:0436
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000436.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
6
P A R A B O L A.
led _ HC qualleato aquaseelt rectangulum BF; C D igicur d rectangulo L A D ~ Ex 33. hK.
aequatur rectangulum BFC D: vnde ve AF ad BF, sic CD ad AD; aequales in
aurem lunc anguli AF B; AD C. lacetibus proporcionalibus concenci, igicur cri-
angula AFB, AD C incer se similia sune, ee angulus B AF aequalis angulo
AC. D, id ect ingilo P AC: dempro ergo communiangulo: B AC, manec angulus
P. A D: aequalis ansulo C. AD. uoderat demonsrandut.
IIdem potc lecucul. LIaBla B A L. s. C. A D elle cex le similia. Pacerpor pri-
mamparrem praecedenes propoltionis...
P R OP. OSTTIO ZZXVI
IIEABC parabola diameter A D, divita in E d F VE AC, AF, AB
 Cinc proportionales, de AF media equalis laceri recto: poliris aurem
ordinatim lineis EB, FC, DC, ex A ad (, ducarux reCtL A C occur.
rens E B lineaein FI.
Dico AD, DC, FG, EB, F. LL lineas continue clle propotetonat.
Demonstratio.
Voniam AF equalis eA laceri recto, C F, F A
Lolinca aqualeS (UIME: FAEOIgITUT A F C ad AV.
id est GF ad AD; duplicaca est tationis C F ad
CD: provorrionales isitur sunE A D, CD, GF. quia
verO AD, AF, AB lunc concinux, cciam d CD,
GF, BF proportionales (une; concinuane igitF CAML
demrationem AD, CD, GF, BF. deinde cumrario
AF ad AF, id es OF ad FIF, duplicata SIC F2-
cionis C. F ad BB, proportionales quoque luncOF,
BF, HIF; concinux isicur sunc in cadem ratione
AB, CD, CF, BEHL Eiquod crac demonstrandum.
Corollarium
75
Corollariut
n
est GF ad B E, duplicata cleracionis GF ad B F, propoctionales igicur sunE AF,
BP. GF. IcaM BF ad F, sic OF eA ad CD, cum: AB, AP. A  C eiteS
nux; proporciona lesisicur sunE AP, PB, OF, CD.
. TInC sequitur AEs FB, FG, CD quoque in
Llcinua esse analogia: pario enim AF ad AF, id
AdIOSIEIKRaII
Seo AB C parabola diameter A D divila in
LE _ F, VE AF, AF, AD linea (INE PrOPOr
cionales, e AD extrema aequalis lareri recto; du
concur aurem ordinarim lince EB, FG, DC
Dico AC. ad F B, apcala habere rario.
nem cius, quam habec AP ad FG.
i1
11II
ste tu t sot  e asetit  nte 

## Folio 380 — 1815201908:0437
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000437.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
huins
27. P.
asionum
380
DC ell aplicaca.
c Coroll. 35.
huins.
AR A 80
emsonsoratio.
 A  lincae ponamire corteinua
Pentionales quoque cruic F B, F.1C, ldC: persirut
aucem AD prima serioi AB AF, A D aequalio lacer
recto, adcoquea iphi DC primae serici F. B, FO, DC
isicur b AE linoh nd lincam F. B cerria ad cerciam du-
plicacam habecracionem ejus quam haber AF ad Fci
se
unda ad tecundam; Quod erac demonttrandum
Corollarium.
Tine sequitur rectangulum. P. A F ad rectarigulum
BF C racionem hrabere criplicacam eius quam ha
vet A i linea ad lineam FC. olt en ravio rectanguli L A F. ad rectangulum
EB L C+ COPOLICA CX A R ad E B, _ AF 2d FC. Icd racio AF. ad B B, dupti-
caca clracionis AF ad FC. igicur rectangulum F. A F ad rectangulum F. B F 6.
criplicatam habet Facioeu ens quam habet AF linea ad lineam FC.
naneur aurem ordinaCM MM E LB, DC: iungancurque AB, AC.
PR OPOSITIO XXEVIII
VIE ABC parabOla diaMCTEF AD diviCa In F _ F, VE AF, AF, AD
lipex sint proporrionales, _ AF media aequalis laceri recto, po
Dico AB ad AC, rationem habere criplicacam cius; cuius FB ad
dCoral. 36. 135
C35. tuines.
ccol.
lqu
Demonstratio
Veatur ordinarim lirea F. C. Ouontam
AE, AF, AD linea proportiolale cu
1ees
a AC Iccra aequalis laceri secto, Triangula
AE B, AD CC similia lunc, ad coque vE AB
2d AE, sIc A C ad CD: X inverrendo per
mucando ve AF. ad C D, hc AB ad AC
iam voro cum AF aqualis Facta Gc lacortte.
ato, adeoque e FC cidem aequalis AB.
ABB, EO, DC erunc continux; racioiplcur
AF ad CD, priinx ad quaream eriplicura
eA racionis BP ad Fics, sccundx ad cerrium,
igicur de AB ad AC, criplicacam habeera
tionis F. B ad F C, cujus RB ad DC, chas
bec duplicacam. Quod crac demonstran.
dum.
CLCEt Liat
ZisparabOIE ABC diuisus CIECMM pL SPOLLIOHaLES; a AV
adaccco L1, 112, 1B, et, Hei Pollanut quoque, Dh.
OL, DC
Guicem media exictat incer AL, AL, 46, IIIL. CuclIq; ordinatine
Scorationem DI ad DC dupicata etus ene Gua Habet ADad
Demon.
(us  ne te ss it  1   e 1. s e t.   u s s.   A  e   1 1  ta   s  1 . 1 .  e is e t   .     t      t  1 1 

## Folio 381 — 1815201908:0438
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000438.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
P A R A BOL A.
Demonsratio.
Voniam eandem concinvane rationem
LA F, AF, AD, AC, AFI. Proporcionales
quoque lUnE2F L, FR, DB, OL, HIC. quia
eAt cum racione L. L ad C Hl. hmilia igitur sune
criangula IED, CTTD: quare ID ad DC
Ve F. D ad D FT, id est A P ad A D, hoc est in
duplicaca rationis IF ad BD. similicer octen-
dencur rriangula FR D, OL D Similia, _TKD
eACAdLD, VE FD adCD, id cA vE A F ad
AD, id est in duplicata rarionis R F ad BD:
scd racio IF ad BD, duplicara est racionis
RF ad BD, cum IB, R F, BD proportiona-
les linc, racio isicur ID ad CD, duplicara est eius quam habet r L. adt L. D. Quod
crac demonstrandum.
Corollarium.
A. AH. limilicer olcenactnt LB ad DC. mimitum allas caccemasliplcalam
habere racionem ejus quam habenC KD ad D F, dux quoque excremx: ex sic de
celiquos recletere terpet proponie
veroratio A F ad AH, duplicata eA cami r2
tionis F T ad C FI, quamrarionis AD ad AII,
id eAtbE D ad DH, cum AF, AV, A II
proporionales sinc, raclo L.D ad D Hl, cadem
b1. DCPrC
miba
CTiam AD tuerit media inECF SEpreM ContINUE pFOpOEtIONAlES quarUM exFremX
F1O
Seo ABC parabola axis AR diuiluS H AF, AF, AG, AD, AFL, AI,
AK de concinua stoportionales, d A D media corius serici equa-
lis lateri recto. ductisque ordinacim lineis LL, FMI, CIN, DB, HO, LP,
RC, iungancuE AL, AM, AN, AB, AO, MI, nC.
Dicoracionem AM ad A P duplicaram esC Lactonis AN ad AO ee AI
ad AC rationem eriplicatam eius quans Haber AN ad AO, acqueira de-
Bbb 3
Demon.
inceps in insinicum proceden do invenietur auemencum ruiusrationis.
s u
 

## Folio 382 — 1815201908:0439
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000439.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
B abid.
A R A B: OL. A
Demonstratio.
criplicaram esse rarionis A et ul IL O. et hc de cereris. Ouo d tuic demonstrandum.
TE ABC parabolae diameter BD, divila in F. R F, vE BF, BD, BF
Voniam AE, AF, AC, AD, ecC. sune continux proporciotales d corius seriet
38. huius exie ratio AMI ad A P, criplicaca eruS. Chius duplicacam HaBCEMIF 2d PI: est 2V
Ponicur AD; erunc quoque AF, AB, AI concinux proportionales, ni-
LmC
mirum secunda, quarra, de sexta. unde cum A D media aequalis ponacurlaterirecto,
cemracio AIF ad P I. duplicata racionis MIE ad BD, cum MF. BD, PI AncPTO
porcionales; igicurratio AM ad A P, criplicara cArarionis MF ad BD, id cA lerru-
plicara eius quam haber NYG ad BD, quia MF, NC, BD Cuncconcinux. eodem
modocum AC, A D, AH sine proporcionales, ostendicurracionem AN ad AO
eriplicacam essc eius cuius duplicaram haber NC ad OFI, id est criplicaram eius
quam habec NC ad BD. undecum AM ad AP. octensa uc rarionem habere (ex-
cuplicacam iphus NVC ad BD, pacee racioriem AM ad AP, duplicacam eAe ra
tionis AN ad AO. eadem prorsus mechodo octendicur; racionem AI. ad AC
PROPOSITIO XLI.
per F _ F ordinaci Ca LII. IIR:
lincproportionales, _ BD media x qualis lareri recto, ponancurque
Dico iunctas AB, HIB ipa LB MePloPOOaIC.
Demonstratio.
Voniam BF, BD, BF cC
tim
une proportionales, de BDme-
dia aequalis lacerirecto, taco P AB ad
EB eriplicaca est eius, cuius duplica.
cam haber AF ad FIF: Ced eadem de
causa quoquerario B C ad B K, cripli
caca eA eius cuius duplicacam habet
C ad FR, id CA A P, ad EI Frigicurr
AB ad HB, AC, C B ad XB: quod
tnc demonteandum.
e e  u u u    e e e  e e es e a  sit e  e t  ut  e  ie u e es   t        l .    .  1 1  . le  et  1e   e t s. u t 

## Folio 383 — 1815201908:0440
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000440.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
P AR ABOL H.
PROPOSTTIO XLII.
Ecehc A B Cparabolam diamerri ata quauIs AF, BB; IunctHq A,
B dlaccoum terminis, ponatur ad diametrum B D ordinacim l1-
nea C D, OcCuErOnS AB, A F lincis in F XF.
DicOFD, CD, F. D in concinua eAse analogia.
Demonstraiio.
BOnaluT ex A ordiMacim AG; veB D ad BC, HCD L Ct
ad A Cicead DF: sed BDad B C, duplicacam habec
arationem ejus quam hab et DC ad AC+, id eA DF, ta-
cioisitur DF ad D F, quoque duplicara est rationis (D C ad
DF: quaTEDF, DC, D F linex lunc in continua analo.
Bia. Quoderat demonstrandum.
Corollarium.
IIdem boluis: sequicur rectanigulum F C a
rectangulo FD, C F, cum enim FD, CD, F D propOc
cionales sInE,rE FD ad CD; SC FC eAt ad CF: rectangu-
lumisicur FDCF B aequale est roctangulo FC D. Quod
cracpropolicum.
PR OPOSTTIOXLITE
Cuo eLe loclatislum aquarirectansaoLL.
Ildem policis quae supras
Demonstratio.
a cadat F punctum extra
patabolam. Ouoniam igieur re-
eta bC i D bissecta est d ei in
directam aecta quaedam C+F. re-
deato C D, aequale est c quadraco
FD: led FD quadraro xquale CI
dangulum GF C rna cum quadra-
c 6. Secudo
rectarguium L. LD, una cum dre-
aasulosF. DF, id estrna cum qua-
drato CD Per praecedence propoligitur de rectangulo (+ F. C una cu quadraco (D,
aequale esrectanoulum P. FD una cum quadraro CD: dempro isitur communi
quadrato C D, mancc CFC rectongulo, aequale rectansulum R. FD.
Secundo cadac F punctum inera parabolam. Ouoniam CtC linca in D lecta cA
bitariam de non bitariam in F, rectangulum OF C ina cum equadraro E D, Xqua- Cs. Seeundis
le cAquadraco OD: sed GD quadraro aequale quoque est rectangulum FDF, id
eltcedanigulum BFD una cum quadraro F: D; rectangulum igitur CF C vnacum
quadraco FD aequale estrectangulo R FD; vna cum quadearo FD: quare dem
ocomumi quadao FDilae et Clla L. L1
Duoderar demonstrandum.
s
11
1
13

## Folio 384 — 1815201908:0441
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000441.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
AR ABOL A.
eROPOSITTO XLII.
Incicerum in parabola A BC CAIICMLAI quaevis AF, BD: et ad
merro LRL uIl.
Demonstratio.
Vata ABlinca seceFF C, HIrei
etaS in B, _ L, CTICIBIEUE L HM
rectangulum aequale à rectangulo
R HII X F FD rectangulum equa-
le rectansulo GFC. inde KHI
tectangulum est ad rectangulum
GF C, ve L TIM rectangulum ad
rectangulum B F D: SCd L. HM
rectangulum cA ad rectangulum
EFD, VE L. FID linca ad lincam
P F, id cAt ve AEI ad A F, isieur e
XHI P rectangulum ad rectangutum
OF C eA vE R HI linca ad lineaim
AF. Quoderat demonstrandum.
Corollarium.
Tinc lequicir, quoque esseve AE ad AHI; siC TET K rectangulum ad rectaripu
lum IFIK
CAenim AHL ad AFB, SIC HTL. ad HIL, id cA L ITM rectan-
sulum ad reclan alu Y. HIM. sedrectangulis I. HIM aqualia ostensa lunc rectangula
PTTR: IBITUE VE AH ad AII, SiC TEIK rectangulum cAt ad rectangulum LHK.
P R OPOSITIO ZLV.
DArabOlam ABC seceHEIm A e D, diameeri dux aequales AL, O F.
Aex P de F quadisponancur parallele F. C. F. C occurrences parabolae
Dicorectangula BF. C, ELF C esseincer le equalia.
Demonstratio.
DBD quidem ordinacim ponantur linex C. C, K l occurrences dia-
Dico CdC veAH ad AF, sic Ca CClanigulum ad rectangulu CF6.
43. Buius.
in B, C, tBC punctis.
2. Sexsi
DONANEUT eX D de A linCK DL, AK paraHIelX F C; _t AK quidem occurrat
DF diametro in li _c DI. demilla ex R diametro in NI: recta verO A F pro.
60101. 44.  DL In NI, VEDF ad DI, GC FIF C c rectangulum est ad rectangu.
lum AIR, e VE AP, ad AM, ACBF. C est ad rectansulum D M L.: ixicur cum P A
216
  .   .   . 1 . .  1.     e            .     t  e         at    s e

## Folio 385 — 1815201908:0442
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000442.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
0
P A R A BO L A
DK _D BM A linCA XqUIAIES HIIC, LCCLALSCUM HIF O ad TAK, rectanoulum
30.
estre BF. C rectangulum ad rectangulum DM L.; d pel hurando TTF C rectan-
sulum ad rectangulum BF. C, ve DMT. rectansulen et ad tellatisatu LAR.
sed Dm L. rectangulum, id cA M D N, ob DM, NI aequales lincas, aquacuE 230. huins.
rectangulo ta K; rectansulum isicue HFC, cectanpulo BF C equale est. Guod
orac demontrandum.
PROPOSITIOLXL
Darabolam AB C secene dux guxuis diametri BD, L. F, guas IHD X F
Sccene guaecunque parallela AC, G FI.
Dico esse ve BD ad EF. SIC AD C rectangulum ad reclatis t b l. H.
Demonstratio.
ECCTF E F INCA VEIPTOdUICATFIN R VEF Ksic
aequalis BD, X Per K POnaEuT LM Paraltela
GFL, CTIEISITIED VE PR ad RF, SIC LRM rC.
ctangulum ad rectangulum GF FI. quIR VEFO F R
aequacur ips BD, CriC P R M crectangulum -
quale rectangulo AD C, igicur vE BD ad R F, SC
AD C rectangulum ad rectansulum C F. H. Ouod
exac demonstrandue.
eROPOSITIO XI
Vincicerum in ABC parabola dux quaevis diameeri BD, F. F, quas in
DF _ D secet recta quaenis AC.
Dico ADC rectangulum ese ad rectangulum AFC, ve BD ad F. F.
Demonstratio.
Filac B. F aequalis BG; X PCF C POnatur TH equI.
distans AC, eric iritur ved BG ad BD, SCIG FI
rectangulum ad rectangulum ADC: sed TOTI rC
ctangulum aequale estc rectangulo AFC, cum BC
FF linex sinc equales, igicur ve F F 2d BD, (IC AF C
rectangulum ad rectansulum ADC. Quoderac de
monstrandum.
ROPOSI
reofocct e e s poltate alamelliBF, H1C.
DicoBF ad HC duplicacam habere rarionem cius guam habet A C
adDF.
b++ tnino
CAs. tnin.
d
in
S. huius
DArabolam AB C lubrendantdux queuis parallele AC, DF, quibus
Demonratio.
duplicara rarione AF ad DG, id es AC
ad DF, scd BF Cst ad FTGESVE AF C FC-
cangulum ad rectansulum D O F; igieur
BF ad FT Cm duplicaram haber rarione eius
quam habet AC ad DF. Quoderarde.
Voniam AC, D E linex in F, X G
Dolconalet cunc accuctuace
Ereetangulum ad DCF rectangulum in
monstrandum.
+P
no
8 +6. huius

## Folio 386 — 1815201908:0443
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000443.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
A R AB OZ A.
A AE. L _ 2 D e 1 t 23t 1ponii   XC
 t
et riul
bolam aua Guauis pacallelae AB, C. D, quas vicun.
Dico esse ve AGB rectanoulum ad rectangulum DHC SIC FC L re.
ctangulum ad lela a EELL..
et ait eesp et X. C ed inoncit iuvo Demonstratio.  1es. loceA
CiRigantur ex FI _ C diametri FFK, GL. erit
isieur ve GI ad HK, 2 sc AO B rectangu-
lum ad rectangulum DHIC: Scd ve C IadHR,
siC F CF rectangulum quoque ad b rectangulum
F FIF; igicur ve AC B rectangulum, ad rectan-
Sulum D HC, sic FC F rectangulum estad re-
Atanxulum FHF. Quaerac demonarandum.
mu PRO POSIFIO L
Sco AB C parabola inscriplum criangulum ABC cuius duo latera
AB, C B, dux quenis sccene FC aequidistantes AC in FI et l. 
Dico elleve FH Ci rectangulum ad rectangulum F. HIC sIc FIO re-
 1t
130
 eti
que in C _ EI, dividaclinca F. F.
5
eteZe1B Ba
ECCHE ABC
a6 hairts-
617. hninr.
ctangulum ad rectangulum L1.
Demonstratio
FctaH SMIuHI L EFC Cs ad crectangulum FFT G, ve AH B rectangulum est ad
Caghuius. L rectanoulum AHB: _ FFC rectangulum est ad rectangulum FLC, veCTB
rectangulum est ad rectansulum C: IB: CAt aurem VE A HI B rectangulum ad FCCtan.
sulum ATIB, sic CIB recrangulum ad recrangulum C IB quia exiiidem ratio.
nem habeane compolicam, isitur ve F HT C rectangulum ad reccangulum FHC,
AC FPC reccansulum el ad recrangulum FLG. Ouod erat demonstrandum,
ee

## Folio 387 — 1815201908:0444
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000444.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
2 22 2C222 L 1.
POFOSITIO BI.
ECCLAB pa ICCIA GuRuIS AB in A _ B, qua diuisa vecunque
Din C _ D, diuidatur in F. X F, VE AC, AD lineis linexquales BF, BF
tingula singulis; dein per CD, F. F puncta parallele ducaneur OH, IK,
LM, NO.
DicoestertS CHT ad IDK, rectangulum sic OF NV ad M E. L. rectan-
gulum.
Laaue 6C1L a 1D H ACD al
ADB. HoC el BF A ad BL. A, qMa AC, AL
aequancur FB, E B, sed ve BF A ad BF A, CIC
cANFO dd L FM: IgItuE ECNadIDR. TC.
aangulum, candem obcinee rationem qua N FC
rectangulum ad L P M: Quod tuie demonstran-
dum. nec mirum, cum OCFI recrangulum ip(
NV FO, _ rCCTAHSUIO YD K XQUCEUT L PMrC.
crangulum.
Demonstratio.
ISCCMI pet Quadeasolimam nonam huiuS re
L edeI ec
ee L, dividanericunque paratta ll AF: det ex B, Med MlICaCuL
quamsecato edo Ci.
Dico eNe CDF rectangulum ad rectangulum CDL, H AO L
ctangulum estad rectangulum ADF.
rEcenE ABC parabolam cca quaevis diamerri BD, C F, quas inD
eses abte
cur _ BDF reccangulum, Mt dd Fectangulum AD F, ve ADL Feclangulum est
ad recrangulum AD F. OEod crar demonstrandum.
COTOoeiO Lc
niam DF linex per hrpochelim xqui-
Lidiant, a BD, C F Cunc diametri, recca
DE inter se xequales sunt ob P. D Parallelo-
srammum. quare CFDF reccanoulum ad rc-
ccangulum C DF. et ve CD ad GD, id cA
BD ddbD. la deBD aBD, IL ABF
arccratioulum elt ad reccans  A F. 181.
Sto ABC parabolae diameter AD, quam in F _ D, seceneordina-
Lcim linee BE, FD, AUCATUTGUE CX A LINCA A C, SCCANS BF, FD OF-
dinaum policasrecunque in C d fI.
Dico BF. G rectangulum au ecanzuum L pulalatu hablie
ntibrict cillor sne habet DE ad FD.
cC
Demon-

## Folio 388 — 1815201908:0445
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000445.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Perele
venea
AR ABC
Demonstratio.
Eccarbulum B DC ad recrangulum F DFE a Facio-
nem habet compolicam ex B F ad F: D, d GF 20
ATD, id est AF ad AD: Sed rario A F ad AD duplicata
eA rationis BF ad F D: reccangulum isitur BF C adre.
ceansulum FD FEcriplicacam habec rarionem eius quam
habec BF ad F. D. Ouod erac demonstrandum.
tROeOSITIO LIV.
Darabolam A BC cujus diameter AD con-
tingar in A linea AE; ductaque quavis AC
quE parabOlE IFCTUM OCCUTEAEIM C, Lumantur in A C lincapuncta qux
plicacam eius quam habec btL ad LiL.
Demonstratio.
2 Eccangulum BOFT ad recrangulum PF F, racionem
haber compolicam ex BC adIF, _ Cx GTI ad H F,
id elt A C ad A F: sed racio B C b ad TF duplicaca cAt
rarionis AC+ ad AE, ixitur receangulum BC+ FTad re-
ctangulum PF. F rationem habec criplicaram ejus quam
habec GHI ad F. F. Ouod crar demonstrandum.
eROEOSITIO LV.
Seo ABC parabola diamerer AD, quam in
D secer ordinarim linea C D: divilaq; AD
in F _ F, VE AE, DF sinc aequales, ponancur
ordinarim EB, FC.
DicoFB, FC quadrata limul sumpra, x quari
quadrato C D.
Vcta AC OccurraE L BIIHCX in FI, _ F C in I, eri.
Sacurque ex C diamerer CR, (CCanS P C in R
Duoniam AF per hyporhesim aequalis eAt FD, id
CA C R, angulus A H F. aequalis angulo AIF id est an-
suIOKIC (ObFTF, CF aquidistances) et angulus APH
angulo aqualis CKI, erit AFIP. c criangulum aequale
criangulo CKI; _ FTE linex aequalis RI. Rursumcum
eam C D, GF, dTF; quam CD, BF, HL F linCC proPOr-
tionales sinc, quadraca FC, B R mediarum, aequalialune
recrangulis CDTF, CDHL; HOCCR recrangulis IFR, TRF, quia HIK, RIlinca
22. sccunai. X quales lunc, sed F. R quactacn dequale cA c recrangulis IF R, TRF, igitur et
contingenti in F. e C parabole vero in B, _ l.
cunque F, HI. ex quibus eriganeur diamerri F F, FTG, OCCUrreNECS AC,
Educieur
exprima
WIHS
Per
DICOB CHrectansulum ad rellangulum LF. F rarionem habere eri-
Semonsttatie
d +2. 1
Ducterac demonstranu.
quadraca F C, BP simul sumpra xquaa sudE quadraro L K, id est quadraco CD.
vorona
S   a te 1  e e   ta e  et st   t   e te   .  e   .    te e te        et       t     tat at       et  ste 

## Folio 389 — 1815201908:0446
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000446.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
P A R ABOL A.
Corollarium.
Tinelequicur: rum AD dividacur in L. _ ML, H LL, DM linex aquales
LsnE _ OIMNATIm PONANEUT LN, MO, quadrara L N, MO limul lumpea
aequari quadracis B B; F. C Simul sumpeis: Pacet ex demonstraris, quia Fam L. D, L
quadraca, quam L. H, MO AmuL Cump Ea = qualia LUNCqUAdEaCO C. D.
PROPOSITIO LV
DArabOlam A VC cuius diamerer AD e ordinarim ad illam polila
CD, COnMMaCin A linea AF, quam in E (CCOE AIALLICLCTC L: 2(-
sumpeoq; in lectione puncto quouis B, ponacurper Bordinarim linca
FO, Occurrens AD lineae in F, e F. C in C: dein per B ducacur diame-
cer HTI(ccans A C D ordinacim policam in I.
Dico parallelogramma AB, A C, AI, AC in concinua csc analogia.
Demonstratio.
Droniam AB, FC linca aequidistane, paral-
Lleloocammum AB ad parallelogrammum.
A Cn eA ve F B linea ad lincam F C, Id cAtC D:
est aurem parallelogrammum AB ad parallelo-
scammum A B VE A F linca ad lincam AD, hoC
elt in duplicara b rarione FB ad D C: igieur pa-
rallelogrammum AB, ad parallelogrammum
AT, duplicacam habec racionem cius, quamhra-
ber AB parallelogrammum ad parallelogram-
mum AC: Parallelogrammaigieur AB, A C
AI in continua lunc analogia: Rurlum parallelogran
mum AC, ve DIlinca ad lincam D C, hoc est ve AB parallerorammum ad pa-
rallelogrammum AC. Parallelogrammaisitur AB, AC, AL, AC luMCMML
nun proporcione. Duod erat demonstrandum..
PROPOSITIO
DArabOlam ABC, cuius diamCFEF AD, COnFinGACMI LLHHCA AL, aU-
atisque ordinacim FB, DC, criganeur ex C _ B, diamerri LC, B6
occurrences concingenciin ( e L.
Dico AGB parallelogrammum ad parallelogramnom a L. C ecipli-
caram habere rationem eius quam habet AC linea ad lincam AF.
Demonstratio.
a2. Botit.
B2. hacind
AI est ad parallelogr2.
Acioparalleloprammi AOB ad AEC pa
rallelogrammum ccompolica cs, exratione
A C, 2d AF, d G B ad F C; sed racio GB ad
mumigitur AC d pacanctborammu AP C
E C, id est AF ad AD, duplicaca cA rarionis
AC ad AF; id est FB ad DC, parallelogram
eriplicacam habet racionem ejus quam habet
AC linea ad lincam AF. Ouod erac demon.
Arandup.
CcC 3

## Folio 390 — 1815201908:0447
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000447.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
A R ABC
DROPOSIFIO LVII
metrum F C in, C
1stil L
Darabolam A B C cuius diamerex AB, ee ordinacim ad illam nasia
in K _ M: Secer aurem EB linea Mamerrum L. FI in N, X FHI linca dia
parallelogrammu ellad paralleloorammum BL.
Demonstratio.
Acio paralselogrammi FTD ad parallelosrammum
LF B, Composica est ex ratione F FT ad G B, _ FD
ad FC: eA aucem DE FTI ad GB, SCDC ad FFTid
eAt F A ad L A, id est F. L ad F I (CUM A G, AF, AD,
adeoque GB, FHI, DC, id est F A, L A, TA Uncconci-
nue proporcionales) _ VE FD ad F C, SIC= D A ad F A;
id est F A ad G A; id est FTL ad BI: racioigicur pa-
rallelogrammi ID adparallelogrammum FB, com-
Posica est ex rarione R. L ad LI, e exracione L. FI ad
IB; sed ex iiidem quoque compolica es ratio parallelo-
Grammi IIB, ad parallelogrammum B Li iBIEVEVEHTD
Parallelogrammum, ad parallelogrammum FB, SCII F
pacallelogrammum est ad parallelogrammum L. B.
Duod erac demonstrandum.
LOD concingarin Alinea AE, quam in E secet diameter C ti Factilq
AD, AF, AC coneinue proporcionalibus, ducarur ordinarim lincx FHI,
GB: de per B_ FI, diamerri aganeur TK, L. IIOccurrentes F FI, DC lineis
Dico LD patalleloorammum esse ad paralleloscaramum F B, VCHF.
nistonibus
Sco AB C parabolxe diamerer B D, quam in F. secee vecunque recta
de F, Ordinarim linex F. G7, FV.
a 5C
PROPOSITIOL LIX
F C occurrens verim que parabolae in C X F, duCanEuT aurem ex C
Dico BC, BF, BD lincas esse proporrionales.
emonoitalio.
FD ordin
REX CunE ad
iamecrum BD, racil BC dd B apI
cata est eius quam habet GC ad F D, id eltGP.
ad E D; ipicur BC, BF, B D lIHCX SUINEPFOPOE
cionales, posica enim media B F inter BC, BD
erie ve BC, ad BF, ita C F ad F D, _ racio B
ad BB. duplicaca rationis Cs L. ad F. D. 1GIEUF, 8c.
duodtuir demonstrandum.
Corolturton
Tinc sequicuresevE CP ad B F. Uc BF. a B V. na C L. a F, B2
eA ad FD, id cl B L. d BD.
 e pet p e1  es  1ee   e e 1e e e e es se e   e te s e  s u e t  e s s  e e t es es s e e t te  se ue       e te e t   e t e e e  t

## Folio 391 — 1815201908:0448
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000448.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
P A R A B OL A.
ROPOSITIO LZ.
Seo ABC parabola diam exer B F, h qua lumpeo quouss punctoHI,
3
ponantur continua prop ortionales BFI, BG, BF: ductaque ordi
pacim HLE, agatur per F linca ip (I FYF aquidictans, oc
urrens CE lincX
in A e parabola in C: ducarurque F. C. occurrens diamecroin D.
BicoDB G6MMcachee auate
emonsitatio.
Voniam BHL, BG, BF PONLMCUF CONCINUIX PFOPOTHOAICSSI C L OraIMacIIN da
liameerum C B applicalacric A punctu ad parabolam AB C pet COIl. L)MMIU
lunc aurem per praecedencem prop orcionales quoque BEE, BG. BCi Medla iSICuF
DHxqualis est. mediae D F.
2 Per eto
enta
PROPOSIXIO ILX
Vdem posiris ducatur ex C alia quaeuis C l occurrens diamerro BD
Lin IC; parabola vero in l; cum ex A per I ducta linea conveniar cum
diametro in L, ponacurque ex lordinarim linca lM.
Demonstratio.
LIncet BM e B F, media RaF B L oRendetur ve prius L B xqulC essC ipA BK, et
Dinneam L. L OcCuerere parABOIE _ A C recte in A puncto, inde cum tam BF.
BD BH lincx, quam BF, B R B N habences communem primam B F concinux
Eneproportionales, racio b et ad BM, cerrie adbcertiam duplicaca estrationis BD b27. D
ad BL, Id est BG cad B L scCda ad secundam: Scd. _ ratio B FI ad BN, quo- P
que aupcata est rarionis P LL dd TMT: ISICUEDE P EI ad PM, sic G B adL B. Ouod
Dico esle CB ad L. B, ve F FI ad LM.
erac denonteraulum.
PRodecio
IE ABC parabOIa diAMEEeF C D, PONACUL ACLCIIL A D HIMCA OCCUTTENS
parabolae in duobuspunctis B, clatuello selochllalectionem, in
D, POnAHEUrqUC OTAIALHIM BF, AF.
Dico CF, CD, CFlincas   upe
Demot.

## Folio 392 — 1815201908:0449
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000449.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
aCoroll. 25.
ains
1bid.
D. huins:
59. huttos.
e Corocl. 35.
AR ADC
Demonstratio.
CIn vero: Ponancur continue proportionales CL.
CD, CHI a ex HI ordinarim ducaeur EIC7, 0c
curtens LB linex in C: critisicur punctum C, ad
patabolam ABC: adcoque linca AB a Parabola
ibus punctis occurrie. Ouod heribnon pocest
vnde CF, CD, CF concinux lune proxorcionales.
PRODOSITIO LXIIL
Sro parabola ABC diameter guxcum-
Lsque BD aequalis laceri recto, aetaque
per D ordinatim AC, que parabolX occur.
racin A_ C, iungantur AB, BC.
Dicoaneulum AB C eserectum.
Demonstratio.
Voniam BD diameter laceri recto aqualis elt,
Le A C ordinacim posica lincae DB, cD A,
C aquales sunc. adeoque e puncta ABC, ad
circulum cuius AC dismeter eAt: angulus igieur
ABC rectus est. Ouoderar demonstrandum.
AOPOSITIO LXIV.
Demonstratio
p
suis AC, quxe parabola OcCUTFAC In A _ C, IUnGANEUEAB, BC:
Dicoangulum ABC esse rectum.
Sco A B C parabolx aris BD aequalis laceri recto, act à que per D qua
DOnancur ex a d C ocaac a A Ls C Ct.
cruncigicur BF, sBD, BC linca proporrionales;
quia vero BD media aequalis laceri recto cA, crune
EBL, CLBC criangula similia; e angulus BAF
aqualis angulo EBC, id est CB C: led angulus
B A F. una cum angulo ABF, recto est xqualis, quid
angulus AR B ad axem rectus est: isicur ec ansulus
CBD onacum angulo ABF. enirecto sunCXqua
les. rectusixicur abis clus B C. Duod erac demonstrandum.
ROPOSITIO LX
IIdem politis.
DC duplicata est.
Dico AB adBC, eracu HabetC TatOneM etuS, CHIUS AV ad
Demooratio
Voniam in criangulis GBF, CBC anguli ad G recti sunE, linCXqUC RC, OC
Laquales exhypochesi, crianoula FB C, C B C incer le aequalia (unc, d PB, C B
F3d. um. CX quoque aequales: Vnde Cum EatIOA B ad LiB, EiplCaCA AC eIuS, cuius dupi.
Cacam
M BI  A et  . 1    u e. 1  1 . .  t  e u  .    ue     . 1  l  1   1  . . 1  1e. 1. p. .  . 1 . . 1  

## Folio 393 — 1815201908:0450
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000450.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
ud
les;
une
F
ulu
P A R A B OL A
coram habCE AL 4d F C+3 exit d AB ad B C, ralto criplicata racionis AF, ad
F C, id cA AF. ad C C, id est AD ad DC. Ouod CTAtdCMOMIEA.
EROPOSITTO. L XV I.
IIdem poliris ducatur ex D ordinarim linea D FI, uungacurqe HB:
Dicoangulum ABF, linca HIB dinilum essc bitariam.
Demonstratio.
Voniam anguli AF B, EIDB, recti Cune,
Creliqui duo anguli ABF, BAF reliquis
AIBD, DHB aequales sunc. Scd B A F angu-
10 aequatur a ansulus FBG, duo igieur an-
suli LR G, AB E aequales suncduobus FTBD,
BIID: id est angulo HBD bis lumpro, ob
FTD, DB  lincas aquales: dempro igieur
communiangulo FBC, manencanguli duo
LIBD, IIBE aquales angulo ABF: a qui-
bus curlum E communem demas angulum
EIBD; reliqui ABH, HB F aequales manen.
Duoderac demonstrandum.
B0ne  P R O P OSIFIO LXFIL.
DArabolam ABC, cuius diamecer BD, Concingat in SIIILA D L; C
quouis aurem puncto A in perimerro assumpeo dueta ordinacim
AD iunctilq. AB punctis lumatur in contingence punctum quodeum-
que F, ex quo linea demictatur FG, parallel2 diametro BD, OCCUTFeNS
parabole inC, AB iunctx in HI, ec ordinarim posirxe in C.
DicoF C, FHI, F C lincas in continua esseanalosia.
Demonstratio.
LiRecta ex A dIAMCTEF A L OC.
currac concingenei in F, &
per C ordinatim ponaeur IK sC-
CanS AB, AF. lincas in L ex Y,
e BD diametrum in R. VERI
ad R C, sic BP eAt ad BHI, id
es FC ad FHI: XVE CRad IR.
id est F B, ad F B, GC F HI est ad
E A, id est ad F O: Sed LR, CR.
IR, linex sunc continuac proporcionales; igitur _ FC, FHI, FC linex in conci- c A2. huiue
nua lunc analosia. Duod exac demonstrandum.
EROPOSITIO LXVI II.
Iidem dacis lumatur in concingente quoaus punctum et Guo
Lcur FH parallela BD, occurrenslinex AB in FI.
DicoHI C esead C F ve AH ad HI B.
2 Coroll. 35.
uius
Demon-

## Folio 394 — 1815201908:0451
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000451.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
394
P AK RBOLH
 S. Clrii AX ∞3PXitC, 1 13 . D e la et s. 2B 3123, :d Y L∞ E A gcust Ccn
. 2.2 Demonstrario.  bi D Br. e L
VONiIM GF, FTF, CF proporcionales sunc, TPF est ad C F, vE G F ad HF.
LhOC CADE A F ad HIF, hoc est ve AB ad FTB: igicur diuidendo FTC est ad
CF, ve ATY ad HB. Duod erat demonttrandum. I utisctqrautl
ic
ai
L.rmuou
DArabolam ABC cuius diamerer AD, _ ordinarim ad illam polica
CD, Concingat in A linea AL, quam in P. secer diamieter C P. iun
Ccilq; Pinctis AC, ducatur diameter guaecum que F C, Sccurrens parabo.
Ex in B. deinde act â per ornam linca HIl, gux F C FeCtX OECUIEE
(nI, e AD diamLI cCatuT ex Glinea C3R parallela D C+ ilu
Dico Varaet cut L. B ae quari parallelosrammo K B. 1: 91 HIV
31 111
1. (.C
n il Demonstratio. colo mmo
1p
L1. 2 115 et el 12. C EH
JT AC ad GC; sc AF ad FF, id est HB 1d
BI: SedvE 2 AG ad GC, SiC F B ad B C: igi.
TUE VE FTB ad BI, siC FB ad B EF; TUNE aUECM An-
suli ad B oppolici xquales. igitur parallelogram.
mum F. B aequalc b cs paralICloSraMO K B. Ou0d
erac demonttrandum.
1M1
1
PROPOSTTIO LXX.
i
IE ABC, parabola diamerer AD divila
DIn E _C F; VEAF, AF, AD Cint proportio,
DicoFTCrquidiltare diamerro _D, _x contra (i HI C xquidistet dia
MEETO AD, X Pet LL OTMMITACHM POnatuE FB, dicOAF, AF, AD eAeprO.
Demonstratio.
Vm AE, AF, A D proportionales UnE, recta
quoque cCD, B F, C L in concinux Cuncana.
10gia. sed de DC, FB, F FT d quoquE TUNEPrO.
porcionales; aequalesisitur sunc LF F, GF linea.
quare HIC aequidistate diameero AD, quodtui
primum.
Siciam ETO patallela AB, e per EE ordinarim
applicetur BF; dico AF, AF, AD quoq; in con-
L+. Mm. Ma esse analogi Cenim CD, BF, FTF, linex sproporcionaleS LInC, et GF, X
GaecE HIF, CrunE _ CD, BF, C F. concinux proporcionales. vnde AD, AP, AB
35. SI Conciua quoque lunc analosia. Quo d exat demonstrandum.
nt
ER OPOS IFL LALI
eLO
POSITIO LXIX
nales, policilque ordinarim F. G7, F B, DC, iuncta AC occurrat F B in HI:
B Percle-
penta.
Porrionales.
C 33. Mitus.
842. huius.
cPerel
nen
Percon
SeoA B C parabole diameter AD, quam in D secet ordinatim linea
sC, act aeee pe  aneto C F, ducarur ex A linca AF (ccanS
Parabo.
A e quete   ate es . 1 . 1e s  t e     1 .      1 1 .  1   e e  1  e  .  e. 1 1    1  e  1 11 61.      e  t t  p 

## Folio 395 — 1815201908:0452
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000452.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
I.
10
B
15
0.
D AR AB O L A.
parabolam in B, _ F. C diamCETUM In F, OCCUF-
rens vero DC linex in F.
DicoAB, AC, A F lincas esC in continua ana-
lo8ia.
Demonstratio.
DOnancur ex B _ E. ordinarim linex B FL. F. J. Racio
AFL ad AD duplicaca eAtrarionis HB ad DC; id
eAt FIB ad IF: scd ve HTB ad TE, SiC ATI ost ad A L.
igicurracio AHI ad AD, duplicaca cA racionis AFF ad
AI: quare AHI, AI, AD lincx, id eA AB, A P, A F sune
proporcionales. Ouoderac demonstrandum.
PR OPOSITIO LXXII.
Sto A BC parabolX diameter A D: ductisque ex A lineis quibutuis
A sAB, AC, qua parabolx occurrant in B _ C, ponantur ordinatim li-
nEx C D, BF; e B E quidem A C linex occurrarin F; crect aq F C P2-
rallela diameero AD, ponacur per C ordinarim HC, occurrens diame-
eris IB, K C in l ec K. rectae aurem AB in L:
DicoHL, HO, HI, EIK lineas in concinua esse analogia.
Demonstratio.
Voniam HO, PB, D C, ordinacim POSCE TuHE.
L_ FC parallela diamecro AD, rect∞ FIC, ITI.
HK in concinua lune analogia. (od _ TIL, HIO
HI b proporcionales TunE. igitur HL; HG, HII
HI K in concinua lunc analosia. Quod erat demon-
Arandum.
PROPOSITIO L.XXIIL.
Sco ABC parabolae diamOteF AD, _C OF,
sdinacim ad illam polita C D. ducaturau-
rem ex A linea AF, sectioni occurrens in F:
actaque per F ordinarim FC, CrisatUF Ex C.
diameter C F, occurrens FC in F; iunganeurque A F, quae LD linex OE
curratin H, sectioni vero in Bpuncto ex quo diametet demrratur BH
secans FC lineani in L, & C D in H.
DicoHC ad C K duplicaram habe.
re rarionem eius quahhabecF F adF. L.
Demonstratio.
DOnatur ex B ordinatim linea BN. 900-
niam FC diamerer est _ HICD ordina.
tim polica ed diametrum AD, rectae AB;
A FC AFI proporrionales luncigitur et AN
AC, A D, icem BM, FC. dCDlincx, id cA
KD, CD; HID; in concinua lunc analogia.
Duare: cum veriusque Serici prima BNI, K D
equales sint, racio HD ad C D, terrix ad
t
   e t te   se s t  e  Al  
111
u

## Folio 396 — 1815201908:0453
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000453.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
it n ei i1 .1I
P A R ABOL A.
17. D. cerciam duplicata estrationis C D ad F. C, id CA F C, ad F. G: CsL AUTeM VEDHL
broeressio ad C D, SIC FIC ad CHCL VE F C ad P FI, AC FP ad F L, racio igicur (LC a0
b1 Depro. C. K, duplicaca es lacionis FF 2d F. L. Quod erac demonstrandum.
PROPOSTFTO LXXIV.
Irad AB C parabola diamecrum AD, ordinatim polIFa D C: crectaq.
ID exC diaeirOC F, iunsacu C A, ponaturque ordinacim quaevis FF.
occurrens parabolae inB, e A Clincta in C. cum ex B demils a diametros
quae A C lincx Occurrar in LB Ponacur per HI ordinarim linea l L. Occur.
Dicolineam GB ad DL, duplicatam habere rarionem ejus quam ha-
nibus.
gressionibus.
390
bec HK ad KL.
rens diamerro FC in L, de sectioniin R:
Demonstratio.
Voniam EaM FP, BF, cOF linex, quam L I
KI, LLL lunc proporcionales habences xquales
primoscerminos F F, L. I, racio C F, ad FTI, cerrie
adcerriam, id estrario GF, ad BL, id cAt d C+B ad
BF; duplicara est crarionis FB ad TR, scounda
ad secundam, id est racionis TFT ad TR, id cAt
FLK ad RL. Ouod erac demonstrandum.
PROPOSITIO LXXV.
Adem AgUTA MAMCHEO:
Dicorecrangulum F. G B ad recrangu.
lum FP B, criplicacam habere racionem eius
quam haber linea C B ad lincam BF.
Demonstratio.
Q Ectangulum E GB ad rectangulum FFB, rationem habeE Composicam exra
Seo ABC parabola, alum plosu  p
ucria puncro quonis A, duCanEUF reCIA
AB. AC occurrences irerum parabolx: diuilis
aurem AB, AC lineis proporrionaliter in D et
E, erigantur diameeri F. C, DI, Occurrentes p2.
rabolein F _ HI, X actx per A concingenci in
C42. BHF
gressionibu
27. D
rogressie
1. D epr
res
Per ele.
nenta.
EB ad BF. Ouod erac demomucandum.
cione SF C ad P F, id est ex duplicata rarione F. C, ad P B, id est C B ad BF,
nArhuius. (quia P C, h F P, P F sunc proportionales) e ex C B ad BF; igirur rectangulum
E. CB ad rectansulum P F B criplicaram habee racionem eius quam habet linea
eROPOSITIO LZZVI
DiCOGE, DL HnCAS IM F d FL, PFOPOH
nalicer esse divilas.
Dethon
 e ee  e  e s e et  s e e e 1  t 1 e te t et et e e  t  e te et t te s e u 1    u  t e et   te su  e res s e

## Folio 397 — 1815201908:0454
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000454.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
P AR AB OL A.
Demonstratio.
iRRIGRHEUF ex C e B, diametri CR, BL. Ouoniam AC, A B proportioalicer
in L CDponuneur divila, re B A ad D A, id cA BP adDI: RCC A est ad L A,
id estR C ad CF; lcd ve BC ad DI, Sic DF cA ad a FIL, _E VE RC ad CF L, HIC 2 Pen. pan
PROPOSIFIO LXXVII.
IIdem ports, dividancur rurlum proporcionalicer lines AB, AC in
M _ O, crigancurq: diamerri MI N, OP.
DicOFF eAC ad MN, ve DHI est ad OP.
Demonstratio.
SFCHMEE CE AtCCCagulI, ad rectangulum CMA SIC FB ZAN M. S NDDEL
Crectangulum 2d rectangulum BOA, sic DII ad PO. sad BD A ad B O A,
rectangulum eAVE CP A ad CM A, rectangulum, quia C A, B A proporcionalicer
ponuncur diuila; iBicur re F P. Ed N Ht, ACD H ad PO. Duod erac demonstrandum.
eROPOSITIO LXXYIII.
IIdem pOsitIS AGANEUE per D ee F ordinarim
Lad diametrum ex A demissam linca HID I,
FFO.
DicoHI, FC lineas in D e F. proporriona.
lirer esse dinilas.
Demonstratio.
DOnancur ordinatim linex BL, C K. Ouoniam igien
AB, A C linexe in D ex F proporrionalicer Cune di
vila, DE CR ad F G, sc BL cAt ad D L. scd CR ad
BC duplicaram b haberracionem FC ad F C, et BF
ad DI duplicaram habecracionem FFL ad DF, igieuE
DE F C ad F C SC FTT ad D I. _ dividendo vE FF ad
B. C, sc HD ad DI. Ouodtuir demonttrandum.
PROPOSITIO LXXIX.
IIdem poHIS, aMuIaanturrurlum AB, C A lincE prOpOrTIOnALItEFM
LM _N, _ recta ducancur MO9, NP R aequidictaces ipsS HII, FG.
Dicore HD ad OMI, SiCFF esse ad PN.
Demonstratio.
Vmenimlinex AB, AC proporrionalicet in M, D, NB E pundis sinc divisa, erit
SO ad DI DE NTR da LOSe POIMACaNAO I  ad NR, DE DIad F C
ad HD. c LH al L L. Suodet aldemonstrandum.
Ced perpraecedentem est ve MO ad NR, AC OM ad P NT; _E VE D F ad F. G, HC
ID ad F F; IBIEuE VE OM ad PN, SC HD ad F P, e permurando vE OM

## Folio 398 — 1815201908:0455
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000455.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
AR L
eROPOSITIO LAKL
Iead AB C parabolx diametrum et Domnarim polea linea C B: Fa
caqu AE xquali ipsi AD ponacur per L linca F H parallela recte BC.
dein ex C. ducarur linea C P, occurrens parabole in C Duncto, per quod ex
B agatur linca OCCurrenS axi AD iitEL, X F F linex in l;
DicoFE, BD, Ellincas in contiluta esse analogia.
Demonstratio.
Inca CF occurraE diameero in R.
Ouoniam A F linca aequalis ponirur
lince AD, d TTA; AK linex quoque
inter seaquaneur, cric P H reliqua X-
qualis relique R D. Rurlum criangulum
FX F ad criangulum D K C duplicacam
habet racionem F. K linex ad lineam
RD, Id est HID ad F IT. es aurem e
60. huiur.
criangulum B ED, adcriangulum F FL P in duplicaca ratione FTD ad FX F; isitur
vecriangulum FR F. adcriangulum DRC, sic BFID criangulum; ad criangulum
culum DKC, est compolica ex rarione LL a D C, id cA B D; X CK F K ad R D, id
NECFAEO F F ad B B, eadem cum rarionc B D ad P. I. quare F B, B D, F. I linex sunt
eROPOSITIO LAKLL.
F FFF adcoq; rariones exiisdem habenc coposicas, sed rario erianguli F R R ad crian-
CA DEI ad HE: e racio crianguli B EFD, ad criangulum FHL est compolica ex
ITD ad HIE,  ex BD ad E I, ablacatur communi racione HID ad FTF, ma
CONFINUX propOrtIOMalCS. uod erar demonstrandum.
t, A tuerint plopoconateo, eL. B, sectionem contingere.
Demonstratio.
DOnuntur ex A _C C ordinatimtA.
NCX A D, C G ad B D, di amCErUM.
quoniam ipituFB F, C C linex equi.
distane, eric ve B ad FB, AIC CF
ad FF; _ VE FB ad DB, ACFB
ad AF. (cd B C, B F, BD linec sun
proportionales; igicur d F C, EP,
F. A lince in concinua lunc analosia.
Duod eracprimum.
cruncigitur HC, HlF. HA concinua proportonales, alF ad FA, ve HCadHI.
sed _ C F cA ad F A, ve F C ad PF (cum F C, F P, P A sinc proporcionales) ixitur
VeFTC ad FTF, SCF C ad F F: _ dividendo ve HIC ad C F, ACF C 3d CF, quod ab.
Curdum, cum FTC exhypochelmaior sic velminor rect a F. C. quare FTBnon CAtcan.
BEHS, REC qux uis AlIa PTXTCT F. B. Quodera dem.
DArabolam AB C cuius diamerer B D concingac in B linea BF; de
missaqi ex P. linea F. A occurrat parabola in C e A, diametro vero
DD IM F.
DiCOE C, EF, E. A lineas in continua esse analogia, de COntra(I FC,
nem in B concingere. Sin verosagatur pet B cangens, quxe A F linex occurracin H.
Sineiam E. C, E. F, E. A proportionales, iunsancurque P. B, dico F. B lineam, sectio-
 e  tit   i. .   .  1 .       1  1)     .   e 1u      1e t u    s 1. s.  ut     t e t   t . e  t 1   1e 

## Folio 399 — 1815201908:0456
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000456.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
P A R ACB O. L A.
PROPOSITIOLLZXKII
Ademmihuenee Rgita proposicumt a daro puncto exrra lectionem
sconinee aee.  et sesiit
3 Z X3 dOB= IICLI
C1
 dadee ad  e 
Constructio es demonstratto. - 30, L:
ledacum puncum D5 Cx quo ducatur queris secanSpAt ABOL aHS I O d R: erir F, C
prima erium continuarum _ A C exceltus reliquarum: invena igieut incer
CF, F A media R P PeF F, diameter agacur BD iungancurque F B. PACCE PEF PreCC.
denrem, lincam Ld P sectionem concingere in B. a daco isicur excra pacabolam pun-
atocangenrem dusimus, dec. Quoderac quaelicum.
e
SMOire BBCEHLMM PROPOSITIO LZZLIII
Darabolim ABO cuius diameter AD, COMHSALM LLU a L. L.,  ..
qua sumpeis duobus putictis F, F. guCanEuT ex L _ L, OuX pataIICLa
tC, F C occurrentes parabole in B, C, FI, C, _ AD diamerro in D e l.
Dieo BF C trectan gulum ad rectangulum HI F C duplicaram habere
racionem linee eius quam habec P. A linea ad lincam F A.
Lg. Demonstratio. quuon
Voniamcam ZB, FB. FC 1-
Lnex, quam FFI FL, FG SunE
proporcionales, erie BRC rectan-
sulum aequale quadraco HD, &
HFO rectangulum equale qua-
Ataeo FI. isitur ve quadratum R. D
et
ad quadratum FI, sC BF C rectan-
gulum est ad rectagulum FIF C. sed
F. D quadeatum elt ad quadrarum
FY, VE A B quadracum est ad quadracum AF; igitur _ B P C fectangulum est ad
rectangulum HF C VE AR, quaceatum ad quadratum AP. hoc cAt duplicatam h2:
bencrationem E A ad F A.. Duodcrat demonstrandum.
1stes Be
eDR O P OSITIO LXXXIV.
15
Sd 21 . IIC
d
Darabolas duas AB C, D. B L. habentes communem diamerrum B F
Lcontingac in eodem puncto, linca BC, ec cx C queuis ducatur lincas
occurrens parabolis in V, A, C, E, dlamerro vero BF in F.
DicoDOFrecrangitum aequari recrangulo AC C.
Demonstratio.
HoC enim per octuages. primam huius eam
LDGF rectangulum, quam rectangulum
ACCaequalequadrato ti Cigitur d ACC.
DOF rectansula inter se equalia lunc. Duod
tuic demoncrandum.

## Folio 400 — 1815201908:0457
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000457.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
400
A R A B. O L A.
PROPOSITIO LXXEV.
DArabolam. ABC euius diameter BD concingae in B linea FB: ex
in F, C, A, C punctis e BD diamerrum in D e HI, demislaque ex F _
C diamerri FIE, GI, occurrane LLC Hnex in K de 1.
E 2 C1EIBLIEBC CAVEE CtrI
se
Sit est A et et:
emonsrAtO.  L C in erap
OL ad FK, SC F O est ad BF; sed
F. C 2d F F, duplicacam habet rarioné
E  ad F TI, id est b GFI ad TIF; igieur
e Cl ad FK, duplicacam haber racionem
cius quam habcc CiHlinca ad lincam HP,
erac demonctrandum.
TROPOSITIO LXZXVI.
Lpuncto F. duxe quaeuis ducancurlinex P F, F. C, secanres parabolam
Dico. CI ad F K, duplicatam habereracionem eius quam haber OH
ad FTF.  161111
EX 82.
uins
1. D
pressionibus.
esse ad quaatacum AF.
vlcerius inferimus, _ A, B puuel Contactuum coniungantur, rect 25 F E, F.C, I. C in
concinua esse analogla. ret d HIL, AG, HKlincas.
Demonstratio.
ISCenim ex TUBPOSIEOVEAD qua
aracu ad quadracu D B, siC A P
quadracum ad rectanoulum RFC:
ex permucando ve AD quadratum
ad quadracum AF, SCDB qua-
dratum ad rectangulum P F C. sed
Cest quoque ve AD quadracum ad
quadracum AF, SC DB quadrani
ad quadracum FC; igieur ee DB
quadrarum ad rectarsulum P F C, sic idem quadracum DB ad quadracum FO.
inde FC quadracum xquale cA rectangulo RF C; _ F R, F C F C linex lune in
concinuata proportione.
DArabolam ABC contingane in A d B linex AD, BD convenien-
res in D, alsumpeoque puncto F. in sectionis peripheria, agAEUF PEF P.
linea FC, Parallela rectx BDOcCumens AD linexe in F.
Dico ve quadracum BD ad quadratum AD, sic L. F C. fectangulum
Est hac ab Apollonio lib. 3. prop. 16. eodem plane modo proposita: nos aurem hanc supponendo
PROPOSIIIO LaaaI
IIdem policis ducacur de alcera C FL parallela F C, secans parabolam in
I_II.
Dicorectangulum F. F. C ad rectangulum YOHI, ese ve quacalu
F A ad C A, quadrarum.
Denton
S e qute   at e s   1te  s  t e e  e   .  e     1 1   1 e ee 1 t  1   p . 1  1 2. 1t 1 1 1     1 1.  1 t 1)    e t  . u1  1 

## Folio 401 — 1815201908:0458
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000458.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
Demonstratio.
P A R A B C
Vn enim eam rectangulum
EFC ad quadrarum E A, qua
rectangulum LOFI ad, guadra-
cum C A Habeanerationem qua
deaci DB ad quadratum D A,
constacica eNe R F C rectangulum
2d IOTIve quadeacum PA ad
C A. Duod demonctrandum Fuit.
Corollarium.
iT ex A ducacur diamerer AR, Occmerens ordinarim ap pHaciS In R ee L. rect an:
outum C FE ad FFOT, duplicacam habebic rarionem elS quam C K F habee
ad rectangulum FILI. rario enim rectanguli CR F. ad HI L L. eltracio linca R A
2ad F A, hoc est F A ad C: A. Sedrario rectanguli C F F ad FTCI, est racio qua- a +4. hmins.
draci F A ad C A: igicur racio rectanguli CF F ad TICI, duplicara eA eius quam
habec C. KF ad HIL. I, rectangulum.
PROEOSITIO LXXLVIH.
Darabolam AB C cuius diameter BD, ex ordinatim ad illam polica
ADC; continear in A linca A F, conveniens cum diametrO IN F,
erectilque Ex A e C diametris AF, C C ducatur quae cunque HTI, paral-
lela AC, OCCurrenS A F. contingenci in KE, lineae AF in F, diametro BD
in MI, iunctae AB in N, _ rectae CG in 6.
Dico IEFC rectangulum xequa-
ri rectangulo HFI.
a5. I Demonstratio.
1L ccr esp C.
Voniam eam FNB in R, quam
LFC In M bitariam divila est, erie
FR ad FN, VE FM ad FC. vnde re-
ctatigulo FRFG, aeQUaTUE FNFM
rectanculum: sed rectangulo NIM
octensum cest X quari rectans ulum HI P P. igicur etiam rectangulo HIF L aequale est Is. humr
KL Crectangulum. uod erat demonttrandum.
ivODOBT P R, O P, OSAFLO LXXZIX.
IIdem potitis: C
1. 12 4.2 1:
DICOHK HF, FC sineas elle conrinue proporrionales.
5. 115313 1C S1E et
Demonstratio.
E
Voniam rectangulum R F (d ae quale est rectangulo FIFI, VE FHI, ad F R, lIC 188. Buins
LF C est ad FiI: ex congerrendo ve F II ad c FTR, Sic F G eAt ad CT, id eA ad F FT; cPor elo
quadracum isicur F H aequale est rectangulO HRFC; e HIR, HP, F C PEOPOT. Menca.
rionales lunt. Duodtuic demonstrandum;
ninc
35 30

## Folio 402 — 1815201908:0459
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000459.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
D O. L A
eROPOSITIO AC
cunque OcCurrente pAabT I D Ponatur AC, d FD Ci aequidistans
CIEA B diamerer parabola AD C et ordinarim posiva BC et conxin.
Doens A E. diamerro in super A B aequidistee F C ductaque A F qua-
AB, OCCurrenLG; A C H C.
Dico LC aequalcena L L1.
Demonstratio.
DOnanTUT PEFD _ C puncta reCtX TK, N R
Parallelae B P; crune icague eres in conci.
nua analogiaa L I, ID, TR EE MGAMN, NYR.
Tgicur quadracum FD ad MN, quadracum
eam habecracionem quam IL. 2d MC. hoc
eAt I A ad NEA; Boc cst D A ad FTA; hoc
CA D F ad HI F. CA aucem FC xqualis M A.
isicur HP eidem EC aequalis eAt. Duodtule
demonstrandum.
PROPOSITIO XCI.
IIdem policis, per N dUCaEUF A NO.
Dico ID ad MN eandem habere
rarionem quam haber F. Had FO.
Demonstratio.
BOnacur PN O xquidistans A B, dit hac P 9, aequalis R O pEF precedenECM.
Similicer per eanlem erie F C aequalis F IT: eAt aurem F C ad F9. VE AF ad
AP, hoc est ID ad M N, igicur _ HI ad F. O, eandem obciner rarionem quam ID
PROPOSITIO XCIL
Darabolam ABC sustendat linea
AC actaque per C contingente
que diametroper A polita occurracin D,
perficiacur parallelogrammUM AD F. C:
dein sumpro in lectione puncto quouis
B, agatur per B diamerer F C+ secanS AC
lincam inF, cansencem C D in H pun-
ct0, ver quod ducta LK parallela AC,
ponacur lC quae LC linex occurracinl.
DicoOF, HTF, L. F lineas in continua
este arialosia.
Demonpratio.
OF aHF, sic D A cst ad TA: sedve
DAadIMMCMICCAAdLF, igiturveOF
ad FIF lic HIF ad IF, Proporcionales igitur
TUnE GF, HIF, L. P. Duod erac demonstrandum.
R
C
ad M II. Duod tuic demonlclandum.
 at   s  e u i te   t i .  e   s e  t s s e    t  ete  s  te   t e i  es   i  e t     t     u t e t e t    id

## Folio 403 — 1815201908:0460
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000460.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
P A R AB O L. A.
PR OPOSITIO XCILI.
Tisdem peHIS ducarur linea D RL OCCUEreNS G F in NI.
L Dico CM, GHI, C F lineas in continua esse analogia:
Demonstratio.
Voniam e C asudictac AD (ob D C, parallelogrammum) ec TKD, TCD
Lerianoula eandem habenebasim ID, LINCR M FI, =FTL aquales LunE. LunCaU- 2 Educitun
cem concmue proportionales CF, FIF, I Piisicur ex CM, bCHI, C F linea in con. ex clemon-
cinua sunc analosia. Duoderatdemonstrandum.
EROPOSIFIO XCIV.
L Dico ad FA, Sc HB ad BF.
Demonstratio.
DVCACUTCK C pet B HHCA CN OcCurrens AD linex in N: _ ex A Fecta AC
Paralleta BC LCAHS F. C. productam in O, ex F B lincam in P. Quoniam DC. c67 huint
eAcontinsens e AC eidem parallcla, rectae TIB, FTF, ETPC proporrionalos dg2. huino-
lune. Suncaurem etiam scontinue L F, ITF, OF, ee C F linca xequalislineae II P (ob
AB, AC. Parallelogramma super cadem basi A D, _ incer caldem parallelas consti-
CUTa.) igicur e TTB, aqualis elt rectae LF: unde dempra communi I B, manccHI L
rectae BF, _ N A ipA FD aequalis; adeoque e NY C paraIIClA D R. GUATCVEDN
est ad N A, id est EK ad DF, hC EIB est ad BF. sed vE CR ad D T; sic CHI est
ad FD, id est C F ad F A: igieuE vE C F ad F A, siC IYB eAt ad BF. Quod crarde.
monstrandum.
Eshec Archimedis alicer demonstrara.
eR OP OSITIO XCIH
DArabolam AB C Subrendar linca A C
actaq; perAcontingente AD que dis-
merro C D ducteper C. Occurratin B, Po.
nancur quocuis diamerri FF. SCCanECS P2-
rabolam in (5, _ per C ex A, ductxelineae
AHI, occurrant diamerro C D in II.
Dico RC, CD lincasproporeionaliter
in F. et Hl esse divilas.
IIdete poliris.
monsratio.
monstratiomanifesta et per precedencem.
nam lemper eAt vC AF, ad. LC, GC FC ad
CF id CA D HI ad FIC.
DII. Depro-
resstorodu.

## Folio 404 — 1815201908:0461
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000461.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
Auc
u
plombia
eARADCL1
Arabolam ABC contingarin A linea A D, in qua sumpris quibuluis
dunctis I _ E, demiccane diameeri DB, E. C: e ex A perB recta
Dico esse F. C ad CF, VE AF ad FB.
Demonstratio.
VeaIE recta AC OCCurrenS DB linex in C. erie
ur AC 2d GC, 2 vE DB ad BC, id cst FFad
FC. sed CC vE AC ad G C, SC AB ad BF sigituT rE
AB ad BF, GC F, F 2d F C: d componendo ve AFad
FB, sC F C ad C F. Ouod fuie demonstrandum.
PROPOSITIO XCVII.
DArabolam AB C subrendat recta A C, crecta.
que ex C diametro C E, ponatur quaecunque
AC occurrens C P. linex in C, parabolx in B
puncto, per quod diametce ponatur BD.
Dico iunctam DC aquidistare concingen
e ROPOSITIO ZCVI.
ducatur AF occurrens FC diametro in F.
per A ducta.
monstratio.
Vea enimper A continsenS OCCUEEAEBD, C F. dia
erris in F de L. Cricigicurb FB ad BD, VE AD ac
DC, idcA AB ad BC: GUATE CA F, D C linaxe CUnCP
ADeOSITIO XEVITI
Arabola ABC Cubrendac linca AC, actis.
que peM e C, concingencibus qua conve-
niane in D, ducarur diameter que
cutique FE, secans AD lincam in F,
DC in C, de parabolam in FI.
Dico OHI HIF, HIE, lineas incon
cioua este analogia.
Demonstratio.
callelx. Quod crar demonstrandum.
enim ve AF ad FC, BC d FH ad
HTF, sed Cti2M DE AF ad FC F (
cex radem
FH ad H C, isicur vE F HI ad HIF, I HF est ad HC: proporrionales ipicur
sui C HIE, HE. Ouoa erar demonstrandum.
(  i t tu u e   1    .  . 1        t     e a e        t    1     e   s. u   . 1 r 1 

## Folio 405 — 1815201908:0462
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000462.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
B
d
rie
ad
ve
d
u
l
E
Et
en
P AR ABOL A.
eR OPOSITIO XCIA.
Arabolatit ABC. cuius Cubrensa AC, concinsac KC,
qua lumprd quonis puncto D demictacur diameter DF OcCUrrenS
parabOca  D. PILB AUE Ex C rECtA POnaTuT C F, occurrens erectae
ex A diameero in f.
Dico FA, DF. lineas esse intex
Sca qualcs.
Demonstratio.
de componenao ve AC ad CF, (C
DF ad BF. LHH AC adF C, sC L A
est ad BF, igICUEVED F ad BF, SCF A
2dB P: isicuF F A, D P linex lune b in-
per le xquales. Quoderat demonstran.
dum.
Idemposicis:
PROPO
DicocsoBG ad GF, vE FB ad FC.
Demonstratio.
Drontam F A, DP lineo per praecedencem xquales sune, DF. est ad BF, ve L A
dd BE; id est ve AC ad F. C e invercendo AE ad AC, id est F B ad FC, ve
DB ad D Bsid eAt ad F A. sed ve BD ad F A, BCRC ad  F, ixirus B C ad O F, ve
FB est 2d FC. Quoderat demonstrandum.
DRODOSITTO
IIdem polutis ducatur AB occurrens FDiunctE in H.
DicoD HI, DF E C lincas in continua essc analogia.
Demonstratio.
Si Scenim D H ad A F, id es ad F. D, veD Bad B F, sed veD B ad BP, GC F. D est
2d D Cs isirur DH eA Ad F P VE FB ad P. C. Quod erac demonstrandum.
PROPOSTTIO CTI.
diamerro F. A ducacur ad BD, ordinarim
ABC, Ponacurque F C OccurrenS PaTa
bolx in B a BD diamerto in 6.
Dico F F lineam equari linex FC.
Demonstratio
Vol FBa lelonem ConcingIE, exI
_ P F, F Crectae incer le aquaneur. Quod erae
405
VF AE ad E C, 2 sC DB est adt BF,
Darabolam AB C cuius diameter BD,
coneesca L, demilsaque
F F ad F O DEF C ad F C: ex diuidendo
P E ad FO, HBCad OC; sed F C estaqualis
GC, quia AD; D C linex xquales Cune, igieux
 s Oa dum.
sino

## Folio 406 — 1815201908:0463
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000463.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
106
PROPOSTTIO CI
ducaturq: diaineres qua Occurrens parabola in I, de A F recta
Demonstratio.
DRoductadiameter B D, SCCCE F F, A E lineas
in L e M. Duoniam AC linca xquidictac
F. F eidemque est aqualis, erie AD, dimidia
rectae AC, aequalis L Fi, dimidix ipsus R Fi qua-
re _ L M aequalis cAt MD, adeoque L D in M
bifariam diuila: unde cum de L D in B, divisa siC
non bitariam, rectangulum LMD, id est qua-
dracum MD aequalc est rectangulo L BD, vna
cum quadraro MB, id esta quadraco BD, id est
aegnale erit rectangulo FDB. Rursum cumrE
BD adTC, sicL D B rectangulum sic ad rectan-
Bulum TICI, icem AD Cb rectangulum ad re-
ctangulum AC C, id est rectangulum cA M F ad
rectangulum AR B, igicur veL DB rectangulu
ad rectangulu FT OF, SIC AMT F rectanollum est ad rectangulum A R F; Cs AUICE vE
AM P. rectansulum ad rectangulit AR Rs siC L. MD rectarigulum ad rectangulum
HIK C(quia exiiidem racionent Habene compolicam) igitur veL D B rectangulum
ad rectangulum FTCT, (ic T. MB rectangulum est ad rectangulum FIR C+. e per-
mucando ve F. DB rectangulum cu ad rectangulum LMD, sic ITCL rectangu.
lum ad rectangulum FTR C:. scd L. DB. F. M D rectangula ostensa sunc xqualia,
ixicur ee rectangutum HCt aquale cAt rectansulo H K C. Quod erac demon
Darabolam A BC cuius diameter BD, ec ordinarim ad illam polira
LAC, contingar in A linCa AF, crectaque ex C diameEO C F qua
in IE.
DicoHOTrectangulum xquari rectansulo HKC.
buius
17
B + 7. hioins
Atrandum.
d+L.htonto
soleprb
DAR ABOL
contingenti A F. OcCurraL in P, perticiatur parallelogrammum AC F.
pressionibus.
T+O CIV.
CO contingane in A d C MICa HL, C E convenientes in F. ducta
que AC, ponacur ordinarim B e que P. C, A C lincis occurrat in F, X HI.
Dico HB quadrari dimillio aeguale esserectansulum FB, L16.
Demonstratio.
PR OP O S.
DArabolam ABC cujus diameter A D ee ordinatim ad illam pOTIFA
1. L
nales sunt, _ B HIdiffererie ponieur equalis
L R. Eccta G FL, TTB CBL quoq; provortio.
nalessune, adcoque B FT quadraco aequale
rectangulum I B, TIC. Rursum scum AI
in FACPrOPerea FTK in E divisa sic bita-
SaTUT ex C diameter CF; occurrens
228. hloius.
BClince in K. Aacgue e B a quals AI
Duomamiduut . Bd CrBlopo
re L B, HC rectangulum dimidium cltella a LB, HI C, adeotue e xquale
 suadrari HB. Sub ta .
riam, ex FT B linexe xequalis ponatur RL, crir de L B reliqua in F divisa Bitariam; qua
 o
RC

## Folio 407 — 1815201908:0464
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000464.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
P R O POSITIO CV.
Ddrabolam AB C cuius diamerer A D Contingat in B linea BF, COn-
veniens cum diamerro in tis demistaquCEX L. ed LC, Ga Paad
lam secee in F ex C, dueancur ordinatim lincxe F6, BtI, CD.
Dico FC, BHL, C. D lineas in concinva F
este analosia.
Demonstratio.
DEMIETAUE ex B diateCet BPSCCaHB E C li-
neam in K: Ponarurque RI parallela FIB.
Ouoniam B E linea sectionem concingie, crunE
FF, F R, a F C livee, adeoque e Li(, bKL, C.
concinua proportionales: sed HB linca aequalis
eAtR L, isicur FO, BFH, CD linca in continua
sunc analogia. Duodecar dem onstrandum.
Corollarium. .e
EAdem manente sgura Cumacur in AD diame
cro quodcunquepunctum F, exiraparabolam,
ex quo in parabolam secans demiteaeur R F. C, du-
ailque ordinarim P.C, C. D Hac AF lineae xqualis
A TI, _ ex HI, ordinacim ponatur HTB: dico FCn
BTI, CD lincas esse proporrionalos, juneta enim
B F. ceric contingens. vnde per precedentem con-
Rat veriras assertionisu, e
NorDROBOSLF L, D, C:
Sto ABC diamerex A D 3 in qua al
Llumpro extra loctionem puncto quo-
vis E) demietateur ex F dux
quevis BC, E F SCCANECS PataS
Bolami in G, K, C, F: pOnanEUE-
que ordinatim GI, KFI, FB, 11
Id
DicoelleMt d LLLL
FLg_d. F. B. 19ni Sin ceritursio c
a Demonstratiou
Demieratur ex X coringens L B.
ec ex B ordiniacim ducacur li-
nea BM cruncigicuEtam CT, BN.
CD linca, dquam HH, BM. EL
proportionales; quare cum BMII
nea Gererique seriei communis et
media proporrionalis inter casdem
lnCaS; CTCD crectangulum aL
quale clt rectangula TIKDL. 19i.
cur _ FC I3dXFB Ss F F. ad C D.n oyil
Quoderac demontrandum.
ditNoeiC
152TIH3DC arit e R ocriina
111Od El 134 1LIIL AO9. InCI
513. 5
7
P A R A B O L A.
281. huin
bPeroli
memia
5. tai
et

## Folio 408 — 1815201908:0465
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000465.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Coroll.
O5 huius
FX 70
huius.
C L. Dopro
Erettionibuo
d27. buium
P A R A BOL A.
EOEOSIFIO CVII
ito AB C parabole aneter AD, in qua alumpro exrra sectionem
sponcto quouis E, demicideur ex E lecans F F C, policisque ordinarim
O, CD, RaE AP. linca a Gualis AFI, se ex HI ordinarim ponatur HB
Dico F. C lineam extrema ee mediara.
tione proporcionali in F. _ H cNC diuilam
idest CF esse ad F. F ve CK ad R F.
Demonstratio.
EI FEIBB
VnoanCuFFF: Ouoniam A FF linea aequalis
PONICUT AF, FectX FG, BHI, a C D, PFOPOT.
cionales sunt, _ F C, TII b lincae xquales, adeo.
que _ FT parallela AF. GUarEVEF C ad RF,
sc A C ad AL, id est AD ad AFI, id est AH
ad AC, (cum AD, ATT, A C proporrionales
SInC.) id est DFI ad c FTG. id cAt CR ad RF.
Duoderas demmonstrandum.
PROPOSITIO CVTII.
Darabolam ABC cuius diameter AD, comin.
gat in B linea B C, conveniens cum diamerro in
F, ex quo recta ducatur F C, occurrens parabole in P
_ C, policaq ordinarim BD, duCaTUT A C’OcCurrens
BD linex in C, _ recta FD sccanS A C in HI.
Dico rectam A C diuilam esse in HI, d G, extrema
demedia ratione proporrionali: id cA AC, C. B: et
AHI, HLO este proporrionales.
Demonstratio.
Vugancur F O: Ononiam osensum est in praecedetri pro.
posicione FC lineam aequidistaro AF, VE AC ad Cv
sIC AF. es ad F G: sed AF cA aequalis d AD, igiTUT VE RC
ad CC, hc AD est ad F 6, id est AEL ad H1C. G yod er
demonstrandum.
EA EL. C~ CISL IHBCB IIUES TAE e
P R O P O, S, Y F PO miOVX nil 0
113 e tOO
It ad ABC patabOlX diaMHeHEBD,
ordinarim polica A C. iun ctilque AB.
E B ducacur quaenis diamocer F F. Ieur
Dico esse vE AD ad D FI, SIC. HIE ad
ct CBSe t BBBOI
Demonstratio.
lameter P F, primo AB linea Occurrarin
F exera sectionem. Ponatur per B concin-
sens IB: DE AD ad AHI, A5 DB id est 1H
OcCurrenS AC, F C, lincis in L _ H.
 u  e i t   i   u e  e  ue ete  Ae ee et u  p ei     t 1 te a  a   e         ti.  e  p 1  n       e   . 1 

## Folio 409 — 1815201908:0466
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000466.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
n
PIA RCACBSOMLIAS
109
ad HE, quia vero, Y G, IF (id est IP) _ LIF proPOrtionaleS TuNE, VE FFF ad L L. L A2. Bulas
cuncu, ad LI. rria cum PC id est P C, SCCUCAM CMMI TCFEIA, IGIEUE VE A D ad DIF;
esit ad Ii cis Ociod etacdemonstranduni.
Occurrariam diameror FF C rectae A B in L iner2 paFaBOIaCMLIBICUEVEA IL 2d
siuc IE: Pema ad sccundam, sic TII cum IF vel IF, id cA HIF, penna cum le-
AD, HC HTP at B D; id oA 3dIYY, _ rE AD ad TTD; sic FTI ad TF, sed ve HITad B ibid
Sirver AD ad DTI, liC FIV MM Al L. C+
TE primaad secundam (quia HIL, Ifi. TC oPoates IAC) hC Hl. ett ad L C fpr
Est HXC Arehmedis prop. 4. Ae quadracura ParabolL aliter demonsteaca.
eressionit
etd = b. 2FL 3y 01303 Corollarium.
Tlic segulciir lincam AIL A LO, PatIOHE HberC duplicatam eius quam ha-
ABeC HFi 2d F C: cum enim sinE COncinUIR proportionaleS HLL, LL, C+ L, CHL dLX 9B
Arabolam AB C cirins diaM CFOFB L, CMCMIE AbLI B IIIVA VL, qua
haius
1. DCPr
rtiniu
ratioHL ait LO, duplicacarationis HII ad PL, id cst. TTF ad F G.
20BOS
divisa in F _ G, ve BF; BG; BF I ROPOrtionales, demitrantur
diamerri FH, CI, F. A dictat ex A ad BD ordinacim linca AC, qua
F FF CI rectus secer in Y d L a8a per  ea CM occurren
EI, Ct diarpeeris in M _t set i
Dicorationem L.M a   Lao 1, alt 1NL.
23gemil
it cit
oloctis.
l osacto.
leti
d:dI
LuZerC
cacaitihabecratloneni; L O A OII (CuM L F, FO, LEIS proportionales RInE) e +2 huius.
id es per pexcedencem F _t ad M FT; Similicer & K C+ ad CrI, duplicacam haber
eius quam habec RN ad N F, isicur e ratio LMadMHE, duplicaca est tacionis
K N ad NI. Ouod crac demonstrandum.
= et2d22t E1
IIdCM DOMEI ANCACML HINCA A B LCCANS F L lineam InO.
LDicoMHLL F rectangulum esse equale rectanoulo AIL FO.
Demonstratio.
Voniam BF, BO, B P linex continux proporrionales sunc, diamétri quoqué
LFH, OT, E A in concintia (uNEE an 3IOZ IA. LVALC FacIO AP 2d F FL, id est L. F adF F  17.
EFI, duplicaca est rationis AP ad CI, id est R C+ ad G+T; sed L F 2d F FF, duoli- huins.
romam talioL alCaaapiCaca cierarionis L. M 2a MHL, quam Li L ad
LFO, CFIEVET, M adMTT, SICF P ad FO: quare rectangulum MIILiFi aequale
estrectansulo M L F O. Quod erut demonstrandum.
FEE
PR O
6 oOrag
111
eaeoec

## Folio 410 — 1815201908:0467
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000467.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
IC Su Tuam
D A R A B O L A.
 2I DROPOSI FIO. CXIL. 1B I 1) qua
Iead ABC Palaobla diame
Derum BD ordinach
linea AC, 1
AGHCEFOcC
lincis in C de tl.
3 Sic 
a
oute
 Sitiis L l.s SitrCI
Polca
tilque putictis
AB, C B, ducacur diamerer que
CnS AB, C B
DicoesseM Alt ad LiC, l
e ad F. C7. trino
109. l1
Abid.
Demonstratio.
TT AD ad DF, id est D C ad DF, siCF FT. est ad H F. sed etiam ve AD ad
bF C CAad CF, igitur vE FHI 2d HE, sC F C eAt ad CF, de per
mucando ve HIF ad F C, siC FI P. ad F. C. Ouoderac demonstrandum. 11
EROPOSITIO CXIII.
Ctilque punctis BC ducancur ordiacm linea P. F OCCUErentES C C.
BD diamecris in C de I, _ CB recta II IP. l1. li1aNOIS
9. b1.
usiie
1
deesic
L. EIEI
Demonstratio.
TIC ad AB C paraboIX diamerrum BD ordinarim polca AC, iun
Dicorectangulum C IE HIaequari rectangulo CF. IF.
GanEUT PeF B diameert
LR L. VEAD cad DL, sic
L K eHt ad R F, sed vE AD ad
DL, ACC D es ad DL, id est
CT ad IF, igicur C Pestad IF.
DE LR ad R F. est aucem ve
L X ad R F, sICL C adF FI, id
eit C L 2d L HL, igieur vE C
ad TF, AC GF ad F FI. vnde
CT. F H rectangulum aequale est rectane uIo s t P. id est G F, IF. Ouod crat de.
1 15t
1B: I 11
ti
1
6.de11t
eE. CC Se
-1. 12II
11c. lis  1 Ba Et A Ecirer 13 51. vitq.
tO IL. L, C, C.S. I aeter IIC) BC C). P. 14313~IBM SeCLMs
C.15. 31. Dite e 1 Lc
111 1. 1
5. 2ler it t Es 112. 1A P 11321171  F. 19 439 f 31
1ide  it 213. 
(EC SI: 2 5.15.
il.  HCBC  1 Livie
a ncit ansir aniumiie
Ele S2SepS. ranua
. Lie L. Ft. Ss S.S CS CnC IL LS. Toisen s  A
t 5 d. l  .   ∞. lou. . 1 .d(. C)et etL it t
torit. rst eeri cud is 3. 13 laiC. C) L L est ∞1ug 1u. V. or H
monstrandum. . Ci e lacteris. .:q 

## Folio 411 — 1815201908:0468
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000468.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Ht
c
d
10
ARS TF, R TI A
Sectionis socum eo muluas parabolarum intersectiones
Geometrice desienat.
PROPOSITTO CXIV
Arabolam ABC cujus axis AD, contingat in B quXuIS BL, OC.
Lcurrens axi in E: poliraque ordinatim BD, ponatur B F normalis ad
B.F, occurrensaxi in F.
Dico DF lineam aquari dimidio laceris recti
quod axiinsernie.
Demonstratio.
Vmacur A C aequalis laceri recto. quoniam BD ordina-
eim ponicur adaxem, quadracum BD aequale est rectan-
sulo D AC: quia vero angulus, B B F rectus est, eric ee qu2-
deaco BD aequalea rectangulum E D F. iBicUE E D F. DAC
rectansula luneinter le xequalia, ex Ve F. D ad AB, sC A C+ est
ad D F: eAt aurem E D dupla bipsius AD, cum F B, SccOn.
ringens; igitur _ AC dupla eAt rectae D F: ad coque DF a-
qualis dimidio lateris recti. Ouoderar demonstrandum.
PROPOSITIO CXV.
Adem maence Routa: SIE A C latus rectum et
sillius dimidio eguerur DF: ponatur aurem or-
dinacim DB, ex B F. contingens, iungancurque BF.
Dico angulum E. B F rectum esc.
Demonstratio.
AVm E B sic Continsens, ex B D ordinarim pOSiT2, erie CR DaUPIA recte AD: _ C Ibid.
quia A C dupla ponitur D F, cric D AC rectangulu daquale rectangulo F. D fi: a10. out.
sed D AC rectangulo cquale est quadracum BD, isitur _ quadrarum D B aequale
EX ele-
ckrectangulo F DE, unde cum D B normalis POHAEUTipGE F, paret c angulu F. B F monis.
eerectum. Duoderac demonsteandum.
PROP03111D CAV1.
DArabolam AB C cuius axis AD, contingat linea
BE, conveniens cum axe in F: policaq3 BD ad F. B
rectam normalicer, dividatur ED bitariam in f.
DicoF A quartam parrem esse laceris recti.
Demonstratio.
riam Sicdluila, _ F. C+ in A (ob F B contingenLEM) VEF. D
ad BF, (IC P. C: eA ad P A, vnde ex residuum AF ad residuum
GD, VEcocum P. D est ad dimidium sui F F: AF igicur dimi-
dium est C D: hoc est quarra pars lateris rectii cum CD late.
risrectidimidium (Ic. Ouod etar demonctrandum.
FFF
C
DOnacur B Gordinacim ad axem; cuim ixitur E D in P Bita-
relo

## Folio 412 — 1815201908:0469
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000469.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
perete
A R A B O L. L
Demonstrario.
BOnacur ordinatim linea B G: ee BD tortmalis ad con
encom P B. Ouoniam anguli F. BF, B P. F ex hypo
chesi xguales TUnE, CrINE e F B, F F linex quoque aequa-
les, vnde cum ex angulus F B D reCtUS LICS RICCHETOF, in-
ceruallo F R circulus describatur; cransibie ais per B et D.
Duare _ FF, LD lincg rquales; adeoque LA ae qualis
bquarexe parci laceris recti. Duod crac primum.
Rursum cum angulus F B D ponacur rectus, de B C ordi.
nacim applicaca ad axem A D, eric D C Equalis dimidio cla
cerisrecti, adcogue dupla AF: quare L A ad F C, VE AF
ad CI, d Coponendo ve F F ad FD) RC AF ad CD:
quare L. D CapIa es ipsIuS F F, d cirCuIUS CCHErO PinCer-
PEB incer se aequales. uoeat demonstrandum.
SCtaG A E x quali AD, aucatur ex D linea D C occurrens parabolae
in C; e ex C erigarur diaerer CF, Occurrens J. F. iqua normalis sic ad
Dico DC. F Olineas ce incer (c aquales.
Demonstratio.
Ciacurper C comtinsens C C. conueniens cum aire
in C; ad quem ordinacimm ponatur CFI. Guoniam
CC es contingens; rectx AC, A FL d aequales lunes
addicisigicurx qualibus AD, AR EOEX C:D, PII a.
quales sine; sed D C recta este xequalis CFD, igitur et
D C aequacurlincx HIF, id est C F. Quod erac de.
monstrandum.
1t 35
PROeOSITTO CZIZ
Darabolam ABC cuius axis AD produ-
crus exera sectionem, lic x qualis laceri re
loBE. A x qualis taFANSMIIS LBF.
BF F, L BF esscinter le alsales.
R SPOSTFIO CXBII.
DArabolam AB C cuins axis AD, contingacrecta quaeuis BL, ec angu-
Dico F A lineam aequalem ese quarea parti lateris recti; _x (I PACE
quarra pars lateris recti, dico lineas FB, FF) de consequenter angulos
penca
b116. ha-
c I2+. hM
11
valIo F F descripeus, cransibit per B ex D; cruncqs linex FB, F F X anguliF BF.
d17. huiuim
c. 117. ha.
aXCM AD) in F.
P R OPOSITTO CXVIIIdo
SeoA B C parabolx axis A B alsualis quarrae parei lateris recti: Fa-
C. lineaC C quae semicireuli concinsac in C.
DicoAC, C6 lineas elle Mut te aequales.
eto, contingat in Alinca AF, demissaq ex A sCCanTE AC, CriGAEUIF exC
diameter C F, occurrens AF contingentiin F, d DF quae parallela Ae
AE IN F, FaCEOGUC SIIDEF F F vE dTaLICILO, CemicirCUIOF GE, duCAEUF ex
Demor.
( us u e e sus        et   .   s  s p 1 .   1  ut           .    t .   1     1  1  1e  . 1  1 111

## Folio 413 — 1815201908:0470
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000470.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
P A R A BO L A
Demonstratio.
BOnacur ex C ordinarim C FI. qu adtarum A C aequale
est quadracis AFI, ITC: sed FI C quadeacum a quale est
tectansuloTIA D (quia AD per hypochelim est de quadis 12-
ceri redto) quadracumisitur AC aequale cR quadraco AHY
vira cum rectanoulo H A D, id est rectanvulo A FF D, id eA
rectansulo P OF; at aurem e PC I rectanoulo aquale
quadracum C C, quadraca igitur AC; C C adcoque ec li-
nex incer se xequaneur. Ouod erar demonstrandum.
unnta si BIR O. ROSITIO CX i.
oe rcil. 32cil 23lB C4
SEO AB CparabOlBaris AD: eE A F linea
Saequalis quarre parei lacetis recti: CCHETO F;
inceruallo quouls E. L. circulus describatur oocur
rens axiin F e D, Parabolae vero in B: IUInSan-.
curque FB.
Dico FB rectam contingere parabolam in
puncto B. 5
Demonstratio.
i
Venim nOn CONEIHSAES POnALIT Ex F contineens FC:
cadecilla incer B ex A: vel vlera B. Cadac primoincer
B ec A, iursaneurque BF, C F. Ouoniam FC linca
est continsens; _ A F quarta pars lareris rectis linea C P
aequalis est recta 2 F F, hoc est F. B. Quod ablurdum. igi-
EuE E C ConcinBeNSnON CAdCE INCEF B et R. Cmiliter
ostendicur F C non cadere vlera B. Ouarc F. B Cola p2-
rabolam concingic. Ouod crac demonstrandum.
1e s E. CS et
i
10H. PR OP OSIFIO CXZI
Sco AB C patabola aris AB, ee AF
Reslinca quorta pars latetis recti: CenErOF.
intervallo quonis P F circulus describatur, 
Occurrens axiinF ee D, parabolx autem in
B: _ ex B recta ducarur B C, ordinatim ad
AXCMIS
Dico DC lineam, dimidium esse lateris
recti.
Demonstratio.
LF BD in semicirculo rectus; est aUTeM PeF PEX-
cedenrem P B contingens, D C igicur dimidium
b est laceris recti. Quo d ex ac demonstrandum.
Vngancur puncta EB; BD. eric igitur angulus
  t     te t.  site e  t .   
115

## Folio 414 — 1815201908:0471
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000471.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
im
b 2bid.
cIbidi
P AR ABO L A.
DArabolam AB C cuius axis AD contingarin 
linea quanis C F, conveniens cum axe in F. diu
uilaque bitariam C F. in F, ducatur F D normalis ad
E. C contingenrem occurrens axi in D.
Dico AD lineam, quarta esse parcem lateris recti.
L. 5. 5d 5d eC . 1S C 1 2IS. II
Demonstratio. 1ISVP S
Vngancur puncta CD. Ouoniam FD normalis eAt ad CaB:
genEEM F. C, anguli F. F D, C F D aequales LuME; Sune aurem
e recte F F, F C ex hypocheh aquales, SC FD communis,
criangula isitur E DF, CDF, _ E. D, CD lacera aqualia
sunc. QualC _ anguli CF D, F CD aequaneur; e AD a linea
es aequalis qllarre pactilaceris recti. Quod erat demonsteam.
al.
PROPOSITIO CXXIII.
Darabolam AB C cuius axis AD, contingac in B recta quaeuis BF
conveniens cum axe in E, demistaq; ex B linca BF parallela axi, hat
Dico AH lincam aequalem esse quarex parri
laceris recti: _ si AHI tueric quarta pars laceris
recti, e BF, parallela ari, dico angulos F. BLI
FBC ese xquales.
Demonstratio.
Voniam FB xequidistac E D, angulus AR B Xqua.
lis, est ansulo FB Chocest anguloFTBR: vnde AH
linea bxequalis est quarrae parri lareris recti. Oyod erat
primum.
Rursum cum AFI linca sic quarra pars laceris recti, an.
sulus HBF aequalis est anguloc AF B, hoc eA FBC,
cum FB, F, D aequidistenE. roCCtuF aurem puncum H
tocusparabolae.
R OPOSITIO CXXIV.
Constructio ex demonstratio.
PROPOSITIO CXXII
2DC auat ag ctuS F BF1.
AEx parabolx Focum exhibere.
U dacae parabolae AB C, aris B D, cui quoruis ponaneur e quidictantes, A P CD
DASAEUF aureM per C contingens GFI; duct aquC ex C recta CD, hat angulo
qualis hac aleitus cehexionis, raclli rehexi omnes convenienc in D puncto quod
quartam laceris rectiparrem designac. dacx isitur parabola focum exhibuimus.
Porro focum indisitamus punctum D, quod in illo fiat combustio, es radii restexi practil
FC C, aequalis angulus ITC D: constat per praecedentem propolicionem punctum
D, ese Focum parabola, adeoque BD quarram esse parrem laceris recti. de quoniam
CF Inea est quaecunque parallela dus, Hin religuis quoque angulo incidentia a

## Folio 415 — 1815201908:0472
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000472.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
d A R ABC
A.
in illo cdeunres, intensisimum produeant calorem. quia vero punctum D (quod quaream I
teris recti parremt determinat a verrice initio sitpio) calhanem nuuam aamuiit: sit ve
formaparabollea, omnium sit apti sima radis solis recipiendis es refectenta; Mq. Dehe-
memiores, quam reliquae fieurae; causet effectus.
Quod autem in propositioneradios C L. RF. omnes parallelos axi assumamus; id eadem de
causa fecimus quaidem Opiici, Onomonici; es Scatici in poderibus deorsum tendencibus; assu
mere coguntur, ex hactenus or fundamentum ac principium ab omnibus (si Neothericos pau-
eos excirias) habitum est, non quod a parte rei solares radii paralleli sont. sed quod do immen-
sum nosincer e solem sparium radii in speculum incidant ac si vere paralleli essent, sic vt nul-
la ad inuicem inflexio perceperbilis sit: es si e plano speculi duas lineas versus solem cuntas
quantumuis minimo anculo adinvicem inclines, conveniene illa multaante, quam ad solarent
discum peruenire possint: ex si vicissim ex solis centro anculo physico, quancumuis minimo,
duos educas radios, non cadent illi in (uperficiem speculi, sed immen(o verimque incervallo a
Reculo decident. ratio verius que est, immensa solis à terra distantia: radii isitur solares pe-
culum incidentes ut vere paralleli assumuntur. quo posito demonstrari facile posset, focum in
circuloes omni sectione coni (praeterquam in parabola) latitudinem admictere, adeoqe peura
parabolicam ad comburendum omnium esse prastansissimam: sed de his aliorempore es loco, si
Deus visam dederit.
R O. P OS ITIO, CXXV.
D Arabolam A B C cuiuearis A D concineaE in
LB recta quaenis B E. conueniens cum axcIn F:
ductaque ex B linca B D normali ad concingen
cem, que axi occurrat in D. si AD linea Fueriema-
ior dimidio lateris recti.
Dicorectam BD minorem esse AD.
Demonstratio.
VCAEUF ex A per B, linca A B B: ec ex, D recta DC
nicur, angulus ABD rectominot cA, adeoque F BL
argulus obculus; quate D C Cadet InTeF A d B. AAE CF LI FC
BOBC aqualis S F, iunsancurquo HD: cum: A FI linca
divisa bitariam in Y; ponatur DI. cum ibicur HIC, 3111. 1
CD lincae aequales sinc rectis BC; GD, e grouli illis.
concenci recti; linea D H aqualis et BF. Sc angulis  t 3 culvE
EADrecto minor. Rurlum cum AP, ID lineX xquen
normalis ad AF. quentra als s F B D rectus po-
EuI
  at i  t t o  e  te tu te tte te t  e e ti  t at  e      i 
  e ete ue v et

## Folio 416 — 1815201908:0473
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000473.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
mru
D A R ABOL A.
curlineis FFE +D, criangula AFD, FF FD equalia sunE. quare AD, Tubcendens angii-
PRODOSITIO CXEVI.
Seo A BC varabolX axis AV. EImpTaq AF quXe noir sit maior
dimidio lareris recti, CemO F. incerualIo AP. circulus describatur
Dico circulum A IIF contingere intus parabolam in A.
Demonstratio.
FTac A D linea aequalis laceri recto;
se ordinatim, ducacur quaeuis GB
occurrens circulo in FT. Duoniam
AP. supponicur non maior dimidio
laceris rectis cader P punetum supra,
vel in ipsum D; adeoque ACi Rre.
canculum minus est rectongulo
O AD: igitur _ HIC quadracum;
minus est quadraco BCr. punctum
lipuncta, pexeter A cadere incra parnderam: circulus isirur ALIsi, parabolam
Demonsttala.
tum obeuliiin. A FD, maior CArecta YFD hoc est B D. Ouoderat demonstrandum.
125. b4
TTF.
AB C Mcerius in A Concingic. Mod erac demonstran duIm.
SD, inEeruaIIO A D CIFCUTAS ACLCrIBAEUE AFC:
Dico circulum illum incellecare parabolam.
iricur H cadecinera parabolan. eodem nodo demonstrantut reliqua omnia oireu-
O8IFIO CXXI
Eo A B C. patabale axis. A D maior dimidio laceris recti: centro que
GIac A E LINC2 XquaLIS MIMIIOIO laceris
recti e pet I FECT pOnacur ordinZ.
eim F B: dueacurque ex D pet B, linea
DB Fi occurres circulo in L e parato-
le in B. Duoniam A D maior est dimidio
laterisrceri, arecta D B minor ost AD
hoc est D F. punccumisicur F cader ex.
era parabolam. quare circulus AFC
parabolam secat. Quod erae deton
Arandum. 1. 31 e13el 0.terit 10.
L Et2LBCer CI. Et (SSSSTOSiCI
DPOSITIO CXXVIII.
occurrences circulo in L. ee C parabolx in FI eil, axi in IX. 1. ~ 40
DicOF HIC rectangulum eC ad rectangULUI P. FI GSIVEFK B re
ctangulum, est ad rectansulum F. K B.
(2 it 29 (A ESp m. 15, 3 (1
it Et 1. L A eis eutru S. 10aim oto Demet.
Seo) A B C parabolae aris B D maior dimidio laceris recti, centroq. D
ductacoc ex a ordinarim linea h, clcancur quoruis F. C parallel AF,
inceruallo DB circulus desctibatur A F B occurrens parabol in A
t esuet a ut sti   n  p ti itu  s ut e e  pti ee t  A  e   eit         1 1 a   t e e . u   p

## Folio 417 — 1815201908:0474
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000474.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
m Demonstratio.
P A R A BOF A.
Vncta A B OcCUTEAE R C. lineis in L.
Ouoniam POlinca in circulo AH B,
ad angulos rectos in R Cccac ciameerum
BD, recta P G in K, divila est bitariam.
Sed e FTI in parabola ABC, quoque in
X dinila est bitariam; rectae igitur P LI,
TCFIACOE SO X QUALESSUINE. RRUECUM VE AT B
tectangulum ad a rectangulum AL. B, HC
FL Er rectangulum ad rectangulu F. L C
icem FTL I rectangulum 2d. B rectangu.
lum FTL I: sed F. P. C rectangulum x qua-
le est rectangulis TIL P, B FT G, igIEUF _
F HF O rectangulum est ad rectanSuIU RHTG, vE A L B rectangulum ad rectan-
sulum ALB; id cA P R B rectangulum, ad recrangulum FR B. Duod crac demon-
Atrandum. cr
eROEOSITIO CXXIX.
Sto AB CpatabolX axis AD maior dimidio laFeTIS FECHI: CCnETOGC
sD incervallo AD, circulus deleribatUr AB F. : OCCuTTAF IS paraBOla
in B X axi in F. ducaturque ex B, linea B F ordinaeim ad axem.
Dico lineam P F. aqualem este lareri recto.
e
eise
Demonstratio.
Voniam B F ordinacim ducta est 2d axem, quadratum F B
Laquale est reccangulo super F A ex lacere recto: sed es
FB quadracum quoque aequalC CA RCCFanOUIO A F R : RCCFAN-
sulumisitur AF F. aequale est ei quod AEsUPeF A F d laFCTC
rectb. quare FP linea laceri receo es aequalis. Ouod crac
demoncrandum. l
1311. I
10me ROBOSITIO CXXX
Databolam AB C cuius aris AF concingat in B li
LneaBD, Occurrensari in D, Ponatur ducem ex B liL 
nea BH normalis ad contin-
1
genrem, occurrens exi infl. Cen cale
troque _ inceruallo FIB cirea- leuD
cillus describatur BOC: por2.
curc dd arem normales quor
cunquo lK, Occurrentes Para
Bolain OL, contingenti BDinuo LV
It FF. _ circulo inera parabol
lam incercepco in I_K.
Dico CKlrectangulum ef.
se ad rectangulum GKI, ve
quadrarum B B ad quadracuin
EB.
serter11D
Virccioslatibo
DOnatur BC aquidistans F L, OC.
eutrens parabole in C; iunctaque
2
Dhutue
0c
1.II.
111I
1111
11III

## Folio 418 — 1815201908:0475
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000475.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
bEX cle
enein
DC. OCCUETAEFL rectisMI M. 10.
niam BC ordinacim ponirur ad
axem DEi recta BC in P, bissecta
est, e BF, F. C linexe xequales lunci
bnde D Capacabolam in C concin-
Bic. quia vero B punctum in peri-
mecro circuli est, punctum quoque
C. b in circuli est Perimetro, e quia
DBFI angulus rectus est, angulus
quoque DCHTrectus CstC _ DCII
nea circulum concinsic igieurreFB
quadrarum ad quadrarum FB, hc
F KM rectansulum ad rectangulum
FKMI: sed cu F B, C M linex para-
bolam quoque concinsane, VE FD
quadearum ad quadracum d FB sic
OF L rectagulum est ad rectangu.
luni GF E, reliduum isieuF recran-
Bulum C. K Iad C K Ireccangalum,
cA ve quadracum LiB ad quadracum
FB. Ouod erac demonstrandum.
ROIOCAaA
Adem manence HoMaH X eL linea maiorhe dimidio lareris recti.
Dicocirculum BGC Palabolam incus in duobus punctis con-
cingeie.
Cr2s. hn-
int.
dem parallela. quia AFT maior est dimidio laceris recci, cA FI, linca maior est
B FI ex circulus BO C cadicintra A. deinde ve OB quadracum ad quadracum SB.
F87 huins. sic F P O R rectangulum ad reccangutum TSX: sed est quog: ve quadearum OB
36. secundt
n 161.
ad quadearum SB, sicquadracum OO ad reccangulum V SX, isicur P OR rC.
crangulum adreccangulum TSY. reguadrarum 09) ad rectansulum VSX. 
permurando converrendo re quadeatum OO ad rectangulum POR, sIC VSX
recrangulum ad recrangulum TSX: sed OO s gliadratum inaius est recrangulo
POR, isicur e V, S X recrangulum maius est reccansulo FSV: vlcerius, recran.
sulum TSY vna cumhquadraro FZ. aequale eA quadrato SZ, est zurem e qua
draco SZ aequale reccangulum VSZ. una cum quadraro,
quadracum
isicur V Z rna cum reccangulo V S X aequale est quadraco T L, vna Cum ReCEaN.
sulo TSX: octensum aurem est V S X recransulutm indius eserecrangulo FSY,
quadracum igitur V Z. minus est quadeaco TZ s quia punctum V cadic inera pa
rabolam: Crmilicer ostendeneur reliqua omnia plinera perimerri circularis BOC
cadere incra parabolam, prarer B, ex C: circulusisixur B  C parabolam intusia
duobus contingic puncris.
ei 0 3 1.
enslatto
DOnacu per O linca ODR xGas DCS e era quXnis SFV XY el.
ROP.
5
e
Daro in axc puncto circulum delctibere qui Palabolalut untusm
duobus punctis concingut.
12t 1 c115. 321113(5 e 1113B
puperioani:d sui 3lodare, on Eapusica.

## Folio 419 — 1815201908:0476
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000476.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
PA R A BOL.
Constractio ex demonstrario.
A ABC parabolae atis BD, e in eo pun-
ctum dacum D, oporcec cenero D circu-
lum describere, qui parabolam incerius con-
cingac in duobus punctis: Oporret aurem BD
lincam maiorem esse dimidiolaceris recti. Aac
DE aequalis dimidio laceris rectii ex per Frc
eta agacur F AC, ordinacim ad axem: iun-
gancurque puncta D, A: Tum CenEEOD incer
vallo D A circulus describatur. dico illum
concingere incerius parabolam in duobus
Dunctis. agacur enim per A ContinsEnS AF
conveniens cum axc in P. Ouoniam linca
A F Parabolam concingir in A, _ F D aqua
tis est dimidio laceris recti, angulus a F AI
rectus est; est aucem ex hypoches BD maior
dimidio laceris recti; ergo per pracedencem
circulus cenero D, incerualIo D A deseripeus
parabolam concingecinterius in duobus pun-
Etis: a daco igirur in axe puncto D circulum
descripsimus, Xc. Ouod crar faciendum.
PROPOSITIO CXXXIII.
DArabolam ABC cuius axis AD continsac interius in duobus pun-
cis B ee C circulus HIB C. actaq per B contingence parabolam in B,
quae axi occurrarin F, ducatur exF, linea FHI, Secans circulum in G e
HI, dein per C e FI, normales ducantur IEOI, N EI L. OCCurrentes pa-
rabolae in K ee N, axi veco in l e l.
Dico eseve HL ad 61, sic NL. ad H1.
Demonstratio.
Ccinsic in B e C, d lB MnCa Pet B ducta p2
taboram in B concingit, eadem B F circulum quo-
que concingic in B; ipitur ve HIF ad FO, ACDTIP
onde L A ad AI duplicaca habectacionem L A ad
AI. duplicaca esiationis FLN adRI, igiturNI
est ad K I, ve L D ad. DI, id cA LHT ad C: I. Ou0d
cras demonstrandum.
Voniam circulus B G C parabolam irteus con-
eR ad PC: eE VE T E ad F L, SC L D ad DI; Ced ve
F. F ad FI, siC F HI ad TO, igitur L D eAt ad D I.
veTHI ad TC. quia vero I. F in D ec B exrrema
ex media rarione proporcionali divila est, d FF
cbissecta in A, proportionaleS TunEA AI, AD, AL.
D e idCACLD ad DTVICaSATO quoque L A ad
PROPOSITIO CXXXIV
ISdemposiris:
to tectad Lut Ci lentit t eemlerte aqllaled
852
630. D
circatu
omibu
Demon.

## Folio 420 — 1815201908:0477
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000477.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
b 127. bu
R
Demonstratio.
Scemu eltrectaS AL, A D, A L in continua
esse analogi, vnde quoque proporrionales eriit
TK, BD. L N: SCaCCam lune CorinuE B,D∞, 1LD.
igitur GD, RL HHCK, QEN L, DH sunc incer lC X
quales. nam recLAH Sulu CD FI, rectangulo KINL
est aquate, ceententum inluper: cA CD adDH
candem habere racionem quam IV ad DL, hoc
CAC RLAd NL.
II
e 
lempolitis:
F1O CXXXV
Dico quadrarum DL aequari rectan-
Demonstratio.
communi quadraco HL. cx N rectangulum aequale quadrato DL. 90od
cur maximus illorum, qui parabaa llicus in vno cancum concinsunt
Constructio es demonstratio,
iSto A BC patabOIZ axis BB, 0-
porret in illo punctum astionare
D, quo centro circulus delcribatue
maximus eorum qui parabolam in
vno eancum puncto contingunE. AaE
DB linca xequalis dimidio lacerisre.
cti: ceneroque D, inccruallo BD
circulus describaturi dicoillum Caris-
Facere proporcioni. quoniam D B ae
qualis ponirur dimidio laceris recti,
uc. ha. circulus radio D B cetecus, Mcus parabolam in B concingic. quod vero conrin.
gencium circulotu aktnussic, ex illo paret quod circuli omnes qui cenerum ha-
benerlera D, Parabolaloncerlecene; quorum vero centrum inter D e B. cadii
semidiametrum sempel morentabeane Cemidiametro DB, ac proinde illi cirou,
li minores lunc: circulus isicur radio DB delcriprus, concngencium circulorum
maximus est. extubuimusigirur, ee c. Ouod erac taciendum.
eROPOSITIOTCKXKI
X dato in axe patabolx puncto, lineam ad peripheriam ducere,
Soretltimam illatum quae ex eodem puncto duei potunt. 
Constructio es demonstratio.
gulo NHO.
crac demonstrandum.
PR OPOSIFIO CZXZVI
Vadratum HID est aequale quadraris FL, LD: est aurem quadraro aequale
Lquadrarum NL, igituE N F quadracum estxequile quadraris FIL, L D. sed et
iam quadracum N P aequale est quadrato TIP ex rectansulo NIIO, dempto ergo
puncto.
N datx parabolX axC pUnCLUII atBnare quo cenero circulus describa-
iSto AB C parabolX axis BD, _MCO PUMCTuII daruM D: OpOFFCE ex D punCIO
lineam ducere breuissimam illarum, que excodem puncco ad parabola perime.
Peimo
etutre eie ttotliait.
  te .   i ste  1 t t e t e e  e e es p r. e  1e et At  1 4 e 1 e  te u ei     e    e e  t e  (  ( . Ae   1 .   t i t 1  t t 2 s

## Folio 421 — 1815201908:0478
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000478.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Primorecta BD non hc maioe dimi-
dio laceris recti. dico BD lineam ese
quaelicam: delcribatur enim cenero D in-
teruallo D B circuIUS; CONEIHOEE IS PeF
praecedencem parabolam incerius in pun-
eto solo B: iitur reliquae omnes lineae ex
D ad peripheriam ductx maiores suneli-
nca BD.
Sccundo BD maiorhedimidio laceris
recti: cenero D circulus deleribatur2 CO-
cingens ABC Parabolam in duobus
punctis A. C. ducarurque recta D C: crie
IIIA MINIIMA (VE PAECE) illarum que exD
duci pocerune ad peripheriam parabole:
ex daco igirur puncto D, lineam duxi-
mus, dec. Quoderac faciendum.
eROPOSIFIO CAXXVIII.
(VICABC parabolae aris AD ma-
L.ior latere recto; ductague ex D
ordinatim linea D B, cenero D, interuallo D B circulus delcribatur BHC.
Dico illum incer lecare parabolam in quacuor punctis.
Demonstratio.
Vmacur F D aequalis dimidio laceris rectii
poscaue ordinacim P F, AGAEUFPCF F COn
tingens F C, conveniens cum axc in G. Ouo-
niam F C est contingens, de PD aqualis di-
midio laceris recti, angulus b DF Ct rectus elt.
quia vero AD linea maior est dimidio laceris
recti, ED minima eAt CarUI C GUIX CX D ad
peripheriam duci poltune: adeoque de minor
BD ordlinacim posicai clreulus isiEuF CCHEIO
D inceruallo DB, descriprus cader rlera F,
ex secundum aliquam lui partem extra Para-
bolam. Rurlum cum DB, minor dsic rectd
AD, (cu D A maior sic larere recto,) cader cir-
culus BHI C intra punctum A: ex sccundum
aliquam lui parcem inera parabolam: Ouare
ee in alio puncto quam A parabolam incerse-
cabic. Similirer ostendicur circulu BHC, ver-
sus parcem AC occurrere parabola in alio puncto quam in C; circulus igitur centrO
D. inceruallo DB descriprus, parabolam se car in quaruor punctis. Ouod erae de
monstrandum.
LD. R O POISIT FOACZXXIX.
CIEA BC parabolX axis AD maior lacere
Drecto; poliraq; ad illum ordinarim DC,
centro D inceruallo DC circulus delcriba-
EuFCBF; Occurteeille parabolae in quaruor
punctis C, B, F, G, d ex Bpuncto interlectio.
nis ducarur B F ordinartr sd axcr: 1CWP cit 0d
Dico F. D lineam aequale esse lateri recto.
D A R A
32 Daiuo.
brs. buirio
5117. ba
d10. huindo
11I
11

## Folio 422 — 1815201908:0479
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000479.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
ExCon. TVNGAnEHE BD.
ersa 14.
iius.
axem.
A RL
Demonstratio
EOPOSITIO CXL
Ouoniam BD cst equalis DC, _ FB, C D, or dinatim ponur.
cur ad axem. F. D linea, aequalis laceri recto est. Ouod erae demonstrandum.
DicOLL, G K lineas este
xqualC5.
Demonscratm.
parabolam AB C. cuius axis BD, Sccucrinc quoccunque lemicireu.
AE C, FOHI quorum linguli occurrune parabolae in quacuor
punctis; demila aurem ex P ex C, incerlectionum punctis recta fuerine
E l, CR normales ad lineas AC, FHI quae ordinacim polirae lunc ad
Veacurenim ordinarim PM.
GTI: Crit per praecedentem
cat ies iclam a L aequatiota
ccliiccto arcos iisieue e aqua
les incer (c. Duod erac demon.
AELataU.
TIO CLLI
oporcer exhibere puncta incerectionum B e C.
d
Constructio es demonstratio.
Vmatur R F linea xequalis lateri recto,
_EPeF S FECEAAGATUE F BC ordinacim
ad axem: dico cireulum AB C OCCUTEere
parabola in B d C. cum F C ordinarim
Polica sc ad axem; quadrarum illius
RQUATUE AF F reccangulo, quia F P. la.
ceri recro assumitur a qualis: led rCCTAN.
Bulo A F F in circulo AB F, 2quale quo.
que cst quadrarum F B: igicur B punceum
percinet _ ad parabolam AB C, de ad cir.
culum A B F. idem discurlus apcetur pun.
Sco ABC parabolx axis AD maior dimidio laceris recti: cenErOG:
D inceruallo D A, circulus describatur AB C, occurrens axi in Ls
CtOC. prxestirimus er so quod imperarum fuie.
PROPOSILL
Sto AB C paraboIX axis A D maior laFerO FOCEO: aCtaG; PET L OI
natim linea C DF, centro D interuiallo CD, circulus deletValut
1
BE, occurretis parabola in Gualuot Punct: opotet Illa exhiBere. Ilt
Constru.

## Folio 423 — 1815201908:0480
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000480.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
MOr
Inc
e
n
e A R. A B O L A.
srm dmonstratio.
Vulacur De eglals lulerirecto, ponaturque
ordinacim C B: dieo B punctum vrum esse in-
cerlectionis. iungatur BD. Ouoniam BO, CD
ordinacim ponuntur ad axems et + D aequalislace.
rirecto cAt, linca C. D. aeualis cA BD: circulus
isicur ceniro D, incernallo DO descriprus eran
sibic per B. eodem modo octendicur, cundein
circulum crantire per R: quod vero perC
ETranseac, anifectum est; extribuimus ipicur
puncta quacuor incerlectionto. Quod erut Pacien.
dum.
LSlEd
erdeositio
sco A B C parabola ap ex A, CEntroque A, AICICan quouis A E cie.
isculus deleribacur P. C. B: oporrer exhibere B punctum mccllectionis
cum patabola. oeu citrio E) L) 11 eit S scB Z. esivin
b.
Constructio es demonstracio. Cine svp  oricoi
Id2 1
DOutoe ALa AH aequalis laceri recto, Posica- l 11. 1139 bC
que per A concinsente A Iua Tirculooccurracin e
quadrato AC: hac aequale rectaroulum FITA; e per Tordi
nacim ducacur I. B: dico punctum B, eAte id quod quaericur.
iunsacur AB. Duoniam IB ordinatim applicaca est ad
axem, _ AH linca aequalis latori recto, quacrato AB, b X-
quale est rectangulum FTIA, Sed FII A rectangulum quo-
que aquale cA quadraco AC, per constructionem; igieur
AC, AB quadraca aequalia tunc. isicur circulus centro A
inceruallo AG, delcripcus; eransir per B. exhibuimus ixi-
cur punctum incerlectionis B. Juod erac postulatum.
NOPOSITIO OXL.IV
MIDMB HAE.LSRMESIB BHISEC
A. A: oporcet exhibere, fulcum aliud incerlectous.
Aneue
Sto A BC parabolae diameter BD quam Ce
ricunque recta quaenis AP, Occurrens parabolx
andiid
criss onstmtio es demonstratio
1102 315II
Vcaur ex A linea AF, ordinatim ac dla-
ecrum; fancque proporcionales BH, BB
BI aPer D, ordinacim ducacur D C, OCCur-
rens F linca in C puncto. quonium igirur
BF, BE. BD, proporrionales sun et A B.l us uoru msgisi sis. H  2 S cemous
ordinaum policae, punctum cC est ad patabo-
LaM. Cieaucem ec C punctum in recta AF. 1gi:
cur C communis incericcoe AP. CL CMM
parabola. exhibuinas t.ac lactCadm
 s  t o rp e ee eis pte ee
   ssise pes e

## Folio 424 — 1815201908:0481
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000481.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
2. B.
D A R A B OL
PROPOSITLO CXLN
Sto AB C varabole diameret AD: de ordinatim ad illam polica
BC, duCaEUEAUCeM Ex A quauis AF, sccatis BC lineam in F: qua
producta occurrer parabola in punceo quouis Ci. oporcet illud exhibere.
emmus Constructio ex demonstracio.
Actum Gr: policacque ordinatim C D, erienur
GFI Parallela diamerro AD, OcCurrenS BC
in HI. sicaucem A Tlacusrectum. Ouoniam OH
aequidictac AD diamerro, FP. II rectangulum,
hoc est rectangulum F F CD, aequale es qua-
drato 2CF, hoc est BF. sed d quadraco BE
aqualebest rectangulum T A Firectansulaisicue
E AI, F F C D aequalIa SUINE. quarC VEF B ad AF,
 AL est ad G D: _C D quidem hac aqualis
CX L. V
ceriq: Et 1
1 CeIE
ABCANE ABC, DFF parabola all eundem axem AC consticura
e AB C quidem superior, habeac A FI lacus
ParabOLE DEF. L LHI imnuli
il
iitr
c
Dico sectiones illas in infinicum
productas nulquam convenire. u
13 5Y b01C, ACCC AQI
Demonstratio.
DOnatur ordinacim ad aXem A C qua
L cunque linea CG, OcCurrens ABC
10r Parabolx in C, d DF F in F. criciostut
et
C quadrarum aqualc rectangulo LDC.
 CC quadearum aequale rectanoulo
FTAC: sed TD C rectangulum minus est
rectangulo FTAO, (quia PDlacus rectum
minus poticht ip1o X ce DC minot
ipsa A C:) igitur de quadracum PC minus
lil est quadrato C O: d F punctum cadicin-
203 eer C _ O de quia idem de quouispuns
uopatabolX DRF octenditur, pacee le
ctiones ilas in intiucum procdus nutquam convenire. Onod exar demontrm
191: HE A nEMN AMECV (:3 B eiisC M: 
151113 93MIL SE A H. OISSBLABEMIELMECECNE ) UN
13s.) 157 b 3 1 G. 3. B c212.   ai1 ic X3, .11
PK
c. Ibid.
MAc qubdpecebacur
13id01
col Lupices divertos A
rectum maius lacereill
Eecta K. Cricisieur R linca data. Rursum cum C. D ordinarim posica sit ad diame
Erum AD, ve AT ad GD, hoc est cadR, sic R est ad AD: igicuE e AD li-
nea policione daca e. quare componendo hacre F F 2d AR, SIC AI ad R, e vi
AI ad R, sIC K ad AD, ducacurque ex D ordinacim linca D C, constac factum
R
DI
15S.  C M idint
dum.
( e e    .   1  e  . . t   11   a   A    Ba s A . u            1 t    p   1t ite   a   

## Folio 425 — 1815201908:0482
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000482.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
P AR ABO L A.
PROPOSITIO CXLVII
Ine dux parabola AB C, DC E ad cundem aremCOnILIEuCE, et ABC
Dparabola lacusrectum; minus (ic latere recto parabola DC L, nec
Sicb parabolas AlaS CONCUITTEFC. Op Ortet durem punctum concurlus
allignare.
Constructio es demonstratio.
TE A C latus rectum parabolx ABC, et DFT 12 -
cus rectum parabole DCB, linea AD adiiciacur
quedam DF, VE A E sE ad F D, SCUFET D est ad A C.
_ ex F ordinacim POnAEUE F C occurrens parabolX
DCF in C: dico illud esse punctum incerlectionis.
Duoniam est ve FID ad AC, sIC AF ad FD crie
FID F rectangulo, aequale rectargulum G AF. sed
HIDF rectangulo aequale est aquadeatum FC; situr
ee C AF rectangulo aequale quoque est quadracum
FC. unde punctum C est 2d parab0la5 ABC, DC F.
exhibuimus erzo punctum concurtus.
AP ROEOSITIOACXEVIII
AbeanEparaBOla AB C, D B F communem aXeM AL, a MlLICeS
Opolcent aurem carum incerlectionum puncta exhibere.
Construc es demonstratio.
IE ABC parabole racus rectum A HI, _ DBP2-
rabolxe latrectu P D; SececurquC AD in F,
veHIAFrectarigulo aequale sic rectansulum FDFo
_ PEF F OrdinatIm PONAEUE F B, OCCUErenS Para
bola AB C in B. dico B punctum esse incerlectio-
nis. cum enim EB in ABC parabola ordinarim
ducta sic ad axem A D, F A HI rectangulum xqua-
le cAquadrato FB. sed F AHIroctangulum equa-
leponitur rectangulo FD F; quadracum igieur F B
aequale quoque est rectangulo FD F, quare FB
ordinarim applicaca est a F D axem; in parabola DB: adeoque pustetum B veti:
que parabole est commune. exhibuimus igitur; ecc. Ouod cractaciendumo
PROPOSITIO CXLIZ.
Vine dux parabole ABC, BDC inxquates, tavences commune
actam AF, qua udemaxis sic parabola ABC, dlameter vero
parabole BDC: lecenique se in B e C punctis, oporcet illa extribere.
in
VerEex A communis TIE.
LBATOS A,.

## Folio 426 — 1815201908:0483
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000483.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
Constructio e demonstratio.
P1. titrite
uH quod pecitut. aela pel A ContinsencC A F, ducacux linea per B ee C
convemee illa cum A F in puncro quonis F: si enim non conveniac, aequidistet
AF: ertetsttur CB, ordinaciem polica adaxem AF. in parabola AB C X quia in F.
bislecca cst, in BDC Palboa Guogi ordinacim eric ducca; ipsique D P. diamerro ad
ansulos rectos. isirur D E. axis est parabole BDC: quod est contra hypochiesimi
CONCUEFCE ergO CB, Cum AF in puncco quovis F. PONATUT ergO ex F linca FD.
concingens parabolam BD C in punceo quouis D. Guontam AF est concingens,
Excauem. in Parabola AB C, linea F B, F F, F C 2 proportionales lune, led e in parabola
BD C eadem luncproporcionaless punccum isicur D concingencis D F. 3 b in diame.
EFO CI D P. Rurlum ducacur diamerer quevis alia C FI occurrens parabolis in C
_ FF, _ B C. linee in I, accaque per C Concingence CFK, qux cum B F conveniAE
in H, ducacur ex K linca K II, concingens parabolam BD C in puncco quouis FI.
Ouonlamisitur CFK linea concinsit parabola AB C, rectae K B; K L, K CC continux
Proporcionales lune: Sed e exdem quoque sunt proporcionales in parabola BDC.
isicur EI punccum concingenris TIR. in d diamerro eA ITI. ipicur componendo
cum A, D puncca daca linc agantur per A e D; contindentes; quae conveniencin
puncco quodam F. duccaque diamerro quanis CTHI; aganeur per C d FI, concin.
gentes que etiam convenienem K: ipicue daca lunc piineta F, K, P; I: Quare e
data erunepuncca B, C: gua in siR. linca esse per resolucionem ostendimus. iricue
extribuimus duarum parabolarum CBC3 BDC incerlectiones: Ouod etaE PPX
Aandum.
P R OPOSITIO CL.
Acet (CcenEsele pataDola dux ABC, F D F inverse posirx, habences
Laxes paralletoS. OpOrter C d H, puncta incerlectionum extribere.
Constructio ex demonstratio.
sIE F. DF patabole axis D B, d laccum sic quod pecitur: acCaC LL L MCA AC
 Ibid.
1 2bid.
lecrionum recta CH, qua convenier cum AC in puncro quouis J. S enimnon
conveniat, xouidister AC. reccaisicur OFI in parabola F DF, ordinacin posi-
tacltadasem DB, ad coque ee diamerrum B D in parabola c AB C ad aneulos
Secacreccos, ce qua s HL d BB, McabINecta CA, recra B D axis est patabol
ABC. quod est concra hypochelim. igirur FTC non aequidistac AC, sed produera
cum illa convenie in puncco quonis I. ducatur ergo ex I recta IB, concingens
parabolam AB C in puncco quodam B. quoniam ID recta est concirgens, linea
C8L. huius. LG, EIP, FII concinX lu Propoctionales in parabiola P D F: sed de exdem
quoquetun propostlotales in parabola ABC, punccum isieur coneaecus B li.
MCA
que E D E parabolam concingar in D, ponatur per C d HI; puncca incer
e Defin. I
uius.
a  ee  e 

## Folio 427 — 1815201908:0484
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000484.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
trea TB eAt in diametro a BD. RurUM CrIGAEUT CX A dIAMCFCF A P OCCUEreNS A Ex endem
F. D F parabola in B: de IC rectae in R. duCAEUFGUCPeF F, ex Y, linca PF, OcCUF.
rens parabolX E D F in F, _ iungantur puncta CF. Ouoniam A B, K D, rectR D2.
raHela luNC, ve AT ad DP, SIC FL cAt ad KI: Sed ve AF ad DF, Sic B AD est ad
DC(quia TA, ID, LC proportionales (UNC) _ ve BI ad RI, lic F K est ad R F, quia
E. L, KE, FI provortionales TunE; igieUE VE AD est ad D C, SICFK cA ad XF, 2.
deoque FC linca aequidictar RD: vIcerIUIS per C _ HI, policis diamCtrIS IM,
NYO, producatur CFI linea doncC F C OECUTEAE in O. CFIE IGIEUE DE ADC rC
De pro-
pressionibus.
ctangulum ad rectangulum ANC, c hc BD linea ad lineam HN: scd vc AD C. C47 huino.
rectangulum ad rectangulum AN C, (hoC CAVE F K F rectangulum ad rectanou-
Ium F.OF,) SIC KD linca quoque est ad lineam HIO; igicur ve BD ad FTHY, sC
KD est ad OFI; e permucando inverrendo ve BD ad BD, Sic OTI cA ad HIVY,
hoc estF 9 ad OC, hoc cA M C ad GL, hoc eA P R ad R P.
Componendoigitur, inveneo axe D B ParabolX B D F, cum dara sine punet a D
e B, acta pet B contingence BI, agaCUE per D quoque contingens parabolam
EDF in puncto D, secans AB C, in A et C: convenictilla cum BI (veostendi)
in puncto quouis I: dacaisitur lune puncta I, A, C. Criganeur ergO ex A de C, dia-
meeri AF, CF occurrences parabola ED B, in punctis P. & F: ductaque ex Iper
R linca occurret iIla recrE C F in P, (veostensum est)  BD linca in R. vnde ec
K puncrum quoque datum est. HaC IGItUEVE R D ad BD, SC F R ad R A, vel FO
ad OC, ducacurque recca LR vel IO. Patet per resolurionem, in illd esse punera
incerlectionum B e C. isicur exhibuimus, _C. Ouod eracfaciendum.
PR OPOSITIO CLI.
Sco AB C patabolX aAIs BD, de oedinacim ad illum POSITA AC, per
si veto delcribatur palabola AP. F cuius vercex (IC A, X A C linea
ContingenS; OCCUITaF quoque A F F parabola, parabola AB C In F, 0.
POrret E punctum incerlectionis exhibere.
Constructio ex demonstratio.
Accum sic quod petitur: exectaque ex C diamerer
CFT OCCUTTAE paTabOIX AF F in F; duCaTurque
F R, OcCurrenS B D linex in MI: dein peF P ECCEX PO
NANEUE AR HI, IE R; _ AF quidem OECUEEAE FC
in FI, TK vero aequidister axI B D. CFIEIgIEUEVE ADC
rectangulum ad recrangulum AR C, sic BD linca ad
lincam E R: sed vE AD C. rectangulum adreccansu-
Ium AKC, hOC CADE AM F rectangulum adrectan-
sulum ATF, EC MC linca ad lincam L P: igituE VEBD
ad FK, SiC M G est ad IF; _ permutando ve BL
ad MIG, sIC F K Cst ad TF, hoc cst CHI cA ad FFI.
lsicur per compositionem cum AC, BD lincxe et

## Folio 428 — 1815201908:0485
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000485.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
R A BOL A.
puncca BD, C G daTA RINE, CriSREUT ex C diameTEF C F, OECUTreNS A P. F parabOI
in F, Crit F quoque punccum dacur.  dein FCCEA F A occurrenS BO linex
buimusergo Lc. Guodctalacte.
in M. cric ex M punccum dacum. ac proinde A Aac ve BD, ad M C, sIC C II ad IIP,
ducacurque recca AHI, Pacl Peciciolucionem, L punctum cHc Ih MIICa AHL. CXHI.
COuaES aCOS BD, in punctis A e C: dacum q; lIC MMMM
ERorOstito CL
VTersCCenE se dux parabola ABC, AD C inverse positx, habentes
punctorum C: oporcet alcerum exhibel.
Consiruiodemonscialto.
GANEUIFPK B _ D pUNCFA COHIEMenceS B E, D F. quae primo equidistent. du-
LL cacurque ipsi B F. parallcla C A, OcCUrrOnS AB C parabOIX in A, _ BDrCCLE
adcogte in Cidinila bitariam. Se d criam AC aequidistat D F concingentisisitur et
AC in Parabola ABC ad BB Scaum ducta eA, et in C divila bitariam: 181.
Secundo concurrant in F. concingentes per B e D actae: ducaturquerecta L C.
occurrens BD diamerroin HI, et AB C parabolx in A. cruncaisitur proportio.
nales BA, F FI, F. C. Sed cadem quoque linex lunc proporrionales in parabola
ADC, _ FI, C. C puncca daralunc; igitur _ A punccum darum est, estque illud
AD C parabola communc. exhituimus ergo alcerum punctum occursus A. quod
heri poltulabacur.
a btaliua
in G: CFIEIsItuE AC lineam pataboIa HCB C, ordinacim polica ad diamerrum BD.
cur A punccum verique parabolx est commune.
u e p ptir rtuep ee set  tete e e e   te at  tate  at st e t te et  t ee  t    st    t  t  a e etet     te e  ee   e  te  t A al 

## Folio 429 — 1815201908:0486
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000486.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
es
1
d
ARS C
 2
Proprietates contemplatur parabolarum sese intot
vel circulos intersecantium.
PROeOSITIO CLILI
ABCaNE ABC, AD F. parabolae communem axem AF, d VetII
Lcem A: ex quo demissâ linea AG qua parabolis occurrac in B
_ C, ponancurper B ec C7 ordinarim ad axem linea DFI, Gl: 8
CI quidem parabola AB C OccurrAT in KE puncto, per quod ex A secanS
Ponacur AL ex ex L ordinatim recta LM, OcCurreNS A BC parabolae
in N: dein per N PONaTuT AF, _ ex F. ordinatim linea R C F.
Dico DH KIlineas, irem L. MI, C F
incer se aequales este.
Demonstratio.
 Acio AHF ad AF, hoc eA HB ad LC.
duplicata eAt rationis IIB ad TK, hoc est
FTD ad TC. igicur FIB, TK, TC proporcio-
nalestunE. _C VE LR ad PC, SCHIB adLR, (C0
HTB cs ad ITD, ve est TR ad TC; igieur
HB est ad TTD, ve HL P ad TK. Xqualesigi-
TUFTUNE HID _x IK. eadem rarione oMtende-
cur lincaS LM, C F aequales cAC.
PROPOSITIO CLIV.
IIdempositis, rectxe AL, A F. SeCCNE
LDE lincam in O _ P.
Dicorectas FF, L. MI, GI, DHI, BFI,
OFI, PHI in concinua ese proportione.
Demonstratio.
s
Vomam NNT aequalis CAORCNIa OT, _E EF, 2L M, NM proportionales sime, a +2. huitis.
eeronca L F. LM. Cl linex in concinua analooia: et quia lM, C+ l, R L P1O
Porrionaleslune, _ Kllinex aequalis linea D FI, ConcinuabHIE quoq: L MI, GB DFI,
racionem cum P F, LM, GI: Clt aucem pexecerea ve GT ad DHI: SCDII ad BTI,
proporcionales igitAETUNE E F, LMI, CI, DFT, B IT. vicorius cum ACvE GI ad KI.
Ac BTTad OFI, lic aucem ve CF IadK I; sCCFTadDFI, e WTTadBH, recte (+l.
DTE BF. OHconcinux proporcionales lun ele e alId L
2dNMI, id cA ex demonstraris P M ad CT. id est CFTadD H. hocclt DH2aBL
hoc est BFT ad OHI; cruncOL, DTT, BFT, OFI; PET linex, adeoque omines LLs
LM, CL DFE, B F O H, P A in conrinum analosia. Duod exac demonctrandum.
AThh 3
20

## Folio 430 — 1815201908:0487
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000487.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
12. b.
DE. ducancurq; HII, NO parallet D, LII quidem secce parabolas in
Iet L, lineas A D, AB in K _E M, reCtA VETO NO, OCCUTTAE DE, BC,
lincis in P e R, parabolis in  d O.
ROPOSITIO CLV
Dico eC VE LM ad R O, Sic IK
2dOP.
Demonstratio.
LTHAd LH SCDF ad B P, CCdFEDF
ad BF, SIC KITadMFL, isitur ve LH ad
L HI, SiCR TTadMEF, _ TK ad LM, DCTH
2d F FI; id est vE D F ad BF. Sed VED P ad
BF, AC ON quoque est ad a NF, _ PN ad
R N. igitUF vE ON ad O N, HC P N ad R N
OP ad O F, veO DFadO DF, id est DF ad
BF, id est ex demostratis LR ad L M, X pet.
mutando DE TR ad OP, SIC LM ad R9.
Duod erat demonstrandu.
PROPOSTFIO CEVI
DArabolx duae ad cundem adem AC constiture communem habeane
apiCem A: policaG; ad aXCM Ordinatim C D E, IUMGAHNEUT AD, AF,
et recta dueacur Ls patatela C. P, lecans parabolas in l e R, rectas
VeTO AD, AF, in C & Il.
Dico C F H rectangulum ad rectangulum l F I eam habererationem,
quam habet FC linca ad lineam C D.
Demonstratio.
AbeanE ABC, A D E parabolx communem axem AF, policilque
Lad illum ordinatim lineis F es C F, iuNgAnEIT AB, AD, BC,
2d lfR rellangulum duplicacam ha-
bec racionem eius quam habec linea FY
acio rectanguli OF H adTFK, re.
etanoulum composca est ex rarione
FC ad FI, CCX HFad LK. Cn aurem
veFCddtL.hc2 LCaCB Cte
adFR, AIC FR ad C P; ratioigieur re-
etanguli GFII ad rectangulum IFK.
compolica est exracione FI ad C D, et
ex FK ad C F: sed. F R eA ad CF, Vt
F Test ad C Directangulum igiturOFH
b 2bid. F C. bFB CD proporrionales TunF. Duodtuir demonttrandum.
ad CD: id est rectaneulum OFHL Ad XF K rectangulum, eAt VE F C. ad C D, quia
(  t      e  1.   te   t  .      A 1     . H  t .   t     e        et  1   d st  1  .    t.    A. t At s p p 1  1  1

## Folio 431 — 1815201908:0488
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000488.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
et.
c
P A R A BOL A
PR OPOSITIO CLMII.
Ontingane se CaCMS In vertico, PatabOIX dux ABC, AVL, pOH
sc et  Ccaltibus AE, AC, e concingenre Afl, ducaneur
quocque IH parallela axi communi F AC
Vico LHDrectanguliim, ese ad rectansalum LFTD, veKE. HIBrectan-
sulum ad rectangulum HEHI B.
L 1 Demonstratio.
2 Ectangulum IEI D ad rectangulur
TFTD, criplicaram habet racioner
eius quam habec IFT ad TH, id est AIY
ad AFI. scd _ B FTK rectangulum ad
rectangulum BHK, criplicacam habee
cacionem ejus quam habee FIK ad IIK,
id est A FL ad A FI: IGIEUF VE BHIK ee-
ctangulum est ad rectangulum B FTK, siC
IHID rectangulum est adrectansulum THID. Ouod’érac der
PROPOSTTTO CEVIII
ontingane le rursum exterius in vercice patabolx dux ABC, A F F
ad eundem axem G II constiruea, Cumpioque in ABC perimerro
puncto quovis C ducancur ex C linex C G, C I secantes AB C parZ
bolam in B _ Is, ec axem GHI in C dc l. dein ordinarim ponantur BHI,
RNI, TE, GF.
Dico HI Blineam ad lineam MIE; duplicaram habere rarionem eius
quam habet C F linca ad lineam lF..
Demonscrata.
Veatur ex Cordinatim linea C Ii.
OuOnIaML EAM N A, AL, AM Ii-
nea quamN A, AC, AII bCOnrinuX
proporcionales lunc ex N A prima v
Erique seriei communis; rario AFT 2d
AM. cercia nd ecorriam, duplicaca
eC eius quam Habet A C+ ad AL, SC-
cunda ad secundam: (ed A FT ad A N.
duplicat a quoquerationem habet BFI
ad KM; igicur BFTeIt adK HI; VE A C
est ait AI: X TTBadMK duplicacam
habec racionem eius quam haber (7P
ad IF. Ouoderacdemonstrandum.
PROPOSTTIO CLIZ.
ScoABC parabola axis AV
aequalis lareri recto; et pet D
parabola descrivea D F. F aequalis
hin
it
ioton
Patabeta

## Folio 432 — 1815201908:0489
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000489.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
P A R AB O L A
patabelae ABC apicem habene D, obuerlurt apici parabole ABC e
axemlommunem; dein. quaeuis ducantur diae B, FC Occurrentes
parabolB in B, C. F, F punctis; actx vero per A_ D, concinsentes, dia
nctrosil. B, FC lccenein G, FJ, I, K. 1t
:Dico L. C.B rectunigulum este adrectanis ulum F IC, ve c quadtacam
F: 4 ad quaataEuM F L. - 1.  LIIMSSIICL 11
211
Demonstratio. 32 L. CC illi
CuEF C:B ad FIC, rectangulum est ve quadracum LD
e. ROeOSIIIO CLZ.
Inc ABC, D F. F parabola, ad cundem axem
AD inverse Dolux; ducti (que ex A _ D, OF
arac lincis Af, DC, iungantur puncta AC,
uxpraeterea quorurs BL parallela AF occurrentes parabo-
Dico quadratum B C, re-
etangulum BG F. & quadra-
cum C P in continua esse a.
nalogia.
Demonstratio.
L BC linca ad lineam GE
lic quadracum BC cAt ad
rectangulum BCF F: Ccd eciam ve
BC Id GF, SIC BC F reclangum elt ad quadeacum CF; igicur ve quadeacum
BC ad rectangulum B C F, sic BC F rectangulum est ad quadrarum G F. Quod
crac demonstrandum.
IIdempoliris:
bererarione eius Glum habetbe L Ecctansulum aa reclan uDbL.
FD;C
lisin B ex I
DOnancur ordinacim linex FL, BMT. Guoniam AD
linca, aequalis ponicur lacerirecto, e F.M, FL Or
adraCI D. .1 11.
dinacim applicarae sune, quadrarum F D (hoc est qua-
draca FL. MI MI D) aequale es rectanguioD M A: X qua
dracum FD (hoc es quadrara F L; F, D.) aqualeire.
ctangulo D I. A; igituE VE F D quadracum ad quadcaris
FD, SC D MI A rectangulum ad rectangutu D L. A: led
DM A id eA OFII rectangulo aequale est rectangu.
lum FGB; _ DL A xguacur F IC; rectangulum igi
rectis AC, FD in H e I, _ axi AD in C.
EROPOSITIO CLXI
Dico ACD rectangulum ad rectangulum AC D, duplicatam ha-
Ailbblsot abio
Ao AC D rectanguli ad rectangulum AG D composica est ex ratione AC
ad A(, _ Cx CD ad C:D: racio vero rectanouli BCFF, ad B CFF lectano.
lum, compolca est exrarione BC ad B Cin ec ex C F: ad Ct F: led rario AC ad A6,
dupli-
Nostete etit p   e e s  t te e te te tu te tut t et t e u tte t e  e  st. et e tet ee et et t  ute   t   te e te           e         1

## Folio 433 — 1815201908:0490
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000490.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
p
eM
DE
13
97
c.
1d.
F
PtA R A B, O L. A
duplicata est lacianis B C ad BO5 _ ratio GB 2d G D, dplicara eAt rationis
CF ad CF, racio isicur rectanguli AC D adrectangulum AED duplicata est
eius quam habet BC. P. rectangulum ad rectangulum B CF. Quod erac demon-
strandum.
PROPOSITIO CLXLL
to e   oesit cleder
Idem posiris: eriganeut ex C_ F diamorri C L, L L Oceurrentes linet
LBE in R _ B E _ LIB LIZMS..
Dicorectanguta IE GL, BGF, FIC Iin continua clse analooid.
esstBhBROHOl
Ibs e 23nc. Demonstratio.
R Ectangulum K C L ad rectangulum B G E, ratIONEM HADCE COPOSIEAM CXKC
2d BC, _c ex CF ad OF: e BC F rectangulum ad rectangulum HOI,
sarionem habercompositam ex B, C ad FI. Cis id olt HG ad BC, d ex C+ F ad GT.
sid est C L. ac C P: rectanioulum isicur H CaL, eA ad rectangulum BG P, VE BO F.
rectangulum ad eoctangulum. IL C)I. Dyod eras demonstrandum.
25 s  es gi u
2maimondaDR OP O SI FLC, CL XIII.
West
Incrursum parabolX dux ABC, DFF: _ AB C parabolx quidem
Dapex (Ic A, parabolX veto D E F Ac apex D, in quo contingat axem
AD in D: Factilque AG, D ITlineis aequalibus, agancur per C a FL, nor-
ales ad AD3 linex F BsF C occumences parabolisin E, B, F, C.
Dico ECB rectansulum ad rectangulum F HIC quinicuplicatam ha-
bercrationem eius quam habet C B linca ad lincam IIC.
B.  Demonstratio.
Atio FGB rectaneuti ad reet 2t-
LLoutum EHC, composira cA ex
ratione F C 2d F HI, hoc est duplica-
c2 CD 22d FID; id cA AFI 2d A6,
(cum AG, FID lincx aquales LnE)
hoc est ex quadruplicara rarione C B
ad HC, de exratione GB, ad HC:
rectangulum igicur F OB Ed FHC
rectangulum quincuplicacam haber rarionem e B ad HI
dumsRX
PROBOSIF
NICABC paraBOIX axis AD, _E AP F patabera Verrex A, in quo illam
L conringat linca AD, politaque F C B ordinatM ad AD ducatuF ee
alECTA FD C, VEG B, FD rectae aequales (INE.
Dico rationem F. G ad DC
quincuplicatam esse cius quam
habet GB ad DC.
Demonstratio.
DAciO L C+ AA DC COMPOIICE
Cexrarione L C 2d F D, hoc est
duplicata AC, ad AD. hoc est qua-
sruplicata rationis CB, 2d DC, Y
i
3. tot
Quodtuir demonstran-
itititi
t121315+6 + 18 10
1
a eo 

## Folio 434 — 1815201908:0491
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000491.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
D A D A B, O. L. A.
e ExracIOe, CB., HOC est. B D, aet D C. Isitur ex quiiplicataratione C, B adD C.
d
il  d fp.
ROP
IE ad AB C parabolae diametrum A B ordinatm polica C D, deleri
ibacuraurem per A e C i paratiola A L. L HaVens verricem in A _
AD, Con une AC potaneut ad AB, ordinacim linea
434
ls it.
l Eatt EL B3 et113
AeB lscAI
CEZV
irot 35i+C
Duod tuicdemontrandum ansss oi vie
B C, E F: 30IB  ASEIBIMO MLDHI 
L.13XB
10
() C3
il sleassr0
coniter aes
ad et t.
Cacam haBCE FAEIOBCHI C: F ad G F, id est. A F 30
AF; Sed A F ad AF, rarionem hatec duplicacam elus
quam habet BF ad BF; rectangulum igieuF G P F ad
GFF, rectangulum sexcuplicaram habeeracionem FB
0 ad FB. Quoderac demonstrandum.
A PROPOSITIO CLXVL
TIIdem postis:
F F B quincuplicatam habere rarionem eius quam haber FB ad F B.
54. huius.
Dicoet L. scccansatum esse ad rectangulum
regile
G FF in lextuplicataTationC FB ad F B.
eluvantuor a Demonstrario.
Eccanoutum OFK 2d G F F a rectanoulum eripli
Dico EFB rectangulum ad rectangulum
Demonstratio.
aet FB, e exrarione FB adt P B; racio ixirur P. F Brectansuliad Fect anBulm E. P B
quincuplicaca elt Facionis L B ad F B.
in A. cum per A e B paravola deleribatur A P B habens verricem in A, OC.
currens ABC parabolE in B. lrque ciusaxis AF: dueatur aurem KH
neas esseproportionales.
Demonstratio.
Vncta AB sCCCE FOIi.
neam in L. Ouoniam BD
aequidistac diaMCErO AP, _
TK ordinacim ad illam appli.
CaEUE, rectandulOT RIB X.
quale est quadracum L R. led
_ LKI rectansulo aequale
CAc rectanguluM CKFI, qua-
dtacum idicuc FK aequale
quoque
Btr tniu
D EAaneuluM EEB AdEFB, rectanculum racionem habeE Compolica ex L F ad
LF F, id est ex duplicaca racionis AF ad A F, id est ex quadruplicaca racionis FB
PROPOSTTIO CLXVII.
Arabolam AB C cuius axis BD, conringac in B linea B F, in qua al.
Cumpro quovis puncto E demictatur E A, Ooccurrens AB C. parabola
SCCanS AF B PAF
DicoOK, F K, HR Ii
minF, axetn BD in I.
e ete tus  es te s se pt se se tet qete a e stit  ete  us t pte est  e p te te  t    b. t s e u i ste   eu t te e     te e at A   e  e s l  t  B1I 

## Folio 435 — 1815201908:0492
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000492.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
C
eri.
M
PI
MM
2d
e
at
P A R ABC
erac democutatdum.
quoque est rectangulo C KHI. L C K, F K. H R dnex inconrinua analogia. Ouod
PROPOSITIO CEXVIIL
Sto ABC Dparallelosrammum; delcHIpCaG; DEF A d C, parabol
scuius dianerer A D, ee concinsens AB, dclevatur d alicta pet
B _ D, cuius diamecet sic BC _ concingeits D. Occutrat AueM para-
bolae AFC in F. deimdeper A, E, C puncta cerria de Ccribatur parabola
communeshrabens Cum aliis aiaecros.
Dicoiunctas AC, BB, parabolam AF. C conlhetei AaC.
Demonstratio.
quadracum ad quactacum AB: lunc au-
adquadracum AB, H AI quadracu ad
xqualia lunc, e linca AB dupla A F, vei
A D dupIa F C: quaEC E F etiam AC
lineae occurrie in C puncto, quobitariam a DB, alcera paralleloorammi dia-
meeroO seCaTUE. Rurlum quia AB quadratum quadruplum est quadrati FB, crie
_ BC linca, quadrupla linex F Fs est aucem AD id est BC, ostensa dupla FC
igicur F C dupla est F L, X F F, F. C linex aequales. vnde BD linea a est concin:
sens; limilicer oltendicur A C lincam, parabolam AF. B concingerc. OuOd CTAE
Corollarium.
Tinepatet AO, B DIincas, I Mo puncto se incersceare, vbi P C est Xqu alIS FE-
Ax F P: quod singularim ec explicire annocare verbo placuie.
PR OP OSITIO CLXIX.
Ildem postis. Molcet E punctum incerlectionis exhibera
Constructio e3 demonstratio.
GaCUE PEF F, diaMCTCE P F sCCAHS
LDB lineam In G. VE F F ad AD, AC
FB quadratum ad= quadrarum AB, d
VE FF linca, ad lineam BC, sC AF,
cem AD, BC linea per hypochelim
xquales, isicur ec FB quadracum est
quadracu A B: guadFAFA IBICHE AF. FB
demonstrandum.
Tuisa AB bitariam in F, deMIETATUE ex F diameEeF F R, dequaliS QUAEEE ParEI
Iinex BC: dico F, erminume F F, delignare punctum incerlectionis. Sic
enim P punctum interlectionis indelcum _ per R dinmerer agaTUFF. Fi, CrIE B F, ve
in pracedenei propolitione ocessamus, aequalis quareae parri linex BC; isitur per
compolicionemcum PP Mlameter decur ae qualis quarrae parri linex BC, PacCE F.
punctum esse incersectionis, Xc. Ouoderar exhibendum.
LKOTOSIIIOBUZE
IIdem policis ducacur quaeuis diameter tL L Pecans parabolas in H, L, M.
Dico tt, tit. ttMlitend i concinua este analosia.
Demon.

## Folio 436 — 1815201908:0493
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000493.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
2 47. bu215.
L.X 17.
aiu
5 47. haius.
ibia
i1
EEX 67
BFt el
entis.
PNA R A B.C L. A
 siigoHBM BEAIBCESeL eiI A L
150
DS. Demonstratio.
H 72. hrvicos.
DEcta FIF secet DD lineam in PI, de
AC In I. ve BEl A rectangulum
ad rectangatum BlA a licllL. linea
CA ad linea I P,, id clt F C,; de ve
BND rectangulum ad reccangulum
cBOD, (ICK N ad P C: CA auTCBH A
rectansulum adrectangulum BF A, V
BND rectangulum ad rectangulum
BGD; igitur ve ITL ad R C, SIC RV
ad FG: ad eoque HL, K N aequales
Tune linex; ex dempra communi KL,
manec TT Kae qualis PPV. limilirer octé.
dicur TMT linea aequalis linex FTL: quare VEFTMI ad ALT, SiC HIM CA adTTL: Sed ve
TTM ad AIEsC d A I es ad TC, Id CH A FT ad FTB; IOIEE VE FLMT adETL, SIC AH
2dFTB, id c est FIL. adI. H idet FlL. adHR. proporcionales isicur Cunc HIH. HI.
PR OPOSTTIO, CLXXI
DArabolam ABC cuius dialEcer AD contingae in A linea A F, de-
missaqs ex L, diametro F. C, describatuE per A de C parabOla AFC
cujus diaCTeFSIE A F. ec Concingens AD: dein linea ducatuF G HLPaFal.
lela AP, SCCanS AF C Parabolam in F, de AC. sineam in l puncto; per
quod diamecer ponacur lBIE, iunsancurque BF, IIKL. Nl   RiC
15: 1 2 1 11 8.
Demonstratto.
3
1tccilo (1
c
1 St eit d Et 
DOnacur ex C ordinarim ad diametrumi ADlinea CD.
ratiO RB ad F C duplicaca Fest racionis FTad FC:
similicer ratio FIF ad C D, duplicaca cMtrationis FII~d
CD, id est AR ad AF, id est RT ad F C; iGIEUE ve
RB ad F C, (O TIE ad CD, _E VERB adRI, SiC TTFi
F
ad HL. aequidiltancipicur PF B, H P linex. Quod erde
demonstrandum.
PR OPOSIEIO GLZXII.
Arabolam AB C cuius diameter AB, Con.
cinsar in A linea AF, demistaq; diamerio
FB, qua ABC. parabolae occurrat in B, pona.
cur ex B ordinatim linca BF: descriveaque per
A _ B parab0I2 AG B cuiuS dIAILCEEK A. FB 8
Concingens AD, ducatur ex A linca NO oc.
currens AC. B parabolX, ec lineis BF, DFB 1
C, FI, e 1.
d6191
 ceri euintogmo
DicoA C, AFI, AP, AC lineas esse continue
proporrionales.
Demonstratio.
12
11 313, 107 49hIIY
roniam F B aequidistat concingenei AD) eC PB.
Ldiamerro AF, recta AC h A FL, AYcontinux lune
DEOPOT.
FIM. Ouod tuic demonstrandum.
oBF, Ak lincas aequidictare.
 e e  eti ti t s t e pei t u  e   e te t te t pat se et  t e e    ee  t  ta e e ete te  t st te e est t tat  s te 1e ste e e  s e e e s i e t t t.  

## Folio 437 — 1815201908:0494
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000494.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
et
V
t
de
C
a
10
2d
t
TF
1at
p.
11
D A R A BO L A.
proporeionales. lune aurem de ATT, A T, 2. A C linex criam in CONFINUAtRFACIONC; 151- 2F
67
cur A C AFI, AL. A C eandem concinuan analogiam. Quod etac demonAtrandum. huius.
PROPOSITIO, CLXXILI.
Ildem posiris ponatur ordinarim C. D.
Dico AC ad A C criplicatam habere rationem eius quam habet
Demonstratio
DVontam A G, H H, AI, AC lines per praecedencem continiix proportionales
LsunE, ratio AC+ ad A CD criplicata eAt eius cuius A FL 2d R C eIFADPHCaL: Sed bEr27. de
AHI ad AC, id est AF adt AD, racionem habet duplicatam BL a CD: isi propressioni-
cur A C ad AC rarionem haber criplicaram ehus quam habet B L linea aue
CId. Duod erat demonstrandum.
eRO POSI FIO CLXXI
darabolam ABC cuius diameter AD COnFinGAE II A AIACA AL,
Politilq; ordinacim CD, F C7, per D d A parabola describatur AHI F
cuiuscangens AB, diamerer AC: ductaque AF, ponatur AC, SCCANS
AIIF parabolam in I, rectam FC in HC puncto, ex quo crect a diametro
IEB, ducacur ordinatim linea BL, occurrens A F. linex in MI, rectae AC
in N, e parabolae ATIF in II.
DicoCD, FO; BL, M L, NL, HL lincas in concinur esse allatogia.
Demonstracio.
FRivatur Ex F diamerex FF. Ouoniam B K equidi.
LstaE diamerro AD, recta C D, F C, B L proportiO-
nales sune: Sed _ F C; B L, M P. quoquo TUNEPFOPOr-
cionales; candem isitur concinuane racionem CD.
FOG, BL, HL. Rursum cum racio NL ad K C, id cR
2d BE, id estracio AP ad AC,, duplicaca Ecracionis
BE ad F C, id es LM ad L B, rectX GUOqUCBL, NI
NVE proporcionales lunc. Pottremo quia FC li-
nea ad lineam FTL duplicacam habet racionem AV
ad R C, id est quadruplicatam L. B ad C+F, id cst L L
adCM, linca L HI, T. I, L M, L B, I Fproportiona
les lunes isitur concinvane eandem racionem linex
CD, FC BL, M L, NL, HIL. Duod erar demon-
strandum.
Pxopostit
ZV
BLdd CD.
Dltabolas aquales ABC, LLVC, W
leslateribus rectis, lecent aurem selepa-
rabolae in C, _ ex C ordinatim ducan-
eux CBs C F, demissisgueoxiA lineis, 27
Qualibus AB, AC; quarum alcera A R3. 1 1 C
quidem ccci AB C patabolair In B, lcavi 0  id   ett . 1B
NT B.3
communem habentes verricem,
ContinganE in A lInCXAFC, AF xqua-
AC Ve
3

## Folio 438 — 1815201908:0495
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000495.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
AR A BOL A
AC vero pataSolam AD C in C d prO.
ducta, CF. lirseam in HI. ducatuT ex B
ordinatim linca Bl IccanS ADC para
bolam in B, ce per D ex A linca ducatur
Dico AD ad AK, duplicatam habere
rationem eius quam habet AC, ad AH.
cuus quam habet AC ad kLL. Ctatdemonttranaum.
IECII PROPOSITIO CEXXVI.
DArabolas equales AB C, AD C communem habentes verricem con-
EinGANEIn A LInCX AC, A F, Secentque sese invicem parabOlX IN C; CK
quo ductis ordinatim lineis C E, C F, deseribatuF per A parabola A HIB
habens verricem in A, _E CONLInGENLEM AE, OCCUTTONS AUTEM AD C Pa-
rabolx in C. iunetisque punctis AC, A G, CrIfaEUE ex G diamerex GM
sccans AC lineam in M, puncto per quod ordinacim ducacur linca lR
secans parabolas in B, FI, D, lineam A C in L.
Dicorarionem IH ad IB criplicaram esse eius, cuius 1L. ad LM, ha-
bet duplicatam.
AIL OCCUTTeNSEC in R.
Demonseratio.
AD C pALAbOIX, quam AB, A C linex xqualessune, exic L B linea quoque xqualis
GF _c LB a qualis MI G. Rursum ratio T B ad F C, id est A T ad AF; id cst AD
ve
XB de C punctis, diametri BL, GM, ON: ac BL, e CM quidem
FaNC A F lincx in P _ MI. C: N verO recta A P in NV. Ouoniameam ABC
ad AK duplicaca es racionis IB 2d E C, id cst NTG ad F C; LCd VE MG
ad F C, siC AN ad A F (nam AL id est TB aequalis CA ReCtE AN, _E F C ips
ohnins. AF, 2 est aequalis) He en AG ad AFI; isicur racio AD ad AK, duplicaca cst
Demonstratio.
BArhums Vuemiacurincer ID ec TE media TVF quoniamigicur +D, LL, LM PLOPOO
estuce La  B, LE,CtanEcam YD, IN, CPE. TEIlinca, quam LD.
dabid. sTE. LM, YB concinux proporcionales: quarc racio YH 2d IB, quatcE ad quarram.
xipli
674. Buis
   e  s  At.   e  Au te   1 BI. Ae  . . Aes   s A  1 1.    . M u  B A.  .   1  1 t   u V. 1 p  1    r 1 p  1 ur u u s p p 

## Folio 439 — 1815201908:0496
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000496.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
te
1.
D
C
N.
ex
b
2
A
AR ABOL A.
riplicara estrarionis IN ad FE, Secunde ad secundam, cuius TF, ad TML, CCFEIZ a27
ad cerciam, rationem bhaber duplicaram. Ouod etar demonttandum.
1971
2
I  celocent
IIdem posicis:asacur Der O ordinarii O P. 5. 3c: l Lusariae iinsuctio
Dico ID ad LII, rationem habere eriplicatam ehus quam Habet IFF
adC P. eerarionem ID ad IB, criplicatam esserationis l AL.
caissinibalLin
Demonstratio. 1. L = WF
0
Pioni
Ibid.
35iI L 5.
Vmenim FN media BCinCet ID ec TE, rectxe FD, TNI, TL, CTF G P pFOPOF- C17 1. huius
ionalessune, quare (D ad IFI, prima ad quartam, criplicacam haberrarionem
TTT 2d dGP, quarea ad gucam. Ouod exat primum. Rursum cum TL media RC d27. D.
chtex ID, IM rectae ID, IE, TM, TB, TK id eA C F concinux proporcionales preressions.
sunc. Guare LB ad LB, prima gd quartam, eriplicacam haber racionem eius quaM C Ex 42.
habec 1Bad C. L, quarca ad quincam. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIOCIXErIII
AVILIA POHEISAGANEUF PEF Q ee B diameeri TV, RS OCCUTTCNEES ADC
parabolae in V _c S, de AF linca in T aR.
Dicorationem ID ad C P, octuplicatam esse rationis R S ad TV.
Demonstratio.
huius.
Er74. hruiuo
SeCatio ID ad C+ P, A_PECala SACIOIIIS E AL Al HI L, 1a CIC R B dl L V. b
id est quadruplicata eius quam haber R A ad T A. sed racio R A ad F A, du-ius
plicaca est rarionis RS ad T V, cum ordinarim sine posite ad AF; igirur racio TId
ad C P, octuplicata cAracionis R S ad ZV. Quod erar ostendendum.
1. tut-

## Folio 440 — 1815201908:0497
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000497.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
P A R A BOL H
2. I L tt.  L E1e153, sC1 5. V
oHCd.P O. S.F L. dC WIX. X IX.510IC
ordinarim ponancur lincae CF, C f: allunspeoque in AF. puncto quouis
Ci ducarur ex C ordinarim linea, Gl, lelans AB C, AD C parabolas in
B _ D, aet 2 95 per Id diamerro D HI, qua AB C parabola occurratin II,
aucacur per Hlordinacim lineca IIE, Sccans A F lincam in l.
+Tdd IK.
se at L 135. VL diroir 3 aenriliqin.
Demonstratio.
Acio C B ad TFT, id est C D duplicaca est
acionis AC ad AI; scd AC ad AI, du.
plicatam habet cacionem C D ad TK, id est
TII ad IK, racio igirur OB ad CD, qua-
druplicaca cslacionis IFT ad TK. Ouod erat
FIO CLXZX.
Dicorationem OM ad D L, quadruplicacam eAc rarionis D L. ad HE N.
demonporalio.
EScenim ratio OM ad D L duplicata racionis A M ad AL, id est GB ad ITP:
Lid est quadruplicacarationis AC adt AL, id est L. D ad N K. Quod erac de
monstratidum.
deper A e B parabola B F A Cuus axiS B L, de continoens BD, ducatuE
ad BD quauseama linca HC, occurrens parabolis in C, F, FI; e
Demonstratio.
Ectangulum CDT, eequale est
La quadraco HID: Sed FI D qua-
dearum aequale cA quactraro ID, id
cAbrectangulo ID B, vna cumcre.
ctangulo FITC; rectangulum igitur
CDI, aquale est rectangulis FDC
TTIC. est aurem idem GDT rectan
Sulum, aquale quoque rectangulis
quale rectangulo C.DIl. Suodetac dehcchaum.
35. 13 ly o2
DArabolas AB C, A D C communem habences verricem, contingane
in A lincx A E, AF, Secentameme parabolae in C puncto, ex quo
Dico CB ad CD quadruplicacdus abere rationem cius quam habet
demonstrandum.
dem AD C parabolx in O.
DRoducta HIDdoncc A F linex occurraE in L, demitTAnEuE ex B ex H
L diameErI BMI, IE N OCCUErENTES A F. linex in MI, de N, X BMI qui-
u
FIC
CLKXKI
AtabOla ABC cuius axis B BCoMsac in B linca BE, in gua alTuM.
peo quovispuncto F, demictatur ex P. diamerer F. A: descripea dein.
BD, BA, E. A lineis in D, 1,C.
Dico HIIC rectangulum, aequari rectansulo CDIF.
067. hurus.
C5. securidi.
FDC GDTE: rectangula igitUIr FDG, HIIC, aequalia sunc rectanoulis FDC.
ED LF. demproisitur communi rectangulo FVEr, ManeE FTIC rectangulum X
   .  s  A e.  e   te    (AI. Ae    . . Ae  1r A  1 1. i  . M u  . A. t 1e.   1     u V 1 p       1 p    1 ur u u s p p ini1

## Folio 441 — 1815201908:0498
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000498.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
Me
10
Det
et
du-
est
112
erde
EK
vi.
TP:
H-
M.
UF
d
P A R A B O L
P R OPOSEYIO CLXAA
DArabolam A C cujus, diameter
D Concingacin B, linea BL; de
tcriptaqi per B parabola, L, B C, cuius
diametet DE; e Contingens, BD, du-
caturlinca quae eunq: FC, OCCurrCNS
Parabolis in A, _C, F, Cs diamerris
vero in P _I.
Dico A L. Cnrectangulum, a quart
rectangulo GD F.
dicla
E.DFs Cpreporcionales suc
adcoque AP C rectangulum aequale qua- C
deaco PD: sed F D quadraco aequale est
babid.
brectangulum ODF, Fectangulumigitur A B C X quale eB rect ansuloOD F. Ou0d
erac demonstrandum.
ROPOSITIO OLXZXI
Demonstratio.
Voudm. RD Intea ComII CnS ell, le.
aqueC ponatur in ABC patabola ordinatim ad B, linca ADF, OC.
currens ectae B C. iltet. _ per C recta axacur HII parallela BD, ocCur
DicoLS Hrectangulum este ad rectaneulum F C, A, ve quadcacum L.P
ad quadratum ED.
IIdem politis: occurrane sbi parabolx dux ABC, C BFI in C. iunia 
rens diamerro BL. inF.
Dehancur ex C ordinatim ad
diaMetrOS BD, P F, lince
CR, CI. quoniam BC, B C P1
rallelogramma communem ha-
Demonstratio.
bene diamerralem BCC, vE
CF ad GF 3 sIC KC est du
OD; sed ve C I. ad G F, AC
ID quadracum est. adc qua.
dracum GF, _ vE CR linca 24
lineam CD, sicF. D quadrarum
Mtad quadrarum CD; isicurve
Ct quadrarum ad quadracum
BL. ACFD quadratum est ad
quadracum GD, ee permuran-
AOve TE quadracum ad quadra-
cI SD, Sc quadracum C P, 2d
quadracum CD. estaurem qua-
Macum IF aequale quadeato
CF. rna cum rectanguloTO FI;
e FD quadearum aequale qua-
deaco C D. Iha cum rectangulo LCrHL, IoItEd lCHI
oum caarcuat
ulum F C A veL E guadeacum ae quadtatum F D. Euoderac demonllcandnp.
Ae .  u t t   e i ut de tat e e    a e st   t si t 

## Folio 442 — 1815201908:0499
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000499.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
6. secundi.
neam R F.
artuim.
 A R AB O L A.
PROPOSDTIOCLZXAIV.
Idem policis; producta
Aea GFI, GOCCUTraE CR
lineae in HI, DE AF produera
Dico IMt El rectanguli
esc ad leclangulum F NA,
c Te lectangulum est
eectangulum FO AI
11.
Demonstratio.
Scensui est praecedenci pro-
polcione, quadracum HC
ad CF, candem habere rario-
nem quam DC quadracum ad
quadracum CF, ac proinde, qua
M: SCd quadratum R C HOC eA D N XGUaEuF D F qua.
IOTT ad FO A rectansulum. quod sorruit demonstrare.
PROPOSITIO CEXRE
Sto AB C parabolxe aris C D, aqualis laterirecto, actaque per D Or.
salnarim linea D A, prOduCATUTHHL, VE AD, D P. lincae aquales sine
uo
litiex L. C in N. I cl 1903CuNiI
draco, una cum rectangulo F. N A; Similiter quadracum CP hoc est P. M, X quale
eAtquadeaco E P, una cum rectansulo TM FT. cumigitur sic quadracum P. MI ad DN,
sicue quadratum F L ad D F, rectangulum quoque LM FI est ad rectangulum F N A,
rEguadratum F I ad D F gnadratum, hoc est per pracedencem ve rectangulum
bensverricem in C. e concinhrem C D; ducancurq; B G parallele AD,
occurrences parabolis in B de F, de iungantur B C.
Dico ese ve quadratum BC, ad quadracum BC, Sic R F lincam ad lin
IAnGAnEUEGUE AC, E. C: dein per C de E parabola describatur C F F, ha-
Demonstratio.
S Risatur ex A diameter AB
occurrens B Clincis in L. qua.
quadraro COc huc O FI, lcun
CD, DF adeoque  CC, C
linex RquenEuT) aquale est rella
sulum FC:T; quadrarum igicul
BC aequale est rectangulis FO
R CTitioc est rectangulo IOKF:
sed TGK E rectangulum est ad rectangulum PC K F, DE FR linca ad lineam RB
quadracumixitur C B est ad quadracum CB, ve K F linea est ad lineam R P. Ouod
erat demonstrandum.
PROPO51Y1O CLLaaI
Dico lCadB CpCalaabete alte es Ga  B
ad AV.
Denoi
dracum CB aquale est quadraris
BO, CC: est aurem b qu’adracum
BC aquale rectangulo ROI, d
ildemipolicis:
Ba

## Folio 443 — 1815201908:0500
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000500.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
2
10
o
ile
V.
A.
F-
NE
12-
1i.
P A R A BOL A.
Demonsirati.
Voniam tam AD, aB G, KC, qLAM DE, BGFT, GF proportionles TuNE, N ~g2. H
EEIAIM RG, GC. est auremratio F G 2d GB, COmpOSITA ex FacIOnC F G ad ∞K, bui
K O, propoconales Sinc) _ exracione K C ad G B id est iccrum B C ad A D, igicuE
FC 2d G B, criplicacam habet eius quam act  ed aet CH A . ubd
fuie demonctrandum.
PROPOSITIO CLXZEVII
Ntertecent icerum se se parabolx duae ABC, C B D in punctis B, 
Lhabentes communes diamerros FC, HILEL, D A quasin MI _ N, lc
cerrecta C B.
Dico TM ad M E eandem habere racionem quam habet D N ad N A.
Demonstratio.
T DHC rectangulum eAt 2d
rectansgulum DL C, ACALC
2d AOC, rectanoulum. (ed ve
DHC ad DFC, siC FTY 0 ad
EB, _E VE AL C ad AG C, sic
L K linea est ad C B lineam; ivieur
ve IIL ad F B, SIC K L ad B C: &
permurando converrendo ve FB
ad B C, AC TTIadRL. est aucem
ve FB ad BC, lic HM ad ML:
igitur ve H L ad RL, SICHM ad
ML: VnAELC LM C CAAd MIK, VE H M ad NI L. I eA DN ad N A. Duo d Euit e13 quimi
demonstrandum.
qPROPOSITIO CLLLAVIII
Sto ABC parabola diameter A B qua in D secet ordinatim linea
dDC: dein per D parabola describacur D B, habens ADCClcingen-
cera de diametrum DC e commune cum alcera sectione latus rectum L.
occurrar aurem DB Parabola, Parabole AB C in B, _ ordinatim ducaTuF
linea BF.
quam habec FB ad FB.
AD prima, aequalis primX DE, racio K C ad C F, c duplicata estracionis B  B07 hums
ad CHI, id ell BC ad K C, cum enim D, D C d lincae xequales (INE, XGUANEUF C 26. L
ression
C47 haius.
id est ex duplicacararione R C adt GB, hoc e BC dd AV, (cuim AD, BC, a g. huius.
Dico AF lineam ad lineam FB, rationem habere duplicaram eius
Denonso.
lllaccigue leccloi Comue Cllid EB. BC Oec
nauim policx, eruncram B, si B, AF linex, quam B, BC
id est FD, e D G proporricinales. unde cum P. prima lic
communis, racio s A F ad DC, id est ad FB, duplicara est
rationis FB ad B C id est ad PD. Quod tuir demonstran-
aum.
DOnacur BC equidistans AD. Ouoniam igitur P latus
KKL 2
111 1 St 1C
ioni
C
nolla

## Folio 444 — 1815201908:0501
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000501.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
4
P AR A B O L A
Corollarium.
TInE sequitur AF ad F D, rationem criplicacm ejus esse rarionis, qud. eA incer
F _ FD. eA enim racio AF ad FD, compolica ex rarione AF ad FB
hoc CA duplicata B F ac L. D, e ex raciohe L a L Di hoC eA criplICatA AF ad F D.
D RODOSITIO BLALLLA
bus ordinacim demictantur linea _l, LI.
currens parabolis ABC, DL. L in B _ P. punctis; ex qui
Dicorationem LA ad IE D, quaduplicaram esse rationis C L ad GHE.
Demonstratio.
Vcta enim ea E linea F L parat.
ela GD, OCCUFTENTC ABC P2
erie igicur quactarum I. MI xqualc
quadrato FK, Inde e rectangulum
D sub FT _ K B, adeoque e M A li
nea aqualis RD. CA igicur racio IA
Abentes axes BC, E. LI. actaque PL diamerro, ducantur ordinarim rectE
MO, AF.
ctangulum ad Lectan gulum DR F.
2rie 
AbEANEABC, D E F parabolxe ad eundem axem consticucX, com
Amune lacus rectum HI. altumproqs in axe puncto quouis C, ex cd
2XCt (+C
ordinarim ducatur linea CC F, describaturq; per C parabola, habens
rabolae in L, demitratur ex L ad dia-
merrum ED, ordinacim linea LM.
sub FL ec M A, a quale est rectansu-
2d F D, H_C ad NTA, duplicaca rarionis TB al LM, sivC ad F R. Cs aUECI F2
cio IB ad FK, duplicata racionis C I ad C K, Tallo igirur L A ad K D, quadrupli-
cara estracionis cuus, sant Haber GP ad IL. Ouod tuit demonstrandum.
PR OPOSITIO CXC
a
Ncersecent Leseinvicem in I parabola duae ABC, D EF paralIeloSHa
DiCONO M rectangulum ese ad reCtanguluM PO O, VE CR A rC-
e
Demonstratio.
2x24.
uine.
E LOcA ad TRCiC N OM
Suluurea ae rectanguluDRL.
x permurando, NOM est a
rectagulum a eAt ad rectan.
Gulum CR A; scd vETO ad TK.
lic OOr rectangulum est ad
rectanoulum DKF. ioicur 
Tom rectangulum ad rectan
bulumm CRA, licOO Drectan
dectan
MO
monctrandum.
DE ve rectationluIA C K A ad rect angulum DLP. Quon uiede
Cte
t   pt pe es e e  pe t. t e u s es tat ee se et   pe  it ut ett et e te e ti te  t e t  t tet te a  et t et eti  t   ti et e tit  t  e a   e pe e  et t  se

## Folio 445 — 1815201908:0502
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000502.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
na
B
MM.
co
CnS
t
a
1
im
1-
i
P A R A BO L A.
PR OPOSTTIO CXCI.
IIdem potiris: (i A BC, D F. F parabolx eandem habuerine alcirudinem
Dico NOM rectangulum esse d rectangulum PO O, ve BR quadi2-
cum ae Gual ILL.
Demonstratio.
F lineaRF ad lincaur OT, SC BR a quadrarum ad reclangulum N OM; et a ibid.
e RI ad OT, sic R L. quadracum ad rectangulum, OOP; iritur ic BR qua-
dracum ad NOM rectatoulum sic quadratum R R ad rectangulum POO, et
permucando ve quadracum B R ad quadrAEUM R P, sic N OM rectangulum ad
Corollarium.
Incpater etiam rectan sau AK C. cNC ad rectanguluM D RF3 VE BR quaL
PR OPOSIFIO CXCH.
Sto ABC parabola dris A D ductaque ordittalim C D, sumatur in
axc quaenis recta lL _ per P describatur parabora cuius axis HE
F A, secans parabolam AB C in B, ee CD lincam in G. FaCtaG; AH X
quali D E; ducancur L ordinarim ad AP in parabola F. CB, _ BF
e communem contingenrem BF.
rectangulum OOP. Ouod fuie demonstrandum.
dracum ad quadracum R Li
ordinacim ad ABC.
DicoC. D quadratum esse ad quadracuim
TKS VE F F linca ad F A. 1
1
demonstratio.
E ABC paraboia lacus rectum F, e parabo-
DIxF GB latus rectum M. quadracum CD e
quale est rectansulo D A L, ec quadratum IR
requale rectangulo A L. M, eAt aurem AD linca
aequalis R H, quia AR, L D aequaleS PONUneuTS
quadeacum ioiur C D est ad IK quadeatum; ve
L ad M. Rurtum quid Gadraco B E eam est X-
qualerectangulum si A L quam E R MI: rectan-
sula quoque F A L, P F M aequalia Cunc. igicue
DE AF 2d E E, HC M ad L. sCd vE M ad L, RC
LK quadedtum elt 20. C D quadratum, igIEUE vE
AF dd F B, Sc IK quadracum est ad quadra-
cuta C2lidoi
lA caVEEU
15331 20L9V11 D
prorott oneito
ABC parabOl aXIS AD AGUAHS LALCIT LELIO CCHETOGBE A MIECI
uallo quonis, circulus descrivacur cuens Barabola in B, C;axiin B,
Ponacurque ad axem ordinarim BL.
E Hl 3
DicODF, AL, A F lineas concinué esse proporrionales.
Demon-

## Folio 446 — 1815201908:0503
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000503.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
34. haius.
P AR A BOT A.
Demonstratio.
D Ecta AF aequalis est AB: sed AF, 2 AB, DF
PEODOrTIONALESTUNE, IBIEUE _ AF, A F, DF Can
dem continuane racionem. Ouod erac demonstran.
dum.
(BS
P R O P OSITIO CXCIV.
IE ad A BC parabol axem BD, ordina.
rim applicata AC; actâque per B concin-
sente BF, qua CrcCEX ex A diaMEETO, OCCUTTAE
in L, describatur per AB parabola A F B, cuius
axIsALL; CeHtTOq: D inceruallo AD, circulus
quadearum est ad quadrarum B Ti: sed eciam
ve ITT ad BD, Sicb AIC rectangulum c
ad rectangulum AD C, id est LO quadtaEuMI
ad quadrarum DP; igitur rEquadratum F R
adquadracum BR, SC IC quadracum ad
quadrarum DI, id est A D, id est F B. qu2-
re LCn FiK, quadrata adeoque d linex in-
Dico C1, F1 lireas esse icer se xquales.
describatur AG C, quem in G, secet recra quae dam FTC, a quidistansaxi
BD, occurren(G; A B C parabolae in HI, X A C linex in l: denique per HL
Ponatur IEF paralle la E B, occurrens AF B parabola in F d A F in R.
Domorosr
DRoducta BD, occurrat circulo in L: v
AK ad AR, id est HII ad BD; SICFR
TCF(C RQUAnEUT.
P R OPOSITIOEKCN.
raOblX. iunSanEUrque AF.
Dico AE, CI lincas aquatt1
12
DAEB, quem in F. Sccencrecunesuc ordinarim posire eF, ad axetr pa.
at Eitea
estsp A F sic HS CC,3 2117I 1CBBT. L BP
Bies C LIMA A BB F
rensise ut sqt 11I.
lrcp
11
DILoP
Demonstratio.
Voniam AB, laceri recto
Laqualis est, quadratum FC
aequatur rectangulo (+ AB; sed
e C AB rectangulo aquale
quoques est quadraium AB.
quia AO F angulus rectus est
Quadraca ipieuE AR, F C adco-
que  linex inter se EquaneuL.
Duod Crae demonstrandum.
E iO MIOXS BA OVpNIIENOQ
379. 3   4 03 Es. 3ul 2 A, et A et C ∞. C
PRO
VpeF AB C parabolx axe AB aequali laceri recro, circulus deseribatur
 t   e o  oo   H s e      s a ee

## Folio 447 — 1815201908:0504
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000504.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
12
118
alus
dxi
2M
est
ata
2d
14-
in.
_I
2-
P A R A B. O L A
eROEOSITIO CRCVI
aIdem posiris, iunganeur F. B.
Dico FB quadracum aequari quadraris AO, C F, C B limul lumpris.
ui les  d Demonstratio.
Tradeatum FB, xdatC CIC quagratIS B C G F. sed F C quadrarum equale cst
gladrato AP, id est quacraris AC, C. L, quadrarum isicur L. B. aequale est qua-
drasis A C,  CB. D uod erac demonstrandtum.
eROPOSITIO CACVII.
IIdem polucis: Sccurrar L. G linea dates , C R. i LL de l.
Dico HFK lectangulum a quari rectansulo ABC.
26. 11,5.
2t 1
Demonstratio
Lquadraco FC una cum rectan-
sulo HIFK; est aurem quadraco
EIC linc BD, aequalea quadracum
AB, (cum AB aequalis ponatur l2-
Ceti recto) igitur ex quadracum AB,
aquale est quadFaTO F C Vna CUFE.
etangulo HIFK. Scd AB quadra-
um quoque CicaGuae rectangulis C AB, l+6L1
rectansulo CB A. Guadracum igieur F C vna cum rectangulo C: B A; equale elt
quadraco FC cum Lectangulo TI F K: demproisicur communi quadtuloL C, Fel-
duarectansula AD C, TI F K Cuncincer se xqualia. Ouoderac demonstrandum.
Corollarium
aX dictispaTEE FEMI rectangulum requari quadrATO A C. nam F PM rectanou-
lum ona cum quadraco L C, aequatur quadraco F C, id est A L, id cIF guadraCS
ACCL: demprossitur communi quadraco CF, mance F. P. M rectangulum X.
quale quadraco A C.
PROPOSILLO OXCVIII
Dico BFL rectar c, xquari quadrarum AC.
Demonstratio.
2due
2bC
adFaEO CF vna cum D EV 195.
Vadracum HG aequale est
AICA POlIEIS: OCCaITaLLB, Circuloin L.
PT. rectangulum xquale cMLCCLAH HIO NF F, IaCIL MHP. P. ILI M E F rectan- cCorol
alo aequale est quadracum A C: ixieur e rectansulo Bt. L. xquale ett qua d L- dabu
cum AC. Guod erac demonctrandum.

## Folio 448 — 1815201908:0505
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000505.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
196. hu-
3t
.1d 1.
D AR A B O L A.
PR OPOSITTOLOZCIZ.
IC ABadis parabbIa AB C. laceri recto, luri
Pellc AF, B Daqualibus, ponancur ordina
Dicojunctas BDB F. esse inter se xquales.
d id ct. 1 ad ers.
 N. 1352BFE
Demonstratio. e X crnerto 1. V
1, Et R ∞3F. IL C2Z CI
EYDec AB dCRLDAcuIT clrcutus dccurrens F D, CF
lincis in I _ R. quoniam AF, BC lince aquales
unc, _ FI, C R normales adaxem AB, rectE FL, OK.
M A C,3 BL uer se xqualessunc: est aurem quadra-
cum BD aequalea quadeacis A F, FL, FB; d BP qu2
deaeum aquale quadraris BC, GK, C A3 quadratum 1gi
cur BD aequale est quadiato BF, de B D linca xqualis
BF. Ouod erac demonstrandum.
ROPOSITIO CO. DEE cubrit
 eai
IIdem politis, ducatur ex HI cetto circuli AIB, recta HN L., patal.
12S: 
Dico BL. lincam breuissimam en Onium quxe ex B ad peripheriam
cim adaxem rectae PD, CF.
iclaF D; iungancures BL
parabolae duei postune.
quadeacis AFI, HIM, HB: e BD cuadracum aequale quadracis AF, E P, FB,
quia vero ACL, (IM, HIB scieliametri sunc, quadraca illarum minora lune quadraeis
AF, FB, F B (vE Facile ex elemene ostenditur) igicur de quadrarum B L. minus est
quadrato BB. e BD Mled onium breuissima, que ex B ad peripheriam duci
POTuIE. Duoderar demonstrandum.
Demonsratio
DOnatur quelis alia B D, _ BTAMIACMH D F, CMISHM QuadtatUI BF., aequale
RorOsItIOce
Scoluper AB C parabOle exi BD a GdaMLACECC ACLCHIBCASLCHII-
scuculus BIe Gue liccene quacungue ordinarim ad dxch PO
CIcE F C. L, delag p er D ordinarim AC, ducarur AB, occurrens L F li
neis in II.
Micocctan oL aguattest Glactalu.
6G. huiv:
EX
EXB.
Demonstratio.
Voniam axis B B aequalispo.
nicurlaceri recto, de AD OF-
dinacim applicata, rectX AD,
BD adeogue _ FTO, EB inTCE
Ce aquales (UInC, quiR VeEO F F li-
nea in C dinisa estbitariam de non
bitariam in FT, Fectangulum R LIL
ona cum cgnadraco HC, la cA
BC, equale eA quadraro F. C. sed P. C quadrarum est xgllale rectal llo dCBD.
(t  e .  s t u    tes e esi s e t   u e      1. e   e u . 1e   Et.  ,  1    1  1. 1.    . 1 1   1t.  . 1 1. (6 1. ui

## Folio 449 — 1815201908:0506
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000506.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
lales
BR
Ie2
lo
at.
im
ale
B.
eis
est
2ei
11-
0.
P A R ABO L A.
id est quadrato B C ona cum rectangulo B E D;igicur quadratum B C vna cum re-
ctangulo BC,D aequarur P HI Frecansuloriia quadrato FIC, cum id ele B Ci; dem-
Ocoisicu communi quacLATO BG, ManCC F HIF rectal   quale rectangulo
PROPOSITIO CCII
B CD, id est quadrato C I. Ouoderac demonstrandum.
IEdempolitis:
Dico FI, OII, LF lineas proportionales este.
Demonstratio.
Vonam L. F linea divisa est bitariam in C e non bitariam in P, rectanoulum
LF PF vna cum quadraco YC, id estrna cum rectanoulo. BD, aGualC c qua-
deaco. GF, id esta rectangulo CB D id est quadraco BC. V2 cum rectangulo BCD 2 Ibid.
id est cum quadraro GI; dempro isitur communi quadraco TC; anet F IF rC-
ctangulum aequale quadraco BC id eA quadraco FI C. proporrionales itaque lunE
FI, CH IF. Quod erat demonstrandum.
LNNOStTIO COML
Seo super A BC patAVOIA AXC AC X-
Aquan lateecto delcriptus lemicir-
culuS AFF, Sumpeaque AD aequali AF,
ducacur ordinarim quaenis BF lecans
aRem AF in C, occurrens circulo in F
IHNOAREUEGS AB, AF.
DicoD C ad DA rationem habere
duplicatam eius quam habec AB ad AF.
Demonstratio
Ventam AF quaatatum aquale elt quadra-
ris FC, AC id est rectangulo D AC recte
AC, AF, D A continux sune proportionales:
sed _ AC, AB, CD Tunc in b concinua ratione;
igitur cum AC prima verique scrici commu-
nis sE, D C ad D A, cerria ad certiam, in dupli-
cara est racione c AB ad AF, secundx ad sC- C)
cundam. Ouoderac demonstrandum.

## Folio 450 — 1815201908:0507
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000507.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
e A R A BO L A:
PROPOSITIO CCIV.
Arabolam ABC subrendat recta A C normalis ad dianieerum BD:
turque FL Puralcta spit AC, de lD linex ponantur x quidiltances F. D,
occurcenres parabolae in C, ellipsi vel semicirculo in H, F1 linea inl, e
ip(I AC in D.
Dico DE, DHI, D Ilineas esse continue proportionales.
Demonstratio.
Emittatur ex F diame
TeF FR, ICCAnS AC li-
neam in R. VE AKC cC-
ctangulum ad rectanguluin
ADC, AC FR cst ad =F. D,
sed vi AK C rectangulum
ad rectangulum ADC, AC
FK quadracum quoque elt
ad quadtarum HID, igieur
ve FK linca est ad lincam
F. D, SC quadratum F K est
2d quadracum FID; recta
igicue FR, Id eA ID, ad BD.
duplicacam habet racio-
nem ejus; quam habet II
adFTD : quATEDF, DII,
DElinea in concinua Cune
analosia. Ouod crac de-
monstrandum.
SupeF AC vero re axe describatur lemiellivsis vel semicirculus AP.
GC occurrens parabolx in F _ C, vel eandem contingens in B, duca:
LACOtOSITIOCEN
Anencelecunda Fgura, ducatur BC, occurrens ID lineis in L. L;
Diot ad L aupilcata habere laltone ciuo Gllat ua
2+7. hwins.
bCETL ad FID.
Demonpratio.
667. huius. () Voniam eam +D, BTL, TE linex, quam FD, CFID, ED in continua lnE
204. bn. looia, ex ID prima verique serici ck communis, racio IF ad F D, WIIa
d27. De u celm, C CL LL. al LFD, L aeta. Quoderat
propressioni demonctrandum.
seo6 o oroir 2sraeieo Eo E 2Ehas

## Folio 451 — 1815201908:0508
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000508.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
D.
lI
1C2.
me.
C II.
ren
lum
D;
lum
AC
eet
icuE
aM
et
ea
D.
0.
D
AC
c.
2.
P A R ABOL A.
PROPOSTTIO CCK
NInC ABC cmpleos vel circuli diamett contugat AC, BD; du-
Oetaque quanis C. F parallela AC, secanre BD productam in F, RanE
ED, BD, CD continue, provorcionaless descriptaguc per ACC pun-
cta, parabola, Culus diamerer CD, P0-
naneur linex quocelinque FHI paralle-
la L B, seccances emplim in I, parabo-
DICOFH, IE, LH lineas eAsC PrO
portionales.
Demonstratio.
(VE AEI C rectangulum ad rectangulum
ADC, SIC FIK linca ad lineam DC
a III quadracum ad quadracum BD; igi-
cuE FTK linca ad lincam D C duplicacaha-
becrationem eius, quam habec PFI linca ad
lincam BD. inde cam E D, BD, CD pO-
Sicione Encproporrionales, es ED, FHI pri
meincer se xequales, sic aurem d racio DC
ad K FI, cerrie adcerciam; duplicaca racionis
DB 2d HII; secundae ad secundam; crunt
FH TF KH in concinua analoxia. Quod
erac demonstrandum.
PR OPOSITTO CCVII
NTemicirculo AB C decussene sese orthiogonaMet II DMaeM auX
LAC, BD, quarum alcera B D bitariam in F divisa, delCrIDAEUT PEF A, L3
C parabola, cuius axis E. D, ductaq diametro F C, quae lemicirculooc
curratin H, Ponatur HIC.
Dico F C ad C. C. duplicacam habere rationem eius, quam habet H1C
ad HC.
Noniam AC dupla elt BD, ec illa du-
LplaFD, reCtX AC, BD, ED pTODOF.
cionales tunr. estaurem F. D ad FC, in du-
plicaca racione DB ad GTI, cum sIC vE
AD C rectangulum ad rectangulum AC C,
id est BD quadcatum ad quadeatum HC;
rectxe ivicur CFo bHEr, AC in concinua
Tunc analogia, sed ee AC, IIC, CC c linex
proporrionales sunc; igicur FC ad GC, certia ad rerciam, auplicatam  HaBex sionibus.
rationem cius, quam haber HC 2d HIC, secunda ad secundam. Ouod erat de-moncu
montrandum.
60051210CC
ma
onibus
lam in IL, _ AC lineam in FI.
monsoraio.
ocresiont
atabolas aequales ABC, OL. L MIuelSC Ad CMm axem AD, qui x-
qualis sit lateri recto consticuras, conrinsancin a  , lne bt,
HIC: d

## Folio 452 — 1815201908:0509
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000509.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
D AR A BO L A
HIC: _ G F quidem parabola D L F, occuIat in F, FI C vero parabola
ABC in C; crecti(que ex C _ F, diametris qua L e, CII lineis occur-
ranc im C, _ II, ducatur quavis LIE, paralletaz , lecans parabolas in
B _ E, rectas C C, HIF in I_ IE, axem AD I L. dein luPET A D vE
diarmetro, de scribatur Lemicirculus AMD, OCCurrenS PR linex In NI.
Dico LL. Mt rectangulum aquari rectangut ELB.
Demonstratio.
Oala 22 dGllatio cl la
ncertrecto, linca LLC
icem AMI, LB, ITCM MD, LF
aguatestu. eclat Muisirur
AMD aquale elt rcclansulo
E. L. B: Ccd e AMD rectanou.
loquoque ct aquale rectangu.
um ADM L, La CA LL. MirC
PROPOSITIO BOIM
ctangula isitur IL DE, BP F aequalia CunE.
eer ele
enta.
Ex ele
Ildem politis:
Sicorectangulum II. BM ae quari rectanguto BL. F. R.
Demonstratio
roniam LL M rectangulum aequale est rectanouto L. L B, vE YE ad a L F, id
LeA L R ad L F, sIC L B est ad I M: _E permutando VE L R ad F B, sICFF.
Sulum BI LL D aGae en Cclatalo B L. F. R. Duod cracdemonstrandum.
aEBCX.
ex A, L,D puncta empS aelcribatur, cuiusaxis (IC AD. du-
cacurquerecta quaeuis L.  Patalletd BL, occurrens parabolis in R et L,
axi AD in MI, ellip_M IN, diametrO CH in O.
DicOLEMIL reccas Suum aequari rectangulo OMN.
Deorsranto.
mencis. CA ad LM: e F. K reliquum 2dMB, ve T. K ad I. B, id est IY. ad P. B: b rectan-
IIdem poltis qua prius: HaE B C F rectangulo aequale rectangulum
eur TO,AIN VE TC
ad quadratum NM
AMD: rectangulu igIEuF AOD
dd AMD rectangulum, rationem
Voniam AD axis est ellipICOS.
in ponun-
dratum
AGL
_ ad illam ordins
rectangulum est ad rectangulum
2
habet duplicacaM: LC, 20 N H
id est rectanguli FTCiTad d re
Excle
meneis.
et
OMN: _ quia rario rectansuli A C, V, Aa AND rectanoulum, com
polica elt exratione AC: ad c AM, id cA ex duplicacatlatione BC Id RM, d ex
tuius. ED ad M D, id est ex duplicara rarione CF. ad M L, LaLI A C D TectanGUH al
AMD rectansulum quoque duplieaca A euS, quam habet id C L. teclalisulum ad
ectam.
dE rse
atete e t e   et u te t e te e te ete e t  te e ete et   e a e aete s te st te te te t et e e e e  tut u  e  et  e te t te e     u e  t  te e l   t pa st titi se

## Folio 453 — 1815201908:0510
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000510.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
Dola
ECUF.
d
1.
EI2.
CD.
L.D
ut
alo
ABU.
ABII.
lire.
id
EL
an-
im.
im
Iu.
L A
P A R A BC
EeCtanO KML L. IBICE vE H C F reclanoulum, ad rectaneulum OMN, bc
BCF. rectangulum ad rectangulum KM L: e permucando ve HIC Trectangulum
ad rectangulum BCF, siC OM N rectangulum eA ad rectangUlUI RHL; Scd
EtanSuta INCeI LC aGUanCUI. Cuodcrac demontra.
eROPOS1YF CC+I
VECenE AB Cemicirculum orrHoSonalirer diamerri dux AC, BD:
Ddelerpas Per A, B, C, Parabola, curusaxis B , ducantur rectae quor-
cunque F. F, parallela AC, occurrences circulo in F. de F, parabole in 67
de HI, axi veroin I.
Dico F. CF rectangulum esse ad rectangulum L. Cti, ve BlD rectan-
sulum ad rectangulum BID.
FTOT, BC E rectangula per hypochesim aqualia LIIMEigIEUE _E OMNY, RML rC-
Demonstratio.
DOnacur AB, CEeaS P Flineas
In R. DE BK A rectansulu
2d rectangulum BK A, SC
EKF a rectangulum est ad Fe-
ctangulum PK F. sCd vEBR A
rectangulum ad rectangulum
BR A, SC GR EI B rectangulu
estad rectangulum CKFIi igi-
TUFVE FK F rectatioulum est ad
rectangulum P R L, AIC O RII
rectangulum est ad rectangu,
lum GKTI. residuum isITUEP. CF rectangulum, et AA FCCLAHSIIIUIIM L C F, Vt
FRF rectangulum ad rectangulum F. K F, id est rectangulum B K A 2d rectanou-
lum BK A, id est rectansulum BID ad rectangulum BID. Duod erat demon-
Arandum.
EROPOSITIO CEXI.
EcentABC lemCuu orthogonaliter aaeti aua AL, BV: de
L (criptag: Pet A a B parabola cuius axis BO, delcribaCUE _E AIECTA PEF
B _ C, hâbensaxem. D C _ vertice C ducaturq linea F. F parallela AC
occuriens circulo in E. ee F, parabolisin C, ec tI, axi BD in I, et AB ium-
etx in IE. 1101
Dico EI quadracii esse ad quadrarui C. I, ve I Hx linea est ad lineam IK.
Demonstrato.
Tontam tam AV L
Llu, quam DC, 21
FTI Proporcionales TunE, de
AD, CD veriusque serici pri-
ma xquales, rario HI ad IR,
certia adcerriam, dupicata est rW 
rationis Ll ad IC, 1a CaL1
ad IC secundae ad secundam.
isitur ve ITF linea ad lineam
2
vorii
moaaum
2c
.
nd 11Y. 1, 
eRO.
TK, AC F. I quadracum ad qua a
dracum GP. S.Guod erat, de. 25oB e .Xt. C1 33 .D i M 1231
tia
ti
1

## Folio 454 — 1815201908:0511
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000511.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
eAR ABOL1
eR OPOSTTIO COXIII.
s
sulo AIDI.
Emicirculum ABC, cuius diameter AC.
concingac in A linca AD; delcripraque per
A Parabola, cuius dals AC, & contingens AD,
Cumacur A E xqualts laceri recto; actaque perF.
ordinacim P. F, ducdcur in parabola diameret
quxcunq; DO occurrens circulo in B _ 6, pa.
rabola in HI, _ LE ordinatim politx in I.
Dico BDO rectangulum, aequari rectan-
Demonstratio.
Veacur per FE ordinarim linca HT K: OHOMIAm AD
aca in A circulu concingie, rectangulum BDC
aequalc cAa quadraco AD, id est quadraco HK; Sca
EHIK quadracum cl xqua le B rectans ulO K A F, 10
AF per hypochelum aequalis elt laceri recto) rectangulum ixicur
DAabolasduas ABC, DB L ac CucCMarem BF policas, _ Cm-
seses seleincerius in Mlticelecor in H e A diameter quaecun-
que CHs, iunetilque AB, LLB ducacur ordinarim linca LI, Cccans pa-
rabolas in, lK, L, ex M, rectas AB, HB, AH in C, N, O, e axem BF
in P.
DicoLL. K rectangulum xquari rectangulo C PNO.
Demonstratio.
Ectangulum O PN, xequale clC
LLc quadearo IP. Scd IP quadra-
cum est x quale quadraco L P. id elt
d rectanculo sFO cona cumrectan.
sulo IE. K redtangulum isicur C+ P D
xequalc eArectangulis CPO, IL. R
eAaurem C PM rectansulum, aequa
le rectangulis CPO, FGPNO.
dempeoixitur communi rectateo C PO, manec II. K rectangulum xquale rC.
clateulo  PHC. uod erar demonatrandum.
PROP651110C
BDC aequale est rectangulo HD L. Uouerat demonstrandum.
LROPOSITIO CCZIV.
CA HDYC
+2. bni
ix ole
meneir.
Acam lineam AB divilam in C, E, I, Ds denuo ita pareiriin F. VE Fe-
ctangulum AFC Cic 2d ca B  L Heu Gladestum
B1. :2
Constructio.
AE. C quauculum DB.
15L1
Eatis AC, BDbisectis in L. E L. NI, erise perpendidulares L. P. NV R aequaleS
Se, _ per puncca A, I, C, _ D. R, I ACCtBAnCI PalSBBI NV LMBIMMCHOOC-
CMB.SLI BC o
currences in C. Tum ex c dux C E. normales ad A B. Dico FaCcumL IUIBWH. ISIMCIM
B5.
 ti  e aii ut sits ete  e et  e e uet e u e e si s  pe u sue t et se e te te e ete t ti ete p  e  e e  t t e t t ute  i     1te  t  e e t s 

## Folio 455 — 1815201908:0512
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000512.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
AC,
AD,
per L.
peret
d. PA.
tan.
AD
DB
5 led
E, Id
vicur
in.
1M-
a-
F
est
ra-
est.
In.
i
12
D.
1C.
PA R A F
Demonstratio.
Vngc punaa T,R, et F C peodi
aa in O, Per GduC FMPHI Paral
delam ad KB X IK. Duomam eam
TL, OF, KN, quamTK, FET sune
parallele, etic quadrarii 1O ad qua-
dratum OK vE quadracum MC
2d PC quadracum hoc Cst VE FC
quadracum ad CFT quadricumide-
inde: A C quadracum est ad qua
dracum F C vE L T ad MIL, hoc cs
vE NR ad PK:
hoc est re quadea-
cum DB ad quadrarum GFI. erso permucal AC quadratiim est ad quadraciim
DB, re qua deacum F. C ad quadracum CFI, hoc elt (Ielic ance ostendi) ve quadra- Bigrtiu
cum IO ad quadeacum OR. Aequi brectangulum AL C elt adrecan BL. D inde
requadracum IO ad quadracum OK, Ergocciam redtanoulum A FC cA ad re
ctangulum B E. D re quadearum AC ad quadrarum DB. Pacrum ixicur est quod
ecedacur.
PROBOSITIO CCKII
Acam rectam AB diuilam in C, icerum lecare in D; verecransi.
lum BDC aqualc sic quadrato D A.
ta
rium.
in
nini
Constructio  demonstratio.
quod pericur.
males, quarum vna P. C SIC magnI.
cudinis placile, alceta H intinca
Deinde per puncta C, G, B, delcri-
bacur parabola axem habens P. C, d ∞
Occutrens ipA DFT in FI. Rurcum
perpincia AHTL descripra incelli-
sacur parabola axem habens DFI.
poceruncaurem F C, D II axesesse
Parabolarum; cum ambx ex constru-
ctione rectas CB; F A ad angulos
recros bitariam secene. Ononismipicur ex Construcriohe AF, CE, F F. sunc con:
tinuxs colligitur ex 167. tiuius parabolam AFIF cransre per Cveriicem alterius
parabole. Ergo pet eandem illam propolicionem BD, FD, CD Iunt continux. Ccd
FD, AD dequalessune ex construcrione, ergo BD, D A. CD lunc concinux: cr.
Boreccansulum BD C aequarur quadraro D A. Quod eractacien dumo
ZIleca CB in F, de Hac ve A F. 2d
CF, ica C F, ad F F. deindc A F
eriam bileca in D. Dico Faccum
ex Pacteus F. dc D etBC. AB1.
R O.
A     tet t tette a e t t  t    e t. . s a.  . ue
i
q i e . 

## Folio 456 — 1815201908:0513
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000513.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
A R A BOL
PROPOSITIO CCXVII.
InE dix parabolae aequales ABC, BC D ad axes palatets constieu-
Dta FB, C F, per apices muruos rranleuntes; ex. B (c. ordinacim dueta
OpOrceat C H parallelam BF ponere, quE diuidatur a reCtA BL, sC-
cundum dacamrationem Iad K.
Constructio e demonstrum
1 31e 53 2
191
Cm ett ad Tectam M H vereeta L ad R. poluimus isicur, et c. Qud a laen
duri.
Tuidacur BD linea secundum rationem quadrari F, ad K quadrarum, in pun-
cto L: crigatur deinde P FI, quae aequidisterasi CF, occurracq; seccioni in FI. 8
per TIponatue GTY Parallela BD, ICCANS BF in PUINCTO M. Dico rectat (+LL
esse sectamin nI decundum rarionem I adR. crigatur ex  parallela aa H V. Oc-
1267 hu. Currens ipl C  in P. Ouoniam reccangulum TTMO aquaTUE a quadraTO MN.
ius.
CFANE MII, MNV, MO concinux. Ergo quadracum MFI ad quadrarum MN.
Ve MHL ad MIO; hoc CADEMII ad HIP, hoc cA ve BP ad P D, hoc cA ve qua
dratum R au quadratum I; Ced quadracum M Nx quatur quadrato OMI; eroo qua-
dracum MII es ad guaoracum CrMt ve quadracum R ad l. _ nuercendo crgo
 1E
1E EEI:. C. C.
 2C5
o  . BEC
1e3et 3Ai
12r3IS en
: s
1.3.
D iisiE.
3. 123113 . C.
v...t IIF. ciral.r)CC
3t. LSIE C: tCtiC t E 13SH 234 g. 919c
3. . L1 1I. 2. Et.
  1. 2 D .13Bis.  31.C . A il
o A E extirsis ta t  ta .

## Folio 457 — 1815201908:0514
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000514.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
ticu.
Iver
6e
pUn.
TI. 8
OFF
Oc.
AV.
AN.
Qua-
Qua-
etgo
cien.
Sapius parabolam quad al.
eR OPOSITIO CCZMHII.
RECenEABC Parabolam diamerri dux aequales BD, F. F: policisque
Dper D _ F, ordinarim lineis A C, C HI, iunSANEUE ABC, CEH.
Dico ABC, C P H criangula esc inter le aequalia.
Demonstratio.
Vnctis, G, Ci PONAEuF A FT linca,
quam in R de I secene demilx
ex C _ C diameeri: illas aucem leL
Centhrchogonalitex in L, AI, N, O
reCtA AM L, IION: _ AL qui-
dem occurrac BD lince in 9, FIN
vero ip( P F in S; Faccisque PO.
SR aequalibus, ipsS BD, F F iun-
BANET APL, HTR N. quoniam
isitur xqua les sune diametri BD, P. F, _ AD C, OF H ad illas ordinarim policx.
iunetea CC, AHI sinc TR aequidistane: sed de CK, C Laldmerri parallele CUINC, p2. a FX CoroII
rallelogrammum igicur est GC LK _ OK, C I linex aequales. est aurem vE C K ad7
TC sic AK Hrectangulum ad b rectangulum A IFT, rectanBNIR ISIEUT ARIL. AL HL CEL 
aequalialune; ideoque e c x quales lincE AK, H I, quia vero eA vE AK ad R P, siC mencir.
AM ad ML, e re HL ad TK, hC HO ad ON, isicurvE AM ad NL, ACHO
adON: aequales aucem sunc linea N O M L (quia AML, HIO N orchiosongles
tunc ex constructione, ad CMI, C L, aequidistantes, adeoque MO parallelogeati-
mum est) rectRISITE AM, HIO, adeoque TOTA AL, HN xqualessunt: se d  PO
RS per constructionem aequalessune, criansula ixirur alLLCAid elt ABC,
OFH aequalta sunc. Ouoderat demontrandum.
Est hec Archimedis, alicer demonstraca.
AItommPROPOSITIO CCLIX
Ddrabolam ABC, concin-
Lsenc duxguauis AD, CD
conueniencesin D. Secete illas
in C _ H recta quaedam LF3.
coneinsens quoque parabolam
in Boccurrens AF, CF diame.
erisin F ee F, demictaacur au-
rem ex C X HI diamerri GI,
HIK, Occurrentes AC in ldR,
ei sieeit 3eS
Dico rectam LK,. dimidium este A C.
huius
17 huin
tmm
lai
Demon
ii
11

## Folio 458 — 1815201908:0515
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000515.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
18. huius.
acMomranaum.
huirs.
imiliter aBIL a Guas ALF.
CFI ixicur dimidium eAt eocius P F
eede hcte at dit
Aenr, erir AC in I e K, divila, vt
ti t auita cE iM C∞ HI: WditLa
La alurctula elt a C. ece
eR OPOSITIO CCXZ.
IIdem positis, penarur per B diameterL. NI.
Dico esse ve B ad BHI, (ic L. B ad BM.
Demonstratio.
Voniam A L est Contingens, L. B cA ad BMI, veb AM ad MC, hoc est F B
Lad BF. ICd ve F B ad BF, Sc C B cA ad BFT, igicur ve C B ad BF, ACL, B
eAt ad BM. Ouod erac demonstrandum.
PROPOSITTO. CCKKI.
AdeMMABEMECAgUTA, dUCAHEUTFECLX M C, MFT.
 Dico MD esse parallelogrammum.
Demonstratio.
S Sc enim ve HB ad BG, liCM B ad BL; Per PExcedenEem et permucan-
dove HB ad MB, sic CB ad B L: sunc aucem anguli ad B laceribus proportio-
halibus concenci xequales, criangula isitur MB FI, ETB L c Similia CunC: _C M FTd pa.
rallela EL: eodem modoh R FF producatur donec cum AD convenise, octendi-
cur CM aequidiltare ipsi DHI. pacalleloxrammum isicur est DM. Quodfuic de-
monctrandum.
PROPOSITIO CCXZII.
Ademmanence tgura, ducantur AB, BC.
Dicorriansulum AB C xqualc ese para llelOSFAMMONI D.
Demonstratio.
IStC DEM Clangulum criangulo AB M aequale. similicer crianioulum B FM
sequale BM C criansulo; isicur rocum criangulum P. M P cori criangulO ABC
CAxqualc. CA aucem F. M F criangulum duplum erianguli OMI FI, (quia balIS E F
ex 2rg. duplacestbaleos C FI.) isirur M D paralleloerammo xquale eAt criangulum ABC.
Ouodtuic demonstrandum.
eR OP OSITIO CCXXILI.
AdaM manente houras aemicratur ex D diameter DVI. (10
Dicolincas CI, FIV simul Sumpras, xquari rectae D NsdiC
394. hrvius.
E3
nei
Ex
pentis.
B0
Demonstratio.
iam AC, B O sectionemi cd.
recta F C a Gqualis cB
equidi
Demon.
( e i u    1  . p   .  . Au  .   A  u H .       M     titu   t          a   t put 

## Folio 459 — 1815201908:0516
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000516.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
co.
est
IF.
F
di
ed
etat
D
td
Fan.
tio.
P2.
ndi-
den
EII
BC
Demonstrata.
P A R A BOL
Veatur HFO parallela AC,OC.
rrens ND linca in O. Ouo-
niam INT; CI, aequidistane lineis
1) O, TTO: est aucem e G MI a Requa-
lis e Parallela D HI. criangula FC NI
cuddedqca
aequalia lanc: Ck aucem IIK _9
lisON. Ixirur ∞I, IIK simul sum
pere, lunc aequaleS HINCX DN.
PROPOSITIO CCMAII.
IEad AB C parabolx axem BD ordinatini dueta AC, acta que per A
LD_ C, continsentes conveniant in F. Ponacur auten de FC conrinoens
in B, qua AC, C F lineas secet in F de C, cum rectae detmirraneur FI
CH axixquidistantes.
Dicocraperium F LIE O, xquale esserrianBulo A F D.
ul
Demonstrario.
DOnatuE FF. paraHlelA AC.
IEIBSANEUEqE L A, FK.
Ouomam F L aequidistaE AC,
de LK est b a qualis AD, dimi:
dioc scilicee AC, triangula
ALD, IF R equalia CunE. RuF -
luni cum in criangulis PRC.
AV. L, taM baseSdR G, F. T
quam alcicuclines CTR, AD ∞
a
quales sine, Eriangula quDque FK C, A P. L. lune Met D aequalia: crapexium igitue
LIK C aequale eseriansulo AF. D. Ouod erac demonstrandum.
PR OPOSITIO CCZXV.
a cunque, ponatur aucem per A concin-
sens AD, coueniens cum C D diamerro in
D: Ponacur quoque diameter queuis BC.
occurres AD linex in F. IUnOanEuEG; AB.
Dicocrianoulum A F B ad crianoulum
AD Ccriplicacam habereracionem linea
AF ad AB.
A.O
Darabolam ABC TubFendaEA C que-
Demonstrario.
LMMIa CX RLAIAMCETO A L; AUICAMIOENHEK
FreltG CIL, BThormales ipli A D. ratio A F B
crianguli ad erlangulum AD C compolcd elt ex
racione A F ad AD, e ex Fratione IB ad FIC)
sed vetBad FTC, sic FB ad CD, id est AR ad
AE;igicur racioerianguli AF B ad AD C erIRM:
eulum compolica eA ex racione AL ad AD; e
exrarione AR ad AP est auceratio AR ad A B
Mmm 2
Bll lPacallela comcinsenciaalalis
v
n
2t
ea
111

## Folio 460 — 1815201908:0517
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000517.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
460
R A BO+
A
duplicata rarionis RB ad F C, id est A F 2d AV, VGETa F K. D F paraIICIOBTAMMTA
Cunc) igicureriangulum A F B ad ADC, itiangulum; eriplicacam habecrationem
eius, quam habec AFi ad AB. Quodcta dontrandum.
PR O POSTTIOCC
Coroll. 
a5.
e. 83L e
CXXVI.
Acabola AB C. diametrum BD, Sccet in D recta quaeuis AC; po.
cicaque ordinarim C. F, iungantur AB, BC.
ete etaecuttta letltate
sulum, duplicatam habererationem. lnex
AD ad DC.  et esit ct
Demonstratio.
521d tC t. CFB FRB t BBCB
tur ex A et C a An CAl normales
ad diameerum BP. iungAnCuEGuE AF. VE LL
Ac GD cstad DHL, hoc est A C ad C LLtotE
ad DC, sic a BD est ad BF: sed vE AD est ad DC.
racio trianguli ABD ad BC F criangulum, com
ve BD ad BE, sIC AG est ad C FI. est aurem
Pelica exracione BD ad BH, c A6 adCFI: igi-
cur racio crianguli ABD ad BC P criangulum
duplicaca estrationis AD ad DC. Quoderac de-
monstrandum.
31F. 2183B te:
esD. Fit ci
PROPOSTTIO CCXXVIEIC
Aex parabolae cerminara maximum inscribere criangulum.
Constructio es demonstratio.
1(1 1. C. 116. 1S11D1
B 47. B1-
i
6.
DArabolam ABC subcendat guxeuis AC, qua diuisa bitariam in D, ponatur dia.
mecet BD. de iungantur AB, C B. Mocansurum ABCCM Guxlicum. eri-
satur enim quaenis alia C F, Parallela BD diametro: Ouoniam AD C rectanou.
lum ad A GC. b rectangulum cam racionem obtinee, quam DB a C+ F, isicur recta
DB, maior esrecta CF: ergo eciam criangulum AB C, maius criangulo AFC.
ucana eclal ddaatt Ldadeoale obdllut.
e LaEt
citadetalie etd Athele la esllalita Pahalteta talus Ve.tul
cilque De, leemo C cangoum Mctbacur ManMun
AL C, ponalul qe L F, a quidittano A B, et iunganCUE A FD.
Dico
ao  e e is  uue e 1 1 e tet e e t  a e t  e es e  s  e  ute   e  pa ii se e e  e    t   1 t         e  l pe s e 1s

## Folio 461 — 1815201908:0518
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000518.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
D
C.
tem
DM.
si
um
49.
c0
co inlcribipollune. e concra li criangula AFD, BLC. tuerine maxima,
dico FF aquidistare AB.
Demonstratio.
ronium AB, CD. FD aquidi
LstanE, recta LI a XQUaTUF RF,
adeoquecriangula F AI, F ID aequa-
lia sunc criangulis, RBP, RF. C: l
igitur AFD criarisulum non sIC
maximum, sic aliud ACD, maius
triangulo AFD: Policaque CH P2
rallela AB, iurgantur BHL C: octen-
decur veprius, criangulum BIIC, X- 2
quari criangulo AGD: sed ACD)
maius est criangulo AFD, id eA ve
octendi, B F C, criangulum isitur B FFC maius quoque esteriangulo D F C: quod
est concra hypochelm. non ixicur AOD criangulum mantaum cM, sed AFD.
Duoderat primum.
Sinciam A F D, B F. C triangulamaxima, dico iunetam E dequidistare AB: GIM
vero; ponatur FHI aequidictans AB, iungancurque BFIC: celangulum igitur BFIC
maximum est eorum quae BF C seomento inlcribi possune, adeoque d maius BF. C
criangulo, quod abCurdum: non isitur P II aequidiltar AB, sed L L. uod cracde
monstrandum.
Ouod si A B contingat parabolam,
eadem inferri portune qua prius, cadem
quo prorlus est demonstracio.
rectir
PROPOSITIO CCXXIXS
in
Seo ABC parabolae inscri-
spcum erianculum maximum
ABC.
Dico illudmaius elle dimidio pa-
rabolae AB C. vt. 1ur
Demonstratio.
Dersciatur rectangulum ACF; manifestum
idieur est P C parallelogrammum maius eNe p2-
Fabola AB C. igieur e AB C criangulum, dimi-
dium scilicee parallelogrammi P C maius est dimi-
dio parabolae ABC. Ouod erac demonstrandum.
PROPOSTTIO COXKAS
TIcad ABC parabolae diamerrum AB, polIra OEdinatim C. D; IuL
aAtaq AC diuisâ in P bitariam, ponacur diameter B F iunganeurque
AB, CB.
Dico CA D crianeulum quadruplum esse rriansuli ABC.
B2
D A R A B O L A
Dico AF D criangulum, illorum esse marimum quae AFD Termen-
MA 3
Demon-
              a     1    e e   d      1   a  5 s ee e

## Folio 462 — 1815201908:0519
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000519.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
n17. bu
moiostratio.
acUEPEE A continseHS A R, Occurrens B F
Llinex in F, qua producta secet D C in C. quo-
niam ixicur xequidistANE AF, CD, VE CF ad F A
sic GF est ad FF. ponicur aurem AC in Libita
riam divila, igieur _ P. F aequalis est L G de FAF
criangulum aequale criangulo CFC: Ccd F AF
triansulo aequale est criangulum C B A. igicue e
C F Gcriangulum xequale est eriangulo AB C. quia
F B, B F linex aequales lunc: cst autem C AD qua-
8
druplum crianouli C F C: quia AD dupla est FC
ED dupla C. C isicur d quacruplum ca
guli ABC. Quod erat demonarandum.
eROPOSITIO, CCLLL
Sco ABC parabolae inscriprum eriangulum maximum ABC: in-
eribantur aurem ec reliduis legmencis criangula maxima: d hoc
Temperhat.
Dicorori criangulorum soriei equalem esse parabolam ABC.
Demonstratio.
Tenimnon sic aequalis, maiorigi
cur est vol minor. (c primum pa-
rabola maior coca criangulotum
Cerie, ec exceltus ponacur quanci-
eas C. quoniam igicur criangulum
ABC maximum estillorum, qua
parabola inscribi possune, maius
bquogue illud crie dimidio paca-
bolo cui inscripeum est. Cmilicee
triangularuo AV B, BFC maio
ra lune dimidiis seomentorum qui-
bos inscribuncur. quod cum sinc
termino concinuari possic, relin-
quetur ex cparabolaquancicas, da-
taminor, eroo deminorquanticare Ci, ergoilla exceslusnon est, quo parabola crian-
sulorum seriem excedir: ergo parabola maior non estrora criangulorum serie.
Duod vero neque minor illâ sic, manitestum est; cum eriangulorum leries, exhy-
Pochesi semper inera parabolam continuerur, ac proinde series illa quancum cunque
aucta, plurium criangulorum addicione, semper eamen parsmaneae parabolx: cum
ipicur seric crianguloru, nec maior, nec minor sic parabola, xequalis ve sirnecesse est.
P R OPOSITIO CCXZK
ode valadblam aderiangulum maximum AB C. cam h2.
bere proporcionem quam quacuor aderia.
Demonstratio.
b229. b1
docimot
Adem POlTa AguTZ:
dFX230.
Klansulum amaximum AB C, quadruplum est criangulorum maximori A P. B,
ins.
BF C quae residuis inscribuneur segmencis; e illa rurlum simul sumpes, quadeu-
Pla criangulorum reliduislesmeneis inleripeorum. aeque ica sinc cermino proceden-
do, cum ablaca semper quadrupla snc crianxulorum, qux reliduis inscribuntur se-
Bmencis,
e s eoos oesraineo oa e s  en

## Folio 463 — 1815201908:0520
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000520.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
ebitu
: I.
ehor
Deigi
nPa.
otum
anci-
olum
quae
naius
para.
ilicer
naio.
aqul.
sinC
cclin.
5, d4
rian.
xhy.
nqui
cum
ect
iese
P AR AB C
L 1
463
mentis, cora crianguloru tes, id cAt 2 parabola AB C, est ad criangulu ABC.
primum leciettermunum, reglaluo adctta. Uoatui demonttranaM.
Corollarium primum.
Inc manifectum el ceransulum maximum AB C, eripsum else resattorum le-
omencorum AC. B, B F C. cum enim coca parabola, ad criangulum maximum
inlccCum, (IC VE quaTUIOE AdETIA; PATCEIPLII ETIAHSULUMI, EKCS GUATEASCOMEinerCPA-
rabolae; adeoque er residuorum elle rriplum.
Corollarium secundum.
EquITIE SCCundOLESENEL AFB, BF C cNcincer se equalia: criangula enim
ABD, BD C linsitca lingulorum tripla lunes e incer sc xqualia.
PROPOSITIO CCXRKIS
IE ad AB C parabeta diarmerrum BD, ordinatim applicata AC,
Aisqueper A_ C contingentibus, qua cum diametro DD conue
nianein E, ponacur per B COnTInSCNS, quX AF, C E Aneis OcCuItal in
DicO FEC triangulum, maius esse dimidio ssiLa COMCAUE AFC B A1
Demonsrati.
matus quoque ell. Ouod erac demonstrandum.
Corollarium primum.
Fi X ance demonstratis Faclle deducicur criangulum F P. C, maximum ese illorum,
ux inera erians lm A F. C ab alia quanis concinsence auterri poAumE.
Corollarium secundum.
(Equicur quoque, ABC. criangulum, duplum esse criangoli F. P. C; est enim P. D d vbid
S
TVnsantuE ABC. quoniam AF. parabolam
concingit, e AC ordinacim ponieur ad BD,
cF D, AB, C F, in B, F, C punctis bissecx SUnE:
quare F B F, AB F criangula, icCM V B F, F BC;
ac proinde EOTa F F C, ABP a qualia lunE. Scc
AF. Bcriangulum maius est dimidio figure mixri
lincx ABC F A, cum A B lacuS CadaFinETa P a-
tabblam convexam, cllal clum isicur LP. C illo
el.le 1
delor, CsBSEIAN
a 231. ha-
ins.
B87. De
srverestoni
odupla B. B. _ A C dupla F C
EHOEIOSELLBML CGXXXIVop si n0n 2it123
Arabolum ABC cuius diameter AD Com  Co
licerit. Ata ENIER B1OS SeGWIII
nexoccurrarin, ma ex l alaetet sB, a pel  Ponatul con-
tingens, ua AF, F C lineis occurrarin H _ l.
Dico criansulum A F F, quadcuplum ese crianguli HIF 1.
111 B5. 1O(75.1I P (5
veniens cum diamerro in L, actaque per A contingente, qua C. F. li-
Demon.

## Folio 464 — 1815201908:0521
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000521.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
17. bouius.
19. truoins.
c 15. tuius.
d Exe
1
.3 toi
P AR ABO
emonstratio
DOnaEuF ReCtA A C, OCCUETENS F B productx in C.
quoniam FC continsens cA, ex CD ordinatim
applicara ad diamerrum AD, 2 recta E A, AD, adco.
que _F F, F C aqualessun: est aurem vE F, Fad F C.
sic AG ad GC, (cum FG, F D diameeri b aequidi.
ACnE;) linea igituE A C in C Bisfecta est, adeoque
TIT cContingene parallela. vnde F C, F A linex in B
_ II, bifariam quoque sunc diuila, d A F C criangu-
lum d quadruplum crianguli FIIL: CA aUECM F AF,
aequale criansulo PAC, quia FF, CF linex aequales
sunc, ixicur et E AF, quadcuplum est crianguli FHI L.
Duod erar demonstrandum.
PROPOSITIO CCXZXV.
IIE ad AB C parabolx diametrum BB, or-
dinacim axplicata A C, Policilq Per A e C,
contingentibus quae diamerro B D occurranE
in E, ducatur per B, contingens, quae AF, C F. lincas lecer in FX C,
diamerri deinde ponantur F HI, CI; _ per HI & I, contingences L. IL, MN.
acque idem line termino conntue.
Dico figuram mixtilincam AF. C, B A, xqualem esserori criangulo.
Famleriei.
Amanstratio
Tenim non sic _ qualisi ma
Tor igicur vel minor ve sc
necesse est. Sic primum Agura
Mlacilinca moior triangulo
rum Cerie, excessu quancicatis
O. Ciangulum FPG maius
cest dimidio Agurae concaue
ALCB A; Emilicereriansula
T. FR MCN maiora Cytie di-
meliis mixcilineorum quibus
inscribuncur, ee id lempet ACt
imixtilinCO F AF C B A quan-
cicas data minor, ergo ex mi-
noc quancicace 
cessus non est, quomixtilineum A F C B A excedietriangulorum Ceriem: igieurnec
illud seric eora maius est. similicer ostendetur AF C. B A Eguram minorem quoque
non ese cora criangulorum seric. aequalis igicur velenecesse est. eiloc.
AB LuBNOA PROPOSITIO CCXX X p ucna
Adem MaBeM HB UCd.
Dicoparabolam concauam AE. C B ad criangulum F L. C, eam
proporrionem habere quam quacuor ad cria.
isicur per ablacionem illam
continuatam, relinguceur ex
Denton
Er. decimio
(            te   s tt  .  t1  A  1   t. st e  t A . e        .    1   1 s  1     1  A  1 1 t e    1 1. 1

## Folio 465 — 1815201908:0522
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000522.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
nB
Rein
FC
deo.
in B
eu
P
EC
aBF
C
N.
10-
2
ne
or2
10-
atis
ius
AuE
ula
di-
BuS
AE
am
X
D A R A BOL A
L. Demonstratio
Voniam F FB aaBGulum quadTUxIM A CH LIIALGUIOTUIM LFR, ALON, _ 
Cilla cursum sunus tutrpca, quadrupla illorum qua rensauis tiouris mixcilineis in-
Scribuncur, ex ica sine cermino procedendo, ablaca lemper quadcup la sune criangulo
rum reliduis figuris inleripeoru, cric per 87 librinoltri de progreslionibus rora crian-
sulorum series i d est concauum AF C B A, ad P P. C criangulum, ve quaruor ad eria
yod erac demonstrandum. (3 cuenitro ree
 oB D . .P EaCorollarium.
ICPAEOE FE. CI trianoutum criplum CACLCHdm AEBF A, CTBOC. est
tenim b R. C criangulum ad fixuram concauatu AB C P A, verria ad guacllor:
quare criangulum D. P Cn cresquarias conciner tisca ABC P A, adebde feliduo.
rumicriplum cAt r 9 bil: L
13: C
ilesne
s
B5
D ilo gia. K Dt D. S. L Lchil X X X V
P.s. TNEIB C.
DicoAEB parabolam conuexam auptam etie Agutae concallu
dulum FDC, sic parabola A F B ad figuram Concavat. Ica A L. B criansau SCorolt
daiplum estcrianeuli L.D Ciisicur e parabola AL B dupl et  a a A L B D. 215. huius.
eis
_FOSITIO CCLLAVIII
IEdem positis olvvaLr 3 L.
AE BDA.
nties cu Demonstratio, od
Plelalicacam concaue quam con-
vexxe parabolae, criatsula maxima
AF B, EDG. quonIaM IgICuE AF B
Parabora et ad crianSIILM AE B ve
b quaclor adrria: candetm aurem ha-
DCAE PropOrtiOnem ASUTa ConCaUX
CA L BD, ad criatigurum E D G, Cric vE
criacsa AL B ad parabolam con-
nexdu, HC LDC ertangulum ad Aigu.
rans aam AA BD: ec permu.
tando ve A B criangulum ad et
Duoderac demonstrandum.
23431
Demonstratio.
b
hN
Demalicer demonstrale.
Necribantur sermentis residuis tam parabola convexx, quam concaux, triangula
maxima AIH, F, R B, N F O, PC O. Duoniam criangulum AF B, c ablacum ex c 1id
crianetorum maximorum serie palabbe AL. B inleripeorum, illi aquaris ex fiou- 7 235. hu-
ram uacilineam AF BD H aguari roci scriangulorum maximorum serici figurx ins
illimleripcorum, parabla AL B,  dupla eAt sipura ipixcilinea AD B P. A. Q_Od popresioni
h85. D
guta AIE, F KB ablaca Cx residud Patabo supra atorum NFO. PC,O
provottione dupla, siuc cermino in veraese sd Pee. Concinuari, SNCEOcam E23L. hu-
erac demonutana.
N nR
ha
111I

## Folio 466 — 1815201908:0523
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000523.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
P AR A BOF
3
l.
Conslio e demonstratio. erclitoaen
DE ABC seomencum datim: duet aque diatiecto AD
ponatur ordinauum C D, agatur que per A ipR CD.
aequidistans A F, ocCurrens crectae ex C diametro in B:
cum F C dinila in F VE F C quaEEA ParS SIE F C, duca-
EUIFEK A Pet F linea RGOCCurrenS CD in C. dico
EA C trianoulum xquale eNe daco seomonto AB C.
Duoniam AEs C O linex aequidistane, vE C F ad1 FP.
sc OC est ad F A: Sed C F cerria pats eAt F R; ipieur
 CC, cerria pars est P A hoc est CD. OuarE _
CAC triangulum certia pars est crianguli C AD: est
aurem ABC scomencum aequalecerriea parci crianguli
CAD. iBIC d  A C crianigulo est aquale: datoisi.
1
praxi solui problema quo pecteu cu parabola, criansulum xquale extuberi–
R O P OS+ L+ O sCCX F 10C 5i. 
11
d et Et 
Darabolae terminaix cam
incer se Portiuneur ratio
nem quam criangula maxima
illis inseripea. El A R cns:
Demonstratio. 
Ine ABC, FFC parabolis teF-
minacis criangula maxima interi-
Dea ABC, F. FC. dico parabolaS
illam incer se habere racionem qua
criangula ivaxima. Triangulum
b AB C est ad AB C, pacabolam
verria ad quaruor: triangulu quo-
que P F G est ad parabolam F. PC,
vecria ad quatuor; igicuE VE ABC
criangulum ad parabolam ABC.
siC F. F Ccriangulum ad parabolam
EDC, _ permurando vE AB C crianeium ad criangulum L. FC, sIC AB C paca.
eROPOSLTIO COKZXIZ.
Ato scgmenco pataBocoansulum xquale exhibere. ss
lscest i
aitis
ecesic
10. (1 25. _d Ed 3 AB H t
1
1s ede ll
EX Coroit
tuino
cur scomeneo parabolico aequale criangulum exhibuimus; quod eracimperacum.
232. bu-
Corollarium.
Tinc pacecrriangulum C A D aequale esse parabolX ABCB; adeoque eadem
bola ad parabolam F. F C. Quod crac demonttrandum.
Cdblarium.
alticuamesi d  alticuaeStUCKIME d quales, erun incerle rebuleS.
Inc B dux parabolae habeane candem vet aequalem subrenlam, eruncilla incex
o      s u s s so tt s  c u  s  oos  u pa ssemoiso

## Folio 467 — 1815201908:0524
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000524.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
t
103-
c d
dem
eri.
a
10-
md
ter.
Cxi.
Olas
qua
un
2t
40
6
BC
P A R A BO L. A.
PROPOSITTO CCKLI.
DArabolam AB C secent dux quaenis parallelae AC, D F.. 1 (ie.
Dico A. BC parabolam ad D B F. parabolam esse in criplieata ra-
tiOnC AC adDF.
Demonstratio.
SOd CameteE BF ad quam ordinacim
DOLICA (INE AC, LF. ParabOla ABC ad
DBF Parabolam eam habectarionem, quam
eriansulum sub A C _ B F ad eriangulum (ub
DE. eE B C: Sed raciorrianguli sub A C _ BF,
ad criangulu sib D F _x B G est eriplicaca ra- D
tionis AC ad D F, quia compolica ex ratione
AC ad DL, de BF 2d BG, hocEs ex dupli-rG e
cata racione AC ad D P; isicut AB C parabola est ad parabolam D BB I cripli-.
caca rarione AC ad D L. Guod tuie demonstrandum. il tir. A.
P R O P OS ITIO NCCXLVI.
DAcabolam AB C contingat in B linca FB, COnuEmCHS CUM alaHIC
 ETO quacUnque AE in F, iunsaNEuLQ AB.
Dico fguram concauam BF A L B, duplam esse conuexa BF ACB.
en Demonstratio.
DOnacur ex B, ordinacim A C ad diametrum
A D. OuOnIaM BR CAt COLIHSCHS, CTIE AD,
AP linca aequales, adeoque ABD, ABF
criangula aequalia: est aurem AB D criangu-
lum criplum c segmenti BF ACB, igItUF ec
criansulu A B P eriplum eA Ccomenci BF AC+B.
relidua isicur Agura Concaua BF AF B dupla
CA CONLEKX BE A C B. Ouod crac demon-
strandum.
PR OPOSITIO, 
Incad ABC parabolx diamerrum AD, ordinac polIcX DC, GB:
unctisq; AB, eC ponatur per A ae quidistans ipli l C, Oecurrensere-
Atis et B ex C, diamerris in F _ F.
Dico esle M ABF criangulum ad criangulum AIC L due ABC ad
AC D criangulum, SIC AFIB F A figura concaua ad figuram AFL C L. A
Demonstratio.
E
II
TT ABC eriansutum a tatrgulum ACD, CC
AHIBlegmencum dadlesmcit LBC, tell
ra ad HSuram BC BCunc ATIBF duplum CIC
(eomenei AHIB, X AB CP duplum ABC; igitur
ve criangulum ABC ad ACD criangulum, sC
AHBF figura ad figuram ABCF. Ouod eratde
ohAtrandum.
VE ATIB ad ABC segmentum, (IC AHTBF figU.
Nn
D EX
hains
ecor
2
n
ha
2. ha-
i
ni

## Folio 468 — 1815201908:0525
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000525.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
e A R ABO
Corollarium.
AdeM POLTRABUFa SequitIF eNe vEC F parallelogrammum ad para lleloorammum
IE, hc A C, B parabolam ad pacabolam AD C: icem convexum AHB F ad
convexum ABC F.
A C: ducaNEUTGUCCMaLIIM BF, CD.
PROPOSITIO CCXLIV
DArabolam ABC cuius diamerer A C Secen vecun que linCX AP,
Dico spacium parabolicum F. BL. D, quadruplum esse spacii C ABC
Demonstratio.
Voniami parabola D A BC quadrupla est a segmenti ABC
CF AB parabeta qladrupla segmeci A B, parabOIAD ABC
est ad leomencum ABC re F. A B parabola ad segmencum AB.
isicur cum parabola D ABC ad ABC, corum ad eocum siE
VE B AB ablacum ad ablacum AB, eri religuu E BCD, 2d
reliquum AC. B A, bE D ABC corum ad cocum ABC: quare
EBCD figura, quadrupla est figurx lineis AC, AB d Para.
bolica BC concelsea. Quoderur demonstrandum.
P R OPOSTTIO CCXLV.
TOntingat AB C parabolam liIed quae cunque AD conveniens cum
mecris quibuluis DC, lBIn D _ F. IUNGANEUEGUE AF, AC.
Dico concauum E. DCGF duplum
CNTEpaTtIS AFC C, linCIS AF, AC COn
TCHEX.
Demonstratio.
Oncauum ABCD A b duplum est Para-
bolX ABC: _ concauUM AB Fi F A du-
plum cs seomenti ABF; igitur residuum
F. DCCF duplum cAt rCsdui AF C C A.
Ouodcrac demonstrandum.
eROPOSITIO CCXLVL.
DArabolam AB C suBendar linca AC, qua divila in D _E F, vi
AD, AF, a C commue propales sinE, erigantur diametri DB.
L. I, C F. e peL DLLLPHHCLA Cx A RECFR PONANEUE AG, A F SCCANECS C F
diametrum in F _ C7.
Dico F LCC ad spatium quadrilarerum Bl eriplicatam habere ratio-
nem AC ad AF.
lincis AB, AC et parabolica BC concenti.
demonstratio.
EX COrO
b242. Bu-
Voniam AD, A F, AC Bonuneur continue proportionales, NE C A ad FA,
cI. DCprO. LACC CF, 2d F. D. Ccd ve CF ad B D, liCC elt ad 6f; igieur ve C A2d A
cressionibus. (C C C+ 2d CrF: visc CaI CA C de C HF ATAHSMIAII, CMM CL uu
ADC da IC LA ad L IC L ad HII: est aurem  AF
. lale itlolta

## Folio 469 — 1815201908:0526
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000526.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
80
BC
BC
AB;
e
1210
212.
m
um
31-
a.
du.
um
A.
P. A R A B, O L A
ad FT AT componaciir exracione eriangulu C AG
ad G AF, XE Cx G AF aaHTAI, PaECCC AC trian-
rarione erianguli, C A C ad criarbulum AAF,
e ex ratione OFI ad TB, quadrilarerum, (id ell ex
HTATcriangulum, cum L A, FT As B A proporrionaleS HNE) CNIE F. C3 quadrilacerun
ad quadrilacerum B IVE C AC erlangulum ad criangulum (L AI; igitur _ P. C qua-
deilaterum ad BY quadrilacerum rationem habec criplicacam A C. 2d A V. b
PR O PO SITTOICOIVII
BC pataDolae diaeFEF AD. Policaque aa LITAI OTALMACIII
CD, descrilatur per N e C, patabola AE C, quam in R concin-
sac AD, ponanculque ordinacim quauis FB, II C sccances A F. C Para
DICO AGUTAM CONCALAI A F P. A, ad fIGUTAM CONCAUAM A FTIA, du-
plicacam haceae lacionem parabole B AF ad parabolam C A F.
Demonstratio.
EnGANEUE AF, A P. FIgura mixcilinCA AFP. A
ad siguram AHII A eam haber rationem quam
AF. L criangulum. ad eriangulum AIFI. rarioaU-
cemtrianguli AE F ad criangulum AIFICOmPO-
SIta CCCK ratione AF 2d AHI, hoc est duplicata
rations F B ad FLG, e ex ratione F F ad TEI
hroc est duplicataracionis A F ad AFI, id est qua-
druplicata racionis FB adTIG; ISITUE AFP A
sigucd ad sguram A HL L A sexcuplicacam habet rarionem linex F B ad HO. sed x ,10 it
B AF b Parabola ad G AFI parabolam criplicatam habec rarionem FB lincae ad iu
lineam FTC: IBICUE RGUFA A F F A ad Aguram AHITA; duplicacam habec t2-
rionem parabolae B AF ad parabolam Cr AFI. Ouod erat demonstrandum.
Corollarium.
lnc parer concanuin LL R, ad concauum A FTI, etiplicacam habere rarionem
LF ad AFT; Nam A F. F criangulum ad criangulum AIEI rarionem tiabet
COmPOIITaM Ex AF ad ATI, ∞ P FadIF, id est ex duplicara rarionis AF ad AII.
PROPOSITIO COZEVIII.
IEdem posiris sinE AFI, A F, AD proporrionales, iune L QuC AC.
Dicomistilineum IP 2d F O mistilineum rationem habere sextii-
plicaram, cuius rario craperii R F ad L. D, craperium est quadruplicara.
se crianguli C AF ac
In-
erianoulum ad criarigulu FT A Fin duplicaca cacio-
nC F G ad FIF isicur cum racio crianguli C A C
sulum esse ad criangulum EY AT in criplECaC2 F2
tione F C ad FII: ouia vero racio quadrilace
ei F G 2d BIquadrilaterum, componieur ex
Facione F C ad C HI quadrilaterum; (id cA Cx
exaranaii. la
bolam in L. l I.

## Folio 470 — 1815201908:0527
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000527.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
P AR A B OT A.
3 aB ile B MI L L LE ~t CIBIYB l. F e1I
1 i Ddemonstratios
hers a vo An
Voniam A AF, AB,, A D linex proporcionales Cunc,
Lrectae quoque LII, BB. C. D, adeoquo fsurae a con-
CaNR A FYFA, AF F A, AD C A in concinua lunC an
logia. isieur ve AFII A figura ad figuram A F F A,, SIC
IF mistilineum est ad mistilincum F. D; sed AFII A A.
sura ad fguram AF F A, sexcuplicacam haber cationem
BHI ad CF, igicur ee PF mistilincuni ad mistilineum
sexcuplicacam habecracionem B HI ad C F. RuI.
lum, quia (A FB A F, AD proporcionales (une, criangula
quoque AK FI AI Fi, ACD in conrinua lunc an2l0-
Sia. adeoquere AK II criansulum eA ad criangulum
ALF, sIC RF crapezium est ad crapezium ID: Sec
AReC criangulum ad criangulum AL F, duplicatam
habet racionem linex AFL ad AP, hoc est quadruplicaram rarionis HIB ad F C.
isicur ex RF crapexium adrrapeum VD, quadruplicacam habet rarionem linca
HLB ad F G cuius IF mistunicum ad mistilincum s, D habex sexcuxlicacam. Quod
BLLVSII ECMACIS IO SCPLESESNCE E
R OP OSATIO COXLIX.
N parabola ACB sc AB Batoaxeos aqualis laterirecto, duetaq. A F ad
Laxem normali, ponacur guixuis FC parallela AB, secans parabolam
Dlcohas duas sese orrhosonalirer intersecare et CG, FC, OA, OB
continuè esse proporrionales.  A sucilien n
p u
Demonstratio
crac demcharandum.
b Ex B. BM-
eosenin
d EX 13.
exti.
F
in C, D dACANEUF AC, BF.
Vm. B A xqualis lic lacerirecto, crieb rectansu.
Ium B A FC aequale quadraco Fi A. lgitursunE
tres in concinua analogia FC, F A, AB: ergo cum
anguli CF A, B AF xquales sinc, similia Cunc crian-
sula CCF A, F AB. vide anguluS F A C aequalis an.
Bulo ABF. est auceangulus FAC unacum C AB.
recto xequalis; igicur eriam angulus FB A una cum
angulo C A B recto eAxequalis, ex consequenrer an-
sulus ACFB rectus cA. vlcerius cum cam angulus
AF C quam AOF rectus cA, ErCS CG, GF, C+ A
oproporcionales lunc: quia vero anguli A CB, LAB
recti lune, linex quoque LG, C A, C B proportio-
nales lunc;condem isirur concinuaneracionem CCn
FiC, C A, CB. Duod erac demonstrandum.
e. L 2 i t. L L tao
Nrer duas datas, duas medins exhibere organice.
Constructio ex demonstratio
InE duae data FTI, TK inter quas duas medias OpOrreaE exhibere, CONSIEANEIE
tae ad angulos rectos e conticiane eriangulum orthogonum FT TK. deinde _CI
bacur Parabota AC P cuius latus rectum (IE AB parS AXCOS, IUIPCF quo SeSMeNCuI
circuli comnacur Capre agare ACB aguaem 1 L. OCcuI Parabole
C a AACANEUE C 13L H aet alSMoFectOS, Ita ve CL lic aequidistans axi e iunsan-
ilt A C. BF. Dleolaccu qudd LeqituI. nam osentum est ansuloS ad G EcCtOS
eAe
 

## Folio 471 — 1815201908:0528
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000528.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
in
Mer
eum
UI.
ula
10
sed
Itam
FC:
nea
uoi
ad
am
B
5u.
InE
im
AM.
an
B.
M
n.
luS
A
6
6.
in
P A R A BO L A.
eNe, estque angulus BC A seu B C FF equalis angulo R. C1BD DCC criangulum
inile criansulo HIEK igicur cum FO, C A media a sinCHCEC C C. C. B, ellami 1. a Ea odu
cet HL, LK invenca crunC media.
PROPOSITIO, CCLL
AbeanEdux parabolX ABC, AFB communem axem; (IEG: AB
Alinea laceri recto aqualis parabola ABC, ductisque ordinarim
BFC, LD, CE AD E parabola aequalis AFB.
DicO AF, F. D, medias esseinteT F B, B A.
Demonstratio. T120
Voniam AB ex hyporhek est latus rectum patabo -d
la ACB, rectangulum B A F. X quatuT a guadraco.
ED. iBICUEVE B A ad F D, AC F D ad A F. Deinde
quia parabola aequales sunc, aequantur eriam b rectan.
Sula AFD, ABF. FrgODEB A ad F D, sic reciproce
AF. ad B F. sed cum oAtendi vE B A CA E D, SIC ED
eAC 4d AP, erBO VEFD ad AF, SIC AV ad BF. li-
quecisicur quacuor rectas B A, F D, A F, BF esse in con-
tipuganalosia: ee proinde incer B A, BF, medias ese
FD, AF. Ouoderac demonstrandum.
nrsao
PROPOSITIONCOLII
Nter duas datas, duas medias extribere.
2090. Amil Stonnt
rdqri a oet Constructio e demonstratio.
JACE snE AB, BP, quibus ad angulum rectum disposiris deseribe patabolam
AC circaarem AB, cuius rectum lacus aequale sc ipsi AB. occurrac dein-
de BF. parabola AC in C, e circa communem axem A B aliam delcribe parabo-
lam per A _ F. Demumc ducatur ordinacim D F, Faciens lesmenca parabolica 5 Fx 242.
ex precedencimauitecta est.
uiuiso
272
b
=Corol

## Folio 472 — 1815201908:0529
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000529.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
B. bu-
Ex 240.
47
DIt CFCI D _B CLEBHI
RS SEXFA
Seementa primum Cs parabolas inter se conser; deinfiguras.
Wus sto oso
1
1in
Ecenc AB C parabolam patallela quaevis dux AD, BC, ducanrur
1
1p31Ot. CLe
1eq Biup
i Demonstratio. LA luo
i
et +
Extmentis AB, CD erianeula Iti-
scribantur maxima AL B, CCD.
quae cum BC. A D, a Eguidistene, in-
cer sc aequalia lunc: unde _ bscomenea
aequaneur. Jund crat demonstran.
dum.
PROPOSTTIO CCLIV.
Ademmanere tgura, opot.
Lec ex dato in peripheria
puncto C, rectam ducere, qu scomentum auteraraequale dato AB.
Constructio e demonstratio.
Vncta B C, ducacur AD Paralleta B C, iuneancurque C D: manitestum est pec
precedentem DC ex dato puncto eductam, lesmentum auterre aquale dato AB,
PROPOSITIO CCLV.
Aco scomento A B C de diamerro C HI oporrec ad illam ordinarim
appCaelneam, quae segmencum auterar daro xquale.
Constructio es demonstratio.
eROPOSITTONGCLIIU
que linex AB, C
Dicoillas segmenta auterre a gualia. i 11
Dudel erat reguiurum.
228. Bu-
228. Bt
tuila AB bitariam in F, eriga Mtamerer L L, CUII HaF ~ GH AIIS C, H. d PCF H
ordinacim ponatur CD, dicordctum elle quod pecitur: iungantur enim AL B.
OD. quoniam P. F, C FTdiamerri x quales sunc, c triangula quoque AF B, CGD
xoualia sunc: oux cum dmaxima Mncillorum queleomentis A B. C D inlcribi pol.
240. h. Tunesc lesmenca quoque AB, C D a qualia lunciapplicuimus isicur ad daram diame
trum, deC. Ouod erac Fasiendum.
P R O.
a  

## Folio 473 — 1815201908:0530
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000530.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
prul.
2 I
CD.
ChIH.
ened
Eran.
V.
Ot-
eria
5
im
e A R A B OL A.
D ROPOSITTOCCOLHI
Aca parabola ABC, d in illa (egmemo AC, oporet CUICUH Q L. L
a Glateeticum duterac daco aquauc.
uilis AC, DF. Bitatiam in HL d R
II aquali HB, ponacir pet L ce
aequidiltans DL, Pacet perpraecedencem
FIC teomencum daco AC, aequale csc;
isitur lincam duxitus xquidictance 
quae legmencum FPC auterac aequale da-
10. Ouoderar postulaeum.
Constructioes demonstratio.
erigantur diametri TIB, TR: Fact29;
eROPOSIT
d
CCLVII
IE ad ABC parabolx axem BD cuius latus rectum BP, ordinarim
Polica AC: SIC aureM X E F C parabola, cuius axis FHI, X lacuS re-
Au FR; OpORTEE Ex P. F C parabola sesmencum auterre, quod ad sc-
smencum ABC, ratioeabcac quam Bl ad F R.
cl
Constructio et demonstratio.
EIaE vE IB ad FK, sic F HY ad B B, dE per FE ordinarim potiaeuF E C. dico Fa-
Etum esse quod pecitur: CuM CMMIB ad FR, siC FHI ad BB, rectanou
elEquadFatOF FI. vnde AC. F C incer lC agbales: lunc criangulum igicur maximum ius
lum super TB B D idesta quadearum AD, xequale est rectangulo supCF F R, F FF id 2 Ex B. hu=
el ver constructionem BL ad LR; erxo a legmeu LiF C ad segmencum
ABC, ve IB ad, FK; abstulimus igicur Cx L P Cs PALABOIA SCBMEHCAM L L.
40.
scomena sib C ada  aaemenci ABC cA dFLL aBB, 1a
2HS.
quod ad segmencum A B C eam rarionem continor quam lacus rectum BF, ad la-
cus rectum ER. Ouod exhibendum OTaF:   A. MIMON
eR OFOSIFIO CCEVII
3.detil secDC
MWBCeL. 1SI. OI
IE ad AB CparabolX diametrum BE. ordinatim polica AC: du-
etaque AD normali, ad diamerrum ex C demistam, FranE B F, F. C
linea aqualed; pecAeD Parabola doebacu Clusaxis ei
Dico AC.D leemencum au e el ABC.. 
od
Derhon-

## Folio 474 — 1815201908:0531
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000531.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
E2, Ar. Bm.
P AR ABOL
Demonstratio.
Nonia BP, CF linex aequales
lune, eriangula B C F, C D F, Icem
B AF, G AF, 2C PFOPTCrCA ABC.
AC D criangula inter se aequalia lunc,
sed quoque a maxima lunc illorui quxe
seomentis ABC, ACD, inscribipol.
lunci scomenta isicur ABC, B AC D
2qualia lune. Ouod erat demonstram.
dum.
ROPOSTTIO COLIZ.
nacur L. HE axis patabola A BC, aequalis diametro BF, et ordina-
cim per I linca HII.
Dieo illam recta AD aqua C.
Demonstratio.
NIM PEF PEXCCdENEE A C D ParabO-
Ia aequalisparabole AB C id cAC FTT. P.
isitur de crianoulamaxima ACFD, dTTLI
lunc aequalia: sunc aucem ex hypoches il.
lorum alcieudines PK, F C aquales, ixi-
cur _ Bales AD, FILinceF (C X qualeS TUnE.
Ouod fuic demonstrandum.
PROPOSITIO CCLZ.
Nientoane FC applicentur ad illum
Lordinaeim lineae FIL,KL: XFTTqui-
dem SE aqualis AD; RL VerO rectX
CF: crit isitur sesmento AB c xquale
seomentum FTF I, &x seomento BC X
quale SeOMenTUM RF L. SCd FTFL SC.
Smencum ad segmentum R F I, teripli.
ed i. entam habecrarionem linea FTI ad li-
neam R L3 igIeuE SICBTMCHCU A B ad seomentum B C, criplicatam habCEFa
cionem lince HL ad _ L lincum, id ett ex lypochiesi AD ad L. C. Quod exat de
monstrandum.
Cr2L 3LI
Corollarium.
EX
240.
nius
Ed
versa 2
uins.
EcenE A BC parabolam linex quaeuis AB, BC: demisaq; ex B dia-
Dncero BD, ponantur ad illam ex A e C normales AD, CF.
Dicoleomentum AB esse ad segmentum BC in criplicacaratione li-
Demonpratio.
nex A ad CC.
112
Inclegu aucta AC, quB OCCUEFAE BD in M, A Blcomenta aa ToM
cum BC triplicaram habere ratiOneM AM ad MC. Pater, cum sierE AD ad
CL.3  A M de MC, C+8O, dC.
11
( e  s 1i        .  t        p . i . e    . 1                       e e  u    t i   e 1.  H 11

## Folio 475 — 1815201908:0532
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000532.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
uales
llem
BC.
alunE
qua
Dipos.
3I
trar.
lina.
a00.
L. I.
LI
181.
lia.
I1.
am
UI
Aa
le
L R ABOL A.
eROPOSTTIOCBLAL
Arabolam ABC, secenEdux quaevis MIIICa AB, AC: demissaque ex
A diamerro AD, ponancur ad illam ex B e C normales BF, CD.
dein AB, A C lineis bitariam diuisis in F _ C, criganeur diamerri F FI, G L
Dico scomencum AH C ad sesmentum AIB, carionem habere com-
volitam, exratione FHI ad IG, et C D ad BF.
Demonsratte
luitis EB, CD lineis bitariam in L e N, eriganEuFNOKaleS LK, N M: et
LK quidem aequalis PC. HM Vero aequalis HIF: d per F, K, B, item C, M;
D puncta, parabOIX dCSCFIBANCOLS GUAFUI AZCS SINE P R, NINT: IUInGANEUTGUE R K B,
CMD. Duoniam P. K aequalis CH TG, SEgMenEA FK B,  ATB aequalia suntseadé de
eauta aequalia sUnE SCBHCHCA A AL C, DMC; Segmencumigicur AIIC CA 94 2 +0. buius
seSmeNEu ATB DE DM C seGencum, est ad segmencum F K B. sed DMC (C.
Bmencum est ad segmencu L. lB, b DE DM C criangulum ad criangulum F RB: B2
isicur ee AITC seomentum; ad logmencum AIB, est ve DMC triangulum adius.
triangulum RKB, de invelcenao vecliangulum DN C ad criangulum RRB, Sic
Ium PKB est composica exratione NM, 2d LK, id eA FHI ad TG; _ ex DC
2d F Biracioisicur legmenci AEIC ad legmentum AIB, compolica cA Cn Lalte
ne HIF ad IG, e DC ad F B. Ouod cratdemonstrandum.
D. hk-
AEIC segmencum est ad sesmentum ATB: Sed racio crianguli D MC ad criangu.
orooriio veil.
VFeranE AB, BC linex legmenra quae cunque, demistaq ex B dia-
dimlis bitatta i_ Fd HL, ponancur per F de HI, diamerri F P, CH1.
00 2
Bico
LAmerrO BD, pOnatUF A C occulteHS B D linex in D: dein AB, BC

## Folio 476 — 1815201908:0533
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000533.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
A R A B O L A
DicOF F ad C H duxlicaram habettationem eius quam habet AD
ad DC.
76
Demonstratio.
266. hio-
pstu
Fgmenem L1 da a legmentum
B C in CIIPHCACA CIE FATIONC AD
ad DC; sedrario segmenci AB ac
seomentum bBC compolca clt Cn
racione siL, au IL _ ex AD ac
DC racio igirur FF ad CFI.
duplicaca cAracionis ejusi quam lia-
DeE AD ad D C. Duod tuic demon-
ltrandum.
Corollarium.
neam C K. Veparet ex demonstracione.
PROPOSITIO CCLXIII.
metrr EB, CC, occurrences AD concingentiin F. e D.
Demonstratio.
Voniam AII, AF lincx ordi-
Lnacim ponuneur ad diamerros
BF, C C, d AD linca concingensi
linex FB, BF, icem DC. CC in-
cer le c aquales lunc. vnde ABFI
crianoulum eequalotriangaloA F. F,
_ ACI criangulum aequale crian-
gulo ADC: CA AUECI DE ABHI
criangulum ad criangulum ACI
SiCd ABFT segmentum ad segmentum AC Psigitur ex legmentum A B FI cRad (C.
Sencum ACT, ve AL F. criangulum ad criangulum AD C. Sed ratio erianguli
AF F ae Erlangulu AD C, composita est ex racione A F 2d AD, e ex racione
F F ad D C teC B B ad DC: isicur _ SEgMENEUM AB FI ad SCgMEnEUM AOI
rationem habet compolicam exrarione AL ad AD,  PB ad DC. Quod crat
demonstrandum.
PROPOSITIO CCLXIW
D ArabOlaS duas ABC, F G FT CuBCendanE reCFX A C, F HI legmeta
auterentes aequalia; rectis aurem AC, FHI diuilis in D _ Ibitariam,
ponancur diameeri BD, OL, ex ex B e C, demictantur B F, C HC nOr-
males ad AC, FII.
DicocsereBE ad CK, sic FHI ad AC.
TInc sequicur, ductis A F, CK normalibus ad diamerrum B D; rectam LF ad
CFI duplicatam quoque habere rationem eius quam obtince A I linca; ad H-
Darabolam AB C contingar in A linca A D: ducanEurG; ex A LnCX
quaeus AFI, AI, quibus in F a C bitariam dinilis, ponantur dia-
Dico ABHI Scomencum, ad segmentum A C P, rationem habere com
policam exratione A F ad AD, _ F. B ad DC.
DeMotm
(e s i     1    A    . . u u .  A  u H 1e 1    .   t H.  A   A t  t   p           a ua u  ) p u1 1 

## Folio 477 — 1815201908:0534
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000534.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
AD
Dud
CH.
ad
ad I.
nCX
ala.
M.
rdi-
CHSi
in.
BH
EP,
ian-
BH
Asc.
e
ione
101
pIa
M,
1.
P A R ABO L A.
Demonstratio.
Um enim scsmenea AB C, FCFE ponantur xqualia, crianiip la quoquie illoruir
Vamaxima incet le aequalia sune, vide ve BP. ad OR; SCb P H ad AC. Quod aencon.
erac demonstrandum.
PROPOSITIO CCLXV.
DArabola ABC seomenco ABC, criangula duo inlcripCA HHE, e
A BC quidem illorum maximum, qux legmento inscribi possunt,
alcerum VerO AE C quodcurique.
DiCO REMEHEA A F., F. C Cimul Sumpra; maiora esse Segmemtis AB3
BC simul Cumpris.
Demonstratio.
Vmcrianculum A R C minus hiceriatibulo ABC.
residua AL, PC segmenta; maIora sunc residuis
Tcgmenris AB, BC; eodem erenim excessu superat
criangulum AB C errangulum AP. C, quo segmenea
Superlincis AP, P C excCdur (cBmenTa luper AB, BC.
PROPOSIY 1O CCL XVI.
acadam ABC subcendat recta AC, qua divila in quoruis parres
aquales, In punctis D, E: eriguncur diamecri DB, C. F, iunsncurque
busenta AB, BF, FC aqualia eNC.
versarac
dirius.
exco
miniis
AB, Bl3tC
Oemonobrato.
DOnAnCHE AF, BC _E AF GWIdCMOC.
maxhnu en corantsa ABF HCMOn.
surie ae quatia. simitct a Geal Su SCCA B F, FC: Sexmetra isicur proros. isid
CUrTAE BD in C _C RIOICCAFF
in HI: ve AD ad DF, AC AG 2d GF
scdL per hypoclclm aequales
Cunesisirur e AC, OF quoque incerle
_q_ACL: QuAEC AB C CHLACZATAMI
Comleribi pollune; e Ahibtleomenca
AB, BF, F C, a qualia CutF.
7. hi
Coroll. 2.
ee hadus.
000
PRO
16nttettts213
7
111
i1d
1e

## Folio 478 — 1815201908:0535
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000535.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
B AR A B, O L. A.
DR OPOSILAO CCLXVIL
FII, GB, occurrentes parabolxe in B, FI, C; iungancurque AB, BHL, H C:
Demonstratio.
VEantUE AFT, B C, eE A FT quidem occur
ac EB linca producta in I. B C vero ipsi
LLL in R. Ouoniam TC, FFI aequidistane
_ AC C+F ponuneur aquales, rectae AL, TH
incer se aquales (uInE: guare A FI ordinarim
volica est ad diameerum IB, _ A B FI crian-
sulum maximum. est corum quae legmento
ABHI inCcribipolunc: adcoque e legmenta
bAB, B HI aequalia sunc. codem modo osten-
duncur leomenca BFI, FT C incer se aquari; (e-
emenca isicur AB, BII, HIC aequalia lunt.
Ouod erat demonstrandum.
Corollarium.
RoPOlicio quoque vera eAt s ex A ducta sc.
cans AN dividatur in parces xquales pun-
atis F, M: Cx quibus in Paladean eatx emitraneur Y, B, MFI, NC Parallele diame.
ero AD. demonttracio PaTeE ex PrXCedeNEI.
PROPOSITIO CCLZVIII
VIE ad ABC parabole axem B D ordinarim potita recta F F; 2ct a q
per B contingente B FI, Cumatur in illa, porrio II Ixequalis P. F: XL CX
HIet. L, diametri demirrancur FI A, IK, occurrentes parabolae in A e I,
iungancurque AR.
Dicolcomentum AR, aequari sCBMeNTO F BF.
huin
262. HV.
DArabolam ABC cuius diameter AD, contingat in A linea AF; qua
diuisa in partes aequales, punctis E, F, G, demicrantur diamerri F. C
Dicolesmenta AB, BLI, LLC Cleincer le ae qualia.
emonstratio.
uisâ A Kbitariam
5
11st .e
lp..
NCTCENVM. SuMaM
nucura quales et MH
ad BC in duplicara
RF, rectEMN BOin
cer se equales sunciled
in eY ducacur dia.
AL, F F linca pO-
est ratione c AL 20
ratio Teomenci AR
adtesmentum P. BF compolica eltsexractoe  I ad B C, de AL. ad F P, (exmen.
cBIcur AK aquale CA (CGMCnEO P. B F. Quod erat demonstraniduu.
PRO.
     s A  B  B       t         s   6 e et  t e ut s u    te   stet e   des  e   pla t.

## Folio 479 — 1815201908:0536
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000536.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
: 9u.
IFC
HC
OCCUE.
eed ipt
dictan
ALIH
inacim
erian.
mento
Menta
octen
aeI: 8.
a sunt
Aa le.
(pun.
iame
id Ct
_ B,
Tatiam
ux did
lonial
t
et III
bin
ato
1a
P A R A B, O, L A.
PROPOSITIO CCLXIX.
DArabolam A B C cuius diameter AD.
a contingat in A linca AF: in qua a(-
sumpeo quovis pucto E, ponatur diamerer
F. C, queinF, G, HI puuctis secetur in par-
ces aequales; ductilq; AC, A FI, AG, AF li-
neis que parabolX OCCUErAnE In B, I, K:
IUngAHEUT AB, BI, IK, KC.
Dico lesmenta AB, BI, LH, K C ette
incer le aequalia.
Demonstratio.
H RiganEuE ex B, F, K diamerri B L. , LN,
RM: GuOniaM BC, IN, RM, CF, X-
quidictant axi tecta AF 2 in L, N, M dinila
Es LCHE F C dinisa in F, G TF: ioieur linex
AL, LN, NMIME, aequaleS SUnE: 2C prO-
inde sesmenca AB, BI bTK, KC incer (C X.
qualia. Duoderat demonatrandum.
eROPOSITIO CCLXZ.
Darabolam A BC subtendar quaeuis
 AC normalis ad axem parabola,
qua diuisa in D, E F, G: VEAD, A F, AF,
AC, A C proporrionales (INE, DONAnEUF
diametri DB, E H, FI, C VC: iungantur.
que AB, AHI, AI, AH.
Dico fcgmenta AB, ABHI, AHII, AIK, AR C in continua esse ana.
108ia.
 Demonstratio.
eem
Fomencum AB ad ABFI scgmen-
Ocum, rarionem habet eriplicatam
cliNCK AD ad A P lincam : eC AII
logmencum ad sesmentum AI eripli-
cacam dhaberrationem A F ad AF,
 sic de cereris; igirur eum AD, AF,
AB, A C, AC conLINUE AINE PFOPOF-
tionales, segmenta quoque in continua
Cunc analogia. Ouod erac demon.
Arandum.
pans
Ed
hevin
2tio
PR C

## Folio 480 — 1815201908:0537
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000537.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
A R A B OF
PROPOSEETO COLXXI.
VIE ABC parabolae diamerer AD divi-
Cain E, F, C punctis ve AC, AF, AO.
AD linex line concinue proporcionales:
policilque ordinarim FB, FHI, GI, C D,
iungantur AB, AHI, AI, AC.
DicOICOMENTA AB, ABHI, ABI, ABC
in continua cAc analogia.
Demonstratio.
Q Acio sermenci AB ad sesmentum AFI eri-
plicaca est ejus quam habec: B F ad FI F. rur-
sum AB HI seomencum ad lcgmencum ABPeri-
plicacam habet rarionem FTL ad TC, et Ac de
eaeceriss led E B, FH, CT, CD linex concinue
b sunc proporcionales, quoniam AF, AF, AC, AD
b33. huu IH Continua Poluntur ana logiasigicur ee segmenra AB, AB HI, AFII, ALC lunc in
racione concinvaca. Duoderar demonstrandum.
PR OPOSIETO CCLZRII
NIE ABC parabole diamerer AB, divila in F _E F, VE A L, A F, AD
linc proporrionas, de ordinatim ponantur EB, FG, DC: iuneat
Dico seomencum BeA lesteneum CC rationem habere criplica.
cam eius, quam habec EB linea ad lincam P6.
Demonstratio.
resstons.
Ex et
elt00
a
tarque B6, CC.
proportionales UnE, R I CAtAdF D, C VE A F 2d AP,
id cM ve quadracum EB ad quadracum F Cr. led raclo
crianguli E F B ad criangulum D FiC dcompotica est
ex racIONC F E ad FD, _E ex E B ad LO; criangulum
igicur F F. B ad D B C criangulum, criplicacam Habel
racionem F B ad F Os obdem modo rriangulum F BC
ad DCC, triangulum eriplicacam habet cacionem FC
ad DC; (cum rationem habennecompostra:m ex B. F ad
FD, alciendinc ad alcieudinem s_ ex F O ad DC, id
est E B ad F C; (cum BBIFOsD C proporcionales Cin1)
igicur eocum rectilineum RB CE estad eocum rectili.
neum FCCD in criplicaca racione FB ad P C; led e
x242. nam cum E B, FC, De Poeaes, Patabola quoque F AB, F AC.
Fleomencum BC. est ad reliquum CC, in criplicaca ratione B. B ad F C. Ouod
)Vcancur FB, D G. Ouoniam AR, AF; AD line
mixtilineum E B C F est ad mixcilineum DF CC incriplicaca rarione F B ad FO,
cD AC in conrinua sunc analogia: 2cC ve ABF. parabola est ad parabolam
quinci. F AC, SIC F BC F mixcilineum est ad mixcilineum FG CD. isitur de reliquum
exar demonstrandum.
PP
t u ue u  eis ue te pt e t uet  ete e e a   ute ue u te stt  pte et at u e  1   te a e t  t a   t     . t t  a pe t t ti et e     u

## Folio 481 — 1815201908:0538
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000538.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
rales.
CD
BC
Iu
E. eI
BLe
le de
einue
AI
AD
1ab.
1C0.
inet
AF,
eatio
elt
ilum
b0
BC
FC
E A R A B O L. A.
PROPOSITIO CCLXXIIL.
Ine denuo proportionales AE, AF, AD, _ AF aequalis latexI FectO
diamerri AD, ee iuagantur AB, AC.
Dicolesmencum AB ese ad segmentum AC ve quadrarum AB ad
quadracum AC.
Demonstratio.
Fomeneum AB est ad Termeneum A C a in eriplica-
caracione EB ad D C, id est serruplicata F B ad F C
cum F B, F G, D C proportionales sint: Ced AB, qua-
dratum ad quadrarum A C racionem habecb sexcuplica-
tam linea E, B ad F G igicur re quadracum AB ad qua-
deacum AC, AC AB segmentum ad serMEnEUM AC.
Duod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CCLXXIV.
Arabolam ABC cuius diamerer AD, contingat in A linca A F;
deinper A describatur parabola F A G cuinS A F SEdiamerer & con-
tingens AD, dueacurque in ABC parabola ordinarim linea GC, Oc-
currens F A C ParabOla in G, IUINganCUTG AC, AC.
Dicoleemoncum AC esse ad lesmenrum ABC, re BD linea ad li-
nEaM DC.
Demonstratio
Rigatur ex O linea G F parallela contingenri AD. cric igitur legmentum L
ad esegmentum AB C, ve F A C criangulum id est criangulum C: D A, da Ca
gulum DAC; sed GD est ad D C, ve CD A criangulum ad criangulum D A C o
legmencum igitur RC est ad segmenrum AC, v  Ve Au MIICaI C. 104250. Mns
erax demonttrandum.
F
40
Scholion.
rbet hoc loco propositionem ducentesimam sexacesimam seprimam huius, secundum pro-
porriones quasdam arichmeticas contemplari, nimirum quae linearum.  srum
tam convexorum quam concauorum arithmetica sol progre (sio, siue incrementum.
Sit AB C parabolae diameter AD, ex contingens AF: quà divisâ inquorcunque parles
aequales punctis F, C. TI demirtantur diamerri FB, C I, TIK, F. C occurrentes paraodla in
B, B X, C: ex quibus ordinatem p onantur BL, IN K N, C. D. an L327  
+
iun.

## Folio 482 — 1815201908:0539
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000539.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
 1   . ti 1 1 1 11
A R A BOL A.
2 42: B
A C inneantur BI, TR, FC, es
FB, GI, FLK linea producantur.
AONEEAT, AK, AC lineis occur-
rant in O, P, O R, S. T punctis
Fruntigitura Sermenta AB.
BL, TK, F C inter se aequalia:item
lineae aequales FB, BO, O P. PO:
cum F linea b sit divisa VF AF.
Primo vi quadratu A F ad qua–
drarum A sic F B est ad lineam
CI: sed AC quadratum quadru-
plu est quadrari AF quia A C+ du-
pla est AF; igitur ex C Iquadrupla
est lineae FB, id est AMI quadrupla
ipsus AF: rursum quadratum
ATI est ad quadratum A F, V19.
ad T. cum AFI tripla sit AF, igi.
tur e TIK linea est ad lineam
AF, id est AVY ad AL, VIno-
uem ad vnum: iterum quadrarum
AF est ad quadratum A F est vt
16. ad L. ergo ex F C est ad FB,
id est AD ad AL, VY 16. ad T. ex
sie de caeteris: isitur AP. dat v.
num: quorum AM quaruor
pursum cum LR sit ad OP, vt A Y act AO, id est A C. ad A F. ponacur aurem AC
dupla AF, erit es TR dupla O P: eadem methodo ostenditur X P triplam esse PC sive
OP, ex se squialteram ipsius LR. Unde incrementum innorescit linearum BO, LR, R F.
Secundo sermentorum connexorum AB, AI, AR, AC arichmetica proportio sic insti-
tuitur. Frianculum AB O aequale est triangulo A F B (cum F B, BO aequales ostensae sint
adeoque criplum sermentic AB: quare torum trianculum ABI. sextuplum est sermenti AB;
additis icitur seementis aequalibus A B, BI, erit eorum sermentum A B I ad sermentum AB
VF8. ad F. Rursum erianculum R TR. (habens TR basem duplam baseos OP, et TMI al-
ricudinem duplam altirudinis T. B) quadruplum est rrianculi AB C): est aurem triangulum
IR R duplum trianculi A BO, quia eandem habent altitudinem, ex basis TR dupla est ba-
Seos OB, igitur rorum triangulum AIK, sexruptu est trianguli ABO, Unde est ad segmen-
tum AB, Vt 18. ad 1. addito icitur sermento TK aequali sermento AB, e segmento
AL, quod octuplum est seementi AB, erit torum sermentum RK ad sermentum AB, vE
27. ad T: iterum, cum AK I trianculum, basim T R habeat triplam baseos OB, e
NK alticudinem triplam alticudinis L. B, erit AK T. triangulum noncuplum crianeuls
ABO: est autem triangulum K C Y criplum trianguli A B O. icitur totum crianculum
AKC, duo decuplum erit trianculi AB O: quare es ad sermentum AB est v+ 36. ad 1.
addito ereo sermento KC; aequaliipsi A B, ex A IK segmento quod ad B seementum est
2t 27. ad 1, erit AK C sermentum ad sermentum AB, Vt 64. ad vnum: es sic de ce-
teris.
Tercio parabola A LM est ad A B F parabolam, d V+ A IM criangulum ad erianeulum
ABL, est aurem AIMI triangulum octuplum trianguli ABL, (cum A MI basis ostensa sit
quadrupla baseos AL, es M L alritudo dupla ipsius L. B;) isitur AIM parabola octupla est
parabolae AB L: eodem modo cum AW noncupla sit AL, P NV K rripla L. B, erit triangu-
lum ARNI adtrianculi A BL est VF 27. ad T. Onde ex RK VY parabola tories continebie
parabolam ABT. eadem praxi procedendo. reliquorum proporito habebitur.
Sed ex concauorum quoque segmentorum A F B, AGL, AHIK, e c. excessus eademra-
tione innotescunt, cum sermenta illa eandem servent rationem e quam rriangula A F B, AC 1,
AHK, quorum noca est proporuo.
267. ha
15.
is psei
AN nouem; AD sedecim.

## Folio 483 — 1815201908:0540
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000540.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
Cib
1
PiPC
uI.
hea
111
V19
181
ean
VIM.
atum
est 2t
FB,
I1.8
et V.
1Mori
AC
sine
nsti.
sinA
AB;
AB
Aal.
MIb
11
eit
ebl
i
PA R A BO
R O POSITIO CCLXXV
Teparabolae AB axis BD, ad quem POa Ordinacim E. F, CFI,
_IIF, R S: aucch cinde diamettis L. L, lMI. Mecsique conicuris
N, MO inter OL. L. LL, _ AN, M C, deCcrIbAnEUFCIECA AxeSEL, IM
Dicoparabolashas xquales esse.
a pricta e L Patabolae F. L N, IP
8
demonstratio
remattet pet S. L. dempto quacr.
deacoV P. sed cum ex constructione R P, PG. lS linc continux, rectangulu R P S
deaco P O. lergo B Filarus rectum est parabolx IO P. Acqui eodem plano discur-
lu B P lacus rectum cA parabola B NT.  xequantur igiur parabola. Ouod erat de- 2 desin
monstrandum.  ib loctn
OSITIO CCLXXVI
buius.
IE B F lacus rectumL aXCOS
BV. eric ergo rectangulum
VBV aequale quadrato. V R.
e rectangulum XBF aequale
quadraco XI hoc est quadea- i1
10 V P: icaque à rectanguloiticrit
V B F pdempio rectansulo
ZBT remanoc rectangulum.
VXBT, aquale rectaigilo2 A e t
R P S, quodlex quadratOlVK
aquacur quadeaco P. O. rectangulum isieur V XBT, hoc est IPB T aequatur qua-
R
ile
Mnis parabola patavola limilis est.
Duplici modo supersicies duas euruilineas dici similes: Primo, quando similes fia
a in in-
finicum illis inscribi possunt: es hôc sensu archimedes ex Fuclides, Similia esse curuilinea quae
dam ostendunt. Secundo similes dicuntur sizus a Curmunea quarum essentiales proprietates ea
dem sunt. Nos duplicem hanc sune Parabolio nesse demonscrabimus.
monsrabto.
DONaNEUT ABC, DFF parabolarum a
BC, F Faequales laceribts  rectis
EE peF G_ FI, ordinatim RC, D F: IUngANCUEqUe ABC, D E F. Ouoniam L LL,
BClinexe laceribus rectis aequales lune de A C, D F ordinarim polIce, reatX P II. D FI,
icem AG, BC aequales suNE: e quia AC, D FT ad axes ordinarim applicantur, adgu-
si DTTE, AG B recti sunc: vnde criangula DFTE, A G B, aC PTOIndOFOFADF F, ABC
Cmilia Tunc: Rursum diursIS A G, F FTlineis proportionalicer in ICK, ponancurpet
L_ R ordinatim L ML, NT O: IUNGANCUEGUC L BM. NF. O. Ouoniam igitur ve BI ad
BC, GC P K eA ad P HI, vE P. Iquadrarum ad quadracum AG, liC N K quadrarum eA
         e   o     g    at 1  1 6   l 0  3 e6  5       t a o  5 1

## Folio 484 — 1815201908:0541
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000541.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
B O H A.
ad eog; de eora L BNI, NY P O incer e Mmilia Suc: SimilicOr R IUMSaNEUFND, O F. L. A,
MTC, Ostendetur erianoula D NL L. SF Umilia crianguliSBL. A, P NI C: 2d0OGuC ADUL
conrinuars possit: coltar AB C, D P. F. parabolas limiles esso primo modo. 5.
Sccundo aurem modo parabolas
parabolis esse similes, sic oltendo. sic
St ABC parabOIX diAELEF quXCUn-
i que A D dinilavrcunque in D e P
punctis, per gux ordinacim po-
ManEUEIAC, F C. SD aurem XTTIK
Parabola diameter YF dinila pro-
Porcionalicer in L _ M, _EPCT I
ex M ordinatim POHIEX FTK, NO.
Ouoniam est ve BD ad BF, SICTL
ad IM, eric ve quadratum AC ad
quadratum FC, sC ITK quadra-
cum ad quadrarum NO codemmo.
do sirurlum diameeri BD, IL. Pro-
porrionalirer dividantur, ee per di-
visionum puncta ordinacim ponan-
cur linee, ostendentur quadracaor-
dinacim policarum in vna parabolas
proportionalia esse quadraris ordi.
natim policarum in alcera. Ouod cu
in infinicum semper heri polsie, pa.
TeE ABC, FITK parabolas ese similes secundo modo. Ouod exac demonstrandum.
PROPOSITIO CCLXXVII.
Irad ABC parabola axem BI ordinarim pOlita AC, crectaque dia-
Dmeero C. D, Cumatur in ea punctum quoduisD, _ per A d D, para
Bola describatur cuius diamerer D C, IUIN GANEUTQ; AD: EUM P. F pOn2:
cur diameter, occurrens ABC parabola in C, _ AF. D in F, reCtX vero
2AAMIAEALM DET, VEF Elinea ad AG, BCH K linea ad D FT; _ permucando inuer
AC, C+ Bicem DFT, FTF aqualOSTUnE) SC BI ad F R;) per constructionCisieuEve
EendoveA G ad D FI, Sc L TadNTR: sed est ve A C ad D TF, id es B C ad F FI, (quia
P Tad NK, Sic BF es ad F K. Xc permutando ve L I ad BI, SICN R adP K: quare cum
TIB, NR P anguli laceribus proporconabus coceri rectisine, criangula L IB, NRF,
ram coram DDT F. OF similem tigurx AL BM C. quae openacio cum sinO Termino
ADIn H.
lincam L11.
Dico ABC. parabolan C au LCS ACHCML SL L B, VEF C linea ad
Demon-

## Folio 485 — 1815201908:0542
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000542.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
ver.
s
um
IKB,
A
u
jeno
olas
D. (IC
uN.
_P.
30.
TR
50-
Y
D
L
2d
IIa
nO.
r0-
di
21.
OF.
la
a
eit
P AR ABO L A
Demonstratio.
Ccuctal a B I, ParabOIX AF. C in K, e AD
in T, cumigicur AC bitariam in P, Sic divila.
et C D aequidister BI, crit ec A D quoqueinL bi-
tariam dinila ecordinacim ad L K diameerue posi-
ta: quia vero A C normalis ad CD, verique para-
bole estcommunis, erie A B C parabola ad serinens
tum AE D, aveB Iad I. K, (cumracionem habeane
bcompolicam exracione D Tad L R, 8 A C ad AC)
sedve BI ad PR, SC CF ad F H, GuaL K CH da1
AL D rectanontum ad rectangulum A FL D. SL VE ATC ad AF C, rectanoulum. huusi
isitur re L C+ ad F II, sic ABC parabola eA ad legmencu AF. D. Guod crac de-
onstrandum.
PROPOSIFIC
Ic ad ABC Pataveae BB, Oraam POSica A C, contingens
cidc
1.
DVeroBE, qua CIECLR CK C ATAMETLO OCCHITTALII L POLITA, AUTeI A P.
ua dxemlecerm l: e parabolam in Ci, per A, L, C parabola delcriba
cur, habensapicem in F, ponacurque ordinacim. CtI, Occlerens axiBD
N I.
Dico FLB O parabolam ad parabolam AF C duplicaram habere r2
cionem +16 2d AC.
Demonstratio.
Voniam EB, A C aquidictane, ve AF ad
LFF AC F D etC ad F B, e F B ad AD: Se d
AF,F L XQUalES (UnE, XQUANEUFIGIEuF F B, AD.
ec B Et D: quia retb dP F dupla cA CF, id cAt
BIcupla IF, eric L F B dupla GI; vnde tOL2
TIC aequalis elt F B, id est AD dimidio re.
etx AC; guate deBIadBF, id cA FD, hc
FIC est ad AC, est aucem rario parabolx HIBC
ad AFC parabolam composica exrarione c BI
C 261. DM
ad FD, _ HG ad AC: igirur ratio parabolx FIBC adparabolam AF C  M.
caca est, II C ad AC. Quoderac demonstrandum.
PROPOSITIO CCLXXIX.
IIdem Policis.
L Dico ABC parabolam, octuplam esse parabola IIBC.
Demonstratio.
Voniam AD, TTC linex aequales sunc octenta, e BD quadrupla ipsius BF
Le criangulum AB C octuplum esterianguli HIBC, sed AB C parabola est ad
parabolam HBC, ve AB C criangulum ad criangulum FIB C; octupla isitur est CEx ele-
parabola ABC, parabola FIB C. Quoderar demonstrandum.
PROPOSITIO CCLZKZ.
mentis.
CInE ABC, Be parabolarum, axeS BC, LF, diuisoque BC vecun-
que in  Mluidatur _ F. P proporrionalicer in B, ponanturq; ordi-
nacim (IO, TK.
Dico C. B H parabolam esse ad pacabolam LFHC, ve AB C parabota
est ad parabolam DFF.
eP
dr
Ba
Lcibim
Wnstteesnntonto1s1819
 p us  i sa os

## Folio 486 — 1815201908:0543
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000543.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
41.
b 262. lu.
d262. h-
P A R ABOL A.
Demonstratio.
DOnancur ordinatim C A, FD: VEBFF ad BC, AICF K
est ad F. F, isicur re quadracum OTIad quadrarum AC.
sic IK. quadratum ad quadratum DF, X invertendo
permucando ve AC quadracum ad quadracum DP, Sc
CHI quadrarum ad quadrarum PK, _ VE AC adD F, SC
GFT ad IK. scd AB C parabola est ad parabolam CBH
a in eriplicaca racione AC ad CHL; e DFF parabola
ad parabolam PF. K, in eriplicaca racione D F ad FR, crie
isicur reparabola AB C. ad parabolam CB FP, sICD R Li
parabola ad parabolam IF. K: X permucando vE ABC
Parabola ad parabolam DF F, Sic C BFI Parabola ad Pd.
rabolam PF R; quod erac demonstrandum.
Si vero BC, F F laceribus rectis XgUeNEuE, Crit CBHI
Parabola ad parabolam PP. R in duplicata rarione CHI
ad TK: quia ABC parabolaad parabolam D P. Fiin du-
plicaca estratione AC ad DF, cum AC, C B linex, icem
DF, FF ex quibus brationem habene compolicams
aequales pOnanEUE.
113C
DR BEOSTTIO CCLXXXI.
proporrionales sine, poltisque Ordinarim E G, FB, D C ex C _ B,
diamceri demirrantur C HI, BL Ocurenres F B, D C lineis in HI X I: e
pet F, II X F, L parabola descrrasseur habences apices in F X F.
Dico FF LI parabolam elle ad patabolam D FI, in criplicara racione
Demonstratio.
Voniam A E AF, AD concinue proporcionales
VE AF adC AF, AC F, F est ad FD: sed ve
AF ad AF, SC LC quadratum eA ad quadracum
FB, id est quadracum F FT ad quadcacum D I; ioiene
De P F ad F D, SC FIT quadracum est ad quadracum
DI: quia vero ratio parabola FP. FI ad parabolam
D FTcompolica cltCx drarione B F ad FiD, id est
ex duplicata racione LiI ad DP, d icerum exra
tione F TTad D I, Parabola F F. TT cs ad parabolam
D F I, in criplicala racione FFI ad D I. Quod crat
Seo A B C parabolae aris A D divisus in F _ F, vE AF, A F, AD
tHIad DI.
ossionibi.
CI. DEpro
demonctrandum.
Corollarium.
Tinc sequicur, sipuram mixcilineam FTCFB, CHC aet HIV MLAIH ABC III CIPIICala
racione IIB ad IC. cum enim F CF, FB, DC proportionales sinc, parabolae
241: D A G, F AB, D A C in cconcinua quoque sunc analogia: quarC _E F E C B mixti-
El. Depro-
lincum ad mixcilineum DFBC cIL AC PalaVA au ParabOlam F AB, id elt
pressionibus. in criplicaca ratione P. C ad F B, I CH F HL dd D L. Ted _ LCCaHGutuM FC, ad re.
Bnius.
etangulum DB est in criplicata rarione linex F HI ad lineam DF, quia rationem
adresiduum LB C. in criplicata eA rarione LEl ad DL. quia vero ellC, L. ad LB. 1d ell
FH ad
habent compolicam ex ratione F F ad FD, _x F FT ad D I. igitur ex reliduum HCB

## Folio 487 — 1815201908:0544
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000544.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
AC
rendo
EI
BH
ABC
Eerie
Et
Pa
oBH
GH
ndl.
ltem
eam,
20
D3
: 
one
ales
um
um
lam
est
rd.
tan
erat
P A R A BO L A.
L H ad D F, vEF B ad DC, rectA HT BCH Ad FC, relquum ad reliquum veFTT adD F.
teuraisicur H C. B ad lBC. lisuram, crixlicacam habecrationem HB. 2d fC. 10+
crat demonstrandum.
PR OPOSIFIO CCLKKKIE
ScoABC parabolae diamecer BD, recunque dinila in D _ F, SICVE
neoCBD Cic aequalis laceri recto diamert DB; a per L. dD
OTAMTALILS POHIEIS AC, F C7, describanEuT PeF A, B, C, _ F, B, C, puncta el.
aptes quarum colingaca linc diametri AC, BD, FC
BF.
Dico AB C parabolam essc ad parabolam FB C, VE AB C elliplis ad
CMplIM FBC.
Demonstratio.
Vnganeur ABC, FBC; vE ABC criangu-
Lium ad crianoulum EB G, SC A B C a p aF 2 -
bola est ad parabolam F B C: scd e ABC elli-
PlS est ad ellipAM P B C, VE ABC b erranGU-
lum ad criangulum PBC; isitur re parabola
AB C est ad parabolam FB CF, AC A B C.
Duod etde demontratium.
DArabolam ADC Tuotendal recta quaeuis BC
L delcribere parabolam qua ad ABC. palaveram dacam habcacra-
tionem Fad G1
nite
113s
Constructio es demonstratio.
luita BC bitariam in D, crigacur diame-
teF D A, quae dividacuE In F, VE AD SIC 2d
DE licuc G Cst ad F; cUm peF B. F, C puncta
Parabola describatur cuius diameter sc D F, d
ordinacim ad illam applicaca B C. dico factum
esse quod pecitur. Ouoniam AB C, BF C Para.
bolecommunem subcenlam habent BC, Para-
bola BF.C, 9d ABC, Parabolatm eA, ve D D c ti-
nea ad heam A C id ett BE P 2d6. dcum
.110
PROPOSITIO C
+0
240. h1
ius
B Decllipsi.
luper illam
X
ROFOSITIO CCLXXXIV.
eerisnaitore e
earuc
laci pa
EE CASLHBNE). ED enRHhiBa WIMA 1
B9io
l
t  Sed CM etC
 C s ott
 Si S E Oc
rigica
1113
clot
 s estrica et
1
Sto AB C parabolae diameter A B, CuI vecunque In F. _ D, _ Or-
Salal Pola Be, CD. Ilaccet a LC HIparabolx diamerer FI
vecum.

## Folio 488 — 1815201908:0545
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000545.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
A R A BOL A.
vecunque divisa in l _e ordinatim posita TII. OpOKFCE F FTC parabolam
icerum druidere sicue ABC parabola diuisa est.
Constructio es demonstratio.
01
188
laEvE AD aet A F. siC F L ad F R, _ ex K ordinarim ponatur R G: dicofactu
ese quod pectur. Ouoniam estve HIL, ad AD, SICF R ad F I, eric _ C R ad FIL
Vc BF. adCD. sed B A F parabola al pacabolam C A D a in criplicara est rario-
helinex BF. dd C D, _ GF R par ao ad parabolam FP FI in criplicaca rarione
CK ad FlL Voitur vEpaEaBOIA B AF, ad C AD, parabolam, SC CF R est ad pa.
rabolam FIFL. Pertechus lele quod tuir postulatum.
rS.
113C
BadLA A PROPOSITIO CCLXXZV. nlo
TIc ad AB C parabolxe diamerrum AD, ordinacim polica DC: diui-
DCag: AD in E, VE E D dupla (IE AF, ponatur ex F. ordinacim E B,
_ ex B, demictatur diameter BFs occurrensrectae DC in F. 4 1
Dicoparallelogrammum D F BF aximum esse illorum, quae in an-
sulo F. B F, parabola ABC D cerminata inscribipoltunest nunil AC
cssocit osib.
115sCtsloder
uinq des Demonstratio. Il be cutunitore
LBC eD Et Scst C
1. 1115 178 Lce C
Necribacur enim quodeunque parallelogram
mum LC FI habens ansulum TOFI aqualem
angulo F BF: a8Acurque per B ContinGenS L R,
OCCUErENS AD diamerro in L, X DC linex in
K rectae vero HIO in M; ex quo recta pOna-
cur MIDY aquidistans GT. Ouoniam B L CR COn-
cingens, ex I B ordinarim polita, FeCtXL A, AF
Baquales (UnE; adcoque EOca V F agualis est
F, D quae dupla POnitur AF: vnde L R in B quo-
que bitariam est diuila: parallelogrammum igi-
tur DB maius cs. parallelogrammo DM: led
Paralleloorammum DM maius cA parallelo-
Grammo DO: quid punctum M cadic extra pa-
idem demonctratur de quouis alio; parallelogrammumisitur DB maximum est eo-
rum que AB C parabola cerminare in ansulo P. B F, inscribi poslunt. Ouod erat de-
monstrandum.
il
09 0dis R. R O.
242. h1.
115.
rabolam; parallelogrammumigirur D B, mulromaius cst parallelooramno DC:
EI   t SIES S
esi
ous ostetus  sepe tte s at  es oot s se te  u  e ut t t   e  pu s a  es

## Folio 489 — 1815201908:0546
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000546.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
olem
tactu
HL
acio.
ione
P2
ui-
B,
n
am
eud
R
2
OB
It
t
6.
de
2
A R AB O. L
PROPOSITIO CCLXZEN
Acxparabola cerminacx maximum inscribere parallelogrammum.
Constructio  demonstratio.
IC. ad AB C patabOIX dLAIMerrUm
DB D ordinacim pOFIEA A C; OPOTECE
demiccancur F II, CTTOCCUErENTCS AC
lineq in HI _ I. Manifectu est CxPEXCC.
denci propolicione, paralleloorammum
HGLF eHC id quod quaritur.
parabolae AB C maximum inscribere
Pacallelogrammum. diuisa DB in B, ve
nacim linea FO, e ex F e C diamerri
ED dupla Ec B. B, Ponatur per F ordi-
PROPOSITIO CCEXL
colaterum CoMHCENUMCTO.
Volyeonum regulare voco, cuius singula latera sesmenta auferunt aequalia, prater subtensam.
Constructio es demonstratio.
Darabolam datam AB C sub-
CeNDAE A C, OPOTICAE ABC
parabola, polygonum regulare
inlcribere, quacuor constansla-
ECFIBUS. CCCCEUE A C in D _E F,
eritariam, ex Cx D _C F diamerri
PONANEUFDF, F C, iunganeur-
quC AF, FG, G C; dicOAFC C
polrsonum lacistacere pericio.
ni. CUM eNIm AD, DF, F. C. li-
nex Equales linc. segmenta quo.
que AF, FO, CC aequalia lunc: Polygonum isitur regulare est quadrilacerum
AFOC inCcripsimusisitur, e c. quod erac taciendum.
PROPOSITIO CCLXXXVIII.
Nexe parabolae cerminaca, polreonum regulare in scribere, quod da-
IIdem poricis.
DicohC Guaamlatetu elle Masiuillorum qua Ab C. Pa.
rabola cerminatx in scribi potunE.
Demonstratio.
lecioace clcu allaauoauis quacenacetum Abeil: Quocorccto sulatuta
cus Ce communchabeac cum quadcilacero ALC. C: quonam isieur AL, li +
aequalia sunc seomenca, aminora illa tunc segmencis A B, B Crirclidua igieur hISUTaFC- ins
Etilinea AF C:C maior est Rgura rectilinea A B C C: similicer ostendicur quadrila-
terum quoduis aliud minus esse quadrilatero AFC, C: maximum isirur illud cA e0.
rum quae ABC parabola cerminatae inscribi ponune.
s.b
la 4c
Corola

## Folio 490 — 1815201908:0547
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000547.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 12 lines, status machine
e ARLDOLH
Corollariuit.
Vx de quadrilarero leGularidixi, eadem de quoruis lacerum polrsono regu lari
Lincellisenca e eudlemque omnibus constructio et demonstrario convenit.
R ODOSTFIO CCLZZXIX.
Aex parabolae celauaae, polygonum inscribere maximum illo.
rum qua dalohumero lacerum in scribi postunt.
Constructio C demonstratio.
Ncribendum sc parabole, maximum quadrilacerum: inscribatur AB C parabOIX
ouaarilaterum regulare Alicic: dico illua ec maximum cotam quae pari
numcrolacerum, parabola lebipollum. Demonlratio ex prae cedemti munella
est.

## Folio 491 — 1815201908:0548
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000548.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
uto
I.
illo.
Dari
Aa
e
 d: Sesi DC 171719I 21  A cslitBEe D CL AMSEBCLSE
Varias exhibet eeneses, qua tum Elineis, cireulis, ellix sibus,
Ad nil in tum exipsa oriuntur parabola.
ect  arip 1 
SP
23 colmreom ris andummaA. L X, 1, D  GiC XC
Sto AB linea vecunque divisa in C; ponantur aurem ad AB Ke-
ct  qudecuique BD incet E aequidictances: ve C AB rectangulis
aequalia sine quadrata BP.
Dico puncta A, D, D elle ad parabolam cuius
lacus eectum est A Cor I 2 lrypr. 33aL it Y esiiu
Siiet ed maralta Bil et 1) sv. H cml 19D il
oq nil  cilem Demonstrario: la ha iC Et r. 11
Bes P BA (I et LL reSI:  C BCME  EISICLBKSSP ZCCI
TF AB linea 2d AB, HC~ C A B rectandulum ad re-
ctangulum C AB: sed C AB rectangulis aequalia po.
nuncur quadeaca BD, quadracum igicur BD est ad qua
deacum BD, ve AB linca ad lincam AB: punctaigicur
ASD D, luncadb pathbolatu, cuiuslatusrectum AC.
Duodtuir demonAranduri. 13101p
PR OP OISAFLO, CCKCI.
Sto angulus quicunque AB C: sumpro-
sque in BClarere, quouis puncto F. fianc
proportionales EB, B A, AD; _ AD qui-
dem aequidistent lateri BC:
DicoB, D, D este ad parabolam euius
latus rectum est BF, m.. b. 1I 1.
aait ES 2GaC I +VB I
om Demonstratio.1 1. 2 CL1. siF.M C Lit eri C1 2 Bi 19 sib avin
ete
M COG Stu i
Veantur DC parallela AB: quoniam ixieur
CD equatUT AB3 rectae FB , CD, BC in 1 X: 3
concinua lune analoria, _ F BC rectangulis x-
qualia, quadrata CD: quare pet PrXeCedeHreM AS (elSN D E A. Ix
puncta B, D, D, ad parabolam sunc, cuius tacusire- P on vices
dum eA BF.
terior
et: it craserter lal EA CCBTIIBC 
PROPOSFTIO LCCXCFF IAIC
 rete
Ademmanence fgura: Sic icerum angulus ABC, e BC lareri quol
scunque educta parallelae AD: Hacautem ve AB quadratum ad qua-
dratum AB, SIC AD linea ad lineam AD.
Dico B, D, D, puncta esse ad parabolam.
A2 21
euit caclocm
ARS SEPTIMA
.dexeto
Demon-

## Folio 492 — 1815201908:0549
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000549.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
AlABa
Demonstracio.
Donancuricerum DC paralleta AB. eric igieur D C quadratum ad quadracunt
C, vc AD lincapalipcam s L, Id eAt BC ad BC; punctaixicur B. D, D, a 2d
E18, CCXOII1.
Seo ABCD parallelogrammi diamerer BD,
quam in C, Secenclinex quorcunque E F, P2-
allelae laceri AB. hanc aurem proporcionales FF,
se  sgnil
DicoB. H, Apuncta ese adparabolam. 1
13 53slce
Demonstratio. deii
6.dis
Voniam F F linex aquales sunE, Fectangulu P RC ad
F F C rectangulum cst ve C F. linca ad lineam C Fsid
CA ve BF ad BB. sed F H G rectangulis aqualia po.
nuncur quadraca HIF, quadracum igitur EIFi. est ad qua-
lTacUIM HP, ve F B linca act _Cam F B: quare B, FB FI, ad 0 parabolam CunE.
eROPOSIEIO GEXCI.
Eeere:
20SAM
Acera ansuli ABC, secene
quorcunque parallelae AD:
qua dividantur in E, vED F. (ic ad
E A, SICuF C D est ad DB.
DicoB, E, C, puncta esse ad pa
rabolam.
B: Demonstratio. 10g0
luisd B C bilariam in D, cris LEuTFC
Parallela AD: Sccccurque FC bita
riam in FI. dein per B, FT. C describatue
Parabola qua in B concingat AB lincam,
e63. hrins. dividec illa rectas A D M L punctis, DED E ad F A, cam habeanec rarionem quam
CD ad DB: quadeCum sic divilae ponancur, cruncpuncta BF. C adparabolam.
PR OPOSIFIO CCKCV.
Dico B, F, F, esse aa patacrant culustatus rectum est AB.
ex1. H
ParabOlAM CUNE.
iF
2bid.
Ic ABC criangulum rectangulum; ductilq; ex A lineis quorcunque
AD, ponancur ad D, linCx DF, DF: d D F quidem normales ad
AD, Occurrentes AB laceri productoin E: D F veronormales ad C B:
Occultant aurem DF lincis in F, lelta F. F parallele lateri C B.
I
Demon

## Folio 493 — 1815201908:0550
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000550.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
aeum
2 3
BD,
13P2.
FE
6ad
10.
Piid
9u2.
11.
CAC
0
2d
i
b
cut
P AR A B,O L A.
Demonstratio.
Vn enim anguli A D F PONanEuE
recti, d D Blinca normalis ad AB,
rectansulis AB F. a aequalia sune qua-
deaca DB, id est F F: SCd ABF rectan-
sula illâ incer le leruane proporrionem,
quam linex B Fsigicur ve BE ad BF, AIC
F F quadracum ad quadratum F F. unde
BFF sunc b ad parabolam cuiusc lacus
rectum AB. Quoderae demonstradum:
PROPOSITIO CCXCVI
GECCNE A B C criangulum, reCtX quorcunque DF, FG, FI, RL: 1
Ldceri, B C, Parallela; hianc aurem continux proporrionales BC, KL,
AP: irem BC, HI, HIO: irem BC, FG, F N: denique BC, DE, DM.
Dicopuncta A, HI, NNSO, P, Cs csead parabolam
1e 2 17C BDpBCA
maheux IL m Demonstratio.
1d. 1.. 
Et sr1.
Voniam. B C, linea communis prima est, se-
Leiebus concinuarum B C, RF, RP: BC, TTI.
FTO: BC, E CFN, _C. rectangula BCRP, BC
HO, BCEN, BCDM illam Corciuncur rario-
nem quam habenclincx KP, H O, FN; DM. igi.
CUF _ quadEACA RL, TTI, FC, D F eandem quo-
que lcruant proporrionem: sed rek I quadracum.
ad quadrarum HIB, sic K A quadrarum est ad qua-
dracum HA, e re HII quadracum ad quadeacum
FG, AICH A quadracum est ad quadracum F A,
REC. igitUT_E quadrATA AK; AII, AF, AD IIam
habe racionem quam lincx HIP, FIO, F N, DM. PutS A, M, N, O, P ad inr.
sparabolam (unC.
PROPOSILtO CCXEVI
Sto ABC FHaH-
Lsguli lacus BC VE
cunque diuilum in
Dunctis D, E, F, C, iun-
cisq AD, AC, AF
AC, diuidaeur lacus
AB in purictis LL, L, R,
L sicur BC est dini-
Cum inD, P., dc. de-
miccancur aurem ex HI
II, C recta AIM, IN.
KO, L. P parallelx la-
ceri BC: _ HIM qui
deM OCCUFFAE A D in
MI; IN veroip(I AE in
N: dein REO, reCtA F A in O, e L P, ipS AC in P.
Dico A, M, N, O, P, C esse ad parabolam.
299
51
cii
P lo5 et
Demon
ii est     e tt   tt e et  t  tat e   e e     d  t   A    tt  e t    pet

## Folio 494 — 1815201908:0551
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000551.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
2bid.
b rbid.
P AR A BOV A.
Demonstratio.
DRoduaa FINI, OcCuT.
aC lineis AB, AF
AL, AC+ in O, R5S, I.
noniam cst A IL ad AB
sc BD ad BF, ex hy-
Pothesi; siC alTeM VE DD
ad BR, ACHIMadHIO.
TM est ad FTO, VE AH
ad AI, Id est ve HO ad
IN: proportionales igitur
TUnE HM, HIQ, TN. A.
 ilicex octenduncur pro-
porrionales TIM: HIRI
 te es . 5. 1O3 . C 31SD KO: itEM FTMB FISILP:
istt
I. deniguo TTM, HIT, BC:
quare rectangula TIMTLN, AMKO, TTMEP, ecc. illam incer se proporrionem
habene, quam FTO, FTR, FIS quadraca: sed est ve FTO quadracum ad quadracum
FTR, sic B F quadracum ad quadeacum BF, id est perhrpocheuim A I quadracum
ad quadratum AK, _E VE FTR quadeatum ad quadearum TTS, sc quadearum BF)
ad quadratum B C, id est quadracum A K ad quadrarum A. P: igieur de rectangula
TTMTN TTMRO, HIMLP eam inteESC POrVAnCratiOnem quam A I,AK, A F.
quadrata: sed rectanguta FTMI IN, LTMR O, TIM P P CInCVEHIHCE LN, RO, L. P;
isicur _c quadrata AI, A R, AI. cam incer se habene proportionem, quam lincx
EN, RO, L. P, quarBa A, M, N, O, P, sunc ad parabolam. Duod erac demonstrandu
adu
EROPOSITIO CEXCHLII, muve
cet 1. (111112
SuBCata SIE ratiOnL HL a LLC, CC. _CM CxD, F, F, C punctis rectae
criganeur DII, L. BFL, G L. parallela lateri CB: quas in MI, N, O sc.
cenclinCX HIM, IN, IE O aequidistances lateri AB.
DicoA, MI, N, O, C puncta esead pa-
rabolam.
. 11
Demonstratio.
quadraTUI AF, VE F MC linca ad lineam FN.
Smilicer ostendetur esse ve F.N ad CO, SiC AF
quadrarum ad quadratum AC. puncta igirur
A, M. N, Ob sunc ad parabolam.
e
Sto ABC crianguli lacus AB alvisum in D, E, F, G panctis ve
ratio AD ad AF G duplicaca heracionis A F ad AF; e illa rurlum
1
Toniamracio AD ad A B, id est D H ad
FL; id est F. M ad F N, duplicaca estra-
cionis AF ad AF, quadracum AF est ad
iue ete ras  es tet ue pet e se tet ete e e t s e et ete  us t te es et q e e e te e  b   suttet   ste    e te t te e  st  te t e   . et   t  11 6 1  e

## Folio 495 — 1815201908:0552
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000552.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
Keur.
AB
S,T,
lA
X hy.
EAD
IHO
EAH
Ou
igieur
N. A.
pro.
AR.
SiLP.
BC.
BuEm
alum
arum
 BB
rSula
AF
Lol
le
inex
2
ve
Cum
ecta
se
Had
tra.
1
D.
P AR A BOL A.
PR OPOSTTIO CCZOIZ.
AEmicireulum ABC CCCEF
Dorthosoalicer in D di2-
meeri dux AC, BD. Pona-
cur aucem FE linca parallela
AC: dem lumpris in AC
punctis FF, Cliganeurnorma-
les FE, OCCMILenTES PF linca
in C, Cemicheuto in C6. Fane 
ducem proporcionales F F:
Dico H, E, C puncta este
CF, ElF.
adparabolam.
Demonstratio.
Vn enim proporcionales sine
FL, OF, HIL, eric vequadra-
cum FC ad quadracum F C, SC AC
EFH rectangulum ad rectangu-
lum FF FI: led F: F FT rectangula illam inter Sc habent FatroneM, quam MnCx LIF,
igicur ex HIF linex lunc re quadeata CF: id est Ve AF C rectangula, puncta ixieur
H, FI, C ad parabolam LunE.
Idem conringet in ellixsi, si A C. B D diametri ponantur coniueata, et F. F aequi distantes
ipsi BD.
P ROP OSIFIO CCC.
Fomentum circuli A BC subrendat recta AC, quam in D Sccent
quorcunque D F, parallelae contingenti F. G per A ductae: Rac au=
cemi vE AB ad AB, sICD F. ad DF.
Dico A, E, F. puncta ese ad parabolam.
Demonstratio.
Vngancur AB, B C: quoniam FG contin-
oens eR, angulus C AG equatur anoulo
ABC; sed angulo C A C: aequalis est ansu-
IuS ADB, quia F G, D F xequidictane; an:
suloigicur ABC aequalis est anguluS ADB;
ex crianpula AB C, A BD, Cimilia Punc. qua-
ReVE AD ad AB, lic AB ad AC; _D AC
rectansulo aquale est quadratum AB. qua-
dratum isitur AB est ad quadratum AB, vE
D AC rectangulum ad rectangulum D AC.
id cst v= D A linca ad lineam D A: sed AB
quadraris aqualia sune quadrata DF,, qua-
drata icsieur D P eam habene rationem, quam
obcinenclinex D A. quare AF, C puncta ad
parabolam CuNF.
eRO:
rit

## Folio 496 — 1815201908:0553
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000553.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
R ABC
d
DR OPOSITIO CCCI.
Sumpeum (ic in A B C Temicirculi diacero AC, punctum quod.
Lcunque D, quodcontrumnon sic, d ex Dad peripheriam, rectae
AlICANEUE DF: asanturqueper F, linex , Ahales ad diamerrum
AC, _ D F rectis aequales.
Dico CC puncta essc ad parabolam.
2 FX 17. h.
bFXI3I.
cl34. hu.
4.
F
primo
Demonstratio.
Rigatux ex D linea D B HOF.
Lmalis ad diametrum AC
aetaque per B concingencC, que
AC, diamerre dac  H.
sececur IID bilariam in I: e
per I_ B, describatur parabo-
la habens IC aXCH
DB, ordinacim polica est ad
2ZCM IC, QD L
Il li
quales, contingee HIB linca
Parabolam in B: quia vero in eodem puncto, eadem leca enculum concingic, con-
cinsene quoque Cele in eodem puncto b circulus ex parabola guare DF lineis cequa-
les luntrectae F C. Igicur cum P F. C: lince normales ad diamerrum A C, rectisDF.
ponantur aequales, puncta C, C ad d parabolam lunc: cuius apicem astignac punctum
in quo HID dividicur bitariam.
R O
1O CCCIr
arabolam priori propolirione productam in intinicum eademm praxi
extendere.
Constructio ex demonstratio.
un
Occurren(
querectis FF in G. Ouoniam
a X
lat C D, aqualis C F, Parallela BD: eric F ad parabolam MBEI, cum omnes
DH cransaEX Cin C F. FI ad parabolam linc. Fact a deinde CM, aequali MN, Epo.
e Coninedo Patabolam, e crisacu  Perpenaeuas dd HF Cons
encemi cenlbq; O inceruallo FO circulus describatur; contingec illeo parabo.
Jam, dL deam in F: cum parabola describatur, h gux ex descripio iam circulo
KF P, oritut; Hac quoque concinget circulum R F P _ NF, LInCam II F, Be in PHO-
eiproxoncione oltensum est; verrex igitur ejusdem estin MI, cum MC, C N linex X
quales linc: erg Palabbla Illx dux communem habenererticem M, e punctum li
vnaigitur cadem que tanc parabola, qux per verumque circulum cst delcripta: ergo
circulus LFs Paladoum priori praxi de scripcam producic: acque ita cadeM pata.
bola cadea praki i inthICum COnEMHaBIEuT. Quod eras proxolicum.
NaCUE
l RO
      s    o o u s le

## Folio 497 — 1815201908:0554
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000554.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
Muod.
recta
NuM
BBOr.
AC.
e, 912
1
arabe
erent
oniam
est ad
Cx 2.
linet
E, COR.
qua
DE
ctum
raxi
1Pi
are0
212.
PFA RCAEB O I A. E
P R O, P O SAIAITIOOOOOTII.
Scocirculi ABC diamerer AC, vrcunque
producta in D, exiquo in circulum immit-
tancur litiex DB; a8ancurq; 2d AC per B HOF-
males F P proportionales ipEsId B. quarum cer-
mini (INC F P.1. Il il M 202111
DieoFF puncta cMo ad parabolam.
 Demonstratio.
1110
Vcacur ex D linea DCi, contingens cseuum in
C, de ex C, Bonacur EFInormalis ad AC, iun-
Bancurque FIB, isicur DB a ad DB cAt ve B FI ad B II.
sed BFI cranstacae in F F, producanxb parabolam, igi.
cux ee ipsis DB id est B fl. Broporcicales in eundem
locum eranstaca, producuns quoque parabolam.
tsii uterete
orgaD RO BO SL FAOSCCCIV
lochareqZAM
Stumprum sic in AB C circuli diameero RC, punctum quodcun:
Laque D, exEra centrum. radia aurem D Cguadrals describatur cir-
culi C F F, perticiacurque quadrarum FD C. cum ex  recla ducaneur
quoccunque D F. Occutrenees circulo AB C in HI, _ C L F quadrAHCL
in P: e per LLaganturhormales H ad AC, hrancq: HF. lincis, aqua-
les L. 1.
115. 1I CHI
ErtI
Dico L. L puineta eMe ad parabolatm: lu
∞l11 3II. 23119FI13SC
IB DemonsratiOSISMLIB LWAN SO: EI eI
Jerre l3s ent1β. 5. 151F
roniam FDC quadracum.
Lest, exD, concrum circuli
CFF, rectae DF. lincis LK ~
quales Tunc: Ponuntur aucem
ipsis HIF, aequales LI, relique
isicur LR, reliquis HID aequa-
les sunc. Sed ETD cranstaca oin
d1
l31
RE ad parabolam sunc; idicur. ir. F3. 11CI
C, F. puncta iam quoque lan ad parabolai iin.
B5. st
35 et ll 38 2:t lic
BGq  SCISuION
et EI A 1∞ CL A 3Vb
i
Z Corollarium
L et 5 CABE EIL b3lECHI
DOrrovercex hulusparabolae sc Invennir. exect a ex D hbrmali D B, ∞ eF B28  =
tur concingens B M: dein M D diuidarur pitarium in NI: pacet N d CAC VeFEI= dEY 17:
cem parabola.
Ex A3 eruerheup D L cEH: IY criw Bemg A3, 2D 23 Slocerq 3II NNI O23VXDZ pu
geit ELil 3 Sl3 Bi, e SL CWL IMM BRCMNEHEsIP NXL 3V D. L sMBEKHBUB.
5.1och 2g so norior .AL otns il il
F+
haius.
r. ticit
l.ec
e

## Folio 498 — 1815201908:0555
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000555.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
P A R A BOL A.
Ncersecenesese in Ae B, circuli
ntduo quinis ABC, A D B: ductis.
que exAlincis, ADC, demittan.
Tur ex D rectae DF F, orchosona-
licer secances AB diametrum in F F.
Hacaurem ve DC ad DC, (ic F H
ad F FI.
Dico B, FI, FL puncta cAC ad p2.
rabolam.
 Demonstratio.
Vneaneur D B, CB: erunc igicur erian.
outa DC B similia: quare ve DC ad
DC, sc DB ad DB; Sed D B cranA aL
ex in =F HIproducune parabolam, igicur
de DC translara in F FI, sectionem pro-
ducuneparabolicam,
1. 11
utane sibi inuicem circuli duo
BC ACD in A de C, e ABC.
quidem circulus cranseac per centrum cir
culi AC. D, ducancurq; ex A rectX AF D.
occurrenres circulo ABC in L, _ AC D
in D: Ponantur aurem per F. R ad FIB, nOr-
FC, quae aequales vel proporcio-
lesII
ie lincis AD.
ie
Dicopuncta B, G esse ad pgrabolare
512eri 3eC : 2111I. csLLVE
Demonstratio. 21 eitq1
etepIa est Laeri
Penacur BHI diamerer, normalis
ecium AC, iunsancura; puneta FYF
ericisirue AD ad AD lincam BvcIIF. 2d HIB.
sedve AD ad AD, sic FC eAt ad FC pertiy.
Dochesims igieur de F C: est ad FG, Ve FTF ad
TTF; CCd FPE cranstarxe in F R G producuncc pa.
rabolam, isicur et s utcula in F. B Cn para botam pPoduCUnE l = 331 2 D∞NOC)
B2gis ∞At V Y 39369: 12 s C1
uacacu L. C ve HIF. quadrarum, ad quadrarum HB, id est vE F HI linca
et
rii
00 tu.
co
dit
110.
625D
2 10D. hu.
1515.IbCF
eRODOSITIO: CCOV.
P ROPOSITIO CCCVI.
Leareoa Pacadora , CM punctu HI: nam F C quadrarum est ad
adlineam FH. onde H. vercex cA par abolX.
P LC.
2OLILISIIII Oa

## Folio 499 — 1815201908:0556
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000556.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
cirelli
ludis.
lITar.
80D2.
inFF.
CFH
adpre
erian
DC ad
cansta
isieut
A prO.
BC
Ci
E D,
CD
NOF.
reiO.
HB.
HP
etis
A20
ine
P A R A B O L. A.
PRODOSIF LO, CCCVTI.
iculum ABC, orthogonalicer in L. diuidane diameeri dux AC
BD: descripeoq; Cuper A F. ve diamerro, semietreulo AF L, 20an-
Cur Per F rectae quoccunque F. C
_ ex F ex C7, linga demitra
EFII
Ol normales ad diamcerum AC, quam C7I Secen in KL. Hac aurem ve
AHI ad A HI, (IC KE M ad HEM, incipiendo ex parte
FHIad FFI, SIC RE L ad K L. incipiondo ex parte L
Dicopuncta D, M, M, irem E, L, L ese hd parabolas.
Demonstratio.
VnGAREUEAF: Ouoniam FFF
LGK equidistane criansula
EiFTE, F K G suHE smilia: est
auIcem _ FFTE crianvulum si.
mile criangulo A F F. ioieuE e 
AFB, PKC criangula similia
TunC, quia verO AF aequalis est
E G, criangula AFF xqualia
sune criangulis F C+K, d A F, F F
lacera, aequalia laceribus (7H,
RB; VAdC DE A E Guadeaeum 2d
C
quadratum AF, id es ZK qu4 = 13 IIV33O NN
ex(uS C, iFCM VE
dratum ad quadratum OK. S hc CMBirSh 23Is. eiOR C 23 MIBB: E e oles
AII linea ad lineam A FI, id est per hyporhesim RM ad RM. (cd CAVE C K qu2
deacum ad quadeacum GK. GC AR C; rectangulum ad rectat lilum AK C; igi-
EUT VE AP C rectangulum ad rectangulum AR C, SIC M R linca CMAdHIACAM M R. 2 P~ coN
quare D.M. M puncta ad parabolam sunc. Ouod erac primum.
Rurlum cum litve E HI 2d R II, GIC PR ad LR, SIC alITCM VE FH ad FHI, AC
EF quadrarum ad quadeacum F. F, id est F K quadratum ad qualarum P. K: exie
et L. K linca sd lineam PK, De F K quadracum ad quaatatu L. L: vnde F L. L
puncta lyne ad pasabolari.  M. 1
SCISBIB sALBCHBTOXO
a 3GpOMED RO POSLIDHO CC
Incad AB diamertasem quotcutique de
dscripci circuli convingenres selcin eodem
puncto As guorum diameeri A B; NIE, AL,
AM, ac. ductaq: ex B lideA BCs conringa
circulum minimum in B. reliquos autem le-
cer in  tuF, CpLI. hanc aurem lineis BD.
BEsBB, BC5 80. xequales rectae H O, L R,
MS, NF, eec. qua cireulos concingane in
C. MNO, 8C.  AT1 2 caueII
Li B Y MvLa
Dico B, , B, Sules B. BuNetQ esse ad pa-
rabolam cuiusi A B, laTUIS reCtum du
Demonstratio.
rasis
1X
Vonam BD normalis eltad communem dia
Lmerralem AB, quadratum BD, _ ad quadea-
cum BF. vE ABK rectangulum ad rectangu.
105
vites
b292. tovin

## Folio 500 — 1815201908:0557
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000557.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
b0
 A R A B, OL A
lum AB L., id est. (quia circuli concinsune sele In
DEB RIncacA ad lineam B L. iricur ee quadea-
cUM R O eIt ad quadEAEUIM L R. ve BK linca ad
lineam L B3 (Cum L. R, RO lincas aequales sine
BD, BF) eodem irodo ostendieur AIS quadra-
cum eAlc ad quadrarum NVT, ve BM linea cA ad
lineam BN, e sic de exceris: puncta isicur B, O
R, Si L, dec. sune ad parabolam. A B ergo lacus
FeCtuM EAE PAFEE, CUM SeMPeT QUAdFACA D R, R R.
20. aGuacta sinc rectangulis super X B, B A, L. B.
Corollarium.
Inc Facilis pacer praxis, producendi in infini-
cum parabolam, priori mechodoortam: cum
enim in infinicum mulciplicari postine circuli illi
concingences, e BC linex procendi, porerir quo
que in intinicum concinuari praxis qua prius para-
bolam produxi; ade09: eadem pacerie in intini.
pureta t ee a parabolam cuiustacuo rectum AC.
A
ec
eROPOSITIO CCCIX.
Sco AB C lemicirculi diameter AC, aet a G. per A COnFInSENTC AD
ducaneur ex C linex C BD, occurrences concingenciinv, Cemicir.
Dic
culo in B: dein ex D normales demictantur DP quas in P. secene linca
3y A∞ B9).A SEBA MX eutvol1097)V I
t
Demonstratio.
calucaerq dem hor. otilu
1
C1D3HC S1
b5. 14
125. 1
13
onstrandum.
dmancus enim, e, L aequidultances AD.
quoniam AD contingens cran(IE Per A
exeremum diamerri AC, angulus C AF
Drectus est: Scd e angulus quoque AB C in
Semicirculo rectus est, criangula ivieur
ABD, ADC similia TuNE: QuIA vCxOF. D.
OTorinalis est ad AD, ex D B normalis ad
Al. criansula A DB ad ADP limilia
i
quoquelunc. scd ADB limilc est criansu.
l0 CAD, criangula isitur ADB, ADC
limilia quoque lunt. Quase l. D ad I A, Vt
DA ad A C. adcoguequadraco AD id ell
CFF aequale rectangulum L. D AC lid ct
er SeP F AC. vnde, BR quadracum est ad qua
macue. deC cccateltum ad re
ctangulum E AC, id eA ve F A linca ad li-
neam F A. Puncta igitur R, P, P. Cunc ad p2-
rabolam. AC xero latusrectum elle patet
h eBarOS B~ AB eilarRIOA SI
1. c. 1P L5: B. CL ET sEBBBZBEVB St A CI.
varissor BA C tHBACHSBT SE A SV P RO.
(   t t   o e  s e  e i e   . . i  t   a  e t. .   es    e e    p. t   t e    .       e t  . 

## Folio 501 — 1815201908:0558
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000558.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
B.
1d
ini.
D
ir.
ex
d
FA
AD
Cin
icue
dll.
atet
O.
P A R ABO L A.
PROPOSITIO OOOK.
Scocirculo ABC inscriprum rectangutum ABCD, ee vnilacerum
AB, duax parallela E GHIF: RanE aurem CHI, HIF, FI prOPOF.
clonales.
Dicopuncta B, 1,D esse ad parabolam.
Demonstratio.
Voniam eAt ve GTI ad FTF, Sic
LHIE ad FI; eric componendo
invercendo ve CTF, id est F FI, 2d
GH, sic HIL ad HIF; rectanoulo
igituE B C F, id eA PHF, aequale
est rectangulum CrFII. e C HIro
cangulum ad rectangulum CTII.
DE R HIF rectangulum ad rectanou
lum R FI F, id est BFTD ad BFTD,
rectangulum; sed GFII rectandu-
lum est ad rectangulum GTTI VE
HT linca ad lineam HI; isieur ve
BHD sectangulum ad rectangu-
lum BFTD, SC HI linca ad li-
neam HII. puncta igicur BID ad parabolam suns
PROPOSTFIOMCCCZI.
Nscriprum siccirculo A BC rectangulum AB CD, ductisque vnila-
lcerum D A parallelis E GFIF. Fanc L. C F rectangulis xqualia rectan.
gula HIGIE.
Dico puncta AR B esse ad parabolam. c 4
Demonstratio.
()T EOF rectangulum est ad rectangulum P. O F, CC
AC, B reccangulum est ad recrangulum ACB: igi-
cur e HIGK rectangulum eAt ad reccangulum HICK ve
AGB ad AGB, reccangulum. Sed HICK recrangulum
estad rectangulum FLC K ve CK linea ad lincam GR;
igicur ee AGB recangulum est ad recrangulum, A C B,
oc CK linea ad lincam CR: puncca isitur A, K, B ad P 2-
rabolam sunc. Ouodcrarostendendum.
PR01061111 1BCC 1.
De bo e3i3 cmr
Nlcripcum sic icerum roctangulum AB CD
Lcirculo AB C, ductag; laceri B C paraHetaFF,
quae circulum concingac, ponantur recta OHI
aequidistantes laceri AB: hancque Ca lL. rectan-
oulis, aequalia rectangula FVIAI. L LWVABS SI
Dico A, M, D plncta esse ad pacabolam.
et HC sacit tor sost et 1L 31.LL. P c
d
ec reit 
RFF 
dE
avq eL
Demon.
e ttute et   te te  te e t  t t et    tee    et se   e  e tt  t  e d      tt tt de tut      t  

## Folio 502 — 1815201908:0559
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000559.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
AEXx 47.
vins.
P AR A BC
Demonstratio.
quata SInE RECEanGUIA HTME, rectangulis
HTM receangulum ad FTIM reccangulum
est ve GTT ad GTF, id eA ATD reccangulum ad
rectangulum AID: Sed FTTM recrangulum est ad
rectangulum FIIMI, Ve TM linca ad lincam TM, igi
tur re AID rectangulum ad rectangulum AID, AC
TM linca ad lineam PME. BUNCTA ISIEUE M, M a Cuntad
ROPOSTTTONCCEXILL
l
Ecin AB C ollipsi rna ex diametris coniugaris
aequalibus, diamerer BD, ad quam ordinarim
POnaHEUT AF. Rancaurem quadraris AF, E. B
aequalia quadrata F. F.
Dicopuncta B, F, F esead parabolam.
Demonstratio.
Vonia BD una est e diametris coniuraris aquali-
quadrata A F aequalia suneb rectangulis B F. D.
addito ipitur quadrato B E, quadeaca duo AF, F B X
qualia lunc recrangulis F BD. isitur F P. quadeatum
est ad quadrarum F L, VeF BD reccangulum ad rCCEaM
sulum EBV, id CA vE F B linea ad lineam F. B. igicuF
B, F. F Puitcla lunc ad parabolam.
Seo ABC ellipleos diameter BC,
squam in B de C S concingant rectae
FC: Polirisque D F parallelis dia-
metro BC. hayc D AF. rectangulisaqua-
in rectangula F. DF.
dico B, F, P puncta eMe ad parabolam.
mu Demonstratio.
VCanEUE A GIF HF paralleIX DB, PaCeE AC
ordinacim cAC Policas ad BC. IgIEUE D AF
rectangulum est ad roctangulum D AF; id est
BGC ad BCC, VE AO, quadratum ad qua-
dracum AC, id est F EI quadracum ad quadra-
EUM PFI: isitUIE _C F D P recratigulum est ad
rOCEanGUIUM FDF, id est HIB C ad HIBC
reccangulum; DE E FI quadracum ad quadearum
FTT. sed FTBC reccangulum est ad recrangu-
Ium FTBC, ve FTB linca ad lineam FFB, igicur
vE F H quadratum ad quadrarum L LBlC VIB linea ad lincam HIB. puncea igicut
PRO.
parabolam.
Circulo quoque convenit haec propositio, eademqe est demonstratio.
eROPOSTTIO CCOKIV.
B. F, F puncta ad eandem lunc parabolam.

## Folio 503 — 1815201908:0560
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000560.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
is
M
B
1i
D.
x.
1M
N-
uc
C.
e
6
P A R A B O L. A.
PROPOSITIODCCOXV.
InE A B C ellip(eoSares AC, BD; de Super A C minore ave, vedia
merro, descriprus lic circulus AIEC, quem in IY Secent linex F G, p2-
rallelae axi B O: junctisque punctis FTKE, ponantur F. L. normales ad axeM
BD, RancqueF, L, M xquales TTK.
DicoB, M, Mt puncta eAcad parabolam.
Demonstratio.
BOnancur TTN, ParalICla FL.: Xx P Cen-
rrum, sic commune circulo e elliphierie
igitur ve B F, ad H Fs siC FC ad FTO, id est
LF ad N R, e pertnucandove BV ad L F,
sICR F ad NB; quarEd HF dd NK, CA
ve BF ad TB, ec perrmucando DE BF ad
RF, Sic BF ad RN, _ BL est ad BF,
VEKN ad RN: SCd CADE R N adRN, SC
HK quadratum ad quadracum FIK, id est
perlirpocheuim ve MT. quadracum ad qua-
dearum MT; igicur re BT lincaad lineam
BP3 SIC MT quadracum ad quadracum
ML. quare B, M. MI puncta Cunc ad parabo.
lam.
PR OPOSITIO, CCCXYI.
Vper ABC ellip(eOS aXC A C qua-
Ddracum constieuatur AF, cuius
diaeFer C D OcCurEaE rectis
FG, HI, LK laceri AB paralle.
lis, in MI, N, O. Hac aurem AC
quadrato, aequale rectangulum
GFAS d AIguadraco aequale
rectangulum SHII, dein de qua-
draco AL. aquasc rectangulum
TAI.
DicoD, R, SsI puncta esse ad
Barabolami. . FIl aic
assumiur in propositione ellipsis; ob se-
quentes propositiones.
Demonstratio.
Tsde
2 Fctangulum R F C est ad Fectan-
guIUm SAT DE RF ad SHL; &
STII rectangulum est ad rectanou-
lum TKL ve S ET linca ad lincam F R: ivitur sc quadrata AC, AI, AL, id clt
Ot, D FL. DR, camincer le concineneracionem, quam lecta RL, dHL, ER. qua-
re D, R, S, Y puncta ead paFab ola (UNE.
2 292. bml 13
 ete  s     e tat 1
23
B
ot s et t te  t i
Auie tiII
10
e sute t e  ee eu ts 

## Folio 504 — 1815201908:0561
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000561.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
p  uaun
2
L. ALL 1DL 11.
L. HESSEALOECCCNVII.
ildem posris. Gunc B, . C. L, DL. quadracis, ae qualia rectangula B. F RV,
ofelle, ad parabo la.
4
1
Demonstratio.
Ectangulum GFR V ad rectangulum
TITSX est vE R V. linca ad lineam
SX: igicur X quadearum C B cst ad qua-
dracum PT, ve R. V, linca ad lincam SX:
sedre BG quadracum ad quadeacum PI,
Gc AOC rectangulum, est ad a rectangu.
lum ATC, igicur rE R. V ad E X lincam,
sic AOC rectansulum. ad rectangulum
ATC, id CA DM C rectangulum ad re-
ccangulum DN C, id eA M R b linca ad
lincam, SNV, quia RST. oAensa eAt para-
bolasisitur _ ML V. est ad XN, VEDMC
rectangulum ad rectangulum DNC.
similicer octendam oNc X N ad Z O, ve
DNC reccangulum ad reccangulum
DOC; punccacixirur N, X, L. ad Pat2
bolam lunF.
. (11
PROPOSTFIO CCCZHHIE
IIdem posicis: iuneaneur AB, AP, NO: tancq receangula E, F. N.
LIHTX, L. IEZ aequalia quadraris AB, A P, AO
Dico V, X, Z punctarurtum esse ad parabolam.
Demonstratio. IC dEit
ol
Voniam BC, PL,O L, normales sunend AO, quadracum A B (2 qualc est qua-
dracis AC, CB: sed C B quadracum aequale posrum est rectangulo Cr Fi RV.
ex A Ci quadratum aequale reccansulo C F R: igicur quadratum A B id est rCCTAN-
sulum G F V, aequalo est recrangulis OFK, CF RV: Smilicer oRtehdirur
receangulum IHIZ, aequale esse reccangulis ITIS, TIISZ: _E LRZ reccanou.
lum aequarireccangulis V.KC P, P. R T. Z. Ced cum (C FR, G, FR V recrangula x
qualia ponebancur quadraris A C, CB; _ THIS, IFTSX, aequalia quadracis AI,
316. e IP, XC. Octenta Cunc V, X, L ellc d ad Barabotam; isicur ee iam 28 parabolam (un.
PROPOSITIO CCCXIX.
NIE, AB C parabola diametet A D: de ordinarim ad illam posirxe DB:
Dhac aurem ve DB adt DB, AC D F. ad.  F...
3: FI2. t
DICOAF. F esse ad parabolam.
t 37
e mutaus
BF lis St sta B92 III.
113He.. FR I P. 2d A B. H S.ILBEHP 3B INSigi: X lMMBDesil he nait 1EZ W P X P a
ap. 3 X. AIE eY S . Bit nop, HROi SaIBMO.S E LeI MB AA CL HC etC
.3e11d cc2 F. l  c t 2L. F1. 1. 1 L. P3 11.2
A.
 dC
Oocton
dico puncla +4.
4.
7. huius.
o se tet  u se  s e e  otte t e t u su e etut sut  s tu st  s ste   s tat   ite   at

## Folio 505 — 1815201908:0562
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000562.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
FIII.
9ua
CTaH
idieue
ane
ula
P A R A BOL A.
Demenscrarto
EScenim F. D quadratum ad quacatum F. LHL
quadearum ad quadracum D P ex hypochen ld clt
ve AD linca ad lineam AD; puncca igiEUE F, F aC
ParabOlam TUInE.
eR OP OSLFLO CCCXX
VIE ABC parabolae diameter AD, d ordi
nacim poliex CD, BF: ductaqe linca AC
qua BE rCCEIS OCCUTEAEIN FF, FaE VE FB ad
FB, SC BC ad BC.
Dico O, C puncta esse ad parabolam.
Demonstratio.
oti
atac vE BF adt BG, SIC F L. 3d F H: quoniam est ve F B ad F B, ita BC ad BC
eric permucando ve FB ad BC, sic FB ad BC: se Del construc, DF cA ad
EFI, ve EB ad BC, ergO F F CA ad B IT, vE F F ad L FT; igicur cum puncta F F
in directum sinc, puneta quoque IIFI in directum lunc, re paret ex clemenris: de
_ide quia est ve FB ad B G, siC F F ad F II, erir componendo, connerrendo O F
ad BF, VEFH ad FB, ∞ permutando CF ad FHL, VE BF ad E F, ee compo-
nendo GTT ad ETT, VE B E ad FF, iccrumque permulando CrTT ad BR; VE LFI
ad FF; sed cum anre ostenderim eNe FF ad FFI, v E P CM ad FHI; crie quo-
que ve F FI ad FB, siC F HI ad F R, crgo ve GHI ad LH, lic GHI ad BF, e per-
mucando CTI ad C TI, ve BP 2d BB: igirur ex quadcatum C FI 2d GHI qua-
deacum est, requadrarum BP. ad quadrarum B t, hoc eAt ve F. A ad F. A, hocCIC,
ve AEI ad AHI, punctaisicur C. C ad parabolam lunc, cuius diameter A IL.
PROPOSITIO CCCXXI.
Donancur eadem qua prius, et
tanc F F lineis aquales rectae
BO.
Dicoicerum A, C, C esse ad para-
bolam.
Demonstratio.
Vm enim P B lineis aquales p0-
naneur B, addicis communibus
BF, rectae FC aquales luncF P, dCFG
quadraca aequalia quadracis B F: igitur quadracum F G ad quadrarum F C es ve BF.
quadrarum adquadracum B E, id eA ve AF linea adlincam AB, id eA AF ad AF.
puncta
ttttttt
138

## Folio 506 — 1815201908:0563
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000563.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
P A R A B OV A.
puncta situr A, C, C de Pacaderan su, cuius didmeter AFC.
Si vero FC linca propotoales cplis L. L, oltenditur re in pexcedenci pro.
Dosirione, A, C, C ele ad parabolam. e eu ba eeheup  el a
sit. 59 530  e C ∞. ∞2 5B F~CeB
PR OPOSI F FO CCOXXII. I ba romt. C s 30
.3a1 soder.
Ponantur aurem ordinac lince BF, CD; innetaque AC SCCUTTAL
BF. lineis in F. dein dueta quacq: CC ad AC, contingentem, quae
BE. lineas productas secet a HIH: hac ve FB ad F B: sic HII ad FII.
1311 213
El aC TI
106
DArabolam AB C cuius diameter AD, contingat in D linea AC
Dico puncta I, l esse ad parabolam.
Demonstrati.
GTAnEFEFad ETK, VE BF ad FP: pateC ex elementis GR K eNse in directumi CxIB
igicur IIK ad clesaCL. acumn  dCaCLe
componendo ve BR, 2d bF.; liC IK ad HIK, _ VE BF adBF, liC IR ad TR:
unde quadrarum TK est ad quadratum IK, ve B F. quadeacum est ad quadeacum
BE, id cA vC AP. linea ad lincum A E, id cAt vC C. K ad C. K. pun Cta 1B. CUL C. L. L (uhiL
ad parabolam.
ROPOSITIO CCCXKIII
Adem Manehce ABa. Pertciarur parallelogramut aVC, d
MMC, lacus occurraclineis F B in L: hac aurem re L. B 2d L. B, (iC
e
I ad L. I.
Demonstratio.
Dico puncca I,eM au patabolam.
at LLHLAd MG, VE L B ad F I, _ recrA duCATUE G C occurrenS B T, lineisin
indeper praecedencem puneca in l lune ad parabolam.
HTT. CFICIGIEUE DE LF de LL, HLIL LSLHI. c ex ns PoM M LL
E I, VEL B ad L. B, isicur _ FIP est ad FII, reliduum vE FB ad FB, residuum.
R0
ot23 ta
1
ori

## Folio 507 — 1815201908:0564
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000564.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
rit
erie
TR.
um
sune
e
e
P A R ABOL A.
eROPOSITIO CCCZXII.
SEO ABC paraboIX diameter AD, ad quam oFalHaH POIALCE
LCD, BF: pertectoque parallelogrammo DF, auCAEML HIICA LL,
sCCanS E B RCCEaS in G C: hancantem C F lineis equales G, BHL.
Dico HIH puncca esse ad parabolam.
Demonstratio.
Vngantur AC. quoniam DF parallelogrammum
es CuinS diaMCERi AC, FD, de RF linex eequi-
distane laceri AF, lineis F C aequales lune rectae
HI; isitur e HI B lineis x quales sunERI. dempris
isicur communibus K B, manent IB, FTK linex X.
quales: punctaisicur HI HI a ad parabola TUNE.
PROPOSITIO CCCXXV.
ISto AB C parabolae diameter AD, ad
quam ordinatim ponantur lincae CD,
BE, quas in G sccerrecta A C. descripea dein
Per A _ C, parabola C. F A quam in A recta
ContinOAE AV, _ F B diameter SIC, HanE F C lineis, pion
e rectis BC proporrionales F. I.
Dicoram H, HI puncta quam l, I ese ad parabolam.
Demonstratio.
iSc enim ve AG C rectangulum ad rectan-
oulum ACC, siC AP D rectangulum aa
rectangulum AV D: lcd vE ACC rectanou
lum estad rectangulum ACC, sic FG linca
est adb lincam F C, id est F. FT linca ad lineam
FH: ixituT _C HIF est adHIH, VE AF. D rC.
ctangulum ad rectangulum AE D: SimiliceF
octenditur, esC F I ad F T, vE A E D ECCTan-
sulum ad rectangulum AED; punctaigieur
LI, FL vei ec Y, T, cpuncca ad parabolas lunc.
PROPOSIETO CCCZZVI
DArabolam AB C concingat in A li-
L nea AF: ponatur aurem sectionis
dIaMCEer A. D, d illi parallelae F. B: dein
rectis L Bproportionales hanelinex BF.
DicoA, F, F puncta ese ad parabolam.
Demonstratio.
VeanCuF FC parallelx concingenti AF:
cumisituE bevE E B ad F B, sC BF, ad
BF, CriE quoque B F ad B F, VE F B ad F B.
sedrario FB ad B B, duplicaca est rarionis F A ad F. A, 1d est F C+ ad F Cigitut e
racio E F ad F. F, id est A C. ad AC, duplicaca eAt rarionis (r F ad Cr H: 1B1CuF A, F, t
puncta Cunc ad parabolam.
67
Bn
B47. Mcoius.
e . 9. ttlo
PRO
e  te      et        ta t a e    ta   stt 
se s 3

## Folio 508 — 1815201908:0565
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000565.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
con
versa 47.
aius.
ad B, TII.
A R A BOL 1
PROPOSETIOCCCXXVII.
Sco ABC parabolX diameter AD: astaC per A ContingentE AF,
demictantur diamerri F. B occurrences parabolx in B, X AC in C:
ponantur aucem ordinacim linox, HB: Hacq ve FCi ad F C, sicB, HL
Dico puncta A, I, l esse ad parabolam.
Demonstratio.
(7T FG ad FC, sic AP est ad AF.
id CA IIB ad HIB: igitur de FII est
ad FTL, ve BHI ad BH: X HII quadra.
cum ad quadracum TII, ve ITB quadra
cu ad quadracum FIB id eA VE AHI linca
ad lineam AEI: puncta igicur A. L, I 2d
Parabolam lunE.
PROPSSITIO CCCXKVII.
C parabolx diametet AD aequalis laceri recto: ductaque or-
punctis B, B, erigantur ex B diametti BF Occurrentes A P. linexe in C:
hancque rectis AC aequales liex BF.
DICOA, P, F puncta ese ad parabolam.
adinacim C D perficiacur quadracum C A: Cumprilque in peripheria
Demonstracio.
VCaTE reCtA A C OCCUErCNS F B lineis in FTI:
quoniam A D laceri recto x qualis eH, _ C. D OF-
dinacim posita ad AD, reCtX AD, CD, aequaleS (UME:
onde e rectae AO, EH quoque aequales sunC: e FL C
linex aequales iplis F B: dempris isirur communibus.
BC, manene ITB, FC linex aequales. Guare Li C est
ad F G, DE BFI ad BFT; id CH vE AFIC a rectangu
lum ad rectangulum AFFC, id cA A C: F rectangulum
ad rectangulum AC F. puncta isicus A, P, F. ad pa
rabolam Cunc.
PROPOSITIO CCCXZIX.
DArabolam AB C Subrendat recta AC,
quar in D secent quorcunque diame
cri BD: Franc aurem BD lincis prOPOT.
tionales DI.
Dicopuncta A, F, C esse ad varabolam.
Demonstraio.
L bD ad BD, H V. D elt ad. L. D, led cl
ve BD ad BD s. Sic AD C b reccangulun
ad receangulum A B C: ioitu d F, D Cstad R D.
vE AD C reccangulum ad rcCEangUIUM ADC
Quare AP C PUNCFA Cad parabOLAM CUME. OisEY
Ce. sq B_ D R O.
u i s e   us se  p    t.   e .  e    et    s .  t    s  1   e    e   i e   s  e  it se e   e e ue   e  it

## Folio 509 — 1815201908:0566
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000566.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
O1.
ia
3
IH.
OF.
UME.
16
1
est
lum
3P. R, O P O, S, F F, H D LLCKAA
 ABC subtetdane rectae AC, AD, demistaque ex D diq-
P AR ABOL A.
MCTTO LL, qua LSL HIHCK OECUTTAL IM F, aucamur quoruis rectae
BL xeqmaaleo cao e ae C: hancque recris BC
proporcionales lincae F II.
Dicoputeta A, tI, F este ad parabolam.
le
de
t 
er
11.q. TL il. 1
115)C1
2 125) e132CI~
ni eiroit
MDHe et. lochAIC c
s.Lcct_:   Et s sMI sit OFSRIC
e
Burp rein se: O:F mwBor emet slodaru X P et 3  A 114B3I E13
 l. Cd et  cmlunaBo Semonstratios L. B. M A _ swuaBB OlL. WBE
taes it O Y:F.M A eE BuONp SlMBEE, SuN CMEMP B CBIBBO
TT AOD ecccanSulI esad NOB Fectangulu a AC B e linen d_ IMIC AIM B C. 247. hn 1m 3
sed veB O ad B G, SCF EE pOneuE ad dinCaM F FFZ idicur d E HI eA ad RII.
De RO D reccandutum ad reccanoulum ACD, id eA A E E recranpulum ad re-
craneulum A E F. GuarE NTP, F puncca bTunc ad parabolam.
eLIA EB TOcMLBE ediB: EITEI
nel. s. L mins P, R O, p O SITIO CCOXXXI.
ds Gloccrnq MI1I3O
eo ABC parabola dinmeter AD, divila in parres eguales, pun-
is t,  D: dyccisq. ordinarim lincis FB, FB, 6B, BC, de
mirrancurca B punctis camopri BHI, BI, BH, conveniences dum ordi-
nacim policis in HI, IF. Z 21ISCC
Dico C thPuneta ese ad parabolam.
1113
Demonstratia
VOnLAM AIAIMCERI PATEES AF, PF, FO, _C. pOHun-
Etur equalesu P F. est ap F C, ve AF ad A F; id est
ve  B quadracum ad quadracum LB, id eAt LEI quadia
cum ad quadeacum EI. Eodem modo oneiileur ene re
F. C ad FD, Sic CT quadracum ad quadrarum DR. 
Pinetaisicur  L. P Cons ac Pacabolais Ouod, CFac
demonstrandum.
DEA ∞lOdBTEC
Os hSeCCXXXII
te C. S. (ABISG. EELEneOq  S isenil. 10 213
coABC parabol caetes i V divila punctis L, F, C, HL, D, ve
in
B EX CoN
aeal. l5tCaitLhsee inc coniimux pioporcionales: aucantue
hurem ordindum lineortilbs FB, CBBsecet _ ex B, diametri dCmiETanEuE
conieniemes ioinaci BBCcis. L. I. C rungi n
55
Dico

## Folio 510 — 1815201908:0567
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000567.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
P AR ABBLA.
Dicopuncta E, I, K, _c. ad candemt cleparabolam: _ li series conri-
nUatUM AE, P. F, F C, _c. maioris tuer inxqualicaris; dico parabolas
in aligu puto conuogireils vero muotistucrir inae qualicaris dico nul.
15
Demonstratio.
Voniaim AE, E F, FO, XCC. pro-
Lporrionales (IME, F F est ad F C,
vE AF ad AF; id cst vE F B qua
rdarum ad quadracum FB; id cstFI
quadracum ad quadracum ER. B-
milicer ostenditur esse FF quadra-
cum ad quadrAEUM FIL VE PF, di-
nea ad lineam F FI: punctaisitur B,
T, K, T, _c. ad parabolam CUNE.
Quod erac primum.
PONAnEUE aUTCM SeTICS AF, P. F,
EC, dC. Maioris inaqualicatis: di-
co parabolas convenire in aliquo
puncto. sc enim AB C parabolx
xquale rectangulum E AN, _ LLQuadearo xequale rectangulum F F. O: unde cum
E B, FTguadraca aequalia Cinc, LCangula quoone P ANY, F F O sunc x qualia: qua-
et recum A L maior pOMALBL L L, Crit A N lacuS rectum minUS IACCTC FCCTO F O:
C3) L e. CLD A mulum Sit iam A F, L. F, F C: de c. termi-
Aoden hs. . D, s norum concinuatiomrinoris inxqua-
1DD FD I
licacis: dico parabolas nusquam sibi
Occurrere ponacur enim L A lacuS
rectum parabole ABC, _E NTF, 12-
A 19, cus reccum parabola F LII, quiaigi
Bcil eren
Tur F B, FET quadraca equalia suHE.
recrangula quoque P A F, MFF X.
qualia TUINE: e Cum R F minOE pO-
RAEuIE FF, erit L A maior quam
cloclisqME ondenulquam sconuenicuele.
CTioneS.
O CCCXXZIII
darabola axis AN, in quo lumpea
iparA D demiccantus aequales diameci
BRSF erBBP BC smerhuD 1D sit. C1
DicOD, E, P. plincta esse ad parabotam aqualem
parabola L.BC.
demoptratio.
(_ LB etS s SLACIMN
Cris ordinatim BL, PONAHEuE E.G, paralletX. Ouoniam
isitur AD linCa, aqualis es BF id estF C, demptaves
addira commun F D, reCtE A F Xqualisest D G. vnde DC
eA ad D Gi VE A E Ad A F, id e vE F. B quadearum ad qua
drarum BB, ANCH F. et quadracum ad quadeacum F C. pun-
craixicur D, CiL dt parabolam Cunc, quiu vezo cam AF, DC
quat
quam lectiores convenire.
 C
latus rectum AN, d F YK parabOIX lacus rectum F. O: erie isieur quadrAEO F B
Ds e eLe ASSNS
167. Hm. 2deo que parabolx in aliquo puncro J conuenient: , YI s.
  e  se  s    e  ute uet e at . ue e s.  e  te  t ate  t te ti ete ete  t tt      et st e  s at  i  it te  t t    et e t  s

## Folio 511 — 1815201908:0568
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000568.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
volis
Dul.
epo
lettr
SR.
eCl
t
lacu
rigi
unI,
2.
P0.
vam
ele.
e
P A R A B, O. L. L
quam FB, CF. linex inter se xquales sunc, adeoque FiB quadrarum aquale qua-
deaco CF, lacera quoque recea axium AD, D C aequalla lune, vndc d ParabOI fin. 8
aequales.
e1ZEAI
eROBOSLTIOECCxEXIV
IIdem politis:
Dico parabolas illas nusquam conveniret vilu
Domonstratio.
DOnacur in parabola D E E ordinacim ad axem D G, linea
GF OCCuEEEHS AB C parabole in C. quoniam igieur la-
cera recca vetiulque parabolx aequalia sune, ex D e lincami-
nOr AG, Foccangulum quoquelib D C a lacereillius rCCEC
minus est reccangulo sub AC _ lacere recco igicur eE FC
quadracum minusi est quadrato CC: de C. punccum cadic
inera parabolam AB C: idem cuno de omnibus punctis ciul-
dem parabola octendi pome, (parec secciones illas nulquam
COnHEHIEO. B5: S. Cs et S. M c t3C1I ∞
Nocentur aurem sectiones cinsmodi, parabole parallelae,
hiuc alymprociex: quarum proprierares religuas, ex miram
cum typerbola incer asympeocos polica, symbolilationem,
occaua parre huiuslibri, extibebimus.
PR OPOSITIO CCCXKZV.
DArabolam A B C cuiuS AIAMCLCF AD,
Sccent ex A demilla linex quorcun-
que AB: quae proporrionalirer dividantur
in C.
Dicopuncta A, C, E esse ad parabolam.
Demonstratio.
Veantur pec Llinea D C. ordinarim ad dia-
mecrum AD: crunc isivr D C lincE b PTO
portionaliter, quoque in P divilx; _ VE DC ad
DC, AICD E ad D F. PunCtaIBITUT A, E, F. cad Pa-∞)
rabolam CUnE.
c
PROPOSITIO CLLANaI
Sco ABC parabole diameter A D ad quan
Lsordinarim ponacur DC; demitraeur aurem
ex Alinex AB, Occurrentes C F diametro in F;
quam ee acta per A contingens, secer in FI. dein
per B, ordinatim ductis FB, Rac veHI F. ad H L,
SIC F C 2d F(7.
Dico AO, esse ad parabolam.
Demonstratio.
10
di
Su
BIVG
TTF ac LLL5AC LB au LD. SCUMHIEAdIIE, SICF C+
ponicur ad F C, igicur est FOad FC VeF B ad F B, vn-
deo puneta A, C, C ad pacabolami (UNE.
Voniam eam FB, AIL quam F A, HP parallelX
Llunc. Similia sunc eriangula A F B, AHF; quare vE
8. hri v.
C 119. ha
d32g. ha
te metoton2131213262718 9 20 22 329=34 333C7 30

## Folio 512 — 1815201908:0569
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000569.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
2
ie
P A R A B L. 1.
ROPOSITIOLLCXZEI
( CA BI
Scd AB C parabolae diameter AD, ad quam ordinatim ponaneur
Lslinex BF; ducantur adc ex Blinca BF, inter se parallela, X pro.
porcionales Inels LB.
Dicopuncta A, F, F. esse ad parabolam pI1
217iOG c1 31I
ale. nC
Demonstratio.
VnSanEUE FP: Duoniam eam PB liteae incorse,
quam B. B aequidictane, anguli E, BB aequales lunc:
undecum proportionalia sine lacera s B, BP, aequales
sulos conrinencia, criangula quoque P B F incer le
limua. alleoque e FF lincaexequidittances sune
aduleem; de F B lincis proporcionales: Quadra,
nigirur L L eA ad quadrarum P F, CVE F. B, quan
racum 2a quadrarum, E B, id cst De AF linea ad
um AB: inde puncta A, F, F sunc ad parabolam:
DSITIO CCCXXEVIII
Sco ABC parabolx diamecet AD, d ordinatim ad illam potea
SeD, BF: e E B, quidem juncta AC, dividar in F: ductis aurem
parallelis B C, quae A C linCX OCCUT-
rantin C: AaEVE FB ad BG, SIC FB
ad BFI.
Dico A Es puticta eNe ad parabo-
2.
Demonstratio.
Vngancur enim DH: Ouoniam E B, BH
linex proportionales lunc, lineis FB,
B∞. et anoulus E B e communis, erign-
sulis FBC Smilia sune criangula F BFI:
sune aurem e FB C criangula quoque (-
Sto ABC parabolae avis
BD, cui parallela POnatuF
AF, Eccans parabolam in A.
ducantur aurem ad axem ordi.
natim linex F C, _C INFOF FP,
E C MediX PONANEUEF. C.
Dico A, C, B puncta esse ad
parabolam.
Demonstratio.
gula similia sunE. Ouare DE F: B ad F, B, SC F. HI ad F. HT, adeoque per praeceden.
rempuncta  ae andem sunc parabotam.
milia, cum eam PB linexe incer se, quam BG rectae aequidistenciisitur de R B FT crian-
PRO POSTTIO CCOXXXIK
4+. huius. Fi SC eniM VE A P linea ad lineam A E, siC F P. C grectangutu ad rectangulum FP C
igitur e P C quadrarum est ad quadlau e Ve A B linea ad lineam A F: qua
0 a Pra pat aLa HC.
PRO.
Su    se   s     et  su      grr. s e  e u tit  e e te t t e te  s t. t  et est e e e e e  su te       e e   t  t o e  ete tt s e    l e

## Folio 513 — 1815201908:0570
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000570.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
MII
PIo.
sIII
Ola
2b0
S. BH
FB,
BH:
CII.
iali-
den.
atu
MH.
Pedt
eC
ud
10.
D A R A BO L A.
P RTO D O C
Aslectis AD, CD se ucuo ccaassetdus, invenire par.
Deuius DC daca (it dinmeter.
Constructio e demonstratio.
iuisa a B bilariam in F. auegtur P F. 1.  15. lod. 155)
Parallela C D. RaeuOVE AB BCZCL IVII
ctangulum ad rectangulum A CB, siC
F F linca ad lincam D C. DACCE R, V, D,C
Bpuncta eAc ad uparabolam qualitam,
cujus diamerer est 10 C sl1
cllebe caerenitrio 1
PROPOSTTIOI, CCCXL I.
Leo AB lacese recto enhibero
polam. p 49 uligeS
M3 eBauq Constructio es demonstratio.
G es1 3l_D~. BISilOCLLEOBA
CECCTIT AB vecun quE In CC, X ex C linEX CxIGAN-
Dcur CD, re CD quadraca aequalia sint rectangulis
C. AB; Cngula lingulis; Pacec A, D, D puncca B CAC ad P2-
rabolam quaescam. Liri
2MC Et : ACD AEL 2F Ptrie
BNL PRODOSTYFOIIIOOOKMIMMSN IDET SBiOC
slOcts na Ba CA, 2). et sSesqe ~ OP: 3ME HA.D LSCOWI
Acis cribus punctis A, B, C non in directum.  bn le
policis, e linca BD, quae per aliquod exdariso s 4
punctis cranleac, oporret parabolam describere seid asiloq cusbR
per A, B, C puncta cujus aliqua sic dinmetex BB. li Et. l0dr. 15703.C L
d19115133O AD SCIES CCLFEF I_A, 3191933S N133IV
Constructioes demonstratio.
ara
bolam
delcribaturque per B, G C Par2
bola cuius diamerer sic BD, DaF-
ec illam quoquo DeEC A cranSITO, it
sicur, ec c. Quod erar taciendum
5. X I catop
A
1nC
1it 101OCI
ad ouetet iai il
1. Ae d 2
CEStnOIRE
Sm ICIBCSLCMBBOL
2K. . bwHocul tolte et
i  q
1 C
stiliccs
ctria p s icCaP 79 1IO
 _locsn B et unimoa LC et. E a A slocurnabavi L
flcca AC sececur bitariam in
AB, ponacurque et Paraltela
BD, _EBP FCCEX AC: Rac auteM (
VE AP quactacum, ad quadeacum
BF, GC BC linea ad lincam E Cril
dati nnE
CFH L. tot.

## Folio 514 — 1815201908:0571
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000571.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
14
lode.
ral. 1d
LLeius 2a
asimptotosconstituta, simbolisationem.
lanc
ea eslus et
PROPOSITIORLCOOXEIIFNIILL 1AI
5.
TIE ABC. parabola axis
DFC _ ordinatim ad illu
applicata FIGI: ductis-
queII, parallelis C A, qua-
drato HIO aequalia AanEre.
ctangula CE A, C DA.
Dico F, C, D puncta esse
adparabolam aqualem pa-
rabola ABC
Demonstratio.
i RiBANEUF ex D _ F, diz.
mecriE B, DB. quoniam 2
quidiAac HII, C A. QIICqua-
aqualia sunc rect ABbIZCF A, sinc CD A, diame.
ales lune: quare d puncta E, C, D ad parabolam,
Miram exhibet parabolarum parallelarum, cum hyperbola inter
dracoid est LOt rectangule
PR OPOSETIO BBCALIN
Adem polira sine guxe prius.  . II
Ex47. eria quoque F C, BF, BD a
135. tu- _qualem parabolx ABC.
uicem accedere, hulguamcate occultere.
Dico parabolas illas in intinicum productas magis semper ad in-
Per desin.
1014. tia-
Demonstratio:
Vin enim per praecedencem X.
squales AnC patabolX ABC.
DF. F lteta rectacquoqueillarum
xequalia sune, quarenusquam, d’in in-
tinicum productae concurrene: quod
veromagis semper ad invicem de
cedanche oRtendo. ponantur ad BC
diamerrum in parabola AB C, Ordi-
mocior sic a verrice B, quam TTR. a
naciI LTR, L. NI; d P N quidemre.
qualia igitur sunc rect angula FDR.
LMN exhypochesi. quare FTD est
ad L ML, VEMN ad D R; sed MN
maior cltDR. Guia LH, Maioreu
FTK (repore remotior à Verrice B,) rectaigitur HD quoquemaior ct L. M.
Similicer Iremorior quems a verrice , Palaera aaC, OICHCCITLMMa
iorem elle guauislibl aguautance intra le pouca; magis ipitur lemper ad invicem
accoduneparabola AB C: D E. P: alymprocie ixicur lunc par aboIX ABC, DFF.
R C
 e e teni   s  t   tet  .  1   A a . 1t 11  .   t A e    A    A  .  1    u    t 1 t 1 . . t.   . 1  . 1  

## Folio 515 — 1815201908:0572
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000572.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
dil.
1
Ere
elle
B2.
dia.
n.
Iu2.
2m,
in.
E
rum
CM
A R
prorcoic
DCCXLV
Adempolicâ Rgura: propo.
licum lic daex parabolae pa-
rallelam siuc alympeoricam de-
Scribere.
Constructio es demonstratio.
IE AB C parabola data: ponacur in
illa diamecer BF. ad quam ordina-
cim appliCeEUE AF C. Policilque AC
parallelis, FIR: Sccentur HIR in D d
E, DE taM ITDR quam HIFK, rC-
ctansula aequalia sInE quadraTO AP:
constar ex ance demonstraris, DP. F.
puncta ese ad parabolam parallelam parabolx ABC. Alimus igirur quod fuic po-
Autacum.
P R OPOSTTIO CCBREMI.
Scumpeâ Rgurâ propositionis 3 43. Sinc ABC, DL C Patabole paral-
llelae seualymprorice, e guauis ponancur xequidictances L. C, D H.
Dico rectansula C F. A, inTex
se, vei _ C D A rectangulis X-
quari.
Demonstratio.
GRiganEUE ex D _ F, diametri DB,
F B; quaniam ixicur parallelae sune
diameeri ABC, DGF, aequales (UnE
diametri BF, DB rci ex iplo orru con-
Aar; sed quam racionem diameeri D B,
BP Ccruane, candem quoque conci-
nencrectangula CF A, C. D A; aequa.
lia igitur sunc receangula C R A inCCF
(c, rei de reccangulis CD A.
Corollarium.
id diccislegnitur rectas C L, D A esseinter le aequales. demonltratio pacer, cum
CF A, C D A rectangula ae qualia SInE.
LLOPOSITIO, CCCXEMI
Arallelarum parab Oratum diamCErI OMNES COMIHUESAANE.
emonstrario.
exi communisisitur elt L CMlamecer verique parabolae.
Slumacur sBBFA propolitionis 3aq. sinE ABC, DEF parabole parallelX, et
ex ordinatim HK, occurrences parabola D F F in D et F. dico FD lincas I
Bifarialm diuidi: cum enim FIK per construccionem ordina porraeul da BCi
Laquaenisponarur diamerer B CPlada ABC; u auem dd illam applica-
NIRIBCEFHIM, RCCEK FTR IM O OHITCCCA THMC: TANC AMECMI egnaIES OCTCNIA, ELD, LL R; 2Per CorO
relidux igitur D G, C F quoque aquales sunc, adeoque ad B C ordinacim applic2. 346. buius
1
R
Me t t   e  a   s  te  e t  t   aa  t t ti tat  e   t te t    ta

## Folio 516 — 1815201908:0573
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000573.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
P AR A BOL A.
PROPOSTTIO OCCZLVIII.
Oncingens parabolis paral.
lelis mcercepea in conractu
vsecacut.
emonstia
DOnaturper P punctum quoduis in
perimeero parabolx DF F altum-
prum contingens AC; dico AC iv
F bissecari, Polica per F, diamerro
BC, Ponacur quaenis D F, aquidistans
AC; occurrens paraboIX ABC in
FT _ K. quoniam igitur FD, aequi-
auc +. hu. diamello in P biACCAEUT.
eROPOSITIO CCCXL1X.
ctuins, distat contingenci AC; recta F D in G, abissecta est; sune aucem a quales H D
Defin. . F K: COraigItur FTK in G bissecta est: quarC _E A C b xequidistanS FTR, ab eadem
Pris, e diamerris per contactuunt buncta ductis; inter se x qualia
Demonstratio.
IHE ABC, TTTK parabolx Parallelae: e
DTHK parabolam COnTINBAHE AC, DF.
FC: ponancuraurem per FI, I, K, contactus
diamerri; BFI, L. I. MK. incelligancurque iun-
Si FNO, CBA, DLF: dico criangula
LMG, CBA, DL P incer CC eAe xqualia
quoniam enim parabola parallela lune, dia-
MCEri LT. B FI, MR aequales Cun: Cunc au-
Eem AC, DB, F C concingentes in FI, I, R
cbilariam diuilae; ae qualia ixirur lune s crian-
P R O P OSITIO CCC. L.
Adem polita ASura: sinE in AB C parabOla linCXETCS AC, DF, FC,
saequata aleleres sesmenca: lecencur aurem AC, D F., F. C bita-
tam in FI, I, H.
Dicopuncta HI, I, K essc ad parabolam parallelam parabolae ABC.
e iL .1C
Demonstratio.
+RiGAHC CA LEse L punctis diamecri HB, MK, L. P: quoniam equalia Lunc se-
emENTA D AF, ABC, OMF, criangula quOqUCDLB, ABC, FMG, aqu2
lia sune: quare ex diamerri L. I, BFI, MK aequales lunE, de puncta I, L,K ad paTa.
bolam pac allctam ABC.
Riangula qua hunc a continsentibus, parabolis parallelis interce
lLnE.
:3+ 8. Beb
1218bu. BuIa ABC, FMG, DEE.
Nottete e pe  e e st e t  e e t te te tut  t t e  tte e  e  ste et e e et e et et   te  e t  te           et   t      
PRO.

## Folio 517 — 1815201908:0574
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000574.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
Ddral.
Tad
C
ale
erce
talia
aus
Sula
ali3:
did.
au-
ER
a1.
6,
PROPOSITIO CCCLI.
InE ABC, FHC parabola parallela, lecta aurem AB conringar in
 parabolam F. HTC; ponancurque DL. Guidistantes AB.
 quatato, aequarirectansula lingula L.
Demonstratio.
DOnatuE A EI aequidistans diamerro
CC, Occurrentque FHI CParabo-
le in II puncto per quod recta pona-
cUE PTTO Parallela AB: VE C G ad
ATI, EC ACB rectangulum id est
quadracum A C (est enim AB COn-
lingens in C bistecta) ad reCtaNOu-
lu  P FTM: aquales aucem b sunc dia-
MCERI C C A FE, IgICUE _E P FTM rC-
crangulum aquale eA quadrato ACF.
sed P FTM, D F P recrangula c X qua-
lia Cune, quadrato isitur AC aequalia
suncrectangula lingula DF P.
EROPOSITIO CCCLIS
Ildem policis: recta A. HI OcCurraT D P. lineis in l:
LDicoDIE rectangula xquari quadracis F L.
Demonstratio.
Voniam DP linex in L divila sune bitariam, de nonbifariam in F, quadeara
LTD equalia sunc quadraris L F una cum recrangus DF F: eadem de caula
quadraca V. D aequalia Cunc quadraris C. I, vna cum reclangulis DIF: reccangula
isiTuE D F F. vna cum quadraris F L aequalia sune quadraris P T simul cum recEAn-
Sulis DLF: aequalia aurem osten Ca sune d recrangula D F L, quadratis L. Lid est AC, S3 GL. B
relidua igitur recransula D AF reliduis quadraris PL qual .
EROPOSITIO CCCLIII.
Nera parabolam ABC
Lastumpro quouis puncto
D povantur per D lince
quorcunque AB, L. C:
Aant aurem AD, F. D li-
neis aquales BF, CC.
DicoD, P, C punctaese
ad parabolam parallelam
Parabola ABC.
itton
DEmonstracio manisecta est ex Coroll hurus, bb. demonttracu est polrisparabolis
paralletis ABC, DFC rectaS F D, G C, irem AD. FB esse incer se Xquales.
voccils
P A R A L
2 47. hoii1 s.
B FX 333
11 16.ton
xplica
sitgtii
ee1
ttts16171819
hase

## Folio 518 — 1815201908:0575
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000575.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
e A R A BOL A.
applicatio parabolarum parallelarum dd hyperbolam inter
asymptotospositarum.
Applicatio propositionis 343. buius-
PROPOSTTIO CCCLIV
Agulum F. DFF Subcendat linea L. tT, qua bitariam divilain B, po
Lnantur F FI, aequidistances FO, qude in lleceneur, ve FIC rectan-
Emonstracio haberur in libro nostro de hyperbola proposicione 14.
applicatio propositionis 344. huins.
PROPOSITIO CCCII.
sula, xequalia Guautal LD.
Dico BII ad eandem essc hyperbolam.
Adem polica fgura.
maxis ad hyperbolam accedere, nulquam aurem convenire.
DEmonstracio habetur in lib. nostro de hyperbola propol. 15.
Applicario propositionum 346. 35L. huius.
PROPOSITIO CCCL VI.
B rectaincer a (y M PEOTOS
LLAC, C B tiyperbole
Dico F D, DHI lineas in infinirum productas, magis Pemper ac
Elidconcula caci vecla
diameeri RC: dinila liE Bita
riam, de AB quidem aquidi-
UeDLE
DicO D F A rectanguld x
quari inter se vei ee rectanou.
lis DNE, Civc quadrato A. 6.
Emonstrationem vide in lib. de
hyperbola propol.
Corol.
c

## Folio 519 — 1815201908:0576
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000576.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Pd.
lar.
et ab
tO
Ot
P A R A BO L A.
Corollarium.
FiX his quo que lequicur, lineas D P. N P este incer se aequales.
153 F2C
Applicatio propo s352. huius.
PROPOSITIOL CCCLVII
Ildem potuis:
Dico D IF rectanoula xquari quadraris L. F.
Emonstracionem vid. lib. de hyp. prop. 17.
12. 1: 26l0c.
lau cmlli l Applicario propositionis 348.
eCIA
aB PROeOSITIO CCCLVIII
Mnis concingens hyperbolam ec cum alymptoris conveniens in
puncto contactus bitariam secacur.
DEmonstracionem vid. lib. dclixperb. 29.
applicario proposicionis 349. buius.
PR OPOSTTTO OOCLIA
Sperbolam ABC in-
 LECTAIYMPEOLOSED, EF
consticutam concinoaneduxe
linca D AHI, FBC quae
criangula constituAnEHIE D.
FF G.
Dico illa cseinter (Cxqua-
lia.
DEmoncrationem vide in libro
dehyperbolas parce secunda.
applicatio propositionis 353. huius.
exOPOSIT1O CCCLA.
Lassumatur quoduis F, per quod
reCTX PONanTOE BF C, perrinentes
ad verumque anoulilacus in C ee B:
tancq. BP lineis aquales C F, d
vicissim CF a Gutates VV.
bolam cuius alympeori sinE B A,
AC.
Demonlatoneanachas Perbola parce, vicima.
Nera angulum B AC punctum
Dicopuncta F. FD cNead hyper-
PRC.

## Folio 520 — 1815201908:0577
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000577.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
111II
D A R A BO L A.
PR OPOSITTSIO COOLZI.
213. SB. 9L 32C
AEx parabole tecR ABC, aequalem exhibere inclinaram, cuius
ordinacim ad diamecu pca aacum angulum consticuant.
prospositas ad ans voliquos: porronullas dari parabolas ex natura sua inclinatas, ex se.
quenti propositione constabit.
217109 acoL
tat etaBENB IKE Alo∞5OZ et lC Ou
Constructio E5 demonstratio.
B 19.4s) hcel. ber Monoierlac
IE ABC paraboIX axis B F, et
Dordinacim ad illum polIE2 AC:
Policajuc per B contingence, du-
cacur adulam linca F. D, qua an
sulum F D B aequalem FaciaE daco
E: e deleribatur parabola ADF,
haberis F D diamderum, dicoillam
Cacistacere pericioni. cum enim v.
eraque pdrabola; Comnunem ha-
e
sico
Constructio e demonstratio. sil
lE ABC parabolae inclinaca
diamecer BD, ex act illam gr.
dinatim polita AC: dUCAEUE AU-
cem ex C linea OFT normalis ad
BD. diuisaque CBT bitariam il
ponacur per L rectaTF aequidi.
Ranis BD: dico IF axem cAC p d
rabola inclinaca. cum enim FF
aequiditer BD diametro, recta
Parabolam inclinaiam v0c0, omnem parabolam qua lineas habet ordinarim addiame-
quodducem AD F Parabola Scinclinaca, ex coparer quod AC linca d illi x qui-
diances. ael  F. ad angulos leceie obliquos.
Aeae parabola inclina axem exhibere.
lam AC, e candem alcicudinem, constac illas inter le esse aequales
PROPOSITIO CCCLXII.
bCAE B
ar. Defin. FF quoque sectionis diamerer est; quia rero lineam HC, bitariam et ad rectosle.
huits.
bolae inclinaex aXem.
Hinc patet nullas prorsus inclinatas dari parabolas quae diuersa sint naturae a rectis: veriqe
enim essentialis illa ex primaria passio communis, quod ordinarim act an applcata. Cnttactt
cacangulos, ConHaE PE a axem eAse parabola ABC. exhibuimusixicur, daLX PATa.
adangulos secent rectos. id quod etiam intculsi velim de hyperbola e ellipsi: similiter enim
in omnisectione comt, siue hyperoota, sac eps setu, oscenditur; ordinarim adaxes appli
catas eosdem ad aneuos ectos aider. Dnae nunds omnino dari conisectiones natura sua
inelinatus sine quae diversam a rectio habeane nacuramt consiali
esee i s e ut  tu e a i  ut

## Folio 521 — 1815201908:0578
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000578.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
euiu
Adiame.
121
10.
12 91
Re dace
D
Dillan.
uales.
1aCd
195.
211-
2 in
15 4d
idi.
ecta
SlC.
1n
BO
ECC
XIII
N dacaparabola diamerrum astionare, cui data linea inserviat prolare-
rerecto, modominoreanon exittac larere recto axeos data panatobha.
Constructio es demonstratio.
teta 
N. P
 211n
MIL.LEE
Mo
catreE
Aratielinea A ee parabola B C D. Oporceac exhibe MaC GL Laeus Te-
cumhabeas equale dacx linex A. Facum scquod perieur; ec M L. Sic diainc-
aequales rectae A: Ponancurque per L, _ F, icem C d l’ordinari ad diame-
eros suaslinca TTP, RD, BI, NO: guontam LM ML.Cl linex aquales
les ostendentur R O, D Y. Rursum cum MI. aequalis ponacur lateri suorecto A, in
ter, cui a linca inseruiar pro lavere recto. Inveniarur C. (t axisa parabole BC D, x- 223. huins.
qualislacerirecto: linex aurem C et aequalis Aac MI, _C ML; CRlinex lingulae
vallo. LM normalisadazem: Parec per relolurionem, policione invencam elle
ae Ca a  CLUaC PIOLACBLCACCLO.
TunEs segMEnEA BKNTD, FIC P aequantur: posica igitur ex D, linca DS normali B2IS. e
ad demissam ex K diameerum R S, recte HIP, SD exqualessune. Similiter xqua- 2+0
hi
lis est CG, _ CC data est vei _ M L hOC est N L, reca quoque KI daca est.
Cum sC ML. ad ML, vE NF quadracum ad quadracum L l. d Gura carx quoque
lunclinca CC, CF adcoq; _HIP,BT, rectae quoque SD, R que illis octen-
Ex Sine xquales) datae sunc: igieur cum angili RSLL TC SIe caca GaOI.
cuncerianoula RSD, NSO; ec angulisRB, LNOIa e RIMNLM. compo
tehdoigicur daca MT P recta aequali A, e punctis divilionum L _ L, applice
Tut ad L e L, dara linea RD, NFO in daris angulis RTMI, RTL M; recta aurem
RD, NO bislecta Anein T_ L. Tum per K, MIS D, puncta parabola describaturs
eransibicilla per H _O, CUM PEFFEIOIUEIONENS OLCLNAKML HL LHC M L AC LIL LS VCRL
et NP ordinacim ad NXP, rectE NT, dMP aquales sunE. quia veTI NL aequa- d 3. huiuI-
quactacum adquadrarum NY: inveniacut cee palabore l adls C. a
ME diamerer eransteracur in parabolam daram, ponacurque ab axe ciuldem, incer-
eetaet2112113241516718 920 22 323=34 33 3C73C

## Folio 522 — 1815201908:0579
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000579.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
B A R AB OL A.
OSIFIO CCCLXIV.
Atam lineam axplicare ad parabolam, quae segmereu autetat da-
eo xqualc. oporret gurem lincam D, no 
Constructio ex demonstratia.
IE AB C segmencum dutum d daca linca D: oporteat rectam D applicare ad
parabolam, ve lcomencum auterar, daro aequale: Factum sic quod pecicur, ee IHI
linca aequalis D, leomencum auterar HIF I, dato ABC aequale: Bilecentur AC,
FII in F e C, punctis, per quae diameeri ponancur F B, F G. quoniam ipitur se
e  SMenEa A BC, HIF I aequalia TunE, rectq : D F, F C quoque sunt xquales; daca
60. huius. IBIEuETUnE B F. _ PC, dimidia FII sivC D. fanc iam BF, IG, FK proportona
les. daca erpo eriam est F K: inveniatur igitur per praecedencem diamerer, cuius FR
lacus tectum es et ponatur inparabola ABC, FactaGue F G aquali B V PONAEUE
per C ordinatim linea FII: pacer per resolurionem de constructionem, It Llineam
rectE D. _ HEY sexmencum duio ABC aquale eAei dacam ipicurlincam, exc.
Quoderac Eaciendum.
Seholion.
estinaueram duas alias Parres, quae parabolam concernunt, praesenti libro dauncere
sed cum aduertam librum hunc, quo Parabolicae sectionis proprietates prosecuri sumus, in
molem nimis magnam excrescere, quam ve libris reliquis de conisectionibus par sit, in aliosli-
broseas partes transtuli; exigence id maxime argumenco maseria, quam tales libri explanare
incendunt.
Pars autem prima symbolizationes ac limilitudines complectitur, quae sunt intet parabolum
ac siralem siguram; mira enim est inver has conformitas: neque à mea sententia recedere
audeo, quamihi plane persuasum est Archimedem in eam noririam peruenisse quam nobis
reliquit, qua per contingentem siralis ficurae lineam rectam exhibet, qua circulicircumfe-
rentia sit aequalis. habet praeteren parabola multas alias propriccates, cum spirali sarchime-
daa commines, non solum secundum primam circulationem, sed secundum quoreunque Hu-
mero exhubitas; quas fuscus considerare potoris suo loco.
PFI  rapl
Secunda pars quae huc sectabat acit de parabolis virrualibus, quarum nomenclatura ac
sumpsi a propriecatibus illarum, quae it a similes suns proprietaribus verarum parabolarum, ut
ab iis dem non discrexent, nisi solo aspectu vt iea dicam; nam aguales sune secundum suvest
cies
 e e e rora e u 2o o eo ha gus Be e

## Folio 523 — 1815201908:0580
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000580.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
d
2d
IH
C.
se.
12.
t
IEuE
aM
xi
exei
l
et
ies
eies considerata, ex secundum ordinarim applicatas ad diamerrum; in hoc tamen differunt,
quod carum diametri lineae sint parabolicae; in parabolis autem quae sectiones conica (unt,
DA R A BOL A.
axes vel diamerri rectae sunt lineae. Coniecimus aurem tractarum huius materia in librum de
ductibus planorum in plana, qu fus dirtualtunt parabolarum. spectet ad aequationes for-
aactuas ca eotporions, qua partes Cparia sun; concanant habentes supersietem; veb
conuexant  pra suis locis.
 qu o.

## Folio  -  — 1815201908:0581
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000581.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 12 lines, status machine
 ut C _ A se R 5
entie
eit v
et 
i
Lear
eit
qit ager me ni eueris  ee il u.
eora ei cdii
2.)n  ass. hecp.
e Ar , 22. 1) a vicC)
isimina cudis

## Folio  -  — 1815201908:0582
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000582.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
IVADRAIVRAI
DNINS SFOVI
A V C Y O R F
l. P. CFR F CYC
A SANCTO VINOFNT
SOCTETATIS TESV.
A N YV F R P IA,
ApUd IO ANNEM ET IACOBVM MEVRSIOS.
A N N O M. D C. XL VII.
Cum Cratia Cs Privilerio.

## Folio  -  — 1815201908:0583
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000583.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 1 line, status machine
1515C

## Folio 527 — 1815201908:0584
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000584.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
5L  TV MI
Euiditur liber hic in septem Paries, Veluri classes rocidem, quibus apte, ele
Prima quidem pyperbolum; sectionesque tam opposus qua o
Catas, dem asym poos eCon d edueit: prima sque ac fundamentales hyperbola proprie-
eates exhibet.
XVFs
Secunda sectionum opposicurum ae concus atarum affectiones considerat.
Terria asymptotos ex concauam contemplatur hyperbolam: ac linearum praecipue
a symprotis aequidistantium indaeat proportionem.
Ouarta seementa tam connexa quam concaua, dein sectiones ipsas inter se confert.
Duinta hyperbolam a parabola intersectam expendit: in qua hic etiam ordo serua
tur, vt primo linearum asymptotis aequidistantium, seemeniorum dein rationes consi-
dereneur.
19eOISs
Sexra, Varia soluit problemaa.  il 231IFIC 1511I~
Septima, varias eeneses provonit; quae rum ex lineis ee circulis, cum ex ellipse es
Parabola, denique ex ipsa oriuncur hyperbola, Secundo hyperbolas reducit ad fectiones
e quibus ortae. Tertio reliquas ex hyperbola educit sectiones.
Roliquis conisectionibus cori nobilior est hyperbola, sic affectionum illius contem.
Platio, morosiorem requirit attentionem; nostriautem insticuri scopus est; sectionem
diemur, ostes eus quam author prop. 12. lib. primi explicat, primariam affectio-
nem.
1s
loet out crsii viscion ei
2s eneinc eguoise
ance estroas convensih p Bseroesiloggo rauel
iers Aels s siste  M ssm evirorle
eelti 141 C 11 2(3E GCiI CC esisp yilerel
L X X 3
Dt
er1N
et 1 2 1L
santerque hyperbolae sectio pulctna que illius proprietates, suo loco sin-
B
11. B3L
 ordine continentur.
hanc, Dli ex praecedentes duas, non minus planam facere, quam sinc ipsa L. uclidis ele:
menta. quia vero ex cono suam habet orisinem, hinc cum Apollonio ab ejus ortu or-
1
12  1 1. 1. 1 111 1 51

## Folio 528 — 1815201908:0585
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000585.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
AI Z PE R B
N Y T
DN F3
Eperbolam voco eoni sectionem cuins planum lacera crianguli
peraxem sectione Fact a emetsentis ita intersecat, ve alreri illorum
ACHHO EXITACONUII OCCUETAT.
distanres bitariam dividic. Qua laut vero in hyperbola diaeter vocetur
fecta, qux crantuerla, ex appolito cognolces scemate.
IOnus ABC dinisus criangulo per axem
ABC, SecCcuricerum pIaNO D F F OCCUT.
reure verique lacerum erianguli per AXeM, CXxECZ
conum: laceri AB quidem in C, laceri vero
BC in D: recta D C diamecer dicicur eran(uer-
Cahyperbolae DR E: hyperbole rero coniura-
ex ipsD E F, recta vocatur de vicistim que con
inoaex cransuersa est, huius dicirur recta. de qui-
busin detin. 5. huius.
Concrum hyperbolx punctum est.
quod transuerlam diametrum bitariam
diuidit.
Si DG BILaTIAM SECCTE In FE. puticeum E
cenerum dicetur hyperbole F D F ex quo p2-
cer cenrrum hyperbolx esse exera seccionem
quod vero omnis linca per cenrrum ducta et
lixperbole gecyrrens, diamecer sic: (u0 locOP 2.
cebic.
Secciones oppoticaen Cune hyperbola, qua
rum omnes diametri cran suer(x comunes lunt.
SinE ABC, D FF sECFIORES OPPOHEK; ec ABC hy.
perbolae cenerum C, Ponancur per C linca quorcun-
que BF, D C, F R, occurrentes seccionibus in A, B,
C, D, L F: recex ille communes dicuntur diamerrise
crionum oppoticarum, eo quod Ciposris in lixperbola
AB C ordinarim ad diamerrum A C X quidistances
ponancur in lyperbola DF F, illae quoque ab cadem
diamerro bitariam seceneur, adco9; ad candem diamie.
trum ordinatim applicatx AHE:
Ouodvero diameeri oppoliris secrionibus inceroepta
in cencrobissecentur, Cuo locoparebir.
Sectiones coningatas appello duas hrperbo.
larum oppolitiones qua Mameeros crantuertas habene, quarum alceras
alterius recta est, de ricilm secta, alcerius est rran uer la: live lunchyper.
bola guta Conmgatas hab cH diametrOS.
Sine
Diameter hyperbolae eAt recta linea quae omnos rectas, cuidam equi-
    1 e es  e at st s te  s    t te   e s 1   te ste est u t  e e s te  et  e  te e s e  e te at et   e  e et te t   t   t .  1 1

## Folio 529 — 1815201908:0586
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000586.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 84 lines, status machine
DruI
eGui
CECUII
ReM
CCUI.
eXE
vero
IVer.
1182.
COD.
 qui.
et,
iam
P2.
ICM.
2 8
P2.
u2.
AE.
hy.
cut
3
ile
Bola
a
Id
t
Sinebina hyperbolarum opposirio.
RESS VHA ABC, DVF, alcera GTTI:
XLM: X tuius diamecer SC eranIVCF-
sa BF, iIliuS EIL. _ BP quidem
histecet xqnidistances FIF.3 e illa bi-
Fariam dividac pacallelas BF, FIL dia-
mecet est recta, ad crantuertam B F ly-
perbolarum A BC, DF F, ec BF rC-
cta 2d cransuersa IIL hyperbolarum
GFTBKLM. ∞ quia pOlIEX sunE, ve
altera alcerius parallelas, intra sectio-
nespoheas bilecet, diamerri dicuneur
coniugacx. e lyperbole quarumerans.
verlae diameeri, alcera alcerius aequidi-
AanCeS BINCCAE, CONIUGREX VOCANEUT.
AEympeocos voco lincas quae in plano hypetoolae, ecentro eductae li
ctioni quidem magis ac masis accedune, nunquam camen occutum.
las in figura designane linea N5, 59, PS, SO: quarumimuchcionem et de-
monstracionem vide propol. 12. 8 16. huius: vnum hic nocar debec; alymprocoru ali-
quas, angulum ad centrum, Formare rectum, alias acucum, vel obculum, quarum sup-
policiones, rarias ac diuerlasinterun propriecares, veluis locis apparebie.
Facus rectum, est linea iuxta quam postune Bramam ad cameltu
applicaca, sive lacus rectum, men SuTa CCL IUXEA GUa COIPATAHEUEBO-
cenria linearum ordinatim ad diamerrum applicatarum.
Sit ABC hyperbolae diametex erant-
verta BD e ad illam ordinacim F A:
tranc aurem proportionales, BF, F A, FH
_x ex D per F recta dUICAEUIE DF, Oc.
currens BC linex parallela F F, in C7.
exic BC lacusrectum rei pEopoI. 32. huius
demonstrabimus.
Porro in hyperbola lacuS.HCCLM HaIC
sibi propriecarem postulac ve quadeata or-
dinacim applicacarum superenc rectangu-
la quae hune sub latere recto se parribus
diamerrorum verricem inter et punctum
quo ab ordinatim policis incerlecantur in-
se
cercepeis, figura simili ei quae tir lub lacere recto ee cransuerso: v. B. persciantur xec.
cangula BP, CF. quoniam isicur per hypoclicum; recta BI, L A, V P propoi
tionalessune, quadracum FA Xqua le est rectangulo B F, quod superat E rectati-
sulum, figura HK, que similis est illi qua sr sub BC ec BD in ansulo GBD: vei
Dropol. z2 huius ostendicue.
IIIud quoque hic obseruandum est quod alibi monui:non opas etteM Talus cec
hormalicer ad diamettum applicetur; sedordinacim applicatis posse aequidistare. Sc-
cundo cineulis diametris, diuetta cotuenite lacera rectas cum singularum pocenciae
Diver sae linC.
De eereste
typerbolas ae quales voco, quarum eriansula quae contirischribus et
astymproris conrinenntur, a qualia (unE.
crWlu2e L. X.
H sypetbola similes dicuneur quarum criangula quae concingentibus et
alymproris xquales ansuloshabencibus conrinentur, similia lune.
L X X
AI
AYD E R BO L A.
Msetetots131141316 176930 22 3Z33a 333C

## Folio 530 — 1815201908:0587
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000587.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
ARO PRIMILL
tosecono educit, primasque  fandamentales hyperbola passiones de-
Typerbolam; sectione sq oppositas, es coniuratas, denique  a sympto-
monstrat.
LLOPOSITIOMK
ullo aeil pla
16. PrO-
8. hu.
munemecet IL.
 io pel dacta tel
 TurBAC, cu
 aurem _ alECrO
plano, secante balim CM
lecundum rectam lincam
FD, ad BC balim cxianBu.
lectionem In luverHcie cOn
Faciar lincam DHF: sectio-
nis autem diameter LF pro-
ducta, cum A B lacerecrian-
suliperaxem, extraconiver-
ricem conveniae in puncto
L, deinde alTutapeo in FF
diametto puncto quonis I,
ponatur in plano criansuli
ABC, recta CKI, aequidi
Aans B C. e secundum G I,
platium ducatur OITI, Equil
distars plano bateos, exHi.
bens inplana LLi L, com.
Dico esc ve quadratum I FL ad quadrarum F D, SICI HF rectan
gulum ad rectarsulum. L. F F.
Demonstratio.
CMMelectiones parallelae, ec quia PD nornalis est adBC.
826. onac. recta quoque FTK ad TC Parallelam B C normalis est; rectarioulu ipitur CK L, a.
cimi.
quale est quadraro c HTK: rectangulu aucem B FC, Xquale est quadrato F D; qua-
ess.. deacumigicur IIK ad DF, quadracum, est ve C K Trecrangulum ad reccangulum
BFC: quia veroracio GKY rectanguli, ad rectangutum B F C. compolica est ex
ratione OH, ad BF, id CA LK ad LF, ee ex racione RL aH FC, id est FR
ad FF; Cic aurem ex ijidem quoque racio compolica rectanouli IK F ad LHB.
xectangulum: ve C KL reccangulum ad recrangulum BF C, id cAt quadcarum HR,
ad quacracum ED, sc P. K E recrangulum est ad recransulum PF F. Auod erat
demonstrandum.
Decieliscncthet eote goa eolsvop r. 213 Vocdtbi
li ABC normalem, quod
NVoniam planum OFIF, aequidistat plano balea BD C, circulus = eA C FF L, e
Su      ats t  ue pe te  t te e e te e t et  t  se te et t   t at Ae e te tote e set pt sse  t e e ute  e  e  e  t    te t ti e ut      e e t l 1

## Folio 531 — 1815201908:0588
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000588.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
Mpto.
resde.
s
CeTUT
ilero
Conii
neam
M8I.
quod
coni
elion
PFO.
1aH.
vet.
eto
FB
K,
Gull
UI
tii.
61
DM.
12.
t
31
HY P E RBO L A.
Vocetur aurem lectio huiulmodihyperbola: cuus dametet caea L L3 d
ordinacim ad illam applicacae, FIR, FD.
PROPOS
lnc ad verricem laperticies dux conca Guatust retlet se Puntert:
Dhabeant aurem circulos aequales CDF, te aparallelos, quo-
rum cenera IE, Is diamerri CF, L Hl: Pontaue L.DMomali ad diame-
trum CF; ducatur (ccundum L. D, planum non per vetilcem quod se
ctiones faciar in veraque luperticie, lineas DL. O, CMI.
Dico veram que lectionem hyperbolam esse.
Demonstratio.
Brncta N, O, verriceslinelectio-
LNAM DF O, GMN: Cumpris.
que quibuluis distanciis NZ, OV,
per V _ X ducaneur BR, ST
aequidictances CF, FH: _ PEF
BR, ST lineas, plana agaHEuE
BOR, SPT, Parallela circulis
CDF, FCFI, exhibencia in planis
DEO, GMN communesincerle.
ctiones XP, OV: quoniamigi-
cur plana BOR, CDF aequidi-
canc, communes incerlectiones
OV, DL, in plano DLO a Pa
rallela lune: _ quia DL ad C B
diamerrum normalis est, recta quo-
que OV ad B Rnormalis eR: igi-
EUE vE NV O rectangulum b ad
ad recrangulum NI. O, Ec qua-
deacum VO ad quadracum I. D,
typerbola est igirur sectio DI. O.
Deinde quia circuli CDF
FOTI xquidistane, c communes
quoque incersectiones DL, MO
parallelae lunc: _ cum L D norma-
lis Sic ad diameerum CF3 recca
quoque MC normalis est ad F II3
inde ex ZP normalis ad ST:
quadrarum d igitur Z P ad MC, quadratum CsE VENZ O recrangulum est adrC. sExtA
crangulum NM O. quare ex sccrio CMWY hyperbola cA.
Vocentur aurem hyperbolx OM PT, D L.O sectiones oppolcx: quarum com-
munis diameter est cransuerla NVO.
LRoPOstIIO MI.
c16. 0nde.
cime
Irculorum aequalium AB C, D E. F in planis requidistantibus de-
Alcripeorum centra coniungat recta GFI, Bitaltan a u 25 per
Etaque AF, quae occurret CrFI in I, circumasaturhac eadem, manente
punCto I, DEr CITCUIOTUM PCFIMCErOS ABC, DFF, doncc in cundem
locum redierie a quo caepic circum duci: erecta deinde KB orchoOn
ad
quam polico plano AC FD signanre diamerros AC, D F parallelas, du-
tsd
231511316151819
i etti  ut teatau tu at tia  d

## Folio 532 — 1815201908:0589
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000589.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
1. 1
ad diametrum AC, ponatur
KL. quae aequidiltet CHl: d
secundum lincas IB, IEL
planum agatur exhibens (e.
CtiOneS MKB, NEL.
Dicoillas esse similes; hoc
est ordinacim applicatas ad
unius diamerrum aequales el.
Cc iis, quae ad diamerrum al-
cerius applicaneur, (i a distan.
ciis aqualiter a punctis MIXCN
remoris, ad aequales angulos
COHILICUAREUI.
Demonstratio.
Scumacur quodlibet punctum
L D, in linea NL; deinde FCCEX
NP, Hac aequalis M R: BOnanEuE
quoque PO, RO aequidistances
XB; hoc est RL, qua communes
incersceciones sunc plani BKL, e
Planorum ABC, DF F aquidi-
Ctancium, ac proinde parallelx in-
ter sC; ponatur deinde IY parallela AC. quoniam AB C, D B F circuli xqua-
les e paralleli sine, diametri quoque AC, DF aequalos sune de xequidistane: TunE
aurem GFI, L K quoque parallela, de HIC in L bislcOra, reCCA quoque L. R in Y
bissecea est. quia vero est A G ad AK, hoc est D EF ad DL, (ob A G, DFT X-
quales (emidiamerros) ie GI ad RMI, hoc est IFI ad NYE; sune aucem GF, TFI
aequales; igitur _ RM ee NYI, vei ex constructione linex MI R, NFP: rursum, cum
BK. normalis sic ad AC, rectanguIO AR C aequale est guadrarum RB; Similicce
_ recrangulo DL F aequale quadrarum L F; idicur cum A C sic xqualis D F, e
AR aequaliS DL, crit quoque AK C, aquale DLF reccangulo, adeoque et
quadracum RB, quadraco P F aequale. eodem prortus modo constat R qua-
dracum esse aequale OP quadraro. Similesigitur sune hae secrionos e ordinacim ax-
plicataS F L, RB, _ OP, RO aequales habene, quae a distantiis RNI, L N, CE R M.
eN aequalibus, a punccis M d N, consticurae sune ad coldem angulos. Quod de.
mOnALrATC OPOTEUIE.
Corollarium.
Tlnc collisicurii (dem potris, quorieleunque KB, P P. recex parallelx invieom
aquales tuerine, eriam diametrorum parces ab cisdem abseittas xquales esse,
(CiliCeE MI R _ NL, veI AER ∞ AIP. Sc l RB ordinatim polica tuerie, Factaque
NL apuali M R, BONatUT P P xequidistans BK, quod P. P. ordinacim quoque ap.
Plicacaluad L. Y diamerrum.
DRacedon propositione videmur eas solas hyperbolas voluisse complecti qua frunt sectione fa-
Eta per planum aliquod quod cum axe coninon potest convenire: verum id studio factum
est quo minus curberur imacinatio sese ad plura extendentis: nam eadem proposirio cuicunque
tandem sectioni convenit: ex eius constructio at que demonstrario sive axi planum hyperbolas
continens occurrat, sive non: s enim sectio facta per R B transeat per lineam F L quae in
plano per axemfacto, scilicet A C P, axi parallela non sit qui per centra circulorum transit
circa quos linea conosformans circumacta fuit, diuisa mihilominus M N bifariam in Y, ex Y
ad posita linea LE. planum fat secundum lincas K P. TI. sumpris deinde rectis K Y et YL
aequa
Scholion.
 tet ut e tete  tete t  et e te ote t.   te t  t  t e    te et  t    te  e t  et  e      e A e a e    A  at     

## Folio 533 — 1815201908:0590
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000590.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
ae
sel.
al.
1
lo
tum
Cta
CuI
Htes
unes
id1.
in-
12-
Une
Y
e-
TH
um
itet
 e
ee
12-
ap.
A.
de.
HI XD F R B, OL A)
aequalibus acaritur plana parallela rectae = Lexhibentia communes insersectiones AC, DF,
erecta deriqs. C+ II per L quae sit parattela FL, Y L aequales interse, s C I, FI L aequales fue-
rint:imo e A C, D Ii bifariam dinisa in LL ex C, ex ellipses AB C, D F. F aequales ac simi-
les: unde cum rectangula D L. F, A K C aequalia existant vii ex rectaneula V PZ, SR T.
eriam quadrata P L, K B, de O P, R C) aequaliu erunt inter se, vt ex ijs quae libro de Ellips di
eta sunt manifeste collicitur. ex consequenter eriam hyperbolae in hoc casa similes erunt habe-
buntG larerakB, P. L, d R O, OPaequalibus intervallis a punctis NI, ex V distantibus, a
qualla prorsus, ur in priore scemate quodiubebas sectionem axi parallelam fieriostensum est.
5 1 TIO 1V
icarum sectionum ABC, PD F diameter sCBD, qua bita-
riam diuisâ in G ponatul pet ( linea occuttens a BC hyperbodi.
(52 (12CI
Dico quod CO proopolurx uose eemte enominE.
Demonstratio.
urnito
Ca IM L
Desita ex C ordindet a CLL aet ctame-
crum BD, hac HC aequalis Crl, d Cx LOF-
rens CG linca in F: quoniam igicur HIC, IP.
lineae in oppolicis sectionibus ad candem diame-
erum ordinacim policx sunc, aequidistane h HI C.
F. I adeoqne anguli CFTG, OTF XQUAHEUE.
tunc ducem ansuli ad C, oppolici e IG, (I
linex Guoque aequales, xqualia igitur lunc crian-
sula OTIC, WHL. aHC, LI linex aequales:
quia vero BC, 6D aquales sunc ex hypoches,
DI quoque aequales luho: quare LF linca DrOUE
hypelbolxoccurrie, b equalis est HIC: eadem
tixpeldolae, e prouc CC lince occurrie: unde
punctum P in PerimeliD eA Byperbolx, _CC
producta oppoliex occurrielectioni in P. C uoc
21S2OMBCC  Cc MI 3153C
cs e
Corollarium
A D CLCIL.SILM IBC 1~. IBI
Ine sequitur A per e punctum quo B D diameter bissecacur, alia duearur, hy-
verbolis dccurrens in C _ F, _ ex C ex F, ordinarim ad diameerum BD pO-
nancur CHI, D P illas, vei etiam DLS BTP eAc incer se aequales: anifectum est ex.
eLAE F1 F
dlinacim ponacur lL. aelliameerum BD occur-
_ BHI, CIper conteractionem reliqua IIB.
igltur est TF ordinACM posita, prout occurrie
etac demonstrandum.
21
1et
priori demonctrarione. ui mrii
ingrecile:
PROPOSITIO V.
ciorolli go
2cerBI
Adem BoSFa Roura: Si B D vria diameeroruni bilecetur in C.) V. Jnv
Dicorectass pet C allaod petces in 
bitariam leCari.
Demon-

## Folio 534 — 1815201908:0591
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000591.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Coroil.
eccd
olis
AZPERBO L A.
Demonstratio.
DOIcaPet C linea CF, hyperbolis occura
rac in C e F. purictisi ex quibus ordinarim
ponaneur linea CFT, TL: quonium BD diame.
cer in C bisfecta est e CR oppolicis occurrie
sectionibus, rectae HIC, FT ordlinacim ad com-
munem diamerrum BD a Policx x quales lunc:
quare _ TD, BFT quoque b xquales lunc: sed
ex typochesi rectae GD, C:P aequantur, aequa
lesiixicur lunc CI, C HI, undereliqua C C quo-
que reliquae C F aequalis cst.
Vocetur aurem punctum C centrum hyper-
bolarum: recto vero BD. C F carundem diame.
eri tranluerla qux in C cenrro bitariam divi-
duneur.
PROPOSITTO VI
Tinc ABCD parallelogrammi dia.
amerridux AB, CD, delcripeis aurem
super singulis parallelogrammi laceribus,
circulis, ferancur circa illos linea, AB,
CD, FOranEeS qUATUOE OpPOLICOS CO-
nOS quorum axes FO, III. FaCtAQ; Pet
axes sectione, parallelosrammum émer.
SaC, AC BD cui aequidistans tac lectio,
exhribens in conicis (uperkiciebus lineas
NOP, TVX, RLM, ORS.
Dicoillas essc hyperbolas.
Demonstratio.
beanc in balibus opposicorum conorum li
neaS NP, S, TX, RM quae (cum lectiones
illa x quidister parallelosrammo AB C C quod
eformacur sectione Facta per axes conorum op.
polirorum) aequidistane diametris AC, CB,
BD, D R: 3deoque e incer se: divisis igitur
AC. NP bitariam in Z X Y, duCaTuT LL, Pet
quam, vei de P verricem conorum planum du.
cacur, exhibebicillud eriangulum per axem, cu-
DLAnA NOP, TVX, RLM, ORS exti-
Enti jus lateribus, exera conum occurrene sectiones NOP, TV X: chyperbolx igitur
De _DP,FVX. Cmituet ocu hyperbolE XLM, OR 5.
PRC
aS

## Folio 535 — 1815201908:0592
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000592.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
et
M
15,
B.
10.
EF
D,
25
1.
li
AI Y P E R BOL A.
ROPOSTTTO MA
Lcta Ab alutsa elelinque in
CC. ita camen ve cellangulum
at ca ea
obcineac cacionem quara quadra-
cur DD adBD quadrarum, ad
aequaleo alslilos applicarum adre-
ctam AB.
Dico CPB enc H) Detbolam.
Emonctracio manifesta est ex pri-
maproposicionehuius.
Scholion.
dictis diuersum contineat, sed vinansegucter 
ere pretium unathum propositionem
hoc loco collocare, non quoc
id
occasionem ea quae huc usque in medium ad.
ducta sunt explicattat. cacaplatanat quae apolomm otopmo propos. L2. hodh denatura
hyperbora teliquu; cum ea tyrot
Sporius a studio Conicarum sectionu atsa 
inuitare, conabor hoc loco per dilucidationem (cematur
ae hic appar
nifestam
reddere, vrorexim mouere curqe valeat ip (a facilitas. nam ve nonnulli autumant, affectata au-
aoti obscuricashorrorem es aversionem parere nata est, quae nihilominus diris intellicentibus
admirationem mouet.
Conus AB CD isoscelius rectanguli cujus basis circularis B C D secetur per centrum F
diametro BD: per quam es verricem coni a acatur planum ABD, deinde assumpro in
diamerro BD, quonis puncto F ericatur ex hocnormaliter ad diamerrum BD, recta FC.
faru planum TIFC occurrens rectae D A productae in FI. Deinde per punctum quoalbet
K linea FC statuatur L. KM aequidistans diametro BD: secundum quam parallelum
planum collocetur L. LM basi BC D: Ex sit K I communis sectio plani FL F C ex superficiet
F LM. Fiat denique quadrato K L aequale rectanculum C K hoc est F KM. ex punctoran-
dem LL demissalinea ad punctum N, ducatur CC aequidistans RNI: ex F B producta con-
currat cum FIO in puncto P. Dicis isitur apollonius sectionem C LC, qu o
Y7 2
perbela indisecat, habere has proprietates.
Figura:
Primo

## Folio 536 — 1815201908:0593
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000593.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
A1LL LRBOL A.
erimo vi quaenis applicata ad rectam GF.
38
istans inplano G LC, possit rectan eulum
ex quo est eanta l. L aquidistans Ct, quan docat dranar poscrum ad diametrum CF.
Eermino recta CFC (quam nominat latus transuersum ejusdem hyperbola CLC:) ad pun-
Etum linea CO: (quae perpendiculariter est erecta ad diametrum LLF.) rectangula quae
cunque orra ex alsirudine CFK, e lonsitudine XN, vel ex altitudine CF es longitudine
F P; sint aequalia quadratis linearum KI, F. C: excedunt autem rectancula C+F VY, G+ FP
paralleloeramma sub latere recto O, e GK, vel CO ex O Fi ficuris OR, SB,
quae similes existune ficura constieutae ex latere recto CO, ex transuerso G II: quod ma-
nifestum est ex producta diamerro TIO. quae similia triangula YIOC e OON, OSPi
producit. quocirca si rectis KI, FC ponantur aequales XY, F.V, erit CT V, eadem hiper
bolaquae in cono AB C. D per sectionem CC P producta fuit.
CKNV. hoc est aequetur eidem; quod rectangulum ita determinat ve habeat nimirum altitu
dinem C. K quantitatem interc eptam inter C terminum diamerrihyperbolici, e K punctum
3. Xigura.
5
Secundo et rectanenum Lpie per aut gudaset cx , in C+ FT ducto.
Parus autem GO appellat lacus rectum hyperbolae ex eo quod normaliser ducta linea ex Y
Suda et plenius intellicatur, convereamus nos ad considerandum scema 3. Cx 4. ex reperie.
applicantur linea CT aequidistantes inter se: ex AB constituta cum rectâ AC ad quem-
libet angulum, ponitur DF. aequidistans AB. rectangulis insuper YC: L quadrata C
aequalia constituantur: Cx ex vi discursus Apollonici patet E F hyperbolam esse; nam qua-
drata EF possunt rectancula sub D F latere recto ex DC constructa, excedentia fieura
MI simili Gurae D O, prout vult apollonius, cum rectancula C: I. altitudinem habeant
DO, ex sint applicara ad FD latus receum excedendo ficura L M, quae similis plane est illi
quae sub latere recto D, es AD transuerso constructa est; in vertia firura in qua ordinarim
applicantur tellae CK, ad angulos rectos, linea A C axis est hyperbola; in quarta aurem re-
ciaeadem RC tantum est, una ex secundariis chametris; quia ad obliquos anculos ordina-
eim positas aspescit. Recra quoque AD transuer sa diameter ex latus transuer sum nihilomi
nus ab Apollono appellatur, es D rectumlatus scchnaum quod possam omnes unca k
quae ordinatim appucantur ad diamerrum AC. punctum quoque P quod dividit A D bifa-
riam, centrum pcurae nuncupat.
nis nonparum secum adducet si bene perciptuut. Cum in praesenti propolitione quam exponi-
mus, univer saliter pro:untiatum sit secundum primum (cema. Recta L asa diCunque
mus ea prorsas conventie c pracedenti ficura ex conderita; nam au rectam LL Pracuta
Sed priusquam vlcerius percamus, restat hoc loco elucidamda quastiuncula cuius solurio lumi.
in C, ut rectanculum ABC ad ABC, recianculum eam rationem obtineat quam qua-
dracum BD, ad BD quadratm; exueet LB Beroa quare ab apoon viae-
murplacito discedere qui videtur postulare vt rectansula A B C aqualia sint quadratis BD:

## Folio 537 — 1815201908:0594
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000594.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
rie.
Etd
3X
1
1III
AEY BER BOL A
4. Ficira.
hyperboles, ex mence apollonii, quod ex sensunstrae proposons concedi debet.
riictionem accomodandi Apollonico discursui, quod proxima provosicione conabimur prastare.
11
PROBOSITIO VIII.
D Ecta AB divila sIE vicunque in C; ex quo duct a quauis CD, pona-
LLcur qua cunque AL quam intersecent xquidistances C L. Denigue
hantrectangulis C F L. aequalia quadrara FII.
Dico CHTB esschiyverbolam.
anscilicet so rectanentis N C I, fant aequalia quadrata C O. Sieura DCO non sit fisura
ad soluendum hunc nodum nullam praxum commodioret mio quam eam ipsam con-
Demonstratio.
tac rectae CB aequalis B M, d Ponca 
runcioitur rectis C F xquales F R, ca CCulis GFP Racuantur Xqua
lia XFF, Pacet AIF lineam rectam esse _ OF d Fl, cam rationem conrinere
quam FK ad FL, ob aequalicarem rectangulorum. IM cangula R F I hoc est
CF, aequolia etime quadratis F FI. GuaICTCCLAHSMTMIM C F L cum siC applicarum
ad rectam CN habiens lacicudinem C lesctac queguccaulum NC. Fhiou
paOP Simili figure lib NC; _ C A, PACCL HOMLAMM L +F+I. Cam iptam ese qua ab
aeparallelis OL in RK: e
Apollonio deleriptatuir: hincisicur pacer dubis expedicio: quod praecedenslchoson
in medium acculerar sub tinem dilucidandum. lineam A C, diam etrum nominat 8t
simul lacus cranluersum linex CN, quam lacus rectum dicit: punctum aurem quod
AC bitatiam (ecat sixurxe cenrru indigerat: quia omnes diamerros bitariam diuidic
XyY 3
Stho-
t pt e  et   e e e a  te e ut et t A t t se     1  .  t a e e At i.   t t   t  e   a       lt . u 

## Folio 538 — 1815201908:0595
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000595.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
AIX PER BOE A.
5.
B
Schortot.
Ldes. incenue Lector varios esse
casus praecedentium proposirio
num quae de constructione hyperbola
tractant per interpoptionem tata
FY, C: T: primo etenim scer
rum ITI quae mediae sint inter rectas
distantes sunt AB ex C V. Tectm-
do vero eadem recta stot muicem
occurrunt est puncto K. quod ist
rune est. Iet
te aequi-
etiam sectionic
rio denique sit concursud cnrundem
linearum in T puncto per quod
sectio nulla ratonc, licet in infini-
cum producatur, transire porest. nihi-
commus verae sunt  senuina s
derbola. ex eo solo capite quod re-
caneuta LLC; aequalia sint qua
dratis TFI. quod ex iis quae prae-
missa sunt liquido constat: rectan-
culum nat t: TC ac L L  re-
11
etaneulum proportionem habet
compositam exratione CL, ad C+ T,
 ex ratione TF ad TF. quare si
minier quadrarum TTL ad L2L
quadratum; rationem habet exqs
dem compositam: verum ellam re-
TII quadratum provortionem ean-
dem habet quae inuenitur inter re-
crangula ALC e ATC. Unde
manifesto constat, ex iis quae prae-
misimus, sectiones TII esse hyper-
bolicas; in quonis casut hic exposito:
qui commodisime inservire porerit
ad cuiusuis hyperbola comprutio.
nem.
ctangulum AIC, ad AIC re-
ctanculum racionem habet compo-
sitam ex ratio CL, au C L hoc
est ex ratione YC ad LC, ex ex
ratione AI ad AI. hoc est TF ad
TF: icitures quadratum TII, ad
s e e s  nt  sau  s e   e 1

## Folio 539 — 1815201908:0596
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000596.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
re-
re-
9.
oc
e
de
ALLLBOLA.
luisa AB bitariam in C. Hac De lectangulum AV D Ae AVB, 1c2
DE guadracum ad quadracui DF. hac dcIHdCM AVB Fectan.
gulum ad rectangulum AD Bra cae D Guaatato, ira quadrarum DF
PROEOSTFTO IZ.
addF quadracum.
DicoCOF elle rectam lineam
Instratio.
ronam rectangulum A D B ad A DB, cumquadrato B C eam pOnAEUE Con
Lcincrerationem quam habet quadracum D F. ad D F quadracum; igicur ve re
ctangulum ADB ad quadracum DF, ica rectangulum AD B una cum quadra-
1o CB, hoc estica quadracum CD ad quadracum DF. quare ve CD quadracuir
ed CD quadracum; ica D F quadrarum ad quadrarum D F. hoc cst C F quadca
cum ad quadrarum C F. PAcCFISITur CO F esse in directum. Ouod crac demon-
Arandum.
eret. SS ISBB CMC
IIdem poltis:
PROEOSITIO Z.
L Diconunquam punctum E Fore commune cum puncto F.
S C) IA  Demonstratio.
roniam elt quactatum C D ad C D quadratum ve DF ad DF quadrarum,
Le ADB rectangulumi; ad AD B rectangulum; ve quadracum DF. ad DP.
quadracum; igicur crie rectansulum ADB ad quadracum D F, ve quadratum C B.
alrectansulum F F II. erso ve CB quadracum ad CB quadracum, icatectangu-
lum F F HI ad F. F. H, rectanousum; igicur F F HI rectangula incer le xequalia sunc:
isicur FD quadracum cum excedar quadracum F D, rectangulo FF D, eris lincx
F.D maioriInca F. D. non igicur eric rniquam commune punctum P cum punstOD
Duodtur demonstrandum.
vect
13 3oEL ∞IISBEHIBNB C) LA BC. TATF 111222B
P R OP O St  i9a634099.529230
Ildempolicis:
i
121 = OPL LLSG (LLI 3: 3KB
Dicoquoremotius erit D à puncto B; co F L recta remorior à li:
nea G B minor eric F L, viciniore rectae GB.
Demon:
emgotot121213221326 27 10 1 20 2L 22 3334 3520

## Folio 540 — 1815201908:0597
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000597.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
FA Y B, E H BIO L A.
.L CI aleC Demonstrato.
pit d et  Bg S NS aVih recanoulum ADB ad A DB, rectan.
2 130 e Daist scit gulum BEvE quadratum DF. ad DF, qua-
 1s1 O:SCS Edracum; igitur quoremorius D distat aB, pun.
Et0, 0omaius exic lacus DF, LacereD F quod vi-
cinius est recta OB. _E CONLCGUENECF CrIE FD
lacusmaius latere E D quo punctum D; remo-
cius abest a puncto B; 2c proinde idem alle.
rendum de recta F. FI, guxe maiore inceruallo
distat a B, puncto; vnde cum F F. II rectangula
Sncincer se aequalia; igicur retmocior LF est ac
viciniorem lineam PF Scuc vicinior F FI, est
ad remociorem F FI, igitur PR, remocius mi-
us elacere F F viciniore. Ouod tuic demon-
ROPOSITIO XII.
UF ConUS A BC plano per axem
BC criangulum exhibens in quo
ducatur quaenis recta D F COn-
currenscum C A producta in
G exrra conum: crectâ deni-
que DE normalirer ad CB,
hiac sectio secundum rectas
GD, DF. eandem diuisa GF
in H bitariam, Rac verectan
gulum GMF ad rectanoulum
SMF una cum quadraco HIF
ica quadratum NIN 2d MC
quadracum, et ducatur HO.
Dico HI L. lineam sectioni
F D F nunquam occurturam.
Demonstratio.
Onacur MO aequidistans DL.
olterlum enuectangulum CMF
rerationem quam MN quadearum
Sd quadrarum DP, sed ve OMI
cccare utu acrectangulum OMI
ada C D F rectangulum cam habe-
d
ibs
AINZSTLRHE
trandum.
rectarigulum CM L Ad EIM quadtatum; ita e CA COnAructionE M N quadtarum
ad MO quaatacr. tem D CMF rectanoulum ad M N guaoracum ia cHt qua.
dratum FTM, ad MO quadracum hoc est ED guaaratum ad D L quadratum led
bria cum quadrato II L, hoc est ve
13.
Corolia
per pracedenrem proposicionem ostensum est punctum F nunquam Fore commur
necum punao L; er30 HYL lectIOniNOAOCCUTTEE. Quod demonstrandum fvit.
1 1 2
TOEI.
 

## Folio 541 — 1815201908:0598
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000598.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
eltur
mB
ren
quo
Con.
ta ir
leni
CB
ctas
OF
Ta1.
lum
HP
101
M.
WIIIIIIII
IIY P F R BO L H.
Corollarium.
Idem pôsris lequicae lineam FFF, quo masis proac, coum popinguo-
rem heri. Octensum est enim penuleima proposicione punctum L. quo maiori in-
ceruallo dictabic a puncto FI, co ricinius Fucurum sectioni F N F. Igitur linca HIL.
quomasis procrahetur, eo lectioni propinquior Aet.
ldem voricis:
l
PROPOSITIO XIL
Dico hyperbolam productani da ahpeoton ploauctam Ita VI-
cinam heri re quouis inceruallo daro diltancia incer haec minox (Ic Fucura.
Demonstratio.
TAcuM IMCCaHAM O, PONAEUE F Y
in termino diamecri DF contingens
sectionem FNF: eric haec parallela
MO. Aac aurem rectangulum Tub RS
quae sc minor e aliaS Y aqualequa-
deaEO E P. e applicetur ad diameerum
FD ordinatim pars cius SX, qua X Y
residuum habeat equale R S. Sicque il.
la FDV. igicur F, P aequalis est XT.
cum P L V rectangulum, hoc est R SI
sic aequale quadraco FP. Duodshatre
ctangulum toper 9, e N, aequale qua-
deato FP, eric SX maior Y, nam
maior eA quam sE R S. quarC S PONatuE
Y ordinarim ad diamerrum FD, cadec
super rectam VP. sic igitur illa Z X 3
e O regnalis ap. quod G itaque ni
ec F.L. normales linc ad alzmpeoros
pacer propolicio, cum n p Posica sic X qua-
lis a. _ vihilominus F. L osten(a (c il-
la mnor: a normalibus enim ad asympro-
eos ductis à sectione, de lumicur alympro-
corum à lectione distancia. Duodh a pen
F L non Cinc normales ad FIL, CX X _ F
ducancur normales XB, F Y. cum icaque
Ap _ B D, icem AB, d F. Y parallela
SInC; dE anouti a uB, F L Y aequales, e camen lacus au ostensum sicmaius esse la
cere FL, etiam reliqua lacera reliquis laceribus, et AB, latere P. Y maiuserie, ergo
distancia F. Y minor est daca 1. Ouodtuir demonstrandum.
PROPOSITIO XIY
Nculum AC Blabcendat HIIICa AB, qua bitariam in Ci diuita, po-
adantur AB aequaes DE; qua in s lecenrur, re Dt F. rC-
etangula dcaa  Guatato A6.
Dico C F F ad candem esse hyperbolami.
   t 1i
Demon-
1
11
1
stitesti ti tu uis o supit

## Folio 542 — 1815201908:0599
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000599.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
Peres
ma
67. huin
AZPERBOL A.
Demonstratio.
DRoducta GC in R, VECR, SC aequalis C C, BOnanEUE AL, BN aequidistan:
ces C:L: cum AB, DF aequidistene, e AB in C diuisa sic bitariam, CFIE _E D F
in I bitariam dinila; quare DI quadeaca, aequalia lune quadraris P Iuna cumare.
Ctangulis DL F. sed ec D I quadrata, aequancur eriam F I quadratis, una cum re-
etangulis DF P; aequalia igitur lunc quadeaca P I, una cum rectangulis D L. F, qua-
dracis FI, una cum rectangulis DF L: Cunc aurem perhypochesim quadrara L. Iid
est AC, rectangulis D F F aequalia, reliqua igitur D L. F ae qualia sune quadraris
FT. quia vero AL ipsi C G _ DI. ipS AC aequidistac, ve DL ad L A, AC AC
est ad GC, _ ve DI ad AC, id est LI, AC AL hoc eA GT, 2d C C: ergo
etiam ve DL ad L NI, SIC AL sivc TO, ad GR; _ tE DL ad L F, SCIC ad TR:
rectangula isitur D L E proporcionalia sunc rect angulis GTR: TUNC auceM D L P
rectangula ostensa aequalia quadraris PI, isitur C IK rectangula proporcionalia
sune quadearis E P: quare C F F ad b eandem sunc hyperbolam simili modo R qua-
draco E B aequalia hane rectangula DNT F, ostendentur puncta MMTC esse ad
hyperbolam: _ quia quadrara A C, G B, adeoque ec rectangula DF F, DMF ∞.
qualia UnE, FCAX FD, M F. aequales quoque Cunc: un de x residUX F. M in I, bil.
secta sune, de FCM ad candem hyperbolam.
eROPOSITIO XV.
IIdem policis:
Dico AC, C B eAsC alymPEOTOS.
Demon.
 ee e e s u t te e  t  a te  e t s e  es t ut e es  t st e i a  t  e i  t qe     te  et   t      et e e  e e   t te   t

## Folio 543 — 1815201908:0600
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000600.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
DB
cC.
re-
U2-
id
eatis
A6
ergo
IR:
LI
TL Y P ER B O, L A.
Demonstratio.
C em heri POTCA Byperbol in punctis O’e R. et Hac quadeace
C aequale rectangulum OFR. eric itaque punctum T, in ipla sectiono
CiFFi, adeoque ee inrecta AO. Idemisicur est punctum O e Y cum virumque
duarum lineatum OP, AO, communis sic incersectio: quod est coneri constru-
ctionem, qua O Y R, rectangulum equale tr quadraco AC: codemmodoosten-
decur punctum R communenon cMe recx CR, ee sectiohi: igicur F C M hyper-
bola rectis AC, C B, nusquam occurrir. Quod vero semper maxis ac masis adhy-
verbolam accedane, sic octendo: cum D F F rectangula per hypochesim aequalia
sinc quadrato A C adeoque d inter sC, vED F ad D F, siC F F. 2d F F, recipro-
Cc: sed FL. qux tetmorior est a vercice C maior es, F F viciniore, igicux _ LD,
rect_ AC vicinior, maior eA FD, remoriore ab AC. similicer octendetur re-
etasM F eo magis decrelcere quo remoriores sune a verrice C: rectae isitur A C
CB maxis sempeemagisque ad lectionem accedune; ee hu(quam OECUrruHE. aCym.
proci suncisicut, hsperbole C F. V. Quoderac demonstrandum.
Oler 
1
Coro gh: iY X olneim ai
Corourta  MolenaBO :t R _ 3aWBC. IL et
inc sequitur xectas, incet alimproros de hyperbolaminter cepeas aequales estes
Lostenta sunc enim in propol. 14. huius recrx DF, NP. xequales. undecum
Per Y5. huiuS punCE D e F. ad alymprocos tine, patee vericas Corollaris.
PROPOSITIO XVI
ila pera pS POnerE. 
Motrctib.
et 2) estio A.s C i
 2AIICCI. B A3 F.t
Con.
 ies   sie 

## Folio 544 — 1815201908:0601
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000601.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
ATZ PER BOL A.
Constructio es demonstratio.
obla Cuius alymprotos exhibere oporret: diamerer sectionis H
GB, qua in Z bitariam diuila ordinacim ad illam posicx sinc AD C: deinde AaC
rectangulo CDB, aliud amile FIF. M. quod aequale, quoque sc quadraco DA,
cum RIM, diuis2 bitariam in NY, AAnED F, D F, aequales, NEI dimidix HIM. PO.
nanturque ex centro lineE ZF, ZF. Dicoillas esse alymproros hyperbolx ABC.
Posica enim B R, quae x quidistet DP, ponacur K O, Parallela BD, ex P, S aequidi-
saris RB. Erie ereO vE F L ad TR, id est BD, sc KB ad BZ, siuic R V, id eAI Y
dupla XB ad CB duplam Z B, ex permurando ve H I ad IX, sic BD ad BC, _ F. I
ad TF, VeBV) ad D G: vnde BIF recrangulum simile est rectaneuto eDB a
deoque ec mile rectanoulo HILMi e cum F D, HN ex constructione aquales
tinc, aequalia quoque sunc rectansula P Y F, FI I. M: quare ex PIF, rectangulum x.
quale quoque est quadraro AD. codem modo ostendicur P OS reccangulum cimi-
le rectansulo C PB ex aequale quadraco  Y. Rursum cum quadratum F. D, tam
aequale ra quadrato AB, una cum rectangulo P. AF, quam F l F. receangulo cum
quadraro TD, quadracum AD vna cum rectangulo E A F aequale est quadraco ID
una cum reccangulo F PF: dempris igitur aequalibus, AD quadraco e receangulo
ETP, manCE F A F recrangulum xequale quadraco ID, id est R B: codem modo
oltenditur POS receangulum aequari quadraco RB; ae qualia isitur lune recrangu.
b15. hains. la B AF, P O S: vide Z F
Z E alsmpcorib sune hispecbola ABC. Extribuirus
isIeuT, e C. Dubd erac Laciendlim.
12 l.O2.
17 h1EC
(IF
etrit eoroqcaite ha cL e Ct ABee EnI. ( 13
Corollarium..
10.
IE A BC hrp
inclequicur Pous aolto L. L LL. pea ABC ex F AF, otonu
cim ad diamerrum C B, ecc. ve ance rectansula CDB lmisa ee lecransulis
E.PF: manifecta es demonstracio, ex discursu in priori demonstratione adhibito.
ae ee eeo eesra ese oooease

## Folio 545 — 1815201908:0602
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000602.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
5 IC
Aae
A3
ou
C.
di
BI
ed
aM
alo
de
11III
3133
R O
eaeeta atdt
D OS
t err. 3. 14B t .HC
O XV LI. ve
Ecta AB inter alimpEoros AC, C B, hyperboIX FG N consticuras
LCm  vertice diametri K C divisa Cicbitariam; ee AB quidem, 2
quidiltene Ot L, Guasatecet secta AII, aequidistans Maect.
Lno L Fi quadracis quari rect an sutq DIF.
Demonstratio.
AEYPE R BOL d
Ldam II, per quod ducta P HM;
aequidictaris AB; rectansulumi
PH M Equale Faciac quadraco A C
patet I punctum esse ina Perime.
crolectionis, de quia ff, PHL
rectansula, similia b suncrectanou-
lis RF. C _  C rectangula D LF
P Hnt proporcionalia luric quadea-
eis FL, HO: e DIF rcctanou
lum 24 quadracum FP, vE P ApI
reccangulum ad quadtacum 1C
equalia AUEE SUNE Cx CONARUCE. qu2
il Litear
racum HO iet CA AG, e FCCanSutuM PHIM, desalicur ixicur DL P reccaneU-
la quidracis FL. Ouod erac demonstrandum.
.
: 13
B R CD, 5 T. F. 1 C
Dicorectansula D F F Iticer se ae qualia esso, vel quadrate A s1 vrr
Demonstratio.
.31tii1s
Lquadrata quoque x qualia sunc quadraris P. L, via Cum rebrahgus is. 1 D L QuX
drata isicie L F vria cum recrangulis D F P, aqualia lunc quadraris L
ecrangulis DYB; sed F L. qualtracis, per precedemem aequalia sunc recrangula
DTESIBITUE _E DFP recrangula reliqua, aequalia lun quadracis IT. Id cAt AC
quadraro; vnde de iticer le Gaoque sune x qualia. Ouod ctat gemonstrandum.
LIIESGCNB Corollarium
ICPAEF LECFgS D E Cofetiminores, quo lerex sync à conringence Cba
prallela; papet e Ance dictioril.
2. I2 2H35. P 37. et adis   
92211 30 B1ULB2Z ∞. i
dViuluis litiergua in duo
enibus punetis Byscivra 
Sperbolam ABC ICCCE RECTA
quaenis A C, oporrecillius asen2-
re drametrum, polica A C equidistan-
ec DE. BileCeHEut AC, D E in C et fi
vonctis, per qua Fcera agacur BF. di:
nida   steqelt
coillam esre diamerrum quaesicam. Sn vero sic alia guixuis linea L FI diainecet; oc
Curpargue D P. reccX in HI: quia ipirur L. H diamerer eA aequi distanrium AC, DF
2:
bisecat
1
Scumpio in AF puncto, quo-
dem fo(ero: meinril eI. 2R. 43  132CI2118
Vadracis D F aequalia CuNERECLALIECIA DLE vna cum quadraris Z F; sed F F
aEur
. d A atceeg: 32∞. II 13830970
ia. Truiuis
B corolli 6.
2 dis rd
mutnsAacn.
t  M itS (P. cvauq noisit
CurrIE diaMMICCLMLA AIMSHaTC.
Constructio es demonstratio:
    s tserg      e     s  s6seI

## Folio 546 — 1815201908:0603
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000603.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
aDosn. 2. BileCat 2CaIdem in C _c TY. POnCbAEUELureM DP. BileetA in P; puncra isieur L
bonriis.
2. CASBIUB et A SPROPOSITIO
AZRERBOLAS
546
_e H, unum idemque sunc: _ L. FL linea eadem cum B F: diamererisitur quXeticZ
se
7
103 611)  nboct
etE BC
113BFERBLI 
B26. hericss-
Corol. 15.
ero. hinins.
ni.
cisit.
lamerri omnes hyverbola, in vno
eodemq; conveniunt puncto.
Demonstratio.
IE ABChxperbOla diameter D F, qua diuisa
bitaciam in Liponaneur balymipeo Lent l
a per ti ducacur LB occurrenstirperbolein B.
Ponacur aucem per B linca C HI qua in B bille
cca AE, illique aequidistances ponancar l AR, OC.
CUITTCHECS FB lincc in M: quoniam isitur HC
in B dinisa estbitariam, tecta lR illi xquidiltan-
ces in M quoque bissecancur: x quales aucem lunc
que sunc; dinmeceripitur a secrionis est FB: oc
curricanrem ED dimecro in F. Constac et BOBC
riraspropolicionis.
WL MOE
ABO LO rESI B itCB
orollarium.
(15
Scensum est propolcian. 3. huius; ECCFAS
omnes, per F duccas, et opposiris seccioni-
bus incercepeas, in i bitariam diuidi; punccum
vero illuds concrum cum Apollona pellumus; quod diamerros omnes bitariam di-
uidic.
ETA, CK, cCliduX BICMI AM. MI L aGlaeS quo
PR ODOSITIO XXI
Aex hyperbola cencrum altisu. ep 11
1BBCp 3EINI C
MLWHMLLTadC
33535
monstrandum.
cop
constructio e demonstrario.
  i est ta dbddba
oporcer allionaccponaneur aL ti
due quaevis parallele, quarum diame.
cer ducatur DB, Ponaneur aucem l
alia binae aquiacances C. Crt Lli gu.
bus, in _ d R billeccs, ponaeur dia
mecer N H, qua produecas occurret
DB diameero in puneco quodan D;
manitectum est expeaecedenci propo
sicione punccum D, teocionio Cu Clle. extibuimus erxo, etc. Quod erat de
OPOStTIC
EaBCB EvILICS3OGO.D SiElBUP
e hyperbola axem alsignaxe. estibis p5 ) R es ilOq. a1I S BAaIB 3.
ie aat
 du  elis  a l
39et
30, 393OIBiL EL,  EDe LetaiB eilB 3IL 5r 3. aN :MSSESP CESDCnRIb S csILIO
.D A c e.  Sibicp ~ S 2geiB EL. P evsisii cisip: FL ai ∞. 1932 il  Constru.
doU
  .    u      e  e  t e     . e ta      e e  t                tit   s       t        s n it nui

## Folio 547 — 1815201908:0604
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000604.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
et
EesIr
V1B
1Bc.
IC
3De
CTaS
oni-
din
HXPE LBO
ACa Sc hyperbola ABC cuius
adem oporrec exMlibere: invenco
cenero Ddelcribatur inceruallo quo
dis, circulus AF C OCCUEFeNS hyPer-
bolxe in A et C punctis; quibusiun-
etis secetur AC bitariam in F, duca.
curque DBF: dico D F axem essehy-
perbolae: cum enim D F Cemidiameter
circuli A F C. bitariam dinidac reccam
AC, in circulo applicatams ad angulos illam secat reclos, adeoque de omnesilli pa-
rallelassigicur cum e cenrro hyperbola, quoque eduera lic, recta B axis elt hy.
perbolx ABC. fecimusigirur quod erac poltularum.
Puncta intersectionum A ex C Geomerrice exhibebimus parte huius libri sexta.
PR OP OSTTTO XKIII
D dacam diamerrum in hyperbola ordinarim lincam ponere.
Constructio es demonstratio.
Constructio ex demonstratio.
Acalicls Petbola ABC, cuus diamecer da-
ea sE DB, oporcec illi ordinacim applicare
lineam IK: diuisa D B bitariam in NI, PONRNEUE
typerbolae asympeoci bDB, DFI: acEaque PEx
Bverricem diamerri, recta P II, quae in B diuila
Sc bitariam, Ponacur F. II, aquidistans F C1, Oc.
currens sectioni in I _ K. dico IK lincamom-
nelque illi aequidistantes bitariam diuidi à dia-
ecro DB: cum enim F FI in B dinila RCbita
riam, ipsique F FI aequidistec SC, eric se illa in
E bitariam divila: Sune aurem d FL, cRC X-
quales; igitur e religuae P I, L R incer se equales
lunc; isicur IK linee omnesq; iIII a quidistances à
DB diametro bissecantur. Applicuimusigitur
ad diamerrum D B ordinacim lineam IK. Quod
cactaciendum.
otiui
ROPOSITIO ZZIV
caa yperbola e diamerte, appitalc dalal Lcltam ordinarim ad
a a M.
e
constra
  pat u  pete  s.  set tat t e  t tt  s itt e t  et. sit ti t tt te   a d    t si

## Folio 548 — 1815201908:0605
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000605.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
  1
eq ill sta
es
si
AIXPER BOL. A.
Constructio es demonstratio.
ACZ SE A recta quam ad diamerrum aacam BC hyperbola DCF, ordinarim
oporceae applicare: ponatur per praecedemem recta quaenis DO, ordinarim ad
arhuius. dracum ordinarim poliea TC, Ve seclansulum BRC ad ordinacim posiram in
CA TC quadratum ad A quadracu. OUac acz  RF; aequale cA A quadraco.
quia verO RP. aequidistae FC oramaUm POSITE, recta quoque RF. ordinacim ad
apencala cl. Pelecimus igicur quod poltulatur.
diamerrum BC: quae eidem occurrar in puncto I: e hac ve quadracum PC 3d qu’a-
dracui A ita BFC rectangulum ad BK C reCtanGUIU: XF PEF R PONACUF RF P2-
rallela TC. Dico illam lacistacere pericioni; es enim rectangulum BLC 2d qua
puncto R: Sed ex constructione vereerangulum BIC ad rectangulum BKC, ita
23. huiHI.
PROPOSITIO ZXV.
Porrear ex dato in diame.
ero hyverbola puncto
Ordinarim lineam applicare.
Constructio es demonstratio.
Acum Ccin diamerro AB, pun.
CTUI C, CX quO OPOFTCaEre.
cram ad camdem diametrum ordi.
natim applicare: ponatur quaeuis
b ordinacim DF, cui ex C aeguidi.
Aans dueaEur C F. PaTeE C F Cacis.
Facere peritioni.
PROPOSITTO ZZVI
Demon-
Nnis linca per verticem diamerri hyperbolx ducta, e ordinatim ad
eandem diametrum polica asusuals, secllotrem contingit.

## Folio 549 — 1815201908:0606
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000606.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
12
Ua.
P2
12-
in
ica
AEO:
ad
nC.
40
TLX DF
Demonstratio.
Tcad ABC hyperbola diamereiiim
DB, orlinacim applicaci AC, cui
per B vercicem diamerri aequidistans
ponacur F B, dico illain concingere
sectionem. Si enim non concingac, oc
currac denuo tirperbola in quodani
puncto I: divilaque FB bitariam in
OPonarur diamecer CD: cumigieur
TiB aequrdistans A C; Bifariam lecetur a di2meero D
mecro b, Fariam quoque diuita: quod herinon porest, cum ad D B diamerrum or- huint.
dinacim ponacur applicaca: isicur P. B lisperbolamnon lec
crac demonstrandum.
ii5.
id (22 S.
111- 1
EE Ec. SeC, CAFIZS.E
1939(1IC I
R O POSIINL
Ainis coniingenshyperbolam, verique
alympeocorum occurrie.
Demonstratio.
DEcta AB concinsacliyperbolam ACD in A.
dico AB productam verique asympeororum
occurrere. Sin vero, agmidistee AB alymproco
TiF; Policaque per A guanis linea F A D, duca
curxquidistons FTL, qux AB. linex Occurrat in
P hyperbolx in C: quoniam ipicurcam A T, P. FI
linex quam F. A, III aequidistane, recte F A, FII
requales lunc: est alirem F A b maior HIO, igitur F
de IxImaior cst H C. puctum igicur Icadirintra (c:
ctionem, adcoque AB, recta hyperbolum non
concingic: non igitur AB aquidictar alymproco
VF: SCd vETiqUEOcCUErIE
Corollarium.
(lnc Cequicur primo dedinarim policas, verimque ad asympiocospercineete, cum
cangenci requidistenti
Sequitur secundo rectas omnesinera asymproros posieas, que diamecri non surie,
cisque non aequidistane, cildem occurrere.
Sequitur cerris lineas omnes quae diameeri non tunc; sectioni in duobus caneum
punctis occurrere; quodpacet, cum demonstracum sic, rectam omnem occurrencom
sectioni que nec concinslenec alymproco equidictar, ica a sectione diuilam cHe. ve
Parces incerelectionem ec alimprorosintercepre, sincincer sexquales, icc poser di-c Coroll. 1f.
uidivitalinca in quacuor punctis ve rectansula quaTOE Xqualia exIUES aE lub paE. huius.
cibus linex divilx.
ic _ A C ab eadem diz
10d
Disin. 25
L OE aatl
Sedaum in perimetro lectionis punctum contingenrem duccrei
A 22
n
1
tett12314510271020
1
 e    t  

## Folio 550 — 1815201908:0607
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000607.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
cili. d
TIY PF R B O LIA.
Constructioe demoratio.
∞roealto tretenquit:) et s B1. 3C,
k aciE ACC
. L.1 1. 35 33 3EE (111
aeidd
1d
1. 1. er iB3. Et 15 213510
FsCI Ceres eriter it C I
e
ei eeri
13 5. 5. 1.1 id . 1
deeet CtBES. B 2BTIII.
respeiicti l vsdcie
2013 CCt 2e3C
L: 3 R. 25. SP.s: it.
11 3. CS BGL: S  I
 hu5. s I. Brit BONC CRL Si SS LaI: ML. S SSC imait
Tein AB C liyperbolxe perimetro datum punctum B, per quod Oporece concin
sentem ducere. Invento cenero D, ponatur D B diamerer, de ad illam ordinarim
linca AC, cui per B parallela ponatur RF. constar ex praecedenci propolicione
HPEEB, CL Cte CtM: ACCS EICE
PR OFOSITIO XXIX. 110707910l5.
Mnis concingenshyperulam, ee cum alymproris conveniens, in
i
11
ACcIt. 
Demonstratio.
stib.
DCCUrraE E BF, contingens hyperbolam
ABC in B: verique asympeororum in F.
ex F, dico B. P in B diuidi bitariam. Duca
diamerro D B ponacur ad illa ordinacim AC C,
virique alymprocorum occurrens in I ex Y.
erit isicur AC in C bifariam divila: ostensx
aurem luncIA, C R a quoque aequales, tota
ioieur TK in G adeogue F S illi aequidictans.
in B seda eAt bitariam. Quod demonstrare du
Porcebat.
PROTDSITIO LLL
.
Demonstratio.
birhuim. D Aecc cum ouus concineens virique asy mpTocorum Osten a B sIE OcCHCLC :t 
2 3123
115 ptol. 3 cl5.
P. F contingere hyperbolam in B.
puncto contactus bitariam lecatuF.
Vilalinea, continsens hyperbolam per cencrum cransibic.
be 11.
XOTOSFFID XXZ1
Coroll. 1
versispunetto.
datahyperbola dacae diameeri lacus. rectum allis late.
Con.

## Folio 551 — 1815201908:0608
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000608.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
I.
tim
DE
in
fi
um
K.
C
nla
Ota
11S,
1d.
AYP F R BOL A.
Conpructio es demonstracio.
sii
exhiberc. POnaCI CONCIMD CHS SVBeTDOIAMICCA BCT, IHCCMIMIMO aaCa MIAMCEEI
DB. Cuiponacul agumans AC camenoCensB. dHamCS MICa BLS
F R. F F proporcionales, iuneta deinde leca DF OcCuItac B CF M C Guoca pun-
cto: Dicorectam B CF elle lacus rectum quod inseruie diamerro BD. perticiancne
enim parallelosramma BFI, P. I circa diamcerum DF; quadrarum igirue A P. PO-
test rectanoulum FB, Iuperacque recranoulum CtF, reccarioulo F Ci Similirecran-
sulo C. D, quod lineis D B et concinetur: linea ixicur B C lacus reccum est ex
mence Apollonii.
2 EE
A3E
A Ccat
AC et 3cet C. sC
1
1
 da ia C:  et
525 11
e Cit ei.
Ic datae hyperbolae ABC allignata diameter DB, cuins lacus rectum opottcal
3SM
otete e
Osretran
i  esst: sCNHE e
d.
t cl Est a
3. H3 C1icIV. M ESI
Anire
DCUB: 3∞N eLBB
m2o tc 1e
213
oet  CI a ia
tCl 
2d a a
1
levp. X 50cil 1C17
CDEC ASII
rit
. 3+
e et si to
enct E
e
tres.St

## Folio 552 — 1815201908:0609
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000609.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
L LL
V
Sectionum oppositarum ac coniuratarum affectiones consulerat.
PRO POSITIO XXXII.
EctiOnES OpPOLIEX COMMIULES HaBEHEaCyMPEOTOS.
Demonstratio.
Inc ABC hyperbolX asyMPEOTI DL, DF:
policoque axe DB, ducancur concingenri
per B, duaae, aequidictances GI, AR: prO-
ductis deinde lineis F. D, FD, BD, AaNEDL, DV.
DT aqualesipsiS DB, DI, DK; ponancurque
PeF L, V, T linCA ML, NP, OS parallele li-
neis EB, IO, TIK; quoniam igicur aqualeslime
linex DE, DB, _ anguli D L M, :DB F. ad hxem
recti; criangula D L. M, DBP. adcoque e lacera
TM, BF xqualia Cunc: Similicer octenduneur la-
cera VN, T9 aequalia laceribus at TIK: igicuE
Ehanc L. M quadracox qualia rectangula NOP.
DRS; puncta L, O. RD ad lxperbolam Cunc.
CUIUS 2CyMPEOTI DMI, DP: dE NOP, ORS
rectangulaaqualia lunc rectangulis a GB, II AX
quia F B, LM quadraca xquancur; xqualia au-
cem lunc quadraca NV, OT quadracis an AIKi
reliqua igicur quadrata OV, RT xqualia lune
celiquiscir, AR; sunc aucem per constructionem
distantia D L, DV, D Y aequales dictanciis DB,
DBDK, CoppolicE igitur sectiones lunE L. OR,
BC A; que communibus faudene alymproris. Ouod crat demonstrandum.
PROPOSITIO XXZIII.
rEctiones oppolx lacera recta habent aqualia, quae communi infer.
muncdiametro.
Demonstratio.
i Adem allumatur fgura; Scque BZ lacus rectum hyperbole AB C, e per Z _
D Centrum, recta AUCAEUE, OCCUTEeNS P MI linex in Z: PaceE L X xequari ZB
(cum DB, D E linEx xqualeS SInC, _ anguli DLM, DB F xgualeS, Ob L M, BF
parallelas.) dico aurem L. X lacus recrum esse hyperbole ROT: recta Z Z pro.
ducta, OcCurrAE NV, ar lineis in Z e c: quoniam igirur Z B lacus rectum est, e
ExH hu. C Y ordinarim posica ad diamerrum D B, proporrionales (ine d linex BL, (7 1, las est
durem BI aequalis L V, per hypochelim, e ex demonstracione pexcedenci, rectae
C, 1co aequales VO; VY: recte quoque LV, VO, V Y proxortionales lunt: quare
La lalutc Tecum clthyperbolE I. OR. Ccctiones igicur oppolitc, et c. Ouod erat
demonstrandum.
lina
positarum
b11. buius.
bid.
P R O
nee e  o oa

## Folio 553 — 1815201908:0610
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000610.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
dF.
senii
DEO.
DV.
eque
lune
rem
Tert
la-
ICuE
DP.
IHE,
RS
AX
AU-
TRi
ME
dem
B.
et.
IIIIIIII
HIY P E R BOL A.
PROPOSITIO XRXIY
HInE ABC, DL F oppolicx sectiones, quarum communis est diame.
cer BE: cuix quidiltantes ponantur quaeuls , Bccurrences cOn-
cingenri per  acta in Gs ponancurq; ordinarim A I:
Duo ACD ieclansula xquarirectan gulis BIF.
Demonstratio.
DOnanEUE ex D ordinarim DH ad diametrum
BF. cum isitur eam AD, IHI, quam AL, GB,
DH linex aequidistene, crune AI xquales DHI.
_DHI F. aequales IB; rectangula isicur HIBL id eAt
DOA, Equalia suncrectangulis F. IB. DuOd eTAE
demonstrandum.
eleOTOSITIO XXY
Dicd A C,D rectansula proportiona-
lin esse quadraris CB.
Demonstratio.
Sceniu DIC rectangulum ad rectangulum BTF, vEC AL quaaratum ad quA- CEVL HA.
deatum AI, id est B C. ad quadratum BG: scd AC D d reccngula aequalia
Cunc rectangulis BIP: quadraris ixicur B C, proporcionalia quoque sunc rectangu-
la AC,D; quod orac demonstrandum.
PROBOSITIO XXZVI
Int sectiones OppolIEX ABC, DE F; d diametro cururs L. B, PMMal
crparalleta C H, lK; occurrences AC ordinarim posiex ad FB,
Dico blC rectangulum adrectangulum IlM, candemhaberera-
rionem, quam rectangulum AHIC ad AK C rectangulum.
Demonstratio.
d34. buius:
Adem matience Agura:
in punctis I d FI.
DOT AD aquidistance B. B, constimaneur ordina
eim IO, GP, I. DBMIO, Id R ad diamerruF B: erit
CrROCR F S rectangulum, aequale rectangulis, RO5
vria cum recrangulo 9) RO. Similirer rectangulum
OFC) aquale rectangulis () PO, PF N: quadratum
Aee AS. aequale est reetangulo nA R C, vna cum RS
quadraco; quemadmodum eriam quadratum MO X.
quale cst rectansulo MZ P, ui cum Z O. quadracoi
est aurem rectangulum R R S. ad quadracum A S, EVE
DF O rectangulum ad quauacu S L ntOIL. R S. Igi
cur ee reliquum rectangulum. RO S, est ad reliquum
permucando le Srectanguium ad reccanoulu OF. O.
eArcrectangulum AK C, d XS quadrarum hoc est
222 3
AKC, VEO FO rectangulum ad quadracum. K S5 e
13
estet e  ute et e at te ta te   t ta e t p e   ui t t   . eet 1  a    t o e    t   et e   e te  e   ita  

## Folio 554 — 1815201908:0611
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000611.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
AY P F. K b. OL 
MO. est aurem R OS: rectangulum aequale TRHI
reccangulo: igitur _ IK MI reciangulum, est ad reCran
sulum OF. O, ve rectangulum AK C ad RS qua-
dEAEUM. EFAE AUTEM R P S rectangulum ad quadtacum
verectangulum 9F. O ad quadracum MO. Igi.
CUEVE O EO rectansulum hoc est P OB ad quadra.
cum MO, ita est ROS rectangulum hoc est IKM,
ad A K C rectangulum. eodem discursis demonstratur
rectangulum OFTT ad AHI C, camdemrarionem ha
berc quam F N B rectangulun ad quadrarum N L. hoc
est quam rectangulum F. OB ad quadeatum MO. Igi-
cur rectangutum AKC ad IRM, camdem habeEra
tionem; quam AILC, 2d rectangulum CFTL, e
GFIL rectanoulum ad rectanoulum TKM camdem
habecrationem, quam rectansulum AHC ad ARC
rectatigulum. Ouod tuic demonstratidum.
ROLOSITIO XXXVII.
aneux iterum oppolICa fectiones AB C, DE F, d ad diametrum
EBcollocentur ordina HI, IK, AC. POnaTuTQ; BL. concin-
Bens _ AD, IO. CF aequiemunet B: denique GH, IH prorracta cum
Dico rectarigulum C.M HI Ad LNTK, camdem rationem obrinere,
quala et L. Lecratsutum ad roctangulum 109.
1A
ta moto Demonstratio.
SEDEEpracedencem, rectangulum F PC ad OOTFe
 nla ctangulum, eam habec racionem, quam APC roi
cransulum ad recrangulu AOC: sed rectangulo A P C,
aQUaEUE GMHI reccangulum, e recrangulum AO C.
reccanoulo IN K. recCangUuM igITUIr OTMHL ad TNK
camdem racionem obciner, quam 109 rectangulum
orsdrecraneulum CP R. Duod fuerac demonstrandum
A OeOSFFFO XXXVIII.
ACH verbola ABC; oporteat illi oppositam
nul conticuere. IlA
1
5.1 moei
Constructio es demonstratio.
FNuenro cenerob typerbole AB C, nimieum D,
eriehioc communeleciam alceri ic hyperboles qux
E. inguiricurs Vlceriuss CiasimpeoriDK; DIponancur
in IperboIx AB C, illa Similicor producra, non
minus quam diamectid communes erunt. Diuisdin.
 superA C ordinarim posica, ad quamlibet diame
tru D. B, Bifariam in I, s hao DB xqualiS D B, S
D PxGualis D Ch e Per GCOIIOCeruT MCN a
quidistans RCi tanEauTem _ NTC, CFN lincae
aqlales lineis AF, F C, _ per MI, F, N hyporbola
dolcribaturs parer illam laristacore pecirioni: erier
enim rectangulum EFB aequale BCF reccansi
Sulo, equadracr AP, EqualoOM quadracorqua
retimiliserir ex aequalis tiypertiolasB  hypOrbo
12
Or
AD concurrant in M e N.
1

## Folio 555 — 1815201908:0612
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000612.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
XH
etan
n
uN
dea.
11
aCUI
13
dem
60
un
um
eres
c
10
C.
C.
IX
im
2
(1t 11. 11
H Z P FR BO
IX M FAT, X ad diamocros communes constidura aueoque _ a OPPOLI:X hyper bO.  En 1.
lae ABC; cohdicuimusigicys. ducx hyp erbgla gceram oxpolcam, quod TUCFAErC. m
I
PROEOSFTIO XXXI
la
Et A 21I
ABC, DFF opposicarum lectionum alae cranuersa AE.
L cenerum C actaque peri L. conringente Hlls qua C, l alrm
procisoccurrar in HI eI, Ponancurper l’e VI parallelae aamecto L,
quae DF. F hyperbolX OcCurranc in D _F, e pet C BONaCuL. Z C aqui
distans HII, deinde F.D occurrar alymproro lC in l. ae Pet L dlucacur
LMN aequidistans A F, occurrens IdiFtirperbola in L Paelo, Per.
quoc acta Ordinacim L. D Occurrar I. G in P. 1 ex quo AP. aequidistans
ponatur P RS: productae aueem P. P, DP, F l occurranc lincis CO, KN,
 e I: SidEBIL SBMBIL
ZiiI
13 1111 , 3318
Dico puncta illa esse ad hyperbolam
coniugicaip(I DEF, quam in X contim
Demonstratio.
eie
FIanE MK, CO lincis aequales N Y, S V. quo-
niam LG, KO, LG parallelogramma lune
quadracum YF ad quadracum YL, id es qua-
dearum F I adquadcacum YR, est vequadeacum
Z l adquadracum OR, id est Ont quadracum ad
quadrarum R O. sedrequadracum XF ad qua-
dearum YL, lic b AY F rectangulum cA ad rc-
crangulum A Y F. in F D, FD contingenti x-
quidittene, id est ZRM recrangulum ad re-
crangulum TLM id eA FKD rectansu-
tum ad recrangulum FOD, id est rectangu-
Ium Z. OX ad recrangulum Z. R X, quadracum
1395.9: 243 L. l. 513SAO eit 3IIEZBCI
idicur MO ad quadracum R O eA vereccangulum Z O Z ad rectangulum Z R X,
punccaisitur c, OM X ad lxperbolam lunc, cuius diamerer Z. X de ordinacim ap- c rbid
plicacae MO, Guibus cum aequidister Z L, erir ZId contingens ex quia diamerri d27. hn
AL, L. X, libi meclb parallelas bisecane, coniugacae sunc diameeri A F, L.X, et ini
DEF, OMX clecctehes quoque coniugata.
Corollarium primum.
cDeS.
dotitus.
Flnc patet concingelles per verrices diamerrorum coniusacarum ductas ly.
peorisoccurrer in vnO COdCHGUC pUnCTO.
Corollarium secundum.
X diccis quosu lequicur coniugatassecriones, communes habere alymPTOTOS.
lROCO51IIO LL
o
quilicum.
PR In XM O.
rEctiones comusala M AIBC DBS, GHI KLH Quatum ce
Derum O: Per uod ducta sic diameter BF, ad quam ordinatim appli.
lco
 u e a set ett e   t st e ete et      ita  et    esti ta  e a  t A     et t t   t    e
Sac A l.
CeTUL AC.

## Folio 556 — 1815201908:0613
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000613.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
DEdIS
TI Y B P R BO
usdilconiusataesse amcero BFi. 
Demonstratio.
UF AD pataHIelA BBS OCCUEFENS D FF hypet.
X I D puncco, ex quo ordinacim potatur DF
BF diametrum: _ per O centrum duOatUF L FI, ~
lictans fc Occurrens AD linex in P. quoniam
Dti in oppolicis Ccecionibus, 3d candem diameerum
lc pee ne aguidictanca AC, DF: (cd de AD.
ex Constructione parallele sunc, Patallelontathmum
est D. 3: de quaaraca ordinacim polLaru AO, DR
ualia sinc: igicur _ OO, OR b lincae aquales, ee
riam cst diuita: similicer cum idem de reliquis, ipsi B Li
nini. Pocalletis ostendacul. Pa Malseum else coniugatam ipa BF.
vel n. degg0. 2 rop Dicondiamerrum qua AC lineae Xquidistat.
c. Dofin. 5.
D ese quia PO xquidistat A C, rectA quoque AD in P bita
Corolartnto
ordinatim poluris aequidisten.
dem aequidistare. pacec cum cam CMmmgenres illa quam dlamecri coniusaca,
LOtOd+L10 all
TInE lequitur concingentes per vertices coniurararum diamerrorum duceas, ijs
tre laao aecguateo
ences pet vertlces diammecrorum comusacarum ducla, aid
dCorollso
tiusi
=Coroll. 53.
uius.
Demonstratio.
Tnt HE, GB diamerri con:
Divracx hyperbolarit ABC.
DEF ec per B a P diamCEEO.
rum cerminos contingences
acEX, percinganE ad alImpTO
ei ipES ATIs OB: rCCEXLR.
tos, dico TK, I K lincas aqua-
LKCOnTInGCNTES PeF Verrices
diamerrorum coniugatarum
duccx, ijidem daequidistanc: e
conveniune curna aly mpEoto-
rum inccodem punCEO R. X.
qualeSigICUE TUnE BK, Z F; &
RF, Z B, adcoque d illarum
dupla IR, R L XqualeS GB,
HTF. Duod crar demonstran.
dum.
 n
ne
1
A1. 11. 1

## Folio 557 — 1815201908:0614
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000614.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
REot.
tt
l 2.
Triim
AD,
IuI
DR
il3.
B1
uit
ata
1a
OH.
BC.
10.
ites
10.
ces
d
HX P E R DD L A.
ER OPOSILIO ALIL.
HMerI COIUBAEX, sectionum CoMlugatarum quarum alympEOri
reclumconituum angulum, aquales tunt.
detonstrai
angulum Formances rectum. 11
ponantur aurem diamerri l
quaenis coningate L O GM
dico illas incer se aequario
AUCANEUT PEF L _ M cOn:
ringentes OP, OP, convO.
nieneillae cumrna alympeo.
corum in eodem i puncto P.
quoniam isicur angulus
OcP, perhypochelim re
aus cst, e OP contingens
in T bitariam diuisa; puncta
O. C. P ad circulum TunE.
de rectae L C, PL aequales.
est aurem L P aequalis OM
perpraecedentem, xquales
isitur (untL C, GM 2dc0.
quc ee illarum duplae. Ouod
exdc demonstrandum.
eROPOSTTIO RLIII
Aca hyperbola diamerto, illius coniugacam exhibete aamecrum.
Constructio es demonstratio.
IE ABC hyperbolae diamerer D B, qua bitarial
divisa in E POnAnCAF CalyMPEOCi GF, F FL, d per
Bcontingens Ci FT, perueniens ad symproros in C e
EI. Poleaque ex FY lined FTI, parallela D B, duca.
FUT PeF B delta BF aequidistans GHI, Ocourrens
ETT lincae in P. dico D F Paristacero pecirioni: de-
monstrano manitetta eAt ex precedenci propoliriono
(ABCAnE ABC, DRF
coniugaca uy perbola
a(yMMpEOtOS OOL, OV
vel exg0 huius.
LtotE alit
Adcomaechs aIaMCTTOTu COMIUSA
carum cerminos, asymproro xquidictat.
a Coroll. 3g
nius
e
Demon.
11I
 11   t e e i lll. 1

## Folio 558 — 1815201908:0615
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000615.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
11
aCoroIl. 39.
29. hut
+. tour
Coroll. 15
TE Y PE R BOL A.
Demonstratio.
INC ABC DEF sectiones coniugata incer alya
Eocos GHT, GL COnCTIEUEX, PON anEuF aucem dix.
mecri coniugacx CFB, CD. dico iunctam DB aequidi.
AaTC A(yMPEOTO RC: ee li DB quacunq: ae quidittans
Ponatur alimptoco ErFI, dico rectas ex B et D adG
cenerum ductas, diamerros esse coningatas: aganEUE, per
B _ D contingentes IFI, TK occurrent illX alympto.
co CI in. vno eodemque puncto P; cruneque in Vb _
B bitariam dinilx: IgICUE VEKD ad DI, SC HTB ad
BT, ergo _ DB xequidiStaE K C asympeoro, quod
cracprimum. sic iam D B paraltela, R C2B _C Cx B _ D
rectx ducancur BC, D Ci ad cenerum . dico CB,
CD diametros ese coniugataS. AII VEED, PONAEUTCTM
diamecer coningara DC. iunctaigicur DM, aquidistac
RFI, adeoque e ipsi D B. quod ablurdum: non igieur
M C diamerer coniugata est ipA D Cr, Sed sola BC.
PROPOSITIO ZLV.
InE AB, AC alymptori coniugacarum se-
Dctionum DEF, OLTI. Politaque diamerro
AFI, agacur per HI concingens IL B OCCUETeNS
alympeoro in D. Donatur aurem ex Bconcingens,
DE F hyperbolam in F.
Dieo AE. diamerrum esse coniugacam ipti
AFI.
Demonstratio.
VngantUr HTF. Ononiam BR, CB contingentes
TUnE, crunE in TY _ F bitariam c divila. Vndc HIF
aequidistac RC; _ AP, AFI diam etris sunt coniug.
Ex. Ouod erat demonstrandum.
eROPOSTTIO XLVI
Eperbolam AB C inter alyMPEOTOS Con.
Aicuram, sccet recta F D, in punctis A, _C
almproris ponancus aquidictantes 56.
Demonstratio.
Dico LAF rectangulum aequari rectansulo R C. C.
rontam l. CC, lincx au
ltanc, CD elt ad D A, vE CGac
A l: led vE CD ad D A, SIC A F ad F, C,
(quia AD, C P c linex aequales (UINC)
IgICAESE AE ad CF CA, DE C C 2d
AT. esE AUECMM VE AF ad C F, SCAF
2d C RiigITUEVE C C ad AI, SC AF 2c
C.R

## Folio 559 — 1815201908:0616
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000616.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
et
CD
C)
n se.
CErO
TenS
Crr3.
ips
eC
e
4
c
AF
Al
Ro
1
ATY P E R BO Y
CK: aequalia isicur sune rectaneula C DHK, e ATHF: Quodtuir demon.
Atrandum.
PROPOSIFIOMXL
Eperbolam A BC incer asymptotos E D, E. F consticuram conrin-
ganc dux quavis linex D AHI, FB C qua criangula constiruane
HIED, FFC
Dicoilla esse inrer le aqualia.
Demonstratio.
SiXpunctis coneadtuum Ae B.
LduCaNTUEreCtA AR, AL, BM,
BEDaTAHLEIX A(yMPTOTIS, _ AK.
BM quidem ipsi FF, BL verc
et AL alympibro D F. crunt
ivieur LK, 2ML parallelogram.
malacer le aequatta: sed LIDF
criansulus doprum est paralle-
pulaXI eL Crt incer le xqualialune. Duoderac demonstrandum.
RO
5IF1O XL
Res minimi lune omniui diamerroritu coligatarum.
IOSFAMIMIL K. _ LG PBdupluI
ipbus MF, (quia F C, D E linee in A e B divilx sunE
e
t 1t
Emostrat.
LIHE ABC, DE F opposicx sectiones: aXCS
coniupaci sine B D, EIT: Ponatur aurem aIIL
quavis diamcrrorum coniugacio AL, L R: l
cobBIL lincasmmores ClleR.
cencrum hyperbolx lic C: Ponaturqueper  i
concsens BM, etie illa ad angulos usante
BD. Cum ordinaciim aet aCM PoG CII
delcribatur deinde comto  Mta si
circatus BND: Qua ieu Ba
ad lemaamcem BC lecta MBa circutaanone
concingit e cora exrra illum caduc: qula vero
caclem MB, hyperbolam quoquelu coe
concinsir puncto, cora criam exlla  perbolam
cadic, adeoque InFeFMam L CHcuM HC Clt. 33
erdo circulus BNDS in vnorancu panu l INVISS
lyperbolx occurrie, e lurreliquo exalectio. Crst lescesit, cacriseseei
a 4b. bonini
eut
al dxliret. 5
i crum
ireoisiters
FE)ixo st EibiXer
Aacrri fupoup
2A eM
nroos
nem CddIF. er90, A( Per b Cencltaoo
et Brverbola A BC OCCHITCHS M H, PEIS CM - BFC1S13XS ∞BB sL N 
cuto, e tangenei occurrie, quam hrperbola,
ergo AC maior est BC. adcoque AF illius cuptor ete B. Mne oileu
dam FK lineam maiorem esse FTI: quod crar demonstrandum.
inc lequicqe quaserca udque axium lnul umpra minom eAo quadraris cljul, . 
2F1B 911C
vis compraionis. ..A SD MBLB: A X, IA VZ EL SZBEEBNEIL RZOBICI3 F3FII.
us esto c1 2. 15LCB M3B 3BSBSE. S e cadeut BL Ct  EtDAIL. BWI ACL BZONICL RBGCIEL
Bbbb2
PR O.
A A 53C2B.
 tu e e t pe ete e te tet e te a ae   e se t etite t et   t qet tt e se   e  p a te tste   sta e a  pi   

## Folio 560 — 1815201908:0617
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000617.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
te1 11
HIX P E R BOL A.
R OP OSITIO XLIZ.
T fuerine binxhypetbolarum conintatictes H, D, C, D. PONaLE
mper C cenerum dux quoque dimerrorum coniugationes pet
SPOR
Dico illa esse equalia inter le.
368
11C 143B 3L1L..
17. huin
al
quarum verrices concinsences act consticuant duo quadrilarera F C HL,
Demonsrum.
Vnt chim a FEL, OFP crianeula a qua
pars est quadrilateri LOFII, _ OF Perian
lia incer sC, sed F F P rriangulum quares
Guluquarta pars est quadrilareri O P OR.
cocaigitur quadrilatera O POR SF GHII
incerse aequalia lunc. Quod crat demon
Arandum.
Pe ObOSLFIO
H. ae
Letangulum quod tr a lineis exi
renta axium coniugacorum
comungentibus, aguale est illiquod
Ac a lineis extrema alcerius coniuga-
cionisiunsencibusparallelogrammo.
Demonstratio.
Eax BC, CD, D_ A B excremaiun.
gane axium coniugacorum: _, NK
NL, ZM, MK linca excrema iunganE, el
bEX ct
cerius covingacionis. dico parallelogram.
Ma BADC, XNLM essc incer se xqualla: criangulum B C D dimidium ost re-
ctanguli b B CFID, Similicer B AN criangulum dimidium est rectanguli B B FD:
corum isicur rectangulum B CD A) dimidium cest. rectanguli, F, C:HI L, quodi fc. 
concingencibus per exerema axium consusacoru ductis: similicer ostondicur R N L. M
parallelogrammum dimidium parallelosrammi O PM R: ~qualia aurem luncostent
+gbuius, (2 c quadrilacera F C7 FII, O PO R; iblcur eillorum dimidia BCD A, K N L. H
quoque incer sexqualia lunc. Duoderatdemon randum. D E Wris echimst Le
329V sdeB: sibad euIl
dua
igaino3
it
ponris.
127. De
dorentiis
linearum.
IIdem pots.
LaC ASi
eloC 9ud er3 is 510, ofCQ sieniscO
H3 sdit muluiio v ellirosni guent
Pico quadrara lincarum BCylallditts Ab excrema ariuu con
iunsentium, Cimul Cumpra, minora essequadtaris lincarum lEld, Il
L.M, MK, quxe exrrema alcerius cohicbationis coniunsumr . sihes ma
CI EF s L11139C E et A 3. loc23q 
lact2 5 YA AISI
12133O 15 1771BD 2B, OIu
nosto noili. T Et Aonoirm eratOs. D et SI3 rOinCX
hneaer5B 322O BCNB: YF  II3 s1
E) Vactrara B. C  DsiEd M, A B, XAH Li2 CunEG, qu2drgris, AC. B B: Timilicet qa
GdTACARNI, NL, L. MI, MK aequalia lunc gnadracis NM. RL: Ted AC, BD qua-
Ex 48. deac2 CmInOra CunEquadeariS NML, R B; quadraca igicur BC, D C, DA, AB SmoI
c
R O.
hiius.

## Folio 561 — 1815201908:0618
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000618.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
InEuI
it
equa.
uared
dR
CHI
NOu.
d ex
82.
10.
Un.
et
1
am.
1eg
D
u
si
IIY PE R BOL 1
P R O P OStLLO LII
InEA BC, DEF sectiones coniu-
Sata, quarum alympeori GFL, GI.
ponatur aurem guaevis B F. parallela
alrmpeoto G I.
Dico BF in MI divilairi esse BIIa
riam.
Demonstratio.
DOnaneur concinsences BF, F R, OcCur-
rencille alymproro CH in H, erun
que dinise obitariam in P e B. igieuT vE
R C ad VM; SCRHI ad FHI; rectaivi-
cur CK dupIa est EMI. Smili ratione octen
decur GT duplam ene MB: coca Egicur
RI dupla est B B. est aucem criangulum
GLTIC aequale crianpuio GR TIscrianou-
10 ipicur OF FTIs (quod ddimidium est
ROFT) aequalo est criangulum BFI, di -1
midium crianguli CFFT religua igieur on
c
crianoula E BC, GR R Cunt incerleaquacu
lig. _ cu CEInCEE. ealdem paralIOlaS R Fs P B, K O est. aequalis C L.; d L. H maiin u3
ipsi M B. Ouodorac demonstrandums bpa
1s
cu rio l
in gracer: nurestuo PI R O B, O SI, F. 1O L. III.
SOsitxe sint coniugatx sectiones AB C,
L DEFincer asymprocoss eductis aurem
diamerris coniugaris CH, GI ponaeur
quaeuis Ht, alymproco aequidictans; qua
diamerris occurrar coningacis in He I5 _ VIS III. st A e Ba
hyperbolis in L. d H.
Dico HL, NI, rectas sequales este
S. LID.
25. 31.D∞15. C3 es HB eslet q
Demonstratio. uino snib mnguteu s. B3
Vnganicur BF: quoniam OB SO B diamecrir5 5oril 130
suneconiusare; inneta Bb Caequidictae a (ym = 111 2 1S.G F5EWXC
Peoco GO: sed _ GO aequidistar FTI; paraIlC.
la. isicur sune BEs TTI; quare VEBP ad FF, sie  WiB olis t
GB ad BII: sed E B Sbisecatur à CM; igicue
_ IEI in M quoquebillecta est: cA aucem e
LMI. aequidictans CO, in Prh bitariam divila, re-
sedua islcueVHI, ML aequales lunt 
eee  L SEDMICC
-03bP R O B SIF. LOut. E, IV.
aldem peLagueter atzmpio-
M: Cumaltcur aen Patles auates tl, L. F, lunG ancur; A6, 6.
DicoH16, 16 diameerosese coniugatas.
Bbbb3
st
a Coroll. 39
as
lro OC, Occurrens sectionibus in F. ei
B57. huiue
Derton.
er ei   e te eti  ate et qt te  t e te   t  e e tet i  a  et A  tet  t   e       te    t    s

## Folio 562 — 1815201908:0619
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000619.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
HZCLADOLA.
Demonstratio.
IN veTO: pONaEuE EC diametro, coniueata RC. aqualis isitur est LR, ipB
eROFOSIF1O LV.
TINE ABC, D F F coniugarx sectio-
anes quarum alympEoci GN, 6O.
diamerri vero coninoacx G B, GF. ad
quas exastumpro quouis in alympeoio,
puncto K, Ordinatim DONANEUEKF, KA
Occurrences diameeris in l _ LI.
Dico ese CB ad BFI, vE G F ad F. I.
Demonstratio.
DOnaneur pel B a F. ConcinseatesBH.
ENV, occurrenc illa alympeoco C R, in b v-
nocodemque puncto N: _ quia RF, R AOF.
dinaeim pasex sunc ad diamerros OB, GF,
aequidictabiine BN, FI K, F N TR: sediisdem
requidistane diameeri c coniugace CB, OF
Parallelogcamma isicur (unc NC, R Cad can-
dem diameerum OK constiruta: quare ve
CB dad BH, GC O F. ad IF. Ouod exax
demonstrandum.
Corollarium.
Inc paceciunctas P. B, LL aequidistare incex le, adeo que et aly tptoto OC, tel
de2EI.
a53. huius.  a MI, id est ex hypocheli HP: pars cori, quod absurdum. non isirur _Cn diame.
drerit.
ex coniuxara cA F. C, ledI C: quod exac demonstrandum.
Ex L. D Parallela.
PROPOSITIO,, L. V
ne proporrionalice elle duilas.
(emvroros, e ductx inluper ada coniurata diamerri G A, C+ L, quas
in I_ K, incerlecet linca alzptoto patallela; miaux:  et Lr
Dico diamerrorum parcesMcercenerum et parallelam positae, à loctio
2t 15.
30301
al et scet sig n
1s. Et3
Demonstratio.  M. 1II B
Ohex Sinc denuo hyperbolx duxe coniurata AB C, D E F, inFerL
2d Cst DSILI
Vngancur puncta A D. quoniam C A.
C aamecriluneconiadaca. AL l
ita acclaluablec alstapioco eL ddco
Cue de DaLa. Suace eA ad atise
OP ad P R. Pacet ixitur vericaS propO
O Oit
sicionis
cst ist: II

## Folio 563 — 1815201908:0620
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000620.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
n
ctio.
60.
CO10,
X
IEt
BV.
1bV.
AOE.
OB
(den
OP
eaM
HIY P E R B O L A
PROPOSITIO LYII.
Ent alymptori AB, AC, hyperbola DLF: &
binx aquidistanes F C, BC, de BC quidem
hyperbolae OccUTTaF D XC F, PONaNEUTG; AL
DicOFK, HIO aquales esse lincas.
Demonstratio.
Scendimus enim BD, 2F B aequales esse; ipieur
C aquidiltet Be, eriam sunc b xquases F. R, C
eROFOSFF1O
L V. I, +I.
Vinchyperbolae coniusacx ABO, DF F, qua
Prum cenerum 6, de diamerri coniugate FIB,
E: 2d quas sINE ordinatim pOLIEX AC, DF, OCCUETONTES aLYMMPEOTO
CormunI, In M.
Dico rectansulo HIKEB, aequari quadrarum L. F: rectangulo vero
IL F aequari quadracum AIE.
Demonstratio.
Vadratum OK equale est quadearis G B,
LBK, vnac cum G B R rectanvulo bis Tum-
peo: id. est GK quadracum, aquacur IIKB
rectangulo, una cum quadraco +B id eA F. NV:
id es dMF O rectanoulo: Sed _x CTK, id cA
LM quadratum, xe quale est rectanguloM FO
vna cum c quadraco LF; aequalia igieur (UnE,
quadrarum CB ona cum rectangulo HIKB,
_ L F quadrarum, rna cum rectangulo M F O: UI
etu
rectanoulo e quadraco CB, aequalia remanene TIKB cectanoulum; d quadia-
cum L. F. Similicer ostendetur PP P. rectangulum, aequari quadraro AK: Ouod
fuir demonstrandum.
IIdem posiris;
PROBOSTTIO LLX.
Dico HIKB rectangulum cAC ad rectangulum lL. L, ve quadra
cum HIB, ad quadratum LF.
2 Coroll. 155
hi
B eerele
Ct
valibus MIFO
A E Occurrences in IE, FI, rectX FC.
Demonstratio.
Ectangulum YE F vna cum quadrato DE, aequale eAE quadratO C.F ; ex F per ct-
HIRB fectangulum, cum C B Guacaco, a guate Cn Guacato rk. Cn aue mm.
ioicur _ TL. L. rectangulum est ad rectangulum AR B sreliauum ad relauum, e huiun
Co F. quadrarum ad quadearum GB, id ellve IF. quadrarum ad quadracum EB:
Quod erat demonstrandum.
VE GL Guaccacur Salt Guattracum C R, HC CF. Guaoratum da Guaalu B, 83
Corolla
somseto11213131215 1622 10 20 20222332a330

## Folio 564 — 1815201908:0621
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000621.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
564
AI Y P E R BOL A.
Corollarium primum.
Hre segnicur: esse quadtatu AR ad L D, ve quadratum G F ad C. B. elt
enim resuautalum EIH auudatu IF, hic HP K B rectangulum ad rectan.
gulum ZL. F, id eAt (p eF 58. huiuS) quacracum L. Id ad quadrarum AK.
ut
EN59.
Corollarium secundum.
INC (EqUITUFA OG, GN AILIDEOLES CRILIOLANE AEa ACcam, Quod HTRB,
LTF F rectangula sinc incer se aequalia: octendimus enim IIB, IF. a quadraca
elle aequalia in lrperbolis qua incer alimprocos ltaruuneur quae ad rectos anpulosle
decustant.
PROPOSITIO LX.
HILG rectanguI.
InE AB, C D asympeori angulum rectum concinentes, ee dux diame.
Lcriconiugara linc L. F, a uastella L. l Callumplo quo-
Dico rectangulum L. L Guddraro K, ee quadrarum L. M aequari
uis D puncto in alimprocormuca  ordinacim.
Demonstratio.
TY E F quadvarum ad quadratum GET, CC BFF rectangulum b est adtredtan.
sarum CLHL. ICa LF, CFTC quadrara lunc aequalia, rectanslum igicur PIP,
ciam CL II rectangulo xquale cA: C aurem F IF rectangulo xquale s qua-
acu LM, a IR quadracu aqualc rectangulo LH: Acccat atum enur
E IF, quadraco YK, X C I. H rectansulo xqualc est quadrarum P. M. Quoderat
ponttrandum.
eROPOSITIO LXI.
perbola ABC, D F F coniugaca inter alymptotOS CFY, GF p0
lica, c adau Porcs L, CIL al ametros CiH, 6l,
impio unce apoot.
Io
 e       se ee t e te e et  t e te et e e te te te 1e te t e te t   e   t ti e t  e  t  t e t te t stit e e tet  ti   i
111

## Folio 565 — 1815201908:0622
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000622.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
ua.
AB,
lrata
O5I
me.
10.
uni
D
AI NCD E LD AL A.
D EI lincam.
Demonstratio.
565
DicoKC ad C H camdlem calsonem fabtu, quam habet L. D ad
HIL ad RIB Guaaratum: ea Ve CB GGaarACHI
2d quadracum CF, lic LD quadratum ad b qua
deacum RC: igicur ve quadracum LII ad qua-
dracum HIK; SIC L D quadracum ad quadvacum
CK, _ L FT linea ad FTR lincam, ves L a
CK: quare permucandos dividendo ver D ad
HD, SIC RC ad CTI. Juod etat demonstran-
dum.
TInc sequicuriunctam C D, aquidictare alyin-
proco TC: cum enim FTK, HIL ex codem
punetB Educ St dinatim pBTHtBE ad diaHectoS COHiuSEtS ~R, GP, unAL XY
Equidistac 1O: Teit OAensun CA, eNC X C Alt V H;  L D d es ad D H, Equi- c Coroll. 15.
diCtaCiBICUE P D ipE K C, adeoqB de pto 1B. .EL
Buius. 
a sAeLESEBEZ CNBOI aBAIOZG 3B A ECED cl CS MLOBNNE d6L. huius.
Corollarium setdnaum 32 bonO. ID C oluxanis
Dlcolecundsiuncta AF aequidictare TE est Ontin st _C ad CK, AC HB
ad D L e componendove FTR ad CK, id cA AR, sic TTL ad F D, id est
LF: aquidictantisitut LK, A F: Sed P K  a uiditE LC  etsb d I A pacalle- c C roll 55:
la eAadLCr. S.lLAHIB Si 2. t 3153SII esH
Ed. t. erd sILBGEIOIL
Corallarium tertium.
Nleotercio BO, FE. D lincas produatas atiproio B IF iti vuo Eodemque pindto
OCCUErCTO: DecuEraLenim LB asyinpeovis. in. N _ T _ FD ijsdom occurrAE
in O,P: quoniaur R B, NY O Faequidistane _ B B in 8O. biNoa eAt) NO quoque Cad. buiui
in C bissecatur: inde veNO ad B ~S SoCO Id 9 B tod et NVO. ad B O)RC S52: huiusi
CM ad OM, isitUIEvE CO ad O F, SIC GM ad OM: quare puncta P _ M v.
num idemque Cunt: et B. C. P. D. in eodem alymprocon decustane puncto.
RD
SF F + C
L XElarguria raesibu
 e SeDerSM ergBlese eC esEN. il OB  StaA
Dicorriangula ABCsDP P essehrcer Te sequalid.
Demonstratio. Wiodic
IetC
E OB ad BK, SCGF ad L L, _ permucando ve C B ad VL, HIC BR ac
EL, Sedve G B ad OF, sIC D L al RO: iBItUEVEBR ad FL, iea elt LV
ad XC. lunc aurem anguli BRC.  L. L. I paralseloppammo KY oppotEI Xqu 
B. Ve Siier
de
L Quadracum C B ad qu scacam GF 3
quadracum OR a ad quadrarum  f, ld et
Corolaruum primui.
IIdem poliris, iunganEUT B A, BC, _E ED, PF.
lesi isicur ciansula BKC, D L. F aequalia lunc.
at a O a d lid
IIdem posiris ducancur GO, GD. ut
GOCC
Dicocriangula CKC, CD L. aqualia existere.
Demon-
Gdtdstont2112132213 1627 10 29 20 21 2Z 332433 20 37

## Folio 566 — 1815201908:0623
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000623.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
566
a. 1. I 33c
1. 1S. I:
FLXIP F R BOIL. A.
rocle
demonstraiio.
ilvc.
e CB B CB ShIAB S (LC) ciis. BaI 21
1r
quea
Voniam per propoutionem 5s. C B a B K. candem rarionem obcinec; cum ra-
cione C F ad P C. isitur ex crigneulum C CB ad BC R. est ve criangulum
L6L. BMiM. E E D ad F. D L. sunc aurem BR C, F. D L criangyla ostensaz xqualia; igicur B C
erianoulum eriangulo CD P CA aequalc. ac proinde rocum criangulum C+K C tori
criangulo DOF. Duoderac demonstrandum.
et oit. 3 lic D P R O POSIF1O, 1 L Z IV. D,0ICtC
IIdem polris ducatur CB occurrens G H alymptotoin M.
L Dicorraperia GBCM, CED M eNe incer sc aqualia.
661. Bwin1.
Demonstratio.
=Corolis1. VVT. FTK ad F L. 5. b sIC HC ad, HD: ixicur iuncta CD aquidistAE L K siue
haius.
ICBR,Siuc alrmpcoro GI. inde CD d in M bitariam est diuila: _ C CM
C DM criansula aequalla i ostenla lunc aurem in priori propolicione ae qualia trian-
Bula BC. G, CD P; Trapexia igicuE, C1B C M, G FD M incer (C AqUAnCUE.
ce sante
loc est.
Corollarium.
C++. huimI. T TINCPATCE DE YBCM, P TMD crapezia cNCincer se aequalia: est enim B P X
Louidistans alymoeoto eT, adeogue in Y bitariam divila, onde CB P, C TB
criangula xqualia sunc, quibus ablatis MABENE B PM C, P. P M D etapezia X qualia.
PR O P OSITIO LXV.
Idempolitis BiSCCENEFE D, B C in N e O, iunSanEuTque CO, GH.
Dicoillas diamerros esse coniugatas.
15
Demonstrario.
Vncta NO occurrac lectionibus in P _ 8. A Sympeoro G H in R. quoniam
oroll. 61. LF B, C D, linex Faequidistane, _ F D, B C productx, BOCCUTEANC FT C AIYMPTO.
Coroll. co in vno eodemque puncto, recta, NO bislecans BC, E. D lincas ceiam aequidi.
perrio 62. Aac ipE R B: vndc NVR, RO linex aquales; lunc aurem de PR, bR O equalesi
ast tu. relidus isitur NP, 3O quoque aequales sune: quare CN, C) O. diamerri sunc
hujus
uc.
conimenta. Guodeeue demonteraneum.
15+. haius.
ins.
PRC

## Folio 567 — 1815201908:0624
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000624.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
lum
C6
eo
(ue
CM
ria.
_
XB
SN.
e
vid
ales,
(uH6
HY P E R BOL
PROPOSTEIO EXVI
Nomnihyperbola diamiecet pean suet (a eiulque comuesad et rectum
Lfsurx lacus lunc in concinuranalosia. L 
AMME 15LO
Ai Demonstratio. WebeD CLT 
M 23ETLBLIC
CIchyperbolae AB Cdiamotor eran (. iI 1
verta, DB; eiusque ConTuTAEA E F, _ B L CLLIII
lacus rectum B G: FOPOEEOE deMONAEAFO . INL SMI
eria hec ere in continua proporciono a(nol se
sumpro in asimpeoco NL quonis puncto
F ducaneur L A, L M ordinacim ad dia
InCETOS DB, E F; producta deinde I. A,
occurrat elim recta D, G, in K. Fect angBlEIDELII
isicur DIB ad F, O F rectangulum cturso J
ve DB a quadearum ad quadratum F Fs
scd F OF rectangulo b aequale est qua3209)
deacum A13 Id est rectanouluti BPK ScL este
(quia rum BC lacus rectum est, cres B I 13L ∞11)
TA, TK cproporcionaleS LUINE) isiEUF _
DIB ad BIK rectangulum estu (DEDB
quadracum ad qiradeacum F F: est aurem
ve DTB rectursulum ad rectangulum )
BIK (ic DI lines a 2d lincam, LR, id
est D BadB C isicur ve quadratum DB
ad quadracum, F P, Ac D B linca ad linrr uc
neam BC: Sed racio quadrari DB ad
F F duplicata est racionis linex DB ad
s
11
F. F; isicur racio linex DB ad B C, du-. MAn IICSI
plicaca estrationis D B linex ad lineam
P. P: Cuncicaque D E, F F, BC conrinux proporcionales. Ouod erat demonstran.
dum.
ciuteuliup seolssemogor. Corollarium. _en ciconi
MBLB 2BA
Tine maniteste colligirur, l erienur lacus rectum ad pundtum diametri RF, que
estconinoaca diamerri DB, quod exsurgene linca quacuor in concinua ana-
logia, sciliceclacus rectum ad punctum F crectum, cum reliquiscribus, de quibus
pralenci proxoscionemenrio facta cA,
1s2
EL ce il cm. 2
AZ oiragnimom a B R O P O S.P
11131, 11
HO. LXVII.
Rigancur a quonis puncto in alymproco alsumpco, ordinarim ad
diamerrosconiugatas. ot. I b∞ et
i
Dico ordinatim policarum quadraca eam rarionem continere, quae re-
peticurimcer lacus rectum e crarsuersum diamerrorum coniugacarum.
2 (515
aid 8
 
tt
sii uelo
1
dCCCC LSa. L. Demon
hn.
CEXcOm
uot
1
11III
111I

## Folio 568 — 1815201908:0625
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000625.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
266. tnino.
mui
oid
59. BH
68
HY PE RBOL A.
Demonstratio.
InE AB C, DHF coniusacxe hyperbolx, ee punctum
Spsuocum in atrmptoro RI. ex quo polica linc ordi.
nacim TF, IA ad diamectos conusacas HIF, C B, d SC
BN lacus rectum cranlucrsi laceris CB. Dicove cA C B
ad BNI, siC FD quadracum esse ad quadratum A C: est
enim ve GB adBN, sicaquadracum CB ad quadracum
TTF: Ccd ve GB quadracum ad quadracum HTF, (IC F D
bquadrarum ad quadracum A C: igicur velinca eB ad
BN lincam, sC F D. quadrarum ad quadracum AC.
lerac demonstrandum. . Caniseo c cills d vet
 EIM
Corgaret
PROPOSITTO LXVTTTM I
 obeB et
et
135
E ABC hyperbola, cuius diamerer HB de ordinatim ad illam pot.
ta AC; heaurem B L. lacus rectum diameero TIB, Peruicts. LCl rivin
Dicorectan gulum HF B ad A F. quadracum.
camdem habero rarionem quam linea fI B 2d
BL; lacus sciliceceranluersum ad rectumsi ciup,
Demonstratio.
IL Et HB E
C1.  2S. S23:L et CrHBEVB BB CAESBItCEP
VAdlraco AF. aequale est rectansulumoTOK, isi.
OCuE FTE B rectangulum ad quadracum A F, es vE
FC quadracum ad quadracum AF: sed F et quadratu
eA ad quadracum a AF ve AIB cranluersum d laEUSEC
aum BT, rectangulum isieur HIE B ad AF. quadra
cum est ve HB linea ad lineam BL. Quod exac de
monstrandum.
1t I
ac.
eRODOSTTIO EXIX
1c1t
Unes diamerri coningarx lunc axibus proporrionales in quibuluis
Demonstratio.
experbolisconiugaris.
3aO 
ERIB L. XM: qu
BOHancuE ABC, DF. F opponca cccoes, quatu
ee alia queus allumatur diametrorum coniusacio FN,
Dico FN ad L. M eam proporcionem habere, qua
axis F B ad FTK. Posicisenim AC, TG ad axes HR
E B ordinacim; gux cum almproco in eodem puncto
conveniane; AaC F N adN R, vE F: B ad B Z: _C VEXH
ad FTX, AIC LM adNIT: _E PeT R _C F ordinarim
PONRNEUE R P, FO. isicur eric F X B rectangulum ad
rectangulum FRN, VE R X II rectangulum ad rc
Etangutum L lM, d permucando vE F ZB 2AK Z I
sC FR N ad L T N rectangulum: sed E YB, RXI
rectanoulac proporcionalia lune quadraris RB, FTK, 8
FN. LMI quadracis proparcionalia sune rectaneula
atata e L LB  Propocionalia lunc quadraris axium E B.
RF
GFII eAconiugaca; sinegucaxes carum R B, R H.
 e at i   e tite a  e ta tet s te te ete   t et e et ut et u  i e   i e ti   e i t e et  t e t e e  s te  te    e e te    e    . d  1

## Folio 569 — 1815201908:0626
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000626.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
op
OB
est
cum
1d
1C.
Am
id
ati
SFC.
dea
de
Tuis
H.
ED
u
re
CH.
XH
R, B
1l
EB.
CH.
1111
ET Y D F R B O L LL.
KHI: adcoque e diumecti F. HV. E M, diamerris F. B, K H prop.
crac demonstrandum. L
calun_ Br i10rgcP, R O. P O SiLiHTII OIOL X
1eou
1 1(HCI CI A 1ASSHBZVISAOQ MMEIII
ca dende quauis ordinatim ad axum AB recta lK L Lcalual M
lirer ordinatim quaevis OM, ad diameerum F. F:
Dico FMIE rectangulum, cam rationen habede ad rectangulum
AHB, quam habet quadrarum O M ad IK quadratum.
AGC EMMSHSLINB S_B CEE EDNITHCM Il 25 1431C
icou Demonstratio J. L EMSVIIDC
oBBaTCl ACit 99OCIM
nge senim rectanguti A RB a qua. 
3111. IV
Ligearum RE Facio eadem cumrario.  A Bi
nie linex AB a laceris cransuerR ad Ja L ulny
cus tectum, id est eadem cum illa qux A e1
b est quadraci AB ad quadracutri CD. vI19))
Similicer racio rectanguli P. M F ad qua-
dracum OM eadem est cum racione
F. F laceris cransier(I, ad laCuS Cuum Ee-
atum, hoc est quadrari P F ad C: HI quadrarum: ledrario quadrari AB, ad C D
eadem est cumc racione quadraci P. F ad GFI. Igicur cciam racio rectanguli AK B cc9. huim
ad quadracum RI eadem est cum racione rectanguli BMF ad MO quadracum
unde permucando constar vericas proposirionis.
P R OPOSITIO LXKI.
VInCOpPOSEX lectioneS DF F ex diameM GuIa cunque L. B, VV. DC-
inee ad alcetam quaenis dux applicencur ordinarim, AI. RL; de hac
ve F. B all BL, Ia BG ad GMI, e ve BL ad BI, ita CMI ad G PF
denigue ponanEuF MN, P C. ordinarim ad diamerrum DC.
Dico LEL ad AI eandem rarionem
habere quam M N ad PC.
5
VIncaxes AB, CB, Ces ComLI diametrorum R F, GH: polI-
F
Demonstratia.
oniam P I, DP linex proportionalicer
deacum, De MN ad C Guacacum. vndc
pacet vericas propolicionis.
LIn L.L. B, icem P, M. C+ divile Cune, ce.
ctangulum E. P B ad F. IB, cA DE D M C 2d
DP C, hoc est quadracum R L, 2d AIqua-
CCCC 3
es e  eee esare ane eoer a so ero

## Folio 570 — 1815201908:0627
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000627.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
170
22 2 222 1 120
b2 e
ovD BEHEStgoiogO2GHL H.CL IL EIZ SCEI A
RorOSIIIOLL AC
InF ABC, DF LOpponta lectiones, quarum alimproci ad angulos
rectos sc decustane, ponatur aurem AD aequidittans axi E B, iungan-
Cargae A E, E. B. 10CIBOI∞NECOSC1SIE B CI, et A BC
Dicoatigulum AE D rectum eRe: b. mismointop 3ba1b e C
mseib BscM O ciuxup isenitro 23l
rula Ba 353dBc 1340i. 2  Demonstratio.  T M C onic
EF (1937 Bacp a L ba _ C serwe BBap SoclBct sEMB, El il A
GAEUT PEF F. contingens F C, cui requidistans pona-
LCUIE DEL OCCUTreNS F B. productxe in H. Ouoniam
almpeori sectionum oppolicarum AB C, D F. F ad rectos
sele decustane, crie F HIB rectanguso xqualca quadra-
cum DE id eA E C: sed F FIB rectangulo aequale est
b rectansutum AG D, quadraco isitux F. C xquale est
cectangulum AC,D: indecum F, C+ ad AD, Cienorma
pacerc angulum A, E, D rectum eAC. A MerHL. Up A
phaiseAeL ilerge B3 diseiili
BEGEET eE SID CD BES EAC) MTIBEII
Trerest ensei BB. sdeeite
i
el. BB el A ivert CU S.AP ZIE BC H il WBEWP A3 30c C CMWS
 ilogaS2oie  ng FEE Bn TeE ehCWP BuOIsEcite I ABE
MAMeXBEHD C3HA hA EB EA 1Z igCBBI etOsis u R~ 1gBB YX ct BCP 1C
neitog02g eoror restaor obaorim g otoc
edti
il 3C
A. 
i
BHB EsCEWB ME
131
oberi
5. Et 18 3.
IA ZWEESIOGOUPINL
er  lA BC
et odict
D+ Br HM ascrp eCles
eeere
IL
 YCI. S_ CinO
1. 1eCB SFIB Id, NACL 1331, 
ea et s lis ha eeetnB
te B et 1) 4C
1 1d 1BCB . _ BE VEI. W Meet
131e1
D. h.

## Folio 571 — 1815201908:0628
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000628.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
0b
12.
Iam
dos
2
et
5
LL LLCL
AsymptotoS e plat tu  nearum pra
cips o dodstanum exhibet proportionem.
AIDROPOSTTIO LXXIII
Sperbolam ABC incer alymprocosD I, FI consticuram, SecenE
duxe quanis parallela AH, BC, occurrences asymprocis in L, M,
V, O: illis aurem x quidictances ponantur AD, BC, CF, HI C.
Dico AD ad BF cum habere racionem quam HL6 ad C F.
Demonstratio.
erca sritie
AVM HO, LF aquidistene, 
Lxequalessune anguli OIIO,
OTD, icem OOFI, TDA:
Osten(x TUnE a aucem L. A;
FTO linea aequales, similia igi-
tut e xequalia sune criangula.
LAD, TIO O veidELATCFAAD;
GO. cadem racione Cimilia TunE.
incer Ce ex equalia criangula
M E. B, C FN; quia vero aequidi-
Z P
H
et
nise
sANE LO, MN, D A, F B SimI- =
d
lia quoque erunt criansula P AD, MF. B, icem HGO, CFN. Vndc ec laceribus
constane proportionalibus, _ AD est ad BF, id est G6 adLH, H 1C aC L.
Duod erac demonstrandums ou
PROPOSITIO LXXIV
perbolx F E G, aSyMPEOT PONanEur AB, AC. _ A C quidem x
Lquidistent DF s BF.
Dico FD ad FB candem habererationem quam AB ad AD.
Demonstratio.
5.tC
et
ol. 12.
rliganeur AF, AF: Ouontam
FD, FB aequidistane alymproco
AC. aequaliacruncberiangula AD R;
ABLi: quare e AO, AB latera
c proporcionalia Cune lacoribus BF,
DE. Quoderac demonstrandutu.
∞ 15. Senii
PR C

## Folio 572 — 1815201908:0629
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000629.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
A Y PF R BOL A.
VINE AB, AC alymveorihy pet
 bola I E F, policilq; DC, F. LI,
alimprotorum vri parallelis, du-
CaLUE A F occurrens D C linex in I.
Di0OLC, F HI, D Ciin conrinua
eniresse analogia: orist
qi
=TLEOa Demonstratio.
Voniam PG) E EI aequidistant, FO eA ad FBF, vE AC act. A H: sed vE AC
2t haius. L_d AHI, siC = D HL est ad D G, isicur ve LC ad F. HP, SIC P. HY eAt 2d D6.
Duoderat e., si1C 233Ma H HIEPS CSeBII
PRDEOSITIO TZX VY CA ∞
Idempolitis; ducarur pet D, aequidistans AC, occurretis A F produ-
Lctx in L, X ex L pOnalE L. F C paraIIcla AB. GivVS L. I, DFI aVY
Dico AG, AII, AC in continua esse analogias ilo a Lsetuu
Demonstratio. il _
 siit
1O moni
secit ste
ILSXIYE
DVoniam eam L C, DG, Iquam D L, C C aequidistane, CF aequalis est DC;
675. buins. Lluncaurem b IC, P FI, DC proporcionales, isicur ex IC, BHI, L. C candem
quoque concinuanerarionem: quare d AC, AFI A C. iti concinua sunt analogie,
tensiem actuv
itieng
ekOTOATTIO EXAVIIMA.
a B.
103C.
Inc denuo AB, AC ayri.
L procihyperbolae F F, _L. D.
FC aquidistene AB; policaque
AE OCCUTFAE C F in C7.
LGIBAEAOG LICDICO C.F, DF, C C esc pro.
PorrionaleS.
et5 lret
Demonstratio.
17 tuius. ViSE GC 28 L. D, ve AC ad AD: sed ve AC ad AD, AC FD CAc ad CF,
igitur re C adED, hC F D est ad C F.. Quod crat demonstrandum.
PROPOSTEIO LRZVIII.
I a ymproris AC, AB hyperbolE E CF. Fiane AD
AF, AC proportionales, ducancurqs D F, FO, C H aequidistances AB.
Dico E, CF, HC in continua esse analogia d CONETA.
PROPOSITGO LXXN.
Duod eracdemonstrandum.
Derbm.
liC

## Folio 573 — 1815201908:0630
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000630.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
eper.
LH,
odu
einl.
cinor
cAB
D6.
Belte
36:
dem
Deid
ym.
iD,
rque
310.
CB
D.
1B.
HZIP FRBOL A.
Demonstratio.
7T AD ad AF, SC L FC ad D
_E DE AF ad AC, BC HC 5d
sed AD, AF, AC proporcionales lun
igicuE _ HIC, CF, PD candem quoque
concinuanerationem. Cimilicer ostendceur
s F D, GF, FL C asmmpeoco xguidistan
resproportionales (InC, eNC AD, AF, A F
quoque in concinua analogia. OuOd CFANE
demonstrandun. l.
A.
nn a PROBOSITTO LZZIX.
NEeE asympEOtOS AB.5 AC consticura sic hyperbola FC I: ponan-
Leur aurem proportionales AD, AF, AC, cum ex punctisD, C, C, asum-
DeOtO AB paralleIE dUCAnEUEDF, F C, C L, iuneta A G OccurratF D,
CI in K de II.
Dico C Hlineam aequari FD, e C H, reCtX DH,
11
Demonstratio.
Voniam proxortionales sIIne AD,
LAF, AC, rectX IC, GF, FD in
concinua quoque sunc analogia; sed e
TC, OF. HIC quoque sunt c proporcio-
nales, aequolesigicur TunE TIC, ED. E-
milicer quia ta RD, GB, FD quam
RD, C F. HC d Concproportionales, p2-
cec IC, K D lineas aequales eHc. Duo
exat demonsteandum.
L. LOPOotT
rinc AB, AC almposPerDoVL; Poncaque BDC Patalle
la AC, ducacur D C aquidistans AB, de quacunque AC, occur-
rens lectioni in E, _ DC, DC lincis in F _ C.
DICO AF, AE, AC in continua eseanalogia.  l
Demonstratio.
ces AB: Ononiam G HI, DC.
irem DC, HC xequidistant, CIL
aequalis cA DC, ac proinde FC.
P.K, CH cproportionales lune. P2-
CCEISITUE _C AF, AF, AC candem
concinuarerationem. DUOderacde.
monstrandum.
vo
c
11
L Z XX
DONANEuTEK, CHI xquidistan.

## Folio 574 — 1815201908:0631
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000631.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
278. huiuis.
AF
a
b75. 1dtectes.
dum.
eR OPOSIL IO LXXXI. 1B
Equidistent denuo 2 sympecorum alcoris AB, CD, E. F, GFI conci.
Lnux provortionales, quidus in: P, IE, L. -dIRMCFEF OCCUTFAE MO.
Dico AB, CD, EB, C LL LF, HED, IB in conrinud esse aualofia.
20
bV C
21336135101.
1i2c0
nestibu Demonstratio. 
suct s c.
ntCVm ABOD. EF, OHt pto-
Qpoicionales linc, cciam M B,
NID, MF, MEI: candem conci
d.S timanerationem. vnde _ TB, KD,
1009R
T F, G C in eadem lime ratione,
quam habene CrTI, FF, CD, AB.
quia vero _ LI, GII, PP sune
bproporcionales, paret omnes AB,
ED. F F, CH EL,K B, LB Calidem concinuare rationem. Ouo d exac demonstran-
PROTOSFETO LXZXII
CInEAB, A C alimproci hyperbBIX DE, ponaneur aurem AB equi-
distances IK, CFI, F.L, D C concinux proporrionales, quibus AIdiz-
ninioro DiCODC, FL, CH, LR, L. H MF, NC in concinua esse apalosid.
12.Demonstratio. nlua
let
roniam TK CHT, VF, DC
Lproporrionales (UBE,S CruHEB
AC, AF, A FI. AK ac proinde et
NC, MF, L. FI. IK in Continuaa-
nalogia ciusdem rarionis; cum TK,
GHI, F. F, _CC. IIINE AUTCM L FL, IK,
CHTd quoque proportionales, can-
dem igiTUE CONFIHBAHE PaTIONCM
DC, FF, GFE LK, L. TF, MF. N C.
DicoFK, Gil, CFl, FG, VC,
L. G, MC eandem continuare ra
rionem.
eter occurrar in L. MI, N:
Y
I
PROPOSITIO LXXZIIL
Incicerum AB, A C alyraprori HI) Perbola D FFF, ponaneur aurem et
bus AD, A FI diaMerri OCCUITTANEIn KEI, L. HI.
B2 huins
LHIYIR F R, B OIL. FA.:
abcrra it si cmninina
Ouod crardem
AB aquidictanEES DE, FC, C. Fl candem concinences rationem; qui-
bddtestorbe
latalecle. Polalc Coc
NDX, rCCtA KF. IG, FTC eandem
continuane rarionem ccum IIC, lO
DF. SCd RX quOqUC CUM DF, L. CMC
ECAHAEM CONEINUIRHETAtIONEM, PEOpOr-
tionales
  s  p  a e    t t e     e a t t et t   pt st te  eat dt     ut  ut   te u tat   atit     ut  e i e  t    st
M
n

## Folio 575 — 1815201908:0632
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000632.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
Onii.
B.
peion
28
M
equi.
ldig
DC
InEB
de d
1124.
nTH
Eict.
edo
8
qui
DE
e rd
Onti.
dem
F6.
MC
DOr.
ales
111
Et Y F F R B O L A
ionales uNEISIEuF COnCinIX BK GLFTC, F OS D L, LC. MC. Quod crat demon-
Reandum.
AOPOSITIO LXXKIV
FC, V Pacaleno led, auclas Aedi. Pollacue ieata LM incer D
IIO a duCATUE AF C.
Dicorarionem AF ad AD, duplicatain
eseciusquam habet AC ad AF.
Demonstraiio.
ESc AF ad AD, ve A C ad AT: & A C. Al
AF, VE CA A C ad AR. TUINE AUTCM CX COn-
structione proporcionales DL, FR, FI C: igICuE
eciam suncaproportionaleS AC, AR, AI. Igitur
rario AC ad AI, hoc eA AF ad AD, duplica
ca estrationis AC ad AK, hoc cAt AC ad A)
Duodtuie demonstrandum.
PROBOSTFIO LKZEV
Docira deniio hyperbola veprius, ee DC,
FH parallelis alyIMPEOLO, POnACUE FI
veratio L. R ad F h aiplicata sicrarionis F L ad L. POnaTuTE AF EI.
Dico AFH in F diuilam esse ve ratio AD ad A L, lC sICala Clus
quam continet AHI ad AF.
Demonstratio.
NEEF alymPEOEOS AB, ALC COIMCICaCA iC H) perbol D E HI, de tactis
Acio AD ad A E, eadem est eut
Lracione AO ad AK: ee rario A H
ad AF, eadem cum rarione quae, c
IACET AC _ AI: elt aurem ex con
Aruaione racio RR ad F P, duplica
ea rationis til ad e: ipicur racio
AL de AK duptteaca M tacionis
Feles criplicaca lic elus quam haber
AC ad AI. onde cum racio AC act
PROPOSTTIO LZEXVI
anenibus iildem, nE F, KC, H N, F I, C. C in conrinuara analo stas
e polica sine ALD, AML, AEHI.
DicoOC, HIC, LC,DC lincaseandem concinuare racionem.
Demonstratio.
storiCt
AC ad AL, etiam racio AD ad AB
criplicaca eric eius quae es inTeF A F
Xx AF. Duod tuir demonstrandum.
b77. tlli.
Int enim proportionales BBC, IF, H C: Hem C C, NM, L C. WVicuxratiO FeF. C ibid.
cix. C C adcerriam HC duplicara est eius quam habet lecunda M N ad F. L:
dddd2
lCabui
  titi ete  et  et   t  t  t et t at t te t Ae e  e t te  t   e  e  . e ut  e i  e te  te t te     ete  e . 1

## Folio 576 — 1815201908:0633
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000633.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
1HIII
277. huius.
7
HIX P F R BOL A
CC
etiam lune proportionales (C
FK, CD: isiruE Facio DC 2d
T. C, duplicaca est rationis F. K 2d
MIN, hoc est MN ad FI. Sed F2
eio LC ad FIC duplicaca Crac EA
tionis NIN ad FT, igituE FALODC
ad L C, eadem est cum rarione
TC ad FTB. GuOCITCA DC, LC
TTC, C
C linex sunc in concinua
proporrione. Ouod tuic demon-
srandum.
PROPOSTTIO LXXZVII.
IIdempolcis:
2d AM cAt duplicaca.
L Dicorationem AD ad AE, esse criplicacam eius, cajus rario A L
demonstratio.
LEF CD, HIK aequidistantes CM Genei P. C, ve sinc in conciniia ana-
Demonstratio.
DROductR FR, CD SCCCNE alym:
peocon AB in L _ B. Ouoniam
F C contingie sectionem, d rectae
F. C aequidistac FTR, guadraEO O P,
aquaTuE HIIL, hoc dCA TTTR cC.
ctansulum. vnde luntin concinua pro.
POrtIONORIB F C, IFT: SCd VEFC
2d IFT, ica ponitur eseTTI ad F C, Cr.
equacur rectansulum c F. C D. manifectum cA omnes quinque camdem racionen
Bes huius. D AEio AD ad AF, eA eriplicara B rationis A E adt AF. sedrario AL. C 2d
CBt. uint. L Z. M elt duxliencaral  ad AF, igicur pacce vericas pcoposirionis.
dEX CorBII.
5.bciuo.
PR O POSITIO LXXXVIII.
logiaFC, IHI F C
NECFAlyMPEOTOS AB, AC posita SichypetbOla DF F. deinde ponan-
Dico limiliter FC, IFI, F. C, HHI, D C eandem concinuare rationem
Cbid.
continuar e quoderat denu.
SOKFI, F FI, TFI FC sune in continua analogia. _ quia similicex quadrato BC
LOPOSILIOLLLaTA.
  aspioiont aguacanes.
Dicorectans DC. C L HL incerse sse xequasi3.
(d 2d Cd
X A cenero hyperbola, ducta sit qualis ABC, quam intersecent
15SI:
ioinoqorq niesu
12 314 CB  AIFI) 133 1B5 1d 4 s 
 t t. 1. . 11    .  e    es   t et    s    e

## Folio 577 — 1815201908:0634
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000634.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
bei
28
ed B.
aC 1d.
oDC
cione
LC,
tinua
nOR.
VIL
AI
ad
CM.
A(yM.
niam
recta
10
B6
Ciet
B6
u
1IIIIIII
HI X P ERBOL
Demonscrarto.
BOnatUFEX PrectA TK aquidistans
 eseincer le dslana.
A F. quonAIMCam BD, IR, CD
quam C F, TR, IFTa lunE COnCINUE, L
C DB cectangulum aequatur quadea
tOTK, quam C. BYY rectangulum;
PacOE ergOBDG, CFHI rectangu.
eRC
EperbOlam AC InEEFASYMDEOEOS F F, E B consticucam, cotringat
a B. Porci bC, AC parallcis LducacurC D aequidictans AB.
Dico rectangulo F. C B aquale ene Lectangulum EBD.
Demonstratio.
Voniam xquidictanctam AG, C B;
Lquam AB, C D, Similia Cunc crian- L
sutz AGB, CBD. qUaTC VE AC
dd CB, ita GB ad BD: CCdVE AC
2d C B; ita quoque b cA BF ad
OF. igieurve O B ad BD, ita est F B
2d F C. Vndcrectansula GB F, C, d
BDEB Xqualia Cunc. Quod Fuic de-
tonstrandum.
t eL
1
Au P R OPOSTFFO ZCI.  11011MO
11.2I
DOlica hyperbola inEer a(yMPEOTOS AC, AD ponancu insuperalym
L procis equidistantes B C, B D occurrences hyverbola in La L.
Dicorectangulum BDF ad BC. F rectangulum, cam dem ratjonem
habere, quam quadracum B, D ad B C. quadracum. ili
ii s Demonstratio.
Vaa diatnetro AB que sectioni oc
currac in C. Ponaneur ex C puncto
incersectionis linex OHI, CL aequidi
stances alymproris; erir igicur quadraro
FIC aequale rectanoulumc BDF, e
BC F rectansulum aequale quadraro lC7:
ixicur rectansulum BD P eAt ad rectan-
sulum BC Fve CHI, quadracum ad qu2-
deacum LCu, id est B D quadracum ad quadracum BC, Clo dexac demonstrandum:
ED  2unpt
id
e1O3 los henemmr2BIlLre XY IS Corollarium. H ei TaE
bit: 21I AZ N.S
Finemaniteltum est rectani BC in F divilam este, quemadmodum BD lecta
etin F. quadracum enim B C ad B, D quadratum, in duplicara cA ratione BC
linex ad lineam, B. D: rectangulum vero BCF ad BD P rectansulum racionem
haber compalicam exracioAS BCi ad BD, _ C. F ad D B. ixicux Fatio C. F ad  . ulim. il.
eodem est cumrasione B6. qd, RD. C v :um sy But 
s
Dddd 3
11
Ic
5
Aliter
 e e osra o eooaesano

## Folio 578 — 1815201908:0635
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000635.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
AYPERBOL A.
exondim. T7T CF a 2d TC, ita F. D de B L CtGBM +C ad OFI, hioc est CB ad BD,
Aliter Corollarium hoc demonstratur.
Ica C F ad DF.
PROPOSITIO XCTI
D cu
buldam L ee L, per quae actx conringentes aequidistant rectis AK, HC,
ddico roctangulum ADL dd HI Ci C. rectangulum, camdem rario.
nem concinere, quam habet quadratum Bl ad B L quadracum.
Demonstratio.
TIne AB, BC alimpeoci hyperbolx D E F angulum rectum consti-
; de guauis dux DE, FO ponancur, quae obviene sectioni
in D, C, E, F, alsumpris aurem in hyperbole perimerro punctis qui-
52
3
calata alielcuo alstabco
ponancur diameri B, BL
(1. YD 5. 2391
toru ABC rectus elli
continsentesper I de I. dua
dupla lunebrectarum BL B L
illaruurque dimidia ijsdem a
qualia: sed octensum est rectan-
bulum ADK concingencis, ie
Ecquadraci, dimidio cNe X.
quale, vei sc rectanrulum
AOFDSIfIO XCIII
VInE AB, AC asympeoei hyperbOIX EHIP: astumpeo deinde puncto
quodam incra illam D, Ponaneur DB, DC alymprocis equidistan.
ces, occurrentes sectioniin ponctis F _ F; ex quibus duCanEUE E G, FC
Parallelae iidem asymproris, act 2 denique D A qua occurrar sectioni in
HI, per HI (inc L M, IK parallelx asympeocis.
Dico lMt parallelogrammum ad L. R Paralle.
logrammum, eam rationem continere quae est
incerlincas DB, B F.
Domonstratio.
Lbead DC. hooen AC adABoIA CABD
ad CF: igicut ve DB, ad DC, iea est DH ad DF,
hoc CA F C ad G L igItIE A C ad AB, CA vEF C 10
t aAC. ddF. De AB AdBC. IBicuI AOL
enic in directum, a LM, LK parallelogramma ad com-
nunem alsmectum IK. L. M comticuca lunc: unde li-
hilia suneineccle, adebque in duplichcaratione DL La
5. quia vero D B, BI. BF CpropOrciBIAlES TUNE, VE D
ad TR. sc eD B cs ad B P: icur paralleIBGFamMA PNI
T K duplicacam hotene incer se rationem recte DB ad
BLi  CD BA BP. Qvod eta Heion Arun le
PRO.
HOC contingentis in L, dimidio quadeaei. Igicurrectangulum A D R ad HCC
rectangulum est, re quadrarum B I ad BI. quadrarum. Duod fuic demonstrandum.
22. hui
F1. Depro-
 Lo s  .d C. + 5. X W2 F
ressionibu

## Folio 579 — 1815201908:0636
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000636.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
D.
AAi.
ioni
quio
C.
110.
cAt,
vde
3L
2
e
C.
um.
et0
an.
e
BB
ob
6D
m.
es
DI
5.
H Y B CA BOL A
E R OP ASITLa XCIV.
IICF. BF, adcancurgue NEI, BC
Onsirura sicliyperbola AB C incer asymprocos DG, DF quibus
saequidittantes ponaneur quacuor linea incet se proporcionases, AC
vico lieuram quadrilateram a CL H, quadrilatet e BF P. C, qualerri
exilteTe.
Demonsrario
BL. equidiccanres asympeoris
qu_ A C, C. F tineis occurrane in
M ex R. ve AC ad HII, sic CF CA
17I, GC LDcit ad, D Ci d vECY
2d BF, Sic. D F adt BF proporrio-
nales TunCisituED G, D C HF, DL.
sicur ve DH rectangulum ad rectangarum DN, SC
caneulum, aequalia aurem suns rectangula b DHI. DB, ilsicur ex rectangula DM, ins.
K aqualia sunc; adeoque _ relidua TM, L Rs quia vero cA vE C A ad GMI, sic
P: C 2d F K, erie quoquere CM ad M A, siC P K ad C H. TeuM M A, HC
CTF rectanculum ad Fectangulum A FI, cuins anmidium est eriansulu AMFI; _
ve LiR ad CR. hC J. B rectansulum ad rectansut C B, Citusimsdium clecrian-
sulum CKB; isicur vE YIC rectangulum ad criansulum AM HL; AC F B CCt a
culum ad criangulum C. RB; e permucando, vel Hcclatolitum ad rectanvoium
FK, SiC AMHI criangulum ad etiangulum CR B. Vide cum C, BF. tellatoula
octena linc aequalia, eriangula quoque AM HI, BK C, ad coquereliqua quadrilate-
ra, suncincer (e a qualia. Quod exac demonstrandum.
PRODOSTTTO ZEV
BF
neulum ad rectan-
DOnancur per E de Blinex IIN
ad BF ex luxpolico; sed ve AG 20
1
culum DK, de permucando, ve, D H ad DB rectangulum; sIC DM ad D R EC- b + L. hb
DOnatur ABC hyperbola inter dlympiotos DL, L. a LaO HL,
aurem AB, IC ditilae sinc bitariam per diametros DL, DMI. e ductre
sine AN, C O, quae aquidistenc alimpeochs.
Dico P ee  esse communes incerlectionesrectarum IA, B Il, l lis
OC, l2 C.
BHI eadem cum rarione C. F ad IKE parallelarum alyniprotis, iuncte
Demonstratio:
2d FTB, HCMD CCILAAD F, IACHNVL
ad N A; e diuidendo, ve TIY ad VB.
sICNP adP A: Smilia leicur Tunc p2.
rallelograInMAFIDN, APB. a iun-
Eta D P, ddiamerrum A B bitariam le-
CaCIn L, QuaTC AN, IIB, DL linca
rum communis incerlectio cAt P: F0.
dem modn ostendetur O communem
esse incerlectionem lincarum PK, DM.
OC. quae tuerume demonstranda.
Ccurrane sibi N A, ETB linex il
P. ipitur ve D A adETB, id eA FIP
C7+. huimiu
aee e se o esta= 15  10 10 20 ea s e   e  e 

## Folio 580 — 1815201908:0637
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000637.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
8c
AZPER BO L A.
PROPOSITIOKCM.
cur alympcoris parallela AM, C. L: rellalum vero M A, C B communis
inrerlectio lEN, _ K communislectio linearum C L, HI.
Dico ANB, HIK C, criangula elle Mer se aqualia.
C
ADC
Scendimus in prioris pro.
posicionis demonstrarione
esse ON ad N B; VE M H
ad N A, adeoque eAe veOH ad
NMI, sC NB ad N A, _ob cat.
deeariOneM vE IR ad RL, lic
FIK ad C K: quia vero est ex posi-
tionere ti A hoc est C N adH B,
sic CF hoc est TK 2d KHL, _ vE
MN ad NA, ACL K ad K C, ixi-
cur ex aquo cAre NVB ad N A. lC
FTK ad KC; ivicur cum anguli, ad
N _ R, aquales SnC, XquaIIZ quo-
que sunc criangula AN B, HIK C.
Quod erat demonstrandum.
XCVII
11
Lpervolam A B C inter a lymptotos D F,
FC consticuram subrendac AC: ducti(q;
lineis AH, C F quae alympeoris aquidictent,
ee invicem decussene in l, agacur por ldiame.
tex LB:
Dico F B productam rectam AC bitariam
Demonstratio.
DA ad. RC, id est FF ad F C, aHC FF est ad
=D, id est XI ad K A: _ dividendo vEF Fad IF.
AICKTad TA: _ permucando vE R P ad TK, (IC C 199
IA: Similia igicur se ad candem diameerum polca sunt
parallelosratuma RF R, ATC, e F. I diameter bile-
cac diamecrum AC. Quodtuic demonstrandum.
PROPOSITIO, XCDILI
IIdem posiris. auC aCAF A(B aequidistans AD.
Duo,LCin continua essc analosia.
Demonstratio
Srmpcoristiyverbolae A B C, aquidistantes, de inter le proponio-
Lnales ponancurlinex AE, GB, C. F, HII. iuncti(q AB, C. H; ponan.
est (I 1EC
17
DF
D
dividere.
675. h1-
AniECCta CR, cum enim BprOPOEEIONALeS SINEF L, HTB, EC, _ PL reaX xque-
cur AD, linea quoquc AD, HLB, P. C in concinua lunc analoBia. uod erae
PAD.
demonttratelum.
e er s  et t u  es tit pet e e p e e tat e e  ute e etet ta pat    t e  t it  et   t e tit     t    t       

## Folio 581 — 1815201908:0638
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000638.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
uio.
nAR.
unis
Ao
tion
10si
1B,
i8
A. AB
ue
F
ilq
ene
NC.
Jam
1
D.
HI Y PEM BO L A.
PROPOSITIO ACL.
INE AB, AC asymptori hyperbola DF F, e ducta DB, FC alym.
Dpcoto AC aquidiltenE: IUnSaNEUTG AD, A F, _DF.
Dico criangulum ADF aequale esse AglIrX
quadrilaterae DBGF.
Demonstratio.
TRiangulum BD A = xquale eAt F C A criangulo(quia
dimidia rectangulorum D A, A F aequalium): igieuE
ablaco communi triangulo A C T, rehduia sune aequalia:
Scilicer F AI criangulum, quadrilacero BD GT. addi-
ca icaque communi tigura DPF, Cric D A F criangulum
aquale quadrilacero DB CF. Ouod fuie deMton
dum.
PROPOSITIO
Tine dux hyperbolae xqua-
 les de imiles, quarum a (ym - 2521
DEOTILINE AB, BC; F.D, F. F: PO-
NANEUEaUECM AIE, L. MI, _ SF,
R Oproporrionalesinter le, e
alympeoco cuidam parallelx.
iunctisque RL, OS ac dinils
bitariam per diametros BFI,
F C, Occurrences sectionibus
in I d O. duCaMEuE IR, IL, _
D0 05.
Dico triangulum LLIL X
quari 9OS criangulo.
Demonstratio.
Donancur LH, O aGaaeS
AR, OR. quoniam AR, LM
SF, OR, in aequalibus ac similibus
Ayperbolis, proporrionales TunE:tra-
DeZIU AKL M Bxquale cAO RF S
Erapezio. & quia concinux lunE PrO.
porcionalestam SFi, cOP, OR,
quam AR, NE, ML, adcoque SnE
Proporcionales AR, NVI ipsis OR,
OP: iBitur quadrIlaTeTA ARIN, QOPR d aqualia sune inter lc. ee Similicer 3+. hu-
EFaPCZIa INML, OP F S. ablacisigitur trapeZiis AR IN, S INML agualIbuS
iplis QOPR, OPFS, remaner criangulum KIL. aequale reliduo criangulo
905. Quodtuir demonstrandum.
Ba
hains
c

## Folio 582 — 1815201908:0639
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000639.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
FIXDER B O L A.
PROPOSITIOGF
 Glochoqudl iso
Prce nat
 olo olerrer: LC1 A co l
15a 2. E C  H.
t
a
ABSOCE  a CL  Et tCL SCEL E
ZE, C s  HeB II BC t. D e CI cr  eME LMBS
irp, nacim A O. (  7.C  Mviona
vrii YatEp CA et sABE ctiseul
 ri eutrit it  A Olas cane ct
B5. C~ FE 139B C IA oit
e
51t
TInE AlyMPEOTO AC equidistantes BD, G E, FIF inter se in conti-
bus, quod in hac derribus.
eril. 9n C C. il A 3Wplel
nnaratiONC, RE dUCANEUEDF, PF. g. T, C1.1: 5
DicOerapeZIA BD E G, _ GFPBMTL CM a Guala1IC. M
11
Emonltratioeadem est cum 43 huius: in qua de quaruor astericur proporcionali-
set orbi to
1c. il
sti
17 2d.lt 1 t
ci
co
ui
(1c
e
11 1 116 1t 1, 1ue t t s e C

## Folio 583 — 1815201908:0640
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000640.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
u.
rali
Deseementis hyperboliers, conuexis s concanis.
PROPOSTTI
Rea lyperbolae terminacie, criangulum maximum inlexibere.
Constructio es demonstratio.
crum D, cerminetur rectâ
AC; qua divisa bitariam
in B, Ponatur diaeTer DF., Oc.
currens sectioni in B. de iunsantur
AB, C B, dico crianoulum ABC.
cnemaximum illorum, que hyper-
bola AB C inscribi postunE. Pona-
cur per B concingens F. B. 2 aequi-
dictabit illa rectae AC: ducatuE
dein quaenis H C, paraIlela BF,
occurrens lectioni in G. Pacec C punctum esse infra lineam EB, adeoque, GFI
minorem B F. vndecriangulum AC: C minus est criangulo A BC: crionpulum igi-
cuT AB C maximum cA. daca isicur hyperbolx terminaca, etc. Quoderactacien.
dum.
IIdempositis:
P R OP OSIFIO CTI
LDico ABC criangulum maiusesle dimidio tesmenei AB C.
Demonstratio.
GRiBEnEUE Ex A de C Eguidistantes BF, OCCUTeNEES FB concingenti in F e
K. quoniam isicur ram AB C triarigulum, quam b F. P. parallelogeammum, du- menin.
Excle
plum est crianguli AB F sequalia lunc parallelogrammum F F, de criangulum ABC
vndo J.C parallelogrammum duplum est crianguli AB C: sed F C parallelo-
sxammum maius est segmento AB C, (cum F K contingens tora cadat extra lectio-
nem,) criangulum isicut AB C. dimidium parallelogrammi F C, maius quoque est
dimidio lesmenti ABC. QuodCtat demonctrandum.
Cdronarium.
1
Zperbola ABC, cuius con-
Inc exparecracio ntcribendi ctianoulum cuiuis segmenco hyperbolico, quod
licatis; consticuendo scilicer rectani aliquam OHI, qua ad BF, datam rationem
obcineat; si enim ad C deducancur rectae AC, C C, criangulum AC C ad AB C,
elt in racione linca 6FI. 3d BP: cum bales sINECOMMUHCS.
Sct. F 5. L1 53 CBL S. 3CMI
2A. I Bupou el
Eil arspis
aan. Cdi 1244C4
damaia ccaticlum lletcu dalatutabene cachilela talhotis inaequa
stcP
11II

## Folio 584 — 1815201908:0641
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000641.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
2LLCLLBLA.
Eperbolam ABC, cuius cenerum D, Subrendarrecta AC, divila
bitariam a diamerro DF; imegue A B, CB, ac diuilis bitariam
in F _ C; demitrantur DL, s, Ocurrences sectioni in HI ee l, iungan-
Dicorriangula AH B, B IC, xqualia eNe.
Demonstratio.
DOnatuE ex F ordinatim FTF, ad diamerrum hyper-
bolx DF. Occurrens lectioni in MI, e D C lince in
T: quoniam AB, BC in F X C, dinila lune bitariam,
FC aequidistabit A C, adeogue _ ipE FII cum IIM.
et A C ordinacim posiex sinc ad diameerum D F: qui2
vero AC in F dinita es bitarIAM, CFIE _ F C in HI; a-
deoque _ HIM in L bitariam quoque divila. Sed e
FTI in L, bissecta est. quia FC in N bisectx aequidictat;
luncigitur aquales lincae HIM, FTI, et puncta M e L
eadem: quare DF, D C diamerti in FT _E ML, prOPOr-
cionalicer sune divisx. rursus cum D F NV, D ON crian.
gula, icem E BN, G BN aequalia sinc, reliqua oriam
DFB. DOB crianoula incer (e Xqualia sunc. Vede cum
DF, D C in EI d M, proportiohalicer sine diuila, ae
qualia quoque sune rriangula D ETB, DIB; adeoque e
reliqua F HI B, BM Ci: PacCCS _ illorum dupla AFIB, BM C crianglila sinter
le aequari: d etaldemoaum lsi
Ecs a C, duxe parallelae AD, BC, innganturque
Bedciangula ntaaa s MIcripea, esse incer se aequalia.
s
Demonstratio.
I_ CeHIro E dueantur diametri PF,
F C. diuidentes rectas AB, C D bita
riam in F e C occurrences hyperbole
in H ex I, e iungancur AHI, HIB, CH
ID, cruncha ceriangulaa maxima segme,
eis AHB, CID inscripta. dueta dein
diamecro F. R, qux bifariam parciaruere.
atam AD, Ponatur FC, eric illa paral.
sela linex AD, cum AB, D C in F X 6,
dinicae sine bitariam, constimuexque sinE
inter parallelas AD, BC. ex FTigirur du-
catue ordinacim HM ad diamecrum ER.
ostendetur, Ve in priore propolcione il.
lam producam sccurrere communiin.
proporcionalicer elle dimlas. Lunctisigitur LB, LC, BN, CN; cum FG; HIL BC
agordistene; _e in E, M, N bitariam sinc divisx, aequalia sunc criangula FBN.
aqualia:
R OPOSTTIO CIV.
Furque AII, IIB; BI, CL.
PROPOSITTO CV.
CD:
BHcLI
ol3
dis.
es
nar
ACIM c
cerlectioni P: adeoque FG, FIL LGOIAMLAIC, d LE, L G diameErOS in YY e L
CC, irem N P. B, H L. C: vnde  rtu L L. D L. CC crransula quoque lune
oao oMo121510171o19303127 33 30

## Folio 585 — 1815201908:0642
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000642.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
liui
lriam
5d1.
rpel.
E
riam
HI.
i
lid.
de
distat;
Et
IPOr.
eriam
cum
UEe
incet
esut
Pti
eat
61
R
il
BC
N
Ab
id.
A Y D E R B O L A:
aequalia: quia vero P F, F C in IY de Pproporrionalicer sune diuilx, CrunE_ PFT B,
CICi adeoque de illorum dupla AFIB, CID criansula hucet le agdalla. uod
erac demonstrandum.
8
RC
P
DSITIO CV
NInE AB, AC asymprorihyperbola DEC, PocasuC ad diamecrum
DAF ordinarim DG: duICANEUT DE, L. V.
Dicolesmenta conuexa DLE, C L. F aquari.
Demonstratio
Tuisis ED, G F bifariani in N L O; ponancur diameeri AFNV, A FL O, iun=
GanCUEqUe DTE, GLL: CtMCISHME, DIE, CP. P criangulaa maxima, e in- 2 10r. Bi
cer le Baequalia, maiorague Mmidiisc Segmeneorum quibus inscribuneur. Cmili- B10). M
cer Grehduis verimquelcenes criangula inscribantur maxima, ostendicui crian- ius
sula makima seemencorum LB, LL XQuaEI trianguIIS MMaximiS SCGM CNEOrUM L. P
CC; qua opcrario cum sine celmo in vreogue lermeneo continuati Botsie, et ab
laca Cx DTF segmenco maiora M dimidiis legmentorum a quibus auferuncur, de
requalia ablacis e scgmemo L L P; quorum sinsula maiora quoque sune dimidiis il
2. hi
116. D
lorum a quiblisauteruntur, sexmencum DLF. s Xquale eA sCBMenEOBL. P, P9O0 roerosioni
crac demonstrandum.
PROPOSITIO CVIL
IIdem postis: POLaHEur DB, E. F, CHI alymprocorum vni aequidi-
Dico seomenra dyo COnCaABDFF, OHFF incer se Xquari.
A anis 3BBOVB sstVCS. 3 S Demonstratio. 1e0 ai 3 l. S13. l1
1iCOGE5BIBECLSO
Voniam BC ordinacim ponneur ad AF, EreS BD. F F, CHt proxorcionales
sune, vndec rectincum BD F B xqualc est rectilingo Fi F OII. Scd per PEX. cioo huin
cedencem; aqualla quoque sunt legmenta convexa DIF; OIF; rehdua igicue
segmenea BD EBS OFIFL incer le aequalialine. Quoderac demonatranduim.
2
3
tiica exruvilame
VInE AB, A C asympEor hy pet BOIX DP P, de in concitiua line analo
Dei2 DH F. C1, F C alyPCocO AB xquidistantes
Dico lcomencum DHVE auarisesmento F.CCF.
Fcec 3
ances: 
Locr
ilcIE. BIIS NB esi Des  LD eSDE
a. 32B, TLO ∞P
Beo
CFIBCS.
      sits    e  p s   es  po se ho s 

## Folio 586 — 1815201908:0643
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000643.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
278. huIHS.
bL. DCprO-
pressionibus.
C 14. dexeI
AIY P F R L
L
Demonstracto.
Donaneur LL, MK mediX propot.
cionales inter IID, L.V, FC, C.
cancurque B, Ll. L.O. Merti
aequienstances alimptoco AC: cum
isIEUFD H, LP, P. Cr, MK, F C candem
concinuene racionem, proporrionales
Tunc AHT, AB AC,AK, AC. quid
Cum ilbracione luorum incegrorum.
ve TIT ad IC, AC AF ad AC, id ett
E C ad I. I. quarec parallelogramma
vero HTI, LC. Ck. lc. differencia,
que lune parallelosramma P. P, M C; limmer F. K parallelogrammum rquale est
ParalleBorammo MC aequalia isirur lue suaruor parallelogramma I. HI, E I. NC.
FK: idlcur duo L TI, F. I ablacac lezmen L CTID, aqualia lunc duobus NO.
PK ablaris e segmenro FiC F. Cr: Rurlum MeT DEB, I F, BC, icem F. C, WK.
E FT FF aquolia sune: similicer quia est G T Ad CTR, DEMK ad F C aqualiaquo-
main lCGMenEO P. L ala Pacaelogrammis scgmenEI F C F. C: quod cum
temperheripors  a LLLL maiora sinc dimidio scomenci D IIP. 6
prosressioni. Sexmenei, constat F. C. L. uGucuum aquari segmento P. ODFI. Duod tuirde-
OSITIO CIX.
DicoATD, IF, RI
legmetica esse xqualia.
Demonstratio.
. 
emam 2,AL1ac
proporcionales lunc. CtH
LL, _c. camdem quoque incer le
concinuanecracionem; vnde DL
EPFCcomenca lunc xqualia. Simili-
FC meala Penaneus propolclonales, ollenderur similicer, re prius, parallelopram.
Au5.D. _ aequalia ablaris ex seGMenEO F C F C, que maiora quoque sunc dimidio eiusden
6u5.
3B. huiu
106. hu.
ibid.
MIGuLEaMAUM.
MK, FC, ipsi AB aGatantes.
AB, AC asympeorihyperbolX DEF: divis aque AC, VE AC
I, AI, AK, AC concinux Cincproporrionales, ponanrur CD. F. LI.
terCum PFT, LBMR, F C in eadem sine proporrionc, 8 xqualia quoque sunc le
BIMEnTA F. P, L. R. MC. C igicur veriras propolicionis.
O PC
SI TIO NC X.
IHC ALB, A C alymprorihy perbola D LL, a LCPMIIENCa MIIIC. L GdaIIa
DLIIB, EGITI, GFKI: ponancu AL, AL, AC, AF.
Dicohguras mistilineas D AF, DEHIB, iteM E AO, F CIFI, RC. AC
denique DAF, F AC, C AF siguras incer (C aequari.
Demon
s

## Folio 587 — 1815201908:0644
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000644.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
Dr.
du.
ulm
es
ales
uid
tiar
cum
lest
1Ma
10
est
161
16.
lX.
N
um
26.
em
le
+
M
HX L LRBOL A.
Demonstratio.
FRianigulum ABD aXquale CA
criansulo AHIB: ablacoisicur
communi erraigulo AFIO, manec
AOF criangutum, aequale qua-
dellacero BDOII: addico isitur
communi DF, erit IIBDF
Ceomencum aequalo fgura mixcili-
nCX D A F. Umilicer octenduneut
ASUTA F ACF, GAF aquari se
BIMEHAS PHICBIK C+ F: quod c-
ratprimum. Vndecum seomenta il.
la agualia poltancur, pacec e Rgu-
raS. D AE, LLO G AF quoque
incer le aquali. Dux erane demonstranda.
11.
eR OPOSITIODAI
InE AB, A C al PLOLLH Pet VOIa L L. PENcIIG BF, DE, FG, F. C,
uxe alypcoris aequidistene:
oDB sedmencum aequari tegmenco L L C. 6.
Demonstratio.
Equalialuneb rectanduta eB: CD.
Laddico ixicur communi F L K, COn-
AaC F F C C Aguram, xequari AgurX
FF D B. Duod erat demonstrandum.
PR OPOSTEIO CXII.
Ato scgmento concallo
avL. Dalallaotacctois
alympeccorum incetcepo aua eguaic caole, quod ad dacum pun-
Aum pescineat.
constructio es demonstraci.
LAC BF, FC alympeori hyperbola
oporceat seomeneum coneauum ext-
Bere, quod equale sC A B CD CcgmE
co, cuius vrum lacus ad FI perrincacs C
tincve CF ad BL, Hc FK ad F
ponaturque GI aequidistans HIK:
CF ad FB, Iaet AB au DC: quare ADCB scxmencum, aequale est sesmen- iuo.
1O TFIK C. Factum isirur est quod perebatUT.
DADH, e dacum sic leomencum
COHCAVUM ABCD; de punctum II. B
POlica FTR parallela alimpEOcO B F;
Dico factum elle quod pericur. estenim
TG ad FTK, veC FK ad FC, id est Y
PR O.
11I
11

## Folio 588 — 1815201908:0645
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000645.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
1
XI Y PER BD L A.
PROPOSTTIO CXTII.
Dico illas abhyperbolam  a proporcionalirer dividi.
2206. h1 -
BiOS. h1-
CEX 109
huius.
d1oS. ha-
u5
10
1c
Demonstratio. I. CW
5
DOnanEuE AD, AF, RO, AT, e pertician-
curcriangula D N O, FOT. Cum DB, FF
proporcionales sine OTI IKs DB cst ad C II,
VE F F ad TR: quare tam segmenra Loonca-
na BD OTI; FFKI quam COnUEXABDNO,
FOT aequalia liinc: quia vero BD OHI e
FF KI seomenta aequantur, aequalia quoque
Concerianoulac ADC, A FI; limilicer quia
DNG, FOI seomenta aequalia sune, crianou-
la quoque sDNO, FOL aquanEuF. igituIE
DNC criangulum adcriangulum D A. C,svE
FOI criangulum ad criansulum F AI: sed
DNC criangulum est ad criangulum D AG
CVELNadL A, _ VE NIOAdMA, ICFOI
eriangulum est ad criangulum F AL: PFOPOT
cionalicer isitur in N ec O diuile lunc diame-
eri P. A, M A: quod erac demonstrandum.
eROBOSITIO CXIV
nie Demonstratio.
TInE AB, AC asympeori hyperbola DFI, posicises DB, FE, OH
lIE proportionalibus, quae alymproro A C aequidistene; iunganEUF
DC, F I; quibus diuilis in L. ee M bitariam, diametri potianeur AL, AM.
dividat diaerex F. FO, _ duCANEUE AC, BD.
Zperbolam ABC secenF dux parallela AB, C D quas bitariam
DiCO SEGMENEA COnVexA AC, D B cscincer le xequalia.
licto alstabcocto eica a liti
producaneur AB, C. D donccoC.
currane alempeoris in M, P, N, O
puinctis, ducaneurque F A, FC, BB,
E. D, item AL, C I, DK, BHI, P2.
Fallela asymprocis: Cxic ergO AM
ad CN, EVE CA AL 2d C L. sed ve
H AM ad C N, ica quoque eA BP
ISIEUT ETaPCZIA i ACVE, DBFTK incel le aqualia; se d eadem de caulacriam con
194. hu. Calla LeSHichea Khyperbolica AIL C, DR HL B aqualia lunri residua ipicur scomen-
X7
ad D
R. Igicur vE AT ad CT, ita cA BTT ad DR. sune
hy. C2 COnVexA AC, D B aequalia lunc. Ouod demonstrandum fuit.
es    
put
11II
i
PF
16
Si

## Folio 589 — 1815201908:0646
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000646.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
3H
REUE
lH.
cian.
SFB
GA
6.
Te
que
d
u-
que
Vt
sed
A6
OI
dOr.
per
am
AL Y P E R B OL A.
ROTOSITIO CxVI
Ecene dua D, es Pacamlae hyperboram ACB, de iunGAEuT AD.
cui Rac aequidistans C F. POnAEM GHE AF:
Dico ACF scomentum, segmento C FD aequale esC.
Demonstratio.
VnGAnEUIE A C, CF, FD; quoniam AD ipS CF agadistac: seximencum ED
sesmento AC. xequale cst. quia vero rriangula L D, A C D, camdem haben- a 11y. hustis
eia alcicudinem _ balim, ae qualla lunes ablaco commumt A F. D, aqualia remanene
eriangula AP C, I F D: igitur corum ACF mxlilineum, cori RFD mixcilinem
requacur. addico isicur communi C C FF, extursene aqualia sexmenta AC. C+ F)
e CCFD. Duodtuic demonctrandum.
PROPOSIIIO BAMI
Inc in hyperbola, sezelca alscalia ABC, BC V. luratuque
2.D, BC.
1d.
Dieo AD, BC lineas xquidictare.
1.
onpratio.
1
23C
ia  .15t. B .
enim AD non aequidistac B C, PONaTE DF pAtatICIa B C, et LUINGANTUE
DCF. Seomencum igitur EB C, b aequatur BCD scemenco: Sc d ex suppolicio- B i+. hu.
DDesmento aequatur lcgmencum CBA, lsitur _ C B A scgmento, X- ins
quale exicticlesmencue Den Palscm uuntequ; aleteu a
ces BC, AD. Guodtuerac demonstrandum.
PR ODOSITIO. CXV. 1
hcohypetholae scemento conuero, ex daco in perimerto putietore.
ctara dUCCFCs quae lcgencum autetat, daco aequale.
Con

## Folio 590 — 1815201908:0647
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000647.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
a113. btir5.
HYPER BOL A.
onstructio e consraio.
acum scleomenta ABC, e pun-
cum Di oporccal et lectam du.
CCIC, Guleomencunt autbiac dato aequa.
le. IUngAnEUE AD, _ C. F. ponatur aqui
distanS AD; IUngaNEUTGUe DF: PacCC
legmencum DsiL. lacistacele pecloni.
Corollarium.
Inc Facile erie colligere, quà praxi
Conuate quis pouc in intinirum,
aequalia segmenta conuexa, à quovis daco puncto, in hyperbolx perimetro. Sit
enim darum punctum A, ec segmentum AB, cui aequalia scemenca exhiberi de
beanE. Ponacur C AD concingens hyperbolam in A, de B P xquidictans AD,
eric P A scomencum aequaleb seomenco AB; cum rectae AF, ponatur aequidi-
Aans B F i_nOAnEUTque F F, eric detuo F F leomencum (CgmencO C AB, hoc
eAt AF xequalc. eodem modo ponendo BC Parallelam AF, erie legmentum
EC, aequale AB vel AF, vel E P. Sic de reliquis in infinicum.
PR OPOSITIO CXV
Omugatarum sectionum ABC, D EF; diamerri coniusatx sIne
1OL GE, ad quus ea alumpeo in OHI alimproco, punctoFI, Or
dinarim pohantut HIH, HIF, auFCTeNECS SEgIENTA ABC, DFF.
Dicoilla esse incer lexqualia.
constrario.
Tnex CB, DE bilariam leceneurin K d L vec diameteos DK, BL, iun-
AnCUEQUE BMC, DEC. SALL. Dt, ordmacim ad coningacas
diameeros poliex, asymproco in eodem occurrune puncto FT, aequalia Tune d crian-
la BFC, LLD. quia vero BC, DF Bilariam lccantur in L a R, duca K
ell lune concudaca. a at: Li lalcce aglaluau alfcipidi
L
copoccoaceriguur in M ee A dinila lunc diamerri CR, C. L: vnde iunetis
Mmums. C C, C D, cum crianula CBC, C F. D incex le x qualia linc, extansula quoque
BMC.

## Folio 591 — 1815201908:0648
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000648.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
13
Ncet
ouis
rat
im
le
D
HIX P ERBOL A
11
ei
regel actu
BMC, BN E aequalia tune. Similicer R NB, N E Bitariam scconeur in V, S. d
MC, DN in Z ec Y, ostendecur reprius, iunctas V C, SC, iem XC; LBa-
merrosesleconiusatas, ac proinde criansula B PM, MOC aqualia ene etanus
N RF, N OD: quae opetario cum line certmino concinuari possic, veablaca ertangu-
le maxima e residuo sesmenci D NB, aequalia sinc ablaris e residuo segmenci BM C:
aeC iatE
constac leomenca DNB, CM B, adeoque YBC, DF Z, ex eorum dupla AB C, 2 i6. B
DRF scemenca Ilicer sC ae quart. Ouod erar demonstrandum.
S. 1
OMSISEOS CLABEP R OPOSITIO OXLZ, IICIEL cyic
progressiont
CINEABC, DE F coniusatatum sectionum, diametri contuieatx L B,
DL E. Iincaurem ad illas ordinacim policx AC, D F’occurrences alym-
peoco HIL inrno eodemque puncto M: ponanturque BF, DC.
Dico scementa concaua, BIC HLC, e LK DH Cs incer se x qualia esse:
aito est
e
ibiuer Demonstraio.
es XICI
2
c
Inonim per praecedentem aequalia legmenta con.
vexa BIC, DRB, sed es xequalia sunt craperia
b BGHC, OF D Etsigitur d rehidua segmentacon.
cana BTCHO, PKDET C incer se lunexqualia
iet set adidit 1) sit
PROPOSIFIO =CXX. 1
condeo
Ine hyperbole coniugux CHF, L, KI.
carumque alimprori BAC, AMI. CcG AB
aequalis AC, d DF. parallela AB, alceri ve
rd alympEOrO ANI Equidisten BD, P C’Occurrentes lectioni in C, de L.
Dicolectorem DCHP, Sectori E IKL. aequalem exittere.
Buo
FFFF 2
Demon-
te it. et  e e e. 1 e e . 1 e u 1  te ut e  t e i e   Ati t te it. sta e t tt  t e t t. u t t  t  . e e attat

## Folio 592 — 1815201908:0649
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000649.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
v P, d 
oeresioni. Ele 4016 FL
Demonstratio.
Vm enim exCoMLE. D ME, AD aquales sinc, icem
FM, LML Lquentur (co, quod FL Parallela Cic
alp  A,) Ociam DF, IF aquales crunei ductil
que aCcI AD A I cruncillae b diametri coniusa
cx, _ iuncta RC Parallela B A. FOTMCnEUE itaque
Paralletogramuta OO, S V, per lineas OFKV, 11O
KS aimpeocis palallelas. Similicer duetis A O, AO, _
LV, AS Formenteur parallelogramma ON, PC, RS
Duoniu AD, A F. diametri sunc coniusaLE, et
in FI _ R, proportionalicer divile, ve AD ad AV
ACFTD ad R_ d OOc parallelogrammum ad paral
lelooramum SV, ve MB parallelorrammum ad
Parallclogramtum MC: aequalia lunc aurem paralle.
Looramma M B, ALC (Ob AB, AC lincas aquales) a
qualia suncipitur de parallelooramma OO, SV. Simi
dicerxequalia olceuduncur parallelogramma P(, NO.
Parallelosrammis LS, TV: quae opcracio cum in in
sinicum conchcari possic, ve ablaca e sectore FIIOL
que maiora um amidio sectoris GIT FD xqualia uine
CI. IX L. Frette mer a Gales. Quod tui detonrandum.
-H1esI. IM a3etdB 1 cHBq
ue
5IT IOntCZ Z FIOI
e
et
AC almpeodiconusacarum lectionum DC, FG: Borat
auient Be, (F proporrionales L. C, KF, quae omnesatrmoro
eo AC aequidistent:
Dico BDIE concauum segmentum 5 aequari seZMentO ConCaVO
FRF. C
sit ilts
V
6. B
oblaris e sectOrE TK L F, quemaiora quoque lune dimidio sectoris LRL. P, constac
Demonstrati
r2. h2
Eilu∞ ASI SA at D R OF
id. tu
1c
DOnantur F. H C  _ MV.
P ipA AC aequidiltances: ex LM quiden
OCCUrEAEOP, L C producis in  e RR. cum
BIEUIT EaM EML. NR, quam FK, MN aequidi-
AenE, equalIR TUINELATCTA F R, NINS MF, NK.aC
proinde cum M F in C Pdiuisa Sic bitariam) a
qualia Cunc paralte camma ML, L A: vndea
sidua quoque patallelosrainma DY O, RR X
qualia sunc: (cum enim OC in FI, id est L. Pin
A, id cA OR in C dtn c Mallam, Coca pa
rallelosramma O A, R A incer SC Xquantur:) ca
dem de causi cum aequales quoque sinensectores
OFM O, F R CF, X GuaMA HBHCTCMOUA LCBMOL
ad MN:) lesmencumisitur BD IF, aquale es
Ces  LR = 6. 8uod fuis demonstraudum.
EA OPNM, ERL G: est aucem OP NM se
emencum, aequale; sesmento BDFK. (cutr BD
scadTF, VEG: L ad F K ex posicione, id. est OP
u    pe  pete ute tt tt  s e te te te  a  t et e t t  t et ta et q te  e e e  tt e a t e t  t  t e  t tet      t e e e  u it   a a 
P R C

## Folio 593 — 1815201908:0650
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000650.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
tem
53
10
10
in
CD
sIne
t
a
10
auo
AY P E RBO L A.
PROBOSITIO CXXII
IIdem pOrCL, LUHSANEE DE, FO.
DICOIESMEnEA COnHexADF, F. C quoqueincer le aquat
LDemon Stratio. 21. 2 L 3 23VIRG F. 1SL e115. 1
VeacUErecta AIO, CTIEISIEUTSCSMENEUM a O F M X quale sesmOnEO F G: Sed a MB. Bm
OFM Segmenco aequale est b segmentum DOF, (quia DBIF, OPNN
ius
b106. n
leomenca concaua ostenta sune aequalia in priori peopol.) seemencumisicur DOl imc
aquale c lez CnIO F,C. QVOd craC demonttcandum.
eROPOSITIO CXXIII
NInE ABC, DE F Seomenta quauis equalia, coniugacarum lectio-
anum ABC, D E F; e diuidantur rectae AC, DF, bitariam, per
diametros IC, III:
Dico LB ad B C eamdem habere rarionem, quam IF ad F. HI.
Demonstratio.
Vatis DK X FL qua asymproco 1O aequidistent
IGHOACUE R L; SEOMENEUM IGIEUE RNTL aquale cel
lermenco D F F, id est per hypochesim segmeniO ABC
vnde I. K diuisa in. MI bitariam per diamerrum TMI, crunc
GT, MI diameeri proporrionalicer à sectione divise. Scd
de TFI quoque in F d dinila, ve TM in N, proporriona-
licerisicur divilx sunc diametri, PG, TII. Qugd fuic de
monstrandum. tr rit: de ii
1
ime ROEOSFFIOLONXI
Z1V
PINE AC) AP coniuoatarum sectionu
curique diamerri, proportionalirer divila:
AC quidem in D e B, VE A F secta CA IH F, e C.
porancur aurem in veraque sectione,
perdivilionum puncta, ordinarim lince
LH, IFL, OP, MN:
Dico seomencum L CK, equari sc.
mencoOF P, _ HIC. laequari seomen.
EONFMM.
teistes
Demonstratio.
Bcolo AO, iunsancu AV, ST, qua bi
(unC crISIBALIS AC, M, AFO) id est ex hy-
Seomeca ioltur LC R. HlCIaequalia suncico
memis OE P, NIP. M. Quod tuic demostrandu.
Ar
DOliciSMT, OV, R P. N SPalatelS aly
Tariam lecentur in L a X, per diameerum
aquaL ee Z ama Cm, He at n fi
se C (quia ATZ, A V Y criangula aequalia
Pochch, c AC in D de B. GualC a seen-
Ld legmenco lCH a. Gudlc. Sed de sc.
SMENEO RZ V, aequale eAt OF P Fsexmen-
cum, a TZ S aquaK CHICBMEnCUM MF NI.
eng. huins
d
e te  i et ti u  Mes tit pet ea e  ee ae tat et  ute e ete a pete tt e  et e   i t t   t te t   at t     t        

## Folio 594 — 1815201908:0651
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000651.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
AXPERBOL A
ROPOSITIO CZXV
NTeF alyMPEOTOS AD, A C
Lcur quaenis dux parres rerminata rectis DF, P CB a sII, LC, qua
aequiamtene alymproco AB. sic aurem Cuperticies D F Ql C
Turabitis plano HIC. K:
Dicoluperhciem D F. OP e
ries concinere supersiciem LL LC , 4u
nsticuta sic tixperbola; ex qua assuman-
ciesratio linex DF. ad P CSlationem HIL ad R C.
sicbi
e
Voniam commensuraponuntur quancirares DP OB, HTIC K, Cam in-
2sdecimi. Lcer serationem continene, aquam numerus ad numerum: Sicisicur DL O P ad
B2sB. hu. Quancicatem IYTC K ve quacuor ad inum. Finneque de HII ad RC, sIC F. D ad
FC. Toirur segmencum FIICK scgmenco b DBOF est xqualc. Factaicecumta-
cione FG, ad LMI, de L M ad NO cadem, cum ratione DF ad F C, criine
sCgmenta POML, C MOWincer s0 xequalia, ee singula aequalia segmentOD R C P.
hoc cA HICK segmenco. Porrn cum luperticies D P. O P ponacur quadrupla su-
perticies HITCR, crie quaneItaS NOO P quarea pars quanticaris D F O P. pro.
indeque NOOP seomento HIIC est sequales isitur est NO ad P 9, ve linea
TII ad R C. eHt aurem rario D P ad P Y, compohies ex mulciplicacione racionis
DE ad F C. hoc CA HI ad KC, de exrarione P G ad LM, hoc est HII adK C.
de racione L. M ad NO, hoc cA HI ad R C, e candem exrarione NOad P.
Igitur rario DF. ad PO, composira eA ex rarione D R, 2d F C, quadruplicata,
sed etiam quadrupla ponicur quantieas D P. O P scemenci HIC K. ipicur cories
mulciplicarracionem HII ad CR. racio DF. ad P, quocies contince luperticies
DF9. Supertciem FIIC. Quod Fuir demonstrandum.
eROPOSITIO CXXMI
1
VInE AB; CD, E F, parallela asyMpEotO HTC hyperbOLZ ACF, et
supertcies ABD C incommenturabilis CDF F; quantitas aurem
ExId. CB L, Guolles porest, Tublara a luperticie s ABD C cermineturin lin
int.
sims.
nea R L:
t 1
quories luperticies K L. DC conriner planum C DF. L.
Loraiodem K Lad C B coltespe alonem C d , +.
Demoi.
a eeac e esarre ero oeoaer  eaisee e

## Folio 595 — 1815201908:0652
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000652.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
N.
ad
2.
AE
E Z P F LBO L
Demonstratio.
Voniam suPEFfCIES CD F F. ZII
Lquocies lublaca à quantirace
ABDC terminacur in RL. isieur
RI DC eA ASUTA CDFF. COm
menlurabilis; Guare per praecedence
provolicionem racio RL ad CD, t0-
ciesnulciplicacrationem CD adF F,
quocies superticies RI DC, conri-
e
nec quancirarem CD F F. Duod demOnATATE OPOETUIE.
P R OPOSITIO CLXV
Idempotiris, diuila sic superficies D L, pet patunet amproco, bi
ltariam in IM, _ pars DI bitariam peF FCCCaM HNO, d IACIM COHEI
nuccur donec DN sic minorquanticas superticic ABL. K; d auteraeHt
OP LK planum aequale D N a quanticare ABL R.
Dico iterum quantitacem OPDC codes cere quancitarem
CDFE, quociesrario OP ad C D mulciplicat rarionem CD ad L F.
Demonstratio.
Vocan D supertcies per
Llubdivitione quancitaris CF.
in aequales partes, Orta Cs; superH-
cies DH. commensurabilis cAt
quancicaciCF: Igitur _ P K quan-
ticas, aequalis DN, a commensu- X.
EAE QUanCITATeM CF. SCd FC CX
typochesi commenturae planum
KL. CD, adeoque et cocum P Q CD: Commensurabile
et OD: Ouarecories mulciplicar ratio linea P ad lineam CD, rationem CD
ad F F, b quociesplanum O P DC, concinerplanum C f. Ouod ctae deoncan.. 
dum.
PR OP OSIFIO CXXVIII.
quaecunque superticies D F G F
Parallelis alymproto AB com
prehenta, incommensurabilis
quancirari FGC. H]:
in partes aequales superticiet
FCCHI, veria aliquocies commeutas parcon upe
sinquar in ex reliduum, qualibet daca quanricare minus.
AIcI
E(. 3515
Demonstratio.
Inc AB, BC aMIPTOE 
nperbo t ce portatur
Dico cories posse subdividi
AFX I2. dc.
HCNSCF
cories in aquales parces polle diuidi, ve illarum rna commenturans parcem aliqua
Iupex.
lequatasca Gua CRSH K. Oporcet demonstrare, planum FOC. HI
  a pi sp  a e.   ite  ti uit  t t  u ut te e t t a i   te     t   et  t.  te    e  ea  A  A       t  t  

## Folio 596 — 1815201908:0653
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000653.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
FI X PER B O L A.
supertciei DE O F, relinguar in ea
reliduum, minus daca Guancitare R.
Iubdinidacur in eguales parces pla-
nUm FGCFT per primam deci-
mis EocieS, VE FOL. I rclidua PaES,
minot GE quanticare R; eric illa pla.
nO FC FIC (reparec ex lubdinilio
ne per parres aquales Facta) com.
menfurabilis; planum igieur FOLI
quocies porest, auferacur ex plano
DE F C: Dicorclduum quancicatis
XEL IL. de. _ quid L C L. L commenturat quMateIM FCHC, (ve ex ciusdem subdivisione in
iussc daco K; erga quantitas FO P. I(gus minor est quancicasC K) icerum exresiduo
plani DF LC auterri poreric: ergo facta non est sublario; quories teri poruit; quod
rurlum contra suppolicum est. Reliduum ixicur it plano D P. P. C. relictum, minus est
quancitate K: quod erat demonstrandum.
lele almproco. Pratoaurem DF. G F incommensurabile sic planum
L C, C II.
quories suanctasLCL, concinee quanticarem F C, C. II.
Demonstratio.
P enim ica non licsigicurracio D R
ad FG, Caepius musciplicac ratio.
nem E C ad FTC, qua. D E FO
planum, conrinet planum FG HC,
vel contra: Siprimum, ponaturra
cio IK ad F C, cocies mulciplicans
eationem FO ad HI C, quories pla-
FnuMm DE PC concinec planum
F GFTC: minor ergo clt TAIo lR ad F C, b quam D E ad F C7; adeoque _ TK MI.
nOr D F. VIcerius dinidatur per aequales parres planum F G TI C, VE pars CiuSFLOM
Ce+ L.do. Plano Li Ci FY C commenlurabilis, cminor sE paree DEK I: cum FME ablacR ex
DE IR quocies porest, relinquaEParTEM D NOB: qua minor cA PAFECDF RI
adeoque NO linea cadicincer DB, IK: si enim D F. NO non minoc (E DBK l
sed illi aequalis, vel illamaior; Pocerit ex D E NO icerum auferri FOT P planum
quod minus est DF LK explano D F FC quod est contra suppostum. minorigi
cux eA quancitaS D F. NV O, Quancicare D E PK, et NVO lines eM inter DB, IK.
igicur rario NO ad F C maior est racione dFK ad F C. ac proinde rario NO ad
FC, magis mulciplicatrationem F C ad HI C, quam camdem mulciplicot racio
TR ad F C: gua VeM GcaeCa COMMMS est mensura planOruI FGHC.
i. NOF C. Commenturabilia Cune plana cFCFIC, adeoque cories inctciplicat racie
VO Le latoeM C ad HIC; quocies planum NOFC concinec planum
_ plg D EFC tories concinet planum FC FIC, quocies raric
ad F e uilciplicac rarionem FC ad TIC; Expius igicur planum NOF Ci COn
nec platuire F C. HC, quam D F. F. C. idem F C HC concinear. quod hieri nom po
celt
comi.
DE F C, plano K minus esse: S non, lsicue Fesiduum vel aequale; vel maius cst pla-
n0 K. H a quale; et O LL quanas commenturabilis est quancieati DL FG.
conttrucione Facta coneat, paeus  DF. F. C commensurabile a est plano
FOFIC: quod est concra liypochesim. lam vero reliduum ex D E C P relictum; ma-
PROPOSITIO CXXIX
VInE AB, BC alympeoci hyperbole DFHI, _ DF, FC, FIC paral.
Dicorationem DE. ad FC, cories muleiplicare rationem PC, 2d LIC,
deet ele
menra.
id.
stis
t 12113141151614719193012233133343336

## Folio 597 — 1815201908:0654
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000654.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
Ple
dec
Palo,
ines
TeY
Dm
ais est
UI
ATY P ERBOL A.
rest cum D E F C quantieas maior ostenCa sic quancicare NY O F Ct: Igitur ratio D 
ad FC, non masismulciplicacrationem FC+ adFIC, quam planum B LL ( COn-
einec planum FOII C. Eadem plane racione octendicur, planum D L LC non la
pius concinere planum FOHIC, quam rario DE ad LC, mulciplicat rationem
EC ad FIC. Planum iBieur DB F C coces contiec planum FGFTC, quories ra-
tio DF. ad F Cn mulciplicarrationem F C dd HL C. Ouod crac demonstrandum.
PROPOSITIO CXAL
il de alspcoccas pclbolae de Ponalicut pacallela alympio.
e, CM aletentes legehta aequalia HE, IF.
C, LC
oao D TE LF, LC,MC elle in conrinur analo51a.
Demonstralio.
Acio enim DHI ad TE, cories mulciplicac rationem YE ad MC, quories Tu.
Simulucer rario lE ad MC, ocennu ene chplicata lacionis RL ad MC3 Igieur
.nt
perhcies HIF. concinetur in luperticie PC. Sed superficies ITF cA quarta pars, 
125. e9
verbi cauta, plani ITC isicur rario LTD ad M C quadruplicaca est rarionis IFD ad IF.
racio TID ad IR, cl Cane C Tactone lF. ae RP. LBdCM PaCIO SCMOHHTA.
cur, rationem IP ad R Fis osse caem cum latone RF aa L 6. d l C adNC
etur concinuant eandem rarionem lincae lD. Len lb LCMC. Quodtuicde.
LLOOdICI aLaI
onttranducu.
Inea ABC. ica diullat  ff retatio AB ad A uu
plicara licrationis eius, quantabet AC dd AB; a AC ad AV.
duplicata rarionis AD ad l  a pICata AL ad AL,
ita deincepsin infinitum.
Oporreachuusp   GtatE.
2c
onstrt
ee10122213L4 15 16 27 1010 30 213L3324250

## Folio 598 — 1815201908:0655
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000655.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
AIY P F R BO L Ao
Constructioes demonstratio.
FTaE A C cerria proporrionalis, ad duas primas AB, AC. Dieo C. pundum esse
quod postulatur. Frisa ex s normalis ATI, delcribacurque hyperbola IRL,
cuius asympeori sInE A FI, A C: de AHI quidem xquidistances ponaneur ex punctis
7+. huins. B, C, D, Fn Fig Cr. Ve AB ad AC, a sCRC est ad IB; _ FD ad RC, vE AC
ad AD: Sedracio AB ad A C, auplicara est racionis A C ad AD; igicur _ Fa-
eio RC ad TB, duplicaca eA rariOMS ID ad RC. Similiter ratio MF. ad L D,
duplicaca est rationis NF ad HL, dec. Sed planum BK corles concinec planum
CLbquociesratio IB ad KC, mulciplicacrationem R C ad T. D. Duplum isi-
cur est planum BK, plani CP. limilicer CF planum duplum est DM, e hoc
c78. hu. duplum plani F. N, _c. Progleto isicur hlc est planorum in proporcione dupla.
Ouia vero AB, AC, AC lunc proporcionales, crunE C XO C, KC, IB con
cinux: ergo cumraris B L ae  duplicaca sicracionis BT, ad CK, planum 10
duplum est a plani BK, quod elac primum in Perio planorum proporcionis duplxs
 85. De Aequi cocaleriesmasemmum prepbrcionis duplxc dupla est prime magnicudi-
nis. Ergo planum TG aquacut cortleriei planorum BK, CL, D ME _C. hOC CATeF-
minus progressionis planorum est linea OC. Ouare et seriei linearum AB, AC,
AD, _C. in proportione ante posira continuaex que proeressionem planorum sem
per comitatur, cermihus est C. Exhibuimus isitur, ec. Quod erac taciendumn
PROPOSITIO CXXXIL
DOnatur icerum ratio BC ad BD, duplicata BD ad BF; _ racio
5.
Constructio eS demonstratio, ilqu
futac BL CerEia ProPOrtiOnalis de
BD, BC. Dico L cerminum
esequae sicum. Frecta ex B normali
ad B C, delcribatur txperbola
GFTT, cuius alympeocilinc AB; BC.
ec AB quidem aequidictances P0.
mancor Cer, DHI;LL, ER, LM. V
BC ad BD; EAC HTD est ad G C,
ae LL de AD, ee BD ad BF. lc
broprestior
B129. h1
Ius.
iasu
du
BD ad BF duplicaca rarionis BF ad BF, _C.
r31
Tacto BC ad BD. duplicaca clera
Oporreae terminum putus proerestionis extibere.
er cado. cionis BD adt BF, racio ixirur HID S ad C C duplicara quoque est racionis 1 1
l
  eC S a S C E B0 10 2022a Ea 25 3C et 120

## Folio 599 — 1815201908:0656
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000656.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
n este
IXL.
inet
AC
X rd.
Inun
2igi
ho
ip
Co
ud
Eret.
ACI
HY P F
ad FTD. Similitet racio IE ad FFD
duplicaca eA racionis K Y adIF, EC.
sed planum EIC cories continec pla-
num FIF, 2quocies racio HD, ad
CC mulciplieat rationem IF ad
EIDi duplum isicur est IIC planum,
plani TIF. Similicer ostendecur pla-
num EIF duplum esc plani IF, C.
Duare proerectio hic est planorum
in proporrione dupla. Duia vere
CAplani EIC; planum isirur dM C xquale est cori seriei planorum HIC, ID, KB, c 129. hu
XC. hoc est linea I. M cerminus est prosressionis planorum. Cum ixicur proexestio ius.
lincarum BC, BD, BP, eC. iuxta proportiones ance policas concinuata, progres. d8s. D
rogressionin
sionem planorum perpecuo conicetur, eius quoque cerminus erie punctum L. F2- bus-
aum isicur eA quod peccbarur.
PR ODOSITIO CXXXI
BE BD, BC, adc095 b _ C C; H D, NF, proporcionales sunc, planum cNI C duplum B38. hin-
t a  GpCata Cattomo D ad C. Tacto uoque B ad C.
ac, cl. Guantus naepiostemo Concudeent in intinuum, non ve-
niecur cameti ad mggnicudinem daca minorem, vei in libro progcestio-
humpropot. conringese demontsuimus in eiusdem rationis conci-
nuarione.
que in cali prosrestione dari
Postune.
deinde aucatur LM dip
eo aequidistans d Iltalis ipli A
gancut aen , 1, ael. Pacancra apiolo al. nMad ee
eha
cur planun R. age  C Plaoa L, N, FS, ac. letret M PCoPOrb.; 85. Depro
duplicararationis C, ad D, vei de rario C ad D, duplicara rarionis
Oporreac erso exhibere lineam, quae sic minimaomniumlingarum
tic dC
Constructio es de
ostra
Onstimmaneur III, TTK a-
symprorihyperboleLNFK
1
1I1D. B3. F OE C
hacqueve A ad B: Ita YY D ad HM. d BE B ad E. Eta HO ad HEB, _ C. eri
ATO ad HIM; hoc est ex contr. ve A ad B. _ NO ad PG. vEFT OdFFO, hocin
est ve B ad C, e sic deinceps. Fiac denue de m a na 11aAK. ∞
CrITAEUE R R parallela alymproco _ mmmam esse lineam, quae le-
Bic. CaII Cm Lacio L. M ad O. depacc ex discursu duarum pexcedertuau au-
plicaca MtaiOS NO de L L. Plane. LOdupium etre pran Nes: Mmme d Les. 
atile acca ca plach 8i d 0 de caccris. lgicul iaperhelerum L.
riem dupicala tactons L.Mm a 10, a 2ad . e sic in intinicumea
Od dSc. leriesprocedicin racione alpla. qua vero HM. HlOHR, Sadcoque ins.
e sel. B..M luncprovorcionales, planum L. R duplum est plani L. O. igi- n 129. B
ne dupla concinuatae: erso R K erir Kcerminus prosreMonis linearum L MI, N O, pressionibus
P DC. Sed lincx L M, N O, LNuC. Mm LGlCS HIMCI A, B, C _ CC. C_ 1I. KEX125. a
es. sconto
nex LM, NO, PO. _cC. GvcsinciS A, B, C. D supra proporcionaleS, et PrImAL M bu.
agguo lcfectia L   Ca Mcura Ahcarum R. B. C, dec. linc cerminae
serieat. dupticalae racionis A, aet B. B ad C. in infinicum consnunca, txtibur nus
Bicur, C. Duod LASETE OPOrtEBAE.
1 115
388
a

## Folio 600 — 1815201908:0657
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000657.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
e
e
ciizan ZsilicesE
Constructio e demonstratio.
Neer AB, AC media ponacur A P,
hancque concinua, AP, AC, A C7, dico
E terminum esse quaesicum. Fiane AFI
AB, asymproci hyperbolx LR L, _ eri.
Bantur BL, C. K, DF, _C. parallela aCym-
Proco: Duoniam AB, AC, AD, AF ra.
cionem concinuane proporcionis criplica.
tX, rectae quoque LB, R CL D, M FEn _C,
proportionem concinuant racionis cripli-
Cata. Vndeb planum TC, eriplum elt pla-
ni KD: de illud rursum eriplum plani L. P,
_ lic inicaereris procedendo habecur progressio planorum in racione eripla: quia ve
roi AB, AP, AC proporcionales lunt, ec ipsis A P, A C, cercia proporcionalis est ad.
iecta A C ConcinuabanC A B, AP, AC, A C rationem candem: _ S ex P crisatue
parallela asymptoco, BLPO, CR. OG, CrunE ipAS AB, AP, AC, AG proPOr.
tionales, ac proinde in racione concinua. Ergo rario IB adOC, est lelquialcerara
tionis FB, ad K C, 00lenlu quoin definitione r0. e rr libris. elem proporciones di-
cuntur duplicara, criplicata, ecc. Ergo planum IC selquialcerum est plani TC, Sed
toca prooressio planorum TC, RD, L F, _c. sese muruo in proportione eripla exce
c86. depro deneium sesquialcera c est primiplani TC. erpo planum IG aguacuF cocI prOOTCMO-
pressionibus. ni planorum LB, RD, L. F, _c. ac proinde linca OC cerminae prosrectionem pla-
norum. Aequi progressionem planorum perpecuo comitarur progeellio racionis eri
plicaca, AB ad AC, AC ad AD, Xc. ergo haec quoque cerminatur in C. Extri.
buimus ergo, dc. Ouod erar faciendum.
102aS is
PROPOSITIO CZXRV.L anii
eiab
A 5G) E. LLWB  :B EsBSINCUL S. ∞.
DOnacurrario AB, adt R C, quadruplicata rarionis AC, ad AD; ratio
rurem, AC 3d, AD, quadruplicaca rationis AD ad A F. X SIC COn
lequenter, huius vero progectsionis tinis siuc cerminus sic punctum F.
ationem AB, adL C tore criplicaram eius, quam habet A C, ed
C
e b  Demonstratio.
9 399511 91C)
13 ce111.
i
11C L.lquii
15tee1S.leE.
2 c
I1
13
112 CC. HE3. 3id
iRecta ad A F normali AO, incec
yipeocos AF, AO. brperbola
deseribatur CHK,  ex B, C, D, F
_C, duCanCuE BC, CK, DF, etc. 2
quidittancesalymproco A O. ve AB ad
AC, hCKC, 2d C B; _ L. D ad RC BE
C al AD, quadruplicaca cs iBiclE
H Z D E R BOL A.
eROPOSITIO CXKXLMMIS
Oporccathuius progrestioniscerminum assienare.
VTEratio AB ad AC, criplicata rarionis A C ad A D, ee rario AC
ad AD criplicararationis AD ad A F, 8Ec. 15.
rectatri AF
A1.  32 (5 133CS C Cit  B. C)
ESFIIL IILB MMEMLEMM SE A CDIES ad L COr.
1n
3Z XF. Rficorna2
l 1C   7 . et c
Vnde, _ CC planum quadrupium est Pr  D. Mmmicer ostendicue planum
Eo
1
111F. 2C. CIV
racio CB al HC, TatOMIS RC du
L D quadruplum cMleplani L. L. de lic de cxetetidi Proereto ivicur suc est planrorum

## Folio 601 — 1815201908:0658
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000658.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
plie
a dC
ripsi
H
bi
id
SE
Ext
Et Y P E R B O Y
601
in ratione quadrupla: quia vero F cerminus est prosressionis A B ad AC, _C. procC.
denciuMMTacone GHAaBIICaLLC Wguogdecems e proseion pluton
in ratione guadrupla, ex GF planum coriseriei aequale: vnde C: C planu, (I 1C pFI -
musseriei cerminus ad religuum R F eA ve cera adrnu. Nam vel pacec ex construct. 2.
propol. 80. de prooressionibus, primus cerminus seriei magnirudinum in ratione qua
drupla, eAt ad reliquam seriem veprimi cermini qui est A, e lecundi qui cA I, a
rencia, ad secundum terminum, hoc es ve z adr. eroo arario R C ad CFB criplica. 2 ENcon
ca raciohis est NF an C, sa est AB ad. AC, criplicacam habcE LatlOI LC al huus.
_. F. Duoderac demonstrandums
Scholion.
Qniene Lector, ex hac vltima propositione clare perspectum hades, Quo lendebant praeceden.
res propositiones, scilicet ut aliquaratio posset inveniri etiam per stones ex hyper-
bolas exhibendi anas medias proportionales inter duas a (signatas quantitates; quod profecto
successisset, hanc alrimam propositione problematico more proponere soluere aeque feliciter
licuisset atque priores resoluiae ac demonstrata sunt. Certe prima fronte remintuenti, facilior
lonce videri posset ratio exhibendi terminum proeressionis quadruplicatae rationis, quam tri-
plicatae vel saltem non minus facilis ac racionis duplicatae terminum eometu inuenimus.
lonce tamen aliter rem curiosius incuenei apparet; interim viam aliquo  uimusribii
Et. scilubet, viteriore conatu eo pervenire studeas, quo nobis pondum licur.
eR OBOSITLO
2=
11.
Ociris alympeoris AB, BC, AY BCIDOI DL eibuluIs I E FC
alympeoco paralens; Aac IlCMeatamer L, LC. DeindeIKme-
dia incer HC, L C. Sennque L. M licaa Piopoenanst ; H1O:
e NO media incer L. M, IlE ex lacPe al. alea ae protet.
Sionis huius terminus ponatur P O. iuvvV
1101
mDico PO Forername duabus mediisincer Destl.
Demonstratio.
) Vomam DF, FG, FC cune
Eut platioCCa qua 1+6, LR.
C, eciam lunc in concinua, Plantunt
HIC duplum est plani ILR. 1SICM
planum D C duplum es plani HR.
sed quia FIG, LMI, TR IOHCMACOI-
cinua, planum FK duplum cst pla-
ni HIM. ergo planum Des Guacu
plum cA plani FTMI. Ergo proerento
Planor DCHM. 80. Proceate in laciolie quadrupla quae cerminatur in l.
SECIHO PTAHOTHI F K, LO, AC. LIIIIITEE PEOCEAIEI FaTIOIe GUAMMPTACCTMIatuE
Plau LH. Ica, Verehabe umm nmmum proscessonum. cerm, plana, Heme
DerLR. alenabem d cosetonestola, oc cplata .atCem eo ve
Diatum Des duptum e pa LR. cist a plaum Des alpium plahit. f. (. C188 sression
racio DF ad PO; duplicaca eA rarionis PO. ad. F C. c180. L CH Md. 6, 9114045
medijsinter D e FC). Quod erac demonstrandum.
88E
Lconinux, planum DG D aequa-
19. hit
Deinde quoniain FTG, LR. F. C sunc in continua; plana FR, TC X. quantur: Ccd;
GHIaHB.LMi LKluncin concinua, planum IC duplum cst plani IM. ergo pla-
huM FK aopIu CMBIAM TMT. led quia P M. NO. TK Cunc in concinua, planum
Lus adplum est plani l0. ergo planum FK quadruplum est plani I0. Frgo pro-
uremn S. Lat veco Guoam (Deapia ocendimus) planum D C+ Zguaeur bld-
HO ELC; d planum TIC duplum est plani fi K, eric quoqueplanim DC dupiaul
oouoeotsMatoa1019

## Folio 602 — 1815201908:0659
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000659.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
ATY P ER BOL A.
PROEOSIFIO CXZZVI
Acer duas dacas quoclibet medias proporrionals dele Coce.
Constructio es demonstratio.
TIN, IO, RP, PO esse QuattOr que requiruneur. Osendimus
cructione, rario F C ad MI F. quincapcala estracionis F. C ad FTN. isiEuEHIN, IO.
PK. L. Q Cunc quari Ca et asitata L C, M P. Ouod cracpraestandum.
AAtOSTEIOBALXVIII
Tirculo AB Crectangulu e DC Dinscribatur a sumprilque rectis
AB, B C inalzmprocos, pet M eoldem describatur hyperbola
F. D occurrens circuloHenuo in F, ex quo demitrantur rectae F. IL, FF
no. hr
BI29. BM
alsumpea hyperbola cuius atympeot C, C. E ponacur C F aequalis A et xquidi
sans CD; ee hac ve B ad A, ica C C 2d C P; _ crigatur P M aequidistansFO
que parces aequales in FI, I, K, L. _ ACMIETANEUE IIN, IO, KP, L. 9 Parallela
asymproco: dico
ergo cum FC Mquancicas concana, ala lic in quinque parces aquales cciam quan-
cITAS E GFMI per parallelaS FTN, TO, RL, TO in cocidem parces aequales, divila
eies b quancicas F CFF. M continet quanaem F CENTFI, hoc est quinguies ex con-
Ine A, B dux dacXe: oporceat inter illas quaruor medias proportionales assignares
e ductis C F. CM: divila ponacur quantitas FCM, concaux lyperbola, in quin-
quancicates LCFI, IICL, eec. 2 xequales ese quanciracibus FONTI, NFIIO, dec
eric: ereocum rario LC ad MF, toriesmulciplicer rationem F C ad FTN, quo-
huius.
d EX 73:
161s.
CCorot. 1).
alymprocis aguldictances.
Dicobe,  aldo CeeMa B, BC.
Lobtbnstatet
Depuncta F e D agacur rect
ITLC Ponacurque BB: erir
igicur IF, cae qualis Id C: , H K
aqualis L C ALB, LG
triangula HIRB, D C, Cd aequalia
sincincer (e, de similia; quia vero
circulo AB C inleriprum cA re.
ctangulum AD C, Cndemverique
Ex ila-
heneis.
tEx cto.
mense
cerit diameter; quare angulus BE. D, adeoque _ angulus FIF B rectus est: quare
eum FK aquidister AD laceri rect ansH AD CD, recta FK normalis cA ad
HIB: Vndeeres sunt in concinua analogia LL IB, K F, K B: scd HI K R quAEUE AB, &
RF aqualis est B Fs vei _ R B ipsi L L, iEIC AB, BF, FF proporcionales, sune
deinde cum rectansvlo AP C. B a ute  ulum R F, F; NE A B ad B P, iea est
iF ad
a e a pat u te u t ee t u te e t te ta e ta et tet t  et at  t e t a   ti  ite d e  e te te ut et it t tit  a t   t e      ste   dib

## Folio 603 — 1815201908:0660
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000660.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
atei
di
5
ain.
ela
nuS
_c.
ita
10.
1.
A Y PE RBOL A.
F L ad BC; isicur quacuor linea AB, VL, L P, DC mM Concinua analogia, ac
607
proinde DLumeael 2BBC. aouus deatcu
P R OPOSITTO CXXXIR.
DOnANEUF AB, BC, _ AB, L ap ccatu COOTM
GHI, IKL aqualium _ MIMMAI BC COMMIUCE; HDEaBC;
sine parattetx inrer se: duclcur aulem L. C parallela DB.
Dicoparaltete can e asuapacum arum duabus hyper-
bolis IK L, HIN F comprehensum.
Demonstratio.
luidacur BC bitariam, recta S F, parallela C F occlirrence Hyperbolis  K
X C. veligicur spacium RG FI L, duabus hyperbolis incercepeum; matus bet
minus est dimidio corius spatii, duabus incercepci hyperbolis; vet IIII a quale: Rminus
vel aguale; polra REalcera R C ParaIlela CL, VEK C: T FL (paccaar i Musidio
coriusspacii hyperbolis comprehensi, occutrarque CK rectis DF, BC in S L L.
eritisitur FC maior qua B P, ex T F. parallelosrammis maius dimidio corius paral.
seloprammi B P. quia vero hyperbolae dux aequales sunt, de similes, habentque
alimproron communem AB, IpAEIUM RSP F, aquacur O TTIC spacio, addicoq;
communi (HISR Paralleloorammo Y S F. C aequale est spacium R P CiFT. Simi-
licer B T linea bitariam divila in P, Bonacur P M aegnidistans A B. idicur lpacium
MNK O. vel minus auc maius est dimidio residui spacis R C F L, _c. producti, elil-
liae qualo. sxquale aue minus, posica Sc, ve ance, quaedam MNP vt spatium MLC
maius sic dimidio relidui K C: F L producti: erir igicur, re prius ostensum est, palium
MNVO K aquale; parallelogrammo PS, quod maius quoque cllamiato Patatte-
Brammi BS: qua operatio cum sine cermino concinuari possic, ica vrablaCA Cx Pa -
rallelogrammo B B, maiora sint illius dimidio e aegualla ablacis ex spacio duabus
hyporbolisincercepro quae maiora quoque lunc dimidio ciuldlem spacis, ConstaE EOCII
uclum duabus incerceprum hyperbolis, aparallelogrammo B L. CC ascale. I rel proeressioni
aqua a relidu du u pituo Cactns e oat
16. v
Pato lbe Th aequalis lic dimidio cociusipalisi peloots eteae pasm ous

## Folio 604 — 1815201908:0661
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000661.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
araboia
504
abola.
124D
22 2 12
yperbolam expenait a parabola intersectam.
incasymproti AB, BC, H) PCOIX DE, continences anculum re-
DicoF. C, ad DO rarionem duplicaram obcinere illius, quam haber
Demonstratio.
Voniam BC axis PONIEE PAFX
Lbole BDF, _D C, F C ad cum
dem lunt normales, repoce AB(PCF-
pendiculari ad BC) aequidictantes,
racio BC,adB C 2 duplicaca cA cius,
quam habet DC ad FC: scdveBC
ad BC, bsicP C cAad D C, dupli-
caca estigicurrario F. C ad D C, Fa-
k OPOStL1O CXL.
Dctum: parabola vero describatur BDF, cuius axis BC, OcCUTrenS
DO ad fC.
b74. loutad.
ExI. de
hyperbolae in D: PONANCuTG; DO, F C parallela alYMPEOTO AB.
tionis DC ad F C. Ouod Fuic demonstrandum.
LLOOSEEIO LKLI
InE ACHOLLB, DC AIMPIOE B PCtBOIE D HIECCLII anguum
concinences; descripea aucem varabola BDF, habence B C axem:
Ponantur L. F, C C. parallelae alymptoro AB.
Dico rationem IC ad HF; esse duplicaram eius, quam habet EF
246C.
 et Al er
ByA huiue.
Duodtucmonstrandum
Demonsratio.
menim ausutao aB cEc
guidiltantes, normales luncadaxem
sie, linea FF,  C ipA AB X.
BC vaderatio B C ad B F, c dupli
caca clE racionis OC ad HF. Scd
racio BC ad BL. cadem elt cum
sratione FFT ad TC: isieve rario
F. F; ac proinde rario IC ad FTF, du-
plicara eius, quam habet P F ad6C.
HIF ad TC, duplicata est C C ad
i
PR C

## Folio 605 — 1815201908:0662
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000662.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
1re.
rent
B
abet
cum.
Per.
rcesi
eius.
6
pli
ra
AIYP ER B O L A.
eROPOSITIO CXLII
IIdem policis per punctura intersectionis D, as AIE DF, asymptoro
aquidiltans; occurrens CiC lincamt.
Dicoracionem C6 adC F, e paa LalbSC F2dC L.
Demonsratio.
DOnatur D
est eius
calleloBraMUm AE. iBicuT CC ad C. F, racio dupCua e rationis C. L ad C F. menih.
ADPOSITIO
XL. 1LI.
605
ECiratio BH ad BC, id el GC act DH . dupllea. 3 Dopa
Cad P. C, est aurem DFT b equalis FC; cum HIF Pa, bE
Eperbolam incer alympeoros AB, BC. angulum rectum continen-
Lres secerparabola BD E in D, habens axem BC, policaq C F. X
quicultance AB, ducatur per D punctummcerloctionis, linca. DI pa-
ralleta BC Occurrens C F. in S. lungancurque , SB, quae hyperbolae
occurlane inF _ (7; Ponantur aurem linca DF, FC1.
Dico conuexa Seomenta DB elleincerlexqualia.
11403
1C
rart SupO
1erigi c31
ce et BliH
loc
103
demonstratio.
BnaneuE DM. FL, OK Equidistantes AB; et BK quidem recta B R oCCUF. C 35. D
Fac in I: cruncisitur proporcionales continuxes QC, CtK, S C, id est DMI. quare Prabola
e dBM. BR, BC, lincx, adeoque _ DMI, CFTK, F C camdem COnLIMUANE La- parabol
tionem. ed etiam FK, FTK, D C, Fsune proporcionales) D NCigitur B sequalis estRI, SEx ele
etY punctum communis incerlectio eAt lineari D S, BH, HIR; VndC CONFINUIX L luNE mencu
c77. huius
nconuera DF, LChaequalia lunc. Ouoderat demonttrandum; 
tThhh
t
eut
8. B
proportionales ETR, F L, L M ascmencatam concaua, DL LM, L L CL Ga 1107. B
ittoclta
PKO.
C106. has

## Folio 606 — 1815201908:0663
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000663.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
IIdem Poliris:
HIY PF R BO L A:
PRODOSITIO CXLIV.
DICOSESMENEA DMKG, CKCO esse a quasa
Demonstratio.
menim TK, DH linex ostenx sinc aequales, recta quoque R Y Xqualis est
. bu. SC, qua per constructionem aquatE DM: unde cum proporcionales sine
31o7. hu. QC, CK SC: camdlem quoque continuantrationem DC, C K, DM, adeoque
IESMENCAbDMCR, OKO C aequalia LunE.
PROPOSTTIO CXLV.
Adem Hgurd manentC, (i DF, FC segmenta fuerint aequalia, ee per
F e C ductaelinca BE, BS, e BF. quidem patabole occurrat in C,
Ponaturque F. C aequidistans AB:
107. ha-
Dico MDOK legmentum aequari SegmentOO K OC.
Demonstratio.
1t
Vontam seZMenEA CONVexA D F, E G aqualIA PONUnEUE, concaux quoguele
LOENtACDME L, FL CK aequalia lunE; vnde _C ereSANFD, EL, BK conti-
Excon. Hux sune proporcionales, sed _ IK, I L, C KC quoque lunt proporcionales; igieur
persa
us. XN BKL linex aequales lune de I punctum communis interlectio lincarum R B, DB
 huins. CK. GHarC CUM pEOPOTTIOnAleSFANE TR, FIR, F C; proportionales quoque sunE
+2 D. DML, IFK, F. C, id cs BMI, BR, BC, id Scst C9, GK, D AI. Seomenta igicur
hu hD MGK, CKOC aequalia sunc. quod erac demonttrandum. vnde pacet punctum
datub
Ex 143.
uIuS.
C107. ht.
us. 
Scommune csclineis SD, F. C, B S.
PROPOSTTIO CXLVI
Adem politâ ligura, ducta sic quacumque B P. occurrens parabola
Sin F, de hyperbola in F; PONANEUT AITeM FC, FL, DM xquidistan
TeS AB.
Dico scomentum F L. OC. criplum esle seomenti DMF L. 
113B ect
Demonstratio.
1
DOEica D S aquidittante BC, ducatur B S, occurrens hyperbole in C pundto.
per quod recta ponacur GK, occurrec) Illa rectis BF, D S in ino codemque
punCtO F: CFUIHEqUO DMI, FL, CH, irem DMI, CR, O C proportionales: quarese
Emenca DMIFL, F. L C. R,L vEI X DM CH OK 9 C aequasia sunc: adica igic
ub.
07. Bt-
a
 e e i se  e e e. pt ti  tu e e et  t   1e t  e  pet 1e 1 e      1    pt.     e t      t   t   1     

## Folio 607 — 1815201908:0664
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000664.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
a
3quo
De
It
AY P E AB OL A.
ad GK O C LETMENEUM, lEGMEnEO F L GR, PACCE F L. OC scgmeneum eriplum
esC leomenti DMF P. Ouod Fuic demonstrandum.
PROPOSITIO CXLVII
Adem ponantur quae prius: ductaque BH occutat spe
LtI: iungantur aucem D FI, III.
Dico segmenca conuexa DH, TIL esse aqualia.
Demonstratio.
Donacur HIP, aequidictans AB. cricigi-
cur perpraecedence legmentum HPFI
eriplum Cegmenci D MIIP. es aurem sc-
BIMENEUM a FCIR, aequale segmento
DMR BB IBICUIFIEOMENCUm DMR I, vn a
cu legmmento FLP R I, criplum est segmenri
DMHP.isicur IIPR Ilcomencum equalo
CA (ESMENEO DMKP: _ED R conuexum
xquale convexo KI.
Corollarium
CTInc sequitur: E D FI, FTI segmenea fuerincxqualia, d Pet HL L Cx BCenero
Lrectae eductae BFTK, BIF occurrences parabola u L a B, Punctis, C quibus
reCtE PONANEUE KI, EC, asymproco AB aequidistances e per D, recta ponacue
DOO parallela BC: quod BE, D 9, RL. lince in eodem sese decussenc puricto
O: vei F C, BF, DO in puncto 9. est converls peacedentis, ex qua demonstra-
ciomanitesta elt.
PROPOSITIO BLLVIII
Udent PolMesmenta AB, BC ooaDC Manpicto
rectum ansulum concinenres consticurae, aqualia fuerine, de ccenero
per B _ C PONanEuT DBF, DC F occurrences parabolxe in F de F, de-
MicEanEUTQ; FG, C. HI, AI; BK, CL alympeoro xequidictances:
Dico leGmenta MHC, AIHM, quadrupla esse Scomencorum AIR,
Demonstian.
111. 1 . 1. 11 1
lL
Laequalia, communes incerle.
Etiones linearum RFI, D F, icem
DMF C in eadem sunc cum A
puncto linca, b parallela DC
inde GP, MHL, AIC PTODOE-
eionales sunE _E d AIMH.
ALEP C sexmenca xequaliaiquod
crac demonstrandum.
607
Voniam AB, B C (CBMEnEA
Aihhh 2
t
A ti  ute ta et et   et    a s t t at  te ia te e este t ite  est e  ete tt u ut t e  pet  ee e e t so it   pi ete  s t i 

## Folio 608 — 1815201908:0665
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000665.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
nte.
B 142. suius
i
6C
AI Y PE R BOL 11
eROPOSITIO CALIS
Ecex parabolaDPE hyperbolamveprius, de per punctum incerlectio.
LniS D, agaEuT AD EI linca, Parallela alimproro B C: deinde quaeuis
recta portatur LK; parallela AB occurrei D HI lineae in II, hyperbo.
lae in F.
Demonstratio.
 Eecangulum TRFT adFIRF.
L compoticam habecaracionem
exratione IK ad TTKS X ex rA
tioHC R II ad R F. Icd raTIOHR
ad FR B duplicaca cA rationis
IK ad TIK. Igicur rectangulum
IKII ad TIKE, rectangulum.
compolicam habet racionem ex
licara rarione Il ad lR: ergo extriplicaca ratto.
eai
dTK ad IIK: sunc enim rectansula L.LL, e FIK F incer se relinca LR, et LK.
Dico LKH rectangulum ad rectangulum HIILF, criplicatam habere
rationem lius, quam haber linca LIX ac LL LE.
ratio
ne TK ad TIK. Ouod turc demonstrandum.
ad F.
Gorollarii
ie manifectum estrationem TK ad KF, esse criplicatam eius, quam habet
l
7l
PROPOSITIOCL
Eperbolam AB, incer asimprocos angulum rectum continences
punctum diameterponatur FIFL, Occurtens parabola inHI, ex quo de-
micracur IIC aequica LF hyperbola occurrens in B: per B autem
acta F B OCCUTAE PaLabOla in D. denique ex D parallela ad P. F, demir.
Dico lesmencum CK B C Guacteplum esse Scgmenti BOIM.
i
Demonstratio.
Donatur Tnx, Equidistans FP.
quoniam IIC, D X aequidistan
E L normalirer ad F C poG, linex
ITO, DK ordinarim Polca sunead
axem HK: vnde GB, GTL, RD in
cconcinua luntanalogia: suncaurem
e GB, IM FIC: proportioualesi la
cio igicur DK ad FTC, certiX ad
HIC ad TMI, id cA, TM a BC: quia cGB, TNI, HIC
politam, secer in A Parabola F AD, habens axem alympEOTON FC.
Cumatur aurem seomencum hyperbolicum quodcumque A I, e per L
EaTUF DI, _ DK hyperbolam secerin C.
EXI. de
unc continux: Sed racionis DR ad FTCi, auplicata quoque eAt FaTIO FF R ad FG.
parabola. id estS BC ad CK. ratioigitur BC ad CK, Quadruplicaca eAt rationis TMI ad BC
Buius.
tirag tov. WOal.
rogression
17Mth.
SEr44. 2deoque ex lexmenrum BC C. K, quadruplum eAt sesmenti IM B C. Quoderac de.
la

## Folio 609 — 1815201908:0666
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000666.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
sectio.
Uavio
derbe
labere
ione
ex 1
iOHR
d
em et
Talilo
qedie
ntet
6.
Der l
ide.
IIIIII
DArabola ABC.
Ke LFIO, CLI
Xis ADIlCC in Bhyperbolam F BF, CaI
HX P E R B O L. A.
605
inter A, _ B, in parabOla, pONANCuFDGF, F CH) parallelx asymptoris
IungancuIrqUe AL, AB, AA:, 12.P, 2it 5CrI(G1.
Dicomixcilincum E AB, duplum esse mixtilinei B AF.
alympeori AB, AHI angulum rectum conrineanc; ec alumpro C
Demonstratio.
smptoco AEL. cruncisiur (D, BL
ordinacim polica ad axem AD vade
Facio AD, ad AY 2 duplicaca est rario-
nis  al 23cl, F R ad. BI: ICd
emencum l. DBl adplu el ese
BIF K. est aurem P. AB d figura aequa-
Iis sesmento F DBI, l B AF, aequa-
lis BIFK segmento;  AB aupa C BAF. Ho. ABHC de.
monctrandum.
i
o Ca
nancurver D rectae FC, HIL, aequidistantes alymproris, et L. M, F. C ij(
DOnantux, BF. Ha aquidistances a-
eA vE AD ad b AL, EC BI ad F D: c2
tio isicur BI, ad P D duplicata cstra.
cionis FK ad BI; 2dcoque e c sc
Ses, ae parabola delcribarur BDF, (cuius aris BC) occurrens hyper-
CInc AB, BCasympeoti hyperbOlX P F. HI, atigulum tectum FormaH-
bolae in E, ee per assumprum punctum B in parabola, Encer B _ L; p0-
dent pacallele:
Ec
Dicomincilineum F.D F. duplum esse mixcilinei F. DHI.
Demonstralio.
Scentum est Fationem F C ad _G, esse dupculam Cdius, quatm habet R C Xd
DEtiocest MB ad F B, hocFCAHP ad F M. igicur duplum cAt scomen. er
tum E GC F; quancicaris TYL M F: sed libro ac parabola demonstracum est para-
bolXS parrem F D CC duplam esse F M I. B, igicur roliduum F. D B. duplum ost serir
reldui F.DFI. Ouodtuic demonstrandum.
Atht 3
Bar
a
e  e   t  e  p  e  a  stet  e t te e     t tat    t  p a et tet  e a ti e   t   t t   et  e     A 

## Folio 610 — 1815201908:0667
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000667.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
610
HY P ERBOL A.
PROPOSITTO CLITI
Illemposicis astumatur punctum D in parce parabola, quae concauz
ranc typerbola in YI d l. 
1et 33
n2 demonlanlum.
3id sirit beise 
Demonstratio.
BONAEUITPEF P LinCZ MEK ParaI-
leta BG. racio O F ad. C K, id
es CF, duplicaca est rarionis
F ad GD, id cAt, MIB ad BI.
destL HI ad M F. ergo duplum
est spacium F. COF, quancicaris
EM L FT. CA auceN DF CO, du
lum spacii DL ML, vec octendi–
siduum D E P duptum est relidui DHF: quod tuic
rEcerirerum, reprius, parabola BD P hyperbolam in D, de ex qui
Abuluis punctis E d K; in parabol2 asumpEIS, PONANEUF F A, LC,
L, IEMI asymproris aquidistances, secance sq. hyperbolam in F, C1, O, N.
Dico spacium E. D C ad H F. C. N eandem habererationem quam tra-
bec quanticas E. FD ad quancicarem KOF F.
Demonstratio.
St ehim per praecedenrem (p2.
eium F. D C: spacii F F D duplum
_E KDN spacii KODK: CrgC
ED C es ad rCGdUUm RR CTI, et
CAE F D ad FCLIAUUI R O F P: quod
erac demonstrandum.
AO+ SITIO CLV.
Lhyperbolx P HTF Coninetur, ducti (que ve ante DL, DO quX OcCur
Dico sparium D F. F duplum esse quancicatis HIED. a
rabc
b. 129. bu
musL
OSIF 1O CL IV. 1
Idem potls:
ddeoq. CMt lesmecu dpulesmenri L. I.
Dicorationem NM al _ apiicacum esserationis L. O ad FA,
Demonstratio.
174 muini ZYFNM ad OC, ECd BC 2d BM: sed BC ad BM, duplicacam C habCE rA
1. depara- eionem E C 2d KM; id est LLD al LD, IU CA LOL A: raciO iBIEUFNM
(74. huius. 2d C C duplicara est rationis L.  L A. quare _E S CML LEGMENEUM AuPIII M
bt
erigitu. sexmenri L. P. O voderac demonistrandum.
PR

## Folio 611 — 1815201908:0668
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000668.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
BI
endi
tuie
qui.
C
ta
II. II.
HY PF KBOCA
MucPROPOSTTIO CEVI
IIdem posicis; ducancur D FI, DF patallela alymptoris.
Dicosesmentum DHLCC, ad DI A F Segmentum, candem habere
racionem; quam  C. M N Ceomencum haber ad segmencum F A L. O.
Demonstratio.
Acio DC ad DEI aid EA BH ad BC, dupdcata est rationis b H B ad C F, a1a. huiui-
id est BIc ad B A, id est AF ad IDs legmencumiieur DHC C, ddupluim rabola
est sesmenti AF LV. sed in precedenei propositione ostensum est lexinentum e, + huins
GC AM duplum quoque esse sesmenti LOF A. vrigitur OCNM legencuin ac (d 12. hu-
Sesencum L. OFA, SIC DHICC segmencum eA ad segnictrum F ADI. Ouog
erat demonstrandums
P R OPOSITIO CNVI
Osiris denvo AB, B C alympTONShyPCt BOLE DCLI a Parabola;
veprius, occurrence hyperbola in B, ducantus FC, et Parallela
alrmproro AB acancestirperbolam in Hl. e 6.
11
Bicoracionem LIad FC, cories mulciblicare racionem D I dd EIS
quories superlicies CC mulciplex est superticiei D l.1
Demonstratio.
Atio HC, 2d C,F, id E cl.
Fad BC, dyplicaca est racionis
sF L, ad F C; ex racio C I ad D K
duplicaca est rarionis D K ad R I.
sicurquoriesmusciplicarrario HIC
2d CI, racionem CT ad DK. 10-
cies mulciplicae racio F I ad F C
racionem DK, 3d F Y: sed osten-
1
Cum estcories mulciplicare rarionem HIC ad G b, rarionem C F ad DR, squories BIg. hu-
mulciplex est fgura FII, figurx ID. Igirurrories mulaplicar rario F. I ad F C, 1d.
cionem DH ad F. I quories mulriplex est quantiras EL I, quancicaris LB. Quodtuse
depronsranaum.
1e 1SC. CNP et SB OHBM  eEgnO.
PROPOSIF
e
113 CSO 31Ct 
=2113DO ETC
InE AB, B C alympeori duarum hyperbolatum DEF, GHI, le-
actarum parabol2 BD G, in D _ C; cuius axis BC: e ducta BK;
qua occurrachyperbolis in F. ex HIp ponatur KC. parallela alyimpeoro
secars hypetholas in I, C. iunsancurque BD, BG, BI, BL.
Dico hxurami DBF ad F. B L camdem habererarionem, quam Rgu--
ta, GBFL ad HI B I, AOUFAMIS
aupoa cor. AC. l 1s. 23rii 1112.  Ben
3.11 1h EBOiONOTY~). BCLAEL. Lil
EsTC) FE.LEd iian eeir I
es p sscne: L et AR. P ACL, LE M . S.:  Y
J. F, 9125S 3IF IP. LE CANCNSI BISCMMOS
1e3ite esbaidit. CF. Ahsi D H cirioisur : S13 _3s iigsmI (e H  Br .s 3YF. WP cAT. L BE
DeMon
1
depa-
c7+ huius
bot
s s   e   e  t s o e  u  sa sr

## Folio 612 — 1815201908:0669
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000669.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
111II
ha-
TYPF R BO L
Demonstratio.
iccancur DM, EN, BP
HIO aequidictances AR. crie
o atl
ParSIcomeTiNE L C, _ GPHIO
bceccta paco lcsmena AOL
onde proporcionalia luncleomen
TA DMNE, NEL C, Ccemen
eDBF, F BL aGuales sunee segmencis
is OPTTO, TTOLC aequales sunc dfigura OBH
D
HIB L. manitectum ixirur est eandem esse raCOHCM HBUTX DBF 2d P. B L, quXe CA
Aguxx (BFI ad HIBI. Ouod tuic demonstrandum.
eROPOSITIOCLIX
Donancur denuo dux hyperbola inter ealdem asymprocos angulum
Lrecum constiruentes, de parabola ADC, habens axem AD occur
IX C F in B _ deIETaTUF FFIC:
Dico HG, ED, FG, CD quaruor else in continua analosid. 2 13C.
n tis
un
2a huiur
Demonstratio.
DExpropolcionem huius 77. Cotistat
TIOHD, FC camdem continuare
rarionem: Sed ve D R ad HG, ita cest
CA ad AD, hocFCADC dd FC
isicurbe HIO ad FD, id est FD ac
EiC+, ica eAt F G ad C D. iricur conti-
nuane eamdem rationem recta H
ED, FO, CD: quod tuie demonstran.
1it
E1L 34C1
rat F C. txperbola in puncto C, per quodagatur C D alympeoco paral
lcla, quae sectioni BE OCcurrat in E, iunetaque AF. occurrachyperbo.
p.HI Eu Sd 
Idem posicis que prius, ex puncto D,  quo paca Vola B C minorile.
curric, demictatur D IE parallela alymproco.
ctioni.
C. L. X.
EI, criplicacam habere rarionem eius quam habet HC
e
a
13 53GE
Demonstratio V LS.B L
11330O 5.1
erpraecedenrem in Continua TanE, 29G.
10gia L
iF. L, HTC, CL. Fario insyPCE
I ad D K, id es ∞ B L ad R B, duplicara
esthracionis D. R ad Co Tdiditur EL Mme
dIAPONAEUIEINCCF RL, DR; rectae quoque
B I, LM. DK, C:Tproporcionales sunei dua
igicur series sune continuara CP, IIC, F 1
C; IteM GTT, DR, T. NE, F. I: habencque
communem primam CL. quare rario FC
L R
ad TF. qllateae ad quarram iplCala elC Lattonl EC ad R D, secundx 2d secun.
dam.

## Folio 613 — 1815201908:0670
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000670.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
6
cercla
HO
DiC
men.
Mest.
lenris
a
lum
ecut.
arala
1b0.
ilta
Aare
est
6)
D ad
Onti.
H6
122
e.
6
eR O1OSIZ1O CLXI.
EF Y P E LBOL A.
Ectx AB, DC au MSMOS seccos le decullantes inseruiane tum
Lasympioris hyperbolx DP, Cu aAPALADOIX AVL, d eius concin-
centi in A, ducta denle AF per D e F; aganEUF DO; FH parallelae
alyMMpTOTO
Dicorationem F. C de Les, Mplcatam elle rarionis quam habet DO
ad FHI, sive F NL ad D N.
Demonstratio.
IScensum est r4b. Hetus sesemum LCFI triplum esse legmenci FIIDC
rationis FEL ad BC, id elt M A dd N A, Id CH HD alt MF.
isicur racio LC ad FFT, id eA A FI ad AC, Id eA FHI ad K C, criplicara est
St SECIO CLXII
DOnantur eadem quae in prxecedente: sed parabola AD F prem ha-
bcaclineam A B: ductaqe A E, demircancur FG, D HI parallela AB.
Dicorationem LCad D HI, esse duplicaram eius qua habet DHI ad F O.
Demonstratio.
A D ducacuF D F. K parallela A C. olLen-
rionis DE ad FC. Quod demonstrare oporruies
Losum eAprop. Plal. t d cpula
cam eseracionis D N ad BM, hoc eAt FCr
ad D FI. sed rario L N ae SM, eadem est
icum alione LC ad F Ci quia RC, MC
Parallelosaa Cate havet Maea-
lemi iscu Lacto L C da C, eAt criplicata
raciorns F C ad DH, acqueaded ratio
ad D El, quadeuplicata est ractos FC 2d DFI, est au
alto LO hoc eALC
ad DFI, duplicaca brationis AC ad AFI, id cA D HI ad TC; iGITUE _ FatIO DHL BEX 292
2d TC, duplicara est rationis F C ad D H; sivo rario TC ad D HI, duplieaca eAt rX L doparabola.
i
letea
Scho-

## Folio 614 — 1815201908:0671
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000671.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
1
624
parabola as
sunt allarura.
a24. Buit
1. a
rabola
1u5.
HZDERDOLA.
Scholion.
Dracedentibus proposirionibus quae pa-
rabolam habent admixtam secantem
hyperbolicam lineam, 2 sus sum ordinarie
asemptoris hyperbolarum quae angulum
rectum contineant; non quod propositio.
nes oniversales non sint, es excludi de-
beani aliae hyperbolae, quarum asymproti
contractiorem, aut diductiorem recto, an-
culum constituunt, sed hoc eo consilio fa-
ctum est. ut commodior ratio iniretur ex-
planandi ficuras es scemata, imo vi con-
structiones ac demonstrationes propositionum minus essent impedicae: facilius enim est axem
o accommodare quam aliam quamlibet diametrum, quae diversa semperre-
perbolam in F. _ L, ConaML MCL a(y mpEOTOS AB, AC conti-
nences angulum rectum, demirrancur aucem ex D puncto incerlectionis
parabolarum alyisploris aequidistantes DB, DC, E G, FIBL R.
Demonstratio.
St enim ratio CM ad FIF, a id est
LATTad A C duplicaca bFIF ad LR,
sive CD: quare sesmentum MCHF.
duplum est sCGMENCI FTP, R L PeF 129.
huius. Amilicer quia rario D C ad PC,
id eAtKEL ad FG,c duplicaTA CA AC
ad A C, id est d F C 2d C M: Cegmen.
cum RBOF duplum est segtend
nuni F, C TTF 5 XQUALIA MIHE SEBIEHCA RL HF et
periri deberet, quoties asympio anau durarent. Interim quorsum haec materia vereat.
facile collici potest: invento namque puncto D intersectionis parabola cum hyperbola haberetur
ona e mediis duabus, quae postulari possent inter BP. C C nimirum DF; cum ostensum sit
rationem CC ad D F, duplicatam esse rationis quam habet DF ad BF: ac proinde ratio.
nem CC ad BF., triplicatam esse BP. ad D F. quod si quis procedendo per rectas AB,
BFT, TTF LR, RL, LM. M N, exc. terminum hujus progressionis assienare valeret, pro.
blema quod de duabus mediis proponitur expediret, ut paret remaccuratius consideranti. In-
rerim proprietates alias prosequemur qua non leue ad illud problema soluendum, subsidium
ROPOSIFIO, CFXTLI
Ferumi AB, AC sine axes parabolarum AE D, A F D secancium hy-
DicOOMI, GE, LIF, LK cAc quaruorin concinua analogia.
Plicata es F C ad M O: igicur ratio R L a LG, duplicaca cst KI ad TIF. etg0
racio K L. ac. P. Hl, cadem eAt cum cacione F. Hadt CP; Xt C F ad C M. Duoctue
demonstrandum.
ExY7Z. F C+ GML:VHdC CVER L. ad FII, ita B C ad CM: sed racio L R ad F G, Idu.
paio
R
IS oAS

## Folio 615 — 1815201908:0672
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000672.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
poui
ilio se
tur et
Vt Con
Faren
Perre
vereat.
geretur
eratib.
AB.
Bro
A
sidium
tus
onci
eu
et L PBR B
eR OBOSTFIO CLZIU.
Onancur denuo AB, BC asimproci veprius H, OOIa LF C: quas
varabolae B F. B, B C D condeniences in D, lecene in punctis F, C:
FOL HLFI, OR.
e agacur BD occurrens sectioni in F ee demirrancur parallelae alympto-
DICOFFI, FI, CR, Fore in concinua proxorciore.
EK ad NC: ad eoque segmentum MC  up est lEotenei C: R NY C: CI2G. h1-
Z Acio DC ad GK, a duplicata estrarionis C B ad BK, id est B C R ad NC;
Lsed MO aequalIS est DC, rariO igITUT MO ad GK, duplicaca est rarionis 6, 1.
quiR verO M O FH, GR N C proporcionales sunedrario NC ad FHs primae ad a g. hu-
cerciam, duplicara est racionis F. II ad M C. cercix ad quarram: seomencum ipieur ius
EFIHC e duplum eA segmenci MO R HL3 dempro isirur communi segmento 
29. his
B FI GK MANCESEOMENEO MO F FI aequale segmentum GKN C. Rursum quia
NE, EL, DC, id cA N C, F L, M O ProporIOnAles suNE, SCementuM MOFL Cx~ 10)
Eaquale es segMEnIO FLNC: dempeis igicur aequalibus segmentis MOF HI. buinsi
CKCN. aequalia sunclcomenca PLOK. BHP I: inde F H, F. Y, C. K proporrio
Males luht. Quoderat demonstrandum.
Fariam per BD
ore
11
O OLX
Idemposirisiungantur EC puncta linea P. G, secanre B D lineam in L.
Dico EC in L. bitariam elle diclam ab e sesmencum L. LC bi
Demonstratie
Vcantur enim ex E, F, C punctis paralleiX asymproto A B linex R. HI, F I, C R,
cruncs illae concinux proporrionales; ac proindeh segmenea concalla L. LL LF, 5174. hu-
CA F. F, F C aequalia erunciquare linca F es ordinacim k applicata cit aa alamectu ms.
BB, ac proinde in L divila bitariam. Lam vero cum B L, L C aequales sinc baleS, ex i106. hu-
P E Communis alecudo criangulorum FF L, L F C, illa criangula xqualia CrUME, AC L Ex con-
proinde seomenta cota RFL. L F. C requabuncur incer (c: quare P. P sa s
bitarium diuilum cA linca BD.   uctabe demonttrarida.
FTK C aequalia: quare s connectantur F F, F C puncta, conuexa quoquei sermen- nioz hu-
n
   pa u etes ut t ee t u te ett te ta  e ta et i e et . det at  ett e t sa  st  site d e  e te t ut e it t t  t         e  ste  i  u

## Folio 616 — 1815201908:0673
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000673.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
1
hu.
AXPPLVOLA
PROPOSTTIOCLXVI
Inc AB, B C axes duarum pataoclarum aequalium, angulum rectum
DC aquidistantes alymprocis.
Dico (patiADEF, FCD, CDH inter sC esse xqualia.
Demonstratio.
Emonstratum est quancirarem D P H
aduplam esequancicacis DP F. in suPer
octensum est quancicacem F C D duplam
esse DCFT. iBIEUT qUanEICAS DF F aqua
lis est quanticaci D CFI: ac proinde quo-
niam EDF vna cum DF C. duplum cAt
DOTI cric quoque D F F cum D FC du
Plum DF F. isicur sunc requales quancica-
OFI. Ouod Fuirdemonstrandum.
PROPOSAAIO CEXT
Dico spacia similiter xqual incerse qua residua lunc, nimirum
concinences, quae de asymprori linc hyperbolae P. FO: punctum au
cem D Cic illud in quo parabole conveniunc; ex quo demictaneur DB,
co
LF, DI
Iluem poltis:
EBAF, FAOF, OACFI.
Demonstratio.
LeNC COa ALB D F LL. MHIICeE AC DB conuexam duplam eAsC concau
AC DC A: sunc aurem ex hypocheli aquales parabolx AFDC, AC, DB, relidux
iBITU ABDF, AODC aequales quoque lunc: quia vero tam AFDB cum
AFDC A duplum eAt ACDC: ec rurtum ACDC cum AFDC A duplum
AFD B, CTCS QUAnCIEATCS ABDF, AFD G A, ACD C aequales sunc: Sed per pra
cedenrem xquales quoque lune P. F D, DF C, D IIC, residux igitur x quales lune
ABEF, AFC A AO HC. Ouoderac demonctrandum.
LROFOAILIO CEXVIII
E cet parabola BED, hyperbolam G F. HI Vt
Derius incer a(ymipeocos AB, BC consticuram
in E, _ ducta BD hyperbolam sccecin F, para-
bolam vero in D, ex D vero ducancur DO, DH
Parallelae alymproris.
Dico quancicarem mixeilincam DF F, ex pa-
rabolica, hyperbolica e recta constancem, dimi
dix parri ASuEX DCF. esse aqualem vel quarra
EguFA DEH.
Demonstratio.
Ibeo de parabola propo L. 257. ostensum est A F D C parabolam conuexam duplam
ExB enim e D ducacur parabola B FD ad axem BA.
uamculde Lt tittid ttu, LL Patallela a
CANEUT
So

## Folio 617 — 1815201908:0674
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000674.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
edum
M du
DB
x
9u0
im et
Cd1.
MEir.
ru
n
FI X D E R B Cd
cantur alymproris; crunc eriangula a F KB, TL B inter (C X quAl, dC PFOIIACEOTA 2 ex AB. h
Eparabola F. BR, BIC. I ~ qualeS CrUNE. QuIE verO EMI, M LIex aequales sunt F. MB b240.
criansulo, BM IxquacuE: Ced eciam segmenca d conuexa LFM, M FI RQUanEUES Parabola-
igicur etiam parsparabolica B E. M, Parci Parabolica MBI est aequalis, eAtque lc-;
emencum hyperbolicum P F P, bitariam diuilum diamect BM, igicur Tublacis (c- d sbid.
emencistyperbolicis xe qualibus remanene quancicares MXcilinCA FFB, FBI ex
parabolicis hyperbolicis ex communirect a eformarx incet le XGuales: d Gua pats-
bola BF D B aequalis eAt parabole B ID B. igicur etiam mixcilincum Lle mxci-
linco DF I est aequale: est vero mixcilineum DF F ID aquale L u BaIs
DEFD dimidia est figurx D CP, et quarex pal atE DL lA xqualis. Ouod
fuic demonstrandum.
17
eROEOSITIO CLXIZ
Ficet parabola ABC constuca npius, spcvoamI B, d aucte
nE AC, AC occurrcm PeDOIn ld Hl, candem demictaneur
C FCMI alrmpobro parallelae.
parri aequalem.
Dico parrem mideCam GFTIC esse mixcilinci CGHI. GuarEX
Demonstratio.
St enim BCHI aqualis
parcil depopne pecegencem
quemadmodum per candem, sparium C B I quarra est pars quancicaris C B L: est
tu
auteM ATCG, FTR qUaTEA C ParS C FMI O: _ ET A B, quacicas eA quarta parS quan- C 24+. DB
Quodtuir demonstrandum.
rITATIS RMIF L, igicuE GFITC spacium (pacii CKI. C quarte parii exister aequale parabola.
PROBOSTTIO CLXE
InE AB, A C axes parabolarum A OD, AID ad angulos rectoS
consticuri, ec politis DB, D C parallelis, axibus, act age A D pOnatUK
guxuis EF occurrens sectionibus in C X I, de recte AD in II.
417
Dicorationem CF ad IF, esse criplicaram eius quam habet CF ad
emon
   e M  t  e 1        e a e te et ete    e  te e te et t t a  e t  et   e  i t  a e te  s   ute t et  e de et  t  e atie

## Folio 618 — 1815201908:0675
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000675.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
AIXPERB
2. hrins.
27. D
 11.
Scendimus libro de parabola , IF. F FI, F F. des in concinua rationc. ORCM
sum insuper est F FI, F C, F F. esse concinue Proporcionales. Igicur cum sinc Ra
serieserium concinuarum habencium primam Lem, ratio tertix FI ad
cerriam fHlb duplicara est eius quam habet secunda LLLad secudam C F. igicurra-
eio OF al LF, que est compolica ex racione  ad HIF: de exracione HIF ad IF,
demonstrare oporeult.
Acesanoulumect, L aucacur AB licq incer illos axes tamquam
alrmprocos collolala perbola lH occurrens AD, in R, e recta LC
alyriptoro requidistatis occurrac sectionibus parabolicis in P de G: Per
dux punctaagantur AF, A G, occurrences sectionihyperbolica in pon-
ais L_ II.
Dico scomentum I A K cerriam eAe parcem legmenri lAHI, Cive di
midiam FLLLL.
Demonstratio.
que duplicaca exrarionls be al e. cpubaa e ralionto ete al P. lb
=AOPOSITIO CLZZI.
TOnSICANEUF AxES AB, AC parabolarum A F D, ADC continen.
 C.C Praecedene
Ot
ncratione e
id OC. ese rriplicaram eius
quamhabecracio F. C ad FC
onde ratio FC ad CC; sest
duplicata rarionis F C ad FC
Cedrario FC ad C C, cader
est cum ratione R N ad R N.
 rariO F C ad F C, cadem
cum ratione I5 ad FS, ixi
tur raciO RNT ad R H, du
plicaca estracionis IS adTS.
dratio XN ad RN, dupli.
aCa
a e e  pa s  a s  t te p e e e put tae uet t ua  at    at e   e   e     ute t  pti st t a t i (  a i   ette t  e t   i  t u

## Folio 619 — 1815201908:0676
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000676.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
cuTE
id II
Qu
Inet
1
b
eil
2C
lem
N.
lem
6
11.
15.
1
11III
EI Y P E R B O L A.
eaca est rarionis RH ad HO, igitur racio R N ad FTO, CadeM e cum rarione 275. Bs
IS ad FS. racio vero 15 ad TS, duplicaca b quoque est rats LS A RN: Bibid
igitur racio KV ad ITO, duplicaca cA racionis IS ad RN: igitur c segmentum cir g. hi
ISITK hoc cstI AK dimidium est scomenci RNOHI, hoC CA R AHI; _ IAHFeF - ius.
cia parci segmenri LAFI aequale cA. Duod tuic demonstrandum.
PROPOSITIO CEXZII.
D ECx AB, B C, ad angulos rectOS COIIOCAEX PONANEUE, qua LInE d-
LL Eympeocihyperbola CDII _ axes parabolarum BF D, B FD: (IF-
que L. F alymPCOTO AB parallela, PET CUIUSEXCTCMAAGanEUE BFG, B F HI
ducacurq; BD.
Dicotiguram CBD. Eisurae DBYt dimidiam eAte.
Demonstratio.
2 AliO TK ad LFd duplicara est eius rationis, quam
habet LL ad R L. Sed ve IK ad FR, GCDL est ad
NL. Pgicur racio DL Ad NI, duplicara est rarionis
BT ad KI, hoc est OM 3d PM, eA aurem ratio DF
ad NE duplicata rationis DT. ad FI R (quodD L, FTR,
NVE proporcionales inc) ec racio CM ad PM duplica-
caracionis CM ad DL, ob candem caulam. Igicur eriam
racio DL ad TTR, duplicata eAt rarionis GM ad DL.
Tgicur superticies cDL R FI dupla cA plani OML D,
hoc est DBHI, quancicas dupla quancitatis DBC.
Duod tuic demonstrandum.
11I
619
PAOEOSICIOBLKNII
d EX 170.
Vodlimanencibusislem recta F O contmcacur parallela BC e
midium forelesmenti D BI.
agancurtinex BOT, BFHI.
Dicoleomentum DBH di-
Demonstratio.
DrCISEMIHI AZ, DX, _ Y A qua
aegudistent alymproco BC, appac
bic ratio RO ad LS, hoc est X n ad
Z D, duplicatagrarionis R S adR F, hOC
eA XZ ad YH: sed rario X a ad ZD.
duplicaca est eius quam habech X X ad
A E; Cimiliter racio YZ 2d V FI, dupli-
cara estrationis YZ adZD; isicur Fa-
tio AT ad XD, duplicaca est rationis
XD ad Y II. quare cum quancicas
A TD X dupla sic quancitaris D Z YL
etiam TBD, dupla crir quanciraris
DB FI. Ouodtuir demonstrandum.
EX 170
huius.
n75. h1-
         u e   i   sse p

## Folio 620 — 1815201908:0677
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000677.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
620
L2 LCd Sl L L 12
Varia proponit ac soluit problemata, ( c.
eRO POSITIO CLXZIV
Acarum hypetbolatum convexatum exhibere rarionem.
Constructio es demonstratio.
TINE ABC, DDF alymprorihuperbo.
larUM CONVEKarHI N X G, OFI: po.
acisque axibus BC, F I, agantur pet
C et Y contingentes GT, MI: dico
NX Ci Eyperbolam este ad hyperbolam
OTI, VE LOB criangutum ad crian-
sulum MTF. hac enim ve BC adC TI
sIC F T ad TK, _ peF TI _ R, ordina-
eim ponancur lincae ANFT, DOK, iun:
Sancurque NCsOT, BN, F. O. Ouoniam
CA ve BC ad GTI ; hC F I ad TK; qua-
dracum LC (id esta rectangulum AN C. 
est ad quadrarum AII ve MI quadracum
(id est rectangulum DOF) ad quadratum
DK: _E PerMIUTandO VE A DY C rectangu.
lum ad rectansulum DOF, SiC quadratum
ATTad quadracum DK: religuum igitur
quadrarum NHI eltad quadrarum OR, VE
ANC rectangulu ad rectangulum DOF.
id eAt quadracum L C, ad quadratum
MI. quare NTIlinca, eAt ad L C li-
RCAM, VEOK ad MIT. CC AUECM VE
BO ad OFI, SiCF. I ad TK, crian-
sulum isicurIOR eA ad F. IMI, crian-
gulum, ve ONEI ad BGL: dE vE
F INBaa BCL, ACTOR adGNII:
led eriam ve R Lad TK, lC FOI
eriansulum ad criangulum IOK, et
ve BOadGFI, lic BNC: ad CF NII
igIEUT SE FO Tad FO K, criangulum
eA, VE BNC ad ON TE REVE TOK
ad GNTFH AO FOTad BVT C: qua
re _ F,OI adt BNG CA, VE VHI
in duplicacaratione I l, ad LL; Vei L. C ad AN, in duplicara racione LC, ad
celiqua et a  l. bE HA dd L. Co: 1BCuF _ LL ad M I, ve cX ad L C5, eb
MB
ad BL C. vlcerius, BisCCENEUE OF, N G, in O et S, pohrisque ordinatum SR.
DP, dUCaNEUE F TS, BXO; _ TdX ordinatiim ad axes B C F L; pONRHEUE
intuper ZO, a T, a Licem VN, a X, B C ae quidistanres asympeocis B C, P F: erun
Bicur cam NV, nX, BC, quam a L, coT, bL concinuxe proportionales; unde ee
N A, ZF, CL icem DOT Y. MI quoque in concinua lunc analogia; de MI Fad DO,
EZ: quIA verO DR CA ad MEL, VE AFI ad I CF, _ OK ad MT, VE NFI ad LO,
ha
   e    e  o    e  ee o t  ta   so

## Folio 621 — 1815201908:0678
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000678.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
Derbo.
I: pe
nE p
dito
Bolam
erian.
OH
dina.
iuII
niam
de
icu
situr
aEu
nou
acum
HIX P E R BOL A.
AAE ad YE, id eA IF ad dE, vE LB ad cB, id est B C ad B Y. est aureim etiam
622
vE FT ad TR, AC B C+ ad CF, GuIa LR. CHL in l a L. bissectae luNC, ex COn-
permucando OVl ad N=C ve OEI ad NBC. id cl HLLM 20BL, per
anee demonstraras similicer ostendemus, si residuis segmencis OT, II icem N X,
XC criangula insecibancur maxima; criangula Cegmentis OT, T PMMcMpCa CHC d
rrianoula leomentis NX, X C inseripca, vE F MII criangulum est ad crianpulu
116. D
BL C. Ouod crm heri possiehine cermino, constat a lesmeneum LFO esse ad (e- progressions.
smencum eXNV, ve PMI criangulum ad criangulum BP C: addicis igleur crian- bus.
sulis NVCFI, ORI quae proporcionalia octenla limeeriangulis BI. C. LM L. Palel
semitrperbolam NX CII esse ad semihyperbolam OTIFI, re BL. C crianou-
lumad erianiguluim F. M l: quod propolicum fuic.
P. RO POSITIO CLXXV
perbola dd eandem applicacae diamerrum e communi gaudCHTeS
ranluecca, Candem inter se habentrationem, quam ordinatim poli-
Demonstratio.
lc. AB diamecer cransuersa communis hy
perbolis BED, BF F: posiraque ordinarim
ad B C diamerrum, linea F D C, bisecCTUEBC
in II s_ HIOF ducacur aequidictans F DC,
iungancurque puncta BD, BB, F FG FB, GD.
EB: ve AELB rectangulum ad rectangulum
ACB, EcbHIC quadracum ad quadracum DC.
_ F HI quadearum ad quadracum F C; igieur de
H C linea eltad D C lineam, ve FII ad F C,
_VED CAd BC, siC FF C ad TTF: lCd VEDC
3d B C, sC HIK elt ad IHI, recte igicur HIC
F TI proporcionales (UnE FIK, TII: quare ve
EIG ad FTF, lic OK residuum ad residuum
FI: CRauceM VE GK ad FI, sIC BCR crian-
sulum ad eriangulum BF (, ad eoque e BO D
2d BFF, criangulum isitur BGD ad BFF,
criangulum est vr CHI ad F HI, id cl vED C ac
F C: Similicer R relidux BII, HIC biseceneur,
ee a sectionum punctis ordinacim ponantur lineae, hancque triangula ve prius, olten-
decur criangula reliduis segmentis BCD inscripea, cAc ad criangula scomeneis B F
FP inscripca, ve DC linca est ad lineam F.C: quod cum semper heri ponie; ly
perbola BDC est ad hyperbolam BFC ve BDC, criangulum ad criangulum
BF.C. idcuDC linca ad lineam F. C, hyperbolae igicur ad eandem applicace dia
merrum, ec. Ouod erac demonstrandum.
Sructione; ioicur d B~ al pE, ve Hd ad dR, id elt B= ad A O , H F L al LS.
e BO 2d OX, Ve FS al 3L, eMCF SA SF, HC OBL ertanoulum est 24
criansulum PTO, e HeB dd X. HC BC criangulum est ad criangulum
NXC, criangulum ieu BC  1XC CarLOIadOII ctasulum; de
ex candem habences alcicudinem.
Varum hyperbolarum concauarum ebe alteu.
PROEBSITIOCEZXVI.
IE lE H 1
Constru-
   u  e       e   s   p   e  e pe      e 1 1         l f  a  1  e

## Folio 622 — 1815201908:0679
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000679.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
FIX P E R BOL
Constructio E demonstratio.
CInc ABC, D F. F alymprocihy.
Perbolarum OPQ, NST, po
Crisque axibus BO F. NV ducancur
OON R de quidistances atympro.
eis AB, D F:i dico spacium intini
EUM INTEE alY MPEOEOS ABC e
lyperbolam OPO consticucum
Vad spacium intinicum hyperbole
concaua NSF, cam habere ra
xcionem, quam aB C+ criangulum
habec adcriangulum N F K. Rane
concinux proporrionales BC, BHI
BI,BC, dc. Factoque re BG ad
BEI, sIC FK ad P L, ContinUICTUE
FaTIO FR, E L in MI, XC F; erigam-
curque HIP, IG, CR, deC. icem
LS, M T, F V. _c. aequidistantes
alympeoris AB, DF. quoniam
igicur BC, BHI, BI, BC PrOPOr.
cionales lunc, d OG, PHI, 1
R C aequidistane asymPEOTO AB.
aequalia lunc (comenca PC, H.
R L,ecc. Sine cermino sic concinua.
ea: Similicer aequalia Cune leomen-
+g NT, SM, TP MMCtermino; seomenta ioicor OFL, PI,O C, ec. in infinirum
simul Cumpea, id est cora hyperbola concaua O PO sine cermino producta, est ad se.
216. De EmencA inAniCa NE, SM, TF, RC. in infinicum, a ve legmentum OFI ad Cegmen-
proressioni cum NL, id eAb fgura OB P ad Fsuram S F. N. vlcerius pOSITIS peF N et O, Con-
b 1o. hu cingencibus Od, Na, ducantur illis parallelX per S _ P, linex ZB, y co. vt BC
ius.
ad BFI, id est ctTP ad OC, Scper hypochelim eAt F R ad E L, id cA SL, ad NR
c74 huius. sed De OG ad PFI, (C O 8d 2d Pc de vENK ad SF, scN a est ad SZ, veici-
lPer
menca.
cur Odad Pa, sC N a ad5Z, est aurem ve Od2d co P, sic ea B ad dB, id est v Bad
c7+ huins. OB. _ VENa 2d5Z, SCZ F 2d a F, id est B F ad NC, isicur ve OB ad y B, (CNF
adBF, ex F Natriangulum ad eriangulum EBZ, ve BOd ad Br acriangulum: sed
est quoque triansulum BOd ad criangulum cP B, ve a N E criangulum ad eriangu.
Ium ZSF, quia ioitur ee a N F crianoulum est ad residuum criangulum SBF, ve
dOB ad residuum criangulum P Y B, ec ve dOB ad a N E, sic P q B ad S6 B. led
FEX anc. VE BO dcriangulum ad crianoulum FN a siCFP Op seomentum ad seomeneum
penulsima. S NB, reliduaigicur figura P O B ad residuam SF N, ek vecriangulum dOB ad
aNE, criangulum, id est ex ance demonstratis crianoulum a P B ad criangulum
814. huius. Z SF, id est ve ance oscendi B P FT criangulum ad crianoulum LSF. id elc. BOC
eriangulum ad criangulum RNTF. vide cum olcentum sc hyperbolas concauas,
BOPOR, E NS TV in intinitum procluctas illam incer le obtinere rationem,
quam tiouea PB O, S F DF, parcc esse ve B OC crianoulum ad criangulum R NT R SC
BOP Ohyperbolam concauam ad hyperbolam F. N S T. Ouod erar polculacum
5.
ac104.
PROPOSITIOCLZXV
Lpelbola Communem habences aiamcerum ccanlucllata, Ocaia
Ccim posicas ex iildem erectas punctis, habent proporcionales; et con.
Demon
  d eaae a eoea

## Folio 623 — 1815201908:0680
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000680.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 82 lines, status machine
ram
it
ticure
b
bere
ABU
B6
cinuet
eries
CC. IIC
vonine
DEOp
E0 A
neint
3n
inic
YB2
1
EIXPFR BC
Demonstratio.
ABCANE ABC, ADF hyPCtO
communem diameerum ExAMIUCPLam
dinacim ponancur IDB,  L. C, CCbLD.
CF proportionales ese LB, 6C: cum
enim quadeacum ID sic ad Guaoratum
EG VE FI A rectansulum ad rectansu.
lum FCA; candemque leruent propot-
cionem quadeaca BI, CC: Patoc LB, L. C quadraca proporcionalia elle quaurals
IB, C. C, 2deo que de lineas, lineis proporrionales, quod eracprimum.
Sinc iam ID, CF linea proporcionales rectis IB, C. C; dicohypetooras ABC.
A F, ad quam ex ijldem punctis T, G Or.
ADE Communein habere eransuerlam dia neerum F A. sic enim F A diamecerhy
perbole AB C. cricigitur ve quadratum IB ad quadracum CG, AC FI A rectan-
sulum ad rectansitum FC A, sed ve IB quadracum ad quadratum CG, sCID
dracum eAt ve FIR, reca claz LE A: quare LA quoque dia
Guadracum ad quadrarum F C ex luppoo, Gdadracum isicur ID ad F C, qua-
merer eMhyperbolae AVI. Quodecuc demonttrandum.
Scholion.
que adeo vacam esse e indeterminatam, di palet omusabiquus proprietates in quibu
periatur: es vii circulus A BC
cum quauis ellipsi comparari potest,
secundum ordinatim positas, scilicet
secundum rationem P F ad F F,
vel CF, (dummodo proposita quae-
vis ellipsis ad unam sibi similem quae
axem AC habeat aequalem reduca-
rur) ita quoque omnibus hyperbolis
id commune est: quod quo melius
assequi valeamus, comparabimus hy-
perbolam ABC. cuius asymptoti
rectum continent anculum circulo
AB C: in circulo quadrata B F or-
dinarim applicatarum ad diametru
C, aequalia sunt rectaculis AF C:
ita quoque in hyperbola cuius asym-
peoti se ad rectos secat anculos qua-
draca F; B ordinatim pesicarum ad C
diaetrum F, equalia existunt
s
Lit A sit s.3C B F.lectE3e L Y  2 60.s
00239 MMSIEECIL SYSMMESTCIC CINI
recfanentis DF, A i F. ip seen Vere d rpEimih :. T F 3 syaril sgiseni 10 rcll BB. B L. C
EFVEL CF guadrata rectarum
quae ordinatim ponuntur ad axem
C patem obtinent inter serario
nem quae inter quadrata BL repe
ritur. eodem prorsus renore in hy-
pe dolis contincit, nam quadrata
FF, vel C F, candem inter sesor-
Derit LAC
1V cit
Len 101t
ins
Ocus hic exigere videtur, ve paulo fusius explicemus in quibus similitudo hyperbolarum si
omilium consistat, ut melius discrimen quo differre videntur inter se hyperbolicae sectiones
dignosci queat. Enimuero plurimi persuasum sibi habent, differentiam inter sectiones illas, Vs
omnes hrverbolae conveniunt, quales sunt diamerri coniucatae asymptori, laterarecta, ordinatim
positae, es his similia, nulla possit formari scientia, qua alia ab aliis dignoscatur. Sed prorsit
falluntur: nam inter Ellipses non est mains discrimen, ac circulum, quam inter hyperbolas re-
R KKK 2
tiuntur
e eo ere s ao es o eheae eales aero

## Folio 624 — 1815201908:0681
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000681.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
111I
24
applicentur: quod posse fieri de quanis hyperbola, superiore proposicione est demonstratum. quo-
circa satis existimo esse manifestum qua ratione daram hyperbolam cum quauis alia quis con-
ferre valear, eadem scilicet praxi viendo, qua cum ellipsibus hanc comparationem institueret.
cum ipso circulo, pluribus non existimo me eamrem inculeare debere, praeserrim cum illiqui.
bus de materia hac dubium remanserit, sola praxi quam proposuimus sibi facturi sint saris.
11, 5515 1. CC
Aex EyperboIx SiMe ACTAM construere qua dacum habeat
Construclio ex demonstratio.
C ABC hypertora, et recta data P B, ovor.
cecad F F hyperbolam poncre, limilem date
ABC: Cc AB C hsperbolX axis AD ad quam
ordinauum applicemur BN, Raneque re D Aad
AN, sC FF ad LiHI, _ ex FI normales eri-
Bantur HO, proporcionales BN a paTCEF CC
uncta esse ad hyperbolam similem ABC, 8
F F eiuldem esscaxem; dacx igicur hyperbola,
FTY D ER B OEIA.
sorriuneur proporrionem, quae inter quadal D L. Capersit. dummodo ad eamdem diametrum
PR OPOSITIO CLXXVIII
axem aea.
eec. Ouoderartaciendum.
EOPOSIITO CLAALA
IIdem manentibus figuris, propolicum
Eie dare hiyperbolae similem exhibere.
Cuper daca recta.
Constructioes demonstratio.
Scholion
racedent.
petOOladaTASE A BL: RECtA VeTO daTA SIE OK, ODOTECEMIDeF OK Ayperbo
lam consticuere similem hyperbola B AL. Tlyperbola BA F axis ponatur
D A _ ad iMum ordinacim linea CTL; dinicaque bitactam in et liner O r crigatur
ex M normaliS ad IC, LInCA MIE, DE OM SE ad MIR; Sicuc E PAd FD: Cum RM
secetur in F _ II, icur ID secta est in A ex C. AREGS VE F MI E FectanoUuM d
quadrarum OM, Sic F HIF rectangulum al quadracum GFT, PacCC OC FK ese
ade3DEDBdai d tedlaB d t d ded t B  (EBE su huA. AMIE
   i e s te t    se et a  ti de   e  ti  e i t   sa et  e  s t t  ste e it t  tet e te te e t    ste     te 

## Folio 625 — 1815201908:0682
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000682.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 91 lines, status machine
Yum
H.
n
bes
Opot
dut
100
bolB
Ieum
bert
IIIIII
TLX, RE,K B OIL, A.
PROPOSTTIOICLZXX
Aeas auas tryperbras clettae Mae ullinis axes habenres, reducea
Constructio es demonstratio.
TABEanE ABC, P F Chyperbolx in-
aequales aXes DB, HF; oporrec ad
axium AICCrUErUM, puca ITF appliCare
hyperbolam similem A B C. ponaneur in
ABC hyperbola ordinacim linex OT.
M V, A X1 _ DB, DF, DV, XC. lincis,
proporrionales RanE EI F, IIR, IIS, TIZ:
ponancurj: ordinacim in hyperbola F. F Cm
LinCX NR, L S, F.Z. deinde AANE BR,
5, IL. linex proportionales OT,MV,
A Z: quoniam isicur HZ linca in F, R, S
diuita cAveD X in B, T, V. X. Pacer recta-
sulis DTB, DVB, ec. proportionalia
esse rectangula HRF, TI SF, Xc. scd
DTB, D V B rectangulis proporcionalia
syncquadeaca OF, A V, AX, id est per
cottructionem quadraca PR, 5, 1Z, qua-
Srata, isicur R P, O. 55 IL proportionalia
sunc rectangulis DT B, DD B, ac. id est
HRF, H SF. XC. quare puncta L. O, P ad hyperbolam lune cuius axis HF. Guu
aurem ID P hyperbola similis sic AOB: sc oRendo inrellisaneur iungi punaa
OB, AB. MO, icem D F, OF. V P. patet ex constructione triandulaO T B, H VB,
icem OB similia esecriaeulis P R F. OSF, O PF quia exiildem racionestra
benccompolicas: quarc clim operacio illa in veraque hyperbola sinc rermino coricis
nuari pollic, vehoura omhestisperbola ABC inscripex, similes inc sguris inscri-
pris hyperbolae sF. R, pacec ex Aectimede AB Ct F. K hyperbolas esse Limmilos. Ecci.
mysigitur, quod exat poltulacum.
est 1135.2tBB LMM sit
sio Et e CF sese S3O 1 11MIBIMS. ..
molugi Ro 1OD. F R O, A 55)
EIC
SXI
erbeup OC) 3uit et C) arerbeur ba YG) reibeWD Sit 1O
13 10l1esi
IA cartonci
eter an B ls
Acis alymprocis, exhibere typerbon an usiviBu Ou it
lam, quae perdarum incra alym peo-reiuo. A S us MO3 LoNiEN
eospunctum eran leat. . I~ amasgnimo eligurm
 et ermenLM
loctroqui
nC ma Constructio es demonstratio. eie
35C) _ CMEZG ZVIGL ABA
dAc sine asy pcort AB, BC, d Irerq i1I2S
punctum D. oporret exhibere hyperbolam,
quae per dacum punctum D cranscac, PonaturDer.
Id linca AC, perringens verimque ad alympro
e
stan
(1r: 11etES
il etst s er FeI
c05, aquae in 1 biffecta scs illique aquidistaris
DORACHT, CH: e CD quadrato, aequalia hanc
rectangula, CFi FB, C F. H; erunc F, D, F b pua
Ae
311
etaa thxperbolam cujus ovprocisune AB, BC V Mna E c carvp cusloc.
2. 0∞B c_SLABB  ereL.
docis ipicur alymptoris, ecc. yoderac faciene B. upoup elodrgri it
dumruhisin t 3123 bat 1.3. .locl3qe iuisi ∞Ch. D el A 3locl12y, 10401t. L1d
1III
11211
NEII
id13
at gloctioqua
S. A3 MIOTiCI
113
EIX G. EHLW e DEt
id l
RG: CCNTICE
F3
+. 8.15.
elic
 KKK 3
R
 eu su sutes et ptestets ta qu u stett et et e utt set es aete u ust   a   i  s    t tie  a     u

## Folio 626 — 1815201908:0683
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000683.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
AYPERBOLIA
PROPOSITIOICLZZZII
Aex hypertola aliam exhibere aequalem cuius asomproci darum
Ctcat dde ta
Conotuibe cumonstratte.
1. dC
131.
Perele-
CAbid.
ETE ADC hyperbolae alympeori F D, DF: angulus dacus V Y a oportententii-
berc hyperbolam, aequalem datae AB C, cuius asympeoci, darum angulum V l’a
Contineane. Sic prime dacus angulus V L a minor angylo si DF, lyperboIx ABC
axis ponacur DB, ex ad illum ordinacim A C, percingens ad asymprocos in R ec fi.
Super fi. B seomentum describatur, circuli coninens angulum equalem V P a: qui
cum minorponarur atisulo P, D F, cader bscomencum delcripcum supra D, 2dc0.
que Ci aequidistans A C legmencu circulioccurrer in puticto quodam C: rungan-
cur isieur (B. CB. FF; actaq; per B concingenci BI, aequidistances ponantur
T. KIOcCUrenceS ABC trpertiola in N, axi DB in, M, rectae TTC in O: hanE.
quc M lincis aequales OP, OO: dico P, 1, . esle ad hyperbolam, aequalem
ABC, cuius asympeori E G. C F dacum obcinent anculum. cum enim ED, F F, IB.
exc. aequidistene, ve rectangulum DM B est c ad rectangulum DM B, SCCOYFC.
etangulum est ad rectangulum, CO I: sed Ve DM B ad DMB, SIC MN quadracum
adquadratum MINid est OP quadrarui ad quadeacu O Pigitur reC OTrectagulum
ad rectangulum GOT, Ec quadrarum OP ad quadrarum OP, huc OO quadrari
d1. 9. 12. Ex ad quacracu OO: punctaigitur dP FO Tune 2d tispotbola enius aBmproci, OF C P.
5. huius.
26. ht
quam in c P concingic Z R. quia vero G) D, OR RH aequidictane, cecta  L AB
aequales lunc: unde e criansula contingentium CIL. XDB, aequalia Cunc: quare e
(17+. hu. hyperbole  IC, AB C F aequales: angulus aurem F G F dato V T a per constru-
ationem estaegualis, dare igitur hyperbolae, ec.
Sic iam angulus dacus S F V, maior angulo F D D; Producaturque S F in a an-
SIs. huius. Gulusigitur VTa minor est angulo H DE; per constructionem isicur primxe par-
tisshuius, extibeatur hyperbola equalis AB C cuius asmproth atigilum obcineane
VTa. Svilla PFO ex asympcori D Ct C F. Produeaneur DC In Y. d F O in inh.
nicum: C Y aurem aqualis sC YZ iuneta Z Y HOCCHFEaE F C in X. Iguoniamipicue
C
T aequalessunE, d ParalleIX, rex quoque (xP, Z V aguialessune de paral
lelas, _ quia Z K in L bistecta eAt
 tique in Y biRecta CxIC: pohtissigieue
L, Parallelis 2B. Halie LLQuadratis aquali rectan gula Bdy _ Bcoy: CrUnED, Xa
h1. 9. 1. 15. adhhyxerbolam quam in L Comgit ZX. dhmpeocisune Y G, OFr constituen-
ces ansulum aequalem aaco. LV. Quia vero rethneula concindentium ZIG, Z ZC
equalia sunE, hyperbola quoque dP a aguasis e Ryperbolae P YO id est pet EoN
Aructionem, hyperbole AB C: dara ixirur hyperbole, et c. Quod erac faciendurs ul
PRC
penta.
enris.
1
6. huin
e e e oe 5areo e e ena33eat e

## Folio 627 — 1815201908:0684
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000684.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
BC
idec
et
attuI
et
1
Et Y P ER BO LA.
PROPOSITIO CLZAAMI
Aram AB divilam in C denuo secare im D, verectangulum BDC
quadraro relidui AD sc xquale.
Constructio e demonstratio.
 RIGAEUE A F vecum B A D, anoulum
lemirectum constieuat, e ex L dimi
dio CB, linCx PONaNCUE E O, F HI anons
los lemirectos exhibences cum A F lincas,  0t
ex deleripra sichyperbola LC B, inter 2F 101
Ermptocos FC, FFI habens axem AF :L . 5
sieque B punctum incerlectionis rectam
A Fn productae cum hyperbola DCF: de
missaisicur perpendicularis ex F. ad AB,
exhribebic punctum D quaelicum, cum
enim assymproci HIF, PC angulum For.
mene rectum ex constructione, rectanou-
lum + BDC aequale cAt quadrato D R
quia vero dnsulus D A F semirectus cH, d AD F Rctus, religuus A F D dimidio
recti, adcoque e angulo F AD aequalis est _ F. D quadracum axquale quadraco
AD: unde d rectangulum BD C, AD quadraco aequaeur. Fecimusisirur, ec. quod
pecebatur.
e
ee r
121 1.. CIIE R O P OSIFIO CLXXXIV
acam AB sectam in C parciriin D. Verectangulum BDC ad AD,
quadrarum dacam obrincar rarionem quadrari F. ad F quadrarum.
iat
Lu Constructio es demonstratio.
lIr
nalis B C veracio quadrari C C ad G FI,
hocest CB ad HF, eadem sic cum proporrio-
he F, ad F. pertecto deinde parallelogrammo
ductilque GK, CT. descripea Bonaeur hyper-
bola InCeF alZMPEOTOS C K, G L, HabENSVEFEI-
cem C. ex puncto deinde A duCATUIE AM, vE
cum D A recta Temirectum angulum FOrMCE,
Occurrens perimerro sectionis in MI: _ POnatuE
MD Parallela FTI. Dicopunctum D esse quod
guarieur: est enim rectangulum BD C’ad qua-
dracum DM ve CB, quadracum ad TII qua-
dratum per ea que praemitimus. Sed quadraro
DM aequale est D A quadrato, igitur rectan
sulum BDC ad D A. quadtacum cam haber
racionem quam CB ad FTT quadracum, hoc
cA quadcacum E, ad P, quadcacum. quod prx.
Randum tuic.
luita CB Bitariam in O ponatur orthogo.
t
5te1pnsdt011211211323 13 16 27 2019 30 21 32333425e02

## Folio 628 — 1815201908:0685
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000685.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
FL Y P F R, B, C
Porreat his policis altignare pun-
ctum M incerlectionis rectae AM
cum perimerro sectionis NCM.
Constructio es demonstratio.
CTaE Cx 28. huius rectA A MT parallela
OP, que concingat sectionem in O. de pro-
ducta verimque recta AM, vsque ad ay mpco.
10s, hac quadraro OP aequale rectangulum
RMO. Dico punccum M Core incerlecrio.
REM COIMLIHOM ECCEX AM cum lectio.
nC NCM. Quod paree ex 14 huiusy dc.
PROPOSITTOOLZZAMI
N omni cono sectiones hyperboli.
ex parallelae similes figuras exhibent.
Demonstratio.
PTE ABC criangulum per axem coni
aABD C, AEGuCF F C+ lectio bal aequi-
distans: ducta deinde A FI in plano crian-
guli per axem. quae circulorum diameeris
occurric in Iex HI, cum in eodem Anc
plano, erigatur ex FI recta FTOnormalis
ad BC, occurrens circuli perimetroin D.
ducacurgue D A, occurrec illa circuli
E F CPerimetro in P: iungacur aurem IF:
denique secundum HYD, EI lincas plana
ducantur parallela, qux cum AB linca
conveniane in R ∞ L, e A C in O) _R.
crunc isitur IFQ, RHIDa hyperbolX
quarum diametri ROF, L R FI ad quas
ordinacim polca (une IF, TID: quia vero
aequidistane F C, BC, bitem YF, ITD ve
AF ad FF, hC AHF eAt ad FTD: curlum
allumpeo in IO puncto quodam P, Pona-
EUF CX A PET P LInCA, OCCUITTENS L R qux
in eodem cum TK, Plano cM in O: po.
BANEUTAuEeM PMI, O N aequidistancestI.
FID: cum isitur IO, R IT aequidistent:
Ve OP adOL, sCRO cA ad RII; igi.
EAEKPO rectansulum est ad rectangu.
Ium RIO, VE LOR rectangulum est ad
rectagulum L HIR: ICdVE R PO adXIO.
Crtnius. Fectangulu C LHs Guauacu Ad quadraruM YF _E DE L. OR, rectangulum ad
cer Ar.
LHIR, lc OH quadracum ad quadratum L(D; quadracum isitur ON est ad HD,
ve PM quadracum ad quadracum Lf: de PM. EF lince proporcionalesrectis ON
HD: quia vero. Leeca suogue Propolrionales TunE RO, R HI: Agura
eM. OIE simileslunctiguris RONI, RFID: similes igicur d lunc lyperbola
redem.  NF, RN D. Quod ctt  .
altouins.
616. vndo.
mi
eROPOSITIO CLXXXV.
L LCC
    ue et   t te e te us e s  e  e  1  s e    e a    e e e te e   e e  et  e et i  e  e e   ate le  t    e  s e pi 

## Folio 629 — 1815201908:0686
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000686.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
pun.
1
alleta
CDCO.
mpTO.
sulum
CCTIo.
CCTID.
C.
VI.
Demt.
Coni
qui
ecris
in
malIS
inD,
reuli
AIP.
ana
Fb
1
1
2
2d
Vi
1a
l
WIHIIIIII
AYP ER BOL
eRODOSITIO CLXXXVI
Lin cuiuscunque sectionis diametre ptoCa, Pucuuur aumatur,
ctuum puncta:
Dico in parabola parre diametri a verrice eiuldem _ contingente inFer-
ee ab illo ad sectionem concusemes a, uG aCHIq; CoACa-
iungenre incercipicur linea. empaeMalorem, inhyperbolami-
ceptam xequalem esse illi, quae ab ciuldem vertice e linea contactus con-
ROreMI.
est au
Demonsrato.
IE A B C conus, sectuS erianouIO peFareM A B C, diameter aurem BAlEoS AOB
SE A B in qua assumpeo quonis puncto R; ponacur B ET aquidictans AC, X F I
normalis ad AB, cum per FIE, e PB, hac sectio exhibens in superticie conilineam
CFTT: Cric illa parabola: ponatur exinde axis coni C D, pertciaturque parallelo-aL. Depa
Srammum CDB, cuius laceri BMI OCCUEraE FFY producta in F, iunctaque C F, dia- rabola
MCErO AF prorractae occurrat in K. ponatur aurem per P concingens circulum
AlB in l: convemer illa cum AR. CR MMeisin K, vripropolrZ. de pacabola
octendi: vicerius, h lecundum TK e per C relccem coni, planum incellioaeur du-
ci, continger illud superticiem coni secundum lineam CI: vei propolic. 17. de para-
bola oltendi: eadem quoque propolicione oltemum est iunctam IF, parabolam in
lcontingero, e L. II, IIF lincas elle aequalesiquod etac primum.
Rursum inEeF F _ R in F K linea punctum Matur quodcunque G; iunctilq;
F, C, TC secundum YF, F. C liire as pranaasacur, exhibens in coni superticie li-
neam L. I: Crit YF L bellipES; oporter aurem ostendere TC, eandem contingere br. vol2
In  _ CL maiorem esse L P. Ponacur per L linea FN, ae quidictans BC in pI2- De cllipsa
cum L C maior sic PN, recta quoque L C maior est P. F. deinde cum verumque parabola
Pranum CTK. in sed CLe Colteltisic luperticiem coni, ec F IP elliplis in vnocan- c Ibid.
cu puncto occurrie C I linex Mmirum in L. planum CTK, in Ladcoque e OY
linea invno cahe picto occurrit ellipsi, adeoque in P concingit. Ouo crac se.
nO ErIaNgULI pEF AXEM OCCUEEeNS F G, linex in NT: quoniam igicur punctum +
TUMIEUT INECE F _ R, Eper C, recta incelligacur duci, paraIlela CB, cadecc illa CEX ele-
vlera F N, adeoque i punctum incer C_ L est: quia vero F NI, IT L aequidistane mentis.
_e dPFI, TIF ostensa sunc aequaleS, reatxe F P, L N quoque ae quales TUNE: Quare + 17. D
punctum I e G, in plano lic CTK, recta FC in eodem existic plano: quia vero
cundum.
ue LL Ll haclecundum L. L. P. P lineas planum YF. O: Paret IFO esse hyper-
bolam
Sumatur denigue inter C _ F, in CF linea punctum quodcumque P; iunctis-

## Folio 630 — 1815201908:0687
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000687.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
2hiat
0
HY P F R B, O L A.
bolam, acum F. P liHCa, AVErd F. L, R C parallelas posica, e commune habens cum
F. F linea puttecum B, producta, laceri AC occurracin O. octendetur auremve
Prius PY lineam eAte in plano CIK ec hyperbolam in L contingere: restaripitur
veoctendamus PO lincam minorem ese OF. recta N, occurrar FiP, produ-
etae in R: quoniam ipieur C B, RN aequidistant, e N punctum ostensum est el.
sc intra C _ L, recta aurem FC cum C B, convenine in C, constat R punctum
cadere vlera P. adeoque RO lincam maiorem esle PO: Ccd RO linea aequa-
lis est OF, cum PFI, ITF linex aequales sine, recta isicur PO minor est quâm
P. O. quxe erane demonstranda.
PROBOSITIO CLXZZVIII
NInE AB, BC alympeori hyperbola DDF, _ P F, R Il paralsela
Dasympeoro BC: ducta quoque BD, dividane HBF in parces seu
sectores aquales, occurrenres P. F linex in lCCr. qu’ul
Dico EF in l6C, diuitam esse in concinue proporrionales.
Demonstratio.
C ELBF. diuilum eA in parres aqualesigitur sunt in concinua
alICa FF. cum reliquis sibi parallelis, sunE aureM IF, TIK, RP, et
e.DL.n concinua proporrione. ut quona Pma LL, Commn eu,
TIR, DE, P F, Cuncproporcionales, hinc cciammedia P. I, R C, F Cr. P L, DFOPOr.
rales existur. actat dea.
DR O.

## Folio 631 — 1815201908:0688
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000688.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
UtemM
acigitu
Proc.
nette
unctur
aqua
qu
alle
es le
ettu
301.
Eperbolam D F C inter alymptoros rectum angulum tormances
l.Aconsticuram, Cecec ih D parabola B D E habens axem BC. policae
ex B quanis linea BK HI5 gux hyperbola occurracin K de parabolx in
HI, deleribatur per LThrperbola HO habens AB, B C alympEOTOS; _
ex B quauis alia ducatur BL. O t, occurrens hyperbolisin L, e O D2
rabolx in F.
Dico BK esse ad BFT, ve BL est ad BO.
Propositionem hanc, vri es duas sequentes, quo d suis locis exciderint, huic parti apponere
visum est.
Demonstratio.
DONANEUE KM, LN, IIL, OO:
aequidistances AB. Friangula
2ISIEUE BKM, BLN aqualia lunE,
ver ex crianoula BFTI, BOO: unde
BK MI criansulum est ad B L N, VE
BTTT ad BOQ criangulum, et
permorando B K M ad BHL, vi
BL N ad BOO: sEdBKMErian-
adtrianoulum BOO in duplicaca estrarione L. A ad OO; igituE VE RM adFTY mensii
in est BK ad BH, sic L. N est ad OO, id est BL 2d B0.
Nota vniversalem hanc esse propositionem: neque necessarium esse ve B LL linea incidat in
FT, communem hyperbola cum parabola intersectionem; sed BTI, B P quasuis pesse esse, vii
ex demonstratione iam posita manifestum est.
PROPOSITIO CAC.
TInE AB, BC rectum angulum Formances alympeori hyperbolarum
ADF, E C, quasin D e P. secet parabolahabens axem B C: pOnatur
aurem ex B guauis secanshyperbolasin F dc G, occurrens parabolx in
M. ee ex F, D, C, F. punctis rectx demirraneur D HI, Fl, F. IL, GL. paral-
lelae AB.
Dicorationem DHI ad FL, maiorem esleratione FR ad O L.
Demonstratio.
Ecta BD producta OCCUTTAE L. C
poperbolae in N. ponacurqueNO.
Parallela AB; cxic isitur DHL ad F 1
cve NO ad OL: Sed ratio NO 2d
OT. maioris ad cande, maior d est quà
racio F. K ad CL, minoris ad candem:
racio isieur DII ad FI. maior est ra
tione FK ad C L. Duodtuir demon.
Arandum.
Gulum ad bB FLI, in duplicata CsFAEIONC RM ad FFT; similicer B L. N eriangulum B Exele:
Me peri sat  tie a e   t  eu  eta  s  s t tat d d a    t t   e t st t te eta t e u  et  pe te e t ti    p   set

## Folio 632 — 1815201908:0689
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000689.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
HY P E R BOL A.
PROPOSITTOLAGI.
IE AB C hyperbOlA verTex C, ex qua demissis lineis C L, C N qua
alymproris aequidistene, ponantur BD, A F aquidistantes contin-
rentiper C ductx occurrentes C: L, C. N lineis in L, N, M, O.
Dico quod BL. D rectangulum ad rectangulum AM E. Sic ve L. N li-
nea ad lineam MO.
Demonstratio.
i
18. huius. eA IC, id eAt R B Pc rectanso) aCmrectangulo KL N: dempcis isitur equa
DOnantUT A B C ByperbOIX asympTOri GK, GFL Occurrences BB, A F lincis in
P, TI. rectangulum KL P aequale est. rectangulis RB P, BL. D: Sed criam
RIP id eA L. R N, (Ob R P, N P lincas aequales) aquale eAB quAdFAEO RL, l id
libus RB P, _EquAdEaTO RT, aequalia remanene rectangula BL D, R LNI: Simili-
Tex aqualia octenduncur rectangula AMIE, FMT O: igITUT VE R L N Ad FMO re
dusenii. ctangulum, id est ve s e de HO. HC BI. D rectangulum elt ad rectansulu
AMLdaClacdeoadum.

## Folio 633 — 1815201908:0690
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000690.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
quae
Min.
exiam
mill
ulum
RS
SE PTINA
Varias exhibet geneses; qua tum ex lineis es circulis, tum ex ellipsi
parabola, denique ex ipsa oriuntur hyperbola. Secundo hyperbolas
reducit ad sectiones, equibus orta. Perrioreliquas sectiones ex hyper-
bola educit.
P R O POSITIO CZCII
TEparallelorrammum AB C D, cui adiungatur criangulum BF C:
Drectae vero Dt, ponaneur xquidistances F C; rectangulis aurem
LOF, tanc quadraca C HI aqualia.
Dicopuncta B, H. Es ad eandem esse hyper-
bolam, cuius diamerer est BF.
Demonstratio.
DROducanuE rectE D A, P. B donec conventane in
K. quoniam aequidistane F Cr, rectae D E, vel AB, Sc
AD ips BC; iSICUITVEK B ad R C, ica eAt AB ad CF:
_ve K Bad B C, ica AB, hoc es F P ad ICi; _F VE RG
ad GB, ic2 est F C5 ad C: I. quare rectangulum RGB, ad
RCB, rectangulum cam racionem obcinec, que reperi-
cur incer rectangula FGI ad FGTT, cum ex ijidem ra-
cionibus componaneur: sed ve rectangulum FGI, ad
FOI rectangulum, ita ponicur quadracum GTTad TTC
quadracum; isitur ve es rectargulum R C B ad R C B
rectangulum, ita cA G TI ad e HI quadrarum. Igitur
HIHI sunc ad candem hyperbolam cuius diametererans.
verta eAt XB. Ouod tuic demonstrandums.
Corollarium.
Iinc collixere licee mechodum de-
scribendi heperbolas, non solum
cas, qux asympeoros habene ad rectos an-
culos consticucas, verum eriam alias om-
nes, qux vel obliquissimo selc ansulo de-
cuctanc. hyperbola enim cuius alympeori
selc invicem orchozonalicer dinidune re-
atansula RGB aequalia quadraris. ordi.
nacim applicacirum exhibene: cum vero
rectangula R CB, maiora sunc quadraris
CTT aueminora, cunc alymprocosta-
bene sibi invicem ad angulos obliquos
insistences: unde asempeocorum quond
angulos constirurio, dependet aPropor.
ciove rectangulorum R C B, 2d quadrar2
CFInon aucem aproporrione rectingu.
lorum TC F ad quadeata CFI. nam ve in
Praelenci Ccemare videre est, rectansula
TOF aequalia Cune quadracis FIOs nihi-
lominus asympeociharum hyperbolarum
occurrune sibi ad inaequales angulos,
   a tu li ta  e   t e i  e  se a  t   e t t ate  t a ut   i   e       e   s e te        t  at    

## Folio 634 — 1815201908:0691
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000691.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
AIZ PER BOL A
quod squis hyperbolas concractas intgis aurdiductas eadem praxi describere desi-
634
rationem, quam achdetabeoge intencum.
PROFOMITIO CXCTII.
ctaC in C apo L Gae aequidistene cuidam C R hanc
inrer. l. Ll. L. L. media proportionales L. I.
Dico IIC ele ad eandem hyperbolam cuius AC est lacus tranluer.
Tum.
.
Demonstratio.
Tontamenim F L, EquidiltAnE R C. linear
Lac proinde ncerse, cricratio F L FFrectan.
guli, ad rectarigulu FL FT, composica ex ratio.
ne HIL ad HIL, hoc est CI, ad CL, _ ratio
nCFI ad F L, hoc est A L ad A L:igirur rectan-
gulum ALC ad AT C, est ve rectangulum
F F FF ad F L FI. Cum ergo quadrata TL; Xqua-
lia sinc rectarigulis F P. FI, eric quadracum TL ad
TI, quadracum verectagulum AL C ad ALC.
vndepacet CTTeNC ad hyperbolam cuius CB,
CAdiamCTeF, _ AC lacus rrarsnersum. Ouod
demonstrareoporruie.
PROPOSITIOCXCIV.
EcultenElese rurtus AB, CD in C.
occurrat deinde AF rectae DC in
C, lic ve AC hion subrendat angulum
Dico 1IC. ae candem esse hyperbolam
curus etacus transuerlum est.
derre augeas cancummodo lineas ordinacim policas C. FI. vel decurree secundum
i
Peassene seinuicem rectae AL, C C in C: occurrar deinde AF re.
AC D; de Policis LL. quae requidistent
cuidam CH, FanC inCeF FII, FIL. MC
diae proportionales HII.
Demonstratio
eeu plante quaMPacedenti propot.
stione.
Scholion.
qud hi fere suntrres casus, quosticet in prima pare exposut a nt in o
nferre libuit. cum veras hyperbolarum ecmeses ex bibetu.
eotetraar13l1t1310121tes1o303yi32183113e

## Folio 635 — 1815201908:0692
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000692.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
P.
Egn
Cucr.
etam
ratio.
Faeio
etan
ulum
equa
TL aC
TC
CD
1C.
ilum
ent
ol.
EIZ P E K BOL A.
PROPOSTTTO CZCI
Onsticuane AB, A C quemuis a, a Per alum peunteo pun-
ctum L ducantur BC, rectis aurem b, DB, a Guaies Hatsc, LC.
Dico Dtif fole ad eandem hyperbolat culus alimpeotine Ab
DC A Ors 17loHtIsia Lco
Demonstratio.
it 3eBA LL es A 9nB OWp e
L. 23911
a  DD C. 7 24
oetesque rait houp Rescovios 
Ct A.et ee daarit sil
123 1232FL
133B B0nC). 6033199029 5 c
ei D et eiBuBorI 0ba, F De
1epe 3p HL D. VZ.L 2111
Oisdenstucs an rualiin
itc
it 90C
tans seel sup ECE A eishit. is. Buberiq ropcrirr ca3e
133iB serit C A ecEt A eri seaRHL B ect aH∞lOc1. 9. 7d 5CVZ
Ehionraliiis Is. huius rect ats quatheumiquo scaioni Ayperbolicx Occnrteni
cem incer alympeocos consticuram, Equales lui parres habere Comlcituras incoe
alymxeoeos et sectionem, hoc est si recta BC secer hypervolam in D e F, rectas
BD, FC aquales CAC InEeF (C3 IGIEUE A INECF AIYMPEOLOS ALB, H C Per panictum
E descripta ponacurhyperbola, quamcum que per F. duxeris rectam BFC, necel
larium est ve BG Gc aequalis, C E isicur cutu ac praxi v sirgus, reltac ve D L. L PCt
cineac ad eandem hyperbolam.
5. l31
onprciit
aulisosgcar epir OlpcOg8 I XI OBLOXCVISSau ovis
Inex AB, CD occurrane sibi mumo ad angulos rectos in B, et al-
ceri illarum ponantur x quidistantes F. C. 2 sumpro denique quo-
vispuncto C, in recta C B, ductisque CF, hancrectis CF xquales
Dico LL, GC esschyperbolas, de quidem oppolicas.
Demonstratio.
S ronnehibir
tl l
CPonatur eidem equidistances C L quoniam
quadracum CE aequale eA quadratis FB, BC;
eciam FC quadratum ijidem requabicur. CA
aucem, tiC quadrarum xqualc quadraco fFI,
vna cum rectansulo L H C, cum (ncF F xqua-
les FC: igicurcum FHI quadearum aquale sE
BC quadraco, criam rectangulum P FIC qua-
draco F B, hoc est C: I xequale exister exic igitur
rectangulum R HIC HOc cM DIC ad DIC;
rectangulum ve F B quadrarum ad F B quadrq.
cum hoc est ve CI, quadrarum ad quadrarum
GL. quare F F, C C hyperbolae sune e quidem
oPPORCR. Duod demonctrandum tuir.
et 3
DOnatur CH quae aequidistet AB, Iem ex
TM 1. serBeMid  A SC
e
e rritue
17
111
1
11
1I
MH. H II. BI

## Folio 636 — 1815201908:0693
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000693.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
FY P ER BOL A.
eROPOSITIO CACHII
Acis A B, A D pro diamerris hypetbolae ad rectos anoulos constiru.
eis coniusaenssectiones delcribere
O3CGIMNI
a1. Sit C).
Constructio es demonstratio.
GOnanCUE P. L, TIC aequidictantes AB,
AD: Facto deinde parallelooramo ADC.
ductis quoque AR, AI hanc rectis AK X.
quales R, F F; rectis insuper AI aequales
recta I, IIG. DiCOBEF, DGC eAC hy.
perbolas coniugatas. quod sine hyperbola
quarum lacera eramluerta Lune AB, A D) de-
monstratum est prop. praeced. Ouod aurem
coniugaca, lic ostendo. Productis BC in C
 DC ME, POnaNCuT FNY, CMqueaequi–
distene AB, AB, dividentur ex constructio.
arectis AB, AD, Vpote diamerris, si vique ad sectio-
Ca luarum hyperbolarum ocenta tumc, x quidistancess igitur AB, = A D Cunc diameeri
Ex 40. coniusarx, ac prohs ipla etiam hgyra coniuxare sune secimus ixitur quod fyerat
Postularum. sin
e
ne hae bitariam in MI e P
nem verimque producta intellisancur. Cuncquerectis AD, AB quae lacera transuer-
frex AB, AF posira Sine ad quemcum que angusum L AB, IIIICA
IICXCVIII
huins.
ALid SIAG 12
Dico puncta DL. elle ad eandem hyperbolam cuius alympeoci lune
AB, AF.
que AB dinitâ sit recunque in C. C, de hac ve A C dd AB, itd BF
ad CD. Sineque BC, C D paraIlelA AF.
Demonstratio.
neu.
DVCanEUE EG _ DF, qux aequidistene A B: cum igicESE DC A C au AB, H
FB ad D C. parallelogramma C. D E. b xqualia sunc paralleloxrammo BE. 6,
Excon. pUnCtA ISITAE F. DDcad candem Cunchyperbolam.
ROP
5
F1O C XCIX
AB, AE linex quemcum que angulum constiMIEnEeS, ex B vero
colinca AB, ducacur BF parallela AF: e ducta quavis AC
dux LB lineam lecerin C, hane in continua analosia E. B, E F, E. H quE
Dalate lae Sinclinea AB.
exele.
uius.
bCo
Mt e  sit   t
11II
11III
111. M.I
 e  t  e i A e e at e  et   t e e  t t  et e te     e e   e 

## Folio 637 — 1815201908:0694
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000694.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
onttin
AD
AR
Xqual
eAe H
Perbol
de
daurer
lencin
lection
anluer.
iamett
fuera
lit
ilun
SiMo
F6.
16
seid
1uE
1c0
HIX P ER BOL A
Dico HC puncta esse ad eandem typerbolam cuius alimprori lune
AB, AD.
Demonstratio.
Voniam Cupponuneur linee F C,
LE F, F. II Candem concinuarera-
tionem, rectangula C+FTI. quadca-
coCD, adeoque e incer le aqualia
TunT: CA auTeM F, C+ ad R, C:; VE AB
est ad A F; igicE AB HI, rectangu-
la incer se quoquelune xqualia: cum
exiildem rationem habeane compoti-
eam, ex quibus ratio GF FI rectangu-
lorum componicur. puncta, sieux H H C. ad usperbotum lunc, cuius alymprori lune in
AB, AD.
PROPOSII
AABC, e ex puncto quouis D excra dusulum atumpro ducaneurre-
etx DF, occurtentes AB in F punctis. Fianc aurem DC mediae pro-
Portionales INFOF D F, DC.
Dico GC esse ad eandem hyperbolam cuius cenerum est D punctum
Demonstratio.
DOnatuE DFL aquidistans AB, et
FR, CI parallelae BC. quoniam
isicur in concinua sune proporrione
D F, DC, D P, crunc quoque in con-
cinua analosia R F, L C, FIC, hoc est
DR, DE, DHiigicurre D Tad DFI,
(id CAD R ad D 1) AC K F id cA HIB
2d IC: rectangula igitur b DFIB,
DFC xqualia lunE: quarc B C Cc puneta ad candem  hyperbolam cuius cen- versa +o.
ETUM D.
PROEOSII
AIrculus AB C dinisus diamCErO AC.
Lhabeac BDnormalirer ad AC consti-
cutas; producta vero C A, AAEVE AD C ad
AD C rectangulum, ira recrangului AF. C
ad A F C rectangulum, X RanCrecris BD
aequales ec paralleIX F. F 21IMII
Dico FF fore ad eandem hyperbolam
cuius diamerer est crantuerta AC.
Demonstratio.
Voniam ADC ad ADC, est ve quadrac
LDB ad DB quadrarums isicur eciam crit
AF. C ad AF C rectangulum, ve quadracum BD
ad BD, id est F F ad F L quadracum: iOieur F F
est dhyperbola, ad cuius diamerrum C A F. ordi-
nATII POLEX(UNE E F.
Mmmm
C
MOnsticuantur duae linex AB, BC formantes angulum quendam
du. hutue
a  EEa

## Folio 638 — 1815201908:0695
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000695.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
aquales DI, _ F 6.
I. Buius.
1.
A Y P ER BOL A.
TKOFOSITTO CCII.
Trepli ABC diameret IL A C, contingences ad A de C, AD; C P:
Dcinde DF aquidistent AC, ductis in super L. D, Ranerectis L, BD.
Dico AI; d CC hyperbolas este oppo.
CIEas.
Demonstratio.
DOnaneur IK que aequidistene AD: cclinc ist.
Tux TR aequales D A. quia vero BM lincis X.
quales lune DF, e DI aequales L, BD, rectari-
sula DFF idest AKC, xqualia sune rectangulis
BDM, id es quadraris D A suC IR. igicuT ARC
ad AK C, rectangulum est vE TK quadeacum ad
quadratum IK. vnde AI, punctaa ad tixperbolem
lunc. similicer ostendam puncta C CC, ad hyper-
olam estc. quia vero AII, C CC hyperbol
communi saudenc cransuerta AC, OPPOlIEX CFUNE
blectiones AII, C66.
1
en OPOSItIO CCTTI
Virculum ABC cuius diametet
L+AC; contingane quocuis DB.
occurrenres diamcrro in B: crectis
aurem parallelis DF, RanEDB re.
ctis aequales DF.
Dico A C. este ad eandem hypet
bolam cuius diamerer cranlierta
Fi5 BE E
1
EAC.
Demonstratio.
Droniam BD contingences sune, re
20 Actangulis AD C xqualia sune quadra
ca D B id est exhypochesi quadraca D F.
quare AD C ad ADC rectangulum, est
sE D E quadrarum ad quadracum DP.
igicur A, P F. puncta ad lisperbolam lunt
cujus cranluerta diameter AC. Duod tuie
demonstrandum.
 cc
0
aurerbv Et
eche . ulona
11 1121L. 1 ( it e 1
B RO.
AF23 CNC
iet

## Folio 639 — 1815201908:0696
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000696.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
D,
ib1.
15X.
tati.
sulis
RC
olam
sPet.
b0l2
erunE
Ccet
DB.
ectis
B re.
sDetu
verla
C, 1C.
adeg.
DF
DB.
DluuI
atu
AEY PER BO L A.
eROPOSITIO CCIY.
Irculi ABC diameeri sine AB,
ACD, Eele decultantes ad angulos
rectos. Fiane deinde contingencibus
FF, IG ductis, (ex linea AB, e C D)
productâ aequales lineae ER, IFL pa-
rallelae diameeris AB, C, D.
DicoDK, B Hllectiones esse coniu-
32C45.
v Demonstratio.
Vm enim BRK, BHEE lyperbolX
ostense sinE prOP. PEaC. haBenEES laceF2
EraNCVErTa AB, C D, quae aqualia TUNE inFeF
sc; de pracerea quadrara PR aequalia sinE
quadracis III (A BL, d D F aequales allu.
ManEUE) manifectum est eas esse sectiones
coniuxacas. QuodEuie demonstrandum.
PROPOSTTIO,CCV
Vadrancem circuli AB C continganEDF, duCanEuF autemI per DD
parallelaBC, FCCEX FD C, quae lint aequales, BF.
 Dico C.C essead hyperbolam cuius alymproci lune AB, BC.
Demonstratio
1e1.
CIC.C.
139
DEx cenerum B Bonantur B D. GUOniaM CONFInSENEES TuNEL D, d B D peF Cen-
trum actae, isicur angulus B.D B rectus es, quemadmodum ex anguus et
quare quadraco BD xquale estrectansulum L B F. hoc est per hypochetim BF.
inde aequalia suncincer se rectansula B F Ci. constatisitur GC cMc ad a hyperbo. ius
lam, cusus amprori sune AB, B C. Ouod tuic demonstrandum.
5 46. ta.
MIM MMHI2
PRO.

## Folio 640 — 1815201908:0697
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000697.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
onta.
FTY PE R BOL A.
PRODOSITIOCCMI.
gulis G F. F a qualia quadFata F. IL.
Onea vero DC secot circulum in punetis A, C. Ranc quoque recran-
Dico A HIB elle ad candem us perbolam cuius lacus cranluertum AC.
Demonstratio.
Voniam P. FY quadraris xqualia sUnEreCtan-
sula CL Fi quadratis F FI, aequalia quoque
Luncrectansala AF C: (cum AFC, G F F re-
CtanGUIARQUEHEUT) quarCVE, AF. C ad AF. C,
rectangulum, ita quadratum F FI ad HI F qua.
dracumsigieur AFLB sunc ad hyperbolam, cuius
lacus crantuersum, AC.
PROPOSIFIO CCVII
cac aurem hyperbolam AHB
prouucere in infinieum.
EInGENECPOSITa NYM QUC LGNtCE D B, PONANEuT PrETCTCA K P parAIlelX cOn-
tingenti: denique hanc rectangulis DR L aequalia quadFaTA RL. DICO AHBLM
esse ad eandem hrperbolam. est enim rectangulum A N C aequale quadratoNIM, _
ARC xquale quadrato RE, quemadmodum rectangulis A P. C xe qualia lunc qua-
deaca DII: isitur cum rectangulum CF A ad CR A, eandem habeac rarionem
quam quadracum F FT ad R L. quadratum, manifectum es AFTE MI esse ad candem
typerbolam cuius eransuersa diamerer eAt AC.
lROTOSIINOCeNI
Demonstratio.
Vadraris F FY aqualia lunE
Lrectangula A P, C; sCd PH
quadraris xequaeur quadrata FI.
quadratis igieur F Lae qualia (uNE
rectangula A F C: quarECFA
ad C F. A rectangulum est vi
quadracum F E 2d K I quadra-
cum: puncta igicur CTI ad hy.
perbolam lunc. Ouod demon.
Atrandum erat.
Tirculum ABC concingac DB, cuiponaneur aquidistantes F F. li-
Consratio demonstratio.
DEepunce AC delcribatur circulus C A _L cuiuscunque magnicudinis; d con-
Ontingane circuli ABF circulum AD C in A. acta vero communi
AdIaMCETO AE, DOnatuT C C normalis ad AF. occurrens cireulis in
OFI: d hanerectis F FI aquales P. I que aequidistene CC.
Dico C II esse ad eandem hyperbolam cuius latus cransuertum AC.
PR O.

## Folio 641 — 1815201908:0698
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000698.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
ra1.
AC.
Atat.
Oque
P rC.
lEC.
Qud.
Culus
HB
con
COn.
BLV
M. d
qu2.
ODem
veem
in
1C.
lont
IBH
aB1
atune
eBA
ad12
dHy.
DOn
1IIII
TTY P E R BO L 1.
P R O POSITIO CCLX.
rculo AB C POnantuF ConCenEricI D F F. COHMMCAL GuOM AC
scircellum AB C occurrens reliquis circulis in GO. Fiancauremre.
cis A C x quales F l, Orthogonaliter crectx ex P. P. punctis.
Dico BII esse hyperbolam cuius
diameret crahluerta eAt BHI.
Demonstratio.
Vadraris AC equalia sunc rectangula
LCD A, hoc es HEB. isitur ctiam
quadracis R Laequalsa sunc rectangula HIF B.
quare rectangulum HIEB ad HIEB cA, VE
quadracum L I 2. l FL quadeacum; PAFCE
igicur FTB elle lacus cransuersum hyperbo-
Ia BII. Ouodtuir demonstrandum.
PR O POSITIO C
Andem hyperbolam producere in infinicum eadem praxi.
Constructioes demonstratio.
Filac rectanisulO AB, AC, sive quadratO
LAD aeguale rectangulum F A F cuius
lacuS. A F minus sIc lacere AB. deinde de-
Scribatur. circulus cuius diamerer (IC F F, _
ducta SINE R MN, crunc rectangula M R W
aequalia rectagulis PR 9. ductisicaq; CFIK
Parallelis AV, tane rectangulis TIOR X-
qualia quadrata +C. Dico CTesead can-
dem hyperbolam IOD. nam ance octensum
est ese II ad hrperbolam. In super ex con-
Aruct. sunc rectangula MI R N aequalia re-
ctangulis PR O, isicureriam quadrata R O
equalia sunc rectangulis M R N, sed perpre.
cedentem quadraca R O, CTlunc ad can-
demhyperbolam, ex eo quod quadrata R O, L
OT sint aqualia rectangulis MI R W, HICR:
isicur produximus hyperbolam DOO, quod
requilicum Fuerar. quod si vlcerius candem
hrperbolam excedere quisincendac. candem
praxim excendac ad circulum maiorem cir-
culo P HF, ita tamen ve oblerverur eadem
condicio, quam haec propolirio requiric.
PROPOSTFIO CCXI
IIrculum AB C cuius diameter BD secet quaevis A C orthosona ad
AB D, _ pONANEUF E F gux xquidistenEB D, OCCUrreNteS A C in pun-
Ais CC, cum peE Cenerum K _ puncta C, aganTuEK, PFI, rectis aurem
K, CFI, hanexquales CI.
Dico BIC esse ad hyperbolam.
MMLITM 3
Demon-
es si  ete ap  si t e ite tis   ea et pue ta  ite t  t  t e e e ut ti sta it i   e ee t e ti   ea A  t e     t t  a 

## Folio 642 — 1815201908:0699
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000699.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
196. B1-
TTZ D ER BOL A.
Demongrum.
d
ad ACC rccladeulum.
GT. AIMILIECF IPHS MI F. aquales OH.
ne E F aequales BD, X F ut aqu a-
aEUEPEXTerCA OO) ParaIIela L L, qua
rectas C L bifariam diuicat. quoniam CO
aequales lune dimidiis CL id est BD, sive
DFI, CrunE CO aquales RB, lune autem
GNT, vel ML aequales K, G FI, hoC CAOI.
igicur K C reliqua xquales sunc rectis ON.
octenlum vero esaONC esse hyperbolam
isicur _ D MM esthyperbola; ac proinde
etiam BFC, est enim rectangulum NGM
ad NCM rectangulum hoC est rectanOU.
lum POF, ad P C P. verectangulum ACC
eROPOSTTTO CCZII.
NIE Acentrum circuloru PaLaC DBD, EF G, quossecetre.
cta FHI orchosona ipsi diametro communi A F. diaeEri aUFeM AI
OCCUTFANE FFY in KKE, _ circulis in II, MM: candem hanE rectis A,
KM aequales IE L: d lincis A, IE L aequales IEN quae diaetTO A P. ae qui
diSteNE.
Dico NN hyperbolam este e quidem parallelam ac aequalem hyper.
bolx CL. B.
Demonstratio.
DRaecedenti propolcione oltentum ett C F B esse ad candem hyperbolam. quia
LverD A, KI aequales sune ex constructione rectis RN, eE A, KMT aequales II.
neis K L, ablaris aequalibusnimirum RL, 2 rectis KRN, _ A, RM, 2 rectis A, RI
remanebune recte LN aequales A, MI, ac proinde J. N linex xquales incerle. vn.
u de cum CLB conster eseb hyperbolam, constat quoque NNF. eAchy perbo
lam; ex quidem simlem ec aqualem CL. B. Quodtuic demoncteandum.
PROPOSIFIO CCXIII.
Ecent invicem, aequales circuli in punctis AB: ductamq: AB (CCenE
diametri DC F IN F F: X peF F. F. ponaneur aequidistantes FIF Or.
chosona ad P. B. Ransdenique rectis C, F. F x quales F. C, e P. HIxqua
les diametro DCF: rectis quoque F C, tanc ae quales HI.
Dico CC, IL esschyperbolas oppolICaS.
Demon

## Folio 643 — 1815201908:0700
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000700.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
2914.
es CV
2
1
N O
auten
ett 61
S
bolam
rainde
angu.
AOC
CII.
tis A
aequi
xper
qi
L. XI
B. VI
160.
Or.
ua.
AYP ERB OL A.
Demonstratio.
Scensum est propolcione 2n2. huius GG, TY
esschrperbolas, reltac igitur ve octendamus
illas oppolicas esse sectiores; quoniam R E lineis
aQUalES PONUNEUT F C vel FTL, X DCF Xqua-
les E FT, rectanoula CFP L ae qualia sunc rectan-
gulis FF. D, id eA A E B; igICHE VE A F B ad AF B
rectangulum, ica est rectangulum O F Iad G F L
rectangulum; oppolica isitur lunca sectiones (C,
TE, cum nC AP B, _ HIH rectaelinea.
PR OPOSITIO COXIV.
irculum ABC concingAHE AD, CF
ixquales e parallelae; coniuncta aurem
DF. dividatur in FF punctis; per guae po:
MAnEUF FG, que aequidictent AD. Rantq
rectangulis B FC aqualia quadrara F FI.
Dico HLH esse ad eandem hyperbolam.
Demonstratio.
DRoductis GF, AaNE FN aqualCS FHT: _
Ponaneur PN _ OR, aequidistanteS DP)
incelligaeur insuper duci quecunque IRV oc.
currens circulo in V de Z: quoniamisieur 1O.
TK, TE, proporcininles sune ex anguluS FIR Cx
hypochesi rectus, lincae PZ. FR, L V b propor-
cionales sune, vndle ZFV rectangulum, id ese
BF C3 aequale est quadFaTO FK id cA. quadrato
TK vel FP; id estirectangulo SF T vna cum
quadeaco F Iid est SO, id est rectangulo B. SC:
recrangula igitur BI C id est ex hypochesi, qua-
deaca FHI; maiora lune reccangulis SFY id cst
quadearis FP: igicur F II quadeara xqualialune
quadracis F P vna cum reccangulis NVPHI, (ede
FH quadraca, id est perihypochesim reccangula
BF C, aqualia ostensa sunc rectangulis S F P vna
cum recrangulis BS G, ablaris isitur aequalibus,
nimirum quadeatis FP; de Fecrangulis SFT,
manene BSO rcccingula, id est quadrata 5.
vel PK, aequalia reliquis N P H recrangulis: xC-
E∞6O.
crangula iBitur N P H id est R M K, aequalia sunt quadracis P K id eA FTM ~ qu’ a puius
re puneca HHt ad chyperbolam sunc, culus soxpolica ett NN.
sel PROBOSITTO CCZV.
d36. had:
ins.
IE A B axis parABOTL M LL, ad quem ordinaLIII pONANEUT F; C D X-
Dico AD D et ad easidemhyperbolam cuius diamerer A B; d lacus
raciluectum lacest recto pusab olà ate a quale.
a EX
Detor-
quales rectis AL. L3tnag1

## Folio 644 — 1815201908:0701
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000701.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
4
2X8. D.
tribva
bLhmins:
AIYPERBOL A.
Demonstratio.
Voniam C D aequales sunt rectis A F, qua.
Ldracum DC aequale est quadraris AC,
CF. Fiacigicur recta AF, aequalis recto lareri
Parabola AF F; erir icaque a rectangulu F AC
xquale quadrato C P. isicur rectangulu FC A,
xquale est quadrato AC, vna cum rectangulo
F A C hoc eAt quadrato C F. vnde FC A rC.
ctangulo aequale est quadracum A F, hoc cAt
CD quadeacum. Igitur rectangulum FCA,
ad F C A rectangulum, candem obcince ratio-
nem, quam quadearum CD ad CD quadea-
cum. Ergo ADD cAbhyperbola cuius diame.
cer est AB. lacus cransuersum rero AF. Quod
fuic demonstrandum.
IBer id iptum aliter demonstrare. sic parabolx ABB axis AC, d Or.
dinarim poliex ad eandem . Udne verorectis AB aequales linea
Dico ADD fore ad hsperbolam cuius aris AC C.
Demonstratio.
CIE A F, lacerirecto parabolx AB B ae qualis,
ee parallela C B; ducacurgi AG qua rectum
angulum F. AC bitariam partiacur, cui aequi-
distet recta F II ducta per P. Pric itaguere.
ctangulum C AF, xquale C B quadraco, hoc
est eric quadrato CB aequale rectangulum
COTHCUM OCREC A, irEm A F, C L(Xqua-
lessine; ee consequenter rect angulo C CIIx.
qualc quadracum CD, cum illud xquale posi-
cum (E quadraco AB, hoc cs quadraris C B e
OAhoccCC C. igicur cum sIC CC FI rocta
sulum ad C CFT rectangulum, ve quadrarum
CDad CD quadracum, paECE AD D hyper.
bolam este, de rectas C. D ordinarim esse politas
ad axem AC. Ouod fuir demonstrandum.
PROPOSITTO CEKVIII
IE AB diamerer lecundaria parabole
ad quam ordinarim pOnanEuEC D;
quadraris aurem AC, C D RanE Xqu2.
lia quadrata C F..
Dico AEF esse hyperbolam, cuius
lacus cranluersum (ic lacus rectum did-
merri AB in parabola.
Demonstratio.
FiTaC AF aequale laceri recto diameeri AB in
Parabola ADD. cric iraque quadracu CDC
xequale FAC rectangulo, e conlequenter
rectanxulus F. C A xquale quadraris AC, C D.
hoc
PROPOSITTO CCXV

## Folio 645 — 1815201908:0702
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000702.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 91 lines, status machine
E, qua
to lare
i
etane
hoc d
ecraio
Sdiame
Quada
Et O1.
linee
equal
rectu
iXq
0, H0
qu
a
lepo
CBd
recto
ralt
abole
CDi
que
cuius
did.
Bit
DC
CnTCT
CD.
hoc
1M
FIXIPIERIB OL A.
hOCelt quadrato C F. ergo cum sc rectangulum F C A ad F C A, rectangulum ve
lacus eius cransuerlum. Ouod fuit demonstrandum.
CODOSI
F 10
CCXVIII
parabola ABC quam seceF quaedam E F: ductisque OK quX X
a quidistene diamerro BD, hacvr CHI ad OFI, ita C. HC quadrarum
a2d quadracum CH.
Dico K K esse ad candem hyperbolam cuius lacus cranluerlum BF.
10
21 5
Demonstralio.
VCaNEUE FTL que aequidiAenE BF, _ F N quae aequidistec B D. erit itaque
IETTML AI TTMT rectangulum, 2velinea BM ad BMI lincam, elt aurem lINCE parabola
BNI. RGuaS CFI: Pgicurve CA. OII ad GFI lincam, ita est rectangulum IIML.
ad HL MEL. hoDeA rectangulum NFTM ad NTTM, hoC eA F CB ad F GB H-
ctangulu. led ve GHI ad CIT lincam; ica ett ex conttrlctone qualeun 
ad CK. Quadracum; igitur ve est P C B, ad F C B rectangulum, ita est quaatacum
CrR,ad CK quadracm. Ludenea BKR en pccooa Carus Lacus transuersum
CA, BF. ex chuius. Ouda l dehonstrandum.
X dittur nimit id B R O B, O5IF1O CCALA
natim BC, Ponac GaL
Lia GuadraTA CF.
anDiCO AE P ose ad cardem hyperbolam.
e s. Sd. B MIEOMAS
Bratio.
lac rectaneulum D CF
equale quadrara C B.
sicur quoniam quadcacum
d CB quadratum,
eam obcineerarionem, qu’a
blinea AC ad RC, estque
AC ad AC, ve CD ad
CD, igIEUE CF aqualeS
Cuncincer (C, _ F F puncca
in dircccum: polta deinde
iit   
eterg
recta CC qua aequidistee il Et
1
 SE a
Et He 
1
AD, erH CF aequalesrectis DC, ac proinde rectangulum D C C, aequale quadra-
eis CD, CB: id est ex lypochesi quadracis CF. ergO vtrecta MMIM DC C ad
Ata patabOIa ABB, cuius axis AC e ad cundem consticurx ordi-
1.
re
nDen
e quadear  hatqua ud v.
141
1312312
260a 
DC Cita quadrarum CF. ad C P, quadracum. vnde ligueo c A F F CNC ad hy perbola crg2. Bu-
cuiusaris AC. ad quem ordinacim pouta lunc C. F. Duodtuir demonttrandum.
tu
RO.
dnnm
         1  t  2 e        as

## Folio 646 — 1815201908:0703
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000703.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
HTY PF KDOL A
eR OPOSTSTO CCXH.
Erum praecedencem propoti
tione vniuerlalius placet pro:
ponere. Friangulo A BC inscriba.
tur quodliber parallelostamimum
DE F. Deinde ponatur guaeuis re-
cta linea ex puncto E, Scilicer EM,
a ductis C K quae aequidistentBF,
hac rectanoulis GFIl una cum qua-
draco, IIE aquale quadrarum G L.
Dico DL. L essc hyperbolam.
Demonstratio.
lac rectae F. F aequalis NY O que sic di-
uta in PP ve est divisa P F in punctis
FTF. hanc quoque rectangulis CFTIX-
qualia PO quadraca, cric NO9. para
bola: astumpea denique rectâ R S quX
aqualis sc CM, dividatur RS in TT,
ve es dinisa F F vel NO in punctis PP.
cruncrectis IK aqualesrcetX R Y cum
SIE FF ad F TT, VE CM ad SK; scd vE
F F 2d F FL, ica eAt ex Constr. S R ad R I
igicurS R est ad R Y, VE CM ad IR.
aequalesigicursunE R Z ∞ IK, cum SR.
CM aequales polieae sine, itaque rectis
PO hanc aquales TV; criam RLV
parabola eric, b cum sE R Y ad R F, ve
NP ad NP. tandem si hanc rectis RV
aequales V TX, cerir R X Xhyperbola.
ipitur rectangulum C tel hoc est quadracum T. V una cum quadraro IK, hoc est
R F producechyperbolam. sic itaque recta Y R lacuseransuersum hyperboleR XZ,
e AaCVE RS ad RY, ita E F ad E.Z. Dico rectas GT aequalesrectis T X cum
carum quadraca xqualia sine, eciam esse ad hrperbolam cuius diamerec D B, esséque
CT, CC ordinacim ad D B posicas. Fric enim ve YYR rectangulum ad cectan-
sulum XTR hoc est re quadracum Z P ad quadratum Z T, hoc est ve quadracum
CL ad C L, ica rectangulum Z HIE ad rectangulum Z HIF, hoc cst. Rincellig2
tur Da linea aequalislinca, L. C, rectangulum a CD, ad rectangulum a CF D. icagi
17. huins. D L. L d est hyperbola, _ linca C F ordinacim applicara ad DC. Flinc quadrata
aequalia recrangusis OFTI, ec quibuscum que quadraris LR producene hyperbo.
lam, modo quadtaca IK incer duas lincas C. P. MP quemcumque ariguloni con.
mencia parallela sine polica. Duodrniverlalicer placuir demonstrare.
PROPOSITIO CCXXI.
1s saeiita
abra  ece Qudam recta AB, ductis deinde paFallelis
SE tanc rectangulis C D P x qualia quadrata DF.
Dico B FF esse ad candem hyperbolam cuius AI B diameror elt.
Demon
ee ea

## Folio 647 — 1815201908:0704
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000704.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
otu
PrO.
riba
nun
Sr
FM
FBF
qua
6l.
Im.
AEd
ine
IX
Par2
cu
recl
P
2
boli
ele
1.
HL X. P F R BOL A.
monstr
1231
ute
C2t 5. L. 7 Cd s. 1SC)
V7C
C i i catis
SECHIUM CIEFECTAHBCIAI DD EL ad B D R. recrangulum eandem haberCFA-
ionem, qua receangulum CDF ad CD F recrangulum: sed quadracum
DF cM dd DF, quadeacum ve rectangulum CDP ad C D F, recrangulum; iBI
cuE etiam quadeatum DF a DE, GUAAIATAM FACIOMCI CONHIHCE CAHACIM CMIM La-
..2
Onacur AB, axis parabola, D R F. ad quem ordinatim potutis CH
expuncto quouis axeosE, hancrectis F, aqualosF, HI
Dico KH IL esse lirpcibolas oppositas.
Demonstratio.
11
D1
BEF, IL LM
1d
tet.  s R eiu
ccrangulu. est iraque B F. P hypexbola, Quod
di et Ct e 20 24110i
dc
tione rectanguli AD B ad AD
tuic demonstrandum. oil ail
eA CL IE CMMLENALSS PR O P OSITDTOIC
DOnatuF ex C guxuis G C, OcCUErenS AP concingenri in L, L LKMHCISMLIV.
ducra aucem per C, linea D F parallela CF, POnanEur per D ex F, IIHCA V
Ft contingences parabolam: quoniam igieur CC vel EF quadraris, aequalia IaNE
QuadraEA REI vel FTT; SinE aurem FTK quadracis aequalia quadeata C FT, vIa CUM
rectangulis RC I: quadraris vero CFC aequalia sine quadrata CFT, FTCF: demptis
communibus quadraris CHI, aequalia remanene reccangula RCL, quaalts L1.
isituE VE FTG quadrarum ad quadeacum FT 9, id est OD quadracum ad quadrarum
OB, SiC K CI. reccangulum ad reccangUIU K C L. quia verD OD, P. P Concingune
Parabolam, re ODa quaclearum ad quadrarum OD, sic OC. P recrangulum clt a87. D0
ad rectangulum OCP, reliquumigicur K OI reccangulum ad K OI, est vequa- paradn
drarum OB, et Gladeatum OD. quareb oppolicae lecriones (une KK. II.
PRO.
E.X34.
nina
NMNN 2
se
11II
ettrte  t et tu et   at 

## Folio 648 — 1815201908:0705
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000705.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
d
HT Y P E R BOL A.
PROPOSITIO CCXAII
DALaSolam ABC sCCEF AB, d POHEIS DM ari paralleliS quX OcCUF-
Lranc paladea  L. C; ponancut L, BC parallela. diametris. hays
tandem media propocoates et LV, M, lcilicet DF.
Dico B F C essc ad candem hyperVraI.
LV
Demonstratio.
DEE PUNCCA PP ducan-
cur parallela EI ips
B A, quxe lincam BC du-
clam ex B parallelam axi
lecentin C, O. Aancq; in.
TeF IO, C F medix pro-
porcionales FIG. crichrc
Parabola prourlib. depa-
culane Tabola 275. demonstracui
eAtrigitur ve quadracum
OHI ad CFI, quadrarum.
ica est BC line2 ad lincam
igicurre ADB eCcangulum ad receangulum ADB, ica est B C linea ad lineam
BC. hoc eADE. recca ad reCram D R: sed vE DF ad D E, ITA rECTanGUIUM F. DM
ad F. DMI recrangulum; igitur BD A reccangulum est ad reccangulum BD A, vE
eAt F. DM reccanigulum ad reccangulum F DMI. eA aurem F. DMI reccangulo xqua
le quadearum DF, exipla construccionesigieur vE BD A ad BD A, rcctangulum,
ita est quadrarum DF ad D F quadratum. Ouare ligyec BFC ese hyperbolam
cuius diamerer AB est cransuerta. Duod oporcuit demonstrare.
TKOFOSTFIO CEKXIV.
IEparabole ABC axis BD ad quem
Dordinarim sic Consticura AC, cui (IF
aequidistans F F, ductilque CI parallelis
ad axem, hanc rectangulis HIC laequalia
Quadrata OK.
DicoKEK eNe ad candem hyperbola.
Demonstratio.
ETanc CK lineis aequales GF, _ AF X.
qualis FV; Donacurque VM aequidistans
AC. Ouoniam rectangulis FT C I Xqualia lune
quadraca GK, hoc estrectangula LGK, _
quadrarum GT. aquatur 2 rectangulis HOI
ex GTII simul lumpris; e idem quadracum
CT hoc elt rectangula MI C+ I XqUenEuE qua-
dracis OK, de rectangulis MKI id cA M L G
isicur rectangula ML I, hoc CA LIK, aqua.
lia luncrectangulis OIFI. eA aurem FII, linea
ad lineam FIL. veb rectangulum ATC ad AIC.
rectangulum, igicur eriam M R I rectangulum
est ad rectangulum MRI VE AIC, rectan-
culum ad rectangulum ATC; puncta c erga
KK sunc ad hyperbolam. Ouod Fuic demon-
Aramdum.
PRO.
EBCOD ASAES iCASI
BG. sed quadrato F C aquale CM LB E recrangulum, hoc est L. F. G, hoC est A DB.
47.D0
con
versa 36.
Buins.

## Folio 649 — 1815201908:0706
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000706.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
Decur.
tea
dues
1
DE
erichae
depa
nstrai
dracue
rut
linean
lineal
d
50lu
6012
cuili
H6
AIC
A2.
e18
ON
R0.
E Y P L R BO
PROPOSTKTOdC
Vver recta AB consti-
cuantur quocuis parabo.
aequidilter C F ponantur C,
DF aequales laceribus rectis
lingularum parabolaram.
DicO FF. puncta esse ad
eandem hyperbolam cuius
apraptori AD, AB.
Demonstratio.
Ectangulum enim C F, DP, aquale eA semper eidem : quadtato AF, inde,
omnia rectangula AD P incer se luncaqualia. quare F P puncta lunc ad can. b Ex con
dembhyperbolam, cums asymproci lunE AD, AB. Ouod tuic demonstrandum.
PR OPOSITIO CCXXVI
Eperbolae ABC sic diameter eransuerta BD ductaG; AC. ordina-
lrim ad DB, Cincillis parallele F. L. FIanE aUTeM F O ad F C, ve lunE
FF ad F F.
Dico GC esse ad candem hyperbolam.
Demonstratio.
IIaL VEEF ad FG, iId BD AIMETEK NanIVeT-
Cahyperbole A, BC adLR. DE PONANEUE P I
e CH quae aequidutene AC. quoniam PF ad
cric quoque MI ad M B, VEM HI ad ML. aC pTO-
QuEnECED MI Ad NFI, ica IB ad HL. SCdML
ad LR. ergo reccansutum DIB eA ad roctangu
reccansalum. nam cecrangulum BID ad BID.
reerangulum habel Caciohem compoltam ex ra.
cione BI ad BL, Hoc cst LII ad L. H; e ex
ratione LIad bL, Hoc est R HI ad RTT. est au-
cem quadracum lF, ad PR quadratum vereccan-
sulum DTB ad DFB reccangulum, quoniam supponitur D B erantuerla diame-
cet hyperbolae ABC: igirur etiam recrangUIUM RHIL. ad KFTL, rectangulum
est requadracum IF. ad PE, quadrarum, hoc est quadratum FIL ad HII, quocirca
LG6, cA hyperbola. Quodtuir demonstrandum.
huiius.
Ix ACB, ad eunde aXCM
CF: crectâ deinde AD que
CXXV
FB eam racionem habene quam M B ad M L
inde re MIad IB, ica M EI ad HL. e consc.
eAt ad MHI hoc CA F F 2d F G, VE BD adL R.
ex construccionesigitur ve IB ad HIL, ica cA BD
lum DIB, ve es recranGUIUM KHIL. ad XHI.
dens
otet te u u  e u    s  te t e ste e   e ee   t  t e  e      se i    t e  te  t    e       e i  et    ) t 

## Folio 650 — 1815201908:0707
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000707.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
AYtede i
eROPOSFLLD. CCXXVII.
TIE AB diametertran suersa hyperbo.
D lae BC D: ductisque ordinarim CF,
AanE G F ad F GE, VEC F ad FC.
Dico BGC esse ad eandem hyperbo.
lam cujus eransuertum lacus est AB. p
Demonstratio.
Voniam ex suppositione AB est diameter
Leransuerla hyperbola BCD, igitur ve est
LC ad E D, quadracum, ica esrectangulum
AFB, ad AF B rectanigulum. ergo ve quadea
cum CF adFIF. quadracum, ica quoque est
AFB rectangulum ad rectangulum AF B. ivi-
T hyperbola est cuius latus cranluer-
uC AB. Duod demonstrandum fuit.
Demonstratio.
Filac recta OK xequalis ON: e
Ponaneur GL, TL ParallelaCD.
quemadmodum ctiam LML _ LMI
quoniam BP L ponitur lixperbola
cuius cransuersa diameter AB, crit
AMB ad AMB, rectangulum ve est
quadratum P M ad F MT quadratum,
hoc est ve quadracum G L ad TL qua-
dratum. est auTeM C F ad OB, vE
CG ad OK; igitur eAt OT ad OK,
DE OM ad OB: _E OK ad RL, ve
OB ad BMI; _ NR adR L, veAB
ad BMI; denique _ N L ad L R, vE
ATT, K aNNLK FCCAMS MIAMI. GUALL CAMI SC rectanoulum AMB ad A NIB, re-
atangulum ve clt quadracum EM 2d FMI, guadracum, hoc est GL quadrarcum ad
quadratum IE, criam eric rectangulum NYL R ad NY L. K, rectangulum ve quadra.
cum OL. ad TF quadracum. igicur manifestum cst K C P eNc ad candem hyperbo.
lam cuius diameter cransuerla cA NK. Quodtuic demonctrandum.
CUF B
 t  1 11.
ane aquidistantes C F. DCICL LdC VE CE ad HIF, ita CG ad FTI.
DicoTCC este ad candem hypetoblam.
ROPOSITIO COXXVIII.
VInE AB, C. D diamerri conius acx hyperbolX BE F _ diameerO AB
AM ad MB. quare rectangulum AME B 2d R M B, rectanoulum est vE rectangulum
enet3tti benata
AIEhyperbola AB B, cuiusaxis AD: ductisq; ad eandem ordinatim
rcao LLD aguato MCa L, C.
Do ACF elle ad eandem hiyperbolam cuius axis est AD.
lemon
u   u te  s t  e tst te tete te s e te te t s i tes 1t est  e ste e   t . e   s ite ete    tet  t ete e a  t  ete t 

## Folio 651 — 1815201908:0708
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000708.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
Perbo.
nC
d
queC
EB. I
r0AB
dHI
e
IVE
euI
B, 11
101
1b
cim
Demonstratio.
FX P
Veacur linea A FTCccaS lineam B C,
ICVEHLC, C A Eincx quales; de AanC
eres quancicaces ill continur analogia
convertam propolic. 7. Uaius. Fiat
praeccrea rectis CElastates LK: crun
igicur rectangula ITC: R. X Gaa Gua
Otacis C C. IgicuE A C+ C+ estBypCIOO.
CTT, C B, CI: crir II linca recta per
a quodica parcbic. Pertacur Ml. L. Xqui
dictans AD. Isitiir per 192. huius
G, AanC quadrata C C aequalia rectan.
ulo FTCL, una cum rectangulo LL C L R, etir G G hyperbola: sed quadracum
ETC vna cum quadeaco C B, aquale est recranoulo HCK; hoc cs i
HCP. una cum quadrato XI, vel HIC. isitur AC. F sunc ad eandem hyverbolam.
Duod tuic demonstrandum.
ngulo
tA1TIO CC42_
IE AB axis tipperbolx B C D, cuius F cenerum, de aris coniugatus
FC, de axi patalsela
DFE, CcenErOvero F ductis diamerris E C POnanEuEC, CII, xquales
Dico BHH Core hyperbolam.
Demonstratio.
Donacur ordinatim C I_ HIR. quoniam BCD
hyperbola est eric AIB ad AI B; rectangulurt
vegnactatum CI ad C I quadtAcaM. Polca ica-
que BC; oux equidistet EF, et hyperbola op
POLITA AMMi CriE recrangUIUM M L C AdML C,
ve quadracum L B ad L B, hoc es CIad C l, qua-
dracum. Sed quadratum P.C aGuase est quadraris
PL e CI; hoceA quadrato F B e reccangulo
ATB; una cum quadeaco CI: est aucem quadra-
cum CHI illis iplis aquale; isicur ablaco commu-
crangulum FC O aequule quadraro C I, quoniam
niquadeato CI remanet L. HIN; aquale rectan-
sulo AIB iria cum guadraro CI. eric ergo re-
cionem hiabecquam quactacu Co L ddl. C haC csF HlR aa HL R. Quacalum Pacee
aixitur B H H esse ad candem hyperbolam. Quodtui demontet as ., 1. 11 a 3. huipi.
.  ta Bet
recransulo AIB RGUaEUE MN C reccangulum
quia vero est ve C I quadracum ad C I quadra-
ccatulum OMH ad OMHI. vereccangulum MC ad MHC, reccansului
cum; ita rectangulum A tB ad A TB, hoc est MEY C ad MINIC, erit quoque rC:
ergoeclam recransulum O fL. al, OIHI AOC CIC A AB a AKB; canidem rg
11.
epst
 (e 11134CAY15.
. L (113B5D e1t. Y X ios e AC
13t
RC
A    e    te  s qu te e te t e at s. t  p et    u  te e t. e te it  te e e e stet e   et s  s  e u e     e          t  

## Folio 652 — 1815201908:0709
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000709.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
HIZPFR BOL A.
PROPOSITIO CCXXXI
Inc AB, BC asymprori hyperbolx DD. ducta vero BH, ponantur
dFC xquidistances alymproco AB: Rane praererea rectis F. D ae qua
les IIC.
Dico CG hyperbolam esse HadeMe B, B Latfip10105.
EXCOn
sa
Demonsiratio.
DAcec demonstratio ex eo quod quemaa
in
modum omnia parallesogramma BFD
et Cc paralle
dum.
sunc incer se aequalia, sC quoque aequantuE
ramma BFTC. Igicur
um ex co. (IC. D D Ayperbola habens
OcOS
tiam eadem de cau-
Ca C Chrperbola Furura2 est habens alym.
pcocos AB, BFI. ud ur a
11 5 ,511NO5 etaB. 
153 2d2.i.
13IEEp HI. P, R O, DOSI.F I, C. 1 L LLL
Fonancur AB, BC. alymprori hyperbola F. F et alympioto BC X.
lelae aequale sque lineis F F.
Dico CC esse hyperbolam cuiusalymprori AB, BD.
quidistene F. P. Ductaver uo Mane D, anELO  Palat.
et
Demonstratio.
1
11d.
113
3ePDN 212B r S.  Est SLC    E S C1 :SLC 1= CTI, ANII
 1 I 10.
AIA cetea
1
1IEAC
3.
1cb
Wet HEISu
ir.s2rnl
mres etIA
t 111) cu
5Vp ie
eit3
CRHLAMMS3327
Ec FE 2A C) crCleanS
a6. huius. J) Veriscetenim parallelis A B aCMPeOTO rectis FHI _c G I, crunc omnia paral
econ-
cossa cins
lelogramma L. P VE aequalia b inter Te; quemadmodum etiam para llelogran
ma P. C Trigitum CClsperbola cstincet asympeocos AB, BD constitura. O uod
vic demonstrandum.
PROPOSITIO COZZXIII.
Inc AB, BC alymprori hyperbolae DD; posirisq; D E parallelis
ImpeocoB, aFL ad LL  Cade La C cclt Dt
dDF.
DICO

## Folio 653 — 1815201908:0710
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000710.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
rant
aqui
uemal
BP
UE
Igic
haben
deca
alym
nAtrai
Paca
ClIS
DE
ico
ALXPERBO
DicosFeedd hrperbolam
cuius asympeoci luntA B, BC.
Demonstratio.
Voniam DD hyperbola alpm-
LpcocoshabecrectaS AB, BC; et
FectX D F. alymptoco AB aequidi-
canc, igicur parallelogrammaCDB
aequalia sunc inces se lune aurem p2-
rallelogramma CFP Cmilicer incer
sexqualia cum sinc composita exijs-
dem racionibus ex quibusparallelo-
jus alymproci lune AB; BC. Duodtuic demonstrandum.
PR OPOSITIO CCXAXI.
TInE AB, BC denuo alymprori hyperbolxe DD: ductis insuper dia-
merris BD hanc BE ad B E, in cadem rarione cum lineis BD BD.
Dico F. F essendcandem hyperbolam cuius alrmprociliine AB, BC:
  et s 1
Demonstratio.
Oramma G: D F. sunE Compolica, isitur eriam suNE F F ad candem hyperbolam cu- a EF 4b.
a
iind.
sulum F FB ad F. FB. criatomu d ete criangulum DEB, ad DFB crian-
eolum, cum linc tigure similes, ac proinde in duplicaca ratione lacerum homologo-
rum. Tgitur PaTEF eriam P. F. esse bhyperbolam gux alympcocos AB, BC COM verdum.
munes habet cum hyperbola D D. Quod tuic demonstrandum.
deseit et i
A PROPOSITIO CCKXXI.
DOnaneur enim linCX P P, D F quae alymptoco B C aequidistene: eric icague criaH:
acellipleos extrea actet AB maior, minor C D, policis au-
Lcem C. F. ordinarim ad axem AB, hanc rectis AC, aequales P, OII.
Dico AHH essc hyperbolam cuius diamerer AB.
Demon-
er  nrtu 
1IIIII

## Folio 654 — 1815201908:0711
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000711.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
ATYPER BOL A.
Demonstratio.
Tarios AB aequalis B E, duecaque AP lineas ON secans in punctis L, KanE
quadratis C F aequalia rectanSua G L N, CrunE NNL in a recta lincas igicur
cum rectangula NL C, aequalia nquadraris CF, ad dico quadraco AG, hoc est
GL cocum rectans lum N C L, a quale cric quadracs AC, C F, hoc est quadrato
AH, Hoc est OFI quaatalo. ISiur cum C FF media proporcionalis sic incer N C, _
CL, adb Peroba eu AFlFI. Quod erar demonstrandum.
Corollarium.
Z constructione Facile parec, hyperbolam FTFT ortam ex cranstatione linea.
rum AP. ordinarim polcarum ad axem ellipleos, lacuscransuersum habere aqua-
PROPOSITIO COZZEMI.
IE ellipleos ABC diameter A C non aris
LIncerna exconiugatis aqualibus; sed incra
illas _ axem (ica Gir, ordinarim aure ad illam
Policis BE hanc quadraris rectarum AF, AB
limul lumpeis xqualia quadrara D Fi.i
Dico AFFCorC ad candem tyxerbolam.
Demonstratio.
HE enim quadraTa rectarUM AF, AB simul
cumpea aequalia quadraris AD, BD bis sumpris.
sed AD, DB quadraca, cranstaca in quadraca DF,
Producunc hyperbolam, rei ex praecedenci constaci
igitur A F F ad hyperbolam Cunc. Ouod fuit de.
monstrandum.
Scholion.
DRimo assumpsi in propositione, AC diametrum quae
inter axem maiorem ex diametros conueatas aequa
les sita est: quia tunc quadrata ordinatim positarum. pu-
EXIsO
ellepse
e aX1cllipICoS AB.

## Folio 655 — 1815201908:0712
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000712.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
nocc
radrale
16.
linet.
aque
VI.
navis
intra
IIat
 AB
t
Qua
qu
H Y P F R BO L R.
ea BD minora sunt rectansulis A D C: adeoque illa reduci possunt ad etsnt qua axem ha-
bet aequalem AC, es ordinatim ad illurum positus BD: in quo casu eu setsu sit propo
Sit. praecedenti, quadratum AB, sive quadrata AD, DB translata in B, DL quadratum,
producere hyperbolam; patet idem quoque accidere in obliquis diametris.
secundo dum RC. ona ediameeris coniucaris aequalibus est; quaat aa L LDBtransia-
2a in. B. DC guautata prouncum parabolam, vii 355: de par ab. demonstranimus.
Terriosi AC vero axis minor fuerit, quadrata AB, sive quadrata AD, DB fimul
5
sumpta C Tractolata n DL Gludr aea prdanennt ellipse.
PROPOSITIO CMLAVII.
B axis ellipseos AC B. Gue MHOSOHaHITeT lCceF L F LIEG; L. D
elliplim contingens a Gutans dx: denique policis R Il qua recta
 mepatuete, ase lectangulis C R I aequalia IEH quadraca.
Dico L ellcad eandem hyperbolam cuiusaxis FF..
ato.
Duodtuidemon.
DROPOSITIO CCXZEVIII
Scenim rectangulum FP. P ad FR C, Sicuc. rectangulum DED ad CRTITO
Aangulumigicur quadrarum P. L Au RHI, CaM HabentratiOnem quam rectanou-
ipst
9ide
lum FEL _ FKL, isicur L. H D est hyperbola cuius lacus cransuerlum L. F.
oncingat elliplim recta aD ant e Pacaleta, Gual oco iat
Aer lecer A F. Ran aurem recH, aqualia quadraca F. lo
Dico BII esse ad eandem hyperbolam.
3000:
Demon.

## Folio 656 — 1815201908:0713
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000713.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
6
HYDER BOL A
Demonstratio.
DOnatur quicunque circulus R P. MI quem
ConTinGAE N L _ recta NO normalis
ad OM parallelam e L MMpCICaCt.
aam OM secundum rarionem A C ad
CD. divila deinde NO in PP, veest di-
nita DF. in L hancquadrata P R aqualia
rectangulis S PO, oltedimus puneta L RR
ese ad candem hyperbolam. quia vero elt
OR ad RX, ve AC ad C Z, cric quoque
Ok ad AC, vc R = 2dC L hoc. cX
ad F Z3 _ vE R X ad C 2, ita OX ac
A Z, hoc cA P V ad F T, ica quoque c
SV ad GT, ve demonstracum est libro
bu- de cMlipHr. Igitur ve SV ad GT, ica PS ad F C. icaque rectangula G FHI Ami-
1. D.
lia rectangulis S P Oixitur ve rectansula GFII ad SP9. ica quadraca LI da
P.R quaataca. sunc aurem P. R R. ad hyperbolam igicur eriam B II Cuncadhyper.
bolam. Ouod tuic demonstrandum.
PROPOSITTO CCXXXIX.
InE A B, A C. TCIMTARES CIMPICOM C AB; SC ve AB prima aqualis siE
de ex Brella erigantur BD, parallela AC, aequales aurem la-
Dico puncta DD cscadhy.
perbolam cuius alymprorisune
AC, AB.
Demonstratio.
oniam DD laterious recs
vellipleon xquales (unE reCtanBU.
reribus lectisempscon.
draro AC adeoqued cer(c. unde punctas Cao asi.
Ia ABD Singula xqualia Luncb qua-
coli A C, AB.
  e   e  u e M se pete site e  1. l .  e tet         et u te t  te e te qut se e  e es e ee e  e  t  tet ete t 
P R O

## Folio 657 — 1815201908:0714
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000714.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
quem
rmalis
EaCre.
de
est dia
LRR
ero elt
teu
X 2
nec
libeo
Ene
FTI
ppet.
is I
nl.
Ahp.
sune
eltit
2
sym.
AIZP ERBOL
eROPOStTIO CCXI
Ropoucumuacadem.
que praxicres cont ut
nes delcribere.
Constructio es demonstratio.
Ponca A A linca, scceturrectis
BB, CC parallelis; incer rectas
vero AB, B C inprima fourame-
dixe ponantur BD. In secunda ve-
ro _ certia inter AB, AC, me-
dix ponancur AD Pacallelae incer
sc. Dico in prima tigura a parabo-
Jam oriri, in secunda b ellipsim, aue
circulum, in cerris denique chy-
perbolam. quarum demonstracio.
nes luis lociscum expolex sinc fru-
Ara reperendas censeo.
PROPOSITIO CCXLI.
Acapalabora uli
in directum adiungaEuE
quadrarum aue rectangulum
BC, vel BD. porraneur autc ad
axom B B ordinatim AB, per-
cingenres adlatera rectanguli.
Dieo BC quadrara acdira quad a , producerepacabolari.
Demonstratio.
130. D2
Dolca suncin parabola F C O ad aXem BF; quadraca isieur A B, vnâ cum quadraris
BC parabolam producune P G P. Ouod crar demonstrandum.
idem est sc hyp erbola adiun cabuer quadratum aut rectamtiulum.
3000:
BOnacur FO parabola cuius axis RF, aqualis patabola A B B id est habens larus
rectum axeos aquale laceri recto axeos BB, _ IB, aequalis lumacur LN qua in
F C Parabola ordinarim d applicetur ad aXem P F lunsae F L aquali FC C, deer 5. de
POnanCUT F, N O, _ N, OM aequidistantes RL, L P. CBu LVL lectangulum parabola
aquale rectarioulo BC e RO quadrara aequalia quadraris BC. vlcerius A inter
PO. O medieponi incelligantur, producent ille parabola a Guac L. C, C, id
Est AB B: lidC est parabolam producene habenrem ad axem lacus tectumt aequale
liceri recto axeos BB, rectansula igicur POO Parabolam producune AB B. Sed
POO ecam maa eu Guaaus H. Guaaca Proltucunc P R qua ordinacim
R
ESIG ES S oE BaSE

## Folio 658 — 1815201908:0715
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000715.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
DROPOSTTIO CCXLII.
Aca sc parabola ABC, et eiusdem alcicudinis hyperbola A DE,
habenres communem arem AF, ad quem ordinarim polirx sinc
B, FD
AIY PE R BOL A.
Dico quadraca BFs. Ltur cumpla producere hyperbolam.
LXCOn
bLX29
buius.
rab
Demonstralto.
rsacor. DOnatuT ex A linea AG OCCurrenS F D lineis in C C,  A C paraIICIAFH, ve
LFCIT rectansula aequalia sinc quadracis F.D: Parec: HFL eAe in directum. Rane
icerum F B quadracis a qualia rectangula GFP: conat qusque IY eNc rectam
lincam. deinde IK rectae aquales tiane F. C; patel u RK elle rectam lincam, re-
aangula igitur IX F aequalia sunc quadraris BF. _ IK L H rectangula aequalia
quadracis fi D. ondc IK HIrecangula aquancur quadialus BP. LD. liaucemIKII.
perbolam. uouctaedemerandum.
rectangulis aequalia ponancur quadraca RI, puncta KL I ad hyperbolum lunc, igi
cur ( B F, F D quaclacis a Guatia Pertanul suacaca, paret illa quoque ello adhy.
Onacurellipleos axis maior AB, Cs CentoD, potitis quoruis diame
ErIS DE, hanE F F PAallela DC diametro coniugaca AB: e Ranc
Dico CG eAc ad casdem Hy perbolam cuius cenerum D.
Demonstratio.
PROPOSITIO CCXLIII.
Glane rectis FC aqualeS FK
describatur circulus luper
axc AB, _ PerhciaC
quadra
cum NFI, cricicaque rectangu
lum IF L ad IRL,
rellansa
lum quemadmodum cstc rectan-
sulum 2FP ad O R P, rectan.
eulum hoc estrequadratum FL
2d F F. quadracum. vnde re est
FF quadracum ad quadratum
FF, ica smilicer est ET GHI re-
aangulum ad rectangulu FTON
cum ex constructione DF An
quales L LL VEL X H, et alCeL
QuadTaTUM
aquales F C Vel FK, _ DI
rectis DL, a Guales P, FC.
ut   ss  ee e  pe es et et t e et  et e e e t e  t  e  e    s. t  e se s  s e e  te e e  te e e t e e   s ti  e  e t te et  s ltt

## Folio 659 — 1815201908:0716
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000716.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
DE
e liu
IE, N
p. tran
ectat
quali
(XH
IE,igI
dti
AIe.
Eane,
PR
ca1
ENX P E R B OL A.
3
quadeatum FP ad FF, quadearum verectangulum = A F B, ad A PB rectangulum, a 4. D
hoc est R FTO ad R FTO: igitur CFLK rectangulum est aCCCZ NLLL, ellixse
ve rectangulum R FIO ad R HTO rectangulum. ergo C, l  s.
Vbecpropolitionem pracetencem nonnitilalicer demonstrare.
boppolica habences ceuerum D. Ouod Fuir demonctrandum.
LROFOSAIIO COXLIV.
Demonstralio.
sinc oppolicae lectiones, quarum cencun en  Peel. LuoaemomLa. c EX con
dum.
CTcitaque ellipus ABC
DaXISMaIOE AB, minor D C: cui parallela
DONANTUE F HI; d rectis D P AanC aqualeSF,
FC, de L FI. Dico GC, TI eNe oppolitas se
ctiones. sealum cenerum B: BOnANEUE LIFL,
T C axi Patallelx; eric icaquo quadrarum DB.
aequale quadraris F F; E D, iricur eriam qua
deacum FC ijdem a guaot. aotact
communi quadraco E F, remanebic rectanou-
Ium GFI, aequale si Lquacao. uceten
FD quadracum ad FD quadracum, hoc est
quadralum C al  lacilat
ica est
rectangulum O F Lad OF Prectarigulum est : B. rC
LGrers E A eet bOMP
aurem e TIDF rectangulum ad EI
ctangulum id Cs E LLK ad PATKS ve quadratum F D ad YD, quadracum SVOFIN
ad TINI quadracut isitur ex CTILrectangulum reliquum ad iroctangulum, CTTIL
CH, VE QuAdEAEI F D 2d F D quadracum 5 (nam G R P vectangulum XQULaCUE re
ctangulis GTII, _ HIELLI) igicur ve rectangulum CTI ad OMI, ita FD
quadeacum adquadeacum F D, Id eA FIM ad HIN quadracum, quare GC; TI
COXFI V. SIM muS euimil..
i
1112
b. PR OFOSEFIO
edtqul rit
i C. T E eer istnt estBr
erire esOu
3111
rerestii
103.
113403 310g.. I P H3 s eleistm
hacur AB oxismajor ellipseos, cuus cenrum C: allumpro verc
L puncto quodam D in arc AB, quodincer cenerum C. d Panccuto-
ci Consticuru (ic, ducantur ex eo recta, D F. ex punctis quoque F F. po-
acu f. C Ordinarim ad axeim AB. Man alCCLEGuaICS1, CLL, CL
acopuncta HH, I l eHe ad hyperbolas oppoMras.
Demon-
t  p a se  e setestu i da sette  e sat e stte ut at ett  t t u     et    et    t a  ti u                i

## Folio 660 — 1815201908:0717
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000717.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
i.
ps.
660
11
YP E R
Demonstratio
on
dis Oe C FIMBC
LEPEF D EECtA FK Armali ad A. B, POHAHENEPErF e H corins ences cIlIptim.
LTCCtXF L, KL, occustences rectis (C: FI, in N de M: convenientigitur LL, RL
inpuncto aquodam I, quod in AB producca cAt, quonium recris D Faequales po.
sIC CunCF, CTI, _ V. CB igicur quadraca F C, C D aequalia sunc quadraris FIC hoc
eA recrangulis HIF I, rna cum quadraris F C. unde ablaco communi quadraro PC
remaneE FIF P reccangulum aequale quadraro CD, quare ve cA quadracum CD.
ad CD quadracum id est N. P. quadracum ad quadrarum N F, hcrecrangulum IFI
Ad FIFI, reccangulum. est aurem oltensum MIEM, recrangulum esse ad rectangu,
Ium NFML ve NE, quactracum ad quadracum N P.; residuum igicur reccangulum
IINL ad YINLCA, vE quadracum N P 2d N P. quadracum. igieux per converlam
36. huius exunc HIFI, YI sectiones oppoCEX. D goddemonstrandum tuit.
PROPOSITIO CCXLVI
AC MMMPICOS ABC, Locus D; astumpro aurem in adC pancto P. inter
Focum e verricem ellipleos A, ducaneur ex P. ad perimerrum ellipleos
quorcunque FF, et per F rectae ponanturF, C H, normales ad AC e
aequales F F.
Dico BHIH, esC ad eandem hyperbolam.
Demonstratio.
iX Foco D, erigatur ordinacim ad axem DFN _ per F _ N, concingens
LPONANEUE FML, NYO. divisa deinde bitariam F D in P, ponatur TR parallela
B10 D. DF. OeCMens Comingenti FM in L. quoniam igitur D FacuS CA clliplcOS, d
TK, L. Buormales ad AC, reCEX DK aequalis b cA IL, prour concinsenci occurrit:
sed DK recrx aequalis est, F K, (quia P. D in Y bisecca C() FCCEX iBITUEP R, IL
aequaleslune: se d perhyporhelimrecex P R aequalis eM IL, Prour occurric fipurae
ABFI. Punctmmigicur LCommunis iheerseccio est Agure BHTI _ lincam IR.
quadracis pt e, una cum redrangulis, fl AI C: quia verorecce ff. Pet s perenm
xquales iunc C H et D, F. X4dCd P  57 t. Guaalq F L fL quanta t Gua
oel1)C draris
FM: hane deinde OIr lineis, aequales GY: cruncigicur FIC quadrara xqualia
aas oeeoesaooaseahao

## Folio 661 — 1815201908:0718
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000718.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
A
les po.
Ho
F6
b
HPI
dASI.
sulum
ett
intet
pleos
Cd
ites
Iela
irriei
1a
IR
alia
siae
a-
is
HIY P ERBOL A
t
superane quadraca M CF id eA VF, rC.
cranoulis IIM Y. SCd F L quadraca quo.
que lIpCrANE quadraca D F reccangulo
E D CF bis TIIMIPEOABBA CII GUAdEAEOF DI
ceceanoula igieur FD E bis sumpea vna
cum quadeaco F D, aqualia sunE RCCTaN-
SuliS AIMY: Turlum si FD G FeCtan-
sulis aequalia Ranequadrata, b producene
illa patabolam, e A parabole illi adda-
CiE E D quadracum; producerc illud vna
cum parabola, Parabolam; isicur et
AIM X rectangulis E xqualia Aanc qua-
deaca, produceneilla parabolam similicer
MP O rectangulis aequalia tianc quadea-
ca, producene d illa lixperbolam; qua
addica parabola, quam AIMY produ-
cic: generabie, c hyperbolam; igieur R
FTP Y rectangulis, (que aequalia lunE
TIMY, MP O) aequalia hanc quadraca,
producent illa quoquehrperbolam: cui
li addancur quadraca PCi, Producencilla
simul Ecum hrperbola, hyperbolam. (ed
TIP Y rectagulis vna cum quadracis PO,
aequalia sinc quadraca HO, id cA F F,
quadeacaigicur F. Fi lyperbolam produ-
cunc cujus ordinatim ad axem posiex
sune P. F, id est C. H: hyperbola igicur est BH, Y Y.
PROPOSITIO CCXLVII
Eperbolam AB C cuus axis AD communis est paraa ca Gua
Constructio es demonstrario.
deacis Et G; M G: ad eoque E F quadraca
Lorca cA, redutere ad patabolam.
aco da atc Aaspeloola Occuaci
lineis BR; Aanc F B lineis aequales AF. dico
AFF esse parabolam que produxic hyperbolam
ABC: Ponacur AC lacus cransuerlum hyper
bolx; quoniam isitur AB C hyperbola ONtA Cx
Parabola communem cum illa habetaxem, re.
ctansula CB A aequalia sune quadraris BB, id
eA perconstruct. quadracis AFi, id est quadraris
AP, F. F: ablacis isicur communibus quadracis
A F, manenc C A F rectangula aequalia quadra-
eiS EF: vnde vE AE ad AF, BC F R quadra-
cum ad quadrarum PB: parabola est igirur AFF,
ex eadem ex qua orca est lyperbola ABC.
in
. ha
tn
o
Scholion.

## Folio 662 — 1815201908:0719
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000719.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
2
ALX P ER BOL A
Scholion.
sed diameter,) ispotentias linearum quae ordinarim ad hyperbolam ponuntur, transferat:
PROPOSTTIO CCKLVIII
Eperbolam ABC, quX AD axem
habet communem cum elliph ex qua
Orta elt, reducere ad Cuam clliplim.
Constructio e demonstratio.
DAECC Ex ZI9. vel 220 huius, cuius sc conuerta.
Scholion.
xperbola communem habentes axem in ellipsi exe
quaoriuntur, asymproros habent acurum angulum
continentes: intellicantur enim circulus ex ellipsis
communem habere axem maiorem, es ad illum ordi
natim lineas poni. deinde subtensae anculorum recto-
rum in circulo transferri in normales ad axem: produ-
cent illae parabolam communem cum circulo axem ha-
bentem, ex latus rectum aequale diametro circuli. Rur.
sum subtensa angulorum rectorum in parabola illa
transferantur in ordinatim positas ad axem parabola
producent illae hyperbolam, habentem latus trans-
persum, aequale laceri recto parabolae, ex qua oritur; ex asymptotos rectum angulum for-
mantes: iterum subtensa anculorum rectorum in ellipsi; ponantur normaliter ad axem,
producent illae quoque hyperbolam, habentem latus transuer sum aequale axi ellipseos, adeoque
ex aequale, lateri transuerso hyperbolae; ortae mediare ex circulo, cuius diameter, axis
maior est ellipsis; quoniam icitur hyperbola orta ex illa ellipsi, oedinarim posit as minores habetu
quam circulus eodem axe descripeus: patet illas minores quoque esse ordinatim positis in para-
bola ex circulo illoorta; ex mullo minores, quam hyperbola ex parabola illa orta: Se d hyperbo-
la ex parabola sic ortam asympeoros habet anculum rectum formantes; icitur hyperbola ex el.
lipsiorcas eundem habens cum alteraaxem, es latus transuersum commune, asymprotos habet
acutum continentes ansubum.
bolalarus transuersum aequale habent lateri recto parabolae; adeoque cum C+ F. A rectangula
Oca: propositione hac nos illas reducere rantum voluisse hyperbolas adparabolas è quibas
orra, quae communem cum parabolis axem habent: id est hyperbolas rectas, illa enim ex
parabola producuntur, per translationem linearum A F in F, P. B: un de omnes illae hyper-
aequalia habeant quadratis A F id est BF: Unde hyperbola ABC asymprotos habet rectum
continentes angulum: si quis aurem volet reducere hyperbolas obliquas, id est quae oriuntur
ex translatione quadratorum AP. P. F., in quadrata P. B (quando A D axis parabolae non est
quam materiam ne lonsior sim. Audio omittendam duxi.
bdrollattu.
Imili pratie Mechodo reducutar DaFaBOIL 2d parabolas, d circulosC quibus oriu.
Dcur modoille communem cum parabolis auc circulis e guibus oriuneur habeane
axem, reduci eriam pocest parabola ad elliplim ex qua oritur, vei proDo(ic. 333. de pa-
rabola ostendi, (e d praxis illa requiric cranstacionem lincarum secundum pocencias.
PRC

## Folio 663 — 1815201908:0720
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000720.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 84 lines, status machine
quibut
m ex
hyper.
angula
ectum
non est
ferat:
arem
Pqua
na.
sipsica
recto.
prodl
Eu
l illi
abolui
transa
nso
rem.
desque
Wt
habeti
1r4
erbo.
et et
habet
1I.
Cau
EP2.
IiaS.
O.
et Y P E R BO L A.
L OOdiLl Calita
perbolam quamcue ccese aa aspetbolam culus dstptota
rectum concinencangulum.
Construetide aonstration
 abioi
1e
A B lacustransuertum hy pertola C B. D di ordinatim dd AB, POSEG SnCHO.
DC OcCurrenceS A B in Pi _ MI. et saC A I B rectangulo equale quadratum F. I.
vel PK; icem AM B rectansulo aequale M F quadracum vel MF. Palecex 60. hu-
no typerbolam elle F RBIF cuidoalsioitectum concinem qusulum.
corissre resiSoholion.  ACIE, NsON si
4 ler 113. e5 il 1
let
x praemissis propositionibus manifesta es pa qua ex hyperbola engna sectiones educt
possint, quae communem cum hyperbola axem habent: sit enim ABC Dperbola; (vide
fieur. 147 huius) curus axis A D. et a symprori rectum anculum continemt. s L P. ordinatim
.S vero AB C hiperbola asympiotos babeat acurum obtinentes angulum: P. B ordinatim
ad axemposita si transferancur in AF, constat ex 148. huius A F. F esse ellipsim.
Caererum innumerae pene supersunt praxes educendi parabolas, cals es. Circulos, es hyper-
Vola, a quibus consultus abstineo, ne multitudo lectorem fatie et, contenm, Nam satis amplan
ex praxes plurimas similes Parie hac prorulise; quas industrius Geomerta, au insnitas pene
extendere facile poterir.  ssese n issi sesq raliu o 
etrsysetatitos i
daet dn losse
enrod90
1
AiLE BB. HEINBIBE
erbis reaciun enalbos dle cup.
uimtsrit euriseiee omuen io nn
ters int cerihan rritach 2omi sompelli 10g0go C, rtus, jsum
i moiniicotum  vhion nngum invorsmremas poml) nioqu
runii aebr artiroi elges orie aistior ea votealu
ue
ee
sseragu abiseieis it  mau
aetiito allisu
i gteem nhmtora sosseroerssari cou eaoisu). P. estrro one
odi tsiit chrlurelidM. sveitecarmnna omt iilbrai
idu socat, ircun
tu 5053. Lgagpavel erin, menus
sive cumm mesead essensib enamon
2s cuered up uiisirem eitouen doik chicavile
Eitueus Yl 
6eire
lrie a. .
an
cliii ent oif ta
posiras transferas in AF: patet AF F esse parabolam.
1. 33).
 B L.  Cd erc.D BE B H, CLI
BLBIMSII
manar isse caspn a m aledmqhuosso, mornus ii

## Folio 664 — 1815201908:0721
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000721.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
664
A R GV M E N F Y N.
Istud studio in hunclocum, praesentem tractarum, qui de convenientia de
bolizatione spiralis linea cum parabola; seu coni rectaneuli sectione
eractat, ve coronidem imponam sectionibiis conicis; quas huc 2 sque ex-
nere lucubrationibus hisce conatus sum. Admirada certe sombolizario ex
similitudo est harum duarum sicurarum parabola nimirum e spiralis, quam excoei
tanie acque suo incenio commencus est Archimedes. Ee viam sibi sterneret ad ciiculi
quadraturam exhibendam: quae res me non exieuo temporis spatio, sollicitum habuit,
neque enim vei hac hora, mihi im animum inducere possum, quid moverit Archime.
dem, per (piralem lineam, circuli quadraturam indaeare: maxime affirmando, eius
contincente inuenta, repertam quoque Porelineum rectam, quae cum circuli perimetro;
aequalitaris rationem contineat. methodus enim demonstrationis, qua archimedes in
hacmateria xtitur, 2 sque adeo scereta est es inuoluta, ve mihi nunquam occurrere
poruerit, qua ratione archime diinciderit; per contincentemspiralis linea; deveniri
posse ad lineam rectam reperiendam, quae perimetro circuli sit aequalis; qua erenim as
finitas esse potest, spirae cum circulo, maxime si contincentem enus conferas cum peri-
metro circuli : ante annos circiter eviginti quinque, cum in speculationem, quam expli-
caremtendo, incidissem, plane mihipersuaseram verissimam me reperisse viam; qua
Archimedes adinuenit, circuli perimetrum aequalem esse linea illi, quam contineens
Siralis assienat: illo renore qui ab eodem authore libro de Spirali declaratus; sed ab hac
opinione me semouere conatus est anno vie esimo quinto huius saculi, P. Christophorus
Crimbereerus, P. Clauii (cuius ex exo per aliquot annos domesticus auditor fui) indiui-
duus comes, cuius opera (lauri lucubrationes, maenum pondus ex auctoritatem ac
quisiere: vix enum sequentem Reculationem eidem viro explicueram; cum subiungeret
eamnimis pulchram sibi videri, quam vt archimedes suppressam eam voluerit, quae
pulchricudine suasi non excederet, saltem non inferior esset archimedaea contemplatio.
ne, quam posteris de spiralis lineae natura reliquit. Nihilominus difficulter à persuasione
mea semoverime patior; tuum ixitur benigne L ector, udicium exspecto ex roco 2t be-
ne perspecto, quem subruncemus discursi, sententiam tuam libere eloquaris; donec alid
tibi via vel ratio occurrerit, explican di Archimedis arrificium quo connexionem peri-
metri circularis, cum lineâ per contincentem spiralis inventâ, repererit. Antiquis enim
valde solenne fuit, artifieum adinventionis celare, quo admirabilior euaderet propo.
sitionis veritas, celata methodo, quae ad erus coenitionem peruenendi viam fecit. In-
tentum itaque praesentis partis est, ostendere parabolae naturam eandem esse cum natura
Spiralis
TMI

## Folio 665 — 1815201908:0722
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000722.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
ilitu
sectione
(Gueez.
Ratio 
d Criet
habur
Irebi
ab, eit
rimet
nedlsa
Eeuria
devent
mins
tim et
labea
1o
ub
et
atuIa
sirali
665
palis freurae, ex proprietates omnes, ab Archimede in spirali figura ex pas, 
riri ad oncuemetiam in parabola, es per contincentem parabolae, etia pat to
qua per tancentem spiralis, posse assionari lineam perimetro circuli aequalem. Orate-
muritaque Comparationem ipsam; orisines veriusque fieura inter se conferendo. dein-
de sinculas propositiones rum ab Archimede, tum etiam à P’appo Alexandrino allatas;
quae de sporalis fieurae natura tractant, parabolae adaprando.
P ROBOSITTO PRIMA.
Pira _ parabola in ipla gereli mira limilicude Oscendicur.
Spirarum gene sim hane tradit Archimedes in libro a pct
bus definitione prima.
I in plario recta linea alcero rermino cianente, aequali celeritare cir-
caredear deinceos co vndeprofecta est: Simul vero cum linea
circumnoluca feracur punctum pari relocitare sibi ipsi, secundum re-
etam lineam ducto, mocus inlo aimmobili cermino: iltud punctum
lineam spiralem in plano delctibet:
Aca lic rectalinea A B quX manentE puncto A et vnitotI ccleritiee in axtrant
roucacur donec in cum locum redear, a quo moveslc pelal. Cocen verotem-
poce punaum A percurrac ryiformi celericare rectam AB, llaDe A non prius per-
veniat in B quam recta A B, priniam reuolurignem peregerir. Lelccue cut punctum
A morunequo rectoneque circulari, ledcompolico exverogue. Ceam compolo
illomocu puneti A delcripeam Archimedes spiralem vocar uo unacus B HI, ipS
ABxqualis, d punctum B percurrac rectam BHI, code cempore, quo atteme pan.
eto A recta AFLin orbem verricur, describerur spira se cundle reuolucionis cundom
in modum describerur spira reuolurionis cerrix, quare acquellaum.
piainasespieauim orisinesi acdorisinem parabolae pcautant.
PP
APPLI.
u    stet  pet et at   e e e te  a e    t  ue    a t.    l     B

## Folio 666 — 1815201908:0723
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000723.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
 2
( e e tit ste  t  i  e e
660
SPER ALY
bunc Caperpetuo in niocuillo lectx AS, RO in punctis D, D.
Demonstratio.
rmacur quoduis punctum in.
ersectionis D. quando igitue
AS, RO, se intersecane in pun-
a0 D, AS quidem peruenie in
G, R O vero in F. EC quoniam
rniFormi CelCFICAEE R O FCrEUT
per AB rectam, cric (guemad-
modum ex pritma Acchim. de spie.
Facile colliges) AF ad AB, ve
TempuS, GuOPCFCUErIEur AF ad
cempus quo AB. Rursum quo-
niam AS vnitormi celeritace
percurric BB, eric B C+ adBB ve
tempus, quo percurricur BC ad
tempus, quo percurricur BB. Sed
AB, B B ex hypochesi perCurEun.
cur eodem tempore quod pona-
tur esse a: item A F, B C tempo.
re eodem percranlcuneur, quod
Donatur ese B, cum R O recta
cum perueniacin F, ee A F S in O,
quando le muruo incerlecane in
D. ergocam AF ad AB, quam
BGad BB, est vecempusa ad 6.
Ergo AF Cst ad A B, vE BC+ ad
BB. Eroo dividendo AF est 2d
F B, hOC eA AF ad T B, veBC
ad ErB, hoc est quetaatiodum
nenre puncto A nto, lepraleneae, morum circularem rectae AB qui AE in spIrAII
manence puncto A: morus alcem tecla HO pec reclam AB, sempet aa BB pa
rallelus
Reum REErianOuL A B GB, cuins laEUS AF B. produeatur intini.
te versus S: per vercicem anguli A, aucta (IE R G; patallela BB eF=
iam inHHITa, ux mocu iniformi, ex le pet manens ad B B parallela, Fe-
ratur per tectam AS, donec conoruat IIIEx B B: eodem dutem cempo-
ATB. Sedhicmocus sic perasi debet vt AB, BB in a que mulcas ae qua-
les parces diuisis, quo rempore RMam aequalium partium rectae AB
abloluic, eodem erium, A B S aboat als aequalium parrium rectae
re linca ABS, manence puncto A, MOUCAEUF dONEC COnGTUIAE rectR
BB, _ Sic deinceps, hac aucem rnitormicas non lumitur secundum uni-
Formitare morus secundum luas parres, sed secundum parres spatii quod
per morum decurritur. Quae parres xquales incer le exictunt. Incerleca-
Dico intersectionibus illo mocuactis parabolam describi.
pateE Ex elemetiris (quotiam BB, R 9, sunE paTAHIEIZ) ve FB aa D Y. FreO
Det s’Archimedis de quadrat. Parabolx punctum D es ad parabolam. Simill.
cer oltendimusotunia puneta incersectionum DDD elle ad pacabolath. vod etab
demonstranan. le equos eta
et cidlid
SIdicaidinetn porro sC BAenidemus: Mocus recta ABS Ber lineam BB, Ma-

## Folio 667 — 1815201908:0724
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000724.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
nhia.
3B et.
dla, se.
mpo.
cellae
_Gu3.
CAB
recta
AVnI.
quod
exleea.
igit
n pun.
enic1
iat
Fercu
e
emad
despit
que
rieale
BB11
6 ad
ette
al
B6
M
at
H2.
ull
2.
u5
21
11
PIR AL TS.
a 2is
rallelus exhibee Auxum puncti A in spirali per rectam AB; punctum igieur A in
Parabola retere principium spirae A, recta AFB vel ATB, cam qua est princi-
Dium circulationis, nempe ipsam AB; linca BCC+B peripheriam BCC B primi
circulis singulae vero parallelarum F.DY peripherias linsulass qua primo circulo
concenericx per singula linex AB puncta ducuneurs lineae aucem AD C. (parreS
ipsius. A S) diameErOS AD C repexlentant. Ex quibus consequens est spiralem
iplam AD P a parabola AD B, ex circulum primum a criangulo B AB adum-
brari.
Videsisitur, nisi fallor amice Lector, quantum in ipso orru; atque à primis (~1 ita loquar):
incunabilis symbolieent spiralis es parabola.
eROeOStFIO It
IIdem poHI, nrum Rgura parabolica, CumatuF BP, ip( AB X-
aqualis, ductaque PFTK FT parallela ad BCB, occurrac illi in HI recta
A TBZ insinica, iam consruens ipsi AIB, RatGuE FTK EI aequalis ipsI
eHI, d iungatur AV HI. Deinde quo cempore ABIIZ, manente puncto
R, monerur bniformi celerirare per lineam FIIL TT donec congruat recta
ATVHI, codem infinita illa linea R G, iam conoruens ipsi BB, moru
semperruitormi ee ad rectas BCB, PHI parallelo percurraclineam BP,
dOnCC CONGTHAE FCCEX P HKFI. Incerlecabune irerum le perpecuo in
punctis P.
Dicointerlectionibus TI, illo mocufactis eandem parabolam conci
nuari.
Demonscratio
Ssumacur quoduis Y punctum, eodemque plane discursu osteHCHIIS CHC, BO
AB aucem sic ad BP, VE P HI ad FIKHI, Cum ex constructione tam AP, quam
Lid OP, hoc est YV ad VHI, HITR a RH, quo PrOPOL. F. OItCNAIMIUS
AT eNC ad TB, ve BO ad GB. Deinde cum A Y SC ad YHI; VE AB ad BP
P, KFI bisectae sinc in B _ FI, CaI A L est ad YFI, ve P HT ad FI, RII. CCd YII
CM ad VFI, vC EIKHF ad R el. sam enim ostendimus diuidendo ZY eAc ad VH,
e   i letat det  se te s e  e te a et  e p e it at sot at t  t pet      i   tt ete st e  t     e . ee    e t   e    i

## Folio 668 — 1815201908:0725
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000725.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
PTR ALTS
C .L est adV HI, vePF
ad R Fl. quare cum eriam YV
sIC ad VHI, VE RR ad XHI,
Cric per 24. 5. TOCa AY V ad
V FE, VEFOTA PFHIK IT adRII,
hoc est ve OL ad IV. Ergo
Per 5. Archimed. de quadra-
cura parabolae punctum L, el
ad parabolam. Similiter osten-
demus de omnibus TP puncto.
Punctum quoque B ad para-
bolam, esse es manifettum
nam AX est ad Z TI, VE AB
ad BP, hoC eA, VE P H al
TE, KFI ( quia veraque AP,
P, RFT bilecta cAt in B dc H)
hoc estre BCB ad BX. DC-
nique quod sinc ad candem
Parabolam, inde patee quod
Omnes linex AC, AI Cx CO-
dem puncto A corediantur.
VeraioieUE SUnE, quae OpOEEO
bac demonstrare.
APPLICAFTC
PARABOLA.
Epraa legmencum parabolicum secundum B H Y A, (pi-
ram ex lecunda reuolutione: criangulum vero II AHI, circulum se-
cundum; recta HIK HI perimerrum secundi circuli, BHI, YHI, BP sccun
dam in spiralilineam BFI reterunE.
Ouod si Cumpra PS aequalirursum ipH A B, ducacur parallelaS L. cul
OCCUrrAE A Y, HIZ in L, _ Facta LNI dimidia ipsius SL, iungaeuE
A Xa L, accum moveri perganemodo supra explicato inhiniex illa lince
RL O, ALZ, luis icerum incerfectionibus MMI concinuabun eandem
Parabolam, de seomentum quidem AHI L. X A repraesencabierertiamre.
volutionem: criansulum L. AL cerrium circulum reteret: Aeque ica
procedendo vlcerius iuxca methodum iam praeseripeam, quarram eriam
ee quincum renolutionem, de sic deinceos in infinirum in parabola exti
bebimus.
Oux cum ita Cinenonne iure meriro spiralem esse dixerim cuoluram
siuc expantam parabolam? Veriim id planius adhuc Rer ex lequeneibus
propolicionibus; nihil liquidem de spirali vel Archimedes vel P’appus de.
monstrarune, quod vicissim in parabola non exhibebimus. Ouod prius.
quam prolequamur, lubet duobus adhuc sequencibus Theoremacis can.
dem analogiam amplius declarare.
EX X VE IYR ALRFL.) ErGO XqUA.
I

## Folio 669 — 1815201908:0726
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000726.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
qud.
CPH
IXV
RH,
Vad
NH,
Ergo
ladra.
L, est
Octen.
nctio.
PaTA.
um,
EAB
L dd
AP,
dH)
De.
ndem
quod
eX CO.
ItuI.
Orta
d
1B1
Ale.
CHn.
Leul
acuI
Inee
DeM
110.
E ita
iaM
alia
CaM
de
iul.
aA.
1I1II
SD FR A L YB.
PROPOSITIO IH
punctis Cis e ex principio lpira  au ptera GcotuissC-
etxe AC, lecances (piralem in D.
Sic praecerca parabo-
la AD B, cuiuS Can
sens AB; Cubren(a ATB;
diamerer BB secta in aeque
mulcas aequales ac Fuie
secta perimerer in pun-
etis G: ducancurque ad
puncta C rectae quoruis
AC, secances parabolam
In D:
Dicoomnes rectaS AC
in parabola, similicer sectas
esse a parabola, ve rectae
AC in spirali ductxe a spi-
rali divilae Tunc.
Demot
DEr D duc aIAHICCC FD L,
sivc (quod idem est) paral-
lelam ad B B. AD est ad D C.
VE AT adT B, hoc est per 5.
Archim. de quadratura para-
bolae, VE FD ad DY, hoc est B,
ve BC ad C Dshoc est (quo.
niam eam B B quam periphe-
ria primi circuli ex hypocheli L e
Aca lEspiralis AD B, cujus primus circulus divisus sit aequaliter in
stratio.
Xe X
2447
a

## Folio 670 — 1815201908:0727
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000727.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
1IIII
670
SPTR AL15.
divisa sunt in parces aequales aeque mulcas) ve arcus B C ad arcureliquum G cC B;
hoc esper r9. P’appil. 4. rem spirali AB, adDC. Ergo a primo ad vlcimum in para-
bola AD est ad D C. ve in spirali AD ad D C. Ouod crac demonstrandum.
Hlinc curtum collise analogiam veriusque fguPX:
Punctum A ut Palavista
Tansens AB, e subcenta AB.
Diameter BB.
Friangulum BAB.
Rectae ADC in parabola
Scomencum parabolicum AOB I.
Principium spIKX A.
Rectam in spirali peuamt ALB Gua CC.
ia caula cA cur lcccta B POaTUI.
Perimecrum primi circuli B CF B.
E Primum circulum.
E RectaS AD C in spirali.
Spacium spirate ta A
PROPOSITIO IV
Ecur spirx secunda revolurio BLH, Srque secundus circulus HKK,
aeqdalicer sectus in punctis LL: ducancurq; recte AK sccantes spi-
ra in L. Poluls deinde in parabola ii (dem que propolirione terria, lumatur
erangence producta, B P xequalis ipH A B; _ Cx P duc diameErUM P HK A,
cui ATB occurraL in TI. Tum FIFI seca incoridem xquales, in punctis
K, in quor lecta Fuir peripheria secunda, ducancurque randem rectX AK
secantes parabolam in I.
Dicorurlum omnes rectas A KE in eadem proportione secari a parabo.
la e spirali ex secunda revolurionenata.
Demonstratio.
DEr L alcacur diameter OTV. TTKN eA ad RDH, M AICUS HKCK P 40 2l.
cum KBFI. limilicer enim veraque lunc dinta. Led lRLdd LI, M adus
FTKaK ad arcuM KBFI, Scur colliges ex Pappirg. lib. 4. idem enim discursus
Tacir pro reuolurione secunda qui proprima: erso recta EK a in parabola est ad
XOFL YC
 tue use ut es ste e  e e i    e  t e u  t   t te A i te  e  et ete es e t  s te  te e  e   e l t su t      t su  

## Folio 671 — 1815201908:0728
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000728.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
W CBi
UXCI.
Mratu
RH
spi
natu
RA,
2t
AK
abo
rECuS
20
4, XE
SL LR 
quod erit i memoriam, ecuo-
eandum cum paulo Poll ex a-
quo argumencabimur; ergOCE-
jam componendo _ InUERtCN-
do TTDKN CA ad TIFI, ve
GTa:
dTTH ipB
PFT, X AC ipS CK ex hy-
PeFS. AEchim. aC GeactAC. Pd
xabol. IIV ad V ATI, hoc cA
in parabola n RI ad I A. FrgC
ve in spira pK I2 ad IA, Sic
in parabola RL ad IA. 9u00
erac demonstrandum.
Deinde ex Maletio
producta plures (UANEUE X
quales ipsi AB, VE P S, _C. d
ex puncto S ductâ diamecro
SNL, cui AV TTOccurrat in
L, ducaneur quorcunque recte
AN, secances parabolam in LLC
MIM. ex diamerri parrem L I
in aequales parres in plinctis HY: ducantur ance ex in spira reuolurionis tertie FIMM
quoruis rectae AN Cccances similicer perimerrum cerrii circuli in punetis NI, NV, 2C
lecta Fuit LL, spiram vero in punctis MM.
Dicorursum rectas omnes AMEY simitu a a Palaba Ma CHC.UB
similitere discurlu demonstrabicur quo prius.
Exhis, limilicudinis (cema de duco huiusmodi.
Scemencum parabolicun, BH Z AB.
Triangulum HI AII.
Recta HHI.
Singula recta BLL, LFL, BP.
Rectae in parabola A IR.
Scemencum parabolicum H L. X A.
Recta LL.
Singula rectae IL. LL, P5.
RectE AM N in parabol2.
HBTT, vE pRI~ 2d  TC:
pocheli aequalis est; ergo FTDK
eA ad TIP, ve GI ad A C:
Ergo exxquo HIKN est ad P HI,
vE pR L2 alt A C. erGO PeF
24. 5. LLLK CA ad RF, vi
KI2 2d TA. sed vE FIK N ac
RP, AC VL, 2d TO, hoc eAt
Friangulum L AL.
Secundum spirale spacium.
Sccundum circulum.
Feripheriam secudi circuli HR ALL
Rectam inspira secundam BFI.
Rectas in spirali R.TR.
Terrium spirale spacium
Tertium circulum.
Perrii circuli peripheriam LMNY L.
Terriam in spira rectam ITL.
Rectas AMN in spirali
ut a  ti s t ti ut ett ( t   t   t t a  tt a e t t  f  t  t      e  t  sta  t e et    a    t      t  t u

## Folio 672 — 1815201908:0729
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000729.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
PTR A L IS
eROPOSITIO. V
Pappi propos. 19. collectionum Mathem. l. 4. applicatur parabola.
Anc praemiero Archi.
medais, quod primam
Spiralis proprictarem, ex ipla
eius detinicione immediare
prottuencem contincat. Pap.
pisensushic est:
Si ex spira principio A. ad
Peripheriam circuli ducaneur
reCEX AB C spiralem (ecan-
CAS D C ad ATCUM CNID.
VIE parabola ABF, cuius FaNGeNS SIE
a AD, (MbEenCa AF, ex F vero ducta
diamerer E D occurrens tangenti in D.
Ducancur aurem quorcunque rectae ABC
secanres parabolam in B, e diamerrum in
C. Ieaque punctum A, in parabola, prin-
cipium (pirx A, dIAMCTEE VeTO D E Peri
metrum circulirepraesentat.
Dico AB esse ad BC, VEDC ad CF.
Demonstratio.
DEx B ducacur diametex GBF, hoc eAt paral.
leta ad D B. Per 5. Archim. de quadr. parab. ve
OB es ad BF, AIC AF ad F F, hoc cA AB ad
BC: sed ve C B ad BF, siC DC ad CF. ErgO
AB elt ad BC, VE DC ad CF. Conneniune isicur in hac prima proprietace
helix de parabola. Ouod crar demonstrandum.
Fuius propolitionis demonstrario fere in prxecedenti demonstratione involui-
cur. Placuic eamen cam scorlm applicare, quod Pappi (c, de primam spiralispro.
prieratem concincat.
PROPOSTTIO VI.
Archimedis 12. parabola applicatur.
Bhac Archimedem delibare incipio, quod prima lic earum, quibus
lLspiralium propriecares demonstraneur.
Archimedes Sichaber: Si in spiralem una quidem circumnolurione de-
Scriptam à principio spiralis (A) rectae guortibet (AB C) cadanE que X qua-
lesincer se angulos (D AC, C AC, C AC) concincant; se le mutuo x qua,
licer hoc est excestux quali) excedenr.
S in B
AB est ad BC, vra
APPLICATIO P AR ABOL A.
e ttot12t13e 15 16 2710
111

## Folio 673 — 1815201908:0730
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000730.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
chi.
ram
ip(2
iate
Pap.
ad
CdR.
S sI
vetd
D.
BC
min
rin.
Deri
CF.
ral-
2180
Ca1B
13
de-
14
SPYR AF +S.
APPLTOATIO PARABOLE.
VIc pataBola AB L. quam rangat AB, Sccer vero D F. conveniens cutm
arangenre in D, e Parallela diamerro, iungacurq; AF. Sccetur dein-
de DF. in Guortibet parres equales OC, CC,. CC, d ex A ducaneur
quorlibececa. at de deplatental perimetrum circu-
li DC D; aequales verO reCtX DF. partes C C, reterune xquales ansu-
l05, luc arcus aequales CC; rectae tandem AB in patabola qua pro-
cractae abscindune a quales patces CC, exhibenelineas AB in lpirali X-
quales ansulos (IVC arCUS COnLIMENTES.
Dico AE aqualium sui parcium continere vnamplus, quam lecun-
da concincat AB; secundam vero AB aequalium lui partium complecti
unam plus, quam contincactercia AB, e hanc rursum parcium lui e.
qualium unam pluscontinere quam continear quarta. e sic deinceps.
monsorte.
BF, Ut DC ad CL. ACd PerS. Archimed. de quadr. Pata0
etia A F est ad L L, M C B ad BF. ErgO A F cst ad F F,
qualicer secta in partctis C, etiam P A in punctis Faequa.
licer ese diunam. Aeque inde vlcerius ob rectarum C BF
requidistaneiam est mamlectum singulas ABC lincaS 2
Pacallelis (BF lectas ese equalirer. Perspicuum itaque
est AP unam plus aequalium sui parcium continere quam
concincat secunda AB; sccundam verd xqualium lui
parcium complecti vnamplus, quam concincacrertia, et
sic de exceris. Sed cum in spirali A D, A B, AB, sele mutuO
aquali excessu superene, etiam prima AD ae qualium sui pareium Concince vnam
plus quam secunda AB; ec haec aequalium sui parcium ruam amplius quam cercia
AV et lic de careris. Ectucixicur ly mbolicane spiralisec pacabola. Quod erae de.
DE puncta B ducancur CB F parallelx ad BL. 
nramigicur parallelX sunc DL d L3  al
ve DC ad CF. Parecigieur ex elementis cum DF SIC X-
onctrandum.
494 3 1 al 1
d
C
   su e  u at ee tie e  e e e a uite es  t e   te te a et t t e e  t ste e  a e te e u ut   t   t et t  e  e  ete  t  e   e t 

## Folio 674 — 1815201908:0731
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000731.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
PIR ALI5.
PROPOSITIO, VII.
Archimedis r4. applicatur parabola
a revolurione orcam incidane dux linex (AH
VIE parabola ABF. quam
D carisaF AD, secet vero dia-
MCTEF DE; IUnGALUEG) AF. P. X
puncto A cdUCANEUr rectae
AHG ABC, de per punctat,
B ducancur L. HTK, FB C, P2.
Fallelae ad D F
Recta isicur AP circulidia
MCtruM AD; FCCTE VerO AHB
ABC, ductxe a principiolpi
EX ATTI, ABC repraelentant,
linea aurem DIC C, retere peripheriam D C l ac proindercetx DI, DC
arCUSDMI, D MC exhibene. Denique parallela L. HI K, F B C reterune
circulos concentricos (cu parallelos V HIK, FBC:
Dico AL esse ad AF, ve DIad D C: plane ve in spirali A L erat ad AF,
SICUT arCUS D M I ad arCuM DMC.
Demonstratio.
DExS. Archimedis quade. parab. VE AF ad F F ita R FF est ad FL, hoc eA D Tad
TE: _E VE AF ad FF, ita C B cA ad BF, hoc cA DC ad CR: Ouare ex ele-
mentis pacee AF ese ad L. F, ve DB ad LC. Ergo hic erium conveniune spiralis et
parabola. Ouoderar demonstrandum.
metrum, vique primi circuli (in LeC) eandem rationem incer schabe.
buncita in spiralem incidences, quam arcus circuli medis intertermi-
num pirae (D) ee limices lincarum ploductarum in circum ferentia Factos.
Cumplis in consequenria arcubus a line spiralis (hoc est quam arcus
DMLOMC. 
APPLIC ATVR PAR ABOL A.
in spirat
oquod principium est spiralis, et producantur ad peri-
Ex quO SEquituE, SCENEO A per Be HL ducanur circuli F BC, L. HK.
Suoc L uc ad AF
TCUS DML ad arcuM DMC.
ee  eee e5a o 12o 131
P RO
 

## Folio 675 — 1815201908:0732
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000732.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
Dett.
labe
exmi
CtOs,
relb,
HIB
uam
dia.
E
ecta
aH.
dia.
HI,
ant
C
une
1F.
ad
elea
158
S DIR A L. 15.
PR OPOSITIO VIIL.
Archimedis 25. parabola applicatur.
Tinhelicem in secunda renolurione Fa-
LDCtaI ReCtX (AO, AR) ceciderin à
principio helicis, eandem rationem hu-
iulmodi recta ad invicem, quam dicti ar-
CUS(BXKE, BX L) cum eora circuli (BK L)
circumterencia limul alumprahabebunc.
HIoc est AOeriEadt AR, VE arcUSBXH
cu cora peripheria BXH L, ad arcuB X L
vna cum circumferentia cora BXHL.
Ex quo lequitur, (I CeHETO APeF P X R
ducancur circuli OM, RN, rectam ANI
Fucuram ad AN, vearcuS BXK cum cota
peripheria ad arcum BX L. cum cora peripheria.
APPLTCATVR PARABOLA.
Parerisicur ex 4. primis propol. huius, segmenta
Parabolica AaB, BR F. F reterre spiralia ordine
spacia. AL B quidereterre primumi BR F. F. vero
secundu: Rectam quoque DB exhibere periphe.
riam primi circuli. Producatur modoD Bin t.
Ouoniam AEI bilecta est in D, etiam AF bise-
cracst in F. Duare cum per 5. Archim. de spit. DB
(icad BF, vE AF ad F F, etiam D F bilccta est in
B, ee aequales sunc BF, BD. Cum igitur DB re-
Ferac peripheriam primi circuli, reterer eriamm BF.
Ducantur deinde reCFx AG, AR SCCANECS D2-
rabolam in O _ R, rectam vero DBF in K, de L; ex quoniam tam BF
quam BD, ve ance ostendi, retert primi circuli peripheriam, eius partes
BK, BL reterenEDrima pCciphCrIK ParTeSB XKE, B X L. IEAGUE FOTZDH
retere roram peripheriam cum arcu BZ R, _ rora DL. toram peripheriam
cum arcu B Z L. Denigue per 3, d R ducantur parallelX TM, V N, qua
extribebune peripherias MIO, N R. RCCEX AUTCM AMI, A N CINEA, T, AV,
repraelentabunt in spirali reCtaS AMI, A N.
Dico AM este ad AN, sive AT, ad AV, veD KE ad D L.
Demonstratio.
A RN, AC DF ad F I. Sed per 5. Archim. de parabola, ve T9 ad OM, AC
AM ad HI F, DeGUC VX Ae AH, HC AH adt NY F: GHIARC DE AMI ad MR, SCDR
ad RF; et AN ad N E, vE D L. ad L F. Parer isicur ex elementis AM esfe ad
AN
Aca Ec parabola AB F. cuius diameter (IC
EHI, cansens AH, qua bisectâ in D, ex L
Tac DB parallelam ad HF, iungancurqi AB, AF.
Vin paralelae (InE, YNI, D FS Crit Y O ad OM, DE DK ad RF; vEquC V R
ot  e pere sti et e i t ete   e te  e te e t      et e tet e te a et  e e  t   t st  et  e    ti     et e  te   e        

## Folio 676 — 1815201908:0733
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000733.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
676
SFLKA, L15.
erat demonstrandum.
AN, vC DK est ad D L. Frxo hic etiam (ymboliz ant spiralis de parabala. Ouod
Corollarium.
Ei Lhisperspieuum est, ArchimedisMancum quol proposicioni i5. Subiungicur
eodem plane discurlu posse accommodari.
l l estede2t 122
rohimedis td. aspucatis Zat aocia.
Tspiralem ex prima circumuo.
lurione ortam recta linea (BF)
cerigerie in termino spirx (B:) à
puncto rero quod est principium
spirx, quaedam (AF) ducatur ad
angulos rectosei, qua est princi.
Dium circumuolutionis (nempe
AB) ductaincidet in tangentem,
e iplius que parsmedia crirsnem-
De AF) incertangentem de princi
pium spirxe, xequalis erie periphe-
ria primi circuli (C C.)
Acque hoc es illud cheorema.
quod tractenus Ceomerra admi-
raci lunE. NOSquaratiONCCONVE-
niac parabolae vidcamus.
APPLTCATIO.
VCaEuE AF ad anguloS rC.
tosse AB, describaturque
parabola AD B cuius axis (IE AC,
criangulo ABB spiralem, cuius
princi.
cangens vero B A. Ducca deinde
BC Bparallelaaxi, inferius Occur-
rat parabolae inB; iungaturque
BF parallela ad B A. Denique pe.
sipheria circuli de recra BB in X
que multas aquales parces divi-
dantur per reCTaS ADC. Igicur
perpropol. 3. huius, FCCER ADC
in spiralt de patabosa milicer ab
veriusque perimerro in punctis D.
dividuneur. FX GuO PaTCE rectam
BC B, prorlus peripheriam BCB
reprelentare: circulum vero d
aeeoenesra eeeeeo emao

## Folio 677 — 1815201908:0734
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000734.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
d
Siedt
(BF)
3. 18
Muo.
Dium
Ur ad
anci.
pe
Cem,
ReM.
inci
ple
CMa
AIMII.
ll6.
112.
que
AF,
ndt
e
1
dC
D.
2M
DPFR LL FS.
principlum  Ccnsus B, a pald-
bola, cuinsicem A cA qualiprin-
cipium, B aurem cerminus, apristi-
me extriberi.
Tansac iam parabolam in ter-
mino luo B recta BF OCCUEECHS
axi F. A producto, in F, aufereE
haeC ab axc productO peF 35. L. COH.
rectam AF, aqualem ip(I AF, hOC
estipsi BC B, qua ostendimusre
praelencare peripheriam circulis
plane quemadmodum cangens
spiralem in cermino spirxe B, au
ferebar ex eadem linea aequalem
ciulde circuli peripherie. Non mi-
nus isicur parabola, quam spirali
convenir haec propriecas. Quod
erac demonstrandum.
Ouod (I AF sive BB aequalis
ponacur peripherie primi circulis
eransferaturq; parabola ADBK
ad parcem alecram in HI, (quod
hec ( ex C puncto medio rectae
ABcrIgatuEprOaxC OHI quxe (IC
quarFa parS AE, GIVC AF. I AliteT,
e Forcasse adhue maior oriceur(r-
milicudo. NNam (i BF tangaCpaTL
bolam in B, dico quod abscindat
AF aqualem peripheria primi
circuli. Producatur enim axis GHI
in IX; Crirque per 35. L. COn. KG
bilecta in FI, adcoque CR dupla
es ipsus GFT. F A vero de F A du-
pla iptuSKC, cum F A SF ad R C,
vE AB ad GB. EroO F A quadru-
pla est axis HIG. Sed criam AF,
hocest exhypocheli peripheria primi circuli, ex constructione quadrupla
ciphusHC. AEquales isicur lune, recta F A, qux aufertur a angente
Parabolam, ee peripheria primi circuli.
Jam sublumo: ac qui recta, gux spiralem cangic in eodem puncto B, ct-
jam abscindir rectam AF aequalem peripherix primi circuli: omnimoda
isirur verimque similicudo. Quo doporrebaroltendere.
Corollarium.
iX his sequicur, posico quod ca A F a qua  Petipheriae axis parabole GHI
quarca pars ipte t. lineam FB spipam e parabolam in codem B puncto
Cbct SClb.
LTFF
b2lo
ae o a eo eosa ae eo oaon

## Folio 678 — 1815201908:0735
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000735.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
SDTLAL+S.
abeodeit
Archimedis 19. cummant est 08. parabola applcat
TG spiralem ex Secundareuolu-
LAcione orram in cermino (C) ce-
cigerie rectalinca, de a principio lpi-
ra (A) ducacur aliqua ad angulosre.
etoslincxe, qua sic inicium reuolu-
cionis: ipsa concider in tangentem,
_ cric recta media, incer cangenrem
ee principium spira (recta nempe
A5) dupla circumferencia secundi
circuli.
Hloc iplum modo demonstrandu
clt. quodsispiralem ex quacunque
circumuolutionenatam tangac que
dam recta incerminospira, cum ab
iniclo spiralis ducatur linea recta ad
principium reuolurionis, cadet in
tangentem, cocuplexq erie circum
ferenciae circuli, quocus est numerus
reuolurionis denominatus ab eodem
numero.
APPLICATIO PARABOLE.
Aea sir spiralis quocuis renolu-
cionum ee parabola, ABL. P,
cujusaxis sC Aa, cangenS A L, ex qua
Cume cor aequales parres AB, BC
CD, DE quor reuolurionibus daca
Epiralo onicu ee ex punctis B, C.
E ducancuelliametri (ccantes pa
rabolam in B, LL, L, P, iungancurque
AB, AFI, AL, AP, qua producan
cur in HI, L, l. Cacerisitur ex propo
Cicionibus prinns, pralercim ex q. hu-
ius, sinsula legmenca parabolica
reterune. Aalsdemum L, Guoans Cn au A L produccus ertribecli-
ALMFI Singula ordine spiralia spacia; Singulas vero re
HTR
ABF, AF
Etas BGP
BP Cinoulas quoque ordine luo peripherias
BOB, EIRL, L. NL, PBP per omnia reprx sentare. Deinde punctam A
principium lpitas plera rero B, LB L, L, unos spirarum B, C, D, P.
neam quae a principio spirae ad AE. normalis ducieur.
Dico isirur  letereno leculcul
spacium
q     s   s  te ete te te e t   te  t   t    e te  e ta  et  t eta e a    o a e t e t t  ete  te t    e  e        u  s i lse

## Folio 679 — 1815201908:0736
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000736.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
volu.
2) le
olpi.
Osre.
volu.
nlem,
eDE
cund
eNteM
randi
inque
tque
imab
et a al
dec in
cum
necus
aei
_.
UOII.
Cl,
xGua
B6,
data
que
1CaH.
L. HV.
erias
nA
DP
6,
es pa
SP IR A L15.
paci cals allCelminoluo
HIrecca HIS abscindi AS du-
plaM FOCTE HTR EI qua refCFE
sccudam peripheriam FIK II.
e licertium leomentum para-
bolicum ALMEI repraelen-
cans rertium spacium in cei-
mino luo L. tangat L. T, abscin.
di A T eriplam ipSuS L. NL,
que reterebarcertiam periphe.
riam L. NL. Acque ica dein-
ceps Lemper, ac.
Demonstratio.
Can BL, L12 La aC
parallela au AL  BB, CL
DL, eC. producancur in y, d, E, QC.
CTI cA ad AIKIIvE BBadBY,
hoc est per 5. Archim. de spir. DEA Y
ad YH, hoc est ve AB ad BC.
Ouare, crim ek constr. AB, BC X.
qualessine, etiam CTI, HIKII X-
qualeS TUINE EEGO CKHT, hoc est
AZ. hoc eAt per 35. 1. ConicO. AS,
dupla est ipsius HIKHI. Amilicor
DL CstadL NT, VECRTTadHId.
id est ve Ad ad dE, id cst vE AC
ad CD. Ouare cum A C dupla
sc CD ex constr. criam DL du-
Pla eA iptIUSLNL. ErSODNL
hoc cst Aa, hOc es Per 35. 1. ConiC.
AT, cripla cst iphuS L. NL. Padem
erie in caereris demonstracio. MI.
rabilirerioicur rursum symbolizane
spiralis e parabola. Ouod cracde.
monctrandum.
ExEIZ utrarioim. BRO.
AitE S.N. IB
eperite t tn lgB:
   p.  1    1  t  t 1. t  6 1  e e   e e   . e te e ete   e     e   ( e    (  ste t 1  e s   te 1. 

## Folio 680 — 1815201908:0737
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000737.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
SPIR AL15.
PROPOSTTIO Z1
Archimedis 20. applicatur parabola.
spiralem in primareuolurione factam recta
Dlinca ceriserit non in termino spirx (B) à con-
cactu vero (C) ad principium volurxe, recta iunsa-
cur (AC,) cum cenero quidem principio voluras
incervallo vero illa iuncta (interuallonem pé AC)
circulus describaturs a principio praecerea spiralis
agatur aliqua ad rectos angulos ei, que a contactu
ad principium helicis iungicur (nempe AF, )cadet
In TANOENEOM (C F,) e eric tecta (C F) inTeTCON-
curlum de principium helicis, aequalis arcui de-
Ccripei circuli, qui intercedirinter concactum de
sectione, qua lecar deloripcus circulus principium
cctacto, Cacto in ancccedentibus arcu d
panelo, surelt in principio circumuolurionis
APPLLCAFFO.
Ata Sic spiralis ACB, et parabol2
AC B cuius axis (IC AHI, tangens
AB, diameter BB lubCensa AB. FIAE vE
inspirali AD ad DB, ica in parabola AD
ad DB, ee ducatur DC D parallela BB.
Duoniam igicur (vr octendi in 13. huius)
ADBcam Cuperior quam infcriorrepre.
sencac, primam rectam in spirali ADB,
quemadmodum recta BB refere periphe.
iam BB, ita recta D C. D reterr periphe
riam DC ID. Ex quo iam le quieur arcum
DTC exhiberi a recta DIC.
Dico igicur si recta quaepiam tangat
parabolam in C, ab lcindi ex axc producto
AFaequalem ipsI, DIC, qua repraesen-
cabac arcum DIC, plane ve in spiralitan.
sens C Fauterebat AF aequalem cidem
arcui DIC.
Demonstrario.
Veatur CC parallela ad AB, per3S. L. Conic. F A xqualis eA AG, hoC eAt DC.
Chocestarcui (DIC.)
rurlum isicur habecur similieudo. Quod erar demonstrandum.
Marifectum Archimects y. G 1) lubiungitur, eadem prortusratio
 applcanau eC.
 i     s e   u e   te t  Ae     p t   e  1 .      t t  eta   et  ti  s                   1  

## Folio 681 — 1815201908:0738
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000738.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
tecto
acon
MNEa
DluIa
EAC
picali
reactu
cader
TCON
ui des
aM
1e
tionis
8
a
AD
BB
iil
epse
DB,
he
phe.
TClsi
D8ab
Uct0
elen.
TaH.
deM
DC.
0.
S PER A V. F8.
LOPOSITIO XII
medis 2.4. applicatur parabola
romprehentum a ipirali ex prima revolurione nata et prima linea
(Ab) quae principium ettreuolurionis, spacium cerria pats est primi
EPPLIC AYIO.
AOB prima voluta cuM Io circulo B FI, ex pTIIa recta A B; descri-
Dbacur aurem paraboda acM habens Al ac proinde cansene AB,
ultaque BC parallela axs tunse A C. Manifectum igirur est ex ijs que
diximulsr. _ 3. propolic. alem a paraBola Segmento AF. C, circulum
vero a criangulo AB C represencari.
clatelle parcem, cranculi ABC.
circuli.
Ii
DicoAF C scomentum parabole rer-
Demonstratio
ZIIcca DI D, iunzcCD, d _IC DF P4
ralletam dd BC, HOC eIt ad Al. PCF G. AF-
chi. de quad. parabol. D K CAt ad RF, ve A F
2d F C, hoces ve A D ad DB. Ouare cum AD
sIE ParIPE D B; CrIC _ DR ipARF. Ergoper
33. I. Conic. C Deansit parabolam in C: REqui
parabola A F C est duxe cerrix crianguli AD C
cuius duo laceracansime parabolam, (p ex pro-
Pol. 237. libri nostri de Parabola) ae proinde vna
cercia crianguli AB C, quod duplum est alce-
rius. Tgicur eriam haecnobilinim a spiralium pro-
prieras convenir parabola. Qund erac demon.
Arandum.
SITIO XII
LapptEL. B. A. dsb Parabota.
ppus 1. 4. Locctortum Machemati:
Cacum prop. 2l. acloccat ouolu,
quod secle Archimedes, torum spacium
cem ccu pe t. eaClen prur
piolpua Lcaca riemueute decenir
Spirale primum B C F AB cerriam esse par-
A per C delcripio circuloP C PI, spaciuM
pitale ta cclllata CC Pallelateclo
1to t2C0
681
no
ut u  tis  tit t ett ( t   t    t a   tt a e t t  f          e  t  sta t t ue et        t       t   u

## Folio 682 — 1815201908:0739
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000739.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
+
Llanc quoque proprictacem in pa
Laborddehonstrabimus. sic enim pa-
cabola AC lCuluscansens hc AB,
diamerer BD, ec duct a A C, ex C
dec CF Parallelain ad B D. ouem
admodum ergo criangulum ABD
ita criangulum AR. L dici poceriere
criangulum AC F. repralentare sc
eloie LC, et quemadmodun
repexlencat circulum primu ABD.
Ferre circulum AF C FI, proindeque
Parabola ACD refere spiralem
BCF A; ita seomencum paraboli-
cum lpirale AFC. Duare cum iuxta
ea qua diximus prop. praecedentis
criangulum AF. C criplum legmenci
manifesta. Ouod crac demonstran-
dum.
Obleruandum hic est legmenta
ParabOla ABK, ATTGB, AL OFI.
AMPL, cepexseneare posse non
solum lingula voluce spacia, criam ex
pluribus renolucionibus orca, led et
iam eiu (dem B CD F F Spacii spird
lissegmenca, sic ve Cegmencum pa
raboIX ABK respondeac segmente
spirali AFF, Segmencum verO
ATTGB (CgMEnEO F. AD ex sic de
inceps. Hloc camen vlcorius anno
candum: quando scomenta parabo.
icaiam cora parabola AMO repra
cum A C C exhibere porerie leomé
ACC. Eriam hic symbolizacio cst
lica reterune spacia diuerlarum re-
volurionum, singularum revolucio.
num peripherix (ve in praecederibus
Expius dictum) repraesencaneur à li-
neis BB, TIFI, L L, MTMC, ipAS vero
circulis, re prop. 4. huius diximus.
eriansula BAB, A ATI, L AL.
MI AAL TClpOnaChE: quando vero
segmenca parabolica reprx seneane
Ceomenca eiuldem circumuolurio.
nis, AICUEANEC SCGIMENCuM ABRFC-
Ferebar primum spacium. B CDFF.
Cental penum pacium BCDPP,
ec rorum criangulu  LLL. locum
quodMaciebac eriangulum B AB: peripheca AMICM segmentorum G C. HHI,
II a lincis R. CC, BF, circuli quoque CIB LaL a triangulis R AD.
primum circulum ABK extibet
CAC,LADrepralenanu. SubHBLNCB, GUAINISPEOP. II. AUIUSI HMUaUEEIE
placule blatllalto alla balib latuo expliCatc.
es es e e ee eea e s 015 3CBAB  Bo

## Folio 683 — 1815201908:0740
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000740.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
lrpti.
M P2.
C AB
 ex C
Vem.
ABD
BD
eriere.
deque
ire se
dun
siralem
caboli
H
denii
BMentl
cidel
alteale
Ments
OH
e
e
i
nen
velc
de
1e
il
11.
rere
AL
rero
MB
0.
re
PB
2
IH
1D.
M
SPFR A L L5.
ROPOSITTO XIV
Archimedis 25. applicatur purabola.
Tlaciumuoeea (BMC) ex sccun
da renolutione descripea ee recta li-
nea secunda, eius quxe est in principio
reuolucionis (B C) ad secudum circulum.
hanc habec rationem, quam habenc 7.
ad T2. quae eadem est quam habene haec
duo, nempe quod comprehendicursub
radio secundi circuli ee radio primicir-
culi, e cerria pars quadrati excesus, quo
excedie radius secundi circuli, radium
primi circuli, ad quadrarum à radio se-
cundi circuli, hoc est quam habet recta-
sulum CAB cum una cerria quadrari
BC, ad quadracum AC.
Manifesti aurem Archimedis, quoniam verbolius CMt, Gual NLLIAH
beac delcribere, sen sum paucis reddo: elto spiralis ex quacunque reuolu-
tionc Orta DF: eam habec proporrionem ad Cuum circulum F, quamre-
ccangulum D AF, vua cum quadrati D P cerria parre ad quadratum AF.
AP PLTCATIO.
cta B, IL, L, M, ad palabolam polica ducan-
tUr ABHI, AHL, AL. M. PaceE igItuTeK
Expeiant demonstraris, lesmenta paraboli-
ca ABR, AHIHHD, aec. singulasreuolucio-
nesreterre, rectas vero BB, HHI, L. L, ec.
repraelentare lingulas ordine peripherias,
ac proinde a eriangulis ABB, AIIFI,
AL L, AMM Mnglos circulos extiberi:
rectas Vet HR, AL, aec. sIVC AB, AC, RC.
diameris in spirali AB, AC, AD L. relpon.
dere.
ad eriatgulum ALLII, v27. ad 12. hoc estvE
rectansulu B AHI cum vna cerria qua-
drari BFI, ad quadratum AII.
Seo parabola AFTM, cuiusransensin
squorlibet aequales partes in punctis
B, C, D, aec. dividatur; ductilq diamerris
BB, CHH, DL. L, F. MM, ex A perpun-
Dco primo SCOMCHCHM AHNB esse
Demonstratio.
(NEPATCE CX ClEMEHCIS) quadruplum elt crianguli B A b: led criangulum B E B
PCx
VnGREUE BFI, de producatur AFI, in F, L; e BB, in O. Friangulum TIB AC
 e at  t st t. p                   e  r 

## Folio 684 — 1815201908:0741
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000741.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
per LL. hui. Criplu est lcometi B AR: ErgO HI AC
duodecuplum eA scomenci B AK. Ec quoniam
per 5. Acchim. de quad. parab. BB cAt ad BO.
se AO ad O FI, hoc ost ve C B ad B A; eAtque
AB par B C, cciam B B par est ipli BO; 2c
proinde _ CHI ip(i HIFI. Duare criam crianguli
TTAH aequale cAcriangulo HIAC, CCdHI AC.
reiam octendi, est duodecuplum scomeri AB R:
ergoa IIAHI ciuldem cAduodccuplum. Frgo
A B FT criangulum dimidium ipsus II A FI,
est sexcuplum ciuldem scomenci. Acqui, ve
octendimus in libro de parabola, 2 seymenrum
BFTNT, XQUAEUIF SESMENEO AKB. ErgO AB H
criangulum sexcuplum est segmenri BN FI. EX
quomanitectum iam est legmencum parabolicu
AIIN B esse ad criangulum TI AFI vE 7. ad 12
quare eriam hic, ec.
ter Dico sccundo: quoduis segmentum
parabolicum (verbi oraria) quartum,
AMP B, CM acum eriangulu MI A M ve rectangulum L. ANI, vna cum
vnacerria quadrari L. M, ad quadrarum AM.
PEOdUCANEUE AR L in M ee ABF, AETL, in L, C d BB in X, iuneacurquo
LM. P. I est ad IM2, re BB ad BZ, hoc est per 5. Archim. de quad. par ab. vE A Z
ad XM, hoc est ve AB ad BF. sed AB eA ipsus B P vna cetria P L ip GUS F M2
eArnacercia. Ergo F I ipsius R MI2 cAt vna quarca. Rurtum MM cA ad MF, ve
SL ad L. D, hoc es vE M S ad S A, hoc eA VE F D ad D A. sed F. D est vna
cerria ipSIUS D A. ErBO _E MM vnia cerria est ipSUS M F. ErSO MM est vna quar
Ea ipHS M F. 2. Cumigitur tam R I quam MM ciusdem MF SinC rta quarta, x-
quales cruntincer se, ac proinde eriam criangula NT2 ANI, F AI xqualia (unc. DC.
inde, repacet ex elemencis, criangulum B AB est ad criangulum F. AI, ve quadracu
AB ad quad. AF. hoC est vE quad. D F ad quad. A F, hoc est requad. L. M ad quadra-
tum AMC: ergo cercia pars crianguli B A B hoc estsermentum parabolicum ABK.
hoc est (verursum in libro nostro de parabola ostendimus) segmencum L. NI P, est ad
criangulum P AI, vecercia pars quadrari L MI ad quadracum AM. Acqui anre osten.
dicriansula P AI, M AM eNc xqualia: ergo segmenrum I. NP est ad criangulum
MI AM ve vna certia quadraci ZMI ad quadr. ANT. Pracerca rectanguIuM L AMZ
est ad quad. AMI per I. 6. VE AT ad AM: sed cciam par candem, criangulA ANL,
M AM sunE ad inuICeM DE AE ad AMI. Eroo triangulum AMF. ad criangulum
NIAM CALCUEreCtangUIUM Z AM, ad quadraTUM AM. Ouare, cum ancé osten-
Cum (ic etiam (egmencum PMP esse ad criangulum MI AMI ve una cercia quadrari
LM ad quadracum AMI, Crit per 24.5. criangulum AM P. CUM CCGMENTO L MP,
hoc est eocum segmencum parabolicum AM PL, ad criangulum MI A M ve rectan.
gulum P AM cum vna certia quadraci P MI ad quadratum AMI, hoc est Termen-
cum parabola est ad suum criangulum, ve spirale spacium ad suum circulum.
Duare inhac eriam propriccare pulcherrime ad amustim spiralis e par ab0la sym.
bolizant. Duod erat demonstrandum.
EROPOSIEIOXV
SPIR A L 1B
rchimedis 26. applialii palaoora.
COmprehensum spacium Cub (pirali quae estminor et qua exrna re.
bnatohet dec habet dlatium principium lxicalis, de rectis qua
2 rermi-
Prop. 169.
a. et
ji
3
12
3
3

## Folio 685 — 1815201908:0742
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000742.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
e
BC
C
rum
cu
0
12
1
AIII
ecta
alist
qua
erimi.
SPER A L 18.
 cerminis ipsus in principium spira-
lis ducuntur, ad sectorem habenrem
radium aqualem mmaiori earum quae à
arcum velo qu Mecipitur inter du-
ctas rectas secundum caldetm parres spi-
ralis hanc habet rationem; quam ha
benchaecduo, rectangulum copre
henlum lub rectis a cerrainis in princi-
pium spiralis ductis, a certia pars qua
drari excellus quo maior dictarum lit
nearum luperac minorem ad quadra
cum maioris linearum a cerminis ad spiralis principima
Sensus est, quod ducis a principio Helicis rectis ACD, A E F, _E CCNEO A PeF C
circulo deseripro CCO, spirale spacium C AF. sic ad sectorem circuli ACG ve
rectangulum CAF cum rua cercia quadraci C E, ad quadacum A C.
APPLTCATIC
cermmino ad prsetu latu.
L(E AM, diamCFeF MB, Subcensa
AB; e centro A per F ducto in loirali
circulo secanre AB in S Barve in spira
ad CD, ita in parabola AO 2dOB,
reque in spira A F. ad F. F, ita in para-
bola ASadSB, ee per puncta, S, O du-
ctis parallelis CL, SLN, PCFF _C
AUICANEUT AE F, A C D. Spiralis igieur
a parabola, diamerer AB à subrenla,c
AB, peripherix per B, C, F a paralleliS
BMO L, SN; circuli demum AB, AC,
AE, a criangulis ABMI, AOL, AS
repraelentantur. Ecquoniam ex constr.
Subrensa AB secta eA in O e S, vedia.
meter AB in O _ S, d per 5. Archim.
de quadratura parabolx, OL, SN in C, e P, Gimiliter lectae lune vi AB
in O, d 5, hoc cAve AB in Spirali in O, ee S, hoc eAtve AB _ AF in C
ee F, hoc estperis. l. 4. apud P appum, reperipheria per O in punctis C
C; manitestum est sectorem ACC reprae sencari a criangulo A C C, vei 
spacium (pirale AC P a legmento AC O F exhibetur.
Dicoigiur leomelue ala u C. deleclate
sulum OAS unacum una certia quadrati OS ad quadrarum AO, Bla-
nequemadmodum spirale spacium erar ad sectorem, verectangulum
C AF cum rna cerria quadraci CP ad quadrarum AC, huc ve rectan-
oulum OA F cum vna terria quadrari GF ad quadracum AO. PFOCON:
ructione lume AI aequalem NL, ductaque per Idiametro IHI, per HI
53
ducatur
Sto Patabra L.  Cutus CatSCS
  petn se a  s  l e e te o it i  e e e  a  t tet t    a e  pto qu  e te  tte     e   p   e         te    ltl

## Folio 686 — 1815201908:0743
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000743.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
606
S2cR A L 13.
concluderur peopenat ica e ca parre propolicionis r4. vli lu-
mus. Iccriutecenueniune splralis e parabola. Ouod erat demon-
AuCatuE AFIK, iunGatuEG FE C. Ouibus peractis eadem ratiocinatione
Arandum.
Corollarium.
emencum L. aC P repexleutari.
Archimedis 27. applicatur parabola.
Paciorum comprehenloru sub spi.
Dralibus e rectis lineis guae in circula-
tione lune, certium quidem secundidu.
plum est: quarrum verorriplum: quin-
cum aurem quadruplu, d semper quod
sequieur, secundum numeros qui dein-
ceps lunc mulciplex est sccundi spacii.
Sumirhic Archimedes spacia non more so-
lito se d pura prourinvicem non includune. (0-
cundum isicur spacium hic est, id quoddempro
primo superest ex secundo: cerrium id quod
dempris primo ex secundo _ sc deinceps.
Sic loqui roluie archimedes ve certam nu-
merorum progrestionem haberee. Nos hac
spaciorum acceptione, quamuis eriam in
parabola ad vrsuem conveniae, quod cerrica sic nonnihil _ a Communi cOnCEpTI
aliena, hoc loco praecermissa, ea solum camparabimus qua de spaciis in-
ceoris, ad sensum detinicionis quinex libri spiral. accepcis in hac propositione de-
monstrancur: cuiulmodi est quod quarum parcium primum spacium cstF: earum
secundum (ic 7; cerrium r9; quarcum 37. _c. P. X quo de ducitur eriam illud, quod qua-
rum parcium primum est rnum, carum primum cum secundo sIC8, _ eria priim a 27.
e 4. prima 64. ux omnia parabolx ad amustim accommodabimus.
AP PL IC A FIO.
Acaline voluta quoeliber (pirarum, et parabola, diameter NIE, sub.
centa R M, cansens A P in corparres equales secta, quor spiras ha-
bec voluta. U ab aequalium dinitionum punctis, ducaneur B B, CHIH,
DLL, dlanecto pataneta, lungancurque ABHFI, A OL G, ARL M.
Dico quarum parcium segmencum primum parabola, cum ABF est
r. earum lecundum AHL NB esse7, cerrium 19. quaccum77.
A Rchimedis propositio 28. Cmili Eere ria applicabitur, cum enim CeAtor AC C d
Lcriangulo AC C repExsencetuE, manifeltuni quoque es illius PAEECM P C O F
a crapezio P C CFi ac proinde sermentum GF.  Ca mixcilinco GF C C, e se-
Demot
PROPOSITIO XVI
ti

## Folio 687 — 1815201908:0744
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000744.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
10
LAHL L.3
Demonstratio
LanEAT rECtA BHE, HIL, LMI. quo
niutii ad secundum ACvE.. 2d7. TauO
sum ele e  PoP. 24. Mut45. 10d
aucemcercium lic19. sic demonstro o
B A B, hoc ek rigincilepcup lulegmeti ABRA,
repoce parris cerrix iplius B A B; quemadIOM
dum in bodepalabadeoaH. e
80 etiam criangulum L AV. cA vigincileptu.
Telquialcera ipus AO, eciam AII iphuS AL,
ac proinde _ criangulu ATIL criangulI L R P.
Sublelquialcerum eA. Ergo cum I AL. ad lc-
BeNEH ABK A (IEVE27. ad I. P ABI, ad ABH, C
CTIEVELS. ad I. AEqUI SCGMENEA FTLO, A BK, ve
in libro de parabola b osteddimus, lune xqualia:
Ergo addico ad criangulum AHIL, Segmenco
TTLO, CocumICSMCMEMM AFIOLA CHAOICOMENCUM ABR VE 19. 24Y.
Similiter demonstrabimus criansulum M AM HOC CH LAB, elle decuplosexc
plumeriansuli B AB, ac proinde criangulum AM L ciuldem esle duodecuplum,
hoc estrrisecuplosexruplum segmenei AB K: cui si addaS sEGIMENEUM L M P, quod
aequale est Segmento ABK, tiDF sCBMEntU torum AM P I. A ad segmencum ABK
vc 37. 2dr.
ALOR 19, AM P A 37, leSMeMCM AFINR A, hoc elt pria 6; lc
SIMENEUMVerO A. P, ONK A, OC esEria prIMIa, 27: (CSICHFIIALITEI AMI PONK A.
hoc est quaa pa 64.
Dunce in his quoque cam multis eam que miris propriccals patt  a.
la conveniune. Ouod erat demonstrandum.
pEi
CH
TUE CTI, DL, in R, S. ex iis quae sub inicium
demontraciomIS Pro Z. allertioMC Lp. 14. aIlace
diximus, parcclincas S L, LD, imo e L L. LF
omnestncerle aqualeselle. LrrangitM ioieuE.
T ALG eciangulun lcangulum
FAD, cum (ic ad criangulum B AB in dupti-
cacaracione DF ad BB, est nuncuplum iptius
plum seomenci ABK A. Cum aure A C siclub.
B269. DC
parabola
Ex quibisdenique illud eriam eA nanttectum, quod Cu AB R SC T, AHN A7:
26. 1D0tL1
X
apst2t. nori +. Patabota a Blbearo
Appus Collectionum, Machomaticarum J 13. l 212
da illis qua ab Archimette propolicione vise 
circulationis producta in B, per A principium
Spire normalirer dividaturrecta MI N, Pegmen-
EA GUOqUE AFN, AGNHI, EI AM, M AB
candem leruare ratiOnCM, QuaM 17, 19, 37.
libro quarto propolicione sclima secuny i se
Tima leprima demonstraneur, hoc insuperad-
didit Theorema; Si recta quae est in principio
1
  t e    te e t e te e e ete t e e e t t t e   e Ae  e te ti   te e tete  t    u e t  ti  e   te   e e e   t   

## Folio 688 — 1815201908:0745
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000745.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
SPIR A LIS.
AP PL IC A FID.
Vod iptum in parabola exacte re.
praelencatur. Diuidacur parabolae
cansens in 4. parres requales ductilq;
diameeris CK, DL, E. P, BB, iunsC AN,
AHI, ANI, AB. PercaIgitUE, quxe ad pro.
volicionem decimam terriam huius ob.
servanimus, manifectum est, segmencum
spirale A F NO a parabolicO A F NO, spi.
rale ire A N HI a parabolicO AC, NH, _ SiC
deinceps, reprelereari. Duate cu prop. 16.
huius oltenlum Fueric cam ese leomento-
rum parabolicorum rationem, quae est in-
ter 137, 19, 37, iltud eciam Pappi cheorema
exacte convenirparabolxe. Ouod erat de
monstrandum.
hoeals 29. applicatur parabola.
MI in lpiralem ex una reuolurione or-
eam a principio spiralis recta linca ce
ciderir (AC:) spacium comprehensum
Tub spirali e linea prima (AB) eam habet
racionem ad spacium comprehelum sub
prima (picalis parEC (AFC) e lincainci.
denre, (AC,) quam hiaber cubus prime
lincx (AB) ad cubum linexe incidentis
APPLIC AT1O.
Sco parabola AG CD, e ductocen.
sero A circulo rectam A B SccantCin
E. C F diaMICLLTUINSaCuTqUe AC:
habere rarionem quam cubus AD, ad cubum AE: hoc est quam cubus
ROPOSITIO XVIII
cus pet d
BA ad cub AF.
Re
Dico seomencum parabola AD C ad scomentum AC C, candem
Demon.

## Folio 689 — 1815201908:0746
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000746.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Dcct.
teM
SPYR A L +8
Demonstratio.
Vcacur diameTer AK, et CI, F K ad diamé.
erum ordinacim applicarx. Ouoniamigieurper
24. Acchim. de quad. parab. parabola D AK, C AV
selquicerciae sunc criangulorum D AR, C AI. Para-
bola est ad parabolam re criangulum ad criangu.
lum, hioc est, cocum cs ad corum re ablacum ad ab-
lacum. Erso reliquum lesmentum DC A est ad
reliquum lesmencum CC A, ve corum ad eorum
sive ablacum ad ablatum. sed (ve demonstrac C la=
ujus ex Commandino id 23. 6.) provorrio ablaci
crianguli D AK ad ablacum criansulum C AI
componitur ex proporcionibus D K ad CI, _ K A
2d TA, hioc est ex duplicara racionis DK ad C I
Per 20. I. Conicorum. Ergo proporcio scgmenci
DE A adscemencum C C A componicur ex proporrionibus DR 2d C l, _ au
plicacaracionis DK ad C I. Ergo proporcio sermenri DC A ad segmencum CC A
eriplicaca estracionis DK ad C T, hoc est racionis B A ad F A, vel D A ad F A.
Firco proporrio semenri DC A ad sesmentum C C A eadem est qua cubi B A ad
cubum F. A, alirer aurem plecaque in libro de pacabola demonstrara invenies, (cd
noluimeis demonstracionibus propoliciones Archimedaas concinsere.
Conveniune isicur eriam in hiac cam eximin propriecare spiralis et parabola.
Duoderat demonstrandum.
Scholion.
Actenus parabola applicanimus quiaquid nosaru dignum de siralibus vel Archimenes
Lvet Pappus demonstrauis. F.L quidem ista sufficiebant vr me promissione mea ex soluisse vi-
deri possem. Sed cum non exiruum similicudinis campum superesse viderem; statui alias non
nullas parabola proprictates vicissim Birali applicare; omnino tamen pauea e multis; ne dum
appendix excrescis in librum, prolixitas lectori molestiam afferas.
PROPOSITIO ZIX.
Cresia es parabola proprietas
quam prop. 5. de quadratura pa-
rabole Archimedes demonstrac, nolq
in hoc libro non semel cicauimus. Pa-
Fabolam TanGAE A D, e Secet diametet
cius D B, iungaturqVe AB. DuCanEUT
deinde quoruis F C F parallele diame
ETO. EFIE PErPCTUO AE ad EB, VEFC
ad C B.
Verum, quod Archimedes alL H
elexic autno aduercic, eadem proprie-
eas reperitur exera parabolam. Nam (I
producatur AB ducancurque diame.
ero parallele FF. C, Temper A F est ad
E B VE FC ad CF.
Demonstratio.
ia Aan punctorum Cdlatut aC.
cui DB OCCUETAEIn C. F P eAt ad FE. C, vF
a  e ete se ee are ro oo a setion

## Folio 690 — 1815201908:0747
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000747.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
SDIR AL1S
DB ad BG, hoc est perprimam Theorematis parcem ab Archimede demonstra
camve AC dd. ident. Ergo componendo FC ad CP, vi
690
AF. 2d B~.
AP PL IC A, F V R S P I. R A L. I.
d Theoremacis. Cen
Ero IL delcribaneur quot
cunque concencrici radium
AB Cccantes in punctis l, alpira
lem in pynctis C. PATCLISITUIE CX 19
Cappi l. 4. arcum FC este ad reliqui
periphetathC CF, ve AF cAadF B
lqui Pepheria EOTA FF G, rC
Sponidet  parabola rectae FC F.
cstC qui exrra spiram est re-
e
C extra parabolam polIEX, ar.
cus guoque C C F, intra lpiram ca
dens rectae C P intra parabolam.
Constac iorcur rursum similicudo.
ux erat demonstranda.
Secunctam parrem sic applicabi.
ituS. Sic ipra duarum reuolurio
nam ec dueantur peripherix con-
cena LCR lecances spiram in
punctis C. Frie igicur ducta per C
recta RML, MC ad M L, id est
BF ad BHI, ve arcus FIL ad cocam
peripheriam lecundi circuli, hoc est
ve arcus F IC ad coram periphe
riam F C. R. sed BH aequalis est
AB: FrBOBF cA ad AB vE arcUS
FIC, ad peripheriam F. CK: d in-
cundum patacx seomentum reprxlentans secundam spiram. Mapifecta
isieur eleperiulque analo eia: quam oporruir demonstrare.
FFC, suxe rore lunt extra parabolam: eteus vero F LC inter AHI e spi-
vertendo AB eAt ad B F. vr peripheria F, C. Kad arcum L. LC. Acqui peti.
phoriae FCK qua totae lunc excra primam spiram, respondene rectis
ram lecundam poli respondenc rectis F. C policis interrectam AF, e le-
211C3EB.DCBCaBa NEB,R O.
e
i
o
12
3

## Folio 691 — 1815201908:0748
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000748.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
ent
SP FR A L T5.
P R O P OI S I TID X 2.
DArabOIE AGB diaMCFEF(IE A B, ad quam ordinarim ducta sIE DB,
 ee iuneatur AB. Ducantur deinde quoruis diamerro parallelae F. H
Secances AB in F ee parabolam in C:
13eC
DieoK G, IEF, K E Sive C B, ese in concinua analosia.
Demonstratio.
DDEx O _ F ordinatim applICETUEL G, HFT. OuodE
niam D B est ad FTF, VED A 2d EI A, PCF22
6. etiam quadrarum DB est ad quadracum HIF,
hroc est adquadrarum L G, ve quadrarum D A ad 
quadracum H A. Acqui per ZO. T. conic. D A est ad
L A. vE quadracum DB ad quadracum LG: crgo
eciam D A esad I A, ve quadracum D A ad qua-
dracum FI Asergoratio D A ad L A duplicara est
racionis D A ad FI A. E.X quo pacet D A, HI A, L. A.
2c proinde P B, FK CK esse in concinua analo-
sia. Quod etac demonstrandum.
APPLICATIO
Iciam spiralis AG B; _e principium circu-
lacionis AB; describancur quocuis pri-
mocirculo BC concentrici, lecan-
ces spiralem in punctis G, Q AB
in P
Dico arcum KMIC, circulum
IEMOF, ee peripheriam BCC
esse in concinua analosia.
Moati.
192
12
RMC est ad peripheriam RM C F,
AC al AC noeper LapBL II. 110.)
veperipheria RM C F ad peripheriam BC. Oubdctal detmonttrandum.
Siminudom Coma. Guon pelipea patallela la c Concenerice RMCitirete-
FantparaIIelaS RF, K F (VE PEOP. T3. huIuS declaraNImUS:) RFCHS VErO RMC qui
Cuncexcra spiram reterane lineas K C. exira parabolam: Pcriptieria denique. BC
rectam CB, GvC K P. repraelenter.
DEr C duCaEuE reCtA A C C. AFCUS
vearcus BCCH ad peripheriam coram
BC C, sed arcus BCCN est ad pc-
ripheriam BCC, sicuE recta AC, ad
AC, Per 19. Pappi lib. 4. CrGO AFCUS
XM C est ad peripheriam RMGF, vE
        e t et e  e e  it u e   e t   te te et e  e e te te t  t. ite  e te t t      e   te t.  t ete pe  t e t ee tet e   te    te  

## Folio 692 — 1815201908:0749
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000749.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
iotm
in
PIR A L1S
PROPOSTTIO. KLl.
iDGF, HLLK.
apeis aequalibus LF, BK; diicaneur diz-
Dico lempet LG, R L esse aquales.
Demonstratio.
OF ad LK, vi rectangulum A FB ad rectan.
lum AK B. vei deMonstravimus in libro de a para
2. Acqui rectansulaunc xqualia, cum exhypoch. AP
quales Hnc. L.180 X rectx F C, R L, aquales lune.
PLICAEVR SPIRALI
Impris in recta AC aequalibus AD, C. H.
contro A per Dae H, describancur periphe
Darabolam subrendat quaeuis recta AB, et
rix concenericae secances spiralem in O de L.
Dicoarcum GOD arcui HIL. eescam eAe.
Demonstrat.
DEE G _ L ducancurrect L  D, et L. I. PC.
adL. N per 19. lapp
ripheria FIO L S est ad arcuM L. SFI, VE AN
es DE AC a LLC
hoc est quia ex hypoch. XquacurHIC, AD, vE C A
ad D A, sed rariO C A ad D A, COmpONIEUE CX
racionibus C A ad HI A, _ HIA ad D A: Fr∞O
ratio peripherix IIOLS ad arcum L SFIcom
ponicur exhilce duabus rationibus C A ad FIA,
e TIA ad D A. Simi
acio ciusdem periphe
riae TIOLS adarcum GOD. componituE ex
racionibus peripheriae TTOI S ad peripheriam
DGO, (hoc est per FT. l. 4. Pappi, radii FTA ad
radium D A) ee peripherixe DCO ad arcum
COhoc est rectae C A ad FT A:) nam arcuS
cum BFB C, hoc cst per Fg. Pappi AD. 4. H A C ad G B: ergo componendo periphe-
orcus illi. uod crac demonstrandum.
Similieaso in eo posica, in veraque Agura lumpexe fuerunc aequales, in parabole
DP C est ad arcum COD re arcus C B Tad ar.
FC. R ln quaslmiler a quales etle demonllcavumus, incratisuraS luaS exiltunE, dt.
cus nempe incra spiram, linex ver o incraparabolam.
ria DOO cA adarcum GOD, ve AD ad BC; hoc cstve AC ad C D, hoc cltrt
CA ad FT A. Exii dem igicur rationibus componicur racio peripherix HOLS ad
arcum CS HI, ex racio eiuldem peripheriae HI OI. S ad arcum COD: quare can-
dem adriasue arcum pepea L S rationem habec. Eroo aequales CHE
nempe AL, BK  ALCH. Belphena Pet B. a lrercture amettos
DF, HIK. Tamarcus vero COB LSH Guoen aquales elC, Guam linex
PR
et anto ito ite tet  ee tete ite te e e te  se e e a e tat uta  i at te e e te at e te ut e se   ta ste t e t e    e 1 t  t  a    a  tat  t d

## Folio 693 — 1815201908:0750
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000750.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
d
SPYR A L 15.
PROPOSITIO XXII.
lact pentets qdae saperiori propolicione,
Bcobb, it, ll esse proportionales.
Demonstratio.
TAnc propolicionemcos or ex meis lucubrationibus
demonstrare, eo quod Archimedis non Cc: illius de-
monctracionem reperies propolicione cencelima lepeua-
sesima libri nostri de parabola.
AILLIBALVR BETRAL
a
Dico semperarCuS DPC, COD, HOL
ese in continua analogia.
IIdem quoque poliris in spirali,
Demonstratio
Aecus DPC eAt ad arcum GOD, vearcus
et
13 c11).
Di lib. +. VE A C dd C G HvC AD ad DC. CII-
licer arcus FTOL eA ad arcum L S TT, DE aECIIS
CTN adarcum, CNhOCCAVE AL adLN, (-
HC AHI ad HI C. ergoinverrendo arcuS LS FI
est ad arcum L. Q H: ve C HI ad FI A, hoc CR
DE AD ad DC, (cum ex hypoch. CFI, AD, SinC
aquales) hoc est, sicuc iam olcendimus ve aecus
DPC ad arcum GOD: Scd aECuS FTS L PCF
prxced. aequalis est arcui COD; ergocciam ar-
cus GOD elt ad arcum FTOL. VEAECUS DPC
ad arcum GOD. TunE igItUE EreS AECUS D P C
GOD, HIO I inconcinua analosia. MModerat
demonstrandum.
Similicudo in eo polica quodarcus D P C extra
spiram, rectam DC extra parabolam; arcus
DOC incra spiram rectam C F intra parabolam; arcus denique FTO L iterum
exera spiram, rectah III. rursum quoque exera paTaBOLAM REPTA(ENCENE.
Cdrollarium.
11
LLCB Tadarcum BINYC hoc es peF 13. PaP-
X poluis licet interre eriam spacium spirali linea de circuli perimeiro D B C, Cet-
Minacum aequari spacio spiraL C ec arcu LII clauso: X in hoc symbolizacio
verseueral, Hatu ACrL, L. BK parabolica spacia inter se lunc aequalia.
kDEOSITIO, XXII
lepatabola ACB, qua bea B. Beau Mane C.D.
quas bilccainpunetis F.
eo Puticta Li aet tat ab atal lla il crtuiteta Etd.
Ddemon.

## Folio 694 — 1815201908:0751
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000751.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
SP + R A L 3
Demonstratio.
Ecangula A DB Merse candem habene piovot.
cionem quam recle C D, ve Lostendimus in libre
de parabola. Sed reclL P D sime inter sC vE rectae C. D
cum line carum amlix: ergo de recte F. D (unc incet
se ve rectangula. Ergo puncta F. sunc ad parabolam per
propolic. 329. de Pacbbla. Duod erac primum:
Cogicontur donn in parabola A C B duax este
Cdx CC, in Patabola vero AF B reCtX P B,
SiC D verigue MMICLIpEa lInE EraPeZIA CC DD RF.
DO. Cacile ostehactur (quod brenicaris caula hicomic.
e0) cor duci polle CACErOS C D ac rectAS B F, _ FOI
Proinde Lraperia inseribi, ve lI aUFCFANEuF, ex veraque
parabola relinquantur superticies minores daci. ACqui
Tropexia parabolae AC B simul sumpea dupla lunc.
Trapeziorum parabola A F B SimuL lumPearum, VE P2-
cec ch elemenes cum lecta C: D dupla sinc rectarum
auc Fuclidieo lib. 12. demontabi. LaMctaigItuE F Cunc ad parabolam quae dimidia sic
prima. Cuodctat detohltalicl
68. D E. D ergo per ea quae in libro b progrestionum demonstranimus, parabola A C B du.
pogress.
Pla est Parabolx AF B. Ouod Facile etiam quivis Creometra Archime daeo discuru
AP P L I G AVF V R CS D LD A
LICTa IpITalEM A E. DB duCanCUFDC,
C; F C, P. C Parallelae incersc, adc0
quonormales ad rectam C AB, d bisc.
cencurinpunctis F, F, 1, I.
Dicopuncta PF; I,I ese ad spiralem.
quae dimidia sic spiralis prima ac proin-
decriam hic spiralem cu parabola Crm-
Dolizare: Led hxc secunda lpira non erie
circularis, ac elliprica. Ouod Furura
Cc dimidia lpiralis primx eodem modo
demonstrabirur quo in parabola. Ouod
Fucura sic spixalis elliprica sic ostendo.
ReCtADC, DC; F C, F C producantUE
vlque ad pcripheriam circuli in C ae M;
e bileca rectas C C in K. rectas vero
NIC in N. Frunc punctaK, R; F, F. ad
ellioim ve colligitur ex Archimed. 5. de
conoid. Ouoniam isitur recte DC. luncad rectas FC, ve rectae GC 2d
rectas KC, nam ex constructione veraeque bilecta TUINC. FrUnEpermU.
cando e inverrendo rectx R C ad rectas FC, ve rectae CC ad rectasDC.
Similicer octendemus rectas NC esse adrectas IC, ur rectae M C ad rectas
E C. habec isicur sele quond hanc propricrarem elliplis ad spiralem secun-
dam, vr circulus ad primam. Sed clarius adhuc ostendamus proposirum.
Pet Archimed. 5. de Conoid. circulus C O est ad ellipsim K K, ve B P, h0C
q  et e   epies et  e ut ptat e e t tt t e A  tat ste tt te te   e   e   te    tit a t t et t      t   t      e  t  1 1 s s

## Folio 695 — 1815201908:0752
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000752.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
DC
ac
XMI.
DC
CUH
ecta
FUM.
hob
SD IR AL +8.
CAC A HI, ad IE A NY hOC CsVEG A ad K A. D WATE CHIM CK HY POTHCHOM
bilecta sic in K, circulus duplus ericellipseos, sed etiam lpiralis prima
dupla est sccunde. Frgo ve circulus ad elliplim ica spira prima ad securii
dam: ee permucan do ve circulus se habet ad spiram primam hoc est suam.
ica elliplis ad secundam hoc elteriam ad Tuam, ac proinde licur circulus
eriplus est lui spacii nempe spiralis spacii, sic e ellipss cripla eric spiralis
spacii lui A IFB. Nerird icaque dicecur spiralis elliprica. Quod crar de-
monstrandum.
PROPOSITIO XXIV
Dauslelosrammum rectansulum AF.
L hrabeac latetae, CE limilicer divila
in punctis B, d D, ductilque B O paral-
lelis ad AHI, ex A per puncti D delcri-
bancur rectae quae parallelis occurrane in
punccis C.
Dicopuncta C esse ad parabolam.
Demonstratio
Darallelarum vna BC produeaent donec oc
CUITEAC ipA AF in puncto F. AF CA ad F P
ve AB ad BC, scd AB est ad B C VE C D ait D F,
sunc enim AC, F F. Similicer secta ex hypochesi
ErgO AF est ad FF G ve CD ad DP; hoc est
(quemadmodum exelem. Facile demonstrabicur)
veBGadCF. Ergo paret ex 5. Archim. de qua-
dracura parab. punctum C esse ad parabolam. Si-
milicer ostendemus de quibuslibet punctis D. Parecigicur propolicionis reritas.
APPLICATIO SPIRALL
punces D, D, a B, B: Duccis aurem
exCEHErO A ad pUIHEtA D Fecris A, D
cenero A per lingula puncea B ducan-
eurarcus BC; ea ratione quain Rour
exhibec, occurrences linels AD
Puncris, C:
ir
DEripaeria primaculi eiulque ra-
dius AC Crmilirer sine diuita in
Dicopuncta C ad spiralem esse
emonotro.
ria ehimradius AC, dPeripheria cir.
culi similicer sinc diuilx in puinctis, B, B
s DD, crir ve AB, 2d BC, hoc cAvEAC
ad CD, ica arcus C Dad religuam periphe-
riam DDC. Ex quo parec punctum C5 ad
69
quis et punctis.
retiptie
spiralem esse. Similicer oltendemus de teli.
a  eo ca, score  pta pune Patis plcto A in parabola, radius A C; e
Cct 
  se t  es e e e te    t tes e  e ite ste us 1t. e t  e. i Ae  s. . .  .  1 11

## Folio 696 — 1815201908:0753
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000753.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
SPIR ALF5
696
peripheria D D, similicer diuila, rectis AC, CF similicer quo que sectis; areus
concentrici B G, B C Parallelis Be: rectae demum AD in Spirali, rectis AD in
Parabola respondeanc ad amustim quemadmodum ad provol. 23. huius docuimus.
Convenicisicur spiralis cunt pacabota. Duod crat demonstrandu.
EROPOSITIOIZZV. 11C
DAIaDOLE FANSeNS SIc AC, diameeri ve
roillam sccantes BG, BC quorcun-
quc. Per puncta 6, C, ex A ducaneur recte
juxe occurrane diamerrorum vlcima CF,
in punctis DD:
Dico rectas AC, CF Similicer elte le
ctas et aequales proinde tore omnes DD,
(BB fuerincxquales.
Demonstratio.
TVnGaEE AP, ee paralIelarum vna BC OcCur.
LFAEipA A F in F. AB Cstad B C, VE AF ad
FF, hoc est per 5. Archim. de quad. parab. VeBC
ad GF; hoc Cs rE C D ad D C. Similiter OA en-
demus in singulis punctis, B, B ee D, D amiliter
ee lectas rectas e C. C L. Constacigitur veritascheoremaris. 
c
A P P LIC Ai  IR A. L, L
CIEspiralis ACC: es cenero A ducte
Cnc quorcunque concentricae pe-
ripheriae BO occurrentes Spirali in
punctis C, C; ducantur aurem ex A
per puncta C, ad primi circuli periphe-
riam rectae AD, AP
opelpca VD, a rectam
AC similicer esse divilas. demonstrario
Cimilis est demonstrarioni praecedencis
perica epsa generatione spiralis. Simi-
icudon eo lica, quodperipheria B6,
concena e paralsele, parallelas seu
recros BC;recta AC, iplam AC In
parabola, ee Peripheria DDB exti-
mam diametrum C. P. reprelentet. Rur-
Cum igitur convenie spiralis cum para-
bola. Ouoderat demonstrandum.
2050301
LcEO.
 e  et Bo   i tes 1 s 3 e 1 v. il At l. c.) B  d el Cn vit B tole i a suiI

## Folio 697 — 1815201908:0754
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000754.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
ed
SPTR A L 15.
COOSITIOCLAVI.
aca Eic parabola AMP, quam cangac AH dinila in ConC prO-
Porcionales AB, AC, AD, aec. ductisque diametris BI, C. K, D L.
E M, dec. iunsc AL, AR, AH AM, etc.
Dico leomenta omnia parabolica AP, AIR, AVL, ALL M,
AIHL. MH, esse concinue proporrionalia.
der
Demonstracio
19 5
Voniam sune in ratione estrinia linere
LA B, AC, AD, dec. oeiam cubi harum
linearum erunc in proportione concinna. AE.
qui per 18. huiussegmeta coca parabolica AI;
AKLA, ATI A, AMF A, Xc. candem inter
se proportionem habene qua cubi AB, A C,
AD, AB, ecc. Ergo eciam dictalegmenca
Cune in concinua. Ergoper r. I. nostriprosrel.
sionum eciam lunc illorum differentix, (eg
MCNEANCIIPE AI, ALR, ARL, ACOLM. deC.
concinue proporcionalia. Duod erac demon-
Arandum.
ADPETCAEDR SPIRALI.
Aea lic Spiralis AAVBIS cuins li-
nea, qua eAt in principio circula-
tionis, nempe AFI diuila licin conti-
nuc proportionales AB, AC; AD,
ac. ac cenero AinteruallIS B, C, D, F,
F, C descriptis circulis qui spiram se-
cencinT,KE, L, M, N, O, iungancur AI,
AR, AL, _c.
Dico lermenca omnia spiralia AI.
AIIL, AIKL, AIKLM, QC. cAccOn
rinue proporriogalia.Am
Demonstratio.
Terstao
 a
dem enim per 29. Acchum. de spirali, Cegmen.
ca spiralia COTA ABI, ARBA, ALBA,
AMB A, _C. ve cubi rectaTUI AL, AK, AL,
AM, SCC. hoc CArCctOTUM AB, AC, AD.
AF, _c. Sinegue hi in concinua, ob concinuam suorum lacerum rationem, etiaim
dicta Ceomenta spiralia erunc in concinua rarione; ac proinde eorum differentix se
BIEHCAneMPC AHIOa A, AONB A, ANMY R, ec c. cruncconcinue proporrio:
nalia. Ouod erac demonstrandum.
Symbolizac igicurrursum mirabilicer veraque figur2. Nam AK in Spirali ips AFF
in parabola sive AP: BLO, VerO CRR, DL. S, dec. peripheriis BI, C HE, DL, 8C.
respondenc. Vnde e legmenra seemenris respondeanenecesse eAt.
Late Cace iua inparabola, (erualis Cl
iamiildem vrrobiq; licreris: quandoqui-
PB

## Folio 698 — 1815201908:0755
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000755.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
11I
S DIR A L. 18.
AE parabola AMP quar careat
ALI. Ducancur diamceri BL, E. R.
DL e quocuis alix secances patabolati
inpunctis l, K, L, ee c. iunganeurq; Al,
AK, AL, AMI, _c.
Dico segmenta omnia parabolica
concenta parabolae perimerro et rectâ
subcensa, nempe AI, AK IA, AIL a A,
AIM, A, ac. omnibus eriangulis ABI,
ACK, AD L, dec. esse proporcionalia.
Demonstratio pecenda ex iis, quae diximus
Prop. r2. huius, quae que sub Anem libri de pa-
rabola demonsteauimus proposicione 236. Sin-
Sula illa criansula esse cripla cingulorum se.
smencorum sibi inclusorum.
APPLICATIO.
rIE iam spiralis AN FI; _ CenErO
 A ductis quorcunque concentri-
eis spiralem secancibus in punctis, I.
LL. L, M, RC. iunganCUTAI, AH, AL,
AVI; _C.
Dico seementa spiralia ABI,
ABIK A; ABIL E A, ABIM y A, Rc.
ac deriuo torum spirale spacium se
coribus ABI; ACK, ADYL5
AF Z M; Xc. Ec cori deniique primo
circulo proporcionalia eAte.
Democtallo Fachs elt ex iis quae a Pap.
Dol. 4. ProP. 21. _ ab Archim ede prop. 24.
demonstrancur: linguli enim lectoresiri-
Pli cunc legmiencorum Epiralium libi in-
clulorum; cocus eriam primus circulus, spi
ee alibila pius lant reperiris ele manitelta; criangula enim AB I ACR, XC. lectori.
bus ABB A C. K ac Cxcera ceceris in veraque tiguca relpondene.
PR OPOSITIO XZVII
Lao pacii corius criplus est. F. X quibus palec propolicum. Similicudo etiam ex peop. 13.
Asoret   uu  tti ot u  atet tate   ti es it s iu

## Folio 699 — 1815201908:0756
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000756.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
A
H
dolat
oiu
redt
ABI
se
CntIB
CnI.
A
IPip.
d. 241
511.
9.
SPTR AL TS.
DROPOSITIOZXVITI.
Ic parabola AOL GUAMTANSAE AC,
lccet vero diameet C L, iunisacurque
cem A ducancur roridem arcuS oOnCen.
crici quor in parabola ductx Fuerane dia-
metri, qui spirali occurrane in punctis O,
eradium AC similirer dividane in pun:
etis B, ve secta Fuerat in parabola AC.
Denigue ex A Der C puncta ducanEuFre-
Ax AOD.
AF. Ducantur deinde quoruis diamerri
occurrences parabolae in C; punctis 66
ducancurque ACD:
Sic quoque spiralis AC de primus
circulus CDD, radius A C: C CHErO aU:
concenrricis BC, B0C, etc. esse proporrionales.
Demon-
Dico primo omnes rectas AG D in spirali similicer cAC divilas quem-
admodum lunc AG D in parabola. Ddiamerrum quoque C. P in parabo:
I2 ex peripheriam C DD Cimilirer ese lectas, ac proinde lincas CD, DD
AO lunc ad CD, ve AB ad BC, hoc est ex daris, ve AD alt p
rabola, HOCCIEVE AC ad CD, quod crarprimum. Deinde per 19. Pappi
lib. 4. decu CDY est ad peripheriam reliquam ve AC ad CD, Ho CC
DE, arcubus C D, DD, DC, este proportionales; in spirali enim
veA B aoee a  Palaboa adtC Det2. Hu-
ins ve C. Met t ata antela  feetia
DD, quoderar alcerum e demonteralal.
Dico lecundo lingulas diamerros BG; BaO, _c. Cingulis arcubus
o t u     st o     a     s  oo p  u o a su soomsou

## Folio 700 — 1815201908:0757
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000757.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
1IIIIII
700
SPLR A L. 1S.
Demonstratio.
2 Acio BG ad BcC, componitur ex rationibus BC ad CDY, _ CDZ ad
LCDZ, e CDZ ad BaCi. Aequiracio BG ad CDF, eadem est cum ratione
ABa ad AC: e ratio C DZ ad BaO, eadem est cum ratione AC ad ABB,
ergo racio BC ad Ba C componitur ex his eribus rationibus ABa ad AC, et
SE CDY ad CDZ, _ C A au BB A. Similicer racio arcus BC ad arcum BCC
componitur, ex hiscribus racionibus, arcus nempe B C ad arcum CD V, (hoc est
recta ABa ad AC) _ arcus CDZ ad arcum Ba C (hoc est recta A C ad rectam
ABB.) Acque hacres raciones aequancur eribus prioribus; nam racio AB a ad A C,
in spirali cadlem est cum ratione AB a ad A C in parabola, e ratio ArCUS C DY ad
arcum DY DE per ANerE. P. cade est cum ratione recta C D Y ad rectam D YDZ.
adeoque eriam componendo ratio arcus CD Y ad arcum CD Z eadem est cum
ratione recta C D Y ad rectam C D Z: Denique ratio A Cad AB Z, inspirali eadem
estcum rarione AC ad ABB in parabola. Ergo cum racio rectx BC, ad B0 C1, e
racioarcus BC ad arcum Ba C+ exiiidem racionibus compONAnEUT, Cx dem lune
sive xquales. Simili discursu ostendam singulas raciones rectarum cxecerarum BCad
BO, caldem esse cum racionibus sinsulis exrerorum arcuum B C ad B G. Ouare
diametri BC, B C, arcubus BC, B C proporrionales lunE: quod crat demonstran.
dum. ectisit :. (3 23.
Dicoreriio. Singula criangula C AD, DAD, sectoribus cingulis
C AD, D AD proporcionalia esse, erianoula enim se habent ve bales
CD, DD, de sectores ve arcus CD, DD. Sed linex CD, DD, ar-
cubus per AACTE. 1. praeced. Cunc pro portionales. Erso et triangula lectori.
busproporrionalia lunt.
Dico4. Sulalalisa  ncc. Macampolcemoena
singulis sectoribus B AC, ex c. una cum circulorocoprimo proporciona.
lia cAe.
Demon-
 pt    et tit . e ti tit  ote tit e e t      t  e  to       t t t  ie e t   e    e    ite B 

## Folio 701 — 1815201908:0758
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000758.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
Il
SP IR AF I6.
Demonstratio.
Rioneula B AG, B AC cum angulum ad B aequalem habeauc, cationem Ad-
bene adinuicem composicam ex locerum AB, B C, racionibus, re demonstrac
Clauius ad 23. 6: Similiter sectores B AC, B AC adinvicem rarionem habene
compolicam ex rationibus semidiameerorum AB, AB, de arcuum BC, BC. AC-
qui ex hypocheti rario Aa B in parabola ad ABB, aqualis est racioni A a B ad
ABB in spiralis racioicem B C. diameeri ad diamerrum B aC,, carem eA cum
eacione arcus BC: ad arcum Ba C: per ANerE. 2. PropOLC. praecedenc. Ergo rario
compotira exracionibus, A aB ad ABB, e B C, od BaC, hoc est racio crian-
pulorum ABC, ABR C cadem est cum compolica exracionibus A aB ad ABB
in spirali, ee orcus B C ad arcum Bao Ci; hoc est cumracione sectoris Aa B C, ad
sectorem ABaC. Isicur permucando pacerrriangula lingula B A C Singulis B AC
sectoribus esse proporrionalia. Duodcrac demonstrandum.
Dico quinco. Singula scomenta parabolica qua lineis rectis AC, et
curuis AGC continentur, Cingulis spiralibus spaciis gua vicissim lineis
rectis AC de curuo spiralis ambiru AGC, concinentur esse proporcio-
nalia.
Nam lingula. Tegmenca parabolica per 27. huius singulis eriangulis
B AC luncproporrionalia. Rurlum per candem singula spiralia spacia
singulis sectoribus B AO proporrionalia lunc. Arqui per ANerC. Quar.
cam criangula singula B AC, sectoribus B AC. sinsulis proporcionalia
Tune. Ergo et Scemenca parabolica sexmenris spiralibus lunE propor-
cionalia. Ouod erar demonstrandum.
Scho-

## Folio 702 — 1815201908:0759
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000759.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
30
S PIR AL18.
denta
rdes benigne Lector symbolizationes inter duas figuras spiralem ex parabolicam esse rales
quae magnam suspicionem homini movere sinc nata, Archimedem hat nitionem
odea quae perimerro circuli aequalis esset, devenisse.
Z
e
astio
21ii e CBONIOIAL CEVSSIIICI
21. De.D ( caV 132a. 3. et
Bs  _ A iNCI3C A3 21lB1B .. 23 et
GEII. 11HLI S.
ees 3d0
l. c2Wet h
C  et, I rest
 aa
 1 1rBIE. C. 5. Ca et
 . L. B0ItMI a aeil qo
 1eG 1 iln A dicIEX De e   e
ese L C3B 3 d el seean le eaneib  il a
uc
Y 3cA . A B_ Et  st oactiacI
 E A L.5 SnA. EcisIR ZS CBtO  i e DH  A e
Ba e) En A. 21ra 5) 5) Sioiser 1 18 DOc : 1 SE 11 Det
DAeitui  A et aluri lanaes a on on sust 
DH
1
nac
ilaruo
e1
Ii.
est. + Sle Be3B. 3H. B B.VS). sitt e oqua e ucresso
csil L ep adiloclesq crarunoatu d. Ggnine odiil
eidail esrisinir eup riisse endilariqMignit  11BO. L A disum
Ciricjorq SA WO, d id e M El, u
CituI
nilgairs cilar aid ewive..  23q ailocares evenit alarit en 31
ie slic iit b 2g s. lraoa DA
BuB. 3AE upA e silenois oqurq ids VV A.
leog silunnit  A.C cicirose  A. ait clne in
209029 301d 23 ci. lEnig) cisirs mgr. B. ile d.2 a 1511 15)
1me A1D
11. I. duc
1r hron silaiion

## Folio 703 — 1815201908:0760
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000760.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
n
F.
i
s
AR C Y H E N Y V M.
15c1 11
vidicur libeta nns, n aecem paries:
40.
masapoiss caisoi ommuesmssectiones, ortas ex ducti
a bau. out cor pora se produlta inter se comparat.
ductu plani circularis in rectiineum: E corpora sic produdta exhibet. Icuqu
4.2e
Tertia rniversales quasdam continet propositiones, reliquis fundamentales...
Duarta in comparationem adducit corpora, ortaiex ductu rectilinei in rectilineum,
cum illis quae exsureunt ex ductu partium circularium in se, V el in alias circulares.
Duinca aeit de aequationibus solidorum, quae eienuntur ex ductu parcium circula
rium, in alias circulares.
Sexta ampliorem continet comparationem corporum ex ductu plani circularis in cir-
culare, cumiis, quae oriuntur ex ductu parcium circularium in ellipricas parabolicas,
hyperbolicas.
Seprima contemplatur corporandia ex ductu plani parabolici in parabelicum.
Octana corpora huc 2 (que ex vario planorum inter se ductu nata, reducit ad cor-
pora determinatam habentia alticudinem ex basim, et eorum notitia habeatur.
Nona osum docet ex praxim libri buus; illique applicat lineares propositiones.
parcim ex Fuclide e Pappo Alexandrino, partim ex primo libro nostro petitas.
Decima parabolas exhibet virtuales: qua, quales ex cui 2 sui aptae sint, suo loco
Patebit.
Secunda superfictes contem o  sos satao bt
390
DEFL
17

## Folio 704 — 1815201908:0761
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000761.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
11I
764
DE F IN ITIO N F S.
Vctum plani in planum voco, corporis cuiuscuriis efformationem,
ex duabus superficiebus cande habentibus aut reguale balim ortam.
EX PLIC AT1O
BOnancur lupelticles dux ABCD. L.F Cr; aquales habences alcicudines AB.
FF: Quibusproporcionalicer (eu in cadem racione dinilis, ducancur ipsis AB, F P
orchosonx e incer le parallelae lFI. K C: incelligatur veroplano AB C D. planum
FF C ad ansulos rectos imponi, secundum lineas AB, F. F: deinde BD, IFI, AC
lineas, ductas in P. C, K C, F C, rectansula producere quorum bales lunc BD, IFI
A C, alcicudines rero F Cr, KCr, F. C: Paree ex illa rectangulorum constructiono
corpus produci cuius balis eA rectangulum ABC D e alcicudo planum F C+FC
porro corpus illud voco, corpus orcum ex ductu plani in planum. quod aurem antu-
inam superticies, e singulas lineas in alias duci ad angulos rectos, id Faciliearis causae
peaecipue Feci, ee vecerta ac decerminaca in omni superticierum in invicem ductu
inclinacio seruarecur: unde in polterum duecum omnem luperfcierum et lincarum
in sevel in alias, ad ansulosrectos feri, Cupponum.
Duclant plante roco, cullata apetcteo platta ut ala HBI aqua-
lem ac limilem similicerq. consticuram secundum omnes parres, ducitur.
2226a2+C.
IE AB superticies quanis, cui addacur in directum, a qualis ac sicmilis limilleerque
posica ticura BC; corpus ixirur ex ductu superticiei AB in sc, idem est cum
COrpO.
 e t te ote   t e  tt  e    te   at   tut e t tete    t a e t   e    t  e  t  te  e t t  o   ttie  at   t e  e t e  

## Folio 705 — 1815201908:0762
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000762.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
rent.
Ctan
AB.
OP.
100
70
COrPORC OrtO ex ductu A B plani in planum B C: cum singula linex AB duetx
aCoInCICIC.
inle, idem producune, quod AB clla C.  oliac tere cum prin
encue a aai  qualem sibi ac similem, non similicer eamen constirucam,
Sed inuexse.
Ductum planiin se iplum subalcetes eccus prarta superficies du-
2-ba 221C AL1
Sic AB C criangulum cui adiiciacur in directum ertangulum ADC, aqualc 
simile, dissimilicer tamen consticucum: Corpus ex ABC ducum M le lubalcerne
vococorpus orcum ex ductu ABC; in planum ABC. ioesse penlcum: quan-
cumaucem ditterat  ab codct dueto in le sub alcerne, u0 10.
eo parebieo
Seieh eiet ct 1vset 139 sto i. Ani can Set lit IiL.
eris; ier sii Btu ibeci
 a nt illomlliosit
lo ae
t erhosus cante
15. l91
aset nomli.
 cpui L
1HDC: ECE a
1 10t
at
soccs
rniii
in
i: c
epC C COBONCL

## Folio 706 — 1815201908:0763
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000763.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
111.
 A RSL LCLML A
Superficies primo exhibet, C5 quales sint determinat, vii E communes
inter sectiones ortas ex ductu rectilinei in rectilineum: deinde
corpora sic producta inter se comparat.
eR OPOSITIO PRIMA.
Vadrarum in le ductum, producie cubum.
EXI. DC
Amonstratio
1ec
33
est i
A creris 2
psi
o
 XD Cct
b et
TIisEIE
2 5.11 (3 B MLBNE  3
Ae aiteno  isti c. tui
a A WSeIH _er CM ~
1le
i g sheis cersernte . L. 11. 58. 1
n
t.
quadeacum B L. F C, illi xquale ex inalectum appolicum, exhibcac fguram
Vadracum ABC ductum insc, id est per secundam huius distinctionem in
BOFTON: dicoillam esse cubicam. ponantur quocuis linex RTO aequidi
sin huim. Aances A D C. ABlinca duit a I B B PaMCxhibec BGHIE rectum ad planum
C EX ele.
mentis.
deeret
BLFC; limilicer RL alctal. Placem procn CL. MO, rectum ad idem
planum BF. F C: normalesigicurlune BC. LL. Mea aupu BF F C, adeoque
parssolo: ex quia puncta BTC indITECTAM IIA BC, TI in eodem Cuncpla
nos smiliter FTF. MO linoc, recla tum se planum BR F C, e incer se equidi
stances, e in eodem plano, ec quia GB, LB HC Mex, aequales luncrectis AB, RL
inter se xgnalibus, xequales quoque HCMICa VB, LL, NC, _ puncta COL N in
directum: Similicer puncta FTM O in directum . QuasC _ CTH, LM. NC
incodenrguoquedlunt plano. caacmde caualecca   NO aequales sunt
BF, TO, CF, id est AB, RI, id cHt Cr B, L L, HC; quadraca igieur lunc plana OC.
CCHIF ac proinde angusi HGB, ALGH, CBC. CFBE recei lunc: vnde corpuS
b6. Vna
GHIOFFBC, cubus est: quadrarum igirur in se ductum, producie cubum. Ouod
cracdemotlcalidum.

## Folio 707 — 1815201908:0764
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000764.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
vi
n
ique
R
 sun
66.
DVCTVS PLAAE EN PLANVM.
II.
la
1
Rianoulum rectanoulum ductum in quadratum, aut rectAH CNCL
EOPOSIEIO
nasquarum communesincerlectiones, inca lunrect.
Riangulum reccangulu ABC
duerum in reccangulum, auc
quadeacum A D P crianigulo in dio
reccum appolicum figuram produ-
DCAE FCF C, AD sdIcO icaque
FAC, EDF PC CF Superticies
CAC planaS, _ GHIE, FRO com.
munes incersectiones, lincas este
rECCAS. DOnanEUE quoTvIS MIL. X,
quidistantes B AD, a reCcA B A
ducca in AD, planum prodocat
AF GD, ECOcUM ad planII ADF C: 1
C
Similicer MII dueca in LP, planum Feia
producac reccanguIUM IK IIL. ad
EectOS ansilOS planO( A DFC, linex igicue  A, K L, recrE quoque sune ad pla-
num AD F C, e incor separallola: quia rero F A L qualiS CA A B, _ TR FCCEX
MT aequalis, ve B A 2d. AI I, id eH A C ad. TC, HC F I ad R C: in direccum ivicur
sUnC PUNCCABE K C: _ F AC superticies plana est. MmMCer OstenOITUE, PUINCES BBEclo
OFIF esse in direccum _ E:D F superticiem elle planam. deinde quia C= D linez mensis.
aequalis eAt. F A, _L. HT ipli KI aequalis, aequi distanc altem F AB H)I, ipHS C+ D.
TIL, recra F C, KHI Cxquales lune AD, IL, e F C, KLL C F lise eodem lunE mena
plano. Triangulum isirux recratixulurri, ee c. Quod erac demonltrandum.
it ri
aie
P. R OP C
Si I
eiuldem alcicudinis; producit corpus, habens quatiox haedras pla-
O
YII.
Demonstraiio.
id
lerlgn
balim haber quadracarri.
Demonstratio.
am inses Camoc BLDDC
dicoillam esse pyram ide qua basim habe
quacracam. AB ducta in le vel in BD ill
planum BCD. Sinilicer ML aucta MM
(e velin FR quadrarum producir rectus
ad planum B C D, chiinisitur exhrypoitic
sI recta BD, F K parallelX liniisx guidil
cplanA BBLB, LVHIR: d ACCL LF
GFF, item VB, GF, de E D, HK par 2IIC
Ia TuInE. _C QuIa L B RGuALUFFCEEX A B d
F E, FCCTA NF; DE A B ad NIF, id est
ad F C, sic. TB ad F C, indireccumtigie el
EUE SUNE F OC, _ LBC superticies cA plana: HIIHICEF OIEEHANNEUE L. II C LI meneum
direccom ese X F D C exllibere superticiem planam. dein de quia L D, F D, icem
GF, HK lnce aequales lunt, et P HI C, L C C linea recieiluperticies ixicur omnes
Praece
Riangulum rectangutum in toduetum, pyramidem producie que
111.
d
CSchol. 18
condecimo.
PRiangulum rectangulum ABC, du
aequalem, quadracum producie, rectum dad
e
 e e u q e e e t.     t t   e te   et    se   it e e e ti e e t t e e e    e  l el l   te  te  e  .  1

## Folio 708 — 1815201908:0765
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000765.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
VCTVS DLA
Praerex balim quadrataM, BIG L. L. DBC Planx lunc d criangulares ad punerum
908
erac demontrau.
C concurrences, unde de lxurapyramidalis olt, gux balim habet quadracam. Ouod
1.dofon.
DSIxIO IV.
ducic quae balim habet rrians atalem.
Rianculum rectangulum in se ductum subalcerne, pyramidem pro
Demonstratio.
Riangulum rectangulum AB C, duccun
in se lubalcerne, id est in criangulu BCD.
figurami producat L BC D. dico illam esse
prramidalem, gua bauim habeceriangula-
rem. erisacur ex B linca L. B, recra ad plg-
num ABC: ee AB linex xgualis: ponan-
curque quoruis F. F C+ ParaIlelx AB. linea
P F ducra in FO recrangulum producie
EIF F C, rectum  ad planum B CD; quare
FF, FIG lincx quoque rccEX lunE, ad
planum BCD, _ LB lince parallela.
quia veco LB, FF aequales sune re-
Cris AB, E F; ve AB est ad FF, id eAt BC
ad F C, SCF B est ad R F; in direccum ixi
THT SUNE L. F, C, _ L BC superticies plana
est de criangularis cuius lacera BI. _ CL.
concurrune in L. Smilicer ostendetur, L, H.
D puncca in dircerum eNe et L BD Superh.
eiem ese planam ec criangularem desinen-
cem in L: BE quia LF C, L FTD linca rC
cex sunc e P. H aquidiltar FC, adeoque
 CD, FCCEX E FI, C. D quoque in codem
suncplano _ CL D criangulare planum de.
snens in L. quare cum illa superhcieserian.
criansularem. Priangulum isitur rechlgulum duccum in se lubalcerne, de c. Quod
Riangulum reclatigulum ductuminse
lubalcerne aequalc est dimidio prra-
midis qua resultar et ductu ciusdem trian-
Demonstrario.
Tcrriangulum AB C. duccum in BC D crian
sullin Ceiplumce DC B B prramis orca ex ducu
AB C in se lubalcetne, dico prramide AFF BC
duplam esse pyramidis CB F. D; planum ABC
duccum in se B exhibee prramidem, quadracam
AB E F basim habencem. quia vero angulus
ABC reccus assumitur, eric BC alcicudo prra
midis ex criansulo ABC in se ducco extribicat
dueta
eral demonctrandum.
gulares sinc e concurrenc esin L. prramis cA Aixura L. B C D, habens balim BCD
61. Feninus.
PROPOSITIO. V.
suli in le
culum xquale d Mle, subalcerne policum:
sICq; F F B C Apyramis Orta ex duCtU A B C crian

## Folio 709 — 1815201908:0766
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000766.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
TN P L A H V Z
duda isirir diasonali AE, e planOPCD AF ee puncu . ClipaS CK BAM
AF. B, _ alcicudino B C, dimidia prramidis exbasi quadraca AB L. L e Cou
alcicudino BC. sed prraniis C EBD, aequalis est prramidi a B L C3 cum bans
ABC, SCaqualis C B Id, dc alcicudo BF. communis; isirur pyramis Rhl. L CX
ductu AB C in BCD Tubalcerne polici, dimidio prramidis AEHC. B clt aqua
lis, quae aequalis est pyramidi ex ductu AB C crianguli in le. Quod fuic demonstran-
dum.
eROPOSTT
VINE ABC, EFC crianguta rectan.
gula, incer le similia de aequalia, di-
vislG: AC, F. G bitariam in l _ MI, a-
gancur per Ia M linex HI, L N, paral
lelae rectis BC, FO.
Dico corpus orrum ex ductu plan
BHIC in sc, ad corpus ex duele
FL. MI C in se subalcerne, cam habere racio
decim adrredecim.
abent quaTuIOT
monstratio
Glane lineis HL, BC. aquales indirect u IR. CD.
iuhgancurque KD, icem e lC a Gua
tiac O, et FC+ linca aguas MIB, Tuhsancur.
que NO, cric igicur Mdane pomca
ad EMCti deminanur caIl a Lullea HI1.
EP Parallelarectis AC, C. C. TanigancurqueK1
PM. Planum BHTIC adclmmenem IK
xquale est corporibus orcis ex ductu BIIK: in
AD, HRT in ID, _ RIC ducto in FD, sed planum BHTR ducum in ID.
requale est corporibus orris ex ductu BII R in ICR, in CR S _E in S RD: RE TIR I
planum ductum in ID cA xequale planio EIR Iducto in LC. K. in CR S, eC in SRD.
deinplanum RTC ductum in planum YD aequale est plano R IC ducto in ICR.
in CKS, _ in SRD: igicur planum BFIIC ductum in (c. aequale cAt plano BTIR
ductoin TCR, in CR S, in KD. _ PIaLO ETK LABCIOMLCR, in CKS, in
SK D, ona cum plano RIC ducto in TCR, In CK S, in SKB: cA aurem pIZ
num BE R ductum in CRS, aqualo BHTR ducto in se; e BH R in SFD
aquale B HIR inse ducto, icem FTR I aguu aLinC0, item RIC
in CRB, xquale KLC inlc, veiee RIC in SRD. cm BiR in CIR dimidion
cA Bealc, d HRI in C a LLe MaR:B
in se aouare et plano BFIR ioo Pano HKuiclemch a pinoki
insupor a RlC in sCK. dintarm AFC m 1C. Hau pranum BHITC agau
in sebisen usae aalacibus Guarum hga aquales suncB FI R duileI
(0; quibus haddideris quacuor quancitares BHR in ICK; HRL in CKS e in
SKD, irem RIC in PCL quac a icemlunt BH R duax Inse; erit
planum BIIIC, ductumMe aqua sepcem quanciratibus, quatum memx eguaIes
sunE BEL R ducte in sc. id est quaruordecim  quanciraribus, x qualibus B FTR du- B6. hutus.
ela te. lubalcerne.
Eodem modo ostendicur planum FLMC ductum in selubalcerne, id cAt in pla:
Hes CMIO aequole ene credecim quancicacibus quarum singulae xcaates lae
2O_. illi aequale L  I C. habebis duptum BH K In LH C acct
insun
FL P sinc BHIR in se subalterne ductainam FL P, in M C9 est aequale HIBR
in TCK, quae est pars decimaquarea BC I ducti in ICD. Cui li adiungas I. F P in
X X L L
se oseeesaeo ooa   se uo

## Folio 710 — 1815201908:0767
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000767.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
DV OTVS PL ANI
intaper FP _ in MO~ e CON, _ OGO, habebis noncupium: quibus s ad-
unxeris PMin MO e _ON _ OO, hencrredecim. inde BIILC duulum
in se ad F F.M C ductum in sc lubalcerne cam haber racionem qualit scacuordecim
d credéciurs: nsiu i ee
5. 3. 51
:miiiaimnstorint dd P R OB O S LTLOI V LI. , ui 11.
G10
Ir
dic
sitq AC, P. C similicer in quoruis paries xqualeo  tis HL, L, E;
C, MI, N, aganEuT per HI, I, IE; L, MI, N linex parallela rectisBC, FV.
Dico XI planum ductum in sc, ae quari plano OM ducto in l luDal.
cerne, ridu F Y ducti in se lubalceme. et dc reliquis.
Demonstratie
sula rectangula, similia intor se e aqualia:
 AaI
subalcerne, huc Ll ductum in se aequale eR OM ducto in se lubalterne vna cum
 V.F intelubaltetne. Duoderac demonserandum.
.1.
2u d.
e
1L de
1
1. i. 
DFanum X L ductum in se siue inplanum IX, Zquale eAt plano YY ducto in Ldi
ec X V. Y in Iu. rna cum XV Y ducto in aZ n: planum vero OM ductumin
in Lx) e OP R in MYi (id es X VL in u bua cum kI. SCL sac
ctum in se subalterne, est ille quo X V X ductum in se siuie. in uZ. X. CuPerRE
ODR ductum in SOY, Enc in se lubalcerne. sed XV Y ductum in le iapetat
OPR ductum in se lubalcerne, plano XV Y ducto in Ce subalcerne. igirur planum
XI ductum in sC Cuperac O M ductum in sc subalcerne, plano ZV X cdco
Se. lubalterne, id; est in planum NO, a quale cA plano R M ducto in NO (id est YI
XV Y in lcsubalcerne: ): igitur excessus quo ZI ductum in le excedie OM du-
eles rii i Ei herie ectcit.
neiicota
et vrs
cuedicii

## Folio 711 — 1815201908:0768
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000768.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Corouattum Pltnuni
Y A
Lin quacuor parres aquales dicta lunc:
excendere poteris ad qualuis lubdiviliories
in parces aequales: moco sinc numero pares
in veraquelinca, vbique enim ingenies fun-
damentum discursus in demonstracione ex-
plicaci. Imo ecram excendere poteris ad
ipsum criangutum V ZY, ducti in lc, ad
idem eriangulum ductum in se subcocrarie.
nam, ve parec ex praecedencibus, ex Tola ad-
dicione V Z Y in se lubconcrarie ducti tce
aequaliras cum VX Y ducti in Ic.
Corollarium secundum.
Pera precium riderur hic adiungere
mechodum reperiendi proporrionem
incer parces prramidis diuix per incerualla
rqualis alcicudinis. nam FC pars prramidis
vel coni, haberracionem ad parcem prra-
midis AGC, quam habet quaruordecim ad duo, sicur proposicione sexca huius do-
cuimus: ad cognoscendam aurem racionem parris GD ad FR, Sic procedatur. Cu-
macur excestus quo FC, excedic AG C, qui cst12. Deinde huic excesui adiiciacut
ipium FC, (ect aurem FC 14.) resulcabic numerus 26. candem denuo 12. addancur,
exsurgec. summa quasita scilicec 38. nam racio F C ad F R, cA vc 1a. 9438. Ouod A vI
cerius pergere desieras, iildem insiste vestisiis. Raxionem enim LF, ad HIB, cadem
praxireperies sumendo scilicet ve prius excesum quo F F supergt F C, qui cst 24. C ul
adiunsacur iplum F P. quod ostendimus elle 38. relulcabic summa 62. huic summx
addancur 12. X exlurger summa qua lica 7 4. nam racio FR, ad HIB, cA vc3B. 2d7 10
Hlanc praxim si concingo obscruaveris, poceris in immensum in indasanda racione
proeredi parcium pyxamidis aur coni, dummodo incerualsa eandem sorrianeur alcis
rudinem. eess: ceti e
1tooti
Corollarium vertium.
Inccciam manifectum; pyramidem auc conum quicali rarione Pectus est ve aleit
Lcudines continuo xequales sine incer Ce, non adinicrere racionem incommentura-
Bilicacis incer suas parres hoc modo sectas. cum enim per numeros concinuo reperia
cur carundem proxorrio, tirre semper parces eam incer se contineant rationem quani
numeriix aper quos producuntur, incer (e lorclunEur.
ROeOSITIO ViI
cciangula vel rectangula eria eandem habeant alticudinem et bales
Dicocorpus orcum ex ductu primi rectangulivel crianguli, in cerrium;
aequale esse illi, quod exturgir ex ductumedy in le.
v.
Vahic de divitione linex A C vet F C.
continue proportionales:
  stotet t t  tue  utut  et s  tstet  sattet este  st st tt

## Folio 712 — 1815201908:0769
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000769.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
OVCTYS PLANI
Demonstratio.
1 di vI.
oae
di 
e
i
ait e
InE AB, C D, B F bales continue proporrionales, rectangulorum velcriangulo-
rum G E, TR L M eandem habentium alcicudinem: dico planum O FI ductum
in N aequale corpus proterre illi quod orirur ex plano TK ducro in sc. planui HO
ductum in LM, Parallelopipedum producie, habens planum GFF basim de alcicudi-
nem F F: planum vero IK ductum in se, parallelopipedum producie habens TK
basim ee alcicudinem C D. Sed parallelopipecta illa bales habene alcicudinibus re-
ciproce proporrionales, cum sic ve planum OFL ad LK planum, basis ad basim id est
eo 34. AB, ad C D, Screciproce CD ad FF, alcicudo ad alticudinem; corpus aigieurOr-
ondecimi. rum ex ductu F C in L. MX, X quale cst COEPOTI, OrtO ex LK ducto in sc. Oy od erac
demonstrandum.
e
inni odectdes
ROPOSTFIO IX.
ABCahEcraperiaeria  eadem alticudine constiruea, bales concinue
Aproportionales; lareta vero quae alcirudines cerminane, basibus
aquidistent, de in eadem cum illis lincproporrione.
Dicoprimum craperium, ductum in cerrium, corpus proterre xquale
illiquodemersit ex ductumedii in (c. 1
Demonstratio.
D. F F continue proporcionales: laceravero GTT, TK, LM quxe alcicudines
erminas aGum  LB CD, F F. _ in eadem cum illis line rarione: ab
Co CFB ductum in LF, quancicacem etferre aequalem illi, quam protere FD du
ctum in sc. producta AC, B FI convenianc in NY _ CI, DR in O, HL, FM vero
in P. ve C Fad AB, lic IK est adC D, et L. UI ad P. F, ex hyporhesi, ixicur ve ANB
Exian.
ABEanE AGIB, CTD. E E F Exapexia eria in eadem alcicudite posira bales AB.

## Folio 713 — 1815201908:0770
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000770.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
C
et
N PL A N V N
ceinnoulum ad crianeulum GNFT.
ACCOD AdTOK, _E F PFadL L M:
e permutanco, converrendo, X icc-
ID, lic CN Aertalaum ad crianou
adL PM: CCaClaPCI2CB, ID, T F
exac demonstrandum.
it
F. L. F ductum in LMti in concitiua elle analosia.
 1311
Demonstratio.l. . 
BFX L sai s
rum permucando ve GB crapexium ad
Ium TOK, _ ve TB ad DF, ACTOK
suncino racione balium vel lincarum
GTT, TK, LM; QuE balibus  pro-
TM: in cademisiculum cautcudine criangula ANB, COD; P P V. GNALC ANB 
eriangulum ductum incriansulum L L P, Corpus producie dxequale  GWOCKIISIC. ..
ex COD, ducto in le. teneadem de caula criangulum GN EI duaum in L PM. a-
quale eAt TOK ductO in SC; TELICUUNBAML CLAPCLICIA LOTED ABCCHE IETCHaUM
Porcionales; isirur  aa HTI.
TOK, I PMC anve Bales GTI, IR,
C
ROPOSITI9, Z
Idempoliis iungantur BC, DI, FL.
1o
1
1121V. IC. L.15
Dieo planum AGB ductum in CHB, e C ID in IRD, FancM
e0 in (C. u0d
Quint
XCD 
generacilli, qua orieui
13 11. 1. 1. rc l
het si
LNKF, aqualeme molem
ei onesest
de  1115. 31O
E.
BEanum ACB ductum in planum C HlB. Pytamidem pronucie Fhabentem b2- L +. huuso
Simscrianoulum GFTB, e alcicudinem AB: Similicer planum TCD ductum in
TKD, XEF L F ductum in L M F pyramides producune, quarum bales lunc erian-
sula IKD, CMF; alcicudines verOC D, E P. Sed per hypochesim criangula CB FI3
TKD, LMF in eadem altirudine consticura, proportionalia suncs inratiore balium exri.
GFB LR, IM, _ AB, CD, P L alcicudines proporcionales quoquelunc; candem
isicur concinuanerationem pyramides, producte ex AGB in GHIB, e CID in
IK D, denique L. P F in P ME F. Ouoderat demonstrandum.
TIdem positis:
eR OPOSITIO XI.
Dico planum ADC aucueCHI aguate pe
cudinem, illi quX Oxitur ex ABC ducto in F F. HI.
10
LXXX 3
demon-
1 1  1              t   t     e
1
t   s sultia ut  n s pi

## Folio 714 — 1815201908:0771
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000771.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
714
DVCTYS PL A N B
Demonstraiio.
in superhciem LF. I pHaicen prociuen, Catus Banscriangulum cA AB C, d 2l.
634. onde ticudo P. FI. Sc do pyramides illae xequales sune, cum bases habeane reciproce alcicu-
dinibus proporrionales; est enim basis A BC ad balIm FGFT, ve AB ad FC, id
est D C ad F FI, alcicudo ad alcicudinem reciproce; planum igieur AD C ductum
inplanum FC FI, aequalem proteremolem illi, qux producitur ex ductu plani
ABC in planUM P P H. Ouod erac demonstrandum.
PROFOS111O AII
Iqualuor rectangula tet etlang ula in eadem consticura alcicudine, ba-
Dico corpus orcum ex ductu prime superkiciei in quartam, x quari cor
pori orro ex ductu secundae quanciraris in terriam.
atuins. PLanum AD C duerumin planum F C H, poramidem peo ducichabentem a ba-
cimi.
simeriangularem F GHI, ee alcicudinem DC. similicer ABC quancicas, ducta
les habeane proporrionales:
Demonstratio.
Fahenla veleriangula T.R, L. NI, eandem habencia alcicudinem, bales AB, CD,
FF: C EThabeane proporcionales: dico planum I ductum in planum M. aqua
ri R plano, adteb in L. planum I ductum in Mt planum, parallelopipedum pro-
ducietrabeno a pla   CLL. Me  upetheles alca
lathu

## Folio 715 — 1815201908:0772
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000772.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
M
ett
Led pargelopipeda illa incer se xqualia lunc, cum bases habeane alcicudinibus reci. W
DN D. F A N V. M.
proceproporcionales (nam balis lad balim R CHth AB da C B, Id c ex hiypo
ches P C ad CII, alcicudo ad alcicudinem reciproce) planum igicur I ductum in
M. corpusproduciexquale illi, quod orieur ex ductu K in P. Quod tuic demon-
Arandum.
eRDOEDSIFIOXI
Fquacuorlinex fuerine proporcionalos, ee luper illis criangula in ea-
dem exstructa alcicudine, subalcerne Ponantur.
Dico primum erianculum ductum in quarcum, aequalem: eHferre quan
cicacemillis qua eroducitur ex ductu scoundiin certium
supersidieas E, patalletopipedum producie habets basitu Ks iee alcieudinem L F: - , A. vnde.
Demonstratio.
ee K quidem lecandum, primo I, quar-
cum vero MI, cerrio L lubalcerne pona-
cur; dicoi ductum in MI, Xquari K du
ctoinL. Triangulum I ductum ii Ni
preamidem Bproducie habencem b2-
lem criangularem Le alcicudine G F1.
similicer planum R ducrum in F pye2-
midi aequarur habenei balim K, d alci-
rudinem C D: Sed prramidesille incer (e cx quales sunc; cum bales habeane aleieu- C Fx 14.
dinibus reciproce proporcionales; corpus ixicur quod emergie ex IduCtO in M, X- rndocimi
quale escorporiorto ex dueru R in L. Ouod crac demonstrandum.
PROPOSITIO XIV.
∞A
VPCE AB, FF, CD, OFI TinEIS
dproporcionalibus, in cadem consti. 
cuaneur alcicudinc eriongula L, R, L, MI:
poctionales; lacera verdsa danous opponucu sidetu egulanten.
Dicocorpus quod exlurgic ex ductu primi plani in quartum; xquari
corpori orro ex ductu secundi plani in cercium.
2
TAbcaNEA, B, C. Ds trapezia 
LLineadem alcicudine consti-
tuca, bales HO, PO, RS, Y
proporrionales, aLF, OII
IK, L. M lincas basibus aequidi- ies
cances, in eadem cum basibus
proporcione. dieo prattuu s
duerum in planum D, aequari B
duccom C: planum A ouClMM
iit B, Corpus producse HaBCNS 
Basini plalaM A, X dlcuamem l’V. limilicer B duccumme. Corpasgcherac na- aibid.
bens basim B de alcicudinem F V, sed corpora illa, incer Cc xequalia uma quIa bales
habencalcicudinibus reciproce proportionales; planumisicur A duerum in D ae qua-
cur plano Bducro in C. Ouod tuic demonstrandum.
Raperia quatuor in caco luaHe, Bales habCant pro-
de candem seruent cunt dalibus proporrionem.
2
1I
it
13
etit  t  eti
u uui u s i  e t e  i ta 1. e ut i   

## Folio 716 — 1815201908:0773
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000773.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
AR Si
1
Ve
et
lant circularis in rec  po ratibet.
Superficies contemplatur es communes intersectiones natas ex ductu
koeostitXV.
emtenculus adels arcetangulum ciuldem alcicudims. Lapeltatm
Oproduci exlindricam.
Demonstratio.
DE ABC semicirCMa d A DF C
 et 1
clausulum eiuldem com semicirculoaleicu
dinis. dico semicirculum ABC duccum in rectangulum. superticiem producere
cylindricam. K cenerum ponacur semicirculi: assumprisque in AC punccis quibus.
ADEC; cum A BC duccum in AD L. C, ad rcccos illiinsistac angulos, ex tippo-
vis FTFI criganEE ex HI X R, normases ad A C, crunc illa quoque recex ad planit
chesiposicam defin. prima huius; parallela isicursune TTB, RB. pongneur deinde in
plano AP C, laceri AD aequidistances RI. HIC: _ HB. K B lincae ducex in HO.
KI. plana exhibeane ABF CRB F L. Gobniam igitur IIB, RB. reccE sune ad pl2
num AF C et TTCKI. parallela, plana quoque FIB FC, R BFI2 reccalun ad
iuncEx FC Guoque, Xqua lestane ecs BR: (ed B R lincx semidiamceri lune lc.
micirc ABC, adeo9i ec celhe aGales, isitur e lF lincae quoque aquales lun
_D LL puncea adeen aaa A B C: quare e B Fi, xquidistances H6.
adeoque e axi K l. luperticiem producun extindrieam.
. ondc. idem planum, ee incer se aguidistane; paralele ipicur sunc linex B F, B F; item FC.
io
FI qua rectae quoque sunc ad planum A P. C: 2deoque d in eodem existune plono
deinde cum EB, K Elincis, aequales sinc FO, CI. _ anguli illis concenei reccis

## Folio 717 — 1815201908:0774
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000774.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
 PL A N V 1.
R OPOSITIO XVI
Emicirculus ductus in se, superticies duas proue CMMaticas, qua-
rum communisincerlectio, higura e plica.
demonstratio.
Emicirculus ponatur A B C: aeoHlum in se ductim rel in semicireulund AFC
xoualem; superhcies proddcere exlindricas B C CK. guarum communis
incerlectio A GC Fgura es ellipECa. Facto super A C rectangulo A FC, suman-
tur in RC, puncta quevis D Cquibus ad AC normales erigancur D B: ponan-
curque DF in plario AF C agMdistanceS AF. rectx DB ductx in DF supexti-
ciem producune cxlindricam BFI, ixirur _ BC lincae quae pars sunc B FL, 3d su- ais huins.
perticiem (unc cylindricam. Similicer octendetur O F. superticiem esse cylindricam.
quod vero AC C figura sic ellixeica, six osendo: unganeur DG. rectxe DB du-
Ax in se, quadrata generane D B C K, quoruin diameeri sune D G; quia vero qua-
deaca illa, b recta sune ad planum A C F, _ AF, D F parallelX, planA ABO P X. b Fix hy po
nest in
quidistane, ec criangula quoque DF C ParalIelZ lunE: quia verO D P. C anSU. defin. huins
li sune recti, e DF, G F linex aequales, anguli F. DG, FC D semirecri luNE:
in codemigitur sunc plano; clinox DC: rursum cum DO diametri sinE qua- c Educisur
deacorum DBGF, quadraca DC dupla sunc quadrarorum DB: vnde VE BD ex ctemiti.
quadracu aa ac B, le eleteclangulum ADC ad rectangulum AV C,
BC D et quadracum ad quadeatum D Cr: elliplis d ioicUF eA A G C. VOCCTUF aV. d +. D.
cet corpus constaris supertciebus DB OP, insula: Euius propricraces; et cuba. Ctis.
curam luo loco crademus.
RO P OStLIO XVII
Emicirculo si reclacis llum eruldem alcirudimis in dircetum adicta-
cur.
Dico coram illam quanticarem in se ductam superficies producere cy
lindricas, quarum communis incerlectio fipura eA elliptica.
Demon

## Folio 718 — 1815201908:0775
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000775.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
ETVS PL AN
Demonstratio.
nicleculo.
culo alcicudinis: dico Rguram AC B ductam in le, superticies producere exlindri-
cas AC, LE, quarum communisincerlectio F L lGura est elliprica. Rac constructio
ouam indicactioura. planum A C B ductum in le. a guatuT AC ducco in lC, _ C B in
sc dueco, vnacum AC ducroin CB bis. sed A C duerum in Cc, cA FII ducrum in
HIO, _ C B in se duecum, eAt parallelopipedum CBDII; praecerca AC duerum
in CBBIs, eAt AC duccum in CFI, vna cum HIC Mcco in HID; planum igicur
ACB, ccum in sC aequatur HII ducco in (c, CB ducco in le, id est corport
EBDHI, d AC ducco in CFI. vna cum HC c HB: planum aucem H I
2s. huins. duerum in le vel in FL C superticies Preb CyIInaricas lF; F C, _ F F commu.
Eis. huius. nem incersectionemellipricam, icem AC ducctu in CHI superticiem c producie
cylindricam AB caldem HC duccum in e lapechiciem producie cylindricam
CE, planum isicur C B ducrum in se, supertictes producic cylindricas AIP, P C P
quarum communis lleccio FF, Agura CA CllipCica.
EOSITIO XVII
Emicirculo li rectangulum circumttvacuI.
undi.
EX I. se
in directum adiiciarur rectangulum CB eiuldem cum semicit:
Dicosiouram concauam que exrima lemicirculi perimerro de rectis
lineis incercipicur, ductam in torum rectatieulum, corpus producete
habens cylindricam superliciem alla  exrimas cres platias.
ooisis
Demonstratio.
Cicirculo CDB rC.
clargulum circumteri.
Sacur C. A B. dico planunt
Da duccum in reccan.
St CAB, COrpUSPTO
ducete habes superticiem
concduam cxlindricam.
Reccandulum C AB du
Ccurtule, vel in rectan
C eumenculo ducio
sulum BFC aQUATuE
in rectangulum C A B vel
Perkcie ducra in FCCFAH-
sulum CB A vel B P: Led
CBD(C.
CBF. vna cum D A (II-

## Folio 719 — 1815201908:0776
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000776.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
111I
IN PL A N V N.
∞BD seinicircilus ductus iH teclatioulum C AB vel B C, SuperEcieta producie
erlindricam BH: reliduum isicur planum AB quod lemicirculo C BB con- a 15. hun:.
eruic ductum in rectansulum C AB vel C BF; concauum producie superticiem
Chlindricam, quae DF luperticiei congruie.
PROPOSIF, 1O XI
lEmicirculo a rectansulum circum scribatur:
dnam concauum (qua excima Cemicircus petmetto d les
stansum acco incercipicur) ductam in se, Supertcies duas produceré
clindricas, quarum communis incer sectio hgura est elliprica.
Demonstratio.
Emicireulo AB C rectangulum circumeri
Obacor ADC. aILD DB siguram ductam in (C;
superhcies duas Cxlindricas producere, quarum
communis incerlecclo Agura est elliprica: supee
DD inca rectangelum BONAEUE F D F aquale
ADC: dein E DF, Cemicirculus inseribaeuE
F. C L. Parec illum equari semicirculo ABC, et
DB, D C lincas dnes xequari. Octenlum est pTE-
cerea Acuram conduam BD, ductam in ADC
rectangulum, exhibere superticiem exlindei-
cam: desui BD icCH DO, pars est illius re-
dangult, oriam B ductum in DC Producce
supertierem cylinatiCaM. quix vero DB ad DB,
eandem habencrarionem quam D C adD C, cx-
jam DB sd DB, candem habebune rarionem
quam D F ad De ue diagonales sune quadra
eorum DB. quate Cum P B e OC Sinc ad co(. 101CL, 2 1. d 1E
dem circolos, ex constructione patecn F F esse ad 1
eandem elliplim, cum DB minor hc dingonale
PROPOSITIO
a
F. l.0
uino
gruic, dico lyperticiem prodci cplindricam.
I(dem policis, si fsura concaua ducacurin luum semicirculum cui con-
.V. C
onsorior.
l
Emonstracum eA D B ductum D K rectangulum, cexhibere Hpertciem extin- = i9 tuius
dricam. sed D B ducum il  eu pas i  ddelt Bicur etiam DB
i BS exhibene supecueteu C cylindricam.
1 e  1     s  e   e   e  t t t     te    .    t  1          

## Folio 720 — 1815201908:0777
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000777.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
11
de
DVCEVS PL AN
ROPOSITIO XXI.
deulnicirculus ABB, inscriprus rectangulo AD L cur a GualeII
Dcoecurum DO ad angulosrectos, semicirculum C F. F concitens
aequalem AB. ducatur aurem eo sicu AB Semicirculus in SCHHHCHCMIUFO.
Diccuperticies oriri cylindrieas, e communem oe
Fore cllipricam.
Demonstratio
crangula F A D suncTCOlCCHA. MI DH= planum clt. agatur deinde quodcunque
deacorum, erune quoque diagonales DB, incer se aequales, ac proinde criangula re-
aPerole.
perticie cslindrica.
VOX, h0
Vcacurcorum rectangulum AD, in DC rectangulum; de ponantur diagona
les D F. quoniam igituE AD, A P aqualeslunc, repoce lacera corundem qua
+. D. et
planum RO FTM parallelum planis BOY, DF Z: Cimilicer, divila superkicie A A
DF Z planis aequidistans. Ononiam OR AUCCLI In RMI, XGUAEUIE R NY in se duccoe
NO, hoc est IS in se ducro, vna cum rectaBGIIO, ALO BIS Sampeo, hoc est ro-
Odia vero elt ve quadrarum O P ad O NT quadratum, hoc cASI, SIC GHAUTAIUIIE
ad X IIZ
bitaria ECCCa O R paraIlela A X, per O R ponacur alcerum planum ijidem D C,Y
menea.
c19. huius: superticiem cxlindricam; H a C Al, TL, hoc estomnes BC, C F, Cunein su-
b Exc Crangulis NS, IM, Simul Cumpris. IgicurfgurE NKL, S. IT quadrarx lunc, qua-
mencis. rum diagonales unE RI, ITI. Oltenlum cA aucem BD duccum in le c producere
quare Y PIZ hoc c d CC, sunc ad candem ellipuim; quae exhiber
Scholion.
PR ad TFI, quadracum (illorum nimirum dupla) estque recrangulum V OX ad
tZRZ ad YHZ, ve quacacum  ad ON quadrarum, (quia
PO. ON normales luncad V X diamerrum in semicirculo V BX) etiam quadra-
EUm P R ad TFT, quadracum eandem habebierationem, quam reccanoulum YRZ
communem incerleerionem planorum B, FG. Quod erar demonctrandum.
Eoposirum sit AB, ductum in C D, adst 
re
actu AB, in se: nam Cn LLD, UHCd fitit
aquales CD, Videtur prorsus tae corpus debere
produci cum illo quod prdaneitur per ductum AB.
in se: lonee tamen est diuersum. sit enim quadras
rum AD, quod diuidat F. F. linea bifariam late
ribus quadrari aequidistans, es descripri sint aequa
les semicireuli AB ex C D, ex ducatur AB, in
C.D V1 proposit. 22. postulabat, orietur sicura cuiu
dime-
ssest stes de e  t. es e   e e t att st lt e   e     ti i t      e it  t         e e  se este  te

## Folio 721 — 1815201908:0778
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000778.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
1
TN P L A N V M.
dimidium est F C Fieura autem inscripta huie
corpori scilicet PFIR, est dimidium A B ductr
En se:icitur AB, ductum in se lonee uner snt
corpus producit ab illo quo d oritur ex AB an-
on C D. quare corpus ex AB ductdn LD.
aequale est illi quod exsurgit ex AB, duito 
se simulcum AB, ducto in BC; sive quod in
idem recidit AB, ductum in CD, aequale
est corpori quod exsurgit ex AB ducto in to-
tum B D. itaque ad complementum Cylindri
qui consurceret ex basi AB, in altirudinem Y
AD nihil aliud requiritur quam AB ductum
in se, v facile connosci potest ex ficura F C, cui 
Si addatur dimidium AB, duetr in se. Babeostut fe
interer Cylindrus basim habens A B, seu L. C, i
es alturudinem PL; ficuraicitur F C conti-
nec dimidium FTI, ducti in se. simul cum FFL
ducto in LC, quibus s addideris reliquum=
dimidium corporis ex. F II, in se ducti, smul
cum FPL. ducto in L O, exsurget ficura quam
vocanimus hac propositione natam ex AB, du
ita in CD, reuera autem est Rrura orta ex
AB ducta  supersiciem BD, vt explicatum
est. quod si displiceat haec nomenclatura, vocetu
fcura FC, dimidium illius corporis quod ori-
cur ex ductu AB, in superficiem BD.
eReTOSILIOLAII
n ab circulixqua, .
lete canoau  lbal
AB, in C D, cciamoeu.
Dico superticies produci Cylindricas.
Demonstratio.
SOnanuE PF, CC diamecti circulorum paratlelae; et ABCD linea.
normales ad F F, C C diamecrosscrune igieur BD lincae X qualesL C, HPacele
elementis: sed A B circulus ductus in FC altirudinem, producit exlindeum; ieicu
et AB circulus ductus in BD, cylindrum produeit. sed AB circutus auaus IH CH
culum C D, ParS es AB ducti in BD; igitur _ A B circusas MS IL D, MMC.
lum, secundum mentem praecedentis proposicionis superticies producic erlindricas
quod vero communis inter sectio sit ellipsis, vide Scholion quoafod. In quo corpus ipsum
de quo proposirio est, ex primitur, es explicatur.
cho-
 tepe  etet  dete es te te e te e te t te eti  et etite te e tete te    te  t  ate    t  t  et e  a     t et i  te ti  e           

## Folio 722 — 1815201908:0779
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000779.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
DVOTVS PL A NB
F
r
Scholion.
Ora: id quod producitur per A B, ductum in C D.
sunt dua partes cylindri inter se aequales sicut con-
tincit inscemate HIFI circuli ducti in K K circulumz
nam FII. sant parallela LM. ereo sunt in cylindri
supersicie edaem modo XL. cum sine parallelae N I
sunt similire  superficie cylindrica. onde cum hic sint
duo cylindr aquales habentes bases ex altirudines ve
P sunt NOL. L, habens basim HIFI, C OMKI. ha-
bens basi LK, sinique altirudines NO, OM, hoc
est NI, IMnter se aequales, manifestum est produet
hiceglinataam corpus aequale cylindro qui habet balim
RK, es adicudinem IM, quod in idem recidit cum
upadictum est aequale corpori quod produci-
cur ex duct baseos AB, in alticudinem F. C. quare
patet FLL, perficiem esse cylindricam, vii eriam est
KL, quod proposirio asserebat. Deinde quod LL. sit
psis, indepatet quod RS linea sint aequales SIC
ineae TIL sint aquales I. R, vnde N K IadNR I,
rectangulum est ut OSI rectanculum ad OBI re-
at hoc  vt quadrarum RHI ad R HI; vel
PROPOS
SL ad SL quadratum.
Irculum ABC. Icccticcta quacs eL non pelcenttum aucta.
Dico AI ductum in IB superticiem producere cylindrcam, d
communem incersectionem Forc elliplim.
(TIOLXIII.
Ooonslatio.
Vcacur per centrum recta HI Ci paralIcla CL: AK ductum in RB xquale
tisccun.  eA AF AdA0 in LB ex TK, ducto in CC, VEFALEE Cx 2elementis. Ced A K du-
26. buiu ucum in R B. Lapeuees Pruuen esteas larum communis incersectio cl
elliprica; isicur _ Al ducrum, in LB,  PdeS AR ducci in KB) superti.
CledPdadet Cstutaad anc a it Chltricu ldutura
56b0 ub.3.
Monat  et

## Folio 723 — 1815201908:0780
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000780.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
N PL A N V Nt
Schollon.
enim AI pars ecu aequalis parT ME; ita VE PP. sit parallela L L diametro
icitur AT auoum in LB, aequale est A I. ductoin IK bis, es simul A L, ducto in se semeli
verum AI, ductum in LZ bis, aequale est corpori orro ex ductu  P, in PR, ex ex YN
hoc est M P ducto in TR. quae quoniam sunt aqualiainter se erunt aequalia x similia soltab
quod sit ex AI, plano ducro in IK bis. Teitur superest AI, duerum in se, quod repraesentatur
per OR hoc est M P, hoc est A I, ducto in R S, hoc est R, inse; patet icieur. Oe
OS, esse cylindricas supersicies, es ipsam OO esse ellipricam lineam; vr ostendimus propost
tione 16. huius libri.
aquam in D sccet cansens DB, Parallela diametro AC.
Dico FF. ductum in F. C luperticies producere exlindricas, quarum
communis incerlectio estelliprica.
Lere
Demonstratio.
DEanUm F F ducuM in F G, XqualC CA P F
ducto in FFI, d F F ducto in FTO. sed
eam EF D ductum in KFI, quatm P F du-
ctum in FIC siveF FT, supertcies producie
Cylindricasi igicur ec F. F ductum in F. C, Tu-
perhciesproducir crlindricas, communem
vero incerlectionem figuram esse ellipricam
pacet ex Scholio prop. 22. huius, igieur, ec.
Duodtuic demonstrandum.
Teut semicirculus in se ductus producie ficuram M N, ica quoque A Y, parscirculi in se du-
Eta producit aliquam partem COrpOrIS MN, quam in ipso MN, hac praxi inveniemus. sit
eROPOSITIO
TIrcuram AB C cuius diantecet HC, COMMIMGATIM A linCa AB,
ii
DRopOsicio quoque vera est, si D A linca circulum nON COntinSAE, Sed tangenti
Corollari
aequidicter: demonstrario tere endem eAt cum priorio 11
(A1Gal I3 CEEDACII 12BEL CN M CEIO GI
 29121l 13
E R
At .        se n u 

## Folio 724 — 1815201908:0781
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000781.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Ex 16.
nins.
DV CTVS PL AN.
PRODOSIFIO XZV
Virculum ABC secenE dua quatIS IINCA D C, E. P parallelae incer te
_ L quales; IUNGANEUTG; D F.
Dico CB in se ductum, luperticies producere cxlindricas, quarum
communis incerlectio figura est ellipeica.
5. fecundt.
16. huins
25. huine.
demonltralcum.
muniincerlectione; igitur, etc. Ouod tuie
SITIO XXVI
Dico KB ductum in sc, lupertictes producere exlindricas, quarum
communisectio eAt ellipliS.
cundi
E15. hain
Demonstratio.
Ycacur per centrum recta HFI, paral.
lela DF: GB ductum in se, aquale
GHT ducto in sc, a HB ducto in se, à vnd
cum CFI ductoin EL B bis: Sed cam H B du-
ctum in se b quam e FI ductu c in HIB, COr-
pus producie cylmaricum; isitur CB du
ctum in se, superneles producie cxlindricas.
rurlum cum B ductum in se, communem
dproducacincerlectionem elliptin, exhibe
bic de CB ductum in lc, clliplim pro com-
Demonstratio.
Ciacur per centrum circuli recta
LF parallela CFL. KB ductum
in se xqualc Cst RL ducto in L Bbis.
=_ RL ductb in se, vna cum L B,
ducto in lc. LCdFR E ductum in L B
corpus procucic cylindricum, de L. B
uctum in le luperticies producicer.
licaricas Gclaru communis incerle
ctio, sellipsis estiigicur _ R B ductu
in se luperhcies producir ex lindricas
quarum communis incerlectio est el.
ECeNCABC circulum duc ua  patallela d aquales linex C D, F. F:
quasextra peripheriam produclas secer orthogonalis quaeuis G II.
liplis. Duod cult demontrandum.
D quam in D secet concingens quaedam DB, parallela diameero AC,
IUnganEuTQ; AB.
Dico FF ductum in GFI3 corpus producere cxlindricum cuius lu
perticies habene communem incerlectionem elliplim.
PROIOSIrILAMI
Emichuum  Cuas caicut aC Commacua sivi
Denot.

## Folio 725 — 1815201908:0782
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000782.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
ut
HIIIII
A PL A N
ABC lemicirculo e diamette
L auisa in P bitaria adcacu
emonstratio.
IEHIX, balis exlinaci aequalis
cum AD. de DB aequales linc se
midismerro C D, ob BB Paralle-
A; elanemeCuus RFEL, Xqua.
DB.  Gua KM, aat Pat a1-
ca ALR.
amin punectst L. Denme ddetut
hibebicura kM dE lemicllipus.
crieque LM in plano HIIMS: cum
Ec KM, xqualis R F, vei eciam P O.
I. R, eidem orchoxonalicer. Racau
cem L. R, xqualis KM, e duca.
cur L.M, cuc icaque Malsa
ABD xquale L KM criansulo;
lam AC. ec ADConingencem in
Nis CB, quare ccam L.K aguats
lela est, vrpoce orchogonalirer posi-
quoque AB aequa-
lis LM. Ducancur isicur NO, Pa-
ralleta L, dividencur illa bitari-
PO equidistaNCeS RM; cruncilIE
xquales PL. Finc denique scctio
per M punctum e lincam HI, ex-
a ver seto
aequas PL. Idire etiam OR e
NS, ipsis PO aquales crune. Han
ducta OF quae aequidisteoK L crie
Ox xequalis OR, cum PI. sicin
plano codem cum OY, Sc L. Ocum
LR; _ OT sc aequalis P L. quarE
cum sine OR e NS, xquidistan-
res PO cric rectarigulum NOR.
aquale rectangulo L LHC, cum
lincxequales linex, sed NO, in OR,
ductx producune exlindrum; isieu Ociam D F, ductae in _ C Cylindel porciohem
eloatae ni at ta t. adtit
licionis.
heil ∞ 013
Pr01S111O LAVIII
Sco ABC. Ceomencum ci qudacuque, quda B coneaH.
onca DE, aleta Co. 13 
perhetes commune haben incerlectionem, elliplim.
3e led
et s maBuh A CP ~icisMS
   L. 13C H Y 1 CB
eret
luvtoct a AMOC
Dico FC ducrum in B H, corpus producere cylindricum cuius su.
Demon-
 ut nte e e tit ate e      t  e t  et    e   at      t

## Folio 726 — 1815201908:0783
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000783.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
DLanu FIC suctis m Producie corpus cxlin:
icum, vei de HO b ducttin P HI: ablaco iei
eur corporé orto ex ductu HlC, in lC, a COrpOrEOr
co exductu FF C in F H, remanebie H Gin CF
porcio quoque cylindrica. quod aurem corporie
huius superticies comunem Habeaneincerlectio.
nem ellipsim, Facile deur CX20. X 24. huins
nam FI C ductum in CT, Pars es HIC ducti in
in CL pOsIca L T. diamelto parallela D B: ve et
quod suxertinis producie cylindeieas, quarum
Cq et
erlori
XIX
Dico luperticem E. F, ductam iut LC, corpus producere cslindricum
mae alcnet
11t9 5
Demonstratio
.
DEanum F. F dudumit F C, Ec.
aagula exhibecFF Cntectaad
planum BCD (_ qui2 F C X
Noncinsc AB sinca circulus BCD: act aq; A D pet centrum, daca-
quiciltane a) Pacallcla Tecla
Sulo AKD. quate H. F Guoque
rectae lunc ad planum ABC, igi
cur assumpeo circulo BCD pTO
basi cxlindri; F S ducta in LC
xquidistances Tunc axi eylindri:
onde de in superticie sune cytin-
driea. Quod crac demosratidum.
Dico superticiem De culu L. F superticiemi, corpus produ.
eROPOSITIONZZZ
Emicirculo AB C eriangulum inscribatur quodcunque A. B C.
cereclndricum.
vin
VCTYS PL A N
Demonstra
ti in TIL
communisersectio est ellipsiS.
PROPOSITIO
ieur BC aequidistan
jam
CMonsttcttbo
Lala rue IFC2
ledCductum in le producie dcorpuser.
Line
ricum, et fCs allctum in le cproduciepy.
quale cAD _ ducto in E F, _ F C ductoin
ramide adlacaisitur prramide ex DC du
aoinle cemmanebic  cucu M L. L P1o
ducels Corpus eslindricum. Ouod tuit de:
PRC
monstrandum.

## Folio 727 — 1815201908:0784
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000784.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
N P L A N Y M
R0P05+ 1O
 
(E ADBC F fgura quaCaC, iL ADB, BC Guiex SInE re.
AFC vero gua. dein DF ducaturin Ce.
Dicocommueelectionem haedrarum qua exlurgent ex lL’in
se ducto, in coue plano cumrecta ADB.)
T
2ol
eensttabi
 21DEI laVIIB DAR
PiBm. HL, C1 25aNGa
ropi die uadim
Lesudoie
1+
Inex DE ParaIIelA BC ducte in sC, AguraS exhibeanE DFTE, quadrarx ipieue
Tune ADuEX D F PF e rectx ad planum B A C ex hypochesi in prima defin. huius.
quia vero D F aequidistane BC, plana D F LF, sibi muruo aequidistane, unde crian-
Buta DTF, BHIC aequidistane; ec quia anguli F. DL, FID, vei CBHI, CLL PC
diamecros quadracorum ablaci, aequalessunc, vepore semirecti, ICL DL. BHL a in a Exclo
eodem suncplano: (unc aurem extrema dissonalium in eodem plano, in g00  moncu-
Arare opolcuir.
iptae diasonalesiipicur de pu    D.  CMB
alen et 
i
at
e
11
11I

## Folio 728 — 1815201908:0785
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000785.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
Des PMNSAp CIA
eil serei e
a L t S. a  E B1BELB S.S. . 11B S1ODC
d ML ZHVESHIY. N eSB: LICSNC
a1c
LLL Ll15
Universales quasdam continet propositiones, reliquis plane fundamen-
tales quibus corpora ex duitibus orta inter se comparantur.
PROPOSITIO, XXXII.
Seo ABC crianguli lacus A B dinilum in quaruor parces aequales
Linpunctis FsD, FI: ductisq FG, DC, HII, laceri AC parallesis, de-
MIETANEUE, Cx C, F, I, linCx OMI, F. N, IO parallela laceri AB.
Dico Aguras FM, DN, LIO, Simul sumpeas, maiores esse dimidio F.
surx ABC.
A
Lmonoim
111El. A.
arig sc stusto
bcrp. AETC nuociclao
tiesp Oei
11
(7T AD ad HB, _ A C eHt ad FIF, id est ad AO; sed FTB COnFINCL cES
Parces. Guaruns AB haber quaruor ex construct. igitur _ A O eres parresha-
bec, quarum A C Concinet quaruor: unde AC maior estreaZ AO: e illa maior
quam OC: ac proinde IIO hgura maiorrriangulo OIC: eodom modo ostendi-
cur D N figuram maiorem cserriangulo NT FI, de sic de careris. quia vero BF,
FD aequalessune, parallelosrammum FM duplum est erianguli F B G, id est aequa-
lecriangulis FBG, MLG F; FigUER igICUE FMI, DN, FTO amul sumpex, maiores
Cune quacuoreriangulis FB C, MGF, NY F I, OPC, id est residuo AguTX AB C, qua.
re ex maiores sunt dimilio ciusdem. (uod oporrebae demonstrare.
LLLOlo3CliIo LLaCI
Sco ABC D figura quadrilatera, habens AD, B C parallelas incer
le; diuisâ aurem AB in quaruorparces equales punctis C, F, I, du
CanEUT

## Folio 729 — 1815201908:0786
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000786.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
a l
cancur aquidistancesrni lacerum (pura B C) rectae GHI, EF, IL, i Ca D
I, F, RE FCCTR deMIEEANEUED L, FINI, FN, IO, parallele laceri AB.
Dico AL, CM, F. N, 1O, Reuras simul sumpeas maiores este cto
Bgurx quadrilaterae AB, C D.
Demonstratio
Peancur HIP FO RR parallcls
BD: secances lincas CIB P FsCL
S.T, V. cruncigitur S P, TO, VR, 2F
surx lnul sumpre maiores dimidio figu-
ex B D C: Agurae igitur SM, TH, V
mulcoludiores sunc dimidio Agure BV
quare aeldico communi  lla
AL. CM, LH. Opla 
maiores dimidio hsura quadrilatere
C10
ABC D: Ouod tuic demonstrandum.
Atx R, HL, IMt varallc laceri AB.
AX
se, plus due Coplect corpas quod exsurgir ex ductu A BCII.
Sco ABC crianeulitatus AB divitum quadritariam in D, L, F; du-
sctilqi lineis DC, FII, FI balte D auecattedus, demireantur re-
Ob corpora orta ex ductu, DR, LL, LM parallelogrammiorum in
etu
Demonstratio
DAradeloxipedu habens balim, quadra-
Parallelopipedum habens basim, quodracu
linex D C d alcicudine D B id est F. F, cam
habet rationem quam F HI quadratum ad
quadracum D Cr: id est quam quatuor ad
onum: nam P. Elinea cum dupla sic linex
DO, crir quadracum F. E b quadruplum
quadrari D Cr. codem modo parallelovi-
redum habensbalim quadracum lincx FI
ee alcitudinem FB, ad parallelopipedum
habens D C quadracum pro basi _e D F alcicudinem; est vehouem ad rnum; quia
FiTlinca cpla citrect DC: isirur DR, L. L. liM, dueta in le, concinene decies
e quacer corpus habens balim quadracum D C ex alcicudinem D F: Rursum corpus
habens basim quadracum DC sc alcicudinem D P criplum est pyramidis, haben
aequatur Y. C ductoin se, _ GKHI ducto in serna cum F. C ductoin GK FIVIS; lC
F C ductum in serriplum est AD C sivc OKFI, ductiinse; ad dicotu KIL
dcA ABC docto in le, a crianoulo Lb C dudton erklhtacn RDO
dueci in sc. iorum DH ductum in le, quiniesconcines ADC ductum in le, cum di-
tum lincae FHI, d alcicudinem F F, ad
tisbalim guaararum Kll Id ele a am de aea; 18Ia
D R ductum in se certio concinet D A C ductum in sCc, ee F. L ductum in (e, duode-
cies concinec prramidem habencem baltem, Guactatum DC d L.l alcuame la
eA duodecies concinoc CRHl ductum in le; limilicer FiM ductum in sc, concince
GKTI L_C IILI. duccam le vigense S. BA DR. F. L, FM. IMLCIPIaS
ducto in sc, eric F C ductum in se rna cum OR FI ducto in se quadruplum ADC
aecti in IC.  quia F C ductum in CR HI aequacurrriats a L. KadOMCKH
e
llleile
45.
   s    ste t  puet tet  e ete e u  t e e e   t tete Ae tate  e   e   t  e    t  t   e  e   le   t  t t  t 

## Folio 730 — 1815201908:0787
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000787.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
V CFVS PL ANI
Imidio ciuldem ducti in Te. Similiratione
procedendo ostendetur P. P FI I ductum
in le, concinere D A C ductum in le, xer-
tio supravigelies: et L C. ductum in se
idem AD Ci ductum in se continere eri.
Belies octies cum dimidio AD C ducti
in (c. ad dico erso A D C ducto in (C, 10.
tum AB C ductum in lc id est A D C du-
ctum in (c, DFI ductum in se, F. I ductum
in se, FC ductum in se, Sitmul Cumpea con-
TInCNE AD C ductut in se sexagchos (c-
xies, una cum dimidio AD C ductiin (e.
Eigicue ab hac sumiMa AUFCFANEUE DR,
duum ablaco minus elt. igicur, _C. Duod erat demonstranduHts 1an c ib
5.2Ol
rallela basi BC, dein lirHX dCMIEFAnEUTD L, HTM, IN, IO.
Dico AL. F.M, F. W, CO Rguras ductas in sC, maiores esse dimidio h.
Demonstratio.
iSC enim fpura ABCD ducta in (C XqU2.
lis AgUriS AL, E N, FN, CO, duccis in ser
RITCM DL TI, TTML,INR, KOC in CC du-
etis; vna cum D L II ducto in alcicudines
AD, F FI, FI, CK, bis: id cst PHI dudo (c-
mel in casdem alcicudines simul cum D L HI
quacer inse ducco, sed AL, FM, FN, GO
ducex in se, maiores sunc PFT duceo in alci-
cudines AD, FFB, FI, CK vna cum L DH
quacer in se ducto, cum alticudines sine com.
IUnCS, _ AL, EM, FN, CO quancicares
I ductisq parallelis OFI, F F, IK, CrIGAnEUEreCtX, HO, FN, KM, CL
aequidistanres AV. ul AD minor dupla secunda OHI, ee illa mi-
 nor dupla cerrix, _ sic de cate.
ris
DicokgUTaS ATTO, GFN,
EKM, TCL simul Sumpras
maiores este dimidio heurx
ABCD.
it les
F L, FM quancitares in se ductx, id et quacaselies ex bis A D G ductum in ses reli-
PROPOSITTO XXXI
sure ABCD ductxeinsc.
Sco ABCD craperium habens AD, C B lacera xquidistantia, divi-
olaque AB quadritariam in E, F, G ducancur rectae L FI, FI, CR pa
ier om a
Ouodeta demonstrandum.
sinsulae maiores uinc P Yiisicur ex maiores lunc dimidiofisurae AB C. D ducta ia le.
ROPOSFFIO ZXXVI
ICABCD, EBuramtercepea duabus parallelis AD, B C habens ABFC.
iCtam _D FC curuam, divilaq; AB in partes quatuor xquales in 6, F,
Denton.

## Folio 731 — 1815201908:0788
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000788.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Du
1
e
CN BL A N, V M
Demonstratio
Vin enim AD minox ponacur dupli ipsius GFF, pacec AF Ecclalisatum in2.
ius elle reliduo FD: similirer ob eandem rationem. GF maius est quam
FNHT; _ F K MIUS ipIO RM F, aC. vnde AII, OF, PK, TC. Fixurx simul cum
Pra, maiores lunc cmisio Rgurx mixrilince ABC D. Ouoderac demonstrandum.
Scholion.
Ora: si eadem construc s p cCdeha methodus servetur I resolluis fieuris OHD.
iN FI, exc. patet Tectangula illis inscripia, simul sumpta, maiora esse acmali peurarum
DFID, EN EI, Cc. adeoqe per similes ablationes tandem residuam relinqui. ex tota ficura
mixrilinea quantitatem, datâ minorem.
PROPOSITIO XXXVII
Se AB C Rgura incercepra duabus lincis AB, A C rectum angulum
scontinencibus, perimerer vero C DB concaua lic, divisâ aurem AB
bitariam in C, ducacur OD parallela AC _ DN aequidistans AB: dein
ND bitariam dinila in FI, ducacur HI F aequidistans AC X F O, ip(I
AB aquidistans, e hoc lemperhac.
Dico rectangula hoc pacto ablaca concinere plus dimidio heurx mixri.
linec ABC.
Demonstratio.
Delticiancur rectagula Be D, DHIF F IF, aL. erun
illa aequalia rectangulis A D, N B, OF, 8 c. ob sub.
dinisionem lincatum Ber aequales parces: sed OL. HIK
LM reclangula maiora sUnE RGurIS mixclineis BDO.
DE HL. P. F L igitur _ rectangula AD, N B, OF, _C.
Sitrul Cumpeamaiora sunc fguris BD C, DF FI, F F L,
ac. id est reliduo fixure mixciliniex ABC. Quoderat
demonstrandum.
Sed ABC Agura incetcepta Fecris duabus.
laotoseta
+AB, BC angulum ABC reccum conci
curuicacis.
menribus, e AD C perimeca aa AOquadritariam in HI, 65,
I: ducancur HD, GF, lF. fucalicta BC; uK, CL, FM, aequidistan-
res AB, ica vereccangulis A  ac
1c
Dico HH. CV. 1M, asulad  pras maioreo esse dimidio F
poraBC.
Demonstralio.
Vancitas FIK maior est EguTa HI A D; ee
LKL maior CRipsA D R Eidein e LMm~L
For quam P. L. F: parec aucem IS maiorem ese
BACA MI F C, IBICIE HIK, GL, IM AguTA A.C
Muaaao suc maiores Aguris HI AD1
DRF, L.L. L, FMC, id est residuo hgurx
ABC, Saur de maiores dimidio hgurE ABC.
mubnen AC
u a du.
1

## Folio 732 — 1815201908:0789
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000789.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
DVOEVS BL A NY
Eccaronlum ABCD divisum SIEROUFA CUTUZ D G FFB, diuisa au-
Lcern DC alcicudine in parres quocuis equales, in punctis L, M, N,
POnanEuE L H, MI, NK, C B parallele AD; occurrenres curux linea
IN G, F, E pHIBCTIS PEF QUA PONANEUIFFCCEX OR, PS, OT, parallele DC.
Dico reccalsula L. FL, 3, L l. aqualia esse recransulo AL, S1.
uc KC.
PROPOSTTIO ZXXIX.
Demonstratio.
Voniam per hypochesim aquales sunc linex DL. F M, MNV, NC. id est 0O
LPF, OF. KB: rectangula duo OT, P R aequalia sunc rectangulo PM. similicer.
rectangula eria OL, PR, 9S aequalia suncrectangulo QN; _OL, PROS. K L
cectanguta limul sumpra xqualia lunc rectangulo KC. Duod erac demonstrandum.
exoeositio XL.
IEdem poliris (i OD linca minor(IE AO.
Dico rectansula AC, HF, IC, e c. maiora esse dimidio sxurx con
caueD AB.
103 11113E D :I A sNWIBOCI
CF EA DemonsratiO. 13CIIISQ CL L 3, WCLBMON
Voniam A8 linea perhypochetm maior est DD, rectargulum quoque AC
Ccaius est dimidio rectanguli AL: quia vero OF, P R, OS. K F rectangula
Per pexcedencem xqualia sunc rectansulo AL, rectangulum A C, quod maius est
dimidio AI, moius quoque cAcriangulis ODC, PGF, OFR, RF B: adeoque
mulco maius mixcilineis OD C, PCF, O F F, R B. B: 2ddiris igicur rectangulisHF.
TF, e C. parec illa limul sumpea cum AC rectansulo maiora esse dimidio lxura con-
CauX D AB. Ouoderat demonstrandum.
ET ATF Arani ABZoie XVL eegismRY
PR OP OSITTOBXLI.
11
adem polica ligura li AO. OD lineaxquales liat.
Dico rectansula Ci M, FN, L. C. simul sum pra maiora esse dimidio
tieurs bBC.
el N 32Gt obinib 23201
v0Ba.
Demot.

## Folio 733 — 1815201908:0790
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000790.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
seD
20c
Y PL A N V M
Demonstratio.
Roducta CK, perringac ad NF in Z. quoniamigitur AO, OD linex aqua
leslunc, rectangulum I.O id est CM dimidium cA AL; duo igicur rectan.
Dula CM, R N aequalia Cunc eori AT; led A P. rectangulo aequalia lunc redan-
oula OL. PR, 4S, RT, isirur ex illa quoque aquantur rectansulo ONY: crgo et
GNY maius est convexis Aguris D CL, CIFR, FF S, P B T; ad dicisivicur residuis
rectangulis FZ, P. C, rectangula CrMI, PPB, P. C inleripea maiora sunedimidio Egu-
TGCOMHExX DBC. Ouod erac demonstrandum.
PROPOSITIOXL.
DicotoEPOMCKCSla concauX de convexe inleribi fguTE, que
aequalem habeane alcicudinem, ve residuum relinquane, dato minus.
Demonstratio.
ACasEquanticasa: de in cories D diuidatur D C linca, in parres equales doncc
sub BC bali e alcicudine N C rectangulum sic minus quancicare a: tuM PeF
puncta divitionum linex ponantur parallela BC, OCCUFTenEES COnCanE EgUrX i
punctis C, F, B, per quae linca ponantur aequidistances D C, cruncisitur per 39.
huius, rectangula omnia OL, PR, 25, RY limul sumpea aequaliarectansuloR C.
adenque e minora quancicare daca a sed OD C PGF, OEH, REB rehdua A-
vuex concaue minora sunc reccangulis OL, PR, OS, KT: multo ipieur minora
sune quanticace daci a. similicer ostenditur, ablacis ex convexa figura rectangulis
CM, FH F. C, residua relinqui, daca quancicace minora. Dux erant demonistranda
ROPOSITIO XI
ACA SINE AGUIEX CONCAUX AUL CONUEKX ABC, CBD Communem
Heo rorillis inseribi posse reclat Ia (F P, F O, GR: F S, F. L,  V
aequalis atuams e Balsbuis in directum policis, ve Pihecin Peinvicem
ducta auterantur ex concauis ABC, CBD eriam ductis in se Iuicem,
relinquane quancicarem daca inorem.
Adem positâ figura:
habences alcicudinem B C, normalem ad subrentam A C D
A + 2a 3
Demon-
eo1313314 15C 17 10 10

## Folio 734 — 1815201908:0791
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000791.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
734
OYCEVS PLANI
Demonstratio.
ceangula, reiis ablacis ex tigura ABD plana relidua BFI R, P HIL, OTR, RR A.
ciori pocerie, derendud illa plana dempro L. BFI, sinc daco planominora. Inscribiigi.
cur porerune figure ABD eoc reccanoula ve lolidum; quod hc ex duceu planorum
BHE, PHIL, OTR, RK A, in sxutam C BD minus sic dimidio solidi Z; icemque
solidum quod HE Cx duCcu PlanOTUM MI E SINTM T, D N V inrecrangula R P, FO.
CR minus sic dimidio solidi Z: ac proinde re verum que simul sumpeum daro solido
Z SE minuS. TaM verO A FTF C duerum in C F L D, equacur planis BR A, O IR.
P FTT duccis in CFID, _ Feccangulis F P, FG, C R duccis in CF LD. Sed re
ciangula B P, FO, CR dueca in C F V D aquancur iiidem reccangulis duccis in
reccangula F. S, FT, CV. ina cum isldem tecrangulis dueris in planA MIL. SiNMT.
V. NDverna cum planis N L. S, NM T, V NB duccis in reccangula F. P, F O. GR.
ergOATTF C duccum in C F. L D EqUAIE planIS R R A, OTK. D FTT; duccis i
CFLD. d reccangulis E P, F O. CR; duetis in reccangula L S, F F, OV, vna
cum planis MLS, NM T, DNV duccis in rectangula RP, Y9, GR. Sedtoca A.
BUrA ABC AUICTA In EOTAM CBD XQUaEUT AHF C duCEO In CF L. D; X HBF
ducco
TacuaeM Loliduiri quiotas L. CL 4LS BATAISGHSATA ADD MHICTIOI BONBHETOETe.
EBF, MT S, NM T, DNV une quours daco plano minora, al proecetta tol.
3
11
 s 1 1   p 1

## Folio 735 — 1815201908:0792
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000792.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
e
ER
410
N D L A N V MI.
ducto in LBL; eto hguta toca ABC ducta in coram CB D aequatur planis
RR A,OIR, PHIBHB E. ductis in cocam heuram C BD, e rectangulis ductis in
rectangula rna cum planis ML. S,NM T, DN V ductis in ecctangula EP, FG.
GR. Erpo srectangula ducta in rectangula auterantur ex toro AB C ducto in 10-
cum C B D, residuum eric id quod sc ex ductu planOruM R K A, O IK, PITI, TIBF
in fipuram C BD, vna cum eo quod Hc ex ductu planorum M L S, NMT, BNV
in rectangula F P, F 9. GR. Requisupra octendi figurae ABD inscribi poste tOc
rectangula, requod Ec ex ductu planorum RX A, OTK, PTII, HIBB, In CBD,
una cum co quod tr ex ductu planorum NILS, NM T, DNV in rectangula RP
FO, CR Geminus daro Colido Z. Inscribiigicur postune siguris ABC, CBV 10
rectangula, veSihac ducta in se InVICEM AUFCTAHEUF CKCOTa ABC ductâ in coram
C BD, celinquane quancicarem dacaminorem. Ouod erac demonstrandum.
ROPOSITTO XLII.
AEa CE Agura quaenis (IVC COnCaUA (IVC COnVExA AB F, terminata
cectis lincis BL, AL alteulum rectum concinencibus.
ocmictibi polle rorrectangula, OH, PI, ac. velica in sedu-
Ta alttelantur ex figura in se duct a, relinquatur quantiras data minor.
Demonstratio.
cudinem BF, _ subtensam F C, TUBEEHIX A F IMM CaM, huic inscribANEUE EO-
eidem rectansula BFI, V I. RC. quorinscripea vis ua ABL, _ lunc ciusdem al.
Ileura ABF, apPOacuI aGuan a Msa BFC. communem habensalei.
cicudinibus ac balibus indirectu policis. Manifecum ixicur est, ex detinir. secuda huius
a
Ae e  pt t tue ate  s  te e e t t  et     e e e u  te te s  e e te e   ta e   ete   s t t ut t et  t   te te   e e  tt e     

## Folio 736 — 1815201908:0793
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000793.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
DV CFYS PLAN
FiguraM ABF duci in seiplam, nihil aliud essequam duciin fguram DFC HOI CK
conltr. limlem _ xqualem: rectangula icem huic inscripea OFI, P I, dc. in se du-
ei mih aliud esso, quam ca duciin rectansula BFT, V B, RC. FeUOCatuT ISHUK HXC
136
proporcio ad precedencem, ex qua proinde eius habetur demonttrario.
Scholion
(N demonstratione proposirionis praecedentis in qua eriam huius praesencis propositionis proba-
iionititur, in hunc sen sum fuiratiocinarus: plana mixulinea A OT, O P SIP OR, OBO
onacum mixtilineis quae (unt ad parrem alteram C X, X V, V B (desiono binis rancum lit-
teris, quia in sigura de est licrera terira, ob y B, Z. X, exc. lineas non productas) fiunt eandem
dato plano minora. ereo solidum quod fit ex ductu planorum AOT, O P S, POR, OBC
in ficuram PB C, una cum solido quod sit ex ductu planorum mixtilineorum BV, V X, XC.
in rectangula C,R, TIS, IT, tandem fiet minus dato solido. Tianc consequentiam, quam-
uis minime arbirrer a perito Geomerra vocandam in dubium, si quis tamen olterius proba-
tam cupiat, sequentem discursum lezat.
Circumscribesicuris ABF, F. V C eor rectancula donec infinica N F., d F. simut sumpta
fiant minora dato plano.
Deinde roridem sicuris rectangula inscribe: ex persice rectangula FF, F D. Duo-
ius. niam 2 rectaneula NT, MS, LR, R C aequantur rectanculo NYF, ex rectaneula
BB, BV, V X, X C aequantur rectanculo dE, eruni omnia quoque ab viraque parte rectan-
euta simul sumpradato plano minora. erzo solidum quod fit ex ductu rectanguloru NT. NI S.
LR. P C. in rectangulum FD, unacum solidonato ex ductu rectangulorum BV, V X. XC
in rectanenta OFI, PI, OF. fiet tandem dato minus. ereo a forriori Colidum quod fit ex
ductu planorum mixrilineorum AOT, OPS, OB C insicuram F B C, unacum solido
naco ex ductu planorum mixrilineorum BV, V X, X C in rectangula dEI, PL, O F tandem
fiet daro solido minus. Duod eras probandum.
d

## Folio 737 — 1815201908:0794
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000794.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
N PL A N V V
Due hoc scholio dicta sunt, seque etam proposicioni subsermiunt. Carerum maluis
hac demonstrare quam discur su non 2sque adeo necessatio propositionis 39. demonstrationet
Det se facto dsscllem facere prolixiorem.
PROPOSEI
X
AEX SinE RguEX quauis CoNCaca AdECOnHexX ABC, C BO Tubal-
cerne polica, communem habences alelcudinem BC
Dicoilliscorinseribi posse rectangula (HF, lG: _c. S F, TG, _C. ) X-
qualis alcicudinis e basibus in directum positis, velihxc in se invicem
dueta auterantur excoris BAC, C B O criam ductis in lcinvicem, relin-
quarur quanticas data minOr.
Demonstratio.
DRum est ductis parallelis FIR L, RGY
ea paruas ableindi posse ex Aguris ABC
CBO POrTiOnESBHTR,K AC GIBF LO
CCN, velolida excorum ductibusmucuis
naca minora linc limul lumpra quacunque
propolici quancitare, puca dimidio daciso-
lidi Z. Similicer Pacec ex 42. huius, figuris (7
KFIF G, GF L N inlceibi POssC FOEFC.
ctangula, ve iis ablacis, residua RIO
TFP, L. SM, MF N daco quovis plano
lineminora, ac proinde ve solidum quod
Ac ex ductu planOruM RIO, IFTP, in
GF L N, vra cum Colidoquod hc ex ductu
planOrUM LSM, MTN in rectangula
HLF, LCminus sic quavis propolica qu’an-
cicace, puca dimidio Colididari Z. Inscribi
isicur postunetguris ABC, CBO FOErO.
ctangula, ve solida quae tiunt ex ductu pla-
noruM AKOC. HIBF. in plana C OV
BB L. O, d ex ductu planorum RIO
plinorom LSM. nLI il rectangula
FIF LC, hoc est ve solidum quod sic ex du-
Au planOTUM AR GC, KIO, IHIP, HIPL
in AGUTAI COCAII C BO, VIa CAI 1OHAO
FaCtO CX ductu planOrUM L, SMI, NI N:I
in rectangula HIF, IC, Cc minus dato(o-
lido Z. lam vero eodem dilcurtu quo v.
sus sum in praecedenri, ostendam RITF C
ductum in GF L N aquari planis RIO.
TEIP ductis in planum G D L N, vna cum planis L SM, ML F N ductis in ecCtaHBU.
Eoram CBO, XquatUTPlanIS ARGO, RIO, ITIP, TIB si, ductis in tguram cocam
inlupeE HF, IC ducrisCaSat SF, LC. CuarcM ex HgurZ ABC, duccaim
fgura CBO auterantur rectangula dueca in reccangula, residuum erie solidum
+242 3
Facunem Guos to L. MTaCIC
THP, in planum L L NG, d ex ductu
la TIB apet L1L, L dcM lectangola SF, YC. Sed Toca
Agura ABC ducta in coram C BC) a ACLLL. C ducto in G F L N, ac planis
CBO. Viaeu Prans LSB, MII ductis in reccangula IIL, TG aC reCtanBMM
quod
si tu t at e u t s   te t te t  e e tet it et  te e at t   t d  te   t     ta        t t  e   a t   e  e  e    e  t   te  

## Folio 738 — 1815201908:0795
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000795.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
DVCTVS PLANI
GaBdAE ex duau plAnOTuM AKOC, KIO, LHP, TTBLMMNSuram CBO; ona
cum loliao uod sc ex ductu planorum I. SMI, I L_MEcctangula FIF, 1O. sed
hxclolida, re lupra demoltraui simul sumpea mioca ne poane daro Colido L. ergo
3C
Bgoris ABC. CBOmlcctor pentan Woectansuta, dincse Mcuo cacta al
Fcrancur Caco o scaur quanceas duba Mhot. Sudaclaltu.
monttranau.
PROPOSITIODKLIV.
IInE ABC, C BD SgUrX, quarum rna convexa, altera COnCAUA; pO.
Eex aurem sine subalcerne vel non lubalterne.
Dico verique toc posse inseribi rectangula (HIF, IG, K C: L F, VG,
VC) reilla ducta in se muruo plus anterane dimidio cotius ductiinco-
cum.
Emonstracio prima sipurx eadem eA cum 43. vel 42. secundae ver d eadem eum
pexcedenti.
PROPOSTTIO ZLV.
Aeasinceria plana BAC, BE C, BD C qualiacunque, communem
habencia alticudine B C: politaq: BD normali ad B C, ducantur il.
liinhiniex, (hoc est quorcunque) aequidictanEES AI F. D, quIX OCCUTTANE
communilinex in punctis K K, planocum vero perimetris in punctis
AA, E F, DD.
Si AK, RE, UD, sinc continue proportionales, huc, (quodidem
A,) Equadraca R E, xe qualia sinc rectangulis AID.
Dicoplanum B AC duerum in planum BDC, aequari plano BFC
cebra le.
Demon.

## Folio 739 — 1815201908:0796
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000796.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
F6
PL ANV N
Demonstratio.
retistineis A F, DH patallelis ad BC, inscribaneur planis B AC, DD C in:
ACTECtAnGUL R F, RF :K HI, K TI. ductis irem lineis R C AGUITX BF C in
Anica Grnilicer rectangula inseribANEHE R G, X G. Rectanoula RF, ducta in re-
ctangula KFT, corpori quod sic ex ductu plani BAC, in planum BDC in-
scribune infinira parallelopipeda, quorum bales lunc rectangula ARD, alci
EDdines verO AF, AF sive DFI, DII. Similicer rectangula RG, R C+ ducta
in se corpori quod sc ex ductu plani BF C in scipsum inscribune infinica pa-
rallelepipeda, quorum bases sunc quadraca RP, K P, alcicudines R, GP
Acqui ex hypochesi rectangula AKD semper aequalia lune quadracis RB. ErBO
Parallelepipeda inscripea corpori facto ex ductu plani B AC in planum BDC X
quales bales habene basibus paralleloxepedorum inseripeorum corporigenico ex du-
ctuplani BF C in Cciplum. sunt aurem ex alcicudines A F alcicudinibus F. C Xqua-
les. Frgo omnia parallelopipeda inscripea corpori genito ex ductu muruo planorum
B A C, BDF, aequalia sunc omnibus parallelopipedis inleripeis corpori producto
ex plano BF C ducto in sc. Cum ipicur in propolicionibus proxime praecedencibus
demonstrarum sic parallel oxipecta illa ita posse mulciplicari ve corpora ipsa quibus
inscribuneur exhautiane, hoc est re ex iis ablaca relinquane quacicacem daca qualibee
minorem; ipls eciam corpora inter se aqualia csenecese cA.
rlteriorem huius rei demonstrationem peritus Ccometra non requiret. Vi tameit rieori
Geomerrico per omnia sarissiat id ipsum accurarius demonstrabimus hunc in modum
Si corpusgenitum ex murno ductu planorum B AC, BD F, non sic X quale COr-
pori quod sic ex plano B F C in se ducto, necelse est alcerutrum ese minus alcero
Ponatur primo id quod Rc ex ductu plani B I C in seipsum ese minus alcero quan-
cicare aliqua quam vocemius Z. Bieviraris criom caula corpus nacum ex ductu plani
BP C, in SC VOCCUS COrPUIS RF C, ex COrpuS Factum ex ductu mucuo planorum
BAC; BDC, cOrpuIS AB CD appellerur. Ex propolicionibus proxime praeceden
cibus parec sruris B AC, B DC cocInsCribi pONC rEEtaNGUIA RK, RP, IEFL, RFL, Ve
ea in lemuruo ducta inscribane corpori AB C D parallelopipeda, qua deticiane ab
ipso corpore, cui inscribuneur, qulancieare minori quam sir daca quanTICAS L. Cr∞O
parallelopipeda inscripea corpori ABC D malora lune corpore BP C: led paralle.
lopipeda inscripea corpori A BD C supra demonstranimus aequalia semper ese eo:
tidem parallelopipedis inseriptis corpori BF C. ergo parallelopipeda inletipta corpo-
ri BF C eciam maiora sune ipso corpore BP C, pars coros quod est absirduri. Nois
isirur corpus BB C minus est COrpOrE ABD C. Eodem modo demonstrabime
CorpuS, AVDC non ese minus corpore BB C. Neucrum isicur alcero minus est,
aequalia ixicur sinc necesse est. Ouod erac demonstrandum.
ut i    sus s  et st ulte  e  t e e    tit ut e    e ta e ut     e e  te  e  e    tes   eu

## Folio 740 — 1815201908:0797
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000797.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
DYCTVS PLANI
PROPOSITIO XLVI.
ACa lInE quaruorplata BL. C, BAC, BFC, BDC qualiacunque,
communem habenca alcicudinem BC: policaq; normali ad B C, dun
cancurilli quotcunque aquidistantes L AI E D, que communi alcicudini
occurrantin punctis K, K, perimetris vero planorum in punctis L. L, AA,
FF, DD.
Si RE, R D rectae proportionales sincrectis K A, H L, sive (quod idem
CA) Crectangula L. K F. Xequalia sine rectanoulis AIE D:
Dicocorpus genicum ex mucuo ductu planorum BL. C, BF. C, X qua-
le esse corpori Facto ex ductu mutuo planorum BAC, BDC.
Eodem prorlus discurlu demanstracur quo prima pars.
Scholion.
Aeoremarut deonsat  a sn est cadenditque sese. ad sequentes propositio
molestia loctoris repetendus esset, placuit totum exhanston  ortu a loco terminis uni.
versalibus proponere ac demonstrare:.
nes fere omnes. Xeigitur idem discursus in singulis proposisionibus labore inurili, es cum

## Folio 741 — 1815201908:0798
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000798.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
111
aliad aculares.
LAd
L +LL L 1
in comparationem duln orpora ea nn tantc-
neum, cum illis qua oriuntur ex ductu partium circuli in se vel in
l3 A.L
40 ip 1c.
l Set 
esiseum
ernt
deril
est C
crianguta EAC, GFL C tumma dex i pocCH LA. A C aequales sunes
eriam CFl.HC aequaleserunt. Lodem modo Hll. HIA probancur aquales. Lr8O
rectangula GFLI aequancur rectangulis AITC, hoc est quadracis R TI. cum igicuE
Planimedis CK A, constac ex 45. huius corpus oreum ex ductu plani C F A in
planum C AF. aequari corpori quod sc ex ductu plani C R A in (C.
deinceps applcarbeat.
CUE COEpIIS AK C. DVEaNEUE GL; TM; KN, pacalleIX ad AC. Rectan.
Bula PE ducta in rectangula. HM inseribunE corpOri AFC. P. paralle lopipeda
qu0
ROPOSTTIO XEVII
Tirculum ABC, cuius diameter AC, concingane A _ C recta,
GF. Z
quales diamene , lansanturque LC, AL.
Dionet uu AC L aquale elle semcticulo ABC du
111
rONICI
demonstratio.
DVCanu squoccunque reCtX GK, HF, paralleIx ad AF, CF. OuoniaH
eria plana CF H. C RA. C. HLL. Commem aDC aemmudinem AC; e rectangu.
Ia ALIL quOEHI LALCIA IAIHC IH CAITCIIS PTAHIS CF A, C AR; agueneur quadracis
Sed doceamns  Hoc exeio quou pracue propositionis vniuersalis demonstratio
Voccmis aurem breulcacis Gratia corpus natum ex ductu plani C F A in planum
CAEs COrpuS AE CR: corpus vero nacum ex ductuplani CK A in sC, appeIlC
3bbbb
Mte et e ee tes i  e     e  .  se   et    e ti e tet e   i e p e u e t e   t te ue     et e  e t    e  t s  o  t

## Folio 742 — 1815201908:0799
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000799.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
quorum eales lunt rectangula OFIL, Mnicudines GL, Sive TM. similicer corpori
AK C quacaca HIK in le due Meribuur parallelopipeda quorum bales sunt qua-
draca KH, aGualia (ve octen tapla) rectangulis basibus OFTI, alcicudines vero
XN aequalesicem alclcudinibus C: L, ergo omnia parallelopipeda inscripea corpori
AF C F aequancur omnibusparallelopipedis inscripeis corpori AK C. e hoc semper
Cocinscc, liiam negas corpora AF C F, ARC aqualia esle, necesse est alceru alcero
sic minus. POnacuF primDCOrPUS AK C eNC minus COrPOrC A F C F quancieare ali.
qua, quam vocemus Z. Ouoniam liguee ex propolicione 42. huius, ductis semper
pluribus ac plucibus parallelis GKHII, correctangula I. FI, IIM inCcribiposte pla-
nis C F A, C AF, vepatallelopipeda quae ex corum mucuo ductu inscribuneur cor.
Pori A F C F dehcianc ab ipIO COrPOTC AF C F. quancirare minori quam sic daca
quancicas Z, qua poncbATuEdChCErECOrPUS AR C a COrPOrC A FCF, manifectum
eAparallelopipeda inleripra corpori AF C P Fore candeni maiora corpore ARC.
sed parallelopipeda inscripea corpori AF. C I xquancur, ve ostensum lupra, cocidem
parallelopipedis inscripeis corpori AK C. ergo etiam parallelopipeda inCcripta cor-
poti AR C, maiora sunc ipso COrPOTC AR C ParS COTO. Non isituE COrpuS ARC.
minus CACOrPOTC AF C F. Eodem modo demonAraBIEuECOTPUS AF CP. non c(-
Se minus COrpOrC AR C neurrum isitur alcerominus cAt. ergo neccNC CArE SInE X-
qualia. Ouod erat demonstrandum.
Hluiusmodi propolicionis applicationes lectori deinceps taciendas relinquam, ne
iphusingenio ridear distrdere.
AOEOSTTTDXIVIII
emicirculum ABC Cats diameter A C concinsant in A de B, linex
D AO, BD, _ BD qunem parallela ipsi AC, conveniat cum AD in
Dico AD B criangulum ductum in se aequale esseplano BD AF du.
D. lutigancurq acla , B.
cto in planum ADBHC.
monsratio.
Veantur ouoccunque rectae BFOH
Darallela ad cangencem BD, qua
Plana
ve pacet ex elemencis, recta est ad AD.
Triongula AF C. AD B sunc similia, er
B0 quadraca A F. Cunc ad quadraca P C, V
adeaca AD ad quadeaca DB. sed
quadraca AD, DB Xquantur, Cr8O dC qu3
deaca AF, hoc est rectangula LF II, X
quateu Gudcrabs L. Cum ixicur ceia

## Folio 743 — 1815201908:0800
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000800.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
aco
N PL A N V M.
4
plana BD AF, BAC; ADBHC. Commanem MabCane Men AD; de re.
ctangula F P. HI quorum lacora lunc in planis extremis, semper line xqualis quadea-
eis E C plani medii; per 45. huius plana excrema BI AF, ADBHIC, in Cc muruo
ducta, aquancur plario medio, criansulo BD a dueroin le. Quod eras demonstran.
dum.
Corollarium.
 discursu demonstracionis pacec eriam pareiale planum P. F. F A ductum in pla-
num parciale L.HLC A aequasi criangulo L.C A duito in lc.
PROTOSILIO aLta:
conrinsane se Cxcas II a Lemicirculi duo AE B, AF C: crectaq
CarangenE HD, ducaturTangenS FD H F. minorem Cemicircu
lum in L.
se A GL.
Dicoplanum HC aaelum i plauun l, aequariplano t li duito
Demonstratio.
VneE AF, aptEcUEque inEeE AB; GE, recta AO, aqualis AF. Zquales ipi
Lcursone anculi OAD, D AL. Tueae a atalea AB Mcacam-
munis; criangulum ixicur. O AD aqualo CMcaBMIO D AP. Guare O AD crian-
oulum ductum in les xquale esteriangulo D AF ducto in sc, sed = O A D criangu- LC
10 ducto in se aequale eit TT C acIM IN ∞L, I SS HD M iM le aequale eAt
Cix ductum in GL, iBicur HC ductum in C L aequale eAt C K ducto in 6 L.
Quod luic demonstrandum.
ROeOSITIO L
virculum ABC COIuS 
ExeF A C contingatinS a quaviSF B
Loconveniens cum diamerro AC in E, Factaque E D aquali E B duca-
currecta BD.
Dico F BD criangulum ductum in sc xqualen o  u
auplani FK LL Platu.
mon.
utra

## Folio 744 — 1815201908:0801
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000801.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
DV CTVS PLANI
semper quadraca BF hoc ett (quontam BF cangens elt) rectangula RF FI, quadra-
eis F. L aequalia Cunr. Igirur per a5. huiusplanum KP, X F ductum in planum FHI,
PH aequacur criansulo E. BD dudo in le. Duoderac demonstrandum.
PROPOStIIO EI
VIne duo circuli concentrici A BC, D P F; minOreM D F. L COHLLIB AII
 in E _ D recte dux parallela AB, II C, IWNSANEUTG AFI.
Dicocorpus orcum ex ductu plani Gl in IP. planum ae quari corpori
quod exturgir ex ductu F. HI rectansuliin Sc.
VCanTUTGUOECUNOUE FRTH parallelae ad AC, Cum BE, D R ex hypochet
sine equales; oberianoulorum limilicudinem; aequancur etiam B F, F Ladeoque
booitob dbib.
lenct. P) Veaneur quorcunque linex OM L. N L, pareca rectangula lingula OFL, aqua
ri quadraco cangentis A F. hoc est quadratis singalisMNI, MIN: ergobcorpustas
m ecum ex ductuplani C l. C. P in planum LF, JL, aquacur rectansulo L.H ip le du
Ao. Quoderac demonstrandum.
1
NIrculum ABC SCCEE VECUnquE recta AC, actaque per A recta AL
aque circulum contingar in A, ducantur linex AC parallelae BL,
contingences eundem circulum in B convenientelq cum AL. in L; dein
reCtA dUCANEUF AB, BC. IC
Dico planum E. F ductum in quadrilarerum C Ha quale eAte F6 ducto
in (c.
Demon.
il id
PR O P OSFFIO L Ir.II
eniis.

## Folio 745 — 1815201908:0802
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000802.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
 PL
Semonstratio.
VCantux quorcunque linCa P FOFI P
arallela ad BL. X AC, Ouo-
MtaH AL, BF linex circulum con-
cingurres de illis F F GI aequidistane, Cona
SaE CK CICIHCMI F F, F, G+, F. Ilineas ese
proporcionales, ee AB C eriangulum i(0-
sccles. inde eMe aqua-
les sunE, PerY5. isitut Hort ac Plosresion-
bus etiam proporeionales TuInE L F, FO
Contingane se excerius in C duo circuli aequales BC, CDE du-
ictaque BD aequidistance diametus  que Cuculos concingie
in B_ D, iungantuE BC; CD; aMaelet aucatuF B F M.
m
Arandum
GFT: Ouare L F ductum in GFT, Xqu2
le cA. PC dueto in sc. Quodtuir demo
Dico C H ductum in IH aequale este Corpori quod’exlurxit ex HIL
ducroin (c.
t
Demonstrat
anguloM CF, Ced anguliM CF, BCL tactune ecu: etgo d ahC BB C0B
Faciuncrectum. ergo angulus, B CD rectus CH. eIE ACM a BCM ACCIUS, CESO
MC, C D Cunerna recta linca. DCMaC CaM B. D cangar aequales circittos, paL CTI
Veantur quorcunque OFF TK L parallela ad B D, A C F, d d conractu pona
ene diameter BM iungaturque MC, quoniam in BD, A C parallelas incidie
milicer cum FC, FB sincXequales, etiam C FI, C. B aequales erunc. ergo rectanigula moncu
eisomnibus HII aqualia . 80Ma C I Cut duccummanum IX; proeros
IK aequatur planio HII, FII ductoin sc. Ouoderat demonstrandum. ot sust Bous
2d. ctte
BC, crit angulus C B D par angulo B. C F, e ob eandem caulam angulus C D B paF
B diameero BM. eroo ob criangulorum similicudinem etiam G L par est OMT. Si- B Exela
HOF rectangulis B CM hoc est quadraris C, I semper luncxqualia. Ieaquesem
per CFI, GL, CL Cunc in concintta actene, ts s rocta R L. aequencur linois FI I.
cciam C IT, HIL, IK c sune concinux, adeo que rectangula omnia) C FI, IK, quadra- cis. D.
Bbbbb3
satisttttsss
1
10
i
i
32
111.
Mt. 1. e t ot 

## Folio 746 — 1815201908:0803
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000803.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
DYCTYS PL ANI
ROPOSIFIO LI
VEmecirculum ABC
cur pel Blinca C BD occurreHS AD linex in D.
nius diameter C conringane in A e C li
aqualeilh quod extursicea aDe lehicirculo ducto in lc.
OnCX AD, C F, ductaque quanis ABC. qux circulO OCCuETAL iH B ag2
Dicorriangulum F.C, ductum in criansulum FII corpus producere
Demonstratio
cuF Cira GuaS RA, Pacallela
concinsCM AD qua OcCuTTAEABII
CD, AC line LB L, R; criansula igirue
CK E, A K N similia sUnE, ve pacet ex ele.
mencis. vnde RL ad KC, cst vE AR ad
la istede HL C aescalia quoque lune qua
KN, _ L. R N rectangulum aequale rectan-
sulo AK C, id est quadraro K MI; rectangu.
draris FL: quarE FC ductum in FEL corpus generac, xquale illi quod orieur ex
ABC semicirculo ducto in (c. Quod Fuic demonstrandum.
LKOlOSIIIOE
TIrculum ABC. scceltecta quaenis ABnon percen ucta, aCM
L sque per A ee B orchogonis AF, BD qua AB rccEX lint aequales,
iunganEuE AD, BF.
Dico FC luperticiem ducram in CH, corpus Formare aequale illi
quodoricur ex L.C ducro in C. K.
Demonsolatib.
17. hu-
b+5. buiu
per AB ve diameero, LCMACir
DTDTR parallele ad BC, A L. CTIE SBCMI P e a I C: FT, Xequale BI A
isicue d FC dudum in Ct aen  ial ent C dudo in 6
 tuie demonstrandum.
deseribatur BIA _ duCanEuF quoreunque
lemicirculo ductonsse. Iel bs ls auulon eguale clt L. C duccum in CR cum
omnis rectanoula L OK, equalia sine rectanoulis BG A, hoc est quadraris OH

## Folio 747 — 1815201908:0804
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000804.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
11111
IN. PLhM. C
PROPOSITIO, LVI
V. Iculum ABC evius diamerer AC contingine in A ee Blinex A F.,
ABF convenieneesin E, e B F quidem aquidistans sic diamerro AC 
dem innera AB ducatur quavis C FIK L. parallela A Coccurrens circulo
in H ee L, recex vero AB in IE, X ex A per FI _ L ducancurlince AHI,
AL Occurrences F B rectae in IX F.
Dico M N superkiciem duccam in superticiem OR aequalem esse cor.
POTiOTEO ex AUICT NOin MD.
Demonstratio. =
3a3
 ets
1. 1c CC1935. 1d. 15. 518. et 
es il C
et C) c ce
Atcbee rcc: bsoxilorc
caneur quorcunque rCAX M H OPO R, patalle(Z ha A C, DelB F. D uotIAH
AF. B F lince cleculum contingune, erunc ineet se sequaless vnde ob AMIIIAOLS
nech erhangulorum ec C K xequalis recte AC, quiavero G FliOK, G P concinu
propoctionales sune, eAtqueve C FT ad G) R, sIC MN ad M P, _ VC OK ad b L
Ec MC adMR eriam MNY, MP. M R cocinue lun proporcionales: (ed ex MO M P,
MQ proportionales lunc, _ MP media communis virigueserici; igitur NMH
rectaneulum aquale esrectansulo OMO: e vi M N ad M O, SiCMO adMH.
e divideHare MIN ad N O. sic MO ad R: ac proinde omnia rectanoula lub
MN OR a.qua rectangulis omnibus sub NO, O9. uarc  ld auetum in
eRaquale e  o in .
PO5
Sil eri H. csr1. d a3E
4C D. . 3 A bl13
3 3 5,140 RCe.E
24
d cil
311.
10
us
IM.
a AB, Palasset tB, LG Cmnatam, Secene linea quaecun-
que lil ilie ae
PUD
s    

## Folio 748 — 1815201908:0805
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000805.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
DVCTVSIBLAN
pushabens balum L d alciruamem L. M: d C D In DB ae qualeGEmA.
onicudinihabenti basim N de L M alcitudinem, corpus quoque ex du-
Au D E in E B quancirarem proferat habencem balim O de alricudinem
L. NI, candem E C in OB aequale sic corporihabenri balim P ex candem
cum religuis alticudinem: Simili modo hac corpus habens basim R ec S Y
alcirudinem xquase illi quod oritur ex ductu BO in OA, et quanciras
hrabens basim V de ST alticudinem, producta (iE ex OF. in F A: dein
E D in D A genorec corpus habens balim X ex S T alticudinem, e DC
in CA, corpus eformer chius balis Sic Y e alcirudo reliquis aequalis.
Dico corplis habens bases K N O P de alcitudinem L. M aquale cMte
illiquodbales haber YX V, R, e alticudinem 5F.
ust EterC B. BIMIHB at eC GDE:
B31
e cvsvB 2SLL 32BGC GC. Demonstratio
fuic demonstrandum.
Miile 21 1. 3
1a 3V et c
b.X
raa AI
nt ed3 1.  a 1M 17 t.BL.I
FB, _ F C I  B, hoc es perhypocheh COrPUS ML KNOP, aquale est cor-
ex dudu BO in OA CA ex RD in D A, e ex DC in C. A. Duod
19 ale
Scensum est in libro de linearum porenciis, prop. 6r. eiusque Corollariorrectan-
guta ACB, C DB, DE B, B OB aqualia cAc rectangulis BO A, G R A, E D A
DC A, isituE CorpOr2 Orta ex ductu A C in CB, ex C D in DB, icem ex DP il
Pori TSR V X Y, quod per tirpochelim ae quacurillis quanticacibus qua oriuneur
2d ad 8.1614 1o ealt deadnd d eld
203309 . l2∞ 4. 3 si sI

## Folio 749 — 1815201908:0806
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000806.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
Ii
nri
DC
cot.
N
I A N Y
N
ARS O V INTA
Aeit de aequarionibus Cs proporrione solidorum qua sienuntur ex
ductu partium circularium in alias circulares.
PROPOSIFIO, LVIII.
Seo circuto AB C cuius diamerer AC inscripium crianoulum re-
octangulum ABC, ducancur que rectX D F C L. normales ad diame
DIco Ot ductum in FF, corpus
rouuer aequane illi quod exluroic ex
BC semiciiem ducto in sc, Minu
De criansilo ducto in lc.
Demonstratio.
rum AC.
Voniam DF P reCCaIISM Va Cum qua
Ldracis F G, aequalia sune quadracis DG
igicur DF ductum in F P vnacum FC du-
etom le xquale est DC cuctoe; isieur
arc, residuum DF ductum ist LL aglale
a C ducto in le allelatur C daccum
est AB C semicirculo ductoe ilus luperticie. LC id elterlatigulo ABC uu
4s. tinine
PR OeOSTTIO, LIX.
Abernc circuli duo sese inteaes AB C; DB L otametrosin da-
lrectum poticas AC, DF, a panctum incerlectionis B; ex quo ad
diamerrum normalis dencacus bF, trancque C HIIL. M parallelx DC
a0 in sc: Duod Fuic demonstrandum.
occurrences circulis in CHL. M.
ub tt ductum  alsat Ct ducto in IL.
Ecl
idemion-

## Folio 750 — 1815201908:0807
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000807.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
DVCTVS PL ANL
Demonstratio.
lis IK ductxe in (0, igicur FIL ductum u LML aequale est C I ducto in IL. Quod
Tirculum ABC SeCenE p2
CoTallelE dux DB, F. F dia-
metri circulorum EKF.
BMD.
Dico GH ductum in HL,
ad CI ductum in IL. cam ha.
bererationem quam MIII du.
ctum in se, habet ad TKE du.
ctumin (c.
Demonstratio.
laxquala MIC Lectanoulis BFT D. id eltguadracis MFT. Similicer GI in IL X
quale est TR ducto in sC; igITUEVE M FT ductum in se ad TK ductum in lC, (C C FT du.
cum in HL. ad C ductum in Le demonstrandum.
IE AB C, DEB, item CHI
LDKLMI circuli concenerici, dt lin
nea BN, FLI qua circulos I L MB,
DE F contingunE in F. _ L (InE X
quales, ducaneur deinde diamerri
AC, CZ parallela ad BN, HII, du-
ctaq normali OL, tac illi aequalis
OP normalis.
Dico RS ductum in ST aequalo
cAe V X ducto in XZ.
NcCIHBacurenim ad B F deseribi quadrans DKK, crix tam FTF superticies du-
cta in laperticiem TMI, quam CT supcles ducta in PT. Superticiem aqua
exaE demorac antcum.
ADPOSITIO LX
DEanum CHI ductum in HL. aequale es M H ducto in le, quia O FTLECCtaneU
ROEOSITIO LXI.
Deae.

## Folio 751 — 1815201908:0808
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000808.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
PL A
N V
Demonsitacio
tCanCUE quocuis R S F, VXZ parallelX A
BN, TTT. Ouoniam FIL, BN LIMCX COnCII-
gences lunc d equales, Guacaca quoque dimi-
diorum FIL, BF lunc aqualia. scd RS I rectan-
sula aequalia sunc quadraco BB, X V X L rectan
Bula xequalia quadraco FIL; isicur R SI rectan
sula xequalia lune rectangulis VX L: vudc cum
altirudo sic eadem (nam P O aqualis est L. O,) RS
ductum in ST a aequale eAt VX ducto in X7,
Duod Fuic demonstrandum.
eROPOSITIO L
Tlculum Lde uclecta Guas AB non per cenu acta, 
. C Palancra Comscuai a L. F. DC Parallelae ad AB orrho-
sone ad AD lineam: dein ex A demitrarur A O normalis ad rectasE FI.
o planum, A L. D ducla M pranum AB CD secundum pacalle
las L H esse ad L. C. planum ductum in C H sccundum porastelas Y, 971,
ve AD ad AO.
suilaq; AD in parces quocuis aequales in GC, agaNEUF per G rectae
 CiHIC LS
demonstratio. B31L10∞C7 1
∞. 1
ECanGula EOF equaneur rectangulis F. C FI. Ergo paralle lopipeda habeneia
Parallelopipeda, eadem est proporcio corporum quibus paralleloxipeda inscribun-
cor, vei facile coltivicur ex discursu propolirionis universalis quae est 45. huius. Frgo
F. C, ductum in CF, eAt ad L. C, ductum in C HY ve AD ad AO. Quod crac de-
monstrandum.
2t et: 
FcenMCGHBCHCM quo ABCsD BE in B ae F, iunctiq in
cerlectionum punctis, agantur per B ec F orchosonx ad Bt.
CCCCC2
Dico
probalibus rectangula LOHI, que exhacttne corpus nacum ex ductu IC.
in OH, sunc ad parallelopipeda quorum bases sune rectangula RC F, e
extrauriune corpus genirum ct celu L. G in G F, ve alcicudines AO, ad alci
OB D. SFF IO, LZ F+, L
in
sisosttittooio10
17
18
l
111
itu apr a
11
  1

## Folio 752 — 1815201908:0809
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000809.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
OVCEVS PLANI
Dico tupersiciem HL. ductam in IK, corpus proterre aequale illi quod
oritur ex ductu luperticici C H in L. I.
Demonstraiio.
1. 53
d.20
GLP roctangulaxqualia sunt rectanselis BL, F, CruDE TTL K. G L Trectaneu.
laquoque incer (e xqualia. erso ve L. ad HIL, sCLK ad L. I, e dividendo C H
ad FIL. veK Iad IL. ergo C HITI. rectangula aqualia sune rectangulis A L RV
LS. BuluI. COrpUSiBIUE OrcUM ex YIL. ducto in IK, Xquale cHa corpOri OrEO ex GHI ducto
in L. I. Quodtuic demonstrandum.
eR OPOSITIO LXIV.
neduo circuli excentrici AC, DE, ductaqu F F minoris cireuli dia-
mecro, agancur per illius exerema contingentes AC, que producan
cur in B, ve A B C rectangulis aqualia sint rectarigula DBF.
Dico AD superticiem ductam in superticiem E. B xquale corpuspro.
terre illi, quod orirur ex AB ducto in F. C.
Demonstratio.
Veantur infniex e H L. TKsparallelX ad B.B R G F K. quoniam ram H L. K, qu2
oniam ABC, DBB redanguta aequalia sun, ex hypochesi A B est ad BD,
ve BF ad BC, _ diuidendo B A ad AD, ve BF ad F C. vnde rectat
ABF C aequalia quoque suncrectangulis AD B Ficrgo AD ductum in P. B, aqua
bid. LEBCA AB ducto in F. C. Quod fuir demonstrandum. Pqu

## Folio 753 — 1815201908:0810
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000810.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
BB
Idem polcis:
IN PL A N V M.
exorOSITILa
ductu AVIn BC.
Dico corpus ortum ex BD in LaGualt CosPOEI quod OrituT ex
Demonstratio.
Voniam pertypochetim rectangula AB C aequalia sunt reltangulis DBF, erie
LDEBD adD A, Sic B C ad BE. ereo _ BD ad AIFHBC ad F. C. equa-
Ita Bicur suncrectane ula BD C. P. rectangu A A C. erso BD ductum a in BC
aquale AD duco in B C. Duod Fuic demonstrandum.
a 1b1a.
A e et
COminganc(ele inceriusin A circuti duo ABC, ADF: ductaque
AAE. communi diamerrati, ponaeur BF parallela AF, contingens
ducton lil
circulum ABC in B, conveC AL CMMMgenECin A.
Dico FC ductum in FL. corpus proterre x quale illi quod orirur ex FH
monstratio.
VcantUE (ipA A C) intinitae paralICIA F GHTR L ec tunSAnEUF PuNAa COnta-
auum A de B: quoniam A F, P B continences equaneur, recte quoque AL, L l
aquoles tunc: unde (quia nam CL Ceclaa Guam CIFK. aguaur quacals
AF5) aqualia eriam existune quadeacis FI; a qualia isicur lunc incer se rectangula
Lilltkquace (cum AF alclcaaouccotumo) LC auctumia 2  b 1b0a
CA FHI alco LR. Suoaul demonrat
 1 n

## Folio 754 — 1815201908:0811
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000811.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
754
213110 LC1 C 1t
CiY
V
t
NI
LEC
PL A N
Setiicis.
V
si clonuet
M
diA R Sum S F, X I. A cum marima
I1. .3 11E. ASIL. CSE E 3EI
1
0ide
Ampliorem continet comparationem corporum productorum ex ductu
planicircularis in circulare, cumiis qua oriuntur ex ductu circula-
riumpartium; in Elipticas, Parabolicas, LTyperbolicas.
PROPOSTTIO LXVII
Tirculi A B C diametrum B D oblique secenein G. parallelX E Fis actis.
L.que per G orrhogonis RG, hanE F G lineis aequales rectae HC ee
ipsiS OF aequales C l: pacet ex illis quae in libro de ellipsi demon-
straui, puncta HIFI, II esse ad ellipsim.
Dico corpus ex ductu HC in G I. ae quale ese lemicirculo B A D du.
croinse.
Demonstratio.
Ban. ScCt sin
ie
VoMac F. C, C F MMKa
quales sunc lineis HG, G I, rectangula FIG L equa
Llia suncrectangulis F C F id cA quadratis RG: quare FFG superticies ducta
45. huius. in supersiciem C I. alaan poe corpus quoe L C Plaltu, acclu  1
DuodFuir demonstrandum.
PROPOSTTIO LRVITI.
Meco tC. Pdhancurque l.D. b M occutcMled teclid it 1 aD.
Dico
IIdem politisrecra BL, D MI quae in B de D cangunc, tanc ae quales dia

## Folio 755 — 1815201908:0812
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000812.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
t
N P L A N V M
Ghodeduentapelleles alleta in luperticiem 6l.
Dico NC planum ductum in planum CO efterre corpus aequale illi
Demonstratio.
Lse: led lemicirculo AB in se aceaGdale est planum N C ductum in C O a 47. hutus.
isicur NE ductum in C,O aequale cA HC ducto in C I. Ouod tuir demonstran-
dum.
TEdempolitis:
eROPOSIFIO LXIR.
LDico corpusortum ex ductu GO in FN aequale este illi quod ori-
tur ex ductu HO in OI.
Scenim per pracedeM HC ductum in C Laquale semicirculo B AD ducto in
Lmonsralio.
Via ex hypothekBL, DM aequales sunEBD, erune et GN, CO equales
HC duelo  OL. Quoatuic demonctrandum.
LGD, GB, ad eoque rectangula N GO aequalia rectanontis BG D. Sed exhy-
Pocheli rectansula quoque HICL aequantur rectangulis F O F, hoc est rectangulis
BOD; ergorectangula NCO aequantur rectangulis FICI. ergo ve NO ad IIO.
(cIC 2d OC, & dividendo ve GFI ad FTNY, sic CO ad OI: vnde GON HI
rectangula, aqualia sunc rectanbulis H CO L: et C Ob ductum ih F N aequale b ao. hnitun
ROPOS
2
IED AE parabola aris AB xqualis laceri recto, posicaque ad AB, per
delcribatur.
punctum Bordinarim linea  clcdu AB, C
eoF.L. planum ductu LIL, alsualt C blemicirculo ductoin le
Demo
ccloc.
9uC
DOnanEuE quOECunquE F L. H parallel_ D F, ostepsum eA prOPOL. 20L. lib. de p2F a
bola; rectangula omnia FL HI aequari quadraris PC: isicur per 45. huIuS PaccE
FF. planum ductum in L. FL aequari Cl lemicireulo in le   
motutcaleum.
R

## Folio 756 — 1815201908:0813
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000813.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
IIdem policis:
DVCEYS PL ANI
eROPOSITIO LXZI
Dico FO semiparabolam ductam in se, x quari semlcireulo AIB in
se ductorna cum criansulo ADB ducto in (c.
Demonstratio.
irculum a inea AB, luper qua descripto quoliis rectangu-
slO AF: FanE H IL rectangulis aequalia rectan suta O PK; CrUNEK K
araotu. aad parabolam.
Dicocorpus orrum ex ductu C FI, plani in planum LH, a quari corpo.
ri ex FTI plano ducco in KL.
Demonstratio.
Voniam Ct L Fcctangula X
qualia siinc rectangulis HIL,
eric C (ad TFT, ve F. Iad TR. a
ad RI: vndC CFTK I rectangU-
sis egualia so rectaguta FTLL A
inde cum A B alcicudo (IC con
munis, corpus ex ductu CFTpla
i in planum LK,  xquale ell
DEanum F C in le ductu aequale eA F F, ducto in L H d LC ducto in se: sedFF.
ductu in C FX quale est PC ducto in Pesigitur F C ductum in se aquatuF L. C, lG
ductis in (e: vnde cum A B alticudo sic communis ex balis corporis quod orieur ex
FC plano in se ducto aequasBanbus corponi productorum ex C C L. G planisin
se ductis, eric A D B parabiola in se dueta aequalis lemicirculo AC B in (C; _ ADB
criangulo in se ducto. Quo derac demonstrandum.
12. Lib. L
118 3.
cor
eRODOSTTIO LAAII
dividendo OHL adFTE, vE L. R
e exat de orultanidum.
12d b0nC, oButo st a clurricu
ex duetu X
B46. tot.

## Folio 757 — 1815201908:0814
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000814.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
ILI
IN PL A NVCV.
EAOPOSITIO LXXIII.
Tirculum AClecehepatallela B L. inter le aequales, tactaqe parabola
quale illi, quod oritur ex auctu A B in BF.
Dico BD superticiem ductam in supersiciem F. A xquale producere
Tolidum illi quodemeroic ex duceu B A in DF.
LsBD producac DB planum ductum in alcirudine BF, COrpUS X-
emonsraio
et aelotat
2d
ei cr
es cu et C1
uta fit i in colocor
_t ric
DLanum DB in B R ducum aquale est = BD ducto in B A de BD ABCO IA 2 FXI. so-
AF. Smilicer AB ductum in BF a. qualc cA AB ddcoM  AB aucto in cundi-
DFlpitur cum DB ductum in B P. xquale ponacur AB ducto in BF, BD ductum
in B A cum BB dlcl AF, aequacur B A ducto in BB. una cum B A ducto
DF; abtacou communi AB ducto in BD, remanebit BD ductum in P. A
aequale AB ducto in D F. Quodtuir demonstrandum.
eADPOSITIO LXXIV
IncAB, B C lincx incer se aquales, porucurq a l circulus ee BD
parabola; sic aurem corpus ex DB bali in alcicudinem BL xqualc
corpori quodemergic ex C. B plano in planum BF.
Dico DB mulciplicarum in FE. exhibere quancirarem xequalem illi
quae exlursic ex plae  
Decua
Demon.

## Folio 758 — 1815201908:0815
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000815.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
DVCEVS, PLA N.L
Demonstratio
Sila asteteo
DLanun DB IBP ductu XC
alo eAt duobus corporibus, nimirum illi quod oritiir
ctum in BE aqua es. DB ducoim BF, e CD ducto in BF; igicur DB in BB
cum DB in FF. aequatur DB in BH, cum CD in BF; isicur ablaco communi
DB ducto in BP, manet DB mulciplicarum in F P. aequale C D ducto in BP.
Duod tuic demonstrandum.
NIrculos aequales AB, C D secenE
LDTECCR F PS F F xqualia anteren-
tes scoenta AE, C F. descriprilq; Pa
rabolis CG, HIFI: SIE COrPIS CK AF.
duero in E. B aequale corpOri OTTO CX
F.O ducco in alcicudinem F. H e
quod sc ex plano C F ducto in FD
aquale sic producro ex F FI in aleitu.
dinem F P:
Dico AR superticiem, ducram in
superkiciem P. C, una cum IC, ducra
in FH, aequalem extribere magnitu-
dinemilli, que emergit ex A F. luper
scie ducra in GB de IID.
Demonstratio.
exDB ductoin BF, ex illi quod gignie D B ductum in F F. Similiter _ CB du
eROPOSILIOLXXV.
eitr Ct et
3es
Sceneus  PraCCMHS AK M-
im in P. CaGuari ALi ducto in CB.
smilicer e TC in L HI aequale elle CF
duco in HD. id es AL. u L V. vndC PATCE AK ductum in F. C, vna cum
LC duccO in FH agguri A F ducco in GB e FID. Quodlui demonutrandum.
R

## Folio 759 — 1815201908:0816
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000816.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
HIIIHII
IN PL A N Y M
PROPOSITIO LXX. YI.
DOlicis iiidem circulis e se-
smentis velupra, ductile
C.C, DD parabolis, sIC AF
mulciplicarum in F. B aequale
CE in FD.
Dico C A ductum in E. D
corpus proterre aequale illi
quod orieur ex AF ducto in
DB.
Dem
LA E in E. D, vna cum AF in DB aqUabIEE C A in F D, vna cum AF. in
F. D; ablaco igitur communi AF in F. D remanebit C A in F D ductum, aqua
lc AF duco in D P, quod fuic demonstrandum. Vera Guee est propolicio s DD
ParabOla COnEINGAEFeCtAIM F. F.
P R O P O StT1O
TIrculum CF, cuius diamerer A A continsac linca D Da Guantans
ec aqualis diaerro AA, ponaeur aucem d AB Patabola cransiens
per D punctum contactus. Ducancurq intinica D C. B A F, normales ad
Dieo planum Db duetum in AB planum masnirudinem extibere
xqualem illi quae emersir ex C B ducto in BF.
Demonstratio.
InCX D A, C A, BA MMIIIC L PEC
Voniam cOrpUS exductu A F. in F. B Pax illi pOnituE quOdOTICLIEEx CE IN L. L,
il5
XXV II
deaco AB. sed A C guadratum a-
quale est quadraco AB vna cum re-
ctangulo CBF; igicur CBF, rC- B
ccangulum vnâ cum quadesco AB
aQUaTUE A B D rectangulo vna cum
quadraco AB; dempro isirur com
muniquadraro AB, MANCE DBL
rectangulo aequale rectansulum
CBF; acque ita omnia rectangula
CBF aqualia lune rectangulis om
nibus DB A. unde cum alcitudo A A
sc communis, D B ductum in AB. D
aequale est CB ducto in BP. Quod
tuie demonstrandum.
ron Ga MaeCtO AA, circulu nON concuS  C
Ldemlecce, aucremocior a circulo ponatur, ponaneur aurem tres proporcionales
D A, C A, B A, eadem manebic corporum aequacio, crieque A B ad parabolam, vri
lib. de parabola octendimus. Quodverboindicaste (uHicier.
dddd
porrionales; igirur A C. quadra
cum aquale cltectansulo LABI
eA DB A rectangulo vna cum qu
Corollariui
 

## Folio 760 — 1815201908:0817
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000817.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
TVS FL AN.
eROPOSTTIO EZZVIII.
960
ABC: Paret per ea quae in lib. de patabola ostendi, C. C eNe ad parabolam.
BF ad B A
Dico C D planum ductum
in planum BF. xquale corpuS
proterreilliquod oritur exdu-
ctu BC in F. A.
Demonstratio.
Veancur infinice parallelae BC
DF. A. Duoniam DBE rC.
etangula aqualia ponuntur rectan-
gulis ABC, eA vE BC adBD, EC
dendem BCAd C. D, sicBF. 2d F A; rectangula igicuTBC P A
ae qualia sunc rectansulis CDB P. quare BC planum ductum in planum B. A ae qua.
cur CD dudo in BP. Ouod fuic demonstrandum.
eROPOSITIO LXXIX.
TTeicerutm AB rectangulo in scripeus circulus DE, ita vE AD, BF linex
cinc requales e circulus eandem habeat cum recransulo alcicudinem;
hane aurem proxortionales AB, AF, F F, _ FD rectis aequales IE F.
Dicoplanumi AP duccum in le, xquale corpus proterre illi quod ori-
FDF Cx F D ducto in DK.
Demonsirat.
Seo AB rectansulum, intra quod circulusponatur D E candemha-
bens alticudinem, dein D B P rectangulis a qualia tianc rectangula
Voniam AB, AP, F. F, proporrionalestuIII, MLD ad ILL. prima ad secundam
Lhocest exhyporhesive AP ad P F, SIC P B   I POTheS AD excestu
quancur, recrangulo F. D K. planum ipicur A F ductum in sciplum CA _e quale plano
ED duceo in planum D R. Quo dtuir demonstrandum.
ad excessum A F. ergO COnNerEendO DE P A ad F A, sic D A ad F D: dividendo;
igicur re F dd LA, IC LA al L . Guare lestam Proporonaes L. L, lHC
s AF quadracum equale recrangulo F F D, id est, quia exhryporhesi FD, RP X

## Folio 761 — 1815201908:0818
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000818.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
21
bolar
lun
Corpue
erl
ela BC
1e
BD. B
do
IN PL A HI M
IIaCM POLEIS; HANE AF reCtIS aquales L L, _ ipLIS AL. aquales BI.
Dico DL. Superhiciem ductam in sc aequari F D ducta in L. I.
PR OPOSITTO LXZZ.
bnosbioto.
Droniam F V, L A, F F PEXCCdenEI propolcIOnC OlCIX lune proporrionales,
_ F A lineis aequales ponuntur LiI, erunc d FD, LL. lL proporcionales: et
quia L D lincis aequales tunc TB; (nam rectis AI. aequalestun BL, de rectis AD
aquales BF.) recte quoque FD, DL, TI in continua lunc analogia: quare DL
ductum in seio aequale est F.D ducto in L. I. Ouod Fuirdemonttrandum.
EROPOSITIO LXXZI.
dedeuculo AbC. MMlccipcumicetangulum l. l poluecla
asraltelis lacent BC. hanc concinux proporrionales W F, L C, 6,l. erie
AIB Pacabora.
aequari corpori quod Formatur ex ductu
C plani in planum IF.
a 9. Depro
ressioni
645. twius
1
Dico corpusorcum ex ductu IF. in Pe,
Demonsita
lia sunE SegmMenCA P O, D L. Mc d P DlincL
aquales lineis E C: isicur deciam proxorciona.
les sune IO TB, PF; quare de lL auctum in le
aequale cA IC ducto in PF. Quodtuis demon.
arandum.
voniam ED ponicur rectaneulum recta
LAB, HIC sunE aequales, adcoque se aequa-
ROPOSITIO EXXXII.
us
Emicirculum AB C cuius diamerer AC conringant in A a B linca
A E, BF conveniencesin E, _ B F. quidem aquidistee AL. Sectaque
ex Ocentro ad contactum B recta DB, culibatur ver AB C parabola
cuius axis BD, quam in A contingat rect  LLUIIG anEurq AB.
DicoIK ductum in IL, ad HIC ductum in  Caluhabete rationem
quam FB quadrarum ad quadrarum E. B.
Odddd 3
Demon
la
po   s  s t  sa u a e ute tat ete at  e ti qe tet  et at e      e e  st  t  e e st  a  se e  at t  et a    t   ut  e .  e    t .

## Folio 762 — 1815201908:0819
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000819.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
762
1+2. D
arabol
YCTYS P
Demonstratio.
rederii (Voniam F. B, F. A contingentes aquales sunE, recta quoque, AG, G+N _qua-
adquadracum E B; eroo de rectanguta R LL Hne ad rectangula FYC:MI, vequadra
cum F B ad quadrarum P B; igitur IR duct_M I SL Ad FTC ductum in CMI. eam
habecrarionem quam FB qua dracun ae guau B Vecollisieur ex discurla
C 300. 116.
do parabu
e ipsis BC aqualc
IN DF.
687. DC
arabola
Llessunt; tectansula isitur PTOM aequalia quadraris G N _E KTL b rectangul:
equalia quadraris TNT, sed quaMaa L_ IunE ad quadraca GIN ve quadracum E B
NEuT D CF. diamerer aurem quadraci sIC BP.
occurrens DHI lincis in G. Conllal, AC. FI, BFH cSc parabolas.
Dico planum D C ducum in DF, aequari solido orro ex ductis DC
propolicionis 45. huius. Quod tuic demonstrandum.
PROPOSITTO EXXXIII
IVper ABC semicirculi diaMeHO AB, quadratum ALaEUIaLFD FL, po-
DCicilgue ad AB orchogonis DCFI, hanc AC lincis aquales DCF,
Demonstratio.
(YF AC ad AB, id est DE DE ad DXI.
AcCD ad BC, id est CD ad DF
de permurando ve DF. ad D C, sicDH ad
DF; Sed est ve D H ad DF, sier DF ad
D Cii ISITUE D E ad DC, vE D Fad DC
unde rectanoulum supeF D CDF aquale
est rectangulo super D CD K; Cimiliceere.
ligua omnia rectangula DCDF; aequan-
cur retiquis omnibus rectangulis D (i, DF.
cn6. hmim. ergocum alcicudo AB Ec Conunis, erie D C ductum in c D F aequale D C ducto
in DF. Ouod tuic demonstrandum.
LKOEOdELIO LaaAII.
Abcri BC. LL parabola Subae police communem aReM AL
LLaequalem lacorirecto: ductisque ordinarim AG, F L, describacur li-
Per AP vediametro circulus MI N qui per 126. parab. cocus inera parabo.
tas cadee, innGAMETGUS PUHCFA AF, L G.
Dicocorpus orum ex ductu BKC in C. D xquari corpori orto ex duccu
MC in NF.
demon-

## Folio 763 — 1815201908:0820
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000820.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
H p
DC
106
D
EXI
CT
1IIIII
211
IN PL ANV H
Demonstratio.
DLanum BC ductum H CB peF prxcedentem aquale es M C ducto in CF:
sed B C ductum in C B xquale eA BK uc CD, ia Can LC adel
in CB d MC doc IH CH aequacuT MC ducco in CN _ MC ducto in NF.
loicur CD Cam RC In CB, aequatuE MC in CN, cum MC in NF. elt
AUTOMPTATCrCa KC ductum in C D ottentum : xqualeM C ducto in C N; ablaris 2 67. huius.
isicur xqualibus, nimirum. RC ducto in, CD, _ M C ducro in C N, remanebie
BK duccum in CD aquale MC duccoin N P. Quod fuic demonstrandum.
PROPOSITIO LZXXV.
lem posiris demittatur ex C, linea C HT F parallela e xequalis axi AL.
Dico M C ducrum in E. HI aequari BC ducco in DF.
Demonstratio.
H ad CF, ACBC C AdDMC: SCd VE CFI ad C F, sIC C F ad CD, B Ex LOS.
hicur BC est ad MC, bECF ad C D: eAt aurem ve F C ad DC; AC C F( F doparabola
a F. D; quia HC, F. C, D C proporcionales sunc; Egitur De HH ad RD, SiCB C ad progressioni-
M C: etBOrCCtanS II C HF. Lquancur reclatipulis BC DB; icicur M C duccurbu.
in FTF aquacu DC aCtO in DF. Quod fuit deonstrandum.
PR O POSTF IOLZRXVI
Dico mashicudinem prouccam ex B MI ducco in L. C, X quarima-
IIdem potLS. le1
snirudiniosre ex BC dueto in DF.
Semonsorto.
5. calcoade
SLanum BC duccum in planum CF, aequale eA BMI ducro in CF _E M C,
L aucco in C F; sed M C duccum in C F. equacur B C d ducco in CD; igieux _ dICZ. hu
BC ductom C P. aGuare e DM ducco in CP, vna cum BC ducto in CD. 
Rurlum B C duecum in CF. Xequatur BC ducco in CD _ BC ducco in D Fi Cr-
ixicur communi BC, auclo in CD. remanebit BM ducrum in F. C aquale BC
ducco in DL. Quodtuis demonstrandum.
S0BML in C B cum B C in D, a CI CD C BC in DE; ablaco
1e es etrepe 3I LN
Aope u t e te e  te te e  e e e es s  e e t t  e e   e et t  t et u e 1e  e e et  te e  t  e e e be t e t e t 1 

## Folio 764 — 1815201908:0821
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000821.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
DVEEYS PLANI
364
Tirculum ABC, Orchogonalerin lccent lemalametri dux BFI,
perHIquoruis diamceri D, Occutrentes perimetro circuli AL Hlin L. L.
o D. PUNCtIS PEF QUEFECFX PONANEUF L. GN L. dein HIE rectis aequales hanE
arabola. E, C. K:  constacKK esse ad parabolam: perficiantur denique rectangu-
la BHA, ATAM.
Dico planum D E ductum in P L, Xquari plano TH ducto in R H.
eR OPOSITLONLZXXVII.
L +AHI: de(criproqueluper ALL tO, CnCuIO AF. HI, ponaneur
Demonstratio.
. 2 eid ) SE M 
3ai C531B 
si
dIS 1
 elti is 1C 3V
Dict 
Ca bea seitE
it D NE 053BB  A S caci 3193BSI.  BIIS
ul
siC S.ttI
et
10
  
Voniam e B lineis Auns sunc L, CK d HD semldiamieiri a quantTHB
TunE AC siuC D O rectanguta LK M Xqualia  S. B F. O, 1d eA I B. L
Lbue CP, reliqua, IK aqualessune H, F.D
B46. tuius. quare D E planum u ductum in P. I, 
quia vero e IM lineis equales
te t
EROPOSTTIO, LZXXVIII.
Tirculum AG,C, cuiu
sdiamerer AC, Contin-
Banc in, A C
INEx CF
AMI aequalesiplI AC, de
(cripcilqi peF AF C, CM A
parabolis que
126. Patad ila
exera circulu AOL. Du
tervallo B A aCKHDaC CirculuS AHTF, liquer hunc transire pet La
Dico lE. Paunum ductum in L. K aquale corpus producere illi quoe
tices ha-
Patet ex
adere 10.
ic in A C
cacur A F. occurrens circulo
AO C in B, de centro Bin-
oricur ex F b alb I.
Demon

## Folio 765 — 1815201908:0822
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000822.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
a2BI
Onann
Hine
les Bu
edug
AXII
HB
udle
Do
et
re1B
e b
BiM
N PL A H V HI.
Demonstratio.
ralleIx ad AM C E rectangulis AC C Xquan. ~ xatese
965
V Caneux in FniCXIFL, OKLL P
ie rectangula luper:
AC _ L C: sed C C lineis aequaneur b linca L. I, 8E 8. sexci
ApsiS AC suncxquales recta LR; igicur d PL K rectangula aequalia sune Fectan- b,00. D
sulis AC, L C, hoc est rectangulis AC C. Tuneancem e A C C rectansulis Xqua- parabola
lia rectangula FOHI ian LClasIS LeHl aequantur rectansula ACO; ACC
CSerenur
aurem quiacCCaga eclatigulis AC, C a qualialUnE; IBIEUFPLKTC. L. 2 proP. 43
ctangulis aequantur rectangula FC FI. quare LI. ductum in L K aequale eAt FC
ducto in O FI. Ouod tuir demonstrandum.
PROPOSILIO LAAALC
ABCANEABC, ADC limiles d aequales sectiones conice commu-
nemordimm policam AC, ad commiunem axem BD, (ICVEOF, p2-
rallelae BD, ab AC bisecenEur. cum Luper AC, describatur arcus quicun-
que circularis IFI, vel alia quaeuis ponaturlectio conica.
Dico FH ductum in (c. vna cum HI C ducro in sc, duplum eAe CorDD-
ris, quodorirur ex HIL dueto in se rna cum lC duccoin sc.
Cnonsclatiba
ductoin se: Quod tur demonleran alau
Voniam A BC, AD C umiles es aequales sectiones potuneur; e recta DD, 2. do sectundi
deoque _ illi parallelae bilecaneur ab A C: quadracd ixieur F FI, FL C sSmul cursu 
at
lumpea duplicia sunc quadrarorum FII, LCn quare cCorpuS ortum ex ductu F FTim huius facile
(C, rna cum HC in Cc, dupllcia sunc corporis ex H F ducto in se, simul cum LC: collisitur
L eCCC
M t t   

## Folio 766 — 1815201908:0823
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000823.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
366
OVOTYSLLRAL
eROPOSITIO ZC.
VIneABCDLFccusMcpa quacguectatSuIa AC, OF:
in segmencum HII, ad I. Klcgmencum ductum in scgmencum L. M.
aoporret exhibererationem quam obrinet C FI lesmeneum ductum
Constructio es demonstratio.
Vais NO, R V diameeris quae A B, DE lineas bitariam ee ad rectos dividane
in O_ S: Aanc CEFT Trectangulis aequalia rectangula OPTTZ SE RL M rC.
rr3. parab. Etangulis ae qualia rectangula super OP _ IY: constat AZ B, DT P. eNc aPara-
TT duclo in alcicudinem OP, CLTgitur ductum in flL, ad R L. ductum in L M
cam obecracionem quam e L ductum in alcicudinem OP, ad T. T ductum in
eandem alcicudinem OP, d esc quam batis ad balim, nimirum A X B parabola ad
parabolam DL L. IBIcur, _c. Ouoderartaciendum.
eOStIIO XCI
irculum ABC secet recta quaedam
AB non per cenerum ducta; act aque
per Borchoson2 BC, ducaEUF P. F paralle.
la B C, circulum contingens in F conue-
niensq cum AB linea in F.. dein perpun-
eta B ex F ducatur hyperbola BIF, cu
iusdiaerer AB F ad quam P. F Sc ordi.
nacim applicata.
Dico CI ductum in se xquari 1I6du-
Ao in CR.
bolashrabences verrices in Z _x Y. dico aurem GFI ductum in FTT ad KL du-
etum in I. M eandem obtinere rarionem quam habet A XB parabola ad parabolam
DYE. Duoniam C FII rectangula L Guacta Cuncrectangulis super ITZ. _ P O; C,II
ductum in FTI aequalc est TIZ ducto in O P alticudinem. eodem modo CuM R L. M
rectangula aequalia sine rectangulis supeF L FOP, RP. ductum in L MI XquaEuE
Deon

## Folio 767 — 1815201908:0824
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000824.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
I
IN. PL A N V M.
Demonstratio.
VCAHTUE GUDELUNqUE GHTTK parallela adt F. P, B C, que omnes erune ordina-
eim poliex ad diameerum ABF, vepore aequidiltahces ordinarim polEX P F:
oltensum est aucem lib. nostro de IIyperbola: GFT, C L, et K ese concinuas: IgieUF a Excon
oplanum C. P ductum in (C Xquacur C HI ducto in C K. Ouod ture demonttrandum. nesa 200.
PROPOSITIO XCII.
NIrculum ABC cuius diaMCTEF C F.
Lacontingac in A linea AD conveniens
cum diamerro in D ductaq: F. F parallela
concingenti, perpuncta A e P. delcribatur
hyperbola cuius diameter (IE C F. D, XC. Or-
dinarim polica ad diameerum AD.
Dico corpus orcum ex HC ducto in le
aquari quancirari orce ex HI Iducto in HIK.
Demonstratio.
Veancur enim infinice TTFGK, parallela ac
AD, FF, detendimus lib. de Fyperbolacli
neaS OmneS FTB FTC, HIK in concinua cMlC analo-
Bia, Vnde pacec dFI C ductum in se aequari FF du-
ao in IIK. Ogod tuic demonstrandum.
PR OPOSTTIO XCILI.
Virculum E. BD conmigane dux recta AB, C D libimuruo equidi-
oltances, quad ogonalicer in A e C, secec linca AC; per puncta
deinde B, D deletibatur hyperbola cuius axis aequidistet ransentibus
lly
AB, CD
Dico FH ductum in a aeua LL. alebI +B.
Demonstratio.
3
+5. huiius.
C Conn
206
vniversali 45. huius, pacet vericas propolicionis. Dux tuiedemonttranda.
EcCCC 2
PRO.
Veancur quoruis FF HC parallele ad AB. libro nostro de Hyperbolac oAten. = Conn
Cum est omnes lincas F F, F FL, FC Cn  Concua analogia. igieur ex propol. 210. Hyp.
M is    A   t  i t    e i     s  et ute t   t   1  . 1.

## Folio 768 — 1815201908:0825
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000825.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
768
236 hyperb.
B Colligieu
discur
hriu.
DV CTES PLAN
DROBOSTTIO ZCLI
AETFHUM ADC LECCFFECTA GNAHISLED Non per centrum acra, duecis.
que per A e B orchogonis AC, B H describantur oppolice lecriones
AIE B, C L. Hhabences cenerum M commune cum cenero circuli.
Dico E L ducrum in TK ad F L duccum II IC, cam habere rarionem
quam L. LL seclangulum haber act ectangulum PIC.
Demonstratio.
EctangIUm a Z TK est ad rectanGN-
lum LTK, ve ATB rectangulum ad
rectanigulum AIB, id est ve F IC rectan-
oum ad rectangulum F IC. Ergo omnia
rectaHguIa L. IK Cunc ad omnia F LC, ve
vrum LIK ad vnum FFC. unde cum
AB alcicudosc communis, crie b L I pla-
num ductum in planum IK ad FI ductum
in TO VEL TK rectangulum ad rectangu-
lum FTC. Ouod Fuit demonstrandum.
cunque orthogond LL, qua etum paralieta ad L P. hancque CI lincis
Demonstratio.
Veatur diamerex FB N cransiens pet
coractum B, ostensum cslib. de TIyperb.
cpncta BHHI eNC ad Hyperbolam: vnde
LHIT rectadgulum est ad rectangulum
L. HLL vE N EI quadracum ad quadrarum
NHL, id elt B quadrarum ad quadearum
TB, lcd ve IB quadracum ad quadracum IB:
sc eriam M IO rectangulum est ad rectanou.
lum MTO id es IM L. rectansulum ad re.
ctangulum IML.; igituE P III rectangula
proporcionalia lune rectangulis TML. ergo
omnia rectangula IIII sunc ad omnia re-
ctangula TML vernum rectangulum THL.
ad ruum rectangulum TM L. vnde cum EB
R 
Seo circulo AB C quadratum circum leripeum DE, actisque per C
scenerum lineis GM I qua circulu iccene in M, 2gantur per MI quot-
POSITIO XCV.
aquales HE LII, constat puncta LIHL, eNc ad hyperbolam.
Dico te planum ductum in plaHuI LIL, ad IM, ductum in ML, ese
ve IHI L. rectangulum ad rectangulum INI L.
202. By
bob.
135. hyperb
16. tains
dum.
Collisicur alcicudo sic communis, cFTT ductum in FTF, ad TMI ductum in MF, eam obcinet
n discursa rarionem quam L. HIL rectangulum ad rectangulum ZM L. Quod suic demonstran-

## Folio 769 — 1815201908:0826
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000826.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
vet
11
EN P L A N V H.
eROPOSTTIOK
Irculum ABF secet recta quaedam AB non per centru ducta;
sactilque per A _ B orrhogonis C AE, DBF, hac Cuper AB rectan
sulum ACDB: _ HIOL rectangulis aequalia ponantur rectangula
LCIE: Facile colligicur ex illis que in libro de parabola demonstraui, pun-
Ct2 R IS ehe ad parabolam.
Dico G FI ductum in K L aequari FII ductoin CR.
Demonstratio.
)Veaneur insinitx GHLKL
Parallelae ad C AF, DBF.
Ouoniam TC K rectagula a qua-
lia ponuncur rectangulis FTCFL,
eric ve GTI ad GI, BCGR ad 1.
GL; & diuidendo ve GHI ad FIL,
sC GK ad KL: vnde TITOK
rectangulis aequalia (uNE FCCTaN- L
sula OTTKL. ergo CTI du. 5
CEUM In KF. 2 x9ual0 FII duCtO
in GR. Ouod Fuic demonstran.
dum.
PROPOSI)
NIrculum BC contingant dux parallelx F G, TIl quas orthogonali-
scer lecerin F _ HI linea A A; hanrque B A C rectangulis aequalia re-
CTanSULA DAF. (INE AUTEMDD, E. F sectiones opposr quarum cen-
EFUM GIEIAROCEA A A.
DicoD A planum duccum in planum BF. xquari AB ducrO in L. C.
Demonstratio.
Vonia B AC ECCLatBS a
Lqualia ponuneur rectangula
D AF, AF duccum insc, b xquale
est AB ductO in A C. scd A B duccu
in AC aquatuE AB ducro in AF,
_ AB ducroin F C: icem AF du-
etum in se, siue D A duccum in A V.
RQUAEUE D A SInC F A duccO in AB,
via cum D A ducto in B E; dempto
isicur communi F A ducco in AB,
remanebie D A duccum in BF. X-
quale AB dueco in F. C. Quodtuie
demonstrandum.
2
XCVII.
962
EcccC
B 45. hains
 e te  ete   et e ti e t e t t   e tte te tat  t t t  a e t  t t t   A te 

## Folio 770 — 1815201908:0827
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000827.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
OVCTVS PLANL
eROPOSITTO XCVIII.
Vadrato OT IMICTIPEuS siE circulus cunus cenerum B, de diameter
C; circulo veromenpa  Chplis habens cenerum commune B
 HIC axem maiorem: Lecis dcinde B A xequales quoccunque
olantur orthogona C. AD. PateT Cx 243. de hyperb. pun CTa DDD este
ad hyperbolam.
DicoO A duccum in AE aquale esc C D ducto in DI.
Demonstratio.
reliquis aequales lB. lunc rero e PA, lincis aequales linex (D. cr00 Voca
s. hmins. sula xequalia Cuncrectangulis B AF id est recrangulis O AF. quare a O A duccutt
in AE. aqualc c C. D duccoin D I. Quod erae demonlleandum.
DROITACEK DC occurranc circulo in O, ex lateri quadrari in C. Ouoniam linex
CT aequantur diamerris BF, ec B
lincis aequales ponunent C A, CCAF

## Folio 771 — 1815201908:0828
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000828.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
A N V M
DARS SEPTIMA
Confert inter se corporanata ex duetuplaniparabolici in parabolicum.
PROPOSITIO XCIZ.
Atabolam AB Ccet diamerer qua cunque BC, act aqe Per C Or-
choso CL, aucacur recta AB parabolam contingens in A, xqui-
distans aurem ip (I C F, conveniensq; cum C B in B: dein per A & C
Parabola deseribatur FIHI, verricem habens in C, e AB ordinatim poli-
cam ad diameerum C B.
DicoFC ductum in F P aquari FII ducto in sc.
Demonstratio.
Vealur infniex FOFILR ParallelX ad C F, ostensum est libro nostro de PAt2-
dum.
Bola, 2rectas FG, F FI, F I in continua ese analogia: unde per 45. huiuS paTCE a 167. P2
FC planum ductum in F. P aquari P H plano ducto in se. Quodtuic demonctran. rabola
Corollarium.
TInCPaTCE B ex P quoque erigatur diameret, Cuteto IL B ProcuctX II L, quod
TuE ex L CL Planoin se ducto, nam cum TR linex aequales sine rectis FC, e l
LF C superficies ducta in superficiem CR aquale producac corpus illi quod ori-
tuiUS PATCEPEOPOlEum.
FFBF T sinc concinux, ce L   DCF 45.
R C
111

## Folio 772 — 1815201908:0829
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000829.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
DV CTVS PLAN
ROPOdFFL
DicoFC SuperHc
quari plule
C
C
VIE A BC rectatigulidiameter AC, descripea.
=Per A e C parabola cuius (icaxis AB, de
batur _ altera per AC cuius axis AEC D
ductam in superticiem
1ductoinse.
67. Pa
Coroll. 9
eprogress
45. huius
Dernstatio.
e aequales rece
demonstrandum.
eR OeOSITIO CI.
quorcunque
noniam 2F F.
FTF parallele ad DC.
E B, F. C surse concinuae, ec IF)
ErUINEB_E F. C, GI, HF ir
inua analogia: vnde paTCEC F. C planum ductum in
blanum TIF, aequari C Iplano ducto in tc. Ouodtuie
ducto.
ECEHE ABC parabol
dua quan Palanela C BC ae
D ex B diamerro BK, RAnEInEEF AK, KD medix PL, dein per B e
L parabola delcribatur HIHI; Carus camelet Ld L. LOamac Ponca.
Dico planum FC ductum in  t ase t prati t 
Demonscrnto.
Veantur enim ad B C paralleiae quoruis. FO H L, colligitur ex libro de parabo-
alictum in planum GP aequatur IC Plano in se ducto. Duod fuir demonstrandum.
das. hmins. la peoPOL. 275. L C, O FI,C I lineas in concinua eseanalogia: vnde d planum FC
LLosclII
Ecent ABC parabolam aequidiltances quatuor BF, CHI, DE, AC.
 Sic VeBFC HI candem habeanc alcicudinem qua DE, AC: cum ex
B de D diameeri demitraneur BI, BK.
Dico L. Nplanum ductum in planum NO aequari Mt P ductoml:
Volobis

## Folio 773 — 1815201908:0830
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000830.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
IIIIII
 PL A N V M
Demonstratio.
Pacabolx delcribantur quarum diamersi BL, DR. _ ordinacim posiea II, RV.
aerune illae aquales d similes. quare pet praecedene. C N ductum in N O, aequale 1275 para:
cANR ducto in sc, _ M P ducto in P O aequale P S in (e ducto: sed NR ductum in bol
se aequale eAt PS ducto in sc (sunc enim bNR, PS Cxdem parabolx e aque alcc:) bEx275.
igitur L. N planum ductum in planum NO, XqUaTuT MP ducto in PO. Quod parab.
fuic demonstrandum.
LRONOS
Vcantur rectae quocuis L N R O, M P SO, parallelx ad B F. Ponacur incer
SF, TFT media IT, ITCM InCEE AR. RC media RV, _ per puncta B, T. D, Y
T1O C11I.
L_ per N, PreCtX aganEUTXZ, YB parallele ipsISGFI, AC.
Dicorurtum L. N ductum in NO xquari MP ducto in P O.
IIdem posiris SumaEuF ex B I parS guxuis IN, cui aqualis pONAFUT PR;
emonstiat.
Vatismore solico parallelisinkniris L. NY R O, dCM PS O; LIn CX T DI, CNY H, LO c a5. huius.
suncin continva analogia. Eroo L D ductum in NO aquatur HL aucto in CC:
eodem modoquoniam AP, PS, PO Cunc continué proxortionales. HI Lauccuu
in PO. xquatur P S ducto in se: sed N R, PS in se ducta xquaneur (sunc enint L I
PS exdem parabolx e aque alex:) ergo L. ade L
PG. Duoderat demonsrandum.
ECCI
O.

## Folio 774 — 1815201908:0831
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000831.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
V. 5. P. L
R OP OSTF10 CtV.
habere compositam ex ratione quadrari BC ad quadracum FC, _ ex
Demonstratio.
IuisiS AC, FC quadrita-
riam, actilque per divisio-
num puncta parallelis RL,
MN. demiceantur ex K e
MI ad XL OrThOBONX R O
M S: icem duCanEUE L. R, N L
tildem orthogona: brevicaris
aurom causa corpora ex duetu
mucuo parabolarum orca vo-
CCHEUT COrpOTA A, F. Duadra.
cum X O est ad quadratu BC
VE 2 O A ad C A, hOC Cst CK
const. ve P F ad GF, hoc est
ve quadracum M P ad quadra-
cum FC. CrBORRO ad BC
DE MF ad FC, _ permucan-
do RO ad NTP, ve BC ad
I. C. Eodem modo oltendam,
OT hoceA OR cMc ad PN.
hOC CA PZ VE AD, ad IIF,
hoc cA exhyp. Ve BC 2dF6.
Cum igitur racio rectanguli
KOR ad rectongulum MP X
componatur exlacerumeacio
nibusR O ad MP, OR adPT.
ad solidum quod sc extecas alo H L aucto in rectangulum PY rationem habee
composicant Cx Lactone vaus au Daum hoc eit rectaneu KOR ad rectangulum
MP T, ex racione alcicudinum 9O, P P. Cumisiror rectangula ROR, M P T sinc
ad Cc invicem ve quadratum B C ad quadracum E G; _e alticudines OO, PP, VE
BC ad quaaratum se, e AC ad l Cr. limilicer oltendam lingula reliqua Colida
facta ex rectongulis religuis X O, in reliqua O R eandem habere rationem eom
Polcam ad singula alia Colida Facta ex rocrangutis religuis NP, in recranoula reliqua
PT. ergo lingula solida inscripea corpori A sune proporcionalia Cinvulis solidis in-
B12. quonsi. lccipeis corport   e b ma u a. leapa enr.
nius ad unum rarionem osse compolicam ex racionibus quadraci BC ad quidearum
CC, X AC ad F C. ergo omna le Mcripea corpori A sunc ad omnia inscripea
c+5. hhas. Colida corpori L in dicta racione composica; cum igiture solida verique corporitol
 polline, ve deticiane d corporibus ipsis quancieare dasa minori, concludicur
codem
TnE ABC, RCD parabolae aequales de similes ad cundem axem lub
Dalterne polcx, ponantur aurem de alix quauis. duxe parabole aequales
ac limiles F. F G, F. CFI ad cundem akc Abalcerne polILX.
Suouscum ex ductu parabbla AB C in parabolam AC D id
corpus ortum ex aucca parabola L. F. C in F. C HI parabolam, rarionem
A C alcirudinc ad alcicudinem FE. 6.
cum FC: jam aucem Colidum quod tc ex ductu rectanguli KO in rectangulu OR
erit hec duplicata rationis BC ad F C; hoc est eademgua quadeati B C ad quadra-
AC, F C, quemadmodum colligituE CK HIV BOCHEH. HaBCO Llidum quodAC CxRO
in OR, ad solidum ex MI P in P P racionem compositam exracionibus quadrati
I. DePa
ola-
sa I6it re 1e EO E  333A253C2I

## Folio 775 — 1815201908:0832
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000832.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
Oumr
N PL A N V M
eodem fore discursu qua v lumus in pracedencibus, corporz A, de F, in cadem esse
A C. L. C. ud Arandum.
racione compolica ex racionibus cactat BC ai Guaalu LO l a
POStTIO
Arabolam ADC, cuius axis ALD CC Or-
nea AF, ducacu iccta AC.
Dico F D Cuperkciem ductam in lupert-
dinarim polica C B, contingat in A li-
ciem F. C corpusproducerex quale illi quod
Oritur ex ductu F F in F. D.
Demonsotabib.
cancur quocuis FD E. G paralleIX ad AB, vE
ad E A, SC GF ad F F; SCd VE ~ CF 2d
F A, SC F D elt 2d D F; ISIEUE DE FG ad FF.
in
b.
torits.
quale est rectangulo sub E D, F F; CrgO F D pla-
num ductum in planum F. C X qualc b F F plano
ducto in planum E. D. Quodtuis demonctrandum.
eRBPOSITIO CVI
DArabolam ADC CuruS axis BD de ordinarim pOsITa AC, contingaE
L in B linCA F F, BCCUTTCHSC F, AP dismerris in P _ F, ducancurq: li-
Sico magnicudinem productam ex lL. plano ducto in planum L. LL X.
Quari quanATAtL OTTE ex duCTU NM in M HI. 
AC F D ad DF. inde rectangulum suB R G FD
Codohsotbt
VCatUEVECopra paraIlelC. OuOnLAL LL N L NLInCX SUNE COMEINUIX, CMIEVEC +2. D
GF ad IE, Sc IN ad L N, id cA R N ad NL, e componendo ve G L ad TF, parabi
ned AB, BC.
SIC K F ad FNI. vnde ILK rectangulum aequale c rectangulo GL N id est
AMD: e per 46. hunuo LL aucllm  L dgate L c a  Quodtuic
demontrandum.
FELLL 2
eeeetanent211211329131627 18 9302 323=34 332C273
11

## Folio 776 — 1815201908:0833
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000833.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
YCErS PLANI
ROeOSIEIO CVI
de DOsitis AO, C P ducancurrangentes in A et C.
Dico OIplanum ductum in planum L. MI xquari PL plano ducto
Demonstraiio.
in le.
ocensae sunt proportionales aOF, TG, GFI. igitur cum O C, diferentix xqua-
Iis sc HTF recta quoque OI, GO id eAt bOL, IP id est OR proporrionales
broeress. LUnE: led eciaM CUM MR Sic aequaliS ipS TL, rectae OT, CTP., I M concinux lunt.
ibid. quare OEplanum ductum in P. M d equale YC. ducto in sc. Duod Fuir demonstran.
A45. huius. dum. 115
siloqrc
LWWSAIHAL ELPRIOPOSETIO CVIII.
IIdem Posris: c
Dico CO planum ductum in se xguuri plano OL ducto in LP.
Demonstratio.
89. parab. Y Inex c TO, TG, GTT sine in proportione concinua et OC difterentie aequalis sie
qDepro. L YP. Ergoetiam OL, OC IP Elunc in proporrione concinua. Frso O Pim
eressionibus
EAs. hums. F P ductum aequarur CO ducto in (c.
PR. O P OSITIO CIZ.
InE ABC, BCD parabola xquales e similes ad eundem axem BC
lubalcerne Policae, actisq per B e C. tangentibus, perticiatur rectan-
gulum P F duCantuEque reCtX AB, CD.
Dico FTI planum duccum in planum L. MI ad GHI, ductUM in MN
eandem obrinere rationem quam LIK ducrum in H. M habet ad CH
duccum in (c.
89. De
erab.
EX9. C
Demon

## Folio 777 — 1815201908:0834
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000834.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
3C
61
1111I
EN P L A NY M. 1 C
Demonstratio.
Faatgudum HTEM ad GFEMEN rectangutum racionem habet composicam
ex HIF ad GFF, id est : FTK ad C R (quia C K. FTR, TR B prOPOrtiONALES TUNE) a L. DeprO
_E Ex FAEIOHO P. M ad MINT, id CA MIK adt NR (OB NR, MK. L R proporcionales) er
tar
Sedracio quoque rectanguli FIRM ad C KNV compolla t ex tallLL dd CR parabola
_E MK ad NR; igicur veTIIEM rectangulum clLdOm
TTKM ad GKN rectangulum; igiturve ex 4. huius colligitur, III ductum in L. N
2d G TI ductum in MNY, CAVE TIK ductum in RM ad C R ductum in R I. uod
etac demonecandum.
lnios
PROEOSITIOL.
AVper recta BB describanEuE ErOS
 parabola AB, CB, DB, qua-
rum diamerri per verricem sinccon-
rinux proportionales, e B B ordina-
rim ad eam sic polita.
DicoCBplanum ductum in (C X.
quari AB plano ducto in planu BD
ete
Demonstratio.
DVenneur quomis C A B D Paraltele ad
diamerros primo daras. Cum enim dia-
metri per verticem ponantur proportiona-
les, etiam diameeri AB, BC, BD cruNE
concinux: quare CB parabola ducta in
Ce aequalis AB parabola ductae in parabo.
lam BD. Duod tuic demonctrandum.
PROP OSIY1IO CXI.
DArabolam AB C cuius axis BD, e Ordinacim PBHICA ILC COIIHI S
L in B recta L. F. occurrens diametris AP, C F. in P. X F: dein per A de
B, irem B ∞ C parabola de(CribaNEUF QUAFUMI aXES LUINE A C, C F.
Dico CITluperticiem ductam in superticiem LK x quari FII plano
ducto in sc.
li LLLt 3
Demon-
1 1 . .   1   . . 1. . 1  . . t 1     te e t ta t t.  t    e ta       ate   e     u

## Folio 778 — 1815201908:0835
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000835.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
YCTVS PLAN
Demonstratio.
VeaneuE ad A C parallCIX inEinieE GFTTL KNT. docuimus libro de parabola
GFL, GF, CFM rectas in continua esse analogia: quare cum III, RM linex
g. D. BM aer sc aequales, extinrb CsHF, HII, TK concinux. rnde per 45. huiuspaceereri-
dtit +11.
167. 64
prosression. Fas propol.
DicocpaCL CII plano ducto in IL, icem ex HI in Scipsum.
eandem ex CFI ec M N ductis in PK, in continua esse analosia propor-
cionis dupla.
Demonstratio.
DRROdUCANEUE GM paraIleIX in N. OUOnIAM GFI, FTL FK reAt XIn praeceden
ci Osen(a SUNE CONEIDUX, CrunE TII quadeata ae qualia rectangulis GTITK; sunc
AUTCM M N aequalis ipsIS GFI, igicur rectangula super G LIM N canquam vnis d
TK, dupla sunc rectangulorum super GTTTK, id est dupla quadracorum FTT: rursum
cum TF linee dimidix sincipsarum PRK, crunc CFTIL. rectangula dimidia rectan-
Bulorum OHIIK, hoc est quadrarorum IIIF: inse rectangula GFI, II. quadra.
+2 FTI ec rectangulum (Uper TR _E GTTMN canquam una in concinua sunc ana-
losiaproporcionis subduplx. Ouare ex dilcurtu 45. huius Faeile colligicur vericas
propolcionis.
Idem pon:
PR0P021LIC. Ca1LI
Dico COrpuS OrEUMI ex doctu GMI in IRL aequari corpori OrtO ex
HIK ductoinsc.
Demonttratio.
IEdem poliris:
SIa. Cum aurem MR AMC a GeaCSIPIS FIF, reCtX CFIAM GFF, FTF, LR TunEdCOnC
3. DepP. rinux. vndC _ CIR, C  CH KFT, CM in concinus erunc analogi2. er 90 per 45.
11. Do hatus CM auctum lea LEK ducto in sc. Duodtuis demonstrandum.
C187. Ba. Iscentum est in tibro de parabola c rectas OH GF, C. M in concinua este analo-
progress.
Demon.

## Folio 779 — 1815201908:0836
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000836.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
e
1
Y PL A N V H
ROPOSIFIO CXI
InE ABC, ACD parabola dux aequales d similes, Tubalcerno siru
Polx, actaq. per A verticemtanSenEC AD, iungantur A C.
Dico FGplarium ductum in planum HIL aequale esse FI C. plano du:
eto in planum IHE.
Demonstratio.
eAtve AHC Id ACC, rectangulum: (cdrE ATTC ad AL C, sC O FTR rectat-
ZIICCCtUE AC in L, POSiEaquEDEFL, linea P B F MN parallela concingenti AV,
POnantur ipE F. Ninsinicx aequidist aes FC LLLR. rectangulu F HII ad F L. M
e perniandoL en al BAIKHF LM ad BL. H. led cum aequales de li-
pulum est adrectansutum DL HDC FICL A L.LM, ICOTLK a VL L13
milcs uue Palabula de kC ia L. billeclatic. cectauientum t dotit aquacue ll.l
rectansulo recollisicur exIs qua in parabola demonietal: lsItuF d LH l aqua-
le cRrectangulo CHIK: Guated LLLa211,  1L au LLL le Pernucanuo ac
dividendoreeC ad cH, iL ad 1,   L ACllani a aaa A
ectati Blco CtlLR. EFGOpCE 4b. hUIUS PAECE retITaS prOpOiOnIS.
ssitiii
suti
Mtt161
3
35
t e1e19
  a eit ut . sten ea    t   st. 

## Folio 780 — 1815201908:0837
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000837.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
a
ARS OCT A V A
Corporahuc  (que ex vario planorum in plana ductu nata, reducit ac
corpora determinatam habentia altitudinem (s basim.
PROPOSITIO CXV.
Ncexlecene selchu, lemicirculi duoina quales L DF, ADB, commu-
nemhabences diamertalem P A C. FB, SC, ve demissa ex D, ad AB ROr.
malis D C. incidar in cenrrum circuli F. D F. Ponatur deinde DCi xqui-
distans F. B.
Dicocorposoum exculu ihLLagncorponMabenuibalim
IH ee Alcirudinem DC.
Semonstratio
rEaNeUE in AnIEX HITRL NMP
allelX ad E. B, D G; Ponaturque CN aequi
distans D C: quoniam FTP. bilecta est in K de non bilecta in I, quadrato TIR X
Quale cstcclats utum ALL. Ma cum quaarato LR. ICa LaM ICcuun Guo
Collisiturque FFK quadraro aquale est arectangulum igitur TK M, id eA BTK NY una cumre.
e dscctca
x35. crri. cangulo TK, NM, id C LCC LRA Cu Gual LL a GuanC CMHMaLI.
BulO LLLL. ina cum quadcaco LR: quare dempro communi quadraco la Manee
FITL rectane au aguase sectangulo lRN: limilicer ommia rectangula HIL
+b. nins Oltenduneur aequari rectangulis omnibus PK N. planum cisicur IIL auctum I I L
corpusproducit equale illi quod oritur ex LR ducto in R N, liuc in alcicudinem DC.
Duodtuir demonstrandum.
LaetOSEEIO BAVI
VEmicirculum ABC secet quavis BP. x quidistans diamerro AC: et
ex Bponatur BF normalis ad AC.
BICO:

## Folio 781 — 1815201908:0838
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000838.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
HII
n
106.
Dico
TN PE A NV HI.
e ee alcicudinem BF, unacum HP duco in le.
Dico PIditecan le corous prolele equale it esude valiabet
Demonstrario.
TTPML Palalscla dd AC: sectangulum
FTLEM aquAle cA quadracO P M SE re-
ctangulisMPHI, PMI hoc CAHPMEC-
etangulo bis lumpro. addico isitur com
mumiquadraco HIP, rectangulum H IPM
cum quadraco HIP aequale est quadracis
TTP, PM rna cum rectangulo TIP M bis
Cimpeo, led _quadracum HM id cA PY
aequale cA quadraris HIP, PM vna cum
rectangulo FIPM bis sumpeo quadraca, isieur FTMI hoc CA P Y aequaneur rectan. Ba. secun-
gulis LITPM, una cum quadraris IIP. quaxq HI M sive PF b ductum in(C, CCOF- di.
pusproterexquale illi quod oritur ex ductu HL IN PNE VHA CUM COTPOTE OREO ex CCollsirus
FTP ductoin lc.
Corollarium.
DRopoliciohxc omnisectioni connenie: illud camen obseruandum, ve in ellipK AC
linea scaxis: in parabola vero ex hyperbola, Ac A C vna ex illis qua ad AXCMOF-
dinacim ponuncur. verniformicas in omnibus lCrucEur.
KorOstEtCa
. 
DEmiccatur ex L. a LM agu
Aans BF. Ducancurque linex inAnice
dua HO. O Contemtentes in l, a BD gulaeim aequidiet Hl
diamerro: iunsanturq; contactus A e B.
leesecorporihabenei balim P. F. d alticudinem AC.
Parallem a LLL
Emicirculum AB C cuius diameteF AC, contingane in A ee B linex
Dicocorpus orrum ex ductu E. C in serna cum P. F ductoinse, xqua-
Secunat.
Deculiatur rectangulum DAC. Du-
Demonguratio.
cancurque linca quocuis F F C: TIF
cur pencto, aequales inter se crut: qua-
Fe da A F lineiS aqualeS SUINE F O, e
cur quadraris AB, eriam aequalla luC
quadraris F C. addiris igicue commu.
nibus quadracis LL CCMaFL IL
ona cum quadraris F F aequalia tunc quadratis RF, P G: se d R B HI rectangutis vna
cum quacraris FF, id cst ond cum rectangulis F F. HI I xqualia Cunr rectanoul2
OB concingences ex eodem cducun-
AF. Guactatts a GuaMa Gladraca L C
rectangula iBIUE FF EI quia aequan
d
Collieie
inserua Cl Si F. ducoat asualla lunc corpori habcl al e e  4b. Brius.
nem L.L hacit AC. uodclat demonheandum.
FiFP: rectansula  LL asa Guaa LL, L CF. Gtate L C ductum CColligirur
3532
os e ut e u es e e te ta e tet i es  te t ste e ti u  i6
1 3   . 1  i e . . ue e e  t . 1

## Folio 782 — 1815201908:0839
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000839.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
OVCEVS PLAHL
PR OLOSTFIO CX
782
ex F C ducto in OI.
DECeE AB recta non per centrum ducta, circulum F L actisque per A ee
LB normalibus DB, C A, PONaNEuT C D, II HI aequidistances AB: (IC
re corpus habensbalim P. C de allicudinem Os asuale (ir corpori orro
Dico FC ductum in FTI aequari E. F ducto in OFI.
Demonsratt.
DLatu LC ductum in
in GHI: item FC duct
TI Xqu
eet eit cleiet rete ate
min OT aquacur LC ducto in OH a Fe aucto in
TTI: est aurem per hypochesim P. C ductum in C FT aequale FC ducto in C Ld-
quaneur ergO P F in GFI, cun FC in GTI, ipsi FC in GTI, Ca CC I I1
ablacoisitur communi corpore orrb ex ductu F. Et in GFI, Plaltu .L adeu 
ADPOSTTIO CZIX
OH aquatur FC dudo in LLL. Ouoderac demonttran dum.
AIrculum L. BD, lecent rel contingant: aequales dux ex parallele F. B,
LsFD, quibusxqualicer in A e C productis, Ponatur AC normalis
ad AB, CD _ super A C arcus describatur circularis HHI ae qualis ar-
cui F. IE F: dinisis deinde bitariam A F, C F rectâ LI, parabola describa-
cur L. L: C durem corpus ex PI. in alcicudinem LC aequale corpori quod
sc ex ductu TK in INI.
Dico COrpUS ex duCtu IIE in L M aquari corpori quod sC ex CFL
InIL.
Demon.

## Folio 783 — 1815201908:0840
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000840.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
B. P
ion
Bli2
HI.
iB,
H
L A N V M
Demonstratio.
783
ex TTI duclo in TI. aequale est corpus ex RL In LL (CUm FTT, IK lincc, veexhy-
Pocheli deducie, a GaeS HHE) Fesgna isirur duo corpora nimirum ex ductu OFLin
TE ex ex ductu Lk i L M aequadid .
TL, _ TR in LM; isitur corpora duo ex C HL in IF, _ ex HI in IE; aequalia
sune duobus Corperibus orris ex ductu LR  TL, SC CX IK in LM. SCd corpOri
DEanum FC ductum in LE aequale ponituE TK plano ducto in TM: sed FC
plano ducto in TI aequantur corpora orta ex ductu GFT in II, _ ex HL in
TF: et TK plano ducto in TMI, duo xquancur corpora, nimirum ex ductu LK in
DOTrisii Idem arcubus cirtu C. C, AA, e paralletIS lineis DD.
BB, AEB, CFD: SECOrpuS ex A B in BHI xquale corpori ex ductu
DicoDC in BG duccum, proterre corpus aquale illi quod oritur
R OPOSTFTO CXX.
GB in alcicudinet BD; Sic auretm C G linca recta.
ex AB ILGFI. 11
Demonstratio.
DEanum AB in BEL eguale ponicur OB dutoM BD. ICl A B in BHI, ∞qu2.
cuE AB in B C, _ A B in C: FT. Similicer GB in BD, XquatuE C+D I BC
vel in BA (cum CB, B A aequales Inc lince) una cum G B in BC; igIEUE COF.
pora duo, ex DC in B G, _ ex C B in BC, Egaa  ribus, ex
AB in B C, _ AB in GFT: ablacis isitur xe qualibus ninsI _I A B aCS M BC
_ C B ducco in BC, remanebic DC in BC aequale AB  
CP sit C eSDCB C
e
cvii. d B R O.
11
Aet s p  t e a  s 1  t t  p 11

## Folio 784 — 1815201908:0841
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000841.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
YCTVS PLRKI
tAOPOSITIO CXZI.
784
Dolcis ipdem vefgura ostenu, c VD parabola, e BB, C C linex
recta, deinde B ductum in alcirudinem B C a quale sic AB ducto
In BF.
Dico magnicudinem orram ex ductu D A in B C alticudinem ae qua-
ri AB ductoin C F.
t
Demonottatioo
ALIa TUNE eX
 Pochel Corpo
ra Orta ex DB in BC
_ ex AB in BF: sed
DB duccum BC a
AL guaEuE D A in BC, 8
AB in BC; Similicer
AB duccum in BF. X-
Gulatur AB in BC, 8
AB in C R. IBICUFD A
In BC, vna cum AB in
laco isitut communi AB in
BC, aequalc est A)
BC. maneF D A in BC aacldinem. xquale AB CL.
PROPOSITIO CXXII
POE OrcO ex auCIaCC. IM VB.
Demonstratio.
irculum ABI2.
sgane parallela
F C, FC quaS SCCCHE
FL. lupponatur auc
CD ductumi
1DD
aequalc FD duuo
Dico eriam FB
DD.
lince C C, 
IHDF.
ductum in alcicudi-
REME D Equari COF.
Lacum CD duccum in DB, aequale est CF. ducto in DB; vna cum F D du-
ccom DB. Remplanum E. D duecum in D F aeguatu E D ducco in DB, vra
cum

## Folio 785 — 1815201908:0842
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000842.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
equa
C
D
BII.
cet
DD.
ie
DB
De.
pa
e L a H
num F,  alcto IM BF. aqualta aucem per hrpochelim lune corpora orra ex ductu
CD in DB, e ex FD ducto in E. D; ergo CL  DB, C LD M VB aqua-
CUE E D in DB, Cum L.D in BF: ablaco su communi corpore ex ductu F V
in DB, manec F B ductum in alcicudinem P. D x qualc C F ducto in D B. Ouod
exac demonstrandum.
eRDPOSITIO CXXIIL
ales ducantur perhciacurquerectangulum AA, B B; quod ductum in
criangulum BC, quanticarem extubeat aequalem illi quae oricur ex doctu
DB in BF.
Dico AD planum ductum in BC. proterre corpus aquale illi quod
exturgir ex ductu DB In CF.
TIrculum D E secer recta quanis BB: per cuius extremitaces, norm2-
Demonstrat.
Yversicies AB ducta in quALLILACCM B C, Equarur AD Cuperhciei ducx ir
ctum in planum BC aequale VD uco IM BR, crgO AD in BC, cunt V
aequacur DB in BC, cum DB in C H: ablaco igitur communi DB ducto in BC,
manet AD ductum in BC, xquale DB duaoin C F.
Trculo Binchpeum iitrectan-
ogulum CF; policaq; DD Paral-
lela laceri C. C, que e circulum con-
ringat in A, describAEUT ArCUS F F. X-
qualis arcui A A conringens rectam
C C. Ponatur aurem AC ductum in
C B aequari AD ductoin DB.
Dico corpus quod hc ex ductu
plani D A in alticudinem DF xqua-
si corpori quod proterrur ex ductu
AC in E. B.
BC vna cum D cacca i BC. tem DB planum auclum In BL. aquatur
DB ducto in BC, e DB ducto in C F; cs aurem per hypochesim, AB planum du-
EROPOSFEIO CXXIV
5898
Demon-
esoteie . et sp t tat t te    e te e ta tte tet te ta et et  e a eet a te t t s. t  t e stt 

## Folio 786 — 1815201908:0843
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000843.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
IA F. 1.
OVCTrS ELANI
Demonstratio.
ale eat ellbellae iec e Lela
se est D A ducto in DE, vua cum
D A ducto in FB, id est vna cum CF
in AC: icem AC ductum in CB, X.
quacur AC ductoin C P, Vna cum AC
ducto in P B: Xqualia aucem sunE pet
hypochesin corpus ex ductu AD in DB;
ec corpus ex ductu  C in CB; CrgO
DA in DF, _ CP in AC RGUanEuK
AC in CF, _ AC in B B; ablaco igi-
cur communi A C ducto in C F, manee
Da ductum in DF xquale A C ducto
Ncerlceent se recungue CHCO aequales ABC, BC D in B _ C.
Actaque per Btangence AB, iungantur BC, _ ex B ducatuF OB Or-
chosona ipsi BC, cui xquidistantes ponaneur quoruis NI N R: SE PCrH.
coridem NV, IHIvarallela concingenti AB.
Dicocorpus ex ductu HIN, NI sccundum lineas F NI parallelas ips
AB, aequale esse corpori ex ductu, NI secundum lineas parallelas ipsi
OB in alcicudinem OB.
eROPOSITIO CXXV.
Demonstratio.
rA LLL, LCL ANE L COHMHIME PONAIEMIHABCLC PENCI N, rectangulis
 aglaa acte ceclat ita RAC. IdCICR, ACa OB. CaIOB, RI
2Lib. de suea a aGuaesMME: igicux ELA ductum in ALa quatue R, AL aucto  au.
picuti nem OB.
PRBTOSIFI
DEcenE AB diamerrum circuli ABC in Y obligue DC, aCisque Per
Oldcuo tito tatelo aalaled Loldtellio LC dGlato
IF deim

## Folio 787 — 1815201908:0844
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000844.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
N PL A N V M
IF dein quoruis ducantur GC parallela ad AB, OcCurrentes L. F HIHCIS
in C: _ E. IF rectangulis xqualia hanc rectangula C IFI.
Dico corpus ex HIF plano in alcicudinem C l aesuari magnicudini
oreae ex ductu superticici 6 F. in IF.
Demonstralio.
Noniam ETF reclanoutis id est
Lrectangulis AIB aequalia AINE
rectangula GPTT CFUNE PUNCCA ATY
aad parabolam: vlcerius CT eA ad
P G7, VE TF adHTF, adeoque e
GF, ad GI, VEFHI ad IF: vnde
FTTOT recrangula aequalia suNE
reccangulis GFIF: ex cum alcicu-
do omnibus sic eadem exie b FI F du-
ccum in GT alcicudinem aequale
OF ducco in IF. Quod fuic de-
monstrandum.
PROPOSITIO CXXVII.
Tirculum ABC secet recta quaedam A G parallela diametro C D,
Acrectaque ex K contro orthogona K L P describatuEper C L. D el
liplis concingenscirculum in C e D, dein ex C dc D cangenres erisaneur
occurrenres linex AC illiulque parallelis in O _ R.
Dico corpus ex ductu OF in FR, eam habere rationem ad COrpuS ex
ductu OC in CR, quam habet L. I5 ad FHE.
Demonstratio.
Veca quavis X V aequidistantere.
CTX TK, que circulo occurrac in
C,  Cllipsi in F AGaNEuE per G _E F
Parallele diameero CD: erie igiene
RGO rectangulum xquale ReCTAN-
sulo R FO, vnde parallelopipedum
habens balim rectansulum RCO
ex CV alcicudinem ad parallelopipe.
dum habensbalim reccagulum R F O
ex alcicudinem FV est vE C V ad FV
hoc CstveTR ad LK cEimilicer oAté-
demus intinita parallelopipeda inscripea corpori nato ex muruo duceu planorum rur ex illi
t c0
OO, CR ese ad intinita parallelexipeda in scripea corpori geniro ex duetu mu- de ellipse
ae in lib.
CUO planOTUM O F, E R VE TR ad T R. croo, rei Facile deduci porest e dilcurtu 15. ostondi.
huius, magnicudo orca ex duetu O F in F R ad quancirarem ortam ex duceu O C
in C.R, eam habec proporcionem quam habec L. K ad YK. Duod exac demOn.
AErandUM.
3
a312. parab
e R O
9tategletess11s1191t61te71 et91301 311321931138

## Folio 788 — 1815201908:0845
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000845.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
VCTVS PL A NB
PROPOSTTTO CZZVIII.
TFARB parabole axis CD aequalis lateri recto ccMIOq; Dinteruallo
DDC circulus describatur cuius diametet LIL PaFeF ex FAL. parab. Par a-
bolam cadere coram inera circulum pertetacut ecangulum, lub bali AB
Duo lemicirculum TFI ductum in Cc, corpus producere aquale illi
Demonst.
d alcicudine DC.
quodorirur ex ductu HIH Paladolx in alcicudinem CD:
a _ C
a E _ E X
201. pa. J) VCateuK ad P H Vet C D PAFaILCIX inHNICX GTKFT. Libro de parabolaaoHten.
ailo 22l. LCCh es else proporcionales. igicur b ElR duetum iin lC
AbC ctbathem L C aequatur L duccointe.
PROEOSITIO CXZIZ.
IIdem policis:
 Dico lK planum duccum in alticudinem C. D vel in recrangulum
HIC, aequari Cl ducto in III.
Demonstratio.
DVoniam TTK, TF, GTF propOrtiOnALESSUnE, VE GHF ad THF, sic O F eAt ad FK:
CA5. huius. Lisicur C de C.I duerum in IH xquacur IK dueco in alcicudinem CD.
PROPOSITIO CXZZ.
VICFF parabole axis A A, par larerirecto; Cuper quo de seripro cireu-
nb. LlO DC, gu corus inera parabolam cader) ponacur L A oedinacirm.
9. parab. quae cxqualis exit axi A A. Complero igitur quadrato AG, iunge L D
duccisq recris intinicis, parallelis ad L. A, hac recrangula B AC, xe qualia
sectangulis C A IC. CxiF KLK par abola.
Dico F B duccum in B F ae quari DIE in C A ducto.
b
ctoeto
1124. B
Dentola

## Folio 789 — 1815201908:0846
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000846.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
1
in
e
Demonstratio.
actaca F A hoc  sCC
diS F BF vna cum quacati
rectangula xqualia u Guacacts
AL. xqualta eteUr lunC G+ AD rC.
etangula, rectansulis LL. Va C
rectangulis B AC. rectangusis au-
cem G AD aequalia lunc rectan-
suta CrAR, CADR; rectangula
iBICUE C AR, C AD R aequalia lune
ductum in BFb et equale DL ducoi a 
LF A F a aqualia sunc rectansu
BA
id estrectangulis B A C. irem G A L
rectangulis FBF, B AC: ablatis igitur xqualibus ex hypothehrectangulis B AC
GAK manec rectangulum F B I aequale rectangulo DR C A. erxo planum F B
eROPOSITIO CZXXI.
b 46. hiunius.
Tameeri dux A C, BD Pemicirculi A B C ad angulos insistant rectOSi
Dico F F. planum ductum in planum F. C, corpus proterre xquale illi
quodbalim haber criansulum AB D _ alcicudinem BD.
NE RLMLCHE. PaTaIC-
IX ad A C, aGAHEUT PEF B dC A
contingences qua convenianein
O; Pohrisque NFI Parallelis
AC, tiane proporcionales NTI
FI, C I, icem NB, F I, R T: CruHE
CARB, DL B parabOIX. SCCC-
cur deinde BD bitariam in 9
Ponaturque OP xequidictans AC, occurrens parabolis in R Y, Semicirculis aurem
in S e V, ducacurque recta AB, quae circulo F F, _E FCCtX MM occurrit in
eodem puncto S, ve Facile demonstrabicur quoniam AKB patabola CR, 1 pFOpOF- d67. Pa
cionales sunclinex PO. F S, P Y: eAt aurem PO in S bilocta, recta isitur PS in Y
3c
quoq: bilecta elti _ S L dimidia est iphuSS P, hoC estS O. quia vero P C, SO, R 9, 299. pa.
proporrionales Tunt, _ 59 dimidia P O: recta quoque R O dimidia eAt S 9, FX - rab.
qualesigirursuneT S, R O quoniam aurem L I cAt ad RO, ve DIB rectangulum
ad rectangulum D OB id cA AMT B ad AS B rectangulum, _ VE AN B rectanou-
lum ad rectangulum ASB ECFM K linca ad lineam Y S, crieve F I ad R G. SICMR C47 parabu
ad FS, id est R 9. Xequaeles ioicur (unclinCx LI, RM, vicerius cum F C in Idiui-
(a Ecbitariam ex non bitariam in F quadraca F Pequalia sunc recrangulis F R G, Vna
cum quadraris FI, id est (quia NT, F I, P I Cunc conrinuxe) una cum N I rectangulis
id Cst (quia F I, RMIxquantur) rectansulis NTKM. Scd F L quadrara quoque xqua
lia Cunc rectangulis NFK, (quod NI, FI, RI. sinc proporcionalis) rectangula igieur
NTIK Equalia sumr rectangulis F F G, _ NIKM. rectangula aurem NIK aequalia
quoque sunc rectangnlis NTMs NTTMK, igitHE NTMT, NIMR ceccangula equa-
lia sunc reccangulis N IMR, F P C. dempeo ergo communi NIMT K, reldua N IM,
FFC recransula aqualia sonc: planum igicur F P duetum in B Ct XQUaEUTML
criangulo, ducco in. quadratum N Lidest in alcicudinem BD.
htrhh
Diunctaque AB, describatur super B D ve diamerro circulus B F. D.
Demonstratio.
Veancur saelcunque lu
 i  . te  es i t ue u t e t  e s ta t e  e   ete  ti et    e t  t t e   e   elt

## Folio 790 — 1815201908:0847
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000847.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
3
DVCTVS PL A NL
PROPOSITIO CXZXII
tiant aurem proportionales F. D, BD, OD ee per AOC puncta parabo.
la deleribarur habens axem OD.
H H HI X H H XE X
Dico L. K letelrculum du-
IVper ABC semicirculi diamerro AC, descriprum sic rectangulum
quodcunque AC matoren savens semcirculo alcirudinem LD.
ctum insc, xequale proterre cor-
45. tob.
Dus, illi Guou eitur ex L l para
Beracula in alcicudinem F. Id.
Demonistratio.
VCanCL MMMILE AIR L L parallele
ad D F. Duoniam F. C, BD.
orcionales, et AOC Parabola cl
proporcionales quoque cruncHtL, KL.
lL: lemicirculusigirur a L. K ducus
(Cs XqUREUE P. P parabola ducta in aMudinem F. D vel L. II.
IIdem POnts:
L
Dico pracu SIL auccum in RL corpus producere aquale ilti
quodoricur ex IK ducto in alcicudinem DF. vel L. FI.
PROPOSLTIO CXXXIII
eenstt abibo
Gulaisitur KTP. HI xquancur LCCaBAS LIRKL. quare b HI K ductum in X L
aequatur IK ducto in alcicudinem F. D vel F. FI.
Bystuim. DRopOcTiONales tunE LIB L K, L. I. IBICUEVE L H NAXL, SiC HK aAX L: rectan-
PROPOSIFIO CXZRIV
VEmicirculi A B D diameMt AV, BF ad angulos intistant tectos: de-
aScripeoG; Super AD Dal scelatigulo minorem habenre alcicudinem
quam sic BF, hanc ploporrionales F C, FB; FN: _ sper A, F, D puncra
uu eatut Aabens axeri P F..)
Meo temtencutu daecum
udacmersicea L.K parabola du
Demonstratio.
in Cc, aquale corpus proterre ille
eraim alilcallinem lK.
euncur munica RIH L paranela
occiduates lunera t.C parabo
adt F F. quoniam F H, FiB, FN
CA. rectEquOque RE, RII, K L pEOPO
cionales lunc. quare c TIR lemicireulu
ductus MAGUREUE L. K Parabola du
an o udtuom L. K.
PR C

## Folio 791 — 1815201908:0848
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000848.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
EN P L A N V N.
t  d d
IIdem poliris.
 Dicoplanum L. HI ductum in alcicudinem TK xequalet proterre
molem illi qua exlurgie ex HII ducco in ITK.
1113CS, 2
Demonstratio.
1st
rehiam proporcionalos sunE P, KL, FTK, TR, rCCTA L II est ad HIINLRAdHR,
LiaCHHIK alLR. Duare rectagula L. HI, IK aequantur rectangulis HIP FI R. qua-
TC A F H ductum in alticudinem L K, corpus prodicirae quale illi quo d oricur, ex du- 2 46. huius;
An FIL in FIXE. 1. 9V1
1..
P R O P OSITIO CZZXVI
Vacttarai circuli AC FI inscripea sic parabola AD H habens axicem
A: iunetaque AHE, ponacur concingens parabolam in A in qua
lumpro quonis puncto B dueatur BCD F F 1.
Dico B C planum duccum in B Laquari B D plano ducco in alcicudi-
nem BF. 1
del Demonstratio
caitst
Veancur more solico quocuis BCDFF F
parallelx ad AC b quadracis BF xequalia
sunc rectangula DBF, sed e F B quadraris
ad est veiam sapius octentum est quadracis AB,
aequalia lunc rectangula C BE: rectangulaigi-
cur C BI aequalia lune rectangulis DBF; &
BC. ductum in BI aequatur D B ducto in al
cicudinem BF. 111  2c12
ejeric
B67. Parab
t elac
o  u in DF aequam
CD plano ducto in DI.
PROPOSITIO CXXX
IIdem poscis:
Demonstratio.
Ectangula BFD XquaHA IUHEquadratis C F: quadIAEZ verO FC d aequalia c20+ pa
sunt rectanoulis C Dlina cum quadratis DF; ceccanoula ioicur BF D id cl
BDF rectangula vna cum Guadracis LO aequalia lune rectangulis CDI una cum
quadratis FP: ablacisisicur communibus quadrars DF, rectangula CD I aqua-
lia sunc rectangulis BDF. quare ex D B planum ductum c in D F aequatur C D du- c 46. huius.
eto in DI. Duod erat demonstrandum.
PROPOSITIO LAKAVIII
15. secundi.
Deducraque ex C cero normalirer G F qux CD linex occurrar in
N e perimerro circuli M; hanc proporrionales GHI, GP, GF: _E per
CFD puncea Darabord delcribatur C IE F. D: ducris deinde HT F. lineisin-
siniris ad P N paraltens tanc hisaquales FI, F. I.
EThhhR 2
Emicirculum (CCeE FCCFA g.I2dam CD aequidictans diamerro AB.
Dico
 o ite stat uet et ste te et tet tee set ut a etistet t e  se  t t te  e se e s    t t   t ste t     e     p tilit.

## Folio 792 — 1815201908:0849
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000849.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
CTYS PL A NL
Dico planum R I ductum in alcirudi-
L. LLxquari F. LI plano in se ducto.
a Demonstratio.
DROnUDANEUE FI P. L paraIICLA In K, L, NI, quo.
niam ON, GP, GL proporeionales sune et
C F B Bacabola, rectae a L FI, L F, L K proporrio
nales lunc: quia vero TIF lincis aequales sane
LI recta Quoquebr. FB FIR. IK proportionales
c
quarecKY ductum in alcicudinem L. HI
corpus proterr xquale illi quod oritur ex dudu
alc.
tROPOSITIO CKXZIX
B axis parabola AF F, aqualis la-
Dceri recto; policaque ad illum ordina-
_nea F. B; luper AB ve diameero
circulus describatur AC B qui ecoruIS
cadecinera parabolam, circulum hunc
contingane linca C. C aequidictans AB,
de AG, C D. 1
DicoC L. planu ductum in G L, Equa-
ri FC plano ducto in alcicudinem AB.
Demonstratio.
Veantur ad A B paraHIelX inANIEX CiFTT. EI, iungaeur item AF. Ouoniam
AB aeguarur larerirecto, linex F B, B AC aequales sunc ec D B quadracum,
quia vero CC concingic semicirculum super AB lacere quadeari descripeim, ex ele-
mencis pacer illam a diameero quadrari A F. bilccari: adeoque rectam A V. cransire
per C punctum contactus. ex quia AC, C C continsences aquales lune, xquales
quoque obrriangulorum similicndinem crune AC, CFK: vnde AC quadcaris id cst
quadraris CK aequalia lune rectangula TCT. Sed _ CR quadracis aequalia quoque
567. parab. TunC, Frectangula FCFI: rectangula isieur F C+ FI xequalia lune rectangulis IG F.
3+6. huins. Planum igicur F. C S ductum in alcicudinem AB vel C FL equale corpus producier
illi quod emersicex YC ducto in 6L.
PROPOSITIO CXL.
VIcrurtum parabolae F. F axis A C aequalis laceri recto de super AC.
Ddiamerro delcripro circulo, contingaceum AI.
Dicoplanum F. P. ductum in P. HI gignere xquale es lindrice quadran.
ii, cuius balio BF, et alcirudo AC.
AEXCON
cersa 3
C0r
46.
2 1264a3
3. Parab
Demon.

## Folio 793 — 1815201908:0850
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000850.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
LAL L ANV H.
E ausigi stenaus
Demonscratto.
Voniam A F G paxabOIS axis AC
lacerirectoequalis est, linex Li P
a aquales (unE AB, per hypochelim
vero BC lineis Xquales sunEF BFP,
rectangulis ABC 1a cl b AC, BF
rectansulis ergo c Planum, FP du
ecum in planum L. II. aequacur qua-
dranci B L ducco in alcicudinem AC
hioc est quadranci cxlindrico, cuius
Dasis B F, alcicudo AC. Ouod CFAE
demontr.
rectangula iicur FR. FT aequalia sunE
+LOTOStLtO CXLI.
1268a
b
lib. de
ton
SCD E F ductum in FIIxquari, parri cylindrice qux bali constae
IIdem posiris:
BI, _ alcCC AC.
Demonstratio.
 LccanSua Li F TI aqua li LLMMELCCLAHSNS HI F L. V CUM quadratIS F F: SCd
LLF F E rectangulis cciam xequalia octensa sUNE recrangUIA AC BF recrandula
igicur AC BF. xequalia sunc receangulis FF F P vna cum quadraris F P. Rurtum
recrangula AC BEi aequalia une reccangulis ACBI, ACIF, id est rectangulis
AC BIrnacu rectangulis AC TF, id est F A C, id cst quadraris A F, id ost quadraris
F F aequalia igituE suNE HIF F. reccangula vna cu quadraris F P. recrangulis A CBI
via cum quadraris F F: quare dempeis communibus quadracis E R, cecranoula PTFi Fi
aequalia lunc rectangulis AC, BI. Vnde planum FTI duccum in F F Corpus pro-
dueic aquale plano B Y ducco in planum F R, Hroc est plano Bt, duceo in alcicu-
dinem A C hoc est porrioni cxlindrice cuius basis B L alcicudo AC. Ouod erar de-
monstrandum.
POSITTO CZLI
Vper AC quadrati lacere vnoAD, deseri.
inera d parabolas cadet.
quari corpori quod oritur ex ductu F L in alti
cudinem AV.
ptus sc Semicirculus AP D: descripex quoq.
Sine parabole similes _ aquales AEC, DFB
habentes apices in A e D, e communem axem
AD aequalem laceri recto, corusigitur circulus
Dicocorpas oicum ex ductu IIFIM 6L, 2
Demonstratio.
( (CE EF CX CF C C
Ao26. pa
Veantur intinire OF F. TFT parallele ad AB X iunBC A T, C L FCCEX A T Xequales
TUnCTTE, _ DIrecTA aquales sunE FIF: est aucem AD lince aequalis FIC cum
AC quadracum AE, IBIEUEVE D A ad AI, CC C FI ad FIF: sCd vE AD ad A T, siC
DP Cs ad LFI, isitUT CHL ad P. FI, AC D Lad THI, id eAt F FI adTFT; _L BEF COnUEE. CPac Cd
LLalMa3
AOC 6. senti.
    e   e   e iat e e e  e t      et  it     a    i    a   s   A

## Folio 794 — 1815201908:0851
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000851.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
794
LHCF. _Gua. Gat Pa L i Ce aGua L+ Plano aleto i dd.
cirudinem HIC hoc eA AD. Ouod erac demonstrandum.
PROPOSILLO+ C +L
alica, Comane ade acetelle aguartu porcasion
ordinacim, luperaxe Ci fLve diametro circulus delebaut. L, gul lo-
cus cader incra parabolas vepatee cx 126. parabolx.
Dico AB parabolam ductam in varabolam B C. Xqualem este semicy-
lindro cuiusbalis sericirculus FB es alricudo CHnilu nunbeu
. R ctmE .M e ei
DVCEYS PLANI
vertionem rationis EC est ad BF VE FTF ad TE, rectangula igitur FFOH
ABEanE AB, B C parabo lX aequales re similes ee sicu Tub alcernio po-
emonstralio.
AEXCoN-
ver sa 300.
prab.
669. 2
sireulis
Omplerectaneulum BK, BL Auque insinritis AEBDCK, iunec pun:
1ell. 115. 5 1C
ata GF, TIF; IID. Duoniam CHI axis parabolarum aqualium AB.
BC, laceri recto xqualis est, lineis OF a xquales sunc AB, e lincis ITD, id
eAt lineis ITF aequales BC. rectangula igieur AB C aequalia sune rectangulis
SFHI id Cs b GFI, FB. ICa Teclangara CILFB aGuaM TectanSIS LLR
cum enim EFC axis parabolarum se requalis laceri recto, IIB est xqualiS ipA CR.
igitur AB ductain B C. parabolam, producicorpus, xequalcilli quodhe ex ductu
plani FB in planum BK, hoc eAt lemicylindro cuius basis est semicirculus FB al.
cirudo CK, hoc eA C. FI. Quoderac demonstrandum.
le sc aato aecaltua dc um patabolarum lubalterne poluca-
rum, lateriluo recto aequalis: delcriproque luper AC ve diametro,
circulo L. AK, qui rorus inera parabolas cader, ponantur ex A e D, ordi-
narim ad AD axem linCX A F, DC.
Dicogualuaecolat L.B alctamnlc, Corpus ploaucere aqualc.
cubo cuiusbalis est quadrarum lineae AD, una cum cylindro cuius balIs
est circulus L. AK, e alrirudo AD.
hoc eKtrectis BK. ergo rectangula AB C aequantur rectangulis F BR. parabola
mon-
PROPOSTTTO CXLIN.

## Folio 795 — 1815201908:0852
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000852.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
1BH
li1
etto
Ordi.
que
11
Demonraio.
TN L
att udcclo MlaaDaeLe
IB, ParanesE AF: quibus liB
AC lunete Decurranein EL a isua
ctata BL. Equalia lunc; CB, Ct
id esta quadracis eKS DF. livc
AK, K D, id b est quadeato AD, id
estc quadraco DC, id ct EGu-
dracisvna cum dreccatisus B
bis lunpets. SsCut L. B HdCt 11X
Cc, aquale cu HIL ducto in sc, id clt
cubo, cuius balis est GuacaCuM
lindeo chabencibalim circulum L. AK ec alcirudinem AD. Ouod cras demon- erprici
Acandum.
R OPOSILIO DXLV.
denii
DC, id cst A D quadeacum ec BG plano ducto bis in GF planum, id est cy: c Collisirus
VIrculo ABC inscripeum AC rectangulum A B C D pONaEuF aurem
Lscirculidiameter FHque AD, BC latera rectanguliin scripe ad ari-
sulos sccet rectos; hargi ve tI6, ad C L ita 6 F. ad GF: _ per AL D pun-
Cta parabola delcribatur R K cuius axis (IC F. G3
Dico corpus habens balim KEM et alticudinem C l aequari corpori or-
eo exductu L M in MN.
Demonstrat.
NRNICA MUCAMEML MIHCA R LMONP2-
lrallelae ad F FI. Ouoniam ITC, CL
linex per hypochesim proporcionales
sunc rectis F C, OF, rectangulum F OII
aequale eA rectagulo F C: I: et quia AF D
parabola eHt, rectansula quoque KNO
Exequalia sunc rectangulis L M N, CorpuS
Bisicur habens balim K M ex alcicudine
MO vel CF aequale est L MI plano du-
eto in MN. Duod crat demonstrandum.
+ERCI
646. huine
RO POSILIO CXLVI.
Ildem pents.
LDicoplatium ex L. ductum in alcicudinem lC aequari, LaM plario
ductointe.
Demonsoratio.
Voniam exhytoches est ve H G dd TO SC FF ad F C; dividendo est ve HF
Lid cs F C ad GT; SC F F ad F 9, proportionales isieuE sunC R F, E C+, G I: _L HFKCoI
rabola
ductum in MLO sive C L AquaEUF L M ducco in Sc. Oyod eras demonstrandums  a5. huino.
quia AF D ParabOla eA, prOPOttionAleS h quOqUe SUnE RL, LMI, HI O. quarCI R F uorsa 310
   te  1es   s sta te  e  et 1t e t 1 t t e e    ta 1 1 ) s 

## Folio 796 — 1815201908:0853
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000853.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
796
V C FYS BL A HL
PR OPOSITIO CZLVII
parallela ponatur diamerrus DP, lancaeque A C. quaenis TK aequidi
Aer, occurrens D Mmex in HI: hanicque CII, C F linea proportiona-
x
les lincis CD, C L: deindeper AI. P puncta parabola M M describacur
Dico NO superticiem ductam
in planum PX, corpus proterre
aequale illi quod oricur ex ductu
MN in alcicudinem OP.
Demonstratio.
TCANEUF quoECUnque reCtRMNO
PZ, Parallela ad L. F. ve CTI ac
GF, AcDC cst ad G L per hypoche-
Em diurdendoigicur vrCFPadHIF, AIC
GD eAt ad DL. ergo LDOHI rC-
ctansulum equalerectagulo DGH Fs
gulis NOt A. Pla si et adctum b ini OP vel in alcirudinem C LI X.
1. (111I
et1 1
PR OPOSTTTO CXLMIII
Nirculo E DCinccripcum sr rectangulum DTK L pohtaq F. C dia-
LAmCrrO qua DI, LK lacera ad angulos secetrectOS, POnaEUFPer C
COnCInGenS C A, OCCUTreNS DL, TK lineisin A e B: deinde per IF. D
puncta parabola delcribatur D N F. L habENSAXCM F C.
Dico POsuperticiem ductam inplanum OR corpus proterre ae qua-
Deilli quod oricur ex M N ducto m alcieudinem FC.
Demonstratio.
VCANEHE vE PriuS quOTCUngne ReCtX M. N
OPOR parallela 2d F C. VE FF CR
ad NTO, SCCD F T rectangulum est ad rectanou-
um DOI; Scd vE F F ad NO, SC F F C rectan
gulum quoque ad rectangulum NOR, veigicue
DFI rectangulum ad rectangulum DOI, Sc
P FC reccansulum est adrcctangulum NOR:
ex PermUTandO VE P FC ad D FiI recrangulum
screcrangulum NOR ad DOF rectangulum.
aequantur aurem recrangula R F C, D F I, Fecran
SulaisITHE NVOR, D OIquoque x qualia CunE, de
quia. DOI reccanonlisd aequalia lune reccangula
MOO recrangula MO Q. NO R aequalia sune.
quare MD estad Na, VE GR ad OG: ec COn
CAs. huius. FC, cE quale est plano M O, id est PQ ducro in planum CR. Quod erac demon.
Arandum.
Irculum AB C dux seceneae quidistances et requales A B, F. C; quibus
cuius axis (IELC.
colliciur quia veto AL E parabOta EA, rECtan BliIa a GUIOqUC M NOP aequalia sunc rectan.
is.tmine. quale ost plario NYO dct0 in P. A. 11715.
vercendo OM est ad NTM ve O R ad O R: recrangula igitur M NO R equalia
sune receanoulis MO O R. ergo MN planum ducrum in alcicudinem RO GuC
d LX C
10bldpto.
ek0.

## Folio 797 — 1815201908:0854
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000854.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
LN P LAN Y H.
PROPOSTTIO EREIZ.
sceri parallela vna IFF, AanE PFOPOKNaleSIF, P F
puncta CC A describatur parabola, Cuius aAWsHCOLL.
Dico FI planum ductum in le corpus poua uoo.
exductu OF in alcicudinem F. I.
Veantur more Colico lince quoc-
VIX CF, P B, P L, ex hypochesi lune
in concinua, eltque GC Parabola
criam a reliqua SIMneS GF, FF
FL crune in concinua. Compo-
nendo igitur ve GF. lunc ad LF,
SC TIE lunE ad IF: e alcernando
VE GF ad F FI, SIC FF ad F I: ec
componendo re GFI ad FFI, hoc
CA FI, SC FL ad F L; quadeara 10i-
TUE FI aquancur reccangulis G FI,
F I. ErsOSplanum FI duccum in se equacur plano C HF dueco in planum P. F, hoc B a5. huias
est in alcicudinem P. I. Ouod crac demonstrandum.
PROPOSITIO CL
Nrculo AB C inscripeum sicrectangulum A C auctaq; B C LaFCKI P2-
rallelâ HIFD, hanc proporcionales FIF, F D, OC _ FectX F C XG
lis AaE FI. Tum per puncta BC A, B I A delcribantur parabolx, quarum
axes sinc FC, F. I. Demum rectangulo AC, adiiciacur indirectum a qua-
lerectangulum AN.
Dico M Kplanum ductum in alcicudinem FIF aqualem exhiberemo-
lem illique producieur ex ductu NP in PL.
Demonstratio:
Virculo AB C inscripcum sic rectangulum ABC D: ductaqe A B 13-
Demonstratio.
cunguC OFV IFI, _ quoniam
C. Delhdepet
EX 3I.
Veancur infiniex lince NOPORL M parallele ad BC. OIOO. KR
sunc parabole, ec HIF, FD, D C TunECprOPOrEIONAIES, CEIAH L , L, (ACHM L)
eOproporrionales erunt. isitur componendore OOad PO. lcMd L.te
quia parabole OO, K K Similes sunE _ aqualeS, FCCFG L  ALCES OO. CF-
111
C
4c
SOVEK93dP8. C M G ad      ende
 e  i.    s t  . t 1 i   te e e 1o  a  s  . . .   1t

## Folio 798 — 1815201908:0855
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000855.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
798
DVCEYS PL ANI
hoc est ex hypothetiH O. Erso inverrendo HO ad RO, vENO ad PO, et
46. huins. COnVCrendO VE M O hoC CA L. P ad MIK sic N O hoc eit O L ad N P. Igicur
rectan guta MIK, OP aequancur rectangulis L P, PM; ergO ~ planUM MK, ductum
in planum L. O hoc est in alcicudinem HIF, aequacur plano NP ducto in planum
PL. Ouoderat demonstrandum.
PRO1031F1O CLI.
nirculus ABC idem habcatCenra cam LeclanouIO DFL, a la-
scera quidem DE. F. C circulum concinsAnEin A e B: RAHEPFOPOT.
tionales DE, D A, D FI; act aq per centrum rect a OS parallela ad DL, et
occurrence circulo in P X C, hac ve 95 ad OC, ica OP ad OR: tum
per H, R puncta parabola describatur L. L. L. habens axem R S.
Dico corpus habens balim L. IE _ alcicudinem FC a quari corpori or-
Eo ex ductu plani MV in OH.
Demons.
DVCANEHTIMMHITA R LMOH ParAIICIE Aa DL, B C. PONTA CONIETHCHIOHCH)-
Pocheseos, lingula KN. lunc ad lingulas KO, ve RM lingulx ad linsulaskL
vefacile deducitur ex iis quae in lib. de parabol. demonstraui. ac proinde rectangula
b4b. . LV R L ae quancur rectangulis OKM. ergob K L. ductum in alciruditem R N id eAt
EC aequarur KM ductoin RO. Suodera demonderaa.
PROPOSIILO BI
TEdem pots.
Dicoma auue, Corpus prerene auateut Guod Oritur ex
ductu L.M in alcicudinem DF.
Demontratio.
Q EctanGUIA LRN, MIKO pracldMPOPCI CNUS E a GaaS
EUEDE MR ad LR, SiC N R ad K O e connertendo MI ad NIL, VE NK ad
NO rectanoula o RMNOTaCIGMadraTa M R, aquala LaCCaSS LM
c 45. huius. R BI. Crg0 L. M dudum in adcirudinem c R NY id est D P xouale eMt M K ducto in le.
DR O.

## Folio 799 — 1815201908:0856
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000856.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
N PL A N V H.
ROPOSITIO CLIIL
AbcancaB, occatioa, aguales lcicllathes: Ceneris aucemre
Letangulorum, cn delestbaur CO. Hl: ductilque parallelis
recrangula aqualla rectanouus HLL, patet ex us qua in parabola de-
monstraui punccatam E quam K esse ad parabolam. 
Dico AC. duccum in se ad F. HL duccum in scillam obcinere propotrio.
nem quae est incer superticies F C, KHI.
AF. DB Aancque C AD rectongulis equalia rectangula B AF, _C G FK
demonstratio.
VVonaM FCctanSuIA B A L, Xquaneur rectangulis D AC, CrUNE AC ad AB; ve
DB. Chocett, quod recta AC, OB lincxequales, quadrata AC aequancur rectan-
sulis F, C; AB. C orpusigicur ex ductum plani A C in sciptum aequacur corporinaco
ex F C ducto in alcicudinem AB. Similicer oltendam FH ductum in le xequari R FI
ducto in alcicudinem F C. ergo AC ductum in (c cstad FII ductum in (C, ve FC
ductum in AB ad R FT; ductum in F C; hoc est quontam alcicudines ex hypochele
lune xquales, rebales EC, F. C, R FL, KFI. Quod erac demonstrandum.
A B ad AD: _ COnverSM A C 2d F C; VE AB adD B, rectangula ergo AC,
daorooicio et.
C, contingens parallelastu L c, hon tabens teen cenc
cum rectangulo: L hanc proporrionales lK, IN, e IM, IL. Dcinde fiane
concinux AB, AC, AO, ex per O ee L, deleripra tir parabola haberis
axem LH.
Scorecrangulum AB C alcera parte longius cui inseripeus (ccirculys
1112
Dico
 e at   t se tete ate tet e te tet s tet ete   t et est et   e  ue e i e   i e t e te   e te tet e e ete t s  s te e  i  t e et e t e t   .  . 1

## Folio 800 — 1815201908:0857
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000857.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
VCFVS PLANI
Dico Corpus ex duccu superticierum RF, LIS inter (e emergens equt
le cseilli mashacudini quam producir balis O F dueta in alcicudinem LHs
Demonstratio.
600
Ocuimus lib. C
nia rectangula ORS. aequalii line rectangulis LR Il igicur lune proporciona
leslince R O. R F cum lineis R FI _ R S. quare dividendo veR O cstad OF. lca
est quoqne R HT recta ad lineam FIS acproinde componendo cam habet rationem
R S ad FTS, quam habeF R F ad F O, igitur rectangula RS, O F aequalia sunEre.
ctangulis R F, FTS. Ouare erit corpus constans alcirudine quae sc xqualis rectxe IR
sInC R S, _ BaS OF superticie, aequale illi magnieudini qua profertur ex mulcipli-
catione figurarum seu superticierum RF dt HIS incer (c. quod oporruit demon:
Rrare.
t t idi
SeoB F recrangulum e circulus delcriprus AC, transcat per extrema
Llaceris F P: hane autem A B C rectangulis equalia rectangula F. BD.
Dico AB duccum in F. C corpus proterre x quale parti cy lindrics, quae
bali constat, AD d alticudine BF.
Demonstratio.
Veancur linex infinire B ADF. C
parallela laceribus rectanguli
quoniam AB C rectangula aqualia
Ponuntur recrangulis E BD, VE AB
ad BD; AC FB ad BC: e diui-
dendo De B A ad AD, SiC BF ad
B C, aequantur ergo rectanoula B A,
FC, rectangulis AD, B F isitur AB
ducrum in F C corpuS producie x
quale a illi quod oritur ex AD basi
ducta in alcicudinem BF.
abola polta parabola veihoc locoen comua quo
PROPOSITIO CLVI
Ttrum ABCD reccanoulum de perextremxe lateris AB circulus
descriprustran (eat occurrens C. A, D B lineis in F. d F: fanE autem
HC L rectansulisae qualia recransula ICK.
C
2A8. bnius.
(.    e t e e  i tt  e    e et  a e  t    e e    te et   tt  e   e  ti   e te t  e  at   te e 
Dico

## Folio 801 — 1815201908:0858
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000858.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
calis
NECI
Dieo
E PL A N V MI.
Dicoplanum HI ductum in C. L, corpus producere aequale illi quod
OrIEUT ex L. H bali ducta in alticudinem C I.
Demonsratio.
rectangulis aequalia ponuneur rectan-
outa TCK; ve G FI ad GL, SC CFK
cst ad CT. e converrendo ve TII ad
GL. AC KL. 2d L. C rectangula 1gi
CUE FIICL, aequalia lunc rectangulis
T K CT: Quare I. R ductum in alcieu-
dinem CT corpus producit a aquale
illiquod emersic ex HI ducto in C. L.
Duoderat demonstrandum.
Veacur quornis numero G HTKF
DatAHICIX adC F. Ouoniam LTVTL
PRBPOSITIO
Tirculum ABC, contingant in B, A, D p_eIslinex BC, ACFL, DII,
iu
FD, lD proporrionales dem per  pulccum concactus ducatur IAC
aquidiTanS P. K, OcCCHS CMCHIO ABC in C, e per R, C, L. punCEa,
parabola delcribatur L CR.
Dico OM planum duccum in MP, aequalem illi proferre magnieu-
dinem, qux oritur ex M 9 plano ducco in alcicudinem NIN.
Ad CB, ITD quidem aequidistenc e ACHI ad caldem lic normalis:
rectae vero AG HI parallela PONAEUE F F, RanEque F G, EB, FR, SCFFI,
Demonstratio.
Veancur linex infinica MN O P O parallelx ad P R. Ouoniam E C, F. B, L K,
Ec. proporrionaleslune, _ K CI parabola est _ BOD circulus rectangula
NTM Oxequalia sunt OMP veFacile deducitur ex iis quae in lib. de parabola demon-
Atrauiplanum ixicur M C ductum bin altau  N xquale eAt M O IplanO du- B 46 lvino.
eto in planum MP. ubaClac demonstrandum.
AI_CM DOLItiS:
OeOsITTO C
ex basiPO ducta audinem MN.
Dico HO ductum in M Corpus Proterre aequase uI Guoa OrIcus
Litt3
Demon-
A e e e   e  te  t. ute t e te a i e   e  e e  i   e           u  ut   e e   1     at     rn l

## Folio 802 — 1815201908:0859
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000859.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
2
DYCTVS PLANL
Demonstratio.
MP, XqUaEUE P C ba AuE C M LV. Quod erac demonaran dUM.
Voniam N MO rectangulaaqualla sunc rectangulis ONLP, VE MN ad MO
LAC MP ad MO, d diuidendo ve MN ad NO, sic MP ad PQ: rectangu
laixICuE MN P Q, aequalia sunc rectangulIs NO PM, _ NO planum ductum in
PROPOSITIO CLIX.
irculum ABC COICS AE HI A, B, C PaNCtis lInCX ETeS AD, DF
SE C; _ AD, C E quidem aequidictances (INC, D E vero ad illas nor-
malis, ponatur aurem d P. D linex aeguidistans FC3 Faciens DFG F re.
ctangulum hancque proporrionales FD, AD, FID; ICEM E. B, L C, F. H:
_ pec HI, B, IE puncta, parabola describatur.
Dico L. M planum ductum in DIL, corpus proferre aequale illi quod
exlurgit ex NO plano ducto in alcirudinemr L. I:
monst
VCantUE quOLIS AAMeTO RECtX LONTMF parallele ad DF. Ouoniam FD,
AD. ETDDrOPOrrionAleSSUnE, ec HTOBR parabOla _ AN B C circuluS, re-
Etangula OLI aequalia uncrectangulis N F. M ve ex libro de parabola Facile colli-
SicuF quarCVE LO ad L N, GC LM ad LI, _ convercendo ve L N ad OH, EC
ET ad TNT, rectangula igicur E NFN I aequalia sunc rectangulis ON L L. er∞OON
A6. huins. Balis dueta in . alcicudinem L. L aequalem illi producie magnicudinem que exlurgie
ex ductu C N plani in planuem MI. Ouod crac demonstrandum.
Propolicio quoque rera cAE F C linca ip(i D P. xquidistans circulum concins aes
_ prortus eadem demonstrario eAt.
PROPOSITIO CLZ.
TEmicirculo AB C circum lerivcum hC re Ctanoulum ADE C RDF.
quidem semicirculum conringar in B: hanrque proportionales F. D,
F D, BD, LD: X per L. d A parabola deseribaturhabens verricem in A.
Dico F.K planum duccum in alcicudinem FC aquari FHI ducto
in 11C.
Demona

## Folio 803 — 1815201908:0860
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000860.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
DE
D.
10
Demonstratio.
IN PL AN V H.
Veancur infinica LRLLFC P2
e ad AC: Duoniam F D,
BD, LD proporrionales lunE, d
AKL Parabola, a rectangula R FC
aqualia Cune rectangulis FTFI id est
L2203 e pacab. olcenaiipla-
ellllie teelltet lll ia allell
hem LC, corpus producieaquale il-
li quod oritur ex ductu P H in F C. Quod erar demonstrandum.
80
2 46. hrrius
exOLOSITIO CLXI
Ata sic Temiparabola ABC, cuivs axis AB, ad quam ordinacum p-
(ica sic CB, compleroque rectangulo ABC. F, iungatuF C A.
ocatiu Lcccu alcale ualt Patabola duclae
in sciplam.
demonstratio.
Pa
Veaneur quorcunque numerolinex GD EK parallele ad CB, rectA GR. DR, B
ER Cune in b concinua analogia. ergo quadraris DK aequantur rectanoula rab
GRF. ErgO F K triangulum duct a  CB a GuaCUL Pa- 1 n
rabole ductxe in sciplatu. uod erat demonstrau.
Eaet dc2tC CtaC
IEdempoliris.
Dicoplanum F. D ductum in allsu  C B, a GIaI PLaH CD du-
etoth planum palaboeu DL.
Monsotabib.
VoniamdcADE GK ad DK, SIC DK ad FK, erit convercendo DE K C ad d 12. parab
GD, AC KD ad F. D. Ergorectangula F D, R C a quantur rectansulis H DC
ergo FD c ductum in alcicudinem RC id cst BC, a quacur plano C. D ducto  16. buini
Macalicat t tuo dtat ee mtlam ditulo
eetent
1720
it 
11II
111I
11I
11 1411. t. i

## Folio 804 — 1815201908:0861
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000861.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
104
DYOTYS PLAH
PROPOSTTIO CLXIII
Aca Sic rurtum semiparabola Clus axis AB, de ordinarim ad axem
polica C B, completoq rectan gi F C, duEatuF AC.
FC aquari criangulo F P ducto in se secundum parallelasF F.
Demonstratio.
TCANEAFINENICX FDEG, FectXF G, aFF.
D sunt in comrinus proporcione. Ouadra-
is ergO FP Xquaneur rectangula D F C. ErgC
bF D planum ductum in alcicudinem F C id est
AB, aequatux eriangulo F F ducto in sc. Ouoc
OrOStTIO CEXIV.
Dicoplanum FD ductum in alticudinem AB secundum parallelas
crac demonstrandum.
IIdem posstis:
Dico FF. planum duccum in Pralum
E C, corpus protetréa quale illi quod ori
cur ex ductu E D in alcicudinem AB: in-
celligo rursum ductus secundum parallelas
. Pa
b 45. huins
FDF. C+ Factoo.
Demonstratio.
Vcalu MCX quoruis nuMeTO F D P. C Parallelxe Ae AB, libro de parabola
67. parab. L COITCBOMHES L B LF, F C lincas continue CM prOctionaleS: IgIEUE CR CMt
146. dm se L L. d plarium ductum in L. Ci aquarur L. D plano duclo  allituae LC id CA
AB.
ad DF, Ve GF ad FB, rectangula ergo (F Faequantur rectangulis D P FC. qua
PROPOSITIO CLLI.
Tcad RBF axem parabola C F ordinarim applicara LLI, crectisque ex
DEI _e L axi parallelis H A, ID, perticiatur rectangulum, iunganeurq
ITK, IR
Dico AC. planum alolu pratu etagua plao  alo
i aliicudinem AV.
Demoi

## Folio 805 — 1815201908:0862
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000862.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
N PL ANV
Demonstratio.
CAHCUE LInCR FECLA LMLIINICA AC EBE FD parallele ad FTL, libro de para-
bola 2oltendimus B A C tectangula aquari rectangulis C AF id eA A CD: 2 41. parab.
ergo planum AC ductum in C D aequatur A C. plano ducto in alticudinem AB.
PR OPOSITIO CEXVI.
IIdem posicis:
LDico C C ductum in alcicudinem A B aequari A C ducto in C B; e
AC ductum in GB, Xquari C C ducto in CB.
Demonstratio.
Drontam AB, C B, GD proportionales sunE, ve AB ad CB, siCCAC ad C G, b +2. parab.
planum eitur C C ductum in alcicudinem AB, XquatUE AC ducto in C B. C1. Eroer.
Duoderac primum.
Rursum ve AB ad C B, id cltCB ad GB, sC AC ad C C, isicur CC ductum
in CB, aquacur AC qucto in  B. Ouoderacaleerum.
IIdem politis:
PROPOSITIO CLXVII
Dicoplana AC, AB ducta in planum C C aequalem illi proterre
molem quae oritur ex ductu planorum CC, C B in AC planum.
Demonstratio.
i Sc AB ad CB, ved CB ad OB. ErgO convertendo ve B A ad C A, sic BC dAL. parab.
ad OC: e componendo ve B A cum C A at C A, siC B C cum G C ad C C:
rectangula isituF (UDEE AB, A C _ C C, aequalia sunc rectansulis super C B. CC
e AC. ergO AB, AC plana ducta in planum C C, aequalia lune planis C B, CC
ductis inplanum AC. Ouoderat demonstrandum.
ROPOSYTIO CLXVILI
IIdem poliris:
Dicoplana AC, AB diteta  CB, Corpus proterre agualeMH9l04
oricur ex duetu planorum e, DIn alticudinem AB.
H H H Hc H
Demon.
111
11I
11II
un

## Folio 806 — 1815201908:0863
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000863.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
806
DVOTVS PLAHI
Demonstratio.
ex ductu planorum CB, C. C in Ab aluuem.
Darem parabosa auccane ma.L C, Cecsuenomanous,
pertice rectangulum AD F. C; ducaneur deinde per A ex C exrre.
ma ordinarim ad axCM POLIEX, CONFINGENECS AG, CN.
Dico L. K planum ductum in alticudinem LII aquari L. HI ducto in (c.
Scensum cR praecedenti propositione; AB cum AC eNe ad AC, vEBC
cum C C cit 2+ C C, ISICuTSE AC cunt LD C AAB, CB CMM CB ait
CB. quare A C, AB plana ducta in C B, corpus proterune aequale illi quod oritur
enetooicio eta.
Demonstratio.
a BB. parab. ) V cantur 2c A C. PAFACK InSnIEX H K L. M L IIBEo de parab. 2 ostensum cAt L. K.
b45. bmus. 8ao L   Plalu L. Leru t le, d esclate  ducto in alcirudine HII.
T FI, TTL lineas in concinua esse analogia; quadeata ergo L. FI x quancurrectan.
EABPOSITIODCLXA
Dico AD plant actum in le, aequari A. H ducto in K B.
Demonstratio.
Ademiterum ponaneur quae prius: ducaturq; L. C
VCaNEUF ruETUM ad F F. p2
Prallela intinicx, ARD B.
notode patabota ollendi AX.
AD, AI hoc est KB in conci
nua esse anatoeia: erzo quadra.
ta AD aquantur rectangulio
AKB; plarium isicur AD du
aum in sC aquaTuE AK ducto
B
PRO.

## Folio 807 — 1815201908:0864
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000864.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
LN P L A N V NI.
R OPOSTETO CLXZI.
FCA B axis parabOlx A C K, ee ad illuncordinarim applicarakE B; D eF -
CF e parallele adK B.
Dicoplarum CC ductum in se aqua e HCA CD.
607
fecto nuremrectangulo AB IS, ductaque AR, hanEC F rectx aquales
Vemontari.
CF creoeriam bF C, F F.Hu C.   Concinua Suneanalogia. Frgo quadrat v.
ea CC aequancur rectans uts C, e D. L1CC C ductum un le xequatur LiC dus
n9.
InCa OD, CD, E D sunca propoetionales: luneaurem O F aquales differentiis 243. pa-
inCB. Luodccac demonttiandum.
C 45. tuins.
EADEOSITIOLLALII
IIdem positis:
DicoF. D platu   ascaL. C ducto in le.
Demonstrat.
Froniam F. D, C: D, E D proportionales Tune, _ F C differentiis aequales po-
LHaHEUE FG; reca GUBGACAF D, C Es F C propoctionales sunc; rectangula igi- + 9. Proe
TUT PC, F. D xequancur quadratis CE: quare F. D planum ductum in CF c X quI2- c +5. huius.
cuF L C plano ducto insc.
R O P OSI FTO CL XXILL is
Anencibusii (de
Dico C ductum u a  lateopo a GuteM
nicudini quam esticir ncas luperticierum (iC, _ C. D in le ingicem.
Demonstratio.
Voniam eandem rationem concinuane rectae DF, DC, D Ci; igicur quam rario-
Lnem habene D C. lincae ad C F, eandem quoque habent D C rectx ad rectas
CC. quare DC, GC rectanouta reclalsnse Lauactde. LbC L3
supeliies inFalcicudinem  Maala, Parem exhiber magnicudinem illique t46. hubus.
producicur pel auctum imdchum platiorum CC, CD. ODuod erac demonctrandum.
L2d likl 
2
      det  ae    ut mu
 ae pers e  tit tte t et  ate i   ta  ti

## Folio 808 — 1815201908:0865
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000865.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
8
DVCTVS PL ANL
PROPOSTTIO CFZXIV.
Acti(que AB, DC
nacur quaeuis P P autanS B C.3 potird de
IEL, deniqueper A, I, B, puncta parabola describacur, habens apicem
A L.
Dico MS ductum in alcicudinem TX, aequari YV in V Z.
NIrculum ABC, lecent aequales dux parallelae linex AB, DC, ium.
inde GIIHI dianelto, parasera D, nac des alLLL, HCACi ad
Smonstratio.
BOnAnEBE inENICA MS F YV X, parallelae C FL. Ouoniam est VE HTK ad KL
AC K C ad R F, rectangutum FTK L, aequacur FK C rectanguto. quia verO AL D
17. parab. Parabola CA, YE= P. R ad SP, sIC A RD rectangulum estad rectangului A FD:
sed ve L. K ad SF, sic quoque est P R HI rectangulum ad rectangulum S I X, igi-
CUF DE A KD ad A FD rectangulum, id CA vE C K IadM FV, SICL R HI ad S T X,
_E PermuTandOVE CRI ad L KHI, siC M T V ad S YX: Sod L RTF rectangulum
aequale ostensum est rectangulo GKI; isitur _ ST X rectangula aequalia lune re-
ctangulis MXV, quare vE MI ad ST, sCTZ ad TV, e converrendo ve
MF id CA YV, ad MIS, SIC TX ad V X: vnde YV X rectangula aequalia sunE
b46. huius. rectangulis M S F X, plauum b igicur M S ductum in alcirudinem FX, Xquacur
ZV in YX. Ouod crac demonstrandum.
31E.t es v
PR OPOSIIEIOECLZZI
eu
ste
VIE ABCD rhomboides, includens circuluM P F C quem in pun-
Dctiscribus F, F, Ccontingat: Factis auter proporcionalibus AB, A F,
AI: C D, CC, CH delcribatur per L, F, R parabola cuius diamerer sIc
F HI parallela AB.
DicoEorpus orcum ex ductu P. Nin LO aequari magnicudini que ori-
cur ex ductu L. M in alticudinetm F II. q 2
S.l1 .t
ced ee cd
 5. B2 1 CL 21135IB 3CPS
iCrLHA
1 id c0 cm  l 1ti20 B011 
.
(..t (CAIB C LaES
Demon-
agulic C

## Folio 809 — 1815201908:0866
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000866.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
111
IN PL A NV H.
Demonstratio.
309
VCaNEUE PF, EC, _ infnIEX L MNOOP, patallela AB. Ouoniam IP. K
parabola est, rectangula P L M aqualia sunca quactatis P 9: quia veloL. C,
267. pat ab.
b Per ete
CG, ItCM F A, F A concingences aequales lunc, quadraris L O aequancur b quadca- menca.
ea F. T, id estrectansula OL N; isieur e OL. N rectangula, aequalia lunt rectan-
Sulis PLM. quarC LM ductum C in L P sivc in alcicudinem B FI XQUaEUE PPY C46. huius.
ducto in L.O. Ouoderar demonstrandum.
e
e
PR OP OSL, FHOCLXAVI. C 
SEO Cuper ABC D rectanguli lacerE AD vEAAIACBECKAPCS
micirculus AF. B, cuius ceneru M, ex quo recta crig atur MIO LKN
aequidistans laceri AB, describatur aurem parabola quxcunque A G D
Occurrens MN linec in O puneto, quod eiuldem verrex lc, tancdeinde
ETES prOPOrtiOnaleS NMI, H M, L M;
Dico F HIsemicirculum in se ductum ad CII parabolam ductam in
alticudinem AB eam habere rationem quam haber L M lined 2d li-
RCaM ONI.
uit Demonralo.
DEscribatuE Per A, T, D puneta parabola
habens apicem in L. CriF iBIEUE TTP dp2-
rabola ducta in alcicudinem AB, aequalis
FTT semicirculo in se ducto: sed PHI du-
ctum in alcirudinem AB adC II in candem
ductum alcicudinem, elt ve P A parabola ad
varabolam CFL, ebalis ad balim; igieur et
Hi H ductum in sc ad C HT ductum in aleitu-
dinem A B CA P EI; parabola ad parabolam
1 e
H ZE TC _V TE XE ZVI
EFI; quia verO PFI, C: FIparaboIX communem habenelubcenlarri R D, illam incee
SE LOEEIUNEME EaTIONCM, quam E L NT ad ONT: igitUE _ F FT Cemicirculus ductuS FCorOII
in sc ad C H parabolam ductam in alcicudinem AB eAt ve L M linea ad lineam parab.
OM.
it
1E.iLA cta.
rs tes CA et
 _ E +F X 4 
a 4s btins.
Ej2. Buler
E Kkk L 3
cimi
tu t  et pi    t  stte e s e sti  tit ette e i ee  t ttia t st  s e  te te t   e e a  eit e s st  A te te e  tt  s e pti 

## Folio 810 — 1815201908:0867
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000867.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
DYCxYS PL A NB
eR OPOSITIO CLXXVII
810
AVper A B D E rectanguli vno larere BD, descriprus sic BC D semi-
circulus, ducacur aurem cora illa Agura in se:
Oporrer exhibere magnicudinem a qa a BCCb4.
Cm ee alcicudinem daFat.
Constructio ex demonstratio
Aca licaleitudo BL, in directum polica cum A B: pertecto aurem rectangulo
299. D DBCCRM Loctangula aequalia hane quadraris LR, coltac BM D ellC 2 PaF2.
bolam. Deinde quadeacis FTK aequalia hane rectangula P R NT, pacec ex elemeneis
NN cAelinea eca. densguc rectangulis subdupla HlR ee rectis R traequalia
Aanc rectansula L K, N O: constac ex illis qua in libro de ellipit demonstrani, pun-
eta O0 ee adellipum. Dicoiritur corpus ex ductu OM bali coonica in BF alci-
cndinem dacam aquari FIL ducto in sc. HII ductum in (c lunc HI L quadrarai Scd HT I
quadraca aequalia lunr quadracis HIK _ RI, ina cum reccangulis IIKI bissum-
pcis: quadratis HIK aurem aequancur ex construct. recrangula L RN, _ IK quadra-
eis aequalia sune rectangula LK M per constructionem; recrangulis icem TIKL
bis sumpeis id est receangulis subduplis FTR _ recris RI, aequaneuE recrangul2
TRNO, igicur HI duccum in se, id cst quadraca FI L aequalia sunc recrangulisL. R N
id est KM ducco in alticudinem K L, _ rectangulis L K N id cA N K in alcicudi-
nem LR, rna cum recrangulis L KNO, id est NO ducro in alcicudinem L R,
id est HYY ducco in sc, aquatur OM ducro in alcicudinem daram BF SIHC LK,
exhibuimusigitur corpus, ecc. Duod cracfaciendum.
Lvercicem in C: de Case Guidemraxem habear C A, parabola ve-
rO C F. C axem C D. Iunganturaurem CC puncca.
Dico lB planum auccum in canguu LA MuCut A C. MI LB,
aequari magnicudini que balim habet P. F. e alcirudinem AB.
PROPOSITTO CLZAVIII
Ectangulo A B in scrivEx Cine parabolX dux C F. C, C IE C habentes
car.
Demon.

## Folio 811 — 1815201908:0868
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000868.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
IN P L. A N Y M
Demonstratio.
DLanum PF ductum in alcicudinem AB, id est lC-
atangula omnia FF AB, aequalia lune rectangulis
FF AF _C E F B, id eA B F ducto in AF S F F ducto
in EB: (Cd E F IN F R, XQUAEUT 2 A F iN FB: _C F F
in FB b aequale CA KB in F A. igicuE P F ductum
in alcicudinem AB, aequale AP in LB, _ KB in F A.
Ouod erat demonstrandum.
PROPOSIEIO CLXXIX
IE BC quaevis sectio conica; +
Dilliusque axis FC ad quem or- 7
dinatim polica sIE A D: act aque F
per L COntingenTCFHL, OCCUF- F
rant illi, crectae ex A ee D linex 
aguidistantes axi F G.
DicoB C planum ductumiin
alcicudinem. AD vna cum E B
ducto in se, aequari F C plano
ductointe.
s
3c
37CB LcctBIE 
51
29C1 15
Demonstratio.
a 105. hB
b +bid.
Vcancur quoruis AC, _ per C reCtx pONAnEUE C B R parallela AD, quadca-
cum AC caequale est rectangulis AD BC, A BDC; id est AD B C rectangu- c Prolo-
lorna cum quadeaco A B: est aurem quadrarum AC aequale quadraris AF, F C: mem lib. 1.
igieUE quadraCA A F, F. C. aequalia sunc quadrato AB, id est quadratis AF, F. B vn a ProP. 20.
cum rectangulo ADB; ablato igicur communi quadrato AF, manet rectangulum
AD B C vna cum quadraro F B, xequale quadraco F. C. igicur B C ductum in alciru-
dinem AD, vnd cum EB in CC ducto, aequatur plano E C ducto in sc. Quod erat
demonstrandum.
PROPOSITIO CLZZX.
VIc AB axis parabolx AC I, aequalis lateri reCtO: RaE AUTEM LUPEF AB
LD qUAdEAEUM AB, E. F, X per A e F parabola de ScribAFUT AOF, ae qua-
lis AC IBhabens verricem in F: FeutA VerO FB PTOdUICtA OCCUTTAEParA-
bolxe ACI in l.
OpOr.
S  ue   t es . 1 e pte i  e .  e e     e       t  e te  ti  e  1   s   t       u u   t.  et  a   l

## Folio 812 — 1815201908:0869
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000869.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 16 lines, status machine
2
VCTVS PLAHE
ex ductis CD in DC.
Oporcet exhibere cotp  iE AF, aequale magnicudini
Constructio ex demonstratio.
iam ACT: dico autem C K ductum H asC
BExI. se ei: Patabola C Dancla in Guada  agacu CdbCD in GH.
CFminnm. (ed eciam C D in DFT, XGUAEUIE C R in DHTC _ RD in D FI: igicur CK in DH,
via cum KD in D FI aequalia sunc CD in DC, _ CD in GFI: Sed RVM
29. Parab. alcirudinem AB, iit est s AF, SvC K D ductum in DFI, LquacuE C D c paraba-
acasparab. OV per AB ve diametro semicirculus deseribatur AK B: cadecille ineraa parabo-
c ALo lactolabere problema.
ondi.
hohmut. 12 ducta in C H parabolam; rehduum isirur CK in D H, vel in alcicudinem AF;
asate e ED Patabda aveta M DB, Cao Bl Cditdicai en
taciendum.

## Folio 813 — 1815201908:0870
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000870.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
l
.
ais Biosota Lanotum inter se ductu seu multiplicatione.
Esi ex toto huius libri decursu, satis aperee colliei possit methodus,. Quata
 Obseruare debeat 1s, qui in doctrina huius libri se exercere desiderat; nih-
lominus has paucas propositiones subiuncere decreur, maioris lueis erco:
x enim linea recu, secundum vllam propositionem, sive notam, sive in-
cornitam alld ol est, qu selundum eandem divisionem, subseruire possit huius l.
bri areumento. Quod quontum multis paradoxi loco habendum existimarem, operae pre-
eium, imo necessarium duxi, partem hancadiuneere, t hoc ipsum luce clarius inno-
tescat, e Geometria studiosi Oceanum parentissimum sibi derectum aenoscant, cur sese
ruto posse concredere, vel tenuissimo lembo vecti scientia elementorum persuasum
habeant.
PROPOStIIO CLXKKI
VIMETLLS HCa PEOPOECOHaleS AB, AC, AD.
 a ad media AC _ AgGreTAEO ExTremOruM D A,
B A aequari rectangulum sub excremis D A, B A bis Cumprum, una cum
rectangulo sub differentiis BC, CD comprehenlo.
Demonstratio.
Fitat E. A aequalis AB. Ouoniam D A, C A, B A sune proportionales, erie divi-
dendo DC ad CA, VE C B ad B H. eryo rectangulum DC, A B a qUaTUE rC-
cangulo AC B. LCangulum DC, AB bis, aequatur rectangulis AC B, DC
A B. Addicoisicur communi rectangulo C AB bis sumpro, rectangula D C, AB
bis, C AB bis, hoc esta rectangulum D AB bis, aequabicur rectangulis A C B, D C, 21. secunat.
AB, C AB bis, sed duohuius summx rectangula C AB, A CB b _ QuaNEHE qua- b +. secutuo-
draTO AC. ergo rectangulum D A B bis xequatur quadraco A C cum rectangulis
C AB, D C A B. quare verique lummx addarur reclangum DCh, crit rectangu-
lum D AB bis cum rectangulo D C B xquale quadraro AC, _ rectangulo C AB
id CA C AF, vna cum DC, AB, D C B rectangulis: hoc cA quadratO AC, _ rC
cangulo C AF. vna cum rectangulo DC A, sivC ACD. Sed quadratO C A, _
rectangulis C A F, AC D aequacur rectangulum AC, F. D, hoc cK rectangulum su.
per AC _ AB, AD eanquam rarecta; ergo rectangulum sub AC X AB, AD
regnatur rectangulo D AB bis cum rectangulo D C B. Ouod erat demonstran-
dumm.
  e   e   s              s   e  eu e et tete e t e  ut e .te e est e   e    ite  t et . e   e  tte e li te  te  e   

## Folio 814 — 1815201908:0871
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000871.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
814
APPLICA L
Ductui planorum in plana.
DVCEYS PLA
Vbrendat A A linea arcum quen-
adam circuli; e luper A A diamerio
lemicuculus LC aetciBatu, auccites
normalibus ad F C infinicis F ABCD,
46. 1o1uiu
hane rectis AL. aequales AB. SoItuI
crunclinea AB, hoceA A L, AC, AD
proporrionales, quoniam L AV re-
ctangulis xquancur L’A C rectangula,
hocest AC quadrata. O UarePerprE-
cedencem propolitionem rectangula
sub AC, F. D aquantur rectangulis
DABCInCD A F bis Cumpris una cum
rectangusis BC D. Consicut ergo ex propolirione rniverlalia huius li-
bri, corpus ex ductu plani AC in Cuperticiem F. D, xquari solido quod
sc ex mulciplicatione superticiei AB in F. D bis vna cum quantitate qua
reluleac ex ductu plani B C in C D. quare propolicionem apranimus ad
ductum planorum incer (c.
Scholion.
P Emodo reducendi corpora ex ductu genita ad quantitates solidas cerrae alcirudinis, hac
parce libri non intendimus mentionem inserere, cum particulari tractatu de eo arsumen-
ro in praecedenti parte actum fuerit.
PROPOSITIO CLXZXII
Duaria librinostri de linearum potentiis.
IF. eta SIE AB in C de D mecta d CACeMa Patione proportionali, et
B compolita e aea CaceMarum ee media bitariam secetur in F.
SCDLL Guamacu rectangulo DF. A xquale exlurgere.
alF2.LC AL2.
Nirculum CC ad extremicates
E. F diamerri continsane dux
rectae, quas secet A A parallela ad
F E, ductisqne AC, F. B parallelis ad
tangentes intinitis, FLABEFCCEX AB,
BD rectiS AC, CD proporrion.
les, erunebpuncta DD ad parabo.
laM.
Duoniam
homonsica
Dico semicirculi planum C P. in Le, aequari plano E. D ducro in P A.

## Folio 815 — 1815201908:0872
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000872.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
ett
3
10
EA
ilippi1I
N PL A N V NI.
Vonsam enim recta AB in C e D divilae lu extrem a ac media rarione
Lproporcionali: e CB compolicx ex alcera exereitaum e media bitariam a dia.
aqualia quadracis C P. Ergoper propol.rniucllate  elchuius libri +5. planum
Plicautus cheorema piopblcum.
Bii
mecrolecaneur in F; cruneper 4. Prop. liber nostri de lineis, rectangula omnia D F. A
DE ductum in B A aequatur plano lemicirculi C F. ducto in (c. Ductibus ergo ap
Verum eadem opera Coau Popcons gua  eseet a
commoctale opere Precium crie.
Primo infertur BD C rectangulum rectangulo AD F a quaci, unde concludimus
planum BD ductum in DC. Placlum, Lolidum conttiruere quod lc 2quale Colpolt
producto ex AD superficie ducta inplanum D F
Secundo infertur BA C rectangulum rectangulo P. AD esse xquale, d conse-
quencer ex lege dulldum altetimus corpus exlurgets ex dueru plani B A in luperh.
ciem A C, Xquattolido quod relulcat ex musciplicatione plani E. A in planum AD.
LLddtEEC CtL===11.
Luma stn Gu ismtori.
DCA
lAB linea divisa Fuerie recunque in C e D.
Dico ACB, CDB AeclaB G  ACClatIBIS BD A,
lecundum sensum propolitionis c corpus oreum ex luperticic. 215. huins
bus AC, C. B Cimul cum illo quod hc ex ductu plani CD in DB, aqua-
Onatur exempli gracia circulus AD, queM FanSANE GLL, L F parallele
L incer se, inpunctis F C; _ iuncta F C ponarur FB HI guauislinca-
ducanturq; parallelae infnire AC. DB, per 55. libri de lineis omnia rectan-
sula ACB, C DB aequancur omnibus rectangulis BD A, DC A. ergO
tur Colidis duobus quae oriuntur ex planis BD in DA, S DC in C: A.
quarehane eriam propolicionem apcanimusnocro in licuco.
Mu u  e 1 u  s s . te  e e t  s A t  e s. a tet s  te  s Ae se  set i s e 1a   . es e e . 1es s e Ae   e  Ae  e  1 e 1  e e t    t  e

## Folio 816 — 1815201908:0873
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000873.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
B16
OVCEYS PLANI
ROBOSIFIO OLXZZIN
ba eitsceli bobt
eculta detedadbeetat atot ta aattut
Dico ABDE rectangulum aequale cAc rectangulo CBD.
P L IC A F F O. MI
Collixieur
Nirculum BF cuius diameter D D, contingane x quidistantes a cermi-
nis diamerri DD crectx, quas sCCCE A A parallela DD, ductilque
ABC D E paralleliS ad FaNGENEES, AaNE VE AD ad DF, Sic AB ad BC,
GIDCVE AD ad AF, SC AB ad AC, hoc eA, hanerectanoulis F AB aqua-
lib. de lia rectangula DA C: erir  ergo C C parabola. Policis deinde PP. de qua-
parab.
libus BC, crunc eriam D E aquales D C: unde consequenEeK E P ctiam
Parabola cst. Ouoniam isicur omnes parallele AF, ita lune diuise in pun-
etis B, C, D, F, F, ve AB, B C proporrionales snE ipsIS AD, DF; _ FF.
aequales exictane ipsis BC: per 56. libri nostri primi, omnia rectangula
AB, D F aequancur rectansulis C BD. quare Colidumemergens ex ductu
Astuim. AB in DF, aquacur lolido quodtr ex ductu CB, in BD.
PROTOSTLTOCLALAI.
Ouinquare sima septima eiusdem librio
TIFueric AB recta diuila in C e D, re P. C, DB linex Cincincer le X.
quales:
Dico CB quadratum aquari quadeato AC, vna cum rectangulo
ABCD.
P.

## Folio 817 — 1815201908:0874
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000874.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
1C
6,
2
E
et
1l0
LN PL A N V M :.
A P PL TC A TIO.
1
le
er
Dico denuo corpus ex ductu AB Plan IHCD, rna cum quancica-
ee quae resultar ex ductu superticici AC in sciplam, xequari Colido quod
nalcitur ex plano C. B, in sciplum mulciplicato. Ductis enim parallelis
ACDB, manifectum elt eas omnes ica secari a circulo in punctis C. C
e D, D, VE AC aquales sincD B; omnia isieur rectangula AB, C D, und
cum quadracis AC, x quantur quadratis C B per 57. prop. librinostri de
lineis. Vnde perrniverlalem. propol. huiuslibri, liquer propolicum. aas. huivii
sid e  131et
Uirculus describatur CD in parallelo grammo AB, ve siepun Aum B
scommune centrum tam circulo quam parallelogrammo.
aBeosCEIO CLAKkV
Quinquare sima oct aua eiusdem libri.l e
Ultuer AD lnea aam b a C. H AB, C. Dlinex lintaequales, lu.
Amacur auceminter B ec C punctum quoduis F.
Dico AE. Drectangulum a quale este rectangulis C F. A, F. AB.
AP PL1C H 11O
i..
Ontiruacur parallelogrammum AB, ductilas parallelis AD intinicis,
stinex ABtianEx quales C D: denique ponatur quivis ATCUS EF.
tdlL 3
o
1 e S. AI
13

## Folio 818 — 1815201908:0875
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000875.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
DVCTYS PL A NL
Dico quod producitur ex plano D E. in E A planum equari solido
quod hcex ductu plani C F. in F. A, simul cum eo quod AC ex P. A in B A;
gc hmini. lccundum renorem univer lalis propolicionis. luo loco demonctrare.
Latet ex
Corollarium.
AEcpropolicio (quod in plerisque eriam sequencibiis erit obseruandum) amplil-
Simi vus est. nam P. P. linea queuis esse pocest quemadmodum e linex BB, C. C.
modoxquales sinc AB, CD. Insuper ex eadem propolicione consequicur lolida que
proteruntur ex ductu muruo planorum CF, F. A,  F, A, B A aequalia eAe Colidis
que hunc ex ductumuruo planorum B F, F. D, d F D, CD, quod liquer ex en quod
rectangula AF. D rectangulis D F. A sinc aqualia; rectangulis autem AF D aequa-
lia sInE C F A, B A P. rectangula, ex similicer rectangulum D F. A xe quale cA reCtan-
Sulis BE. D, CDF. Tgicurb eriam Colida ex superhcierum duccu equalia existune:
nimirum corpora ex planis CF in P. A et B A in A B, corporibus ex superticiebus
BBI E. D e CD in DF produeta.
PROPOSITIO CLZZXVII.
uinquare sima nonaciu sdem libri.
6. Buins
VT Fueric AC linea vecunque diuisa in D BF.
Dico rectangula A LC, L auana ese rectangulis
ABC, ADB, BL. C, ADF. C.
APPLV

## Folio 819 — 1815201908:0876
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000876.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
1n-
iu
115
1
N PL A N V M.
APDLTCATIO.
Oulcicuatur verbi gratia circulus D B inera parallelas parallelogram-
imi AF, e adiiciatur quaedam linca C C.
Dico solida quae nalcuntur ex ductu.
(AD in DC)
(AB in BC
plani Z AE in EC C aquari I AD in DB
(DB in BE)
Colidis ex 1 BF. in F. C
LAI in F. C
Emonstracionem huius collise ex propolitione rniversali; 2 dueris enim paral- 2 46. huius.
lelis infinicts ADBE C, semper rectangula ADC, AF. C, DB L. XequancuE
xecrangulis ABC, ADB, BP C, ADP. C.
PROPOSITIO CEXXZVIII
Sexacesima ejusdem libri.
D F F B
YI Fuerit A B Inca allam quin que parres aquales punctis C, D, F,
DF, de ei guauis in directum adiiciarur G A.
o CD quadtatum a quale elle quadiato AC, unacum rectansu
10GCB.

## Folio 820 — 1815201908:0877
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000877.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
OVCEYS PLAN
APPL IC A FIO.
IE exempSaca C C Temicirculus, i L_ Pacanelostammum ejul-
dem alticudims cum diamerro circam C, diuilum parallelis CC
DD, E F, LL  GunQue aequales parres.
Dico luperkciem CD in le ductam exhibere solidum xquale corpori.
quadrata C D aequalia quadraris C A vha Cum rectangulis GC. B. itaque
per46. huiuspatet propolicum.
Bus quae hunc ex AC in se ducto Mal cum co quod rolultar ex plano
C C in C B planumm. Haccis enim MMIIIICI Pacalens OD, Ctume semper
eROPOSITIO CLALALM
dbibaeesMa tataetus aetheliosto
TFCenEuE AB In QuocI PatLeS VCuqueL, L,L, aC
Dicoguadrata AC, CD, DE, E B limul cum rectangulis AC B,
CDB, D E B bis Cumpris, x quari quadrato AB.
APPLTCATIO DOCTRINE DE DVOTIBES.
cus F. L. lubrentus a recta BB.
Arallelogrammo AB Meu S Mcutus, de ponatur quivis at-
Dico Tolida ex mulciplicatione singulorum planorum AC, C D, DF,
E B inse, simulcum illis quae emeroune ex ductu A C in C B, _ CD in
DB, aC DE in EB bis Cups, xquari parallelepipedo quod gignicule
exparallelogrammo AB dueto  p. uddenum parallelis intr
alllbo

## Folio 821 — 1815201908:0878
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000878.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
IVI.
6
H.
B
15al0
DEs
inte
nieu
ex 46. HUILS.
P L A N  M.
nitis ACD F B, semper quadrata A C, C D, CL, tDa CumCclanoulis
ACB, C DB, DE B, Oa aua Guaatio LB. Mcdo et
e en eteLa
Vndecima libri procressionum Geometricarum.
VInc AB, AC LD In concinua analogia, ee minori difterenriae BC
DicOCE, CD, AD elle etiam in analosia conrinua.
A P P L IC A TIV.
qua bitariam secene peam lemcirculi, Ponaneur cangenres
tacaqualls DF.
NIclemicirculus BB, DD ciusque diameret FP, ductiq FO, DO
Dicoplanum C F. ducam in Prauu Da quari plano C D ducto in
Sciplum.
les esse BC. Ouare cum AB, AC, AD sempera (InE COnFIhUIX, CtIaM CF, a Ev olo-
CD, ADberunt continuIX. er8o per 45. huiuspatet propolicum.
PROPOSITIO CXCI.
Tonaciusdemtibri.
meniis.
b 9. Pro-
Presse
DA, F A.
Ducancur enim infiniex AB C F. D parallela 2d FP. paret F. D equa-
a Qualis (ICFD.
Inc in concinua analoSIa AB, AC, AV, d MMOILOIMeTCHCA DC a
Dico minimami A B es minorem difterenctam este propotcionales.
et m 

## Folio 822 — 1815201908:0879
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000879.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
122
DVCTVS PLANL
APPLLCAF1O
45. Euino-
Execaturpraecedentis figura: quoniam AB, AC, AD sune in conti-
Lnua, _ P. Dae quales Cune B C, recte AB, BC, C I. lunc in continualu
proporrione; isirur rectangulum ub AB _ C P aequatuE B C. quaarao.
Inde per propolicionea vnivertalem solidum extursens ex plani AB in
EF ductu, aequacur hgurxe Colida que hcex BC. Superticie in le dusta.
PROPOSITIO CXCII
Duodecima ein (dem libri.
Enurrres magntudines AB, BC, CD in continua analogia, ic a vE
BC a C e hatrecta AC xqualis BF.
DiCOAB, BF, FD ese provorrionales.
APPLTC AF1O.
DArallelogrammo A B circulus concentricus inscribatur C F, ductilqs
incs e F.  Palatets, ane uclangulis EBC aequalia rectan
fota ABD: cii scaque  pacadora. un DE, ita BC ad
x 20+ e LISHHEPCID au DC VEBE ad B A. vnde diuidendo BL
Collisitur
312. parab. 2dC, L d    DC al L. . hel Gura re
a
BD 2d

## Folio 823 — 1815201908:0880
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000880.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
1a1a
210.
3
d
AVE
diles
AaH.
Cad
B1
la
PL A N V M
BD ad BE; ita quoque eA BC ad B A, hincve BC ad BA, ita D C ad
F A, etgo alternando BI ad BC, ve E A, hoc eA BC, ad DC: TUINE
itaqueeres proporrionales HB, BC, CD. eAtque AC aequalis F B ex
construeltone. natcrum F commune est e parallelogrammo AB e
C. F circulo per propelicionem duodecimam libri de progrectionibus
Gcomerricis, etiam AB, BF, F. D proportionales sunt. Omniaigitur re-
etangula AB E. D xquaneur quadratis BF. IsituE Per = propolitionem  a5. huius.
rutterlate plarum AB ductum in F. D, Colidum Format quod corpori
aequatus ex alctuplani B P. in sciplum ducto.
PR OPOSITIO OKOTII
Decimatercia eiu sdem libri.
Onancur AB, B Cres MC I CCa p , et at BC
aequalis DL.
DicOAE, FC, CD este in conrinuaanalogia.
AP PL IC A FI
Uet sea parabo
incerlectione: cruntitaque propoaa IbI BI. Vnac(1BBIParab.
RaMELeCX BC, C D aqualeS FeCtIS BKL, DEs CLALTCMMLLLMLLL PLOPOTCIOMA
les AB, DC, C D: denigne (IBONANEUE D P. que linE a GuaICS DG CTLIC
cuius axis FC d c Bucasut 1+ p
Dnacur C HI quae equidistec FB, conveniens cum FK in HI communi
perr3. Proores. lepere   deate as a pet
propolirionemrniverlalem cri o etses ea aea C 43. VtS.
AL. I C. D, aequale corpori quod u lac L. C. in sciptum.
MIM MMm 2

## Folio 824 — 1815201908:0881
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000881.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
DVCEVS PLANI
ROPOSTTIO CZCIV
Decimaguinta eiusdemlibri.
VInCDIONOIAOaLS AB, AC, LLC aMCa
DFerehcia BC; CD dividarur bitariam in L a  Ploportona
li AC sequalis sic producta AO.
DicoC, FB, FC in concinvara  probe.
ompolica ex veraque dit.
A P PL IC A TIO.
rrbrendat recta A A quendam arcum circuli ID R de Cupex IK de
D Ecribe circulum CG, C. C: ductilq parallelis infniris GD, quX nOrL
males lincadII, Fac AB ae quales AL. crunc itaque L A (hoc eA AB) AC,
AD creslinca in continuata proporcione: diuilis aurem rectis BD bita-
TIaM II FF, CriE FF arcus aqualis arcui IBK: de quia C C circulus ests
hinc C A normales ad diamerrum IR aequales lunetectis AC. Ergo pet
15. prOOreHT. FO, FB, FC. lunc semper in continua. Ouare Colidum quod
Sc ex ductu FB in sciplum, xquacur Colido quod signieur ex planisFC,
FC incer se mulciplicatis.
P R OPOSITIO CXCV.
uadraresima secunda ciusdem libri.
rectatsulIS.
InEAB, BC, CD in concinua analogia; de inde lecetur quaepiam linea
DGFINE VEF E ad F C, eandem habcacracionem quam AB ad BC.
Dico rectangulum BC. F C aequalc cAC du LABLO_ CDFF
AP.

## Folio 825 — 1815201908:0882
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000882.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
O1
6
s
P
IN PL A N Y H.
APPL IC A T1O
Donatur Palaelosrammum NR, e super diamerro NN circulus de-
Ccribatur N O: Factis deinde cerriis proportionalibus NP ad rectas
NTR, NO, exsurserparabola P P, ve luo loco oltensum  CA, crieque racto rab
POad OR, eadem cum racione quam continet HP ad N O. lunc ica-
que HTK, OI L. Maequales d limiles superticies superticiebus NP, A ,
NR.
Dico igitur ex sensu propolitionis univertalis 45. tuius planum PL
ductum in superticiem circularem OLaequale Colidum proterre magni-
cudini emergenei ex bali P O in alcicudinem L. M, Simul cum magnicudi-
nCOrta explanO FTK in OR planum.
PROPOSITIO CZCVI.
Sexacesimaquinia eiusdem libri.
Goncinua proportionAles (InE AB, AC; AL; d ex BC lumi poltit
ABD aequalis AC.
Morectangulum sub B A a et, a cuuum vna linca constru.
etum aegua Guaatato AD.
Nmmmm 3

## Folio 826 — 1815201908:0883
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000883.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
OVCTVS RLAA
APPLIC AL1C
le parallelostantimum AB,
cui inscribatur parabola
A C habens axent HL auctilq
parallelis AC B, Ponacur B1)
par ac limilis parabola AC, et
hanc B A, AC, AF proporrio-
rales; cruncisitur per (a Proor.
mniarectangula uper AB, &
DAF, Equalia quadraris AD.
orpus igitur ex plano B A in
superticies CD _ AF geni-
mum cur, xquacur lolidae magnicudinifacts ex plani AD ductu im leiplum.
PROPOSTTIO CXOVII.
Sexare sima quarta eju sdem libri.
Dbitariam in L.
Tinc eres linex in conca analogia AB, BC, C. D: d aMdalut L
Dicosuacatu L. aGCa GuaaHC, L. B.
APPLICKLIO.
b67. parat
LLCICaxIS LILL. auets ISitur Parallelis L.C, erunc creslinex CA, C 6,
BC F propercterates. Hace aucen L, LTaguasccs CC, CL, ctum
icaque AC. CL. Ll proporcionales. alupetecca 1D aGuaesC L.
loicur per propolitionem decimamcerriam libri de progrestionibus Geo-
metricis erunt proporcionales AB, BE, F I. quod livero dividantur bi-
Fariam recta FI, erunr DD ad lincam rectam, ve pacer ex elementis. ICa-
que per 64. prosrel. omnia quadraca AD aequantur quadratis AF, DBC.
Ectasas LCuasasoans oetioacur palabora Cuus
mullumpris.
 Dicotonaum et ed ex ducla lperticiet Din terplam ae quatt. Ia
smirudini-

## Folio 827 — 1815201908:0884
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000884.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
B
eo.
i
INA PL A N V N.
oo tolluto sua tetuliame ex aleca pla AC. Ia delpluu 
cumco sadata cataDece Ca.
PROPOSICIOCSCMIII
Sexaresima tert uo.
ex lmerres CoMta PoPOIOaIOS AC, CD, DL: ∞ D L. b.
ta(cin B.
Dicoquadrarum AB aeuad CC GlacaIS AV, C. B.
ad 2 L CL2L2.
cionales ve, C CCt Paldbola, luo loco demonttracum Clt; 2399. pa
ibicur li s est afanteo t cto reto eales  L CriE
DE. dlans demgue ecsL aa BD, M DB Cemicirculus.
Duoniamtouuommote . sum Connua de BF. bilecaneur
in B per 63. prooress. omnia quadrara AD, aequantur quadraris omnibus
AD, C BCimul Cumpris. Duare per propolicionem rnivertalem (aepius ci-
caram, Colida magnicudo producta ex ductu AB plani in Seipsum, equatur
Colidis que emergune ex luperticie AD in se ducta, simul cum eo quod Ac
aplano C B in sciplum ducto.
PROPOSIIIO CACTA.
uarta secundielementorum.
Ectangulo CG, super eius C C lacere eam quam diametro in-
Lelcribatur Cemicircus CD, ductilque parallelis, hrane propet
A A parabola e F. F. semicirculus. Mac ccam proportionales AL. C L
parcibus compechenaicur tcclansulo.
recta linea secta CiE vc qua G SC CLH SAL
 quale est quadraris que a parcibus describuncur, ee ei quodbis sub
1
eten4g1sot1121231413 16 27182O 2O 2L 32 3324  2320 2 3O

## Folio 828 — 1815201908:0885
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000885.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
DVCTNS PLANI
eLICAF1O
DOnatur parallelogrammum AB, culmcripralic quaus lincaC C.
Dico parallelogrammum AB inulciplicans sciplum, conficere soli-
dam magnicudinem paralle lexipedam aquale Colidis quae hunc ex luper-
ficicbus AC, CB sciplas mulciplicantibus; simul cum corporibus qua
exluroune ex mulciplicarione mutua planorum A C in C B bis Cumpta.
Nam (i ducancur parallela A C B infinica, omnia quadrata AB, X quan-
cur quadratis omnibus AC, C B una cum rectangulis omnibus AC B bis
as huius. lumpris. res ipicur exproposirione noctra vniverlali est manifecta.
PROPOSIIIOCC
Duinta libri secundielementorum.
i recta le  aeatae ea euara, LeCat  LOMa Guat-
buslegmenus corus comprehentum, una cum quadraco quodabin-
rermedia sactionum, aequale est ei quod a dimidia delcribitur quadraco.
APPLICATIO.
Ectangulum AB divictar rect C C BItatta a GCallo L Se.
DMICHLCMTAS PONaTUE CD. .
Cicoplalua Boate ona asuanem
na cum corpore quo d signe CD lciplum mulciplicans, aqualem quan.
cieari

## Folio 829 — 1815201908:0886
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000886.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
inem
Va1
eitala
TH CP L A N V NS ∞1
8
FITaHI qua _C ex C. B superticie ducta in seipsam. Ductis enim A C DBp2.
CD aequaa Guadracis C. B. L8Ca POP. 40. ia set pop
CIEUM.
rallelismore Colico, eruncomnia rectangula AD B una cum quadracis
Sexta sechnur cumnorum.
PROPOSITIO CC
Hlrcceaeaa ececcla Guaa ea Ia rectum ad-
Quadcato quodtica nera aelale elt quadrato alinea quae cum ex di-
midia cum ex adiecta componitur canquam ab vna descripeo.
Diiciatur. Rectangulum comprehensum sub eora cum adiecta, una cum
ex 222. e 2 L2 L L
LAerI
Dico Tolida magnicudini quae sic ex manplicatione superticici AD in
in planum DB, una cum quanticare qua producit C B sciplum mulci-
dirculum AB secent dux xequidistantes FF, GFF, ad quas perceri-
ragatuF OrthOSOnA CC, cuistacuatur quavis a quidistans DD.
Plicans, aga Corponee ccu  terprunt. Ducane C
Parallela Guocuque aC0V. hgeecomes AB bilecari in C, adiectal-
que linoulis ese rectas BD. CMA BGHCMLLCCLAHSUIA LID DCUIM GUacLA
ris CB aequantur quadraris CD. Quare ex propol. univerali paret a4s. hulus.
proposicum.
CIO COTI
alibri secundi elementorum.
Erecta linea secetur bitariam, adiiciatyr aurem ei in reclaur quexiam
linea recta: Duod a coracum adiuncta, ee quod ab adiuneta, veraque
simul quadraca duplicia Cune eius, quod a dimidia  cussu a
polita ex dimidia et adiuncta tam quaab, una delcripcum liE quadrati.
NNEMM
   t a iu u i

## Folio 830 — 1815201908:0887
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000887.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
IVCTVS PL AN
PLICAF1C
TFmicirculos A A, B B concingane parallele FF, OHI; d C C dividae
Dbitariam rectas AB parallelas ad E. F, de ponatur DD diameter lemi-
circuli BB.
10. huinc. Dico ex vi propolicionis nostre avniversalis, duas solidas magnieudi
nes Factas ex mulciplicarione superticierum AD, D B in lciplas duplas el.
lemagnicudinum Colidarum qux oriuncur ex ductu planorum AC, C D
in scipla.
DROPOSTTIO CIII
LFederico Commandino adiune us sequentem propositionem.
APPLTCAFTC
Clrectalinea in parces inaquales sccetur: carum parrium quadraca x
qualia sunc rectansulo quod bis dictis parribus concinetur rna cum
quadraro eius lineae qua maior pars (uperAc MInOTCM.
Ulteuo AB Malcribacur rectangulum
Dicololidasmagnicudines, quae resul
tanc ex ductu luperficierum AC, BC in
Plas, ae quari magnicudinibus qua pro-
Feruntur ex muliplicacione planorum
C in C B bestumPCa, una cum parallele-
Pipedo quod he ex mulciplicatione C V
Parallelogrammi i sciplum. Ducaneur
enim quorcurtde AC DB parallelE; PaTCE
cangulis AC Bbis lumpeis una cum quadraris CD iurca Commandi-
b40 huim. E2t pcOpOL. lam allalal. VAdc Pet Varderlaleth noAra patet propoliru.
Quia
AC xquales este DD, adeog. C D ditferen-
eias esse parcium AC, C B; semperisieur quadraca AC, C. B equanturre.

## Folio 831 — 1815201908:0888
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000888.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
PIo
sI
OD
MI
FI
di
(iN.
N P L A N V N.
8
Oua delo propolitiones mulex ex esa apus Luckanus Po-
Reris reliquu, holctomcuto non patumm Mmierurum, Mneclram nonnu
las ex illis lecernere placuir, quas libro seprimo collectionum luarum in-
Ceruir, ve doctrine ductuum Ccormerricorum eas aptaremus.
EROPOSIIIO CCIV.
Vicesimatertia libri septimi P appi Alexandrini.
YI recta linea AB aequalis C D, e in ip(a C. D lumatur quoduis pun-
t L.
Dicorectangulum AC Daequalcelle scclansulo AL.D de rcctangu
OBF. C.
APPLTC AF1O.
les. Ergo iuxra Pappi demonteacetomarectangula AC. D aequan
cur rectangulis A L L. LtGB ex Mttertali nostra liquet propoli-
15. Triri1 .
describanEuE A B, C D: ∞ lCMICITCMLUM D C ICCCE L F.
Dico quanticacem Colidam quae sie ex Cuperticie AC in CD ducta, x-
Quari Colida masnicuemi ex plano qua emersir ex planis AF, F D semu
Donatur rectangulum AB, Cuper Gi eius lareribus A A, DD Pemicirculi
tuo mulciplicantibus ex Colido quod nascitur ex ductu plani BF in FC.
Ductis enim parallelis infinitis A DC F. D, CrunEOmnes AB, CD ∞qua-
CUT.
PR OPOSTTIO CCV.
Vicesima quartalibri sextimi P appi Alexandrini-
IIdem polcis: lic punctuur  CCa MHCAM AB.
aquale cAC.
Dico rectangulum BF. C rectangulo AFD et rectangulo BDC
Nnnnn 2

## Folio 832 — 1815201908:0889
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000889.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
DVCTVS PL ANL
A P P V TC A FIO.
FC invicem mulcipicales, aguateehe Toltals que rclulrane ex planis
AF, F. D in Semucuo ductis, rna cum BD mulciplicanECDC.
lLoset
Duadrace simaprima eiusdem libri septimi P appi Alexandrinii.
Ticrectalinea AB, in qua sumantur eria puncta C, D, F, ita verectan.
gulum AD C sic aquale rectan gulo BD L: _ veri(quE AF C B X qua-
lis ponatur recta lineaF.
Dico rectangulurs quidem F A D rectanoulo B A F xquale esse: re-
ctangulum aurem FC D aquale rectangulo BC F: rectangulum vero
FBDrcctangulo ABC, e rectangulum P P. D rcetansulo AL. C. ae quale.
AP e L IC A FIO
Anenceitaque rectansulo AD d circulis AB, C D, linCA F F. F po.
Inacur extra circulum CD.
Dico rurtus Colidam magnicudinem quam exhribene Luperticies BF,
Ectangulo AD inlerrbatur parabola D C, ad cuiuS AACIHLCLA DD
Csic ordinatim polica, alsumacur deinde circulus BB, cuius aliquem
AECUM RK id cA E P subrendat DD recta; erune igitur recrangulis
TID C aegualia reccangula FD B.
Dico ex menre proxolirionis rniversalis, sequentes aquariones con.
ringere.
Primo corpus ex basi AD in alticudinem F, hoc estin plana AC, CB
ducca relultans, a quari magnicudini ex plano B A mulciplicAnEC A F:
Secundo solidum ex bali C D, & alticudine F, hoc est planis AE, C B,
aequari Colidum ex BC, C. F. planis se mucuo mulciplicaneibus.
Terrio magnitudinem orram ex basi BD in alcicudinem F, hoc est in
plana AF, CB, aqualem esle Polido quod consatur ex ductu muruosu-
petkcierum AB _ BC.
Ferrio

## Folio 833 — 1815201908:0890
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000890.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
Aatto
: 12.
id
DB
quel
Co1
CB
estin
10 l.
etHI
AN PL A N V NB.
Ouarcocandem quanricacem lolidam constantem Basi FD, e F alei.
cudine, hoc est planis AF, CB aequarimagnicudini que sr ex duabus su
perticiebus AE, P. C sese muruo mulriplicantibus.
PROPOSITIO CEVTI
O) nadracesima secunda libri seprimi collectionum Pappi Alexandrini.
Vicrectatisuu ADC equalerecranguloBDE, de veri(que AF, C B
aequalis ponatur recca linca F.
Dicorurtus quaruor heri equationes: videlicet rectangulum quidem
F AD aequale recrangulo B AF; reccangulum vero FC. D recrangulo
BCE aequale; recrangulum que FBD rectangulo ABC S _ redtangu.
luM FFD recrangulO AF C.
APPLIC A T1O.
Donantur exdem supersicies qua prus: Sed ica ve rectangulo ADC
Prino incer corpus exbasi AD _ planis AF, C B cum eo quod HC CX
SCCHHdO InCEF MaGNIEHAMTCM IUDBaII CD _ AF, CB superficiebuS
Fecio incer solidum baleos B e planorum AF, CB, cum magnicu-
dine qua CAMMDEVLE aPICalIO planoruI AB _ B C in Sc invicem.
Ouareo inter quanciraren AD ba(I E D _ Blanis AF, C B cum magnI.
cudinc lolida ex AL. Palohplicanre L. 6.
L aequale SICF. D B rectangulum.
Dicoiterum guatuor ae quationes contingere.
ductu muruo planorum BA, AF.
cum corpere genito explat BC mulciplicante C F.
NAnnA 5
PRO.

## Folio 834 — 1815201908:0891
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000891.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
DVCTVS PLAN.
PROPOSITIO CCVITI.
uadrace simatercia libri sextimicollectionum P appi.
Tieaucem punctum edera roram lineam, de Sic rectangulum ADC x.
Dicorurlus, (i excectui line atut LD a Gao PorsaculL, Guatlorhe-
ri: videllearectan sulum quidem F AD aequalereetangulo B A L; rectan-
Sulum verO FC D aequale rectangulo BC F; rectangulum que F BD se-
ctangulo ABC; e rectansulum FD F recrangulo AF. C.
lerectangulo BDF
 L L L LC RLLO
lq
sponancur superficies prae celtentis Aigurxe verecransulis ADC X-
Primo, utashituanem ex plano AB in F, hoc est in AF, C B quae lune
differentixe supertcierum, aqualem exiltere corpori quod relultat ex B A
mulciplicanEC AF.
Sccundo, Colidum ex CD in AP, C B. quae sunt differenrix planorum,
emergens, aquari quancirati quae oritur ex ducru muruo planorum BC,
CF.
Tertio, quanticarem Colidam ex B D ducto in AE, C. B, qua sunedit.
Ferencix, aequalem esse illimagnicudini quae sic ex mulciplicatione murua
Planorum AB, BC.
Ouarto tandem quod MICI Ca plaO DE in A F, C B difterenciam
superticierum aquari lolidae magnirudini que relulcat ex A P. plano mul.
ciplicance planum L. C.
qualia sinE F. D B recrangula.
Dicoiterum quatuor Formandas aequationes.
PRO.

## Folio 835 — 1815201908:0892
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000892.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
e
BA
MM.
30
edi
u
cial
RO
IN LL A N V H.
PROPOSTTIO CCIX
Sexacesimatertia libri septimtoctionum L apPI.
839
IE AB quidet asualis C D: rectangulum aurem BF. C rectangulo
Dico rectangulunt D EC superare rectangulum AF. D ip(o BDC
SD matus.
rectansulo.
l LL 2LC A LL.
onsticuantur semicirculi A A, C C parallelis e line AB equales
ACD, e leltangulum B F. C maiis 1BD rectangulo.
Dicoperproposicionem noctram vuetalem a lolidam magnieudiné a +6. huius.
explano DE Malciplicance F. C, xquari Coliens quxe hunt ex ductu AF
plantin L. D, de illi quoddtur ex AB mulriplicanre BB.
PROPOSITIO CCX.
Centesima quadrace s  
Tcrectansulum AB C aequale quadraro BD.
Dicoiriacomringere; videlicec recran ul qu quore telaest
AD, DC _ BD continetur, x qualc eserccrangulo ADC, recransu
Dc. dtcclati u Coecu Mlague AD. BC ct suautato
AD aequale.

## Folio 836 — 1815201908:0893
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000893.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
896
DVCTYS PL A NI
APPLYC A F1O.
vin
irculum A C contingane parallelae L. F, OHT: de BB linea normali-
Crexillis inlictar, hane reccangulis ABC aqualia BD quadrara, erie
DDhyperbola vei luo. loco est demonstratum.
Dicoisicur ex menre propolicionis noltrae rniverlalis eria continsere.
Primum est magnitudinem Colidam relultantem ex duceu plani BD in
plana AD e DC aequari Colido quod producitur ex AD plano ducro
InDC.
Secundum est Colidum ex C B ducco in AD, DC aequari magnicudini
quae tic ex DC. Sciplum mulciplicante.
Terrium denique quod AC ex AB in AD, DC. Superficies, aequari
quancieari solidae ex AD Se mulciplicance. ilssis ceu
15
c11.
PRODOSITIO CCXI. IOq
1. ycle re
Centesima quinquaresima prima eiusdem libriseptimi collectionum.
VIc rectangulum AB C xe quale quadrato ex BD.
Dicorria concinsere, videlicer rectangulum quod excessu iplarum
AD, DC _ BD continetUE xquale esse recrangulo AD C; FECTanGU.
lum vero concentum excesu iplarum AD, DC _ C B, xequale esse qua-
drato ex D C: _ rectangulum contentum excessit AD, DC, et B A x
quale ese quadraco ex AD.
14. H1)
rbol.

## Folio 837 — 1815201908:0894
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000894.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
ete
Din
Uari
1
Al.
IH LL A N V Ht.
ATLLLCATIO
Ectangulo AB inscribatur Pemicireulus BD cuius diameter BB,
L policilque certiis proportionalibus B C ad duas AB, BD; crir CC
Parabola, veluoloco oltensum cAt.
Dico igitur iuxra sensum huiuspropolicionis denostrae vnivertalis,
cresaquationesheri.
e
Prima, magnicudo. ex superticie BD ducta in excestum quo AD Su-
perat planum DC, aequarur corpori, quod tic ex AD plano mulciplican-
LCDC. ILVF
Alcera, magnieudo solida ex C B plano ducta in differentiam super-
sicierum AD, DC, a qualis est solido, quod emergic ex ductu D C. in sC.
iplum.
Terria denique, Colidum ex plano B A mulciplicante excessum plano-
rum AD, D C aquatur corpori, quod resultat ex AD Superticie sciplam
mulciplicante.
PR OP OSITIO CCZIL
Centesma sexace sima libri septimi collectionum P appt.
IEhe AD ad BC ita AD ad DC, e AC bitariam in puncto F. lc-
cccu
Dicorria contingere, videlicer iCa  GMILLII DL IS aGdaIC CL
se Guaatalo ex L. C; cectaneulum veco eDl. icctansulo ALd C; ace-
etangulum ABC rectangulo E. BD xqualcesses
00600

## Folio 838 — 1815201908:0895
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000895.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
DV CFYS PL ANI
APPLICATIO.
Vreuti FB arcum F F subrendat recta F. E, Factis deinde F. D aequali.
Abus FF, describatur circulus C A CupeF P. F. diameero. itaque lune
in Continuata PFOpOrtiONCLD, EC, E B: de quia F C xquales lunCE A,
+. Deli cruna A B recte divise in A, D, C. secundum extremam e mediamra.
ec.
eionem proporrionalem: vnde erir AB ad BC vE AD ad DC.
Dicorsirureres rursus xquationes exturgere.
Prima es, magnicudo explano BF mulciplicante F. D, qualc corpus
efficicilli, quod hcex F C seipsum mulriplicance. 
Sccunda, magnicudo ex D E. bali, in alcirudinem DB, xqualis est Coli-
do, quodoritur ex AD plano ducto in DC Cuperticiem.
TErEa verO, COrpuS ex AB, B C planis in se mutuo mulciplicaris, equa-
cur miagnicudini, que rclulcar ex luperticic F. B mulciplicance planum DB.
PROPOSTTIO COZTTL
Centesima septuare simaoctana libri (eptimicollectionum
Pappi Alexandrini.
IE recla  B, de aequales SINE ACDB, et ineer C D sumatur
ctangulo AE B.
quoduis punctum F.
Dicoreca  C ecla   asuate
APPLI.

## Folio 839 — 1815201908:0896
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000896.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
mai
cllete
t.
N LDANY M.
AP PL L C A
837
irculo Ab interiprum lic rectansulum C.D, ex Super diametro CC
Scirculus EF doleribacur.
Dicomashicudinem Colidani ex ductu plani AD in planum DB, vna
cum Colida masnicudine ex plano C. L. in E B, aequari Colidae quancicari
qua signirur ex AP, planio mulciplicance L B, secun dum menrem pro.
policionis noctra univet salis.
DR OPOSITTO CEXITI.
Contesima sexiuacesimanona eiusdem libri P appi.
e
VIE recta linea AB, _ aequales sinc AC DB: e inter C D quoduis
punctum F. Fumaeur.
Dico rectanscilum AF. B aequale cAe rectansulo C F. D e rectangulo
DAC.
F eL IC A F1O.
Adem rehianenre hgurt:
n eteoa cu sur iu ea L. icucrpileaue L;
aequari corporibus qua tormantur ex duetu planorum C. L. ee L. D in le
macuo; sinul cum corpore quod sc ex D A plano mulciplicance pla-
num AC.
tet quam mettiodum ob fcruare debcat redoctrina, quae hoc litro expo-
Cica elt, rracur. minuculus nonnihil eriam conera menrera Fui, in graciam
maxime eorum quihac Reri requircbane.
eluribis lupeiscdeo, cum haec abunde Cufticiant re quis iudicium For-
0O 1201. 11
D V.

## Folio 840 — 1815201908:0897
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000897.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
A
eoe. l
erAMNNE
de
ae
e lte dce i eM
nam libro in sequenti cubaturas Cglindri ejus que variarum parctn
nes prat
dimus, em a et eas praep
uprastanaum quda insrmulaus racio postnat. quia
Cylindrus su mnuu 2dussu
am ad corpus reductus est ipstaequale,
quod eiexitur ex parabola in se subalterne ducta,
restat et idipsum conemur praestare de C plindri
parte quae basi constet K G. N, es altitudine X B,
exhibendo scilicet aliquod solidum quod ipsi aeque
idipsum quoque perficiamus de corpo-
re quod bastm quidem complectatur. freuram
A F. C quae constat quadrante circuli AC ex
duabus contincentibus AF, P. C, altitudinem
vero AB, ex nonnullis aliis his similibus; quorum.
1’expedir
msolutionem per parabolas quoque
iti sumus: quae licet ex ai suae constru-
ctionis non videantur sectionis parabolica fieu-
ram exprimere, nihilominus certaratione reductae
perhibentur partes esse verissimari parabolarum,
2t 1LBL
m.de
produma
in veris parabolis. demonstrantur. L1F. I Licse CMILEIE
quas proinde irruales appellamus, eo quod virenie continean proprietates omines quae
DF FIN I T 1O
ade. 11
abolam vircualem roco, cuius ordinarim applicata, i aes leclanu
neam ponancur, aut a recca line a diuidancur bitariam veram produ-
Euntpatabotam. Lorco ulampletaeq. vircuales peimdelamhabet PlopitC.
TATCId

## Folio 841 — 1815201908:0898
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000898.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
reult.
ulli
camll.
odu
Opie
TACEH
N P L A N V M:
84L
Catem, ve lineabileeans ordinacim in illis applicacas, vera sic parabolas
cauela.
la 3
PROPOSITIO COXIY.
ECx AC, DK, aramerri circuli A BC, orthoxonalicet le le decul-
Penr: cenrrogu D, inceruallo D A, circulirs describoacur ABC, _ ex
ErECtR PONANCUE QUOLHIS AF P SIvC AF, FC, TunE eni F P ip(IS FC,
aequales, ve demonstrat Setenus l. 2. prop. 43. deinde per puncta F F, recta
Ponancar IH, aequales lincis AF sinc AFC, normales aurem ad dia-
mecrum DK, a qua Otariam secentur in 6.
Dicopuneta l ese ad pacabolam, ciius atis cAt DHE, 3. 13 
SDES BSACt.
Demonstratio.. 4 i 11. 22 VT 133C
Veantur linex FK Qonam circulus AB C habet cenerum in petimetto cit-
culi AD C, quadraTUM A F esF ad quadratuM AF, vE2 F K quadracum 2d 2 13. citcitt.
quallearum F H, Sed re FR quadracum ad quadracum E Rslic R C linca cMadlincam
KC3 quadracumisicut AF est ad quadracum A F, id est FII quadracum est ad qua-
dtaCum FIL DE KG linedestad lineam KC: puncta igitur FTTK ad b patabolam V L. paraV.
lunc: ae buis RD ad rectos decultac lineas HI, recta RD axis es patabiolXFIIK.
Duod erac demonstrandum.
P R O P OSITIO CCXV:
Nictant denuo sibC ad recrOS, diamerri AC, B D circuli AB C:
LCuiuS CCHErUM P, CCB, incervallo B A circulus describaTuE
AFO; _ ex A recla PeaHEnE AHCI, SivC AFI, FTC, sunt enimi HC
s IL CXgualess re deriotistrat Serenus l. 2. prop. 43. Deindeper puncta
000003
HI, recta

## Folio 842 — 1815201908:0899
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000899.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
GH, Guc HIC
VEKNS BLA NL
Dico puticta BOC esse ad paras
bolam cuius latus reccum eAt F. C.
Demonstratio:.
Vncta AB delcribatur supCF AB ve
dianrecro lemicirculus BMI AsOCcurrenS
neis in MI; iungancurque M B; BII.
igicur an sulus AF B per hypo.
ectus eAt, Cemicirculus BMA
P F. cenerum circuli ABC, Xt
NHL lineis = aqualeSTUNEB M: CuNEAuTeM
anguli in semicirculo B MI A, adeoque e
anguli BM FE recti. ergo rriangula BMIF
Similia sunc, adleoque quadracum B M est
ad quadeacum BAI, vE quadracum BII
2d quadratum BII. quia vero anguli ad
M, in semicirculo rectilune, _ M B rectx
AUCHMEUF CX CCHETO CIECUHI AF CY, rectae
AC in M biffectae sunc: inde cum IR.
AC line aequentur, illarum dimidiae L. K, MI C aequales sUnE: X quia O K per hy.
pochelim aequancur FYG, reliqua MEI, id cA, ve iam octendi, MB reliquis LO
aequales sunE. igieuE vE quadracum MB ad quadratum MB, SC P O quadrarum
est ad quadratum LO: led ve MB quadracum ad M B quadracum, sic FTB qua-
dracum est ad quadrarum IIB, id cM I. B linca ad lincam I. B; quadracum igieux
F, O est gd quagracum P. O ve BP linea ad lineam BI, parabola igitur est
BOC, axem habens B F 5 ad quom ordinarim POTEX TuINE FO, FC. quia
aurem FC, aequacur B F, criam FC larori recto aqualisest. Ouod orac demon.
Aranduma et I AicI.
381 5 t c L 579A
ib ba monm eo RR DPOSTFIO C CLVI
EAX AC, BMI diametri circuli A B C decustene sele ad rectos in
LH; ponantur aurem per A, B, C concingences, et recta ducantur
AC: Occurrences circuli peritoero in C punctis, per que ponantur F. I
parallelae AC ex xquales lineis GC: linere verd F. L. x quales tranc re-
ctis, A G, F L.
Dicopuncta IL ad parabolam ette virrualem
TIFCCL POnanEUE LK aeqyales. A G SIvA A HL C, normales aurem adBD;
a qua bitariam scceneur in L. L.: hanc deinde linex KO aequales sineis
eren. 1.
Demon-

## Folio 843 — 1815201908:0900
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000900.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
N PL A NVI
Demonstratio.
DRoducantur verimque FC, aequalicer in O et R, ve RO corx in N billecen-
tuT, de xquales sinc rectis A C, C C: cruncigicur puncta R O ad veram. parabo- :
lam. auFerantur deinde rerimque linex R T, O S, aequales C C vel AF; criam
puncta S; B, T per precedentem, ad veram suneparabolam: deinde quia EOFa R 9
aequalis cAlincis AC,, C,C3 e 9S aqualis CC, reliqua S R id est OY, (quia
SO, TR aequales sunc) religuae AO id est per hyporhesim F P aequalis est: led
_ FI, O. S aequales lune C C, adeoque e incer se; illis igicur ablaris; reliqua IL,
SY aequalessune, scd S T, ad veram lunc parabolam, igicur per detinicionem huic
Parci peaetixam, ec II. Cunc ad vierualem: quod aurem illius axis, vera sic parabola (C
ostendo: secentur P I lineq bitariam per lineam PFTK, dico P FTK vecam esse pa-
rabolam cuiusaxis eAt F P. quoniam enim I. I, SY linee aequales lunc, rectae quoque
TO; SN; aqualium dimidix requaneur. Ouare lihiis addantur P. I, O S supeâ octen-
(X XQUAlES, CFUNEEOEE F O, VYO aequales. cum igitur recte R O, posix linc ad re-
ctamlineam D P; Cincque puncta Q ad veram parabolam, eciam puncta OO
erune ad veram parabolam.
PROPOSITIO CCFVII.
IIdem poliris:
LDico planum OS duccum in Ce, aequari plano F. F, ducco in alcicudi-
nem AC.
Demonstratio.
Droniam SO linex per constructione xquaneurlineis C C, id est linex A F, qu2-
Ldrata SO aequalia lunt quadratis A F, id est rectangulis F R. V; planuisieur SO
20. b1
ductum in (CB aqualc CA L. F ducto in P. V, suie in alcicudinem AC. Quoderac de  as huuus
monctrandum.
Laet sttO CCAVII.
Udc Poricto:
DicotC Platium duclum in Li i aequati platd LC C i.
Demon-
otet ute us u us e u st ie e s s ettu s   e e e e pt pes  e e  s p  s  aes p s  e   s e e i e e t      1 . s    1 .  e en s  1 e  u t  nu 

## Folio 844 — 1815201908:0901
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000901.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
84+
OVCFVS PL AN
Demonstratio.
 Ectx FO aGuaes uma ICcus XC, quadima stur LO aequalia lune
aas. huius.  Quadraris AC id est rectangulis (iF. V. planumisitur T9 a ductum in sc x
quatur L. C plano auetora LV.
PROPOSTTIO CCXIX.
NIrCUH ADBC diamerrum AB, SCCCE OrFIIOS MalIter recta quaenis
cur, quem in L lecene quoruisrectx DL. F occurrenres circulo AEB in I
punctis, per quae normales ad AB ponancur FC. Franc deinde D P. lineis,
aquales L. K, ica polica ve a diamerro AB bisecentur in C. Rectis aurem
DF, aquales AanEKN d L. I.
Dico lBNpuncta, irem C IE L. D, ad veras esse parabolas.
LCD: cenerogs B, intervallo BC, Sine B D circulus C E D delcriba-
Demonstratio.
YcanTUrreAtx B D, D A, A F. OuoniaM Au BUIUS DD A LCCUS CA, vrpote in se
Mirculo constitutus, estque B D. Semidiamerer circuli C L.B, C D Alatis et
ve BF ad bt, ellam C L C dd 6L, BC BX ad BF3 adtebde quadratum C 1, 4d
quadra.
c Perele
menta.
b92. ccrriy. circulu C F. D, in D. Ouare anguli inMetes arcubus D F, aquantur B angulis A D F
arcusisicur D P limiles luntatetos AL. LGOTBCCnIX DLIOCCHS A L, abCB9
ec quadeaca D F quadractses proporcenaa unc: sed quadeacum AI cst ad qua
dracum AF ve crectangulum B A C ad B A C id est ve recta AC ad reclam 
Ergo quadratum D F est ad quadracum D R, hoc est ex hypochen quaaacu AL
ad K L, hocest R C est ad quadratum R G, ve A G ad A G; puncta igieut L au r.
tam sunc parabolam. Idem eodem discursu ostendemus de punctis L.
Ouod adem puncta II, N NY eciam ad veram sint parabolam, Ec demonstro. SupCr
BD descripiolemicirculo se canre BF in FI, iunsantur B FI. Ouoniam anguli BHD
Poliri in semicirculo lunt recti, criant A DIIL ICCLI crunE, adcoque aequales.
lunc aurem d angm mconemLaccmemo aguaes. crgocriansula BFHI
Similia (UnC; CroO DF 2d B L, VE HIF ad FII. Deinde, quoniam recte B FTCx Cen-
ero B circuli E B, hornatesm ad DF, (aneum ehim B FTD sunc in Cemicirculo)
CrUNE DF. BiscClG M FT. OuarC cum CtIam RL Cx HyP. BHCClE MC in C, lincquo
ae qualesips DF, crunt D HIxquales P. C. Aequi ex liyp. EOEX D F aequantur coris
T. I. ergo reliquae FIF Tenss C Lauas. Guta Ieteur sanoendi ese FTF ad HIF,
eorott

## Folio 845 — 1815201908:0902
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000902.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
Supel
HB
BFL
XCeM
irculo
ique
uales
12 d 12
aua
IN PL A NV H.
343
quacdcum CF ve quadracum B F ad quadracum BF, Hoc en de ela  al tC-
etam BC lulclasleat CE ue a parabola. Leemeddem encurlu ottendam do
punctis LeAs habemuserso propolicum.
PROPOSTTIO CCXX.
TIrculum ABC, Sccet recta quaenis A C, super qua ve diamerro le-
smicirculus describatut . AcM ex A rectE POMAnET qua uI
AB, occurrences circulo DC. MB, de circulo ADC in D, per D nor-
Dico puncta LLL dd patabolam esse virrualem.
MaleS DONanEUE FHI, aequales rectis ADB.
Demonstralio.
LC_ HIE producantur iit F, ve B F aqualeS SnE AD, Crune per 300. libri de
parabola, puncta F F, ad Parabolam. Deinde rectis DB aequales TUMANEUE P. C:
Per 305. libri de parabol. puncta quoque C Ci ad parabolam crunc. cum igieur lincc
AD, DB, id est ex hypocheh P IY, veras producane parabolas, ex detinieione pa-
ECC HY, I vircualem eNe parabolam. Ouoderac demonstrandum.
PROPOSITIO CCXKI
Virculum HDC Accettecta quaenis BC, super qua delcripro circulo
ABFC, Ponantur ca Dlncae quorcunque B FF, occurrences qui-
dem circulo BF C in L, _ AB C in E pUnCtS; Per qUX RCCEX Ponan-
cux F. CI normales ad AC. diamerum circuli AB C, occurrentes cidem
Dico puncta IL ad reram ese parabolam.
Demon-
in C: hancaurem linex C l a quales lineis BF.

## Folio 846 — 1815201908:0903
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000903.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
40
Ve
VIS DL A N L
lib. depa-
ab.
VEclH92
sunc parabolam. Duod erat deMonstrandum.
rens contingenti per C ducex in D: ponantur deinde ex A linca AC
quorcumque occurrences circuli ABC perimerro in C punctis, per quae
recta ponaneur LIOI, normales ad diamerrum BC; haneque FIL li-
nex aquales lineis AC.
Dicopuncla llad vircualem elle parabolam.
AF, F
intiltune arcubus CF, 2ng1
C AF, C BF iiidem
es lunc. Cectanguli AF C, BFC)
in semicirculis AF C. B F C, rectitune, adcoe e aequales; similia ioieur sunc crian.
per 300. gula AF C, BF C: quarC VE A F. ad AF, HC FB ad FB; sed 2 A F cranslace in nor-
males CI, veram producune parabolamiigicur de B fi in caldem cranslatae ad veram
eAOtOSITIO CCXXII
Irculum ABC cuius diameter BC, Secet AD paraIIela BC, OCCUT:
Demonstratio
ca C ucnata laper AC rediamerro, circulus AP. C, OCuctens lincis
aC in punctis E. LGubniam igitur AD, parallela est diamerro BC, d CD in
C, CIrCUT AB C contingie, recta AD normalis est ad C D, adeoG: CHCUTAS H H C
B32. teris. exansic b per D. Fratt  L  GLLL, Crunt puncta F F ad para.
Cbtato

## Folio 847 — 1815201908:0904
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000904.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
AC
ia
A PL A N V M
847
Dolam. FISH. Mlaperlineis A, F O (id Cs lineis F G que sune partes linearum AC)
aequales NYM, HP. cruncrurtum punctA MM, C PP ad Paaa. G_IL vCrO FTL
lince Equales Tunc AB, _ ITT ipAS AF xquates, sccla Llaguales lune rectis
A, CF. id eC Conltr. NM; ac proinde IIrecta, Cuspse spatum LL aeuares la
rectis MP, duplis MNI: igicur cum II lictea aistale MM MP, Vetati producane
Darabolam MP; eric TI, Parabola rircualis, cuius axis est linca FT, quam osten-
dimus supea veram esse parabolam.
PROPOSITIO CCXXIK
Virculum ABC Pecec recta pet Cset AC, d Altetaton per illud
AAL, e policis D F ordinacim ad diametrum AC. tancrectis AD.
aequales lincx D, E. G, _D, F. II.
Dico CHI esse paraboral Cullo lalus leclu el AB.
Demonstracto
andoquidem quadrac AD, est ad quadracum AD, in racione A F linex
Ladlincam AF. Cum GE F AC, rectansulum aquale AD, quadraco. quia verd
exelemencis constat AF ad AF, candem habereproporcionem, quam habcclinca
AF ad A F. Igicur quam racionem habebic quadeacum AD ad AD quadracum.
candem quoque recta A P. habebie ad rectaI AR: TUNE aUTeM F. G XqualeS Cx
constructione rectis A D. Igitur quam proporcionem HaBCFFCCTA AF 2d A F, rC.
ctam, candem quoque habebie F. G quadratum, ad quadratum FG; estigitur C
velHIHI Parabola. quod vero recca AB, aequalis sic lareri recto ciuldem, sic costabit:
rCEca AB est ex constructione linex B C, aqualissisicur B C: qua dratum ad P. C.
quadracum ealem habecracionem quam habet linca B A ad F A lincam: hoc eAt
quam habet BC, linea ad lincam P A. quociica paret B Cr, hoc est B A, esC latuS
reccum parabole O HT. Ouod exar demonstrandum.
EOPOSTTIO CCKKIV
NIc in ABC circuli perimetro astumprum quoduis punctum A, ex
 satoela ponaneur quorcunque AB delenles cculi ABC pe
rimeeroin BB punctis, per quae tecca ponaucut L. L, lIOrmales ad CD
siametrum circuli ABC3 Lncal LL, aguates pito B, de Mt Id
AC. ue diamerro lemicireu  ece AB lneIS In MM:
diametro DC bilariam dinisae: iunetâ deinde AC, describatur super
t
AAME
    es  pa s te te e e tat  t t   e  te   a e ete tit  st t  tte te te ei pe e te  tes ti s e e e e e us t  e e tu  t t    t. p e t t    t    et  r. 1 

## Folio 848 — 1815201908:0905
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000905.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
BVCEYSTLAAI
hantauteremdiis rectarum MI B aGuuo LLL, LLC, a L.  MIIIBIS a-
848
P C veras cHC Parabola5.
quales OFI, denique FL a Gllalessane Le. d L. I Canslerancur in R;
PO: VE PO in K divila sinebitariam.
DiCOLHE, GF, IIEM FC, HF parabolas ente virtuales: deinde O1,
Demonstratio.
et elb
Ncelliganeut ad circittoru persprettas aucilinex CM, CB; cruncisicur eriangu.
la CMB Similia incer se, ve ex elementis pacer, quod eriam ostendimus 279. huius.
quare requadrarum CB ad quadratum. CB, id est ve CR a linea ad lincam CR.
sic HIB quadracum ad quadracum MB: id est OI quadracum ad quadrarum OI.
quia NEB, OT lincae per hypochesim aequalessune; parabola estigieur vera, OCY
cuiusaxis CD
Rursum eum E F linex aquales sine AB, _ OF aequales MB; sine aucem de
EF, OF in R diua bitariam, reliqux P O F. Fxquales lumr, de simul sum pex xequa-
les lineis AM: sunc vero FO lineis aequales OLF, e FI aequales IC, singule
isirur LHI, CF aequales sunc ipsis AM. Ccd ANI, cranslatae in P O normales ad
CD; veram producune bparabolam; isicur _ P II, CF cranstacae in PO ad veram
sunc parabolam. ergo F LI, F. C: lunc vircuales parabole. cum aurem lincae OO, II
rectas FHI; F FF et FC, FC bitariam dividanc ex hypochesi, parabolarum virtua-
lium axehet e BC Gl, quas olendi veras ese parabolas.
Tcerum cum F F lince aequales sine AB, e F C oltenta aequates AM, reliquae
F C equales sunc MIB, id est O, I. ex hypocheh. similicer HF rectx xquales octen-
duncur rectis OT; isicur cum OT vera sic parabola, puncta F. C, ITF ad virruales
sune parabolaS: quod vero PP, OO; quas veras octendi esse parabolas, rectas
E G, FTE bisecene, sC Ostendo. quoniam F:O ex hypochesi aequales sune P K, addi-
eovel dempro communi O P, rectx F P aequales TunC OR, EorC aurem F C+ Olten-
Exe tune aequales OT; igicur P C religne aequales sune R I: vnde B C in P P divila
sumbitariam. Similicer lin ex HIF in OQ bitaciam lect X Cunc in Q; iBiTUI, eC,
Duodoras demonstrandum.
mena.
6300. P
ab0b.
stttt

## Folio 849 — 1815201908:0906
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000906.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
eti2
CR
101
Det
cuale
recta
osten
C, d9
IH PL A N Y
0
Arerlecent lele circuliduo ABC, ADC in A e C punctis: quibus
diunetis, ponacur per veriusque circuli cencrum recta BF, cui paral-
lelX PONANEUED O, E S: _ D  quidem verlus A; SF. vero verlus C, OC.
curranequelines A C in L.  M: per puncta verO D, F. Cx A rectae PO.
AAHEUE ADF, A F G. lineis
deinde AD Fane xquales
D, L. I; _ D F lincis aequales
O. L. KE. deinde e AF lineis
aequales POnAnEUFE, MO.
e ip(iS F. G aqualeS SMN:
oltendimus lupra puncta
IO, _ NK ad parabolas
esse virruales.
Dico autcis corpusoeti
ex ductu plani IL. in L. IE,
quari corpori OrtO ex du-
etu OM in MH.
Demonstratio.
DRoducx FF, circulo OcCUE=
rant in P, e M E rectae cidem
occurrane in P, rectagulis ADF
requalia sune rectangula RL. I
Perhypochelim; Similirer A F. CF
rectangulis aequalia lunc rectan-
Euta NMO: sed AD F rectan-
sulis aqualia sune rectangula
PDO, _ ABC rectangulis XqUanEE F F S, rectangulis lgICIE PDO FFS
aqualia lunc rectangula TLK, OMN; Sed PDO rectangula x qualia lune re-
Etangulis FF S, (modo distancix a diameero BII Cumantur Xquales) rectanou-
liSiBITUE TLK aqualia (UNE rECtanSULA OMN: quare PL. ductum in P. K b X qu a - B +6. huius.
le est OM ducto in MNV. Ouod erar demonstrandum.
PR OP O SITIO CCXXV
PROPOSITIO CCXXV
ersecene lese circuli duo ABC. AC CMEE a C, lic aurem B cen-
a216. Bu
cescitcuto ABC in HI: deinrecta AC cransterantur in ll, l lnorma
les ad diamerrum BD, a qua bifariam dividancur in L. L: ip se aurem A II
EranSFCTAnEUEIN HL, RLO, dC INN, IO, CTUNEIR, HIM, II, OO, verx
ac Formales parabola.
C229. L1-
Dico HN superkiciem ductam in alticudinem C A, corpus extribere
aquale illi quodorirur ex ductu M lin Cciplum, minus KM ducto in Cc.
Lrrum circuli AC C, iunctilq; AC dUCANEUF eK A lINCX AG OCCUErCN
Dehno
u  at  s epes et ue ut p tete e et  tete te  A e ta st  te te  e e  e  te st   tte te te et te et t  e   a e t  e  te   t  t  . e  e d te

## Folio 850 — 1815201908:0907
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000907.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 16 lines, status machine
DVCEVS DLANF
Demonstratio.
Prolomons (V n parallelA (InE FTPS, CA, isicux rectangulum HTBI, C A; una cum rectat.
lib. 1. pro. gulo CFI, N A, id est quadraro C FI, id cAD F] C, Xquacur quadrato AFT, id
BSoren. CA R O exhypocheli. Poirue RO ductum in se exccdic AB C ductum in A C quan-
s. 24.
sib. 2. P. 4t. Ficate K M in sC dueta. Quodtuir demonstrandum.
PROPOSTTIO CXZXVII.
AbCAnE ABC, DE F circuli duo concenerici communem diame.
Leralem DF, ductisque ex C extremitare diamerri circuliminoris,
secantibus C BF, aganeur per B linex orchogonx BC I ad diametrum
AC occurrentes illi in G; dein C. B lineis eranslaris in normales HI, ad
diametrum AC, a qua bitariam secentur in G; Hanc B F. lincis xquales
B, HIK, irem IL.
Dico cam punctatrl, quam H L. ad veras esse para bolas.
Demion.

## Folio 851 — 1815201908:0908
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000908.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
1i6
IN P L A N V H.
Demonstratio.
parabolam. Ouod tuic demonstadum.
Droniam LL linex aequales ponuneur linets BC, Guadratum HF ad quadez
Lcum FTT, est, VDC quactacam ad eua acu DC, id est ve C G recta ad
Bente CL Face BL C. Ectangula aequalia ese Guaurato C O, adeoque et incer
sc: led cum per hypothesim rectis FB, PC aequaless eua LL, HIE, crunc
KHIT rectansula, aqualia rectangulis BP C; iSIC RLL rectangula aequalia
rectam C C su IIL vera ac Forutans en Patuda. uu aet a per C concin-
sune quadeato C O, adeoque de incer (c.  L C. dd reram de tormalem sunea ver , 46.
parabol.
EROPOSITIO CCZXMLML
AbCAHE AB C, D F F circuli paralleli communcMCamerralemDP,
 Ldclaq; Pel excremitacem diamerri circuliminoris, can
ducanut ex C secamtes quotus CL occurrences ciculo ABC in b
punctis, per quae orchosona ducantur ad diamerrum AC. RianE auteM
rectis BE aequales C Hl; rectis vero CB aequales III.
a titit Ealadetald ede vilcuatetuo
Demon
mni nunm ui

## Folio 852 — 1815201908:0909
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000909.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
DYOTYS ELAA
Demonstratio.
FCII CB EqUalES PONAnEUE NMI, quas C A diameter bilecet in C, rectis au-
cem B F aequalesfIANE NY O, MI K, CTUINEIGICUE PET PEXCCdEMEEM NCM, OR
Etis BE, reCR GFI, NIK aequales sunC MMcer se; ablacis igieur vel addiris communi.
buS MFT, relique OM, ITK aeguateslunE. Sed M C dimidix ponuneur iplarum CB.
id est ex constr. plarum FTI; isieur d HIK dimidixe lunc TII: quare cum L RK li-
nea dinidens III rectas bifariam, vera sic parabola, e TTIETAHSLACX IM NM veram
quoque producane parabolam, pater II P. L vircualem eAle parabolam.
Abeane circuli duo conceniet Communem diameeralem DF: et
Lex D reCtX PONantuF D B L. Acurrences circulominori in B, ma-
iori in L Punctis, per que rectae ducancur F. C Nnormales ad DFdiame-
merrum, C occMtant in O: rectae aurem DE cransterantur in F, GR,
verx ac Formales parabolx. quoniam eam GFI quam MIK linca xquales lunE re-
PROPOSITIO CCXXIX.
DicoLL Parave
_ D, BE. transterantur in GHI, K I.
dene raldate.
P
Demonstratio.
ECEHEUE FFF Bilactam in L L. quoniam
Sicur D P. lineis a GHIaleS CUNE E R nOrIMA
les ad D F, punCTA DR K ad a veram fUINE p2
rabolam. quia vero tam OFL. KI, quam FI L.
ecta XqualEStME, EOLE G K in L. bile.
eta sunc; adeoque dc OK ad GK, HC O L
elC Ad GT: quare L. L puncta ad veram quo-
QuE lune parabOLAMI. VIceriuS POnanEuE Pel
Ferancur aurem amidix rectarum CK siuc
DL in GMN PatetbMIO veram es(C Pa
dimidiae iplarum a GuaLES TaNE. (Cd eEOP, L HI
quoque per constructionem aequancur; reli-
queigitur Ci bl. M l agtales lunt; unde
incelligantur ONheri aequales MOrecust
MPN rectansula agua lune rectangulis
OTTK, id est per hyporhesim DBF. quia
vero rectanrula DB F egualia sune quadea-
eoconringencis DM, rectangula DB,F 2
deoque _ MPN, aequalia sunc: unde cum
NMs ad veram sinc parabolam; puntela quoque PP veram c producune parabolam
lame la  aumas rera quoque octenla c parabola, constaE HL
puncta aee rablatet  Panautato
D e F Contingentes, DR, F T, quas in R
ec I lCCEEqUEHIS R L paraIlelA D F, ErANS.
rabolam. Simiticer dimidix lincarum FIL
cransferantur in PO. Quoniam igieur MO
aequales sune dimidiis CK, rectC NIO, GL
isicur eum dimidie linearur LLL Causta  LO Formalem constieunne parabo.

## Folio 853 — 1815201908:0910
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000910.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
C
11)
TN. PL A N V V
PROPOSTTIO CCKXL
Abeane circuli duo excentrici communem alamerralem D A Ct: de
LDex a (excremicare diametriminoris circuli) recte DONanEuT AB OC.
currences minori circulo in B, maiori in F: per B vero ducantur BlnOr-
males ad A C diametrum, cui occurrane in C. tanc aurem A, B F. lineis X-
quales OI, _ AB rectx transferaneur in lH.
Dico IK parabolam cAc rircualem.
Demonstratio.
ECENEUE TK Bilariam in PP, et AB linex
Dcransterantur in CO: a Cric igituF GO vera
ac Formalis parabola. describatur insuper cir-
culuS ALL contingens AB C in A, COn-
centricus aurem circuloD R F, OcCurrAEqUC
AB lincis IN LL, Cum A, BL ETANSFCFANEUE
in TO. KR. reliquisidieur L F. Equales CunE
GO; _ AC lincis, aequales OR: rectae de-
nigue PO; P R aequales sunc. quia vero cir-
culi A BB, AL L seCC Contingune in A, re-
etx AB, propOrciONALES SUINE AL; Sed AB
lInCISRGUAEUETK, _ AP X quales suNERO.
isieur TK RO linea quoque lunE pro-
porcionales; oltensum cA aureM B RO
parabolam este rircualem, ec P P Formalem;
isicur cum IK cranslocae in GO Formalem
producane, ee PP linca, bilccans lincas IK.
vera quoque sicparabola, constac TR virrua-
lemeste. Quoderat demonstrandum.
PRBPOSISIO CCALAI
vocendatrecta eseueneun ve aclla quoque con-
Deinsence cearam in puncto A, Scilicet AP, convenience cum alcera
tansenre BN, qua aequidistat AC.
Oporrear magnieudinem exhibere ex duetu muruo parabolarum qua
Equerur corpori habencibalim PC. Cup erticiem, et alcirudinem AC, Tub.
rentam legmenri ABC.
2 Per 300
libride
ab01
944c
2 Demon
(ttis ue i esi te  s e s t   e tt t  e t st  u t e st e  e e  e ete es e e  ste te e e s e se te e u lte  t t .     t  s  e  te e e t

## Folio 854 — 1815201908:0911
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000911.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
DY CTVS PLAN
Constructio ex demonstrario
DVeaturrecta B P. per cenerum circuli cui sic aequidistans A D; conveniens cum
contingence BN, in puncto NV. hanc aurem rectis A C, aequales recte C FM rC-
ctisaucem A I constiruancurxquales I F LI. divisis denique bitariam rectis M FI, tiane
iplarum dimidiis a quales recte RP. X R R, candem F. M tanc xequates L. O. Dico
imprimislincas OO, e L I, Fore parabolas. Dico insuper corpus ex duetu O L. su-
Perhcici in sciplam aequari magnicudini super bali PC consticurx, habenei alcicudi-
nem parem linex AC. Primam isicur parrem sic demonstro. Ostensum est lincas
CTe COrranslaras in rectas, qux a linea C. V incipiunc exhibere parabolas rireua-
los. insuper eriam demonstrauimus vircuales illas parabolas, s mediecas iltaru linca-
rum applicetur hinc inde ex punctis RR, carum medierares in punctis scili-
CCELI _ K R producere Formales ac verasparabolas I. K. oltendimus precercare-
Aas AC, hoc est G, OT adiunceas reccis R P, Formare eriam veram parabolam
OO; luncisicur verx parabolae 0O, ec I. K, lincviprimam isicur parcem Cutticien-
cer demonstravimus. R cctac ieaque secunda, Scilicec quod magnicudo habens balim
PC, e alticudinem AC, aequalis sic quancieaci quae resulcac ex duccu plani OL in (0
ducci: hoc aurem manifeltum hec hiac ratione. Ducacur ex quouis puncto Ci recra
COxequidictans AP. concingenci, ee simul ponacurrecca A i, eric icaque, re osten.
dimusa quadrarum AC a qualc recransulo  AC, hoces recransulo lub P C, de
 AC, polica est aurem ex constructione linea F MI, hoc est OF aqualis lincq AO.
Tgicur li hac CT parallela AP, OP. quadracum equale cA C, P Y. reccansulo. quam-
obrem per propolicionem quadragelimam quineam huius libri eric OC. planum in
se duccum producensmolem illi parem quam exhibet balis PG, ducra in alcicudi-
nem AC. Quoderir laciendum.
Corollarium.
Voniam demonstrario communis est non Colum segmenco AB C, veruim eriam
LAP. C, Tegmenco. Hlinc eoram superticiem PCi, ducram in alcicudinem AC.
produceremanitestum cst quancirarem xqualem illi que cmersic ex plano LO du-
ccoinse, parrem scilicet P. O, gux scgmento AB C connenie, in se mulciplicacam
reguarimaonicudini quae habet basim P C incercepeam paratlelis, incer N B, A C,
consticucis, parcem limilicer L. O, qua leomento AD C convenie in sciplam du.
cram, equalem cAe moliproduccae ex bali P Cn collocaca incer parallelas A C, d P. V,
modo aequalis verique derur alcicudo AC.
ponstra
itc.
Per de-

## Folio 855 — 1815201908:0912
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000912.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
eRC
 PL ANV M
PROPOSTTIO CCXXXII
TIrculum AB C SeceEper centrum acta recta B D, cui AAFUIRCUEX-
souidistans AF. OpOrret aurem parei cynu habenci basim Ce-
Sudencum AFF, et alcicudinem BD  aliudxquale exthibere, qudd
SEal aceca fucadoaua Pacclula la Lechulcem.
Constructio e demonstratto
 EctiS AF AanEaequalestinca F, C. H, inparallelis F V, SecancibuS AF; ad
LSCeneur. Denique quoniam oltondimus Meas NOe I. M vircuales ello paca
rectos angulos; rectis quoque s I ponancur aquales P, C L, linca; Rmilicer li-
neis AV, aequales sacuaneur V, C+O, veicriam rectis F V, Xgnales V, CM, col-
Bolas, reducantur hx ad Formales aC veras RR, P1. e SS, F Y, prouc luperius
explicacum est, ostenden dum igirur superticiem TK, ductam in SP, qua amba
Tunc parabolicis lineis conclula, exhibere magnicudinem quancicaci parem illi, qua
resulcar exbasilegmenti AF F, d alcicudine BD. quod sc constabit. agaEUF X Y.
aequidistans AC, sedper circulicenerum: iungantur quoque Z A _t X P, vri criam
AF _E FF, criangulum A X F. cam rationem habec ad AF F, criangulum, quam
habec linea XZ ad F G, perpendicularem ad A F, sed crium criangulum A Z F.
ad A F F, criangulum habecrarionem compolitam exracione AX ad AB, X CXFa.
_ exratiONC ZF ad FL: lea ctau am AX F ad rectangulum AFF
tione X E ad F E, igicur racio X Z ad F C, composica est ex ratione A X ad AF
habecraltonem compolitam ex ratione A L ad AF, d exrarione X F ad F Fi igi-
cur eriam racio rectanguli A L C ad rectangulum ALF, eadem est cum rarione
X Z ad FO: rectangulo aurem A X F aequale est rectaneutum ZY, XZ; igitur
propolicionem quadraselimam quincam huius, luperticies s P, quam octendimus
ZX Y, cectangulum ad rectangulum AFF, eam habet rarionem quam linea XZ
ad F C, lincam; ergo rectangulo FC, XY vel BD, xqualecA rectangulo AF F
sedlincae AF aequalestunc ex constructiono rectis CN, _ linea FK, xquales sun
ex eodem capire rectis GL. Rectae vero GNY, e CL aequales sunt quoque lincis
SP, FKi igitur rectangulum S P, YR, aqualc est rectangulo F G, BD. quare per
palablis incerceptam, duecd li planci L R. (Gloa idem elt cum Se, linverracues
exhibeb corpusaale adimi luper bali legmenci ALiF, constirure habelt
 alcuamem aqualem MaMCErOCICUIBD. Suod erac extibendum
4944
Corot.
aees  seo o  122Sa e te no oEoreea    e e 

## Folio 856 — 1815201908:0913
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000913.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
OYCTVSSL
Uarium.
xegtalem magnicudinem subminutare Aliquancicari quae extursir ex ductu pla-
ni SO insuxorticiem F R. Cuncenim SO. _c TR, linex xqualesrectis AV, et
Odem prortus discursu parebirbauim OV, ductam in alcicudinem diametri BD.
P. V. ve ex ipla constructione, d prxecedencium cenore laris manifestum est.
RC
OSITIO CCXXXIII.
TIrculum AB C, sccet linca per cen-
ilrum acta BD, qua diuisa bitariam
in F _ F, crectisq; ex ijs normalirer ad
diamedum rectis EO, FC, deseribatur
L. L parabolaaxem habens BD. Deinde
hanc concinux proporrionales HIN, KH,
corpusresultans ex plano R NI, in
cudinem BE, aequari magnicudini
Da(i IL, ee alcicudine BF.
Demonstratio.
Voniam concinuane eandem rationem li.
LBCX FIN, RN, MN ex constructione igi-
cur quam habebicracionem YTN ad R VP, CaH.
demhabebie HIK ad RMI. rectangulum ergo
FIN, RM XquaEuTHTKN rectangulo. demon-
Aracum est aucem rectangulum FIK O, hoc eM
FIK N, aequale eNe HP, KP rectangulo, pro
politione scilicernong ehmalecunda huius libris ibitur rectansulo FIP, FL L. Xquale
est cectangulum HN. KM. lsicur per quadraselimam quincam huius constat pro
bocrum.
u
alE
Corollarium.
Ine manifestum est lineam NM, non ese parabolam, nisi Forre quis eam etiam
rircualis nomenclatura dignari relie, ed quod ad Formalem aut veram Facile pos-
sic reduci. E enim fuerine IPI, rectxe consticuex dupla rectarum RN, eric R R el
lipsis, De exlib. de Flliph constac. posicis aucem eunc rectis IR, aequalibuS RMI; crit
RR, vera parabola, cum eandem rarionem sint habicurae rectae INI, ad NR, lineas
quam habene R D ad OF, rectas, quare PaTeE R R, non minus Fore parabolam
quam sr ex constructione facta L. L. par abola.
PROPOSITIO CCXXXIV
mis diamerri AC oCcuens LL, Contingenet qua agaer
diamerro AC, e perpuncta AB C descripra sic parabola cuius apex B;
_ per punctâ AC delcribacur parabola habens verricem in concurlit: lin
nex BD cum circulo ABC, qua producta occurrar contingenei EP
in punctis e e R.
Dico
VIrculum ABC CUIISCCNETUMD, COnEINGAnEAF, CF eductX Cter

## Folio 857 — 1815201908:0914
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000914.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
DeC
Auc
quie
apen
CuB
ent
1. 11. 1
N P L A N V MI.
Dicoluperticiem L. M, ductam in sciplam extibere corpus a uae Ha-
snicudini qua balim habec CFT, planum, ee alcicudinem CI.
demonstratio
Scensum est secultula propolitione de hac maceria parabolx vireualis, rectas
AK, K C disporens ve dividancur bitariam a recta BD, producere parabolam.
LL, O0. Praecedenci quoque propolitione demonstracum cst lincas AR, R C cOI-
locacas ex punctis CC, proterre parabolas virtuales qua reducta ad veras ac For-
males exhibeant parabblas L.O, XMN, habences PD, axem, lacus vero rectum
aequale BD. Cum igitur parabola ABC _C LF, OO, lacus roctum ha-
beane aequale. BD; necessarium est re illa ip(x existane de quibus praeceden-
cibus propolicionibus mencio facta cMt. quocirca LMI, sunc aquales AFY, vel
K C, sed quadrato AII, aequale eAt FTGT, rectangulum; isitur criam quadeacum
LMI, aquatur HIO F rectansulo: quamobrem per propolicionem quadeasesima
quincam huiuslib. manifectum eAt magnieudinem que sc ex ductu superkciei L M, in
sciplam, aequari corpori super bal C FI. consticuco, de alcicudinem habenti CI, li-
neam rectam. Ouod demonstrandum fuit.
PR OPOSFTIO COXZEV.
DONANCHECAIEI GUa IN SUPETIOTE SCCMALE LUHE POLICA.
Dico balim CK, ductam in alcicudinem C. L, dare molem illi
magnicudini parem, que emerger ex ductu plani L. NV, in sciplum.
Lbidotarib
Incecenim oRen(x linex AR, aequales rectis R, LN, sed quadearum AK Xx-
Solo etH eaE. C LPEOPOciOnem qu adEBClaM qUInCAM LUIUd, Pa
quacur RCY rectansulo, isirur quoue Guaab LN, cidem LC 1, cectan.
cec huius proxolicionis vericas.
9949

## Folio 858 — 1815201908:0915
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000915.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
DV CTVS PL ANI
5.
10 cC
XXZV
Ine dux parabola ABC, ADC consticutx ad cemsument axeta
DF, ductaque sic cangens F. D, e linex AB, , achlque AO, X
quidistans axi DF.
Dico OP, quae media eet et e e patabolam.
RO
iaem
Demonstratio.
Vadracum CM, aequu et rectangulo GFF, sinivl cum qu act al A M d
parab.
b 193. d
arab
M quadeacum aguatur OMK rectangulo, hoc elt OM L. lmul cum
Prop. 42. OM. KL: Ced quadraro LIM, aequale est OM L, rectangulum,  ve ostensuni est li-
brode parabola; isitus seclans a LLL, rectangulum OMI. R L. aquale orniledl
ponancurinter OM; RL. medie OP, erie OP, Parabola lecundum b ea gux libro
de parabola diximus,cur eriam medieincer OFL FTI, hoc est O P, crir vera pari.
bola. Ouoderar aeoaeu
Corollarium.
InCeAt manifectum CorpuS ex ductu plani C FI, in FIL planum EgualC CHC maeMI
Lrvom qux habetbasim RF, de alcicudinem ONI, vel illi quae extaa u
Au plani OP, in seiplum per propositionem quadeasclimam quincam huius libri.
PROPOSITIO CCRKATII
Riangulum rectandaum AB C diuilum lic recunquerecta L, que
aquidittet BC.
rationem eius, quam habet linca AF. ad AC.
Dico  C   ab 
Demun.

## Folio 859 — 1815201908:0916
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000916.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
11
AN LL A N Y M
Demonstratio.
DErtectoCca Bulo A FB, Factmque cerriis
lineis quae sinc in concinua ractone blel
tipcis GK, IR, FIK, eric HEL a parabola:
ericgne ADE in se ductum, ad ABC du-
ctum in se, veelt superhcies AFL ad (UPCTH-
CIEM ACBI A, cum luperticieS ADF b in
Ic ducta aequalis sic ATTL F. ducto in alcieu-
dinem AF, icem ADBC in lc, aquale hC
superhcici AI. B C ductx in alcirudmem AP,
alcicudo aurem sic communis. Sed superticies
AF. L ad ACBL c criplicacam habet rario.
HeM AF. ad AC; igicur e ADP. in lc, dd AD C. in se ductum, criplicacam habet 245
e
racionem linex AP. ad AC. Quod erac demonttrandum. C il ls et ei 14. 2+1. parat
1t
bP
huins
C Collibitur
PROPOSITIO CCXXXVIII.
E libea co Ciopaladolata LDIM VelcCcA, Bonancuic
axi aquidistances BF, FC incer le aequales.
Dicotonumenes ex aulia  e Laguai onao teuican-
ei ex mucuo ductu superticierum HK, K M.
1et
Demonstratio.
lam gua est limilis C R L Pacaooe: icem lincas quae cerminancur in parabola
CO A, qua eA similis C AD, medias cNCinCeE HIK de HIM: igiturcum OIxqua-
les snc FTO. illae nempe quae aequalicer ab F, e C, distane, quadrara quoque C I.
FTO, de consequencer rectanrula eriam TCF agualia sunc rectangulis RFIM; 2C
parab.
propceredc corporaeriam incer se xqualia lunc quae oruneur ex ductu superticie u
rum C L in CL, _E FIK in FIM. Quod erac demonstrandum.
PROPOSITIO CCXZXIA.
VIEparabOlA ABC, CUIUS aXIS AD, d recta AC occurrens parabola
in C.
DicoBD duccum inte, prenecce onu guoa au Corpustelals la
duccu E. D planiin sciplum, habeac racionem quam cria ad duo.
167
45.
Emonstracum d est mediasinter GF, GL. scilicor GN ese ad candem parabo-
Demon
ss  ue  uite te ate  e i t ae t su ti t e a e e pt  e  te e t  t it te et pt p a   sta u     e s e  A     s t   t  

## Folio 860 — 1815201908:0917
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000917.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
306
a 42. parab.
167.8a
i
uin.
DV CTYS PLaH
Demonstratio.
tas F C qua aquidistoc AD; crune
sconcinta ED, BD, F D. limilicet
nECtCS COnTINUX ED; ED, OV, b Crit
GC PatWMa. ISICUE CCOrpUS CmOrgeHS ex
perncto BD in alcicudinem PD aequa-
cur illi qu’od sc ex ductu superticiei BD in
epa. PaI PactO COrpUS quOd CTUIEUE eX
dali GD. in alcicudinem F D, Xqusle est py
aum, rarionem candem obriner quam eria ad duo.
AEx der ad duo, oum d. B Fi duplum sie B F) ec consequencer F D criplum ciusdem; igicur
inst. 243. cciam BB in sc ad P D in sC d
ramidique extursit ex F D criangulo in (e ducto. Tsitur ve est superticies RD ad lu-
Perticiem OD. ica eAtcorpus orrum ex ductu B D plani in le, ad folidum quod ori-
cur ex ductu F.D in Pe: sed superficies CD estad luperticiem CD, Auc BR. Vecria
Duod erat demonstrandum.
PR OPOSITIO CCXL
1EHOC A 33isF~V
DArabole ABC sIT axIs A D, ApCx AuIECM A punccum, cui Sub alcer
L nCCOII
etur, parabola D L. Li ad dxct D H, ee politis duabus xqui-
distancibus ordinarim ad axem cellicet G, fl, lK, hanc rectangula OP H
aequalia rectangulis OPR; licalirem ONI, linca recta, vei _ HI R R.
Dicocorpus ex duccu superticierum NO, PO, aequale esse corpori
quod generacur ex planis inuicem ductis OP, OR.
Demonstratio.
roniam ductum planum PO in al.
cicudinem NP, aequatur lolidis pe-
nicis ex ductu NO in PO, e ex O)
plano in planum PO, et quandoqui-
dem solidum habens basim O P, _ al.
cicudinem, P R, aquale eA duabus qua
ciracibus quae tiunc ex ductu plani OL
in PO, e plani OP in OR planum
eAt aurem Colidum ortum ex ductu OP
tOP. In PO, ab veroque autcEaEur.
pora, Ccilicer corpus ex duetu NV O, in PO aequalo solido
i OP, in OR. Ouddemonstrandum fuit.
in P
qucs isiu
remanebunt Xqu
quod exhibet ductusi
I. L
C C Z
Malteur iceru parabole sub.
alTerHO ABC, DE F haben-
tes axes paralseloS AC, D F: e du-
cta axibus parallela BK, HatCOr.
pus habens balim M C, et alcieu-
dinem CN aequale Colido quod
nc lubbali CO e alcirudinc C P.
Dico Colidum Faccum ex ducru
Demon-
plani MO in ON, aquari corpori extibiro, per ducrum GO in P M planuti

## Folio 861 — 1815201908:0918
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000918.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
d
duc
IN PL A. H N M.
864
Demonstratio.
ESCdenuo commune corpus ex superticie MIG in GO. IBIME FCSdUA COMMUHI
Lodempro sunr incer se aequalia hoc cA PML in G O, XqualC MIG, in ON, quod
erar demonstrandum.
PROPOSITIONCALII
LecHTI
DArabOlX ABC, DA E TubAIEerNA ALAEHIANEUE HADCHICES AC, BE
axes, quossecent ordinatim Dolicx FC, HL. l; Ht auteM COrpuS ex balI
C.M in alcicudinem M O, aequale solido quodbalim hâbee M N, ee alti.
Tudinem KM.
Dicocorpusemersens ex ductu plaroriim L. M, NO eglarirolido
quod Ec ex mulciplicatione superficierum KL _e M N.
Demonstratio.
DVoniAM COrPUS Cx MPT, in 2l-
Lcicudinem KM, a quacur Colidis
duobus, vni quod gereracur ex ductu
MIN in ML, e alceri quod reSUITaE
CX duCTU MN, _ PR. Deinde cum
solidum balcos LM, _ alcicudinis
MO, aequecur duabus quancicacibus
quarum rna estorca ex ductu (uper-
ACICrUM LMI, M N, e alcera produ-
eta ex ductu planOrUM LM, NO.
Ioitur si commune collatur CorpuS
verienque scilicet quod Hc ex ductu LM in M N. CAdua que remanentincer le c.
runc aequalia, hoc est LM in MO, aequabitur solido, quod brirur ex ductu RI in
M NI. Ouoderar demonstrandum.
DROPOSITIC
L nis axis in partes aecules in punctis L. LGD, ec. e ductx linvordi
nacim adarem AIL, IF, EG, AD.
Dico Corpora quae genC-
FaNEUE ex duCtUO R in RV
PS in SX, e OPin YY
inter sele essexqualla.
Demonstratio
tBro de parabola Hcontra-
Aec HIB, ridelicetO RV, PSR.
scumr inmeniesa guadraeum co-
cingentis FTF, aequale este cuinis
rectangulo quod Ac sub parcibus
cuiuscunque linca quae aequidi-
vel. OTY. quare rectangula
DOnantur dux parabolae parallele A BC, d T F Z, divisus sic commu
351
OR V. a , bet  LL. EtBDCC AHETEHNIMES POHAHEUE
aglate
1t
   it ite ta uet    it   e t e  pe t a sut ie t  e  pet  e i a  ta  e   e t t  ta  s at   e a    a      i

## Folio 862 — 1815201908:0919
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000919.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
862
aequales F F. F G, C D parer per propolicionem quadragelimam gulam huiusli.
BEI COTPOTAOR V, PS Z, t O PY, esse inter se aequalia. quod oportuic demonsteare.
PR OPOSTETO COXLIV
axes consticure: lic aurem CD linca xgualicer ab axibus dictans; ad quam
collocentur sicu subalterno HIK X HE MI parabolx.
Dicosolidum ex ductu plani C LI in planum M N emersens, duplum
esse quanticatis quae producitur ex superticierum HK, KM mucua mul-
ciplicationere lulcantis; live dico C H ductum in se lubalcerne producere
duplum ejus quod producie HK in HM.
DV. CFVS ELRHL
AcabOla A BC, D E F habean aequale lacus rectum ad axem consti-
L CUTUM, CInEque (VDAIEErNE PO(IEX, QuaS SCCENE A F, B F ordinacim ad
Demonstratio.
Prop. 257. P) Vetis C N quae aequidistent A P, hanc rectis FII, aequales OP, e simiticer lineis
LMI RanE aequales OD, libro de parabol2 a Osten sum CA R L, R FI, RG, _EKL,
RMI KN esse proportionales lineas. Inscper octensum b Cs, li rectis E P, HanC Xqua-
les HI, _ rectis NO, hanc equales I. MI, denuo lincas RL, IFT, ITP; _E RL, LM,
MO esseproportionales, ac proinde rectangula PK L, HIL L, MI, et PFL, M OprOPOr-
eionali esse; est gurem rectangulum P HI, MO quadruplum rectanguli IK L, cum
linex PFT, duplG SInE RL, ex lincE M O, duplae linearum LR; igieur rectangulum
FTT, LM, quod est mediumincer LK P _ P IT. NO, SCiliCCLINCCF VnUIM _ QuaLHOE,
duplum est rectanguli TK L. Quoniam aurem proporcionales sunc linex OK, FTR.
TR, _E RNF, RN, RP CrIE vE R G ad GFC, itA RFT ad FL, _ VE R N ad NM,
ita RM ad M I: proportionalia luncigitur rectangula G FF, M N _E FII, LMCum
rectangulis LIRM _E LK L: nam racio C FI, MN ad rectangulm FTL, L M com-
ponicur exratione C FY ad FTI, hoc est FTK ad TK, _ EX FaTIONC M N ad L M.
hoc estRM ad R I; ac proinde ve rectangulum GLTM NT ad rectanBUIUIM HKM,
ita FTT, LM cectangulum ad rectangulum TR T: sed rectangolum FI LF M duplum
estrectonouli LR L, ve paulo ance ostendimus; ergo eriam rectanrulum GHI NH
duplum est FTKM. Ouapropcer per quadragesimam quincam truius, lolidum ex du-
cu planorum C FI, MN exorrum, duplum est quancicaris que sc ex mucua luperh.
cierum HIR, KMincer le mulciplicarione. Quod demonstrandum Fuit.
ab
eproer.
Prop.

## Folio 863 — 1815201908:0920
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000920.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
t 2 2 Ca L Ld
863
L6105tL1O CCKCY.
IIdem potct.
Dico rectangula M O, PFI, _ MI N C ITCUM NK C, rectangulis el-
le in concinuaratione.
Demonstratio.
)Scenum est contmuare candem racionem lincas R L, L M. MO. Igitur l2d02-
CUIF LM media TCEEIX M O, OrIeTUERN, quae cum MO, OL a exhibebi erCS 2 Per 8. lib.
proporcionales. similirer ob eandem caulam concinuabune candem rarionem P FI, de pros.
TIT, OR; ergo rectangula PHIMO, _ HTC. M N cum rectangulis GRN, crunc in
concinua analogia. Ouod erac demonstrandum.
Corollarium.
TInCcOIliSI DOTEFIEMN in OFF, planum mulciplicatum tolidum extribere quod
LLsic duplum corporis orei ex ductu LuDEFECICrUI MUTUIO MIK, K HI: nam TK L.
TTRM _ CKN, lunc proporcionalia. DcindeM O, P II _E M N, O HI cum NRO
lune proporcionalia; igieur IKI. ad PII in MO, habec duplicacam racionem cius
quam habec FIRM ad GFI, duccum in MNV, cum primus cerminus sic communis
in duabus illis seriebus erium concinuarum. (cd rario IKL. ad PHI, ductiin MO, eA
vrins ad quacuor, re constat ex discursii praecedenci demonstrarione Facto; igIEuF F2-
EiO HIKM ad HO, in MINV, e racio rnius 2d duo, camracio qua drupla sic dupla
racionis duplicaca.
VINEPaFaBOIX VE PTIUSCOMIHICuCA LuBaILCIMOABC, ADL MM: HIC,
D CB Xequales incer le, vri _ AF, E D ac proinde C F, quadratum; et
ACD, Tabalterne adiiciacur in P. FD. Deinde hac Cemicirculus AC C.
Dico corpus exorcum ex ductu HIL. in L. 1E aequale este semicylindro
super bali Cl et alcirudine AF.
eROEEIOBL
Demonstrario.
Saledenci propositione demonstrarum est solidum emergens ek et LIL. III
L R. duplum esse Colidi quod gignicur ex ductu HI in T M, blcdColidu CLuu
FT in L ML, Xquale est lemicy lindro super bali CiI, d alcirudine TMI. Igieur uLL R 
Eicaqualis A F; quae dupla est A B, vel IM, manifectom eA cOrpuS CX FIL. IN L. I
aequale esse lemicylindro CI, baleos, et alcirudinis A l. a 
RFKEE 2
RO
1
dum.
aetet1111121132215 1617 18 2O E0 2L 2L332A 33 2C 27 28
111

## Folio 864 — 1815201908:0921
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000921.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
PROPOSTEIO CCXLVII.
YC TVS PL ANL
Vbalcerne constituantur patabora A BC, DB P ad axem communem
AB incerlecantes se in puncto quodam B, a quo demiEFaCUFBR X.
quidistans axi AD, Facta aurem B R, aequali F A, ductaq; ordinacim F FI,
DOnAnEUFFTI, L. K quxe aquidistenE AD.
Dico Colidum productum ex ductu superfcierum P. N, O P aequari COr-
pori quod retuleac ex duetu planOrum OR, R S.
864
emonstratio.
Noniam ecltales sunCD C SE A L, iSIEUEVE
AC ad A V, ica est BF adD Digicur relinca
BC ad V O, ica est F. LF ad LMI, X GuiAVE A F ac
P, ica est D C ad DV; isicur ve cAF L ad IP.
ita eA GB ad V S,lo eA ve OT ad P Y, ita c
SV. quare cum Sc ILF adTM, VEBC adD V.
eric quoque N l’ad MP, ve est RV adQV, a
inde per 45. hulus lonidum ex ductu M N in OP.
quarur corpori ex alletu OR, in planum R Sd
peod tat demonilrandum.
RV adSV. ergoreC ad PT, ica est RS ad
Con(equencer vEMN adNYT, ica QR ad RV
e quia cAMT adST, ica quoque OV ad PT.
eTOOVECAEMNadOR, ica CC R S adO P; igicur
rectangula MN, OP, eO RS aequalia CUINE. PFO.

## Folio 865 — 1815201908:0922
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000922.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
TAL
TLOMETRICIS
Necessitas (o vtilitas proportionalitatis Cieometriea.
Veilam in hodiernam diem. mperstu  Geometriae scientiam
nultis areumentis ostendi possel, at que ddeo cultores exquirere qui noti-
etiam rerum sad dore excludant, quas in sinu suo amplissima vasticatis
 abys reconditas renet. Iu ceteras vero partes quae necdum prodre-
rum adnumerari merito potest parsed omnis quae rationum proportiones conn, 
sunt explicat quo Ceometricis contemplaclonibus inservire quedt. na leome-
eriae cultores propoohum cam partcumum prosecuti sunt, quae rationes similes in qua-
tuor maxime terminis, in duabus scilicet rationibus consistentes, considerat; proportio-
nem scilicet omnem tamquam minus ztilem respuentes, quae rationes complecteretur
quae similitudinerationis non convenirent. Vnde mirum videri non debet si ad sol-
ven das extraordinarias difficultates non satis praesidii adinuenerint in elementis com-
muni Geometriae studio adaptatis. Faec consideratio diu multum que me suspensum te-
nuit, ex de requirendis nouis adiumentis cocitationes iniecit. Mirabar primo tanta
obstinatione inter se dissidere eas Geometriae parces quae rectilineis terminantur, es quae
curuis vel inflexis clauduntur, Dt imperuium communicationis inter se commereium
reddiderint tot tam que praestantibus inceniis qua circatales materias tot saeculis ver-
sata sunt summo labore, nec minore industria, sed quae optato successu fere carueret huius
rei varias causas excutiens vix Dllam reperire potui qua v’el leue momentum habe-
ret. Tandem incidi in quandam speculationem qua duorum gurrundam incuruorum
parces conferebam cum partibus duorum rectilineorum, ex animadueret rationibus
convenire partes onius curui cum partibus alterius curui; similiter partes unius re-
Etilinei convenire cum partibus alterius rectilinet, e quidem rationes communes esse
curuilineorum inter se e rectilineorum inter se. sed quia discursus ex tot terminis co-
pulatis formandi exemplum neque in Zeometricis, neque in ella alia scientia ex stabat;
magnostudio es conamine intendere debui t ita mihi ea in re satisfacerem, 2t à ce-
teris qui mea lecturi essent intellieipossent. Ende librum praesentem conscribere neces.
RFFEE 3
sarium
11IIIII

## Folio 866 — 1815201908:0923
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000923.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
866
EROOE N LV H.
Sarium fuie, sor idipsum praestarem. conabor rto
dem huius rei conceptum his scematibus expri-
mere. Sint duo curua R es B, comparanda
cum duobus rectilineis C e D, sint que partes
curuorum E, F e G, FI proportionales parri-
bus rectilineorum L, LL; L, M, hac lese eFra-
tio F ad E eadem sit cum ratione R ad I: ra-
tio similiter FI ad C, eadem cum ratione M
ad L, sic tamen vtratio F ad F, non sit simi
lisrationi LIad O, e consequenter rario K ad L
sit dissimilis rationi M ad L, atque talis ratio
comparandi reperiatur in omni subdiuisione par-
tium curuarum quantitatum cum parcibus sub-
divisis quantitarum rectilinearum: hinc liquido
apparet necessarium fuisse rationem excoeitare,
qua formariposset discursus qui loco quatuor ter-
minorum proportionalium Veretur octotermi-
nis, ita ve lexitime inferri posset, sieut se habet
ratio F ad P, adrationem  ad C, it a se ha-
betratio R ad l ad rationem Mad L. atque baecratio discursus complectitur diversis-
simasrationum combinationes, modo diversitas assumpra in antecedentibus, assiene-
cur etiam in consequentibus: unde diversissima etiam quantitates inter se compa-
raia ostenduntur certam obtinererationem, cum quibusuis duabus quantitatibus,
modo leces serventur ad talem discursum conomnandum necessariae. Duemadmodum
ex huius lectione libri studiosus lector abunde intellicet.
c

## Folio 867 — 1815201908:0924
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000924.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
PROPORTIONMLLLALES GEOMEFRICA.
DEETNITIO PROPORTIOMCIAIIS
R LIM A
Proporcionalitatem voco proportionum rationem
867
E X P L IC A F
Velides proporrionem detiniens, alc, eam contiltere in d
 racionibus dmilibus, acque adeo necellario quacuor lalcem vIE
uales cenoseam requirere.
Proporcionalicasigicur cum sic racio proporeionum, duasminimum
complectirur proporriches, quocirca octoterminos porturac. Hamracio
incet duas consistil Gllancirares, proportio incer duasrationes vetatu,
quare gauelormeiota requirir. Proporcionalicasigitur duasproporcio
rescomplenu, veldembra seu cerminos exigit: quacuor scilicerrario-
res, quarum lingulx incer duos cerminos consticure Cune; vel duas pro-
porcioncs, quarum linsula quatuocem O em vissuales comipl
auneur. Exemplo Facilius res in-
nOcclcer. SinE raTIONES QUaTUOF
AB, CD, EF, OEI, duo termini
AB, racionem consticuune: sed
AB, _ C D Similes (1 FuerinE ra-
ciones, proportione consticuene:
ita ve diciqueat ve AadB, ita C
ad D, vel ve F ad F, ica C ad H.
veru quacuorrationes AB, C D,
FF, GH, proporcionalicarem
consticuune; que sic efferri deber:
ad racio Ct: Uou caen ide lea ene Mes ena et catu quo
plurima enim raciones, incer e ames, ul propencenateos faceetenstans linea assumenda est
ex z. Parcehulus bIl, et Geouteumque quaruor rationibus expolcis, For- pro unitati
mari pores proporrionalca. Polico enim I, denominatore rarionis AB;
rerir aut provorcio lactentum AB, CD ad proporrionem rarionum
FF, CCI, eAt verario lk ad raltenem L. M. Gua Comdcrallo non parui
ponderis exiltimanla cA, Ccopus enim in quem collimarrocus huius libri
decurlus, incomaxime consistir, verationes dissimiles, ad vlum Ccome-
tricum reuocaripostine: nam in Ccometricis proporrionibus ab antiquis
auctoribus, limilicudo rationum Cola Fuic adhibica; ica ve argumeneum à
proportione nullum posset proterri, quod similesrariones non concine.
rec: iuxra detinirionem iplam proporcionis, a receribus nobisrelictam;
quae
abu5
d
m
H, K, L, M er
eat
ira
nt denominator
Runitatem, ut papior rationis termita
ad posteriorem. Sed itar
B alium habet deromi
torem quam ratio
laeterum hic sensus probu
Cprincipio secundo
bi quod nempe compositio ratis
ex plicatur per multiplicationem
deteominatorum. Nemp
patet haec explicatio deno
minatoris maxime ex princi
quarto, ubi aitinam genominati
lonctis in rationis terminum
consequentem producit anne–
cedentem. Ergo KD= C
Ergo R = E L H
Si denominatores velimus expri
in
artus
quemadmodum estracio AB, 2d
CD rationem, sic CA ratiO F. F
distimiles sinc rariones AB, C D, d F. F, CHI proporrionalicasnon existat, mere per Lineas, una quaesam
ee rationis CD, ixlo K; ex reliquarum EF, GHI iplis L ee M: po.
 e a o s i i 1t pi ta e tuu t   ut  a uli e  ti  pt i   i  e ee  e     ita  t a i . t          a    t   a s it

## Folio 868 — 1815201908:0925
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000925.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
568
PR OPOKLIONALTTATES
quae rationum limuao apvellatur. ex quo Caris apparee; Geometriam
hucvique, quemadmodum circa varias macerias, ita quoque ineaquxe
proportiones considerar, mucilam remantisse; tanquam si rarionum dif-
limilium proporrio, ad Geometram non spectaret. Conabimur itaque
hoc libro dissimillimas etiam rarionum proportiones ad Geometriam
revocare: quirlus maxime ad Colidx magnicudinis considerariones con-
ducir; vrinam Ccomerrix studioli rasticarem Oceani Geomerrici perspe-
Ctam haberene, non haererent in elementis sulque deque inuerrendis, e,
vediciloles, decharra in papyrum eransterendis.
dt t 
Rationum denominatores Vocd, quantitates qua mutua habitudine
sua exponunt qualis ibsat a terrationes proporrio intercedat.
l
LLEATLO
 line raciones Aad B, C adD, e lincrocidem
ea, E, e F, quarum ratio exprimat proporcio
nem rationis AB, ad rarioneM C D; hoc CH, SiEquem-
admodum linea F. ad lineam F icaracio AB ad rario-
nem C D: haslineas, F nimirum _ F, datarum ratio.
num denominacores appellabimus.
Porro concemplationem cam omnem q; circa ratio-
num proportiones denominatorelq; verlatur, ad veram perrinere Gco-
meriam, de qua demonstraciones illa luas non lecus ac de simplicibus
quanciratibus, Formare poltic, exera controverliam esse debet: quae res ve
clarius inrelligatur sciendum est, non Polum lincas, Cuperkicies, d corpora,
ad Geomerriam spectare; sed orme id eni convenit eadem ratiO PFOPTeF
quam vel linex, vel superficies, vel corpora a Geomerra cractari postinc:
linea enim, Superficies, e Colida, non minus ad phylicam concemplario.
nem, imo Mecaphylicam perrinene, sccundum considerariones singulis
proprias, quam ad Geomerriam, gux in lincis, superhciebus de Colidisni-
hil aliud contemplacur, quam diductionem quancitacis, secundum quàs
linex incer se comparantur, aur superticies, aut Colida, quatenus vna ma-
ior velminor alcera, aut alceri est a qualis, aur vna per alteram mulciplica-
ri, vel inuicem vna alceti addi, auc ab alia demiporest. quae omnia circax-
qualicatem aur inx qualitarem verlaneur. vnde Omnes reS PHVLICX, pTOUE
huic considerationi sune subiecte, ad Geomerriam non minus spectane,
quam eres primaria species quanciraris: nam cemporis durario, motus
affectiones, ponderum momenta, ee sexcenta alia, secundum caldem
considerationes, Geomerricis Theorematibus subiecta sunt. Ouarecum
rationes quantitarum inter se parrim sint aequales, parrim inxquales, ac
proinderia alceri aqualis, alia vero maior, aut minor alcera, cumq. rario
minor amaiore colli queat, e rario per rarionem mulciplicari, de ratiora-
cioniadiunsi, etc. necessario concludicur etiam cationum noriciam, ad
Geome.
L F.
Pt
per

## Folio 869 — 1815201908:0926
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000926.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
1
111I
GEOME FRICF. 20
869)
era hucrigue hdchelunci alliohandis denominacoribus racionum, lLa
minatoribus rationum racionaMIAMI, GUIZ CXIIEUNCINEeF TerminOS, qui A-
richmerice exprimi polsune, qui ramen vlcerius materiam hanc prosequi
abstinuerune: neque lane immeriro. quis enim nonhaereac, (i ab eo postu-
lecur, denominatorerationis cuiuluis, scilicet quae incex dacas quaricicates
A e B consistic, extri-
beri? nam iure merire
relxonsi loco subiun-
vet, racionis denomi
natorem non cadere
Tub cognicionem, nisI
secunda rario, verbi
Gratia C ad D, adFer2
EuE, cum qua prima A
ad B, conterri auCar,
ve vere inquiri post
qualis racio exlursaE
inter denominatores
rationum AB X CD
ac proinde _ InCeF F2
tiones iplas datas AB
e C D, quo Facto ap-
parebie non recte po-
Cularum a, calive
ridenomatotemlationis la du. Ben alalio hal acccacore
tionunt AadB, & C ad cam a onus quat LLL. Qua-
tistic porcteno anatem , Guaiu L. Vndc merito calis qualilo
quemuis Geometram percellerenatâ est. Conabimur icaque praelenei li-
bro aliquid lucis adEerre, pro renuitare nostra, huic materia; in qua li quid
Forralle Lector adhuc desiderer, dienabicur meminisse nullas sciencias d
primo inventore pertecte tradicas fuisse.
Neramen difticulcares iam propolicas in soluras praeteream, respondeo
verum esse, Cirario, que in numeris exprimi nequeac, lolicarie lumacui, de
nominatorem eius exhiberi Geomerrice non posse. Ouod s binae vel
plures tuerine daex rationes, assignari porerunt iuxta senlum definitionis
noltrae lingularum denominacores, qui nimirum demonttrene qualesin.
cer rationes iplas proporrio incercedar. Acquehoc non rancum a duabus
cereis lincis praectabirur, se d a quibuscunque aliis, que prioribus propor-
35555
tionales
Ocometrixe scienciam plane spectare. Difficulcaseamien quam Géome.
eoscerruit, veneminem hucrlque reperire poruerim, quihuius mentio
nem faceree; nonnullos, eolquepaucosreperies, qui cractarine de deno-
C ad D, perhibeatur esse ve F ad F, ita ve denominatorrationis Aad B,
(IcF, ee denominacorractons au l, ligus procucat ans ceu-
nisrationem C ad II, Mmmmaco L at L, cum acnoaiotes la
re postulanti sibi exhiberi denominatorem rationis AB, non minus la
 p s ut  us ste tt te a pu st   eputi i  i pi. i e    e  tus e pi u   te  e    a  t pt e       p.   

## Folio 870 — 1815201908:0927
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000927.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
8s
PR OPORTION ALITATES
tionales existune. Nihil igitur estcur Geomerra percellatur, quod eius.
dem rationis cum alcera rarione compararae, plures denominacores extri-
beancur, Ci iuxra definicionem a nobis policam, probe incelligac denomi
nacorum officium non aliud esse, quam oltendere qualis incer rationes
daras proporeio incercedar: id quod non magis per cercas lincas E. _ P,
quam per qualcun que alias eandem cum ip(IsF, d F, rationem obrinen.
cibus cfcietur.
Flsad finitum in eacu specie quantitatis est proportio.
E X P L IC A T1O
FOnnullireperiuntur, qui postquam quadracurx circulimuluim, sed
Llrano successu intudarune, Ceomerras religuos a problematis illius
inveltigatione cerrere cupientes, ne Forre illis inferiores habereneur, Polu-
rionem plane impossibilem asseruerunt, hoc Polo Fundameco inmixi, quod
curui de recti proporrio nulla esser. Itigrariam illorum, quamuis ptinci.
pium a nobis policum explanationenon escac, paucula hihilominushoc
loco pramictenda censui; ne que enim hac ipla a serrio ranicare carerevi.
decur, quippe licheoremaris nomine profereur, immerico postulane ei A-
des ve habeacur, cum demonstrarionis Geomerrica nucleo non excluda-
cur. Ouod si vero principii indemon strabilis Perie contineri postulent, po-
eoriiure noltrum quod poluimus principium, id sibi vendicac. quis enim
neget parabolam curuam sisuram : imo cali inRexione inclinacaim quae in
luis parcibus longe difficiliorem continear curuirarionem quani circula-
res; qua ica incer se luncrnitormes vequirnanoric, omnes pene reliquas
perspectas habear, atque inter se comparare quear, non minus ac Ceome.
erx lincarum rectarum inter se rationes contemplantur: parabolae aurem
ambitus scu perimeter in suis parribus rque adeo mulcitormem comple-
ctirur rarierarem, venullum hactenis auchorem repererim qui de com-
paracione illarum parrium incer se aulus fuerie vel mentionem Facere. NI.
hilominus nemoinfciasibic recte ac Geometrico discurlu ab Archimede
parabola cum quadraro allignatam esse rationem; vana igirur prorlus est
haec alserrio, quocunque tandem modo incelligaeur. quia vero rancum
Tunceres species quanciraris, linca, Cuperticies ee corpus; hinc principium
nostrum de cribus illis hoc sensu volumus incelligi, re omnes linea sive
rectae fuerine, Guc inAexx; similicer de Superkicies leu curuis claulx fuerine
cerminis, siue rectis; quemadmodum d corpora seu planis superficiebus
terminentur, scu non planis, incer se comparari queane secundum rario.
nes quae quanritaribus conveniane.
Ouod Si quis dispurarionem in medium proferat qua nonnutli non
insima Cortis Ccomerra disceptarune de angulo contingentia, an ille sci
licet secundum quanciearem cum an gulis rectilineis secundum aliquam
proporcionem coterri possic responsiloco repono quodanguli sverecti.
linei
R IN CLPIVM ER FMVM.

## Folio 871 — 1815201908:0928
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000928.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
C F O H F FRIC A.
lincifuerint, sine curui, lide mixri, non alia rarione ad quantitarem (pe-
eteite quam sccundum lpactum quod continene, live illud planum fuerit,
Ciuctolidum, sccundum quod incer se non minus comparari postune qua
alia glauis superlicies cum superticie, auc corpus cum quauis lolida ma-
sniecune: angulusenim in recto (ve cum Philo Cophis loquar) non est
quanciras, sed quanricaln obliquo; (iuc aliquid est ad quancitatem per-
cinens. Vnde secundunthacuram luam excludi debet a veris speciobus
quanacis. Ouodltenim incer reras quanticatis spccies angulos admi-
leritus, incidemusinyrinchos, quibus Ccometrix principia se de-
Struaece M. Gud ve manifeltum hac, sequentis propolicionis de
monstrationem considerandam pono.
THEORF M A.
Oncingae AB, dues circulos se contingences in B, exhibentes an-
sgulOS CONTINSENEIK ABC D, ABFF.
Dico hosangulos esteinter (0 xquales.
Demonstratio.
quibus in infinicum parres demi postuneincer se
aquales. ed hocheri porest in angulis dictis. quod
Sicostedo. Diudacur lemicirculi perimecerBDHI
bifariam in D, de ducta BD occurrac circulo
BF C, in Piigicur angulus DBH aqualis est an-
salo F BC. eadem opcrario hac de arcu BCD:
bisccetur lcilicet in C, ee ponatur recta B Cr, ica-
que cciam angulus CBD, aequalis cAt angulo
F P P: Sed hoc ininhnicum heri porestiigitur quan-
cirasanguli HIB CD semiperimeeri cum diame.
ero aqualis est quancicari anguli G B F. F semipe-
rimetri BFC, cum diameero B C. Ouare eriam
relidui anguli concinsencix qui complenerectum
ansulum luncincet sc xequales.
tlinc consequicur doctrina qux plane destruie
Geometria principia, quod scilicec eorum sic parei
sux aequale. nam angulus C:B F F pars est anouli
Priuiquam mihilomthus concludam, memineris relim non trultra adaicam  p.
Cipio Polio Paletea n eadem specie quancitatis; linex erenim cum superticiebus
aur ColidisneC COmparanCUE, nec compacaripolunE a Gcometrai vrnec superticies
EH enim sunc dicendx aequales quaneeates, a
HIBCD. Pluribus reca nunc prolequi abstinco,
quodinstiruro nostro parum conveniat.
cum vila Colida magnicudine.
 e e  s  e t et peste e et ta se t plet te ta pette et te a etet Ate ele ti s   sit e te  estt  t ue e   te e a a s te s  e et  t e et   u  pi s e tt ut ate l 

## Folio 872 — 1815201908:0929
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000929.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
PROPORTIONALITATE.
INCIPINM. SE CVNDV M.
Manstns vel plurib
quantitatibus, ratioprima ad oltimam com-
ponitur exrationibus mt   pina quaas i t
habedrationem quaeoritur ex aeta stdus mediarum rationum
mi se multiplicatis.
X P L IC A FL
d
DVodpincipium eth verissimauHC, ex a magnis Gcometris, non
Lsemel rurpacum, non tamen vlque adeo omnibus arrider; ve eius
demonstrarionem non requirant. cgo verocenseo cum omnibus Geo-
metris cam diuincer principia esse censendum, donccalicuirario occur-
rachoc iplum Ceomerrica demonstrarione inter Theoremata reducen
di. nec mirum cuipiam videri debet principium hoc communi grega.
rioque Ccomerrarum rulgo non ita cognirum, verequirere videtur prin-
cipiorum natura; pauci erenim lune ex ijs qui rarionum compolicio.
nes, diviliones, mulciplicacione (que considerane, ea scilicet Geomerria
parte concenti qua elementis rulcaribus continerur.
Sed quonium coro prasenci libro de rationibus sermo habendus est,
operaprecium me facturum exictim aui si aliquanro diftussus acque rbe.
rius de rarionum compolicione dispurarem.
Racionum composicio ab F. uclide hunc in modum deAnieur: Rario ex
racionibus componi dicitur, cum racionum quancicates inter se mulciplicatae aliquam
effecerint rationem.
Cxcerum duplex modus assignari pocest componendi rariones, qui v.
cerque rlcacus est in Geomerricis. Primus, quo linea erium exempli
or. palmorum dicicur compolica ex rribus palmis. Secundus, quoqua-
dracum quod arcum nouem palmorum complectirur perhibetur com-
Policum ex mulciplicarione longicudinis erium palmorum in eres palmos
lacicudinis: acguihi duo modiica incer le differune quemadmodum dilere.
Pancincer sc addicio, e mulciplicario. Vcerq. horu modoru eriam rationi.
busconvenit:nam si quiscresrationes in medium adducat, dupla nimiri
tripla e quadrupla, ee alium requirat quae histribus egualis existac ortam
ex Cola addirione inter se dararu rationum, illi Parissier, si erium harumra-
tionum detrominatores in vnam Cumima addantur; quo pacto rario non-
cupla emerser. Duod l aurem rationem requirat relultanrem ex mulci-
Plicationeharum rationum, invenier lonse diverlam ab ca guxe per addi-
tionem producirur. denominacor enim primae racionis harum erium qui
estduo, ductus in denominatorem sccunda, scilicet eria, producer sextu-
plamrarionem; cuius denuo denominator sex ductus in denominatorem
quatuor cerrix rarionis harum erium exhibebie rationem vigelies qua-
druplam, quae longe alia est ab caqua per Tolam addirionem carundem
crium cationum cA producta. Verum dchinicio praelens quam exclemen.
i

## Folio 873 — 1815201908:0930
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000930.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
WIHIIIII
GEOM EFRICX
eis Fuchas accmus, de addicione incellisenda non cst, led de lola mul-
ciplicatione. quod manifeste parer ex ipsis verbis quibus auctor veitur, a(
Terens quancicares rarionum inter se debere mulciplicari, ex rationem ex
hac mulciplicatione resulcancem appellat compolicam ex rationibusiis
Ccilicet secundum quas mulciplicario tacta eAt.
Raciones aucem quae assumuntur, veincer se mulciplicatae aliquam se-
nerens, vel similesinter se lunt, ac proinde cadem (nam rario (ex ad duo
cripla es, non minus quam rario nouem ad eria, un de conlequenter simi-
les e exdem dicuntur:) vel lune diverlae incer se, quemadmodum est du-
pla, cripla, quadrupla, ecc. Ouod sirariones limiles lune quae incer le mul-
ciplicantur, verbi gracia, dupla in duplam, cunc rario quae ex duabus illis
compolica eH, duplicata dicitur illius rationis qua fuit inter terminos pri-
maeracionis.
quoruis rationes similes
nonem ad tria, duodecim
ad quatuor, eriginta ad dc- 9. ll3.
cem, erium adrnum ec.
2.
Ouoniam hae rariones similes lune, igicur eundem habene denominaro-
rem livc aqualem, nimirum eria. Superponacur ieaque denominatoreria
cuiqueracioni, quoniam quacuorrationes aum pex SuNE, quacUOE quo-
que crune denominacores. quod si ducacur primus denominator in le-
cundum, hoc est (i hacmulciplicario 3. per 3. exsurgerracio noncupla, qua
Superpolica rarioni qua. Hc ex 3. in 3. Ostendecg. ese donominarorem ra-
tionis qua compolica est ex mulciplicarione erium in tria, lve denomis
natore prima racionis in denominacorem sccundae, diceturqi rario non-
cupla esse duplicara eius quam Haber rario nouem ad eria, vel 12. ad 4.
Ouod (idenominaror g. mulciplicetur vlcerius per denominatorem ra-
tionis 30. 2d r0. qui limilirer esteria, resulcabic ratio cuius denominator
ceir 27. diceturqs racio viginci sepcupla criplicara rarionis eius quam ha-
betrario nouem ad eria, vel 30. ad 10. Ouod (i donno denominatoe 27.
mulciplicetur per denominacorem rarionis erium ad rnicarem qul’ER 3.
relulcabir ex hac mulciplicatione rario 81. qua dicetur ese quadruplicata
racionis eius quam habet 9. ad 3. vel 3. ad r. Fodem pacto procedendo
vlceriusincides in quincuplicatam sexcuplicaram rarionem. Significane
aurem hx formulae loquendi, ve ex ipsis nominibus manifectum est, ra-
cioneshas (cilicet novem aderia, duo decim ad quatuor, criginca ad dece,
e erium ad rrum per se muruo mulciplicari; non aurem ad le invicem
addi de mera hac agoregatio rationum; duplicara igitur ratio rion cst
Fario lplicicer eripla, ted mulciplicata per triplam, et racio priplicata si-
snilleat rationem quae nalcicur ex denominacorum mulciplicatione bis
Pocaneur velot stalla
Facta, acque ita deinceps.
Porro haltumantur ites te purescacones qua tcet se ansiconne
555563
lepe.
quales sunt rariones duorum als tcus quacuor de Vu, L lex 2d qu0
si harum pacionum denominacores luperponancur lingulis racionibus.
u pe e ues et e ti tie  t     t ut  e et t. s       p       e   t e a i e te tat  et e te ee  

## Folio 874 — 1815201908:0931
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000931.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
DR OPORTIONALITAEES
reveriemus duplam, quadruplam, et
eriplam, e rario duorum ad vnum du-
etâ in rarione quacuor adrnum, quod
hec per mulciplicarionem denomina
Z. in denominatorem q. exhibebic
veris denominatorem 8. per denoacorem 3. prodibicrario 24. Nullo
nonnum quam id Reri concigesc; illa erenim nomenclatura Colum conve.
nic calibus per similes Lactones mulciplicaris. Ouod (i quis incer duas
quanticares alias, verbi graria, in-
Ter quancicates 36. _c 2. incerpo-
Tueric 12. d 4. vel plures quor-
cunque; Fatio 36. 2d2. dicetur co
Poni ex rationc 36. ad 12. _ CxrA-
idem eria. Tandem rarioni 4. ad 2. denominator 2. denominator 3. du.
ctus in denominatorem se quemtem 3. producac 9. denOminaEorem ra-
cionis nodcupla, que lulciplicarus per denominatorem 2. rationis
4. dd2. exhribeat 18. detminatorem rarionis octodecuplae, eunc ap-
Parebir qualis racre retulter exrribus hilce rationibus, per se invicem
mulciplicacis. nam denominacor 18. Ostendicracionem 26, 2d 12. dc 12.
ad qu X 4. 2d2. incer se mulciplicaras proterre rationem candem quae est
in 36. d 2. 18. enim ad 1. candem habet proporcionem quam 36. ad 2.
Duod aurem pernumerostiuerque est explicarum, prorlus rniverlale c
in omnigenere quancitatum: nam si incer duas lincas a de B, quoruis
12
rum ad vium, ducta inrationem quatuor ad rnum, hoc est rario octupla
rationem cuius denominator erir 8. ac proinde octuplam: ratio vero duo-
Siducatur inrationem Pex ad duo, quod continger quando mulciplica
modocamen dici debebic rario 24. dd3 criplicara, rationis 6. ad 2. neque
ratio 8. ad 4. duplicata rarionis 2. ad r. vel 4. ad 1. quamuis per accidens
tione 12. ad 4. e randem ex ratione 4. ad2. consticuantur enim denomis
natores reiprius factum est, e superponancur singulis racionibus, seili-
cet rationi 36. ad 12. guxe estrripla, Cuperponatur denominacor z. _ ra-
cioni similicer 12. 2d 4. gux etiam cripla cst, superponatur denominator
bus lad C, ducta in racionem C ad D (hol C ex Labiene H al b.
e exlacione A ad D, ducta in rarionem alt L,  MM ex Fatione A
ad P. tandem exratione A F, ducta inrationem F. ad B, Hoc est exra-
cione A ad B. nam si semel admictatur quod ratio A ad C, ductain r2.
tionem C ad D, producarrarionem A ad D, debebit quoque admicii
quodtalio A adD, ducta in rarionem D ad F, producac rarioneh 
ad L, aconequencer quod racio A ad F, ducta in racionem L al b,
protetac rationem Aad B, et lic quod omnes ra , , 
EB, pet
linex incerponantur CDF, racio A ad B, dicicur compolica ex racioni-

## Folio 875 — 1815201908:0932
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000932.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
G E ON F TR IC K.
EB, per se invicem paca emocam cacionem primae A ad vlci-
neprorlusimmuraco, nmominus dicecurratio tad l Compolaexra-
cionibus incermeiss eode pacto quo Petus, ten comactanet latis per.
spicium est. _ licethaec omnia exelementis nora esse Ceomerris debue-
tam luppoluisse, paces Ca nihilominus ad memoriam retricandam, prx
Tercim ijsqui lxpe haec sudia coguntur incermierere, adiungere operai
precium duxi.
eR IN CLPTVM FER TIVM
Rationes qua ex is demrationibus comnat t  dit
cuntur, sunt eadem.
F Z P LICHFTC
ratio CD, ex yldem compo-
natur rarionibus L F, OFI:
raciones data AB, _ C D Cx-
dem liveaequales crune.
Duod l Tallottes darx Fuc-
rinEIR, LM, qux ica CX
iildem racionibus compo-
nancur, verario IP, (IE Ca-
dem cum rarione L. , e
ratio PK, eadem cum rarione OM, cunc res coincidie cum prop. 22. li-
bris. elementorum; cric enim ex a quali re l ad I, Sic L. ad NI.
PRINCIPIVM OVAREVM
umasrationis sive denominator ductus in consequentem ter-
minum rationis producit antecedentem.
E X P L IC A FIO
acalic exemplt Stactalario A ad B, nempet2.
ad 3. huius racions denominaror cMt 4. quidu- 212.
Ctus in 3. Corlequencetm terminum rationis produ-
cicancecedentem, nintrum r2. Idem in quouis calu cuenict. hoc princi-
pium per se manifectu a variis assumprum tuie, maxime ab Lurocio,
mam B, acque hoc incellisendum est eriam in quauis cranspolitionein-
cermediorum. nam sitinc aequales La lssu, a Cade ica
CDE incerpoliex Uncincer Fee C, qua lactate incer A e B, sed ordi-
e
DRopOTIEx lune bine rario-
nes AB, CD, de bina aliae
E F, GHI. Si racio AB compo-
Sica (IE, SInC PFOdUCaTUE ex Fa-
cionibus L F, GH; icemque
ncone, Ticcllone.
AROV.
 . .  i   e tu 1 e   u  ate .  t. 1. et . e e  u.   ent
st
 tuit ai  11

## Folio 876 — 1815201908:0933
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000933.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
896
Iu ta 
   lesta ileest n e
PROPORZIONNLLPAFES
AROVMENFVM FOTIVS LTBRI.
e
Primâ quidem qua denominatores rationum concernunt exponemus.
Secunda vero de similiudine rationum, quae est inter propertiones, suse
satis disseruimus, osten dimu sque omnia quae rationibus quatuor termino-
rum competunt, etiam rationibus proporrionum accommodari.
In terria multiplicationem rationum complectimur.
In quariâ de proporcionibus rectaneulorum qua ex varia compositione racionum
oriuntur, acimus.
Duina xero parce ea quae proporeionalicaribus Geometricis cum Arichmeciels
operationibus communia sunt, explcamus.
Sext a denique affectiones terminorum proportionalium, ac rarionum continuatio-
nem, varias denique rationum multiplicationes, complectimur; per quae aliquam sal
tem lucem difficillimis hisce anfractibus Geometriae studiosis praetulisse nobis videbi-
mur.
e
21
sex partes librum hunc duvisimus.
Bi s es C  IS

## Folio 877 — 1815201908:0934
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000934.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
ATRTCARTM
S PR IALILL
Fundamentdus propositiones complectitur naturam deno-
minatorum concernentes.
EROPOSITIO PRIMA.
prumuisrarion possibile cA denominatores exhibere.
Demonstratio.
Ac est murua gux dam ancecedentis ad consequens habitodore cundum exces
LLsum, et defectu el aequalirarem. Cum isicur rnius racionis ancecedens magis
excedas consequens, vel ab eodem masis deticiar, quam alcerius racionis antecedens
suum excedar consequens, vel deficiarab eodem; manifectum est unam rarionem
maiorem minoremuo esse alcerL, plane verna quanciras alcera maior minorue est.
Ouare sicuri porest exprimi rectis lineis quanto vna quancicas alcera sic maior vel
minor, ica etiam rectae lines extiberi pollune, qux octendant quanto rna proporcio
maior lic vel minor quam alcera. Aequi racionum denominatores luncrales recte li-
RCx, vepacet ex 2. detinicione. Ouarumuisigicur racionum possibile est denomint.
coresexhibere. Ouod erac demonstrandum.
Pcoblemanice aurem exhibebimus denominacores propos. uy huius libri.
eR OPOSITIO II.
Varaciones habences cOmmuNE CON(eqUeNS, CAM LOTEIUNEuF FalO
nem que incer anrcCCdentes terminosreperitur.
Demonstratio.
GTeratio Aad B, _ C ad B: illarum
aucem denominatores HHC L, e F:
per gcastum principiuns duius libri, D
ductuh B, exhibet H, limilicer F du
ctum in B exhibec C. 1gitut veD, ducti
in B. ad F, ductum in B, Ia cA A adC:
sed D in Bad F. I B, cam habec ratio.
guens tabenTeS, _C. Quoderacdemotaa. 
nem quam Dad L. ISut A ad C, cam
obtinec racionem, quam D ad F: se d ve D ad E~ira ek ratio A. B ad rationem C B. a Pa
ex
gicur vees Aad C, ita clteacio L1B ad C Bi quare alla lacten  
TEEEE
Corolla-
11

## Folio 878 — 1815201908:0935
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000935.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
PRODORTIONALLLATES
crelcere vel minuirationem inter duas quancirares, qualicer augetur vel decre-
Pcit alcera linearum quantirates exponcas exprimens; hoc est, polico quod rectae
A _ B, denocent racionem incer
QuaS quanLtaceS C XC D, II ad.
jungatur recta linea A, recta P,
aCFIE A Cum F, maiorem habens
rationem ad B, quam prius habe.
bac A ad candem B: neque (0-
lum maiorem, sed in ca rarione Materem qua racione illi incrementum accedie.
629. guin. b idem incellisc de mutstactone lincq A per ablationem cuiuscunque candem parti-
culxe; omnis enim litte acuns lariario pexiudicium nacum est adducere cuicumque
proporcioni aurracioni. unde merico dicere pollumus raciones omnes habences idem
consequens la crelcere auc minui, re augeneur rel mucilaneur ancecodences ratio-
num cermini.
Corollarium primum.
Inc optimo iure inferre licet in racionibus, quae rectis lineis exprimuntur ica
Corollarium secundum.
policis ctibus Guaetatibus qu’a
TInc Praecetea Clla constae quod
sine Ia Concinua analogra, nimirum
LLiL, cu coquoa caco A ad c.3 d0
rationem B ad C, lic ve A altb, Opl
i quod denominacor rationis duplicaca, d enominacor racionis simplicis
ciuldem seriei habeane racionem incer (c, quam dux primx quancicaces concinene
Hcer sesnihil aurem aliud incendimus coro proporomalicarum libro, quam proprie.
eales investigare quas habene inter se rarionum enominatores. Ouamuis aurem
p denominatores in Geomerricis exhiberinon possine secundum se; camen secun-
mesec
dum comparationé seu proportionem cum denominatore alcerius racionis Facile in-
D ad F. Frustra quaeric, cum vel
exhiberinon possic, vel quaevis
linea ad cundem denocandun
racio addaeur, a gutatu
proportio quae intercedieintee
F ad C, tunc aliquia postula.
cur quod a Crcomceria praestart pouc eque me maxime scopus in quem praelenei
libro commantus, amul cum aiss affectionibus qua maceriam hâc dilucidare queane
hactenus riguodceo mactam, ex alco silenrio obuolucam.
nOcCICunE. Daris enim duabuslineis D _x K, Riguis requirac denominatorem racionis
astumi possic. Ouod s vero alia
denominatorem racionis D ad
F, _ denominarorem rationis
5
O
Aris cribus A, B, C. iungacur quaevis D.
Dico rationem AD ad C D rationem, eandem habere propor.
ROPC
rioneu laa  oet ale  taan.
Demon

## Folio 879 — 1815201908:0936
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000936.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
_LOMETRIC A
DEr praecedeMem raciO
B
ad CB, candem proPOr
cionem habec, quam A ad C
Demonstratio.
CB. Duodtur demonttrandum.
ancecedens ad ancccedens.
insuperper eandem propoli-
cionemracio AD, ad C D racionem, eadem est cum ractone H de C. sH 1-
eio, adrationem C D, eandem continec provorcionem, quam rario L adracionem
eROEOSITIO IV.
Icracio AB ad lacionem CB, ve rario DB ad rationem LB.
Dico quancicates A, C, ecD, P. proportionales elle.
Demonstarto.
Premacmonum est rario
ratio DB, ad L Bracionem:
ergove Aad C, ica est D ad F. Quate  o
montTaTC OPOTEUIE.
AB ad C B cacionem
ita est per sccundam huius.
A ad C: Similiter ve racio
DB ad F B rationem, ic2
eAt D ad B: Sed veracio AB
ad C Brationem, ica ponicur
R OLOSIT1O
tatio AB aa LaIOHCMI C B, verario D F adrationem F. F.
31.
DDicoirerum A, C ex B,  proporcionales CC.a
1.31. l.11 tatii a
demonstratio.
eliul
Acio AB ad C B, cadem
raciono. A dd.
C. ancecedentis ad anrCC 1 IF D), 11,9I  s. et R nisois
dens. Similiter FacIO LL ac
F F, eadem elt cum bratIONC
D adF: Sed veratio A B dit
CB, ita ponitur ratio D F
2d F F. ergo A est ad C, ve
D ad F. Ouod crac demo
Aranduin.
1t .s ((23 D BE C Et A 017∞2 31
_I BL. C E vi3u. 2e11B3C
a2. hrime
R
1 . re  t. Bp2e A D fdi L . D B. C. L.  25 13 ACIBA, odini d

## Folio 880 — 1815201908:0937
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000937.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
PRODORTIONALLTATES
eROPOSITIO VI
Dico F. B ratiOneM C LACOHCM C, D, vE L CA ad A.
II rationes AB, C D, Similes Fuerine, ex allumatur quaevis tinea F.
monioran.
m SimileS POTUnEuE Pa-
reSCD, _ AB. VEEL
rationd CDTdc
tea euela
dem racio EB ad racionem AB:
(Cd per (ec
undam huius, racio F B
2d AB racionem, eA vE P ad A
ergovcF ad A, ica quoque est ra-
PROPOSITIO VII.
Demonstratio.
cio EB ad CD rationem. Quodtuir demonstrandum.
ationes dux commune anrecedens Porrirxe, eandem obtinene rario-
nem quam secur e Guens ad primum.
Ine dux Faciones A B, N AC.
quact commune existac an
cecedenis A. Dico illas raciones.
incecle candem aabece peopoi.
cionem, qua l lecundum cole
quens, ad B primu: Hacenim ve
2. tonin
C ad Ag ita B ad D, arario AB, ad tacionem DB, eA Dc A ad D, CC d ex tryp. racie
DB, estrario AC. ergo rario A. B ad rationem A C, est ve A ad D, SCd ex hyp. VE
A est ad D, Sic C eA adt B; PaFCE isituE raciones duas AB S CB, habences com
conlequens ad primum. Cuod demonttrandum tuccal.
eROPOSTTIO VII
IIproporcio ratien D ad rationem ADI eadem liC. CuMI PFOPOE
cione rarionis AB act laionem C ad D, hoc eB(irariO A B LF ad ra-
rionem, AD, ve ratio B cM ad rationem C D TC sisr., 3 uluil
30ai deer 1o 143oet
Ei
 3q EM cA.
munc ancecedens, cam incer seratiohem obrinere quam haber C ad B, secundum
Dico A e C aequales este quancirates.
Oomonsdrio.
sit
II
e
Toniam eacio AB ad A Drationem, esL VErA.
cioae au rigluceacio ali, cadcluca
cum racione C. ad D: ell aUTCMEatio AB ad CB
orhniu. rationem veb    aflalet Elala C.
P R O.

## Folio 881 — 1815201908:0938
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000938.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
GF O M L LRIC A.
PROPOSITIO 11.
Pratio AB ad C D, FueriE vE D ad B.
Dico A et C xquales esse.
Demonsitam.
aucem AB, adrationem C D, clt
exhypochelire D ad B: ergo veracio AB ad AB Talioe. Ia eadem ratio AB
ad CD racionem, CUNCISIEUEBQUAHEIEALES InTeF LC a qualeS A e C. u0d TUIE dc. b8. buius.
monstrandum.
PROPOSICIO .
Traclo DauC racionem, sic vitatio AD ad AL LaltOHCIM.
ad DicoB, C e D, E quancirares esse proporrionales.
Demonstracto.
Acio AB ad rationem AD.
est ve a linea D ad B: racio
cionem, cica eA C ad B, l1-
milicer reracio AD ad AF r2-
tionem, ica est F 2dD, scd vi
ratio AB ad A C, ica est exhy-
Pochelixario AD ad AF F2-
cionem, ergo ve C est ad B, ica
F. ad D. quare invertendo ve B ad C, ica D ad P; sunt igitur propotctonales BC et
DF. Quod demonstrandum fuir.
eROPOSITIO XI.
APonantur quaenis quantitates A ee B, _ aVX 2. Id C V.
s
Ocoracionem LC esse ad AD racionem, ve rario BC ad BD
Facione.
eesseide
Demonstratio.
a
TFest cacio AB ad AC r2.
R Acio AC ad AD, eA vE
DaddC, ec rario BC 2c
BDrarionem, quoque cAt vE
D ad C, ISICUIE VE FatiO A C
aclacionem A lacube
racio de tD tationem. Sudaluie detohutatililt
.bies
R OP OSIFIO XII.
REx Snteres quaneitates, A, B, C.
d  , sx xario C A ad B A.
EEEE 3
Demon-

## Folio 882 — 1815201908:0939
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000939.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
a 7. hmius.
PROPOR FION ALIF ATFS
Demonstratio.
Acio AB ad A C racio.
nem, cam habeca pro.
porcionem quam C ad B.
racio aurem CA dd BA
.torich
uduuir demonlaau
RetOSITIO XIII
racionem clt b veC ad Bi
ergorerario AB ad AC rationem, lea quoque est rario C A ad B A rationem.
prima racionis aa aud F..
AEx Ine quale scunque rationes AB, C D: RaE aurem vED, conse-
quenssecunda racionis ad C anrecedens lecundae, ita B conlequens
Dico A ex P. esse denatoeo La alau.
Demonstratio.
Voniam cx aypo-
hCa ClCadC. H
Bad F, cric inuercendo
Lacio Ti ad B; eadem
cum ratione C ad D:
2. B
Desi
11430
ED. Quodtuir demona
E
adrationem CD, esveratio A ad B, ad rationem L ad B,; sed
ratio A ad B, ad racionem F ad B, est ve c A ad F, igicur racio A ad B, ad cario-
nem C ad D, est VE A ad F: sunc ixitur d A ee P denommatores rarionum AB, _
eR OPOSIFIO XIV
aris quibuscunque ratiBIS AB, CD, Rat vE C ad D, ita A ad E.
Dicorationu B, CD denominatores esse F, et B.
Demonsitalio.
res dacarum racionum AB, et CD.
B de R.
Z Acio AB ad A P. Pattonem.
ad B, Sedracio AH
est exhypocheli eadem cum r2
tione CD. ergo ve F ad B, ica
racio AB ad CD rarionem,
Curcixicur R ee B, denominato.
tKotostItO. XV
Onacurratio ina qualteas AB _ alEera X qua lICarIS C D.
Dicorationem AD a  rationem, habere proporrionem A
ad B, raricte tet au B rationem, habere proportionem quam
Demon.

## Folio 883 — 1815201908:0940
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000940.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
1IIII11
GEOM LPRIC A
lat vE D ad C, ita B ad F, erie
Demonstratio.
veD adC, ica B ad F, cciam B e
E xquales erunc; cumigitur rario
AB SC ad C D TALIONCMI VE A ad
Fi eric quoqueratio AB ad rario.
nem CD, VE A ad B. Quoderas
primum.
C _ L aquaneuE,) HF ad C, sed ex conttr. L est ad C, ve B ad A. Ereoracio
CD elt ad racionem AB, re B ad A. Quod erat alcerum.
PROPOSITIO XVI.
VIc anuorario ina salicatis AB, _E CUIAEUT GUIXHIS GUANEIEaS C.
Dicorationent B esead CC rationem, ve rario AC adracio-
nem BC: rarionetneto CC ad AB, continere provorrionem candem
cum ratione C A ad C B rationem.
Demonstratio.
2VE A ad F, ita racio AB ad
C. D racionem: quia aurem ex hiy-
polhelixqualest CD, eltque
Sccundam quoque parrem Ac
deOHHLO. AAEVE A ae B, SC C, ad
F. ergo ratio C D Cs adrationem AB, veb F ad D, hoC est (quoniam ex hyporhes B ut. huius.
Det praecedentemratio AD ad C CFa-
dam huius, est ve A ad B, ica ratio AC ad
racionem BC. ersotatio ABcadC C, ra-
cionem eltHtacto AC att BC. quoderat
primo propolicum. Deinde ratio CC ad
AB, racionem est vE B ad A, Per peace
dencem. Per lepcimam vesohuus est rario
CA ad C B lationem, bcB ad A; ergo
veracio CC ad racionem AB, ica Cll C A raci0 2d C. B. ratiolCt. Vlod lecundo
locoerat demonstrandum.
PR OEOSITIO XVTI.
Ieracio quaecunque A ad B, d allumpea quxuis C. la O17FL 1
Dicorationem C. ACu ad CB racionem, vrracibb C cl ad HC
Demonstratio.
tionem, eltve A ad B, sed per secun-
Lacioe.
Acio C A ad C B; d est ve B dd A, ratio quo-
LequoBC ad AC, chmB ad A; igitur rario
C A est ad C Brarionem, veracio BC ad AC.
Duodtvir demonstrandum.
Teruciin
ui
hucin.
Mo t  i  t tat   a s e s e   .   t s   t  e t   i te se ete tis e t et et  te pe ti qe t e set t te e  e e  e a s et se eteti  ee   ete  e s et e 61

## Folio 884 — 1815201908:0941
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000941.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
PROPOR TIONALLTATES
884
Dicorationem A ad B, ad rarionem B ad A, proporrionem ha-
Bescaupicata eus quam habet linea Aad B.
Demonstratio.
ilac ve B act A, ita quaedam C ad B, ericisicur per 2. tu-
jus rario A B ad racioriem C B, ve quancicas A ad quanci-
earem C, sed rario C ad B, ex construct. eadem est cum
racione B ad A, ergo racio AB ad rationem B A, candem
proporrionem habet quam A ad C: sed rario A ad C, est du-
plicata larionis eus ua ae A ad B, ergo rario R, B, ad rationem B, A, duplica.
cam haber racionem ejus quam haber A ad B. Quodtuix demonstrandum.
Corollarium.
Ine sequicurk A B Cces tuc meproporcionales, A ad C, candem rarionem ha-
Lbere cum ed quam AB, raclo habec ad racionem B. A.
O5IT1O XIX.
Dico rarionem AD eC ad B E racionem ve B ad F.
Demonstratio.
Filac ve D ad B, ica D ad F: erie
2Ve A ad F, Sicratio AD ad
tarionem BF, e quia rario
AD est duplicaca racionis BB,
erir quoque racio AD, duplicaca
racionis F D, rario aurem A ad D, est AMPOsTA ex rarione A ad F, ex F ad D: ipicur
tacio AP, eadem est cum racione LD, hoc eAt B ad F. Duare cum rario AD ad
BF. racionem, candeid ac proporrionem quam A ad F, Habebir candem quo.
PR OPO5171O X4.
Icracio AB eadem elacione C. D, deinde tint ve D ad G, ita
ex oposrt1O LMLII.
Lucula quatcales .lD.
Ie  concinua analocta ABC, D F. C. C
que quam B ad F. Duod fuic demonstrandum.
demonstratio.
Voniam similes ponuneurrario.
CS AB _ CD, cric ve A ad B
ita C adD, e inverrendo vt L alle
ita B ad A; sed ex constructione ta-
Aum estD adC, VeB ad F. ergoveB
ad A, ic2 B ad F; sUnE igICI A e P
quancitares aequales. uod turde.
PRC
monstrandum.
adF
DicoA _ F XqualeSCM quantitares.

## Folio 885 — 1815201908:0942
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000942.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
38
A E OM L FRVC R.
PROPOSIHIO XXI.
PINCTaTIONES AB, OD ve A ad B.
 Dico quanticares CD, aequales elle intet lc. uodlratio CD, lE
ad AB rationem, ve B ad A.
Dicorurlum D X C, quancicates xquales este.
Demonstrar.V SIECB L
idcit
CIe isitur primo ratio AB ad
DCD, ve A ad B. Racque ipsi C
aequalis I: cric a Ve A ad B, ica
racio AB ad CB rarionem: (cd
ve A ad B, ica est ratio AB ad
CD ex suppolicione, CrgO VEFZ
eio AB ad rationem C F, ica eAt
cadem racio AB ad CD: quare
exdem lunerationes CP e C. D; ac proinde D, ip ( F, hoc est ipl C aequalis est:
quodcrac primum.
Sicdeinderario CB ad rationem AB, vE B ad A. Dicotimiliter C e D X GuIa-
les elle quancieares. hac enim veprilis P ipsi C aequalis, crie ve B ad A, ICa raEIO
CF ad AB cacionem, quare iterum re pruis oltenderur C de D, aquales cAlc.
Duod tuic demonctran dum. Hlac est converta i5. huius.
PROBOSITIO XXII
e ie tra et d A  monoie c
NIc rario A ad D IOr ea, quam habet C ad D, _ Rac D ad C, ve
.CVLAEt 3 LOHE. BAISBEECCLI 
Dico A maiorem esse quam ve (ic x qualis F.
Demonstratio.
Ct 
i
B. in
1012S.t EN
B ad F..
Voniam eAve D ad C, it2
B adF, crooracio AB al
CD rationem, est b VE A 2c
F. sed ex suppolicione rario
A ad B, maine est racione,
quam habet C ad D. CrgO
A maior est quatri H, pari
quoque modo quod (racio A
ad B, minorhtracione quam habet C ad D, e Aac D ad C, ve B ad F, osten-
decur A. minor esse quamm _c P.
S. L.B
MIli
n
25. buciis.
LXTEI
ROPOSITYO
b 17. tuia1.
Vod liquatuos Guamitates A, B, C. Dcandem concintene aMa10
n.
Dico rationem AB ad D C rarionem, eandem habere proporrio.
nem, cum ea quae incercedir inrex A e C.
DeMO

## Folio 886 — 1815201908:0943
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000943.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
223. hucus.
006
PR OPORPIONALITATES
Demonstratio.
Voniam proporrionales
 bC in con
tinvaca rarione constiturx
MM godC A a dt B, veC ad
D.d inderredoveD adc ic
Bad A. Scd quoniam A, B, C
Acis duabus rarionibus duas altas tactoes exhibere quae communes
habeant cum rarionibus datis denominatores.
TUNE CONTINUIX VE A ad C, ita per C OrOIL. rB. huius, est rario A P ad B A, FacIONC, ergo
ve A ad C, ita quoque est rario AB ad D C. rationem. Ouod erat demonstrandum.
BellNCB.
R OPOSIFLO XXIV.
2. 35.
AEE SinE dux quaenis ratiOneS AB,
CD oporceat exhribere duasracio.
nes illis proportionales quxe denomina.
corestrabeane cordem. Aac ve D ad C
ita B ad L. eric ergo aratio AB ad C D
rationem, DE A ad F. ponacur deinde
quaenis F. Dico quodrationeS AF, FF
CTUME, QUR REQUIFUNEUE. MAM BFaTIO AK
ad F, racionesisitur AB ad C D, Feduletx lunc ad rationes que communes sorrian.
Constructio es demonstratio.
 uto..
eA ad F F FarIONEM DE A ad F; sed rario quoque AB ad C D rarionem eA VE A
cur denominatores. Ouoderat Caciendum.
PR OPOSLLIO ZXV.
Vaspationes exhibere qua calam incer Sc rarionem continoane.
Constructio es demonstratio.
Aca sic racio AB, ex quaeuis ponacur e.
dicotactum esse quod pecitur, nam ratio
AC ad BC, est ve A adB, per secundam
huus; eodem modo racio C B ad C A, est
D ad P. Cric ergo ex constr. rario AC ad D Frationem, ve racio AC ad BC. sed
ratio A C ad B C, est DE A ad B. igITUFa TALIO AC ad DF, est ve A ad B: exti-
ve A ad B per Seprimam huius.
Si veroperancurrationes quarum antece.
dens vel consequens commune non sic, in data racione exhiberi: Hat ve B ad C, ita
buimusixicur duasrationes, qua au . 
1

## Folio 887 — 1815201908:0944
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000944.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
1 11 11
GEOMEFRLCA.
887
eROBOSLELOI XXVI.
Acaracione N ad B, de duabus quanticaribus C, D: oporcet extribe
re duas alias F cL, Veracio C Dlcadrationem L. t, ve A ad B.
Constructio ex demonstratio.
ilat ve A ad B, ica C ad
C, e VE Dac 3IATa
qua lis P 2d F. VICDCa-
nem, cam a proportionem habee quam C ad C el ae L ad C, estiea quam h2- 2 13. huins.
benedacx quancicaces A e B, secundum conitlutionem actam. Igicur Facio CD
eA ad rarionem F F, ve A adB. Quod cracpoctulacum.
Duod si C ad D rario debeac esse conseguens, id est ve sic quemadmodum A ad
B, ica alia racio (P ad CD rarionemi Aacre Bad C, ita qua cunque L ad F, e ve
B ad A, ica F ad C, cunccrie re A ad Bi ica rario CF. ad CD rationem.
resiss
ROPOSITIO
LXV
cionem CD ad. PBAF2-
cionem, cam habere pro-
porcionem quam concince
racio A ad B, quia enim Facta est F ad F, vei est D ad G, rario C D ad PF raria.
ALAMRECtaM AB HL ICCALCM C, A sic A C linea ad CB, ve estra-
eio data D F. de FC rationem.
Constructio es demonstratio.
ilae re G ad F, ita F ad FI, L
deiide dividacur A B 1a
C, velic quemadmodum D
adII, ita pa MICE A C 2d
CB relduum. Dicofactum
quod poltulacurs est enim
per r3. huius libriFacio DF
l
2d L O rationem ut D ad
HI. estaurem dinila recta AB In C Uccaa lationem D. ad FI. ergo criam divi-
la eAt. AB, in C, lecuncum proporcione dacarum Facion DE e F. C. Ouod
 30 9 X9BC
.1HO 13 2gi c 2 a_ n2N9B93CAR HEMSS CS 3B  31BB 3: el b∞ f. 3V e C
PROPOSITIO XZVIII.
Cd 5t 4
crac postulacum. o
Acaratione A ad B, linci(quCCD, F. F.
bec Aad B.
a. 1355)31 C
OpOTECAEFECtaS CD, L. L Ha MLHC  C et HI, vE ratio CC,
D ad rationem E. H, HF eand m concineat quam ha
n 2t
ABIEIOEIMI INMIBB LMEECESS
Yvove2
Con-
s e u     ti e e e et st   et   su et e s e e p it ut t tat se ue se e ute e ste si t e  e et ite    te t  ea e  et et te et t te  t t  1 11

## Folio 888 — 1815201908:0945
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000945.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
888
PR OPOR FION A L L, F, A F E S
constructio es demonstracio.
elireri  ctevh
a 25. liuciu.
10. fenri. -
adB, id
E F, Prouc exig bat
Ic.  eetet
D: DEL
tione C
felaca re Aad B, ica rario
R ad T. MI, diuidaeurq.
ad  Cade HC cum
caciono Lad l deilaquo
cer int iec 2e e all
F.FL ad FIFh sie eadem
cum rarione L adM. Di.
 aecura suod poltula
cur na A cA adB, verario
Liadracionem L. Cx
constructione. Ced rario l
cadem cum ra-
ux diuimus lincas CD et
ad M, eadem cum racione F EI ad HTF. ergOrEA
Dad rationem F. II, HI
AC 1BHI
C1D B
POSTT1O WEX
Aca rarione A ad B, de quanciracibus C_e D, oporceat duas extribere
t quarum ancecedentes (ine C d D, proxorcionem aurem
eb 1 et ho5. EF 3 iV. P R
C
bCD in C, vecario C
A C2B S) C2 BS.
CVmacur quavis L e
AaCVE Aad L, ica C
ad C, de ve D adL, ica
Dad B. Dicorationes
CC. D F cas osse qua
Postulancur. quoniam
mossitacio A ad L, 2d r2.
aitionem B ad Io estorA
Cad, B, eciam pario, CO
lrepoce ceadem , per
t ti  FL Be. CL _oiei ei A A COnsr rationi, A Derie
LCHB 
E ericois
garqis adrarionem BL, NcA
ad B: sed ex constructione ratio BL, est ratio DF. ereo rario C. C est ad racionem
DF; ve A al eMini ansccedences. Factum igirur cst quod
Petehacur.
habeane candem cum racione A adB.
Constructio e demonstratio. bs 4C
Lae Laa
lraicerum carione A ad B, alicq. duabuis quanciratibus C ee B.
porreac allignare duasrationes qua calem Corcianeur rarionem
CCFIIL C dt CEL ABIEOMUII.
incerle, qualem habent A  B ala C. X I. M COMCGGeisu

## Folio 889 — 1815201908:0946
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000946.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
 FON EFR IC A.
Constructio es demonstracio.
Vmacur quauis C, d MaE
veD ad C, ita C ad F,C-
dove B Ad A, ICa HaC F, dd
2. Dico racionem L. C ad
CD racionem, eam conci-
etraganam
nere proporrionem qu’ari tn
isicur ratio P.C ad racionem C. B, elt re A ad B: luncque Cd D, harum FacIOnUI
termini conlequentes. Prals cus Gubai petatum illetal.
eROPOSITIO ZXXI.
A ad B: Duohiam estre. D ad C, ita C ad F, crie racio F. C ad O D rationem, ars haiu.
ve eA P ad F: led est re F ad F, ica B ad A, _ inverrendo A ad B, VE F ad F.
Acaratione AadB, de deaotibus duarum Lactonum C a B
denique termino E. asTigNaTE quarruM F, it a ve racio data AB ad L. L
quencemratosellIs, cu-
ius denominaror esse de
Bec D, AaC, VCC 2dD, it=
A ad C: deinde veB ad,
It 2P ad F. DiCOFcerminuBOrPO eI
eNC GUXHIEE: CUI CNIM BEVE
F, dd F, ita B ad G, CtiF per
23. huius, ve A adC hoc CA
ex construct. ve C ad D, ic2
ratio AB ad raTIONE F F.
Duod A quXeTAEUE vE
quancitas R Sc ancecedens
in ratione cuius denomi-
nator est D. Fiac A adC,
Renct. C ad D, ita rario AB ad PF, rationem.
Oporcear vicerius ita dis-
Ponere terminos racionum ve
QuanEIEAS P CerMInUS AE COn-
sequens illius rarionis cuius
denominator est C. AaC VEB
ad A, it2 F, ad G, _E VE D ad
C, ita C ad F. DicoB esseter.
minum qua sicum. cum enim sic B ac LC L ad G, icerum rario F P, ad ratio
AB, ceam cominet proxortionem quae inuenseut Met sd C: led quia veD adC
ita lacta Est C ad P, erie inverrendo C ad D, ve F 2d C. ergo racio L L. da L AHO.
nem A B cA vE C ad D.
jam mechodum qua quanci-
eas P Bac anrecedens illius
racionis que denominacorem
hrabet C. Fiacehmre C al
ita C. ad F. dico factum. nam
racionereule
Porcede primocermi
num F. esse conse-
Consructio es moio.
des esinitet
enim inuercendo ve P ad P, ita B ad C. quareb denuo, rr A adC hoc CA ex con- b 13. huiuo.
ve C ad D; _ re G ad B, itA E ad F. Dicorursum F esse rermit
2
Denique tuos Cas Ct.
D, ica Fide teLLuB
i
perten.
33
333a
 e e . 1. . 11.1

## Folio 890 — 1815201908:0947
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000947.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
890
PRODORZIONLLLTAFES
propolicionis praelencisinceneo elt Factum laTis.
ay huius. invertendo eriere B ad A, ica F ad C, proindeque ve priiis a exie racio L. F, a d
rationem AB, VE P est ad C, hoc est ex constr. Ve cA C ad D. Igieur Omni ex PAErC
PROPOSITIO XL.11.
FatIO F E ad OF, eam p obtincar quam A ad B.
Acaratione A ad B, op orteae duas quancirates exhibere L d C, ve
 Cer
 a    aa  
tac De A ad B, ita quavis F ad F, incer quas Racuacur media proporcicoralis C.
Dico F, C ese quancicares postulacas. Nam cum L, Cn F. sinc in concinia analo-
eX ContI. 1 L lle 2. e b a
Sia, exir per Corollarium 18. huius, rario E C ad racionem G P, vt P ad Y hoc est
nser oenta
11215.
mirorciiet.  B, CeC
tuit 5103
223r nca3
D. Bi
e 352 2025119B
 1 s tc
Exet et eis et ita 
1d
Zenoteoevim
NIICE
sC
vlle est nB 3e
COSMCeFEL 3IB elOE
it
s. 25  1(3 31,1.) Ics
ABR L 3V V 1 BaS si
Gl Ct. 122 1 a L 191B . Pit a ta

## Folio 891 — 1815201908:0948
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000948.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
89
OME TRLCARVM
SF CV
ND F
Desimilitudine proportionum inter ratira sexistentium.
CASe
PROPOSITIO ZXXI
ACX HNETatIOneS A ad B, e C ad D.
Dicorroportionemracionis AB ad C D rarionet, compoli-
tam esse, ex ratione Aad C, de ratione D ad B.
1Er C de 
Demonstratio.
tat MD ad C, ica B ad F. erie igitUE
aFatiO AB ad C D racionem, ve A ad
F: Sedratio A ad H, COMPONIEUE CX F2-
cione A ad C, & C ad R, igicur _ pro-
Porcio racionis AB ad CD rarionem
componieur exratione A ad C, et Cad R: quia vero ex construct. est D ad C, ve
B ad F, eric quoque D ad B, ve C ad F. isicur racio Aad P, compolica est ex racio- 1
ne A ad C, _ ex D ad B. quare _ A B, racioad rarionem CD, proportionem ha-
bec compolicam exrarione A ad C, e ex racionCD ad B. Quod erac demonstrandu.
IIdem poNIS.
PROPOSITIO ZXZIV.
Dicoproporrionem rationis AB ad C D rarionem, composicam
esse exratione Aad B, e ex D ad C.
Demonstratio.
Lbracio _ ad es illa quam incerscha-
benerationes AB, C D. Sedracio R ad
F. composica est exracione A ad B, _ B
ad F, hoc est D ad C, igieur _ ratio A
I 11VC LLBISLC. CM
B, ad racionem C D, compolicam haber proporcionem exracione A adB, et D ad
C. Ouod erar demonstrandum.
ROPOSITIO ZXXV
Acionum ABC denOminaTOreS(InE E et F, Aacq, ve A ad B, SIC
TM
ROPOEY
ONALITA
Taeve D adC, ia B ad F, exicitaque
b ubid
L ad 6
DicoC CACadF, ve D est adC.
Demon

## Folio 892 — 1815201908:0949
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000949.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Definit. 2.
ius
634. hacls.
119
DROBORTIONALLFATEL
Demondiratio
TVoniam E _C F, ponuntur denomina-
Lorestacionum AB, CD: ergoracioF
adF, esta proporcio rarionum AB, C D: lca
Roporrioracionum AB, C. Db compolica
est exracionibus AB, _D C. ergo racio L.
2d F ex racionibus AB, et CD compolca
CA. led ratio F F componitur etiam exracio-
_e CF, Cadem sunt. Duod erat demonstrandum.
nibus DC
Eper hypocheuim AB) e G F. ratioisiEuF A B cum racionCDC
candem rationem componic quam rario A B cum racione C F; racionesisitur DC
II proporciorationis, AB ad racnem CD, compotica sic ex ldem
racionibus ex quibus conspenlicur proporio rarionis EL ad Ctl,
Dicorationem AB CHC act C D, ve rario F F ad G II rationem.
rusi
PROPOSITIO XXXVI.
racionem:
morstata.
FilarveD adC, ita B ad F: _ vE F ad C, ita
F ad K, cricicaque cracio AB adt CD r2-
tionem, ve A ad I; _ Facio F F ad C FFr2-
tionem, veF ad K, sed racio A B ad racionem
CD. Proporrionem haber copolicam ex hy-
porhes exijsdemracionibus ex quibus copo-
scam habecracio P P ad C FPracionemiigi-
cur cciam rario denominacoris A act I, deno-
minacorem, ex ijidem racionibus ex quibus
ratio denominatoris R ad denominacorem K
eH composita. quare A est ad L, SCVE F. est ad
K. vnde a AB al C Dracionem, est verario P. F ad C FLrationem. uod
demonstrandum fuie.
lincel o Poa e C, D.
Dicorationem AC esse ad AD rationem, verario DB est ad C B
PR OF OSITIO ZZXVII
Demomoratio.
 AC ad AD, est ee D ad C, d rario
ucem DB ad CBcracionem, rurlum est, vi
D ad C, igicur est racio AC ad AD racionem,
LHABLIECLAMAUMD.
ralbhCM.
re estracio DB du CLacionem. Ouod etat de.
PRO.
en

## Folio 893 — 1815201908:0950
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000950.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
MIHIIIII
CE OMCL AICK.
PROPOSITIO LLtII.
Incacaractees AB, CD, guacunque.
atoem AB ad C. D racionem, calcen actre proporrio
nem quam DC ratio ad B A racionem.
Demonstratio.
AereD ad C, aB ad F
eric 2vC A ad L, icaracio
AB ad CD cacionem
Deimdlerario B L. al B A,
est ve A ad F: b sedratio
B ad L. eadem est cum
quareCD Lactoe  Veao DC ad Facionem B A. Quod erac
demouulanduD.
b Per 3. bn
ratione D ad C ex constructione, ergo rario DC ad B A, etiam eA DE A ad F.
tost1i aXXIZ.
Dicorationem B ad C D, candem habere propotctnem Guam
racio AC ad BD Tatloncm.
Donancur denuo rationes AB, CD.
dmonstratio.
Eilaere D ad C, ita B adF.
LCriE VE A Cad R, it2 AB aC
CD racionem: Similicer Po-
Eris racionibus AC _ BD.
Aac ve D ad B, ita C ad F,
exieve A ad F, ica racio AC
ad BD racionem: quia vero
ex construcione est ve D ad
C, ita B ad F, cric permurando ve D ad B, ita C ad L. ten V A B, ad Lacta
est C ad F, ergo vi C ad F ica C au L nestor a Guates Guauales L. a 1.
adeoque est Aad F, ve A ad F; scd re A ad F, ica cracracio A B ad C D racionem
_ VE A ad F, iEA rATIO CFAE A C ad BD. ergo verasio AB ad C. D racionem, ica
est ratio AC ad rationem B D. Ouod crac demonstrandum.
ROPOSITIO ZI
DOcirisicerum duabus rarionibus AB, CD.
uocueaaci lactomeu reanoo ddC A racionem.
sratio.
Acio AB est ad C D rario-  A i1 = 
nem, vedratio D C ad B A Fa-
cionem: Ccdper praecedentemre, 
FacIO DC ad B Aracionem, ita
Lacio DB u L A racionem, erso AB racio adracionem C D, eA verario DB ad
lationem C A. od tt demmontetatauto
XLZ X X X
M     1 t.      .  .     ut.   .      q      t    t  pt. . u       p  et    i 

## Folio 894 — 1815201908:0951
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000951.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
3. he
894
PROP ORIFA O. N A L LF A FFS
PR OPOSIFIODZLD AC
Dicorationem A F ad rarionem F H, Cahdem habere proportionem
DOciris rationibus AB, CD AaF BF D ad. C, ita B ad F, Racuaeur quo-
quamhabet latto AB 2d C l.
dIa PFOPOTEIOITALIS MIICCL GHAHEICaTCS AXFP.
Ir
dut . 
Demonstrum.
3 
 Acio AF ad F A FACMCIM L CI
in duplicacaratione eius quam
habet A ad L: cum isieur PrOPOF
cionales ex constructione, sine
uanciaces R,e, l ertercAadt.
a u Coiit
ta rario AF ad Fi A racionem: CA
2d LA racionem, iEa eltratio AB
adrationem C. D. Ouod tuit de.
verobracio AB ad racionem CD,
que F in
vE A ad F , CrBO VE FacIO AF.
Lrero D , Iea B alt 1, d ve HI ad 6, ica F ad I.
Dico Aad I, candem obrinererationem quam P. ad HE.
M2B B Calt LCLLOGEP R OPIO SITIO IX L. I
Acio AB ad ED rationem, SIEVeratio EF ad O HF racionem; Hac
Demonstratio.
Vancioguidem pOnaEuF VE D ad C
racionem elt ve A ad l. Paes oocum
SIE VEHI ad C ICa L 2d R, CrHCCaIH VE F
ad KS ica. FaTIO L. F ad C FI tarionem
donitur aulema  ae B candem
habere proporcionem quam racio, P. F ad
CFI. ergoetram Aaul, Candem racio.
Lita B ad I, orgoctacio AB ad CD
nem habebic quam denominator F ad R
deoaoC. oCal La
dum. 7
ctac
DEF, CH
Dicbrarionem AB ad C actentem ene, tealo .t dd C Hl12.
cionem.
PROBO STTIO. ~XLTF I. KMiiE
 eto lia  ot ti
Incrariones AB, C D similes incer se quemadmodum et rationes
Ba et EL oiteia 3e sid C id cnverois a.2 BC
 at 
 1 1
((p.9 5. .11.
DeMO
iion
180
ne
131

## Folio 895 — 1815201908:0952
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000952.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
OEOMETRIC X.
Demonstratio.
monstracione vix indi-
Beac raciones enim esse simi-
les, nihil aliud est quamracio-
nes aquales esse aue caldem
incerle. Duare cum rariones
AB ex C D, similes Ponan-
cur, sibi mucuo equales crunt,
ob candem caulam aquales
cruncraciones FF, G TI. CrgO
racio AB ad racionem CD
est, veracio P. F ad rarionem
GFI.
DEo cum elara est ve de-
R OPOS
O ZLIV.
T
PIEratiO A BaletatiOnem C D, vE FaLIO L F ad racionem C FT.
Oleo pelhutucando rarionem AB else nd Latlone L. L, H tallo
minatores L, K; L, HI. Crie
ergo denominacor Lad de-
nominatorem K, ve racio
ABad rationem C D, hOc
est per hypocholim verario
F F ad racionem C FI, hoc
est ve denominaror L ad
denominatorem M. Cum
isicur sE, ve L ad R, SICF
ad M, eric permurando L
ad L, vE K ad MI. OuarC _
rario AB ad rAEIONEM F. F,
Demonstratio.
est verario CD ad racionem CH uod eratd
R.
5
onstrand
XL
C D ad rationem C FI.
DErB. huius idenianEuE
dacarumm cactonum deno-
Irracio AB adrarionem CB, nta IT ad IK rarionem.
Dicoinumendo rationem C.D ad AB, caltem cum ratione
IK ad 6II.
Demonstratio.
ad CD racionem cA, ve F. ad F, e
racio GFT Cs, ad TK racionem, ve
F 2d M. Sed rario e B est ad CD F2-
cionem, veracio GHIadTK racionem.
ergoracio B ad F, eadem est cum ra-
tione F adM. isitur inverrendo est F
ad B, vE M ad L, ergo es racio C D ad AB, veracio PK ad G: FP rarionem. Ouod
erat demontrandum.
2 25. fuino.
XXXX X 2
NuentaMat denominatores FaL
Lnum F., H, L.S ML. GIEUE FaCIO AF
15
i a         t te  t te     a  

## Folio 896 — 1815201908:0953
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000953.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
iius
PROPOR TION ALITATFS
PROPOSITIO XLVI
Dico componendo rarionemsB eum ratione C. D ad racionem
CD eandem habere proporeu  lacio C H cum Parione IK ad
Trario A B eAt ad C D racionem, ve rario G FL ad racionem LR.
Demonstratio.
1
Nueniantur  denominatores tarum r2.
cionum esse F, F. L.M is berac
AB 2d C D Tattone ia L 2dF;. _ ve
CHl racio ad racionem lR, IEa L. 2aLL)
quia veroracio AB ad C D rationem Po-
nitur esevEraciO CFI de LLC LaLII
ergo et F a dF, Ve, L ad HI. Deindecum
SIE F Cum F ad F, VE P. Cum NaM
hinc cciam racio AB, cum C D ad ra-
tionem CD, eAt ve racio GHI cum LK
adracionem LX. Duod tui dem oan
dum.
racionem IL.
R
SITIO XLVII.
rodsirario ABcum ractone C. D ad rationem C D, GiE verario C HI
Dicodimachaotatlonem AB, eandem habere proporrionem
adrationem CD quam haber rario C H ad rationem IH.
Demonstratio.
COnstitmancur b AH SOlarum Pationum denOInAEOTES P, E, F, MI. Ononiam ra.
Lseio AB cum CD ad CD, elt verario GiFI cum IK ad TK, igicur denomi-
FOF F CUm F ad F, erie ve denominator L cum M ad HI. igicur diuidendo est
E ad F, DE L ad M. adeogue eriam csracio AB ad C D, VE CB G+ FT ad TK rario.
nem. Ouod erac demonst.
eROeOSITIO ZLVIII
eraco Beracioe CD ad rarionem CD, ve ratio E F cum
Drarione CHI ad rationem C II.
Dico per conversionem rarionis rarionem AB cum racione C DCil a
racionem AB, ve ratio P. F cum ratione C Hadrarionem F. F.
in ratione LH ad lR rarionem:
b Xbid.
Demoni

## Folio 897 — 1815201908:0954
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000954.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
GEOMEFRLCR
Demonstratio.
GLIHDCAnEuE L raMum denominarores I. K L.
. ECC ergo Lcum R ad K, veracio AB, cum
racione C D ad racionem CD, hoc est ex hypo.
cheli, verario P. F cumratione GHI ad rarionem
OTB hoc eAre I cum M ad M. C um igieur SIC
VEL Cum R ad R, AC T cum M ad M, cric con-
vercendo, Icum K ad I, vEL cum M ad L. 9ua-
re _ racio AB cum racione CD est adracionem
AB, veratio. P. F cum cacione C H ad rationem
E. F. Quodtuic demonatrandum.
PROPOSITIO LLIX.
leratio AB ad rationem C D, verario P. F ad rationem GFI, _C. D
dratio ad racionem lIE, veracio C HI ad rarionem L. H.
Dico ex aequali racionem AB ese ad rationem LH, ve rario F. F est ad
rationem LH.
Demonstratio.
racionem P F, ve racio C D ad racio-
nem C FI. Similicer quia racio C D est
adracionem EK, verario CHIad Fa-
cionem L. NI, eriepermurando verario
CD ad rarionem OFI hoc cR(quemadmodum iam ostendi) ve rario AB ad rario-
nem P. F, icaracio IK ad rarionem P. M. Rursum isicur permucando racio AB eA
ad racionem IR, ve racio F. F adracionem L. M. Ouod ecat demonstrandum.
PROBOSIT1O I
lracio veiaulacionem C. B, ve rario AF. eAt aclactone C1.
Dicoracionem AC. ad rariones BD e F. L cundem habere pro:
Portionem.
Vonam ralio AB est accracionem
LCD, veracio FF es ad racionem
GFI, crie Peae racio AB ad
Demonstratio.
TF racio AB est ad racionem CD, Ec
cratio AC cA ad racioneM BD: e
verala A V. est ad racionem CF, sicdra
rio AC est ad racionem L L. Led ex hy.
poclicliracio AB est ad rarionem CD, VE
C aclaclon .
XX
rario AP adracionem C F. Ergo rario LC cst adrationem BD, veratio eadem
t
+. touius
Abtor.
is eee si eat pase et a sut

## Folio 898 — 1815201908:0955
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000955.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Proratta
LTATES
auter.
a 44. haoiit
2.buiuo.
Vorjam rario AB es adracioneM C D, veraciO AE aa raliOHEI C F, exic per-
mucando arario AB adratiOnem AL, veratio C D ad racionem C F, hocb eAt
F erir ad B, ve F ad D. Onare inverrendo ex permucando rario BD _QUIAEUEFA
Duoderat demonstrandum.
tioni F P. Ergoratio AC ad Taltoes BV, d C L cahdent llabee proporrionem.
eROPOSITIO
VIracio AB est ad CC Pationem, veratio L. B dd LD LactmuI.
Dicorationem quesue F. I ad BD, cam hubcsc ploporrionem
quam AC racO Au LALBHEM BD.
Demonstratio.
ad racionemL D.  perniui-
candoracio AB ad F BC racio.
hem est ve racio C D ad rario-
E.t 5.5
d2. huins. nem F D: Sed ratio d A B ad F. B, esvE A ad F. igirur ratio quoque C D ad L D, el
veracio A ad P, sed ratio C D ad F D, estracio C ad F, igicur racio A ad F, eadem
est cum racione C ad F. vnde A ad C cAt, re P. ad F. ergoracio AC ad BD, Ca-
dem est cum rarione P. F ad BD.
Aliter.
C39. huins. D Acto AB CRadracionem C D, vecratio A C ad rationem BD: d rario P. B
Lest ad racionem FD, ve racio F F ad rationem BD. sed racio AB ex hypo-
chesi est ad rarionem CD, ve racio F B est ad rarionem FD. ergo e ratio AC est
ad racionem B D, veracio F L ad rationem BD. Ouod Fuir demonstrandum.
Proposicio sequens ics per se clara est vepocuerie absque demonstracione astumi,
conabimur eam nihilominus hoc loco demonstrare.
PRODOSTTIOLLII
OnanEuE A B, CD MMMesrariones, de quaevis ratIO P P.
Dico quodratio LLB ad rationem F. F, candem rarionem obci
neat quam ratio C D ad Illam iplam rationem F. F.
Demonstratio.
L, ica Dad fl. CrIC Ieaque ratiO AB ac
L.aemCBaa LL, veC adHI
Ehedracio Aad C componitur ex rarione 
ad B, hoc eA C ad D, _ exracione B ad C
Voniam rario AB est ad
LCD racionem, VE raciOF. B
(EIAEVE F ad B, iea B ad C; ILCM VEF ac
hoc eltt daL.: Icemcacio C adtci copo
nant ex cacione C ad D, _ ex rarione D a
TT, hoc esF ad F; igirue racio A ad C, et
iildem racionibus componieur ex quibus
Per 4
niu
erincip. Componiturratio C ad FI. ergo cA ves A ad C, sc C ad FI, sed re A ad G, siC racIO AV
3.buins. ad rarionem L F, _ VEC adHI, Scato CD ad rationem L f. Cr∞OrEratIO AB ab
racionem P. F, Sicratio C. Dub atbem P. P. Ouod erae demomt aa.
PRC

## Folio 899 — 1815201908:0956
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000956.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
1t
I1
D
EE OM F F RIC A.
P ROPOSITTOLIIL
Acis duabus racionibus A B, CD, ponacus et cercia L. F limilis cacio.
Dicorationem AF esse  BF, verario AC ad BD.
openodemonstratios
lot.
Voniam rationes C D, L. F PO.
nuneur similes blle cadem;
ratio AB ad veramque, candem
8 F.
tio A P adrationem BF: de acio AB ad rarione C D, IEd Pacio A C ad Fationem
BB. FFGOTalo AL au Lucionem BFis est Ve racio AC ad racionen . 
erac demonturanau.
e ROPOSTTIO LIV
eae ad At, racio eMt adrationem C
LHClA ve
A trta ce
Demonstrario.
ad D, algicur racio F adB, CA deF ad D. vude ve B ad E, ita B ad D, d conasuen- dem.
ECF BAdB VEL a.uodtuir demonstrandum. l.l L1. A RC
PROFOSFFYO F p OaC aBICI
ta  est L
ES CIAELMHRND RNBN
Trario AB estad C Bractonem, ve ratio D F ad rationem DF.
Dico Aad C cande habere ractonem quam F ad F.
Demonstratio.
F: Ponitur aurem Fatio D L ad D FS eandem  52-F 1131OIBCT bS  X A 013 M 8
habere proporiionem qua ost incor AB et  ∞II. BIV. PTCI mnOIZ BC A
aentes. c A ad C, sCF ad F IDit  qua
Bet E.Ha AF CMDSIONtA BB 
∞i
s
Se monoiiim
habebirpropoem: sed vera-
cio AB ad raeoC P F ica aFa-
1rD1 et HCHCSIIEE e
Dicoquod Bsicad D reest F ad f.
et CCSDC FDiZBL  a3. hnius
b
iius.
CL.Maiu3.
tae e
Voniamratio AB est ad CD rario- l
eio AF ad C L LacOHCII
ergob racio AB est ad A F. LaTIONCM, VE
racio C D ad CF raciollem: ratio au-
tem AB ad AB raciOnCIM CHt VEF 2dB,
 e t 
B Acio AB ad CB, est c vE A adt C, d vE
rario D F ad DF rationem, AC F Cst ad
leta
eROPOSECIO LVI
CTacOLB ad CBratIneM; veratioD P ad F C rationem. Deindo
Dico A C, et D, 1gmlicates esse provorcionales.
Demon-
hacveCadF, ita F. ad II.

## Folio 900 — 1815201908:0957
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000957.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
900
PROPORTIONHLITATES
Demonstratio.
Voniam eadem est ratio AB ad
LCB, cum racionc D F ad F C, &
cum racio AB ad C B, AC ve A 2c
Beric paricerratio DF. ad FC, DEA
est ad C. sedbrario DF ad HC, el
E ica est D ad F, proxoreionales itaque lunE AC d L,LL
Bains.
ve
Duod tuic demonstrandum.
Aad
Dremrario A de  Cace CuILAHIOnCF. adF.
Dicoctiam ralloe a D, candem esse cumratione C ad HI.
Demonstratio.
Nueneis denominaroribus rarionum AB,
CD scilicet A ex I, icem racionum F F, C+ II
denominatoribus F. d R. quoniam raciones
suneproporeionales, eric ve A ad P, ica P ad R.
icaque cum A ad B; cciam sc ad B, VE F 2d
E, eric deliam BadI, ve F ad R. Sed re D ac
C, ica estBadT, ergo ve D adC. Aaen L
adK. Sed HadC estere Lad R. ergo vet
adC, ira D est ad C. Quod crac demon
R O e OSIFIO LVII.
VIcrario AB ad C D rarionem, vrratio P. P ad rarionem OHI: SIE Au.
ROPC
llandum.
5
L. VII
talio AB ad FF rarionem ve C L TaO Ad C AlatIOnem.
Dico rarionem AE adracionem BF, eandem habere proporrion
nem quam rario es ADILacoM.
bl.
F39. hn
et
rionem BF, vetracio AB ad rationem P. F: a laC
ad rarionem DTI, ve ratio CD ad rarionem CTI. sed racio AB cM CX
hypochehadrarionem B F, veratio CD ad rationem C FI. ergo rario AF. est ad
Cacom BF, vEtalio E C ad rationeta D H. QuOd ctac dem ontrandum.
PRO.

## Folio 901 — 1815201908:0958
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000958.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
G F O M F Y R I C A
PROPOSITIO L
AEX (INEB. quaMItates A, B, C, D, L, F, C, tI.
Or
co proporrionem rationum A l. B L elle de propoltionem
cult a ie li 2 L2 e adProporrio-
nemlalioru , Ct.
Demonstratio.
nem B F, erit proporciorarionum AF,
BF eadem cum proportione racionum
AB, EF. Similicer quoniam rario C C
es ad rationem DFI, ve racio C D ad racionem C: FI, eric proporclorationum CC
DEI eadem cum proporrione racionum CD, CFI. Ergo proporcio rarionum AF,
BF est ad proporcionem racionum AB, F F, ve proporcioracionum C CF, D HI est ad
proporcionem rarionum CD, GFI. ergo bpermurando proporcio eationum AR, B ++. hu-
BF, est ad proporrionem rarionum C C, D II ve proporcio racionum AB, R F ad ius.
proporcionem rationum CD, C FI. Ouod erac demonstrandum.
ROPOSITIO LX.
Trracio AB ad rarionem CD, veratio F F ad G HI racionem.
Dicoquod racio AB ad rarionem (IO, (cveratio L. F ad DC FA-
Demonstratio.
hatus.
)Voniam a racio AF est ad rario: 59. A
nem BF, re racio AB ad rario-
coCI.
rm rario AB Sc ac LaOnem 24, 5, 10,
CD, veratio L.L ad racionem 2
adrarionem P L, ve racio CD 24
racionem CFlihoc eAverariodFIO
ad rationem DC. Rursum igieur
permucando rario AB est adrario.
A3
10
nem FIO, verario F F ad rarionem D C. Ouod exar demonstrandum.
Vod uerie racio  ad racionem HC, veratio F. P ad racionem
orarionem Aene adC Drarionem, reratio L L adaloet1
1.sst SSL e B 32CIC. FE I BCCBEMLIE
Demonstratio il
Voniam estratio AB ad YF C LatIOnEM, vEFarIO E F ad rationem DC; criI
permucandoratio AB, ad rationem R F, ve rario FTG ad rationem DC, hoc
est pec hoticiuo, velalie D mllationem c il; poruntando re tue palee pcopose
11
GFI, eric cpermutando rario AB
clbao
C 4 4. bolitar.
a3 D. litin.
u s uet 1  1  n  pe p t i e n tit

## Folio 902 — 1815201908:0959
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000959.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
902
PRODORTIONALLTATES
eROPOSTETO LXI.
CaCMaOrario AB aetationem C B, veratio P F ad rationem C FI.
Droracene L elle adracionem Hl. D, veratio BFolt ad ra-
58. tuiuo
c38. Bt
Demonstratio
Voniam racio AB est ad rationem CD.
sEracio R F eA ad rarionem GTI, erie
permurando racio AB ad racionem R F, vE
Pacio C D ad racionem GFI. ergo a bracio
AF CA ad r2
em BF, veracio C C ad
rationem D II. Sed ratio C C es ad racio-
nem D FI vecratiO FT D ad rarionem CC.
cOHCM CC.
ergo ratio AF est adrationem BF, ve racio HF D ad rarionem OC: vnde permu-
cando ratio A F est ad rationem FYD, veracio BF ad racionem GC. Quod erat de-
OnArAH duM. LIANC GUIOQUE PCT PTXCEdeNTEM COAVETEES. OI
P R OP OSITIO LXII.
Imiles ponancurrariones AB, d C.D, et inter AB, CD ponantur
E. de F.
Dico rationem AF este ad CF racionem, ve racio F D ad racio-
Hem L.B.
monsra
FF
I
FTaC VE F ad C, SC F
adC, crie d ve A all
Cracio A C da 12
AC, B tioneM CF, LCMITM
Aac ve D ad F; AC  de
F: Cxic vE P 20 113 lc
racio FD ad raciollem
FB. Detuee Guontam
eAtretadC. SCF. dll
muc. B ad B. HF. dd fl. led exhrpochelire A, CA adC, Sic B adD. Cr∞OH, Cl an
F CA ad FT. Ouoniamigitur cAve AadC, SicF ad HI, e licur paulo anre octendi,
ve C ad BsicF ad P, erir ex xequa, ledracione perrurbara re Aad C: HIC L ad fI, hoc
est quemadmodum ancea demonstraui, veracio A P elt ad rarionem C F, GC critra-
ei0 F: D adrationem F B. Ouoderat demonstrandum.
LR OP OSITIO LXIII
eritpermuT. VE Fad F, sic C ad E: irem quoniam est veB adF, sic D ad YI, erix per
ut turtumlmchtalionesAB. Ll.  canalicut quauoenat.
Dicorationem L. A eNe adracionem EC, VELaEIO L. B Ct al lac
NCM LL.
Desoi.

## Folio 903 — 1815201908:0960
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000960.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
Acio F A est ad racio-
nem F B, vea B ad A.
hoc est ex hypochesi ve D
GEOM ETRIC A.
Demonstratio.
cando Tallo H A elt ad ra-
rionem EC, ve racio F. B ad raionem F D. Quoderac demonstrandun
lROeOSITNO EXIV
ad C, hoc cAt veratio F C ad
racionem er peria-
b+ . tbninme
Icrario AB acaltoHeC B, Veratio L. F ad rarionem CHI. Aac de
dcHD adC, ia BadI, e ve HI ad C, ica F ad R
Dicorationem A Velle ad E. F rationem, veracio F. K adBI.
Demonstratio.
curcracio A aI, Caclem cA. cum ra
cione L ad R: ergo per 62. huius, VEra-
rio A B ad racIONEM F F, SIC TAEIOFR
ad rarionem BI. Ouod crac demon-
Arandum.
Voniameatio A B cA ad CD ra
LcionetI, ve racio F F ad GTI, igi-
eR OPOSTTIO LX
Vicratio AB ad cacionem F. F, veracio CD ad CHl rationem, licquo
Aad B, ve C ad D.
DicoescE ad F, ve C al LL. retom aut L, nC al .
Dico B ad F eandem habererarionem quam D ad FI.
Demonstratio.
Voniam racio A B aet L. L POuI ellC vi
racio CD ad CFIracionem, cric igiturra
tio AB ad raiOnE C D, ve rario P, F. dad Ci TY
racionem. ergo cum sic rario A ad B cadem
qux C ad D, erir _ racio F ad F, cadem cum
ratione CadTI. Ouod crac demonstrandum.
1
Secundam quoque parcem sic demonstrabimus. quoniam est racio AB ad racio-
nem CD vcracio F. P ad racionem CTI; eric criam pers8 huiusrario A C ad racio-
nemDB veracio FC aclacionem FFI: ex permurandoracio AC est ad racionem
FC, deracio BD ad rarionem LFI. Sedrario AC eadem est rationi F C, cum CX
hypochesi Alicad F, ve C 2d0. LSo tacte Dadem est racioni FFT, adeoque
e racio BP, cadem racioni DH, lE , H D a L. CTaC (CCUI.
dolocoprobandum.
o  t  t     e  p

## Folio 904 — 1815201908:0961
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000961.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
uin
PROPORTION ALIT ATES
PROPOSITIO LXVI.
OI ad DKrationem, veratio FL ad rationem (IM.
Dico eseI adR, veL est ad H.
384
Tcratio AB adrarionem CD, verario F F ad rarionem C FI, et rario
Demonsratio.
am cltrario A B ad ratIB.
C
v
10P. P a
Facionem, et ratio A ad C, cac
racioni F. 24 C,, 1BIcur a B est ad
7
et
D, ve F ad FI: CA aUTeM FaTIO
 autelaltortem, veracio F P
adlM racionem, d elt olteu
B esse ad D, BE F ad H igicurracio t ad K, eadem est cum racione L. ad H.
PROPOSITIO LZVII.
VIEqUanEIEaTES A, B, C, D, F..
nuM L. LI, CB, cC D all L.
Dicoproporrionem rale A, C. b, dd Plopoonem Falio.
Demonstratio.
Tac ve B adC, Ita A ad F, rario
isieuE. D A, b ad racionem C B, est
Dc D ad L, Ldcio gubque F A ad ea-
cionem CB, CA VE F ad F. CryOVC
Lacio DF, ad lLracionem, Ica PrO
corcio racionum DA; C B du P10
CPerZ. hH- DOFEI
ius.
em rariOBUM P. A, C B: est aurem cratio DF ad F F, vE D ad F. igIEUIF PEOPOr-
cioracionum D A, C. B ad proporcionem racionum E. A, C B, est vFD ad F. Quod
tuic demonstrandum.
PR OPOSITIO LXVIII
atis quoruis pari numero rationibus.
carum denomissatos
Oporccatrationes exhibete qua coe te aco ta
Constructio es demonstratio.
AExX CnErationeS AB,
FF, O FI qua
cum denominatores sInE
L, R. L. M. AacVEM ad L.
ica K ad P. DicoL ad P.
racionem eAle eam qua
Poctulacur. Fario enim Lact
P exhibee d proportione
S13. hin. QUaM PaTIOneS COnFIHENE YR d L. M. qui ceM ex Costructione lune denomi-
halesrationum dararum AB, CD, P. F, G FI. Pgicur manifecum est rationem L

## Folio 905 — 1815201908:0962
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000962.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
GEOMIF T RIC A.
905
rationn cacatu.
cer praxis colligi pollic de quouis numero racionum qui parlic. nam linumerus rario-
nu impar tuerie, ancecedens remanebic Ane conlequence: quod per te est manitectu.
PROPOSTTIO LAL4.
Als Cribuscationibus quibulcunque AB, CD, lla Gualicace (.
Oporreatinvenire quantitarem HI, vesic quemadmodum racio
AB, ad rationeM C D, ita P. F racio ad rationem C LI.
Constructio es demonstratio.
namratio AB estad racionem
CD, Ve a AadR; hoc CAt CK
constructione DE LaLO F F ad
racionem CFI.
Si volueris quancitatem da-
eam C esse consequensrarionis
quaece, Cimili discur (u per 31.
huius habebicaE InEENEUM.
P R O P
ilacre D ad C, ita Bad R: ee
Per 3r. huius, invenIAEuE
quancicas FI, ve sic quemadmo-
dum A ad R, HCFacIO F F ad
rationem HI. Dico Factum:
ad P CAI CNE qUA dOCCAE PEOPOTTIOHCH GLLAH COMCMKLHCTACer Se denOMInatOrES
Ouod quacuor assumplerim rationes, co feci consilio quod ex eonumero sumtetel-
ITIO LXX
AEX LInE ErES ratiOnES AB, CD, E. F; &e alia quancas .
Oporceat aurem deccrminare quantitareu ne Ploportio ratio-
num AB, CD, ad proporrionemrationum E. F, O t, datam rationem
obcineut L alt l.
Constructio ex demonstratio.
FitaE B D ad C, SiC B al
cum rarione AL. lnuc- B.
niatur c deinde quancicas e
M; AC vE racIO A L SC ad
ratione L M, estque per constructionem rario A L ad racionem L M, ve l adR: CF-
iam proporeio racionum e B, CD, erit ad proporionem rarionum R. L, CTFL, VeI
ad F. Factumisicur elt quod perebacur.
L. Cheltsob proporcio
rarionum AB, CD cadem 
TALIOREM EMI, veT ad K.
DCMU AAC VEM ad F, SIC
c25. huiu
vel 3c. 11
in
C ad HI: crirque inverrendo FI ad C, Ve FadM: ac proinde proporrio racionum
PF, CFI eadem est cum ra . achiam igieur proporcio rarionum AB,
CD eadem eIECUM FAEIONC AP, _ proportio rationuM R F, G FI, cadem est cum
tto1212132213 26 27 10 20 20 22 22332A 35 202
1

## Folio 906 — 1815201908:0963
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000963.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
+iMtins
906
PR OPOR TIOHALLTAPES
EROPOSITIO LXXI.
Vicratio AB ad CHI, ve eltrario DF ad I L. rationem. Sic inluper
Oratio BC ad HTI, vees P F rario ad racionem L ad HI.
Dico proportionem rationum AB, DF, eAc ad proportione acte
num BC, L F, reproporriorationum G LI, K L. ad proportionem ratio.
NUM HII, LM.
TuFPaI
Demonstratio.
GTaEVEE ad D, SiCB adN, ee ve
E ad F, SC C ad P, VEVeH P.
ad K, SC FI ad O, vedemum ML
adF, ACPad O. Duoniam exhy-
Pochesiratio AB est ad rationem
GFI, ve racio D P ad rationem
K L, cric permucandoaratio AB
ad ratIOneM D F, VeraciOO HIad
racionem R L. crg0b A elt ad L,
veKadOhocclerario ANEqua-
modo ostendam rarionem B P aequari rarioni FIO. ergo
eadem cum racione B l. en Propoctoracionum Ci H. R L, eadem elt cum racio-
ne C,O, proporcio denesde racionum IIL. L. ML eadem cum rarione IIa. ergo
proporciorarionum AB, DP. est ad proporcionem racionum BC, F. F, veproporcio
racionum C LI. KL, ad proporrionem rationum LII, I. M. Guod eracdemonAtran-
dum.
O, vi
Fatio AN eAt ad FaEIO
BP ad racionem IIO: _ PeFMIHE. TatiO
AN est ad rationem BP, veratio CO ad racionem FYO. Sed peF Y3. huiuSPEOPOE-
eio rationum AB, D F. eadem est cum racso LLL a proa BC3 LL
eROPOSITIO EKLII.
rationum, quantirares C _ II.
AEA (IMEFreSrationeS AB, CD, E F; denominatores aurem AB, C D
hacoris rarionis AB, etlat o Calle euancitas I denominacor rationis
E F respectu F denominatoris rationis C D.
Dico liquancicas l sic denominatorrationis P. P respectu C denomi-
Lemonstat.
Voniam ponicur C de
nominacor racionis AB
respectu II denominatoris
C DracioniS, ISIEUEVECCD
racio ad rationem AB, ita
denominaror FTad denomi-
natorem C; cumque Racua-
cur racionis AB denomina-
TOF C, respectu quanciratis L
qua est denominacor rario.
nis P F, eric quoquere ratio
B adracionem PP, ira demominator C. ad P denominatorem. erso ex aquo etur
ratio
in

## Folio 907 — 1815201908:0964
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000964.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
2l
Cral
este
GE OM F FR FC H.
907
racio CD ad rationem D F, ita denominator FT ad F. denominatorem. Ouare se
Ldenominacor cric racionis L L respectu TEdenominatoris racionis eius quair lia.
bec C 2d D. Duod tuie demonstrandum.
eROPOSITI
 22L224
Vlcracio A ad B maior ratione C ad D; de sumacur quaevis alia rario
ADL al f.
Meorarionem ualio et, aoe ladee plopotcione
quam racio CD.
Demonsotion
IlacreD adC, GCB ad C, e vE P alt  CB al 11.
L crunc per 13. huius A et C, aebatoes la-
cionum AB, CD, icemque HL d H, denomna-
coresracionum AB, L F. ergo per praecedenrem
C SE HI, Cunceciam denom inacores racionum CD,
F F. Jam vero quia veratio AB est ad rarionem C D,
ica est A ad C, per definitionem 2. huius, estque racio
ABmaior ratione C D, ex hypoches, etiam A ma-
ior est quam C. ergo A maiorem rarionem habet
ad II, quam C ad HI. sedre A ad TI; SIC racio AB
ad rarionem B F, _E vE G ad FI, SC FatO C. D adFALIONEM P F. Frod et racio AB
adtaclonem LL Malole habel proportionem quam habeac rario CD ad ratio-
nem P. P. Ouod erac demonstrandum.
EROPOSITIO LXXIV
Vod si rario AB ad CD rationem, proportionem habear maio.
rem quam racio E. L ad C. DTallonem:
Dicorationem AB mad ee a IC Latib L. 1.
eMonsai.
ergobC e HIlunt denominatores acteatC B L. F. lam vero quoniam est vEra - b72. huius.
E estque rario AB ad C D TACOMCIMMHMISIOTI, quam P. L ratio ad rarionem C D;
Defin. 2
nius.
c quam deat La L L. 1G Cali 6 d. A L MaloF Ct LattonC L L. yod dibia
lat ve D ad C, sic D ad G, _ vEF ad P, Sic B ad PT. PruneL ItaqHE A _ C deno- 213. huius.
minacores rarionum AB, C D, icem A ex FY denominacores racionum AB, L P.
eio A B ad racionem C D, cita A ad G, _ verario BF ad rationem CD, ita FTad
erir quoque Aad C in maiori quam FI ad Ci. ergo A denominacor racionis A B maior
cxac debaum.
13
l
    s e  p e    s   s p 1

## Folio 908 — 1815201908:0965
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000965.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
908
ROPORILDMLMLLMTI
GF OMLLKICAEVM
ARS TE RFIA.
Verationum mupaom jeu compositione.
DMionum multiplicationem à compositione non differre satis arbitror, is in-
llicet, qui non noret definitiones 5. libri sexti elementorum, eaque lece-
 quae in secunao principio huius libri exposurmus. Tunat tamen, quandae
epius deinceps i a me assumi debet, L. ectori verbo 2no memoriam refrica-
re. Datae sint tres quantitates A, B, C, aut plures: Di-
cimus ereo, rationem AC ex componi ex rationibus
AB, BC, ex produci ex ijsdemrationibus inter se mul
ciplicatis, ac proinde rationem omnem produci ex mul-
tiplicatione earum rationum, quae ipsam componunt.
EROTOSTTID LXXV.
Aex Cincraciones AB, dC D. Fiatve C adD, ita B ad F
Dicorationem AB ductam in rationem C D producere ratio
Mt
Demonsttabio.
Actoes AB, B F componunera
tionem AH. Cedracio BL. Clt ra
tio CD ex constructione. Frgoracio
AB Cum ratiONC C D componic Fa-
cionem AF. ergo racio AB duceta in
nem AL.
cationem CD producir rationem AF. Ouod erac demonstrandum.
A 2d P
Corollarium primum.
Inc facilè deducemus candem
racionem proaues ex cacione
 i caciorrem C B, qux AcCxFd.
cione CD i cact AB. haC
enim ve C ad D, HCB ad F; ede
ad F. igieur per 75. racio A B in rarionem CD, Facicracionem AF
ex racio CD in racionem AB Facieracionem C F. Aequiraciones A F, C F cxdem
E
(UnE. ErgD, eCC. quod aucem rariones AF, C F snc exdem, siC ostendieur. per constr.
D cAt adB, ve A ad B; e C est ad D, ve B ad F. er5023. quinei, C cA ad F, ve
orollarium secundum.
 Cato Lactor    C Labimus cationem qua producitur ex ra-
eionc AP ducta inracionem C.D.
FiaB

## Folio 909 — 1815201908:0966
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000966.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
ex 1
GF OM EFRIC A.
90
Fiac enim ve C ad D, sic A ad F, Dicorationem AB ductam II FXCBHCM
CD Dioduccrerationem AL. Demonttraciopacee ex Deacedenei.
ROPOSIFIO LXXVI
Aca sic quaeuisrario A ad B.
Dico raltortem AB ductam in racione B A viod racio
11
nem aequalitatis.
Demonstrath.
Vancicari A a qualis aTumatur quanticas C. PatiO A ad CCPonitur exracione
AB, X racione BC, 2 hoc estracio A ad C, produoitur ex mulciplicacione ra- 2 Princip. 2.
cionum AB, _BC. sed racio BC cst rario B A, eA enim C aequalis A. PrgOracio
Aad C eriam peodulicur ex mulciplicacione racionum AB, et B A. Ccd racIO AC
ectracio aequalirarisi liquer ergo propolicum.
1. Litit dis tc
PROPOSITIO LXXVII.
lincer A e B celuis ponantur cermini C, D
Dico AC racionem ductam in C B candem producete quam ra-
Demonstratio.
in
eio AD ducta in DB rationem.:
Acio A ad B, componitur ex racio-
citur ex ractorum AC _ C B molci-
plicatione. Padem quoque rario A ad
B, componicur ex racionibus AD; ec
DB; hoc est producieur ex ductu rationum =D, D.
nem C B, eandem producierationem quam ratio L D auctain raci
etac demonstrandum.
pibus AC _ C B, hoc eAb produ-
PC
B 1bid
S
Dicorationem A C ductam in rarione
AEX sinE quatuor quanricaces A, B,
BD candea prouueele rarionem quan
tacio AB, ducta in rallonem BC.
Demonstratio.
LtarvE B ad D, Sic C ad F. Fr3op er 75. huius L
ad B, producitur ex mulciplicacione rationum
AC, d BD. Deinde quia est ve B adD, sic C
2d F, erir permutando B adC, ve D ad P. Cr9O
foratio AC ducta inracio.
DB. 46a
rioc A dvecaao Poenratione a . cl80ce rae ca cibia
in racionem B C produci racionem AF, sed hanc eriam producierario AC, dueta
inracionem BD, reostendi supra. Racio igitur AC ducta in rationem BD, idem
producis quodracio AD ducta in racionem BC. Ouod crar demonstrandum.
L. 22
corol.
ratio AD ducta in racionem D P. idem producs
quodracio AD ducta in racionem BC. sed r2-
pui   sa uu  i e s  ute    a t t  ete et te  e        te a  ut  u u. e t

## Folio 910 — 1815201908:0967
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000967.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
AD, BC, H
PROPORTIOAALFZAYFS
rollarium.
Inc lequirur dacis cribus quancicaribus A, C, D. 440 11d-
DAC ducta in racionem C D, Producac idenrot-
cio AD duca in rarionem aequalicacis. Sumatur enim B, X
qualis C, per 78. ductus racionum AC, B D producie iden
quod duecusrationum AD, B C. RequirationeS AC, BD.
luncrationes AC, C D (es enim B aequalis C:) ergo ductus
rATIONUM AC, C D idem producit quod ductus racionunL
SITIO LXXIX.
cestratio AD ducta in racionem x qualicaris.
dem posiris: ( 1
10
quodrario A ducta in rationem C. B.
Dico racionem AB ductam in racionem C D, idem producere
Demonstratio.
 C ad D, ica B ad N; erGOra.
eio AB ducta in racionem CD, Pro
ducieracionem AN. cursum AaC VE A ad
D, SiC B ad M. igIcuEa FaciONES AD, C B
incer se mulciplicacae producune rationem
CM. Jam vero quoniam racionem AC
componunt caraciones AB, BC; qua AD.
DC raciones; idem producene raciones
AD, D C incer se mulciplicaca quod ra-
tiones AB, BC. Cedper construction. racio
DC est rario NB, e ratio AD est ratio
BM. ersoeliam rarten M ide producune quod rariones AB, B C. sed rario-
nes AB, BC prodaunerarionem AC, _ rationes NB, B MI producuncrationem
NM. racioncs HC, NM sunc cxdem. Igitur permutando cciam rationes
AN, CM eadem sunc. Aequi suprà ostendirationes A B, C D producere rationem
ANY, ratiOnOS VerO AD, C B producere rationem CM. ersorariones AB, C Didem
producunequodrationes AD, C B. Quod erat demonstrandum.
PROPOSEFIO FZXX.
25chui
tidem politis:
ex ducturationum AB, C D, ec BC. bis lumpEx.
LBredicem prouues ex spucatione rarionum AC, BB, qued
Denohudoba.
laere BadC, Gc D ad B, r2-
eio A ad F, componitur eK
cacionibus AB, BC, CD, DF.
hoc est, quoniam rationes BC,
D
ex construct. lunt cedem, et
rationibus AB, CD, e BC bis
sumprae. ergoracio b A ad P pro-
ducitur ex ductu racionum AB,
C D, ec B C bis sumprx. le d Facic
2 ac

## Folio 911 — 1815201908:0968
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000968.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
SAD
_  L L A IC A. 15
ac proinde acto au Prone ex acuatien AB. BC. LacePou
cic ductusrarionum AB, CD, X B C bislumipea quod producic ductus racionum
AD. BC. Sed per 78. huius ductus rarionum AD, B C idem producie, quod ductus
rationum AC, BD. ergo ductusrationum AB, C D, ex BC bis sumpea idem pro-
ducic quod ductus racionum AC, BD. Quod erac demonsrandum.
P R OPOSITIO LXXXI.
VInEaux qua_IS rationes AB, CD.
D Dicopreportionem racionum AB, CD esse candem cum ex qua 
oritur ex mulciplicationerationum AB, DC.
Demonstratio.
A ad F, etiam coponitur ex rationibus A D e D F, hoC eA ex rarionibus A D, BC,
lat veD ad C, HC B ad L.
Valec ex 75. lsiusracionem
adracionem CD, ve A ad Li, ac promde proportio Falou AB, CD oadem est
cum racione AB. ergo proporciorationum A, B, C. D eadem eltoum ca qua AC ex
mulciplicationerationum AB, DC. Ouodtuerac demonstrandum.
eROeOSITIO LXX XHI ep unie
AcaHIE quaeuiscario A ad B.
csto
alato
Dico quodrario AB ductain le, dupilcat eus Gllam haber
Demonstratio
lane preporciorales A, B, C. exit 2 et 8
racio A de C, illa quae Ac ex AB duct
in B C, hocest in sciplam. Sedracio A ad C
duplicaca est eius quam habet A ad B, igi-
cur racio A ad B, ducta in Ce iplam duplicaca
estrarionis A ad B. Ouod erac demonstrandum
PROPOSITIO EX LXALF 1D. d R il 30
D Atio A ad B similis sicrarioni C ad D.
Dicoracionem AB ductam in D C, produccte lattolem xqua
IIEaris.
HEeol Scubla 
Demonstratio.
AF. produci exmulciplicario.
neracionum AB, DC. Dcin-
de per 13. huiusracio A B est
A ad B.
CD, crir inverrendo ratio B A simi-
lisracioniDC. quod et8 ata
DVoniam racio AB similis est racioni
cacione racionis AB in racionem B A; AC
eciam ex duccu racionis AB in racionem
DC. sed ex ductu rarionis A B in raTIONE
BAB proaUaaqualicaris; ergo 
m a
1.11C1.
Dunirime io
ex ductu racionis AB in racionem D C, producicur rario x qualitaris. Ouod exac de
2
1
qsi ue uu t  a t   pue

## Folio 912 — 1815201908:0969
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000969.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
PR ODORTIOHALLTATES
PROPOSITIO LXXXIV.
Eneur quaruor quantieares AB, C. D; ∞ A ductum in D producac
F, d C ductum in B, producat C.
Dicorationem AB ad C D rariOHCM, esse ve F est ad C.
922
Demonstato
ETac ve D ad B, ica C ad K, crie
icaque a racio AB ad CD rario
nEM, ve A ad K, racio vero A adK.
composica est exrarione A ad C, e
C ad R: rario quoque Fad C, com-
Polica est exracione A ad C, e D ad
I (quia A in D produxic F, e C in
cum racio D ad B, sic ex construct. eadem cum Fatione 
vins.
ad C. Quod erar demonstrandum.
BP
ad K. cricracio A ad K, ex iildem racionibus composica, ex guibus racio lad C
Berincie 3. componicur. ersob A est ad K, hoc est racio AB est adrarionem CD, ve F cst
DOciris quacuor cerminis AB, C D. Si A ductum in D produCaE L
Demonstratio.
DEF praeced. racio AB ad rationem CD.
eA vE F ad F, scd F ad F racio aequalica-
eis est, cum aquales sinc exlirpochesi; igitue
racio AB aequalis est seu limilisracioni CD.
Duod erac demonstrandum.
Corollarium.
Inc E AB, CD similes FaerHCLationES, A in D producet idem quod C in B.
PROPOSITIO LZXXVI.
AEE snE quauorrationes pisPonionales AB, C D, E F, CH.
Dico exprima AB ducta in quarcam C H, idem produci quod
Demonstratio.
ilac ve C ad Hl, Hic B ad l; _ ve F, ad f
ita D ad R. Cric c rat LLI au cactotem
en
ROPOSITIO LXXXV
quaticarem aqualem l, que sr ex ductu C in B.
Dicorationes AB _ C D aequales esse seu similes.
LC H A ad C racio CD ad ratic
FF, ve C ad R. Rurlum quoniam est ve C da
FI, Sc B ad L, racio d AI produc
UE ex NUI.
F. ad F, C L at LL, Tatlo CK producituE ex
ciplicacione ractorm AB, GFI. LC quia ckve
ex ductu secundae C LTeTTIX F F.
ductu racionum P F, C. D. Deinde quiaracie
At t e

## Folio 913 — 1815201908:0970
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000970.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
vel
11
973
_L DALL IRIC A.
AB eA adrarionem CD, veracio F. F ad rationem O HI, criam , rario AB est ad a60 huins.
racionem GTI. netaio CD ad lachene LL ea ance ostendi A eAc ad I, vera-
tio AB est ad rarionem Cx FI, _ C esse ad R, veracio C D est ad racionem B F.
ergo A csadI, re C ad Khpcesrario AT producta, ve supra demonstraui, ex mul-
ciplicacione racionum AB, C FI, primae ec quareae eadem est cum rarione C R prO-
ducta catitutbalibum ucttraum et acteicla. a 
Arastao
Corollarium.
Vod siires Fuerinc raciones proporcionales, prima in cerciam ducta idem produ.
ccd media in sciplam. Demonttracio Palelet propbtione lam demonstra-
ia li media rario bis sumatur.
YI cacio B ad CD racio
nem, candem habeac rario-
nem quam DE rario ad racio-
nem BF.
Dico A esse ad F, vEC 2d F.
Demonstratio.
Inc primo harum racionum cermini
sexnomero, virrualicer octo conci-
nences, ve in primo schemace, cumra-
rio AB sIC ad C D raciONEMS VETA-
eio D F ad B F racionem. igicur ra
eio AB ducta in BF rarionem, aequa-
cur b racioni CD in D F. sed rario
AB in B F pacionem, cAt cracio A ad
F, de racio CD in DF, est d rario C
ad P. ixicur ratio A ad fi, cadem est
cumracione C ad F.
Sint deinde vein secundo schemare
octo cerminis invenianeure parionum
AB, CD denOMinACOTES A _ C.
icem D E, B F rarionum denominacores D d FI. Ouoniam igicur racio AB ad
CD rationem, ponicur esse rerario D F. ad B F rationem; isicur t A ad G7, habecF +2 huins.
eandem proxorcionem quam D ad FT. quare quod oritur ex ductu A in FI, aquale
cric Silli quod generatur ex ductu C in D. ergo criamracio A. ad B, ducta in FatiO- S Per corr.
nem B ad Fi peoducee aqualem rarionem cum E. D ductoin DC. Componicur 85.
aurem rario A F ex ratione AB ducta in BF, _ racio R ad C, compolica es CxF2.
tione F. D in DC; isitur cum equales sinc raciones AF eC EC, crir A ad F, VE
P ad C. Ouod Fuic demonstrandum.
PROPOSITIO LRXZVIII
Tcratio ABuCta in C D eadem cum ratione L. F ducta in leiplam.
Dicoem AD ductam in C B rationem, candem quoque
elle cam Lactore L. F ducta in (c.
EROPOSIFIO LXXXV
Demon-

## Folio 914 — 1815201908:0971
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000971.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
PROPOR TION ALIF AFFS
AB ducta inC
nC AL
DLLL 
ucta Il
Al
CD3
D. Cadem
Calasgicur eciam racio A dIn CB.
et
tur cum ratione P F in se mulcipli-
ele Caracione L.L ductain le.
uod fuic demonstrandum.
ROPOSIY1O L XXX5
AB aequalisratiOnID F.
VIrrario AC compolica ex duabusrarionibus DE, CH, luque racio
Dicod ratione asate helalot 6tI.
Iae eral
P ad NV. eric iBi.
cur racio D ad 1
compolica ex ra
cionibus DF, d
BB HOCCItCK Ld-
cionibus La
lem us 
ioeeCa H.
quibus componi-
eaclo aaca AC.
Ligo per princi
clcle 3. ccccoi
ratIONeS AC, DN
locl
lunccxdee 
est ad C, ve D ad
V. Ouoniam vero
ex hypochehiest ve
D od B, sc A ad B; Crit _ B ad A, vE F ad D: ee iam olletidive D est ad H; sic
A esse ad C. erso ex quo vE P. es ad NV, hoC. est ve C, ad H, hC B est ad C. Ouod
erat demonstrandum.
Araiam Gicrario A ad R, composica ex quoruis rationolo, L. 
3FI, IL.
Dico ralibC B aala alBtIL. M.
R, L. M, Enc aurem racionBC, C Oaquales racionibusDL.
El ad 11 Ba
Demon

## Folio 915 — 1815201908:0972
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000972.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
15D
1IIII 11I
buS DE, GFL, TK, hC
G F ON E T R I C A
Demonstratio.
D AcionibuS DR, GFF, TK PM aeduales RanEratiONeS DF, PN, NC, OL. HI.
10 DO componicur ex racionibus DF, F NT. N O. hoc est per consil. ex racioni-
Cest perhypocheu ex iildem, quibus componaac
ni L. Mt x qualts etI. uodetal deMonAtrandum.
has
Ergo per principium 3. hurus libri, cactones  d D ta agcaes. Oeinde
quoniam ex constr. ratio quoque OL aequalis clelacioni LM, crit racio D P com-
Dolica exracionibus D B, CFI, IR, F II. Ced ex ijletem Pemem Compomlacio A R. 1
ISIEUEFACIONES DP, AR aequantur. Duare cum e rationes DO, a Ve
derim esse aequales, per precedencem ratio quoque OR rationi O P, hoc tacte
R OPOSTFIO XCI.
t1
Ic Aad B, raciomaioris inx quamas Compolta ex lactonibus
aD_FF: Sit aurem Laco C D MalOT ratione AB. 
Dicorationem F ad F esse minoris ad maius.
Demonstratio.
racio componieur ex cacione
CD _ F F. racio item AB
componitur exracionibus AC
 GB. Quare cumratio CD
eadem sic ex constructione cu
ratione A ad G. Igicur rario
C ad B, cadem est cum racio.
ne quam habec F ad F: rario
vero C ad D, ponieur maior
dem sic cumrarione P. ad F, erie quoque racio l ad l, minorisadmaius. Ouod de-
monstrandum fuie.
Fitacve C ad D, ita A ad C.
Duoniam exhypochesi AV
racione A ad B, igicur racio A ad C maior estratione A ad D, MITuE CminOL
ouam sicB. Vnde racio C ad B, est mMoris ad maiuS. GaaC C_LAL1O C daB, C7
ILIO XCII
Vlcirerumratio AB, maioris inxqualiraris compolica ex rationibus
c Mancate  maiorrarione AB.
Dicorationem L.LMotem eneratione CD.
lacve C ad V, HC A 2c
C, ratio AB componi.
Tur ex racionibus CD, P.
cur exracionibus AC, GB.
eadem quoque ratio AB
per hypochelim comporti
Acqui racio CD ex concte.
aequatur racioni AC. ergO
e ratio F F per 89. rarioni
GB aqualis est. Deinde
a
Demconstratio
    e .  e   i e   t es a   p it  et   e  t  a    ti     u        su

## Folio 916 — 1815201908:0973
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000973.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
910
cum exhypothesiratio A B sic maioris inx gualicaris, pona. urque racio C D maior
PO51+ 2O XCIII.
PR OBOR FIONALLTAFES
racione AB, etiam rario CD, eric maioris inxqualicacis. Acqui per praecedencem
racio B, id eA B F, cune est maioris inaequal. erzo racio P. Fminor est ratione CD.
Acio guxuis ducta in rationem aequalicatis producir sciplam.
dndosatti
Aca sicratio aqualicaris CD, ec alia quauis
A ad B. AacVE A ad B, SC D ad B, PeF 75.
huiusrario C F producieur ex racione AB du-
cta in rationem C D. Sed rario C P eadem est
cum rarione D F (sunt enim D e C aequales)
HOC CA CUMFATIONE AB e CMEFSOratiO A B ducta in rationem equalicatis prO.
Corollarium.
Ie pacer rationem aequallaris in rationum compolicione leu mulciplicarione
ceceris racionibus componencibus adiunctam nihil addere.
PROPOSIFIO XCIV.
AEX SnE 4. rationes AB, CD, F F, GII; S rationes AB, _ G FT in-
cer se mulciplicara letem producane, quod rationes CD, F. Fmul-
Dicorationem AB este ad rationem CD, veracio L. F. est ad rationem
Demonstratio.
lac ve C ad FI, Sic B ad T: per 75. huius AB, OH
rationesincer se mulciplicaca Faciene racionem
AT. RUrSUm ARE VE F ad F, CC D ad R. erie rario
CK productum CD, _ P F racionum: adeoque
exhypochesi ratiOneS AL, CK aequales erun, hoc
est A cric ad I, VE C ad R. Deinde quoniam eA
ve C ad HI, sic B ad P, eric per 13. hurus racio AB
adracionem HIG, ve A ad P. Similicer erie rario
CD ad ratiONeM EH, vE C adK. quoniam erzo
A est ad F, vE C ad R; cricracio A B ad rarionem
EIC, Ve racio C D ad Lationem F F. ergo et ratio AB est ad rationem CD, vE
260 buius. 2 FatIO F. F ad racir C. II. Quod erac demonttrandum.
ducit seiplam. Ouod crat propolirum. i
ciplicatae inter lc:
LaOEOSIIIOKCV.
Acis quaruorrationibus AB, CD, E P, GII.
Oporreac exhibere propotctonem ractonum quas plouucunta
rio AB ducta in rar D, de rario P. F inrarionem 6 II.
Con-

## Folio 917 — 1815201908:0974
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000974.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
GF OMETRTCA.
Constructio es demonstratio.
itaeveC ad D, HC B ad. l, _ vE C ad H, P CN
sic F. ad R. per 75. huius crure raciones
ABP K, illa, quasproducet ductus racionum
AB, CD a ductus rationum F F, GH.
racionum aucem productarum AL, e F. R.
proporrio habebicur sI AaEVE R ad F, SC L
2dL, VEIPACCC CX13. RuIuS. Factum cA isicuT
quod perebatur. 11
PROPOSFLO RCHI
1
 AB, C2, a propoI10-
nem rarionum CD: L.M
Ve proporcio ration P. F, 22nCI
NO, ad proporrionem ra
cionum OH, PO
tionum OLI, CB, ductam a siu
in proporrionem rationu
NO, PO idem producere
quod proporciorarionum
TK, L. M ducta in PrOPOr-
cionem rarionit P. F, 6II.
i a
Demonstratio.
scproporciorationum
Dicoproportionem Ta-
e
Z, a. Cric ergo proporcioractenum AB, IK eadem Dum racione R S, _ propOr-
rioracionum C D, L. M eadem cum ratione Y V, dE PrOPOrtIOTaTIONuM LL, NO,
eadem cum racione ZY, proporrio denique rationum GHI, PO eadem cum la
eione Za. Cumisieur quacuor illa proporriones racionum sint ex hypochelipro-
porrionales, etiam rationes RS, F V; Z V, Z a proporrionaleS CrUNE. CrgOPer 86.
huius, racio RS in rarionem Z a, idem facie quodracio TV in rationem Z Y. Cr-
gocciam proporcio rarionum AB, IK ducta in proportionem rationum CFI, PO.
idem produeir quod proporcio rationum CD, CM ducta in proporcionem ratio-
num LF, NO. Ouod erarpropolicum.
DEr 13. huius invenianEuE TaCICMLIEI CALALEI ACHOMHIAEOTES R, S: Y, V: X, Y.
Corbuarium.
DVod sproporiio rationum AB. IK Fueric ad proporrionem tarionum CD. L. NI,
cpropoctoraioum  ClaloBoioeaco L.L, LO. Duo
proporcionem rationum CD, E MI ductam in sciplam idem producere quod pro-
Portionesrationum AB, IK e B F, NO incer se mulciplicaEX. Demonleratio pa-
tet ex propoluione iam demonstraca si bis lumacur media proporrio rationum
C, D, I. M. t quaita
esdit
M     .    p  1  1  1 1. 1  1 . 1  . 1.   . 1 .  2 . 1 . 1.  1. 1 t  .   . 1 t   11

## Folio 918 — 1815201908:0975
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000975.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
PROPOSITIO XCIII.
PR ODORTIONALLTATES
ENEE FaTIONES qUOECUnque AB, CD, F F, CH.
Dicoproporeionem racidns pra AB ad vlcimam C Il CoML
olcame pooo allonum mediarum.
∞dCX X
Semonsatio
lacve D ad C, sic B
ad R, _ VE L ad F, GC
B aet L: revero Had6.
C D act LH. PeL 13. AuUS,
racio CD est ad racionem
A B, VEK ad A; _ PCr CAn-
dem racio AB elt 2d r2-
cionem L. L. HHL al L. CI
veR ad L. Cumisicue etian Bc rario
rationes AB, CL L. L GuaaIBUS A.
13. Bains. eAa cum rarione A ad M. ergo _ proporeio rationis AB ad racionem CFI est com-
Polica exracionibus racionum mediarum AB, C B, LL, GFI. Ouod erac demon.
Atrandum.
AB adr
C. D, VE A adR
babimus rarionem F. F cAlcadrationem CL ML etadM; adcogueomnesta-
ciones dacas AB, CD, P F, CII esse proportionales quallicaribus A, K, L, M. Dua-
re cum racio A ad M. compolica lic ex racionibus LIICBLM. eric quoqueracio
K. L. Proportionales, ex ratio P F ad racione AB, VE L. ad A: eodem discurluPrO.
A ad M, compolica ex proporrionibus racionum AB, C Ds F F, G FI. sed, quoniam
ex construct. Ve FY ad C, sic B est ac , Proporcio racionis A B ad C II, cadem
PROPOSITIO XCV
acae ne lactotes
quoteanq3 AB, C..
Dico ex illis quomodocunqu ps calie eb et plocuer u.
ne componirationem.
Demonstratio.
oncinuencur primo in li-
coordine quo dantu, ve
racio prima TR SIC CaCCM PH-
MX AB, & sccunda RL, (c.
cundae CD, a HC deinccps. F-
ric ergoracio TadN, producta
sive compolica ex racionibus
AB, C D, F F, G FT Codulpotiris
ordine quo daneur.
Continueneur deinde racio-
nes datx in lineisO, P, O, R, S.
Sed ordine percurbato, veracio
quidem OP sicaequalis racio
ni CD, &e rario PO rarioni
AB, _ racio OR racioni CH
racio
SB,K, L, ML IratiOnC.

## Folio 919 — 1815201908:0976
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000976.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
EF OM E FRIC A.
979
racio demum R S rarioni RF. LCtBOratio O ad S, produCtaSIVC COMIPOHEA
exrationibus OP, PO, QR, R S, hoc est ex raciombus daris, led alio ordine diI-
Posicis quam quo lune daca. Dicomhilominus rationem Lad W, eandem elle cumra-
tionc O ad 5.
Exconstruct. enim P est ad K, ve A ad B, hoc est vE P ad O: & K es 2dL, ve
C ad D, hoc est, ve O ad P. Ergo axqualicare perrurbata, I est ad L, ve O ad0, 223. quinis.
Deinde L CAt. adMI; VE F adF, hoc CA, VE R ad S: _ MI cAt ad N, ve C+ ad FI.
hoc est ve O ad R. Rursum isitur ex aequalicace perturbaca L elt ad N, ve0 2d5.
Duare cum I sc ad L. ve  2d 9. _P ad N, ve  ad S; ex aquo L elt ad 1
veO ad S, hiuc ratio IN eadem est cum ratione OS. Oyod crac demonstran.
dum.
Dyod h alio quovis ordine hiac compolicio, simili hihisominus ditcurtu pcox
cum concludetur.
100
y lei .3e A t
e
i esoate
 e  
1 1, 1111(1C
ee sii
C vacissau Ailsoi
12  192 
doctu
aF

## Folio 920 — 1815201908:0977
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000977.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
920
cn
ROPOETI
NLLLLLFLL F E
ederre
F OML TATCREVM
ARS. C
ARTA
Rationum proportiones considerat: maxime secundum rectane ur
comparationem quae fiunt ex terminis rationum, termini autem sta
LkOFOSIIIOXCIA.
Dico reccat SaM AB ad rectangulum BC candem ha-
Dercploportionem quam ratio AB ad C D.
Demonsitabio.
Fitacre, ad C, Ila B al F. CM.
isicurracio AB ad CD, ve A
ad a F: rectangulu b durem AD, ad
BC rectangulum habet compon-
camracionem exracione A ad B, d
D ad C: cstaurem D ad C, veB ad
F. quare rectangulum AD adBC.
HaBCEraTIONEM COMPOSICAM CXF2-
tuuntur duni
13. huin
23. sexti.
tione.
nE dacxrationes AB, C D.
 ex PaC
one Bad F. Scd erram A ad E, habecrationem compolicam ex
iidem racionibus; igicur rectangulum A D ad B C. Cst ve A ad F. Ced eriam ratiO A B
ad C D, CAVE A ad L  aac D ud CD, eadem est cum ratione rectanguli
AD ad BC. Quod tuic demonstrandum.
LAOPOSITIO C.
AGuas Lacto LLD, d ald GuauIS alx similes incer se, nimirum CD.
Dicorectangulum AC ad B C. tectatislilum eandem habere propor-
tionem quam rectangulum AD ad BF rectangulum.
Demonstratio.
iF
QAcio rectanguli A C ad BF,
Copol
est ex racione A3d
B, X C ad F: ratio quoquet
ctanguli AD ad rectangitum
BF exii (dem Componieur: nAM
racio A ad B, communis e, ld-
eio vero C ad F, cadem ex
hypolhesi est cum racione D ad
 Guar pacer lauu

## Folio 921 — 1815201908:0978
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000978.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
PROPORTIONALITALES AEDMLLRNA.
AC ad BF, cam racionem habere quam AD rectangulum ad rectangulum BF.
Ouodtuir demonstrandum.
PROPOSETIO
922
TIE AB racio, ad rationem C D, VICITACIOL F ad C FLTaCIOneM.
Dicorectangulum AD ad BC rectangulum, candem habere pro-
portionem quam P. HI rectangulum ad rectangulum F C.
Demonstratio.
C, HCF 2d1 CneL all 
sic rectangulu F Had rectangu-
lum OF. Acqui ve A ad I, 6C
bF, 2dK. ergo ve rectangulun
AD ad reccangulum C B, l
rectangulum F Had rectangu-
lum GF. Ouod crac demonstrandum.
Acislationibus B, CD. Oporcat exhibere quomodo se trabeat
PEOPOETIO rationum AB, C. D ad raltnem rectangulorum AB,
ilac ve D ad C, sic B ad Y.
cric ergo ve A ad b, SIC a rC-
ctangulum AD ad rectangu
lum C B. Rurtum hac vE HI ac
PROTOSIITO CII
Constructio ex demonstratio.
Dico propontonemracionum
AB, CD esse ad rationem re-
CtaDSUIOTUM AB _CD, VEF,
eAt ad F.
ilacveD ad C, ita B ad F. DC-
inde veBad D, ica Aac C ad F.
Demonsirdono
Amproporciorationum AB, C D per r. huius CReadem cum PatIONC AP. R a.
tet es
e
b 42 huius.
exracione Iltam habet B ad D, hoc cA quam habec ex constructien  al , leut
cum racio A adF, eriam componatur ex rarionibus AC e CL, racio rectangulo-
rum AB, CD, eadem est cum racione A F. sed racio AL elt ad rarionem AL, Ve
F est ad F. per 7. huius. ergo proxorciorationum AB, CD est ad rationem lCClau-
sulorum AB, C. D, reti eA ad F. Factumisicur elt quodperebatuF.
PROPOSITIO CIII.
LAcio veroguae est incer rectangula AB, CD componicur ex racione A ad C, e
VIracio ABadCD, crL ad t, latio quoque liHlad lR, ve L. ad MI.
Dicolaclonem rectangulorum AD, C. B ad rarionem rectangu-
lorum C,H, Cl Cande habere proporcionem quam rario P. F ad L. M..1
AL 3 eiit DeMon-
int
TaTIOReM.
1e s t   .     t. u   t e  1  s.      u .     1t   s     e   ot e t
1III

## Folio 922 — 1815201908:0979
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000979.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
SFF, L
PR OPORYLON A L IFA TES
C. R 51
dc
Demonstratio.
netim
F. Ctansulum a AD a0
B, Candem habCl P10.
porcionem quae cleINcet 12
riones AB ∞ C D, lmiII
cer rectangulum CR ad
EEI rectangulum clE, Vera-
cio OFI ad IR FalioHCM.
Sedproporrioracion 
CD ponitur elle FatO LF
deindepropotcoracionum
esse rariO P MI. igItUE PaFCEPaTIONCM L. F CHC ad LM racio
nem, ve racio tectansclorum AD, C. B ad rationem recans aloum CHE, III. Guod
erat demonstrandum.
Dico rectangulum AL. ad lectangulum , Caudem habere
PROEOSTTIC
proporrionem Gua Uclatsulaut BL dd rectangulum L. C.
Demonorao.
Vod (iABC _ DE F proportionales CINE:
aud
A
D 1C
L
F
exiidem est compolica, nam ratio B ad C, elt cadcM Cm rarione A ad B, X ratioF
ad F, eadem cumratione P ad B, exlrpocheli. ergo cum racio B Li rectanguliad
rectangulum FC composica lic ex iildem rarionibus ex quibus componicur rario
rectanousi A F ad rectangulum D B, Pacec rectangulum AH ad D B, rectangulu can-
dem habere rationem quam habet rectansulum BF ad rectangulum F. C: quod
tuic deronctrandum.
FR OFOSIT
TIDE AB, LF TALIOMESMMMCS HCHC L FatiOneS C D, (,YI.
Dicoprimo rectangulum AD ad CB rectangulum, candem ha-
bererationem quam rectangulum F. HI ad C F rectangulum.1
Secundo rectangulum AC ad BD rectangulum; eandem propOr.
cionem habere quatri F. C rectangulum ad F. HL rectatigulum.
Omponicur enim ratio rectanguli A F adre.
b2a roc.
clanculum B exracionc Add 1, c l. 401.
Smilicer racio rectanouli BF ad F C rectangulum,
 celstdetatt
Voniam similes ponun.
FUETacIONCS AB, L. F, d
rationes CD, G FL. LSIUI
racio AB cA ad C D raric
RCM, VE FATIO L S adrarione
GFF: igieur b rectangulum
AD ad C B, eAt ve rectangu-
lum B ET ad (5F. - 111
Secundorectansulum A L ae D, Latibuta adt C  Ex racionibus
AadB,

## Folio 923 — 1815201908:0980
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000980.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
LAppE I
AEOMEFRTCK. ~
A ad B, _ C ad D, sed ex iildem cacionibus componicur ratio receanguli F L
ad FXT, cum sinc similes rationes KB, F F de amtes quoque linc rarionese
eLL. il Cclathcea Palcto demmonstracio contar.
exOP O51F(O CVI
Adehpolucis.
LDesteclangulum AHIese ad cectangulum CiB, re F. D rectangulum
ad FC rectangulum.
Demonstratio.
ctangulum GB, racionem
habet compolicam ex racione
A ad. B, hoc eAt F ad F, 8
exracione II adC, hoc eA) D
ad C; ex quibus etiam com-
ponicur cacio rectangulorum
F. D, FC. ergo rectangulum
AHI est ad rectangulum CB vE F. D rectangulum ad C B. Quoderat HeMBullran.
dum.
PROPOSITIO: CVILnoian
d
Q Ectangulum AHI ad rC
Idem positis:
Dicdtectangntum AC ad BHI rectalisuum, Cande habete Ld-
cionem, quam Lectangulum P. C ad rectangulum FD.
biltblsoratib
Q Faanguli AC ad BH, rario est composica exratione A ad B, e G adHI: ex
Ex lacione F ad F, B0C. CA A ad B, e exranoul C. dd D, hoC ctF C ad YI. Patet
iraque reriraspropolirionis.
PnOPO5111E1t
illis iplis aurem racionibus componitur racio rectanguli PC ad FD, lCilicce
il 1.
InRTaCONES.
lionem Comrinuare.
Dico quadrarum A, rectangulum BC, quadratum D eagdem ra-
Vadracum A ad BC rC.
Letangulum compolicas
hrabet rationem ex A ad B.
hoc est C ad D, _E CK A ad
C, hoc est B ad D: rario
quadralum, composia ex isl.
aurem rectanguli BC ad D
dem est rationibus, scilicet C
demonstratio.
l.16,3320316
1t 2Bai
ViB. idoc3oqd
0s CD 1.
ad D, _e B ad D, manitenum. B.cu Mtrariones crium harum
pancicacum este s-
iles, ACpFOIIdSCONEIHHAFITAEIONEI CALUNdEM QUanCITACUM.
R
e te i p e. u sti  s  p u etus e sti t st ui et e    e t ete       ue    stir e ad  tt ee t t

## Folio 924 — 1815201908:0981
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000981.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
eROPORTIONALLEALES
R O P OS
Tine qualisrationes AB, C D.
CIO CIX.
Dicoquodrario AB ducta in DC, aquec acOM quam habet
rectangulum AD ad C B rectangulum.
Demonstratio.
Acio crenim AB duu
Cracionem LauCCA
cum proporcione quam b.
bec racio AB ad C D rario-
nem. Requibracio rectangu.
lis AD ad C Brectangulum
eadem quoque est cum pro-
924
leBCILI.
poriton
incproportionales ABC, Iem L, L l.
Dico rectangula AF, BE, DC. eandem quoque rarionem conci-
naFe. Lect ceboeir
in AB, C D. Igicurracio AB ducra inrarionem DC producie pro-
porcionem reccanguli AB ad C B reccatGutul. Suod demonstrare oportuie.
ut Aot o P 1105++1B. CA.
Demonstration
 Eccangulum e F ad BP. FC-
ctangulum, compoliam ha-
becracionem exracione A ad B,
Ine BC Guaicales ploporonales. deinde ve A ad B hac quaeuis
DD
DicoLeccaSua AD, BB, BC, L. C, elle in ContinUatA PFOPOrEIOnE.
e 4
plum quoque D F ad D C, hadecracionem ex iiidem compon
tamnempe exracione B, C, qux eadem elecumrarione A ad B, ex supposicione, e
ex ratione F. ad D, cullem cum racione Lad F. parec igirur rectangula AF, BFo
CD proportionales esse quancirares, quod oporruic demonstrare.
22. Sex1t.
IF.
tROeOSITIOBAI
Lbiloltobiliti
Acio rectanguli AD ad DB
cangulum est re 2 A ad B,
cum habeae commune balim D
AD. DB, BP. L C concinvanc cap dem rationem A ad B. Quod Euic demonstran.
dum.
simili pactoratio recranguli DB ad B F, cR ca quam habec D ad F, hoc est A ac
B exhyporheli. Denique racio B P. recranguli ad F. C recrangulum, eriam estra
tio B ad C, hoc est A ad B: sune enim proporrionales A. B, C. igieur recrangule
111
P R O.
10

## Folio 925 — 1815201908:0982
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000982.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
11III.
G F DH EY R IC A.
PROPOSETTO OX
Vlracio AB duplicara estrationIS C D.
Dico rectanguli AC ad BD racioleM criplicatam erus elle quam
habet C ad D.
acio quDecctaBI AC dd BB
rectangulum, compolica eAt exra-
tione A ad B, hoc cAt duplicata C ad
D, ex hypoches insuper ex rarione C
ad D. eroo racio rectanouli A C 2d
BC rectangulum, est eriplicata cario-
nis C ad D. Duod erac demonstran-
dum.
PR OFOSIT
uc proporto actotum AB, CD ad proportoneh corum LL,
aOHI, ve proporciorarionum lK, L. M, a pope lallonum
NO, PC
Dicorarionem rectangulorum AD. LHL elle ad rationem recransu.
lorum (M, NO, veratio recrangulorum BC, FO ad ratIONCM FCCTan-
Sulorum IEL, OP.
lac re DadC, dcBadl
_ ve IIad C, HCF 2d5.
DEVETO M adL, SiC K AaC 2C
T: demum ve O ad P, sic
Aac O ad V. Itaque eacio
AR eAtaproporcioracionum
AB, CD; _ rario F S est
Proporrio ratiOnUIM PF
CFI: racio aurem Il estra-
EIONUM TRS LMproporcIOS
denique rario NV Clt PrO-
porcioracionum iNO, PO.
Acqui daccrationum prapor-
tiones exhrpoches lunE PEo-
porcionales sibi mutuo. ergo
CtiaM PaTIONES AR, F, S Fa.
cionibus PT, NV lunc pro.
porcionales. Jam vero rario
Fecrangulorum AD, BC cA
quemadmodum iam ostendi, verario IL adracionem AV. AEAUI YE FaTIO reCEAn. .M
sulorum AD, B C, est adracionem recrangulorum P HL, P C, AC, est rario Fectan. c 3 huius.
sulorum AD, F.FI, ad rarionem recrangulorum B C, F G. ergocciamratioreeran.
sulorum AB, F. FL, est ad rarionem cectangulorum BC, FC veracio FY, ad pario-
nem NV. Eodem plane discurtu probabimus racionem rectangulorum LM, NO
esse ad racionem reccanoulorum R I, OP, vetacio IY est ad tacionem NV. Crgo
racio rectangulorum AD, E FI, est ad rationem receangulorum B C, E C+, Ve racio
reccansulorum TM, N Q est ad rarionem recrangulorum RP. OP. Isirux permu-
cando dracio rectangulorum A D, F HI est ad rationem recrangulorum LM, NO, ve
cacio reccangulorum B C, F C cA ad racionem secrangulorum RL, OP. Quodetat d ibid.
demonaramdum.
Demonstratio
Demonstratio.
3
ad racionem recrangulorum F FT, I. G vebratio A R est ad racionem ES; hoc CR,
Pt
oooroo2223aS

## Folio 926 — 1815201908:0983
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000983.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
1222LLLL L F A
ALOML LACEC ARV M
ARS
INT1
Expont ea qua proportionallatibus communia sunt cum
Arithmeticis operationibus.
ROPOSTTIO CXIV
ra sic qua als quanriras AC, vecunque diuila in B, ee alia
Dico rationem AB ad D, una cumratione BC ad D, X
ualem eMerationi AC ad D.
Demonstratio.
 Acio 2 AB ad D, eltad rationem BC 3d D.
ve AB ad B C. ergo b componendo, cacio AB
ad D, una cum racione BC ad l, elt ad Fatio-
AC adV, est b quoque ad racionent BC ad D, ve AC ad BC. Ergo rationes AB
ad D, BC ad D, Simul Cumpex, ex racio AC ad D, eandem proporrionem ha-
bencadracionem BC dd C D. ergorariones AB ad D, BC ad D, SimuL SUMPEX
aequaneur rationi AC ad D. Ouod erat demonstrandum.
P R OPOSTTTO CXV
Lorteat qualuis duas dacas rationes, reducere ad duas ipsis aequales,
qua commune habeant ancecedens.
ROPORTI
itaSD
2. hain
16 hniur.
nem BC adD, ve AB cum BC ad BC, hoc est ve AC. ad BC. Acqui rario
Constructio e demonstracto.
C
Incdacx dux raciones AB
CD, quarum anrecedentes
cermini sinc inx quales, A sCi
cet et C; de Cmilicer comte.
quentes B de V. Bporreacau.
ancecedencem; AAEDEC ad D, Eta A ad F, ratiO A H hMMIS CMC Pationi CD, aC
proinde xqualis. ersorationes AB e AC aGuales lune dacis rarionibus AB, C. D,
 ancecedens commune habent. Du pouaa.
ROPOSITIO CXVI
leguens commune tabcant.
es illis aequales, quae communem habeane cerminum
Porceat datas duas raciones ad duas iplis aqualesreducere que con
Con-

## Folio 927 — 1815201908:0984
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000984.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
PROPORTIONALITATES GEOMETRLCL.
Construitio  demonstratio.
AEx SinEratiOneS A B, C D et
AaC VED ad C; ica B ad F. crune
AB, F. B, aquales racionibus AB,
L
CD: habeneautem rationes AB, LB, commune conteglens B; isicur exhrbuimus
quod pecebatur.
igitur rationes CD _ F B, Xqu2
les incer sc: ac proinde rationes
PROPOSAITO CXVII
Aca rationis duplam alsignare ale eus e  
a
proporrione.
Constructide demonstratio-
berc: hacC cpra Gancicaris A. DI-
corationem C ad B, duplam esse ra.
cionis eius quam habet A ad B: 8
racionem BC, dimidium esse cius
tacionis quam habet B act A: nam FaeO C B, ad A B, est ve C ad A, est aurem
C dupla rectae A, isicurracio C ad B, dupra est racionis A ad B. Racio aurem B
ad C; ee B ad A, eAt ve Aad C. Led Acamlia ipsius C. nraco B aCse
dimidia eiusracionis, quam haber B ad A. LsituE PruS quod reGuebatur.
eddempraxi dabitur tacio qua ad rationem dacam, Habcat dlatam proporrionems
eROeOSITIO CATI
DAca Cirrario AB, cuius duplam
auc dimidiacam oporceae exhi.
Acis quibuluis cationibus oporteat eet Cadere qua in V-
natu  alfualEM aBGrCGCHEUT.
Constructio e demonstratio.
auabuo ec cuncratiopullo e Cu 1. at B acano eM adellacoerium rario
Inerationes AB, C D in
Vonamaserchande; Aac
ve D d C, Il B 2d C
Deinde Hac HI aqualis A
_ O, simul Cumpeis. Dico
racionem H ad B, aqua
lem esse aggrerato duaru
rationum AB; CD: CA
enimracio AB, cum C B
ex conAtr. aqualis duabus
rationibus AB, CD. sed
ratio HIadB, aequalis est
rarionibus a A B _ CB.
Toicur ccantraco L a B, agas ea SSaIM AB, _ CD.
ari4 hitus.
Eodem modosihacre F ad L. ICa B L, de quamicas aa al eua a quans i
num AB, CD, FF, _ Sic pergiporeric in aceruando quonis numero rationu. Ouoc
sixariones dare commune BCa C, C  LCOeS R MT; L. MI.
colligea uae Va H. ete rac E alt, xqualis eacioni-
Aipu ue  uu sut i ue e pt e  u eu te  a u petse u i1
bus KW. L. V.

## Folio 928 — 1815201908:0985
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000985.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
PROPORTIONALLTATES
Atam rationem  CL MalOH aetrahere.
Constructio es demonstratio.
Aca Cic rariominor C D, quam ex maiori
racione AB oporceac luberahere. FIaC ve
D ad C, sICB ad F. eric ergo rario FB ca-
dem cum rarione C D; _ quia ex hypochesi
ratio C D minor est quam racio AB, cric _
E B racio minor racione AB; adeoque R MI.
nor est quam A. Cuberahc isitur P CX A, _ re-
Aduum lic F. Dicoracionem F B, ese reliduum
racionis AB, Post subrractam ex ipla rario-
nem CD. Nam rationes F B, IB a Xquan-
DRODOSITIO CZIZ.
. t. lita
EuFratiOnI ipCUS F cum P, (hoC est ipsuS A) ad B. Aequi dempea ex rarionibus E.B,
EB, racione F B, remanetsracio FB. Ergo eriam dempra racione RB, exracione
AB, remanecrario FB. Cedrario F B estratio C D. Dempraisitur ratione CD ex
ratione AB, reMAnCEFaTIO F A. Factumigicur elt quod porebarur.
AcatmLallohem Det dala plicare.
Construotio e demonstratio.
AcaS CaCOHCS AH. CV
musshaEreL. ad , Ia B
adF, cunc enim raTIO A 2d
F, eric productum duarum
racionum AB, CD incer
semulciplicacarum, quem-
admodum propolic. 75. de-
monstranius.
R OPOBTL1O CX X.
incer se mulciplicabi-
ROPOSITIO CXXI.
Acam rationem per dacal alcer mulciplicare.
Constructio es demonsirusio.
Acis rationibus X
CD per se muruo mul-
ciplicandis Rac ve D ad C,
ita B ad F. Dico A ductum
in L exhibere quaelicum.
Nam ratIONUM AB, CD
denominacoros sunt A_P.
se mulciplicari exhibene id quod producune pationes dul  uuO.
ex B huius. quarehiintes
t2O.

## Folio 929 — 1815201908:0986
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000986.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
nemmulciplicare.
BEOM E FR IC N.
PROPOSITIO CXXII.
acam proporcionem cacionum per alcelat latlonua proportio.
Constructio imonsoratio.
Acx sinc bina lationes
3. CD, icem bins
C, ica B ad L, _ ve II 2dC
iea L ad R. CrIEHAqUC2FA
A0 A ad L, propocuo rario.
num AB, CD; de lacio F
aR proporiio lacionum
EF, GFI: per praceden-
tem veronoca est Mechodus
Maliplicandi ractenem AI
alix FL, G FI, AAE ve D ac
PEF PK cariOnem. CrgO
Per eandem exhibebicue
provoicione BL: IL.
Ouoderat poctularum.
Corollarium.
proporcio AB, CD ducta in
929
ar3. bnins.
nuasse quam quis adhibere poreric h rlceriores mulciplicationes prolequi in animum
induxerit.
POn perso vicerius ad mutciplicandas proporciones proporcionum: nam illae cim
in infinicum posine excrelcere, extrauriri nequeune. Sufticuigicur praxim insi-
eKorOslI1 CCII.
Atam racionem A aet B, in duas rattones ipla Compoes Pal-
ciri, qua dacancer se habeane proporrionem F. ad F.
Cct Xid 1
Constructio ex demonstratio.
HEdE DE F ad F, HC A dd D; et
incer B aC D, InCatA PrOPOT
eionasisictatuacur C. Dicotactum.
ac P aequalis ipli C. Suoniam
BeAad C, VE C A D per con
structionem, eAque L par ip(
eSeric B ad C, ve L 2d D. Fr-
Obratio AF, hoc cl tario AC,
est ad rationem CB, M Aad D, hoc
CA. ex constructiote, ve P ad F.
lectacio AB componitur exratio-
nibus AC, et C B. LrgO ratiO AB
proportionem P ad F. Ouod ctallactem.
diuita est in duas raciones a componences AC, C_ fx dacam incer se habene
vid.
pa arru cen 

## Folio 930 — 1815201908:0987
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000987.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
PROPOSI FIO CZZIV.
DROPORTIONALLTAFES
Unisrario in duas iplam componences diuisa denuo conlescir per
Parcium ex diuisione orcarum in se mucuo mulciplicationem.
Demonstratio.
TNEeE racionem A ad B, InECrPONAEE
quaenis quancicas C: eric itaque ratio A
2d B, dinila in duas iplam componentes,
scilicee A ad C, e C ad B; ostendendum
isicur est per mulciplicacionem racionis
AC in C B racionem, coalelcere denuo
rationem A ad B. Nam eatio A ad B,
composira est exrarionibus A C, et C B: hoc est, veanee propol.75. docuimus, rario
arcesrationis Aad B, plam componences, parec rarionem A ad B,
dimlam in parces, ex palcutu mupllcatione restaurari. Ouod eras demoltrandum.
Porreat daram rarionem pet aliam parriri sive ostendere quories
A ad B producitur ex mulciplicarione rarionum A C, C B. Ouare cum rationes
AC CB, C
eROPOSALTO CXXI.
Ornaalceram contheat.
num AB, C
Constructio es demonsitalie.
D, VEpatet ex V3 huiuS.
PIE AB ratio diuidenda per
CD racionem: AaEVE D L
et a
lam C
B ad F. Dico rationem
i
C D. HAMI EOTIeS A B; ContincE
C D rationem, quacies A con
cel L. cumt L d Llincde.
nominatores carundem ratio.
Corollarium.
Ine manifeltum est dinisionem rnius rarionis per alceram rationem coincidere
cum altishacto rusrationis quam concinene incer le datx rationes, inuicem
PR O P OSIL LO CXXVI.
dividenda.
leproporciorationis ad C. actonema Guaticalis.
Eate excectum quo maiorminorem exlupera.
Con

## Folio 931 — 1815201908:0988
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000988.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
GEOMELKIC A.
Constructio es demonstratio.
IC Baur dacalum racionum ma-
DTor C ad D. Aacquere D adC.
ita B ad F F: iBirUE ve es A ad F F,
ica racio AB ad CD a racionem:
ponitur aucem eacio CD maiorra-
tione AB. Igirur maior est quan-
TIEaS FR GUAnCIEAEC A. ergotactâ
FC aequali A remanebit EF excestus quo denominacor F R excedie denomina-
eorem A. Fiacigitur ve FC ad C F,icaracio AB ad IK racionem. Dicoracionem
IK eNe excessum quo racio C D racionem AB excedic. nam F R est ad RC, vera
eio C D ccad racionem AB. IgituE vE FC ad C+F, ica excecus quorario C D su-
peraC AB rationem ad iplam AB racionem. F.A aurem ex constr. racio AB adIK
racionem. ve est quancicas P C, ad C. F quahcicarem. lgicur pates I H cacionem esse
Orcutatat.
mii
utu
L84∞ 51 a
2
 CEl E t CI UI
ineeile tasdu
FC1DCI
 st eit et    1tit ∞1

## Folio 932 — 1815201908:0989
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000989.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
ROPORLEEDEILLBLELL LVM
(AHOMETRIC AR V M
A R S. S F.
X Y
arias proportionalitarum proprietates complectitur.
e
 aiim
eribus TeruISIn concnuaratione ScilICCE A BC..
icm AB ductam in BC, ad rationem C B duct 
BALacnE, candem esse cum ratione quxe est inter Ae A.
Demonstratio.
ACO A B ducta in B C, eHL VE A ad C. Deinderatio CB, duct2 in B A, estra-
ducta in DC aaa CB, ductam in B A racionem: sed rario A ad C, ad
Cad A racte na cumracione A 2d A. isicur manifecta est veritaS PrO.
neIteTUI MII CMIHInALA PFOPOTTIONC ABC, ADF.
Dicorationem BD in se duetam producererationem C ad F.
Demonstratio.
Lilac F, cercia proporcionalis ad rectas
B, D: cricigicur racio BadF, Orta
ex ducturationis BD, b in Cc. sedratio
Cad F, cademe est cum ratione B ad
F, cum habeane A, communem primum
cerminum hae duq series, igitur rario
BD ducta in sc aequalis estrationi C ad F. Quod fuic demonstrandum.
PR OPOSITIO CXXIX.
NInEaUTeM AB CD, _ AF FC, continuanres eandem proportio
Dnem.
Dicorarionem BF, ductam in C. Frarionem, exhibere D ad C.
S
rio C ad A. Pgicur verario A ad C, ad rationem C ad A, ica est rario AB,
Per 27.
mins.
Poltoso
Demo
PR OP OSIIIOCZENIII

## Folio 933 — 1815201908:0990
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000990.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
PROPORTIONALITATES GEOMEERICE.
Demonstratio.
GtaEvE C ad F, it a F ad
LFI. Bitur ralio B L ducto
in C Frationem, cAicicara-
tionem B ad Hl, cM MMCM
C F racio Cpua Lal10.
nis BP: isiut ratio B, 24
est criplicaca racionis B ad
F. Sedracio D ad 6, simili-
extibere ratt  ad C. Quod erac deuonstrandum.
275. huius.
b:
2. Pro
ter est criplicataracionis BP. igitur parer rationem BL Auctam in rationem C F,
tROPOSTTTO CZZX.
lucoa Coe proporcionalium leries A, B, C, X, D, L, F e 6,
DIEI,Z, I, L,M: SinE autem Z X Z xquales.
Dico ( C,  , D lin CaB, C L, L. d A, C, M, F elle
in continua.
demonstratio
Acio BH, C dupt
aest rationis CF, hoc est per hypochelim rationis LL. ICa C27. Pro-
ciusdem rarionis TK duplicata cstrario HL, quod HI, I, L R, L, Uinc in conri- es
nua. Ergo B eA ad FI; vE FI adI. scd d cciam L cR ad F, vE B ad FT. ergo B,
FI. L, F. sunc in continua. Ouod erat demonst. eodem discurtu ex ijsdem illis propo-
litionibus 26. e 27. Plogreslionum demonstrabimus elle coneunlle proporctoltales
test
26. Pro:
A. C, M F, de SC in inAnitum:
P ROPOSITIO CZXKI
a getalibus X, Z
IEdemposicis: sumantur B, FI, et E, L. aequaliter distantes a mediis X.
Dico rationem BHL esse ad rationem HIB, veratio BF, cstadrario.
AeIIL.
Demonstratio.
Tac ve B ad HI, sc FF ad N, crix Crario B H ad rationem AB, vE B ad V. Hal 
deinde re E adII, Ec P ad P, cricEracio B R ad racionem ll L ve B ad L. ila huius.
aucem ex constr. I est ad FI, ve B ad P, eric permucando L. adt B, ve IF ad L. F 13. huitn
sedSre L ad F, hc B cs ad FI. ergo FI est ad P, ve B ad FL, hoc CS1b. 11
EI est ad N: aequancur isieur NV, _ P. ergo B CM ad NV, Ve B cA ad P. OuatC CMIISs
rario
oll. 18
 cn

## Folio 934 — 1815201908:0991
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000991.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
PROPORPTONALITAFES
ratio BFF lic adrationem ETB, ve B est ad N, et ac B R ad rationem FIL, vE B eA
ad P; cxirracio B Hl ad ractenem HIB, ln ad rationem HL. Ouod erae
934
demonstrandut.
PROPOSITIO CXZXII.
Aex Cnebinae Peries continue proporeionalium ab Mo cermino A
incipientium, de x quali constantium numero cerme
Deorationem FL, esse ad rarionem BG, vE F. elt ad K, _ rarion
um.
s
L. D CAC ad Laltohem BC, VE D ett ad l. LCHCdCINCCPS.
Demonstratio.
DFF 27. libri noctri progrel.
Gonum, cacio FL, est quin-
cuplicata rationis BO. Con
cinvetur aucem racio BC Per
sex terminos, B, GI, NI, N, O, L
crirqueracio BP etiam quill
cuplicata racionis BC, ac po
inde eadem cum rarione LL.
d2. en
27. bnins. sedracio B P est ad racionem BC, vea C CA adP. ErgO ratio F L eRt ad rarionem
BC, ve Ci est ad P. Jam vero quia rario G P est quadruplicata racionis B G: rarIO
quoque F ad K, ciuldem racionis bP er quadcuplicara est; erso ve F. est ad R, (1C
C est ad P, hoc est, veiam octensum est, rario F L ad rationem B C. pari argumen-
eo demonstrabirur racio PR esse ad talon  a eom
pacec erso propolicum.
ROPOSTTIO CZXXIII
Aca sine binae series concinue propotet Matu qux primum cermi-
num communem habeane A.
Dicoracionem DB elle ad racionem lC, veenaL etactoe
E B elleadrarionem L C, ve D est ad l, de lic in intinicum.
d oetoto e 
l 132. bum
C39. huiter. D RHO DB CH AAFALIOHEMI LG. M TacIO DL ad racionem B Ci. CC d rarioD,
est ad racionem BG ve d C ad FT. Ergo racio D B est ad rarionem IG, VE C
est 2d R. Pariarsumento oltehcun acoen L.D ec acactonem A, i DCA
ad T. Fcheminhinicum.
PROPOSITIO CXZZIV.
e dux rationes similes AB, C D. pONAnEUFAUREM GUAEHOFA, E, P, 6,
nales C LL LM, Culmeuque Caiidem racionis; sinc aurem inter B e 6,
duxemedix HI e l: pari pacto sine incer D et M, medix W e O.
continuare eandem rarionem. Deinde linc eriam concinue proxorrio-
Dieo

## Folio 935 — 1815201908:0992
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000992.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
6,
oa
GEOM E TRICA
Dico F ad I, CaLT_CMIL
AI, candetm quamm HabCE L ad IV.
Demonpratio.
Voniam POnUnEuE APFC, 8
B HIIO, concinuare candem ratio
 s Faltons Ctus quant habecF
nem in sua serie, igitur racio AB, cri
2dI, e Pari pactorario CD, 2 criplica-
ta est racionis L ad O. sed ratio AB, ca
re racionem quam labet L. at  L. A
dem est cum rarione CD, exhypocheli, isicur ociamracio AB, criplicaca est racio-
Mio L.. scacee de li Laclocaclelaca caca lactra i de. Mlatele cccalta
ostendam rariones F. IL e RN elle calce.
ROPOSILAOCAALV.
Aex sinerres series conrinuè proportionalium, qua communeha-
beaneprincipium A.
eoto, C.M lincilconcinua, ccam C, fl, L, d D, l. . de Lle a
liC dcincepS eACIA COMTINUA.
Demonstratio.
2 Acio CH es duplicaca b rationis BC, hoc es ex hypothes rationis GM. ACi ∞ ibil
Facionis B Cn hoc est exhs pochel lalsons CMt: Led cudem Tactons CM Cclali
triplicaca estracio IO. Ergo raciones DI ex IO sunc cxdem. ereo. D, L,O suntin
concinuaaaae a 2t23 a23 u t
Sc in continua. Liquec erso propolicum.
quicriam racio EIN est duplicata rarionis OM, raciones igitur CFI, _ TIH
sunt caedem, adeoque C. FI, NY sunc in concinua. Similicer racio DI est criplicata
L2tOAEtIO CXXXVI.
acermino A principium ducere; lic aucetm racio BMM criplicara racio
152C.
TTacuancur rurlunt  c pibportionalium ab eodem
Detalibito tetera dlet
Dicoetiamrationem C N For picatat Lactoms CtL,  Latt MH
Demon-
 e re pto pui e u. us sett pte ie ta  pi. tes ee pitite te  e et ut plte e uta p e  e e  i e u   pe  e e etit  e i     e    e a e p e e   es

## Folio 936 — 1815201908:0993
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000993.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
7
FU
PROPORTIOHALITATES
Demonstratio.
atia H, R, P. PaFCF CXL MOOI BIOSTCIIO-
num, quociesratio F. K mulciplicac racionem B C, cociesracionem BP mulci
Plicare rationem BM. Duare cum racio BM ponacur criplicara rationis BCi, erie
Demonstratio.
DAcio D ad K, est acriplieatacam
racionis B ad MI. quam rarionis
F ad FI. Erso B est ad ML, VE P ad
TT. Deinderationes CP, F. I sune du
plicare racionum BNI, F FI, quasiam
octondimus esle caldem. Ergo e ipsa
sunt cxedem, liue C ad L, VE F. ad 1.
Dux crane demonstranda.
OF OSILLO CZZEVIIL
IEderine quotuis quanticns A, B, C in conrinua, de afTumatuF qu-
114. ero
_ racio F P criplicata racionis F. C. Duod erac demonstrandum.
PROPOSITIO OLLAVII.
 D,CF, C, de K, I,tL, O.
Inccontinue proporcionales A, B, C, D, _ A, MI, L, KE, icem tocidem
Dico B ellead ML, VE F ad H; _ C. ad L, ve F ad 1.
Ocorariones AZ, BZ, CCemallonCs LC, D, t, CateCH
COMCIMUALC dZa.
Demonstrati.
tco  e aracio btL
licet callobaclaatacioticci
uis atta quanciras L:
ionet L, de
Abia. ErGOFAHOHCS L C, ZB, Z A concinuau Candem racionem B ad C. C onstac ergo
eE B ad C, h
est ve A ad B; raciones isi
inuane caridem ra
UF AZ, BZ, CZ
Deinde rario Z C est adra.
_ rariOZ B, cl
tionem A ad F
ad rarione Z A, VE 8. A adB, hoc eA veB adC
propocumo
PRO.

## Folio 937 — 1815201908:0994
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000994.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
= F O AL E T R IC A.
DOcris duabus A, B. Sumacur media proporcionalis D. Deinde altu-
mMaEuEguIXIIS C.
R OPOS IFIO CXXXIX.
Demonstratio.
Dicoraciones AC, AD, CB, este rresrationes in continua analogia.
2 Acio A C aaClA t C B FAEIONCM pEO-
cur ex ductu AD, in DB, hoc est ex du-
cturacionis AD in sciplam: igicur sCuc le
habec racio AC ad AD cationem, ica
bgnognese habecracio AD, ad racionem
C B. Sunr ixicur eres raciones in concinua analosia. Quod elat demonlteundum.
ducit :a qualem rationem illi quae ori-
Alirci.
J. hact
BColligitu
X
in
4.hu
aAC Brationem, el veD ad C; eandem eroo proportionem concinuant racio-
nes AC, AD, C B. Ouod erac demonstrandum.
ieate
OPOSF=1 CXL.
2 Acio A C ad A Drarionem, est C vE D ad C. racio quoque DB HOc CIt raTIO AD, C7 huius.
d lis lic eue ponatur quas lMel Adb.
Dicorationes AF, C F, F B esse in continua anal0812 
Vinelimiles raciones AB, OD, de inter C e D media proporciona-
Voniam incer similes
Lraciones A
C
POTcR LOnE F d L qua
cirares, sicur  HICu
sadC B, VF eA B D ad F B,
Demonstratio.
sedracio F
C P est ad rationem F B; concinuantcur eandem rarionem AL) C  f B. u0d
1. 3eCset ete s.Fet E S. Oisi
i 2ri
(1
il A 295C
t ROeiO SIFI O C X I. I,: 1 glomCLI
Veer duas raciones dacas A B, C D, mecliami proporciohalem etC.
to ex demonstratio
L 513 1012A: B: :, ( ~ 
atione est eadem cum racione C F, isitur ve est ratio AF ad CF, ita eadem tarie
tuir demonstrandum.  VIC
Constru
Ftacve A ad B, sCF, ad F, ve.
que C ad D, AC F 20
cionalis AIER.
Dicorationem F K ese me.
MaCFraciOneS daFAS AB,
CD. Ouod sic demonstro.
tum incer F, C media PFOPOE
aloLSL DeOI COMLIME
hudud
0.
aeesneetettst121323 135 16 27 2829 20 21 323334 35 20 272

## Folio 938 — 1815201908:0995
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000995.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
13C
DR ODOR PIONALITATES
Facionem F G, hOC CCPATIONES PF, F C incer se mulciplicacx producune rarioneM
F C. Similicer racio FR cum ratione R C componic eacioite C raTIO L K
ductamrationem KC producieracionem R C. Ced racio K e ex constructione est
eade Cum ratione FR. Ergoracio F R in sciplam cta producit racionem LG
candem scilicer quam producebane rattones LF, L e  et ex constructioncra-
Collisicur ciones dat_ AB, CD. Ergo arario P. R  elt incex FaciOHCS dataS AB, CD.
9+. ha-
Fecimus ergo quod pecebaeur.
Aliter.
ett.
Aca sinc rariones bina AB.
ETI, inter quas media siC ex
hibenda. Fiac ve FIad G, bcD ac
ee incer A ac l mediam tac pC0-
porcionalem R: cum ve A CM sd
R, AICB ARC FaEIO AB acrationen
CD. Dicohanc
IacO. NaMm VE A ad R
crepostu
EcpetCon-
Aruct. racio A B est ad rarionem
CD. quare cum ex construct. ra
eio A ad I. Ec duplicaca rarionis
A ad X: eric quoquerario A ad Y duplicaca proxorcionis lacionum AB, C. V. lea
c17. huins. VE AadI, hccracio AB ad racionem C, FI. ergo proporcraos AB ad CHra-
cionem, eciam duplicaca est proporcionis quam haberracio AB de Lallonem C
Bvirrs.
FHF.
Ergoraciones AB, CD, C HL sunr proporrionales. Factum igitur est quod peceba.
eROPOSITIO
lem extribere.
CXL
Constructio amonstrario.
lacree adD, cD adF. 1
arem C ad F, I K ha
ad Z. Dicoracionent DL daci
racionibus ese cercta PCopor
cionalem. Nam rario C D ducta
construct in sciplam, producit ra
sed eciam rario AB ducta in rarionem BZ. Plocuen Tactonem candem A L. ergo
dColligiur draciones AB, C D, BZ. sunc in concinua anatoBla. LCeMmus ergo quod perebatur.
Alio eriam modo licebit demonstrare Luctonte  llah elle proporrionalem
racionibus dacis AB, CD. Duoniam enim per comituconemlationes AL, CH
tacio C D, ad racionem BZ.
xg4. ha-
ino.
in racionem DF, hoc est ex
CF, hoc est ex construct. rarionem AZ
ccrtnius. similes lune, erir cracio AB ad rationem C D, veratio D F, hoC es ex construct. VC
ROPOSITIO CXLIII
ubio ecinoate o betda Edt a  t
CoB

## Folio 939 — 1815201908:0996
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000996.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Aex linc Pacnes bin
C, Sc B ad P, veaucem A
EH det L, HC Hallacio CD
ad rationem G IL. Dico
racionem CHI cationibus
AB, CD, cerriath eAlCPro-
AB est ad rationem CD,
GEOMETRICF.
Constructio ex demonstracio.
LB, C, D. AaEVED ad
pocconaten. Nam racio
b ve A ad T, hoc est per Con
Rructionem ve racio CD
est ad rationm C TI.
PR
Acis cribus ra-
proporcionalem
tioneminuenire.
cionibus AB.
ED, F. F, GuarEam
ZL IV
3. truiur.
comprudlio ex demonstratio.
Lhabent proporcionem quam Ahabet a R.
GIaEVE D ad C, sic B ad K; et inveniarur crario G HF, ad quam FatIO E F Cam C 25 huius.
Dicotactum. Nam dracio AB est ad rario C   d e pet . smu
construct. veracio L. Li eltadracionem CTI.
Scholion-
ncorhic cantisper subsistere ne quis
forrasse in animum inducat, conti-
nuationem rationum non differre a con-
rinvarione illa de qua tractatur in Geo-
metricis elementis, cum tres vel plures
quaniitates eandem rationem perhiben
tur continuare, ac proinde existimet, ra-
riones debere esse similes. Vi eandem in-
ter se continuent analociam: it a vi daris
Eribus rationibus quae sint in continuata
analozia AB, C D, P. F, rario A ad B, de-
beat intelligi esse similis vel eadem cum
rationibns C ad D, ex F. ad F, quemad-
modum contingit, si quatuor quantirares C TL LK statuuneur in conrinua proporiione, um
enim ratio C ad HI, similis est rationibus EI ad I, es I ad K. rerum nullo modo hoc
convent contin. ationirationum AB, CD, F. F. nam sicat quantitas II, potest esse media
proporrionalis inter infinitabinaria linearum L. P MI, C+ ex T. ex c. sic et iam ratio C ad D.
Pocpesmodia inter infinita binaria rationum etiam disimillimarum inter se, uti ex propo-
sitionibus praecedentibus sumosits Lector facile intelliget.
PR C
  ei s uie ue e t  t  u t Ap a e put u ut  e t t te ete u at t  e   t    t   et e    a    ee  t   e 1e    e t p e l 11 1 

## Folio 940 — 1815201908:0997
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000997.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
3
eROPOETLOAESLALES
eROPO51+16ALY.
iV
Incbina Peries conrinue proportionalium A, B, C, _C. D, F, F, C.
Dicoramm C Mcocua CHC ald 108la.
emonsoratio.
chrationes AB, BC Cincca LC Ca HMCLationes DF,
b39. huins. B C ad FatOHEM F F, Dita ratio BF. ad rationem C F. HatIOneS ISICuE AD, BH,
CF Cuncin concinua analosia. Ouod erat demonstrandum.
eAOPOSMITO CXLVI
NECF AUIaS quantirates quaru A s B, media Sc proportionans C, a
lasumacis alia quae cunque D.
Dicorariones AC, _ C B limul sumpeas minores esse rationibus AV,
DB Cimul sumpcis, adeo que minimas esse omnium rarionum, daTaMFa.
cionem AB componencium.
Demonsa
Q AtioneS AD, A C, DB, CrCduCAREuF
ad rariones DCn F C, F G iplS aqua-
les, qux commune habeane consequens
C. Ouoniam igIEUERaLIONCS AV, AC.
F F, erix rario AB, ad racionem BC, ve rario DF ad rarionem P F. igitur
ag+. huius. permucando ratio AB es ad racionem DF, ve racio B C eA ad ratiOneM R F.
C262.hilivs.
sed veracio AB adrarionem D E, Sic eAt rario A D ad raTIONEM BF; _L VE FaciO
CZ. BuruS.
E2. hains.
dezg. huin
EPatet es
25. quine
DB dluncin coa, Cca CactoESD6
F C, F C lunc in concinua. ergo c etiam
D, Fs F, Cunc in continua. FrgoFD cum F
maior est quam F. bis tumpca. sed veD
cum Lad L, bissumpeam, sc eA S Fa-
cio iphus D cum L 20 er, de Taltonem
ipsius EbissumpEx ad G. Ergorarid L CI F ad C, Mat C ua LaCIO P. B1
iqa TCa ad C. ledratIO D cum F ad G, aquacur racionibusn D Ci, F G, hoc est ex
comt. Construct. racionibus AD, DB, ee racio ip suS F bis Cum PEX ad C XquAEuEi ration
BC bis, hoc est racioni AC bis, hoc ck ex hypocties rarionbus A C, d C B. C1g
rationes AD, D Bmaiores sunerationibus AC, C B. Duod erac demonstrandum.
C051F1OCXLVEI
At lalteeddes atuceticte trte eldu.
Dicorationem AB duplicatam esse rarionis CD.
Demon.

## Folio 941 — 1815201908:0998
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000998.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
sCc L O M L LR I C A.
Etac ve D ad C, Hc B 2d F.
sicux ratio a AB elt 2d r2
LoeD H -tddL. ICd Cx
hypocheli etiam ratio AB est
ad rarionem CD vE F ad D.
Ergo A cHt ad F ve C a D.
ad Fi H D ad C, CricIMBCHLEN-
deinde cum ex construct. B sC
Demontoruro
do F. ad B, VEC ad D. isituTtam ratIO AF, quam racio F. B eadem eA rationi CD.
racione CD bis lumiCd. erso racio AB est duplicata Lab CD. Quod exat de.
Sed rario AB compolica c exrarionibus L B. ergorario A B componitur eY
2t
Micituran auM.
ROTOSITIOCXI
Vbec etiam conuecanthuius demonstrare.
etes ronionoti 
Demonstration sB 22 tovO. X CL a
ad D. Piacicerum ve D ad C, ica B 
Aruct. C ad D; igicur cum natur racio A ad B, duplicaca rarionis C ad D, paFet
racionem quoque A all P, candem esse cum racione F ad B, hoc est C ad D. Cr-
BOcum ve A ad B, a u AB AC ad CD racionem, parce quod racio AB adra.
TiOneM CD, SC vE C e ad D. Quod Fuic demonstrandum.
AtOSIFIO CXLIZ.
DOtris rribus quanticaribus A B, C, de aliis in super eribus D, B, F: 11
rario A ad B duplicaca est D ad F, e rario B ad C, duplicata B
e
en
DOnaturlarict a pCata.
racionis Cad D. Dicoracionem
AB ad CD racionem, eAC ve C
ad P, Critotacio. D ad CD ca- =
tionem, ve A cA ad F. racio vero
A ad B compolta est ex ratione
A ad B, e F. ad B, hoc est ex con-
ad F. es
tiabet D ad F.
Dicorationem quou  ad C duplicaram elle rarionis illuus, quam
Demon-
nina
ete ti e s te  e  tit  tit te stet et te te e i ait ti s te e t at  st pt tet stt et te at u tit at sti t e  st  t te    e  et Al1

## Folio 942 — 1815201908:0999
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00000999.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
PROPORFIOHALLLATFS
Demionserati.
DOnacur incer A ad B, me-
dia 1, ex similicer incer B. C
media ponaeur K. Deinde Aac
ve D ad F, 1Ca F ad C
V
I ad F, ica C ad H. Duaniam
igicur rario AB duplicaca est
camracionum AI, TB, quam
racionum DE, E C crunera
ciones AL, IB, cxdem cum ra.
cionibus DF. F C. Pari argu-
meneoraciones BR, KC cum
racionibus F. F, GH exdem
Sunc. rationesigicur AC, DH
ex iiidem racionibus (quamis
diverlimodc dilpoliis) compo-
nuncur, ac proinde a aequales
TunE. Sed racio D H est duplica.
DF, vei Facile de ducitur ex consructione. ergo de rario AC est dupli-
alarationis D F. Ouod erac demoerandum.
Corollarium.
Inc colligicur idem esse pronuneian.
dum de quavis conrinuarione ter.
minorum quod peacedenci proposicione
decribus est dictum: nam A hac rario A
ad B duplicaca CD; X B aet R duplicata
DB, _ F. C, CI duplicace FHI, HIR: in-
Ferri etiam legicime poccle, quod rario A
2d I sc duplicaca eius racionis quam la-
bec C ad K quocunque candeim numero
termini constiruancur:
Imo quod de duplicata rariotie prae.
sens proposcio enunciar, criam cM incelli-
sendum de criplicari, ousdruplicata,
quineuplicata, et sic de quavis alia mul.
ciplicaca ratione respectulimplicis rario-
nis C ad D, D ad F, _c. quod manifesté
collisetur E dilcurlus demonstrationis
cerminis illius mulciplicacionis apCCTUI.
ae u ut it ete
Ine quacuor numeto quancitares A, B, C, D, _ rario A ad D, suppo.
nacur compolica eAe ex rarione duplicara A ad B, et ex ratione B
l
Dted tarioneta e ad t catidem elte elta talionee ad L.
Demon.

## Folio 943 — 1815201908:1000
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001000.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
GEONE FR IC A
pX A ad B, ita E tiac ac
H, cric componta ex dup
ratione A ad B, de exracione
_ F ad C; _ veBadC
ita C hat ad FI. Pgicur racio P ac
aC.
B ad C: ex qubuis criam cui
compolica supponatur eatio 
monstrandum.
ad D, cric racio A ad D, cader
cum ratione P ad FI: e racie
B ad D Cactem cum racione
2d L1. TCa Tacio C ad FI, caden
es cum ractee Bad C, ex con
Hructore, Bar ralio = F ad0
eadem est clcatione C 4dD.
a Patet OX
led ratio F ad C, eadem est ex conttructione cum raciene L. dd L, hoc elt A ad B 23. sexi.
ex constructione: igitur ratio C adD, Cucat est cum lalbC AL de B. Quodtuic de.
PROTOSIETO, C
lcratio AB ad CD, ve B ad A.
ttee tadtnet aet  dat a tetac teat tata tat 
Demonstratio.
lac ve D ad B, ita C ad F.
igitur permurando D est ad
C. veB ad F. ergo per 13. huin
libei, eacio A B ad C D, eA vE
A dd B: sed eatio A B ad CD
e
ex hrpotheh est veB ad A; isitur ve B ad A, ita A ad F, 2dc0gue LuD L. CiC aupli-
cararationis B A: est aurem ex constructione B ad F, ve D ad C; isicur cum rario B
2d P, sl duplicata B dd A, pacecracionem Dad C, criam esse duplicatam B ad A.
duodtui au.
ROP OSITIO CLII.
Acis rationibus AB _ CD.
Oporreat duas extribere quantitares F _C P, VE ratIO AL AMPNCa
calicraciol laloveto eit sato dala D.
Constructio e demonstratio.
ilae proportionales
A BCQCDTTDC.
inde CosHDAIMIHEL F C
in eadem racione in qua
sune quancicaces HIVC.
guiricut, CCMMHCCER F ra-
tionem canac enecu
racione DC, Tallbe
Dico Factum quod re-
quoque
 i e i sit a t.  p i t i   s e  e u   . e t  ue t  t e  e e i   t p p t.  a      e e t e   u    p i us . sult. A1B

## Folio 944 — 1815201908:1001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
27. PY
press.
PRODORLIONALLLATES
quoque AP duplicacam esse rarionis BF. Ouiam AB G eC F F G, Sune quanci.
cares concinue proporcionales, habentes Canem primamiigitur a ratio A ad P.
duplicaca est racionis B ad F, estque exconetdectone D ad C, VE F ad F. O UaEC PTX
b
914
Ricimus postulatum.
PR OP OSITTO CLMII.
cionceius qualae  at.
Inc proportionales quantitares ABC Sicur de DBF.
Dico rationem AD ad C. F. rarionem, duplicatam habere propor-
Demonstratio.
AAEVEF. ad C, ICa DAcF
et
citaquebrario AD ac
ad+
ratiOneM CF,
deinde quia AC, DH rC
Etangulac aequalia lUnC, VE-
DOtC
Equalia cidem quadea
Co C. clerc L. adC ld Aal
caca estracionis A aet D. Oudutu demontrandum.
ROPOSITIO CLIV
D. Sed veF ad C, ita quoque est D ad F, ex constructione. lgicurracio A ad F du-
plicaca estracionis A ad D, hoc est proporcio rarionis AD ad C P rarionem, dupli-
151
Dicbrationem aa quancicaris ad quincam, duplicacam esse ra-
cionis quam lecunda habec ad quarcam.
YI quinque quantirares eandem rationem concinuauerine:
press. demonstrandum.
baenscentie.
DOnaneur quinque quanei-
cates A, B, C. L
CACMHCO
rinuata analosia. Dicoratio.
nem A adE, cAC duplicacam
omnes quinque linc propor
cionales continua, ioMulcliam
EBA _ C D E, lunEPFOPOI
d27. Pro- rionales quancicates. LLa LLad F. duplicara eA rarionis B ad D. Ouod erae
racionis B ad D. cum enim
eR 61O31L1D CLV.
AF rario AB quadruplicara cAt C. D, ratio aurem P. P, duplicara eiul.
dem:
Dicorationem AB duplcaram eeLalo L. al L.
Demon.

## Folio 945 — 1815201908:1002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
lat ve F ad F, 1ta B ad C. Igi-
CUFaFaTIO A ad C, eadem est.
cum proporcionelacionum AB:
P F: sedracto A ad B, componi
cur ex Factene A ad C, C+ adB:
hoc est F ad F, duplicata scilice
rationis C a0D; giturracio A
G E ON E F R LCA.
Demonstratio.
MICaca estrationisF P.
adB; ClCordoblica ex racione A
ad C, _ daplicata ratione C ad
D; ledrario A ad B, PONicUE
quadruplicaca racionis C ad D
Igicur racio A ad C, duplicara cAt
223. Buius.
rationis C ad D. quare racio A ad C, Cadem elt cMMLact L. ad F. vnde SC PFO.
porrioracionum AB, L. F eadem est cuntlatione L alt L. uat    B147. M.
EROPOStEtC CLFI
Tracio AB sic duplicata rarionis L F, Fatto quoque C D aupHICala
Deius quam habet C ad HI.
Dico racionem AB ductam in C  Lactortent, Cnvere cupeala
ciusracionem quae oricur ex mulciplicatione rarionis P. Pin rarione C FI.
mongoratio.
A adT. limilicernaet
ad FI, ica F ad R: CrIE raLIO
P ad R, cadem cum F. L
ducta in CFI. sed AL Fa-
eio composica est ex A ad
B, id est duplicata F ad F,
ec ex B ad T, id est per construct. C ad D, id est per lypocheum, duplica-
ta C ad FI, de similicer rario F ad K, compolica est exracione F ad F, X F adR. id
CKper construct. C ad FT. igicurratio A ad I, duplicata est rarionis F ad R. ergOAB
racio ducta in C D, duplicacam habet proporcionem eius, quam continet R F racio
ducta in CHI. Quod crar demonstrandum.
PROPOSITIO CLVTI
VIracto ABGuadrup licata Fuerie racionis B ad C, e BD rario qua-
Dicotarionem quos A ad D, Fore quadruplicaram eius quam habet
Elacve C ad D, ica B ac Y.
eric cigicur ratio AB du-
cta in C e aguas tacton
A druplicacarationis C ad D.
b al 2.
Demon-
 e t ptet et ie ae tat ette e e ta  pt e  t ae t e et at t e u      i u u et  A s u t at ete      t      e e   s i e e    es

## Folio 946 — 1815201908:1003
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
DIR OPOR TIONALLFATES
Demonstratio.
Voniam ratio B ad D
outeut Guadruplicaca
racionis C ad D, igicur ratio
B ad C est rriplicata racionis
CadD. coaracio A aB Cu
quadruplicata B ad C; igieur
racio A ad B, est duodecupli-
caca racionis C dd D. Leuracte
B ad D, est quadruplicara cinsdemrarionis C ad D. Igiturracio A adD, est sex
decuplicaca racionis C ad D, cuiusracio Bad D, cst quadruplicata: rario vero sex-
AcCplicara est quadruplicara quadruplicatae (cum quacer quacuor proterant sede-
Csanitella carelas PooMioI.
I TIO CLV
Vod si incer A ad B quaenis dux aNumpEx FuCrinE C ee D.
Dicorationes AC in CD, CD in DB, idem producere quod
racio bis dueta in se exhiber cuius A ad B criplicaca est.
Demonsratio.
medix L, X F.
raconibus, quarum rnius est
criplicaca, componstur, hoc est
exiildem inter le nunciplicaris
producicur. Acqui eciam racio
AB compon ud pb
cur exrarionibus AC, C BBB. Lset etBo ProPoltum.
NECF A _ B, Ponantur dux
AF, F F, FB sunc cadem. Ccd
FaCIO AB, COMPONICUE CX Fa
ratione.
tionibus AR, E F, FB. ergO
Cdit.
racio AB ex cribus aqualibus
Ccaric hinc restentooaa nstu et esce  vartum Laveten
Creomerra in mezolabiis adinveniendis, et i quo culcatis cardo verleeur.
F0olane expropositione iam allaca obseruo incer duas quaricates dacaS A, S B, dua5
mediasexhibere, nois au ee quam racionem nllee qua bisn le ducta pro-
quales, quae incer se mulciplicara producane rationem ipsam A a + B. Jam vero cum
quaevis racio diuidi porit in qualcunque ex quorcunque rariones, ex quaru mulcipli
cacione queac oecoau a aclas rationu daram racionem coponen-
cium Ceu producencium, difficulcare in presentinegocio eam parie quam luperare ha-
aenus Ceometre non poruere. Gueamu adcem arcum dacum circulinon est
distreile in cres parces parciri sine vila alia decerminacione, ica neque rarionem in
eres aliquas rationes qua generene rarionem datam nullius negocii cA: Sed shuc-
vique Gcometrarum industria rano labore reneauie in parres xquales dacum arcum
circuli diuidere; mirum videri non debec quod parcicio alicuius racionis in FreSFa-
tiones, qua aequales sint inter se, de mulciplicarxe incer se rationem datam producane,
difficulcarem contincar. Octendimus quidem Facilem Mechodum dinidendi racio-
nem in parces xquales li divisio illa parces considerer qua per additionem GCneranE
Tacio.
ducac racione aaCa A de B, HCLACOHeM A ad B dividere in cres rariones x-
10
t
De
ratie

## Folio 947 — 1815201908:1004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
G E OME TRLC A.
racionem datam. Se d postularer eriam praeseneis libri maceria parriri rarionem dacam
in parces xequales, que Facta mulciplicacione incer se exhibeanc rarionem quam com
bonunc. Sed cogormateriam illant ala cempus ditterre; cunt de Valctuo praeci
picare cogac quod prx mantblis habeo, ee imperium rrseac illorum quibus ob.
moxium mesccicrelisiola Protetio.
PR O POSILIOCLIX
A
DOnAnEUF dux CeriCS GUIGUE qUANEITAEUI I CONTIMUAta ratiOne
Dico rectangulum AF ad EK, auplicatam habere cius rationem
quam haber rectangulum BC, ad Dl rectangulum.
Demonsirati.
B, C, D, CiF, C, H, I,R.
ponacul, ectansala dd LR rario, elt duplicaca cacions BC reclansuli ad cc.
ctangulum D L. Ouod erac demonstrandum.
Eatangulum A F ad R R rectangulum composicam habet racionem exratione
Aad E, hoc es: duplicara racione B ad D, _ exracione F ad K, hoc eAt duplica- 2P
caratione C ad I. igicur cum rectanguli BC ad D Lrario ex ijidem racionibus co. huius
ROTOSINIO CLX
Inc dux serieserium contitua tM. A, B, C, 0, C1.
Dicorationem C. A duA In FatIONCMFD, OupCatam extribe-
reracionem cius quae letur per ductum rarionis B A in L. V.
Demonstratio.
LLAEDEF ad D, ita A ad H: d V
 ad D, ita A ad G. Torcurracio
C ad FT est aequalis b raTIOHI C A,
ductx in FD: ee racio B Ca qualis
est racioni B A. ducx in lationem
iivo
F D. sed racio C H duplicara estracionis B G, nam rario C FL componicor exracio.
nibus C A, AFI (hoC est ex construet. FD) quae duplicare lunc racionum CB, BC
hoc est FF, ex quibus componcut Laco C . Igicurrario C A ducta in F F. dupli-
ala o DA  i L. V. .
eO51210 CLX1.
abencium primam A.
Ine dux series continue proporconallum candem leu x qualem la
Dicorationem C A ad rationem C A habere eriplicatam proportio-
Remeius, quam habec rario B A ad rarionem F A: e racionem D A ad
racionem A eriplicatam habere proportionem eius quam habet rario
B A ad rationem F A. Acque ira deincepsin intinirum.
15+
Demon-
 e e e et sute at. atset ei  a p  ste e t el ente de e el at ute e e t     Ao a t   . 1 t t  ett  .  t A          p  pi 

## Folio 948 — 1815201908:1005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
PROPORFIONALLTATES
oress
emor
a2 huius. D AEIO C A elt ad rationem a C+ A, VE C ad G, X ratio B A est ad rationem F A;
627. ero. Ls Bdd F. ledraciob Cad C, est duplicatarationis B ad F. ersa lalio
ad racionem C A duplicacam habet proporcionem eius quam ratio B A, habeF 2d
rationem P A. pari argumenco demonstrabimus ex iam cicacis propolitionibus re-
liguas asterrionis parces.
11CGC
P ROP OS I FIO CLXII.
Inebine Peries concinue proporrionalium A, B, C, D, P, dC. L, F, C, tL, I,
LSc. linc aequales habeane primaS, (Iuenon.
Diconihilominus proporrionem rarionis C. A ad rationem OF., du-
plicatam esse eius quam haber rario B A ad rarionem FF.: e proporrio-
nemrarionis D A ad rationem HIE criplicacam esse eius quam habeeru-
eio B A ad FF. Aeque ica deincepsin infinitum.
 Cveste
biosor doto.
id NE Ht, P. C PY VCIaNB
STumREUE quancitaS R aequalis A, _ AAEVE F 2d F, sIC K 2d F; COmeIHUIETE.
LLqueracio K F per Terminos K L MNO. Isirur proporcioracionis C A ad ra-
tionem MK c est duplicaca eius quam habeeracio B A ad racionem L. HE. sed eacio
MK ex construct. est ratio GF, X ratio L. R est racio F F. ergo proportioracio.
nis C A ad rationem C. P, est duplicata ejus quam habereario B A ad racionem L P.
parimodo reliquas assercionis parres demonstrabimus.
PROPOSITIO CLXII
Dicorationem quarrarum Dlad rationemecau, capa.
cam habere proporcionem rationis B ad O: _ racionem quintarum L. R,
ad rationem lecundarum B C, eriplicatam habere proporrionem rationis
B ad C: arque ira deincepsin infinicum.
CIBL. hu
AEX SInEBInE LCTIES CONEMUEPTOPOrTIONALIUM COMMUNeM haben.
cun primam A.
Demon.
oster

## Folio 949 — 1815201908:1006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
EEOH FTRIC A
Demonstratio
GIaeve G ad B, sic T ad M. eric ergo aratio D+ Ad Lactonem B C vE D ad MI. ar3 huiu
Jam verorario D ad M, Componitue ex rattonC IB hoc esto criplicara rarionis
BG, _ exratione IM, hoc eHt per constructionem raltore CB. Acqui rariones
BC, CB, componune livc producunecrarionem a Gaaals. SLatio DML COM- C76. huius.
ficaris in racionum compolicione nihil addic. CtSLaTIO DM CA duplicara rario. buins
ponitur ex ratione duplicaca racionis B C, ex racione xqualitatis. Ccddracio aequa- dCrroll. 91
nis BC. CcdveD adM, ita racio DI ad lattonem B. C. ergo rario DI adrationem
BC. duplicacam haberpropothtoe latlonis bli. lari modo reliquas Lheore.
maris parres demonstrabimus.
Scholion
Elucet in praesenti Theoremate digna observarione diversitas inter rationes simplices, 
rationum proportiones. Nam per 27. libri proere sionum Ceometricarum ratio D l Tripli
cata est rationis BC. De proporrio rationum DI, B C. Vti iam demonstraulitus; som ratio
nis BC est duplicata. similler rario F. K per 27. proeres). est Quadruplicata rationis B Ci: pro-
porrio autem rationum P. R, B C tansum triplicatd est rationis BC. Arque ita deinceps in
infinitum proportiones rationum sempet dmitale minus rationum, BC multiplicant quam
rationes simplices.
e
CB: Preportionem vero ructe LLC, lB, cAe Sepcuplicacam propor
cionisracionum DI, HC, acque ira in infinieum.
PROPOSITIOICLXIV.
amas A e L.
Dico proportionem rationis CHI ad rationem CDCpricatam cile
propdicionis quam haber rario BC acactenent L. H; ae proportionem
racionum DI, HI C, quincuplicaram elte proportionis rarionum CHI,
Ulne dux series continue proporrionalium, quxe ae quales tabeantpri-
ila
vE A 2d Z, GC C adt ME, e vE B ad G, SC H ad N; _ ve C 2g FE, siC l a
D, ee sic deinceps. ratio isitur BM ett.proPorrio racionum BC, A L  cacio c 13 huius
CN eltproporrioracionum CHL, EB; ex rario DY est provorrio eacionum 
ETC, X sic deinceps. Jam vero quia A eA aequalis L, eAtque vE A ad L BC C ad M
eric C aequalis ip(i M, ac proinde rario BM aqualis rationi B G. Deinde rario C
compolita est exratione CFI, (hoc est duplicaca Fracionis B G) ex exrationCLLL 127. 110
hoc est per constructionem icerum rarione B G. ergo rario CNV, hoc cA, ve iam sress.
octendi, proporrio racionum C HI, CFB criplicaca eAt racionis B C, hoc es racionis
BM hoc Cst. ve ostensum supra, proporrionis rarionu BG, Z A. Pralel TaoDC.
componieur exratione DE, quae criplicat    a LG 27. Cro
Aerc
e i ee  su  t pi pi ei a . et  e e pti  ut  e et u pt u e  si ute  e t e    t e et s  i  s t  t . 1   1     t  t a  e t pli

## Folio 950 — 1815201908:1007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
950
DR ODOR THOEALEFA FES
EA PeF CONTERHCL. CKTALISHC C It, quae duplicaca est racionis a B G. Fr∞O rario DO
hoc est, ve ostentum supra, proporcio racionum DI, FIC, guincuplicaca est rationis
BC. Eodem raciocinandi modo procedetur in intinitum. Constac erso propolicum.
PROPOSTLIO CLAI.
DOnancur dux series quinque continue proportionalium A, B, C, D, E.
_ F, C, LL, L,R.
Dicoproportionem rationum AF _ F. H duplicatam esse proporeio.
nis rarionum BG, DI.
a 2bid.
Demonstratio
Lciores AF; CTI, FK crunc in Comua, rei Facile exhypocheli e 49. huius de-
monstrabicur. Proporeio igitur actonum AB, F. K duplicaca est proporcionis ra-
cionum AF. CH. Led ex hypothelis permurando, ve AP rario est ad racionem
CTI, Sic racio BC estad racionem DI. ergo proporciorarionum AF, P. R, dupli
caca etiam est proporrionis rationum BC, D I. Ouod erac demonstrandum.
Iuita sE AB in punctis C et D, velint proportionales AC, CD,
Dicorectangulum D C ad C BD rectangulum, criplicatam habe.
rerationem eius quam habet AC ad C. D.
Demonstratio.
roniam rationes A F, BG, CFI, DF, FK sunc in concinua analogia, exiam r2.
PROPOSITIO CLXVI.
DVoniam igITUE PTOPOLCOIALESIMMLHHCX AC, CD, DB; eric componendo et
Lpermurando AD ad C B, DE CD ad DB, hOC CA AC ad CD, rectangulum
aurem D AC ad C BD rectangulum compolicam habec racionem ex D A ad C B,
hoc est, veiamostendi, AC ad CD, d ex ratione AC ad BD. Scd ratio AC ad
BD. duplicaca estrarionis AC ad C D. isicurracio rectanguli D A C ad CBD,
rectangulum eriplicara eA racions AC ad C D. Quod erar demonstrandum.
Corollarium.
DAC a+C BD ECcca a dacam Womeac racionem, vix aliud ab eo di-
vexsum exiseret qui duasmediasrequirerex altisuari incer duas dacas.
7Nde s quis postularet daram lineam AB diuidi in C et D, ve rectangulum
O.

## Folio 951 — 1815201908:1008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
GEOHETRICR.
AetOSAEIO CLXVII
Peandem rationem concinuene quatuor quancitates A, B, C, D, ee alix
curtum quinque CL, C. Cl, hhC repelaa k, Lia Porccelua ic lilu
aequales:
Dicoractonem aB Guacpeacae etas Cutus Lacio F. F eA cripli-
cara.
minosseriei P duae medix: de consta-
bic veraque leries eredecim cerminis co
cinue proporrionabus, eltque B quin-
ca in lua lee Lquarca in Tua. Prx
cerca gnonai ma A3 F. e vicima
D, I lunc pares, erunenecessario omnes
cermini veriusque seriei alcer alceri x
quales. Ex quo manifectum est racionem
A ad B, hoc est primxe ad quincam, quadruplicatam esse cius cuiusracio P. Ad F, id est
primae ad quarcam eM criplicaca. Duoderac demonstrandum.
ROPOSITIO CEXVIII
TIeandem rarieme Continuene (ex quancicaces A, B, C, V, L, L, d alie
A seprem quancicacet C, tL, G, K, L, M, N, ita camen ve A e C, aequales
Cinc, quemadmodum _ F N.
Dicorationem Aad B sexcuplicaram ciuIdem esse rariomis, culus tact
C ad HI estquincuplicaca. 
neraoc
demonstrat
Hccx cerminos singulOS KKKT A I.
cerponancur eres medix, de interTer
Demonstratio.
Neerposiris enim incer
cerminos primae Coriet
quinque quancicacibus, qua
cum priotibus candem ra-
cionem concinvene, de simi
licer incel cerminos Ainsu-
los lecundae Periei inceriectis
quaciot quanciracibus, con-
cinue plovoctionalibus, cx.
lincque cam O, quam el lescain illa lete, mannenum quoque ie cactonem e
sexcuplicatu   FACIONIS CUS C ad HL, elt quincupCaa. SO ACUC
monulianduti.
TurgeE numetus quantiracu
ro quamenarum quae in Ce-
cunaa constiturx sune; cum veraque series eriginta e rna constet quancitacibus: R 
cionurem A ad B sexcuplicaca estracionis eius, cuiusracio A ad O (quancicacem
prima serici xqualis nume.
ips B Proximam) Habec quincuplicacam. Isitur cum O quanecas mascm 11
sic xequalis, ex eo quodprimae A d C. Bonancur xquales ex Cimilicer vlcime, F, N,
5e1
Scholion.
( t  e   t su  purtiue.  ei s ie t t u u u p e e  u i  p pite  a a et e  ete  s te    1t     . 1         t   1 (11 . 1

## Folio 952 — 1815201908:1009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
PR OPORTLONALLTATES
Scholion.
e
An Mareriam vlcerius non prosequor, cum ex is quae iam dixcho
ciencer indta
ccum formari queat qua rasione in vlteriore terminorum numero sit procedendum.
5 IF1O
C
1dsiX e2) CCd.d EISES  1S
L. X 1
DG ad HI; sic aurem ratio A ad B, dupTICALA LaTIONIS L ad F.
Dico A cum F, ad B cum D duplicacam gu quehabers rationent
eius quam lade P. cum C a L e.
Demonstr
10
II A ad B eandem rarionem habuerie quam C ad D, de P ad F, quaM
iam A3
10d1-
atio.
nis quam habec F. ad F, ee quia
O, racio cadem eAt cun
A 2d B, cric e C 20
ratio duplicaca
15 F. 2c
ia vero el
Ve E ad F, ita C ad HI, _ PCF.
mucando
ad C, hic F ac
TT, CPIEVEF, cum C, 2d F, SIC L
cum FI ad F, ee perucando re
cum FI. limilicer elre Aad B,
AC A cum C, ad B cum D: est
autem Aad R aaem duplidara ex hyportrehrarionis F ad F, quare eriam duplicaca
cricracio A cum C, adB cum D eius quam habec E cum C. ad F cuin FY. Quod
tuic demonctrandum.
Scholion.
DNous hic processimus in duplicata ratione, cum opus fueris, de quavis alia mulsiplicata rario
ne intellisi debet, modo eadem servetur hypothesis.
PROPOSTTIO CLXZ.
VP racio AB ad C D, sic duplicata E F ad CHI. e diviix AB, C. D in
OI_ I, propgetionales exhribeane AI, IB ip sis CKE, KED, de Cunili-
cer E F, C HI diuita in L. de M consticuanE P L, L F ip (IS CMI, M IIPrO
portionales:
Dicorarionem ALad C. KE duplicaram quoque ese eius rarionis quam
Haber RL. ad GMI.
EeN HIETIDEBEIF)
MMIHCCEZBe et VErCA
AC. Baris De Flau
B
L
 nid hvC Lil Co, C Mt HI
Voniam ponuneur proxortionates cam AF, TB ipLS CK, R D quam EL, LF
LiptiS C A MHI: iBICUEVE AY cum YB ad AL. ica CA C K cum KD ad CH,
rnde
Demonstrario
E ad F, sIC F cum C, ad F
d

## Folio 953 — 1815201908:1010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
GEOMEFR IC
est F F ad GHI: elt aurem racio AB ad CD. duplicara rationis B. F al LL. 17
rur eciamrario AI ad C K, duplicara est rarionis P. I. ad CM. Ouod Fuie demon-
Itxandum.
Ouod in scholio peacedenci dictum eA de 169. intellisi erlam voluimus de PrX.
Tenri cheOrCIaCC.
PROPOSITIO CLLAI
Vtracio A ad B, duplicara lic C ad D, ratio quoque C ad D dupli-
caca racioris quam habet F. ad L.
Dicorationem Aad B, quadruplicatam esscracioris F. ad F.
unde ve A Fad CK, ica AB ad C D. Eodem modn intereur eNe L L ad OM, vE
Demonstratio.
in concinua proporcione, scilicee
G, TI, de P.igicur racio A ad B, du-lsC
plicaca eAt racionis A ad FI. sed
racio A ad B; ponicur duplicara.
Facionis C ad. D; igitur racioC
ad D, est eadem cum ratione A
ad FI. Cum ergoratio A ad FI
duplicaca Cicracionis A ad G, CFL
iam ratio C ad D, est duplicaca
racionis A ad 1. sed racio C ad
D. ex hypocheh eriam duplicaca
est rationis D ad F. igiteur rario A
2d C, Cadem el CUM FAEIOHC P
ad F: est aurem ratio A ad B,
quadruplicata racionis A ad C.
Isicur cciamrario A ad B; qu2-
druplicata cs rationis P. ad F. Ouod Fuie demonstrandum.
Scholion.
TAec ratiocinatio habet locum non solum in casu quo prima ad secunda duplicatam rati
nem habet terriae ad quartam, exc. sed vniver sali sima est in quauis mulsiplicata ratione.
nam demonstrandi ratio omnibus casibus insernit, modo artendatur ad numerum mediarum
qui interserendus est inter terminos datos prima rationis.
PROPOSITIO CLZXII
Trratio A ad B, duplicara rarionis B ad C, se
Dratio B ad C, duplicara rarionis C ad D, &
racio C ad D, duplicata rationis D ad F, d sIc
consequencer in infinicum.
Oporceat vltimum siveminimum cerminum
extribere (cilicet F, truius progrestionis in infi-
nicum procenla.
TOcpoemu reperies libro quem praemi-
simus de hyperbolapropositione 133. vei e alia plu-
lalruie smilias
NCerpOmancurintet A ex B FrCS
LQUAnEIEACES, GuIX CU A _x B, GInE
Constructio e cmonsraio
     .       e e  t  .   . 1 1 1 t p     t 1  i ee A     e  t    e t .     t   .     et e

## Folio 954 — 1815201908:1011
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
Pagina 909, propol.7 6. ponatur txec sigura.
Pagina 913. propol. 87.
ta secunda Aigura quaneiraces D, D aquales esse debene, vei e quancicares B, B; id
enim poscicliypochelis. Mconcetu quoque addenda quaedam verba e errores lic-
Eetatum coltizcnat. HcClBtBalll.
Sumaneur deinde elaticallo caula in se.
cundo schemace suce e a B. B,
ESuaoateo
neur octocermini, licet de-
monstracio iam policacriam hicraleac, cum
trus
pochelis quondrem cadem sc, placer came
aliam subiungere quae rerique calui inter-
viac. Inveniancur a racionum AB, CD de
nominatores A e C; irem D P. B Fracionum
denominarores D d HL: Guolala
rario DF. ad BF rarionem; isicur A ad C haber beandem proportionem quam D
tio AB ad C D rarionem, ponitur cAc, ve
642. hur
or Coroll. 2d FP. quare quod oritur ex ductu  In Il, se illic quod gencracur ex du-
dtu C in D. ergocciam rario Aad B, ducta in rationem B ad F, producer aequalem
cacionem ei, quam producieracio CD adula racionem DE: componitur, aucem
huc producirurracio AF ex racione AB ducta in BP racionem, es racio C ad P,
compolica siue producta est ex raricn l.  ave in racionem DP. igicur cum sine
altul Laclonet alilt cacelae atiao etinetaclltudetilemaio eda
hucimr. Tu dCMOE

## Folio 955 — 1815201908:1012
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
9e
1
BLL
DeC gutanto. Cono, Sphara, Spharoide, C5 vtroque Conoide
Parabolico C Hyperbolico.
A R C V M F N F V M.
Raesenti libro viam tandem macis propinquam sterno ad quadraturas:
cum enim per reductionem Cvlindri circularis ad aliud corpus illi aequale
 conemur quadraturas assequi; eundem prius Cxlindrum oporeuit diuidere
in quascm parces, quarum praecipua illa est, quae generatur sectione fact â per diame-
rrum baseos Cxlindricae, axi non parallela: ex frustum quidem tali sectione ablatum
conculam appellabimus, quod uncularem formam non 2 sque adeo respuat. Porro es
ipsam vneulam, ex ejus partes sectionibus ad axem eylindri aequidistantibus decussas
ad paralle lepipeda reducemus: cylindricam praetere a onsulae superficiem ad quadratum
aut rectanculum illi aequale reuocabimus: reliqua ex partitionum areumentis plenius
intelliei poterunt.
DF F INITIO PR IM A.
TNgula eplindrica est cylindri porrio, abscisa plano per aliquam b2-
Eis cylindricae diamerrum eranseunce, Lemicirculo, Pemiellip(I, e
parre luperticici curue cylindricae Contenta.
Fiusimaginem habes passim in figuris huius libri expressam; et proxi-
me quidem in figura propolicionis 6. in qua portio cxlindri, qua conti-
necur semicirculo FCO, semiclliph F D KCC, e superticie curua cxlin-
drica DFCC, ungula cAt.
1+51
DEFINLTIO SECVNDA.
Nuolucrum vnsula est prilma vngulam sibi inscripeam ambiens. Vide
Eguram scholii propolicionis 28. quae huiusmodi Colidum exhribet,
prisma enim AF F. DH CC est inuolucrum rngula ABCD. cetera
in decursu operis suis que que locis detinientur.
e na
ARGV.
   u u e et a pr ete t a u it s e ee u i i e . 1 e 1 e   t ti  e e    et t e i  .    t         t    a  1 p 

## Folio 956 — 1815201908:1013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
ARTITIO LIBRI.
Prima onculam cylinat aam ets que partes, planis ad cylindri axem paralle-
Secunda idem praestat de imuoluero onculari ejusque parcibus, quas plana ad axem
Terria cylinaricam Onculae cru a supersiciem ad quadratum reducit, a liasque
lis rescissas ad cubumteum.
Nocto partes hunclibrum distinenimus.
cylindriparallela abscindunt.
ejus affectionis nocusfacit.
Duatamiram oncula cylindricae cum sphaera similitudinem continet.
una onculam cylindricam eS slut utoo Patado compatat.
Sexta sphaeroideos propriecates tractat.
Sepama contemplationem instituit de Conoide Parabolicor
Octana de Fyperbolico.

## Folio 957 — 1815201908:1014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
NGYLA CPLINDRLCA.
La L
R IMI A
neulam exlindricam, eieusque partes, planis ad eylindri avem
fuareceo descesdad dcbeolsteElblobtb.
 PR OP OS ITIO P R I M A.
EP Riangurum ABC diuitum sIE vEcunque recta AD, quam CeceF
 CHI patuntela BC, duetoper CHI plano F. CHI, ponatur in
OEF, quae aequidistet OHI, iunetis deinde AF, F B, _ AF,
FC, diutsaGuc F. F in I, Secundum rationem BD ad DC, 252-
DicOCOrpuS ALC BF. dividi plauo AID lccundum proporrionem
cur planum per AD e punctum I.
BD adDC.
Demonstratio.
X puncto K linearum GFF, AD communiintersectione, ponancur rectX K B,
KC. EA CK ad RHI, ve BD ad D C, hoc est ex hyporhet M E T ad IF. Cr.
3O sgUTA OKIF. CAad AIGUTAM RI FFT, ve C:R ad RH, Aluctis enim P R,
ZKF, eA errangulum B R L ad PKF, ve eA F Lad TP: LMAHSM QUOque O F. R ad a6. duodes
RFTI DE GK ad K FI, hoc eA F Iad IF.) quare cum 2 PBTAMIS AFGRTad pY.
ramidem A IK HIF eam obcincacracionem, qua figuld  L LLGUTaM PIRFL, B 5. duodec.
eciam prramis ad prramidem cAt ve CK ad R fl. led Ca bPais GF. RB CA
ad prramidem FRETC, DE CFR BAIISAAOAMI ALL SI, HOC CH, VE GR ad R FT, vC.
sitci eriam prramis F RIB ad PKFC peTAMICM. GuaIC COCa prramis G ETKB ac
eotam LK EIF C, rarionem habet candem c CK ALLL, HOC CA BD ad DC
LIGOC ALK EB corpus ad Corpus AIRCC, cn BD ad BC. Ied ectum prramis 
LRDB adTKD C prramidem racionem oblinet quabaS BR D A_LALIDRC.
HOC est quam BD ad D C. Igicur eorum Colidum AID B ad CoM ALBC,
C2+. quim.
proporcionem habet uam BD LnC2ad D C Lincam. uod tuu demoh.
    et e te s pit pat t u u e  e. t pte  e   ue t  u us  e  et  e  a  e  e  ee   oa    e a  te te  a     s

## Folio 958 — 1815201908:1015
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
PROFOSILIO II.
donatur higura quadrilarera A BC D, curus opvolica lacera AB, CD
a proportionaliter diuidar recta P F: Cc aurem C7 lI parallela C D secans
E Fin AL, ee inplario per GH ducto collocetur lK parallela GHI, qua
secetur in L. Secundum rationem CF ad F D. Iunctis denique AI, 1C,
BFE, IE D plAMUM PONAEUFPeF P. F _ punctum L.
Dicocorpus A LCDKB dinilum eAle plano E. L. F secundum rario.
nem C F ad FD.
YN GY LAI CXLENDRTCA.
95d
Demonstracio
Oncipianeur duetae M A, MIB, A L. AI R. L A. L B, AIC, AD. LC. L. D, nec
non lInex F L, FK X P I, P. R. ex hac constructione orieneur prramides varix,
rariis quidem balibus insistenres, (edhabenres communes alcicudines, quemadmo.
dum videre est in prramide GIML C _ L MTTK D, ac prramidibuS AIOML,
BLMITIK, quarum baseS OTLM _C LMTIK, incer sc cam Corciuncur rationem,
quam habeclinca GMI ad M EI, hoc CA FC. ad FD. superlunc praecerca prrami
dES LMIFC, LMF D, _ BML A, FMT. B quarum bases criam POrriuneuF can-
demracionem quam ratio AF. ad F, B, C CF ad FD, quarCF I. M A una cum
CMTOTA ad LMEB, VnA CuM ML KFT B eandem concinene rationem quam
FLMC vna CUM GTLMC ad LMED, vna CUIM LMKTTD. etSOTOIIA
ALCFLE AdEOTUM E L. FD RB, CAVEC F ad F. D. Ouodtuir demonstrandum,
ROPOSIIIOMI
Pareae parei Caperhciei circularis ABC inseribaeur D F. semidia-
Olco palalleloslaimum lCLmalus elle dimidio legmenti ADC.
mecro BC aequidistans: qua Martatus s Lauta, crisacurnorma-
alicer FC ad rectam L, facure M Paratela BC.
Demo

## Folio 959 — 1815201908:1016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
YNEYLA CFLINDRLCM
Demonstratio.
Vaa OK quae contingac circulum in C.
OccUTEAEGUC A B producta in R. AaC aM-
vulo KEC I, Equalis angulus TOFI, Factâ dein-
de rectâ TE aequali AI, delcribaneur circulo-
rum arcuS L. O, DC TemidiaMCErO AB. OuO- X,
niam LOF angulus rectus cAt, reliqui duo
KOI _ M C F, recto lunc equales. Ce d angu-
lus HIGF aequatur angulo KCFT. ergoetiam
FTOI cum MOF, Facic rectum. Sed eriam
TIOI cum HICF, Facicrectum. Igicur IIOF
angulus angulo FCM est aequalis. quare cum
AO FaNSAE CC in O, CEam FFC tangeF
arcum D C in C. Similicer demonstrabo ce
iam arcum P. C: in eodem puncto cangi ab IIC.
Ouare aequales lunc Agure IOL _ GDF.
quancicacibus AC I de GF F. Sed rectangu
Ium IF, excedichguras CTIL, D CF quanci-
caremistilinca LOD. Cadem erso quancicaro
rectangulum IF, luperacFouTaS AC, L, C+ F P.
sintisicur illa dimidio segmenci AD P mino-
res, et consequencer IF maius est dimidio eius.
dem sesmenci AGFD. Quod demonclrase oporcuit.
PR OPOSITTO IV
celarsul maximum cuinis leomento circuli ilepcu, gadu
Cemicirculum non excedir, maius est ciuldem seementi dimidio.
Dembnrado.
ex quo legmentum quoduis
demacur DBF, habens DF.
Parallelam AC diametro; eri-
Bacur deinde ex I, cenero circuli
normalicer IB, quae dividerD P
bitariam; perfecto deinde re-
etangulo lacicudinis DR, altieu-
dinis vero TTB, erit F C circu-
lum concingens, equidistat enim
DE recta FG, e diameter LB
orthogona est parallelis PC,
D Eipolica isicur quavis XL. M,
temanebic B FI MaIOE K I: quare trianoulum DBF, IAIS CEIE DK L Cag
ne proinde maximum est eorum quae legmento DB E inseribi queune: est aurem
DB F criangulum dimidio legmenti maius, eum criangulum DB F, rectanguli F
sic dimidium. criangulum izicur maximum dimidio segmenri est maius. Ouod Fuir de-
monstrandum.
DOnatur Cemicirculus ABC.
guX aequidistet BFT, Cric K M minor BL. AOTa C1GD L, L.M aequalibus lineisi
F. 0. 2 102101 , P, B
ed stie chceit
s ut pe e  e s et 1 ue a u  e e p e e sute  s  p u et i e  p  ta   u  e t e   st eu  a i  pat p et  t si ate se e este u sstes

## Folio 960 — 1815201908:1017
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
60
NNGYLA CZLINDRICA
PROPOSIIIO
ac plura ia infinicum.
axi cylindri equidistene, semics lindro inserib antur prismaca plura semper
Dico tandé ex lemicylindro ABC D,
relinguendam quanticarem Colidam qua-
vis dacâ L, minorem ex continuara line
cermino prilmacum ablatione.
Demonstratio.
Scensum praecedenci propositione criangula
illa seomencis in scripea maiora esse dimidiis
seomentorum, quibus inseribuntur: est aurem
rario prismatum ad seomenta cxlindrica eadem
cumracione balium crianguloru nempe ABD,
AE B, BD C ad segmenta circularia, quae lune
bales seomeneorum cylindricoru, cum alcicudi-
nibus non differant. Igitur d prilmara inleripea
maiora Cune dimidiis corporum quibus sunt in-
scripca. quare per primam decimi elementorum
perpecua prilimacum ablacione tandem e cylin-
drorehidua hec quancicas daca P. magnicudine
minor. Ouod crac demonstrandum.
PROPOSITIO VI
VIEAB axis eplindri C DF, cuius ba:
 SiS FCO, dinisa SIE BIFarIAM PeF FC
diametrum, secundum quam siharlectio
FOKL, abscindetur ingula FCCL,
bali deinde FC C, inscripro criangulo
maximo inscribantur ex residuis seomen.
eis maxima triangula; e secundum has
lineas consticucis planis quae axi cplindri
aequidistent, vngulx prilmaca inlcriban-
cur plura semper ac plura in infinicum.
Dico ex concinuaca line termino pris.
macum ablarione relinquendam randem
quancicarem dato Colido M, minorem
ab ongulari magnicudine.
Demonstratio.
Aseribatur semibasi cylindriex criangulum maximum ABD, residuis
ue seomentis maxima criangula in(cribanEUE AE B, DOB: &
Guc
hoc semperHac. Per lingulas deinde harum linearum ductis planis quae
DEx prxcedentem propositionem eonsque concinuecur ablacio prismacum à cplin-
aooce a ao  ddesicur reliduum naiusctu
TCucuO

## Folio 961 — 1815201908:1018
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
V N GVLA CYLINDRHCA
361
residuo quod relinquetur ex ongulari quancirare, cum he pals alcerius residui quod a
exlindro relictum elt. mulco isicur minus erir reliduum rnsulx quantitare M. Guod
oporcuic demonctrare.
Corollarium.
TE reperere cogamue demonstrationes praecedences, Metudere MIs quogue in-
rande casum qui spectar corpus quod resulcar ex lemicrlindro post vnoulae de
cussacionem, hoc est si concingac heri similes ablariones prilmatum a corpOre
LDIBCKL remanebic quoque solidum quanis daca quantiraTO inUS, VEPacCE
demonstrationis iam posice rim consideranci.
PROPOSITIO VI
Tuidane AB, C D diametri balim exlindricam normalicer libi in li-
Rences, e per AB planum secundum cylindri axem consticurum
nonerin cxlindri luperticie rectam AE, que recunque dinisa sic in F. D0-
inae perrectam  puncta I d L, plana ConsitMAnEuTCDF, CDF.
VEFCHIIEENErNQALEGUANFITaTCS C AFD, C AFD.
Ocoincer ingutam C AF. D e ongulam C AFD, cam rarionem in-
tercedere qua cCIHter rectaS AF. _ AF.
Demonsra.
luiso arcu AG D bitariam in G. Ponantur
rectxe AC, DC. Idem Aac de arcubus rell.
duis d lectiones hanc secundum has lincas qua
axi cxlindet aanlictene edees u esta
superticie sellas L.H, 61, dl. Cu lae
grestionibus spremilimus; manifectum est eriam
vngulasiptaS ADIF _C AD FTF, cam rario-
nem continere quam AF. linca ad lineam AF.
Duod tuir demonstrandum.
AFICD corpus VSE AL. D inscripcum, ad
corpus AFECCD. Iua iscla leliprum ve
alinea AP ad AF. SmiliEEF COrPUS AP N IC
inscripea ad corpus A LMHI C inscriprum ha-
bebic b racionem candctm quam AF ad AF.
Corpora aurem illa inscripea, ablata ex quanci-
cacibus quibus inscribuncur; relinguunes ran-
dem dato Colidominorem. Cum igieur per cales
inscripciones sinc Aine concinuatas semper retul-
EOCraTIO AF ad AF, perca, quae libro de PTO-
a0105+
hais
B2. huius
Cb. huius
a mo era
Ececur cylindrus sectione per diamerrum basis AB dccaCVS
lam ADE. B, crect a deinde ex C cenero normalirer C D ad diaM
Erum AB, ducantur lacera cxlindri DF, BMI, ad lacus autem DP. ducta
C F: tant lectiones, vna perlincam CD, _ punctum M in latere BVI,
alcera per rectam C F, et idem punctum M. Ponacur denique linea recta
quauis
u      a et   e 1 e t   te s e  p t e  ate te  e t p e t e s t e s t    et   e  e t t i t t e a e t t ia t  se t at ete  t e  e

## Folio 962 — 1815201908:1019
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
962
TNGYLA, CYLIND R 1O A
quaenis FI in cylindri superticie extii
bons commutes mtellectiones cum
planis poncis puncta 6, l1, 1.
cotC aqualem elle line lL l.
Demonstratio.
Atam TF adC Pracium paralleru pla
CBM, Faciens cum plano CDB sC.
ctionem lK, cum plano CDL Mcctonen
RL, cum plano C LCB lectionem LV.
Duoniam isitur planUM CDP, CCCaC du0
plana parallela KFL, CBM, crunca lectio-
RCS RF, C B parallelae. Kurlum quia pla-
num C F C Blccac duo plana parallela R si l.
CBM, crunt sectiones IG, CB eriam pa-
rallela. Para llelae igitUr BSUINERF, I. C. DC-
inde quia plana parallela RF L, CBM sCCAE
planum LD C, crunt sectiones communes,
nimirum RP, ee axis cxlindei, aequidictan-
Ees. Fed eriam lacus F C axi eouidistat. ergo
RL, F C aeguidistanr. erg0 C+ FR L Paralle
logrammum elt. ergo FC X qUatUFK L. Iun-
sancur deinde CMI, RTI. Duoniam plana
Barallela IRHI; CBMI lecac planum
CL F LM. crunc commun ectiones T. I, C MIparallolX. Rursum quoniam plana
parallela RFFL, CBML lCCAEplAnUM CKD HIM, crun sectiOnCS RFL, CM p2-
rallele. ergo etiam L. I, R EI Cuncparallelae: lune aucem d FII. K I. supra oAtenlx pa-
xallelae ergORFTIL Paralleloorammum est. ergo HII aequalis cst, R L. sed eciam
octendi supra PC equari K C; Equarur igicur PC; HT J. Ouod erar demonstrandum.
Corollarium.
TOcahac propostionem prorsus esse viiuertalem; vera estenim, siue A B, diame.
cer sccirculi AD BC, sine quae daiti eixquidistatis, vepacec demonstrationem
consideranti.
PROPOS
191
x1O. 1X
Sro cylindeus cuius balim diuidac diamieter A B: ex CEHErOD erig a-
scurnormalirer C. D ad diametrum AB: per C vero ponatur in lu-
perticie cylindri C. F recta linca: deinde agaeur planum per AB, de pun-
ctum quoddam E, in recta CF, extribens sectionem ABKF. polica
denique in cylindri luperticie recta BHI, ducacur planum per C D, 8
quodlibet punctum HI in recta B II, tandem per D F. rectam e idem
punctum HI sectio RatD F. GII.
Dicorngulam exlindricam D BFCE K B aqualem esse Colida ma-
snicudini DHICE GFI.
Demon

## Folio 963 — 1815201908:1020
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
rAGTLA CYLINDRTCA.
Demonstratio.
alcicudino. diuidacur deinde ar-
cus BC bitariam in F, ex per
punctum F axi cylindrico x-
quidisteE FKLC; IUngRnEUE
deinde CF, FB, ER. KB, CI.
quale ehe; Promdeque eu
ex alcicudines sinc equales, quod
BII Scparallela ad C F., Py-
xamidem CFRV B, prramidi
C1OEL Patem enC. SCuus
subdinidatur bitariam aEc. USC F
quidistans L M N O; Iungancus
quoque C L, LF, L.L IVK.
CM. MB F. O. OC. Suonta
isitur L ML ipNO ett a qud-
crapestu CLML Clapeo CHOF aguae. duce e e C
requidiltans, maniteltum elt lolidum C. L. NR. R L. lolido CNOF. IC aequale exin
Aerc. hac constructione lemper continuara ex omni parre auferentur semperxqua-
lia, deque adeo quanca cunque pars candem à corpore D B F CP RB per Limiles in-
Ecripriones auteraeur, porerie xouale quoque auferri à cxlindrica quantitace
DETCR OFT. Pertales aurem ablaciones sine hne continuatas relinguerur tandem
ex veraque quantitare solidum dato minus. Ouareper ex quae libro de progreHio: B Coroli
nibus Cieomerricis praemilimus, bnecese CAEOTDBF CE. R BtOrIDHTLCP. C, FIu6. pro-
aequale existere. Ouod tuit demonstrandum.
ROPOSIIIOX
ercst.
(VngANTuEC B. EB, CFLEF
igitur prramis DCLD Ps
ramidi DCBHI, aequalis est,
cum linc super eadem b2l d
TTI, F O, GTI. quoniam ergo
AFK ipE IC aequalis cs, sic-
ue FC rectae C P Parallela,
peripicuum cu, Crapezium
CFKP crapeziO CIOF X.
In F, _E PEF L POnatUT aXI X-
lis, e L O PalAHCIa C F, ClsC
2 8. buius.
In Pliteto C, crigatur eL eua aGudillet AF. perticiarurque rectan-
Dico parallelexipedum sub bahrectansula BC. FI ee alriciaihe Le
maius esse dimidio quarex parcis exlindri FBDM C.
Inisa sIE A BF diameter baleos exlindri ADC in B bilariam, e ex
B adiplam normalicer erisatur B, diviladenique BD bitariam
Demon-
sulum parallelogrammum BC FI.
   e  p p ir se   u ea i ae ut taue  tie  u at e   put e a pua tie i e         e            n  a  il

## Folio 964 — 1815201908:1021
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
6
ENGYLA CZLENDRICA.
Demonstratio.
Alem enim Havet rarionem quadrans cxlindei ac
parallelepipeuum lub bah BEI ex alcicudine F C
qualis incer bales, quadrantem Loilicer BDFi, e Pa-
rallelogram BElareperitur: Sed octensum est b pa.
rallelogrammum BET maius esse dimidio quadeantis
DBF, igicu ettam Pacallelepipedum sub bali B II, d
alcicudine LC Mraius est dimidio quadranris cs Muel.
aetac demonstrandum.
Corollarium.
Vod t astertum de parallelepipedo sub BC H, _
alcicudine F C respectu quarcae parcis cxlindri DB B
Cclau incellisendum de parallelepipedo sub basi GK, e
alcicudine FC respectu lolidi quod sic lub Cegmenco cie-
culari D G FI, & alcirudine eadem F C, atque ira de ce
nintinieum.
PROPOSITIO XI
Adem manente Egura:
Dico (i parallelepipeda hoc modo qua-
dranti inscripea cylindrico, ab eodem quadrance lemper demmaneur, resi-
duam candem tore quancicarem omni Colida magnicudine dacaminorem.
Demonstratio.
Npraecedentis ciusque Corollario demonstracum est paralle lexipeda illa maiora
existero dimidiis quancicatum extindricarum, quibus inscribuncur. Duare _ ab his
illae collaneur, semper plys auferecur quam dimidium. Ergo perr. decimi relinguecur
candem ex quadrance exlindrieo quancicas daca minor. Ouod tuic demonstrandum.
eROPOSITTO. XII.
Vadtantis cplindrici basis ADF diuila (icre prius; sectanimirum
BD in parces aequales C, I, _c. perticiantur parallelogramma
BHI, CK, 8c. Cylindro deinde inscripea Tinc parallelexipeda ve
prius lub iidem balibus. Denique secundum rectam DB, de quoduis
punctum N in linca F C, qua est in cy lindri superticre, planUm agaTuT ex-
hibens ungulam FND.
Dico etiam ex ipla tandem rngula relinquendam quantitarem qua-
visdata minorem li cadem operario in bali cxlindri concinuetur quae lu-
periore propolicione imperata fuit.
Demonstratio.
Scenlum eAt exipso cytindro rehaHAM LONC GUAMELALEM QuABIS AATA MIMOTCH.
ledhec pars residua maior est reliduo quod remanet ex ipsa rngula. igitur cum
rnsulx residuum pars sit eius residui quod remaner ex iplo cylindrO, PATCE veritaS
propolitionis.
2
PR O

## Folio 965 — 1815201908:1022
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
VNGVLA, CYLINDAICA.
PR OPOSIT1O XIII.
Olica ascudines haberes veram
que balim parallelam similem simili-
EerG POlcam, eam inter Ce lOrrinnEEFA-
tionem quae ex basibus e alcirudinibus
compolica est.
Demonstratio.
I masnicuames parallelepipedales Fuerine
velprismaca, lam per elemenca constac hu-
ius propolicionis reriras. Quod (alcera (ic p2-
rallelepipedum vel prilina, ve AL: alCCTA verO
curuilinea DFTL; vel E veraque sic curvilinca,
per inscripriones prilmacum SCMPEF CONEINUa-
eas concluderur propolicum ca discurrendi
Formâ, qua Duclides vrieur in elemeneo duo-
decimo. Ouem discurlum cgo ad alia prope.
rans Formandum relinquo Lectori.
PR OPOSIL
965
X
0
YNgutam LB, CD, cuius inbali diameter e lecet aliquod pla-
nuntaxi aequallistans P. FC FI Faciens it plano ABD, sectionem
E F parallelam LB; quod deinde sccerur plane scco ud planum
E FC, diuisa denique bitariam recta P. F in N, agatur planum per N e
axem cxlindri, ad quem ongula percince, occurrens plano IK L. secundû
communem incerlectionem OK, per quam hac lectio PK O paralle-
la plano ABD.
Dico Fructum cylindricum FTK LF
aequale esse Frusto F. PH OF.
deonporatio.
VCANEUT PK, KO rectae Cubrendenes
AECUS PR. RO, qui quoniam luncaequa
LesMer e, vepore equales arcubus F B, BF,
cruire quoque linexe PR, RO aquales. sune
quoque celangula aequalia et similia TPO
O, cum linCX P N, N F, hoc eA PO, O
adcoguil , l aequales sinc. Pgieur py
LAIHdeS IORP, OORL aequales CunE.
Ruccus Tegmentis PR, K Q inscribi ponu
inscripea rni prilmata, alcert Mipcis crunca
qualia quod cum tempet nen poisie, contcat
Ecomencu IPKOa sCOMENEOOKL Q estex.
quale. adiectoigieur comuni solido F. IKOF,
CTIE EOCUM EPKOF, COTI FIKL F xqua-
lc. Duodtuir demonttrandum.
criansula maxima ve prius: crunchec aqualia
incer le, ex per ca que pauls ance praemisimus,
AEX CorSII.
216. progres
  s s   sHHrgh r  s   ess s  sss   rpe to

## Folio 966 — 1815201908:1023
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
3
N CVL A CYLINDRTCB
AEcceur exlindrus sectione ABFD.
 quae xequidistecaxi: divisa deinde bi-
Fariam recta A B in C, duCATUT Per C et
axem cplindri planum FHCM, duet
deinde A F qua occurrac ip (i C MI in L
per L agatur planum IO K Faciens cum
Olano F. FI CM sectionem communem
LG, TUM per reCtAS AL F, LC planum
AUCALUTAGFL.
Dicolegmentum exlindricum ADF B
plano AL. F C divilum esse bitariam.
Demonstratio.
FRucum AC GT, FruHO RL CLaqualc est.
Fodemque discursu quo probaca fuic horum
Fructorum xqualicas, concludetur eriam aequa-
litaS FPUSOTUM GLCHA, VOLMF. Igirur
Fructum AT G:T Cum FrUSO F, G: T. NIF, X9ua-
CHFFEHSEO RP GF, vna cum FruSO OLCFTA. Ouare srerilque addaneur xequa
ses exlindri portiones TOLMED, BCTTOLK, crunc iria Fructa AL OT.
FOLMF, IOLMED, cribUS REGF, OLCHA, BCHOLR aqua
lia. Aequitiaeceria vlcima constimuune segmentum AG FB; tria vero priora consi-
eiunt segmencum ADF C A. ergo illa quoque segmenea funt aequalia. Segmencum
isicur cxlindricum ADFB, plano AC FI. bifariam eM divisum. Quod tuicde.
monstrandum.
PROPOSITIO XVI
TNgulam AD C dispescat planum DB C axi equidistans, extriben
Fructum eius DCC B, acto deinde per axem cylindri plano L FC,
quod arcum DF B bilecet in F, alsignetur communis interlectio super-
Ricici cylindricx cum F. FG rCCtA F C, DE reCta MH communis inter-
Scctio planorum DBC _E F F G, policaque FTI, quae sic parallela F. F,
ducatur planum per HIL, quod scx quidistans bali AB D, quod com-
munem incerlectionem proferat IEL. cum plano D BC. candem secun-
dum rectas F.C e KL, planum ponacur cerminatum in cglindio se
CTiOnCLGK.
Dico DOCB aquale eAe solido D K O L. B.
PROPOSTTIO XV.
Demone

## Folio 967 — 1815201908:1024
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
V N CV L A CYLAHDRIC A.
Demonstratio.
FIEISIS DEILCS _E HETTO, inscribaneur
prramides super eadem basi FT C, crune
txpreamides incer se aequales, cum alcicudi-
nes neaquales; similicer X quabanEUE e py-
ramides, qua in Frustis ITTOC _ HTTOL,
Cuper eadem bali constiruentur, cum alcicudi-
nes carum etiam sine aequales, e quia omnes
similicer figurx inlcribenda Fructo IIOTD,
aequales crune fguris que eadem constru-
ctione inscribentur Frulto HTOK, CruNE
Frusta illa equalia. 2 pari modo quia onnes
quoque figura tructis TIICC, TITOT in-
Scribende Fucura. sinc aequales perpetuo, ct-
jam hxc Frusta aequalia CruIHE; CunEigiEVE qua-
cuor illae parces Colde aquales incer le, ac
proinde solidum ROL aequatur Colido
DOCTV ITC: ostensum quoque est
DTHLC Xquari DHTK. Pgicur communi
addIEODEBL ID, CTIEDKIL B aquale
DTCB: addIcisergO KGP, DGCTDTI.
qua ance ostendi esse ae qualia, torum D C CB aequale erit cori DR C L. B. Ouod.
fuic demonctrandum.
PROPOSIFTO AMII.
Aca BE vnga BD AC, in cuius bali de Vatos diametrum AB, X-
Aquidistet CF, qua bilecta in C, per C _ axem cstua ducatur vlg-
num taciens in cflindri luperticie sectionem C D. lumpro deinde in C D
puncto aliquo R, perillud sccundum AB diamerrum hac ingulatisle-
ctio BL. KM a. Denique per rectam FP. asC planuu ani aquidistans
FLHIME,
Dico parremrnoularem F I. LM L
ad vngularem partem FTTDIF eam
habererationem quam haberrecta C. H
ad rectam CD.
Demonstratio.
cam habere rarionem quam habce. CD ad
CK: eodem aurem discurtu octendi porest
vngUIA BD A, PaTECM BFFTTF. A, ad paF-
EEIM BFLME A vngula BR A, candem 
habere rationem quam FFT ad FL, hoC CA
CD ad CR. isicur relidua duo F HD TF,
FL KM F. eandem habene racionem, quam
CD ad CR. Duod tuic demonstrandum.
Corollarium.
Vmisicur per z. huius etiam eorae rngula
 B K A, BD A cacionem candem hab CanE
quam recte CR, C D, Sequitur vngulAS FOEAS
lesmencis eAle proporrionales.
967
b24. lovius.
Scenim ostensum c solidam magnicudinem
Longularem BD A C ad rngulan BK AC
a

## Folio 968 — 1815201908:1025
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
Onantur AB, B C aequales linee obcendentes arcus AHB, BGC, de
ccCcu t  a  B, BC, quae axi linc parallela.
Dicolesmentui rngula AR BF. O A
ad legmentum rngula BSCDF, cam
obcinere rationem quam haber linca
FII ad lincam OIE, quae normalicer
ducuncur ad diameerum AL. diuiden-
res arcus AB, B C bitariam.
Demonstratio.
IEprimo BC paraIIela diRMCErO AL, &t
planum ponatur Per R cencrum baseOS
quod bisecet arcum AB in FI, ec rectam
HIO producar in cylindri superticie; in pla-
no aucem cMliprico ADL, rectam RO, de-
nique in plano AB F rectam R MI: ex cuius
cermino M polica MNV, quae aquidistceR FI
sectio hacper lineam NM parallela AB, e
planum candem duCaTF YOV PCFKO, d
rectam VT parallelam ad AB, ostensum
est scomencum vngulx AVOTB equari
sCsmEntO AOEB; octensum quoque cA
AVNOTB, scomencum ad legmencum
BCD C cam racionem habere quam habee
TTO linca ad lineam C D: est aurem HT ad
GK. ve (TO ad GD, cum (B, _ K D sinc in eodem plano: sinci; criangula LH O.
ROD Cmilia Lsicur manifectum est segmencum AOE B ongulare ad ongulare
seomentum BCD C eam habere rationem quam linea HI ad CK. Ouod Fuie
demonstrandum. Ouod A B C non sic parallela A P. Hac parallela quedam quae RC
aequalis AB e concinuata constructione praecedenci comparetur verumque legme-
cum AOFB, _ BE D F C cum seomenco illo quod haber rectam aequalem ipsi
AB parallelae diamerro, acque ita veriusque rationem invenier ad illud segmentum
cognicam, ac proinde eriam inter le.
PROPOSITIO LLL.
VEmiceu, Gurbalis estongula, inscribacur dimidium hexagOn
regularis per cuius latera AB, BC, C D plana pONANEUF, quae Xqui-
distenc axi cx lindri, Formancia segmenca vngularia AIB M, B HI HENC,
C NGD.
Dicolesea risaale abrenta pranoe eti ene ad rengua uo
lesmenta limul sumpra, verecta F HI, que exmedio arcus C B puncto C,
ducitur AD diamerro normalis, est ad duas limul lineas HII, GO, qua
exmediisarcuum B A, C. D punctis lunenormales eidem diametro AD.
TNGVLA CXLINDRICA.
PROPOSITIO XVIII.
a26. 1t 1 102
Demon-

## Folio 969 — 1815201908:1026
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
VNGVLA CFLTADRICA.
Demonstratio.
seomencum B ALVL, VEF FT ad F. P. Smilicet
per praecollencem lESthencum C B MK N est ad
Scomencu NC VL, Ve FFI ad C9, hoc est.
(quia GO, E. P XGUanEUF) VE FHI ad F P, hoc
est re idem rurlus leomencum CBMRN ad IC
EmenCUM B AIM; Segmenca isitur B A TM,
NCDOL aequalia sunc. Quoniam igieur se
emencum C BMRN es ad singula segMenFA X
qualia B AIM, NC P L, ve recta F FI est ad
angulas aequales lincas PP, G9, crir scomen-
cum CBMKN ad duo aequalia Cegmenca
BATM, NCDOT Cmol Cumpca, verecta FFI,
ad duas aequales rectas P. P, C+O) CimuI sumPCaS.
Duod oporrui demonArare.
Scholion.
969
DEFPEXCCdeNEEM SESMENEHIC BRMN est ad
samus per semicirculum in se
mus qualis sit ea cylliait pats.
quae circulo in se ducto aqualis
ne ratione ad partes cylindricat
reducantur. Sit itaque semicir-
Cemicirculo, qui ita constiruan-
Ossensum est propositio.
ne 26. libri de ductit
plani in planum, qutu cat
ductum ex simul demonstrani-
mus solidum inde productum
esse veram cylindri partem.
rerum postulat huius loci ratio
sequentium proposiionum
clarior explicatie, vt ostenda-
sit, e quae ejusdem partes qua
culus ABC aequalis ADC
tur inter se, ut ad rectos an-
sulos eorum plana insistant
habentes communem dia-
metrum RC. ex sccundum
explicatum n se invicem du
cantur, ita ot pidauantfn-
dricas supersicies, scilicet FC
es CLL sitg C planum el
lipricum. quodnoc corpus aiui-
modum in lioro ac aultibus
dic. quonam omns inea lF
aequales sunt rects LII: produ-
cext linea, IF, dC ductae in
lineas L H. quadrara infinita LF C F quorum diamerri erune in plano elliprico LC, ila-
erit FC sinc d lted uort abet dasti et s udse a
Sa
que solidum AB F. D C Carpitco plano LChanas aguaus patuseutsum, quarum vna
aaeeeoo a   o

## Folio 970 — 1815201908:1027
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
YNOVLA OPLINDRLCA.
aperz. ha. Feurasolidd OPO, ex quia  demonstrarum est unam onculam ad vnculam alieram eam
113.
proportionem servare quae interearum altitudines, nempe lineas SL, S V existit: ( linea
ST aegnalis sit recta TV, es secundum rectam OO, e VF punctum, sectionem comin-
catfieri, tunc vngula PR, dupla erit vnculae P O sive T. NM, sive IFC, Sea 
FLductum in FII. duplum est solidi TF C, hoc est L. N NI, hoc est O P O: isitur LL du-
Etum in III. aequale est ongulae PR, quoties igitur mencio fiet semicirculi in se ducti, subeat
inmantem onculae POR, quae est pars cylindri abscissa plano quae fit per aliquam diame.
rum O habentem altitudinem S V. aequalem diametro baseos. O.
neaeaequales C C.DC AC sermentum erectum sit normaliter ad planum circuli A B, 8
solidum quod sud os esse cyundricum: habens duas partes, quarum una est cylin-
drica prorsus, seet das adens smentum CF, quae est aequalis AC. es alricudinem C D.
hoc est L Nin canaro XM VBadene MM circulum aequalem circulo AB: altera vero
ducta: estenim A C scementum aequale D. B, sive  L. quare DLEB quadrata sunt, quo-
rum diametri C. sine om pnsan. Quate i plunu aeatur per rectam
Atque haec de vneula sufficere existimo: reliquum est, ve ejus quoque partes non-
nihil explanemus. Sit itaque denuo circulus AB, cuius diametTO LLFL; aequidistent duae li-
intellicatur duci in reliquam partem circuli C B interceptam parallelis LT, P K: orietur hine
est D FC+ B, hoc est OPO tepsin aesas ductu RC supersicre in se
DD ∞ 6C, duides hoc planum solidam hanc sceuram DFC, vet OP C induas pae
tea
uile eo
on

## Folio 971 — 1815201908:1028
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001028.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
ACDLA CPLIHDRTCA.
in se ducto expauru soannt iam incs
Undro sermenta circularia parallela L. NI, HS
aequalia sincula sermento AC sive DF, sine
OP, quae intercipiunt rectas MS equales ipsis
BF. fantq, tam SI, quam LV aequales ipsis
SN. hoc est A C, sine DB; erUnIG, LOIA M V
aequales rotis AB. acantur de inde plana per NF
x NVV: erit NVST quantitas par quantita-
s DFC, ex quantitas NT V par quantita-
i BC D, ac proinde rorum solidum NSV
aequale solido DFE B, hoc est OPOR, 
consequenter erit cotum L M VI corpus, aequa-
le corpori C F EB, quod natum est ex ductu
A C in C B: quod aurem corpus hoc L. NI V N
perrineat ad vnculam XM. patet, quoniamt
Z M dimidiae sunt M V, es NS dimidiae sunt
SV. icitur anguli SNV aquales sunt angi
Iis MZ V. quare XNV sunt in eodem plano.
Exhis ereo huncin modum exposiris habemus
sermenta circuli inaequalia A C es C B, in se
mutuo ducta producere seementum ongulare
LMVN abscssum plano L. N, a tota ongula
ZM V, cujus basis est par circulo AB, es alti-
iudo aequalis diametro AB. hoc revocet in me-
moriam Lector, ubi de scemensis circul in se
ductis mencro incideris.
res aequales; quemadmodum de toto semicirculo
KOLDSITIO ZX
olidum productum ex lemicirculo
in le ductoad aliud similicer orrum
ex alio semicirculo in se ducto criplica-
cam racionem habet lacerum homolo-
SOruM.
Incicaque AB. C Damec emencuo-
DEUM AFB, CED qui in se ducti produ-
CANECOrPOTA AFCB, CP FID. Dicoilla eri-
plicaram incer le rarionem concinere diame-
eri A B ad diamerrum CD. Sune enim limi-
lia corpora, quoniam bales similes (une, de mo-
dus quo tormancur communis. Vnde necesta-
rium est Corciantur proporcionem communem
similibulque corporibus debicam quam ex ele-
menris constar ese rriplicacam lacerum homo-
trt
eteset atibo
aoun quis huic demonttracioni non ac
quieleac, vei poceru inlcripcionibus corporum
Uimilium, licue propoliione duo decima luius
factum est, e per progrestionum regulas illis
incer se collaris cruere racionem quam sinc du-
bioreperiet esse eriplicaram linex A B ad C D, cum Angula corpora inlcripca similla
candemrationem obcineane rel lez ac proposicione huiuslibri erigelimam quincam.
ed
e i e e  su t t pi pi eti a . t t  e i ti ut u e et u pt u  t  ute e e t e     u e ete s  i  t   . 1 1e  1     1  at at  e t pt

## Folio 972 — 1815201908:1029
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
V. NOYL A CY22DICA.
Corocurum.
sine consrngulis quarum parces exiltune; de eadem omnino Formari de illis posine
demonstrationes quae rugulis inceeris aur circulis in se ductis inseruiune.
Noula ABD C Sccetur planO F. F C, parallelo illi quod per AC &
axem cylindri ponicur, laque Vongula alticudo aequalis B9 dia-
metrociCuu.
Dicoongulan cocant LsDCD ad parcem decullacam BF. FGD eri-
plicatam habere rarionem eius quam habet AC. recta ad lineam L. F.
Demonstratio.
Vper RF diamecro circulus describatur
KL F, _ ponantur linCX LBPO
nOHL Quoceungne, sed recta ad diame
EruM RF. eric igicur BP O rectangulum
xquale R L F rectangulo, hoc est quadraro
P. L. Amilicer erir ONP rectansulum x
quale RNF rectangulo, hoc eAt quadraco
NM. Vndequia sinsula rectangula ONT P
aequalia sune quadraris MIN, hinc RBF.
ductum in residuum RSR F xquale a est
Colido quod Ac ex semicirculo R L F in lC
ducto: Sed semicirculus RP F in se ductus
ad semicirculum AB C, in se ductum estbin
criplicara racione diamerri K F ad diame-
erum eotam C A sive ad B O. igitur etiam
corpus ex ductu plani RBF in planum
RSO R F ad semicirculum CX ABC, c0
cum in se ductum habec eriplicacam rarioné
linex RF ad diamerrum B O. aequi le-
BMENEA RBF, RS OR F producune sC.
smencum rngulare KDC F, & lemicircu-
lus ACB in CC ductus producic toram vngulam, rei in Scholio praecedenci demon-
Strauimus. ergo segmentum rngulare est ad onsulam in criplicaca ratione P. F ad AC.
Duod eratdemonstrandum.
iXcendi pollalo hanc propolicionem ad solidus quantitates que pienuneur exse
omencis parcium circuli similibus in se ductis, cum illae proporcionales imprimis
PROPOSITIO XXI.
CdiSuotont.
1
Xhac e ex Corollario r7. sequicur quamliberonou l2 ad seomeneum platio iuaca
dereluationem propolicionts abc pabaa abe emetu
quamhabet AC recta ad L. L.

## Folio 973 — 1815201908:1030
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Y N GVLA CYLINDRKCA.
OPOSIFIO XXEL
Asi rngulari dimidium hexagoni inscripcum sic per cuius latera pla.
 Pnaponanc axi aequidiltancia AtIL, (HIO
Dico legmencunt vngula plano Cilll decullatum duotum elte le
emenci quod ablarum cM plano AVII.
  Demonstratio.
cii
VCANEUE CX CCNErO P rectA P D, F R que
bitariam lecent latera hexagonalia CFT
HIA in O _ N, Ponacurque RS parallela
ad F D. Ouoniam B A, G TI a qualeS arCUIS
incercipiune, erune parallela. Ouare cum
angulus F OFT rectHS SIC, CEIAM A F O rC-
etus cric. AEqui KS Parallela est ex contr. ad
F D. ergo etiam BS K angulus eAt rectUS. F.A
verO _ P N A rectus; anguli isICUE F SR.
F. N A xe qualessunc. P. A aucem ansulus ad R.
verigue criansulo SF.K, NVP. A communis, e
vrum lacus P A, uni laceri F. K xqualc. Igitue
SK aequatuE AN. scd TI A lacus hexagoni,
hoc est Temidiameter D P, duplum est ipsius
ANV. ErgO D E dupla quoquo cA ipsIUS RS.
AEqUI DEDF ad R S, ita a scomencum rngula-
Te GOHIF ad lesmencum vngulare FT AL F,
ereo tegmencum ∞OHIIF duplum est se-
smenci II AL I. Ouod crat demonstrandum.
eROPOSITIO XXIII.
DOnacur icerum vals igulari ten.
 hexdsou Mlcripeum ve prius, e
plana polira secundum lacera hexagoni
parallela axi decultancia eria legmienta vn-
gula.
Dicororamongulam adreliduum quod
reman(ic ablacis leomeneis habere rario-
nem octoad (ex.
Demonsiratio.
AFC, BLLL CHCoCDANCK. Ostensum eAt
CIC ABCD ungula ex lacera semihexasoni
DAE, F E, BB, Per qua planA AFG, FF FF,
BP. El axi aequidistancia auterane legmenta
AF G, FGDTTE, _ F IIB. Dicoisieur PrO-
porcionem cocius vngulae ACDB ad Colidum
claulum planis ABITC, AEF B, FP IIO,
Cmlaltor oc dibula lel aupacl
a n8. tuime
CCDUlL. cciplicacam elleracionis, quam habec AB adLL, ele aucem AB ala-
mecer dupla rectE L. F, quae lacus est lienasoni. Ixicur coca rnsula AC D B, 0d upta 
EI H
C
e i e  su e t pi pi ei a . e   i p ti  t t  et u pt u e   ut e e  t e    t e et s  it  s t   . 1   1     1  ot a  e t p

## Folio 974 — 1815201908:1031
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001031.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
VNEVLA CLLIMDRTOA.
est seomenti L C: DHC. Hesaemontrarum pracereacuesmeum LVDIIL.
4
Cumpeo ese aequale. Fotaisicurrnsula segmencorum A F C, B F II est. criam octu-
Pla. lgicur legmencum LiCDHILi, ee duolimul legmenca ALC, BL. Hl xqualta
lunc duabus octavistorius rnsula. Elis ergo ablacis erir rngula ad residuum solidum
rectilineum rcd ad6. Quod tuic demonstrandum.
est ongula.
Dicocam aqualem esse pyramidis cuius alcicudo est (emidiamerer HB,
balis rero quadrarum diamerri B A.
duplum esse cam legmenti A FC quam legmenci BF II, hocest, verique simul
PROPOSITIO XXIV.
Aca lic vngula B F. A (inspice fguram propolictoms ICGCMCS) CurS
alcicudo P. P Cic a qualis AB diamerro lemicirculi BF. A qui basIS
Demonterano.
+. Dut. L. C, B. A Fectan u etatscum LHC ccect mlespum procen Plaee
cuius banselt quadrarum A P, alcirudo aurem recta A F, hoc est cuius balis est qua-
in le subalcerne polcum, hoc estin criansulum A C F, libi aequale, producie prrami-
6s. Duc. dem, qux alcerius dimidia b est. Rcqui prramis cuius balis est quadratum AC, alci-
Etop. 47
micircusus Bk A, allctus in lcipium gigme loliaum aequale vngula BF A, curuSal-
cirndo eit Pal uae BHL. erzo pramis culus balis elt quadracum AC, hoc elt
ex conltr. quadrarum diamerri B A, alcicudo vero lemidiamecer AO, hoc ett lc-
midiamerer IIB, aequatur rnsule BF A. Quod crar demonltrandum.
Emicirculo BF. A aequalis AaE semicirculuS A K C, quo perFecto ad extremitares
diametri AC ducancur Cate Mes LH, LC, dameero equales, iuns ancurque
dracum AC, alcitudo diamerer AC. erso criangulum rectangulum F AC ductum
cudo vero lemidiameter A C a C PLaes Ceres aus ee quadracum idem
A C, alcicudo vero cora diamerer: ergo criangulum P AC ductu in eriangUlUI A C F
generac prramide cuius basis est quadrarum AC, a reIO HCMCHAICECE
AO. Acqui isero de ductibus oltensum est eorpus quod hc ex ductutriangulo-
TUM F AC, A C F xequari solido, quod  C cuc MCHC AKC i KsTam.
Frooprramis balum habens quadracum AC, alcueeB A , aequarur lemi-
circulo ARC ducto in Sciplum. Acqui semicirculus AR C, hoc eAt ex construct. (c-
PROPOSITIO XXV
Aca rursum siC vngula BF A alticudinem habens parem diametro
BA. Fiac aucem lemicires  dsao e DEt
etet

## Folio 975 — 1815201908:1032
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
VHEVLA CRLINDRLCA.
DM EME, cuiusaris lCL. O.
crectoi radio O F. normaliter ad aIaEErUI DF, de leribatur parabola
Dicorngulam BF A xquae ene Curo Patabonco; culus BalIs etC
earadora M, alilcudo semidiamecer L.O, liuc b A.
Demonstratio.
Scersum enim est in libro de ductibus planorum  Temicirculum DKF, hOc aMS. B.
est semicirculum B F. H, ductum in sciplum aequari parabola DMF NY auct.
ducta i Alcicudinem F. O. Acqui semlcirculus BP A ductus in scipsum generaE
Tolidum aequale rrgulx B F A, Vedemonstrauimus in scholio propolicionis tg. vnou-
laigitur BF A aequalis est cxlinidro parabolico, cuius balis est parabola DA R MF;
alcicudo aequalis semidiam erro P. Oliuc B A. Duod crac demonstrandum.
Cxlindrus aurem parabolicus Facile ad Colidum rectilincum redueirur, cuim eius
balisnocam habeat ad tipurasplanas recilineas proporcionem.
1
u Scholion.
3e S C 1 t
TIdes, nifallor, beniene Lectot, quo collimaris prima pars huius libri, nimirum ad cuba-
turam vneula sue ad inuent ionem corporis quod aequale esset ungula et nullo moliminé
Tota autem ungula ad paraueu pdum reduet d habetur quoque reductio parrium vneula-
rium, quae plonis ad cylindri axem parallelis decussantur, cum harum proporiio ad totam on-
Rulam, ex hactenus demonstratis noca sit. Nestarixicur vt hoc ipsum prastemus de vneulae in-
adt paraudappedum reduet posset.
etoblero.
ic
 lsitiie
l.  1 1ril 33CtB.ll 11. L. 51 p3 D EBEB Si Cit it Ce31CI Cit
ARS
iitti
113
t pens e  ste .  e e  .  

## Folio 976 — 1815201908:1033
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
7
V N GV LA CYLINDRLCK.
De Inuoluero onculari ejusque ad cubum vel paraeleppedum tu
ctione Co cujusuisems partis qua plano ad axem cylindri aquidistan-
Teaussstustorinullis inibolubi prosaration.
PROPOSITIO XXVI.
continentes, ex iuncla aeaea pora  ccuu
E
2
timicirculum contingant reca B, AC. rectum angulum
Tolidunt prondecte, suot i alsuate aza qua oritur ex ductu
mistilinei DL BH in Aguram F. DBHI.
DE, quem tIDO contingat parallela ad AC
Dico planum mistilinca LLLDEL aUCLLIM IH LLDOFB,
et e B 21
Lomonsotorio.
AB. DucI. C) Scensum est a Paa OIII ex auicu crianguli D HB in SC, LGua Cp
quodtiret et BBBFB, Vel CxDLBH in EDHB. Isitur xslalta
sunccorpora incer le quae certium habCF CUI RQUanEuT. Ouod erac demonttranauM.
PROPOSITIO XXVII.
mixcilineum AC FB ad Colidum quod resuleat ex ductu mixcilinei lFIB.
in FTO FB mixcilineum eriplicaram habere rationem linee AB ad HIB.
Demonstratio.
Hdem politis:
Dico Cohidam magnicudinem quae Ec ex ductu mixcilinei AC IB in
AiOvacur Benim magnicudo ex plano A CFB in superticiem AC FB ducta cor
b Lbca.
CB. DV
12s.
necciam lolidum quod tic ex plano DL. BHl in planum HlDH B, aequatur prra-
midi quae Ec ex ductu crianguli DEIB in Sc: Sed prramis naca ex ACB crian-
sulo in sciplum ducto ad prramidem Factam ex criangulo FTDB in sciplum
ducto criplicatam rarionem habet eius c. quam habet linea AB ad HB. LgicuE
eriam
poriprramidali, quod emersit ex ductu erianguli AB C in Scipsum; pariratio.

## Folio 977 — 1815201908:1034
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
YNEVLALLFLLNDRICA.
ATB. Acgniper praccdeme corpustaccu e placo sK B II in planum TTIOFB.
etiam corpus ex ductu plani A C TB in planiI A C F B, ad COrpUS CX planO EDLB,
in superticiem FTD F B criplicatam habecrarionem ejus quam habee linca AB ad
aquatur corpori producto ex plano LLDL B I Pau LIDEB. ergO COrpuS CX
plano AC IB ducto in planum AC FB ad corpus explano TKBFI ducto in pla-
num FTICFB criplicacam lade larione eus quam Mabet AB ad 1IB.
Scholion.
Onet mepraesens occasio vt accuratius nonnihil explanem qualia sent corpora quae his
dius explicem recurrendum est ad onculam de qua paulo ante mentio fuit. Sitigitur ongula
AB CD; cuius baseos diameter A D es commemes etcta sih DF RF. ex terria
FBF paratela AD, ex C termino ongula posita sit C II quae aqdiset L. L perata-
sur paralleloe ammum LC, IIF; innganturg. LL, LC apparedi tane corpus ex Baaris
planis constiturum, onculam concinens. Corpus isitur hoc duabus constat partibus, quarum
una ipsa est vnulao altera vero involuerum ongulae. Atqu hac est quattotas, de qua
ri. quarta, quam terminat ellipsis conuexa, restdua hadra trianeubaes pant. fed acile intell
proximis propositionibus exposita sunt, es cuiro sui esse possint. V+ aurem idipsum commo-
erimus duabus proxime propiss quia dto aussata a mation perfauere scuram
ex ductu AB in RC genitam involuero onculari non solum aequalem existere; sed eandem
planum AC: paucis adiungere statui huius rei explanationem. Ponatur it aque A B duci in
AD, emere et solidum basim habens AB supet sum  ad LD. Deide aacalut
AB in DC exsurcet ficura val de mista, qualis exhibetur in quarto scemate habens onam
planarum haedrarum ABD B superficiei aequalem; alteram vero aequalem semicirculoC.
illam esse, qua muoiest munere fineiut. s abntu et et ano 22B platt 
tertiam denique concala uara. quaru vanm ata cona. hac andem
videntur lone aluer (a a ficura involueri quae ex una parte terminatur rectaneula supet sicu
ex alia veroplana qua s agualis AB. Tercha supersede comcana qua conini conuexae onrula-
Setur haec omnia coincidere, sirecte singula suis locis aptentur. Ad huiusrei explicatione ponen-
ud fanota quinqul quantitates (inspice figura secunda e terrun quaum prima sit ex ductu
3
AB in AD: secunda (inspice ficuram secundam ex quartam) ex AB in DC. unde prima
cum secunda aequales sunt uni figurae quae fieret ex A B in AC: terria es quarca harum seu-
um
A    pi t.   p t  . 1  e 1. 1 .     . e 1  1    u   . pte 1     t e        ete   e      e e  e   t . tute

## Folio 978 — 1815201908:1035
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
YNEVLA OZLTNDRIOA.
rum nascuneur ex primae divisione;diuiso enim solido
e quantitat
duo corpora, quo
cundu lineas paralleas emereent
in quinto scemate exprimitur,
alterum corpus exsurget prout sicura sextâ exhibetur
s
ns lineas PC
aequales rect L. C, C qula circulus
OO aequalis est circule C C., si coniuncantur haec
T. C resultabit,
duo corpora ita vt pars cana PO concruat contexa
ia ole quarto sce-
mati. quare tertia sicura simul cum quarta aqualis erit
figura quincae vel sextinta o  aiqua concruit ipst
onulae, ac promdenbnto aale cri: scemaprimum
cum secundo coniunitum: est autem scema primum
cum secundo id quod nascitur ex ductu A B in AC:
ieitur id, quod pronemi ex anin ILI LCinno-
lucro ipsi non solum e agu, se s obi-
crum est, quod onculae coneruit, si ea ratione que
explicatum estelus partes apoa.
RO P OSITIO XXVILI.
AO, includens, u AL. BLVBCM: dacum icem lic aliuan
cludens parrem rngule abscistam plano ad axem cylindri paraltelo secun.
dum rectam II. parallelam diameEro A D.
Dicoinuoluerum corius rngulae esse ad coram vngulam, reinuoluerum
Parris ungularis est adiplam parcem rngularem.
c
Rcum sic inuolucrum coram bsalam, cuius alcicudo est diatieter

## Folio 979 — 1815201908:1036
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001036.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
VN GVLA CXLINDRTCA
Demonstratio.
X Ccholio 27. Pacec involucrum corius ungu.
Ie cuius alcicudo est diameter AD produci CX
ductu plani AEBFDB A in plarum quod
compolicum est Cx planO A F B F D B A, _E EOEO
circulo cuius diameter AD: involuerum vero
parris rngularis nalci ex ductu plani IKBML. BI,
in planum quod ConsZaC planO TRBML BI, e
toro cireulo, cuius diameter AD. Ergorinvolu-
crum corius rngulae est ad inuoluerum partis in
criplicaea ratione eius, quam habec F. B adRB,
hoc est eius quam habee F. F a+ RMI, hoc CA
eius quam habec AD ad IL. Aequi eriam rngula
EOTa _ B D C es ad paTECM VngUIATETONLBI
in criplicaca bracione eius, quam HabCE AD ad
TE: ergo involuerum eocius rngulxe est ad invo.
lucrum parcis, veongula coca est ad parcem; Per
mucando isicur, involuerum cocius vnsulx est ad
cocam ongulam, reinuoluerum parcis rngularis
ad iplam parremongularem. Ouod erat demon.
ctrandum.
PROPOSITIO XXIA.
AEUM SIE AF BIICGDF inuo-
lucrum vnoulae ADC, cuius alei-
cudo par (ic diametro AC: ducaneur q
BA, BC.
e
Dico involuerum dacum rnoulate
aequari duabus prramidibus qua pro-
ducantur ex triangulis AF B, C BII,
Cingulis in se ipla ductis.
Demonstratio.
aequatur c criansulo BCHI ducto in (c-
ipsum. Similicer planum mixcilincum ABP.
ductum in planum BF A O EquaEuE B AP,
criangulo in se ducto. Ergo cocum planum
mixcilincum CI B A F B FT C ductum in to-
cum planum F AOC FI, hoc cst per ca qux
in Scholio 27. huius demonstrauimus, inuo-
luerum dacum rngulare AEBHCODF,
aequacur duobus criangulis BCFI, B A F du-
ctis in scipsa, duabus nimirum prramidibus quae ex illis ductibus oriuneur. Ogod
crac demonstrandum.
Corollarium.
ancaame
ud
huius.
Duct
rigura. ipole verin piua hocum, Cumeue atas Cononet tau panos
nempe inuoluerum, noca lic, noca exie et altera quxe est ipla vnsula.
TIncalia rurlum nabetut ieca Cudacura. Cum eu Copou Ca otac
L R O
  ui uu u s ue i  ue ate  e  e eie u tite t  u      t    . t. e    A   et      1  p t i         u

## Folio 980 — 1815201908:1037
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001037.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
980
YN GV LM CXLIA DALCIA.
PR OPOSITIO XXX.
Erenta Agura propolicionis 28. LIFIRWOIUCTUM IL R NIR NOO SC.
L Bomencirngularis IBL. NO, ducanturque rectae BL, BI.
Dico dacum legmenti ungularis involuerum x quari duabus prrami-
dibus, quae generancur ex ductibus criangulorum BPK, et B L. M in
Ccipla.
Demonstrabicur eodem discurtu quo pracedetto, ex 40. abul de alletu plani in
Planum ee Scholio25. huius.
11
F. Denique huiclemicirculo ncibacus parabola AABC, CuuSasISBL.
Dicorngulam cylindricam cuius alcicudo est diameter C A, basIS VerO
semicirculus ABC, ad luum involuetum eam habere racionem quam
parabola AH BC ad planum mixcilinCUM HIK, LIR.
Demonstratt.
PROCDSITIO XXXI.
IF Temicirculus AB C PutaeSaOCctanSUIO ADE C IMICH-
DPeus,  BF normalis ad AC. cumorrum, diuidac eam bitariam in
128. auct. Y Emontrarum e Moo dc ductu plani in planum a Pemicirculum AB C ductum
Schol. 19. L inseiplum, hoc eltorngulam cuiusbasis est semicirculus AB C, alcicudo AC
mmius.
equari exlindro parabolico, cuius balis parabola AGBK C, alcicudo BF. Demon-
CSchol27. Etracum quoque est in eodem libro planum F G, II C ductum in planum compoli-
ius.
jus balis el pranum tL alciendo eadem BF, vebalisad Ba, Hoe en de patabota
do AC, cud uuminuoluerum ve parabola AR B R C. ad planum mXEIClI
cum ex HI CFIC, ex toro circulo cuius diamerer A C, hoc est c involuerum vneulg.
d136. duct. xquari solido d quod haber balim FTK, TTK, alcicudinem vero BF. Aequi crlin-
drus pataoocus cums baus en pacavera LLlCBR C alcicudo B F, est ad Colidum cu-
AR BK C acP LLH. CGd taga Cuius basis est Temicircutus ABC, alcicu
ob
HIK. Ouod erac demonstrandum.

## Folio 981 — 1815201908:1038
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001038.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
YN CVL A CYLINDRFCA.
Corollarium.
Odetere aculu exhibebimus rationem quam habene rngulares parres ad lua
involuera.
P ROPOSITIO XXXII.
NVBd OFCnctipcus ecto cylindrus, cuius ongula AB C B, altieu-
Lainem habes D C. aqualem diamerro baleos, sic cerminata in pla-
nO A. D C per ellip DIC: Factis deinde proporrionalibus QE, AF,
RE, de(CHNDac PaTabOlaR OBOS, cuius axis BP.
Dico corpus IL, KM aequari magnicudini quae constar batiOT, e
alcicendinc AD.
imonstato.
plani in LL. Peoductum aequale eAtc
corpori, quodresulear ex plano NO ducto
in alcicudinem NX, hoc est AD: eA vero Y
inVOluCrum vngulA AF. BCGFD, xquale
b NT ducto in FX. Tgicurinuoluerum vn-
Sula xquale eAt Colido super ba( N. O ex-
cructo, ee alcirudine AD. C Orpus aurem ex
NT in NX, cA aequale NO ducto in NX, p
simul cum O ducto in NZ. Igicur eriam
NT ducto in NX, aequatur involuerum
ongulacerna cum OT in NZ: ablacis ica-
que aequalibus, scilicet quanFIFATC NO in
NX, a Colido quod Ac ex NVT in NX, e
quancicare rnsulari dempra a corpore ha-
Bencobalim NT, alcicudinem vero BC, rC-
ManCbIECOrPUIS Cx O T in N X, hoc CA AD
aequale solidae quanricari II. KM. Ouod de.
monstrandum tuic.
Ngula cplindrica ABCD, CMUS
alticudo par Sic diamCErO AD, ba-
SIS ABD; Secerur planO F. F C, quodx-
quidister plano baleos ABD..
Oporreat aurem Colido F.COMF, corpus C a Guat, a
nem habens BF.
Decr.
DEmonstracum est a Colidum ex ductuN F
PR OPOSITIO XXXML
a 159. Vucd.
B Schol. 27
Demo
n  e  ei ut pat e t tute e a ee ste t e et i p a pe t p  t  t  at e  i ep  t s u t t t    et ee  ta  it       t ae te     o

## Folio 982 — 1815201908:1039
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001039.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
NEVL A C FL I
BA.
Constructio e demonstratio.
Noniam P. F O sectio bas ABD, aquidi
acsisicur crectis ererminis linede L. 6, que
elt communis, incerlectio planorum P F C, et
AC D. lineis FI,. P Iin supertcie cxlindrica,
iunetilque punctis P, FI, cricareus IB H x qua
lis arcui F. F C; ducto ivitur plano IFIG, 252-
cur K B linea diuidens bitariam arcum LB F,
secundum quam Aac lectio per axem cxlindri
PTOdUCENS L M, KC, M Fi communes incerle.
ctiones. polcis denique HN, IO, parallelis
rectae BK, iunct aque ON, Aac ve L. 7 2d L. X,
ita I. B ad I V. Cinc rectanguilo BL. X Faca-
quale VF γ, _ per YV FT describacur par2
bola LI V H habensaxem L. V. Dicololidu
habens probasi superticiem incerceptam peri.
pheria circulari IBFI, ec parabolica IV HI al.
cicudinem vero BF, aequari Fructo ongulari
F C GM F. Ouoniam parabola est ITVHI.
idicur ve rectangulum LT. IT ad rectangulum
TR FB, ica est P. V linea ad linean aR F. (Cd
ve est rectangulum IF FI adIR FTrectaDgu-
lum, ita quoque est rectangulum BF. X ad
PR O. hoc estrectangulum VP. v adb rectan-
bgota gulum YR S. Teicur velinea L. V ad R P, ica quoque reccangulu V L. 7 ad Y R 5.
igitur cum ex constructione reccangulu V Ly aequale sic recrangulo BL. X, eriam
reccangulu TR S, aquale eric rectangulo P R O. commiaisicur recrangula T RS,
quantur omnibus recrangulis P R O. ergo per 46. libri de duccibus, planum para-
bolicum IVITLI duccum in planum R S, hoc es in alcicudinem R S, hoc est i
alcicudinem LM sivc B Fi (est enim P. NI ad F. R, veB C aequalis diamerro ad lemi.
diameerum BK) aequacur Colido quod sic ex duccu plani circularis IB FT in planum
Schol. 19. Cixcutare TO) N FI: led ex ductu planorum circularium IBFL _PONET Ac lesmen.
huius.
cum congutare LP B C FI. Igitur solidum habens balim IV HI. L parabolam e 2I.
cirudinem BF, aequale cA parri engulari IF B CTT. ablaco isicur communi cxlin-
drico (eemenco TB F II remanebit Fructum cylindricum F. CONF, Xquale cor-
pori quod balim habet claulam perimetris IBFI, ee PT V II. quod criam aliud se-
nusinvolueri centeri porest parris cxlinderea cui congruic. exhibuimus igicur quod
fuerac requilicum.
PROP OStL1O X al.
TNoulx, quarum alcicudines sune equales diameeris balium cxlin-
droruma quibus decustancur, criplicacam habese racionem earun.
dem diamerrorum.
orrua.
Demor

## Folio 983 — 1815201908:1040
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001040.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
N CV LA CYLINDRTCA.
Demonstratio.
E
Motosicionem paulo ance demonstrauimus quidem: veruim praelens demonstra-
cio commodior mihitucura est ad vlceriores proporriones indagandas. Ponaneur
itaque deocirculi A BC, D F F, quorum singuli in sciplos duai produeane lingulas
ongulas. inlcribantur circulss Parabola I. I, MIMI. Demonstracum fuit 2 vngulam 2128. Duc.
productam ex ductuplani circularis GTI in sciplum, aequalem esse Colido quod ba.
Sim habee P. II, alcicudinem Cemidiamerro xqualem. codem modo oltentum cA le
micirculum TK in se ductum exhribere corpus sub bas MI K, ex alcicudine qua x
qualis est semidiam eero. Igitur eandem habebuncrationem incer se iIlx dux visulaex
quam concinene corpora ex balibus parabolicis constancia. Aequi horum proporcio
composica est ex b proporcione alcicudinis BM ad F O, hoc eA A C ad DF, ex ex b13 huius.
racione baleos parabolicx P II ad balim parabolicam MTR. quae eadem est cum
racione circuti AB C 2d D F F, (similes enim Cuncillae parabolx, ve pacec extiguris
inseripeis euideneer,) ac proinde duplicara rationis AC ad DF. ergO Fatio COrpO
ris (uB T FIbaC, _ BM alticudino ad corpus (ub bali MK, ex alcicudine F, O. est
criplicata rationis AC ad DF; ergo rngulx illis corporibus parabolicis xequales in
criplicara suncratione carundem linearum, (cilicee diamerri AC ad diaMCEruM DF.
Quodtuic demonstrandum.
PROPOSITIO LAAI.
Vod si placuerie cam diteuCn tOa daMiDerC, qu a Vi LuIuS
aploporcionibus 4). el 47. Libri de duetu plant ia Plahum, Mccbic
etiam vericacem praecedenris cheorematishrunc in modum demon-
ACaTC.

## Folio 984 — 1815201908:1041
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
NOVLA CXLENDRLCA
Demonstratio
ACa LinErBuI A _B, L. L ME quarum alcicudines F K, O F, aequales sinc A B.
M diamerris semicsteulorum AGB, I. RM, qui in sciplos ductiiplas, vein
Scholioro. ostentum elt, vngulas producune.
IBiamecris A B, F, ML in Xque mulcs, Sed plures ac lemperplures, equales partes
AI TP F. V.V V diuilis per divisionum puncta P, I; V, V ducancur normales ad
diamerros GC, GC: R O, RO, _ compleantur rectanguta, C, I, OT, R V, RV.
icem CIsCI, OV, OV, Cemicirculis inscripca. Rectangula (I, GII, RV, R V vna
cum semicirculis suis ducta in scipla, hoc es in rectangula iltis aequalia se similia C I.
CF, _ OV, OV producentintinica parallelepipeda, rngulis que ex lemicirculo-
rum ductibus generantur, in scripea, quorum bases erunt rectangula CIC, R VO.
hoc est quadrata IC, V. O; alcicudines vero erune xquales diamecrorum parces IL,
VV. Ouia ex constr. AI suncad TB, DEL V sunc ad V MI: suneque C I, OV me-
dix InEEF AP, TB, _ LV, V M, crunc quoque AI, ad CT, ve L V ad OV. de in-
nercendo CF ad AI, vE OV ad LV. SCd CKCONSEF. A T TUnCAd AB, VE L V 2d
LMI. erSOCxaquO CI sunc ad AB, ve OV ad ILM: ee pormucando C L (unE 2d
OV, ve AB ad LMI. ergo racio quadeacorum lingulorum CF ad quadraca sinou-
la OV duplicaca estracionis diamerrorum AB, F MI. Sed racio alcicudinum FI, 2d
alcicudines VV, eadem est ex constructione, quae diametrorum AB, L HI. Racio
isicur compolica exraciono guadracorum C. I ad quadeaca OV, et ex ratione al.
ticudinum Et ad altirudines V V, hoc est ratio parallelexipedorum singulorum vn-
sule AKB inscriprorum ad parallelepipeda lingula rngulae L. I M inlcripea, eri-
plicaca est rationis diametrorum AB, ILM. ergo singula parallelepipeda vngulae
A KB Engulis rngule P. TM proportionalia suINE. CrZO Per 12.5. elemenc. ve vnui vuou-
Ix ARB adrnum rngule P. PM, sic omnia simul ad simul omnia. Requi rnum
estadrnum in triplicara rarione diamcerorum, ve iam ostenum cst. Proo omnia li-
mulcumpea rngula AR B, Cunc ad omnia simul Cumpea vngulae I. Y M in criplica-
caracione diameerorum. Quare Ei prolequamue reliquam parcem discursus in pro-
vol. 45. X 17. exprelsi, legicime concluderur, ongulam quoque 2d rngulam in eripli.
cara exiltere diametrorum ratione. uod eraC demonstrandum.
DAR S

## Folio 985 — 1815201908:1042
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001042.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
VNCVLA CZLLADKICA:
ARS
TF, R T L LL
Expeditis theorematibus qua oncularem quantitalem, e muduuts
eiu (dem concernunt, accredimur hac parte contemplationem superfi-
cier cylindrica qua onculam cineit, quam conabimur ad quadratum
aut rectanculum ipsiaquale reducere, Cs varias eius affectiones no-
tas reddere, quasnon iniucundas existimo futuras L ectori Geometra.
PROPOSITIO XXXVI.
Irculum A B C dividat diame-
cer AC bitariam, quam ortho c
sonalicer lecet BD in F, ducta
percencrum B Iponatur contin
gens BFI, ex quouis in contingence BIY
puncto demittatur FTG patallela BD.
Dico rectangulum BD, BHI aquari
AC, CF rectangulo. F.A Pappi collec
Mach. lib. 5. provol. 20.
Demonstratio. leru
Vngc LD, aucacurque BK ad TTC normalis.
COnontata B E concingic circulum in B puncto,
ex quorecta BI percenerum acta est ex constru-
ctione; isirur angulus IBII rectus cst. sed cciam
rectus est RB F; anguli igituE TBFL, KBD x-
quales sunt: quare dempro communi RBI, X.
quantur AIBK, IBD. Cunc rero e anguliHIRB,
TVB recti, nam YD B in Cemicirculo est; de al-
cero patee ex constructione; rtianoula ioicue
TIKB, BDI similia Cunc. ergo ITB ad BIs ve KB ad B D. ergo rectangulum
FIBD a aequacur rectangulo IBK, hoc est rectangulo AC. CtR. Quod erac do- 216. Sexiso
monstrandums
P ROP OSITIO ZXZVII.
TIrculum ABC COntingat L. B C; demictancurque ex punctis, P, B, C,
Laperpendaaes ad diameerum AC, quae sincL. F, B H, OHI: e BK
Dicorectangulum VL G rectangulo ACFH aquale eAC. F. A P ap -
producatur in D.
pis ibide 
Demon.
   s   gigus u o su t  teeue ut pt  p s t   sut s ste  et a  et t et tott  pe e  te pe pet  a  pi pat e

## Folio 986 — 1815201908:1043
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001043.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
NGVLA CXLENDRIC
Demonstratio.
Sc enim per PrXCCdenCeM
rectanoulum EBD, aqua
le A C, F K rectangulo. sed re-
clangulum C.BD Per candem
aequacur aCLC ECclaliu
10. lgicur rectansao  etill
aequale est BD. L C rectane-
lum. Duod Fuie demortata.
dum.
Onatur in lemicirculeACca Moendens arcum C F, ex cuins
cerminis perpertu utes Hane P. F, CD ad diamerrum AB.
Dico rectangulum quod continerur
veraquesimulCD EF, _ C F aqualcel-
Ccrectangulo contento rect a linca DF, et
rectâ P. HI subrendente circumferenciam
E BII, quae una cum circumterencia C F
Semicirculum CBHI perticic. F.A Pappi
ibidem propol. 23.
Demonstratio.
Omplero circulo, sicipsius diameter CHI,
e producta CD in K, ad ipsam perpendi-
cularis dUCAEUE E. C, _ FFI, FK tunganeuT.
Duoniam igitur diameter AB (CCAE C K ad re-
a05 angulos, aequalis est CD ipA DR. Scd _
ED eA aequalis B F. ergo OK aequatur dua
bus CD, e RF: est aurem G F. requalis eriam
DE; que vero reliquam semicirculi C F. HI cir-
cumferentiam lubrendie est F FI. Itaque quo-
niam angulus K cA ae qualis anguloTI, _ IIFC
angulus in semicirculo rectus, aqualis recto
RC F; crunc eriangula HF C, K F G xquian-
gula. ergove IIF, ad E C, ita R C ad +F, e
ob id rectansulum concentum HE, P C, hoc est HI B, D P, aequale cA ei quod OK,
CE hoc est ei quod veraque simut CD, PF, e C P continetur.
EROPOSTTIO ZZZIX.
IIdem politis demitratur perpendicularis P. I ad diamerrum HC.
LDicorectangulo CF, P. lX quale esse HIF, C Prectangulum.
Demonstratio.
2B.a. VnEenim aerIanSUIZ CFT, C F HT Similia, ac proinde laFerA CP, FP sunE lateri-
bus CB, P. FL proporcionalia. un de rectansulum CB, PHL rectangulO PP, C P. est
aequale.
PkC.
ROPOSITIO ZZEVIII

## Folio 987 — 1815201908:1044
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001044.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
V N CVL A CF LINDRTCA.
eROPOSTTIO XL.
VIEA B circuli A B C diameter, d lincx BP, PF, F D, L aquales
arcus subrendane, ex quibus demiccancut BCL PCHCMCMLAICS LLL, F I.
DHI, C C, ad diametrum AB.
Dicorectangulum sub BG, ex sub AP, Subcendente arcum P  HI, qu
ona cum arcu B P, consticuic semicirculum, ae quari rectangulis (ub B P HE,
Cub PB, et duabus Pl L11002B,a211aorBat1,0.
Demonstratio.
secund  PR. P. L de PL. leu PB. Cctu1BL. 23~ 11 l L.D B1.
quarrum sub DH, CG e DC, hoc eA BP.
Scendimus praecedenri propolicione rectangulo P A, B R xequari B P K rectan-
ulum: e propolicione leselima octana rectangulolub. l LL aGuateet
se rectangulum sub PK, B I camquam vna, ex P B, hoc cM BB; ex in cadem propo-
sicione est demonstrarum rectangulo P A. IFI, aequari rectangolum sub R. I, DFT S.
mul sumptis, _ F D, hoc cA P B: icem rectangulo sub AP, HIC aequari rectarigu-
Ium (vb DFI; COlimul Tumpeis, d sub D C, hoc cM BP. Manitestum igitur, cectan-
sulum sub AP e DDEquale ese omnibus rectangulis; quorum primum cst. B PR,
Corollarium.
rectangulum sub cold diamerro BA, e lub eil lubtendence omats  el
DEa laceca, depco viCO, dquu OmibusEcclatiBulio lupracletis de reclansulo i.
super ACV.
I Odem discursu demonstrabimus aGuales   Tocu lemietreulum lubrendal,
P AD POS
inseribatur semicirculo ongulx à cylindro recto decultarx, quetia-
D beac aequalem alcicudinem diamerro baleos, quodlibet polygonum
regulare, de secundum lacera polrgoni hant sectiones quae line exicxlin-
dei, ex quo decustara est vnsula, aequidistantes.
Fruncomtia plana Cimul Cumpeata aslata ecate
quod tic lub cora diamerro, d a Glod olhiia lacera polysoni tubeen.
Demon
dic, detlipcovicimt.
  1. i.   e  1     1 e      e   1 11.  1         .     t n o  i 1 pt.  di 1.  e       qu eutu

## Folio 988 — 1815201908:1045
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001045.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
N OVLAACYCLNDRICA
210. Vndec.
b15. naec.
C16. Vndcc.
dL. Sexti
Demonstratio.
Ctciragueongula AB C, à eylindro recto ab-
scisa habens alcicydinem O B diametro
bascos A C parem: eius basi inlcripea sIC AguT2
regularis ADF FOC, de ducta lic AC ad
terminum vicimi laceris CC. Denique plana
Ponantur per latera polysoni quae requidistene
axi cylindei exhibeneia communes incertectio.
nes cum ellipsi ABC rectas AM, M N, NO
Dicoplana haec omnia Bmul Cumpea, nimi-
TUM ADM, DENM, E. FON, LOPO8
CCP, aequarirectanguloC AO.
Duod sic ostendo: PX CCMETO AUCATUE SO
normalis diametro, de à puncto O ducacur in
superticie crlindrica recta O B, que crie rnou-
la alcicudo, et ex hypochesi xqualis diamecro
AC, iungatur deinde SB, ductis insuper D II,
E I, FK, CE normalibus ad A C, iunsCTINI.
INRO, T. F. Ouoniam OS, DFT LinE p2.
rallele, icemque BY, ND, anguli BOS.
ND FT aequales acrune. Rursum quia OS, Q B
aequidistanE DII, DMI, plana SOB, IIDM
suncbparallela. ergo carum sectiones commu-
nes cum plano elliprico CB A, rectenimirum
BS,MTT, Sunccparallela. Cum isieur OS,
BS xequidiltent DH, MFI, crunc ansuli
OSB, D LTM xquales. crianoulaivieur BSO.MHD Sumilia tunE, erBOVE BO ad
O.5, ita HD ad D HI. Sed BO ex hrpocheli por Cst diametro AC, adeoque du-
plasemidiamerri S. Ergo ex MD dupla eA D FI. Pari modo octendam rectas
NF. OF, P C duplaS esse rectarum F L, F R, C F. Precerea quoniam exlindeus ex
Ayporhiea rectus est, a quo decusaTUE VnGULA, CTUNE M D, NE, OFs P Crectae pla-
nobaleos AO C, adeoque per definitionem 3. vndecimi angulosrectos Faciune cum
lineis AD, D F, EF, F G, GC. TrIanGUIA ErSO ADM, COP rectangula LIIME, d
PIANADMNE, P NO F, FOPO, crapezia rectansula. Ouoniam isitur MID, crian-
suli ADM es alcicudo, eaque dupla est octensa iplius D HI, criceriangulum ADM
rectangulo sub AD _ D II aequale. Jam vero rectis P D, NM bilectis in Y ec V.
iunctaque TV, rectam TV dimidiam eAe (IIIIX rECtATUM MD, N F; de rectan-
Gulum ED TV, aequari crapezio rectanguIO MNR D in sequenEI, FGUTX OpPOTEI
nicarersi, demonstrabimus. Ouare cum rectansulum lub F D _ MI D. N P canquam
vni guae duplae suncrecte T. V, rectanouli E D TV duplum asic, cric quoque rectan-
gutum sub E D, XNTD, N F. canquam vn2; duplum plani MNE D. Ouin aurem
rectae MD. NVF, octenlae lunc duple rectarum DIT, FI, rectangulum (ub PD; 8
MD, NP Simul Cumpris duplum etiam est rectanguli sub F. D, _ D HI P I simul
Cumpeis. planum igIEUE MNY F D aequacur rect angulo (ub D R, SINC AD _ED IT. BF
simul sumpris. Pari argumeneo octendam planum P. NOF, aequarirectangulo sub
EF id eA AD, _ B I, FR; planum veroF O. P C rectangulo sub F C, hoc est
AD _ FK, C E,criansulum denique CP, C ostendam rectangulo lub eC, id est
AD, d C:T aequari, veoltendi supra criansulum AD M aequari rectansulO AD II.
omnia igicur plana vngula inseripea Cmul sumpea xequancur omnibus rectangulis il
lis simul sumpris, hoc est per Corollarium praecedentis rectangulo quod rectis C A.
AC ContinCTT. Quod erac demontlrandum.
Corol-

## Folio 989 — 1815201908:1046
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001046.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
A CrL C LLLA DRIC
Corollarium.
Nod splano ad axem cytindri parallelo; ex lascunce per lineam O L diametre
Lrccca abscista Ac pars superticici exlindricae, qua insula cingic OP N AO A,
_e arcui CF A subcendaneur aequales rectx quocclinque, secundum quasplan2 in-
Peribancur rrgularis superticiei cxlindrice legmenro: eodem aeurtu, quo iam vu
lumus, demonstrabimns per precedencem omnia plana inseripea limul Cumpea xequa-
ri rectangulo quod continetur rectis AP. _ CD, Lubren a L C. Gu
una cum arcu AD cemplec semicireulum.
eROPOSIFIO XEL
Aca Sevnoula A PB, a eslindro recto accunata, cuius D F alcirudosic
equalis diametro A B, e costicuaneur larer a cuunque polrgonis
circurum ambiencia, scilicer BP, IFTC, GDN; liC M pIII BL CaliSaC
excicthicarem diamerri AB ee reliqua in contactu bilecentur, de pertral
lacera, plana constituaneit axi parallela rngulam cangentia secundum re-
etas IIT, DF, qua procucane communes sectiones cum balirngulari
elliprica rectas BR, R O, PO: secene vero lele muruo sccundum rectas
IR, C9: Facta aurem ND aequali ipsi FP iunsatuV NP, ducarur de-
dempro tansulo BIK, aequari rectan.
sulo, quod tc sublineis AB, BO.
mum NO notalis ad A B.
Dicoomnia plana igulam ambiencia.
Somonptalio.
E X pUNCEISFF _t G, duCANEuF GL, FK S Od
Thogonalicer adt AB: _ ponacurperT paral-
lela occuerens recris C+ O3LKI _ X. 10-
sunc rectae; rectangulum isitur elt (i XL, X
Bln aqualia lunc. Simili planc ane Oucuctans prantu LL agua etan.
sulo sib AB. L.O; Plana isicur rngulam ambientia simul. Plimpea, dempeo crian-
Sulo BR Laquancur rectansulo AB O. Ogod erar demonctrandum.
+
eocle
37. huiue
niam ex hypocheli, cxlindrus, a quo abscissa cAt
ongula, reccus est, parec T TTreccam eAeplano
baleos AD B. erso per definic. z. vndecimi YF)
normalis ett dd L. adcot XY (, XL, ad C1
quale ei, quod sub TFL; G L CONFIHCEF. ACL
qui rectangulum CV XL aequalo est plano
EORI. cum enim TC bilcceturin FI, ex COH,  C.
struct. etiam XV, B D bilectae crunc, 9deoqua
criansula BTX, V TC aequalia; siisitur com-
muni erapezio IBFV C addantur crianoula
YT O, B TX, eruncplanum TR OC, Xr-
ctangulum IX V Caqualia; crgo d recrangulu
TH, CIplano 6O RI aequale est. Doinde in
Peaecedenci demonacum csrcctam TFL du-
plam CACTCCEX HTK. Cum isicur elusdem du-
10 LHC. hoc ett, reium oltendi plano CORI. Aequi recrangulum SHICI
pla (IC FIS, Pares erunc TII, LIS. Recrangulum isITUE SFTGF EqUaEuF RCCEanSU-
aequacur reccangulo sub AB, B P. planum igicur (O R I e receangutum sub AB,

## Folio 990 — 1815201908:1047
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001047.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
TNGVLA CXLINDRTCA.
PR OPOSITIO XLIII.
Ine AB, C D contingentes circulum
AL.C incerminiseance eu
circulus balis est vnsulae AF LC cylin-
drorecto decultatx, habencis alricudi-
nem FL diantetto AC patc. Ponio
HID circumdance circulum ACC, sic ve
eius lacera in contactu bilecentur, pla
nilq pertes per lincas polygoni axi pa-
rallelis, qua concurrencia cum plano el.
liprico vngulari AFC FOrMENEIR, K L.
L.Ml, communes incerlectiones, secene
vero sele muruo secundum rectas DI,
HIK, CL, BN.
Dicohxdras omnes DTRKH, HIRLC,
CLMB, ingulam ambiences simul
sumpras exclulis criangulis AB M, C DI
aequari quadrato AC.
Demonstratio.
PSc enim in praecedenei demonstratum re-
Loctarulo AC N aeguari reccitincum DHTEL.
Ibidem octentum estrectangulo AC, NO aequari rectilincum GHIRL, d rectili-
neo BO LM aequarirectangulum suPCE A C e AO; igicur cum rectangulis AC
NC., AONO, AC AO aequetur quadrarum AC; eriam omnibus tiguris rectili-
neis DFTKI, GiHKL, GBL. M simul sumpris xquatur quadratum AC. Ouod
crac demonstrandum.
PR OPOSITIO XLIV.
AEx Cu bina vngula a cylindris rectis decusacx, quarum alticudi-
nes, sinc balium circularium diameerispares, ee ip (x criam bales cir-
culares a quales linc. Circa verumque aurem circulum polygona descri-
bancur, sedinae qualium numero lacerum, circa vrum circulum exempli
pracia polygonum decem larerum, circa alcerum verolacerum mille: pon
nancur in Cuper plana per lacera polygonorum que axibus aequidistent,
concurrencia cum planis ellipricis ongulas rerminancibus.
Dico omnia plana unam ingulam ambiencia simul sumpea, aequalia
esc planis simul lumpris alceram circumdancibus, si criangularia verim.
QuC OMIETANEUT.
Demonstratio.
demde quocunque polysonoB6, CHI.
La tnius. FiX demonaratis erim. constac congeriem planorum singulas vneulas ambien-
um, dempriscriansulis xequalem ene quadraco circularis diamerri quae in balell
onsule, extspocheti aurem onsularum bales, adeoque  diameri balium aquales
TuNE.

## Folio 991 — 1815201908:1048
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001048.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
IN GVLA CYLEN DRICA
sunc. Tgicrmanifectum elC pLa a t omnia delpeis eriansulis, unam ingulam an-
biencla ascaltaene placs  pe sa attela al sb ta
sulis. Ouod erat demonstrandum.
PROPOSILLO XLV
Vperticies cylinde a Cuus rusa d cplindro recto decustatx, cu-
ius alcicudo par elt cameto circui quibalis est rngule, aequalis est
quadraro diamerri.
Demonstratio
Dico cylindricam lperticiem vngule
quadrato diamett AD aequalem eNc. Si
nesas; Ac primo, Acri pocest, quadeacum
AD mdius crlindtica Caperhcie quernou-
lam ambir: excellus durem sicplanum F. Fiac
eroo rectangulum DA F aequale plano F=
e CrISATUE LL normalicer ad diamerrum
AD. Deinde polroonum aliquod regulare
inscribacur circulo ABD, cuius vicimum
demitracur FI C normalis ad A D diameerU.
Ouia quadratum AD, 2. Secundi, SapCraL
rectangulum A D F rectangulo D AF, id est
ex constr. F. plano, quo eodem extesu qua-
deaeum AD ponitur superare superficiem
cplindricam ongulx, cric rectangutu AD F,
Cylindricae superhciei rnoule aquale. ergo
rectangulum AD C maius est cylindrica
Superticie que vngulam CEEIHAE. CFHO re.
Atangulum A D E eadem muleo est malus.
sed rectangulo AD FI aequalia sunt aplana
omnia limul sumpea qua per lacera polrgo
niihscripei ducencur axi parallela cerminara
in elliprica basi rngularis corporis. Igitur eriam illa plana maiora sune cylindrica su-
perticie quae ingulam ambic, quod Acrinequic, cum lingula plana sinc minoris d laci-
rudinis et longicudinis quam sinoule parres superticiei cxlindricx quas decusTarunE
ab ipsa ongulari superticie. Non isicur maius est quadracum AD cylindri supertcie
quae vueclam ambic.
Sit deinde, Gheri pocest, quadrarum A D minus eadem superticie exlindrica
ambienee ongulam; ee defectus sic planum F. Erit erodguadraeum A D cum quan-
FitaCC N quacungue, qux minor sic quam B, adhue minus ingulari superficie quae
vngulam ambic. Circumleribatur isicur aliquod potrsorium circa circulum ABD
coclaterum ve ductis per lacera planis ingulam cansgencibus, criangula remancane
AOK, D L MI, qua Smul sumpra x qualia sine auc minora quanticare NF; (quod ali-
quando fucurum est, cum mulciplicaris in infinicum polrooni conscripei laceribus
ErianGUIOTUM AOK, DE NF, cum BaseS AO, DE, cum alcicudines OK, IM AanE
tandem daco minoca) e plana ponancur lecundum lacera tiuins polrgoni quae axi cy-
lindeico aequidistene. Pgicur quadeacum AD Emul cum eriangutiS AOR, DL NF
minus est cylindrica superticie que rngulam ambie. Aequi plana unsutam ambiencia
dempriscriangulis, aguancur quadeato AD per peaecedencem. ergo criam illa vnd
cum criangulisminora lunc quam superticies exlindri, quae rugulam cingic, quod ab-
RK 2
surdum
Tevngula A B C D, cuius alcicudo B C, CIV
aequalis AD diamerco baleos cslindri
recti a quo decultaca cAt.
IacuS A FF minUS SE CubEenHZ aECUS AI, ∞
aE

## Folio 992 — 1815201908:1049
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001049.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
YNEVLA CYLINDRICA
eutae lupeeee. Muacacu gicur AC non elt minus exlindrica vun
sulxe superticie; quare cum neque maius elle posse, supra oltenderimus, necesle est
velic aequale. Duod erac demonstrandum.
392
surdum est; nam omnia illa pa simul cum criangulis laceralibus exlindeicam vn:
L Ldt
ALV.
Aca Cicvngula, qualis ir pra CCachei, ad cuius diametrum AD duet 2
notl 2 Gununsuba funcoefiu inupeet est
dricarnsula recta Ill.
Dico cylindricae superticiei vngulam CinSCnLIS PaTCCM HTC RD X.
qualem esserectangulo AD6.
Demonstratio.
CInCSaS, crit rectansul ADC, velmaius vel minus supersicie H Z CR D. sC
primo aius, _ excCHuS sic planum F. Arcui FIB D inscribe Aiguram aequilate-
tam coc, adeoqueram paruis constancem lareribus, rerecta AR subrendensareum
RB A, qui cum arcu D R complec lemicirculum, deficiac a diamCEro AD; quan-
cicare minoridaca, adeoque rerectangulum sub A R e D C, luperetur arectansu-
10 lub AD _ DC. Plano minori quam F, quae omnia ex elemenris factu Facillimas
Duoniam erso rectansulum AD C superat rectangulum AR, D G plano minori
quam P, quo superare ponitur superticiem FITCR D, erir quoque rectangulum
ARDC maius superticie HITCRD. Aequi rectangulo ARDC aequancue
2plana quae secundum lacera tisurxe aequilacerx inscribuneur suxerticici TITCRD.
eroo _ plana illa inscripea maiora lunc superticie HIT CRD, cui inseripea (unE.
quod estabsurdum. Non isitur rectangulu AD C, est maius superticie HX CMD.
Ponatur deinde rectangulum AD C minus esse superticic HITCRD, delellus
autem sic planum F. circum leribe arcui EIBD figuram xquilaceram eoc lacerum,
ve ductis per illa planis ad cylindri axem parallelis ongulam rangentibus, postre-
maplanum versus D, quod esttriangulare, minus hcplano P. Quodnecessario fu-
curum aliquando, est manifeltum. igicur rectangulum AD C rna cum plano illo
criangularis adhuc minus eric superticie HTC R D. Scd plura superkciem HIT CRD
A2. huins. ambiencia, demprorriangulo,  aequantur rectangulo AD C. ergoeriam plana am-
bientia vna cum criangulo minora sunt superticic IIT CR D, quam cingunc. quod
eAt ablurdum. Non igirur rectangulum aDC minus cA Cuperticic IITCRD,
Sednequemaius ese octensum est supra. necele igitur est ve eidem sic a qualis. Ouod
crac demonstrandum.
Dico leomentum superkicier ndrice rnoula ambientis IB N L C L 1
aequale ellerectansulo quodrectis AD, MO COnTIneTT.
PROPOSITIO XLVII
Aca sieongula, qualis suprâ, ductis deinde lineis MII, O N ad dia.
metrum AD rectis, per has ponantur plana ad axem cylindri pa.
rallela, quae in rngula superticie cHCianE ReCtaS TK, N L.
a Foroll. 4
bnino.
Demon.

## Folio 993 — 1815201908:1050
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001050.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
AN GVL A C FLEN DR TCA.
Demonstratio.
Demonstracum cst segmen-
cum superficici ongularis
INDLKI equari rectangulo
A D NI. Demonstraci est aicem
Teomencum vngularis supert-
ciei NFD aeguari rectangulo
ADO. quare si ab aqualibus,
superticie nimicum INDLKL
de rectangulo ADMI, collancur
equalia, nimirum superticies
NED, ec rectangulum ADO.
quxe remanene lunex jualia. su-
DerRCIeS HEMpCIBNLCRI,
EEFeCtAnGULUM ADNO. Du3d
erac demonttrandum.
PR O POSIF1O
XLVTTI.
Mnia plana vngulam
Sambiencia, de ad ellipri-
cam rngula balimcermina-
ta dempris criangulis lateralibus, upextelet Ca, esea rugulam cin-
sic, aqualia Cunc limul sumpea.
Demonstratio.
Mnia enim illa plana cimul
Cumpea, dempeis criangulis.
aequantur per 43. huius quadeaco
diamerri A D. Aequi cidem qua-
deaco xquatur superticies cylin-
deica quae ungulam cingit. Prgo
omnia plana rnoulam ambien-
tia simul Cumpra, dempriscrian-
gulis, aequantur superticiei cxlin-
drice qux cinsitrngulam. uod
crac demonctrandum.
Corollarium.
C. Imistce alaoaso
enia plano dempeo; criangulo
laterali ongulx legmencum
HITCRD amoencta LGuala
esse superkicici HITCR D: cam
enim plana ambiencia dempeo
triangulo, quam superticies; X-
quancur rectangula ADC.
HK 3
u ee te  t e e at  tet ete e a e e   i pte at et  e et te  t   e e it d  A    e      i  t pe  t   te   p    p sti er pt

## Folio 994 — 1815201908:1051
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001051.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
YNOVLA DEDTADATCA
PROPOSITIO XLIK
alcerum planum DF. NO ecucuns ecant L2L, secans planum DCL
99
Aca Ccongula, qualis supra, quam ad exrremitarem diamerri con-
cingat planum, crian gulareDCF, Sccans planum ellipricum
AFNC sccundum rectam CL, Comcnsal alirem eandem rngulam de
que per rectam aliqua L e Motalem diametro; planum axi aequidi-
cans, producens in superticie ungulari rectam M N, Secans vero pla-
lindrica MC F. N.
recta D F. planum vero ellipricum AFNC recta FTKP. Ponatur deni-
num ODF. N sccundum rectam CFI.
Dicoplanum concingens CL. au p  at7
Deorsraoto.
Emonstracum est in a2. huius, concingens planum OD F. N elle xquale rectari.
sulo quodlineis AC, I. C concinerur. Rursum per 46. huius supertcies cxlindri.
Ca MCF. NV, que segmencum rngulare cinsic, aequacur rectansulo sub ijldem lincis
AC, T C comprehenso. Ergo planum concingens ODF N superticiei cxlindricae
MCC F. N ongulare legmencum ambienci aqualc est. Quod crar demonstrandum.
PR O POSITIO L.
Aca sicrngula, qualis supra, quam cominsar planum aliquod le-
cundum rectam BC: ponantur aurem bina plana axi parallela per
rectas MI, ON diamerro normales, secantia planum contingens le-
cundum rectas FHI, F. O, luverticiem vero vosalatem secundum rectas
A, NL.
Dico

## Folio 995 — 1815201908:1052
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001052.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
VNGVLA CXIL INDRLC.
Dico planum continsens
EFHO aequale esse superticici
vngulari cylindricae IB NL C. R.
Demonstratio.
DEmonctracum eAt in 42. huiuspla-
NUM CONTINGCNS RF FTC aequale
ese rectangulo quod lineis AD, MO
COnEINCEUT. Requi demonsteatum et-
iam est propolicione 47. Superticiem
TBNL CK xqualem esse cidem rC-
ctangulo Cub lineis A D, M O com-
prehenso. ergo planum concingens
EF HTCi superticici IBNL CK X-
quale cAt. Duod erac demonstrandum.
PR OPOSITIO LI.
TNgularem superticiem cy-
lindricam secundum datam
rationem parciri.
Constructio es demonstratio.
CIc ongularis supersicies A B CD dividenda
secundum racionem daram T ad R. AaE VE
Y ad K, IE2 AD ad D F, vel iCa AD ad F F, 8
secundum FG, F. B perpendiculares ad dia-
mecrum, ducantur plana axi colindei parallela
extribencia communes sectiones in superticie
cxlindri ongulari rectas BC CFI. Dico super-
siciem vngule AB C D ad Parrem C FTD, vel
ad parcem BGFIC candem habere propor.
tionem quam habee I ad K. Demonstracum
est enim a rectansulo AD F aequalem essevn-
sule superticiem CFTD. Demonctracum quo.
que cst b rectangulo AD, P. F xqualem eNC
superficiem B CFTC. Demonstracum quoque
estcrori ongulari (uperticici aequale esse qua
dracum AD. Cum IsIEUFF. sexEI SIEVE AD ad
DF, vel F F, ica quacleacum AD ad rectanon-
Jum ADF, vel A D, F F, erit quoque re AD ad DF, vel F F (HOC ett vE L ad. R,)
ita supersicies ingularistora ad parrem C HD vel CHC. B. precticimus igitur quod
pecebacur.
PROPOSTFIO LIY. A
Ecerurrngula ABC, cls acc Pat ane oas prans guot.
cunque axixquidistanedus e rectis ad diamerrum C.
Dico luperticies ongulates planis illis intercepras eandem itetllo
cirirationem quam parces diametri DC.
siei
Decton-
in
in.
ns o e o eEaa es a EeEaESC

## Folio 996 — 1815201908:1053
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001053.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
b. titim
VN CYL A C. Y LLHDRIC A.
Demonstratio.
Demonstracum enim cs rectangulum sub DC et
DF, aequale esse superticici vngulari ABD. DC-
monstracum icem est rectangulum lubDC. _ P. F, X
quari luperticici ATM B. oAtensum b quoque cA rectan.
sulum. DC, FC aequari superticiei IMNR, e re-
ctangului DC, C HIxequale exictere superticici RNOL.
rectangulum denique super D C e FTC, xquale esse
superticici CL O. Pacerisicur coram vngulx superticiem
diuitam eAC sccundum parces diameeri D C, cum qua-
deacum DC. sc divisum in rectansula qua clorciuneuT
andem racionem quam parres linCx DC.
DeOsiF1O. Lt
IYlindrusrectus A B D L, CuraS AICICHdO PAF
ctionem ongularem ABCD.
Oco luperticiem ingularem ad cyliiaau, cam obtinereracionem,
quam diameret clculi ad perimerrum.
Demonstratio.
no exhibe
Alic diamerro basis AD, Sccetur per AD pla-
Vpersicies cylindrirecti AF aequalis est rectangulo concento sub BC, hoc eA
DDA, e sub coroperimetro circuli ABD: quod eodem fere discurtu probabitur.
quo demonstrauic Archimedes criangulum cujus alcicudo est semidiamerer, balisre.
ro, circumferencia, aquari circulo. se d quadeatum D A est ad rectangulum conten-
cum (ub D A, ex perimetro circuli, ve D A est ad perimerrum circuli. Fr∞o e qu2-
dracum D A, hoc cs per 15. curua superticies rnigulae A CD, est ad crlindri su-
perticiem ve diameter D A est ad perimeerum circuli A B D. Ouod erac demon-
Bcanidum.
PROEOSIFIO LIV.
Noula ABCD culus alticudo BC, lecerur plano per AD ee quod-
idet fuliocuu e latbla
eotel

## Folio 997 — 1815201908:1054
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001054.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
TAOVLA CXLINDRLCA
Dicornoulate upelce ABCD
ad aperticiem AB F. D candem habe-
rerarionem cum recta BC ad BF. ru.Y
1
o mo Demonstratio.
isti
e
DOnaneur quoruis XB, FC nocmales ad
AD, per quas Ranelectiones axi parallel
EBC, FOHI ocCurrences planO DF A lc- 
cundum rectas RE, F P, d plano D C A sC
cundum rectas FH, FII, KC. crune
ergo omnia criangula CBR, HCF, X
quiangula incerle. Similicer omnia crian-
Suta L BK, LC, F EquIAnSGLA CrUNC. CrSO
CB, H C HIC, lunc rectIS BK, OF, GF
proporcionales: et P B, LC, PC luneiisdeim
BK, CF, C F proporcionales. ergoC B, IIC
FTC Cunc proportionales ipls F. B, IC, IC:
eroo singula plana quxe SubcendunE (UDCFA-
eies BCFTO, CHIHLC proporcionalia lune
planis lingulis, qua lubeendune superficies
BF LG GLTC. Er3OF2. Guiuei, ve planium.
Cibeendens superhciem B C. HICad planuur
Subcehdens superkciem BP, PG Hoc est veril
BC ad BP, sc omnia plana CiHiul sumpea
quae subtenduner sine inscribuneur superticiei vnoulari BCFT A ad omnia plana
limullumpea quae subcenduntur seu inscribuntur superficiei ongulari BF I A. Cum
isicur pari arsumenco pollimus ostendere apgregaca planorum verique inpertioici
ongulari juxca quam cunque mulciplicationem inseripeorum semperinoeese eandem
sernarerationem quam BC habec ad B R, planaque illa delciancrandem a supexi
Ficiebus rrigularibus quancieare quacunque dacaminori: MamFestum csipsas quo
que vrigulares superticies, candem incer se rarionem habere, quam B C haber ad BF.
Duam consequenciam secundum risorem Ccomecribum Pacile probabie Lectoe
Geometra, si achibeac cam demonstrandi Formain qua rariislocis hulus operiorsi
tumus, vel discursus ab Archimede e Fuclide Pasm rurpLcost C)  erit svoi
PROPOSTTTO DV
Msilenter Ct et. et A erirBei Et E1
nViuscunque rngulae supexficies, sive alcicudinem parem habeat dis-
Lumerro bascos sucnon; xe qualis est rectansulo, (quod diamciro b2
(005 (A F.) ex ipsius ungulae alcicudine, (BD) COntIHCTUT.
s.t3Il5. 15. 1rB OlBit: H it id sitebrmntCi A Bu
ed _2BCulierAB A ISCI BSL HBZMLCIBCEECCO. N
reaiesil acistxo rtcile
113g0) DiI ager cisitus que oyic
op  190 an NMFEst cunis
AMIEMZe (L . 28 (1 iC c+ B.
3
a it s umiha
os A3 : A CViZ  L Ca B. scWLIINAB
onin
     .    et tu e et u  ute te  p .  t   pe  e                 p pti

## Folio 998 — 1815201908:1055
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001055.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
5+. hrtus.
TNCVLA CYLINDRTCA
Demonstratio-
Vmacur BC xoualis diametro A F, X pla.
noperpuncta L, A; C ducto ab codem c
lindro decussecur rnsula F. BC A. Cum osten-
Cum 2 sic superticiem ABC P, 3d supersiciem
ABD F, cam racionem concinere que eA incet
lineas B C _ BD; etiam incer quadeacum AP
quod per +5. buius par est superticici ABC L
e superficiem ABD F, intercedet tario BC
ad BB, hoc est extirpochesi AF, ad BD. sed
ve AF ad BD, sic eA quadracum AP ad re-
ctangulum rectis AF e BD, comprehentum;
ergo quadratum AL, ad suiperticiem FBD A
ee rectangulum AF BD eandem habee racio.
nem. isicur rectangulum AF BD, xquale est
superficici orxulari P BD A. Quod erat de.
monctrandura.
122S it e
aii
Mllarium
Dari argumenco probabimius, si rngula quae.
visplanis secerur secundun rectas BR, C F.
diamerro normales, superficiem rngularem
COA xqualem esse rectangulo quod diame-
De isin cribaseos parce P A. X vnsulx alcicudine BD
rectansulo Facto ex AL a BV.
concinetur; icem supertciem BDOC aequari
Posira enim C vgua AC E, cuius alcicudos B C par BE diatietro AF. ExiE
b+5. huius. Lupersicies CD A aequalisrectang F AF. ergo rectangulum L A F, est ad su-
perticiem OOA ve supees CP A ad superficiem COA, hoc cA vE CB
ad D B, PEF SG
hoc est, ex conul. DE F A 2d BD, hoc est, ve ipsum rursus rectan.
Bulum F. A A F ad reclangulum F A, BD. cum isicur rectangulum L. A. AP. ad su-
perticiem CO A. eandem habeaerationem quam ad rectangulum si A, BB, erir
hoc luperticici CO A aequale, Fadem est secundi demonArario. ui .usb Los ccura
R OP O 5 + Y 1,O, L. V 1.
AcuS Sic cylindrus AB CKD, cuius alcieu-
do DK par diarierro baleos A D, ab hoc
aBTCMIa SE rngula AB CD ciuidem alcicudinis
ducta deinde recta PP. qua Cieperpendicularis
ad AD, Secundum F F. hac sectio axi parallela
qua communem incersectionem cum superticie
Cylindri exhibeac lineam P G FI.
Dico superhiciem vngulae F G D ad Cuperti-
ciem F HIED, cam habere proportionem qua
CsF InEEFreCtAM FD _E E D curuaM.
Demonstratio.
ctangulum AL FP, LIuC FD K: eM aurem rectan-
pulum
cendimus cluperticlei tisnali ab aequarire

## Folio 999 — 1815201908:1056
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001056.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
AOYLA CLLINDRTCA.
Sulum FDK ad superkiciem E DR FI, verecta F D est ad curuam AD P. igIeUF CF- a Demon
9
Jam pacs luperticiei rngularis LCD ad cylindricam L. RIL elere eD rccta ad) un
curuam F D. Ouodtuic demonstrandum,
eROPOSITIO CVII.
Acus Cc eylindeus NL alticudinem haven AC PAtCM diatrietrO.
Ponancur in platto peraxem ductorectangula B AC, BF. C Xqua-
liaincer se, sicq; vngula AL. II secta plano BID, quod sic ad AN diame-
trum normaliter consticurum et axi equidistans. Fact a deinde HIK, X-
quali B F per AN d K punctum, hac lectio rngularis AF R.
mili ferc
Dico AID supelkciem ingularem a qualem esse rngulari superticici
L
TFXII.
Demonsradio.
discurst
10 Arch.
medes 2si
sed demonstrarum eAtcD IFTL superticiem
aequalem esse rectangulo super BNV, ex dia- 111
mecro baleos, hoc est rectangulo N B O, igi-
Cur VE CA TIR ad HTL, ita CA TTIFR vn-
sularis luperticies ad rectansulum NBC.
sed ve TTK ad HT, hoc eA, quia BF est
exhrpocheli agualis HR. VE BF, ad TIL,
sinc BO, ica Mtojuelectangulum NBF. 2d
NBO reltansulum. Bicur rectangulum
NVBF. 2d 1DC eccangulum est er super-
ficies vnemlaris AILK ad rectanrulum
NBO. Accao ioItr NBF xqualis i
est superficies rngularis TITFR: eA aurem  ii
ex supponcione rectanbulum NF aequale
BAC, cectangulo. ISTuF HIIF K vngularis
superticies rectanoulo B A C, aegualis est. ac-
oui ostensum est d rectangulo lub B A 8
diameero, hoc est ex liypocheli rectangulo B AC, xqualem elle luperticiem rnou-
larem AFD. est icaque superticies AID ingularis aequalis FILFR Cuperticiei.
Duodtuir demonstrandum.
i Sc enim superheres vngularis FFF R ad
Cuperhciem HFDL, ve HIR ad B FTL.
AOTOSILIO LVII
est prop. 1
imens. ctt.
654. huins
c 47. Buius
d46. hu
Aca SLVngula A. B C D cuius alcicudo B C par (IE diaMCEO AD, e
arcus BL. in lemeneBD.
Oporrear (uperarcu B. apel eoe guate qua il a
qualis ingulari superticiei darae FOD.
s
1.
(e1 11
10.
Con-
   m

## Folio 1000 — 1815201908:1057
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001057.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
V N CY L A CYLLN D R IC A.
Onstructio e demonstratio
JladE L L, FML normales ad diametrum
AD, e ex cylindri axc abscinde rectani
N K. verectangulum RNLaequale SIErCAd
suto ADM: ductâ deinde RLF quxe a qui-
dister NB, Aac sectio per AD lineam et FI
punctum, _ dCMIEEAEUIE F. C gua X quidi ACE
BTI. Dico superticiom HICP B aqualem
esse superticiei FOD. Es enim luperticies
CBP aequalisrect angulo a AD N I, hoc est
NTBC, sed ve superticies FBC ad FBFF
ica est B C linoa b ad linceam B IT, hoc est
rectangulum BC, NVI ad BFI, NI rCctAB-
gulum. Igicur eriam rectansulum BII, NI
hoc estrectansulum RN, NV L aequale est lu-
perticiei vngulari P. B II. Sed rectangulum
ADM eectangulO R NVI X quale cA Cx CON
Rructione. Igieur rectangutum AD M ae qua-
le estsuperticiei FBII. Acqui etiam luperti-
ongulari superticici F DFL super areu B F. constirura est aequalis. Pexsicimus er.
80 quod optabatur.
EROPOSITIO LLA.
Inc dux rngula CBO, L F O, quarum alticudines diameeris baliuti
Cinc pares. secentur aucem planis axi parallelis perpendiculariter ad
diametros, (cilicer planis L. AB, NI PIE, IDE, RFC.
Dico luperkicies hisplanis contentas, habere rationem compolicam ex
ratione diamerri C Q ad L. O diamerrum, ee exvatione ML. ad K I.
Demonstratio.
1000
7. huius
65 + toaiuo.
eA6huins. cies vngularis D F Oaequalis est rectangulo c A DMI. Pgicur eriam luperticies D FO
2 13 duiv. L.
Fmonttracum eltd superticlem igutarem ABRP C CcaDL.M
aequalem. ostentum quoque est rectansulo L. OIK X quaL. ,
titt

## Folio 1001 — 1815201908:1058
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001058.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
V N CYLA CYELNDRTCA
sed rectangulum C OM L ad rectanGUIUM LOTR, habCE FaTIONCM COmPOTILAMI
ex CO ad F O, X CX raTIONC ML ad TH. Igicur eriam superticies rngulares il
dis rectangutis aquales ex ijdem racionibus lunc composicxe. Ouod crat demonstran-
dums
P ROP OSITIO LX.
YNoula cuius alcirudo par diametro baleos;
Secetur plano FOHIL quod axiaquidistet
e recta AN. exhibens communem interlectio-
nem cum bali ellipeica AHI C rectam III, e Per
H1 planum ponacur HI LK quod basi AB N x-
quidistet.
Dico eodem excessu superare superticiem cy.
lindricam BOFIK superficiem rectaguliFOII
quo superticies rectanguli LHIL. excedir ongula-
rem HIKC.
Demonstratio.
Scentum esta superticiem vngularem BOFTC X
qualem esse rectangulo ANM D, hoc est quoniam
alcicudo ingulae ponicur par diamerro AN, rectangulo FC: L. Igitur Arictimeri-
ce proportionales lune superticies B CFFTK, rectangulum FOFT, rectadgulum IFTL,
ee lupersicies FIKC. Ouod crac demonstrandum.
P ROP OS I FIO IL. XI.
Vbcendant AB, BC aequales ar-
 cusin balirngulari ABL.5 d se
cundum rectas AB, BC ducanuE
Plana ABF, BF. F C, quarum com
munes incerlectiones cum ba(I ClII
prica A E. D L SINE ReCtE AF, FF; e
secundum has lineas plana ponaneur
duxe rocca sinc ad plana ABF, BF FC
exhibentia communes lectiones cum
Superticie rnoulari cylindrica arcus
ANE, E PF. 11 1
Dico luperticies vigulares AOF. B
BE D FC proportionales diuitas esse
hoc est eandemrationem esse superHi-
ciei ANEB ad BEFC Superticiem,
qualis est superticiei ANFE. O A ad (u
pertCIeM EPFD F.
100I
a
q. hiiu.
Demon
(e ei e   su t  ut i pi e u te st  t u u  u  ete ui  u p e    et u   t   t e ee  a te e  p e   o  e     e   s nt

## Folio 1002 — 1815201908:1059
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001059.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
1002
YN. CV L A CYLINDRICA.
11
Demonstratio.
lanEpLanA KGD, X HTO diuidenciare
ctas BC, AB bitariam, ec exhibencia
lineas CD, ITO in superticie cxlindrica,
rectas vero SO, RM in planis, CBF F
ABF. Deinde ex  _M, linea duean-
CUT O P, MN, qua aequidistent rectisR
KFI _e secundum lincam NNI, planum po.
naTUEBaSi A C F. vngulari aequidistans ex-
hibens in superticie cylindrica arcu T N V.
Denique ponatur in planu AB F. per pun-
ctum M recta VM T parallela A B, & haC
sectio per V Y, _ BAIEOS CCHEEUML H pEO-
ducens rngulam, ex qua ablcindetur plane
AB TNV Cesmencu vngulArC AVOTB:
quia R C CA ad RS, VE R FI adRR, XVE
KC ad KS, ita C D est 2d S O, viG; R FI
est ad RR, sCFTO est ad R NI, erit quoque
ve EDad S O, hoc estOF, sIcFIO ad R MI
hoc est FTN. Sed guia arcus AB, BC Cqua-
lessuE; Ve CP ad FIN, ica est superticies cy.
lindrica BP. P F C ad superticie AVNTB,
155. _ ve CD ad FTO, ica elt superficies vnsu-
laris BF D F C ad ongularE, AVO FB.
Tgicur re superticies BL. P FC ad BEDFC.
ita superticies AVN TB ad sIperKCIem AVO TB, de consequenter ve est lu-
perficies BP PF C ad residuam P PFD F, ita superticies A V N FB ad residuam
VNTOV; es aurem cora luperticies AV OTB aequalis superticici AO V B,
_ superticies AVNY aequalis superticiei ANR B. IGICUEVE BF. P F C ad residuam
F PF D F, ica superticies AN B B ad residuam ANEO A. Quod Fuic demonstran-
dum.
PROPOSITIO LXII.
Aca SILVnguta P. F K a cylindro recro decusara alcicudinem AF X-
qualem habens diamerro balis IEF., circumdenc aurem vngulam
plana cangencia F. D I, IDCHI, QC. cerminaca in plano eltipeico F IF K
Producto, erunc plana illa omnia quadritacera, pexrer duo plana contin-
sencia cerminos diameeri F. de KE, qua lunccriangula.
Dico corpus includens ongulam concentum planis ambiencibus, et
polysonis duobus, lemicirculo P. AH de Semiellip(I F. I F K conleripris,
muletarum duabus prramidibus, quarum bales lunc criangula laceralia,
alticudo semidiameter L. K, xe quale esseprramidi que balim habee qua-
drarum diamerri K F, ee alcirudinem L. H semidiamerrum.
25 4. bibios.
Demon-

## Folio 1003 — 1815201908:1060
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001060.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
NOVLA CZLLHDRICA.
Demonsratio.
Dpunctum A in quo B A concingic peripherian
LbalIS K AF, ducacet Centro recta L. A.. Suo
niam exhypochenrectus elterlindrus, LA cxlindri la-
tus ae balim R A R rectum cric. CFgO L A ad F A, nOr
malis est. Est vero P R 2 eciam normalis ad B A. ErgO
T A ad planum cansens BGF A recta b cst. ergo
temidiamerer baseos est alcicudo prramidis BCF AI
Fodem modo demonstrabicur lemidiamerrum baleos co-
munem esse alcicudinem omnium prramidum, quarum
bales lunc plana rngulam tangencia, ap ex verO Centrum
L. cum erso pyramides xeque aleae, sinc rebales, crunt
omnes illae prramides jua solidum ongulam includens
componur ad prramidem cuius basis est quadracum R F.
alcicudo Cemidiamerer LK Cinc P A, ve omnia plans
ambiencia rrigulam, ad guadracum R F. led omnia pla-
na ambiencia, dempris duobus criangulis laceralibus, a
quancur c quadrato KF. Ergo omnes illx pyramides,
dempris duabuslaceralibus, hoc estcocum corpus rngulam includens; mulctarum
duabus laceralibus prramidibus, xquatur prramidi cuius balis est quadrarum, K I
alcicudo semidiamerer L K. Ouod crac demonstrandum.
PROPOSITIO LX
lx sine binx ungula aquales ac similes 2 cylindris recris abscista.
LGuarum alticudines Mucbalium diameeris pares. Circumlcribantur
auccilrerilqi corpoluaca tenum propolitionis pracedenris, (IC ve co-
rum lupelticiesau planorum cangencium numerum complecran-
cur; vniuis, exempi salla, luperticies continear decem plana cangenria, al-
reriusmille:
Dicoraque illa corpora visulas includentia, mulerata pyramidi-
buslaceralibus semver ese xqualia.
Ldco
i
Xprecedeni eltmanitesta, lingula enim aqualitur Pramia curs vaus cu qua
dratum diamerri balcosrngulx, alcirudo autem lemidiam eret eiuldem bale05. c. 17
13. 31. 2)C OEC) AE 2) E
Semonstrar
c 43. huius.
St 11
PROP OSITIO LXIV
Aexe sinebina vrigule à cylindris receisrelecrx, quarum alcirudines
nc diametris balium agates, vales autemme qualeicunque, ldc
aequales nimirum sive inaequales. I.
 ab ae
SICoCorporarngulaS CETA LIHICLLALALELALBUS pyFaMIAIOUS cri-
plicaram incer le habere racionem diameerorum balium ungularium.
 edatt onslat
DEmonstearumenim el, a corpora illa aequari pyramicibus que bales habene  asc tuiui-
Quales quadracis diamerrorum scracu valum, de alelcuames Cemidiameeris
pares. lsicur quam racionem habebune prramides illa, candem quoque habebune
corporai

## Folio 1004 — 1815201908:1061
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001061.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
1004
YNCVEA CYEFNDRICA.
corpora rnoulas continentis. se d rario pyramidum est composira ex ratione quadra-
si baseos ad quadratum baseos, hoc est ex duplicata racione diamerri ad diamerrum,
e ex racione Cemidiameeri ad lemidiamerrum, quae cadem est cum racione diamierri
ad diametrum, ac proinde criplicata est raeionis diamerri ad diametrum. ergo eriam
corpora quxe rugulas continenelunc incriplicata ratione diametrorum balium rneu
larium. quod demonstrare oporrult.
PROPO5
5
Ilindro parabolico recto CD AF. L
E conseriprum lic prilma, cuius late
BA, BC, Fe;tE cansanc pacabolas
quae sunebales exlindri.
Dicopyramidem cuius balisrectansu-
lum Cub. C A, ordinatim polica ee dupla
alticudinis cxlindei parabolici, alcicudo
vero axisiple HID, cylindro parabolico
elle a qualo
Smonstratio.
CVmatur AK dupla ipbuS A E, quae es alciri-
do cylindridaci. Fst demonstracum libro de
parabola a criangulum ABC CACIC(quiALECRUME
parabole AD. C. rudcociam prilma AC B F F
Cst lelquialceru cylindri parabolici ADCIOF.
Posico deinde plano per C A de F: exic pri(ML
ACBF P. Cs criplum b prramidis cuius bass
AC B, verrex B, ac proindo sesquialcerum que
que cs partis reliqua, qua eAtporamis balum
habens C AR G, verricem F. CrSO pYFAHIS
C AF C, F, aquatur cylindro parabolico. sed
Pyramidis C A F. Cs) F, alcicudo est HI D B, quae
12. Parab. cdupla est axeos parabolae HD. ergo prramis C A F C F, daequalis est pyramidi,
19. duodec. cuius alcirudo sC F(D dimidia prioris alcicudinis II B. balis vero rectansulum C AK
quod ex constructione duplum est baleos prioris C A F G. Acgniprramis, cuius al-
eicudo est FTD, balis vero rectangulum C A. K CC illa ipla prramis de, qu2 agic a Per-
eio, cuius nimicum alcicudo lie axis IPD, balis vero rectangulum, quod (uB CA ordi-
nacim polica ex dupla alcicudinis exlindei parabolici concinerur. Manifecta igirur eAt
vericas Theorematis.
D.R O DO S P, T, IO L ∞X V 1.)2r il 53
VTcongula KHTI à cylindro recto abscilta, alcicudinem habens parem
A diamerro batis KI, quam eingane plana cansenria l A. D, B AC B.
C. e se e  soeni noe vescluil sl 203n seradila
Dicocorpusrnoulam includens, quod planis cansenribus de duobus
polrgonis, lemicirculum IENLI, _e semielliplim IFT K ambiencibus con-
cinecur, mulctarum duabus laceralibus pycamidibus hoc est solidum
E L. AD FF, aquale esterneula
211 5t.) cl e
Demor:

## Folio 1005 — 1815201908:1062
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001062.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
NGVLA CXLINDRTCA
Demonstratio.
1007
GREca CxCenrO LMI normali ad K F diamecrum, inscribaeur lemicireulo qui est
balSrnoula parabola KM I axem habens LM. Demonstracum est a cylindro a Vide2s.
paraboliooabe balim parabolam KM I e alcicudinem lemidiameeri L pT ~. huins.
quari rngulam super baA lemlcirculari INM K, d alcicudino dlametri R L. sedeciam
peaecedenci propolicione ostensum est eidem eylindro parabolico aequari prramidé
cuius alcirudo sic IM, basis vero rectangulum quod sub KI de dupla alcicudinis
cylindei parabolici, sub dupla nempe ipsius P. MI, hoc est rursum sub KI, concine-
tur. erso prramis, cuius alcicudo est semidiamerer L MI, balis vero quadratum, dia-
metri KI, aquacur exlindro parabolico, hoc est veiam ostendi, aequatur vngulx. se d
CEIA COEPUS L GTTEC D A L B xequatur prramidi cuius balS sc aequalis quadeato B62 huins
RI ex alcicudo lic LM. ergo corpuS L. OHFCD AL. xquale elt ingulari magnir
cudini. Duodtuir demonstrandum.
LR 5
A R T A.
Comparatio onula cylinarica cum sphaera es aliis corporibus.
Ac parce maxilr incendimus symbolizationes ingulx cylindricae
acum sphaera nocas reddere, canta enim est similiendo incer vngulam
ex sphaera, veomnes spllaea proprietares, unsulx communes sinc, quem-
admodum exiis que dleinceps demonMraturi Cumus cognolcipoterir.
PROPOSITIO LX VII.
Aca Cierngula C D Na cplindro recto abscisti, alcicudinem parem
Phabens diameero BaLCB CM, ex hac relectum SIEB ADC Cegmen-
cum plano peraxem eflillari cranscunce, cuius communis lectio cum
ba(I olliprica sIc recta B D. Circumscribatur aurem polrgonum
CF F C A arcui AF. C, X lecundum lacera polyooni tiant plana axiparal-
ela qua extibeant in platto ellipeico comunes lectiones CHI, HIK, IED.
ec ponacur AL. comc Ct, xequidistans suc normalis diamerro
N
Dicc
t
  e use   e e ues te te  e  u e t e e ue e e  e e e 1e t e t pat e e te tet  e su t it it et te  e e te  t et s t ee se e   te t ri ta te . e pte t p   le

## Folio 1006 — 1815201908:1063
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001063.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
1006
N GVLA CXLEHDR
AICOCOrpUS CF TTKD AB, ma
us cepamide quae hc sub bali re-
ctangula M C L. in alticudine BC.
Demonstratio.
TOrpuS CFFTKD AB eAt aquale py.
ramta (ub basi guxe sic aequalis lupert
ciebus CFHT, RCFTI, XO AD e sub
alcirudine BC, ve pacet ex dilcursu 62. hu-
ius, sed superHicieS C F FI, R G F FI, ROAD
maiores lunc rectangulo M CL, VE PateT eX
42. luius. ergo prramis, cuius basis rectan-
Gulum MCF, alcicudo reroBC, minot
eA prramide, cuius basis sunc plana praedi
cta et alcitudo BC, ad eoque criam minon
CACOrPOrE CFHKD AB. Quod eracde
monstrandum.
PROPOSITIO LXVIII.
beacaqualem rectansulo IA K, alcicudinem vero A F, Cemidiametrum.
Demonstratio.
Veacurenim EF qua trnormalis ad ali-
quodlacus polygoni, verbi zraria, BC, cis
rectus ex hrpochelicxlindrus sic, Facile demo
trabieur F L comunéese alcicudine prrami-
du, in quas corpus inscripeum ABFG HDP.
relolui porest. eric ergo prramis cuius bas lC
equalis superticicbus ABF, BCGF, CDHIC
alcirudo aurem F L, aequale inscripro corpoc
ABFGFIDE rrigutari. sunc aurem plana
ABF, BC CF, CDHTC aequaliaa rectano.
I0 Cx TB, AR. ergo prramis cuius balis est
rectangulum IB, AK. alcicudo F L, aGuAEUE
CEIAI COTPOTIINTCTIPIO ABEGFIDF. Prra-
mis vero sub balirectanguta I A R, X alcieu-
dine AF. haber balim maiorem quam sic re-
etangulum IB, AK, de habec alcicudinem AF
maiorem alcicudino F. C; igicur prramis sut
bal rectansula IB, AR, ex alcicudinc P L,
minor est prramide cuius bats est rectongu.
tum PAK, alcititdo aUTCM AF. ergO X COF-
DuS ABF GHID F infcripium ungula minus
prramide habenee Basim Actangulum IAR, d alticudinem A L lemidiame
a d
custacum EDHTFA, Cinlcribatur polygonum ABC D regu-
lare qualecunque circulari segmento BACOS AFD, _ secundum latera
Aca hcrngula qualis in praecedenr AC I, de segmenrum eodem mo-
polygoni plana ponantur axi parallela quarum communes interlectiones
cum plano ellipricoLInE AF, F C, CHI, ponacurque DIE normalis ad AI.
cerdlli.
Dico corpus inscriprum ongula minus esse prramide quae balim ha-
PR C
rum. uod erac demonstrandum.

## Folio 1007 — 1815201908:1064
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001064.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
YN CVLA CYLINDRIC
etOSIIIO EXIX
Aca SErngula AC D, a cylindre l decustata, habens alcicudi-
nem diamerro baleos aequalem, a qua abscissum sic sermencum
GBC D, Plano peraxemesameuntc. LX puniclo altem aacca
Dico scomencum rnglate CB.C a Guae eie pamiat culus balis
estrectangulum ADH, L alcicudo Cemidiamerer CD.
sic B Fnormalis ad diamerrum AD
Demonstratio.
Atat Fuclld. Prop. 10. 12. eric Pals solidi cxlindro conseripri, criam contcripea vsau
cuius excessus lupra ongulam erie pars excessus quo solidum crlindro cmput
supetac csdrum. llare cum excessus Colidi conscripei oylindeo lupra cylindeum
Sc dacominor, erit a Forciori excellus Colidi rngulx conscripei supra vngulam daco
minor, ac proinde criam minor excelsu quo prramis ponitur superare ongulam. Fr-
50 solidum rnsula conscriprum minus elt prramide. Duod repuonac 67. hurus. Non
isicur prramis maior est vrsula. Quarc cum neque minorem eMe probarum sic lu-
pra, xequalis crit. Ouod tuic demonstrandum.
Analosia cum sphaera.
DkMa hic clucee inter sphaeram ee ungulam similirudo. DCMOMMFAIIE AECHIL
melles propol. 38. libriprimi de Iphxra e cxlind. Termento sphaa luatenet
Cc conum cuius balis est alscalis superticici seomenci, alcirudo lemidiamerer sphe
ex lemilicer de nos iam demonsranimus seomencum decullacum ab vnoula pla-
no per Cflindri exem cranscunce xequale esse prramidi cuius balis est rectangulum
ADF. (quodper 46. huiuts aquarur superticiei rngularis sesmenci D C. B) alcicudo
aucem aqualis Cemidiaetro (FD.
Dcamis enim illa nec maior estnec minor
Ccgmencorngulari. Ecenim, Cheri porest
primominor, per 6. huius inscribipocest le-
omenco rngulari C B C D Colidum, quoi de
heiac a Seomento quanticare minori data, 2-
deoque cciam minori quam prramis ponatu
deficere a sermeneo C:B C D. Colidum igicus
inseripcum leomenco BC D, maius cric pr-
ramide cuius balis est rectangulum ADF, _
alticudo GD. Ouon lepuenac peacedenti.
OBCD
Non igicur prramis minor cst segmenco
Ponatur deinde, si Reri pocest, prramis es
se maior segmenco GBC. D. Cylindro cuius
Pars estonsula, conscribatur (olidum superans
exlindrum quanticare data minori, quod pra-
ROPOSITIO LXZ.
Xprxecedemi Theoremate alitet demontrabImUS PFOPOLITIOM. 24.
Scuiushaec cstaserrio. Omnis rngula a cylindro recto abscissa, alciru
dinem habens parem diamccre vatos (I) aguacur pscamidi cuius
balis es quadratum diamct (D) alricudo aurem semidiamerer (OD.)
L et 2
Demor
u e at i  1 s tte es t e s a   t   ete    st t  pet qute  te  t te  e  t tit et u e  e e e te e   e et e e  st e  e   t e e e e e   e   s et . te. 1

## Folio 1008 — 1815201908:1065
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001065.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
1008
VNAVLA CTLLNDRLCA.
Domonstratio:
Nousa AC D plato per axem estindei
cranleunce, diuidatur in duo legenca
OBCDODCAiduCaL a L, Pel.
Dedichtas, Per preced. erunc lesmera illa x
qualia duabus prramidibus, quaru balessune
duo rectansula AD L, D AL, alcicudo aucem
communis CD Cemidiamerer. Ced due illa
Prramides aquantur prramidi cuius balis est
quadrarum AD, et alcicudo eadem (7D.
cum rectangula ADF, D A F quadraco AV
lincaequalia. Lrgo duo legmenca eBCD
GB CA, hoc CstEoca rngula A C D, equacur
prramidi cuius basis est quadeacum diamecri
AD, alcicudo aucem temichanciet eD.
Ouoderar demonstrandum.
Analocia cum sphaera.
E Cec alcera vngulam incer e sphxram analogin. Ex Aechimede e PapPO
habemus spheram aequari cono cuius basis est aequalis superhcici sptieex, alcicu-
doaurem radio sphxrx. Nos vero demonstrauimus ingulam aequalem eslepreami-
di, cuius balis eA quadratum diametri (quod propol. 45. huius libri ostendimus luper-
Ecicirngulari CAex qua lc) alcicudo aurem semidiamerer CD.
Corollarium.
S X propolitione colligo sequenscheorema. DaEa sic vngula, qux supra plano per
exlindri axem eran (cunre diuila sir in lesmenea duo eBCD, CB C A, ducacures;
BF normalis ad AD.
Dicolesmencum CBC D esse ad eoram ongutam repars diametri L D ad roram
diametrum AD; ad legmencum vero alcorum eandem habere rarionem quam DF
habet ad VA.
Demonstratio.
EctangIa ADE est ad guadrarum AD; VE ED ad AD. Sed ve rectaneu.
jum AD F ad quadracum AD, ica preamis, cuins BaES est A D F rectangulum
_ alticudo CD, est ad prramidem cuius basis guadeacum AD, alcirudo aurem CD.
269. huins. Frso pyramis cuius balis est rectangulum A D F, d alcicudo ED, hoc est a seormen-
cum ongutare GB CD, est ad prramidem cuius balis elt quadracum A D, _ alcitu.
570. vel d0 CiD, hoc. Csb ad tocam vngulam, DE F D es ad A D, PATI ArGUMENEO CX69. PFO-
erhmiu. babimus sesmenca CBC D, CBC A cAC incex LC VE D F eAt ad F A.
PROPOSITIO LXXI.
AAnis rngula à crlhtuorecs abeita, aupla ccpa ltsa
midismaximae; cuiusnalirum balis est (E. A C) CrianGUITUM MAKI.
mu, qualeclo. qut balis est rngulae, inseribi porelt; alcicudo
vero AM eadem qua rngulae.
Demon.

## Folio 1009 — 1815201908:1066
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001066.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
VN CVLA CZLINDRLCAI
Demonstratio.
Deodem exlindro resecetur vaeula FD C, cuius alricudo AD par Sic diame.
Lero basiS F. C. Maxinum criangulum P. AC est dimidium quadeaci circulob2-
Ccosrnstaris inscripei, adeoque quarca pars quadrati, quod sic supet diamcero FC:
Prramis igicur super bali criangula F. A C in alcicudine AD, hoc es ex hypochel F C.
quarca pars est prramidis super bali ouadrara F C, in eadem alcicudine F C. Prgo
pyramis, cujus balis estcriangulum P A C, alcicudo F C, hoc cst AD; est pars di-
midia prramidis habencis pro basi quadracum P. C, alcicudinem vero B C dimidiam
prioris F. C, hoc est semidiamerrum. Acqui haec prramis axqualis est vngulX. Crg0a 70. v0
a hitiuo
prramis cuius basis eA criangulum F AC, alcicudo AD, maxima nimirum qux in-
Scribirngulae FDC porest, dimidia est ongulae ac proinde rngula eius dupla est. Sed
veongula FD C est ad prramidem sibiinleripeam, ica rngula FM C ad sibi inseri-
Pram prramidem. Nam es rngulx per 7 huius, ex pyramides ongulis in(CeipEx PCF
elementa, sunc incer se ve alcicudines AD, AM. ergo ctiam vngula FMC maxime
pyramidis sibi interipex aupla est. Quoderac demonstrandum.
Analoeia cum sphaera.
Plam hic mirabiliter lymbolisane sphaera ex ungula. Ouemadmodum enim ano-
Lbis demonstratum e noulam pyramidis maxima sibi inseripex duplam este, ica
quoque ab Archimede demonstrarum hxmisphaerium FFIKCi duptum esse coni
maximi sibiinscripci.
PROPOSITIO LZXTI
abscilla Ccelipcum, ipsius onsulae lesquialcerum ett.
DRIImA (AENOMDE) cuiuis ongulx (ABOD) a cplindro recto
Demon-
a    te   e e  pe o   e  t e  t s u e ti e  t e test  e t     e te t  te et a  s e a   et ti  te e t et e e t   . 1  t    t t  t s lis

## Folio 1010 — 1815201908:1067
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001067.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
OtC
TGVL A CYLINDRICA.
Demonstratio.
Beodem clindrotere a qua dI
Lcicudinem aequalem habeac diametro ba.
seos AD, eique circumseripeum sic prisma
AFGHIDE. F
aDF baliserianguli D F IY
dimiclia cA dianect D A, alcicudo aucem crian-
suli FFI, Pas est diame. CLAIS AIUI ISICUE
DPII quasca pals elt quadrari D A. Ergo Py.
ramis, cuius basis ckeriangulum D ETI alcitu.
do VH leu e Guucca Pats ele prramidis, cu
ius basis quadracuin  A e alcicudo DA leu
FF, ac proinde amdia est prramidis cuius
balis ele Gudcracum l alcao enctae
Ter Lb prioris dimiclia. lcdprramis, cuius ba
sis quadratum D A, alcicudo aurem FB semi
diamecer, aequalis cs 2 ungula. ergo pyramis
cuius bahseriangulum W P. HI, alcicudo D A di-
B3. mabult. Hilcta ClC vnSUIX. CC d tus prramidis prilma AP. D HI C. F criplum b est. P r8o prilma
tam vero prilma D C est ad prisma DN, VE BaLIS HIED ad BaSim MED, hoc
est +. 6, ve FT R ad M R, hoc est ve C B ad OB. per 7. durem huius eciam ongula
ACD, est ad rngulam AOD ve C B ad O B. Prgoprisina D G est ad prisma DN, ve
vnoula AC D ad rngulam AOD, et permucando reprisma DO est ad ongulam
ACD. Ecprisma D N ad vngulam AOD. Acqui ostensum eAt prilm= D C. Cosqui-
alrerum esse rngula AC D. ergo d prisma D N rnsule. AOD Cesquialcerum est.
Duodetar demonstrandum.
analoeiacum sphara.
Ahes Lectoraliam nirtum viriusque corporis similicudinem. OAendic Archi-
Lmedes exlindrum sphara circum leriprum sesquialcerum esse splixrE; _ nOS mo-
do demonstrauimus prilma vngula circum seriprum lesquialcerum efferngule.
L
PR OPOSITIO LXZILI
Aca sit quaenis exlindri recti rngula cum inuoluero suo, sive cum
prilmate ip(i circum (cripto.
Dicorres planas (uperHCieS DFH, E HOF, F A C, cplindricae rngu-
laris superticiei, quam includunt, esse se squialteras.
Demonstratio.
70. vet
huius.
unoulx lesquialcerum est.
Ectangulum quod concinctus  D A diamerro balcos, d alcicudincongula
Cs. m. DC  e rectatsuum L F FTC) aequacurc superkcici vngulari. Scdcriangula
DEIP, AFC, Cimul Cumpra, sunc dimidium rectanguli FP IICr. ergo criangula
DE EI, AF C dimidium sunc rngularis superhcici. Cum igitur rectangulum F P IIC
octenderim superhciei ongulari esse aequale, crune eres simul plana luperticies
DEHI, FBHO, FAC superficicirngularis, quam cinsune, Cesquialtere. Quod
erac demonstrandum.
Analoeia cum sphaera.
ducculuc clulatula el Aapele CMcit Dcatala atnbrecis i
Lperticici sphaericx selquialreram eAlc. IIaec eriam sphaerxe proprietas miritice
enprimiu

## Folio 1011 — 1815201908:1068
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001068.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
Y N GVLA CYLINDRTCA
TO1L
exPCIIEur ab vrsia, aaaSula PaFalClA QUX PEMIALIS SUnEBaCES, FCFerunE duOS
Parallelos circulos, qui bales lunc cxlindri. planum vero L. Cet allastrla.
sulares prilmacis bases medium, repraseneac curuam. exlindri superticiem mediam
incer duascrlindri balescirculares. Quemadmodum enim ex demonstracis ab HI-
chimede deduermus duas cxtindri sphaeram ambientis bases esse dimidias superticiei
spherica, ica e nos octendimus duo criangula prismaris nempe nsutam concineneis
Bales, dimidias esse superhcicirngularis: _ sicur ex eodem habemus Archimca
superticiem curuam cxlindri aqualem esse luperticiei sphaere, ita plane ostensum à
nobis est planum F P. HG supertcici rusulari eAle xquale.
e R OP OSI TIO L X XIV.
ala sic cflindri recti rngula E.DC, cuius alcicudo BD pax (IE cir-
cumterencix circuli EBC.
Dico supetficiem ongula quadruplam esse circuli F. B C.
Demonstratio.
X cenEro A ducacur AD: Rectangulum
sub diameteo basis F C, de alercudine vn-
sulae BD aquarur a superticici ongulari cy-
lindricx. Sed rectangulum F. C BD, duplum
est rectanguli AB, B D, ac proinde quadruplum
crianguli ADB. ergo luperticies ongularis
E. D C quadrupla cstrrianguli AD B. sed erian-
sulum ADB equacur b circulo R B C, quod
eius balis lic radius AB, alcicudo aurem BB
par circumterentix. Ergo superticies rnoularis
EDC quadcupla eA circuli F. B C. Quod erac
demonstrandum.
Analoeia cum Sphaera.
DVis rurtum hic non agnolcar sphaeram in
Longulas Eiuldem enim circuli EBC, e
Superticies rngularis F DC, e Cuperficies (phx-
rx crius diumerer P. C, qua druplX lunF.
PROPOSITIO LXXV.
TNgula EDC cuius alticudo BD
quaecunque, (in spice houram pro-
policionis7 4.) secerur perrectas AB, NI M ad diamerrum normales pla-
nIS AB D, NNO, qua axi cylindrico equidistene.
Dico luperticies vngulares FDB, BDOM, MOC: candem d MetLC
_ adcoram insula Cuperticiem habere rarionem, quam parres diamerri,
velincer se relad cocam diametrumi.
demonstratio.
VperhcieS E DB Cxquatur reCtangulo E ABD: X SUPEThCIESB D OM, rECtAn- C C roll. 55.
sulo ANBD; SuperhciCS VeTO MO C rectangulo NIC B D aqualis cst. TuPCr-
e COa L.DC LCcCaHBIIO L. CBD Ctt a _ GHaIIS. ICa L. 6. Il d LCCL AH B Cdu 855. brin3.-
tunc
n   e    .   u 11 1 .    11    1      .  . e   t .    1 e  l p     e  e u pue 1  . a  1   ete a t    r ul

## Folio 1012 — 1815201908:1069
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001069.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
VNEVLA CFLINDEL
7012
luncincer le, e ad rorum rectansm L. C BD, Vr parces diamerri ad le muruo vel
adcocam diamerrum. ergo e leomenta luperticiei rngularis, sunc inter se, vel ad to-
tam superticiem ongulxe, ve partes diamerri incer (e vel ad corant diameerum. Ouod
erac demonstrandum.
Analosia cum sphaera.
AdCdus ex demonstraris ab Archimede ex Pappoleomenea superhcici (phaerica
placs ad diamerrum rect cua. ellc incer se ve parres diametri. In hac ersoet.
iam pulcherrima proprietate, rngula _ pLIXTA CONVENIUHE.
eROFOSIIIO. LXXVI.
Vomnibus denique supetsetem ingularem convenire cum (phaerica
Demonstratio.
DOnaneur vngula DB C alcicudinem habens
diamecro parem, et sphaera LGHI R, Sineque
circuli maximi sphaerx aequales ongulae bal
D AC, secetur quoque sphaera quacunque de-
mum ratione per circulum F PFT plano recto
ad circulum maximum F CFT. iunganeur de-
inde P FTOFT. Diuisâ deindeD C’in L, Cc.
cundum racionem qua diuita eAt P. C in R, CrC-
Ataque I. A normalicer ad D C secetur vngula
plano L AB. ponancurque AD, AC. OAten-
dic Archimedes libro de sphaera, et cylindro
propolicione erigelima prima sphaericam super-
nciem FPTTR aqualom esse circulo qui radio
E FI deseribicur nos aurema demonstranimus
vugularem saperticiem ABC aequalem esse
rectangulo L CD, hoc CAD quadratO A C. PFX -
cerea Archimedes demonstraepropolicione eri-
gelima secunda eiusdem libri superkciem sphe-
riCam FTITC absciltam aequalem esse circulo
cuius radius es FT G. nos quoque ostendimus
superhiciem vngularem ABD aequalem este
rectangulo F D C, hoc est quadrato D A. DC-
nique ostendie Archimedes eotam sphaera su-
perticiem aequari circulo cuius radius F C: 8
nos demostrauimusceocam vngularem super-
Eeiem xquari quadraco D C. IgIEULEOTArngU.
nem quam cora phara lupertcies ad luas PaTTCS.
Manifectum igicur estrngularem superticiem d sphaera rocunditare nullo alio dif-
Ferre nih lecundum lineas expanlas et circulares: vnde A quis haCFATIONC ANTCTAE AP-
chimedem devenisse in nociciam demonstracionum quibus in maceria sphaerx d cy-
lindri vlus eAt, non riderur L rero aberraturus.
a 46. huius
b8. Sensi.
45. hivius.
iC ostendo.
laris superticies D ABC ad suas parres in quas est divila candem habet propoxtio-

## Folio 1013 — 1815201908:1070
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001070.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
2013
PROPOSITTOLAATII
lnem impono recensendis ac demonstrandis sphaerx acque vngula
alticudo s C Pal Maelto Balcos LH, lic aurem _e spherA FF PIIHI, ex
eiusdem Cemicirculi P. PH circumuolurione circa diametrum (ive axem
E HI, producta. Ducatur deinde IKE N perpendicularis ad F FI, per quam
ductis planis IDN, IIL, rectis ad F.HI, tam sphaera quam ingula in
duo leomenca dirimatur.
Dico leomencarngularia F. C L. II, HIK IL, candemincer se habere
proxorrionem quam lesmenta sphaerica LF F. H, THN.
Lanalogiis, si ostendero non minus solida legmenta vngularia ec lphe-
rica quam superticierum portiones symbolizare.
Daca (ic cylindri rectirngula P FOHI cuius baliS F PII Cemicirculus,
Semonsitaio.
Vngancur BBHE, TO, N O, O F. Ouoniam exhypochen css a quo abletm.
dirur onsula, rectus elt. erie PI recta plano F IFI, adeoque per defin. 3. vndec. an
SuluS. RIL rectuS. ergo RI est alcieudo rriangul LLR. Leus Gua L CA par
diaCErO E FI, EIvC FM, eric ec Y. I par IN, repacele raris in q1. huius
criangulum igicur L FK dimidium est rectanguli NPK. ac Prentete dequacur qua-
craco IK, hoc eAt rectansulo FIK B: Prramides ergda Bales lune rriangu-
sum F TK, et rectanoulum FIK F, alcirua adc CMMS KC aquales sunC.
Peaetere a legmencum vngulare F OT. LO, aGuatEPSCaC CuLUS BAIS LCCLAHS I- 3. huiros
IuM TIE R; alcicudoradius OF, siuc OHI. GuaceCum pla, cum vanstecca
susum ITE R, alticudo OFI, ad prramidem cuius BaIIS TCCtAHSCI. LIKL, alC
KO, rarionem habeac composicam exracione alcicudims, a  
e exratione balis rectangulae HI F R ad Va CC am FIRF, HOC CAD CxFa- Bi. SexII
tione FIP ad HIK, habebic quoque lesme state L.C L. lO ad prranidem
tionibus TTO ad KO, _ ITE 2d TTR.
Jam vero sermentum sphaericum TF NY concentum sphaerica superficie lL H. LC Archi
conica TON, aequacur ccono cuius balis est circulus radio lF. delcripeus, alcirud prop. 38. l. 1.
aucem radius sphaerae 11O. ledille conus a Con o Lactonenabet Cosn. e
KLIO cuiusbalis est rrians. L. IK, alcacu O tallodem composicam ex la-
litam ex racione alcirudinis FTO au aue RO, a ex racione balis ad balim, 3
ITER ad rectangulum FXKB, aCCH CL FatIONC HIF ad TIK. Ergo et SegMEn. CB. Seniim
cum
hoc cAd ex racione quadrari P P ad Gaal. HI HoC CH c’ex Fatione rectangut d 2. duodes
   s   p  e ospn

## Folio 1014 — 1815201908:1071
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001071.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
2014
Y N GV L A CYLLNDR LC A
69. ton ius
cum lpleum IC. NO ad conum IO N, rarionem habet compolicam ex rarioni-
BuS FTO AdRO, _ TIF ad TIK. Sed criam octendi supra seomentum ongulare
F GL. TO ad prramidem R L TO rationem habere compositâ ex rarionibus FTO.
2d RO, _ HIF ad HIK. ergo Scomentum F. GT IO eAt ad prramidem RL. IO.
veleemencum IENO adconum PON. Ergo componendo segmentum F C, L IK
est ad prramidem RL IO, ve seomentum F. INK cA ad conum IOR. Podem
plane dilcurlu, si sub Ainem loco compolicionis adhibeacur atuisio, octendam prea-
midem KI IO eAc ad scgmencum rngulare KCII HI, reconus ION est ad leome-
cum sphericum IFIN. Igitur ex aegualicace Ccomencum vngulare FOLIK est ad
segmencum ongulare KTP IT, ve legmencum sphaericum LF. N est ad spharicum
sermencum IFINI. Quod erat demonttrandum.
Dico insuiper seomenturngulare F. G: P. TO esse ad segmenrum ongularoOTL FI.
relphaericum scgmencum IP. MO, est ad sesmencum sphaericum IONEI.
Demonstraiio.
DY camides, quarum bales suncrectangula FTPK, P H K: communis aurem alci
cudoradius OF, hoc est. Seomenea vnoularia RCFF TO, OTLFI, Pune incer (0
verectangula HIFK, F FIK, hOC CA, VE FR ad RFI. Aequi eriam coni quorum
Arch. 58. bases sune circuli radiis FI, HII de Scripei, communis vero alcicudo Pemidiameter
1. sharic. O F, hoc esb sermenta sphaerica PF MO, IONFT, Cunc inter se, ve quadraca F I.
FTT, hoc est ve rectangula FIER, EFTK, hoc eAVE F R ad KHI. Ergolermenca
vrgularia F C LIO, OIE K candem incer se rationem liabene, quam legmenta
spherica IE MO, TONFI. Quod crac demonstrandum.
P ROPOSITIO LAAVIB
m inicet fsamues tusaa mpiao, aconos ios puata
non leuisiridem analosia intercedac, hanc quoque rribus lequenci
buopcopolicionibus explicabimus.
Data

## Folio 1015 — 1815201908:1072
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001072.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
TNGVLA CYLINDRLCA
2815
Aca sic exlindrirecti ongula F C HL, habens alcicudinem F C parem diamcero
batis e sphera AB CD. Cui sectx plano B N C inscribatur LCOsceliuS COnUS
ABNC. diuisa vero diam cero balis vnsulx P FI, (gux axi AD Sc aqualiS) in R.
vediuilus estaxis AD in M, crigacur RI normalis ad R HI, quam PaCCE IPEMC
essexqualem. hacque sectio KPI. ad cxlindri axem parallela. Luncta demum III
(quam eriam pacecip(is C A eNC aequalem) per TII _c I, planum agacur ITIL.
Archimedes propolicione decimaquarca libri de sphara e cylindro demonstrat cir-
culum deCcripeumradio qui sic medius incer M N _ N A, proporrionalis, Ciue inceF
MC e CA, aequalem esse eori conica superticici ABNC praecer basim. Idem
applicandum est ongula, oltendendum scilicee TFIP. Supertciem criangularem X
qualem esse quadraco facto sub lacere, quod medium sic proporcionale intex rectas
KI, TFT, hOC CA MC, C R. Iunse OF. quoniam G F Cst ex hypocheL par R FF
eric OF dimidia FC. ergo etiam IR dimidia a linex JL. Isicur rectangulum a Ex de
BFTI, IK elt criangulo TIIL aequale. Sed quadracum super media incer III, IK X- monstraci
n +T. BB
quatur rectangulo RI, IFI. illud igicur iplum quadracum est aequale TIII criangu- b Ex de
10. Idem intellige de quauis superticie pyramidali modo explicato.
monstraris
Porro manifestum est prramidem RILFI vngula B FO II inclulam, reprZ. ibid
Tencare conum inscripeum parri sphaerica AB N C ea rarione quam constructio po-
Aulanic. Ouod liquido lector incelliger, si conisuperticiem secundum lonsicudinem
perimerri baleos sue expandi concipiac, quod X I ipH M C, _ TTF ipS C A SIE X-
qualis. Ouod sigitur IT. Forec circulari perimerro expanso B NC aequalis, cum
superticies IHIL non solum repex sencaree conicam luperticiem. se dilli omninox.
qualis existeret.
eROBOSTTIO LXXIX
TVF CCFI IBITaTa PIaHO A E C recto ad axem BD Geuti lecta CAL TC
cylindri recti ongula sectione LM N, quae recta est ad diamerrum
OI. e ari cylindrico parallela: vngularique (egCnTO RL ML. N pyra-
misin (cripca (IE, (phXTICO VETO CONUS ABC F.
Dico triangulum MIK N ad ML N, criangulum candem habere
proporcionem quam AE. C balis coni AB C E, ad superticiem eiuldem
Pexterbalim.
42
Demon-
Put  t     u sa    s   .    e le   e  tst. pae e t     ete t u et et   e  t e st  est  e e   e  i s   e   .   e s . t

## Folio 1016 — 1815201908:1073
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001073.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
1016
VN GVL A CXL INDRTC A:
Demonstratio.
Emonstrat Archimedes libro primo de sphaera et cylindeo propositione decima.
quinca, cujusque coniisolcelii superticiem ad bauim suam eam habere rationem
quam lacus coni ad radium circuli baleos, hoc est in calu nostro, ve est AB linea ad
lineam AF. Cum auFeM BOnaCUE C K ad KL, eandem habere rationem quam H2-
bec DF ad F B: isicur Criam CAE C K AdRMI, VEDF Ad F A, SEVE R MI ad ML;
sic F A, ad AB, quemadmodum exelemenris pacet. (Cd VE RNX adM F, icacrian-
culum KM V ad triangulum LM N, cum eorum commmunis alcieudO GE MVT. er-
BOcrianguLuM RM N, Cs ad CrIANGUIUM LMN, VE F A ad AB, hoc est rebasis
coni A F. C ad reliquam coni luxertciem. Ouoderac demonstrandum.
P K O P OSITIO LXXX.
1dl
DOnacurrursum exlindrirnguta L. 1O, sed cuius alciendo H L par sie
diaeero G L: (CECFUT VerO CONUS ABC, sectione O P O, BaSI AF. C
Parallela, ee dividatur M L. in R, ve divila estin BF in P. cum per pun-
cum R sectio AaE R SV qux a quidister plano N MIK.
Dico spatium MIR SNY aequale esse quadrato sub linea quae media
eA proporrionalis inteF MIR _t MIE, RV Cimul Cumptas, eo prortus
modo quo spatium superficici conicae duobus perimerris parallelis AF. C,
OP O incercepcum aequale cR circulo cuiusrndius est medius incer P L
vel AO, ee lineas AF, O F simul LumPEAS.
.5191I1.
Demon-

## Folio 1017 — 1815201908:1074
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001074.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
YNCVLA CLLLADKFOA.
1027
Demonstratio.
Vod IFatium parallels circulis AEC, ODO comprehentum aequale sic cit-
Erculo cujus radius meciam proporcionem hiabeac incet lincas. A O _ OT, AF
Simul sumpeas,non incendo demonstrare, cum id ab Archim ede libro primo de (phxe.
ra e cylindro propolicione decima lexra sic demonstrarum. Superest igicur hocip-
sum demonstremus de Agura MR S N, quod illa scilicec regualis sic quadraro medie
proporrionalis incer lincaS MI R, e aggregacum ex duabUS M K, R V. hoc aurem AC
Ostettab.
Duoniam extyportieh exlindrus ex quo delumitur rngula, rectus est; erie lacus
cxlindri rectum ad Basim OFTL, adeoque per definic. 3. vndec. angiilus NNTL rC
etus est. Ouia aurem parallela plana ex hypoctieli NM R, S R V sccac planum
NML, crunc communes lectiones NVM, S Ra ParallelX. cum igitur anguluS NM K a1S. Vudéc.
rectus lic, criam S R V rectus etic; crapezium isitur MNS R rectangulum est ad
balim suam MR. hac igicur in X secabitariam, ductaque Y Z. Parallela ad M N,
NS, Cric rectangulum MR, YZ aequale crapezio MN SR, quodcacim pasec, si
pet Z. ducacur parallela ad M R occurrens rectis MNI, R S. recta quoque Y Z crie
dimidia summe rectarum MIV, RS, quod eddem constructione facta nullo eriam
negocioliquer. lam vero quia LFI alcicudo ongula ponieur aqualis diametro ( L,
crie hec dupla semidiameeris adeoque _c NM dupla b ipsUS M K. CumigiEUEN N, B Exde
SR sincparallelaes eriam S R dupla eAt R V. Ergo Z Z dimidia summa rectarum monstr. 41.
NVNI, SR, aequatui rectis MK, R V. Ergo rectangulum (Ub MR AE MKR V, hoc huius.
est ouadracum medixe proporcionalis inter MI R _E MR, RV, aequatur rectangulo
M RE, YZ, hoc est reance octendi, plano MNS R. Guod erac demonstrandum.
Priu(quam hic manum collo decabula, ve sphaera acque rnsulae admira:
bilis similicudo clarius incelligatur, communes veriusque proprietates
praecivuas rnum Cub aspectum Lectori dabo.
Symbolizationes oncula cylindrica cum sphara, primocirea
Colidorum rationem.
P R Y N A.
Vemadmodum ingula a vngulam in criplicara est rarione lace
um homolos otutu, lea quoque lphaera ad sphaeram.
Seomenta ongularia ex sphxricaram ea guxe planis ad diamerrum rectis
abscinduntur, quam ea qua ad cenera consistune eandem incer sehabene
tatiotem.
semihexagonilincas plana tanc axi xequidistantia, idem quoque preste-
curin lemicireulo maximo (phaerx, ex hixec figura circulo inseripea in or-
bemagatur producens conicas superlcies; in cadem rarione (ecte erune
e vngula e (ptiera:
Duemadmocum pracetomococcaara ae luam parcem inscri
pram habecrationem octoad lex: ira quo que sphiara ad siguram in seripea
habet proporcionem octo ad sex.
Ouod sibali rngulari Semihexasonum inscribatur, et secundum huius
Sieur
  e ss. A.  A   . e     e     .   B  H.    1         et ets.  st   1  s    .  et u  1a e  11 .  ur1

## Folio 1018 — 1815201908:1075
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001075.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
1018
Sicur uta dem habens diamerro balcos parelus Cis Moru.
cro, liucprua riz a ueno, CeterGuratcerun VirgUta, IAMMHIIII
cer sphara cul luo or oeuaas spharam ambiens elt tel-
quialcer sphaera.
V1
Ouemacou moes pals adocum aoruerum e cpiica
caracione lacerum diamerro x quidistancium: ica etiam concinsie in par-
cibus inuolueri (phaerici, li ad eorum involuerum conteras parres inuolu.
cri, qua insictane lineis axi parallelis.
I
quacur prramidi, cuius balis par est curuxe luperficiei vnoule, alcieudo au-
tem lemidiameter, ita d sphaera equalis est cono, cuius basis est par super-
ficiei Sohaerica, alcicudo aurem Lemidiamerer sphaera.
+1IV
Sicuri leomenco ongulari quod plano per cylinari axem ducto decussa-
cur equalis est prramis balim habens aequalem curue superkiciei seomen-
ei vngularis, alticudinem vero parem lemidiamerro: ita etiam spharice
portioni aqualis est conus balim habens xqualem superticiei sphericae
porcionis, alcicudinem vero semidiametrum sphaere.
1X.
Ouemadmodum ungula maxima pyramidis sibi in scripre dupla est, ita
e hemispherium coni maximi sibi inscripei, duplum cA.
Secundo circa rationem superficierum.
N CVLA DLLIADKTCA.
Ouemauo a alclmmadens ansameo paca
R I M A
Placeralibus criangulis, equales lunt rectangulo quod tir luper diame-
ero circuli quibasis elt rngule, et alcera linea que equacur alcicudini vn-
Sule. Ira quoque superticies conice ex cuin lcunque polygoni circum seri-
Pei sphere circumuolurione producte dempris lateralibus equales (UnEre-
ctangulo quod heret Cuper diamerro e linea que rori perimetro circuli
maximi estaqualis.
11
Ouemadmocume Mus Polssoni, alcerius polrgom hedriscirca
candem ingulam constructis, exelusis laceralibus criangulis, incer se x.
quales existumr: ita quoque licirca sphaeras duas aequales diverla polvgo-
na ex opratione formata conicas superticies produxerine, crunt luperticies
vnius, alcerius Luperficiebus aequales dempris laceralibus.
A dre cuiuluis polygoni cingentes ongulam si simul Cumatur seclusIS
Sicut ex divisione diametri ungularis sub quauis ratione, supertcies
veulaleo plaluo lccelcepla ila Holllaluet de clalilelcuca pet plcala
diuisionum ducuncur sele habene le cundum rationes in diameero factas:
ica

## Folio 1019 — 1815201908:1076
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001076.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
V N GVLA CYLINDR IC A.
1O19
ita etiam parces superticierum sphaerx diuilx pex circulos rectos ad axem
eandem racionem corinent quae incer segmenca axis facta elt.
VrcM diamerer circuli ad semiperimetrum ciuldem, ita quoque cst
Ephaerae luperficies ad cylindrum alcicudinis que xquatur perimetro cir-
culimaximi: Pari pactovr diamecerunsula est ad perimerrum semicir-
cularem, ita est ongularis superkicies ad semicylindricam ejuldem altieu-
dinis.
Ouam racionem obcinet superticies rnius (phaerx ad alcerius superti-
ciem, eandem leruane inter se proportionem vngulares luperticies, modo
proporcionales linebales ongulares cum maximis circulis sphxrarum.
Ouemadmodum superticies sphaerx quadrupla est maximi circuli, ita
d superticies curua vrigulx cuius alcicudo par est perimerro circuli qui
balis est rngula, quadrupla est eiuldem circuli.
Sicur superhcies cxlindri sphaeram ambientis selquialeera cAt (up erH-
ciei spharae, ita et prilmatis rngulam concinencis, ca lupertcies qua cur-
nam rnsulxe superticiem cingic, ciuldem est se lquialcera.
VII
Ouemadmodum sphaerx superkcies aqualis est circulo cuius radius
par elt (phaera diamerro: ica eriam rngula cuius alcicudo par est diame-
ero balis, xquacur quadraro cuius larus eAt diameter.
Alias Gymbolizaciones non prosequor, Cufficir enim hac inlinuasse Le-
ctori, ne longiorsim quam oporcet. demonstrariones veroharum pro-
prictatum pleraq: a nobis in propolirionibus peaecedencibus eradiex
Tunc: exerera vel exnoctris, vel ex Archimede d Pappo non ditficulrer
ExVICHTOT.
n

## Folio 1020 — 1815201908:1077
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001077.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
1020
+ . 2 t 22t2Dtte to
A R S
2
nemam paradolcam considerat; insuper cylindricam onculam e
spharam conferi cum parabola es cylindro parabolico.
PROPOSITIO LXXXI.
asicongula LLDC D, alticudinem habens parem basis dia-
mecro, quam Lecenc plana P. BC, GF HI ad diamerrum recta.
sic aurem ex patabola IIEL, arem habens varem semidiame.
erO F. D, ordinatim vero lubeenlam IL, diamerro AD Xe qua-
lem, diuila deinde IL, Similicerin MI e P, ve AD est in F. e O, ducan-
EUIF MK, PS ad IL orchogOne.
Dicocoramrngulam ABCD elle ad legmencum L BC. HIF. 6, ve
parabola lIE L est ad legmencum M RSP: icem coram vngulam esse ad
legmentum G FHTD, licut parabola est ad legmentum P SL.
Demonstratio.
8. DgA Vm parabola TRL habeac bauim diamerrO AD, _ axem semidiamEErO L. D
Schol. 19. xquata haec alcta in Luum aRCMM, hOC CA in ED, vel EB, aquabieur a semi-
BtoitS.
cum in calee alcldamem; aquabicur lcoemoemene L. BSC McoMI
sciplum, hoc est legmento vngulari E BC FIF C. Acqui Colida parabolica Orta ex
ductu parabola TRL, _ SeGMCnEI MKS P, in communem alcicudinem aXCOS.
uncrebales, hoc est reparabola TK L. ad sEGMENEUM MK S P. ergo eriam rngula
ABC D, est ad leomencum Cuum F BC. HIF C, re parabola IKL. ad segmentum
MKSP. Duod crat demotcraltdum.
circulo ducto in seipsum, hoc est vnpula b A B C D: IECM SeGI EHEHIM MK, SP du-
Alcerius parris eadem eA demonstratio.
PROPOSITIO LXXXII.
Hlecriangulum ilosceles rectagulum A B D cum alcero limili et aequa-
bDE Materhe Pollum. Ctutode bllactam b2 in t, Polilaqui

## Folio 1021 — 1815201908:1078
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001078.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
YNCVL A PA R ABOLICA
F E quae aequidister AB, describatUE
parabola BL D cuius axis lIC L F.
Dico magnicudinem ortam ex du-
ctu GH, in FII aequari crlindro para-
bolico alcicudinis F. F e balcos BL. D.
Demonstratio.
DVeatur parallele M L. M quidem ad BD.
_E GMRTILad ABs lInC FFI. VI
chesi BD, DC aquanEUE. ergO _ BTI, TII
aequales lune: pari aroumeto pares luncTID,
TIC; rectangulum igieur B FTD est rectan.
gulum GFTI. Cimiliter F F, ipE FD, e
FL ipA BF aqualis est; rectangulum ioi-
cur BF D, eA rectangulum F FL. quia au-
cem BF, FD ex hypochelXQUanEUE, CrunE
criam F F, FL aequales. rectangulum igirue
FFL, (hOC est BFD) idem est cum gna-
deaco P F. lam vero cum rectansulu BHD
SC ad FCCtANGUIU a BFD VE RII ad PF,
etiam rectan gulum GTFF CxiE ad quadraTuM F P, ve RHI adt F F. Sed quam rario-
nem HabCE HK ad FB, candem b habet rectangulum MH K ad rectangulum 2 Seusi.
EFL, Cinequadeacum B F. Igicur quam racionem haber rectangulum CFTI. ad
quadratum FF, eandem quoque obcinec rectangulum MHIR ad L. L quadea-
cum. ergorectangula GTIL, MFTK aegnalia lune. Similicer oscendam ductis quoc-
cunque lineis aliis parallelis singula semper rectangul2 C+ TI I. xquari singulis rectan-
SuHIS MTTK., Ouare magnicudo nara ex ductu erianguli AB D in BDC, c X9V4 C4+6. duotus.
cur cylindcopacabolico qui contac bali B F. D, ec alcicudinc PP. Ouod demon-
ArareOPOrTUIE.
Corollarium.
17 Parab.
BD ad D C, sic BF ad HII. Sed ex hypo-
ssybacicudine LL tormet quanticarem aegualem magnicudini quae tur ex lermen-
tiscriansularibus in se inuicem ductis, quae illis ijldem parallelis incercipiuneur qui
bus parabolx pars tuic claula.
JX hac propolrinne consequens est re quaevis pars parabolx parallelis intereepra
PROPOSITIO LXX XIII
AEa (IE SpHETA ABCE, secta plano B D F ad axeM AC ICCIO. VC.
scribatur deinde quaevis parabeta  cutus d AIS HIK lIE PaF la-
axis sphaerae sectus cM L. C per  aucu ML Paranrd att.
Dicorphaeram AB DC secundum eandem proporrionem diuilam et-
AC CIcusO BDC, lecundum quam diuisa eAt parabola F. LIL. C rect 2 L. NI.
cerirecto, ee ordinacim polica siE F K C: quae similicer secetur in MI, ve
Demon-
 e et et i t s e  p e   e  e  .  e t p at qe t   1   t          e t a     e e e    t u  te e e e 1 e  e ue e e t et et e   

## Folio 1022 — 1815201908:1079
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001079.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
ENCVLA PAR ABOZ TCA.
Demonstratio.
Enero R, spacio FT, describacur semicireulus, ouia axis FK Xquaeur lacerire.
at0, erit YIR equalis K F. unde semicirculus cransibit per F, ec C. Super hoc
Temicirculo rebasi incelligacur heri rngula FFTIO, a Cylindro recto abscista guX
Si. Buins. alcicudinem parem habeac diametro baseos F G: productaque M L in O, sCCCTUE
ingula planO peF MCO ducto. ORensum enim a CA PArECM VnSULArEM FFLOMN
ad reliduam, eam racionem obcinere quam parahola F FL. M tegmentum, ad par-
677. huius. cem L MC: Sed ve vngulae pars ad vsulx parrem, ica quoque sesmencum b spHXrX
2d sphaeex Cegmencum; isicur eam Cortiuneur parces sphaerx incer se rationem quam
parcesparabolx habenrincer (c. Duod tur demonstrandum.
PRODOSITIO LXZXIV.
Zhis alicer quam Archimedes prox. 4. lib. 2. de sphaera e cylindro
lpheram lecundum datam rarionem diuidemus, hunc in modum.
DArabolam F FTC, cuius axis HIR, par Ordinatim POSIEX FR, per dIAMeTrOM M L.
seca in dara ratione: reque secta FC in M, ica axem sphaera seca in F. planum
ductum per F rectum adaxem, sphaeram secundum dacam rationem parcieeur; ve
pacet ex propolicione iam demonstrata.
PROPOSITTO LXXXV.
exlindrus parabolicus, (cuius axis F P, balis parabola ABC, at1
Labaleos BF, ordinarim ad axem potITa AF. C,) Secetur planO per
AC, exhibence in exlindri superticie lincam ACD.
Dicolincam AC D esc parabolam.
Demon-

## Folio 1023 — 1815201908:1080
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001080.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Y N CYL A P A HC ABOLIC A.
Demonstratio:
Vcatur recta PD, et sume in axC F B.
quoduis punctum I. a quo ducta ordinacim
TFT, que proindle parallela eric ad AF, CZ TI in
cxlindri superticie ponatur recta FIC, quam
quia axi FS aequidistat, pacec eriam recte AF
requidictare. Ouoniam isitur TFI, FTG aequidi-
REANE P A, AF, crunc plana 2 ITTG, F AF P2
rallela: quae quoniam sccat planum F. AD, C.
runcbcommunes sectiones AF, R C parallela.
sane aurem _ TII, AF parallelae. ergo criam
CiK. FTI parallele. Demde quoniam parallela
PlanA F AF, S,ITIOK secac planum BF SD.
erune communes sectiones TR, F. S Parallele:
led eciam FTG ad axem F S, est paralIela. eF
SOTR, ITO ParallelX. Ergo OFI, IK paralle.
logrammum est. erso HII, CR aequales. ITis dc
monstraris huncin modum concludemus pro-
Policu. ducatur in exlindri superticie recta BD
cric haec parallela axi F S, acproinde eriam ad
TK eric Parallela. Igieur F. D est ad RD, vE
FB, ad IB, hoc eA, cvE quadratum A F ad qua-
C d. parabi
deacum TTT, hoc est ve quadratum A P, ad quadeatum CR. ergo d AC.D parabo- dibid.
la est. Quod crac demonttrandum.
P R OP OSITIO LX X X V1
ixlindrus parabolicus rectus ABCD (cuius balIS ABD, e balCOS
LaxIs E B, ordinatim verO pOsITa A P. D) Secerur primo sectione per
AD exhribence parabolicam vngulam F AOCBD, e alcera sectione
GFMI qua aequidisterbaM ABD.
Dico rngulam eoram AOCBD ad
partem rescistam G F. C. M, quincuplica-
iam eius habere racionem quam habet
AD, ad C NI.
Demonstratio.
DTuidaMCML PIOBOTCIOHALIEEK FECLE AV.
CM in quibuluis punctis I e L, de cri-
Sancur diametri TK, L N) de sectiones hane (e.
cundum lincas EB, TK, XTIF, L N exhiben.
ces in superficie cylindrica rectas lineas BC,
KO, _ FC, NP. lunsantur denique P C, 1O
ex FTC, L P. Ouoniam plana TRO, F BC
parallela secar planum A C D, crune commu-
hesfectiones IO, F C parallela. pari argumen-
EOpaFaHIClX sunE FTC, L P; X similia exunE
criangula F BC, TKO _HIEC, L. NP cum
tam anguli BF C, RIO quam anguli FBC,
TKO. icem eam anguli FTTC, NLD quam
FIFC, LNP aequales sinc. Deinde quia re-
Etx AD, CM Smilicer ex Constr. sunc diuilx,
eric rectangulum AID ad rectangulu AF. D,
ida
13
b.
5. Vndoc
Au e  t ut pes e  e  te  e e     e ete e et e   u    te  e e t   t    ps e  s  t tt   s e  te  t 1 e e s  1   .  

## Folio 1024 — 1815201908:1081
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001081.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
1024
247. parab.
erma
parab.
NGVLA PAR ABOLTCA
VEFECLAHBCH GF MI ad rectanoulum OFTM.
c80a _ tR eHt ad B B, VE L N ad HIF. DC.
inde ob errangulorum similicudinem, OK es
a C B, DIK ad E, B, hiOC CAVEINadHIF
hoc est ve NP ad F C. Igicur rngula A BCD
ad ongulam GF CM, rationem habet com
posicam en racione baleos ABD adt balim
FM, ded alcicudine B C ad alcicudinem
quoatones parces baleos ABD al
omnes pallesbaleos CFM, hoc eA pars balis
ART ad G HL, veI TRBF ad L NFHI
caroen tationem habene quam cota parabo-
la ABD ad parabolam G F M ec alcicudines
DeSVa ABCD ad alcicudines rnou-
ECM, VEBC ad FC, vel RO ad NP.
Scat Lac baleos b ABD ad balIM G F M.
tic
A OBR, est criplicata racionis AD 2d
e ratio BC ad FC, hoc cA. F B ad
HE, hoc eAt SB, duplicaca c CA eius, Quam
habet AD adO R. Igirur quoniam raciorri.
plicata AD ad OR, ducta in duplicatam
eiuldem producic quincuplicacam, manifestu
est racionem ongulae ABCD ad ongulam
CFCM, quincuplicatam eAc eius quam ha-
becrecta AB ad K, HBCCM AB ad TIC, Sine AD ad CM. Ouod crac demon-
Arandum.
abus, polirisq conhschdus Hei Ce ponancur ordinarim BC &
FI, _ crectis FC, BHI que aequidistenc axibus; mixcilinex superticies
AEBHI _ C DFO, ducancur in leiplaS.
Dicocorpora producta ex ductu illo habere incer se quincuplicatam
rationem eius quam habet BC linea ad lineam FI.
Demonstratio.
Lutcate ploporrionalicer AFI, C CInR e
MI, X COnSICLANEUE R E L, M D N parallela
diamectis. cric islea lectangulum FL P ad FNP
hoc cst BCO ad BLO, relinca sIC ad ND
hoc ete C A ad L H. ergO vE A C, hoC CA R I ad
L, HBC Cst MN, HaCrIC F. L ad DN, vel RF
a M D. Lgitur AB ductum in (c ad CCF.
in Ce cdel, habecracionem compoticam ex (u-
pertele LLA F B de luperticiem GCDF, X Cx
alcdine HIB ad CFi alcicudinem secundum
cenorem discursus lacti praecedenci propolicione
sed balis AF BHL act BalIm C D F C, criplicacam
fersterem AE B sI ad CD I C. eandem racio.
nem habere quam parabola, ABOad parabolam
FC P:) ex ratio HB au CF, hoc eAt A C ad C li
du-
E RO POSITTO LLLAVIT
Abeant parabole ABC, CDP aequale lacus rectum inscruiens axi-
habec racionem eius quam habec linea AHI ad
CO, hoc est CB ad TF, (ostendimus enim su-
1
du

## Folio 1025 — 1815201908:1082
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001082.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
IN GVLA PAR ABOLFCA.
2025
dupieata est rations Gua HaDCE ATT ad C G, hoc est CB ad IF, igitur cum
eriplicacaracio BC ad F I, ducta in rarionem duplicacam eiuldem B C ad F L, PrO-
dueac quincuplicacam rationem FT A ad CC, pacecrationem corporum ex ductu
AEBHI _ CDFC, in scipla esse quincuplicatam eius quam haber linca AFI ad
CC. Duodtuir demonstrandum.
EROLOSLLIOLKLAVIII
VInE ABC, DEF Patabola similes de aquales quarum verrices A X
A D, _ axeS AF, D C. Similicer parabOIX G FTI _E KL M, Similes in-
cer le d aequales quarum axes GIE, M I: sic aucem Olinea lacus rectum
quod omnibushis parabolis ad axesinleruiat.
Dico ABC D ductum in AD F. F ad GTTIMI, ductum in GML. K,
quincuplicacam habereracionem eius quam haber AD ad G. M.
Demonstratio.
ais Pe N, _ Polcis rectis BPF _
TTNL, quae aequidistene axibus descri-
bancur parabolae per AB D, EFTM ha-
bencesaxes BP, HINI. critigitur ABCD
ductum in ADPF, xquale a parabola
ABD ductae in sc, e similicer CTTIM
ductum in NLKC, aequale parabolX
C HIM in CC duetc. habene aucem parabo-
lE ABI, C FTM equale lacus rectum ad
aXes quod sc ostendo. DUCANEUT BS, S A
ip(S P A, PB paraHelX ve AS ad SB. RC
SB ad O, lacus rectum, b scd B P, P A ip-
sS B5, S A Cunca qualeS. ergOVE BF ad
ita NC adO, quonam ex constructione
parabola ABC; C FI L commune habene
latus rectum O. sed criam lincae BP, P A
communes uncparabolX A B D _ rectX
TTNI. NC communes quoque parabolx
GFTM. Poicur commune habene eriam
lacus rectum O. FIoc posico; demonstra-
cum estc ABD, ductum in sC 2d F FTN
in se duccum quineuplicacam haberera-
tionem AD ad ETVI. Ioicur eriam ABCD
duerum in A D RF ad GFTTM. duccum
in CM E. K, haber quincuplicaam racionem eius quam haber linea AD ad C. HI.
Duod uic demonstrandum.
luidancur AD, CM bitariam in Pun-
Pa, ica fk 2d0, a teses aue
PROPOSITIO LXXXIZ.
NI ABC D cylineas PacaCU,  IECHO AFCD, HGUTaIII PAIL
aes delicam preltucens, cuctilq: continsencibus parabolam A MI, BNI.
demictalus lecta MC, in qua alsumpro quonis puncto C, perilludHaE
Eectio FC K Patarieta plano ABM.
Dico FC concinsere parabolam FK l lectione per C. taAt 2 productam.
Demon-
e        e e e e   e e e Be e  a a s u   t  1 1 B ee e  e p e 1te B e t  t 1 e  e  te este e te t t e e e e es  e  ste t e e  e e 1t 1

## Folio 1026 — 1815201908:1083
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001083.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
1026
d20. vaaee.
VNGV. L A P A K A BOLLC A:
Demonstratio.
lcca AB in L, dUCCAqUCL P. AL; Perre:
CEAS L MI, MO C dueacur planum taciens
in plano FK C: communem leccione RIC1,
ee in plano AC BIECTIODCM L. K C, in super-
Acic aucem chlindrica rectam PIC. Quo-
niam AM ex construccione parobolam AP. B
concingit in A, erBOAL B, PM aequales lune
linex. cum ergo planum FK C aquidistet
AM B, erit quoque O K D aequidistans L M.
ergo ec R I aequalis IHI, cum criangulum
T. MC, Similc AE KC C criansulo e L B ad
EM, VE RI ad IC, quare ceriam GF PAra-
bolam FKY concingic in F. Quod deimon-
Arandum Fuit.
PROPOSITTO XC.
DOnatur cylindrus parabolicus re
Ctus ABCD sectus quacunque
sectione perrectam DF in plano D AF
policam, extribente secrionem FOD.
DicoFGD esse parabolam.
Demonstratio.
iuita bitariam A D in E, sIEEB diame.
cer parabola ABD, per quam ponacur
planum parallelum ad AF, exhibens commu-
nes incerlectiones FHI. HIC, BC. Deinde Aa-
CUAEUE PK aequidistans L A, eric IK ordina-
eim posica ad diamerrum E. B. secundum LK:
tiac sectio aequidistans AF, occurrens plavo
ECD secundum rectam MNV, qux proinde
Parallela erir rectE DF per 16. II. exhribens
precerea communes incerlectiones cum cylin-
dri superticie KM, ON Pacallelas incer (C; Po-
licaigitur ex N recta NP, qux xequidistetOK
Crit OR P paralletogrammum, ideoque PN,
aequalis est K O, d quia bitariam dinila cAO R
in I, diuidetur quoque PN, bitariam in O per
TE, communem incersectionem planorum
EBC, _ ORM qua IE aequidiltAE RM: 20
proindecciam MN bifariam dinila est in L,
eA vero d FD bilecta in II.
Deinde quoniam cplindeus ex hypoc. rectus
eA, CrunEangULi F AD, MK O hOC CA MPN.
recti rurlum quia A F, F D aquidistane PM,
M N, d anguli A F D, P MI N ParES CrUNE crIan.
Sul2 ergOD AF, N P M aeguiangula lunE. FrgO
DE AD ad PN, siC FD ad M N. ergoquades-
cum AD es ad quadracum PN, hoc CARO.
DE quadrarum FD, ad quadEAEUI MN. sed
quadra.

## Folio 1027 — 1815201908:1084
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001084.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
VN GVLA P AR ADOLFCA.
1027
quadracuI AD CH da quAdEaCUM RO, VE- F B ad BL, HSC CA, VE FT C ad F 9. 2 1. parab.
ergo quadracum FD eA ad quadeacum MNT, vE TIC ad LO. C Ca ED
MN bilecta sinc in FT _ L, erit quadrarum F FT ad quaLACM AI L, ve HIG ad
T G. ergO FM OD parabola est. Ouod crac demonstrandum.
P R O P OSITIO ACI.
Ixlinari recti parabolici balim ABH sccetGuS A C, LccUMOUI
quam de rectam AD Facta lectione ACF, crectaque ex I puncto,
quo dividicur A. C. bitariam diametro IB, Ponatur planum per IB pa-
Fallelum rectae AD, exhibens BF. rectam in Cuperficie crlindri, qua bis-
secta in C, Ponacur per C X AF lincam, planum AGF; de ponantur pla-
NA per ABE; _ CBF. qua exhibeane communes incerlectiones AC,
GF, DE, F F
Dico corpushabens basim ACF, ec hxdris ABG, BCFC, inclusum,
aquale ese corpori quod tc sub basi AD F, claulum planis AG F. D X
CEF: Sivecocum prilma ACFDE B, plano AC F bilecari.
Demonstratio.
Droniam planum TB E parallelum AL
Llecat bitariam A C in T, secabie quoque
DF in E bitariam, gua parallela est rectae
AC e consequenter diuidec bitariam rects
AF in puncto R, Ced ex constructione pla
num AC F dlividic rectam quoque BF bita
riam in C, Parallelogrammumisitur IB G R
xquale est parallelorrammo REF F T. Oua
re cum prramides IBGR A, RGEL F X
quales trabeane bales, ee alticudines irem pa
res linc, quod planum IF. aequidister recti
AD, CF e BiseceEreCtAS AC, D F prrami
des ∞: quales crune. Sed criam eorum prisma
AIT DE B XQUaTUE EOTI ICFLFB. CrgC
e reliquum IBK O F C aequarur reliquo
ROF L D A. quibus ( adda5 aequales illas
prramides, crie solidum AC F G B par (0-
lido ADFC F. Ouod crac demonstrandum.
ic dehuo nus pacadencus iectus Cuus vaus palabora lve,
ducla deinde guamose forcsane LB, atutcls B,
BD. bilccen c m a e a camenatum lint LlI, ,l
ducancur A tl, HIB, Bl, ID, perrectascandem AV, AB, BV, a AII
neas AlE, EIL, BMA, Iti, DB:h Plato autem aMsccclones lactate
ducancur parallela laceri AR plana qua faciane in plano R MO, lccHo-
nes L. S, F. Z, C. V: ducra deniqui diasonali AO Eat lecrio per AO: quae di
vidat
PROPOSITIO XCII.
AIB, Bl, lB. Plaita Penateur caocnua in chMmar LaBence scclasi-
neS S MI, Z L, YN; in planiS verO ADOIE, ABNIK, DBMIO IccciO-
    ot         e   ur t       7 Hueu o   he  Hstrte 1 f gu Be   s  f  ert e   S A

## Folio 1028 — 1815201908:1085
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001085.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
YNCVLA ERRRDOLIOA.
1028
vidat B Mt BHactamint, de ploducat communes sectiones AO, AVI,
Dicoisleur ab eodem plante es Bilatiam quoque dividi aggregata
prilimarum quae reliduis trulti cxlindrici segmeneis inscribuneur, hoc est
Colidum AFBGDIHAOR OZPV A, aequari lolido AVP XORO.
ARLNOLMLRA.
Demonstratio.
Voniam AF aqualis est FD, hoC ClC
L5O, e F. S aequidistat AR. CFIEA Y
aequalis T O, est aurem P B ae qualiS P MI:
excostructione; igicur parallelogrammum
CA F B P T quemadmodum e Agura
PTSM quia vero sesmenca aequalia lunE
ATIB, _ BID, HOCCAR L MI, MNO, e
GI, FEI diameeri diuiduncrectas AB,
BD bitariam in F X C, a crie criangu.
lum AFIB, aequalecriangulo BID, hoc
eA criangulo MIN O. quare cum eciam lic
alcicudo BP aequalis alcicudini MIP , Cx
constructione; pars prilmacis habens ba-
sim criangulum AHIB, _ alcicudinem BP
aequacur parri habenci balum criangulum
MNO, _ alticudinem M P. Sed etiam EO-
cum prilmahabens eandem basim eriansu-
lum ATTB, e alcicudinem BM, xquale
est prismaci Cuper bali criangulari MNO
_ alCICUdINC B MI; IgICUr AVPOMZKI
residuum cuius balis esteriangulu AVPO.
XGUAEUE PXORBGD L. alceri residuo
cuius balis es criangulum P Z OR. Eocum
isicur tolidum AFBG D TH AOROX
PV R, Xquacur ColidOCOci AV P XOR
OAKLNOYMZKA. Ouod eracde.
Corollarium primum.
VOdGTubEenSis AFI, FT B, B I. IB. bitariam rursum diuisis per diamerros inscri-
Lbaneur legmencis parabole reliduis noua rursum criangula, 2cque ita procedacur
in infinicum: actisque per lingula lacera planis inlcribancur residuis erlindripara-
bolicilesmeneis prismara alia, eodem dilcursu demonstrabimus, plano eodem illo
AF O. bitariam semperdiuidiaggregara prilinatica.
Corollarium secundum.
VO, PO, PAO, ZR, PR, 1, LP
Hlispoliris demonstrauimus in preccaen a ee coutu
E M O, bilccari plano A PO.
AocylindricO ABD O MIK, cuius aduer (a plana Cunc criangula ABD,
monstrandum.
Lterri poceric cxlindricum corpus parabolicum bitariam in parces aequales diui-
Cum esse ex eo quod in infinicum per constructionem peaescripeam inscribi possine
verisque aequales quancicares qua lemper plus dimidii residuorum auterane; unde
per caquae de progrestionibus dicta lunc, concludirur plano AP O bitariam diuilum
sc cxlinaricum lesmencum quod bali contac A B D es alcicudine MB.
PL
Yqre consequenter quories planum AP O dinidic lineam B M BiFariam recte in-

## Folio 1029 — 1815201908:1086
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001086.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
HOVL A P A R ABOLTCA.
tROPOSTEIO AOTII.
1023
IEA B axis parabolX CDB, e ingula parabolica ABL. C in luo cs-
lindro AC. O E B; polito deinde lecunaM TeCAM DL CAMLEHCeM In
Superticie cylindri plano C BF. O, extibence in plano parabolico AL. C
quod ongulam cerminat communem incerlectionem OF, in bali vero
cylindrica OM F recram OF; diuidatur C B bitariam in KE, ee per K pla-
num ponacur parallelum plano ABE, secans superticiem exlindri secun-
dum receam DM parallelam B F; planum vero C B F. O, lecundum re-
Ctam IE P occurrentem linee CF, in puncco l, (in quo iptam R P bita-
riam diuidi pacet, luncenim CK, P F aquales, _ parallela, ac proprerca
VE DE ad C K, sic P L ad IH) divisain suip er D MI bitariam in FI, PeF re-
ccam CPE, e punccum H secrio hac, Formans in superticie cylindri li-
DeaM C LI E, _E (UM DEOIN FCCCA D HTMI, puncco quonis F, peF C F XF,
2gc planum quod Faciac in exlindri superticie lineam C F F, ponaturque
per laequidistans reCTE C B rCCEA NIC, per quam e puneca HI d F, a-
Bantur planA NHIG, NFC.
Dico Colidum planis CHE, CFP. cerminatum aequari magnieudini
quae claudicur planis NFO, N H16.
Demonstratio.
Vngantur lF, IF, CFT CF, GTT, GF, de
NH, NF, FHI, P F. quoniam planum
LDM aequidistac rectis BF, CO, CrUNE
binae prramides IHEN, IHF C; irem bi-
nXe THEC, IHFE aquales dux ioicur
IHEC, IHTF E aequantur duabus ITIFN.
TITFC. Acque hoc iplum demonstrari po.
rest de aliis quanticacibus gux Formari pol-
sune pet subdivisionem lesmentorum CD.
DB in duo aequalia segmenta parabolica,
conrinuando eandem constructionem in-
scrixeionis qua vu sumus praesenei proposi
tione s praecedenri: igitur per c2a que de-
monstraca lunc libro de proxressionibus
Ceomerricis constat quancicarem ongula-
rem NEIFC aequalem esse magnicudini
quae continecur planis CHI F, C FP.  u0d
Fuic demonstrandum.
cReTOSITIO
XC IV
ecctu rata palaboa a lello
L. tL Quouvai aguenie cma cee AD onalatum I. pertacu
AIB aris, sccundum quem hac secrio exhibens in cylindri superticie re-
ctamm B C occurrencem secrioni P. PL, in puncto F. polcis in (UpCF P P,
FL, et AB, BD, plana conAiTuanEuT ABC, DBC, _ L F C, L. FC quo
am
a Cylindro decussata ABCD plano

## Folio 1030 — 1815201908:1087
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001087.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
NGVLA P ARABOLICA
rum communes incersecriones Cunt Bali rngulari sINE FCCLE AC, C D et
1030
Cam vngule F. FC. L, candeabete lalloem quam ongula ABC L ad
Demonstratio.
Scentum acA rnoulam A BCD ad vI
sutam EF CL quincuplicatam habere
racionent etus quam habec linca AFT ad P, C.
sed eriam prramis ABC D ad prramidem
CD quincuplicacam habecracione AFY
ad F. C. Quod sc demonstroeriangulum AB D
quodchemaximu coru b quae parabole inleri.
Bt Ponacae criangulum F F L, quod iremaxi-
mum est, eandem haberrationem, quam cpa-
rabola ABD ad B. F I. parabolam. sed dpara-
bola ABD ad R F. L, eriplicaca habecracio-
nE AHI ad F C. ergo e criangulum ABD ad
crians. P F.E, criplicaca habec rarione AIT ad
FC. Deinde BC alcicudo prramidis AD BC
est ad FC alcicudinem prramidis RFL C
VETTC ad G: C, hoc est ve quadracum A FTad
quadrarum P C, hoc est in duplicara racionis
ATI ad F. C. Ouare cum racio prramidum
ABD C, E FI C compolica lic ex racione ba-
Aum ABD, F FL, ec racione alcicudinum
BC, FC, perspicuum est eam esse quincupli-
cacam racionis AHI ad F. C, 2c proinde can-
dem cum rarione vrgularum quibus inlcris
buncur. Ouod cracpropolicum.
Corollarium.
Mnelcgurendua quoque ongularum quae supertune ablacis prramidibus in-
Lseripeis aux inclu(IS, inTeF SC CandE FATIONEM CONFIHUAEE qUX FeperTA CA InFEK
iptalmet rngulas aucprramides.
PR OPOSTTIO XCV.
lE AB axis parabole THLB, quae balisestrngule parabolicxe ABDII.
Facd aurem sectione per dae B, que alsignet in superticie cxlindri-
careeram BD ale bngulae, sIE F. D quarta PAESFCCTE BD, POnatur-
queplanum M E. C parallelum balI LB HI, cum plano LD HI sectionem co.
munem Faciens MC.
Dicolbaria BCad VS Clata AZL. D G, CAI HabEFC pFO.
porcionem quam crisinca duo adrnum.
CE, CL.
Dico prramidem ongulae ABCD in scripeam ad prramidem inclu-
EFC L bugulam.
Demon-

## Folio 1031 — 1815201908:1088
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001088.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
V N GVL A P AR ABOLTCA.
Demonstratio.
DErBs. hurus LM D OTT. Parabola est,
diameerum habens AV. deinde
quia parallela plana IBFI, M F. C lc.
Cac planum parabolicum IMDOFI, c.
runc a sectiones IFI, MG paralIClX.
Ouare cum TFI sic ordinacim posca 2d
AD, CrIE X MC. ducacuriam recta
F F, cric haecb ParaIlela AB. crgoBD
ad F D, vE AD ad FD, scd AD est ad
FiD, in duplicata cius quam habcc I A
adMF. erzo ecratio BD ad FD, hoC
est rario 4 ad 1. duplicata est racionis
TA ad MF. ErgOLaTIO TA AdMIF, Ca-
dem estcum rarione dupla, ae inver-
tendo MF, est adTA, ve F 2d2. conci-
AmccurracioF, ad 2, per (ex terminosni-
mirum L. 2, 4, 8, 10, 32. Frit ergo racio L.
ad 32, quincuplicaca racionis F, ad 2, b0c
estracionis M Fad IA. Acqui raciovu-
Sule NDO adrigulam IDFI, quin-
cuplicata c est racionis MIF, adIA. EF.
soongula MIDC cst ad rngula TD FI
vc 1, ad32. Ouoderacdemonstrandum.
PROPOSTTIO XCVI
Ngula parabolici exlindrirectisit
divita sectione DEB, Per axem
parabolae AF C extribence in cylindri
superticic rectam E B, iunetisque AF.
C E HanEplanA PET A F B _C F. B, OC.
currencia bali vngulari ABC. secun-
dum lincas AB, B C; deinde per has
rectaS AB, BC plana ponantur divi-
dencia lineas NO, KI decerminatas in
92. huiusbitariam, Formacia in cylindri
superticie lineas curuas AOB, BFC.
Dico vngulam EOTaM AF BC ma-
iorem esse prramide inclula AE BC,
una cu lesmeto cylindrico C FBIHIC.
magnicudinibus qua superticicbus
comprehenduntur AGB, ANIB; e
CFB, CLB.
Demonstratio.
37
D
Scensum elt a leomencum Cnnauum
OBa(COSCR F. et alcirudinis R lbitariam
dinisum esse plano BF C. quod ducirux per punctum F in quo bilecarur recta KI. C.
mulicer
d Coroll. 2-
D2 huins.
o e t ptet s t  e ae at ett Ae e   . es   ate se te te st  e e pt      oue      ee  t ts   s    s  s  1e. 1e e 1  1  1 e 1. 1) 1 1 1 1

## Folio 1032 — 1815201908:1089
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001089.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
1032
YN AVLA PAKADOLHCA.
milicer leomentum cxlindricum Cuper bsis
22L L3 a alehaC P, B bilectum escpla.
10: AL B
ICuT 2G
ca parabolica ANP, H P.
ualta SnE Sesmen.
xqualia quo.
que lune leomenea cxlindrica communis al.
cicudinisillis legneneis parabolicis inlicten-
tias vnde pars AC BF, a qualis est parrI
BFCFI, ac bi
FTCS L
BB, F BFC
coriseomenco F BIL C aequales TUINE. Oua-
re cum scomerarngularia AM BP. F. BL C:
quae vna cum preamide ongulam consti-
Ellclctei ttetc tecia tibt an titt
magnicudinibus, qua clauduneur planis
AGB, AM B; BF C, BI C. (Tunc enim illX
Platto AB, C LB, ab rnscid relectae) 
legmencis undalatous ati
Ceomento B BHIC, addacur communis pr
ramis AL
3
c8
E alla FAtBe
F BE C vna cum preamide, (hnc estTorL
vngula) superabunc segmencum P. B HIC,
vna cum prramide, magnieudinibus, que lu-
perticiebus comprehen Le
e Ctb, C L. B. Cuol clac batat
dum.
EROPOSITLO LCVII
Noula AB C D ab cylindro parabolico recro abscisxe, basIS SIE Pa
rabola ABD, cuius axis B F _ ordinarim polita AD, diuiso axc
CUTFBC, SR)
FB in C, VeBC Sic quarta pars BP, per Cponatur lK ordinacim ad axem;
e secundum lincas BF, ciu lg. parallelam IL 5, ex cerriam BD plana a5an-
olita deinde diagonali CD OCCUEreHEC COM-
muni incersectioni TO planorum
DBC, SHL in O, CrIOATUFRECTA
OM quae aequidistce TIE, _ pet
DC, OMI seccio hat, exhibebic illa
DMC parabolam. Fandem per
IE I plaHUIM, PONAEUE FCCEX BC X-
quidistans, OccurrenS A C D secciO-
Mi SECUINdUIM FCCEBM PN, AGAEUE-
queP ON planum quod xquidistee
ba(ABD.
Dicornoulam POCNaequalem
CNemagnicudini concenea paraboli.
Cis planISDMC, DNC.
Demonstratio.
Voniam FB divita est in G. BE CF
situr A P dupla est rccts LC; nam racie
quarca parriiphus FB aequalis exictat,
FB24
9t

## Folio 1033 — 1815201908:1090
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001090.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
VN CVL A PAR ABOLTCA.
21137
FB ad GB, duplicara est F A ad FG. Vnde pOlFa FV quae equidistet BP, CFIE
VS hoccCLK aequalis FD, ac proinde FB dupla ST, e S T duplaTK, eAt enim
OB xe qualis a TK, cum Peomenta parabemd l equalia IBK, BR B ob aqualeS 2 FX253.
LR recta OM, cric KMIaequalis YC, d GadC LB. CquOqCBC
ab
ance preminmustoca sta CN aequarur magnirudiniinclule planis DMC.
lineas V S, FD. quia vero aequidistane recte KNY, TO sc similicer ex constructione es
hoc est RL, dupla KM; ac proince KM alsualis MM L: elt aucem Sldupla LR.
ixicur eciam RMI dupla MN, hoce  L: nam R M aqualis elt M L, e R et dupla
MN isicur NP aequalis est. MINV. Isicur K E. quadrupla eAt NL. est aucem F B ad
BG, veB C ad C O: quare B C, HBC eA R L quadcupla cA O C, hoccHN L, equa-
resigitur sune linex (C, N L hoc est NM. Ouare pyramisbalim habens trianou.
Jum ROC, e alcicudinem R N d ecace prramidihabenci balim erins  IL 1
ee alcirudinem DS, hoc est S I, hoc est R IN. quare per propolicionem quam paulo
DN C. Duod demonstrare oportuIE.
PROTOSILIOXOVIII
Idem politis:
Dicorngula Eoram AB C. D Cuverare prramidem maximam vn-
gulx inleripeam limul cu exlindri lesmenco baleos B TIED, de alricu-
dinis BC, magnitudine D M C ND bis Cumpra.
Demonstratio.
Scemet es seomencum BRC D planO DM C, in duas aegnales pactes al-bCoroll. 2
Tun eHC. quare BCM Dammidium elt legmenci cylindrici BK L. D, ac proinde D2huius.
aequale remisegmenco cylindrico A Z C B: est verocora vngula aequalis prramidi in-
scripre chimulcum duobus temlesmenris AXC B, BCM D insuper adiunetis qua. c96. huius.
cicatibus qua decerminancur patBolis AZ C, AP C _EDM C, DNO. LoituE ex-
cettus quorugula excedic lamidem inscripeam simul cum sesmenco B L KL D,
huc duobus lemilermencis crtincricis AZ C B, B C M D aequalis est duabus quan-
cicatibus quae incercipiuncur planis AZC, AP C _E DMC, DNC hoc cst
DM CHD bis sumpro. Ouodoporcuir aemonstrare.
tLOtOSL1IOZCIZ.
ortent rsa efnri paraboliciparalle lepipedum xquale extri
Constructio  demonstratio.
EC
demonstracum eAt incuper proporcionem ongule LLL  S ADC D
AB C D racionem concinet duorunt atrisilita duo: led vrgula POCN, aequacur
esse dunius aderiginca duo. lsicurrngula P OCM bis Cumpea ad toram rngulam d os. huius.
quancieatibus AZ C P Avel DM CN abasSSMMnibUS A AC L LL
SC DMCND qux SinsulX xequales l L I, ab vngola ABC D,
remanehic quanticas quae ad visgulam P C H, LatIOneM obEMCM quam crisinca
ad vritarem: est antem vnula cablaris quancicaribus A Z= C P A e D M C N D, X - c96. huius
qualispyramidi inferipee rngulae, Cmul c eemmarco quod Bastmen
BFDK sub alcicudinc B C: e noca quoque est proporcio huius segmenti BRL. D
dpramidem inscripeam rngulae, cunt es  Pata uaa  (239. hmino.
scur sicprramis habens bat D, d alchaune B C equalis prramidiin scripce
rngula ABCD, una cum lesmento B lR L. B, IeM PaS AVDBC SV
haec aequalis vngulx PO CM. bie CxuIouimus prramidem ex consequencer paral-
sulam PO C. racionem habet quam trisinta ad vnum. isicur si crigelimxe parti ba-
seos ABDY A AE Xqualis Z, a IHD L L SMe B C prramis constituacuT, CrIE
delexipedum xquale rngulx paraboliex. Ouod erat Faciendum.
Corol
n 

## Folio 1034 — 1815201908:1091
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001091.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
1034
YN GVL A P AR ABOLIC
Corollarium.
Dipedum illixquale: cum vero hac prelenti propolicione praxis demonstrara sic et-
iam vnsulam ad parallelepipedum reducendi, quod cidem sic aequale; qui horum pa-
rallelepipedorum rationem cognoveric, etiam proportiones cognitas habebie, quae
sunc incer exlindrum parabolicum eiusque rngulan.
Jine manitesta et racio dignolcendi proportionem incer oneulam parabolicam, de
exlindrum parabolicum qui vian coee, vel incer rnoulam de relacum
quodcum rngula parabolica cxlindrum perticit. ex libro ererim quem praemisimus
deparabola echodus collisiporeu educeefharum parabolicum ad parallele.
PROPOSITIO C.
a ad cundem posica BB, IMnOAHEUFED.
lucrum exlindri parabolici super ba(i parabolica B C e alticudinc F F,)
adiplum exlindrum parabolicum habere rationem ve unum ad duo.
Ectangulo AB inscripea Sic parabola C B, cuius axis F. F. ee ordinarim
Dicocorpus ex ductu superticiei A C in alticudinem P F (Scilicerinuo-
Semonortai.
mna dorpelantcet dde dates, cum communem habeane alcicudinem.
parab. vericas propolirionis.
Exr17. D sed octentum est: bun Patabolicam C. B duptam cAC baleoSC A; iBITUE BATeF
PROPOSTTIO CI
nali BD, Portacut Guaus CL Patallela AB.
culum aqualem eelolida magnicudini quae tir ex plano BCiH, ducto
in planum BAKHI.
IEABC quadratum cuius VAICLC DH prOdUCTOIn F, vE A F. sic dimi-
dia AB, compleatur parallelogrammum BF; duet a denique diag0.
Dicopyramidem habencem alricudinem BC, _ basim GFII rectan-
Demon.
i

## Folio 1035 — 1815201908:1092
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001092.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
VN CVEA DAR ABOLTCA
Demonstratio.
Veaneur BL, B K: aCMICCHAE RF parallela
BFT. Octensu est lioro de ductibus criangulir
BFI C. ductum in criangulu K B FI, duplam ma- 1
snicudme producere Clus quod producic BHIO.
ductum in I RB cliangulum, ac prramistra-
bensbasim C teL rectangulum, de alcicudi-
nem BC concinet precer prramidem ex bali
Octendendum igicur CA COrpUS ex BasI CIT
XI, e alcicudine BC aequari mconicudini quae
relulear ex ductu superticierum BFTG _ ARV
incer sc. nam reliquum est commune, lcilicce
prramis ex rectanoulo GTTK, ducta in alcitu.
dinem B C: aequalicacem verd iltam sc octen
d0. Ouorriam AB dupla est ex constructione
rectae KI. Tgicurre octensum est in libro de du-
aibus B C:FI. ductum in AR B aequale DEO-
ducir Colidum prramidi quae sc ex ductu BO II cL
in IRB. Igicur paret prramidem ex ductu
BOTI in BHII, hoc est prramidem ex bas
CHL e alcicudine B C, xequari solido quodresulcas ex ductu BO Hin BHK A.
PR O P OSIFIO CTI
VIEparabola A B C habens axem B E, aequalem AL. OIMMMACI POTEE,
De hac AForchosona AC, cidem qi xqualis. Duclau e aes
disterC. F, ponatur C G parallela AF. DC.
niqueponatur quaeuis LI L parallela BF,
secans parabolam in IE, producta vero
IFI, VeLIL Ccaequalis B P. dimidia nimi-
rum ipsius AF, Ponacur AL.
Dico prramidem cuius basIS ANIL.
rectangulum de alcirudo AMI, aqualem
ese Colide magnicudini qua basim habet
AKM a alticudinem BF.
Demonstratio
DRxecedenci propolicione octensum elt psta-
midem cuius balS CATMIL, SIVC AM L rC-
etangulum et alcicudo A NI, x quari solidx ma-
enicudini que tic ex ductu plani A M Tin planum
AMTIF. demonstracum quoque, cst in Corol.
lario 82. huius, cidem Colido quod hc ex ductu
plani AMI in planum AMHTF, aequari Coli-
dam magnicudinem qua balim habec lcomen-
cum parabolicum AKM, alcicudinem BB. FF-
goprramis cuius balis est rectangulum IMI,
alcicudo AMI, aquacur Colidae magnicudini cu-
iusbatis est AK M alriru doB P. Cuod erar de.
monstrandum.
GTTK, _ alcicudine B C insuper prramidem
ex bas CFI, KI, e communi alcicudine C B
Su     s     a tu u ete e  e  te pte  te   pe este pti s tt ete e   ite es p   ee e t e e e  s   t s  e e   u  e s e  s   t  t e s tu se  a A B. 1 

## Folio 1036 — 1815201908:1093
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001093.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
105
P R O POS ITIO CTII
YNGVLA EARABOLICA.
VITCUTUI ABC MA IMum In Iphara ABC KL, cuius diameter AC,
LACONTINSANE AD, C F. xquales diameero e iunsanturDC, AL. Pro-
ductis deinde F C in F, _ AD in G, ve DG, FC sine aequales lemidia-
etro, circuli pOnanEuE F C, e F A. secer deinde III aequidistans OA,
circulum in B, aponarur AII.
Dicolphaeram ABC plano ducto per HBI, recto ad planum circuli
ABC, dinilam esse secundum eam rarionem quam habec pyramis ex
ductu crianguli AC. F in AC F criangulum, ad prramidem quae hc ex
criansulo AL. I ducto in AL. H criansulum.
Demonstratio.
 Scenimeatio semicirculi A BC
ducti in se ad parrem ABL, in
se ductam ve cst sphara ABC K,
ad parcE B AM, n2 quadraca P
e NO, candem incer se racionem
servane quam circuliradiis PO e
NO delcripei. quam seguela pro-
politione cecelima vigelima nona
huius exactius de rniverlalicer pro-
babimus: sed habetur exprecede-
tibus semmicirculu AB C duetû insc
ad partem ANB L. in se ductam,
cam obcincre raciotrem quam
ACF, ductum in AC E ad AL. I.
ductum in AL EI, igicur criam
sphaera ex circumductu ABC, CC-
micirculi circaaxem AC ad PaC-
cem sphaera qua sc ex circulacio.
nE ANBL LUPCE AZC AL, eam
habec racionem quam prramis ex
ACF in AC F producta, ad py-
ramidem ex A L Lin A LHerian.
gulum. Duod Fuic demonstran-
dum.
adC03221O CN
ispoliuis dacam pheca lecullauum quamuis sacionet aldetus
alia curtum praxi quam Archimeaes.
601

## Folio 1037 — 1815201908:1094
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001094.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
1037
NGYY A P AR ABOLIC
Constructio es demonstratio.
Ecur isicur sphaera ABC. D Creda
secundum racionens quam habec F. a1
F, ducta sectio per aLCM AC extribeat
circulum ABC. peocllarur eius diame.
qua LK par relique C0. sed C O CH par lemiciamerro. ergo _ LR (CMITAmeETO
par elt, aeleoque dimidisel. SpHus A L. Pari modo oltendam HIR elle dimidiam
ipuS C M. Pracerca quom AC, C C ipsS FTC, TC codem discursu aequales
lunc, rectangula AGO, C GN, lunc rectangula FIC:K, ICR, ac proinde pria-
mides, quarum bales sunc rectangula AC O, CG NY, alcirudines aurem AC, CC
aequancur pyramidibus quarum bales rectangula IICFR, ICR, alcicudines vero
TIC, TC. Quare cum priores preamides sncinter lC VE F, F, crunt e posteriores
re F ad F. iam vero polteriores pyramides, quarum nempe bales lune rectangula
FTGK, TG R, alticudines FTG, TG, aequancur: Colidis quorum bases TunE PegMOnEA L LO2. H1s-
ParabolX ATG, FS T C alcicudo vero communis S P: ergo solida illa parabolica
lunc ve preamides supradicta, sed ve illa solida parabolica, ita lunc segmenta B vn- b8. huius.
sularia quorum bales porriones semicirculi AB G, OBSC: VE aurem rngularia
illa Termenta c ica lunc portiones (phxricae B AD, BCD. ergo porriones sphaeri. c77 huins.
ex lunc incer se ve supradicte prramides. Requihas oltendi lupra, dacam incer le ser-
vare racionem I ad F. Eroo eriam sphaericae portiones lune incer le ve E ad F. Poieur
sphaeram divilimus secundum dacam rationem P. ad F. Oucd fueracrequisieum.
Corollarium.
CCEVERIMGHEVE A N e CO. sinc aequales
TemidtaCEEO. AEquC ita diidatuE AC
in C, reperamis balim habens rectanou-
lum ACC, alcicudinem AC, Sic ad prra
midem cuiusbalis rectangulum CGN, al-
cicudo C C I Faliolecata P, 2d F, Bac
racione inuemoMdsC A C puncto C, Rac
per C sectio tecta ad aXem A C. DicOPaE-
cem sphaera ABD a reliduum BCD
eam habererationem suam habec P linca
2d L. Guod ex iis qua demonstraca lune
Proximis propoliciondus manifeste porest c
Contare. Crectis enint AL, C MI Perpendi-
cularibus ad axem AC, quae SnE ipS axi
aquales, IIBganEUF L.C, ALMI e normali-
FeF ad dIAM CEPUM PONANEUE GK, G R X
quales recs CO, C. N connectancurirem
AI. C R. denique inletibatur circulo maxi-
moparabora ASC anchtabens semidia-
MCEEO PS PAFCHI. VNOMAM AL, A C TIINC
Pares, Cciat 4, 6. lC Pdl CA GC. Ouare
cum toc erR pac lic toc GO, eric e reli-
recta NO, in G requadracum AC mulciplicarum per CO ad quadratum CC.
mulciplicarum per GN proterat rationem datam F ad F, dinila eric (phaera secun-
dum rationem datam. Archimedes quidem paulo alicer suam preparacionem con-
Rruic, quam non minis imperfectam reliquic, acque ea cAt quam nos exhibuimus, L. c.
etoriproimle non insraca tore exiltimo, quae hic deduximus.
DOlicaisicur recta XV O dinila in quacuor partes xequales in A, P et C, A divicatur
ot se  ut ues ete M pte e  s et t s ete  et  te A te  e e e set   t tete se   e  e tet u  u et     e e ut st te t  e t  te  e s s pe    se     u

## Folio 1038 — 1815201908:1095
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001095.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
SPH A ROID F
ARS SF X T A
De Spharoide.
Cplinar C Sphaera nonnullas proporiiones earumqe parcium conati sumus huer sque
expulare; ex quia adrem nostram non parum facit mareria Sphaeroidica e Conoi-
dica curus reductio almaenitudines cubicas à circuli quadratura maxime depen-
det, hinceam intactam praetermittere nefas videtur: conabimur itaque hoc parno
cractatu proprietates Sphaeroidis magis obuias ac necessarias investreare ac demon-
dirare.
DEFINITIO PRIMA.
VEmiellipleos alter axium ita incelligatur consticurus ve circa cum
immorum ipsa Cemielliplis in orbem agacur donec in cundem locum
redeat a quo moveri experat; Colidum ex hac reuolucione Formarum
Sphaeroides vocetur.
DEFTNTTIOSEENNDA.
Arem Sphaeroidis voco lineam que in ciuldem Formarione immota
mansic; estq simul axis ellipseos que conoides genuit.
DEFINITIO TERTIA.
Centrum Spheroideos dicatur punctum quod in formatione cenerum
Fuic ellipleos, simulque est cencrum omnium figurarum quae per iptum
cran(cunE.
Scholion.
Tocaru dienum videtur duplex esse Sphaeroides, unum quod formatur suxer axe maiore et
lipseos, alterum quod sit sub minore, quod quoniam lenticularis forma ficuram exhibet, à
Geometris videtur praetermissum qui oualem ficuram cum elliprica confundere consuenerunt:
quae isitur sequensibus propositionibus ad ducemus, verique sphaeroidi, es ouali es lenticulari
communia esse volumus.
DE FINITIO OVARTA.
Similes elliples dicaneur que axes habent proporcionales.
PROPOSITIO CV. LEMM A.
Elipum cuius aris A C contineat circulus ABC, contingens in 
Lse C, ductâ deinde quovis FC, que occurrat axi in HI, ponatur que
cunque IK ordinarim ad axem AC. sccanS FO in L. Deniqueper H
ponatur FI F. ordinatim ad axem AC, _ per P recta M I ordinarim ad
AC, _e duCatUTMI HIBOccurrens rectX IR inO.
Dico SHI quadrarum ad F HI quadrarum cam rarionem obcinere
quam POY rectansclum ad IL. R.
Demon.

## Folio 1039 — 1815201908:1096
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001096.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
DE S P A  LOADF.
Demonstratio.
TFN Z adET, HOCCAA VEP R adt IF
CsO R ad Y. R, cum igieur sIE VEcOTum
PR ad coum IR, A ablacum OR ad L. R
ablacum etic residunta PO ad residuum IL.
VECOTUM PR ad cocum IR, hoc est ve SH
ad F II. Deinde iam octentum cst OR eitc ad
L R, VE PR, ad LR, hoC CA VE V R ad RR
erso componendo VO cMt ad OR, VE RI
ad L R: _ permurando VO est ad RL
OR ad L R. hoces vE MT adt F F, hOCC
rurlum vE SEI ad FH, racio ergoguae com-
ponitur exrationibus PO adIL, _ VO ad
KL, hoc est racio rectangulorum POV, IL R.
est duplicaca racionis SHI ad F FI, hoc cMt, eadem cum ratione quadrari S FP ad
Ii FI. Guodtuic demonttrandum.
PROPOSITIO CVI LEMM A.
CCce fI.
Dico rectanouium FL G ad FFTC rectangulum eam obrinere
racionem quam rectangulum IL. K ad P. LFD rectangulum.
Demonstratio.
Alio rectanguli F L E ad FFT G rectaneulum coponieur exracione F F ad FH,
hoc est MO ad MFI, _ exracione L G ad HIC, hoc est OB ad HTB, sed exije-
dem carionibus componcur catio rectanguli MOB ad rectangulum MHB. ergO
raciorectahgulorum FP. C, FIIC eadem elt cum rarione rectangulorum MOB.
MHI B. lccracio rectangulorum MOB, MHIB eadem est cum racione POV ad
SHI quadtacum, cum cam rectatgula b MOB, POV, quam rectangulum MIIB
e quadracum SH Me aequalia. igitur eriam rario F P C ad F FI C3 eadem est
335. Torria
cumratione POV ad SH quadeatum, sedrario. P OV ad S FT quadearum, ca c Porerac.
dem est cum racione TL K ad FIF quadracum. Psicur rectangulum F L. + ac
FHO, eA rETLK rectangulum ad rectangulum F. HIB. Ouod erac demonstran-
dum.
PROPOSVFEO EOVIE LEMMA.
Ilacmposeis: sit n G eiiors dit ei
eic
DAOLLD RCcauum ad rectatisulum TP RE eam habere rario-
nem quam quadrarum LHI ad HI F. quadrarum.
Demonstratio.
Sc enim d rectangulum F L.  al L HLG, V LL R dd L H D. BBitur permuran.
Ldo VEFL. C ad LP R, ica ell LHLC, hoc es F HI quadracum ad P. HlB, hoc elt cad
ora
guadcacum LIL.
e  e e   e  p e  pi ui s ee  e  e e e  ti et qe ete   e se  e te  p  e  e  ute s     e   t    t  1  e e 1 A 1te e t   u 1t 1 e ti

## Folio 1040 — 1815201908:1097
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001097.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
1040
PRODOSITTO CVIII LEMMA.
TInEAB, CD axes ellipricis recta ve
Oro E F Equidistans axi seCanS CD
in O, diuisa SicTursus in H, ve est diuila
AB in C, e ponancur IGIE, LHM Or-
dinacim adaxem.
Dico rectangulum L HIN ad COD
rectangulum eam habere rationem qua
ICi quadrarum ad C N quadratum.
Demonstratio
iscenimguadracum IC: 2d C N quadra-
tum, vea AC B rectangulum ad rectaneu-
Ium ANB, hoc est quoniam AB, F. F, simili-
cer sunc divilx, ve rectangula H TIF ad ROF.
SCdVE F EIF rectanoulum ad ti OF, ica est
BE TIM ad COD rectan gulum. igItuE VE
I. IIM rectangulum ad rectangulum COD.
ita cst. IC quadracum ad CN quadracum.
Ouoderat demonstrandum.
PR OPOSITITO CIZ.
Ulnis sectio Sphaeroicteos peraxem facta exhibet elliplim à qua sptx.
1. FEillipst. 
B106. B1-
DE SPH A R OFDF.
roidesformatum est.
Demonstratio.
Onindigerproxomo nceriore demonstracione quam ea quX CK ACMMMIOHC
prima porest assumiscum enim per ellipls dererminaex circulacionem luDCE AXC
immoco sphaeroides Cormecur, isirur in omniparre circulationis eadem ellipisrepe.
riecur qua spharoides cFOrmAE.
eROPOSIT1O CX.
Mnislectio sphales pe celeru lacta recta elt ad aliquod pla-
num ductum per axem sphaeroideos.
Demon.

## Folio 1041 — 1815201908:1098
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001098.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
DE SDH A R OIDB.
Demonstratio.
Ua acaDec cclccula llatolacoo
D obliqua ad axem si li: (nam de recta
dubium eNe non pocost) crisacur isieut a exD,
cenero normalicer ad planum AB C rocta D I.
ex per ID, _ axem F L planum E G+ F con-
stituacur. Dico planum ABC rectum cAC
ad planum E DOF, quodper axem cransies
nam ID cum Cc ex constructione recta ad
planum AB C, igicur b eciam planu F. DOF,
per iplam ductum rectum est ad planu ABC.
Duoderatpropolirum.
KoosITIO CXI
Mnis lectt patots PerCc.
dum noncratieuslecta eltad ali-
quodplanum quod per arem spharoi-
deosduciporett.
Demanstratio
DE ABC sectio sphaeroldis non per centrum actassic aurem DF F; Pet cen=
Orrum posica aequidistans plano AB C. Ouoniam octensum est plano D F F ali-
quodper axem polle conttucui quodce orhosonaue multar isicur plano zee
 laai lm puti cieo te aale edleul ilda rldtdiliout.
TerIE.
eROPOSITIO CXII
Unis sectio spharoidis normalis ad axem qui in constructione
vdl. d01
pharordeosimmoCus tuIEcurculum exCE. i  seriginal
20 3
AHp. IL s) CF MWtuSIS
bob
n    s e     s MAt   L      (  Be  A s u B   o q    s  u  e a  ut este tat u e s  e  e 1e l pete e ste   e e  t e s p 

## Folio 1042 — 1815201908:1099
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001099.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
E SPH R R OIDP.
1042
Demonstratio.
le lphaeroides AB C cuius axem imimcieum
AC dividae sectio HFL orchogonalicer.
Dicoillam circulum esse. Rac sectio per AC
axem scilicec, eric a haec ellipsis illi similis a qua
spheroides productum elt: sic aucem communis
sectio plani ABCD, _ plani FTF Precta HI,
tandem per punctum I, quoduis in superticie
sphaeroidis assumprum, ec axem A C, planum
AGAEUT AF C occurrens plano HFL, sCcun-
dum lineam RF. eric lectio AF C ellipsis
bamilis ec aequalis ellipsi AB C D. Eequo-
niam exhypocheli axis AR. rectus est plano
HIFL dekn. 3. VAdCCIMI CTUNE RF, KFL nOT-
malesaxi, ac proinde ordinacim police adaxem.
Duoniam igicur ad idem punctum axeos com-
munis elliplium aequalium de similium sincOr-
dinacim ducta RII. K F crunc incer (c aquales.
cAtveto _ TK aequalis KII. CrGORHL, RF,
RI aequales sunc. Sectioigitur HIFP circulus
est. Duod erac demonstrandum.
++O CXIII.
Vnis sectio sphaeroideos ellipsim
Sexhribet si obliqua est ad axem.
Demonstratio.
DEcCcuE Sphaeroides AB C sectiOnE DEF,
quae sic obligua ad axem AC. Dico illam
esse veram elliplm incellisarur Facta sectio
ABC PCFaXCM AC, qua sic recta ad planum
DE F quod heriposse demonstracum est c. De-
inde expuncto Lincersectionis planiperaxem
AC cum plano D F Fcrigacur normalicer IP.
eric ergoTB, linea in plano DF. F; quoniam
ex suppolicione orchogonalicer insistic plano
ABC, per rectam isitur TF. Planum agatur
ETE B, quod sic rectum ad axem A C, attumpro
deinde quouis N puncto in communi incer-
sectione planorum AB C, D F F, CrisATUTN F.
Parallela PF. exic hxc N L. in plano D B F, quod
est ex constructione orchogonum ad planum
AB C. PerNL, deniqueASaCUF PIAnUM KL. M
Parallelum BF FT. Ouoniam CHIEB, RL. M
circulisune, isicur TIIB reccangulum est ad
CiOS. bu. XNM recrangulum, veelC Quadratum PP ad N L. quadrarum. SCd VE C FCCEanSU
Ium AIB AA TCCCANDMT K NYNI, ica est rectangulum D IF ad DNE rectanou-
TMiBItuE ve quadratum TF. ad NL quadracum, ica est D LF recrangulum ad re-
Crangulum D N P, quare vera elliplis est sectio D P. P. P. Ouod Fuic demonstrandum.
1
t
du2 hu:
PRO.

## Folio 1043 — 1815201908:1100
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001100.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
SPH AR O1BC3.
eROPOSTTIO CXIV.
Pharoides sectum plano per axem
Acerur e altete prano per centrum
Priort adusstectos.
horuu planorum ab axc bilectam este.
Demonstratio.
quoque planum BD R, PEF CCHErUM F COn
Ricucum priori ad rectos angulos, producat
communem incerlectionem B F. Dicoillam
in E biseccam esse. nam B F F. linea est non
minus in plano ABC qua sC in plano BD F.
Sed prour eA in plano A BC elliprico cran-
sc PeF F cenerum ellipleos, ac proinde bita-
riam in F divila eA, isicur cciam prour est in
plano BD , bilecta eAt. Quod Fuicdemon-
atrandum.
PROPOSITIO CAV.
anoper centrum sphxroidis polito haltudnormalirer per axem isti
L inliltat, communisincerlectio exhibebicaxem cllons que Pet atC
Spharoidcosnon cran(IE.
Demonstratio.
Dico communem incersectionem
Aplanum ABC BTaxem AC, alCOrUI
Ecccur sphaecoides AB C plAnO BDP, PeF
centrum sphaeroideos F; agacur deinde pla-
num per A C axem sphxeroidis quod norma-
licer plano BDE insiltac, exhibens commu-
nem incerlectionem receam BF. DicOBF
exem esse secrionis BDF. per cenerum F
Donatur planum ODII reccum ad axem
A C, eric a hoc circulus, ec quidem b plano
ABC rectuIS. sic aucem DF L communis lC
Crio planOrUM CDHI, BD F. QuI2 VCTO ABC
elliplis est cuius F es CCnErUM, CrGOTCCTA BL
aqualis est FP, est aurem eriam FD aequa-
lis I F repoce in circulo GDFIL, Per Cen-
erum acta, deinde quia plana BD E, ODFI,
recca luntplano ABC, CrIE CD FL commu-
BL. X L. D, axehetu secrionis BD F, quX
vera elliplis octenta cA.
nis eorum sectio recra plano ABC. quare
cum DI. Sc dinila bitariam in F, diuidacque
BF bitariam ad angulos recios, necellario
1043
u
ba
Aet
. Dndeb.
e  e oi

## Folio 1044 — 1815201908:1101
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001101.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
PA A 1
5
ROPOSTTIO CXVI.
Anislinca in quouis plano posica
quod per cenrrum spheroideos
transiebilecatur a ceurro sphaeroidis.
Demonstratio.
lesphaeroides AB C sectum plano BDF.
per centrum F, ducta vero sic in plano
BDF recta BF per cenerum F. Dicoillam
bilectam esse in puncto F. Agatur enim pla-
num per AC axem sphaeroideos AB C quod
rectum sic ad planum BD F, erie BF. ho-
rum planorum communis incerscecio, quâm
ex 114. huius perspicuum est bileccam esse in
CCHETO P. DUOd CTAEPrOPOSITUI.
PROPOSITIO CXVII
Ectio sectioni per axem Factxe (I X-
quidistans fueric, eidem similis crie.
Demonstratio.
Donancur in sphaeroide AB C duo plana
Farallela POB, BID. Vnum scilicCt
per cenerum BID, alcerum eidem aequi-
distans. Dicoillas sectionesinter se similes
esc. Agacur planum AB C per axem sphX-
roideos rectum ad plana parallela, Occur-
rens illis secunduim lincas PF, B D; CrUNE
isituE PE, BB axes a sectionum pec
cenerum sphaeroideos _ sectionis POF,
crigaturnormalicer ad planum ABC rC-
eta L I, divisa deinde P F, BiFariam in R,
agacur planum per K quod cranscacper L. I
lincam nimirum FOTII, exhibens KC
communem incerlectionem cum plano
PC F, cum plano aurem per axem ducto
ABC, incerlectionem FFL, que ceric axis
Cllipseos FOFI, cric icaque RO normalis
2d P R, cum sc aequidistans I. I. vndere-
ctangulum FK II, est ad rectanguluF L. II
VEd PKF rectangulum ad rectangulum
BI D. Sed ve rectangulum F R HI ad
FIFI, ica est quadracum K C ad L. Iqua-
dracum, cum sectio F G FI Sc elliprica cu-
ius axis est FFI. Igicur ve rectangulum
PK R ad BE D; ita eAt quadratum KC
ad FL quadracum, igiEUE DE P F ad BD,
ica eA KC ad P L, sunE aucem L L, K C et BD, L. L axes ellipscon. Ouare limi-
ded ta telllonbo. Addderdnale exoteltl.
LRO.
2215. huicus.
Cros. tnino
d 4. elips.

## Folio 1045 — 1815201908:1102
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001102.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
SP HI AE R O IDF 3.
e ROPOSIFFO CXVII
Aci Sphaeroidisaxem exhibere.
Constructio es demonstratio.
IE sphaeroides ABC, cuiuS AXEM OPOE-
Dcear exhibere. Aac sectio quaecunque
E. DB. cric ea a aue circulus, aue ellipAS. In-
vento huius sectionis axe F B, per R B, AaC
sectio AB C ad angulos rectos sectioniFDB.
eric ea rursus ellipsis. Inueniatur denique se-
ctionis ABC axis AC. DiCOA C aXeM
quoque Fore spheroideos. cum enim sectio
ABC ad angulosrectos consticura sic lectio.
ni F D B cran(ICNS PeF aXCM F B, eric b in
plano AB C axis spheroidis, ac proinde
ABC elliplis eric Facta peraxem à qua sphe-
roides Formacum elt; axis orvo cAt A C spha-
roideos ABC. Duod crar demonstrandum.
PROPOSTTIO CXIZ.
Aci Sphaeroideos cenerum altisnare.
Constructro e demonstratio.
Nuentus axis AC diuidacur bifariam in F. DicoF, punctum eNe guxesitum, est
enim hoc ipsum cenerum ellipseos ex qua sphxeroides Formarum est per quodom-
nis linea in sphiaroide polica bisecaTur.
PROPOSITIO CLL.
ainislectto per cenetum crantsens
oblique ad axem, elliplin exhibee
dissimilem illi gux per axem facta est.
Demonstratio.
Arcuto ABC per ceneru sphaeroideosD ob-
ligua ad aRcm. DicoA BC MHe cllipum disti-
milem P FC sectioni quxe Facta est per axem
Duod aucem limilis non ie Caca lec
Duod ABC Sic ellipSIS PATCE CX IFZ. huiuS.
amibo recta sune plano F FG, erie per 19.
ondecimi communis corum sectio BD recta
planOF FC, ac proinde pex detin. Z. H1. eriam
ABC sectioni F F C sive FB C, Sc ostendo.
Tc B F C sectio per axem sphaeroideos recta
plano AB C Cheri enim id PorcHt peF 11O.) PeF
cenerum aurem hac sectio HIB L ad axem F. C
recta, (per 18. undecimi eriam recta erit plano
FF C) Faciens cum plano AB C communem
sectionem BD: cum plano aucem R F C+ TC.
etione D F. quoniam igicur planA ITBF, ABC
104
X13. huitos
BColligirur
pXI
recta
a ooeao

## Folio 1046 — 1815201908:1103
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001103.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
1046
B PHI A R O IVL S
ans hulus. recta ad AC, qux axisa cA sectionis AB C. ergo BD alcer axis eA sectionis ABC.
IHe.
Smilicer perspicuum cAt F D, D F axes Cu CIlipleos PF C. quoniam vero HBY
Bur. hu. b circulus eAt, aequales sunc D F, D B. hispositis propolicum ica concluditursmon est
axis F.D 2d axem D F, vraxis AD adazem D B, hoc eAt DF. Duodcamen iuxra
definicionem z. requiricur ad elliplum Cindilirudinem.
Corouur.
Spharoideherum, edelectio per axem minorem minima.
Demonstratio.
Ineduo axes pheroideos AB, C D et sectio
Per illos Facta exhibeac cllipum ACBD.
Dreo illam elle Maximam omnium sectionum
quae in sphaeroide heri postunt. Prigatur HIF
normalicer ad planum AC B. Deinde PeF
quamlibet lineam ITF in plano ACB, 8
AMCaM LL Rectio Ponacur L. FC. Dico illam
eAC mHIOrem plano ACB. Per rectaS AB.
(IF AaC sectIO AF B, cric sectio A F B xequa.
islectioni AC B, sed A F D sectio est maior
lectione FFC cum linca AFFEC maior axis
ac proinde maior quauis diametro ITF. Pgieur
eriam e C B maior est sectione P L G. Igitur
sectio per axemmaiorem maxima est omnium
Cectionu quae in sphaeroide heri postune, mini-
mamaurem ese CF D manifectius eA quam
redemontrari debeat.
PROPOSITIO CXAII
ctionibus ellipricisper cenerum Factis.
X demonstratis pacec axem minorem sphaeroideos elte communem omnibus le.
PR O POSITIO CXXI.
Ectioperaxem maiorem maxima eAt omnium sectionum, quae in
aurem axc minore ciluem, peccdemplin extribere in (phaeroide
cuius axisaequaIS LICdata Ca LLL.
Aca quavis TR linea que Sirminorare maiore spheroideos, maior
Constructio es demonstratio.
rlentoaxe spheroideos A CB odacr ex Cencto ealac cireuus interuallo al
midio aala LR. Occtens lecclont AC. I Petaremtacta in puncco L, aiungan-
cur F. II. Denlgue per rectam LHlG lectio hac LFC recca ad planum AC B. Di-
COF FC ese quaelicam secrionem. cum enim secriO R F G, recca sic ad planum
aihns. E GuoaDet ancheli icarcleccionis LCCais ell L. C. qui cum exconltiu
etionedalatio ut Dala Lhtalet Delleclum ee Gudaslobtemutequtebula
eRO.

## Folio 1047 — 1815201908:1104
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001104.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
APH X R OFDE S.
LROBOSTTIO CXXITI
atnes sectiones Pel ceuum sphaerodeos Cladseunces eam incer se
Srciunet rationem quam continent aesaes t 1C.
Demonstratio.
IHE sphxroideos A B C. dux sectiones BDL.
DF D Eper centrum HI ductE. Dico illas cam
inter se habere rarionem quam duo axesmaio
resincer se si sphaeroides sic oblongum. agaeur
enim planum ABC. per arem AC, quod re-
ctum sic ad planum BD F exhibens commune
incerlectionem lineam BP. crit aigicur B R axis
maior sectionis BDF; recta verO HID qua
communis estincerlectio plani BD P cum pla-
noperaxem AC, axis minor est b cum sectionis
BDEcum AB C vel ADC. Cmilicer commu-
nis incersectio plani FD C, cum plano quod per
aXCM A C. hec eric axis minor cum lectionis
EDC, cum sectionis peraxem Facta cum igitur
sectiones percentrum omnes, eoldem habeane
axesminores, eam incer le rationem habebune
quam ares maiores, cum elliplium ratio exra.
TIONIBUS AXIUI COMPONAEUF.
Alicer e breuius propolicum sic concludo.
per Corollarium 120. huius elliples Omnes per
cenerum cranseuntes, axem minorem habene
communem cum sphaeroide. Guare cumratio
ellixlium ex axium rationibus componatur, c.
FTUNECIIPIES PET CCMEEUM ETANLCUNTES, YEaXES MaIOTES.
PROPOSITTOCXXIN
et daro sphaerosue eMplim exhibere,
que ad ellipiu petaxem rationem ha-
beac dalanoris ina qualicaris sicq. illi
requidictans.
Consirucio umonpratio.
Ae spHaeroides A B C cuinS eCtIO PeF AXCHII
ABC. SPOEECAE aucem CAMNCKCCMIPUM i
sectionis per axem ABC; sectioni aurem ABC
ad rectos angulos consticura sic quadam secticr
per BD. dico hanc sectionem esse quairam.
nam similis es sectioni quae illi heree parallela
per axem sphaeroideos AC, e consequenteF
similis sectioni AB C, acqui aimiles lectiones
sune in duplicaca rarione lacerum homologo.
rum, hoc elt AC ad BD, hoc est F. ad F. Isi-
cur exhibuimus quod pecebatUE.
ratione duplicaca L alF, qua a Guet a Xl
AC. Rat VE F, ad F, ita A C ad BD, in plano
2047
212s. huvius
 ee et   tut e e  1 . t   e t e e e te t . e e est   te es spu e t s it    e e te     tes et e s  u      t    e1 1  e l      t p  u  1t 1

## Folio 1048 — 1815201908:1105
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001105.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
toidis.
SPHA RBFDES
PROPOSITIO CXZV
Constructio es demonstratio.
c DDGF sectio facta per axem sphaeroi-
deos d altera daca cllipss, cuius axis ma
ior A C. ad minorem L. B, non maiorem
habeac rationem quam axis D C ad IB.
Oporceat elliplm exhibere in spharoide.
Fiac axis minor sphaeroidis FIB ad aliam L.
DE RB Ad K A. Patec ex hypochesi Z non
Fore maiorem axe FTD. in sphaeroide ibieur
exhibeatur ellipsis, acuius axis maior HF,
CE aequalISZ: huiusb minor axis HIM par C.
rIC FIB. OUARC CFIEHTM adFIF, VERB ad
R A. Ereoper dehnic. 4. huius CllipleS F M F,
AB C similes Tunc. Polica deinde OP dia-
mecro coniugata ipA diamMCETO E F, AAE VE
F FT, quadratum ad quadracum AR, ita
rectangulum OFTP ad ORP rectanou-
lum, et per punctum R sectio hac S V I.
quae aequidistersectioni EMF. Dico SVY
sectionem aequalem ee similem esse sectioni
ABC. EA enim AB C similis sectIONIR MF.
Sed SVF criam similis eA sectioni R NF,
isicur eciam AB C similis cstsectionis V F.
Deinde ellipsis F M F ad cllipsim ABC.
cam rationem habec, quam quadracum F. II
ad AK quadracum, hoc est ex construct. quam OTIP rectangulum ad OR P
rectansulum hoc estrurlum, quam quadracum F. FY ad S R, quadracum. ellipAS er.
50 ABC aequalis est ee similis clliph SV T. Pgicur pertecimus quod postularum
Fuit.
PR OPOSITIO CZXVI.
N Sphaeroide exhibere sectionem per cenerum quae similis sic ellipsi da-
Lex cuius axes non concincane maiorem racionem quam aris maior
Sphaeroideos ad minorem.
Constructio e demonstratio.
Aca lic ellipls ABC curtimilem oporteat exmbere pet cenctunt spiatocos
dati DF F. POSco D C axe in spheroide hac seaio D F. C, cuius cencrum II.
crectâ deinde recta TII normalicer ad exem D C+ quae eric minor axis spharoideos,
invencilq: axibus AC, BC ClipAS dacR, AACVE RB ad R A, ita ITT ad IIF, perlpi-
cuum est exhrpochesi FTF. Fore minorem axe sphxroideos maiori FD. exhibea-
er2Ebu. curc ergo in sphaeroide cllipEs FMI F per cenerum cuius maior axis (c FTF. Dico
PCorH. FMF elliplim esse similem A B C. nam axis P FF ad FTF, hoc CA d TTM, est ve
20. huino. axis AK ad KB, ex constructione ixicur similes sunc eMipses per limilium ellipseon
ACMMIHBHCM.
Acam ellipsim in dato spharoide exbibere quae maiorem proporcio
nem incer suosaxes non habeat quam elliplis que sicper axem (phe
PRO

## Folio 1049 — 1815201908:1106
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001106.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
SPH AROTDLd.
e R OPOSLTIOBAKVII
Aeae sectioni in spharoide alceram
in eodem aequalem constiruere,
quae datxe ellipsi sic similis, habenci inter
luosaxes non maioremrationem quam
axesinter se habeane lectionis per axem
spheroidis.
Constructio ex demonstratio.
lem oporreac exhibere e similem dacaD.
hac per praecedencem guxdam sectio per cen-
crum spheroideos BFC Similis D. Deinde
Aac a FIIK sectio parallela BF Cnque adiplam
FF C sectionem eam habeac rarionem quam
ABC ad sectionem candem P. F G, crieque
pertectum problema ve per semanifectum est.
PROPOSITIO CZXVIII.
D datum punctum in sphaeroidis
Lsuperticie concingens planum po.
RetE.
Constructio e demonscratio.
deos AB C, ad quod oporreat planum ad-
ponere quod sphaeroides concingat. invento
baxC C B, agatUT per C B, _ A punctum pla-
num ABC, perque ca quae libro de ellips do-
CniuS, POnAEuE AD in planO AB C, con
cingens sectionem in A, crecta denigue AF
normali ex A ad rectam AD, qua OCCUTrAE
axiin F. AaC Per AD planum rectum ad se-
ctionem ABC. Dico illud sphaeroides con-
tingere in A. Ouoniam F A linea recta est
ad D A, e simul ex constructione planum
Per AD rectum ad planum AB C, isicur et
iam R A recta eA ad planum per AD posi
cum. Cum igicur linea F A breuissima AC
octensac ad ellipsim AB C, _ limul breuim-
ma ad planum orchogonum per AD, necet-
Pario planu per AD normalicer planO ABC
in sistens, concinsic sphaeroides in A erBOPYG.
Ricimus quod Eueracre quilium.
P)Aca lic sectio in sphaeroide AB C cui xequa
Ie A punctum darum in supersicie spharoi-
2E
t. ho
B. Bai
C232 ellips.
    e tie p  pi   t e e s      t   pu .     u                 e  n   p   u 

## Folio 1050 — 1815201908:1107
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001107.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
SP. H A R OFDPS
S
quibus inscribaneur parabole ADC, D FF.
Dicolphaeroides AB C ad sphaerolees DF F habere rationem com-
policam ex parabola ABC ad D E L patabolam, e ex rarione alcicudi-
nis B e ad F. HL alticudinem.
CX2
X
TINE ABC, DEF sectiones Factae per ares sphaeroidcon ABC, DP P.
Demonstratio.
aSc enim ellipcicum planum A BC du-
ctum in sc nd DP F plavum ellipcieum
in se ductum recorpushabens balim ABC
Parabolam de alcicudinem B C, ad Tolidum
Tuper BaE DF F parabolica e alcicudine
BFI hac enim illis aequalia esse Facile cor.
ligetur cx 204. libri de parabola, e
45. libei de ductibus. Ced Ecue se habet
AB C, ellipricum in sc ductum ad D F. F
ellipricum ductum in (C, ita quoque AB C
ductum in orbem ad DE. F, ellipeicum du.
ctum in orbem, cum quadraca IR ad L NI
eandem racionem concineane quam circuli
radiis illis delcripei. Igicur eriam sphaeroi-
des ABC adDF F, cam haberracionem
quam parabola AB C ducta in alcicudinem
BC, ad parabolam DF F ductam in alci-
cudinem F FT. Ouod tuie demonstrandum.
Verum quoniam argumencandi racio sub
finem thruius demonstracionis vlurpaca, non
adco Forrasle plana omnibus ridebitur, ve
vlceriorem probarionem non deliderene,
adiungo lemma vniversale huiusmodi.
Vaca linc quaenis plana ABC, DL. F. Di.
co lolida quae hune ex planis illis in (c du-
etis candem incer serationem habere, quam
Colida que proecCaneur ex ijidem planis ductis in orbem.
Ducantur in veroque plano parallelae intinicae, IK, I. M. _e concipianeur supeE
guadracis TK, IM consticui paralle lepipeda infinira in alcicudinibus KK, MM. Ma-
nifectum esthaec parallelepipeda inleripra esse Colidis, qua hunc ex ductibus plano-
rum ABC, DF. F, in se. incelligantur deinde radiis IK, de L MI deseribi circuliin-
tnici, ac super ijs crigi exlindri infinici in alcicudinibus ij (dem KK. MI M. PatechosCy.
lindrosinseripeos esse lolidis, quae hunc explanis ABC, D I. Ei duccis in orbem: lam
vero quoniam parallelepipeda de exlindri habene communes alcicudines; crunc in-
cersevebales, scilicee ve quadrara IK ad circulos radiorum IK. led quadraca sinou-
la IK sunc Cingulis circulis radiorum IK proporcionalia. ergo etiam parallelepi.
peda lingula Cunc Engulis exlindris proporcionalia. Fr∞o 12. 5. vernum parallelepi.
Dedum IK ad primum exlindrum PK, ica omnia parallelepipeda ad omnes cylin-
deos. pari argumento vernum parallelepipedum L M ad rnum cxlindrum LM,
ita ommia parallelepipeda LM 2d omnes cxlindeos L. M. sed vernum parallelepi-
Dedum TK, ad unum cxlindrum TK., ica rnum parallelepipedum P. MC ad ruum
cxlindrum I.M, cum horum quaruor Colidorum rario eadem sic qua basium, quas
Pacec esseproportionales. Ergo omnia parallelepipeda TK, lunc 2d omnes cylin-
dros FK, rcomnis parallelepipeda L M ad omnes cylindros L MI, ex permurando.
Xc. Vnde tacile ium probabitur iuxca Formam dilcursus libri de ductu plani in pla-
num,

## Folio 1051 — 1815201908:1108
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001108.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
S D TI E R B ID F S.
54OGY
Colidis gua procteantur ex ijldem planis in orbem duetis elle proporcionalias
Hlocigicur rniverum demonstracum demceps alsinmentus i Paccemactons plo-
Policionum calibus, non aliam atterentes probationem praerer hanc, quod (InEre qua
deaca parallelarum, ita circuli qui iiidem parallelis ve radiis de scribancur.
Corollarium.
IL propolicione p et H alcicudines B G, P FL sinE a Guau S, p IL Loides eNe ad (pHX-
Croides DPatabola adparabolam.
PROPOSTTIO C= LL.
TMaeroides e Sphaeroides habet ra-
dionem compolicam ex ratione el.
lipleon que per desmaiores RUNC, XL Cx
ratione alcicudnum axium minorum,
vel ex racione Mlliplcon quae per axcs
minores fiune ee alcicudinum maioruim
in spheroidibus lenricularibus.
Demonstratio.
num. propolcione 45. Colida que tiunt ex ductibus planorum ABC, D L. F in ScipCa
sphaeroides cam habere rationem quae co.
ponitur ex ratione inscripeae patabolae emicl,
lips pet axem AF C ad parabolam inseri-
peam semiellipA per axem D R F, d axis FC
ad axem PHI. eA aurem parabola inscripea
ad inscripeam ve semielliplis ad semiellipln.
Tunca enim vecriangula maxima in scripea. Isi-
cur cum rationes quoque P C F. TIlemiaxium
minorum, communes snc racionibus diame-
crorum parabollearum in seripearum, restac ve
ratio AF C; semiellipseos ad semiellipsin
DE F ducta inrarione F G ad B FT, candem
racionem exhibeat cum ratione parabola in-
(cripex lemiellipsi A E C ad parabolam inscripeam DF F, ducta in rationem F. 
ad F FI. Cum isicur illa eadem sic cum rarione spharoidis ad spharoidesi exzo et
iam haec estve sphaeroides ad sphaeroides. Ouod tuir demonstrandum.
EROPOStIIO C4 aXI.
Scensum est in praecedenei sphaeroides ad
213. 81
Pharoides ad (pharam lepla caobet Laone Gu Met
aht
Demon-
u i ie put  te t it   e te  t t     i t   et      . e       ut    p     p  era  er ma

## Folio 1052 — 1815201908:1109
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001109.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
amrtur
BCollixiru
e2 40Ba
d 12 9. hu-.
s
tunc demonuctandum.
SP H A R O1D CS
Demonstratio.
PhaeroideS ADC seCAPeF BF, axemin
norem plano ad axem AC recto, lectio
B FC circulus a eric. inscribatur super circulo
C=B, lempata DBFC. ducto aurem Pee
axem AC plano, exhibeacur lectiones AHIB.
DK B, _ inscribacur cuique sectioni lua para.
Bola ABF, DBF. Oltensum b est ABF
ductum in sc 2d D BF ductum in sc cam ha-
bere racionem quam parabola in(cripta A BF
ad inscripeam DBF. sed parabola ABF ad
DBF Parabolam, (quoniam axes B R COM-
muneslunc) estc VE AE ad D Bi igicur eciam
ABF. ellipricum ductum in (c ad D BF, cir-
culare ductum in (c Cst vE AF ad DF, sed vE
ABP ellipricum ductum in sc ad DBF, cir
culare ductum in se, ita eA AB B, ellipricum
ductum in orbem ad DBF circulare ductum
in orbem; cum dquadraca IIIad K Iquadra-
ca cam racionem contincane quam circulira-
diis FTI descripci ad circulos radiis RI de-
Scripeos.igItUE ve AP ad DF, ita CE sphxrOides AB F ad spHxram DB F. Quod
quae tieper cenerum incer se luncequales.
Demonstratio.
Ine auo maximi coni ABOC, DECB in-
Ccripci splixroidi, insistences sectionibus BC C,
E CF per cenerum Factis. Dico illos inter le 2-
quales ese. criangulum peraxem coni FD F est
aequale criangulo per axem coni ABC; Per en
que libro de clliphdemonstrata clunc. isicur F est
HC ad HIF, ve reciproce DI ad AHI. sed ve
HIC ad HIF, Sc g elliprica basis BCC ad balim
ellipricam B GF. ergODE BGC 2d R G F, ic
reciproce
a
I ad AEI. erBOHCOnIEDF, BAC
PROPOSITIO CXXXII
nes coni maximi pa cetur eci insictenres alicui sectioni
PROPOSITIO CXXKIII.
IE conus ABCD MCCOIaI MMICripruS
_e per F centrum d verricem coniA du-
ctum planum exhibeaceriangulum ABD,
cui inscripea sic parabola A F B verricem
habens A, alrera vero inscripea sic ellips
AHIB F. caiusvertex B.
Dico

## Folio 1053 — 1815201908:1110
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001110.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
S P H AE R OAD E 5.
des eam Habete laltonem quam habet
parabola AFB F. ad spacium parabo:
licum AGBF..
Demonscratio.
Scentum est 2 quod AGBF ductum in
alcicudinem BF aquetur AIIBE, du-
Eto in sc. praerere a demonstratum est b AIBF
in se ductum aequari AF BF ducto in BP, cst
aurem B P alcicudo communis. Igicur AHIBB
ductum insc ad AIB F; ductum in sC, cA ve
Parabola AGBF ad spacium parabolicum
AF B F. C0d sicue sehabCE A FIB F ductum
in (c ad AIBF in se ductum, ica Ce haber
sphaeroides ABCD ad conum AIBCD,
ccum quadraca IIR ad quadrata TK, can-
dem racionem obcineane quam circuli radio-
rum TIK ad circulos radiorum TK. IgicuE
sphaeroides ABCD ad inscripeum conum
cam habecracionem quam parabola AC BF. ad spacium parabolicum AF B F.
eROPOSITIO CXXXIV
VECCEUT (PHETOIAICS TLCLIOHC ad ARCIM FCCLA ExTIBeMCe CICUIOM IODeI
L quo vebali in scribatur conus parti spheroideos ABC D; polioque
Peraxem planO AB N, Bonaneur AMI, N M parallelae axibuS AR, R N e
Parabole inscribaneur AH N, AIE D parallelOgramMiS ARN; ALD,
quarum vertices (INE N, de A.
Dicoparcem (pharoideos ADC B, ad conum inlcripeum rarionem
habere compolicam exratione qua haber superticies parabolica F HI AL.
ad luverticiem parabolicam DR A L, _ CX
racione quam habet alcicudo AM ad alei-
cudinem DL.
Demonstratio.
baSIM AHLFL, _ aMem AMI. Similicer
Cuperficies criangularis ATDI in sC ductapyra-
midem exhibebic aequalem s magnicudini cuius
balis est spacium parabolicum AKDL, e alciru-
do T P. Sedha magnicudines HaBCnE PRTIONE CO.
Policah ex racione ba seos parabolice AFIFL ad
varabolica ARD L, _ ex alcicudine M A ad S A,
sive OP adTP. Proo corpora illis aequalia, ni-
mirum ACDE ductum in sC, et AID L un se
Dico conum inscriptum ad spheroi-
Veatur guauis OF quae aequidistet AM
ostensum elt d proporcionales esse lincas OP
OP, FIP. imilicer (I ex D puncto pOnatuF D S
quae sic parallela NMt; demonstracum cAcTP.
IP. X P esse proportionales, GLarC AODL Cu-
perticies in se ducta aeguarur E lolido quod Habet
a Collisitur
e
a
le dicb
C Pater est
discur
ta-
29. Ap
cs
Ibia
h 13. Baiu
ductu

## Folio 1054 — 1815201908:1111
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001111.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
.
PH AE R OFDF 5.
1054
n 129. hn. roidcos ABCD ad conum inscripeum A lD CB; cum quadrata G P, D L a can-
dem habeane racionem quam circuli radiis CP, D F descripei. Igieur eriam pars
sphaeroiceos ABCP ad Conuncriptum AID CB, habec rationem compoli
tam ex ratiem parabolx AHFL ad ARDL, _ ex alcicudinc OP PCu AM ad
DE alcicudinem. Ouod tuir demonstrandum.
PROPOSITIO CXZXV.
PHaTOES ABCD Sccetur per axem sectione ABC; acque hec ipla
lectio secetur duobus planis parallelis, uno per cenerum, altero Cupra
Cenerum relintra exhribentibus circulos DIB, C F F, in plano aure ABC
deleribarur parabola AL. B, cuius verrex sIcB.
Dico scomencum (phaeroidicum
ABID ad AF FC, Scomentum spha-
roidicum eam obtinere rarionem, quam
superticies AL. BK ad AL. II.
Demonstratio.
duecum habebune rationem ex ijidem compotiram. Sed quam rationem habee
xudicur. AO D L duccum in se ad ALDL, in se ductum, candemrationem habet pars sphe.
viterro.
St enim AF BK in se ductum ad AF FI,
perficiem AI. H Parabolicam; quod oltctse-
duccum in se, MIapercies ALBR ad lu
cur eodem discursu quo vsi lumus in demon-
Aracione 133. huins. (cdre AE BR duccum in
se ad A F FI, duccum in sc, ica eA AF B K du-
crum in orbem bad AF FI, in orbem duccum:
cum quadrata P II, BK eandem racionem
pci. Tgicur eriam atdes AF BLD  PaI-
TCm AF. F C, candemracionem scruac; quam
AL. BK superticies patabblica ad superticiem
Teruene, quam circus tatis F FI, B K delcH-
ALFT. Ouod tuic demonstrandum.
R

## Folio 1055 — 1815201908:1112
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001112.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
CONOTDES PAR ABOLFCVH
1055
ARS
SF I
2a22
DeConoide Parabonco.
Explicatâ Spharoidis nacur d eius que propriecaribus, breurenam compendio prosequi
endimus Conoidicas maenicudines, quarum duplex est differentia: aliae etenim
marnitudines oriuntur a sectione parabola; alia ab hyperbola; quodque a parabola
pisn conoius par abolicum appelletur: quod Dero ab hyperbola, hyperbolicum.
DEFINETIO PRLM A.
Ondides parabolicutti voco Colidum ex semiparabole circula:
Productum super axe ciuldem parabo le quic(Cence.
DEFINETIO SECVNDA.
Aris Conctais patabolici linea est que in Formarione conoideos axis
paraboletuic, et lecat omnes lineas bali conoidis parallelas bifariam.
DEFTALLTO PERTIA.
Figuta conoidibus inleripra vocetur maxima figurarum que illis in-
scribi porest.
E X P L IC A F 1O
Irm plurimarrian gula patabore vetos gracia inscribipossinc,illud an-
Lscollomaltice dicacut in scriptum quod manmum ek criangulorum
qux patabe luper bahinscribi postunc. idem co de compribus, qua
conoidibus inscribuneur.
EOP
lis tuic parabolam generat.
Demonstratio.
Unis sectio conoidis para-
bolici per rectam Facta que
inFormacione conoidis immobi.
Le Psitur Cemiparabolae ABC quae
Conoides cormanie lua efeuctories
axis AB: lecundum quem la eco
AB Li allumacurq; in pacabola Ll
perimetro duo puncta C. dE C, Cx
quibus deictaneut perpendiculares
ad CCtam AB, lince CFI, C B; _ planum AC B roluntur eorsque in orbem donee
Detuehea ad punccum P. secrionis AR F. igicur FI C aequalis est ITF, Similicer
ad De ccacte Lalia tt.  detamabum Dee au C Euacatu, ia ei sla
ed aeblaa
BC aequalis BF, cum sinE exdem lince (ola SEUS OyFaCIONC UEAEK. QUarC DE CFI
     i       t        e a   p  . .     t 1          . 1    e pr  e   1 en 11

## Folio 1056 — 1815201908:1113
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001113.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
CONOIDES PAR ABOLICVM.
1056
cuius afe AB. Bicacu Polla Tul 16. bC; 18ut d Gdaacua 1e al
BC quadratums hoc elt quadracum HlH. 2d Bf, ita linca A HI ad AB lincam.
deacum TIF ad BE quadracum el a CL LADPONCOIC LLBL PacavOa, du
21. Parab. aGuaCa L.L  Patu. Duoderar propolirum.
Cordurunt.
Ton Colum constac ABF parabolam elle, sed eodem dileurtu parec parabolas
ABF, ABC escequales ac tmess ac prethde latus rectum quod da BC.
ternic commune elle vue o.
PR OPOSFTIO CZZEVII
Minis sectio conoics Patabolici ad axemeons tecla entetun
Cormac.
Demonstratio.
iX parabolici conoiats ACHMLIOnC ABCa L:. D quae basis est semiparabolX ADF,
LFormaneis conoides, deseribic circunum R C F, ec quia P D ordinaciit 
caca ad axem AB. orchogonalicer illi inliltic. polico isitur quovis plano AB C per
aXem AD, eric CD aequalis DF. per Corollacium praecedens, cum hc cadein pa-
rabola ABC Cum ADF: erie insuper CD recta ad AD. acto deinde plano
quocunque GBFI quodxequidister F C F, exhibens communes incerlectiones IB,
TFI, planOrum ABC, A C F _ G BFT. cruncnormalicer crectae, adeoque ordina-
cim posiea adaxem AI, linca IB ex IC: quia b parallelae sunc IC, DLi, d LB,
CD. Cum autemparabola AB C eadem sc cum parabola A C: F, hinc IG est
2d DE, Ve IB ad DC, _ DE ad DC, ve GI adIB: cum aurem aequales sinC
DE, D C, aquales quoque sune TG, TB. punctaigitur EF B H in lemicirculo ex-
istumenonminus quam E.C F. Ouod tuir demonstrandum.
PKOEOSITIO CZXXVIII. LEM MA.
Ncerlecene parabolam bina parallele AB, C. D _ F. F, G LL OCCurren.
ces sibiinuicem in punctis I e R2.
Dico rectangulum P. IF. ad CIEHI, eandem habere rationem quam
haber C ID rectangulum ad rectangulum A HB. 
ectm
Ddemon

## Folio 1057 — 1815201908:1114
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001114.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
CONOTDES PARABOLLONM.
Demonstratio.
DEr puncta IX K, PONAEuE reCtA OCCUTreNS
perimerro parabolx in punctis LM. Crit Cr-
50 rectangulum F. IF ad C KII rectangulum,
VEL IM ad L. K M rectangulum, ve est osten-
sum lib. de parabola. 2 sed eodem modo est re-
ctangulum CID ad ARB, VEL IM ad re-
ctangulum LR M. IgItUr vE F. PF rectangulum
adrectangulum C R H, ita CID ad AK B rC.
ctangulum.
PROPOSITIO CXXXIZ.
rEctum sic conoides quovis plano obli-
D que ad basim.
Dico per arem heri posse sectionem quae
recta sic ad planum duetum.
Demonstratio.
Icconoides parabolicum A B C sectum sectione
DDEF obligue ad basim A TC, IGICUTAXI OCCUEECE
in aliquo puncto C, cum sectioD F. F axi nom xqui-
distet, erigatur ex G linea CFI normalicer ad pla-
num D E F, ec per FIO, ee lineam P planum po-
nacur: eric illud rectum ad D P F planum, cum om-
nis sectio per lineam CHIb recta sic ad planum
DEF.
eR OPOSITIO CZL.
Mnis lectio conoidis parabolici
adaxem obliqua elliplim FOrmat.
Demontratio.
ctionem DF, ex puncto vero I, quod com-
munc ectaxi ex lince D F, crigacurnormali-
ter TE ad planum AB C, quod factum fuie
peraxem rectum ad D F F planum, pona-
cur denique per PF planum IIF. R, quod
aequidistee bas CL B, Faciens in planis
BAC, D E E seCtIONCS KTFT, E INT. FCquO.
niam IB recta eA plano B AC, cperpendi-
cularis cAt ad DF, KFT. Igieur circulus eAt
Asectio FIR R quare LInCX LK, IF, IFF, IM
aquales sunc incer se. Tandem ponacur planum DT R O PAFAIICIAM EI E. R. OCCurrenS
plano D P. F, secundum communem incerlectionem P R. Ec plano B A C. secundum
rectam
IE conoides paraboneum ABC plano
DE F, oblique sectum ad axem AC. DicO
DE F Mlliplim ellC. AGaEUE enim peraxOm
conoideos planum quod rectum _c ad pla-
num DF. F, exhibens communem incerle.
1057
c
1f. 3. 2X
d137. hn-
pstiu i ptit ue ue Ais pet pte e   u e  u tie a e e tu eti   i  t    i it e        t       p  t     u    niu

## Folio 1058 — 1815201908:1115
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001115.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
1056
arS ondec. rectam O PD. exie denuo DF R O circuES, ex quia 2 D R parallela est ad TF, ac rectd
Ostl. 3.
CON OTDES PAR ABOLTCVH.
Duare sectio DF R F ellipa CH. Quod crardemonstrandum.
ROrOSIII CALI
Mnis sectio ari conoidis palabolici equidistans patabolam exhibet.
Demonstrario.
Seo conoideos ABC, cuius axis BD, Cectio
F F C aquidistans B D. Dico sectiOneM PFC
esse parabolam. apacur per axem BD planum
CB A, quod rectum sic ad sectionem B F C, CX-
hubens communem incersectionem F F. Deinde
agacur aliud planum FT R L quod aequidister bas
AGC, cuius communis intersectio cum plano
F F G sic linea TK, linea vero FC sic communis
eiusdem incerleccio cum plano A C: C. Duoniam
plano ABC, Plana P FC, de FIK L orrtiogonali
Ter inACUnE, eriE RI communis corum sectiOCTC.
Cta plano ABC. Similicer _ FC Fecta est plano
ABC. ergo rectangulum TIIL aequale cA qua
dratoIK; _e rectangulum AF C quadraco FC
est aegualc. quia vero eciam AB C planum per
axem BD Policum cA, parabola CcA. ABC secrio
demonstracum vero eAtlibro de parabola  quod
cectangulum quoque HITL ad A E C FCCEaNOU
Ium eam racionem obcincac quam linea R L 2d
E F lineam, igicur eriam quadracum IR ad F C
quadracum, eam rationem habet quam linca P Iad
E F lincam. quaro h parabola eA sectio P. F C aXi
F ex construct. normalis ad planum AB C, eric e recta P R bnorinalis ad planumi
ondec:
B A C, ac proindenormalis adrectas, D F, c ON. Isitur rectangulum FTIK est ad
NPO rectangulum requadeacum PF ad P R quadracum: led verect ingulum FIIK
ad rectansulum NP O, ica rectangulum D IFi, ad rectangulum :D P F. ergOre
ctangulum DIF estad rectangulum D D F, ve quadeacum PF. ad quadracum P R
2. parab.
BD aquidistans. Oudu am.
eROPOSITIO CXLII
Arabola omnes qua generaur  Conorde parabolico lectionous
exiparallelis, aequale lacus seccum habent quod omnium axibusin
lerui: liue a quales ac limiles lunt omnes parabolae axi aquidittantes.
Letonslatie
N conoide ABC PONANEUF eres
secciones; altera per axem BD,
cemeet x BCi reliquae dux cidem
ad angulos feclos, vila Guidemnem.
DCCCF, PacaCa dXt, alceraverO
ne5 F Gun per 19. vndecimi
MOE=
DBI etiam per axem: Facientes
cum planobaleos communeslecrio-

## Folio 1059 — 1815201908:1116
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001116.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
la
LONOIDES PARABOLTCNM.
hormales erunc ad planum ABC,
acproinde per detinic. 3. vndec. nOr.
males ad AC. PEF PEZ
cdencet
RFG, BD IparabOlX TUnC _ aXCS
earu, E F, B D. AAF rCCtX F F Xqua-
dis BK, _ ordinatim ponaeur FIK
que crit parallela DI, cum sIc B D I
parabela; isicur vea BK ad BD, IId
est qualttacum FTK adD I quadei-
tum. quia similicer ABC parabola
est, rectanguluM BA F C ad AD C.
El, velinca F. F ad BD lineam, hoc est ex constructione ve B R ABD. Sednle-
ctangulum A F. C ad rectangulum A D C, ica quadrarum F. C ad quaat a D L. (C u
enim F C, DI sincnormales ad AC quadrara rectangulis sunexequalia.) IsICEFC
quadratum est ad quadracum D I, ve linca BR ad BD lincat, HOC eIER HL quala
cum ad D Iquadeatum. Igicur F C linea aequalis eA linex KHI. Scd _ linca R F X-
qualis est ex constructione recta B K, igitur sunc xquales ee similes parabola F L
ee BR FI. ex xquale habene lacus rectum quod axibus BRu L F MMCrIC. Lodem
discursu octendam quam libec aliam parabolam ant pal altetum aequalem cse ac simi
1059
22 parat
b47. Parab
lemparabola per axem. Omnes isicur parabole axi conoideos parallele sune x qua-
les acumiles, nc lacus  ECHBAADCHE COmMUnC. Quod erac de-
monstrandum.
PR OPOSITIO CXLIII
dei conoidisparabolici axem praebere.
Constructio e demonstratio.
Icconoides parabolicum AB C curs Daus H L. C. Invenro cenero balcos D, et
codem erisarurnormalirer ad planum baseos recta DB. DicoBD FOrC AXCM. AL
sumpeo enim quonis puncto I in linca DB, hacsectio F TC: FI quae aequidister bali
AF C. Deinde sccundum lincam BD sectio alcera Faciens communes Ccettones
FGDR, qua r6. vndecimi erunc parallelx. itaque IFI, TG, TF xquales sune, e simi-
licer DC, D F, D A: Sed eriam IE aequalis est IC, quemadmodum e K D aequalis
DE. Isitur quia DB secat omnes lincas in plano F C HI plano ba(cos A L. C. PA12s-
selas alam, axis eri con p C alS Gua P.
e   pe  i p t se it  e  t e tte  e e et   te te at est t t  et  ta   st  e   si   t t  et at       u 1    t e t     t pel 1

## Folio 1060 — 1815201908:1117
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001117.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
1060
GONOTDES P AR ABOETCVH.
De planis parallelis quae conoides parabolleum intersecant.
eR OPOSITTO CXLIN.
Celtoles patallele in conoide parabolico similes Aguras exhib ent qua
Demonstratio.
aequidistane bale sectiones, circuli sune, et
concequenter Agurae similes. Si cum baM
CONCUFFuNE, crunE elliples. octendendum ai-
cem est illas esse limiles. AaC plaMUM A C F peF
axem conoideos rectum ad plana parallela
ABC, D E FsCrUNErCCtR A C D Faxessectio.
nUm ABC, DF. F: divilis icaque AC, DF li-
neis proporcionalicer in FI e O, crectisque
HI B, C P normalicer ad planum A C F, secun-
dum illas rectas FIB, CF. plana ponancur b al
conoideos parallela, ac proinde recta ad planu
C AC: nempe plana IBR, L F M. quare de
per detin. 3. Vndec. eruncBFI, FC normales
ad rectas KD, AC, ML, DF. rectangulum
cAFTC est ad D C F rectangulu re CAtLFLK
ad L. CM rectagulum, hoc est quoniam BFB
P Cnormales Suncad diameeros DR, LMI, vE
quadracum AB ad OP. sune isicur ABC.
DE F elliples smiles iuxea definicionem et
Larum per axem conoidis rectum
ad quamlibet aliam sectionem, il-
lius sectionis axem exhribebie.
Demonstratio.
Vplex hic est calus: alter quo sectio ad quà
arium per axem est rectum, axi xquidi-
Aat; alcer quo axi conoidis occurrie.
Ponacur primum lectio C: C F, ad quam pla-
num Peraxem K AY rectum est, aquidictare
axi. per axem ponatur planci L ATI, parallelum
plano CCB, CruncerSO AB, C D communes
sectiones plani R AI cum planis F A FI, OCF
dparalLelE. Ouare cum AB, veporc axis rectus
Hc planO R FL, cric c e C D recta cidem pla-
nO. ergo CD normalicer (CCAE F C,, que est
communis leco planorum OCF, K F I. Inlu-
Pauns  C. L, Cidem paraltelum, plane
Lu ett. est aurem ex planum R AL
rectum
aALBCCUTTUIHE.
137. hA -
B140. hu-
E Por 138.
viis.
lixscon similium.
PR OPOSITIO CXLV.
per planum F A FT, F rectum cA planO RPI.
d16. undbs.

## Folio 1061 — 1815201908:1118
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001118.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
1O6I
ONOIDES PAR ABOLICVH.
rectum plano CC F. ergo communis coruM LuW LDL, recta est planO GC F. 219. undco
ergo detuim  ea. anecumo ealecle palde
E C bileita ele in D. Ec quidem relupra octendi, ad ansulos rectos. ergo C D elt
ADC per axem D Loccurrens lecundum lineam A C ad angulos rectos. DicoA C
axem esse cllipleos AB C. ex puncto F, quo axis D F occurric plano A B C. crigatur
normalicer F. B ad planum AD C. isicur si secundum b F B Aar sectio OB F baH CO- B137. hX .L
noidis aequidistans, erit circulus ex quidem rectus c ad planum AD C, ac proinde F L c 18. ondec.
aequalis Fi B. quarecum FB recta Sicad planum AD C, recta quoque cric definic. Z. Vn-
decim. ad rectam AC. unde cum a recta A C dividatur bitariam recta B I, ad angu.
losrectos, pater rectam AC arem esse sectionis ABC.
er oPOStIIO CXLVI
axis sect SCFD.
Secusscum quoque calum sic demonstrabimus. Sil herumlectio ABC; plano
IIdux sectiones in conoide parabolico axi occurrentes equidistantes
 lltca Det rectulse cllu dea adtebloluebo a Malcltlat.
Demonstratio.
Ineplanaparalleta ABC, D E F. quorum centra FT _ T. Dicolineam TTI aequi-
distare axi conoideos. ostensum d el sectiones AB C, D P. F. similes cAc. Praeterea dr4 +. B
demonstrarum est c planum per axem conoidis rectum ad sectiones AB C, D F Rius.
axes carundem extribere, planum isitar Dex aXCS AC, D F sectionum ABC, DDP:
ha
conodes. ero CLamcouaco . u C POPu.
cransiens est planui, quod per axem conoidis cransic, sic igitur planum hocD A C+ C F.
TBitur D A E parabOla eR que per axem eransic ac proinde recta OFTI, quae bita-
riam diuidie AC, D F, gux 16. vndecimi lunc parallelx, sectionis DGF per axem
conoidis Factx diamecer est. Sune aurem omnes diamerri axi seccionis aequidistantes.
igicur de GFTI axi Cccctos Galeaeco ercumeade aseit idem
ROPOSITIO CXIV
Prumcriplicatam rationem.
Va sectiones axi conoides a Gucates Lorctueur Vastun lua-
mon
 te  p u ett pis u ptit set eue ta te t ut tat t a e  tet s t e   et t  a te tt   t t et  a p t t at  it   e   et   t t ute  tt   i  la

## Folio 1062 — 1815201908:1119
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001119.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
1062
GONOIDES BARANOLLEYM.
Demonstratio.
Ine dux sectiones DB P maior e mi
nOF F G TT, quarUI AXESHInE BK, F IT
factaque BI aequali FIY, POnAEuE IK
aequidistans F D: cric icaque BIR para-
bola aequalis FG FI, ve octensum est su-
pra 2: sed parabola BF. D ad BTR, p2
rabolam criplicatam haber rarionem eius
quam habec recta B F D ad TR, hoc est
FTO: Igitur manifectum est sectiones axi
Parallelas criplicacam habere racionem
suarum balium. Ouoderat demonttran-
dum.
PROPOSITIO CXLVIII
nonoides parabolicum (BAC) ad
conoides parabolicum (E DFY)
eandem rarionem habec, quam crian-
sulum BAC ductum in rectangulum
AC BI, adcriangulum FDF, ductum
inrectangulum DF F I, hoc est quam
prilma balim habescriansulum BAC,
alcicudinem C B, ad prilma balim ha-
benscriangulum F D E, alcirudinemF F.
Demonstratio.
DEr ea quae demonstrauimus prop. 129. huius.
conoides cs ad conoides, ve corpora qua
tunc ex ductibus parabolarum in sciplas. (cd
haecaquancur csolidis, quae hunc ex criangulis
BAO, FDE ductis in rectangula ACBI.
DF FR. Ergo conoidium ratio eadem est que
Tolidorum Factorum ex ductibus eriangulo-
rum BAC, FDE in rectangula ACBI,
DEFK. Duod erat demonstrandum.
Corollarium.
Arces conoideos parallelis ad balim planis abseisia, eam Peruane rarionem quam
Parces parabola per axemii(dem planis intercepeae, in se ductx, siuc quam parres
rianguli BC A duca in alcicudinem AI (Cu CB.
Demonstrabitur discurtu omnino simili.
ROPOSITIO CXLIX
des parabolicum ad conoides parabolicum rarionem habet
policam ex alcicudinc ad alticudinem, ee ex bali ad balim.
Demon:
14
hio
b1 12. 

## Folio 1063 — 1815201908:1120
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001120.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
CONOTDES PARABOLLEYM.
Demonstratio.
Ineduo conoides AB C, G F. F. oRtenden-
dum est conoides ABC ad conoides
CPF, habere rationem compositam exra-
tione balioS AR C ad batm P, IC, d CX
ratione alcicudinis BD ad P FI alcicudinem.
precedenci proposicione demonstracum est
conoides ad conoides cam habere rarionem
quam prisma habens balim criangulam
BDA, ec alcicudinem D A ad prilma ex
balicriangula PIIR e alcicudine IIF. Ced
ratio illorum prILInAEUM COMPONIEUF CX Fa-
eione alcicudinum D A, FTF, _ ex rarione
criangularium batium B D A, TIF F, hoc eA
rursum exracione D A ad FIE, ee cxracio-
ne BD ad F FI. ergo racio conoidium com-
ponitur exracione D A ad FIF bis sumpra,
hoc est ex racione circuli AK C ad circu.
tum BFG, et ex rarione alcicudinum conoi-
dicarum BD, HIF. Ouod erac demonstran
dum.
PROeOSIIIO CI
Tonoides parabolicum ad conoides
sparabolicum haber rarionem quam
conus inscripeus ad conum inscripeum.
Demonstratio.
M conoidibus inscripei coni LC, I.
Conus enim ad conum rationem haber com-
posicam ex basi circulari AKC ad basim
DOF. e ex alcicudine BFI ad F I. scd prae-
cedenei propolicione idiplum est demonstra-
cum derarione conoidis ad conoides. erso co-
nus inscriprus ad conum inscriprum eam ha-
bec rationem quam conoides ad conoides, cum
alcicudines ee bales communes existane.
Dico conoidesad conoides eam habere ra-
tionem quam habCE COnUS A BC adDF. F.
es
mon
    ei ut pat ae Mt ite te e ee ste e te te ete  pea ta p    ut  e i t e  epte  it At  t       e e e t  a  t e  u    u  t  t e  

## Folio 1064 — 1815201908:1121
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001121.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
IOnoidis ABC secetuT plaiO Per
saxem BP A, X aliio planis F FC,
FILK basiparallelis, occurrentibus pla-
no APB secundum communes incerle-
CtiOneS L FI, MF.
Dicoparres conoideos eam Corciri inter
Ce racionem quam parres crianguli inseri-
Dei PB A.
Demonstratio.
Fsmenta illa conoiilica parallelis ad balim
planis ableissa eam incer se racionem habene.
quam prilmiara quae tunc ex parcibus crianguli
incercepris iidem planis ductis in communem
alcicudinem AP. Led hXC (UNEDE ParreSCrian-
DEcecur axis conoidis parabolicit L, F, C in parces equales, act aque
peraxem plano AB C, pOnauE FH, FI, C.K parallele BaLI AC X
Dico parces conoidis planis illis ab-
Ccissas rationem continuare quae reperi-
curincer Seriem numerorum 1. 3.5. 7. _c.
Demonstratio.
Vnc enim perces conoidis incer se demon-
DRraEX D eandem sCrUArC raTIONCM quIX rCDC-
ricur in parribus crianguli ABD. Sed ParcCS
ABD Facile ostendutur racionem continuare
quX INCEF SerIEM HUIMCFOTHI L. 3.5. 7. 9. _CC. reDC-
rirursioicur eriam parces concidica candem le
riem concinuane. Ouod tuic demontrandum.
PROPOSITIO CLIII.
Acum conoides parabolicum diuidere secundum datam rationem
lectionebali parallela.
Constructio es demonstratio.
IE CMnoides parabolicum AB C dividendum sectione quxe BaSi AM C aequidi-
AeE, Recundum ratIOnCH R ad L. Hac per axem BT sectio ABL, duct aque AB
dividacur criangulum AB l recta FTC, guae rectae AC, xequidister lecundumracio-
nem K ad C, ex pet HI G pLAHUM POMAEUE D F F, quod bali AM C aequidistet. Dico
conoides
CONOTDES PARABOLLOVH.
PR OP OSIFIO CLI
1064
Cor01.
Bul. et BB _ illa. Ouod exac proponcum.
PROPOSITIOCLTI
sectiones fiane dividentes conoides.

## Folio 1065 — 1815201908:1122
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001122.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
cnoides ABC ad. conoideos parcem
DBF, eam rationem continere ouam
Rad L. octensum enim est. conoides
2d parcem lui parallelo ad balim plano
relectam cam rarionem obcinere quam
crianeulum per exem ad parcem lii: sed
ex cottructione criangulu ABI ad crian-
sulum eBFI, eAt. velinca R ad L. Igi-
cur e conoides ABC ad parcem ab.
lacam DB F P, eandem racionem R ad
T obcinec. Factum isitur quod poltula
cum tuie.
CONOTDES DARABOLTEYM.
1065
PROI
nonoides ad parrem lui parallelo bals plano ablatam eam Lorrieurra-
stionem, quae est duplicata axeostorius ad parcem axeos ablatam.
Demonstratio.
35. bniu
QEponatur praecedentis propolicionis (cema quo AB C conoides diuilum eit pl
LLno DF F ParallelO bASI AMC. demonstracum inm est conoides AB C ad par-
cem DB F, habere racionem eandem cum rarione crianguli ABL ad G B HI, quam
cum ex elemencis conster esse duplicacam racionis BI ad BIT; manifectum est co-
noides ABC ad lui parrem DBF, duplicaram habere rarionem alcirudinis BL
ad BH.
Conoidis parabolici cum aliis corporibus comparatto.
PROPOSITIO CL V.
recta AK, axis parabolxe
AC Ciperfecto deindere-
ctangulo HK, PONaEuE
diagonalis AC.
Dicoparabola ABC FI
in se ductam ad crianou-
lum AE CHI, ductum in
se, eam habere rarionem.
quam sex ad quacuor.
Demonstratio.
OVcancur parallelX PB F C ad ordinarim applicatam C FT. Ouoniam oltentuM p 5 varati
b est lineas FD, BD, F: D proxorrionales elle, similirer oltentum est proporcio-c 45. de
nales ese cFD, F D, GD. erGO AB CHI ductum in sC aQUAEuE d A F. C FI ducto in duct
alcirudinem AK, _ A F C TI ductum in sC RGuatUr AC C FI ducto in alcicudinem d+2 parab.
AR. Igicur quam rationem haber AB C II, ductum in sc ad AP. CII in (c ductum
camracionem habebunc superticies AB CFI; A C C HI ductx in alcicudinem AR.
cum isieur duo corpora genica ex ductibus planorum AF CFI, A C+CII in commu,
nem alcicudinem AR, Corciantur balium luarum proportionem, etiam ABCFI, in
se ductum cum AP. CHP ducto in se, habebir eandem balium proporcionem, crian-
suli
Darabolam ABC cuius
L axis AD, contingat
u     pou  u e ti at  t e t p s e  u  s  e ut et pe e   et   t t   et   t t  a  t s p  utte     u e e   e     p

## Folio 1066 — 1815201908:1123
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001123.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
EONOFDES PARABOLI
Suli nImIuM A F. C FT ad spacium parabolicum AC C HL, led hanc eNe rationem
lex actescratuor Facile etu a etoato2  palaobia. uate eriam paral
1066
qua lex ad sacuot.
11.
bola AB CFT ducta in le acllatglilum AL. CHL in le ductum rarionem concince
AOPOSIT
CX Lr I.
Vonoidesad inlecipeum conum
cam racterseus Obtinet quae cle
Demonstratio.
inter LEx _ QUaTUOT.
Scensum est praecedenti proposicione
parabolam A D B C. ductam in lc 2d
criangulum A F B C, in se ductum cam ha-
ducta in se ad triangulum AFBC in sC
ductum, cam quoque obcince conoides
im ABC; cum quaccaca Palallelarum bali in parabola ad
circullii(de parallells. veradiis desecipl. ereo similitere discursu quo vu sumus
berc racionem quam (ex ad quatuor: (ed
quam racionem habet parabola ADBC
quadraca parallelarum basi in etianoulo eandem incer se concineane racionem, quam
OStTIO CLVIS
Onoides cylindri quo contnetut amaru elt.
UI
ABC 20
PEop. 129. hutus, Conct us propolirum.
Demonstratio.
Xlindeus AB C cuius basiS D L. C, Id
veco cylindri axe F MI, qui ee conoidi com
munis cst, per cundemac sectio exhibens
parabolam DHC; dcinde dclon para-
bola DIF habens axem A D. Odcaneur que
monstrata erir quactacim C I aequale re
ctansulo GTI L, vidc per quadraselimam
quincam libei de auctibus, Ct uclum in
FTL, aequale solidum tormabic magnicudi-
ni quae tic ex ductu. C LMlciplam, hoc est
ML Xquale COrF
beac inscripcum conoides DFC. In
GHTIMKL Paraicta BumacuM POlEX
C D. ex ijs que libro de parabola Tunc de-
ex duccu ITM in sciplum cum HIM. IOP2
rabolae caedem sinC. AEqui C MI duccum in
hunc ex duceu OFI in HIL, _ ex HIM in
MR: Quod colnsur ex 46. de duccibus, cum rectangulu CM L aGu a
gulis GFTT, FIMR. Pgitur cum GFT in TTL, aeguecur HIM, ducco in sciplum livo
BExdis-
crsu 12
in MVepac e etu MF3 dupluti este HM alicu in MK, hiuc inscip-
cum. Lccundem habec racionem b GM duccum in M L, ad LCM dCC ML
quam habet eftas L auCbnoides FTK, cum quadrata C H dd Guatala IL. HI.
eandem racionem contineant cum circulorum racione qui hiune radiis CM ec HIM.
Tsicur eriam exlindeus CP duplus est conoidis inscripei, quod demonstrandum fuic.
Breuius ex praecedenti idem demontrabicuF. Cxlindtus ambiens coni inferipe
criplus

## Folio 1067 — 1815201908:1124
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001124.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
CONOTDES BARABOLTOTM.
criplus est, conoides rerd ciuldem selquialcer. igieur l contus Pertacue, L. CHCCOnOI
desq. cslindrus aurem 6. F. X quo PATeC propOlicum.
PROPOSITIO CLV
Ionoidi AB C inscribatur quicun-
sque cxlindrus DOHIF.
Oporteat rationem conoidis ad cy-
lindrum in(cripcum nocum Facere.
Demonstratio.
Scensum est cylindrum cui conoidesin-
scribitur, duplu esse conoideos infcripri
lgicur racio cylindri super bali AIC, ee alci-
rudinc R B ad cylindru, cuius basIs CA D OFI.
de alcicudo FHI. dupla a est eius quaim habce
ratio conoideos ABC ad cundem crlindrum
inlcriptum; noca igitur est racio conoidis ad
inscripcum exlindrum, cum noca sicracio cu-
iusuis eylindri ad quemuis exlindrum.
PROPOSITIO CLIX.
IE conoides AB C cylindro ADCF.
Dinscripeum, _ plano F HIG POLIEO,
quod aequidistet basi AD C, AaC Cy-
lindrus FHOI, continens conoides
FBC, e haclectio AB C per commu-
DEM AXCIM.
Dico cylindrum ADCF ad c
drum FHCL habere quadruplicatan
rationem AC ad C+ F lincam.
Demonstratio.
1067
cylindrum AD C F. ad cylindrum F FTGF
quadruplicacam quoque habere rationem eius quat  C AabeC dd LC.
xiindrus enim ADCF 2d FHIGT, r2.
tionem habet composicam exbal ADC
ad Balm FFT C, guxe duplicaca est racionis
AC 2d FO, e ex racione alcicudinis C P. ad
OI hoc eAt R B ad BL, que est paricer du-lA
plicara b rarionis AC ad FC, cum sectio
per BK, axem conoidis exhibeat parabolam
ABC. unde cum racio BR ad BL, ducta in
racionem dupticaram AC adG F, producar
quadruplicatam A C ad CF, manifectum Ac
1a
Ao e u eat e t at t t  a   et t   t pt s t   t pt u te t  te e   pe    u ie     a 1 p  1   1 t    t at   s t a l

## Folio 1068 — 1815201908:1125
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001125.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
11a2 u-
CONOIDES PARABOLICV. H.
PROPOSITIO CLX.
1068. 
HIc quanis parseets Pataboet ABC, habens balim ellipricam
ablatam LBC, a capet eadem bali Formetur conus inscripeus conoidi:
Aac deinde guauis sectio quae aequidister basi elliprice, FOrmAnSFOrHAS
sectiones, vnam in cxlindro HIIIE, secundam in conoide L. M N, terriam
in COnOOPO.
Dico eres has sectiones esse in-
cer le similes.
Demonstratio.
Vm solidum AGCF supponatur
esse cxlindrus, sectio AOC similis
e aequalis cricsectioni IIIK; Led quia
demonstracum est a omnes sectiones in
conoide parallelassimilesesse, eciam le-
atio L MN Similis est sectioni AC C:
quia vero etiam demonstracum est in
conolectiones parallelas quae extibene
elliples, similes existere, criam lectio
OFO smilis crielectioni AC, C. Igi-
EUT OMMCS ErOS FTTR, LMN, OP 
sectiones similes (unc bal AC C., de
conlequener incer (e. Quod crac de-
monctrandum.
PR OPOSITIO CLZI.
VIne dux parabolae quarum vna ABC sic recta, habens nimirum Or-
dinarim policas ad angulos rectos; altera Id P. F obliqua cuiusnimiru
ordinatim poliex ad diametrum F. HI, non Faciane cum diametro rectos
angulos. sine aurem cam diamerri BG, F. HI quam C A, DF ordinarim
ad eas consticurx, aquales inter (c.
Dico BOC ductum in se ad angulos rectos, ad F O FHI ductum in se
ad angulos obliquos EHF, eam Cortiri racionem quxe compolica es
ex criangulo ABG ad DF H, e ex AC seu GC ad FL, normalem
ad E. H.
DAC C, Cuper qua cxlindrus condatur continens conoideos parrem
Demon-
BD
la
e
MCC
be
i
C
31
iua sie

## Folio 1069 — 1815201908:1126
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001126.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
EONOTDES PARABIOLTONH
Demonstratio.
COrmetur parallelexipedum ex ductu
LRBHF, in F I. DHI; habebic illud ba-
sIM REHIF, de alcicudinem FI. Cimilicer
si construncur parallelepipedum ex rectan-
suto MBC C in BN A C, habchichocba.
sIm BC CM et alcicudinem GC. Igieur
hae magnicudines composicam habenE ea-
tionem exrarione balis MBCC ad balim
XPHE, hoc est ex racione crianguli AB C
deriangulum D P. HI, ex ex racione alcicu-
dinis CE ad alcirudinem LI. Scd MBC.
ductum in BN AC aquacur Colidis, qua
hunc ex ductu plani MBOC in planum
COBN a simul cum solido quod AC ex
ductu BO CC in planum B R AC: G-
mili pacto magnirudo ex ductu R P II F
in E L D HI, aquacur solidis qua 0.
riuneur ex ductu plani RB O F in pla-
num FO B. L D, _ ex ductu plani FOFHI
in BEDP. Dividancur iam B G, F FI in
parces aequales in punctis X, Z. Ec quia x
quaneur OB, HIF, eciam X B, Z. L. pares c.
FUNE: AUCANEUTQ; MO Z R S, _ TOZPV
Parallela ad C A, P D. quadrarum F D (hoc
est ex hyporhesi quadracUm C A) est ad
quadracum OP, ve HIF linea ad Z F3 0i
hoc est, ve GB ad ZBs hoc est veis
rurtus quadracum C A ad quadracum  R. Xquantur igieur quadrara OP, OR.
ergO reCX OP, OR, adeoque e OZ, O Z aqualeS TUNC. TUNE VerO _C MS.
PV adeoque _c MX , TZ aequales. dempris ergo aequalibus L, X.
religue TO, NIO aquales (IMIE: _ quia cOCX M S, T V, aequales, eriam OS,OV
aquales erunc. rectansula igieur M OS aequancur rectangulis TOV, RquanEUF
aurem eC quadrAEA O P, O R. ergo omnia rectangula M O S sunc ad omnia quadra-
ea OZ, vcomniarectangula YO V ad omnia quadrata OZ. ErooMCOB du-
ctum in BOCAN, es ad BO CG In BR AG, VEREOR in EOFDL, ad
E OF EI in F P D FI. ErOOMCOBin BOC AN, vna cum BOCG, in BR AC
(hioc veia ostendi, para llelepipedu Cx M C in CN) est adM CO B in BO C AB, vE
RFOE iN FOFD L, Vna CuM E OFTI, in F P D FT (hoc est ve parallelepipedum
ex KII, in FTL) cA Ad RF O B in B OFD L. igicur permucando vecorum paralle
pipedum exM C:I CNV, cA ad torum parallelePIBCdUM CxK FT in FTL, ica ablacum
MCaB in BOC AI, ad ablacum KEOF, in FOFDI. ergod reliquum
BOCO in BR AC, est ad reliquum F OF FI in F PBFT, reparallelexipedum
ad paralelepipedu, hoc cs (ve ostedi supta) in racione composica ex racione crianguli
ABC ad criangulu D P. LI, _ exracione ipsius A C, ad F. I. Duod erar demonstrandu.
Scholion.
s. C
emor jum Hord ac parabcta demonsratum esse, nullas darr parabolas nclinatas, quod
sensui huius proposirionis videtur repurna:e: nam si mulriplicario parabolae BC C in
BCA, per ductum facta qui quadraca producit fiat circulariter, e comparetur productum
cum marnitudine FHF, quae etiam muliiplicatione circulari formabis aliquod solidum, hune
vera fiet comparario conoideos cum conoide, nam B  C C ductum in orbem producit verum
conoides; undeeriam P. P. II ductum obliqua inclinatione in orbem exhibebit inclinatum co-
noides, nibilominus verum que subsistis, recte scilicet affirmatur non dariparabolas inclinatas,
o te  per se tet  tt at stu et u t at tat  tat totu et tete   ett   t e  t t  t t te pett at  tete t tet s t     pti et te  pi t  t    u eate  s itisi

## Folio 1070 — 1815201908:1127
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001127.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
e tamen oncedi porest dari conoides aliquod inclinarum. verum vlcerius inclinationem illan
GOHOEDES DARABOLLCVMI.
1070
suimus.
non prosequimur, en tan condnns nullius sit 2 sus, ex excludatur a desinirione quam initio po-
CIc pars conoidis ABC D habens balim cllipricam, inclusa extindro
DABCF, et alcerum conoIS FCHI, super basi circulari inclulum
.  Ce
Dicoconoides ABCD ad conoides
FC TII eandem habere rarionem guaim
colindrus AB C, F. ad cxlindTFOHN.
1+ Eitte
puncuia i Demonstratio.
et Cott t
Ct WWSI
Ilac enim, quaeuis sectio K L. M parallela
AB C, occurrensaxi obliqui eslindri in 
ee formas in conoide AD C sectione NOP.
ediuiso deinde axe In in Z sccundu ratione DO
ad 0d, paraIlela FOTI, hac per L. scctIOR ST,
exhibenssectione V X V in conoide FG, HII.
crucigitur sectiones a RP. MI, N OP similes, vei
e RSX, V X V. insuper quadracum C d, hoc
eAt MO, est 2d quadracum PO, ve dL est ad
DD, hoc est ox constructione re nI ad Z I
hoc estrequadracum FIx ad quadratum XL
hoc est requadrarum YZ ad quadracum X L.
cum isitur EE quadracum M O. ad quadeatum
ZP O ve quadratum TZ 2d quadrarum X Z, 8
elliples olten(x linc smiles, eric cllipss NO P
AdK P. M, veest circulus V X Y ad circulum
R ST, inde cum hoc sic rniverlalicer rerum,
un factis quorcunque sectionibus, Facile iuxra For-
ma dilcursus quadragelimxe quinea propolcio.
nislibri de Ductibus concludemus exlindrum AB C F eNe ad conoides inclusum,
recylindrus FC HK est ad conoides insoriprum.
PR OPOSTEIO CEXLII.
VIE ABC conoides à quo dematur obliqua sectione ad axem BHI,
pars DF FB. Facta deinde sectione ABC per axem B FI, quae recta
sicad planum D F F; dividatur communis incer sectio D F in Pbitariam.
ex erigarur IK parallela axi, ponaeurq; K L. normalis ad DF.
Dicoconoides ACCB ad pAFECM D FFK, habere rationem com-
policam exbali AC C ad balim DF. F, e ex alcicudine B HI ad alticu-
dinem R L.
Demon-
PR O POSIT HIOVCLXII
cplincio FOFLL.

## Folio 1071 — 1815201908:1128
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001128.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
OAOIDES PARABOLLEYH
Demonsotum.
DEmonC CM
conoides ACCB
inclusu suo cylindro,
eam rationem conri-
nere ad ParEeM CO-
noideos DE FK in-
clutam (uo Cxliiideo
super ba(I D E F, quam
cxlindrus ad cxlindeu:
sed cplindrus (uper
AOCbalI e alcicudi-
neBII, ad cylindrum
exaltitudine RP _ BaS D F F, rationem habCE COmpOSCZ CX ratione Ba(COS ACC
ad balim DP F, e ex alcitudine B FF ad alticudinem R L. Tgitur eriam racio conoi-
dis AGC B ad ParECM D F F K ex ii idem est Compolra. quod auEem RL sc alci-
cudo parcis absci x DR. F R inde Parec, quod IK Scdiameter sectionis FK D bita-
riam (ECanSD F, e consequenEeF K I maxima linearum quae axi xquidictane; ve pa-
cet ex 47. Parabola X 5. 2. ac proinde eriam K L longissima normalium quX Cx quo.
vis puncto perimetri F K D ad FD potsune demicei.
P ROPOSITIO CLXIV.
Hconoides A BC sectum duobus planis parallelis DE F, OYTT Sed in-
Oclinanis ad axem; ducto deinde eriam alcero plano ABC per axem
BK, quod sicrectum ad plana DF F, GITI, exhibens communes incerse
ctiones FD, LG; quibus in L. _ MI bilectis pOnanEUE B L NI, QE FB.
Dicoparres conoideos BDF. F et BCFII, eam Corriri rationem, qua
cA incer iriangula BMF, e BL. N.
Demonstratio.
tuE quaevis PS R O, quae xequidistet F M. crüE
biraque OL, TL, NL; icem PO SZ. RG
proportionales. quare per propolicionem quadra-
selimam quincam libri de ductibus maonicudo
constans bal criangula F BM, e alcicudinc ob-
ligua FMI, aequabitur solido, quod emersit ex
ductu BTSFnI in sC secundum eandem obli-
quicarem anguli BMIF: vndecciam pars ina-
snicudinis constans bahi criangula BNL. e alci-
cudinc obligua FM xequabitur Colido, quod AE
ex superticie BII in sc ducta secundum candem
obliquicarem. Cum isirur hec prismaca conve
nianc alcicudinibus, inter le rationem colequun.
tur que incer balestriangulares invenieur. Vnde
etiam BIS FMI in sC ductum candem habet ra-
tionem ad parrem B IF ductam in sc, quam continererianoulum BM F ad criangu.
lum BL. N. Ced ouam proporrionem habeclolidum ex ductu BTSEMT in Ce, ad
BFL inse, eandem haber conoidis pars BD F: F ad parrem conoidis BGFTI, quia
ellipsis D F Fad clliplim OTII, vel ad quamcumque aliam eidem parallelam ean-
demrationem habet quam quadracum PM ad TP. quadearum vel quoduis aliud
inter-
DErsiciacur paralle lo Srammum N F, ex pona-
21B2. Ba
 i e i i ie  e e  us   sie s e tui to e s i  ie  ee  ie   p  it ust      e   p ue      e   p ue  s  a  pe  11 

## Folio 1072 — 1815201908:1129
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001129.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
11 72
CONOIDES HYPERBOLLEYM.
incermedium. Ioicur similidiscurte uo  LaS In 29. huius pacec conoidis partem
BDP PadPC aObCG B BHL L aet B L. 1V
ald22222
Oocionoia L) Perdo.
DEFINEFIO PRIM A.
criangulum.
Vichyperbola ABC, cuius axis BD, super quo immoco incellisatur
acircum duci in orbem pars AB D pergens ex Ain C et F, doncctal-
demreuertatur in A punctum. extubebirur tigura corporis quod conoin
deshyperbolicum dicimus. Cuiusaxis BD e verrex B punctum.
DE F IN LTIO SE CVND A.
tisdem positis sichyperbola AB C cenErum F, ex quo alymptori po-
nancur figura ABC, Ccilicet FG, FHI. ex producta DC in G agacur
FDC criangulum in orbem describens conum HIIGF. Appelleturco
nushicalymproricus conoidis ABC.
DEFINETTO TERTTA.
Similestyperbole sunt que rectas es transuerlas diametros proporrio.
nales habent.
PROPOSITIO CLXV.
Muls secclo conolais hyperbollet pet axem tacta hsperbolam se
acal eadde el illa, qua in Formatione conoidis ve sumus.
Demon.

## Folio 1073 — 1815201908:1130
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001130.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
Demonstratio.
SILtsura AD C hyperbOLA Cx qua FOrmaTuI
est conoides, ec axis sED R: quo producto in-
veniatur lirperbolae ADC cenerum F. sectio
nedenique tacta DBF peraxem, e astumpeo
quonis puncto C in perimetro AD C, demit-
cacur ex eo normalis ad axem D F. qux (C C+ R3
exK aUTeM C R FI, normalis icem ad axem, ex
aoacur hyperbota DF A in orbem, aonec per-
venerie ad sectionem D FTB. quoniam igicurtry-
perbola CD A gencrat ex hrpotheli iplum co-
noides, paccclincam R C (ol0 Reu differre à li-
nea REI; eltvero e F A aequalis B F, cum am-
bxe sinc semidiam eeri. ErGO VE quadFAFI F. A ad
quadratum R C. Sic quadracum B F. ad quadca-
tum HIK. Scd, quia AD C ex hrpochehi est hy-
perbola, ve quadracum F. A ad quadraEuM K C, Sc a rectangulum F F. D ad rectan- ar. hyperb.
sulum FKD. ergovE quadrarum B F. ad quadracum IIK, SIC rectangulum F F, D
ad rectangulum LKD. Ergo D FTB hyperbola est eadem cum AD C, quae Forma-
vic conoides. Ouoderac demonstrandum.
PROPOSITIO CLXVI
ulnis sectio in conoide hyperbolico bali aquidistans circulum For-
MaE.
Demonstralio.
PFEconoides AB CD, d sectiONESPEFAxM AD C et DFB; lecllo aurem paral-
tela bas sic OTTI: ex dictis propol. 165. Pacer K C aqualem elle R HL, ec eodem
modo ostendam reliquaS OmMEs guX ex K ad perimecrum CK ducuntur, ae quales
essc. ergo OFII circulus eAt. Ouoderat demonstrandum.
PROPOSITIO CLXVII
Ionoides hyperbolicum sc-
scecur plano inclinaro ad
aXem.
Dico per axem conoideos
posse duci planum quod reccum
Cir ad plarum dacum.
CON OTDES HYDERBOLTCFH.
nobtosot abbe.
97
normaliter GFT ex C ad planum DB. F, crunt CHI _ C B, in eodem plano quod
per 18. undecimirectum exie plano D E. F. F. X quo Patet propolicum.
IEconoideos ABC planum D E F, Ce cans obliquE Arem B L in G: crect a deinde
 e  . 1 u .   t    i 1  . 1 . i i   .  e . 1        .    t       u.      . 1.   e    e  e1

## Folio 1074 — 1815201908:1131
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001131.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
DelLCoMAETaILCAE.
CONOIDES AXDERBOLLCNM.
TE AB C hyperbOlA qUAMLRCCHCAHE EquidiCtAnEeS D C, EP, pOna-
curquererria AB, qua palallelis occurrac in punctis LL e C, neque
Dico rectangulum F. CF ad DFIC
eandem habere rarionem quam habee
reccangulum ACB ad AHLB rectan.
gulum.
Demonstratio.
CiX cenerohyperbola demissis diamerris re.
Cctarum AB S F F, guX Occurrane peri-
merro hiyperbole in punctis NY _c M, ponan-
TuT COnTINGEHECS NO, MO. COnCUTrenE BX
in puncto quodam O. nam xquidistanEeS (UNE
ordinarim applicacis AB, FF; quae sibi oc.
CUTPUBE; cricque per 27. cerrii conicorum
rectangulum A GB ad F G: F, VE CA NO qua-
dracum ad MO quadracum. Sed ecium per
eandem propolicionem est rectangulum
ATIB ad DFTC, vequadratum NO adMO
quadratum. Igitur ve rectangulum E G F ad
DFTC, ita est AG B ad AFTB. Duod Fuic
demonstrandum.
Ine in hyperbola bine pa-
D rallele AB, CD, _FF, CHI
Cibioccurrentes in lXK.
Dicorectangulum C ID ad
AKB, candem CONTInCrC FA-
tionem quam recrangulum
F IF ad CKHI rectangutum.
Demonstratio.
Vngancur puncta TK recta lined.
quae conveniat cum perimerro in
C QM. cric itaque per praecedenrem re rectangulum P RM ad recranguluM L INI.
iea cam rectangulum GRII adF IF, quam ARBreccangulum ad C ID rectangu.
lum. lsicue veseclangulum C lD 2d AFB sect angulum, ita eAt Ec casulum FIF
a  rectangolum.
eROPOSITIO CLXVIII. LEMM A.
LEMMA PROLODETIO CLXIZ.
1074
a2d. hyperb.
L F. VI.

## Folio 1075 — 1815201908:1132
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001132.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
st
1075
CONOIDES HZPERBOLICV H.
LF ML AISL. (PROPOSITIODCDKL.
cenpeaet alplocos conlcicuram quaenisrecte AB,
OHIR alympEOcO ParaIlElE; PONANEUT AUECM Cx A _ FI, recre contin
semeslectionem quae conveniane in C, D, P cum alympotis: ex centrO
denique C dux diametri ducaneur C AM e OTII, d tatveC A ad
CM, ica C II ad C I, ponancurque ordinarim MI F S ad diametrum C A,
ee INO ad diameerum GTI. 1d.
Dicolineas OOSK proporeionalicer (cctas ese in N, R, IR F, F, M.
uu
Demonstratio.
il
Aetoca
SESM Ad EM, DE OM ad AM, hoC CA pex hyP. ve OT ad HF, HOC CA vE
Iad R I. Cuncisicur SM ec OI proportionalicer sectx in F, _ R. policis
deinde, ATV, AT qua agmdistencalympeoro C C, cruncicerum OV de ST pro-
porcioialicer sectx, cum (c R I ad I9, hoc eAt VI, ad I9, velue CA F. M adM S.
hocCA MT ad MIS: SUINE AUECM ETES QUaNCITaTCS SF, SF, SR ec alixereS JVY.
QR, OOaproporrionales, ac proinde cum siInE F F. aequales YR _ N R, V O, 218 hyperb.
(nam FMI aequalis CA MK _ RMI, MT; ex NYI aequalis IO, _ TR aequalis IV,)
eriam B guanCITaTeS S F, F F, FF _ ON, NR, RV Cunc proporrionales. QuaTCB ,. pro-
cum (ICO R ostenso ad RI, candem habere rationem, quam habet SF ad F. NI, gres.
etiam ON adN R, hoc es V O eandem habebic proportionem quam S F ad F F,
hoc est PK. quare Fotxe lincx O, SR in punctis NV, R, I e F, L. M luncPrOPOr-
tionalicer secX. Ouod tuerat demonstrandum.
eROPOSTTIO CLXXI.
anis lectio conoidistypone u t ua C ExHI.
DET.
Demon-
   t p t e te s s te spi s  tet e et  e s e es te  e e ti  e te t e su e et et e   te    eu e s se e a se et  et se su et .  e  l 1 e e b  e t . 1.  1

## Folio 1076 — 1815201908:1133
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001133.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
2076
CONOTDES HIYPBRBOLLEVU.
Demonstratio.
Ccurrac planum DF F ad angulos obli-
quos axi BC. Dicolectionem D F F et
lipeicam esse. Donacur planum. A B C per aXeM
BC quod sic rectum ad planum DB F, exti.
bens communem incersectionem D F, qux oc.
currac axi in puncto quonis FI, crectâ deinde
normalicet IIF ad planum ABC hac sectio
per HF parallela bali ATO, SCIlICCE RFL
quae erie circulus. deinde ponatur planum
MNO, bali quognexquidistans produces cir.
culum MNO ac Signanscommunem incerse-
ctionem cum plano DF F rectam PN. crie
aigicur PN parallela IIF, ac proinde b recto
C plano AB C. quia ergoram FIB, quam PP
lunc rectae plano ABC, deknic. 3. vndec. crie
TTE normalis ad DF, RL; _ P N normalis ad
DF, MO; 2c proinde HIF, PN sunc ordina.
c158. H EIm POLICE ad axem D F, SCCLIOHIS DE F, _E quadEAEA HIB, PN rectangulis RHIL.
MPO aqualia: sunE. Deinde ostensum eAtc rectangulum R HI L. ad M PO, candem
habere racionem, quam rectangulum DHI F ad D P F rectangulum. igitur, cum
rectansalis RHIL, M PO Paria sinc Guadraca ITB, PN, eriam quadracum FIF ad
PN quadracum eandem habet carionem quam rectangulum D IIF ad D P P rC.
ctangulum. Ouare lectio DE F elliplis est, cum linea HIB aequalis siICHIK, recta
verO HF maioc H L, Gvc HIL.
v
inc..
peraxem conoideos. ls pelbolam exhibet.
RODOSIEIO CLZZII
Mnis sectio consideos qua cran (eacper cenitum hyperbolae Facta
Demonstratio.
le conoides ABC, cuius sectia peraxem
habeac pro cenero punctum D, Per quod
adacur planum DBC. Dico BF. C esle hy-
perbolam. Hac enim per axem DH sectio
quae lic rectaad planum BP C, Eeque id pla-
num AB C, cric isicur DI communis inter-
sectioplanorum ABC, X BF C, diamerer in
lectione ABC: assumpeis aurem punctis R
SE L in dIAMEEEO D I, CrIGANEUERP, LF nOr-
maliter ad planum AB C. crunc ixicur bX li
nex in plano BE F quod orchogonalicer pla-
no ABC insistic; posicis deinde in sectione
ABC ordinacim rectis OLP, M K N ad cI-
mecrum DI, hanclectiones per R P, L. Li qua
baA ACC aquidistenE occurrences plano
ABC, secundum rectas O R R, TLS. cun
ipicur defin. Z. vndec. rectL R L, L F HOTImales
linc diamerris circulorum OE R, LF S, CrUnE
quadraca R L, L E rectangulis RK O, SLL
xqualia. cririgitur re rectangulum RI il
S, ITa quadEATUI R E ad L F quadra-
cum

## Folio 1077 — 1815201908:1134
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001134.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
HI
l22dlLaem.
1077
cum. (edrcest ORR rectansulum ad rectangulum ll. 53 laaa  1b3. 1
MKN ad OEP rectangulum; igieur ve rectangulum M R N hoc est quadracum us.
MK adrectangulum OT. P, hoc es quadracum OF, ita est quadracum R F ad L F
quadracum. est aurem quadeacum VIK ad OL quadrarum, verectangulum VRB
(lacta peius DV aequali DB,, ad V P B rect angulum igitur ve quadeacU K F ad L I
quadeacum, ica est rectangulum V K B ad V I B. Es igicur lectio BF F CF hyperbo-
la cuius axis B Ie lacus cransuerlum BV.
PROPOSITIO CLXLIIL
Va hyperbolx in conoparallelx in.
Duer lelimiles Tune.
Demonstratio.
Icconus ABC sectus planis parallelis R.
DOHI quxe hyperbolas exhibeanE. OPOTTCE
octendere eas smiles esse. Facto per axemconi
plano ABC quod uc rectum ad sectiones pa-
rallelaS, CrUnED R C: P. Carum lacera cransuer(a
comunes incerlectiones planorum cu conilAcere
AB COcUErCnEES. dein CX B COnI VeFTICC PONAEUIE
BF secans bitariam, cranluersaS diamerrosGL.
DR. cruc ergoBZ, BF diamecribrecte. FIis pos-
eis quia KD, C C. lunc paraIlolX, R D cA adLG
veBD ad BG, hoc eAvE BZ adBF. ErgO Per
detin. 3. hyperbola DE F, OIIF similes CUNE.
Ouod crac demonttrandum.
aOEocL Laat
Mnes hyperbola inrer calde alym-
peocos constiruex similes TunI.
Demonstratio.
INED AF. C AO asymproci communes Au:
Bustsperbolis IOTI, IKL. Beo masen
incer le limiles. Ponanc em Coneseles
IX. F1OB AC dd AR, DE MHV ad OF. GHarC
cum proporrionales sinc diametrirecta e trans-
verlx pater chyperbolas saudences communi-
busalympcocislimiles fsuras cAC.
MON, ORE ad axem communem AC R,
quiangulum alzmpeocorum bilecat: crunc ergo
AR. AC amata laterum eramueoru, OLi.
aucem X M NI, crunc d rectxe diameeri. Jam quia
OB. MN cangune liyperbolas in punctis, obi
ab. 1
axis communisie caC I Perbolas, crune paralle.
d
 es s  s t te  te t  . e   e s u s e  te e test  e e u s  ut  e oe  e  upeti  e e s     e o e e  ue e e e sit at  e  p  l1

## Folio 1078 — 1815201908:1135
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001135.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
1078
VIE A cenerum hyperbola
DBCL. Facta per axem co-
noideos C F de ciusdem hyper-
bola in eodem plano sIc alym-
procos AF. quae in orbem acta
Tuperaxe AL, immoco conum
E HIO A delcribat.
Dico conum hunc cum con
nOidc BCL nON CONCUTTeTE,
quamiris dato quouis interuallo
proxiusaccedat.
Demonstratio.
Filac enim guxuis sectio per axem
conoidis E AO, habebichXCpTO
alympeocis AF, AO lineas que cum
sectione conoidica per cundem axem
AF. Facta nunquam convenient; ac.
cedent camen ad inceruallum dato
minus ex nacura linearum alympto.
con: quare cum omni sectioni per
axem Factae hoc conveniac, manite.
lum dalB LIUS PCTUCMIAE. Duod Fuic demonsteandum.
eR OTOSIFIO CLXXVI
Tleicerum conoides ABC; sectionis
L ABC pCF aXeM FaCtX CCnEruM lIE
D, _ asymprori DF, DF in superficie
alymprorici COniDFF. Hac aurem (0-
ctio CN I, quae recta sic ad planu ABC
per axem conoideos e parallela axico-
noideos B O, exhibens communem in-
cerlectionem NIM, cum plano balcos
FP F: ducta deinde DL quae diametro
AC baleos conoidis aquidistet, duca-
TUT LMI linca ve anoulus N L. MI SIC di-
midius anguli que continene alymptori
E DF, par nimirum anguloODF.
Dicolectionis CN Lalymprocon esse
rectamL. MI.
CONOIDES HYDERBOLLENM.
eROPOSILAOCLXEV
Rum est superticiem conicam nunquam cum conoide convenire, licec ad interual-
Demon-

## Folio 1079 — 1815201908:1136
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001136.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
CONOTDES HRPERBOLTCNH
Demonstratio.
recta plano F. DF, adeoque ad lineam
FF. ergo PO parallela ad MN, eciam re-
Eta eltad F F. insuper quia DP est in super-
sicie conialrmprorici, cric angulus PDO PaF
angulo E DO, hoc CH ML. N. lunEverO e an-
suli DO P, LNM recti ve Facile ex hypoch.
colligitur. quare cum laceraDO, T. N eriam
sinexqualia, crune quoque bO P, NM aequa-
leS. IBICUE NO, P MI, IUNgUNEOP, NM aequa
les e parallelas. ergo ex iplx Cunc parallela
ergocum angulus PON oltensus sic rectus,
etiam O PM reduS erIE. ergOCMBEanSIE CIr-
culum. planum erso D PMcansicconum; de
indequia iam octendiM P ese parallela NO.
estque eciam extrp. DI Parallela NVO, crune
L. D, MP parallele ergo L M, in vno d plano
eA cum rectis MP, PD, D I, in plano scilicet
conumcansence: et quidem paralsela ad D P; cum P MI, D L IUNSANE DL, PNI X-
quales ac parallelaS, erVO LM nON COnCUrTEE vnquam Cum DP, quae est planocan-
senci e superhcici conicae communis; ac proinde, quia planum cansens cum co-
nonon convenier rnquam nih in Cola linea DP, Pacec P. M cum Superticie coninon
concurrere. Acquiper praecedenr. superticies coninunquam concurrir cum conoide.
Ergo P Mmulcominus unquam cocurret cum conoide, ac proindeneque cum co-
noidenslectione GNYT. quod aurem accedac ad inceruallum daro minus, lc ostendi-
cur: planum cangens si verlus balim vna cum cono producatur, ad conum accedic ad
inceruallum daco minus; nam factis sectionibus circularibus basi parallelis, cum cir-
culi hane maiores dacis quibuscunque, anguli concactuum M P R RenEdatis minores,
accedicaurem ex comea superticies ad conoidem ad inceruallum daro minus ergo e
planum canses accedic ad conoidem ad inceruallum daco minus. ergo e linex L. M,
ON L. ad invicem acce dun inceruallo daco minori. Pater ergo proposirum.
OPOSITIO CLXZVI
LDico coni alypoet D FF. sectionem OS R inter alymproton
LM Cecoirura ic L. M eriam elle alymprocon lectionis QSR.
EX O cenerobaleos ponaeur OP, quae sic
parallela PTMI, _ IUHBANEUFD P, P M quo-
niam planA F PF, L. NM recta lune plano
EDF, eric communis eorum sectio MIXY
Demons.
IIdem posicis.
D26. pr imi
Cr6. tersiso
ad L. D, isitur OY ex P D xequalestum. elt aurem L.O dimidium diameeri exint
nON CONCUTrErE Cum lup ertcic coni. quare neque cum sectione SR, qux est in co-
ni GupertCIC, VNGUAM COnVEHICE.
Si Scenimangulus NY LM ex constructione dimidius anguti F D F, quem a Cy mprO-
e complectuneur: vnde SPONAtUE O Y HOMIHaII all L  _ B X; COHCIMB CM
ABC sectionem, erit D B ad BZ, ve F. O ad O T, sed ve B D ad BX, ita cAO T
verlae, de I. D hoc est OT dimidium relle. lgicur L TM alymprocos elt hyperbo
lae SR. Idem paret ex demonstratis t Pracedener, illic enim octenlum cAt I. M
orel
  t     p M  at. te     .    e t     t. H M   A A    B  H     1       A   B  .  B A u   uu   ste n u

## Folio 1080 — 1815201908:1137
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001137.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
1080
CONOIDES IILILERBOLICYH.
Corollarium.
TXperbolX OSR, ONF similes M, nam iildem concinentur asymproris per
176,  177. ergo per 17 4. Uimiles lunE.
PROPOSITIO CEXXVLII
Alccodoides cono aly piocou, ee hac sectio  lG axi pa-
ralletas quae recta sic ae pranu ABC ductum peraxem, extibens
hyperbolam RL. C in conDLL, d sectionem B N H in conoide hy-
perbolico: _ ducatur ONM P parallela lC Y.
Dico quadratum OM excedere quadrarum ON codem excestu quo
quadrarum lC excedic LHI quadrarum.
Demonstraiio.
DCdNAEE PlanUM R M S baHI DO F, Xqui.
distans, extribebuncur duo circusi TNV
_ RMS, Parallelicirculis AITC, DOF.
erieque quadracum ON aequale TOV re-
ctangulo: quadratum vero ON aquale re-
ctangulo ROS. quemidmodum cciam qua-
deacum TH aequale rectangulo AFC, et qua-
deacum IC,aequale DTF rcctanoulo. (cd re-
ctongula R T S,F CD, sunc excestus rectan-
Suloru R OS, F FD, supra rectangulaTOV,
CTA. ereo rectangula RTS, LCD criar
sunc excessus quadeacorum OM, IC, lupra
quadrata ON, ITI. sed rectangulum R TS
2guale est rectanoulo F CD, igicur eciam
excessus quadraci OM quo exccdic quadex-
cum ON, xequalis es excestui quo quadracit
(O, excedic quadracum LFI. Ouodcrac de-
Alupa in demonstracione rectanonta
CD, excessus ese rectangulorum
ROS, FID, supra rectansuta TOV, CIA.
hoc aurem sic demonstro. rectâgulum ROS.
xquarur rectansulis RT, OS e ZO, OS.
Sed rectangulum TO, OS, aequacur rectan-
suloTOV, _ rectangulo TO, V S, hoc est
led recrangula R FOS, R TO aequantur rectangulo R FS. ergO recrangulum
ROSaequacur recrangulis R T S, LOV. Ergorcerangulum R TS est difterentia
monstrandum.
bCoroll. 1
hypert.
reccangulorum ROS, TOV.
bR FO. ergo rectangulum R OS Equarur rectangulis R FOS, FOV, R TO,
ot sItIOCLXEIA
Mnis lectio conoidis hyperbolici axiparallela exhibet hyperbolalu
ottat eta  PEF AXCII.
Demora

## Folio 1081 — 1815201908:1138
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001138.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
GONOIDES HILLLRDOLLOrM
82
Demonstratio.
A FBCFTEDEXCCdentis proPOLICOIS ProBramma AEquE WXEa 17 J. = L alum-
LLPEOTOS RLO hyxerbola, qCHin conoD F F. Ottensum est quod quadra
tum ID excedit IFI quadeacum aeguali excessu, quo quadracum MO exocdic qua-
drarum NCS. lcdquin X P est alympcoros hyperbola R M C, eriam quiadratum I L
excedic aacum IO aquam excestu quo quadracum OP, excedie quadedeum
OM cum quadrata lP X O P, excedanc quadeaca PC et OM, rectangulis sub YC
dc duptâ YI; e (ub PM X dupla P O, guae per 18. hyperbola aequalia lunc. lgieur
excellus quadrari IY luper quadraco IFI, aequalis est excestui quo quadracum OP
excedis quadracum ONV. Sectioigicur BNII axi parallela, est hyperbola.
Ouod auce similis sichyperbola B N FT, hyperbole A B C que per axem facta cA, p2
tec ex eo, quod BNII hyperbola alimproris claudicur ijsdem, quibus claudicur hy-
perbela KL C, ve ostensum es supra. Fre0 per 17 4. huiushyperbola B N E axi par al-
lela similis est hyperbolx per axem. Ouod crac demonstrandum.
Corollarium primum.
Mnes sectiones conoidis quXe axi sune xouidistances angulum ast po CoM.
Corollarium secundum.
ine crtam manifectum est, omnium sectionum minimam ese ayperbea PL
axCH, Comparetur cum Elavis hyperbola qua sic eidem sectioni parallela,
cum enim ostentum sic omnes illas hyperbolas alrinprocisrei, qui sunc eiusdem an-
suli. lsicur quo maiores cudent diametrieransuerta, co criam maiores cundenchy-
perbolae: diamerer aurem cransuerla, minima illaCIt quA PCFAKCMM ETANEIE, VE PaECE
curioluis has materias consideranci.
eROTOSLTIOLLLXXX.
prelciulum aquate ConinenC. Pacec ex 177. huius.
DEcetur conoides plANO PEF AKCM ex-
Dhibenshrperbolam: inuentis aurem
huius sectionis alymprocis, hacsectio co-
noidens alteri alzmprocon parallela.
Dicoparaboraac scerione producis
Demonstratio.
Ec ABC platum per aAcM L B L conoidcos
hyperbolici, exhribens sperbolam ABC.
cuius cenerum F, a Pbci vero F C F FI. POL-
es deinde recta BD que aequidistet alymproco
FC. hac per eam lectio B  l recta ad planum
ABC VicotSTaBDF CHC ParabOla ad FBR
axem comme conorucos a sectionis ABC
constieuantur oramatm ICCl L MI, que produ-
etx cuntalympeons d cum sectione concurrars
ponancurq: B lalimptolo H aequidistans, et
XBScansenssectionem AB C in B. Denique
sectiones AanE L R V, que sinc rectx ad plamit
per axem quarum commanes sectiones NR
cum plano B R R, 19. vndec. _ detinic. 3. vndec.
recte erune ad lineasF. D, BD. quoniamigieur
FC, BD xquidictanE P N aquales exunt SB
   p e e   es   e uui s e e es qe es ee u e ee se ete s te site u e te  r   u   p te u   (    qu et 1 e e s  1. te e   e  e  . at H 11 11

## Folio 1082 — 1815201908:1139
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001139.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
1082
a1B. hyib draris L HI, N M, _ reCSS L E_L AS sumpeis, hoc esta rectangulis PLO H
deaca PM aequalia sunc rectangulis PL 9, LNV una cum quadraris NM. ablacis
icur communibus PP 9, rectangulis ec NM quadracis, remanent rectangila
PNMbis Cumpea aequalia L NV. Cediildem rectangulis L NV aequalia lune quadea-
ca NR, quodNR lincrectae ad diamerros circulares LV. Igitur N R quadeaca x
qualra lunt rectangulis PN M bis sumpris. Quare rerectangulum PNMad PNNI.
hoc est VE LInCa NMTad NTM, hoc est vE N B ad N B, ita est quadracuM N R ad N R
quadtarum. quare BR P, sectio parabola est. Ouod erar demonstrandum.
ROPOSILIO CLXKXI
IE ABC conoides conolD DE F, alymprorico inclulum, Fact a de
indelectione D F. F per comistunem axem coni d conoideos, hat al-
cera CtIl atimpiore Gulde C. L a quidictans lednormalis ad planum
Diectas palarab ete palaltelas seu saudere communilacerere ct0.
Demonstratio.
laE SECTIO LM N paralIela BaH exhIBCHS I
conoe conoide circulos LM N, OP O _
producens in plano GFTL communem inter-
lectionem R MI, que, quia est communis seccio
duorum planorum LMN, GFII rectoruM
plano DEF, eric r9. vndecimi recta plano
D F F, ac proinde defin. 3. vndeciminormalis
ad lineam N OOL, reccansula igituIF NRL
ORO RGUanEUE quadEATIS RMI, RP. pari aF-
Sumento reccansula FHID, CH A xquantur
quadeatis HII, HIR. Ouare cum reccangula
NOL. FCD sinc differencie brectangulorum
NRL, ORO AE FHID, CHIA, crunc quo-
que cadem rectangula NOL, FCD, differen-
FIX QUAdEATOTUM RMI, R P d HTI, TIR. AEqui
rectangula NOL, FCD exegualia sunc. Igi-
cur excectus quo quadracum R M superatqua
dracum R P aequalis es excessui quo HII qua
dracum excedie FTK quadrarum. Punc igieur
per ca qux lib. de parabola diximus s parabolx
BIIR e OHII parallela, saudentes eodem
lacere recro ad communem azem. Ouod Fuic
demonstrandum.
EONOTDES HYPERBOLLCVH.
comtingenti, hoc eA BZ, hoc estrectis 19, erirgue quadeacum P MI xquale qua-
ut cum qua icaris NM, _rua cum rectangulis P NM bis sumpeis. led criam qua
D E F exhibens parabolas BFTK, GIII.
PROPOSITIO CLXXZI
I conus rectus asymproricus AB C lectus plano per arem exhibens
criangulum ABC, de Pau O PTaHADLF, CHIL hormalilet
comnuca dd planum se qualu communes incersectiones FD, II6
cumcriansulo AbC agaae laleliDe.
Dicopalabolata DLFMPlGEC
ab alymproco BC.
mor

## Folio 1083 — 1815201908:1140
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001140.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
CONOIDES HYPERBOLLCYM.
Demonstratio.
int communes incersectiones batis AFC, de
Oplanorum DL. F, FIC Y rectx D F. C I, qua
erunc normales ad diametrum AC ex 19. rndec.
d detin. 3. Ciuldem, dueta vero GB, OCCUErAETC=
Atx DB in R, ponacurque per punctum R
planum ML N. Parallelum baC extibenS L K,
communem incerlectionem cum plano EDFs
quae normalis eAt ad MVI. rectangulum igitur
NRM aequale est quadrATO LK, de rectangu-
Ium CC A xqualc quadraro GI. Igicur ve est
rectangulum MIK N ad ACC, ica est quadra-
cum RL ad quadracum GI. sed quia ratio N K
ad CG, eadem cs Cum ratiONC R MI ad C+ A, EC-
ctangulum MKN est ad rectangulum CO A,
in duplicata ratione NK ad C G, hoc eA BK ac
BG, hoc est RF ad C TI. Isitur criam quadea-
cum RI ad quadracum GI, est in duplicata
racione R E ad (+ TI. ergo ve quadrarum RL. ad
CI quadrarum, iea eA quadeaEUM K F. ad qua-
deacum CFFT. Cune icaque similes portiones pa-
rabolicx P K L _ GFF I. Sed lacus rectu porrionis FT C: T, maius es latere recto por-
cionis BKL, cum rectangulum IICI maius sic rectangulo FKI. Tgirur verum
elt quodremocior a verrice maior sc parabola quam qua propinquior elt.
PROPOSITIO CLXXZIII
DOnatur conoides hyperbolicum ABC
Lsectum planis paralselis exhribentibus
parabolas BDF, F CFI; ostendendum est
lectionem BD F minorem esse sectione
FOH.
Demonstratio.
PErticiatut Conus alymptoricus L IK, e planU
peraxem ductum. exhibeachyperbolam ABC
eiusque alymPEOEOS L I, IR, quarum TK aequidi-
Aabie parabolis, ve Pacec ex 180. huius: plana vero
DBE, OF FI producta producac HgUFAS MDN,
OOP, dua veigue parabole existent cu plana illa
alymproro TK xequidistent. Ostensum est a para.
bolas ADN, BDF aeguales esse; similicer et
OOP, FOFI. Igirur cum ostensum criam sE
bparabolam DM N viciniorem LK, minorem
esse parabola OG P remoriore, criam BD F
parabola minor erie parabola FGHI, gux remo-
cior est ab alymmPEOTO LH. Quod fucrac demon.
Arandum.
108Z
82. huius.
hi

## Folio 1084 — 1815201908:1141
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001141.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
CBAOIDES HSEERBOLTOYM.
EKOTOSIIIO CEXXZIN.
Mnestectiones cemens ls perbolici axi aquidistantes, (i inter se
quoquexequidistene, cenera habene in linea qux à cenero hyperbo-
lx per axem conoidis producte, normalis ad parallela hyperbolarum
Plana ducieur.
Demonstratio.
Tcigitur planum ABC per axem conoi-
deosinclusi cono D R F alymprorico, od
quod aliud ponaene B CFT ad rectos ansU-
Jos, quod aequidister axi conoideos. Dien
sectionis B GFT cencrum eAe in P. I, quX a
ceriero hrperbolae AB C ducirur normalis
ad planum BCTI. planum enim BC.HI.
productum lecer conum, e exhibeat hy-
perbolati RGF; huius centrum erir in
recta FI. Acqui hyperbola PCrTI, ijidem
asempeocis claudirue quibus hyperbola
R GL, VEPATCE CK 176. ex 177. huIUS. ergO&
cenerum cum ca habee commune in recta
E I. Similicer ostendam omnes hyperbolas
ipsi BCFFT parallelas habere cenerum in re-
eta PI. LiguEFerBO prOPOSiTUM.
PROPOSITIO CLZZZV.
Ececur conoides hyperbolicu ABC.
lectione per axem _ altera BDF,
qua recta (IEad planU pCFAXCI, CON-
curracque cum laceribus crianguli per
axem COnIA(YM PEOTICI CKETA CONUIM.
Dico secrionem B DF. ese hyper-
bolam que cum lectione coni FDC,
non concurret, qua in eodem plano
exictic.
Demonstratio.
CM CK 19. PI. _ CICHHIC. 3. TI. PALCE R FV
LBA L, aCDE C rectis L. M, PL
Voniam planum BDP. rectum est ad
INUM PCF EXCM AB C, _ concurrit
cum laceribus criansuli peF aXCMI CXEra CO-
num, isicur sectio FDO coni HIMOL.
hyperbola est, CUIUS CCHErUM SIPPONACUE
punctum P. ex quo a (yMPEOTOS dUCATUEPO.
Dohcaigitur diametro P D, aNumproque in
ea puncto quonis R crissAnEuE R S. D, 7 que
Eine normales ad planum crianguli ABC
peraxem, ex secundum R S, DO lectiones
hancbasi conoidis parallela, exhribebunc hae
sectiones circulosOTV, AF C _ ZV X
1064

## Folio 1085 — 1815201908:1142
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001142.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
GONOTDES HYBERBOLLOVM.
essenormales. vnde rectangulis OR Z, A DC, Euantur quadrata R Y,  f. Fect u-
gulis inluper Z. R X, I. D M quadrata R S, D. C, _ quia FTM, FTL alympeoci lune
sectionis AB C, etiam Z. O Z L. A M rectangula incer (e lunc a Xqualia; vnde exc eNuS 2 1S. bypetB.
quadtari R V quO lUPETAE quadeAEUM R Y ae qualiS est excestui quo quadeatum D gesu
excedie D F B quadracum: _ quia POalympeoros est sectionis FD G, CxCCNuS AUX;
drati R S Super R V quadraco aequalis elt excestuic quo d. Aert quadratum DO 2̀ c179. Bu-
quadraco D O, ac proinde quadracum R S excedic quadtacum R Y eodem excopi, ius.
quo DO quadracum luperac quadeacum D F. limcisirue B P F. ad hyperbolam cu-
ius d(ympcocos est P9. Duarecum duarum hy perbolaruin FV G, BY F alcera (IC
in luperAcie coni, alcera in superticie conoidis; quae superticies nunquaM dCONCUF d 175. hu-
ruNE, nec ip (a sectioneS CONCUETenE. Duod erat demonstranlum.
PROPOSITIO OLXKEVI
NEcecur conoicet c us planis parallelis que eltip (ES FOrMENEB NL,
1085
IL
viconaepes C CMHC.
demonstratio.
exhubens communes incerlectiones BF, DII.
eric isicur ABC hyperbola. Ponatur aucem
diameter MI, qua diuidac B F, D HI bitariam
in R _ I, ex sectio Aac per MI P. Iquae recta sIE
ad planum ABC exhibens communes incer.
sectiones, K N, IO, qua pet 19. 1I. ex detin. 3. IX.
erunt rectae ad lincas P B, FT D, ac proinde P. B.
XN, IID, IO sunc axes elliplium; erie aurem
per ea que demonstrara luncc L. N Ohyperbo-
la cuinslacus cransuersum MI, commune cum
hyperbola AB C. quare verectangulum MKI.
adMII rectangulum, ica eA quadratum RN
ad IO, ee quadracum KB, 2d quadratum ID.
ac proinde guadracum RE NN ad quadracum IO,
requadrarum RB ad quadrarum ID, vndeve
EB ad KN, ica FID ad IO. Cune igieur sum
les elliples BNE. DOH.
Gatur ABC planum pet akem conoidis
quod sic rectum ad sectiones BF F, DGII
i
ABPOSTTIO, CLXZXVII
dlimiles erumc hyperbola.
lsectiones parallelae conoideos hyperbolici hyperbolas produxerine,
demon-
a

## Folio 1086 — 1815201908:1143
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001143.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
1086
a r73. BH-
B Cora
77. huints
CONOIDES MXPERDOLLCNM.
Demonstratio.
InC ABC, D F F sectiones conoideos
paranelx producentes hyperbolas. Di-
coillas incer se similes ese: perfecto enim
conoalmpeorico L. R MI producatur plana
ABC, DPP doncc occurrentia con
Formenchrperbolas NBO, PF O, Osten.
sum cs : hyperbolam NBO parallelam
PF O, similem quoque cidem cAc. de-
monstratu incuper eAb hyperbolas NBO,
PFO similes esse hyperbolis ABC.
DF I. igicur etiam hyperbola ABC
DE. P lune similes incer le. Ouod demon-
IxareOPOTEUIE.
PROPOSITIO CLXXXVIII.
TIEcOnUS ABC rectus sectus pla-
no per axem exhribence sectio-
nem hxperbolicam DF F cum a-
symproris ciu(dem AB, AC. AaRE
sectiones C, FIN per verricem D, e
aliae BIC qua line rectae ad B AC,
planum per axem, aequidictances
contingenri G DH e exhibeane in
plano BAC sectiones ON, BF. F C:
erisantur denique FI normales ad
CB.
Dicorecras F L aequAlES CNCFCCEX
Demonstratio.
roE enim rellangula BFC aquali
Dcquadraco D N, sed criam rectangula
BF C aquantur quadratis F I, quod F L
Einc recta ad circulares diamerros BC
FE quadrata aequalia quadra-
eis DN. ergo rectae FI, DNcriam aqua
lessune. Ouod erac demonstrandum.
DEDSITIO CLXXXIK.
Udem politis:
ri cylindro cuius balis eA circulus C HN, ee alcirudo D L.
Dicolpacumeve condices hyperbolicum cingens aequa
bo

## Folio 1087 — 1815201908:1144
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001144.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
CONOIDES AEPERSOETCYH.
Demonstratio.
 Ectangulum C F B xquale est quadra-
Lco, DN hoc eA perpraeced. quadraco
FFhoc est quadrato K I, de conléquenter
circulus radio DN delcriprus cA xequalis
spacio circulis parallelis contento BIC,
E M P. vndecubales semper lincxquales
e alciendines, facile per cxlindroru inCeri-
priones demonstrabicur cylindrum quiba-
sim habec circulum GFTII, e alcicudi-
nem. D I aequari spacio quod conoidestir-
perbolicum cingic. Duod tuic demonstran.
dum.
PROPOSITIO CZC.
IIdem positis:
Dico sparia conoidestrperbe
licum cingeneia que planis paralle.
lis contingenti GHTN intercipiun
cur eandem rationem obcinere qua
alricudines DL; L. L.
Demonstratio.
DRacedeneenim octensum est spacia illa aequari eylindri parcibus qui habet ba-
sim circulum CFTPT: Sed parces cplindri eam incer se Corciuntur rationem quam
alcicudines DL, I. L. igicur eriam sparia illa incer se cam rationem habene quam al-
cieudines D E, P. L, quae cum alcicudinibus ex lindrieis lunic communes.
PROPOSITIO CXCI.
TEdenue cous FectuS ABC D Ccctus per axem exhibens criangulum
LABD, cuius lacera sinc asympcori hyperbolx PF. HI per axem Facta
conoideos F F GII: dueca deinde contingenre L. I sccrionem in P quae
equidister BD, de seribatur circulus radio L. E, de super ba(i IK L. Pona-
curcylindrus PNINO
ede
to seb.
b1d. cira
Circumcinsit.
Oubconoides F FCHIaequat aoom uoat LMHI
Demon
  e        ta t e e et se e t  s ti e u  e    e    i  t ue e t e  t    te e es e  o e e s  e e te e    s e  i e  e  11 B

## Folio 1088 — 1815201908:1145
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001145.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
1088
GONOIDES AEDERBOLLENM.
Demonstratio.
i Scenim spatium coniresciltum TBCDL.
xequale conoidisimul cum lpacio quod co-
noidesambic: rursus idem spatium coni Xqua-
lc elt corpori cxlindrico simul cum spacio soli-
doquod crlindrum circundat; elt aurema de-
monstracum spacium quod conoides cingit x-
quari cylindeo IMNOL, ivicur ablacis X
qualibus reman ene conoides e spacium quod
Cslindrum ambic aequalia incer lc. Quod de-
monstrandum fuic.
PROPOSITIO CXCII.
IIdem poltis:
Dicoconum abscissum AIK L. ad
spatiu quod circundat conoides E FOHI
habere rarionem compolicam exrario-
ne alticudinis AF ad alcicudinem E P,
e ex ratione IL. ad criplam rectx IL.
Demonstrario:
Scentum CHur eum lic, exlindrum LMIN OE equari spacio Colido quod ambis
conoides hrperbolicum, isicur quam racionem habehie conus AIKL. ad cy-
lindrom TMNOL, eondem quoque habebic ad corpus cingens ipsum conoides.
Pedracio coni AIR P ad cxlindrum LM NOL, compomtur exracione AF ad R P.
e exrarione VP. ad criplam II: ixicur etiam conus AIK L. ad corpus ambiens co.
noides habet rationem ex ijdem compolcam.
PR OPOSITIO CZOTII.
Ecto conoidi incluSIS SIECONUS ABD C FaCTAGs Per axeM AF. secrio.
Lenerriangulari AB C ee hyperbolica BR AOC, dinisisq; AB, AC
bitariam in F _ C: duccaque FC que secrioni hyperbolicx occurrat in
II _ I, harrectangulo HIFI aequale quadracum KL, _ per A C axem,
_ LK semiaxem deleribacurelliplis. Deinde hac recrangulum (ub F. B d
MK aequale quadraro L K, _ describatur parabola AMF, cuius axis
MK Facco denique recrangulo sub F. B _ K N, aequali quadrato HC
Icu FIE describatur parabola ANB, cuIUS VCTECX A.
Dico conoides hyperbolicum ad conum inclusum eam obcinere pro.
porrionem quam Luperticies AME BN A ad CuperAICIEM ANBE. HE A.
Denon
audus tuvius

## Folio 1089 — 1815201908:1146
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001146.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
OIDES AIYDER BOLLEVM
Demonstratio
1089
rvertcieS ATTCF A AAa in SuperKcieM AFCBFA, aquale a Colidum prO. 245. Dud
ducie magnicudini que oritur ex ductu lemiellipseos AL F ductx in se, cum ex hy-
pochel rectangulum ElF I, aequetur L. R quadraro, et quodliber rectangulum
Oese (dummodo R aequidistae FII) aequecur quadraro S, cum rectangula
HIFBOPR, _C. Sinc Gladracis L R, 9S, dec. proporcionalia: eA enim per 168. hu-
iusrectangulum ITFI, ad rectangulum O PR, ve rectangulum AF C 2d A P C c4S. DuB.
hoc cs reCAHB vIM AL K F ad A S E, hoc cM 4. cllipI. ve quadrarum R I. ad quadra-
cum SO. sed AP L F ductum in sc aequatur solido quod habecbasim parabolam
AM B, de b alcirudinem F B, cum ex hypochehrectangulum sub EB, XC MK x-
quecUE quadraTO LK, isicur eriam AHIC F A superticies ducta in planum AFC
BIA, Equatur eidem Colido quod habeebalim AMB ec alcicudinem F. B.
Similiracione criangulum e FO F ductum in se aequarur solido habenti basim
spacium parabolicum AN B F, ec alticudinem F. B: cu KN, R C (hoC cA FK)
EB sncproporrionales ex hiypoch. ec quecunque SV, ST, F. B, modo ST Scp2-
rallela B B, Simili racione proporrionales AnE. Ouare cum eorum AOCF ductum
in sERQUETuE A O CF A ductoin AFC BI A, e Simul eriansulo AF C F, ductoin
selive in criangulum ABF, cum quadraca HK, aequalia linc rectangulis HFI,
FKO; etam eorum AO CF ductum in se xquatur solido habenci pro basc (uper-
AciCS AM E dE ANB E, hoc est superticiem AME BN A, ex alcicudinem F B.
sed solida illa que alcicudinem habene P. B, communem, sune ve bases AM F BN A,
ANBBS A. ergo e hyperbola AO C F. ducta in (c est ad criangulum AFC F.
ductum in se ve luperticies AM F BN A ad luperticiem ANB E S A. Sed licuE (C d EXIZG.
habCE AOC F. ductum in se ad eriangulum AF C F ductum in le, ica quoque se ha-huius.
DCEC AOCF, ductum in orbem ad criangutum AF C F, ductum in orbem, hoc
est conois facta per eyracionem hyperboles AOCP. ad conum factum ex circum-
ducturrianguli AF C. P, cum quadraca FIK ordinarum policarumm ad quadraTA FM
ordinacim posicarum eandem rarionem concineane quam circuli quorum radii lune
FTK ad circulos quorum radii (une FK. ergo patet conoides ABD C ad conumin-
scripcum AOBD C, cam habere rationem quam superticies AM F B N A ad sit-
perticiem ANBP. S A. Ouod demonstrandum Fuic.
eROPOSITIO CKCI
HIcconoides AB CMtum cylindio F FCVV.
Oporceat aeem Laionem corporum alsignare cxlindri (cilicee e
n
conoideos.
   i      s        .   .  1 t  .   t e  i ie e ptiu.   p  1   u e         u t   e     t an 

## Folio 1090 — 1815201908:1147
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001147.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
nnostu
7090
COHOTDES HIZPERBOEICVU.
Constructio es demonstratio.
Vcacdr peraxem Comae LLLs planum quod exhibeae parallelogranimum
rectangulum GB. echyperbolam B AD. duet aque recta D A Ponarur linca
TL. parallela DB, que Bilccet AD in R, _ rectangulo TKL Rac equale rectan-
sulum (uper IIB _C NM; d describacur patabOla AN FL cuins aXiS NM. Deni-
que hac rectangulum luper IIB, e M 5 aequale quadraro X MI, _ describatuE
AOBMI parabola. Dico exlindrum R F C D CB ad inclulum conoides hyperbo.
licum eam rarionem obtinere quam rectangulum AR B HI ad luperticie paraboli-
eam AN FIBO A. In praecedenci oltensum est hyperbolam AD FI ductan inse x-
quari plano ANTIBO A ducto in alcicudinem IIB. Erso quod sc ex rectangulo
GDEIA, ducto in candem alticudinem LTB est ad hyperbolam A D FI ductam in
se ve GDHTA, SivC AHTBF ad planum ANYIIBO A. Sed quam rarionem habec
AG D ET ductum in Cc hue in alcicudinem FTB ad ATDTI in sC ductum eam quo-
que seruat corpus cylindricum ad conoidicum cum quadrara linearum rectanguli
AC D EI ad quadraca ordinarim policarum in hyperbola ad axem A FI, eandem
habeane rationem quam circuli radiis carundem lincarum deseripci. Igicura manite-
um est exlindrum ad conoides habere racionem quam rectangulum AP. B ad su-
perticiem AN HBO A. Ouod tuic demonstrandum.
P ROPOSITIO OXCV.
InE AB, AC alympcori angulum rectum continentes hyperbola
AD EDF, cuius verrex D; axis AD HI. ponatur aurem D C constiruens
angulum ITDC Temirectum. Ducatur deinde parabola DII cuius l2-
cusrectum Cic aquale diamerro eranluere DL.
Dico conoides hyperbolicum DF. O F aquari conoidi parabolico
OPNK, Cimul cum conoDOM 6.
Demon-

## Folio 1091 — 1815201908:1148
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001148.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
CONOIDES HLPLRBOLLCYM
9
Demonstratio.
Donacur enim R F paxallela FIF. Ouoniam
angulus B AC rectus ponieur, isieur craul-
verla diamerer ex recta. hyperbolx DF. F X-
quales. suncintor (e. Vnde rectanguluL. HID
aequale eA b quadraco TIF, a rectangulo
LRD aequale RT quadrarum, quia vero
diometer eransuer (2 T. D est parabola DTK
lacus rectum ex constructione; isitur rectan-
gulo FD R aequaEuE quadeatum R I, d rC-
ctangulum T. D HI aequacur IIK quadrato. sed
rectangula L FID, L. R D, aequancur c rectan-
sulis L DFE, I. D R, cum guadearis D HI, D R.
ergoquadeaca PHI, T R aequantur quadracis
RH, TR cum quadraris DII, D R, hoc est cum
quadracis GTI, S R, TUnC eNIm D FI, DR pa-
res GFB R S5. Primis quod angulus CDFI, Cx
hrpochesi sc lemirectus, angulIVCrO S RD;
GHD recti. Cum igitur quadrata RY, FII
aequalia sinE quadracis IR, SR, _EKTI, C II.
igicuE DTFHI ductum in Ic, aequale cA
DTKH ducto in se simul cum DSGFI in SC
ducto, reparet ex dilcursu quadeagesime quin-
ex libei de ductu plani in planum. Sed scurle
habene quadraca F R, F HL, ad bina quadrata
TR, S R ebina KFI OFT, ita se habene circuli ouadratorum illorum lateribus can-
quam radiis descripri. Igitur eriam conoides hyperholicum D F. OF aquale deA d 12G. hn:
conoidi paraboliCoD P NK, Smul cum COnOD O M C. Ouod tuic demonstrandum. 
PROPOSITIO CXCVI.
VINE AB, AC alymprori AGuTX
D DIF cuius axis DF, de diamerer
transuer(a D FI. Consticuca deinde AC
quecum axe AF angulum lemirectum
constiruat, ponatur eidem AC paralle.
IaDM O: deinde pOnaEUE D F. F hy-
Perbola cuius a(ympTOTOS AC, e lacus
tranluertum FID, d Simul Ponatur pa-
Fabola DLF, cuius latus rectum quo-
que sic DH, eandem AaE VE FF. ad
FL, ita FIad FIE, d per puncta
DK delcribacur linea, ponacurque
DNparallela AO, e circumvolurio
DIE, DKF, DNF producar conides
ee conum, cuius bales circulares line
IT, KK, 1S.
Dico conoides hyperbolicum DIY
aequari conoidi parabolico DKK (-
mul CUM CONODPNYS.
C3 secuna

## Folio 1092 — 1815201908:1149
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001149.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
EX
ae
pert.
1092
CONOIDES ALEERBOLLENH.
Demonstratio.
Vm dux liyperbolae DPF, DTI ad
eandem diamecrum cranluersam DFF
consticurae sinc, ordinacim applicatxe vrius,
Ccilicee PF ad IF eandem racionem obci.
nenca cum ratione ordinacim applicatarum
alcerius FB ad PP. teela ex Cb Gab
L.li ad L. Li, candem rationem habeanc ex
constructione quam recta IF ad R F, ccram
ConstAED R K esse parabolam per ea quae li-
bro de parabola praem, Simus. Ouoniamioi-
cur eAt quadracum IF ad F F quadracum ve
circulusradii IF ad circulum radii F F. igi
cur veconoides IF ad F F conoides, ica est
conoides R F vna cum cono P F ad conoi.
des FI. vna cum cono FMI. Cs aurem prO.
policione praecedenci demonstrata aequali
casintor conoides L F _ conoides L F CuI
ConOM F. Igirur manifecta cA cciam ae qua-
licas conoidis hsperbolici IFi cum conoide
XF X ConO P F. Ouod erat deoaal.
dum.
2EOFCd222C CaCVE
Berop. 246.  Ht ellipsis ABC producens hyperbolam ED A, iuxta ca quae  libro
elliplis bero (pharoides C, Mlatigulum quoque AIE C produxerie
conum AIL C.
Dicoconoides hypet DOMCHM AD F. C. Xquale cAC sphaeroidi ABC (1-
mul Cum CONOAIF. C.
useur
C Colusicur
5. d16.
aachyperbolapraemilimus, e hy petoota conoides produxeric AD F.
RanEUE AB, CrUNE AB ex Contructione pro.
Demonstratio.
Vais ordinatim ad A C axem rectis D IBHE, po-
policionis lupra cicarx in libro de hyperbola aequa-
lis rectis D BFI, _ recta F C. aequalis axi AC. CAt
tienc ex ductu plattoru 1LB d HIL, in scipla. Ouare
CuseCuper quadratorum illorum laceribuscan.
aurem quadracum AB aequale quadcaris AII X BTI.
Tsicureciam quadeacum DHldem quadearis AIL, BHL
aequale eAt. led, quia A C, CF RQUANEUE, CrIRIM ATI,
TFI, adeoque s quadraca AFI, LFI RQUANEUF. CrgO
A quadrata D FI xouantur quadeatis IFF de BII Simul
Cumpris. Ouare superficies hrperbolica D FI dueta cii
e aequale corpus touaoe uns Magnicudinibus qua
quam radiis delcripti candem racionem incer le leruem Guam ipia Guaulala, eciam
der 129. dconoides exreuolucione superticiet ld Il aglabirur, ee sphaeroidi ABC e C91O
Paius. AIF. C. Duod tuir demonstrandum.
PRO.

## Folio 1093 — 1815201908:1150
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001150.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
0
i
1093
CONOFDES HYDERBODTENH
R O POSITIO CXOMIM
HIcconus plano peraxem sectus CxHIDCHS Crrangutum ABC, SCCCTUF
Daurem d alcero plano D F P. quod rectum sic ad planum AB C pFO-
ducens in plano B AC. lectionem parallelam AC, IUnGAEUIFGUE P. F.
Dico coniparrem AFD ac Padem AF L. D cuius balis elterian-
m bca Lddet Lactone Gu GIatHOL ad EFIa.
Demonstaio.
Voniam sectio F DB est parallela lateri A C dx recta plano B A C. crir parabio-
Lla, guxe quoniam ddcriatigulum sibi inscriprumracionem habet candem quam
quaruoraderia, manifectum est eriam legmencum conicum AF P. D. cuius balis est
Parabola, ad pyramidem inscripeam cuius basis est criangulum D FP, candem obci
nererationem quam quaruor ad eria; quod inscripris prramidibus, discursis illoor-
dinario clcmeni duo deciminullius negoeis est demonstrate; liquer erso propolitu.
P ROPOSITIO CZCIZ.
ADCAECONS ABC de cylindrus C F communem basim AD C, cu-
Lius diameret A C dinila sic vrcunque in NI. Fact a aurem C K xquali
recte AN, tanclcellones parabolice N MO _IL L. D. denique PONaTUT
planum per rectam LD, xquidiltans axi cxlindri scilicerI D O; sececur
tandem Cylindrus pratio AHI F quod sic rectum ad planum per axem
DicopaC LON ad parrem L. IEDC, cam habere tario-
nem quam pars cylindri HEDC F H IC ad residuum LHFC.
Demon-
AC F Formans in plano IEDO sectionem IHI.
  . 1. 1 . 1 . t. e 111
( e  e e t u  u .  u p  ue ve e  e  es uuea pi s pi p     .  p     .  1. 11  1    1 . a 11 a  111B

## Folio 1094 — 1815201908:1151
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001151.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
1094
IONOTDES MYPERBOLLOVM
emoo.
BRohususteemacio alac Cas geeuee1FC IC.
Hiac sectio AHLL, quae recta licad planum A P. Li. Deinde super basi AD C, POnaTuIE
conus verricem habens A, qui inscriprus crie parei Cemieplindri AF CL B eC can-
secur a plano AF. C sccundum rectam AC. Finc deinde sectioti F. D FT recta ad pla-
num ABC exhibens in eslindro rectangulum FF. D, in conovero parabola FCD.
Pari modo Facta CMI aequali GFI, duc planum ad planum ABC rectum, pro-
ducens rectangulum RILM, _ ParabOIAM RNL. VE FCDHT parabola ad
parabolam R N LM hoc CA PF OO, ica estrectansulum F P. D FF, ad rectangulum
KTEM, hoc est ica cst Parabola M NO in conO AB C ad parabolam R P. D: de hOC
cam in omnisubdivisione lineorum B FF, MI C in crlindro quam in omni subdinilio.
nerectarum AN, K C in cono. ergo omnes parabolx in parce coni A B MO ad pa-
rabolas in parre conik L CD, ve omnia rectansula in parce cylindri A F F. D FL ad
rectansula in parce cxlindri IK CL, e ve parabola in parte coni AB M O ad rC-
ctangula in parce crlindri AF F D FI, ica parabole inparre coni RI CD ad rectan-
sula in parce cxlindri KIT. M C, ergo repars cylindri ad parrem exlindri, ica quoque
pars com adparrem coni, cum bales semper sinc in eadem racione de alcicudinesx-
quales, vel in rna cademque rationc. Dui accuraciorem huius rei demonstrationem
requirie, subdividac AN _ R C, lineas bitariam in infinicum quae lunein cono, dc (-
militer lincas BFI, MC, in cxlindro e sectionibus factis per eade puncta inscripeas
Eisurasincer se comparer, quarum inscripcione hie ec alibibreuicaris eausa omisimus.
atus plano per axem exhibence rectangulum A F F in quo ducta diagonali AF

## Folio 1095 — 1815201908:1152
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001152.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
ese
1
eale
ola
6D
CONOTDES HXDERBOLLCYM.
PROPOSTTIO
Tcertangulum pet aRem AB C ad conibalim BD C rectum, lumpeis-
que in commuserlectione BC punctis C_ L, CrIGANEUEGL, I. I
quae aequidiltene laceri AB: de ductis CD, L. HI ordinatim ad BC RanE
lectiones secundum lineas F. G D Xc IL FI.
Dicorationem Colidi A D F. F ad Tolidum AFTTK criplicatam esse ra-
tionis DF ad FIK.
Demonstratio.
Olida ADE F, A FT TK sunc ad a pyramides
sibi inseripeas ve 4. 2d3. ergo e candem n2-
bencracionem quam prramides. Se d hxe compo-
siram habenc ex ratione criansulorum parabolis
DFP, FIIK in Scripcorum, (hoc est ex racione
biplarum parabolarum D F L, TTTK) X exraciO-
ne alcitudinum BG, B L. eroo Colida ADF F,
AHTIK racionem habenc compolicam ex raclo-
ne parabolarum D F F, FTTK, _ ex racione alti-
tudinum BG, BL. Ced racio parabolarum com-
ponitur exracione alcicudinum CF, TL, (hoc cA
exracione (2C 3dT C) _ exrarione batumDV,
TTK, seu D G, FI L. racio ivicur solidoru ADR F,
AFITR componitur ex racionibus BC, ad BL,
_GC ad L. C, e GD ad L FT. sed rariOnES
BG ad BL, C Cad I. C, componuncrationem
rectanguli BC. C, ad rectangulum BL C, hoc cH
racionem quadrari DC ad TTL, hoc estracio-
nem duplicacam D C+ ad TTL. eroo racio Coli-
aOrUI ADF V, ATITK compolIca CA Cx 12-
tione duplicaca rationis D C+ ad FTI, e ex ratio-
ne DO adFTL. hoc est rario solidorum criplicata est rationis D C ad HIL, RuC
DEAdHK. Ouod erat demonstrandum.
PRO POSITIO CCI.
Ecetur irerum Conus per axem lectione recta ad balim exhibente
D triangulum ABC, e punctis I e D in communi incerlectione a(-
Tumpris eriganeur L. L, DE, parallelE AB, _ POLitis L. K, DC ordinacim
ad AC, hanc sectlones parabolicae per IL. I _ FDC. Denique planum
SdcH perB, de tectam C F occurrens parabola HIIK sccundum rectam
1095
36. hu
d. Pa
VC
LML
Dico parabolam FC. C ad MLI llabee aupcala cilo Laltbel
Demon-
quam habet F C ad NM.
 u i ai e e s  e       u  1 e u ste  e te e ste te 1e  u e te et i s e u s.  e  te e t  tits u e  e e e s   uete e   pre  e  t

## Folio 1096 — 1815201908:1153
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001153.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
1096
CONOIDES H FP ERBOLLCVM
Demonstratio.
TT est GF ad NM, ita est BD ad OB, hoc
est DF. ad OI, isicur ve eA G F adNNI, iC2
CA D F ad OT. Amilia ixicur sunc criangula maxi-
ma CBF e NVIM, Parabolis inseripta, ac pro
inde corumracio est duplicata rarionis lacerum
CF, NV M. Ced in libro de parabola demonstracir
est aparabolas cam incer le habere racionem qua
triangula maxima inscripca. ergo cciam para-
bola GF F ad parabolam NIM in duplicaca
cA racione C,F ad NYM. Quod aurem criangula
Praedicta lincmaxima, guae inscribi poltune para-
bolis NIM, CR F, SicOAendo. PI, D R lunECO-
munes sectiones plani ABC recti ad basim
AGC, cum planis RTTI, CF F, etiam rectis ad
baAM. CrgO 19. IF. L I, DF CUnE rectae plano
AAC, C. ergo detin. 3. II. cciam recta sune ad li.
neaS KHI, FC. ergo Cunc axes parabolarum
RIH, OEF; liquec exgo b criangula NLM
CPF maxima CAC.
PROPOSITIO CCII
IC ABC rriangulum per axc com ductum, rectum ad balim BDC,
_ sectiones parabolicaDL F, FIC exhibences communes cum crian-
sulo BAC. sectiones HL, tII. Deinde planum agatur per A e rectam
FC, producens in parabola DL. E. Secrionem MI N.
Dico parrem coni AMI L. N ad parrem AF IG, habere rriplicatam ra-
cionem BH ad BH.
Demonstratio.
Scelntam est in praecedenci racionem para-
bolX M L NY ad parabolam FIO cNC du-
plicacam rationis F GadMN, GuCLO ad IFI.
hoc estrarionis AL. ad AI, hoc cAracionISBK
ad B FT. Ced manifectum quoque est parcem coni
AML N ad parrem coni AF PO, racionem ha-
bere compolicam exratione balis ad balim, e
exracione alcicudinis BHI ad alcicudinem BK.
Isitur A duplicaex racioni BR ad BFI, alcCrA F2-
eio BK ad B FF, addacur in sen su mulciplicario-
nis, resulcabie rario criplicaca rationis BR ad
BH. Quod tuir demonctrandum.
PROPOSTTIO CCITI
Riangulum AB C peraxem conita-
crum sccer normalirer basim BF. C;
centro baleos D erigaturDF, paral-
lela AC; limilirer ex quovis puncto dia-
mecri
8
1oa
B Ibia. Pro-
10s. 227.

## Folio 1097 — 1815201908:1154
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001154.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
i
et
1.
CONOIDES AZPERBOLLEVM
metri B C crigatur recta HIC xguidiltans
Similicer AC; ducrilque perpendiculari-
bus FTI, ED E AanE SectIONeS FDF, OTTI.
denique ponantur per rectas DF, III, pl2-
Na ADE, AIII. his polItis TUPPONaTUIE
quoquerngula D BH C, e planum C FI L
produccum secet rnsulam, exhibenscom
munem seccionem rectanguluHIIL. M.
Dico eandem esse rationem Colidi
AFED ad Colidum AO IHI, quae eAt vn
sula BDF. K ad parcem BH IL. M 1E.
Demonstratio.
)Scenslimus rarionem Colidi AF FD ad [0-
lidum AGTTI, cRecriplicacam eius quam
habet D F linea ad lincam FII. Sed cciam de-
monstracum est b rngulam BD F. K ad partem
suam BFITLK habere criplicacam racionem
eiuldem DF ad FTI. Toirur manifectum cst COr-
poralxec inter (e esse proportionalia. OuoderaE
demonstrandum.
P R O P OS ITIO CCIV.
TIEABCbasiSConi AGC; sumpris aurem punctis D F in diamerre
D aequalirer a cevrro distantibus, criganEuF P. FI, DI quae aquidistene
CC lacerierian suli per axem, et per lD, HF. tranc sectiones parabolica
IDB, EHFagancurque plana sccundum DB et C, item P. F. et 6.
Dicosolida FGHI P ex BG ID, inter (c xqualia esle.
moistratio
Bd
B21.
DOnaur percelu baleos L. Planum
REM, quod aequidistec planis IDB,
HIPF, ponacurque planum per C _C FC.
etam LM. erir c ratio Colidi GKM L ad
Colidum GTBD eriplicaca P MI ad D B.
SimilIter constat drationE ColIdi OR M I.
ad solidum OTIF P, eAc criplicatam eius
quam HabCE L M ad F F. IGIEECUMDB
SE aqualiS F F (nam cR ex hypocheli AD
aequalis F C) habebit Colidum GR M L
adrerumque Colidum GIBD, _c OHIF F. candemrationc d guancur isicur soli-
da OIBD, OFdF F. Ouod erar demonstrandum.
RO.
c
ue i qe i i e ie u p  us   a    1 i  . e  1 .  1 .    1            i     ue e a  a  m mpugu

## Folio 1098 — 1815201908:1155
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001155.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
1098
Condioes Aretaote
Concnno hunc librum  qu atd parabolae, quae drversa omnino est a quadra.
curis is, quas dedimus libro quintohuius operis.
PR OPOSTTIO. CCV
Llaoolam ADB, Cucuo aato i D ocnacm su ancu poria
Dico rectangulum parabola sesquialcerum cNc.
Demonstratio.
AD, contineat reccangulum BD AC.
Prop. 165. T) Veatur diamerer HY O. Semontracum est in libro ductuum. Colidum quod sie
ex ductu crianguli AG B in le, hoc est prramidem cuids balis cHt. quadratum
BC aicudo BD, aequari solido quod tr ex plano C L, auclo in alcicudinem BD.
ergo solidum quod hc ex C: I, in BD alricudinem, _e prramis candem habeneratiO-
nem ad FTC rectangulum ductum in candem alcicudinem BD. Sed prramis illa
cuiusnimirum basis est quadrarum B G, alcicudo BD, est solidi quod sic ex ductu
67. Anoncc. rectanguli C TI in alcieudinem BD, cercia bpars. ergo et lolidum quod l 
in alcicudinem B D est cerria pars Colidi, quod Ac Cx C+ FI, in alcicudinem BO: led
haec Colida luncincer se rebales. ergo mixcilincum planum C T, est certia pars rectan-
suli HO, livc BD AC, rectanxulum ixicur BD A C parabola tesquialcerum ett.
Cuod erac propolirum.
LrnoLis.

## Folio 1099 — 1815201908:1156
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001156.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
Au
CI
sed
1
cti
692
oe
LIBF R
A R C V M F N F V M.
Andem aliquando ut operi coronidem imponamus, tempus est ea ad
ata
praxim redicere, quae huc2 sque praemisimus: varias etenim materias
et tractanimus, quae ab invicem valde separata nonnemimt Videbuntur.
sed praesentis libri decursus ostendet eas disparatas nequaquam esse: Otemur enim in
hoc libro medulla praecedentibus exclu (a applicando eam circulo ad quadratum seu re-
Etilineam ficuram reducendo: quod e praestaremus, primo conari sumus cylindrum
ad eidem aequale solidum reducere, quod curuitate salcem circulari careret; proprietates
etiam illius corporis varias indasauimus: restat hoc demum libro exharum proprie-
tatum secundum proportionem collarione ervamus, quales sint inter segmenta cylin-
dricarationes; ac proinde qua proportio existat inter bases eorumdem sermentorum;
quotandem innotescat inter circularem ex rectilineam fieuram Geometried proporcio.
P AR TITIO LIB R I.
Prima pars LemMara complectitur quae variis quadraturis concinnandis inser-
Secunda pars quadraturas. Datras circuli exhibet, modo sque reducendi cylindrica
corpora ad rectilineas maenitudines solidas.
Terria denique hyperbolem quoque per cylindricum huperbolicum ad rectilinea soli.
da reductum, ad ficuras rectilineas planas reducit.
2 LL
uire porerim.
      potenie

## Folio 1100 — 1815201908:1157
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001157.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
110O
QV ADR A FVRA CIR CVZ I
ae aa 
hanais insermientia.
DR OPOSIEIO P R IM A.
Acionis A ad B conequenei cermino B, adiunsatur quanti-
DicomagnicudineM. C addicam B, minuere FALOHCIM A al
3, ac proinde raciore Aad B C minorem esc quam sicratio AB.
Demonstratio.
Lemmata aliquot complectitur variis quadraturis concin-
loc ad
Xelementis constac quod eadem quanciras ad maiorem quancicacem minorem
Lracionem habeat quam ad maiorem: est aurem B cum C, maior quam sic (ola qu2-
cicas B. Tpicur rario A ad B C, minorem habet rationem quam eadem A habCAE
ad solam B, qua cs minor quant tlaque BC, hxc aucem erao acn Hou
concinsirnili per ausmec udncicaris C adueniens ipHB, IBIEUF ACCCHUS Ca 2d
B, dimutuic racionem A adB.
PR OP OS
IIdemposiris:
Dicoguodtanto minor sic fucura rario Aad BC, rarione A ad B,
GUanEO MIHOFEIEqUanCIaS B, Quantitate lC.
aeotbnsetatibi
ad B C, eam habere proportionem ad racionem AB, quam ceciproce habet con-
Nlibro proporcionaliearum Geomerricarum prop. 7. demonstranimus racionem A
sequenssecundum B, al Pe BC. Geaost D GuanaS MMOL CM quasiI
care BC, caoo et ratio Aad BC, rarione A ad B.
AOPOSIT1O III
Aca Ccrario A ad quamuis aliam quanticarem dinilam in B e C.
Dicoracionem Aad B C aequarirarioni AB diminurx per rario
nem, quae oritur ex magnirudine C. ad dica quancicari B.
acdis

## Folio 1101 — 1815201908:1158
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001158.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
B.
eY ADRAFYRA CIREVLI
peridem C daaum B; lcdeacto BA Per als entum Coa Cactete BC
ad A. Igicur eciam racio A ad B per C addicum B, efticie rarionem A adBC,
quae est apposicaracioni BC ad A.
Tadeerescieracio A ad B, per auemenium C addirum B, heur auxecurratio B A
Pauco aliter.
lnor est quam lc BC magnicudine C. lsirur ecram racio A ad B C, minor cst ra-
eione A ad B, ratione quae caulacur a quantirare C addica magnicudini B.
PFasohaberrario AB ad rarioe  BC, a DC CM Al B. ICABIIII.
PROPOSTTTO IV
IIdem positis.
rationem incer B e B.
 Dieo proportionem qux est incer rationem A ad , a lattonem
Aad BC, eandem esse cum proporrione quam haberracio BC ad B, ad
Demonstratio.
BC, CAeademcamtatione BC ad B ddtalionetu BadB. Quodtur demonttran. L. 110
dum.
o A ad B, ad rationem A a BC, CM BC + ad B. led rario BC ad B, ad 27. Pro
LLrarionem B ad B, elt oriam et BC b Ad B. ergo ratio AB ad rarionem A ad pori.
+ 1O V.
Ildem Portis:
Dico  aB CC La  ut B. C, ratione C adB.
Demonstratio.
Z Atio A ad B, ad raTIOnem A ad BC, pEr PERCedenEeM LGHACL FAHIONI BC
ad B, ad racionem B alt B. HCaTaCIO BC du B, TapeTaCTaCOMCIM Bda B, P4- C 124. PrO
tione C ad B. Isitur Ctiamracio A ad B, Cuperar rationem A ad BC, rationC C PorI.
ad B. Ouod tuic demonstrandum.
C
5 I.
YI
Aca SiE ratio A ad quamnis aliam divilam in B et C.
Dicorarionem Aad B C. X Gaaslaltont s aa b, Mustactonee
Demonstratio.
D Acio A ad B, ad rationem A ad B C, cA BE B C ad B. Icem ratio BC ad A.
adracionem B ad A, eA ve BC ad B. Lgirur ratio A ad B, ad FatIOnEM A ad
t 1 1er t er in 1
B C, C4-
A A
    .    t t a 1 e   u   e  t           a pa  1.         a  a 

## Folio 1102 — 1815201908:1159
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001159.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
QV AD R A TV RA CTR CVL B
1102
nem A ad DC, racione L. aet A.. Duodtuir demonstrandum.
BC, eadem est cum rarione B C ad A, ad racionem B ad A. sed rario BC ad A,
excedicrationem B ad A, rarione C ad A. Pricur eciam racio A ad B excedlic rario-
Ocholioio
proinde vel altera vel vrraque nonrere sabsistere. Terum si recte intellizanur prout
postulat materia quae spectat proporsrationum, altera alterius videbieur esse confirmatio.
Ponaneur itaque denuo dua quantitates. una R. altera diuisa
in duas scilicet B et C, asserit quinta propositio rationem
A ad B, excedere rationem A ad BC, ratione C. ad B, seXta
verorationem R ad B, excedere rationem A act B C, ratione
C. ad A; Unde necessario videbitur inferri, quod ratio C’ac
Vi haec melius percipiantur, idem plane enenire ostendemus
in addirione verâ, quando scilicet antecedens divisum est in
duo ex consequens est commune. Sit it aque R B antecedens
ex C consequens: si petatur qualis sit ratio A ad C. es B ad C.
communis determinario quidem est qua docuimus prop. TI4.
l. de proportional. quod sit vt AB ad C: sed hanc ipsam ratio-
nem aliter decerminare iam placet, 2t determinationem a-
rationi A ad C, addenda sir ratio B ad C, rationis AB ad C, inquirendum est quam ratio-
nem habeat ratio B ad C, ad rationem B R ad C, illa autem per 2. lib. de proporrional. est
UEB ad AB. itaque cum B sit 2. es AB sit 6. erit B vna
terria AB; it aq. rationi R ad C, quae erat ratio dupla adda
cur una terriarationis AB ad C, quod fiet had a adiungas
unam certiam AB, exurset racio rripla qualem habet AB
hoc est 6. ad C hoc est ad 2.
Eodem prorsus modo procedendum est cum consequens di-
uisum: primâ enim determinatione vri non possumus cum
additio in hoc casu nobis osui esse non possit. Sit itaque
Rantecedens +2 ex consequens BC diuisum in B4, 8
C 2. Erit ratio A ad B, VF 12 ad 4 sive cripla, es rario A
ad BC, erit dupla: quaritur jam quae sit ratio A ad B,
es A ad C. e secundum sensum iam explicarum responded
Aad B, es A ad C, esse rarionem aequalem rationi A ad
B. minus sive murilataratione C dd LL, rationis BC ad A. Cumitag: ratio C. ad A, ad ra.
tionem BC Ld L IC  ad.  proporrional. es cum C ad DC, sit v vnit
ad ziitaque aratione A ad B, hoc est a ratione cripla auferatur ona terria rationis A ad B, re-
manebisratio dupla qualem habet A ad B C, auseretur aurem a ratione A ad B, ona verriara-
to n D. siaat acimveris vnam ccrciam cotens B C.
Tidentur propositiones praemissa quaria, quima, ex sexta se inuicem omnino destruere, ac
rationem A ad BC, qui est ratio  aa B, a de Conferri cum sola ratione BC ad B: nam
B sit eadem cum ratione C ad R, quod tamen elementis repuenat. T erum ad soluendam hanc
difficultatem sciendum est, hos excessus non esse absolutos, sed respectinos; cum hic modus areu–
mentandi sit is, quo semper vri oportet in proporiionalitaribus. Asserit itaque quinca propositio
quod ratio A B excedat rarionem A ad B C, ratione C ad B, non qualicum que sed ratione C
ad B relara ad rationem C cum B ad B, rario enim excesus in materia rationum semper re-
quirit aliam determinatam rationem cum qua conferatur, alioquin rationes excessuum inter
omnes rationes semper essent aequales. Et sic sensus est, rarionem excessus quo ratio A V. superat
ratio B cum C ad B, illa est quae superatrationem B ad B, ratione C ad B. Similiter cum di-
cicurpropositione 6. rationem A ad BC aequari rationi A ad B, minus ratione C ad A.
subintellier debet ratione C ad A, ad rationem B C ad A.
liquam habeamus quae communis sit, ex in hoc casu, in quo anrecedens divisum est, es in praece
deni in quo consequens divisum est. Dico itaque in hoc casurationem A ad C, ex B ad C, esse
rationem R ad C. auctam ratione B ad C; non qualicumque sed rationis A B ad C. TLag: sit
ratio R ad C, VI 4. ad 2. sive dupla, tota vero ratio A B ad C, VF6. ad 2. sine tripla, itaque cum
Sed

## Folio 1103 — 1815201908:1160
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001160.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
2263
et ADRATVRA CIRCVLI
Sed hoc ipsum quod iam assump  Lplcandum est, quoa scet auferatur aliqua ratio à ra-
tione a act B, saloatem B addarur quanestas C, Vtt  crescere rationem Bad  ist ac
B addatur aliqua quantitas C, quod ex Fuclidais elementis saris quidem paret, tamen iuuerit
claritaris causa hanc materiam explicasse.
Sciendum est igitur rationes auxerinon tancum per addiciones rationum, es multiplicatio-
nes, irem minui non tantum per subtractiones rationum, verum etiam per solun nerementu
vel decrementum quantitaris adiunetae vel demprae ab altero terminorum, antecedenes
vel consequente altero etiam manente invariato: P’osit a
enim ratione A ad B, si ipsi R quancitari addatur quan-
iias C exsurget ratio A cum C adP, maior ratione ed
quam sola quantitas A habet ad quantitatem B. pari
pacto evenit si ratio B ad A comparetur, e ipsi a eadem
quantitas C addatur, tunc ratio B ad R, per augmentum
quantiratis aduemens ipst LL reddetur diminuta, e qui
demsecundum eam proportionem druncata, quae resultat ex varia acctertone (acta st ma-
Eudini A Dtam ostensi est. Posit a vero alterâ D quantitare, resultab ratio  ad A, longe alia
quam fuerit ratio B ad A: es Fatho D ad A C. quantitarem lonse alia quam fuitit tat et au
AC quantitatem; remanebit camen ratio D ad A, ad rationem D ad C. eadem cum ratione
B ad A. na rationem B ad C, sucremanebit proportio rarionis D R au  Frationem, eadem
cum propottione rationis B A au B C, Vt demonstrani prop. 3. l. de provorrional. eodem prorsus
modo quo ratio A ad B, lonse adversa est a ratione a ad D, es simillter ratio C ad B, lonce
aliaquam sit ratio C ad D: Mthilominus proportio rationis A ad B, ad TaM C ad B, Cade 
est cum proportione rationis R ad D, ad rationem C ad D, ex quemadmodum recte dicitur ra-
iio A cum Cquantitare ad mathicudinem B, aquatur rarioni A ad B, es C ad B pet ate-
rionem rationu, ta quoque recte loquemurrationem B ad R. simul cum ratione B ad C, per
muspoD II4. L. de propore. recte acitur FE ad F constari ex ratiombus FL ad F. Tad F, K act
P. Lad L. sibi adiunctis, ita diminuendo rationem recte dicemus, rationem F. ad II C, aequa
ratoni F. ad EI, diminutae per rationem F ad I, F. ad K, F. ad L, tuXta sensutt ante datum
scilicet aucendo quantiradem II per additionem quantitatum L, L es L. F. x his uque hoc
ndd electio sequentem propositionem formabimus.
OTOSCE1O
lrrationis A al BC consequens diuilun
esse cum ratione A ad B, e A ad C.
Demonstratio.
lI.
murilationem constiruere rationem B ad A C mutilatam.
Duod autem de augmento C dictum est adveniens
ipsi R.  aebet de quoliis auemento. Nam ratio
F. ad FC, dinisam inpartes FI, T, K, L nihil aliud est
quao L, adt LL, C L ad L, ex F. ad R, e F. ad L
secundum intentione proposirionum quinta ex sexta.
Nam sicur in vera additione secundum ea quae docui-
DinB_C
Dico rationem A ad coram BC, candem
CStenim rario A ad B C, aequalisrALISHL A alt B, CCala LALOHCL a L L BCF6.
huius. Sed rario A adB, _ HL ae C, ettam aguais clelacioni A ad B, dimi-
nucae pellationem C ad A, iudta tam dicta in Scholio praec. isicur racio Aad tocam
BC, olteadem cum ratiol L ad B, simulcum rarione A adC.
 e it p e u e.  )  1. 1 ti   t.  . 1u pe i   .     .  t    1  B.    1 .     e       1 .   . als e    m te

## Folio 1104 — 1815201908:1161
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001161.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
104
QV ADR ATVR A CIRCVLI.
OVItI
PROTOSI
Inc iam rariones AB ad C D, termini
tam ancecedens quam consequens diuiti,
et anrecedens quidem in A e B, consequens
Dicorationem AB ad CD, eandem esse cum ratione A ad C, B ad
Demonstratio.
Ario Aad C, addicarationi B ad C, aequalis est rarioni A B ad C. 2 Tcemrario
A ad D, addica racions B ad D, aequalis estrarioni AB ad D. Ieaque cum ra-
cio AB ad C, vna cum racicte AB ad D, aequalis sc racioni AB ad C D PCFPEXC.
PaTCEFALIOHCM LD de CD, requarirarionibus A ad C, B ad C, vna cumrationi-
bus A ad D, et B ad D.
Scholion.
Tque haec propositio de quibusuis subdivisionibus quanti-
=rarum AB, C D intellicenda est, cum plane vniuersalis
sit proposirio, ve consideranti paret.
Poruisem quidem proposition seprimam tamquam veram assumere, cum ejus veritas (a-
isparuerit ex sen su contrario addiionis verae; ostenderam enim in T24. lib. proport. B ad A,
addicam C ad A. facere ratione BC ad R, unde facile patebat A ad B, ex A ad C, aequart
rationi R ad BC. quamun per additionem quanticaris C ad B, fieret detractio es non
addirio; tamen hancmateriam fusius de ducendam putani, adeoque cum posset, et iam demonstra-
dam. Notandumque hic bene quod quando dicitur ratio A ad B, simul cum ratione A ad C, quod
non incellicatur addirio rationum, sed tantum intelligitur additio quantitatis C ad B, ma-
nente A innariato, quod in crariam eorum monendum duxi qui additione hac non bene in-
tellect a additionem rationum intellicerent, vbi nos additionem quantitatum volumus; clarum
est enim, quod scrationi R ad B, addas rarionem A ad C, rationem R ad B, non minuendam
sed aucendam, cum eamen secundum sensum nostrum minui debeat, addisa scilicet quantita.
de naquamitatem termini consequentis.
PROPOSELIOTA.
proportionales fuerine quantita-
FOMC e L
C, item A adL DalD.
or
lepropori
2d L.
LI
et.
ABC, DL.L, aequalesveroline
Dicorationem A ad D, auplicaram esse eiue rationis quam habet B
Demonitratio.
dc lb. p at Propolirione visClim alepCImL.
RO.

## Folio 1105 — 1815201908:1162
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001162.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
2105
EV ADR A TYRA OTKCFLL
P R OE OSITIO X
Vodliracio A D duplicaca tuerie racions   L le propoo-
eo ABC, OtF.
DicoC d lGualcllates aguales e.
F Sc conuersa praecedenris, eiusque demonstracio facile elicieur ex hypocheti.
PROPOSIIIOA
Viracio AB duplicata
D Fueric racionis eius qua
continet ratio C adD, Fa-
tio vero C ad D, duplicata
liceius quam habet ratio FP.
ad F;
Dicorationem A ad B, quadruplicacam elle rationis F. ad F.
Demonstratio
ClatDe ad D, ita A 2dF; veque F 2d F, ica F ad R: erie icaque rario A 2d B,
B, hoc est duplicata R ad B, X Cx racionC Lau L, d R ad B, qua cum agualesHE
inter se et limul xqualesrationi A ad T, pacecracionem A ad B, quadruplicacam
eseK adB, sivC F. ad F. Duod tuir demonttrandum.
Est. 1 VI, 5
VInc quacuor ordines
Dquinque proportio-
nalium ABCDF, e
NOF, d ASEV, ha-
ciraces C, K, P, V, aquales
incerle.
cinetrationem quancirarum  ad I.
duplicoca racionis P ad B, vel A ad I: d rario Iad B, vel A ad J, duplicACAL
ad K, vel R ad B. Compolica aurem est ratio A ad B, ex ratione A ad L, hoc eA I ad
XII
FOFTIK. deinac L. MI
bencium vlcimas quan-
Dicorationem quanticarum AF ad L. O, rories continere rationem
quancicarum C H ad . Guorsraco Guaa CL alt 1YS, CBH
demonstratio.
Z Acio A cum F ad L. C, aequacur racioni AL, A O et l L, F O. a Similicer a vo S tum
racio quancicatum C HI ad NS, aequaturracioni CN, CS, e HIH ELSdeiri- in
admodum eriam ratio D, cum I ad OP, aequatur rarioni D9, D F, ec IO, TT.
bergo quociesrationes AL, A O, F L, F O contineneracioies C NV, CS, FTNF, FIS: B PeroAM
e quocies hx concinencraciones DO, DI, TO, PP, cories concince eciam racio dem
a de L lalionem eia a2s. cllatpla ractom e alDI.
  a . 1 . 1 11. 1 111
A 22 5
Scd
M    e     . pu     p   t e a   e  p t     a        e p uuu on

## Folio 1106 — 1815201908:1163
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001163.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
2V A DR A TV R A CIR CFL B
227. Proer. Sedratio, A F conriner per mulciplicatione bis C H, _ rario C N per mulcipli-
eationem concinerbisrationem DO: Racio quoque A bis concinec racionem
CSid hxcbisconcinet rationem DT acque ica de reliquis: isicur quociesracio
QUAMLIEAEUI A F ad T. 9, continec rationem quaHEH seum CIT ad N S, cocieshaec
ipla latio quanciracum C HI ad NS, ConinEFLAEISACI Guaat DL ad OT.
Duodtum demonstrandum.
eR OPOS1F1d AlII.
1106
Tinc proporcionales
ABC, C DL CXETC
mumterminum C ta-
bences communem.
BI14. PrO.
Diorationem duplicatam rarionis B dd C, addicam rarioni duplica-
EXTaTIOMIS D ad C, aequari rarioni iptius A cum F. adC.
Demonstratio.
porcionalic. Quacurrarioni A cum F ad C: leicut Clamracio duplicata B ad C, addica dupli-
D acio enim duplicatararionis B ad C, eAracio A ad C, e racio duplicata 12-
tionis Dad C, estracio F ad C. sed racio A ad C, addica rarioni F ad C,  X-
caex racioni D ad C exhiber rationem A cum F. ad C. Ouod fuic demonstrandum.
20+03
Ilne proporrionales
L quantItaEeS ABC
DE _ AFCFI; quae
habeane communem
terminum A.
DiCO raTIONEM P. A
addicam rationi lA, X-
qualem illi constiruere rationem, quam extriberratio C A ducta in (C
addica C A racioni in Sc dueta.
Demonstratio.
roniam A, B. C, D. F sunein continua, erunc eciam A, C, F in concinua: parimo-
Ldo quia A, F, G, FI, I lunc in concinua, crunc _ A, C, Tin continua. ratioigicuEF A
duplicaca est racionis C A, _ rario IA auplicaca rationis G A. Ergo cracio C A du-
porcionalie. C in se producierationem F A, e rario C A ducta in se producic rationem F A. ScC
82. Pr
111. Pro. ratio F. ad A, addica racioni Pad A, producie rarionem B Pad A, digitur ratio C A
ductainse addira rarioni e A, ducta in le produeir eriam racionem E. L ad A. COn-
Caciraque reritas propol.
Ulecc lccto
PR O POSITIO ZV.
Dicorationem E. A additam rarioni IA, FOFOS CONLIHeRC TALIOCME
CA, ductam in se additam rationi C A in Se ductxe, quories ratio C A
ducta in se addira rationi C A in se ductE, concinet B A quarerin se du-
ctam addicam rarioni F A similicer quarer in (c ducta.
Deito
Dort.
F IO XIV.

## Folio 1107 — 1815201908:1164
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001164.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
DR A TYR A CTR CYL
Demonstratio.
DRxcedenei cA octensum rationem C A in se ductam addicam carioni C A, ductx
inse, exhibere rarionem F: cum Tad A: Simili pacto inibi est demonstracum rarione
BAelictam in sc addicam racioni F A in se ductx producere racionem C cum C ad
A. led rario B A in se quacer ducta protererationem P A, d ratio F A quacer ducta
namreraque bisin alcera continecur in eodem genere concinendi.
ATC
dacracione ad A, quas raciones Ccam poe also C A in le ducta, c la-
tio C A ducta in le Case Lacte D se Guacet ducta MMC, adtaea LA Fatton Gua
ret HC ela exhibeac rarionem P, cuM LAd f. Gua clam proen ace  tu se
ducta addicararioni C A ductxe inse; pacee cories continere rarionem F. A aILan
racioniY A, racionem C. A in Cc ductam addicam racioni C: A ductx in Cc, Guocies ha
Concinencratione  Gualee cuela, dadicam P A, rationt Guatet la le duetx
Inea AB divila SE vecunque in C, ee daca (ic quaeuis alia DF.
Dicorationem quadrari AB ad DF. Geacacu a GuateM CHCF2
tioni quadrati AC ad D F. quadracum, de quadalt l. D alt L L, Guaa
rum limul cum rarione rectansul  aL. Quadratumpta.
Demonstratio.
Vadeacum enim A
cis AC, CB, _ ACB rectangulobis
sumpro. sed rario quadrari A C ad D F
quadracum, addica racioni quadrari C B ad
DP quadrarum, xquaeur rationi quadra-
TOtum AC, CB ad D F quadracum: a(1-
militee racio quadracorum A C, C B aet D F
qualracum, addica racioni rectanguli ACB
vislumpri ad D P quadracum, efficic ratio-
item quadrari AB adD Ei quadracum; bigi
cut pacec racionem quadraci AB, 2dD F
quadracum, aequari racioni quadrari AC 2d
H. 64. _.
16. L.
2. 32. L
3. 32. +
+4.
DE quadracum, cum rarione guadrari C B ad DP, simul cum ratione rectansuli
AC B bis sumpei ad D F quadracum. Idcin quoque parebic in numets. aId
camenim AB ponatur eNC F CI. SF Rac vE quadracum AB ad D F quaclacum, IIS
DC adRP; Scque A C quadrico aequale s H. Guaate Hagu I. _C
aque rectangulo A C B aequale O R vet SL. CIGOMHOL,L LS aequalia lune
I. C. Ostensum vero elt quod rario F C ad RL Cacem Cam aco MW adLL
_OP ad RL, OR adKL, XS T ad R  CoC LL L)
OP, OR, SIcum exhibeane V aequale FG; pacet quadracum FC ad K L, hoc est
quadracum A B ad D F eandem habere racionem, cam Lacone Guatat A C adD L
acur quadr.
1a
Baden cteltanguli mn D Glac. 
Atrandum.
 e  e ute  es   e t e e e  es e   e  u e  e st pu u u uit e e  e  p e su e   s e s e ue e u s e e  s e e  u e  e e tes s st t es  i  

## Folio 1108 — 1815201908:1165
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001165.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
1108
QVADR A TVEA CtRCVEF
PR OP OS I FIO XVII.
tttidt Ctl
bque in L
ratione qua-
Claci AB adC D, can-
dem esse cum ratione
AF quadrati ad C F,
_ FD quadraca, una
cum ratione quaarati
AL ad rectangulum
CFD bis lumpea; in-
super cum ratione addica quadrari F B ad quadrata C F, F D, _ rectan-
sulum CFD bis sumpeum, simul cum carione rectanguli AF B bis
limipri ad quadrata C F, F.D, d rectangulum C F D bis.
Demonstratio.
DOnanEUEG FI, L, K aequalia cNC quadraris A F, P B, _ rectangulo AP B bis Cum-
pro. Similiter T. MINO aequalia quadraris CF, FD ex rectangulo C FD bis Cum-
pco. lsicurracio G ad L, _EM. X NV, _ O, estracio quadraci A R ad quadrata C. P, FD,
de CF Drectangulum bis sumpeum, et similicer ratio FF ad L. MI, N, O, est rario qua-
deaci F B ad quadrata CP, FD, e rectangulum C F D bis sumprum, candem eriam
rario Tvel K ad L, M. N, O est racio rectanguli A R B ad quadrAta C F. FD e rectan-
sulum CF D. sed eciam racio C ad. L, M, N, O, addica rarioni HI ad eadem L, MI, N;
Por B. tu- O, ae qualis est racioni OFI ad L. MI, N, O, a e consequencer racio C cum LI ad L. M,
NI, O, addica racioni Ivel R ad L, MI. PT, O, aequacur O TI Ivel Rad eadem L. M, NY, O5
hoc est rationicorius GK ad rocum P. O. Igitur eriam rario quadraci AP ad C F, FD
quadrata vna cum duobus rectangulis C FD, addica racioni quadeari F. B ad caldem
quancicates, limul cum additione racionis rectanguli A P B bis lumpei, ad ca Cdom, X. -
quacur racioni quadrati AB ad CD. Ouod erat demonstrandum.
P R O P OSITIO XVIII
in5.
Dico AB ductum in C D aequari AF. II C F, _ AL M FD (P
mul cum EB in CF, et E. B ducto in PD.
TTINE AB de CD, vrcunque divilX in F, d F.
Demon.

## Folio 1109 — 1815201908:1166
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001166.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
1a
DY ADRATVRA CFRCVEL
Demonsclalto.
LCD, quod equale eric A B ducte in C D: dimlis deinde
GFTH LinK e L, Cccun du ratione qua divilx (UnE AB,
CD in E _ Li; PONANEUE RO, LM quae equidistene
GTBTTI. cruncigitur rectangula RL, NT, GIN, NP
aequaliacoli Hl in Ell, hoc clt AB ducto in C . Cl
aurem R L. a ectate LL L. IH C L, _ Nl aequalc AF in
FD; eCN aequale liB in CF, de NP aequale FB in
FD. Tgicur eciam A B ductum in C D, aequale eAt A F
in CF, de A F in F.D simul cum E. B in CF; e F. B in
FD. Ouod tuic demonctrandum.
ot031L1O XIX
Vod A AB, CF
divi(x linE vecun-
quei L. l & C t1.
Dico LAD aucamta
CD, CquaLC,
AEnCAL;
Simulcum F P in C 6,
GTI, HD; una CAMF B
in C6, OHG HD.
Demonstratio.
Filac rectangulum lL CX
IK, aequalI AB _ RL,
aequali C. D. exicigieuFTF
aequale AB ducto in C D,
divilIS aUTeM IR, KL in
MI. N _ O, P, secundum
eandem rarionem qua di-
nilx lUnE AB _ CD in
E, F, G, FI, PONANCUE MIS,
NT, _OO PR quae equidistencTR, RCT. crucisitur roctangula TV, O Z. R Si
cum rectangulis M Y, V Z, ZT, d rectangulis NO, YP, Z. L. aequaliacori LI, hoc
est A B ductoin C D: TunC aucem IV, OZ, RS, aequalia AF in C G, CTT, IID: in-
TUPCEMY, V Z, X Taequalia F F inC G, GFT, FTD: denique NO, PP. L. L, aequalia
EB, in CO, GFT, ET D. Ioicur eriam AB ductum in C D eequatur ijidem A F SciliccE
in CO, CFP, HI D, Simul cum P F in C C, CFI, IID, e FB in eoldem C C, OH
HD. Ouod erat demonstrandum.
deholion.
 u    ies  i 1  e   e t .    e 1 1            p   p   e  m

## Folio 1110 — 1815201908:1167
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001167.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
e
eto   ADA ALVR A CER CV I. L
Scholion.
arusonibus linearum.
Ara opera hanc demonstrationem conatus sum isdem verbis demonstrare, quibus in
praecedentibus ostensum est, uniuersaliter assinis poterit deos a everio
praecedenti osus fueram; quo subterfucerem occasionem. plures formandi propositiones
quae materiam eandem concernunt, es solo differunt numero divisionum; un de quod duabus
eROPOSITIO XX
TEEquadrancis A B C arcus A C bile-
Octus in D, HanEGueDE, DF Xqu2
les arCUS; _ ex P _ F PONANEUE FC,
FHI quae requidistene C B, iunsantur.
que BF, BF.
DicOLeCtOreM E BF AGUTR E GHF
requalem eAC.
Demonstratio.
Oniam arcUS D A, D C xouales lunE, &e
Smilicer DP, DF ex constructione; igi-
cur anguli F. B A, CB Fa xquales funt. Acqui
angulus HIFB, aqualis F BC, quoniam FTI
aequidistet C B: igicur anguli E B A, IIFB 9
quales sunc incer le. sunc auremanguli P. CB,
FFTB recti; similia icaque sunc criangula
E GB, FIT B: _ quia lacus F B laceti FB cA
aequale; etiam aqualiainter se sunc cadem
triangul2: cA aurem III B criangulum veriquo
commune, ergo communi ablaco TTTB, reti-
dua F GFTI, d F TB aequalia crunc. Addica
gitur communi quanticare P PF, cric sector FB P. xequasis fIgUTX PO HF. Quod
Clataeonuaa
N circulo AB C subrendat quaedam recta A B arcum ADB.
Morceacaureh ae au Commenlurabilem arcui ADB, extui.
bercin codem clrculo, a cuus exlremis punctis perpendiculares ducta
d diametrum intercipiant lincam datae AB aequalem.
PR OP 651L1O XXI.
Constru

## Folio 1111 — 1815201908:1168
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001168.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
1d
6.
IB
EN ADRATYRA CTROVLI
instructio es demonstratio.
DOnaturR F C commenturabilis aliquis arcus arcui ADB, CuiuS LuBEENLA GIE F. C
maior AB, subTenSa areus AD B. descripto deinde circulo F. FT C Iaper diame-
ErO E C, Ponatur CFI aequalis AB; quod heri pocerie, cum A C+ AlaMcter maior po.
natur recta AB, per centrum denique circuli A B C. POtAC ALC AIZMCTEF, quae X
quiritur. angulus enim F FY C rectus cum SiC, eciam F IK rectus cric, vei ec angulus
CRI. inde rectangulum est TTK: _ FTC aequalis TK, HOCCH AB, el= quC arcuS
quidister GFI; _ demirratur F FTI, e huic aequidiltet CR. Dieofactum quodre.
ca ElIC.
FF C commensurabilis ADB Cx Conctione. Quare pertectum elt quod requi-
eROPOSTTIO XXII
VINE AB, CD normalicer posicx ad diamerrum L. F.
Oporceat aliquem arcum PR consticuere in eodem circulo com-
menlurabilem arcui AC, ex cuius extremis linex K HI e 1O, perpendi-
cularicet demmta ad alalaccum ietcplale bet seclam a gualem BL.
Construtioes demonscralto.
Elcribatur cenero R circulus M L. N xequalis P A F, in quo assumacur aliquis ar-
cus OE commenturabilis arcui A C, cuius subren Ca 9 L, maior sic quam BD,
aciamecto Ladca enemus L.LO. ae ponatur OP aequalis BD. ducngue
L0.Pacallelisinter le pet punclum l aucdeui al patallela De. dec
BBB 2
CCNETO
     1  ..   1 . t ut 1. ( . 1 .  1 1. 1   1 1       B   p  1  u t 1    p    n u  u    n 

## Folio 1112 — 1815201908:1169
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001169.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
dicularicet Ld F. F diamerrum.
Dicoarcum LK, cum ese qui pecicur. DuomaMrangulus O P P. rectus cA, estque
estdiameero. 80 e O9 ipsi L. S parallela, au diameerum recta cst, rectangulum
112
MN parallc OP, ccium ange se ouuse deoque S E perpendicularis
pendiculares O, SI. Sccane emetametrum et R aequalem F. F semidiameero-
menturabilis eltarcui A C, _ OS aquacur B D; arcus igitur IK commensurabi-
lis est arcui AC, e perpendiculares ab eius excremis punctis dimilsa, incercipiune
ex diamerro CH parem B D. Factum isicur est quod peccbacur.
DR ATVRA CTRCVLI
CCnErO T. HaE THL aequalis R S, et M Q xqualis F. C, de erig ancur H K. C Iperpen-
igicur cstOS, ac proinde S Xquatur OP, hoc eAt B D. Deinde quia perpendi-
culares GT, FT R per constr. Iccane lemidiameerum F. T, similicer in C ec FL, Ve per-
Pacec arcum IK aquari arcui OL, _ G HI ip(05. Sedarcus OP. ex constr. com-
ROPOSITTO XXTII.
diamerum HlC, Cirgue Li A arcusminorarcu CC, _ iunzalllul L. B,
B.
TIC A B C quadrans cirCULI: PONANEUFAUTeM DE, FC ordinarim ad
loteomenu aluo eeoblot
Demonstratio
Escribatur circulus supet BC LNICEE B LO; in quo apcaca BF quae sic Xqualis
B D, addacur CT: crunc igicur BIFC in colleM CHC. Ponu a aC
maius cslacere K B, d conlequencet cclanom C LF Malus b KL clatisaib, cum
similia Cincincer (c. quare addico communi G B R criangulum G B F, hoc estF BD
minus esteriongulo CBF, ablaco denique communi crionpulo L BL, cemancbie
E. B L minusquam OL. L, addicoigicur communi L. LCericlector L. BC minor
Cesmento DPC. Quod crar demonstrandum.
AF. minOr arcU C C, angulusigitur AB F, hoc est B E D, hoc eAt B CL (sune enim
criangula BF D, BC, I aGuaa C smilia) minor estangulo CBF, lacus igicur CK
Nquadrance circuli A B C polirx sinc ordinarim rectX DF., F C. ad dia-
eROPOSITIO XXIV.
Dicole  BCBBF.
mecrum HIC, de iungancur D, LD. ILMIOALUS AD maIOE ArCUFC.
DemOT

## Folio 1113 — 1815201908:1170
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001170.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
Y ADRATYRA CTRCVL
Demonstratio.
Escribatur circulus B FF suxex diame.
ceo BF cur inscribacur BP, aequalis BF.
iungacurque FL. cricigicur criangulum B F. I
aquale ac simile rriangulo BDF, adcoque
angulus BF L xqualis anguloBDF, d quia
aEcus AD maior eA arcU F C, crie angulus
ABD, hOC CABDF, hocCABFI; maior
angulo FBC, ac proinde lacus BK maius
laTCTC K F, d consequencer criangulum BK L
maius sibi smili criangulo FK C: ad dico isi.
cur communi BFK, maius est criangulum
BE I, hoc est BD E criangulo BF C, ablato
communicriansulo BI. F, remancbicEra
perium L. F. C F.minus criangulo D B L, ac proinie addicacursus communi quan-
Mal D L. F crir segmencum D F. C F minuslectore D BL. add luic demonstran.
PR OPOSITIO XXV.
dum.
luidant circulum AB C diamerri AC, BD ad angulos rectos con-
Ricurx: diam crro vero BD ponancuraquidistantes P. F, C HI _ IK.
L.M, incercipiences LLL et R VI xquales lincas, ita re arcus B L, L. C. CInE
Demonstratio.
DVcanCuFL Q, C P, qule aquidistene A C. Ouoniam TB arcus equalis est arcuL
L C.igitur TK aequaiS est recX LO. Smiliter F. F aequalis crir ob candem
racionem lecx CrP; de Consequenter F0 aequalis rectae OL, id eA RM, quem-
admodum linea P. L linex G N, id est FT F. vnde cum recta FIF AC aqualiSKM, CX
suppositione, eriam F. N recte YO cA aequalis. Juoniam isicur xquales lune G+N,
ipsi OL, _e F N ipsi IO, eriam quadrara GNV, P. N aequancur quadraris OL, 1O.
ehaurem quadracum subren (a arcus CF. Cqualc quacraris GNV, NF. Sicur de qua-
dracum subrense arcus TP equale quadraris PO, OL. ergo quadraca lubrenlarumar.
cubus CF, TL, ac proinde criam lubrenx ipse xquancur. IBicuF ctiaM aTCUS CP,
IL Cunc aquales. Quod tuic demonstrandum.
BB
L
aquales vei _EArCUS FB, AC.
Dicoetiam CE, L. aequales arcus cAC.
R
  p i  e           1 .  .   u      e   p   u . v e        e n mn mgun

## Folio 1114 — 1815201908:1171
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001171.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
eARS SECVND A:
ILIM
La
Lnara+
EYADRATVRA CIR CVLI
PROFOS
1
X X Y
Et
s
petecta AB, consticura sine quadrata ABC, ABB quorum
e diagonales lint AC, DL, dcep eadem AB axis parabolarum
subalterne constructarum AFC e BGF, qualum verrices
siInc A e B. Cinc denique rectae AHI de B B. axes parabolatuM AIC,
BKE, quarum similicer verrices sinc A e B, tandem ponatur quavis
LM, que aequidistenr C D, Sccerqi parabolasinF, , S, V, diagonalesin
R d T, lincam vero AB in P.
DicoramP C. PR, P L quam PS, PY, PM esse in proporrione con:
tinua.
Demonstratio.
ide demonstcacionem in libeo de parabola propoluione 67.
PROPOSIFIO XXVII.
Idemposicis:
Dicoram lineas PR, PF, P. L, quam rectas P Y, PV, PM este pro-
porrionales.
Demonstratio.
Oc partut acues Cocu parabola propolirione 42.
L lC.

## Folio 1115 — 1815201908:1172
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001172.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
Qr A DR A FYRA CTR CVLF
R OPOSIFTO XRVIII
IIdem manentibue:
Dicorectangula OPS, RP T, L. PM eAte proporrionalia.
Demonstratio.
Vncenim PO. PR, P T inconcinua analogia: irem PS, P Y, PM per eandem
Dsynein analogia concinua. erso per ea que demonstrauimus in libro progreso- 2 26. huius.
numbeciam rectansula POS, RP Y, L. PM eandem proportionem concinuAHE. B58. Progr:
Ouod crac demonstrandum.
Ildem posiris:
PROPOSITIO XXIX.
L Dico rectangUlA RPT, FPV, LPM, candem continuare analo:
Siam.
Demonstratio.
Scensum est, Ceam P R, P F, P L, quamP P, P V, PM, este in concinua. ergO c huini
deriam rectangula R P T, F P V. L. P M lunc in concinua analogia. Ouod erac ds8. Progr.
demonstrandum.
construuncur habencia communem alticudinem P X, proporcionalia esse
inter se, quemadmodum limilicer lunc parallelepipeda luper rectangulis
RPP, F Pa, e L. P ML constitura, habencia communem quoque alcicudi-
nem PX.
Demon.
EROPOSITIO LLL.
gonali B P. in a, ex quibus punclls phantur K d, aP, C ~ qua aquidistent
AB. Denigue ex punctis 9, R, L, Comctruantur 2B, RZ, FiB quae cidem
Vod h eadem manente Arura ponatur NO parallela recte C D sive
L.Moccurrens lectionibus BIEF, B GF in R e G, rectae vero dia
rectae AB linc parallela.
Dico parallelepipeda que superbasibus rectangulis QPd, RP P, L PM
 e . t it ae  te     e ut et e u  e  e stis e u at   u  e  in i  e  s       ee  i  u p  e        tn

## Folio 1116 — 1815201908:1173
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001173.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
2uC
QYADR A FYR A CTRCVEF
Demonstratio.
huic
uius e5
inter Ce vibales quare cum bales pelamu ene proporcionales, crians patalle
lepipeca proporcionalia lune, quorum ille bales lunc. Pari quoque modo ostendieur
PROPOSITIO XXX I.
Scensum acam lineaS PO, P R, P F quam Z K, Z a, X O proportionales el
(C, hoc est P d3P P; PM. indeb rectangula quoque proporcionalia lunc O P d
RP ∞, L PMI, sunc aurem parallelepipeda communem habencia alcicudinem P X
Parallelepipeda habencia bales, rectangula R P P; F P ∞s I. PM ec conimunem alcis
Ex29. Fudinem PX, proporcionalia esse, cum eriam bales illorum proporcionales sIMEs
roeres.quare conctarvericas proposicionis.
Vper AB constructis quadratis ABC, AB D, descripeis preterea pa-
rabolis AF C, B FIL quarum verriceS LInE A _ B, AXES VeTO AB, B A;
item parabolis A F C, B OI, quarum verrices etiam (InE A eE B, AZCS VerO
AK, BD; Policis in TUPCFF G, F FI que aequidistent CD, de sectionibusoc-
currant in E, L, C, M _ N, F, O, HI, diagonalibus quoque AC, BL, in pun-
Ctis P, Q, R2, 5.
Dico rectangulum L. ZG ad F x O, rectangulum duplicatam habere
rationem eius, quam habet rectangulum PZ Q ad RNS rectangulum.
Demonstratio.
Le tuiu)Scensum est supIa Lam rectangula L. Z. G, P Z O, F Z. Z GVIaII FCCLAHSIIA L AO.
R x S, V a Y eandem continuare racionem. Ouarc cum extrema rectangula
gmmns. L L, VX sunexqualia, cric crario rectanguli L. Z G4, ad FCCFAHBATAM L NOdu
plicara racioris quam haber rectangulum PZ.  ad rectangulum R a S. Ouoderat
demonstrandum.
tROPOSITIO XXAII
Ella Cllalheltoo.
Dieo recrangulum PZ Q ad R aS, duplicaram habere rectatglu
E. Z. M ad Na H recransulum.
Demon

## Folio 1117 — 1815201908:1174
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001174.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
eV ADR A FYR A CTR CVEI
Demonstratio.
Scentum est. Fa rectangula D Z O, F Z MI, T Z Z qua rectangula R a S, N X FY, 229. buius.
Vn Y in continua esse analogia. Ouare cum exrrema rectangula TZ Z, V X Y
aequaliasine, erie bratio rectanguli P Z O ad rectangulum R a S duplicaca racionis bg. huiuso
rectanguli FZ. M ad rectangulum NN FI. Ouoderar demonstrandum.
PR OPOSITIO XZXIII
anencibus iildem:
L Dicorectanculum L. Z. C ad rectangulum FnO, quadruplica
tam eiuscontinere racionem, quam haber rectangulum F.Z MI ad N A FI
rectangulum.
Demonstratio.
REdaneulum L. Z. G ad F a O. rectangulum duplicaram e traber ejus eacionem est. buit
quam habet rectangulum PZ. 2 ad R aS rectangulum; rectangulum aurem
PZO ad R a S, haber duplicaram d eius quam rectangulum P. Z M habet ad Fc- d 32. huius.
ctangulum NN TT. ergo rectansulum LZ C ad F 2. O, quadruplicatam chaber eius err huins.
racionem quam rectangulum P. L M habec ad rectangulum NY a FI. Ouod erar de-
monstrandum.
eR OPOSIFIO XXXIV.
 cet
Dicorarionem rectansuli L. L6 ad rectangulum LnO, FOTIeS
continere per mulciplicationem rationem recranguli PZ ad R AS,
quocieshaec eadem rario PZ O ad rectangulum R XS, continer per mul-
ciplicarionem rationem rectanguli L. Z. M ad recrangulum NN HI.
Demonstratio.
iXpraecedentibus es maniFesta. nam ostensum test rationem rectanguli L. Z G ad Fyr huius.
FnO rectangusum, duplicaram ese eius, quam haber rectangulum PZ O ad
cer est demonttrarum s rectanigulum lL ad R n S rectangulum duplicatam 4a- 832. huius.
bererationem eius quam haber rectangulum F. Z HI ad N N FI rectangulum; X Co-
lequenrex etium haec prior racio lecundam bis conciner in senlu mulciplicacionis.
E CC
Duare
RaS, ac proinde prior rario secundam bis continet in sen sumulciplicacionis. Simili-
    11.   11 1. 1 e  . 1 . 1   e 1 1 1 1   1  1. 1.  t    e  e sta  pe    na a  en  d prule

## Folio 1118 — 1815201908:1175
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001175.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
TX18
OV ADRATVRA CTRCVEI
Ougre pacerrationem rectanguli L Z G ad rectangulum FNO, toties continere
per mulciplicationemracionem rectanguli PZ Q ad R a S, quoriestraec continerper
PROPOSITIO XXXV.
musciplicacionem rationem rectansuli E. Z M ad rectangulum N N II.
IIdem permanentibus:
Dicoparallelepipedum ex basirectangu la L. Z. C e alcirudine Z. a,
ad parallelepipedum ex bali recrangula FnO, de cadem alticudine Z a
quadruplicaram habere rarionem eius quam continet parallelepivedum
ex balirectanguta F. Z MI d alcicudinc Z. a, ad parallelepipedum lub bali
recrangulà Aa H e communi alcirudine Z. n.
Demonstratio.
. D Emonstratum es a rectangulum L. Z C ad F nO rectangulum habere quadru-
plicacam eius rarionem, quam concinee rectangulum PZ MI ad N a FI. Sunt au.
cem parallelepipeda sub hisce basibus e communi alcicudine Z. N incer (C VE ip (XMCE
bales. Paret erso veciras cheoremacis.
eROPOSITIO XXZVI.
Adem HgUTA MAMeNEC:
Dico rationem parallelexipedi quod Ac ex bali recrangula L. Z. C
ad parallelepipedum quod tc ex bali F n O recrangula, tories continere
per mulciplicationem rationem parallelexipedi luper bali recrangula
PZ O ad parallelepipedum super ba(i rectangula R a S, quories rariohaec
continet per mulciplicationem rarionem parallelexipedi luper basI re-
crangula F. Z. M ad parallelepipedum quod hr super basi N a H recrangU-
la, modo pro omnibus parallelepipedis eadem lumatur alticudo, Z X.
Demonstrario.
Fmonstracum eABrationem recranguli L. Z C ad rectangulum F NO cories co-
cinere per mulciplicarionem racionem recranguli P ZO ad R X S, quoriescon-
incrratio recranguli PZ O ad Ra Srectangulum, racionem rectanguli FZ M 2d
Ta FTreccangulum; parablelepipeda aucem de quibus agimus talem sorciuntur incer
se racionem qualem bales recrangulares super quibus crecca lunc, quoniam alcicudi.
reconvenionc en hiypochebilaler isicue vericao atteccionio.

## Folio 1119 — 1815201908:1176
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001176.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
ete
let
di
D.
OVADRATVRA CFRCVLI
Schema
ommune.
10.
eROPOSITIO XXXVII
rEper recta AB corntantur quadraca ABC, B AD, quorum dia-
PsonalesLC,OD aCMpCi Parabolis AE C, AFC, Q BGD,
BHID quarum verrices sine A ex B, in linca AB altumantur qua cumque
IE, NIE, ponancurq per l, L, N, IE puncta Parallela laceri AD OcCurren-
tes diagonalibus in punctis P, O. T, V, parabolis aurem in punctis F, R,
E, O, S,C, X, HI, compleantur deinde rectagula FIL, R NH; IL. S, NIC;
iceMP IL, ONIE; ILT, NK V, denique EIL, IL. Z; ONK, NRFI.
Dico parallelexipedum luper FIL. Se IL S, ad parallelepipedum Cuper
RNK, NIE C duplicaram habere rarionem eius quam parallelepipedum
(WveF PLL, IL T, haber ad parallelepipedum (uper ONK, NKV.
Demonstratio.
Vm enim aparalle lexipeda super FTL, TF. S, Super PIL, TF. F, supet aTY, a Per
in5.
TEx sinc proporcionalia; icem cum proporcionalia sine parallelexipeda loper ut
RNK, NK G, TUPCF O NK, NTRV, TUPCE ONTK, NRZ, _ cum liae dux series vI-
cimahabeant aequalia, scilicer parallelepipedum luper coTI, IL. a, _ (UPEF BNYK,
NKZ, pacec bprimum parallelexipedum rnius seriei ad primum alcerius seriei esse B Por 9.
in duplicaca racione sccundi ad secundum. Ouod erar demonstrandum.
PROPOSITIO XZXVIII
Ildem politis:
LDicoparallelepipedum Tuper PIL, IL T, ad parallelepipedum (uper
ONK, NKV, duplicatam habere rationem eius quam parallelipipedum
super EIL, IL. X habet ad paralle lepipedum (uper O NK, N I HI.
Demonstratio.
vuins.
R Vrtus enim paralle lepipeda super PIL, IL Y, SUPEFP IF, IFZ, Super CTL, cPer 30.
TE x sunc proporrionalia, icem proporrionalia sunc paralle lexipeda luper O NK, hurus.
NRV, CUPCE ONTK, PTRFI, SUPCF ON R; NVRE, a vicima veriulque scrici LuINE X-
qualia, isicur dicerum primum paralle lepipedum prime seriei est ad primum secundE huius.
seriei, re secundum ad secundum. Duod erar demonstrandum.
CCC 2
Sche-

## Folio 1120 — 1815201908:1177
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001177.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
20
Schemae
eYADRAEVRA CIROLI
Commune.
Corol.

## Folio 1121 — 1815201908:1178
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001178.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
111IIIII
EY A D R A FVR A
Corollarium.
Tinc parec rationem parallelexipedi super FFL, TL. Sad parallelepipedum su-
DEERNK, NK C, cocies per maciplicationem continere racionem parallelexi-
DCMaPeF PTL, IL T, ad paralletePipedum sUPeF ONK, NR V, quories hxcracio
per mulciplicationem conrineclallonem parallelepipedi luper P. II, II. X, ad paral.
lelexipedum luper ONK. NKHI.
PROPOSITIO XXZIR.
IVper recta AB construantur quadrata AB C, B A D quorum diaoo
DHales SInEAC, BD: descriptisque parabOlis AF C, AFC, _BGD,
BHB quarum verrices sInE LL _ B, altumatur quaenis IR, in recta AB;
qua diuila in quaruor parres a quales in puctis L, MI, N, POnatur Per Ca Pa-
rallela laceri AD, CCagonalibus in punctis P P, OO, _ TT.
VV; Pasabolis aurem in punctis F F, R R, EE, OO, SS, 6G, XZ, TIII:
compleaneut deinde rectat ala FIL, F LMI; R MN, RNK, e IL. 5.
LMS, IMNG, NK C; himilicer recranouta L IP, NIL. P, NM O, KNO:
item recrangula lL. L, L. M P; MNV, NK V; quemadmodum _ RCCta-
SULALIE, ML E; NMO, RNO; _IL X, LMZ, M NII, NRFI.
Dicorationem duorum parallelexipedorum quae hunc ex recrangulo
FILinILS, d ex reccangulo FI.MI in L. MI S, ad duo parallelepipeda
quae Oriuneur ex planO R MIN in MNG, _ ex planO RNK in NRO
planum, tocies conrinere rarionem parallelepipedorum quae signuneur
ex ductu superficiei P II. in IL. T, _ lOPeFRCICI PL MTIn LMT, ad paral.
lelepipeda producta ex baliOMI N in MNV, _ ex baLIONK in NKV,
quocieshac iplarario concinet rarionem parallelepipedorum quae hunt
ex duccu plani F. IL in planum IL. Z, ee ex duccu plani P. L. MI in LMI X,
ad parallelexipeda Facca ex duccu plani OMN in MI N EI, ex plani ONR
In NRHI.
Demonstratio.
D contutionem vicandam omnia hxec rectan gula quae in vnam Rguram consesta
LLlunc, in rarias figuras sezregabimus, ec lingulis rectangulis Cuam licreram htel
bemus quasplorum nocicia habeatur, ve discurlus racio nonnihil subleuerur. Lcsu
igicur schema parciculare comprecatu las ileemale uea Comuas
qua terminantit in parabolis convexts La. Seclau veloconaleas
quarum cermini in figura rnivertali sune recte PO X V T. Terrium denique Aigu-
rasreplasenter concanas parabiolas FR, CS, figurarniverlalis. Anc aurem petun
Cchemari inlcripea eccatgula A. B, C. D: Xl. 1. Cl. lecundo similicer rectangula
dumigicur elelationem parallelepipcco e LC MC SI L, au pacancnpipeda
redorum quae tiunc exrectangulo L L, d lem uupulantete ipeen L inP, e
BK L, M _ NO, P, O, certio quoque rectangula R, S, T, V, X, Y, Z. e osenden-
ex T in Z, _ V in X, tories continere per mulciplicationem rarionem parallelepi-
M in O, quorieslixc ipla rario concinecracionem paralleleppeaoea ilele
Blb, ad parallelepipeda ex plano C in C, e D in FI. quodnCole. ale pa
rallerepipedorum ex k in L, _SiM L, da Patatereea ca L  c a eAt
eddem cum rarione parallelepipedi ex R in L adparallelepipea Ca u L delk
ad para L L  I O. eadem est cum rarione paralle lepipedi huius.
Kn  aet rIn C, Me Cuas Factore Palstelepipedi ex S in Y ad parallelepipeda
ex T in Z, _ ex V in 8.  Similicer rario parallelepipedorum ex Tin N, ec Cx R in O.

## Folio 1122 — 1815201908:1179
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001179.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
QV ADR ATYR A CTRCVLV
ex T in N, ad parallelepipeda ex L in P, de M in O simul eum ratione parallele
axercande pixedi ex ductu R in O, ad eadem parallelepipeda ex L in P. d M in 9 a. Denique
racio parallelepipecorum ex A in P, ex B in P, ad parallelepipeda quae hunc ex C in C
_ D in FT, eadem est cum ratione parallelepipedi quod oritur ex A in F, ad ca quae
Aanc ex C in G, _ ex D in FT, Simul cum rarione que resuleat ex ratione parallelepi-
Pediquod Hcex ductu B in F ad parallelepipeda Facta ex ductu C in C1, de D in II.
BPorCorol. Sedbracio parallelepipedi ex R in Z, ad parallelepipedum ex Pin Z, cories mulci-
ar. 3 8.hu. plicar racionem parallelepipedi ex I in N, ad parallelepipedum quod est ex L in P,
quocies racio parallelepipedi facti ex ductu P in NPad parallelepipedum ex L in P, C0-
cinec racionem parallelepipedi ex Ain F, ad C in C parallelepipedum, e ica dein-
cepsracio parallelepipedi ex R Z ad V ec, cories continec rationem parallelepipedi
TN ad A O, quociesrario parallelepipedi TN ad MTO. concinecrationem paral.
lelepipedi ex AF ad D HI Parallelepipedum; d ica contequencee ratio parallelepi-
pedi SX ad TZ, cories concinec racionem RO ad L P, quories hXC ratIOROAdL P.
corinet rationem parallelepipedi ex B in F ad C in C. Denigue cories criam contince
racio parollelepipedi SY ad V a racionem parallelepipedi EO ad MO, quories ra-
cio parallelexipedi ex KO adM O, concince racionem parallelepipedi B F ad DHI
Vacallelepipedum. Igicur manitectum est quod racio duorum parallelepipedorum ex
n in _ e Sin L,ad cacionem paralle lepipedorum duorum qua siune ex Y in L. de
in

## Folio 1123 — 1815201908:1180
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001180.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
QV ADR A TVR A
CIRCVLI
in a cories concincat rationem pacallelepipedorum ex I in NV, _R in 9, 2d paral-
selexipeda qua Hunc ex L. in P, e Min O, quoriestaec ipsa racio continec rationem
parallelexipedorum ex A in H, et B in F, ad paralle lepipeda orca ex ductu plani C in
C, e D In FI. Duod Fuic demonstrandum.
Corollarium.
TEmalciplicentur MoroIX demonstrationes, propolitionem pexesentem exrendi
voluntus ad casusoes qui alcicudines horum parallelexipedorum bifariam, vel
quadritariam, vel lecundum quamcunque rationem in parces ae quales diuiderenc, ad
mulciplicanda rectangula gua in aduerlae fgurx rectangula ducta mulciplicareHE
quemcunque numerum parallelepipedorum: nam discurlus demonstrationis vnus de
idem semper occurric, reiproposicione 8. huius est demonstracum.
P R OP OS I FIO XL
Dico rarichrem Colidi ex ductu plani parabolici R S in planum pa-
rabolicum X Z, ae losidum orcum ex duccu plani parabolici concaui Y V
in concaltumr Patavolicum Z e, cories concinererationem Colidi quod
nascitur ex duccu rrapezii I IE in crapezium NO, ad Colidum quod Ac ex
craperio L. M ducto in craperium PO, quories haec ipla ratio continet
rationem corporis ex duccu varabolx convexx AB, in F. F parabola con-
veram, ad corpus orcum ex dueru C. D parabolici convexi in CH con-
vexum parabolicum.
Demonstratio.
Stentum est proposicione praecedenci ex Corollario quodrario mediecaris hou-
raruminseripearu cerrio lchemaci ad alceram medierarem Agurarum inlcripea-
rum, tories corimeac racionem mediecaris figurarum se cundo (chemari inscripearum
ad alteram suam medietarem, quoties hec ipla racio concineerationem medictatis A-
surarum primo schemati in Ccriprarum ad reliduam medierarem, e quia hoc iplum
Temper heri porestiioicur cum cerminis iltius progrestionis qui in schemace vniuerlali
sune clZ _ DKZ rectansula, conneniat eadem propriecas. e racio rectanguli
FTa adrarionem n K C acories contincat racionem rectanguli P L a ad dR V, quo -, vet
ries haec ipsa rario continecrationem rectanguli F IB ad dK FI, per propolicionem huius.
universalem libri de ductibus quadragesimam sextam, eriam ratio solidi ex R S para-
bolico in ZY parabolicum, ad Colidum ex parabolico coneauo T V in Z _, tories co-
rinecrationem Colidi ex crapezio TK in NO, crapexium ad Colidum ex erap CZIO
TM in PO, quories haec eadlem rario continebicrarionem solidi ex ductu parabo-
lici conuexi AB in P. F, ad solidum ex ductu paraboliei C D in convexum parabo-
licum OdI. Quodtuir demonstrandum.
VlirisCIII.
A   e            1         e            u     u  e

## Folio 1124 — 1815201908:1181
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001181.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
1+24
QVADR ATVRA CIRCVLI
EROPOSITTO ZLI
AVPCF reCtA A B consticuta sinE quadrata ABC, AB D, quorum dia-
D metri A C, BE: his inscribancur parabolae A P C, BOF, quarum ver-
ticessInE A de B, ares vero AF, BD. Deinde A B bilect a in G, CeNEOG
spatio C A, circulus delcribatur, ductilque rectis infinitis MOTIPZ R
QN, parallelis ad CBD, ac proinde orthogonis ad AB, hanere MZ ad
OZ, HCOZ adZ R.
Dicopuncta AR, R B esse ad parabolam.
Emonctratum est in libro de parabola propolitione 299.
IIdem policis:
PR OPOSITIO ZLII
Dicololidum quod producitur ex plano mixtilineo AP C B, in mixci
lineum AB O F. a quari solido quod hc ex parabola AR B ductâ in (c.
Demonstratio.
DVoniam M L, OZ, Z LIINEPTOPOTHIOHALES, CtTaM GIAdTAEA IPLarUM MI L, OZ,
26. huius. Z R eruncproportionalia. Similiter, quia acam M Z. LLL L GaHL, LL
58. Proer. OZ. Cunc proportionalia, b eriam rectangulaM Z NI, ILL. L, LLO crue proporcio.
nalia: Ced quadracum MZ xequaeur rectangulo M Z NV; d quadracum OZ aequale est
AZ B, hoc est rectangulo FIZ T, cum enim B A aequalis AC Eam A P quam BC.
ceiam BZ ipA ZT, _ AZ ipE IIZ, ob criangulorum BAB, BZT, ABC.
AZ. FE Cimilicudinem, aequales erunc. cum igitur bine habeancur series quancicatum
continue proportionalium, quarum primi quatuor cermini lne aquales incer se, li-
quecetiam reliquos, quadrarum nempe ZR ec rectangulum PZ O, Xequari. paFK
aroumento omnia quadrara alia Z R rectangulis aliis omnibus PZ aequalia
TUnC. Ergoper 45. libei de duet. Colidum quod sic ex plano AP C B ducto inpla-
num AB O P aequatur solido quod Ec ex parabola AR B ducta in sciplam. Ouod
crac propotrum demontrace.
Corel-

## Folio 1125 — 1815201908:1182
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001182.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
1.
et
rrio
ectt
BC,
BC.
U
Cort.
1HIHHI
ADRA TVRAICTRCYEL
Corollarium primum.
E Odem discursu ostendieur Coldum quod gignitut CL HEBMENEO MIXEILInCO P P Z. L
in mxcilincum scomentutu
8menco L. R R La ducto in le.
2. LCd aqua sontea Patadbeote.
orollarium secundum.
FAcileiam nobis erir lolidum quod BC ex mixcilineo A P P CB ducto in mixeili
neum AZBO OB, ad parallelexipedum reducere. Nam parabola in (c luela
prodtucie legmencum cxlindri parabolici, quam libro praecedenci ongulam vocani-
musputabolicam, e cubanimus propolicione 99. ciuldem libri. quare cum corpuS
Factum ex A P CB in AB O F, aequale ostenderimus corpori quod gigine LLLLL
parabola in se ducta, hoc est rugulae paraea, aus Ges a a CoAca3
hiueredueto adparalleleppeau Mabia deeaa cocaston ea ABCL
ductoin APCB, eodem acciticio omdn dubuma  te
Pe L L ducto in lesmenrum L. HR L.
PROPOSITIO XLIII.
NIne parabola AC D, BLC aquales led Cubalcernè poliex quas c
acingac AB xcllalis laceri recto in A e B. Ponatur insuper PC F. GNI.
DDFFIN, RIKL. Onormales ad AB, iunganEUT AT, BS, AS _ B T.
Dicorationem corporis orri ex ductu plani C E F. D in planu EOLIF.
adcorpusetductupam mIILRhocam elle, inlupereciam ra-
tionem Colidi quod Ac ex plano P F F O ducto in planum F. M NI F ad (0.
lidum quod sc ex O F KR planO in PlanUM F NO R.
Demonstratio.
E ED eC FGFTF. Insupe demonstratu est cui parallelepipedoxquetur Coli- cundo +2
dum ex planis PF F 9, P. M NFcer se mulriplicatis, quemadmodum criam de huius
Colido ex supersiciebus RR _ FNOK. incer se ductis: quare tario corporum
dequibus asic propol lo a llalialumr eclam nota Vel Hald Cl. SBaIBC
uo
5. de
Scensum eAt cui paralle lepipedo XquetuE CorpuS ex ductu mutuo planorum, corr se
demontctatteum.
11II
 i u e e ute se es  e  e u et e e   ut e s  su   sp  iu  e  stas es   e s e t se a i  u a s  sta e ues e a s usus se ti

## Folio 1126 — 1815201908:1183
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001183.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
DV ADR ATVRA CTRCVEI
PROPOSTTIO XLIN
Ine denuo super AB recta duo quadrara ABC, ABD constructa, e
Drecta AB Cc a qualis lareri recto parabolarum AF C _ BRC, Subal-
cerne collocatarum ee communis virinsqueaxis AB, in quo sumpris FTI
X IE L, a qualibuSinTEE(CCONSTIELIaNEF P HIP, MIF, _ENKQ, OLR
ordinatim ad axem.
Dicololidum quod sc ex ductu plani F. LI IM in planum HPFL, n0-
cam habere rarionem ad solidum quod extursie ex ductu superticiei
NR LO, in superkiciem ROR L.
Demonstratio.
DOnancur parabola A V C, B X C aequales prioribus, quarum verrices Lint A d
243. Buins. B, conciniganeque AB in A _ B. octensum cs anocam ene racionem corporis
quod Ac ex ductu SFTIT in FIrXI, ad corpus ex ductu superkcici YRL Z in
B Per cand. P upe L. Similicer demonstracum estb nocam cNcrarione Colidi ex ductu plani JIe à Y
=40. huin.
in FTx ∞T, 2d Colidum productum ex ductu i R L a in planum RnBL. Domonstra-
cum aurem est crationem corporis orri ex ductu SHLF in FVXF, ad COrPUS OF-
cum ex ductuplani YKP Z. in RupL, cocies concinere racionem corporis orti ex
ductu plani FTexY in HIYOI, ad corpus ex ductu bRILa in KnBL, quocies
haecracio contincerarionem corporis orri ex ductu HRMT in FTTEP, ad CorpuIS
orrum ex ductu plani RNOT in RL. R9. Isitur cum nocx sinc prima, ec secunda
racio, nocum quoque cs quories prima lecundam contincac, AC proprerca nocum
quoque cAquories secunda contincac certiam: ieaque cum se cunda rario scilicer cor-
Poris orri ex ductu plani EIenI in EIrDT, ad corpus orrum ex ductu VRL a in
KyBT noca lic, eriam noca crie racio corporis quod oritur ex ductu luperticiei
ELIM in HIPET ad corpus orcum ex ducu supertciei NKIO in K O R L.
Quod exar demonstrandum.
P R O.

## Folio 1127 — 1815201908:1184
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001184.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
QV ADRAFYRA CIRCYEI
eROPOSITIO XLV.
DOnantur super A B duo quadrata ABC, B AD, quibusinscripex due
R semiparabola AC C, BITD Situ Cubalterno circa communem axem
AB, e super A B diamerro Temicirculus describatur AF B.
Dico corpus quod producir parabola AC C dueta in parabola BHID,
aequari Lemicy lindro cuius balis est semicirculus A E. B, alrirudo AB.
DEmonstrationem dedimus libro de ductuplani in planum propolicione 143. illic
enim octensum est parabolas subalcerne policas, quarum communis axis est X
qualislaceri recto axeos producere solidum aeguale semicrlindro cuius basis eAtse-
nicirculus axe eanquam diamerro descriptus, alticudo vero iple axis; sed parabola-
rum AOC, BFFD quadracis inscripearum axis AB x quatur laceri recto aXc05,
aquod ordinarim pOSEa A D Sc aqualis ipR A. B. ergo solidum quod produCIEUE CK a 9. Parab.
ductumuruo parabolarum ACC, BITD aequacur Cemicrlindro super semicirculo
AF B in alcicudinc AB.
Verum cum hoc cheoremasieonum ex primariis huius operis, proximeque in AuaF
in circuli quadracuram: sic aurem demonstracio propolic. 1 a3. libri ductuum allaca
Forcasse srictior quam ve omnibus Pacistaciae: pleniorem huius vericaris demonstra.
cionem exhibebo propolicionibus aliquor sequencibus.
P R O POSITIO XLVI.
VIE AB axis parab olarum subalEerNE POLITATUM AKB, ABMI, _ axebi-
lectoinE, itemque AF, B F. bilectis C _ D, per diuitionum puncta
C, E, D ducantur recta ad axem normales, compleancurque rectangul a
tam C P, P. Q in scripea parabola AHB, quam C I, F. L. circum (cripea Pa-
rabolae ABM.
Dico Colida que OriunEUE ex TPHT In CENM; d exHOK in
FNOD, limul Cumpea maiorem molem exhibere quam Colida que hunE
ex ductu plani MNL in F C FP, e plani NOL in PE. D Q, simul
CumPEa.
Demor

## Folio 1128 — 1815201908:1185
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001185.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
QV AD R A TV R A CIR CVET.
Demonstratio.
Veantur, OR, NS parallelae axi
AB; Termentum NOR maius est
lcomento O)NL, vemanifelte pacee
Riungancur puncta ON: _F HIFD
maius eltquam P HIO D. ergo solidum
CxNOR in FHKD, maius eA Ioli-
d0 ex ONI in FO. Sed quia para-
bola lubalcerna sune aequales ec limi-
les, e puncta C e D, aequalicer di-
Aanc ab Fi puncto medio ipsius AB,
aqualiA TUNE SCDMCNEA NOR, ITFP,
_ ETIKD, CMNE. Ergo Colidum
ex TTEP in CMNE, maius cstlolido
ex OHT in F O. PERECTCA MNS
maius est quam MNI (VEpacecCIuM-
Bancur puncta NM,; _E C FTI F maius
eAt quam CP. ergo Tolidum ex MNS
in CFHIE, maius eAt Colido ex MNI
in C P. ICdMNS, RTIO, _CFTIF.
ENOD suncincer se aequalia. ergolo.
lidum Cx RFTO in FNOD, maius
est Tolidoex MNT in C P. Dgicur Colida SIUL SuMPEA qUE RuNE CX HFP, RETO in
CMIE, P. NOD maiora lunc Colidis AIMUL (UM PEIS QUA AUnE Cx ONL, NMI in
E O. C P. Duod erac demonstrandum.
PROPOSITIO XLVII.
Vod E axc AB bisecto in L rectX AL, B L dividantur in quorcum-
Lque parces aequales, ductisque per diutionum puneta C, I, IE, L, MI,
TI O lineis parallelis ad axem normalibus compleantur cam rectangula
C0, Id, KV, L T, MX, EO qua cadune inera parabolam APE, quam
rectansula Ca, IO, RX, L. S, MZ, HI t qux sunc partim inera parabo-
lam ABF, pATEIML CXETA:
Dico Tolida simul Cumpra quae hunc ex leomenris parabolicis e 8,
DNS NPV, RPT, _EERX, F. vR in parabolica SCBENTA C XFI,
TFBKL, RBOL, LBaMI, MaGHI, HCEO maiora esse Colidis simul
sumpris, quX producuneuE ex Legmentis XAF, FOB, YBD, SD0, aCZ,
CYE inrectanigula CP, Id, HV, L. T, MX, FTV: acqueira licee in in-
sinicum procedatur, semper idem cueniet.
Demon-

## Folio 1129 — 1815201908:1186
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001186.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
15
De,
XFI,
62,
In
QY ADRATYRA CTRCrLI
Demonstratio.
et Codem platse dilcursu quo praecedens, quemadmodum enim in praeced.
ostendimus id quod Ac ex sesmencis P N V, RP T, aqualicer remoris a medio
axis puncto I, sine a media parallela PL B in RBOF, _t F BcoM, inaius esse eo
quod HE ex ZBB, SDa in K V, L T, ica plane ostendicur discursu eodem id, quod
sc, ex sesmentis in NDd, F. R Z aequalicer eriam remoris a medio axis puncto L.
sive a parallela media PL B, ductis in PFBR, de Ma CFI maius essc eo quod ACCX
OFB, Z cC in Id, MI X _c quod signitur ex D e P, _ F. vS In C N F L, e HICEC
maius esse eo quod sc ex a  F de Y GE in C ∞ _ IIv. Lx quibUS PAECE VETITAS
cheoremaris propolici.
PROPOSITIO ZLVIL
LDico lolidum quod IC ex legmenris parabolicis CFHI E, DRHT F
inseomenta (ubalcerita CM IVL, E. NOD, hoc est ex SCGIENEO FC DH
in Cessrencum CM OB, maius esse corpore quod producirur ex rectan-
gulis CP, E O ductis in rectangula C I, F. L.
DElumpea Rgura propolicionis 46.
Demonstratio.
P NOD, maius esse lolido quod ex lcomenris IMN, I. NO in C P, P. O re
lido ex CP, LG IH C. MNE, E DTOD aequacur solido quod HE ex CP in CT, e
ma 2. s
nili dis
ex F O in F L. ergo solidum quod HC Cx FC P TI iN CMNF, _ CX TIFD K in cursu que
ENOD, hOCCCt ExSESIEnEO FCD K inscgmencum C. MOD, maius est lolido
FactOCx C P, E D in C I, P L. Duod erar demonstrandum.
d
duum
Scenlum est Colidum quod AC CX SCGM LMLB HIF P, R HT O in (ESMENEA CMNTF.
ctanoula. Hare li adacu vrrique corne iblidum quod hc ex rectangulis CF
FO in (CSIHenTa CMHL, L. NOO Cctolidum quod AC ex HIFP, KITO in
CMNE, ENOD, ina cum solido ex C P, F O in CMNYE, F. NOD, maiussoli-
do quodsE ex C P, F.O in TMN, L NO, vna cum Coli +O ex CP, E O in CMHF
E. NOD. sCd SolidUm Cx FTEP, IE TTO in CMNE, FNOD una cum lolido CxC P.
BQ in CMINE, F NOD aGUATF =COTPOH GHIBAMEX L CFHI in CMNVB, X avemon
ex HEDR in F NOD, _ Tolidum Cx CP, F, O, in IMN, LNO, vna cum (0- stracur ex
L O. 
  et  uet   1e   e e te ste te te e e es e  e 1e 1 e  e t  t et  i  . se e  t e  te e  u te e st es e t  e e       e te it t   1st   u 1

## Folio 1130 — 1815201908:1187
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001187.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
QV ADRATVRA CIRCYEK
LAOPOSITIO XLIX
Esumplatigura propolicionis 47. lifuerint segmentorum axis AL,
LLBL, Subdivisiones Facex plures ac plures in inhnitum iuXTa Mentem
propolicionis 47. ac proinde plura semper ac plura reccangula inscripra
Fuerincparabola A a B, circum (cripea vero parabola ABE.
Dico nihilominus solidum quod producitur ex mutuo ZC OA,
C r EO Teomentorum lubalternorum duetu, maius esse solido quod se
ex omnibus rectangulis inseripris parabolae Aa B in omnia recrangula
conseripea parabola AB6.
Demonstratio.
DErEcietur eodem discurtu quopropolicio 48. Nam quo dilcursuillic Cx 46. Osen-
dimus solidum exseomentis PNKL, R P P. M, qux adiacent medio axis puncta
T in SCOMeNta RBOL, L DaM maius eAC solido quod hc ex rectanguliS RV, F X
in rectangula RV. I S, eodem quoque demonstrabimus ex 47. Colidum quod AE eK
sEGMENEIS NTDTR, RMFIF aequalirer a medioaxis puncto F remoris, in segmen-
ea IFBR, HICcoM, maius esse solido quod Hc ex rectangulis, Id, M X in rectangu.
Ia TO, MZ: _ Colidum quod signitur ex segmentis D eC I, s FFTO in segmenta
CxFI, ITOEO maius elesolido producto ex Cp, IIo in Ca, FIi. Focumigi
cur segmentum est C duccum in sermentum eorum C nZ maius solidumpro.
dueic quam omnia rectansula C P, Id, RV. I T. MX. HIo in omnia rectangula
C a TO, KL, L. S, A L. FLi. Duod erar demonstrandum.
LKOTOsITIO
Incpalaobraaea aeat de Mes AA B, ABC Ellatucom.
muniaxc  cto  paltes Al BL, In plurestemper ac plu-
res in infinicum parces xquales et x que mulcas, diuidancur, ducrisq. per
dinisionum punera parallelis lineis er, DF, ec. normalibus ad AB, in-
scribancurparabolae A a B, parabolae vero SB A cir cum scribanturrectan.
sula plura temper ac plura line terminio.
co

## Folio 1131 — 1815201908:1188
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001188.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
er AD R AEVR A CTRCVEI
Dico Corpus genicum ex ddctumuruo parabolarum lubalternarum
maius cse londoeasorcsato Parallelepipedorum quod producicur ex
rectangulis omnibus C p, l8, _cc. in scripeis parabola An B, ductis in FC-
ctangula omnia C a, IO, ec. parabolx ABC circum (cripta.
Demonstratio.
Scensum est in praecedenci segmentum Ce s2O in sesmentum C X Z0, produ-
ceremius solium quam omnia rectangula C D Id, eec. in omnia rectangula
Ca, I0, _C. Acqui parabolacora AN B ducta in subalcernam eoram EB A, maius
corpus efficie quam seomencum eC B na in seomencum C = ZB. Eroo parabola
Ax B in parabolam EB A maius Colidum signit aspcegaco para Ilelepipedorum pro-
ducto ex omnibus rectangulis C D, Id, _c. in scripeis parabolae An B, in rectansu-
la omnia C a, IO, _ c. Parabolx CB A confcripea. Duod crac propolicum.
renio candem ad demonstrationem Theoremaris supra proposici.
PR OP OSTTIO LI.
Vincparabole (ubalcerna ADC, F C A binis inscripex quadratis circa
A COmmunEM aXeM AC, sivc (quod in idem recidit, ve in propol. 45.
ostentum est) quarum aris A C laceri recro axeos sic aequalis: S (uper A C
diamerro describatur lemicirculus AB C, quem eorum inera parabolas
cadere patec ex 126. de parabola.
Dicocorpus produccum ex alccupatabole ABC in lubalcernam pa-
rabolam L C H, a Guals Leicylindro, cuius balis est Semicirculus ABC,
alcirudo aurem axis parabolarum AC.
Demonstratio.
123I
laequalia non sunt IIIa corpora, exie exlindrus corpore parabolico maios aul ht
nor. Ponatur primo exlindrus esse maior corpore parabonCo GuAHCTALO AIIGV2
C. sececur axis AC bitariam; ex bina axeosscementa in cor ex aeque mulcas aequa
lesparces subdinidantur in punctis F, F, ve dudtis per F parallelis rectis BL, HOI-
malibus ad AC. complecilque rectangulis F I, rectangula F B L ducta in alciru-
dinem cplindri AC. Cxlindro inscribane axcrepacum parallelepipedorum haben. 2 Pait
 rectanea CC  chrnbenoq
ips0
Au  i GIILIIIMI

## Folio 1132 — 1815201908:1189
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001189.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
V ADR A Y VR A CIR CYLI
Svrotos 1
ipso cylindro quanticare minori quam C, quo Facto etic corpus extindeo inscripeum
eciam maius corpore quod sic ex ductu mucuo parabolarum. Procrahaneur deinde
Paralselae F B verimque in D, ex F, FI, compleancurque rectangula cam F. DI, in-
icripea parabola AD C, quam B FI, conseripes parabole FC A: ac deinde rectan-
sula F. I, ducta in rectansula P. HI producane parallelepipeda que corporinato ex
parabolis parcim inscripea cruneparcim circumseripea, bases aurem habebune re.
ctangula D F P, alcicudines vero lineas F. F. Demonstranimus in libro ductuum
~rectangula omnia D P F aquari rectangulis BF, AC. Ouare cum reccangula
DF F bases sint paraltelepipedorum adscripeorum corpori parabolico quae AWNE ex
FD I n F HI: reccangula vero BF AC, BF. AC sine bases parallelepipedorum in-
scriptorum crlindeo ee alcicudines verobique sine communes, lineola munirum P. P,
manifeltum cAt agoresarum paralle lexipedorum adscripeorum corpori parabolico
aequariageresaro parallelepipedorum cxlindro inscrixcorum, (ed aggregacum paral.
lelepipedorum inscripeorum cxlindro maius ponicur corpore naco exparabolis ergo
e aeoregacum parallelepipedorum ad scripcoru corpori ex parabolis producco ma-
inselt eodem corpore; quo drepusnac propolicionis o. in qua demonstrauimus cAC
minus, non isicurminor eA erlindrus corpore a parabolis producro.
Superest ve ostendamus eundem cxlindrum non esse minorem COrPOre GenicO
ex parabolis. Si enim cxlindrusminor sic, crie corpus parabolicummaius cylindio v.
8. quancirare C, ostenlum est in libro ductuum b A C in eoc posse aqualesparces sub-
dividi, duccisque per divisionum puncca reccis D R E ad AC normalibus coc in-
scribi parabolis subalcernis posse recrangula E. DL, FDT, RPR, F. F K, reomnia
F. D T ducca in omnia P FR inscribanc corpori ex parabolis Cuhalcernis genieo ap
Sresacum parallelepipedorum defciens ab iplo corporenaco e parabolis quanTIca-
ce minoridacd C. Faccumigicur hoc sic: erir ergoaggresacum illu L paraltelepipe
dorum maius cxlindro. Duare si produeris lineis D F compleancur reccangul+ F. LI.
F HI parabole FC A circumlcripta; e reccangula FDI, F. D I ducra in reccan-
sula F. II, P FT, Producane agzrcgacum parallelepipedorum, eric hoc aggregacu mul.
romaius cxlindeo. (e d hoc aggresacum paralle lepipedoru, que niirum GUINECX
F DL, F FI. supra ostendi in prima parce demonstrationis eguari ropreraco paralle.
lepipedorum cxlinden inscripeorum. Ergo etiam hoc cxlindro maius cAt, pars luoco-
co, quodherinon porest. Non est ervo cylindrusminor corpore a parabolis producto.
sed neque maiorem cAe oltendimus. Pidem isiur xqualis est. Ouod erac demon-
Arandum.
Corollarium.
Odem dilcurlu demontenu eena lublcetta pacabolica DLLD. AtLl
dueca in se muruo aquale colidum producere sesmenco exlindrieo cujus balis est
sexmencum circularc B L. F. B, alcicudo AC.

## Folio 1133 — 1815201908:1190
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001190.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
QV ADR A FV RA CIRCYD.
P R. O P. OS TTIO LTF
Vinciam denno Caper rectZ A B duo quadrata A BC, ABD constru:
Dcta, e recta AB sic aequalis laceri recto parabolarum A F. C _e BR C
subalcerne collocararum, d communis veriusqueaxis AB, in quo sum
pris HTI d KL. aequalibus incer ses consticuantur E: HP, MIF, _ NK.
OLR ordinacim ad axem: denigue delcribarur circulus AvB Super dia-
merro AB, qui lineaS F. P, MF, N O, OR scceEin a v, 1, 3.
Dico superliciem LL av I ad Superticiem K AEL, noram habere ratio.
nem.
Demonstratio.
Demonstrarum est a corpori ex ductu plani F. FTIM inplanum HIP F F, aequalem
si. tuotur
esse parrem cxlindri super bah FP av Lconsticuram in alcirudine A B. Similices iusque C0
corpori ex ductu superticiei. NVK P O in superticiem RO R L, aequari eylindri paF- roll.
rem cuius basis est R AZF s alcicudo AB. sed demonstracum est b Corpora, qua
illis exlindricis parcibus eguancur incer se noram habere rationem. Igieur eriam par. b +. huiuss
res cylindrice, nocam incer se continenc rationem, se d parres cxlindrica, cum alci-
cudinenon discrepene, eandem incer se racionem habec quam bales HI avH,RAEL.
ergo eriam harum noca estratio. Ouod Fuir demonstrandum.
P R O POSITIO LILB
EOrcCaC candem proporrionem circuli ad figuram rectilineam ex.
Phibere.
EF
601.
  . et   . o  e  p e e e i   1 t      .  1 . .      1        t       a          e a   

## Folio 1134 — 1815201908:1191
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001191.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
ADR A FY R A CIRCYLI
Constructio e demonstratio.
Te quadrans circuli ABC divisus
bitariam recta BD, _ sumpEiSD F,
DE arcubus perimetro circuli coM.
melurabilibus qui incer le sinc aequa
les, demissilque perpendicularibuis
E C; F TI ad diamecrum IC, ponan-
TUFP B, F B. Inveniacur deinde arcus
KE a commensurabilis arCUI F F; CX
cuius exrremis punctis demista RN
LM Perpendiculares ad diamecrum
TC incercipiane rectam MN xqua-
lem rectae OFT. vel isiEUFAFCUS R A
aequalis cric arcui L I, vel maior, vel
minor. quod Eaequalis lc, isitur arcus
LK non Tolum eA commenlurabilis
arCuI F F, Sedb aequalis: cum MVI
Ponacuraqualis GTT, _ aFCHS AR X-
qualis P I, AICDEEE AECUS AF, F C. vn
deiceranda est constructio, doncc vel
AR arcusmaior (ICarcu L Ivel C CO-
ETAATCUS L LMAIOTAFCU AR. Sicigi-
EUF. AK arcusminor I I ee ducan-
Per I3. EDx FB, T B. OBonIAM PONIEUE ArCUS A R minor arcu LI, ergo c legmentum
115.
IsE huius. Y. M NK maius est sectOre P. B R. nota aucem est d proporciO (Cgmenti L. MNK ad
=20 huins. segmencum F C HIF, hoc es cad sectorem F. BF: noca cA praecerea racio sectoris
LBR ad sectorem H B. F, CHM ATCUS P K, P. F sine commensurabiles ex constru-
ctione. Igicur noca est eriam rario LM NK ad secorem L BK, que cum noca C
etiam excesus, quo P. M N R superarlecorem V. B K, norus cA; aC proprerca noca
est ctiam ratio lectoris F. B F ad rectilincum exceNum quo SESMENEuM L M N R
excedic (catorem LBR, (excelum aurem cum rectilincum esse posse parec, si iung2.
cur puncta L. R, d criangulo TBR ablcindatur crapezium aequale ex crapezio
L. K NM, adduco enim communi segmenco L. K, eric sector, segmenco _ illicrapezio
aequalis, quare reliquum seomenti eric excestus e quidem rectilincus) ee consequen-
ter nocaes racio corius dirculi ad idem rectilineum, quoniam arcus R F commensu-
rubilis ett perituetro circuli PAC ex constructione: quare peractum est, quod fuic
Beor2I
4143
Error. Non
quitur qui
nota
e statim 
nom Bonam
se tu
retur qua
deo noto
in ergo
rit differentia
impe
9
pati

## Folio 1135 — 1815201908:1192
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001192.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
EY ADR ATYRA CIRCY L. I
O5
e
Ationum AB ad C D, L F ad CHI ancecedentes e consequer
dancur vecunque in I, L, IE, MI.
es termini d
hemincer F. FadC Ilcandem elle, cum proportione qua repe
CK) Simulcumratione AI ac , d IB adKD (hoc est AB ad
KD) _ incerrationem F. L. ad C MI, _ L F ad CMI, (hOc CAF F ad C MI
unâ cum rarione F. L. ad L= LL, a L. L ad M HI: (hoc est F. F ad MI HI) X COn-
Dicoproportionem qua est incerrationes AB, C D _ rario-
ticur incer rationes AI ad C IE, IB ad CK (hoc est inter AB ad
ETa.
Demonstratio
DRopolicione oetauahuius est demonstracum racionem AB ad C. D, eandem esse
cumeacionibus AIadCR, IB ad C. K, smul cum racionibus AI ad KD, _IB
2d KD. Cimilicer cddem propol. c ubtac .C dd Cill, eadem exllac
cum racionibus F L ad GM, _I F dm simul cum racionibus F. L ad M FI, 8
ad CK, AT adK D, IB ad R B a LaS L P ad GM, I. F ad GM, FF 20
LF ad M HI, manitectum isicur est prepencnem racionis AB ad C D, adrarionem
E PadGFI, eandem eAe cum Plopencton gax eA incer rariones AL ad C K, lB
MFI LF ad MHL, es Concra. Quod erar demonstrandum.
Corollarium.
c colligitur quories comparaneur incer se ratio quanricacum AB, CD dt La
LFeioquancicacum F F, CTI, perraciones inventas incer parres modo astumplo in
concexeu propolicionis, E oltese lationesincet Palles tinus taclonis else cxde
eciam erit similicudo incer racionem A B. C.Da lalto L. P.CLd COHIEa.
cum racionibus quae indemut enc incet paltes altertus actbis, Cunenecessario
Ouod E aurem add aneur dux alix rariones N Oad F O, X R S ad I V, Fariores
vetoparcum nius proporcions Cotiueniane cum racionus palctos alcenus plo
Porcioms, cuncet de Pusmee eon proportiones ene mnes ioc cu P1o-
porcionem incer tatlone AB ad C.O. arationem l. l ad C ll, eandem elle cum
proporcione incerracionem NO ad P Q. e rarionem R5 ad IV.
o  e tu   t et  et e te   e t te e e ut .    e  tt   t te  et e  e a ut    se tte  t  e  e e e 1ta te 1  .   e   e   p     

## Folio 1136 — 1815201908:1193
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001193.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
QY ADRATYRA CIRCYLI.
PR OP OSITIO L. V
DArabola L. A B habeat aquales diamettos AD, BF, quas in F _ C,
L proporcionalicer dividane orthosonxe I FL, 116O.
Dico rectangula K F L, HCO este aequalia.
DEmonstracum reperiesin libro de patabola propoltione 45.
Obserua propropositionibus sequentibus.
Preuicaris causa paralle lepipeda quae ex ductu onius rectaneuli in alterum produentur, post-
hac duabus lirteris descenabimus. FXempli gratia paralle lepipedum quod signitur ex rectan-
sulo A ducto in rectangulum L, vocabimus parallelepipedum sive solidum A L.
Similiter brenitatis gratia solidum quod fit ex rectanculo aliauo ducto in seipsum unica tan-
rum lircera desenabitur exempli eratia parallelepipedum quod producitur ex t rectaneulo
inse ducto vocabimus solidum A.
PROPOSITIO LVI.
Neraparabolam do  constiture sinebine aquales diamerri a B, a d,
quas inx que multas parces equales diuidane para llelE lince Du, dC, Rc.
v,20, _c. ductisque lineolis ad diametros parallelis, Formencur rectan.
Sula A, C, D, F: C, tb L,K: P, Q, R, S: L, M, N, O, ex quibus in scipla du-
etis producantur (olida parallelepipeda A, C, D, E, ec.
Hlis ita consticuris s lumaneur ex Colidis A, C, D, E, L, MI, N, O, O, H,
TIE, P, O, R, 5, quacuor solida quaecunque exempli gratia A, O, P, L, hac
tamen lese vebina A e L; C, _ P consiltane circa rectas DF_, V BV, que
diameeros a B, c d proporcionalicer secent in F. X F.
Dicorationem lolidi A ad Colidum C este candem cum ratione Coli.
di P ad Colidum L.
Demon-

## Folio 1137 — 1815201908:1194
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001194.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
QV ADEATVRA CTREVI
Demonstratio.
Proce Fvestad P X. Erso de quadracum p F. est ad quadracum  F, requadra-
cum Fves ad quadracum Fn, sunc aucem hxc quadraca bases Tolidorum A, C, P, L
Ouare cum solida illa aequales habeane alcicudines F r, Fi a, cruncincer se ve quadea-
ca, adeoque solidum A, erit ad Colidum G; ve quadrarum pF. ad quadratum uF,
hioc est ve quadratum Fiv ad quadracum Fx, hoc est ve lolidum P ad Colidum L. F. a-
demerir in exreris demonstracio. PaTeE CrGOPFOPOATuI.
ROPOSITIO LV
Adem manenEC Kgura aNHIIaNEur quatuor que cunque Colida, exem-
spli olaria Colida A, C, C. L quorum bina A e L, C d P, prolareri-
bus habCANE FECTAS  L.n, il Fvqua diametros a B, a d proportionaliter
SCCCnEINF, ex F. Alum aneur aurem e alia quacuor Colida quacunque
exemp. grac. Colica D, I, R, N, modo etiam bina D ec N, I e R, consistane
super rectis diamerros proportionalicer secantibus.
Dicoproportionem quam haberrario Colidorum A _ C, ad rarionem
Colidorum P e L, eandem esse cum proportione quam habec racio Coli-
dorum D de Ladrarionem Colidorum R et HI.
Demonstratio.
Scentum e blactoeodorum A de C eandem ehle cum racione lolidorum B56 unins.
P _ T: ostensum quoque estcrationem Colidorum D ex T. candem esse cumra- cibid.
cione solicorum R et N, ratioigiur Cotidorum A et C, est ad rationem Colidorum P
_ L, verario solidorum B _c P, est ad racionem Colidorum R e N: hoc est proporcio
quam habetracio solidorum A e C, ad racionem Colidorum P et L, endom est cum
pro.
a         e ptet ete e tet u p te   te et t ste e  t et     e a e e t t  tte et ete    t   e   a et    e e  e t   st t 1  

## Folio 1138 — 1815201908:1195
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001195.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
2738
Duoderac demonstrandum.
QVADRAEVRA CIRCVEI
proporcone quan aberac ou L3 ad Laco oru 2 e 21
Corcturiam.
acu posicis quae in provosicione, per 58. libri prosrestionum eric quoque propor-
rione rationis lolidorum P’u le au actoe o L. a 1V.
Cciorationis Colidorum A e D, adracionem Colidorum C _ I. eadem cum propor-
PR O POSITIO LVIII
in rectanoula libi polica lubalterne B, Y, d, X, _ T, V, X, Y, produCAnECOM-
rectas Pu, Lo, quxe diameeros  B, c d proportionaliter secene in F _ F.
Dicorarionem Colidi AB ad solidum Ci Y eandem esse cumrarionelo.
lidieo adracionem Colidi Lr.
Idem positis que 50. huius rectangula A, C, D, E. irem G, FL, I, K, ducta
B.Z, producanc lolida L. , Mt, 187,  de Solida Po, Dn, RB, 52
Demde altumantur quaruor lolida qua cue esep. or. Tolida AB,
GT, Po, L_ BaC Camen legCVEBIHA H_ L u: G TX Po, Consistant circa
da AB, C Y, O d, EA, e Colida OT, HIV, IX, IE Y. Similiter rectangula L, M,
N, O, itemP, 9, R, S ducta in rectangula libi Cubalcerne poliTap, v, E, 5, _ 0n,
emonstratio.
FOlidum es inBestidem Cmenoe . aGuaesem ex ocena
miles per omnia lune tigurae amba Cola nimirum subalcerna policione differen-
ces, sed solidi ex A in P, balis eA rectangulum quod rectis DF, aZ CONFIHCTT. FrgO
idem rectangulum De, a2. criam basis est solidi AB. Fodem modo ostendam solidi
GT balim esle rectansulum rectis ib F, de p A contentum, solidi vero Po balim ese
rectangulum sub Fioe a F: Colidi denique L ubasim cNc rectangulum liit B X _ Z. 8.
15. buius. lam vero quiarectangula DEn i Fv a sineaequalia, exic p P ad V F, vE Fvad F. N h0C

## Folio 1139 — 1815201908:1196
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001196.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
12. 1
11
Er ADR A LVRA CTRCVL
2151
estracio DE ad t F equalis exieration Lo ad F u. Pari modo quia rectangulaco, Z pi
PAFa lune xqualia, eric recta ad L a lectam e A, ve recta A F ad rectam Z. p, hoc cstracio a Xbid
∞2 dd 8 A, par elt rationi AY ad Z P. Ergoracio compolica ex rarione p F. ad b F, et
ratione c = dd ∞ A, xequacur lalioni composice ex ratione Evad EX, ex rarione A Y
ad 2p: hoc eltracioreetanguli  P ex a2 ad rectangulum sub d F e ∞a Xqua
currationirectanguli sub Fva AL ad rectangulum sub FX _ Z p. Ouare cum(o.
lidorum AB, CTL, P∞. L u XGuae Sinc alcicudines F r, F a, bases vero, ve ostendisu-
pra, linc rectangula liib DF, c d 25 ub b F _ ∞ A (ub Fv_ AF Sub F X X Z P, ma-
intestum est rationem quoque loni AB ad solidum C T, ae qualem escracioni solidi
PROP OSITIO
L. 1X
Ildem policis: hoc est alumpris quaruor solidis quibuscunque, ex. graria
dColidis AB, G T, Po, Cp juxca decerminacionem in praecedenti exprectam;
allumatica ee alia glacuot tolida quacunque, exempligraria Colida Dd.
IX, RB, NE juxca candem dccerminarionem, ea nimirum lege vebinaDd
_ NZ: l 2, 1C a 1ZConsiltane circa rectas quae diametrosr B, c d pro-
Porrionalicer diuidane.
Dicoproportionem quam habet rario Colidorum AB de C T ad rario.
nem Colidorum Po ee L. ii, eandem esse cum proportione quam habetra-
eio lolidorum D d e I X ad rationem incer Colida R B e NE.
Demonstratio.
Scenslim cA bracionem Colidorum AB ex O F, eandem esse cum ratione Colido- b 5 P. huiuso
rum Po d Lu. Oensum c quoque est rationem Colidorum Dd et IX, can- c Ibid.
demelle cum ratione Colidorum RD ex NZ. Frgo rario Colidorum AB e GY, est
ad racionemortorum Po dLu veracio Colidorum Dd de IZ, est ad rarionem
Tolidorum R B et NYE: hoc est proporrio quam habet racio Colidorum AB X C Y
adrationem Colidorum Ps ex L u eadem est cum proporcione quam habet racio
solidorum Dd es IX, ad racionem Colidorum R6. ee NE. Quod erar demonttrandum.
Corollarium.
Ps ad solidum C p. Duod erar demonstrandum.
srellionum proporrionent eeue qua reperitur incerrarionem solidorum AB e
Dd ec racionem lolidorum CT, ex IX cundem esse cum proporcione rationis soli.
dorum Ps et RB, ad racionem Colidorum L pi _ D E
Ildem posicis quae in proposcione, lequicur ex tam demonstratis ex ex 18. libri pro-
P ROPOSITIO
L 210
1A, G, Ps L, _ AB, GT, Po, L HaSCM quatuor prima A, O, P, L, &
alia octo Tolida quae cunques iuxcd candem tamen dererminationem, ver-
Adem manenre figura, assumantur octo Colida, exempli graria Colida
quaruor alia AB, CT, Po, Lu consistane circa rectas ox, _ o, quae dia-
metros  B, a d proporrionalicer lccentin F. de F. Aumaneur aurem et
bi gratia Colida, D, I, R, N de Dd, IX, RB, NE
Dico proportionem que eleincer rationem Colidorum A d l, de rario-
nem Colidorum P _ L, esse ad bloportionem quae eAt incer rarionem Coli-
dorum De I, e racionem LolOum R _ N, ve eA proporciO InTCETa
tionem Colidorum AB e C L, u rarionem Colidorum Po ee L u, ad pro:
porrionem
i i          1 p .      .  1u   1    p     1 1        p .  u   t e pe s  . r  bi

## Folio 1140 — 1815201908:1197
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001197.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
40
2V ADR A TV R A CTACILL
portionem incer rarionem londotum  ce lallente tencerun
2 _ NE.
Demonstratio.
ar3. Muim. C
Scensum est= proporrionem rationis incer solida A de C, ad rarionem inter Coti-
da P ee C, candem esse cum proportione incer rarionem Colidorum D _ L, XxF2-
B5o. huim. tionem Colidorum R de N. Similicer ostensum est b proxortionem gux est inCexrA-
tionem Colidorum AB _ OT, de rarionem Colidorum Ps _ Lu, candem eNe cu
proporciore quam habecrario solidorum Dd e IZ, ad rationem Colidorum RB et
NTE. Ersoproporio quae cAincer racionem Colidorum A _ C e rationem Colido-
rum P e L, est ad proporcionem gua est incer rationem solidorum D St P, de racione
Colidorum R _ N, ve est proporcio incer rarionem Colidorum AB ec G T, e rationem
Colidorum Ps ex L. u, ad proportionem qua est incer racionem lolidorum Dd e IX,
ex racionem Colidorum RB e NE. Quod erat demonAtrandum.
Corollarium.
TIdem positis qua in proposicione: eodem plane diseursu demonsrabimus ex
Corollariis 57. 859. eriam proportionem qux est incer raciones Colidorum A e
D, ac racionem solicorum C e I, esse ad proporcionem quae est incer rarionem soli.
dorum P X R, e racionem Colidorum P e N, ve est proporcio incerracionem soli-
dorum AB e D d, e racionem solidorum CT de IX ad proporcionem qua est in-
cer rationem Colidorum Po ex RB, e rarionem Colidorum L. p d H E.
PR OPOSTFIO LZI.
IIdemmanentibus:
Dicoquodrario qua eltincer aggregarum lolidorum A, C, D, L. e
agoregatum Colidorum O, FI, I, K, Sic ad rationem incer aggresatum COF-
Pocum P, O. R, S, ad aegrcgarum corporum L, MI, N, O ve ratio agpregari
COrpOruM AB, C 7, Dd, P. X ad agoregacum Colidorum C T, HV, IX, K Y
est 2d rationem incer aggregarum corporum Po, Dn, RB, 5Z, e agoresa-
rum corporum LK, M, NE, Oe.
Desto

## Folio 1141 — 1815201908:1198
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001198.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
YADR A ZVRA
Demonstratio.
Fxima est per propolitionem lecundam Archimedis de Conoid. applicando
proporcomos acto Ca eua tolis rarionibus quancicarum simplicium accribuie
Archimedes.
Alcera vero per provosiciones 4. Lemmaricam huiuslibri.
Prima leieur viam sic inire licebic, quam eamE postea anciori discursuabsoluemus.
Proporcio quae estincer rariones corporum A ad C, d C ad FI, eadem  eA cum prO 2 Pacet ex
portione que est inter raciones corporum PadI, ec 9 adM. Icem proporcio quae cst s7 huius
incer raciones corporum C ad II, _ D ad I, eadem est cum proportione quae est incex permulan-
raciones corporum ( ad MI, ex R ad IY: isitur proporcio qua Clt InECE PaTIONCS COE
Porum Aad C, d C ad FI, ad proporcionem que est incer raciones corporuim P’ad
Liec OadM, eA re proporrio que est incer tariones corporu Cad FI. ee D ad I, ad pro-
porrionem quxe est inter rationes corporum ad MI, _ R ad N. Igicur B permucando b collisi-
proportioqus estincer rationes corporum A ad C, _i Cad FI, ad proporrionem qua surcxt
oporciona
est incer rationes corporum C a d FI, e D ad J, est ve proporcio que est interrationes 
corporum P a+L, ex 2 ad M, ad proportionem qua csincer raciones corporum  ad
M, et R dd NV. Simili mado ostendetur quodproporcio qux est incer rationes corpO-
rum C ad FI, _ D ad I, ad proportionem quae estincer rariones corporum D ad I. et
F, adK, sir re proporrio que est incer rariones corporum 7 ad M, _ R adN, est ad
proportionem qux estincerrationes corporum R ad N, et 5 adO.
Praecerea ostensum cstc quod proporcio que cA incer rationes corporum A ad C, c Patet ex
e Cad I, lic ad proporcionem quae est incer raciones corporum Pad L, et 9), ad M, VE
proporcio quae est incer raciones corporum AB ad C Y, de C y ad FTV, cA ad prOPOF- do.
tionem quae est incer tariones corporum PoadL u, de O n 2d MIr. Psirur d permitean- dCollise et
+ propor.
do proporcio qua est incerrationes corporum Aad C, e C ad FI, ad proporrionem iionalic.
ouxe eAt incerraciones corporum AB, ad Y, e C r. ad FIV, est, reproporcio que cst
incerraciones corporum P ad L, ex 9ad M, ad proporrionem quae est incor cationes
corporum lo, adl pu, e Qn adHIV.
Simili prortus racione demonstrabicur quod proporcto quxe CAt inCeF FatiOneS COr-
Porum Cad IT. _ D ad I, ad proporcionem quae estincer rariones corporum C y ad
HIV, _ D dad LX, sic ve proporrio quae estincerraciones corporu Oad M, ex R ad H.
est ad proporcionem quae e incer rariones corporum On adMv, de Kb adNE: icem
quod proporrio quae cst incer rationes corporum D adI, de P. ad R, ad proporcionem
quae est incerrationes corporum D dadIX, e P N ad K Y, sic ve proporcio quae est in-
terraciones corporum R ad N, et SadO, eAt ad proporrionem que est inxer rationes
corporum RB ad NZ, et 5Z adOe.
Igicur quemadmodum interc Archimedes quod omnes quancicaces primx simul
lumpeX ad OMNES qUanCIAcES se cun das simuL LumPEAS, SITEVE omneS Quantitatescer
Irpliciviahanc proposicionem demonstrabimus.
es 

## Folio 1142 — 1815201908:1199
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001199.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
1a2
EV ADRATVRA CIRCVLI
Fix simuLupex ad omnes quancitates quareas simul sumpras, ita quoque codem
porum a 2dC adThheme AHL. aDad1. HomD2aL. a L. adR, HHL2dOM-
ad t ri oade earst   eit idi blai leate alt ottieo lactolilo cbtcum
discursu interimas guocoutes proporcnes adflesaca qua lmet lalionesto.
irem OadM, L R ad N, item R ad H L S ad (), re proportiones omnes egre-
OgEX QuX TunEineer rationeS Corporu AB ad C L. d C Y ALL V, HCML. AIILLV5
de Ddad IZ Icem Ddad IZ, X F N AAR Y, SunEad OMNES PFOPOREIONC,S dBSTCBALds
quae suricincet raciones corporum Ps 2d C i, de On ad Mr, irem On dd, ce L
2d NZ, ircH RD ad NZ, X 52 ad Oe.
Cumvels proporrionem quae est incerrationes corporum Aad G, et C ad LT Con-
sticuane bina raciones corporum Aad C dC dd eurasartas proporciones
nes proportiones sgresacas quae sune incer rariones corporum P ad L, et 9 ad NI.
binx semperractones collcellale, celam lecemcteur quod omnes tactones corpo.
rum quae proportionesillas quate COMIHUME, LCIHCCL PATIOnES COrpOruM A
ad G, C adFI, Dad I, F ad Lts pa,  ae actees corporu L AL al
M. R ad NI. S ad O, simul sumpras, reomnes rationes corporum AB ad C F, C Y
P.6 al

## Folio 1143 — 1815201908:1200
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001200.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
EY ADR AL +RA CTKC V
I Sinc cermini ancccEdeHces, Corpors vero siue rermini C, FI, T, K sine consequen-
es; icem in rationibus corporum P Ad F, O ad MI, R ad RY; S ad O eodem modo cor-
N3O ricem consequencium; idemque in aliis aggregaris racionum inveniaeur, e
termini ancecedences sinc corpora AB, Cy Dd; F n, termini vero consequences line
COrpOTA G T, TIV, I Z, K Y; icem in Guarroagoresato racionum cOrpOTR P∞,On, RB,
S Z. vices ancccedentium obcinene, vel _ corpora L u, MV, NE, Oe consequencium.
Igicur rationsgresaci solidorum A, C, B, F, ad aggregacum Colidorum G, FL, I, K, est
adrationem aggregati solidorum P, R, S, ad agorcgacum Colidorum L, MI, N, O.
verocioageregaci lolidorum AB, Cγ, Dd, F. n ad ageregacum solidorum C T. HI V
IZ, K Y, est ad racionem aggres alttolidorum PomR B, SZ, ad aggrCsatum (OII
Po ad Cu, On ad DEr, RB ad NZ. SZ adOe simul sumpeaS. Cum vero rationes
A ad C, C ad FI, D ad I, F adK, AC RncCOnCICUEX DE OmMid COFPOTA A3 C3D.
Pora PG. R, S, terminorum ancecedentium locum obciniene, vei de CorpOraL, MI.
dorum L u, MIVNVE, Oe. Ouod crac demonstrandum.
Demonstratio facilior.
odiam per proposiciones proxorcionum absoluimus, Facilius torrasse per nra
Lxocciones nudas declarabitur, caciliusque pacebie Archimedis discursum ad un
suemtlle obscruacum; veremmipse ex racionibus qua semper duas quancirares
protermints hiabene, terminorum sive quancicacuni combinarionem invenie; ica ee
nos exproportionibus qua semper duasraciones concinene, iplas raciones combina-
bimus, sicque combinaras cum aliis combinaris hiuc asorcsaris quancirarum racioni-
buscomparabims.
Rario corporis Aad G, d eadem est cumtatione corporis P ad L. icem ratio corpo.
Pet
tis C ad FI, eadem cum racione corporis O ad M. Tgirur proporrio que est incer ra- huius.
tiones corporum A ad Ci, e C ad FI, eadem cA cum proporrione qua est incer ratio.
nescorporum P ad L, 8 9 ad MI. huc racio corporis A ad C, es ad rationem cor-
poris C ad II, ve racio corporis P ad I, est ad rarionem corporis  adHt. Simi-
licer octendetur quod racio corporis C ad FI, ad racionem corporis D ad I sic ve ra-
tio corporis O ad M ad racionem cotporis R ad NV. Denique ostendetur quod rario
corporis D ad I, ad rationem corporis E ad R sic veracio corporis R adN, cA ad ra-
tionem corporis Sad O. Aeque sic primam parrem habemus constructionis Aechi-
medex. lcas ad lecundam sic Procedemus.
Racio corporum AB ad CT, eadem b est cum rarione corporum Po ad T p, _C Fa- b,8. huiusi
eio corporum Aad C, etiam eadem erat cum ratione corporis P ad L. leaque rario
corporum Aad C, est ad racionem corporum P ad L, veratio corporum ABad CT,
est adrationem corporum Psad Lu. igicur cpermurandorario corporum A ad C, c Collige ex
est ad rationem corporis AB ad C Y verario corporis P ad L, ad rationem corporis 1+ Propor.
P0ad Lu. eodem modo ostendetur rario corporis C ad FI, ese ad rationem cOr
poris CY ad HIV, veracio corporis  ad M, es ad rationem corporis In ad Mr.
Irem ratio corporis D ad T, ad racione corporis D dad IX, est ve racio corporis R ad
N, ad racionem corporis R B ad NZ. Denique ratio corporis F adR, elt ad rario-
nem corporis F n ad K Y, veracio corporis S adO, cA ad ratione corporis SZ ad Oe
Igicur vei Aechimedes de quanciratibus, ita ex nos de racionibus quancitarum in
Ferimus, nempe quod omnes rationes quancicacun A ad C, C ad FI, D ad I, F. ad R.
sine ad omnes raciones quancicacum Pad L, O adM, R ad NT, S ad Oirci omnes rario-
nesquanciracum ABad G T, C y ad FIV, Ddad IZ, F n ad K Y, Cunc adomnesrario-
Cam vero rationes corporum A ad C, C ad FI, D adI; F ad K Cc sint constiturx
VE OMMIA COTPOTA A, C, D, F: Sine lClancecCdenCeS, COrpOta verO C, FI, L. K Cine
terminiconlequences; idemque in lenjuis racionibus obscruncum sic: igieur racio
aggresacblidorum A, C, D, P. ad asGregacum Colidorum C, TI, I, K eAt ad racionem
ageresalttollaorum P, 9. R, S. alasgregacum Colidorum L, MI. N, O: veracio agyrc-
sacilolidorum AB, C7, D d, C. d, actaBregarum solidorum OT, TTV, IZ, K Y est ad
rationem agoresari solidorum Po, nRB,SL, ad asoregacum Colidorum L pu MV.
pon aliet.
Satitet
nes quancicacum P8 2d L u, OnadMIv, RB adNE, SZ adOe.
E. D8. Quodetat demota.
tstorit1
   t . . .  . 1.   1     . 1t   1  i  .  t.  

## Folio 1144 — 1815201908:1201
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001201.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
144
QV ADR A TVRA CTRCV
Alitet.
1
Odemus de alectam ex Leatica propolicione 54. huius libri hac me-
Lchodo qua similirer inferemus eandem conclutionem quam priore discurtu in-
culimmus.
Proporrio rationis inter Colida A ex C, ad rarionem incer Colida P _ L, eadem
57. huius. esa cum proportione racionis incer solida C _ F, ad rationem incer Colida ) et M,
pracerea proporrio rarionisinter A e C Tolida ad racionem Colidorum P de L, cadem
b est cum proporrione rationis quae est incer solida D ex I, ad racionem inter Colida R
_ NV. VIcerius proporcio rationis inrer Colida A _ C, ad rationem inter Colida P e L,
est eadem ccum proportione racionis Colidorum B de R, ad rarionem Colidorum S e
O acquehuersque proportio racionis incer Colida A d G, ad rarionem solidorum
P ee L, comparaca est cum omnibus aliis cum quibus conferri porest, itare semper
ancccedencis racionem obtincar; reigicur discursum prosequamur, asumemus proxi-
me sequences rationes quae ricem ancecedencis obrineane, dicendo: proporrorarionis
incer solida C _ FI, ad racionem solidorum 9 e M, eadem est cum proporrione
incer solida D e I, ad rarionem solidorum R e N, e proporcio icerum rationis lo-
lidorum C _ FI. ad rarionem solidorum O d M, eadem est cum proportione ra-
cionis Tolidorum B. ex K, adrarionem solidorum S ex 9. Denuo proportio ratio-
nissolidorum C _ TI. ad racionem Colidorum  e M; cadem eA cum PTOPOT.
cione racionis Colidorum A, C, ad P. I Colidorum racionem; acque hoc modo con-
culimus proportionem racionis solidorum C ex II, ad rationem solidorum 9 de M,
cum reliquis rarionibus concedendo illi semper locum ancecedencis, rectac isiene
idipsum pexstemus de aliis quae remanene, dicendo irerum: proporcio racionis toli-
dorum D. I ad racionem lolidorum R, N eadem est cum proporrione racionis lo-
lidorum R, K ad 5.O solidorum rationem; icem proporrio rationis incer Polida D
e I, adracionem incer solida R et NV, eadem eA cum proportione rationis inter
solida A, C, ad rarionem solidorum P _c L, e eadem cum proporeione racionis
incer solida C _ HI, ad racionem incer Colida  d M. Tandem ve hanc parrem
expediamus dicemus proporrionem raciomsincer Tolida R, R ad rarionem incer lo-
lida S, _ O, eandem esse cum proporcione racionis Colidorum A, C adracionem
P. L, e cum proporrionerarionis C, H adrationem 9. M; _ cum proporrione
racionis D, E ad raCIONem R, N.
H0c
8 1bid.
Ibid

## Folio 1145 — 1815201908:1202
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001202.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
r ADRAIVRA CTKCrI
124)
quod ploportio rationis inter adstesarum omnium Colidorum A, C, D. P. X aggrC.
sacum solicor B C a Adallonesinter asgregatum omnium solidorum P, 
R, S, et degregatum solidorum L. M, NV, O, eadem sE cum proportione incer ratio-
nes parcium iam numeratarum qua antecedencum loca obrinebant ee rarionem
Ladem dilcurrendi mechodo, sed Per 59. huius eric proportio rationis solidorum
AB, e C T, ad rationem solidorum Po, e Lu eadem cum proportione rationis Io-
lidorun C r ex HIV ad rationem ohaum On d MV, irem cum proportione ra
omnibus reliquis, idemq hat circa proporcione rationu incer (olida Dd ex IZ, RB
quod proporcio inter rariones aggregari primi ad lecundum aggregatum, ee rario.
nesagstChacitercii ad quarrum cadeeu proportione inter rationes, qua Tune
Oud Vero demonstrarum esta quod proporrio inter rationem solidorum A ex C, 260 huint.
rum Cy X FIV, e rationem Colidorum In ec Mr, acque ita consequenter de reli-
nis quae est incer aggregata Colidorum A, C, D, F _ Tolidorum C1, TI. I. R ad rationem
inter asoresacum lolidorum AB, C Y. DB,C. n, d aggregarum Colidorum C T, ITV.
lR. R Padracionem inter asgresarum solidorum P0, On, R B, SZ. _ aggregatum
Hoc aurem posito intero exri Lemmatiex proposirionis prius cicatx buius libri
parcium qua consequentis rices supplebant.
cionis solidorum Dd, e IZ ad rationem Colidorum R B, ex NE; item cum proportio.
nerationis solidorum P n _ K Z, ad rationem Colidorum S Z e Oe. Similicer (
proporcio rationum qua lunt inter Tolida C y ec IIV: On e MV comparetur cum
e NE exiltentiuirei e circa proportionerationuinter Tolida P n _ R Y: SZ XOe
semper reperietur ae qualicas line identitas incer rarionum proportiones in quacun-
que comparatione. Duare licebirinterre idem quod priusconclusum est, nimirum
inter partes aggregatorum obrinentes vices ancecedentium terminorum ex ratio
nesque sunt inter parres aggresacorum qua loca consequentium continebane.
ecrationem solidorum P _ L, sic ad proporcionem inter rarionem solidorum C et
HI, _ rationem solidorum  e M, vrest proportio inter rarionem solidorum AB
e OT, _ rationem Colidorum Po e Luad proportionem inter rarionem solido-
quis, e hoc quidem in omni subdivitione diametrorum parabola, intero secundu
mencem propolicionis quadrasesimae sexre libri de ductibus quod proportiorario-
aBGregatOruMP, Q. R. SX L. M, N, O, eadem sic cum proportione rationis qua est
colidorum P. je, M v, IY5, Oe. Duod fuic demonstrandum.
P ROP
C
5
AdeM AGUTR manenE
Dico racionem quae ele et lesa fatabonea ebi a
ibF do ducta in scipla, esse ad racteneme epercu et patavoale-
omenea dFvo _ BE no, etiam ducta inlcipla, ve rario incer legmenta
Parabolica PF Bib _ Y F do, ducta in leipsa subalterne, est ad rarionem
incer legmenca parabolicad Da p ae.
Demonpratio.
Stensum est praecedenti demonstratione rationem inter paralie le  C L
R, S et parallelepipeda L, MI. NV, O, veratioInter parallelepipeda AB, C y, Dd, F. n
e parallelepipeda GT, HIV, IZ. K L eA ad rarione inter paraneteeu 203
RB, SZ, ad parallelepipedta L po, MV, NVE, Oe. acque hoc  Guas uele
ctarum P. B, F d incelligendum est ex vi discurtus in demonstratione posiri: cum
isitur continuatis subdinisionibus auferatur semper plus dimidio resdui corpOrum  procol
eorum quibus paralle lepipeca inscribuntur. ve demonstratum libro de ductibus, 0li- g2. 8 45
quec ex discurlu propolicionis 45. eodem libro demonstrara rarionenoue In-
D, F. _ parallelepipeda C, FB IK, esse adrarionem inter parallelepipeda P, O
IeT F. PY B in se ductu aL   o
uuctum
 i  i s u e. i .  11 il  ute      1s       s  1it t  t. . . 1e 1 p. 1  1e  1  l 11

## Folio 1146 — 1815201908:1203
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001203.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
a 161. duc
D Similice
stendicur
OV ADR A TVR. A CFR CV.K I.
ducth _ P. XvB, ductum in se verario corundé segmentorum p R B  d al F d d, sub.
alcerne in le ductorum est ad rationem eorundem rursus segmencoruM d Los a
1146
E Bux, in se ductorum adanceeoec eotandum.
eROPOSITIO: L.XIII
 Sic aquidistans C 61.
Oporteat aurem fgura ex plano Peste le cuela a guale patalle.
lepipeaum extle.
IIE parabolearis AB, ad quem posicx lincordinarim DE; HF, axi ve:
Occurrens ordinatim politis in C de l.
Constructio ex demonstratio.
Flacrec L aquasaerirecto quod axi A B inseruic: Potica deinde RL oEdi-
nacim ad axem ducatuE A P. quX SCCCE FTF, D R in punctis N eE MI, cricigicue
aprisma basim habens criangulum A NIB ec alcicudinem AK, aequale corporiquod
ACCx AFID B parabola in se ducta, d consequencer figura Colida habens basim
NOBM _ alcicudinem AR, aequalis est corpori quod sc ex ductu FTOBD in sc-
ipsum ducto. sed FOB D in sc ductum (hoc est, b re iam ostendi O N N B ductum
oc 199. au= AUMCM A R) L quaC CAc FT CID, ducto in se, simul cum COB Iin se duao,
oisitu  mu cum HOFD, bisducto in C OB I. Igitur cum CO BF in sc ductum paral-
elexipedum extibeac, cum HIOTD, ductum in GOB L, corpusproducat quod
nocam haber balim e alciclidinem; E ex Colido cuius cAt bas ONMB, _ alcicudo
AR, auterantur parces qua Hnc aequales corporibus quae fune ex GOB T, in se ducto
_ Cx HTOTD in ipsum C ODLbis, residuum ex corpore habenre balimNOBH
e alcicudinem AK, crit L Guale solido quod hc ex HIC, FD in Cc ducto. igicur ligure
explanO HCID ile luct_ aquale paralse lexipe dum extibuimus. quod prxeltare
eROPOSITIO LXI
Oemoporreat paldre de parre parabolae OF F. L.
Constructio es demonstratio.
Voniam AGUTA OF R B XqUAAS CIEHGOrE OH DB, d eum sic demonsteacum
dhouram FTO BD auctam in se aequalem esse pritmarihrabeci baum NIS BM.
e alticudinem AK. ctiam Aa OFC B M sC cucta em prismari sub bal
NYOBM, ex alcicudine AR aquaIS CriC: CILVETOHDUFA CT H F L, M le ducta xqua-
199. lis c C:OBT in se ducto sim  Cum OF F. B, ducto in le rna cum GOB1, o M
dut. in superticiem OF L. b. Bul cum GOBt, ductum in se paralle lepipccum Hic, d
OFF. B
239. Pa.
OporruiE.
dEX 161.
suct.
Similite
stendie

## Folio 1147 — 1815201908:1204
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001204.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
AADRATDRA CIREVLI
OFEB ductu in se aquecur prilimalt d Vul N OBM, ee alcicudinc A L d OFLB
ducluim in GOBI aequare Hl Corpori habenci criangulum aequale Agure OLLB,
(quam ad rectilineam reduximus 2) ex elcicudine GO, manifeltum cI EOEUM COFDUS a Part. S
ex ductu plani O F P. L In sciplum reductum ese ad Colidum baleos figurx rectilince parab.
e alcirudinis nOcx. quod praestare oporruit.
PROP OSI FI
Elumpca figuta popontionis 50.
O
L X V
Dicoproporcienem qua csincerratione solidi ex plano D L. B)
patabolico in se ducto ad Tolidum ex plano parabolico Fil a d ducto in
Le, ccincer rarioneht tondi ex ductu plani F dou in se ducti ad Colidum ex
ductu plant patabolet Lno B in sciplumnoram ese.
Demonstratio.
DRCCedenri enim propolionE reducta lurE SinGUIA CA COrPOTa adt prilmata qux ba-
sim habene rectilineam e alcieudinem nocam. ledinter quacuor calia corpora pro
portionalicas noca elt. Per ca qux docuimus libro de proporcionalicaeibus B. IBItuF CF. B Prop 17.
ium proporcionalicas incer corpora illis aequalia noca exit. Duod tuir demonctrandu.
05
F1O LXVI
Elumpea cadem Houra.
Vi
LL Dicoproporcichem quae est incer rationem Colidi ex plano DE B i
ducto in sciplum subalcene ad Colidum quod sic ex Cuperticieis L. d ol in (e
subalterne duct a, e incer rationem Colidi genic ex ductu subalcerno in se
plani Fdouad loluu quod oricur ex ductu plani B L. uo lubalcerne in
Demonstratio.
Demonstrarum est proposic. 61. Huus quadraturx candem esse propertionalicare
incer corpora que oriuntur ex planis pE Bi, F  d Fd5vde  alctis
d incellolida, que tiunc exii(dem planis ductis in se ubalcerne. led propolciou pla-
cedenctoltensum clt, nocam esse proporrionalicacem incer corpora quae ortene es
Planis p E B i, F + sd, Le 5b, _ B F no in se ductis. Igicur noca cric proporcioiali-
ias quae resulcar in corporibus que tiunc ex ductu carum dem superticierum in se sub-
alcerne. Duod tuic demonstrandum.
D LXV
X
DROPOS
TInE A e B verriceS PaTAVOTAT LMBAITeKHC POrCatE aGuatI
le, Molam elle.
Deductisque ordinarim BD, A F ad axem AB, super A B dolcribacur
circulus AC B, _ constica oaal 6L, M.
Dicorectangulum C F. LadM FO, eandem habere cationem quam
Demon-
trabet C a P L. adt Bt.
S  .     i    .   .       .  e    1  e 1  te    1  .     .   t s .    .    te  ale n    pint

## Folio 1148 — 1815201908:1205
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001205.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
QV ADR A FVR A CtR CVLL
Demonstratio.
Ostensum
demo
Brop. 143.
dud.
lane BR, AS aequales A B, quibus ordinacim positis ad axes A B, B A, describan
cur parabola ARR, BN S habences axem AB, crit rectangulo AB, P F Xgnale
rectangulum R F II, e rectansulo AB, D F aequale rectansulu I. FN. led veP F,
ad OF, ita rectangulum AB, PF, ad rectangulum A B, O F. ergO vE PF ad OF
sic rectangulum KF. II ad rectangulum I. FN. lam vero ve E ad MP, ica cAR F
ad LF, _ vE es F: I ad FO, ita F FY est ad FNI. Igitur est rectangulum R F IF 2c
P F N, verectangulum C F. Iad M F O, cum Achorum rectangulorum rario com
polica exiiidem racionibus. Tgirur cl cclangulum C F. L ad MI L O, ve linea PF ad
OF lineam: Ouod Fuit demonstrandum.
II AC aa PaC aQuaLIUM LUBALECrNE POLIEaTUI ACD, et
D LMN, ee applicatis ad axem ordinarim rectis CEN, DBM, super
AC hacCemicirculus ASL, secans ordinatim policas productas in S _R.
Fiac demum rectangulo C F. N a quale rectansulum (uper SF e T.
Dico segmencum circulare
ductum in alcicudinem T, X-
quari seomento parabolico
CDBE. ducto in lesmencum
EBMN: imotocus semicircu.
lus ductus in alcicudinem T.
aequatur cori parabola AV L.
in se ductae Tubalcernc.
Demonstratio
PROPOSTTIO LXVIII.
Voniam ve SF ad R B. b ita eR
At d CL. L a DBM.
_ VE SF ad RB, ita rectangulun
SF. T ad rectangulum RB L, cric
rectangulum S F T ex conttr. eque
Mt rectangulo C BN, cciam rectan.
rectangutum SF T ad rectangulio
RBF, De rectangulum CF N ad
rectangulum DBM. Ouare cum
eutum RB F aquarur rectangulo DB d quia semper concinsis, circa om.
ntAFC.

## Folio 1149 — 1815201908:1206
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001206.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
124G
OY ADRATVRA CTRCVLI.
piarectana ata Guoccungae canaem aucaneur parallelx, eodem plane mcta
quorsi sumus in quadeacura prima propolic. Sr. _e aliquoc eam praecedécibus demon-
Arabiinus C F BD, ductum in F. NMB aquale corpus eficere Colido quod Ac CX
SFBR, ducto in alcicudinem T: imo cocam parabolam AV I. ductam in para-
bolam eotam AL Z., aequale corpus producere cxlindro qui sic ex lemicirculo
ASA T in alcirudinem Y. Ouod erar demonstrandum.
PR OPOSILAO LXIX.
VIc parabola AC V axchhabens AL, qualece ordinacim polica
ACEI, VDIL. PorauGuC F II parallela axi.
Oporcear solido quod tir ex Pegmenro parabolico CFHl n le lub-
alcerre ducto, exhibere aquale solidum cxlindricum cuius balis sc le-
smencum aliquod cireulare.
Conpru uonsiratio.
LFI, BR, agualeS BMT, L. NI: cum
Facta N P aequali R FT, POnaEuT PO
parallela aXi. crune igitur puncta
T. MN ad Parabolam, legmencum-
que parabolicum P NMTO aequale
erir aC SmilC sEGIMCHEO D CF TT, _
policum subalcerne. Deinde Super
AL delcribe circulum, cuiOCEUE-
TANEF: C, BD in S eC R: X LUPCF
recta SF. _ quadam alia T, haErC-
etangulum aequale ei quod rectis
CE, F. Ncontinetur, Crit igIEuF per
Praeced. legmentum parabolicum
CFBD in se ductum subalcerne,
hoc est in E DYAIB, SCOmenEuM X-
quale segmenro circulari SF BR,
ducto in alcicudinem T. Acquile
omencum parabolicum CFBD
ductum in E NTM B, XgnacUE a CC.
BICHEOFEBTI, ducto in F NMB,
_ leGIeNIO DCFII; ducto in
FP OB, Vnacum DCF Hauctoin PNM O. eroo naC ea conda qua mimium 
AINE Cx HF DELAACIOMM L NML B,CZDCEAIMLEOB; CADCFHMMIIHMOiigq
e
Simul sumpea aequaneur (olido quod sc ex S F. B R ducto in alcicudine P. Ia vero quo. quarca 2.
niam parabolicum sermencum C F. B D, breduximus ad rectitineum, eciam Colidum b Parse s.
ex F F BFI in F. DTM B, reductum est ad parallelepipedum. Fiacioicurparallelexi- Parab.
Dedum alcicudinem habens T, xequa le solido exF F. B FI in F. N M B; quod quiaiam
oltendiminus esse solido ex SE BR, ducto in alticudinem T, cciam parallelepipedu
ipsiaquale in Y alcirudine minus est (olido ex SFBR in alcicudine Y. ac proin-
indecius basis eric minor plano S F BR. Sic igicur basisilla segmencum BFB d. Prx-
cerea quoniam termencum DCH redeos ad lecmct, eelat toncum ex cibid
DCFHI in F POB, ad parallelepipedu redactum est. Fiac ergo parallelepipedum
in alcieudine L. Xquale Tonoex BCFIL FPOB. Homamane oltendi lu
pra StBKCin T, aequari LL BHl in L.NMB. aBCFHMEFOB, Macum
DCFUMENNO: cAGHCBLBdI L. aguaODR LLBLLMIBAIMB.
manifestum est soliclum ex SBdR in Y, equari Colido ex CFlD in LlOB.
rua cum DCF EI in P NM O. ergo parallelexipedum quod paulo ance in alcicu
e
E
dinc
a Demon-
strucur
imiliter ac
GlaF L. L, aqualiS AB, d rectis
l   at  e  et e  u e te  te ete  e   et     e  te   et te  t te  ste  e  e te e  s et   u e  o e t pe  t  e    s e   r 1s e  p 11

## Folio 1150 — 1815201908:1207
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001207.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
QYADRATVRA CIF
dinc L, Factum est xequale olido ex DC FFI in B P O B, minus est solido exB Bd R
in T, ac proinde e balis eius minor elt plato SBdR. licigicur basis illa rectitineum
1150
PNM O, hoc ek solido quod ACex DC FFL in se ducto subalterne. Fecimus ergo
gisod erac poltulacum.
_ DCFA in F, POB, una cum DCFCMPNMO. Cuncque Colidi ex SV BR
in T, Parres due, nimirum BF Bd in l, e BdLC I L, aequales lolidis Fi R B II
in F NATB, _ DCFFI inFP OB. Erit quoque solidi ex S E B R in Prehduum.
BdZ C. Ouoniam isiCUT EOCUM S F B R ductuI in F, _QUATIE F E B FT In B N M B,
nempe 91q HC ex SC. X R in alcicuMIHCM L, eequale ei quod AE CX DCFFI in
PROPOSIFIO LXX
TUIdeM Dosicis: Oportent Tolido quod scex seomeneo varabolico FTIHI
Linse ducto subalcerne, hoc est ducto in segmentu FNMFI, extribere
aquale solidum exlindricum cuius balis sic Termentum aliquod circula-
re, alcicudo rero Y, cadem nempe que luperiori propolicione repercatuie.
Constructio ex demonstratio.
DEanU CFHD, hOC CAPTKO.
ductu in PNM O, aequacur pl2.
no SC X R ducto in olcicudinemF.
per praecedent. ee quia scomencum
PTKO reduximus aad rectilineu,
etiam Colidum quod Ac ex PIKO
in FPOMI redactum est ad paralle-
lepipedum. Fiac igicur ips aequale
parallelexipedum cuius alcicudo AC
T, balis vero rectilineum, exempli
Bratia CBdX. Rurtum quia B re
duximus ad rectilincum porrionem
Parabolicam FPKII, Colidum quo-
QUC nACUM Ex EPOHIIn FIKHI.
redactum est ad parallelexipedum.
Fiac igicur ipsi xquale parallelepi-
Dedum cuius alcicudo (c P, basis re-
ro rectilincum BEr d. Fria igicue
Colida, qux nimir HUINECx SCZK
in Y, Cx CBdX in P, ex BE n d in
Tihoc est Colidum quod producieur
ex Tegmenco circulati EOTO SR NE
in alciebaem T, aquacurertouS IOHaIS GUEHUNE Ex PIR O In PNMO, ex PIKO
In FPOHT. ex FPOAm ENM EI. Acqui solidum ex PIK O in PNM O, cum Coli-
dn. PTKO in FPOMIThoc eA Tolidum ex P eK O FNMH) vua cum Colido ex
C DmOn- FPOHT In FNMEI, aequancur esolidoquod producieur ex FIKHI, in sc ducto
racur ex subalcerne sive in planum FNMHI. ergo sesmencum cylindritorme quod sc ex
1tta 2.2
1a2.
orquar. SR x E in alcicudinem Y ducto, aequarur solido quod sic ex segnenco parabolico
FIKHI in se duao subalcemS. exhibuimuS erso quod pecebatuI.

## Folio 1151 — 1815201908:1208
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001208.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
eDADRATVRA CIRCML
P R O P, OS ITIO LZZI.
Ir A B axis parabolx AOI, _ recta DE bitariam diuisa in F, ponan-
FD, L
cer lc
Deur ordinacim D G, F FI, E. I quae incercipiant aequales diametri partes
Denique consticuancur K L, M N axi x quidistances equales in-
Dico figuram OGFIL maiorenteMHBaLA LLLLLI, a MMMMILET COI
e 200
pus ex ductu Oe, i de Ilatus elle loldo quod tr ex ductu PHIN
Demonstratio.
Y
Voniam DF, FF ex hypochesi aequales sunE, etiam O L, P N aequales ertiE. sune
Laurem _ cOrX R L. M I ex hypochesi aequales. ergo criam R O, MIP aequalesc-
runc. rectanoula isitur R, TIP Oasune xqualia. erGOVE FTP ad CO, ACO R 255. buins
ad PO. quare cum OKMOE sic quam P O, erir _ P HI minor quam C:O. Deinde
Mentum est brectangulum O R eNse ad rectangulum FIL O, VEK O cAt adRL, b + 4. parat
hOC CIEVE MP ad MIN, hoc est c verectangulum IIP O adrectangulum IN S. igi- c Per cand
cuc permucando verectan ouum COR cA ad rectangulum FIP L. sic rectangu-
lum HILO ad rectanguin LNS. Sed GOR, _EHIP O RqUanEUT. ErgOXHL.
IHS aequalia (unE. Ergo NL elt adHIL, vE L Oad NS. Sed L. O minor est quâm
13. ergo NI minor quoque est quam FIL. Ouoniam igicur octensum cst FI P mi-
notemesse quam C,O, X NI minorem quam HIL, RaE O Z pAF ipAITIP, _ L V
par ipI NL, incripEaq; ABBTA OZV L, que sic aequalis PFTIN, erir OCFILma-
iorfigura VL adcog; criam Agura P HIIN. quod crac primu. Secundum quoque
Sic constabic: quoniam O GFTL in se ductum maius est OZV L, ductoin se, er-
iam OOHIL, in sc ductum crie maius PHTN in se du eto. Quoderaclecundum.
PR O POSITIO LXXII.
quodresulcat ex P HI 1N in se Cubalcerne ducto.
Ildempolicis:
L Dicoguou eum ile lubalterne maius exictat Colido
CC 2
Demon-
          h     ho e tho iu qu  pes os s sspo

## Folio 1152 — 1815201908:1209
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001209.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
2152
QV ADR A FV R A CIRCVEF.
Demonstratio.
a2
SOnaMIdEL OZ _ LOY, subalEernE Aguris LOZ V, LOGFT. TunCLO
CHL auccum in L. OY maius est quam F OOFI, ductum in I. OZ. CcdL OCL
ductum in TOZ, maius est quam L O Z V ductum in L O Z. erDOLOGTI_D
ctum iit L OX, hoc es L OCHI ductum in se subalcerne mulco maius elt qual
LOXV, alccum in LOZ, hoc est ve pulllen fude sua HF Hl auctum in 10
lubalcerhe.uoducceonccandum.
PROPOSITIO LXXIII
Ine dux parabole ABC, DE F, quarum aXES AC, DE aIII LIE
in KE, _ L. proporrionaliter, _ R B, V O, C C ordinatim poliex (InE,
rei de L B. LT, HIF; productis deinde AG in MI _ DHL in N, ve SInEX-
latbo

## Folio 1153 — 1815201908:1210
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001210.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
er ADRAEFRA CARCVLS
quales AK, C MI, icem D L, LTN, HaERO linca aequalis G C, _ L. P X.
qualis HFlincae; et perM dB, item per Ne Pparabolx descripeae linc,
eat
oparum vertices MI _ N. Denique tant rectangulis R V O aqualia re- lacert recto
habet
ctansula sub AM _OV; imMLL TectangulisS X P aequalia FanE rectan. ex demon
catis prop.
sula sub DN; XZ; A, B, ME PCTA; ILEM pUNCEA D, Z, N erunc ad a CiF- 143 aua
Dicoparrem sectionis LCD eandem habere rationem ad Secrionem inaqualbo
 paret
AdM cuius eA pars, ua pars Sectionis Z L. LIZ habet ad sectionem conueria
Demonstratio.
IVm enim sectio AOM, item D Z N RE ellipss auc circuluS cuius aXCS A M,
ON: icem cum DK, Z. L. Orllinacim applicara ad luas diamerroseas proporcio.
210. parab.
naliter diuidane, cericB AR se Smencum ad suam sectionem vt segmencum Z DL. est c Per 187.
ad luam. Podem modo octendecur Peomencum o A C, ad Cuam leccionem esse vele
ementum Z D FI est ad luam, rurlus enim BG, Z II ordinatim applicarxe ad suas dia-
mecros, eas dividune proporcionalirer. Tgitur permucando crir segmencum BA K ad
reomemtum Z. DI, ve secriodd sectionem. eodem modo permurando segmencum
eACAdscomencum ZDFI, erit ve scctio ad sectionem, hoc cAt ve segmencui BAR
ad Z. VL Pesmencum. ergo abidendo segmentum BR CB, est ad segmeneum
ZLH L velcomentum BAK ad segmentum Z DL, hoc cA ve leccio ad lectionem,
ee permutando legmeheum BK C D est ad suam seccionem AOMI, veleomencum Z. I.
HIZ elt ad Nam leccionem nempe DZ PV. Ouod erac demonstrandum.
A OPBSITIO LAAIV
rod sirurtus parabola subalterne ponantur re supra, ee ordinarim
pplicate BK, CC, aqualirer distene a vercicibus A _ M, icem in
lecurtes parabolis Cubalcerne politis ordinatim applicara Z Z, ZX x-
qualicer eriam distene a verricibus D _ HI, sedratio AMI ad AK, non
siceadem cum ratione D N ad D Z, Sedrario AMI ad AK, Cic maior quam
ratioD N ad DX.
Dico quod sesmentum incer ordinarim ducras interceptum, nempe
DR Cd ad suam sectionem nempe AOM, maiorem habeac rationem,
quam segmentum Z. X X Z habear ad luam lectionem nempe DZ. N.
Demontratio.
scellips.
culum vel elliplin.
DL cuius eit pats.
bSi axis sit
laceri recto
Vmposira sicratio AM ad AK, maiorem habere rarionem quam D N ad D X.
LAAEDE A MI ad AK, ita  alDL; cricigitur DI lineaminor quam linea
DZ. a per praeced. Ceomencum bLK eric ad suam secrionem A O NI, ve Peomentum
remrationem habec, quam legmecum Z. D X habeat ad eandem seccionem D Z V
(cum linea DE minor loe K, ac proprerea scgmencum Z. D L. minus segme
+oZ DX). Igitur s seomencum HLad sectionem ABM, minorem racionem haber
quam segmeneu L D X habeat ad sccrionem D Z NI, adcoqueleomentum ARC6
ad suam seccionem AOM, maiorem haberrationem, quam Z. X X L. legmencum
ad sectionem D Z. NI. Ouod erac demonttrandum.
Z. D L. elt ad lecrionem DZNV. SelLLemeum adt SCCHONCIMS LH IMMO
 e ti s e e  ti p e t  e u ue tit ust t t te  t sties ue tit e en ete   e t e tet e s e t u e e    se et    e sete    e e  te tab e e e  et t  e    ( 

## Folio 1154 — 1815201908:1211
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001211.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
2154
EROPOSITIO LXEV.
EV ADRATNLA CIROVLI
circulis au ellipsibus
ordinacim aa axem bina
lincx AB, CD, EF, GII
aqualirer accnelo la
ECS.
Donalteur in duobus
Oporceat binas parabo-
las sudalterne constituere,
Acca rtk, LMN, d
OtD_RST, velcome
Tum IBDR, ductum in
SCDMENCUM BNMD, _
similiter segmencum PF
CC duccum in scomen
bus crlindricis quau va
SeSHInEABDC, d FFOFI,
_ altirudines VL _OR.
Coli-
cum L=MC
da producane cum parri-
Constructio umonsitu.
Icrectanoulo sub V L ec AB aequale rectangulum TBN. Deinde RaEre recta
VB ad V D, ica quadrarum YB ad RD quadracum. Denique hac relinca LB
orab.
2d V, D lineam, ica quadrarum B N ad DM GVAOTACHMI. CT ALICa Bancta V3CC
LMN aParabolas. Similiter Aae in alcera ellipAI VeL CITCHTOOL HL, BIIIITHII AAL
RCn uea quadracum LL ad 6d Gualalu. Cul Panca Ci13LBLddpa
rabola5
rectangulo (Uper OR _ FF, aguC TCcanguIum PF Y, _ SIE vE OF linca ad
lineam OC, ica quadratum P F ad O C quadracum. Tandem Aiar ve linca R F 2d

## Folio 1155 — 1815201908:1212
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001212.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
QV ADR A TVR A CTRCVEI
raBola5. Dico Factum quod requiritur. dnClA CHNA GuaSZ a vel XY, quae aequidi-
Htec AB vel FF, ostensum est. rectangula LpN _ X  Y, aqualia eNe rectangu. pauuce
11)5
Inciren
ribus cxtndricis quarum bales lunc AB DC. _ E. F CFP, e alrirudines V L. ex O R, ellipsi ex
ISICUEPEtteC IMUo, qUOd luICCAC impetacum.
ccdetda
lis (uB VL ec 0 p, _ OR ∞ 0. Quare eodem discursu quo demonstraca cAtsL. hu- monstracis
insostedemus corpora quxe hunc ex ductu parcium pacabolarum inter se aequari par. duum:
PROPOSITI
L. Z X V
curis ad communem arem AD.
Oporreat alteram invenire quae ducca in se subalcorne idem producat
Aris duabus parabolis ABC, D L L LIAGHAIOIS LUBAILELHCCOMHLI
tetascale illi solido, quoeteet pet adetuim ABC in DE. F.
Consmo uostalto.
2l0. paral
Tuidaturaxis AD bitariam in F, _ Posica OrdinatiM F FY, Rac L. C media MCC
duaSF L, T B: denique AaE vE D E linea ad D A lineam, ied L C Guadracum 2d
quadrarum AR, RacqueP. C aequalis P IT _ AR, aqualis D L, dc per DHAIII.
Parabola delcribantur xquales ex similes, ve parec ex ipla conttructione; ee parabola
DCR ducta in A FFF aequale Colidum exhibebic illi quod extribet ductus pal aboId
DF Fin parabolam AB C: quod parebic siquenis MI AUCACMLOTMIMALI dd com
munem axem AD: nam rectangulum MO P aequale cric rectangulo . quod
ica demonstrabitur. Racio recranguli C+P. IT ad recrangulum F. P B, componstur ex
sisdem racionibus, ex quibus es compolica rario recranguli NO (ad recc
ATOD: nam est GT ad L F. VEO VFadOM; _ T BadLHI; nE OP1dOO. eigo
cumrecrangulum F. P B, aquale sic reccangulo C L FI; criam recrangulum MML
aequale eric NOO rectangulo. quare solidum ex duccu D GK, in se lubalcerne pro-
ductum aequacur b magnicudini quae sic ex duccu parabolarum D P. F, A. B C inrel B45. Duc.
sicur pertecimus quod poctulacum fuie.

## Folio 1156 — 1815201908:1213
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001213.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Y ADR A TVR A CTRCYL.I
ADEOSIFIO LXZVII.
VIcaxis AB parabOlarum ACD, BFF _ ATC, HTKO Subalterne
consticurarum: Cumpris deinde AN, OM inter le x qualibus ee Simili-
TeF AO, BP, iItaVENM sic aequalis O P, ponancur ordinatim NILL, MRC
_OE,
Oporrear aurem racionem exhribere quae cs incer corpora quae oriun-
tur ex subalcerno ductu TC K in HTLK _ ex duCFU R DF In E R F, vel in-
cer Colida quae hunc ex ductu subalcerno planorum LT OR in HTV R,
BE RXZF INEF XX.
Constructio ex demonstratio.
Demonstracum est a quod
proportio que cAincerra-
tiones solidorum quae RUnE CX
ductu LC R in sc, & ex ductu
RDE in Ccipsum, _ ex ductu
plani R FZ. X in (C, _ TROY
in scipsum, eadem sic cum pro-
POrciOnC quX FePCTIEUE InFCF
Faciones corporum gux hune
ex ductu subalcerno corundem
Planorum. Igitur permurando
eciam proporcio quae cA incer
rationem (olidi ex ductu ICR
in (0 ad Colidu ex ductu R DL
in sc, e racionem solidi quoc
nalcieur ex ductu subalcerne
PlaniICR in TR FI, ad Colidum
quod Ac ex ductu subalterno
Plani RD F in BR F, cadem
eAt cum proporcione que exictie
inter rationes corporum quae
naICUNEUE ex ductu FRX L
in (C, _ PFOR in le, ex rario-
nem solidorum que hune (ub
iidem planis subalcerne ductis
in (c. Igicur E proporcio Fa-
cionis incer ICK in sC du-
ctum, ee RD P in se ductum ad
TACIONCM INECF R FZ X, in(c
ductum, e IF OR, ductum in
sc est reproporcio rationum dp
porrio inter raciones corporum ex ductu LC us d  in le ad rarionem Coli-
dorum ex ductu subalcerno corundem ortorum, cadem erir cum proporcione qux
est incer rationes corporum quae gignuntur ex ductu R X Z in sC, de PTO in se ad
rationem corporum quae oriuneur ex ductu subalcerno corundem. Ac proinde
ve est proportio rarionisinter TR C, ductum in se subalcerne ex R F D subalcerne du-
etu. d racionem IR C in se ducti ad R E D ductum in (c: ica eAt proporcio racionis
inTET F R X Z. ductum in se subalcerne, e KI T O subalcerne in se ductum adracione
FRX 2
as
_ n eriam proportio qua est incer rationes corponn quae oriuneur ex ijsdem pla
nis in se Subalcorne ductis eadem eric cum proportione nu _ W K, quare Criam PFO-

## Folio 1157 — 1815201908:1214
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001214.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
OV ADR A TV R A CTRCVEF
FR XZ. duecis in sc ad PF O duccum in sc. FiacigiEUEVE R FD duccum in le ad
IKC, duccum in Cc, ica R FD ductu in se subalcerne ad s, _ hac ve IF9, duccum lC
3d F R XZ ductum in (c, ica PFO, in se subalcerne duccum ad Polidunt p. exie ita-
quere lolidum ex duccu C TR, in le Subalcerne ad d,ita Colidum ex duccu laDAHernO
ERXZ 2d p ac proine cum ha maonicudines prius sinc reducea dd cylindricas
quantiences illis aequales, etiam proporcionem racionum exhibuimus, qua MIIII InFCF
Ellasiplas magnirudines exlindricas, quod lusticie ve ex communis Ccomelta princi.
Ed cognolci porerit.
Biiscadem partes eplindriex ad paralten ppec ls agllalla reducipolline, premi-
simus enim omnia quae ad hoc iplum necellaria lune, ve plenius in quarea Ouadeatu-
b
eKOTOSLLIO. LXZNIEI
S lc parabole aXI  B BItattam dimitusin C, crectilq ad eundem
ordinarim C L, BL, compleaneur rectangula D FA, F OC.
es  diuisis del L ploporrionalicer in LI R L, PONanEUF
I, ee IL. qua Gudistene ordinarim consticuris ad axem.
Dicoprimo, vE AO ad CC lincam ira esse quadratum M O ad rectan-
Dico lccundo, ve cA linea DS adS l; ua eNe rectangulum NSL ad
gulum MFTL.
NIL. rectatS .
Demonstratio
cormO quadracum ad quadrarum MO una cum reclas MHIK eA ve AO
ad AC, de dividendo ve AO linca ad CC tea en en suaun M9 ad re-
ctangulum MFTK, quodcacp.
TT eR AOad AC, ita est a quadratum HO ad D C, hocesFTO quadrarum, est a Perpre.
decuncu uosuene epcuu caL.  Oica a Lc CBaE.
TFH
que
aucem IIO. quadrarum equale quadrato M O. una cum recrangulo M FTR; igi- mam para
n  i. i i    u  .     1 e   1    1at  1e    e  e  e    e           e   u e   e ut a p ani

## Folio 1158 — 1815201908:1215
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001215.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
patud.
EV ADR A ZV R A CtR CY L L
que ex V, linca V Y parallela F C, occurrens TL produccx in Y. VcDSad D Y,
ater +4. ica reccangulum N S Lad F. F V, hoc estIS X per ea qua de parabolaa praemisimus.
reccangulum LIN aequacur recrangulis ISNVE, de STNI addacur commune
L SN, erit LIN cum L SN xquale hiscribus L SNVI, SINL, L SN. CcdSINIX.
Quatur PE ST, ergO L IN cum C. SN, aequacur L SNI, YL SL, L SII. sed haec
eria consiciunerecrangulum YSI sinc IS X, nami duo L. SNL. L SN FaCIUNEFCCTaN.
sulum L. SI, cui Baddis YL SI, ConHatuE reccansulum YSI. ergo ZSI aquacuE
LSN, cum L. IN. rursusigicur dividendo reD S adSF, ira rectangulum L. SN ad
rectangulum P IH. Ouoderac propolicum.
PR OPOSYTIO LXXIX.
Udempolicis.
Dico rectangula MHK, NIL. esfeiritet se xqualia.
Emonstracio habecur lib. de Parabola propol. 45.
P R O P OSITIO LZ XX.
Arabolam AB C cuius axis AD, contingac A E in vertice A: sieque
B F ordinacim ad axem polica diuidens axem AD bitariam in F,
eductaque DC quae aequidistet F B, ponancur diameeris parallela C. O,
BE, FOrMANEES CUM A F, F G, rectangula GFD; E AF. Factis deinde
CTI, BI incer se xqualibus residuisque HIG, TE Bitariam in L. _ K divi-
sis, posiris quoque FIN, L. P, _ IM, HO quae aequidistene ordinarim
constiruris ad axem, Formentur rectangula L. R, R V, GT, L. S _E F.O,
KMI, GP, L. N.
Dicorectangulum F. R ad C T rectangulum, candem HaberC PFOPOT.
tionem quam C P rectangulum ad rectangulum F. C.
Demon

## Folio 1159 — 1815201908:1216
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001216.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
Y ADR A TVRA CIRCVEF
Demonstratio.
Voniam F B. CC tale aquales linex axi requidistantes ex constructione, siCuE
Leciam F. I de GTI; igicur a rectangulo RRO aequacur YIP rectangulum
vnde rccstR R adF. Y, ica est I P ad K O. sed rectangulum R R est ad rectangulum
GT, e rectangulum GP ad F O vesunc eorum bales, cum alcicudines commu-
nesvelaquales sint ex constructione: Igicur manifectum est rectangulum R R ad
C T. eam habere proportionem quam habet C: P rectangulum ad rectangulum R O.
Duod tuic demonstrandum.
Corollarium.
neliquido constar eriam rectangulum RO ad L S rectangulum, eam obtinere
Lproporcionem quam rectangulum L. N ad RM recrangulum, discursus enim
idem est cum priore quo hoc demonstrari debet: quod similicer incelligendum est de
quauis subdivitione linearum P. B, C. C, modo reliqua seruentur que in constructio.
ne lunc adhibica.
O eOSTTIO L.XXX
Acoparallelepipedumt quod oritur ex rectangulo P. R in sc ducto,
ad illud quoelsionicur ex  L ducto in le, eandem habere rarionem, qua
haber Coliaum ex auctu plani C. P in Sc, ad illud quod sic ex ductu supetH-
ciei FO in sciplam.
1. depa
Demonstratio.
IIdem manenctvus:
Varalle lepipedum ex ducru F. R reccansuli in scipsum, ad paralle lexipedum ex
80.
Parallelexipedorum que hune ex duecu plavi C P in se, de ex duceu plani a F, O in (c- 2 Po
iplum. Soicur parer paralle lexipedum ex plano FR, ducco in se ad Colidum ex C F huiu.
in se ducco emergens, eandem habere proporrionem, quam solidum ex ductu plani
CPinle, ad Colidum ex F. O in Cciplum ducco resulcans.
alcicudines ex constr. sincxequales. Sela susde leperit proporolet bales
Se t   s  A   u  et e a  s te ete e e te      a e te t  t  e  t    e t  e e pet  t a t t   e      e  ste  te este et   e s

## Folio 1160 — 1815201908:1217
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001217.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
2160
QVADRATYHAC LB
PROPOSITIO EXZXII.
TIde LCMMIAMCMDUS.
Cc, ad corpus ex ductu C l’in le, de racionem corporis ex ductu Csl in
Ec, ad corpus quod Hc ex F. O in se ducto, candem esse cum proporrione
quae est incer rationem corporis ex ductu plani I O in le, ad CorpuS ex
ductu L. S in Sc, e rationem corporis orri ex ductu plani L. N in le ad cor-
pusorrum ex plano KM in Cc dueto.
LDicoproportionem quae est interrationem corporis ex ductu F R in
a FrOB. 8I.
min
Demonsranio.
Scensum eA a quod FAtIO qUIX CAL InLF COEPOTA DETA Ex duAtu L R in Ce, et G F
Plani B. O in leiplum. lecu fudeacto sa enet Colporanaca ex ductu ROin le,
ex I. S in Ce, cadem sic cum racione quae est incer corpora orta ex ductu plani L N in
3Pers8. do lC, _ KM plani in se ducti. igicur cum verobique sic racio aequalicaris, manitestum
propors. CRb quod in proposicione Fuerac asercum.
15
.A PR OP OSITIO LXZZIII
Ildem posicis:
a
Dicoproportionem quae est inter rarionem corporis orri ex ductu
E. R in (e, ad corpus orcum ex ductu KL O in sc, e rationem corporis orri
ex ductu plani C Tin se ad L. S in se ductum, candem esse cum proporcio-
ne que es inter rationem corporis orei ex ductu C P inle, ad corpiis or-
cum ex ductu plani L. N in Ce, ae racionem corporis orci ex duecm plani L O
in se, ad corpus quod tic ex duccu plani KM in Sciplum.
in (es eadem sic cum ratione quae est inter corpora orca ex ductu C P in lc et
Demonstradio.
=Prop. 82. P Ocuimus cproporrionem quae ost incer rattonen cospors o ex auctu L. H In
mini.
(e, ad corpus ex ductu C P in Ce, _ racionem corporis ex ductu C P in le, adcor-
nem corporis ex ductu planika le, ad corpus ex duclu L. Sin le, d LaCIOnCM COF.
poris
pusquod hc ex FO in se ducto, eandem esse cum proporcione quae est inter racio-
Ma
e.

## Folio 1161 — 1815201908:1218
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001218.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
A D R A F V R A CIR CVLL
poris oret ex ductu plani F N inse ad corpus orrum ex plano. K MI in (e ducto. ergo
Permucando. proporrio quae estincer rationen corporis ex ductu P. R in le al 
in le ecrarionem corporis orri ex ductu R O in (e ad LS insc, eadem cAt cum pro.
Porclone quae eltincer racionem corporis orti ex ductu C P in Cc ad F O insc, _ rd-
cionem corporis I. N in Cc ad KM in Cc. quare b criam proporrio qu elt intex racio- BPar
Nemcorporis orri ex ductu P. R in Ce, ad corpus orcum ex ductu RMLC, d acoovore
corporis orri ex ductu plani OT in (c, e T. S in sciplum, eadem cll Cu Proptene
gux est incer rationem corporis orri ex duccu O P inlc, ad corpus cur en u
Plahi I N in sc, et rationem corporis orri ex ductu plani P. Oiltu, aetotpus gloa
propors
tic ex duccu plani R e.a.
Fieura niuersalis prosequentibus propositionibus.
InE AB, C D axi parabolae aequidistances, incer d aquates, a quibus dempex a
quales AF, C F, dinisx sinc quadeitariam 3 _ Pet M BEHCCA PBNCA HInEOF
dinacim ad axem; perfciantur denique reccangula C, TT, L.R, d L, M, I,O. Deinde
rectangula L, V, X, Y, e P, 9. R. S. Ilis ica peraccis, pertaneut ia hglira lubalcerne
que Aac de Ag_T C Fan, uX LuBAICErne POSITA SIE CUmM AGUEA C FDE, FOrmencurque
produeris parallelis rectangul 2 Z, B, 7, d; c38, ∞, B, _ A, fb, v. C: H, D, 2. co.
SciliceF fgurE AP FE, Aac Similis e aequalis A F D, e lubalcerne constirura. Idem.
Fieurae particulares.
TTT clarius in sequentibus procedamus, eransferancur rectansurd qu in e Vide parta
vniverlali lunc incer parabolam DB aC, e parabolas lubalcerne Ponas eMats f.
maparerculare primum, et corpora orca ex ductu rectanguli Cinse, FTin le, Lle, F suras past
in se, irent corpora nala ex auctu rectansulorum T, V, X, Y, intepa, oc CoF-sequn
RX, SL: ac rectanoulo quidein L OMLTCMCMIACMIMCIAH, aquale HCfeclansulum
T. in secundo paeiCuaI; ectangulo veroM FI, NI, ec. xequalia lneee
macerectansa M H, C, iccm P, Q, R, S rectangulis, PT, OV, deC. inprimo Cche
ce. Denique rectangulis e 2,8B,07,6d,n a, D u, ir, coh. aqualia ponancur in secundo
Cchemace rectanonla 2, ,0, D, _x, C, V, a. AC corpora quidem qua nalcentur ex ductu
rectanguli P. in le, M in le, N in le, Oin Cc, irem ex ductu rectanguli P inle, din le.
IHH
R in
POra C, TI,L. K: icem T, V, X, Y. SceoPo G ae et acetu ecats a
in Z rectanoulum, rectanouli HIin B, rectanouli I in v, & K ind; Hem ea qua exu-
Z inZ vocentur sine addico corpora C7Z. HIB, I2, K de sic de cxreris.
Insecudum vero schema referanine rectangula L. G, MI LT. N I, OK, icemPT, OV.
sune ex ductu rectanguli P in n rectanguli V inpos rectanguli L HII V, _ TCLLAHSIM
 e  i a  n .  i pi . 1        et  etes . 1  i te u ue   t ute  e  a          p p   n  1  e     ue  ps 

## Folio 1162 — 1815201908:1219
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001219.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
162
erADRAEDEA CTREVCI
eura vniversalis pro sequentibus propositionibus.
ieura parciculatis.
5
 
X

## Folio 1163 — 1815201908:1220
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001220.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
R in se, Sinse, vocentur corpora L, MI. VI, O, _. Irem ea quae nalcentue in eodem
10, OB; P  P, R 35 co.
2109
OV A DRA TVRA CIRCVLI
schemare ex ductu rectanguli I in  sitem Ck MIe, _ Nins; exOinb; icem ca
que exlursent ex ductu P in X, O in p; _ c. rocencur sinc additO COrPOFA L W, M e.
cHOPOSI
T10
L. X X X IV
Llispoltis:
Dico quod proporrio quae estimet Lactees cetporu L alt L A, _
Pi ad L. ; eadem lic cum proporrione quae est incer rariones corporum
ABadV  ePad H8.
Demonstratio.
Tamratio corporis C Z ad T n, compolea est ex rarione rectanguli e ad Y, ex re
ctangulHad V. d rectangemB al po. Cxsacli autem eclam componiul lacocot
Poris D. adMe: Compour enim exralon ccla adM hoc eu clactoe cpra.
recransuli Hlad V; de exracione reccanguli Badeshoceltbadu. Suare cum cacio-
nes verobique caedem sinc, pater quod proporcio quae est incer cariones corporu
3Z, 2dTa, _ P xad L ; eadem lIC CUmI pFOPOrEIONC que eIL INFCF FATIONES COrPO-
rum LTB ad V po; X (2 D 2dMe: Quod erac demonstrandum
ctanguli Z ad2; icem rario Corpens L L a Componca est exiisdem rarioni-
bus: componitur enim exrarione rectan anL au L, hoc est aracione rectanguli Cad a pet 80
P; e exracionerectanguli x ad u, hoc est ratione b rectanguli Z ad n. Fadem ioicur huins.
est racio corporis Z ad TN, _ Pacio corporis P i ad L ~. Fodem diseursu parecra- Bporcana
cionem qua estincer corpora FIBsC a Canaltone qua clincer coc-
pora 1p ec Me. Nlam rurlus racio corporis HIB ad V u compolica est exracionere
Corollarium.
tiones corporum Kd2d XZ; dc Sc ad O8, cum in liis hc cadem demonstrario. Idemqi
in lequenci obsercatu.
Prod deproporcionibustratuaco aecum ett, id eciam de quibuluis pro-
Eporcionibus corporum hic diuisorum incellisi volumus; modo corpora (umancur
Prouchle sumpea Cunc: nimirum aferimus quod proporcio que cstincer raciones cor
porum FTB ad V un 8c 9 p ad Me, cadem sic cumm proportione qua estincer raciones
corporum IY ad =2v, ec R ib ad N0, icem eadem cum proporcione qua cincer ra
lR OPO
IIdem posiris.
SITIO LZXXV
Dico quod proportio quae est incer rationes corporun L au Ln, c
HIBad Vi, cadem sic cum propotuone que en incet Lactones corperum
Px ad L. v, e OD ad M 8.
Demonstratio.
Emonstracum enim est prxecedenei propositione quod racio corporum CZ d
TN SIE ad racionem corporum P ne L u vetacio corporum IIB e V pesest ad ra-
tionem corporum D P de MtP. igirur d permurando rario corporum CZ _ YN, ad d per +F
tacionem corporum LIB s V u est veracio corporum P _ _x L  ad rationem COr Propore.
Porum ODad Me, hoc eAt proportio qua estincer raciones corporum CFZ. ad Tn,
ac aon daue. C
de LIBadV ui cadem erir cum proporrione que invenitur inter rariones corporum
Corot
Sn  i.   u i p. a u          e       e  e  u   u e e    1 e    it    a    t   e u   1   n

## Folio 1164 — 1815201908:1221
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001221.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
1164
StADR A TVRA CTRCVEE
Figura vniversalis.
Eleurà pareiculares.
M

## Folio 1165 — 1815201908:1222
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001222.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
eV ADR
e
FYRA CIRCVLI
Corollarium.
li65
Tihe colligea quod proporcio que CH InFer rationes corporum C Z 2d FLB, et Y X
et L. a ad N8.
ad Vi eadem sic cu propon  etraciones corporum Pn ad P
L  V.
Uldem poliris
28. det M8.
opuia
e
M; Tic re proporcio quae est inceltattones corporum GZ ad Tn, c Tl Bad
Dico quod proporrio qua est interrationeS COrpOruM C ad F
TIad V, ad proportionem quxe cstincer rationes corporum P ad L, dt  ad
Vi est ad proportionem quae est interrariones corporum P. ad L. _, e
Demonsoratio.
Beddem siccum proporcione; quDest incer raciones corporum P ad L, ex O ad monstraca
M. Similicer demonstracum clt elod proporcio qua est incer raciones corporum Ss hulus
(Z. ad LR, _ HD de VH CadeM cum proporcione quae eA inter rationes COr huius.
Porum Pn e L ∞, ad O P ad Mg. Lgitur cum proporciones quae Comparaneur inCCE
se aequales line, constar quod proporcio quae estincer raciones corporum ( ad Y, et
TTad V, ad proportionem quae elt incer rationes corporum Pad L, _9 adMI, SIE vE
proportio qux CI InEErRatIOnES COrPOruM CZ ad LA, X HIB, ad Vu, eA ad pro-
porcionem quae est inter rariones corporum Pn ad L. , ec  P ad Me: O uod CFAE
demonstrandum.
portio quxe est incer rationes corporum C ad TIs _ T ad V eadem est cum propor- huius.
3
tione que cA inter rationes corporum P ad O _ L ad M. F.X alCCFA VeTO parre Cum CPer con
ostentum lic, c quod proporrio quae est interrationes corporum ( Z. ad TIB, de L N 4 d Ss. hudus
Vu, eadem sic cum proportione quae ell incerrationes corporum Px adO P, XI W
adMe, constarisitur heuc prius vericas propolitionis, quam eriam ad duaS sequentes
exrendi rolumus.
Tde Pad L, ad proporcioneu qua e acoes corporum Hl ad V de l
M, Sic re proportio quae est incerrationes, corporum (7Z ad T n, d PK, ad L d
ad proporrionem qux est incer rationes HIB ad V u, _  D ad M B. SciliCCE PeF propo-
sicionem iam policam, ratione sque permutando per 44. de Proporr.
Scensum est b quod proporclo quae eA incer raciones corporum e ad Y, et YI ad B pes de
Corolaruu Prem.
Cecte criam inferes, quod prOPOEEIO qUX CIL InECF PALIOHES COEPOTI C 28 HL.
lad V. ad proporcionem quae clinclationes corporum l’ac a L alMH
repropoccis quae estincer rariones  OLI L AlLIB a l a dd V pus eIt ad PFO
portionem qua est inter raciones corporii Px ad 9 P ex P  ad M G. nam drurlus pro- dF
Corbnarium secundum.
demmodo ostendetur quod proportio quxe es inier tariones corporum C ad
Fildem policis:
RR O P OS
L. X X ZC V I
Rurtus dico quod proporrio quae est iiet LaCOESCMPOTHIH C ad
T, e l ad X ad proportionem quae est incer rationes corporum P ad L
et Rade, li ri proporsa et lalonesCopo  L ad L n
  e         H  he e  h  M H  psor

## Folio 1166 — 1815201908:1223
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001223.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
2106
QVADR A TVR A CIRCVLI.
Figura vniuersalis.
Ficurae parriculares.
12)c

## Folio 1167 — 1815201908:1224
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001224.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
eT7 alt Ly, et de pepto que eM incer rationes corporum P n ad
QV A DR A FVRA CARCVLL
L. a de B b adN0.
Demonstrario.
at
DEmoneratu Chm est= quod proxorrio qux est incer raxiones CorpOrum C Ad aBs. huines
P, e I ad X. lic cadem cu proporcione qua est incer raciones corporum Pad L.
_ R ad N. Irem demonstracum b est quod proportio quae eA intet rationes corpO. BOs. buius
rum CZ 2d TN, e IY ad Xr, Sc eadem cum proporcione quxe est incer rariones
COrPOrUM Px ad L. W, _C R b ad N∞. IBiCUE CUm prOPOrtiOneS quX incex sC COmpZ. CA3. Prop.
rancur exdem unc, c constat rericas propolicionis.
PROPOSITIO LXXXVIII
IIdem posiris:
 Trerum dico quod proporrio qua estincerrariones corporum FI ad
Y, _ Iad X, ad proporcionem qua cA incer rationes corporum  adM.
_ R ad N, Sic reproportio quae cstincer rationes corporum HB ad V 
_ lgadXr, est ad proporcionem qua estinter rationes corporum 
2dMe, _ R it ad N5.
emonstlalto.
Let ao
eadem est cum proportione qua est incer rariones corporum () ad MI, _ R ad 83. huius
N. Treme proporcio qua Cs InCCE ratIONES COrpOruM LIB ad V p, e LY ad Z V, C D5 huius.
eadem ost cum proporcione qua estincer rariones corporum ( p ad MIC,  R ib
Hac veriras proposicionis.
1d. ero
ort.
Vrsus enim sproporrio qua estincer raltares corporum H ad V, de T ad Z. monstrai
a e
TEuneior sim in isdem demonstrationibus semper repetendis, idem intelliet domnns de
ROPOSITIO LXXXIX
quibussuis aliis subdinisionibus; modo corpora eo modo sumantur prous hic sumpra sunt.
Ildempolicis
Dico quod ratio ageregari quanricarum C, HI, I, H ad aggregarum
quanet
ie   1 t   1 1 1  t e.   e e u. 1 .   1 1.  pt  e u  it 1 p s    te    1  .    u     u e u o e  . tap  i

## Folio 1168 — 1815201908:1225
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001225.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
2168.
eVADRAEVRA CIRCVLI.
cicura vniuersalis.
Firura particulares.
8.

## Folio 1169 — 1815201908:1226
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001226.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
Y V R A
IF
CVLI
quantitatum T, V, X, Y Cic ad racionem aggregaci quancicatum P, 9, I, 
gatum quancitatu L, M, N, O, veracio agcrezati corpo L
aSOrCSaCUM COrpOruM TR, V u, ZV, YE est au lationem
nexrcsacicorporum Pu, 98, R Y, 50ad 4
alt d391
+16G
egacum corporum L. ∞, Me.
Demonstrait
Vplicirursus via proxosicionem hane demonstrabimus, vei de in quadratur à le
cunda factum. Primum vin Archimedea, per prop. 2. de C onoid. Deinde perpro-
demb est cum proportione que est incer rationes corporui 9 ad M _ R ad NV. IgituC B eer cand.
proportio quae est incer rationes corporum C ad I, e FIad V, est ad proporcionem
quae est inter rationes corporum P ad F, _ 1) adM, ve proportio quae cAinceFFa
tiones corporum FI adV, d Iad X, est ad proportionem que cAinteE raTIOneS COF
porum O adM, _ R ad N, cum verobique sic proporcio requalicatis ad proportione
aequalicacis. Isitur Cpermucando proporcioque lintor raciones corporum C ad Y.
e FIad V, est ad proxortionem que est incerrationes corporum FI ad V, e L ad Z.
ve provortio quae est incer rationes corporum P adL, ex 9) ad NI, Clt ad proporcione
quX CCInECFTaTIONES COrpOruM O adHI, _ R ad NV. Similimodo proportio que est
incer rationes corporum FT ad V, e Lad Z, ostendecur esse ad proporrionem quae est
inFEEratIOneS COrpOru Pad Z, X K ad Y, reproporrio que est incerrationes corpo-
rum O adM _ R ad NI, est ad proporcionem que est incer rationes corporu R adIY.
_ 5 adO. Acue e meno prima see deE constructionis parcem absoluimus
ropor.
Precerea oltentum cltd quod proporrio, qua el incerrationes corporum C adY, ape
_ HI ad. V, sic ad proporrionem, qua en e ss corporum Pad L, X O ad huius.
MI; Ve proporcio, qua estinterratiOnES COrpOTUM C7Z ad FN, _TTB, adV u, est
ad proporcionem, quae est incer rationes corporum P x ad L. ∞ d O p ad Mp. Toieur
e
cpermucando proporcios qua enut caconsesiporum C ad T, e II adV, elt ad c Por +
proporeionem, qua est incerrationes corporum (Z. ad T a et IIB ad V u, VE PEO- Proporcion
Forrio que cs incer raciones corporum P ad L, e 9 ad HI, est ad proportionem qux
csincertationes corporum l’uad L, e  P ad MC.
Eodem prorlus modo oltenderur quod proporrio, qua cA inter raciones corpo-
rum FIad V, e L2dX, sic ad proportionem, quae est incerraciones corporum IIB ad
Vu dLr 2d =V, ve proporcio, quae eltincer racenes corporum O ad M, e R
ad N, est ad proportionem quae eA incer rationes corporum OD ad M 8, & R il ad
N0. Denique proporcio, quae est incer rariones corporum L adL, e K ad Y, octen-
decuE
policionem nostram 5 J. Lemmaricam huius lib.
PrIMA IBITUEVIZ AC den OnAFO. Proportio quX CHincer rationes corporum C ad
T, de HIadV, cadem elt cum proportione qua est incer rationes corporum P ad L, a Per BL
_ OadM. Icem proportio quae elt incer rariones corporum LI ad V, ex IadZ, ca, huius
oe  tt ti  e e t e e  e e at eti Al  e e  t e t.  t i      t e e       s   te 1 t. ti    et  t i t s ti 

## Folio 1170 — 1815201908:1227
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001227.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 6 lines, status machine
rg
SADR AXVRA CTKErLI
reura vniversalio.
leurae parsiculares.
ce
ut

## Folio 1171 — 1815201908:1228
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001228.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
Itaque quemadmodum Archimedes imere de quancicatibus eo modo dispolicis,
inferimus, nempe quod proporciones omnes limul lumpexe, quae luncincer rariones
corporum Cad F, _ TI ad V, irem raciones corporum HI ad V, ec I ad X, icem Y
adZ, _ R ad X, sinc ad proportiones omnes simul sumpeas quae lunc incer rationes
corporum P ad L, _ O ad M, icem incer rariones corporum O adM, _ R adN,
icem R ad N, ex S ad O, re proporciones omnes limul Cumpea qua lune incer ra-
tiones corporum CZ 2d Ta, _ FIBad V u, icem EIBad V p de Iy ad Xv, icem 17
ad ZV _ K d ad YE, (IINE AA PTOPOTTIONES OMNES SImUL(UMPEAS, QUX PUNEInECEFA-
tiones corporum Px 2d L ~, e O D ad MC, icem Op ad MIB, _ R i adN8, irem
R ib ad N∞, _ Sa ad O8. Ec cum medix proporciones linsulorum agorCgAEOrum
unceciam incer se proporcionales, Ecx omillae intelligantur, mancbicagoregacum
duarum proporcionum vead secundum asoregacum duarum proporcionum, cerrium
ggresatum duarum proportionum est adaggregacum quarrum duarum icidem pro-
porrionum. Sed proporciones lingulas bine rationes constiruune, nempe proporrio
nem incerrationes C 2d T, _ FI ad V, consticmuneraciones corporum CadT, 8
HIad V, e ita de reliouis: itaque quod de proporcionibus inculimus, illud ipsum de
racionibus inferre licebir, Ccilicer rationes omnes C adT, HIadV, IadZ, K ad Y, CHC
ad raciones omnes corporum P adL, 9 adMI, R ad N, S ad O, verationeS COrpOrI
CZ 2dTa, EI B ad V u, Tr ad ZV, R d ad XZ, lune ad omnes rationes corporu P X ad
L v, ODadMC, R it ad N0, Sc adOo. Scd omnesrationes corporu C ad T, TT ad V.
TadZ, Kad Y, ica lunc constiturae ve corpora C, HI, I. R sinc cermini ancccedentes
COrPOTAVeTO T, V, X. Y Snctermini consequenres, icem raciones P ad L, 9 2dMI.
R ad N, S ad O, ica LUnECONCtIEHEX VECOrPOra P, 9. R, S Hnc antecedentes ter-
mini, COrpOTa VerO L, MI, N, O termini consequences. Idem aurem in aliis rario-
nibus obleruacum est re semper corpora CZ, HIB, Ir, Rd ancecedencium vices
COrPOTAAUEEM TA, V u, XV, YE consequencium locum obcincane, vei ee in vlcimo
agoregatoracionum obseruatum cAt, recorpora Pn, QD, R i, Sao ancccedentes line
Termini, COrDOTA AUECM. L a MTe, N0, Ob sinc termini consequences. Ieaque racio
ooresac corporum C, TI, I, K, ad aggregacum corporum T, V, X, V, eA adracio-
nem agoregacicorporum P, , R, S ad aggregata corpora L, MI, N, O, veracio 28.
oresatorum corporum CZ, HIB, IY, K d, ad agGrCSAEA COrpOTA T A. V u, Z V, Y Z Ct
ad rationem axoregatorum corporum Pu,  P, R Y, S co, 2d aBBFCS ACa COrpOrA L. a,
M8, No, OV. Quoderac demonttrandum.
decur esse ad proporcionem quae est inrer rationes corporum I g ad ZV, _C R d ad
YE, Veproporcio, que estincer rationes corporum R ad N, de S ad O, est adpro-
porcionem, quae est incer rariones corporum R iL. 2d N5, _ S0o ad OB
quo nosproporcionesrationum disposicas ostendimus, ica ee nos de proporcionibus
Ldeiliori

## Folio 1172 — 1815201908:1229
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001229.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
1172.
ii
QV A DR A TVR A CARCVEI
Figura vniversalis.
Si 
e e
Fieurae parciculares.
.

## Folio 1173 — 1815201908:1230
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001230.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
1IIIIIII
Laciliori discursu idem demonscratur.
poris H ad V, eadem ellcMmcarione corporis O adM: igicur b permurando
racio corporum et ad L. MM ad racionem corporum FIad V, ve estracio corporum
P ad L, ad racionem corporum  ad M. eodem modo octendetur quod rario
corporum IT ad V, Sicad rarionem corporum L ad X, vei rario corporum 1 ad M.
est adracionem corporum R ad NV. denique racio corporum L ad Z, csle ostende-
rur adraTIONEM COrPOrUM K ad Y, veiracio corporum R ad N, est ad rarionem COr-
porum S ad O. Acque sic primam constructionis Archimedea parrem absoluimus.
Jam vero cum olcenlum sicc quodratio corporis CZ ad T n eadem lic cum racio.
propore.
Perde.
ne CorpOruM PN ad P _, crac aurem rario corporum C ad F, cadem cum rarionC monstraia
corporum P ad T. ergo spermucando icerum erie racio corporum C ad T, ad rario- prop. 84
+
nem corporum GZ ad Ja, verario corporum P ad L, est ad racionem corporum huiuo
Pet
ex ad L. ~. Fodem modo demonstrabicur quod ratio corporum FLadV, GE ad F2 - propors.
tionem corporum HIB ad V us veracio corporum  adM, eA ad rationem corpo-
rum 9∞ ad Me; icem quod rario corporum Iad X, sic ad racionem corporum Iy
ad Zv veracio corporum R ad N, eltad rationem corporum R t ad N0. Denique
inferetur eodem discurtu quod rario corporum R ad Y. Sic ad racionem corporum
Rd ad YE. veracio corporum S ad 0, est ad rarionem corporum Sco ad 00.
Toitur cum raciones hx omnes eo modo disposiex sine rei quantitates apud Archi
medem, vei ipse recte infert omnes quancitaces ageregaci primi ad omnes secundi
esse, ve omnescertii aggregaci sune ad omnes quarti; ica e nos inferimus omnes ra-
tiones corporis Cr ad T, II adV, Iad Z, K ad Y, dua primum asgregacum racionum
constiruune, esse ad omnesrariones corporum Pad L, O ad M. R ad N, S adO
qua secundum aggresarum taciune, re omnes rariones corporum (1Z adYa, TIB ad
Vu, IY ad Xr, R dadYE, quae cercium aggregatum faciune ad eas omnes quae quar-
eum, nempe ad omnes raciones Px ad L , O D adMe, R t ad N∞, 50ad O0.
Jeaque cum rursus omnes rariones C adT, HI ad V, IadZ, K ad Y, ita constituex
(IHEVE COrpOTA C, FI, I, R linEcermini aNECCCdCHECS, COrPOTA VETO T, V, Z, Y snE
termini consequences; item rationes P ad L, 9 ad M, R ad N, SadO, ica SINE
ContiCHEK VECOrPOTA P, Q. R, S Ancancecedencestermini, COrPOTA VeTOL, M, N.
OEnccermini consequences, _ ica de reliquisi erso ratio aggresati ancecedencium
terminorum, hoc es Corporum G, FI, I, R, ad agoregacum cerminorum consequen-
eium, hoc cst corporum T, V. Z, Y, cA ad racionem aggregati corporum P, O.
R. L, ad agoregacum corporum L, M, N, O. veracio aggresaci corporum G Z. IIB.
ly, Kdad aggregatum corporum T2, V u, XV, YZ, est ad racionem aporeraci cor
vorum Pu, D, R H, S cn 2d a5gresatum corporum L o, M C, NV0, O8. Ouod crac
demonctrandum.
io corporis Cad P, eadem a est cum Paltone corporis P ad L. iremratio cor- buim.
 L 
aliter
  it   s.  i   e     u .  is e    .  te  1 s  u  ea u  et   .   n e   a  1 . 1a  1  ue  e pe    a

## Folio 1174 — 1815201908:1231
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001231.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
217+
EdADRAEDRA CIRCIO
Ficurd vansal.
iscit e  
15. B. 5Ct: 
27
ticis ate es  icetre
15 1C. C) 1F1L3 CEM  tAL 
eo t d la l it
AE MCIi sio s
ii
ie 
1.NCL CG IBBN
et Bc. H. V
10id cn Weas h. s
Lwraguem cam  X =Xi
1x1aCl. ∞H i d sissi E  a
saepe sc
C) b. v C HaQ=o
 g   deC
ac
cee atai
VerES sLMI
Ficura particulares.
u
E
retesieta ceniu slraB IXF i u
11
X
_ X
2 X (1)
oe
As  
113 3 Cs2I
ti  etC
1bc
in eec
11o. t si
inc
11

## Folio 1175 — 1815201908:1232
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001232.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
Aliter demonstratur via secuntu.
Ooetttus ee alceram ex Lemmatiea propolicione s 4. huius qua similicer infcremus
eandem conclulionem quam priore discursu inculimus.
Proporcio quae est incer raciones corporum Ci ad T, _ P ad P, eadem est cum
proporcione quae est incer raciones corpocum FI ad V, _ O ad MI, Cunc enim a cxdem a Per 82:
rationes. Praecerea proporcio quae estincerrationes corporum C ad T, e P ad L, ca- hulu.
dem est cum proportione qua estinter raciones corporum I ad X, e R ad NT; vIce
riusproporcio quae cs incer raciones corporum CadT, ex P ad L, cadem est cum
proportione quie estincer rationes corporum R ad X, e S ad O: aeque huc viquo
proportio qua elt incer rariones corporum C2d Y, ec P ad F, comparara est cum
omnibus aliis cum quibus conterri porest, ica ve lemper ancccedencis racionem ob-
tincac. Vcigicur discurtum prolequamur, astumemus proxime lequences cerminos,
qui ricem anccccdentis obtineane. Proporcio icaque qua es inter rariones corpo-
rum II ad V, _  adM, eadem est cum proporcione quae est incer rariones COr
Porum I ad Z, 8 R ad N, irem eadem cum proportione quae est inter rationes
K at P, ex 5 ad O, denique eadem cum proportione quae est incer rationes C 2d
T, _ P ad L, per ca que ance diximus, acque ira conculimus proporrionem que est
incerrariones corporum EI ad V, ex 9 adM, cum reliquisproportionibus, dando
illi semper locum ancecedentis. Restacisitur ve idiplum praestemus de aliis quxe re-
MABCRE.
Tcerum ipitur proporcio, quae est incerraciones corporum I ad Z, _ R ad N, ca-
demest cum proportione, qua est incer rationes corporum R ad Y, X S ad O: icem
eadem cum proportione, qua est incer raciones corporum C adT, e P adI, deni-
que eadem cum proportione quae est incer rationes corporum FIadV, et 9) adN.
Tandem rehanc parcem concludamus, icerum proporcio quae est incer rationes
COrpOrUM K ad7, & 5 ad O, eadem cAt cum proportione qua estincer raciones
corporum C ad T, ex P ad F: Similicer eadem est cum proportione qux est intee
rationes corporum FI ad V, de2 ad M: randem eadem cum proporrione qua cst
incerrationes corporum Lad Z, d R ad N
Elis ita conclulis, infero ex vi Lemmatiex propolitionis, quod proporcio qua cst
incerrationes regregacorum omnium corporum Cn FI, I, R, ad F, V, X, Y, de rario-
nesagoresacorum omium P, O, R, S, ad L, M, N, O eadem sic cum proporeione
qua eltincer rationes parcium iam enumeracarum, quae ancecedencium rices obci-
nebane, e rationes parcium que consequentium loca supplebane.
Duia vero per cundem discursum circa quacuor alia 3ggregaca quorum primum
complectituE COrPOTZ C+Z, IIB, IY, K d, sCCUndUM COrPOra P X, V pu XV, YE, cerrium
Px, OD, R I, S co; quarcum denique corpora L ~, Me, N0, OB, codemmodo argu-
mencari possumus, licebir etiam interre quod proporrio que est incerraciones aGre-
RXK
5a1.
 1  1 1
  itiu e ee ut e e e   1 e  e  s it ue  e  e  p uti t  e     . 1. it e     1  e     n itia

## Folio 1176 — 1815201908:1233
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001233.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
QYADRA ENLA CPREVLH
Fieura rninersalis.
117a
A
no eiorili u edl.  C
 l5 1B  hc et 2B. F1 CI. qOR
eim Ci  H  q
FL SOC
BV str Si lin  CCV
ad tomobao. Cl. 2 a
 eto Br et 3Ep . C 1C
e
 1de2Be
SV
5
libc.
e Fieura parriculares.va
1it
AC 1
1 1 5 
40
∞ 

## Folio 1177 — 1815201908:1234
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001234.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
QV ADRATVRA CTROVO
Sali pami ad sccundum aggregacums, a Lattones aggresaci certii ad aggresacum
quarci, siceadem citpoPelione, qua est inter raciones parcium aggregatorum
qux ancecedences contticuebane, e raciones parcium aBgresacorum que conlequen-
Suia vero demonstratum etc quod proporrio qux est intex rariones corpOruM (+ 286. huins.
2d L, e HL ad V, ad proporcionem quae estincer rationes corporum P ad L, X 9 ad
M. Cc Deproporrio, quae elc inct rationes corporum CZ ad Tn, e FIB ad V u, ad
DrOPOEtOnEM quE CICInCEFFACES COrpOruM, Px 2d L d, _ O D ad MB, acquC it a p eor S
consequenter b derelicsns, _ hoc quidem in omni subdiuisione diamerrorum p2ca- e
bolxsintetd per Corr. Prop. Lemmaticae lupra cicacxe, quod proxorcio quxe clEintex ins-
racionem agereeari corporum C HI, I, K, ad aggregatum corporum Y, V, X, Y, e
incer racionem aeoregaci corporunte, Q, R, Siad aggresacum corporum L, M. N.
O, cadeuccum proporcione qua elt incer rationemasgresari corporum  Z, FIB
C7. Las aclavoreracum corpotum Ta, Vun XV, ZE, e incerrationem aggresari
CorpOtUM PK, DiD. K_ Su ad aggregarum corporum L ∞, M C, NI0, Od. Duod
tuic delerandum.
eR OPO5IF1O, XC.
Adem manenre tigurarnivertali propolicionis 84. huius cum parri-
Do quod racio corporis orti ex figur 2 parabolicd A F a z in le ductâ,
ad corpusertu ex hgia patabolica C. L. n a in se ducta lic ad rarionem cor-
poris orries sua PataBolCa C. For in se ducta, ad corpus quod exlurgit
exhoura parabolica A F F Zin lc ductâ, ve rario corporis ex ductu houra
AEaZ in le lubalterne, ad corpus orcum ex ductu hgurx C Fna in se sub-
alcerne, est ad rarionem corporis orri ex ductu Rgurx C Fvr in le (ubal-
terne poliex, ad corpus ortum ex ductu Agura AF FC in le lubalcer-
HC.
Demonstratio.
DRxcedenei demonstratione olensum est quod rario omnium paralle lexipedorum
G, LBL, K, ad parallelepipeda L, V, X, Y, Sc ad rationem corporum P, G. R, S,
ad COrpOTA L, NI, NI. O, ve racO COrpOruM CZ, TTB, I7, R d ad Corpora TX, V u
Xv XE. est ad racionem corpor PX, O P, R I, Sci, ad corpora L W, M C, 10,OD.
Ee hoc Guidem in quanis intelipcione fisurarum per subdivitionem lincarum A F.
C F incelsisendum est ex vi oncursus in demonstracione polici. C um ergo continua-
eis subamitionibus, auferacur lemper plus dimidio residui corporum illorum, quibus
P. hIc
parallelexipeda interibuntum, ve demonstratum est d. in libro de ductibus: aC pFo- d +1. DC
Peerea omnia simul sumpea exhauriane corpora quibus inscribumene, manifestum est
racionem planiparabolici A FaC in se ducti, ad planum parabolicum CFi na in (c
ductum, esc ad racionem plani parabolici CFur in se ducti, ad corpus ex plano pa-
rabolico A R FC in se ducto, veracio corporis orri exductu plani A F. a C in sC subal-
cerne, ad corpus ex ductuplani C Fna in se subalterne ducti, est ad rarionem plani
CFor inse ducti siibalcerne ad planum A F F Z in Pe subalcerne ductum, cum haec
ipsa corpora ine quibus paralle lexipeda fuerane interipra.
1ct.
cluvices supplebane.
Scuraribus;
lKOTOSIIIO ACI.
DArabola AE B aris sIEB C, MICCSKIOLB, C,, Qua sCCa
BA ducta ex verriceD.
Dicoleomentum B P. A ecelum ut le sccundum lincas L.D, LC eHe
ingulam parabolledu qua au Corpusrectilincum ei xqualereducta (IE.
IEK K
Demon-
o  et  s e1  t 1e   1e e 1e e e es e te  p e s  s p t    s   Ae a e e    e p t u t e s e  e te t . t et e e  e e 1t e e e    osi se isa

## Folio 1178 — 1815201908:1235
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001235.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
92
a
BPcI7.
Parab.
OV ADR A TVR A CTRCVLI.
rcta enim AC ordinatim ad qvet
anc lincis FD, FG aequales lince
NL BCVESinc ad argulos rectos ac
erit itaque ANOCs parabol2, e
uidem aqualis patabole A H B, cum OM
nia quadeata OMI. N L aequalia sine qua
dracisF D, FG, _c. Igitur parabola A F B
ductainse per diameeros ED, EC aqua
lis est parabole AOC, ducte in seper dia-
MCETOS OHIS NL. Incelligacurigitur dia-
Meter FDM Bitariam dividere lineas
AB, A C: productaque D B ad tangentem
BO, eric bF D aequalis RO; isiturs ex L
ducacur ordinacim P R 2d axem BC, erie
BK aequalis OF, hoc cHt FD, hoc est
OM: Ced _ linea F R aequalis est M C, vel
MA, isicur P BK parabola eadem est cum
parabola AOC; sed parabola P. BK in le
ducta, creducta est ad corpus rectilincum
ei aequale, isitur de corpus ortum ex (u-
Perticie A F B ducta in diametros F D. FC
reductum es ad corpus rectilineum ei x-
qualc. duoderacdemonstrandum.
eROPOSITIO LCII.
ABD, cuius diamerer BC, ad quam ordinatim PONANEUTFL. FIanE
vero rectis FF. aquales
FH in cxlindri superticie
de IUIRBANEuT P H.
Dicopuncta BHD eL
sc in eodem plano cum
recta BF. D.
AYlindriparabolici ABC D, basi inscribacur maximum criangulum
Demonstraiio.
quoniam FHIin superticiees.
lindri ducte lunc, isicurecialle
incer se aequidistant. ergo cum
EF, FHI equales sincincerle,
criangula F FHI similia Cunt.
vndereFFadB F, ica cAFP II
ad F FI. quare anguli PHIF
incer se aquales (unc: unde li-
nec F FI, lunc in vno eodem-
que plano cum recta B F. D, ac
proinde e puncta B, II, II. D.
Duoderatpropolicum.
PRO.
Voniam XF ordinacim
Policae suncad B C, isirur
incer se parallele lunc: vicerius

## Folio 1179 — 1815201908:1236
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001236.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
eY ADRATVRA CINCML
eROPOSITIO
c2C 111
IIdem poliris ducaeu amerro BO parallelE F I _ IUnGAnEUEHIR.
Dico limilicer puncta B, HI, D in eodem plano existere cum linca
monstratio.
Voniam aquidistane linee R F incer se, igitur anguli F R F inter se sunexquales
Vnde similia lunccriangula P F K incer le, et consequenter est R F ad F. F; ve
FK ad FK, sed vE D F ad F F, ICA Cx COnrUCTIONC SUnE F FF ad F FT. IGIEUF VEFK
ad F K, ica F FI ad PIli Simrilia igitur sunc eriangula K F FI. 2c proinde anguli FHIK
lunexequales. lsicur puneta B, FI. D in plano eodem existumr cum rect a B K D, hoc CA
LROPOSITIO XCIV
BLD.
BF D. Ouod oporcuic demonstrare.
Udemposicis:
Dicoparabolae seomencuns Di Dadctum in le per lineas E F piodu-
Ccrergutal Pataboam quae reducta eA ad rectilineum ei aequale.
Demonstratio.
Locopusrectilincum: sed linex  d LLB DLR Ad FR. IBIEUT F R, P. H uin
linea ducta in FII Prodel etiam rngulam parabolicam, ex quidem quae ad vn monstrat
sulam ortam ex duetu Li K in Cciplam, crationem habeat quam F IT ad F R, aC PFO - 93. huius.
inde reducta sc ad rectilincum. Scd R. F, P P, linex ductae in se producuncidem cor- cPer de
monstrat
pus quod FK linca ductx in IFI; cum linexe P FT d ostenla sine esse in codem pla - prop. 7. d
nocum IIK lincisi igicur _ P F linex duetx in F IY, huc superticies P. FD ducta cxlindro
ircul
in se lecundum lineas P. F, produciernsulam parabolicam, quereducta sr ad recti- Aver g2. 
lineum cixequale. Ouoderac demonstrandum.
93. Ariusi
Inex FK ductx in seiplas producunt arngulam parabolicam quae reducta est ad à ver ot
PR OPOSETIO XCV
Opotreat solido ex ductu plani ALD esprum, a quale solidum
exhibere quod balm habeat d alcicudinem nocam.
icparabola ABC aas acomssrece  l, dehgue aa
aequidistans F. B.
onstructio es denontali.
IX puncto B POHaEuE
BD, ordinacim ad
axem AD; ee ex codem
B puncto ducaturBF Co:
cinsens sectionem in B.
DicO AgUEA A F, B A.
in le ductam aequalem
molem producere Colido
habencibalim superficiei
AFB A, aequalem olci-
cudinem veroB C. huius
constructionis democtra-
tionem invenies libro de
de duedu plani in planum propolicione isu.
   . eu . e       e  .  u .    1.  i    e  . 1 1   1 .  1        11   1.    e    s 

## Folio 1180 — 1815201908:1237
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001237.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
do
QY A DRATYR A OTKCVFI.
ae i a a au b ac
arabolaaxem AB lccent orchogonaliter dux recta CB, DL: de lic
se quodplales bal celcamhabeacnocam alcirudinetm.
DC axi parallela
Oporcear denuo figurX FR C D in Se ductx, aequale lolidum exhibe.
Conso Motobroderoo
DOnacuxicerum, sccun dum praxim praecedenris proposicionis, C C contingens-
ctionem in C Occurrens D F: in puncto C. Dico corpus ortumm ex oucu planI
LDC in sc, aequari solido quod haber balim P eC, ex alcirudinen duplam recta
CM. Demonstrario endem est cum precedenti ex 169
eROPOSITIO XCVII
DArabea axem AB, secet orchogonalirer recta C F, parabolamque
tanoar in Alinca AB, ex C vero aucaCD parallela axi.
OporrcacHgurx D AF. C in le ductae, Colidum a quale proferre, quod
praecer balim nocam, conster dererminaca alcicudine.
Constructio es demonstratio.
delcribatu Balabola   adens ae AB a da al ium poncam
rectam BC. Dico corpus genirum ex ductu superlicici DCFA, in Cciplam aquale
eAC
Cilat C P. EGuanstecta DC, a ducacur F. D. Denique scBC dupla FectABF, _

## Folio 1181 — 1815201908:1238
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001238.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
ADR A FVR A CTRCYLB
esesolidae magnicudini qux ConsTaEBASI E. D A G F, ex alcictine D A. FA enim pla-
numi D CF A. in lc accum aequalo corpori ex HLB F in le ducto (quod aequacUEIO-
Iido super baA criai lati DR. C, ec alcirud  ve demonstracum a est libro a Per 161. do
de ductibus plani in pracem) mul cum rectand a1o. D A B C ducto in se quod equa-
tiir solido habenci balim D A B C. _x alcicudinem A, una insuper cum solido quod
GenCTaTUT Cx D AB C cib AB F bis, hoc cusoehabenti basim ABG, que
dupla est iphus B AF, ve pacet ex libro de parabora, b de alcicudinem D A. Ig1- b Per Co
dincD A xquatur Conao quod oritur ex ductu plamt DCF A in sciplum, expediui.
mussolucionem problemacts proposici quond paructhanc.
Ouod si vero poltuletur, solui problema in calu FLTFC, quo reguiritur londum
Bicur reprius Colida MRgHIEHdO XGHAIIS HBuTa FTTEC in scipsam ductx. nam soli-
dum habens basim F RF G:, _ alcirudinem D A XQUATUE FLFF C dudoin se se-
cundum cenorem proposicionis univertalisc quam libro de ductu plani in planum cper 46.
demonstrauimus.
um exhibere, quod decerminata conster bah ee noca alcirudine.
educt.
H. 240.
tuE cum AguTA FD A C F aequalis sic Daubus Omum figurarum quae cum alcicu- parab.
extriberi re prius quod aGUCEUE ADUIEX FI TF C in sciplam ductX, DONAEE AD qux
aequidister HII; e producta CFI in D, repecatur praecedens constructio ex habe.
5ITIO X
OIEA CBTC parabola cuius anis DD ee concingens BF, ari pacalleta
DE A; _ Agura AE. M subalcerne polica cum Agura B F. A, C.
Oporccacigieur hgurae AF. Sil auclamigutam BL. AC, aqualeloli-
Constructio es demonstratio.
exe BF A C+ in Ce subalcerne dimidium sE corporis Orei Cx duc B C. H IL In le. de duct.
Sed corpus orrum ex duceu superticiei B G AFI ducre in le, l diuictatu per MICAn
AB Bitariari, equale est superhciei B G A NI ducexe in se, BDT A HT duca IIC, 10C
elaperhciei B C A DY bis in se ducex ona cum superticie B C A Dbis ducca in pla-
A BH AFT: igicur cum corpus ex ductu superticici BF A C in Ce lubalcerne du
ecaamidium sic corporis ex duecu superticici B C AII in Cc, cciam aequale eA cor-
Pori quo bricur ex superticie BC: ANY in se, simui cum plano BC, AN ducro in
BILLI. Hicie cum corpus quod oricur ex duecu BC: AN in se, creduccum sic ad c Per gt
corpus habensiceca aum ee nocata alcicllamom, elal Coipus oicute adenim
Scensum est d quo d corpus orrum ex duatu NIA B in BF A G, huc ex ductu tgn = d erop. 112.
superticici BCAN in Beu al eo Gudbam decerminatam
habent de alticudinem. Sieisicurs
on

## Folio 1182 — 1815201908:1239
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001239.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
2
QV A DR ATV R A CIR CA L L
eROPOSITIO XCIZ.
Sica cadem AgurE.
Oporceac Eourx parabolice BG AN ductae in Aguram BN AII,
abridum aequalc exhibere, quod pracer balim dexerminacam, habeat alci
cuamethocam.
Constructio es demonstratio.
Slumaneur alie duxe semip ara boIX IDAICernE POSITX ABC, D P F, quxe in se du-
baCi sem elliprica K HI e alcicudine C, quod posse heri pacer per converlam 2r0. de
parab. de Per 45. de ducr. icem e PonC7S. huius. Quoniam isitur B K ducrum
KM duccum in parabolam R B, ad Palaltesepipedum est reducrum, sicuc enim pro-
modo dilpolicum produetis anteatem, ita quoque maneu en per ate
ncum ceduximuS. LCadmme   ia d lo afudte  L
ducro
LLecx proterane solidam magnicudinem aequalem illi quam exhibet eylindrus ex
in KE, aquacur moli corporeae ex baHK II, _ alcicudine C; ex quoniam criangulum
Pol. 27. de ducc. octensum eMt ex cali duccu lesmenci circularis in criangulum hoc
duccum producirnoua pacabenc a guan prop. 33.  ar. 2d corpusrectili-

## Folio 1183 — 1815201908:1240
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001240.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
QV AD R A FY R A CTR CVLI.
+ +. 3
ducto in K MI, dc L. R in MF; de MMIS quoniam cubacum CR COrPUS ex ducEu L K
in KMIPerS. de ducc. eriam corpus ex ductt L.K in Me Celctm est ad corpusre.
crilineum. ponancuricaque illa duo corpora lcilieel ek MKMRB, d eE Me
KL, xqualia solido habenei balim parabolicam RI de alcicudinem G. NTK in RB.
Vna CUIM. EMI in RB, (HOCCSVHA CUM F MI in RC, _ F M in LB,) aGuALIE R H
in RB, Hocest FTK in alcitudinem . sCd NER in R B, Cum E. MI In. R F aquaTUE
IK in alticudinem C. Ergo reliquum PM in L. B, aquacur reliquo LIY in alcicudi-
nem C. Ouod oporruit peaectare.
P R O Y
ele Pataeota
L axis LLB, aut
quem ordinarim
ponatur GH, CD:
eC F, axi aequidi-
Uec; lglta velo
OF Cponacur (ub.
alterne F. CF X-
qualis ee limilis.
Opolctac au
corpori ex cuctu
EGC in ASULaM
parabolicam F. CP
producto proterre lolidam masne aualem Ilae determinaran
quidem habeatbalim, ec nocam aliquam alticudinem.
PErhctacurparabola L L, eiulque
vettex sic punctum Ls recta ve-
ro TKilliusaxis, ex IP contingens
in I: quemadmodum A K par ab0-
lam AC C concingitin A. cricica-
quie parabola AOP parabolX
LIK Subalcerne polica; e quo-
niam F P. C aequalis ac limilis est
HONEX GF C, PATCE B A eNsC X.
qualem NI_ AO aequalem IM
hoc eAB P. Piac iraque parabola
AOP aequalis R S F, cuius axi
R V consticuatur parallela XT.
_e RY, Z. V incer se quidem X-
collocecur parabola X r  lubalcerne cum R S F, _ ducanEUECoK, ∞B qux aequidi-
Aenc X l. cramc roreurnaB aGuates uomanonmac CP. CM au
rem prop. 9d. d99. Auus outbuu. Cuttonca WaamhabeDa aclerm-
nacam R hoca iltiuaem, Egllale il Corpus quod orirur ex ductu plani rsconin
orn2. ergo cllam Csus Cuoee decea asssce acalinis aquale (CXScoin
ovnr, vua  i st     st eet i eins.
ledX ScoIM orny aeGNACUE v S c 1H 0YB, et n Sc IH ornB. EtGO IMMa COrPO.
rum que Ac ex x S co in oy B, ee ex xS c I ornB, e ex rncon in orny, reducta est
ad solidum decerminacae balio ee alcicudinis. sunc autem ex lummatiorum erium COF.
Et tind
Conpructio eS demonstratio.
quales sine, led de aequales O A vel B P. Peiris deinde Yu, Z. p ordinarim ad axem.

## Folio 1184 — 1815201908:1241
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001241.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
Partes.
parab.
210
QV ADR A TYR A CTRCVLI.
Porum, duo reducta nimirum x Sc in srnB, cum quadraca a SIc AigUTA X SCo e
recon in srur, cum quadraca similirer sc fgura svyy. Ergo ec reliquunt qlodhe
ex xSa in 5zB, reductum est ad solidum dererminacam habens ba M dc 
dinem. Quodetat propolicum.
PR O POSITIO CI
denuo AB axis parabol.
e CO axi aequidistans. DC
ad quem sine ordinarim polIteF F, CD.
de consticuatur aqualis ee limilis A8Ca
GC. FIL lubalterne cum Agura GFDC.
Oporteat quoque superticiei GFD C in OIFI C ductxe extribere x-
cam alclludinem.
qualem magnicudinen habentem praecer balim decerminatam, etiamnO
Constrmdide israto.
C Pario
parab.
Scentum et cus propotuom eflindei sic aequalis magnieudo Colida quae se
atu plani Ot D i plalum CrC. M L. Quod heri poterst, cu s
quadrata (c. Ouia aurem corpus ex ductu OBCO inplanum L, N HL, Xqualc est
CIdEI COTPOTIOTIO CX OFDB in GCM T. adiungatur rectangulum S aequaleR
rectangulo, quod ductum in alcicudinem O aequerur R ducto in O. Tandem ad-
iunsatur rectangulum T, quod eriam ductum in eandem alcicudinem O, XGuCeUE
Parallelepipedo quod signicur ex ductu plani GOB C inseipsum seu in planum
etu GFDC, ducto inlelubalterne. nam GF DC ductum in GCHIL, aquaTUE
FOBD in LITML, (hoc CA P in 9) simul cum FODB in OCML, (hocC
in 9) cimulcum OCC.B in IL. MII, (hoc CAS in 9) unadenique cum rectait.
sulo OCCB in L. OCM ducto, Scilicet P in alcicudinem Q. quare pertecimus
Quod requireBAEUT.
ex ductu plani OFDBma ae, Ho ca la planu Lmles bo
8erop. 68. nacur itaque porrio illa cxlindri duans cerpors quod habet balim circularem
P, de alcicudinem O. hoc taco acctatur huic bal P rectangulum R, quod du-
ctum in alcitudinem o procueat palalteppedum aequale Colido quod Ac ex du-
CCML. criticaque cora sapelcles lRS I ducta in alcicudinem  producens
Colidam magnicudinem delueratam, x qualem illiscilicet corpori quod orieur ex du-
eROP OSITIO CII.
Mbao Iaqueto apPoulis propolicum lic plopoctoncta citella
  aC 6am FacerC.
Constructio

## Folio 1185 — 1815201908:1242
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001242.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
eY ADRATVRA CTRCYLI
Constructio e5 demonstratio.
R Elumamus itaque ad hoc prestateum siguram vniversalem propoltion. 8. +. quod
estfundamencum eur specularionis huius cardo innicitur. extribica icaque est rario
corporis ex AF aC Plano in le ducto ad corpus ex plano C. F nae in le ducto relultans;
cum a veraque ad corpus quod alcitudinem certam habet ee bales nocas reducta linc:
praecerea extribita est proporcio incer corpora producta ex superficie C For in le huius.
ec
ducta, ee solidum ex ductu superticiei AP PC in sciplam, cum hac criam ad corpora
6
reducta sineb que precer alcicudinem baleshabene vocas. Pgicur exhibica est propor- B Per 97.
eioincerhas duasraciones, hoc est incer rarionem corporis quod sic ex ductu plani huius.
AF aC in (c. ad corpus quod oritur ex ductu plani CLina in lc, d incer rationem
quam habet solidum ex ductu plani C For in (c, ad Colidum ex ductu plani AP F C
in sciplum. Verum criam cdemonctracum cA eandem ese proportionem incer rario- c Pergo.
nes corporum qua signuntur ex ductu subalterno carundem figurarum, hoc est incex huius.
racionem corporis ex ductu plani AFaC in planum AF. B, ad corpus explano para-
bolico C Fna in planum parabolicum CFZ, de rationem corporis quod Oritur ex
ductu plani C FoF in planum C F c, ad corpus quod hc ex ductu superticiei A F FE
in AF. D~ cum proportione qua cs inter rationes corporum quae huine ex ijIdem A-
suris ductis in (c. quare cum proportio quae cA incer raciones corporum genicorum
ex Rouris illis in le duccis, noca quoque eric proporcio quam incer le habent raciones
1
corporum quxe hunc ex subalcerno carundem fisurarum ductu. Igitur cum dhaec vlci. 100. 101
8
maforpora reducta quoque sint ad solidas magnicudines, quarum bases habenc cir. huius.
culdres Aguras, ex vnam candemque communem omnibus alcicudinem, cademrepe-
riecur ratio incerhxec corpora quae incer bales eorum exicter, aequeica ratio circuli
d rectilineum reducta eric, prourplenins ex qua dracura quarea dehuc incellisecur.
     .  1 1 1.    t         a  .      .  e t  u          ute       u    1  . e    . 1  1 1

## Folio 1186 — 1815201908:1243
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001243.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
2106
QV ADR A FY R A CIR CYL I.
am
 ile den
A
t
L
R A TVR
LOFOSIIIOCIIL
 Ic AB axis parabolae C AD, cui xquidister recta M N diuila
 c
per parabolam inC, cumprilq; aequalibus CG, C F; irem CO,
ou de puncta C, F, ita O, S ordinacim ad axem re-
Dicorectangula  GL, L. L. D tore dgltallas irem rectangula POO.
2ST.
Demonstratio.
Eilacenim C. R media incer CF.
GI; _ OX media inter OP,
O9. icem FP, S V medixincer
P F, FD, _ RS, SF. ostensum
aest CK X, ireM CL V esse pa-
tabolas, X quidem CL. V aequa
lem plane bparabole C AD. Con-
curracicaque parabota C I. V cu
aXC AB in Z. manifectum cAt.
R ex Z ordinarim ducatur Z. V
ad axem CNV, aequalem eam F0.
reordinarim ducta ex C ad axem
AB, (cilicet aequalem CB; quare
CIIMI CF Z, CAD paraBOIX CX-
dem sinc, manifectum est aXCS
AB, CN agnales esse. Manite.
cum eA eriam ex construction.
Darabolam CKZ CTanCIEC PeF
A: naM EX A, duCaeUE A HL paralleta G K, eansCE c Ca parabolam C AD, itaque
deer +4. de cum drectanoulom FTGT sic ad quadeacum A.MI velinea C C ad CMI, etiam qua-
dracum C K ad M A quadracum crie vE CG ad CMI. PaTCE ItaqUC CR X parab0-
Ia ExANSIrC per A, ex quidem A MI vei _ C R ordinacim cric posica ad axem parab0-
Ix CR A cum sincad angulos rectos ductx ad axem AB, AC PFOPTerCA A NI ~qualis
erit BC, _ MC aequalis AB, hoc eAt CN. aqualesicaque rurlus sune parabolx
CRA, CF Z, quare e quadratum G K quadeaTO F P, X quadracum O X quadra-
co SV, aequale cric. manifectum igicur eAt eriam rectangula HIGL, DFD, icem
POO, SRT esse aequalia. Ouod erac demonstrandum.
PR OPOSITIO CIV.
Darabole C AD axis SIE A B, quevis aurem diameter C C F parabolam
secerin C; Factis deinde C G, C F incer se aequalibus, vrei e GO, FS,
irem OK, SL. _ (ic deinceps, per puncta C, O, P, 5, acc. ponantur ordi-
narim ad arem OG. 6 h, L. D, R M, et C. lecanres parabolam in R, C., tl. P.
icem
Por 339
BPOFY5L
e cylind
Bodoid. e
C PerYS.
arab.
parab.
 AC GI, F. D; OO, R T

## Folio 1187 — 1815201908:1244
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001244.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
VADRA TVRA CTRCVEI
item in O, I, D; I, ac. ex quibus punctis educancur parallelx ad axer, Per-
Aciancurq rectangula K P, OHI, ES, R L; irem K G, OI, FM, SH.
Dico rectangulum OHI ad rectangulum E S esse verectanslilum FNI,
adreclans alum OI: e rectangulum IE P esse ad R L, verectangulum SN
1187
ad KO rectangulum.
Demonstratio:
Droniam CF, CCirem CO, CS equales sune, isieue a rectangulum H O L, X. ~ Per 10)
Lquale esrectangulo R F D, aC ProPrerca GFI cst ad R F, _ FD ad GI, sed huin.
rectanoulum OFT cA ad rectanoulum F, S, ve G: HT ad F. F. e rectangulum FM
ad rectangulum OI vrFD ad GI, cum alcicudines exdem unc ex constr. isicur ma-
nifectum est rectanoulum OTI ad F S, rectangulum esse vi rectangulum FN 2d
OI. Fodem prorsus modo ostenderur rectangulum R P ad RL, esse verectangu.
lum SN ad KO rectangulum. Due Fuerant demonstranda.
IIdempostis:
eROPOSITIO CV
Dicoparallelepipedum quod orieur ex ductu rectanguli O FTinle, ad
id quod orirur ex ducru F. S in sc, eandem habere rationem quam paral-
lelepipedum ex ductu recransuli F. M in Se ad parallelepipedum ex ductu
Ol in sc.
Demonstratio.
Darallelcedu orcuim ex duccureecaguli OFI in se ad parallelepipedum orrum
ex ductureccanguli FS in sc, eA verectangulum OFI ad rectangulum F. S, cum
alcicudines aequales sint. Scd b eadem quoque reperitur proporeio incer bales paral. BPor 104
elexipedorum que hiunt ex ductu F Mreccanguli in se, ee ex ducturecransuli C. l in hulu
sciplum. Isicur pacet veriras proposirionis.
Corollarium.
parallelepipedumorcum ex auctu a L. inlc clle recorpus orcum ex duceu S Nin
EiOdem modo demonstrabitur paraltelepspece Ca avclu rectanguli K P in le ad
  e .   t Ate .  . t  te . e   e ta  e e te  t. Ate e 1  t  i e e 1 5. 1. ste  us  t 1  1 e  1t. 1. e     e 1  1  e   1e 1   1s. 1 

## Folio 1188 — 1815201908:1245
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001245.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
QY A D R A FV R A CIR CVLI.
e ad corpus orrum ex duecu reoranguli K O in (c, imo ee de omnibus paraselepto.
pediSquBLADAIESAGUAHTEF A PUNCIO C alaC LC b_O BIEEHDEEH
PROPOSTTIO CYI.
1108.
IIdem manentibus:
Dicoproportionem quae est interrationem corporis ex ductu OH
in se ad corpus ex ductu P.S in se, de rarionem corporis ex ductu F Min se
adcorpus. ex ductu O I in se, eandem esse cum proportione quae est inter
rationem corporis ex ductu plani IE P in le, ad corpus ex ductu R L in lc,
ee racionem corporis orri ex ductu plani SN in le, ad corpus oirum ex
ductuplani K O in (c.
Demonstratio.
er 105. J) Emonstracum est a quod rario guX CRinteT COrPOPA OrEA ex ductu OH in sC, _
F S in se, eadem sc cum ratione quae est incer corpora ex ductu FM in Cc, e
plani OI in Cciplum. Similicer octensum est quodrario quX ClInCCT COTPOTAnACA CX
ducto KP in sc, d ex ductu R I in (0, cadem sic cum racione que eltincer corpora
Orta ex ductu S N in sc, ee ex ductu KO in (c. loicur cum verobique sic ratio Zqua-
licaris, manifectum eA quod in propolicione tuerac asterrum.
IIdem politis:
PROPOSITTO CVTI.
LDicoproportionem quae est inter rationem corporis orri ex ductu
OHI inse, ad corpus ortuni ex ductu K P in se, e rationem corporis orri
ex ductu plani F. S in sc ad R. L in se ductum, eandem ese cum propor-
tionc quae estincer rarionem corporis orti ex duceu FM in (C, ad corpus
ortum ex ductu S N inCc, de rationem corporis orri ex ducru O l’in se,
ad corpus orcum ea duccu pluni t 8 in le.
buius.
Demon.

## Folio 1189 — 1815201908:1246
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001246.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
DRATVRA CTRCVLI
Pro hac demonstratione
surpetur ficura hic appo-
sita, vt e in proposicio-
nibus parina praecedenti
ibidem per orrorem rs
sa est.
positis, non vero illa, quae
Demonstratio.
Scendus aigitur Proporrione qua est incer ratione corporis orri ex ductu pla- a Perro6.
ni OHmse, ad corpus ex ductu F. S in Ce, ec racione corporis orci ex ductu L. NX huins.
in se ad id quod oritur ex ductu OT in sc, eandem esse cum proportione quae cA in-
cer rationem corporis orti ex ductu plani R P in (c, ad corpus est ductu R L in lc, et
racionem corporis naci ex ductu S N plani in sciplum, ad id quod ex plano R O in (0
ducto exsurgic. ergo permucadob proportio quae cst inter racionem corporis orri ex b eer 4+.
ductu plani OFI in (c, ad F. S in se ductum, et rationem corporis orri ex ductu de propors.
KP in sc ad id quod oritur ex ductu R L in sc, eadem erie cum proportione qux est
incer rarionem corporis orri ex ductu plani EM in (cad OI in le, _ racionem cor-
Poris orci ex ductu S N in (e, ad id quod ex ductu plani R  inle, exsurgit. Quare
cetiam proporrio qua est incer rationem corporis orri ex ductu O HL in le, ad Corpus c Por 59. do
orrum ex ductu RP in Ce, ee rationem corporis orri ex duetu F B in le ad R L in CC
ductum, eadem est cum proportione quae estincer rarionem corporis orri ex ductu
FM in Cc, ad corpus orrum ex ductu S NY in (c, de racionem corporis orri ex ductu
OTinCc, ad corpus orrum ex ductu plani K O in (c. Duod erac demonstrandum.
Corollarium primum.
COdem plane modo demonstrabitur quod proxorrio qua est incer rationem cor-
Lporis OrtI CX duCEu RP inse, ad corpus orrum ex ducru X Y in lc, e racionem
corporisorri ex duecu plani RI. in PC ad a V in se ducrum, eandem esse cum pro-
Porrione quae est incer rarionem corporis orri ex duetu plani S N in le ducei ad ic
quodoricur ex ductu P. x plani in (c. e racionem corporis orei ex ductu KO in sc ad
XZ in se ductum.
Corollarium secundum.
Tem ex demostratione constat quod proporrio quae est incer rationem corporum
Lorrorum ex ductu OFT in (c, _ F. S in lc, de rarionem corporum ex ductu RP in
Tc, de R I in le, candem esse cum proportione qua est inter rarioneS COrPOrUM CX
ductu FM in Ce, e OI in se, ee rarionem corporum orcorum ex ductu S N in le, de
KO insc.
Corollarium tertium.
Mo eodem modo osendecur proportionemeationum qux est incer gua libet qua-
Leuor corpora, eandem ese cum proportione racionum qua cs incer qualibet qua-
cuor corpora, modo Bina corpora prima Periei aequidistene, ac bina alia corpora pri-
mx seriei a puncto C: e rurlus bina corpora secundxe seriei aquidistene a puncto
C, acbina alia corpora eiuldem scrici.
MMM
Figura
ropor.
a

## Folio 1190 — 1815201908:1247
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001247.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
21g0
QVADR A YVR A CIRCVF. F.
Ficura niversalis pro sequentibus propositionibus.
Fieurae parriculares.
re

## Folio 1191 — 1815201908:1248
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001248.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
ALDRALVKA CIKCFEI
Constructio Ficurae vnuer als pio sequentibus propositionibus.
IE AB axis parabOIX C A B. Cu equidister diamerer P P Bitariam divila in C.
Sumprisque C CF, CH aqualibus; dini(que GF, FIF in guacuorparces aquales,
ponantur per puncta divisionum Adinacim ad axem, ex perticiantur parallelogeam-
ina BK, L,MI; iceM IN, R O, LL, MO: ex rectangula R, S, F, V, iceme X, ∞Y.
XZnc. Denique ponatur figura patabolica LKE M subalerne in By d a. limilicer
Tubalcer ConsicuaEUE F. C ( N, In P C2 p. Pandem figura parabolica TIF xv
subalcerne ponatur in HFne, vei er Rgura HI FcX subalrerne consticuatur in HL F aB,
de incelligantur parallelogramma rique pertecta.
Constructio Ficurarum particularium.
TT clarius in sequencibus procedamus, cransferaneur rectangula qux in (chemate
onivertali sunc incer parabolam C A, diamerrum B C F, _ parabolas subalcerne
Policas in schema parriculare primum, ee corpora orca ex ductu rectanguli M in (C, I.
inse, K in se, Tin le, irem corpora orca ex ductu rectansulorum R, S, Y, V lingulo-
rum in Ccipla, vocenrur corpora M, L, R, P, icem corpora R, S,T, V. Icem cOrpOTA
qua nalcentur ex ductu rectanguli M in a rectangulum, rectanguli L. in d, rectangu-
li K iny, rectanguli LIn B, VOCENEUT COrPOTAM N, L. S,K V, LB linc addico, vei d COr-
Poragux exturgent ex ductu recransuli R in e, S in O, T IM H, V INM, VOCENEUE COE.
Por2Re, 50, I X, V y.
In SecundUM VETO SCHEMA FeLCFANEUF RCCFangUIAMO, L. P, RO, IN, icem eZ.
Z, x Zi n c ac reccansulo quidem M O in schemacerniverlali, licae quale reccangu-
Jum 9, in secundo schemace particulari: reccangulis vero L P, R O, IN in vmuer
Tali, aequalia sine recrangula, P, O, N in secundo parriculari; icem recrangula X, Y.
Zoaqualia rectangulis eX, 0 Y, dc. Denique reccangulis  n, Ed, vγ, pB; DR, DS.
bT, aV in ruiuertali, aqualia ponancur in parciculari lchemace , E, V, 1; 6, P, V. a-
AC corpora quidem que nalcentur ex dueru reccanouli in le, O inle, Pinle, N in
Sc, irem ex duccu reccanguli Z in (C; Z in (C, Z in lC, WIN LC, VOCENEUF COTPOTA O. P
OH, eC. Irem ea quxe exlursent ex duccu O in v, ex P in 5, O inr, N in pu, _C. Vo-
oencur sinc addico corpora ∞, PE, Ov N p; = B, XD. L. Y, coa.
PRCtSFL1O
L
Llis poliris:
Dico quod proportio qua cA incerrationes corporum Mn ad R e
X XB, ad Da, candem ese cumm proportione quae est incer rationes cor-
porum Ld, 2d50, ∞ YP ad PE
Demonstratio.
cranguli ZadO hoc estrarionerca Mdd k, d ex cactne recranguli d ad pajus
 HOC CsBN ade, F ademisitur es raTH CMIPOTIS M N ad RG, Lrario corporis Z B D Percand
se cum latione quae est incer corpera L’pu P3. Hamcurlus tacto corporis Ld ad50.
componca est ex ratione recranta L alS. d reccanguli d2d0; LaII ducem cOrpO
ris YP ad PZ. ex iildem compolies cponicur enim ex ractene recranguli Yad
P, chocestrectanguli L. act sealsoherecranguli  ad rectats  Hoc C CTerm
recrangulidad0. Cua rtobique rationes exdem sinc, cric proporcio quxe est
inter ratiOneS COrpOrUM MIN, 2d R e, X Xd ad O , eadem cum proportione quae
est incer rationes corporum L. d, ad 58, e 2 ad PE. Quoderat demonsrandum.
per 104.
Tamratio corporis MN ad R P, composica est exratione recranguli MI ad R, et
recranoulin ade. Icemrario corporis Z8 ad O  compolica est ex ratione re-
2d 0 0. Fodem discurlu pacee racionem quae cst incer corpora L de 50, candem es-
MMMM 2
rigura

## Folio 1192 — 1815201908:1249
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001249.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
1192
240122CeaCt
Ficura oniversalis.
harle particulares.

## Folio 1193 — 1815201908:1250
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001250.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
EtADRAAVRA CTKOFEI
Corollarium.
Vod de proportionibus hatum rationum dictum est, id eriam in quibuluis sub-
Ldinisionibus incellisi rolumas, modo corpora debito modo sumaneur, hoc est
Prouchic lumpea Cunc: nimam aserimus, quod proporcio, quae est incer rationes
Corporum L. d, 2d50,  X4 ad P E, eadem sic cum proportione, qua est inter cor-
POraKY adTX, e Z i ad OV. Uceadem cum proporcione, quae cst incerracio.
nes Corporum LB ad Vi e co a ad N in cumin his sc cadem demonstrario. Idemejue
in sequen proposicione aduerrendum elt.
eu
en
1F1O CIX.
Dico quod proporit sua eHt incer rariones corporum MIn ad R B, _
Ld ad50, eadem (ic cum plportione qua est incer rationes corporum
Demonstraiio.
Emomracum cst prxe cedenti prop. quod proporrioque est inter rationes corpo-
rum AX ad R e. _ ZD al  W eadem ic cum proporcione quae csincer ra
tiones corporum Ldad 55, _ Zp ad PZ. Igitur permurando a etiam proporcio a Per
GUX CIINEEFFATIONES COrPOTUM MI N ad R e, et L. dad Ss, cade CFIE CUIM PFOPOF. Propor
eione que est incerrationes corporum XB ad , et Y 4 ad PE.
Corollarium primum.
TAnCeciam proue in Colottatio 107. dictum, ad alias proporriones religuorum
Lcorporum excendi volumus modo supra dicto.
Corollarium secundum.
ac
TInCTurSuS colIIGC quOA PTOPOREIO qUE CsZIEEF FAEIONES COFPOTUM MIN Ad. L d, b59. ero
Le Re ad 50, eadem hr cum proporrione quae est incer rationes corporum Z B pori
ad YP, e O a ad PE.
t prtcto
XB ad Q on _ Y∞ ad PE.
adem policiss
EROP OSIT
CX.
Dico quod proporrio quxe ess Interrationes corporum MI ad R, _ L
ad S, ad proportionem qua cererrationes corporum X 2d9, e Y ad
P, Cc ve proporrio quae eltinceltaciones corporum M n adRS, & L d ad
50, et ad proportionem suu eincer rationes corporum XBad Qa, dt
X∞adPG.
Si cadem sc cuproporcione que eller rariones corporum X ad 9, e Y ad P. prop. 107.
Similiter demonstracum est d quod proper que est incer rationes corporu M X S10g. h
ad R e, e L dad 50, eadem sic cum prefecione qua est incer rationes corporum ZB ins.
2dw, d L 4 ae 15 utu prpenciones quae inter le comparaneur xe quales
SInE, ConstaE quod proporcio quxe CstInCEETaTIONES COrPOrUM MI ad R, e L ad S, ad
proporionem que est incer rationes corporum Z ad0 _ Y ad P, GC Ve proporcio qux
estincerrariones corporum Mn 2d R8, d I dad 50, cst ad proportionem, que est
incerrationes corporum X6ad9 , et YP ad PE. Ouod erac demonstrandum.
MMM 3
Figura
monsotatio.
DScensum est Cquod prOPOrTIO QUZ CIL InEEFFATIONES COrPOrUM MT ad R, _ L ad . Corot. =
A   a at e  e     1 .  1    . . . at t 11       a  u       u       e .   uee uspe so spunu

## Folio 1194 — 1815201908:1251
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001251.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
QVADRAEVRA CIRCVEI.
Fieura niversalis.
e
2194
di ivociup nem bie. Se it 
pde tit oa
a
og
ne
quedenonr

## Folio 1195 — 1815201908:1252
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001252.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
LaKaKa etKC
1195
Corduutum p.
TIncreAtC CTIaM INFerES qUOd BFOPOTHIO quX CAL InEEE FaTIONeS COrpOruM M ad
 RadS, ad proporie qua Cleincer raciones corporum Z ad Y, ex0 ac
P, lc reproporcio, qux est incer rationes corporum MIn ad L. d, d Re ad S 8, est ad
proportionem que es incer raciones corporum X6 ad Y p, ex 9)  ad PE. nam ruT-
sus aproportio quae est incet Lactones Corporum M ad F, d R ad S, eadem est cum a Por1O7
proportione quae est incet acones corporum X ad Y, XO ad P. Ex aICCTA VeRO par- huius.
re octensum est b quod proporcio qux est inFEx ratIONeS MN ad L. d, _ R8 ad S5, B Per Cor
eadem sic cum proporcione qua est incer raciones corporum Zd ad Y 4, e 9 W ad 2. 109. hu
PZ. Constatigieur veritos Corollarii. quam eciam de duabus sequentibus proposi- im.
rionibus incellisi volumuS.
Corollarium secundum.
Odem modo ostendemus quod proporcio qux esincer rariones corporum M ad
R, _ X ad 9 ad proporcionem qua est incer rariones corporum L adS, e Y
adP, sic re proportio quae estincer rariones corporum Mn ad Re, ex X6 ad 9 W
cAad proportionem I dad 5o, e Y p ad PE. Ccilicerper propolitionem iam pos-
cam, rarionelque permucando per 44. de pFOpOTE.
P R O P O S IY1O CX1
Idem poticis:
Rurlus dico quod proporo eux eAt incer rationes corporum M ad
R; _ K ad T, ad proportionem qua estincerrariones corporum X ad0.
e7 2d0, (ic veproporet sux cstincer rariones corporum M a ad R e, d
K, ad Fu, estad proportionem quae est inter rationes corporum Z0 ad
Demongratio.
20, a L42d
Emonstratum est enim c quod proporrid quE CA inFEFTatIONES COrpOrUM M ad, du C
L, _ R ad T, cadcMC proportione qua estincer rariones corporum X 3. 107. bu
ad 0, et Z, ad 0. Similicer ostensum est d quod proporrio quae est inter rariones ius.
COrpOTUM MIN ad RB, X Ry ad Tu, cadem sc cum proportione quae estincer rario-  Corr. V
rop. 109.
nes corporum XB, ad 9, e Z. ib ad Or. leaque cum irerum proporriones que in- huius.
ter se comparantur exdem line, constar reritas propoliriouis.
EROPOSIIIO CXII
Icerum dico quod proporricua cu lucet Laltontes corporum L. aa
IIdem potiris:
S, _ I ad T, ad proportionem qua eltincer rariones corporum Y ad P
X L adO. licreproporrio. qua Mlinter rariones corporum L dad 30
eKr ad Tu, est ad propettionem, qua estinter rariones Cotpol L
ad PE, X Z Y ad Or
Si Adem quae suxerior.
Demonstruta.
Scholion.
E longiorsim in ysdem demonstrationibus semper repetendis, idem intelligi volumus de
quibusuis aliis proporiionibus corperum subdiuisorum; modo corpora eo modo sumantur,
Pruc h sampta suter
F
iete ete rais it estit e pee  e e e e  e e e  . e e    ut qute 1  t    e  e e   tes  e  1     t t  1 te e 1  ed 1 te    t  p s i

## Folio 1196 — 1815201908:1253
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001253.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
3196
eDADAA XVEA CIREVEI.
Fixura oniversalis.
Figurae particulares.

## Folio 1197 — 1815201908:1254
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001254.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
ATVR A CTF
VI
Anencibus sjidem.
Dico quod proporcio quae elt incer rationem aggresari corpo.
Fum M L, K, I, ad agores atum corporum R, S, T, V, e incer rationem ag-
Bresaticorporum X, L, L, a, ad aggregacum corporum O, P, O, N, cadem
sic cul proporrione qua ell inter agoregarum corporum Ma, L. d, Lr
B, ad aggregatum corporum R8, 50, Tn, Vn, e incer rationem aggre-
saci corporum XB, P P, L. Ya, ad agoregatum corpOr O , PE, OV, W .
Demonstralio.
DPHCIEUESUS VIZ HaNE pTOPOMTIOHEM ACIONIEFABIUS. LRIMRCHEPEF PEOPOL. LC-
cundam de Conoidibus AcMM: Secunda per prop. Lemmacicam 54. luius libri.
Prima icaque Ha dC demontrabimis. Rario corporum M ad R, ad rationem cOrPO. per Corol
rum L ad S, a est veracio corporum Z adO ad rationem corporum Y ad P. Icem 2. prop. 107.
eodem modoratio corporis L ad S ad rarionem corporis R ad P, est veratio cor- huim.
poris Y ad P, est ad rationem corporis Z ad O. Denique racio corporis R ad T ad
racionem corporis I ad V, cA veracio corporis Z ad O, est ad tacionem corporisco
ad N. Aeque sic primam Archimedei Theoremaris parrem absoluimus.
Cum vero ostensum cb quod raclo corporis MI a 3d R B, eadem sic cum rarione BPer de-
constrata
corporis X0ad Q_ demonstracum vero scceriam quodracio corporis M adR, Ca - prop. 106.
dem sic cum racione corporis X ad 9. erlam spermucando rario corporis M ad R, ad huius.
Per 105.
rationem corporis MIX ad RC, crit veratio corporum X ad9, cst ad FatIOHCMI COF. hmius
porum XB ad 9W. Fodem modo ostendecur racio corporis L ad S, ad racionem d Per 44.
corporis L dad S8 esse, veraris corporum Z ad P eHt ad rationem COrpOrum Y D Proporc.
ad PE: icemrario corporis R ad T, ad racionem corporis Ry ad Fu, erir ve racio
corporum Z ad O estadrationem corporum Z ib ad Or. Denigue racio corporum
Pad V, ad rationem corporum LB aet Vn, eris verario corporum co ad PY, est ad ea-
sicuripse recté infere quanticares aggregari primi ad omnes aggresari secudi eMeve
omnes guantieares cerrii agoreraci lune aclomnes quancieares aggregaci quarti, ita e
nosinferimus omnes rariones COrpOruMad R, L adS, K ad T, Tad V Choc estratione
aporeonticorporum HI, T, K, Iad aggregacum corporum R, S. T, V) cAe ad omnes
rationes corporum X ad 9, Z ad P, Z ad O, c ad N (hoc est ad racionem oggresari
COrpOTUM L, L, L CAdABBEEBACUM COrpOTUm Q. P, D, H) VEONeSTatIOnES COT.
POrum
tionem corporum c a ad NVu.
Tgitur cum lx rationes omnes ica mpea e ret suaetaces ap eelle,
(     uon               1. 1. . .   e              m u m

## Folio 1198 — 1815201908:1255
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001255.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
1298
Or, NTu. Ouod erac demonstrandum.
cionemageresati corporum XB, Y_, L. Y, va, adaGBrCGACUM COrpOTUM O ∞, PEs
OYADRATYRA CFRCYLB
POrUM MIN ad R e, L dad 50, Ry ad F un IB ad Vn (hoc est ve racio aserosati cor.
POrUI MN, T. d, Ky, IB, ad agGrCSAEUM COrPOTUM R P, S∞, T _, V n) sunc ad omnes
rationes corporum Z8 ad O, ZD ad PZ, Z i ad On aco ad N pes hoc cA ad r2-
Scholion.
TE quis vero miretur nos hic a rationibul
ad rationes argumentari, cum Archime
des a quantitatibus au Gnutntis ut su
formet, ostendemus Archimedis constructionem et
iam in rationibus conset  s onst. si qua
ritas A ad B, V1 quantitas F. ad F, quantitas vere
B ad C, vt quantitas L ad C denique quantitas C
ad D, vi quantitas C ad II. Trem quanricas A ad
en 2+ quansitas F. adC quantitas vero B ad B, 2t
quantitas P ad n item quantitas C ad y, vi quansi-
tas C uit b: tandem quanb. dequamtlam
TIad n. Infert Archimedes omnes quantitates A, B,
quantitates an B, Y, dad quantitares C, n, 8, d
Tam vero arationibus ad rationes quantitatum ar-
C D, esse ad omnes quaures en t, Cn Ll, ur sunc
cumentabimur in his ipsis quanticaribus, 2t suxerius
titatut C ad II.
Cum vero archimedes fecerit quantilatem R ad a. S quanticas F. est ad E. etiam rario
Fecimus. Cum quantitas A ad B, sit vt quantitas P. ad F, igiturrario quanticarum A ad B,
eadem est cumratione quantitatum F. ad F, ex ratio quantitarum B ad C. eadem cum ratio.
ne quantitatum F ad C, tandem ratio quantitarum C ad D, eadem erit cum ratione quan-
quantitatum Rada eadem erit cut ua ne  atto uaa
ad B, eadem erit cum ratione qua L adri es ratio quamaut C ad Y. CdaeM C
ratione quantitala a acnique rut quamodem erit cum ratione quan-
ricarum FL ad X. Teitur ratio omnium quantitatum A, B, C. D ad omnes quantitates L, P, C,
FI eadem est Cum rattom sam itatum u so squantitates C, n, B, N: sive quod in
idem recidis, prout Archimedes inferebat omnes quantitates A, B, C. D. sunt ad omnes quan-
Eates F.F, C diomnes quams e s Guatats 51,6, N. Differentia
verorantum est in priori nostro discursu, quod omnes rationes inter duosterminos posuerimus;
atque sicut Archimedes le ns am ostendimus ratio A ad B, eadem est cum ratio-
ne F ad F. itanos in superiori discursu diximus, ratio corporis
Mad R, ad rationem corporis L. ad S, est sient ratio corporis X
d  ad rationem corporis L ad P, rationes autem esse simile.
R
aut easdem in idem recidit. Et sic si rationum M ad R, es L. ad
S. staruantur esse aehomnators LG B: itemrationum Z ad
Oex Y ad P, denominatores statuantur F (5 F, ex sic de
careris, apparebit nos, quando dicimus rationem corporum M ad
adrationem corporum L. ad 5, esse vi rario corporum X ad
est ad rationem corporum Y ad P, nihil aliud efferre quam
quod ratio A ad B, sit eadem cum ratione P. ad F, sive vt Ar-
chimedes efferr, quod quantiras A ad B, sit V1 quantiras P. ad F. Itaque si aliarum rationum
denominatores staruantur quantitates C, D, 6,, exc. apparebis nostrum discursum cum
Arohimedad uc mamum con staet.
aAlter

## Folio 1199 — 1815201908:1256
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001256.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
V R A
:TR C
aliter demonstratur via securida.
MRoporrio quX esFinCCERATIONES COrPOIII M ad R d X ad 9, a eadem est Cum a Per1OS
proporcione corporum L. ad5, ex l ad P. Pracerei proporcio, quae est incer huius
rATIONES COrpOruM M ad R, d La  eadem est cum proporrione, quxe est in-
cerrationes corporum K ad Y, e L. ad O: praecerea proporcio, qua estincer racio.
nes corporum M ad R, ex X 2d 9. eadem est cum proporcione, quae cMincer ra-
riones corporum lad V, ee co ad N. Aeque ica proporrio quae csincer raciones cOr-
Porum Mad R, e X ad 9, comparara est cum omnibus aliis, cum quibus conter
si porest, ica resemper ancecedentis locum obrincac. Ve isicur dilcurtum prolequa-
mur, allumemus proxime sequenres cerminos, qui ricem ancecedentis obtincant.
Proportio icaque que est incer rationes corporum L adS, _ Y ad P, eadem est
cum proporcione, quae est incer rariones corporum R ad T, Xc Z. ad O. icem cadem
cum proportione que est incer raciones corporum L ad V, et co ad NV. Denique ca-
dem cum proporcione qua cA inter rarion escorporum M ad R, e X ad9; vei pa-
tet ex demonstraris prop. 106. huius. Reque ita conculimus proporrionem, quae est in
cerrationes corporum L ad S, ee Y ad P, cum reliquis proporcionibus, dando illi
semper locum ancecedeneis. Idem ergo in aliis praectemus
Rursusproportio quae est incer rariones corporum R ad T, & Z ad0, cadem est
cum proportione, qua est incerrariones corporum I ad V, ec ad NV. icem eadem
cum proportione, qua estincer rariones M ad R, _ X ad9; e rursus eadem cum
proporcione, quae est incer raciones corporum L ad S, et Y ad P. Pandem proportio
quae estincer rariones corporum IadV, e co ad PI, cadem est cum proportione, qua
EsLINEEFFATIONES COrPOruM MI ad R, _ Zad 9: icem eadem cum proportone,
qua est incerrationes corporum L ad S, et Y ad P, et denique eadem cum pro-
porrione, qua eltincer raciones Corporum R ad T, de L ad0
Flis ita conclulis intero ex vic Lemmaricx propolicionis quod proportio quae est
incer rationem aggregati corporui M, L, K, I, adaggregacu corporu R, S, I, V, 8 rario-
nem agoresari corporum X, Y, L.con 2d aggrcgacum corporum (1, P, O, N, eadem lic
cum proporcione quae eEt incer rationes partium iam enumeratarum qua anceceden-
rium vices obcinebanc; a raciones parcium quae consequentium loco ponebaneur.
Ouia vero per cundem discursum circa quaruor alia aggregara quorum primum
COmpleCtICUFCOrPOTAMN, I d,Ky, IB, lecundum corpora RP, S8, Pu, Vn. cerrium
ZB, 4, Z V, ca; quarcum denique 7 i PE, Ov, Nu, eodem modo argumeneari
Polsumus, licebiceciam interre, quod proporcio sux elt incer rationem avoregati pri
mi ad lecundum aggresacum, adracionem aggresaci cerrii ad aggregacum quarrum
Ecendem cum proporrione quae eA incer rationes parcium aggregatorum qua ance-
cedences constiruebane, e rationes parcium aggregatorum que consequentium lup.
plebanevices.
lem
read
ius.
Duia vero demonstracum est d quod proporrio qua est incer rationes corporum e nuin
IN 2
adR.
+5
iute ete tais it eptit u p  e e ete e p ie e e 1e  1u  e s  q   tt       s e 1e e t   e  t t l 1 1. 1 

## Folio 1200 — 1815201908:1257
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001257.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
1200
DY ADR A FYR A CIRCV LF
Fieura oniversalis.
cieua particulares.
5

## Folio 1201 — 1815201908:1258
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001258.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
QV ADR ATVRA CTKCVLI
ad R, _ L ad S, siTAd PFOPOREIOCH qua CA inter rationes corporum ZX ad0
d Y ad P, veproporee, qua est incer rationes corporum MI n ad RB, e I dac
Ssi elldd proportione qua eltincerrationes corporum ZB ad 9 ∞, e Y p ac
PE: acquesdconsequemer de reliquis, et hoc quidem in omni subdiuitione diamc - 2 Per 11
erorum patbolx: intero per CorolI. proporcionis Lemmaciex luprd citacx, quod
proporrio  eltincer ratiollem agoregaci corporum MI, L, K. I, ad aggrcgacum COr-
porum 11,5, l. V X incelrationem agoresaci corporum X, Y, L. co ad aseregatum
corporu . P, O. H, Calteu cum proxorrione quae est incer rariones agoregnci
FOTPOTUI MIN, C d, Ky, IB ad agoreSacum COrpOruM R e, SS, Pu, V n. de rationem
ngeresaei corporum XB, Y P; L WV;ca ad AGBTOGAEUM COEPOTUM Q , PE; O vt Y pu
Duod fuic deandum.
PROPOSIE
12. h1s
+261
1
Dico quod rario corporis orti ex ductu parabolici legmenei
EC5 in sc iptu, alt corpus quod exsurgit ex Agura parabolica vHIF
in se ducta, sic ad rationem corporis orri ex fgura parabolica IIF eD du-
eta in seiplam ad corpus quod reTuleat ex ductu tgura EOHa in Cciplam,
veratio corporis ex ductu AguTR F. CCP in (c ducta Cubalterne, ad corpus
Oreum ex ductu Fgurx vHL Fx ductae in Ce subalcerne, est ad rationem
corporisnati ex ductu Agurx LIFae D in le lubalcerne, ad corpus quod ex-
Tursit ex tigura F O na duet à in se Cubalcerne.
Demonstratio.
PRxcedenti demonstratione ostensum cst, quod rario incer omnia parallelepipeda
M, L, K, I, e omnia parallelepipeda R, S, Y, V ad racionem incer COrPOCA X, Y
L, a _E COTPOTA O, F, O, NY AEVEFACIOINEEF COFPOTA M N, L d, Ky, IB, _ COrpOTL
Re, S0. Lu Vmeltad racionem corporum ZB, YD, Z. IV, co a ad COrpOT2O D, PE, Ov
Nu. _ hoc quidem in quauis inscriprione Agurarum per subdivitionem linearum
P. CG, HIF in infinicum incelligendum est, ex vi dilcurlus in demonstracione poliri
Cumisitur concinuacis semper divisionibus auferarurb Cemperplus dimidio relidui
corporum illorum quibus parallelepipeda inscribuntur; ac propcerea cum omnia b Per +2. e
corpora limul sumpea extiauriane corpora quibus inseribuntur, manitestum eA racio- +3. duct.
nem plani paraboliei F G2F in se ducti, ad planum parabolicum vFT Fx in Ce du-
ctum esse ad rarionem plani parabolici YIF a D in se ducti, ad planum parabolicum
F.CHa ductum in Cc, ve racio primorum corporum in le lubalcerne ductorum, est
ad rationem secundorum corporum in se subalcerne ductoruns, cum tixec ipsa corpo.
rasinc, quibusca parallelepipeda circum (cripea fuerane auc inscripias Hlaecporro
corpora, similicer acque in secunda ex cerria quadracura praecticum a nobis est, ad
corpora cxlinderca iplis aequalia reduceneur. Restac re propoliciones iam aliquorhie
subiunsam ex quibus manifectior rario circuli ad rectilineu CrHaTUF.
k OFOSITIO
X 1
Anence eadem AguTa.
X
N CircHIO ABC CONHCLLNAMENL OTMIMACI ad GTAMICCOI CLa
BD; E F aequalicer scmtora a ceuctot. Iumplo acinae alcub lcom
menlurabili cum BF ponanut oramatim btL, lR aequales.
orceac aucem L M elliplim altisnare, aa quam circulus ABC
ealem Habear racionent; guulis etla cucuu lesmeneum, ad cllip-
seos leseu, alum paralletis BM _ FO; aequaliEEF a P CCNFTO
communi alao.
Con
   e it 1    1   . e  te   1   1.  te 1  . .     e   1  1 t  1  .   e t  1 s 1 .  s 1  1. 1  1  .  e  11u.

## Folio 1202 — 1815201908:1259
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001259.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
Constructio es demonstratio.
TaE VE PFI ad PA, ica PD ad PL vel
PN: _ delcribatur quae cungs ellipsIS LMNF,
cuius axis maior sicL NV. DicoFactum quod re-
quiricur. Ductis enim PM, PO, _C P, PI:
ericlector GP Tad luum circulum AB C, VE SC.
etor cllipeicus M P O cA ad lua cHlipAM L NI N.
ac proinde seomencum CFTKI ad circulum
ABC, VE sESMENEu DMOF ad clliplim
LMN. QuodtuerarrequilTuI.
PR OPOSITIO CXVI.
IEA cenrrum circuli B CD _ ellipleoS
LDE FC: ee ponancur, ordinacim ad
axem communem recta CII, IK, aequa-
lirer à cenero remorx, Curque sector AO P
commenturabilis sectori C AI.
DicO (IHEVE F C ad BD, ita N A ad
M A, _ sectOr O A P ad circulum BND
eam rationem habear, quam sectorF AL
ad elliplim FMO; quod sectores FAL,
OALxquales incer se CINE.
Demonstratio.
Vncenim a cllipsis  circutus incer se ve
criangula MaXIIA IN SCrIPEA MEA, NB A
Temicirculo vel. Temiellipsi. Ouare cum aequa-
lia smecriangula illa his figuris inseripta ex eo
quod circa communem angulum lacera habeane
perhypochelim reciproca, etiam figurx ipla -
quales erune ac proinde criam sectores F R L.
OAPEquales sunc, qui ad corastisuras camdem
Corriuncur racionem. Ouod eracpropolicum.
eROPOSTTIO CXVII
IIdem posiris ( ellipsis eran scar per puncta C de P circuli BCD.
Dico quod Scctor F AL.M F minorsir SecOrE C AINC.
QVADRATVR A CIRCVLI.
Demon
1202
191. oie.

## Folio 1203 — 1815201908:1260
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001260.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
OV ADRA TVYRA CFRCVEI
Demonstratio.
Voniam P. C, axis ellipleos ponitur maior
Ldiamerro BD. isicur rectangulum R IG
ad F. A C rectansulum maiorem habebicratio-
nem quam rectangulum BIID ad B AD rC
ctangulum; vnde quadrarum FHI ad M A, qua-
deacum maiorem habecracionem, quam quadra-
cum FFL ad N A quadracum. minor isicur est
AM quam sIC AN; vndc _ SCCtOF FMT AF
minorest lectore C AINC. Quod tuic demon.
Arandum.
PROPOSITIO CXVII
IIdem poliris: Ouod R ellipHS EORC,
LcirCUIONON OCCUTTAE, _ AO, AR iun-
SanEUT:
Dicolectorem O A R. maiorem esse lectore C A I.
Demonstratio.
DRoducta AN IM L, AUCATUT C F, OT. cric igicur criangulum AC L Xquale
TC A criansulo, adcoque d 9ST aequale PS A criangulo. cAt aurem crian-
sulum AFS maius sectore F AV. Igicur eciam criangulum 1ST maius cA sectoro
eodem F A V: sed eriam criangulum S A F maius est sectore V AN. Ipitur crian
sulum O A Y maius es sCCtOTC P ANY, _ a ForriOri EOTUS SeCtOT O ATYC
maiorsectore F AN. Ouare, de sector O A R maior eAt lectore C A I: ostensum
enim est dimidium vnius, alcerius dimidio esemaius.
eR OPOSLTIO
XlX
IIdem poliris:
DicoGuaae pCalinea OYR e ciculast C. Nl incercen
ptam, elle convexam.
demonsita.
superticies alicuius segmenri quod aliquories sumprum adxe quar segmencum arcus
circularis ex segmentum arcus elliprici, Secundum ca guxe libro de elliph explicara
(unC) sicque illa seomencut arcus C. V, producta deinde A C in X, dividacur sector
OAR per seomencum OZ, cric enim O X mensura quae commensurabic scomen-
cum, sectOris O AR quoniem sesmencum arcus V C commeural L’Allcemen.
CUM, CUmGUENOTA sEFaCIO sESIMENEI C V ad Z O SeBMENEM, CrIE qUOquC NOTAF2
tiolesinenci CN ad seomencum OP: eAt vero sesmeneum OY Mm au
sesmenEO CN: Sc igicur sectOr C A V cerria pars verbi graris SectolC HI, a
hac V Z aequalis CV, _ ducatuT AZ X. cruncigicur seementa O Y, Y T maiora
quam nclesmenca CV, V Z, Z N, ablacis igicur cribus illis scemencis 2 scomencis
duobus OY et Y F remanebir adhuc aliqua pars convexa iptius sectoris O AY.
Quod tuic demonctrandum.
niam arcus CMT commensurabilis est arcui ONP: InvenIAEUE MCMII.S
Loux verumque commensurer (mentura aurem de quà loquor non linearis est se d
S  .   t i    .   .     e t.        te e s   . .        t 1   e       te         atus

## Folio 1204 — 1815201908:1261
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001261.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
QVADR AEHRA CTRCVEI.
P RC+OSttIO CXX
TAnentibus ii Idem. PONAEUF AGUEX
LVLHONTK aqualis FMVXL, vE
contincac ellipricam superticiem OTR
ve lic commune sparium OFLR, se
BIENIO MFL X.
DICO spatium OMVXR esse con.
cauum.
Demonstratio.
)Scensum enim est segmencum OFR m2-
insesse seomento circuli C NI vel MVX,
isicur si divisa SIE quanEiFAS NIV Z in quaTHOR
videlicet sepmenta AZ, YV, VZ, L. X, aequalia
d collaneur à quaneitare cllipeica verbi gcaria
2O, OT,TP illis aqualia rehiduum eric PR
concauum. Duod Fuic demonstrandum.
PROPOSITIO CXXI.
Abeat ABC circatus cenerum D
commune cum clipE CFC, _
BF, TII ponantur ordinaeim ad axem
E. C, aequidictantes a cenrro D; sic autem
VEKFIL, Ceomencum cllipleos ad le-
ementum circuli BMNHI, ica BOPH
circuli scomenrum ad sesmencum elli-
PICOSOFIR.
Oporceac aurem quacuor allignare
quancicares proportionales incerle, qua-
TUM CESLInE COHVEKX, quarta verd con
CaUa.
Constructio ex demonstratio.
Oma exPrACCd. propohic. ellipsis PFC,
vel concrahivel diducipores ca racione,e
Ccomencum F. P maius ese possit vel minus le-
Elearcus circuli BFI: supponacur lermen-
cerideu hac de seomenco circulari O HI, (guod eriam segmeco ellipricoO F IR
inseribipoceri, cum ponaneur proporcionalia ese leGMenEA K F LL, BMN HI se
ementis BOPHI, G FIR lUPPONAEUEqUE RF LF, minus sCBMenEO MIBNET. l0
ErHOCXCENUS ABUTA VXIF. CTICISIEUIFDEM S T N ad roliduum SB FT F, ita OVZR
adresiduum VFIX. ORensum vero eA SBH T esse concouum d V F LZ con-
vexum. LBicur MS LIN CH  SI BFIPT, vE OV Z R est ad O FPR: e diuiden
SM_ F conueru eit a CBB E LA, _EHIC eA COnEuum BSY H 2d
convexum
1004
cum ellipricum FRL Y minuSCACSCBMENCO CIECULATIM BHN, unde superrecta
MN inlcribatur scementum M S FN xquale seomenco R F IL. Fieritague pars
alia SBHI Y ecldua, qua differaclesmentum BM N H a segmento incluso. Simili.
do MS FN cA 2d SBHIT, DE OVXR, est ad V FIX. igirur permurando

## Folio 1205 — 1815201908:1262
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001262.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
Convexum. VFlX. Isieur quatuor quanccates extribummus propontates le
QuASCTES CONUEXX sunE ex quarca concaua. Duodtueras imperatum.
Corollarium.
eY ADRA TYRA AXPERBOLE.
1205
TATCLABerhCEre POCeris, neque enim vICeKIUS CemCD Procedendum; cum ex POL
cis sulticiencer rnulquilque, qui cacum quaectionis Holum habCEs ExpCdICEquX
dcsIdCrANEUr.
d
A R S
em AD, quarum
verrices sine A e D: ductaque
CK que xquidistce AD, Pona
TUF AC, DO qua inFeE IC CINE
Parallelae. Denique Cnc ordina-
tim ad axem AD CollocarEre.
etx IEI, guae sine diametri pa-
rabolarum AGC, DRO.
Dico I5, IMI, IK de simili-
cer IR, 1O, IK ese proporrio-
Demonstratio.
Nuenies illam libro de parabolâ
propotieione 67.
PROPOSITIO CXRIII.
IIdem posiris:
H X
a
PROPOSITIO CXAIL
etL ad cundem
nales lincas.
C
Quadratura FSyperbola.
DAMICUEX Sine dux
parabola ABC.
4
L DicoLM, IL, IK X IO, IN, IK esse concinue proportionales li-
nCaS.
Demonstrario.
Esc illam lbro de parabola propolicione 42.
IIdem polcis:
PROPOSITTO CXXIV.
Dicorectansuas M e P
Oc
Demon-

## Folio 1206 — 1815201908:1263
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001263.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
rihott.
r ut
B 23. tn
nata
1296
QV ADRAFYR A ALFLKDOL R.
Demonstratio
Vn Eneproporcionales quaB-
cicaces IR, IO, IR e 15
IM, IK 2. Isicur rectangula exillis
reluleancia erunt proporcionalia
per proposicionem 58. libride Pro,
erectionibus.
eROPOSITIO CXRV.
TIdem manentibus:
Dico limilicer rectangU-
laMTO, L. LN, R LK eAC pro-
portionalia.
Demonstratio.
Loincidiceum pexecederis pro.
posicionis demonstratione: cu
enim bsnCIM, IL, TK, icem IO.
TN, IK proporcionales, cciam re.
ctangula MIO, L IN RIK pro.
porcionalia C CTUHE.
DROPOSTTIO CZXVI.
N parallelogrammo
LABC. sinc parallelae
POHITA BD, FF. Dein-
de rectae CH aequidi-
SanLCS AB. FIaNE aU-
tem rectanoulis IFIK
aqualia rectansula C
Dico BLL este ad
Eutidet Patabdi.
Demonior
Ia SCCaSaiS IRHI
MI; _ quadtacs LCL L∞q1I3-
xqualia rectanguta G BL
dratiS RHI XGUANEUF re-
Atangulis CHM cum rC.
ctangulis
lia rectangula OHIML.
Frunc puricta BL, L. ad p2.
rabolam d. sed haec puncta
E. Lssunceadem cum pun-
etis L. L, in lypocheli de
terminaris: Nam quiare.
ctongula IKFI, cum qua

## Folio 1207 — 1815201908:1264
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001264.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
QV A D. R A Y V R A E Y P E R BOF A.
X207
lis CHI L. Pacelergo propolicum.
ctangulis O FL M L, eciam per 1. 2.Clb. LCClanigula PFIK aqualia erunc rectangu.
IIdem bons. hneguaatala I rectangulis GHIL aequalia.
Dico BN Nesse ad eandem hyperbolam cuius diamerer erie BC.
C
Demonstratio.
Scentum clL. quod linexe qua lune medixe incer lineaS LHH _C FTK, Cermineneux L1G2. H,
in hxperbola quae habet BC diamerrum, rectangulis aurem CHIL aequalia perb.
sunc rectangula LFIK exhypocheli, ve ridere cA pracedenti propositione. Isitur ec.
jam FIN, lincae qua medix Cuncincer larera rectansuli C HIL. crune ad lyperbo.
lam cuius diamerer BC. Guod tuir demonstrandum.
PROPOSITIO CZXVIII
Dico quadrarum Cit bla ta Acctutis lum btlt
esse proportionales quanrirates.
P R OFOSITIOCZXVII
IIdem manentibus:
Demonstratio
DRoporcionales enim Cuneper hypochelim pexecedenris lince OFL, NH, _ L FI.
loicur eelan propercionates lune quanuicaces, quadcacum C LL, rectangulum b1. Soxsii
OHN e CHL rectangulum.
PR OPOSITIO CXXIX.
oniunzancur hypocheles 122, 12). l 127.
125. B-
Vadracum OFI, rectangulum OFP, ee rectangulum TETK sunec proporrid 
Lvalia; icem proporrionalia lune dquacrarum C. FE rectangulum CHN, d rc.
8. hora
Dicorectangulo OHIP aequale esc rectangulum C FLN.
ctangalm is
Demonstratio.
e        et   t           1  1  1     t   . e               .  e a t . i) tis

## Folio 1208 — 1815201908:1265
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001265.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
1208
DR
EVR A HYPER BOL A
clatuum 2L Cuet veasde tettet cermts p netue deope
quadracum C FT, _ insuper exhrpochesi r26. huins exrrema rectangula TILR. C. II L
simrparia, eciam media OHIP, GHI N X qualia CEUBE. Ouod Crac demonAratdum.
Corollarium.
TInCpaceF H O HP rectangulis aequalia sanc rectangula CIVTN, puneta N este
Lad liyperbolam.
IIdem posiris:
PROPOSITIO CXXZ.
Dico eylindrum conctancem semihy per bola NNI, ex alcicudine HC
aquarimagnicudini Colida quae tir ex parabolis parallelis OH, PH in CC
invicem ductis.
Demonstratio.
Um enim per praecedencem rectanoutum OFP aequerur semper rectangulo
LGFN; ergo perquadeogelimam quintam libei de ductu plani in planu, se-
micrlindeus hrperbolicus qui producitur ex Cemibirperbola NFT in alcicudinem
HI C xqualis est corpori. quod tic ex parabola OEI in parabolam sibi parallelam
ZIF. Duod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CXZKI
YInF denuoparabola ABC, D F O, quascontingat AB, in vertuIqu
Dverrice: Politilq; AC, D R qua incer se aquidistent de descripea hy-
perbola D NN, cuius IN ordinatim politx ad axem D FI, postincrectan-
Bula MIR: hancquadraris NI xqualia XIO rectangula.
Dico DOO csleparabolam.
Demon
eet

## Folio 1209 — 1815201908:1266
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001266.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
QVA DR A TVR A AYPERBOLL.
Demonstratio
DRopolitione 126. demonstrarum est, quod Rhant rectangulis MIR aequalia re-
ctangula R(O, quod D OC, AE parabOla. Sed quadraca NI aequancur ex ty-
pochiesi rectangulis MIK. ergo eciam si quadraris NThancrectansul2K IO xqua-
lia, erie D OC parabola. Quoderat demonstrandum.
EROPOSITIO CZXXII.
Oro quadeaaequari rectangulum OIL.
Demonstratio.
radracum KI, rectan sulum MLR, rectansuli L. FO sunea proportionalia; (e 4 2 12 4. tu-
rectansulo M LLC extiypocheli pracedencis xquale est quadracum NI, hoc est in
ex hypochesi praecedentis rectangulum KIO. Fririsicurhaec, quadracum K I,
rectanoulum RTO e rectanoulum P IO proporrionalia lune. Sed quoniam re-
ctangulo R IO aequale eAt quadrarum NY, eriam quadEAEA R B NI, TO TUNEPrO-
porcionalia. Ouare cum in duabus his seriebus cerminus primus sic communis, de me-
dius, insuper cerminus rectangulum R IO, aequalis sic medio, nempequadraco NVY.
criam cerrius cerrio parerir, hoc est rectangulum RIO quadraro OI. Quod exac
demonstrandum.
Idem posiris:
Srmibo
  te .   t. Ate  1 t. t te t e t t  e te   r e  1 t At  1 e et t   u e s  Ae  p   e  1  e  .  1  . Ae   1  a 1 t  te 1  t t 2 

## Folio 1210 — 1815201908:1267
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001267.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
+210
Symbolizato quaaata CCuCcloa Gualatua.
e
ariL
1
ms
ritam: quidqui
e 0
nsvisamilii est (umboliz atio inter proprietates circulies
hyperbola, quam et eam suppressam voluerim, aut silentio prate-
nim ad circuli quadraturam necessarium fuit id omne
in hyperbod quadraturaita ad amussim se se offert ut ii(dem prorsus cha-
racteribus eademq discurrendi methodo vtramque absoluere possis, mo-
dodisponantur debita ratione, qua requiruntur ad discursum forman-
dum.

## Folio 1211 — 1815201908:1268
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001268.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
V ADRATNRA AE PBRBOLA.
X211
dum. Potantat ehum aundri quorum alter basi circulari insestat,
scilicet cylindrus ex altitudine AD (eu KL, C5 basi semicirculari PI
alter autem basi semihyperbolica IP, Cs altirudine R I, quosoporteat
admagnitudines solidas reducere quae vel parallelexipeda sint vel cubi.
Primus labor in circulari cylindro fuit eum reducere ad aliud corpus, 
quale quidem (ed quod nihil circulare contineret; sic erit prima incustria
scopus vt idem praestemus de cylindro hyperbolico. Ohtensum itaque est
positain ficura, constructione quadraturae prima circuli cylindrum ba (: a 51. luiui.
circulari P LC5 altitudine K I, aequari corpori quod fit ex parabolis L. I,
IN Subalterne constitutis in se ductis. Ita quoque demonstranimus
e
10.
posit a propositionum iam in hac quadratur a pramissarum constructio- nucus.
necylindrum ex basi hyperbolica IP, C5 altitudine K l aequalem esse ma-
enitudini solida quae fit ex parabolis parallelis L I, 1N in se invicem ductis:
nam in hâc ficura parabola D N N refere parabolam B P P in fieur a pro-
positionis 130. huins: hyperbola vero DP P desienat hyperbolam BNN
inficura praedicta, neque enim est alia diver sit ashuius fieura ab ea, qua
si sumus propositione 130. huius, quam quod onaparabolarum L) N
cumhyperbola D PP, ad aliam partem transtata sit.
Secundo vii incirculi quadratura demonstratum fuit F. L, L I, M I: nuiu
item TI, NI, OI, proportionales esse; ita quoque in hac ostensum est, est nuuu
eadem littera alphabeti a ssumantur. Deinde sieut in quadratura circuli
7.
123.
ostensum est K I, MI, C:I, CO TI, OI, RI proportionales esse; it a quo - c Prop. 26.
uius.
queCinhyperbola. VHterius ve osten (um est S in quadratura circuli FL l, Eerop. 122.
nins
PIV L esse proporrionales, it a quoque in hyperbola RL I, P I, C5 V In con epie
buius
tinvant eandem rationem. Atque hac omnia ex demonstratis cogno scere i re lire
poteris. Praterea sienti in circuli: quadratura ostensum est, quadra- vrop. 127
tum lV sine quantitatem I V in (e ductam aquari maenicudini, quae fit
ius
erop. 42.
exductu plani C. I in planum LR, ita quoque demonstrabimus,  hyper - L erop. 145.
bolaidconvenire, scilicet VI superficiem parabolicam in (e ductam, aqua-
le solidum exhibere cum maenitudine, qua oritur ex ductu superficiei C I
in superficiem lR. Imo vero quae adhuc sequentur; si libuerit nonnihil
restectere, perfectissime etiam sumbolizare coenosces secundum omnia,
quae necesaria requirutur ad reductionem cylindri hyperbolici ad cubum
vel paralle lepipedum. quo d hoc loco indicandum volui, et occasionem
Tectoripraeberem curiosius ea qua sequentur cum demonstrationibns cir-
cularis cylindri conferendi. mirabiliter enim reficere nata est  (que adeo
oniuoralis Cimboliz ario. transtatus iritur est cylindrus hyperbolicue
haben basim semihyperbolat L, C altitudinem F Iad solidum, quod
nascitur ex duabus parabolis L. LC L in (einuicem ductis, sieut etiam de
cylindro circulari factum est. prosquemur it aque reliquas proprietates
quas
uius.

## Folio 1212 — 1815201908:1269
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001269.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
OVADR ATVRA AYPERBOEH.
quasquadana circul aptanimus et ex iis ipsam hyperbolam ad re-
Etancului  aut quadratet.
X212
ERO:

## Folio 1213 — 1815201908:1270
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001270.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
QV AD R ATV HA H Y PF RBOL H.
PR OP OSIT. 1,OCA XAFII.
Tonsruantur aaocemata, unum quod circulari eplindro Tubseruiae
arcerum; quod cylindro hyperbolico. Consructionoro veriulque
hocpacto Aac. lrio alx aequales parabola constiruanvur ubalcerne po
sice ad communeutaxem, in alcero vero loco parabolarum lubalcerne po-
licarum anr pacabolx parallela incer se licur libro de parabola dictum
cA. Cincq; illa palabolx in veroque secmace ABC, DF F, quarum axis
communis M HD. Deindearibus aequidistances ponaneur CG, III, guX
ab axibus distene ae quali inreruallo. RANEPEXTerCa GSI, R II ordinarim ad
AXEM AD _e duCanEUE A C, D T constituences xquales angulos cumaxe
AD. Denique construancur parabolae D NS, AL. C quarum verrices sInE
AeD; e contingant axem in ijldeni punctis.
Dicorectangula L. MIN, OM P; IEM HI essc in concinua proportione
in veroque scemate.
Demonstratio.
DScenTum enimA L NE, ONE RN, itEM MPY, ML P, ME esse proporrionales li- numm
ness. lssicur per demonstrata libro de prosressionibus propolcione s8. eciam re-
ctangula L. M N, OMP, RMFI proportionalia lUNE.
PROPOSITIO CXXXIV.
TIdemmanentibus:
Dicorectangula OMIP, BM O, KMHI esse proporcionalia.
Demonstratio.
DEmonucuimus proxositione 29. de quadracura circuli hanc iplam proposicio-
22.
nemsled praecedeneous suoue immediatis b ostenlum eAt linCaSOM, BNI, R NI, b123. Bu-
a ME, MO. M ET proportionales elle in scemacchyperbolico. Igitur per ca guxe si- ius
bro de progressionibus lune demonsteacac etiam rectangula OM P, BMO, RMFY CProp. 58.
proporcionalia lunE.
eROPOSITIO CXZAV
IIdem denuo manencibus:
esse inccLeproporrionaa, veretiam Cune parallelepipeda, super rectan-
gulis  e L, M, L, dM, RI. Tub eadem alcicudine rectae MR.
Demonstrata.
Dicoparallelepipeda cua lapet oisclato LIr, l3, M,
R T _ KMI, RI conttruuncur habentia communem alcicudinem MR,
roniam demonstrarum iam dest L. MI, OA RMI, de rectaS R S, R F, R F PTO- APCTILI.
ex L H InRS, OM in RI ec RM, in RI. lunc aucem parallelepipedacommu-
Lporrionales esse. Poitur eriam rectangula proportionalia Cune quae constrnuncur huius.
nem habencia alcicudinem inter le rebales. Quare cum bales perhibeantur propor:
cionales, etiam parallelepipeda proporoan , Suotum illa bales lunc. Lodem
modooltendicur parallelepipeaadea alestectanguaMil L,DM, LER. d
 RL a Comm   R proporcionalia esse, constac iraque veri-
hasplopdacionis.
Sa    t       p   e  1.  e . e t  1  t p e   p .         tu t t t t i

## Folio 1214 — 1815201908:1271
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001271.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
12I4. OV AD R A TV R A AIY PER BOL A.
PR OPOSITIO CXZXVI
IIdem permanentibus:  a
Dico rectangulum LMN ad VRS rectansau cupaca a
bererationem eius quam habet rectangulu OM P ad rectargului ZR T.
eue
EF

## Folio 1215 — 1815201908:1272
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001272.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
QKADRAEYRA H ZPERBOLA
Demonstratio
Sensum est CupFA ATaM LECLANGUIa LMEN, OEP, RM H quam rectanouta a 12q. Hi
YRS, X R, CR L Candem concinuarerationem quare cum extrema rectaM- in-
suta RM FI, OR I hiric aGlalia, erio racio rectanguli LM N 2d V R S, roctangu-
lum duplicaca bracionis, quam habes rectansulu, OM P 2d XR F sect ansulum. b g. tinim.
Duoderac demonstrandum.
lRC1031IIOCALAVI
IIdem maHCHCDUS:
Dicorectansuum OA e ad XR. P, duplicatam racionem habere
eius quam habet tectangulum BM O ad YRF.
Demonstratio.
Scensum estc Tam reCtaL BCIA OMLEs BMEO RMEI, quam rectanouta Z R Y curs. huius
RF e CRL in eadem ese proporrionc. quare cum rectangula postrema
XMHT: CR L incerle sine xqualia, eric drario rectanguli OMP ad X R T, rectan. 83. buiuc.
pulum dupie acaracionis rectanguli BN O ad YR E rectangulum.
PROPOSITIO CXXXVIII
encibus denuo ijidem:
Dicorctangulum L MI N ad rectangulum V R S quadruplica-
tam eius continere rarionem, quam haber rectangulum BMI O ad Z R F.
Demonstratio.
Eatangulum LMIN ad VH rectangulum, duplicacam chabee ejusrarionem, c 2S. hN-
quam haber rectangulum M P ad. Z R F rectangulum. Sed OMP rectangu- ins.
dum de rectangulum Z R I. Haber Fduplicatam eius quam rectangulum BM O ad E1y7. Ln
YRF rectangulum. ergo L.M N rectangulum ad VRS quadruplicacam habee ins.
cins rationem quam rectangulum BM O ad Y R P.. Quod Fuic demonstrandum.
rectangulum.
P Oe C
5
T1O CXXXIX.
Dolcisiildem
Dico rationem rectanguli L. M L A SCCLAHSMIAM V RS, tocIeS
concinere permulciplicacionem lallolle ectanguli OMPaa XK l re-
Clatgulum, quories tiaec caderatio OM P ad Z R T continer per mul-
iplcattoeao eclaHB M BM O ad YR L.
Demonuram.
iX praecedentibus est manifesta: nam oHtCM_I CM SLALIOHetm FecLanguli L. MI N ad 0
b.l
TRS duplicaram esse eius, quam habet rectangulum OM P ad Z R T, 2C PrO. Ius.
 prior rario lecudam bis concinceper mulciplicatione. Similicer eA demonstrac
teclangulum OmP ad LRI. Mlpdcacam habereracionem eius quam rectan. s.
gulum BM O ad YR F. rectangulum e consequencer bis continee per mulciplic, tus
Cactol caliolecladal. lale Datet Tactoctu ccclaii e2. ad 13.
cocles concinere per mulpaconactonenea nl al 221C23940.
cieshac concinerrationem rectansuli B AXO nd L K L. rectangulum.
   iuui  e p pe tu t e  es se et e tie e    o  t   e  u ie  t  e  1 1 es e l 1le

## Folio 1216 — 1815201908:1273
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001273.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
QAADR AZVRA AXL =RB, OF A.
X216
MA quacPHCACAM AaDCTC LaTOME CuS quam concinet patalle lepi:
EROEOSITIO CXL.
IIdem manchibuse
Dico parallelexipedum constans Bas rectansula L HN, a
alcirudino MR ad parallelepipedum exbali V R s cademque alcicudine

## Folio 1217 — 1815201908:1274
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001274.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
pedum ex bali rectanguli B M O, _ altC MI R ad parallelexipedum
1217
QV AD R A Y V R AI H Y BE R BIOF X.
lub balircetangule LL a Commun alTudine IL I.
demonstrato.
DEmonstratum esta rectangulum LMN ad V R S rectangulum; quadruplica- at, 8. 
tam cius habere rationem, ouam ooncinet rectangulum BM O ad Y R P. rC- u
ctanoulum. sune ducem paralleleppeda (ib hiscc BAHBAS d CoMMHIM MMuaIne
MR incer se r Pranet baleS. Txitur Pacet propolcionis veritas.
Lo1ooiio eat.
Adem ROUFA manenEC:
Dico rationem parallelepipeat, quoa ex balu rectangula L. MI. L
ad parallelepipedum ex bals  ke3 coninete collesrationem parallelepi
pect super bali OM P per mulciplicarionem ad parallelexipedum (uper
baliteltanguli XR T, quocies rario haec per muleiplicationem contince
rationem pataltese pipet tuper bali rectangula B Mt O ad parallelepipe
dum, quod sic luper ba(i Y R F. rectangula, modo eadem alcitudo omnii
bus parallelepipedisin seruiat.
Demonstratio.
Dipedaautem, de quibusasimus, calem Corciuincur incer se racionem, quam bales
rectangulares super quibus crecta lunc, quoniam alcirudinibus conneminne ex hiypo-
chell. Patec idicur vericas aserrionis.
DEmonstracum estbrarionem rectan an LM L  ecaM VL 33. Coles 6159. dt
continere permulcipliedcionem rarionem rectansun OM P ad Ll L, Guaies in
hiaec racio continecrationem. BM O rectanguli ad rectangulum YR E, Patallele
LAOPOSITIO CXLI
X Scemaribus viiuersalibus quae incercipiuncur parallelis By, C 8
sconsticuancur ordines sex Agurarum, quarum cernae inscruiane hiy-
Perbola, alix vero circulo. Luma eton Patavoau Conekar
dem lacio parallelepipedorur comer rarionem parallelepipedorum
quae tiunc exrccanguls C in C a D in H.
dinila sic parallelis qua exhibeane rectangula quaterna ABC D, e
FPOTI. Secunda aurem AOUFA AIGNa LOTA LCCCA MIICa aBBAICME (ecta (IE
parallelis iildem Formancibus rectangula PIEL. MI _ NOPO: Terria
qua Constiruant rectansula 1E3 LV a XYZ.
denique in qua cernuntur parabolx coneaux secta lic ii Idem parallelis,
Dicoicaquerationem duorum patallele ecotum qua sam ex ltu
X rectangulum, e ex rectangulo S in Y ad duo parallelepipeda Orea ex
ductarectangulorum P in Z d t in X, cories continereracionem pa-
tallelexipedorum ex lin N, de ex rectangulo IE in O, ad parallelepipe-
da exductu rectanguli L. in P, ex M in 9 rectanoulam, quocies haec ea-
quae signuntur ex ductu planorum A in P. ee B in F, ad parallelepipeda
Demon-
 ae o   a

## Folio 1218 — 1815201908:1275
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001275.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
1218
eitaniti
HIX
X762.
FTC
i
 
biller 
PeF tiice
FFA.
bola
FrCe.
CYADRATDRA AYPERBOLA
L.S P 
LUS

## Folio 1219 — 1815201908:1276
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001276.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
adarRAHTLERBOL
Demonstratio.
acio parallelepipedorum ex R in Z, _ S in X, ad parallelepipeda ex P in Z
e V in e, eadem est a Caurracione parailelepipedi ex R in X ad Y in Z, ex 2 8. huim
R in X ad V in e, vlceriits exracione para llelepipedi, ex S in Y ad parallelepi-
Deaa ex T in Z, e.V in a Perpropolicionem octauam huius libri. Simili modo
ratio parallelepipedorum ex lelu. I in NV, es R in O, ad parallelepipeda ex ductu
plani L In P, et M in C. elceademb cum ratione parallelepipedi ex P in N, 2d b eercando
parallelepipeda ex I in P, c in C, smul cum rarione parallelepipedi ex R in
O ac L. in P, _ M in D. Deisqueracio pamillelepipedorum ex ductu A in L, e
B in Padparallclepipeda ex cactu C in C, ex D in FF, est eadem cum racione p2-
ralleleppedi ex ductu A in L ad parallelepipeda ex C. in C, de D in II, simul cum
ratione Patallelepipedi ca B in F, ad parallelepipeda que tune ex dueru C in C et
1
ist L
Sedracio parallelexipedi ex R in Z, ad F in Z, cories continerrationem pa-
rallesepipedi ex F in DY, ad L in P, quociestixe continoe racionem parallelexipedi
ex AI I, ad C in C, quod eodem prortus modo ostendieur quo illud in quadraru-
ra circuli propolicionibus)). e 38. d harum Corollario octensum Fuic; Cunc enim om-
nia achoc praectandum in hâc ceiam quadeatura praemissa. Simili modo ratio paralle.
lexipe ex R in X ad parallelepipedu ex V in e, cories concinet rarione parallelepi-
pedi ex Lin N, ad M in O, quocies hxec continet rationem parallelexipedi ex A in F,
ad V in FI. Acque codenmodo de rarione parallelexipedi ex ductu S in Y ad T in
Z, aS in Y ad V in d Ostendieur, quodcories continenc rationem parallelexipe.
di ex K in OadT in P, e K in O ad Min O, quocies hac cadem concinecracio-
nem Barallelexipedis quod tic ex ductu B in F, ad C in G, _ B in F, ad id quod
reluleat ex ductu D in F. loicur pacet quod racio duorum parallelepipedorum ex
R in Z, _S in Z, 2d duo parallelepipeda ex T in Z, & V in de, cories concineane
racichem parallelepipedoruum quae oriuneur ex ductu I in NI, e K in O ad pacal.
relepipeda qua AUnE CZ duCTu L in P, et MI in O, quories lxec ipsa racio concince
raciorem parallelexipedorum quae gignuneur ex ductu plani e in F, _ B in F, ad
parallelexipeda, quae hiunc ex ductu C in C, et D in FI. Duodtuir demonstrandum:
Corollarium.
e dicta sunt praecedenti propolitione de quaruor parallelepipedis ex planis
LA BC D in plana B F CFI ducris, ex reliquis; cciam sunc incelligenda de quauis
subdiettione rectangulorum corundem per parallelas in parres aequales ad Forman-
daparallelepipecta, prourn propolicione requisica Fuerunc; de quibus semper het ca
demillacio ex consequentia, quae Facca iam est, cum demonstracionis discursus scrni-
versalis, Msdemque Fundamenra semper occurrane iccranda. quare cum illae subdi-
vitiones nihil noui inferendum adducant ab co, quod iam demonstracum Fuit, sed
meram eorum repericiorrem quae praemissa sunc, molestam incelligentibus conci-
neanc, hinc propolicionem praecedentem de quacunque subdiuisione demonstra-
tam libere allumemus.
 L- la l21.
PR O POSITIO
IIdem maneMeVaS.
in parabolam concauam ZY ad Polidum ex ductu concaui parabolici
Dicorationem Colidi quod oritur ex ductu concaua parabolx R S
TV in parabolicum Z _, tollescme aconenonut, quouu ex
E. F parabolam ad corp is um ex ductu parabola convere C D in CFI.
emon
ductu trapezii IK in NO ad corpus ex ductu rrapezii L. M in P9, quo-
ciestrac ipla conciner rarionent ou es cucca patabore Conuexae AB in
e e  i .     .    . .     .   p    e    u e   tett 1       1      e   .    pei    tp  u

## Folio 1220 — 1815201908:1277
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001277.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 14 lines, status machine
Demonstratio.
diccacis tiourarum primo schemactMepearum ad suam reliduam mediecarem; et
coin X Y parabolicum, ad solidum ca puabollco concano TV in L. X, cocies conci-
necracionem solidi ex erapezloLR in NO crapexium, quories tac eadem ratio con-
tinebic rationem lolidi ex ducc parabolici convexi AB in P P, ad solidum ex dueru
parabolici CD inconverum pacabolicum CiFL. Quod Luic demonstcandum. 
1220
EV ADR A LVRA IIXDERBOVA.
DEmonstracum est praecedeni propomne eiusq; Corollario, quod rario mecle.
Scrivearum ad alceraM MCMa adehaec ipla rario concinceratione me
Cacis fgurarum inleripearum certio schemaci ad alceram mediecarem AguraruH
inscripearum, cories concinear rarionem medieracis Rourarum se cundo schemati in-
quiahioc ipsum semper heri porest, igitur per proposicionem vniverla lé libri de ductu
Plani in planum, quadraselima tence rekcams eciam ratio solidi ex R S parabolis

## Folio 1221 — 1815201908:1278
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001278.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
Et aDRALDRA HXPERBOLA
ER O POSFTI
CXLIV
Elumatur figura similis Illi quam propolirione 133. huius expolui-
Lmus _ inter AC, AB potantur medix proporrionales AD iuxta Le.
Dico hsuram parabolicam AD ductam in sc, aequari Rigurx AB, du-
Demonstraiio.
Vmenim ex hypochesi AB, A D, AC SINE In CONEINUA, EFGO DE PALCE EK PEO-
poltione rnivertali quadras ea quinca libri de ductu plani in planum, quanci
eaS AD in se ducta Condum producer, quod aequecur magnicudini solidx, quae consi-
cicur ex duarum superlicierum B A ee A C muruo incer se ductu. Duod erardemon.
Arandum.
Corollarium.
DCArO COrpuS Orrum ex ductu sgut parabolicx B A in figuranmi parabolicam AC
Ladpataelepipedum reductum else paret, cum solidum quod nalcitur ex ductu
Parabora AD in (c, quodque corpori isti in propolicione ostensum est aequale, ad
parallelexipedum reduxerimus. Nam D A in se ductum est innoluerum Polidi quod
remanet ex exlindeo parabolico polt ablacam rngulam, est aurem ex cxlindrus para-
bolicusa de rrgula bcubaca. ergo e Colidum illu d residuum cubacum est. Ouare cum 2 Per BZ
illud solidum residuum cum suo involuero conticiac prilma rectilincum, iplum quo- de cylina
queinvoluerum eric cubarum. sed D A in Ce ductum est inuoluerum illius residui. clinir-
Frso D A ductum in sc est cubarum. Oux vero de coris illis superficiebus in Ce vel
in le mucuo ductis demonstrata sunc, eadem eciam non dissimili rarione de illarum
Parcibus aparallelislineis DB AC, C AB D incercepris; demonstraneur.
PROPOSITIO CXLV
Elum peX hyporhesi priori im lcemace constituanEur AB, C D, E F ad vide sion
sulosrectos ad communem axem CHI, occurrences sectionibus Pas. 1221
varabolicisin 1, MI, V: N, O, Z; B, D, F; de hyperbola in 7, 8, n; e lub-
Dico rarionem Colidi, quod otrrur ex ductu IRLMI, in RL ON ad
tolidit ex ductu Cuperkicici M L FY V in superticiem L. OY FI noram esse.
in Cuper hocam e actenemondi ex ductu plani RPOL in IERSL. ad
Colidum productum ex alcta L. OTHI in planum LSXHI.
Demonstratio.
norem propolicionis 131. huius libri, eric parabola DD.
etx la: AC.
centis PT, RX, in P, , Lk, S, X.
Scensum estc cui parallelepipedo equetur corpus ex ductu mutuo planorum cRerco
TRLM in RF O N, quemadmodum CtaM dC COrPOTC Cx duct ML. FIV in roll. 144.
superticiem FO Y FI. Insuper ostensunt en s Cu patasserepipeao  quecar solidum dExs. d
ino
raciopalatte cdi   lidla qude criblatio extrbilit, vc quibuo abe
propolicio. Duod crac ostendendum.
explanis RPOT _ R R SI in CC mucde u, d cocem modo elli ae qualo sic10. au s.
lidum ex superkicicbus I. OTH _ LSLI huetC ancs. Suate, C noca sic
(   u   t  pit     t 1.    i 1e   s . 1a  p e   s        se  ute  a     e      u   p  gun pput 1

## Folio 1222 — 1815201908:1279
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001279.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
122
QVADR ATVRA AYPERBOL R.
EROPOSIFIO CXLVI.
aempotcis.
ad lolidum ex auct CoL  Platu LLE, noram habore rario.
ReMI:
Dicoratone solidi ex ductoplani ARL C in planum R BDL
itdi

## Folio 1223 — 1815201908:1280
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001280.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
DR A IVR A HZPF RBOL 
Demonstratio.
Sechtum estanotam esse rationE solidi quod orieur ex ductuTK L. MLIn K L ON a245. ha.
ad Tolidum ex ductu luperticiei ML HIV in Cuperhciem LO YFI. Simili mo- ius.
dodemonstracum est, hocam esse racionem Colidi ex ductu plani K P O L in R R SY b Ibid.
ad Tolidum productum ex ductu I. OTII in planum LS X FI. Demonstracum ve-
rO eH, CTatIOnem COrpOrISaci ex ductu RIM L. in RNOF. ad corpus productum C14S. hu-
ex duetu plani M I. HIV i planum P OY FI, cories continere rarionem corporis
orti ex ductu plani EPOT in RR SI ad Tolidum, quod Ac ex ductu OLIIT in
planum L.SZFI, quodshaec iplaratio concince rationem solidi, quod orieur ex du-
Atu plani AL I C in plnum R B D P, ad corpus factu ex ductu superticici CP IIF
in superticiem I. DFFI. Ouocirca cum norx lincraciones, quae lunc incer duo pri.
acorpora, ex duo secundas criamnoca exirracio, qua eAt incer duo cerria. uOd CTAE
demonstrandum.
eROP OSITIO CALMIB
IIdem manenetDus: hanc rectangulis ARB, CLD, FHIF, XC. X9112-
Llia eccrs a  LL7, n L. d, DFL2, _C. erit quidem rd aZ hypetbota per
Corollarcuns prOp. 129. huius.
Dico insuxer superticiem KrdL ad superficiem L d a H nocam ha-
berorationem.
emonstratio.
Demonararum cA a corpori ex ductu pa AR L. C in planum KB D L d COF-. d 246. bit-
pusorcum ex ductu plani CL. IIF. in superticiem I. D F Anocam habere racio. ius.
peII. sed eriam demonstracum est ccopori ex ductu ARI C in planum RBDL, ju
aequase esse Colidum exbalihrperbolica R ydL, ec alcirudine cok; e Colidum ex
balihsperbolica Ld n FI, e alcicudine ML, a quale ene Tolido ex ductu plani CLTIF
in Pranum FD F FI. Tsicur cciam incet duo Colida haec, qua bales habene hyperbo
AICas Ry dL, ex L. dn FI, e communem alcicudinem, racio noca eric; ac proinde et-
iam inter iplas bales erie noca rario, Cun lxec corpora demonstrata sine camhabere
rationem, quam iplx bales concihelit. Quod erai propolicum.
30. 1oto
PR OPOSITIO CXLVIII
Ichyperbola AC B axis A C, CA GuoMPES D, LL aquai
busincer sc, ex constiruris ctunarim BC, LB, L. C ponantur b,
FC. Tubrenta arcuum BF, LC.
dlesmenrum BF minuselle eslte.
2C2
Zonton.
n o

## Folio 1224 — 1815201908:1281
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001281.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 20 lines, status machine
1224
QYADRAZVRA ALLBHBBLA.
monora
3orb.
ig typort. J Vrecaenim B Cponatur Ll Ma ECL. L a, qea alidet bilariam recta BC
in puncto R in quo FD AC L. D. Guar Pata L i Guo diamecer secae
lyperholam, estinter C F, D F ordinarim posicas ad axem TTC, cum prius diame-
cer debeat occurrere sectioni, quanronacim policis intra hyperbolam. Ductisigi-
B1OS.hI. EUE CF, Z B, CrUNEB sEGMENEA CL, L. B inter (C aequalia, elt aurem L. B segmen-
cum maius segmento FB, eroo eriam lesthencum CL mains eA seomento FB, ac
Edulide teBetcat et muted matuo etit Li t leBento. udd tunt detmotaitatll.
R OPOSITIO CXLIX.
 a petooE eceu a guale caBeC.
C01.
1OCd
10c
Tun
ett
etia
ne

## Folio 1225 — 1815201908:1282
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001282.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
125
QY AD R AY V R A AXLL2.
Constructio e demonstratio.
CF. GF. DB, qua aequales ancosples Loceleplate, quoniam vere
nocdel proporrio seomenci C LF C aalcomentum GFBD, Sic ca O ad P, _ 31+7. ht
DFOdUCANEuE FG, F C, in R _C O, VE CE, GF, sinE ad RR, O F, ve O ad P. in
Tum per A, R, O describatur hyberbola, curus axis sic AB: cricigicur b eam lV. B 175. hy-
perbolc AO F adhrperbolem AGF, ve OF ad GF, hoc est ve P ad O, e hv. Perb.
perbole AKE adhyperbolem AC F, ve KB ad C L, hoc cA, vE P ad O. Ouare
eciam reliduum segmencum K P. F. O eric ad logmencum reliduum CF HC, Ve P, 2d
KH LO. CFDD aguaa. Dacate ad R, C6, V. IC.
omencum COmdius est C legmenco OD, Sed segmeneum K O maius es sESMEHEO CL + 8. B1S
C9, vei Facile demonstrabitur ex 175. libri de hyperbola. Ergo legmencum K 9 im.
mulcomaius est (egmenco C, D. Ablcindarur igitur ex legmento malori R O les
omencum RR aequalelcomenco CD. Monseoqua leu
figura hyperbolica COnFeNEA AECU O R ex rectis RK, O K xqualis criangulo XE B.
ducacur demum subcensa OR, _ rectangulo R R O, aufcratur exeriongulo X F 1
patse    B Clo hspetboHcoOA.
Ichyperbole ACDB, cuius axis sic A B. Ducancur ad axem ordinatim rectae
O. hoc est velcomencum C aemenum CT. LO. Tgenca iue
e subcensis RR. O R concinerur; exceltus segmenri Rsupra legmentum GD.
Jam vero Gata legmenca RLL, CFBB oltendi elle acanasguoecere-
Bmencum KO superar segmencum GD, eodem a crapezio EDB F lupCraTUF EFA.
Dexium K O FF. exhibeacur ille per elemenca, arquerriansulum FX B Pric ergO
C3
quod lufficie ad hyperbolx quadraruram.

## Folio  -  — 1815201908:1283
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001283.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
et R i eixn euivr. A (1 D L. e3t.
OR H
actetn
es, anice Lectorsc noctros, qui li cibr atridsr, veese 
rinus, per mellectlis re demas vel add25, Prout ac
releos culcuram opporcunum iudicaris, qua vere abpNum
Ccienciarum compleeticur, quodho ignorauii, qui Deum OpE.
Max. omnia opera lua in pondere, numero e mensura perfecisse diuino
Caculo enunciauir. Scaphulam concinnare rentaui, qua vacti Occani no-
ua liclora legerem, Tu Argonaulticam para, ve nostrae imbecillitati opem
praelles, qua trecus aleo te credas Pelago quod ex harum lucubrationum
lectiodecibi parerenon inficiabens. Comminilei debuinoua quidem ele
menca hon icatamen, quin ea communis Ceometrix princiviis lancirem
vel Archimedex doctrina contomia efficerem. Memineris rogo si quae
minus placetie, eanon ica explodere, reposteris animostollas aliquidau-
dendi, qubd ad Ccontea onen coterre cis vidererur. Ordinem e Me-
chodumterum quas hic invenies Hon ita exactam reperies, quam res po
Sulat: ledrerum copia raro concimnicarem illam admirrie, quam rerum
dignicas CxHic. Ec secuna Cotaciones marurae magis lunc, quae ad incu-
dem male coata reddere lorem. Keliduns liber fuir quem hisce adiun-
sere dectederam, qui aceant plolequerecur ductuum planorum in pla-
omista lunr quoque omnes speculationes qua alia via quam quae pro-
portionalicates implicat, circuli ee hyperbolae cerragonimos exhibere
Pollene, quarum accuratiorem cractacum in aliud quoque rempus differi-
mus, boniincerim contule qua amicorum imporcunitas e Superiorum
imperium publiciiuris fieri voluerune. Cedanc auremhac omnia
t
n.
na Cedin ordem; cum, ruacoes therie, in aliam occasionéreleruamus.
Aa tt t   
ERR A.

## Folio  -  — 1815201908:1284
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001284.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 172 lines, status machine
Libro Primo de lineis.
lines
34
cercis
Penule. tecundam
4
4 2 SI MK ad HL
32 5. aabc ABF
35 cei
dui
9
inc
a AB
CCCD
B, DE
EF
o Tercio
in sixura ponacus
E
COner
AIC vE
L.
39 penulr. angulo
i
6
12
05
neg.
ata
2. 2 fine
ic
.atra
a A0
8. 2 AnC
8. a FHC
3. a tince
2
a
sine
 cire
omitce L..
X
20 afinc ABC
39 10. ainc
2
I
OR BECONEIS
cripticaea
aA2
2
ibro uatu
PM. F
ducaneux
deteatur F
et
6BI
E
F
c
inex delearur
EEI
DHC
IL, II
HIK ad LF
naior
E CL
SFIF
Siameter
LHM
CD
HIB
D
C
CX
cC
L. N
BDDBNTEE BBCLC.
C + 320
upica
F
suneque
NK
AAB. A LR
et aueacur
E
s
dM
2t
De
C
c
na.
2
NL ad MIB
16
AcasEracio E ad F, ee hac rectaneulum ali-
quod GIK quod ad rectangulum L. lM eam
dem habeae rarionem cum rarione P ad F, hocFa
Aoponacurex L lecta LS, orchoona ad GM di
v
1
sulacur dividi AB. Demonteraco u 
a pacabola re ipla tixurA AOCCL.
Libro Secundo.
in prov. 52. vbi
tB debec
C _ contra
Ad proposicionem   oau
sequens constructio
pa
lacUE R C BICACIaHIILB O etacuIqueS
ve lectatutu KIC ad
quadracum 10, ica linea lP ad P S, ducta actudc
idistet IO ee bilecta L M in V pona-
cyr V X parallela P S. Denique hat ve linca l 2d
onaeur que lacus huius quadrari medium incer IV
vel SX et rectam SR et ex P. perpunctum, L ou-
caEUE P R. BIco Y Z lineam elle divilam H po-
PS, ica rectangulum L IML ad quadracum aliud.
Pa8. linea
212
na
12
216
118
119
2
110
+2
EB
DHB, GHC
EFI, 1)
E. us catio
inor
LB, CD
in six. Cdt BII.  F pro B.
2
etium
omiltum est HI
incer C X L in
Den
iD Ligura incer
 H habe
omniltum est C incet
2Ane
249 mulcis
9.
ou
CUFK prO C.
E _ K in AguT2
Penule.
De
allaris
P
i
omiucendura est vet.
AX
Ex
62
162
165 8. a
diameero
Libro Lercio.
linem
1
CFK
i
P2B. Haca
(72 vilima
176
res satue
S    M  s p   te  e t  e t it p   te et e e   e et  e t  e ete   te e e pet st e e  et te e e e  u e  te e te pe t e e ut  e e e te  pe e  to  ii a

## Folio  -  — 1815201908:1285
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001285.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 175 lines, status machine
Pn8. linea
13
3. 2 Ar
17. 
330 S. a AHC
15. a tinc
AP
ABK
OCCUTTRnE
ai
378 L CoL. ABD
KFC
linea
Bax.
37
148
143 13. Ltinc AC
259 7. at. d 5 BHI ad BB
dele plattari
BA
C1. C0r01.
2A.
aFnc
6. a Ainc
ine
CC, FI
DE, DF.
3I
in A5. es D. prOB
CHIC addc
. aAnC PC
Enc
c
linea lapple H A
AC
FAF
Deleracio
in
2
5)
iX
+
1B
CC
RtC
afinC AL, AF
 AAnC L. AC
24. 2 An. Spir2
2. 2Fnc ABF
Libeo Seprimo
GNA
nsc
TR
E. M 1
OFC
CAF
ER R A FL
tcu
ee
2
17
18
29
129
35
146 6. aC delcacuscam
35+
FCad FB
1+ BLC
Libio linco.
dete BF.
AINC
363 4. aAnC BD
DML ad TAK
FE ad FO
a
DFL LBL.
FB. 168.
X ad DMI
in Fgura est G. loco P _ COnTTA.
X
in  C L. FX CONETA.
140 8. 2AnC FDB
144 2. CO5. AP e FB
C1B3.
ole aqualis
DO
BE ATD
e paulo post quata AL C lesC AC.
45+. In propOL. 2 25. divilam in C B FD. lCBCC e D.
pormales
454. 3. 2 Eoc bisectis  LLLH lCsC IB L ec N.
154. Pevulcima N K deleatur
154. CX C du_ DOla ad A B ACBC C+b. dbC.
455. linea 3. Parallelam ad K B. LexC A B
GDN
154 AZ. aENC C PM.
107
2
9
100
F
e 20. AC
ACF
BCCaqualiSF
72 9. atinc abC
P. a Fin
AC
supplc ellipsisad
AD, AB, AF, AC A
AL
82 29. 2F
183
8
sim FBC
G. LR
PK. RC
ubiest B
NSC
LBIDSexIO
AB.
in sixura cA C. l0c0
t_R. locOF.
paE. linon
535 10. abn.
136
rectanguli
t
ad H
bola supple qua
ne FH
n
1
Eixucat
SECC
ad HC
PHKA
AD, A EI
L A M
1c
supele
CEDC
atine dittinecionem dctinicionem
BNF
ipHuS
P Mt
no
in lipura N IbCOp. nCC Z BeHO
ductum
circutus
Euperticem
13
incellize D.
Ad.
BC L con
Eectatib aluo
supplcin
Corpie ett
utur
supetsctem
orpori
lerrionem
Propolitiones 40. d +1. ponun
731 13. a finc incipiendo abies, delerique ad ol-
337
34 9. 2Finc
136 4. Sch.
37 25. asine TFPF.
735 2asinc alcicudinibus
739 20. dtDC XK
hac d a tinc A H1
piccodem numero quopriores
acicadivis
HB. B
EuI.

## Folio  -  — 1815201908:1286
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001286.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 94 lines, status machine
Pa8. linea
746 Pr. 54. L
DA
353 Satine concinentes
763
968
15
10
772 PF. 1OF
72 2. a Fn.
274
CHF
nc
BK
in sBur. N
IOcOFI
Fore
776 rO. d AB. SInE
386
19
AIF
FND.
758 5. d 3. d. H. L A
789 17. 2 Enc M M
789 8. a AnC NI
793, 4. 2 AnC
eD
39+ 13. aAnc HIB
B42 2.a fine dele E L
843 7. a Ane livex
256
8
bitariam
859 9. 2 Ane HO
859. 8. d Enc L1O
Libro Octauo.
5
BAD.
BAC
6 ca
C D
300 25 A 2d B.
906 17
908 2. a HnC A B
309
RR.
is
12t 9atio. B
contingenres
D
suo auremloco
non habetur
IL.
2C
lineie
eritactam
HIR.
dele ad B.
3
CibroNonO.
e
ne
DBF
3. a FnC C
DBFCN
Cobrensd
abcasia
Libro Decimo.
ecundi ad eCa
eB
P
vicims
1125 24 ZRLL
127
130
4. aAnC YP IL
1139 15
117Y 16
Deternum HZ
ve, quod poucum es
ance, ad secundun
onarur ancestertium.
1273 4. d AnCR, L.
180 9
M
1185 6. 2tinc, in se ductis
1186 S. aAnC SR F
87
2189 7. atine candem este
1191 24. a p. idera corriBc.
uxple nocalit
cadem (IC.
P. aABCKCL
res lin. velecudi ad secundu in duplicararacion

## Folio  -  — 1815201908:1287
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001287.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 1 line, status machine
H.

## Folio  -  — 1815201908:1288
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001288.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
     1e . . 1e  . . t  1 . . 1. 11 e. 1 .  . u l. B s 1p 1. 1u   a .  . 1 1 . 1 6 1. .  .     .   1in t  t.  . a  . t 11 1
EHSISCH

## Folio  -  — 1815201908:1289
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001289.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 1 line, status machine
2HS

## Folio  -  — 1815201908:1290
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001290.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
  i       f1 1        1e r  et a us ee
SACHSISCHELANDEC
d
26 27 28

## Folio  -  — 1815201908:1291
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio  -  — 1815201908:1292
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001292.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 3 lines, status machine
meni
e
u

## Folio  -  — 1815201908:1293
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001293.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 100 lines, status machine
 it
i
te
es
eia
st
rati
 t
a
s
s
u
o
soes
a
fea
esseage
te
re oreasia
ua
ti
eant
   
 
ea
ee
hotit
a
 
 ei
 
eto
da
i t ist
at
n
e
i 
teri
prala
t
s 
lit
e at
e
ie
e
oia
Mos
 d se
 
au
anite
ta
se 
e
e
e
e
 tte
dene
tona
i
s
q
e ega
d
de
r
ss
ea
et  
gu
d
es
ase
a
dt ra
die
qs
r
e
e
de 
a
at
eustet
 ol ali
e
il
te i
eut
a
3
as
dere 
enlient
 
 ha
  

## Folio  -  — 1815201908:1294
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/1815201908/jpgs/default/00001294.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
e
pes
 e
et 
es
e
eo
se
et 
o
010p
8
a
e
Loim
Mare.
23
t
nti