# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Work: https://leibnizlegible.com/work/834940469
# Title: [Vera Circuli Et Hyperbolae Quadratura] Vera Circvli Et Hyperbolæ Quadratura (shelfmark Leibn. Marg. 98)
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=834940469
# Lines: 7,410 recognised on 241 of 241 pages, mean confidence 0.84
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio  -  — 834940469:0001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 129 lines, status machine
d 
ea
3
s .
p 
si
e
 mae 
3e
e
b
d
po
ned na
ne
lon
a
at  es
 e
eo
e
s
1
a 3 
asit
D. et pH
aaa
e
1
et 
rie
 ate
i
qu t
a ef
 maters
e go dega
    e  
aum s
ocaute u
sint
se
5. .
1
ad e 
x
e i a
d
ag 
5
 d
a astum u d aliona s
dites
3
s
 co set  uo
a
e  orid ct  
su ad  des
eeet
an  e ocs ono est
A
e d
requid  pe 
 d
1
e
e
pon lo e
1 n
a
an
 
d q
 13 2
 
e
p sed   
ti 
ed
a colud 
ee
au
Sa
r
an 
nlb
ieu 
st
ene
3, pu o s ret a
s
 edat
u
eee
iil et
n este
 sa
Eu
ad e
e
p
s
est god i
cota 
on
t
de
es potivas
ga
2
aui
et
oll.
e
e  
unbe
ud et at
 sil
e
de 
ri 
A
seu
d s
sed
e ea 
s
d 

## Folio  -  — 834940469:0002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 3 lines, status machine
 .
e
BiBn. Mar9.

## Folio  -  — 834940469:0003
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 6 lines, status machine
ssiisit
eea
FRIED WILHELM LEIBNIZ BIB
EDERSÄCHSISCHE LANDESBIBLIO
atir: Leibn. Mar9. 98,
ee

## Folio  -  — 834940469:0004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 6 lines, status machine
M
ED WILHELM LEIBNIZBIB
DERSÄCHSISCHE LANDESBIBLIOT
Signatur: Leibn. Marg. 98, (4) -
11
eeeeee

## Folio  -  — 834940469:0005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 16 lines, status machine
LC LErperbolae Guadratura
C V Y A C C F D IZ
EF F O MF TR I A
PARS VNIVERSALIS
Eneruiens quancicatum Currarum eransmurationi
_ menluIx.
A Y Y  O R E
ACOBO GREOORIO
ABREDOTENSISCOTO.
CrM PRWILESIO SEREMISS, SENATYSPENETS.
de
e
is
ent li
ATAVII. TypisATeredum Pauli Framborti BiblioB.
Superiorum Permissu, 1668.

## Folio  -  — 834940469:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 6 lines, status machine
A
alt
ll
Eese nuoraur ionrron
atur: Leitn. Mar9. 98, 
eeeeee e e

## Folio  -  — 834940469:0007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
51 1155.
PRASEANZISS. VIRO
22
u
d
iam a
In flCadeMHa P. atauina Turis Prudentiam e Prima
Sede Proticenti.
Petrus ALrambortus felicitarem praecatur.
Acer praeclaras animi dotes, eximialque
virtutes, quibus afluere cuicumque videris
Illustrissime Vir, ca profecto spectabilis, ac
Tummopere commendabilis eit qua studiis
bonarum artium; atque disciplinarum ad-
dictos amore prolequeris, torisque riribus
patrocinio Foues, aequs tueris. CT LanIobrE
cum primum Cingularem, ac mulciplici doctrinae Genere pra-
stantem Lacobum Cregorium huius Tractationis Auctorem per
Spectum habuistis; ad nece sicudinem ribi statim adiunsens, con-
tuceueine, Familiaricare que coniunsisti. FTic porro cuiulmodi
Fe cfinxerit natura cognoscens, nimirum indole praecTanti, mo-
ribus luauissimis, piccare summa, insenii alacritate, crudirione
aberrima, _e repaucis perlerinsam Virum rndequaque specta-
Bileri, praeclarissimis, amplissintisque ce tandibuS; UE PAE CFAE
extollens commendabat in primis cani; qua polles beneiolen-
tia, pracipuaque clemencia, ae lenitate, d veiut osticis ple-
num ce semper admirabatur. Ouo non leniet id vsurpabat
inte videlicer elucere nobile; praestantissimmn que decus siri-
nigena disciplinae, praeserrim Turis Prucentiae; quam e Prima
Sede Prottentem hec re veneraeur celebris Academia, nen na-
eis quani excella rircuris mores conformantis orranieneitin,
alculemer aduerrens in ce demum aliquidl escicisté toci pudoris
PFO
e
AI MIC
les
a
6
C
1
co
6
s
a

## Folio  -  — 834940469:0008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
probicati; aeque virturi; quod in lingulos dies contrrmattim ac
cepimus. Cuamobrem tor Magnatum, ac Principum sublimio
ris ordinis cumulatissimam sratiam, hrand sine mulcorum adrri-
ratione quide iniictii e quam frequenter accertitus, eosqi adire
coactustam praeclara praesticti; ve auxerie praesentia tamam,
quiproptereare adeo illexerune, ve rixce huc redicurum sine-
rene, masis existimantes, ut opinor iucundissimam consuctudi.
nem cuam, crudicissima eloquia, suonilinosque consrestus,
quim volupraces omnes, rati profecto deincepsmaiori cum te
nore cua operi uti posse. Si quidisitur unquam prudenter coi,
hocequidem, commemorati scilicet auctorishalce lucubratio.
nes, cuo nomini consecrasse. Id enim, qua cum cibi adserinzeras
consuctudo, ec singularia anirai tui decora petebant, co vel ma-
xime quod Machematicis quoqi disciplinis quando vacat ope
ram impendis; nec illud sic in postremisme scilicet habere cui
plusquam eibi debeam, neminem, ob non vulsaria, quibus are
lure humanissime beneficia affectus. Religuum igitur eATIIV-
Arils. Vir, uc hilari animo, Perenaque fronte munus, quamuis
erieuum excipias, quod utique mihui sperandum, cumtenon,
Materent illud Homeri ex Odu(5. 6.
Ovrap xancrartvacda door esdr
com scilicet reiicere handquaquam decec, quamnis enim exi-
Sucm plaribus camen nominibus opporennum. Ouod si perspe-
rerocibi eratum taille, dabo quidem operum in polterum omni
Pcio, cmnique constu, uc incellisas nil in deliciis magis mitii
concitusere, quim tibi quidem innilum non esse. Vive Nestoreos
anios incolums, ut bonis artibus, ac disciplinis praesidio sIS, ee
OLILLMTENEO.
Patanii, Aano a Vireinis PArFH WDC. C. EF HII. Pridie ab. SepB

## Folio  -  — 834940469:0009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
aa
ullibonta
ddm aliquando coritabam, amice Lector,
num Analytica cum suis quinque operationi-
bus esset sufficiens, et generalis methodus in
b
sandi omnes quantitatu proportiones, ut
in initio suae Geometriae affirmare videtur
Carcesius; si enim it a esset, possibile foret ejus ope toties decar-
taram circuli quadraturam exhibere: cumq; haec mente revol-
aerem, facile percepi ex hactenus reperris circuli proprietati-
bus nullam posse analysin institui cali structurae inservien-
rem: de inde mihi alias quaerenti incivit inmentem huius se-
cunda, prima enim in circulo vulso est cornita: ex hisce per-
cepiseriem polysonorum conversentem, cuius terminatio est
circuli sector; obi statim vidi aliquod analy sios vestisium.
deinde serierum conversentium naturis non solum infacilio-
ribus quibusdam casibus, sed etiam in genere consideratis, (C)
praedictis circuli proprieratibus ad ellipsim ex hyperbolam
nullonesorio reductis, infallibilis mihi videbatur omnium
sectionum conicarum quadratura: dum autem me illue con-
verti ve poly gonoruni seriem conversentem terminarem, in su-
perabilem difficultarem in ejus terminatione invenienda post
omnes arris ex aleae conarus deprehendi: Sed animoreuol
vens analysios officium esse siout al sebra communis, non solume
problemata resoluere, sedetiam eorum impossibilitarem (A
Opus

## Folio  -  — 834940469:0010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
opus sit) demonstrare; cumque in primo difficultarem indici
bilem expertus essem, ad secundum me converri, quod certe su-
pra votum succescit; non enim solius circuli (quam mih ab
nitio proposueram) sed omnium sectionum conicarum veram
ex lesitimam in sua proporcionum specie quadraturam, e
interram proportionis speciem ance incornitam orbi C’eometri-
copatefacio, quam etiam proportionem (alcem in relatione
ad dimensionem sectionum conicarum. ad commensurabilem
vere quam proximam reduco, praxi facili, demonstrabili, (ez
extractione radicis sur de solidae (ni fallor) multobreniore; in
omni enim proporeione incommen surabili ad tales approxima
tiones recurrunt Mlathematici: e aurem melius concipiamus
huius proportionis naturam, loquamur de proportione quate-
nus ortum habet à quinque operationibus analyticis, seu
arithmeticae vulgaris, proportio enim nobis notior est in nu-
meris seu in quantitare discreta, quam in continua, neque ve-
reor post Carcescum has operationes in geometriam edducere
Primo itaque sciendum est nos semper nobis proponere quanri-
tates commensurabiles, seu quae inter se sunt venumerus ad
numerum; proportionem enim incommensurabilem nisi relari-
ue ad commensurabilem nullo modopercipimus; habet enim in
fenescio quid infiniti; mentem nostram obtundens (es simpli-
cem percoptionem impediens: deinde ex illis quinque operatio-
nibus arichmeticis, duae sunt tancum simplices, addicio e
substractio; multiplicatio enim est composita ex additione, e
divisro ex substractione; e extractio radicum, quae in genere
nihil aliud est quam inventio proportionis commensurabilis.
quae quam proximo accedii ad proportionem analyricam in
c

## Folio [11] — 834940469:0011
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
commensurabilem, componitur ex praecedentibus quatuor; e
nostra sexea operatio quae in genere nihil aliud est quam in-
ventio proportionis commensurabilis, quam proxime acceden-
eis ad nostram proportionem non analyticam, componitur ex
prioribus quinque. Aduercendum quoque est sicut numeri fra-
cti nunquam procedunt ex interrorum addicione, sub ductione,
mulciplicarione, sed tantum ex divisione; es numeri incom-
mensurabiles nunquam procedunt ex commensurabilium ad-
dirione, subductione, multiplicatione, divisione, sed tantum
exradicum extractione; ica numeros, vel quantitates non
analyricas nunquam provenire ex analyricarum additione,
subductione, mulciplicarione; divisione, radicum extractione,
sed ex seaeta hac operatione; ita t haec nostra inventio ad-
dararichmeticae aliam operationem, ex ceometriae aliam ra-
eionis speciem, idem enim est (sicue in hoctractatulo demon-
Aro) rationem circuli ad diametri quadratum in analytica
seu illa rarionis specie hactenus corniea exhibere, ac rationem
inter quadrari latus e eiusdem diametrum in commensura-
bilibus: verum cerre est mehanc demonstrationem interram
adphrasem reometricam non reduxisse; nam ue hoc perficia-
tur, opus est non paruo volumine de quanticatum analytica-
rum mutuo inter se relatione ex incommensurabilitare in ce-
nere; quod miror nullum onquam scripsisse; cum in his
tam lare pareant inventionum campi; nam ex his petenda
est demonstratio, quod mesolabium non possit perfici ope regulae
er circini, item quod non semper e quando aequationes affe
eta possunt reduci ad puras, item quod necessaria sit ad mini-
mum calis reneris curua ad mechanicam talium aequarionum

## Folio  -  — 834940469:0012
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
resolutionem, cum calibus innumeris, quae à praestantioribus
geomerris impossibilia esse deprehenduntur ex analysi, e à
rudioribus quoridie ex frustra quaruntur. Scripsit Euclides
decimum suum librum solummodo (nisi in paucis quibusdam
propositionibus generalibus) de incommensurabilitate facta ab
extractione radicis quadratae; neque quantum seio ab 2llo
aliotractara est haecmateria, et iamsi geometriae speculariuae
non solum xcilissima sic, sed etiam maxime admirabilis; in
ipso enim limine admiranda occurrunt theoremata; e. S. Sifue-
rit prooressio seometrica curus 2nus terminus fuerit proposi.
tae quantitati commensurabilis lonsitudine 2 el potestate qua-
cunque, 7 alius quiliber, binomium, trinomium, d7 c. quod-
cunque, impossibile est duos rotius procressionis terminos in
infinitum continuatae esse inter se commensurabiles lonsirudi-
ne vel potestate quacunque: alia multa possem afferre, se d pra
commodiore forta (sis tempore haec reseruo, satis existimans
propraesenti haec analytice demonstrasse; et si enim analysis as-
sensum adeo violenter non cogat ac geometria, nunquam ra-
menrespuit nec respuere potest geometria, quo d probauit semel
analysis seometrica. ex hac inventione deduco quoque nouam
sectionem ansularium ex losorichmorum doctrinam, facilem
quidem, in praxi expeditissimam ex geometrica demonstra-
eione munitam; bactenus enim losorithmorum constructio
prolixissima, conrectura potius quam scientia videbatur, e
divisio ansuli inpartes aequales 2 lera quinque numero primo
numeratas in praxim vix admieri poterat. haec omnia sum-
ma (qua possum) brevitate ex perspicuitate demonstro; neque
scrupulosus sum in cicationibus, vepore peregrinus ex libris
aa

## Folio  -  — 834940469:0013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
adrale opus destitueus; te enim suppono in ceometricis non
mediocriter versatum, alioquin nullum hinc fructum colli-
ses restat. 2+ te admoneam me summam semper affectare in
demonstrando generalitarem, non solum in his sed eriam in
aliis a meeditis; ita xe admirer R. P. Franciscum Pschi-
nardum e Societare lesu insuo Dialoso optico Pa5. 2.6. as hr-
mare me demonstrasse in oprica mea promota, quodimaso in
eodem videatur ansulo ex vertice emersionis quo visibile ex
verrice incidentia, solummodo in lentibus ellipticis es hyper-
bolicis, nam no solum in illo, sed eriam in omnibus meis theo-
rematis praecipuis e quibus tota de ducitur opticae scientia ne-
Pe 26. 27. 44. 45. 46. 47.50. nihil dico nec suppono de 2Ila
particulari fisura sicut cuivis lesenti parebit, extat enim
exemplar Romae in Bibliotheca Ausustiniana. Verum certe
est in problematis me semper adhibere lentes, ex specula ellip
tica, (D Fyperbolica, quippe exacta et geometriae conformico
ex in hoc allucinatur R. ir quod problema à theoremate non
distinxerat, nam in suo dialoso, ne grauius dicam, nullum
extat problema. Illua quoque quo d asserit pas. 54. Veritaet
ix consentie, quod librum meum cum primum xiderat dum
proprium illius opusculum esset fere sub praelo, octo enim
Mensibus ante absolutam sui dialosi impressionem meum
opud se habuit, sieut restantur omnes in Romano Scotorum
collesio tunc studiosi, 2bi ipse erat praefectus. doleo certe quod
vir alioquin doctus pulchram opricae scientiam faedis sui dia-
losierroribus disfiruret; nam in ipsaimasinis natura, quam
tot orsumetis conatur probare se invenisse ante uisa mea scri-
Dia Furpicer alucinatur, dum imasinem disdinsuit a focoran-

## Folio  -  — 834940469:0014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
tarationum philosophicarum farragine; in ipsoenim easu ab
illo exhibito, focus est vera ex lesirima imasolentis obiecti-
e, quod sen sui apparebit, si in lente obiectiua pinsantur lite-
ia earum enim imarines videbuntur clari (sime depictae in
foco biaβerieur nullam existere imarinem, sed tancum fo-
cum; un de paret non ese heceroseniorum mixtionem (sicut a(-
Serit Ille) sedlentis obiectiuae homogeneitatem, quae efficit il-
lam focihomocencitarem: deinde par. 36. necat radios inhy-
perbolae focum exteriorem concurrentes axi onquam fuisse
parallelos, etiamsi a Cartesio firmissime sit demonstratum:
C) pac. 22. magnojere praedicat insentem illam difficultatem
coensscendi, quomodo de visibilis magnitudine indicet sensus
communis; etiamsi ab omnibus doctioribus opticis (ni fallor)
demonstratum et recepeum sit, dum distancia peicipitur, fen-
(um communem iudicare (sicut docet trisonometria) ex di-
stancia et anculo viforio, quae si non percipiatur, sensum com-
munem indicare ex quantitare solius anguli viforii; seu ima-
einis in recina, haec enim necessario coincidunt, si detur oculi
cenerum in eodem semper loco existens, quod ab omnibus sux-
ponitur. de his autem pauloliberius locucus Cum, ut hinc ad
moneam mathesos studiosos, quam vanus sit conatus ma-
chemathica promovere ope fictilium rationum phylosophica-
rum, quae crudeli oulsi turmae perfuadendae tantum funt
xciles; in Mathematicis enim nulla locica p: aeter ceome-
eriam, nec philosophiae quae huins ope infallibilibus experiene
ijs non sezerstruitur. l’ale.
A_I-

## Folio  -  — 834940469:0015
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
B
recta perpenaicularis rectae A fl: dico imposibile esse, ve (du
Cta ad libitum recta F F D perpendiculari recte AHI) rectae
Tangentes CF, C D. semper sinc parallelae. Sumatur in recta
L punctum ad libicum K. Cicque rectae IK xqualis ee paral.
dela recta AB; deinde per puncta B, K, duCatuF CurUA CON
eruens currx AI, simodo punctum  superponatur puncto
Animaduerio Prop. 3. Secunda Partis proposiro nostro obscure ad
PROF. 5. ZLAF M A.
modum inserurre, e ideo sequentem in eius loco substituo.
Ad rectam A FT duCantUT dUa CUTUX AI, A L; SIEquC FITI.
B _ punctum Ipuncto L. manifectum est cuer ai BK secarC CuT-
vam AI. in aliquo puncto r. 8. D; Rigitur CF, C. D, lunt Paral-
lelae, CDranSet curvam BD K in puncto D ob curvarum AI.
BK, congruentiam; Led C D ex suppolitione tansic quoque
Curram AL. quod est absurdum, quoniam curVE AL, BH, sC
UEVO SCCanE in PUnCtO D; CanSenteS IgItUT O F, C D, nOn sUE
lemper parallelae, quod demonstrandum erat.
In partis secundae pas. 20. lin. 5. pro de demonstrabitur lese de
emper demonstrabitur. Catera errata, cum sensum non pertur-
bent, fasile corricet intellisens Lector.

## Folio  -  — 834940469:0016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
R F. Fi
O R MI A
Sello Scudio di Padoua.
Auendo recuto per fede des Padre Inguisitore di Padouanel Libro
incieolaco r era Circuli, es Friperbolae Ouadratura non esserui cola
aicuna conero la Sanea Pede Cacrolica; e parimenre per acrestato del
Seorecario nostro, nience contro Prencipi, ebuoni coltumi, concede-
molicenza d sPHeredidi Paolo Framborri di pocerlo Campare, oner-
vanco el’ordini, _c.
Dat. d 7. Aprile 1668.
AI. VISE CONTARINI CAU. PEOC. RCF.
A NGE LO CORRER CAN: PEOC. RCF.
IECOLO SAGREDO CAU. PrOC. RCF.
Anselo Nicolost Seor.
OMLNTCYS CONZAERENO Dei CratIA DUX V enet: esC.
Vniversis, es sinculis Rappraesentantibus nostris quibuscum-
que ad quos hae nostrae pervenerint sienisicamus hodie in Consilio
nostro Roratorum captum fuisse ut infra videlicet. Cheper efetto di ox2-
cia lia concesso priuilesio a Ciacomo Cresorio Abredonenle Scoto,
chealeris cheluiso chihauera causa da lui (cioeliFramborri) per dic-
ci anni non polsa ar stampar il Libro inticolato. Vera Circuli es Hyper-
bolae Duadratura, es Geomerriae pars ruiversalis inserviens quantitatum,
Curuarum transmutation, es mensurae; ee stamparo non polla alcunoce-
nerlo, d renderlo in peni della perdica di curri sli esemplaris quali siano
del Tudetto Auctore, c di Ducari crecento applicati, in terzo alP ACCu
latore, rn cerzo al Ma5. O Ressimento, chetard lelecutione, de l’altro
cer2o all’Arsenal nostro, come contisliano li Retormarori dello Scudio
diPadoua nelle risposte hora lerre, douendo mastime Loccombere d
molci dispendii nella stampa dello stero Libro. Duare auctoritate supra-
dicti Consilii mandamus vobis, et ita exequi debearis,
D3t. in Nosro DIC. Palatio die XIV. Aprilis Ind. 6. M. DC. LXVIII.
Gio. Gincom Cormiani Sezi.

## Folio 9 — 834940469:0017
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
reneues lerel hyperbola ducantur ecentro
etus perimettum duae rectae, appellams pla-
num ads leccis de perimerri lesmento compre
hensum, lectorem sieee
Si perimerri segmencum incer illas rectas comprehensum
a rectis quorcum que lubendatur, ita reeriangula rectili-
nea (quorum communis verrex est sectionis centrum de
balesrece lubcendenees) Cincequalia; vocomusrectilineu
illud eb iltistriangutis contlatum, polygonum regulare
inleipeu. (i lectio conica Fuerir circulus vel elliplisi quod
Rfuerichr perbola, vocamus illudrectilineum Bolygo-
num regulare circumleripeum.c O
Siperimeeri segmencum incor illas rectas comprehensum
a rectis quorcunquecansacur ee a ractibus ad sectionis
cenrum ducantur recta; si inquam omnia crapexia.
a rongentibus pronimis s rectis ad centrum coprehentas
Fuerinc aequalia; appello rectilineum ab illis contlarum
polrconum resulare circumscripeum, E sectio conica
Sic ellipsis velciculus, ee polrsonum regulare inseripeurs
Situerie hyperbola.
 Si omnes anguli(excepto illo ad sectionis cenerum) p. ly-
soni regularis i subcendencibus comprehensiinlistare
omnibus concanctum punctis polrooniregularis a can
Beribus comprehensi, appellohec volvgona complicatt.
Ouancicarem dicimus a quanricacibus esse compolicam 
cum a quancieacum addicione. lubductione, mulciplicatia
ne, divisione, radicum extractione, vel quacunque alia
imasinabili operarione, AEalta quaHEICAS.
6 Quando quancias componitur ex quancicacum addicto
ne, subductione, muleiplicacione, divitione, radieum
excractione; dicimus illam componi anaireicé.
Guando quancitares a quanricatibus inter se commen (u.
rabilibus analycice componi possune, dicimus illas estes
incer (C AB a l5L1Cd5..
Si

## Folio 10 — 834940469:0018
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
8
d
10
Si a quaneiereibus guoreunque A, B, C, D, E, componz
cur quancisas X. de a quanritaribus F, 6, C, D. F. compon
nacur quoncicas Z Cddem omnino mechodo se ijidem om
mino operacionibus quibus ance componebacur dE, potiris
quanricaribus F, C. loco quancicarum A, B. si inquam hoc
Eac. dicimus quancirarem X eodem mod, coponi a quan-
ricaribus A, B, quo Z componicur a quanricaLIbASF, C7.
Sinc duae quancirares A, B. a quibus compo-
A
AanEUE dux aliX QUALTIEATES C, LD, quaruM C.
disserencia sic minor differencia quancirarun F
AB. de eodem modo quo C, componieur a C
quancicacibus A, B, Componatur F a quanci
Pasibus C, D, de eodem modo quo D componitur d quars
ciracibus A, B, componatuE F, a quanricaribus C, D; e C0-
demmodoquoE componicur a quaneraribusC, D, vel
Caquanciraribus A, B, componacur C a quanciracibus
, Bi de eodem modo quo F componitur a quanciratibus
Co, D vel D a quancicacibus A, B, Componarur EI a quanci
eacibus E Fsatque ica continuerur series: appellohanele
riem, leriem convergentem.
E0 Eiuscermini iuxca se posirinempe A, B, vel C, D. velE, Fo
relO, HI, dicuneur Termini COHUENSCNCES.
DETITIOHES.
DEcimus quanticares, a quaneiearibus daris inrer le argo
Ircicis analrcice compolicas, este incer (o et cum
quancicacibus dacis analiticas.
2Icem quancicates, quae a quanciraribus daris inver le an
Ircicisnon postumc analycice componi non ele cum qua-
cicacibus dacis analicicas.
Praecedences peririones quibuldam Forralhs obleure vide
buncur. ledcamen ex analyseos elemencis lunc, Edcis mani-
telx.

## Folio 11 — 834940469:0019
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
7CF
od L  a a a a 
Duadratura.
cctculi, ellipseosrel Fyperbola Pegmentum
BLP CIUS Cenerum A: Compleacur erIaNSU.
) dam ABP, de legmencum in punaIs, B, P, can-
enres ducaneur secce BF, PF, le inuicem lc-
 CanceS in punCtO Es prOdUCATT (L OpuS HIE) re-
eta A F segmemcum incerlecans in puncto L de rectam B P im
puncto Q: delude iunsanrur rectae BI, PI.
PROP. L THEOREMA:
Dicotrapezium B A PI esse medium proportionale inter
trapez ium B A PL, es triangulum BAP.
Voniam recta A O ducituI per F concursum duaru re
CaruM FB, FP, legmencum in punctis BB, P, tangenciur
ou orrecta A cectam BP conractuui puncta iungencem bi-
tariam lecab cin puncto 9; ec proinde criangulum AB C
est xqualc eriangulo AG P, de crianguluu FBC criangulo
FEP; d isicur criangulum ABP aequale est rriangulo APFs
est erod rriansulum ABF dimidium craperii ABFP: codem
modo probacur criansulum AB I ene dimidium eraperI
ABIPs de criangulum A B C est dimidium erianguli A B P.
cumqueeriengula ABF, ABL. ABO. candem habeant al.
ticudinem, incer se lunc vebales, led eorum bales nempe AF,
AI, AG. lunc concinue proportionalesi seisicur ip(a quoque
triansula luns concinue proportionalia; ec proinde corum
AUPIANIM ITUML EFAPCEIA ABFP, ABIP, Se criangulum ABP.
lurie coneinue provorcionalia in rarione A F 2d AL, C, 1 1d
demostrare oportuit.
seda
e
de
L1C

## Folio 12 — 834940469:0020
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
Dellucatur teca L scotencum cangens in punco lule-
YBOmUM ABDLB.
etisBF, PF, occurrens in punctis D, L, ita ve complearur po-
PROP. II THIEOREMA.
DICO FTAPEZIA ABFP. ABIP simul, esse ad duplum trapexi
ABLP, BICHETraPCxIUM ABFP ad polyconum
ABDL. P.
Toniam recta AF, ducta per contactum rectae DL. cum
leomento, ducicur etiam per concursum duarum re-
ctarum FB, FP, rectam DL terminancium e leg.
mencum in duobus punctiscanseneium; igitur recta DL. bi.
tariam secacur in puncto I; e proinderriangulum FDlequa.
lceseriangulo FIL, aceriansulum ABF aequale est erIAM-
sulo A PF; ee isicur trapeZIum ABDL aequale cA craperio
APLL; craperium ergo APL. I dimidium cA polrsoni AB
DLP. ducacur recta AL: manitectum est ex praecedenris ne-
monstracione trianoulum AIL esse aequale criangulo ALPL
sed recriangulum A L. F ad erian gulun A L I IEA F A ad AI,
_EVETA ad AI ICL ErAPOZIAM ABFP ad ETAPCZIUM ABIP; de
igicur vecrapezium AB F P ad erapCZIUM ABIP; ita crian
oulum ALF adrriangulum AII; ec componendo, verrape-
ZId ABF P, ABIP LIMUI, ad ErApCZIUM ABIP, ita crianou.
lum AIL X crianSuum AII. SimuI, hoc elteriaNgULUM AFP.
ad triangulum AIL: de consequentes duplicando, verrape-
ZId ABF P, A BI P CmuL, ad duplum eFaPCEII ABLP, ica
TrianBUIOM AFP, ad craperium AILP: ac criangulum AF. p
eRdmidium erapezii ABFP, decrapexium AILP est dimi.
dium polr goni ABDLP, _ IBIEIIE VETEaPCZIA ABEP, ABIP
simul, ad duplum crapezii ABIP, ita craperium ABF P ad
eolrgonum ABDLP, quod demonstrate oportuit.
eRD)

## Folio 13 — 834940469:0021
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
eROP. III. THEOREMA.
Dieo srianentum BA P, Ex Traxexium A BI P simit, ess
ad srapexium ABIP, Vt duplum trapezy ABtB
Ad pOtYEOnUM ABDLP.
Nancecedente demonstrarum est eraperia ABFP, ABIF
Cmul, esse ad duplum eraperii ABLE, Ccuc craperium
ABFP ad polygOnuM ABDLP: e permurando era
DCZIA ABFP, ABIE Simul. Cunc ad crapexium ABFP, reduq
plum craperii ABIe ad POIrSOnUM ABDLP. Se quoniam
erapexium AB F P, traperium ABIP a criangulum ABP
Tune concinue proportionalia; critrraperium ABIP adira-
Pexium ABFP, verriangulum ABP ad craperium ABIP: _
COMPOMENAO, VEEFaDCZIA ABIP, ABFP AInuL, ad craperium
ABEP, ica rriangulum ABP se craperium ABIP simuh ad era-
pexium ABIP: Craraurem, vecraperia ABIP, ABFP. CmuI, ad
craperium ABFP, ica duplum craperii ABIP ad polrsonum
ABDLP; disirur recriangulum ABP e craperium ABIP
Cimul, ad crapezium ABI e, ica duplum rrapezi A BLP ad
volroonum ABDLP, quod demonstrare oporiuic.
Producantur (sopus sIc) rectae AV, AL. lesmentum le:
cances in punctis F de O, de rectasBI, lP, in H ec M: deinde
unsancurrectx BF, FL, IO, OP, re compleatur polygonum
PROP, IV. TITEORF. M A.
Dicd oo LBF IOP esse medium proportionate
inter polyconum A BD L. P es trapezium
ABIF.
DLLOP.
 casus prima manifestum CM craperium AILP,
craperium A LOP _ criangulum A L P esses
COnei.

## Folio 14 — 834940469:0022
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
Concinue proponionaliai se ex praedicislatis Facile collio
pocesiraperium AILP eAc dimidium polrsoni ABDL. P
ee craperium AIOP eAc dimidium polrgoni ABF. IOP 
trianeulum AIP esse dimidium eraperii ABIP: ee proinde
cerminos duplicando, polrgonum ABD L P, Bolygonune
ABEIOP de craperium ABIP sunc contnue proportionalia,
quod demonstrare oportuir.
Ducantur rectae C C3, IE N, segmentum tangences in pun-
Ais F. O, _ rectis DL, DB, L. P, OccurrenteS in puNCtISC, Con
CoH re compleatur poly Sonum ABC CKNP.
PROP. V. THEOREMA.
DICO CrAPEBIUM ABIP ex polconum ABFIOP simul, esse ad
DOIyEOn ABFIOP; V duplum polyEOnI ABL 1OL
adt poly eonum ABC C, KNP.
Xhuiustertia manifectum estcriangutum ABL SC EraPC
, Zium ABEISImUI, eNe Ad EraPCZIUM ABEL, ve duplum
traperii ABFLad polrgonum ABCCI: _ ex praedictis fa-
cile concludi poresteriangulum ABIesse dimidrum crape-
zii ABIP, Sc:rapexium ABF L esse dimidium poly goni A
BE IOP. _ polrgonum ABCC Lese aimicium polygoni
APCCIIENP; e proinde termnos duplICandO, EFSPCZIUm
ABIP X pOlYEOtuM ABEIOP simul, erune ad polyeonum
ABIOP ve duplum colVGOM ABLIOP ad potygonum A
BCGHP, quod demonstrandum erac.
Fimc Facile collisi porest polrgonum ABC C, H N P esse
medium harONICUM inEer BOLISONA ABETOP, ABDIP
quodhic admonuisse sufficiar, in sequencibus enim demon-
ltrabieurs
m
B3 Scst hFC

## Folio 15 — 834940469:0023
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
VX DE
cedenres propoliciones eodem modo de
monstrari possune de duobus quibuscunque po-
lygonis complicaris loco polygonorum compli
CACOTUIM ABIP, ABDLP; polugonum enim a rangencibus
comprehentum cor cocinee aegualiarrape zia, quor conrinet
polrsonum à lubren lencibus comprehesum aequalia exinn
gula: atque hinc euidens esthus polygonoru analoeias itd
se habere in infinitum, ducendo nimirum rectas AN, AI,
AC. AC. per puncta R, P, S, V, Sc adhuc alia X alia polygona
inera R exera semper fcribendo: nocandiinos appellarehac
Doly zonoruinscriprione e circuleriprione, inseriprione ee
CircuscripcionE (ub suPLa. CX PEAdICEIS DRFEE (A PONZEUE Exi
angulun ABP = 2, i_ EraPCEIUM ABFP = b) crapeziI
ABIP CHC,gib de Polygonum ABD L. F
2ab lreodend
dnfirgub
modopolico traperio ABIP = C, SE poly EOnOABDLP 
erie polysonum ABEIOP = Vq.d d polygonum ABC
GKENE
Ecd
ica re euidens sihanc poly gonorun
c rgcd.
Teriem esse conversentem; aeque in infinitum illam conci-
nuando, manifestum elt tandem exhiberi quaritarem secton
ri circulari, elliprico vel hyperbolico ABFIOP aequalem;
diftereria enim pols sonorum complicatorum in sertei con-
cinuarione semper diminuirur, iea re omni exhibica quanet.
care heri posse minor. ve in lequenris cheoremaris Stolio
demonstrabimus. (I isitur praedicta polygonorum leries cer-
minari polser, hoc es, (i inveniretur vlcimum illud poly80a
num inscriprum (Eics loqui liceat) aequele virimo illi Doly
sonocircum leripro, daretur intallibilicer circuli de hyper-
bolx quadracura: Ced quonium distieile est. s in geomerris
omnino Foreasse inaudicucales leriesterminare s Praemicren-
da unc quaedam propolriones equibus inveniri pollinehu.
ulmodi aliquorlerierum rerminationes, se randem (shers
POlSIC)

## Folio 16 — 834940469:0024
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
etlis mehodus invenientus omnium scrierior
onuers ectum terminationes.
PROP. VI. THIEOREMATA.
Dico differentiam intertrianeulum ABP ex trapeZium ABKF
a
maiorem esse duplo differentiae interiravexium
ABIP esx polyeonum ABDLP.
lerriangusum ABP A, craperium ABFP, B; Trapexium
ABIP, C, ee POIyGONUM ABDLP, D: quoniam A
eA ad C vEC ad B, 1gicur vr differencia iurer A et C. ac
Aita differencia incer C et B dd C; e permutando, vedisse-
rencia incer A ee C. ad d.Nerenciam incer C de Bira A ad C:
e componendo, reditterentin inter A ee C de differentia in-
ter C de B Cimu), hoc est difterencia incer A et B, ad differen.
Eia incer C _ B, i. a A  C ad C sled ve A F. C ad C 11d2C
adD. de ideo differencia incex A ec B est ad difterenciam in-
ter C e Bve Z C ad D. quoniam A C CAt ad C. VE ZC, adD,
erir permurando ve A C ad2C ica C ad D; et dividendo,
vedisterencia inter A et C 2d2 C ird differencia inter C eD
ad D; d permucando, differencia inter A e C est ad disseren-
tis inter C _ D vr 2C ad D; led demonstrarum est disteren-
eiam inter A X B esse ad differencia incer C et B ve 2C ad D;
et proinde dissereria inter A eC B CR ad dIAereMEI L InteTC et
B, ve difserecia inter Re C 2d dIFerer eiam inter C Se D; sed
differentia incer A ec B est maior dlseremia inter C eB, de
ideo disterentia inter A X C est maior difterentia inter C de
D: de praedictam analogiam permutando, disterentia inter A
_ B elt ad differentiam incer A e C, ve disserecia incer C _ B
ad disterenria incet C et Diac disterencia incer A d BeA mai-
or difterencia incer A e C. _ ideo diftereneia inter C e B CR
maior disterencia inter C ee D;acqué disterencia inter A ee B
aequalis est differencijs, inter A ee C, inter C e B; cumque
earum veravis sie Maior diAerenei a inter C ee D, manitestum
est difterentium inter A de Bmaiorem esse duplo differentix
IntEK

## Folio 17 — 834940469:0025
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
-
ntct C  D hoc est differentiam inter Triangulum ABL d
traperium A B F P maiorem elle duplo ditterentiae intet. llas
perium ABIP, d polysonum A. B L L. P, quod demomlerurE
opotoe
SCH OL IV Ho
Odem prortus modo demonstratur diferCnei 2 intCPEESS
s Perium ABID aepolroOnum ABDI P maiorem esse
duplo differentix incer polrgonum A B F IOP de polvgo
num ABC C K NP. denique eodem modo demonstrari po-
celthic differentiaru excelus in (ubdupla nostra polreono-
rum complicacorum deseripcione in infinicum; difterenria
enim priorum iiempe inscripei ee circumscriprimaior lem
per eric duplo disterentia immediace sequencium nimirum
inseripi quoque de circumleripri, de proindé autertur maius
guam diminium a priorum differentia vehac disterenria im
mediare sequentium; ec igirur conciniando lubduplam po-
lrgonorum descriprionem, inveniri ponune duo polygona
complicata, quorum disterentia ticmirior qualibet extribica.
quanticace, ri in praecedentis Scholio astimpsimuS.
Sint duae quanicicares indetiniex a minoro maior, lineque.
dacxe duc rationes maioris inequalicatis c ad d, ec ad c; de-
inde sEve C ad d ica b- 2 ad bd ad cui addatur quancitas a
VEAZE CaF bd= ad
quae quancitasponatur immediare lub a:
Aacque ve c ad eit a b = 2 2d b
mac quae quanricas substra
hatur ex b de relictum nempe bc- B.  ae ponatur lubo b. C0
cinuetur deinde leries con
versens cuius primri termins.
convergences lune a b, ec lc-
e cartibd ad BC L BCHFI aC
cundi termini COnvergeNEES carF bd - ad ,. bC - bCrX aC. MAMI-
ectum estrerminuim ca isi bd- ad maiorem esse rermino a, Guo
Ad41B

## Folio 18 — 834940469:0026
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
niam termino e addieux bd ad vehaccerminus ca  b ad d
manifectum quoque estterminum ca  bd-ad minorem eRe
termino v, quoniam differenria inter 2 ee b est ad differonti
incer a ex ca t. bd- ad in ratione maioris inequaliratis: cuidens
quoque eAt terminum. bc- bc. F. ac minorem esse rermino b,
quoniam cx. b Tubstrahirur. bc - 20 VE Aac bc - ber. ac; mani
maiorem esse termino
a quoniam differentia incer. _e b est ad differentiam incex
deb inracione maioris inaequalitatis: cuidensigi-
cur est diserentiam inter terminos convergentes 2 de b ma-
iorem esse differentia inter terminos couergentes cart bd-, ad
_ bc= bCHH ac. TCd GUOnIAMTErMINE CORVErSCMEES = eC b PO-
nuneor indetinici, possune a. e b sumi loco quorum liberrer.
minorum convergencium coriustruius seriei; s policis a ee b
Dro terministiuius leriei conversencibus quibuscuque, se
quicur neceslario ex seriei copositione, ca t bd = ad, bc= bC 1F 2C
eererminos conversentes immediare lequentes: cumque
differencia terminorum a ex b maior luc differencia cerini-
ROTI, car Bd = ad eC bC - beriac, cuidens es disterentiam termi-
norum convergencium priorum semper erse maiorem diste-
rencia cerminorum conversencium immediare sequencium;
ecisitur quo magis conrinuatur lxc. lCrIeS COHUEFSCNS CO
minor hc differencia rerminorum convergenciums de quo-
niam haec disterentiarum deminurio semper Ac proporcio-
nulicer nempe inracione b - 2 2d bc - bc r1 2c - Ca - bd ,F. 2d; 19i-
cur poscunt invenirihuius sericirermini cOnuergentes quo-
rua d. Herencia Cis ommi exhibita quantirare minor; dcisitur
ina

## Folio 19 — 834940469:0027
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
imaginane hanc seriem in infinitum concinuari, possumus
imasnari vlcimos terminos couergentes esse equales, quos
terminos equales appellamus seriei termimationem
PROP. VIP PROBLEMA.
Oporret pradicta serici terminationem invenire
T huic problemati laristat, oporret primo invenire
quantirarem que eodem modo componitur ex termi
nis conversentibus a, b. quo exi terminis conversencibus
ca + bd- ad, bc be t ac hoc gurem Facile tir hoc modo: inue-
niatur quancitas quae mulciplicata in a ec addica b mulcipli-
caca in quanciearem dacam in eandem quantitatem Facie ac
Si mulciplicaretur in caibd ad _E AddCrCTUX bC-bCHL2C Mys
ciplicara etii in eande quanritarem daram m. Tc quanticas il
la 2, _ proinde 2a bm squatur 20a if. 2bd - 2ad F mbc mberi mac
d aequatione reducta invenitur = mac - mbe; quae quanti-
ad - bd
eas tiue mulciplicara in a X addita mb, sue mulciplicara in
cait bd - ad e dddita mibc-mbeir mac efficir candem in veroque
calu quancitarem nempe maac-mibas rf. mbad- mobd: X proin:
cd- bd
de predicta quantiras eodem modo componitur excerminis
convergentibus a, b, quo componitur ex terminis conuer-
Bentibus carsi bd ad, bc - ber ac arque a _ b quoniam LunE
quantieares indeAnitae possunr esse quiliber torius seriei Eer-
mini conuersences, modo termini conuorsences immediare
SequenEeS SnE Catf bd - 2d _ bc = ber F 2c; _ PrOInde quanCICAS
manemmbae is mbad-mbbd eodem modo coponirur ex quibul-
cd. Bd
libetrorius seriei terminis conuergentibus quo componicur
exterminis conversentibus ab; ec isitur praedicta quancitas
eodem

## Folio 20 — 834940469:0028
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000028.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
eonem etiam modo componitur ex vlcimis eius perminis
couersentibous, qui aequales sune: ic vicimus ille cerminus=
quimulciplicatus in maen nmbe e im m CtCitem _C Xmac - mbeo
2d - bd
2d - b4
quorum Factorum Cumma Repe Emac - xmberF xmad- xmibd
ab- bI
Equa
cur mane-mbac Fmbad-mbbd, BE equarione reducta invenitur =
ad - bd
leu seriei terminario nuc - bac F bad - bbd, quam invenire o-
poreuie.
22- bc 11 2d bd
Neminis exercicatis obscurum videatur hoc problema
illud in numeris illustra bimus: (IF c7, d 2, c3. 228, b +2, Crune (e
CUndI TETMIMI COMUErSeNTES 32, 36, TErTI) 33=
cerminatio 332
34= ec cius
Neminem moveac; quod (etiamh a sit minor quam p)
ca bd. ad potic ee maior quam b. -be finc, analyrice enim
maior aminore porest substrahi, cuius camen exemplum.
non grauabimur exhribere, AC c7, d5, 04, 228, b42, Crune (CC7
dicermini conversenres 38, 34 Xrerrii 352 336 2 Ciulgicer-
minatio 352.
Animaduerrendum est huius problematis solurionem;
codemmodose habere, eriamsi loco ponatur crphra sed
merum nihil, Fx GP; sIC c8, 43, e4, 20, b24; erune secundi
termini conuersentes 9, 12, & terrii 1023 10L, de serieirer-
minacio 1023
Hlarum etiam lerierum cerminariones polsune inveniri ex
Cregorii a5. Vincencio lib. de progreA. Geometrica, eriamsi
mechodo lonseabhe diverla.

## Folio 15 — 834940469:0029
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
PROP VIII PROBLEMA.
Sint dua quantitares data A. B, ex ratio quaelibet data C ad D:
oxertet invenire aliam quantitatem, ut ratio eins
ad A sit multiplicatarationis Bad A im
ratione C a L.
Tr primo ratio C ad D commen-
a Curabilis, seque inTer C QED
FDC. Atis
communis mensura Fis eEquories F. Continetur in D cories sIE
rario Fad A lubmulciplicaca rarionis B ad A; _ quories. P
continetur in C tories sicracio ( ad A mulciplieaea rarionis
Fad A: dico C esse quancicarem illam quaesicam. racio C ad
2d a es mulciplicaca rarionis Fad A in rationCC adF, XCP2-
eio F ad. R estmulciplicaca rationis B ad A in rarione P ad. I;
eisitur ex aequalitare, racio C ad A est mulciplicara ratio-
nisB ad A in rarione C ad D, quod demonstrare oporruit.
Onodhrario C ad D sic incommensurabilis, geomerri-
Cam huius problemacis praxem esse impossibilem mihi per-
Juadeo; approximationecamen hieriporest, alsumendo ra-
tionem commenturabilem eius loco, quae quam proxime ad
illam accedat.
Sit Ceries conversens, cuius
primi termini convergentes
TInEA, B, Secundi C, V TerEII F,
: Tinrque secundi cermini ica
Facti a primis, veracio B maio-
ris ad Aminorem sc mulcipli
cararationis Cad A inratione dara maioris inaequalicatis
Mad NI. de veratio B ad A Eic mulciplicaca rarionis D ad A in
ratione daca maioris inxequalicaris M ad O: AnEG: FerEI; EeT
minieodem modo facti ex secundis quo secundi facti lune
Exprimis; deque ica concinuecur leries.
ti    

## Folio 22 — 834940469:0030
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
PACOT. LL. PROBLEMA
Oportet praedictae seriei terminationem invenire
donatur C crphra seunihilhoc est exponens rarionis ex
qualicatis, seu rationis A ad A; lique HIad libitum.
exponensrarionis B ad A: SIEVEMad N iea differencia inter
Cd FI, hoc est ipsaFT vel exponens rationis B ad A ad excel
sum quo Tsaxerac C hoc est ipsam I sed veM ad Nica ratio
Bad A eA mulciplicaca rarionis C ad A5 X isicur ExCeNUS
quo Pluperac C hoc estipsa Lest exponensrarionis C ad A.
sc veM ad O ica differeneia inter ( _ HThoceAHIad excel-
sum quo superat C hoc es iplam K, led veM adO ica rario
B ad A est mulciplicata rarionis D ad A, CUMqUEHI GCCZPO-
nensrationis Bad A, erit R exponensrarionis D ad A: ligia
tur IEic exponensracionis C ad A _ R exponens rarionis D
3d A; eric excelsus quo  luperat L exponens rarionis D ad
C. deinde sic vemt ad Nita exceNus quo K luverar Lleu expo-
nensrationis D ad C ad excessum quo R superacI, Led ve M
2d Nica ex seriei compositionerario D ad C est mestriplica-
ca rationis F ad C, atque excessus quo E luperac I eMt expo-
nensrationis D ad C; e proinde excessus quo R superat I eR
exponensracionis F ad C, atque lest exponens rarionis C
ad A. e proinde R est exponensrarionis P. ad A. deinde sIE
veM ad O ita excessus quo R superar Iad excessum quo Ssu-
perat L. sed veM adO ita ex seriei copoltione rario D ad C
est mulciplicararationis Fad C, cumque excessus quo R lu-
perac IEc exponensrationis D ad C; erit excesus quo S lu-
Perat Lexponensracionis F ad C, aque Pest exponensracio-
nis C ad A, & proindeS est exponensrationis Fad A: cum
igicur R sic exponens F ad A ec S exponensrarionis Fad A;
eric excessus ouoS superacR exponensracionis F ad F: X V-
eramque leriem concinuando, demonstrarur ve ance T esse
exponentem rarionis L ad A, et V esse exponencem rarionis
Yad A. denique lemper demonstrabieur terminos conuer-
gentes

## Folio 23 — 834940469:0031
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000031.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
eesseriei caponentium ese exponentes racionum, termi
orum convelsentium sericiproposiex ad primam Certet
quantirale LL. Modo vrriusque sericitermini convergentes
linc in eodem ab inirio ordine: e proinde cerminatio seriei
exponentium per huius, inventa, quae LX. GEK: (IEL, erit ex
Donens racionis, terminationis seriei propolicae adt primum
terminum A: inveniacur isitur rario Z. ad A que sic mulcipli-
eaca racioris dara Bad A inratione data L. ad fL, cricque L
terminatio guaesica, quam invenire OPOrtUIE.
Ad hoc problema in numeris illustrandu (IEM 4, 1(2, O LI
A6, B HOS EFUMELCCIAIEErMINI COMUEFGCNLCS 1960, 1992160
TerEIi TERMINI COHCESENTES 19997776000, 19999200776960000000,
d lericirerminario: rc360.
Alind exempTuM, SIEMIS, NP, 2,O3: A5, B FOS CruHE SC.
cundicermini convergences. rc250, raso, Terrii termini couer-
BEceS, egCC488281250000000, 19907812500000, 8 seriei terminatio
rs 2500. hractenus rerminauimus omnes series convergentes
queheri possierela Sola proporrione arichimerica vel à lola
proportione geomerrica, nunc veromethodu aggredimur,
cuius ope omnium serierum convergentium cerminationes
AmodO SInEIn FeruM nacura) inveniri pONUnE.
PROP; ZO PROBLEMA.
Ex data quantitate eodem modo composita a duobus terminis
convergentibus cuiuscunque seriei convercentis, qua
componitur ex terminis conversentibus eius dem
Seriei immediate sequentibus: seriei pro-
posita terminationem invenire.
leteries convergens cuius duo: renmm Contersentes
quicunque hhe a h. de termini conuersentes immedia-
22.
rgab
Cumma rerminoru couergeneiit ars l
EcLquentesrgab
plicaca eoe a CMC.II 22 rf. I:
de lummit Cet sum Conversenciu imm eciace. scavCHEII
AYDRCIMI DC

## Folio 24 — 834940469:0032
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
24
DC rgab si aa
rgab
mulciplicara in primum terminum convers en
rem 1gab ethCit etiam aart ab; ex his invenienda sie seriei
Propolx cerminacio. manifestum elequantitarem aarti ab ego
demmodotierr a cerminis conuersemeibas 2. b, quo à termi-
nis couvergencibus immediare sequencibis egab
2a
0g2
de
quoniam quancirates ab, indehnice ponuneur pro quioustis
Dec roclus lerteicermnis convergenribus, euidens est lum-
mam quoruncunque reemmscum conversentium peopot
ex lerrei mulciplicatam in primum cerminum con vergencer
etlicere quanciacem aequalem illi, quae Ar a lumma termino.
rum convessencium immediare sequenrium mulciplicatas
etiam in primum luum cerminum conversenrem; cumque
duocermini convergentes duosterminos couergentes lem
per immediare lequuneur, manifectum est lummum duorum
quorumlibec cerminorum convergencium mulciplicaram in
Primum semper etticere eandem quancirarem nempe: aa b)
acque rlcimicermini convergenres sunt equales, de proin-
de s vlcimus ille cerminus seu seriei rerminario. 2. quae. libi
addica ee in lummam mulciplicaca cficie 222, quae quanciras
debec esse aequa lis quanticari aar ab. de aequatione relolurm.
dabicur? Seu reriei terminatio eq aa Hiab,
porruie.
quam invenire o
Ecproinde ad inveniendam cuiuscunque Periei conver:
xentiscerminarionem; opus est lolummodo invenire quan-
cicacem eodem modo compolicam exrerminis conversenri-
busprimis, quo componirur endem quanciras ex terminis
conversensibustecundis.
en
CON SEOTARIrM.
Ouoniam non retere in problemiare siue termini contrees
gences ab. lineprimis secundi, vel cerrii eces manifectum est
omnes leriei convergeneis terminarionem eodem modo e(
se compolicam exterminis convergencibus primis quo ex
cerminis conversentibus secundis, cerriis, vel quarris, dec.
eRC

## Folio 25 — 834940469:0033
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
PROP. XI. THEOREMA.
Dico sectorem circuli, ellip seos vel hyperbolae ABIP,
non esse compositum analytice à triansulo A B P
e TrapeZIOABFP.
Donatur eriangulum AB P2 SerraperIUM ABFP b: mani
fectum eA ex predictistraperium ABIP eAC rgab e pO
IYGOnUM ABDEP 2ab icemlectorem ABIP esse huius
2 1f rgab
Teriei concersentisterminationem. vr ex Perici terminis au
Feratur signa radicis e fractionis, pro a ec b primis scricicex
minis convergentibus, hoc est pro eriangulo ABP e trape
ZIO ABEP BONANTUE a3 F a2b eC ab2 F B3; crunque le
cundi serici cermini conuergentes, hoc est craperium ABIP,
_Doligonum ABDLP, ba2IF b2a X 2b22. dico seriei cono
ersenris (cuius primitermini conuergences lune ai t ab
ab 2 F b3 _ secundi sunEBaZHF Ba, 2 b24) terminationem
non esse compolic analyrice 2 rerminis a3F a2b, ab2 F b3: (
enim coniponatur praedicca terminacio analyrice a cerminis
conversentibus 43iF 42b, ab2 f b3; componerur criam ca-
dem terminatio analycice e codemi ommino modo a termi-
nis conversencibus ba2 b2a, 2624; e proinde eadem qua
ticas nempe praedicta rerminario eodem modo componitur
analyrice ex terminis a3 F ab, ab2 F b3, quo componieur
exterminis bar F b2a, 2b2 a.
led nulta quancicas porese
eode modo analrrice co-
poniexcerminis a 3 F a 2 b,
ab2  B3, guO COMPONIEUE
23 F a -0
ba 2 = b24
exterminis b42. = h2 a, 2b2 a, quod sic demonstro. A analy
erce coponeretur quantitas exrerminis a3 F a 2b, ab 2 1F b38
eodem modo, quo anatyrice componitur eadem quaneitas
exterminis ba 2F b2a, 262a; 2ddendo, subrratiendo; mul-
ciplicando et dividendo terminos 83=. a2b, ab 2 X b3 de X2
dices
d2Hi B3
a 2 

## Folio 26 — 834940469:0034
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
26
diccs ex factis extratiendo, cadem heror quantitas ac( eode
modoadderenturs subducerentur, mulciplicarentur de di-
uiderentur termini ba 2 F b 2 a, 2b2 a,. e radices cedem Cx
factis extraherentur, se d posterius herinon porestergonec
orius; minorem sic probo. Riea dem herer quancitas ex ad-
dirione; lubductione, mulciplicarione, divisione ee radicu
extractionererminorum a3 F a 2 b; ab 2 F b3, Guae RereT CX
eadem additione. Subdiictione; mulciplicatione divisione.
ecradicum excractioneterminorum ba 2F b2a; 2b 2a; tune
adeendo aequales quacitarescerminis a 3 F a 2 b, bg2 F b24
vel ab illis sive iplorum factis ae quales quancitares lubduce-
do, vel illos. sine iplorum factos aequalibus quancicatibus
mulciplicando vel diuidendo; vel denique illos huc iploru
factos eodem modo in le mulciplicando, vel exiisdem calde
radices extrahendo, halce analsricas operationes aliquo
modo mucando, reirerando vel verumque vel neutrum ta-
ciendo, her: possenc duo vlcima producta, nempe rnum à
termino ab 2+ b3. _ alcerum a termino 2b2 a; ita ve vlcimu.
productum ex termino a3 F a 2 b. cum vlcimo producto ex
cermino ab 2 = b3 addicum, lubduetum: mulciplicarum, di-
nisum, ec ex factoradice aliqua extracta (halce analvricas
operaciones aliquomodo murando, reirerando velverum-
que relneuerum Faciendo) eandem cficiat quantitarem.
quam efficir vlcimum productum exrermino ba 2 F b 2 a cum:
virimo producto exitermino 2b2a. codem omnino. modo.
addirum, Cubiductum, mulciplicarumdiuilum, ec ex facto.
cadem etiamradice extracta, halceanalrricas operationes
eodem omnino modomutando, reiterando vel verumque,
velneurru taciedos sed posterius est ab surdum ered ec prius.
Sequelamaioris paret ex oet aua detinirione huius, minoc e
AC prohO, in terminO a 3  a2 b repericur porectas ipsius ane:
Dea3, quae est altior vila porestate. eiuldem a: in rerimino
ba =F b a; _ proinde cerminos a 3 F a. b; ba 2 F b2 a, Cum
aequalibus quancicacibus adilendo, subtrahendo, malcipli-
cando, diuidendo, Sec: Beur luperius dictum eAt, semper mg-
nec porectas iplius a in vlcimo producto ex term ino a 3 F a 2 b.
altior

## Folio 27 — 834940469:0035
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
monus
X
componendi
alcior potectare vila ipsius a in vlcimo producto rerininn
ba 2 F b 2a, quoniam illos cum aequalibus quantitari biS a
dendo substrahendo; scc, Tempermaner in factis cedem po-
reltares, _ illos in se eodem modo mulciplicando lemper
masiseleuacur alcior potestas in termino a3 F a 2 b quam.
eleuarur deprectior porestas in termino ba2F b =a, e ex illis
caldemradices extrahendo, voi a Fuerus clenarior in pores
tate erit etiam elevariorinradice. de quoniam cadem repe-
ritur alcissima potestas ipsius a in termino ab 2 F b3 GuXe re-
peritur inrermino 2b2a, demonstratur ve ante alcissimam
potectatem iplius a in vlcimo producto ex termino ab 2 F b3
eandem esse cum alcissima porectare ipsius a invleimo pro-
ducto extermino 2b2a: in vleimo igitur produeto cermine
a3 F a2 b reperitur alcior porestas iplius a quam in vlcimo
productoterminiba 2 F b 2a, X in vlcimo producto termi-
ni ab 2 + b3 altissima poreltas iplius a eadem est cum al-
cillima pocectare ipsiusa in rltimo producto termini 2b2a; X
isitur vlcima producta ex terminis a 3 F ab, ab 2 F b33 c0-
demmodoincer se addica, subducta, mulciplicata, diuila,
ecc. semper efficient quantitarem; in qua repericur alcior po-
rectas ipsius a quam vila quae reperiri porest in quancitateFu
eta exeadem prortus addicione. Subductione, mulciplica-
tione, divisione, _c, productoru a terminis ba 2 F b = a, 2b2 a;
quoniam altior porestas eum alcera porestare semper altiore
Facit porestarem quam depressior porestas cum eadem altera
POrcRatC; de 1Bitur istx duae quancitares non porsunt ese in-
definice aequales, cum reperiatur alcior poteltas ipliusia in
vna quam in altera: aequehine cuidens est quod sectorcir
Culi ellipleos relhyperbole ABIPnon possic componi ana-
Iyrice arriangulo ABP e crapeZIO ABFP, quod deWoM
Arandum erac.
Veaucem evidentius hatpropolicum, aliam demonstra-
rionem breviorem. Faciliorem ee ex aliomedio pecicam hIC
Tubiunso: quanciras non pores componi analyriCE CxFeemI
HISa 3 F a : b, ab 2 F b3, ecdem modo quo componicur Cd-
ACHi QuAMEICAS ExTeEIIS ba 2 F b2a, 2b =a; quOWIAn
dendon
C
si
estr
tu

## Folio 28 — 834940469:0036
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000036.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
E
dendo, ubiahenao Muiplicando, dividendo duo hingo
mid a3= a2b, ab 2F b3 ecradices ex vlcimo Facto extrahen.
do, plura Runcnomina in vlcimo producto, quam si codem
modo adderentur, subducerentur multiplicareneur, diuide-
rentur; binomium ba 2F b 2 a ∞ simplex quanticas 2b28
_ caedem quoque radices ex Facto exrraherentur; de ( plu-
xa ncnomina in vno producto quam in altero, impossibile
estveEne indefinire xgualia, quod est proposicum, reliqua
enim expriore demonstrarione haberi polunt.
Blcuru Fortassis ridebitur hoctheorema ob mulcas in-
ulcatas in geomerria voces quashic adhibere opor-
cet, 8 obmulta suppolica lemmata, que demonstrare pise-
bac, quoni 2 cuinis anal Axe vel prima lectione lunc obuia, cx
nacura enim operationu analyricarum omnino dependene.
Locushic requirie re aliquid dica de proporcione inter eri-
AADUIE ABP _ seCtOrEABIC; quod vehat, adierredu est ve-
rissime philosophorum axioma, nempe omnemnostram co-
enicionem a sensu ortum habere: inter proporcionesenim,
Tola commenturabilis sentu acringieur _e pertecte ab hum-
Da mence incelligitur; incommensurabilis enim a machema-
ricis olumodo ad huc coreplatur, ouatenus comensurabilis
cuiusdam racionis est lubduplicara, suberiplicata, ec. vel
extalium additione, (abductione. _c. genita: hoc est, quan
citas quae quancitari propositae ek incommenturabilis Cx eo
Lolummodo ab humana mence contemplatur, quod ex ali-
quocquantitarum cognicarum de proposice quanticati com-
mensurabilium addirione; subductione, mulciplicatione.
diuisione ee radicum excractione, componi possic: at extra-
aenus demonstraris manifestum estlectorem ABIP non
posse componi exaddirione, subductione. mulciplicatione,
diviione, Xcradicum extractione crianguli ABP de eraperii
ABEP: TrIANSUIUM AUTE ABP _C ETAPCZIUM ABEP CuppOni
mes csie quancirares inter se analvricas; e proinde sector A
BIP illis anaiyrics elsenon potest, hoc e ex quancitatur
iD(IS

## Folio 29 — 834940469:0037
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000037.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
EpsIS ABP, ABFP analyiicaru addicione, subdictione, mulei-
olicatione, divisione sc radicu extractione coponi no porest;
e proinde ex hoc capire nulla porest exhiberiratio intereris
angulum ABP _ sectore ABIP, cum euidens Crillam nO C(
Se analyricam. Led dicet forte aliquis rationem inter triangu
lum ABP ee sectorem ABTP omnitariam variari posse; de
proinde posse esse inter se in ratione qualibet dara sive ana-
irtica siue etiam commenlurabili: relpondeo hoc ene re-
rismum. sed in hoc casu rario inter criangulum ABP Sctra
DexIUM ABFP non erit analytica; ee proinde ex datocir-
culoellipse vel hyperbolo nuquam dabitur in analyriciseri-
angulum ABP, quod ex praedictis clarissime pater etiam (I ex
Praedicto capiteron possimus comprehendere rarionem in-
ter criangulum ABP e lectorem ABTP, possumustamen cius
aliquam habere cognitionem, ex eo quod ICCOr ABIP (A
terminatio seriei convergentis dacxe; et ex hac considera-
tione possibile est invenire quancitarem date commensura-
Bilem cuius differentia à lectore ABIP minor fuerit quacu-
que quantitate propolita, ad hoc enim semper recurrendum
eA, cti de quancitacibus quibuscunque incommensurabili-
bustractane practici, de in hac nostra approximatione praxis
non eric operolior quam inmultis aliis eriam quanticarum
analsticare approximationibus, immo multo breuior, taci-
lior ee pararior erir illis Viera lectionibus angularibus, qua
tamen summae matheseos reilitoti in praxem reducuneur.
non video ergo quare circuli quadratura diutius aectimetur
ienorari; cum enim demostratum sc rarionem circuli ad
diamerri quadrarum non esse analrcicam, vanum cerrCerit
ee inepcum illam sicur talem imposterum quaerere: ac reien
etisquatiratibus analpricis, rix credo rilam polle essenocio
rem hisce rOStTArUI SCFICTIIM CONIErSENLIUMS TerIINAEIO
nibus, sicue ex seguencibus plenistime apparebii

## Folio 30 — 834940469:0038
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000038.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
PROP. XII. THTEOREMA.
Tccraperium ABIP, A; PoIrgonum
ABEIOP, C: polrgonum ABCC
IENP, D; _ polYGOnuM ABD L. P, B. di-
coD esse medium harmonicu incer C de B. Cx huiusq. A: C.:
C: B, d componendo A  C: C:: C  B: B, Sed ex huius5.
A C: C:: 2C: D; _e id eo C H B: B: : 2C: D, _E pErUTAB-
doB,  C: 2C:: B: D, X dividendo, disterentia incer B e C
estad2C, ve disterentia inter B e D ad D, e perimurando
differentia incer B  C eR ad disterentiam inter B SE D VE, 2C
ad D, hoc est, veC  B ad B, de diuidendo, difterentia inter
D_ C est ad disterenciam incer B e D ve C ad B; X proinde
Destmedium harmonicum inter. C de B, quod demonstrare
Oportuie.
Flac propositio eodem modo locum haber in omnibus
polssonis complicatis, repatet ex scholio s huius.
PROP. XIIL. THEOREMA.
Ncex duas quancicates A, B, Ci media a-
arichmerica C, media geometrica D e inc F
dia harmonica F. dico. C, D; F, eNC COn-
tinue proportionales. quoniam A, F, B,
sunemratione harmonicas erie differenria iner A e F 3d
difterentiam inter F _ B vr A ad B; d cemponendo erie dif
ferencia incer A de B ad differeDeia incer F de B, vi A  B ad
B. deinde permucando de componendo 2 A: A _ B: : F: B,
sed 2A est duplum ipbius A de A  B duplum 1p I:US C; et
ideo A: C:: F: B; de proinde CF = AB, _e AB = DD, iacOG;
C. F = DD: Scigitur C: D:: D. E, quou aCAAAIAre OPOE
TUIE.

## Folio 31 — 834940469:0039
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000039.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
PROP. XIV. THEOREMA.
Inc duo polysona coin plicats A, B.
eDnempe A incra circuli rel ellipleos
dectorem se Bexeras continuecur series
conversenshorum polreoriorucom-
plicatorum secunduin nostram metho-
dum lubduplam delcripeorum, ita vrpolysona intra circulie
SInEA. C, E; deC; ec exrra circutum B. D, F, aC; dico A  F
minorem esse quam 2C: ex prae dictisinanifeltae lune leque-
ces analosixe s prima: quoniam
A;C, B; LUNE COnFINAC PFOPOr C = A: B - C:: A: C
tionales; ee secunda quoniam. B - C: D - C:: A  C: A
C, D, B. Cuncharmonice peo-
portionaless _ Droinde exce(sus C supra A; hoc eA C A,
est ad excessum D supra C Peu D C inratione copolica CX
proportione A ad C X exproportione A.  C ad A, hoC est
inrarione A F C ad C; dF R  C estmaior quam C, e ideo
excessis C lupra A est maior quim excelsiS I supea C, est
aurem Dinaior quam E, e pioinde excessus C supra A muI
comaior es quain excelsus F Cupea C; CsigItUE A ifft F MI-
nor quam 2C; quod demonstrare opOrtuIto.
PROP XV. THIEOREMA.
IIdem posiis: dico excessum C supra A minorem eNse qua-
 diuplo excessus E lupra C. Cx praedictis maniFest e (uMB
lequencestres analogix, prima quoniam A, C, B, lUNE CO-
tinue proportionales; secunda; quoniam C. D, B. Tunc Mar-
monice proportionales; scerria, quoniam C, E, D, TUINECO-
tinue proportionalesi e idco
exce(SuS C Faipea A(HBC est). C - A: B C: R: C
C A CAad exceHTUM. F (1 - B  C: D C:: A C: A
PraC (euF: = C, ve AC HFC. D C: F C:: F C: C
A AE A CC ad C VinCB Ma
LL.

## Folio 32 — 834940469:0040
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000040.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
fOr es qua L, _ deo AB seu CC maIOE CR quam AF, _ 191-
ERE AFH
2C. C ve RK Lde2C led Ae Limimor ele quam 2C; &
Ideo AC E F C MInOFCK qUAM ZC C; proinde AC i+ F C
e AF C C minor est quam 4C C; de isitur C A mi-
nor e_ qua druplo iptus L C, quod deM OnAtrArE OPOF
cuit.
C
PROP; XVI. TITEOREMA =
Inc duo polreona complicata A, B.
nempe A. exera hyperbolae secto-
rem ee B incra: Corinuerur series con
vergenshorum polrgonorum compli-
catorum lecundum nostram mechodu
Tubduplam deseriprorum, icave polrgona exrra hyperbos
dem (nE A. C. F, ecc. Se incra hyperbolem B, D, F_cc; Dico
AF.maiorem esse quam 2C. Cx praedictis manifesae sune
lequentes duae Analosiae, prima quoniam A, C, B. lunc con
rinue proporcionales; ex secunda, quonium C, D, B. Cunrhar-
monice proporrionales. s de
proinde excessus A suPrAC, A - C: C - B:: A: C
hoc est A - C, eAt ad excessit C- B: C- D:: A  C: A
C lupra D seu C-. D, Inra-
eione compotica ex proporrione Aad C dt ex provortione
A H C ad Rhocestinracione A H C ad C, 25 A.  C est
maior quam. C. de ideo excessus A lupra C CA maior excenu
Clupra D, est aurem P. maior quam D; e proinde excessus
A lupra C mulco maior est excessu C TupeaF; manifertum
extigitur A e E maiorem esse quam 2C, quod demonstra-
EC oporuIE.
ERO

## Folio 33 — 834940469:0041
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
e R OD. ZVII. YHT E OR F M A.
TIdem posiriss dicoexcessum A supra C maiorem ette
Aquadr uplo exCeNUSC SUPra F. ex praedictismanifeste
Tune sequencestres analogixe; prima, quoniam A, C, B, sUNE
continue proporrionalesi lecunda, quoniam C, D, B, CuncMar-
monice proportionales; _ terria, quoniam C, F, D, lunECO-
rinue proportionales; _ ideo excesus A supra C, hoc est,
Aun C, eltad excessum C lupra F hoc est C= Linratione ca-
Polita ex proportionibus A
ac C, A  C a d A _ P  C A - C: C no B:: A: C
ad C; _ ideo A- C cA ad C = B: C- D:: A si C: A
C F, VE ACHF. C AFF C D: C. F:: E C: C
C. C aa C C; dc BminOFCA qua
F, X idco AB, CCu CE minor es qua AF; _E IBITUr AF  CC
maior eA quam 2CC. aEque ACHFFC eAt ad 2 CC VEA
F ad 2C; sed A F maior est quam duo C, a ideo ACi
F.C maior elE qua 2CC; de proinde AC HL F. C iH RF.
. CC maior est quam 4 CC; de igirur A- C. IB 3IOI Clt
quadruplo ipsus C = F, quod demonstrare opOrruit.
PROP. ZVIIT. THEOREMA.
InE due quaneicates inaequaless A
+ D minor, Bmaior, C mediageome
erica, D media axichmerica. dico D
maiorem esse quam C. quonia B, C,
R. Tune continue prexorcionalesi erie
dividendo, permmutando. d componendo; veexcessus B su-
ora Aad excelsum C luprA A, ica A HF C ad A, aEquC ANC. C
MMaior est duplo ipsus A; ex proinde excelus B luvra A Mi-
or est duolo excelsus C lupra A; Led excessus B supra A du-
Dlus estexcenus D supra A, X _ ideo excessus D Iupra A
maior est excelsu C supra Riestisitur D maior qua C, quod
demonstare ODOrEUIE.
eROF

## Folio 34 — 834940469:0042
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000042.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
260100
THEOREMA:
Eldem posiris, licincer A de Bmedisharmonica F. dicoc
maiorem esequam F. exhruius r3, Destad C ve C adF,
sedD maior est quam Cie ideo C. maior est quam F, quod
demonatrare oporruit.
CONS F CF A R EV M:
X duabus preceaentibus manifestum cst D maioreme(-
se quam P, hoc est mediam arichmericam incer duas
quancirates insquales maiorem ese media harmonica incer
castem.
PR O P. XR. YH BO R E M A.
Ine duo polrgona complicats
D A, B, nempe A incra circuli
vel ellipeos sectorem, B. CXETa. CO-
rinuerur series convergens: ho-
rum polysonorum complicaco.
rum secundum mechodum no-
Aram subduplam descripeorum;
icarepolrgona intra circulum (InC A, C, F, K, _C, dE CXEa
circulum B, D, F L, Xc; sicque seriei convergeneis termina-
tio scu circuli rel eilipleos lector Z. dico Z. maiorem esse qua
Crna cumerience excessus C supra A. sIC exCeNAS C supra C
quarta pars excessus C Tapea A d exceNIS E CuPrA C Quar-
ea parS exCecuS Cr lupra C; concinecurque hec leries in in-
Anicum, veeius terminacio (c Z. FxceNuS C. lupra A nipor
eAquadruplo excesISF luoea C; d ideo excesus F supE a C
maior est excesu CrTupra C, estergO F nlior quam CF: dein-
deexcestus F supea C minoc est qladruplo excelIS R. supra
E. _ideo excessus (7. Tupea C mulcominor est qua druplo ex-
cesTuS K lupFA F, ClEigICUP exCeNiS IE lupra F. maior excelu
FEsupea C; Cumque L. mnoc lic quan C manitestum cA K
praiorem esse quam HI: Coden peortus modo demonstrntue
in omni lerierun A, C, Li, A, C, Co, continuatione, terminur
GUICBX.
ROD:

## Folio 35 — 834940469:0043
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000043.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
maturum esse quam idem numes
rocclhinusctesesaemnariolerici aCi
DempeZ maior ericterminatione leriei A. C. C nempe X, ap
ex Archimedis quadratura parabola constar Z cqualem cs
se ipsi C vna cum eriente excessus C supra A, e proindeL
cadent  at, quod demonstrare oporruit.
F
quemcungi Periei
PR O P. XXI. YII E OR E M A.
leu icciorem eneun derc
pleos minorem esse quam maior
duarum mediarum continue peO-
pertionalium arichmerice incer A
_ B. INTeE A e B Ac media AriTH-
merica C, ee inter C de BEF me-
dia Arichmerica II; icem inter C
XHISE media Arichmerica M, _ inter M _ TI sed media A-
richinerica H; continueturque haec series convergens AB, C
TI. MNF, OP, in infinicum, vehaceiusterminario X. Taris pa-
ter ex praedictis C maiorem esse quam C, deque Fimedia A-
richmerica inter C e B maior estmedia harmonica inter
ealdem C, B; media aurem harmonica inter C e Bmaior eR
quam D media harmonica inter C _B, guoniam C maior
est quam C; _ ideomedia Arithmerica inter C e B, hoc est
TE, maior est quam D media harmonica inter C SB. codem
modo MImedia arithmeticaiurer C de HI maior estmedia
Beometrica inter ea Idem C _ HI: d quoniam C elt maioe
quam C, ee IT quam D; media geometrica inter C e FImaior
CA quam F media seometrica inter C de D; ee proinde M
Maior ec quam P. de inde Nmedia arichmericantEF M _ II
naior estmedia harmonica inter ealdem, d quoniam HIma-
ior Cit quam D X M quam F, media HarONICA INTETM _ HI
indior est quam F media harmonica inter E _D; de ideoM
cadem F maior est. cadem moclo veramque seriem in infini-
cum conciouido, semper demonstratur terminum queniss.
bet
IIdem policis qua upu u

## Folio 36 — 834940469:0044
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000044.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
veclectet B.CD Mhinoremi esse quaidemnuitseto a
nustertet. HB. Clhidelsiturterminatio leriei AB. C en
DeZ minor ericcerminarione serici AB, CFI, nempe L, illes
extruius 7 terminario seriei AB, OFI, Peu Z aequalis estmaio-
ri duarum mediarum arichmerice conenue provorrionalier
incer A ∞B, _ ideo Z cacem minor est, quod demonstrandu
CTaC.
PROD. XXIL. TEIEOREMA.
TIdem policis quae Tupra; dicoz
 seu sectorem circulivel elliple-
osminorem esse quam maior dua.
rum mediarum geomerrice conci.
nuc proportionalium inter AeB.
inter A d B sI media seomerrica
Cde incer C eB Gc media gconc.
cricaI; Irem inter C de H media CTCOmetriCA MI, QL inTCFM X
LE media Ceomerrica Nicontinueturque hraec leries conuer-
genS AB, GTT. MN. OP, dc, in infinicum, vehace ustermi-
natio Z. lacis paret ex praedictis C ee C esse inter le requales.
icem Amaiorem esse quam D; acq; ob hanc rarionem Mme-
dia geometrica inter C de HImaior est quam F. media g50-
metrica incer C de D. deinde Nmedia geometrica incer M e
HImaior est media harmonica inter caldem; de quoniam et
maiOr es quam F _ HImaior quam D, erit media harmoni-
CainEeFM SEHImaior qua Pmedia harmonica inter L EED:
ee idco Hmedia geomerrica intet M ecHI maior erit quam
F Cadem mechodo veramque seriem in infinicum continuan-
do semper demonstracurcerminu quem liber seriei AB, CD.
minorem esse quamidem numeroterminus serici AB, CLL;
disicurterminacio seriei AB, CD, nempe Z MINOLCRIE Ter-
minatione leriei AB, C:tI. nempe K: acque e huiusocermi-
nacioleriei AB, C:H, CCu X, aequalis est maiori duorum me-
diarum seomeerice coninue proporcionalium incer A e B,
ecideoZ cadem minor CC, quod demonstrare oporruir.
dCTIO.

## Folio 37 — 834940469:0045
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000045.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
S C H O I Y V. M.
a opus est renic demonstrem maiorem duarum me–
illarum artlimerice concinue proporcionalium incer
duas inxquales quanticaces maiorem ese quam maior dua
rummediarum geomerrice concinue proporcionalium in-
rer caldem, _ igitur huius propositionis approximacionem
prccedencis esse exactiorem, quod ets Aat; PraesCdente 12-
men ob Facilicarem pocius veimur.
PROP. XXTII. THCBLS.
Inc duo polrsona complicata
DA, B, nempe AextrahyPCF-
Bolae lectorem, B intra. Continue.
cur leries conuersens horum po-
gonorum complicatorum secu-
dum mechodum nostram subdu-
plam deleriptorum. ica ve polygo.
na excra hyperbolam sint A, C, Fi, KE, eec, d inera hyperbo
la B, D. I,L, ec; Sicque serici conueroeneis terminatio seu
livperbolae lector Z. DicoZ maiorem ese quam C dempto
erience excesus A Cupra C. ScexceNus C Supra C quarra.
PAES ExCeNUS A Lupra C, X exCCHUS C LuPra FI qUarEA PaES
excestus C supra C. conrinuecurquehaec secies in infinitum
veeiuscerminario (IEZ. CxCe(SuIS A Supea C maior est qua-
druplo excessus C Tupra F, _ ideo exceNus C lUPPa R minOr
esexcesu C suora C, est erso F maior quam C. Deinde ex-
cetus C Supra F maior es quadruplo excetus P Cupra I, de
ideo excestus C Cupra C muleorarior est quadruplo exces-
PusF (upraK. deigitur excelsus C Lupra Imaior cA excelsu
F supFa Ri CuIQ; F maiOr (IC qui C ani FectI CAK cciamaio-
rem eAC quam EI: Codem Drortus modo demOnSErATUE in OI-
relerierum A, C F, K; A, C, C, II continuarione, cerminum
quemcunque Ceriei A, C, E, maiorem esse quam idem nu-
IMCFO

## Folio 38 — 834940469:0046
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000046.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
merocerminus seriei A, C, C; _ ideo terminatio serici R, C.
F nempe Z, maior ecie terminatione seriei A, C, C, nempe
Z;dt ex Archimedis quadratura para bolae constar X cqualé
esse ipEC dempcorriente exc enus Asupra C, ee proinde 
cademmaior est, quod demonstrare oporruit.
PROP.
dt sL V a
THIEO
TIdem potieis: dico Z. leu Le-
 corem hyperbole minorem
ese quam minor duarum medis-
rum arichmerice concinué pro-
porcionalium inter A _B. Inter
A e BScmeaia Arichmerica (3, e
inter C _ B Sc media arirhmerica
EI, TLEM iNteF C XFIEE edia Arichme ICA MI. XC iNFEF M e
FI Giemedia Arithmetica N: concinueturque haec feries con-
VerDCnS A B, GFI,MN, OP, in infinicum, ve Rac eius termi
natiO X. Patis paret ex predictis C maiorem elle quam C; aF.
que HI media arichmerica incer C e Bmaior est media Har..
monica incer ea(dem CdeB; media aurem harmonica inter
C_B maior estmedia harmonica inter C. d B, nem pe D.
quoniam Cmaior est quam C; sei deo media Arichemetica
inter C de B nempe HImaior est quam D media hormonica
inter C e B. eodem modoM media Arichmerica inter C, _
Tlmaior ekmedia geometrica inter ca Idem C ec HI; X quo-
niam C est maior quam C X HI quam D, media geomerrica
inter C d Hmaior es quam F. media geometrica inter C et
D: de proinde Mmaior est quam F. Deinde N media arirti-
merica incer M XFImaior est media hormonica inter caldé;
de quoniam EI maior est quam L EAI quam F. media Har-
Monica inTer MI d FImaior eC quam F media harinopier in-
ter F de D: _ ideoNeadem F maior es. eodem modo ver2.
que leriem in infinicum concinuando, lemper demonstra-
cur cerminum quelibet seriei AB, C D, minorem esle quam
idem numero terminus seriei AB, C II; de isitur terminatio
Teriei

## Folio 39 — 834940469:0047
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000047.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
Perici AB. C D, nempe Z, minor erie rerminatione serici AB,
CFP, nempe L; acque exhuius7 rerminario seriei AB, C, II.
nempe X, ae qualis esminori duarum mediarum arittimerice
concinue proxorrionalium inter A ec B, d idco . cademmi-
Ror est, quod demonstrare oporruit.
B R OP. XXV. EH EO R F M A.
TIdem Posiris; dico Z. leu secton
rem liyperbole minorenr esse
quam minor duarum mediarum
Seometrice continue proporcio
nalium inCer ASEB: INEeF A eC B
sic media geometrica C, d inter C
de Bmedia geomerrica FI, Icem in-
cer C _ Hmedia geomerricaM,
 incer Mc HImedia seomerrica
HI; continuerur que haec series ConvergenS AB, CTTI, M N, O
P, ec, in infinirum ve hac ejusterminatioZ. Latis paFCE CX
Praedictis C C esseincer le aequales, de ITimaiorem esse
quam D:acque ob hancracionem M media geomerrica in-
ter C: e TI inaior est quam E media geomerrica inter C d
D. Deinde Nmedia seomerrica inter M de FI maior estme-
dia harmonica incer casdem; de quoniam M maior est quam
F X FI quam D, erie media harmonica inFeF M de TI maiOr
quam F Media Harmonicaincer F Se D; proinde N media
SComerrica inter M CCCI maior orie quam F. eadem methro-
de veramque seriem in infinirum concinuando, lemper de-
monstratur terminumr quenlibet seriei AB, C D, minoremr
esse quam idem numero cerminus serici AB, C. FI; de igitur
terminracio seriei AB, CD nempe Z. minor erir quamtermi
raeioseriei AB; C=TT, nempe Z; acque ex truius oterminario
leri ei AB, CFFL. Peir X, aequalis est mivori duarum mediarum
Geometrice concinue proporeionalium inter Ae B; d idco
LCademrminor clt, quod demonstrare oporruic.
E.x dictismaniteltum est hanc approximationem exactio-
nem ese illa, in ancecedenti proxolicione, demonstrata, erit
(BICC

## Folio 40 — 834940469:0048
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000048.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
stro
vioii
acte
Rhecht paulolaboriosor. Ped non dissimulandum est duis
Poncesse leries aequalescerminariones habences, itavelem-
per quiliber cerminus rnius leriei sc maior quam idem nu
merorerminus alterius seriei; sed intalibus leriebus quo
longius producuntur, caminor est corundem numeroter-
minorum differentia: led e contra nostrae leries quo lonsius
producuntur, eomagis disterue ijdem numero rerminis LICuE
Facillime demonstrari porest.
Experiencia obleruo disterentiam inter secundam duarie
mediarum arichmetice proportionalium ee secundam dua
rum mediarum geomerrice proporrionalium temper esses
mulcomaiorem differentia inter lecundam duarum medis-
rum geomerrice proportionalium e lectorem circulis ellip-
Seos velhrperbole; quod nocaru dionu exictimo, hinc enim
collisicur sectorem differre vix vlera vnitarem a secuda dua-
rum mediaru n arichmerice concinue proxortionaliu, quan-
domedium arichmecicum non excedie medium geometri
cum vlera vnicarem, quod summopere norandum, nam ex
hoc cuidens est approximationem audacter esse adhibenda,
quando ica concinuatur series ve medieras prima nocarum
lic eadem in veroquerermino convergente, quod experien
cia eriam enincie; nunquam enim inhroc casu distere sector
vnicare a secunda duarum mediarum arithmerice ContinuS
proporcionalium.
Ft eriam alia approximario omniui breuissem a e maximo
admiranda, eciam imihinon continsar illam demonstratio-
ne geomerricamunire; nempe h prima nocarum eriens in
meroquerermino convergente siccadem, sector circulis elli-
pleos relhyperbolae semper differe intra rnitarem a maxi-
mo quaruor arichmerice corinue proportion alium intercer-
minosnostra aperoximarionis.
Tchrperbola quae cunque C. P N cuius cenerum A, alym-
d PEota A P, AO; Crque eius seCtOT A F C L cumeriongu-
PROP. XXVL. LISCDREMA.

## Folio 41 — 834940469:0049
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000049.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
Joci rcum seripEO AFL: esymprororum vni AB parallelIX
duca ntur rectae FD, L. M; _ compleantur parni lelogramma.
FDMK, PEMD. dicorriangulum AFL esse medium arict-
mecieum incer paralselIOErAMA FDMI, PLMD. GrC9O-
riesaS. Vincentio in L. Ib. de FEyperbola demonserar erian-
oulum AFL esse aequale erapeZIO D F. LM, led manite-
Cum estcraperium DECM eNc medium arichmericum intee
Paralleloeramma L. D MK, P L. M Ld; _ IACO BAFEE PFOPO.
BIEUM..
R2OP.

## Folio 42 — 834940469:0050
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000050.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
PROP. RAVII. THEOREMA.
TIdem postis: ducatur A Trectam F P bifariam diuidens
 in Iechyperbolam incerlecans in puncto (7, Aarque era
perium sectori circum scriprum AFCL, quod dico ese mediii
Geometricum inter parallelIOBranIMA FDMK, PLMD. Cx
demonstraris Gregorii a S. Vincerio cuidens est craperium
AFOL aequalC CNCrectilinCO DFCL M. X quoniam AOI rC-
eta secar rectam FL bitariam in I, ex eiuldem GFregorii a S.
Vincerio Lib. dehyperbola, manifectum eAt rectas L. M, GII,
F.D, esse continue proporrionales in cadem rarione cum eri-
Duscontinue proportionalibus AD, AFI, AM. alyM PEOTO A
Oper punctum C ducatur parallella recta RCS rectis FD
MK, Occurens in punctis R, S. quoniam rectX FD, OHI, L. M.
Tunt continue provortionales, erie dinidendo ee Dermutan-
AOFR ad SL veCIFLAdLMI: _ quONIAMFCCLE MA, HA, DA.
tunc concinue proporrionales, cric eriam dividendo ee per-
ucandOMFTadEID hOCCASCTadGRVEHA ad DA vel ve
OFT ad LMI; d proinde FR est ad SI VESCadGR, curaque
anguliFRC, GSL, Sncaequales ob parallellas FR, SL, crunE
eriangula FRC, GL S, equalias X proinde Darallellogram-
MUIM RDMS aequale CArectilinEO DFCLM sCu EraPCZIO A
FCL; sed parallellogrammum RDMS est medium geomo-
cricum inter paraIIelIAGPAMIMA PDML, FDMK, quoniam
eandem habeneia alcicudinem eorum bales nempe L MI, SN,
KM, Cunc continue provorcionalesid ideo craperium AFCI.
estmedium geomerricum inrer paraHleltaBTAMMA PDML,
FDMK, quod demonstrare oporruit.
eROD.
XR
Leaicelic
TIdem poliris ducaneur rectae FF, L. P, HY perBOLAM LANSCM-
tes in punctis I, L, ve compleacur traperium AFE. L, Guod
dico esse medium harmonicum inter parallellosramma PD
ML, FDDMK. criangulum ALL, crapexium AFCL, de medii
Rat.

## Folio 43 — 834940469:0051
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000051.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
BarIOMLLMIH LIILEL DAESIICIIOSTAMMA PDMIL, FDMK; cune
continue proportionalia, quoniam eriansulum AFL est me
dium arichmericum decraperium AFC L. medium geomerri-
cum inter ea deparallellogramma, repatet ex huius 13; sed
TriangULUI AFL, craperium AFOL, ee craperium AFFL
Tine coiul pepionalia exhuius r; et proindetraperiu
AFEL. CA mCctu umonicum incer parallellogramma
POML, FDMK. Gud demonstrare oporeuit.
PROD. XXIR. PROBLEMA.
Dato circulo aequale inuenire quadratum.
Sit quadratu circulo circulcripeu 4000000000000000: erie
ersocide inseripti 2000000000000000, inter quae quadra-
ca lucmedium geomerricum 2828+27524746190 Octasonit
nempe inera circulum: deinde inter octagonum intra circu-
lum de quadrarum extra sic medium harmonicum, quod leui
labore invenitur diuidendo duplum quadraci octagoni in-
era circulum seu duplum rectanguli a quadraris intra e Cx-
tra circulum per lummam quadraci e octagoni intra; ericq;
inventim medium harmonicum, octagonun circumseriptu,
nempe 3313708498984760. Continuetur haec Perier conuer-
Benspolysonorum complicatorum donec prima medieras
nocarum (ic eadem in veroque termino convergente, nimirit
vque ad polysona lacerum 16384; in seripeum enim est 3r4-
2592576586860 et Circum (CrIDEUM 3T4 2592692091258;
non consideratur nota vlcima, quoniam in divilionibus de
radicum extractionibus semper a rera quancitare pautulum
aberramus, quod vlcimam nocam impertectam plerumque.
reddic. achibeatur deinde approvimario in huius 20d 21
demonctrata, de invenientur termini inera quos est vero cir-
culimelura, posico diametri quadrato 4000000000000000.
3141542653589789 minor circulo e 3141592653589793
codemmaior, de proindenon lacer circulimensura, quam
inuenire oporcuir. polrgonorum seriemhic apponO
TMEra

## Folio 44 — 834940469:0052
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000052.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
2C
204E
40
8
16384
Tnera circulum
2000000000000000
2828427724746190
806+467458920718
3T21445152258055
3136548490545938
3140331156954752
314Z277250932772.
32475138O1T44299
324 1572940367090
3142587725277158
3541591425543029
3141592345578073
3741592576586860
exera circulun
4000000009000900
3313708498981760
31825978,8074527
3151724907439255
144118385243904
31422236,9942456
3141750369168965
3141632580703181
3141602510256808
3c415951 27749588
5141593269613390
3141592807595664
3141592692097258
Circulus inera leouentes terminos consitie
B141592653589789
3141592653589792
eodem omnino modo reperitur reccilineum equâ le cuieun
que lectori circulari vel elliprieo ex cogniro eriam sulo in-
seripeo de crapezio circumleripto.
PROP. XXX. PROBLBMA
EX daro sinu invenire arcum.
Tcarcus circuli AF de seriprus ex cerro B. huius arcus da-
 curradius nempe AB XsinuS nempe AD: Oporcet in
venire quam proportionem haberipse arcus ad incegram
circuli circunferenciam. Cc areus chorda AF d eius (EIMISIS
TaNSeNS AC vel CF. ex quadraco racii AB AuHerReUT qua-
dracum sinus AD ecrelinquetur quadracum finus comple.
meni BD, dacur igitur BB; e ideo dacur area eriangulire
EtangulI ABD; daruPBNOqUC ArCA crianGULi ABF NCMBC
rectangulum Cinus clari AI in lemissem radii BF. deimde
Eiat ve lumma triansulorum ABD, ABE, ad criongulum AB
E ira duplnaerten suli ABE. ad EraPCZIUM ABL C, VEconSTAE
ex

## Folio 45 — 834940469:0053
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000053.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
63
fux huius5. ecdrorrianguloita l laperio
circumleripEo ABFC, inuenacus per praceemem
ipse ABF, qui ad circulum inteorum dacum gua a
proporeionem arcus AF. ad toram circunterenriam, quam
IMuenire opOreuiE.
eROP. XXXI P R OB L L: Mt Ad
Ex dato arcu invenire sinum.
dato arcu manifectum est dari sectoris areaM HOC19I
tur lectore daro consideretur ex quoenoris arichneri-
eis conster sinus torus: deinde sumarurfectoris daci talis pars
aliguota Repe seCOr ABF, verriaguli inscripei ABF a trape.
zii circumseripei ABF. C cories mulciplicia, quories sector d.
cus mulciplex est sectoris ABF, cocOrdene incornocis arithime
cicis quot corinerradix quadraca linuseocius; hoc enimtaci-
detieri porest ex speculatione rabelle huius 29: ndenimrequi
ritur in hoc praxis precila, nam nihil refeer eriam (i in magnis
radiis discrepanria Cc nocarum aliquor. Sectoris cogniri A
BR, cuius arcuS AF criam innorescie, datur radius BA: CIE
eius TinuS AD, Z; Sc proinde C daro sinu se radio, dabieur se
in ancccedence eriangulum sectori inlciprum ABF ∞ cidem
craverium circumseripeum ABFP; atque ipse lector datus,
ese secunda auaruns
mediarum arictimme-
cice COnTIHUC pFO-
Dortionalium iNter
triangula sibi inscri-
Deum ex craperium
circum scripeum; ex
proinde daeur C9 utd.
ciointer duplu cra-
Dezii ABFC vira ci
ErIANGUIO ABF EC E
Dlumlectoriscogni.
et ABF, cuius reloinio manifestat valorem quaWEILAES
eluttc

## Folio 46 — 834940469:0054
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000054.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
16
BnOEZ, ROC CASnuM AD: at daTO ArCU AF ec eius sinu, d2
cureriam ex vulgara sectiorum angutarium aoccrina sinUS
omnium mulciplicium eiusdem arcus AB; ee proinde non
later RnaS arcuS in inicio proposiei, cum sIF ad aECUM AF iu
dataratione mulciplici, quem invenire oporcuie.
PR O P. XN TII. PR OBL E M A.
Invenire quadratum aequale spatio hyperbolico contento à curua
hyperbolica, uno asemproco e duabus rectis alceri asum-
Ptoro parallelis; quod sparium aequale est sectori hy-
perbolico cuius basis est eadem curna,
 TE HypEr-
ObolaDIL,
cuius asym-
DEOTATA AO,
AIE, CibIOCCUF
rUnC in aNGu.
IOrectoOAK.
Proponitur hu
iUS Ryperbo-
lae spacium IL.
MK, COnTenEU
d curuahyper
BolicalL, du
SVIPIOIORM
e duabusrC-
CiSHIE. L. M, 21
ceri a(vinpro.
10 AO paralle
liS. OpOrtet C
dacisrectis IKE
10000000000
00. LM 10500
c00000000, A
M 1000G1IOO.
00000. de prysiide recta qgne ICM 900000000000O, InuC.
MLLC

## Folio 47 — 834940469:0055
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000055.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
AETC MeNSuTAM (pAEII TIMK. PrOdUCANEUFFCCTCTK. OL, e
AUICACUE rECtA IP, VE COpLCaNEUE rECtaNSULA L. NHM, OIKM;
manifectum est rectangulum LNKM esse 900000000000-
00000000000000OIK11 9000000000000000000000.
000e crapeZIU LIKM esse medium axichmericum inter
Praedicca rectansula, hoc est 4950000000000000000000
0000. InveHIAEUT INCCE LCCTANSULA L. NAM, QIKM, medium
seomeericit 2846049894 15+5413987990042 guodcric pen
casonu spatio tixperbolico LIKM regulariter circuseripeuo
SIEq; VE ErAPCZIULIMM vna cum dicto pentagono circum.
seripeo ad dictum peneagonum, ied duplum dicti pentasone
adhezagonu spario hyperbolico LIIM regulariter inlcrip.
Eum, neDC 25779754131836628160009835; 9u0d hCxag0-
num erit polygonum complicarum cum praedicto penrago-
10; quae duo rectilinca efficiane primos serici cerminos con-
MergenceS: inter quae sicmedium geometrieum cuius qua-
draci duplum diuidatur per isem medium geomerricurna
cum maiori cermino scu pentasono circum seripto; cruntq;
medium geometricum de quocus, secunditermini converge-
ces: aeque ica continueeur lerieshaec conversens polygono-
rum complicatorum, donec medietas primanorarum eadem
Ecin veroquetermino conversente nempe ad cerminit vi-
selimu; polygonum enim circum Ecripeum elt 220258509.
29958962534172864. _ inscripcum 23025850929937203
59318+124: adhibeatur deinde adproximacio in huius 23 ec
24 demonserata, _ inveniencur terminiinera, quos coniltie
vera spaciihy perbolici LIIIMmentura, nempe 230258509
2994045624017868r, minor (patio, et 230258509299404
56240178704 eodemmaior, Xe ideo non larec sparii inentu-
ra, quam invenire operruic: totam poly sohoruin seriemhie
apponovna cum numero rectarum curuam lyperholicam
subcendencium in rnoquoque polysone cireumlexipto.
LXCHa

## Folio 48 — 834940469:0056
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000056.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 182 lines, status machine
 ∞
e
eA OO n ri eA 1B ∞ et m
et n
e
C
d
et
a
O
u
e
8
e e
a et
e
e
et a 
 ca O 1∞1
re
O  O
mn
M
sC
e
in O in
e
et
O in o n0
o c co l e c
e
C 2D,  re
m
ea
ee
rer 1i v
en
e
un
O
e e e e ∞ e e e e e a a a e a
O
O
O
O 00000
eei O i in
+
8 00 t O e ∞ 8 0 et
a
D
 er
00
 e
 ∞
e a
v00
a  O mi
a in n 00 c0
a a O a e
Ct e O C e 00 ae ri
e ni ni O ec CD
e
8C8
5 O C C∞
cr 0 e O P
O
5
 e R0 ∞ ∞000
O O
O00000
e 1 e 10 00 0 0 00 ∞ 0 0 1O ( ∞ ∞ 0
r vn
e
O
en eri ea en en cet eete iirien ca ea ce
e e sd e CB e e s a e ∞ N o a a
e  L 1
∞
ee
t0 0 a 0000 rild
e
∞
in ∞0
v
e errO
∞
a
1a ∞
 c
8
100
0 c
a
O r
e
et e ee me
13
ee
+ O e cer i0
c
on ee C i
a vod a n
ver ee in
5
e
r 
t e 10
 a
ei d e
et ee e ei et et e a a e e e a et a a
C
O O
O
0000 0
n e n en en en n ea en eili en n n en e ea
e
1 O
a
e m .
et e
et
e
si
a
lan 1 1i biivim
C
00 et in n 0 et un a
e
25
ea te c
i
vi du
a ce
e ∞ e
inc
un
 01 6 + N M R O e e vico v
+ e
e ca c in
e
v0 0 co
e ∞ a∞
un e isi
u
a
in e
un
e
eer
a r ∞ CB
50
un
1
i
un
O
25
ta
et
a
e a ce
0 1
 
s O
et e O et e n ee ee a
aO
a acd
O vi a ni m 000000
avivivivvvmm
C00 0 0 1 ∞∞∞ 0000
Et a a a _ a a a a a a a a a a a a a a a
a + ∞ 1 a e e
10 e
een  a i
+ ∞5 1 e et ∞0 1
 eK CCO
 e viO00
= Cx F
n e i O ni a
n e et ∞ 1d e 12 n e 48
1a C V e 1 e
i e 2 O

## Folio 49 — 834940469:0057
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000057.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
meruspronyperbola lectore. Culuse cibices vi
que ad decem, divisionis facilirandae gratia in composicio-
nelosorirtimorum, hic subiicimus; in magnis namque di-
uilionibus prectar rei repetita diviloris inulciplicium luD.
Aractione quam ordinaria divitione, reconttas expertis 2.
richmericis.
Porest isieur ab (que periculo erroris lumi lequens nu-
a acende pio
Blcciu ocee
remocevettete
Tolui; cciams 2-
(ymPtOca AO.
AK, NON SINECON-
Ricura ad angulit
rectum: nOS auTE
3
7
23025850929940456240+78700
460517018598809+2480357400
69077552789825368720536100
92F03403719765824960714800
FT5129254649702285200893500
138155505579642737441072200
162180956509583793681250900
8 184206807439523649922429600
9 207232658309464106161608300
iea luppOluimuS, 20 230358509299404562401787000
ve tacilior de paratior esser problemaris vlus in doctrinas
losorichmica, quam primo invenienobilissimus noster Nea
perus, de quamnos (nitallor) ad summum pertectionis Fa-
Aigium nunc eleUaUS.
PROP. XXXIII PROBLEMR.
Proposui cuiuscunque numeri locorithmum inuenire.
Ildem poliris que in anrecedente, manirestum est, pos
CaLIE rnICATO, MP. esse deceM: DOliIEA ErgO IKVniCATO
lic Cstd alym prOro quoque AO BarAIleta nUMerUS PEOPOLI
EuS CULIS deCideratur logOrichMUS. manifectum cA Cx data
recta CFLOLLIKEF, _ ex prccedenci daricciam spacium hr
Perboir es CLt, quod spatiamhypeibolicurs dico else
logorint in numeri provolui CtL, Pel0 spatnhyverbo-
dicoLIK A c. 9.. Fiem _Onumeri denar sI: CCenIII (ex Crr9O
xiOA S. VICCLLLC) (PaLLUI CIFASEL I CadEMFACIOLE act Lp. XFII
Eist
i
Anifectum
et

## Folio 50 — 834940469:0058
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000058.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
TMLMOdaFaCIOCHS adTE esmulciplicacaracionis J M act
IK; Cedrario CFFadTK eR mulriplicacarationis LM ad TK in
caderatione qua numerus OFT el mulriplicatus numeri L. M,
quoniam idem est consequens in vrraqs ratione; ee proinde
SpaTIUM GTKET es in eade ratione ad spAEIUM LIRM, in qua
numerus CFTes mulciplicacus numere L M; 8 ideo (quonia
exhypochesi spatium LIKM est logorichmusnumeri LM scie
denarii) erit spatium CTK FI logorichmus numeri propolici
OHI, quoniam hec est logorichmorum essenrialis proprietas,
vesine incer le in eadem directa ratione, in qua corum nu
merilune vnus alterius mulciplicari: ac ponitur communi-
ter locoriehmus numeri denarii ad arbitrium vnicas cum
numero quodam erphracu: Rigitur Aac, vespacIUM LIKM
ae sparium CIKHI, ita arbitrarius denarir logorichmus ad a-
lium numerum; erit inventus ille numerus, logorictimus nua
meri proposiri CFP, quem invenire oporruit.
SCHTOL IVM.
Raxis predicti problemaris prolixa est de laboriola; de
proinde ve abbreviceur latior noster in composirione
eabulae logorichmorum; sciendum elnos Coluimodo labora-
re in inventione legorichimorum, numerorum primorum;
numerorum enim compoluorum lasorichmi ex primorunr
aditione de subductione nullonerorio inveniuneur. Ced ve
numerorum primmorum logorictimi Facilius invenianeur, Or-
dine progrediendum est d prioribus ad polteriores, nempe
2 20 cuius locorichmus est arbicrarius ad 2 numerei omni-
um primu, de a 10_ 2 ad 3, icem 2 10, 2 e 3 ad7, icem a 10, 2.
2_7 ad FF, d hC deinceps. déinde inveniendi lune duo
numeri compolici parum incer se differentes, quorum vnus
compolicus est exnumeris logorihimos cognicostabenri-
bus, e ided losoriehmum dacum habens, alter aurem nu-
merus compolitus est ex Tolo numero primo (cuius quaerieur
logorichmus) vel ex illovnacum aliis numeris logorich.
moscoenieoshabentibus. deinde applicecur hinumeri com-
DOlIEI

## Folio 51 — 834940469:0059
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000059.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
pouri(qui exepli sraria lintGFI, FF.) inhiyperbola asympro-
e0 OA Parallelli; ee inveniatur spacium hyperbolicum
F. CHIF per huius 32, quod brevirer. fir quoniam GII. FF
varum inter se difterune. ex seposirione, rniusnumeriexem
pligraria CHI, dacur logorichmus, de proinde datur eius
logorichmi ratio ad logorichmum denarii arbirrarium, que
eadem est ( exhrccenus demonstraris ) cum ratione lparii
hyperbolici GIKII ad sparium hyverbolicum LIKM .
dacur aurem exhuius 32 spacium L IKM; X ideo innore-
seic quoque sparium IKHIC, cumque decur lpatium P C
HIF, innocelcit quoque FIKF; e proinde datur logori-
thmusnumeri compoluti P Fs cumque ex luppositione den-
tur logorichmi omnium numerorum numerum E F com-
ponentium, excepro numero illo primo cuius logorichmus
desideratur, dabicur quoque illius numeri primi logorith-
mus, Jue invenire oporruic. F xempli gracia, propolicu lr in-
venire logorichmum numeri binarii. suppoluto arbirrario
numeri denarii logorichmo, vnitare cum 25 erphris. duo
numeri compoliri parum inter se differentes lunt r000X 10.
24; numeri 1000 datur logorichmus, nempecriplum (pa-
cii 23025850929940456240178700 in anrccedente inuencis
Posico scilicet illospatio numeri denarii logorichmo arbin
trario; numeri 1024 ignoracur logorithmus; est enim com-
polirus ex lolonumero primo 2 nempe eius decies mulcipli-
Carus est. applicentur hinumeri compolici in hyperbola, ve
dictum est; licque GII 1000, F. F 1024: sed quoniam LK
vnitas elt r0000000000On, erit C,HI 100000000000000O
XF F 1024000000000000. ex perhuius 32 inveniacur (pa-
Eium F. C, IIF 237265266773160421183067 (lexIEM COH
uergentem hic appo
velectori

## Folio 52 — 834940469:0060
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000060.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 101 lines, status machine
10 in 1 O ∞ ∞
O
e
1
0 i
d
e
+
e
2
e
e
e
C
e
e
e
es
ed
E
er ea ri  ca
ad a a a c
et
∞x
 ee
O
∞ e
O
e
O
Cd ∞
e
s
d
+
ed
e
et
1 ∞
C
∞ 
+ ra
Rnoo a
8
∞ O
n
ut
la
∞
O
e
c
d
∞
D
t
∞
n
a O∞
es
ee
e ∞
e
rn
e
e e e
e an en eo en crr
et a e a e a
i
e
r
 i
a
 c
∞ P
a  ei
+
er
a 4c0 10 a
a e
2
3 
 O
e eda
na
en
d
ea
∞ C
es a
e
Os
t
e E
e
do
3
3
d.
E
B. 

## Folio 53 — 834940469:0061
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000061.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
vrlectori copendiu parehar) sei logorichmus numieri
1008
potuo losorichmo denarii arbitrario 23025850929940
456240178700; deinde eodem luppolico logorithmo arbi-
crario denarii addatur logorichmus numeri r000, scu cri-
plus losorithini denarii, logorichmo numeri r 24, cricque
1000
summa logorirhmus numeri +024, cuius pars decima erit 10-
gorithmus numeri binarii, pro eodem logorichmo denarii
arbitrario nempe 693+4728055994529245719r7: AaTq; ve
Losorichmus numeri denarii 2302585092994045624017-
8700 ad logorichmu numeri binarii corespondenté 6931 47
1805599452914.275917, ica logorirhmus numeri denarii ar
Bitrarius propolicus nempe 20000000000000000000000
000ad losorichmum numeri binarii quelcum 39F029995.
66398+1952405804, quem invenire oportuir: eodem modo
invenirur logorichmus ternarii 477121254719662437350
2993,ec.
Vein prompruhabeantur numeri illi compotiri parum in-
rer le differentes pro vnoquoque numero primo, hic rabel
lam exhibeo pronumeris primis rlq: ad 100, de rnamregu
lam pronumeris primis inter 100 d r000_ alteram pro nu-
merIS PrImIS SuPFa 100O: Quae omnia ita excosiara lunE, VE
verus cuiuscunque numeri primi logorictimus inveniri
possie correspondens logorithmo arbitrario denarii 1000O.
000000000000000000000 ex vne tola mulciplicatione.
duabus diuisionibus de rua radicis quadrarx extractione
vlera inconsiderabiles aliquor operaciunculas.
1000 (3) 20
2024 (10) 2
32805 factus C2 1630210,3
2768 (25) 2
2400FaCtitS Cx 3 et 32(5) 2 C 25 (2) 8
240F (4)

## Folio 54 — 834940469:0062
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000062.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
980OFaCtUS ex 2, 49 (2) 7_ 100(2) 10
98or FaCtuS ex 12+ (2) 1Y_8+ (4) 3
123200 FaCUS CX 7, FL, 25 (2)5, 6416)9
52320+ FactuS Cx 169 (2)23e729(6)3
2600 tactus Cx F3, 8 (3) 2_2512)5
2602 taCtuS Cx 9 (2) 3et 289 (2) 17
28899 FactuS ex 169 (2) 23,9 (2) 3e19
28900FaCtus Cx 100 (2) 108289(2) 77
25920 FaCtuS Cx 20, 3215) 2 ec 81 (4) 3
2592T FaCUS CX 49 (2) 7e 529(2) 23
613088FactuIS CZ 17, 23, 3215)2, de 49(.)
673089 EacuS CX729 (6) 3de 847 (2) 39
276280 FaCtuS CX 10, 17, 29, 4 (2) 2, ec9 (2) 8
2162Br FaCTUS CXTZF(2) IT e 96F(2) 31
165648 taCtuS CX 3, 7, 27, 29, e 16(4) 2
165649FaCtUS CX 12+ (2) 2Y ee 1369 (2) 37
1413720 Factus Cx 7, 20,11, 17, 4(2) 2e27 (3)3
141372Y TactUS Cx 1681(2) 41 de 84 r (2)29
978F2OFaCtuS ex 1O, 1Y, 13, 29, 4212,9(212
97812+ FaCtUS CX529(2)23 e 1849 12) 43.
664848 FaCEUS CX 7, T3,32 (5) 2_ 729(6)3
664849 FastUS Cx 96Y (2)31 et 2209 (2)97
3059000FaCtuS CX 7, 79,23,8, (3) 2, d 125 (3)5
305900r Factus Cx, 9 (2) 3,+2F, (2) 21 e 2809 (2153
5851560FaCtus Cx 3, 5, 13,3F,QT21 (2) 22
585156L tactus ex 1681 (2) 41 et 3481 (2) 59

## Folio 55 — 834940469:0063
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000063.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
357588OtactuS Cx 5, 7,T1,43, 8(3) 2 d 2713)3
357588F FaCtUS CX 965 (2) 31 ee 372F (2) 6+
1620528FactuS Cx3, 13, 16(4) 28249(2)7
1620529 FaCuS Cx 36F (2) 19X 4489 (2)67
2016399 Factus ex 3, Lx, 29, 43 8 49 (2) 
2026400 FactuS Cx 16 (+) 23 25 (2) 5 85OAY (2) 7C
5126644 FaCUSCX 4 (2) 2,9 (2) 3, 269 (2) 13, de845 (2) 29
5126643 FaCtUSCZ7, 27, 19, 31, 73
5997600Factu5 ex 17, 32(512. 9(2)3, 25 (235 e 49 ()
59976OLFACFUSCX96L (2) 3F de 624 + (2) 79
116424OFaCTUS CX5, F2, 49(2) 7, 26C+) 2,27(3) 2
226424CFACUS CX 169 (2) 13et 6889 (2)83
285948OFacuS CK5, 47,8(5) 2, 169 (2) 13 89 (2)3
2859481 tactus ex 36+ (:) 1982 7921 (2) 89
F +38488FaCtu5 Cx3, 13, 4.1, 89, e 8 (,) 2
+53848OFaCUS CZ F21 (2) FF 89409 (2)97
Pronumeris primisinter 100 ee 2000 sic haec regula: ance
numerum primum cuius Logorictmus quaerieurs (UMANEUE
immediate duo numeri proximis di polt cum numerus imme
diace sequens, quirres numeri cum illo prino lune quacuor
numeri in luo nacurali ordine le invicem sequenees; deinde
mulciplicerur primus numerus im cubum cerrii e quartus in
cubum lecundi, erirque Factorum ditterentia aequalis lum-
mae primi de quarri vel secundi de cerrii, vetacile demon-
Srari pores; istique numeri facti habene ad viinimum lex
nocas primas ommino caldem, de proinde parum inter le
disterune, acque omnium horum quacuor numerorum (cx
ceptocerrii) logorictimi cognolcuneur ex ipla progrediendi
mechodo, ee ideo ad nostram abbreuiarionem luncidonei.
innumeris vlera 1000 non opus eAt tanco apparatu, quo
hamrectangulum numeroru, incer quos immediare com
ehendicur numerus primus cuius oucricur logorichmuss
VHdbaLE

## Folio 56 — 834940469:0064
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000064.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
nscale Folumue neea quadraro numeriprimi; Cori
que Ideo prime lex lec d minimum tunc cadem; aeque
peimsctet adncut Losorithmi, ex ideo ad noltrum inbi
curtum LunEt
PROL. XX
li
PROBLEMA.
EEx dato locorithmo invenire ejus numerum.
X demonstrarismanifestum est hoc problema idem esso
ac Agnis proponeret; ex dato spacio hrverbolico, et
una recta rni alemprocorum parallela illud comprehenden-
ec; alteram invenire idem spacium compretrendencem, ee
eidem asimproro parallelam. Consideretur ex quor noris
arictimericis conster logorichmus denarii arbitrarius; et lu
matur logorichmi rel spacii dari talispars aliquoca nempe
Sparium LIKM, repentagoni spatio LIEM regulariter circu
deripei, echexagoni eidem regularicer inferipci cories multi
plicia, quories spacium darum mulciplex est spacii LIKN
concordentintor noris arithmericis; quoc conrineeradix
quadrata logorichumi arbirrarii; hoc enim Facile hori pocest
ex inspectione cabellae 32 huius: datur eroospatii LIIM
mensura ee recta IK vnicas ex suppolicione. AIELM, 25 SiCuL in
huius 32 dacur pentagonum sprcio LIKMresularicer cir-
cumleripcum echexagonum cidem regularirer inscripeum,
inter quae sparium dacum P IKM est secunda duarum media-
rum archmetice concinue proportionalium; et ideo duplu
hexasonirna cum pentagono aequacurtriplo spatii, cuius
aequarionis resolurio manifestaE ignOLAM Z PCU HUIIerUIM
LM, cuiuscories mulciplicacus, quories spacium L IKM est
Lubmulriplex sparii vel logorichimi dati, est numerus queli-
eus, quem invenire oporruit.
Hloc problema idem est cum huius 8, led alirer generalius
emethodo plerum que minus overola hic resolucum.

## Folio 57 — 834940469:0065
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000065.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
PROP. XXAV. PROBLEMA.
Rectaper darum punctum in diametro ducta, semi-
circulum in ratione data diuidere.
Pesemicirculus ADO, cuius dLaMeteL HO, COHITUHI L.
npunctum in diameero dacum B. supponatur factum quod
subetur; sicque recta BD lemicirculum diuidens inratione.
daca; quoniam datur semicirculimen sura de ratio in qua di-
vidicur, isitur dacur eius porrio nempe DBC3. AFrecta BD, Z:
xxdatis reCtIS BD, BE, E:D, in nore scunE tri EgUIADEB. PFF,
DE. CS: deinde AIEVEDEEVna CAM DFC, ad DF C ica duplum
DEC ad craperium circuleriptum DEOTT: _ positis primis
terminis conversencibusDFO, DFCHI continuetur leries
CONUEKSCNS
xolrsonon
rum compli
catorum; se-
cundum cir-
culi proprie
Tates laepius
repericasdo
ACC COnUE-
niens fueris
approxima-
tionem adhibere ita ve exhibeatur lector DFO, qui vne
cumcriansulo DBF aequatur portioni DBB coenitx, cuius
aequationis resolurio manifestacignoram quancitarem z seu
rectam BD: reliquA PATCNE.
Idem problema eodem omninomodoreloluicur En elli-
pleshyperbola red earum lectore dato,
t.

## Folio 58 — 834940469:0066
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000066.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
DEquis praedictorum problematum. mechanicam detide-
ret praxeminon ditticile crit calculum, approximario
ne, de aequacionis relolurione secundu vulgatas Gcomcerir
practica regulas quodimodo imiraré. multacalia proble
mata porsem hic reloluere ope analrlos ee nostrae lerie
rum converoentium doctrinae, quae ancea impossibilis eestin
mabaneur: (ed dicer Forre aliquis has resoluriones non es
se geometricas; respondeo.  per geomerricum intelliga
cur praxis opelolius regulxe ex circini peracta, hanc in his
non lolum esse impossibilem led etiam in omnibus proble
macis quae ad aequationem quadraricam reduci non pol-
Tune, sicur Facile demorstrari posset; de (I per gCometricura
intelligatur reductio problemaris ad aequationem analy-
cicam, omnia lxc problemara tunc seomerrice impostibi-
lia, cum ex hic demonstraris, manifestum sic talem redu-
ctionem heri non posse: ( vero per geomerricum incel-
ligatur mechodus omnium postibilium simplicistima; in-
venietur fortasse post macuram considerationem omnia
peaedicta problemara esse geometricissime resoluta. dili-
sencer animsduerrendum totam serierum convergenti
um doctrinam posse etiam nullo negorio applicari lerie.
bus simplicibus. Sic enim series A, B, C, D, L,dcC, talis natu-
rae ve tertiuscerminus C eodem modo com
ponacur ex primo se secundo A, B, quo
quarcus D componitur ex secundo de cerrio
B, C, de quincus F Cx certio _E quartO C, I
e ACdeinceps in infinieum; Ecque differen-
tia ancecedentium A, B, maior lemper disse-
rencia immeliace sequenciu B, C; (uppOn2-
mustrane seriem ica in infnitum concinuari
donec duorurerminoru immediare se invice
sequencium nulla sic disterentia, sirgue rnus
ex illis terminis 2, quem leriei terminario-
M
P I
C

## Folio 59 — 834940469:0067
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000067.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
5G
nem appellamus: dico z codeni modo coniponi ex A e
Bquo Cx B _ C vel C e D; demonstratio rix differr ab huius
rodeiusconsectario: hacratione s ponaeur triansulum,
lectori circulari vel elliprico in scriptum, vel sectori hyper-
Bolico circumteriocum a ee craperium; lectori circulari
vel elliprico resulariter inscriprum vel hyperbolico regula
ricer circum teriprum b; erit hexagonusectori circulari vel
ellipricore gulariter inCcriprum rel hyperbolico resulariter
263
circum lexipcum rg 2. b: _ proinde sector circuti, ellipleos
velhyperbolae eodem modo componieur ex a et b quo Cx
163
de rqu b; aequehiinc eciam demonstrari porest, quod ra-
cioincer sectorem de eius criansulum dacum non sic analycia
Ca secundum renorem huius Fr: portem quoque adtuc alea
mechodo parciculari demonstrare arcum CirculareI RON
hrabererationem analyricam ad suam chordam dacam: sed
pluranon addo, geometras interim pro scientixe increme
eo admonens, me reperisse in quibuldam Aiguris (quas
Carrelius se cundi generis appellat) cres focos, leu tria pu-
eta, a quibus ductaru in quodlibiee curuae punctum recta-
rum summa vel differentia semper est cadem: unde mihi
verisimile ridetur lcur omnis curux primi severis duos
habencoos res leales vel imaginarios, ita onnes secun-
di octetis habere c omnes certii gnacuor, et sic in in-
Anirums quae cet eculario scruraru dignisima est, el
sec enim admiranda  larum seomerricarum propriecuss
dechanica mum aeguationum praxi rrilissima
E
LHIO

## Folio 60 — 834940469:0068
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000068.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
6
1.
HI.
osui exta problemaca R. P. Francilco Eschinarde
Tesiaincernos ageretur de quilquiliis qui
busdam opecis) promilique, illo de aliis sileneibus
eomerricam coromnium solurione extribere, dumimo-
Ao a Machematico PEKLICeraS a me requirereeur; ille aUFeM
ablq; vielpe amiliaribus luis macheleos ignaris pal-
sim ligcauit meul cgo ab amicismeis inte llexi) mea pro-
blemata esse rrica, vulsaria, ab Archimede ae P alovera (0-
luca, neque respontione digna: e proinde cgo cadem pro-
blemata hic cuulgo. Machematicoruiudicia imploransnum
haec problemata a quouis rnquam vllomodo sine loluta, vel
E ica inurilia de Facilia Cine remachemarici contemplariones
Estimari Possincindiona: Cune aurem lequeneia.
IN OPFIC L5.
Tentem vi spharicam datae crassitiei efficere cuius ope ocu-
lus, visus distantiam habenscornitam, percipiat visibile in
distantia data a lente remotum quancum libet auctuni cum de-
stincta visione; assienata et iam oculi à bente distantia,
N GE OM E TRICLS
Ctrua parabolica vel eius portionis datae centrum crauitatis
invenire; supposita circuli es hyperbola quadratura.
IN ASTRONONLCIS.
Corporis euinscunque calestis parallaxes quoteunque inveni-
re. supposito corpus caleste moneri in sectione conica sive circae
terram sive circa solem
MirOE

## Folio 61 — 834940469:0069
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000069.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 20 lines, status machine
et
Afirorcerre R, virum ica Joquucu esse; Archime des eni
Se Laloreranihil vnquam scriplerune (Tale quod ad aev ur
nottrum peruenic) nec in opeicanec in ostronomia; OpOErCE
erso reloquatur de problemare seometrico i, at, Culdinus
leluita ex ordinis cciam princeps scomeera non sine ratione
Sloriatur, Pa5. 23 Tue cenerobaricae romo priimo anno 1635
edico. (cese omnium primum, qui vnquam aliquid demo-
Arauic de ceneris graviearis lincarum; insenueramen tate.
cur, com: primo cenerob: pa8. 65. se nihil poruisse prohcere
vlera cencra gravicaris lincarum rectarum de circularium:
nihilominus predicus R. P. athrmarcenerum granicaris cur-
ux paraboliccinueneum ese ab Archime de viginti qualile-
Culis ante nostra lxc rempora: lednon obus es dere mani-
Fecta plura dicere; lacis enim percipio R. viri ineolaplum
ese, quod (in philosophix, quam macheleos. Audiis porius
verlacus) crediderielincam caruam parabolicam, de oua
loquimurnos, esse superticiem planam parabolicam, de qua
Scriliunt Archimedes e LalOUeKB. giso
uX

## Folio 62 — 834940469:0070
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000070.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
5
Eta
DeO
conlticul
de
riguneur.
Atrinomiir
hrestrogeniorum
lentes
homoxencietalet
craperia
dB
excelus
interipi
deminiria
AM
reriei
de
omnes
CnD, F,
eadem
exactionem
prima
lectiorum
inpossibilicarem
LCgC
conctirui
impossibilicatent
trinomium
hecerogeniorun
letalIS
homogeneitarem
craperia
C
excesus
inscripei
diminurio
Teriue
Oidell
in 2 d
CD F
eodem
Kactioreu
Primus.
actionum
ura aere a inerenda est intra paginam +2 ec 13,
simodo lector illam inferere velic: commodius camen tene-
rur solura, re diuersis propoliionibus interuiat.

## Folio  -  — 834940469:0071
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000071.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 6 lines, status machine
oeroscente apotono
ssss
ee
cur: Leior. Marg. 98
eee
e

## Folio  -  — 834940469:0072
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000072.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 6 lines, status machine
t
t
1II
srissismisasl
tare WIAEIE IEBBTOB
Leion. Mar9.

## Folio  -  — 834940469:0073
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000073.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
.
smm 
ARSVNIVERSALIS.
Interviens
Duancicacum C urrarum cran smurationi ee menturx.
AV T A OR F
IACOBOGERECORLC
A B R F D O N F N SI
S C O T O.
C
p26
e
ATAVII, NDCLErII
rris Hleredum Pauli Framborti, Superiorum Perm.
VM D R I V IL F C 1O.

## Folio  -  — 834940469:0074
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000074.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
ce
acosene rauois
 s   e s se  los. Mss
Loirn. Maro.

## Folio  -  — 834940469:0075
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000075.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
Dcemdcd
e)
rdarum est a nostri seculi ceometris ma-
chematicam ab antiquis male fuisse divisam
in seometriam, arithmeticam, ec, se d potius
in xniversalem (e particularem: Matheseos
pars xniversalis tractat de proportione in
communi abstrahendo ab omni quantitaris specie, quae com-
muniter (etiamsi fortassis abusive) geometria appellatur,
cui affinis est recentiorum analycica: matheseos pars particu
laris dividitur; in geometriam proprie sic dictam, quae nihil
aliud est nisi matheseos pars 2niversalis figurae restricta; in
arichmeticam, quae eadem est mathesis 2niversalis numero, et
saticam, quae eadem est motui restricta, exc. exo (nifallor)
idem video in reometria: cum enim obser varem generalissi-
mos analy seos canones omni problemati inser vire, dummodo
possibile sic illos applicare, es analysem nihil aliud esse nist
examinationem quancicatum ienocarum, donec tandem redu-
cantur ad aequationes cum quancitaribus coenitis; cogicabam
analy seos defectum (quae praecipue appares inmensuratione
qua

## Folio  -  — 834940469:0076
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000076.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
quantitarum cur varum) posse aliquatenus suppleri; si modo
e data cuiu scunque firurae proprietate essentiali, daretur me-
thodus eam transmutandi in aliam aequalem cornitas proprie-
tates habentem, es huius in aliam, e sic deinceps; donec
tandem transmutatio fiat in aliquam quantitatem cognitam:
sic enim exhiberetur quantitatis proposicae mensura quaesit a
non secus quam in aequationis analyticae resolurione. neque
existimomeam opinionem esse frustratam, puto enim hunc rra-
Etaculum continere reometriae partem adeo 2niuer (alem, 2F
nullam respuat particularem fisuram eorum senerum, quae a
geometris adhuc contemplata sunt; quod si alia figurarum se-
nera contemplanda sibi proponant. promouenda est haec scien-
tia; sicut enim ficurarum genera sunt infinica, etiam hac seo-
metriae pars, sicut omnis alia, infinita erit; nihilominus mul-
tobreuius et elegantius erit 2niver salem doctrinam unicui-
que particulari casui secundum fisurae proprietares applicare,
quam de 2naquaque fisura interrum volumen evulsare
uius methodi studiosus ante omnia versatus esse debet in
analyse, nam absque illa, cuius vis ingenii vires superat.
propositae cuiuscunque fisurae proprietates examinare.
on difficeor me lesise apud praestantes seometras multa
talis methodi vestisia, sed plerumque vel particularicer vel
parum geometrice demonstrata; quae mea sunt e7 quae aliena
indicet lector, qui hunc tractatulum cum aliorum compara
veric, egoenim nihil affirmo, ne videar ea mihi adscribere
quae ab aliis (meeriam inscio) antea reperra sunt. Demon-
strandi methodo utor (nifallor) mibi peculiari, quippemulto
bre-

## Folio  -  — 834940469:0077
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000077.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
breviore quam Archimedea es non minus geometrica; utor
quoque in propositionibus magis obviis methodo Caualleria-
na, quae etiam nullo negotio reducitur ad Archimedeam rvel
nostram. Duod si reometra, post dilisentem huius methodi
applicationem secundum ficurae proprietates, nullum inveniar
problemaris exitum; recurrendum est ad seriem convergen-
tem, cuius cerminatio sit ipsa fisura incoenita vel alia ad
eam in ratione data; ob hanc enim rationem, conatus sum
aliarum ficurarum proportiones reducere ad proportionem in-
ter figuras planas, in his enim existimo faciliorem esse serie-
rum conversentium doctrinam: non tamen audeo affirmare
seriem conversentem semper posse inveniri; suspicor enim hanc
methodum esse insufficientem ad omnes proportiones non ana-
lyricas inveniendas: vicunque nostrum tractatulum de
vera circuli ex hyperbolae quadratura volumus esse 2lti-
mumnoserae methodi refusium, nam serierum con zersentium
doctrina est generalis, quae efigurae proprietatibus semel inven-
ta solurionem possibilem exhibebie; ex proinde obiectionibus
contranostram doctrinam hic satisfaciamus.
Primo obiicitur contracitulum, nempe tractarum meum
male appellari veram circuli e hyperbola quadratura, cum
potius sit conatus demonstrandi illam esse impossibilem; re-
spondeo, si esset impossibilis, nulla daretur proporeia inter
circulum er diamerri quadratum, et ideo fal sa esset 5 defini-
riolib. 5. Fuclidis; si aurem sic possibilis, monstrandus est
nostrae error, si nostra vera non sit. Alii sic obiiciunt: haec qua
aratura nulla est, quoniam non assisnatur proportio inter cir
culum

## Folio  -  — 834940469:0078
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000078.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
culum et diameeri quadrarum s huic objectioni respondeo
posirocirculi diametro b, erit ipse circulus terminario seriet
conversentis, cuius primitermini sunt b, V2, et secundi
Vqb+
264
e proinde quadrarum diameeri est ad
2 B2 . V92b+
circulum ut b ad praedictam terminationem, quae torminatia
nobis nullo modo est maris incognita quam radix sur de solida
numeri 40. dicune alii non bene esse demonstratum (in (cholio
prop. 5) sectorem AB PP eundem esse cum terminatione (eriei
conversentis, cuius primi termini (unt criangulum ABP e
trapexium ABFP, ex socundi, rectilinea ABIP, ABDL. P:
et proinde plenam demonstrationem hic subiicio: si sector ex
praedicta terminatio non sunt aequales, sit inter illas differen-
tia Z; er producatur series conversens donec termminorum
conversentium (nempe P e7 ) differentia sit minor quam
Z euidens enim est (ex prop. 6.) hocfieripose; hisce positis,
patet tam sectorem quam seriei terminationem consistere inter
terminos P
quarum maxima ex minima sunt P e D, intermediae au-
rem sector ex terminatio seriei, eritque differentia intermedia-
rum nempe Z maior quam differentia extremarum, quod
est absurdum, nulla erso est differentia inter sectorem ex serieui
terminationem, de proinde aequales sunt, quod demonstran
dumerat. Alii obiiciunt contra prop. TT. ita; (i addatur
23 Termino 23  22 b er termino b22 + b2 2, eneruerur vis
utrius que demonstrationis; respondeo 23 esse quanticarem in
defi-

## Folio  -  — 834940469:0079
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000079.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
definiram et alias quantitates indefinitas praecer ipsos termi-
nos conversentes compositionem non posse ingredi, quo d analv
sam laterenon porest. Obiiciunt alii: hac eadem methodo
porest demonstrari inter duas quantitates indefinite commen-
surabiles P, d non posse inveniri mediam proportionalem il-
lis commensurabilem, quod camen est falsum si P, , sine
planosimiles; respondeo maximam esse discrepantiam inter
radicum extractionem e (extam illam operationem, nam in
radicum exeractione, cum divisor dividendum metitur, quod
in praedictocasu evenir, radicis extractio coincidit cum qua
enor operationibus prioribus, sexta aurem operatio, cum ex
nacura sua sie infinita, cum prioribus nunquam coincidit.
Obricit quidam non vulcaris ceometra circuli quadraturam
ope quadraticis peractam esse operationibus analyricis; quod
omnino neso desiderando ab affirmance, et illas operationes
analyticas assienet, ero enim existimo basem quadraricis non
esse magis assisnabilem ab operationibus analyticis, quam
radicem quadratam binarii a primis quatuor operationibus
arithmeticis.
Solutis objectionibus quae contra nostram doctrinam vel
ab aliis afferuntur vel a me imarinari possunt sarisfaciamus
etiam illis, qui operationibus orranicis delectantur. Si quis
velit organice circulum quadrare vel angulum in ratione
data dividere; non existimo ullum modum esse simpliciorem
quam vulsaris linea quadratrix in materia aliqua solida
ex plana accurate et punctarim descripia. Quod ad qua-
dracuram hyperbolae attiner, existimo satis facile esse trian-
ouli

## Folio  -  — 834940469:0080
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000080.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
culi, seu trapezii inscripei (sunt enim inter se aequalia) ad
triangulum circum scripeum rationem in rectis exhibere, 
ab illis rectis seriem debitam conversentem continuare, donec
coneniens fuerit approximationem adhibere. Omnia quae de
siderari posunt de locorithmis ex rationum compositione ope
sequentis curuae nullo nesotio inveniri possunt.
Sit linea recta DF, sitque alia recta illi normaliter insi-
stens AB, in qua sit punctum mobile C, quod punctum C mo-
veatur ea ratione, t, dum perpendicularis movetur versus
E Vel D normaliter semper insistens rectae F D, interceptae
inter punctum C e rect a D F sint ad ipsam C B in rationi-
bus inter se mulciplicatis in ratione motus rect ae perpendicula-
ris AB: e. 5. moveatur AB in R ML e L P; oportet ut pun-
0)
etum C moneatur ea lese, 2e ratio CP ad CB sit multiplica-
tarationis C M ad C B in ratione PB ad Mt B: eodem modo
ad partes D, supposito AB moveri in TC e FO, rt pun-
ctum C ea lese moneatur, ut ratio CO ad CB sit mulciplicata
rationis CC ad C B in ratione OB ad C B: atque e recta DF
e duobus punctis curuae quaesitae a motu puncti C descriptae
ad libitum daris, facile est curuam ip sam punctarim de scribe-
re, c. 8. Supposico curuam in rectis AB, X M, transire per
punctum C, oporcet alia huius curuae puncta invenire: divi
datur BAI bifariam FI. sicque perpendicularis TI C media
proportionalis inter BC, M C; dico C esse 2num ex punctis
quaesicis, est enim ratio C M ad C B duplicata rationis C II
ad C B, ex recta M B est dupla rectae BFI, est igitur C in
curua quaesica. Demde sit recta SMaequalis rectae MB, )
uI

## Folio  -  — 834940469:0081
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000081.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
ut CBdCLnd C ML da perpendicularem C. S, ut prius de-
monstratur C esse punctum curuae quaesitae ; atque hac rario-
ne possunt inveniri puncta quoelibet, es curua quantumlibet
produci. Porandae (unt quae dam huius curivae proprietates exi
mia; quae nullo necorio deprehendunur; prima est, quod ex
Veraque parte possit produci in infinitum; secunda, quod
ex 2naparte nempe F, licet rectam P D semper masis ap-
propinquet, nunquam camen cum illa concurrat, efficiens spa
rium ex parte FD finirum in quantitare etiam si infinitum in
lon

## Folio  -  — 834940469:0082
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000082.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
longieudine; cerria, quod, posita una perpendiculariun
seu ordinatim applicararum loco onitaris, et religuis loco
numerorum, intercepca recta in DP seu cur vae asemptota
inter unitarem e numerum semper sit logorithmus numeri,
c. 5. posita CO 2nitare (et C Gi binario, item C B ternario,
CTI quaternario, ec; erit OG locorithmus binarii,
OB ternarii, OEI quaternarii, ec. Si describatur haec
curua exacte in plano solido, non solum eius ope cum recu-
la et circino invenientur inter datas duas rectas quoicun-
que mediae proportionales; sed omnia problemata imacina-
bilia de rationum composirione etiam facile perfici possunt;
sed haec, quoniam facilia sune, consulto omitto, lectorem in-
cerim admonens spatium, contentum a portione praedictae
curuae, sua asempeota ex duabus ordinatim applicatis, non
habere rationem analyricam ad rectansulum illi inscripeum,
sicut demonstrari posset secundum tenorem prop. II. praedicti
tractaruli.
Elae operationes non existimari debent ageometricae, quo-
niam sola ope regulae e7 circininon perficiuntur, sicut op-
rime observat subcilissimus Mlathematicus D. Carolus Re-
naldinius in geometra suo promoto, dum tractat de nouis il-
lis lineis, quas Mediceas appellat; quod ut clarius frat,
hic conabor ostendere nullam vel aequarionem cubicam posse
resolvi ope solius regula ex circini: omnis aequatio cubica
habet vel onam solam 2 et tres radices reales, quae si in-
venirentur ope solius recula er circini, seu intersectione cir-
culi ex lineae rectae, linea recta circulum secaret vel in uno

## Folio  -  — 834940469:0083
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000083.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 11 lines, status machine
D
16
a
B
10
solo puncto vel in tribus, quod uerunque est absurdissimum:
ob similem etiam rationem, aequatio cubica tres habens radi-
ces reales nunquam pocest reduci ad puram, quae unicam tan-
rum habet: nam in his aequationis reductio nullo modo
proficiet, cum impossibile sit ejus ope radicem imasinariam
inrealem mutare vel econtra.

## Folio  -  — 834940469:0084
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000084.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
N
lit
e
I.
Sc
E
d
2
ec
1111 l1111
lsil. (s s
non noisene auves
Lcibn. Mar9. 9E

## Folio 1 — 834940469:0085
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000085.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
LLS A. LI
5
Transmulum  mensurandi quantitates curvas.
grB
ROL. I. THEOREMA.
ccurra quae cunque R B Simplex de non (.
nuota, hioc est a R ad B, rectam guandam
policione datam M P semper appropinquas.
vel semper ab illa recedens. Sic (in prima
figura) punctum in curraR B FCCEMP ma
e xime propinquum, R. ex duobus quibul.
cunque punctis curre HB, nempe C, B, de-
mictantur perpendicularis CO, BP, in rectam M P, de a pun-
eto curra Crepore puncto K proximiore ducatur recta C A
curram cangens in C, _ PB producte occurrens in A. dico
reccam CAmajorem esse curra C B. curram tangens in B, d
rectECA OCCUErenS in R, e OC producte in D, duCaTuFrC.
Eta BRD. quoniam in progrelTu a H ad B, CurrA R B seMPeF
masiselonsatur arecta PMt, isirur recta BPd curvam tan-
Bens in puncto B, de vergens versus R e contra cendic ad
concurlum cum recta PM, ee ideo angulus ABR est obcusuS.
superans nempe rectum MPB illo anguto, ii quo cum PM
producta concurries ectisieur angulus ABR major angulo
RAB, a larus AR maius lacere BR, e commune addendon
recta AC maior eA rectis BR,RC. sed BR, RC, curvam Fan-
gences in punctis B, C, unemaiores arcu BC; de idcOACKC
eta codem arcu C, B CH mulro maiors quod demonstrare op
POrTuIE.
Do

## Folio 2 — 834940469:0086
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000086.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 20 lines, status machine
Secundo dico BD rectamminorem esse curva BC. Cx Ha:
aenus demonstraris, angulus ABD cA obrusus; a proin-
deeriam, ob paraIlelIaS AP, BO, illiaequalis CDB; _ ideo
ducto subcendence C B, angulus BDC maior est angulo
BCD, _ recta DBminor recta BC, sed recta BC minor est
curra BC _ ideo recta BB muleo minor est curra BC. Cx
punctis exeremis R, B, in rectam MP demiccantur perpendiu
culares IEM, BP; deinde dividatur recta MV in parreS quOE
cunque aequales MN, NO, OP, _ a punctis P, O, N M, eri-
Bantur perpendiculares P A, OF, NII ML, curram seCanTeS
in punctis B, C, F, K, in quibus singulis ducantur recte cur
vam congeres verlus Ba perpendicularibus prorimis cermi-
naTE, nemPCKHB FL, C A, _ in puncto B sIEFanGenS BD a
perpendiculari proxima versus K cerminara in D, Ciequere-
AEBD paraMlelIa KI: manifectum eA RHImaiorem else recta
HEI ob angulum HIK obcusum aequalem angulo ABD.
DicoomnesrectasKH, FE, C. A, limul maiores esle curva
R D
ex
d

## Folio 3 — 834940469:0087
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000087.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
8
AB _e exCeNum reCtEFIK supra rectam RI maiorem esse ex
cessu omnium reCtArUM REI. FF, CA, Emul suPrA CurrAM KB.
DrOdUCANEUTTANSCnEES AC, F F, ad proximas perpendi.
culares vertus X in C _ L. ex primo propolicos AC est maior
curra BC, FF maior curra FC, de FK maior curra HIF; e
ideO Omnes (mWIITI, FF, C A, sune maiores incegra curra
RB: deinde ex secundo propolico BD, hoc est, RI minor elt
curraBC; _ C Cm hoc CA, C A minoc eA AECU FC; de L. F,
hoc est, FB minor CA arCU R F; dE idGO OmneS KI, FF, CA,
smul Cune minores inceora curra RB; e ideo maior cA cx-
CeNUSreCtarUM RFIB FF, C A, SuprA reCtaS HI. FF, C A, quam
supra curram RB; sed recte FB, C A, lune communes uerique
rectarum summe; de idco excessus recte KII supra rectam HI
est aequalis exCCNTUi (UMMX reCtArUM KFI FF CA, CuPTA
summam rectarum XI, FF C A; qui demonctracus est maior
exceNu rectarum KHI, FE, C A, Cupra curram IB, quod de-
monctrandum erat. Si vera curra fuerie conrexa ad rectam
Mes rein sccunda Rgura, _ debec eRe punctum currae a re.
etaMP maxime remorum, ee aliquor demonstracionu ver-
ba lune mucanda, licur per se incellisee industrius L. Cctor.
PROF, 2. ZHFORB M A.
lecurra quae cunque 7 gC D Simplex, seu non sinuola
CE enim Fueric linuolas oporcet illam in plures simpli
ces dinidere) super qua imasinceur superticies cylindrici
recti, cuius altitudorecta R. 2 puncto quolibet curuxe nem-
peo in quamlibet rectam nempe 26 demictatur recta per-
pendicularis 93. et duestur in eandem 26 recta 96curram
perpendicularicer secons in puncto 9. producatur recta 38
in S, uC 3S AuC aequalis recte 96, idem quoque supPOnATUY
tieri in omnibus punctis currae 7g CD, ita ve exrectis in cur.
ram perpendicularibus per propria lud curre puncta ad re-
ctam 26 normalicer protrACIS COnACTUY (BAEIUM RV 82 d
2
CUrVS

## Folio 4 — 834940469:0088
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000088.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
que
CurraRSIY e rectis R2, Y S, S2 comprehensum. Deinde
Aac uc93 ad53 ica X alcicudo cslindrici ad 3 NI; idem Reri
supponimus in omnibus aliis rectis spaciiRV S2 recte 2d per
pendicularibus, ue compleatur spacium PEI se comprehen;
Cum a curra PHI _ rectis HIS, P 2328: hoc cM incelligo duo
mixcilinea esse descripta, quorum primihaec est proprieros,
uc exeius currae puncto quocunque Sin rectum 26 demilla
perpendiculoris 53 sic aequalis perpendiculari ad curvam 7o
CD in puncto cransicus g nempe 96. secundi vero haec HE
Proprieras, ve ex eius currae puncto quocunque Nin rectam
26 demissa perpedicularis N5 sic ad alcirudinem cylindrici
X, re eius pars incercepca in primo mixtilineos z ad eius
parcem incercepeam a curva daca 93. dico mixtilineum se-
cundum PH s2 esse aequale superticici exlindricirecti, cuius
basis est curra daca7oCD, _ alcirudo recta X. Si mixcili-
neum PHI S2 non est aequale superticiei cylindrici praedicti,
incer illas erie aliqua differentia, quae sic a planum: explice-
cur a planum ad rectam Z, sicque lacicudo inde oriens β. du
Cacur ex puncto7 recta7 A curram 7 D eangens in Puc07,
ec ex puncto D ducacur recta De curram cansens in pun-
a0D, Scque recte D e porallella7 v. _ ex punctis 7. D, in
rectam 26 demirrantur perpendiculares 72, dD; diridatur.
que recta 2 din tor partes aequales, ut ab extremitace ca-
rum primae crecta perpendiculari 3 A, excessus cangentis
abCcillae A supra parallellam ablcistam7 V AC minor recta
Bhoc enim lemper heri posse manifestum est, si FanGCNS
A non scperpendicularis recte 2 s, nec curra daca sinuota.
a dinisionum punctis 2, 3, 4. s exciceneur perpendiculares
2P, 3N, 4L, StI curram dacam secances in punctis 7, 9)
C. D; curram primâ inveneam secances in punctis R, S, T, V,
e secundam in punctis P, N, LsHI; deinde curram dacam can-
Sences in punctis 7,9, C, D ducantur rectae 7 A, 9B, CF, D8,
aproximis perpendicularibuscerminara, sincque recta 78,
90,CB, D5, ZP, NK, LC, HI, LM, NO ipsis parcibus aequali.
bu.

## Folio 5 — 834940469:0089
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000089.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
busaequales e parallellae, a perpendicularibus proximisrer.
minaea. Angulus B9B eAt rectus oboB ransencem; ee ille
perpendicularem 96; angulus quoque 093 es rectus, de
ideo communem angulum 096 auterendo, relinquitur an-
Bulus Og Bxequalis angulo 693; triangulaisieur rectansula
09B, 693, suc similia, ee proinde ut 93 2d96 ita 90 ad 9B, (cd
uc 93 ad96 ica X ad 3NV; _ id eo uc 90 ad 9B ica X ad 3H; de
iditur rectangulum 9O in 3N nempe rectangulum Nq CA
aequale rectangulo 9B in :Codemodo demonstratur rectan.
gulum P3 esse aequale rectangulo 7 A in X, icem rectangu.
lum L.d esseaquale rectangulo CF in X: _ id eo rectangulum
rectae L inrectas7 A, 9B, C F, Simul, est aequale eori recti-
linCO ZPYNKLCS; est ergo rectangulum X in rectaS 7A,
gB, CF, Simul, maior mixeilineoP NL IIS2. curra in puncto
Dhacnormalis D=. e ideo rectus cA angulus DX, (cd
rectus quoque est angulus Ses, ee proinde commune aute-
rendonempe SDS relinguueur anguli a quales SDI, 8D5:
sunc ergo criangula rectangula sD, 8D5, limilia; d ideo
UE SD adD=, hoc est D5 ad OX ica X ad SHI, e ideore-
ctangulum SE in D5, hoc est rectansulum I4, aequale elt
rectangulo X in DX, hoc cA, X in 7r; sed rectangulum
Mq es aequale rectangulo L. S, hoc ek rectangulo X in C F
e rectansulum 23 ck equale rectangulo N4 hoc es rectan-
sulo X in gB; e igitur rectilineum ONMLIHISZ est ae quale
rectangulo Z in rectaS FC, B9, V73 Simul; est ergo rectongu.
Jum X in rectas FC, Bo, Y7. Simul, minor mixcilincOPNLHL
S2. POrrOrCCtA FCBO, A7, SimuI lunemaioreS CuTrA 7QCD,
ee rectae FC, B9, V7 simul, Cunc eadem curraminores, quod
utrumq; Parec ex ancecedenre; de igitur rectangulum X in
rectas LCB9, A7, Maius elt cylindrica superticie (uper Cur-
va79C. D, de recrangulum X in ReCEAS FC, B9rV7, eadem (u-
perticie minus: Ped demonstracum es reccangulum X in rC-
CeaS FC, B9 A7maius esse mixtilinco PHLHSZ, de rectan-
sulum Xin rectaSFC, B9, V7, eodem mixcilineo eNe minus,e
PiO.

## Folio  -  — 834940469:0090
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000090.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
d
l
eat
a

## Folio 7 — 834940469:0091
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000091.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
ordinde maior est differentia incer haec rectangulas qua incer
superlciem cylindricam ee mixtilincum; ledreaangulorum
differencia est rectangulum X in differencium rectarum 7 A.
grielaucem differencia rectarum 7 A, 7V, minor rect A B CK
suppolitione; e ideo differentia inter rectangula X in FC,
BO, A7, AmuI, _X in FC3 B9, V7, Simul, minor est quancica-
ce an nempe Facco ab Z in B, hoc est ex policiones differentia
incer superticiem cxlindricam de mixcilineum, quod est ab-
Curdum, octensa enim estmaiors superkciesigitur cylindrica
_ mixcilineum lune aequalia, quod demonstrandum erac.
Duodh curua 7 D non tueric Cimplex Ced hinuolasdiriden-
da elt in plures simplicess e demonstratio in rnaquaque
Tcorum insticuenda.
Sirero tansens7 A Fuerie perpendicularis ad recram 7 8,
mixcilineum PNLESZ excendetur in infinicum ad parECS P.
hoccamen non obstance: dico adhue mixcilinCUM PNL FISZ
aequale ese superticiei cxlindrici recti super curra 79 C. D.
cuius alcirudo X. Si non lune aequalias sic (si Reri poce(e)
mixcilincum maius Cuperticie, de recta N3 recrae Hd paral-
lella abscindarur mixtilineum NLFIS3 aequale superticiei
Cuper curus 7gCD, hoc enim absque dubio heripotelt: co-
demque modo, quo unces demonscrarur mixcilineu NL. HdS
aequale esse superticiei super gCD; sunc ergo aequales, su-
pertcies crlindricirecei cuius alcicudo X, luper curris gCD,
7gCD, quod esc absurdum; mixrilineum ergo PNLFS2nOn
elcmaius dicea superticie cylindrica: lic (si Aeri POrelc) mi-
nuS; de ab scindatur gD curvo, ica ue superticies cylindrici
recci super oD exiscens, aequolis Eac mixrilineo PHL HdZ,
_ duCaTUT 3 9NreCEX HI SparAIIeILA: dCMON(ETAEUEUEANEC
superticiem exlindrici recci super gD exiscencem, aequalem
este mixtilinco NLHSS; Sed ex suppositione eadem lupecti
cies cylindrici recri ae qualis ele mixcilineo PNLHAZ; mixcin
lInCAErSOPHLHSZ, NLHS3, luncincer se aqualia, quod cse
absurdum; ee ideo mixcilineum non ele minus superticies
sC

## Folio 8 — 834940469:0092
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000092.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
Ted etiam demonseratum esei nec eRe maius, superticies iori
tur cylindrici recti super curra 7P cuius alcirudo elc X3
aequalis clc mixcilineo P NL HS2, eriam quando rangens
7 A recexe 78 ese perpendicularis, quod demonscrandum
erat.
Ex demonscracione manifelcum ese mixeilineu PHLFISZ
ee supertciem cxlindricam super curra 79CB esse quanci
cares magnicudine de graritare analogas, quoniam eadem
aequalicas quae demonseratur de inceeris, eodem modo de
monscratur de parcibus carum proporrionalibus; ee ideo
earum cenera aequilibrii eodem modo diridune receam 28
Sed ipla curra 7D ele magnicudine ee gravicare analoga
cum superticie cxlindrica; de ideo curra ele eriam magni
rudine ee graricace analoga cum mixtilineo idem cumre
diguiscenerum habens aequilibrii in recta 28. perspicuum
quoque elcmintilincum PHL HS2 ee ad rectangulum X. in
28,uC curua 79 C D ad rectam 28.
P A O P. 3. Y HI F O R F M A.
Ildem policis quae prius; supponatur praedicra (uperti
cies cylindrici recei super curra 79DC secari a plano
perrectam 2d transcunte, d in ansulo lemirecto ad planum
Dd2 inclinance. inferiorem luperkiciei cylindricae partem a
plano secram apellamus crunci superticiem. Dicoerunci si
vertciem aequalem cre mincilineo RSTVSZ. (UPDONAEUE CX-
tendicurra 79C D in rectam sibi aequalem A =O a, de iuna
datur recta ax aequalisrecta L ue compleaeur rectangu-
dum B∞ a F, quod necelsario aequale elc eam Cuperticiei
cylindrici quam mixtilineo PNL. FIO2. Sic e tit aequalisre.
vec
CCX 273 ec a puncto _ ducatur curra  s  se calis natura s
ut Cumpra recea quacunque P X Equalicurrae parricula cui
cunque nempe 79. perpendicularis ad rECEaM P A CK
PUMCTO Z. in Curram  S2, nempC  n, hac ae qualis perpen-
b

## Folio 9 — 834940469:0093
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000093.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
diculari ex puncto o in rectam es, nimirum 03: manitectum
ek mixcilineum sit e st a P ene aequale superficicierunci,
quoniam inclinacio plani secantis lupponitur esle angulus
Temirectus: noltrum ergo est demonstrare aequalicatem mix-
eilinEOrUM RSTVS23 YZ ∞ ZS) aP: primonoshaneaequali-
earem demonstrabimus in poltremis ticuris, ubi supponimus
Curvam R V in ProsreNu ab R ad V rectam 28 sempermaSIS
appropinquare, ee eciam currum 7 D in prooressu a 7 ddI
ad eandem rectam magis appropinquare; ec idco curra iEst
in prooressu a H ad se co masis appropinqUAE reCtAM F A P
vi
quoniam eodem modo appropinquat curra Est rectam R A.
quo7 Drectam 28. Si praedicta mixtilinea non lune aequa-
lias lc incer illa a differencia: de mixcilineum R V d2 diuida-
cur a torrectis recta R2 parallelsis, nempe 53, YA, VS, R2,
ee ab earum cum cuera incersectionibus R, S3 T, V, verinque
ductis ad parallelas proximas perpendicularibus RS, S7, Sa,
ID, Tu, Vn hanc duo rectilinca, nem pe RES N I u d2 CRITa
mincilineum e vSDTnV d2 ineramixtilineum, quorum dif-
Ferencia lic minor quam a, cridens enim esthoctieri posse.
PrOdUCaNEUEFCCtXS3, TA, UE VErASQUE CUrVASPHI, = B inter
Secene in punecis N, L, 9r C. d iunsantur parallellae, rect
28; PZ, NC, NE, LN3 L.C, HII3 areceis mixcilincum dividen.
eibus terminsea. Deinde dinidaeur receangulum B A2rC-
eriss reccae x a parallelis, B Z, X8, ne, ∞L, in recranguli
B Z dQuale mixtilineo PN3 2, receanousum H  aequale
mixcilineo NL. 43, de receansulum ne a a quale mixrilineo
L. II54: de ab incerscerionibus reccarum rectangulum Ba di-
videncium cum curra itSC, nem DC k, 923 73 St, AUCANEUE PeF.
pendiculares verinque in diridences proximas, nempe it 
sAg o, B
268, S2D, ICa HE F Q W H pSt A P hac reccilineum
inera mixcilineum, de st  or 12 7 58∞ R Aac reccilineum ei
dem mixcilinco circum scripeum. Paret ex ancecedence P 2
eNe ad X seu D P, uER2 2d72 Peu sit P, de permutando ur PZ
ad R2 iEA BP Ad it R; et id eo ut P3 ad R3 ICA B Z a d  2; se c

## Folio 10 — 834940469:0094
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000094.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
rectangulum B 
est aequale mixcilineo DH3 2i d idcoper.
mucando, ur P3 ad mixcilineum ita R5 ad k Z, cumque P3
Sic maior mixcilineo, erie R3 moior quam eFF: eadem me-
chodo demonstracur S +rectangulum ese maius quam e
e Tdmaius quam a; es ergoreccilineum RESA TusE ma-
iusreccilineo smo 2 Z 58a8. Fodem modo ur N3 ad X Ccu
X8 ica 532d95 (eu ∞ F. e permucando, veN 3 ad53 ica
X  ad o. X hoc estur 13 ad 23 ita BX leu mixcilineum PN
32 dd =F3 de permurando ut 1 ad mixcilincum P N 32 ItD
V3 del F.23 Ccd Q3cAminus mintilineo, de ideo 75 cA minus
quam FX; eodem modo demonstratur 4 eseminus quam
noo, ec nd minus quam ea: ex ideo reccilincum ySDInVdZ
minus estreccilineo Formp  est AR; e proinde amboreccili.
nea sit _ s 2 2 SB a F. F ei WD H ∞58 A 8 consictune inter
duo rectilinca HESA TudZ, SDEnVd hoc est maius priorum
rectilineorum minus estmaiore lecundorum, et minus prio-
rum maiusminore secundorum; sed mixcitineum t o H St
aE conastie inter duopriora; e ideo consictie criam incCE
duo posteriora nempeRZSn Tud2 rSOTnVd2 sedmixa
cilineum RST V S2 conlictit criam incer haec reccilinca, ee
proinde maior cs differencia reccilineorum RES X Y ud2.
2SOTn Vs quam mixrilineorum R SIV 82, it a _ SL a 8;
led erposicione differeneis rectilineorum cst minor quam ad
de proinde differencia mixcilineorum est muleo minor quam
aen quod est abCurdum, ponitur enim aequalis; non isitur
differune mixcilinea RS I V 82, iit o Z st a 4, scd aequalia
lune, quod demonstrare oporeuit.
Secundo nos eandem aequalicarem demonstrabimus in
primis figuris, rbi supponimus curram RV in prooresti ab
R ad V rectam 28 semper magis appropinquare, ec econo
era curram7 D inproorenu a7 ad l ab eadem recramosis
elonsari; e ideo currs z sin proerestu a st adst eomagis
elonsatur a recta R a, quonium eodem modo elonsatur
curra ts ArCCTA R a, quo curra7 B d reCFa 28. Siprae di
Et 2

## Folio 11 — 834940469:0095
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000095.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
eta mixcilinea non sune aequalia; sic eorum difterentia as
deinde mixcilinea RS T V 82, HF ~ AAF, dividaneur d
receis perpendicularibus ad eorum bales 28, Z a, omnino
nc in ancecedence demonstrarione Faccum est, hac camen
legeut differentia reccilineorum RESA TudEs ZSDTnVS2 icem
e differentia reccilincorum F orm pSt LZ,   5 2 268∞8,
SImuI, Gneminores quancieace a; manifestum est enim hoc
esse posibiles cum hec divisio in infinicum Reri poHIE. Ca-
dem methodo, qua in priore demonstratione rA (umUS,
demonstratur rectilincum RESn TusZ maius esse reccilinco
   vy 2 sB a ~, de reccilineum 2 SOTnV S2 minus eNC
rectilineo X om 2esaE. TTisce incelleccis, E data mixri-
lincanon lunc aequalia, HERS T YS2 maius alcero: manite
cum est excesumi reccilinei RZS N T u d2 supra reccilineum
  o 2 Z 68 a X ae qualc esse omnibus reccagulis 2E, 2, nus
 upu
e5o, Cimul sublato excelsureccilinei LornZ S AR
supra rectilineum y SOTn V d2: sed excestus mix-
cilinei maioris supra mixcilincum minus, est minor dicto
excellu rectilineorum, quonium mixcilineum maius est
minus reccilineo maiore, ec mixtilineum minus est Ma-
ius reccilineo minore; ec ideo excessus mixtilinei maioris
supra mixcilincum minus, minor es dicris rectanoulis A-
muls lublaco excessu recxilinei F or m _ p St A E supra recci-
lincum YSOTnV 52; sed diera recrangula simul ex hrpo-
cheliminora sunt quanritace a ee ideo dicea reccangula (I.
mul sUblatO diCEO exCC(SUI MULEO MINOTA LUINE GUANLICALC aS
ee proinde mixcilineum maius excedieminus muleo minore
exCCISu quam a 3 quod eA absurdum, ponieur enim a ex.
celsus mixcilinei maioris supra minus; non est ergo mixtili-
neum R STV d2 maius mixcilineo it o Z s A E: CF (CI ACrE
Pocest) minus; manifeltum est excessum reccitinei Z ∞ WP Z
est a E supra reccilincum 7 SDTn V S2 aequalem esse omni
bus rectansulis F 
583 753BR,nus limul, TaBIBEO CK
Eelsu recrilineiRESa TusZ supra recrilineum k M s 12 H S8L F.3
s

## Folio 12 — 834940469:0096
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000096.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
Ecd excelsus mixtilinei maioris Xt o  s D _ supra mixrilii
neum minusRSTVs=s est minor dicco excelsu recrilineo
rum, quoniam mixcilincum maius esminus recrilineo ma-
iore d mixtilineum minus est maius rectilinco minore; et
ideo excessus mixcilinei maioris supra minus minor est di
etis receangulis simul subloco excelsu reccilinei RESATuSE
supra reccilineum Z    Z 68_ R; scd dicra recrangula
simul exhypocheli, minora lune quam a; de ideo dictare-
crangula simul sublaco diceo excelsu muleo minora lunE
quam a; e proinde mixrilincum maius excedie minus mul-
cominore excelsu quam as quod cst absurdum, ponitur enim
a excessus mixrilincimaioris supra minus; non elcergomix-
cilineum rZ o Z st a R maius mixcilineo RSTVSZ, Ced de.
monstracum est eriam nec ene minus; (une isitur mixcilinea
it or Z S A~, RSTVS2, incer sC aequalia, quod demonstran-
dum erae.
Sune eriam alii huius cheoremaris catus, quibus omnibus
porest applicari haec secunda demonstrario; volui eameM
priorem criam adhibere, quoniam mihi apparee simplicior
criamsi non sic generalis; lectorem tamen admoneo illam
priorem posse adhibere in casu maxime ordinario, nempeim
figuris prioribus, reliquis manencibus dum curra RV in
progrelsu ab R ad V masis a recta 2 d clongaeur.
ee superticiem crunci esse quancicares magnicudine de gravi.
eare analosas, quoniam eadem aequaliras quae demonttra-
cur in inceoris, codéeciam modo demonstracur in parcibus
eorum proporcionalibus; e id eo carum cenrra aequilibrii eo.
dem modo dividune rectam d2.
Non existimo opus esse Lectorem admonere, quod data
hacrna trunci superticies dentur omnes alix, quorum plana
secancia, balem (si opus est) producte in eadem recta secant,
cales enim cruncorum superticies incer se lune ut carum al-
cicudines, vel ur cansencesinclinacionum planorum secan-
ciur

## Folio 13 — 834940469:0097
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000097.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
eium, ue rulso, de Facillime demonstratue.
PROP. 4. ZHFORP M A.
lccurra quecunque OIC L Smplex de non Enuola, sy-
 Cantur dux recte recunque inter se parallellae AV, L.Er
Eui verigue senormalis recta R V. Sic mixtilineum RVYBD
ealis nacurae, uc, ducta recta CS Badlibicum parallella rectis
AD, LE, rectaSB COncenta inter rectam R Vec curvam V Y
BD hc semper aqualis rectae CMI cangenei curram in puncto
C prorracta ad rectam L.E. concipiatur super curra OIC L
(cuiunstalis est curricas, re quo longius a punstoO produci.
cur eominus distec a recta R V) superticies crlindrici recti
ecta a planoeran scunce per rectam L. E ee cylindricibalem
in angulo lemirecto secance. Dico mixrilineum R V YBD
elexquale superficiei trunci inferioris exlindrici aplanore-
secta. Si non sine aequalia, siceorum differentia n, dirida;
curque rectaR V in cocparces aequales in punctis R, S, F, V.
ve ductis rectis parallelis R D nempe SC, TS, VZ, e comple.
eis rectangulis R C, R B, S5, 5Y, I23 differencia rectilinei
Ra BX YTmixcilineo inscripei a rectilinco RDC BSVZV
eidem mixtilineo circum scripro sis minor quanritate a; ma
nitescum

## Folio 14 — 834940469:0098
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000098.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
24
nifettum enim esthoc heri porse, quoniam recta R V diridi
porestin plures, ee adhuc plures parces in infinitum. Produ-
cancur rectae paraleIla DR, CS,ST, Z. V, Per curram propO-
Atam in puncta F, G, I) O, _ pTOdUCANEUE FeCE F L, CMI,
IN, curram eangences in punctis F, C3I3 O, ad rectam L E
in punctis L, M, N, O, qua Parallellas proximas ex ucraque
parce incersecene eriam in punctis F, FI, N, co, D, ui de ad p2-
rallelas proximas sint perpendiculares F. (Z, GIL, IP. manite-
Aum CA (ob paralleliturum rectaruM G KL, SV) C:K esse ad
CiFAUESV adCM seuSB, e proinde rectangulum Ss, nempe
rectae CH in SB, Xe qua lc eA rectangulo OHI in SV, Scdre.
Atangulum C HI in SV maius es portione superficiei erunci
insistente curve GI. quoniam Cli rectamaior ca curus GI
_ recta SV aequalis eM maxime alcieudini portionis supert.
cieicylindrici insistentis curre GI ob planum Peminormali-
cerbolem lecons per rectam L. E; _ ideo rectangulum S8
maios etiam est porcione superticiei erunci insistence CurVX
CT: eodem modo probatur rectangulum R C maius esse
porcione superticieierunci insictence currae G F. _ rectangu
lum TZ maius ese superhcicirrunci insistenee currae Ol; de
ideorectilineum RD C B sYZ V mixcilineo circum scripeu
maius esteora trunci superticie. Deinde ob porallelitmum
rectarum IP, SV, uEIP ad IH CCWCK velST adOI, ita TV ad
TN vel TZ; a proinde rectangulum SY nempe recte SI
in TX aequale est rectangulo rectae OI in YV, sed rectanou.
lum BI in TV minor eA porcione (uperhcicierunci insilcence
currae C, quoniam rectu BI minor est curra Cl _ recta FV
aequalis cA minimae alcicudini eiuldem portionis superticiei
trunci insistentis curre CI, ob plonum seminormaliter basem
recansper rectam L 3; e ideo rectansulum S Z minus cAt
porcione superticiei erunci insistenre curra C. l: eodem mon
d0 probacur rectansulum R B minus eRC porcione suPerH.
cieierunciinhstentis curvae CB; de ideo rectilineum I YX
BaR mixcilineo infcripeum minus est incegea superticie
crum-

## Folio 15 — 834940469:0099
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000099.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
eruncis Ped disterentia inter reccilineum inicriprum _e cir-
cum (criprum minor est quancieace x en suppolitione; e ideo
differentia incer superhciem erunci de Aguram mixrilincam
mulcominor est quam a. quoniam earum ucraris demonstra-
cur maior recrilinco in(cripeo de minor circum (cripios quod
tieri non porele, vonitur enim a difterentia inter lupertr.
ciem erunci ec mixcilincum; nulla igitur ele differentia incee
figuram mixcilineam et superticiem erunci, e proinde lune
aequales, quod demonstrandum erat.
eildem posicis, sie mixcilincum V Y BD2 3E calis nacurae,
ue a quolibeT pUnCtO CUErA F. O nempc C duc parallella
rectae LEnempe C2, intercepea recta B Z inter duas curras
VD, DE, hac aequalis cangencicurram propolicam in puncto
Ciprorraceae ad rectam AB, nempe recex Cu. dico mixci-
lineum VXBD2 5E aquale cne luperhcicierunci superio.
ris eiuldem prioris crlindrici polica eius alcicudine recea
RV. rCCTE MCu in pUINCEO CAE recEAnOrmaliS GY7 rCCEAML
R V secans in puncto7. ob similicudinem eriangulorum 557,
GKHI, uE CS ad C7 ita CK ad GFI, _E VE GIE ad CHLicASV ad
CM relSB, _ SR ad Ou rel B2; _ id eoCoS est ad G7 uERV
ad 52. eodem mocto demonttrari porest IT ese ad lB VERV
ad T3: cum que hoc hac in omnibus punctis currxe LO, mani-
Feltum CA ex huius 2 mixcilineum R D 2 3E V ese aequale su-
perticiei cylindricirectiinsictenci currae CO. cuius alcicudo
AV; atque luperticiestrunci inferioris aequalis es mixcilineo
RV YB D, e proinde superhciescrunci superioris equalis
elt mixcilineo DBX VE 32D, quod demonstrare OpOr-
TUIE.
Hinc eriam manifecum est superticiem erunci inferioris
de mixtilineum RV ZBPd ehe quancieoces magnicudine
de Graricate analosas, quoniam eadem aequalitas quae de-
monttratur de inceoris, eodem modo demonstratur de par-
cibus earum proporcionalibus. Manifectum quoque est tu
verlciem crunsi superioris se mixtilineum V YBI 2 3E cMlC
quat

## Folio 16 — 834940469:0100
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000100.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
16
quancitates mognieudine se graricare analogas; mixrit.
neum enim R V Z 52 D magnieudine se pravirace analogum
eAeori superkciei cylindrici rectir de mixcilincum RV YBP
maenieudine de gravicace analogum e Cuverliciei erunci
inferiorisi de ideo (quod superest) mincilineum D BYV Y
32D analogum est relicta supertciei rrunci Cuperiorisp
quod _c.
Huius propositionis diversi sune casus, sed in omnibus
eodemmodo rerificari porest pracedens conclulio.
e R O P. 5. Z EI FO R F M A.
D rectam A F ducanEUF duX CUErA AF, AD, de rectX
 AF sc perpendicularis recta FD curras lecans in
punctis F, D, ducanturque rectae CE, CD, currastansenteSi
Dicorectas LC, DC, non esse parallellaS: line (A heri Po-
CcA) Paralselae, se ducatur recta ABparallela d aequalis re
etx E. D: deinde per puncta B, D, ducarur curra congruens
CUrVA A F, E modo punctum A superponarur puncto B de
puncum E puncto D: manifectum est curram BD secarc cur
ram BD, icem e rectam C D parallelam rectae C: F: cansere
Curram AD; acque CD ex suppohtionC FaNOIE qUOqUECUF-
nam B D, quod cA absurdum, quoniam curra AD, B I, (C
imaI.

## Folio 17 — 834940469:0101
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000101.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
ibu
ect
ICC
inuicem sccahe; rectae isitur CD, CF non lunc paraltellae
quod demonttrondum crat.
Animaduerrendum estnos hictantum loqui de illis cur-
gis implicibus, quae (quo lonsius distane ab A) comaiorem
incercipiune rectam F D; num ex hac suppostione pendee
demonttracionis vis.
PROP. 6. PROBLEMA.
anuenire curvam, quae ad suum axem eandem babeat rationem,
quam ficura quaelibet extibita ad rectanculum (ibi inscri-
ptum, es recta data seu quaesita curva axi applicatum.
letisura exhibita ABSO, rectangulum inscripeum AB
a DR O; Ecque curra BS SimpleZ (EH NOn GnVOLa, (I aUFeM SIC
dividenda est in plures simplices, _ demonstracio scorlim in.
Sievenda. deinde AC CurvA AELP ealis narura, uE, ducta re-
Eta quacunq: INnOrMAlIRCCTA AO, CUEVAI AELP Secancein
L recta IN sic aequalis pocencia verique IL, IM: deinde du
catur curra AEK Pcalisnature, ut, ducta recta quacunque
IM reCta AO perpendiculari _ curram A F K Q lCCAHEC
INK _E AFLP in L, rectangulum MIL sic aequale mixci-
dinco LA FL. dico Aguram ABSO esse ad rectangulum
ABRO AECUIRVA A E KO ad reAAM AO, sIEIR CUETA AFL B
punctum ad libicum K, per quod ducaturrecta IN perpen-
dicularis rectae AO d lineas A F L. P, BR, BHI N S, sCCAMS
in L. M. N, punetis; lIEque uEIL ad IM iFL TK ad IC e du-
CACUE R C: rectA KC. curram AO secat vel cangit in puneto
Ri lHeri pOceK, CAM seCeC InK, _ ideo intra curram cadeF
nempeinera punctum P verlus verticem A: ducatur per pun-
ctum E recta DEI rectX IN paralleIla lineas A CB, AP, BR,
BS, secans in punctis H, F, C3 HI, e rectam L. C in a, icem
compleatur rectangulum IL. L. C cuius lacus LL. reCtAM DHI
secet im X. quonism LL. Cs ad LM uF IH ad IC, exIFrCC aN.
Gulu

## Folio 18 — 834940469:0102
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000102.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 16 lines, status machine
18
oulum MIK seu mixcilineum TA F L aequale rectangulo
IZ: de quoniam rectangulum Cd E es aequale mixcilinco
D AF, Cric uEIKad DE ica mixcilincum IAFL ad mincili
neum D A F, AC IK ad D F maiorem habecracionem quam
ad Da; e id eomixcilineum I A F I. maiorem habec racio.
nem ad mixcilincum D AF quam IK habet ad Da IcutC
ad DC; e igitur mixtilineum IA F L maiorem habet racio-
nem ad mircilineum D A F quam rectangulum IJ ad rectan-
gulum DZ. _ per convertionem racionis mixcilincum IAFL.
admixcilincum ID E L. haber minorem rationem quamrc
ctanculum IZ. ad rectangulum IX, a permurando mixcilineu
IA F L ad rectangulum lZ minorem haber rarionem quam
mixcilincum FD F L ad rectansulum IX, cumq; reccangulu
IZ. sic aequale mincilinco IAFL, eric rectangulum IX minus
MIX

## Folio 19 — 834940469:0103
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000103.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
ipixcilineo IDFL, sed de maius es; quod est absurdum; de
proinde recta RC intra curram A Qnon cadic versus verri
cem: Aheripocest, cadac recta C. IE intra curram vertus b.-
sem reliquis se habencibus ut inpriore posicione; crirqueuE
IR ad D P ica mixcilineum IA F L. ad misrilineuM D AL F,
at lR ad D E maiorem habet racionem quam ad Da; e ideo
mixcilincum IA FL. ad mixcilincum D AL Fimaiorem ha-
bec racionem quam IK 2d D a Ceu LC ad D C: de igitur mix-
cilineum IA FL. ad mixcilineum D A L si maiorem habee
racionem quam rectangulum 12. ad rectangulum DL de
invertendo, per convertionem racionis de rurlus inver-
tendo, mistilineum I A P L. ad mixcilineum IDEL maiorem
habec racionem quam rectangulum IZ ad rectangulum IX.
de permucando mixcilineum IAFL ad rectangulum IZ ma-
iorem habet racionem quam mixcilineum II FL. 2d re
ctangulum IX, cumque mixtilineum IA FL. sic ae qualere-
Ctansulo IZ erir rectangulum IX maius quam mixtilineum
IDFL, sed d minus est, quod es absurdum; non cadic ergo
recca C. K inera curram A Qverlusbasem; d ideorectaHC
curram A Gcansie in punctok, recrE C KAIF perpendicularis
RECEAKTreCCa AO Occurrens in T; manifestum cA CI CHC a
CIE UE IK adKT; acque C TCM ad CR uFMI ad NI, quoniam
reccae IN. IM. IL, efficiune criangulum reccangulum limile
criansuloC. ll, cuius lacera lit, led, Cunt bomologa laceri-
bus C I, C R; _ proin de ur IH ad K P ita lM od IN; Cumque
hoceodem modo hac in omnibus punctis curvae A C, MaNI
Fectum cA exhuius 2 rectam AO esC ad curram A Q VErE.
ccangulum OB ad Agurum ABSO, quod demonAtrarE OPOI
Tuic.
S C FI C
L
Y M.
Pius propolicionis inverlum Facile quoque demon
atur; nempe, Arecta AO Ccad curram A Overe-
olu DB ad tisuram AB SO, irem s curra A P caliS
e
2
CC

## Folio 20 — 834940469:0104
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000104.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
HE naTUEX VE duCFA IN quaCunque AO recrae perpendicu
laris aequiraleat pocencia verique Ll LM; crie receangulum
MIK aequale mixcilineo IA F L: Snon ACitas dueatur curra
AVY calis naturae uc rectangulum MIV hac aequale mixciliz
neO IA FL, e demonttrabitur secundum renorem huius
propolitionis rectas (quae CurraS AY, AG, tangune in pun
Cis V _K) ese inter se parallelas, quod es ab surdum con
era propolirionem praecedenrem.
Fluius eciam proxolirionis rarii sunt casus, Ped hocinteb)
lecto, in reliquis nulla rectat difficuleas.
PROP. 7. DROBLEMA.
Rectam ducere datam curvam tangentem in ejus puncto dato
simodo curva sit ex earum numero, quas C arte sivts
appellat Ceometricas.
TECurrA BEI C hyperbola, cuius diamerer recta A H e
ordinacim applicacae EFL, KC, calis nacurae, uc Colidum
ex quadroco a B P in AE (IC ad lolidum ex quadraco a BK im
A K DE CubUS ab F: II ad CubUM A RC. Sit AB dAFA a3 BF B, eC
raeio Colidi ex quadrato a BF in AF ad cubum ab FMT UC a3 2d
c3: oporcet invenire punctum F, ve ducca recta FHhyperbe-
lam eangE in pucto FL. ex daEIS AB, BE, dAEUE AL aL B_E LFS
YC (ab 2c3 nfa b3c3). Sit F FZ ee D F rihil leu CCrUMO; dE
proinde eric BDb --0 _ A D a , b -- 0, FL Z- 0 icem DC VC
(53 a b2 = 253 a b0 a c3 a02 rC3 b5 3C3b20 a 3C3b02 (303)
quonium supponimus ordinacim applicaeam DC incidere
in curram in eodem puncto C rbirecta FHeidem (E modo
Dosibile HE) CUErR OcCUErIE, CrIE UCFHL ad LFita DO ad DF;
e ideo rectansulum ex D F in E FLNEMPO YE (b 2C3aZ3-

## Folio 21 — 834940469:0105
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000105.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
3b2c3 a Z 20  3b2C3 a 20 2 b2 C3a03 b3C3Z3 = 3b3C3Z2
3b3c3202 = b3c303) aequale eric rectangulo F F in DC
nempC V C (C3 ab 2Z3 = 2 c3 abZ3 0 = C34230 C3b3Z3
3c3b2∞30 3c3b2302=c32303); e denOminATOreS
propeeraequalicacem auferendo, icem de verumque equario.
nis terminum cubice mulciplicando de aequalia vrrinque au
Ferendorelulear aequatio heC 3b 2 c3a Z0 2 -- 3b2 C3aZ2D - b253a03
363c3Z20+363C3202 b3C303= (348302 = 2C3abZ30 3C3b2230 
3c362302 =c32303. ec omnia pero diridendo 3b2 c3420 -- 3b2C3 a Z
-b2 C3492 =3b36322  363C320 -- b31302= c34230 = 2c3 4b 23=

## Folio 22 — 834940469:0106
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000106.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
3c36223+f 3c3b230--C, 23023 8 quancirates reiiciendo in quibus
reperituro vel ejus pocestas, reCtanE = 3b2c3 a Z2 - 3b353Z2
2C3ab23 = 3c3b2233 ee ubique defectus addendo ee omnie
dividendo per c b22; aequacio cA 3barF 3b2= 2a217. 3bZ, ec
idc02 = 3ba F 3b nempe recta FL, qua invenienda Crat,
a2 1 3b
tui
115
D. PROBLEMA
TE CUEDA A DTM CnInSaxIS AL, Reque alIA CUIrUA AFK
D eius naEuEX, uC ductr recta qua cunque HI IK, re-
Ax AL. perpendicularis curra AISIE ad rectam IK uF D ad O.
oporcet ducere rectum eangentem curvam A F IO in pun-
etoKE: ducatur recta BIEaNSeNS CUrraM AD IM in punctor
Chocenim heriposse suoponimus) lirque rects lB aequalis
CUIrVa A I_ dUCAEUE ReCt+BR, quam dico EAHOere CUrVIm
A F K O in pUNCtOK: S eam nON FanSAE, Cadat inera, CEque
punctum C inera curram versus vercicem, e dueaeur rectx
AEII PATAHLeMA G7F E D C. manifectum CHt LIE eNC ad F. C WE
IB ad E B, e per convertionem rationis II eAt ad differen-
tIaM INEeF LK _E F C UEIB ad LE eC perMUTANdO UE TR ad TB
(cuTa curram, hoc est uc Jad P, ita differeneia inter IR et L Cx
2d FI, aEque uE Qad P ITAD F ad D A currI; _ id eO uF IR ad
TA curuLin icL D FadD A curram a permutandO uE TK 3d
DE itATA curuA Ad D A curvam, e per convertionem F2-
eionis, uE TK ad diferCNEIAM iNteE TK _ D L iea CUEVA
Ia seu recta IB ad curram IB; ac differentia inTer IR _ F C
maior es differentia incer TK X I L, quoniam punctum
supponitur cadere inera curram; ee proinde IK minorem
habet rationem ad excestum supra tC quam ad excelsum
supra DF; S ideo IB eA ad IE in minore racione quam ad DI
estisitur TE maior quam DI, quod eA ablurdum, non eroo
CAdIEFECTA BK InETa CurvaM A FK O versus verricem: CadaE
inera (sitieri porest) versus balem nempe producta in pun-
EtC

## Folio 23 — 834940469:0107
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000107.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
1
in
A
1
AOR. IK eC 2d NR uE IB ad NB, e IK est ad differentiam in
Tex IK _ NIR uE IB ad YN, _ permutandOUETK adLB seu
T A curuam, hoc est uF 9 ad P ica differenEIA INTeF LR SE NR
adENI, aeque vE 9 ad P ica MO adM A curram, _ idCO UEIK
adTA curram iea M O adMI A curra, _ PermutandO UEIR(ad
MO ita FA CurrA AdMI A cvrvam, _ uF IK ad differenciam
ANTEFIK _ AO ica LA curra scu IB ad M currami ac ditteren
TIR InCET LK _ NR minor eA differenCIA InCCF TK X M O, quo-
niam lupponimus R cadere intra curram; ee proinde TKma-
iorem habec rationem ad differenciam inter IK _ Na quam
ad diferentiam iNTer TK _ MO; _ ideoFB est adINinma-
iore proporcione quam adIM; CA isitur IN minor quam LM, rhue
quod es ablurdum, non ergo cadic recta BK incra curvam ius.
versus balem, ee proinde curram cansir in puncto HE, quod
demonttrare oporeuit.
Per hanc propolcionen possune omnium ercloidum cus
Va

## Folio 24 — 834940469:0108
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000108.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 20 lines, status machine
24
rae comparari cum luis axibus vel basibus secundum me-
thodum 2huius.
PROP. 9. PROBLEMA.
TE CUEVA AELO, cuius axis A R; Ecque alia CurrA ACMT
acalisnatura, uc ducta recta quae cunque NIM reCX AR
perpendicularis curra APliE ad rectam N M uC P ad Q. OPOF-
cet ducere rectam cangencem curram A C M T in puncto
MI. dueaeur reCtA TC EANGCNS CUEVAM A F TO in F(hoc enim
heri pore supponimus) _OCCUrrenS RECEX A D ipANM Pa.
rallelae in D. (ICMZ ad rectam LC uE Iad P, AEquEZ. D Pa-
rallella recra AR _ ducatur recta D M, quam dicocNetan
 anmitu .  
BCNEEM CUEVA A GM T in pUnCCOM: Scam nontangAE, ca-
dac inera, lieque punctum HI intra curram versus verricem de
ducocur ipENM Parallella reliquas lineas secans ve in Asu-
Gura. AF es ad BC UE P ad O_ AI CA ad NM uEP ad ,
_c ideoNE AF ad BC: iEa AF ad NM _ perMUTAndOUE A F ad
ALita BC adNM, ec uE AE ad F. L ICA BCo adAM, _ Permu-
candc

## Folio 25 — 834940469:0109
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000109.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
mutandove A. F ad BG3, HOC CRUFP ad O ita F P adK MI: de.
inde uEC: I 3d ZMI, hOC CAF UE P ad Q ica Pl ad L MI, quod HC
probo, rario Cl ad ZM componitur ex rarione C IadD L. de
DZ adZ. M, _ rario FI ad L. M componitur ex ratione FI ad
HIL. (eu C Iad D Z _c FTL ad LM PcuDZ. ad ZM, ee proinde
UE EIad RM itA FI ad L M, Se permutando ut FI ad FI ITA RM
ad L.MI; Sed quoniam supponimus EI cadere inera curvam,
TEM eric minor quam LM. Sc proinde FI minor erie quam Fl
quod ect absurdum; de ideo recta DMI RON CAdCE INEFA CUF-
ram verlus verricem: cadac (C heri poMie) inera vertus ba-
sem, nempe producta in puncto V. AI CsE ad N M uc P adC
_ AO eA ad R P uc P ad B, de ideo AI es ad NM uE AO ad
RT, eE permutando AI CK ad A O UENIM adRT, e uc A Iad
TOIca EYML ad XI, BE perMUEaNdOHE A I adN MI SCU VE P ad
Oita IO adXT: deinde vE C I adZMI SCN P 2d OITA LS adX V
(quod probarur hicur in priore pasitione) de proinde ucIO
ad XT ica IS ad XV, ee permurandour IO adISIEAXI aNXV;
Led (quoniam supponimus V cadere inera curram) crit X I
maior quam XV; e proinde IO maior erie quam lS, quod elt
absurdum, non ergo cadic recta DM inera curvam, verlus Fhoz
balem, de proinde currum tansie in puncto MI, quod demon. Ius.
Arare oporruit.
Per hanc proposicionem porest curra, cuinscunqe superhciei
erunci exlindrici recti expansae in planum, comparari cum
eiuldem exe vel bale ope huius2, limodo posie ducirecta
CanGCAS Balm CylindeICI i punCtO auTO.
PROF. 10. ZHEORP M M.
TC CHDA GeCunquE AD e recta quecunque BNI: ducan-
 tur Ex duobus currae punstis quivuscunque A, I dux
rectae parallelae ad rectam BN, nempe AB, IE, dE iunGLEUF
AD rectaproducta in FI, ducancurque D Ci, A HB reCtB CUE
am rangenses in punctis A, D: deinde complcanturparalle
ha-

## Folio  -  — 834940469:0110
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000110.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 18 lines, status machine
r
2
e
n
e
e
lis
di
DC
di
lie
1I.
d
1it1
11ttt eti
ii
pst
ibn. Marg.

## Folio 27 — 834940469:0111
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000111.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
lOOramma ABGO, DEHIS, _E pTOdUCANEUFFCCtX AO, NIS, UE
concurranR i C dico rrapezium AD P B maius esse mixcili.
nCO ADLO) duCaTuF ECK paralela _ ae qualis reCtX A B; ma-
nifectum est erapezium ADEB eNC xe quale ErADCZIO AVMK,
icem de craperium A D MR maius esse crapezio AD L. O, dt
ideo mulcomaius mixcilineo ADL. O; Pdtet ergO, propolin
Lum nempetrapeZIUm ADEB maius ese mixcilineo ADL.O.
Producatur rectu DC: in C: dicorectilincum ABF. D C
minus esse mixcilineo A DSO ducaturrecta CF parallela
rectis AB, DDF, _ C R parallela rectis AO, DS: PAFCEFrapC-
2ium ABFC. CNe aequale EraPCZIO ACR Q d crapeZIum
CFFDdesse aequale crapezio CBL. I: e proinde rectilineum
ABEDC aequale cA recilinCO ACDL,RC, quod minus est
rectilineo ACD5G; ec ideo rectilincum ABFDC mulcomi-
nus est mixcilineo ADS qua demonstranda exanE.
P A O P. TI. X HI E O R F M A.
re spatium mixeilineum quodcunque ABKI comprehen.
aCum a curva BR, rect a AL e duabus rectis parallelis
BA. KI; AIEque curraM Y colisnacura, vi Csumpeo in curva
BK quoliber puncto C. ee ex eo ducta recta C F parallela re-
Cta AB, _E rCCtA CZ CUErAI BK CONEIBBCDEC TErmInATA a PC-
eta AI hi opus est, producta in L.) rect + iL Cemper (F aequi-
lis rectae C S parallelae rectxe AZ. e TerminaEa a CurUC Y M.
dico mixcilineum BIMX, comprehentum a CurrIS BIE, MZ,
_ reciSBY, RM, rectae A Z parallelis; elle aequalemixeili-
neoBA IK. Si non sune aegualias lic eorum difterencis X; ce
dividatur currilineum BKM Y a COErectIS CS, CP, RM, rect~
BY parallelis, re (ductis rectisOMI, OHI TR, Y Vo Paralle-
lis rectae AB) omnia parallellogrumma O N, JX, TV, limul
minora sine quam Z, hoc enim tieri porel ab indetenico p2-
rallelarum numero. ducancur subrendentes rectae BC, CC,
OK, e cangentes ippunctis B, C, Cn R, BD, DF, FL, LK: ma-
d, 
nitetum

## Folio  -  — 834940469:0112
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000112.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
t. Elet 3 a.
M

## Folio 29 — 834940469:0113
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000113.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
nifectum est ex praecedente craperium AB C F maius esse
o
mixcilineo BCSlicem _ traperium C FHIC maius ese mix-
rilineoC CP ( de trapexium GTTIK maius esse mixcilineo
CKMO de ideorecilincum ABC C KI maius est mixcilinco
BEMOP QST. patet quoque ex ancecedence rectilineum
ABDC F minus ese mixcilineo BCVY ae rectilineu FCFOTI
minus eNC mixrilinCOCC RS c rectilincum FY C: R I minus
mixcilineo CKNP, _ proinde rectilineum ABDELKI minuS
CAmiXEIlInCO BRNDRSVT: cumigicur mixcilineum BAIL
COnSiStAE InCCFrECFilinCA ABCGKEI, ABDFLRI e mixriline
BEM Y conLiCac inter mixrilineA AM OPOSTB, RNPRS
V XB, icem reCtilineA ABCGKI, ABDFLRI CONASEAREINCEF
ixcilinCA BRMODOST, BRNPRSVY, manitectum est mix
TilinCO ABKI, RM ZB, minore quancitare differre quam mix-
EIlinCA BRMIPOST, KHPRSVYB, sed horum differencia ex
suxpolicione est minor quam X. e ideo differeneia mixeili-
REOTUM ABKI, BIM Y, est muleo minor quam X, quod elt
ablurdum, ponicur enim maior quam X; nulla ergo est ditre-
renEIR INEeF MiXEILInCA ABKP, BKMT, e ideo equalia TUNE
quod erac demonstrandum. Eadem fere essee demonstrario
in duabus praecedentibus, criam  COnVeRIEAS CUEVA BK CACE
vertusrectam AI.
E F IN I TIO N F.L
IFuerie Rgura AB F P comprehensa a rectis parallelis
 AB, FF, reCtA AE Parallelis normali ee a B F lineo qua-
libet, icem Agura OFTK ComprehenlarectIS GH, OR, (ita
VE GH SC aequaliS reCt_ AB _ GR FCCEX L F) de linca LIK,
guae eciam aequalis est linea B E, hac lege, ue Cumpris ad li
Dicum lincis aequalibus BD, HII, iuncta recta CI hac aequalis
rectA DC perpendiculari ad rectam AF: appello figuram
GHK Aguram ABL.L involuram; et Eiguram ABFC Eguram
GFIK erolutam.
ApPCI.

## Folio 30 — 834940469:0114
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000114.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
Appello quoque puncta B, TB rel D, I rel F, K, Cibimuruo
relatira.
Cunetum C appello cenerum inrolutionis.
0
lcuat aol u aouliou.
AppelIO rectam AF evolura Rgura axem, icem quamli.
becC. Dil petpenuculatem aatbaa apPlIEatam.
P ROP, 12. Z H F O A F M A.
IE rectangulum AF C B, quod involucum eficiae leSO.
rem circuli BF. C, icem rectansulum ADHIB, quod in-
rolucum efficiae sectorem BC HI. dico angulum involutionis
C BHmaiorem eNc angulo inrolurionis E B C. eA enIMI VE
BC+

## Folio 31 — 834940469:0115
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000115.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
BC ad BHI ita arcUSF C sevarcuS C HI ad orcum OHI, Ced
BC later ant BHL, _ id eo C HImaior eA quam OHI, de
monstrandum.
ideoangulus C o en a  LB, Godcrat de
PXO P. 13. Z HI E O R F M A.
TEEGUTA ABMI, quae involura esCIAE AguraM NDX. GIC
excenero inrolucionis H arcus circuliP T: dico arcum
PTminorem ese recta AI, Peu Rgure erolute aze. ducatux
recta BR parallela e equalis recte AI, Cicque rectangulum
aalibitum ECLI, uc hourae ABMI inscribatur rectilincam
ABFCLI, quod si involvatur, eric eius angulus involurionis
minor ansulo involutionis recransuli ABIFinrolucishoc au
tem ica innocescie, rectilineum AB F C L. I involucum idem
es cum inuoluro rectangulo AB F F una cum inuoluto re.
etaneulo EC L. I; de rectangulum ABR Linvolurum idem
est cum priore inroluro rectangulo ABF F una cum inuo.
luco rectangulo P. FK B, sed ex praecedence angulus inrolu.
cionis rectanguli F C L. I minor est angulo involurionis re-
etansuli F F KI, _ proinde angulus inrolutionis rectilinei
ABFC.LI inuoluci minor est ansulo involutionis rectans,uli
ABKI inuoluri: eodem prorsus modo (si ducantur rectE DR.
SV, ParaIlelae recris AB, PM, _ reccK RO, VY, Parallelae exi
AI, uc compleatur rectilineUm ABGRBGSVXI) demonsra-
bicur eius onsulusinrolurionis eRle minor angulo involurio.
Md

## Folio 32 — 834940469:0116
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000116.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
e
imroluclOniS FECtaNSULI LLBLB ACDC3LLLSLUPPONIUS CNLM
niS reCIMIneI ABFGLI, e proinde muleominor erie au
lectorem  NT esse rectangulum ABET involurum: denique
eodem semper modo demonstracur, quod, quominus dif
Tercrectilincum inscripeum a Ggura ABMI, co semper maior
sic excessus anguli z HI Cupra ansulum involurionis rectili-
neisd ideo mulco exceditangulus zNTipsius Agurae ABML
obgulum inrolurionis N L, de proinde hgurae croluex axis
AI sevarCUS ZY excedir arcum lF, quod demonstrandum
CFdC.
Sit se cundo ex centro involurionis H arcus circuli OZ: di-
COATCUM OZ MAIOREM eNC RECtA A L REMpC AZC ABUTA PNX
evolura. ducacur recta M Id parallela ee aequalis rectae AI
ee producatur AB in D, Scque rectanouium ad libirum
AC. CF, suE Rgure ABMI circum scribatur rectilincum AC C
AIMI, quod inrolvaturs erit eius ansulus inrolurionis maior
ansulo inrolutionis rectansuli A L M I, hoc aurem iea inno
celcIE, rectilinCuM ACOTIMI involurum idem est cum in-
voluco rectangulo F. HML una cum innolueo rectangulo
A C Ca F, e rectangulum A D i I involucum idem est cum
priore involuro rectansulo EHML rna cum involutorectAn.
3ulO
1

## Folio 33 — 834940469:0117
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000117.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
oulo ADHTE, sed ex praecedence angulus involurionis re-
ctanguli AC O F maior est angulo inrolurionis ADFTF, ee
proinde angulus involurionis rectilinei ACCTIMI involuri
maior elt anculo involucionis rectaneuli ADMI: eodem
prorlus modo (s ducantur rectae RB, VZ, parallele rectis
AB3 TMI, S reAX R a, VZ, parallella axi AI, ut compleacuE
rectilincum Aa RBC XV ZM 1) demonstrabicur eius angu.
lus involucionis esse maior angulo inroluciouis rectilinei
ACCTIMI, ec proinde mulco maiorerie angulo involucionis
rectanguli ADMInempe SNX, supponimus enim sectOrem
SNX ese rect on gulum ADMIinuolucum: deniq; eodem lem.
per modo demonstratur, quod, quominus diftere rectilineu
circum Ceripeum a figura ABMB, eo semper maior (c excellus
anouliinvolucionis rectilinei supra angulum sHX, ee ideo
muleo exce dicansulus involurionis iplus AguFA PNX anou-
lum SNX, e proinde Aigura eroluex axis AY Peu aECUS SX
mulcominor est arcu OZ, quod demonstrare oporruit.
PROP. I4. PROBLEMA.
Ex data Reura involura, ejusdem evolutae axem invenire.
Te figura involura L. BK, cuius eroluex oporrec invenire
a D axCM. C enErOI. sic circuli arCUS MR; SEque Agura OP78
concenea rectis porallelis OP, 87, receaque OB illas norma
liter (econce BE linea P7 calis nacurae, vc (in inuolura sumpea
qualiber recea L. C. produeca in N, icem in Aigura O P 78 du-
CTdreCtaSV rectXD 8 perpendiculari es eam secanee in ra-
tioneMH ad NI) 87 AC adSV uE L. K ad L. C. dicorecrangulu
circum (eripeum OR 78 eAC ad AGUTAM OPZ B UE AECUS MR ad
axem ABUTA L. BIE cuoluca: S nOn HF iCa, sEVE OR 78 ad OP
78 IEaMK ada, quae differat ab axC AGUrX L. BK evoluea qua;
cieare s: deinde c cenero L. circum leribantur Agura involu.
exe L. BI SimIleS AICUS circulereS AC, EG, HIK, de eidem in-
sCri-

## Folio 34 — 834940469:0118
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000118.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
5
Ecribancur totidem lmiles deCus circulares BD, CF, CI, ve
difterentia incer arcus in(cripeos ee circum (criveos (t minor
quam s; deinde dividatur recta O8 in cor parces equales
5,54, 48, in quor dinidicur arcus MK a rectis L. C, L6, pro.
dueris, ducancurque iph O perpendiculares rectae SY, ql,
lineam D7 secances in punccis V, 2, de iunganeurrecre O5
parallelE PY, NV33 X26. maniteltum cAt ex Agure OP78 dc.
scripeione SY eNe ad SV vE LN adLC PCU VE arCUS MNad
arcum AC; e idco verecrangulum Ox ad reccangulum OV
Ita arCuSM N ad arcum A C; codem modo probaeur, vere-
ctangulum SZ. ad rectangulum 52 ita arcus NHI sCVArCUS
MN ad arcum FC, d vereccangulum 47 ad reccangulum 47
ita arcus HK ad arcum HIK, cumque omnes prime incer se de
omnes cerrie incer le line equales, erir ve omnes prime
nempereceangulum 07 ad omnes secundas nempe receili.
neUMOOVX 2278 ita omnes certix nempe arcuS MK ad
OIRES QUATEAS NEMPC AECUS AC, FCr, HIR; CA auTem VEO7
ad tiguram OP7 8 ica MK ad a, ac reccilincum OOV X 22 78
maius ect quam ABurA OP 78, _ idCOAECUS AC, FG, IIK, (-
mul sune maiores quama; (e d arcus AC, F. C, TIK, maiores
cciam

## Folio 35 — 834940469:0119
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000119.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
etiam sune quam axis Hgurae LKB euolueae, quo d Ec probo,
exiscocius tigurae L. BK cuolucE est aequalis axibus figurarum
BL. C, CL. C, GI. K, cuolucarum. Sc d ex ancecedente axis A-
cura L. BC euolutxe minor es arcu AC, de axis AGUTX CLC
cuolurae minor arcu F C, item axis Agurxe CiL K cuolure mi-
nOr aECU FIR, _ isicur azes omnium figurarum parcialium 
mul Feuaxis Asura L. BK cuoluea minor eric omnibus arcu-
bus AC, F:C, HK, limul. Deinde ex descripeione AguEx OP
78, ue OR adOP seuvEO Y adOT ita L M ad L. B vel MN adt
BD, codemque modo demonstratur, veSL ad 53 itaNEI ad
CF, e 47 ad 46 ita HIK ad CI, cumque prime inter lc de
cercixe incer se semper line ae quales, crit re omnes primae ne-
ped7 ad omnes secundas nempe rectilincum OPTV3268
IEd Omnes certix nem peM ad omnes quartas nempe arcus
BD, CF, GIs cumque siICrE O7 ad AGUTAm OP78 ICa MK ad ad
de rectilincum ODTV3266 sc minus quam tigura OP78, Crue
omnes arcus BD, CF, CsI, simul minores quam a, lc d arcus
BD, CF, Cl. minores etiam sunc quam azis tigura LBK cuo.
lucaes quod lic probo, axis corius Agurae L BK euolura cs
aequalis axibus fgurarum BLC, CLG, GL.R, cuolutarum,
Icd ex ancecedences axis tigurxe L. BC euoluex maior cHarcu
BD, _ axis AgurA CLC cuolucae maior arcu CF de axis A-
ourae C L.K maior arcu CI, _ igitur axis omnium Aigurarum
parcialiu limul seu aris Agurxe L. BK cuoluex maior est omni-
buSorcubus BD, C. F, Col, sirrul; euidensisieur est quacuOF
esle magnicudines, nempe prima omnes arcus BI, C F, 61,
limul, secunda axis Agure L. BR cuoluFE, cerria a, Quarca
Omnes arcus AC, FC. HLK, Cimul, quarum maxima ee mini-
ma UInE, OmneSaECUS AC, FO, HIK, SimuI, e omnes arcus
BD, CF, CP, Smul, harum erso difterencia maior erie quam
differentia duarum reliquarum nempe axis Agure L. Bk cuo
luce _ quancicaris a quoi est absurdum, ponitur enim mi-
nor, nulla erso en difterentia inrer a et axem fgure L BH
cuolure, et ideo equales sune, quod demonstrare oporcuit
E
Lol
1.

## Folio 36 — 834940469:0120
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000120.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
ONSE CY A R IV H.
Inc manifectum est ex data Agura involura inveniri
 pesse eandem cuolucam, nam exhac dacur sigure in-
volureLBK vel eius cuiuslibee pareis BL. C (dum cuoluieur)
axis, dancurque ordinatim applicarE, quoniam lunt eadem
cum rectis incer cenerum inuolutionis L. de puncta lua relaci-
ua in Aigura cnolura L. BK.
PROF, IS PROBLEMA
In antecedente fieura oportet invenire rationem inter sectorem
M L. X e fcuram BL K.
TcEgura OP78 contenta rectis parallelis OP, 87, rectaa
a que DSillasnormalirer secance ee linea P7 TalIS HATUTE,
re (in involuca sumpea qualiber recta L. C producta in H, icE
in Apura OP7S ducta rectaSV rectae OS perpendiculari e
eam sCCanEC in rATIONE MN adNK) 87 SC adSV in duplicaca
rarione rectae L. R ad L. C: dico rectangulum circum fcriprum
OR78 essC ad Apuram OP 78, VE seCtOFLMK ad inuolueam I.
BR. Sinon sic ica, sIE rE OR78 ad OP7 8 ita MLK ad a, quae dif.
Ferat ab inuolura BL. R quancirare s: deinde circum (eriban
cur hourae involutae B L. R Amiles sectores circutareS L AC0 3
LBC LITK, X eidem inscribantur coridem limiles lectores
cireulares LBD, LCF, LCT, ve differencia incer mixcilineum
iNSCTIDEU LBDC FCI _ CIECUISCTIPEUM L ACFCHK Cic mio
nor quam s: deinde diuidatur OB in For parces aequales OSy
543 483 in quoc dividitur arcuSMR a rectis LCs LC,, produm
atis, duconturque ipsi 08 perpendiculares rectae SY, 42, l10
neam P7 secantes in punctis, V, 23 R iunsaneur rectae OS pa
rallelae PT, OV33 X 26: manitectum est extigurx OP 78dc.
Ccripeione SX eHe adS V seuO X adO V’in duplicacaratio.
nC L. ad L.C seu velecor L.MH ad Sectorem L. AC: codem
MO

## Folio 37 — 834940469:0121
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000121.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
modo probatur SZ. eNe ad SE VELHH ad L F C, ee 47 ad 47
VELHIK ad LIIM cum que omnes prima inter Lc de omnester.
cixe incer (e linc aequales, crie re omnes primae nemperectan-
culum 07 ad omnes secundas nempe rectilincum OQV X2
L78 ita omnes cerrix nempe (ectOrMTK ad omnes quarcas
nempe mixcilineum LAC F CSTIK, CA aurem ve O7 ad hguram
OP78 IEA sCCEOTMEK ad asac rectilincum OV X2278 maius
es quam Agura OP 78, ec ideo mixcilincum L A C F C: HIR
maius es quam a. Deinde ex descriptione AgurX OP 7 8, OR
CAadOP relO Y adOT in duplicacararione LM adL B vel
vEMLN ad BLD, codemque modoprobatur, SL adSZVENL
FIad CLF,  47 ad 46 VEHIEK ad G LI, cum que primae incer
se e certia incerle semperline aequaless erie re omnes prime
nempe 07 ad omnes secundas nempe rectilincum ODTV 32
EBIEA OIRES CCFEIK nEMDC M LK ad omnes quorras nempe
mixcitinCUM IBDCFCII, ac rectilineum OP Y V 3268 minus
CA quam houra OP 78, _ ideo mixrilineUm LBDC FCILmI-
nus es quam a; cuidensisitur est quaruor esse magnieudi-
nes, nempe prima mixcilincum LBEdC FCl, lecunda, inuo-
luca LBR, cercia a quarea mixrilineum LAC. FOFIK, quarum
maxima e minima lune mixcilinea L AC FOTIK, EBDCFOI,
harum ergo differencia maior erie quam difterencia duarum
reliquarum nempe a se involucae LBE, quod est absurdums
vonicur enimminor, nulla ergo est differeneia inter a de in-
voluram BLK, Tunc erso aequiles, quod demonstrare opor.
Enic.
P XO P. 16. Z HI E O X E M A.
Omnis ficura evoluta est ciusdem involuta dupla.
TE AOUTA InVOIUEA FBK, quae cuolura etficiAE AGUFAMOF
98: dico ficuram O P 78 duplam esse Aigurae LBK: A ica
non ic, Aiae cuoluca OP 78 dupla quanticacisa, qua
differae ab innoluta L. B K quanritars S; in feribaeur involuEM
L. BHa

## Folio 38 — 834940469:0122
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000122.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
LBE mixrilineum LBDC FCL_ eidem circum scribatur mix
Eilineum LAC FCTIK ve eorum difterencia sic minor quam si
13 lu sincque punctis B, C, Cm K, evolucae puncta relaciua P, V, 27
12S.
7 e compleaneur rectangula OV, OT, 52,53, 473 46. recta
L.C est aequalis rectx S V ee curua A C cA maiorrect a OV, et
ideo Teaor circularis L. AC maior est dimidiorectanguli OV,
eodem modoprobatur sectore circularem LGF maiore c(.
sc dimidio rectanguli 52 e seaorem circularem LTIK maio-
13hu rem esse dimidiorect anguli 47, de ideo mixrilineum L. AC F
ius. CHIK maius esse dimidio OOVX2278, e proinde mulco ma-
ius quam dimidium evoluexe OP7 8 nempe a. deinde recta
ODecaequalis rectae LB e curva BD minor recta PT, e ideo
Tector circularis L. BD minor est dimidiorectanguli OT, co-
deinque modo demonstratur sectorem L C I minorem esse
dimidio rectonguli53 d lectorem L. C: I minorem esse dimi-
diorectanguli 40. a id eo mixtilineum L. BID C FGI minus Cst
dimidio rectilinei OPTV 3268. e proinde muleo minus
quam dimidium erolurx nempe aicridens isitur est quaruor
essequoncicares, nempe prima mixtilincum L BDCF C I,
secundas involuta LBK, cercisa, quarca mixcilineum L ACF
GTIK, quorum maxima de minima Cunt mixcilinea L AC F C+
HIKs LBD C FCI, harum erso differenciamaior erie quam
difterencia duarum reliquarum nempe a ee involuca LB R 3
quod esab surdums ponitur enim minor, nulla ergo est dit-
ferencia inter a ee involuram LBK, Cunc erso aquiles, quod
demonttrare oporruit.
P RO P. 17. Z HI E O R F M A.
Tc Fgura involura ABC; producatur recta A C de in eam
Ec perpendicularis recta BIL, Qua COTACAdEE CXEFACUT-
ram B C: dico rectam BRnon cRC minorem quam aXIS
tigura AB C erolucae: Sic si Ecriporelt minor prae d. ctO aXC)
Sicque axis ABurX ABC erolurae minor quam exceMUS AXIS
E9UTX

## Folio 39 — 834940469:0123
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000123.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
a
5
O1
1
n
5
5
35
Roura ABC CvOlUTA sUprA reCFaM BR; AUCAREUF CZ CCNErO
A arcus circulares CI, FTO; manifectum estarcum CP maio-
remesse axe Agura CAFI croluca _ HIO maiorem eNe aXCR.
Ourx HAC erolurae, acque recta DImaior eAt arcVCI d re.
cta lK maior est arcuHO, _ ideo recta D R multo maior cA
quam axis Hgurx C A FPerolutae rna cum axe Agurae H A C+
cuolurae, hoc eA recta DK maior es axC AgurX CAC cuolu.
exe, sed axis Agura BAC cuoluea Cuperat rectam BK maiore
exceNsu quam axc Agura B A C cuoluex, e proinde axis A-
surae BAC cuoluea minus axis fgure BAC cuolure hOc CA,
axis AGUTEC A C cuolure, maior estrecta B R, Sed a minor
estrectEDK, quod est obsurdum, recta ergo BK non est mi-
nOraxCAsurE BAC cuolure, quod demonstrandum crat.
ExpunctoC in recta AB sic perpedicularis recta CF, quam
dicoere minorem axc Aigure ABC cuolure. cenerO A LIC AP:
cus circularis GF, qui maior eA recta C: F d minor azc Rou.
re ABC cuolure. e ideo recta C F mulco minor elt axe Aigu.
re ABC cuolure, quod demonstrare oporruit.
PAOP.

## Folio 40 — 834940469:0124
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000124.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
PROP, 18. ZTIEOAP M A.
TcFigura euolura ACRO, in qua sic ordinarim applicara
adlibicum OT. deinde manenee recta Ol involuatur A.
Tura ACRC in fguram involuram IBDP: dico lineam
BOD cadere incer lineam AOO e eius axem CR, item line2s
AOO, BOP, CC innicem eangere in puncto o. hheriporest,
cadae lincaO P exera lineam O ( in puncto H: suppono cur-
nam O(quopropius ad ) colonsius distare ab azc lR, _
sicur NM perpendicularis recta in rectam lO productam
cadic exera curuam ON, _ proinde recta NM (eZ aNECCC.
dence) non est minor quam axis figure lONcuolure. Sic in
cuolura ordinarim applisaca VS Egualis rectE LII; manitestis
CAAguram OVST eNCTONenoluram, acque IN seUS V CA
maior quam L.Y, X ideo SI es maior quam lL, nempe axis H.
surEION cuolure maior quam M N, quod es absurdum; de
proinde OPnon cadit exera OQ: codem modo probarur OP
non coincidere cum 0Q, cadit erso intra, quod demonttrare
OpOrruIE.
SC.

## Folio 41 — 834940469:0125
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000125.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
Secundo, Rheri porest, cadac linca OB exera lineam OA
in puncto D; suppono curuam OA (quo propius ad A) eomi-
nus distare ab aze C T; cadat D F perpendicularis in rectam
OInon productam inera curuam DO, ec ideoD F CMminor
axC tgure TDOcuoluce: (ic in enoluca ordinacim applicata L
H Equalis rectED I; manifectum eAt AGUraM OFFTI eNCIOD
Cuolueam; aEque II CCU ITF maior cA quam rectAR C, e
ideoCTeCmaior quam IIF, nempc D Fmaior quam axis A-
sureIBO cuolure, quod eMabsurdum exhuius anccceden.
ces ee proinde BO non cadic extra AO: eodem modoproba.
cur OB non coincidere cum OA, cadic erso intra, quod de.
monstrare oportuit.
Cnod h perpendicularis DF cadac in IO productam; non
PotestIOB ese Fcura IO AC involuca, quoniam le maioe
erit quam vila ordinacim applicara in tisura IOAC.
CONSFOTARIVM.
Voniam AGUrECAOOR; TBOP, se mutuo eangune in
puncto o, manifestum est rectam, unam ex histiouris
tansencem in puncto o, alceram eriam in eodem puncto can-
Sere; aeque hine cuidens estmechodus ducendirectam, que
inuolucam in daco puncto rangat, si modo derur mechodus
ducendirectams que cuoluram in daro puncto conrineat, de
C contra; recta enim eangens cuolurum eodem inclinat an
Sulo ad ordinacim applicatam, quo eansensinuoluram in-
Clinac ad eandem ordinacim applicacam in cenerum inuolu-
cionis cum reliquis concurremcem.
Omnia predicta de fipurarum involurione eodem modo
demonctrantur, quando cuolure curua est conueravertus
axem etium  im noctris Aguris cuolurE curua it VerluS aNC
ConCaHd0
PAOP

## Folio 42 — 834940469:0126
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000126.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
P RO P, 19. Z H E O K P Mt A.
 IcFgura quecunque AB super qua imagineeur cxlindris
cus rectus seccus a plano cranseunce per rectam FC, e
planum bascos AB seminormalicer secante. AFrecta MT: re-
AE FC parallelas (itque superrecta ML miscilineum MOL. N
calisnature, ve (ducta recta quacunque FDCNO rectaLC
normali ee figuras AB, LOMN sccante in punctis D, C, H, O)
recta assionata P EF ad mediam arichmericam incer D F, C Ls
VEDC ad NO. Dico cylindricum rectum cuius basiS M OLH
de alcieudo recta P ese aequalem infcriori erunco cxlindrici
super AB scctire supea dictum est. Quoniam enim D est ad
mediam arithmericaM InEEFD F, C E, VE DC ad NO, iOIEUE
rectangulum Pin NO aequale cMerapezio arectis DC, CF,
DE. rectangulo ad D _ C, led tale craperium est communis
lectio plani super recta FO ad basem AB recti cum trunco
interiore cxlindrici; cumque hoc semper hac rbicunque du-
Catur recta L. D C NO, manifectum clt ex doctrina ductuun
Cregorii a S. Vincencio cylindricum rectum cuius balisMO
L.N e alcitudo P aequalem esse trunco inferioricylindricire.
cti super MOLN secti ve supra dictum eA, quod demonserare
Oporcuit.
Hlinc quoque pacet exlindricum cuius Ba(S MOLN _ al-
ticudoP esse moonieudine ee gravieare analogum dictocru-
co; cumque cylindricus sic lux bali analogus, paccceciam
truncum else cidem bali magnitudine de gravicare an alogu.
P RO P. 20. X HI P O R L M A.
llae polis qua I Ancecedente, screcta FZ rectae F
L Cnormalis, super qua sicmixcilincum OTV R ealis na-
CUTa, VE (ducta recta quacunque RTDS rectX F Rnormali e
AiguTaS OTVR, AB, incerlecance in punctis Y, D, 5) recta al-
senata P sic ad DS, rerecta RF ad rectam RF. dicocylindri.
cum

## Folio 43 — 834940469:0127
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000127.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
43
cum rectum cuius basis OTVR ee alcicudo P eNe aequalem in
Feriori erunco crlindrici super AB secti re supra dictum eler
nempeper planum in recta FC cranliens de balem AB semi-
normalirer lecans. Ouoniam P Csc ad DSvERF adRT, CriE
rectangulum P in R T equale rectangulo R F in D S, Ccdre.
Ctangulum R F in D S eic communis inter secriorrunciinte.
e
rioris cylindrici cum plano super recta R S plano ba (eOS AB
normali, d ideo rectangulum l’in R Pcidem communi se-
Cionies aequales cumque hoc semper Anc rhicunque duca-
cur recta RS, manifectum est ex doctrina ductuum Gregorii
F 2 a5.

## Folio 44 — 834940469:0128
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000128.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
44
5. Vincentio cylindricum rectum cuius balsOTVR e alti
doP aequalem esse trunco interiori cylindrici recti suDer AB
sectire dictum est supra, quod demonstrare oporruit.
linc eriam euidens est erlindricum cuius balis OTVR et
altitudo P esse magnicudine ee grauicare analogum dicto
erunco exlindrici recti, de proinde balis quoque cylindrici
recti OTVa eidem erunco est analoga magnicudinc e gra-
vieace.
Suppolito omnium Aourarum quadracuras ec centraora-
vicatis data esse, Pacile erie omnium cruncorum cylindrici
cuiusliber recti cubaturas ee cenrra grauicacis ex hac pro.
policione de praecedenre invenires velc contra: eodem no-
doexhuius secunda certia de quarea datis omnium hourarit
quadracuris e graviraris ceneris non disticile cM invenire
superticicicuiuscunque crunci crlindrici recti quadraturam
_ granicaris cenerum vele concra, quod hic admonuisse luF.
TCIaE.
DROD. 2F. DROBLEMA.
Ie Policum rocundum quodlibet sectum per diamerrum
AD plano normali ad balem circularem BOCN a dia-
metro BC, de incerfectione cum plano cfficiens Rguram
ABC: sececur Tolidum rocundum AB C ab alio plano quo-
modocunque FNCO ad planum AB normali, ita ve commu-
nis solidi d planiincerfectio Rac Agura F NG O, cuius inter-
sCCEIO CUM pIANO ABC CArCCTA F GI: AUCAEUEFRrCCEXBC
Parallella ee reccae AD occurrens in I. concipiatur Polidum
rocundum, diameerum habens FC, ex circulis consacum,
quorum radii sunE omnes perpendiculares ex recTa FC in
curuam FO, ica re diamerer Aigurx L, C per centra infinito-
rum illorum circulorum eransiens, ad illos omnes inclince in
angulo aqualiipsi F G B. ex daris, solido AB C et punccis F,
C Oporterecium exhibere mensuram Colidiillius rocundi,
qu0

## Folio 45 — 834940469:0129
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000129.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
4
quoum m lcaerecta BCpa
rallella ducatur per E recta X E Z. ex daris punctis F, C3 da-
cur punccum F, quoniam supponitur dari AB C Egura: intra
XZ ducatur quodlibee planum baA BOC. N parallellum de
cum planis ABC: FOCH communes interlectiones Faciens
rectas BO, RS: manifestum R E este radium circuliin Tolidot
OCMIperR cranscuncis; ec ob rorundicacem Polidi A BC, 8
lectionem normalem plani ABC ad balem, punctum S est in
Femicireulo, cuius diamerer PO; de isirur quadracum rectae
RS aequale eA rectanouio PRO, ee circulus ex radio R S
aequalis armillae circulari P R Q; cum que hoc semper hat in-
cer E e C; eric portio Colidirocundi FOCN intra L. ae qualis
omnibusarmillis circularibus inter circulum XF. Z. de armil.
lam BGC, hoc cst, solido excauaeo aequaliporrioni Colidiron
cundiXZCB post ablacum conum cuius verrex L ee Cemidia
meterbaleos DC: eodem modo probatur porcionem solidi
rocundi FDCNincer F d Faqualem esse Colido excauato L
RZ. X postablacum conum, cuius verrex F. ee baleos lemidia-
mecer IF: disirur s a porrione solidirorundi data F. KC. B,
au

## Folio 46 — 834940469:0130
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000130.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
auferatur quadruplum conorum ad verricem dAEOrUM FFI)
DE Ci relinquetur Colidum quae licum rocundum FO C N. Si
vero daretur cenerum pravieatis lolidirotundi ABC _ cen
erum ablaci A F K; darecur eriam cenerum grauicaris portio-
nIS FRCB, quo daco rna cum cencro grauieatis conorum ob.
Arahendorum, darur eriam cenerum gravicatis porcionis ex.
cauaca quae cum Colido rocundo LOC N est proporcionali-
cer analosa, ve liquer ex demonstrarione; ergo dacureriam
centrum graviearis Colidi rorundi FOC. Sunc eriam aliihuius
propolicionis casus, sed hoc incellecto in reliquis nulla rE-
Cac disticulcas.
PIOT. LL. PROBLEMA:
 le solidum rocundum sectum per diametrum A F, plano
normaliad basem circularem a diameero BC, d inTEF.
sectione cum plano cRiciens Rguram BAC. SIE FAF CF
parallellogramum, _ describacur linea A L D eiuS MACuTA
ve ducta recta HIL. vecunque b2(i B C parallella, rCCEX HIK,
TK, FL, Ene continue proportionales. ex data (olidi rocundi
ABC ad cylindrum darum ratiOnC, OpOFTCE AGUTA ALDFR
quadracuram invenire. ducacur recta vecunque HIKL. N: qua
drarum a lacere IK, hoc es rectangulum FIKL. CA quarta PaIS
quadraci exIN; _ ideo rectangulum TIKL. eA ad circulum CX
diametro INin rarione compolica ex racione subquadruxla
ee exracione quadraci diameeri ad circulum; sea punctum R
lumprum estorbierorie; de proinde cylindricus rectus ex ba-
sC ALDFK in alcitudinem HIK est ad solidum rocundum AB
C in racione compoliea ex ratione subquadrupla e exracio-
ne quadrati diameeri ad circulum; e ideo quadruplum cy.
Linarici prae dicti cst au solidum rocunaum ABC, ve quadca-
cum diamerri ad circulum, hoc est, re parallellixipe dum re-
etangulum ad cylindrum ejusdem alcicudinis sibi inscripeus
et permucando, quadruplum cxlindrici est ad parallellipi
pedum

## Folio 47 — 834940469:0131
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000131.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
st
p
O
b.
X
I1
in
1.
10
2)
i
As
R
2
15
X
1t
dedumre Lolau Locundum aa estuucu ce pronaeda
fur ratio quadrupli cxlindriciad parallellipipedum, et ideo
datur exlindrici cubatura, ec ba seos AL. DFK quadratura.
Ex demonttracione eriam manifectum est Colidum rocun-
dum ABC esC HgUTK A L. D F RE analocum cam in magnitu-
dine quam in grauieare, quoniam eadem quae demonstran.
cur de toris, eodem modo demonstrari possune de parcibus
eorum proportionalibus; e igicur centrum srauitaris Colidi
rocundi est cenerum aequilibrii Agura.
Hlinc eriam manifectum eR cylindricum cuius ba(S AHFL
L de alcirudo IIK duplum esse crunci cylindricirecti cuiusba
sIS AIBE secti a plano in angulo semire ctoinclinance, de per
rectam AEbaleos planum secante; hoc aurem erunco dato,
dacur quilibet alius cruncus per eandem rectam A E abscis-
us, quoniam cales crunciinter se lune realcirudines, vel ve.
Cli

## Folio 48 — 834940469:0132
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000132.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
48
inclinationum cangenres, quod Facile est demonsteatu.
Nullo quoque negocio demonstratur huius problematis
converlum, nempe ex daris tisurx alicuius quadratura de
Grauicaris cenero; Colidi alicuius rocundi ad exlindrum dati
proportionem, e eius centrum grauicacis, invenire.
P RO P. 23. XHI F O R F M A.
Si cylindricus rectus exictens super qualibet ficura, secetur plano s
quilibet truncus huius cylindrici eric ad solidum rocundum or-
tum ex ejus base rotata circa communem sectionem baseos (sopus
est) producta e plani secantis, ur altitudo cylindrici ad circumo
ferentiam circuli, cuius (emidiameter est radiusrotationis.
Tcerlindricus rectus ABDC super figura quacunque D
Ct, qui sccetur plano guocunque KINM, IEA VE COmMU
misinceeo am cummao achouraR GHI. PrO.
ducatur planum secans donec ba(eos D CP planum secer in
EECL a

## Folio 49 — 834940469:0133
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000133.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
103
pa
1S
12
recta KP; _ planum A B in reCtAMN: dc a puncto quolibee
rectEIxnempeL, ducatur eidem IK perpendiculare plans
OLP, Secans plana TKMN, DFC, normaliter in recris OL, P.
P;licque perpendicularis in L. P recta OP. Supponimus hicKE
Telle axemroracionis; e receam P L. illi normalem, appella-
musradium rocationis. dicoeruncum cxlindrici R DDC eNC
ad TOlidUm rOLUNAUM OTEUM exPOEatiONE ASUREDF FC cir
Ca IK axem rocationis, ve OP alcicudo cxlindrici ad circum-
ferenciam circulis cuius lemidiamerer est radius rocacionis
L. P. perb2Tem DE FC ducarur rbiliber recca F L, a Ba(cos
circumterencia verinque terminata in L _ F, quae producca,
axirocationis normalirer incidat in punceo V: 2 punccis FF,
excirentur perpendiculares baseos plano F: HI, FC, a plano
Secante terminacae in EI de C, qua necelsario sune in Cupert-
eie trunci ob cxlindricum rectum, ducacurque VFI recEa=
qua necessario existic in IK M N plano secance: manifectum
eA criangulo OLP, IIEV, rectangula adP e F. (cum habeuc
angulosOLP, HEV, aequales inclinationi plani secanris IK
MN) ese similia; ee ducca recta C, V, ob candem racionem
similia lunc erianoula HIEV, CFV, cumque CF Sc parallella
rCCEK HIE, _ FF in direcrUm F V; CoinCIdENERCCEX CIV, IIVS
in unam rectam plani IEMN; cricqueCFIF Fcommunisin-
certectio plani CF.V, planoOP L. parallellis cum truncoci
lindriciRDDC: pacet ereoOP ad PL. eNe, veHIF ad FV; de
ideore OP ad circumferentiam circuli cuius lemidiameterP
L, ica HTF ad circumterentiam circuli cuius semidiamerer L
V; _e re OP ad circumterentiam circuli cuius lemidiameter
PLdica (reliquos cerminos in eandem alcicudinem, nempe
lemislem reccae FV, ducendo) criangulum HI F. V ad circu
lum cuius Pemidiamerer P V: eodem modo demonstratur
elles re Ol ad circumterenciam circuli, cuius lemidiamerer
PL, ita criangulum CF. V ad circulum, cuius lemidiamerer F
V: est isitur cocum rrionsulum C FV ad eorum circulum
cujus semidiamerer F.V, ica ablacum erian gulum IIL. V ac
abl2-

## Folio 50 — 834940469:0134
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000134.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
50
oblacum circulum cuius Pemidiamecer F V; et proinde in ea
dem racione eric reliccum crapezium CF FFI ad relictam ar-
millam circularem genitam ex reuolurione RCCEX F P circa
exemroracionis TK, nempe in rarione OP ad circumteren-
eiam circuli, cuius semidiamerer L. P: atque haec proporrio
eodem modo demonstrarur de omnibus rectis ductis in ba-
sCDE FC, quae (A Opus CA) productae; in exemrocacionis I
Knormalicer incidunes acque ex omnibus iltis rectis conAa-
cur ipsa basis DC; ex omnibus rraperiis super iltis rectis de-
Scripeis ConAacureruncus RODC, de ex omnibus ormillis ab
iltarum rectarum revolucione geniciss consatur solidum ro-
tundum genicum a renolutione baleos circa axem rocacio-
nisIR; de proinde ve rna ancecedentium ad rnam consequé.
ciumnimirum OP alcicudo crlindri ad circumferentiam cir-
culi cuius semidiamerer PL radius nempe rocarionis, ita
omnes anrecedences, nimirum omnia crapezia, hoc est, tru.
CuSRCDC, ad omnes consequentes, nempe omnes armil-
las circulares, hoc elt, Colidum rocundum orcum ex rocacio.
nefoura DC circa axem IR, quod demonstrare oportuie.
Hloc theorema eodem modo demonstratur de rrunco su-
periore, s fgura AB concipiarur rorari circa rectam MH.
Pacet ex demonstrarione eruncum RODC e solidum ro.
cundum orrum ex revolutione Ba (eOS D C circa aXeMrOTA-
tionis IK ese quancitates masnitudine ee grauitate analo.
825, quoniam eadem proporcio quae demonctratur inter in-
cegras, eodem modo demonstratur de carum partibus pro-
porrionalibus.
In sequentibus norandum (quando loquimur de Superti-
cie cylindrici vel crunci) nos incellisere solam superticiem
line basibus; hoc est nunquam consideramus Aguras quae
func cxlindricibases, nec communem sectionem plani cy-
lindricum secaneis.
PROF.

## Folio 51 — 834940469:0135
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000135.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
PKOP. 24 YHEOREMA.
quae in antecedente; superficies trunci erit ad super
ficiem solidirorundi orri ex ejus base rotata circa communem se-
ctionem baseos (siopus est) producta  plani secantis, ut altitu-
do cylinarici ad circumferentiam circuli cuius (emidiameter est
radius rotationis.
sura e praeparatio uint cadem sicur in ancecedentes di
co superticiem crunciR DDC esse ad superticiem colide
rorundi orci ex rOtAEIOnC AGUTR DE FC CirCa IK axeM FOTa
cionis, re OP alcicudo crlindrici ad circumterentiam circuli
cuius semidiameter estradius rorationis L. P. in anceceden-
te demonstracum est OP esse 2d circumferentiom circuli cu-
Ius CemidiAecer PL., VE HIE ad circum ferenciam circuli cu-
jus lemidiameter F V: acque haec proporrio codem modo
demonstratur de omnibus rectis in superhcierrunciR aDC
ad basem BE FC perpendicularibus, ad omnes circumteren
cias circulorum ab eorum punctis intimis in circumroration
ne descriptas; atque ex omnibus illis rectis condatur ipla su-
perhcies crunci, de ex omnibus circumferenciis circulorum
ab intimis rectorum punctis seu a baseos ambieu descripeis.
consatur superticies Colidi rocundi orri ex rotatione balcos
circaaxem lK; ee ideo verna encccedencium ad rnam con-
sequentium nempe O P alcieudo cxlindrici ad circumteren-
tium circuli cuius semediamerer elt L. P radiusrocationis, ica
omnes anrecedentes, hoc est, lupertcies trunci RODC, ad
omnes conlequenres, hoc est, superficiem solidi rocundi or-
ti exrotatione baseos DFFC circa uxemrorationis IKC, quod
erac demonstrandum. Hoc eriam cheorema demonttrarur
eodem modo decrunco superiore si Rgura A B concipiAEVE
rotaricirea rectam MN.
Pater ex demonstracione superticiem rrunci R OD C de
Cuxerticiem Colidirocundi orri ex rocarione baleOS DEPL
CITCa
Eildem postis

## Folio 52 — 834940469:0136
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000136.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
circa dLCH Tocacionis PK, ese quancieaces magnicudine
prouicare analogas, quoniam eadem proxortio qua demo
Aratur esse incer eocas, eodem modo demonstracur ese ins
cerparces carum proporrionales.
P R O P. 25. EH F O A E M A.
Fisdem positis, supponendo anculum inclinationis, Plani secantis
cum base cylindrici (Riopus est) producta, esse semirectum: Dico
quadratum semidiametri circuli aequalis superticiei (olidi rotun
di duplum esse suxerficiei rrunci.
Sc enim ex praecedente, re alcicudo cxlindrici ad circu
La Ferenciam circuli cuius lemidiamerer est radius Focan
cionis, ita superticies crunci ad superticiem Colidirorundi.
in hoc aucem calu, quando angulus inclinacionis e lemire.
etus, alticudo cxlindrici est ae qualis radio rocationis; e ideo
in nostro casu, ve semidiamecer ad Cui circumferenciam, ica
superticies crunci ad superticiem Colidi rocundi; re aucem
Temidiamerer ad circumterenciam ica Pemissis quadrari le-
midiametri ad circulum; de ideo re lemissis quodraci Pemi-
diamerri ad circulum, ita superticies rrunei ad superticiem
Folidi rocundi; de conuercendo d permutando, circulus est
ad superticiem Colidi rocundi ve lemissis quadraci lemidii
metri ad superticiem erunci; se d circulus lupponitur xqua-
lis superticici solidi rocundi; ec igicur Pemiltis quadeaci lemi.
diamerri illius circuli aequalis ett superticieierunci; de ideo
quadracum Cemidiamerri elt duplum superticiei eruei, quod
demonstranaum erac.
Duxe praecedences proposiciones eodem prorsus modo
demonstrantur de superticiebus rorundis genieis Cxroca
tione rnius vel plurium linearum quarumcunque sive recta-
rum curuarum vel mixtarum, Rsuram non claudencium 5
semper enim ad supexkicies ey lindrisi recti super linca vel li.
neis

## Folio 53 — 834940469:0137
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000137.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
neis a plano relectas, superticies rocundae ex line E rellinea
rum rocatione geniex prae dictaShabenEraTiOnES.
RO P. 26. F H FOR E M A,
eisdem positis quae in antecedente; Dico cubum semidiametri spba
ra aequalis solidororundo esse ad rruncum verria ad duo.
Scenim (in hoc ca su) truncus ad Colidum rocundum re
L Temidiamecer ad sui circumterentiam, hoc est, ve du-
plum quadraci Cemidiamerei ad quadruplum circuli, hoc cst,
re 2 cubi Cemidiameeri ad sphaeram: cM igicureruncus ad
Tolidum rocundum, re 2. cubi semidiameeri ad sphaeram; ee
converrendo e permutando, Colidu rocundum eAt ad (pRx-
tam veeruncus ad = cubi Cemidiameerii (c d sphaera lupponi
cur aequalis solido rocundo; e ideo 2 cubi semidiameeri
sphaerae est aequalis erunco, ac cubus semidiameeri ad lui ?
racionem Habec quam 3 ad 2; 8 id eo cubus lemidiamerri
Sphaerae ad eruncum candem haber rasionem, quod demon.
atrandum erat.
P R OP. 27. YHI F O R P M A.
Si duo cytindrici recti quicunque aequialti, lecentur a planis qui-
buscunque, onus qui sque in duos truncos; proportion solidi rotun-
diorri ex rotatione baseos cylindrici circa communem baseos ((
opus est) producta cum Plano secante intersectionem; ad solidum
rocundum orrum ex simili alterius cylindrici baseosrotatione, elt
composita ex directa proportione radiorum rotationis e directa
Proporsione truucorum cylindriei inferiorum.

## Folio 54 — 834940469:0138
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000138.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
Ine duo exlindricirecti ae quislei ABCD, NMOTKL, ba
 Sibus D C, X YZ, inGstences, a planis incersecti, rnul
quilque in duostruncos; nempe cslindricus ABC D (c in-
cerlectus a planoRIIFC in rruncos AB43, 45DC, e cylin-
driCUSNMOTXZ APIANO PSVR InErUnCOS HMO7653 768
ZX X. Sinc plani HFCK cum balium planis cylindrici paral-
tellarum (si opus cHt) productis, DC, OB, incerlectiones
rectae KHI, CF; sineque plani PSVR cum planis balium cplina
arici paraIlelLrum NMO, ZXY, CA opus est) produstis, in
P
BuI
ex
AEI
ur
aci
d
idu
Dic
OxV
AE
eio
de
lio
Au
ic
ede
dd
da
UI
dis
dia
M
rersectiones, rectae R P, V S. Sintque plana rectis F G, SV.
normalia, quae plana secancis incersecant in recris IF, OT, &
plana balum DC, Z.XY, (si opus eH) producta in rectis Lt,
ecT. Uneque anguli ILF, Oex T recti. Manifecum est Cx hy-
iu5 23, polieis HFCR, PS VR, planis secantibus d CF, VSs
rocationis axibus, L. B, es T, esse rocationisradios. Dicoigi-
cur solidum rocundum orrum exrotatione Agura D C circa
OF, CRC ad solidum rocundum orrum ex roratione tisurx Z
Xd

## Folio 55 — 834940469:0139
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000139.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
XY circa VS, in ratione composiea ex proportione erunci 34
CD ad cruncum 567 YXI e ex proporcione radii rocarionis
LE ad radium rocarionis e T. Racio Colidi rorundi orri ex R.
Gura D C. 3d TOlidUm OrFM Cx AGUFAZ X Y, est compolica,
exratione Colidirocundi ex D C orti ad truncum 34C. D, ex
racione erunci 3 4C D ad truncum 567 YXL, de exracione
crunci 567XXZ. ad Colidum rocundum ex Z. XY orcumi led ra.
eio Colidirorundi ex DC orti ad eruncum 54 CD est aqualis
racionicircumFerenrie circuli ex Cemidiameero LP dePcripei 21
adIL. alcirudinem cylindricii de ratio erunci 567 TXZ ad (0. huius
lidum rocundum ex YX Z. Orcum est ae qualis racioni  seu
IE alcicudinis cxlindrici ad circumterenciam circuli ex le-
midiamerro Ter descripri; ee proinde rario Colidi rocundi
orci ex DC ad solidum rocundum orrum exZ. XY est compo.
lica, exracione trunci 34C D ad eruncUM 567YXZ, CXPA-
cione circumterentia circuli ex semidiamcero L. P descripei
ad rectam IL, e exracione rectae IL. ad circumterenciam cir.
culi ex Cemidiamerro Tes descripci; led hae duae postrema ra.
ciones componune rationem circumterencia circuli ex lemi.
diamerro L. F de lcripri ad circumferentiam circuli ex lemi-
diamerro Tes deCcripei, quae cadem est cum racione lemidiai
metri LF ad Cemidiameerum Te: Xx proinde Colidum rocun-
dum ortum ex roratione Rgurae DC circa axem FC, est ad To-
lidum rocundum exroracione hgurxe X Y J. circa axem VSin
racione compolica ex proporeione erunci inferioris 34 C D
ad truncum inferiorem 567YXI, de ex proportione radiiro.
cacionis E L. ad radium rocacionis Tes, quod demonstran.
dum erat.
P RO P, 28. T HI F ORE M A0
Eisdem poliris quae in antecedente; Proxortio superficiei solidi rotur
di orti ex rotatione baseos cylindrici circa communem baseos (st
oous est) producta cum plano secante intersectionem, ad superfi–
ciem

## Folio 56 — 834940469:0140
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000140.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
24
huius.
50
ciem soliatonat or ex limili alierius eylindrici baseos rota
tione, est composita ex directa proxortione radiorum rotationis es
directa proporrione superficierum truncorum inferiorum.
Tourae e praeparacio sinc eadem licue in ancecedenre.
 Dico superticiem Colidirocundi orci ex rotacione Rou-
ra D C circa C F esse ad superticiem Polidi rocundi orci ex
roratione Rgura ZXY circa V Sin racionC COMPOHTA ex prO-
portione superhcicierunci 34 CD ad superticiem erunci 567
YXL. e ex proporeione radiirocationis L E ad radium roca
cionise T. Racio superticiei Colidi rorundi orri ex AouraD
Cad superticiem Colidirocundi orri ex ABuTA Z. XY est com-
policas exracione superhciei Colidirocundi ex DC orri ad (u
perticiem crunci 3 4 C D, exratione luperkicicierunci 34C
Dad superficiem erunci 567 YXZ e exratione superkiciei
trunci 557XXZ ad superhciem lolidirorundi ex Z X Y Orcis
Ced ratio superficici solidi rocundi ex D C orri ad luperkicie
crunci 34C D es aequalis racioni circumferentix circuli ex
Temidiametro LF descripei ad IL. alcicudinem cylindrici: de
rario superticiei crunci 567 YXZ ad superticiem lolidirocun-
di ex YZZ orei cA aequalisracioni des seu IL alcirudinis cy-
lindrici ad circumferenciam circuli ex semidiametro Tes de
Fcripeii ee proinde racio, superficiei solidi rocundi orri ex D
C ad superkiciem solidirorundi orri exZ. X Y, cst compolca
exratione superhiciei rrunci 3 4 C D ad superficiem trunci
567YXZ, ex ratione circumterentia circuli ex lemidiame-
oro LE delcripri ad rectam IL, de exrarione rectae IL ad cir-
cumfereneiam circuli ex lemidiamerro T_; Ped hxe dux po-
Rremae rariones componune racionem circumfereneix cix-
culi ex semidiametro L. E descripei ad circumterenciam cir-
culi ex semidiameero Tes descripci, quae eadem est cum ra-
tione emidiameeri L. F ad semidiameerum Tej: et proinde
superhcies Colidirocundi orti ex roratione Agurx DC CIrCA
axem FC est ad superticiem Colidirotundi orci exrotacione
figu.
1
ne
rC.
C

## Folio 57 — 834940469:0141
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000141.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
id
1b
SUEX XXZ CIrCAAXEM VS in PaTIOnC COMPOHCA; ex PFOPOP
aione superhicici erunei inferioris z4 C D ad superhiciemeru.
ei inferioris 567YXZ et ex proportione radiiroracionis L L
ad radium rocacionis Te, quod demonstrandum erat.
Hoc Theorema criam locum habet eodemquemodo de:
monstratur in superEciebus rocundis genicis a rotatione li-
rea rellinearum quarumcunque fcuram non comprehen-
P RO P, 29. Z HI P O R F M A.
Si super qualibet Reura circa axem intellicatur cylindricus rectus.
ita sectus a plano in duostruncos, ut planum per oppositarum cy
Vindrici basium axes ductuna, si at plano secanti normale: truncIs
onus erit adrruncum alterum reciproce, ut partes radii rotatio
nis resecta a centro eravitatis figura.
Vper qualibet AGUFA L RM circA axem R N sic cylindri-
 CUS reCtUS ABDMLK SectUS IM ErUNCOS ABDZY2, Z.Y2
HLM, a plonOF TV C ad planum ACNK, per oppoliearum
eylindrici balium axes AC, IEN, ductum, normali: LinEP, O5
cenera gravicacis balium oppolitarum, quae iunsancur rect a
PO. Producatur planum (ccansi donec axes AC, REN ((I OpuS
eAt) productosincersecer in punctis F, S; de in eoldem axes
(A OpuS est) produaos sine perpendiculares FI, S C; mani
Fectum eA FIS Gese parallellogrammum rectangulum, icem
Fi esse exlindrici alcicudinem, ee IS rocationis radium, quip.
pead incerlectionem plani secaneis se ba (eos L K MI nempC
rectam TV cA perpendicularis, quoniam ducitur in plano F
ESt, quod verique plano ec secanti e ba(cOS L. R. MI elt nOr.
Male. DICO ErUNCUm ABDZ YZ eNC ad cruncum 2YY
MFK rereciproce 10 ad O5. amediis punctis rectarum
FI, 9S, ReMDC EI, R, ducanEuF rectX HS, RF, RCCNOM
LTR secanS OP in X; erune icaque incer sC ParaIICIA de
aqua-
dencium.

## Folio 58 — 834940469:0142
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000142.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
38
aequales FB PO, 95, item FQ. HIR, IS, item FR, H5.
Duoniam F R bitariam secac QS, bitariam quoque secabie
in criangulo F. IS omnes rectasiph S ae quidictanees; de pro;
inde bitariam secabie omnes diametros rectangulorum in
ErunCO AB DZ Y2 a plano FIS Onormaliter sccacorum; e
ideo rransibic per centra grauicatis omnium corundem re-
etangulorum, cumque ipse eruncus consetur ex omnibus
iltis rectansulis; idcirco erantibie etiam recta L.R per CCn-
erum grauieatis iphius trunci, hoc supponaturesse z: eodem
modo demonstratur in HIS eRe cenerum grauicaris erunci YL
MLK2: cum ergo Z medium punctum rectae OP Sc cenerum
gravicacis corius cxlindrici; sia 3 per X producatur rect a 3 A
+dOnEC rECtaM HI S inrersecer in 43 eris 4 centrum gravira
EIs

## Folio 59 — 834940469:0143
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000143.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
FISErUnCITZMLAZ: _ quia rrianguIAXR5, XIX4, sunc simi-
lia propcer paraCHaSRF, IIS, est veX 4 ad X 3 ica X II94 X
R, hoc cA, I0 20OS; lea veX4 adX3 iCa ErUnCUS ABDZ X 2
ad eruncum PLM LR2; _ prOIndC UE ETUNCUS ABDZY2 ad
rruncum YZKMN = aa reciproce IO ad O5, quod demon-
a
CONSFOTARINM.
Iproinde componendo tocus exlindricus ABDML H
es aderuncum inferiorem YZML. H2 veradiusrocatio.
nis IS ad ditantiam incer cenerum grauitatis Aigura e axem
rocationis ciuldem nempeOS.
P XO P. 30. T ZI F O R F M A.
Eildem positis quae in antecedente; superficies trunci onius est ad su
perficiem trunci alterius reciproce ut partes radii rotationis
resecta a centro gravitatis perimetri fieura.
Adem AC Agura _ Praeparario, quae in ancecedente, hoc
 Tolum excepeo; quodO, P, puncta nunc supponancur
ehe concra gravicaris perimerrorum balium oppolitarum.
Dico superkiciem erunci ABDZ. Y2 eNc ad superticiem trunci
2YZMLK, Ve reciproce 10ad05. A mediis punctis rectarum
FI3 CS, nempe FB, RI) aUCANEUFReCtX FIS) HF, BCCMON FIR SC-
cons OP in X; erunt icsque inter se parallelIXe _ aequales re-
Ata FI PO, OS, item F C, FIR, IS, item FR, HI S. Ouoniam F R
bitariam secac OS, bitariam quoque secabic in riangulo LC
Sommesrectasipei OS aequidittances, et proinde bitariam
Secabit omnes diamerros rect an gulOrU IN FTUNCO ABDZ Y2
eplano FIS Onormalicer secatorum; d ideo cransibie per
omnia cenera grauicacis oppolirorum lacerum basi cxlindri-
ci perpen dicularium rniulcuiusque ex illis rectansulis, quo
II 2
BiAMm

## Folio 60 — 834940469:0144
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000144.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
6a
niam in medio diameeri est cenerum gravieatis lacerum op
policorum; cumqs ipsa trenci superticies conAletur ex omnius
busictis laceribus oppolicis basi cylindrici perpendicularin
buss idcircocransibic eriam recta FR per cenerum grauicatis
Superticiciipsius erunci, hoc supponatur 3: codem modo de
monstracur in IIS ene centrum grauitacis superticiei cruncd
YZMILKZ; cum ereo X medium punctum rectae OP licceneris
ravicaris cocius superticiei cylindricis l a5 per X produca
currecta ; X4 donec rectam HSincerlecet in 4, eric 4 cencrie
oranicaris superkiciei EruNCI YZMLR2: de quia trianoula ZR
3, XII4 Cunc smilia propeer parallelIaS RF, HIS, eAt vEX4 ad
X7 ita XHI ad XR, hoc eHIO 0d05; scd veX 4ad X 3 ica (V
PerkcieS CrUnCI ABDZ YZ ad SUPCTHCIEM ErUNCIYZMLK2; 8C
proinde, ve superticiestrunci ABDZ Y2 ad superticiem erun-
cirZM LK2, ita reciproce lO ad aSquod demonstrandum
CTAE.
CONSEOTARINM.
Tcomponendo tora superkicies cxlindrici ABDML. HK.
LCk ad superticiem erunci inferioris ZZM LKZ veradius
rocationis ISad incerceptam incer centrum gravicarisperin
metritigura ee aremrorationis ciusdemnempeo5.
Demonstrantur quoque haec eodem modo in eruncis inli.
Rencibus linex vel lineis quibuscunque figuram non com-
erchendencibus, si modolinc ad axem.
Duxe praecedentes proposiciones sunc eriam vere in omni
cylindrico, se d intricara eA constructio generali demonstra.
cioniinferuiens, e ideonoctrum incenrum aliomodo euin.
CemUS.
PROP. 3T. ZH FORF D A.
Si sine duae fieura quaecunque circa axes, qua sic rotentur ut axesro
rationis sint fieura vniuscuins que axi normales; ratio vnius son
lidi orsi ex rali rotatione ad aliud solidum ex eadem genitum,
COm.

## Folio 61 — 834940469:0145
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000145.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
5
6T
componitur ex ratione directà fieura ad freuram, es ex ratione
directa intercepta inter cenerum cranitatis es axem rotationis
unius ficura ad similem incerceptam alterius figurae.
Ine duE ABurE quecunque ABC, TTIL, circA axeS BF, IN
 que roceneur circa rectas F C, M O, aXes Eigurarum (A
Opus Cst) productos BF, IN, normalicer secances in punctis
Fi. NI, SinEGUE AGUTArUI ABC, TTIL, cencra GrauitaTISD, K.
Dicorationem, Colidiorri extigura A B C rocata circa rect a
F C ad solidum orrum ex tigura IIL L. rocara circa rectam M
es componi exratione figure AB C ad Aiguram HIIL. dc Cx
ratione DE adRII. Super ticuris ABC, TILL, incellis antuF
Cylindrici recti Equialci lectia planis eronscuneibus per PC
MO, rectas, vnusquisque in duos truncos nempe superio-
rem se infcriorem. Racio Colidi ex AB C orri ad Colidum cx
HIL. orcum, componitur exracione crunciinterioris cxlin
drici super ABC ad cruncum inferiorem cy lindrici super HIL
L, _e exratione radiiroracionis figure AB C ad radium ro-
carionis AgureHIIL; led eruncus inferior cylindrici luper A
BC est ad eruncum inferiorem cylindrici super HIIL in ra-
eione compolita, ex racione crunci inferioris cylindrici sun
Der ABC ad rocum cylindricum super A BC, exracioncto-
EiuS

## Folio 62 — 834940469:0146
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000146.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
62
eius cylindrici super ABC ad eorum cylindricum super FIIL.,
e exratione corius cylindrici superHIL ad eruncum sui in-
Feriorem: Sed eruncus inferior estindrici (uper AB C est ad
tocum cylindricum, ve FD ad rocationis radium Agure ABC
ex consectario huius 29 converrendo, e cylindricus super
ABC eA ad cylindricum superHIIL ve Agura ABC ad Cipu-
ram IIIL, icem exlindricus super HIIL. cA ad eruncum luum
inferiorem veradiusroracionis AgureHIL adKH, exconle-
ctario huias 29; et proinde ratio crunci inferioris cxlindrici
(upeF ABC ad cruncum inferiorem cylindrici suPeF FTIL CO.
ponitur exratione rectae D Iad rocacionis radium AgurX A
BC, ex ratione AguEX A BC, ad AguramFII L, e ex rarione
radiirorationis Agurae TIIL ad rectam RN: e ideoratio (0-
lidiorei ex rocatione Apura ABC ad COlIdUM OTEUM CZFO.
catione Agurx HI IL. componieur, ex racione Agurae ABC ad
Rguram IIIL, ex ratione rectae DI ad radium rotationis A-
Sura ABC, exratione radiirorationis Agura ABC ad radiu
rocationistigurae HIIL, e ex racione radiirorationis Agura
AIIL ad rectam RN: sed eres postremae raciones componune
racionem DF adK N; _ igicurratio Colidi orei ex rocatione
Fgurae ABC circa FC ad solidum ortum exrotatione figura
FIIL Circa MO componitur ex ratione Aigura ABC ad hou-
ram FIL, d ex racione incercepcae inter cenerum gravieacis
figura AB C e eius azem rotacionis; nEmPCDF, ad inter
ceptam incer cenerum graviraris Aisurae HIL e eiuldem
axem rocationisnempe KN, quod demonstrare oporruit.
P ROP. 32. Y H F O R F M A.
Eisdem positis, quae in antecedente; ratio, superficiei onius solidi
orri ex tali rotatione ad superficiem alterius solidi ex eadem se-
niti, componitur ex ratione directa perimetrorum ficurarum e
ex ratione directa interceptarum inter centra granitatis perime
prorum es axesrovationis.
F

## Folio 63 — 834940469:0147
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000147.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
aedem Cint hsurx d praeparacio quae in ancecedente s
L hoc Colum excepeo, quod D, I. punsta, nunc suppona
cur esse centri grauitacis perimerrorum Agurarum. Dicora-
eionem superticiei solidi orri ex Agura AB C KOEaEA CirCA re-
etam F. C ad superticiem solidi orci ex Agura MTIL. POcata CiE-
Ca rectam MO, componi ex racione perimeeri ABC ad peri-
Meerum FTTL _ CXFaEIOnC DF adKN. Super Aguris ABC.
FTIL, incellisancur cxlindrici recti aequialeis secti a planis
eranscuncibus per FC, MO, rectas, rnusquisque in duos
eruncos, nempe superiorem _ inferiorem. Kario superhiciei
Tolidi ex AB C orei ad superticiem Colidi ex FTIL. orci, com-
ponitur ex ratione superticiei crunci inferioris cylindrici
super ABC ad superticiem erunci inferioris cxlindrici super
ITIL, e exracione radiirocationis Asurae AB C ad radium
rocacionis Agurae HIIL.; Led superticies erunci infcrioris cy-
lindrici super A B C est ad superticiem trunci inferioris cy.
lindrici super FIIL. in ratione compolica, exracione superti.
cieirrunci inferioris crlindrici super ABC ad totam luperA
eiem cxlindrici super ABC, ex rarione corius superficieicy.
lindrici super ABC ad toram superficiem cxlindrici super II
IL X ex racione cocius superticiei cylindrici superIFIL. ad
superficiem erunci Cui inferioris: Led superficies crunci inte-
rioris crlindrici super AB C est ad eocam superticiem cxlin-
drici re FD ad roracionis radium figure ABC ex consectario
huius 30 converrendo, ee superticies cylindrici luper ABC
est ad superficiem cxlindrici super TIIL, reperimerer ABC
ad perimeerum FIIL, icem superticies crlindrici luper HIIL
eA ad superticiem sui erunci inferioris re radius rocacionis
CigureTIIL adK N; e proinderacio superticiei erunci inte.
rioris cylindrici (uper ABC ad superticiem crunci interioris
cylindrici superMmIL componitur, ex racione rectE D l’ad ra-
dium rocationisfigure ABCs ex racione perimetri ABC ad
perimetrum FIII. e ex ratione radiirocationis figure LIIL ad
ectam K N; ee ideo rario superticiei solidi orti exrocatione

## Folio 64 — 834940469:0148
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000148.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
64
fisure ABC ad superticiem Polidi orri exrorarione figure HI
ILcomponitur, exracione perimerri ABC ad perimerrum HL
IL exracione recte D Fad radium rocacionis Figure ABC,
ex ratione radiirorationis figure AB C ad radium rocatio-
nis Figure FTIL, de ex racione radiirorationistisure TIIL ad
rectam KN; Cederes pottreme rationes componume racione
DF adK N; _ isirur racio superticiei solidi orti ex rocatione
Figure ABC circa F.C ad superficiem lolidi orri ex rocatione
FigurE FIIL cirCAMO componicur ex racione perimetri ABC
ad perimeerum FTFL & exrationC incerCCPEE inteE CenEruMm
granicacis perimerri A B C e eius axem rocacionis, nempe
D lad incerceptam incer cenerum granatis perimeeri llIL
de eiusdem axem rocacioniss nempe HEN, quod demonstran-
dum eraE.
Hec quoque locum habene, eodem que modo demonstra
cur in superficiebus rocundis genicis a rocatione lince vel
linearum quarum cunque fisuram non comprehendentium
ec ad axem existentium.
PROP. 33. THL FO RP. M A.
Si sint dua fieura quaecunque, quae roientur circa axes quoscunque,
ratioonius solidi orti extali rotatione ad solidum alterum ex ea
demcenitum, componetur ex directaratione ficurae ad ficuram,
es ex directaratione intercepta inter centrum eravitaris es axem
rotationis unius ficurae ad similem interceptam alterius ficura.
 InE dux ASUIEX qUACUnqUe ABC) NQP, qUa POFENEUE
circarectIs F F, X4; lineque earum contra gravitaris
D, R, C quibus in aResrOcAtIONIS FF, Y4, demiCEANEUE rectX
perpendiculares DC, RL. dicorationem Polidi orti ex Agura
A BC rOEAEA Circa rectaM F F ad lolidum OrtUM CX ABUTA
NOP rocata circa rectam Z 4 componi ex racione ASur_
ABC, ad ASUTAM NOP, _ exrationEDC ad RZ. ParalleIIX
CC.

## Folio 65 — 834940469:0149
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000149.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
1
xect C, AZ, dueaneur rectae BF
AeaS ABC, HOP
pianeur reuoluitisura ABC QNe donet Cx alCad
parre planum artingentes, cMcianE AgurAS BLM, IIX, Cibi
iplisaquales similes, de ad rectaS BFBFF; 12, X4, cande
prorlus policionem habences: sint figurarum BL. M, JIX.
Centra granicacis, O, V; ducancur in rectas FF, X4, perpen-
diculares OI, V3, iunsantur quoque rectae DO, RV, rectas
BFL, B2 incerlecantes in punctisK, S: mamifectum cst pun
cansences in B, Q; d circa rectas BHI. Q23 licur axes, conci,
Bum K esse cenerum orauiraris ineegex HOurX B A C BLM
circa axem BII, icem punctum S esse centrum orauicaris A-
Dura incegrae OHPOTX circa axem 92; Pacet quoque rectas
DCKHI, OI; item RZ, S2, V3, esse inter (e aequales. Ouonia
FBUEK BACBLM, ONDOTX sune circa areS BFB O2, axibus
rocarionis E F, Zg, normales; igitur lolidum rorundum or-
cum exrocarione fgurae B A C BL. M circa rectam F. F est ad
Tolidum rocundum orcum ex rocatione fgura OHP OTX in
ratione compolica exratione Agurae BAC BL. M ad tiguram
OAPOTX de ex ratione RII ad S2 per huius 3r; sed solidum
orrum ex Agura BAC BIMroraca CirCA F F est duplum Coli-
diorei extisura BAC circa eandem FF rotaca; item Polidum
orcum exfigura BIP QTXrOTata CirCA rectam Y 4 est duplu
O

## Folio 66 — 834940469:0150
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000150.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
66
Fotidi orei ex Fgura ONP rocara circa eandem V 4: fioura
quoque BACBLM dupIa CA AgurA BAC, de AGurA ONP
TX fgurae ONP; cumque dimidia sinc in cadem rarione cum
Tuis duplis; Colidum rocundum orcum ex fgura ABC FOLAEA
circa rectam P F. eric ad solidum rorundum orrum cx Egura
HODroratacirca rectam Y4 in ratione compolita exracione
AGuEX ABC ad fGuram NOP _ ex rarioneK HI ad 52, Ccu I
C ad RZ, quod demonstrare oportuit.
CONSECT ARIV M.
_ Ine sequieur, E cenera grauicaris Acurarum a rocacionis
axibus aequalicer dictent, solida rocunda ex ticurarum
rotatione genita esse in directaracione iplarum fgurarum,
quod Efgura iplae sint aequales, sequitur Coliua rorunda Cx
earum rocacione genita esse in rarione directa intercepta-
rum incer cenera graviracis ee roracionis azes: quod si incer.
cepeae sincaequales de Agura, criamli incer Ce dimmillimae
Colidarocunda exillis orta xqualia crune.
5 C HI OL
M.
dictis namtectum eMtincer duas quascunque RguraS
 creseseraciones, nempe; hgura ad Agurams Colidiro.
cundi exrocacione rnius tigurae genici, ad solidum rorun-
dum exrotatione alterius tigurae genitum, ee intercepre in
cer cenerum graricaris se axem roracionis rnius fgurae ad li-
milem incercepeam alcerius Aigure, c quibus duasdaTaSCCK
eiom ignoram semper pacetacere.
P R OP. 34. 2 _ F O R F M A.
Si sint duaeseura quaecunque qua rotentur circa aees quoscunque; ra–
lio super ficieinnius solidi orri ex cali rotatione ad supersiciem al
terius

## Folio 67 — 834940469:0151
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000151.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
--
-
L---
rerius solidi ex eadem ceniri, componitur ex directa ratione peri
metri ad perimetrum es ex directa ratione intercepta inter cen
trum cravitatis perimetri ex axem rocationis vnus fieura ad e
milem interceptam alterius feura.
Ine duxe Esurae quae cunque ABC, N OP, qua rOteneuX
 circarectas F. L, X45 Cincque conrra sravieatis perime-
erorum D, R, a quibus in axes rocacionis L F, X4, demittan-
rur recteperpendiculares DC RZ. dicorationem superticiei
solidi orti ex Agurs ABC rocata circa rectam P. F ad CuperE-
ciem Tolidi orri ex Egura N OP rocata circa rectam Y 4 com.
ponis exratione perimeeri ABC ad perimerrum NO)P _ Cx
racione DC adRZ. Porallella rectis DC RL, ducantur recte
BFI, 92. Eguras ABC, NOP, cansentes in B, 2; _ circa BHI,
O2, ACuEaKeS concipiancur reuolritigura ABC, ONP, d0.
nec ex alcera axium parce in idem planum renolucae Aguras
etticiant BLM OIX, Sibi ip(is aequaless similes, ee ad rectas
BI EF; Q2, Y4, eandem omnino policionem hibentes. Sine
perimetrorum BLM, OTX, cenera gravicatis O3 V; ducantur
in rectas FF. X4. perpendiculares OI, VZ; iunsaneur rectae
DO, RV, rectaS BII, Q2. incerlecances in punctis R S; Ma-
nifellum es punctum R ese cenerum grauicatis incesri peri.
metriBAC BLMiCCcque Figura BACBLM circa aRem BHL; CO.
demmodopunctum Selcenerum gravicarisinresriperime
ErI FIBUrE OPOTX cirCAaxem (2; PAteF quoquerECtASD
KH, OI, icem R2, 52, V3, esseincer se aequales. quoniam tin
GUTA BACBLM, QNPOTX, tunccircaaxes BII, 923 axibus
rocacionis EF, Za normalessisitur superticies lolidirorun-
diorci exrotatione figurae BAC BL. M circA rectam F. F CA ad
Colid i rocundi superficiem orri ex rocatione Agure ONP
FLinrsrione compolica exrarione perimerri BAC. BL. M dd
perimerrum OAPOTX _ ex racionCK HI ad S2; (C d superE
cies solidi orri ex fisura BAC. BLM rotata cirrA P F eA du pla, 32
suxerficiei solidi orri ex figura BAC. rOSaTd cirCA conde F
2
huiuso
L IFCI

## Folio 68 — 834940469:0152
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000152.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
F, iceuapeslolidi rocundi orci ex Figura OND OTX
rotaca circa rectam Y 4 es dupla superticiei Colidi orri ex fi-
sura QNP rocara circa eandem X4: perimerrum quoque
BAC BLM duplum est perimeeri B A C, ee perimerrum
QNDOTX perimetri a NP C hoc eM si figura sc inui-
cem cangane in puncto Colummodo; quod s le cerise-
rinc in recta linea, oporret imaginari aliquam distanriolam
incer tisurarum rniones, ve generalis fiat demonseracio )
cumque dimidia (inc in eadem rarione cum luis duplis, lu-
perticies Colidirorundi orri ex figura AB C rorata CirCA re-
ctam F F erie ad superficiem Colidi rocundi orti ex figuraN
OProcaca circa rectam Y4 in ratione compolicas exracione
perimerri ABC ad perimerrum NOP _ exratIOnCKFIad 5~
Peu DC ad RL, quod demonarare oporeuit.
d
CONSFCTARINM.
Inc sequitur, si cenera erouicatis perimerrorum aron
cationis asibus aequalicer distene, suxerticies solido-
rum rocundorum exrocatione genirorum esse in directaran
cione precum pelimeerorum, quod si ipla perimeera line
equalia, superticies solidorum rocundorum ex rocacione
genitorum esse in ratione directa incercepeorum inter cen
era grauitatis perimeerorum de rotacionis axes, quod s in-
cercepte snt equales ee perimerra equalia, superticies (oli
dorum rocundorum semper eneEquales.
SC H OL IV M2.
X At elGo manifectum est inter duas quascunque fis
Surasrres alias esse rariones a cribus precedeneibus
diuerlas, nempe perimerri ad perimeerum, superticiei
Colidi rocundi ex rocacionernius figure geniti ad luperts
eiem Colidi rocunsi ex rocatione alcerius figure seneci, d
58

## Folio 69 — 834940469:0153
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000153.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
incercepre inter centrum gravieaeis perimerri de AXemROF
cionis vnius figure ad similem intercepeam alcerius figures
C quibus duas datas cerciam isnotam semper paretacere.
Fiodem modo demonstrancur hec omnia rnivertalicer in
omnibus lineas vel lineis figuram non comprehendencibus,
ita re omnium demonstracionum geomerriearum hE ANE
maxime rniuertales. l.
P XO P. 35. Y _ F O A F M A.
Omne solidum rocundum aequale est cylindrico recto cuius basis est fi
cura excuius rotatione cienirur solidum es altitudo circum
ferentia circuli in qua circumuoluitur centrum
cranitatis ficura.
Te Figura quae cunque AB cuius grauitatis cenErUM C;
extigurae A Brocatione circa rectam D F fiac Colidum
rotundum, quod dico esse aequale crlindrico cuius ba
sS AB ficura d alticudo circumterentia circuli, in qua cir-
CUMEOEatuE Cenerum grauiearis C. Sit rectangulum IIO KI
 . id
rocarione rectanguli TIORI
cuius centrum Glavieatis L.s Ct
circalacus Hl conespiatur fieri cy lIMaLUS, D CN 
WIEAEUI
deo ha

## Folio 70 — 834940469:0154
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000154.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
7C
centris C, L inrocacionis axes DF, HII, demiteantur perpe
diculares recta C F, L O, quae lunerocacionisradii: monite
Rum est cylindrum genicum exrocatione rectanguli FIK cir
CoHIaequalem esse Colido cuius balis cM circulus ex radiol
Rd alticudo FTI, hoc cA solido cuius balis elt rectangulum
ex IK in Pemicircum ferenciam circuli ex radiolK velcoram
circumferenciam exradio OI. de alticudo HI, quod idem eR
cum Colido cuius basis cs rectangulum HK de alcitudo cir-
cumferentia circuli ex radio OE; Ccd cylindrus exroratione
FIK circaFII eR ad Tolidum rocundum exroratione AB cirCA
huius. D F in ratione composica ex proporrione Eisurx FIK ad tigui
rum ABd rectae OL ad rectam F. C. scu circumterenciae radii
OL3d circumterentiam radii E: C3 aeque Colidum cuius ba(is
FIK _ alcicudo circum terentia radii O L, seu cylindrus geni-
cus exrocatione figure HK circa HII, eA ad solidum cuius ba-
sis AB e alcitudo circum Ferencirradii E C in eadem ratio-
ne; ee id eo cxlindrus exrocacione tisure HTKcirca HIIett ad
Colidum rocundum exrorarione Fisurx AB circa DF ve idem
praedictus cxlindrus ad Colidum cuius basis A B ee alcirudo
circumterencia circuli ex radio P. C; e proinde solidumron
cundum ex roracione figure AB circa D L aequale eltcrlin
dricocuius balis A B e alcicudo circumterencia radii LC
quod demonstrare oporeuie.
PRO P. 36. Y Y FOR F M A.
norre
Omnis solidirotundi superficies aequalis est rectanento cujus basis est
Perimeter fieurae ex cujus rotarione sienitur solidumes alti-
tudo circumferentia in qua circumfertur centrum erqe
mm uitatis Perimetri fieurae
IIdem posiris quae in ancecedence, sine centra gravitaris
L Derimetrorum Agurarum ITK, AB, puncta L, C; dico
superticiem solidi rorundi orri exrotatione figurae AB CirCL
Id
F

## Folio 71 — 834940469:0155
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000155.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
DF esse aequalem rectangulo cuius baHS eA perimeter hgu.
rae AB e alcicudo circumferentia radii RC. manifectum est
Superticiem exlindri genici ex rotarione rectanguli IIK cir-
CaTIIegualem esse rectangulo cuins bahs est circumtereneia
radii IK de alcieudo CK vna cum IR, hoc esrectangulo cuius
Baliscircumferencia radii OL. _ alcirudo totus Agurae am-
Dicus HC, FCK .KI.F.TII, quod idem cst cum rectangulo
cuius balis est rectansuli ITK ambicus de alcieudo circumte-
rencia radiiOL; sed superheies crlindri geniti exrocario.
herectanguli HIK circa TII estad supertciem Colidi rorundi
geniti ex hgura AB rocatione circa DF in ratione compoli.
ea exproporeione ambitus AGUTX FIK ad am bIEUM AGUTa AB
s ex proporrione rectae OL ad rectam F. C. Peu circumterens nuius.
rix radii OL ad circumferenciam radii F C; atque rectangu.
lum cuius baHS est ambitus Aguex FTK e alticudo circumte.
rencia radii OL. Ccu superticies crlindri genici exrocacione
rectanguli HK cirCATII, elt ad rectangulum cuius baAS eA
ambicus Agurae AB e alcicudo circumterentia radii F C in
eadem ratione; de ideo superticies exlindri geriti ex rOtA-
eione rectanguli HIK circa CM est ad rectangulum, cuius balisi
estambicus Agura AB e alcirudo circumterenciaradii F C,
ve idem supersicies ad superticiem solidi rorundi geniti ex
rocacione Aigurae AB circa exem rotarionis D F; de proinde
Superticies Colidirorundi orri ex rotatione Agurae AB circa
DF aequalis es rectansulo cuius basis eAt ambirus Agura
AB e alticudo circumferencia radii P. C, quod demonstrare
oporcuie.
Non disimili Fere mechodo demonstratur haec propolicion
eciam si perimerer hsura non siE clausus.
PRO P. 37. E ZI EO R F M A.
Si cylindricus rectus secetur plano ad basem seminormali; truncus
inferior aequalis erit cylindrieo cuius basis eadem est cum cylin.
drice

## Folio 72 — 834940469:0156
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000156.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
35
L
 
drici propoper base e altitudo, intercepia recta inter centrum
gravitatis baseos es communem intersectionem baseos es plani se
cantis.
 Ine cedem Rpurae, quae in ancecedente: super hour
AB (cuius graricaris cenerum C) concipiatur cylin
dricus rectus sectus dplano balem AB CeminormaliceR
secanee in recta DF: dicorruncum ejus inferiorem aequalem
esse cylindrico super base AB habenci alcicudinem F. C. 505
lidum rorundum orcum ex roracione Agure AB circa rectam
suius. DF aequale cs cxlindrico cuius basis AB ex alcieudo circum.
Ferencia radii L: C; acque idem Colidum rorundum cR ad
eruncum inferiorem cylindrici recti super AB relectam d
planobalem AB Ceminormalirer secanee in recta D F ue cir-
cumterentia radii C L adradium C F; Ccd cylindricus cuius
huino basiS AB e alricudo circumferenciaradii C P. leu praedictum
Colidum rocundum cst ad cylindricum cuius basis A B ec al-
cicudo E C, vecircumterencia radii E C ad F. C; et proinde
eruncus ille interior relectus aequalis cs cylindrico cuius
BaliS AB e alcitudo EC, quod demonstrare oporruit.
A 10
30. Y H F O R F H A.
Si eylindricus rectus secetur Plana ad basem seminormali; supersi
cies trunci inferioris aequalis erit rectanculo, cuius basis est pe-
rimeter baseos cylindrici es altitudo intercepta recta inter cem,
trum granitatis Perimetri baleos es communem intersectionen
baseose plani secantis.
TIdem posiris quae in anrecedente, E C ceneruM stau
 caris perimerri baseos AB. Dico supertciem erunci in
ferioris aequalem esse rectangulo cuius balis est ambicus A-
ourx AB ee alcicudo recta F. C. Superticies Polidirocundisc.
niri exrocacione fsurae AB cirea D L aequalis est rectangulo
cuius

## Folio 73 — 834940469:0157
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000157.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
Euius basis CAambituS Rgura AB et aleieudo circumFeren. Lucu
ria radiiE C; aeque eadem superlicies Colidirocundi est ad
Superkciem erunci inferioris exlindrici recti luper ABresC.
2.4
eti aplano balem AB reminormalicer Pecance in recta D F.s. luiuve
ve circumterentia radii C F ad C B; sed rectansulum cuius
balis est ambicus Agurae AB ee alcicudo circumferentia radii
EC seu suxerticies Colidirorundi geniri exrotarione tgurx
AB circa D F est ad rectangulum cuiuS baLS CCE am BIFUS A
Dura ABa alticudo FC, re circumferentia radii F. C ad FC;
ee proinde superticies erunci inferioris relectiaequalis est re.
ctangulo cuius balis est ambieus Agurae A B ee alcitudO P. C,
quod demonscrare oporcuit.
Fodem modo demonserarur hec proposeio, i superkcies
exlindrici rectiinsilcar lince rel lineis perimeerum non clau.
dentibus.
dC _ O L IV M.
Nduabus praecedentibus eisdem mediis demonseratur,
quomodocunque secetur cxlindricus, in primas crun.
cum inferiorem esle aequale erlindrico eandem cum propo.
Ecobalem habenei de alcicudinem aequalem perpendiculari
rece ad balem ex eius graritacis centro excieace vique ad
planum secans, _c in secunda, superticiem crunci inferioris
esse aequalem rectansulo balem habenti aequalem perime:
erobaleos crlindrici proposici e alcitudinem a qualem per-
vendiculari rectae ad basem crlindrici propolti ex CenEro
grauicatis eius perimeeri excitara rique ad planum secans.
PROP. 39. TH EORFMA.
Sicylindricus rectus, habens basem ab ona parte a recta termina
tam, secetur planoxer illam rectam, ex rotetur basis cylindriei
circa eandem rectam. et stat solidi rorundi porrio quaelibet; erit
corrionis centrum cranitaris idem cum contro crauitaris arcus,
61

## Folio 74 — 834940469:0158
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000158.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
14
circularis, in quo circumfertur centrum aequilibrii trunee cylin-
drici inferioris in cylindrici base notarum.
IC TUPer AgurA AB C ex vna parre a recta B C terminatL
cylindricus rectus, qui sectus a plano eranteunce per
rectom BC exhibeac cruncum suum inferiorem BC AC, cuius
cenerum aequilibriiin basC BEF. Ex rotatiOnC AGUTA AB C
circa rectam B C hac portio Colidi rocundi: dico porrionis
cenerum gravitaris idem esse cum cenero gravitacis arcus
circularis in quo circumrocatur punctum L: linon line cade.
incer illa sic dictancia recta B; e concipiacur porrioni solidi
rocundi circum (cribi Colidum polredrum constans ex 2 vel
4vel 16,323 es vel quoccunque (dummodo numerus sic in
prosressione dupla a binario) ae qualibus eruncis inferioribus
cylindrici propolici recti secti a plano habence communem
incersectionem cum base rectam BC, et cidem porrioni lon
lidirocun di inscribi aliud polredrum priorisimiles ita ve co-
rum cenera pravicacis diltene inceruallo minore quam recta
B: hoc enim possibile est, quoniam calia polyedra quo plura
habentlaceras eo in infinicum porcioni (unc propiora: dein-
de per centrum xquilibrii E rectae BC normale ducatur pla-
num Faciens cum crunco communem incerlectionem erian-
eulum HFD rectangulum ad F. icem cum portione lolidiro.
tundi cemmunem incerfectionem lectorem circuliiVLO, de
cum polredro circum scripio polrgoni regularis ad secto.
rem circum scripei, icem cum polyedro inscripeo similem
porcionem polysoni regularis sectori eidem inleripri. Ma-
nitectum cst radium IV ele aequalem rectae DF. Radio 1γ
aequali rectx DE Sic sector circuliIX9e sectoriIY9 circum-
Scribacur polrgonum T58 simile polysonorMH, icem ei
dem inscribatur polygonum 279 circum scripeo simile. Du-
cacurreets IL quacuorlacera limilium polygonorum 7 73 S
l. eV. MR, bitariam secans in punctis T, R, G. L; manitellum
eAt rriangulum IL. K rectangulum ad L. esse communem (C.
etio.

## Folio 75 — 834940469:0159
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000159.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
+
ctionem plani sccantis cum rno aequalium cruncorum e quio
bus constar poluedrum portioni solidi rocundi circum serip.
cum; quem cruncum supponamus ese cundem cum crunco A
BC C. (quod line absurdo efficere porsumus, quoniam ome
nes trunci inferiores, quorum plana lecancia balem secan-
in recta B C, idem hobene in base centrum aquilibrii F) de
proinde pacee crunci; communem habeneis cum plano (e
conce incersectionem L. TK, cenerum ae quilibrii inbasc esse
punctum R; codemque modo probatur punctum R cnCim
Bose centrum ae quilibrii eruncio cuius intersectio cum plano
seconce CAMIL; d ideo horum truncorum simul iunctorum
cenerum grauitacis est R punctum: eodem modoprobacur in
duohus quibustibec cruncistorius polyedri circum scripti ad
unam superticiem iunetis, reriusque limul crunci centrum
oranitaris ese in punco, rbirecta exverrice lbalemtrion-
ouli (quod criangulum est communis sectio plani secancis
cum duobus iunetis eruncis) bitariam secans, arcum circula
rem grincerlecar: Facili quoque nesocio probatur punctum
X eNC CEMErUM BraMIFaLIS duorum ErunCOrum iunCtOruM
X 2 410.

## Folio 76 — 834940469:0160
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000160.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
quorum cum plano secante communis incerlectio PIV erian
eulum; item de punctum X esse cenerum granicaris duorum
unctorum cruncorum, quorum cum plano lecance commun
nisinterlectio plp eriansulum: iunsatur recta XY, que bita-
riam sceorur in puncto 5: manifectum eA punctum s’erse cen
erum grauiraeis quaruoriunctorum eruncorum simul, quon
rum cum plano secance communis interlectio cs traperium
IV P Piarque punctum s centrum eciam est granicacisrecta
rum Z. 7377, simul: eodem modoprobarur a eNe Centrum
Grauitaeis quacuor iunctorum cruncorum simul, quorum cis
plano secante communis inter fectio eAt crapezium 1080, de
eriam rectarum om rZ, Cimul. Cenera gravicacis as iunsantue
recta, que bitariam secetur a recta lZ. in puncrossmanité
Aum elt 3 cenerum gravicaris polredri inscripri ene etiam
cenerum grauicaris recearum omnium simul arcui 9 inseri-
pearum: eodem modoprobacur centrum grauitaris polye
dri circum (eripti nemper idem esse cum centro grauicacis
omnium reccarum smul arcui gy circum (cripearum. Sit cen
erum granicacis porrionis Colidirocundi4, de cenerum gra-
nicacis arcus 9r, 23 quod necessario eAtin recca IL incer pun-
Cea X, 3; iunSANEUF reCCS 14, 24, 34. Exconttruecione L3 mi-
AOr eA quam 24: angulorum 1243 4233 licmaior vel saltem
non minor 124 de ideo latus r4 maius crie lacere 24, scd
24 maior eA quum s3; e proinde 14 maior cst quam F3: HOC
elt cencrum gravitatis porcionis solidi rotundi distac a cC
ero erauicaris polredei sibi circum scripei maiore inceruallo
quam cenerum grauitaris eiusdem polredri circum seripet
ditoe a cenrro gravitaeis smilis polyedri inscripei, quou
est absurdum, maiore enim inceruallo distanE Cenera grauI
earis polzedrorum inscripei a circum lcripei quam AisennE
centra gravieaeis porrionis lolidi rocundi ee polyedri cir-
cumscripei; de proinde nullo incerualo distanE CenerZ SFa
uicaris porcionis solidirocudi e arcus circularis oyu et idco
idem ele eorum senerum grauitaris, quod demonserare
oporruie.
D

## Folio 77 — 834940469:0161
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000161.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
toeandum in Pequenribus nos semper incelligere suner
siciem portionis Colidirocundi absque planis quibus cermi
PROP. 40. ZHIFORF. M A.
Fisdem posiris quae in antecedente, erit superficiei portionis solidiro-
tundicentrum sravitatis idem cum centro cranitatis arcus cir
cularis, in quo circums ercur cenerum aequilibris superficieitrun
ei cylindrici inferioris in cylindricibase notatum.
IIdem politis que in ancecedenre, sic superhciei trunci
BCAC centrum equilibrii in basc F. Dico superticiei
portionis Colidi rocundi cenerum: gravicaris idem esse cum
Cenero gravitaris arcus circularis in quO CIECUMEOEAEE PIE
ccum P: si non sinc eadem, incer illa sic differencia recca B; ec
concipiaeur porcioni Colidirocundi circum (cribi Colidum po.
tredrum con(cans Cx 2, 4, 8, 16 vel quoccunque (dummodo
numerus (c in prosrectione dupla a binario) equalibuseru
eis inferioribus cxlindrici propohrirecti lecri a plano habe.
ee communem secrionem cum bale recram BC, de eidem
Porrioni Colidirocundi inseribi aliud polredrum priori simi-
de, ita re cenera gravicatis eorum superticierum dilcene mi-
nore inceruallo quam B; hoc enim ponbile eles quoniam ca-
lia polredra quo plura habene lacera eo in infinicum eorum
superhciesminus incer se discrepane, ica ve eorum ditterens
eia minor potsir esse quacunque propolica quoncieace. Dein-
de per cenerum equilibrii Erecce BC normale ducacurpla.
num Faciens cum trunco ABC. C communem seceionem eria
pulum FIF D receangulum ad Chicem cum porcione Colidiro-
cundi comunem lectione, Peccore cireuliIVL.d de cum polye
dro circum (eripro porrione polygoni resularis ad fecrorem
circum feripri, icem cum polredro inscripeo similem portio-
nem polygoniresularis lectori eidem inscripri. Manifectum
eAtradium IV esse aqualem rectx D Fi radioly aequali rect E
2
AaEUE.

## Folio 78 — 834940469:0162
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000162.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
e
DE Ec sector circuli(9, et sect ori T9 circum (eribncur po.
Iroonum TS8I simile poly 3ono IrMN, icem eidem inscriba.
cur polygonum 1279 circum (cripio lmile. Ducatur recta
TE latera quacuor parallela limilium polygonorum , q, SI
PV, MK, biF. riam dividens in punctis V,R, Qlimanifectum
est criangulum II. X rectangulum ad L. esse commune sectio-
nem ploni lecantis cum vno aequalium cruncorum ex quibus
constac polyedrum porcioni Colidirocundi circum (cripcum
quem eruncum upponamus cNc candem Cu EruNCOABC C
(quod sine absurdo efficere ponsumus, quoniam omnes eru-
corum inferiorum suxerticies, quorum plana secancia balem
secanc in recta BC, idem habene in balc cenerum aequilibris
F) ee proinde paret luperhicieieruncis communem habeneis
cum plono secance incerfectionem L. IR, cenerum aquilibrii
in basc esse punctum R; eodemque modo probatur punctum
Rere in base centrum ae quilibrii superhicicirrunci, cuius in-
cerlectio cum plano secance cAMIL, Sc id eo horum crunco-
rum simul iunctorum superticiei cenerum cravicatis eAtR.
eodem modo probatur in duobus quibussibee eruncis torius
Dolredri circum (cripci ad vnam superticiem iunctis verius-
que simul superticici cenerum grauicaris elle in puncto, roi
recta ex vertice Ibasem erianguli (quod criangulum eAt co-
munis lectio plani secantis cum duobus iunctis eruncis) bi-
Fariam sccans, arcum circularem or incerlecae: Facili quo-
que negocio probatur punctum Y elsc cencrum gravicacis
superticiei duorum iunetorum rruncorum, quorum cum pla-
no lecance communis incerlectio IPV; icem ee punctum X
elle cenrrum gravicaris luperticiei duorum iunctorum trun-
corum, quorum cum plano secanre communis incerlectio e
TP criangulum: jungacur recta XY, quae bitariam secacur in
punctos;manitelum es punctum s cRecenerum grauitacis
superticiei quacuor iunctorum rruncorum simul, quorum cu
plano secance communis incerlectio eA crapezium IVePi aC-
que punctum s centrum crium eA orauiraris rectarum L. 7)

## Folio 79 — 834940469:0163
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000163.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
uismul: eodem modo probatur a centrum gravicarisre.
carum orrz, Ce cenerum orouicaris superticiei quaruor iun-
aorum cruncorum limul, quorum cum plano secance com-
munis incerlectio cst craperium lpSO. C enera gravicatis a
Si iunsancurre eta a 5, quae bitarium sececur in z. manifectum
CA 3 cenerum gravicacis superficici polvedri inscripei cne
etiam cenerum srauicaris rectarum omnium simul orcui 9r
inscripeorum. eodem modo probacur cenerum orauitatis
superticiei polredri circum lcripri nempe + idem esse cum
cenero granicatis omnium rectarum arcuiuz circum scripeo.
rum: Sie cenrrum graricatis superficiei porcionis Colidiro-
cundi 4 de cenerum gravicaris arcus 97, 2, quod necessario
ekin recta II. incer puncta P, 3: iunganeur rectX 14, 24, 34
Se conttructione =3 minor eAt quam 24 angulorum 124, 423.
Sic maior vel (alcem nonminor +24, e idco lacus 14 maius
CClatere 24, (cd24 maior est quam 13, _ proinde 14 maior
est quam 13, hoc eA, cenerum grauicaris superhcici porcio.
nis Colidi rocundi dictac a cenero grouiratis superhciei po-
lyedri sibi circum scripei maiore inceruallo quam cencrum
Oranicacis superticici ciusdem polredri circum scripei distat
a cecro granicacis superticiei similis polredri inscripeis quod
eAablurdum maiore enim inceruallo diltane cenera gravita-
eis superficierum polyedrorum inscripei se circum (cripei.
quam distac cenerum gravitacis superticiei porcionis solidi
rocundia cenero gravicaris superkciei polvedei live inseripei
huc circum scripeii et proinse nullo inceruaIlo distane centra
orauicatis supertciei porrionis solidirorundi ee arcus 97, de
id eo idem est eorum cenerum gravicatis, quod demonstrau-
dum CraE.
Eodem modo demonstratur haec propolirio de superticie
quacunque rocunda Facta aroracione rnius linee vel plurium
mearum circa axem; modo radius rorationls ilIASNOnLCCCE
in pluribus punctis.
PROF.

## Folio 80 — 834940469:0164
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000164.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
P X O P. AT. Y I P O R F M A.
Si cylindricus rectus secetur plano quocunque es roteturbasis cylin
drici circa communem intersectionem baseos e plani secantis, Ve
Fat soliar rocundi poreio qualibet; erit portionis centrum erani-
tatis idem cum centro eranitaris arcus circularis, in quo circum-
fertur centrum aequilibrii trunci cylindrici inferioris in cylindrii
ei base notatum.
Oncipiatur cylindricus rectus super base quacunque
Ls RECD Pecus a plano habente cum bale communem
interfectionem AB rectam: Sc que rrunci inferioris cenerum
equilibrii in balenocarum punctum P. exrotatione AGUrCKF
CD circa rectam AB hac portio Tolidirorundi; Cuius CenFrcr
grauitatis dico idem esse cum centro oraviraris arcus circu-
laris in quo circumferrur punctum F. iunsancur ad libicum
linea CA, KB, Supponaturque crlindricus rectus luperbale
ACDKB sccari eriam a praedicto plano secante per rectam
AB, _ eius crunci inferioris cenerum aequilibrii in bale elle
punctum H, isem erunci super tgura AC F. KB cenerum xequi
librii

## Folio 81 — 834940469:0165
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000165.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
1a
librii in baIc ese punctum C. ex roracione ABUIrX ACDKB
circarectam AB (ita uc eius parS extremas nempe Agura
CDRE delcribar praedicti solidi rorundi porrionem) Eae
Colidirocundi porrio, cuius cenerum gravicatis M; manite-
Cum est Colidirorundi portionem genitam a rocarione hgu-
EX ACDKB CNC aequale portionibus, Colidirorundi genita à
FDEATIONC ABUEX C. DKF Ccuius cenerum gravitatis L) e Coli-
dirorundi BenIEX a FOCAEIONC HGUTE ACEKBCcuiuscenerum
granicacis N)icem eruncum Cupertisura AC, DKB xequa lE CNC
eruncis super Aguris C. DRF, AC: FKB; de proindepacec pucta
F, HI, CnCnc in rna recta, irCM FHT esC ad H C uC eruncuS su-
DEF AC. FKB ad ErunCUM SUperCDKE, item puncta L, M, N,
esseinrna recta, SE LM eNC au MNI re porcio Colidi rocundi
genici a Apura AC FKB ad portionem Colidirocundi geniti a
AgUTACDKF; Cc d porciones solidorum rocundorum incer (C
(unc in directa ratione rruncoru, re Facile collisitur ex huius
23; d idcoreFHI adHIS ica LM ad MN. per puncta F, L. AC
recta FLO, d Per puncra HI, NI, recrAIIMP, icem per puncta
C. N, ACrecta CNO; SatIS PATCEreCtAS HIMP, CNC (cum linE
radiicirculorum, in quorum circumterentiis rOcantur dun
CTAHI G,) de ideorectam eriam FLO esse inter le paralielas
de recta ABnormales, ec idcove PMadP EIvelONad) C
icq OL ad OF; sed MI, N, lune centra graviraris arcuum cir-
cularium similium in quibus rotancur puncta HI, C, CirCA cen-
EraP, Qiec ideo L est eciam cenerum grauieoris limilis arcus
circularis in quo rocatur punccum Fcirca cenerum O, acque
L. eReriam cenerum gravicaris porcionis solidirocundi se
nici exrocatione Egurx CDKF circarecram AB, quod de-
monstrare oportuit.
PRO P. 42. E H EO X E M A.
Si linea vel linea quot cunque rotentur circa rectams vt ex ys genere.
cur porrio superticiei rocunda, etiam si radius rotationis illas in
quorcunque punctis secuerit; erit portienis super ficiei rotunda
C6M.

## Folio 82 — 834940469:0166
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000166.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
B2
centrum oranitatis idem cum centro eravitaris arcus cireuas
in quo circumfertur centrum aequilibruis in base nocatum superti
ciei trunci cylindrici recti secti a planohabente communem sectio
nem cum base axem rotationis.
Tclincas vellinea quorcunque ABO, quae sUPPONantuE
ad rocaricirca axem TKL, Secencurque in duobus punceis a
radiororarionis. Super lineis AB O imaxinerur (aperticica
exlindriea ad balem recrusgua secerur a pluno balem etiam
secante in recta IR; Seque superhcicierunci inferioris cena
erum aequilibriiin base F. ex rocacione linearum AB O AiaE
portio superticieirorundae; cuius cenerum pravicaris Fdico
ese idem cum cenero gravitaris arcus circularis in quo ron
cacur punctum F. sic B punctum in quo radius rorationis liy
neas ABOcansic, licque porrionis superticiei eruncisuper li
nea vel lineis A B cenerum a quilibrii in basc C; et porcionis
supersicisi rorundx ex AB BemitX D, Arque superticisierun-
CI
id
aF
C
2
C

## Folio 83 — 834940469:0167
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000167.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
Ei super OB cenerum aequilibrii in base C de porrionis luo
perticieirocundx ex ea genica cenerum gravicacis II. mani-
Fectum eA puncta C, F, C, esse in eadem recta, item e C. F
ense ad E: C ne superticies crunci luper OB ad superticiem
erunci luper A B: eodem modo pacet puncca D, L. FI, Cnc im
eadem recea, item DF eNsC ad FFI re porcio superticiei rocun.
dae geniex ex OB ad porcionem lupertciei rocundae geni
ex ex A B; Ced poreiones superhicierum rocundarum incer
se sune in directa proportione superticierum cruncorum
ut collisitur exhuius 24; de ideo ve CF ad F: C ita DF ad FFI.
DTOdUCRNEUF RECEK C D, F. F, CrII, donccreccam IK secenE
in punccis L, MI, N; cum puncta D, HI, sine cenera grauicacis
aecuum circularium in quibus rOEaneuE puncea C Cn mani-
FelUm eARECEASCDL, GFTN, ele axi rocacionis TE normI.
les de inter (e parallellaS; e idCOrecra F: F M eidem IK cAt
CAnormaliSd CUM (IE VE CE ad F. G ita DF ad F. FI; ee proinde nuivs
vEL Dad L. C vel NHI ad NI C ita MF adM Es (ed D, IP, Cune
centra srauicaris arcuum circularium similium in quibusio.
EaNEUT PunCTA C, C; de isicur punctum L. es eriam centrum
Gravicaris similis orcus circularis in GuOrOEATUE PUNCEUM Lis
quod demonserandum erac.
Podem modo demonstraeur hoc cheorema quando ra.
diusrocacionis lineas lecac in cribus punctis supponendo
hanc propolicionem, scurhaec supponie huius 40 ee sic dein-
ceps (quando secacur linea in pluribus punctis) anteriores
demonctrationes semper supponendo.
P RO P. 43. Z H F O R E M A.
IEdem politis quae in huius6; dico solidum rocundum
genitum exrocatione Agura ABSO circa rectam A B
elle ad erlindrum genicum ex rocacione rectanguli A. BR O
circa eandem A B, Ve luperticies genita ex rocatione currae
AOcircs eandem AB ad circulum ex radio AO. AGura ABSO
EA
2
Proportionaliter analosa curra A Oe ideo cenera sca. huiun
ViEaCIS

## Folio 84 — 834940469:0168
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000168.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
84
viraris hgurae ABSO de currx A C eodem incerys110 distane
recta AB, quod incernallum Ec K: cenra quoque gravicaris
rectae AO de rectanguli ABRO eodem inceruallo distane à
huius, recta AB nempe.
35
huius.
3 acque hgura ABSO CA ad rectangu
Ium A B R OVEcurVa AOad rectam AO, e ideo primam de
tertiam ducenda in circumterencium cuius radius R, d PC-
cundam de quartam in circumterentiam cuius radius BRs erie
a
cylindricus cuius basis ABSO de alcieudo circumtereneia ex
radio H nempe lolidum rocundum genicum ex rocarione A.
gurae ABSO circa A B, ad cylindricum cuius ba(IS A BR O et
aleicudo circumferentia radii Be nempe cxlindrum genirum
36 eZFOTATiOnC ABRO CircA AB, Scur rectangulum cuius baAS
huius. AQec alcirudo circumterencia radii RE nempe superficies ge
nica exrocacione A O circa AB, ad rect angulum cuius balIS
AO ee alcitudo circumferentia radii Ba nempe circulu exra
dio AO, quod demonstrare oporcuir. 2
P RO P. 440 Y E F O R F M A.
Tcfgura quaecunque BCE cum rectangulo circum scripro
ABFD, quae Elibrentur ex recta BF; dicomomeneum
rectanguli ABFD ad momencum Agurae BC P esse uc cylin-
deusfactus ex rerolurione rectanguli AB F D circABF, ad
Solidum rocundum Factum ex revolutione BC F circa cgn.
demBE. Sic rectae AB parallela e aequolis quae cunque FFI
sicuram BCF lecons in C: bilecentur rectae LHI, CFI, in pun-
etSO, P; manifectum est momencum rectae LH este ad mon
mencum rectae C HI in rarione compolica ex ratione FHI ad
GHI de exratione OFTad PH, hoc estin duplicara ratione
FH ad CtI Ceu uc circulus ex radio FH ad circulum exradio
GHI, cumquehoc semper ica creniar, se primae e cerrix lem
Det

## Folio 85 — 834940469:0169
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000169.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
A
et
M
3
d
pertine caedem; erie, vemomenta omnium F. II nempe mo
nempemomenrum lgurx B C. L ita CirCulIOMMSS ex radiS
mencum eorius rectanguli ABFD ad momenta omnium GJFI
FHInempe eylindrus ex rocatione rectanguli AB F D Circa
BF ad circulos omnes exradiis CHI nempe solidum rorun-
dum orrum exrocarione Agura BC. F. circa candem BF, quod
demonstrare oporruit.
PROP. 45. Y _ FOR F H A.
IIdem pohitis quae in ancecedence; si solidarocunda or:
 ea exrocatione rectanouli ABED de Rcurx BC F CirCR
BF secentur perrectam B F. plano quod horizonci sE per-
pendiculare, de lemisolida ex recta BF libreneur: dicomo.
mencum semisolidi AD F B esse ad momentum semisolidi
BCE re omnes cubi ab FFI ad omnes cubos a GHI: AnE semi-
circulorum FFI, CFB, cenera graviearis O, P; manifectum est
momeneum lemicirculi FHI ad momeneum lemicirculi GH
esse in rarione composica exracione Cemioirculi FHI ad Pemi-
circulum C HInempe ex duplicata rarione FHI ad C HI _ CX
ratione OHad PFI (Cu FFT ad CHI; _ ideo momeneum semi-
circuli FFTest ad momeneum Pemicirculi CFI in eriplicara ra
lione F HI ad GH, Seu re cubus ab EtL ad cubum a CiFI, cum.
que

## Folio 86 — 834940469:0170
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000170.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
que hoc semper ica eveniar, de primae de certide semper sne
exdem;eriesre momenea omnium Pemicireulorum FFFnem-
Demomentum iplius semisolidiB AD F. ad momenta om
rium lemicirculorum C: TI nempemomencum iplius semiso.
lidi BC E ve omnes cubi ab F. FTad omnes cubos XC HI, quod
demonstrare oporruit.
HIoc Theorema ab acurissimo Ceomeera R. P. Scephano
de Angelis nuper invencum poceric eodem modo demon
Rrari de qualibee Colidirocundi parce relecta a duobus pla;
nis in solidirocundi axe se invicem secancibus.
HIxC dicta sinc de quanciracum curuarum eransmucarione
ee mentura in genere; nune accedamus ad applicarionem
in calibus particularibus, quae cerrae facilis est, poces enim
nullonegorio ab Analusta pertici; Ped nos rarierari suden.
ress aliquando pure scomerrice, aliquando pure analyticer
aliquando partim geomerrice partim analrrice propolirum
demonstrabimus; hinc enim Facile percipier (agax LCCTOL
quid in omni casu exhibico asen dum HIE.
P R OP. 46. PROBLEM A.
invenire circulum aequalem superficiei conoidis Parabolica.
Icconoisparabolica genita ex reuolurione lemiparabo.
lae ABC circaaxem AB; cuius supecticici oporree inve-
nire aequalem circulum. Producatur BA in D VE ADSEquar
ea parslacerisrecri, cans acque parabolam in verrice A re
eta AEaqualis dimidio lateris recti; de axcDB perF duca
cur parabola DEK ordinarim applicaca BC pr OduCrE Occur-
rentinK: Cirque X recta diameter quadrarixqualis segmen-
to parabolico AF R B. dico rectam X ense radium circuli
aequalis superticiei conoidis parabolice geniex ex rocatione
Lemiparabolae ACB circa axem AB. ex quolibCF pUnCEOCUr-
va puraboliC AC. nempC M demireaeur in axem ordinatim
ap.

## Folio 87 — 834940469:0171
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000171.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
OueaE
pacd ecetinlisque Ctrecta a Guants
cm bC Pacelenu aotum
reccam lausentem in punctoMthormaliterlecare. DC.
ande ex docerma paraholarum alspeocatu d enesoria
aS. Vincerio de aliis cradita, manifestum est parabolas AABC2
. nna ud
feriorem curvam
 e
applICACAMC
ala 
DBK, esse alympeoeas; d ideo (ex eadem docerina)
quadratUm reCra CMI est aequole quadroris recearum C. MI
AF, hocest, quadraeis rectarum CM, GFI; illis aucem quad
dracis aequole est quadrarum reccx M HI; recexe igicur HIM,
CHI, luncaequales: cumque hroc semper hac in omnibus pun-
etis curux parabolicae AMCs manifectum est ex huius 3 lcg.
mencum parabolicum A P R B eNC aequale superhcicitrunci
SUPET CUTHA AMC. Secra a plano per rectam AB cranleunte,
se in angulo semirecco cum parabola seu bale crunci inelina 25
Ee; e iditur cum guadratu RCCEX  sE duplum superticiei
BAUM=
uius

## Folio 88 — 834940469:0172
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000172.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
ec
erunci, erie Xradius cireuli equalis superheiei conoidis aro
catione curua parabolica AMC circa axem AB genIEK,
quod demonstrandum érac.
Hinc eriam manifecum eRt cenerum grauitaris superfciei
conoidis parabolica idem esse cum cenero aequilibrii seg.
menei parabolici A F NKB in axC A B: eA enim scomeneum
AFRB magnicudine e gravicare onalogum cum superticiei
erunci ex huius 33 d superticies trunci est magnitudine a
gravitare analoga cum superticie conoidis ex huius 24: Scd
ex hac ipla proposcione sequirur illa analogia in magnicudin
ne e gravicare, quoniam eadem quae demonstrantur de in-
ceoris eodem modo demonstraneur de parribus carum pro-
portionalibus v. 8. eodem modo demonstratur sectionem
superficiei conoidis parabolicae genitxe ex revolurione cur-
va MC. ese aequalem circulo cuiusracii quadracum duplum
eM scgmenci CilIKB, quo demonstraca est praesens propolin
eio.
PROP. 17. PROBLEMA.
Inuenire circulum aequalem superficiei (phaeroidis oblonsa
PIe spherois oblonga genita exrerolutione lemiellipseos
aFFTcircaaxemlongiorem FT; cuius superhiciei opor:
tet invenire circulum aequalem. In verricibus P, F, ellipsem
TANGANEFCCtX TR, F D, aequales semisilacerisrecei: deinde
centro Ca3 verrice F per puncca D, R, ducarur cllipAS IFR;
ee Pcomenco CllipriCO DFRTF RAC aequale quadratuM
cuius diamerer sic X. dico X esse radium circuli equalis
superticiei sphaeroidis oblongae propolica. producacur et.
lipsis DER, donec axem FT produceum incerlecet in
Duncris Z. B: Facile paterrecras CZ, FC ese lemiaxes coniur
Batoslemiellipseos BFZ. Pemielliplestangences in verrici
DuSBB E) T, L, dUCANEUFrECEX B A, F C, TO. Z Y, omnes
XquBLESFCCTX E C, _ IWNSATUI RECTA A C F QY; dUCANEUE
2110

## Folio 89 — 834940469:0173
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000173.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
E
M
n
5
A
1
5
2t
in S. ex quolibet sen
iellipledo aata pllieio Ii anec  ttalia
NIP, quae producatur verectam AL lccecin larectas (t LZ
GR, C C in punctis O, M. L, e elliplem B F Z in R. AICrCCCA
PEaequalisrecrX PM, ee iuneatur HIN; manifectum est (CX
Fran: a schorren commeneariis in Carrelium PaB: 214) HIN
quoque GO GR, _ CY, qux 
normalicer secare tangenrem ellipleos in puncto N. Ob cl.
liplem FAZ de rectangulum ex lemiaxibus FOZ.V, cuius dia-
meter CT, quadracum recex (P est aequale quadrarisrecea
RUM RTB TS; CUIQUE RECEX LPB MP, OP, linc in eadem ratio
ne cum rectis OY, RI, SP; erit quadrATUM RECEX L P CqualC
Quadracis reCEAruM MP, OP; Ccd quadracum rectE IP equalis
est quadracis recearum L. P NB, ob ancenominacum proprie-
carem ellip (eosi e ideo quidracum recce lP equale est quan
draLISrCCEOrUM MP, NP, OP; sed quadratum recce IP Equa-
se est cciam quaururis recearum OP, RP; de proinde quadra-
ea rectarum M P, NVP, O P, Cunc Equalia quadrarisreCCarUM
R s3OP; e equalia auteren do, quadracum recre R Pequale
CA QUAATATIS RECEARUIM MP, NP, CCWHIP, NPs SCd quadratu
reCLEIN aquale eReildem quadratis; de IdCOFCCERHIN,
HP, luncequales; cumque hoc semper huc in omnibus pun-
ceis curue ellipeice LFT, manifestum est exhruius 3 segmen.
cum ellipricum F: D FRT esle Cquale Cuperticiei erunci luper
Curua F FF lectX a plano per rectam L P eranseunCC, de in
anxulo semirecro cum base erunsi inelinance; et isitur cum
Mt
qua

## Folio 90 — 834940469:0174
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000174.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
quad LCCC_ X AE duplum suxerheiei crunci exie Xra
dius circuli aequalis superticiei sphaeroidis genita aroratio
RE CUrHEFFT circa axem FY, quod demonstrare oportuic.
Ilinc ceiam paret quod superticies sphaeroidis sc magni.
cudine se craricace analoga cum leomeneo elliprico F D Fo
RP, idem enim quod demonaratur de inceoris, non dictimile
mechodo demonttratur de parcibus carum proportiomalibus
v.9. eodem modo demonstratur superticies genita exroca-
tione curuae FN aequalis circulo cuius ractii quadracum dun
Dlum est Pcemenci clliprici FkPO, quo demonstrata est prae;
lens propotirio; quod criam in cribus lequencibus est incel-
ligendum, cum eadem sic racio huius ee illarum, me enim
ex dec cadem (eMperrepeTerE.
PROP. 48. PROBLEMA.
inmenire circulum aequalem (aperficiei spharoidis latae
Ic sphaeroislaea genica ex rocarione FemiellipleosM C
Rcirca axem breniorem M R cuius superticiei oportee
ainvenire aequalem circulum. In verricibus M, R, elliplem
eangane recta MA, RD, aequales lemith laceris recti. Dein-
de centro P, verrice C, per puncta A, Cd, ducarur hyperbola
ACD, de Seomenco hyperbolico ACDRM AAC ae quale qua-
dracum cuius diamerer recta X. dicoz esse radium circuli
aequalis superticiei sphaeroidislaca propolice. Sic hyperbolae
alymptota PF rectam DR sccans in F, Scque hyperbolam
cangens in verrice recta B C C, Q iVBSANCUF RCCAX FD, PC70
ex quoliberellipseos puncto l in onem MR sic perpendicula
ris IO rectasC C PD, PF, PC interlecans in punctis FB Kd
OLicem hyperbolam incerlecans in E. Sic recta CN aequa
lisrectae DIE; manifecstum est (ex commentarius Firancilc. a
Scorten in Carrelium p28. 224) rectam NI ellipsem cangen.
tem in punctol normaliter (CCorC. Quoniam PF eAhyPerbO
1∞

## Folio 91 — 834940469:0175
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000175.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
n
DP
lae asympeoca _ C C recta hyperbolum cansens in verrice de
CK aqualis axis Cemisi C P; erie quadracum recte DR equa.
dequadraris rectarum RF, RC; cumquerect ELE, O1 L. 2d
linc proporrionales rectis DR, FR, CR; cric quadracum re-
AER B aequale quadracis rectarum O2. L. G, led quadrarum
rectae E Q est aquale quadracis rectarum H9, OQ, & qua-
dracum recta HQaequale eAt quadracis rectorum lO L Oi de
ideo quadrarum rectae F. Q xequale eM quadeoris rectarum L
QLOOBhoccA, quadrarisrectarum IC. KC Ceu IO, CN
led quadracum rectae IN aequale CA eildem quadracis; lunE
M 2 erBO

## Folio 92 — 834940469:0176
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000176.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
ers lequadelta F:O, IN; cum que hoc semperhae in om
nibus punctis elirux ellipricae MCR. manitenum eAt extruios
3 Ccomencum hyperbolicum AC DR M cHC xquale sopert
cicierunci super curua ellipeica M CR lecte 3plano per rect
MR cranseunce, e in angulo semirecto cum halc erunci im
clinances ee igitur cum quadeacum rectae X sic duplum super
Aicicierunci, eric Xrodius circuli aequalis supersiciei sphaeroi
dislsex seniex exrotscione curuae cllipeicae MC R CITCA aNE
Mks quod demonstrandum crac.
PROF, 49. PROBLEMA.
Inuenire circulum aequalem superficiei conoidis byporbolica
Teconois hyperbolica geniea ex revolurione lemihyper-
a bolae FST circaaxem FS, cuius superticiei oporret inue
nire aequalem circulum. In verrice Fhyperbolam FanBaErC.
Atd F FI aequalis semis laceris recti. Leinde describarur hy-
perbola cransiens punctum II, idem habens cenerum nempe
 ee eundem Cemiaxem coiugarum nempe DE cum hyper-
bolapropolica FS T; Sicque hyperbola descripes BHR ordi-
nacim applicatam ST productam (ccans in R; _ Peomento
hyperbolico FHIRSAiacae quale quadrocum, cuius diameter
R: dicoX esse radium circuli aegualis superticici conoidishyo
perbolica propolicae. Sic hyperbola propolica alymproca
DV, rectom FH productam secans in K, lirque heperbolo
invenea alympeoca DY, FH eriam productam Fecans in C3
ee producatur recta V FI. Fx quolibechyperbola propoliea
puncto Laxi applicetur ordinaeim recta QC, qua product
reCtASDEI, DV, D Y, incerlecet in punctis L O, L, de hyper-
bolam invencam in puncto P; licque C A aequalis rectX C, Z.)
manifectum est (ex Fran. aSchoccen commentariis in C or-
Eelum P45. 216.) iunetam rectam DA cansenrem hyperbo.
lam in puucto Bnormalicer secare. Cuoniam recta FKhy Per
Bolan
uuins

## Folio 93 — 834940469:0177
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000177.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
93
Bolam eongens in verrice producicur ad eius asympeoram
in punctor, eric FR aequilis ejus semiaxi coniugaco W B; de
obhrperbolam BH R _ eius alymprocam D Y, quadracum
recxe FC a quale est quadearis rectarum F H, V Cs hoc cA
Et Fx; cumque recta C, Z, C, O, C l, linc in eadem rat: OdC
Cum rectis FH, FK, FC; eric quadrarum rectx CP aequale qua
dratis rectarum C: O GD; led ob hrperbolum FQI _ eIuS
alympeocam DV, quadrarum rectae CO, aquale est quadca-
eis rectarum C C IdF; X ideo quadeurum recte ( L equale
QuaaratIs reCtarum CZ, C9 D E; led quadrocum recte CL
Gualo cCCTIaM GUAAEAEIS rECFaTUIM G P, D Ei e ideo equa
det

## Folio 94 — 834940469:0178
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000178.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
Jia auterendos quacrarum recte CP aequale es quacraris re:
ctarum GZ, CG. hoc est, quadraris rectarum Ci A, C+ O; his.
durem quadracis equale es quadrarum recce A G, aequales
eroo (unc recte CP, AO; cumque hoc semper ereniac in om-
nitus punctis curre hrperbolice FOT, manif: um est extiu
ius 3 Ccomencum hyperbblicum FHRS equale ese Tuperh.
cicicrunci super curua hyperbolica FGI lecrae aplanoperre.
cram L’Straneunre, e in anoulo Temirecto cum bale crunci
inclinanee; ex ioitur cum quadratum recex X sic suplum lu-
perhcicierunei, eric X radius circuli equalis superticiei co-
noidishyperbolicae genitae exrocarione curux hrperbolica
FOTcirca axem FS, quod demonstrandum erat.
PROD, SO. PROBLEMA.
Si curva hyperbolicaroretur circa axem conineatum; invenire
circulum aequale Cuperficiei ab illa curva hyper-
bolica rotatacenita.
Ie curra hyperbolica a C, que roraca circa axem suum
aceniusacum FiL. sionie superticiem; oporcec huic luper-
ficiei aequalem circulum invenire. Sit curux hrperbolice aC
cenerum L, vercex an alymprocon L. B: hyperbolam cangacin
verrice arecea ak equalis lemissi laceris recti ciu(dem hyper.
Bola: lic recta HIK rectae La Parallella e e qualis, quae produ.
cacur indefinice hyperbolam secans in R e eius alympco.
conZ. D in M; Q in illa sumaeur recta HV, cuius quadracum
aequale sic quadeseis rectarum HIR, FTK: deinde cenErOZ vor
cice a lichyperbols a V A, quae producarur donec rectam FC
A parallelam rectae Za incersecet in A; de leBmentohyper
Bolico F A V a Z. hiac aquale quadracum, cuius diaecerL:
dico X esse racium circuli quaesici. Sic hyperbolae invenca
alympcocon ZB rectam HV sccans in L, de ex quolibec hy-
perbolae propolicae puncto Pin verumque axem (si opuS elt)
Pro.

## Folio 95 — 834940469:0179
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000179.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
t
Cad
pa
e
11
ex,
0
M
a
productum deutantur perpendiculares TI.TB: Ecque cut
nam lyperbolicam normaliter secans in punero T, rectaCy
verumque axem (Gopus est) produccum secans in punctis
C. V: producantur (E Opus es) rectae TB, TI. de rectam ZKY
incerlecene in Y e O punctis; maniteltum CA ex loco citato
Francis. a Schoorenrectas B Y, B7, esc aequales; est aurems
v. β7 adBT seu FOgicaIT sew B2 2dIC; d ideouc YBadOF
ita ZB ad TC; scd uE YB ad OF ica ZBad ZF leu IO; TUnECrOO
aquales rectae CI, IO. Producatur recta IT rchyperbolae in-
venex occurrae in  ee eius alympeoro in P, licque eius in-
cerlectio cum asymproco hyperbolae propolica punctum H.
ex constructione quadracum rectxe HV (hoc es quadrarare.
ctarum FIL., Za) aequale est quadracis rectarum HIR, FIK, Peu
quadrasis rectarum HIM, FIK, La; _ ideo idem verinque su
terendo, relinquicur quadracum rectae FIL. ae quale quadracis
rectarum HIK, IM: cumque rectxe IP, IHI, IO, Sins in eadem
1a

## Folio 96 — 834940469:0180
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000180.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
ratIONC CMMHI SECIIS HIL, TIMS HIR; eric eciam quadrarum rectae
Ie aequale quadracis rectarum III, IO; e idem quadrarum L
a verinque addendo, erunt quadraca rectarum IP, L a (hoc
eA quadracum recta I 1) aequalia quadraris reccarum IO, I
N. Za hoc est quadraris recearum IO, IY Peu ICBIT, hoc est
quadraco recia T6; lunc erso aequales recta Cll. TC; cum
que hoc lemper cuenine in omnibus punceis curua hrperbon
lica a TC, manifectum est ex huius 3 segmentum hyperbo.
licum FAaZ ae quale ese superticicierunci super curua hypce.
Bolica aTC seceae a plano per rectam LL. cranleunce ee inan
sulo Temirecto cum balc trunci inclinante; ee igieur, cun
quadracum rectae X sic duplum superticici erunci, eric XPa-
vus, dius circuli ae qualis superticiei genice a rocarione curuehr-
perbolice aLC circa axem coniugatum L. Ii, quod demom-
xana t
DROP, SF. PROBLEMA.
inuenire rectam aqualem curna Parabolica.
Iccurus parabolica 6N, verricem habens (n e axem C
O, cuioporcec rectum invenire equalem. Producarue
axis CO in A, ve C.A hac equalis semissi laceris recti, sicque
CK reca parabolam eangens in verrice d NR axi paraIeIIX
illi Occurrens in K: deinde sic recta C D angulum reCEUM 
GK bitariam dividenss hacque hyperbola A C verticem ha
DenS A, CCMErUI CS _ A (VIDDEOEON C O; PEOdUCACUF RECCEINI
Adoncchyperbolam se cer in punceo C lItque AF rCCEE C+
K ParaIICIIa: Aac eandem ve receansulum ALKC ad legmen.
cum hyperbolicum ACKC, ita reCEAO R ad recEaM Z; dico
reccam X equalem esse curue parabolice C N. Lx quolibee
CurDEDaraBOlICE PUNCEO M demittAnEuEin rECEAS CO, CRS
perpendiculareS ML, MEI, AcquereccA O Icyruam parabOli
camnormaliser secans in punsto ht, de rectis 6O, CK, OC
CAFECFS

## Folio 97 — 834940469:0181
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000181.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
currens in puneris O, P. Mnifestum eB recram L. O equalem
ese lemisi lateris recei seu CA: Producarurreera MIs rehy.
perbolam (ecec in puncco B de asymprocon ClD in P; manite.
Rum eriam eA ob alzmprocon CD guadrucum recre HB
equale ese quadearis recrarum A (7, FI F, vel ob angulos
aguAleSFICKS FEFC quadeaEIS rCCCArHIM LO, GFI, (eu LO,
LM; sed quadrscum recea OM ae quale eM quodracis receArI
OL, LM; d idCorecex OM. EIB sumE~e QualCS. Deinde ob M.
e
mili.

## Folio 98 — 834940469:0182
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000182.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
2d
milicudinem erian gutorum HMI, L.OM, est veHMadMIica
OL. dd OM, seu C: 2 ad HB; cumque hoc Pemper hac in omni.
buspunceis curuxe parabolicae CNserie exhuius 2 recrangu.
lum AFKC ad segmenrum hyperbolicum AC HEG, vE RCCCA
CK ad curuam paribolicam C N; exaC aucem DE receanouli
AEKC ad Cegmencum hyperbolicum A C K C, IEa PECTA CoR
adrectam X; _ proinderecea Xae qualis est curue CNI quod
demonctrare oporruit.
Fodem nodo demonstratur recrangulum P F K EL eNe ad
Regmencum hyperbolicum BHIKC ve recta HIK ad curuam M
N. ee proinde segmencum trperbolicum AC KC est magni-
eudine e geanicace analocum cum curua CrN, quod criam
ex truius 2 eA perspicuum; cumque detur Facile eruncus in-
Ferior cylindrici reCEi supeF ACR C ex huIUS 2T, 35 d 37 da-
bicur cenerum graviearis segmenei hyperbolici A C K C7; e
ideoinnoce(cie centrum x quilibriI CUITUX CF N in ReCEA (R:
hinc quoque nocacu digna cst analosia in magnicudine 
BCollicate, quae concinsir incer curuam parabolicam. (uper.
siciem Sphaerordis lacae de superhciem genitam a rocacione
curuxe lirperbolicx circa axem luum coniugacum, quae cui.
dens est ex lola tigurarum huius 48, 50,si inspecrione.
PROP, S2, PROBLEMA.
Si curua parabolica vertatur circa rectam, eam in verrice iancen
tem inmenire circulum aequalem (upersiciei ex tali con.
versione senita
 le curua porabolica IED, cuius rertex D, rocaca cirCA
ad reccam BD eam in verriceransentem, re signar (uper.
herem rocundam: oporcer huic superhciciinuenire circulu
aqualem. Sic curux paraboliea lacus reccum quadruplum
rCCIA DR, dC CIUS axIS DK. Ex PunCEOLIn axEM VK LICreCTA
perpendicularis IK, et axc crantuerto RD Ccui etIaM aQua-
IIS

## Folio 99 — 834940469:0183
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000183.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 18 lines, status machine
tis sic axis coniugacus) hac hyperbola DO L. receaM LR prO.
ductam secons in L: deinde lemi hyperbola DKL. AaC aequa
se quadrarum, cuius diamecer X: dico x esse radium circuli
quaelicis Lx quolibee curux parabolicae punceo F in aRem
demicratur perpendicularisrecea FF, quae produera hyper-
bolam incersecec in puncto C; litque parabolam eangens in
PUINCEO F reCTaFA cangenti D B occurrens inC de axi prO
duceoin A, EEquE CFEaequalIS _ parAIICLA FECFEDF. ManE.
Feltum est F A duplam eNse recex D A, e ideo F F eAt dup)
reccaCD, CR ergo FH equalis recEX HI P. rectangulum R L
in LD cAaequale ouadraro reccae DF una cum recransulok
DE, acque reccangulum RDF aequale eAt quadraro F HI quo:
BiaM R D eA quorra pars laceris recri; ee ideo quadrarum
recta CF (quod aequale est quodracisreccarum FH, HC
DF) aequale est recranguioRF in FD, sed quadratum reccx
E eidem recransulo cAt aequale. _ proinde recTEFC, FC,
incer (c sunc aequales cumquehoc lemper hat, patet ex tu-
N 2 Iud

## Folio 100 — 834940469:0184
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000184.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
25
10C
us 4 semihy perbolam D sL ee aequalem superticiei erunci
Supercurua paraboliea DFI lecex a plano perrectam DB
transcunre e in anculo semirecro cum bale erunci inclinan-
ce; e ideo; cum quacrarum rectx Xlic duplum supertciei
trunci, erie Xradius circuli aequalis superticiei geniex aro-
huius. cacione curua parabolica circa recram D B, quod demon,
Erandum erat.
Fx hac propolicione pacer Pemihyperbolam DKL. eNe ma
onitudine se grauicare analosam cum superticici: ex haC3
ancecedence e huius 58 non disticile cs invenire cemerum
Gravicaris curux paraboliex vel eius porcionis cuiuscunque
dacae, quod admonnise Pusticiat.
PROD. S3. PROBLEMA.
Invenire centrum crauitaris semicylindri recti oblique secti.
ETE circulus BC: OC Cylindribahs, cuius diamerer B.
 licque recta B A circulum cansens in A Cemicrlindri al-
sicudo aqualis rectae BC. perinde enim el cum omnes Pemi-
Cxlinari super eadem bale line onalogi, qua producatur ad
Darres Bindetinice, sirque ciparallela d indehinire lonea,
recta PO; AANECFIAM AP, CR, DI, parallelae diametro B
e ducatur AL recta reliquis le habencibus re in Rgura. Sic
figura CRM ealis nacurX, ve (ducta recta quaCUnqUE F YHM
paralela rectre P(2) F Y SIC Bd FY DE CY ad RM: AGUTA CRM
ek analosa magnirudine de gravicare semicrlinaro; orque
huius hgurae Ccu semicylindri cenerum aequilibrii iea inveni
EuT: SincCR, RS, aequates reliquis se habentibus ve in sigu-
xas hacque tigura DOT calis narura, ve (ducta recta quacon
QUC EZRMNO) EY SIEAdKL VERMAdHO; d ROurR DOI
circum scribatur rectangulum DV: sIC deinde vE EOUrACRM
ad Aguram DOT IEA F Y ICU R C ad C Z, manifectum eHC CX
MuiuS 37L. CAC cenerum aequilitori Fisurx L. M R: ABUIa dV.
EEI

## Folio 101 — 834940469:0185
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000185.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
et
et
39
2
C3
M
16
ib
A
A
FOP
tem D OT innorescie hoc Modo: datUF recanGuIUM DY
quoniam DY eA aequalis BO _ DX ICu TV eR quarta conci
nue proporrionalium, quarum prima et F. X et Secunda dii
midis recte BG deinde NO ck Semper quarra conrinue pro
portionalium, quarum prima es F Y ee Secunda C Y, quod
Ec proho: ex praedictismonifeltae lunclequentes analosix.
EY: FY  GY:: C Y: KM
EY: KI. = BB: : RM. NO
EZ2: BV XYO G Y2:: RMX C Y: XMX NO
 ideo EY2: OY. S: GY. NO, estigieur

## Folio 102 — 834940469:0186
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000186.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
eg
1O2
CX, = FY2 xHO; de proinde POLiCA E Y prima  C Y seCUn.
dos erie NOquorca continue proporcionaliums ec id eo Agu
ra BOT cA ad rectangulum DV, re conois parabolica (cuius
basis est circulus BCOG) ad cylindricum parabolicum ilti
conoidi circumscriprum, cumque deneur proporcio conoi
dis parabolicae ad cxlindricum sibi circum scriptum et re
ctangulum D V, dabitur quoque Agura DOT, et ideo pun-
ctum quoque Z; d ideo datur in lemicplindribase eius cen-
erum aequilibrii; ee proinde lemicylindri cenerum grauitaris
eric in data perpendiculari ad balem c cenero aequilibrii ex-
cicaca, deque idem gravieacis cenerum est in rect a Ca ducta
inter punctu O_ amediuns punctum rectae A B ex puncto B
huius, basi BC 2perpendicularis, suppolica nempe crlindrum esse
sectum a plaro baleos planum in recta PAlecance; Acisitur
VERC ad CL. ita Qa ad ad, cric dlemicylindri centrum sraui.
edtis, quod inveniendum erat.
In huius62 docebimus aliam mechodum inveniendi prod
POTTIONEM INEEF DV EDOT.
P ROP. 54. ZFZ EORF M A.
le paralelogrammum ABIR, Sicque curra ACItalis n2-
curae, ve (ducta recta quacunque DE parallela e aequale
rectae AB curram sCCANEC in C) raTIO AB adFC SE mulciplio
Cdca raciONIS A IE ad A L inracione P ad . dico paralleton
BTAMUM ABIK esC aa AGuram AC. ILE VE P ik G2d G. produ
EAEUF ReCta IB in Co _E IVIHOACUF CUrUA AHI C calis naEurAe, VE
(ductarceta CFFanSenLC CurvaM AC I in quolibet puncto
C_ ductis parallelis FC, FHI) recta C HIlIC aequolis e Pa
rallela rectae FF: manitellum cA exhuius 7 rectam AF. ad F F. 3
TeuLC adHC eHse reP ad O cumque hoc semperhae, cuin
dens est scuram AC IB esse ad fguram A C LO FTVE P 2d
deque ex huius Fr figura ACIOHI eAt ae qualis Apora AC IK,
e ideo sigura AC IB est ad figura AC LK vE P adt C, de COm
PO.

## Folio 103 — 834940469:0187
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000187.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
td
3
se
u
1i1
1i
id
203
Donendo parallelogrammum ABPK eA ad Eguram AC IH
reF  Tad , quod demonstran dum Crat.
Sit lic minor quam Q. eric A C IK qualibet ex parabolis
inanicis, li vero Psc maior quam , cric ACIK quodlibcE CX
crilineis infinicis. Lx hac quoque propolicione manifectum
es parallelogrammum ABIM esC ad AguEaM ABIC vE P
Bad F; quod criam ica immocelcir, quoniam ratio AB ad L. C
est molciplicoca racionis AR ad AP in rarione Pad O, hoc cA
racio AB ad AL. eAt mulciplicaca racionis BI ad L. C in eadem
racione Pad  erir converrendo, BI2d L C mulciplicara r2-
cionis A Bad AL in racione  ad P; e ideo ex ipsa propoL.
cione parallelogranimum ABIK eA ad Aguram ABIC rE
P isa 2ad P, quod demonstrandum Crat.
PR9

## Folio 104 — 834940469:0188
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000188.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
P XD P. 55. E _ F O R B M A.
IIdem pohris, quae in ancecedente: dico raxionem ROUrE
R, ACIK ad higuram AC F esse mulciplicacam racionis I
CF. in racione P, f.Cad P. F.X anrecedere ABIK eA ad AC IK,
ve PO ad Beodemodo ALCF eA ad AC. E VE Pus Pad 2)
_ ideO ABIK C(AEAd AC TK VEALCF ad ACL, _ permutandO
ABIK CA AA ALCE DE ACI ad ACE, aE raTIOABIR ad AI
C F CR COm POsIEA ex PaTIONE AK ad AF _E Cx raTIONC IK ad
CF. e proinde ratio ACIK ad AC F componitur ex eisdem
racionibus; acratio IR ad C F eA nulciplicaca rationis AK ad
AE inracione P ad O ee convertendo, rario AK ad AF cA
mulciplicatarationis IK 2d C F in ratione O ad P, d compo.
mendo, rario compolica ex racionibus A K ad A F _ IR ad
CE (nemperatio Aguex ACTK ad Aguram ACB) est multi.
plicata racionis IK au C. P in racione P ,F O3d P, quod de
monstrare oportuit.
P R O P. 56. Z H F O R F M A.
Vppolico ABIK rectangulo _ reliquis positis re in ante-
cedence, E luper Aguris ABITE, AC IU, SuppOnanEuF CY~
linarici recti, cuius verusque alricndo A B, icem (UDPOMCO
cxlindricum Cuper ACIR secari a plano ipli baM A C L R (Cd
minormalis de cam secance in recta AR: dico parallelopipe.
dum super ABIK eNC ad inferiorem eruncum cylindrici su
PEr ACIE vE +P, f.2 3d0. Supponatur planum lccans cy.
lindricum super ACIE produci ur lecec eriam paralleloxi
redum manifectum eltcruncum eius inferiorem esse prisma
eriansulore parallelopipedi dimidium. Demde hic rectan-
gulum AMTK cum inscripea linca ART calis propriCFAEISAVE
(lumpco ad libicum puncto E e ducta recta D F O ipsi A K
verpendiculari ee lincas ART, AC B Secance in punctis R3 C
Nem

## Folio 105 — 834940469:0189
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000189.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
icem ductoper puncto F plano ipsi AEnormali e inferiores
Crlindricorum eruncos lecance in criangulis rectangulis ilo-
Scelibus quorum baseS TUnE DF, CF) OE BC ad R F SCuE
eriansulum luper D F. ad criangulum super C F. Pasecerian.
gulum super DE esse ad criangulum super CF Ceu OF ad RF
in duplicara ratione D F ad C F, atque ratio D F adC. F CR
mulciplicara racionis AK 2d A F in ratione P ad Q; d ideo
ratio OEadRF CAmulciplicata racionis A K ad A F inratio-
ne 2P ad93 cumque hoc semper hac rbicunque sum acur pu-
aum B, Parer exhuius 54 rectongulum AM TK eNC ad sigu-
rAM AR TK DE 2P FDad O: aF OF semper est ad RC, verrian-
culum super DE, nempe communis incerlectio plani nori
malis ad AIE cum prilmace eriangulari, ad criangulum (uper
C E, nempe communem lectionem eiuldem prioris plani cu
crunco inferiore cxlindcici super ACIK; ancecedences quo-
que quancitates, nempe omnes rectae OE inter le, de omnia
criongula super DE incer Ce, lunc aequales; ee ideo reomnes
rectae OE nempe rectangulum AMTK ad omnes R E nempe
Aiguram ARTE ica omnia eriongula super D P. nempe prilma
eriangulare ad omnia criangula superC P nempe inferiorem
eruncum exlindrici (uper A CIK; e proinde prisma est ad
ErUNCUM rE 2 P F 92d 9, e ideo duplum prilmaris nempe
parallel opipedum luper ABIK est ad interiorem eruncum cy.
lindrici recti suver AC I. R vr 4. P ,f. 294d O quod demon-
strandum erat.
acque extruius 54. parallelopipedum super ABPK cA 2d
Cylndricum eiu sdem alcicudinis super ACIK vE P. F. 2ad
hoc esre AP  2 ad +PO F 2OC, _ proinde parallelopipe-
P,FC
dum super ABTK est ad eiusdem cylindrici eruncum suve.
riorem regPPr6P9. . 2922d 3D() t 90; acque caliseru.
cus superior idem elt cum erunco ciuldem cxlindriciinterio.
re relecto a plano balem secance leminormaliter in recta BI.
ideo huius quoque crunci ad paralelopiDedum PRCCETAZ
510

## Folio 106 — 834940469:0190
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000190.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
Tuius.
rio, nempe ve sPD Oad APD + 6PO F 2.
PROP, 57. YHI FORP M A.
DOliro parallelopipedo e cylindrico habere alcicudine
a
AK de reliquis re in ancccedence; si cylindricus rectus
super A CIK secetur a plano ad balem Peminorinali de cam
secanre in recta A B. Dico parallelopipedu super ABIK eNe
ad inferiorem eruncum cplindrici super AC IR in racione
Drfo 202d0. Sit quadratUM AM TK cum inleripea linea A
H P calisnocurae, ve (Tampeo ad libicum puncto F ee ducta
recta D E O ipsi A K perpendiculari d lincam AR T sCCANEC
in punctoR, icem duco per punctum F planO ip(I AK nOr-
mali, cuius incersectio cum erunco interiore est rectangulum
LAEC) AE AE Ad RE SCUE BA adCF. Pacet ex constructio-
Herationem AL adRB esle mulciplicacam rationis AR ad t
E in racione P ad, de componendos racio AR adRL, hOC
eAracio KT ad REs es mulciplicoca rationis AK ad AF in ra-
tione P  ad; de ideo quadracum AN:TK cA ad liguram
ARTK vED t 2 GadC, aC VE ABIK ad AM TKica IK vel AB
edTX (eH AK, d ideo rectangulum AB IK CIt ad AGUraM AR
EKin racione compolica exratione Pit 2 ad Qde exratio
ne AB ad AK. Ouoniam AE CA adR E VE B A ad CF, crie re
etansulum AE: in C EnemDC AFC L. aequale rectangulo AB
in RE, cumque hoc lemper har, eric cylindricus sUDeT AR TK
habens alcicudinem AB aequale inferiori erunco cylindrici
super ACIK; _ ideo parallelopipedum super AB IK cum alci
cudine aB CA ad cplindricUm (UPET AR T X sCu truncum iro
Feriorem crlindrici super ACIK ve balis ABIK ad basem AR
TK, hoc est in rarione compolica ex ratione P. 2 adO se
ex ratione AB ad AIE, sc parallelopipedum super ABI R cum
alticudinc AB es ad parullelopipe du super ABIK cu alcicudiu
NE AK VE AB ad AK; ee proinde parallelopipedu super ABIK
cum adcicudine aK cst ad eruncum inferiorem cylindrici lu
DEF
eoc

## Folio 107 — 834940469:0191
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000191.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
Der ACIKVE D f 202d9, quod demonctrandum eFAE.
Acque ex huius5 4 paralselopipedum (uper A B I. R cst 2d
Cylinaricum eiu ldem alcirudinis supeF AC IK vE P F. Q ad 95
hoc eA re P f 2Q ad OPFOC; e ideo parallelopipedum
P. FC
Tuper ABIK alcicudinis AK est ad eruncum superiorem extin.
Drici TupeE ACTK eiusdem eriam alcicudinis AK VE PP ef 3 PQ
2adQ; acque calis truncus superior idem est cum
interiore eiuldem cylindrici erunco relecto a plano basem
Teminormalicer secance in recta IK, e ideo eiuldem parallo-
pipedi ad hunceruncum inferiorem cadem eltracio.
Ex huius 293 56 e 5 manifectum est cenerum aequilibrii
AOure AC IK ica dividere rectam IK, VE parS vertuS IBE ad
parcem vertus R in rarione 3P,.  adP + 9 icem centrum
aequilibrii ciuldem ACIK ita diridere AK, uc pars verluS A
siE ad parcem versus R in rarione P F O ad.
In duabus praecedencibus, cciamsifacilicaris graria sup.
ponatur ABIE rectangulum conclusiones camen nonmi.
nus verxe lunc de parallelogrammo quoliber; nullo enim ne-
gocio demonstraneur ex aequalitare se analogia in magnitu-
dine e granicace eruncorum super rectansulis et eorum A.
ouris cum eruncis super parallelosrammis quibuscunque de
eorum hguris; quod eriam in sequencibus de Aiguris lonsi.
cudine intinieis incellisi relim.
DROD, 58. PROBLEMA.
TEAEF anguluS reCtUS AEqUE CuErA ADF caliS NAtUTX, ve
a (ducta recta DC ad libicum perpendiculari ad AF) Fa-
EiOLF ad CD sc mulciplicaca rationis AP ad AC in ratione
numeri im paris cuiuscunque ad numerum proxime minorem;
oporeet invenire rectum aqualem currae AVF. v. 8. Sic racio
E.F ad C D mulciplicaca racionis A F ad A C in ratione g ad
4: Acque (opehuins 2) ue recta AE ad curuam AF ita rectan.
gulum

## Folio 108 — 834940469:0192
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000192.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
108
cus rectum (nemperecta aueti Il Quadracoquadraeum ren
Ax CD semper esticiens surde lodidum rectae AC) curva A F,
ulum ad libitum ACNE. ad mixtilineum AOLP, Reque ld
li AC3b; Gl, C; TL, a. CFI quorliber aequaliter crescentesa; HO
vel C a;2; manitellu est ex huius7 BC CAC 12 de C D Y99 25
_ BD VG(Y92S  2622) eririgitur BC ad BDUEC K ad C0.
hoceA +L: Yq(V925 , = 16E2):: b: b qa; e id co 4b2 + 4 aZ
23
iYq(YqbHZS  16b22) ec equarione reducta invenitur
HO (CnZ= 20241b2 a2  5F21ba3  256lat; e ideomanife.
62564
cum est analyAx crilincum CIL. esse composirum ex ad di-
tione erilineorum quadracici, cubici de quadratoquadraci
ci, quorum omnium axes lune GI, ee bales, critinci qua-
huius dTaEICi 20241b2e7, cubiei 5F21bC3 _ quadracoquadratiei
62564
62564
DuIS.
AEbb d
in
e
1
a
Ir

## Folio 109 — 834940469:0193
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000193.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
256let; _ proinde eritineum GO L. L C( 10241c3 F. F28I54 of
6256+-
187562, 62563
236le5, de ideo recta AF cM ad curuam AF veba (Cu rect an
3T2564
Gulum ACNF ad bd F cd - 20241C3 - 1281c4 = 2561c5 (CU
1875b2 62563 312564
mixcilincum ACL C, dacur isicur recta xequalis curvae AF, quae
invenienda erae. Quomodoinveniatur luperticies Facta ex
FOEACIONE CUrVX A F. circa rectam AC. Cuidens eAt ex huius
45. Quoniam ex huius 57 Facile est invenire centrum grari-
cacismixeilinei ACTF. quod sin aequacione reductu, ex vna
parce invenea fuissee non 2 (cd 22 (quod semper accidit, I
racio FF ad C.D sicmulciplicara racionis AE ad AC in racio
ne numeri paris ad numerum proxime minorem) invener
fuisset eancum superticies genica ex roratione currae AF
circarectam AC, VEpaTCE CX hUIUS 23 _ 43.
P R O P. 59. Y E F O R E M A.
 IE paralleloorammum ABF E, AEque CuErS F CII calis
 nacurx, vi(ductarecta quacunque C Pacallela recta
A B CUrrAM FFI sCCanCE in C e rectam BF in D) racio AB
ad CC sic mulciplicata rationis B D ad BF in rarione Pad.
dicoparallelogrammum AB F F. esc ad figuram longicudi-
nC InANIEAM ITAEFCIT VE(=Pad G. producatur recta BF
In M _ dUICACUE CUEDA MKHIcalIS nacura, re (duccta recta CL
EANSEnEC Curram FC II in quolibet puncto C e ductis par
rallelisC Cg KI) recta CK lic ae qualis _ parallela recta C P.
manifestum cA ex huiuS7 rectam AC ad CI vel L C ad GK
esse re P ad , cumque hoc semper Aacs euidens est fguram
TTEBH CNC 3a AGUTAM HI FMFI uE P ad C, acque ex huius
ZF AGUTA EY FM EI CH ae qualIS AGUrA H AE PH, de idco
AgUTA EIA F FH CIE ad AOUraM EY F BH VE C adt P) 8 per
convertionem rationis, HL A  F HL Clt act PAFallelOGFAM.
mium

## Folio 110 — 834940469:0194
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000194.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
c10
nunsDs LulCAd =P, d converrendo ue paralleloi
oraMMUM ABFE ad Aguram HAEFH icq O = P adG, quod
demonstrandum Crat.
P XO P. 60. = H Z O R F M A.
 VeDOSicO A BF B rectaneulo de reliquis posiris Bieue in
ancecedente; A super AguriS ABFE, AAFFHI, CuPPO.
nancur crlindricirectis cuius prioris alcicudo AB, secundi
aurem olcitudo infinita, irem suppolico cxlindricum supee
AAEFH secari a plano ipB bah seminormali de cam secance
in recta AF: dico parallelopipedum super ABF. F eNC ad
interiorem cruncum cylinarici suPEE (I AK F (I rT 2Z= A1
ad

## Folio 111 — 834940469:0195
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000195.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
ad e. consideraris consderandis demonstratio non distert
ab utus
PROP. 62. ERF ORE M .t.
IIdem suppolicis cylindricis, qui in ancecedence; le d
Lcum alcicudine BF, ec suppolico cylindricum super I
AEFH sccari a plano ipsi bali Ceminormali ec eam secance in
recta AH: dico parallelopipedum super A BF F. eNc ad inte-
riorem eruncum cxlindrici superHIAEFH in racione 2O = P
ad0. Sic primo P minor quam O. (icque re AB adCC it2 B
Dad DR prorractam verlus A F, e compleatur quadrarum
ABFO ex parre a E, icem ex omnibus punctis R imasineeur
curua BRO: Pater ex constructione rationem BD ad DR CAC
mulciplicacam racionis BD adB Fin racione Pad C, ee divi-
dendon rario DR ad BF, nemperacio D R ad FO, eAt mulei.
plicoca rarionis BD ad BFinracione O = P adC, de ideo qua
drAEUM NB FO eAtad Aguram BR O Finracione 2 G= P ad huius
B AE VEABFEAdNBFOica FF seu AB 2d OF (cu BF, de ideo
recconsulum ABFF eA ad Eguram BROFinracione compo-
sICa ex ratiOnC 22 P ad O e ex racione AB ad BF. Ouoniam
eA DE AB ad CC ica BD ad DR, eric receangusum A B in DR
aequalc rectangulo BD in CO, AC rectanSUIUm AB in DR CH
communis incersectio crlindricirecri super BROF alcicudi
nem habentis AB cum plano secance super HD ad balem
normali, ec rectangulum BD in C C Cst incersecrio ciuldem
prioris plani producci cum erunco inferiore crlindrici super
HAEFEI; cum que hae incerlecciones semper concinganc elle
aequoles, manitellum eA interiorem eruncum cylindrici su-
DCA HTAEFH Cqualem esse cslindrico super BROF alcicudi
nem habenci AB; e idco parasselopipedum super ABF. F
cum alcicudine AB es ad cxlindricum super BROF scucrun-
cum inferiorem cxlindrici luper HAEFHL re baliS ABF F. ad
basem BROF, HOCCA in PAEIOME COMPOLIEA CMEAEIOnC Z

## Folio 112 — 834940469:0196
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000196.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
C+ Z
adO_ exratione AB ad BF, ac parallelopipedum super AB
FE cum alelcudine AB es ad parallelopipedu super eade AB
FF cum alcicudine BF re A B ad BF; e proinde parallelopi-
pedum super AB F F cum alricudine B F est ad inferiorem
eruncum cylindxiei sUPeF FTAFFMIE2O = P ad O quod _c.
Ouoa A P SIE MaiOE quand Q; siC VE AB ad C G its BB adC
R DEOEFACEAM VerSUS L. K3 _ CompleREUr GUAdFAEUM NAFO
ex parre L.K, icem ex omnibus punctis R imaginetur curua
ORHI: parec ex conttructione rationem BI ad CR eNse mut-
ciplicaram racionis BD ad BF in ratione P ad O. de sumendo
excellum ancecedeneis supra consequentem ad conseguen-
tem, racio BF ad CR nempe racio EO ad CR eAt mulciplicao
ea rationiS BD ad BF (CU AC. ad AE in racioneP = ad O; d
ideo quadrarum NAF cA ad Aguram lonsicudine infini
EAM AIAEOHI DE 2O = P ad D, AEVE ABFE Ad NAEO it2 F F
seu AB ad FO leu BF, e id eo rectangulum ABPE CA ad f
Guram HIAFOHI in ratione CcompOMEs eK rationc 29 -P ad
D_ exratione AB ad BF. quoniam elt vE AB ed C G IcABD
ad CR, eric rectangulum A B in C R ae quale rectanguilo BD
in C C3 ae rectangulum AB in C R es communis incerlectio
cylindrici recti super HIAEOHI alcicudinem habeneis AB cu
plano secanre super C R ad balem normali, _. rectangulum
BIdin C Cek incerlectio eiusdem prioris plani Cum CrUNCO
inferiore cxlindrici super HAEFE; cum que hae intersectio
nes semper contingane ese aequales, manifeltum est inte
riorem eruncum cylindrici sUpEE HIAEFE aequalem esse cy.
lindrico super TTAEOHI alcirudinem habenri AB, & id coD2
rallelopipedum super ABFE cum alcicudine AB eA ad CyliM-
dricum super HAEOM scu cruncum inferiorem cylindrici su
DETHAEFHTAE BAUS ABFE ad baseM HIAEOHI, hOC eK in rarion
ne composica ex racione 2O = P ad Q d ex racione AB ad
BF, ac parollelopipedum super ABFE cum alcirudine AB CA
ad paralleloxipedum luper eadem ABFE cum alticudine BF.
De A Bad BF; e proindc parallelopipedum super ABFE eum
e
d.

## Folio 113 — 834940469:0197
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000197.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
U
a
e13
alcicudine BF cA ad inferiorem eruncum cxlindrici supee
ATAEEIIrEZC P ad C. quod demonltrare oportuiE.
Fxhis ec huius 29, 37, non ditheile ek collisere centrum
aequilibrii EOura TIAEFM ica assigneri in recta AIB nempe
AB esC ad distanciam ceneri equilibrii a puncto AVE2O qP
ad P; icem ciusdem Agura cenerum aequilibrii ita diuide.
rC rectam AF uc pars versus A lic ad parcem verlus F in rR,
xionc P add.
P RO P. 62. Y EI F O X F M A.
 IEquadrans circuli K D O HI _ recta DA parallelaradio
DEIK. Scque curra DEFIcalis nacura, re (ductarecta qua-
cunque rl parallela de aequali rectx DK curram circularem
EI Ha, OI sit y, Et Si V et sit a :V = (3 (a: Y), id eB = Giaa a
AI X eF vel BE ad X ut -db ad ex do = 3yy dy: ge. HC- vydy axd
ML ) LOX) ex seu ML sentou ad du rErgo
seu et ad ML ut 3V ad y.
posito v=ya
ME CL ad ML ut du ad dy- 2
C
Ef = 3. M L V ey= BC. Quodsi ergs
sut asserit autor pay sequenti) est
BE= 3E0, fiet EO= MLV: y. sed
C0 = y-B, et fiet et ML
9y (yy:V) -y, seu ML
pu = gy.v MK seu
KF, KL, KM forent
in continua proportione
Geometrica. jentatur
CD erit MK: KO. OK: KL
seu MK= aa: y. Ergo erit
yy.e e aaio, se
73= aa aao. quod
est verum sed res
succedit solum in hoc casus, nempe
repentur  BC= (9C=2 .-3)Le
unde in solo casu quo e= 3 fit . BE = y V = ec. male
seconre in O ec curram DEH in F) rario CT_ ad LI serripli
corgrarionis Cis ad OI. dico quadranrem circuli RVOII ete
ad souram ADEMIvE4 ad 3, hoc elt, curram DFHI diuidere
Quadrance circula in rasione 3 ad s. ducatur curra HIBD calis
AR.
igitur autor
pamina seq.
digno C rem
generalem
autat
rempe quod
probavit in uino
casu, credidit suecedere
in omnibers.
1
e

## Folio 114 — 834940469:0198
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000198.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
14o
x14
naturX, ve (ducta recta FC tansence currum HIF. D in quoli
bec puncto F _ ducris parallelis FF, BC) recta F BGIF aequa
lis e parallela rectae C F: manifeltum cA ex huius7 rectam
CF seu BF eNe criplam rectae L:O, cumque hoc semper AaF,
evidens es Aguram IIBDE CNecriplam AgureHIODE, acque
ex huIUS LZ AOUEBHIBDF. CA aequalis ApurA HIEDR; ac pro-
inde EOura HIEDK eAad Aguram FIOD E in racione 3 ad F,
dividic ergo curra HIFD quadrancem circuliin rarione 3 ac
23 Quod demonttrare oporcuit.
Ouod si rario OIad FI essee quincuplicata racionis CI ad
OI curra H F D quadrancem circuli dinideree in ratione 5
ad 3; li oucem sepeuplicaca inratione 7 ad5; de sic in gene-
res liracio CIad ElEc mulciplicaea rationis Cl ad Olinran
rione cuiuscunque numeriimparis ad vnitarEM D CUEYAHEL
diridet quadranrem circuli in ratione ciusdemnumeri im.
Paris ad numerum imporem proximeminorem, quae omnia
demonstrantur sicur hoc cheorema. Fodem prorlusmodo
demonstracurno Colum illa Vallibi incerpolicio qua spacium
cissoidale mensurat inlibro de creloide. sed eciam omnes
Forcalsis alix quae imaginari poctune, suppolica primxe inter-
polcatisurae mensura. Quod sratio C l ad E l lic mulcipli.
cacaracionis CTadO linracione numeri cuinicunque paris
ad rnicatem Cacile daretur Rgurae R IIF. D quadracura opc
huius 54, uc docet Vallihus in lua Arichmecica infinicorum;
ee ideo innorescie in recta DK cenerum aequilibrii Agura
DEHIA opChuius 37. Ilinc eriam eridens eltDFF eandem
semperhabere racionem ad D E.O quam habet DP HIH ad
LiL(O, quod summopere nocandum nam (praecer multa
ala pulcherrim a proBlemara) S secetur conois parabolica
Plano adarem porallelo, ex data ciuldem ab axc distantiad
dabicur huius ope ucrumliber conoidislesmentum.
e
nonias
.c.

## Folio 115 — 834940469:0199
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000199.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
1
e
B
s
a
PRO P. 63. E E E O R B M Aa
Ie currae cycloidis primaria lemisis CBA, eius ba(ISC. Cr,
acireulus genIEOE A F C basem cangens in puncto (+ a
diameero C A. dico curvam C BA duplam esse recta AC. AE
AII C quadracum, SIEque RgurA NIACLH ealIS NaTUTR, VE
ducta recta quacunque IM parallelarectae AI) racio AL
vel AC ad FM sic subduplicata racionis A F. ad AC: manite-
stur est ex huius 59 fguram inAnicam NACL. N esse duplam
quadrari AIL. C. per ti diamerri AC punctum quodlibet du.
cacur BM rectE AI Parallela creloidi de currae L. N occurrensi
in punctis B, M, Secans circulum de rectam II. re in Agurasiun-
GAnCUTReCtA A F, E C _ illis paraIIela DB, BH: Cx huius 8
patec BD eansere creloidem in puncto B ec BHI concingenti
esse perpendicularem. AF BF ad BFT ica FF ad L.C Ccu FA ad
AE, aEque ratiO AF ad AC duplicaca es racionis AF ad AF,
e ideo racio A F ad AC est duplicaca rationis BF ad BII,
sedratio AFad AC eA etiam duplicata rarionis AO ad FM,
aideove BF ad BFI ica AC Vel FK ad FM, Cumque SCMIDCF
Ita AIC, paFCE ex huIuS 2 rectam A C eNe ad curram ABC. IN
1a-
P, 2

## Folio 116 — 834940469:0200
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000200.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
116
rarione subdupla; nempeve quadrarum AILC ad Bouram
NIACLHI, quod demonstrare oporruie.
PROP. 64. Z E E O R _ M A
Pecircull lector CABincludens spiralem APC alis nas
a curx, re C ducta recta quacunque AP productr arcum
Secance in D) racio A C ad AF sic mulciplicara racionis C B
ad DBinracione P ad O. SC angulus rectuS FIK dC Curua FHIK
calisnacura, ve (ducta recta quacunque GHIparallelarecta
IK) racio IK adOMI sc mulciplicata racionis L.I ad FG inra.
tione Pad Q; pacet ex huius r4 rectangulum F NIK I houra
FIK circum seriprum esse ad Eguram PHK I ve arcus BC ad
axem tigurae spiralis A F C erolucae, ee proinde exhuius 54
arcusBC est ad axem Agura AFC croluca ut P F. C ad O. GE
vePDadOitaarcus BC ad rectam FI, cui sc normalis re
eta IK aequalis recta AC, SEque ABUTA FHTKL calis narurR, Ve
(ducta recta quacunque C HI Parallela recte IK) rario IK ad
CFIBe mulciplicata rarionis FLad FC inracione P ad P, L.:
dico RgurAM FFIKI eNe spacium SpirAlE AFC CvOIUEUM. EX
recta Fl quolibet puncto Clc rectae Flnormalis OFI occur.
ZENS CUIEVX FFIE in HI, lcque rectae CHL aequalis AP producta
in D. AECUSBC EHF ad axem tigura AP C cuoluca nempe LL
d

## Folio 117 — 834940469:0201
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000201.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
ve Dsi  ad CL; eodeniqi modo arCUSEL ER ad axem ABUER
ABcuolur UE P.C2dO; ec id covearcus BC ad rectam FI
iea arcus LP adtaRem ROurA AE cuolura, et permurando, vE
arCUS BC ad ArCMM L R IFA RCCEA LI ad aZCM ADUIEK A P CvO-
ducaaE ratioarcus BC ad arcum LF CA compolica ex rarione
arcus BC ad BI de ex rarione arcus BD ad arcum L F CcurCCtC
CA ad recta FA, _ id eo recta Fil, CR ad axem AgurE AF erolu.
ee inracione copotira ex racione arcus BC ad arcum BD _ CX
rarione rectae C. A ad rectam P. A: Ced rariO C A ad E A est inul.
ciplicata rarionis BC ad BD inratione D ad O, _E COnVerEON-
dos componendo ec rursus converrendo, racio AC ad AP (eu
IXad OFIeA malriplicaca illius rationis (quae componirur
exratione arcus BC ad arcum BD ee ex ratione recte C A ad
reCtAM EA) nempe racionis rectx FI ad AXCM AOUFE AE CuO-
lucae in racione P ad P.2. Ted ratio TK ad C FI est mulcipli.
cata racionis FI ad FC in ratione P ad P. ; de proinde F.C
estaxis ASura AE. Cuolutae, suncque EA, GFI, ae quales; d id co
(cum hoc semper hac) manifectum est ex huius r4 de eius
consectario Aguram FHTKI eNC AGurAM AF C erolutam, quod
demonstrandum crat.
Figura FFTKI eK illa descripea in huius 5 4, cum que poce.
ric inveniriresta illam eansens in puncto daco ope huius7,
pocerit quoque (exconlectariohuius 18) recea duci spira-
lem AEC tansens in puncto daco: (aepisime criam (vepatee
ex huius 58) invenitur recca aequalis currae LHI, quae criam
aqualis eA Spirali CUEVA AEC.
Ope hnius 15 vel 26 nullo negocio probarur lccrorem
BAC esse ad spacium spirALE AEC UEZPf ad
P RO P. 65. T TI EO R F H A0
Ie circuli secror C AB includens spiralem AF C. calisna
d cura, ve (ducta recta quacunque at producta arcum le
CanEC in D) eatIO D E Aa BA sic mulciplicata rarionis C. D ad

## Folio 118 — 834940469:0202
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000202.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
TIC
CB in ratione P ad O. sc F. N equalis rectae B A, icem angulus
reCtUS FNK _ curra FR calisnacurae, ve (ducta recta quacur-
que HM parallela recte F.N)racio HIM ad FN CcmulciplicatA
rarionis KM ad RNin ratione P ad Q. Copleatur rectangulum
FNII prOdUCATUrqUEMEI in C; ee ducatur recta D a, ItaVE
DE AC aequalis recta HIM, e ideo P A aequalis erit rectae
CFI. RarioD E ad BA (CWFIM ad FH est mulciplicara ration
nis C D ad CBinrarione P ad C, aeque ratio HIM ad F. NCIE
mulciplicata rarionis AEM ad XN leu LC ad IF in cademratio.
ne P ad9; _ ideove CD ad C Bita IC ad IF, eAtque retR ad
C. FLIca AC ad AFs _ ideo (ex huius 24) ve rectangulum
FK ad Rguram FFTKI, hoc eA (ex huius 54) uc P. (.O ad P ica
Arcus BC. ad axem ACUrK AEC crolurae, qui hCF Preliquis
manencibus ut prius, ACqs Curra FTK calis nacura, ve (ducta
recto quacunq; STH parallela rectae FI) PF lic ad SPuc Agura
FHMI ad Aguram FHIC. Dico Rguram FTUI ene spacium lpi
roleAFC erolurum. Manifectum est constructione rectam
IL eNe aXem ASUrA AF C cuolurae; codemque modo (rE
prius olenlum est) demonstratur rectanguluin FHI eNC ad
figuram inferipeam FHI C ut arcuS L. E ad axem sigurK A P
euolucae. Racio FI sevaxis AOUrR AFC euolura ad aZCm A-
surae AF erolura est compolicas exracione rectae F I ad ar-
cum BC. SCW AGUrA FHIRI ad reCtanGUIuM ANKI, ex rarione
arcus BC ad arcum B D seu recta IF ad rectam FC, (quod (IC
probo, reCDad C B ica IC adIF, e dividendo, ee con-
vercendo, ve C B ad BD ita IF ad FG) Peu rectangu.
li FNXT ad rectanguIum FNMO, ex racione arcus BD
ad arcum L. F (Cu reCtE D A ad rectam F a nempe rectE
CM ad rectam GHI seu rectanguli FNM C ad rectangulum
ESFTG, _ exratIONC ArCUS F L. ad aXem AGUTA AF CUOIUFE
Leu reccanguli FS HIC ad Rguram FHCi ac patec rarionem
AsurS FHR Iad Eguram F H C componi ex eildem racion
puS) ec ideove FI ad axC Agurae AF erolucae ica Agura LHKI
ad Aguram FHIO, hoC CA vE FI ad SY vel FV, estisitUT FV
AXIS

## Folio 119 — 834940469:0203
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000203.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
axis tigurae AF evolurae, cumque ordinacim applicata V I
sc aequalis rectae AF, de hoc semper hac rbicum que sUmREUE
punctum E, manifelum est (ex conseccario r4 huIus) Eguram
FTKIelsC spacium spirale AFC cuolucum, quod demonstra.
reopOrtuIE.
Opchuius 7 PoreA duci tAngenS Ad CUIEVaM FTK. Cum (IE
C numero caru quas Carcelius appellac seometricas, de pro
inde poresperhuius 2. comparari cum suo axe vel ba(c, cui
A reperintur rect aae qualis, erit eadem recta ae qualis curra
A F: C; ve cunque porest semper duci recta LAnSCNS curvam
AFC in puncto daro opc consectarii huius 18.
Fx huiusrs ee 5y nullonegorio invenieur sectorem BAC
esse ad spacium spirale AEC UE O F3PD 2P2ad 2P2
Suppolico relluris mocu, linea descripea à graui descen-
AenEE VETTUS CENFRUM FErrA A C NeE C L:A, Si modoratio P ad
Ohc dupla; de qua magna orta es controuertia inter cele-
berrimos Mathematicos RR. P P. Scephanum de Angelis de
Toan. Bapciltam Ricciolium, quae Forcasse dirimetur, si con-
Siderer doctissimus Ricciolius rires impulsuum esse in dire-
eta proportione cum velocicatibus, quibus appropinquaE
corpus mobile ad corpus relictens, abstrahendo ab omni
alio mocu; mihi enim nihil apparet cridencius; neque rIlus
est archiceccurae miliearis pericus, qui praecedens axioma
non supponit in cractando decormeneis bellieis. Quod ad
cencrouersia parcem pure geomeericam, exictimo nullum
nunc dubirare, quod grane cadens in CenErum cerrE cempO.
re sexhororum semper sic extra semicirculum. Fridens est
calculum R. P. Scephani de angelis (dia lo80 primo pa8. 19.)
esse legirimum; demonstracio aucem D. Mantredi (qua con-
trarium ostendere conatur pa5. 27.) in hoc es erronca, quod
cacice lupponar (ponendo C. II A Pemicirculum) gravis de.
Ecenlum ad centrum cerrae durare lex hOraS; AAM CeMErUM
deringir (supponendo Riccioli oblerrariones de cerrae semi
diumerrum pedum 25870000) tempore minurorum 21 le.
Cum.

## Folio 120 — 834940469:0204
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000204.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
X2C
cundorum 53; neque in his vilius est momenti siue motus
hane ob inerinseco vel exerinseco, seometria enim ee Rarica
absrahune ab omni causa phylicas quippe incerra ec non
cvidente.
PROP. 66. ZF EORF M A.
Ic circuli scetor L. RM, eodemque centro arcuSN FAmi
2 lis orcui LM. Sicque Spiralis HOM calisnacure, re (ducta
RECEA QUACUINGHS RSDK) PaEIO RECEA SO ad RECEAM YM AE
mulciplicaca racionis arcusI. K ad arcum L M inracione P ad
O AEBC. aequasis reCEA MI Y, BFI ad libicum, iceo angulus
RCCEUS C DEI; d CuErABVI ealis nacurae, ve (ducta recca qua
cunque F V parallela reerae BC:) racio RV ad BC Sic mulcipli
cdcracionis B F ad BHI in racione P ad O: compleaturre-
ceanoulum BCIFI, _E SIE reCrANOUIUM ABFTC cuius lacuS AB
equalerecre TR: ex huius 54 pacet reccangulum BCIII CHO
BA AGUrAM BVIEINEP, Qad Q; QUICAEUEECCCA DEVE, itaVE
E.V sc equalis recie OS, _ idcoRO cR equalIS RCCEE DV.
ratio V adFII seu OSadMI est mulciplicaca racionis BF ad
BIinrarione P ad C, sed rario OS ad TM est mulciplicars
rationis L R ad LM in eadem ratione P ad G _ id eOve BF ad
BFL ita LK ad LMI, _ UEDV odCoIICA RO ad RM, _ id eO ex
huius 243 uE AC TC ad ABVIO icnarcus L. M ad axem A9u.
rEMONR CuOINEa: SF VE AC.IC Ad ABVLC IER AECUS LM
ad rectam BII reliquis in Agura AC IC se haberibus ut prius:
sieque curra BZ I ealis nAcUTA, ut (duccarecca ed libiru
=Z.V DaraHlelArECTE BHI) AGuTA ABVIO SC ad AgurAI ABVL
Ve recta BII ad receam XZ vel AS. Dico Acuram ABLIC CHC
Sparium spiraleR NOMerolucum. Manifectum est eK CON,
ATUCCIOMERECEA AG eNC AZCM AGUTA RHOM cuoluEX; eO-
demque moco (uE prius octensum eHt) deMOnStrACuFRCCEAn.
sulum AV eNe ad fiGuraM ABVD uC arCUS 40 ad azem A.
Su RHO cnoluEX. Ratio AC SEH AXIS AgurA RNOM cuO
AlBFi

## Folio 121 — 834940469:0205
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000205.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
E
3
st
luca ae exem figurae R N O crolura est compolica, c
nC aXIS LGUTA RNOM erolur
tangulum A
arcum
elC adlecta  rec
d
(2X
raciod
UTX AB
Vicadi
IRCCur
crangulum ACFD CSLacoCdrcus LR ad accum Aleu
Et PKR ad reCtAM ORneMPeP F ad D V vel rectanguli aC
FD ad rectangulum AXVD, Sc exracione arCUS 4 ad axem
aCIONC ArCI
UM
tanouli ACIC adre.
Aigurae RHO eroluex leu rectanguli AXVD ad fguram AB
VD; ac perspicuum ecracionem tigurae ABVIC ad tiguram
ABV D componi ex cildem racionibus; e ideo uE Asura
ABVSC aAEGUEaM ABVD CCuVE AC ad A8 ica AC aXISH.
gurae R N OM croluea ad axem Agura R N O evolura, qui
situr est AS; cumque ordinacim applicata 82 sic aequalis re-
eta VR, ee hoc semper haerhicunque Cumacur punctum ,
manifectum est (ex Consectario r4 huius Acuram A B J. ICV
cse ficuram RBOM cuolucams quod demonstrare oporruit.
Curua BZI eA ex carum numero quas C artelIUS apPCIlaE
geometricas, d isitur per huius 7 Porest duei recta CaM
cansens in puncto daco, pocelt quoque comparari cum re.
Eta opchuius 2, _ proinde curua quoque NOM illi aequalis,
eique ducieansens in puncto dato.
Ex huius 15 ec 56 non ditticile erie demonttrare (posica
ratione HLadHGrF P ad Y) sectorem RL. MEAS ad ABurat
R NOM

## Folio 122 — 834940469:0206
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000206.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
L
RtOMC du L
EPC
C2 2POtaC
Nocandum demontrationem 65 et 66huius eNc maximé
vniversalem, sed praelo currence non memini illam debito
locoinserere.
Eric examinauimus eria spiralium genera; quorum primu
idem ek cum illis duobus; quae mensuranit R. P. Sce phAnUS
de Angelis in libro suo de Spiralibus ec inhine lib. 5. de pa-
rabolis; secundum quoque idem est cum illis duobus, quae
dimentus eA inlibro de Spiralibus inveras; cereium ctiam
exeositauit idem Machemaricus Pasacisimus, illudque mihi
nuper communicouit.
Summopere nocandum omnem Eguram posse concipi
licur inuolucam, ec merhodo nostea invenietur cadem cuo-
luca; hinc enim non parum augmencerur gcomeeria.
Adeofertilis esthacnoltra mechodus, ve dissicile Fere AE
aliquid proponere illi omnino imperrium; quod uc experia-
mur, Coluantur duo illa problemica quae propotuie RenacuS
Francileus Slutius in prop. 8. dc infinicis hyperbolis R. Po
Scephrani de Angelis. Sit AB, b; BD, a; sicque secundum re-
norem quaestionis, Veb2 ad ba - a ica a ad ba3 = at quadea.
1
eum rectae DC, _ ideo (ex huius 54) summa omnium qua-
dracorum ab inAinitis DC cric b3, ac lumma coridé quacLuco.
2.O
rum rectae AB CA b; cum ieaque hae quadraEOrum summae
sine duplae cruncorum inferiorum, qui secantur in cylindri-
cis rectis sUDeE ACB, AEFB, a plano baM Ceminormali, crie
(exhruius 23) ucb3 adb nempe ne 20 ad 2, ica cylindrus ex
20
rOTaEiOnC AE FB circa AB ad lolidum rocundum ex rotatio.
ne ACB circa eandem AB. Sic secundum propolicum vein
eiu(dem de infiniris hyperbolis prop. 10. AEque racio AB ad

## Folio 123 — 834940469:0207
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000207.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
B
BDmulciplicota rationis AD ad DC in ratione P ad O: HIF.
querario AB ad BI mulciplicaca rationis F A3d DO in ra
tione Pad C manifeltum elE F:O B esse curuam in huius54
descripeam; ec ideo cubus ex latere E A vel AB est ad inte-
riorem truncum cylindricirecti super EOBA relecti a plano
balem seminormalicer secance in recta P A UF P2, (3 PC
 292 4d G2; Cst AUTEM VE FA ad DO ita expostione AI
vel KHIadDC; d ideo rectansulum P A in BC aequale elt
rectansulo DO in HH, cumque hoc semperhac, manite
Cum est cylindricum super ACB (cuius alticudo FA) aqua-
lem eserrunco inferiori cplindricirecti (UPer FOBA relecti
aplano basem Peminormalicer secante in recta FA, e ideo
VED. 3PC f 2923d92 icd F ABF ad AC B.
Hacproblemaca particuloria a me selecta (unc tanquam
difficiliora e moiorismomentiinter geomerrarum invenca,
rlera quedam a me nunc primum Coluenicotus namque archi-
mediscractatus de sphaera e crlindro Facile demonstratur
ez huius 5 dd modum huius 40d aliquor lequentium; libee
de conoidibus Spheroidibus _ tota Luce Valerii doctrina ex
hiuius2r; coca Guldini loannis de laFaille _ Andrex PaC.
quec doarina ex huius 35 ex aliquoc sequencium: Faccorta.
menme nullomouo pocuisse invenire racionem inFer CUTUAL
ellipricam vel hrperbolicam de recta, cciam si in hoc tracta-
culo multi diverli (inc modi illas examinandi; ica ue facile
credam hanc racionem ce non Anslycic a de vnogradu esse
superiorem illa incer circulum et diamerri quadratum, sed
hoc demonstrien non elt sdco facile. Non praecendo HanC
methodum inseruire relolucioni omnium problematum ir-
regularium, quae infinica sunt numero e ditticulcare, qualia
praelereim (une illa de corporum ee superticierum sectione
irresulari a planis, rel aliis superticiebus, inter quae eamen
sequens exhibeo laris pulchrum, placec enim miscellanea
quae dam non prorlus inutilis hic adiunsere.

## Folio 124 — 834940469:0208
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000208.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 11 lines, status machine
22
e XO P. 67. Z HI E O R F M A,
TE conuS rectUS AFO, cuius axis AM, qui secerur a duo
abusplanis AML, AMC quorum incerlectiones cum con
nisuperticie snr rectae AL, AC; seceruirquo adhuc idem co-
nus AFOa plano recunq: efficience cum superficie conicom-
nunem sectionem CFBIL. curuam; ita ve abhis sectionibus
ex larecu a CooPramis quaedam conica ALMCFBIcuiuS
verrex A ec balis sgura BIL. MCEB concenca a rribus planIS
ALM AMO MCFBIL, de superticie conica ACF BIL; Cx
a 215

## Folio 125 — 834940469:0209
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000209.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
quis punaoM erium planorum communi sectione in lacus
coni AFsic perpendicularis recta MF. Dicopyramide (cu.
ius bals est planum aequale superticiei conicae AC FBIL e
alcitudo MF) aequolem esse prramidi coniCA ALMCLBI.
Si dicta prramides non sint aequales, sic earum differentia a
e pyramidiconica in ScribATuF PYraMIS AMCFBIL. conctas
ex prramidibus exian SulaTibUS MOF A, MEBA, MBIA, MI
LA; eidem quoque prramidi conica circum scribatur alio
prramis constans ex pyramidibus crian sularibus MFIDA,
MDCA, MCKA, ica re ditferencia prramidis inscripeae e cir.
cum scripea lic minor quam a. Manitecum est prramidis MFL
DA alcicudinem ese M F, ex suppolicione enim criangulum
TFDA conum eansit, sc ideonormalis ex M ad ED A in recta
contactus seu lacus coni normalirer cadit: eodem modo
Drobatur M F ese alticudinem, ex verrice BI omnium resi.
quorum prramidum erian gulariamse quibus condacur pyra
nis circum scripea, de ideopyramis, cuius bals ae qualiS eAt
omnibus erianguliS AHI, ADC, ACK, _ alcirudo MF;
aequalis est prramidi circum scripeae, de proinde maior pyra-
mide conica, sed maior etiam est prromide cuius balis est
planum aequale superticiei conicae ACFBIL. de alcitudOME,
quoniam eandem cum illa habens alcicudinem, basem habce
maiorem, quippe illi (, dum conuexa existic) circumseripea.
Deinde prramis criangularis MCLA (POlEa verEicCM) mi-
norem habec alcicudinem quam M P, quoniam eius balS Ca
dic intra superticiem coni, eodem modo omnes prramides
Friagulares prramidem in sCripEa COMPONENEES MINOFEM
habene alcitudinem quam ML, e ideo prramis (cuius alci
cucoMF s balis equalis balibus omnium prramidum erian-
ularium prramidem inscriptam componencium) maior est
prramide inlcripeas sedhaec prramis minor est pyramide
balem habence planum aequale superticiei conica ACTEBIL.
ec alcicudinem M F, quoniam eandem habens olcicudinem
basem habet minorem, nempe illi duM COMWEXL existic in
TCFipTAM

## Folio 126 — 834940469:0210
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000210.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
X26
Ecripcam, dc ideo pyramis inscripea muleo minor est eadem
prramide balem habence planum aequale superticiei conice
ACEBIL S alcicudinem M F, sed prramis inscripea eriam
minor ekprramide conica; prramisisitur inleripea minon
eA prramide conica de minor ceiam prramide conicam lu.
perticiem basem habence, prramis rero circum (cripea urra-
vis horum prramidum demonaraca est maior, e ideo maior
est differecia incer prramidem circum scripeum ae inscriptam
quam incer pycamidem conicam ee prramidem qux superi-
eiem conicam probale habet; scd ditferencia incer prrami.
dem circum Ccripeam ee inscripeam eA minor quam a, et prO-
inde differentia incer prramidem conicam e prramidem
quae supersiciem conicam pro base habet) es muleo minor
quam a, quod ec absurdum, ponitur enim a differentia incer
dictasprramides; non ergo differuneprramis conica AMC
LBIL e prramis cuius basis eat superficies plana cqualis co-
nicae superticici ACEBIL. ee alcicudo recta MF, de ide0
aequales lunc, quod demonctrandum erae.
Ex verrice coni Ainbalem pyramidis COnICX MCEBIL CA
OpuS CA) productam demieracur perpendicularis recta AHI
manitellum est ex hoc Theorcmate M F eAe ad ANVEBaSIS
Pyromidis conicx M GFBI L ad suverticiei coniex porrio
DCM ACFBIL.
P R O P. 68. ZHI P O R F M A.
Si in rectilineo quocunque aequilatero assienetur punctum, e ab illo
duncto in omnia rectilinei latera demittamur perpendiculares
ecta; erit rictanculum ex semisse summa perpendicularium es
perimetro rectiinei ad rectilineum, ut numerus laterum re-
Etilinei ad Enitatem.
Ic rectilineum aequilacerUm ABCDE: a puncto O intra
icctilineum demirraneur in omnid rectilinei larera Per:
pen.
ato
=RW
A
=1 fici
sints

## Folio 127 — 834940469:0211
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000211.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
s2
pendiculares rectae OR, O5, OT, OO, OP. dicorectangulu ex
semillae Cummae perpendicularium de ambitu rectilinci esse
adrectilineum re numerus lacerum ad rnicacem. Fix puncto
Odividatur rectilineum in criangula AOB, BOC, COD.
DOFs F OA, quorum criangulorum bases ex suppolicione
lune incer se aequales. Friangulum AOB est aequale rectagu.
lo ex semisse perpendicularis OR e bale AB, cumque omnia
rectilineilacera sinc aequalia rectae AB, eric rectangulum ex
semisse perpendicularis OR ee ambitu rectilinei ad rectan-
culum ex Cemisse perpendicularis OR e recta AB scurrign
gulum AOB, renumerus lacerum rectilinei adrnitatem, co.
dem modo in quolibet ex reliquis triangulis, re rectangu.
Jum ex Cemisse perpendicularis ex crianouli verrice Oin ba-
Tem demissa e ambitu rectilinei aa idem criansulum, ita nu-
meruslacerum rectilinei ad vnitacem; cumque omnia crian-
ula simul Einc aequalia ipsi rectilinco, e omnia dicta rectan.
ula inc aequilia rectansulo ex lemissa summae perpendicu.
larium ee ambieu rectilineii erie ve rna ancecedencium nem-
penumerus lacerum ad unam consequeneium nempe vnica
cem, iea omnes ancecedentes nemperectansulum ex semil-
se summae perpendicularium ee ambiru rectilinei ad omnes
COn.

## Folio 128 — 834940469:0212
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000212.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
2.8
OPOTEMLE.
consequentesnem eiplum rectilineum, quo d demonstrare
CONSECT A R IV M.
Inc sequitur (A in rectilineo aequilacero quocunque
a assignentur duo puncta ee ab eildem ad omnia recti.
linci lacera ducantur perpendiculares) perpendiculares ab
no puncto demittas aequales ette perpendicularibus ex al
cero puncto demitis.
P R O F. 69. E E F O R E M A.
Si circuli circumferentia dividarur in partes quoicunque aequales e
numero impares, es a quolibet peripberiae pucto ad omnes ejusdem
divisiones rectae ducantur: Si circulus dividatur intres partes,
aequales, erit summa primarum aequalis olrimae: si in quinque,
erit summa primarum es ultima aequalis Cumma secundarum;
si insextem, erit Cumma primarum es cerriarum aequalis Cumt
mae secundarum es olrimae: si in novem, erit summa primarum,
terriarum es vlrima aqualis Cumma secundurum es quarta
rum; atque ita deinceps in infinitum.
Dicimus autem rectas primas esse illas, quae ducuntur ad divisiones
ex veraque parte puncto asenato proximas; secundas, illas rectas
qua ducuntur ad divitiones primis ex veraque parte succedentes:
tertias, quae secundis saccedunt, _c; rectam verorlimame, il-
Jam qua ducitur ad divisionem a puncto assienato remorissimamt.
IEcirculi circumferentia ABCDE diuisa in parreS quOF.
acunque aequales in punctis A, B, C3 D, C, licq; O quod
sibet punctum in circumferencia; a quo ad omnes divitlo-
BeS duconeur rectae OA, OF, OB, OB, OC: dico summam
primarum de vicimae nempe OA  OFn OC esse equalem
summae lecundarum nempe OB.. OI. Lix puncto O AUCaEUK
EIL

## Folio 129 — 834940469:0213
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000213.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
6
su
MB
es,
1b3
2+
mos
By
sd
Ad
Si
ilo
M.
Dt
de
a
1
3t
29
Circuli diameter OF, _e per punctum F ducaneur rectis OA,
OB, DC, OD, DE, PAFAIICIA OFP, ETV, RES, FXY, MEN,
de quoniam rectae OA, OB, DC, OD, OF, efticiuntincer lc an
gulosaequaleSS IgIEvEreCtE OFP, FEV, RES, FXY, MFN,
Cciumt inter Ce criam angulos aquales: centro isieur side-
scribatur polygonum aequilaterum de aequiangulum GHII
KL, cuius lacera bitariam e ad angulos rectos (CCenEuE a
rectis per F ductis; e proinde eadem larera normaliter Ce-
centur a rectis pero ductis, prioribus quippe parallelis, de
ideo recta FP, FS, FN, F.V, FY, Cune aequales rectis 02, OZ,
95.

## Folio 130 — 834940469:0214
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000214.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
430
05, 04,03, exancecedences arque recta02 superat rectam
FPCxCCNUI AO, _ recta O5 suPerat rectam FH excessu OF,
ee rectaOZ superat rectam LSexcelu CO;igitur rectae O2
O5OZ. superant rectas FPr FN FSCKCCNU AO  OF
DC: recta quoque FX superat rectam O3 exceNuOD, de
recta FV superac rectam O4 exceHu OB; d id coFYL. FV lu
perac (3, F.O4 exceNu OD.OB; Cumque in Perie quancica-
cum C2 f. O5 .OB FiP  F. N FS, FYuf. FV, 03, F. O4, sum
ina extremorum 02.65+F. OZ 1f. 03,7.04 sic aequalis sum-
mae mediorum FPFcFNofLhFY if LV; eric differencia in-
terprimam ee le cundam nempeOA,.DF.F. DC aequalis dif-
terencia inter cerriam e quarram nimirum OB of. OD, quod
demonttrandum crat.
P RO P. 70. Y H EO R F M A.
Si circulus parabolam in pluribus punctis secuerit, e quibus in axem
ex viraque parte rectae perpendiculares demittantur; erit ea ab
ona parte axis equalis illis ab altera parte: quod si ab utraque
parte in duobus panctisillam secet; erunt similiter duae ab vna
parce simul aequales duabus ab altera parre simul.
Teparabola B ABC C quam secer circulus in punctisP,
 A, B, C3 quorum nullum cA paraBOlXVerTCK. a pun-
AisP, A, B, C. demictuntur in axem eidem ordinarim appli
CAFK AIE, BX, MC, PH: dico ordinacim applicacas exrna
parte axis nempe AII, PH, aequales esse ordinacim applica.
eis ex altera parce axisnimirum rectis BX, CM. Producan-
currectae PA, BC, donec concurrant in D; erirque rectansu-
lum BDC aequale rectangulo ADP, ee igitur rectae parabO.
Lum PABC C cangenteSparallela rectISDC, DP, aequales
crunt, quae isitur se mutuoincerlecene in parabolx axc, ta-
ciences cum eidem ordinacim opplicaristriangula isoscella;
_ IgItUFDP, DC
nrubolilis parallelae Faciune cum eisdem ordi-
x hinc si in segmentis, AP et BC discribantur trian-
gula maxima, ATB, BVC, recta YV bisecabitur al
Aatim
exe parabolae. inquiratur in pliarum curvarum quas
circulus in pluribus punctis secat, respondentes proprietates

## Folio 131 — 834940469:0215
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000215.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
3L
nacim applicaris criangula ilolcelia nempe DLB, DCD; an.
BuliergoDBL, DPZ, Cuncaequaless sed e anguli ABD, DD
C. Tunc aequales, ee ideo anguli ABO, CPZ, lune aequales,
criansulaisitur rectangula AOB, CLP, Tune similia, _ prO-
inde
Sic Rlacus rectum parabola
OB: OA: : DZ: ZC
OB: OA:: R: SO
PL: Z. C:: R: SO
PZ: ZC: 3 R: Z C
R: SO: : R: ZC
Sune ioitur ae quales 50, ZC, e proinde eadem est differen-
TIA InCOT A HI primam se B X seu SX secundam, qua InTEF
R 2 CM

## Folio 132 — 834940469:0216
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000216.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
32
CMcerriam _ PHI TCuC:HI quaream; s ideo summa primee
_ QuArTA AFT.F. PN est aequalis Cumma secundxe _ tertiX BX
 M C, quod demonstrandum crac.
Alii sune huius cheorematis calus, se d in reliquis nulla
reltac disticuleas, modo hic intellisaeur.
Hoc theorema inleruit cognitioni aequationis cubicx e
ouadracoguadracicae, pracedens autem aequationibus amm
phibologiis, d linuum compolicioni; qui aurem deliderae
plenam analy leos e aequarionum doctrinam expectet ab-
Colucissimum D. Caroli Renaldinii opus de Relolutione d
Compositione Machemarico quod nune est sub praelo.
Hluculque concinvarimus speculationes pure geomeeri-
eosive aucem videane philosophi geomerrium non esseadeo
abstractam e inurilem sicue rulso existimatur, Rraruinus
difsiculeaces qualdam phliscomachemarieas ex principiis
Opcicis geomeerice enodare.
DF
SIDERV M SCTZTTTLL ATIO~ R
e masnitudine apparente.
X opcica nostra promora eridens est primo, omnem vin
tionis confulionem provenire ex radiorum rnius pun-
etis in retinae sensibilem particulam incidencia; secundos
quomaior fueric iltarerinae particula eo maiorem esse vilio
nis contulionem.
DEODOSTTIO
Oculus humanus non potest esse Ceomerrice perfectus.
Iepunctum aliquodradians A; A oculus humanus essee
Scomerrice perfectus, congresaret omnesradios pun
etiradiantis A in puxillam incidenees in rnum rerinet pun-
Ctum Beomerricum nempe C: uc aurem hoc ACrCE, OPOr-
PereE rE oculus esec Rgura alicuius geomerrica, (ed A-
Sut

## Folio 133 — 834940469:0217
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000217.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
33
 mduilbili consiltune; de proinde
in corperonumanis, quae quocidianis mucarionibus
Lune Obta ocl lanbie nicta fenuosanvesi vn
durae geometrica
cum calis Aigurae ense non possit non est geomerrice perte:
atus, ec isirur radios a puncto A proveniences non congre-
hac in rnicum punctum C3 sed in aliquam superticiem nem
DCBCD.
PRODOSITIO
2a
Proxositum se inquirere, quid efficiat haec oculi imperfectio.
DOrumus commodissime naturam assimulare iaculatori
perico, qui Pogiecas a puncto A in scopum C jaculaeurs
omnibus enim suis sagiccis valde exiguum scopum Coerin
gerenon porelt, le daliquando in parra quadam dictantia d
scopo nempe in B Pagicram omieeie: unde evenie ut post
mulcasjaculacas Pasitrass circiter (copi C punctum medium
reperiantur lagietae quam plurimae sicuc extrula quaedam
dentissimas at in paulo maiore diltantia a lcopo C nempe
spaciis E F, rarior omnino invenitur ilta (ylrula; de in extre;
anieatibus B, Id, videcur rarisima: ita re generalicer dici
Polsic (rtrulam quo masis adE acceditur esle denliorem, de
Juo minus eerariorem. Guod i adhuC muleas alias jaCU.
lEFUK

## Folio 134 — 834940469:0218
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000218.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
x34
secur lastetass dentior erader haec sylrula de versus me
dium de versus extremitares, led semper quo magis accedii
cur adC erie densior ec quo minus rarior. Fodem modo
natura radiis lucidis conacur punctum geomerricum C aF-
cingere. Ced ob suam imbecillicacem seu oculi imperfectio-
nem cositur à scopo Expissime aherrare, hoc eamen siCuE
pericusinculacor cuincens; ve radiorum Cylrula quo magis
accedicur admedium co lic denlior. _e quo minus eo sEra
rior: manifectum etiam ck quo plures Cuncradiis radiorum
ylrulam eo ese densiorem, ita eamen ue semper densior AE
versus medium quam versus extremicaces. Flinc colligimuss
si punctum radians A debilicer radice, ica verix percipiatur
a sensu densior seu media pars sytrulae C. reliquas sytrula
parces rariores e minus illustratas non omnino percipi:
quod sFortior st radiacio, rariores eriam sylvulae partes
nempe F e F percepcibiles deveniene, quoniam illustraneur
Senlibilicer ex suppolicione: quod s Forcinima sc radiacios
rarisima eciam de extimae parcesinem pe B, D, Censibiles Aento
ita ve generalicer dici posie, quo torcior lic radiario co ma-
iorem opparere censui communi lyrulam radiorum, (eu par-
riculam recinae ab unius puncti radiis depictam.
 eoell
c
Quo licidius est obiectum, eo consusior est ejus visco.
Volucidius est obiectum, eo forrior heradiatio vnius
eius puncti radiancis nempe A; et quo forcior fuerie
raautio, eo maior epparer sensui communi parsrecina ara
diis puncti A illustraca, per huius 2; de proinde per 2 pecition
nem maior apparer vitionis contulio: cumque hoc codemt
modo demonstrari possir de omnibus obiecti punctis, mans-
fectum est proxolicum. Duod h parsrecinae ab unius puncti
radius illustraca sic minimum senbibils, distincrissime videeur
obic-

## Folio 135 — 834940469:0219
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000219.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
obiectum ee nulla apparee contusio, rc ex prima huius peri.
tione necesario sequitur.
DROPOSITIO 4.
Eiusdem obiecti confusior est vilo intenebris, quam in luce.
Heenebris oculi retina a muleis radiis non illuRratUr, de
ideoleris illa illustratio versus extremitares superticiei
BD Facilius percipitur quam in luce, cum exilis illa illu.
strario a Forcissimis lueis radiis plane deleatur: et proinde
cum recina pars ab rnius punetiradiis illustraca maior videa-
cur in cenebris quam in luce, maiorerie (per 2 huius pecicio.
nem) risionis contulio in cenebris quam inluce; quod est
proxolicum. Alia ceiam racio esse pores, quod in cenebris
maxime dilacetur oculi pupilla, e ideomaior est obiecti in
retinam radiatio; de proinde perhuiuss maior eriam vilio.
niscontulio. Terria racio ck, quod in magna pupilla dila-
catione plurimi sine radii exerauas ances, unde contula ctiam
oritur vilio.
DRODOSTEIO S.
duo confusior est objecti visto; eo maior est obiecti ma-
enitudo apparens.
eTerisibile MH oculirecina AFI; supponatur in retin
aAII depingi contulam imaginem vilibilis M N, ita vE
radii puncti exeremiM incidane in recinx superficiem FC, de
radii exeremi risibilis puncti N in recinae superticiem BC;
manifectum est magnicudinem risibilis apparentem iudicari
sccundum quanticacem retinae BC a radiis torius rilibilis il.
Aracae: quod si caereris paribus Rec maior imaginis contutio
in recina depicx, radii puncti Mnon solum incidene in su-
perkiciem FC, sed in supertciem EH, superticiem F. C (eu

## Folio 136 — 834940469:0220
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000220.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
8a
Pylrulae medium rndique cingencem; se radii puncti Nnon
Tolum incidene in superhciem B C3 Pcd in maiorem BC vndi
que cingenrem, nempe AD: e inhac risiones manifectum
esmasnicudinem vilibilis apparenrem iudicari secundum
quanticacem superticiei AFI a radiis rilibilis illustraexe; est
ducem superticies AHImsior superficie BC; de proinde obie-
etum apparer maius in maiore confulione quam in minore+
uod demonstrare oporruit.
Aeque haec ectratio quod corporum exlectium diametri
maiores apporeane, quando lunc magis lucidas quam quan-
do sune minus lucida; in huius enim cercia demonstratum
est obiecta mosis lucida (caeceris paribus) magis contula
videri quam obiccra minus lucida, de nunc demonstracue
obiecta masis contula maiora videri (ceceris paribus) quam
minus contula; _ isitur obieera lucida (caereris paribus) ma-
iora ridentur qua minus lucida. Ex huius criam s democtrars
pocelt, quod (ceteris paribus) obiecta minora in maiore
proportione à contusione augmentarirideaneur quam ma
iora: Sire enim obiecrum sic parrum Ciremagnum, Equasc
Temper a confusione recipic incrementum ac eguale ad m
nus maiorem haber proporrionem quaM ad maiusi de pFOI-
AEH OBICCTU SIE PARVUI, AUSMEMEAEUIa conFusiONC I MA=
IOrO

## Folio 137 — 834940469:0221
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000221.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
hore proporrione quam E ellee magnum. ex his concurren.
ribus causis pacerracio cur Scellae tixx rideaneur, criamli
in eam vacta distantia sine omninomsensibiles: ob validam
enim carum radiacionem ee in cenebris risionem, contusM.
me ab oculovidentur, e ob insignem earum paruicacem in
mmaiore proporcione ab hac contulione augmeneantur, quam
essentmaiores; ica re deciesmillies force de amplius ma-
iores appareane, quam in cali dictancia videri debene; nul-
lius enim celescopii ope in hune rique diem diltinctae _ Cer-
minaeae rideri portune. Ob ca (dem raciones parua candela in
cenebris e longissimo inceruallo videri porest masnicudinis
Pacis considerabilis, de sideris instar scincillans. Expraedi.
atis manifesta BC causa, quare scincillene Cdera, aliquibus pri-
moconsideracis: primo scincillacionem esse obiecti lucidi
contulam ee cremulam seu murabilem rilionem, aliquando
enim ridetur obiectum maius, aliquando minus, aliquando
lucidius rerlus rnam parcem, aliquando versus oliam: sc.
cundo eius causam esse murationem aliquam leu cremorem
in medio, cales enim omnino videmus effectus, cum incer
Oculum de risibile elenantur ravores rel exhralariones, cuius
ratio in opcica rerlacum non pocest lacere: cercio nocandum
eA, quod nacura dum contulam percipie ritionem humores
oculi simuler ad morum seu mucationem aliquam, ve con-
fulionipercepcae medeatur; cumque nacura seu sensus com
munis distinctam sencie vilionem, oculus suos humores à
mocu impedit, hoc enim rationi, experiencia, de authoricati
est conseneaneum. Quod si sensus communis distinct am vi.
sonem sencirenon porest, dico oculihumores asieari ee 10.
corilioniscempore non quielcere; hoc probari porest ex
magna lasicudine, quam pacitur oculus ex contula rilione:
neque existimo ese racioni consentaneum, uc licterermo-
cus, dum adhuc visec eiuscausa, nempe contulio percepea.
hisce praelibacis, dico scincillacionem siderum provenire ex
hac humorum mucacione, dum Frusra conatur oculus dictin-
et 

## Folio 138 — 834940469:0222
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000222.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
X3
et au reddere eorum visionem, mocus enim humorum eun
dem cum motu medii pocestexhibere efectum, ur Facillime
demonstrari pocest; probatur; lidera lunc obiecta quae se-
cundum hactenus demonstrara contulistime videncur, sed
vilio contusa oculihumores cimular ad morum, ersoin vi-
lone liderum humores oculimouenturi ae exhumorum mo-
cu, aliquando videbuntur (idera maioras aliquando minoras
aliquando magis lucida, aliquando minus lucida, aliquando
oniusteurae, aliquando alcerius, sed haeccremula a incon-
Ransvilio est scincillacio, de isitur hdera Scintillane. ratio
eriam evidens est cur Scellae Axx magis scincillene, quam
alia obiecta; in scellis enim Axis contulio est adeo nocabi-
lis, re illius ope deciesmillies maiores rideaneur quamre
verasune; quid eroo mirum si contutionum mutacio seu
Scineillacioinillis sc maxima. Sed contra hanc doctrinam
obiicier forre aliguis, a celescopiis male elaboracis maxi-
uam herivilionis confulionem, lednon maximam lcintilla.
tionem; respondeoistam contutionem, cum non AaE ab iD-
Eooculo, ab humorum moru rix sensibilicer mucari, de pro.
inde ictam scincillacionem non esse valde senlibilem; quo-
niam scincillario nil aliud estnisi confusionis muratio, obii-
ciene forease ddhuc illos qui oculi virio laborane maximam
percipere vilionis contulionem, Ped plerumque paruam vel
nullam Ccincillationem; re (pondeo oculi ricium maxime Or-
dinarium esse humorum immobilieacem, de line humorum
vel mediimoru nulla poccsheri scincillario.
ela
L
RF ALIT FR, FT FOR
maliter calidus.
prepolicio deile porest deduci exnostris oprica
 promorae demontracionibus; sed in hoc locomasIs
accurare e sechehanc iplam probabimus.

## Folio 139 — 834940469:0223
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000223.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 20 lines, status machine
i
M
pa
M
15
Ex combustione speculi vel lentis ustori observata: distantiam a
Sole invenire, inqua (ol suis radis directis eodem prorsus modo
comburit, quo hic comburit speculum vel lens ustorium datum.
TC(ol BCF cuiuscenerum A, speculum vel lensvstorium
 datum INKO omnesradios solares in le incidentes in
circulum MPL. Preducens, ec in illo, combustionem aCcen
la CBLA a.
dens. Supponimus speculum vel lenre THIKO esse circulare,
cuius axis ad cerrum solis vergie, ec proinde conum AIOKN
eRC rECtUM. Sic uE IK diamerer leneis vel speculiadLM dia-
deerum circuli combuctionis, icaKA vel IA distancia specu-
lid cenero solis ad DA. DicoDA esse distanciam quaelicum,
hocele, solem eodem modo comburere in discancia D A,
quo comburie lens rel speculum IOK N in circulO MPL
PEF

## Folio 140 — 834940469:0224
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000224.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
240
Per speculi vel Teneis TOKH extremitacems Ex CenErO A AaC
SpheraIONKIliirem per punctum D ex eodem centro AAE
Sphera ERDSC, cuius supersicici porcio a coni AIOKN su-
pertcie comprehen(a3 AFRF. SD. Cuoniam sol ex omni parre
aequalicerradior, Facile ese deducere ex 6 dehnitione s ele-
mentoru omnes radiossclares esse ad radios in specului vel
lentem TorW incidentes, uc inceera superficies spherica ad
eius portionem TOKH: Se d ex archime de de sphera e cylin-
deo, inccora luperticies sphaerica cl ad eius portionem 10
RN vequadracum diamerri ad quodrarum chordae Pemissis
arcus IK; e proinde omnes radii lolares sune ed radios in
sxeculum rel lencem LOkNincidences, hoc escradios in cir.
culum MPL Q congresatos, uc quadrarum dismetri ad qua
dracum chordae lemissis arcus jK. Bodem modoprobatur
omnesradios solaresese ad radios in circulum DRES inci
dences, ut quodrerum dimerri ad quodracum chordae le-
misis arcuS D F. SCd quonism arcUS IR, DE, lunc similes
quedrarum diameeri circuli IKII condem habent ratione ad
quadracum chorda Cemisis arcus Hl. quam habet quadracum
diamerri circuli ED C ad quadracum chordae semilis arcus
F:D; _ ideo omnes radii solares eandem haber racionem ad
radios congregaros in circulo L PM G. quam habenciidem
omnesradii solares ad radios congregatos in circulo RESD;
unc igicur radii congregaci in circulo LPM Qaequales radiis
congregaris in circuloDSER. Deinde ex construaione Rl
eAt ad LM UFK A ad D A; _ ob similicudinem crianoulorum
EAB DAE; HA eA ad DA VE RI adDF; _ ideOLM, DE, funE
aequales; e igitur circuliLPMC, DSER, sunc aequales: acque
xquales radiiin aequalibus spaciis eundem producune ette-
ctum; e proinde combultio in circulo DR ES aequalis elt
combuctioni in circulo L. PMO quod demonstrandum erat.

## Folio 141 — 834940469:0225
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000225.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
s
en
CONSEOIARINM.
0
Equeratione e experientia constat, quod, eadem (pe-
Culivel lentis diameero IKmanence, quominor fue-
ric circulus combuctionis LPMC, co maior sic combustionis
violentianempe (venos alibi demonstramus) in circulorum
combuttionis rarione reciproca: et quo minor est circulus
combustionis LPM Ovel illi aequalis DSFRs Cobrerior estre-
eta D A, Peu puncti D à Pole dictantis, de e concra: ideoque
quo propius accedie circulus DSER ad lolem : co m2-
ior in circulo est calor, seu combustio; e igitur Sol non ele
solum rirtualicer, sed eriam Formalicer calidus, quod de
monstrandum sulcepi.
DE SOLIS AVMILIS ET SVBLIMIS
magnicudine apparente.
Omiraneur nonnulli solem humilem maiorem appare:
a re cciam s instrum eneo aRronomieo ob serratus, e con-
FrA MinOr SE eius diameter apparenS: quare minor ple-
rumque sic eius diameter apparens prove horizonrem
quam in loco celieleraciore caula in prompru eAt, que a nul-
Id astronom Oignoratur, nempe refractio quae meior est in-
ferioris limbiquam superioris; sed quare tunc nobis maior
appareac conabimur hic explicare. P’rimoieaque sciendum
cst sensum communem iudicare de rilibilis maonicudine, (.
curitaciunt geomerrae; nempe excogniris distancis et an
oulo ritorio, de ideo quomaiorem percipie sensus commu-
nis risibilis distanriam, eo careris paribus maiorem iudicae
visibilis magnicudinem; sed dum Sol existie prope horizon-
rem, iudicae sensus communis maiorem esse Polis distanriam
quam in loco Coeli eleratiore ob mulca corpora interjecta; 
idco prope horizoncem indiene erium eius magnicudinem
MMa

## Folio 142 — 834940469:0226
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000226.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
maiorem quam alibis vbi corpora inceriecta non rideneur, de
proinde de eius maena distancia indicare non pocest. Ali
quandocamen ob nubes convexas incer nos e Coleminter
iectas apparet Sol etiam instrumento obserracus, muleo ma.
ior quam ordinario riderur, arque hoc eveniteriam quan-
doSol est sublimis. sc d Expius quando est humilis ob maio
rem nubium frequentium. quae le disimus de Sole eodem
modo incelliguneur de reliquis corporibus exlectibus.
dTBILIVM PIOTFRA
sub recto obscuro.
Acellectis illis qua demonstrauimus de imaginis narura
 de loco, Facile es percipere, quare pinsancur rilibilia
illustrata in albis obscurati cecti pariecibus, si paceae exi-
Duum aliquod foramen in cecto obscuraco radiis visibilium
liberum praebens cransicum. Vnumquodque enim rilibilis
punctum dirisie conum radiosum inera cectum obscuracum,
chius conivercex est rilibilis punctum, ee balis foramen il-
Lud exisuum, qui conus producicur rsque ad album ee im-
policum pariecis planum, illic aliam coniradiolibalem de-
scribens, a quailliradiis ob plani inaequalitarem, undique
reRectuneur; cumque haec coniradiol in pariere balis oculo
appareae licuc punctu opricum ob Foraminis paruitarem, ri-
debuntur omnes rudii lingulorum vilibilis punctorum cE-
ctum ingressi a lingulis parieris punctis diversis cum quenEC
Eic ip la imosinis detinitio, maniteltum est in pariece esse vilt.
bilium imagines. Duo d h Foramen illud sic nimis larsum,
viderurimaso illa contula, quonium radii singulorum riti
bilis punctorum non a punctis parieris opticis, led a luper
ticiebus sensibilibus diuerguncur. eodem modo si visibile
foramen nimis appropinguer, conus productus balem de-
leriberin pariere non punctum opticum se d luperticiem (en.
ubilem; et ide0 imaso videcur contula: idem eriam dicem.
dum

## Folio 143 — 834940469:0227
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000227.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
Dum esec a paries recederer a Poramine. Quae hic loguurus
cum de pariere; eodem modoincelligenda lune de quocun-
que plano albo se impolico.
DE COMETARDN CAVDIS.
Zictimo plerosque huius seculi philosophos in hoc con-
venire, quod comcearum materia AC corpus aliquod
humidum ex roporibus ee exhalationibus cerrae vel alicuius
corporis celelis genitum; quare aurem luCeAnE eOrUM CaU-
da omnino controvercitur: existimo eomen hanc opinionem
Memaxime receptam, nempe, quod radii lolisper retra-
ctionem in Comeres corpore post eius cransitum vnicis cau-
dae luceneis efficiane similicudinem; cui opinioni non Tub.
Tcribo obhanc praecipuc racione demottraciram: omnis lucis
vel coloris opparentia provenie a redectione, led hic nulla
estrerectio, ergo; probatur minor, shic eNet aliqua re-
Rectio, CHCE reHeCtIO FAdIOFUM CX COMCER COrPOTC eMeF-
Torum ab iploxchere, led ab aethere nulla pocest herireAe.
etio, eroos probarurminor, aecher omnibus consenciencibus
est corpus maxime diaphanum (hoc est) radiis omnibus axC-
Aectione liberum praebenstransicum. Hac igicur fundicus
everses noram Habiliamus sencenciam: sed primo animad-
vercendum cst Tolis abseneiam in corporibus praeserrim hu-
midis e rapoross crossas e opacas causoriexhalationes,
quas sua praesencia omnino dispellie: hoc enim nobiscerra
incolis elt nocissimum; nam tempore nocturno crassusille
aer ab omnibus sencitur, ee minus ralidis praecipue acrise-
renoassueris saepissime mortalicer nocer: ac in zona frigida
ob raram solis praeseneiam ica sensibilicer incrassescie aer,
ve lepissime illic obseruetur retractio horizontalis 4 vel 5
graduum, sicue a naueis bacaris commemoratur. deinde
considerandum es cometas ex omnium fere consentu esse
corpora humida d maxime raporola, exnebulis, tumisrel
CX.

## Folio 144 — 834940469:0228
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000228.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
+44
extralacionibus genica, (vel Forcasse corpus quodam hus
midum proprios luos rapores emirrens ee achera semper
perrerans ab (que rilomoru circa axem) ec ad Colem cun-
dem semper tere hrum recimentia: hisce poliris necessario
sequicur medietarem comcex Coli advertam ee ab illo nun-
quam caletactam nec illustratam crassis de valde opacis inte-
cariroporibus, qui a raporola illa comerae maceria ee a (c
mucuo concinuo nurricis nulla rnquam (ob debilem ee Ob
liquam Solis lucem) Facta iplorum resolurione, in immen.
Jam alcicudinem excrescune, ee Colisradios non laris validos
ad exalaciones dispellendas ondique refectune. inhachy-
pochel ictae exhalaciones a radiis solis illuctrurae in longum
excenlx apparene licuri cauda loli temper oppolica, (c d ob
irregularem raporum ex comera eleracionem, aliquando
currara, de aliquando inrnam. aliquando in alceram celi
Plasam defectensi licuri eodem Forcase modo oppareret in
omnibus planeris, si omnes luas parces ad Solem vicissim
vercendo, roporesrndiquenon dispellereneur a validis de
directe incidencibus Solisrodiis.
Luna existente plena; illasratio terrae a Sole ad illustrationem terrae
a Luna, est in ratione composita ex duplicata proportione chorda-
rum Parollaxium horizontalium solis, ex terrae clobo, es ex
Luna elobo observati; es ex duplicata proportione chorda era-
duum 90 ad chordam parallaxeos horizontalis Luna.
PTres (huc illustracio) omnium radiorum Polarium in
terram incidencium ad vires omnium radiorum Cola
rium in Cunam incidencium (G in ae qualia spacia consresa.
rentur) (unc in racione duplicara chordarum lemiansulo-
rum radiolorum, seu in cerminis altronomicis, in rarione
duplicaca chordarum porallaxium horizoncalium Solis, CX
cerra globo, _ ex Lunxe globo, obseruaci, ve in consectario
T. 33. OpCiC: promorx est demonAratum. Sed quoniam luni
C81.

## Folio 145 — 834940469:0229
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000229.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
1
Exictente plena, eodem modo illustratur rerra à Luna hemi
sphaerio radiante, quo illustraretur si rndique radiaret lu.
nas supponamus rndique radiari lunam: supponimus eriam
lunam radios solares absque rila debilicatione de ex omni
parte aqualicerreRectere. his suppolicis, cridens est vires
omnium radiorum solarium in ceream incidentium ad cemis
Tem virium omnium radiorum lunarium esse in ratione du
plicaca chordarum parallaxium horizoncalium Colis ex cerra
e ex luna, (uppolico lemper veriusqueradios in equalia (p2.
cia congregari: aeque vires omnium radiorum lunarium
Cuncad rires omnium radiorum lunarium in cerram inciden-
eium, in duplicaca racione chordarum, Pemicirculi de paral.
laxeoshorizontalis lunxe, radiis scil. in spacia aequalia con-
oregatis: ee sumendo ancecedencium dimidia. semistis viriu
omnium radiorum lunarium est ad vires omnium radiorum
lunarium in cerram incidentium, in duplicaca racione chor-
darum g0 graduum. e parallaxeos horizoncalis lunxe: pa-
tene ero lequenres analosix; rires omnium radiorum (o-
larium in cerram incidencium sune ad lemissem ririum om-
nium radiorum lunarium, in racione duplicata chordarum
parallaxium solis exterra e ex luna horizoncalium; deinde
Temissis ririum omnium radiorum lunarium est ad rires om
nium radiorum lunarium in cerram incideneium, in dupsi-
caca racione chordarum 90 graduum ee parallareos hori
Zoncalis lunaes raciis lemper in aequalia spacia congregaris:
aeradii lolares de lunares in terram incidences in aequalia
spatia congresantur, nempe cerra hemisphaerix. Suppona
cur quoque cerrae hemisphaerium a lemisse omnium radioru
lunarium eciam illustraris eruneque rerrae hemispheriorum,
aradiis solaribus, a lemisse omnium radiorum lunarium, de
gradiis lunaribus sibi debicis, illustraciones, in eildem racio-
nibus cum viribus radiorum eadem hemispheria illustran.
eium: proporciones isitur pradicta ica se habene; illusra-
sio cerre a sole eA adillustrarionem terre a lemisse radioru
Ium.

## Folio 146 — 834940469:0230
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000230.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
146
lunarium, in ratione duplicata chordorum parallaxium hon
rivontalium Calis ex terra e ex luna; deinde illuarario cer-
rea lemisse radiorum lunarium est ad illustrarionem FCPTE a
luna in racione duplicara chordarum g0graduum de paralo
laxeostrorizoncalis lune: ac illuaratio cerre alole est ad il.
lustrationem cerre a luna, in racione compolica ex propor.
tione illustrationis cerre a lole ad illustrationem terre a se-
misse radiorum lunarium, ee ex proporcione illustracionis
terre a semisse radiorum lunarium ad illustracionem CCETE a
luna;que proportiones eedem demonstrare (une cu duplica.
ta proportione chordarum parallaxium horizontalium solis
excerra et ex luna, e duplicaca proporcione chordarum 50
graduum ee parallareos horizontalis lunae, quod demon-
Atrore oportuit.
Fodem prorsus modo demonseratur hoc generale Theo
rCMIa.
Quolibet planeta existente pleno; illustratio vel calefactio terra a
Sole est ad illustrarionem vel calefactionem terrae ab illo planeta
in ratione composita ex duplicata ratione chordarum, paralla-
xium horizontalium solis ex terra e ex praedicto planeta ob ser-
vati, es ex duplicata ratione chordae graduum 90 ad chordam
parallaxeosborizontalis illius planeta.
DE STELLAErM FIXAArM DISTAMTI
HRellis kxis nulla observari porest parallaxis; ee ideo de
 earum distontis multa ab (que vilo fundameneo dicun-
curs cgocerre existimo illam esse maximam neque fortasse
abique omniratione, licutnunc pacebit.
Certum cA terram e omnes ploneras esse corpora ob.
Scura de aliena ols luce fulgenria, icem solem de omnia si-
deratixa esse lucida e proprio rancum Fulgore splendencia:
haecenim ex multis e cerrissimis phaenomenis sune manife-
Aa. Cumque Sol ee Rellae sixx sinc Cola rniversi corpora lu-
Cida,

## Folio 147 — 834940469:0231
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000231.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
cida, eiuldem generis cenferi porune; ica ve sol quodam
modo dici possie ella tixa vicina; se ellaes Toles longinqui:
hisce consideraris non erit probabilenoseram scellam Axrm
vicinam leu Solem, incer cocmillia eNe omnium Axarum ma-
ximam de lucidisimam; porsumus isicurhaud ab Curde aftir-
marernam alcem lcellam fixam (nempe Cyrium, quae nobis
omnium maxima ee lucidisima apparec) ipsum Colem e in
splendore ee masnirudine aequare: acque syrius in splendo-
re inferior ele Touiin licu acronrchio, (e d re cuidencius Aae
nolerum propolicum, supponanus lucem (rriiluci louis esse
aequalem: le d lux solis e(c ad lucem Touis in licu acronschio
in rarione compolita ex duplicata rarione chordarum paral.
laxium horizoncalium Colis ex cerra e ex Toue obseruaci, de
ex duplicacaracione chordae sraduum 90 ad chordam paral.
laxcoshorizontalis Touis, re parer ex ancecedence; de ideo
lux solis elc ad lucem Crii in eadem racione: parallaxis au-
cem Colishorizontalis ex cerra obseruari secundum pleros.
que clc 3: e lemidiamerer apparens Touis in Citu acronr
chio (hoc ese parallaxis horizontalis cerrae ex loue in litu
acronrchio ob seruarxe) Clt 22u; cumque in hoc liru diltan.
ciacerra a Colc ad discanciam Touis a lole vulsoHErE 10 ad
52; erie distancis Colis a louc ad discanciam cerrae a TOVC, VF
52 ad42; ee proinde horizontalis parallaxis solis exlouc
obscruari c(c 18: cumque in paruis angulis arcus inter (e
Ane rechordae, chords parallaxeoshorizonealis Colis exter.
ra obseruari ad chordam parallaxeos horizoncalis Colis ex
Touc obserrari eA in rarione 3’ad 18I, Ccu uc 180 ad 18 vel ve
20ad2, cuius ratio duplicara cs 100ad r. deinde chorda
oraduum 90 (policoradio 100000) CA 14142F: cum que di-
cancia lonis a Sole ad distantium cerrae a Sole hc in racione
32ad 20 e Solis parallaxis horizoncalis (c s manifectum
est Toris parallorem horizontalem esse 35 cuius chorda cA
27 Pohcoeriam radio 1000000; de ideo chorda eraduum
90 est ad chordam parallaxe oshorizontalis loris ur 24142L
2

## Folio 148 — 834940469:0232
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000232.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
X48
2d27 (cunc8320ad F, cuius rario duplicara cA 69205761
ad 2; illustracio isiturcerra a Solc cM ad illustrationem ter
rae a Sprio inratione copolica ex proportione 100 ad L ex de
proportione 69205767 3d 73 hoc cA imrotione 6920576100
ad z; cumque Sol ee Sprius supponantur este eiusdem ma-
onicudinis e splendoris, manifectum eAt illusracionem cer-
exe a Solcadillustracionem cerrae a Sprio esse in duplicatarai
tione chordorum semiangulorum radiosorum Solis a Syrii
in cerrams hoc est parallaxium Solis e Syrii excerra horizon-
talium; ee ideo chorda porallazeos horizontalis Solis est ad
chordam parallaxeos horizonealis Syrii in subduplieaca ra-
cione 6920578200 ad r, Teu in ratione 83590ad F, sed in
liis paerulis angulis chordae inter se lune ut sinus, linus eroo
parallaxes horizonealis solis est ed sinum porallaxeostiori-
zoncalis Syriis re 857902d2, Sed Sol de Surius eiusdem lup
ponuncurmoonicudinis, e ideoeorum dittancie a cerra in-
cer se Cune in reciprocaratione sinuum parallaxium horizon-
calium; de proinde dictantia Spriiacerra ad distanriam Solis
a cerra cA uE 837902dT; e id eo distantia Solis a terra ad
diltantiam Syrii a cerra non est in ratione sensibili, quod de
monstrare oporeuie.
Duod s assumacur parallaxis horizonealis Solis minor
quam 3 (certisimum enim est eam minorem esle vnominu-
e0) magis adhuc insensibilis erit dicta proporcio: NOS aUTE
non existimamus omnes Axas aequalicer diltare a Sole, nam
probabile est quarundem disacias aliarum muleis vicibus su-
perare. Existimet force aliquis meum argumeneum non
concluderes quonium Fortassis omnesradii (olares in Tovem
incidences ab COnOn reReCtUnEuT, SiCuF c9O SupPonO: re-
spondeoramen arsumeneum esse a fortiore, quo enim pau-
ciores supponuneur radiia lore refectis co magis insensibilis
exir prae dicta proporrio, uc cuiris compuranti patebit.

## Folio 149 — 834940469:0233
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000233.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
OD rISIO OPD TELESCOPI
vel microscopii non sit fallax.
Erum optieorum non satis periti semper exclamane
L celelcopia emicroscopis risum Polumodo decipere de
nihil rerum de realenobis monstrares neque cvidencissimis
experientiis omnino conrincipolsune; e igitur rationeten
candum est illos ad veritatem revocare. Visus Fallacia po-
cest duobus modis accipi, primo de ralde improprie, quan-
dorisibile eodem modoviderur in una distantia, quo in alia
videri deber; hoc enim absolure non porest dici vilus talla-
cia, etiam si respectiuec ad istam distanciam iea dici porerie, im
alia enim distantia estvera e debica visio: aeque in HaCaC-
ceptione vilio per celelcopium vel microlcopium omnino
ecttallox. Secundo d proprie, visus Fallacia est quando rin
sibile vel eiuspars aliqua non apparee in propria lua Agurax
licu, e propriis luis coloribus cinctum: acque inhac acce-
prione nulla inest Fallacia visioni per telescopium vel micron
Ecopium perfectum, quae hominis visioni perfectissimae nOn
inesse porest: in 50 enim _ sF optica promorae geometrice
demonstratur, quod omnis risio perlences rel speculas AE
vilio vera ec realis in cali assionaca distantia nudo oculo de
bica; siigicur nulla Ac Fallacia in vitione oculinudionec vila
erie in visione per celescopium vel microscopium, cum illae
visiones demonstrentur esse eedem. Sed dicer forre aliquis
celescopium vel microscopium reprae seneare aliguando rist.
bile inlicu cuerso, sed oculus ita nunquam FACIE, CrSO: rC
spondeo in hoc calu celelcopium vel miero(cop. Um repra-
seneare visibile eodem modo quo appareret oculo nudo ee
everio in cali asionaca distaneia, re facile riderur ex 50d
SF OpF. prom: sive enim obiecti, sire oculi cuertior nihil mu
TaC, PraeCermerum licum quo aAnOS, nEC in viliOnE RECI
visbileo

## Folio 150 — 834940469:0234
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000234.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
OM XY F
Y 1S+BIL F
infinicum sit divisibile.
IX
Trisbile in infinieum non se dirisibile, accipiatur minima
eius pars, qua ex opc: prom: 55 vel s6oculo repraelen.
cecur in angulo aliquo riforio senlibili ex. 8. 20 graduum; aci
que oculus percipir risibile in an sulo rilorio 20 graduum in
muleas parces divisibile, ee proinde apparec haec minimavi.
sibilis pars oculo in muleas parces dirilibilis; cumque na
cura homininon der oculos Fallacess eenec celescopiumnec
microlcopium rilum preheac magis Fallacem quam iple ocu-
lus; neceltario sequicur quod icta minima pars sic realicer
diilibilis, quod elt ab Curdum, ponieur enim indivilibilis; ce
sicur non porest dari rilibilis pars minima, estisitur omne
visibile in insinicum dirisibile, quod demONATATE OPOTEUIE.
DE OBSERV ATIONF
I
STMILTEVDI
nis inter Terram e Lunam.
Ilce remporibus magna est controuertia, num Luna
Globussic ex cerra e aqua, sicue nocter hic globus
cerreltris; quae Facili experiencia sit dirimi porest. Sic cele.
lcopium cuius lens obiectiua in lacicudine ad minimum con-
einens cencies diamerrum urex obleruacoris, ex vna PATEE
pluna ee ad alteram conrexa ex diamerro 50 palmorum; (C-
que eius ocularis plana ex vna parte de ex altera L palms
convexitacis. Fruiuscelescopii ope ridebitur Luna (suppo-
lica eius a cerra distantia 240000 mille passuum) omnino l1
cur ex dictantia 2400 mille passuum. Deinde in locoaliquo
eminencissimo (ex quo rideri porsune maria, monces, praca,
Lacus, luxas omnia valtissima, od discanciam 40 mil le passuum)
de sub rectoralco ad vlcimum obscuraro, dempeo rno lo-
lum

## Folio 151 — 834940469:0235
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000235.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
A
e
na
9
10
23
lummodo parro Foramine versus praedicta maria, monces.
_c, a delcripei celelcopiilente oculari impletos per quam
obleruentur ancedista marias monces, ec. (dum a Sole FOr-
cicerillulerantur) ab oculoor palmis dilcance a lence, vi-
debuntur omnino licur ex discancia 2400 mille pasuum; Cx
qua criam discancia ridebacur Luna; ee proinde similicudi-
nes e dissimilicudines incer L. unam de Terram ab Obseruacon
ribusvideripocerune. Fluius praxeos demonserario est ex
optica promotae sod sr; ex illis enim deducirur aequalis
distancia e illustracio distancie debita veriusque risibilis, de
elt in veroque aliqua riericinctura. Sed dicer aliquislunam
hac ratione plus habere cincturae ritreae quam terra, quoi
niam illius radii duo penerrant viera, huius vero Colummo.
do, rnum; cuitacile medetur, addendo in obserracione
cerrae reum rierum ex veraque parce planum eiusdem cum
lence celescopii obiectiua crassiciei, ad alceram lencem ex
porce plana iunctum; dicec adhuc aliquisroporescerrestres,
velcerra obseruationem omnino impedire, vel salcem eius
colores mutare: respondeo quod terra obleruari debeae
cloco altilsimo e cempore sereno, e Luna dum propehon
rizoncem exiscie, reidem semper in veraque obleruarione
defectus adEc. hilce consideratis, si lUInA APDAFCAE FerTA
splendidior; dicendum ese Lunam cerra esse candidiorem
e omnino opacum, quoniam nigcedo d diaphancitas reAe.
etionis rires impediune: Sivero contrarium videatur, con-
craria terme unt indicanda: si eadem in veraque oblerua
tione appereone phanomenas nulla racionos docet tellu
ris e Luna macerias esse diverlas. Fadem quoque metho-
A0porelc experiencia heri de limilicudine inrer duos quol-
libecplanecas, incer Solem e Scellas Axas, inter nuDes d
CoMCcas

## Folio  -  — 834940469:0236
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000236.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
c
IMMHBMIIIEHIIMIIEIMIHMMHIHIBINIMBHMIIHMIEHIMMMLHSMEIIZIEHHIKSIMHIMIIMIMBIIMGIIHIEIISHBEIEIIIIEIITHMIHIMMIIII
u
gtli
eee
roocete rarpntont
Bn. Mar9. d
161

## Folio  -  — 834940469:0237
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000237.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
e e    le sl re
nosce rauorsoorior
gnatur: Leibn. Mar9. 98, (2
eeeeeeeee

## Folio  -  — 834940469:0238
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000238.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
GWLB Hannover 35
se
1tt1ttt stttt1tt1)1ttat 1t 11 11t1t 111 t 111 st 1ttstt11A1t 1t A tttBt tBstAt1 Bt Att)B At 11t1stS stssiit sss
AEnENNSEIE LEDHITEDI

## Folio  -  — 834940469:0239
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000239.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
a
deo. G
LB _ 20 ad B 1t
t P B   2
IllII.
H
Ett
Leibn. Maro.

## Folio  -  — 834940469:0240
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000240.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 93 lines, status machine
e
15
os
e  
se
d eo
3
ed
a
e 
 t 
sin  atia
on
 
2
ea
ad
a
e
ad 
es
e
 
 
nvea v
non. 
a
ea
ei
d
e
a
se
ov
X
ver
d  
e
ed
d
a i. pen tre
si ei
e
ete a
11
e
 si
n
i
coms
Rec
ads
n
incanti
add A
E
0
ed es
su
 ea dod
se d oaa it
2. 
2
et
es
e
Par con. gie e e
i
.
mm .
es  a ab 
e id e a 
as
de
12
 
  
3.
1
e
o
is
d ea
ver
i   n i
 d mntoo 
20
st
e e
esi
E
atioe 
ca t

## Folio  -  — 834940469:0241
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/834940469/jpgs/default/00000241.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
e
u
e
e
e
2
ret
e
t
, 
1
e
∞
ac
an
a
l
t
aa
ac
a
d
e
ac
ac
ese
a