# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Work: https://leibnizlegible.com/work/851387705
# Title: [Johannis Wallis S. T. D. Geometriae Professoris Saviliani, in Celeberrima Academia Oxoniensi; Opera Mathematica] Johannis Wallis S. T. D. Geometriæ Professoris Saviliani, in Celeberrima Academia Oxoniensi; Opera Mathematica (shelfmarks Leibn. Marg. 100:1/2, Stück 1; Leibn. Marg. 100:1/2)
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=851387705
# Lines: 61,198 recognised on 1,088 of 1,089 pages, mean confidence 0.87
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio  -  — 851387705:0001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
Mti tis s t tt e it tt t t t t   te e Ate  t t  tet te . A      itt tt   s   t  te   t
5

## Folio  -  — 851387705:0002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
mctum  t eol 4 es 0  l 1d
ioderSAI SISBIB
lensestietiortion
avmumnoum ant

## Folio  -  — 851387705:0003
# No recognised text on this page (skipped: no_lines).

## Folio  -  — 851387705:0004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 3 lines, status machine
et qt t su   t Lt o t at e ru  tst i 1 o  e tta
lIII
o rns anti

## Folio  -  — 851387705:0005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 3 lines, status machine
(BIBLIOTVBCH
RF CIA
sitonovens

## Folio  -  — 851387705:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
D
ad vivum delin.
D. L
illstrers sculpie

## Folio  -  — 851387705:0007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 11 lines, status machine
fohannis Vallis S. I. V.
Geometrix ProtesToris SAVTLIANF,
in Ceteberrima ACademIa OXONTENSI;
DEERA MATHEMAPICA
BIBLIOLHECA
oa bblate
2001. d∞. 1A
Tolumen Primum
OXO NIN
70.
H PHEATRO SHELDONLANO HDCACV.

## Folio  -  — 851387705:0008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
8
co
8
si
e
1L E1SdE
2dH 13 1 53 X C) ssi S.1 
Uprimatus.
dod Ladedddet
MMMI ANTEECAN. OXON.
Ac. 20. 1673.
dtestctC 
le
20
u
hl
au
1
en
i
e
lin
ed

## Folio  -  — 851387705:0009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
OM Oxoniensis Preli Curatoribus vilum est, Scripta mea
Machematica (ante separatim edita) in unum quasi COr
Dus colligere, e junctim edere; cocius Operis, ordinit
que quo jam comparene Racionem aliquam Frudito Lc.
ctori recdendam esse censui.
Occurrun pleraque (non omnia) eo ordine quo fue-
ranc primum edita; Rxcepeis aliquoc qua Secundo Volumini aut Inle-
runtur, aue Suctipuntur, ne nimis excresceret Prius hoc Volumen.
Cur aucem secundum illud (jam ance duos Annos edicum) priuS
emiterim, causa plane haec cst; Ouoniam qua illic continentur plera-
que Linoua tancum Anolicana prodierant peius, erantque jam in L. a-
cinum sermonem convertenda. Oua iiaque meam iptius inspectio.
nem magio postulabane: cum ea quae ante prodierant Lacine (siguid
mihi incerim humanicus accideret) potuerine non incommode (etiam
me mortuo) redimprimi.
Singulis autem adseribi curatum, quo tempore primum prodierant:
ne ridear ex aliorum seripeis (post edicis) ea mucuasse quae Cunt ueril-
que communia. Onippe post edica meorum non pauca, non parum
Promocam esse Doctrinam Machemarieam, nemo nelcir: Cui reiquate.
nus mea seripea subserrierine, aliorum elto judicium.
Opus Arithmeticum ((eu MTathesis 2 niversalis,) Fironibus praeserrim
InSIELCNAIS RCCOMMOCALUII CFAE: IEA LAIEN COIMPATAEUI, UE In CO CON-
cineancur eciam Pericis non concemmenda. Oux si non planenova, unt
Taltem nove cradita; aeque a primis Fundamentis demonstrata. NOn
nulla etiam Philolorica aut Philolophica immiscentur, quo sustui
Rcademicorum, quales quidem EUNC CrANE, conTulerCTUT.
Ouippe non distimulandum cMt, Academicos nostros, ante ea teM
Pora, Peripacecica (quae dicitur) PhiloCophia maxime deditos, (quae
cune in Scholis cradebatur, ee cujus loquendi Formulis reS Crat aCCOM
modanda) rebus Machematicis parcius racasse. Brancquidem ex noctris
non pauci Mtacheleos latis perici (quod eorum seripta quae CTiaMII
extanc celtancur;) Pauciores eamen quam nune dierum; iique fere
extra Acactemins agentes. Et quidem per Bella Cirilia, quae per plu
res Annos nos exercuerane, Audia Academica, si non penitus inter
rupta, salcem impedica plurimum hic Fuerunt, de quasi de nororecti-
tuenda; qua ex eotempore (quoad res hasce) masis indies risuerunt.
Oc non mirum siC, si de Macheleos neslectu cunc questi simus, de quo
non camens nunc est querendi locus.
Ca contra Nscibomium Seripea Tunt; non eo animo scribuneur quasi
homini (alias bene merico) male relim: Sedne serpat Prror (qui ipsum
e alios aliguor insecerat,) dum inter Rationem Dupli Tripli, etC. et Ra-
tionem Duplicatam, Triplicatam, ecc. non bene dictinxerant. De quo
(Spero) posthac (re bene intellecta) non multum eric periculi.
De Angulo (qui dicitur) Contactus Dissercacio. (quae sub idem rent
Du

## Folio  -  — 851387705:0010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
R F.
Dus prodiC) Boccmam non plane Noram continet (ut quam ante
cradiderat Peletarius,) Led rix Catis Receptam, et clare Agnitam, qua
e clariorem meruerat Explicationem; et Detentionem contra Clavir
2 aliorum Oppuonationes. Sed eca Detensio, Vindicationonora in-
diguit: Ouam itaque in subjunctis Sccundo Volumini jam achibui;
quo et prior illa Dissertatio nunc transinista est. Oux quidem Doctri-
naq omnino Orilis est (nedum Neceltaria) extricandis pluribus Dis
cultatibus, quae multos ante torlerunt, quaeque (hac polita doctrina,
jam cranescunt, nec (credo) posthac quemquam discruciabunt; Caltem
non opus erit ut quiquam inde discrucientur in e
De Conicis (qua dicuntur) Sectionibus Fractatus (ex Solido in Pla-
num eralatis) quam elara ucilis ex perspicua sit (Pra Veterum carun
dem in Conotractatione) non opus est ut dicam: (Onam Pos imitatus
est D. de Wit Fractatu Cuo Schootenianis in(erto: item D. De Chales.
et Dela Fsire.) Ouo Conicorum Fractatio (quae ante tam pexplexa
habita erat, ut inde deterrerentur plurimi) jam cradtat facilisii
Oux sequItuT Prichmetica Infinitorum, es Inrestisandi Mrethodus plane
Nora, e a me (quod sciam) primitus intloducta, non inauspicate
Ouam approbarune summi Viris e amplo Comentario dignatus est
CIar. Bullialaus. Oua quam mihti fueric uluis teltantur alia mea dein-
ceps seriptay (de Croloide, de Curvis Rectisicandis ex Complanandis,  de Cal
culo Centri Gravitatis etC.) Cnam et (non obstantibus quorundam F x
ceptiunculis) amplexi tunt ex prosectci non infunae nota Viris sire le
cerint, sive non fecerint, mei mentionem. Oiranque hinc facta eA
Speculationum Mathemaricarum promorio, aliorum porius elto (quam
meo) judicio edicendum.
11411
Oui segnitur de Cycloide Fractatus, Scriptus erat occasione data d
Provocatione publica, ad omnes Furopae Mathematicosu ab Anourmo quo-
dam Callo, qui Destonvilii nomen post actumpRe, qui alias Paschalius
audit. Cui quidem Prorocationi quam eso latistecerim, opus iptum
restatur. Cuam item rem fusius prosecurus tum (inter alia) in Me-
chanicis (sive de NToturractatu) ubi de Calculo Centri Craricaris aoi-
TUL; CaP. V. DrOP. 16, 27, T8, 29, 20, 2Y, 22.
Fidem de Cyoloide cractatui, subjungitur alius de Curris T incis Re-
Etificandis, _ Superficiebus Curvis Complanandis; hoc cA, Lineis Rectis
altignandis, quae sint expositis Curvis aequales; et Superficiebus Planis
qua sint aequales expolitis Curris. Ouam ego rem cotam ex Principiis
in Arithmetica Intinitorum traditis deduco; et ultra prolequor quam
quisquam me prior Fecerat; Mechodumque aperio, cujis opc poterit
quilquam (cuiid lubitum ck) rem ultra pro arbicrio promorere.
In Practatu altimo, cui Nechanica citulns, Sire De MOtu FraCtaEHS.
aeitur de Machinis (seu Instrumentis Acchanicis) quas tractare Tolent
Mechanicorum (eriptores. Obi Res omnis a primis Mocuum principiis
deducitur ex demonstratur. Percussionum item et Restexionum Voctrinn
ex veris e genuinis sui principiis deriratur. Pocaque Fydrostaticorum
doctrina ab Aeris Contrapondio deducitur, pro Veterum Fuea Vacui:
(quam fusius adhuc prolecutus Cum in Tractatu De Cravitate es Cravi
tatione, qui in Secundo jam Volumine comparet.) Fit quidem in ca
ejus parte quae cM de De Contro Gravitaris (ejusque Calculo; mirum eAt
quam Faccunda sit Corollariorum Methodus ab Arithmetica Infinitorum
pecita, in extricandis (prarer spem) Ouxsicis perplexistimis, hrabitis
que pro deploratis. Trae
Ouae in Secundo Volumine habentur, in Praetatione cidem prxefixa
dicitur

## Folio  -  — 851387705:0011
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
dicitur. Obi (inter alia) habetur Nemtoni Mechodus, de Fluxionibus (ut ille
lognitur,) consimilis naturae cum Leibnitii (uchie loquitur) Calculo Disse-
rentiali, (quod, qui ueramque mechodum conculerie, Catis animadvertat
utut lub loquendi Formulis diversis,) quam cgo delcriph (Aleebrae Cap. 97.
_C. Praesertim Cap. 95.) ex binis Nemtoni liceris (aut carum alceris) Funir
23. et Aueusti 24. 1676, ad Oldenbursium datis, cum Feibnitio cum com-
municandis (iisdem fere rerbis, Calcem leriter mutatis, quae in illis literis
habentur,) eibi methodum hanc Leibnitio exponit tum ante decem an
nos, nedum plures, ab ipto excositatam. Ouodmoneo, nequis causetur,
de hoc Calculo Differentiali nihil a nobis dictum cAc.
Tractandi Modum quod spectat; conatus Cum 2 primis Principiis
omnia declucere; et eo Ordine Fradere quo unt Inventa; quo non
tancum, vera esse, Lectoriconttet; sed e, quomodo sit eo perrentum;
uc ipsa inrecstisandi Mechodus (etiam alibi acthibenda) non minus
innoceseat. Contra quam quod de Veceribus conqueruntur mulci;
qui sic Invenca Fradere et Demonstrare Cateserune, ut interim Inve-
niendi Mechodum occuluerint.
Verborum eso e Phrasium Elesancias minime sectatus sum; Ailo
simplici (modo non barbaro) ConteNEUS: Id maxime curanS, (in Ver-
borum cum Ordine, cum Delectum) uc senfus sie (quam heri PoNIC)
perspicuus, de ambisuicati minime obnoxius; praesertim sicubi metus
sic ut vel non incellieatur, vel perperam intellieatur, res provolta.
EE Propcerea Recepcisuri Solco Vocabulis et loguendi Formulis, (e
quidem, aliquando, cancum- non inrieus,) pocius quam (norationem af-
tectando) Lectoris animum cuebare formulis non consuecis, quum
rECCPEA SUPPCCUNE. Puta, quum dicieur Ratio Dupla, Tripla, Ec. (quia
Sic dici Colet,) cumtamen (si res cet incegra) dicenda porius Foret
Ratio Dupli, Tripli, _c. Sic, quum dicitur (genere Fceminino) JLac
Diameter, haec Perimeter, eC. (Propter Graecorum ru dauereor, rud  Eiu
reor, ob Tubaudicam geapculuo,) cum Lacinius diceretur Diametra, Peri-
metra, (propter Subaudlicam Lineam;) vel Caltem Diametrus, Perimetrus,
(quod superiori seculo dicebatur,) cum nulla (quam memini) vOxOc.
CUIEEEAE (hujus FOrMX) exiens in er, quae sic Foeminini generis; (unde
Ec ue cum de mare dicitur Socer, de Foemina dicatur Socrus.) Sic dico
Trianeulum, Quadratum, Planum, Paralleloerammum, _C. Quia dixerunt
Craeci rOrS YcoVCV, Fersarcorv. extredor, X MNegeauur, propter subaudi-
cum grua,) cum Latine Cacins diceretur Pieura trianeula quadrata pla-
na parallelorramma. Sed receptus loquendi mos Facit ut utraque lo-
cutio censeatur Paris Lacina. Nam id in aliis mille casibus Oecurrit.
DE cum Honestum dicitur pro Rehonesta, quia dixerant OraeCI ZO NECTOV,
T0 naNoN, PrOPter requa vel nearua lubincellectum, _c.
Flac auchoritare tretus, eso promileue dico Lanc Conoeidem, Sphae-
rocidem _ec. (Subincellisendo Ficuram,) aut HHoc Conoeides, Sphaeroeides,
(gnia dicebant Crxei ronorscides, oDaodes. de sic locuti sunt Interpretes
Lacini, quasi fuerinc illa Substancira nomina:) sed alterum malim ut
arahozincoreer. Similiter, nunc ut primus ad secundum su certius ad quar-
cum (Tubincellipendo Numerum aUE Terminum;) nunc ut prima ad secun-
dam sic certia ad quarcam (Tubincellisendo Lineam vel Ficuram;) nunc
etiam, ut primum ad secundum sie cerrium ad quartum, (per Neutrum ab(o-
luce policum.) Pesimilicer in aliis; nunc sequor quod iplemalim, nunc
morem sero receptis loquendi formulis. Acque in rocibus qua aliis
nunc hoc, nunc illo, modo scribuntur; cadem cgo libertate utOr, non
Toliciens de hisminueiis. Ouippe non hic Crammaticam cracto sed Ma-
chemacieam; ee sic loqui relim ut opeime incelligar.
Caula-

## Folio  -  — 851387705:0012
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
F. C YOR V. MI, 69C.
Caabitur Forte non hemo, rem eandem nonnunquam alio atque
alio locotraditam esse. Atque hoc ommino non est negandum, quin
hoc aliquando hac. Nec tamen ritio dandum, aut rauronorias acculan-
dum. Considerandum utique est, Fractatus hos omnes non uno impetu,
aut continuo opere, scriptos esse; led separatim editos, diversis tem.
Poribus, e lonee distitis. Ft siquid scitu non indignum priore aliquo
opere prodierie, loco non imporno; non est eur id quilguam culpet
cum esse editum; sed nec, cur deleatur in eodem opere redimpielio,
ut mancum Aeret. Ft quidem si in alio opore polt cdendo, res eadem
relumenda veniat; aut amplianda, aut promovenda, aut aliis usibus
accommodanda, aut a calumniis aut aliorum objectionibus rindicanda;
non est cur et hoc heri non debeat. Et quidem rix quispiam rem ali-
quam (Taltem noram) sic prima rice perfectam cradit, ut non possit
secundis cositationibus meliorari, promoreri, aut porro contirmari;
dut etiam cirari, sive ad explicationem sire probationem aliorum; ut nec
hic commode abesse posset.
Opuscula quaedam contra Thomam FTobbes (Pscudo- geometram) olim
scripta, non hic habentur; ne relle ridear de homine jam demortuo
eriumphrare. Ouamrisenim; prout tunc reserant, id omnino rideba-
cur faciendum, (quando Cab praecextu Mlaoni Geometrae, qualem se ven-
dicabat, auus est, in Religionis necotio, incantis adolescentibus per-
peram lentiendi materiam subministrare;) ne tamen in Geometrix
damnum id cedat; non jam videtur metuendum. Pt quamris inibi
(praetor ipsius pleudo- graphematum refutationem) occurrant alia non
pauca lcitu disna; horum tamen pleraque in aliis alibi locis reperiantur.
.Sunt item alia nonnulla (sire mea, sire aliorum ame editâ) ouxe in
Voluminum horum neutro habentur; quae (A velic) Lector alibiquaerat.
ata M mendanaa.
p. 29. l. 42. Quinquaginca. l. 50. TEaaPaNorra. P. 3F. l. 28. CLaCLIOHC. P. 32
l. 2F. lperno. p. 36. l. 28. 2b. P. 37. l. 45. 8 p. 38. l. 5. CWIatHIO.
A _ D. P. 136. 1.
P. 202. mars. Examel. P. 224. 1. 23. Pro
4285 lese 4285. P. 259. l. 4. incerim sim. p. 264. l 24. 5  12. 1.313. f5. 2.
deest in imo anguso litera B. P. 333. l. 23. bisectam in c. p. 334. l. 25. pro SEs p
lege S5dX. p. 337. l. 20. POATO5. p. 352. l 4. ante = DOC interpone p3. p. 302
l. C5. inter F _. p. 416. l. 23. judicium. p. 422. l. 24. Sublecuncas. P. 4,0.
l. 22. pro OF = F. lesc 2T = 2. p. 502. 1 29. ParTi. P. 499, 504. fis. T. deest C
in prorracta recta GFF. P. 52O. l. ancep. ZY pro C Y. P. 5LL. l. 30. lire majo-
rum sive minorum. P. 52T. ficura notanda est Fig. 1O. P. 525. l. F3. 28 D P
 16. 3. lin. 54. lese Arimuchani. p. 15. l. 32. abeste. 1. 50. Trposrapheum.
P. 129. l. 27
ad cβ. P. 540. 1. 16. lecundus. P. 552. 1. 455+4. dC 1ddb. P. 554 l. 5. pro
P. 527. l. 3l. 72D. l. 52. Bb rectae. P. 350, l. 1. 3 1 l. l. 9. a lB. P. 551. l. G
de lese dc. p. 559. l. 20. AT = H. p. 564, 565. pro Li, Lu, D2. lese L, L0, p2.
0. 642. Statra band satis accurate pinsnur. Maeorio uno fuspens d. P. 000. 1. 34
pro Z5 lege 35. P. 7TT. l. 36. pro 99 lese nunc556. P. 724. l. 34. Supra, pro  5.
Pro Z les. P. 137. 1. 2C. P10 a8 ese ab. P. 237. 1. 10insta, 1065, 65, 18665
P. 74F. l. L0. descriprum. P. 749. 1. 2. Leogu. P. 3. l. 7. o L ue
AF. p. 758. l. 2F. ER~ P. P. 765. l. 25. IpE. P. 714. 1. 20. P1 31 a86331.
P. 380. l. 42. pro Z lese 8. P. 783. l. 6. pro a lese a. p. 787. l. 43. aciem habentis.
l. pen. pro = 95t lese F 9sH. p. 793. l. 3F. - 5aSR. P. 820. l. antep. prO 3
lese 32. p. 83F. 1. 30. ad B  B. p. 846. l. uIt. in fine, pro 2C lese 2c. P. 855
1. 25. supras pro x lese X. P. 86F. l. 22, 2666, P. 927. l 16. C, n, puncta. p. 1058
24. HC.
T. P. N.

## Folio  -  — 851387705:0013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Oratio inauguralis.
Machesis Oniversalis; seu Opus Arichmericum, Philologice de Mlache
matice cradtitum. Arichmeticam Numerosam et Speciosam, aliaque con-
Einens.
Dedicario.
Cap. I. D
F. Mathese in cenere; ejusque Objecto e Distributione.
II. De Geometria e Arithnetica speciatim. Farum Desinitiones
Objecta, Principia, e Affectiones. P’asque vere Scientias este.
III. De Demonstrationibus Mathematicis: Onde Mashematicas vere Sciemtias esce
confirmatur.
IV. Onicaris ex Numeri Desinitiones. Duo sensu Onum negatur esse Numerus.
Tam Onum quam Nullum vario sensu, Principium Numeri. Onum est Nu-
merus Minimus. Nallum non est Numerus. Numeri Fracti, non sunt veri
Numeri.
V. Numerorum Procreatio. Numerus Maximus non datur. Numerorum Nomen-
clatura, e Ordinata Dispositio, in continua Proportione Decupla; apud omnes
Centes recepta. Disposirio haec Gentium Distributione antiquior. Onde orta. 28
VI. Latina Numerorum Nomina, a Ciraeois derivata. Miaeque plurimae Fymo-
VII. Numerorum ocatio, per Omnes Aphaberi Literas: Flebrais e Ciraecis
communis.
VIII. Numerorum Vocatio per Selectas aliquot Alpbabesi Literas, Craecis e La-
tinis communis. Cur illae porius quam alia selieuntur.
TX. Numerorum Notario per Ciphras Saracenioas, sive Vuleares Fieuras Nume
rales. Ciptra quid, ejusque variae penificationes. Occulte scribendi modi. Si-
ela e Nocae quomodo differunt apud Romanos. Norae Sithmeticae a quibus in-
ventae.
X. Licurarum Vumeralium Valores; Primarius e Secundarius. Locus. Periodus.
Ciphrae usus. Fractiones Decimales. Cradus Ascendentese Descendentes, in
proportione Decupla
XI. Cradus Ascendentes e Descendentes in quacunque proporiione. Meebrae Lun
damentum. Potestates Alcebricae cum Cieometricis Dimensionibus comparan
Tur. Parum Appellationes S Characteres. Porestates illae per Cradus Ariibme.
ricos, quam per Geometricas Dimensiones, aptius explicantur. Meebrica Nora-
cio ulterius tradita. Acebrae Veterum e Recentimum differentra. Vrriusque
usus.
ZII. Fractionum sive Minutiarum Noratio. Fractionis Numerator e Denomina-
cor. Minuriae Minuciarum. Fractio Propria, e Impropria
XIII. Addirio quid: Axiomata quaedam, seu Communes Noriones. Additionis
Summa seu Aecrecatum. Additionis Praxis, in numeris Simplicibus. Addirio
nis e Subductionis Tabella: ejusque Demonstratio. Maditionis PraxIS In N
meris Composicis; ejusque Demonstratio. Operationis Compendium. Mdditionis
Praxis in Fractionibus Decimalibus. Addicionis Praxis invariis Denominatio-
nibus.
32
ZIV. Subductio Addicioni contraria. Subductio quidd Subductionis Praxis, in Nu
meris simplicibus: In Numeris Compositis. Praxeos Demonstratio. Praxis
in Fractionibus Decimalibus. Praxis in variis Denominationibus. Subductio
Majoris ex Minore, quatenus Impossibitis. Duantitales Necativa seu Ablariniae
non absurde supponuntur. Quidimmuunt. Subductio Mlajoris ex Minore quate
nus supponitur praestanda.
XV. Raditio e Subductio Mebrica, e Speciosa. Vrriusque Recula exx praris. 
XVI. Additionis S Subductionis per contrarias operationes Probatio, seu Lxami-
natio.

## Folio  -  — 851387705:0014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
ELPNCHOS CORTENTORUM.
natio. Objectionibus Rami respondetur. Duaestiuncula aliquot familiares solvun.
tur. Probatio Novenaria. Orut lubrica sit, non tamen contemmenda. Duomodo
reddi potest certa.
XVII. Rdditionis  Subductionis Pvereitium in Chronoloera, e C. De Nativitate A-
pharadi, e Abrahami:; e de Promissione Facta. Cien. 15. 8 Cal. 3. comparan-
tur. De Traelitarum mora in eFieypto. De durae Servitutis initio. De Obste
tricum Responsione. Numerus Descendentium in A:oyprum. G en. 46. 8 Act. 7
comparaniur. Immensum eorum Tnerementum.
XVIII. De Mulciplicatione. Duid sit: Duid Mulciplicandus, Mulciplicator, Factus.
duid Mulciplum, Pars, Partes, Aliquota Pars, Aliquanta P ar S. Mulsiplicatio
sensu Sericto, e sensu Paxo, sumpta. Non semper numerum aucet. Mulcipli-
catio quarenus est mulciplex Additio. Multiplieandus aut Mulciplicator, utervis
ex Lactoribus dici potest. Multiplcationis Praxis; In Numeris Simplicibus:
Tn Numeris Composilis: In Partibus Decimalibus. De Indice seu Lxponente
Numeri Fracti
8
XIX. De Divisione. Duid sit Divisio, Dividendus, Divisor, Quoriens. Divisit
sensu Stricto e sensu Lato, sumpta. Non semper numerum Divisum minuit. Di
visio quaienus est multiplex Subductio. Divisionis Praxis: per Divisorem Sim-
plicem; per Divisorem Compositum. Divisionis Praxis in Partibus Decimalibus.
De Indice seu lxponente Euotientis seu umeri Orti.
ZX. De Muliiplicatione e Divisione Alcebrica, e Speciosa: P+ Duantitatum ex
pluribus Denominationibus constantium; carumque ad unam aliquam Redu-
ctione.
202
ZXI. De Mulciplicationis e Divisionis Probationibus i earum que probationum
Fundamentis. Familiares aliquot quae stiunculae solvuntur.
ZXLI. Malciplicationis Fxercitium in Paralleloerammis Rectaneulis mensurandis
e invicem comparandis. Divisionis in Parallelosrammis Rectaneulis F xerei
tiumm.
XXIII. Fuclidis Flementum secundum, Arithmetice Demonstratum.
2
XXIV Geodaesia Paralleloerammi Rectansuli; Obliquansuli: Cujusvis. Mensura-
tio Frianeuli Rectaneuli; Obliquanguli. Cujusvis. Mensuratio cujusvis Ficura
Rectilinea. Mensuratio Fieurae Recularis. Mensuratio Circuli; ejusque Porrio-
num, Sectorum e Scementorum. De Circuli duadrutura: e Ratione Perime-
tri ad Diametrum. De Fiouris Mistis. De Fieurarum Meramorphosi.
127
ZXV. Numerorum invicem C omparatio. aliarum item duantitatum, sed nonnise
invicem LTomcsenearum. Comparantur tum quoad Differentiam, tum quoad Ra-
tionem. Flarum comparationum ab invicem Discrimen. Differentia Subductione
investieatur: Ratio, Divisione: sed ea tantum quae est quantitatum Flomorenea-
rum. Duantitatum ad Fleteroceneas Applicatio, quatenus ad Divisionem referenda
sit. Rationes omnes invicem Flomocenea, non item omnes Differentiae. Ratio
an ad duantitarem, an potius ad Qualitatem pertineat. FEnxinons quid: Pro-
eressio nithmetica e Geometrica: Continua e Disjuncta. Proportionalium
Notatio. Proportio Llarmonica.
ZXYI. Procressio Arithmetica, variorum Problematum familiarium solutione, ex
plicatur
ZX VII. Prooressio Aruhmetica Fusius traditur.
XXVIII. Pioeressionis Arichmeticae brevior Synopsis.
XXIX. Rationum Distriburio e Nomina. Ratio Mulciplex, Super particularis,
Super partiens, Sub multiplex, Oc. Rationum Desienatio, e Notatio.
148
XXX, De Rationum Compositione seu Continuatione, e Imminutione. Ratio
Duplicata, Triplicata, C. Item Subduplicata, Subtriplicata, 6. Et Sub-
duplicatae Triplicata, ec
ZX ZI. Proeressio Greometrica Continua; Disjuncta. Investicatio Summae. Inve
stieal Lermini almt aut casusvis intermedii.
ZXXII. De Locarithmorum Orieine, e Osu.
ZXXIII. Prooressio Ceometrica fusius traditur.
XXXLIV. Procressionis Geometricae brevior Synopsis.
XXXV. Fuclidis Elementum duintum Arithmetice demonstratum.
XXXVI. Flementi duinti Synopsis.
ZXZVII. Aurea Regula. Ljusdem Lrdais es onstao. Ldepia Dutra
Acitudinum per Ombras mensuratio. Flora diei, sub diversis Meridianis coit
24c
10
parario

## Folio  -  — 851387705:0015
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
ELENCHOS CONTENTOROM
Paratio. Terminorum Proporcionalium praeparatoria Rectuctis. Cautela de non-
proporrionalibus. Craviuin Descensus Aeceleratus. Lessluencis Aquae Vis lan
Euescens. Terminorum Proportionalium Ordinario. Torminorum Praeparatio
per Divisionem: per Mulsiplicationem. Dubii, de Quantitatibus Letroeeneis,
Solucio. Operationis Probatio.
XXXVIII. Durea Recula RCciprOCA. Pjus a Directa Discrimen. Praxis e De
monstratio. Duestiones per hanc Reculam solvendae. Operationum Compendia e
Probationes. Reductio hujus ad Regulam du ectam.
XXXIX. Aurea Recula Composita. J’ um ubi omnes Analoeiae Componentes, sunt
Directae: Tum ubi Atera, vel eriam Plures, sunt Reciproca
XI. Recula Societaris. Luim sine Lempore, Lum cum Tempore.
205
206
XL. I. Fractiones sive Minutiae. Fractionum Orieo. NuMerI FractI, au vor
Numeri. Fractionum Fxplicario. LVoratio. Denominator. Numerator. Fractio
nes Propriae: Impropriae. Fractionum Lexplicatio altera. Divisionun Duotentes
indieant. Fexplicatio Tertia quae e Trrationalibus conveniat. Fractionum A.
quipollentia. Fearum cum Rationibus Comparatio.
XL. II. dduio e Subductio Fractionum; Tum Cornominum, Tum NVOn CognO-
minum. Practionum ad communem Denominationem Reductio. Miiimus com
munis Denominator. Maximus communis Divisor.
XI. III. Fractionum Mulciplicatio, e Divisio: Per numerum Inteerum: P er na
merum Fractum. Mulciplicationis e Divisionis Tnversae. Aquipollentia. Pro-
ducti, e duorientis, in minimis Terminis exhibicio. Operationum praeceden-
cium Csdditionis, Subductionis, Mulciplicationis, e Divisionis,) brevis Syn-
XI. IV. Fractionum Reductiones variae. Impropriae Fractionis, ad Numerum In-
recrum vel Mistum, Reductio; e contra. Reductio ad Minimos Terminos;
Id communem Denominatorem: Ad Denominatorem datum: Ad communem,
datumve. Nlumeratorem. De Fractionum Fractionibus reducendis. De fira
ctionibus Sexagenariis e Decimalibus, cum ad se invicem, cum ad Ordinarias,
Reducendis.
ZL. V. De Fractionum e Rationum Rationibus. Operis Fpiloeus.
Adversus M. Meibomii de Proportionibus Dialosum, Fractatus Flench.
ticus, Anno 1657 ediTUS.
Dedicacio. Obi de Cubicis  quarionibus.
Tractacus ipse.
Nersenni lOcuS nOTaLS.
De Sectionibus Conicis, Nora Mechodo expositis.
Dedicacio.
PrOcemIUM.
ParS Prima. PrOP. I. De Fieuris Planis juxta Tudivisibilium Methodu
derandis.
TI. De Frias
III. De Area Frianguli.
IV. De Frianeulis aeque-altis.
V. De ConO
VI. De PViauc.
VII. De Com dectione
2L
X. De Conoeideos e P pramidoeideos Paraboliei sectione.
ZII. De Parabolae Latere Recto.
ZIII. De Fllipsi sectione Co facta.
VIII. De Parabola, Coni sectione facta
IX. De Conceide e Prramidoeide P arabolico
XI. De Cuneo Parabolico.
V. De emico aneus  Conoeide (seu S pharoeict)  Ciuneo

## Folio  -  — 851387705:0016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
EL LHBLIOD OOHLENTOROM
ZV. De Conoeideos  Prramidoeideos Sectione.
XVI. De Fllipseos Latere- Recto.
XVTI. De FErperbola Sectione Coni facta.
XVIII. De LEpperbolico Conveide, Ppramidoeide, e C’uneo.
XIX. De Conoeideos e Prramidocideos Sectione.
XX. De Typerbolae Latere. Recto.
Pars Secunda, De Coni-Sectionibus Cono P Nemptis
PrOP. ZXI. De Parabola, absclute considerata.
XXII. Crrollaria
ZXIII. De Recta Parabolam Continrente.
ZXIV. De Parabolae Diametris.
XXV. Sffectiones Geometricae.
XXVI. De Fipsi, absolute considerata.
XXVII. De Fllipseos Drumetro Zransversam  Versicibus oppositis.
XXVIII. Corollaria.
XXIX. De Fllipseos Diametris Conjueatis.
ZXX. De Recta Fllipsin Continoente.
XXXI. De Allipseos Diametris.
XXXII. Sffectiones Geometricae.
XXXIII. De TEyperbola absolute considerata.
XXXIV. De Diametro. Transversa, e TErperbolis Oppositis.
XXXV. Corollaria.
ZXZVI. De Recta TEyperbolam Contincente.
XXZVII. De TEyperbolae Diametris.
XXXVIII. Fffectiones Geometricae.
XXZIZ. De (Erperbolae Asimptoris.
XI. De LEyperbolis Asimptotis.
XII. De TIyperbola Diametris Conjueatis.
XI. II. De Conjucatis TEyperbolis.
XI. III. De Systemate Lyperbolico.
XI IV. Fllipseos ∞ FIyperbolae comparatio.
Appendix. De Paraboloeidibus.
PrOP: ZI. V. De Paraboloeide Cubicali.
XL. VI. De Recta Paraboloeides Cubicale Contineente.
XI. VII. De Paraboloeidis Cubicalis Diametris.
XT. VIII. De Area Paraboloeidis;  Conoeidis Pyramidoeidisve illi
dati.
ZL. IX. De Paravoloeidibus aliis.
L. De Fliproeidibus, e t Eyperbolocidibus.
Aciclmetica Intinitorum.
Dedicario.
Ouehtredi Approbatio
De Clar. Bulhialai Ad Arichmericam Intinitorum Tractatu, Monitio.
PrOD. T. _C. De Seriebus Primanorum, seu Arithmetice proportionalium, sumtis eq
insinicis, ad series A qualium comparatis.
3. 4. De Trianculis, Conocidibus sive Pyramidocidibus Parabolieis.
5. ac. Comparatio Linea Spiralis, e Peripheriae.
24. _C. Comparatio Spiralis  Parabola.
19. _C. De Seriebus Secundanorum, sive in Arithmetice proportionalium 
Duplicata.
22. De Cono C P pramide ad Cylindrum e Prisma comparatis.
23. De Complemento Semi parabolae, ad Paralleloerammum comparato.
24. _c. De Pieuris Spiralibus, ad Circulum e Sectores comparatis.
39. ecC. De Seriebus Tertianorum.
42. De Complemento Paraboloeidis Cubicalis.
tione
43. De Seriebus Duartanorum, duintanorum, aliorumque, in Arihmetice. propor-
tionalium ratione Multiplicata qualibet.
38
45. Sec. De Complementis Parabola, e P araboloeidium Cubicalis, Biquadraticalis
Super-

## Folio  -  — 851387705:0017
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
ELR NOTOS CONTENTOROM
Supersolidatis, 8c. ad Paralleloeramma comparatis. De Spiralium ilem variis
sereribus ad Peripherins comparatis; e Fieuris illis adjacentibus, comparatis
ad Circulos e Sectores.
48. c. De Conocidibus sive Dgramidocidibus, Parabolarum e Paraboloeidiun
Complementis aptandis, (quorum Diametri vel Ares sint Parabolae aut Para-
boloeidium Tancentes,) ad Cylindros e Prisimata comparandis.
53. ec. De Scriebus subsecundanorum, subtertianorum, aliorunque in Arichne
lice proporcionalium ratione Submulciplicata qualibet.
55. . De Parabolis e Paraboloeidibus ad P aralleloeramma comparandis. 390
58. c. De Scriebus Compositis.
92
60. dcc. De Parabolis e Parabolocidibus omnicenis, ad Paralleloeramma compa-
randis; eorumque Conocidibus seu Prramidoerdibus ad Cplinaros  Prisinata. 393
64. Theorema Oniversale, de Seriebus pramissis omnibus ad Seriem Squalium
comparandis.
65. De Seriebus diversis, invicem comparandis.
66. _C. De Seriebus, sive analocis Lieuris, Lruncatis; carumque Seementis, invi-
cem comparandis.
73. dec. De Scriebus invicem respective mulliplicandis; e Lisuris ejusimodi mul
tiplicatione provenientibus.
81. dc. De Seriei unius ad aliam Applicatione sive Divisione, e Freuris inde ori-
unais.
87. _C. De Seriebus Reciprocis, e Freuris Interminabilibus.
202. aec. De figurarum interminabilium Aca; sive earum ad Paralletoramme
comparatione
206. Sec. De Seriebus Reciprocis Mulciplicandis e Dividendis;  Fieuris inde
oriunais.
208. dec. De Aqualium Scrie, seriebus alis respective Muletata; e Liecris si
milice Mulctaris, seu excavaris
227. De Seriei Sequalium, serie Primanorum muletatae, Residuis; corumque
Duadratis, Cubis, ec.
218. De Seriei Sequalium, serie Secundanorum muletatae, Residuis; corumque
aatIS, Cubis, (9C.
219. De Converdibus  Ppramidocidibus, ad Parabolae vet P arabolocidcos cujusois
Oi alatM. applICataS aptaLS.
720. c. Comparatio Circuli sive Fllipseos, ad Duadratum Diametri sive Parallelo-
srammi circumseripcum: Spharae ilem e Spharocideos vel & pramidocideos
FLipliei ad Cxlinarum vel Prisma circumscripium.
T25. c. De Seriei Sequalium, serie Tertianorum, duartanorum, esc. mulctatae,
Restamrs: corumque duadratis, Cubis, esc.
128. _C. De Seriei Squalium, serie Subsecundanorum, Subtercianorum, ec. mul-
clala Residuis: eorumque duadratis, Cubis, exc
220. De Conoeidibus D P rramidocidibus, ad Parabolae, vel Parabolocideos cujusois,
Complementi ordinatim. Applicatam (diametro P arabolae vel P’ araboloeideos paral-
Jelam) aptatis.
233. _c. De Scriei Primanorum, serie Securdanorum muletatae, Residuis; eo
runque duadratis, Cubis, 96.
234. dec. Comparatio Circuli sive Fllipseos, ad Paralleloerammum; e Sphaera
vel Spharoeideos ad Cplinarum.
230. _C. De Seriei Primanornm, setre Leclanorum, Duarcanorum, exc. muleta
Ta Residuis; eorumque dunutas, Clbis, C.
245. Sec. De Seriei Secundanorum, Tertianorum, Duartanorum, _c. aliis Serie
dus mulctatae, Residurs: eo que duadratis, Cubis, esc.
T47. _c. De Seriei Subsecundanorum, mulctatae serie Primanorum. Secundano
rum, Tercianorum, 8c. vel etiam Radieum Qundraliearum Lercianorum, icun
Tanorum, sc.
254. De Deriebus Subtertianorum, Suoquat Lanorum, e86. Vathe mulctatis.
255. Sc. De Serrebus Auctis; carumque Aecrecatorum duadratis, Cabis. S. 43 +
162. XC. Comparatio Converdeos vel LTramidoeideos Experboluci ad Crtinarum vel
Prisma circumseripeunt; ipscs que LEyperbolae ad circumseripeum P arallelosram
mum.
268. ac. De Deriebus in series Luversas respective multiplicandis.
10
Cu

## Folio  -  — 851387705:0018
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
EF ENCHOS CONTENOTROM
268. Circulus ad duadratum Diametri, ut 2 ad Quantitatem nota C desiena-
tam.
169. _c. De Tabella Numerorum Fieuratorum interpolanda: e Quantitatis ∞
Investicatione.
T7I. _c. Investieatio Characteris numeri Trianeularis; deque ipsis numeris Fri-
angularibus interpolandis
276. dec. Investicatio Characteris numeri D pramidalis, Prianeuli trianeularis, Fri.
ansuli prramidalis, ec. e de ejusmodi Numeris interpolandis.
284. Interpolationis inceptae continuatio.
185. Ec. De Seriebus Tabella numerorum Fiuratorum interjectis; carumque
Characteribus, eC. ipsaque Tabella, quantum numerorum natura patitur, com-
pleta.
291. Quanticatis D in numeris absolutis, quam provime, desienatio.
292. _c. Fjusdem desienatio in Lineis.
Ficliptis Solaris Obserratio, Oxonii habita. 2 Au∞. 1654. SL. Vet.
Dedicatio.
Observatio ipsa
Trpus Fclipseos.
De Creloide Tractatus.
Dedicario.
Praetatio.
Soripea duo Proponentis Problemata
De Cycloide,  Corporibus inde senitis, Problematum Soluio.
Pars Secunda
Clar. Wrennii; De Pansente Cyeloidis, Tractatus.
jusdem Foduouos Curvae Crcloidalis.
De Dimensime Crcloidum Contractarum  Protractarum.
Problematis Kepteriani per Cycloidem solutio.
Tractatus Fipistolaris, ad D. Fugenium.
De Mloide.
De Conchoeide
De Curdarum Ed duvoe seu Rectisicatione.
De Parabolocta demi cubicati.
De Curbarum Superficierum Tnanouis, seu Complanatione.
Conoeidis Paraboliei Supersicies.
Ellipsis Fapansa
Crclordis docia.
Fllipseos curva.
Spharoctars oblonei Superficies.
Sphaerocans ui supersats.
Ejusdem e Parabolica aequalitas.
Spirales alia.
Curvarum Rectisicano per eanecins.
De Cisoeide
Lineae Spiratis loneicudo.
Curvae Parabolicae Rectificatio
Conoeiais Lurubolici Superficies.
t Centrum Cravitatis.
Laraboloeides Semi cubicalis.
Curva sacato.
Egelordes dectrmta.
Paraboloeidum aliarum Curvae, rectiscata.
5
56
Mectia.

## Folio  -  — 851387705:0019
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
PLPVC10S OeLECOKOM
Mechanica; sive de NOtu, Fractatus Geometrieus.
Dedicatio.
Cap. I. De Moru Generaha.
TI. De Cravium Descensu, e Motuum Declritate.
III. De Libia.
Purs Sccunda.
Cap. IV. De COntO GraVItatIS.
V. Do Calculo Centri Gravitatis.
Pars Tercia.
Cap. VI. De Vecte.
VII. De eEn Perurochio;  Machinis coenalis.
VIII. De Frochlea, seu Polyspasto.
IX. De Lochlea.
X. De Mocibus Compositis, Aeccntuis, Retardalis,  Projectorum.
Il. De Percussione.
II. De Cumen.
XIV. De LTydrostatieis
XIII. De Flatere, E Resctitione seu Restexione.
XV. Tipiloeus, ex Miscellaneis.
39
1002
(010
O2E
Porum qua Secundo Volumine ContineNtuL, habetuL Index IIII
PraeLIXUS.
Praeter ea quae his duobus voluminibus continentur, extant alia, sive seripra mea,
live 2 me edica; cum Machemarica, cum alia; quae sEgUUNEUT.
Pcolemxi Parmonica, Graece tune primum (ex MSS.) edita; cum Nova V er-
sione Lacina, ∞ Noris. Subjuneitur Ructarium de Veterum Musica ad FL0-
diernam Comparata. 1682.
Archimedis AIenarius; e Dimentio Circuli; (e Furocii Commentarius) Grace
O Fatine; cumm (NOtiS. 2676
Ariltareti Samii, de Maenicudinibus e Distanciis Solis de Lunxe liber: Fit Pappi
Alexandrini Fragmentum Libri Secundi Bactenus desiderati: Craece e La
TInC. 1688.
Expriani Compucus, (cum NToris,) nunc primum ex ML SS. editus: inter Cxpriani
Opera, Oxoniae edita; 1682.
seremia Horroceii, e Guilielmi Craberee, Opera Posthuma; e Observationes
Astronomica; in ordinem dicesta. 1670.
Interpretationis Vumeri 666, a FTanCIICO POTEF, anno 2642 editae, Latina V et-
Sid. Sinstelodami. 2677.
Contra Phomam Llobbes scripta, illius scripris responsoria. vic.
Flenchus Cicometria LL0bbrana. 1655.
Zobbi acdi Csato, dd viui eaditas Lectiones. 1C56.
Tobbiani P uncti DispunCtic. 1657.
TTobbius LTeauTOn- TImOrUMeNOS. 1062.
Llobbii Duadracura Circuli, Cubatio Sphaerae, e Duplicatio Cubi, Consutata 1669.
Ladeinque secundis curis catta, denuo refutata. 1660.
Responsio ad Zria scripta ZB. FT0bbes. 1671.
Sociclaris Regix Londini, e Transactionum Philosophicarum (pro mense futu
1670) Vetentio, adver sus Cavillationes WV. TL.
Veritas

## Folio  -  — 851387705:0020
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
Vericas Fxplorata; sive nimadtversines in tibrum Roberii D. Bcoohe, de Na-
cura Vericatis ejusque cum Anima Tdentitate. 1643
Tractatus de Loquela (sive Sonorum Loquelarium Formatione) Crammatico.
Physieus. Ona cum Crammatica Lineua Anelicanae. Anno 2653 primum
edita: Fademque (post alias Fditiones) quarto edita, e simul Auctâ, (cum
subjuncta Praxi Grammatica.) 2674
Insticurio Losiex, ad usus communes accommodatae:; (cum subjunctis tribus The-
sibus seu Dissertationibus Logicis.) 1687
Mlia Nonnulla in Franlactionibus Philolophicis sparsim inserta.
THEOL. OCTCA.
Mens sobria serio commendata; in Concione Latina ad Artium Baccalaureos De-
terminantes; in die Cinerum Febr. 20. 2655. (Iilo Anelix.) Ttem Fpistola
ad Ticum Fxpositio, Tribus Praelectionibus (pro Cradu Doctorali) Oromii ba-
bitis, Mani 24, 25, 26. 2654. Ft Tres duestiones, in Connitiorum Vesperiis,
futri 8. 1654, Defensae. Anno 1657 editae.
Resurrectionis à Morris Assertio: in Concione ad Oxoniensem Academiam, in
Die Pascharis, 2670 habita (ad F Cor. 15, 20.) _ eodem anno 2670 edita-
De Regenerationis Necessitate, Conciones duae (ad foh. 3. 3.) 1682.
De Fidei Vica, Conciones duae (ad Flebr. 10. 38.) 1684
Desensio Sabbati Christiani, (seu Diei Dominici,) adversus Judaizantes Sab-
batarios. Fars Prima 1692. Pars Secunda, 1694
De Sacra Trinitate, (aaversus Socinianos,) Lpiltola Oeto;  Conciones Tres,
(adt 50. X7. 5:) 1690, 1O9F, 1692.
Tractatus alii Theolozici, Anno 1692 editi, vir
De Dei sulticia, es Suprematu, Conciones Dua lad Judices Ziimerantes)
Fulii 24. X65T. 8 Marini 4. 1663,) ad C en. 18. 25
De Julto Dei Judicio, e Vindicta, Conciones duae, (ad P sal. 58. LT.) Aug. 2F.
1650.  sequente fanvario.
De Israclis Retributione debita, ob nuperam Liberationem. (ad DeuF. 10, 12, 23,)
Dec. 2. 1660. Coram Rece Carolo II. in Ansliam tum nuper Reduce
De Vero Phiclauro, Conciones duae, (ad Mat. 6. 19, 20.) Febr. 7. 1668, 8
De Der Caberatione e Prorectione populi sui, Concio (ad 2 Cor. T. 10.) Sept. 12.
De Sincera Relipilcentix es Retormationis, Difficultate: (ad fer. 3. 20.
Dec. 30. 2688. in intervallo, post abirum Regis Jacobi II,  ante Successio-
Dec. 10. 1671
2680. Quo tempore de reuucendo Papisimo metus erat
nem Resis Cruilielmi, Resinae que Marix.
De Melchrredcco lractatus.
De lobo Lractatus.
Tractatus de Plalmorum Ficulis.

## Folio  -  — 851387705:0021
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
TOMAANIS WALLIS.
GEOMETRIA PROFESSORIS
S AV IF T ANT,
DREATTO INALGURALIS.
L N
Auditorio Creometrico, Oxomii, habita; ultimo
dic Mensis Octobris, Anno Sra Christia-
na 1649. quum publicam Professionem au-
SPicatus CA.
Pdita Anno 1657.

## Folio  -  — 851387705:0022
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
111I
qu
Au
is
l6
i
1
eque
1
Mn
vie
Pea
num
eaa
a
lae
e

## Folio 3 — 851387705:0023
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
A Johanne WVallis, Greometriae Profectore Sa-
vihiano, in Auditorio Creometrico, OXoniX,
habita; ulcimo dic Mensis Octobris, Anno
1649; quum publicam Creometria Protel-
sionem Auspicatus eAt.
Insienissime Domine, Vice-Cancellarie;
Reliquique Doctores, Professores, Adiumque Prafecti Venerandi:
Fereeii Procuratores; Caeterique, tum Regentes, tum Non- Rexentes, Maxistri:
Dnaque quotquot adestis Viri, fuvenesque Academici.
DAN POMVIS ego non sim nescius, quanco subsidat in-
cervallo Gicomeira (dicam) velter, an hodiernus Orator; cam
intra sublimem canex Sciencia dienicarem, quam Majeltacem hu-
jusce Auditorum Corona celeberrima: Non camen cMe, SDCTO,
quiequam, cur retormidem penitus, Favore vestro TretIs, d
di nobilissima Sciencia, de coram humanistimis Audicoribus, ver-
ba Facere.
Aucacior Forcalte res videri possie, _ modesta parum, virum suscepti
rix facis nocum, rix dum alumnum, in Acadtemia celeberrima Cacim prodire Pro- ratio.
Feltorem; colque canquam de Cachecra compellare, quorum non paucis Parius ellet
se audicorem liltere
Non declt tamen quod hic dicendum occurrac, non tam praetexcus, quam justa
detentionis loco.
Parrim enim invitat nocissima restra Clementia, qua in Advenas, ctia exteTOS,
summa loleris humanitare propensi esse; praetercim vero in arcitios vestros, ex
conjunetiltima IOTOrC Cantabrieia RepOTES; quoS, nOn tam uE adopcivOS, quam
sermanos tlios, in proprio repolicos tinu, summa Coleris induloencia exolculari.
Parcim etram animum taciune ipsa Scasusa Domini LLenrici S AV IL. IL, EquII D. FL. Sa
eis Honoracstimi, candore morum, ee mulcipliei crudicione insignis, deque liceris vilis En
liceracisque omnibus opcime meriri; Ouibus ipse, pro summa qua crac muniticen. comia.
cia, animoque ad Itudia, praesereim Machemacica, promorenda propensistimo, duos
Mathematum Professores lancirie alendos curarie, ulque leges poluic; quos enris
de quacunque gence, de quacunque protessione, ltacuic eligendos.
Turicac isicur Clemencia veltra; Suadent Scatura Saviliana; propriulque ani-
mus ad hujulmodi studia per le propentus, corumque sive voca, live luttragia,
qui id negorii mihi demandandum curarunt, subene iltis invicameniis obcem.
Derare.
Cum vero sracistimum S AVLL IY nomen memorare conriperic; prolira la
eis oracione pollem in iplius Encomia, si id necesle, perorare; si nempe, qua
dum in viris erac, cdidie erudicionis specimina, quaeque morcuo Supertune imo.
cllietica, recenterem lingula. Norunc haec Mlomenses, Norune de Matonenses,
Guorum urorumque Colleors summa cum tallee nul praetuic; imo Oxonia coca-
ee univerta quidem Relpublica licerattam Horune melius, quam uc mihi sic opus
Ligillacim illis repecendo lingulis mmorari: cumque ne posteri penicus ienorare
Dolline, hujusce lalcem diei de loci celebricas, de exercicia Machematica, in omnia
(spero) secula iplo subence concinuanda, prohibebunt.
Faceo

## Folio 4 — 851387705:0024
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
ORATTO INADGDRALIS.
Pacco ixitur, limmam quam habuis Crxearum lirerarum periciam, de corni-
tionem limacistimam; qua in re vix ulli, per universum cerrarum orbem, secun-
dus crat. Onde hic Tolus selectus tuie, qui Screnissimam Anolix Reginam E L I
Z ABE PH AM in Gracis liceris instieuerer; e deinde ab AuguStilTimO J A-
COBO Rese, dum noram Sacri Codieis vertionem Anglicanam parabat, accicus
est Savilius, qui, cum aliquoc aliis maeni nominis riris, ec linguarum pericillimis,
operam hiac in Le NaVaTET. Duod ec lumma cum laude praeltuie.
Sed ee opera celeberrimi illius Cirxcorum Theologi, Johannis Chrysostomi An
tiocheni, summa industria, incredibili labore, ee indeteltis vigiliis, ex variis col.
lacis exemplaribus Manuseripeis reltitura, luis randem sumpribus immentis ele.
fanci charactere, excula cdidir.
Foresium etiam illud Bradreardini opus (qui e ipse aliquando fuerat Collesii
Merconensis praetectus) quod, De causa Dei, inseribitur, advertus Pelacium, SA-
VILTVS nolter ex Manuseripris exemplaribus in publicam lucem proculi, et
epis commilit.
Praeter autem illa in Theologia (cui tamen ipse nomen non ex protesso dede-
rat) magni moliminis opera; se eriam alias praestirie eximium rieum, Isistori-
cum, Cruicum, Philolophum, Machematicum. Veteres Fhistoria Melicanae leri-
Ptores, ex litu es pulvere, quibus eranc oblici, in lucem edidic. Cornelium Yg
citum, celebrem illum Romanorum Hlistoricum, luis in cum annocarionibus il
dultrarit. Denique (nt alia praeteream) in re Mathematisa, non modo Munifi.
centillimus crat Patronus, sed e egresius iple Machemaricus. Quod non modo
Praelectiones ejus in Fuclidem edicae celtancur, sed et raria ectam quae CupexlunE
Specimina iptius calamo exarata. Varios siguidem vereres AuHOrES GERCOS, PrO-
pria iplrus manu cranseripios, ex parcibus cransinarinis huc adduxie ec in luorum
Protellorum ulum reliqui. Sualque iptius in spollonium Pereaum, Futocium
Ascalonicam. Claudium Prolemauim, aliolque ex veceribus, AnnOtationes habe.
mus; ejusque in Josephi Scalieeri Cyclometrica Animadrertiones; aliaque non
pauca schediasmaca, acuristum ingemi argumenta; quae qui legerie, non pouerit
dubicare, illum ec virum tuisse summe indultrium, de lummum Virum; aeqjue in
Denitiora Macheleos penetralia, ee recondiciores recellum penerralle. Adeo uc mi-
hi quidem res omnino miranda videatur ee ltupenda maxime; virum in omni
liceraturae genere exercitarum, adeo camen in lingulis eminuisse.
Verum haec ego omnia necesse habeo uc taceam; aliaque insuper multa, quae
in iplius laudes prolixe dier pollune: De rel gracillimam iplius apud vos memo.
riam Cuspicari, vel aburi ridear, nimia disreltione, parientia reltra; linemDC PTa
sentis immemor inteiruri, Virum, ucuc digniltimum, pocius erncua eu quam le-
etionibus Geometricis praetari vellem.
De Ma. De rebus aurem Machemarieis, e nominatim Gicometria, cum verba sim tactu-
thesi ec- rus; haeret aliquandim suspensus animus, nescius unde rel exordium Cumam, vel
ara. ubi tinem ponam. Amplissimum liquidem campum apertum rideo; ubi spaciaris
quancumlibet, licer; torum percurrere non licet. Si enim Mlacheleos Originem,
rariolque Progreltus et Incrementa; li, quam ucilis, dicerem, es necellaria; non
solum ad diseiplinas reliquas commode perquirendas, verum eriam ad inlignes re-
rum humanarum ulus innumeros, ee propemodum intinitos; si, quanca perspi.
cuitace demonstrationes insticuar, quanca lagacitate reritatem inveltiget, quanta
cercicudine inventam probet, et quanca denique voluptace invenienus animum
atticiar, rellem delineare: Non oracio unica, led mulca porius volumina compo-
Mathe. nenda; nec tam esser ad Cleplydram perorandum, quam in intinicm.
seos orieo Orisinem iplius si repetam; ad ipla mundi principia necesse est recurram: ne.
es pro que enim ipse Mundus, Machematum ulum, anciquitare mulcum Luperat.
Auchor est Josephus, jam olim, ante dilurium Machematieas aruus visuisse:
Ante di- Dua (que memorar Columnas Sethi, latericiam alteram, alceram lapideam; quibus
luvium. verisque inseriplerat res Machematicas jam cum invencas; eo nempe consilio, uE
lire isne sire aqua mundus periret prius, (Orramque enim perditionem praelensille
dicitur,) errum lalcem altera Cuperellet.
Si illa Josephr selatio aubla curquam sider rideatur; non ideo tamen dubium
erit, quin, ee tunc dierum, Machematum cognicio non oblcura fuerit. Pater illud
rel ex artiticioso Numerorum ulu, et rebus apre compurandis jam rum accommo.
daco. Numeros enim reperimus, eriam ab iplis mundi primordiis (PrOut in Xta
cum
Bressus.

## Folio 5 — 851387705:0025
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
ORATIO INAHOURALTS.
cum Pacriareharum Cacaloso liguet) per Monacas, Dccadtas, Cencuriasque apte
dispolicos; gradibus, scilicee proportione decupla concinue alcendencibus; ne
inordinaca Numerorum mulcicudine de arasis, contusus laboraret caleulus, vel qui-
dem nullus omnino eMlet. Duod, cerre, neque remere, nec inarciticiole tactum cMt:
sed arichmericam cum culcam este, Pacis indicac.
Fandem numerorum dispolitionem, non uc commodam modo, sed ut absolure
necellariam, per omnia huc usque secula concinuacam, eciamnum recinemus
Ouanguam enim primis Arichmecieis, liberum fuerie, live decuptam, sive aliam
quamlibet proporcionem ad placicum elegisse, juxca quam numerorum gradus dil-
Dolicos elle rellene: accamen, aliquam salcem elisendam esse, numerolque necella-
rio practacim disponendos, res ipla clamat; nili nullos omnino numeros esse vel.
lenc, vel salcem nullum eorum utum. Si enim res miranda olim habica clt,
Calarem, auc quemris alium, singulorum in coro exereicu milicum nomina me-
moria recinere, recentere, de sua lingulis applicare polte; cum camen corum in
legiones, curmas, cohorces, de quaterniones distribucio non parum adjumene huie
negorio conculeric: cerre miraculi instar ellee, aue plane impossibile, plusquam
decies centies millena millia numerorum nomina, caque inordinata prortus d in-
dependencia, recordari, incelligere, d pront oportee applicare. Hlanc enim unam
numerorum nomenelaturam callere, plus eller nesorii, quam omnes omnium lin-
Suarum voces cdilcere.
Ouisquis ipicur fuerie, sive Adamus ipse, sire quispiam alius acace prima na
tus, qui primus intinicam numerorum mulcicudinem in ordinem digestie, eolque
quasi in cribus de tamilias conturas disponendo aratiar Cultulie, cerre dignistimus
elt qui magnus habeacur arichmetieus, e cecoropadquannis: live eciam nondum
lapius Adam, quum Cua singulis creacuris impoliie nomina, sua etiam numeris
impoluerie debico incerim ordine distribucis: Sive denique Deus ipse Opcimus
Maximus, quum Adamum Grammaticam docuie, docueric etiam de Arichmecicam;
Fuerincque tam loquendi, quam numerandi habicus, ipsi d Deo immediace intuli,
qui tamen aliis post illum hominibus peaeceptis de crebris actibus sunc acquirendi:
falcem, urcunque numerandi periciam aecace prima non tuiste incognicam, abunde
liquet.
Nec minus dubitandum est, Rrichmerica Geometriam adjunctam este. Parcim
quod menturarum omne genus necesticas videatur id poltulare; parcim eciam
quod, numeris lemel incellectis, non adeo ditticile Fueric eos menturis applicare.
Rcque hoc ideo praeserrim videtur altirmandum, quod Instrumenta etiam Nu-
sica, Mecallorum nociria, de fabriles operae, non ica mulco post, à Caini polte.
ris invenca Fuerine; auchoribus nempe Zubale, e Tubat Caino. Guorum C illum
Apollinem, hunc Vulcanum, poltea dictos elle dixerimus, a vero torcasse non
aberrabimus: Neque enim eorum vel nomina vel inventa sunc prorsus absimilia.
Nam Zubatis instrumenta Musiea, eum Apollinis L. yra, Tac apte concordan; e
Tubat Caini tabrilia, Lulcano P’abro commode applicantur.
Ocrique vero, prichmerica scilicet ee Geometria, Astronomiam etiam adjunctam
elte ex Annorum, tunc remporis, Mentiumque calculo, fac innoceseir. Oui 50.
lem enim, de Lunam, reliquaque Sydera, ad dicrum, annorum, mentiumque dif.
crimina consticuie Deus, noluit haec temporum indicia diu ignorari
Erac igicur univerta Machelis, quoad praecipuas lalcem iplius partes, etiam tunc
exculca; pradacim camen succedencibus seculis perticienda Adeoque Dorerir cum
disciplinis reliquis, si non omnibus, plerisque Calcem, de primatu concendere.
Sed neque dilurio exrinctus crat Macheleos ardor; nec ipsa (uccedentibus Xta. P est D
ribus deserbuir: Sed, Sire Nonchi area conserraca, sire deinceps pollea exluleicaca, luvium.
Apud Chalaaos siquidem, pore Sucrium, primo Roruiste credicur; deinde de spua
apud NepoS, (unde in Cracha candem, Scaliam, aliasque mundi parces est
allaca:) cum hoc camen dileruue, CBalaaorum AAronomia, Nerptiorum GeO.
circiter Viturio ad Alexandei rempora concinuatae, ut ex calculo Chronologico la-
l1S liguer: _ce cl  Plures anni a Dilurio ad Alexandri rempora clapsi
Sec
Bat-
lao.
riguic magis.
mecria, praecipue celebraca clt.
Chaldaeos jam olim rebus Astronomieis opclaM dedisse, cellaneur Oblerrariones
illa Caelestes, quae, (Alexandro victore,) d Callilthene, ad Aristorelem, Babylone
dicuntur allacae; annorum seilicer mille nongencorum ee crium; hoc cll, ab ip1o
tucrane.

## Folio 6 — 851387705:0026
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
ORATTO LNAAGURALTS.
Sed _ in laeris Scriptoribus, Chaldxorum non modo peritiam Altronomicam.
led es superltirionem ACtrolosicam, nocatam lesimus; quo minus duhitare liceat,
arres Machemaricas apud illos antiguitus Hormlle.
apud. Nec etiam mulco serius ad A Byprios delata est Machematum cognitio: sive
6) Pt105.
enim ab Abrahamo, prout nonnullis videtur, sive a quopiam alio ex Chaldais
Magistro, edoeti; sive eriam ipla rei necestiare coacti tuerint: certum elt Men-
Turandi peritiam non sero ad illos appulisse. Advertus enim nocissimas inunda-
riones Nili, rix etticacius ullum achibuere remedium, quam quod Geometrixe Be-
neticio obrinebant: dilperricis nempe Creometrice terris, quas undarum injuria con-
tuderat, de reltituris agrorum emertorum limitibus, quos lubmertio sustulerat, quo
melius lua lingulis diltribuerentur.
Ere no. Aique hinc Forraste factum est, quod tora menturandi scientia Geometria no-
menunde mine indigicetur, quoniam Cxodarieis praeserrim menturationibus applicata; no-
mine nempe cotius, ouvensognis, ab insigniori quactam iplius varte, MUEatO; quae
Pantometria non minus recte dici pollet, vel simpliciter Meremn. Neque enim
terra magis, quam cuiquam alii vel spacio, vel corpori, mensurando convenir.
asit enim de Masnicudine, seu Ouancitare continua, abstracte e arincs conside.
rata, adcoque curlibet lubjecto capaci pariter applicabili.
Ouxe aurem de Agypriorum Cicometria diximus, non ita dicta velim existime
tis, aeli aliarum Macheleos partium rudes fuerine: led quoniam necellitare rei
arith coacti, ea praecipue usi sInE; quo melius Nili injuriis posset obreniri: (pari sei.
meticam licet necestitare, ac illa quae Phicenicibus incubuit postea, Arichmeticam exeolen.
excolue- Ml; quo telicius nempe luccederer mercatura.) Cum enim fuerine Agyptii Geo.
metria perici, arichmetici calculi ignaros else, line quo Geomerria practica pa.
rum procederet, non elt existimandumm.
Nec etiam Astronomix fuisse rudes censendi PunE: cum enim orcsequarres foisse
constet, adeoque Dirinatricis sire arris Tire imposturae Cudio dedicos: non cre
dendi sunc coeleltia parousua, quorum sire ulus sire abulus apud ejulmodi sciolos
maximus esse Coler, inobserrata praereriille. Quod ideo quidem minus credendum
elt; quia, e rerio ipsa, ob perpecuam caeli lerenitatem, adeo caleltibus observa-
rionibus est accommoda, uc nulla magis: Et Chaldaos, d quibus hujusmodi artes
didicisse credicum elt, ABtrologix tuisse peritos, abunde liguer; unde non minus
Altrorum cognitionem, quam cognatas arres, hausille commode potuillent: Imo
e ricinos Arabes altra nocasse et nominasse, ex hiltoria Tobi liquido patet; quem
Arabia vel incolam vel vieinum fuisse, ec Patriarcharum temporibus Aioypio com
morantium rixisse, rix dubitandum est. Nec interim tota haec Aoypriorum do-
etrina vel fucilis crat, vel supersticiola; cum Mosen ipsum illorum disciplina im-
burum leximus, nec tamen ideo culpae insimulatum.
Verum jamdiu apud Chaldaeos et Agypcios morari Tumus, (diutius torratte
quam OpuS CTaL) ut Matheleos originem, e anciquiores progreltus investixaremus.
Facendum autem clt, in toro illo remporis decurti, quo apud illos NTachesis mo-
rata fuerir, vix insignem aliquem perfectionis gradum adexiam este: Faltem, nisi
forre, vel invidiola illorum reticentia, qua inter arcana Sacerdorum mylteria etiam
res Machematieas occuluerune; rel injuria cemporis, etiam aliis disciplinis inimica,
corum inventa oblirioni dederir, quo minus iplorum peritia polteris innocelceret.
Ad GraCOS tandem Machelis cransmierarit: quo etiam Fectinat Oratio noltra.
Craecos. Fam nempe Thales Milelius in Cirxciam primus addurisse creditur; quam Pycha-
gorae lubinde Schola, Platonis Academia, Aristorelis P. ycaeum, mulrique his cdocti
masistris, Forerunt, excoluerune, auxerunt indies. Ouod eo quidem succestu ta-
Etum elt, uc paucis annorum centuriis sub illorum anspiciis plus Roruerit Ma-
thelis e ampliores prosrellus fecerit, quam per omnia secula superiora; ne dicam
etiam de lublequentia, si Caltem ducentos jam proxime clapios annos eximamus.
Ptur illud numerola Graecorum Machematicorum cohors: inter quos, praerer
Tuperius nominaros, eriam Hlippocrares Chius, Archytas Parentinus, Leo, Theu-
dius, Fiudoxus, Kuelides, Lracolthenes, Archimedes, Ilipparchus, Apollonius Per-
EXuS, Crelibius, Hero, Creminus, Soligenes, Pcolemaeus, Pappus, Diophantus, Se-
renus, Proclus, Theon, aliique multi, quorum ne quidem nomma recensere licer.
Ouorum alii Pheoremata e Problemata inreniole excositarunt; alii methodice
dipoluerun, srostizes addiderune, quibus ea illustrarune e contirmarunt; alii
Mechanieis usibus applicarume; alii denique caelis, alii cerris, alii aliis magis exer-
Cltatt.
Geome-
Phcenice
runt.
Apud

## Folio 7 — 851387705:0027
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
OR ATIO INALOURALIS.
cicari: vix enim ullo uspiam solo, quam apud GTaCOS, Machemata teticius Ao.
TUICTUNE.
Neque ludia isthaec Machemariea coluerune tancum Graciae Philolophi pleri Mathesis
que omnes; sed incer prima cruditionum rudimenea Doluerune; unde rar ecoxlu apad
Madhucta NOMINaTUNE. Grammacices enim lludio vix OpUS CrAE; cum linSua ver- CracOS
nacula peraschantur omnia: Phecorices Hoseulos anciquiores Graci minus cura aute
banc; uc gui res magis quam verba insectabaneur: Logieam cciam, qua uli Cranc
pas di-
cipimas
iplo porius utu, quam praecepcis, addiscebane: adeoque prima sudiorum prinet docela
Dia in iplis Machemacis poncbane; quique horum rudes CHEnE, WEOMNIO avadCiS TAr. Ma
arcudcvro, de Indoeti prorsus habebaneur.
Hlnc orca elt illa exchasora nonnaubrmois, qua, inspecto rulcu, judicium primo ducta.
tecie, an Machemacum capaces ellene, qui iplius seholam adire vellene; nequis
apaedus, auc à rais dros incraret, ltudiumque male collocaret, Haud lceus de Placo
allixo proerammace prohibebat prris arccouerenre coiro. Zenoerates poltea quen-
dam repulu, Machemacum ienarum, ne tur auduor cHet, uc qui Antas Philolo.
phiae non habueric: ras nabas inguIE, encorpias in excs. Nec mulco scerus Ariltore
les fcciste crediur; qui de Machemaciea mulca seripeis aliis immilemre, de libros
etiam Machemacieos conserip(iE; licet Corum nOn PaUCI injurta cemPOrIS Perie
TUNE.
Ac heu quam nostrae Achenis illis longe dispares. Vbi, si Pychagora evoroyna Machese-
pornois, Placonis Propramma, auc centura XenOeratis oblInerEI, ul ayoulxnr  necle-
omnes exlularene, cerre exignus superestet Philolophorum numerus Scudia nempe
Machemarica, quae primas olim obcinebane, vix nunc dierum (neleio quo malo
Faco) apparene ulpiam: aeli hodierni Philolophi Crnicis mallene de Lpiceureis
accenteri, quibus ferc tolis crac Machelis negleetur; quam Pychagoricis, PlacO
nICIS, auc Aristorelicis, quibus ee cura tuic e delectacioni. Imo vero res Mache.
macicas ad Philolophiam non percinere arburancur hodierni quales quales Peri
pacetici, cum camen crat iple rpincte cBresie MaThEMALCUS: quod ipsi sive ne
Bene lire nelciane, lalcem distimulane.
Verum tacendum insenue quod rescst. FX quo Achenis migrarun scveriores
Mulae, rix ulpiam tirmas poluere sedes, sed vel errare conctae vel deliteleere.
Romani nempe, quanquam Graecorum liceracura haercdes habuci, pro Horido Machesis
quo cranc ingenio, pocius quam solido; dicendi pocius copia, de verborum ornatu
omae
quam rerum pondere de arsumentorum acumine delectaci; Rhecorica magis quam neSleccu
Losica inttructi; orationis pocius quam racionis Magistri; leviores Mutas am-
plexi, sereriores omnino intalucatas praeceribanc. Crammacicam (CilICCt, RhecO-
ricam s PocliCam Ornare CacaBenCES; Phiolophiam inCCrIM, MCdiCIam, de rC
rum praetercim Machemacicarum studia missa taciebane; Condendis carminibus,
componendis orationibus, rebus Forenlibus agendis lac crane apii, uc de HItoriiS
conteribendis; Verum si apud illos Philo Cophiam aur Machelin quelicemus, omni
no trustra lumus; Excepiis enim, quae apud Ciceronem e SenCCa OCCUTrUNE pau-
ea Phulolophiae quidem parum, Macheleos vix quiequam occurrit uspiam: NIsI
Forre quod Archirectonica uli tuerint.
Verum quidem est, fulium Caelarem annum retormalle, Tulianum deinceps di-
ctum, ec Calendarium Romanum instruxille: Ac illud Craci Sosigenis opc tactum
elt, aliunde adrocari; nec enim Romanorum quempiam hurc negocio paremle.
BIIUS.
Komx vero nimium nessecla MalhelIs, uc de PhiloCophia reliqua, in Arabiam in Ara-
deltexa elt; hospicium nempe apiee secabes nacta, si non quo Horeret, lalcem biam
quo aeceleeret. Graecorum enim depelica conserrarunt pocus, de tandem reddi- transcit.
ACrUNE, qua aUXCTUNE. Ouanquam e eorum sudia, minime concemmenda, non
da  Meorichmi nomina, ec iptu manach, de liqua lune limilia, quae ATa-
um redi
Coltremis aurem hisce lccs falis Caselem redux Machelis graciori holpicio in i: 8 im
varnis Lllopa Palliris encepta elt: Fuurores exresios nacta. Ouorum indetestis cremenca
rigitiis, nacta est.
Cum nommibus criamnum recinemus. Hlinc puncld LCmtB de Nadir nominaca;
Circu em Almicantrr de Aximulhan, e IPta Stnuum apvellacio. uE caccam
ingraci agnoleimus: quorum non obscura relligia in muleis rerum Machematica
Mmum TonanC. Oui autem Arabum ANtoriaS PauIO aCCUTATIUS IN (DEXeNIE, varIOF
que incer illos cum Macheleos cum aliatum assciplinarum epresie doctos nOTaVeTII, IN FuTO-
rem illam exera omnem dubicacionis aleam poni haud dubicabic.

## Folio 8 — 851387705:0028
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000028.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
ORATTO IA A HOMRALIS.
vigiliis, et sumptibus traud exiguis, progreltus de maxnos quidem, de non (pera.
105, fccit. exlursit siquidem, quali ex alco Copore exsuscitata; seu porius, ut
pridem quali lemimortua, jam reviriseit: nec reviriseie canum, led quasi vege.
cum risorem recens adepca, in lingulis quidem ipsius parcibus et aucta multum e
ornata incedit.
Arithnecicam si spectemus; Fractionum ad partes decimales reductio, laboriolo
calculo sexagenario mulco Facilior est ee expedicior: Ermirandtum illud Logarich.
morum inventum, coresium acculie calcuso subleramen; vc alia minora raceaM.
Geometriam quod ainet: Doctrina Sinnum, Tansencium, ee Sccancium, tere
tora nova cst; qua Prisonometriae calculusmaxime subleratur. Et praeter raria
Theoremata de noro invenca, ipsa inveniendi mechodus multum Facilitatur. AI.
sebra nempe, sire Analyciees utus, ulira quam receribus innocie, jam inno-
telcit.
Astronomia, eximiis invencis instauratur; non tantum noris sysrematis, sed ec
novis parouerois. Duis enim recerum vel circum foriales planetas: vel Solis ma-
culas ejulre mocum circa proprium axem : vel comeras eciam, tive novas in tixa-
rum resione stellas, observaricd Ouis item Veneris aut Mercurii cornua  SacuIT-
m antulas, ee tiguram oralem ? aur soris taciem undulatam d ipsosque Luna mon-
res e valles, e inaequalirer alperam luperticiem nocarie unquam? Et (uc alia
lerioris momenti transeam) Ars ipta Naurica, Altronomicis uc plurimum princi-
piis tulta, praeter Cupendum Masneriea pyxidis ulum, rariis cum inrentis cum in-
Itrumentis locupletatur.
Non ideo tamen mirum videri debet, aut de Graecorum industria quiequam
derogarum iri, si mulia receribus incognita noltrae xetaris Machematiei inveltiga-
rinc. Mutco enim tacilius nobis est iplorum inventis addere, quam ipsis primitus
insenire. Praesertim cum Sudia nunc liceac, Pypographiae benetieto, per toram
Furopam communicare, quae tunc dierum quali unis crane Achenis conclusa.
tacapndis Verum omnino excitanidi estis, Academici, e hortandi serio, ut hisce reburs
ad Ma- animum appliceris sedulo; nec patiammi, ut recernum rebus mathematicis aut de-
nuo obrepat, aut diurius incumbat.
Si quortum haecr quaeraris; aut cui bono d Vtut ca rox Academicis omnino
Sic indisna; mihi camen erat in animo pluribus ei, quam nunc licebit, obviam ire.
Sed ansultia temporis illud prohibet; Ne nimio robis cadio molectus cllem.
Ipsius u. Duin Mechanieos contulire, si nesciane Academici, aliosque ex vulgo sire ove-
rilitas es parios lire nexotiatores, Numquis rerum Machematicarum utus. Contulite Merca-
necessilas. fores, nuniquis plane arapisunter eorum ratiocinia curare PONTIE: INFErEOBaLe nau-
tasque numquis Ceometrix, Astronomix, Geographix plane rudis, navigia postit de
portu in portum ducere: A Laromis item e Archirectis Scilcicemini, numquis
arccouerenre superbas aediticiorum moles, currica palaria, ec arcuata laquearia,
Geomerrice (uE loguuncur) ad Ruporem rulei Culpenla aediticare. Dicant vel La-
bri, numquis normae, libella, aur circini utus Sed de milires perconcari liceat,
numquis Macheseosutuis ad arces e oppida munienda, caltra ponenda, cormenta
vellica commode regenda, aliaque multa militaria perasenda  Relpondeane ipsi
Sgraculani, ut extera raceam, num non Archimedis rerum Mathematiearum peri-
tia ului fuerie, Syraculis iplis proxuonandis:
AC Ouortum hec omnia diceris Academici. Tractent Fabrilia Fabri: Ouid ad
micorum nos iltac, qui mechanici neque nune lumus, nec aliquando fucuri. Oui nec in-
Ptrumenta bellica tacturi unquam, nec aediticia. Trane, vero Rcademici Adeone
anc veltra nihil incerest ea serre, quae non aliquando tacturi cltis: Ideone DenS
Os homini sublime dedit, caelumque videre. Tussit, =-- ut ea tancum contempletur
quae posset ipse conticere. Num libri de Ccelo, de Mundo, de Animalibus, alii.
que rebus nacuralibus, ommino indigni sime quos legat Philolophus, nisi haec
omnia portic efficere Apasse rox illa, Philosopho indigna cujus illud clt, ca
seire qua Deus ipse condidie, quaeque vel Ars vel Placura possit etticere. Ouem
melins deceat Chremeris illud Ferentiani, quam Chremerem iptum, ZIomo sum,
nihil bumanum a me alienum puto.
Sed ut serio agamus, Auduores; unde ett quod traec etticiar Mechanieus ope.
rator d Nonne quia PhiloTopho Machemarieo edoctus: La nempe quae Mechani-
cus efticir, non nisi Philosopho dictance faeir. Alcioris siquidem sciencix munus
etu ea docere et intellisere, quae ipsi operanCI: PEOUIMInOTIS arris ellu admOtO
Pollice
theseos
Rudium.
interest
Mathe-
tere.
acade-

## Folio 9 — 851387705:0029
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 100 lines, status machine
11l
le
10le
tica
et
MM I.
u
1
liga
meo
11
el
de
mino
M 1C.
op
lere
ne
c
la
a
e
C ipl
Met.
ida
deon
1
ceue
alul
hec
qpu
o
unu
nole
ORATTO LN AUOURALIS.
pollice barbica pulsare, quam concencum musieum aeuorncos depingere. Horolo.
scum puca sciocherieum depinsie torre sive Piclor live Exmencarius; scd pra
lcribence Machemacico: Hlaud lecus ac medicamina componie Pharmacopaus, led
dictance Medico. Nec minus incerest Philolophis paspannes de incelligere de de
monstrare; quam Mechaniei XcpNS OpCrarI. Adeoque indignum cllet Acacte.
mies, si in opiticum pocius Mechanicorum oflicinis, quam Philolophorum scholis,
Macheleos cognicio quaerenda tOrec.
An vero rancae laudis ell, diceris Fortan, ca seire quae nec mechanicis sune alie. Machesin
na P Demus, li placee, non cHe; (nec concedauS TamCN:) AC mulca lunE, quae ienorare
seire, non Mt magna laudis, cum ea camen neleire, non parvi sic dedecoris. Non non leve
magnae laudis elt, virum Academicum Lacine polle de incelligere de loqui, ac magni dedecus.
MEdedecoris, non polle.
Exemplo sic illud sulii Scaliveri; (ur de Josephi Csclomerricis nihil dieam; ) fulius
qui non modo libis led e aliis non paucis, videcur magnus. Cum Cardtanus ar- Scalieer
Sucrat live Comeras, sive Novas Scellas, Luma superiores apparuille, quod mino. Mathese
rem habuerime Parallaxin; Ipse, altumprione concella, sequelam nesat; Comerae
Parallaxin racus, non ex locali iplius poticione, sed ex superioris cujuldam live
Plancca livestella mom pendere posse. Ouae perinde ablurde POnanE MachemaLI-
eiS auribuS, a inconcinne dicta lune, ac si Diem cune esle negec quum Sol meridia-
na luce tulgeat: Adeoque, curpier cicubando, insignem prodidit Macheleos im
Perucram: uc qui dignior ellet d praecepcore dilcere, duie sic parallaris; quam de
rebus caleltibus dispucare: eoque nomine apud viros doctos, nec lemet quidem,
nec immeruo rapulat. Tulius siquidem Scaliser, promore luo, lacis pro imperio
Cardanum cractans, negare quidliber sibi licere racus ctt; adeoque lac amplam libi
meganci antam videcur nactus, si Carclanus altirmaverit. Acque hoc quidem in re.
bus mere Phyficis, magis impune fecisse poltet; ubi in veramque uc plurimum
parcem probabili lalcem arsumenco dispucare HCcat. NON Ita TaIEN in MacheA.
veis; ubi vericas lemel eognua excra dubium prounus collocatur; crrores incerim
cam manitelto deleguncur, ve nulla quidem supersic rel praetextus larra.
ena
Acclere Mllud Oridii onua: dum diurnum Solis mocum, Phacchonce duce, de Ovidii
Scripeurus, per lingula Zodiaci lixna crantire tingi: mocumnempe Solis Diurnum exu
de Annuum cemere contundens. Ouod indicio cst, ipsum luos iplius bactorum
dibros rix lacis incellexisse: _e Romanorum porius Calendarium, quam cognitos
Syderum orcus ee occasus, suis carminihus delcripsille.
Verum Feltinandum elle video: memo enim ne jamjam fuerim paciencis
restrae injurius nimis. Ideoque quae dicenda supertune mulca, quibus MacheleoS
Itudia luadere pollem, incacta prorsus praecerire necelle habeo.
Hloc lalcem addam: Machemacum sudia non modo pro ea quam in se habent Mathe
vericace colenda este, (quae tamen ipta, per se conspieua, de ulira Scepcieorum seos ucili
licisia polica, animum reticiet valde se oblectabir;) sed d quod rerum aliarum tas ad a-
coenuioni, nec id uno quidem nomine, conducane mulium. Peaeterquam enim liaverdi
quod in aliis disciptinis pallim occurrane multa, quae ciera Macheleos opem nulla.
renus incelligenda lunc: variaque quocidie, ex Macheleos culcura, Philoloptia
enda.
Nacuras dccedanE incrementa: Iud interim non est exisuum; Macheleos Audio Mathesis
e
Paracuns dnnum, aliarum disciplinatum capaciorem redeti rebusque alus cum ap. insenium
Sphaerillerio contere. Ubi praecersple exercicationis bonum, quod per le incen-
Verum exo non parum metuo, ne cuacla nottra ad persuadendum rix Cacis va.
leat:
11
prehendendis cum judicandis lonse paratiorem. Haud secus aique cum velica
nonnunquam, animalium corporibus exetmpeas, Hacu distendimus ee exticcamus,
quo lianc rebus aliis commode continendis apciores. Sire liceat pocius cum Veru
tamio comparationem instuuere; qui sciencias Machemarieas cum lulu pilae in
dicur, eeram animtor ocopa, (uc cum Flippoerate loquar,) membrorum nempe agili
ras, oculorum aventa asenomi, coriusque corporis seltus decorus, aliaque subinde
commoda, ex acculenci conciliancur. Pariter de Machesis, praeter iplam Mache
macica vericatis cornitionem; habet d alia commoda, eaque non exigua, quali
adnaleencia. Nec enim apcius occurrit remedium, quo phancatia mobilis acten
tior tiac, quo ingenium volacile reddatur fixum (uc Chymicorum verbis UTaE,)
macuro magis judicio quispiam, guam qui rebus siee exCrCIcaCuS, vel Cophismacum
quam si Machemaciearum demonstrationum compedibus coerceatur. Vix icem
deteget Fallacias, vel lyllosilmorum rires jultamque sequelam allequetur

## Folio 10 — 851387705:0030
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
ORATIO IN AHOURALIS.
leat: adeoque Machematum Audia, quae digna quidem sunc (Academici) qua
amplectamini, etiammum nimis neglectML (INE FIEUT.
Sin minus valuerie Oracio nostra, (quae tortalle non adeo elevanter vel artiti-
ciole est elaborata, ut mulcum valere poltic:) utinam lalcem periculum tacere
dignaremini, ipsaque Machemata cominus cractare: ut vel volmet ipli, experi
mento tandem cdocti, judicium hac de re Dosticis experti terre. Neque CnIm VOS
ipsos aliquando iniquos me habiturum judices, abunde contido.
Ouod ego interim non pro Forma cancum, Khecoricancuim more; sed serio
quidem e animitus opto: ut quod liquando Feceritis; nec laboris impenti, nec
remporis, spero, quali male collocaci, pisehic unquam. Pa nemperes Machema-
ricae dulcedine e Tuaritare delectane ambientis animum, quam lignS RHetOriCO
ornatu describere latagat, quali ad virum le posse delmeare racus, ommuio trultra elt.
Elaud secus enim hac in re conrinsit, ac liquis de Mellis dulcedine judicium lacu-
ruS Cet: quae quanta (IC, vel uno oriltu melius perdilcet quis, quam RHCIOrIS
vene facundistimi, descriptione. Ec Machemara pariter, ip(o quidem quali concgetu
Pocius, quam indicatu, docene, quam sint delectabilia. NacIVa nempe lua splorum
pulchricudine, quam penicillo licet peririssimo depieta, rideneur venultiorz
Mathese. Siquis aurem difticulcaris incuset, et perobseura queratur lludia Machematica;
os obscu- Ouanquam illud quidem non prortus inticias eam; Pamen--- est infamia vero
ritas non Major--- Praeter enim ipsum aspectum primum, de troncem quali lubrecricam,
ExteTa quX SupertinE non tam terrere comperta sune, quam oblcetare. Ouodque
ipsum, agcrelluris, videcur prima Fronce formictahile, illuc aggrellis, et aulec la-
ouleocre ES compertum cA e volupe; Iplique qui lublequuntur labores luariltIIIS aclco
delectamentis conciuncur, ut nesciam an Labores illi, an Voluptares, haberi me.
reanCuT. Sunc enim ee lutus ipli nonnunquam lacis laborioli, quae camen oblccla-
menta pocius quam sraramina existimantur. Adeoque qui ad Machelin requi-
ricur lire meneis labor, sire acrencus animus, ue condimentorum acrimonia, ap.
Decitum pocius exeitat, quam palacum oftendi.
Ouiequid autem illud sic disticulcatis, quae Machetin comitetur, quodque aspe.
rum occurrie conabor ego secucuris (Deo volenre) praelectionibus, quama qui-
dem pollum tacilicace, alleriare. Inierim, ne ciei uorsuins auireas dieam, orata pri.
us lae patieniae vellea venias conciecbo.
tanta
quanta
ditur.

## Folio [11] — 851387705:0031
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000031.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
e
1
10
1
00
0
1
111-
iu
um
0
u
1p
per
ut
111.
l LL 16+S
LRS AL
STV F
ARTTHMETTCOM OPDS INYEOROM,
Tum Philolosico, tum Machematice craditum, Srithme-
cam cum Numerosam, tum Speciosam Cive Srmbolicam
complectens, sive Calculum Geometricum; tum etiam
Rationum Proporcionumre traditionem; Locarith.
morum item Doctrinam; aliaque, qua Capitum Syt.
labus indicabit.
Edita Anno 1657.
A

## Folio 12 — 851387705:0032
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 16 lines, status machine
2 11
n tocimens
 126 1C25B 
11 113 1C, Cd 1, HB , 31 (B115. 1C 1 ( 3(1 (CCL. 1
e0
1
1
AEu
u
1
lisce
i
es
Mo
l
ne

## Folio 13 — 851387705:0033
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
Insienissimis Doctissimis que Viris,
D. GFR ARDO L ANGBATN, S. T. 2
Collesii Reginentis, Oxonix, Praposito.
D. HIENRTCO WTLRTNSOH, S. T. D
Praebendario P dis Christi.
D. TOHANNT WTLRTAS, S. T. D.
Collesii Wadhamensis Custodi.
D TONATHANT GODDARD, C
Custodi Collesii Mertonensis.
TOHAHRES WALLIS, Geometrix Profestor Sarilianus,
5.
OM quae in publieum prodeunt, pro more scilicet leoque faris inve-
terato) nonnullorum inscripca nominibus soleant prodire: neque mibi
quidem a recepso illo more jam recedendum plane videatur: Px reli-
quis, quos e amo e veneror Collesiorum Praefectis, aliisque apud nos
summis in omni cruditionis senere viris, vestra libuit Viri Insienissimi, nomina
selieere, quibus, qui sequieur tractatum duxerim offerendum. Quod quidem eo
consilio factum est, ue cum prae ipsorum reliquis (plerisque faltem) Vos maxi-
me studiis hisce Mathematicis induleeatis, sive etiam incumbatis: eadem opera
tum meos in dos affectus  observantiam restari possim, rum sequentis etiam oge-
ris rationes brevicer aperire.
Foc aurem quiequ’id est negorii eo porissimum fine suseeprum est, ut buie quant
sustinere datum est provinciam, non modo non deesse penitus videan sed e eam
ornare potius, pro viribus nostris, e quo desuncoi munus adimplere. Duippe, cum
hoc sibi in animo fuisse propositum, lques Lhonoracissimus, idem que munisicen
sissimus PatrOnUS, D. HIE NRTCOS SAVIL IOS, eximius sui temporis
Mathematieus, stacuris suis sacis restatur: ne mera nomina sint P rofessores suus
sed qui studia Mathematica sedulo promoveant: Id mihi maxime visum est in
cumbere, ut justissimis illius vocis quantum in me est satisfacere, nec nudo conten
sus siculo, Matheseos studia vel promovere sataeam, vel adjuvare.
Aque in hunc finem, praeter assiduas praelectiones publicas, e privacas corum
qui hoc desiderant insticutiones, omnino expedire videbatur, ut universalem bujus-
modi Calculi traditionem publici juris facerem, qui non tam speciaiim Arithmet
cam, quanquuint  dan eu, quu Locam Muthesin Spectet. L. quo Chn u
Mathesin introducta est, quae divitur, Aruhmetiea Speciola, sive Symbolica, vel
(quod aliis etiam audit) Caleulus Cicomerricus, aut etiam (forte omnuu optime
Macheleos Cmvertalis principia, (quippe ut cota Rationum tradicio, ussce
C exci ncsset eier batites e seos partes respicit;) ea esuo, inquam,
haec introducta est, Vieca, Oupheredi Haeriori, Carcelii, aliorumque maeni nom-
uis vercrum, ops; quam ingenres seceric profectus Machesis unversa, vemmo hisee
rebus

## Folio 14 — 851387705:0034
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
rebus vel leviter exereitatus isnorare possit. Quod autem eso, post tot eximios qui
in hoc nesotio praecessere viros, rem hanc aecreciar; non eo factu.n est animo, ut
eorum laboribus quic quam eso derosatum velim: se d quod non ila rem Bactenus ab-
soiutam pulaverim quin es mibi pariter, quod post illorum messem collieam, etiam
num superesse putem spicilezium.
Et quanquam eorum pars maena, qua nune proferimus, Audicoribus nostris
jam puolicis fuerit praelectionibus exposi a; attamen, cum nec coidem plane audi-
tores continuis semper praelectionibus adesse, res ipsa clamet; e quidern, si ades-
sent, non ea camen valeant memoria, ut non saepe ad ea quae praecesserunt respicere
subinde opus habeant: quid quod e hujusmodi studia non ea sint, quae ausditione
prima satis imbibantur, sed attentam insurer mentem postulent, e contem
plationem, qua pensiremus serio, e dictis immoremur: Tlaud ipor tunum
fore autumo vel ipsis, qui haec audiverint, nedum aliis, ut ex ocris eadem
subjecta habeant, quo e ea persentiseant altius,  serus cositationibus bis as-
suescant.
Rem ipsam quod atinet: non est ut nova hic expecteris omnia; sed neque nusle
tamen. Numerorum natura, saltem quoad inteeros, jam olim erat V’eceribus probe
nota. At calculus eorum perplexus admodum e iniruutus, labore plane emprobo
absolvendus: Fit squando ad inteerorum particulas descendendum erat, ud scrupu-
los sevacesimales confuerebant (qui inteerorum instur habebantur) aut etiam ad
Rationum doctrinam ficuris linersve explicandam. Aque hine factum aucumo,
quod Rationum Doctrinam, quae mihi quidem crichmerica posius con siderations
videatur (atque ad omnes plane Matheseos partes perince spectet,) ad Ceco
metriam plane reliearint: partim seilicet quod lineis facilius quam laborroso
illorum calculo res exiseretur, partim etiam quod Mithmetices ponceria tum
stricta fecerint, ut veris numeris (rationalibus scilicet, e quidem interris,)
coereerentur, quibus tamen immensos Rationum campos haud coeiceri posse cer-
tum erat.
Postquam aurem in Arithmeticam introductus est Notarum numeralium usus,
quae Saracenicae, seu rectius Tndicae, vuleo audiunt (ab Lndis quippe in Arabiam,
atque ad nos inde delatae; tum incredibili statim levamine facilior evasit mo-
restr labor calculi, tum etiam Arithmetices ponaeria insieniter ampliata. fit qui-
dem ex eo tempore, praeter faciliorem inteerorum calculum, accessit etiam ad A.
rithmeticam Fractorum speculatio, (quam Veieres Logillicam vocabant, ut ab
Arichmecica distinctam,) sed e Surdorum deinceps numerorum.
alque huc quidem ubi perventum erat, revixit denuo, e quosi ex postliminio re-
vocata est Veterum Acebra (nomen jam Trahicum sortita) quae (praeter ea quae
apud Diophantum exstant) jam altum obdormiverat. Quain haec interea tempo-
ris sortem apud Arabes nacta fuerit (qui rum Mathesin, tum alias item erudi-
tioms partes alioqui perituras feliciter conservarunt,  tandem reddiderunt) haud
in promptu est ut dicam: sub Cardani faltem, Tartaleae, e Clavii temporibus re-
dua facta eorum scilicet aliorum que jam proxime elapsi secule laboribus ornata,
apud Furopaeos sedem fivit.
Obi autem hac redux veterum Meebra jam denuo exeoli ccepta fuerat, atque
ob jam receptas nocas numerales expeditior facta; neque nunc Radicem priiam
quam vocant solummodo, ejusque potestates, Characteribus Collicis insinire solenne
fuerat, sed  Radices secundas literis Aphabeticis: hinc credo ansam arripuit
primus acutissimi e sasacis admodum insenii ir Francileus Vicca, non renotas
tantum quantitates, sed e coenitas etiam; literis Alphabericis insieniena eam.
que quam Speciolam vocamus Arithmeticam,  Novam Aeetram introduxit:
quam deinceps Ousturedus, Clarriocus, Carcelius, Schoorenius, _c. auverunt in
dies  plenius excoluerunt.
Sed  interea temporis, in Prithmeticam numerosam partium Decimalium
usus (quae sexasesimalium scrupulorum vices insieni piastant compendio,) sive a
Rberico sive a Regiomentano sive ab alio quoxiam, ita sensim invectus est, ut quis
ipsius fuerit primus Author vix (credo) satis constet. Aque insuper Losaruh-
morum aoctrina ab LTonoratissimo Johanne NeppCrO (Marchistoniae apud Scores
Barone) primitus excoeitata, atque ab ipso junctim cum Flenrico BrisgiO (Gico-
metriae primum Professore Crelhamenli Londini, deinde Sariliano O oma,) re-
Toenita

## Folio 15 — 851387705:0035
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
coenica e penicus absolura, Mulsipticandi, Dividendi, 3 Peadices educendi labo-
rem, incredibili plane compendio sublevavit.
Cum autem hoc adepta sit fasticium srichmetica, variorum in suo cujusque se
nere virorum eximiorum ope sulta: quod illi sisillarim praestiterunt, id mibi jam
in unieum systema redieendi incumbit onus. Adeoque Mrithnerieam (nist Ma-
chelin porius Onivertalem malitis appellare) non tantum in Numeris speciatim
sive Lnceeris sive eriam Fractis; aut partibus tandem vel Decimalibus vel Sexa-
resimatious absolvendam: sed universaliser in Speciebus etiam (uri dui solent)
vel symbolis exercendam: hoc est, non Numerosam tancum, sed e Cossican e
Speciosam srichmericam, sum tradicurus. Sed e Demonstrative omnia (quod La-
inen neclieere solent srichmerici plerique omnes,) ut e srichmeticae specula-
erva avetrinum, es praxeos item icentas trudam ex ipsis deduetas princi
pus, concinuis inde demonstrationibus lusut breviter, perspieue lamen) stabi-
ctas.
Verum e Rationum item e Proportionum dectrinam, ad Michmerica princi
pia revocatam, jam lua tandem sede collocavi. Cum enim cousque se dilatarunt
drichmetices ponaeria ut non concenta solis NNumeris, universun illud qua lonve
lateque paret Masheseos subjectum, Specierum ope, suo jam comprebendat ambitu
Oquancitates invicem cum Rationales dictas, tum Lrrationales perinde respiciat:
non est cur non e Rationum sive proportionum doctrina universa, iiidem se conti-
meri cancellis parcatur; quae quidem vix alio nomine, relictis Srithnetiers, in Geo-
metrieos olim sines recipi postulavit, quam quod sihmerica, dum veris numeris
se concluci passa est, non aenoverit Rationes ullas quam quae veris explicari nume
ris poluerun.
Quod vero lonsiusculis nonnunquam dieressionibus exspatiari videar, (nec tamen
extra istius quid susceperam necorii limues,) id data opcra factum est, nec quidem
uno nomine. Partim enim illud in Lectorum eratiam faciendum videbatur, que
rerum varietale nonnunquam oblectari possint, e traditorum urilicatem vel ipse
ussa ediseant: partim etiam (quod in ioro hoc necorio mibi fuisse propositum non
dissiceor) ut reapse ostendam eriam Goometrica Problemata (quatenus faltem a
positione sive locali sicu abstrahunt) a principiis Mrishmerieis vel maxime depen-
dere; e quidem eousque ab este, ut ad Problemata sive Theoremata pure srith.
meciea stacuminanda (quod camen non raro factum video) Geometricae plane de
monstrationes sint huc forinsecus advocandae, ut contra quae Cieometrica habeban-
tu; simplicius quidem e universalius ex pure Arithmetieis adeoque univer salibus
demonstranda videantur
Duod autem vel Dbiloloeica, vel etiam alia PBilosophica Mathematieis imniseue
rim; partim illud ad subjecti explicationem commodum videbatur, partim etiam
ut condimenti loco, quo quae, tironibus praesertim, saris arida videantur facilius
declutiantur, quippe qui Mathematieis forsan parum ante hac exereitati diverri-
culis nonnunquam opus habeant, ne continua mentis intentione nimium defatieen-
tur. In quorum item eratiam, sui ex consulco in primoribus prolixior e fusior ex-
plicandis, quam in succedentibus; quippe quod quibus primum accressuris ne-
cessaria visa est prolixitas, iisdem ipsis quadantenus exereitalis non minus erata
sit fatura brevitas.
Duod denique rardius aliquanto predeat tractatus hic quam speraverim (quippe
jam secundus annus asitur, ex quo prelo subjectus fuerit, ne miremini hoc fa-
ciet maxime, si salcem quibuscum e quam perperuis preli disficultatibus juctan
dum fuerit, satis intellieatis; tum propier Trpceraphos hujusmodi seripiis edendis
parum assuetos, cum etiam non admodum instructum Zypoeraphum. Quippe bine
Hobbins sum ob ejus in libro DC COrpOTE acoucrenia cum ob ausden r quibus
ille cum Scholas tum Academias qua Veterum qua Recentiorum omnino omnes
lacessit,
non raro factum est, ut nunc ob schematum, nunc characterum inusicatorum, nune
etiam cerarum inopiam, (quae omnia non nest Lnano quolles les extcebat, C
non exieua temporis jactura supplenda erant,) haerendum cum aliquandii tum
aliquories fuerit. Ft quidem eousque, ut postquam hanc Partem Primam aliqua-
tenus inchoaveram, seponenda tamen ea plane fuerit, dum pars altera serus in-
cepta (quae jam ante annum proa) absolula fuerit. Sed  caint interea
temporis (praeter opuseula quae dam Theolosica emissa) bis occurrebat castieandus

## Folio 16 — 851387705:0036
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000036.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 14 lines, status machine
si D IC A Y 1O.
iacessie, de vanum esserens, suamque ienorantiam cum professo illo omnium con-
tempeu venditans. Nonnihil etiam artulit morae, quod Marei Meibomii, de Pro-
Portionibus Dialosus, ad examen etiam videbatur revocandus: quod in subjuneto
huic Tractatu factum est. Quae omnia, (ne e alia memorem negoria, qui-
bus multoties fuerim avocatus,) non mirum est si nonnibit edende huie tractatui
injecerint mora.
Valete denique. Viri infienissimi; e pereite, quod facitis, tum Academium
hanc celeberrimam, cum Rempublicam universam literariam, Studiis ornare vestris
e decorare.
Oxonit Dec. 20.
2656.
Mathesis
iei

## Folio 17 — 851387705:0037
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000037.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Arichmeticum opuse , ca t
suati acielacee claltem.
De Mathesimcenere; ejus Objecto e Distributione.
Riusquam Arichmecicam, quam cradicurus Cum, speciacim aegrediar: nOn
omnino absre tore judico, generalia quaedam quali wesxerbucra praemittere
de ipta Macheli in genere, cujus Arichmecica pars est lacis intignis: ut
quid ipta sine Machemata, paucis enarrem; cur ita dicta; et quibus in
rebus versencur: ee Macheleos deinde distribucionem (ubcexam.
Si quid sinc ipsa Matheata quATAEUT; aue quas disciplinas illo nomine in Mathesis
digicemus: Respondeo, Machemaca dici, seu disciplinas Machématicas, omnes quid e
illas sire Arces sive Sciencias, qua cirea Quantitatem speciali modo verlantur; sive
Concinuam quidem, sive Dilerecam.
Ouancitarem vero cum dico, non eam laxiori quodam sensu intellectam vel- Mathe-
lem; prout eam Aristoles nonnunquam, sive post illum alii, laxius loquendo, seos obje-
describune; quando Tempus, Locum, Orationem, aliquando etiam Mocum ee ctum
Pondus, de signa sune limilia, ipsius speciebus annumerant: Sed Strictiori sensu Onanti-
prouc ad Numerum de Magnicudinem restringi Tolet; quae vel solae vel fal
pro
cem praecipua Ouancitatis proprie dictae species haberi Coleni. Reliqua vero non Pr edicta
nili reductire ad Ouancitarem provrie dictam pertinere rolune Schola, quatenus
nempe vel Mensura vel Numeri Cunc capacia; adeoque vix ullam Cubeune Nta-
chemarieam speculacionem, nisi guatenus ad modum vel Maeni vel Mulsi consi-
derancur; praesercim si coca Racionum vel Proporcionum doctrina vel Arichme.
licae vel Caltem Geometrica considerationis habeatur.
Verum quidem elt, ea omnia in disciptinis Mlachematieis cractari, iis praesercim
quae Mixtae dicuncur: qua Fortan Cola ratione, inter Ouancicaris species tuerunt
AnNUMETaTa. Tempus enim cractat Altronomia, uc de Motus caelectes quibusmen-
Turatur; icem Chronolosia; acque etiam Cinomonice, Altronomix princiviis ut
plurimum nixa. Locus aurem in Stereometria, quancum ad ejus capacitacem; in
Geographia vero, quoad ejus licum et polituram, speciali modo contideratur. Org.
tionem tractat Musica, tam quoad Temporum (ut loguuneur) menturam; quam
quoad Tonorum elacionem, supprecionem, vel etiam circumtlexionem; unde non
modo Rhecorum ec Poctarum, led et Musicorum oritur d mentura et modulacio.
Notus auem e Pondus in Mechanicis praesertim considerantur.
Verum quidem elt haec omnia ee horum similia, in disciplinis Mlachematieis cra
ctari, ee sub pcdcr nomine ab Puclide concineri; sed (si Scholas audimus) non
Per le, ee primario; sed quatenus vel menturantur vel numerantur: Ve line ca
(DEONE lognunCUE) Macheleos objecta Materialia, Sed Tub ea Formalitare, quate
nus Mensurabilia, adeoque secundum Plus e Minus, Peu Majus eo Minus, COn-
lideranda; de Rationis Ceu Proportionis capacia.
quacenus (reductire) sunc rel Numeri vel Nensura capacia: nempe quatenus de ilIIS
InCETTOSATI POTeTIE, vel Quot Sine, vel Quanta inc. Adeoque Pacis apparet, quibus
In rebus versatur Machelis: nempe in Onancitare, per se; in aliis aurem rebus
omnibus, quatenus vel Duancicatis capaces sune vel ad eam reductire reteraNTuT.
Dicimus isicur Macheseos Objectum ese Ouancitatem propese aiclat, MasMIu.
dinem leilicer, de Mulcicudinem. Reliqua veto calenus ad Machemala Pelen,

## Folio 18 — 851387705:0038
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000038.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 83 lines, status machine
ta
Purx:
arith.
metica
Geome
Cometo-
Ceoera
mcl.
N
A
T H F S
arathesis Si de Mathematum, Cire Matheseos, nomine quaeratur, Cur hrac appellatione in
unde di signiantur illa dilciplinae: Ideo torcasse tuit, quoniam Machemata apud multos
quidem lola, apud alios anciquorum primo ance alias Disciplinas loco, edisceban.
tur: adeoque 142 EEoxlu Madiuara dicta, quia coecoroua dura.
Arque haec de Macheleos in genere tam Objecto, quam Appellatione dicta Funto.
Seguitur ut iplius sire Species, Tire Partes, leortim considerentur.
Sunt aurem (prour diridi Colent) dilciplina Machematiea alia Purae, alix
Mirtae. Puras dicimus illas, qua Ouancirarem absolure consideratam tractant.
prout d Materia abstrahicur. Mixtas autem illas appellamus, in quibus, Praeter
considerationem Ouancitatis, (sire Mulcicudo illa Fuerie, sire Magnicudo,) etiam
subjectum, cui inelt, COnNOTREF.
Verbi oraria. ObI in Arichmetica traditur, Bis duo quatuor efficere; Numeri
hic Peorsum consideraneur, de abstracte ab omni maceria subjecta. Parirer enim
verum est, lire de Plominibus, sire de Angelis, sire de aliis quibuscunque rebus
asatur. Irem, ubi in Geometria traditur, Circuli peripheriam ubique a suo centre
aequaliter distare: hic, praeter iplius circuli considerationem, subjeeti nulla ratio
habetur; sire in ccelis sic ille circulus, Cre in cerris, sive ubiris alias. Adeoque
disciplinas has, Machematicas Puras dicimus; quia pure de ipsis Ouanciraribus
asunc, non immilta subjecti consideratione.
In aliis secus cst. Verbi gratia: Cum docet Actronomia, Aquatorem e Z0
dioeum se mutuo in binis punctis secare; e quidem hunc ad illum oblique in-
clinari, angulumque graduum viginci erium cum semisse (circiter) constituere:
videmus hic, praecer insticuca pure Machemariea, mulca etiam mere Phylica im
misceri. Ouid Tu circulus, ee circulorum intersectio; quid obliqua inclinatio, et in-
clinationis ansulus, Machemariea mere lunt, arque inde petenda; Ac, Solem (Per-
ramre) hujusinodi obliquum curtum peragere, cumque annuo spacio absolvere
Physica lune, ex Fistoria nempe nacurali obserranda; adhibiris interim Mache.
maticis eam Principiis quam Instrumentis, quo melius hujusmodi obserratio in-
PCiEuaEuT.
Machematieas igitur disciplinas Puras dicimus, duas tantum: nempe arithmeti
cam ee Geometriam; Ouarum illa asic de Ouantitate Dilerera, Sive Numero; haec
aucem de Concinua, sive Magnicudine. Sed _ ex his est quidem altera magis
altera minus pura: est enim Prichmetices subjectum purius quiddam ec masis ab
stractum, quam subjectum Geometrix; ideoque speculationes habet magis univer-
Tales, qua rei Creometricx pariter ac aliis aque sunt applicabiles.
Reliquas aurem omnes Mixtas else dicimus. Dux catenus guidem TunE Mathe
maticae, quatenus in illis occurrit quidpiam vel Arichmericum, rel Geometricum:
quicquid aurem inluper elt, pro machematico non habendum cst, sed pro mixtura
aliunde allata. Acque ex his quidem alia minus, alix masis MIXIX LUINC: PEOuE
ad Machemaricas puras masis minutre accedunt.
astrono. Intex Mixcas, celeberrima quidem est Astronomia: Oux mensuram quidem e
calculum achiber, sed ad Caelestia tantum panrouduo (xeculanda. Corporum nempe
caelestium magnicudines, diltantias, mOtuIS, variasque corum et quoad nos, et in-
ter le, polituras contemplatur
Dum autem Phaenomena Calestia nomino; ne ipsos quidem Cometas eximo;
sraphia. qui in sublimi conspiciuncur, es obserrandi rationem, altrorum obserracionibus
non prortus ablimilem, videntur poltulare; quanquam corum torcalle nonnusi
fint lublunares: Nonnulli, inquam; Omnes enim lublunares este, (prout cense
Bane receres,) neuciquam et concedendum; cum praelentis praeceririque seculi ob.
serrationes manitesto reclament.
Altronomix subjungo Gcoeraphiam; upore Altronomicis principiis uc pluri.
mum Fultam: Ouae, Praeterquam quod ab Astronomia muruatur, non mulcum ha-
bec Machematicum.
Virique vero (AAtronomix e Cieographix) Cnomonicen Tubjunso, (undle ra-
ria Horologia Sciorerica, aliaque inrenta conlimilia devendent:) ee Arcem criam
ASNau- Nauricam: Ouarum urraque cam Altronomia, quam Geographia, periciam po-
Stutant.
Se hec Chronotoeiam Denitus omittam; quae Temporis calculum rerum gesta
rum historiis accommodat: Ouod quo melius tiac, oss mrouicor calestium criam
rationem cum primis habet, et Retip(CON PIXCIVUE.
Fuciles
Mathe-
seos dis
cributio.
in eura
Mix
NIIBIR.
PBca.
Cnomo.
Chrono-
tica.
locia.

## Folio 19 — 851387705:0039
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000039.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
i
e
11
le
Cap. II.
Fuciles aurem Genethliacorum vanitates, alialque ineprias Astroloeiae Judiciariae, astr
praecereundas duco: uc quae pro Trivolis pocius auc supersticiolis imposturis ha eia juds-
benda lunc, quam Machemacieis disciptins: Ideoque illarum profectionem pru ciaria.
dencistimus aeque Honoracistimus Rques Dominus Lenrious Savilius Protelloribus
Tuis Machemacieis merico incerdicendam CUITaVIE.
Polt Astronomiam aurem, eique altines disciptinas, annumeranda est Geodaesia; eodae sia.
eni de coram quidem Longimeiriam, Planimetriam, de Scereometriam adjuneo.
Onde propotice distancia, anguli, superticies, de corpora solida, leu (quod per
inde cst) Spacia Solidorum capacia, menFuTaNEuT: Oux omnia GeOmecriCIS princi
Piis perasuncur, parciculari lubjecto applicatis.
Sed e Perspectiva coa, cam quae simplicior est, linealque ab objectis in directum Pespecti-
excunces perpendie iplilque pericioribus Pictoribus ului est; quam quae in Diopiri va
eis ee Cnsopiricis, de lineis retractis de rellexis, craditur, Gcomerrica tere cora c:
Ouanquam etiam iptius in altronomia utus sic haud exiguus.
Neque incerim Mechanices de Achitectonices obliriscendum est: OvaruIm VEra. Mecha
que (praesertim Mcchanica) Geomerricas mensuras ica ad molem corpoream aD nice
plica ue ee incerim Ponderum, Viriumque mocricium, racionem habeat: Onde Archise
ucilia mulca, ec quidem admiranda, pertieiuneur.
Conice.
Pandem etiam ee Musieam Machematieis disciplinis accensere Tolenc; quae A. Musica
richmericam quandam in Sonis exercet; ee proportione quadam peculiari Farmo.
nicos cus CMSiC.
Acque tactenus Disciplinas Machematicas, tam PuraS quam MIxtaS, breviter
quidem, sed quancum praesencis intticuri racio postulat, enumerarimus. Siqua
superesse videantur alixe, postune quidem illae ad recenticarum aliquas commode
reterri.
G E N F
F
De Geometria, ex Prithmetica speciatim. Farum De-
finitiones. Objecta Principia, e Affectiones; Fasque
vere scientias esse.
DOs brerem Macheseos Synoptin, in priori capire extribicam; restat ut eas specia
cim seligam disciplinas, qua muneris noltri conditio iplaque Scarura Saviliana,
Protellori luo Gcomerrico peculiariter destinarum. Adeoque, mixcis plerisque le-
Positis, de Machemacieis Puris, Rrichmerica nempe ee Cicometria, quaedam dicenda
reltant: Ouarum ucraque quidem sub Geometrici Professoris nomine, (cum
mixcis aliquor cognatis,) mihi demandatur: AAtronomid incerim, aliilque qua ips
altines sune, Protelsorum alceri, Astronomico dicto, (Collesa meo mericiltuno,)
retervatis.
Geometriam aucem de Srithmeticam si detinire velimus; pocest quidem illud Geone
tieri vel per Objecta, uc in aliis Scienciis Speculatiris; vel per Pinem, uc in Ar triae es
bus de Scienciis Practicis non raro fir. Ilud quidem, prour contemplationes pure Prith.
Speculatiras continene; HIOC aUTeM, PrOnC ad pTaXIn OrdInANEUE. RTIChMCTICAM
enim ee Geomerriam Practicam aenoleimus, non minus quam Speculacivam
(guamris haec quidem dignicare mulcum praecedat,) Sc enim datur Geometris
Speculacira, eique subordinata Practica; sic eciam Arictmerica Spcculaciva 
Practica.
Priori modo detinitur Geometria, Scientia Maenitudms, qualenus est men
Surabilis: Arithmetica vero, Scientia Numeri quatenus est numerabilis. Quam
ucramque detinitionem Scienciarum Objecta, non cancum Macerialia, sed d FOr.
Posteriori vero modo, Geometriant aco, Scientiam bene mensurandi; With.
Ouod Ellas aurem Scientas AIXCIII NON CML cur quiIgNam MIreTUr. Itas enim
reticae
Desini
tiones
C80, liquas alias, sciencias appellandas esse nullus dubico: cum exo nihil deelle An sint
senciam, scientiae.
ialia, continere liguet.
Meticam aurem, Scientiam bene nunatandi.

## Folio 20 — 851387705:0040
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000040.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
P
AR ITHMFTTCA, QC.
C
sentiam, quod ad Scienrias Strictistimo sensit aCCeptaS requiratur. HTabene enim
Subjecta, Principia, ee Afectiones, easque de subjeetis, demonstrationibus maxime
sciencitieis demonstraras.
Subjecta quod actinet Afectionum, seu, quod perinde est, Objecta Scienciarum,
circa quae verlantur; qua ula sint jam oltendimus.
Objectum Est nempe Objectum Geometria, Magnicudo, quarenus cst menturabilis. Magni-
tudo scilicer Objectum Maceriale indicar; Mensurabilitas ipsius rarionem F’orman
lem denocac, qua Magnicudinis cractario Mathemaciea ab ea dittert, quae in LOsi
Ca, Phylica, aut Mecaphylica, Oceurrit.
Per Magnituainem incelliso, Lineas, Superticies, ee Corpora, Machematice ac
cepta, hocelt, abltracte a Maceria; quorum varias attectiones e Propricrares Geo.
metria demonstrat.
Mensurabilitatem vero latissimo quidem sentu acceptam vellem, ut, quiequid
ad eorum lingulas attectiones et habicudines invellisandas ec incelligendas actinet,
comprehendat.
Objectum Arirhmetices, Numerum consticuo, sire Ouancitarem diseretam, et
quidem quatenus Numerabilem: Duam Numerabilitarem eadem latitudine accepram
vellem, qua Menlurabilicarem Magnicudinis.
Principia Principia quod artinet: Punctum quidem masnicudinis, Onitas aurem numeri,
principium vulgo verhibetur. Nam ex Duxu Puncti Lincam, ex Auxu Lincx Su-
perticiem, Superticiei rero Corpus oriri traditur: nec quidem inepre. Item ex
Unicacibus tieri Numeros laris liquer; cum numerus vulso detiniatur, Onitacum
mulcicudo.
Non minus recte tamen, me judice, diceretur; si Magnicudinis principium, di-
CCremUS, (prout hic loci principii vox videtur incelligenda) ipsam Extentionem,
seu partium exrra parres politionem: mensurabilitatem nempe ab extentione ori-
ginem ducere, res ipsa clamat: Numeri vero princixium duccremus, ab illa rerum
moditicatione, qua quid Onum elle aut Multa, vel eriam qua quid Idem esse aue
diversum dicitur; prout enim ab Identicace (l ita loqui liceat) oritur Onitas,
ita e d rerum Diversitate, Numerum oriri, seu pluralitarem, Caris patet.
Sed d ipla Unicas, non incommode Numerorum caraloso accenteri postit;
quamris apud rulsus haud ita reputetur. Adeoque nt Ouanricas continua, seu
maonieudo, tocum illud comtinee quo aftirmacire relpondetur quactioni duantum
quid sic, seu quam Maenum: ita numerus de illo omni dicatur, quo quaeltioni
Quos sunt, attirmacire respondetur. Certum est, Rrichmerieam eodem prortus
modo e unicatem e cateros numerostractare: _ quidem apud GTrammaticos, nu-
merus singularis sine Colcecismo dicitur. Sed hac de re plura post dicenda crune.
Siquis aurem haec, quxe dixi magnicudinis sc numeri Principia, non tam in Ma-
cheli, quam in Mecaphysica, tractari luggerat: Neuriquam cxo intreias eo. Neque
enim illud omnino Scienciis insolitum cst, aue este debet, ut principia habeant
aliunde praemonstrata, vel eriam iplam subjecti detinitionem; modo iplae de sub.
ectis attectiones demonstrent.
affectio. Afectiones aucem rarias, tum in Gieometria cum in Arictmerica, de magnicudi-
nibus ee numeris demonstrari adeo nocum cst, ut dictu non sIt OpuS: idque de
monstrandi methodotam cerra quidem ee cridenu; ut rix alia opus tic LOgica,
quam connara et nacuralicer inlica, qua sequelae neceltiras intelligatur.
Non tamen incerim ignarus sum, d Logicis nonnullis (qui tamen, an Machetim
Patis incellexerine, neseio,) defectus quoldam etiam Machémacieis Demonstracio-
nibus obcendi, quo minus ad aristocelica demonstracionis, quam Pocissimam di
cunu dismuatem accedant. Operae pretium igitur exiltimo de Machematicis DC.
monstracionibus nonnulla subjungere, ut eadem opera disciplinas illas, Arictimeti-
eam puta et Ceomerriam, Scientias esse probem, e iosciscor vacuram limul expli.
tlt.
Geome
triae.
Objectu
Aric
meticae.
Maenis
3 NI
meri
res
d 

## Folio 21 — 851387705:0041
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
li
e
lioni
vrto
1
un
10b
e
mat
DE MAYAEM AFTCTS, _EC.
De Demonstrationibus Mathematicis. Onde Mathema-
ticas vere Scientias esse consirmatur.
Emonstracio, sive anorioud Brrnuormis, ille repucacur Syllosisinus, qui asse. Demon-
Etiones proprias de subjecto per proprias causus doces, vel, vctulius apud Ar. Aratio
locelem cradicur, L C. post. II. C. 2. Aabd CEIS B ovrRoSos SuorndE, EE dandor n quid.
coechrur nei aulocor, in rueoseu ny ecor ny aitict ru ompascte. Duae camen
delinicio non omni demonstracion convenire pucanca elt; scd ilI qua clt rE sibn,
quae cciam nvecur DemonllracO diCicur. Ad Demonstracionem enim reori lullicie
arsumencum ab etlectis duelum. Oved de lacis innuie Ariltoreles, cum alium sei.
enai modum mnuie de quo se pollca diCturum prOmILIIE.
Demonstrationes aucem Machemacieas quod accimeL; nemo est quem Peio, qui Demon-
de carum vel cercicudme vel evidencia, modo recte inlticuancur, dubicar; nec qui strationes
ultas omnino alias vel cerciores vel magis maniteMlas elle contendIE.
atBe-
Ouaericur eamen a nonnullIS, An ad illius, quam Posissimam dieune, de ab Ari. maticae
n
Po.
Rocele detinnam concendune, Dmonstracionis dienicacem allursant. PE duo DO cissima.
riltimum objieimme quo inus id concedatur. Ve ridere cM apud Smislecium in
Loxica Tua, Dis. 143 2 14.
Primum cM. quod enia Machemarica, quatenus d Machemarieis consideraneur, Anencia
non omnino exillane in rerum nacura. Non enim uspiam inguiune, reperiun- mathe
tur Linea vel Supertieres d Corporibus abstracta; nec quidem corpora sphaerica.
cubiea, aliare regularia; auC erigona cecragona, cireuli, aliare sieura planae, ad
amustim Machemacieam exacla: adeoque rel ommino non elsez vel elle cancum imagi
naria, conendune; ideoque de illis Scienciam elle non polle, eum subjects can-
cum imginariis non postinercales attectiones inelle, nedum de illis demonstrari.
Sed lere omnino hoc cst, de tacile distipacur. Quod enim de actuali existentia
dicicur, omnino necx ell: cum existencia sic tancum Cingutarium, sclencia vero
univertalium; de ad hoc, ve aliquid sic objectum scientia, live existat sive non
exiltas perinde cMt, modo ejusmentitie ve (in indiriduo) exiltere postic: u de Rola
intryeme diei Tolec. Ouod enum hujulmodi ell, pocius ens in poceneta dicendum
eE quam vel non ens, vel ens imagimarium, sive ens racionis.
Laneas auum ee superticies d Corporibus separacus, auc ipsa quidem Machema-
liea corpora ciura macerium Phylicum, non extistere, (adeo eliam nec extillere
Dolle,) ommino verum cst. Cum aucem Mlachescos objectum ideo imaginarium
cancum ella canndun: Non levio cI HIC CrrOT. Machemaciei namque lineam
vel supertierem vel corpus Dachemacieum cicra corpus Physieum ex SisterC, nOn ma.
Bie vel supponunc vel altirmune quam supponic Phylicus vel Ammal extistere quod
nec homo sic nec brucum vel cram Hominem in genere alpiam reperiri qui non
lic vel Placo vel Socraces vel alius aliquis singularis. Non enim necsat Machema.
cieus suas lineaes superticies, de tiguras, corpori Phylico inelle; scd has cancum
perpendic de concemplacur, corpore incerim Phylieo non considerace ALIUc CnII
et abstrahere, aliud nepare: Machemacreus suas quidem magniendines abstratic a
corpore Physico, non camen de illo necac: Nec magis alterie MachemarienS quan.
cicacem extiltere sine corpore Physico; quam Physicus, substateiam COrPOTCam CX
sistere sine quancicace: uerque camen alceram ab alcera abtlractam concemplacur.
texsillunc iricur, salrem exsillere vostines non cancum imaginarie sed realicer, en-
eta Machemaciea; non quidem per se sed in corpore Phylieo; licet abstracte con-
liderencur. Acque haec sulticiane ad illud quod primum objicicur diluendum.
patica
ut tan
um Ima
inaria.
Sccundum illud quod opgerune, majoris quidem momene est ad rem praelencen, An De-
modo verum ellec: Nemp quod demonstraciones Machemaciea non concineant in monstra.
se reras cautas ellendi, de consequenter, neque illam praecipuam necellicatem qu’a
S
 vera de propria cauta deluteur.
ve
Ecul omelcet (in dispucacione cicaca) incer alia, in prima detmonstratione per veras
Euclidis; consas

## Folio 22 — 851387705:0042
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000042.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
TATADMATTCIS
Lucssa; ubi, inquie, demonstratur changulum esse aequilaterum, ex eo quod sit
constructum inter duos circulos, habeat que omnia sua latera a centro ad circumfe-
rentiam.
Or aurem melius intelligatur argumencum, Fuclidis demonstrationem aliquanto
Fulius explicabimus. Propoluerat ille hoc problema lolrendum, Suxer datam re-
Etam finitam (puta AB,) triansulum aequilaterum constituere. Ouod ut tat
jubet ut centro a, intervallo A B, describatur circulus BC: item centro B, inter-
vallo BA, describatur circulus AC: e a puncto C, in quo circuli se mutuo se-
cant, dueantur ad puncta R, B, rectae C A, C B. TIis peractis, demonstrat Fucli-
des constructum trianeulum a BC esse aequilaterum; quia nempe tres recta
CA, AB, BC, sunt inter se aequales. (Dux certe
M demonstrario a vera e proxima caula: Nam
nisi aequalicas lacerum sic vera immediata causa cur
tigura constructa elt aequilatera, quaenam ea vera
caula lic non pollum cgo vel conjectura allequi.)
Aqualicas aurem laterum Ci A, A B, BC, demon.
ftratur, eo quod C A, AB, sunt racii circuli BC
ideoque aequales; item B A, BC, radii circuli AC
ideoque aequales: cum icitur tam C A quam CB ae-
quatur rectae AB, sunt tres rectae C A, A B, BC,
inter se aequales. Fsqne haec demonstratio R uclidea.
Verum in hac demonstratione, inquir smielecius,  Nemo non videt, non altis.
ec nari veram caulam ellendi; non enim criansulum ideireo elt aequilaterum quia
a est incer duos circulos constructum; nam etiamsi non eller inter duos circulos
ec constructum acthuc ellet aquilaterum: Unde ralis caula ell accidencalis tali pro.
priecati.
Cui ego mulCa reGeTO.
2 Dico, quod, utur illud verum ellet quod aftirmatur, nempe demonstrationes
Machemaricas non per veram et proximam caulam procedere; sunt tamen Paris
scientitica, si vel per caulam remoriorem vel per ettectum, vel ver aliud aliquod
medium ab alio argumentandi loco deductum procedant, modo certo concludant
rem ica esse prour altirmatur, acque aliter esse non polle. Sulticit enim ad hoc,
ut demonstrario Cu scienritica, si procedat per medium necessarium ex natura rei:
ut ee ipsi quidem, qui hoc objiciume, non neganc, es Smistecius eriam directe aHir-
maius DIsp. 15. qu. L. B alibi. Ouare nec ipte, nec quos seio, alii negabun, Dil-
ciplinas pure Machematieas scientias esse, ucur pertectillimum illis demonstrandi
modum non concedant.
2 Nocondum est, quod ipsi, qui negane has demonstrationes pertectas este, in
ratione demonstracionis (ut loquuntur) Potissumae; dubitant, an ulpiam alias oc-
currat in aliis scienciis ejulmodi Poriltima demonstracio: ut apud Smielecium vi-
dere cst, quaeltione prius citata
30 Fuclidis demonstratio non isitur concludit Frianentum a BC aequilaterum
Mlle, co quod inter duos cireulos constructum sit, (ut Snie lecio videtur;) Led quod
latera C A, AB, BC, sint inter se aequalia (uc ex proerellu demonstrationis patet.)
Ouod estu ex vera caula demonstrare. Hlud aurem, de duobus circulis in con-
structione actibitio, subserric cancum aequalitati lacerum demonstrand.
4 Nocandum clt Fuclidem loco citato, non tam Veritatem Theorematis, quam
Constructionem Problemaris, demonstrare. Non enim simpliciter probaturus crat,
Friansulum ABC esse aequilaterum: Sed Triansulum, eo, quo imperatum erat,
modo consiructum, esse aequilaterum; seu Hypochecicam hanc propolirionem, si
Frianculum sic construatur, erit aequilaterum, reram else. Jam vero, quanquam
aliunde torcalle constare poltic veritas consequentis, nempe Trianculum ABC esse
aequilaterum; veritas tamen conlequentix (nempe illud ex constructione sequi)
non aliumde probatur, neque ex alia caula masis immediata dependet, quam ex
ipla constructione: nempe quia constructor sic procedendo acceverat aequales cir-
culorum radios. PX vera isitur propria de immediaca caula demonstrarit Fuclides
constructionem problematis. Ouamvis isicur, Triansulum illud aequilaterum esse
Talcem tria latera esse aequalia demonstrare rideatur per caulam vel remotam vel
accidentalem; AE cerre constructionem illam problemati satisfacere, (quod Crat
Fuclidi demonstrandum) per reram, prorimam, ee immeciacam caulam demon.
AracUT.
5 Etiam

## Folio 23 — 851387705:0043
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000043.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
pe
e
Cap. TII. DEMONSFRATIONTBOS.
5. Eciam addendum est, in nulla quidem sciencia exspectandumm ette, Ie omnes
ibidem demonttrationes aequali perfectionis gradu procedant. Abunde sulticie (
demonttraciones aliquae sinc per reras ee proximas causas, ideoque r̂ sibn, quan
quam demonttracionibus illis re sibn, paltim immilecaneur aliae r on. Oc in lcien.
eiis omnibus abunde liguer.
S Tgirme concedo, li non demonstrationem proposicam, at Palcem altas HOL pal-
eas, in Macheli pastim occurrentes, procedere, non cam a caulis proximis de imme-
diacis, quam ab aliis locis Fopicis; adeoque demonstrationes elle ru on. HOH dirI.
Nego camen, in omnibus demonstracionibus Machemarieis ue obtinere
Mulcas enim d veris ee proximis caulis procedere, adeoque demonstrariones elle r
sin, concendo. Ideoque Snistecii enumeratio demonttrarionum, quas Me ra ost
concendie, veur rera estet non tamen est susticiens enumeratio, cum occurrant alie ria De-
non pauca, quas este rê son liguet.
estra
8 Tgitur uc rem coram dilucidius expediam, cres praesertim demonttrationum ionum
Machematicarum sire modos, sive gradus, sive species Catuo.
Prima quidem est illa demonstratio, quae per deductionem ad absuraum, le
era.
impossibile, procedic; anazom dicta: quae, rem ita ette, demonstrac, eo quod sic Deducn
impossibile, uc secus (ic. Ve siguis demonstracurus, Rectarum circulo inscriptarum, surdum.
loneissimam illam esse, quae per centrum transit; illud ica esle alterat, quoniam im-
Dollibile elt aliam quamris, per cenerum non cranseuntem, vel longiorem elte,
vel quidem aequalem. Supponacur enim, si tieri pollit, recta AD à )AUENSO, PeF
cencrum non crantiens, diametro AB, per cencrum C. cranseunci, aequalis, vel eriam
ipta lonsior: _ ducatur, a centro C, recta C D. Dico
rectam CD aequalem elle recta CB, quoniam utraque
est recta a centro ad circumterentiam ejuldem circuli;
ideoque ACD, (ex duabus rectis AC, CD compolita,)
eric aequalis diametro ACB, (quoniam si aequalibus
aequalia addaneur, toca erunt aequalia;) si isitur AD
sic aequalis ipsi AB, eric etiam aequalis ipsIS AC, CD.
Fimul sumpeis, (nam quae eidem vel aequalibus aequan.
cur, etiam inter se aGUANEUE;) Si AD lonsior sC ip (a
AB, exit e lonsior, quam AC, CD, simul Tumpris,
(quibus ipsa A B aequalis est;) AC horum ucrumque abturdum est de impossibile
Cum enim A D Sic recta, quae incer data puncta brevissima est, ee quidem unica;
impossibile est uc vel longior sIc, vel etiam aequalis, ipsS A C, CD, Simul CumpTIS,
quae non nisi per cirenicum quendam 2 puncto A ul punctum D procedunL. L1OH
Est isitur recta AD, vel aqualis ret major quam et A B. Sed se eadem ommino
demonstracio procederet, s ubiris alias recta non per centrum ducta inscribatur,
pura L. F: Si enim P. F sic major vel aequalis iph AB, eric proinde major vel
aequalis F. C, C F, Simuil Cumpris; quoniam F C ractius aequacur radio AC, d C F
racius aequatur radio C B; ersO cOt AC, CB, (hoc est, AB, ) aequatur Woct F. C,
CF: AC impossibile elt uc recta F. F vel aequet vel Tuperet rectas E. C, C F simul
tumpras, (eum recta sic breristima inter dlaca puncta,) ergo crat impossibile est
ic vel aequer vel superet rectam AB (ipsis LC, C F, simul sumpris aequalem.)
Cum isicur impossibile sic ut AD, vel P P, vel alia quaeris recta nOn Per cen
trum, aquet auc superet rectam AB (vel aliam quamlibet per cenerum ductam:)
sequitur, Rectarum cireulo inscriptarum, quae per cenerum crantit esse longissimam
Duod erat demonstrandum. Demonltratur aurem, ut patet, deductione ad im
Doltibile.
Sccunda demonttranc lallo, c ensiva 3 on.
Oe li recta AC demonstrecur aequalis este rectae BC.
quoniam uiraque demonstraca fuerat aequalis ipsi
AB: quae aurem eidem sunc aequalia, fune ee aequa-
lia incer Se. Fstque haec demonstracio quidem osten-
tira, sed cancum F om non aucem F sibn. Communis
enim urriusue dGcalto etetem letcia, indicat quidem
carum aequalitarem inter le, non autem illius caula
elt. Lllenc enim ip(ae AC, BC, sibi nricem aequales,
CCLaMMA IPIa AB non tuiet ducta.
De
oaense
Cerria vero demonstraltut lalto, qua e omnium pertectistima, est Ostensiva F Tu dion.
8167.

## Folio 24 — 851387705:0044
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000044.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
QNVT A YEM ESSE
Sior. Oua demonstrat e quod lic, e quare Lic. Ljulmodi ele demonstratio, liquis
Radios omnes ejusdem circuli aequales esse inde demonstret, quod detinatur CIrCU.
lus (Calrem detiniri postic) Fieura plana, unica linea curva contenta, quae a medio
comprehensi spatii aequaliter ubique distat. Si enim cireuti essentia postulet, ut
iplius peripheria aequaliter a cencro dilter; immediate sequitur, tanquam a caula
vera ec proxima, radios omnes, quibus illa distantia menturatur, etiam aequales cslC.
FAque demonstratio haec Oscentira F Non, a causa proxima et immeciata delumpta.
Si rero objiciat Smislecius, caulam hanc non veram ec proximam ellendi caulam
esse, sed accidentalem tancum, quia racii illi, puta, C A, CB, C D, CK, C F, ec.
essent linea aequales, etiamhi circulus ille neuriquam ducererur. Relpondeo; Vc
rum esse, quod essene quidem Rectae aequales, eriamsi nulla tigura tuistet ducta:
non tamen cssent aequales Radii: ur enim radis sinr, necesse est uc ab alicujus gcla
centro au perecun cau. Ooue laces  de nes esuldem tigurae
rantum Haruantur; nempe 3 on ec 3 sion. Poceri ille li placet, duarum priorum
utramque demonstrationem X on dicere; illam quidem per deductionum ad im-
Pollibile, hanc vero ostentiram; tertiam denique demonstrationem 3 sion. Non
enim libet de rerbis contendere, modo de rebus constet.
detinuioeo uce, ee ipla demlatidi mechodus insinvetur. Rectar dein-
ceps ut iplam arichmeticam aggredtiar.
Siguis denique objiciar, me tres demonstrationis species tecille, cum vulgo dux
alii inricem aequales lint, resutem in perimeter ultius tisurx aequaliter a centro
distet. Estque haec, aequalis uta scae scaa CCMCLCHCId A CeNITO, vera
quidem, necectaria, proxima, es immediata caula hujus affectionis, nempe, ipsius
radtios omies rcates e. Sust em camtrationes Mathemarica quanquam
non omnes, aliquae TaIICM HOH BdO SCIENHHCa, Led C 2 Ston.
Atque haec Sulticiat de Demonstracionibus Machemaricis dixilte; ut dc prOpOTitX
Unitatis e Numeri definitiones. Quo sensu Vnum ne-
ratur esse numerus. Pam Unum quam Nullum, va-
rio sensu Principium Numeri. Inum est Numerus
minimus. Nullum non est numerus. Numeri fracti,
non sunt veri numeri.
A Richmetica, sro F aecsui dicta, ab ipso objecto nomen Forrica cM. Es enim
Scientia numeri, quatenus est numerabilis, vel scientia bene numerandi, ut
aerrdatio supra declaratum est.
meri des
Numeri rero principium Onitas dicitur.
Onitas aurem est, secundum quam unumquodque Onum dicitur: Numerus au-
tem ex unitaribus composita multitudo. Sic enim Euclides, lb. 7. de. 2, 2. Moras
631, nand ls o EnasOV aS orcor Er neyora ReDuoS 3, o en poractor orucipOr mndos.
nationes FX his aurem Onitatis ee Numeri definitionibus, plurimi articrannie Onicarem nI-
merorum cataloso non accensendam, adeoque numerum minimum Binarium esse:
An Oni- quanquam illud quidem Puclidem ulpiam dixiste non memini.
Miror tamen cousque hanc sencentiam inraluisse, cum non minus Unitas, quam
at. binarius numerus, auc quivis alius, respondear qualtioni Quot sunt.
Hlac autem de re, crai mihi quidem in animo, litem neuriquam movere; cum
illa concroversia Logica porius sen Mecaphylica, quam Machematiea, vidori pot.
Sic; Palrem obirer monuille, non modo Onum led e Nultum, apud Arichuetieos
eodem omnino modo ac reliquos numeros tractari; adeoque apud illos (quiequid
de Mecaphylicis dicendum (C) vel pro Numeris, rel quali numeris repurari. Ope.
rae tamen precium Forcaltis erir paucis oltendere, cur Onitarem pirem rere nume.
rum esse, aliisque numeris annumerandam.
Nec huic tortan adversabicur Ruclidis aliorumque sencentia probe intellecta.
Cum
metica
AritB.
es Defi-
nitio.
Onitatis

## Folio 25 — 851387705:0045
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000045.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
erc
1
un
M
ion
e
n
pe-
Da
115
TI
Cap. IV. NUMERUM MTAIMOM.
Cum enim nonnulli Vnitatem, proprie loquendo, non modo Numerum este nC- 9u0 sen
Sene, sed ec numeri parcem; adeoque numeri principium impers elle dicanto u su unitas
est Maenicudinis Punctum, e Temporis Momencum: Incellisendi torcalle lune necatur
de Monace seu unicare, non uc numerum lingularem delienac, leduc est commu
nis quali numerorum omnium Denominatio, sire denominator. Sic enim nume
ruS Ouacernarius c, quI quaTUOT UnITaTES numCTAE, TermariuS qI TreS, Binarius
qui duas, ee Singularis paricer qui unam quidem Onicarem deligpat. Secus cnin
non video quo modo vere diei polles unicarem non esse numers alicujus parcem:
cum cercum lic Oucum non minus elle Duorum dimidium, quam Duo medieca
en
elle our Dcarvor. Dumisitur Quasuor dieo cancundem valere aC quasuor unitates:
ro unitates nec numerus ell, nec pars numeri, led rel numeri denominario seu
denominacor vel iptum numeratum Fstaurem re Rcatuor Carum unicatum nu
merus. Ica cum Onum cancundem valere dico ac Quem unitatem, par vorisa. Vyi-
sas, eMt numeri denominatio, seu denominator. Ona, numerus el, leu UMIacuI
mulcicudo, (mulsituainis nomite laxius accepto, uc post dicetur) dicic enim
Quot vel quam multae unitares adesle dicuntur, nimirum unicam.
Aliud aucem est negare Onitatem, rlud porasa, alivel vero negarC ZdE Onum, nu-
merum elte: Podem enim sentu de n seras numerus, elle nesari pONC, quamvis
sina numerus elle non negetur: Siquis enim duas aecadas numeres, erit Decas, nu
meri denominatio; Da0 vero, decadUIM HUIETUS.
5
Sed revera, li accurace loqui velimus, non cam unicas quam Vallicas (si ica 10. Nullitas.
qui liceac) Teu Nullum, (non cam cords Ceu erbrus quam eserbrns, à sercun leu ro unser) principi-
nu-
idem respectu numerorum obcinet, quod Punctum respectu magnicudinis, de Mormeri; et
mencum respectu remporis. Oc ex operacionibus Arichmerieis cum constructione sensu quo
Geomecrica compararis liquido constare possic penicius incuenti. Onicas vero in punctum
Itar cerca cujulcam linea, seu allus magnicudinis pe arbicrium posica, ad quam maenicu
aliarum homogenearum tic comparacio
Mihii Talrem hoc viderur dicendum. Magnicudo relpondet qualtioni elloor B
Numerus rero, quaestioni roa B3. Unde tam Numerus quam magnicudo HLosES
non incommode diei porelt. Lacina vero Quancicaris appellacio non cam commode
videtur (quoad nominis nocationem) ucrique spplicatulis, eum sola concinua
Ouancitas dicit duantum quid Fic: Dilereta rero, non duantum quid, sed, duot
Tunc; ac si Quoritas pocius dicenda esser quam quancitas: (sed de nominenon elt,
uc licisemus, dummodo de re conster.) Or aurem masnituda, Duta linea, inchoa
cur a puncto, quod ommino magnicudinis exvers est; ee quidem (posicire) nihil
C, sire nullius magnicudinis: ipta vero L inea canca elt quanco est ipso sive Pun
cto sive nihilo major: ita ee Numerus, non ab unitare, led revera a nullicare, in.
choacus, cancus cst, quanto est iplo Nullo major. FL ut Punctum puncto addicum,
sire semel sire cencies id tiac, non eflicir Ouancum; nec etiam L. inea, vel quaevis
alia magnicudo, adjectione Puncti, etiam centies repecita, omnino major Hc, aue
ejus ablarione, minor: ita e Nullum, sive ro undem cnseri addicum, non Faciet et
necnumerus adjectione ro pustios augerur quidquam, auc iplius ablacione, M
MUIEUT.
Ac incercopibicur Cortan, Num velim ego d Vererum paricer de Receniorum
omnium sencencia discedere, qui uno ore lmitarem vocane Principium Numerr:
Relpondeo, 2 Nihil absurdi esse majorum invenris addere; praelerrim in Ma
chemaricis. Nec hoc illorum laudibus quicquam derrahic: nam et illi prioribus
addiderune.
 Non mihi camen voluve est ab aliis disccdere, nisi ubi rei neceltiras de ma-
nitesta racio suadent. Nec enim placet eorum remeraria audacia, qui cum se vel
cancillum seire senciune, aliorum omnium periciam vel Rocci taciune, vel super
ciliole concemmune: acque illud porius Patasune, ucaliorum, sive veris sire tictis,
omuaom intulcene, quam uc eorum rel senla Patis incellisane, vel probe cOMPERIS
allenciancur. Fst enim illud vel jurenilis nonnunquam levicaris, cum cosmitione
plerumque non nisi medioeri conjuncta vel supercilioli aliquando tastus indici-
um; pocius quam subacti ee macuri ingenii arsumentum. Nec raro a rebuS Pet
peram incellectis, pocius quam d veris illorum quos culpine erroribus, hujulinodi
insulcus orcum ducunc: ee ca ipta quae culpane, si incelliserene, non culparent.
Ec quidem eorum pars lonse major qui recerum sensa rejicimne de llocei laemne,
iptorum loco vel eacem ipta quae culpane mucaca cancum phratiolosia lubstuu
uneu

## Folio 26 — 851387705:0046
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000046.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
ONITAZEMESSE
unc, vel saltem non meliora; de in eos non raro errores neteri incidunt, colque
pronoris inventis reputane, quos reteres, scientes, declinarunt.
3 Ouod ad rem praesentem actinet, altero, e recerum sententiam probe intelle
Ctam, ee quae nos alterimus, lacis constare posse. Ipla enim Principit vox duplici
Taltem Receptatione occurrit: prout nempe Bioniticat Primum quod sic, vel VHi-
mum quoa non. Ve liquis Motum ordiri dixerit vel ab altimo momento quieris, vel
a primo momento motus. Sic li laeredis jus in rem haeredirariam ab ipso patris in-
concilia- teritu, vel a supremo paternae vicae momento, dicatur; est hoc, principium VI-
mum quod non: supremum enim vicae paternae momentum uleimum est eorum qui-
bus haeres succedaneus jus non habuit. Si vero dicamus, Flxredis jus inchoari à
primo momento successionis; etiam ita rere dicitur; led est hoc principium Primum
quod sic. (Rcque huc tacit disceptatio illa de termino virae ac mortis avud Gellium
1. 6. 6. 23. &c apud August. de civit. Der. l. 23, 6. 9, FO, TT.) Pariter de principio
numeri dicendum est. Si Primum quod sic quaeratur; Onitas altionanda est uE
qui est numerus omnino primus e minimus: Si vero ultimum quod non: 2Tionqu-
dum est ro unser, sire Nullum, ut qua est numerorum omnium negatio. AC de
Ouancitare continua, leu Magnicudine, li quaeratur OTrimum quod non; Punetum
allignamus, quod omnis quidem magnicudinis expers est, cui ramen li vel cancullum
accedat emersit Ouantum: Iin guaeratur Primum quod sie; illud omnino non est
altignabile; nOn daTUIE ENIM MINIHNII QNaNLIM, CIM OMNE QUanE, qua quan-
cum, sic in intinirum dirisibile. (Ouppenullum Quantum tam elt exiguum quin
habeat duos Semisses.) Arque hinc orcum est quod Veceres, principium Numeri
delignacuri, Omitatem posuerine, nempe Primum quod si: Maenicudinis vero
principium; Punctum dixerine, nempe ultimum quod non; quoniam in magnieu-
dine, Primum quod sic non est assignabile. Non aurem eodem sentu dicicur Oni-
tas principium Numeri, quo Punctum principium Magnicudinis; hoc enim sentu-
non i Suum, Ced ro Nullum, exie numeri principium, nempe Mimum quod
non.
Nollem outem ne quisquam me de lana caprina contendere existimet, dum nu-
meri Principium curiolius inguiro: Intignis enim elt hujusce rei ucilitas, praeser-
tim in Analycices Cre Aloebra speculationibus; quo melius operationis Arithme
tiex cum Geometricis constructionibus congruentia pexcipiatur: Atque hinc ob-
Tcuritas non parra csexorta, quod vera numerorum de magnieudinum comparatio
vel non Paris tiierit 2 muleis incellecta, rel minus faltem diligenter considerata.
Acque hoc animadrerterunt, credo, Dominus Des Cartes, ejulque ingeniolissimus
interpres Dominus d Schooren; illi enim, dum effectiones Greometricas Arithmeri-
eis operationibus adaptane, unitarem non instar Puncti habent, sed ut lineam quan-
dam ad placitum altumpram, reliquolque deinceps numeros aliis detisnant lineis,
quae ad lineam altumpram eandem habeant rationem gnam expoliti numeri ad uni-
tacem. ER aurem omnino impossibile, si Onitas instar Puncti habeatur, ut ca
quae par est congruenria inter Arichmericas et Ceomerricas operationes conter.
VCTUF.
Egoigimr attirmare non duhito, Pripcixium numeri ( eonempe sentu quo Pun-
nitas sit ctum dicuur Principium Magnimdinis) esC ro unstr, Sive Nullum: Onitatem re-
Numerus. FO, seu pocius Onum non cam elle principium numeri (sentu quo dictum CA) quam
primum numerum; estenim rere numerus.
Neque me omnino movet, quod Fuclides Numerum detinirerit io en porectov
ndos, multituainem unitatum: Nam ro mandos ibidem non stricte sumendum est
prout Multum opponitur rd Pauco, vel nd uni; Led uc delignationem 5 Quot sunt
indigetat. Si enim quaeratur, Quantum est: respondendum crit de magnicudine;
S vero, Quot sunt: respondendum erie de mulcicudine: tieri tamen omnino po-
test ut Onum respondeatur, quando de mulcitudine quaritur: V. 8. li de unici
Filii parente, quaeratur Quor tilios (scu quam multos) hrabeat: respondendum est
unicum. Duo sensu vero ro unum relponder qualtioni quam multa: eodem e
unitas, multitudo dici poreru. Si quis vero multitudinem, vel ro mudos arvscos de
unitare diei contendat: Concedo quidem, sed et anopcos de duobus dicieur, quae non
multa equidem, sed Pauca Punt. Frat aurem haec anvenozia hic loci necellaria
quoniam rox wecoripa nec apud Graeeos (quantum seio) nec apud Lacinos Oc.
currat ulla. Aeque hanc E mandous signiticationem ideo porius ampleetendam existi-
mo, quod Fuclides nusquam (quod sciam) unitatem numerum elte neset; sed
COntr2-
Tujus
senten
2a,c
sentent
veterum
Quod u-

## Folio 27 — 851387705:0047
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000047.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
111
1t
b.
110
11
c1.
M
c
de
ac
Cap. IV. L AMERUM CNCINTMUM.
concrarium porius videacur sencire, dum iptam unitarem eodem plane modo quo
reliquos cractat numerOS.
Onum isicur, numerum elle, actirmo: Est aucem numerus omnium minimus (de Dnun
hoc quidem sensu, numeri principium recte dicitur, quia primum quod sic, Ceu est Nu-
ru
numerus primus:) minimum enim est quod astirmacire respondet quaeltioni quan minimus
mulca; ideoque minima mulcicudo.
Verum quidem est quod de Nullum respondeat aliquando quactioni Quor SunE; Nullum
VT Si quaTAELIE, Quos linc Calorum solidi Orbes d relpondebitur non incpce, NVuI. non est
IuS. AC non propierca quod no Nullum respondeat quastioni duam multa, ideo numerus.
ee mullitudo erit; quoniam relpondet Negacire. Idem enim CA Vullus ac ne
ullus; licur Nemo idem ac ne horno. FH aurem Oslus vor diminiura a voce
Onus: Ve enim dicitur Puer, paerulas, de (Concralle) puellus, lexcrico enim
per Syncopen , tic puertus ee ob Fuphoniam, puellus:) de Pulcher. Pulcherulus,
Pulchellus (DrO puleher lus) Tener, Lenerulus Tenellus: lic Bonus, bonulus, vel-
lus: Onus, unulus, ullus: Sic Vinum, Villum, apud Terent. in Adet: Idem igi-
cur ct Lacinorum Nullum, (hoc elt, ne unum, vel ne unulum;) ac Gracorum
Oiser e Mnser, hoc clt, ese er, unse er. _ AnglOrum None, hoc ML not one, vel
no one. Non igitur Nullum, sed Onum est numerus primus; cum Nullum re-
spondear Negacire: collic enim subjectum quastionis; nec cum oltendie, Quot sunt
unitates, quam unitatem non esse: ve, qui dieie, NVullos elle orbes, negat orbes
esse; orbis enim siquis sIC, Palcem unus exic.
Siquis aurem objiciae intermedia mulca dari inter Unum de Nullum; puta Numeri
Onciam, Sexcancem, Ouadrancem, Friencem, Semillem; item Bellem, Dodrantem; fracti
uc ee Ouincuncem, Sepcuncem, Decuncem, Undccuncem (sive deuncem) alia (. non sunt
que ejusmodi parces incegri. De si quaeratur (instance hOra nOnA) OuOE horx Numeri
coprie
Dolt octaram crantierine; respondebitur forre, nec unam, nec nullam, led lemo dicti.
ram praeceriille. Concedo quidem sic retoonderi polle: Concedo ctiam nUmETOS
quos Fractos vocane, sive Fractiones, esle quidem Oni de Nulli quali incermedios.
Sed addo, quod jam cransicur cis atro gre. Respondetur enim non de Quot, sed
de Quanto: Non enim dicitur, Quos borae praecerierine; sed Quantum horae, Teu
quanca pars hora; nOn neou copac, sed nivor  cipas, seu noSUbeOr. PExTIHeE igIEUK
haec responsio, proprie loquendo, non cam ad quantitarem Discretam, Peu nume.
rum, quam ad Concinuam: prout hora supponitur elle quid continuum in partes
divilibile; quamris quidem hrarum partium ad cocum racio numeris exprimatuT
Ouanguam enim non recte dicacur pnser s’ceas nihil Borae, recte tamen dicitur
anstuiar cdear, nullam horam crantiisse, ne unam quidem. Idem dicendum est de
Fractionibus omnibus; verbi sracia, l (2) cres hora quadrances praeteriisse, dica
Tur; incelligitur, tancum hora praeceriille, quancum elt numerus Fernarius (tra-
CtioniS NUIETATOT) ad (eju sdem DenOminatOrem) Ouaternarium; Teu (quod idem
est) supponitur hora (uc quid continuum) in quacuor parces Gieometrice lecta,
harum vero eres tancum altumtas este, quae quidem RTICHMETCE NUMETANEUT. In-
dicac igitur Fractionis Denominator Geomerricam incegri in membra parcicionem,
Numerator vero calium membrorum indicacorum numerum seu Mulcicudinem
Arichmeticam: adeoque numerus Practus non cam Numerus elt, quam numerorum
ad invicem Rationis indicium. F. Ilque isitur num Numerus minimus, non aurem
vel Nnum rec anet Ctal

## Folio 28 — 851387705:0048
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000048.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
TuMERORUN
Numerora Locreatio. Numerus Maximus non datur.
Numerorum Nomenclatura; es ordinata dispositio,
in continua propetione decupla apud omnes gentes re.
cepta. Disposi haec Centium distributione antiquior.
nde orta.
Om Numerorum natura haec sic, ue unitarum mulcicudinem detignet, seir
1(quod idem est) ut dicant Duoties ponatur Vnicas, seu. Quot Onicaces ligni-
ticencur: pro varia Vnitatum mulcicudine, rarias oriri numerorum species necesse
Numero. El. Ouaeliber enim Vnicaris aecellio numerorum speciem vaciae.
assienabi.
nata dis
1e
De
Si isitur, ubi prius Nulla crat, ponatur Vnicas,
tic numerus sinectaris: Ii adhue addatur Unitas
alia, emersit numerus Binarius: accedat alia, e
extursit Ternarius: hic autem Unitare auctus tit
Quaternarius: quem eriam Duinarius unitate, su-
DeraE: e hunc Senarius: acque ita deinceps de
Septenario, Octonario, Rovenario, Denario, On
aenario, Duodenario, aliisque sequentibus dicen-
dum ell. Fltque hac rera numerorum Orisina-
esbuctio IcuProcreatio.
uis Duoniam vero Oniratum accestio in intinicum
extendi poltic; (nec enim numerus ullus adeo
amagnus est,s quin illi possic Onicas, vel una vel
Plures, adjungi:) est isicur impollibile, ut nu
merus Maximus altignetur, nedum omnes nu-
meri species. Ideoque quamris numeros dari actu insinitos, rel etiam infinitum
numerum, (hoc cl, qui terminos non habeat, sed omnes superet Limites,) lic im
Possibile: Cunc tamen numeri polsibiles Intiniti; hoc elt, nullus elt omnino ter-
minus numeris assignabilis, quo cum accedie numerus, ulterius augeri non pOTIE.
Duamris ixitur numerus Minimus allignetur Vnitas, non tamen elt astignabilis
nuMErUS Maximus; ut nec Magnitudo vel Maxima, vel quidem Minima.
Cum cor vero tuerine Numeri species: intinici plane laboris videri postic, IIla
rum lingulis distincta nomina vel invenire, vel ediscere, vel memoria retinere,
e in ulum depromere. Duis enim morcalium cor excositare valeat rocabula,
quoc lingulis arenulis (nequid aleius dicam) nomina luppeditarent. Quod liquis
tamen fecerie; etiamnum centies millies labor idem iterandus erit, nec dum quoc
OpuS CAE alTCqUetuT.
seeures
He isitur intinitus craderet labor, pro qualibet Enitatis acceltione nora voca.
bula cudendi, quibus emersentes numeri appellarentur: Rxcositaric prudens An-
positio ex tiguorum Casacitas, vel Dirina pocius monstrarie indulsencia, Methodum (nun-
nomen- quam mirandam latis) qua intinitam hanc numerorum rarictatem finicis numero
rocabulis, ec quidem paueis, delignare poltine; numeros scilicet, methodica di-
positionis, ope, ver Ciradus ee Periodos distribuendo: adeo ut paucis ommino
Vocabulis tocam numerorum molem, eriam mulca millia excedentem, latis diltin-
Decem primoribus mintlie suum cuique nomen indiderunt, adeoque Onum,
Duo Fria duatuor. ngum Scn Deptem, Octo, Novem, Decem, numerabant.
Delcips vero non iam Oullares numerabant quam OccacaS; VI2. Decadem
Onam, Decades Duas, Tres, Duatuor, uinque, Sex, Septem, Oeto, Novem, De-
cem; vel (uc concractius loquuntur) Decem, Vieinti, Trieinta, Duadraeinta,
Duinquaeinta, Sexaginta, Septuaxinta, Detosinta, Nonaeinta, Centum: Idem enim
valent
um pro-
creacio.
Maximus
umerus
on est
Numero
rum ordi
clatura.
apua
Catinos.
Scere raleamus.

## Folio 29 — 851387705:0049
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000049.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
LLdCRLALIONEC
valent Vieinti de Decades Duae; Friginta idem ac Decades Tres; d sic dein-
ceps. Centum vero idem valet ac Decades Decem, lire Ona Conturia. DC no
rum aurem Vocabulorum ratione polt dicecur.
Poltquam aucem ad Centum pervencum est, non tam Onicaces, auc eriam De
cades, quam Cencurias numerabane, viz. Centuriam Onam, Centurias Duas
Tres, Duaruor, duinque, Sex, Septem, Oeto, Novem, Decem: vel, concracte,
Centum, Ducenta, Precenta, duadrineenta, duinsenta, Sexcenta, Sepiincenta
Octincenta, Nonsenta, Mille: Idem cA enim Ducenta dicere, de Duas Centu
rias, Trecenta, idem ac Tres Centurias, 8c. idem vero Mille dC Decem Cont-
Turias.
Onum vero ad Nille devenitur, ipta Millia numerancur; nempe Mille, Ris
Nille, T’er Msille, ec. vel Mille, Duo Millia, Fria Millia, d lic deinccps ad
Decem Millia, Centum Millia, Millena millia, Decies millena mictia, Centie
millena millia, Millies millena millia, Decies millies millena millia, ee sic dein-
ceps in intinicum
Si verointer majores numeros, praeter justa Millia, supersine Cncuriae, auc
Praeter Cencurias, etiam aliquor Decades; auE candEM, PrXTeF Occddes, VnItaCS
aliquor; illae etiam lunc apponendae. VE li propOnatuE numeruS (2345) Bis millo
trecenta quadraginta quinque; est numerus ille duobus millibus majoc, cribus vero
millibus minor; ideoque excellus supra Duo Millia, adjunsendus est, nempe Fre-
centa, nec ita tancum, led d Sundraginta; de denique duinque
Sic apud GIrXCOS; DOSL MUMCTATOS dECEM pTIIOTES NUMeTOS, EV, Sio Telas TCo Apud
pa PIerrE FE, Exra Oure Errea, Aers numerantur deinde Decades,  FiNO, Lecunor. Gracos
rue, FcasaeNOI FAINOrT PEhNOrTa, FRSournorta OySonnortam Errernvorte Frarer utri di-
verhimonadum numeri, terminationibus tancum variaci, eoc Decades signiticant:
prouc apud Laos nta quadrasinta, dec. in quibus cerminacio sinta idem
valet quod Gracorum rorta, mucaco nempen in s (liceram ejuldem organi) quod
tamen redic nonnunquam in derivacis, nam promiseue dicimus Vicesimus de VI
cesimus, item Trigesimus de Tricesimus. Dende Craxiora, Tecandora, Tascnoora, TVer-
TUNOSIA, LCosa Trlaxoo Oxtanosa Frranoo ducenta, trecenta, quacrinsenta
oia lecaxoore ec. 2 Monadum numeris, son recas ec. Teu sis, reis, ec. cum voce
Enarr compoticis derirantur: ut Lacinorum Ducenta, Precenta, dc. d vocibus duo
Eria, _c. CUm rOCC Centum COmpOTLS. Duae seguuntur vero Chilindum nomino
Xinca Aroxinca Tecoxina, Sc. relpondene Lacinorum numeris Mille, Bis Mille, TC
Mille, dec. donec derentum est act miecu, souvpa dec. Decem Millia Visinti. Mil-
lian d lic deince
Apud FebrROS etiam non dispar ratio M. Nam pOst Monadum numeTOS Apud
IOY VDTI: WOW VSB WB BBN VZIN VZOLVO e Onum, duo tria, Hebrao
quatuor, quingua en septe bcto hosem decem: SCguMnEME, DVZO ∞ IV
 IND CDVBH DIDWGNVSW L OV NVDNCVN Vicinci, trieinta
quadraeinta, quaquasinta, sexasinta, sepruasinta octosinta, nonaeinta, Centum
deinde COTINI duCentA THAD: WWWW Trecenta, C IV DIa quadraeinta
ecc. uque ad Bhr mille, W DEX bis mille DBZN, ter mille, de lic de
inceps ad 133 decem millia, ec quae seguUnEUE.
Numeri aurem incermodii, tam apud Craeos d Hlebraos, quam Latinos, ex alio-
rum compolitione HOMMIa MICAHCMI, I.OV, W IW ,IWV WIBIOV VX
ersera, sustra recorgisera c. Maectis dubaccl tredecim, quatuordecim, dec. Cic
Eixoo Er, cixoor so ciroor rela .n unum disinti duo, vieinti tria, dec. Tie
XanioI SCaNOra TaPA, ducenca triginta quatu; S TELANBOIA TEEOSAPCNONTU NEr
bis mille trecenca quadraeinta quinque: aliaque nuerorum nomima composica
acque eodem omnino modo etiam in aliis linguis in utu elt.
Sulticiune igicur paucissima vocabula exprinenais Numeris quali intinicis. Ilae
enim duodecim voces, Omtm, auo, m guutao; quinque, sex, septem, octo, novem
decem, centum, mille, cum earum consugacis, lutticiune numeris omnibus expri-
mendis.
Oc autem haec numerorum ordinatio Facilius pereIBIAEIIE; ponatur lerteS PUM-
clorum quancum libet lonsa; Meua velo Puncurum accades scortim nocen-
cur, cocidem uncinIS MC quacum qua lIbEL Z BOLECE: Occem vero hujuF
modi decades conjunetae constimune Cencurium, quam indicat licera C; de (si
cousque

## Folio 30 — 851387705:0050
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000050.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
CiaP.
eousque extenderetur sertes) accem ceurra Colligatae constituerent MTiIIC. Mulco
aurem Faciltus elset lintz a Mussa, vel etiam lingulas cencurias, aut Decades nu-
merare, quam linsulas unitates: Faciliulque mulio mence concipitur ejulmodi
mulcicudo, ita in Decades e Cencurias dultributa, quam dum tocidem puncta in-
dileriminarim e contule ponuntur. Nec multo secus le res habet in Tacticis, ubi
milicum ordinata distribucio contideratur: Nam distribucis militibus in varias L C.
persentiseane vel exsequancur. Aute hactenus de numerorum consticurione et
Duo aurem hic in genere molend exiltimo; ec duo itidem inde obserranda.
Monicorum primum hoc ett; Quod quamris (ut Patet) Numeri vulso PFOPOE-
quaevis a pla dutribuantur; ita nempe ut decem Onitates in una Decade coll. Ean-
cur, decem item Decades in una centuria, ut ee centurix de-
cem in una Chiliade, et lic deinceps; Poruillet tamen alia
quaeris proporcio adhiberi; puta quacteupla, quincupla, Lex-
tupla, auc quaris alia. Ira series punctorum modo provolira
qua ex uno lacere diltribuitur juxia proportionem decupiam
in decades, e centurias, seu dccadum decades; adeoque con-
rinet unam centuriam, d lex insuper Decades, sepremque
Onitares: eadem ex alio lacere proportione quadrupla diltri-
buitur in Onaterniones, corumque quadrupla, et ipla ici.
dem quadruplata; adeoque conriner duos Ouaterniones qua
ternionum quadruplicatorum, ee insuper duos Quaterniones
quadeuplicaios, eum uno etiam Quacernione simplici, eri
tcrereran alta nonnunquam proportio aliquibus in rebus
ulurpatur. Sic enim in tractionibus (ULVOCANEUE) ACtrO-
nomicis, sire Sexagenariis; 60 minura quarta constiruunt
unum minucum certium; 60 minuca tercia unum lecundum;
60 secunda unum minurum primum; e coridem minuta pri-
ma, unum gradum, proportione concinua Texasecupla. Sic.
apud HlebrxoS: annus quisque septimus erat Sabbaticus; Sab.
bacicorum vero quisque septimus erat Tubilaeus: adeoque anni
seprem constimunt unam annorum Hlebdomadem, ee septem
hrebdomaces unam periodum Tubilaicam, fune enim sepeies
seprem (sen seprem hebdomades) quadraginta novem. Di
cetur Fortan, quod Tubilaus, non quadragesimus nonus, sed
quinquagesimus annus crat. Fateor quidem annum quinqua-
selimum subilaeo destinatum, sed inclusire, subilxeo nempe
utrinque polito in compurum admisto: eo scilicet modo quo
ludi Olympici quolibet anno quinco dicuncur celebrari (nem-
De inclusire) cum camen Olympias (ic revera Spatium quatuor
annorum, ut nomum est.
HToc aucem maxime perspicuum elt in operationibus AIBC.
bricis; ubiOnicas, Radix, Ouadratum, Cubus, alia que (uc lo-
guuntur) deincepspoceltares, juxta quamlibet provortionem
DEOPONUNEuT. LC aurem ille progrelsus poreltacum non nis
graduum in cerra ratione prosrellus. Ir in ratione decupla
ExIE DecaS, Radix; centuria, duadrarum; Mille, Cubus:
Decies mille, Quadrati quadratum, es lic deincers. In lexaze.
cupla proporcione, Ti minucum Ouarrum ue Unitas DOnatuF.
erir minutum cercium Radix, minurum secundum duadra-
tum, minucum primum Cubas, Cradus vero Duadrati. qua
dratum; ee lic deinceps. In proportione lepcupla li Onicas
Annum designet, cric Septennium (seu annorum (lehdomas)
Radia, Periodus Tubilaica Quadratum, etc. Atque idem ac-
eidir in qudtlbet proponcione allumpra. Oua de re pluia polt dicenda e.
Alcerum
F.
NUMERORAM
de menibra; tacile est iis ommibus ab Imperatore mandata eradi: lin promileua cur-
siones, Cohorces, Onaterniones, aliasquo ejulmodi partes, partiumque parriculas
Ouamvis
lia
proportio
adhiberi
Odinatione, prout rulso apileees alurvaneur.
ba seu mulcicudine àrintos contindantur; impostibile estur omnes imperia vel
Busque unitaribus.
posset.
LUIXIE.

## Folio 31 — 851387705:0051
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000051.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
in
ne
10
di
pue
1
101
10
11
un
Cap. VI.
lROBRLALIONLLC.
qualibet proporcione dispoluiste; tamen, quodmirum dictu elt, in cadem propor- tamet
Tione Decupla omnes ubique terrarum gentes mire conspirane. Neleio enim an ulla omnes us
unguam nacio reperta tuerie, quae numeros proportione Decupla non dilpotuit sunt.
Sic enim Hebraxi, Graeei, Lacini, hodierni Indi, Barbari omnes, eciam ipsi Ameri.
cani. Licer enim aliis aliquando proportionibus, aliquibus in rebus uli fuerine,
(prouc in ponderum Scrupulis, Cranis, Unciis, Libris; item in nummorum Dena
riis, Solidis, Libris, Sec.) Numerorum camen univertalis dispolicio proportione
decupta Temper, quod sciam, de ubique obcinuie.
Hlinc duo miti ridentur serio obterranda, ne quae maniteco inde CONSEGUNET: HLaC Nu
de quibus nemo, credo, qui rem paulo prestius penlicarerie, ommino dubitare pocerie merorum
L Cences omnes ab eadem origine orraselle, de quali ex Codem cruneo in varios ra dispositio
osdirtas. 2 Hlanc numerorum periciant de disposicionem illa Geneium distri. 
Carum
tiuu
butione antiquiorent Me. Imporsore enum omnito ridetur, de plane incredibile, distribu-
in duntes omnino ubique cerrarum Gences rel solluico quidem, vel ctiam ex Paclo, Tion an
in eandem proporiionem incidistene, nili ab eodem tOnce COmmuNI quadaM Ea- Liquio.
ditione derirallent. Seeus enim cur eandem porius numerorum disposirionem
quam eandem nummorum, ponderum, auc menlurarum racionem obcinerent; ne-
mo tacile dixerir: in his auiem quam intignis ubique de tere intinica lit varlas
nemo nelcit.
Oua vero de causa provortionem Oecuplam in disponendis numeris elegerint Ondé de-
receres (primi nempE NuErOTu dispototeS,) Pcus quam aliam quamvis, sua
cum pocuillene ad libicum quamlibet aliaut dehibuille; non nili conjectura vale.
Alierum corum quae monenda duxi, hoce; Quod quamvis Numeros licucrii Decuplâ
mus allequi, canquam in re omni memoria anciguiori. Si aurem conjecturx locus
Licu nulla mihi pocior occurric rario, quam quod propier Disicorum numerum illud
fecerinc. Sieut enim Mensurandirarionem ab iplo corpor amano delumpram este
constet (inde nempe desumpea sunc menturae plurimae, ut DIgIcS, Pollex, PalmUS,
Spichama, Pes, Cubitus VIna, Paltus, Orovia, C.) Inac ec Numerandi pariter
racionem desumptam esse, plusquam elt probabile. Ideoque cum sinsulis digiris
cocidem Unitares numerallene, necesse cst, ur, post inceoram decadem, denuo at
Onicace incipiane, progrediendo ad secunda decadis terminum; et lic deinceps;
Dolt quamlibet tincam decadem, denuo ad unitatem sccendo.
Acque hactenus Numerorum Consticutionem, ex Onicacibus; ee corum in pro.
Portione decupla Dispositionem, per Decadas, Centurias, ee Millia, cradidimus. Se
quicur ut corundem Nominum, Talre abc LaCIOS LCHHOIODIAM CCOrum NO-
racionem
cationem sire Scriprionem explicemus, adeoque cum APpelland quam Deseribendi
Latina Numerorum Loana a Craecis derivantur. Scla
Gaat putca L.tymoloziae passim immiscentur.
Umerorum Nomina quod attinet, corumque Erymologiam; non est ut in Numero-
um NO-
Nomina numerorunt apud Hebraos, sune, ni Fallor, (vel omnia, vel pleraque Hebraa.
Falcem,) Pure Primicira, ee ad placicum impolita; adeo uc in illorum orisinem i
Acque idem tere de Craeis dicc est: vel enim ea lingua pure Primitira Craeca.
et nec aliunde deriraca, (placet rocabula nonnulla ab Tlebraeis ee Rrabibus mu
taca,) vel salcem, Si alixe suetine olim linsua unde descenderar, illae nune peni-
tus isnorantur; adeo ut ubt a Craecam originem devencum fuerie, haud licebit ut-
cerius proeredi. Altnal quidem Plaso in Cracilo Grxeos a Barbaris vocabula
mulia accepilte: ac quaenali illa fverine, uc e d quibus mucuata, non nobis erit
LAFINA VerO NUMETOTU NOMIa OmMIa, a GrRCIS tuisle de lUIMPTa, CBO OmMIHO L atina.
exillimo; quanquam coruul aliquor ab corum orisine adeo vicleanEuT LCMIOLa, uI
agriuS
N omnibus linguis illud prosequar.
Gutrere superracaneum lL.
adeo tacile invelligatu.

## Folio 32 — 851387705:0052
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000052.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
DF NNUMERORUM
xerius agnoscanur. Nos a facilioribus exorH reliqua suo ordine attingemus.
Octo dicitur d Graecorum ovreo. HTinc vero octavus (oyso) Octies, octons,
octonarius, 56.
Duo a Craecorum No dicitur; Lieut et Ambo, ab aupo dicitur. (Inde vero no-
Ambo. Arum sao, sieut d Tribus, sex, septem, octo, noltra Three, six, seven, ciett; e
a Noveni, Deni, nostra nine, ten; Wili potius antiquos Feutones, unde nos illa
accepimus, haec omnia immediate a Cirxecis dicamus accepisse: ac Four e L’ive,
tam d Craecis quam Lacinis remorius abTunt.)
Fatinum Bis a Grxcorum dis deriratur, converso s’in B; lieue Bellum, Bella-
eores dicimus, quod olim Duellum, duellatores scribebane: (niti torte d Cirxco
Bini, bi-
narius, bi
Tarius.
Tloncuos dietum sit bellum, quod non exiltimo.) Sic Duonus, duellus dicebane
prisci, pro quibus nos Bonus, bellus: sc Bes, bessis, olim Des, dessis. videndi
Varro ee Scaliser in Varr: _ Fest. acque Merul. ad Fnnium.
A Bis vero Bini dicitur, ee Binarius, et Bisarius, quali Bi varius: vel Fortan
Bisarius, Trisarius, ecc. quali Muoe, recuor: muTatO S In Y, Ut in Z des, y. deoto
heri; rouos humor, cejoor porrum.
viginci. Sed _ Piginci (quali Bieinci, vel Biseinci) cerminatione d Gracorum norre de
Tumpra. Ouae enim Pacini Trisinta, Quacrasinta, ec. dicunt, Crxci recuvorram
reaaecexorra, _cC. CHCrUNE.
Sed ee iptum cinoo Graece, quati sinosi dictum puro; iptamque cerminationem
nosi (in cinosi) rancundem ralere ac norra in sequencibus. Nam quod terminatio
lic iltic n hric an non major est discrepantia, quam cum Latine dicamus Vieinti,
auc Frisinca. Duod illic aurem reperiatur s, AtC r, omnino hoc exiguum elt,
cum lx licerae sine tacillime commurabiles, (ut ab avirco, FIE FUtuTM, arioco, item
oeurta e qparo promiseue dicuntur, aliaque ejusmodi intinita; de quidem cinosi DO-
rice ciran dicitur; sic Aquam Germani W’asser dicunt, Angli e Belox W ater.
aliaque tunt innumera.) N vero, in terminatione norra, non Radicale est, sed
Epenchericum, ideoque in Deriraris excidic; eodem enim prorsus modo ab éixoot
FOrMAEUE cixosos, dC d recxoxra recaNOSOS. Sic d P atinorum Prie inta Formatur Priee-
sumus; amiston, ec t in sconverso, ul ention resina Quco, A. Ol. aoico spuo, quil co
sperne, de An8I. spurn. meto messis. Vr isitur pro ne in Trisinca, Substituitur
Tola licera sin Prisesimus; EiC Dro ur in terminatione porra, subltituitur simplex a
in termiinarione n9s1. S1C d neoym, ZIdEVEI _C. FOTMIANEU NEBSI, Zdeioc _C. SIC, pEO
cion natvai, ecc. dicunE DOres Ern, nntorti, c.
Fericutum autem olt illud, quod Lacinorum terminacio sinta per 8 fcribitur,
GrRCOrUM VerO nor Der n, earum enim literarum Faciltima est commutatio, cum
Tinc ejuldem organi; Imo ab iildem rocibus Vieinti, Trieinta, promilene dicimus
Sicesimus, Tricesimus, e Vicesimus, Tricesimus, (ut supra dictum est.) item
Vicem, Triceni. Sic Craece Taior dicitur qui Lacine Caius; e contra, a Grxcis
noSceraco ninre, tiunt Latina suberno, crenus, aliaque ejusmodi non pauca pastim
OcCurrunE. Neque omnino mirum est literas C. dt C promileue uturvari; Ouod
quidem tacile tieri porelt, cum literarum Cet C recte pronunciatarum, (nempe
IC CirXCOrumN _ Y) Tonus admodum aftinis Lic. Quamris enim litera ilta C et 
alios habene nunc dierum Ionos ance vocales F d L, quam ante , O, V; illud
tamen ancignieus obcinniste neuciquam est credibile. Nulla enim rario ridetur cur
Accipio, accentus, 8c. Dro Adcipio, Adcentus, Sc. TCriberentur; nisI UE POnIS
licerae D cransirer in sonum sequemis consonx, (ur cum corripio, collimo, commuto,
arripio, assumo, allicio, appono, attendo, affundo, ec. eteruntur Dro conripio, con-
limo, 8c.) ideoque si C ut S fonaretur, pocius ascipio, Ascentus, ecc. Scriben-
dum ellet, ue in Asseisco, ascendo, ec. Acque idem dicendum de licera 
Propier roces Aeser, Aecestum, Sussero, Suerestum, esc. nam certe Adeer Ad
festum, 5c. mollius fonareur, li G deberet eo lono proterri, quo nos nunc die.
rum proterimus liceram G ante F, e T, vel Arser, Arsestum, _c. si Gallorum
more efferenda lic. Nam mollior (qui dicitur) lonus luera C magnam habet
apud nos actinitatem cum sono lirera D, de literx Z. apud C allos, imo lonum hunc
in se continet. Nam verbi gracia, voX Fuxiter, quam Cermani Conant Tuxiter,
St autem d Bis Hat Visinci (mucaca licera B in V,) non mirum est, cum Y
contona, prouc nunc dierum eHferri Tolet, non aliter d B disterac, quam F vel
PB d ~, seu e a x, hoc c, ut lirera alpirara d lua tenui. Nam l literas P, B,
PTO.
Oct0
Angli Drupiter, Galli Zrupiter pronunciant.
Bis.

## Folio 33 — 851387705:0053
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000053.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. VI. NVOMTNIBUS L ATTNIS.
pronunciacuris spiritus incercepeus permittatur crumpere, Formabieur illic P, hien Vid
(PrOnC nempe F_ V nunc eHeriIUS.) Imo cadem LIIETA GEXCA Cira, ab Fra-
aliis Beca, ab aliis (sacis quidem barbare) Via dicicur; hine f de O in NSS. Etatum
Graecis Capiltine contunduneur: de Hispani sere promileue cum seribune quam de lo
ellerune b ec v: carumque licerarum altinicas maxima nemini non innoceleic. Hline
ela
A GrXCOrum BEnqua Hic Lacinum volo; ab Hlebraeorum 17 tic Ciracum RSiS, unde mea
uerum Lacinorum David d Davides, Anglorum David Cambrorum Dasia e Gram-
Derer: A Lacinorum liber de libra tic Callorum Lure; a faba, fobris, ec. hunt matica
Gallorum seve, ferre, Sc. Iiem a Lacinorum libero, cooperio, habeo, recipio, dec lineu
tiune anglorum deliver, cover, hade, receive, ecc. aliaque innumera paltim obter. Anolic
vanda sunc; ue non mirum lic D in Q commurari. Monet camen ex Salmalio sir
Gacaterus (quod nec mitri displicer) deduei posse Vicinci a Dorico cirari peo
cixos: praetixo Aolico Digamma, de in Lea Viton itos vitus, rorae canchus, ec
unde Helychio Pia, isca: FEap, Eap (VeF:) PIZ, arsu (viOIX HEIque) X In 8 PCr
ucarO uE in nel cobius, ninie CrenUS: n interiO, ut in ton L_INC, n ninSO
neirco linquo. Dua rectius torce seriberentur, Poria, ista: Peap, cap: cta, ardn: Per
Disamma Aolicum V.
Ve aurem a Bis Fic Vieintis SC d Fribus, Euatuor, dac. vel Y er Cpater, c.
tiune Trieinta, Duadraeinta Sc. terminatione ubique a Gracorum norru deducta.
Pariter apud AnSlOS, Zeveny, Thircy, (seu, uc loguuneur Scon, ZBrcety) For Priointa
eY, 8C. d T reaine, Three, Fom, 8c. descendune, addica cerminatione sy a vOCCBC
Lem uc videcur, delumpra. Sed progrediendum clt.
Tres idem est Lacine ac recis Graece: Acque hine ter, ternio, ternus, ternarius, Tres.
tertius, 5C.
A CraCOrum aera Lacinorum Decem desumprum este nemo dubicat, cermina Decem.
tIOnC a in e mucaIa. A Decem vero Formantur Decimus, Decies, Deni (quali
Deceni,) Denarius. eC
Sic ab EE, trrda, Tormancur Sex, Septem: spiricu alpero in s converso. Quod sex
facile tieri polles ab aliis derivatis abunde liguet. Dieunus enim ab 35 sas, ab Lod SepteM
sub, ab irae saper, ee supra, (ac in up ee upper, inde Forcasse deductis, s’icerum
excidie) sic ab eprco serpo, ab epuns (vel cieuos) sermo; Sic ab eieco (eCo) sero, se-
rui eo lentu quo dicitur serere sermones, de vario sermone serebant. Virgil. H. C.
loquebantur: acque hine dissero disserui: E.L ab eira (necto) tic sero (hoc elt juneo)
unde sercum, desero, consero: (AL sero, sevi, hoc c, semino, a avrisco dicitur.) lic
anro salio, E seu ads saus, on solus, hn sol, ans sal, unde d ounos satum; lic tan sytvan
ab auae vel ou lic simul; lic duocos simitis, (ubi cerminario sis servilis cll, uc in
Facilis, humilis, ec.) ab deco iecon ine sedeo, sisto; ab enco sequor; siC ab dnaros sum
mus, (mutato zos in mus, hoc elt, cerminatione supertacirr Graeci in cerminacio
nem superlaciri Facini; e p in m, cuptionia gracia, nempe pro supmus, summus,
ut ab invos somnus ee sopor,) sic ab nuor semis, et pro iu in compolicis Gracis lic
semi in compolicis Latinis, ne numinior semicirentus: Sed d pro spiricu leur non
nunquam substienitur s; uc ab cisus sum, (quod ab eiui delcendere, ex aliis personis
maxis liquer cum enim ab cis, e2i, esc dicimus es, est, estis, cur non ab ciui, corior
cioi vel DOT. Euui ejues err, sum, sumus, sunt.) lic ci li ur sin, (Hoc c, si vero
Eavse, ac si DEO sE nOn, CX si _ nE COMPONITUT.) ET anC CONIONAS NO TarO PEX
Figicur s; ue a reopo scribo, a 3néo, neeco, scalpo, seulpo, (ranquami d junqo e ysiq
metacheli literae a, uc eum pro nociros ee xporcess dicunus reptos ee raprcess) quanquam
ec ipla 3eoeo, napo rivo, ab Hlebrao 313 exarare, desumpra videneur, mucaro (in
Bollerioribus) 2 in 3: cui altine cA, 2113 scribere. Sed de his Fars. A sex au
rem de septem tiune sexies, sextus (quali ab Éxros) senus (quali sexenus) senio
Senarius, 8c. Trem, septies, septimus (nc Eesouos,) septenus, seprenarius. (c.
A GTACOrUM LIs, Ei, Erds, FE Latinorum OnuS; mucato e in _; quod iptum nOI
raro tic. (Acque hinc Unicus, de ultus, quali unulus, de nultus, quali ne ullus, ut
supra dictum ct.) Sic Eds, suus; ois, reds, tuus; onmnes, scopulus vanu nebula
d Mrerco tiune pdE, onoyds, e fuleeo; ab aunzo, auonyn de mule eo ab aulezco, auoern
Mca:  peireros vel veNio, mulceO; a  met de mulsum: 2 constrn funda
Auc torre diei postie Onus quali concacle pro Denus vel Wenus aue enus:
Nempe pro spiritu aspero rocis en, substicura contona V; quae olim (nOn rarO
Caltem, si non semper) mollius eAerebatur ne noltrum H; (quanquam Prisciani
tempore duriorem lonum acexra tuerat, quem et nunc dierum apud plerosque re.
cnet;)

## Folio 34 — 851387705:0054
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000054.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
DE NUMERORAM
Tinet;) quod ex deriratis non paucis liquer; est enim apud nos Pnum, wine:
Fia, a Way: Veni, venc: Volo, vellem, will, vould; volvo, vallon; ventus, vind.
vellus, Wooll; vespan a Walp; ec. Sire nurem dicat quis voces noltrares illas à
Latinis, vel potius tam noltras quam Lacinas ab anciqua lingua Feutonica de
Tumptas, (qua quidem cum Lacina porerit de antiquitare contendere,) perinde
omnino est; urcunque enim se res habec, attines illos fuisse lonos, non cst dubium. Sic
Pro Valens, Valerius, Ccribebant Ciraeei spans, soncecos, et a Ciraeo sai tic L atinum V ae
et Anglicum Wo, ret (PrOU aicebAnE vetereS, e etiammum dicunt Boreales)
vea.
OE autem pro spiritu a(perO praeponatur V, hoc Clt, ut pro Zenos, dicatur
Venus, Venus, Seu Wenus, facile concedi porelt; lic enim ab estos dicitur V esta,
ab Earcess esper; imo etiam pro spiritu leni; dicitur enim ab cicto (quod iptum
37) video; ab eadis, vestis: ab Eaico, esca e vescor; ab oivos, vinum; ab Erzeeor, ven-
ter; ab is, vis, (nili tortan a Bin,) ab cap vel ne, ver; ab ior, viola: Sed _ nOn rarO
interseritur V; dicitur enim ab cor, ovum; ab ois, ovis; d B5, B005, bos, bovis; d
raus vads, navis; d radCor, paulum, parum, parvum; ab aicor aevum, (unde etiam
nostrum are, et aec, nam yec s sunt apud nos literae admodum altines, ee Expissime
commurabiles;) lic a voco, novi; ab oyctos, octavus; d veos, novus; e ab erica, novem:
C Eera, FTiverna, Flibernia, Treland.
Ideo autem Onum, canquam ex Venum contractum videri possic, (porius quam
immediare ab eros, mutato E in _) quia prima (y llaba longa elt, quae, li immediare
tieret ex e, pocius esser breris. L’ortan dici Dorerit Onum ex d’er (per cratin)
concractum tieri.
Hlinc aurem ee Bonum diei Forre conjieias, quali d’en quod unum est. Plato-
nici enim omnes tormalem rationem Boni in Vnitate collocant: unde tactum est
quod Onum ex Bonum converti dicimus. Nam (I ex d’er FToenun, vel Venum
dicatur, ee, praetixo P Aolico, Foënum; disamma illud Facile in Bmisrabit, ut
tiac Boènum, unde et Boene, et (excriris inde e, hinc 0) Bonum e Bene, unde
e vellus pro bonulus, vel benulus vel boenulus. Acque hinc Fortan erenie, quod
quamris bonum ee bene lint conjusata, in alcero tamen o, in altero veroe maneat. Sic
forem de fore dicimus, pro fuerem e fuere, ab antiquo fuo, fui, quod d GFxco quao
descendir. P.X S’aurem tieri posse B, vel inde liquet, quod Bubulcus de Bubsequa
dicitur, pro Borilequa, a CirXCO B15 B0d5, L OliCC60F05.
HC quem vero terreat in Bonum ec Bene, Gyllaba prima brevis, quam exspecta
rent pocius longam tucuram li ab a er concracta diceretur: Sciendum cst regulam
illam, sillabas contractione factas lmeas esse, non ubique ratere; quod, ne lonsi
us abeam, in iptis forem, de fore, ex fuerem e fuere ab antiquo fuo contractione
ractis, est exera dubium; lic in sit prosiet, e multis aliis.
contra. Quod quidem quo rectius incelligatur, notandum ell, contractionem duolici
etio per modo heri, nempe vel per dailw, vel per npuor Hoc quidem, quando duarum Ly Ilaba-
onin, es rum rocales in unam sire rocalem live diphihonsum cocunt, ec quidem vel mutata
per on. vel non mucatae, (nisi malis illam ipesi, hane ousaiecon axpellare) ue (apud Ce-
C05) reixii reixer, re reixus, rexa re, _c. Fx Sy laba sic concracta eractic lonsa.
Illud aurem, quando, nulla vocalim coalirione facta, altera plane expulla, reli-
qua intacta manet, ut in EpovrE, oaurE, C. LiC in opcd. opc, opedir, opiv. de multis aliis;
Vel etiam ubi diphuhonsi rocalis alcera expellitur manenre reliqua, ue in Doricis
rurdes, wnte, wner, Ecc. pro nues, noes, nnem, es mulcis aliis. Ft quoties hoc ere-
nic, rocalis ea quae superell eandem quam prius habuis retinet quancitatem; nempe
si prius lonsa luerit, lonsa manet; sin brevis fuerie, manet achue breris, nec
propier concraetionem producitur. Sic apud FTomerum
Tlad. co. V. 88. 0p00 derr ngnEct ECS
Ody s. h. Y. 342.0500 necor Ed ECive - -- 5 DrO DBocO
Aliguando aurem rix aliud luperelt indieium per upaon an per dautir tiat contractio
quam ex quantirate vocalis qua Superelt, ut Bouc, Boa ubi dux vocales breres ac in
unam lorram a coaleleune; adeoque lia etiam prius ante contractionem tuissee
10ng2, perinde sere elletlire per upasir sire per daiur concractionem tieri diceremus,
tertiae lalrem nisi aliorum verborum analosia eorum alrerum porius luaderet.
Ouod aurem Graecis Familiare cst, illud de Latinis non raro usu venit: praeser.
contra rim in verbis certiae et quarcae conjugationis in io rerminatis, ut cuxio, fuzio audio,
nescio, est.
conjrea-
10
verba
Ft Ll. 8. V. 209. Soro enor RonaniaM. 

## Folio 35 — 851387705:0055
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000055.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
Cap. V
NVOMENTBOS
L A TENTS.
lecitis, lerunt, lecebam, lesam, lese lesito, lecerem, lecere, lecende lesens, ec.) di
cendum eller verbipracia, cupio, cupiis, cupiit, cupiimus, cupinis, cupiunt, cupiebam
cupiam, cupie, cupiito, cupierem, cupiere, cupiendi, cupiens, ec. dicimus camen
concractius cuxis, cuxit, cuximus, cupitis, cupe, cupito, cuperem, cupere, ec. nempe
Der dacitr prioris rocalis, reliqua Cuam quancitatem recinente; at cupio, cupiun.
cupiebam, cupiam, cupiendi, cupiens, ec. omnino incontracte: de similiter in iis
omnibus quae, eciam post concractionem, reputantur adhue tercia conjugacionis.
In reliquis aurem qua ad quartam conjusationem reteruntur, (quanquam de ca 9) uarta
omnia sinc revera non nili verba cercix conjusacionis concracta,) per nedoir plerum. Conjusa
que tucconcractio nempe andis, audimus, audiris, audi, audiso, audirem, audire, c
duabus nempe rocalibus breribus ii, vel ic per necon in unam lonsam 2 coalelcen
bus; ac auais (ultima breri) per daciter alteriusi, reliqua Tuam quantitarem bre
et er-
orum, est
Certia
vem recinence; nem audio, audiunt, audiebam, audiam, audiendi, audiens, ec. In. contra
concraele: de limilicer in aliis verbis conjusationis quariae. Verum de hie suam ca
lIbErEaLE exErCent POCtX. Nam verbisratia, Nescis apud Ovrdium habet ulci
mam brevem, quali sacitor pastum non pasir; e contra Nescis apud Jurenalem
habet ultimam lonsam, quasi per rpdor fieret concractio, non per dastir. ACque
idem accidie in abit, obit, perit, redit, it, nescit, pelit, 8c. quae apud poccas ulcimam
habenelonsam; imo de abiit, periis, rediit, subut, pro abivit, perivit, redivit, subi
vis, ulcimam habene lonsam, nempe v contona prius in u vocalem cranscunte
(quod aliquando tie, ue evoliisse pro evolvisse apudOridium, d Sylua Dro Sylua
apud Horacium, ecc. uei nocaric Cl. Gacaherus in cractatu luo de Birocalibus,) de
deinde facta crali duarum vocalium ii in i longam. (Exempla Siquis pecaL, ne
longustim, apud smecium quaerat; in suo quaevis ordinc.)
Hlis adjunsere licet poritur apud Visilium, e Ovidium (probatos autores) pe
nulcima correpca, quali datitr non nedoir (un in limilibus tieri Tolet) paltum.
Ovid. Mars videt hanc, visamque cupit, Docicurque cupita.
Sic pociretur, porturus, nequisur, dec. de quibus ride Smerium
Ouodantem de conjusatione quasta dictum est, de de secunda fere intellisen. Secunda
dum cric. Nam verba conjusationis lecunda rix alicer differune d verbis cercix, conjusa
quam quod in plerisque cemporibus (incellise quae a praesenri Formantur, non Lidr erbo
Iem qua 3 Praeterito) perpecuam fere paciantur cratin, nempe vocalis e cum le form
guenci in elonsum, puca doces, docebam, _c. Pro doceis, doceebamt, c. excepta contracta
cerria persona praelencis Indicaciri, ubi pro doceis tic per daiitur docet, ulcima brevi. tortiae.
Scd d hic Ita Aberlatem exercen Locta, nam vide apud Pertium de Caionem, et
CavO apud LLOTAC, dcua HabeHE Berem, (quod nocan Lubinus e ParnZ
Dius, ad Pertii Sac L. ver L. 108.) Sed ee vale apud Oridium, (de ejulmodi torrasis
alibioceurranc alia,) quasi per saiiur tieret contractio: sed ee servere, penulcima
brevi lesiur, quanquam a ferveo, quali ex serveere non reod sed Sntisa tieret.
Patemodo, ubi pro possiem, possies, possiet, pessiemus, possieris, pessient, (ex sient,
sies, siet, ecc. prouc olim leribebane, compolicis) dicimus concractius possim, posuis.
3c. duo illa possim, possint, perinde est sire per ihlipsin sive per cralin concracta
dieas; at possimus, possitis, per cralin, proprer rocalem lonsam; possit per chlip
tin, provicr ulcimam brerem; conca retost et siet concractum, quali per cralin
nescio, ec. Cum enim ad Formam cerria conjusationis (Zego, lesis, legit, lesinmus
VIrS. VI DOcIEuE; quid non ahalia pectora coeis.
non per chliptin, ulcimam productam habet apuc LMeretium.
Deterior sit ut forma inuliereula ametur.
Possis indilterenter nunc per hanc, nunc per illam; habet enim apud LTOraCI Fossis, ul
ultimam loneam, apud Jurenalem ultimam brevem, quati ille per crattu, Hic per lima an-
Thliplin CONTraXCTAT. Veriusque exemplum apud Smecium exleat (Librum PracaBO. ILI.
SIS latisnocum) hoc aurem co pocius moneo, quoniam audirinon ita pridem 
Prideauxium pargelru (virum omnisena eruditione retercistimum) immerico 3
quodam caxacum, quasi metri leses violattet, cum vocem possis ulcima correpta in
carmine usurpallee, quod tamen non nili recerum exemplo trets sccetat. 
quidem Grammaricalis illa regula, cui nixus ille hanC prOTLL centia e
quod Vlcimam lonsam habeane secundae personae singulares verborunt iit eo, quorunt
secunda plurales desinunt in iuis penultima producta, non side Stano lalIS aciil.
cenda elt, nec quidem Crammaciei omnes eam led nsvetlatlet pronunciane, quoc
quibus vacae facile collacio crammaliero rexechall. Verum quidem ett, quod dut
aba

## Folio 36 — 851387705:0056
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000056.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
simet.
NYUMEROR UM
labae illae longa esse postint, & non raro sint, non autem vel neceltario vel Temper
producendae: cum vecerum Poecarum autoriras (quae hic suprema lex cM) (apilti
me in contrarium cat. Exempli pratia.
Orid. Neleis an excedant etiam loca, venimus illuc.
(Nisi porins legendum sic Nescio.)
Turen. Tam jejuna fames, cum Dolsis honestius illic.
PErI.
 nec tC GuXTIVerrS exIra.
FTOrat. Intecer est animi, ne dixeris, ereo abi parve,
Juven. Accipit Fndromidem si dixeris cestuo, judat.
Viro. Verum ubi ductores acie revocarers ambos.
Juven. Graeculus esumiens ad caelum justeris ibit
Et similiter in aliie accidere, cui haec non lutticiune exempla, invenire poterit 
Smetium contulat ad voces, concluseris, curtaveris, sustaveris, juveris, oraveris,
piaveris, postederis, spectaveris, spreveris, tentaveris, terseris, viceris, videris, 6.
Ft quidem non modo in cempore Prateriro modi subjunctiri, (ubi volune Gram-
matiei secundas pertonas plurales penulcimam ancipitem habere,) scd de in tem-
Dore tucuro, (cujus secunda plurales penulcimam semper habene lonxam, uti
iidem tradune Crammatici,) ultima lecundae lingularis ur pluximum corripicur
(contra quam docet allegara regula) et non nili raro admodum (exira politio.
nem) producta legitur. Si quando aurem dubium sir an rox ejusmodi ad tempuis
praetericum an ad tucurum reterenda Cc; at Palrem ubi sensu imperatiro usurpatur,
ad tuturum certo certius reterendum erit (non enim jubemus praeterita sed tucura)
acque eriam ubi Flypocherice aliquid alteritur sub conditione rei achue tucura. Sed
de his tractenus.
Summa huc redit, si ab d er vel Por dedueatur Lacinum Boenum de Boene, ee
contractius (per ihilipsin alcerius rocalis) Bonum e Bene, erit nihilominus uxO-
vique primabreris. Ouod si hoc duriusculum censeatur, non contendo. Sunco
bonum ee bene, at antiquis dusmum e duene, (ut duellum bellum) acque txc a Deo
(ut apudnos _BOD _ HODD TUnEYOCES COSNAEX,) Deus autem d Ocos, transeunre D in
du quod laepe tic, uc indeo caudeo, idu fido, aedo perdo, erder inde, eder, eser, under
nstr, lic Dipa DBDE, die DeeF, Dozums DauGBEeT, Edas (aber) WdveT, Eev opds (ruber) reD,
ruDOB, airados BENees BExnSOS, g000 vetter beHt.
Ab eodem aurem chemace Er, Formaneur semet, sinculus, e simplus, item simplex
(quod non dicitur, ut rulc scalieer, quali sine plica.) Nam eodem quo ab auae
vel sui tic simul (prxetixO s PrO SpIrIE alperO, de adjuncto Terrili 1 Finali: ) lic
dimoler ab er, semel, v incerim in m converso, (nili porius ab axos dictum pucemus, quod
Simplus
Tonice pro os ulurpatur.) Aesemel _ simplex ejuldem elte originis, nemo dubita.
bic; cum Tyllaba plex sit manifelto adrentiria, uc in duplex, triplex, c. ut e plus
in semplus, duplus, triplus, eoc. quibus respondent Craeorum amvs, smus, egc. NOn
enim annis dicitur relaba scentmco, vel ab a Srrasmo, sed vel quali aunos, ab auds
unus. vel ab a porcoi figniticanie, seu sineularitatem, ut vule Rastachius; ut in
eue cor, astns, e ruscop, ajunantos, anoirIS, enogos, aninarros, axonudus, ecc. Auque huc Facie
quae habet Fultachins, dum exponit ajuscoe, quorespios: anozes (qua  anoirIS) u
ncurgos: Ouid enim aliud elt quojaspios, susnenleos, quam qui communi (hoc ett, uno eo-
demque) venere teruntur, aut lecto concumbune. Nam communionis norio eriam
Onitatis seu porins Fdonticaris norionem ineludit. Sic e anas, anus, ee torre auds,
_ ninc apa, quos, ous, ouoros, uE _ sapuS, unsauos, quali nullies. Terminario vero
ns, vel elta minco, uc Fultachio videtur, vel est paragosica, ut rult Firmolosicus.
Sinculus Flis aurem sineulum ec sineularem cognata esse paret: quae ab erinos dicta videantur,
Sincer  ut siun frieus, neverra frieeo, num. pusil, nbum summi, nuBceraco cuberno. Sed _ sin-
cerus eriam dicitur ab er e repelco Leu neperrom misceo; quod iplum de anepaur signiti.
care putarem (non tam ab a syensncs quam ab a porcstr Tigniticante;) ut id nempe
Tirniticent quod ex plane Tlomogeneis conslatur, ee non ex raria mixcura: nec
quidem masis dictant roces anepaces sincerus, quam aecsreis sinister, (ubi e IM n, vE
in éscos Venus, caorpia Fispania, lic céenos Tenricus, quod nos LTenry, et Tlarry
dicimus.) Sincerum aurem quati sine cera dictum esse (quod Scaligero ridetur)
mihi neuriquam placer; partim quod ipsa praepolicio sine in compotirione nul-
quam occurrat, led iplius Fortan loco nonnunquam praepolicio inseparabilis se, ut
securus quali sine cura, rel seorsum a cura;) parcim eriam quod hiaec omnia sim-
plex, simplus, sineulus, sineularis, semel, simuli similis, sincerus, cognacae cam ligni.
ticationis

## Folio 37 — 851387705:0057
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000057.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cad. L. LIOMLAIBUS
 L1a10.
ficationis quam originis elle nemo merito dubitare postit; in omnibus nempe
Onitas quadam seu sineularitas, lire, quod tancundem valee, communitas qua
dam seu TAOnHTAS IANLICUE: AC qui sincerum dictum pucant quali sine cera, de
simplex quali sine plica, non iplitamen dicerent, credo, singulum dici quali sine
suta, auc simplum quali sine pilo vel polo, auc eriam vocibus femet, simul, similis,
ejulmodi nusacorias deirationes attiperent. Sed progrediendum elt ad ca quae se.
quunET.
Ab errea dicitur novem, uc a reos novus, (uc supra dictum c,) cerminacione Novem
item mutata ab a in em, ut d sera decem; E item Ceu (yllaba er a principio pereunte,
quod eriam in aliis Deriracis (praelercim uti ex una lingua in aliam transieur)
non raro tic. Sic ab expenao dicimus spend, ee ab extraneus tic Callieum estrense,
ec nostrum Strance: ab FEospitale, tic Tcal. spedale, de Anelicum spitle, quod d
Tospitat e Lostet dicimus, nempe Zenodochium: Sic ab spiscopus dicimus
Bistop: ita iedyco ructo, Epcuos remuS, Eed. dos rubor, eudpor rabrum, eecorcd, roeo; sic ab
auinz mulseo, ee noltrum milk; ab auands, varos, mollis; ab oreirc vel dreicon tru-
do; ab uos meus, ab auousaros, asparaeus, sparasus; ab asre aster de Siella (quali
asterula:) ee nostrum serre, Teu starre; ab auacos aunros, aunrie tiune meto, messis,
mestor; Pro avovees obscurus, auaves obscuro, infusco, dicuncur per Aphaerelin
Vavess, pavpbco unde Lacinorum Maurus de Mauritania; a zâna zanarios (quali d za
NaC) hac lactis; d p IX p, V5 dinn sivaus: a oversorn. funda; sic apud iplOSOFRCOS
dicuneur promisene zaia ec aia icem Eu, EuoI qe e pie uon ue item nas, de dras, lic
Suxvs _ asuzus; raves, d aroves superbus, de alia multa; sic es e Eds, ovre ee TaVrE
veiros e exciros, pans d apanos, lic gaséees aprai (TIt. F. 1Z.) PEO raSEpES Pasai HOc
elt rassivasro gulones: Atque apud Tonas e Poccas augmenci de reduplicacionis re-
jectionem lapillime tieri nemo neleis, uc cum ninor ee ensutos dicunt prO ennor et
BCanrOS. A novem aurem Funenonus, quali novenus, item nonies, novies, de nove-
narius, c
Ab erarir sic centum: dempro d Capiie e, lut in errea novem) d Epencherice in- Contum.
TertOn.
Hujusmodi aucem Epenchelis literae N, vel MI (prour sequens contona pala-
cina tuerir auc labialis) est trequencistina. A nnnos tu campus; a V ID Sindon; a 193
tampas, lampacis, ec quidem nauro: e pro Flebrao Dases nocistimum elt Chaldaos
ee Syros lapissime sublticuere liceram Num, (non modo ubi Dases est absentis Nun
vicarius, sed de alibi.) Sic etiam live d BI sive d nnte Fic nunavor sympanum: lic
co pairco ee parracha: d ruco xcirco, ex tendo; d nnco tundo; a acicto, overcto: ab a z0c
axvou anso, de aneor, aneoris; quod angli ale de ach dicune: ab eyis aneuis, (ubi
X in e crantie un eyxenve aneuilla, un earn ealbanum, Banrdr puleeium, kapustor C ar-
Taeo orve ovozos uneuis e uneula eec.) d meruco pateo de pando; d eco, quco, gorco fundo
Cubi e X in sconvercitur, lic d oiyvos confusio, d goiros funis de finis; sic in zoin fel
on Aos, Ancopis Llora: Chloris eram quae Flora vocor, Ovid. Fast. e zouos fumus
nili hoc ultimum porius a ducir acolere, unde Dipara de dotuera sussimenta, de docur
Famieare, suffire, D in f, ut in deuo sio, sussio: diers A: OL. diees fera, deeco ferveo, deeude
formus, dpacon dpasico frio,) lic d gil co cousor scindo de finco; led d d gis co gr. sunccos, Sicut
e Aneli, eodem signiticatu, d Iplit, splinter: a axcisto festino tic opersom funda, celte
rustachio: a ncizo lingo; a neimco linquo, ab circo inquio, (ubi x in q cranlie, quod
Cape HI uc post dicetur) a Ccoza junso, (ubiE in ) crantie, ut Ecl5 Jovis, Fupiter
vel Toupiter, hoc el Zovis pater, Eos nunie uc dicimus Marspiter, Diespiter, Liber
pater ecc. Sic Insula Zocorora, ad Mare rubrum posica, unde _oe Zocotrina nomen
Torcitur, d naucis vulso dicitur Facatra: item Succus, Tralice suceo de sueo, Fispa.
nice Xueo, Anelice jurce, qua omnia a sucendo dicta:) IIud aurem n’in tundo-
Fundo, scindo; findo, pando linquo, lineo, juneo, ee limilibus, advencirium esse
inde magis liquer quoniam in deriratis trequenter excidic; diemnus enim surudi
fudi, scidi, fidi, ligui, ec. e a pando, passum; d jeneo, jueum, juealis, conjux, con-
Jueium, ac. C L naZ HON MOdO MD CCIEuE, Sed de liquor, liquidus, Cunde liquido
e siguet ee Anglicunn, qua quidem omnia ab Flebr. Iei vel von delcen-
dunc: sic Prieinta, tricesimus, a rslanorra recaxosos, uc lupra dictum est.
StC a oraco (ctanan) sron. e de scando, de scata de onaruros, quod ideo
Pocius moneo, ue Geometrica vocis onaanros originem obiter cradam. L’Ormatur
enim oraamros quali d oranos vel orarao, aur ejulmodi aliqua voce (cui Lacinorum
scula videtur altinis) quam d orcsa ret orgu tacile descendere polle nemo dubua-
bic

## Folio 38 — 851387705:0058
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000058.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Mille.
DE NNUMERORUM
bic; ejusmodi enim terminationes praeter radicis substantiam Patis Frequenter acce-
dunt, ut in ip (O onarsnor, auap ZCNOS, ScoNOS, Ssonana, SictoNaNINoS, SiSaonanCior, (9C.
Patis patet, Lic ec ab duos, quanos e arcoponos; _ ab cinco circNOS: A onanos verO vel
oxandco, vel ejulmodi roce alia, Facile tiet ononnor, ut d Maysuna Maysantin: SiC
rasa naolvor, item sanlun (Pustachio celte) a jeneco quod iptum a jaico (unde et
indeco gaudeo;) ut autem ratco reheco, zannon, (IC oreil co ononaco, onaalivos diei posTunt:
Pari modo et avdszavor, avapzaroco, avopzdrcosis, Lire a avasdaro live a avasrâco: (Ic e ab
Epror vel Epaco dicuneur asanEos, EpzaNEior, opzavor, Eprärn: Item d sapis, saguan e sapu.
niros: lic d neuco neco (uro) tiunt nanor Chienum) ee ninor jaculum lieneum, icem rnacor
_ unncoretor tolleno. Nec quicquam in contrarium luadet vocum signiticatio:
Conus enim ille Scalenus dicirur, qui crectus non c, sed magis in alteram
Partem propendet, hoc est, claudicat; quid enim aliud est claudicare, quam non
crectus incedere, sed ad lacus alterurrum inclinatus? Acque eodem plane sentu
Friangulum illud Scalenum dicitur, quod aequicrurum non cst, Sed, propter cru-
rum inaequalitarem, in lacus alterum inclinatum. Sic etiam ab eadem clandica-
tionis sive inclinationis notione, roces scando ee scala non abludune; in plano
liguis incedir, non ille scandere Led ambulare dicitur; quod aurem ad pervendi-
culum crigitur, est illud rix auc ne rix scansile; adeoque illud Tolummodo scan-
dimus, quod elt inclinatum sire acclire: liquando autem crectum illud sic ad
cujus lummum ascendere relimus, illud Scalae inclinata auxilio faciendum exit;
ideoque naeq so orazen scala dicitur, eadtem ratione qua naeg. ro rniver raipo E. Sed de
one con ongnnros, et seando hactenus.
Et autem n vel m adrencicium non raro inseritur, sic e contra n vel m radi-
cale non raro excidie, ut ubi Hebraeorum Nun trantu in Dages: e ab Flebraeo
Nimrod tiunc Ciraeca NeuSpaoros ec NpoS (interro B ut in uibnconai uconubecor) 
apud Jolephum, Nabscocus, extrito p radicali: ut litera n vel m (Paltem inferta)
minor ratio in derirationibus habeatur.
A Centum tiunt Centies, centurian centenus, centenarius, centuplus, centu-
rio
Or aurem ab craror centum, sic a zince Forracte millia diei poceric, mutato X in
m ut cum a reezo in Aorilto secundo tit espauor pro ereazer, _ inde spoos: quae
tamen si Tormari dieantur tanquam à speuuo et non a neezon Paltem crune speuo e
reczo cognata. Sic quem vocant Crxei Lancobor, L atini facobum, Elilpani fag0,
Galli faques, hunc lcali Facomo appellant, _ nos Tames. Deinde cum X et e
quamris non ejusdem orsani, sint tamen licerae inricem commutabiles, (ut supra
octendimus, in geiros funis, quco (20dlu) fundo, ouuois confusio, aico cgisor findo, (c.)
ipsa 2 e B cum licera n (ejuldem orsani) commucari polle aliunde liquet:
dicimus enim a surern damnum, ab inos sommus, Tic ab inaros (vel ror) summus;
sic summitto summoveo, Dro submitto, submoveo; item nonis multus (nisi Forlan
2 vana vel panisa a in un Ut in ranco tulo culi, npaneon crapulau spazanco strancule
arnonos uneus, decupbos triumphus; ac Talrem pusta et non apud GIFXCOS, CuNE Lam
cognacae significationis, quidni et orisinis; quam apud Latinos mulcum e plus:)
nonira polluo (nisi Forlan, a nanciuvr contamino, unde mads caenum, lutum; vel po.
tius d porro, sive prorsus e uo, unde lutum e lues, e Forralte abluo, deluo, ec.
ne dicam dituvium, illuvies, collavies, pocius quam à lavo, quod est alterius conju.
Pationis: ) Sic urees pars, (vel ureumque Fortan d D73)) e voisa Parca (niti DO-
EiUS, ut Cacakero videtur, d rparc unde nececra itaque videntur olim Partae
dlietae qua nunc Parca: inde PFoperr. 1. 3. et. 4. ubi nunc parea legitur, reteres
codices habere perhibentur parta; Opiima mors Parta qua venit apta die, 1. +n
moegutn Scalis. Plarum aurem cerria, quae Ciraecis arsonos, Larinis prileis est Morta
dicta, a corpa live cipapram unde e cipoputen. vid. Ccll. l. 3. C. 16. Mors certe d uo-
es, Ut a mindos plebsu a pdios mens:) lic ab arenos tiunt auonos, panos d molls; d
vainos matus, (vel tortan à varos, mollis, ienavus, ue nanos d zalco recedo, sueio, e
contra ab dens aeem unde ee ars ee virtus, nisi s iltud a viro, quod à 7 22 une
qui reline, malim c80 2b apus rel asolu:) sic e DOr. nsa apud et post: TIC a
Bords mons, (nisi quis dici malie montem d verbo minere, quod apud Lueretium
reperitur, unde e mina murorum; à minendo aurem, sire eminendo, mons mon-
sis; Tieur, a pendendo, pons pontis: d prominendo, promontorium quali prominum-
torium; acque ab eodem verbo mineo orcum habene illa omnia emineo, immineo,
praemineo, promineo, non aurem a maneo; d maneo enim non emineo, led emanea
tabe.

## Folio 39 — 851387705:0059
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000059.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
Cap. VI. NOMINIDUS L ATLNI8.
habetur, unde de emansor dicicur.) Sed de ipsum in aliquando simplicicer prae
tigitur, ne eum ab aens amros tic MarS, Martis, (de Fortan ab ar, non modo sat
ee satum led de mare,) lic ab acolu mas maris. Sed e p, in operco porriso; (nili
Docius a porro aco, uc porricio, perro jacio, hoc est, projicio; vel, quod ego mullem,
2 POrrO reCO, PrOPter pracericum porreri, ad Formam direxi, sirrexi, correxi, e
non perresi ad tormam satesi, peresi, redesi, ambesi; iptum autem recO, nON taI
a re aco vel res ago dictum credicerim, quam a Peuconico Tcu Saxonico antiquo
rice, quod dominium live reenum lignitieae, quam vocem adhue recinemus in
Bistopricte, hoc CA, Fpiscopatus, live oinci Episcopi dominium, inde aurem Vid. no
reeo, rex, reenum, resro, ec. voces enim Latinas non paucas d Feuconieis origi s
nem duxisse, eso nullus dubico: non nesem tamen reso ab oéczco dici; e, in im
in
ram-
mat. L. in
perandi ligniticacum ab àsx.) Sic aeco paro, apres par, aistco pudeo, ilon pubes, enae An-
ubrebos plumbum, Va no
Verum c8o Aille de Millia, pocius d pveu quam zinca deducerem; (nili po
eius rox sic ab urrisque contlaca; nam principium pouus vecu extribet, de linis
XNa:) nam a e p tacile ETANFIMULANEUT. Sic perinde diciemr neclaros de ribavOS:
parum de paulum, ulrumque d ravees: Sie exaincor scribunt Grxeer quod Lacni
Racellum: reapo e maxo voces Tunc altines HErAqUC d 31D, Tic onanuos scanmus, d
oraipc salio, Feymologo clte; sic Willchnus Graece Ineuos leribitur; cavceia ispa
nia ee Lispalis; lie puer puellus; tener, tenellus; pulcher, pulchellus; liber, li-
bellus; aliaque mulca. Sic a Graeco nciecor tic P arinum litium, de tortan ab ciess
vel cecor vellus, (quanquam Vacro de Plinius a vellenao volune, unde vulturam
contura priorem probatum cune: torcalse tamen a puis vellus.) Sic ab Fpistola,
Apostolo, Capitulo, dicune Calli Fpistre, Apostre, Chapitre. Hinc decancatus ille
Alcibiadis Franlilmus, a pro e pronunciancis; quo nomine ab Aristophane irri-
decur in Vespis, Fir AESs ci coeis ve rononS Onas; Géconos rluo nepasbud non
nos exen cum dixiAet, ceas. OEvess ru replus noeanos exe adeoque ThCOTO, PrO
capite Corvino (hoc ∞F, nirro) Adulatoris capue cribuit; Palle quidem de pro
more luo. Ec quidem R e J in omnibus lineuis facile invicem commutantur,
uc nocat doctissimus Caulabonus ad Pertii. Sac. 5. verl. 22
Numeros Ordinales quod aciner, illi 2 Cardinalibus dexirantur ONCS, praeter
Primores duos.
Elicanae.
Primus nempe, quali Proimus, dicitur d Gr_CO cecorS, mutata nempe TerMI- PrimUS.
nacione supertaciri Graeci in cerminationem Lacini, hoc elt, ros in mus. Vel
etiam (quod eodem recidic) a Graeco we Poerice csais Ee Lacinum prae, indeque
prior de primus. Hloc enim dicere mallem, quam pridem, prior, primus; cum
vor pricem videacue idem esse ac prius demum: vel faltem prae cum expleciro
dem CompOticum; ut in idem, ibidem, itidem, identidem, tancundem, de limi-
libus.
Secundus aurem d sequor dicieur, ue oriundus ab orior: Ouod aurem per C Teri secundus.
batur, d non per qu hoc nihul est; cancundem enim ralent: lic a qui dicitur
cujus, cui, vel (apud Plautum) quojus, quoi; a secus (adrerbio) sequior; a se-
cus (praepolicione) sequester; ab cinos, cincnos equus, aequalis; d persecurio, se
cutus, SC. PrOmieVE SCTIBUNEUE DET C eC qu; lic cum de quum, aliaque multa.
Duo salcem reltane Numerorum nomina, nempe Quatuor de Quingus; quae, Quaruer.
quamris d Ciracis nominibus longistime recedtane, inde tamen Orta pucO. DuaruO
enim Craece dicitur reaases, Aeiee resseis d reroes, Poerice leu porius Aiolice norpis
(apud Hlomerum II. X. d Fortan alibi) item ninpes de géropes, (unde Petorritum,
Elaceo, d rotarum numero,) exinde Cambrieum pedceur; Armorieum peuar (celte
Bocharco) de Fortan inde Anslicum forver, quod tamen Feuronicae porius origi
nis esle duco. AC d movsa, vel nestara vel reropu ad duaruor, non ita disticilis cAt
cranICUS; mUtatO nempe r in Eu vel C. Ouippe cum ROles dlICanC neoS PrO is
_ ne PIO Te quidni pro mreu aue reroso dicau nese ce hiné quatuor. Ostendi
mus aurem supra succurales n de X cum iplis labialibuIS a3 6, 8, (aUC qqua CaNCUIN-
dem valenc) aliquando commutari; lic a goiros. Fic finis de funis; d’iiscon scindo
de sindo; d Xecos funco; a xan fel de vilis; de contra à neimon linguo; ab encon se.
quor; ab incon inquam; ab innos, equus; d nspuco vel necco quaero, (niti sic ab
Hlebr. I, guero, de 2 V,d 2 quaeso; dempio B, ut in Ceez rico, esconorodo) liC Gatal
menco, nano quatio, quasso, _C. EL reVeTa pauCILTIIE OCCUErunE voceS Lacina.
per qu scripcae, quae non apud Gracos vel per x vel per r (carius per n vel x niti in
Aolica

## Folio 40 — 851387705:0060
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000060.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
VF
NUMERORAM
Aolica dialecto) Seriptae reperiuntr. Tra enim a iovon nosus tot quot; et novos
quotus: Tic e rioor, neoor tantum, quantum, (inserto et Lpenchetico;) SC a ner
quando (unde Anglicum rehan seu rehen, vel, ut Scori scribunt quhan:) lic 2
qud; in qua; item roios, noios, talis, qualis, in quibus terminatio alis elt advencitia,
ut ee in aequalis ab aequus, (EIeur cirrnos ab cixos, et quands planus, ab duos similis,
par, Sic auaprcono5, sictionanos, isnnos, onercnor, ec.) e terminario ilis in similis, ab
ouoios, quod ipsum ab cuos, quare de Craca terminario otos serrilis elle appDaTCL;
Sed e Fiumilis ab humo, (quod iptum d ruuai unde et z dapanos humilis, ut àz05
axdos, Vananos, pandanos.) Facilis a facro, LTabilis ab habeo, (unde ee FTabitus, ut
ab égco vel gu EE15 _ geors,) Aeilis ab aeo, aliaque multa, terminationem serrilem
adleicune, prour lupra l in simul e semet serrile else diximus. Sic et d n que,
a ns quis; lic ab edic esca e vescor; e contra tolleno (quali colleno,) a unncoreBV.
Sic Aoles ong. et dnona, prO ore et amore, dicebant; sic apud L acinoS otium, neeo
tium, spatium, nuncium, vicium, esc. promileue vel per s, vel per c, seribuntur;
unde licerarum + ec attinicas magna colligitur: quod idem paret apud CFraecos in
cevra oeizco, cerza aiporum cosunru aliisque verbis ejuldem Forma, ubi F in E, X yr v
Conrercitur: Ita etiam promilene dicimus uspiam e usquam, nuspiam ee nusquam,
quispiam et quisquam; unde eriam maxima aftinitas lirerarum p et qu’ulterius
Patet; adeo ut non mirum SIE d zéroso, vel néroeas diei Quatuor. A Duatuor vero
tinne quartus (UC ZraeroS) quater, quaternio, quaternus, quaternarius, eg5.
Ouinque. Fademitem opera oltenditur, et Quinque derivari polle a lerre AIOL. ms
unde ec nuco _ nunos: Policis nempe proner quin, e prO ZEque, (UE nas pro
nos _ nc PTO 7E) adeoque à nivno quinque. Aeque hine quinius leu quinetes
(uJos) quinquies, quinus, quinarius, etc.
IIta dux, vocum duatuor ee Duinque Pymolosix, utut d Crxeco longius rece-
dere videantur; in eandem tamen eunt lencentiam, non modo Bochartus jam ci
tTUS; Sed e Possius in Fermolosico Tuo nuper edito; (Dost prinam hujus cdirio-
nem;) et, quem ille cicar, Salmasius; ne plures nominem.
Acque ica ostendimus Numerorum nomina Larina d Craecis desumpta ese; quan-
quam illud in nonnullis rix adeo probabile primo intuiu videri postic. Sicui
rero hac in re nimis prolixus fuisse ridear, aur etiam d lemita deriasie, cum haec
Grammatica sint porius quam Machematica: Spero ab illo me veniam facile impe
traturum, Ei Paltem incellisat me numeros ex prosello hic loci non Mathemanice
tantum, sed e Philologice cradendos luscepisse; parcim quidem quoniam velcio an
quispiam ancehac illud Culceperir; parcim eciam quoniam legitimi mei Auditores
(quibus haec primicus parabantur) non omnes cousque in rebus Machemacieis
verlari tuerinc, quin opus lic nonnunquam aliud aliquid lalis instar seu condimenti
interspergere, quo melins quae arida lecus aut licea nimis videri polline tacilius de-
gluciantur, neque vel palacum oftendant rel stomachum moreant. Ouod aurem
nonnunquam prolixior sim et in exemplis copiolior, ideo factum est, quia non-
nunquam derirata a Tuo tonce eousque recedant, uE, nisi maena exemplorum co-
Pia illud erincatur, non estet adeo pertuatu faeise ullam omnino cognationem in
veniri: quod de Quatuor e Duinque prieserrim dictum incelliCacur; quanquam et
alia aliqua prima forlan tronce rix suam tamiliam Patis indicarent. Neque hOC
quidem mirum, cum illud omnino utu sic compertum, ur, ubi vox aliqua ex una in
aliam linsuam cralara ese, dexivationum leges multo line laxiores quam ribi intra
eandem linguam manendum est. Acque hoc in Lacinis d Ciraecis deduetis eo ma-
gis accidir, quoniam non tam ex puro tonce Graeco leu dialecto vel Acrica vel T0-
nica (quarum trequentior ese utus) quam ab Aolica adeoquo omnium impurilsi,
ma dialecto ur plurimum ducta lint, quod agnoteunt omnes; vel laltem a Vorica,
quae e ipla d Communi laris deAectie.
Contra vero, liquis minucioribus hisce (pront videri possint) delectacus, am
pliorem mellem optaret: contulac, si libet, Caninii Grammacicum Graeam (apud
quem olim me hujulmodi non pauca lesille memini;) vel pocius (ne multos no.
minem) acutistimi Cimul et Venerandi Senis Th0. Gacateri noltracis opusrpinsora
or (qualia sime iplius omnia) quod adversus Sebastianum Plochenium de Arlo
novi Instrumenti inceriplic; apud quem (in prioribus prxelereiim Capic lis) mulla
hujulmodi reperiat magno acumine seripta: ubi quidem in muleis nohilcum con-
sencie, atque inde alia in nostrum usum, Si opus eller, exempla mucuari possent,
nili quod ea perlegere non priusmiti contigerit, quam quae supra habeneur, leripea
Fuerint;

## Folio 41 — 851387705:0061
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000061.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Cap. 1Il. Rombo LiAITAIS.
fuerine: quanguam ee ex illis aliquor non disticeor a Claristimo illo viro, meique
amaneistimo, me primieus didicille; Oui (magno licerarum damno) anno jam
proxime praecerico 2654 fulii dic 27. (Doltquam haec Seripca erane acque ab illo quidem
ecta de approbaca, ancequam publici juris tierent,) relicta cerra caelo poritus elt, oub.
Genarius lenex.
Acque tactenus de numerorum nominibus diximus. Sequitur Numerorum NO.
cacio live Scribendi rario, proximo in loco iradenda.
A F
Numerorum Notatio, per omnes Alphabeti literas prae-
Stita Tlebraers  Graecis communis.
JOmetorum Nocatio, sire Describendi ratio, non omnibus una est. Ouamvis Noratio
L.N enim omnes in hoc consenciane, uc Numeros Characterismis quibuscam, bre- seu N
vicatis pracia, deseribane, quo etiam calculus tacitior cractar: Gences camen varia
varios etiam lcribendi modos adhibuerune.
Hebraei, aliiq; Oriencales, in describendis Numeris, Alphaberi Laieras achibenc: Pri
un
eseri
s
moribus nempo Alphaberi liceris Onitatum numeros exprimunt, 1 n 17 1 4 3 Z _ Hebr aos
sequencibus deincops, quoc opus elt; numeros Oecadum, XO VO 3D 6 3 de can
dem reliquis Concurias; N W 7 p Reliquos vero numeros cencenarios (quia non
Cuperlune plures Alphaberi licerae) delionane licerarum quinque characteribus H.
nalibus Y E)C Y auc etiam liceris compotIIs pNI FIT. WTI. 7YI pN
Numeros aurem justis Oecadibus incerjectos, conjunctis liceris indieant:
numero nempe decadum subjunsendo numerum adjunctarum unitacum; ut _ 33
Ac ubi numerum decimum quincum describune, pro e, Scribunc 10, (hoc cHL, pro
decem ec quinque, ponunenorem ee (ex) ne scilicet Nomen Dei, itis liceris ex
Drelluum videantur remerare. Sic pari modo numeros jultis Cencuriis interjectos
conjunetis liceris deseribune, ut Xp 137.
Millenarios vero numeros ee qui sequuntur, iildem quibus Vnitates, aue etiam
decadas, cencuriatve, liceris desionant; leritortalse punctulo, discriminis pracia
distinctis;  ie de siquae supertune cencuriae, decades, auc unicates jultis miltibus
incerjecta, Tubjunguncur earum characteres uc 1,1dOE, 1655
Graeci eodem pariter modo quo Elebraei numeros delignane; primoribus enim apua
Alphabeti liceris Monacas detignane, sequentibus Decadtas, de ulrimis Cencurias; Graecos.
Millia vero iildem repeciris, lericulo puncto vel rirgula diltinetis: EC nUMCTOS
incerjectos liceris conjunctis.
Sed ee propter literarum detectum, ires characteres praeter Alphaberi ordinem
interserune: incer monadas unum, alium incer decacas, ee incer cencurias reli-
Quum.
Fmonuor C, vel 5, (qui character est vel ro sigma finalis, vel lirerarum or,) nu. C. 5
merum Senarium delignat. Inseritur vero hoc ordine (pocius quam monactum
characteribus reliquis postponitur) loco Hlebraorum I; uc sublequences litera can-
dem poceltatem obcineant quam eis homolosa apud Hebraeos: puca, UtI ee C,
item B den, neenon D ∞B, icem e 1 (e lic de careris) cundem numerum de
Tionent; quod secus non tieret, cum Graeci, loco Hebreorum Vay pullam ha
beant liceram, (Falcem non pari lede Politam,) Lacini vero eodem ordine resti-
LHCFUNE LIMMIL,  LE Disamma) quod tere cancundem valet; imo
omnino idem Fortan lonabat olim, c ip(0 1 Vau HebrxOrum, et Lacinorum
sicere lice, duplicem olim tuille Ponum consonx Vapud Lacinos: aliquando ille
qui nunc dierum auditur in qui, lineua, suadeo, ubi idem Ponac ac re in rvise, way,
perscende; aliquando idem cum Anslorum V, in have, save, vaine, vice, ec. Quare
apuc
Contona, prouc nunc a plerisque (laste AnSlIS) harum ueraque pronuncia.
Cuc. pronc d dixamma Kolicum Lolum prostumelatum tuille cestatur Prileianus:
in CajuS locum non raro lublticuitur apud Lacinos CONIOna V, ue quum ab divoc.
ois, Aoliee Poiroc, ot1s, tiune Lacina Vinum, Ovis; aliaque ejusmodi. Onde con-

## Folio 42 — 851387705:0062
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000062.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
LumoRuM NOTArIO Cap. VII.
apud Graecos aliquando seribitur per B, ut in Bpinios, AaBid, aliquando peruv, ut
in sahcesos, sanns, quae omnia Lacine scribuntur per P consonam. Sed ee eriamnum
Cambro Britanni (e olim, ni tallor, Anglolaxones) feodem modo elterunt quo
nos consonam v, nempe ut b alpiracum: Tonum vero quo nos e alii plerique
nunc elterimus svel o, illi per f scribunt. Ouod aurem de Lacinorum V eon.
Cona dictumelt, dici toreasse porerit de Flobrxorum P’au, nempe iplius olim fo.
num non tuisse in omnibus e apud omnes constantem; cercum enim ielt (ex fud.
22. 6.) non eundem tuisse apud omnes sonum litera W, et quare non ec caclem
elle postet in litera Vau varietas non rideo: acque nunc dierum Arabes quidem
e Perla literam illam uc nostrum re pronunciant, et Turca ut noltrum V.
Character aurem hic 3 nongenta detignar, quem oarri vocant, quali ex literis
C. (inverso) en, nempe siema (quam Doresoar vocant) e Pi, contlatus, vel, I
libet, ex antisiema (sic enim D, live ligma invertum, appellant) e Pi. Ouan-
quam revera iptius aliam porius suisse orisinem existimat Scaliger; nempe ab HC.
braeorum seu Syrorum antiquo charactere licerae l zade.
Pro Nonaginia verO POnItuN ZG; undle tgura Lacinorum G vet C. deducta est;
anciquis Latinis ignora; qui Ciraecorum r per C. exprimebant, quam literam tertio
isitur loco, uc Cirxcorum zaponebane. ib Dicebatur aurem Kon na Teu Kophe, tan-
quam ab Flebraeorum ec Syrorum oph: Sed e Antirrho, quasi Rho invertum.
Ab hac tigura dicebatur apud Ariltophanem Ennos nonnanas: a praecedente vero
oaupipas Tire oauropas sire oannisas: (prout hoc aut ilo characteré MOTALIS CraL.)
De ucroque videacur Jolephus Scaliser, in Tuis ad Pulebium Animadversionibus:
quibus dierectionem lacis lonsam de anriquis Graecorum lceris inlerui. s deoc
Pro G vero scribitur a nonnullis L, aut etiam y, vel calenique si (idem nempe
character scum illo senarii numeri) sed perperam, incuria nempe librariorum.
Trem pro, eadem incuria, lcribitur nonnunquam m. Vterque antem errox (pO.
nentium 5pFO G, et m prO ) non raro in libris impreMis retinetur; quod propter
ayporum inopiam tactum credo; cum enim reros is Bos non habebant, iptis quam
prexime similes subltituerunt: xodem nempe modo quo in libros iam Manu
Tcriptos quam Imprellos (sire propier Scriharum ignorationem Characterum FTebrao.
rum, Cire propter Pyporum defectum ) iTrep(IL errOP iIlE DONeNLIUI TIL LIE PEU MI MI PrO
nomine ,: Quomodocciam pro IHC L PC, rel ins xes, (quo pacto Ciraco
concracte sexibitur inoes ge15os) Tubltimerunt Larini ihe xpc vel ilis sps, quibus in-
nnitur Tesus Christus. Sic apud Juriscontultos, Dicestorum libri, Graece ravstwra
dicti, hac noca vulso citantur f, quae d Craeco n detlexit. Smiliter, apud coldem,
ubi, pro nova clautula designanda, Parasraphum adseribebant olim, (pro quo
jam norum inchoane vertum, retento camen Paragraphi nomine,) pinsebant 5 (ab
Slitera detormatum) Sectionem eodem innuentes: Pro quo noltri demum Lesi-
Ita substimunt (Sseminum) vel ss; proteruntque (quid aliud Cignificet nelen)
Der scilicet.
Acque haec, de modo scribendi numeros Hebrais Graecilque mogis uticaco, dicta
sufticiant: Cujus specimen aliquod hic apponitur.
80 B
4569480 5
100
200 
300 V
400
9 900
D
2000
Y 3000
1 1000O
l 20000:
5
si
1658
IdE
RartuIS

## Folio 43 — 851387705:0063
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000063.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
Parius autem cam Febrat, quall Cta eh literas Alphabelt concnua lerre adhuen
ad rerum vel Numerum rel salcem Ordinem desisnandum. Sie enim FTomeri Iias
_e Odyssea in libros distinguuntur. Rc eodem modo apud tlebraos, e salmus
CXIX in membra, aliique in Periodos videncur distingui Sed hac Minuase Susticiat.
Superelt. alius Numeros scribendi modus, Graecis item utatuis, Komanorum
mori non abtimilis, per aliquoc laltem, non omnes, Apabeu a u
proxime agendum ct.
Cap. VIIL OA PUIDOHTEBR LOSS eEC
Numerorum Notatio, per aliquot saltem Aphabeti literas
praestitan Graecis e Tatinis communis: F.F, cur illa
potrus quam aliae, ad hune usum selisuntur.
DRaecer illum quem superius cradidimus Numeros seribendi modum, crac etiam Notatio
L alius a Gracis ulicatus; non per omnes quidem, led selectos quoldam AIpha- alia Cra
beti characteres peractus. Sex seilicet literis M. X FI. A. IL L. numeros omnes corum
detignabane. M desionac pera, seu decies mille: X Xinca seu Mille: IL Enarer.
Cencum: a seram DCCEM: EE HerZ, Ouingue: L vero er Onum Ouories au
cem plures vel Onitaces, vel Decades, Cencuriare, auc Millia apponenda Tunt,
illud liceris bis, cerre, quacerre iteracis indicatur. Ouum vero ad Onina deren-
eum est, illud licera sI innuitur; haec enim licera, simpliciter pota, Ouinque de
nOtaE; at incluso ∞, (hoc modo (1)), Ouinquasinca; inclusoHI, Ouingenca; in-
clusoX, quinquiesmille, ecc. Oua de re rideatur Herodianus ab Hen. Suephano,
ec Joh. Scapula, ad Lexici calcem ediens.
Eodem plane modo Lacini seprem liceris Cuos numeros deseribunE. MI. D. C. F. X. V. I. NOTaHO
Litera M detignat MIIIC: D, Oningenta: C, cencum: L, Ouinquaginta: X, L atino-
Decem: V, Duinque: P, Snum. Numeros incermedios, aliquorum rel conjun- rum.
ctione, vel repecicione (sieur ee Graci) describunt. Nonnunquam tamen Lacini
(Sed non item Crxei) numerum minorem majori praeponentes, illum ex majori
auterendum nocant; unde IV, IIZ, IX, XIIZ, ZIZ, XL, XC, signiti.
CanC 4, 8, 9, 18, 20, 40, 00. Acque idem nonnunquam in numerorum appellarioni-
bus faciune; dicune enim undevieinti, duodevieinti, pro octodecem, novendecem:
que
Sexcentesimus quadrasesimus nonus deleribendus cset; hoc Graeci SIC PCragCTeNE
ZIE HAAAAMLLIL: Lacini vero hoc modo NDCXT. IX vel oriam sic
CHDKDCKLEK.
Lacini, pro M, numeri millenarii noca, nonnunquam sic seribunc cr3, e hujus
dimidium 13 pro guinsencis: deinde ceroo pro decem mistibus, ee hujus di-
midium p pro quinque millihus; icem cecroos pro cencum millibus, ejusque di
midium 1333 pro quinquasinta millibus: sic CCCCFDDD pro millenis millibus;
ee lic deinceps.
Focius hujus Nocacionis Specimen hic apponitur.
Et 20000 CC10D (I
100
X 1000 CLS.M TY
TF
5000
ln) 5000O 133
+
AI
ITII
20 XX
30 a
AMITIT T9 XIX
la
AAa
2600 40 al.
90 XC
edelet q
30 D. 23
600 DC.
100O ML. CTD. c
ARXK 406O MIMMM
5600 130.
6000 133C
(1)LL
u
M
1000O CCKS
50000 1533
2000OO CCCLSBE
200000D aLLSSS
10000000 cts
Tlarum

## Folio 44 — 851387705:0064
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000064.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
Selecta
o
quaa
NAMEROROM LIOTATIO Cap.
Tirm. Flarum rero literarum numeralium valorem quamris intelligant plurimi, corum
rum nu- dmen rationem pauci lune qui animadrertunt; Lacinarum praeseriim. Imo qui
meratium Cx Protello ilarum rationem redeere conantur nonnulli, porius nusas proterune
quam veras rationes: Ouas namen ego exagitare non operae precium judico. Lesat
qui velie, Tulium Scaligerum de Causis Linsua Latina: Flermannum usonem
de Ratione Scribenai; Venerabilem Bedam, oliolque: qui, quamris rationes red
dere COnantur, cur Ex Pocius quam aliae litera numeris ligniticandis achibeantur.
uc plurimum tamen mihi neuciquam latistaciunt. Alii, quos non contului, For.
taltis meliores reddant. F8o incerim, omissis aliis, eas quae mihi maxime riden.
tur probabiles, breviter producam.
Ouod ad Crxcas liceras avrinet, non est cur mulcum haesitemus, cum earum ratio
lacis in plerisque pateat.
M ppra, X Xinia A SEna, _ PI nerre lionitieant, quia vocum illarum licerae lunt ini-
Eiales. Trem, cur H, inclusis literis a, H, X, M, harum ralorem quincuxtum extri.
beat, Pacis liquet, cum iptum rnumerum quinarium delignet.
De Solis lieris II _ L quaestio rectat; quarum illa Centum, haec Unum in-
dicat: cum nec rox eneror, nec eis, ab illis incipiat, sed ab P. utraque.
De priori dicendum elt, characterem illum II (prouc Cencenarium numerum
nOcaL) non tum esle figuram licerae Pta, quam spiricus alperi. Iam antiquiores
Craci, ancequam rocales longa n et co Alphabeto acceslerane, Spiritum AIperum
co charactere designabant, quo jam Lacini ucuntur: Spiricum aurem Tenuem
omnino omitrebane, uc ee P atini etiamnum faciunt. Ellque rerera ipla vox lta
ab TIEbrXOTUM CBeth desumpra, et eundem in Alphabeto ordinem rerinet, ut et
Latinorum I. (Paltem s loco Bebraeorum Pau Lubsticuatur vel stionuor C, vel
Aiolicum Disamma, et Lacinorum P.) Postea vero eadem litera bilecta F I A.
Suras utrique Spiricui suppeditabat; pars nempe prior Spiritum Asperum, poste.
rior Teniem, delienabat. Tandem vero illae, quas nune habemus, Spirituum
note, ut expeditores, obtinebant,. Anciqui isitur, non craror, sed Henaror scribe.
bane; unde character ille inirialis detumptus clt, II, numeri Centenarii nota.
Ouod ad reliquam, qua superest, tixuram L actinet; adhibica fuit illa, vel
quod tam Spiricus Alper, quam prima lucera rocis eis, ipsi communes essent cum
roce Engror, ideoque proximam qua sequitur literam I alliimplerunt, qua signi-
ticent rocem eis, adeoque numerum primum Peu Onitareme vel, quod ipla rox
eis anciquitus per nudum L seriberetur, ance inventam diphrhonsum en quae For-
Tan serius, quam numeris Characteres primitus aptabantur, inventa crat. Vel etiam
quod io, ias iors dicantur pro eis, puas Er: vel denique, quia simplicistima illa d
minucillima licera, (aorozeauuos nempe, ee uniea lincola conttans,) Facillime omnium
pinseretur; qua ratione, etiam nunc dierum, qui omnino rudes lunt et azedpparoi
adeo ut nequidem lireras intelligant, numeros camen urcunque describene cori-
dem forsan in pariere lineolis crera vel rubriea duetis quor rellene innuere uni
tates. Nec quidem hoc apud Cirxcos ee Latinos tantum, religuosque Dovulos. Oc.
cidentales obrinet; sed ee in libello quodam Chinensi idem se obserralse dicic Ca.
cakeruS; pasinas nempe quacuor primores ita desienacas; primam lineola unica .
secundam duabus s), tertiam tribus (II. quartam quatuor (III: sequentes vero aliis
characteribus distinetas. Ipseque in rariis Codicibus Chinentium comperi simili-
ter lincolis noraras Onicares; ec quidem Decadlas duabus lincoiis decullaris. F. AIque
haec de Cracorum characteribus lufticiant.
De Lacinorum aurem liceris inon adeo Facilis est ratio. Prater duas enim M
et C, quarum illa Mille, haec Centum incloar, aliarum oriso altius petenda elt.
Liceram isitur M dicimus ad numerum Millenarium indicandum achibitam,
quia ejusdem licera est initialis. Sed addimus, iptius tiguram aliam aliquando
tuisse, ec etiamnum elle, quam quae vulso adhibetur. In libris quipre Anglicis
Beloicis, Cermanicis, aliisque pinouiori eyporum torma imprestis, occurrie pastim
iltius licerae hic Charaeter B; rocundiori nempe Forma quam in cypis Ttalicis
Gallicis, Fispanicis, tieri Colet: Anriquiores vero Anglo. Paxones hac forma Peri
bebant v. _ quidem in Libris Manuseripeis cujuscunque sentis reperitur passim
Fatinorum litera M majuscula rocundiori forma exarata. IIujulce vero licerx
Crocundiori, ut dictum est, Torma Scriprae) semistis posterior, licera D limillimus
elt; quam ideo adhibuerune ad numerum Guingenarium indicandum, nempe
Millenarii dimidium. Sed et hanc et illam, non anciqui modo, sed et Recenrio
F
Apud
CraecOS
M. X
d. 1l.
Cat
5.

## Folio 45 — 851387705:0065
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000065.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
at
ACa 4C08, a.
res nonnunguam in membra diridunt: nempe, pro  e D, TeribunE CT3 _ 13:
priorem vero nonnunquam ee hoc modo c; uei in libris non paucis apud Belgas
Praelercim (sed de alibi) impressis videre est.
Lateram vero C, cencenarii numeri nocam, anriqui Romani sic Seribebanc L,
(quadrata scilicer torma,) uc ex antiguis marmorum de nummorum inscriptioni.
bus constare dicitur. (Onos imitantur quodammodo expi Germanici Anglicique
pinguiores P.) Hlujus quadracae licera semiltis interior iplam liceram L.. H. eHicit;
quae isicur ad exprimendum numerum Duinquagenarium achibetur, nempe Cen. L. 2
cenaru dimidium.
Ad numerum Denarium exprimendum adhibuerune, non liceram D inicialem:
(guoniam crat ea quingenarii numeri noca, uc supra dictum eAt,) Sed liceram X
quae contlacur ex duplicata Licera V Seu A; utroque enim modo Ouinarii nu-
meri noca antiguitus seripea fuie.
Frac aurem V licera, Ouinarii numeri nota; vel Force quia ex quinque punctis
conslari videatur.. Vel quia iplius figura inverta  (qua ctiam nON FaTO,
apud Antiquos, numerum quinarium denocac) ad tiguram Grxcorum litera Et
(quinarii, apud illos, numeri nocam) proxime accedic; (quippe nulla L acinorum
licera ipli est similior:) Vel etiam quia vox Duinque antiguItS per CV SCrIPCa
Fuerie, (anrequam licera 9 ad Lacinorum AIphabecum acceACrAE;) quarum pri.
ma C, cum sic cenrenarii numeri nora, non poruit adhiberi, ideoque sequentem
Valtumserune. Exlam vero liceram O, recentius quam reliqua licera, ad AIpha-
vecum accestiste, non else dubicandum existimo; uc nempe illud signiticet quod
conjunctae licerx CV; (heur de  X, idem Ponant ac g es:) adeoque ipta
licera V, quae nunc pro more licera O Subjungitur, omnino redundar, cum iptius
Fonus in ipsa  Ucera ineludatur: (prone concendic Reverendus Senex Thomas
Gatakerus Anslus, in tractaru quem edidic de Diphihongis, sive Divocalibus:)
secus enim lirera  ommino esser superAtua. Nam uc sua consticic ulcimam Cyt.
labam in roce linsua, ec sua primam syllabam vocis suadeo, lic de cua idem Co-
nac ac qua in voce qualis: vel iritur redundat u cum O cancundem raleat ac
Ca; vel ipta licera Q omnino est Tupertua, de perperam Alphabeto interta, ut-
Doce quae non alia est quam licera C. Ft revera, non modo Ponus litera 
sea de iplius character, constatus videtur ex CV, nam 9 et  Tolo Cicu ditte. c69
runt. Rodem prortus modo ponebant veteres liceram R pro C A; adeoque PrO.
miscue Klendas de Calendas, item Artaeo d Cartaco, item Krissimi d Carissimi
(quod in NSS. (apius comperi) mulcaque istiusmodi: quanquam nunc dierum,
tam A perperam subjiciatur licerx IE, quam V licera : adeoque tam K quat
Z DEOUE nunC uTurPantuE, Prorsus redunden, nec aliud quiequam FOHENE quan
C; non nego tamen hunc scribendi modum jam olim aliquando obtinuilte, ne
que tanti Forsan res est ut nunc mutatum irL ATeNUE UrSCAUS. AE Falcem C0.
dem, si non majori, jure dicendum eset, Post Q non soribitur V, de Post K nOn
scribitur A, acque dictum est, Post X non scribitur S (nempe quia sineluditur
in litera X, quae ex es contlatur:) nam pariter absurdum est diceram A licerx R
inclulam, auc V inclulam licerae , repetere, iptive R vel  Tubjungere; ac
iplam liceram S licerae Z inclulam eidem denuo repecitam subjungere. Sed neque
haec regula universalicer obtinere debet, acli polt X nunquam scribenda ellet licera
S; quamris enim illud secus obcincar, tamen quories praeter iptum Sliterae X lin
clulum, aliud sequatur S juxca rocis analogiam ipsi subjungendum, nihil impedie
quo minus adjungatur, Prout in modernis eypis accuratioribus tieri consuerie
Idcoque melius exscribo, exsurso, exsisto, exsto, exsulto, eoc. per sSeribuntur, quam
excribo, exurzo, exc. line s. Ouamris enum s’in x includatur; nihil camen ab
Furdi leguicur si geminum) adetse aet; alcerum nempe praeposicionis ex, alie
rum rocis sequentis: Sed de eadem de causa assto, asseribo, asscendo, asstipuloi, c
vel deminum s, scribenda lune, (alterum nethpe selo ablentis a alcerum vocis
EguentS,) non minus quam assume, assureo, assntio esc. qua ab omnibus per
deminum sSeribi Polene. Nili malie quis verobique liceram a selere, nusto ad
Sumo, eoc. Sic de exsul, exsihum, vers lcribenea Tune qua ecn lonL Ot
sinis ac praesul, consul, consilium, ejusdem (credo) cum exsulto, exsitio, d voce
Satio. Sic a exsemplum a voce similis; diemus cum Anglice cam ensample quam
exsample de samplar, unde liquer liceram s’raciealem este, de non cancum ad PeX
policionem ex percinere: p vero Epencherice insericur, ue in rocibus exemprus,
redemptus,
C.

## Folio 46 — 851387705:0066
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000066.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
O Li+I, G U, R IS
redemous contemptus, ec. _ B, in CrXCIS. uEVBIOru NeV EnCoNA, DEO pENCNS 
uonura lc e pcoipsecn meridhes, quati nconppior contracte pro econvipior ue et in
Anglicis (vel etiam Callicis) assemble, dissemble, resemble, semblance, à Lati-
nis simul simulor, similis, sici ab humilis, tremulus; toune humble, tremble; sie
chamber, tender, cinder, a Calliois chambre, tendre, cendre, cum lamen Latine
dicamus cameram, tenerum, cinenem Cic d Cimmerius tuc Cimbricus; Ec ab arcessi
per Syncopen avess Fuphonice arspes. Ntam rerera literx m es ncum sequenti-
bus aliquor consonis (praesercim leory) rix coharent nisi pole illam incerreniae
b vet p, post hanc a aut L. Sed haec obiter.
Reltat alia Ts cujus rationem reddituri imus.  Ea nempe, ut Cirxci, RIC RO-
mani Onitatem indicant; atque hoc Faciunt Romani vel quod Ciraci sic prius se
cerinc; vel, quia licera haec minima quidem clt ee simplicistima, ue es supra de
Crxcorum P diximus.
lincolum simplicem L: pror unitato secundi loci, hoc elt Decade, duas transver-
Pas, seu literam X, (hujusque semissem V pro numero quinario;) pro unitate
tertii loci, hoc est Centuria tres conjunctas, seu liceram E, (hujulque semissem
C, pro guinquasinta:) e deniques pro unitate quarri loci, leu Mille, quatuor
conjunctas lincas, nempe lireram M vel D, hujusque semissem D pro quingen-
cis. Ec quidem (uc supra dictum est) Sinenses hodierni (credo et antiquiores)
Nonadem per Lineolam simplicem, I: Decadem periduas decullatas, F, delignant:
icem Duo, per II: Vigincis per F. F; e in aliis pariter.
Acque tractenus de Numerorum Nocatione per liceras Alphabericas dictum cs:
superelt, ut corundem nocationem per Ziphras (ut vocantur) Saracenibas, ex
plicemus.
C
et denique, tieri porelt, ut pro Onitate simplici, live primi locl polet
5113.
Numerorum otatio per Ziphras Saracenicas, sive Vul
cares Fuas Numerales. Ciphra quid; ejusque va-
riae enationes Occulte scribendi modi. Siclae e
BdRacet eo5 quos lupeuS CacomuS Lumeros delcribendi modos per AIpha-
L. beri Fiteras; alins achue maximi momenri luperesetradendus: Aahrbicis nempe
vulsaribus tiguris Numeralibus; O. T. 2. 3. 4. 5. 6. 17, 8, 0. quas Z iphras Saraceri-
cas nonmulli dicuno; de quibus nunc agendum est. 1
Vox Ziphra (vel sisera vel sipbra, vel ciptra variis enim modis seribitur)
cR. plane Arabica. Sed non uno temper codemque sentu usurvatur. Descendere
videtur vol ab TTebraorum BC saphar, (uei Schinalero placet, in iplius Dictio-
Sile di nario Pentas IOrtos) quod Sonumerare ligniticat e describere Cve notare: FL, qui-
dem lid priori lignitieati descendere putetur, signitiearet proprie notas numera-
rias, quo sentu norem illas tiguras numerarias siptras Saracenicas appellamus:
Eaurem d Polteriori, quaslibet etiam alias Noras vel Characteres rei alicujus Due
vocisque vel eriam litera indices, quo sentu furtivas literarum notas, ad occulte
Teribendum inventas, Ziseras appellat Baprista Porta, uc et alii. Vel, l ea deri
vario minus placeat, deduei potelt (ec, credo, rectius) ab Arabico DX Z aphara-
quod vaenum esse rel inane signiticat, uti docet D. Gotius in Lexico Tuo Arabico:
adeoque de nihili Cire nullitatis noca praecipue incellisenda erit.
Nox illa ab Arabibus ad nos delata, pro certa cujuldam Numeri Nota, Peu
charactere certi alicujus Numeriindice, pastim occurrit; quo sentu decem illa,
nunc vulgo recepta, tisurx Arichmetiea rocantur Fiphra, Ceu Ciphrae, aut Si.
phrae. Nonnunquam tamen, es quidem Frequentius, non de illis omnibus, led de
illarum uniea,erox illa dicinir;Nempe de Circello, Nullitatis Peu Nullius noca:
 litter
0
Notae quomodo cogerunt apia omanos. Notae A
Ciphra
quid 2
cuu
cetaa d quous inventae.

## Folio 47 — 851387705:0067
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000067.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
cc.
10
eit
da
Cap. IX.
N U M F R A L F B U 5.
Cunde de metaphorice, de re seu pertona inucili, nacoruisus dicitur instar ciptorae
tanquam nullius numeri:) Acque hoc quidem sentu laepius de apud alios, de apud
nosintra occurrit.
Nonnunguam aucem vox illa lacius patet, ue non cancum decemillas, quae in Occulte
Arichmerica uturpincur, sed simpliciter quastibet vel licerarum vel eriam vocum scribende
auc rerum Nocas, vel brevicatis vel etiam occulcationis causa acthribicas. RIque
noc sentu Johannes Baprista Porra, Neapolicanus, librum De Zipheris, sive furti-
vis licerarum Noris, conteriplic: Prichemiusitem de Sceeanoraphia libellum con-
seriplie, abstrulum Paris; quem incer alios, explicandum sulcepit Custavus sile
nus; (hoc cst, explicatius, Aueustus Lunibursensis: quippe Custavus arazeauva
nncis CH Aueustus; ee Selene Lunam delignant Giraci; indeque Silenus, L uni
burgensem Ducem. ) Liem Blailius Vigenerius (Gallice) de alii de ejusmodi 21
Pheris litros ediderunt. Sed e nova indies methodi per Zipheras scribendi ex
eositancur, ee in rebus majoris momenci ab iis praelerum qui Principibus func d
Scereuis, uluI, aptanEuT: Palcem quories aliquid occulce scribendum ct, quod noller
seripior etiam ineuencibus innoceseere. Hinc voces illa Ciphrandi de Deciphrandi
orcum habent; eAt enim Cipbrare, aliquid ciphris committere, seu occulce lcribere;
Dicephrare vero est ciphras explicare vel quid sub ciphris OcculteTUE incerPretari.
Acque haec quidem occulce scribendi racio Hagrance nuper apud nos Bello Ince.
llino admodum crac familiaris; adeo uc vix quilquam eslet alieujuS nOIX, vir, quI
non, in rehus majoris momenei communicandis, hujulimodi ciphras adhibere 10
Lebac, scripcasque ad suos exiltolas hujusmodi inrolueris obcesere; ue  in holtis
um manus perrenirene non incelligerentur.
Et hujulmodi quidem scripta non pauca, in icinere intercepta, nobis explicanda
cradebantur; diverlis quidem occulcandi mectiodis involura, adeoque alia aliiS ex-
plicacu difficiliora; ee quidem nonnulsa tam insuperabili difticulcare obvolura vi
debancur, uctere de illorum explicarione desperaverim, nec nisi post diucurnam
inquilicionem incredibili labore candem superaverim. Ouorum non pauca speci-
mina in publica Bibliocheca Bodlciana Oronix conserranda cractidi, ubi e conspi-
cienda manent
Duplex erac hajusmodi apud Romanos seribendiracio; quarum, vestixia talcem
Ad nOS DErVENETUNE: AIIerA per Nocas (uc loquuntur) altera per Sielas: Oua-
rum ucraque parrim expedicionis, paruum occulcationis caula crat actribira.
110.
Per Sielas Seribere dicebancur, cum sinsulis tere liceris rocidem voces designa. Rom2-
banc. Sic Romanorum Nomina d Praenomina non raro pingebantur. Sic M. Z
20
rum
Cicero, Pro Marco Tullio Cicerone, DOnITIT. TLa PeF C, Caium; Det D, Decium; d’ela
DeT P, Publium; per C Ruincum; Per Cn, Cneum; per A, Aulum incellicebane.
Cunde lis illa, incer Criticos, de illius nomine qui Noctes scicas leriptic; quem alii
Aeellium, alii aulum Gellium, dicendum putant:) Sic S. P. O R. Senatum ZopU
lumque Romanum siemiticabat: (quod Beda noster Romae agens, uti retert Era(-
mus, scisciranci holpuci cuidam, qui saxis inseripium crebrius ostendisset, quid
rellet; Relpondu, dtultus Lopulus laerit Romam.) S. P. D. Salurem plurimam
tis Eeul Contimiles Hlebraeorum AbBCeviaturX, quas Raste Teboch dicunc: dum
nonnutiquam vocabula inicialibus cancla liceris delignanc. Sic: 1731 113133 7WN
1X cujus memoria benedictioni, ceu benedicta sit: quam Formulam adjicere
Tolent quum Rabbinos quoldam MMoTllOS nOmIManE; Prour noS Beatae Memoria
Allasue hujusmodi innumera videua unc apud Buxcortium in libro quem seriplis
De Flebraorum Abbreviaturis. Sic e Rabbinorum Nomina vulso scribune: ut
3D (Rambam) Rabbi MosDe ben Majemon, Teu Maimonides.
dicit. A. D. C. Anno urbis condita. I. S. Memoriae sacrum, aliaque multa
7 (Radak) Rabbi David Kumchi.
V (RaMI) R. Solomon Zarehi.
1332 (Ral baS) R. Levi B. GasoM. eC.
Siglarum mentio est apud Jultinian. in ZanaCt. OnVCIOIS, aux orynas voI. L
onveicor ejulmodi meminic etiam Plut. I Cat. min. Sislas vero dicebane Romani
quali singulas, quia singulis liceris coridem voces Agniticabane; vel etiam quata
peilla, idque vel proxier sccretum scribend  vel pouus quod line sienula
132 (Rarriban) Rabbi Moses ben Nachiman, seu Nachmanides.
leu parra siena; haec enum elt pria de Ploprla Ligilli nocio unde de scillaria.
Duod aucem lceran excidar in sestu, quae habetur in sineula, vel sienula, illud
Parum

## Folio 48 — 851387705:0068
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000068.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
C I R 1 8
parum est; praeterrim cum Er litera e proxima: Dicimus, enim singuli, sicillatim:
Linsua, lieula: Pienum, sieillum, Cunde Anglicum Seal, Tieur a Regula, Rule,
Sc Pienum, tisillum, quae torlan d taneo, quia res contisuas copulat; vel, ut Scali
sero placet, Pienum d secendo, ut lienum a lesendo, nam tisnis ee regulis rectum
constat. Sic à juneo, (Anolice jorn) tic jueum, Anslice a Toee; (Graece dguo
Ecurrics (830) unde tortan jueulum, non modo quia Jusum (cerricem parier
ac) jusulum cingit, sed porius quia humerus uterque ad jugulum cocune ee con-
junguntur; qua ratione ctiam jusuli ostanneises e nanises Crace, Ldtine Claviculae
appellantur, quia urrumque humerum connectune; Tub his autem claviculis elt ce-
leberrima illa Arceria magna, cor ipsum nuperrime exrelsae, distriburio, unde 2
communi crunco quali per rarios ramos sanmuis, arreriolus in rarias corporis parres
deriratur: Ilic ec vena minores a plerilque corporis paecibus in communem renae
carae truncum conjunguntur. Hlinc eA quod (apillime Hlomerus, lechaliter rulneraios.
sub claviculis transfixos dicit: est aurem illi sub claviculis ficere perinde ac Latinis
jueulare, hoc elt, jugulum terire, jugulum resolrere; quod ideo pro lechali rulnere
ponitur, non modo propres riolatam Practaam live Alperam arteriam, sed po
tissimum quia eadem opera tam Rorta live Arreriae Magna quam Venae carae crin
cus tacile dillecantur; adeoque brerissimo compendio (quod ec laniis nocum ett
univertum corpus tam renolo quam arterioso languine cirissime eracuatur. Sed
haec obiter de junso e juzo, ubi excidien non minus quam cum a sinculis, sielas
dicimus. Sed et d junso conjueem et conjurium; et a juso, jueales, sic enim boum
paria dicimus qui lune lub eodem juso conjuneti leu conjusari. Sic d rvico rel
migvou cam sreo dicitur, quam panso pesi (quod signiticat junso) acque hinc com-
pineo, compactus, compases, etc. Scd de Siglistractenus.
Praeter Siglas vero, eriam Notas habuerunt Romani; quarum haec est differen-
ria; Sie la lunt abbrerincurae per ipsas Alphaberi literas Factae; NVorae vero, abbre-
viacurae per characteres aliunde Tumpros. Hline Norarii apud Romanos dictis qui
breribus notis aliorum sermones exceptos seribebane, ut apud nos Scenographi
Hujulmodi Nocae apud reteres latis erant trequentes: es exstar achue libellus ae
Notis Senecae, D Tironis liberti Ciceronis; inter quas camen nonnullas serius ad
jectas esse res ipla loquitur, nec quilquam qui iplas perpendit dubitare poterit.
Cum ixitur pro Numeris ponuntur licera Alphaberica, ut M pro Mille, C
Dro Centum C. CM lxc seriptio per Sictas: cum vero alii characteres ponuntur
quales Tunt ciphrae Saracenica, elt scriprio per Notas; procit notae d sielis diltin-
sui lolebant. Ouas vero olim noras dicebane, nunc dierum porius Zipbrae len C
phrae dicuntur; quae vel ad expedirionem vel ad occultationem seriptorum ad
hibeneur.
Acque hactenus de Ziphrarum nomine diximus: Paracenicas vero vel Srabicas
dicimus; quia ab Arabihus ad nos devenerune, anre annos plus minus quadrinsen-
eos huc adductae (ut Possins) aut etiam Sexcentos. An dutem AFabCS, seu Sara
ceni, has ipti invenerine, an ab anciquis Phaenicibus (quod non videtur proba-
bile, cum arabes doctrinam Cuam ut plurimum a GrXCiS hauSeKinE, nOn a Phani-
cibus cradicam continuarerine) aue porius ab indis (quod dicendum videtur)
aut quibulvis aliis acceperine, ab illis pocius quam a nobis decerminabitur. Cum
autem nos illas ab Arabibus, vel MtaurIS, accepisse sic extra dubium, unde illas tra-
buerine Arabes ex corum poristimum seripeis inquirendum elt. Cumque illi ca
rum inrentionem Tndis cribuane, non elt eur nos ea de re dubitemus. Forum au-
tem doctissimus Scholiactes Alsépaci (uti 2 Cl. Pocockio noltro, iltarum linguarum
cornitione nulli sccundo, accepi) in commentariis Cuis ad elegantissimi Poctae 7o-
erai poema Famiato Ajam dietum, nocat Tnaos de tribus juis inventis storiari
Indo Scacebii, Freuris numericis, e libro Golaila Wadtamna diczo, ( qui liber in
Rrahicam, Craecam, e alias linguas conversus, Fabulis  Topicis, ad iltius imita-
tionem tactis, antam dedit:) nec ipse interim huic Indorum sloria quicquam
dexgontum it. Atque huic conoruie illud quod reltacur Maximus Planudes in luae
Arichmerices inicio (prout in duobus Codc. NISS. exstac in Bibliocheca Bocleiana
cui FicatIIS MaEi ZTMarSS noyisiun Lectun (vel Vnpovoeca rr Trdes) n neopden ue
rann: Ouem libeum ab his verbis ordiur, Oi a asporouOr BINOOVBESTEC Etret S  à
Pduos EXCL Yo arrs egV 3 (3) a rreips qvedois En EstV veor aiiaeti Hra ny wedoctr si ours
co5 gy 7 r Er ZeNOEI aCLS (N VOO 1OKCS STaV ny dpIBESCCOV. ciot d auuar Erica
ceorom d. ny cios rarra 1 B ( P d yV a 4. Zidicoi d’Erceso n qupe d ravieor 1(19ea ra
L1065
Roma-
norum
Nota.
Ziphrae
Sarace.
nica.
l

## Folio 49 — 851387705:0069
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000069.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
1
ini
nel
u
CM
dec
le
pronisirete sucete ape s etuncur: uc ex appolita comparatione videre elt.
Cap. X. N _ _ L L A L T B ut 8.
Irdis onpairor eser in ra errea 3 aliuara ny oura Irstra Bv. n Se TEiera geageras vrus 0. 2b
cor dS Erréa ayuaro Erosor rar aures plvor ipor cirer  ru coeru rosar drd  sizias
Xccos ns  o 10   oarc et 10SC P 83o 2edC je reca rest C Tcaa 20dc
Merre rese G eS rese V emtd resc A orio rese q errca. X 3 rd sevrlear zeear 20 p
1 Seram rd p cinoor 2d 5 j recuxorrus ny EEns. Obi haec duo contirrat Planudes
nempe tiguras ao ab nals oreem abune ae ela Lhram apud Indos
(torcalle seccius dixiller Arabes) signiticare estr, sen nibil; adeoque à 1L ZaDBa-
2 730 delcendistet ois= POTUS quaM ZEINa ICHDErCTIE. NOS aurem eas ab Arabibus
ra pocius quam reso saphar deductam; quod de contirmat iptius letspcua, li enim
ille quiet stabu Malacleles GubIS Rodie utuntur, (quque ab s LTans
non mulcum abtue) e sS Ge MS CCHBHanaIS apud HOS MHCLMIHME L CVIS
enim cl lu plele Characteribus duerepancia, s Quod qui apud Acabes live
1 V NV EO 4 Y a a
6769
rerim puncto crastiulculo nullitarem acHBHaH. O  HLaBIMI HOrI Man.
SCripei reCtaNEUT. EC quidem in NISS. tam GLaCI GUaHI LaHHIS (PaHIO VECUILION.
Dus) tigurae numeraria minus adtrue ad Arabum Figuris ditterunt, quam quibus HO.
dic ucimur. Out aurem ab Arabum figuris sensim deAexerme donec ad cas qui-
bns jam utimur figuras perrenerine, qui Coatees Manuleripios Gracos Lacinolgue
succedencibus seculis exacacos pervolverius hacile perspicice, quod nosprae characte.
rum inopia erpis exprimere haud valemus
ulum oltendam.
aliquibus PrO NuILITALS NOca HabeHt (iL apci HOS) qui igitur distinctam habent
quinarii nocam; apud alios verocirceH M Gumaune indicem, qui in
Nocat aurem Frpenius (apud quem hi Characteres exstane) Ocircellum ab eorum
Arque hactenus de iptis Ciptuto lel HBucis Arichmetieis: lequicur uc iplarum
portione decupta.
Ficurarum Numeraliu alres; pmatus e ecun.
darius. Locus. Periodus. Ciphrae usus. Fractiones De-
cimales. Cradus ascendentes  Descendentes, in pro-
Onc illa (quas diximus) tigurxe Rrichmetiex ruleares, omnino decem: qua- xienra
rum vatores janit epilcandi veniune. Prima 0 Nullum valer, sire Numerine jum va
rationem, ee rulso cipbra dicitur: Reliquae novem cocidem numeros Bieniticane lorpri
(de feurae fenisicativae diei Solenc:) nempe LOnum. 2 Duo. 3 Fria. 4 Dua marius.
Tuor. 5 duinque. 6 Sex. 7 Septem. 8 O520. 9 Novem. Suneque hi illarum
valores Primarii, quos nempe per se signiticant. Hlabent enim ee valores Secun
darios, quos non per le, sed ratione ledis seu loci ubi reperiuneur, induunt: Si
cuc enim alind est duos boves dicere, aliud duos homines; ita de aline est sugc ui-
tates dicere, aliue duas decades, live duus centurias; nam qualivs Li HS Ominiousn-
merus numerans idem lC, (nempe tus,Ho caen idem numerus numera-
tus. Hlic aurem characterum valor secuncarius LuB MUTatuE, Pro ratione Se-
ais Teu Loci ABI REPCTIMNEUT.
ad dexeram cs, primus dicicur; qui illi proxinus est sinistram vertus, secundus dicitur;  s
ee sic deinceps reliqui quorquor sunt loci numerandi sunc. Or posicis his Figuris 2654, Ge5. seu
Cum ixicur horum characterum plures in concinua serie collocancur; locus ille qui Fisura-
ell 4 in loeo primo, 5i  Aclindo, 6 in cerrio, et L in quarco. Obi obite
nocandum
ven
quid.

## Folio 50 — 851387705:0070
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000070.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
Ia U R A R V M
notandum estme locum destrum (in charta vel abaco) illum dicere, qui legenris
dextra opponitur, es eadem ratione siniltrum qui linistrae: quod ideo tacio, quoni-
om rulsatus loquendi ulus apud plerosque seriptores hic este solet, neque loleo
quidem a recepto Loquendimore nili coactus dilcedere, ne, dum accurarius loqui
relim, minus incelsisar. Non isnorotamen, quod E accuratius loqui relimus, ca
pars charex seu libri dexrra dicenda esset, quae inspicientis siniltrae OppONITUT, Li
nistra vero qua dextrae; supponitur enim liber inspectus oppolica taere nos incue-
riu non terga dare: Acque hinc elt, quod Heciales, dum Cienciliria Scuta, quibus
tamiliarum Insignia interibuntur, exponunt, eam semper Scuti partem Dextram
appellane, quae inspicientis liniltra opponitur; quia nempe inspiciens rem inspe-
etam adverla Fronce supponitur incueri. Verum cum apud alios alius uc plurimum
mosloquendi obtinuerie, cum vulso loquendum esse duxi; adeoque (ut alii, sic
e80) eam inspectae charta dextram appello partem, quae inspicientis dextrae ob-
jicitur; ideoque tiguram loco primo poticam, ad dexiram poni dico; qua ve-
r0 in secundo loco, illam dico qua proxima adest sinistram versus; et lic dein-
Ceps.
Fieura. In primo quae occurrit loco Apuira, tOt Unitates numerat quot ipsius valor in-
rum va- dicac: qux in secundo; tot Decades: qua In TEKFIO, TOLCenTuIXIAS: quX In quarto
lor secun- tor Millia; qua in quinto, tor Decades Millium: in sexto, ior millium Cencurias: in
in septimo, cories millena millia, seu tor Miltiones, (prour nunc apud nos dici loler:
octaro, cormillionum Decades: innono, cor Millionum Cencurias: in decimo.
coc Miltionum Millia, seu millies millena millia: ee sic deinceps, pro sinsulis lo.
cis, continua proporrione decupla valorem temper augendo: prouc iplam nume.
rorum dispolitionem lare ordinationem, in decupla proportione procedere, lupra
diecum elt. Et hacratione numerus his characteribus extibitus 1656, elt Mille
sexcenta quinquasinta  sex, Tcu unum Mille, sex Centuria, quinque Decades, 
sex insuper Onitates. Acque hunc ligurarum ralorem secundarium appello; quia
nempe ex sede seu loco ubi reperitur consurgit.
Periodus Sed dt ipla eriam Loea, quo melius incelligantur, praetercim ubi plura oceur-
runt, in Periodos diltinsus Tolent: Ita nempe uc tria priora loca minima primam
periodum constituant; eria proxima, secundam; es lic deinceps, lingulis periodis
eria loca altionando. ITas autem periodos, (ubi laltem plures occurrunt, uc in
Grandioribus numeris,) plerique rel punctulis suprapotucis, vel alia ad libitum di-
stinctione, diltinguere Tolent, quo promprius numerus proteratur.
Periodus autem prima Onitares denocat; sccunda denotat Millia; certia vero
Millena millia; ec lic deinceps. Or enim locus locum superat proportione decu-
Pla, sic Periodus Periodum proportione Missecupla. Frit isitur numerus ilte
2468013570, sic etterendus; vis, mille B quadrineenta sexasinta oeto Miltiones,
(leu Millena millia) tredecim Millia, quineenta sextuarinta novem. FF codem
prorlus modo de Numeris aliis omnibus judicandum est; tam ubi numerus datus,
est suis characteribus deseribendus; quam ubi characteres propotui, sunt luis no-
minibus explicandi: Eadem enim uirobique est ratio.
Obinotandum est, quod circellus ille o C Ciphra rulgo dicta, quam este nulli-
tatis nocam supra diximus, ) quamvis per se nihil signiticet ubicunque Bonatur.
(perinde enim cst sive nullas Onitares, Sirenullas Decadas, Cire nullas Cencurias,
nullare Millia dicamus; nihil enim utcunque. ponimus:) Non redundat tamen
aut nulli inserrit ului, led neceltario actibetur ut locum saltem lua praesentia
compleat; unde figurae omnes in locis Tuperioribus policae justum suum ralorem
obtineant. Verbi gratia; Ti in numero proxime appolito, 24680+3579, decstet
circellus sexto (a dexina) loco policus, acjuncta figura 8 numeri octonarii non
septimo, Led sexro cHet loco; adeoque non octies millena millia, sed tolum octin-
senta millia, signiticaret; acque idem de reliquis judicandum eset; nempe FguITA 6
non octaro (ut nunc) sed septimo esset loco, et 4 octaro, 2 nono; adeoque
carum ralores decuplo minores eHent. Sic L Onum lioniticat, (quia primo loco;)
TOOnam decadem, (quia F est loco secundo, ec quamris adjuneta ciphra o per le
nihul signiticet, hoctamen praestat uctisura r su jam loco secundo, quae lecus esset
Primo:) 100Onam Centuriam, _c. Si vero locis supremis ponantur ciptirx
nulli prortus luncutui, nulsius falrem necessitatis, sed redundant prortus; rancun-
dem enim sienificant 000Y, 00T, Or, 8 r. Fieri quidem nonnunquam poteltui F. lc.
eantia
ri
quid.
Ciphra
litatis
noca.

## Folio 51 — 851387705:0071
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000071.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
velc
ca
Cap Z. NUMERALTAM VALORES
eanciae gratia, vel quo numerorum suppurandorum collacio commodiot latu I.
denarii
quando summae racia sinc in unam concratiendae Cuc in exemplo appotico,)
libra
Tolici
ane alia aliqua leriori causa accidentali, ejusnodi redundantes ciphrae Scriban
Tur; Sed cancundem signiticane acti prortus abellene. Acque hinc est, quod, licet in
hac numerorum nocacione, per nocastas numerales, hujusce circelli sive ciphra
usus sic necestarius, quia ralores notarum pro ratione loci ubi reperiuneur augeri
Pollune auc minui: Obi tamen per Liceras Alphabericas numeri scribuntur, qua
rum rator constans est de immutabilis, (DrOuE apud LacinOS, GraCOS, HLCbTKOS
aliosque anciquicus tieri diximus,) hujulmodi nocx nullus omnino clt ulus, unde d
nullam exCOSitaruNE: Nam, verbI BraTIa, MD, Nelle e quingenta signiticant, sive
alii lequaneur numeri, live non
Acque tactenus harum Ficurarum Numeralium ordinariam seu vulearem Noca.
tionem, Peu (ne loquuntur alii) Numerationem explicari, prouc nempe ulu tre-
quenciori TOlenEOCCUErEr: ita nempe ue Locus ad dextram ulcimus, vel (si libet)
Primus, qui de omnium intimus est, Temper habeacur pro unicacum LOco.
RCCentOTeS vero, qui de Fractionibus Decimalibus agnne, (ulera quam Priores Fractio-
Tolebane Arichmerici, ) non modo quodliber supra Vnicatum locum alcendentia si. nes Deci-
niltrortum supponunt Loca; sed ec eriam intra Unicacum locum loca quorliber males.
Velcendencia dexuortum imaginantur, quibus Fractiones (ut Loquuntur) Deci.
males seribaneur.
Orhoc autem melius percipiatur; sciendum est quemliber locum ad sinistram pro.
srediendo ancecedentis ad dexeram decuplum ralere, uc supra declaratum est; contra
vero, quemlibet dextrortum procedendo ralere ancecedentis subdecuplum. Duoniam
nempe decem Vnitares consticuune unam Decadem, de decem Decades unam Cencuri
am, decem vero Centuria unum Mille, _c. (sinistrortum procedendo:) isicur vice
verla (dexcrortum procedendo) unum Mille concinet decem Centurias, de una
Cencuria decem Decadas, una vero Decas decem Vnitares: Aique hic vulgo sicticur
neque ulcerius dexirortum proceditur, quoniam Unicacum locus supponicur intr
mussive ad dextram ultimus. Si vero libeat plures adthue dexcrortum locos actie
nare intra Unicacum locum censendos: eodem quo prius modo procedendum Crics
nempe Ouxlibet Onicas concincbic decem ejusmodi parres seu quantitates (proxime
dexrrorlum loco numerandas) quarum decem constituant Onicarem, hoc clt, quae
libet Onicas concinebit decem parres decimas; e, cadem racione, quae libet pars de-
cima continebit decem parces cencelimas; es quaelibet cencelima decem millelimas.
et sic deinceps: Ideoque ssura loco intra unitares primo potita deligna-
bit eoc partes decimas; Guasibet ecuo coridem cencetimas; e quaelibet cerrio
lalum locum appolica, (qua partes e ractineS DeCmaleS ExPFIUINE) Cune
ab inceoris, incerpolico punctulo resspuraccehnea disterminandae; ut innocescas
Onicatum locus, ee consequenter retts caursapra quam intra locum Unicacum
intra unicaces loco, cor parres millelimas desisnabit; e sic deinceps quoulque libet.
Lxemplum esto hic numerus 3579753; C ubi praecer incesrorum numerum
3570, aejunguntur partes cecaleo 13.) LIuta 9, unitatum loco potica, Tim
Pluster novem (seu novem Omtates) delignat: tigura7, qua ad Sinistram cst
septumernta (hoc elt, septem decades,) dersat, al qua du dextram seprem sena
ruuber (Peu, partes decimas) innuic: Tiem 5ad linistram quinsenta (leu quinqul
centurias) ligniticat; ac 5 ad dexiram quinque partes centesimas (quinque erarosn
ccepia) ligniticat: lic de 3 ad Cinistram, EEa millra denotat; ad 3 ad dexiram, Ma
zincasnubera; seu tres partes millesimas. Adeoque cors ille nmerUS 3579(753 deno
tac ser mille quineenta septuasinta odem inceora, ec insuper (7 paries deci-
maS, S Centelimas, _ 3 MeMaS, LCl) 753 parhes hallesimas: (nam 50 partes
millesimae cancundem valent ac 5 partes centesinta, a 700 partes millesimae tan
cundem ac7 partes decima; adeoque conjuneliu 153 partes millesima, TanCun.
etem ac7 decima, 5 centesimae, 83 millesimae.) Ligura aulem illa (52 Dolt uni
unde cum singularum nocarum quam corius Numeri valor astimandus est.

## Folio 52 — 851387705:0072
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000072.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Crala
dentes.
RTOTATTONE
XI
lis ia explaio,  suldlem omnino cooau rdletur, lnila Aeto
rum loca lic distingucte, i Porno alu een re au aceu
dentes e
Descen-
Ascen-
1+
sive ad descentum, (uc qui elt quali uersusque communis rerius) loci reliqui
(Prout gradtarim rel augentur rel ) Ciradus dieantur vel Ascendentes
vel Denantes. Ita, in mumeto ProDoto 357191753, Placer figura  unica-
cum Loco collocatam, accedune sractus Ascendentes (primus, Secundus, tertius) li-
niltrorlum computando, et toridem Descendentes Dexirorlum. Adedsue  std-
duum ACcendencium indices ponantus 1, 27 3, cll. Clan C eora ceM
indices =1, - 2, -3, ecc. vel 1, 23 3 ec. Aique hoc La Sacu AU.
dentium et Descendentium deinceps Factuo L . 3. 2. 1. 0. l. 2. 3.
porcionem decuptam dixisse sufticiac.
Arque haec de Figulto AL, sAa COMa P1. 357191753
Gradus Ascendentes ee Descendentes in quacunque
proportione. Acebrae fundamentum. Potestates M
febricae cum Geomerricis dimensionibus comparantur.
Farum appellationes e characteres. Potestates illae
per Gradus Trithmeticos, quam per Geometricas di
mensiones, aptius explicantur. Alhebrica notatio ulte-
rius traditur. Arebrae veterum e Recentiorum dis-
ferentia. Vtriusque usus exemplo ostenditur.
Eraduum Omeros rulso in proportione decupla ubique sentium dispositos, este, Fuve
aiscen. L rius diximus; atque huic distributioni aptatas esse ruleares nocas sive Hon-
dentium ras Rrichmericas, carumque locos seu pradus tam alcendentes quam descendentes.
g De-
scenden.
Sed emonuimus, quamris aliam proxortionem in disponendis Numeris altumi
tium con Pocuilte, aur eriamnum (ubi opus cst) Dose. At quae cunque demum achibeatur pro-
sideratio porcio, modo ea concinua tr, eadem omnino erit Craduum tam ACcendentium
eadem est quam Descendentium considerario atque in proportione Decupla.
in alia
qualibet
propor-
tioneque
quae in
Fxempli gratia. Si exponantur Onitates vieintiseptem: constitunne illae (ut pa-
ret) in proportione decupla, duas Decades cum septem residuis Onitatibus; ideo
que in gradu primo alcendente (qui decadum locus cf) ponenda est toura 2
(propier duus decades,) e (ob reliduas sextem Onitates) in unicacum loco Reura
Decupla. 7: ut 27 exprimant vieinti septem, sive duas Decades cum septem
pla disponatur:
simplices Quaterniones, cum
emers et Quaternionum quaternio unus, de Duo intuper
Tribus reliduis Onitasibus: ponenda ixicur (quoad hanc proportionem) in gradit
secundo ascendente tirura r. ( qua quacernionum quaternio unus designetur:) e
in gradu alcendence primo nora 2, (propter duos quaterniones simplices:) et de
nique (propiee tres reliduas unitates) in unitatum loco Aigura 3: adcoque I, 2, 3,
exhibebune unum quaternionem quadruptum, duo sque simplices quaterniones, cum
erious insaper unitaribus, seu quod tantundem est, visinti septem. Si denique pro-
portione cripla disponantur: emersei praecile ternionum triplicatorum ternio
lo.

## Folio 53 — 851387705:0073
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000073.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
que
Ia
at
HC.
ais.
pro
cuu
cp
deo
L. C F B R I C A
seu o, quia nullus superestinnuendus vel cernionum cernio, vel cernio simplex, vel
eciam unicas, horum isicur loci elparis erune supplendi; uc candem 1, 0, 0, 0
(juxca concinuam proporcenem eriplam) extibeat praeile unum ternionum LI
plicatorum ternionem, quod cancundem cMt acque visinti septem. Ec pari modo de
alta sllarto proporcione acendum cllet. Hoc cst.
decupla, 2,7
Lu Proporriche  quactrupla, 1, 2, 3 E cancundem valent.
Ciriplam 2,0, 0,03
Paricer dicendum est de practibus Descendencibus. Pam in proportione qua
drupla, eric gracus descendens primus, Duadrantam locus; secundus vero, qua-
drantum quacrantes continebit, etc. In proportione cripla, erie gradus descendens
primus, trientum locus; secundus rero, srentum trientes concinebic; TerrUIS, 2rI
entum erientes trisectos; Fc lic deinceps in intinicum descendendo, sieur ex alia
parce in intinicum proceditur alcendendo. Hujusce rei exemplum Caus insisne
pallim occurric in tractionibus (uc loguuneur) Altronomicis; ubi Incesra invel
lixuncur dividi in parces seragelimas de sexasesimarum lexasolimas _C. hoc CMl
minuta prima, secunda tertia, _c. ad dexeram descendendo; et contra ad sinistram
alcendendo collisguncur in Agoresata Sexasccupta, et Sexasccuplorum Sexasccupla,
~C. quX vocanur Sexacena prima, secundam tertia, 80. hoc modo.
10, 36, 25, 15, 2. 15, 25, 36, 40. ubi quiliber locus valet Seragecuptum
loci libi ad dexiram proximi, ee concra lexagelimam parrem illius qui libi proxi-
mus est ad Linistram. Quod aurem rulsotie in racione Decupla, ec in fractionibus
Altronomieis in Sexasecupla, porest de in alia quarisracione Heri.
Elis ita explicatis; monendum duco, Vuiverlam Arcem Aeebra sive Anasyrices Hinc A-
hoc uno quali fundamenco niti: AIque Si haec, quae de Gractibus (in quacunque sebrae
ratione Alcendencibus ee Descendentibus) diximus, lacis incellisaneur; magnam sunda
exinde attuleere lucem ad Potestaces (quas vocanc) Nebricas sincellizendas, e mentum.
rice cractandas. Nam rerera, quod nobis nune es eradus (sire Alcendens, sire
Delcendens,) primus, secundus, tertius, _c. illud cHt Alsebriltis Latus, duadra
cum, Cubus, cc. vel Potestas prima, secunda tertia, ec, cum hoc camen discrimine:
Ouod illi per plurium dimentionum Geometricarum (uppOlILONEM CONANEUE ex
Plicare, nos incer Arichmecicae fines concinemus: vel etiam, s in materia Geome.
Erica relimus illud ostendere, possinus illud per Ouancitates Hlomoseneas (nempe
vel per Tolas lincas, rel per solas superticies, vel per Tola corpora) praeltare, quod
alii per Heterogeneas (nempe per lineas, ex suverticies, simul eum Tolidis, ali(.
que etiam plurium adhue dimentionum imasinariis, quanciratibus COm PaTACS) PrX
lare latagunt. Hoc aucem cum olim vel isnorabane, vel non lacis accendebant.
vel force distimulabane, adeoque occulcabant Algebriltae Veceres; concti tuere mulia
specialiter de Lineis, de Planis, et de Solidis, iradere et demonstrare, quae rectius
(ee quidem lacilius) denumeris (vel, A libet de Racionibus ) seneralicer essent
ee cradenda e demonstranda; quae deinde, ubi opus ellet, (Ere inre Geometrica
sive in quavis alia) specialicer ellene: accommodanda, non minus quam reliqua
Arichmecica cota. Cur aurem illi ad Ouancicares Geometricas (porius quam Arich.
meticas) e quidem Heterogeneas (Bocius quam Hlomogencas) contugerine; nul
am cgo rationem rideo verisimiliorem, quam quod Rrichmericorum Onum (non
vero, ve oportuit, Nullum) cum Puncto Creometrico comparabane; adeoque non
animadrercebant quo pacto possent Axichmetice illud extibere quod in Geometri
eis oblerrarerane: nuc eriam forraste, quoniam Rlementa Geometrica pro cotius
Macheleos basi repurabane, pucabant etiam Acuherica omnia eo redisenda elle
neque de horum veritate melius conttare polse quam s inde comprobencur; cum
tamien revera res prichumetica alcioris linc ec masis abstractae naturae, quam Ceo.
metrica; dc v. g. non, quia linea bipedatis bipedali addita facit quadripedalem, ideo
duo e duo faciunt quatuor; Ted potus, quia hoc, ergo illud. Forum aurem hoc
quiequid elt negorii melius percipietur poltquam Nocacionem sire Numerarionem
Alschricam (uc loquuncur) seu Collicam, ejusque orisinem, explicarero: Ouod
jam tacturus lum.
unus: ponenda isitur est, lococertio ascendence, figura x; ee in reliquis ciphra
Oolet.

## Folio 54 — 851387705:0074
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000074.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
otecta. Obserrarunt illi (qui numeros Coltieos ordinarunt) ex principiis Geometricis.
cum Al. quod E Linea aliqua ad libitum altumpra (puta, erium pedum Lonsa;) ducatur in
cebrica
cum cur
Dimensi
onibus
Geome-
cricis
compara
Sa
rumque
rasa
Ce, (hoc est, litancum extendatur, sire moreatur directe in latum, quatum cst
in lonsum extensa,). Fiec Quadratum cujus Latus erie linea alTuMIpIa. I vero
Duadrarum hoc dueatur in Cuum P atus (hoc es, Ei tancum LAcetau, sCl Ao.
regtur directe in altum, quantum est vel in longum, vel in lacum extentum; seil
quod perinde elt, si altitudinem acquirat Lateris longicudini aequalem) fiet Cu
bus, cujus icidem lacus erie assumpea linea. Obserrarunt deinde Rream leu maoni.
rudinem Ouadrati inreltisari mulciplicando numerum lateris in sciplum; (ideo-
que cum lacus sic erium pedum lonsicudine; quoniam ter tria Cunt 9, concincbie
area Ouadrari novem pedes quadraticos:) Item s Area quadraci mulciplicetur
in Tuum latus, emerset magnitudo Cubi, seu porius mulcicudo pedum cubicorum
in cubo contentorum; (adeoque Trarea quadrari 9, multiplicetur per latus z, pro-
dibit numerus 27, quae elt masnicudo Cubi, seu mulcicudo pedum cubicorum in
in illo cubo contentorum cujus latus est cres pedes longum.) Flxc autem inricem
comparances, quoniam tigura qua ex latere in seiplum ducto emersit, Quadratum
dicitur, ec quae emersie ex quacrato in latus ducto Cubus dicitur; ideo e produ
ctum ex numero in seipsum mulciplicato numerum duadrarum appellabant (qui
quadrari aream quodammodo repraelentat) cujus Latus Cive Radicem appello-
bane numerum illum qui lic erat in se multiplicatus; et productum, ex mulcipli-
catione numeri quadrarici in suum latus seu radicem, appelsabant numerum Cubr-
cum, qui ee aream seu maxnicudinem Cubi quodammodo reprasentat. (REque
hinc factum elte, credo, quod numerum hunc in illum ducere idem signiticet aC nu-
merum hunc in illum, leu per illum, multiplieare.
Ouamris autem animadrerterint, Geometrice in Cabo Sistendum esse (utpore
qui eres dimentiones Creomerricas habeat, longitudinem, lacitudinem, de protiindi
iatem; nec plures sint in rerum nacura postibiles) adeoque cubum in Tuum L acus
duci non polle: actamen, cum nullum ejusmodi terminum Arichmeticis Mulcipli
cacionibus poni riderine, quin ut possit Radix scu Numerus lateralis in concinuos
productos quousque libet mulciplicari; ideo et Numeros Fieuratos C quos vocant
ulterius continuandos purabane, quos quatuor, quinque, sex, auc cuam plures di
mentiones supponunt concinere; colque Quadratoquadraricos, Sur desolidos, dua
craricubos, ecc. nominabunt; appellationibus lcilicet canquam ex Ccomerria mut
tuatis.
Nonnulli(prxterrim Frali) pro quadrato, zenzum vel censum dicunt, de Z enai
zenzum, Zenzicubum, _cc. Deo quadratiquadrato quadraticubo, (vel quadrato cu
Bi) Sc. item, Pro Radice, Rem dicunt; unde e Regulam AIsebrX, Regulam rei
trum a census (hoc elt, regulam Radieis ee Ouadrati, seu Z enzi) appellant: Item, pro
feu a L. a
Re, cosam dicune (nam res Tralice cosa dicitur, licut Grallice chose, ) unde hi nu-
meri Figurari, Cossici rocantur; et regula AIoebrae, regula cosae, leu cesse Leu cossi-
ca; ccharacteres cossici, operationes cossicae, _c. dici Lolent. Alii simplicius (de
Forre melius) Pro Radice, Quadrato, Cubo, Quadratoquadrato, (Leu Biguadrato,
Surdesolido, uadrato Cubi, Surdesolido secundo, Duadratiquadratiquadrato, Cubo eu-
bi Duadrato sur desolidi, Sur desolido tertio, dec. dicunt Potestatem primam, secun-
dam certiam, quartam, ecc. pro numero dimentionum quae inibi inrettisuNtUT COn
tineri.
dec e hisce porestatibus sel MeIS Mialio luos Chatacteres apcatos habent.
giBE indicentur. Lui quatuox iminalibus liceris R, C, C, S, innunt Radicem.
Duadratum, Cubuim, Sui desolidum; ret eriam pro R, teribum B, hoc ett. Nume-
rum:
tinorum
caula.
Chara
cteres
Co silt.

## Folio 55 — 851387705:0075
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000075.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
du
11
ap. XI
A L C F B R IC A.
nmnne Rem, Zensum, Cubum, Sur desolidum. Alu (Talcem polt Franciseum de Vieta
qui Rrichmecieam Speciosam, un loquuneur, vel primus omnium incroduxie, vel
alcem admodum auxic) pro Padice quamlibet ad placicum AIphabeci liceram 2d.
tribene, uc A, ejusque reliquas poceltares adjunctis lireris q eCc innUMNE UE A9.
AC, A99 _C. DEo Duaarato Cda  ac. Ca La R. Kele hac
nocatione ucieur D. Onchiredus, Anslus, in iplius Cot Laa, quaim
(aliquandiu ancea coe as L o nioe s oe
iceraric. Polteum (vel eodem circiter cempore) D. FTarriotus item Anstus, Ma
rum: Alii characteribus his ucuncur 2e 23 ∞ B qui ex licerisr 2c s oriuntur, de in
chematieus eximius, in iplius arris malycicae praxi, quam post iptius obicum edidie
D Wanerus, c MaMaLCIIS, annO iTem 163Y) liceris alphabec
Denique D. des Cartes, ee Post illum alii, licerarum Exepe icerandarum caedium it
mences, racticem, uc prius, qualibet alphabeci licera delignanc, ee iptius reliquas
Poceltates Culpensis nocis numericis (pro numero Gractus leu Poreltats) delisuatu,
eis ad placicum allumpus, et cocteosleracis, quories porectas indicata poltulaveru
eliona, puca a aa aaa aaaa ec. Pro Kacice, Guadrato, Cubo, Biquadrato, dec
ut a a a, a, ec. Duorum specimen in subjuncto Schemare incuendum exposui.
Nomina.
Racix
Ouadratum
Cubus
Ouad. guactracetm
Surdelolidum
Ouad. C abi.
2n Surdelolidum
Ouad. quad. quac
Cubi cubus
Suac. Surdesol.
SSurdelolidunt
Suad. quad. cubi
47 Sudesolidum
Cuad. 2i Surdelol.
Cubus Surdetol.
Characteres.
C1e
AGqCC
AGCCC
Od Accce
d0
AgqCCC
AbS AgecCC
CS ACCCCC
Ouad. quact. quad. . 18787878 OO AgqCCCC
ec.
20
DB
A94
A9C
ACC
A99C
AgcC
2Bs8
AccC
Potestas ser
eradus
eec.
Nocandum aucem eA, quod in grandioribus potestatibus (quae nempe quartam
sequuntur) non eodem apud omnes modo appellatiOneS aptANEUT. Nam v. 8. Q_a.
Tratocubus apud non paucos signiticat Ruadrari cubum, Teu Cubi quadratum, adeo.
que pocestatem sextam, (quae ex cubo in sciptum ducto emersit, vel ex quacraco
cubice mulciplicato, hoc est, in seiptum bis ducto;) acque in hrac signiticatione
appellationes quas in Schemare appolui intellisendae funt, acque huic congruune
Prima e secunda characterum series: AC Pietaus (et qui illum hac in re lequun.
EUT, uc e ex veceribus Diophancus,) Per Duadrato cubum incelligune poreltarem
quintam, quae ex Ouacraco in Cubum ducto emersit; adeoque vecerum Surdesosi-
aos (primos) ille Ouadrato cubos vocar; (e eadem analogia religuarum pocecta
cum nomina Formac, adeoque surdesolidorum appellationem omiceic;) cui eriam Potesta-
nomenelacura conreniune ipsius characteres, (qui in characterum cerria serie ha. Les Alee
BenCuE) Cartesius (de qui illum imitantur) vecerum pocius nomenelaturam relu-bricae me
mic; ipsius vero characteres (quinca serie potiri) ucriris aeque conveniune, cum (0. lius per
lummodo pocestarum ordinem, seu numerum dimentionum innuane, adeoque mi. Cradu
Trith
nus dubix honiticationis, ee CLOI M BOHOLHI. SbS CoOS MeticOS.
uam DC
Duod aurem alii per varias dimentiones Geometricas explicarune, eso pociis per Cicome-
Bdulto richmecieos explicandum cauo, adeogle ea Campum Arichmecicum cricas D
cetranis priores) Farriosi characteres, quarca serie potici.
non excedendum. Idem isicur nobis eA Gradus ascendens primus, secundus, ter. mensio.
hus, dec. quod illis Radiis, Auadracum, Cubus, _c. Pcour enim, apud illos, quotes plican
IM Eur
et
X

## Folio 56 — 851387705:0076
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000076.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
ANOTATTONF
in Radice continetur Vnitas, cories in Cuadraro Radix, toriesque in Cubo Onacra-
cum supponitur contineri: sic es nobis, quories in Gradu Ascendente primo conti-
necur unitas, tocies in secundo primus, ec in cerrio secundus; es sic deinceps. Quod
aurem de gradibus supra unitarem Ascendentibus dietum est, etiam de gradibus in-
tra Tnitarem Delcendenribus est intelligendum. Sieur enim, ubi Radix clt uni-
tate major, fingula porestates gracarim ACcendun: ita ubi Radix elt unitare mi
nor, gradatim Delcendunt. Si rero ipla Vuitas lit Radix, neque Ascendunt neque
Delcendune, sed de potestas unaquaeque est eriam Unitas; nam Unitas in Vnita,
cem quorieleungue Mulciplicata, manee Unitas. Mallem aurem per rarios Cira
dus Rrithmericos, quam per Geometricas Dimentiones, rem explicare his de
Cau(IS.
Oni universa Alechra est vere Rrichmetica, non Geometriea; ideoqne po-
eius Arictunecicis quam Creometricis principiis explieanda. Ouamris enim Grcome-
trica mulca Algebrieis principiis vel inreniantur rel elucidentur, non tamen inde
segnitur Alsebram esse Geometricam, aur quidem Creometricis principiis nixam,
(prour, qui lic procedunt, videncur imasinari,) sed ob incimam Rrichimetica Gc0.
metria que actinicarem illud crenic, aut pocius quoniam Ceometria lit Prictmerics
quali lbordinata, adeoque univertalia Arirhmerices ellata rebus tuis specialiter
applicet. Nam, siquis lineam tripedalem bipedali additam, lineam quinque pedes
lonsam, consticuere aftirmet eo quod numerus binarius ee rernarius adelici etticiant
quinarium; non capropier calcutus ille Ceometrieus elt, led plane Arichmeticus,
quanquam Geometriex mensurx sublerriat: Cs enim alterrio illa, de aequalitare
numeri quinarii, cum numeris binario ex ternario conjunctis, allerrio generalis.
quibulcunque aliis rebus non minus quam Geometricis applicabilis; nam de AN-
seli duo e tres, sint anseli quinque. Arque eadem omnino ratio est operationum
omnium sire Arichmeticarum sire speciauum Algchricarum; qux ex principiis ma-
sis generalibus procedunt quam ut Greometrieis menturationibus reltringantur.
2 Ouia Poreltates Algebrica non raro altius ascendunt quam Geometricae dimen-
Tiones. Cum enim Geometria non plures quam tres admierar dimentiones, L On
sicudinem, Lacicudinem et Alcicudinem seu protundicarem, adeoque nec ultra cor-
Dus Colidum, seu cubum, alcendit: Alsebra interim ad Ouadratoquadraram seu
turdelolidam, alia(que ad libicum fuperiores poteltales procedir. Commodius ergo
per gradus Rrichmericos, qui indetinire quoulque liber extendi postunt, quam per
Geometricas Dimensiones, quae vel omnino tancum cres une, rel, si plures sup.
Donantur, imnginaria cantum sunc ee plane impoltibiles.
38 Ouia etiamsi Geometria posset tot dimentiones suppeditare, quot Arichme.
rica gradus; tamen nec sic quadrarene operationibus Algebricis. Sapissime enim
contingit aequationes heri inter varias poceltates non ejusdem altitudinis; quod
quamris Paris conreniar Gradibus Arichimeticis, Geometrieis tamen dimentioni-
Bus peutiquam convenit. Verbi sratia Potuo pro Radice, ternario; hujusmodi
possime aequationes occurrere 2 O = 6R vel 2C ==6G; hoc est Duo Quacrata
aquari sex Radicibus; vel duos Cubos, sex Ouacraris. Ae quis n’on ridet, Oua
drata e CuboS, vet Ouacrata et Lacera, cum sne quancitates hecerogenea, non
posse comparari. Nec enim Cubus constimitur ex Ouadratis, (quamvis illis termi.
necur) nec Onacratum ex Laceribus. Omnes enim quancitatum comparationes
quoad aequalitatem, incer Fromogeneas tantum Cunt faciendae. Sic Solidum Solido
aequale elt aue inaequale, et Planum Plano, et Linea Linea; At Solidum Plano nec
aequale, nec inaequale sed quid Flecerogeneum. Sic Colidum Colido addi vel auterri dici-
TuY, D planum plano, linea que linea: ac nec folidum plano, nec ucriris linea. Verum,
I Arictimerice loqui libeat, oprime dici porest, cencurias duas aequari riginti de
cadibus, aut duo millia cencuriis riginei; hoc est, numeros aliquot unius gradus
Finul Cumpeos, aequari aliquot numeris alcerins gradus innul Cumpris: Sic ec duas
erientum criades aequari sex crientibus, hoc clt, (E3 sic radix) duo quadrata aequari
sex radicibus. Cum enim numeri omnes (proprie dicti) ex unicaribus conttim
antuE (vel saltem ad unitarem vere rationem habeant) Punt vere Hlomogenea (li-
cet Forrasse, Si de numeris Turdis etiam loqui relimus, lint Incommenlurabiles)
ideoque vel aequales vel inaequales, majores aurminores, alii aliis dici postune,
Dolluntque inricem addi vel auterri: Dux omnin in Geomerrieis magnicudinibus,
nili homogeneis, heri non poltunt.
Siguis dicac equationes Alsebriens, ubi Cubi, Quadiata, et Latera comparan.
TUT,

## Folio 57 — 851387705:0077
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000077.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 82 lines, status machine
an
cOr
leu
1e
p
lop
a
ne
0
rec
C P BaR 1
Cubicis, Duadracieis, e Taceralibus; posse aurem Numeros Ouadrarieos cubiet
aliquor aequales else; l’aceor quidem hoc verum elle: Sed jam de Numeris res Crit
(quod nos concendimus,) non de maenicudinibus; cricque consideracio plane A
richmetica, non Geometrica. Eltque mimerus Lateralis, Onadrarieus, Cubieus
caecerique, nihil aliud quam denominaciones graduum (sire Ascendencium sire
Delcendentium) primi, secundi, cercii, dec. in cerca aliqua proporcione. Sie in
proportione cripla, sradus ascendences extribene Priades, Fernionum criades, l’et
nionum criades criplicatas _c. hoc cA, Radioes, Onadrata, Cubos eco. Si enim
Ternio radix consticuatur; Ler  us erie numerus quadracieus, nempe nu
mecuo cernarius in se ductus; de ternionum crias criplicata numerus eubicus, nempe
ternarius in sii quactracum ductus; Lc Sic de careris.
Acque has raciones dedisse Tulticiar, cur crecams porestates Alcbricas melius per
Cradus Arichmetieos, seu numeros concinue proportionales, quam per dimentiones
Geometricas Hleterogeneas, explicari.
Verum cum jamdiu recepta fuerine vocabula, quibus porestaces Algebrica vul3O Potesta
exprimuntur; cadem de mihi non incommode adhibenda censeo: cum vocabula res alse
arcium lemel recepca, quamris Forre minus exacto rebus aptaca, raro Doltint ciera
ricaS, Cut
Frarius incom aI. Alalersuaeum, quod si trequences hujusmodi antiquis
pro cujulris arbierio tierene immucationes, non modo pluribtie quam necelle el bus adhuc
mini-
vocabulis oncranda eec memoria, cum et anciqua de nora sint addiscenca _ ZCCOF appellan
danda, ne varii auchores varia nomenelacura ucences incelligancur; illud incerim das duxe-
Scarius c, Guou Calen rocabeta, vacto TCMtu a VarLIS MIIDaCa contationem non rim.
raro haud exigug a. Suetat lale e, ractas Porectares AIBCbrI.
Cas, quocunque appellentur Hone,  allu esle Guati Luetos tive. Fincas sive
alias cila sces rcem homosencas, continne proporvionalesi
Ec aucem numerationem Algebricam plenius absolvam; seiendum est hujusmodi Notatio
sire poceltares sire gradus (cum non ila commode postint ac numeri simplices Mec
decupla proporcone potiis iplis caucltu Locis delignari) appoluis luis quibus cane
indicentur characteribus ateus oete; quates epe supra octendimus
lire illua Aftirmatirum, hoc HesaC, vel ilud Polucirum, hoc Ablacirum;
Sire (ut rulso cAerunur) 2 Jus d Mnus. FBo hoc cercium (cum Oushiredo) ad
vel A9 , 2 F
ustract
tur, non de Cubis, Ouacratis de Laceribus Gieomerricis instimi; sed de Numeri
Cum aurem hujulmodi pocestares plures tinus consanguncur, tic hoc non simpliciter
unam alteri immediare poltponendo, (prouc in vulsaribus noris numeralibus tieri
Colet;) Sed peculiaribus sienis hunc in tinem inventis collisaneur: Puneque ea
Prascrum hac cuo F ce= Guo Muu Aceo, Hoc Aoractonis indicium est:
jungendum exiltimo,  quod sic Musciplicationis indicium. Trem = vel 3 Gud lI
Aqualicatio nOta. SiC nuerUS (TUPTA MEMOTATIS) 27, racon cpa conide.
ratIIS CxIE 22 F 7 vel 2R. F 7 vel 2A +7, HoCC, dua raclecs le dccalles de
leprem unitates: In propolce Glapla CIL L28 12613.etf2l1 3.
+
Let u quacat SeH GuaterMo.
num qualetMIIO) de duae radices (seu quaterniones) d cres unitates: In BoBO
EIONC EIpLa, CxIT Z ~ vel ZC vel ZA C vel L a; hoc est, unus cubus, le lelnjo.
num trias cripla. Nel eriam in proporrione decupla idem numorsL, ct3 
vel ZR -L 3, vel 3 A = 3; hoc cB eres RadIS (SCH aCCades) deMPCS crIbUS nI
cacibus: In quadeupla, 223  320 = 1
3R - 2, vol DA9 F 3A =
vel Fa f Za L Y: hoc elt, unum quadratum (leu gnaternionum qualeLIIIO) ee
tres Kacices (seu quaterniones) demptaunitate: Lc pariter in aliis. Reque hujut
Alsebra
modi sine illae tormolae locucionis ordinarix, cum, pro Novendecim, dicimus Onae
vieinti; pro Octodeoim, Duodevisinti ec. hoc e, aisinti dempro uno, vieinit
dempris duobus exc. Fale quid innuieur, cum pro 4. 9. 49. de Teribieur IV. 1X.
XIX. hoc etL sLY, 2O -LF, 20- f 1OL- Y. Trem 40, 30. 99. _c: XL. XC. XCIX.
hoc ell, 50-10. 100- 10, 100-101
10- F. _C. EIquo haec nOcLO AI.
Ebrica, Seu nuMErOruM COMEONM SI
Nocandum est alltem incer Algebram Veterum, _ Recentiorum hoc praelextim veserun
dilerimen incercedere; quod Veceres Tolebane numeros cancum actuo isnoros de e Recen-
inveltisandos characteribus Costieis exprimere; at Recenciores Alsebrilta, tam Liorum,
nocos quam ionoros lic lolent exprimere. Vr suo loco voltpatebit.
H
Incercosabi torlan aliquis; Quortum haec nora signa seu symibola aethibeancur virius-
veusus.
nymeris exprimendis, porius quam rulsales uletor Lola
RCBOI.

## Folio 58 — 851387705:0078
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000078.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
PTOT APTONE.
Respondeo; Triplici de causa hoc factum esse; partim Necesticatis, parrim Bre.
ritatis, partim Pexlpicuicaris (atque adeo Vrilitatis,) gratia. et is
Primo, inquam, Necestitatis cauta: cum, pro numero aliquo achue isnoto, Tub.
Hlituitur Cymbolum leu character co ulque dum innorescit. sie se
2 Brericatis de tacilicatis caula, cum illud non raro citius peragamr per lym-
bola senspecies, quam per ipfosmumeros. a
3 Perlpicuitatis adeoque majoris Ociliratis gratia: ubi enim per Lymbola seu
species procedit inquilirio; toca operationum series sic peracta cridencius in ipla
tandem quancitate proreniente paret; quod E operationes iplis mimeris perageren
cur, quamris eadtem randem prorenire pollet quancitas quaesicas nulla camen iplaruin
operationum restigia superessent. Fa vero qua provenichquactionis solucio in
hujusmodi symbolico operacionum proorellu univerlalem ostendir mechodum,
qua non modo propolica disticultas speciarim solratur; sed de intinitae alia quaestio
nes coniunctae eadem opera solutionem accipiane, si generalis nempe Solutio Dro-
reniens speciatim applicetur prout qualtionis. hyporhesis rariata poltulat. s
Exemplo Res tora exemplo melius pacebit. Operae precium isicur existimo problema
ostondi quoddam non dittieile breriter lubjunsere, quo moliuis perspiciaeur quid ea vetine
quae diximus. (Ubi tamen veniam me tacile consequucurum (pero, li nonnulla de
Additione, Subductione, Mulciplicatione, de Diritione ranquam jameognira adtii-
mam, qua sunt post tradenda e aur falcem siquis mihi hane reniam non lic conceltio
rus, pocerit ille hujusce problematis solurionem consquo ditterre, donce ea tierint
tradita: non enim eso illam hric loci Srosemnnus propono, led TanEI EEnguS. )
Flto igitur hoc Problema propoticum. ust cerer sluceson
ec Accesuvirso quaedam eres successire Diros, puta Torems Apollinem, Palla-
dem; Orarit Jorem, uc quos ipsa lecum acculerar nummos ille duplos etticeret:
ac quo praestico, reddidit illa fori gracicmdinis erso ires alles; Apollo deinde limili
 Foratione lcompellatus duplarit rirginis nummos reliduos; cui e illa cres Rarim
asses pependit; reliquos autem ad Palladem acculir quosipla seminarie; cur d
virgorres item asses donarii loco obculic; Ouibus peractis, unicus randem actis
ec rireini relietus erat quem secum auterret. Ouaeritur; Quorprimum iactulerat dts.
AVBc
Abess da 8d Tresu sapplea ordine Divos:
Et tunt abbenens asses, quot nescio, secum.
Protinus illa Tovi tres asses erata pependit
caste(eset Ae
duorque superfuerant duplavit Fhaebus Apollo:
Cirata itidem Pbaebo tres vireo reddidit abes.
Ladus cura religuos deminavit Virvinis asses.
assibus e tandem tribus est donata Minerva
Onieus C superest, quem secum retrulit, assis.
Dic mibi, quot fuerant, quos primo Y neo ferebat.
Cdclit SipeII 
e
.S.
Hloceso ut solram problema; Primo juxca. Vocenum AIBCbraM PYO RVunLI
adhuc ionotis Characteres coltieos Tublticuam, notos aurem noris luis characteri
bus detignabo: Deinde vero, juxta Recenciorum merhodum PrO MuMeTIS TaM AO
eis quam ignocis symbola Tublcicuam ulque dum ad lolutionem perrenero: SFhoc,
pacto utriusque inethodi exemplum praeltem. 10
Primo. Pro ignoto altium allatorum numero, substiuo r 20: hic autem nume
rus (quantuleunque tuerit) a sore duplatus fic 228: hinc dempris cribus allibus
fori lolucis, reltant 2 88 - 3. hoc reliduum cum seminarerat Apollo, tiune
428 = 6: hinc cum tres achue alses ablaci fuerint, Apollini cradendi, manebune
428 - 9. hoc residuum Pallas duplando efticir 82 - 78: unde cum eres insuper
altes sint achue auterendi qui Pallacti cribuantur, manebune tandem 8 R - 2F
Ac in quaestione proposira unicus altis superesse dicitur. Frgo lacuendum est
BR - 2r tancundem esse ac T. Hoc inrento; Ouoniam B R =, 2E ==T, (addi-
eiS Urinque 2F) CrUnEBR = 22. ErBO 4 R = IT. EL 2R =53. RT, denique
TR = 23. AC I R ponitur numerus altium allacorum; eranc ergo alles allari
28. Tocus quippe operacionis progrellus sic simul conspiciendus clt. d
Pater hinc Characterem CoAicum XZB, ret ER, necettuacis caula primo fu
isle
supiter oratus, duplavit vireinis asses.

## Folio 59 — 851387705:0079
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000079.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
le
1ni
eni
1e
lu
a
Cap. X
L+ l et L B l
ille poticum; quia cunc iptius valor nondum +=
INBOLLCTA, LLA GLaTENCL CTaT. NON LAMCN X2C
acleo ablolure n CCHIATLI CFAE (In pratenL
proltenne) hoc paclo proccdere, acli nulla
alia mechodo qualtiOM relpondLrL pOEVCrI:
Nam, quamris illud torcalle in dittic lioribus
22
22
Problemuis non raro accicar, non camen adeo 23 = 3
dillicilis Cl praeteneis qualtionis soluuo, quin 420 - 6
uc poltic cura opem Algebra inveltigari. NCM.
De hoc paclo. Si reliduo 2, TCLICUANEUT 3
(qui nuperrime Paltach lolrebaneur) tiunc a
(TOE erHO PAllade AUPLANLE pTOVCHETAHE) ho
rum semiltis 2, ML AMerUS alium ad PaII2. 82 - 18
dem altacorum; quibus si acjieianeur 3 C qui
nuper solue tuerane Apoltini) tiunc 5, (10C 82 - 21 =
ergo APOIIInC CMPIAMLE PTOVEHETANE:) hOTCMI
DuS Si adjICTANCUE Z (que Mciper derracti crane
 22
Tolrendi sori) tunc 53, qui dyplance torc,
20 - 1
e = 5:
PrOVeNCTAHE; horum ergo semiAis 23 elt nu  22 = 23
merus altium ad jorem allacorum; qui elt numerus quaelicus.
cacis memique emersu il toturio lemel invelcisaca pollic etiam aliis hyvoctcl.
cron semillem 23 de APeeM alculerat; quI.
Ouamris alte In Bujulmodi Brinoris dittieulcaris  leltionibus non sic absolure
necectarium ne Mecodo BCbICd. Pel Aal . LiC Catttes lcili-
bus applCAEL; nec OpuS LiC pO TinGnIIS quaItOnS Pattationibus loa eperatIO.
num lerrem C novo ordiri. Verbi GrACA. SB CaLCHS HL PEUIS MIENEIBUS, d1.
camus 3 alles rundem 1Epcrelle; CHlenc  d = 21 = 3: ielcoque 8 l = 2
BR-
+=
= 26
&e R = 3. Si Superelsene 5 altes, cllene 8R - 21 = 5:; ideoque BR = 26, de
R = 34. Lt Pariter laciendum erie si plures auc pauciores alles luperelse dicatur. Ve
8H - 21=
2
8R - 21 -0
=
Sccundo. Fuxta Alsebram sive Analyricen Recentiorum, qui non modo pro
numeris ignoratis, led ee pro numeris datis, Cymbola substieuune, solutio prove.
niec magis actiue univertalis. Verbi Gracia. Pro numero quaelico, CubsLIEIaEuE A;
pro binario (quia nempe tuc aliquacies numerorum duplicacio) B, e deinde pro
rernario (quia nempe 3 aliquoiies auteruncur) C, ee denique pro numero retiduo
(qui hic cst L) D: peoxrellus erie hujulmodi
B9A BC
c
_c.
BCA - BgC - BC- C-
Hlaec alitem symbola paricer praestabune quaesicum, sire quemlibet Dirorum allalos
nummos duplare, criplare, quadruplare, dec. dixeris; (nempe incerprecando B.
DrO 2, 3, duc 4 _C.) item sre cres, Quacuor, auc quinque _c. altes lingulis cracti
105, (nempe incerpretando C de 3, 4, 5, _c) e denique sive unum, duOS, TrES,
Ccc. (nempe incerpretando D, de 1, 27 3, dec.) alles candem superese dClIS.
Si enm quemlibet Deorum nummos duplaste dixeris, erie B= 2, B9 4, BC- 8.
Si eriplalle dixeris, erie B = 3; B9 = 9, BC = 27, dc. Deinde l cuivis tres
altes redeicos dixeris, eri C-= 3; li quacuior erit C = q dec. Venique li unum
superesse dixeris, erie D = E; (I duOs, Cric B = 2, ec. Aded B ractala
typocheli rarialca CTM IOLHLIOIIS INTErPECTaLO.
BCA

## Folio 60 — 851387705:0080
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000080.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
BC
BCA - B9C-
=P
54
Et similiter taciendum eset quicunque essene alii numeri in quaestione polici.
Acque tractenus, Nocationem Alsebricam, Collicam, Symbolieam lire Speciolam.
quancum opus est explicari.
Lractio
Fractionum sive Mlinutiarum PTotatio. Fractionis Deno-
minator. e Numerator. Minutiae minutiarum; Fira-
etio propria, impropria. umerationis FpiloeuS.
PNicum achuc superelt quo univertam numerorum Nocarionem absolvamus:
M nempe Notatio Fractionum, lire Minutiarum, quos Numeros Fractos au
pellare Colent. Ouamris enim Fractionum natura pertectius intra incelligetir,
Poltquam Racionum sire Proporcionum nacuram explicarerimus, Operx tamen pre-
eium esse existimo, ca de re nonnulla hic adjunsere, ne cui manca videatur Noca-
tionis cradirio, si illud hic loci prorsus negligeretur.
Sune autem Fractiones, Ceu Numeri Fracti, non tam numeri, quam Onitatis
fraementa. Ouanquam enim, ue supra dictum est, Onisas sic Numerorum mini-
mus; (cum paucius quam Unum elté non possir, neque aliquid rarius quam se
mel:) actamen Onum illud supponi Tolet (uc quid continuum) in membra par.
ciri sive plura, sire pauciora, (prout res postularerit) aequaliâ tamen.
Prouc aurem membra illa aequalia, sive partes aequales, alio atque alio numero
este poltune, ita ec aliam arque aliam Denominationem lubeunt. Ita liquid unum
in duas parces aequales partiri supponatur, illarum utraque Semilsis dicitur; C in
tres, appellantur Prientes; li in quatuor, Ouadrantes; s in sex, Sexcances; S in
octo, Octances; sic si in decem partes dividatur, qualibet carum dicetur pars de-
cima; et sic in aliis: Graeci dieunt remubecor, erapmuecor, e Inecor Exuoecor,
senemuecor, _c. Elaec aurem denominatio, in scribendis Fractionibus, ex PFIIUK
Figura analosa lineolae subleripra.
Fractio. Duoc aurem harum partium altumpras esse supponitur, alia tigura cidem lineolae
nis Nu- Supraleripra innuitur. Sic 3 duos trientes tigniticar, io unam partem decimam, Teu
merator. Sergmuer, Q tres quadrantes, 3 quincuncem, leu quinque partes duodecimas, lic
& tredecim partes centesimas leu eransnuea  undecim partes vicesimas; TCu
cixosmuoera lignitieane. Pt pariter de Limilihus dicendum elt.
Duobus isitur numeris Fractio seribitur; quorum interior Denominator appel-
laCuE, TUPCTIOF Numerator: Ouoniam ille paries Denominat, ee nosmuoeior leu quota
pars sic numerandarum qualibet determinac; hic vero parres. illad Nlumerat, de
quos partes ejulmodi sinc allumendae oltendit.
Minuriae Si vero partium partieula nOcanda DCCUFraNE, leu (UE ADDEllanUE) Minutia
Minutia-minutiarum; Duca unius quadrantis dimidium, vel duorum quintantum tres qua-
arantes, alixque ejulmodi; illxe li opus est, sic seribi consuererunt, E L e a 5
nempe lincola in priori parce omista; vel sic etiam Z ex s et q Cx 3, majoris per-
spienicatis pracia: Sed et sie teribi nonnunquam postune P. _c. Malem eso fic
seribere
Fractio.
num N0
tatio.
Fractio-
num Ori
nis Deno
vinato
um.

## Folio 61 — 851387705:0081
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000081.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
10
a
e
Dea
111
M
le
1
1
1e
Cap. X
At
L N U Y I A R U M.
Scribere  in 3, de 3 in 3, vel 3 X +, d 3X Z; hoc Mt, semissis in quadrantem ductusi
de tres quadrantes in duos quintantes ducti. EIt enim Ouadrancis dimidium, ni-
hil aliud quam quadrans per semillem mulciplicatus; ee duorum quincancum qua-
drances cres, idem ralene de quincantes duo in ires quactrances ducti: uc poltea,
cum de mulciplicatione dicendum exie, pacebuc.
Sciendum aurem elt, in Fractione proprie dicta, Numeratorem Denominatore Fractio
semper minorem elle; quia proprie dicta Fractio, es quid Unitate minus.
Propria
Si quando vero Numeracor Denominatore major lic, vel illi aequalis; dicitur practio
illa Fiactio impropria, sive improprie dicta. Si nempe NumeratOY d Denomina impro-
cor linc aequales, idem ralene acque unitas; Nam 3, 3, 2, duo semilles, seu rres pria
ExIenCS, quamorre quadrances, cancundem lunc acjue unum inceorum. Si vero
NIICraIOE Denominatore major lie, aliquid unitate majus innuitur; nempe vel
Plures unicates; vel unicas una pluretre cum fractione annera: Sic Z quacuor se-
milles, idem valens ac duo intesra; 3 quacuor criences, idem ac 23 unum incesrum
uno crrence auctum; lic 3 elt 23; 3 elt 33. Ec sic in limilibus.
Ouod aucem de tractionibus sire propriis sire impropriis, vulcaribus figuris
numeralibus deseripeis, dictum Mlt; paricer incellisendum est ubi alia quaevis lym.
bola, seu porestacum characteres, tigucacum vice ponuntur. Sic = est : A, sC
mistis quancicaris A; de = innuit quancitatem A per quancicarem F divitam; de
E est radieis semis;  quadtraci iriens; 2 numerus uernarius per radicem di.
visus; (ic 2  + 37
TIa
et 22 + 32
vC
2 F3 vel 120 + 3 vel 22e + 13
Clt aBETEGATuM ex A9 _e B9 divisuM Per F. Acque ica in Simi-
libus. Verum haec mulco melius percipientur, postquam Dirisionis naturam expo-
tucrimus; Practio enim est quali Diritionis indicium; inuuit nempe Numeratorem
per Denominatorem diridendum csse. Incerim haec de tractionum Nocarione hic
Loci dixisse Custiciat
Adcoque commm illud Plocationis nesocium expedirimus; eaque omnia quae sub
lumerationis nomine Arichmeriei Practiei vulso comprehendunt; qua HUICTOS
apce scribendo e seripios incerprecando praecipue verlatur. Monendum autem
Cst Numerationis vocabulum alicer hie loci ab Arichmecieis Practicis uluxpari,
quam ubi lupra Arichmericam diximus scienciam bene Numerandi: Ilic enim
Numerare, elt in univertum Proprietates et ulum numerorum incerprecari ee
exercere; hic autem per Numeracionem, speciacim incellisune, simpliciora Arictme.
tica rudumenta, de Numerorum composicione, Nocatione, aliilque quali Proleso.
menis ad commodam Numerorum cractationem praerequisicis.
Acque haec quidem omnia quali Praemiltarum loco tune habenda, ad eas quae se
quuncur Operariones Arichmericas, puca Additionem, Subductionem, Mulciplica.
tionem, Divitionem, aliasque quae ex hisce componuntur operationes. Hucusque
enim quae cradidimus, porius ad placicum polita Cune, quam demonstrata; docenr.
que quid sibi rolune Arichmetiei per eas quas expoluimus Appellationes e Cha.
racterum disposiciones, quas ad libitum libi altumplerune arichmetiei quo metius
sequences operationes perticere valerent. Pc eo quidem loco Tunc habenda quo
Detiniciones de Perminorum explicationes, d quibus rerum Machematicarum Ceripio.
res ordiri Tolene. Vel, li cum Logicis loqui libeat, Objectum sciencia exposui-
mus; sequicur uc iptius Aftectiones inquiramus et demonstremus.

## Folio 62 — 851387705:0082
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000082.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
DDEZTON
Additio, quid: Axiomata aliquot, sive communes notio.
nes. Sidditionis summa seu accrecatum. Aaditionis
praxis, in numeris simplicibus. Sdditionis  Sub-
ductionis tabella; ejusque demonstratio. Aaditionis
pravis in numeris compositis: ejusque demonstratio.
Operationis compendium. Addutionis praxis in fractio-
nibus Decimalibus. Additionis praxis in variis Deno.
minationibus.
OR absolucam, in superioribus, Numerorum Nocationem, ad corum Addicio.
a nem accedendum clt.
Raditio Est aucem Addicio, Numerorum pturium in unam Summam collectio. Vet
Addere, cD, Datis numeris quorlibet, unum aliquem illis omnibus simul sumptis
aequalem invenire. Ruc etiam, si lacius libeat, quam ad Solos numeros, Addicio.
nis appellacionem excendere, erie Addicio, duantitatum plurium Hommeenearum
in unum Arcreeatum collectio. Nam revera eadem omnino cA Adaitionis notio,
lire in Concmua sive in Disereta quancitate.
xioma. Duo melius aucem in sequentibus procedamus, sciendum cst, in Arictmetica,
ta- sive perinde ac in Geometria religuisque dilciplinis omnibus, Principia quaedam ver se
commu- noca neceltario concedenda esse, unde alia probentur; quae tamen Principia calia
nes Ho- TUnE uL ea nemo lanxe mentis nesare, aut quidem de iis (moclo sensum verborum
tiones.
incelligat) dubitare Dotic. Flujusmodi lunt Aviomata illa, seu Communes notio-
nes, qua Flementis Euclideis prXmIEtuntur; Quorum pleraque non masis Creo-
metriae quam Arichmetica conveniunt; Neque ab Fuclide proxonuneur quali Tolis
Maonicudinibus corporeis concruant, led qua quibulris quancitaribus, PrOnt OvIS
erii applicari postint. Ego ex illis ea selisam qua praelenci negorio conveniunt,
lineque haec quae segHUnEUE.
I. Duae eidem sunt aequalia, sunt e inter se aequalia. VE R tam linea A.
quam linea C, lic aequalis lineae B; crunc iplae AC lincae aequales
inter le. Arque de hoc nemo meruo dubirare porest, sensu verbo-
rum semel incellecto: Cum enim, ri rocis, Aiqualia ea sinc quo-
rum quantiras elt eadem, seu, quorum hoc cancundem clt acque
illud: Sicque quanciras tam lincae A gnam lincae C, ea quae est linex
B; Crit sineatum A et C cadem quancitas, (ea nempe uiriusque qua elt linea B,)
ipsaeque isitur aequales. Similiter in numeris, 112] 3 =5 = 4 Y F erir 2f 3 = 1 f 2
hoc est, si cam aBBrCSatUM 2 F 3 quam aggresatuIM 4 f F
ae
ter se aequalia; eorum enim quancitas est cadem; ea nempe
eeriulque quae est numeri quinarii. Rcque idem ommino obrinet
in Superticiebus, Solidis, Angulis, Ponderibus, rebulque aliis
omnibus qua quoris modo vel mensiirancur vel numeraneur.
De aequalibus equalia addantur, tota sunt aequalia. VF (I A = B
ett A F C = B F C; hoc c, si aqualibus rectis a B adcatur vel
cadtem vel aequales quancitares C, crit acpresacum A  C, aequale
agoresato B F C. Sic li 2 f3 =- 5 crit 2 f 3 ]. 2
que de hujus propositionis reritate quilpiam Canns dubitare ve-
terit masis quam de veritate praecedentis; cum utraque deven-
deat ex eadem Aiqualicaris nocione.
3. Si ab aequalibus aequalia subdueantur, reliqua sunt aequa
Ua. PNta A A = B erit A - C =- B - C: vel s A f C = B FC
erie A =B. Sic ( 2 f 3 = 5 exit 2 + 3 - L= 5 = +, aut
2
qui d

## Folio 63 — 851387705:0083
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000083.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
011S
it
DIIIS
2110.
tio.
2110
1110.
dicio
e
dicte
1
pBII
10110,
atia
eum
Cco
101
u
Cap. ZIII. D B A DD F FITONF.
( 2 f 3 f r = 5 + E, eric 2 + 3 = 5. Fltque hujus provolitionis rericas la
eis eridens; aue siguis altensum negaret, cosi pocerit ex praecedence. Suncque haec
crir axiomata, praeserrim in Aquarionibus Analycieis, perpecui utus. Sed de quae
seguuneur non minus sune indubitata.
4. Si inaequalibus aequalia addantur, cola sunt inaequalia-
5. Si inaequalibus aequalia auferantur, reliqua sunt ina. 3
qualia. Sune aurem haec duo duarum praecedencium con- 5
lectaria; acque exinde vel ostendi vel laltem cogi posent.
6. Duae ejusdem sunt duplicia sunt intor se aequalia. Se
quitur hoc ex secundo; nam 2 A nihul aliud Tunc quam A + A.
. Dua ejusdem sunt dimicia, sunt aequalia inter se. Hoc ex praecedente sI
opus sic cosi poull. Sed  hac Duo axiomaca pariter etiam valent in eri-
plis, quadruplis, ec. irem in crioncibus, quactrancibus, ec. acque in duplis,
ee dimiciis.
8. Locun est majus sua parte. Adco.
9. Porum aequatur parcibus sdis tomnibus sonct.
sumptis. Cum enim Tocum sic Tuarum parcium
omnium agerexacum, neto dubicise Pocerir quin iplum cancundem sic aique illae
Omties simul Tumpex.
Hlaec aucem omnia de siqua sune Tihilia, adeo sune pet se perspieua, ut nulli
dubitacioni sine obnoxia; quique hujusmodi quid negat, non sperandum est ut
ullis arommemis reneri velic. Religua Luelidis à Ecoara de ainiuar Potius Geome.
eried tune, adeoque non hujus loci. Ex his aurem quae jam cradidimus, ea quae polt
sequenur, cam de sadicione quatii hreliquis operactonibus Arichmecieis, denion-
Utranda erune.
Addicionis noca, qua nune dierum passim obtinet, cst L. Adeoque Si quancita Additio-
Les AB simul sinc addendae, ap Sregacum elt A f B; sic si 2 d 3 sine simul adden- nis sum
dae, agxresatum est 2 f Z Flxc Chim f additionis sire astirmationis noca, indi ma sive
Cac 3 vel B nunjerum seu quancicarem cyi pratisicr, Prxcedenci 2, vet A acaitam aBS esa
seu adjunctam elte, vel (R libet) adlclendam vel adjungendam.
n.
Verum illud alterius quaerie prachiens Arichmericus, annon (verbi oratia) illa saditio-
aeprebatum 3 Z postic alia fortma nocari quae rancundem valeat acque incerim nis praxis
magis sic commodas Cuunque valorem melins incellectui repraesentet: adeoque cum
(IC2 F 2
= 5, loco agreeati 2  3 substicuie unicum numerum 5 qui aspreeato
illi aequalis est, ee rancundem valet. Acque in hoc EOTM VerTatuT Rrihmetici
practiei negocium (non in addicione Colummodo, sed in aliis opcrationibus RricH-
mecicis, quod semel monnisse sulticit) uc quancitates urcunque propotitas seu quae-
sicas commodissima torma deseribere possic, acque intellectur extribere. AEque hoc
quo pacto in Addirione praestari polsic, primum quidem in nocis Figuris numera-
libus, deinde etiam in aliis speciebus (vc loquuntur) sive Symbolis, jam cractitu.
rUS FUM.
Numeri aurem addendi, suneret simplices sive tonadici, quales TUNCL, 2, 2, rC
liguique decade minores, qui unica tigura seribi Tolene; vel compotici, quales Tune
10, FF, 23, 20, 234, aliique in intinicum, qui conjunetis characteribus scribuneur.
(Illud enim per numerum compositum hic loci incelliso, quamris illud alias alio
sentu OcCurrere pOsTIE.) Vulso, qui uno charactere lcribuntur, Dieiti appellari
Volent; qui circello sou ciptra cerminantur Arriculi; reliqui, Compositi.
Simplicium numerorum adclitionem guele actinet, ea nacura pocius vel exercita.
cione, quam peaecepeis, est discenda: Puca Onum Oni addicum constitmere Duo;
irem Duo ee Fria conjuncta valere duingue: e lic in reliquis. Rcque haec TunE
adeo puerisnota, ut non lic opus ea tulius cradere. Si quis tamen poltulet ut
(promore) omnia demonstrentur; aut etiam liquis de majorum additione dubi
cure pollic: Subjecta cabella limplicium omnium addicionem exhibebit.
abella

## Folio 64 — 851387705:0084
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000084.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
 IVS
Labella sadicionis  Dubdct tas.
9 IsE 11C
174
122
lC2l23
14125
7 (8 19120I22172123124 I25I26] lil eile
5170IFFI72 (23154 (15 126I 17
3(20)FL 112 123 124 125 126157118
Si enim nungelocum addendorum alcex sumatur in summitate seriei crectae, al-
ter in principio seriei tranlversa, communis serierum concurtys oltender corum
aegregacum. Fxempli gracia si sumatur in vertice 2, ad latus 3, communis con-
cursus extibet 5, qui aequalis est avorc8at0 2 + 3.
t
Siquis denique vericacem hujus cabellae demonstrandam postu-
lec; illud hoc modo tiet. Verbi graria. 2 + 3 = 5 sic demonstra
cur. Ponancur primum duo puncta, et deinde tria, quae omnia si
numerentur reperientur quinque. Vel Sic. Guoniam nocum est
ex ipla numerorum proereguione (quam Cap. 5. eradicimus) quod
+ 7= 2
8. 8
DF 35.1 5  F=6.
= F, 10, 10 F E = LF. FrynCeciam (Det
axiomata superius in hoc capite eradia) 2-
F 3 = 5. Vet
F5 7 +
Acque eodem modo rora cabetsa demonstrari pocelt.
F1t A =F5. FFBO
=3 = FH. L,  4 Y F. = 5.
Si quis aucem Fabellam illam abbrerigndam cupias, vorerie illa quidem tieri
fere duplo minor. Cum enim lit verbi oratia A F 3 = 3 + 43 susticiac horum
summam semet poni, eo moco quo hic ostendicur: ubi duorum numerorum ad-
dendorum major semper in tromce rabella, minor ad latuS guxratuP, agGregaTum
In aCd., si 11 IBO 4 lr. M L
CF O BLA BACTIHA N WDE) CAITIVON
esp esst itga . V aaditionis Pabella Contractior:e l. sest BOWB SiIO
ot
pis
cccisite
ueua ciure l 10. 10Xc 2 1. 13 1 4 1 5 16 1 71 8 191A 10
1od. lori 1 eril E X 1 2 1 3(1 4 1 5 1 6 17
5 eF 3uril 2
l 4
5
19120
D 17OIFF
1us estat p viloguavs 13, 3 l 8 102 l. 8, 1 0. 140 1. 22 1 22
ressacrest CucLLNMELS eBSMN C 8 I 91I FOI FFI X2 1X3
cila em te holle eiremup Wvilloni 5 [10 I EF 1 121231 14
iseos l.
NEV. ∞F7
de 
uit vd vet
21s 5.l..C) 1g
clicto vec
5 l 12 1 13 124 125
1
7 124 I 25 1 70
2611
2
esitsi
In numerorum compotitorum addirione major est difficultas, quae tamen, tot
ex simplicium additione dependet. Hloc aurem quo commodius trat, numeri ad
composi dendi ita seribendi sunc uc unus alteri directe sublic, ita nempe uc Monades unius
Monadibus alterius subsint, et decades decadibus, reliquique loci inferioris iisdem
respectire superioris locis lubseribantur: quod Faciendum est sire duo sire plu-
res quoeris numeri addendi sinc: acque deinde, ducta lubtus lincola, aggregatum
monadum monadibus subleribendum, decadum decadibus, centuriarum cenutriis
arque sic deinceps. PNempi gratia. Addancur 25634 + 63152. Nlumeris isitur
XIE
8 170
sit qulo vic 11
In NU.
meris
11.
s
2

## Folio 65 — 851387705:0085
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000085.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
ollu
nllia
tiest
DE A DD F PFON F.
nadum, pro 4 F 2 lubseribo 6: in columella decactum plo 3 +5
Tubleribo 8: guia scilicet (per cabellam praeccdenet11) 4 2 6
3 + 5 ==8. atque eodem modo in reliquis columelIS reperio
3=8. 2 76 = 8. acedse cum subleripia
4.  2 monacibus, 8 decades = 3. + 5 aCaS,  CCHTTI =-6 f Z CeNEUI
4301201375032 = 848
Non raro aucem accidie, parcicularium ser tecu summulas cancas este, ut unica
63152 430120
88786 315032
848757
rice seripris, de lineota ducta; in columna seu columella mo. 25634 103605
30766, omnium parciculis limue us aesuales. Acque eodem modo 103605
figura illa seriei subleribi non polline, (Guottes nempe summula numerum nove
narium excedic) quo calu ulcima summulae tigurae luo loco subleribenca CrI,
roligua alicem loco proxime luperior (au n pates  proximis quoc opus
Cst Wdeis) adeoque lingula (si libet) summulae distinetis lineis seribi pollune; uc
in exemplis subseclis primo de secundo; vel eciam concractius, uc in cercio de quar-
10; illiel aurem semper carendum, nequa tigura debito loco extrudatur, sed dua
semnula cujulque seriei, ejuldem sellet paccieutis aequetur; (puca s monades
riis Sc. ) crunc omnium summula limul lumpex (debica locorum racione habica)
vocins cidem seltet subleribenda lunc: illae aucem lymmulae, in unam deice t
mani (eocm aeciticio) collecta, numerorum aclendorum Lummam inceoram, sive
aesregalum exhribent. Non aucem omnino retert Ie L deaela live a linustra ope.
ratio Ordiacur: Neque etiam retere quis aceendorum Metus suplemus sIE, quIS
Secunetus, _c. (modo illud semper caveacur ut monacles monadibus, decades deca
dlibus, ecc. directe subtine, uc vicetur contusio locorum,) Addicio enim non 2d.
dendorum ordinem inguiriu sed axelefacutu. Patet hoc ex Suhjoctis exemplis, ubi
eadem summa, diverlo camen ordine, emet s.
0860.
87908
05586
7590
37
a
25 cencurie
35 decadCs.
37
mades
05588
98697
87908
590
75
B-0
De
8
98607
88
340873
349875
349873
In his omnibus exemplis, lummula monadm (lire intinae seriei) cll 23; suib.
seripta igicur luo loco fisura 3 (Dro cribus unicatibus) seliqua tigura 2 l0co
proxime ascendente scribenda, quam sive 20 unitates live 2 decades signiticare
dicamus, perinde est. Sic summula decadum est 35; subleripta, is itur 5 in deca-
dum. Perie, reliqua 3 Scribeta, e su serre proxime alcendente, ut 30 decades,
seu (quod idem elt) 3 cencurias ligniticet. Ec pariter in reliquis. Omnes aurem
summulae collectae, exhiben 349873 Lummam InFEOTAM.
s aequalia aequalibus addantur toca sunt aequaliu. Puta li pro cora monadum se nis de-
rie sublticuancur monades 23 =7 + 8 + 8 f 0, tancundem extribetur; deinde s.
Dro decadum serie sublticuancur decades 35 =- 9 + 9- F 8 F 0, tancundem adhuc
exhibetur; icem si in reliquis seriebus Tubsticuantur 25 = 6 + 9 + 5 + 5, et
+ 7, et 32 = 9 F 8 + 9 +6, tancundem achue extribetur;
adeoque lummystae invenca aae LH PrONOCI.  CaleM tatIONC) sum-
estra
Louus procellus demonttratio depender ex illo axiomate (Paepius applicato) Aaaio-
suularum lumma aequabicur ipsis proposucis numetts.
Hic aurem procestus (quem perspicuicacis pracia distincte proponendum dua L. Operatio.
o UE operationiS racio perspiciatur) Dorest aliquanculum (praelerL CACTCILALS) niscom
abbreviari, si nempe (a graclibus intimis semper incipiendo) cum Gracus unIuS Pendrum
lummula invenca est, ulcima iptius figura Ctarim luo loco subleribatut, ce reliqua
H qua Sic) memoria retervecur (auc s libet, duabus LincotS, ne memoria exci
datus incer polica) sequenci Marim tertet alnutitet. Ebc Bdelo.
Suonium

## Folio 66 — 851387705:0086
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000086.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
Fractio-
num D
cimalium
_AL DDE PIO N F.
28607 98697 Ouoniam in serie monadum, est 7 + 8 =15.
95588
2
95588 23 +0 =23. Tubleripea Figura 3, reliqua 2 (memoria reser
87998 87998 rata, rel lineolis incerseripia) Ctarim sequenti leriei adjungitur
67590
57590 hoc modo: 2 +9 = LT. TT f 8 = 20. 29+9 = 28. 28.9
subseripea figura 7, reliqua 3 cransteratur in lequentem seriem
349873 2232 Tic, 34 6 = 9. 9 + 5 = 24. 24 + 9 = 23. 23 +5 = 28. TaB
349873 Teripta 8, transteratur 2; adeoque 2 f8 = 10. 20 f 5=
25
15 F 7 = 22. 22 +7 = 20. Tubleripta 0, transteratur 2; Crit
que 2 f9 =FT. TF + 9 =- 20. 23 f8 == 28. 28 + 6 =-34. Subleribatur 4, et
in lequente seric (quia nihil ulterius addendum reltat) 3. eritque Tumma tocalis
UE pTIUS, 340873
Cur autem Apuras sequenti leriei annumerandas, non memoria tantum reser-
rari, sed e duabus lineolis incerscribi polle dixerim; rario est, quia non rarO ex
pedit in grandioribus numeris, praeserrim cironibus et parum exercitatis, illud sic
fieri: eo scilicet Fine, ut, liquando operatio de errore Iuspecta sir, cujulris serici
summula commode Dollit leortim examinari, exrorque liquis sic, tacilius dereoi
quod quidem non adeo commode perasi porerit, si, peracta opcratione, nullum
restisium remaneat numeri ab alia serie illuc ranctari, see plurium serierum ope-
ratio iceranda exit ut unius error deregatur.
Si quando numeri addendi tractiones decimales (ur LOguInEF) annexas 
beant, seu (quod idem cst) Sradus aliquor intra unirarem descendentes, operatio
eodem ommino modo peragenda est, quo in numeris inceoris sire absoluris, e
iisdem principiis demonstranda: Illud aurem caure prospiciendum est, ne practus
contundantur: Adeoque non semper ulrima tigura unius numeri ultimae alterius
est subleribenda, sed gradtuum ratio sic habenda elt, ut monades monadibus, de
cades decadibus, ec. in cadem serie Subleribantur; adeoque linea separatrix (Tire
27, 25
O. O0
16.
rationum 36. 7
illud quod separatricis munus obic) in omnibus numeris apte conve-
niac ut in exemplo adjuncto videre est: nempe 17 (5 F 3B f0(005
F 16 = 36755. Néque ulla hic nora disticultas OCCUEEIE.
Si quantitates addenda ex pluribus constent Denominationibus (ut
Ioguuntur) pront in addendis Moneris, Ponderibus, Menturis, NOc
bus, ecc. concingere solet: curandum, uc quories interioris alicujus DC-
nominationis Cummula consque excrescit, uc unitarem proxime luperio-
ris denominationis rel aquet vel excedat, (aur etiam duas aut plures unitates,
Subserihendus est suo loco excessus (siguis sc, vet si nullus SIF, Ciphra) et reli-
quum superiori seriei adjungendum est. IIlud igitur curandum elt, ue sciatur quot
lib. s
d
07. T9. 04
76, 08.06
08. 13.0
unitares Denominationis inferioris unitarem luperioris Denomina-
tionis adxequent
Exempli gracia. In addendis moneris Anglicanis: r2 Denarii
constimune unum Solidum; e 20 Solidi unam Libram Ansticam
(Stertine rocant.) Ideoque in exemplo appotiro cum numerus de
nariorum AIE X7 == 22 F5, in Denariorum loco Fubleribo 5; 
pro reliquis +2, adjungo x solidum proximae scrici: Deinde, cum
Tumma Colidorum (simul cum = eransisTO) SC 4.+ = 40 + L; Tub
Serie Polidorum scribo =, ec pro reliquis 40 adjungo 2 libras
ProximX leriei: Denique libearum summulam (cum 2 cranliniltis) reperio
33. Adeoque omnium addendorum summa reperitur 33 libra; F Solidus, et 5 de
narii.
sig. erad.
Fodem modo in Fractionibus Altronomicis (ut rocantir)
addendis procedendum est. Ubi dirilo (rerbi gratia) Zodiaco
in 22 signa, e quolibet signo in 30 gradus, quolibet gradu in
60 minura prima, ec quolibet horum in 50 lecunda, e lic dein-
ceps; Pro 60 secundis substimendum x minutum primum; pro
60 primis, + gradtus; pro 30 gractibus, + sixnum. Or in ap.
Dotico exemplo videre est
Acque eodem prorsus modo in aliis ejusmodi Additionibus
procedendum erit, ubi denominationum pluralicas occurrit. Nec
quiequam incerese discriminis, nili quod nunc plures nunc pauciores unitares in
gradu interiori, adaequent. Onicalem sradtus proxime superioris. AdeO uL nOn
lc opus exempla plura subjicere.
Addi.
33
d
8.
Aaditio
Additio
plurium
Denomi.

## Folio 67 — 851387705:0087
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000087.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
dIu
eet
(SirC
nc
ese
122
lou
11
eo
libia
ne
de
11vC)
AetM
11
Na
Idd
Cap. XIV. DE SUBDUCTEONE.
Rcdlicionis praxis in speciebus (ue lognuntur) sive Crmbolis, se in poceltacibus
Algebricis, interius, polt explicacum Numerorum subductionem, cradetur.
C A P. XIV.
Subductio Sdditioni contraria. Subductio quid: Sub-
ductionis praxis: in Numeris Simplicibus: In numeris
Compositis. Praxeos demonstratio. Pranis in partibus
Decimalibus: in variis Denominationibus. Subductio
majoris ex minore, impossibilis. Duantitates necativae
seu Ablatitice; non ab sur de supponuntur; quid innu-
ant. Sub ductiomajoris ex minore, quatenus supponi-
tur praestanda.
TOA Addicionis craditionem, ad Subductionem seu Subcractionem deveniendum subductio
est; quae addicioni concraria ct: VE enim AadiciO NMMeTUM NICTO, vel Addisio-
Faltem Onancicaum quancitati, adjunsit; Subduetio d CONETA NUICrUm NuMeIO, ni con-
vel Ouancitarem quanciraci, autere: Adleoque quod Addicio componic id Subductio traria.
diltolvu. In praxi Addicionis, dacis parcibus invelligatur Focum; in praxi Sub.
duetionis, Dato Poco cum parre una, quaeritur Reliduum seu pars reliqua.
Fst isicuE Subducere, Numerum a numero, vel potius duaniitatem a quantitate, Subductio
auserendo, Residuum exhihere. Subductionis aucem live Ablationis noca, hac ette quid .
Tolet -. Adeoque li ex s auseramus 3, reltabic 5 - 3. Si ex quancitate A au
feracur quanciras B, manebic A = B. Ellud aucem Arichmeciei practici, in praxi
Tubenctionis, munus elL, ut Reliduum quam tieri pocelt commode nocis exprimat,
ejusq; valorem incellcetui extribeat. Ouod quo pacto tieri postic, nunc cracticuri lumus.
In numerorum subductione, numeri duo dancur, quorum alter ab alcero aute.
rendus elt, de cerrius quaerieur. Numerum illum a quo alter est auterendus. Nu
merum Minuendum appello; auterendum vero Minutorem; tercium autem quem
quaerimus, R siduum voco. Sic li ex numero quinario auterendus (ic cernarius 3:
NumerUS Minuendus CHE 5, MINUTOY 3, qui reltat auTCM 5 = 3 == 2 RCliduns clt.
Vel univerlim ( quonam alins eriam quantitares subducendas elle non raro acci.
dic) diei voltun Guancicas Minuenda, quancicas Minuens, e quantitas Residua,
vel Locum, Ablatum, Residuum
Numerorum simplicium subductionem nemo supponitur ipnorate, sed vel na- Subdu-
tura vel ulu quocidiano didicisse; ut li ex 5 auterancur 3, sectare 2. AucCaltem, ctionis
E illud docere lic necesse; potiris cor punctis quot est numerus
minuendus, puta 5, l tor deleaneur, quoc est numerus minuens
leu anterendus, pura 3, icllase deprchendemus 2. Vet denique
Tabella Radicionis e Subductionis.
numeris
semplici
Pt a 61 5 21
C4  25 I16
2123124125 (26) 17
8(20(T2I12113124125116127118
ex tabella quam supra poluimus, illud depromi porest. Si nempe AILIMIEruS MIUI
ens vel auterendus in summitace sumatur, puta 3, acque interius u Caclem columna
GuXTaTUE

## Folio 68 — 851387705:0088
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000088.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
l
SUBDUCTIONE.
quaeratur numerus minuendus, puta s, habebitur ad sinistram numerus residuris:
Atque eodem modo in aliis simplicium subductionibus perasendum crit. Detmon
Itracio Patis patet ex iis quae de Addicione lupra diximus.
UBi aurem mumerorum compositorum unus ab altero est auterendus (vel qui-
dem limplex d compolito qui numerum +8 excedit) Minutorem FolemuS Minu-
praxis in endo ita lubseribere, ut linguli interioris numeri gradus iisdem luperioris gradi-
bus directe Tubline, (puta Vnitates unitatibus, Decades decadibus, Centuria cen-
curiis _c.) Deinde a dextra inchoando, singulistiouris seu noris numeri (ubdu-
cendi, ab ejusdem sradus noca in numero minuendo, sigillatim subductis, parti-
culares numeros residuos luis locis subseribimus, quorum omnium aggresatum
elt cocius subductionis peractae Residuu. Sic (I CX
2755898 Minuendus 2755898, Tubducendus lic numerus 650+67: nueris
650467 Minutor
170543F Residuus
his ita Scripiis ut minutoris loci primus, lecundus, Tex-
tius, _c. (a dexira sire gractu intimo inchoanco) ii
dem numeri Minuendilocis sublint: primo, ex 8 uni-
catibus subductis unicaribus 7, manet unitas L, (nam 8 -7 = +) Sublcribenda
isitur (intra lineolam ductam) noca I, deinde ex decadibus 9, subductis 5, 1n2
nenc decades 3, (nam 9 = 6 = 3) Subleribenda igitur decadum loco nota 3: e
eadem ratione, centuriarum loco, subleribenda 4, quia 8 - + = 4: d Sic dein
ceps5 = 0 =5: 5 - 5 = 0: 7 - 6 = F: denique cum ex L in Loco Lupremo
nulla noca subducenda reltat, Tubleribenda L; nempC F = O = T. AdlCOqUE FOLIS
Rcliduus clt 1ZO543F = 1755898-650467.
Vel etiam Reliduus luperne nocari porelt, deletis succestire noris ram Minu.
endi quam Minuroris. Sic quia 8 = 7 = F, deleris 8 _ 7 LCPONO L: Ilem
quia 9 - 6 = 3, deletis 9 et 6 revono 3: sic pro 8 = 4, repOHO 4: et quia
=0 =5, tiguram s incactam relinquo, vel deleiam rectituo: pro 5 - 5, repo-
n0 O; PrO7 =6, reponO T, denique 2 (quia nihil inlupex
20543F inde subducendum cst) intactam relinquo; Reliduus est idem
(788898 qui prius, 170543c. Oc in exemplo appolico videre clt.
68f 487
Ouories aurem continsit notam aliquam numeri subducendi
nota libi supraposita majorem ese; augenda elt nota (UPTaDO.
Sita mutuata F ex loco proxime luperiori, quae in loco praesenti valebit 10, adeo-
que sac grandem numerum efticiet uc inde noca lubleripea auterri poltit: adeoque
730582
51368
TF Y
nota Minvendi in loco sequente supponenda cs unicare minor jam
facta quam prius erac; vel (quod cantundem valet) noca inde aute.
renda supponenda erir unitate aucta: Onitas aurem illa mutuata (A
Libet) Porest duabus lineolis (memorix gratia) incerponi. Sic si
679224 ex 730582 auterendus sic numerus 51368; numeris rite seriptis, ex
unitatibus 2 auterendae occurrunt 8, quod cum tieri non possic, mu-
mata ex sequenribus Z decade (quae ralet 10 unitares,) tiunt unitates 12, unde
Tubductis 8, rectant 4.
Deinde in loco sequenre, ex decadibus B, subductis 7 = x f 6 C nam una jam
inde desumpra in unitates resolura priori loco annumeraca CA, _ 6 in super jam
occurrunt Lubducendae) restaeF: tum e millibus s, subductis 3, reltant 2: de.
inde in gradu sequente, subducto F, ex 20 = 20 F0 (mutuatis nempe r0, uc tieri
possic subductio) restanc o: irem subductis 6 = L. F 5 (propeer x jam subductum,
e 5 jam lubducenda) Cx 13 = 20 -F 3 (muruatis nempe 10 uctieri poltit (ubdu-
etio) reltantz: ec denique 7 = = (propter F inde jam muEatII) == 5. Adeoque
totus numerus reliduus elt 679214 =- 730582 - 57368.
Acque jam racio paret, cur, in subductionis praxi, a dexira sire gractu intimo in:
choandum esle dixi: Tr nempe numerorum ex gradu luperiori ad interiorem erans.
terendorum (uctieri pollic lubductio ) ratio habearur, quod non adeo commode
tieri porest (i a Cmistra praxin ordiamur.
Si tamen libeat a siniltra inchoare, vorest etiam illud fieri, dupliei faltem modo.
Pollimus enim Reliduum rel Superius scribere vel Interius, deletis succestire
nocis numeri Minvendi (acque etiam, si liber, Minutoris) corum loco Relidui no-
eis substituris, quae _ ipla aliquories etiam delendae sire emendandae erunt. Ita (i
ex 725805 auterendus lic numerus 650467: Scripris ne prius numeris; d Cini-
stra ordiendo, ex 7 Tubductis 6 rettat r, (hoc est revera propter locorum ratio.
ven ex 300030 Tubductis 600000 rellac 10990D; teu ex 7 millium cencuriis
Tubductis
Subdu-
ctionis
numeri
composi

## Folio 69 — 851387705:0089
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000089.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 106 lines, status machine
nde
ee
i
10
Cap. XIV. DELBABDRCTIONE
subduetis s millium cencuriis restat L. millium cett-
curia;) deleris ivicur 2 ec 6, eorum loco lupete
Teribatur F (= 7 = 6:) deinde Lubductis 5 ex 13
(quoniam ex 3 lubuuei non pollune) reltant 83Y 4OZ MInuIOr.
= 23 = 5; deletis igIur F3 d 5, lcribatur luper-
ne 8: cum quia 5 = 0 = 5, HCaM5 Medctam relinquo (vel, si placeat, ipla
deleca aliam tiguram 5 Cuperne collocare licebit) C Guta 8 - 4 = 4, deleris 8
ee 4 luperne pono 4: deinde lubductis 6 ex 40 (quoniam ex ohieri non porlt)
reltane 34, delecis itaque 6 d 40, luperne seribo 34: denique 46 = 7 =- 39, de
Lecis igicur 7 ee 46 repono luperne 39. AdeBGe MetS Kees Lapete le
Percus cl 85330 =735806- 650467.
Vel criam reliduus interne nocari porelt, hoc 735806 Minuendus.
modo.
Focins procestus demonstrario (sive : Ciniltra sive
a dexcra orcliamur) dependet ex noco illo axiomate
Pocum aequatur partibus omnibus simul sumpiis
aceoque subductio omnium particclarium aequiralee subductioni corius subdu
cendi.
Si tractiones decimales line inteoris numeris adjunctae, opcratio nihilominus eo subductio
dem procedie modo: id tamen semper cavendum est, ue quili-
Dec gractus numeri interioris pari gradui numeri superioris lub.
Tic. Exemplum hoc esto.
Si lubductio instimenda sic in quanciracibus plurium (ut l0.
quuncur) Denominationum: cadem tamen elt procellus rario
qua prius. Ilud cancum curandum erie, uc quories ex classe leu lerie luvertor praxisin
(majoris scilicee denominationis
mucuanda elt Onicas, pro illa in le. lib.
rie interiori (sire denominarionis
PTOXImE MINOTIS) LOL MUMCreNEE
unitates quoc scrierum ad invicem
ratio poltulat. Sic in subductione
Monecae Anglicana, pro L libra
Tubstimendi crunc 20 Tolidi, pro 1
4
e
2.
Tolido r2 denarii. In Fractionibus Astronomicis pro r signo, reponendi erunc
30 Bractus; Pro + Gractu, 50 minura prima; pro e minuco primo, 60 lccunda dc.
uc in exemplis adjunetis videre clt
Denique si quando plurce tuerine numeri subdu-
cendi, vel ex uno aliquo provolico vel ex pluribus
Timul Cumpris; priusquam subductio instiruatur, cam
numeri subducendi colligendi lunc in unam Fummam
seu aggresacum, quam numeri illi ex quibus Tune
subducendi: et cum demum, ex agpregato hoc, Tub.
dlucendum exit aggregatum illud, ut Reliduum habea
CuT. (Acque idem omnino Faciendum erit non modo
in Numerorum sed ee in aliarum quarumlibet quan-
citatum subductione.) Ur in exemplo appolito vi
dere licet.
53697
0572 ∞23301 Minuendus.
8360
39617
5603F10775 Minutor.
1212
12526 Residuus.
Vel eriam ubi plures numeris vel ex uno, vel ex plurium ap
sresato Cunc Tubducendi; poltunt plures subductiones succestive
tieri Hoc modo.
Ouancicarem subducendam minorem elle debese (laliem non ma-
sorem) quancitate illa ex qua ele lubadcenda: Lupottibrle enim est
uc quancitas major ex minore desumi poltc, (cum pars (uO EOVO
major esse nequeat:) Adeoque liquando illud praestandum propo
natur, Propolicum elt impossibile. Verbi gracia, Impostibile cst
ihilominus, Guatrq ua sDC I seaple impollibile; non rarO tamen apue ArIC. Quants
Mecleos, praelercim Algebriltuo, catestiam esset possibile, praeltari jubetur: Suppo. Tates Ne.
et Chu (praecer sealeo Eitattillares) quancicaces qualdam imasinarias, quae ini. sacrva
nOTeS
28 440 RestauuS.
9085CE
Minuendus.
03040
Minutor
Residuus.
64+582
LraXeos
de
stratio
Partium
Decima-
m
Subdu-
ctionis
varii
Denomi
ioni-
203. 865
52
In omni aurem Suibductione actualiter praeltanda, nocanaum cM,
nc ex 5 Tubducancur 8, cum numerus hic sic illo major.
Subdu
ctionis
merr sum
subdu-
cendi.
19340
Subdu
Majori
ex MIn
12526 sibilis.

## Folio 70 — 851387705:0090
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000090.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
Non ab-
DEF FO N F
Cap. XV
NOTeS LIE quam mhil, quas quancitates Pesariras, sive Ablaticias appellant: FF
proue (diltinctionis gratia, ubi opus cll,) quancitaribus reris (quas Doliciras vel
altirmaciras appellane) nocam hanc + Addicionis seu ACrmationis vel Policionis
indicium praetisunt; ita quanricaribus imaginariis, negaciris, live ablaciriis, prae
tigune nocam hanc -, Subductionis rel Ablationis live Necationis aut Defectus
indicium. Adeoque li ex s auterenda Tint 8, manere dicunt - 3, hoc cA, quan-
ritatem qua lic, numero cernario, minor quam nihil.
Surde sup-
Flujulmodi autem (quae lupponuntur) quancitares Negatira, quanquam videri
ponuntur Dollint non sine abturdo supponi, suos tamen habent ulus eximios, neque sine
magno commodo ab drichmecieis (Geomeeris item, aliisque Machematieis) intro-
ducuncur: ut luo loco aliquando patebit. Flic aurem Cutticier oltendere cam sup
potitionem nihil absurdi supponere. Dum enim dicunt 5 -- 8 = - 3: idem cl
ac Si dicerent, dui supponit 8 ex 5 demi, supponit ille aliquid ternario numero mi-
nus quam nibil: (qui enim supponit 8, hoc elt 5 F 3, ex s Cubduei, supponit
ille tocum quinarium Cublacum elle acque insuper 3 plus quam tocum, adéoque
reltare canro minus quam nihil.) Acque hoc quidem non masis incommode di-
citur, quam hoc, dui supponit LTircocervum, supponit ille animal quoddam ex
Flireo e Cervo conslatum: quxe proxolicio vere enunciari pocelt quanquam ne
que Fircocervus, neque Animal ita constarum existat, auc quidem existere pol
lic: Porell enim Propolitio vera etre, quamris neque Praedicatum neque Subjectum
actu exiltar, aut quidem sic possibile. Tra quamris neque sc postibilis quanciras
3. neque 5 = 8, tamen verum est has quancicates (suppoliritias licet) aequales
ette, acque qui alteram supponir reliquam eriam supponere. Et quidem qui di-
cit 5 -8 =- - 3, non modo dicir subductionem illam 5 - 8 impostibilem eAsc
sed oltendie menturam impossibilicatis; nempe, numerum 8 tanco majorem esse
quam ut postir ex numero s subduei quancus clt numerus 3. Sic qui habet 5, led
debet 8; habere dicitur (compuraris compurandis) - 3; hoc cst 3 minus quam
nihul, sett (Guo Ca CL) debere 3.
Subductio Ouando autem hujulmo suctio requiritur, (nempe ut major ex minore
Majoris auseratur,) illa utcunque I Prastanda elt; operatione scilicet praeleriptae contra
ria. Numerus qui ul Minuendus proponitur lubducendus clt ex eo qui proponi
TUIT UE MinuTOT, _Reliquo praeponenda est noca negationis. Or ubi requiritur
Tubducta numeri 8 ex numero s; Cubductis contra 5 cx 8, reliduo=
Plaporena elt noca : Adcoque ut + 8
== 3. Atque eadem ratione, erit 546 - 987=
+ 3; Sic  5 - E
4+T: Nam Tub-
ductis 6 Cx 3 reat L, lubductis 4 ex 8 reltant 4; Cubductis 5 Cxg
rellanc 4, e (quia operatio peracta est imperatae contraria) praetisen.
da elt nota -
Acque haec de Subductionis Numerola praxi dicta susticiant. De praxi tam
Addicionis, quam Subduetionis Speciola sire Symboliex, proxime dicendum cst.
ex mino
re, quate
Panca
supponi-
A. P.
2
158
44F
Additio e Subductio Mrebrica  Speciosa. Vtrius.
quecuta  Lrcos.
Edditio
 subdu
ctio Alee
N addiriore a Luctone Alseorica, vel Speciola, (de quibus jam dicendum
CG) re reulus lois Costieis sire Recentiorum Speciebus leu Symbolis per-
brica seu Liciantur, (de quibus Cap. XP. diximns,) duo poristimum contideranda occurrunt
Spccioja. CpC, Plalet spldo SDecies seu quancicatum Noras, Sienorum etiam (uri rocari
Siena + Lolet) habenda Ml ratio.
Sune aurem Sisna ea (quae nempe Rcciront d Suballeto MMeTVUInE) haec
quid in- Clo, F e. Subr ld quidem.  Affirmativum elt, lire Positivum, e
dicam. nocat quancitarem cui praetisicur altirmari sire adeste; (quod quidem ubique in-
cellioendum est ubi nullum signum peaetioitur:) Hloc aucem. Negacirum seu
Ablacirum, denorans eam cui peatisitur quancirarem nesari, sire deelle; de sym-
dota

## Folio 71 — 851387705:0091
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000091.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
11
ve
Lap. 1. eil oodebertodca
bola vel species sic intignica non tam quancitatem, quam quancicaris absenciam
seu delcetum indicant.
Et propierea Species quaecunque seu Symbolum quodris, cui sienum = nesa
cirum peaetigitur, semper incerprecandum est sensu concrario ilti de qua quarIEur
quancuaci, ejulmodi lymbolo vel absoluco, vel (quod cancundem valet) ligno
altirmaciro insignica. Verbi gratia, Si de Lvero quaeratur, quod noca B vel Y B
dEnOTeTUT, CrIE = B (sensu concrario incerprecandum) cancundem Damni. Sic
di C vel + C indicet excellum; = C indicabie detectum. Trem, ( a vel  a sic
augmencum, Cxic = a decremencum. Si 2 vel f 2 Tolem cor gractibus lupra ho-
rixoncem clac e  cnem enscabn cocem lud nou grac
bus deprestum. Lc Contra. Ec quidem univertalicer quiequid sic illua quancitarIS
quod ligno Attirmaciro delignatur, ejusdem concrarium signo Negaciro delionari
incellivendum ML. Puta
Si Tienum Altirmacirum indicet, affirmationem, positionem, auememum, lu-
crum, accessum, ascensum, supra ultra plus, eravius, calidius, adjiei, elevari, exc
Signum Negacirum indicabie, Negationem, ablationem, decrementum, dumnum,
recessum, descensum, infra, citra, minus, levius, fricidius, auferri, deprimi, e
Ec concra, ubi haec tieno altirmarivo, illa sieno necaciro incellivenda CruNE.
Iis ncellectis, de ipta Addicionis de Subductionis praxi axendum; ubi hae 0b.
Terrandae sunc regutae
Si vel in Addicione vel in Subductione plures occurrant species seu Cymbola, De Spe-
quanticares illae qua sildem Symbolis delignancur lunc invicem vel addendae vel ciebus, re-
subducendae (proucres poltularerie) uc carum vel lumma vel difterencia incelli. sula
Sacur, Peortim nocanca: quae vero distinetis Cymbolis sive speciebus delignaneur,
non ita inricem comparandae sed lisillacim contiderandae de nocandae lunc. Caula clt,
quia dum dultinctis lymbolis denorantur, quorum ad invicem racio vel ipnOraEIE,
vel lalcem nondum consideratur, non pollune sine contutione conjunsi. Puta si
2 Colidi et x denarius, acetendi lines non dicendum est summam elle 3; Scd 2 l011.
dos et T denarium.
Obi auren ssibolorum utue distinetorum Fallo ad vicem Mnoletetl de actu
contideratur, possumus, interprecando, etiam diversa symbola in unum colIBere;
nempe, pro quancitate eorum altero designanda, ipsi aequalem substicuendo quae
Trmbolo alcero indicetur, mucacis incerim mutandis proue Cymbolorum ratio ad in-
vicem poltulat. V, H L= Colidis, addendi linc 6 denarii, dicimus tieri 2 Tolidos:
quia nempe, ubi innoce seic unum solidum tancundem valere acque 12 denarios, de
telligendum est
utraque auserri incelligitur.
incelligitur, pont iria, ee deue Morum duo auterri, unicum eorum poticum ma-
nec: item P1O = 3 f 2 Donendu Z; quia nempe uno plus aufertur quam quod
Promde : lol. ==5 den. pollumus pro s denariis sublticuere, lemiltem lolidi; de
deinde == 10  6 den. hoc est, 2: (01. 7 = Fol. CrAnE Z IOHOI. LL MIMMILCE In
aliis. Arque hoc quidem u e ive i subdluctione in-
Delo allem F et = aliae Rddicioni aliae Subductione clterviunt regulae. De sienis
Ouarum quae sudirioni inserviune hae tunc.
eatait
cum summa cum communi sieno. Puta PrO F 2 F5 Petendum f5; quia v. iione.
2. Si sint autem siena Dissimilia, subseribenda est quantitatum Disserentra, curt
eraque quancicas ponenda incellis cl. Iu PrO = 2 = 3 ponendum = 5; quia
relticuitur. sc limilicet in aliis.
Dusberedus uramque regulam sic brericet consune  Addirio speciosa conjuneit
omnes maenitudines datas, servatis sienis.
Iis incellectis, praxis non eric ditheilis.
Addenda.
RBCregauM + 2∞ Y
Vet 3AC F ZA9- 21 +
AC +2A9
2 AC +3A9-5A L
Exempu elto,
C
e
2-
3a-
20-
3aaa aa 21
aua +2aa - 3a
2 ABA 3aA 5a Y
2a-
Nempe

## Folio 72 — 851387705:0092
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000092.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
DE A DDEYEONE
Cap. XV.
Nempe SI addantur 3, ut = +∞ hoc ele, l intellisantur pont 3 CubI, d
(propier lignum - contrario sel es Ponendum) auterei FCubus, cancundem est
atque SiPOnantur L CBI (quia 3 = + = 2.) ita Si addancur L X7) de f 23
cum utrumque AIIIEMCCUE, aggreSaTIIHI etL Y 323. Ttem = 228 8 - 32e, cum
A C F F, (quaecunque demi une quantitares (ymbolis illis A, B, C, _c. de-
signaca) ageresal iim erit 2 A = B = D F E. EL parirer in reliGuis.
5 B1 - 28 -8 + 43 11 1
B - 5b3 = b
48 - 66.- 2b + 5b + 2
Verbi eratia, Ci supponanns A, B, C, D, F, Sieniticare 1, 2, 3, 415. Trem B, b
B3, B2, Tieniticare 3, 0, 27, 8c. tancundem valebunc illa atque hac.
m
405 = 54 9 f (2  =354
8F - +35 -0
F4
2.2 L
324 = 262 18t +5FC = 260
In subductione hae obserrandae lunt Recula.
T. Si siena sint Dissimilia, subseribenda est quantitarum summa, cum sieno su–
suctione. Perioris, nempe quantiaris minuenda seu illius unde facienda est subducdio. PuLa
s Cx - 3 auteramus F 2, reliduum erit - 5. Nempe si supponantur jam deeste
3. e ulcerius auterantur 2, tandem decrunt 5 = 3 + 2. Trem Si ex f 3 auteran-
HT = 2, reliduum erit f 5. Nempe s jam ad(inc 3 Ec inTuper tollatur, (hoc ett
suppleatur) defectus duorum, sire reltituantur 2, jam tandem aderunt 5 = 3- F2.
2. Si siena sint Similia, subscribenda est quantitatum Differentia; cum sieno
communi, ubi quantitas auferenda minor est: sed cum sieno contrario, ubi quantitas
auserenda est major. Puta, si ex F 3 auteranEur = 2, manebir f F, quia
2 = F; Si vero ex f 3 auterantur + 4, manebit = +, quia 3-
supponitur nempe x deeste. Trem si ex = 3 auseramuS = 2, manebit - F; quia
nempe  incellisancur decsle 3, ee aliserantur- 2 sire suppleatur defectus duorum,
hoc elt, h resticuantur 2, tandem decrir non nisi L: Si vero Cx - 3 auteraus
qu manebic = C; nempe ubi dcerant 3, _ rellicuancur 4,, aderit L. Ec pariter
in aliis.
Ouxhrredus veranique conjunctim (C eert, Subductio speciosa conjumeit ultam.
que masncudinem datam, mutatis omnibus senis quanticatis subducendae.
tlis explicatis exempla sequencia non silticulter perciptencur. Nempe, si
du
FX.
+3∞ - 225 +520.
auter. + 2
278
3
278 +3
reltat. + 1∞ - 125 +52 = 8
rel 3C- 20 + 3R -
C- 1O = 2R +3
2C = 2O F 5R - 8
15) 3AC = 2A9 = 3A - 5 323 = 24 + 34 = 5 3aaa - 294 = 3a - 5
2AC = A9= 2A = 3 20 = a - 20 =3 2aa aa = 20 + 3
AC = A9 + 5A  8 11 a = a +54 - 8 aaa = aa + 5a - 8
Cx 3 ∞ auterantur Z D, manebit F ∞; quia 3 = 2 = F. Trem, (I Cx = 22 au-
Feramus = 128, manebit =- F 23; quoniam, li ubi deerant quadrata 2, auteratE
vel suppleatur defectus unius, hoc elt, resticuacur x, deerie adhue quadeatum u-
num live rZ3. Irem, (1, ex 3R auteramus = 2R Cupertune + 5 R; nempe (I
ubi aduntz radices, reltituaneur adhue 2 radices, aderunt omnino s radices. De-
nique si ex -5 auterancur f 3 reliduum exit -8: nempe cum jam delint 5, (
adhuC
omnino 52, quia 2 f 3 == 5.) denigue F Se q Mc L; nempe uno plus
sulis Tummuns collectum) clt F L C + 328 -52
uerumque negetur, erit .52e, guenum collic 22, e toltu inluper 3 2e, collie
Eollicur quam apponitur. FC propcerea aggregatum duorum addicorum. (ex Lin-
Sic in exelBlis sequentibus, II AaIIIL A f B - C, 8 - 2B f 2C - D e
Im dub
l1
uOt
riea
des

## Folio 73 — 851387705:0093
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000093.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
a
CaDXVL F I BaDDCEIOHCCL.
adhrue auterantur 3, deerune omnino 8. Si igitr residua istaec omnia partieula-
ria in unum collisancur, eric illud 1 2
Similuer i exemplis lub. et ex A F 2B = 3C + D. auterantur,
2B - 2D + P, manebit A- 3C45BL. e Pactet MM alIIS.
34 7 34 = 2a-
21 = 34  21 - lc
C. +
L
3C + 3D -
4b 1
E Ouod A Supponamus A, B, C, D, Ln SignisCarE L, 2, 3, 4,5. F.F a, _, _, Signi-
ficare 2,4, 8. cancundem ralebun illa acque AXC.
0 O 6+ 6= 0
Alque haec quidem, de Addirione d Subeluctione Aleebrica de Speciota, dicta
Fusticlane.
Ouod autem superius de Rdditione monuimus, illud etiam de uirisque Rddicione
ee Subductione (sire Numerosis sire Speciolis) incellisendum est; Nempe Duan-
de plures quantitates sunt continue vel addendae vel subducenda vel pariim ad
dendae parsim subducendae perinde est quo ordine instituantur operationes, modo
omnes continue perasantur. Non enim de ordine Ceu lieu quancicatum quaricur
Ted de earum magnicudine; (nempe quancum illud suc quod emersic, quocunque
6= 5. e A FB - C = B  4-C
2 - 4 - 2 - 30
2=0 84123
tandem ordine ailpOnanEuIT.) Nempe 6 +
a  C + B = B -
I alto.
16 + 12 1 4 - 20 = 22
A = - C + A F B = - C F B F A. KC SIILILCF
C A P. XVI.
Rdditionis  Subductionis, per contrarias operationes,
probatio. Objectionibus Rami respondetur. Duaestiun.
culae aliquot familiares solvuntur Probatio novenaria.
Vtut lubrica sut, non tamen contemmenda. Duomodo
reddi potest certa.
DOs tracticam Addicionis ee Subductionis praxin; annectendum videtur ali-
quid de veriusque Probacione sive Examine. Cum enim in Rrichmetices
 Praxi, cironibus praelerrim ee parum exereitatis, error caleuli Facillime possit
irrepere: solent hic Aruhmetica Practicae Masiltri mechodos tradere operationem
sam peractam examinandi, quo metius perspectum sic numquis error Tublic. Ouam
exo rem in hunc locum diltuli, quod Addicionis et Subductionis examinationem
simul cradendam esse duxerim; paruum quod eadem tere sic ucriusque mechodus;
parcim etiam quod neucra seorlim cum commode cradi postic, cum alcera alcerius
probacionem praellet.
Addicionem peractam solenne ett ver Subductionem (operationem ipti con- Fnami-
Erariam) examinare. Cum enim duo numeri simul addici Lune, si ex summa sub. natio sev
ducacur eorum alceruter, seltabic reliquus. Oc ( 2 f3
monebunc 3; si auterantur 3 manebune 2. Acque idem
pacebie, si in tor punetis res perasatur. Si enim puncta
bina ee cerna contticuant quina; delecis z munebun 2;
2
i Crunt 5 = 2 = 3, ∞5 15 L. HOC CA, A
_x 3 acdica constituane 5; cum, si ex 5 auterantur 2
l100ac10
Additio-

## Folio 74 — 851387705:0094
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000094.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 90 lines, status machine
ADDETIONE
vel deleris 2 manebune 3. Demonstratio dependet ex illo axiomate, Si aequalia
aequalibus auserantur, reliqua erunt aequalia. Ideoque Si Line
deleris utringi 3
manebune
Sisitur, ub ex Additionis summa additorum al-
terum auteratur, quod reltat aequatur additorum
reliquo, operario rite peracta cMt; S autem Resi
duum subductionis, reliquo addendorum non
consruat; indicium elt erroris. Aeque idem in
Sranctoribus numetis accidit. Or in apposito ex.
emplo.
Si aureur plures numeri addantur; Subdu-
ctionis opus lapius eric iterandum. VC in ex-
Cmpso appolico.
Verum cum hoc pacto examinandi labor eva-
dat ipsa primaria operatione major: Satius For-
casse videbitur iptam pocius Additionis opcratio.
nem repetere: praelerrim Ci ordine retrosrado vel
aliquo alo modo inverto procedatur: verbi gra-
tia, st prius gulas series a nota suprema deor-
Tum plocenus (ue in exemplo ulcimo, 5 + 4
-9. 9. F 3 = 12. 12 76 ==+8) in repetita
operatione ad intima nota incipientes procedamus
Turtum, (uc 6 F 3 = 9. 9 f 4 == 23. [+3 f5 = 18,
ue eo minus sit vericuli in eundem errorem, li.
quis prius commillus tueru, denuo incidendi.
Ouod aurem de Addirionis probatione in addendis numeris absolutis dictum
est pariter etiam in addirione Algebrica e Speciola locum habet; ut de in ad
dendis quantitacibus plurium denominationum. Iam ec hic eadem ommino ratio
obtiner quae superius, ur non sic opus alia demonstracione. F. xempla (UNCO.
Ho. unc. drach. sCr. er.
3785692
4825865 aldetiat.
86TT55 Summa.
482586 Subducendus.
378569 ResiduuS.
38925
79634
82703
98516
addendi.
230778 Summa.
38925 Subducendus.
200853 RelidurS.
29634 Subducendus.
2812F0 Retiduns.
82703 Subducendus.
98526 Residuus.
AdC
Summa 1C
Subduc. 2
ReltaL. 73
Adeliio Z
ted
3B F C F
+2C
dubalic. 33
A F 3B- C. F 2D
D
D
erobatio,
Subducti
onis.
2b3
=+ TR +
2
38
L. F TR -f
363 = 2b
AcuIO.
Subeet.
46 O∞ adaII.
263 = b f 40 F oC Cubduc.
3 + 3b -5b = 13
In Subduetionis probatione, Cactem fere methodo incedendum elt, qua in pro.
batione addirionis: sed vice verta. Ur enim subducendo examinatur additio, ita
addendo examinanda eAt subduetio. Nempe, Si quancitas ABlaca e RClidua Limut
addira constieuant quantiratem primo Proposiram (unde nempe altera auterenda
erat) indicium eltoperationem rite procestisse; Iin secus, crracum clt. Nam Ab-
latum e Residuum Simul aequantur Inteoro (quippe Pocum Fuis Partibus Cimul
Tumpris;) ideoque si Residuo restituatur Aolatum, redibit
Inteoerum. Fxempli oratia. Si ex numero quinario, autera-
cur binarius, e ternarius superesse dicatur, Patet operatio.
nem probe peractam esse, quia numeri binarius et ternarius
Cablacus d reliduns) limul addiri consticuune quinarium.
Quod icidem in cocidem piinctis oltendetur; nam (I pun-
ctorum quinque deletis duobus, tria dicantur superesle;
rerum illud esse liquee, Guoa  etsbs s relidius relticuantur duo ablata,
redibic punctorum numerus quinarius primo posicus. Vet denique si sint

## Folio 75 — 851387705:0095
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000095.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
Rct
ded
H, x SUBDO
2 = 3, addiris utringue 2, agBreBata crunt a qua
Lia 5 = 3 7 2; e concra si aequalibus 5
terantur aequalia Duca 2, MatebH a Glalla 5 =:
Acque idem prortus, uildem de caulis, in numeris
Cap. X
nim de univertaliter obcinebit illud, Sublatum e Re-
siduum aequantur Zoci. P. xempla aliquot Tubjicimus.
majoribus non minus valebic; uc de in subductionibus
Algebricis et Speciolis sive symbolicis; auc etiam in
Ouanciracibus plurium denominationum. Obique c.
FX
1OHC
Relid.
e
Summa 3∞ + 2 2
25
28
36 +
5A
5 AC = 4 A
Cles. hora. minut
43. 12. 36.
Addie
Subduct.
Acque tractenus quidem ostendisse sutticiae muruam tam Additionis quam Sub.
ductionis examen live probationem per operationem concrariam.
Non ionoro incerim Ramum, ee post illum alios, centores forte plus Pacis risi. Objectie
dos, hujusimodi Addirionis ee Subductionis mucuas lire demonstrationes sive Pro- Rami-
baciones rejicere; non quidem ut Fallas auc fallaces, Sed ut superHuas: quippe cum
veritas operationis sire in addendo sive in Tubducendo ex iplo progrectu lacS ap-
VaTEaL, (S nempe rite procedat un regulis docetur,) ideoque demonttrationem
aliunde trultra pecendam esse
EB0 autem rationem illam Rami vix commode applicatam arbieror, aux rei, quae
jam avitur, rice accommodacam. Vix enim quilquam (uti credo) est, qui con-
celta tirmitare regula, ee exempli pariter cum illa regula contormiace, dubicabie
adhrue de reritare operationis; (siquis enum ejusmodi reperiatur, taceor illum sub
Rami censura merico cadere, ut qui, concestis praemiltis, ipsaque (yllogilmi tor-
man de conclutione incerun dubiat:) Verum concella Regulae certicudine, de Prae
sentis opcracionis cum daca regula conformitare, meruo Fortalse nonnunquam du-
bitabitur; hujulmodi aurem dubitaciones his probarionibus collendas docene. Cum
autem doceac Ramus hacce dubia, siqua Tine, collenda esse repetendo totam ope-
rationem peractam, eamque ad resulam exigendo: quanquam non negem rem ita
peractam lacis felicirer succedere DoHe, tamen (Dace tanei viri) facilius cundem
errorem calculi recurrere posle judico eodem opere icerato, quam opere aliquan-
cum rariaco: (quod ee tacile concelluros arbieror qui vel lericer calculo exercicat
Tunt;) adeoque melius per operationem contrariam, quam eandem repetendo, exa.
men tactendum.
Sed ee alia me moret ratio cur nolus reciptocas has examinationes live proba
tiones exterminare; Nempe quod, hoc pacto exercitati, ueriusque operationis,
Addicionis seilicet et Subductionis, comparatas vires persenciscent cirones Arich
metici: nimirum hanc resolvere quod illa componic. Est enim Addirio ilLUS
quali reveors, cujus Subductio est aravors. Fa vero quae orvsenncos construuneur,
aranomos examinare, nec Arichmetieum dedecet, nec Geometram.
Tildem icem quae jam cracidimus principiis solruntur hujusmodi Ouactiones
(quibus le exercere cirones non incommode pOcerunE.)
cus numerus ille, unde si demantur 4, restabunt 3 e
E acteluie
C lut
33
Keduis nempe 4 ec 3 (sublaco ae reliduo) prodibunt
h numerus quaelicus. Iiem A quo Muero Tollenda 7.
ut restent 4. Addiris Scilicet 7 e 4 Plodibune 12
hoc elt, numerus ablacus de numerus relictuus mut ad-
Ctt CatliHL MMIIETUM MM. Ila HA HUMETIS BcaH.
dioribus:

## Folio 76 — 851387705:0096
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000096.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 104 lines, status machine
RDDILIOHTE
2436
1563 C ad a1L0.
3999=
2436 subductio.
25633
dioribus; Duis are alieno obstrictus, jam solvit libras 2436
Seamnum ader tus 1563, quanto primitus debito ob-
strincebatur: Seu (Guod perinde cst) a quo numero tol
Lenda lunt 24. 36, ac Let (563. Addiris numeris 2436, d
2563 Proco Gcau 5990. FIos aurem numeros ita re-
betios eos ploo ete gu suaerebantur, inde liguet, quod, a
Tubductiones Hach Proue quaestiones propolica postulant,
numeri relidui iidem crunt quos quastiones postulabant. VE patet. 
2C
6y E subeluctio
+E addirio.
T0
163
350
Contra vero, Si quaeratur diis numerus ille sit
ceri si addantur 6 prodibunt +0 E.X additionis
Tumma r0, auteratur numerorum additorum alter
(coonicus) 6, et prodibit relignus (quaelitus) 4
Iiem cui numero addenda sunt 356 ut fiant 783:
Subductione facta, prodibunc 427. ITos autem
sic inventos numeros eos ipsos ese, qui quarebancur, parebit, si additiones juxra
quastionum praeseriptum perasantur, prodibunt enim cumma indicata.
a Fodem modo si quaeratur duis numerus sit qui, a
5372 quinario, binario differs e Ouoniam ditterencia porest
E E adltio 23758.
LDT29
SiZ  Cabetine 3 337 58
pi O. 1n.  et arctes
esse vel in excestu rel in detectu; paret ejusmodi nu-
meros duos ette, majorem nempe de minorem: illum
addendo; hunc subducendo inveniemus. Fs enim
seprenarius Binario major, et vernartus binario minor,
quam esL quinarius. Sic 3758 elt difterencia numeri 5371
a duobiis mimeris hempe or29 majore, ec 16T3minore
20F3 quori ille addendo, hrie subducendo investigatur. Sl.
Poltune aucem hac omnia etiam per Reculam Aecbra
(ut loguinuii) rel analycicen, auc Arictimericam Speciolam pariter ollendi. Verbi
551171
Subductio
F X31 1) 9p.: 11, ∞1C. 5.
LiiC c
A  325  = 243) Eli 11
113 =  sut 1.3. L.L 325  825 L Nddirio.
10
11t
aatrucR
Sratia. Si quaeratur Cui numero addei-
da 2 ut frant 20  NIeTIS qua sItS
dicatur 12B; ergo 1X2C f 7 == 20
auterantur verinque 7; de reltat F 2
L YhIS umeruS quXIIIS. IIa,  quo
numero auferenicta 325 ut restent 243
Numeris qualicus dicatur A; erit ex.
5ON = 825 = 243 Vx (addiris verin.
568. Guviici l qe 1325dA = 568. larem Dais nu-
aliocicou
merus est cujus disferentia a 26F, ’est
vea Bos.  g+ d Numetus guaesitus dicatur F
 Summa.  492 L  not ndeoiu au
1s  clo sr BBF  it 1 si er3I1O) ete
:M CE
sR A F 111.  pCK.ISB: Obs
Roideta l1BICEOL R 1t 3II) 
1
11 5YSD, exit 26+. t 24 1.  5. F  5402. 3
120. 3
humerus quaesituis. F suissicer iis
aliEs.
 At.AIP Cosi 1SBL SISGO en is eighistaucem inguitae verbi gracia
duinam adden sint numeri ui summa sa : vel dumam ex quibus sub ducendi
ut restent) jumoli quastiones entem plane lucrera e nusaces; eum ex datis
propoticis in qualtione nihil cerci elicitur; quippe modis innumeris respondetr
Pocerit Puca P. .6,24.5, 3. p57, 5 f3,  4
F P 2 f 3  5, 51 7. 7 1,8-- +
10 3, 20 P3, 5+ 6 4, 12.  3 2, _c. Nam ex lolo A erexato, vet RCL
duo, de pasthculis addiris auir Tuibduetis nil cepti constabir.
Subducti Notandum actrer et hic est, aliam ene contimilem subductions probationem,
onis alia eidem prortus Punctamenio innixamt. Nempe (En opcrarione lesirine peracta) Si
probatio. numerus residuus a numero primum posico auseratur restabit numerus prius abta-
E1 S. Puta BFX 583 auterendo 28r deprehendero
2subductio 5583  primium 313. Ouod an recte probaturus, ex 58=
583
312
58
312
201
202
mondola
Tubduiato,
(mimero proposito) subduco 312 (retiduum in-
272 rencum,) uc rideam num lic proveniet Z9r nuitie.
emendata 
583
Luo Decuo ablacuo. invento auceta satu Leluuum eHe
non illum sed 27 P, iplominorem; unde depretien.
292 do errorem calenti alicubi irreplisse; quem re
29Fpetico opere in decadlim serie commillum incetlieo.
eum

## Folio 77 — 851387705:0097
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000097.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
FaC
e
du
eea
Cap. XVI.
el DaBCLIBAE.
dum decadas ZF pro 20 potuerim; e verum seliduum elle 292. L’undtamentum
hujus probacionis hoc est, quonium cum ablacus ee resicuus XGUENEEEOTI, utrovis
eorum ablaco reliquus manebit. Adeoque lToti 583 aequentur duo Cimul 207 8
292, Tieur Tublaco 29L manebit 292, ita Tublato numero 292 manere necesse est alte-
RUI ZOT.
Superest adhuc alius cam Additionem quam Subductionem probandi sive exami- Probatio
nandi odus; quam probationem Novenariam appellane. Paque lic insticuieur.
In Addicione, Numerorum addendorum linsulis tisuris indileriminacim, nulta
Novena-
in aadi
locorum contideratione habica, simul addicis; de 9 quories hieri porest abjectis, sione
reliduum numero novenario minus obserretur: aeque idem etiam in additorum
lumma tiac. Quo facto, si duo ilta relidua linc invicem aequalia, operationem il.
lam rice peractam esse conjicimus; sin secus, certum est alicubi errorem incidisse.
Sic in appolico exemplo: 3, 5, 8, Simul addica constimunt 16,
unde abjectis 9 reltant 7. (leu, quod eodem recidet, + f 6 -- p)
huic numero Z addantur inluver 2, ec 2, uc tianc 10, unde
dempris o reltat F: huic addicis: des tinne 0, quae abjici.
anEUT; Cum 6) Z, 8 3, Func 20, unde abjectis o reltac L; hoc
reliduum Pcortum (memorix causa) noco. Deinde de in Lum-
358T
2350
6013
21944
ma id ipsum Faciendum est; ubi + f X f 9 = EF. FCZY = 9 = 25 Tum 2 + 4 
=20. denique 10--9 = 1. Ouod etiam reliduum scortim noco. Cum relidua
(Polt o quories tieri porest abjecta) sine aequalia (ucrobigue Z) conjicio opera-
tionem illam rire peractam elle. Si uum relidua ilta fuillene inaqualia, certum
Mlecerrorem alicubi acuiltum cle.
Ouo tundamenco nicitur haec probatio, neleio an quisquam tradiderit; cg0 certe 9u0 fun-
non memini me ulpiam legisse. Verum, uci in aliis loleo, ica hic mihi incumbere damento
judico operationis tundamentum cradere, uc inde dileant qui veline non rem can- nititur.
cum, sed ec rei rationem; praeteruim cum in disciplinis Machematieis non sic adeo
congrlum aranoscintas ettaca pronunciare. F’undamencum igitur iltius operacionis
(lire unde primicus originem sumplerie, sire lalcem unde demonstrari postic;
hocest. Cumnumierorum loci alcendant (uti superius cradicum est) proportione
decupla, pro lingulis decadibus unius gractus ponenda fun (in gradu superiori)
rocidem unitates: at idem omnino elb a 10 abjicere g, alque pro 20 lubltitnere 1:
ec eadem ratione, pro EF Lubsticuero Z (nemDC pTO LO unam, pro x alceram uni-
cacem) acque ab TF abiicerE B. CHD BC iIn CALCrIS. AEque hinC HC, uc ubi posthabica
locorum distinctione singuli chataetereo indiseriminatum considerantur, decem de
unum eodem chiaractere nocancun hoc scilicet  utrumque Acque hinc factum est
quod 20 ec 2 perinde habencur, lioc e ex lingulis decadibus ejieiuntur novem.
Non difticeor camen probationem hiane lubricam esto. Ouanquam enim reti Guam sit
duorum diltensus cercum si erroris indicium, non tamen eorum consensus certum lubrica.
et indicium veritaris. Nam, verbi gracia, in exemplo pexecedence, sive dicamus
additionis sumimam esse 22944 (quod verum clL) live 129c44, sive 12044, live
2108O; sive denique (ne plures ImemOreM). 20009) HIcunque BOIL nOveHarIOrum
quocies fieri porest abjectionem remanebicE; adeoque probacio illa errorem non
deleheret. Non est Esicur cur huie probationi nimiuni fictamus, quati, ubi illa
nultum decegit, operatio plane esseverroris immunis.
Neque tamen luadeo uc penicus rejieiatur haec examinandi mechodus; quia non Non La
ita magno labore peragicur, ee cerorem nihilominus non raro deregie, (licer non men reji
Semper,) imo raristime Fallic: Nisi enim quis data opera illud agac, ue numeros tal cienda
(05 pro veris substicuas, d sponte erret, rix unquam tam Feliei succeltu (seu porius
intelici) errabitur, quin se prodet error. Cum enim vel medioeriter cauri vix
duc error, nisi rel mulcipiet usu il unus alcerum celet) relnovem praeste
UcacibuS (aut tortan 18, 27, _c.) in cacent tesse erracum tueric; raristimo certe
Calu eveniet uterror, liguis tic, lateat, de vel lubricam hane probationem ettusiat.
Sed addo, probationem tanc tanca caucre (neque labore incerim mulGnomodo
cum aucto) adhiberi poste, uc non minus certa sic de infaltibilis, qu’al al perspo-
probandi modi. Ve aurem hoc tat, opera precium erit decadas ul SupC eslerta.
riores ordince trantmistas concinuo nocale _ IIpra Oltendimus) inera duas
plulquam una ducallela ctate  Caleete) Peccent; non aurem latere pol
dum, centuriarum, ecc. Duo lacto,  gublles ex omnibus ejuldem serrei nume
lincolas: Acque examinare deinde Gas Scortim leries, pura unitacum, deca

## Folio 78 — 851387705:0098
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000098.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
DE ADDETIONE
ris simul additis abjiciantur g, cories vraecise ex ejuldem seriei summula abjiei
97896
89978
59867
1875C
88775
etiam poltic, cum eodem urrobique reliduo, cercum est indicium ope
rationem illam neutiquam mendolam esse. Exemplum elto operatio
appolita. Obi in unitatum lerie occurrunt numert 6, 8,7, 6, 9. in
quibus addendis, poltquam s quater abjecta tunc, nihil superelt,
(nempe 6 + 8 = T4. T4 - 9 = 5. 5 + 7 == 12. 12 - 9:
Lc
9. 9- 9- 9. 0 +9 = 9. 9- 9=0.) sed ec in 36 (ejusdem
4433 seriei Cummula) 9 praecile quarer concinentur, line ullo reliduo. In
425276 Sequenci decadum serie; in addendis 9, 7, 6, 5, 7, 3, Doltquam quater
abjecta Tunt 9, rellat 2: sed et ita In 37. In serie CenTUTIaruM
8, 9, 8, 7, 7, 3, cum 9 quater ejecta lunt, 6 supertune: acque ita in 42. In lerie
millium, tam in addendis 2, 9, 9,8, 8, 4, quam in summula 45, cum 9 quinquies
abjiciuntur nihil superell. In lerie denique Luprema, cam in parriculis 9, 8, 5, 7, 8, 43
quam in earum summula 42, abjectis o quater suvertunt 5. Certum clt isitur
ee lingularum serierum summulas, et omnium eriam asgresatum, vera ette, adeo-
que cocum operationem rite processise. Nec secus evenier in aliis ejulinodi ad
dirionibus probandis. Hlac aurem si incedamus ria, non novenarius magis quam
quilibet alius numerus acthiberi ponit, uc paret. Quod monuisse lutticiac.
Subducti. In novenaria Subductionis probatione, eadem ommino elt incedendum via
onis pro-quam in Additionis probatione oltendimus: cum hoc solo discrimine, nempe
hatio n
venaria
quod in Additione numeri addendi cum summa conteruntur; in Subductione, ab
lacus ee reliduns (limul sumpri) conteruntur cum numero minuendo. Ratio ett
quoniam uc in addicione, summa elt quid itesrum cujus parces lunc numeri
addendi; sic in subductione numerus minuendus rationem habet Totius, cujus
partes sune ablacus ee reliduus. Fxemplum ecto illud quod apponitur. Ubi in
tixuris numeri minuendi sunul indiseriminatim addendis, nempe 7 3, 0, 8, F, ab-
7398L
52304 F
21677
jectis 9 quories tieri pocelt reltabit L: Scd et idem restabit
in addendis 5, 2, 3, 0, 47 2, E, 6, 7, 7, tisuris nempe ablati 
F relidui: Onde operarionem illam minime riciolam esse con-
jicio; quod si dirersa tuitlent relidua, certum eltet operatio-
nem alicubi fuisse mendolam.
Ouxe vero Fuxerius dicta sunc de Additionis probatione, nempe lubricam illam
este, nec tamen plane concemnendam: etiam de hac Subductionis probatione non
minus incellisenda erunt, ut non sic opus ea denuo repetere.
Haec autem sire Addicionis sire Subductionis probatio norenaria, in addirioni-
bus e subductionibus Algebricis e Speciolis locum non habet: Sed neque ubi
variae sune numerorum addendorum aue lubtrahendorum denominationes (quod
in monctis, ponderibus, aliisque similibus numerandis plerumque crenit) nisi fal-
rem cum leri aliqua correctione, quam camen vel medioeriter exercirati, ubi ope
rae precium ridebitur, Facile adhibebunt.
Arque haec, quae dicta lunc, de 10ro de Additionis de Subductionis negotio Ha-
didisse sufticiat. Alia minutiora quae vel inter operandum se sponte otterent, vel
in Arichmericorum practicorum libris paltim occurrunc contulco omisis ut qua
vel lerioris lunt momenti, vel ex jam tradicis Caris incellixi poterune. Libet ay-
cem, priusquam hanc rem penicus diniitam, utriusque exercirium aliquod, in re
Chronolosica, extribere: uc incellisant faltem cirones quomodo univerlalia qua
tradidimus praecexta sinc (prouc res poltulat) in ulum reducenda. Ouod capite
sequente het.

## Folio 79 — 851387705:0099
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000099.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
tau
et
E T, SUBDUCL
Aaditionis es Subductionis exercitium, in Chronolo
sia, c. De nativitate Arphaxadi es Ibrahami;
es Promissione facta. C en. 15. e C al. 3. comparan-
tur. De Iraclitarum mora in Nerpto. De durae ser,
vitutis initio. De Obstetricum responsione. Nlumerus
descendentium in Nerprum. C en. 46. (8, Act. 7
comparantur. Immensum eorum incrementum.
NUm hacum rerum lectores, peaeserrim cirones, existimem, non tam nudis prx.
sceptis delectari, quam si eadem videane, ad ulus communes applicata, unde
et ipsi Fortan impraesenciarum aliquid delectarionis persentileane, et diseant inte-
rim similiter eadem ubi opus est inulum proterre: Non ingratum fore judicari
hujulmodi specimen in re Chronolocica extibere.
A Mundo Condico ad DILAVII IHICIUM, MUIETANEUE anni 1656. ANNOS ANTeM De Ayuic
qui ibi numerantur completos esse, patet ex vita Mechusalae, juxca illam quam ha- Mundi
Demus computationem Gen. 5. cujus ulcimus annus concurrie cum anno Mundi
2656, uni illa compuratione ligues. A dilurio aurem inchoaco ad Arphaxac na-
cum numerat Hselricus annos 2, acque inde ad Fharam annos 220, inde aurem ad
Abrahamum natum, annos 70, quem annorum numerum collisit ex ea supputa
tione quae habetur, Gen. Cap. F1. Inde autem ad Promistionem dacam (cujus men-
cio tacta eA GCn. 12. ) MLeTAE anNOS 75. PFOpter GCn. CaP. 12. V. 4. Laltem annos
complecos 74. Tlinc autem ad Fxitum ex A-
SVDIO NUICTaE annOS 430. jurta quod habe. A Mundo Condito,
tur Galac. 3. Ver. 27. de KXOd. 12. ver. 4F. Ad Dilurium.
Ab exicu autem ad Templum Salomonis nu. Inde ad Aephaxad.
merat icidem annos 480. Inde aurem ad Inde ad PharaM.
Cta
2OT5. Onde etiam ad inicium Lra Chriltia
Tndc ad ABFaHAMUI.
Ende ad Promictionem.
nae rulgaris sire Dionyliana annos adtue 2 Inde ad Fxicum ex AIOYPIO. 430
elaplos autumat. Atque inde ad annum prae. Inde ad Pemplum.
sentem (quo hac Feripta Luerant) comple. Inde ad Chriltum nacum
CUM MIeTAUS 2655. Adeoque, numeris. Inde ad Airam Dionvl. 11
omnibus simul addiris, tuerune juxca Chro. Inde ad annum pralentem. 1655
nolosiam Helrici (qui in plerisque cum Cal-
vilio e Scaligero consentit) ab Orbe condi-
eo ad annum praelencem (inclusire) anni
5604, uei ex calculo adjunceto patet.
Verum, ni Fallor, calculus ille Helvici clt
aliquoc in locis emendandus, uc cum reritate
hiltorica melius consentiat. FgO PauCa Tan-
MitIa
Centuria 22
es
Onitates
Summia 560+
cum, cirea Abratami praesertim tempora, leviter acingam, exereirii gracia, (non
enim expectandum est uc cocam Chronolosiam in transitu emendandam sulet.
Diam.
Incepic diturium (uri ex Cen. cap. 5. Constat) anno mundi complero 1656) De Nasin
CUTrentE VerO Z657. (mense secundo) Annos enim qui Gen. Cap. G, HUMETRMEUE vitate
completos else, patet ex vica Mechulalae, quae, si lecus estee, ulcra dilurii inicium auptar
prorosanda eller; incidic enim ejusdem annus ulcimus in annum mundi 2656.
Adeoque ille mentis lecundus in quo incipit, est anni mundi 1657 currehris de
anni vicae NonchiGor currencis. Durarie aurem dilurium per annum inceorum,
de quod excurriu, adeoque tinicum est post annum Mundi complecum 2657, live
anno mundi currence 1658. Deinde micus dicitur Arphassad biennio post diluvium
Gen.
Anni.
1656
180
1015

## Folio 80 — 851387705:0100
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000100.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Get. Cap. FX. V. 20. Cujus natiritatem incidisse putat LTelricus (aliique Fere omnes
anno mundi completo 1658, hoc est, biennio vost dilurium inchoacum. Ouod li
biennio post diluvium incellisatur de biennio polt dilurium finitum, cum nalei di
cendus exit Arphaxad anno mundi 2559 completo, Tire anno 1650 currente; nem-
De uno anno lerius quam rult Elelrieus. L’areor interim roces illas biennium post
diluvium, quanquam prima tronce porius dilurii tinem quam inicium spectare vi-
deancur, non tamen neceltario eo trahendas esse; praelerrim cum phrasis eacem
aliter interpretanda viderur Gren. Cap. 9. v. 28. vixit autem Roachus post diluvium
annos 350; nempe, post diluvium inchoatum; ut paret ex collatis Gen. Cap. 7. V. 6.
ec cap. 9. 8. 28, 29. Adeoque  de Arphaxad, bionnio posi ailuvium naco, bien-
nium illud rectius a diturii inicio inchoandum, quam ab ipsius fine judicarerine
Vini docti, non ceo repugno; quanquam etiam non desint qui et alierum sense.
FInE.
De Nari. Deinde, Postnatum Aephaxad, ad Tharam usque, transierune (vE Constat, CX
Gen. Cap. LT.) anni 220. Tharam vero z0 annos nacum reputar ille (cum Rusebio
abraba- et Sealioero) cum genuerit Abratamum; quia nempe dictum ell, Gen. cap. FT.
V. 26. Vixit Tharah 7o annos e cenuit Abrahamum, Nachorem, e TTaranem.
Ac rero non inde cerco concludimus Abrahanum (quamris primo nominatum)
aut natu maximum tuisse, aut eo anno natum, led eorum (alcem alcerum cunc fii-
isse natum. Ec quidem Ilaranem, licet ordine ulrimum, aliunde colligimus fuisse
nam primum, urpore cujus dux tilix Milcat d Tleah (quam eandem et Saram di-
Etam esse colligitur ex comparatis ren. Cap. II. V. 29, 30. ex cap. 20. 2. 12. Quam
etiam eodem lensu Pororem rocat Abrahamus quo et Lotem Fracrem, GCn. 6. 23.
V. 8. et c. 14. 2. T2, 24. unde eriam ridetur Elarani acque Abrahamo licet cundem
patrem Pharam, non tamen eandem tuisse macrem;) Nachori e Abraham
nupiae fuerint; e quidem Sarah sive Ilea nonnisi z0 annis Abratiamo nacu minor,
Ut PateL G en. Cap. 27. V. T7. DUOE autem annos nacus Phara Abrahamum genuerie
sic collisimus. Thara ex Ore Chaldaeorum cum Abratamo protectus Flarane (sire
CharrIs) MOTEUIIS Cst, natuS annOS 205, Gen. C. TF. V. 3F, 32. Onde MOrtO
Thara decessic AbrahamUS TUNC anNOS NaTUS 75, GOn. C. X2. V. 4. Si isitur Abrahami
annus 75 coincidar cum Thara anno 205 (aut laltem hunc annum non praecesse.
rit,) Fuie Fhara Calcem annorum +30 quum Abrahamum genverit; adeoque 60
annis inceoeis serius quam rule felricus eec. Oui plura hac de re quaerit, videre
pocerie, coram hanc quaectionem lacis prolixe agitacam apud D. Gualterum Rauleieh
Equitem Anslum, in iplius Tistoria mundi, Anglice edita.
Tum demum supponie Felricus (ut de Fusebius, Scalieer, Catvisius 126.) A-
missione bratiamo 25 annos nato promiltionem tactam esse, roc enim annos natus dicitur
Abrahamus quum Charris excellerie Cren. c. 72. V. 4. Ae veronon ab Abrahami
deceltu ex Charane reputanda est L poctra promistionis datae, sed altius omnino re-
pecenda ct dum achue esset Vre Chaldaorum, ut liquet ex ActOr. Cap. 7. V. 2, 3. pPI
ulquam Charanem omnino advenerac. Adeoque de promissionis recentio C en. cap.
12. V. 2, 2, 3. Facta, quanquam in ordine hiltorixe posterior tc, quam profectio.
niSs priuS MCOTALX Cap. J P. V. 3 F. tamen ordine cemporis pronissio illa hanc pro-
fectionem praecestit; eaque iscesporia jultum rerum ordinem curbare non debet, cun
Sit tancum ainonoria profectionis prius per proleplin memoracae. Abrahamuni vero
poltquam Ore Chaldxorum excesserat Charane aliquamdiu commoratum tuisse Caris
innui videtur in ipta hiltoria, quae recenlecur Cen. 6. X2. Praelertim v. 5. Guanto au-
tem tempore istie vermanserie, non errcus ibidem altirmatur, sed ex circumltantiis
collisicur fuilte per spatium circiter quinque annorum; Palcem a promissione daca
in Vre Chaldaeorum, ad Abrahami ex Charris decellum annos elaplos esse quinque.
Ouod contirmatur ex collatis, Gen. Cap. 25. V. 23. _ Aet. cap. 7. V. 6. cum Lxod.
Cap. 12. 40, 4T. et Cral. cap. 3. 17. Oux loca, quamris primo alpectu inter le pugna.
re videantur, cum in illismentio facta annorum tantum 400, in his autem anno.
rum 420: tamen, li penicius introspiciamus, optime conveniune; ee limul nodum
illum quem prae manibus habemus, de Abrahani mora in Chareis, seliciter Lolrune
In IIIS Gen. Cap. L5. L ACT. Cap. 7. _ICITT ABTAIAIH ACHKH, Lr PollerOS, Peré
srinostoro in aliena terra per annos 400: In his autem annorum praecile 430 men-
eio facta est; Nempe Pvod. 12. V. 40, 4. c. dicitur, ICraelitas sire tilios Ilrael, exs
actis annis 430, eodem ipso die, A eypro exiisse: _ Cal. C. 3. V. 17. leoem, 420
annis post promistionem darum, fuille promussaram. Sed nocundum ell, annos
11105
vitate
DePro-
facta.

## Folio 81 — 851387705:0101
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000101.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
Cap. XVII. LL OABDMCTEONE
EuT;) cum Abrahamus anste jam concelimu complererac, numerandos elle.
AC ubi annorum 430 mencio tacta elt, ad iptam promistionen Taclat, iplanique
Abrahami protectionem primam relpiei
endum est, (uti ex locis ipsIS DatCL;)
quae propterea annis 30 praecessie naciri Ad Diturium.
cacem llaaci, adeoque Abrahami anno 70 Ad Arphaxad.
compleco facta cst, 5 annis priulquam
Ad Tharam.
Charane excellic. Adcoque d hic eimen- Ad AbrahamUIM.
dandus erit calculus Helrici, ec. abjectio.
ne annorum 5, vel Calcem annorum 4
Ad Promictionem.
Ad ExICuM.
propcer annos tancum 74 complecos ab Ad Templum.
ipIO FTCIViCO nuMCTaTOS. Alia Siqua sinc Ad Chriltum.
animadrercenda, incacta praetereo; cum Ad Aram rulearem
non lic mihi animus omnes Chronologix Ad annum praelencem 1655
disticultates excurere. Sustieir Specimen a.
liguod exercirii graria extribuille, paucas
has emendationes innuendo; juxca quassi
C5662
corrisatur calculus Flelrici, annum praesentem, annum ab Orbe Condito 566F, ex-
hibebie; vel Calcem, (si omiccacur adjecticius ille ad Arphaxadi natales annus) an-
nUM 566O.
Priusquam autem rem hanc dimicam, prout annum mundi addendo inveltisari,
libet etiam cempus, quo ICraelicae Aioypio permanterine, subducendo inguirere.
Praemitrendum aurem, verba illa Exod. Cap. 22. ver. 40. G∞  V 13 DWIHI DeTsrac
13B SIND VBTMI AIWB (DhO G ISDS ISO ION Et incolatus Tsraclita litarum
rum (sive, filiorum Tsraet,) qui commorati sunt in Aeypto, fuit quadrineente
rum e trieinta annorum: Sc. Cauce incerpretanda cste. Non enim id volunes
quod Ilraetis polteri per 10c05 430 annos in Aorpro permanserinc: scd quod P4. 8181
milia ilta, (ex abrahamo nempe ejusque posteris constans, quam Deus ex aliis
omnibus sibi speciali modo selegerac;) quae nunc pastim esraetitarum, Cve fitio-
rum Tsraet, nomine celebratur, (quaeque jam aliquandiu in Aeypco tuerant in-
quilinis e duram serrierane serricurem;) ex quo primum parriam tuam Dei justu
reliquerune inguilini erane (in aliena TerrA) Per annOS 430. Fxactis autem an
nis illis 430, eodem ipso die ceressi sunt, exc
Cum isicur constet, cocam coruum peresrinationem, (ab abratami prima pro-
fectione ex Dre Chaldaorum, ad Thraclicarum exicum ex A oypro compucandam,
Fuiste annorum 430. Ouaerendum restat quor ex illis annis ance facobi descentum
in A Spcum cransIeranE; uE conster quancam moram iplius Familia in ArypiO
fecerine.
Dicimus isitur, A promistione data ad nacum ICaacum claptos eAC annos 30
(ve CX Sat to Patet:) llaacus aurem annos 40 natus duxit RCbECCaM; CX qua
Post auos asu deeS 20, lulceput sacobum, uri paret Gen. Cap. 25
V. 20, 26. Sacbbo acuen acuo altitos L3OCum tamilia sua in Aorpcum
descendie, ut Patet Gen. cap. 47. 2. 9. Ouibus omnibus ex annis 430
430
30
40C
20C
230
220
corum lonsc majorem parcem cura Pespeoes lgudo constac. Nam Moiec
annos B0 complererar, quando coram Phalabe Compalu corum duniltionent po-
Eculans, ue dictum est LVod. cap. 7. ver. 7. Gut laiien ipse nacus est polt inceptam
e llacim ab iplo inimo serricueis, hate ca Blis lencaca lunc peiulquam co
devenCuM MtC. Nempe Prin cura territure conari sunc Aoypiui TCraelicarum
mallos domare, expeltu num hac ratione eorum torce numeruo minui postee, ut
liquer
illos 400, de Abratami semine, sive posteris, (non de ipto Abrahamo) signan-
cer dictos; adeoque ab Tlaaco naco, (nam de IImacte, ejusque posteris non ayi
Anni
1656
55604 761 = 4
Tubac LCL TUII aHI 21O quibus in A. Gypto commorati TUINE.
Neque tamen ioco hoc tempore in lerricucem redacti lunc; sed quamdiu
vel Tosephus ipse rixic (nempe per annos adhuc 7F) auc etiam iplins
oiygeoro qui iplum noverant, (quibus Fortalse anni adhue circiter 30
concelleta) prolpere rixerunt; ue Datet LNod. Cap. T. V. 6, 7, 8. ad
eoque superlune anni circiter +r0 inca quos duram illam serrirucem per 210
Dedura
ervitu
tis initio
Cercum el, (quia de praecilo inino ultius mata caclaltonis non constat) ac per
Hlam lerricurem, de quidem fagrance perlecurione, ut Liguet L. XOd. 2. NOn joi-
Delli TunC: num aucem per cocum hoc annorum +r0 spacium male habiri (nC nOn

## Folio 82 — 851387705:0102
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000102.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
DE ADDEYFON E
Cap.
liguet F. vod. L. V. E0. _c. Cum vero hoc neuriquam ex animo succesie, quin adhuc eti
am auctis oneribus eo magis mulciplicaci sinc: Obstetricibus (elam, uc videtur) in man-
daris dacum est uctilios eorum in iplo partu strangularent, tiliabus inrerim lalvis:
adeoque sccreca traude parencibus interim iplis rix adrerrencitus, ec nihil torsan ma-
li sulpicantibus, filios etiam ab ipso partu criperent. Hoc aurem iplis obstaricibus
clanculum in mandatis dacum, es quidem elam perpetrandum esse, ideo praelerrim su-
Spicor, (licer illud tocidem verbis non altirmetur:) quoniam li aperce rellent, ee palam
protessi, intanticidium illud aggredi, poruisser aliis quiburis Rex illud in mandatis de-
disse non minus quam obltecricibus; et forte melius, cum mulieri tale quid agoredi-
enei facile pollet vel viribus relilti; quid quod e ea quam poltea in iplarum deten
tionem obcendune exculacio, nullius esset momenti; live enim priusquam live
Doltquam ipsa renerine valceretur intans, quid hoc impedire poller, ne, si illud
palam proticeri vellene, iplum strangularent; aur, si vi tuissent impediiae ne illud
tacerent, hanc iplam rim pocius caulatae ellent cur regis mandato minus fuissent
obsequences. Videtur isitur intancicidium illud, quod palam protiieri puderet
obstetricum curx commillum fuille, ut quae clanculum nec obterrata nec quidem
susvectae illud secreto pollene in ipso pareu alsequi. IIIa vero inhrumanum illud
tacinus deceltata, cum non aula esent resis mandaro palam concraire, aut di-
serris rerbis renunciare, tamen rem distimutandam putarunt, quod et técerune
intantes etiam masculos in viris conterrantes. Caulacae incerum (Fortalis) le
fatis tideliter quancum in iplis erat negorium illud curalte, ec quidem intantium
non paucos reaple mortuos esse (vix enim credibile elt, etiam llebraorum ta
minas nunquam secisse aborcum, auc intances nunquam in parru periisse;) quod
Tux deberi curae credi polser; verum quod illud non temper tieret iplis non dan-
dum esse ricio; cum Hebraeae mulieres regerae ellent, ec quidem iplis ioypriie
mulco regeriores (quod e ipsum non est improbabile, sed certum potius putan-
dum; cum partim dura carum serricus etiam hue tacere poller, nemo enim neleit
laboratrices mulieres mollibus ee delicatulis regeciores esse, et quidem in ipso
parcu minus non raro vel difticultatis vel periculi Tubire; parrim eriam divinxe
benedictioni insigni id deberetur,) adeo quidem uc olstericis ope rix indiserent
et non raro ancequam ipsa adrocari poller peperilleut, unde decsei opporcunitas
etiam maxime volentibus illud quod a rege in mandaris acceperant exequendi.
Acque hanc polteriorem exculacionis etiam partem eas obtendisse, satis conltar
cum illud dilerris rerbis altirmetur, ec quidem rix dubitandum elt quin e reli-
quam obcenderint. Ouam quidem excusationem, quamris non Tola causa tucrit
Cuci liquet ex elosio quod ipsis larsitur Deus) non tamen plane tietam arbitror
nuc eas hac in re, quancum ego video, mendacii reas; quod tamen non paucos ri
deo, quali in contesso elser, non plane quidem approbances, sed faltem temperare
lacagentes. Cum rero neque hoc secundum contilium Tucceltum quem voluit ob
tinuerit, quin Hlebraeorum numerus adhue crererit, tum tandem re non diurius dis
timulata, quod prius clandestina traude et pertidia rex aggrellus crat, palam acque
ex protello denunciaric, publico edicto ioti populo imperans uc Hlebraorum in-
tantes masculi merserentur Humine, Solis femellis Calvis. Ouancum autem cempo
ris insumplerit, duobus illis prioribus experimentis, (qua cerre aliquoc annorum
moram postulabant priulquam constare volter quem essene exicum hrabitura,) non
constat. Ac cerre cerrium illud tacinus jam erat susceptum, et (nei videtur) ali-
quandiu obcinuerat (licer quamdiu non constet) priulquam natus erat Moles
Onde certum est non primo ctacim inicio durioris iltius lerricuris, led post annos
vocius aliquammultos nacus dicendus cAt. Fc proprerea probabili latis conjectura
judicare pollumus per cencum plus minus annos rigidtam illam duralle lerriturem;
TalTeM VIX PaUCIOTeS quam 9O auE plureS quaM TTO.
Numerus Ouamvis aurem, uri dictum elt, durioris istius serricuris duratio non ita ac.
curate determinari poltic; actamen (ur suxerius ostensum cAt,) tora IPraelicarum
in Aorpro mora, ex quo facobus cum iptius tamilia in Aorptum delcendit, la
EiS ContaC; HeLC antorum 210. In hoc aurem 210 annorum spacio (quod
mirum est dietu) 70 pertonx iam Ctupendo augmenco in iam immentum nume.
rum creverunt, uc omnem tere expeclationem (UPeTaVETII. Septuacenta personae
inquam. PanCIS enim exaE toTuS ICraelicarum numerus cum facobus in Aiguprum
delcendic, compuraris interim tam iplo facobo, quam Jolepho ejusque liberis qui
jam in AGyPEO DEIUS CFAME: Pront viritim nominantur Gen. Cap. 46. DemDC ex
II
liberis
descen-
dentium
in LEB)
m

## Folio 83 — 851387705:0103
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000103.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
CapXVII.
E D SVBDDCFTONE.
liberis Lca recentontur nominacim 34, quorum cum duo (Er e Onan) jam an.
rea morcui tuerine, (uc dictum ell V. 12.) reliqui 32 cum iplo facobo, lunt 33,
26. (uE V. 19.) Ex liberis Rachelis, incer quos Josephus ejusque duo tilii, nu-
EUS ONIUM numerUS, Puca Sacobus Est Polteri ex eo naci quocquoc cunc in
LXod. C. T. V. 5. DCuC. Cap. XO. V. 22. NOM TenotO quidem LLX Incerpreces in
locio illis habere eesounnorra merres sed manifelto, ue videtur, errore. Ouem ia
men laplum seguucus c Scephanus in splus Gractohe ad populum, uti illam habe.
mus ACt. 7. V. 15. Cum enim res esset leriolis momenti, iplique cunc temporis in-
cubuerie summa brericace uri, lacius ipli ridebatur in re historicar (obiter tan
cum accinssenda,) juxta receptam apud eos vectionem (quae paltim obtimuIL) can-
dem repecere, quam ad imporcunam emendarione qua du lem praelemem vix
quicquam conterrec) in illis cemporis angultiis cuta Accesticarem diveriere. Luca
incabure narracionem illam (Lignid IMIBI CHTaLM ClleL) MMCNdate, led taS Luas
csille parres censendus est li orationem illam proue habebatur, tidelicer recentueri
qua prae manibus erar omilla, cririce ducuanL. SaliS Clt, L quem CILANE LEXTUS
quatenus ad praesens negocium applicacur, eum auchentico cextu FlebraICO quoad
fentum conremat; quanquam torcassis in nonnuslis apicibus nON EaM aCCUTAU
Tuas parces cgittent qui citaneur incerpretes. Qua de re videantur, si liber com
mencatores in locum.
In quam immentam autem 70 illae pertona mulcicudinem cruperint intra 210
annorum spacium, Patis liquet ex ea quam habemus populi Iracliciei recen
Tione, quando AESyPIO exIETUNE. Nam NTUMeTOT. CaP. F. V. 46. TTraclitis crIbU
tim compuratis, reperri Tunc 503550 viri adtulci, ad bellandum idoncis qui an-
num aecacis vicelimum complererant; praeter decrepicos lenes, mulieres item, et
intances sive etiam adolescentes, (quipve qui annum ricetimum nondum comple-
veranc,) coca incerim eribu Leri non numerata. Si vero numerus juniorum, qui
nondum 20 annos naci, simul cum senibus ad bellandum inepeis, bellatorum nu-
merum aqualte pucemus (quod non iniquum est postutatum, cum ejulmodi ni Fal-
Lor, proporcio in aliis eriam senribus loleat Occurrere; rix enim Tolec adulcorum
numerus, numerum simul puerorum, adolescencium, et senum, Luperare,) acque
horum numerus relignis acCiaCE; TEPCTICCE NuMeTUS F297200. HIIs inluper
si adjiciatur corius numeri pars decima, pro eritu Leri, (quae in priori catalogo
recentita non ct,) exursit omnium maseulorum numerUS F32Z8FO CirCItET. DC.
nique si taeminas judicemus maribus non fuisse pauciores, (quae forre ee multo
plures esse pollent, parcim quod viri linguli non raro plures habue
rint uxoles, parcuu ellas Glde eorum miranda musciplicario e in
2635620
quem numerum habemus v. 25. Tum ex liberis Zulphae recensentur nominatim
METANEuT Z4 (uC V. 22.) Rx liberis denique BilhX, 2, (uc V. 25.) Adecque 10.
viris cranc, lunc (33 7 26 F 24 + 7 =) 70, uc dictum elt v. 27. acque icerum
vero, qui hane iptius orationem, Eve pocius iptius summam recenter, neuciquam
Neque enim expectandum est, ue quociescunque in N. F. tExcS aliquis ex V. F.
CITaCUE, (jUXta eam qua CuNC ObEIUIE vertionem,) linguli vertionIS apices, rC
603330
603550
1207100
120710
cremenet set spres clactea Plaeterrim cum cercum sic ex intanti
bus malculis non paucos tumme tuille Lubmer sos,) carumque nu
merus numero marium adjunssatur, emerget numerus omnium
2655620. Nempe bis millena millia, sexcenta qu’inquasinta ee quin
rum Romanorum, (qui centena  olbate Mtale,) vicies
que millia, cum sexcentis es visinti; seu porius juxca lilum vere-
23=et
(327610
 sexies centena millia, quinquaenta insapet es quinque millia,
cum sexcentis adhuc e visinti. Cumescte sit Bes luerine limut
lupertues; si illis ulcerius annumerentur omnes qui lletca leiporis demoru
tuerine, numerus in immentum ellec ampliandus. LIOS aucem omnes ex 30 ut
alletum esE) pertonis incra 210 (aut ad Cummuni 220) anmorum spaclum actec
dille, cam incredibile prope, ec Rupendum plate eC SHcremeneu, ut nulla IEUS
vel probabilis caula altignari possiu praecer insisdent illam benedictionem Abra-
Haltio divinicus promiltam, Gen. Cap. 25. V. 5. Intuere versus cetum, e namera
miritice adimplecum MM. Suregu Cu  _ aCHTIS de MarIS LCOTa POTICIS,
Stellas ejus, si possis eas numr  su  et Et semen Tult. o 
cerre numerum sellarum, quas HMaltauS I Trmamenco simul incueri poslet
lonse superar iptius polteu mulcundo. Cum enim numerus stellarum, quas
Facile

## Folio 84 — 851387705:0104
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000104.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
vixereitt (omillis interim ns qui rel ancea tuerant demortus, vel cllam per oul-
nia delnceps secula naseituri) numerum illum plus quam bis millies superarit.
Non distimulandum interim cst, hanc suppucationem lupra memoracam, non
immectare polt exitum ex Aorpto tactam tuille, sed post inceorum annum, ine-
unce setlicet anno sccundo, (die primo mentis secundi) uti constat Num. Cap. T.
V. T. Verum hoc non adeo magni momenti elle judico, cum eorum numerum eo
anno non admodum auetum tuille censendum eric; parcim propter intignem il-
lam claclem quam interim pasti fune, (F. XOd. Cap. 32. V. 28, ec 35.) ob vitulum
DF MIULTTPETCATIOHE. Ca
licet non alcale supal,  em ibidem A. SPio cadlem nocte exusle,
acque Subductionis praxin in exereutium rerocandi.
facile nocare potest oculus incuentis, ulera unum mille non multum excedat, (nu-
merari liguiden Tolent 10LL, M cabulis Alronomict, Gea CCa HOI MIII
pars media, uno scilicet hemisphaerio contentae, simul incuendae patene; unius
Jacobi posteri (IImaelis interim a Llavi POItCrIS, UtuE numerotS, ne quidem
nominatis, ec qui a Kecura delcence) Gu ne ausu eodem hoc tempore
dureum; parum etiam quod eundem circiter numerum habemus K. XOd. C. T2. V. 37.
ex FIraCHIS, MOS actus cetu vo, numerantur aurem (uc diximus)
anno sequenti praecise, 603550.
ATONC H~C, GuCM ObII cM sMeraI qu alrat alsipetetu Adations
Multi
Plicatio
De multiplicatione, duid sit. Duid, Multiplicandus. Mul
tiolicator Factus. Duid Multiplum, Pars, Partes, 
quota pars, Aliquanta pars. Multiplicatio sensu Sir
Eto,  sensu lavo sumpta. Non sempernumer alt
cet. Mtultiplicatio est multiplea additio. Multiplican-
dus aut Multiplcator, utervis ex Factoribus dici potest.
Multiplicationis praxis: in numeris simplicibus; in
numeris compositis; in partibus decimalibus. 
demMulciplcationem cradendam asgredior. dis
Est autem Mulciplicare, Numerum invenire, qui numerum darum tories conci-
neat quoties requiritur. Sive Numerum invenire qui datam rationem (sive propor-
tionem) habeat ad numerum datrum Pora, E quaeTatUE numerUS qui SIE numeri
cujutris dati duptis, triplus, quadruptus, decuptus, vieecuptus, centuptus, millecu-
plus, aut quaris alia ratione sou proporcione dacum numerum luperet: vel (quod
perinde elt) qui numerum daeum bis, ter, quater, decies, vicies, centies, millies
aur quotieleunque concineat: Mutriplicatio docer quaelicum numerum invenire.
Vel criam (Et ulcerius libede quam ad solos numeros mulciplicationis rocem ex
rendere) multiplicare est, datam quantitatem in data ratione aveere, sive duanti
Tatem desienare, quae datam roties contineat, quories requiritur: aue etiam univor
Talius Datae alicui quanditati aliam in data ratione exhibere.
Multipli.Numerus datus ille, cui in data proportione quaeritur alius, (puta cujus duptus.
candus. Erivius, quactrupluS, _cc. quaeritur,) dicitur Multiplicandus, honanaaore pd C. i
Multipli-NumeruS ille qui datam proporvionem exprimit, (puca qui dieic quocuxlus theu-
cator. rus tic quaelituis nueri dati, lire quocies, aur quor vicibus illum concinere debear)
ornana iacor dicitur, hoc es Multiplicans (ive Multiplicator,
Factus. Numerus denique qualicus dicicur roue, numerus Factus, sire mulciplicatione
Multipli- Productus. 
ationis,
Mulciplicacionis aurem Sienum, sive Noca, Sive Charaeter, hoc elto n. Nempe uc
10 F 2
quid 3
Deu ablolutam in prioribes NNUMETOTIHE ACIICLHEMI E OUIDELICtIOneM, COruN
Penum.

## Folio 85 — 851387705:0105
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000105.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
AII
Mt
Ir
ait
CaI
et est
Cap. LVII. DE M_LTTPLLCALAOHL.
20 F 2 addicionem innuic, lire Muuetum denarium binario auctum; e 10 = 2
Ablacionem, sire Subductionem, nempe numerum denarium binario muletacumr,
sive diminucum; lic 20x 2 sieniticat numerum denarium binario mulciplicacum
Sire BIS POSICuM. Si icaque quaratur numerus qui numerum denarium bis in le con-
cincas, hoc elt, qui lic denarii auptus, Peu qui in dupla proporiione denarium su
Peret: numerus Denarius dicetur Multiplicandus; numerus Binarius (qui datan
proporcionem exprimit) dicetur Mulciplicator: numerus denique quaelicus (Bucd
vicenarius) qui numerum denarium bis concinet, Factus dicetur, seu Productus.
Hloc elt, si sic 10XZ = 20, eric 10 Mulciplicandus, 2 Musciplicator, et 20 F’actus,
seu Productus.
Elis appellacionibus incellectis, non cridllisticile aliorum quas alterune Mulcipli.
cacionis delmiriones incellisere, quates unc hie qua lequuneur.
Mulciplicace, es numerum invenire, qui toties contineat Malciplicandum, quories
Mulhiplicans continet Onitatem.
liem, Mulciplicare, elt numerum invenire, qui eadem sit ratione ad Muliplicait.
dum qua Mulciplicans ad Onitacem.
Hlas aucem detiniriones, alia sque ejusmodi, licet non uc taltas rejiciam, cum re-
vera rem prour est exprimanc; rix tamen ulque adeo accomodas aucuIO. CuH
enim Detinicio lic detinici explicacio, debet ea per nociora procedere. Ouid aucem
Sic numerus Musciplicandus, Malciplieans, de Mulcipticatione factus, non minus est
isnocum quam quid lic iplum Malsipheare. Dua ecium de caula non admittenciam
censui (in detinitione nostra polteriori) iplam rationis live proportionis vocem,
nili ee ipsam timul explicuillem; urpore quam nondum in praecedentibus ex pro.
tello expolueram.
Faccor incerim ipsum Euelidem mulciplicationem sic explicuiste, 25 dZ. Recdpis
aesr duor ON
Naore CIN NezeroL drar dou cioir et avred pore Ses, 10ONIS oVTES d o
CbdO iy vernrai nS. Numerus numerum multiplieare dicitur, quando quot sunt in
ipso unitales, toties componitur (numerus) qui multiplicatur, aique (ua) factus
aliquis emersit. Verum hic (si rire accendatur Lvelidis leopus) non cam MuIII-
plicationem detinit, auc docer quid, sic Mulciplicare; sed exponit quid libi velle
apud illum phratis illa cum dicicur numerus numerum multiplicare, (cujus quidem
roces lingulae supponuntur priusfuisse cognica;) acque hoc quidem poltquam ex-
potuilter quid li ratio, de speciacim quid lic nomanuour seu mulciplum, adeoque de
quid lieniticet nonramaora scir nocum elt.
Ac meum ellus non cam aliorum detinitiones reprehendere, quam res iptas expti-
care: adeoque mihi sutticit si vel ex eorum vel ex meis verbis res eadem quam de
CrO _ HI VOlunE PerCIPIaEE: neque etum mihi lubicum est de verbis liremmo
veren ubl de re convenis licet incerim et verborum delectum acttibendum essé non
distiect.
cinpicur ad ejolimode pacrenu sa e diei tolec aliguota pars (puira pars sen
tia
podo in
as
Locandum aucem est, ubi in explicatione detinictons nolra diclum et, quod Molipti
numetusulciplicatione quaesicus, sive etiam invencus, (Fachas sempe) nueu caliostri
datum (quem Multipheanaa s,) dis, et, et. Comineu, vel in aald Tactoe cte sumo
superet: non hoc temere dictum elt: Ca I primaria vocis nocione illudta, quo
rancum incelligiur. Arque hoe quidem pla reec Caris innuiue, nam Mulcipticare.
Corlan explicacus, neque minus  n enror,) Maemcudo minor Maenicuainis ma
Joris Pars est (aliquora) quando majorem metitur, (menturat, seu POCUS DELME
Major autem minoris Mulciplex est quando a minor (llC) mensuratur. (Onod au
tem de Magnicudinibus hic dicicur, id iptum coldem verbis de Numeris MabeTUT,
3e5 d d7. Ec quidem de quancirate quatibet Pettnde incelliei debet.) Nempe
Tive noienooi c est numerum dari mulciplum seu nopranoror invenire. Quid ellisen
aytem sic roprommasior seu mulciplum, ut de e contra, quie siE puess live pars, (Teu, le
vuleo dicimys, aliquota pars,) detinse Euclides L d 2 d d 5. Meso 6 usede  
redos, ro envvoy r el Coyos, oray raracure ro veiC or. Rotamuoror 3 ro veilor ro indasore. pulti
dray naraucrecirus ieoo ru cnacvoros. Pars est magnitudo maenitudinis, minor majoris, plum
quando minor metitur majorem: Multiplex autem est major minoris, quando mi-
nor metitur majorem: un Commandinus e Clarius expOnUnE. Vel (aliquanco
Eicur permenturas, nempe quando aliquocies lumpta majori Hiet accurace aequalis:)
Partis vox non de qualiber cocius parcieula seu membro diciur, (uei cum aX. 9. d1-
Citur Focum esse majus sua parte,) sed detinica sive decerminata signiticatione re-

## Folio 86 — 851387705:0106
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000106.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
E MHLTFPEFCATFOHE. Cap
Liau pars quarta pars cenama, dec.) quae nempe aliquories sumpra ton het aequalis:
S aurem non porerit ita aliquories reperita con tieri aequalis, (Icd semper vel ma-
jor, vel minor,) non iplius ucess, seu pars (aliquora) dicetur, (hoclensii,) sed
Pocius partes pron uti dicitur 4 d7, aepn ) erar un neraueen: (Ouam tamen detinuio
nem de magnicudinibus non interpoluit lib. 5. quoniam hoc de iIlis univerlalicer
enunciari non posset; fieri enim porest ue magnitudo minor majoris neque pars
Sit, neque partes, quocies nempe toci ct incommensurabilis: quod cum de nume
ris, proprie dictis, nimirum iniceris, de quibus Polis hic asir Ruclides, comingere
non possit, ut qui sinc omnes commenturabiles, cum saltem unICaS eaS Omnes ne
ciacur, necesse eA uc numerus minor sic majoris vel pars, vel partes, hoc clt parcis
aliquorx aliquoties repeciex assresacum. ) Sie verbi pratia, 2 elt numeri 6 ali-
quoca pars (pura triens, sive pars cerria,) quia 2 F 2 7 2 = 6, hoc elt numerus
2 ter repecicus aequatur numero 6; sed numerus idem 2 numeri 5 pars (aliquora)
non ell, quia si bis (aucrarius) ponacur elt minor quam 5, si aurem cer (aut (a piis)
major eric quam 5; nam 2 f 2 == 4 MinOr quam 5; 2 = 2 F2 =6 major quaim 5:
adeoque numerus 2 numeri s non pars (aliquora) dicetur, led partes, puta ? leu
duae quintae; vel etiam, uti jam loqui solemus, aliquanta pars dici porest, led non
aliquota pars. Eclimilirer de Mulciplici lire multiplo judicandum exic. Cum enim
Dars e mulciplum line relata, ex uno cognico cognoscetur reliquum: clt enim
ParS, mulcipli pars; e Multiplum, est parcis mulciplum; quod propterea parum
aliquocies praecile continere debet, puta bis, ter, quater, aut lxepius.
Mulcipli- Ouocies igicur mulciplicatio per unitarem, aut numerostractos, aut eriam sur.
dos, Puta Per L, 3, 3, V 3. _C. OcCurrit: Multiplicationis vox laciori sensu intelsi-
senca exie ee naraxeusmis neque alio sensu illud diei porest quam quo Y, aur criam
35 V 3, Ccc. numeri auc mulcicudines dici possunt.
Oui enim quanticatem quam libet per unum mulciplica hoc est, semel (prae
cise) ponic; non proprie mulciplicare dicendus est, leu mulioties ponere, led
eandem simpliciter quancitarem retinet; neque quod hac mulciplicatione produci
tur est proprie expolicae quancicaris Mulriplum, sed porius ea ipla; (nisi de A
quale, eo sentu Mulciplum elle dicatur, quo Onum supra concendimus este Nu
merum; quod si dicatur, ego non repusno.) Acque hinc elt quod dici solet
Onitatem neque multiplicare neque dividere; quia nempe sire mulciplicemus sive
dividamus per unum, quancitas ea mulciplicatione auc diritione non mutatur, sed
eadem quae prius manee: non minus quam in Addicione aut Subductione, ciphrra
seu o, nihil mutat. Nam ut 2 fO = 2, e 2 = O = 2, IC 2XI = 2, 60
Fistque pocius mulciplicarionis aur divitionis necaro, quam mulciplicario aut di-
vitio.
Oui autem, per, 2 h  Ac. mulciplicare supponitur, non tam revera mulcipli
care dicendus elt quam diridere (uc intra melius parebic, ubi Diritionis naturam
expoluerimus,) nam licur qui mulciplicat per 2, 3, 4 ecc. dacae guancitatis quaerit
duplum, criplum, quadruplum, sec. sire expolitam quantitarem Bis ter, quater, etc.
ponit: Sic qui Per, 2, 3,  dc. mulciplicar, non nili dacx semistem, eriencem, qua
drancem, dec. quaeric; neque iplam quantirarem, nedum ixtius mulciplum, led ipsi
vera diridere per 2, 3, 4, Sec. Adeoque uc qui quanricarem negaciram supponitur
Addere, (puta qui numero q adjun sit- 2,) Feapse Tollit; (minuit enim, non
auget; est enim 4 = 2, minus quam 4; et tancundem cst acque collere 2:) ita qui
per = (aut aliam quamlibet aliquotam parrem) supponitur Mulciplicare, reapse
Diridic; cancundem enim est acque per 2 dividere. Oc enim Aedicioni Subduetio.
sic Mutcipacon ro ett Concaria.
Tandem; qui per 2, 3 Ecc. mulciplieare supponitur, pareim mulciplicar, par-
rim dividu; nempe mulciplicat per 23 3, _c. (numetatores,) et Per 5, 4, ec. (denemi.
natOTCS) diridic: Sieur qui addere lupponitur 4 - 2, parcim addic, parcim aufert.
nemve addic 4 ec auterr 2. Oc e qui mulciplicare supponitur per V 3, duo tacie
nempe Gctesaca pICat Per 3, Cladicem quacraricam educit. Verum hxC
erim hxec expedie subinnuule, ut Icelligatur quid per Mulciplicationem Arierissime
Non sem. sentu lumpram, et quid seu atiori incellisi debeat. Ur auiem Mulciplicarionis
nomen, lic e Vetininema ucrique ur opus est accommodari porest
LEPTOPETCA MulCILMaIOne, laXIOrC sen lu Lumpra, non lemPex auGeCUF numeruS
auV
omni rectius percipieneur ubi de numeris Fractis, _ Surdis dictum tuerit: at in-
catio
laxior
sensu
cepta.
per aus
nume-
umm

## Folio 87 — 851387705:0107
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000107.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
Cap. tIIL. DE NLALTLELICALIONE.
auc mulciplum producitur, (quanquam illud vi rocis pertriberi videatur, impo.
Tico nempe nomine, d tamoliori ligniticato.) Cum enim in mulciplicatione
supponitur numerus Mulciplicandus cocies poni, quories innuic Mulciplica-
TOT: sive (quod cancundem valet) numerus mulciplicarione L’actus cories con-
cineac Muleplicandum quories Mulciplicator continet Unitatem: PrOUE MuI.
ciplicator major sic auc minor quam Unitas, auc etiam ipsi aequalis; ita nume
rus Productus lire Pactus major elbaut minor quam mulciplicandus, auc ip(i aequa
lis. Nam qui quancicarem praecile lemel ponir (hoc est, mulciplicat peF L,) can-
dem neque auxec neque minuie; qui autem plusquam semel ponsc (ubinempe mul-
ciplicacor est major quam 1,) ille ausec; qui aucem minus quam lemet ponit (lire
qui mulciplicac per quid minus quam X) ille sic mulciplicando minuic.
Pacet aurem, ex jam cradicis, Mulciplicarionem (Talcem stricte Tumpram) vix Mulcipli
aliud else quam mulciplicem addicionem, sive addicionis compendium. Idem enim catio est
eltcriplicare aut per 3 mulciplicare, acque quantitarem ter ponere; adeoque l’a- multiplex
ctum iltius mulciplicationis cancundem eric, acque hujus addicionis ABGrCBaTuM; de Additio.
similicer in aliis. PUta 2X2 -
2.
1
2 + 2
_c. Ut Patet. Obi etiam obicer nocetur, numerum binarium sive sui adjectione,
sire in sciptum mulciplicatione, cancundem auseri; nempe 2 f 2 = 2X2: quod
in solo numero binario concingic.
Porro, in numerorum mulciplicatione, uri ex dictis icem patet, duos numeros Multipli
nocos ele, sive dacos, constar, nempe mulsipticandum de multiplicantem (sive mul. candus
tiplicatorem;) certium quaesicum elle, quem factum sive Productum diximus. aut Mul-
Sciendum tamen est, perinde omnino elle sive hunc sive illum ex dacis mulciplican. riplica-
dum auc mulciplicantem dicamus; idem enim omnino prodibir l’actus, utervis da For, uter
vis ex Fa
eorum dicacur mulciplicandus. Fancundem enim elt live velimus Onacuor Pex Po. goribus
nenda sive Pria Ouater, urrobique enim exurgune Duodecim. HOcett 4 X 3 = dicipo-
3x4. Ec Similicer in aliis. Ouod quidem cocidem punctis, eo
quem hic videas ordine posius, sacs demonstrari poceric: sive
enim seriebus cranlverlis nUMETCMUS TeT quacLIOE, Sire Teriebus
crectis quater tria, idem erie veroris modo punctorum omnium
MMMerUS: UE PaTCE Acque hoc iplum Euelides octendic +6 C7.
Itrer No aecduOI NONaOVTeS aS, notCO VS, OF ZVWOt EE avrav 100t an SnOIS Eoor-
rac. Si duo numeri se mutuo multiplicantes aliquos effecerint, numeri sie facti, erunt
inter se aquales. Hoc est Ci numerus A mulciplicet B, ut hat B X A; e VicC Ver
Ta numerus B mulciplicet A, ne tiac AX B; numeri sic facti, erune inricem aqua
les, nempe BX A = A x B. Cujus ulceriorem demonstrationem, li noltra non susi-
ciac, videat cui liber apud Fuclidem loco cicato
Ouum isicur Arichmetica practica magiltri non raro docent ex numeris datis,
Majorem dicendum else Mulciplicandum, et praeponendum este: Minorem vero
Mulciplicaniem, et Tubscribendum etie: non tamen illud putandum cst auc semper
aut necessario taciendum elle, led prout sibi commodius pucarerit calculator
quamvis enim nonnunquam expedire videatur, nulla tamen necesitace imperatuT.
Denigne monendum insiver est, duos illos numeros datos, quos Nulripticandum
e Mulsiplicantem diximus, non raro apud Arichmeticos uno nomine L’actores dici
sieut qui mulciplicatione producitur dicitur Factus. Irem F’actores illi invicem
duoi lire Mulciplicari dicuneur. Idem enim omnino est numerum in numerum du
cere, atque numerum per numerum multiplicare. Iiem numerus mulciplicatione
productus lire tactus, non raro dicitur Rectanculum, vel Planum, vel eriam nu-
merus planus; Mecaphora nempe ex Greomerricis ducta, ubi ex ductu longicudinis
in lacicudinem habetur planum sive area Rectanguli vel Parallelogrammi.
Acque hactenus mulciplicationis naturam Paris videar expoluille, seu quid s
Mulciplicario: Superest uc iptius etiam Praxin ostendam, sive quonodo sic mule,
test
plicandum.
Monendum aurem ee hic est de Mulciplicarione, quod de Addirione de Sun Mulcipto
elione supra monumus; cam demipe ec  ueio spiteibus (umus cancum H cationis
SuTa) vel in numeris Compolicis (tgurarum plurit) CxCrCCrI.
Duod ad numerorum simplicium mulciplicatioset allinel ca vel ex Meola simplici
oraxis.
Decenda cM, vel ex Addicionis principio lepelelca, ulque dum utus de exercicatio um nu-
eam tanLCM rCcaTACHIME. Sed Lgu Ma Guo linerer eria, vel lepries octo; merorun
Pocerit ille rres numeros cernarios, vel leprem oetonarios simul, addere; de paricer mulcipti-
in catio.

## Folio 88 — 851387705:0108
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000108.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
DE MULTIPLTCALADAL. Cap.
in aliis. Suncenim, ut jam ostendimus 3 F 3= 3 =, 3X3, 8 8 f8 + 8 + 8 f.
1.
8. f 8 f.8 = =8X 7. Et lic in exteris.
quandam Tolene huic rei accommellulam commpinsere, unde linsulas limplieium nu.
merorum mulciplicationes velut ex prompruario pecere licet, qualem hie subjcci-
mus. Cujus quidem Tabelx demonstratio quoad singulos iltius numeros, ex Ad.
ditionis fundamentis petenda elt. uc modo ostendimus.
Ne autem ejulmodi additiones Expius line a ciretous repluelta, Ladian
Labena Manipucations  Didisioras.
2C
5
120(2428 (3236
20 125 130 135140143
12 I58 124 l30136142148154
2
28135142149156163
26 124 13254140130164172
18
27136(45154163172181)
In hiac labella, numerorum inricem mulciplieandorum altero in summitare se
178
riei crecta, altero in principio lerier crantrella, reperto; locus ille in area ta-
bella qui utrique leriei communis elt numerum exhibet ex eorum multiplicatione
Factum. Puta si quaeratur, quis numerus factus exit et ce B, (seu mul-
ciplicatione 8 per 7:) in tronce tabella quaeratur 8, e ad latus 7, (vel contra,
numerus hic in tronce, ille ad lacus,) es in communi serierum concurtit habebi-
Tur 56 - = 8X7. es similicer in aliis quibuscunque.
Cum autem, uti superius oltendimus, perinde lic utrumris ex l’actoribus MuI
siplicandum dicamus, idem enim veroris modo prodibit; puta 8x 7 = 7 x 8 = 56.
adeoque perinde etiam lic utrumris in tronte quaeramus: poterit tabella ipla in
tormam duplo lere minorem redisi, uti hie ridetur. Obi duorum numerorum in-
vicem ducendorum major semper in tronte, minor ad latus quaerendus (C; ec in
veriusque serici concursu habebitur, uc prius, numerus factus.
Labela Conbractior.
16
120
28
32
36
35140 l45
42145 154
5
30
1
rum com- lis ad compolitorum mulciplicarionem proorellus, ut qua ex limpe HICIPI-
positorum catione (xpius icerata tota dependet; uni inductione patebic.
multipii
catio.
Sit isitur numerus 342c duplandus, sire per numerum 2. suPCaIIS. NI.
Dhi mu mero isicur mulciplicando 3422, Subseribariir Mulciplicans 2, e (duela LIHCOta)
ciplicator cuilibet fisurae numeri mulciplicandi, subseribatur ipsius duplum (quia nemoe
est nume mulciplicator est 2.) eodem semper gradu cum illo cujus est duplum. Ira nempe
cus sim
Plex.
342T
duplum unius unitaris une unitaces dua, duplum duarum decadum
Numen. Obi autem de simplicium numerorum mulciplicatione constat, non erie diftici.
funt decades quacuor; duplum quatuor cencuriarum (unt centuria octo;
um EFLUI LIIISECM LANE LIIIIa SCK. GUII GuIaCM AIMMICEL in unam
66q2 Lummam collecti, nempe 6842, Tunc rorius numeri mulciplicandi 3425
duplum.

## Folio 89 — 851387705:0109
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000109.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
10
Cap. XVIII. DE MABLTPLICAE
duplum. Cum enim omnes partes (imul RGUENEUF EOCI; CrUNE CtIam Omnes partS
bis Cumpeae, aequales cori bis Tumpto; hoc est, duplum parcium omnium aequabl
cur duplo corius. Oux quidlem demonstratio (mucaris mucandis) de criplo, qua
druplo, quincuplo, auc quoris alio mulciplo pariter ralebic.
Si vero, in hujusmodi procestu numerus cujutris loci len fadus Hovenarium
exceda, adeoque non sic unica tigura exprimendus; ulcima illius figura Tuo loco
Ponenda est, superiori incerim in locum proxime ascenden.
rem procrula, cum figura iltius loci deinceps numeranda. RX
empli pracia, Ei numerus idem 342F per 8 mulciplicandus siL,
linsula tisura numeri mulciplicandi octuptandae Tunc; carum
que octupla suis qua que locis subseribenda, ec in unam deinde
lummam (habico locorum respectu) colligenda. Nempe
Oniras L octuplaca dat unitares 8, decades 2 octuplatae danc
decades 26, centurix 4 Octuplatae TUNE Centuria 32, 83 milsia
octuplaca tunc 24 millia. Ouibus in unam summam Addi
tione collectis, emersie corius numeri mulciplicandi octuplum
27368 == 342FX 8. UC patet.
Pollune autem illa parcicularia singulorum locorum mulci
pla, vel coridem distinctis lineis collocari, uc modo; vel po.
nus in duas omnino lineas cosi ad hanc Formam. Dummodo
enim illud mrobique curetur, ut quaelibet Rgura debico suo
loco seu gradu collocetur, perinde est sive illud duabus sive
pluribus lineistiac; eadem siguidem addicionis Cumma emer.
BCc.
Verum de acttue, ad commodius operationis compendium, poterie illhaee addi-
cionis summa etiam currence mulciplicationis opere collisi, (quamris, perspicui.
catis gracia, distincte porius ucramque operationem prima vice exponendam puca-
verim:) Nempe quocies tixura quaeris in superiorem locum sic cransterenda, ca
memoria recineatur, ulque dum noca quieum addenda sic innoceseat, uc ueriulque
loco earum aggresarum leribatur. Ica, in superiori exemplo, Dostqua I unita
cum locO DOnatur B (nempe fguIEX F octuplum;) lequuncu 26 décades (nempe
duarum octuplum) quarum s decadum loco repositis, pro reliquis decem relerro
2 cencuriam: deinde a centuriarum octuplum sunc centuria 32, quibus adjungenda
clt= (nuper reterrata) uc tianccencuria 33; quarum 3 cencurtarum sede DOlis,
Pro reliquis cencuriis 30 reterro z millia: Fis aurem 3 millibus, si adjungancur
millia 24 C nempe octuxtum 3 millium in numero mulciplicando repertorum,)
emergune millia 27 Tuis locis ponenda, uc in exemplo axpolir
Adeoque laris declaratum est quomodo in mulciplicandis eriam nu-
meris compoticis procedendum est, si modo mulciplicator sic numeTUS
Simplex, una figura seribendus.
342+
Si vero non modo numerus mulciplicandus, sed de Mutciplicato fit 2736E
Obimul
numerus compotitus, duabus aut pluribus tiguris scribendus; cadem quae prius siplicatos
operatio roties repetenda erit, quoc sunc Mulciplicantis fixurae; numerique LC est nume
inventi (debita locorum ratione habita) in unam Cummam addirione collirendi ruscom
Exempli gracia, si numerus idem 342+ per 28 musciplicandus Lic: poltquam sub. positur
scripserim cortus octuptum (modo luperius iradico inventimm)
27368; Tubscribendum est insuper ejuldem duplum, Peu porins 11 1342 7
visecuplum. Nempe ipsius duplum (uc Lupra docetmr (IHVen -IHSilI LIEO
cum ) 6842. Si ciphitac auscctatu Habeat (Bllla 66420) HVCs 27868
quod cancundem valet, uno gradu alccL HO PTOIOVeATUE, (Ia 6642
nempe uc iplius tigura ulcima ponacur loco decadum, penulei. 17
ma loco cencuriarum _c.) trabebicur iltius dupli decuplum 957
(qualibet nempe tigura uno gradtu promoca decuplum illius valoris habet quem
risccuxlum simul addlancur, scabebeus visinti octuptum: uc patet. Nempe
05788 =3421 X 28. Similicet in aliis laciendum erie quorcunque demum in mul-
prius obcinebat,) hoc est, expolici numeri rieccuplum. Si icaque octuptum de
Ciplicatore LIGUTA TCPETIaNEur
lea liquis quaerac, Quot horas comment annus integer. Cum notum liC diem
quemtibet HOraS CONCINCTC 24, Ctu numerus horarum viginti quadruplus numers
dierum. Adeoque cum Anmus intcser concincat dies 365, aique insuper 6 horas,

## Folio 90 — 851387705:0110
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000110.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 83 lines, status machine
NIDLTTPLTCATIONE. Cap. X
E dierum numerus 385 Hulciplicetur ver 24, habebitur nu-
MCLUS HOTALCE Eua I erebus incegris unius anni continen.
tUT, 8760 = 365X24. quibus s addantur reliqua 6 horx
erit omnium numerus 365X24 +6 =-8760 +6 =-8766.
tor isitur horx in uno anno incesro concinentur.
St quis inlPes Guaerat Duot hora fuerint elapsae a nato
C da sinem annorum inde subsequentium Mille sex-
centorum quinquaeinta e sex. Si dueatur vel 8760 nume-
rus horarum unius anni in X656 numerum annorum; vel
248
L45F6496
(quod eodem recidic) numerus anno
rum 1656, in 8766 numerum hora-
rum cujusque anni, habebitur nume-
ruS hocarum omnium 14516406 =
8766X2656 = 2656x8766. Ut in 0.
perationibus appolitis patet.
Siguando numeris invicem mulcipli.
candis, Calrem mulciplicatori, Ciptrrae
immilccantur; quanquam ipix ex (C
catori in-nihil signiticent, interriunt tamen locis supplendis, adeoque aliarum tigurarum
ern. ralorem augendo, et proprerea neuriquam lunc nepligendx. Exempli gratia, Si
0000
4722
47 4658
numeruS 236F ducendus sIF in 20204. Subscripeo primum
mulciplicandi quadrupto 9444; cum deinde occurrat in
mulciplicatore ciptra, Ei illa in eocum mulciplicandum
ducatur prodibit adhuc nihil (nam nullies x est nihil,
de sic in reliquis,) adeoque nullies 236F erit 0000. DC.
inde 236TXF = 236T. Ttem 236T 40 =0000. Denique
236TX 2 =4722. Elisigitur omnibus, eo quo hc locan-
cur modo dispolitis, in unam Tummam collectis, habebi-
tux numerus 47465544 == 236Fx 20704. Ubi nocandum
elt duas ciphrarum series, utut ex se nihil signiticent, ca-
men cum mulciplorum particularium quodlibet uno semper ad Cinistram loco ultra
quam praecedens procruditur, ciphrarum series illud faciume uc reliquae fuis singula
ledibus collocentur.
Cum aurem illud solum praestent interposita ciphrarum series, ut reliquae, dehi-
tas suas sedes occupent, neque ulterius ex le quiequam raloris habeant; pollune
quidem illae non incommode penitus omini, modo interim careatur ut reliquae
terres signiticarira ealdem sedes occupent acli iplx (non signiticantes) adestent:
ut in eodem exemplo hic repecico (omistis cancum seriebus ciphrarum, reliquis
236F
+
3444.
361
47465544
que Tuas sedes retinencibus) ridere elt. Idem enim e lic
e illic numerus P’actus prodit.
Or aurem Tuus cuique locus rire actionetur, curandum cst
uc haec obserretur regula; nempe, ut cujustibet parsicularis
multipli ulrima fieura eodem eradu collocetur cum suo respe-
Etive multiplicatore, (xeliquis proximos continue locos Dc-
cupantibus.) Oc in eodem exemplo, mulciplicandi (236F.)
quadruplum 0444, ulcimam iplius tiguram habet in Vnica
cum loco poticam, quia iptius mulciplicator 4, cocidem unitates indicat. Trem
ejusdem multiplicandi simplum 236r, uleimam tiguram in cencuriarum lOco DoFi.
ram habet, quoniam ipsus mulciplicator r, unam cencuriam indieat. Denique
ejuldem duplum 4722, ulcimam suam tiguram habet in decies millium loco, quo.
niam iplius mulciplicator 2, duas millium decades signiticat. Fr timiliter in aliis
quibulris mulciplicationibus taciendum erit. Atque hoc quidem li curetuIr, Ci-
phrarum leries quoclibet (liquando mulciplicatori ciptrae immileeantur) DenituS
omicii postune.
V
Ct
Multipli-
5+O
d2
50
Deci
hris fi-
nalibus.
1085F00. Denique, se Factctons lrenumersunvicem mul-
Eiplicandis) vel alter vel ucerque in ciphris (sire una sire
PIbuS) terminetur; sepositis illis ciptris finalibus
Petaeatur tota mulsiplicatio aesi non adessent: e numero
Tundem ita producto tos subjunsantur ciphrae quot erant
illa omnes sepositae. Ita li numerus 4085 100 ducendus
LIE
3004 0
63

## Folio 91 — 851387705:0111
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000111.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
Cap. XVIII. DE NDLTTELECATIONE.
Sic in numerum 230040; sepotiris cribus ciptiris Finalibus (mulcipticandi nemp
duabus de mulciplicatoris una) habebitur 939736404 = 4085FX 23004; cni nu
mero l’acto si relticuancur rres illa ciphrae lepoliu, Prodibic 939736404000 =
4085100x230040. tic paricer in aliis.
Racio opcrationis lacis elt evidens. Si enim, verbi sracia, 300 per 20 multi
plicare oporieat; et, sepolicis ciphris, ducuncur 3 in Z habebicur 6 -= 3X2. P1
Teltieueis ciphris, 6000 = 300x 20. NTam, ( bis 3, Sint6; crune bis
30 dccies 6, hoc ct, 60; e bis 300 dccies 60, hoc clt, 600; ee deni-
que si bis 300 fint 600, crune vicies 300 (sire bis decies 300) decies
300
20
500, hoc cL, 5000. Ouxlibet enim adjecta ciptra numerum cui ad - 6000
jieitur decuplum tacit. Ec pariter in aliis ejutmodi mulciplicationibus
quibuleunque
Acque hinc liquet, cancundem prortus valere
Sive 2 ducancur in 3000, live 20 in 300, sive 3000 300, 30
200 in 30, lire denique 2000 in 3; quippe in 2
20111 200 2000
linguliS CMErGIE HUIErUS 60OO. CUt PatCL. LF 6000 6000 6000 6000
Paricer in limilibus.
Aique hactenus quidem de numeris incextis invicem mulciplicandis dixille sut
Fieiat.
Siquando numeris inceeris annecti contiserit parces aliquor decimales, live Parrium
(quod idem est) loci aliquot intra unicacis locum descendentes; eadem ommine decima
exic operarionis mechodus acque in numeris inteoris: cum hoc Tolo discrimine, lium mul
quod pollquam numerus productus eodem platie modo invenitur aeli cMene nu. tiplicatio.
meri omnino inceori, candem cor loci in numeto facto linea separacrice lunt ab
seincendi, ut parces decimales, quor crane in ursque simul F’actore sc abscitti.
Exempli sracia, Si numerus 36525 ducendus esset in 35
Polequam (quali ettene plane ICCBFI) invenerim productum
T278375 =36525X35; candem, quia in tactoribus rideo cres lo-
cos parcium decimatium (duos nempe in mulciplicando, ee unum
in mulciplicacore,) cres ulcimas producti tiguras linea separatrice
abscindo ut parres dccimales: adeoque habeo 1278 (375 = 365 (25
315. Acque idem in aliis parcium decimalium mulcplicationibus
oblerrandum cru.
365 125
B
182,625
2095,75
1278(375
Lacio hujus operarionis haec est. Ouoniam, uc numerus quilibet adjectione
ciphra in tine, decuplo ausetur; promora nempe qualibet tigura in locum proxi
me Superiorem, uc quae prius unicaces cigniticabar, jam signiticer decactes, e sic
de reliquis: ita tigura tinalis abscistione linca separarrice, numerus decuplo mi-
nuitur; derrusa nempe tigura qualibet in locum proxime inseriorem, ut qua
prius decades signiticabat, jam signiticet unitates, e sic de religuis. Puta si nu-
mero 35 adjiciatur ciphra, fiet 350 decuplo major; Iin ab eodem 35 abscindatur
linea leparairice tigura ultima, eric 315 decuplo minor. Ec similicer judicandum
erir ubi dua, tres, aue Dlures adjciuncur ciphea, aut cocidem abscinduntur loci
decimales; nempe numerus cencuplo, millecuplo, ecc. adjectione augetur, vel ab-
lacione minuitur. Adeoque in exemplo proposito cum 365 (25 lic cencuplo pi
nOr quam 36525, erit etiam 365(25 X 35 centuplo minor quam 36525 X35; cum
que etiam 315 sic decuplo minor quam 35, eric 36525 X 3(5 decuplo minor quam
365(25 X 35, adeoque decies centuplo, hoc est millecuplo, minor quam 36525x35.
Cum initur sic 2278375 = 36525X35, abscindendae sunt linea separarrice cres
ulcimae s Ma i numerus tiac millecuplo minor, nempe +278(375 5365(25X35:
adeogne loura 8 quae prius lisicabat coc millia, jam signiticac non nihi coridem
Pandem de hanc libet (ex Ougheredo) regulam generalem proponere, quae Denait
in cuos altionando numeris mulciplicatione Factis locos, sire in numeris intesris, numeri
live eriam partibus decimalibus, dirigat. Cum luos cuique loco indices assignari facti.
THIS, Ita nempe ne Onicatis locus indicent MaMatO (ue qui neque ascendit neque
ace) loci aurem supra su acceemes Pus, secundus. Tercius, ec. In-
dus, cerrius, _c. indices habeant negatiroS = Z, = 2, -3, dec. Index cujusque
Parcieularis Facti in mulciplicatione, aequatur indicibus utriusque Factoris simul
sumptis.
Onitaces, e lic de reliquIS. O
Acque haec eriam Sulticiant de partibus decimalibus mulciplicandis.
dices habeane attirmatiros, 1, 2, 3, ec. ec concra loci descendences primus, secun-

## Folio 92 — 851387705:0112
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000112.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
E DIVISTOHE.
. L
Tumptis. E.XempL Gracia, E mulcipticandus sE numeruS 32]E in 5(34. MCI
plico primum 4 in F (quorum indices = 2 8 = 5) ec tactus cst 4 (= LX 4)
Donendus Loco cerrio delcendente, cujus index elt =3, aequalis duobus = 2 8
T. Tum 4 X2 (quorum indices = 2. et 0) Factus elt 8, loco secundo delcen-
cente ponendus, cujus index  2 =- - 2 +0. Tum 4X 3 (quorum indices -- 2
et = T) Factus eM 12 ponendus (nempe quoad ulcimam iplius figuram 2.) loco
descendente primo cujus index - + =
=2 7 T. Deinde 3 XF (quorum indices
E et = T) factus 3, indicem habet = 2 =- - + -- T, ideoque ponendus loco
delcendente secu. Sic 3 x 2,, Factus 6, indicem habet = +
F. F0 Podendus loco descendente primo. Ft 3X 3, factus
32]F cactu B3 cujus indeX = = F F T, Donendus loco Onicarum. Denique
0,63
160,5
X72, 4.T4
5X T, Factus 5, Cusus index - 2 = 0 = 2, ponendus loco delcen-
dente primo. Et 5X2, tactus 20, indicem habet0 =.0 f0, id.
eoque ad locum unitatum reterendus, nempe ipsius ultima Ligura
O illic collocanda, et reliqua = in Jocum proximum cransterenda.
EE candem 5 X 3, factus est 15 (cui si addacur 2, tigura huc
cransmilla, tic 16,) cujus index X = 0 f 2, adeoque ad locum
bprimum ascendentem spectat. Ouibus absolucis, si addirione cot
lixaneur in unam summam, habetur corius mulciplicationis factus, 271 (L24, cujus
index =3 (quoad ultimam ipsius figuram aestimandus) aequalis duobus limul in-
dicibus = 2 e - F, nempe utriusque Factoris 32IC et 534. Ersimiliter in aliis
hujusmodi mulciplicationibus quibuscunque.
Arque tactenus de mulciplicatione cam numerorum integrorum, quam partium
decimalium. Nulciplicatio Alsebrica ee Speciola, ut et quantiratum ex rariis de-
nominationibus constantium, mox tradecur poll Dirisionis cradicionem; quam le.
quence Capire axpredior.
st
or uo-
T. O. T. 2.1
F, 284.
 0
L L L
De Voosione. Dura sit Divisio. Dividendus. Didui
Simplue. er dibijorem compositum. Divitionis p ais
numeri orti.
Xpolita in praececncibus Multiplicationis cam natura quam praxi; ad Divi-
sionem explicandam accedendum elt.
FelE autem Dividere, Numerum quemvis datum in quoslibet aequales partes di
rimere; Ere Numerum invenire, qui doceat quoties numerus quivis datus in dato
quovis continetur. Vel (si libet non ad Colos numeros, sed ad alias etiam Diri-
tiones rocem extendere.) Dividere, Cl datam quamlibet quantitatem in data ra-
tione diminuere; vel pocius. Duarum ad invicem quantitatum homoeenearum ratio-
nem invenire. Ilam uc Subductione quantitatum homogenearum Differentiam,
ita Diritione carundem Rationem in veltiganius.
Sed de Numerorum Dirisione praeserrim agendum est, quo rocis illa signiticatio
Dinisen Primario retercur, ad alias aucem non visi analogice axplicatur.
dus. Div. Iu smTorum rero dirisione, duos habemus numeros datos, nempe Dividen.
dum qui in parces, aliquor aequales dirimendus ctt; et Divisorem live Diriden-
TEI, qui nUMeTUM parcium denotat in quas supponitur ille dirimendus: quibus
datis, tercius quaeritur, quem Orsum dicunt, lire Quotientem, oltendic enim quo-
cies dirisor in diridendo concinerur, sire (quod eodem sccidit) quories ex illo
auterri porest.
Duotiens. Doo sensu sato, e sensulato, sumpta
Non seriper numerum aejuto mtit. Divisio est
multiplea subductio. Divisionis praxis: per divisorem
in partibus decimalibus. De Indice Ouotientis, sive
StC
tiens.

## Folio 93 — 851387705:0113
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000113.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
viso
nipIa
sore
oraa
C. aP. LLL L.
Sic SnUImeTUS F2 in 3 partes Sic dirimendus, numerus Ortus sive Quotiens (Duta
4) oltendic unius crientis ralorem: vel etiam oltendic quocies Divisor 3, in Di
videndo +2, concinetur. Iea li numerus 20 diridendus sic per (dirilorem) 4
sire parciendus sic in 4 parces, vel Si 4 diricat 20, rel denique li quaracur quories
In20 contincatur 4, auc quocies inde auterri postic: Numerus ortus sive quociens,
Duca 5, Oltendic quanca Cic iltius numeri pars quarta sen quactrans, hoc clt, si sup
Donatur numerus 20 in 4. aequales parres dividi, quanta lic carum qualibee, nempe
5; vel quocies in 20 concineaneur 4, aue quocies inde auterri poHII, nempe
quinquies.
Diritionis aurem operationem (sive pertectam, live verficiendam) Tolemus sic
indicare 13; quod nOcaL MIEruM 12 per 3 dirilum vel dividendum; vel etiam
) 12 (4; quod nOLaEMueTU 22 per 3 diritum, ejusque quocientem ese 4.
Ec limilicer in aliis.
Duod rero tantundem Tic inquirere Ouories in TZ CONFINCANEE 3 d atque DVan-
cus lic mumeri +2 pars terria sive triens: (ee paricer in simi
libus;) hac tacili demonstracione oltendatur. Scacuantur in TOri-.
dem Columnis, sire seriebus crectis, cor punctorum iriaces live cer-.
nIOneS, quoc opus elt ad complendum numerum +2, ( Duta 4;)
quo tacto, numerus columnarum simul oltendic, gnocies in 12
Contincancur 3 (cories nempe quoc tunc ipla columna,) aique etiam quor puncta
lune in qualibet serie crantrerta, hoc est, in quolibet corius numeri criente; (1or
enim lunc cransrertae series quoc sune enjullibet erectae puncta, adeoque quaeliber
series cranlverta est rocius numeri criens; cor autem funt cujustiber trantversae pun-
etaue quoc elt serierum crectarum numerus, cum harum quae libet cran lversarum cus
libec unum subministret punctum: UE patet
Elt aurem Dirisio eodem fere modo Mulciplicationi opposica quo Addicioni
Subductio. Oc enim quae Addicio componit Subductio relolric; ita quod MuIc
plicatione componitur, id resolvitur Dirisione. Sic, ubi ex addicis 3 de 4 tiunc,
li ex 7 alterurrum auteras, alterum prodibit. Ica, ubi ex mulciplicatis 3 in 4 tiunc
72; H 22 per alterurum diridas alce.
rum prodibir. Vrrobique quod compo.
3 + 4 =
Ablacum e Reliduum, ca in Lddirione lunt Intesri Membra: de quae in Diritione
Tune Dirisor ee Ouociens, ca in Mulciplicacione lune l’actores.
Craece diei lolet mecouos divisco, de meilen dividere. Apud Fuclidem interim
Patim uereor pcrecir uresuuos, idem sunt acque Divisor, dividere, divisus sive divi-
dendus, ee numerus re d’or perscira quosiens est. Sic od7 Numerus pariter par de
tinicur d ccd aeris aecdui acrebiduos nor aerior apidpor. Qui a numero pari per parem
mensuratur. Live quem numerus par per parem metitur; nempe, qui ita Per DI
rilorem parem diridi porelt, uc de quociencem parem habeat.
Nocandum aurem ell, apud Euelidem, non numerum quemvis alium quemlibet Divisio
raraurecir dividere rel metiri posse; licut nec a quoris numero quiliber auterri stricta
Dotest, (pura major ex minore:) Cum enim ille de veris cancum numeris de pro sumera
prie dictis (inceoros incellise) rerba tacic, qui ex Onitaribus componuntur
adeoque Onitatem semper habet pro indirisibili, quodque est, in numeris, mini
um quod LiC: NON TATO OCCAFFIE UerIS qui sit MPClatas Palles diridi non
Dorelt. Adeoque numerus ille solus alterum Diridere sire Meciri apud Enelidem
dicendus erie, qui elt ipsius aliquota pars, Teu qui aliquories poticus Diridendu
3X4 = 22
 LVISIONE.
nendo ex Tuis componencibus conslatur,
id resolvendo in lud componentta lctot.
vicur. Depe, qua I SBduccone ACL
aequet; quories aurem ponendus elt uc aequer numerum diridendum, id diritione
quaerituE. Verbi GTaTIA, LI dIVSCLML LICIETIS L2 Per 3, SIVC GuATaTIE quocies
POnCNCUS MUMErUS Z NIE _GUEE MUIMETUII 22, Gnociens eri q; quId nempe n
Merus 3 quater policus aequabit nIMETUM 12. Sil l PloPoNatur numerus l Det
3dividendus; id quidem tieri non porest, cum trie illius non sic aliquota pals,
Hec aliquories repericus ipsum aequabit; nam ut PotS (3X3 =9) minor ct
et quater poticus (3 x 4 = 12) major elt quam 20; aique ntcel 3 de4 non alius in
propolicus Dirilor non eM numeri Dirteendi aliquota pars.
licie
cercedit numerus, qui sic Ouoriens qualicus. Acque idem continger quotie lcunque
Arque hoc quidem inverett inex Acila Spelaliones Synchecieas de Analys.

## Folio 94 — 851387705:0114
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000114.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
E
Licas. Nempe, in Synchericis, veris numeris datis verus temper numerus emer-
det; ac non ica in Analyrieis. Duta in Additione 5 F 4 = 9, 3 Y
ec.
Eit Similirer cominget quicunque sint numeri dati addendi: Ac in Cabductione.
quanquam illud aliquando continsit, ut 5 = 4 = L, eec; non tamen id lemper,
nam 3 = 4 aequabitur nulsi vero numero poltibili, cum majus ex minori auterri
non vossic; tolemus tamen ejulmodi suppoliciciam subductionem utcunque in-
nuere ad hanc Formam 3 = 4, vel ctiam - I. Sie, in mulciplicatione, prOpO.
licis quibuscunque veris numeris invicem mulciplicandis, rerus semper emersit
nUmerUS, Ut 4 XZ = 8, 3X6 =18,5X3 =25, _c. Ac in Dirisione, licet illud
aliquando comtinsit, ut 2) 4 (2; non raro tamen secus accicie, ut li 3 Per 6
aNE 5 per 2 diridendi esent, ubi quotiences nullis veris mumeris (integris)
altignari pollunt; Tolemus ramen et hic suppoticicios illos quolos utcunque in
nuere ad hanc Formam 8vel :, ec 3 vel 23, ecc. Dr Similiter in Poreltatibus Cont
ponendis erelolrendis, continsit; daci enim cujulque veri numeri Ouadratum
Cubus, Scc. veris numeris extribebitur; ac non item dati cujulque numeri Radix
quadratica, cubiea, ecc. veris muneris exhiberi porerit: ue luo loco parebit.
Verum ue mulciplicatio, laxiori sen sir sumpta, non ad illam Solummodo restrin-
cns Sicux ubi Factus est numeri proposici Mulciplus; ica nec Diritio ita restringi (0.
sec ne Dirilor necellario sir Diridendi aliquora pars; quanquam iltiusmodi e
Mulciplicacionem de Diritionem voces illa primaria ee maxime propria lua ligni-
ticatione innuant. Ft quo senlu numeri tracti pro numeris habentur, codem de
pro L’actoribus in Mulciplicatione, ec in Diritione pro Diritore rel Ouociente ha-
beri pollune. Ttaque e hocsensu, quilibet numerus (sire inceger sire ctiam tia-
ctus) numerum quemlibet diridere pocerit.
Adeoque, ut rem paucis comprehendam, cum sensu strictiori Lumantur, Nussi-
plicatio quaerit numeri dati mulciplum; divisio aliquotam pariem: cum sentu vero
Taxiori isurpantur, dicenda poriis est Multiplicatio, quantitari aliam in data ra-
tione exhibere:; (ve quantitatem, quae ad datam habeat rationem, investieare: Di-
visio vero, datis duabus quantitatibus homoseneis earum ad invicem rationem in-
vestieare. Neque interim aliquem terreat, quod hoc laxiori sensu eadem ope
racio utroris ad libicum nomine appellari vosti, nam illud omnino concedendum
elt, cum perinde lic omnino Mulciplicare per 3, 3, 3 ecc. atque diridere Per 3, 2.
E, ecc. ut Tuo deinceps loco clarius parebit. Ouod eo minus mirandum elt, cum
e idem in aliis oppolutis opcrationibus contingat; ulpote in Addicione et Subdu-
etione, cum perinde omnino est sire addamus 2, = 3, 4y ec. sire subducamus
293, = 4, _C. Ut ex supra dictis patet.
Incerim monendum est, quod, ut mulciplicatione (laxiori sentu sumpta) non
semper ausetur quantitas mulriplicata, sed aliquando vel eadem manet vel eciam
anaerum minuicur: Cic divisione (laxiori icem sensu sumpra) non semper minuitur qyan-
minuit. cicas dirita, scd vel eademmanet vel criam augetur. Nempe, quoties Diritor cL
unicare major, Ouoriens erit mumero diridendo minor; quories aucem Dirilor
est unitate minor, Duoriens eric numero dividendo major, si denique Divitor Lit
unitas, Duociens numero diridendo aequalis erir. Racio anitelta cHt. Cum enim
numerus Diridendus ostendat quories ipse concincat unitarem; Ouoriens autem,
quories idem diridendus contineas divilorem: Si divisor sic unitate major, puta
2; maniteltum elt quorientem numero diridendo minorem este, cum eodem nu-
mero diridendo pauciores continentur binarii (suasts) quam unitates: Un diritor
sic unitate minor, puta Z; manitestum item est quorientem numero dividendo fii-
curum majorem, cum numerus diridendus plures contincat semistes quam inteoras
unitates: li denique Dirilor sic unitas, quoriens exic numero dividendo aequalis;
tories enim diridendus diritorem concinebit quoties quoriens continet unitarem.
Acque huc spectat quod apud etieos pallim occurrie, Diridendum cocies
continere Dirilorem, quories Orrus seu Ouoriens continet Unitarem; vel, candem
esse rationem Diridendi ad Diritorem, quae est Ouorientis ad Vniracem: Trem
Diridendum tories concinere Ouorientem, quories Dirilor continet Vnitatem:
vel candem ense Lacenens Diridestat de Guocenten qla est Divrioris ad Ont-
tarem. Nam de hoc seiendum est, (quod ex ex praedietis latis patet,) uc in Nutri-
rem dicamuis; adeo ue si hic dicatur Mulciplicandus, ille erir Mulciplicator, e
contra; Sic in Dirisione de Dirisore et Ouorience conunsit, qui alcernarim ledes
Mucabune
Divisie
laxior
cepta.
Divi-
0
plicatione perinde est utrumris c F’actoribus Mulciplicandum sire Mulciplicato-

## Folio 95 — 851387705:0115
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000115.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
1l
Cap. XIX.
D E D EV ES TON C.
mucabune, ut si duorum componentium hic su Diritor erit ille Ouociens, de con-
era, li ille Dirisor hic Ouociens cric. Puta, cum in mulciplicatione 3 de 4 inricem
ducti consticuane 22; si 3 dicatur mulciplicandus, eric 4 mulciplicator; de con-
era, Ei 4 sic mulciplicandus, mulciplicator erit
3. Si aurem idem numerus 12, Per 3 divi-
dacur, quociens erit 4; sin diritor sC 4,
quociens eric 3. Fc quidem in omni divisio.
3X4 = 12
4X3 = 12
3) 12(4
4) 12 (3
= 4
= 2
ne, li qui prius fuerat Ouociens tiac Diritor, qui fuerac Dirisor Riet Ouoriens. Divisce
Denique, uc de Mulciplicatione monuimus, nempe eam rix aliud elle quam mul. est multi
ciplicem Addicionem, lire addicionis compendium; ica ec de Diritione monen-
dum, eam nempe rix aliud elle (laltem cum Dirisor elt numerus inteser) quam
musciplicem subductionem, live subduetionis compendium. Oui quaric enim,
quocies numerus T2 contineat z; idem tacie ac qui quaeris, quories ex 12 Fubduer
Pollinc 3: Durisitur continua subductione invenerit, quocies postint 3 Cx 12 a1-
terri, ita uc nihil recter; invenit etiam eadem opera quories 3 in T2 praecise conci
neancur; quod iplum clt 12 per 3 diridere, uc ex pex
dictisliquet. Sic (i ex 12 punctis appolicis 3 quoties tieri
Pollic subducancur, patebie post quatuor subductiones ni-
. 1. . . 1.. . 1...
hil Cuperesle. Ouoc aurem subducta Cune, coc prius aderane; adeoque, cum nihil
Tuperlie, maniteltum elt3 in 22 praecise quater contineri, (quod ipsum diritione
Quaericur,) vel etiam eriencem numeri x2 este 4, ( uc lupra ostensum elt;) nempe
li +2 per 3 diridatur, quociens exit 4.
Ouique haec lacis incellisie, is genuina divisionis Fundamenta persentiseit. Cum
enim intiniri proxe laboris esser in diritionibus majoribus coc subductiones sigilla-
tim peragere, quor numero diridendo grandiori penitus extrauriendo (usticiant;
excosicarunt Axichmeriea practica magiltri, laboris magni magnum compendium;
nempe pro multiplici Divisoris subductione, subducunt divisoris Multiptum: quod
eodem plane recidit. Sic in exemplo praecedence, ubi numerus 12 per 3 divi.
dendus provonitur; verinde est sive ternionem (rela
Sa) quater Tubducamus, liro cernionis quadruplum,
(quia 3 F 3 + 3 + 3 =- 3x 4) ee utrumris tac, nihil rc.
Itabic. Ouod ec ipsum tieret s cernarii duplum bis Cub
ducamus; auc etiam criplum cernarii semet de semet
iplum ternarium: nempe 3 X 3 F 3XL = 3X 2 ]:
a
o
+
Duo allasor aurem tueru numerus diridendus, e quociens, comasls palebinu
julco compendii urilllas. St 20n pel L ctridenda; pro decem subductionibus nu
meri 2, substimenda, clt iltius decupli subductio; nam 2 x 10 = 20. Si 360 di-
ridenda per 6; plo Lexaea Subduetonious Melt 6, semet
subducendum exuspts sexdsccliplum. Lter in aliis.
Acque hactenus quidem Diritionis laculalacis explicalse vide.
ar; ejusque cum Mulciplicatione comparationem. Sequitur iptuS 6) 360 (60
praxis exponenda.
sub
vetro.
Si Diritor simplex sic, una tixura seriptus, de dividendus ilem sic divisoris de Per divi-
cupto minor; ex ipsa memoria perenea elE Lolutio; vel, siopus Mt, ex ea quam sen
Tabella Mulciplicationis e Divisionis.
mpli
4 1522126120]29 (28 (32126
5 leb (25 (20 (25 130(35140143
612128124 130136142148154
7124 (2+128135142140150163
126 124 (32 140 148 156164172
0128(27136145154163172(81)
2) 20 (10
otsio
nis ope-
ratio.
supra exhribui Mutciplicacionis de Diritionis Fabella. Nempe, reperto in Fabella
Tummitare

## Folio 96 — 851387705:0116
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000116.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
P
DEVISIONE
summitate Dirisore, in cadem columna quaeratur numerns diridendus, vel Palcem
numerus qui illic occurrit Diridendo proxime minor, es habebitur ad lacus nume
rus in quociente ponendus. V. 9. Si quaeratur quories in 24 contincantur 3. Reper-
eis in summo 2, ec intra 24, habebitur ad latus numerus 8, in quo-
3) 24 (8, cienre ponendus. Quippe in 24 octies pracise continencur 3: nam
3) 26 (85 3x8 =24. Onde paret numerum 3, numeri 24 esse partem ali-
quotam, nempe octaram. Si 26 per 3 diridenda ine; in columna
certia (ubi in tronte 3,) S Perie erantrerla octara, reperiuneue, non 26, sed 24
binario minor, ee ad latus 8; quod indicium est Diridendum 26, continere diri-
Torem 3 oeties, acque insuper 2: vel ex Diridendo 26, oeties auterri posse divi
Torem 2. atque insuper reltate 2. Hoc roliduum, eum subjecto sibi diritore, et
interjecta lineola, invento quocienci 8 poltpono, uc Habeatur pertectus quotiens
83. Duod etiam indicac numerum 3 nuiveri 26 aliquoram partem non esse, cum
hrie illum contineat plusquam octies, ee minus quam novies
Si vero numerus Diridendus non (c decuplo Diriloris minor, sradarim proce.
dendum elt, ec raria multipla successire subducenda; polico primum Divitore
sub diridendi gradu supremo, seu ad liniltram primo, (Talcem A dirilor non Fe
major figura Diridendi eo gradu Potita,) et deinceps succestire in reliquos locos
promoto, usque dum ad locum intimum candem perreniatur; in Tingulis incerim
locis sublato quoties fieri potest Dirilore, seu, quod idem elt, Tublaco diriforis
mulciplo quam lieri pocest amplo, e numeris diridendi suprapolicis, notato ubique
si quod sE residuo; numero irem subductionum in quolibet gradu factarum, sire
mulcipli subducti denominarore, seortim in Ouociente nocato; quorum omnium,
respectu ad Tuos gradus habito, collectio (reliduo, liquid operatione pertecta La
persic lincola ut dietum elt supraposito, cui subleribacur ipse Dirisor,) inceorum
quorientem constituer: Licuc ee miulciplorum omnium subductorum aggregatum,
si illa videbitur colligere, (adjecto incerim siquid in sine Cupersit reliduo) re-
Stimet integrum Diridendum; li enim fingula subducta resticuantur, redibit nu-
merus primo potitus: Ipleque numerus Diridendus tories Dirilorem continet
quories indicat Ouoriens, seu quories ipse quotiens continet unitarem, ut ec uo.
tientem cories quories Dirisor concinet uniratem.
Exempli Graria. Si numettis 486 sit bisccandus, sire in duas aequales partes di
videndus; vel, li quaratur quories in numero 486 contineatur numerus 2; hoc
eltus si diridere oporteat 486 per 2: Ponatur Diritor 2, Tub Roura diviloris ad B.
nistram prima, nempe sub 4; e gilaerdeur (vel ex memorit; vel
2) 986 (2 ex tabella suprapolita) quories in  contincancur 2; quod quidem
bis ticu nec laexius, (nam ipAuS Eriplum, 2X 3 =F6, majus CAt n-
mero 4, adeoque auterri non porelt) nocaro isitur in Ouociente
numero invento 2, diriloris duxlumm (quoulplu nempe indieae Ouociens) nem
DC 4 = 2 X2, C numero 4 TuprapOCIO ausEratIE, ee cum nihil rester urvaque H
Sura (2 diriloris, et 4 diridendi) deleanturs (ue quae munis tuum jans Praestice
FInE;) eltque haec operatio prima. Deinde, promote Diritore in locum proxis
mumi, sub Diridendi tigura 8, eadem operatio (mucaris muandis) repeconda est:
nempe quaratLE, quories = in B es relponsum 4 pOnaeuF i quo-
2) 486 (24 tiente (polt numerum 2 iltic peius policum) de Diriloris qua
deuxlum, 8 = 2X4, Cx 8 (diridendi numero suprapolito) aute-
ratur, et cum nitul reltiterie, deletis figuris 2 e 8, pertecta est
operatio secunda. Fandem, promoro in locum proximum dirilore, ad eandem
Formam praectanda est operatio cerria; quaetatut nempe, gnocies 2 in 6. responsum
3 in quotiente seribatur, _ Diriloris criplum 6 == 2X3, Cx nu-
2) 486 (243 mero s suprapolico ablatum, nihil relinquit; adeoque, deletis
Z. L. X.
2 ec 6, cum nullae supertine alia Diridendi tigura, peracta est
cora dirilio; e repertus est Ouociens integer 243; qui propterea
lemissis clt numeri 486; quippe rories in 486 reDErItUE nUMerUS 2. Si autM
plures acthue supertinssent in numero Diridendo loci, plures etiam cadem plane
mechodo repetendae esent operationes, quoc opus ellet.
Si quis interim objiciat, tiguram 4; centuriarum loco positam, alque 8 potitam
in loco decadum, non tor limplicirer unitares, led illam q centurias, hanc 8 de
cades signiticare, adeoque 2 in 400 non bis sed ducenties, ec in 80 non quater sed
quactrasies concineri. Vetum quidem illud cst: Sed et pariier verum est figuras 2

## Folio 97 — 851387705:0117
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000117.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
DE DEVISTOHE.
ee 4 in quorience posscas, quanquam cum primum scriberentur, videri posent tot
dimplicuer unicates nocare, camen ubi coca perticicur divilio pacet illam ducenta,
ee hanc ocloginta, ligniticare; adeoque non dicimus numerum 2 (dirilorem) in
numero 486 (dividendo) concineri bis et quater de cer, led ducencies quadragres
et cer. Ec quidem in operacione prima, si locorum ratio habeaeur, non simplici.
ter bis duo ex 4, sed ducencies duo ex 400, Lire BIS aUAS CCNCUTIAS CX QUATLIOF CCN-
curiis; ee in operacione secunda, non tam quater duo ex 8, quam quacrasies duo
ex 80, sire quater duas decades ex 8 dccadibus, ablaca esse dicendum exir. LL (I.
milicer i aluis quibuleunque atritionibus.
Eodem modo, li 138240 per 3 diridamus; Diritorem 3 (non quidem Tub L,
quia iplo dirisore minor el, adeoque 3 in T nullies concinentur, et propterea in
quorience vel nihil ponendum elles vel o ciphra, quae hie loci nulli ellet ului,
cum nondum leripiam habeamus tisuram Cigniticatiram, sed) sub tigura Droxi
ma 3 Tubleribo; ec, cum 3 in 23 (Figuris suprapolicis) Concineantur quater,
scripeo in quociente 4, diritoris quadruplum +2 = 3X 4, ex 23 sublatum, relin-
quic e, quod reliduum deleris 13 superleribo: Tum delecum cciam eo loci diri.
lorem, ill proximum cranstero; ce, cum 3 i 1B conci.
neancur sexies, in quocience post a subjunso 6, de divi-
Toris sexcuplum 28 = 3x6, ex supraleripiis 18 Tublacum, 3) 238L4B (46080
nihil relinquic: EC delecis cans 3 Guam 28, divilorem in
loco sequence Tub 2 colloco: verum cum 3 in 2 ne lc.
3
mel concincancur, seripra in quotience ciphra o, dirilorem (istie delecum) in
3X8, ex 24 Tublacum, nihil relinguie: Deleris igicur 3 et 24, et poluo sub 0 di
Siquid aurem, Dirilore quocies tierr porelt sublaco, aliquid Diridendi achue Residus
rellicerie, (quod ipso divitore lempet nus esse necelle est, secus enum poster di notatio
adjunsenda erit tractio, cujus numerator eric Reliduum illud, denOmIator vero
ipse Dirilor, (vel saltem alia tractio, quae cancundem valebic, minoribus numeris
in quorience numero 2, de Sublacts 10 = 9X 2 ex 26, SupertunE 8. TUII, PEO-
999999
carum
nt.
rma.
Cap. XIX.
Praleripcis) Contmeneur octies, poluo M Quocience 8, diriloris oetuplum 24 =
elle 46080, lire tocies in eo numero ciridendo contineri divitorem;
Locum achuc Plou Promoreo, lub HSlira 4: Tum, quia 3 in 2+ (tisuris fu-
ritore 3, inveuio 3 in omullies concneti, adcoque de hic in quovence ciptrram
colloco; et peracta est cota divitio. AdeOqUE REDCrIO NUMeTI F38240 criencem
vitor salcem semel adhue auterri,) post Ouocientis numeros incesros jam inventos
Leritenda,) uc hrabeatur Ouoriens accuraluS.
moro dirisore, cum in S0 concincancur s octies, scripto in quorience 8, de Tubla-
is 72 = 9x8 ex 80 rellan superius seribenda 8. Tum, promoto adhue divi-
Tore, cum o in 83 concincantur novies, seripio in quorience 9, de Tublatis 81 = 9x 9
Cx 83 reltanc 2. Tum, promoro diritore, cum in 25 reperiancur 9 bis, scripio
in quovence 2, e sublato divitoris dupto 28 = 9X2 ex 25, Tupextunc 7. Cum-
que, promoco dirisore, in 28 reperiancur Octies norem, polito in quoriente 8, et
ex 76 Tublaris 72 = 9x8, rectane 4. Denique cum, pro
moco divitOrE, 9 In AE rEDErIanEUE quater, DOlitO I quo. 88,7415
cience 4, ee subducto dirisoris quadruplo 36 =7 QYA, Cx 268386X (2892843
4+ reltabune superius nocanda 5, ee peracta est divisio.
Cum vero divisione peracta superlint achuc polc quo-
rientis numeros inceoros 289284 Tubjunso tractionem 3; adeoque liguet, dirilo
numero 260356+ per 9, quocientem accuraculm elle 2892843; Tire numeri 2603561
ParicMhonam elle 2892843; vel numerit 2663561, concinere numerum o, vi
cibus 289284, alque inluper 3 (gumesce Honas parres) ejusdem numeri o: ipsum
aucem numerum 2892843 (quocienrem) Pracile 9 vicibus concineri in 260356L
humero dividendo. Ec limilicer in aliis
Ouod aurem, in exemplis pramiltis, singularum suoductionum residua deleris alia ope-
Diridendi nocis luperposuerim, ipsaque subducta mulcipla nulguam seriplerim;
id majoris expeditionis causa tactum ell. Si cui vero libet omnia espleite con.
rueri, pocerit ille ad hanc tormam praecedentem opetalione petagere. Cum di-
visor o in lupraleripris 26, bis contincatur, PI IM quocience 2, de Tubleripio
dirilori o iptius duplo 28; ex 26 subductis r8 Manebune 8, intra lineam ductam
Ita L nuMerUIS 260356E dividatur per 9. Cum o in 25 bis concincantur, seripio
nocunca: cui reliduo adjumgendae at sigurae achue incacta (vel falcem

## Folio 98 — 851387705:0118
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000118.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
S F O N F. Cap. XIX
CaruM quoF OpuS CH,) e promoto divitore, se
cunda opcratio ad eandem tormam insticuenda
nempe cum o in 80 contincantur octies, potico
in quoriente 8, et subseripto octuplo, 72, his ex
80 Tubductis, manebune 8, ducta linex Tubteri-
benda: FF sic deinceps: ulque dum tota opera-
tione peracta, reperientur candem reltare 5. UE
ridere clt.
Aeque hactenus de Diritionis praxi, per Di.
vitorem simplicem (unica tgura LCxIDCUM) DC-
ragendae.
Si Diritor compotitus sit, (pluribus nocis ferip.
tus,) operationis mechodus, quanquam aliquanto
magis intricata, iildem plane principiis HILIEIE
quibus praecedens. Nempe, Dirisore Lib tot quor
Opus est diridendi tiguris ad siniltram prOXIIS
subleripio, ejusque mulciplo quam fieri votest
maximo ex uldem sublato, (nocaco interim in
quoriente istius muscipli denominatore,) pronio-
vendus est Dirisor in locum proximum, et sic de
inceps quories bpus exit: tolaque operatio ut
prius verasenda.
Lxempli gracia. Si 4290208 velim per 32 dividere. Divitorem 32, non sit
Diridendi truris 1Z TBleribo, quia 32 in 12ne lemel continentur, sed (omista
provterea tisura prima) lub duabus lequentibus. P.L quaero, quoties in L29 reDe-
riuntur 32 vel, quo commodius illud alleyuar, per porces inquiro quoties In 12
reperiantur 33 quod cum quater tieri deprehendo (acque incerim, un reliquo 0.
quarer contineri 2,) in quoriente seribo 4 iplique 32 Tubseribo iptius quadruptum
128, quod ubi ex 129 lubeluxerim reltare video r, cui subjunctis reliquis dividen-
di tiguris nondum ractis, reliquum adhue rideo 10208.
Tum divisore uno pradu promoro, cum videam z2 in +0
nullies contineri, in quotiente scriho o, et deleto ibidem
divisore, uno adhuc gracu cundem promoreo (immutaris
manencibus diridendi figuris 10208, cum inde nihil ab-
larum tueric,) ee quaero, quories 32 in TO2. Sire, quo-
tes Z in YO: reDeriUntE autem Z in FO ter, et quod
Tuperest F cum sequenti noca 2 facie +2 unde non dubito
quin 2 (teligua diriloris tigura) possit Palcem ter au-
terri; adeoque in quorience scribo 3, e diritori 32 Tub-
seribo iptius criplum 56: quod ubi ex suprapoliris 202
subduxerim video reltare 6, eique tigurX Calias aehue
intactas) 08 subjungo. Tum, promoco divitore, quaero
quories 32 in 60, vel (per Partes) quories 3 in 6, 8
invenio bis comineri 3 in 6; ac incerim cum videam ni-
hil suverese unde reliquam tixuram 2 bis auteram, seio
eocum 32 non nitr semel ex 60 auterri polte; ideoque
in quotience scribo r. ipsumque diritoremm 32 Cx 60 sc.
mel auitero, et restane 28, quibus B (tisuram intactam)
adjunso: Lt, promoco diritore, cum 32 reveriam in 288
novies concineri, seripto in quoriente o, de diritori, (ub.
Seripto ipsius noncuplo 288 =- 32x9, ubi hOC ex 288
Tubduxerim inrenio nihil restare; adeoque, cum nulle
adhuc supertine Diridendi figura, toram operationem
peractam elle liquet, et quorientem repercum este 40319
Praecise.
Ila Si 6639642 per 938 diridatur. Operatione ut in
praecedentibus peracta, reperietr quotens 6789. ut vi.
dercelt.
Vel Cla, n libet relidua superne notari pottunt.
acque incerim linsula dirisoris mulcipla leortim luis locis
seribiu
260356F (2892847
1296208 (40319
6633642 (6780
5
Divisco-
nis opera-
tio perdi
visorem
composi
u.
Ilia ope-
rationis
Forma.
8802

## Folio 99 — 851387705:0119
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000119.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Cap. XIX.
DE DEVISTONE.
scribis ipsis Dirisoris repeticionibus non intermista: ad hanc quae videtur FOr.
MaMI.
(6785
6639642
6630642
Ubi, cum (propter quorientis primam figuram 6) diritoris (978) sextuplum
5868 ex Diricendi numeris supra policis 6630 Tubrluctum sic, reliduum superius
NOLLIM CxII77T. Tum ex 7726 subducto diviloris sexcuplo 6816, reliduum
(Tuperne notatum) erit 870. Tum ex 8704 subducto diviloris octupo 7 824,
reliduum eric 8802. Acque hine denigue subducto diriloris noncuplo, 8802, nI-
hil reltabit. Adeoque pertecta es cora diritionis operatio, ee quociens elt 6789.
Si aurem, peracta operatione, placear omnia haec mulcipla in unam Cummam colli
sere, (limul cum tinali residuo siguod tuerit,) eric ea numero diridendo aequalis:
nempe, omnia ablata (simul cum reliduo siquod tuerit,) Simul acdica, relticuent
numerum propolicum: UIE PaTCE.
Sicui vero nimis operotum videbitur, cam cineuta divisoris mulcipla, quam
iplum dirilorem cocies repecicum scribere: Porerie ille horum ucrumvis omitiere.
Nempe, Si linguta dirisoris mulcipla subducenda scribere Superracaneum cIIC Alia ope-
duxerir; pouric ille duas illas operaciones, mulciplicationem scilicet dt subductio rationis
nem junctim perticere, (quod et plecique aruhmericae practica masiltei taciendum sorma.
doccne, ) ad hanc Formam.
Postguam, Diridendo de Dirisore recte collocaris, in-
vematur prina Ouocientis fgura 6; duCatE numerUS
ille sigillacum in omnes Diviloris Figuras, a Cimstra in-
choando, numerique tacti procinus ex Diridendo auteran
euT, nocaris superne retiduis. Sic Sexies 9 Tunt 54; ab.
latis 5 ex 6 reltat L, _ 4 item ex 6 restant 2: deinde sexies
Tunt 42; ablacis 4 Cx T2 reltant 8, e 2 Cx 3 reltat r:
deinde sexies B Tunt 4.8, ablatis isicur 4 ex BC reltanc 77,
e B ex 9 restatL.
Tum promoreatur Divitor uno eradu dextrortum, de
inventa secunda figura Ouorientis 7, ducatur ca uc prius
in dirilorem, ee tiat subductio. Nempe sepries 9 Tunt
63; ablatis 6 Cx 7 restat Y, e 3 ex 7 restant 4: deinde
Sepcies 7 Funt 42: Tublatis 4 Cx 4 rectat 0, _ 9 Cx FOL
reltane 92: deinde sepeies 8 Tunt 56; Fublatis 5 Cx 92
Feltanc 87, de 6 ex 6 reltat 0.
Tercio, promoreatur Divitor uno achue gradu, de
inventa Guocientis figura cerria 8, tiat mulciplicatio 
Tubductio ut prius. Nempe octies o Tunc 72; ablacis 7
ex B restat L, de 2 Cx 7 rettanes; deinde octies 7 Tune
56, Tublaris 5 ex 5 reltat 0, e 6 ex 100 rettant 94
irem oclies octo Tunt 64, lubductis 6 ex 94 reltanc 88,
3.
0638642 Cc
c
6639642 (67
078E
97
_ 4 CX 4 rellat O:
Denique, promoreatur Dirisor adhuc uno Gractu I
82
37886
(67
locum intimum, de inventa tigura Ouociencis ultima 0,
tinc mulciplicatio et subeluelio ut PEIIS. Nempe novies
DTunE

## Folio 100 — 851387705:0120
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000120.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
DTVISTONE.
c. L212
B.s 3e
OTunEcBF; quibus ablatis ex 88 restanc 7: deinde
novies 7 LuL63, IbtatiS 6 Cx 7 reltat F, d 3 CX10
reltant 7; item novies 8 Tunt 72; quibus ablatis ex
2 nihil reltat. Adeoque, tota jam diritione pertecta
habetur quoriens 6789, praecile. Singulas autem ope.
rationes Peortim potui, ut eo distinetius appareat
quid quaque operatione accedat. Elque haec mecho.
dus dividendi apud plerosque quos ridi Arichmeti-
cosmaxime ulitata.
Ac mallem ego, operatione parum variata, tam
mulciplicationes quam subductiones particulares, a
maalia. dextra inchoare, (quamvis divitoris promotionem a sinutra descrorlum tieri ne-
CelleTE; ) hoc modo.
Scripris ur prius Dividendo de Divisore, primaque figura quorientis reperta, 6;
dueatur haec in diritoris Lingulas tiguras a dexrra inchoando. Sic series 8 (unt
48, quibus subductis ex 49 (mutliaris scil. 4 cx gradu proxinio superiori, tigura
opraeponendis,) reltat F, _c 4 transterenda: Tum lexies 7 Tunt 42, quibus 2d0i-
ES 4 (nuPEF MuMVatIS) Hunc 45; guibus demptis ex 53 (muritaris seil. 5.) reltane
7, e5 cransterenda sunc: Tum lexies 9 Tunc 54, quae cum 5 nuper muruaris tinne
59, quiblo ex 68 lubductio retlanc 7. et pertecta cM prima opciacio.
Clee sit, c t
6639642 (6
0679642 (67
LRX:
∞39∞ 4 Z
7888E
678.
Operati-
onis for-
Secundo, promoto Dirisore, quaratur secunca Ouorientis tigura; Fiatque mulii-
plicatio e subductio ut prius. Nempe septies S Tunc56, quibus Tublatis ex 56
(mutuatis seil. 5) restato, ee transterenda 5: Septies 7 tunt 43, quibus addiris
tiune 54, quibus subductis ex 6F (mucuaris 6) reltant7, ee crantmicrenda 6: Septies
9 tunc 63, et addicis strunt 69, quihus subductis ex 77 reltant 8.
Tertio, promoto Diritore, de inventa quocientis figura cerria B, procedendum
ut prius. Nempe octies 8 Funt 64, quibus subductis ex 64 (mutuatis 6,) reltato.
de tranlinicenda 6: Octies 7 Tunt 56, e 6 addira constituune 62, quibus subductis
ex 70 (mucuando nempe 7) reltanc 8, ee tranlmicenda 7; octies 9 (unt 72, qui-
bus adciris y tiumt 79, eilque ex 87 Tubdueris rettant 8.
X
6638887 (678
7X 81∞C
6388
(6788
Denique, promoto Dirisore, ee reperta quotientis tigura ulcima 9, tiat mulii.
plicacio et subduetio ut prius. Nempe nories 8 Tunt 72, quibus (ubductis ex 72 re
Itaco ee cransmitienda 7: novies 7 lunt63, 8 7 additis tiunt 70, quibus ex 70 fit.
ductis, reltato ee cransmitienda7: item novies 9 lunc 8L, quibus addiris7 tiune
88, cisque ex 38 lubductis nihil manet. Focaque diritio est absoluta.
Acque haec quidem mechodus est ea qux praecessie magis expedica, e quae tam
memoriam quam charcam. paucissimis figuris onerat, minus item errori obnoxia
ee liquis forte aliquando error incideric, facilius detegitur de emendatur; cum
enim, eodem manente diriloris situ, in singulis locis nonnili una tiat subductio
Facile erit animadrertere quid in quaque operatione accedat, et quamlibet opera-
rionem scortim examinase li quid curoris suspectum sic; quod quidem methodo pixe.
cedence rix autne rix het.
Siquando

## Folio 101 — 851387705:0121
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000121.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
IS I O N
Siquando (vel in hac vel in alia quaris
OpClationiS FOrMA) Diritor Ciphris (una vel
Pluribito) cermineeur; ne tiac inanis 1Oc C1-
phrarum repecuio, rejectis cipnto L.I de (
mus abseitiis cocilem ex ulcimis dividendi H.
Suris, in numeris reliquis tiac divisio: lia
tamen, uc peracto opere, relticuantur cam di
rico ciphrae abjecta quam diricenet sctau
ablelllae tigura, uc in exemplo appolico.
Si denique mallet quis Diritoris mulcipla quam ipsum Dirisorem tories deseri- Operatio-
bere; quod torcalle (praeleruim in Diritionibus majoribus peragendis) non erie nt sorua
incommodum: Poculi quiaeu lu tiert ad hane formam.
378) 6639642 (6789
888000
9642
20300)3 +B=1 (356 203
6639642 (678
5
nalibu
alta.
39642
9785
10562
8802.
Cum enim omnino perinde Cic sive Dirisorem suo loco sub Diridendi figuris
actu scribamus, sire quasi seripeum esec supponamus; licebit ipsum semet tancum
loco commodo deleribere, ejusque deinceps repecitionem omitere; de (inventis
successire Ouociencis figuris) debira mulcipla suis locis describere, de descripia
subducere. Sic verbi gracia, diriloris sexcuplum 5868 ex 6639 subduetum relin-
quic (superne scribendum) 77r. Tum diriloris sepcuplum 6846 Cx 7716 lub.
ductum, relinguit 870. Et diritoris octuplum 7824 ex 8704 subductum relin-
quic 880. Denique diriloris noncuplum 8802 ex 8802 ubductum nihil relin-
quic.
Acque in hac operacionis Forma, praeterguam quod pacum memoriae commiticu,
hraec Calcem habet commoca; nempe, liquando cadem tigura in Onociente (apius
OcCuErerE continSIE nOn OpuS erit cocies mulciplicationem exercere, sed mulci-
plum prius inrentum toc quot opus erir locis repetere; quod quidem in majori-
bus diritionibus non parrum aliquando eris compendium. Icem, ubi peracta est
operatio, licet omnia ilthaec mulcipla (cum residuo siquod sit) Cunul addere, quo
conster an subductiones recte fuerine peractae (nempe ex consentu vel dilsensu
Cummae sic invenex arque propolici numeri diridendi;) acque mulciplicationem
quamlibel, liguia lupecu  Cto a exaaIC.
Sthe incerim meruendum, nequa contutio oriatur ubi Dirrtor non  la sede
comspletendus; potest ilti malo lacis caveri, totidem vel punctis vel circellis fI
Opus HIC) diriloris loco collocatis quor ipse continet fguras: puta (in exemioio
vraenuillo) ponancur prinum ires circeth lub diridenditiguris 630; de deinde (clut
in proximum locum promorendus lic airilor) deleto eorum prima quarcus appo.
atur, vc jam lub figuris 396 eres conspiciantur, et la cs  uIS divi-
Foris promocionibus uno delero alius Tubjunsatur.
Denique, ucile nonnunquam eris, praelerrun in Diritionibus erandioribus, (nam
in minoribus vix erie opera precium) ance inchoacam Diritionis operationem
Fingula Dirisoris mulupla (decuplo minora) simul deseripea habere, (ut n enet
Plo peaemilto extribummus,) unde uc opus erie in Diritionis operationem cransterri
Postine; ee quidem in quocientis tiguris prompre inveniendis auxilio erie, llacim
enim line aliis centamentis inde parebit quod mulciplum auterri porerit; uc in
exemplo praemisto. Racim rideo numerum 6639, divitoris (878) lexcup Maso
militer in reliquis.
rem esse de sexcupto minorem; adeoque primam Quocienuis tisuram 6. Et l.
Alque

## Folio 102 — 851387705:0122
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000122.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
DE NIDLTIPLTCASIONE
Acque hactenus praecipuas Divisionis exercenda formulas extribui, ut ex omni-
bus eam libi quilibet leligat qua sihi magis accommoda ridebitur.
Si partes Decimales numeris incegris annexxe sine, (sive in Diridendo, sive in
Divilore, Tire etiam in utroque, ) eadem ommino methodus observanda cst ac li
ellene numeri plane incegri: modo illud tantum curetur, ut operatione peracta
decimali. tOt sinc parcium decimalium loci in numero Diridendo, quoc in diriiore Limul ac-
que quociente. Adeoque-
Si partium decimalium loci (sire loci intra unicarem descendentes) coridem
sint in Diridendo quoc in Dirilore, erie in quoriente nuluS: Ut 9 (78) 66396(42
(6780.
2 Si nullus tic in Dirilore, tor erune in Ouotiente quor in Diridendo. ut 978)
66396(42 (67(89.
3 Si pauciores in Dirilore quam in Diridendo, cor crune in Ouociente quor de-
Siderantur in Dirilore. uc 97(8) 6639642 (678(9
 Si plures fuerinc in Dirilore quam in Diridendo, tor Palrem addenda sune
ciptra numero diridendo (postlineam separatricem) ante operationem peractam
quoc opus estur ipsius loci descendentes tor lint quoc lunc in Diritore; (vel lal-
tem quotienci inremcotor subjunsendae lune ciptrae line linea separatrice, aut
linea leparatrix in quociente, liqua lit, t0r locis ad dexcram promorebitur;) uE
0078) 66306(420 (67890. vel 9 (8) 66396420 (67890.
Se Si post peractam aliquam divitionem (uc lupra) supertuerit aliquod residu.
um; licebit (addiris Diridendo, poltlineam lepaTATTICEM, GuOEODUS elE CipHEIS)
diritionem ulterius concinuare; unde, pro Tractionibus ordinariis, PrOvenienE
partes decimales, linea separatrici (in quotiente) poltxonendis. Sic Pro 978)
664023F (6789338 prodibit 978)66407370 (67895: FF pro 978)6639805(6780
558 Prodibic 978) 6639805(0 (6789(166 ec
Ec quidem partes decimales (5 tancunaem val nE atque 3. 8 auL Z; e partes deci-
males (16666 c. tancundem ralent atque 358, vel 5. PF Similicer in aliis.
Ratio hujulmodi procestuum in partibus decimalibus, per le latis patet, modo
advertatur linex separatricis recractionem aut promotionem (fingulis gradibus)
numerum decuplo rel diminuere vel augere. Adco ut non sic necelle diutius his
immorari.
Derudice Tlanc saltem univertalem (ex Ougheredo) regulam adjicere liceat, (quae in
Ouorien numeris Dirisione Orris Tuos assignando locos dirisat,) Index cujus que particula
ris fieurae Duotientis invenitur toldendo indicem fieura dividentis ex indice fieura
divisa. Oux quidem ex iis quae de Indice numeri P’acti in Mulciplicatione dicta
Fune, latis incellisi poterie, ur prolixa expolitione non sIL OpUS.
Diritio speciola, simul cum speciosa Mulciplicatione, mox tradetur.
Divisco-
nis ope
ratio in
partibus
bu5.
vis.
A7
RX
Cap. X
De Multiplicatione e Divisione Mebricae Speciosa:
Fit quantitatum ex pluribus denominationibus constan-
tium: Farumque ad unam aliquam reductione.
Oruteroli E Teuc Additionis tienum. + secimus, ee subductionis -: tra Mulciplicacionis
ignum eMtox; Diritionis aurem, lineola incer quancicarem Diridendam ee
Divisio vividencem (ipti subjectam) sexipta. Adeoque ligniticat V + A quancitati V
simplici quanciratem A adjectam esse: V = A quanticaci V quancitatem A ablacam esse:
rcacum. V LA quancicatem VY in quancicacem A ductam: et, quanciracem V quancicace A
Divisam. sive ad quancitatem A applicatam.
Noca tamen Mulciplicationis lignum x (praeserrim ubi species quaetibet unica
nota detignatur) Expistime omini: (cum illud nempe line ullo incommodo tieri
Dossit:) Sic verbi sracia AB PrO AXB, _ ABC PTO AXBXC, et ZABC pro
ZXAXBXC.
NIonen-
catio e
um quan

## Folio 103 — 851387705:0123
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000123.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
119
05(e
C10s
1St a
lun
nc
ae
100
Cap. XX. R F DEVTSEONE.
Monendum item est (ur de Additione d Subductione, quipre operationibus
oppolicis, lic eciam) de Mulciplicarione dt Dirilione: Nempe si plures occurrant
vel mulsiplicationes, vel divisiones, vel parcim hae parcim illa, continue facienda,
perinde est quo ordine persiciantur, modo omnes continue srant. Adeoque
3+A
B = B= = = u A = A x . Tuem  + -
6
1
=4 x= = + 26 = 6n t = 12. Ec sic in alis. Fadem nempe de cauta qua supra
Oltendi 3 X 4 = 4. X 3.
Cum quancicas aliqua componi supponitur ex duarum vet plurium quancicatum Dimens
continua mulciplicatione; dieitur ea cor dimentionum elle quot TUnE guancitaces onum
illa COmpONenIES. PUTa AX A vel A XB quancitares Lune duarum dimentionum; quanti-
A X A X A, vel A X AXB vel AXB X C, lunc quancicaces erium dimensionum.
tatis pro-
Si ramen ejulmodi quancicas per quanticarem aliquam dividatur; cor auterri dueta
vel Ortae
supponuntur dimentiones quor habet quancicas dividens. Sic  vel A X A X B numerus
rum dimentionum.
t
CxC
Ec quidem si eadem quanticas sir superne mulciplicator, ee inferne dirilor, se
mucuo perimune; (pura   = B:) quod enim mulciplicando acquiricur, id X.
quali divitione desteuicur. Sieur, et B f A - A = B, ubi quod acquiricur Addi-
cione, subductione collicur.
Ubi aurem spccies aliquae ducuntur in siguras numerarias, non solemus ca
mulciplicatione numerum dimentionum auctum reputare, (salcem nili cum iplie
species numeros signiticant:) adeorue 2 A vet 2X A auF AX Z unius eAt dinien.
tionis, ec 2 AB vel 2X A x B duarum. Ouia nempe Z hic loci non pro alia ejus-
dem generis dumentione haberur, sed simplicirer pro racionis Duplae indice; e
cancundem valent acque ZA, Z AB. Er in aliis limilicer. LAque ZA, alia h0
moxinea quancicas qua se habet ad A, uE 2 ad L; sive quae cories conrineac A quo.
Tics Z Continet +
Oux quidem tacio eciam aliis characteritius seu symbolis, non minus exprimi
porerie quam ipsis fieuris numetalibus; ut  B, quo innuitur alia quanvicas
(ipti B homogenca) quae ipsam B cories comineat quoties V continet A; vet
qua ad B eandem habeao rationem quam habet V ad A.
Fo quidem ubi species aliqua per alium cocidem praecise dimentionum dividitur,
quanciras nullius dimentionis oritur, sed qua pocius pro Rationis indicio ha
benda est. Adeoque  nit aliud indient quam cam rationem quam habet
quancicas A y B ad quancitarem homogeneam Cx D. Nam dividendo quanticatem
quamliber per aliam homoxeneam, invenicur Rario illins ad hane: uti ex DVI.
tionis nacura superius explicata lacis patet.
Si vero contineae quancicaris Dividentis dimentiones plures esse quam Dirila,
intinicur quancicas dimentionum pauciorum quam nullius. (Ouod cadem ratione
Tupponendum eric, qua lupponimus quancirates nepatiras seu ablacicsps, qua lins
minores quam nihil.) Sie B. C Bx C~ 1, etc. erunc quancicaces dimentionum
2, _c. Nam 2 L 2 =  1. 4 - 3= = 2, _c. Ouibus respondent poresta-
Gradus (quos dixi) Descendentes.
tum ejus
Siquando quaticicas aliqua in seipsam aliquories mulciplieatur; puca, A, A X A, quanti
AXAXA, AXA XAXA, dec. ipsa quancitaS A RactiX seu Lacus diei (olet, AX A racis in-
ret AA quacnacms, A X A X A vel AAA CubuS, AXAXAXA vel AAAA BI. dices e
quadraum ejuldem quancicatis A. Vet iplius quanciracis A porectas priman se chara
cunda cteres.

## Folio 104 — 851387705:0124
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000124.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
DE NIULTTPETCAPIONE Cap. XX
cunda, certia, quarta, ec. Ita nempe ut cujusque poteltatis index aequalis sic nu-
mero dimentionum.
Solent aurem Radix, Quacracum, Cubus, Biquadracum, (reliquaeque deinceps
Poreltates,) Sic notari, 28, 23, 2, 2373, erc. (ut olim,) ret R, , C, Q, dc.
vel eriam A, A9, AC, A9G, etc. vet an a a, at, ecc. (ur tulius diximus Cap. XI.)
nempe compendii causa pro an aa aaa aaca etc. Lx proprerea (notas illas in
tras, ubi opus exit, relolvendo) a = aa a = a a = aaa. at = a a = a a = aa
aaaa ec. TIem A9 = AA. AC = AgA == AA9 = = AAA. A99 =- ACA == A9A9
= AAC= AAAA, SC. Sic 2A9X3AC est 2 A A X 3 AAA. et 23 x ∞ =(8 seu
De XZe in 2 X ZCX2B. HC CONtra A) Ag9 (AC, hOC CA A) AAAA (AAA.
E5)B8 (E, hoc ett 2e n 2) 2e22ex2ex2 x2 (2e x 2 x 28. Sic a) a (a hoc
elt aaa) aaaaa (aa. F. L Tic in aliis.
De senis Duod aurem autinet ad signa + e -, in mulciplicacionis Producto, vel divi.
ex . Tonis Ouoriente, ponenda; hac obterranda cAt Regula.
In Mulciplicatione e Divisione, si datorum siena sint similia, Producti vet
Orri sienum erit  (affirmativum:) sin dissimilia, - (necativum.) Nempe
 per +, vel = per =, dac +, (live mulciplicando sire dividendo;) et 
Der -, vel  per F, dac -.
Vel etiam (quod cancundem ralet) Si multiplicatoris vel aivisoris signum sit
. Nulciplicandi vel Dividendi sienum retinetur; sin =, mutatur. Nempe
F per  dat F, ec = Der f dac =; item f ver = dat -, e - per - dac 
Racio sive demonstratio hujus, ab ipla Mulciplicationis et Diritionis natura pe.
cenda est. (Ouales c80 matim, ubi tieri potelt, alterre, quam demonstrationes)
Polteriori.) Quam isitur in lingulis casibus oltendam.
citat to. Mulciplicacione supponitur quanciras Muliplicanda cories poni quories mulei
plicator indicat, ut ex supra dictis cap. 18. Patet. Adeoque qui quancitatem
quamlibet (sire policiram sire ablaciciam) musriplicat per 3 vel f 3, ille eandem
quantitatem (sIgNIS NON mUTatIS) ter Ponit; qui per 2 rel = 2, bis ponit; qui
per F vel = L, lemel TaNCIM; qui vero per o, ne semel quidem, led pallies vo-
nit, (adeoque quanciras quaelihet, per o mulciplicata, cranescit:) qui aurem per
F, - 2, - 3, ecc. mulciplicat, toc ricibus paucius quam nullies ponit, (eum
=F, = 2, = 3, ecc. sine minus quam nihil, leu paucius quam nullum,) hoc elt
revera cories tollic, (per ea quae diximus Cap. XV. de signis  e- contrario
sensu exponendis;) qui vero collie, ille cancundem ponit mutato signo, (ut ex Jc-
sibus Subductionis Cap. XV. Patet:) Et propterea qui mulciplicat per L, 2, 3, ec
vel alium quemris mulciplicatorem attirmatirum, is quancitarem mulciplicandam
coties ponir serrato beno; qui vero mulciplicat per = 1, = 2 - 3, ecc. aut
alium quemris mulciplicatorem negatirum, ille quanciratem multiplicandam tocies
vel tollic vel (quod tantundem est) sub concrario signo ponic. Ouod erar oltenden-
dum. Adeoque AXZ == 2 A, Ax -
2A, = AX2 = - 2A, = AX= 2
 = 2 A (nempe = A bis. TOHitE:) Sic AX B = BA, A x - - B - - BA,
 A XB = == B A
sic in reliquis.
x. B = = BA (vet + AB quod cancundem cst.) F. L
In Diritione, quaeritur quoties divisor, seu quancitas dividens, in quancitate
Diridenda continetur; Vel (gusd cancundem est) in quam quancitatem ducendue
CA divisor ut tiac aequalio quanriraci Dividenda; ut paret ex iis quae de Diritione
cradica Tunc Cap. ZIZ. Fc propeerea, ubi quanciratis Diridenda tionum elt L
(attirmatirum,) sienum Ouocientis idem erii acque diriloris; sin quantitatis Di
videndx signum sc = (negacirum,) signum Ouocientis exic signo diritoris con-
crarium: cum enim diriloris in quocienrem ducti productum Futurum est aequale
quancitati dividendx; non porest illud attirmatum esse, nisi lactores ligna ha-
Beane similia; nec nesacirum, nisi dislimilia: uc ex modo probatis constat. Adeo-
que si diridacur + per +, vel - per -, quoriens erit +: sin + per =, aut
 per +, quotiens exic =. Ouod crat ostendendum. Adeoque 2)
104
Dach.
Dio-
Phant.
1. T. dc
nium
als.
art. 2
cap. 4. 1
i  die tetat ted
Sic a)YA IV.

## Folio 105 — 851387705:0125
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000125.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
1
d
1101
n
tre
Cap. XX. A Y DEVESTONE.C
( = CD. = C) BCD (=BD. NA) NV C,. A) A9(A. - A) -- Ac B (A9B.
A9) - VA (- -. ad abc (BC. ab) ae bc (ac. 228) E (373. 328)
-6∞ (= 228. Ft pariter in aliis.
Acque hactenus de quantitatum simplicium Mulciplicatione _e Dirisione dictum
cA; sequitur uc de Conjunctis agam; eas incelligo quae ex variis membris con-
Ptanc per Signa L e - colligata.
Ouando quanticates inricem mulciplicandae ex rariis membris constane, Cingula Multipli-
membra mulciplicantis in dinsula membra mulciplicandae (Fienis uc modo dictum cario
est obtervatis) ducenda tunc Facta deinde in unum aepiegacum collivenda. Sire quanci-
aucem a dexira, sire a linistra incipiamus, perinde est. Exempla sequuntuI.
a+f
Fnempla Mulcipheationis.
1d1
A = F = X
BA F BE =BZ (11) BA =BK = BX 
A F F. = l = L
atum
conjun-
ctarum.
+3C
CA = CF F CF = LCF ZAB F 3A O = ABD = 6OD
e
1
F =
2
+ AF.  FF
AA FZAE F KF = 7Z
A9 + 2AF + F9 = 29
+F = L
F. = 2
A9F AL
=F
A9 - F. 9 = ZX
eu
A9- AF.
AA L AF.
AC Deq
A9  2AF. L E9 = XC
207
2AA9 - AF C
22320
2 25 =. 32-
27028 + 2D = 1378528 + 12
6OC
3C = + F 3R-
TR +
adc- 65. F reR
TC 3C
+ 299- 6C + 4
60C - +9 + 13C- 5 + 20R -
89-3A+2
12
CgA9 = C9Bq + 3CqA = 2Cc
t +BA9
2C9.
F +B.
+
A4
Bc = 6B A + 4B
Cc
+3C9
B4
+2B5 - 005
BP + PC
nBP F APKPC

## Folio 106 — 851387705:0126
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000126.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
aP. 
E MaLeLaLIOAE
1.
2a + 3Ba LBC
347 = 2b a = c
5aV =9Ba3 = ZBCa
1E CLisE. Ac s
4ba3 -6B= a2 = 2 B=Ca
mes Snoitiv S 3,O = 20= a7 = 3bC7 a = BC
Les se
ad 1 sil
3bC9.  + 2B2071. 0
6a+ =5ba3 - 6b= a
meste
=a = BC3 3 - . 15 ~ F 1 2G 1115.)
cer 26215  3b0F S  e t u esi. ObCMC
3e ete
evitpuol
cere sleaesit esi inileslcet cucleceree
Divisio In dividendis quanciraribus conjunctis, Si Talcem Diritor sic quanticas simplex,
rix quicquam peculiaris ditticulcaris est praever simplicis dirilionis repetitionem
conjun. adeoque quotientis per parres inventionem:. FL quidem parum retere an d dextra
ctarum. an a Sinistra incipiams.
Exempli gratia. Si quantitas DC. - 6BC. F 8 C q dividencta cTtet per 2C;
20) DC =oBC H8C9 (:D = 3B. = 4C 11. F A ∞
DE= 5B8), 8C9
Primumr, quaero cguxnam guaneiias Ducta in 2C facier DC, ec respontum ; D in
quociente Dono, quam quorientem in dirisorem ductam (2 C X Z G = DC) ubi ex
dividendi parte prima DC subduxerim, nihul reltac. Similiter, cum videam 2C
ducendam esse in = 3 B uetiat 6BC, scribo in quociente ZB, e mulciplum
(2 CX = 3B = = SBC) Cx = 6BC subductum nihil relinguie. Dehique cum
2C ducenda in 4C ut tac 8 C9 poliro in quorience f 4C, et subducto mulei.
Plo (2CxgC. = BCC= =BC, 4) nihil manet. tc peracta elt dirisio, cujus quo-
EICnS Seu quancitaS Orta Z D - 3B F 4C
Si quid aurem, divisione quantum tieri pocelt continuata, supertierie, quod
per divilorem propolicum cliridi non postit, vel etiam li ita le Habeat Diriden-
dum ut ipsius nulla pars per expolicum diritorem dividi voltu, (sire simplex sics
sive compotua, quamuas dividenda, aur etiam dividens,) residuum, illud collo.
eandum est lipra diritorem in modum fractionis (lieut in dirisione numerosa) e
invenco quorienti adjunsenda. Dr in exemplorum cam pracedentium quam tub.
sequencium aliquor ridere, ett.
A) CDC -. B)BB F B9 = ABE. (D = +F. +
A F B) DFC
6. +
N 1dBI
273)57523 + 40 - 238 + + (373 f228  2
R4) = ARC + 4 ABR9 + CgF re C = RR F 4 A B f 54 1e)
DCI. F. 151
d) 2ba - ac
1d e X EL - 95 n 4A
et
51
e
C5ba
a
181-f. 17. 38.-)
Ec quidem plerique sive Alscbriltae sire analystae vix aytcorius Divisionis AIeC.
bricae auc Speciola cradicionem prolequuntur; led qyanciracemt asvidendam diri
denti lupraponune, interjecta lineola; de liguam animadverrahe quantiearem quae
utramque communiter multiplicarerit eandem utrobique expunsune: nec ulterins
Pacagunt curiolam Diritionem (praelerrim cum dirilor ex puxiUS ParEbUS COn.
Ilac) exCrCCrE.
Verum, etiam cum Dirisor ex pluribus eudrelbis constirerlE, divitio nonnunguam
Pacis feliciter exerceri porelt, eadem plane premendo vellisia quibus in aliis Diri-
Tionibus inceditur. Cusd ( Dost Cdrrelium qanimadrerrit Sctvocenius (tam in
iplius ad Cartelli Geometriam nocis, gnam in specialicroctatu quem Principia MIa
ibeseos Oniversalis appallat, Atilinierica spciota praem CHHIBEIIC.) Sed e
otim,
quanti
eatum
le

## Folio 107 — 851387705:0127
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000127.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Cap. Le.
Tec,) in libro qui inseribicur Scratiorios, (G Londini procii AnnO 2579.) ubi
Reculam Cosae,) Cdio anO 1537, Obl Mnilem irem cradit Radicum exrractionem.
Ouoniam V) ABV (A B, seribo in quocience AB, quae ducta in divitorem P - 3A
olim, jurta Vererum AleCBCa E CrS mechodum octendic Thomas
Diecesius, Anolus, (vir Equeltri tamilia nacus, et egregius sui cemporis mache.
macicus, ie ex iplius cdicis operibus, sed Petsa sua Anglicana, Paris pa-
tam Arichmeciea rulsaris, quam vecerum ABebra luccincte traditur.
Idenique praesticie Robertus Record, in libro cutS, Lhe W heistone ofWVitt
(H. C. Cos Lneenii allutione, ni tallor, tacta ad nomen numerorum Cossicorum, leu
tia vero lic commode praltabitur. Dispolicis primo cam mutriplicandae quam
mulciplicancis parcibus, prouc nesocte magis accommodum ridebitur; quaeratu
GIanCITaS qua TaleM in unum (Guod LCIICC Placeat) VIroris membrum ducta,
producat mentorum aliquod quanctalis crleca: qua Guatuas plo quociente
(parciculari) habenda ell, ee in diritorem corum ducenda, ee P’actum ex quanci
cace diridetted duterendum, notaro reliduo. Aeque idem icerandum exit quoces
Opus clt; ut religua eciam quorienus metibra reperiantur.
Iea (I quanCitaS A B H L ZC D H = Z A 9B -- s A CD diridenda (IC PeT P = 3 A.
AC.D
I
E= 3A) ABF F ZCDF = 3AgB -6ACD (AB F 2CD
quod ubi subductum eAt, nihil restat, coulque operatio est abtoluca.
Pacic ABF = 3 AAB, quibus ox aividendo subnductis, restace video 2CDF
=6A C D. Deinde, eandem operacionem icerando, cum sic F) 2CDF (F 2CD
subjunso quocienci priori + 2C D, ec ducto 2 C D in F = 3 A, AEZCDF = 6ACD,
Icem E dividendum HC A C = F C Der A = F: cum lic A) A C (A9. Ducendo
quoriencem A g in divisorem A - K sic AC - AgF, d Facta subductione restat
AGF = FC. Fum qua A) A9L. CAE, quoneno A L. i cirilorem A = L. ducluo,
=F.) AC = FC (A9-
2C
dat AGR. = A F. g; e facta subductione, reltat AF. 9 = L C. Landem, cru
A) AEG (F 9; _ F 9 in A- L I HC. GLC, subductione Facta, nihil restat;
est a-
adeoque absoluta est operatio, et quotiens A9 + AP. + R, 9.
Atque idem proveniet si d dexera incipia-
muS. Cum enim (II = e) = e3 (e, exII quo.
tiens C, de e in a = e, Crit a C - 0; e (a
eta subductione, residuum a - 4e. Tum
e2 (+ 20; ee ac in a = e elt
a e = ac; ee subductione tacta, reliduum
a C. Denique = e) - a’ e (a:
et
 in a - e est a = a c; de, facta subdu-
ctione, restat nihil. Ouociens ailtem elt ut
prius, nili quod qui cunc ulcimuls lune pri.
us eAt terminus.
a = e) a
a
Ad eandem formam; si dividenda ehec eadem quantitas a =e per a + c.
Cum sic a) à la; ee  in a +e ti a aC, acta subdluctionem retreuum erio

## Folio 108 — 851387705:0128
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000128.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
DE MIDLTIELICAETONE Cap. X
e
a + C) a = e3 (a - ac + e
ad  a’e
=a C - ac
ac
a c-
(a - ac = e
a + e
e
2 - 03
263 2ae
a  = e. Fum cum a) = a c (-- ac; de = ac in a = e sit = gt e = d c
facta subductione, reltabit. L a c - e. Denique cum Fit a) ac (e, ec e in a f e siF
ac + e; lacta subctuctione, rectabit = 2e: PL quoriens ett a - a0 + c
a F e
Vel Ci in ultima operatione, pro quoriente L e (= ) sumeretur quo
riens = e, quia nempe + e) = et (= e2; = e in a + e, tuistet = a0 - e3; 8
subductione facta, reltaret 2ae, adeoque quoriens a = a e - e 
tancundem valet: Nam F et -
= a c = e  2 a c
a Fe
26
2aC
ac
a + Duod
a = hoc est 2C = c = 20
a + e
Sed idem lere erenitet Si praecedens operario (ubi residuum est = 2 0.) ulterius
continuetur; ee tumatur quoriens =,  = - 2 e : nam = 2c in a F c eAt
= 2ac = 28; quod, cx = 2 e subeuctum relinguit + 2. a c, adeoque erit
a - ac = e - 202  2a c
Ouod ideo monco, ut appareat, (praeterrim ubi necestario tractione terminetur)
quocientem polse rariis tormis exhiberi (nam et multis adhue modis rariari po-
Test) Sed qui cancundem valeant; ue quilibet eam quae sibi masis accommoda vi-
deacur selisat; ee quidem nunc hanc nunc illam uc praesens negotium postu.
daverie.
Pottet interim eadem operatio peragi eodem plane succeltu, Si a dexera inci
Diamus, Nempe c) = e
e = e in a f e Facir - a e - e3; & (Tub.
ductione facta) reliduum a f a c. Tum C) F ac (F ac: e ac in a + c Fa-
cit a c F ac: ergo reliduum a = a e. Denique e) = a’ e (= a; d = a in
a F e tacit = a = w e: e reliduum 2 a. Adeoque quoriens = c + ac = a
ea
2. +
da = 5 C c + 4
Fac
c
c
 tult C
Vel, si in uscima operatione sumatux quoriens L a (= = ) erit reliduum
= 2a e e quotiens - e + ac + a -
ea
ate
Sedt urroris liorum mocorum pro.
cedlatur, quoriens camcundem raleL AIGuE PEIUS
Vbi
0

## Folio 109 — 851387705:0129
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000129.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Cap. XX.
Obiaurem tanta oritur rarietas, judicio opus elt uc quis eam seligat quotientis
Formam quae praesenti negorio masis sic accommoca: vel eriam, line alia divi-
sione, ad instar tractionis extribeat, 
Aliud libet exemplum ex Dissesio (lupra cicato) alterre, e limul huie negorio
675 + 828)6058 + 802028 + 728 + 9628 (10 +. 2 
605 + 80
tinem imponere. Nempe quanticalem 60β + 802325. f 72 ∞ + 3623 per
625 + 87e lic dividit. Ouoniam 678) 6058(20∞; quocientem invencum du-
cit in dirilorem, et productum 50 (. F 8023 2 ex diridendo subducic; de restant
2∞ + 9673. Tum quia 627) 72∞ (123e; quocienci priori adjunsit + 1228.
ee ducto hoc quocience in divitorem, productum autert ex dividendo de nihil se
Itat. Adeoqgue quoriens est 10∞ f 122
Sed e apud Clarium in Aeebra operationem non absimilem reperio: quem, s
libet, contule
Aeque hactenus Mulciplicationem et Diritionem Algebricam ec Speciolam ab.
Solrimus.
Mulciplicatio e Dirisio quanticacum ex pluribus Denominationibus aggresata. Mulcipli-
rum, vix aliud est quam Mulciplicatio et Dirilio Speciola. In hoc Palcem ditte. catio
rune, quod harum denommationum ad invicem ratio supponitur cognita, ut Feri quanti-
Dollic ab una ad aliam reductio; Specierum aucem seu Symbolorum (in Arich. catis plu-
meciea Speciola) ratio ad inricem vel ignoratur, vel ita acti esset isnorata era- rium de-
Ctacur.
mina
Cum autem ejusmodi quancitas plurium denominationum per aliam unius. cqu tionum
cum denominationis multiplicanda occurrit, incipienda est operatio ab intima sive
minima denominatione, et sic ad majores alcendendum: cransinisto semper in fu-
Periores quancum opus est. Fexempli gratia. Si quis sineulis diebus expendit 14
libras 20 solidos  8 denarios monetae Anslicana, quantum expendit ille sineulis
Seprimanis: Respondebitur, Expensam hebdomadis sexcuplam esse expenla diurna
(cum quaelibet hebdomas concincac sepiem dies.) Adeoque expenla diurna mul-
ciplicanda est Per 7. Nempe denarii 8X 7 =-56. cum
aurem 12 den: == 2sol. Crunt 56d = 4s + 8 d. ideoque 24lib.
Tubleriptis 8 a, relerro 4 5ol: religuis Tolidis mox annu.
merandos. Tum Colidi 10x7 = 70, quibus addicis 4 huc
transmissis tiunt 74: Cunt autem 20 501: = = lib. Crgo74
sol: = 3 lib. + 24. sol. Ergo Tubleripris 24 sol. relervo 
20
libras mox reliquis adjungendas. Denique librae 14 X 7 = 08 quibus addiris z Fiunc
FOr libr: quibus subleripes, patet expentam hebdomadis este FOT lib. Xa sel 8 dex
Si autem rel Mulciplicator sic numerus grandior, vel etiam ex pluribus cHO.  duetia
minationibus constet: expedit plerumque (aucetiam aliquando prope necectari- plura
um exic,) quancicares illas plurium denominationum ad quancitates unius deno denomi-
minacionis reducere, ee cum demum mulciplicationem perticere, et per nationu
acta tandem mulciplicatione, pristinas cas (A opus exit) denominationes resti. u
tmere.
8d
705.
Exempli gracia, Si viris aliquot sinenlis debentur 28 lbra, 23 solidi, e 9 de-
naru; quantum debebitur eorum 283 viris . Priusquam mulciplicationem propo
Alam aoorediar, commodum erit coraM moneca provolia summam id unam ad
nariorum denominationem reducere: quod ipsum mulciplicatione peragitur, hoc
modo. Ouoniam lingula librae (monetae Anglicanae) continene 20 TolidoS; n-
merum librarum expolitum mulciplico per 20, ut hrabeam numerum solidorum
in illis 28 libris concentorum, quibus adjunsendi 13 Colidi (in quastione expo-
lici) uc habeatur numetus ommuns LO, HetpC 573. Deinde, quoniam
singuli solidi conrinent 12 denattos, eum illum solidorum (573,) muler
plico

## Folio 110 — 851387705:0130
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000130.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
28lb. 135 dd
MIHLPTELICAZIOHE
Cap. XX.
riorum inibi contentorum: quibus ad
jungendi adhue denarii o (in quaeltione
expolici) uc habeatur numerus omnium
denariorum, Dempe 6885d: = 28 lib.
Et cum demun, post hanc reductio-
nem Factam, mulciplico 6885 (numerum
denariorum) per musciplicatorem PrO
Dolitum 283; _ producuneur denarii
2048455.
Denique, Si velim intelligere quor li-
brae e lolidi in hoc denariorum numero
continentur; restituentur illae denomina.
riones diridendo. Nempe quia X24 -=25.
denariotum numerum 2948455 divido
PerTE, De prodeunt Tolici 16237c, aeque
Ensuver 3 denarii polt peractam divitio.
nem relidus. Delnae, Cu 20s = Flb: numerum solidorum 16237r dirico per
plico per 12, ut habeam numerum dena-
(3C
15d. Od.
6005 dem
22) x948 488 (1623715. 3d.
(6228lib. 225. 3a-
d
20655
55080
1770
2948455
20. e prodeunt librae BrT8, atque intuper rr Solidi residui. Adeoque 704845(4
BF28 ib. 125. 3d. Tumma quae sIca.
34 lib. TWNc.
26d. 15B
Ttem. Si ex scaturisine quadam singulis ho-
ris ettuate aguas u pondo 34 cum uneiis,
3
quaeritur quancum eAluet 26 diebus _ horis
Acd4
25 Reduco primum aqua quancitarem astis
natam, ad Uncias, mulciplicando 34 (nume
quanti
425 WB6.
630 Bora.
dempus alalu  Abtas leduco, mulcixli-
cando 26 numerum dierum per 24 (quia X dies = 24 Bor.) ee adjunso horas
25. EG perocta reductione, mulriplico 415 numerum unciarum snsulis horis
 425, uN
63O Bor.
245
90
265185 unerae
CAventIUM, Per 63O numerum HOrATUM in LEMPOrC PTOPOTItO; Se producitur
265185 numerus unciarum coro ilto tempore eAuencium. Ouem denique un
ciarum numerum dirido per 12. (. tor enim uneia contimentur in una litra)
e prodeunt 22098 lib. d uneiae, quaelica quantiias aquae toro ilto tempore etu-
Suxe aucem de quanticacum ex pluribus denominationibus constancium Muli
racu plu-Plicatione dicta sune, ea fere dt de carundem Diritione incelligenda erunt. Niti
rium de quod hic porius a denominatione luprema incipiendum sic, et quod illic superest
nomina ad proxime inseriorem redicendumi 
tionum
esis A SiC.
rum librarum seu potO) per 12 (Gaa HCMDE
I lib. == L2 MNC.) C acjungo uncids J. Ilen
lib. Uta
F. XetPL
Divisio CHUS.
12) 263285(22098. 19.

## Folio 111 — 851387705:0131
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000131.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Cap. X X. F, Y D, T V F S FO N E.
Exempli praria; S detuncti (aCuLTaLCS, a2 2 lb. 5. a t. s. a.
283 lib. 20 sol. 0 dem. inter quacuor iplius 4) X63. 10. 9. (45. 27. E
liberos linc aequaliter parrienda; QuaerITI s
4 4
quancum cuique cedet Primo dixidanCE, se S s sil
libra 183 per 4, e habebitur quocus 45, , ∞1 3
cum relidyis. 3 libris. Secundo, pro 3 LI= 111 NCI20 ( 1 312
bris, substiuris 60 Tolidis, (quia Llib. =, ∞ 1r ∞S 104) 7 8, (27
20 sol. adeoque 3 lib. = 60 sol.) de adjun-
etis 20 lolidis (in qualtione expolicis) ha-
bencur z0 Colidis qui per 4 dirili, quocum
Prabenc 17, ee luperlunt 2. Denigue, )5
cum 2 sol. valcant 24 denarios; qui 2d
junctis o in qualtione expolicis tiunc 23;
hi per 4 deriti quorum exhibene 8; cui
101 42
propter 2 reliduum (cum jam ad intiman denominationem perveniatur) adjun
30 tractionem L. Adeoque quociens pertectus, ex omnibus aepregatus, clt 45 lb
175. 8: d. Cedenc ipicu unicuique ex liberis, libra 45, fol1e1 17, e depagut 8
cum quadrante.
Vel eriam, reducto primum tam Diridendo quam Divisore ad unam denemina
tionem, opcracio poltea insticuatur more luperius tradito. Verbi gratia. Siqua
PatuT, In Annis Tulianis 24 diebus 24 BoriS 2, e 32 minutie; quot sint Ment-
ses Synodici, seu Punationes. Ouoniam AnnuS Julianus constat diebus 365 86
horis, hoc, est (musciplicando 205 per 24 et addendo 6) horis 8766; AnnI 24
constabunt horis 210384 (ut mulciplicando patebic:) quibus s actelantur dies
34, HOra 2, ee 32 mIuITa; hoc est 8F8 hOrX et 32 minuta: habentur hOTZ
2F1202 8 32 minuta: hoc selt) (molciplicando 211202) per 60 d addendo 32)
MIuEa 12672252: quae cancundem valent acquo Anni fuliani 24, 34 4, 26, 32
Deinde Mentis Synodicus, (pura d Norilunio ad PToriluniium) Rtacuicue, dierum
29, cum 12 horis et 44 minuris, hoc est, (uc ex adjuncto calculo paret) minu-
corum 42524. Ouod quaeritur ipitur, hoc est, Ouories in minucis 12672752
(teMPOTE PrOPOTITO,) COntinenCEE minuta 42524, (tempus unius menlis Synodici.)
Numero igicur illo per hunc diviso, habetur Ouoriens 298 praecile. Poc igi
cur menses Synodici exposito cempOTE Continent. Quod erat invellisandum.
365. 6.
 di 7460
6766 n.
ou sunt rdib 135064 cdimidem Mo tule e t
 cer
1nd ett sis
paa Megeq
2 (:
eti 1 1 1. . isi 111 1. 12 2
A. 1B sC: LICEi
sl silirae
 347532clboi 5101 2G11I. . 31CCIIII 29.
2. L7202
12672120
32
Dit2 sciue
226 12152, 41.
C
42524).
L XL (29
84d
82 7X6
1X9Z
Atque

## Folio 112 — 851387705:0132
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000132.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. 22
DE NIDLTAEBTCATTONE
Acque ad Mjmoc tormas praeltanda lune mulciplicarions l uritionis ope
rationes, ubi quancicates ex pluribus denominationibus coatu. ObL interim
iudicio opus erit, ut praeparatorix reductiones ita insticuaneut i plates O
tio maxime TE accommodum, et res tota quam tieri potc MMLIHO LabOrE pe
ragatur. Ouod quidem trequente exercitio ediscerur, et ulu tiet TaMIIIaIC.
acipli. De Mulesplicacione aurem ee Dirisione notandum elt untresm (cui simile
cationes de Addirione ee Subductione Cuperius cradidimus,) ubi plures occurrunt numero-
cunque
A.XZX3
4
l1c.
continua
 Divirum Multiplicationes, vel Divisiones, vel simul utraeque, continue faciendae, per.
X4 X2 =
CAB ==CBA
inde est quo ordine insac, modo omnes continue fant; cancundem enim ut
rodibic. Fxempli oratia. 2X3X 4 = = 2 X4 X
=24. TTem ABC = ACB =- BAC-
Zx 3 = 3X4 = 3 X 4. X3 =6. IEeI
Et =
=C
A
B=
018
Trem, Perince est sive per duos pluresve divisores concinue fiant di-
visiones, sive per productum ex avisoribus illis invicem mulciplicatis; puta
CD. 3) 23= 32 = 28 = 4. Sec. Ac interim Cavendum est, nequis ex
Divisoribus (aue quod ab illis tic) alium quam divisorem mulciplicet: Si enim
vel mulciplicatorem vel quorum mulciplicer dirilor, eo iplo ex diriore tic mul-
riplicator ee rocius operacionis procelsum immucat. Ntam omnmo, aliud elt C)
D DEC acque
12
=xC = -. Sic alind est 2) 13 = 3 = 2, aEque 12 X 2
=8. Ouorum omnium demonstrationes ex superius cradicis Mulriplica-
tionis ee Dirisionis principiis Facile elt coltisere. i
Acque tactenus de Mulriplicationis ee Dirisionis praxi dictum esto. Seguitur,
uc de urriusque Examine seu Probatione rerba TaCtaMUS.
Ci A P. XX
De Multiplicationis eo Divisionis Probationibus: ea
rumque Probationum fundamentis. Tamiliares ali-
quot quaestiunculae solvuntur.
Vae de Addirionis et Subductionis probationibus superius dicta sunt, non
pauca es hic locum obtinent. Nempe non adhibentur illae canquam de
monstrationes cerricudinis regularum juxta quas procediur; nam de illis latis
constac ex principiis eis quibus innicuntur: sed ad explorandum numquis crror
Subreplerit in exercitio, quo a regulis deriatum sic. Non isitur ad probandas
rexulas, led ad explorandum num operatio praellita regulis Ut contorinis, insti-
cuuntur hae probaciones. Fit quanquam posser etiam examen instirui reperendo
iplam operationem, ee ad regulam ubique exigendo; tamen illud, felicius uc plu-
rimum instienitur operationis Forma mutata; quippe hoc pacto minus est peri-
culi in eundem errorem icerum incidendi.
Multipli- Sient Addicio per Subductionem (operacionem sibi conrrariam;) Sic Mulci-
 Digi Plicatio per (huic oppolitam) Diritionem examinare sive probare lolenc. Ouod
Cono enim Mulciplicatione conticitur id Diritione distolvitur. Obi enim duorum pu-
erobatio. merorum invicem multiplicatione, alius producirur: si hic per eo um alterutrum
dividatur, reliquus prodit. Puta, li quamicas A ducta in B sit AB; haec ip (a AB
dirisa per Btiet A. (ReMDE
= A.) Rasio est, quia subsequens divitio per B
destruit
cationis
1

## Folio 113 — 851387705:0133
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000133.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
R Y DEVESTONE.
destruie id quod praecedente mulciplicatione per candem quancicatem B efticieba-
cur, adeoque ipsa quancitas A qua prius tuerat, jam icerum quasi ex postliminio
redic. Eodem modo si eacem AB dividatur per A prodibic B; (nempe 2  = B:)
quia scilicet tam ex ductu A in B, quam ex ductu B in A, eactem prodibii quanti.
tas, puta AB = BA. sic  = 3= 2 = 3, ee
3 = 2
Arque idem in grandioribus numeris similicer obcinet. Si enim ex ductu 283
in 546, vel (quod cancundem cst) ex ductu 546 in 283, Proveniat 154518. VE
explorem num rire peracta sic operacio, hunc productum dirido per mulciplica
torum utrumris, ee si reliquum diritione provenientem comperio, arsumento est
overationem rire peractam tuille; lin minus, certum elt alicubi fuiste crracum.
Et similicer in aliis quibulvis musciplicationibus, vericarem peractae operacionis
examinare licet.
28
lt. 2ecl.
1090
132
2425
254518
546
1038
540) 284826 (203
283) 254828 (546
4368
2092
254516
Se autem per Divitionem Mulciplicatio, sic per Mulciplicationem Dirisio exa. Divisio
minabitur. Nam si Duoriens in Divisorem ducatur (vel hic in illum) prodibit nu- nis exa-
merus pridem Dividendus. Nam quod Diridendo fuerat dissolurum, mulcipli- men per
cando (per cundem numerum) icerum rectimuitur. Duta, I A) AB (B, hoc est Mulciot
= B, multiplicanco B in A, prodibic AB. ECa, E 3) 12 (4, hoc est
22 =324
4; ducto 3 in 4 (Dirilore in Ouorientem) prodibit, 3x 4 = 12.
Ft Cmilicer in numeris grandioribus; E dividendo 1545L8 per 546 prodeat 283,
vel eundem numerum 2545+8 dividendo per 283 proreniat 546; vice verla
mulciplicando 545 in 283, vel hunc in illum, resticuetur numerus pridem divi-
dendus +54578. Oc in calculo mox ance appotico videre est
Si autem, polt peractam Diritionem, aliquod supertue.
ric Relidtuum; curandum est ut in probatione per multi.
plicationem instituenda, hoc etiam Reliduum addatur:
Secus enim non prodibit Diridendus inceger, sed maneus.
Nam, verbi gracia, si numerus 387 per 24 diritus extri-
beac quocientem 16, et supertine 3; hoc reliduum indi-
cat, quod in diridendo illo concineatur dirilor ricibus 16,
(vel quotiens vicibus 24,) acque intuper numerus 3.
Adeoque, praecer Dirilorem (vel Ouorientem) cories po-
situm (quod mulciplicando praectarus) adjungendus erit
cationem
387 (10
numerus ille 3
Racio cocins procellus (si ita et facit alelto mondum latis incellieatur) sic
reddi poceric. Cum uneo Mepats cocies in Producto concmeatur,
Guoteo MMtas in Mulcipilcatore, (haul Cories elt ille ponendus quories jubet
mulciplicator;) lBiritole quaeratur, quocies in Producto concineatur Mule.
Blicandus. Prodire deber (H operacio redle peracta, Lucric) pro, divitionis Ouo.
lat

## Folio 114 — 851387705:0134
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000134.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 84 lines, status machine
riente, numerus idem qui prius fierat molriplicator. Ec contra, cum Dirisionis
Ouociens oltendar, quocies in Diridendo contineatur Dirilor, (vel pexeile, vel
quanto cum reliduo;) Ei Dirilor ille cories (mulciplicando) ponatur, (e, liquod
eratu adjiciatur reliduum,) emersere debet numerus Diridendus; quippe ille in
Mucripli-
cationis
E MDLTIELICATIONE
quo Dirisor tories ne dictum elt Continetur.
Praeter has aurem Mulciplicationis e Dirisionis probationes, per operationem
per A Contrariam instituendas; porelt utraque per eandem operationem vrobari. Cum
riplica enim (uE ex superius eradicis BatCE) duorum numerorum invicem mulciplica.
ionem torum, perinde est uter dicatur Musciplicator; (puta, perinde est, in exemplis
probatio. nuper appolicis, sire 283 per 546, Tive numerus hic per illum, mulciplicetur:
Obi peracta est operatio, si de aroseia dubitetur; qui prius erat numerus mulcipli-
candus, jam frat multiplicator, e vice versa: FE, Ei idem utrobique lic numerus
Productus, argumenco erit processum tuiste legirimum; sin minus, erroneum. Sic
ductis 283 in 546, rel 546 in 283, prodibie utrobique 254518, ut supra patet
Pariter in Diritione; Cum non minus, ostendat Dirilor, quocies in Diridendo
nis per concineatur Ouociens; quam Ouoriens, quocies in eodem Dividendo concineatur
Divisco. Divilor; (quippe qui ia se habene ad Diridendum, uc L’actores in mulciplica.
tione ad Factum;) Si de peracta divilione occurrar dubium; qui prius prodiit
Duoriens jam siat Divisor, ec li jam prodeat pro Ovorience numerus ille qui
cum fuerat Dirisor, argumento elt operationem rite peractam esse; sn secus, er
ratum ese. Verbi graria; li dividatur 254528 per 546 prodibit quoriens 283
de quo si dubitecur, numerus idem 2545L8 diridatur per quotientem 283, et
prodibit numerus 546, qui prius tuerat dirisor, (ut luvra
Patet,) unde liquer operationem rite peractam elle. Resi
duum autem, si quod est, idem esse debet utrobique. Puta
cum diriso numero 387 per 24, quociens lIc 16, et reli-
duum 3; si 387 diridaneur per 16, quotiens erit 24, et
reliduum item 3: ut ex adjuncto calculo patet.
Atque tae quidem sire Mulciplicationis sire Dirisionis probationes, huc ulque
tradiex, in quacunque Mulciplicatione aut Diritione locum hrabent; sire in nu-
meris inteoris, sire in Fractionibus Decimalibus, aliitre; sire in operationibus
Alrebricis e Symbolieis vel Speciolis; lire item una, lire plures line denomi-
exota nationes. Ouippe idem est in omnibus procellus tundamencum.
Duod aurem de Probationibus Additionis e Subductionis superius monuimus:
idem de Mulciplicacionis es Dirilionis Probationibus pariter sciendum elt: Fas
Demve non omnes ejuldem elle generis; quippe alia certiores sune, e tallacix
minus obnoxix, (quales TunE, quas jam expoluimus,) led laboriolae magis, (et
qua quidem cancundem operis in examinandis quantum in peragendis operationi
bus postulant,) alixe vero magis expedira, sed quae nonnunquam Fortalse Fallane.
Arque huc quidem reterri porest ea mechodus examinandi Dirisionis opcratio-
editio- nem, per adduionem musciptorum omnium subductorum, quae (cum reliduo si
quod sic) relticuene numerum Diridendum. Puta
li (in priori exemplo) divictamus 154518 per 283
unde quoriens emersic 546; li omnia mulcipla Cin
283) X84 8x8 (546, tra dividendum subleripra) limut addantur, prosi-
134318
alissibie numerus Diridendus; quod ni tiac, crroris indi-
eium elt. Fs autem haec probacio admodum l-
12
brica; quippe qua Tolas subductiones examinat non
 iem mulciplicationes; e liguis prius, Dirilorem in
Esi sirigulas quorteneis nocas ducendo, error irreplerie
idem actrue intactus manet, Heque hac probaciolie omnino deresitur, quippe qua
mulciplicationes illas, sine examine, pro vetis habet.
Sicui autem nimis laboriosum videbitur, probacionibus superius tradicis uti.
adeoque tantundem operis insumere in operis examinatione seu probatione, quan.
cum in ipla operatione: Poterie breviorem illam probationem adhibere, quam No-
venariam roeane, (qualem supra octendimus in probatione Addicionis et Subdu-
ecionis;) quae sic insticuitur.
Numeri Mulciplicandi noris omnibus indiseriminatim adeitis (neglecta loco-
rum contideratione,) indeque, quories tieri postic, abjectis o, reliduum A quod TIE
scortim nocecur (vel, si nihil supertic, ciphia;) Deinde et Mulciplicantis nocis
omnibus
Divisio.
Luame
vom.
minus
tiones
certae.
Divisco-
nis per
nem pro-
batio lu-
rica.
Probatio
Novena
a.
267367 (24
In Mul-
tiplica-
1oC.

## Folio 115 — 851387705:0135
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000135.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
Cia. Al. eit ESIONE.
omnibus limiluer additis, de abjectis novenis omnibus, reliduum ilem nocetur:
Hac duo relidua inricem ducaneur, de abjectis inde o quories sieri porclt, RCH
duum, lignod sie, nOcecu: Denique  e IdeM  algue LCHM
quod proreniee ex ounibus numi    lo Ila Ul pITIS acaI
abjectis novenis omnibus, indicium est (saltem
Probabile) opcrattonem ee peractat ele; lin Pe.
cusu cercm eit alicubr citacum clse. Exem.
Pli sracu: In Musciplicacione apporica, Mulcipli
Canct lota addancur 2 7 6= 10, 10-- 9- L1,
x + 3 = 4. Hoc reliduum Scribatur ad crueis Fi.
nilleam. Deinde i MtorC, 5 + 4 =-c
quibus abjectsu rellecta Hola 6, TetTBaCuE ad cru.
eio dea. o Settto Inricem ductis, est
426 = 24, unde bis abjectis g, restane 5, (vel 2 F 4 = 6:) HIOC Retidum
superne seribatur. Deinde numeri produeti noux sic adcantur.
6+ + = 10
15
0-
=6 (vel 1. F58.) alque hoc Kehiduum interne scribatur. Denique
quoniam duo Relidua, superne _ inferne nocata, depreheiaEUE cadem; con-
jicio operacionem rice peractam; sin tuilsene diverta, cercum elter admiltum elle
CITOTeM.
In Divisione, pari modo procedendum est. Addaneur Mditeriminarim nOc In Divi-
Diviloria deyahiCelis HOVBNIS OmNIBUS, NOECTIE reLIdUUM. GMOTICNES IIEM nOEX sione.
addtaneur, de abjectis novenis poretur Reliduum. Flis reliduis Mrcem ductis,
(d fucto addiris, liquod tuerie, Relidui Diritionis noris,) c absccllo Hoveu
noceC _. hoc Keliduum. Denigue, Facta simili nocarum Diridendi additione,
e novenorum abjectione, quod tandem rellar aequabitur (s operario rite SI pe
racta) Relee PonIHe Hocaco: Sin mi-
nuS, Crrac CH. s  appolica diritione.
Diritor nora 27 6 - 7, (quodnOLECE
ad Tiniltrai.) Ouorientis norX 2 f 4 = 6.
(quod nocetur ad dextram) Fuctum ex
HiS 7X6 = 42, unde quater abjectis o, rC-
26) 367(24
stanc 6, (vel 4. f 2 = 6.) cum (quia post peractam dirisionem restabant 3,
=9: quibus abjectis manec o, quod Tuperne noco. Denique in Diri
dendo 3 f 8. f 7 = 28, unde BiS abjectis o, manet 0, (vel 1 F 8 = 0
quod cum idem sic aique Residuum superne notatum conjicio operacionem fuiste
rice perac
t
Ouod laurem de Reliduo Diritionis dictum est:
nempe iptius noras addendas else facto ex residuis
Diriloris e Ouoriet, Paclel obcinet ee in mul-
ciplicarione, si spraeter puram Musciplicationem ac
cedat aliquod additamentum. = PuV SI LC Per 2
mulciplicanda sine, ee timul addenda 3, ut, habeacur
facti addlicique aggregacum 387: Lx mulciplieandi
nocis emergie 7, ex mulciplicantis 6, quorum Factum
3X6 == 42, hoc cMt 4 + 2 = 6, e (proprer additamentum 5) 6- f 3 = = 9: d 9 - 9
0; ded e 3 f6 77  163 l 2 9 = 9 =0. unde conjicitur operationem
Funcamentum quo nicitur haec probatio, idem elt quod lupra docuimus de con-
Timili Frobatione Aedirionis de sublluctionis. Nempe quod, ubi nulla locorum
habetu Falto, cancundem valeh Le 10, item 2 et 20, de pariter in similibus:
Acidem elt tubsticuere F PFO FO, ausel abjicere 9; iem Lubsticuere 2 pro20, acque
Morimus) probacionem hanc nonnunquat laltacei elte, neque errorem lemper
detesere, (praeserrim s is ob neglectam debicam locorum considerationem obtin-
Sac Guem truscra quis palet sune caeceum iri, cum nulla hie locorum tabeatur
ratio:) Ouamris enim, ubi HECICCInON ConveniunE, cercum Sic erratum CAC; nOn
=
cl 7-
1698
15
54
E
+
c
rice peractam eAte.
abjicete b15 9; e sic in in reliquis.
Monendum aurem est (quod de de Addicionis e Subductionis linit Pa Lubrica
tamen cercum est operarionem recte procedere ubi conveniunt.

## Folio 116 — 851387705:0136
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000136.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
DE MUDTTELICATIONE
At interim (ne penicus abjiciendam puremus hanc probationem) probabile est
(utuE non certum) errorem liquis sic (praeterquam qui ex indebito nocarum sicu
Oritur) hinc decectum iri, lalrem nisi data industria Fraus instituatur; raro enim
(ee quaer attus quam quis putet) Frrores siqui sune tam felicirer (vel porins
inteliciter) conspirant ue se mutuo regant. Et propterea cum haec probatio non
adeo magno conster labore, non inuriliter achiberi porerit.
Et quidem in prolixis praserrim Diritionibus, opera prerium ese porest eam
Expius in ipso opcrationis curriculo adhibere (quod quidem tieri porcst polt
quamlibet Dirisorispromorionem) ne error in principio operis torum insecutu-
rum laborem plane Frustraneum reddat.
Sed deminus univertalis elthujulmodi Probatio Novenaria; quippe quae Tolis
numerolis operacionibus convenit, non item Speciolis sive Symbolicis, aut Alge.
bricis; ut nec (nisi correctiones aliquories adhibeantur) ubi plurium denomina-
tionum quantitateS OCCUTruNE. Cum enim ortum ducat tiac probatio ex graduum
sire locorum dispolitione in continua proportione decupla; ubi haec dispolutio
non est, neque locus est huic probationi. Si vero Rrichmeticis placuiller primi
tus pro decupta, aliam quamris proportionem acthibuiste; pocuissent etiam e illi-
quacunque tueric, hujusmodi probationem aptalle: Non quidem abjiciendo sip.
sula norena, uti jam; sed cum numerum, quoties tieri poltic, abjiciendo, qui uni-
tate minor sIE quam Exponens iltius qua proceditur continuae proporcionis: Pura
si (pro decupla) actribuissene noncuplam, abjicienda essene (non novena, sed)
octona omnia; si octuplam, septena; _ sepcuplam, sena; si sexcuplam, quina; de
Timiliter de quaris alid.
Arque tactenus de Probationibus cum Mulciplicationis cum Divisionis dixisse suF.
ficiat: in quibus vel urendis vel negligendis tuo quiliber utatur arbitrio.
Udem aurem, cum his probationibus, principiis nicuntur hujusmodi quastio.
num Colutiones; (quibus le exercendo cirones Mului-
plicationis e Dirilionis naturam ec consentum mutuum
melius persentiscent.)
Quis numerus est, qui per 4 divisus, quotientem da-
bit 2. Nempe 4 8 3 (Dirilore e Ouoriente) invicem
ductis, prodibit =27 numerus quaesicus Diridendus. Vel,
quod eodem recidit, s numerus quaelicus, Diridendus,
dieatur A; quoniam (jusca quaestionis cenorem)
Sipars veraque mulciplicetur per 4, erit A = 3x 4 = 12.
Item Cujus numeri triens est 235. Hloc elt,
Onis numexus per 3 dirilus, quotiencem dabit 235.
Eadem methodo, ductis inricem 235 ec 3, prodibut
numerus qualitus 705; qui nempe per 3 dirisus
quocientem imperatum extribetir. Vel cuam quia
3) A (235, CrIE A = 235X3 = 705.
Tiem (in numeris Grandioribus) duot aurei a
Stribuendi sunt inter milites 2646, ut quisque habeat
283d HIoc eM, Duis numerus diridendus clt per
2646, ut Prodeat 283; rel, Der 283, ut prodear
quoriens 2646. Ductis iricem 2646 e 283, prodi.
Nec ta-
necua.
Minus
univers
lis est.
Duaesti-
nculae
Familia-
vuntur
X 4 = 12.
3)705(2
5323= 70
2.
bic numerus quaelicus 748818.
2646
283
2FT68
5292
4882
Cap
2646) 748818 (283
283) 748828 (2646
346810
2646
748816
83
2640
Contra

## Folio 117 — 851387705:0137
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000137.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
E DIVISTONE
COntTa vero, Si quaeratur Duis numerus est qui
Cap.
tactus 705 diricatur pel lactorem
Factor Guan e quta
A X3 =- 763, erit
uilibus.
in 4 ductus faciet 12d Pactum 22 dividatur per 4 4) 12 (3
(alterum ex tactoribus) ee prodibit religuus la
ctor quaelicus 3. Vel, li numerus gualus alcatur
A; cum licsuxca quaeltions tenote) AX4 = 12.
X 4 = 2
dividendo untaltique aequacionis parcem per qu crit A = 13 = 3.
Icem Cujus numeri triplum est
705. Hoc e, Duis numerus in
3 ductus Taciet 705. Si numerus
dacum Peu cognicum 3, prodibit
lieum Lc qudt mintes distribuendi sunt 7488FB aurei, ut quilibet habeat 282.
Divitio 148818 per 283, prodibis milicum numetio slal. E pariter in H.
140610
Si autem quaeratur, Verbi gratia, Duinam numeri sint invicem ducendi ut factus
Sit 24. Vel Duis per quem dividendus, ut quoriens sit 24 Iujusmodi quaestiones
nugaces elent; quippe ex dacis in quaectione nihil cerri elicicur: posset enim mo-
dis innumeris responderi: puta
X6, 2XZX6.
AF1 3, , 3) 1, 2) 3 26, dec. Nam ex Eolo tacto in mulciplicatione, de F2
ctoribus neuciquam constabit; ut nec, in Diritione, ex Tolo Quocience conctabit
de Diridendo auc Dirilore. Sed de his hactenus.
Acque hactenus quidem de quatuOE APIFHMCTICES (UE VOCANEUT) SpeciebuS, seu
porius Partibus, Additione, Subductione, Mulciplicatione, ee Dirisione, dicta luffi-
CianE. Mulca aurem qua de his opcracionibus apud Aricheticae practiea magi-
Aros pastim occurrunt, ee speciatim operationum aliquor in nonnullis compendia,
rariolque modos has operationes peculiaribus subjectis applicandi, (pura, in rC
nummaria, de Faenore, de mercatura; in re altronomica, de tempore, de motu, Co.
rumque reductionibus, _c.) Sciens praetereo. Ouippe infiniti ellet laboris, et qui-
dem superracanei, ea omnia quae id senus dici polsent figillarim prolequi. Nec
quidem id nostri operis est; sed porius operacionum fundamenta cradere, iplosque
Fontes aperire, unde scientitice e demonttracire postint vera procedendi rationes
incelligi. Ouas qui rire incellisir, non modo majori Fructu e roluptate iptas ove
rationes exercebit, easque in ulum proteret, quam fi caco ductu incedat, et qual
Andabatarum more puenet; sed et multo tirmius quae noric memoria recinebit.
Duas enim laepius audimus querela, Rerum Machematicarum cognitioneM, APICH-
merices praefertim, cirissine dpete ni astidua exercitatione retineaTE;
chodum, memoriter catum cuo, spras pelatat satlones penitus ignorent; quao
quidem ruleares arichmericae practica Magistri plerumque vel ipsi nescinne, rel
Lalcem plus Paris rericent; eisque edocti Mechanicam porius (regulas minime in-
rellectas persequendo) exercent, quam Arichmeticam. OuI auteM ip(IIIS PTAXCOS
rationem Caris perlenciseune, (nec tantum exco sinere, regularum mémoriter
cognicarum ductum implicica tide securi incedune,) judicio magis quam memoria
non aliunde oriuntur, quam quod plorique Arichmetices praxin, sire operandi me
ducti, difticilius ed sua u aetu  duS crullum i Paciencul.

## Folio 118 — 851387705:0138
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000138.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
De MuAIOAE CaD
Ci A P.
X3
Multiplicationis exercitium in Paralleloerammis Rectan-
sulis mensurandis, e invicem comparandis. Divi-
sionis in Paralle loerammis Rectansulis exercitium.
AISIC.
Deiusquam Mulciplicationis de Diritionis C quarum praxis superius osten(a est)
negorium dimittam; nec inurile Fortan eric, nec injucundum, pauca lubtexere
quibus urrinsque ucilicas innoreleat, acque incerim Geomerrix eum Prichmerica
tumma conjunctio percipiatur. Quamris enim Arichmerica, quae de Numeris agit,
Geometricas menturas per se non actingat; sed, propriis principiis nixa, neque
Gcometrix auxilio indisens, regulas abstractas tradie, omni numerabili pariter a0.
plicabiles; (objectum quippe simplicius ee latius nacta quam Geometria:) cum
tamen objectum Geometrix, riz. mentura, incra objecti Rrichmerices cerminos c.
dat, (quippe cujus partes numerantur;) non absre crii, Arichmerices exercicium
in re Creometrica poucis ostendere.
Hoc aurem, dum de Additione de Subductione rerba tecimus, parcius esimus
quia non masni cortanres videri poltic, lincam linex adjunsere, vel etiam demere,
dum utraque data (C. Pura, Elinex darae A B adjungere opOr
C reat lineam datam BC; vel datae AC daram BC auterre. Cun
tamen operi perticiendo aptata videmus eria successire proble.
Mata; neMPC PFOP. T. 2. 3. primi Euclidis. Illa autem provo-
siriones, cum sint pure Geometrica, polsune in cradicione Arichmeriea cuco omiui
Ouod aurem de Angulorum, Superticierum, aue Solidorum; Addicione vel Sub
ductione diei possie; Vel erie penitus Geometricum, neque ad calculum ommino
spectans; nempe si Anguli, superticies, aue corpord, non mucata adjunsantur.
uc, si dato Quadrato AB E D, ret AOFG, addendum esset Triangulum ABC
obi nihil reguirieur aliud quam iolorum in daco licu tabricam Gcomerricum.
Vel sicrbi caleulo opus lic, non solum Adduione aut Subduetione opus exies led
CFdiSLA SCIBhC COIItA Cic
Besee sclsCIBNBCO eis FZ CSB CSIBENL
1FItB SCII ECL BISCO CCISSC
i
NNLITIEC s
LNCe 121I et
L S.1t3t
1) rsdeBi
 .  233. eA cisp X H L0 P C
De COE S
e eec
ee plurimum Muluplicatione iiem vel Divitione: ubi nempe proporcionum ratio
hrabenda elt. Ve, si quaeratr Guactratum BC FTK, aequale quadratis AB F D _
ACBC dimnul Tumpris  vel Friangulum BCHI, aequale similibus ABC, AC P
Timul sumpris: Zue Si quaratur Cnacratum ABE D, aequale quadrato BCPF F
dempro quadrato AC F C vel Friangulum A B P, aquale iriansulo BC II dempro
erianouto AOF; cuibi prater tigurarum addirionem ex ablationem, CaLCH HICI
axoresari vel relidui cranstormatio requiritur. Ideoque de hujulmodi Additio-
nibus vel Ablacionibus, priusquam de Musciplicatione et Dirisione dixeramus,
non ita opportumum crat Verba LaCErE.
CC1 1 FI 131sOe
D
se

## Folio 119 — 851387705:0139
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000139.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
l
D
11IIII
Cap. LII.
menturis appliceneur, praemurenda lunc eGicometria quxedam ad cerminorum ex
plicationem necellaria. Rc quoniam ex mensura Parallelogrammi Rectanguli (quod
brericacis pracia, simpliciter Rectangulum dici Solec) reliquarum figurarum di
mentiones deduci Colenc; de Parallelosrammo praemiccenda sunc quaedam Defr.
nitiones, hoc est, Terminorum explicationes.
lem ubique habentes inter se distantiam. Ouales Tunt quae In SChCIaLIS MOX ap.
Donendis conspiciuntur.
sunt recti. (Vel etiam Cujus angulus aliquis est rectus: Nam si Parallelocram-
mum habeat rel unum angulum rectum, reliquos irem omnes rectos elle facile cst
demonltracr.)
aliquo
Geome
ba
R F DEVESTONE.
VE vero quae de Hulciplicatione ee Diritione jam cradidimus, Geometricis
Paralleloerammum appellant ficuram planam quadrilateram, cujus opposita la- Defini-
tera seu laterales liea, sunt rectd paratela, HoC e agms, sde aquationes
Pas alleloerammum vero tune Nectanculum dICItuE, quando ipsius omnes aneuit
Ancuas ducem Rectus tunc esse dicitur, quando linea recta in rectait aitsalum
faciens ita recte incidit ut neurro masis inclinet. Vi nt ud Placedenti, ecla C A
in rectam C A B ita recte incidens ie non magis hac quam illac inctinet, lac H an.
Sulos C A B, C A G, rectos. LE limiliver angul ad H, G, HI, _c. recti funt.
Si qua vero inclinet masis, angulum obsiquum tacic: Nempe Acurum (quippe
ansulo recto minorem) ea qua propendet seu magis inctinac; vel Obrusum l’ansuld
recto majorem) ea unde reclinat sive diversit magis. Puta, Si recta C A, qua
jam Crecta est, supponatur versus AB nutare seu provendere, adeoque ab A
reclinari, pro duobus angulis jam rectis, fierent duo obliqui, C AB aCUtIS, e
CAC obcusus; qui tamen limul sumpei duobus illis rectis lune aequales; nam
quanco unus propter inclinacionem minuitur, tanto alter propter reclinationem
augetur; quodque huie accedie, illi autertur. Similiter, angulus ABC aCuLUS
Cst quippe recto minOr; ABK obculus, quippe recto major. LL MMHet alias.
Furalleloerammum aurem Rectansulum, si latera habeat omnia invicem aequa
Obloneunt; quale ett tigura plima AB
lia, Duadratum dicitur: quale est, in suosecla Sura tertia, ADBH: Sn minus
dim secus, soms, ut tisura secunda CF
Concineri vero vel comprehendi dicitur Paralleloerammum Rectaneulum (TIVe
quadracum s, Ere oblonsum,) duabus rectis lineis quae rectum comprehendunt
ansulum. Detinienre Fuelu La L. Lo Guieit eo sentu quo ipse alibi negat
duabus rectis liners spactum compresenut. abi etim duabus sed quatuor rectis
hoc sentu parallelosam coetut, sbe et alibitur sire undiquaque con-
eluditur;) Sed quia duabus illis parallelogrammi rectansuli spatium sive area de-
terminatur, quippe alera Lon alceta Lu CCCLHMIaL. AC in
Parallelogrammis Obliquangulis, secus est: non duabus rectis cirea angulorum ob.
nem determinet.
Paralleloerammum vero Obtiquaneulum (hoc ell, cujus aneuli sunt obliqui) se
latera habeat omnia invaem a quata LBombus al aca tgura cextIa, CDBC:
liquorum quoaris portto aetetmnabeut Hcus parallelogrammi magitudo; lea
major, minoere c prour obliquicas mnor majorre tuerit; adcoque praler se
ctarum longicudinem, ansuli etiam lire obliquicaris determinatione OpuSCFC, ut
determinetur Parallelogrammi magnicudo. FF propterea, neque in hac detinitione,
nec (quancum memini) apud Fuclidem alibi, Parasseloerammum Obliquangulum
duabus ejusmodi cirea ipsius quodvis ansulum politis contineri dicitur. S. CuL
vero sic sibeat loqui, ansuli praeterea mentictan lalele oportebit uc magnicudi
Elis praemictis, Ad Paralleloerammi Rectanculi aream sive masmluua v aralle
nacm hl aliud requiritur quam ut duarum rectarum quibus contineri aen osra
altera in alteram ducatur, sive multiplicetur. F. XCmiplo Les eractet perspicua.
Eectan
dinc expolici Paralletoxramt e halela eHca reclorum aupulorum quod suli men
DeF, suratio.

## Folio 120 — 851387705:0140
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000140.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
MULTTPEECATIONE Cap. XXII.
libet, dux recta, quarum altera st trium, altera quatuor pedum, (vel palmo.
rum, calamorum, orsriarum, spichamarum, aur quarumliber aliarum menlurarum
aequalium.) Rectanguli magnitudo lire area repericur duetu linearum unius in al-
reram, lonsitudinis puta in lacicudinem, vel contra: eodem plane modo quo toti
dem numerorum series essent computanda. Si enim, verbi gratia, cor puneta,
vel (si liber) cor milites ordinarim digesti, ea lese disponaneur,
uc, in qualibec serie cransversa, quarerni, in qualibet directa,
cerni conspiciantur: maniteltum Cs ter quaternos, vel quater
cernos, ita ese dispolitos. Mulciplicatis isitur 4 Der 3; vel 3
DET 4, CMETSCE OMMIU nUMeTUS 12 = 3X 4. EF Parirer in li-
mili quaris cujutris numeri dilpositione taciendum exir.
Fodem modo Parallelogrammum 3 Dedes lacum, Xc q pedes lonoum, ex ductu
laticudinis in Lonsitudinem, reperietur pedum quadraticorum +2 = 3x 4. Cujus
quidem rei ratio lic facile percipietur. Si enim parallelogram.
mi iltius tam aleitudo sire lacieudo A, pedum crium, quam ba(IS
lirelonsitudo, pedum 4, diridi incellisantur in luos respe
ctire pedes; atque à cujusque pedis termino ducaneur rectae
lateribus parallela, quibus cora ligura in particulas quadratzs
dirimatur, quarum quaelibet sic tam longa quain laca pedem v-
num, (hoc elt, quaeliber concineat pedem quadratum;) mani-
Feltum eric, ex ip(o Schemaris inspectu, in qualibet serie tranlverla (propier lon-
sicudinem quatuor pedum) quatuor quadracicos pedes concineri, iplalque series
(propter alcicudinem erium pedum) numero rres elle; adeoque pedes quadraricos
omnes esse ter quaternos, hoc elt 12 = 4. X3. Ec quidem, pari ratione, manite.
Ium erit (propter A = 3) lingulis seriebus crectis eres pedes quadraticos contis
neri, ipsalque series (propter B = 4) numero quatuor; adcogne pedes quadrari-
eos omnes esse quater ternos, hoc clt 12 == 3X 4. Ec similiter in aliis quibulvis
Parallelogrammis rectangulis mensurandis (Cire quadrata line sive oblonea) ex
ductu. lonsitudinis in lacicudinem, (lire quod cantundem valer) basis in alcitu.
dinem (vel hujus in illam,) habetur area.
Atque hinc collipere licet, Pedem quadraticum unum, continere Dieitos sive
Oncias, 244. Cum enim longicudo Pedis unius sIE unciarum (2; Ft propterea PC-
dis quadraciei tam lonsicudo quam lacicudo sIE X2 unc. ex ductu hujus in illam
eerGIE areA T2X T2 = 244 unciarum quadraricarum. Adeoque, ueut pes linealis
contineat non nili T2 unetas lineales; pes tamen quadratieus continet uncias qua-
draricas r44. Fodem modo cum apudnos communis Virea mensoria officinarum
(a Tard dicta) contineat loncitudine pedes tres; eadem mensura
quadratica continebit pedes quadraticos d == 3X3.
Flaec Si per Cymbola libeat explicare; pro latitudine seu alcitu-
dine ponatur A, pro lonsicudine seu bali B; erit igitur Area seu
magnicudo AB, sive A X B. Ergo ( A = 3, e B = 4, crit AB =
A A = A 4. Aceoque, cum lonsicudo pecis unins sIc LZ UnCIaFUM; eC PFOPICTCA
F
T
= P 4 = 24+VV = 244V9
pedis quactraniet tam batis quam alcicudo +2 unc: ideoque A B = P P = P g =
12VX FZV = +44SV = 244V9. HIOC CH, P9=144V9.
vel unus Des quacraricus aequalis 244. Oneiis quadraticis.
Et eodem modo, in Virga quadrarica, cum tam batis quam
alticudo Sic Dedtum 3, cric area V g = 9P9. Et simili.
tex alibi.
Hlac methodo, in mensurandis, rerbi graria, assereutis
lieneis; _ Alseris unius lacitudo A Cit duum Dedum, longi-
cudo B pedum 20; critarea sive magnicudo AB = 40 P9;
hoc elt pedum quadratieorum quadraginta.
Similiter, Si Camera mensuranda lie lonsa pedes 18,
taca peces 22, erir cocius area leu magnindo, pectum
GlauiraLICONIM 216 =- 12X 18.
Pariter,
+
=1
d

## Folio 121 — 851387705:0141
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000141.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
peet
Cap. XAI. EL DEVTSTOHL.
Pariter, cum terrae Jucerum Anslicanum lAera, vulso
dicta) statura lese censeatur instar Paralleloeramni Rectan-
suli, Perticas 4 lati, lonsi vero 40: continebit area Porri-
cas quadraticas 260 == 4 X 40. Vel etiam, cum Perrica Lon-
Suudo lic Dedum 263; adeoque 4 Percica sint pedes 66:
e perrica 40, pedes 650: Idem cerrae Jugerum live ACra
valebit pedes quadraticos 43560 =66x660.
Hlinc ccrat Pacee Suresse posse parasamina quo
rum maenicudo sit equalis, ambitus autem admodum in-
 402.
AB = 26019.
A = 60tcd.
B ==660
AB = 43360P9.
aequalis: e contra amhicus aequalis, ae magniudo inaqualis; de quidem cousque posta
uc quorum ambitus major est, corum aiea seu maenitudo sit minor. Le. LeMpII outis in-
Srata.
vicc
Sic Rectaneuli primi lacus quodlibet sex pedum; eric area, pedum 36 = 626, compara
Secundi laciendo, pedum 4, lonsicudo Dedum o; erit arca, pedum 36 = 4 X9
Fercu lacirudo Dedum 3, lonsicudo 12; eric area 36 == 3X F2. Ouarii laciudo
Dedum 2, Longicidlo 18; eric area 36 == 2 X 18. Duinci denique laciruclo 1, lon.
Sicudo 36; Cxir area ilem 36 = F X36. Flt isicur cadem singulorum aica Peu
marnicudo; nempe vedum quadracicorum 36; de corum ambitus lonsse diversi;
quipue primi, pedum 24 = 6 f 6 f 6 f 6; secundi, 26 = 4 -]- 9 f q - ] 9; tCr.
ei, 30 = 3 + 12 F 3 F 12; quarci, 40 = 2 + 18 f 2 7 18; quinii, 74 = 2
 36 + 2 7 36, nempe plus quam criplo major quam primi.
Deinde, sic Rectansutum primum (uc peiuis) sonsum ce laluiu pellesb. Secun.
dum, lacum pedes 5, lonsum vedes 7: Fercium, lacum 4, lonsum 8: Ouarrum,
lacum 3, lonsum 9: OmIncum, lacum 2, longum +O: Sexcum, lacum 2, Longum
ET. Prunc haec omnia Ploperimetra; quippe perimerer, sive ambicus ubique pe.
dum 24. =- 6 + 6 + 6 c
=2 = 2
+ 9 7 3 +5
c, Y 5 Y cF. RCmagnicudines lonse diverla: quip.
Deprimum est Dedum quadrateorum 36 = 6x6; lecundum, 35 = 5X 7 GUtLLI
32 = 4XB; quarTM, 27 =-3XG; quintum, 20 = 2X 20; sexcn denique
2X = EX TF, DluS Eriplo minus quiam Crat primUm.
Denisue tuc expolicum P’arallelogrammum reclansulum, cusus calitudo sic pedis
2, Lonsicudo, TF; adeoque ambieus 24 =- F f 1F f 5 f 12, area vero pedum
quadeatieOrUm FF = 1 ZII. Ra quCaCH alta Guacu, guorum primum
sic lacum pedes 2, lonsum o; secundum, lacum 3, longum 8; cercium, lacum 4
lonrum; quarcum lacum 5, lonoum 5. Erie lingulorum ambicus minor quam
solo amibitu astimare.
operi-
Obloneorum vero illud majus est quod propcus ad Duadratum accedit, hoc eAt, cujus metro-
Sic quadrari cnjulris lacus A, Ct sPS GlatalI Area AX A = A 9. Deinde quodnam
tiac Rectangulum oblonsum, quadraco illi iloperimetrum: Ouod uc tiac, cantun est mavi
A = + PCrE.
Paralleloslammi expolici, (quDDC BecMM L2 Cu  fuerit pedum 24:) arca
30, expelici rero non nilI FI.
Fx qulibus omnibus abunde patet, qua tad o sil fieurarum magnicudinem ex
vero major; nempe primi, pedum quadraticorum 18, Secundi 29, cerrii 28, quarii
Porro; Hline liquet etiam, ex Paralletoerammis Rectaneulis Tsoperimetris (hoc Rectan
est, quocum amticus lunt inricem aequales,) Quadratum esse onnlum maximum: Sacorus
laterum disterentia minor est. Ouoe probatur.
LC
19t
MII: A - C
ditter: 2C
dem addendum est longicudini, quancum laciemdini autertur; MIa al GuaH
cumcunque sic dieatur C; tierque lonsicudo A ] C, laciendo A , al
Rectangulum Ouadrato Floperimetrum, quippe ucriusris ambicus 4 A, ut lacerum
utrobique addicione pacet. Erir Oblorisi tusjus aceu (duetu congicudinis in laci
mcettet

## Folio 122 — 851387705:0142
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000142.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
DE MULITELICATIONLCLL. Cap
Eudinem inventa) A9 - C q (uE muiriplicando patet;) adeoque minor quam
area quadrati, R9; quod ecat primo probandum. Sed ee canco minor clt quantum
elt quadratum quancitatis C, (uc Patet;) hoc est, quadracum semidtitterentiae la
terum, (nam li ex A F C, auteratur A = C, relicuum live ditterentia ell 2C, ut
Subducendo patet:) de propterea quo majus elt C 4, eo plus ah A9 deticit ohton-
sum, ee proinde minus elt; et contra: quod crat lecundo probandum.
Potest quidem hoc iptum Geomerrice demonstrari; ac ego demonstrationem
Arichmeticam hanc ideo actribui, quod ea praelenti negotio magis lit accommo-
daq (dum Arirhmerices utum in rebus Geometrieis oltendo,) de quidem per se
magis univertalis. Ceometricam vero demonstrationem liguis postulet, hanc
habeat.
Sic quadratum quodris ABCD, (puca lonsum ee latum 4 pedes,) eique il0.
perimetrum Rectangulum oblonsum BF FG, (pura longum pedes 5, lacum 3,
tanto nempe magis lonigum quanco cM minus latum quate
est Ouadrarum illud. L.C aucem rectangulum e Y C B 1
erigue illorum COMUNC; cur li addacur rectangulum RC
absolritur Onadracum A C; sin addacur rectangulum RF.
absolvitur oblongum GiF AC AddITamenCum K C majus
est addicamento LL F; (uE mox probabitur,) adeoque (prO-
PIEF CONMUINe A G) quadtaT AC majus oblonso GF
(quia li aequalibus addantur inaequalia, agerezata CrUIML iNX
qualia, illud aurem iajus ubI plus adelitur.) Ouod autem
K C majus elt, _ quamo majuS, quam R F, lic oltenditur.
Reclangulum LC aquatur tori F. D (quia longicudines A D, DC, aequales lnE.
quippe latera quadrati, ee lacicudines K H, R D, aequales iem ex hypocheli, quipue
cancundem additur quadrari lonsicudmi quancum laticudmi autereur; ee aneusi
utrobique recti,) majus igitur elt K C quam R C, (quippe aequal CON E D = L V
 R FI,) corumque disterentia cst IE H quadratuim (propter K F, IE D, rectas
aequales,) hoc elt, quacratum rectae R F, vel I D, lemmidilterenA lacerum. P.F
propterea, in rectangulis Parallelosrammis Ilopernetris, cujus lacerum ditteren-
ria minor est, illud est majus: e cujus laterum ditterencia nulla est (nempe
quadratum) id omnium maximum. Ouod crat demonltrandum.
Verum ut Mulciplicationis ope, qua jam cradidimus, peracta Punt omnia, ica
otium e Diritione paricer similia fere problemata absolvi pollime. Verbi gracia.
locram-
Cum lupra ostentum est, pedem quadracieum valere 144
uncias quadraticas, (quippe P2X 12 = 144.) Si asserculus
lieneus lic B uncias lacuS; quaeritur quam lonous lic opor-
tet ut habeacur pes quadratieus. Dividendo L44 (aream
datam) per 8 (dacam lacicudinem) habecur lonsiruda
QuaSITa 18 = 82. Ouippe area AB per lacitudinem a di-
vita extibet longicudinem quaesicam B. Sin data ellet
Tongindo 18, arca 244 per eam dirila extriberet lacicuci.
nem 8 = 148 V el B) AB CA.
Rodem modo. Cum fuserum melicanum (ut Fupra
dictum est) COnCINCAE PerCICAS quadrataS 16O = 4 X 40.
In aero (Parallelogrammo) cujus lacitudo est perriearum
B, quaeritur, quanta lic oporcear lonsicudo, ut habeatur Ju
Berum cerrae Diridendo 160 per 8, habetur longicndo
qualita 20 = 18. Vel, data lonsitudine 20, diridendo
habetur lacicudo 8. HToc est A) AB (B. E B) AB (A.
Pari modo, Si Planities Camera Dedes 12 laca, langa
vero 20; tesenda lic alserculis ligneis latis pedes 2: quan-
ia lumenda elt altereulorum (conjunctorum omnium) lon-
Sicudo, uc operi sufticiane Primo, ducta lacicudne 12, in
Ponsicudinem 20, habetur area pedum quadracieorum
240 = 22x 20. Dcinde, diridendo aream 240, per alser-
culorum laticudinem 2, habetur lonsitudo qua lita 120.
Ltem. Si caperi holoserica longa Dedes 24, latae 8; indu-
cendus sic d tergo pannus vilior lacicudinem habens pedum
6: quaericur quanca lonsicudo reguiritur uc operi susticiat.
Primo,
AB (B
8) 160 (20
20) 160 (8
Divisio-
Paralle-
nis rect.
es exer-
ansulis.
2) 240 (120
(32

## Folio 123 — 851387705:0143
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000143.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Primo, ducendo 24 in 8 habetur area 1OI 192 = 24 X8. Deinde aream totam
292 per 6 lacicudinem panni diridendo, habetur lonsicudo qua (Ita, 32 = 187. FF
similicer alibi.
Acque hactenus cum Mulciplicacionis cum Divitionis exercicium, in menturan
dis Parallelogrammis Rectansulis quancum opus est, oltendimus.
Cap. XXIII. _. I CIS.
C A P. XXIII.
Duclidis Flementum Secundum Arithmetice
demonstratur.
adem qua supra methodo; ex Tolo parallelosrammi rectanguli caleulo, 10-
P cum tere Elemencum sccundum Duclidis tacile demonstracur Arichmerice.
Exempli gracia,
LC2. Si sint duae rectae (puta R, B,) quarum altera (B) secetur in quol-
cunque partes (PUTa M, N, O,) rectanculum duabus illis rectis comprehensum
(RXB = RB,) aequale est iis rectaneulis quae recta insecta (R) e sineulis sectae
sermentis comprebenduntur. Hloc est, Si B = M F N FO, elt RB = KM F RN
FRO. Ouod ex mulciplicarionis caleulo patet. Vel, Si PONAnEUIE R, B, MI, N, O.
aequales numeris 4, 10, 5, 3, 2. Cric 4 X 10 == 4 X5 F 4 X 3 F 4X 2. ut ex calculo
item patet.
N
X
RsRnIRNII
B = M F. N. +. 0
e R
20 = 5 + 3+2
RB = RM 7 AH + RC 40= 20+ 12+8
2C2. Di recta linea (L.) secetur utcunque (in A _ F,) rectaneula quae 101a
e utroque seemento comprehenduntur (Z. A + Z. F.) aequantur quadrato torius,
(Z9.) Hoc est, Si Z = A f F, cst Z9 = Z A F L. P. Vet E TOt SIC 5, (C8
enta 3, 2: exIC 5X5 =-5X3 + 5X2.
25 = 25 + 10
4 LIL YZF.
2C2. Si recta (L.) secetur utcunque (in A, F,) Rectangulum tota e uno
seementorum comprehensum (Z. A,) aequatur rectaneulo sesmentis comprehenso
(AE) una cum praedicti seementi quadrato (A 9.) HOc CA, Si Z = A + F;
erit Z. A = AF + Ag: vel (i nUMeriS) E 5 = 3 = 2, Cxit 5X3 = 323
2. X 3.
(5 = 0 + 6
L
2. A = A4 F AF
4C2. Si recta (Z) Secetur utcunque (in A, E:) Quadratum totius (29)
comprehenso, bis s
X 2 = 3X2.
B
aequale est quadratis seementorun (A IL) unu cum rectaneule seementis
(2 A F. )  Ct st L = A FF; est Z9 = A9
FL9 + 2AF. vel (in M,) H 5 = 3 f 2. exit 5X5 = 3X3 + 2X2
29 = A9 F 2A R f F. 9
6. +
25 = 9 + 12+4

## Folio 124 — 851387705:0144
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000144.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
EL. II. LDCLIOTS. Cap. XXIII
C2. Si recta (Z.) Secetur in sesmenta aequalia (5, S,) e imaequalia (A, F.
vel 5= V, S- V,) rectanculum seementis totius inaquandas complenen am
(A F,) una cum quadrato rectae intet pancta sectionum (V :) aequatur quas
a
=E, (adcogle A - - S = V =S = L.) LNIE AL. F 9 = 59. Vel (in nu-
meris) (172 = 6 +6 = 8 + 4; adeoque 8 - 6 = 2 = 6 -- 4. Erit 8X 4 + 2 X 2
56X6.
arato dimidiae. (S9.) HlOc Cst, Si Z = 2S = A F F, sicque S L V
= AF. -
(C2 S recta (2F.) Bifariam secetur; eique adjiciatur in directum recta quae-
dam (X:) Rectansulum quod rota cum adjecta (2. F. + X quae dicatur Z.) es ipsa
aject X.) comprehenditur (T. X;) simul cum qudatalo dimidia (L 9:) aeque
 (A4) quadrato compositae ex dimidia e adjecta; (F. f R, quae allatuF A.
numeris) 113 F 3F 4 = 20, e 3 F 4 = 7: CritXOX4 + 3x3 =7x7.
Hoc est, si F F F + Z = 7, _ P f X = A: erit Z, X f F. 9 = A9. Vet Cin
 L.4.
10- -6 F 4
Ex + X9 -K9 L 2EN F 29 -29
F 4 -
12 + 76
1t
40 -+ 9 = 9. f 2.4 + 16 = 9 7 24. + 16 =40
Sed et haec cum praecedento sic conjunctim esterri porest. Si ab assienato in ea-
dem recta (uteunque continuata) punctoM, jumantur tum aequales utrinque re-
Eta NL, MN, ium punctum D ubivis: rectaneulum L. DV aequabitur differen-
tiae quadratorum rectarum AD, MIL. VeLND, M N. Ouod Sic ostenditur.
ML =M N dicatur S; M D dicatur V. Duarum isituT D L, DN, Cubicun.
que Tumatur D) alcera exit S F V (Cumma duarum S, V,) altera 5 e V) ditte.
renria duarum 5, V, ) uc letemacis inspectu patet. Ideoque
L N N
t

## Folio 125 — 851387705:0145
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000145.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
Cap. XXIII. CL.  B15.
t
LDRDN =8 in E = S9uV 9 =NL. quMD4.
VS
Ubi nocandum est S _ V incerprecandum clte nunc per S -V, nunc per V - 5,
prouc S vel V major fuerit, (hoc clt prout D vel incra vel extra puneta L, N,
tuerie altignarum,) e proinde Squ Vq illic erit S9 - Vq hic V9- 59. OF
mulciplicando patebit.
5 - V
59 + 51
ML. q - DNC
V9+ VS
= ∞
NDg = NL 9.
7C2. Si recta (Z.) secetur mcunque (pura, in A, P:) quadrata torius (Z. 9) 
unius ex seementis (Dura A 9) simul sumpta, (Z. 9 + A 9,) aequanur rectansulo
bis comprehenso a rota e aucloscemento (2Z. A) una cum quadrato reliqui seementr
=2L. P. Y X. Dc limilicer in numeris, quod experienci patebit.
2.
E
29-
+ A9
+F
A F F
A + F = Z
EA 2 A
A9 F ZAE F E4 2A9 F 2AF = 2ZA
+ A9
FEg + E9
29 = A9 = 219. f 2AE L E 9 = 2A9 + ZAF + E9 = 2ZA + FG
L
E4
A Y F = Z
X2V. X2 F.
A9 + 2AL. F EQ 2AF f 2(9 = 2ZF
+ A9
+ A9
C4FL4 = A9 F 2AC +219 =A9+ 2AC F 2F9 = 271. + A9
8C2. Si recta (Z.) Secetur utcunque (in A, F.,) rectaneulum quater compre-
Bensum a tota e uno ex leementis (Puca 4 Z. A) una cum quadrato reliqui seementi
(F9) equatur quadrato compositae a tota e praedicto seemento (O: Z + A.) H0C
est, Si Z = A f F; erit 4 L A F F 9 = G: Z F A: = Z 9 + 2L A + A9 FF
(eadem ratione) 4Z F F A9 = O: Z. F F. Ec in numeris pariter.
Z = A f. F.
X 4 A
X4 A
4Z. A = 4 A9 + 4 A F
+L9
P. 9
2 A f F = Z L A
2 A F F =- Z L A
+A9 F 2AF
F 2AF + F. 9
+EA + Eg = 4d9. f 4AF F E9 = 4 A9 f 4AF. + C9 =9: Z. + A.
Z. = A f F.
A F 2F, = 7 + F
A  2F = Z L F
A9 F 2AF
+ 2AF. F gF9
(L. 9.) Hloc est, S Z = A + C, CrILL9 = A9 = 2 Z A + F. 9; IIEM L9 + FC
L
4Z F. = 4AL.  4C9
+14 + A9
A9 + 4C= a+ 4aC F 419 = A9 F 4AL. f AF9 = 9: Z + F.
DC2. Si recta (Z.) secetur rum in segmenta aequalia (S, S,) rum inaequalia
A = S ] V, F =S--Y;) quadrata inaequalium seementorum (A g + V. 9) sunt
dupla quadratorume dimidia e e recta inter puncta sectionum, (259 = 2 V 4.)
HIOC

## Folio 126 — 851387705:0146
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000146.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
F. L. II. F. DCLFVIS.
Hoc estu Si2 =5 + S = A F P. e A = 8 F V, L =6 t. eu A9 +F9 =
A9 = 0: 5 f V: =59 f251Vc
L. 9 =- 9: S - V:
SV + V9
A9 F L4 = - = 259 + 2V9
ap. XXIII.
25GY LV 4.
adjiciatur; quadratum compositae ex tota e adjecta (C: 2. F. + X: = Z. 4) e
quadrarum adjectae (X 4) simul sumpta, sunt dupla quadratorum dimidiae (2 F. 9)
 compositae ex dimidia  adesta (2G: F + X: =2 A9.) HIOC CMt, Si 26, + X = L,
ec F F X = A; eric Z 9 F X9 = 2F.9 + 2 A9.
29 = O: 2F + X: = 4Fg + gEX f X9 O: F. + X: =Eq FZEX f X9 = A9
X9
74 + X9 =
Xe
E9
  F 9
AFq. F AE.X F 279 dupl: 269 F 2L. X F X9 = Ag. L F9:
Sed ee hanc cum praecedente sic conjunctim otterre licer. Si ab assionato, in ea
dem recta (utcunque continuata) puncto M, sumantur tum uirinque aequales re-
Etae I. M, MN, tum punctum D ubivis: duo simul quadrata rectarum L. D, D N
dupta sunt duorum simul quadratorum rectarum DNI, NI N, vet DNI, ML. HOC
clt DL. 9. F DN9 = 2ND9 F 2NINq =ZNDg F 2ML. 9. Ouod sic osten
dicur. ML. =M E dicacur S. e D dicatur V. Duarum isitur DL, Det, (ubicun.
que Tumatur D) altera erit S. ] V (summa duarum S, V,) alcera Sa V (ditte.
rencia duarum S, V.) uc schematis inspectu patet. Ideoque
T. M N
SF V: = 59 F 2SV f V.
LO: So V: = S9-- 2SV L V9
DL9. F BN9 = 254 + 2. V. 9 = 2N L. 9 + 2ND4.
OBi notandum est Si V interpretandum esse nunc per S =V, nunc per V -5.
prouc S rel V major fueric, hoc elt, prout D Fuerit intra vel exera puncta L, N.
Sed quadratum urrobique cantundem erit, ut musuplicando patet.
20C2. Si recta (2 F.) secetur vifariam, eique recta quae dam (Z) indirectum
3
LV
Acque hactenus decem primores propositiones secundi Elemene Fuclidis demon-
3t 23a
Hrarimus Arichimetice. Leliguae quae luperlune quatuor, arichmecice iem demon-
Etrari possune, sed altumptis in auxilium aliis quam qua adhuc exposuimus princi-
Dus Geometrieis, quibus itaque impraelenriarum superledendum duxi. Sed et alix
Dallim apud Fuclidem (aliosque) provostiones occurrunt Geometrica, quae hu-
Julmodi calculo Arichmerico facissime demonstrantur. Sutticit autem pralenti no-
Atro insticuro specimen in paucis extribuille.
pa
equat

## Folio 127 — 851387705:0147
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000147.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
et
Cap. XXI
DE GEODL
e A P.
A +L
Geodaesia Paralleloerammi Rectanculi; Obliquaneuli;
cujusvis. Mensuratio Frianeuli Rectaneuli: Obliquan-
suli; cujusvis. Mensuratio cujusois sieurae rectilincae.
Mensuratio fieurae resularis. Mensuratio cireull, ejus
que portionum, sectorum, es sermentorum. De circuli
guadratura, eratione perimetri ad diametrum. De
sieuris mistis. De ficurarum metamorphosi.
Scendimus (in Capite 22) mechodum Parallelorramma Rectancula MENSU- DeCeO-
randi, e incer se comparandi. Nempe Paralleloerammi Rectaneun cujusvis dae sia Pa
area, aequalis est quantitati quae ex duarum rectarum cirea
aneulum rectum, invicem ductu emereit. Ve, Ci lacicudo A = 3
ducatur in longieudinem B = 4 eiBErBit ArCA AB = 12. A.
deoque, verbi gracia, Rectangulum lacum 3 pedes, de longum 4
concinet pedes quadratos 12. Ouod eriam liquet in Parallelo.
Brammo apposico in 22 spacia quadrata diviso, quorum singula
latera Linc (puca) Pectalia
Acincerrosabitur Fortan, Cur hoc ad Parallelogrammum Rectangulum restrin. D
satur; cum idem videatur dicendum de Obliquansulo. Puta,
li lineae C, D, circa angulum acutum, (vel cciam C, F
cirea ansulum obcusum,) inricem muleiplicentur, quarum
altera (Ic 3, altera 4 pedes lonra; emeroit numerus 12:
iptumque Parallelosrammum Obliquangulum in cocidem
spacia dividitur aequalia, quorum item lacera Cinsula con-
rineanE (puta) Dedem unum; non minus quam li cllet pa-
rallelogrammum Rectangulum.
Relpondeo; Posse quidem P aralleloerammum, etiam Obliguaneulum, in totidem
spatia aequalia  similia dividi, quot indicat mutua multiplicatio laterum duorum
circa ipsius quemvis ansulum constiturorum; exumque spatiorum latera esse aequa
lia, (puta unius pedis singula) non minus quam si paralleloorammum fuisset Re-
Etaneulum. Sed neso spatia illa esse pedes quadratos, aut quidem cocidem qua-
draiis pedibus aequalia wut quaruor tineis pedatibus terminentur sineula. Lio
nempe sune, non quadrata, proxier obliquitarem ansulorum, cum quacrata ome
(ex detinitione) linc rectansula. Sed e quadratis minora TUnE, propter candem
obliquitarem: quod ipsum evenic in aliis paralleloerammis omnibus, sire aequila-
tera line, sire inaquilatera, hoc elt, sire linc Phombi sire Rhomboidea; minora
nempe lunc quam si etsene rectangula, quamvis iildem lineis terminata. Quod sic
demonstro Geometrice: (quippe cum de Solo sicu agitur, qui ad Geomecriam pecu-
liaricer actinet, demonstracio arichmetica vix locum habet.)
Sic parallelosrammum Rectangulum AB, eique Tloverimetrum Obliguanoulum
DC, ita ut lacus DB sic uerique commune, de DG ipsi D A aequale, (reliquaque
latera sibi oppoticis parallela e aequalia.) Ouamris autem
lacera BC, DG, parallelosrammi obliquanguli, sinc ligilta-
eim aequalia laceribus BF, D A, parallelogrammi Rectan-
Suli, (ee religua religuis;) et tamen iplum parallelogram.
mum Obliquangulum D C, minus Rectansulo AB, aequale
quipre Rectangulo HIB. Producatur enim lacus C C ad
HI: criegue GH = CF, (quia tam CG quam FHI aequa-
rur ip(i BD, oppotico lateri in ueroque paralleloprammo; e, eadem ratione, HD
FB,) _ DG = BC, (sed ec anguli ad B, C, H, aquales angulis ad D, C, LI,)
aequale ettixicur criangulum D HC, ciansulo B FC, (eique consruit;) quorum
et
rallelo.

## Folio 128 — 851387705:0148
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000148.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
E. CF F. O I A. S L A.
PrIONI SI aCICALUE CONMHHE LCgmentum B D PG, tic parallelocrammum rectaneu
lum IIB; sin posteriori, tic obliquangulum CB, quod igitur ipti II B aequale elt
_E PFOPEErCA INUS quam AB, quod crat demonstrandu. Et limiliter procederet
demonstracio in parallelogrammo quoris obliquanguto
PATCEIBIEUE F2 Rhombos Parallelogrammi propoliri Obliquanguli DC, minores
este cocidem Ouadratis Rectansuli, AB, ucuc tam haec quam illi quacernis lineis
pedalibus terminentur.
Si quaeratur inluper, Duid impediat quo minus menturas exprimere liceat per
Rhombos aeque ac Ouadrata. Relpondeo, Magnicudines explicandas else per men-
Turas certas, (secus enim de magniudine non conttabit,) ideoque per Ouadrata
pocius quam per Rhombos. Cum enim Ouadratorum omnium anguli recli linE
adleoque inricem aequales, dato illic lacere de magnicudine constabie; Rhomborum
autem anguli cum possine majus minutre obliqui esse, dato latere non tamen de
magnicudine constabit,, quxe quidem major minorre erit, prouc obliquicas minor
majorve fueric. Non isiur Khombis sed Quactracis porus decerminandae sunc fi.
Surarum magnicudines.
Addo tamen, si non de Phombis utcunque sumpris, Sed de Rhombis in certo
quoris obliquationis angulo, asatur; non minus certa est Rhombi menlura quam
Ouacrati. Verbi gratia, in oblonso CD obliquangulo non minus certum clL tOL
Pedales Rhombos, in eodem, cum ipso oblonso, inclinationis angulo, concineri
quoc in oblonso Rectansulo AB concinentur Ouactraca pectalia; (propter latera
urrobique sigillatim aequalia.) Fic quidem propolitiones illae omnes qua luperiue
(ex Fuclide) demonstrantur de Ouadraris es Reerangulis, non minus valent de
Rhombis e Rhomboidibus in codem quocunque inclinacionis angulo. Ouod gui-
dem nocare maguo esse potest ului Geometris.
Patet aurem, ex jam dictis, methodus menturandi Pa
rallelogramma Obliquansula. Non quidem ex ductu DB
in BC, sed DB in BF vel in DH. Cum enim, ue modo
demonstratum cst, Paralselogranimum Obliquansulum CD
aequale dic Rectangilo HB; cadem erit utriulque area sen
magnicudo. AC ex ductu DB in BF, vel in DEI, habetur
area rectanguli HIB (per ea qua dicta TunE Cap. XXII. y
erso e Obliquanguli CD.
Paralle- HOC CAt, Si in Paralleloerammo quolibet, (sive Rectaneulo sive Obliquansuloy
feerammi a latere quovis ad oppositum ducatur perpendicularis, eaque in eorum utrumvis
cujuso mulcipticetur, prodibit Paralleloerammi ared.
Eeodaesca. Arque hujus quidem operationis rario, praeterquam quod jam fuerit demon
Straca, hinc lacis incelligi porest, si adverramus, quod, li in parallelosrammo quo-
vis (puta CB) unum aliquod ex laceribus pro lonsicudine habeatur (pura DB,)
ejuldem lacicudo aestimanda exit non ex linca uteunque transvertim ducta (ua
enim lacicndo eltet plane incerta, es modo major modo minor dicenda, Drout il
lins craniversa linea ad arbitrium sumpexe minor majorve tueric obliguitas) sed
ex linca directe sive perpendiculariter cranseunce; puca non ex linea inclinata
DO vel BC, sed BF vel DF Fc quidem si suxponacnr altereulus, in illa
torma constiieus, lonsicdinem habere D B quantameunque, ejus laticudo non
aeltimanda eric (ne quidem usu communi) quanta est DC sed quanta est B F
aliare ejusmodi recta perpendiculariter ducta. Duxe quidem ut transeunum
omnium elt breriltima, ita sola certa est; cum qua oblique transeunt, pro Vd
riaca obligcitate, rariane etiam lonsicudinem.
Acque haec de magnitudine parallelogrammi dixisse susticiat. Nempe, S P arallelo-
erammum comparare libeat (non praecise ad quadratum, se d) ad Qua dransulum aequi
laterum, (sive quadratum fuerit, sive Rhombus,) quod exposiro P aralleloerammo sit
aequianeulum, hoc est, pariter inclinatum; ducenda funt invicem duo latera ad eundem
quemlibet aneulum consticura: Si vero Paralleloerammum, utcunque inclinatum.
ad solum duadratum comparare placeat; ducendum est latus quodvis in rectam ab
eo latere ad latus oppositum perpendiculariter ductam. Oui quidem duo rectarum
inricem ductus, in parallelogrammo Rectangulo, tantundem valent; in Obliguan-
Sulo, non item.
duae autem de Multiplicatione jam dicta sunt, e de Divisione (mutatis mu-
tandis) intellicenda sunt. Quippe quod Mustiplicatione confisitur, id Divisione
dissolvitur.
Paralle.
quaneula
Ceodaesia

## Folio 129 — 851387705:0149
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000149.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
Cap. L
DF CLDDSI
dissolvitur. De isieur ex dacis longicudine de lacicudine, (sive in Paralleloeram.
mo rectanoulo, live obliguansulo,) habetur arca mulciplicando: lic ex dala dlca
cum lonsicudine, habetur lacicudo; vel ex data area cum lacieudine, hrabetur lon
Situdo, diridendo. Acque de Parallelogrammis hactenus.
Cum aurem Ccodatiam jam lim asgreltis, hoc clt, mensurationem Planorum;
opera precium erit cuiam alia breVItI aCTExere qua eo Spectanc, ue cocum illud
plana menturandi negocium, Calcem prouc pexlencis insticuri racio postulat, ab-
solvam. Illud vero, quancum Cuperelt, menturatione Prianguli tere cocum per-
ticieur.
EIt aucem Friangulum (inceltise ficuram planam tribus rectis terminatam Mensurd
vel Rectansulum, cujus alter ansulus est rectus (nam plures esse recti non pol. sid Trian-
Tunc;) vel Obliquansulum, cujus omnes ansuli sunt obliqui: Hoc aucem, vel sul
Obcusanculum, cujus unus aliquis ansulus (quippe plures non polunt) obcusus
est; vel Acuranculum, cujus ansuli omnes sunt aculi.
AgorediaE PrimO, Priangulum Rectansulum. FIt autem omne Friangulum Frianeul
Rectanculum, Paralleloerammi Rectaneum dimidium. Si enim Parallelogrammum Rectan-
Rectangulum quodris (puca A D) diagonali linea (CB)
sececur, dividitur illud in duo crianguta (ABC, BCD,)
UE PaEE; quorum ucrumque elt Rectanoutum, (propter
ansulos ad A e D rectos;) sed ee invicem aequalia,
(Propter angulos aequales rectos ad A de B, e latera rC-
spectire aequalia;) de prourea ucrumlibet parallelogram
mi dimidium. Ec concra, Si Friangulum Rectangulum
quodibet (puta A B C) duplicetur ia nempe ut latera
Sll.
secundi cirea angulum rectum line homolosis lateribus prioris parallela, de latus
reliquum urique criansulo commune, tiet rectangulum paralleloerammum. S
enim sumatur lacus C D aequale ee parallelum lacerr AB, e similiter BD laceri
AC, (quae proprerea convenient in angulo recto ad D,) habebitur crians a
expolico simile de aquale, complens parallelogrammum rectangulum.
Flis politis; cum ex jam dictis innoceseat area parallelogrammi A D, innocelcee
etiam area crianguli ABC, quod nempe istius elt dimidium. PH autem arca
Parallelosrammi AD, quancicas producta ex ductu laceris AB in AC, puta AC
x AB; adeoque area crianguli (quippe illius SemitsiS) E AC X AB. Vel, li al.
ticudo AC. dicatur A, ec Batis AB dicatur B, erir area Parallelosrammi AB, area
Frianguli = AB. Ideogne
In Trianeulo Rectaneulo, si laterum circa anculum rectum, du.
catur alterum in alterius dimidium, emersit area Friansuli. Cuippe
dimidium area parallelosrammi. Atque hinc quidem ex datis tri
ansuli rectansuli lateribus circa anculum rectum constituris (qua
rum alcerum Batiu, alcerum Alcicudinem extribet,) mulsipticando coenoscitur ejus-
dem area.
Conra verO; Fx cognitis area e laterum eorum uno, innote seit
alcerum, dividendo. Nempe, si duplum arcae (AB) per alcicudi
A) AB (B
nem diridatur, habetur Balis; sin per batin, habetur alcicudo. B) AB (A
Puta A) AB (B. B) AB (A. Acque de Priangulo Rectangulo
tractenus.
a Frianguli Rectanguli calculo dependet. Demicta enim ab ansulo quoris in la- Obl1.
tus oppositum perpendiculari emergunt duo Priangula Rectangula; ex quorum quaneuli
caleulo cognoseitur area Prianguli expolici.. Exempli
Gracia, In triangulo BBC, ab ansulo C demilta perpen-
diculari C A, (unde tinne ad A anguli ucrinque recti
emergun criangula rectansula C AB, C AB. Si isitur
Ci A dicatuT A, AB dicacur b, AB dicatur B, e BB dica
cur B = b F B: erit (per modo demonttrata) = Ab arca
crianguli C A B, ZAB area crianguli C AB, ideoque
AB +
Hoc elt.
AB = = A B area torius CBB = C AB + C AB.
Trrsuli Obliquansuli (lire Acuransurum s ere Cocrargutum,) caleulus rrianculi
Si trianculi cujusvis ulad sive perpendicularis a verrice ab basin) ducalus
t Sermssem Basis, (vet Basis in semissem allicudinis,) emereic area criansal.

## Folio 130 — 851387705:0150
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000150.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
=
AB
Nocandum autem est, quod in trianeulo Obtusanculo, si ab utrovis acutorum an-
sulorum demittatur perpendicularis (ut nempe angutus ille acutus, puta B, habea-
tur pro vertice criansuli, ec laterum breviorum alterum, CB, pro bale,) perpers-
dicularis illa (Duca BP.) cadet extra expositum trianculum in basin productam;
(quod Creometrice, li opus lu, Facile elt probacu:) inrariata tamen praececentis
regulae veritate; quae quidem hie Subductione collisitur, licur in praecedente ex-
emplo Additione. Ouod lic oltenditur.
Friansuli BF. B rectanguli (propier angulum rectum adF, demilsa vervendi
culari tactum,) area habetur ex ductu alticudinis BF in Z P B, lemiem basis:
Trianguli vero BF. C (pari de caula) ex ductu ejusdem altcudins BF. in L F. C
Temissem balis fux; Ilorum icaque triangulorum ditterentia, quod est ixtum irian-
sulum BCB expolicum, Cs ZF BXBF. = Z F. C. XBF., quod tancundem est arque
ER. B = ZF C. (hoc CA = CB) in BF. (NaM F. B - F. C = CB, ideoque : L B -
SEC = ECB, ve) E. B = EC
Semilsi alcicudinis in balin ductae.
E.). Iaque et hoc pacto emerget area aequalio
ZF. B- ZF. C = = CB
XBF.
ZLBRBE =ZECKBF = E CBXBF.
Sect et idem aliter oltenditur; (Acque eadem opera, non modo Friangulum re.
Etangulum, quod modo dictum cAt, Led ee Trianculum quodvis rectilneum esse
Paralleloerammi dimidium.) Si Friangulum expolicum BCB (sive Rectangulum,
lire acucansulum, live obculangulum) Cuper bali BB consticurum (ita nempe ut
perpendicularis a verrice cadat intra Priangulum) inscribatur Parallelogrammo
Rectansulo luper eadem bale, eandem item alcicudinem habenti cum iplo crian.
sulo, nempe DB. Cum enim criansula rectangula C A B, C AB, linc ligillatim x.
qualia semiltibus parallelogrammorum AD, AS; erit d aggregatum illorum, hoc
Clt, Friangulum BCB, semilti torius DB parallelogrammi (ex duobus AD, AS,
aggregati) aequale.
Sin exrra criangulum cadat perpendicularis (quod in triangulo Obtusansulo
tieri posse diximus) illud idem oltendicur hoc pacto. Completo parallelocrammo
BCB7 (ductis nempe B7, B7, laceribus trianguli BC, BC, parallelis) crunc duo
criangula BCB, By B, inricem Cumilia et aqualia, et prope
Grammi semisTis: AF paralselosrammum illud aeguacur rectangulo, alciciidine BF.
velyc, e bali CB vel By, comprehenso (uc supta oltentum elt,) erso Friangulum
ejuldem semissi aquatur: nempe semisti quancitacis factae ex ductu balis C. B in alci-
cudinem B F, vel quancitari factae ex duetu semillis balis in coram alcicudinem, vel
semissis alcirudinis in coram balin; quae omni cancundem ralent; quippe
Trianeuli
cujus vis.
EBXBL
=hCBKBF. = CB~L BF.
Patet isitur unirertim emodus tenturandi Lrianculum quodvis (live Rectan.
oulum sive Obculansulum sive Acucangulum) Nempe, a quovis ipsius aneulo de
missa in latus oppositum (productum, li opuS,) perpendiculari; harum rectarum
(IciL. perpendicularis, ec dicti lateris,) si altera in alterius semissem ducatur, prodi-
bit area Trianguli. Contra vero; Si areae duplum per earum rectarum alteram
dividatur, habetur reliqua: puta Si per balin, haberur pervendicularis sive alcicudo:
Nensu- E per aleicudinem, habecur batis. Aeque de Frrangulis menturandis hactenus.
ratio si
Eutae c-
jusvisre
etilinea
Expolica jam mechodo menturandi quodvis Cire Parallelogrammum sive Frian-
sulum; eadem opera et tisuras alias rectilimeas qualeunque menlurare docuimus:
Talrem E illud addacur Preuram quamvis rectilineam vel in Paralleloeramma di-
vidi posse, vel saltem in Trianeula: Six quorum igitur caleulo, proposicae tigurae
calculus stacim innoreseit.
Exempli

## Folio 131 — 851387705:0151
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000151.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
DE GEOD ESTA.
Exempli cracia. Fieurarum appolicarum alcera in eria Ouadrata se unum Pri
angulum arviditur: Alcera in quacnor Friangula. Ouae s Teortim menturen.
tur; illorum ascresacum priori, horum polteriori tisurae aequatur. Acque codeM
Cap. XX
proctus modo laciendum eric in liguris quibutris mulcansulis, praetercim irregula
ribus; resoluta scilicet ligura multangula in tot paralselosramma vel triangula
quor tigurae ratio poltulat, ee prour Caleulo magis ridebitur expedire; quod cu
jusque prudencia permictendum erie.
Si vero tisura menturanda, quoccunque demum habuerie latera, Regularis Sit; Mensu-
hoc elt, quae cum omnia latera invicem aequalia tum omnes ansulos item aequa ratio fi
les habeat: Calculus sie commode poceric incticui. Invento sieura regularis centro,
(quod de circuli sire inferipei lire circum seripei cencrum elt, ut ex principiis Geome Cularis.
erieis liquet, ee d singulis laceribus aequaliter dictans;) recta a centro in latus quodvis
perpendicularis, si in semiperimetrum multiplicetur, fieurae recularis aream exhibebit.
Exempli oracia. Sic Seranoulum reoulare (puca agulacerum ee aequiangulum)
circulo InSCTIPEUM. A CCNErO C adt lacuis quodris DF. agacur perpendiculariS C B
haec ducta in semissem perimetri sexanguli vel hujus semusts in perimetrum, ex
hibet corius aream. Nam, ductis cruribus CD, CR, Formacur Cangulum CDF,
cujus area est CBX Z DF, vel ZCBXDF, (UE CX
calculo criansuli Cuperius cractico liguet.) Tiem
ductis insuper ab eodem centro C ad reliquos
sexansuli ansulos cocidem rectis, constitueneur
EOF criansula quot funt tigurae latera; cruntque ea
lingula criansulo C D F. aequalia per 4 _ 8C. T.
(propter cum aequales rectas a cenro, quippe quae
lunc radii circuli ambientis, tum aequales icem re
etas in ambicu figurae, uc quae supponitur aequila-
tera:) tories itaque repetenda erit praecedens
menturatio, quoc Cunt tigurae latera, quia tOC C.
rune criansula inricem aequalia; puta CDF =
C F F, _c. figuram incegram complentia. Hoc
elt, in expolita figura sexangulari, area crianguli C DF. Lexies repetita, extribet
TOtIUS areaM, puca SCBXZDR vel ZCBXSDF
rel CBX3 DE; ducto nempe L C B lemille perpen
diculi, in perimetrum sDE; vel berpendiculari
CB in lemillem perimecri zD L. Aeque limilirer ta.
de eteluterenca contulune angulos. Omnes
cienaum erie in alia quaris tigura regulari sive plu-
rium lire pauciorum laterum.
Ouod aurem de tigura regulari rectilinea di
etum elt, idem de de circulo dicenaum est. Fltenim
circulus fieurarum planarum omnulit maxime reeu-
ratis; omnes enim a cencro ad celimterenciam li
nea quortumcunque ducta aeguales lune, e aequales
mersta

## Folio 132 — 851387705:0152
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000152.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
Cap. XXIV
CuE, in appotuo schemate, Occosonum Masis quam Pecragonum; es pariter in
aliis.) Ouod si figura regularis supponatur lacerum numero intinitorum, circulus
exic. P’erinde enim est sive P et eriam circuli uniea linea curva constare dicamus,
Si itague circulum consideremus tanquam tieuram planam maxime regula-
rem, laterum numero sntorum; omnelque ansulos, linea a centro ad pCrI
Pheriam ducta tactos, urrinque aequales constiui,
ideoque rectos, (ut nos alibi, ubi aneulum Con-
tactus ex Semicirculi cractamus olLindimuS,
rectamque a cenero ductam perimerro perpendicu-
larem: duantitas producta sive ex ductu raciir in
semicircumferentiam, sive semiracii un circumse-
rentiam, erit area circuli. Puta ZCDXDE FD,
Vel CDXZDH FD.
Conita aurem methodo menturandi circulum
inceorum, innoteseit etiam mechodus menturandi
porrionem circuli (arcu et recta una pluributve
comprehensam.) Nempe, uc Z CD in cotam
DCTIEEUM D E P D dat aream corius circuli; sic
cadem : CD in DE, perimetri sexrantem, dat aream sextantis circuli; puta Secto-
iSDCE; cademque ZC D in D F, perimetri crientem, extribet aream irientis cir-
culius puta sectoris DCF. Er similicer de Sectoribus aliis, qui areu quovis e re-
etis duabus in centro C cocuntibus terminancur, judicandum crit.
Sesmen- Sin mentirandum eset Segmencum D F, B, arcu D P. rectaque D B P. comore.
rum.
alatura
hentum. Coenita mentura Sectoris DC t, si inde auteratur arca triangulI DFC.
quod reltat elt area segmenci minoris DF. B. Aeque hoc quidem segmentum mi-
nus, (I ex incegro circulo auteratur, relinquet majors lesmenti arcam P FDB.
Denique, Si alia quaecunque circuli poreso arcu et rectis urcunque polcis con-
tenca, menturanda proponatur: id tiet, Sectori, luper arcum illum constituto,
addendo vel anterendo criangulum unum aut plura, prout res postulaverit. Puta
di quod rectis F. D, DC, CF, e arcu FF concinetur, menlurandum lic; Scctori
ECF, addendum exic eriansulum F. D C. Et limiliter alibi.
Ouod autem de circuli mentura jam dicirur, aut segmentorum, non ita intel-
lectum relim, acti jam diu quxesicam circuli quadraturam hic doceam. Veuc enim
Machematice verum lic, Aream Circuli parallelogrammo quod lemidiametro e le
micircumterentia continetur aequalem else, (quod ab Archimede demonstraris con-
venit:) Racio tamen Radii ad Perimetrum circuii, ita ut uno coenito alterum
innoceleat, nondum reperta elt numeris explicabilis, ne quidem irrationalibus,
(Forralse nec reperienda, de quo alibi a nobis tusius dictum clt, in nostra srith-
metica Insinitorum:) neque etiam Geometrice Regula et Circino extribenda. Ouod
cum se invenisse putaverine, post alios, Josephus Scalieer, Severinus Lonsomon-
tanus, ee nuperrime Zhomas Llobbes, immortales tibi inde cinsuli laudes deberi
circularis commiantes, mire hallucinati suInE. Oux autem vulso recepta elt proportio leu
ad dia. racio perimetri circularis ad luam diamctrum, quaeque a rera non multum abest,
MAt cripla sequiseptima, Sive uc 22 ad7, aut 37 ad 2; quod ab Archimede jam
olim demonstrarum elt, (nempe minorem esse quam 37, majorem vero quam
3 12.) EAtque haec ratio laris accurata quae rulsaribus menturationibus applicetur.
Siquis aurem accuratiorem quaeras poterit ille d Fudovico van Culen, W illebror do
Smellio, aliisque qui rem illam tractarune, pecere; vel, si malie, suo calculo in-
veltisare, uc proportionem habeat quamlibet accuratam, modo non Machematice
exactam. Sed de circulo ejusque portionibus hactenus.
Slquando tgura menluranda occurrat mixra, Cire rariis lineis circularibus, vel
surae min in tiguras mpciores dividendo; et per parres menturando. Oi, in schemate ap.
DOTuo; ue habeatur area tigura exterioris, areae quadrari, addendae lunE quacuIOr
lemicirculorum arece; L’isurx irem interioris area, coridem LemieirculIS Cx aFC
quadrati subductis investisatur.
DF CFFOD F SFA.
sive eris numero infinitis.
que fisurae reculares, quo plura habent latera, eo propius ad circulum accedunt:
Secto-
m.
De Cir-
che qua
Ratio pe.
imetri
trurt.
Mensu-
ratiosi etiam circularibus limul, ee rectis, terminaca; inrestisabitur ipsius area, eandem
Nonnun.

## Folio 133 — 851387705:0153
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000153.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
a
DE CTEOD ESI
Nonnunquam vero sola Figurarum Mecamorptiosi res erit Pacilitanda. VE, Si De fieu-
menturanda sic tigura Peticoides dicta (linea Temicirculari concara BCD, e dua-
bus quadrantalibus conrexis, AB, AD, cerminata,) aequabitur illius area vel area
quadrari ABC. D, vel Parallelogrammi BDP P. Pancundem enim sive Oua
draco sive Paraltelosrammo ex una parce accedie, quantum ex allera parce au-
Fextur.
Ec similicer, Funula A E DF quae areu qua-
drancali AF D majoris, e semicirculari AFD
minoris circuli continetur, aequatur criansulo,
ADC quadranti inseripto. Oc ex Fippocratis
Chii quadratura Lunula nocum est: et appo.
Sico Schemace exhibetur. PTam propter AB9 =
(AD9. F DB9 =) 2A D 9 adeoque semICIr-
culum majorem minoris duplum; Crit AD F sC.
micirentus aequalis quadranci ACDF; dempco.
que communi sexmenIO ADE, relicua lunula A F. D F retiduo criansulo ADC
aequalis.
Fr limilicer alias non raro Paciendum eric. Ouod breviter insinuale sutticiac.
Aeque hoc quidem omnino urile est in figuris maxime irresularibus, quorum am-
Dicus neque rectis neque circularibus lineis cerminatur. Sufticit quipue practico
Geometrx, si quam fieri porest proxime, hic addendo, illic cancundem detrahendo.
ad huic aequalem rectilineam redueae. Ouod quo tat, consilium in arena capiendum.
Acque tactenus quidem universae prope planorum Geodaesix fundamenta brevi-
ter tradidi. Ouo, cum Musciplicationis cum Diritionis exercitium oltenderem;
rum Aritimetices in cicometricis ucilicacem, et viriusque simul seienriae astinica.
rem patclacerem.
Ci AP. XXV
Numerorum invicem comparatio. Aliarum item quantitatum: sed nonnisi
invicem homozenearum. Comparantur tum quoad Differentiam, tum
quoad Rationem. Flarum comparationum ab invicem discrimen. Dif-
ferentia subductione investigatur: Ratio, Divisione; sed ea tantum quae
est quantitatum homorenearum. Duantitatum ad heterogeneas Applica
tio, quatenus ad Divisionem referenda sit. Rationes ones vie hom-
genea: non item omnes Differentiae, Ratio an ad quantitatem, un potius
ad Dualitatem pertineat. HINNOrS, quid. Procressio Arithmetica C
Geometrica: Continua, Cs Disjuncta. Proportionalium notatio. Pro
portio Tlarmota.
cies, sire pocius Parres; Additionem, Subductionem Mulciplicationem, d
Divisionem: quibus, uc intlrumentis, quae deinceps cradencur sunt perapenda.
Finc
ta
orphose.
erum
PRadidimus, in Praecedentibus, celebres illas Arichmeticae Practicae sIve Spe-

## Folio 134 — 851387705:0154
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000154.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
DUA NTETATNM
Numero. Einc autem oritur duplex Numerorum (vel etiam aliarum quarumlibet quan-
cicacum homogenearum) inricem comparatio. Alcera secundum Differentiam
alcera secundum Rationem live Proportionem. Illa Addlicionis et Subductionis,
Elxc Mulciplicarionis _ Dirisionis nacurae maxime est actinis.
Duo aurem has numerorum inricem comparationes rectius insticuamus, scien-
dum est Primo; cum quae nos de Numerorum invicem comparatione jam lumus
tradituri, tum qua P uelides per cocum librum quincum de Magnicudinum ad in-
ricem ratione cradie; non Numeris Tolum aur Magnicudinibus compecunt, led et
aliis quibulris quancitatibus. Duicquid scilicet vel per le vel per accidens quan-
ciratis aue menturationis capax elt, catenus etiam adt alia libi homogenea compa-
rari potest, cum quoad disterenciam, cum quoad rationem; quippe quibus aequale
CHe porelt aut inaequale.
Sciendum secundo; res inricem comparandas este secundum commune quiddanr
quod urrisque comparandis inell, auc quidem inelle lupponitur; non aurem juxta
quicquam quod illis vel alceris vel uirisque est alienum. EE propterea quanti.
tates non nisi homoeeneas compatandas esse, et quidem prout lune homogenex.
Sic lineas lineis comparamus, e luperticies luperticiebus, corpora iiem corporibus,
ec numeros numeris, ponderaque ponderibus, alialque quaneitates non nisi quan-
cicacibus sibi homogeneis. Siquis aurem concrarium técerit, pura darae linex ad
daram superticiem, vel cemporis ad lineam, ecc. rationem live proxortionem in-
quirens, vel etiam unius super alterum excettum: idem hoc erir acsi, qua siverir
quot linea constimane superticiem, vel quantum temporis aquetur linex, sive
quor lonsitudines efticiant lacicudinem; quod non minus absurdum esset quam si
quaeratur; quoc Colores conscicuane Sonum, ee quor Soni constuuane Gravicatem.
Hloc ipium camen sciscitari videntur nonnulli de rebus hujusmodi parum inrelli.
senter philolophances, dum lineas ex punetis constare Tommiant, de ex lineis su-
perticies: Nescientes interim se idem ascre atque si numeros omnes ex ciphris.
live nullicacibus, componi attirmarehe: quippe punetum nihil habet congicudinie,
nec lacicudinis linea.
Sciendum potro, Res homogeneas, e compatationis invicem eapaces, compa-
rettram raet posse (juxta illam qua homosenex Tune mensuram) dupliciter. Vel enim
cum quo- simpliciter de Dilterentia sive excestu quaritur; scilicee, Num inter se ditterant
ad Ratio- ec Ouancum ditterune; An _ Ouanco alcerum altero majus elt aye minus: Vel de
Ratione; pura quocuplum vel quancuplum (it hoc illius; num hoc illud conci-
neat lemel, bis, Ter, ecc. aut lemel cum semille, bis cum criente, ec. Veroris mo-
do comparatorum, alterum Intecedens diei Colet, alterum Consequens: quorum
quidem illud Relatum est, hoc Correlatum: Nempe illud, cujus ad alterum relatio
exponitur; hoc, cui illud sic relacum perhibetur. Puta si A ad B comparatur;
A dicetur Ancecedens, B Contequens, dum scilicet A dicitur majus este quam B,
vel minus, rel aequale; auc etiam A iptius B duplum, criplum, lemissis, _c.
Priori quaelico Patistir, si oltendatur res comparatas aequales esse; vel, si inaequa-
les, quanro haec illam excedu, vel hanc illa. Verbi oracia. F inca bipedtalis cltbi-
pedtali aequalis; e numerus binarius binario; ejuidem icem rei ( rel etiam aqua-
lium) semisses sunc invicem aequales; e paricer in aliis. COnTTA VeTO; numeruS
crimei. Octonarius senarium, es hic inidem quacernarium, duabus unicatibus superat; li-
nea cripedalis bipedali est uno Dede lonsior; quadripondium quam cripondium est
uno pondo gravius; acque in ZIIIS pariter.
Secundo quaelico Paristie, ubi ostenditur Duocuplum seu Ouancuplum sit hoc ad
illud comparatum, Eive quam rationem (uc dici loler) vel proportionem habeant
inter se. Hloc modo dicimus, quadripondium bipondii duplum esse; numerum
Tenarium binarii triplum; lineam eripedalem bipedalis selquialceram; unitarem bi.
narii semilsem este, auc lubduplam, auc etiam dimidium; binarium icem binario
aqualem esse, vel in ratione auc proporrione limpla; ee pariter alibi.
In priori, ubi de Ditterencia lire Lxcestu quaericur, Rationis live Proportionis
nulla rario habetur: In posteriori, de Rarione lire Proportione quaeritur, Ditte
rencia interim minime considerata. Sic quaternarius cernarium, ee ternarius bina-
rium, eodem Lxcettu luperont; sed non in eadem Racione: excellus enim urrobi-
que ct Unitas; at ratio illic Selquitertia, hic Selquialtera. COnITa VerO, quater-
narius binarium, et binarius unitarem, eadem Proportione Tuperant; led non co-
dem Excellu. FH enim proportio sire ratio urrohique Dupla; ac excessus iltie
quidem Duarum unitatum, hic aurem Vnius.
PriO
compe
alia
quanti-
tatum.
Sed tan-
um
mosenea
rum.
ad Disse.
Tum qud-
nem.
compara
tionum
ab inva
cem dis-
Fiutum

## Folio 135 — 851387705:0155
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000155.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Cap. XAV. INVICEM CIOMPARATIO.
Prioris quae siri solucio, Subductione investigatur. Si subducacur enim numerus Differen
ex numero, quod reltac elt lexcelliis sive ditterencia. Ita li Cx T2 auFETANEUE 10, tia Sub-
reltane 2; duabus icaque unicacibus, hoc ille major clt, hrie illo minor numerns ductione
Si ex cripondio bipondium auteratur, excelliis reperitur esse Unius pondo. Nem investi-
Der si peracta subductione nihil vel lupertic vel deticiae, Aquales lune illae quan. sacur.
cicates: sin secus, inaquales; quippe Major illa, ubi aliquid redundat; MinOi,
cui aliquid declt, quo minus alteri lic aequalis.
Polterioris (olurio Diridendo invellieneur. Divitionis nempe quociens octen- Ratio in-
dic rationem Diridui ad Dirilorem. Sic (i 12 per 6 diridaneur, prodibie Ouori vestiea-
ens 2; cur cognominis ratio Dupta, illa est quaM HabCL RUIerUS 12 ad 6. TIEM F D-
quadr. pondium est bipondii duplum; quia Si 4 Pondo per 2 pondo dividaneur, visconc.
prodibu quoriens 2: quippe locies hoc illo pondus Continet. Et prOpterCZ
Obi quosientes invicem aequantur, ibi e quantitates sunt in eadem ratione consti-
ruta. Ouippe Ratio ex Quoto celtimatur; adeoque et ex horum aequalitate aequ2li-
TaS CarUMI.
Verum incerim nocandum est; de illa tancum Divitione jam agi, qua quanci, sedea
tas per aliam quancicarem sibi homogeneam dividitur: (quippe homogenearum ancum
rancum quanticatum est ad invicem racio.) Oua Ouoriens lemper sic numerus, vel quanti
quid numero homogeneum, quod qualtioni duot vel Quories relpondear. Sic racio tatum
4 A ad A (sire lint illx dux linea, vel dux superticies, vel duo pondera, vel dua homoce
aliae quaecunque quancitates homoseneae,) est quadrupla, quia A) 4 A (4; nempe nearum.
GuanEIEaS 4 A, GULANCILatEM A, Continet quater. Sic ratio 3 A ad 2 A clt sesquial
tera, ea nempe qua est 3 ad 2, quia 2 A) 3 A (3; nempe major minorem continet
e ricibus, sire lemet eum semille, sire cories quories 3 continet 2. Sic ratio ie
ctanguli V B ad AB cs X, quia AB) VB (Z; nempe rectansulum VB cories
continet rectansulum AB, quories recta V continet rectam A. Sic ratio 6 ad 2 clt
tripla, quia 2) 6 (3. Racio 6 ad 4 est sesquialcera, sire ea quae 3 act 2, quia 4)6
= +Z. St
V(V. Hcinaliis limiliter.
Acquehinc est, quod racio alcerna non ubique obrineat; sed solum in quatuor
proporcionalibus homogeneis. (Ouod nocant interpretes ad 26C5.) Puta, si SIE
Dondus A ad pondus B, uc lincaa ad lineam B: non camen diei porest, pondus A
ad lincama, uc pondus B ad lineam B. Ob causam jam altignatam. Ideoque quo-
cielcunque de proporcione alcerna, seu permutata asitur, (aliare quae hanc invol.
vic;) haec semper Cubincellivenda est caurio, etiam li non difercis verbis adjuncta
Tuerit. Dua de re plura dicencur ubi propoticionem illam Euclidis 16 c 5 iracta
bimuS.
Ea vero Divitio sirc Axplieatio, qua, verbi gracia, rectangulum AB applicari De quar-
dicitue ad lacus vel alticudinem A uc proveniat batis B, vel COntra; nEMDC A) AB citacum
(B, vel B) AB (A; vel eciam qua Colidum AB C applicatur ad planumBC ut ad Bete-
proveniac latus A, rel ad rectam A uc proveniat planum BC; nemDe BC) ABC Applica-
geneas
A, vel A) ABC (BC; aliaeque hujusmodi; nonnili raraxensiucis Diritiones vo. tione-
cancur: nec praesenei negorio sunt accommodae. Ouod enim prodie, Quotiens pro. quid sen-
prie non est, nec quaestioni quot aur quoties responder. Ouippe quae de numero tiendum
quaeric (aut quod numero est homogeneum) non de magnicudine, aliave quan-
citare numero heterogenea. Nec quidem Applicationes illae, ad Divisionem, alio
nomine videntur reterenda, quam prour quancirates illae lingulae ad instar numero.
rorum contiderantur. Non enim quaeritur, quocies linea A in superticie rectanoula
AB COntINetIE; auc queties vel A linea, vel BC planum, continet in solido ABC:
(quippe hoc omnino cset incOngrUUM.) Sed, quories numerus puta quadratorum
in area parallelogrammi AB, concineat numerum lonsicudinum in latere A, ut
proreniat numerus lonsicudinum in latere reliquo B. Lcem, quoties numerus eu
borum in solido AB C concineac, vel numerum lonsicudirum in recta A, uc b2.
beatur numerus quadratorum in ba(i BC; vel numerum quactracorum in bali BC,
uc habeatur numerus consimeinum in recta A.
Sed de ubi magnicudo aliqua numero dividicur, Duca 2) A( = = 3 A, nOn tam
dirisio est (Palrem quae praesenti negorio conveniat) quam mulciplicatio; (nem
De quancitas A non cam diridicur per 2, quam mulciplicatur per Z:) quipppe non
GuaTICUI, quories numerus 2 CONIICacuE in magnitudine A ( quod ab lurdum eltet)
sec

## Folio 136 — 851387705:0156
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000156.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
Omnes in
vicem h0
mosenet
QUANYFTATUM
Sed datae quantirari A, alia in data ratione quaeritur; quod Mulciplicationis est,
Pocius quam Divisionis opus; quippe quae in Mulriplicatione Ratio dacur, in Diri.
Tione quaeritur.
Acque hinc patet, Rationes omnes, quarumeunque ad invicem quantitatum, esse
inter se homoseneas. Veut enim, verbi sratia, L inea e Pondus, line res plane he-
terogenex, nec rationem ad inricem habeant; Racio camen Linea ad Lineam, e
Ponderis ad Pondus, sunc plane homogenex; puta rario linex bipedalis ad peca-
lem, ee Bipondii ad pondo, homogenea lunt, umo eadem ipsa rario, puta dupla:
nam li instieuarur Dirilio, erit utrobique quoriens 2. Frquidem dum quaerenti,
Ououplum sic hoc illius, respondetur, Duplum, Friplum, Duaceuplum, Selqui-
alterum, Sesgnitertium _cC. tancundem est acque li quaerenti, Ouor ricibus hoc il.
lud continear, respondeatur, Duabus, cribus, quatuor, una cum semisse, una cum
criente, exc. Acque hoc perinde sire de lineis sire Superficiebus tire aliis quibulris
quanciracibus inricem hoOgeneIS quaTaTT. Ex quidem ubi non distinete indica-
cur anories, sed per circuicum, eodem camen res recidit. Ntam li dicatur candem
eseracionem, verbi gratia, solidi V Bg ad AB9, qua elt rectae V ad rectam A:
de numero tamen respondetur, nempe tories V Bg continere Tolidum A B q, quoties
recta V conciner rectam A; ucur non distincte dicacur quories vet hoc vel illud
Frac.
Arque hinc quidem amplum emersic discrimen, inter duas quas diximus quanri.
tatum homozenearum comparariones. Duamris enum tam quae quoad Disterenti-
am, quam quae quoad Rationem, insticurtur comparatio, non sic nisi inter homo-
geneas: quae tamen ex comparatis homoseneis emersit Ratio, cum Ratione qua
ab aliis inricem homogeneis, sed ad priores illas hecerogeneis, emergit, comparari
Potest uc quid homogeneum; quod incerim in comparatione quoad Ditterentiam
non obcinci. Prempli gracia; Si comparacur quodd rationem quacripondium ad
bipondium, ratio elt dupla; li linea quadripedalis ad pedalem, racio clt quadrupla:
quae rationes inricem comparari poltunt; nempe hac illius dupla est. AF, si quo-
ad ditterentiam inltituatur comparatio; Ouadripondii et bipondi, difterentia est
Bipondium; Linex quadripedalis e pedalis, ditterentia elt linea cripedalis: Ilarum
vero Ditterenciarum nulla pocerit comparatio instirui (vel quoad ditterentiam vel
quoad rationem) cum linea eripedalis, es bipondium, sinc quancitares plane hete.
rogenex: altera in genere Linca, alcera in genere Ponderis.
Discrimi. Causa hujus discriminis haec est; Ouoniam ubi comparatio instituitur quoac
niscansa. Dilterentiam, Relidua sire Fxcellus ejuldem semper lune generis cum comparatis
(quippe tocum ee pars sunt inricem homogenea;) adeoque si haec bina compara-
ea, sinc binis illis heterogenea, cciam horum ditterentia héterogenea erit disterentia
illorum, et proxrerea comparationis incapax. Ubi aurem comparatio tic quoad Ra-
tionem, quae emersit ratio comparatorum genus non raro deserit, de trantit in ge-
nus numerotum, cujuscunque line generis qua COMpATANTUIT; _E ProPterCA, UCuE
bina comparaca binis compararis aliis heterosenea sine, ratio tamen rationi ho-
mogenea est, ut compararioni locus (Ic. EF quidem cum duplum se dimidium,
triplum se riens, dec. perinde pro rationum nominibus habenda sinc; dimidii au-
tem ee rientis noca 3, 3 numeris (Fractis) accenscaneur; quidni de dupli, criplive
nOrX Z, 2, vel 2, 3. AIque hac pocistimum de causa, cgo roram Rationum doctri-
nam Rrichmeriex porius quam Geometricae speculationis esse autumo; cocumque
luelidis Elemencum quincum Arihmecicum esse, utur speciatim de Marncudini-
bus efferantur propolitiones, quae interim non minus recte de Ouantiratibus Cum-
plicicer quibulvis etterri poltent, quo sensu apud Euelidem erredu incellisenda
Tunt.
Forcalse aucem dicendum insuper erit, comparationem quae est quoad disteren.
tiam, limpliciter ad Quantitarem nosomra reterendam este; at quae quoad Ratio-
Onanti- nem, ad Qualicatem noionra. Fo enim relpicere videtur qua apud Fuclidem extat
tatemre- Rarionis detinirio, Noyos 63I SuO pEgEdCr Quogerior n X= RIMSTTa EoPOS NAna NoI oyEor
5. CHLCHuH Hota orcorS reddatur quaedam habitudo, (quod TolenE inCErpECLES,
litatem. non video; mallem habicudo qualitativa. Oc enim tigurae Maenitudo (quanra sic)
d Ouancitarem reterri Colet; at Species tigurae, lineaere, (qualis Lic,) quae in tex
minorum, partiumre homologarum ratione ad invicem maxime contiltit, ad Quali-
tatem (quartam nempe iltius speciem:) quidni ee in praesenti negorio limiliter Fa-
ciendum lic; uc nempe comparacio quae elt quoad Ditterentiam dicatur comparatio
Quant.
Rationes
Sec NOn
item
disseren
tiae.
Disse-
rentia
spicit, ro
10 O

## Folio 137 — 851387705:0157
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000157.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
C ap. XXV.
TAYTCEM GOMPARATIO
Duantitativa; at quae secundum Rationem, Qualitariva. Unde, ex rarionum iden. squali
TICaLE, non tam Oritur Aqualitas (qua Duancicacum eA astectio) quam Similitudo, tas quan
quae Oualicates magis quam quancitares respICII. Per mamsrra veco id incelligi Licatum
quod nos Quorientem dienuIS.
ese ido
F X dictis itaque paret, Ouid sic quancicates invicem homogeneas, cum quoad L. X qualita
cellum live Dilferenciam, cum quond Racionem sive Proporcionem, inricem com- tun
Parare. Nempe illie quaricur, Ouanco sic hoc illo majus, vel coucra; cui Subdu-
cendo Pacistaciendum ct: hic, Onocuplum vel quancuplum lit hoc illius, vel hu-
jus illud; cui Cacistaciendum elt Diridendo. IHic excellus prodit, Cire ditterenca;
hic guocS, SIVC FaLO.
F.X duplici aurem hac sive Numerorum, sire quancitacum quarumlibet homOBC ppoeres
nearum, comparatione; duplex oritur, quae tradica ct, Procressio; quarum alcera
si0 du
Trithmetica diciur, altera Geometrica: (nominibus, credto, mere ad placiTM UM. plex
poticis; cum ucraris perinde Aruchmericam Cicomeertamre specter; qua tamen
cum hactenus obcinuerine, per me immora Funco.) Prosressionem aurem dicere mal-
lem quam vel Proportionem vel ProperionalitateM, (QLANQUaM NON IBROTE VOCES
has non minus quam illam, de Cortan lapius, apud auchores hoc sen su OcCurrere;
ea porissimum de cauta vE vOCUM quorpia VICCTE. Nam PropOrtiO nON FarO vel
apud Machemarieos non cam aranoriar, quam nbyor rationem ligniticac, de quidem
jam fere obcinet ut ratio de proportio Machemacieis promileue WluxpenEuE, aliIS verO
scripeoribus rationis vox lioc sentu rarius occurrat, led eo sensu in communi lo-
quela proportionis rox ue plurimum ulirpetur quo apud Machematicos RatIO. PrO-
portionahtas aucem, ucur de procrestiono Geometrica minime displiceac, ut quae
cancundem valear, an camen ad progreltionem Arichmecicam ita commode reteren.
da sic, haud mihi constar. Ourppe Proportionalitas, vi vocis, proportionum LaNCUII,
hoc cstrationum, comparationem videtur innuece, non item differentiarum. Ouod
vero nonnullis placer, ut ee differentia vocec ratio Arithmetica, (de Racio Lim-
Pliciter sumpra, ratio Geometrica,) non mitii admodum placet, cum abzor (svera-
tionem live proportionem, libeac incerpretari,) non nili de ca, quam vocant ratio
nem Geometricam, apud Euelidem ulurpari video, neleio an apud Vecerum quem-
vis alium; quod ee de proportionis voce perinde incelligendum ridetur. Cuim vero
mos ille loguendi jam obcinuerie nos etiam eadem nonnunquam uremur tormula:
Arichmecice proporcionalia appellaneo, quae lunc in progrettione aruhmetiea, con
Pticura.
Progrectio Arichmerica dicitur, ubi numeri plures (aliaere quancitates invicem Proeres-
homosenex) aequalibus ditterenciis (sive excestibus sire defectibus) proccduHE. sid A
OF2. 4. 6. 8. _c.  3. 5. 7. 9. _c. _ COnEra
ecc
rithmeti-
Progrestio Geometrica, ubi plures numeri (aliaere quantirares inricem homo. Progres-
genea) eadem (vel aequali) ratIONC SIVC PEOPOECIONC DEOSrCdIUNEUT. OI2. 4. 8. sio Geo-
26. 32. etC. e 3. 9. 27. 82. 243. dec. e 8.
2
18. 27. _c. _ COntra 32, 26,8, 4, metrica
Sec. e paricer in simlibus. Or enim progrestio Arichmerica, aequalicarem Ditte.
renciarum spectat; lic Geometrica, tationum sive aequalicatem live idenciraum
dicas, sive etiam similicudinem: Unde illic communis excessus sive differentia,
d
hic communis ratio sire proportio, progrestionis speciem decerminae
Plarum autem Progrestionum ueraque (cum Arichmerica cum Geomerrica) est proeres-
vel Continua, vel Disjuncta, (sive ditereca, dilconcinua, interrupra;) IIIa pti soest vel
quantirates concinue polita aequalibus auc dittereneiis aur racionibus ubique proce. continua
dunc. Haec, uhi eadem quidem ditterencia auc rario identidem redic, sed non con-
tinve. In illa, quilibet terminus incermedius cum ancecedens est cum consequene
communis tire diflerentiae sire rationis; In hac, non irem. Sic
3532, 5, TF, vel
E, 5, 7 5, 3, lune in progrestione Arutumeriea concinua (vel, li libet, Acichime.
eice proporcionales continue,) quia quilibet numerus illic ancecedentem, hic conte
et 0, 2L;5, 2. Tunc in progressione
cl 32. 26, 8. 4. dc. lune in proorectione 6c0.
eadem proerettione Geomeliica, lu lcerrupca; quippe secundus primum, e
QuarCUIS
etdis-
ncta.
THLEI, BIarIO TIPCraL. AC3, 5; 9.
CT
Arichmeriea disjuneta sive interrupra contticuri; nam eodem excessii secundus pei
me ce Guactus cereium luperac, ac n ercius secundum. Ft pariter 5, 3:
Eodem modo, 2. 4. 8. 10. 32. Cc.
29, 17. Tunc in eadem progreltione Arichmerica, sed incerrupta
mecriea continua; quippe illic numerus consequens ancecedenti luo est ubique in
ratione dupla, hic dimidia sive subdupla. AC2. 4: : 3. 6:: 4. 8. lunc quidem in

## Folio 138 — 851387705:0158
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000158.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
DE PROGRESSTONE. Cap. X7
.
quartus tertium, e lextus quincum eadem ratione superant; sed non icem cerrius
secundum, vel quincus quarcum. Similicer, de 4. L: : T2. 3. dicendum clt, qui
quidem numeri sunt Geometrice proporcionales, sed non continue.
Tt quidem (quod semel dictum elto) hujulmodi lire numerorum sire quantita-
tionali. cum delignacio A. B:: C. D, in sequencibus (xepiltime incellisatur quancitates de-
um nota- Cignare proportionales (Geometrice incellise) lalcem disconcinue; nempe qua ra
tione A ad B, eadem de C ad D. Flujulmodi aurem A. B. C. D. -:: nocabic caldem
esse continue proporrionales. Progrelso alte ee AbL Opus clt, Lic DO-
terit notari A, B; C, D; vel, l concinua fuerit, A, B, C, D.
Atque hactenus cum duplicem quancicatum inricem comparationem fatis aperu.
isse videamur; cum uriulque prosreslionis, Arihmetiea scilicet d GcOmelsCa,
naturam, quas in sequentibus capitibus tulius prolequar.
Proeressionem aurem live preportionalitatem Flarmonicam vel Musicam dictam,
tio Tar- cum ad leopum nostrum minus videatur perrinere, omirendam centui. La vero est
(liquis quae lic Seire desiderat) quando in quatuor terminis est ut primus ad quar-
rum, sic differentia primi e secundi ad differentiam tertui e quarti. Puta SI A. D::
B - A. B- C. HOC ett
8
D = D. Erunc illae quancicates A, B, C, D, harmo.
nice proporrionales. Sic numeri 5, 8, 12, 30. quid 5. 30: : 8 -5 = 3. 30 - 12
= 18. Seu    = 2-. Vel etiam, tres quantitates Fharmonice proporcionales
30- T2
3C
sume, si ut prima ad terciam, sie differentia primae e secundae, ad differentiam se.
cundae E tertiae. Puta A. C:: B = A. C = B. HOC est
pB
B0C = ∞: Frunt, hOc cali
cres A, B, C, Flarmonice proportionales; vel, si libet, quacuor A, B, B, C. Sic n-
meri 3, 476, Vel 3, 4, 4,6. Nam 3. 6: : 4 = 3 = 1. 6 = 4. = 2. hoc
Sic T. Z, L. L 2 RC. Tunt continue proportionales FCarmonice. Nam Z. 3: : 7-
6. 2:: 6 - 3 = 3. 3 - 2 = 1. Et sc In exterIs. Ec univertaliter.
A- E A F + (: A + L. A - - 2).:-
E
a A
A. F T. A - +. Ouod innuisse suRiciac.
A- A F s- X A f F -- A = 1
AFla in A = i A m A + F
Gi A P. AAVI.
Progressio Arithmetica variorum problematum familia
rium solutione explicatur.
DE Ariihmetica Progrettione concinua, solene hujusmodi provoni Problemata,
aliaque mulca his limilia.
= Daro termino primo, de communi cerminorum exceltu; cerminum ulcimum,
arith. aliumre in progressione quemlibet, investisare.
meticam 2 Daco cermino primo, communi item excestu, eE numero cerminorum; sum.
spectam mam terminorum omnium invenire.
3 Daco termino primo, cum exceltu communi, et alcerius cujusvis termini valore;
invenire quoto loco in serie terminus ille reperitur. Vel (quod perinde est) dato
termino peimo, e ultimo, cum excetu communi; invenire numerum terminorum.
4 DatO TETIMINO DEIMIO, EE UITIMO, CUI NUMIETO IETIIMOTUM; COIMUNEM CX.
celtum investisare.
Dato numero terminorum, cum cerminorum omnium ageresato, et exceltu
communi; prunum terminum invenire.
Per terminum primum jam incelligo (quod ee deinceps incellisatur) cermi-
num minimum; ec per ulcimum, maximum. Ouamris enim progrellio, sive
crelcendo live decrescendo tieri poltic; ego tamen tanquam crescentem considero,
acque eo senlu quae dicenda lunc incellecta velim. Et propterea, siquis ea decrel-
centi seriei accommodare relir, id tier mutatis tancum his rocibus primo e ul-
cimo: Nempe quae jam de primio crescenus dicuncu, illie de cermino ulcimo de-
crescentis
Propor-
1i0.
Propor-
monica.
Proble-
mata
Progres
sionem
1a.

## Folio 139 — 851387705:0159
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000159.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cap. 2I.
ARITHMEETCA.
crescentis seriei incelligenda crun; quae hie de ulcimo, illic de primo. Quod
remel dictum esto, ne laepius opus sit utrumque calum scortim provonere.
txempli gracia. 2. Siquis irer conticiens ambularerie primo die 3 milliaria, Solvun-
sccundo 5, cerrio 7, e sie deinceps, diurnum iter quocidie augendo binis millia tur.
ribus; Guaericur quoc milsiaria ambulacurus cAt die Dccimo :
Ouomam singuli dies polt primum, addum incrementum duorum milliarium:
mulciplicetur numerus dierum polt primum, nempe o, in communem exceltum
2; e produetum 18 ==9 x 2, adcatur icineri primi diei, exiique 2F = 18 F 3 nu-
merus qualicus: ioc nempe milliaria contecturus est die decimo.
2 Si quaracur inluper, Ouor toro icinere ambulareric
Addicis cermino primo ee ulcimo (ita uc jam dictum est invento,) ducatur
Tumma in numerum cerminorum: producti diidium est numerus quaesiCuS. Pula
+ 21 = 24; e 24X 10 = 240; hujus mumeri semistis, 120, cll numerus mil-
liarium eoro decem dierum itinere contectorum
3 Si quaeratur, Onoco icineris die ambularerie L5 milliaria 3
Ex numero altisnaco 15, auteratur cerminus primus 3; ec reliduum per com-
munem excellum divicatur: quod prodic, indicat quoc diebus polt primum ambu-
laveric. Nempe 15
3 = 12, e 2) 22 (6. Septimo isicur dic, (sire post pri
mum (exto,) ambulancur milliaria 15.
+ Si ambulaverie primo dic 3 milliaria, decimo 2r; e quaeracur communis ex.
cellus.
Dematur ex termino maximo minimus: quod restat dividatur per numerum
terminorum post primum; Ouod prodic est communis excellus. DemPC 21 = 3
= 18. X 9) 18 (2. ergo communis exceltus est, duorum milliarium.
5 Si cocum icer milliarium, 120, sic diebus x0, contectum, quoridiano incre.
menco duorum mulliarium; ee quaeratur primi diet Her.
Dividantur 240, duplum numeri milliarium eoco icinere contectorum, per nu-
merum dierum 10; prodeunt 24, summa milliarium dierum primi ee ulcimi con-
junetim. Ducantur inluper o, numerus dierum polt primum, in communem ex-
celtum 2, e prodeunc 18, exccltus tocus termini ulcimi supra primum. Ouibus
dempris, ex prumi ee ulcim asBCCs AIO 24, reltanc 24 = 18 = 6. Hlorum lemiltis,
3. es iter primi diei
PorTO; Ponamus alium exire die quinco, de aequabili irinere progredi. Ouaeri.
tur, quor illum oporceat milliaria quocidie conticere, ut codem TEMBOTC CUI PrX-
cedente idem iter contecerie.
Cum ex 10 dicbus, ponancur clapsi 4. restanc 6. Cum ixicur diebus 6 con-
Fecturus sic iter milliarium F2O; facta divitione 6) +20 (20, prodie numerus mil-
liarium quolibet dic conticiendorum, nempe 20, uc eodem die cum praecedente
idem contecerit iter.
Exemplum aliud esto hujutmodi; cum nocum sit horolosium hora post meri-
diem prima Conicum X edere, Secunda 2, tertia 3, _ SIC deinceps: GUXTAEIT, GuOE
edat lonicus, duodecim succedentium horarum spacio. Vel ctiam, quot ab hora
cerria, ad horam nonam. Aliaque limilia. Ouibus quasicis, eodem quo Cupra
modo lacistaciendum crit.
tiem, Si ponamus 20 lapides iia collocatos, ut primus abtic uno milliari, se
cundus duobus, tertius tribus, et sic deinceps; oporteat aurem aliquem hos om-
nes lapides sigillarim alterre: Ouaritur, quoc ille milliaria contecturus sic prius.
cundum, 4; ad cercium, 6; eec. Communis excestus cst 2; idemque terminus
primus: numerus aucem terminorum 20. Cumque etiam idem sic cerminus pri
mus ee communis terminorum excettus; ducto excectu communi in numerum
terminorum, habecur cerminus uleimus A0 = 20x2. cui si addatur cerminus pri
muS 2, eric g0 + 2 = 42 extremorum aexresatum; quod ductum in numerum
terminorum, dat 42 X 20 = 840 duplum cocius icineris; (vel agoresacum ductum
in letruinumerum cerminoru aut dsfresari semistis in numerum cermInOrUI,
cat Iplu ICET; PuTa 42 X 10= 2LFZO = 420;) conticienda isicur sunc millia
Ei pari modo alia hujutmet Poorenala de Progrectione Arichmerica, et exco.
Sica e relolri tacile pocerune; rel eriam ex rulsaribus Arichmetie practica
libris
quam omtes acuittetl.
Cum ad primum lapidem cundo e redellu, allo llatla cunda sint; ad le-
ria 420, quo omnes illi lapides ligillatim alterantur.

## Folio 140 — 851387705:0160
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000160.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
DE PROCI
ASSTONF.
u.
bus immorandum elle non duxi. Sed HecM Jam caltuis Mecarum operario.
num rationes aperui, cum non sint adeo incricata, qui ponue e operacionum
Praelercim quod sequente capie cin L n ao POE PrOOCMa-
cum huc spectantium cradirionem demonltraciram aggreus s LIII.
libris depromi; quibus LC CXETCCTC POLCTHNE tIrOneS. NOBIS seceMCudis pluri-
Prichmericarum Luperius expolicarum natura Patis incellecta, vel a tirone, modo
advertente, latis percipi; unde e ipse inibi se exerceri non graracim feret: (ed
Frogressio Arithmetuu hascus Traantur.
Vo Prosrellionis Arichmeriex doclluam plenius aperiam, libet eam sequen-
Siguem aurem male habeat, qu ise acS S. quationum vel ordinationes
vel etiam Analyses, achibeam, priusquam illarum eraditionem docueriim, (2de7.
que methodi leses violatas cauletur;) Doceric ille cum hoc, tum sequenS CaDUE
EUM CTIaM Cap. 32, ec 33, vel pentus omitere, rel lalcem intermitere, donec
guacionum doetrinam cradidero; de qual ellent poltpolita repuitare
Duod aurem aegredior quo rectius tiac, haec lunco quibus su uturus sym.
bola.
Terminus minimus, quem primum appello, sic A; maximus, guem ulcimum
appello, sit V; communis exceltus F. Numerus Terminorum, F. Terminorum
quorumris ab invicem distantia, D. Fxtremorum (maximi et minimi) agoresa
cum Z = A f. V. corundem ditterentia X = V = A. Terminorum omnium sum-
ma vel 2goregatum S. Singuli autem, a minimo inchoando, dicantur a, b, 6, d, C, _c.
d maximo vero inchoando, dieantur an B, y S, e _c. Numeros, qui cujustibet
termini distantiam a primo indicant, Endibes appello, puta 0, 1, 2, 3, c. Alis
pramittis, leguunUE propotitioned.
tibus propolitionibus succincte, sed et perspicue cradere.
d
E Si continux proprestionis prichmetiex primus terminus seu minimus sE A.
erit secundus A E TerEIHS A L 2 E quarEuS A f: ZH, e sic deinceps quilibet
cerminus continue augendus est communi exceltu lemel addito. Nempe illud
postulas Arichimetica progrestionis detinicio. Puta a = A. b = a + F. c = A
 2 F _c.
2 Constat igitur terminus quilibet, ex termino primo seu minimo, cum com-
muni exceltu cocies addito, quot terminus ille sradibus a primo dictat, (ipso pri
mOnOn compuTaLO,) sire (quod tancundem est) cum excestu communi in In.
dicem ducto. Sequitur haec ex praecedente. Cum enim pro quolibet distan.
rix oradu exceltus lemet additur; tories addendus erit, quor lune distantix pra-
dus. Puta, terminus extuS f= A L DF = A L 5F
3 Dato igitur termino primo, cum communi tixcestu, de termini cujusvis n
Fienari Indice, sive distantia d primo; A, F, D; invenitur terminus altignatus.
Nemve A + D E. per praced. quod enim illie cheoremalice altienacus, huc pro.
blematice proponitur.
A3

## Folio 141 — 851387705:0161
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000161.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
CaD. R dIL. SLKCLAMCLICA.
4 Si cerminus uleimus sic V; erie penulcimus = E; ancepenulcimus V - 21.
quarcus d tine V = 3 H.; de sic deinceps quilibet cerminus concinue minuendus
elt communi exccllui lemel derracto. Id enim postulat detinicio. Onanco enim
quilibet locus progrediendo augetur, canto recrocedendo quilibet minvITuT. Puta
2F, ec.
Conttac ipiuu urminus quiliber ex cermino marimo, dempro rorics excestu
communi, quoc terminus ille gradibus ab ulcimo distat: (iplo incerim ulcimo non
COMPULaTO.) per Praeced. Puta, sextUS d tine E = V = DH =V
1
S Dato isicur cermino maximo, cum exceltu communi, ee cermini cujulvis
allienaci diltancia ab ulcimo; V, E, D; invenitur cerminus altignatus. Nempe
V = DF. per praeced.
7 Duo termno quoris, cum excestu communi, de cujusris altignaci termini
majoris a daco dictancia, (puca f, D, F;) invenicur cerminus aTignacS. (UL 2.)
Nempe cories addendo excellum communem cermino caco, quot alInatIS a, daco
gractibus diltat. Puta i = f f. DF. = f F 3F. Nam per det. vel prop. T. Pro Lin-
sulis gradibus semel addendus elt communis exceltus.
8 Daro termino quoris, cum excellu communi, ee cujutris assignati minoris
diltancia a daco; (Puta f, D, F;) invenitur actignacus. (VE C. ) Nempe cories
auterendo exceltum communem, quoc altienacus d dato gractibus d. Itai. Puta
= 3F. Nam per det. vel prop. 4. pro lingulis gradibus semet
auterendus est communis excellus.
 Dato isieur exceltu communi, cum terminorum quorumvis ab invicem di-
Stancia; F, D; datur illorum cerminorum difterentia. (Dura f -- c: vel i - f.
nempe DE. per PrOP. Z et 8. C PUL I = f=DF = 3F. Per PTOD, 7. _ f = C
=DF = 3L. Per prOP. 8. cranspotiris seilicet urrobique aequationum cerminis.
20 Data vero terminorum quorumvis ditterencia, cum corundem ab inricem
diltaneta; (pura F = C, D;) dacur communis excestus L; Diridendo seilicet ditte.
reniam per diltanciam. Nam cum licu verbi Scaciam fc = DE, per Praceden.
tem; eric
=E
E2 Tiem data cerminorum quorumvis disterentia, CuM, COMMNI eXCCIU;
Cf = C, F:) dacur corundem distancia D; Dividendo seilicer disterentiam per com-
munem excestum. Nam Cum SIE (per pFOV. O. ) f = C == DF; exIE
=D.
22 POrTO; Termini duo quiliber, cum duobus aliis ejusdem proorettionis qui-
bustibet, in cacm ab invicem diltancia potici, habene ec eandem ditterentiam. Cum
enim per prop. 9. ditterencia lic DE; li urrobique aequalis tuc, non modo P COm-
munis excectus, sed de distantia D; erir eadem utrobique ditferentia D F. Puta
I an b, 6, d, C, 5, 3 exit 
Z2 Et Conra; Si eadem tic uirobique disterenria, eadem est de utrobique distan.
tia. Nam si cum exceltus communis E, cum diferentia DF, sE utrobique aquIa-
lis; erit urrobique aequalis D. PUFa an b, 6y c er f,   6 = a = f - di erunt
an c, e f, d, aequaliter remori.
T4 ErgO etiam; Si ex cerminis quorvis in concinua proprestione Arichmerica
consticuris, seligantur quorlibet in eadem continue
ab invicem dultancia; erune de li in Continua. PrO. a, B, C, d, 11 363l, C9 .
Prectione Arichmerica consticuri. Puca (I a, B, C, d, c.
(78i B, 2, ten  erunt item cum a, 6, 6, 8, 1  cum
=; cum a, d, 8, k, ; cum
in concinua progrectione Arichmecica consticuri. Nam
aqualibus concmue ditterentiis continue creteunen
Pet PrOP. 12
a
5 Ec contra; si ex termunto sla Ceutlle progredientibus, selecti quotlibet
concinue icem prosrediunur; aequalibus ab invicem distanciis sumpri lunes pex
DCOD. L3
26 Dato exceltii communi, elta HAMLIO LCTMLINOrUI, L, L: IVENIIuE extC
morum dilserencia, X. F.s enim exrremorum diltancia unitace minor, qua nu-
meruo rerminOcuI; D = F = 1. _t paret. E1EO, per 3. X =Y = A =DL
7 F.V

## Folio 142 — 851387705:0162
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000162.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
DE PROGRESSTOHL CuPXXV
tur communis esceltus, L. Nempe, cum sic per praeced. X =DH = Y F = F
et
28. Ec Daca exremctum ditterencia, cum communi excelt; X, F: nabetur
terminorum numerus, T. Cum enim sit DE. = X, erit f = D = Y = L. FL
7 = 2
29. Daro termino primo seu minimo, cum communi excessii, et numero termi-
nOruM: A, F, T: habetur terminus ultimus, V. Cum enim, per 16. Z =-V = A
TF = C; erit V = A Y YF - B, vel V = A + DF.
20. Dato termino maximo, cum communi execllii, et numero terminorum, V.
E, F; invenicur minimus, A. Nempe sublata, ex maximo, excremorum ditferen-
tia, manet minimus. CuM erBO Per 16. X =DF =TF =C. Krit V - X =A
=V- TF. F K = V = DF.
2F. In continua progrectione prictmetica, si ex summa duorum quorumvis ter-
minorum auteratur progrestionis terminus primus; quod restat, cst proereltionis
terminus ille cujus a primo distantia Xe quatuF
iplorum d primo dictantiis simul Cimpeis. Sive
cujus Index aequatur corum Indicibus simul
Cumpris. Nam, per prop. 2. quilibet terminus
constat ex primo eum cor exceltibus quoc gradi-
bus a primo diltat: Frgo duo addiri Continent
primum bis, cum cor excessibus quoc lune ueri-
usque distantiae gradus simul additi. Hinc si sc.
= A + 7F = h mel auteratur primus; manet primus terminus
lemel cum roc excessibus quot Cune ucriusque
dictantia flacus uus aetcut, lOC est (per eandem Prop. 2.) cerminus ille cujus
diltantia est eorum distantiis simul additis aequalis. Puta terminus tertius c= A
+ 2. F, sexTIS s = A f S E, horum agoregatum 6 f f = 2 A = 7F; hinc lublato
A, reltat A F y F cerminus octavus, h: cujus d primo distantia7, x qualis est distan-
tis tertii ee lexti Cimul Tumpris 2 4 5.
22. Fodem modo; summa trium, quatuor, quinque aut plurium terminorum;
abjecto primo cor vicibus una minus; aequatur termino illi cujus Index elt corum
omnium indicibus sunul sumpris aequalis. Puta si dist. b + dist. d f dilt. 8 = dist. 1;
eri b + a f c- 2 a =1. Probatr ve pracedens.
dist. B f dilb. d F dist. e = dist. 1.
2
E7. Eq Data extremorum disserentia, cum numero terminorum; X, F: habe
aist: c. f dist: f = dilt: B.
aFC
24 - = +8F. =2
23. ErsO, S primus progrestionis terminus sit o espulaz vel nihil: duorum
plurrute  a aea elF iH Celmo cujus lndex elt corum In-
dicibus limul lumpeis aequalis. Scu Cx pIOP. 21, LL. Gla sublacio primi ter
mini A = 0, nihril immutat. Puta in ProgreltIOnC O, 3, 6, 5, 22, 25, cs6 f 9 = 15
quippe cusu a agua corum Lucicibus limul lumpris, 5 = 2 + 3
quilibet aquatur illi communis excellus mulciplo, quod elt Indici, sire a primo
distancix coenomine. Cum enim Per PrOP. 2. Sic cerminus quilibet A f D F; si
sIC A = O, CxIL A + DF == DF.
25. In concinua Prostemone Mmmetica, auor CeMO MCTentIX.
addacur cerminus primus; emersit cerminus cujus distancia a primo est eorum di-
ctanciarum irem a primo ditferentia aequalis: lire, cujus lndex aequatur indieum il.
lorum
2. Tiem, in ejusmodi progrettione (cujus primus terminus, elt 0) terminus

## Folio 143 — 851387705:0163
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000163.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. VI. Kulum.
lorum ditserencix: vel qui cancundem distat a primo quancum illi ab invicem.
Sequicur ex prop. 21. Si enim, verbi sracia, dilt: B - dist: 0 = dilt: s, hoc est, dilt.
B = dist. c f dilt. f; exic (per PrOP. 21.) B = 0 + f 2; erBo B - c + a = )
26. Si isicur primus cerminus sic 0; duorum quorumris differencia est cerminus
ille cujus index sire distancia a primo est il orum indieum ditterenciae aequalis.
Ouoniam hoc calu B - c =- B - c  a = f.
27. Trem, hoc casu, terminus ille, cnjus index agnatur duorum indieum ditte.
rencia, eltmulciplum excestus communis, indiei suo (live duorum illorum indi-
cum disserencix) cognomine. Cum enim indieum ditterencia octendat terminorum
distanciam; licque per prop. 9. ditserencia terminorum, D P (mulciplum excestiis
conomine distancia, sive indicum disterentiae;) eric terminusille, cujus index huie
indicum ditterencia aequacus, icem D P; quippe quae elt cerminorum illorum dit.
ferencia, per praeced.
28. In continua proprectione Ariitmetiea, extremorum aegreguum aequatuT
agereBao duorum quorumvis cerminorum aequaliter ab exFremIS utrinque TCMO.
corum; (Incellige, quorum unus a primo eor abelt gradibus, quoc alter ab ulcimo.)
Nam, Per PrOB. 2. _5; canco unus minimum luperae, quanco alter d maximo de
ticic; propter aequalem verobique diltancia. PULa C = A ] 2F, e 7 =V = 2F;
ergoc + y = A + 2F F V - 2E = A F V. EL lic ubique.
ubi MUCTuS TerMIT CHL IMpar, concingiE) terminus ille biS TumpEIS RequatuE
EXCTEMOTUM aBBTCBATO. Puta expoTILIS a, B, C, d, e : = erit a + e = 26. quia
AOGTCSACUIM exTremOrum aequatur appresato mediorum. Puta A, CL: L, V. Cuu
=Ly 1eC09; = C = H, _M F = A,
hoc estM = A L E; exit N I N - V F + A Y F =
quuntur) proporcionalium, datis cribus quibustibet datur de religuus. Cum enim
expoliis A, M; Y, V. lic, per praeced. A F V =M FN; eric (aqualibus ueringue
subductis) A = M + N = V, V - M + N A, M = A f V - N, N = A f V B.
20. Sin cerminus omnium mediis ab utroque extremo aequalicer diltet, (quoc,
C = a = e = C, DFOPtEE a Qualem HITOBIG, AMCAHCIAI. LacOGuCC F 6 = 4 1 6 -- 21.
30. Similiter in quatmor terminis Arichmetiex progrectionis incerrupEx. Nempe
enim, propter communem uerobique exceltum, sICM = A = V = N = F, ideoque
A ] L = - MI, d N - f. F = V, hoc et V -- F =N; CFIE M.
A
H. = A ] V. Vel expolitis V, N; M, A. quoniam
3F. ErSO, Ouatmor terminorum Arichmerice (ut lo- D
A, BI, N. 
Y = M + N = A
M =
∞ a A
= A + P + V
C) A, L, V.
12.
A  V-
L
M = A f F.
L - A + V
M, L,.
A= A +H 1.
32. Ex cribus aue  A POlettione continua constituris, AEPFC.
satum excremorum aequatur duplo medii. Ouippe terminus
medius, eodem excellu superat extremorum unum, quo ab al.
CerO SUPCTATIT. PUTA A, M, V : -. quoniam elt M = A =
V
H Cn AdCa fC = M = V = C, eric M + M = 2 M
N = A + F
=
1-
2M = a fY
33. L(80, ex tribus terminis concimue progrediencibus Arichmerice datis duo.
bus quibulvis dacur et reliquus. Cum enim, per PraCed. SICZH = A f V; exiC
2M - A = V, 2M - Y = A, N =
Datio

## Folio 144 — 851387705:0164
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000164.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
DE PROGRESSTONE
et te
A, M,
NI, V
7 = 2. M -
A = 2MI - V
34. Acque idem valet de tribus quatuorre terminis progrectionis Arichmeticae
ueur non immediace proximis, modo aequalibus urobique incerralsis distantibus.
Puta, (I a b,6, d, e, 538, 3. Cxit a f e ==26. NTam _Ca, C, C, = Der prOP. 14. Lrem
a +5 = 6 + d. de d. F e = b + 8. FL GC alibi. Nam a,C; a, f. Vel a, d; 6, f. _ b, c:
dy 8, Velb, d; cn 8. etC. Per PF. X2
35. Sed de praecedencium aliquor conversae paricer demonsrantur. Pura con-
verla pr. 28. In concinua proerellione Rrichmerica, (excepta tantum progrestione
aequalium, ubi exceltus ele ubique nullus, puta, 2, 2, E, L, _c. :=; qua _ deinceps
aliquories excepta intelligatur,) Si duorum intermediorum cerminorum asoresatum
acoregato extremorum aequetur, lune illi ab excremis aequaliter uerinque remot:
(hoc est, quoc gradibus intermediorum alter ab alcero extremorum, cor religuus
a religuo distac.) Puta in prosreltione an b, C, du e, f,8, == HIC F e = a L ∞, TOri-
dem gradibus diltanca, c, aique e, s; item an e, aique c, 5. Cum enim quanco duo.
rum C, en alter major elt quam a, tanto alier minor sic quams, (lecus enim agere.
Sata non ellene aequalia,) distantia urobique aequalis crit, Per PFOD. 13.
36. Et converia prop. 29. Si termini alicujus intermedii duplum aequetur 28-
Gregaco extremorum: aequalicer ille ab. viroque extremo diltat. Probatur uE Pra-
Cedens.
27. TIeM COnVerS PrOP. 32. Si uniustermini duplum aequetur duorum agore.
Bato, erit ille medius Rrichnccieus inter hos. Nam, nisi aequalibus disterentiis ho-
rum cum alter major sic cum alcer minor, quam est exposuus, non constaret aequa-
litaS.
38. Similiter et COnVKIa PrOP. 30. Si bini binis cimul sine aquales, crune illi
quacuor termini Arithnerice (ut loguuneur) proporcionales. Puta li A F V =
AI NI, quanto horum alter puta M, Luperar alterum illorum pUTa A, tanCO BO-
rum reliquus ab illorum reliquo deticie; (nam nili excellus et detectus se mutuo
perimane, non constabic asgresatorum aequalicas:) Fdeoque M - A = V --V
F
HrgO A, MI = A F L; N, V =- N V F. Vel lic, quia A. ] V, ==MI F N; crit V =- M
+ N- A, _ V = N = M - - A1 ErGO, per det. A, M; N, V. Sed e codem aro
enEO M, A; V, N. vel V, N; MI, A. Item, cum sic V =M f N - A (uc dictum
CAt) eric cciam V = M = N = A; Ideoque V, M; HI, A, ec M, V; A, N, vet A, B;
M, V. Acque hinc sequicur, non camum 
139. Si quamor termini line arichmerice proporrionales, Tunt ec inverse proPOr-
tionales; (Incellige, si A, M; B, V. vel N, V; A, ML, CUM MI, A; V, N, vel V, N;
M, A.) quod ex ipla detinicione sequitur. Nam S in alteris sE aequalis exceltus,
in alteris erit aequalis detectus; adeoque utrobique prosrestio Arichmetica. Sed e
40. Si quatuor termini sinc Arichmetice proporrionales, sunt e alterne (permu-
cacim, viciltim,) proporcionales. FIoC Ost, s A, ML: N, V, idCOqHC A F V = M f N
eric A, N; M, V, uc ostentum est prOP. 38. Tcem N, A; V, M, ut ilidem, ec prOP. 39.
4T. Tiem si Arichmerice proporcionalium vel primus et cercius, vel secundus et
quarcus, aequaliter vel augeanCuE, vel inuanEuT; manent achue Arichmecice pro
Porcionales. Puta, l A, M, N, V, hoc est A, A ] P; NV, N. Y F; eric cciam A, NI ] B:
NI, V + B, hoc cMt A, A Y R. Y B; N, N. J F J B; Nempe illic communis exceltus
elt k, hic H, F B. Trem A F B, NP = A J Fi; N. F B, V = N + R, ubi commu
nisexcestus elt F =B. FI, pari de cauta, A FB, M + C, N F B, V FC; Ex pariter
in similibus. Ouippe qui pritis etat communis excellus, utrobique vet pariter au-
secur, rel pariter minuitur, adeoque etiamnum urrobique aequalis; et propterea
cermini Arichmeried proporcionale s; ecri CN CssiI
42. Icem, li Arichmeciee proporrionales (INCTM A, MI. N, V. cum aie; v,V; cum
a m; n, un (cum, li placet, quaterni plures:) eryne irem cum aecregaca, tum dit
Ferencia, terminorum respectire sumprorum, termini proporiionales. Puta A F a Fa-
M F e. Fm; N F v Fn V F 0 F u. Nam si in primis excellus sit ubique F, in se-
CunetiSE, In TETEIS =C; erit in quarcis P. + c L e. Or acdirione parebit.
D111

## Folio 145 — 851387705:0165
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000165.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
Cap. XXV
ARITF
M = A -
A F a = a, A + a = a = L. F c= e; N F. r = n, N F v = n +
43. Sed de idem obcinet in arichmericis proorectionibus concinuis. Ouod limi-
liter probandum eric. Puca, Si cum A, B, C, D, :=, cum an B, 7 8 =; Tum a, B, C, d, 
crunt A. F a = a, B f B = b, C + 3 FC, D = S F
44. Ec quidem, licet alcera proxrestio crescens tuerie, alcera decrescens.
scA + B, A + 2F, A F 3F, A F 4F, :
Puca Z
41, :
Ouippe aggregatorum excetus concinuus elt F. - c.
Acque hujusmodi complures proporcionalium immurationes de comparationes
facile esset cum comminilei cum demonstrare. Verum illud haud est necesse, sed
cujustibet porius arbitrio permictendum, uc id, PrOUT OpUS Fuerit, PrO LC nata Cu-
rec; e cum res postularerit ipse perticiat.
45 In concinua prorrestione Arichmeriea, Ageregatum extremorum (Z. = A
tV) per numerum cerminorum mulciplicatum P, est duplum summae cermi-
norum omnium. IIoc CA YZ = 25. Progrectionis
cermini ordine directo (a primo inchoaci) di. a F a == Z = A f V
CanEUE a, B, C, d, _c. Tidem cermini ordine re- B = B = Z
erogrado (ab ultimo inchoati) diCanEuE a, B, 7, d, dC. c  y = 7
Duoniam isitur, Der prOP. 28. cum a F a, cum d = s = Z = A L V
b = B, cum c f 7, _EC. XGUIaNEIE aBBFCSAIO CXIC.
MOTUI A F V = Z: CEUnE OmnES a, b, C, d, dc
ec
u omnibus en B, 3 5, c. aequales iph L. cocies 5 f 5 = YZ = Y A + ZV
Tumpeo. HOc Ct, omnes cermini bis sumpri (nempe, cum ordine directo, cum
ordine recrogrado,) aequantuE extremorum aercsato Z. rories lumpto quoi sunt
cermini. Hoc est YZ = 25
46 Idem ralet in quacuor discontinue proporrionalibus Arichmetice. Puca
A, M; N, V. Cum enim, per pcop. 30, lic A + Y = Z = M + N, exit 42
47 Daris ipicur, in Arichmetica proprectione concinua, extremorum aeregato
_ LErIMInOTUI HuMETO; Z, F; habetur cocius progrectionis sIVC TETIMOrum
omnium TumMA. S. ReMPC YZ =25, Per PrOD. 45. FrGO = =S
A8 Et DaTO ExTemOTuM aBGregatO, cum progrectionis summa; Z S: habetur
numerus cerminorum. T. Nam, quia 25 = F Z; eric 25 --
+D EC Dato terminorum numero, cum progrestionis summa; F, S; datur ilem
extremorum ageregatuM. Z. Nam quia 25 = FZ; erit = F = Z
50 Dacis cerminorum numero, proereltionis summa, et termino minimo; F, S, A;
habetur maximus. V. EA enim per P. 48. 7 = Z = A + V. F, O = =A - Z
A = V.
SE Dacis iildem; datur extremorum disterencia. X. Nam, per praecedt 23 = A
=V. ErBO = = 2A (= Z - 2A) = Y = A = X
52 Datis numeto cerminorum, proereltionis summa, et cermino maximo;
F, 3, Y, habetur icem minimus. A. Cum enimus per pr. 48.  = Z = A + Y,
etie 2 - V.
33 Datis

## Folio 146 — 851387705:0166
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000166.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
DE PROORLSSTOAE CaP. XZVII
53 Dacis sildem; dacur excremorum dilterentia. X. Nam, per praeced 25 - V
= A. ErBO V - 2 + V = 2V -  = (= 2Y - 2) =Y = A = X.
m: V = A = 
ui
= 7 -
7 = A = X
2V = 7. = X
54 Daris extremorum summa _ differentia, Z, X;
datur exrremum minus, seu cerminus minimus. A.
C. = X (V + A minus V = A) = Z A. Freo
= = A. IL 19G Byst il astric
55 Datis iisdem; datur terminus. LaxiIIS. V.
Nempe Z. + X(V f A plus V - A) = 2V. FrGO
7
56 Daris extremis (vel corundem summa dt ditterentia,) cum exceltu communi,
Z, a E, datur prosrectionis Lumma. 3. ACHIDE per pr. 18. habecur Y, er B0 8
 7. F.
Der PI. 47. d =.
aj
57 Daris extremis, cum summa proxretionis, A, Y, S, datur communis ex.
celtiis. F. nempe, per PrOP. 48. habetur F, CrSO _t per PT. 17. F = L. X
58 Dacis cermins minimo, cerminorum numero, de communi exceltu; A, F, L.;
datur prosreltionis Cumma. S. Nempe per PP. T9. habetur V; CrgO eE DeT PF. 4 7,
2 A ] TF = H,
ei orctiles els)
resigi cnciodC
5o Daris termino minimo, terminorum numero, de procrectionis summa;
A, P, Si dacur communis excettus. L. nempe per pr. Gr. haberur X; erso et per
PF. 27, F. = 28 2
 A
12)s e
So Datis termino maximo, terminorum numero, de communi excectu; V, F F:
dacur progressionis tumma. S. Nempe per prOP. 20. habetur A; ergO et per
prop. 47 5 = 2Y -
L. + F.
.0i1e is  cue
C6x Datis termino maximo, terminorum numero, et progrectionis, Tumma;
V, T, S; datur communis excettus. F. nempC Per PTOP. 53, habetIX X; ergO e
Per PrOP. 17. F. - Z Y Y -
L9-
 P. t cavieue
62 Daris terminorum numero, communi excelti, et progrectionis summa,
Y, F, S; dacur rerminus minimus. A. nempe per pr. 26. haberue X, et per pr. 48,
Z; ergo et per prop. 54. A - 28 - PgF. F Y L.
1
iil pace 3F ice ce orili 1t 
63 Datis iisdem; dacuE CETIIS MaXIUIS. V. neMPC Per PrOP. 26 8t 49, h2.
Bentur Z et X: ereo S per prop. 55. Y - 28 + FqE. L X F. S ronis
AIYOCIA 1O2 L CWRIC aISCI
6q Dacis termino minimo, communi excelti, _ progrectionis summa, A, H, 5.
datUE NUCTUS TerminOruM. Y. Nam per pr. ZO. A ] PF P = V. adeoque
2 A F YE = F = A + V = Z. ErgO, per Pr. 45. 25 = TZ = 2, L A
+ F9F. = FF. adleoque  = F 9-
nem)
H
2A = l. Y. Fe (retolvendo aequacio.
VF. 1113
=A + EF + V: 3F. 9 F Ag- AF. +2SC:
Ourit
65 Datis iildem; dacur cerminus maximus. V. nempe, per praecedentem, tia.
betur F. adeoque V per. pr. 19.
Vel EC. Oui per Pr. 18. _ f. B  7. , erit per piop. 45. 25 = 7. 2
2Z
+
1101

## Folio 147 — 851387705:0167
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000167.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
ARTTHMEL
Cat. aIl.
-
L
Et 2SF = Z. X + Z F. Hoc est
(quia Z X = V q = A9, de Z = A F V;) 2SF
V9 - A9 Y V F. f AK. Adeoque Vg F FV
= A9 F 2SL = AF. ErgO (retolvendo aequatio.
nem) V: EF9 Y A9 AF + 2SF: = ZF =
Si aucem hiac methodo reperiatur V; Investinabicur P, proxolicionis prae-
cedencis, per pr. 48. (alia quidem torma, sed eodem ralore quo PrIUS. ) nEMpC
=EF F A F V: ZF 9. F A 9 = A H + 2SF:
60 Daris cermino maximo, communi excestu, de progrestionis TUMMa; V, C, S;
AatUT NUIETUS TErMIHOTUM. T. NTaM, PeF PrOP. 20. V = YF f P. = A. adeoque
2V = FF + Y = V + A = Z. E1BO, per DrOP. 45. 2S=YZ =EPV - F 4L
F T F. adeoque
+P Y = Y9. Er C retolvendo aequationem)
Y + : F FV: ; F 9. F V9 L VF - 2SF:
Nocandum aurem est, hujus aequationis (upoce ambisux) raclicem minorem
tunc conrenire, cum A major est quam Z L, (adeoque radicem universalem V: 3 F 9
_c. alticiendam ligno =;) majorem vero (adcoque f V: XC.) quoties A MINOF
elt quam ZL. Sin A = Z F; perinde erit uera elisatur; nam hoc calu rocum iIlud
quod noca radicalitacis acticitur, eraneleH.
67. Daris uildem; datur cerminus minimus A. Nam, per praecedenrem habetur
T. adeoque A Per PTOD. 20.
Vellic. Ouoniam (uc in PrOP. 65.) 2SF = V g = Ag f VF F. AB. TranL.
Donancur cermini (si sic V q F F V plus quam 2SF; quod cum concinsee, cum
A major elt quam F;) ad hianc TOrmam, A9 - A F. = V 9 + F. V - eSF: Cu-
jus aequationis radix clt sC f Y: F 9 + V g + E V = 25B: = A. Vet (A sC
V9 + E. V minus quam 28F: quod cum concinset, cum a minor eAt quam F;)
cransponantur ad hanc FOrmam, E A = A g = 2SF - V 9 F.V; cujuS a qua
tionis radix est ambigua, nempe : R + V: + F. 9 F V 9 F P, V - 2SC: = A. qua
rum raclicum major convenit quocies A major quam ZF; minor aucem quocies A
minor elt quam : F. Si aucem sic Vg F L. V = 2SF, maniteltum est (utroris
modo disponancur termini) A g _F A = 0, adeogue A = F.
Si aurem hac methodo repertacur a; inveltisabicur T, propoticionis praeceden.
HiS, Der PrOP. 48. Nempe Y =
V + EF. = V: sFg F Vq F FV = 25F. Ubi non
remere factum, quod cum Forma Superius cractica, sueric F, jam sit L. Nam quo
calir in illa Formâ cligenda erac radtix major, in hac minor eligenda cxic.
Acque hactenus Proprectionis Arihmerica cradicionem lacis videamur absol-
visse; cujus breviorem lynoptin capice sequence exhibebimus.
Nocandum autem est, propoliciones omnes hoc capice de Progrectione Arichme.
metica traditas, polte irem ad Progrectionem Geometricam (mutacis mucandis) non
ditticulter accommodari. Nempe substicuris tere illie Mulciplicatione ee Diri
tione pro hic imperatis additione de Subductione; item porestatum Constructione
Se Analysi, pro Musciplicatione de Diritione; et denique Rectangulorum agore.
Sato pro Duplo Cummae; (cum paucis inCuper aliis immutationibus:) Ouod ex
compararis hiscum prihioribus cocidem proposicionibus: Cap. XXXIII. (eodem
Oce lo) videre cA.
C A P. X
Proeressionis Arithmeticae brevior Synopsto.
IVM in praecedente Capire doctrinam Progrectionis Rrichmericae tulius prose-
scuci simus: libet hoc Capice selectas aliquoc propositiones, prosrestionet
continuam spectances, alio ordine summarim cractete, i utto guats Milurcu oculo
subsieiantur. Becencis iisdem quibus tupra Symibolis usi sumus.
LAC0.

## Folio 148 — 851387705:0168
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000168.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 149 lines, status machine
DV L20K65SIONB, cC. Cap. a1 AL.
Theoremata.
4)13 L9L: A, 4, 5, PeT 5, T2
E
DCr FO.
25(V, 2,S: A, X, L, DeF 5, 13.
Per 20
26 V72, E: A, X, Per 5.
PET 12.
DeFI2.
3 11 DeT 13.
Der 10.
DET F2.
9, 2n Ze, T: D, B,d. L, per 7, 8
12, 1O.
3L)29227d: A,, l, Per 7, 8, C3.
F
PET 1O.
32Cn AgC: Ay1,l, DeF 7, 6, TF.
33) Cag L9lo. 30
Per 12. 1
per 0, +2.
Per 7, 8. c1
5r235, F: T, Per 13.
Ver O.
PerrXq il
48
Data. Ouaelita.
S.
si O1L3
DDCF TI
P
2
Data. u
A, V: 2. = V + A
Z = V
A
3 A,2: V. = Z. A. A. 1
X Der 2.
+ (A, X: V = A f Z
Z. PeT T.
5 V, Z: A = 2 -Y.
ZE per 2.
6 V, Z: A = V - X.
a se
. Per Y.
7 JL, XL: A X
en en
8 fueo
2. +X
OIF, E: X =DF
20)Y, X: F. = 
e
a
SCrXF: 7-
T2 2,T: 3
13 2, 8. Y
F1
142, 5: 2= 
25)A, V, F: Z, A
C, 5.
26A, V, S: Zytum
+
F
17 A, V, F. Lu
+
Pet L, 2
18 A, Z. F: V, X,S, Per 3, C2.
DET 10.
29 A, Z, S: V, X, F, PeF 3, 23,
20 A, Z, F: V, X, Per 3. 10
P.
22 A, XiF: Vilatm Per 4 10.
Fet 12.
22 A, X, 5: Viton Del4.
Per L3.
Getc.  F a Ver 20.ricais
123) A, X, F: Y, C, F, Ver 4,FL.
A, V, Z, Z. 9 nihil ulteri.
vel Z, T, S. C us inde in-
S, e Der T2. 91. l cn vel T, K, X. S nocescic.
Arque hactenus de Proprectiono Arictmerica dictum ello.
19+29 L. A9C9l flL6, 10
28Y, ,S: A, Z, Det 6. C
E
29V, X, L: RiL F, Per 6, 15
C,S,R. L
e
lp
Der Z, 8.
P, X, Der 3.
Per 10.
Der 140
36 F, 5,V:Z,
ACAL A, X, Ver 5.
1
572,S, K: F,L
A, V.
Per 7, 8.
38,F, S, F: X, Pet B, 24.
A, V, Per 7, 8.
39) F, E, A: R, Per 9.
Vil Per 4.
10)F, F, V. 3,
Per 12.
Per 9.
 AL DeC 6.
+2 a 13
l
DEF, X2.
DCF IF.
DCT 74.
DePITO.
Per 20, 24.
a, Y, Der 7, 8.
3A:
2l. V
21F A9ACt 2SL.
L,
PeF +3.
43, dC, V: A = F ZF. = V.
Cou DCT(X, 2.
aEg. F V4+ VF. 2SF.
per 23
Et Per X, 2.
Dacto.
Det 1O, 12
Per 1, 2.
Per 13.
DeF 10.
Der I, 2.
DeC L, FI.
DCL X2.
Per 10.
DeT FF.
DeT 12.
e
a
d
le
e∞
e 
a
l
II
Mu
nun
las
e

## Folio 149 — 851387705:0169
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000169.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Cap. X X
DE R ATTONI
A P. XXI
Rationum Distributio. Ss Nomina. Ratio Multiplea
Super particularis. Suxerpartiens, Submult N.
Rationum Desienatro,  Notatio.
P, Xpotica in superioribus capicibus Progrectione Arichmetica, quae ex aequalicace
H. Ditterenciarum orcum ducic: Priulquam Progrectionem Ccomerrieam ciltin-
etrus cractandam aegredtar, quae ex Racionum sire Aqualicare live (uc plerique
LOguuneur) Ldencicare crahie originem; De Racionibus, lire proportionibus, quae
dam actuc releane exponenda; praeleruim de Racionum cum Nomnibus sive appel-
lationibus, cum NocaciOn.
Duid lic Rario, jam lacis innoceleat, tum ex iis quae luverius craclidimus Cap. Racio
ZLV. cum ex Fuclidis detiniione 3 d 5. A3 ~  8v0 e dor uoyercor n r mnnora qu’id 3
pos aina roia geors. L Patio est, duarum magnicudinum homoeenearum, qua secun-
dum quanciuom est, ad invicem (roia geois) habitudo qualitativa. NCDE, qua
dieieur, Somaoer quancuplum vel quosupium lu hoc itius; Duca duptum, criplam
dimelium, ac. vel, quoces hocilluc concineat. Adeoque diritione innoceleu, (licuci
Tubinetione Ditterentra, )diritionis Qnoro live Onocience determinanca. EC propierca,
ex Quotientum identicate, identitas Rationum collieitur, e cntra. Paca, cum numert
quacernaru ad binarium, cum lenaxis ad cernarium, eadem cA rario, nempe du-
Pla; guia urrobique ancecedens consequenum bis conet; quod anucedenum
ucrumque per contequenem luum dividendo innocuseit. Nam 2) 4 (2, de 3) 6(2.
D. Iribuiur autem Racro live proxorcio in Rationalem e Trrationalem. RaO Rationa
nalis dicieur, quae porelt veris numeris extriberi: puta 6 ad 4, quae elt ratio Sel. lis ex Tr.
quialcera. Prrationalis autem quae veris numeris extriberi non poclt: UC, in qua rationa-
draco, rario Laceris ad Diaconium. Ouamrisenim hujulmodi racio urcunque Cx. ls
Plicart tOlCE per nuInerOS quOS SuraOS VOCANE, DUTA WE E ad V Z; CAMEN, CUM nU
merus Surdus, proprie loguendo, numerus non lic, sed imasinarii cujutitam nu-
Mer nOca, ideo neOCa raLO verIS numeris explicabilis centenda erit. FiIE NEmPC,
N 2, noca numeri qui lupponitur in se ductus numerum 2 producere; Sicur V 4
MUMCEUM NOLaC( nempe 2) qui in le duetus producic 4. Cum aucem nuluS OmnI
no numerus pollibilis lic (vel inceger, vel tractus,) qui lui in se mulciplicacione
producere pollunumerum 2; est isitur V2 numcei cancum luppoliciei d imaes narII
nOn Vert alieujuS num rI, nOTa. Non clFiaque illa racio veris numeris expli cabi
Tis, ideoque racio ânoz  aéerros, irrationalis.
Non aurem distimulandum clt, Rationalicatis axpellationem, ab Evelide passim
in Elemenco decimo, etiam eis lineis acribus quae pocencia cancum lunc commentu-
rabiles; hoc elt, quarum laltem quadrara rationem habene numeris explicabilem
veur lonsicudme tine arspuerson, incommenturabiles. Aique hoc sentu Latus de
Diaxonum quadraci crune Kacionalia, quippe quorum quadeata PuNC UE numerUS
aC NUMErUM, PUCA VE L ad 2 Verum alibi non raro obrinee, Raticnalia tancum ea
dicere quae ee oipuersa lune: uc perimde lic arczor else sire aécrror acque asoversor.
Sieus vero durculcula videri postie Rationis Frrationatis appellacio; quae enum
noxor rationem habene ad invicem, qui diei poltint ânoza aut etiam ipse nezo, àr
305. Dicendum MM, hoc ob vocis nbzos apud Craeos homonymiam oblinocre, (quod
_E AFICHMCEICI L aCIII lEGLUNET.) OuiDDC abzos (Praeter alia liguIticac) CCaME
Ratiocinium live Computum ligniticat; unde Losista idem elt qui Caleulator live
Compulator: aeque illud axoror, quod calculum fugie, nec vero ninvero est explica-
VilO: qua de causa de aeenror de arcaxornror dicieur, nexplicabie, inellabile, inenar-
rabile: nOn quod OMHINO CnAEraEI non POTTIC, Led non veris numeris pONIC CMAE- Ratio
rari.
 quali
Diltribuitur porro Ratio, in rarionem Nqualitatis, e eationem Zuaequatitatis. tatis, 8
Ilta eltus cum comparaca sune aequalia. Haec, cum inequalta. Sic 2 ad 2, e 4 ad 
e litata.

## Folio 150 — 851387705:0170
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000170.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
DE RATTONTBVS. Cap.
_e Z ad 2, Sc. Tune in ratione Agualitaris constiCta. AF 2 ad 3, _ 5 ac 4 ec 4 ad
ec. in ratione Inxqualitacis. Sicui incerim nomina Aiqualitatis e lnaequa
licacis, porius ad alteram comparationem, quae est quodd Ditterentiam, reterenda
videantur, quam ad hanc quae elt quoad Rationem: Fg0 quidem non repusno.
Nam quod, quoad disterenciam, alteri Signale dicitur; id Fortan, quoad racio-
nem, rectius dicatur Simplum. Verum hocnon tanci elt ut seceptas jam appella-
ciones innovandas contendam.
Nocandum hic estus Rationem AEqualitatis, dt Rationalom esté; nempe ut L ael
L: AC non contra, rationem omnem Racionalem elle ee rationem Aegualicaris.
Tiem, omnem rationem Trracionalem, esle es Inaequaliratis TATIONEM; HON AUteM
contra, omnem Inaequalitatis rationem, esse ee Trracionalem: quippe dupla, cripla,
alixque intiniex Inaequalitatis rationes lunt, Racionales camen.
Racio Inaequalicaus (tire Rationotis tuerit lire Trracionalis.) Tubdiridieur rur-
sus in rationem (live proportionem) Majoris inaequalitatis, ee Minoris. (Ve
in rationem Majoritatis ee Minoritatis.) Illa elt, quanticaris majoris ad minorem;
Mivoris. UC 4 ad 2. Llac, minoris ad majorem; UE 2. 2d4
Rrcionis lire proportionis Majoris inaequalitatis (Rationalis intellise; nam, de
rationum irrationalium nominibus. Scripeores nondum tuerune lollieur;) qunigue
Solent consticui genera, Nultiplea, Superparticularis, Superpartiens, Mulciplex. si-
perparticularis, e Multiplex superpartiens.
Ec pariter Minoris inaequalitatis ratio (rationalis) in coridem solet genera di-
Aribui, iisdem inlignica nominibus, praetixa cancum parcicula Sub nempe Submut-
siplex, Sub superparticularis, Subsuperpartiens, Submulsiolex. superparcicularis, Sub-
multiplex superpartiens. Siquem incerim terreat nominum barbaries, iu vocibus
cechnicis; liberum ipti erit illis abstinere; dummodo miti permittat indicare, quad
alii huis nominibus incellectum volunt.
Ouancicas major minoris Multiplen dicieur, (vel mulcipla,) quae minorem ali-
quocies exacte continet, rel, cum minor meticur majorem. Honrannéoor 20 v eiC or, +6
Enéaoros, orar neraurea iro re énaasoros, detinience Lvelide 2 d5, e lpeciaum de
numeris 5 d7. Hoc elt, cum minor aliquoties accepta aequatur majori. Pa cnim
eAt vocis raraucrscidus apud Fuclidem ligniticatio. Sic enim Puelides 23 d 1.
Numerus numerum metiri dicitur per illum numerum quem multiplicans, vel a
quo mulciplicatus, illum producit: ter eodem modo Quancitas quancitatem meciri
censenda elt. Si ergo quancitas minor per nullum numerum (intesrum intellise)
mulciplicata producat majorem, hane illa non metitur. Ita numerus Cenarius elt
binarii mulciplus; quia binarius aliquocies acCepCUS, nempe ter, aequatur ipli le
nario; live (ut loquitur Fvelides) numerus 2 metitur 6, per 3; quia bis eria
Tunt (CX. 2X3 = 6. AC8 ad3 non esse dicimus in ratione mulciplici: quia, quam
vis 3 in 8 aliquoties contineantur, nempe bis; non tamen z exacte metiuntur 8,
quia bis ablaca relinguune 2, cer aurem auterri non poltunt. 
Submul. Mulciplicis correlacum (in proportione minoris aequalitatis constitucum) dicitur
Submulliplex. Apud Fuctidem limpliciter Pars dicitur C d 5. Meeos  ueedos pegedus rd
EACOOr TEHEEOVOS, DTAY NVTANETEN Y0 pECoV. Maenitudo minor majoris Pars est, quan-
o exacte metitur majorem. Ubi autem minor majorem non metitur (at lalcem
mmratione rationali consticuta sic,) quanticas illa non hujus Pars, Led Partes, ab
Euclide dicitur; quippe ille, hic loci, per partem non aliam quam partem aliquo-
tam incellisit; de per parces, parcium aliquotarum aggregatum. Oux aurem hie
Fuclides parsem ee partes appellat; appellane alii recenCIOreS, partem aliquotam,
e partem aliquantam. Sie demistis, Priens, Quadrans, Sextans, Oneia, dieuntur
lingula, aliquota pars altis; quoniam aliquoties acceptae inceorum Allem com
plent. Nempe Semiltis bis, Friens ter, Quadrans quater, Sextans lexies, ec Vncia
duodecies, praecile, continentur in Alle, sire integro. Fstaurem Duincunx, AIis
pars aliquanca, non aliquora: Nam quineunx bis accepTIS, est alle mINOE, nempe
deCCM UNCIX; ALLET ACCEPEUS, major crit, nempe ES VnCIX, qua alle crIL.uS Un-
eiis suverant. Aique idem de Septunce, Behle, Dodrante, Decunee, Ondecunce
sive ut loquuncur alii, Dextante, Dennce,) dicendum clt. Nam, verbi pratia
Bes, non allis aliquora Pars dicitur, sed Partes, nempe duxe certiae; et Dodeans
tres quartae; et sic de eateris. Sic enim Fuclides, 3 _ 4 d d 7. Pars est numerus
INOE MajOTIS, CU MINOE MECITuT majoreM: PATTES AUTEM, CAM NON MICLITUE.
Proporcionis (hre Racionis) Mulcipticis specieo sunc, Duplan Fripla, Ducarupia
Ratio
Majoris
inaequa
ratis,
Mulci-
pten.
riplex.

## Folio 151 — 851387705:0171
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000171.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. XXIX DE M AOKIBOS.
ee Sic deinceps in intinicum. Po concra proporcionis (sive Racionis) Submutei.
Plicis species Punc, Subdupta, Suberipta Subguadruptam cec. vel etiam Semiltis, Tet
ens, Duadrans, ec. vel eriam, Pars dimidia, cerria, quarca, decima, cencelima, mil.
Lelima, dec. OxXCC ibecor etVetO TErape SUeO Ernue XS
ubecor, eCC.
Ouancitares aurem quancicacum Sguimulciplices, Fuelidi aliisque, dicuncur,
quas tix respectire parces per eundem numerum metiuruY. Vel (quod perinde
CH) Prima lecuncae, ee cercia quarex aeque mulciplices lunt, quando prina lecun.
dam locies praecile concine quocies cercia quarcam. SiC QuaterMaPIUS BIMaTII, e
lenarius cernarii lunc aeque mulciplices; ucrobique scilicet in Pro. o
porcione dupla: quia cum illum bIarIUS, cum hUNC CerNaTIUS, PeF 2) 4 (21
BInAEIUIM MCEICUE; e LOLCS, Z, I 4, GuOTICS 3 IH 6 CONLIMeNTUII,
nempe ucrobique bis.
Pacio (live Provorcio) Superparticularis, est racio majoris
316C2
quancicacis ad minorem, quando major minorem semel quidem, nec sapius con. particu
rinec, led et iplius parrem aliquocam. Sic 3 ad 2, et 6 ad 4,
sune in ratione lyperparciculari; ucerque enim numeruS anCC 2) 3 (2 5 = 3
dens consequentem luum lemel concine de iptius insuper le.
millem. Virilo nempe nuNETO majorE Ber minorem, Prodibu 4) 6 (23 = 2
ucrobique Ouoriens 13
Fujus Rarionis lpecies sune, Sesquiallera, Sesquicertia desquiquarra, Sesqui
quinta Sesquidecima, Sesquicentesima, Sesquimillesima de lic deinceps in intr-
nicum: prouc seiticet major minorem lemel concinet, ee iNLIIPEE MINOTIS PaITeI
dimicliam, cerciam, quarlam quincum, decimam, cencelimam, millelimam, ec.
3
ee2O) TEV (L, 1 = id
D). 1OF (1,0
00) 100Y (1,001 =
10000) 10007 (1,0001 = 10
Obi aurem major ad minorem est in racioné Superpartieularis selquialiera, lel- Sub suver-
quiTErEIA, SC. CxiE minor illa quancuas ad majorem in racione Subsuperpartiulari particu-
lublesquialera, sublesquitertia, sc. Sic 18 ad 26 lune in rarione lelquioctara, laris.
(nempC uc 9 ad 8,) erpo 16 ad +8 in ratione sublesquioctava Et Paruer in E-
milibus. Apud Aristorelem, Subecos e emubecos hoc sentu occurrunt MecapH. 4.
et alibi. Fic apud alios pastim.
Pacio leu provorcio Superparciens Bmueis elt racio quanticatis majoris ad mino super-
rem quando major minorem semet quidem, nec laPIUS, COnTIHEI;
sed e aliquor inluper iplius parces aliquotas. Sic 5 ac 3, TunC In
ratione Superparciente: numerus enim quinarius cernarium continet
315.(13,
Partiens.
temet, et duos isUDCI ipIUS CICMIES. Si enim 5  Der 3 aiVIcaMUS, exII quO.
Tiens 13.
Flujus proportionis species, duplicem characterem postulant. Cum enim ma-
jor minorem concineat, ec insuper aliquot ipluis partes aliquotas; dicendum elt,
quot partes, et quidem quotas continet. Priori respectu dicirur, Suxerbipartiens.
Supercripartiens, Superquadripartiens, Super decupartiens, _C. Drout quancicas
asor, Pralet plalnote coreat pet iplius parres aliquotas, duas, tres,
quacuor, decem, dec. Polteriori respectu dicirur superpartiens tertias, superpar
criences, quactrantes, _c. hoc et, Palle terriae, quarca, quinta, decimae, cencesi
Ma, Scc. Sic racio numeri 5 ad 3, vel. 10 ad 6, elt luperbipartiens cercias: Major
enim minorem ucrobique lemet continet, et insuper duos iptius crientes, ut ex
divitione lyeel. Sic 7 ad 4 elt supextriparciens quarras. P.L pariter in Simi
ibu5.
tiens quartas, quintas, decimas, centesimas, ec. Prour parces illae aliquocae lint
5) 7(15
5) 8(13 2)10127
6) t 18
200) 207 (1,07
5(13 8) 25(18 100) 108 (1508 = 1 , 8
n

## Folio 152 — 851387705:0172
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000172.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
DE RL AZTONEBUS. CaP. LLX
Subsuper. Obi vero quanciratis majoris ad minorem ratio est Superparciens, superbipar-
partiens. Eiens, supereripartiens, 8C. Fric minoris hujus ad illam majorem, racio subsuper-
partiens, lubluperbiparciens, Tublupertripartiens, ecc. Nempe rario 3 ad 5, vel
6 ad τ0, est subsuperbipartiens texrias; de 4 ad 7, SubsIIDerETIPATEIENS QUAETAS. F L
in aliis pariter
Nocundum aurem est, in rationibus superpartientibus, Denominatorem parris
aliquotae majorem esse debere quam est Numerus carundem aliquotarum partium
alumprarum. Non isitur dicitur lupereriparciens tertias, vel superquadripartiens
quareas: nam 3, vel a, tancundem sunt ac F. FC F3, vel +4, _c. idem. elt
acque 2: ideoque major minorem (aepins quam semel contineret; (nempe bis,)
quod est contra detinicionem racionis superparcientis. Mulro minus dicendum
erit, Superquadripartiens rertias vel Superquincuparciens quarras, _c. (ut deno-
minator aliquorarum parcium minor sic quam carundem numerus;) ita enim ma-
jor falcem bis supponetur minorem concinere, et aliquid insuper.
Sed neque rire dicicur, Ratio Superbipartiens quartas, sextas, _c. vel super-
tripartiens lextas, nonas, _c. Vel luperquadripartiens octaras, decimas, duodeci
mas, _c. _ pariter in limilibus: ue denominator alignotarum parcium altumpra
rum, ec carundem numerus, communem aliquem divilorem habeant qui prum-
que exacte meciatur. SunE enIm L= =- + 2, _ F3 = L3, e
e
_ F8 = 2Z, _ X, 3 = 13, e Y, 3 = L3, ecc. Non isitur dicenda est ratio suver.
Diparciens quarras, aux lupercriparriens (extas, aue superquacriparriens octavas:
Sed rario selquialcera. Neque item luperbiparriens (extas, aur supertripartiens po-
VaS, aut Superquacripartiens duodecimas, sed ratio selquicertia. Neque, Cuper-
quadripartiens decimas, sed Superbipartiens quincas. Ec limiliter alibi.
Siquis urset; per Racionis Superparcientis detinicionem, hujusmodi Loguendi
Formulas non excludi: Dicendum erie, Racionum detinitiones incellisendas elle de
Rationibus ad minimos terminos reductis. Prouc enim in Fractionibus, (ut post di-
cecur,) ita et in Racionibus describendis, plerumque expedie, uc terminis quam
fieri pocest minimis deseribantur, quo melius animus ralorem alteguatur. Secus
enim eadem non raro Rario et Superbipartiens, e superiripartiens, et Tuperqua-
driparciens, ecc. dicenda erit. Siquidem superbipartiens quartas, lupertripartiens
textas, superquadriparciens octaras, aliaque hujulmodi rarionum nomina, eandem
iplam racionem detisnabune. Imo vero eadem ipta Racio e superparticularis erit
e Superparciens: liquidem illa ipta nomina nuper recensita, qux rationes super-
parcientes videantur indicare, revera superparricularem rationem sistriticani, nempe
Tesquialteram. Simeenim 13 = +3-
Ac siquis nihilominus contendat; neque necesse este, nec quidem semper expe-
dire, ue vel tractiones vel rariones in minimis cerminis exprimantur: Neque etiam
magnum esse incommodum, eandem iplam rationem nune superbiparcientem, nune
supexiripartientem, _c. Fortasse ee nonnunquam Luperparticularem, vel etiam mul-
ciplicem, dici posse: Vel etiam, Si ratio mulcipla aur quaecunque alia, tanquam si
elser superparticularis, vel superpartiens, rel cujutris gencris, PFOPONatuT; neuti-
quam id Forinidandum este, dummodo utcunque sic proponatuT ratio ut ipsiuS va
lorem mens lacis allegus valeat. F.g0 quidem Fateor, non canci rem esse ut de ver-
bis concendamus: Imo non sine masno nonnunquam commodo, hujusmodi rario
num quali metamorpholes exerceri posse; acque eandem iplam quantitatem, PrO-
cei instar, quacunque libet Forma exhiberi polle: quod e ubi opus poltulet tacien-
dum erit. Aceaeceris paribus, ubinihil in concrarium suader, cum rationes, tum
tractiones, aliare quancirates, terminis quam tieri potest simplicibus explicari par est
Reltane adhuc duo Racionum genera explicanda; Mulciplex Luperparticularie, ee
Mulciplex Supexparciens; cum correlaris.
Mulsiplea superparricularis, est ratio majoris quantitatis ad minorem, quando
perparii major minorem aliquories concinet (falrem bis) _ unam insuper iplius aliquoram
cularis. Parcem. Org ad a Duippe norenarius quacernarium bis concmer, et iplius insi-
Der quadranteM.
Hujus (pecies Tune, Dupla sesquialtera, Dupla- se(-
quitercia, Dupla- Scsquiquarra, ec. Fripla. lelquial-
teraq Tripla selquitertia, _c. aliaeque ejulmodi in in-
Finitum. Sic rario d ad 4, elt dupla lelguiquarta; 2
10) 102 (1O, L = 1010 2d 2, et cripla Selgualtera; 42 ad 20 eltu quadeu-
Pa
Multi-
plex-s
20) 43. (4, 2 43

## Folio 153 — 851387705:0173
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000173.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
Cap. XXIX.
DE R ATTON 1B15.
pla selquiquinta; 2Or ad 20, est decupla selquidecima. PL paruer in aliis
Dupliei itaque charactere opus elt ad hrane rationem exprimendam; alcero, que
species mulciplicicaris indicecur, (dupla, cripta, etc.) altero, quo delistiecur aliisuora
Pars, puca, num dimidia, certia, _c.
Obi aucem racio quancicacis majoris ad minoren est mulciplex Tuperparcieilla subnul-
ris; minoris hrujus ad illam majorem dicicur Suonulsiplex. superparricularis. Ia siplex su
jusque species speciebus illius correlpondent. Ps isicur 4 ad 3, cacio lubaupa perparti
Selgniguarca; 2ad 7. Tiberipla Selgualcera; 20 ad 43 Tubgnadeupla selgulquinca; cularis.
20 2d 20r, subdecuptr selquidecima. F.c sic in aliis.
Racio mulciplex- Tuperparciens, est racio quancicacis majoris ad minorem, quando Mulsi-
major minorem aliquones concinet, de iptius inluper aliquor partes aliquotas. OEpleX ju-
8 ad 3. Nempenumerus ille hunc conciner bis, ee cuas incuper hujus parces cerci perpar-
aS, Lve crientes.
Hlujus species sunc; Dupla superbipartiens certias, Dupla superquadripartiens.
quincas, Fripla Tupereripareiens quartas, Guadrupla- TIIperExIPAF-
riens seprimas, alia que ejulmodi intinicae. Tales sunE FatIONCS 3) 8 (2
8 ad 3; 14 dd5; 15 aet 4; 3F ac 7. _c.
Friplici itaque charactere opus elt ad hanc rationem expri.
mendam: quo cum numerus mulciplicicacis, cum numerus parcium
aliquocurum, cum harum denommacio indicetur: uc Patet.
5) 24 (2
4) 15 (3
7) 32(4
iens
Obi aurem quancitas major ad minorem est in racione Mulciplici superparti. Submul
ence; est minor haec ad illam majorem in ratione Submultiphiei superpartiente: de tiplex. su
species hujus speciebus illius correspondent. Tra racio 3 ad 8, elt lubdupla luper perpar
bipartiens certaS; 5 ac 14, Subelupla superquacripartiens quincas; 4 adl 25, Tub. Ziens
Exipta TUDECIEI BarLENS QuaraS; 7 ad 3F, lubquadeupla lupereripartiens lepimas.
AEGUC in alIIS PATIEEF.
Ouae aurem luperius notanda monvimus de ratione (simpliet) superparcience;
eadem ee hic, mucaris mucandis, nocanda sunc de racione mulciptici superparciente.
DEC OpUS eIE VE FEPETANCUT.
Fstque haec Racionum diltribucio quam cracune Recenciores Arichmerici. Ouip-
DC non haec omnia Rationum nomina apud Euclidem OCCUErUNC; Led quaedam eo.
rum peaecipua. Cum tamen hujulinodi palsim apud MTACHEMALICOS FECENEIOTES OC-
currant Racionum nomina; nequis de illis haereat, exponenda duXI.
Sicui rero nimis intricate videancur hae Racionum appellationes; poterunt illae
Simplicius delienari per duos numeros ea qua res postulet ratione conttitLos, prae
lercum qui lunc in eadem racione minimi. PucaLi, pro ratione subquadrupla (u-
pertriparcience sexcimas, eam dicamus rationem qua clt 7 ad 3L. Ica, qui dieu, (C
A ad B, uCZ ad 3F; cancundem innuit ac sI diCeret, SE racio quancicatis A ad
quancirarem B, subquactrupla Supereriparriens sEprImaS. AIque ad hanc tormam Ra.
tiones (apissime exponi Colenc.
Raciones itaque pluribus modis delignari postunt. Nemne
Rati-
Vel, nominibus luis, modo indicacis. Ot Duxlum, Friplum, Dimidium, Se(. onum De
quialterum, etc.
fenatio.
Vel quidem, Fixuris numerieis rationes illas denominancibus: actira Paliem, vel
quidem subincellecta, mulciplicationis nota. PUIa, 2, 3, 2,2Z, dC. vel X2, X3.
13
XFL, ecc. Ouid enim eMt Duplum, Friplum, Dimicium, Selquialterum, eec. aliud
quam, Mulciplicatum in 2, 3, 5, 23 _c.
Vel etiam, per duos numeros in ea ratione constitutos. Duta, Ratio ea quae est
2 ad 2; 3 ad L; Zad F, vel F ad 2; 23 ad F, vel 3 ad 2, ec.
Vel quidem, duabus quibulris quanciratibus homoseneis ita constituris; ue li
neis, planis, solidis, ansulis, _cc. (quorum ad inVICeM TALO EXPONITE UEjam
coenica, vel quali cognita,) corumre (ymbolis. Puta, ut V ad A; ut L. ad M;
Ut R adt S, _C.
Vel icem, Fractionum inttar 23 2, 2, 3 X p =, _c. Cum enim Racionum de
nominatores nil aliud sine quam Diritionum Ouocientes, (uc jam ance tiie expo-
licum,) Diritiones aurem indicare Polenne sic incerjecta virgula, Diriduum incer
de Dirilorem, (idque necellario, ubi numerus diridendus elt diridence minOr, ut
in aique eriam alias, alis de caulis, non raso commode,) Ouidni ee Raciones ica
desisnen.

## Folio 154 — 851387705:0174
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000174.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
DE RR ATTON UM
Cap. XXX.
delismentur  Drxetixa tamen, ubi opus lueric, musciplicarionis nOTa. EF quidem
ipla Fractiones nil aliud sunc quam Racionum Indicia; nempe 5, 3, ecc. IIlam indi-
eant partem, quae ad inteorum live unitatem cam habent rationeur quam 1 act 2
3 ad 5, ecc. numerator ad denominatorem: Acque ut 2 cA duplum unius, sic : est
demillis unius, ec lic in caeteris. Fractionis itaque NIMerAtOE e DenOIINATOF, per-
inde lunt acque Rationis Ancecedens et Consequens: Si laltem et ractiones im-
proprix (uc loquuntur) unicate quippe majores vel salcem aequales limul incelli-
Bancur, quxe rationem aequalitaris, et majoricacis indicent; licut tractiones proprix
indicane raciones minoritatis, lire minoris inaqualicaris.
Veleciam, Si libet, (quodque non raro expedit,) simplicibus Cymbolis, aliarum
quancitatum inltar. PuTa Z = X = R ecc. Sunt enum Rationes, nOn MIuS quaMm
MIIMCTI verX quanCILaLES.
Perinde isitur elt, rerbi gratia, sive dicamus, Duplum quancicatis A, sIre 2 A
vel 2X A vel Ax 2, Cire Z A, vel A xZ, sire quod elt ad A ut 2 ad 1, live ad quod
A est uc L ad 2. Sic Friplum A, = 3 A = AX 3 = EA. PE lemistiS A, = 2) A
= = A. Et sesquialcerum ipsius A, = L ; A = L = L A = A u L; = A + 3 -
EA = 2) 32 A = 3  _c.
Similicer in proporrionalibus designandis; ubi nemve eadem utrobique ratio este
tieniticatur. Duca, A ae B ut X act 2, vel A. B.: 2. 2. vet A = ; B, vet  = :, vel B) a (5.
Trem, Ratio lateris ad diaxonium quadrati, L. D: : T. V2, vel - -
=  D, vel L. =-. Diaconii vero ad L. acus, D. L.: V2.
V:
vet D =  =L = Y2KL =J. XY2 =L. V2 =V: 2C9. =Y: 2~ L. 9.
Etem, L adt MI uC R ad B, vel L. MI: : R. S. vel L. = = M,  = -. et simili.
ter alibi.
Oua vero ex omnibus detignandi Formulis, Rationes quilibet delignare relit,
Denes se lic optio: Liberum quipre cuique eric, quam velic elisat; vel etiam nunc
hanc nunc illam, prour praelenti negotio magis accommodum rideatur.
ut +2 L. La L 1.
De Rationum Compositione sive continuatione,  Immi
nutione. Ratio Duplicata, Triplicata, sc. Item Sub-
duplicata, Suertiplicata, 5c. Ft Sub duplicatae tripli-
Catd, Cdc.
Ratio.
um
Continuatio, e LMMIHUCIO EXPONANTIE.
TuT) Addicionem, detinit Fuclides, 5 a G Nbyos Et Nogcor ovynEidas NeyeraI drav, at des
ComBa (- NorcON MMXINOMTES E EaVTaS oadoIaCiU oO as. Malim ve. Ratio, ex rationi-
rio, sive bus componi dicitur, quando raton quantales inet se muipunta aliquas
continus
rio, quid
(Teu porius aliquam) essieiunt.
Ouid per Rationum quantitates intelsixit P. uclides non inter interpretes conve-
D pleniorem Rationum craditionem, superest uc Rationum Composicio, sire
Racionum Compolicionem, sire Concinuationem, sive (ut nonnulli loguun-
NIC: num lerlicet iploS TemMos; an quod ex corum comparatione provenit. V.
crumris aurem dicacur perinde cll. Puca, lirationis A ad B termini, in terminos
rationis

## Folio 155 — 851387705:0175
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000175.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Cap. XXX.
GOMBOSTLIONE.
rationis aad B respectire ducantur; nempe A x a BXR; ue proveniatratio A X a
ad B xB: sive criamratio  ducarue in rationem , u proveniac    non
mulium incerest; nam   = =  i uc ex sractionum mulciplicanclarum reg.
lis suo loco parebic, Fulius haec exvonic Eucocius ad prop. 4. lib. 2. Richim. de
Sphaera  Cxlncio.
Ouoe aucem volune cum Euclides, cum alii, hoc est rerbi eracia, Duplum tri-
pli, vel Triplum dupli, componi ex Duxto ee Pripto, (rel ut Lacinius dicam Ra
Eio quam hâbec Duplum cripli componi dicatur ex ratione Dupli de ratione Fripti
quipre quae quancicaces invicem ductx consticuunt duplum cripli: Paca 2X3 =
rel ZX3 =6. Sic Fripli dimidium, vel Dinidii criplum, (quod elt, Selquialte
rum,) componitur ex Priplo de Dimidio: puta 3X5 = 3 = F3. Sic racio Dupla
compori dicitur ex Sesquialtera de Sesquitertia. (hoc CA, ut loguuntur Mulici ex
Diapence, e Diaellarqu componicur Diapalon,) quia 3 2 3 = 3 = 2. Sic ratio
ABC
ab7
componitur ex rationibus
D. quia
qualicate. 28 d 5.
ABC A
5, =. Irem ; COmPOnIIIE ex B
c
D BCD = V. quae dicieur nsgos stioes ext aequo, sve est a
Contra vero, Raio e, imminura ratione =, et ; quin .
AB, B
ae (5. Duod Rarionis
nonnulli sic elerune, CI ex ratione  auteratur ratio L, manebicracio 
Cur aurem hanc racionum imminurionem non paricer definirerie Rudides acque
Compolicionem sive Concinuationem; causa est, quoniam idt minus erac necelte,
cum urumque per compolitionem fieri pollit. Peripde enim est rationem
LB
 racione  imminuere, acque cun racione  componece. Wam L
ABaC AB a
TIaC aurem Racionum Composicio, an Addicio judicanca sic an Mulciplicacio.
haud Pacis videtur apud scripiores Arichmericos (vel etiam Geometricos) con
Ctare. Veuc enim cercum EE
verbi gracia, duplum tripii non idem est acque duplum es criplum, quippe hoc
est quincuplum, nam 3 = 2 =5; Sed Triplum in 2 multiplicatum, adeoque dex-
cuplum. Nempe 3X2 =6:) Accamen ulu fere obtinet, ut rationum porins Ad
aitio dicatur, quae ell revera mulciplicatio. Ee quidem ne Mulriplicationis no-
mine jam tandem ex poltlimino saudeac, id maxime impedic, quod Multiplicatio
rationum jam alio sensu ulurpetur, adeoque homonymia metuenda lic, Si pro
rationum concinuatione sive compositione usurpandam relimus. Nam rationum
Duplicacio, Triplicatio, aliatre mulciplicacio, alio plane lensu jam (oler uturparis
quagi quo jam loquimur, ut mox dicetur.
Malim icaque ut vel Compositio vel (quod vox Graeca agneidus magis intuere
videtur) Continuatio dicatur, quam vel Addicio vel Mulciplicario
Delienandam aurem malim per nocam x Mulciplicationis, quam per L Addi
nionis; (nam praxin mulciplicando cherceri nemo dubitat:) adeoque qua ex
 e componicur racio, scribenda ct = n =, non aurem = + -
Adeoque coca illa de Fractionum Muliplicationé d Divitione tradenda dodrina;
de Rationum Concinuarione ee Imminutione, paricer incellisenda erit: sunc enim
ipsistima eadem res. Racionum iaque conrinuandarum praxin in illum locum re-
jiciendam censui.
Ac carendum incerim ne Rasio composita, abyos aynciudros, 5 d 6 tradica, alque
Compositio rationis, ouiseors noro 14 e 5 detinita, pro eodem habeantur, Sunc enim
res latis diverla. Ouippe illud Additionis, hoc Musciplicationis est nepocium.
Oc ex ipsis detinicionibus cicacis constat. Quod innuille susticiat.
Verum

## Folio 156 — 851387705:0176
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000176.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
DE RAETONUM
Cap. XX L.
Verum huc omnino spectat, quod de Rarione Duplieata Triplicata, aliasre
mulciplicara cradit Fuelides 10 d 5, ec alibi; vel etiam Subduplicata, Suberipli-
cata, _c. (Lodem plane modo quo ad Mulciplicationem reterenda sunt Oua
dracio, Cubicatio, aliaere mulciplicationes potestatum generatira; de quibus vost
dicetur.) Non enim cancundem signitieant atque ratio Dupla, Tripla, Subdupla
Subiripla, _cc. vel Duplex, Triplex, ecc. (neque enim ratio sextupla, rationis
Triplae, racio Duplicara dicitur, utur Dupla tic; quippe sextuptum est Pripli
Duplum.) Sed cum ratio aliqua (sire majoris sire minoris inaequalitatis) cum
scipta continuatur, qua prodit ratio, rationis expolita ratio Duplicata dicitur:
In in eandem icerum concinvetur, ratio Triplicata dicitur; de sic deinceps: Oui-
bus, ut correlata, opponuntur racio subduplicata, Subtriplicata, ec. (SiCur quan-
ricas in se ducta, expolica Quadratum producit; sin in eandem icerum ducacur,
Cubum, ecc.) Sic rationis ratio duplicata est
AC
criplicata, Z n = x
B BC. _c. Et conra; Racionis
A
B
BC. racio Tuberi.
plicata est: Ft rationis , racio subduplicata est Z. CEptius autem
B
rationis, racio subduplicata exir V =; Tubtriplicata, V c =. Ocplenius pa-
rebit postquam porestatum Genelis et Analylis tradita Fieric. Nam A exPOSita Ra-
eio dicatur Radix, vel porestas prima; Ratio Duplicara erit Ouadratum, sive po
celtas secunda; Ratio Friplicata Cubus, vel porestas certia; _c. Et Ratio Sub.
duplicata, erir expolux Radix-quadrariea, vel porectas sublecunda; Subtriplicata,
expolicx Radix cubica, vel poteltas subrertia, ecc.) Sic ratio quadrupla est, ra
tionis dupla, ratio (non modo dupla, quia 2 7 2. = 4, Scd) duplicata, quia
2X2 = 4; _ hujus illa Tubduplicata. Trem rarionis criplae, ratio duxlicata est
(non sexcupla, quod sic 3 f 3 ==6, sed) noncupla, quid 3 x3 = 9: criplicata
rero viginciseptupla, quia 3X3x 3 = 27. Sic racionis Z, duplicata est 3 X
criplicata, ZX = X = = 8, _c. Et rationis 3, duplicata clt = X Z = 3; criplicata
X5x= = . Etem rationis 3, ratio duplicata elt 3 X 3 = 3; criplicata, 3Y 3X 3 = 7
quadruplicata Z X 3 X 3 X 3 = 3, ec
Neque aliud volune detiniciones Fuclidis, 10 d 5. Orar reia vejedu creinoyor 
io coecoror coeis ro recror simaolora noyov Éxen degeram urs aeos r0 Scurcegr orur ) scavase
prgedu avaenoyor n, 1o coegoroV aeis ro Ferapror, recmaoiores noyor éxess negerat umpe weis r
Sdrceor noi a cEs Eri mcior, ecos ar n’aranoria rezn. Cum tres magnitudines
(continue) proportionales fuerint, prima ad tertiam, duplicatam rationem habere
dicitur ejus quam habet ad secundam. At cum quatuor maenitudines (COntinuC)
proportionales fuerint: prima ad quartam, criplicatam rationem habere dicitur ejus
quam habet ad secundam:  semper deinceps, uno amplius, quamdiu proportie
lae B, ec haec ter-
tix Cy aique haec quarta D, et lic deinceps, Cubique scilicet in ratione subdu-
tio A ad B cst Z, (cum enim B = 2 A, erit A. B:: F. 2.) Ratio A ad C
(duplicata) a = ZX L, (nam DrODteE C = 4 A, erit A. C: : F. 4.) Ratio A, acl
D (criplicata), o = E+ Z X 2, (nam popter B =8 A, eric A. D:: L. 8.) Et BC
deinceps.
Acquè hic non incommodum erie norare; quod Fuctides non simor, reindur, dec
vel simaoror; recmaoior, ecc. dicit, (quibus rocibus alibi id innuere Toler quod
Lacini rocibus duplum, criptum, ec. vel etiam duplex, triplex, 16.) ed smae-
oiora, recnnaotovam etc. (quod et perpetuo hoc sensu oblerrat,) quem aliquatenus
imitari conancur interpretes, dumi non tam rationem duplam, triplam, eec. vel
etiam dupticem, cripticem, eoc. Hoc senSu; sed porius, mutaca Forma, duplicatam
criplicaram, 3c. dicunt: cum ut diversitatem Formarum cndassos, _E Snnccoicr avud
Luelidem, aliquatenus reterant; tum ut duorvuia aliguatenuS CaVeATE.
Verum ec hujulmodi rationes (puta duplicata, triplicara, subdluplicata, ec.
atae tri invicem concimiari portune, unde ratio ex illis composita eMerBAL Puta ratio.
C.
nis , racio criplicaca eA , hujus aucem subdupsicara est Y 
BC: erso ratio.
nis
Suplica
 Sub
Ratio
Subdupti-
plicata,

## Folio 157 — 851387705:0177
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000177.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Cap. XXXI
plicacae lubduplicata, eric V C. Lodem modo, cum rationis = ratio duplicata
(II
C.O+dSFLAON
nio  racio Triplieacae Subduplicala, erit Y FC. Sic racionis a, ratio Tri.
xX X. acque hujuo Eripilcata XqX qX9
erit haec, racionis  expolicae, racio dupricaca Mipcala, (sive criplicara dupli
cata,) nempe sexcuplicata. Vel etiam A ratio quaris simplici Bmbolo detione
cur, puca R, erie Rg vel R ratio dupticala, L eriplicata, R. Quadruplicara,
criplicata, V P duplicata Tuberiplicata. Nec sccus alibr.
Tocius aurem hujus negocii praxis Artmelca, (puta datae rationis rationem
duplicatam, criplicatam, subduplicalati Lubdupcata triplicacam, aec. Invenire,
R = R X D sexcuplicata, sire criplicatae duplicaca, VR subduplicata, V3 R sub
vel numeris auc etiam Cymbolis detionare,) ex Fractionum mulciplicatione, qua
dratione, cubicatione, es ractelus cusulris poreltaus analyli, dependet: qua suis
X
LOcio LacCHEuT.
Prosressio Geometrica. Continua: Disjuncta. Investiea
ao Summae. Investiea ta au; del cujusois
remoti.
DEosrectionis Geometriex orieinem de naturam superius cradicimus Cap. Z X V. Proeres-
Ouippe quae Racionum aequalitatem (similicudinem, idencitatem,) respicit, sid Geo-
ut propreltio arictimeriea aequalicarem Dilterenciarum, excettuum puca sive dese mecrica,
etuum.
Euclidi dicitur prarosia: Incerprecibus, Proporcio, Proporiionalitas, Progressio.
Cicero aranosidt interpretatur Comparationem ee Proportionem; ee quidem primus,
ipso celte, (in Plat. Pimaei interpretatione,) Duae Graece avenora Larine (auden-
dum est enim, quoniam haec primum a nobis novantur) Comparacio Properciove dici
Potest.
Fuclidi definicur avaroria n ases negcor ocoibrus. Rationum similicudo. 4 d5. vel (Fe-
cundum alios) 8 a 5. Aristoteli, F ChiC. 5. iooruS FE nor. Rationum aequalitas. PTO.
elo in Plac. de ReP. Noys SF avanosia raVoS, rationis Tdentitas. Theoni Smvrnao
arahoria SEL MCtOrcor nbjcor duoiors n TOVoS, rationum similitude seu identicas. l’abius
Onincilianus Similituainis rocem comprobat, l. 5. C. FF. Ararojiar quidem a Simili
separaverunt, nos eam subjectam huic generi putamus. Nam, ut Snum ad Decem,
sic Decem ad Centum, Simile certe est. Fuelides ipse, ueur, in Detinicione, Simili
tuainis vocem adtribeae, alibi tamen pasrim, Zdencitatem pocius innuic; nec cai
Rationem rationi aequalem dicie, auE similem, quam candem. VL per con lib. f
paltim est videro. Perinde aurem est lire Similicudinem, sire A qualitarem, sire etie
am Identitatem dieamus: dummodo enim de sentu conrenie nonceltucode verbie
admodum litigemus.
Distribuicur autem (ne supra dictum cs) in Continuam, ee Disjunctam (sive
dileretam, disconcinuam; Budao, hiuteam et interruptam. ) WXIlami appellat ArI
Ctoceles ouvezu: hranc aractyeneilu. i
quid
TIla CAF, ubI TeTMINI Ita Continue procedunt, ue intermedius quilibet sic cum an conti.
recedemiis consequens, rum consequentis anrecedens, in cactem ratione. 1. (L2. 4. nua.
16-
ae ABI Cadtem quide RCCuIE raliO, non aucem concinue, sed disjunctim. Vi Disiun-
et notat Fuclides 9 a5. Aranoria se er reiorr degis enazisois bir. Analoeia (PFOPORTIO,
Proportionaliras,) in tribus terminis paucissimis consistit. Nempe, proportio con-
Anua, UT2. 4. 8: ubi eadem incercedie ratio inter primum ee secundum, acque
inex secundum et cerrium. Proporrio gurem disconcinua sire incercupra, nonnili
QuatuOr
Proporcio itaque sire Prosresio, cribus ad miuuullu terminis consticurur. 104

## Folio 158 — 851387705:0178
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000178.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
DE LROGRESSTOHE CaP. LLX
quatuor laltem terminis constituitur; puta 2. 4.: : 3. 6. Cum enim, ratio quaelibet
duos terminos poltulet, quippe qui invicem comparantur; eademque racio laltem
bis occurrat uc constituatur analosia, quae rationes comparat: si terminus medius
lit utrique rationi communis (Duta prioris consequens, ee polterioris antecedens)
in cribus cerminis eadem bis reperiri porest ratio; sin minus, non nili in quatuor,
cum utriusque rationis duo termini, a duobus reliquis cerminis alii sint. Porelt
aurem rum analogia concinua pluribus adhue quam tribus; ee disjuncta, pluribus
quam quatuor absolri. Puta 2. 4. 8. 16. 32 Tunt continue provortionales; dir-
concinue rero 2. 4:: 3. 6::9. 18:: 5. 10. Vel etiam (nam es sic proporrionales no-
larm
det cciriit
tare licebic) 2. 3. 5: : 4. 6. 10. puta, ut Tunt ad invicem 2, 3, 5; fic X 43 6, +0.
De Progrestione Geometrica concinua, duo praetertim eradi Polent operationum
compendia; duobus Problematis propolica. Primum est; Focius progreltionis lum
mam, sine continua incermediorum additione, inrenire. Alterum est; Termi
rumesti. num ulcimum, aliumre d primo lacis remorum, neolectis intermediis, invenire.
59040
Primum quod atrinet. Concinux Progretionis Tumma Sic
O reperitur. Si terminus ultimus per communis rarionis FX
Donenrem mulciplicetur, (sire, quod cancundem cst, proprel.
2 lio per unum adhuc gradum ContInueTur;) aeque inde au-
teratur terminus primus, es quod reltat per numerum uni-
tate minorem quam elt communis rationis Exponens divi-
datur; prodibir prosressionis lumma. Hloc Clt, E terminus
primus seuminimus dicatur A, maximus V, communis ra-
rionis ExponenS L, e progrectionis LuIa S. CxII
VR - A
nemuS.
= 5. Cujus Regulae demonstrationem infra expo.
Sic in progrestione adjuncta, decem termitorum Fermi.
nus ulcimus 39360 in communis rationis L Xponentemt 3 du-
ctusus tacit 178098; unde dempris 2 (termino. primo) re-
Ctanc F28096. Oui numerus ver 2 (numerum unitare mi-
norem quam clt, 3, rationis communis Exponens) dirisus,
quorientem extibet 59048, tocius progrectionis Tummam.
Oux quidem cadem est ee quae ex terminis omnibus conci.
nue addiris emersit
Cum autem res cadlio plena videri poltic, in prolixiori
bus falcem progrestionibus, lingulos cerminos concinua mulciplicatione sigillatim
invellixare; Hujus iaque operationis compendium quaeric problema illud ale
rum; Nempe
Prosrestionis cujulris inchoacae, terminum ulcimum, aliumre quemvis actisna-
cum, a primo Caris remotum, invenire. Ouod hoc pacto taciendum docent. Pror
srellio expolita, per aliquor taltem gradus inchoecur. F. r linguli cermini nocari
incelligantur coridem numeris naturali serie prosiecliencibus diciptra inchoatis;
DutA O, T, 29. B, 43 _ (rel etiam quibulris aliis, concimta prosreltiono, proceden
tibus, ab oinehoatis:) qui snaices rocari Colent, lire Rxponentes; cailtantiam eus
jusque termini a primo indicances. Hac praeparatione tacta; si terminorum jum
inremcorum quilibet mudciplicetur vel in tervelleorum alium quemtitets edipro-
ductum per terminum primum diridatur: prodibir cerminus iillevenl respondet
Index ex inricem mulciplicatorum Indicibus additis concatus.  Atque hoe, quo
ties opus tuerie, icerandum exis. is Suut  vig SCIO est sristere je
Exempli Bratia. In exposica plogrestione; Ihreniis cerminis primoribuls qua.
tOF, 2, 6, 28, 54, quibus respondent indices 0, 1, 2, 3. Ductis 54 in 54 (ter.
mino quario in sciptum, cujus index 3, 3,) hunt 54 x54 = 2926; quem nu-
merum si per 2 cerminum primum diridamus, proveniet 2) 2926 (2458 termi
nus septius cujus index 6 =3 F 3. Deinde, Si r458 terminus sepeimus jam
inventus, (cujus index 6,) ducatur in 54 terminum quarrum, (cujus index 3)
prodibune 78732, quae per 2 (terminum primum) divila, exhibebine 2) 78732
(39366 cerminum dccimum, cujus index 3 = 6 + 3. Le c deinceps, quoulque
opus tuerit, progressio per Taltus concinuabitur.
1
Summa
investi
ratio ter
rint.
mini ul-
18
5.
16
48
245
43
C3T2
8030
5904
39366
L1069C
2) L18090

## Folio 159 — 851387705:0179
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000179.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
i
6
TEOM E
393660
38360
Exemplum hujulinodi aliud nociltimum libet adjungere. Sinc in equi cujus.
dam calceis lingulis sex clari, adeoque in omnibus 29. Et venum expotICI C
quus ea lesc, uc emptor pro primo claro denarium lolvat, pro sccundo duos,
pro cerrio 4, ee lic deinceps, lingulorum clarorum precium concinue duplando.
Duaericur, quanci emendus clt P. quus
Vel etiam, Si quis serrum conduxerie in annum incegrum, ca lege ut prima
sepcimana recipiat denarium, secunda duos, cerria 4, de lic deinceps, lingulis lep,
rimanis mercedem duplando. Oueritur, quancam habiturus est mercedem lerrus
anno incegro, live seprimanis 523
Conttimaneur pruno, concinua mulciplicatione, numeri aliquor primores, puca
Lex, 1, 2, 4, 8, 26, 32. quorum Indices c, 1, 2, 3, 4, 5. Ductis itaque in SC 32
(termino sexro emi index 5) FnnE 2024. Oua cum per terminum primum di-
videnda sine, sicque ille 2, numerus dividendus inde nON MUILLE; eE PTOPICrCA
2024 cerminus ille cA cui convenit Index 10 = 5 F 5, nempe undecimus, CIVC
Doll primum decius. Ille aurem in se ductus producit (cadtem ratione,) termi
num post prinum vicelimum, quia 20 f 20 = 20. FIC autem (eadem ratione)
ductus in 16, cerminum post primum quarcum (cui index 4) producii cerminum
cur index:
1
Dui quidem terminus cum sic ordine ricetimuS quin-
eus; adeoque clari ultimi, nempe vice
Timi guarti, precium extribeat uno achuc
sractu auetum; live quod cancundem
Cst, cerminum ulcimum in communis ra-
tionis Exponentem ductum; Hline si au
FEraCUE CErINUS pTIMUS T, numexUS FC.
SicuuS 267772T5 (qui, Cum per COM-
munem mulciplicacorem unicace minu
cum, nEmpC 2 - + = c, dividendus fIt:
hrac divitIone nON IMMUCCEuT,) est ip
numerus denariorum quibus emendus est
eguus: qui 26 millena millia Tuperat.
Siu dehuc concinllanea it progrestio
ad locum ulque quinquagelimum lecun
dum; id eodem modo tict. Nempe du-
cto in sciplum termino modo invento, (cujus index 24,) habebitur ille cujus in.
dex 48 = 24 + 24. Aeque hic irem in illum cujus index 4, tabebicur Ile cuslo
8
13
45035996273704
4503599627370495
index 52. (nempe ulrimus in communs lalionis Exponentem ductus) qui W
tare minucus, summam tocius progressionis exhibet: mercedem quidem latis amplatis.
Arque hinc abunde liquet in quam immentam ee plane incredibilem Tummam ab
exisuis principiis in concinua progrettione Gcoetrica perreniatur.
Priulquam aurem hoc nesocium dimictam; libet et Exemplum aliud annectere,
ex Auchore Arabico delumprum; (quod D. Pocockio nostro, Cummae I LI
Dlum, (Forcalte, omnium anciquistimum, ad cujus imitationem alia FVICrINE exCO.
Sicaca;) Sed e aliarum aliquoc inventionum originem videre licet. Nempe IN
Oriencalibus Frudicionis VHB, dcbeb.) Mle, Hon modo Mujulmoci compuci exen
Commencariis quos seriplit Selabo ddin Mobammed Alsephaci, in Nobilistimi
Poccae Posraii Poema, Lumiatoi Ajam dietum, ad hunc vectum
suocum led C.
Fnnal ola hadathatui
Vinio d5. l Blvl9 a15  alie) 8eto
cvedtus andtus C∞l9 crogedtus Madlus C. ygedlus olii) C B9 C. 1got atio
ai
hiac tabentur

## Folio 160 — 851387705:0180
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000180.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
DE PROGRESSTONE Cap. XXXI
(5. = C. N C Cd 3 9ul 99 dgdIC 3 dies C. pr poratiae yt  C
Cious sist egdus Cs l I C p dg Cd) Colaest c. p3 va ce c3
c5c 18)I, 0(5 Cad S Rerolus ( = 2 = =19 a10 Mib) Cognilb = 3y lanii 
cu ogid) 209 0os 8 cug aedt (5) gllo = 39l et3 l3 C3 Mivc3 ∞8
is) ei) Cisgo Leliiolus Lascel Alio alem suot cochyid s d) Aud
plot ceaes aatio c. pilis 5S lsllus divul ybiv 1e3 LX 13 y in c
Kaeillqus 1d3l,909 Lealies Hio le og sgosce 5) 33) Jliio ∞9e l9 yeaii 
Alolesus imint aeu Lsiveag) slaud) C1cl9 1 Dome: LB. id
23 Cololo lec g e au 1) al. labus  = 19 geet dibladus L ilus  a 11
Cogar5. 989 dale s ligs sd eli cessus Laesl  Civgeid C p Cac3I
Coye otid C. purm varie (., l ol ai ) ciogier as cla lo te (5, labi
Cogdud eo atvi y6dgs cle) le Ma-io cen L oli ce C
312I syelivd) Cecio 90 lao, 19 ∞ e 43 Lin A  ∞ L dic
Celt Jge3 cl L danas c ct Cadt sed - puit (. 1 8s ceet co
oiedtus Lael Coes et (. 18 =3ybair l3 cal I C. pat 9 3 - = 1gid l
Lalo-
Hyredt 3 Cyot gg et 1 iid dut cd g b. iu l9
CBL Onogi cais I ula C., l9 d3 C 1 8) 6 1 C gedt Ci eur
dlarias gaaet Ssloo LSia Cixiii i ytaiul 9  cibl due dd eug 
arte cirio aale, sisia (.  ad luo syot ad Lioglus chilbit le duioy e L b9
dibelo lo aate, iolu B coro (55) 1 (5)lb) peneiuolo L = 1 aereris 0aC
5.d0 ne C3 lo- Mlai pletl c 3 Ctale sd Calb C. pu o 8 3
clis lo locie lo cslH) Sglo c. 1gocI colo) auuu l6o 5 as ed polo
3L + 11 podt _ = lo a 1 vy C gli ettio,  olo aio Milet s 10
oeus o CN. c5) ∞30d Cusio lie Mo o J9dt C. poi
1e3 c5 ), t ao bvd libl 500 (1∞ 15 W 13 3 c.
c5t 1 1 l9 89, C  1∞d caris le. gb () 96 39 di sy ci  B col un =
Miilo niis cactud) Cina) olaedt ceclas aot gau 1eddc  = . dis;u
te Mou a cartuus aoladus solo cuvus Let elbus carist aro
80gadlus, id L+C C. l~ LB3 n-C 0 oy 20dceo ul = 1 500
co cogiie d) cd ie ∞oladt cectao p Meill scoc no aule
 Lee: Sd pu c01 At colasgl cao cerot  c9 euo
c3I cest cremvg dis, 19 c0,) ced) solo c5) cures, d cins c3 c0B
ad agui lcrabil hitbus c0, ailius L10, C. prtous carissus dislo   avg
Lesiu L ed) dila =) ci il 6 car ) cix3 c5) C. gaid) ceelo 8is)
2.)  CiI esdco ceelo ast ps diiic cebl lavu didgio pgineus
Eiiiceo ced) piiie disiu S d u ) Solto colaodI ) ge c. portad
100 Laadi c3 cun aot aes cisus aisao c. prolavus les,lus ds lo cilius
gii
i
vaeo
es
bni
u
1
lie
Vertie
Tun

## Folio 161 — 851387705:0181
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000181.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Cap. XXXI.
GEOMETRICA.
oyteaii) ee, ereris olaisit lo, 2) cilo coeis) vaet 10a cuo ydici)
colgo cura les1 Ogasylus d. lo 23yl9 cetgo ciu cet ce 1I gaie drola
Cilo Lest cgerou diligs co lgo 23,) L e) c.1925,19 C3, 19 d. L0 2 a avg
à)) (. 9uva 29 c l9 ds. lo curr) on 3go C13) deuisus ds. lo 2  9 ct
-10c C y in C d ar 5 9 d il 1 X 19
1 A K AE G V F NE - Y 1B V 0 4881 418
+E
1o
V
eo  diegeus dua cantuo sil gb L oltus Loge cat lira et lotus
Sctt codlo et,  C 1) desy 90 C cciit i 1. bl. et 1 -C aelie, 19
L.= fl, C di L auo c 5,ebl c0y d) e)t cale didceriao plaiit duils g
(.9r, l9 403, 19 d 3. l - 0 M, 19 d - by (.9 23yl9 C. lao l0 aoris, 9
Lo Liasys 10t ci 19 1e) caodi (9uvg des, pe L 4 0
CScd) Cic 3 (9 ( Cla desgo cao lor voest cro ea
d i  cilit.3 lo lies, 10li loaly d cir.  1o Ceerie 300C
L . = cum ol = 1c 3 c 2 = lo lies, 1olus cuol : 1 13 lo L
clo olies, 10 lo giie ∞ar1.3 lo hor olies, 1olo e nol a 1 13L0
Mntuu l9Cuol=I C3 Lo 1ec slies, 1olo C. gailisu cil l e1 .3 L0
Let= cogn A c3 L0 dilia olit c., 1~ 1021 aio Livest 10lo
o=lo2 l9 aio ceio et io oliere BC niut ∞tl carct, s1
diee, careris M. )a) la 8 39 conicullus ∞ 31,) Ca 1 Mola aerio
cr l83 lgesu disils cis cii Sgresus. Clogi curta co yic
seuvidius ytiid1 dasus aiocsus alal Colic cul a 1 C. p p 839 a0
~C lau ) ∞l9. I e = dl C5, 2)
Oux Latine Sic FONAnE. c Certum est, rocabulum hoc (Metrunge, Scaccha
a pn ludus;) Perticum este, cujus Thema Pertice est sest ranc, quod Cigniticat
c seu species, quae Tunt Astat, Upharzan, Aphil, Apharas, Aroch, de Baidat.
acHOC CHt, RCK, Regina, Elephas, Equus, ROCh, PCdes. ) Homimum aurem non
ce pauci Falluntur, quod ad Asiit, qui est Aou Beker L
ae Fibn Abdollab Fbnot Abbas Fbn Sut Fatin leriba, aucumantes illum, Scaccto.
a rum ludum invenitte, eo quod Proverbio orisinem dederit. Certum autem est
c Judi hujus auchorem fuiste sessa Fon Dabir Indum. Cum enim Arassir Fbn
ec Babec, primus Resum Pertia Posteriorum; Calculorum ludum PT ables ) inve
ae nilter; unde _ Narassir appellatus est (ludus ille ) quem ad exemplar mundi
c compotuit: Rhacum in duodecim domos distinguens, ad numerum mentium
cAnui; Calculos crisinta, numero dierum mensis; Falos, ad instar sphaerarum
circumotantium; corumque jactum, ad instar motus ee circulationis carundem;
in eisque puncta numero Planetarum, quorum sirus quiliber numerum extibet
seplenarium, (dum scuer e ionas, quinternioni dyas, quacernioni
CTerNIO OPPONITUT;) notas quas jactu lorcitur ludens, instar praedeterminationis
a e decreri divin, qua spu altscanido tavene, aliquando adverlaneur; ipse autem
calculos PrO raLIOHE HOCatI movet, ita incerim vE, Si perspicaci sic ingenio,
dienolcere queat les ed arce disponere, ut victoriam consequatur, acque adver-
ec Tarium suum Cuperet, scaltue Guod determinaverint tali; quae est via A(sario.
Wacraric mihii quidam side dienuo, Sheich Labiondim Abmed
et Sibn
e rum.

## Folio 162 — 851387705:0182
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000182.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
DE PROORESSIOHE Cap. XX
l.
a Fibn Tamimah dixisse, ludum Calentorum praestantiorem esse ludo Scaccho.
ac rum, quod illis ludens aenoteat Decretum e Praedeterminationem: at Scac-
cechiis ludens, eadem neget; quod propius accedit ad Matazalorum senten-
cc riam. -
a eum eroo hoc invenistent Perlae, coque slorientur; . . . .. Resi Indix, in-
 venic sessa praedictus scacchorum ludum, quem iltius temporis lapiences isti
praeterendum censuerunt. Ouem ergo cum Rezi exhibuillet, ejulque rationem
ipsi declaralser; ab iplo juttus, quiequid liberet, petere; petiit ille grana criciei
juxta Parcolarum) numerum (Concinue) duplicanda. Ouod, ut parum quid,
Cexistimans Rex, pr eo quod animo conceverat; male ab illo culit, quod cum
rei tam modiex ac renuis veticione exceperit eo in loco. Respondic ille; se
 nolle aliud. Hoc igitur iIII dari justic. Ac ubi, qui Ratiocinis pexerant, il-
ccJud compuraltent: Regi dixerunt; Non elle penes ipsos, quod ad illius LXI-
conum illud, prope accederet. Cui cum Rex haud adhiberet tidem; rem ipsi
ce demonstrarune. Adeo ui, Secundum hoc, majorem ipsi admirationem inculeret,
cc quam illud PriuS.
cc Pefere At Raci dbemso adin Abmed Fibn Cbalecan: Tlaerebat mitri animo
CcF scrupulus) de hac simma, donec compurista quidam Alexandrinus, qui me
ec convenerac, viam mihi oltenderat qua manitectum mihi tactum est quod dixe.
ic rant; chariam mihi exhibens, qua vericas ipsius constaret. Nempe numeros
duplicans usque ad areolam decimam sexcam, illie Racuic granorum criginta
duo millia, sextinsenta lexaginta e oeto; Tummam hanc, inquic, stacriamus
menturam Rabah. Ouod cum examinareram, ita se habuit uti dixit. 
Deinde duplicando decimam seprimam, ee sic deinceps ad vicelimam; in ea tuit
CEmentura Waibah. Dein d Waibis crantiit ad Ardubbas; quas duplicare non
ac delii (hoc est, continue duplicaric) donec in areola quadraselima pertingeret
ad cencena de septuasinta quatuor millia, et lepringenas ee lexaginta duas Ar-
dubbas, cum duobus trientibus. Rtque haec Tumma esto Granarium. Deinde
Ciranaria duplicans ad arcolam ulque quinquagelimam, prodiie summa, mille et
virinti quatuor granariorum. Aique haec mentura, pro urbe habeatur. Dein,
illud duplicans, ad greolam usque sexasetimam quartam, quae est omnium vI-
rima, prodiic summa urtrium, sexdecim mille ee tercentum octosinta quatuor.
e Scias aurem non ese in universo mundo urbes hisce plures numero. AIque
chactenus ille.
aDico eso; ultimum quod producitur duplicando abacum Scacchorum, clt
coctodecies mille mille, sexies; quacringenca quactraginta (ex mille, quinquies;
cs septingenta quadraginta quatuor mille, quater; Septuaginta tria millia, ter; sep.
cc cingenca norem mille, bis; quinsenta quinquasinta unum mille; atque lex-
a centa ee quindecim. 284 4674 407 3709552625.
erit sexaginta milliarium; lacirudo, par; alcicndo ciam, par. Secundum milliare
quod constat quatuor mille cubitis vulso ulicaris: quorum quilque est crium
ixichamarum medioerium. Cum euiam Ardubba A Erpciacx mentura Ec cubi-
tus cubieus; ponctus ixtius erie, Rotalarum ducentarum e quatuOr: quarun
Cunaquaque Roral Mst cencum quacraginca quatuor drachmarum: Drachma au-
tem elt Granorum eritiei sexasinta quatuiOr.
c POrrO S numerum, in qualibet areota, quadrarerimus; quadrando produei-
cc tur qui Ctacendus est in areola cujus numerus duplus est numeri iltius arcola,
ec uno minus. Fxempli gratia; ubi quadraverimus quod cst in certia, prodie quod
c ominex est: Cumque quacrarerimus quod prodiie in quinta, producitur quod
ccpona clt: EF cum hoc quadrarerimus, prodii, quod eM decima septima: Hoc
cenem quadrato, prodibir quod est cricelima cerria: atque hoc quacrato, prodit
Ec quod est (Loci) Sexagelimi quinti: Onde li unitarem lubtraxerimus; reliquum,
ec est Cumma iIIS quod elt in arcolis omnibus ulque ad sexagelimam quartam.
ccOuod B, ante subductam unitatem, dimidiarerimus; erie semillis, id quod pro-
et dit in areola sexasetima quarta. Arque hac prati procis duplicatio abact Scac.
chorum, quinque operationibus.
Dicuur, ex quibus excellunt indis quibusque teliquis hominibus pexiverune,
ec TxIa

## Folio 163 — 851387705:0183
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000183.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
ap
EOMETLTCA
Figuras numerattdo
crria este. vir. Labrum Colailab W adamnah; ludum Scacchorum; atque novem
Cum aurem in luperioribus, laudacus sit Fbn Chalecan; Gravis apud suos auchor
ee magni nominis; lectori tortan non insracum erir quae apud ipsum, in rica i
suli, habentur, recitare: qua, lacine reddica, sic POnanL.
Vidi mulcos qui altererent, Alsili Scacehorum (sire Parrunculorum) ludum
inveniste. Ouod error cst. Fjus enim Ruchor tuit Sessa Lon Daher Indus
cRegisque, cujus gracia illum invenie, nomen Shehram. Siquidem trastiir Sibn
cBabec, primus Resum Perlix polteriorum, ludum Calculorum invenerac, (Nard
estir inde dictum, ab Auchore lc. denominacum:) quo mundi, ejusque incola
crum, specimen extribuic; dum Alreum in duodecim domos diltinxir mentium
canni numero; calculos criginta, numero dierum cujuslibet mentis, Hacuens; ca-
clos aurem, decreri Dirini, ee mucationum quibus mundi ineolas acitat, loco po.
clui. In lumma; lonsus esser his de rebus fermo, de a proposico nostro alienus.
Cloriancibus erso Pertis, ludi calculorum inventione; in Regis Indorum Sra-
ceram, sessa Scacehorum ludum compoluu: Ouem caleulorum LIudo) Lonse an
crecellere censuerunt illius cemporis lapientes, ob mulca quae enarrare longum cllet.
cterum aurem, quod, ubi sessa ludum iltum, d se invencum, Resi Sbehramo
cpraedicto expoluisser ille de hoc miracus, valdeque laecatus, jussic uc in Racio-
ccinacorum consestibus usurpetur; omniumque quae nostet praestancistimum judi-
ccarit; urpore qui bello inttrumenium ellet, relisioni vicaeque communi stabili-
cmentum, omnilque commenei findamentum; acque se gratum ostendic ee laecicia
caltectum, ob intisne quod libi in regno tuo hac ratione concisiller beneticium.
Jullicque sessam, uc, quicquid libi libuerit, peteret. Oui ergo, Opto, inquits
cuc cricici sranum prima domo (areola) Policum, concinue duplicetur, donec
cad ulcimam pervencum tuerie; illadque quicquid tuerie, mihi concedas, Rex au-
crem illud, ut parum quid, contempeu accepit; de male culit, quod ille exignum
quid et cenue propotuistet, cum ipse masnum aliquod animo concevisset. Cui
cille, Nolo, inquic, aliud quam hoc; arque in ca pecitione persererarie; donce
iplius roco annuens ( Rex) id ipsi dari justic. Ouod ubi compuciltis luis di
etum elter; illi, facto compuco, reculerune, non este penes iplos trumencum,
Cquod summam istam aeguaret, vel ad eam prope accederet. Ouod cum Regi
cnunciacum ester, ipseque dictis altensum haud praeberet, computiltas accerti julIE.
Ouis ab illo incerrosari, responderunt; li comportaretur cocum quod in mundo
eltet trumentum, id summam istam haudquaquam aequaturum. Iploque Sibi rem
demonstrari pecence; cum considences compurum feciltene, apparuit id fuille re-
FTUM. RCX ergO diXII, MasiS CSO ce miror, ob eam quam fecilti optionem, quam
c0b Scacchorum quemm invenisti ludum.
Pacio aucem duplicationis iltius est, ut in domo prima, ponatur granum unum;
Ein secunda, duo; in cerria, quatuor; in quarta, octo; acque ita deinceps usque
ad ulcimam; et quoriescunque ad aliam domum cranseatur; duplum ejus quod in
Cpriori politum tuerat Iacuatuis.
Eram aurem animo solicitus de hac summa, donec computistam quendam A-
clexandria convenissem; qui duos mihi modos ostendit quibus dicti veritas pa
Crerec: Charramque mihi extribuit, qua illud delineatum Fuit. Hac soil. ratione
cue, cum numeros duplicaster ulque ad domum decimam sextam, Catueret ibi ora
cna 32768: quam, inquic, summam, mensuram Kadah Catuas; quod mihi ver
pendenti ita le habere vilum elt.
Dein, Il Kadah domo decima
Teprima duplicans, eo modo perrexit donec areola vicelima W aibah haberet
Dein Naibas duplicare pergens, ad Ardobas perrenit: Quas duplicare non de
Tiic, donec domo quadraselima Ardobas haberet 174762 cum duabus rerciis.
Tum dixic, Flane lummam Llacuanlis Cranarium; neque enim plus ea contine
Dic Granarium. Dein Granaria Ica, usque ad domum quinquagesimam dupli
Cacau cranc 1024. Acque haec inguil, Srbem conticiant. Neque enim urbs pluxa
Orataria concinebit; de quae candent Orbs tor in se concinebic granaria e Deim
cOrbes duplicarae usque ad domum sexagesimam quartam, qua in Scacctorui
i loco mundo plures quam tOL ulbes: Siquidem SpharR FCTHX CIFCHITIS, Prou
ex Cieometria constat, est Paralatisarum 8000; adeo ut SI quOCUNqUC CETTX
loco Poneretur tunis extrehilluo, quo TOIM terra Sphaeram cingeremus, donce
alteram
Abaco ulcimqe est. ad numerum 16304 pertigerunc. Sciasque, inquie non elle

## Folio 164 — 851387705:0184
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000184.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
DE PROGRESSTONE
Cap. XXXI.
alceram tunis extremitatem ad cundem locum perduceremus, ila UE OCCUTrerenE
ucraque extremitas, tunis istius mentura esset longicudinis milliarium 24000.
Cqua ParaTanSaS 800O, aequanc. Acque hoc demonstrarire rerum clt Cine du-
cbio. 
Nocum aurem est, parcem cerrx habitabilem circiter quartam
ejus sphaerae parcem esse. Acque haec sune quae de hoc nesotio habet Fbm
Chalecan, loco citato.
Hlaec autem tusius recitare operae pretium duxi, Ouoniam, praeter elesanS PEX
seneis negorii exemplum, idque admodum recultum, de force omnium primum;
Flabemus etiam originem cum ludi Calcutorum (Atrei aleatorii) cum Lacrun-
eulorum (Schaechii) tum etiam Piorirarum Numeralium. Nomina vero, qui
DuS Fatrunculorum ludus vulso appellatur, Chesse, Fsehes _c. ab ip(O ACcHOTiS
nomine sesta videntur deducta. Schacchii rero nomen, d SBah, quod Regem
signiticat. Onde ee Checte Peu Shach; quo, inter ludendum, Reei cavendum
indicamus: et Shach mat, (hoc est Shah mat, rex moritur,) quo, adrerso RegC
plane ricto, victoriam protitemur.
Ouod aurem ad Calculum, in cicatis Authoribus recensitum, attinet: est qui-
dem ille per se Patis clarus, ut multa explicatione non indiocat. Td perim
observecur, quod ex calculo pacet, poni nempe, quoad menturam capacitatis,
32768 Crana exitiei = Kactat.
16 Radan
6 WaibaM
174762Z Ardob
2024 Granaria
32767 Orbes
Icem, quoad pondus,
Ardob
Rocal
Drachma
= WaibaM.
= Ardob.
Granario.
=Orbi.
=Summae.
== 204 Rocal.
== 244. Dractmis
= 64 Granis.
Denique, quoad menturam longicudinis,
Paralanga = 3 Milliaribus.
Milliare = 4000 Cubitis.
Cubitus
= 3 Spithamis.
Ardob. =Cubito cubico.
De autem menturae iltae cum nostris Anglicanis melius comparentur: libet sa-
tucum de menturis Anslicanis recentere, Anno 3L Edardi primi Pancirum, hoc
cHt, Anno Domini 1302.
aut. Consensit totius Reeni Anetia, mensura recia sie constitura est: ut Denarius
in aleen Anelieus, qui vocatur Scerlineus, rotundus sine abrasione, pendeat vrieinta duo
Crana tritiei bene exsiccata e ex medio spicae collecta:  vieint Denarii
constituant Onciam: e duodecim Onciae, constituant Libram:  odio Librae con-
moneta fuuunt Codium vini: e octo Coner vini, constituant? Modium Londinensem:
naebodi. Suxta hanc iaque consticurionem, 32 Grana iriciei pendent Denarium: 640
Crana, pendene Onciam: 7680 grana, pendene Libram, (adeoque constituune
2 ACa menturam Pinta, = 5 Congii:) 62440 grana, constituunt vini Consium: d
3 a B,- 49(520 Srana, constiuunt Modium.
Videtur itaque Nodius nolter, cui astionantur grana 49L52O, Praeter propter X-
oualis esse illorum Waibae, cui nempe implendae Paris luperque lutticiant grana
Joci ricesimi, hoc cAt, grana 524288. Irem eorum Racali (nempe is Waibxe)
cui implenda Paris superque sulticiant grana loci decimi sexri, hoc est, orana
22768; perinde tere videtur acque Semiconsius noster, cui nempe conveniune
grana 30720, quippetori consio conreniunt srana 62440. Similiter eorum AF-
dob = 6 Vraibis, concinebit propterea s modios Anolicanos circiter.
Similiter; cum eorum Ardob pendere dicitur 204 Rocalas; adeoque Waibati,
Rocalas 34, Hoc est, Drachmas 4896, sive Girana ponderis 313344. Paret vel
eorum Crana ponderis, prariora suisse tririei granis; vel taltem grana exiciei qua
hrabencur
2768.
laltem
uno ora-
no minus.
+0, fere
tres de
narios
erna
anelica qui est octava pars duarterii.
Bel.
p

## Folio 165 — 851387705:0185
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000185.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Su. t.
CLOMETRTCA.
habentur loco vicetimo, nempe 524288, multo plura elle quam concineat Waibah,
quae autem loco decimo nono habENEUT, PaUCIOTa, NEMPC262144.
Si autem ponantur illorum grana ponderis, noltris aequalia, illorum Rocala
(hoc elt erana 9276) suverabu libeam nostram (eam nempe quam Frojanain
VOCaNE, FranOrum 758O) duabusuneiis d semiste tere, adeoque prope accedit ac
Libram quam vocamus Aver dupois, quae aequacur uneiis Frojanis 243, (nempe li
brx Projana, ee duabus uneiis cum semiste, de insuper duobus denariis; live uneiis
24. S denariis 12.) Si vero corum grana majora line; ut nempe eorum Waibili
vel aequer vel luperet Modium noltrum; cum Rocula illorum tere duas libras, quas
VOcaUS, Frojanas aequabit; salcem 34 Rocalae (pondus Waibae) aequabun 60
libras Projanas, nempe modii noltri pondus. ACCUTatam vero menturarun
vel ponderum illorum cum noltris comparationem hine insticuere minime vale
mus; propcerea quod (ubi ommim tundamencum ponItuT) Grana loci decimi Lext
non llacuuncur menturam Kactah pracile implere, sed Palem implere, ee porius su-
Perare quam deticere.
Si aurem libeac etiam tocam quae emersit sranorum molem, ad mensuram millia-
ris Anglicani redigere: illud haud magno labore Hec. Cum enim constat, ex (u-
perius dictis, grana loci vicelimi, 524288, lalrem aequare vel porius superare mO-
dium Anslicanum: erit modiorum in coca mole mumerus (ut dirisione patebic)
35284372088832 (Taltem uno grano minus) nemDE quanEuS eIL MIIIMErUS GTanO.
rum in loco 46.
Concinet aurem quilibet modius Congios octo, quilibet autem congius pollices
cubicos 232, (de Vini Consio incellioo, nam Congius cerriliae contnet pollices
cubicos 272 Z nempe tor cubieos pollices; quoc lune, in quadrata Perrica, Pedes
quadrati; nam 163X265 = 2727) quod accurace le obserrasse cestatur D. Ouch
credus in libro quem De Circulis Proportionum inseriplic, Cap. 9. LF propurca in
Modio Anslicano continentur pollices cubici 2848; acque in sex Modiis AnoliCa-
nis Pollices F1088; cui cum praeterpropter aequalis tuille collisicur Ardoba A
Sptia, quae illorum cubito cubieo aequalis pOnitur, eric illorum cubicus cubicus
pollicibus Anslicanis 12088 aequalis; adeoque cubici lonsicudo, eric pollieum An
Elicanorum 2213 circiter.
Milliare aurem Anslicanum continet 8 Radia, quorum quodlibet continet 40
Percicas, harumque quaelibet pedes 163: adeoque Aadii lonsicudo, est pedum 660;
milliaris aurem, Dedum 5280. Et propierea, milliare cubieum concinebie pedes
cubicos 247197952000; hoc et, pollices cubicos 254358967056000; (quippe
Des Concinet 12 Pollices, adeoque pes cubieus DolICes cubicos 1728 = +2X
(2 X 1
Cumuaque, ut dictum est, modius concineat pollices cubicos 18g 8, diviso per hunc
numerum numero pollicum cubicorum, unius milliaris cubici, prodibic 1376396434282
numerus modiorum in milliari cubico. Per quem itaque numerium si diridamus
25284372085832 numerum modiorum in cocamole, prodibic 255 (62673 nuerus
milliarium cubicorum. Cum autem Pyramis sic 5 Parallelexipedi, (tuper cadem
bale, aeque alci;) Si criplicetur numerus milliarium in expolica pyramide, habebi-
cur Parallelepipedum super eadem bale aeque altum, nempe 76688019, cujus nu-
meri latus cubicum est 915326. Adeoque Tumma eriplum, superat corpus cubicum
cujus lacus o milliaria. Lc proxterea ipla lumma (nempe cubi triens) luperabit
eyramulem cujus cum consicudo, cum lacicudo, cum alcicudo, est milliarium An
POc CTUnC in Tota mole cubies cubich to Ardobx; nempe 5864062014805 3
liare cubicum, cubicis cubicis s+o; Si per hunc numerum dividatur
bic numerus milturium cubieorum  Pstamide 97(625968985; ejulque criplum
7790695 numerus milliarium  Cubo super eadem bali: cujus latus cubieum
CIF 6(5O2 proximC. Adeoque PyramIS (quippe Cubi criens) cujus cum lonsicudo,
rum lacuudo, cum alcicudo,  iltorum milliarium 6? proxime aequabit com
Branorum
Slicanorum 9.
Minurum; numeri modiorum, lire Haibatu, ponitur enim Ardoba xoualis lex
Waibis.) Cum itaque stacuitur corunt mllare aequale cubitis 4000; adeoque mil.
274
Dum vero in commencario Asephadis dicicur aequare epramidem loneam lacam
et aliam milliaria 50; manifestum mendum ridetur: vel enim meus me fallit caleu
dus, vel reponendum est 6. Cum enim ctacuitur eorum Ardoba cubico cubico aequalis
numerus cubicorum cubicorum, sire arcovatum, in tota mole prramidali, prodi

## Folio 166 — 851387705:0186
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000186.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 97 lines, status machine
DE LOOKBSSIBNE Cap..
eranorum lummam. Illorum itaque milliaria 63, ridentur aequare circiter d ex no-
Utris. Onunque ex eorum milliaribus, aequabit tereunum cum semisse ex no-
AEris.
Acque hxc Funtgux de Menturis comparandis, hic loci, dicenda videbantur.
Duo quis aurem, de incredibili hoc ausmento, minus dubiter; placuit corius
operationis procestum, ad locum ulque sexagelimum quartum continue duplan-
do apponere; termini aucem ultimi duplum, unitate minurum, ell omnium ag.
sresacum: quod, siquis dubites concinue addendo constare poterit.
67106662
F342 F7
268435450
36870OT2
207374
30
2 L4 7 48364.8, 32
4294967296 (33
8589034592
27779869284
34359738368
687204767Z
13743895347
27 4 87790694
5497558F388E
20995F7627770
2299023255553
43980465FEFO
8706093022208
C75922860444 T6
35284372088832
70368744 777664
540737488355328
34
38
36
B
0
d
c
2
8
14
5
5
47
48
28T474976720656 40
56294 995342 F3F2
50
CT25899906842624 52
22557998+3685248
52
4503599627370496153
90072992547 40902 54
280T439850048F98
36028797028963968
5
56
7205759403792793657
244 FF5E8807585587258
28823037615F7TT744
59
53646075230342348860
FF5292+504606846076 6F
2305843009213693952 62
46F2686OF8427 387904
53
9223372036854775803164
2844674 4073709552625 Summa.
Nota aurem, Indices in postremo hOC exempIO aDBOLIIOS VerUM LOCOTUIM OE
dinem delionare, nempe ab p inchoacos; non aurem, distantiam a primo, gaod
Facinne Indices Lxemxlorum aliquot praecedentium, inchoaci ab o: quod quidem
illic factum est ob eam quam cradidimus Regulam, de Termino ultimo, vel alio
qui aliquanco d Primo dister, omistis intermediis, inveniendo.
Atque hactenus de Progrectione Cieometrica hic dictum clto. Fulior autem hu-
jusce rei craclacio haberur deinceps capite XXIHI. Unde et jam dictorum de.
monstrationes tunc petendx.
3
D
d
O
F
3
262
25
27
18
2d
20
+FD
82888
2637
d 32 3 
luneri
1
10
1

## Folio 167 — 851387705:0187
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000187.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
CaP. XXXII. DE LOGARTYAMIS
C A P. XXXI
De Locarithmorum Oricine   su.
ST autem ea, quam superiori capire cradidimus, Reoula, (de terminis remo.
Icioribus incermediis, quali per Talcum, inveniendis,) maximi quidem mo-
menci Regula: non cam ob eum, quem jam ostendimus, illius utum; quam ob in-
lismora quae inde delluxerune commoda. Lx hoc enim fundamento, depender,
Muiticum illud Losarithmorum invencum: Ouod inchoarit quidem Nobilissimus
Johannes Nepperus, Merchistonii apud Scocos Baro: pertecit aurem de contumma-
ric Peregius ille Geometra fenricus Prieeius, Praecector olim meus mericistimus,
Protellorum Gcometria Savilianorum prinus; nec hujus cancum sublessii, sed ee
tocius Acaclemixe decus _ ornameneum.
Focum, inguam, illud Loparichmorum necgorium hoc Fundamenco nicicur. SunE Loca-
enim Locarichmi, numeri Archmcrice proportionales, coridem Geometrice pro- richmo-
Dorcionalium, Indices. Horum aurem Indieum, sire Logarichmorum, ope, per rum Ori-
Addicionem ee Subductionem magna facilitare id perticitur, quod in reris Numc 8.
EiS non nill per Mulciplicationem et Diritionem taciendum erac. Trem, per Bi-
parcicionem, Priparticionem, Ouadriparcicionem, dec. id perticitur, quod nacurali
mechodo per Entractionem Rocicis Guadraciea, Cubica, Biquadratiea, _c. perti.
ciendum cll.
Scacuerune quippe illi, Locarichmorum Maxistri, (com
munieaus contiliis,) numerorum Geomctrice provortio.
nalium F, 10, 20O, 2000, _c. Indices, live Logarihmos,
Arichmecice proporcionales, 0, F, 2, 3. _c. Ad nuMETOS
autem iltis incermedios, his item intermedios Logarich-
mos, debita racione interjectos, aptarune. Indicibus nem-
De, sive Losarichmis, inceoris, parcium decimalium adje.
etione ica auetis, ue linsulorum incerjectorum numerorum
Tedes postularune, singulis incerjectis numeris uos Loga
richmos, laborioso calculo, e indetestis vigiliis, invelli-
SarunE ad hanc tere torman.
Numeri Logarichmt
F0,00000
10c
2000000
ac.
_c
e
O. 6989
720. 87500
10 L. 0000c
25 F. 39190
50T. 6989
T. 87500
2. 3 184
200)2. 60000
23612137134
Numeri) Loparictimi.
5002. 69897
750(2. 87506
10003, 00000
25003.39794
50003. 60897
7500(3. 87506
100004. 00000
250004. 39792
500004. 6989
750004. 87500
2006015. 00000
Aeque eadem mechodo omnibus etiam hisce intermediis numeris nempe d L
ad 200OOO, aptacos habemus L. osarichmos jamjam inveltigatos, in D. BS 
ruhmetica Locarichmica conspiciendos; nempe ad ulque cencena millia: qul ellalus
non magno labore, (Tumpris nempe proporcionalibus intermediis) ad ulque cen-
cies millena millia, sine nocabili errore, accommodari porerunt. Sed et ibidem
Canones Sinuum, Pansencium, et Secancium, Logarichmice computatos habemus.
Duorum omnium tutiorem cradicionem qui postular, cum ibidem quaerat, cum in
ejuldem Prieonometria Britannica; ab Fenrico Cellibrand, (ACtronomiae in Col.
legio Grethamenti apudt Londinentes cum Protellore) cclla  allla.
L082

## Folio 168 — 851387705:0188
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000188.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 118 lines, status machine
DE LOGARLTHMIS. Cap.
Logarichmorum autem usum quod actinet. Duorum quorumvis, (aut etiam
plurium,) Numerorum Locarithini simul additi, constituunt Losarithmum, qui
Losar.
2, 39794
L 2,00000
3739794
Logac.
E, 3979
1, 87500
3927300
Num.
23
X100
2500
Num.
2
X7
1875
numero ex assumptorum numerorum continua mulii-
plicatione facto convenit. A. deoque invenco facti
Loparichmo, habetur ipse numerus tactus, ex Ca
none. Puta si numeri 25, Logarichmo 1, 39794
adjiciatur numeri 200, Logarichmus 2; horum a8
SregaTM 2 + F, 39749 = 3, 39794, eAt Logarich.
muS numeri 25X 10O ==2500. Pariter, EI numeri
25, Losarichmo 2, 39704, adjiciatur numeri 75
Losarictimus F, 87506; horum a8gregatum 3, 27300
est Logarichmus cui in canone convenic numerus
2875. Fodem modo; in continue proportionalibus
2, 2, 4, ec. cum ad inreniendum locum sexasesi-
mum quarcum, numerus F, concinue mulciplicandus est in 2 lexagies et cer; (1
nuMerI F LOBarichmo 0, 00009, adjiciacur numeri 2, Logarictimus 0, 30103,
sexagies _ ter, (hoc CH, 63XO, 30203) prodibit 18, 96489; cui juxta Capo-
nem LOTATIChMICUM CONVENIEE MUMCTUS 9223300000000000000, Circiter; vel
Taltem 9223400000000000000; vel pocius inter ucrunque: neque enim in tam
vastis numeris expectandum est ut Canon Logarictimieus majori avecbis. rem
En Divi- Drocat.
LOGar.
2900000
2, 69897
0,30103
2,69897
-0, 6989
2900000
Logar.
4779C5F
29 3979
1, 87506
2,5185Y
LOgar.
0,69897
+0,69897
ETum.
100 (2
50
50 (20
Num.
75) 0rer. (3:
+0,60897
2900697
Num.
225
Similiter; Si ex numeri Dividendi Zoearithmo
auseratur Loearichmus Divisoris, prodibit Locarith
mus duorientis. Si autem plures continue Faciendae
Sinc diritiones; ex propolici numeri diridendi L0-
Barichimo, auterendi Tune Logarichmi omnium con-
tinve dividencium. Duca, Si Cx numeri 100, L082-
richmo 2,00000, auteratur numeri 50 Logarichmus
2, 69897; manebit 0, 30203 Losarichmus Ouorien-
eis 2. Si ex numeri 50 Logarichmo 1, 59897 aute-
Y3LUE 0, 60867 Loparirmus numeri 5, mancbit r.
Logarichmus numeri 20. Tiem SI Cx numeri 67875
Losarichmo a7925F auterantur cum 1, 39794 L0
Garichraus numeri 25; cum X, 87506 Logarichmus
numeri 75, (ex canone depromendi;) manebit
2,5285F Loserichimus numeri 33, duabus dirisio-
nibus per 25 e 25 continue tactis provenientis. EL
timiicer alihi.
Aeque hinc similicer sequitur; st numeri cujus-
vis Focarithmus dupletur, tripletur, quadrupletur,
∞C. provemet Loearithmus duadrati, Cubi, BI
quadrari, exc. expositae ractiois. Puta numeri 5
Logarichmus 0, 60897 cxiplatUS, REMPC 290969F
3X0, 60807-0, 69897+0,698970,69897
est Locarichimus numeri 225 = 5X 5X5.
 Rad FE, vice verta; Si numeri cujusois Learichmus suerit bisariam, crisariam,
cum ex quadrisariam, ec. divisus; prodibit Loearichmus radieis quadraticae, cubicae, bi-
tractione. quadraticae, 55. Puta 3) 2,0069+ (0, 69807, erit logarictimus numeri 5 = V3 T25.
Fractio. QuOTieS aUtEm OcCurrI numerus minor per majorem dividendus unde oritur nu-
num L0-
sarichomi. LO82r.
6730103
--0. 47712.
-0, 17609
NuM.
 2 (3
merus tractus, qui unitate minor elt; prodibit 19.
sarithmus Negatirus sire Ablacicius, quippe minor
quam 0,00000 Loharichmus unitatis. Puta 3) 2 (
numerus, logarichmum Dostulabit = 0, 17609. qui
nempe provenit subducto logarichmo numeri 3, ex
locarithmo numeri 2.
Oui plura petie de Logarichmici Canonis sire Constructione sive VTu, auchores
adeat supra lauctatos, Nepperum, Brisgium, Gellibrandum, aliolque qui de hoc
negorio ex protesso scriplerun. Susticiar nobis, operarionum Logarchmicarum
originem ee lonrem indicealte.
rithmo-
rum usit
in Multi-
T
plcatio-
hohe.
In Pote-
Cenest.
stabum
Prime

## Folio 169 — 851387705:0189
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000189.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
CaP. XXXIII. DE PROGRESSFOHE, SEC.
LLL. XXXTII.
Proeressio Geometrica fusuls rcut.
STCUL TUPCrIUS Cap. XZVII C XXVIII, Frogreltionis Prichmeticae doctrinam
DFulius prosecuri lumus, libet eadem Meodo e Prosrectionem Greomecricam
tunco quibus Cum uturus Symbola.
Terminus minimus, quem primum appello, sic A; MaxiuS V; extremorum
rectansulum H == V X A; maximi ad minimum ratio Z: Rcclangutorum (iptiM
aequa) Celnis reciproce sumpeis CompMeMOru ASGrESaTI, Z; mIeTUS
termnorum, T; communis racio R (incellise, Rationis communs xponentem)
ducanlia termini cujutris à dato, D; Lumi progretionis, S. Termini ipli, a mi-
agcredi, sequencibus propolicionibus explicandam. Ouod quo rectius tat, haec
nimo inchoando, dicaneur. a, B, c, a e, _c. d maximo vero inchoando, dicantur
en B, 7, d _C. Numeros qui cujusque termini d primo distanciam indicane Indi-
ces axpello; puta 0, L, 2, 3, dc. LHS praemullis, lequuntur propoliciones.
8
AL
(3T22
L+
AL
30366 AR3 k. 0
T. Si SCa = A, erit B = A R, C = AR2, d = AR3, dc. Ouitibet enim termi-
nus in communem rationem ductus, producit terminum proxime sequencem, per
det. Prosressionis Geometrica
2. Omilibet erso terminus producitur ex mulciplicatione termini primi in
Rationis communis porestatem Indici cognominem; vel (quod idem eAt) cogno.
minem distanciae iptius a cermino primo, iptum primum non compucando. Nempe
ARd. Sequitur ex praeced.
3. Datis igitur Termino primo seu minimo, Racione communi de termini quae-
fici distancia d primo; A, R, D; habEEuE terminUIS quasicuS, nempe ARd. per
praeced. Pura terminus sextuS f, cujus index live distancia a primo 5, fic ex ductu
primi in rationis communis poteltarem sun diltancia D =5 coenominem.
= AR3.
12t 1
4. Si cerminus maximus tire ulrimus lc V, eric pemulrimus  vel R) V; an.
cepenulcimus = L vel R =) V; hinc proxime minor R.) V; de sic deinceps; V = a,
R) V =B, R2) V = y R3) V = 5. Sc. Ouilibet enim terminus per rationem
communem dirisus, dac terminum proxine minorem. Per det. proBr. GeOM.
5. Duilibet isicur cerminus aequalis ell, termino maximo per rationis commu
nis poceltarem distancia ab ultimo cognominem diriso. Nempe R d) V. per praeced.
6. Dato ergo termino Maximo, cum Ratione communi, et Distancia cermini
quaesiti a maximo; V, R, D; habetur terminus quasituS. Puta sextuS a fine, Sive
anee ulcimum quincus, s = R3) V. Per Praced.
7. Daco cermino quovis, (uc f) cumratione communi, de cujusris altienati
majoris distancia a dato; f, R, D; inrenitur terminus altionatus (pura J.) nempe,
mulciplicando terminum dacum in Rationis communis poceltatem distantix cogno.
minem. HOc Ci = fRd = sR3. Nam per det. vel prop. 1. pro fingulis ct
S
Stanciae

## Folio 170 — 851387705:0190
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000190.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
DE PROORLSSTOHL CaP. LLL
Aonix pradibus, Exponens porestatis Racionis communis unitate augCtF; ergO,
oro omnibus gradibus, tor unitacibus quor lunt ipli distantix gradus.
8. Dato termino quoris, cum Ratione communi, es cujulvis altignari minoris
distancia d dato; (puta f, R, D;) invenitur altignatus. (ut c.) Nempe divi
dendo datum per Rationis poreltatem distantia cognominem. Puta Rd) f = 6,
hoc cA R3) f =- c. Vel Ra)8 =1 = R3)8. Sequitur ex det. vel prOP. 4.
9. Data igitur duorum quorumris terminorum ab inricem diltantia, cum Ratiot
ne commuNI; D, R; datur corundem ad invicem ratio. (Puta i adf; vet ( ad 1)
nempC per 7 e 8; majoris ad minorem ratio eAt RC, et hujus reciproca, clt mi-
noris ad Majorem. Puta =. = R d =R3; ee similiter = = Rd = R3; ret 5
=Rd = R3.
20. Data vero terminorum quorumris ad invicem Racione, cum corundem ih
inricem distantia; (pura i ad F, D) datur communis Racio. R. Est enim (per
praeced.) dacorum terminorum ratio ad invicem, R d, rationis communis poteltas
distantix cognominis: extracta isitur analosa radice, habetur communis ratio.
Nempe R = V d R d
FF. Item Daca cerminorum quorumris ad inricem ratione, (R d per PFOP. 3. )
cum ratione communi (R,) datur eorum ab invicem diltancia. D. Ouarendo
nempe quota porestas R d sic ipsius R.
12. Porro; Termini duo quilibet, cum duobus aliis ejuldem proprestionis qui-
bustibee, in eadem ab invicem distancia polici; sunt de in eadem ad invicem ra-
rione consticuri. Cum enim (per prop. 9.) termini majoris ad minorem ratio tuc
Rd; si verobique aqualis sic cum B, cum D; eric et urrobique aequalis Rd. PUTA
(Propter aequalem virobique distantiam) 1. f: : 3. 1.
73. Etcontra; Si eadem sic urrobique corundem majoris ad minorem ratio, ca-
dem elt de urrobique distancia. Nam si sic uerobique aequalis cum. R, tum R d; erit
et urrobique aequalis D. Puca (Ii. f: : 8. 1. erir ee uerobique aequalis distancia.
24. Frso eciam: Si ex terminis quorris concinue proportionalibus, selisantur
quotlibet in cadem continue ab invicem di
stancia; erunt et illi in continua progret
sione Greometrica consticuri. Pura, li a. b.
c. d. c. f. 8. h. 1. R. -: :: CrUINE ILEM tuI
a. 6. C. 8. 1. -., tm b. d. f. B. t
cum a. d. 5. . k: - . , tum a. C. 2. -. conti-
nue proporcionales. Nam aequalibiis conci-
nue rationibus progrediuntur per prop. 12.
25. EC CONITA: L CK terminis ila comcinue proportionalibus telecti quortiber sint
icem concinue proporcionales; aequalibus ab invicem diltanciis sumpri sunc. Pa
DEOP. L3.
26. Duca racione communi, cum numero cerminorum: R, F; in venitur exIC.
morum ad invicemracio. Z. Es enim Y = F = D, Cecremorum distancia, uni-
eare minor quam est numeriis terminorum.) Tdcoque X =R d = R c- -1
27. EG DAtA CXITCMIOEUM EaLIONC, CUI LETINOTU HUMETO; X, F; habetuT
communis ratio. R. F.A enim F - F = D; e  = Rd: ErsO (extracta radice
analo5a) V d = = VdRd=
R
28. F.I Data extremorum racione, cum ratione communi Z, R; habetur nu-
MeruS TermInOruM. T. Cumenim Y = R d: quaerendo quota potectas clt. Y vel
Rd, iptius R, habetur excremorum distantia D; adeoque de T == D f Z.
F9. Dato cermino primo, cum ratione communi, ee numero terminorum;
A, R, F; habetur ultiius. V. Cum enim, Per PFOP. 16. X = Rd. KrIC ARd -
A x Y = V
Noca interim, ob commodioremt notacionem, tum hic cum postea, pro J = +
Doni D, vel d.
20. Dato termino ulcimo, eum ratione communi, ee numero terminorum:
F R, F; habetur primus A. Nan (PEOPECT Bd = X) erit Rd)
A
27. Continue proporconalium; li duorum quorumris rectansulum per per
minum primum diridacus, prodibit cerminus cujus index (lire distancia d
primO)
a. B.

## Folio 171 — 851387705:0191
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000191.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
Cap. XXXIII. GEOMDL LICA
Primo) aequacur illorum indicibus simul
lumpeis. Sic enim, verbi pracia, cermi-
norum invicem mulciplicatorum unius in-
dex m, alcerius n: erune ergo cermini illi
A AM eC ARN; per proP. 2. horum erso
rectangulum A Rm X A R. = A~ Rn Fn,
quod per A dirisum, extribet A sem +n
AR R R = A B3
XARR = A R2
RARRRRR = N R
hoc est (per prop. 2.) cerminum illum cujus index est n f n, indicum illorum
288rC8at0 aequalis.
22. Eodem modo; Si cermini cres, quacuOr, quinque, aut plureS, concinne
mulciplicentur, productum eoc vicibus una minus diritum per cerminum primum
(sirc ea primi pocellate dirilum quae uno gradu minor est qua nuIerUS termi-
norum sic continue mulciplicatorum,) exhibet terminum cujus index illorum
indicum agBrCgaTO aequatuT. Puta, li continue mulciplicatorum indices (inc L, M, u,
TETMINI CTUNE ARI, ARm, A Rn qui invicem ducti FaCICNE A A A RIFM FN
quodti diridantur per A A, vel A2, prodibir ARIFmFn, cerminus nempe cujus
index l. F m Y n. Der PEOP. 2
23. Si itaque concinue proporrionalium primus cerminus sit F; (quod in ca
bulis Losarichmieis ponicur;) duobus, pluributre, continue mulciplicatis, pro-
veriet cerminus cujus incex illorum indicum aggresatO aquatuT. SequitI ex
PrOP. 21, X 22. Ouia nempe qua illic imperatur divisio per cerminum primum
(sire semel sire laepius tacienda) hoc calu (CUM PTIUS TETHINUS DONITUE L,)
nihil immurabit. NIaM LXLXZXR = FXZXR = TXR = R
24: Icem; numerorum ab 2 concinue proporcionalium; erie quilibet terminus,
ipsa poceltas racionis communis, quae cermini illius indici est cognominis. per
DEOP. 2. Nam (I A == F, exit A Rd =- = Rd = Ra
Acque hinc pender Regula de Mulciplicatione L osarichmica. Nempe Darorum
numerorum Foearithmi simul addici, aequantur Zocarichmo numeri ex datorum
invicem multiplicatione producti. Per pE. 23. Sunc enim Logarichmi, numero-
rum ab E concinue provorcionalium Indices.
25. Continne proportionalium; si duorum alter per alterum diridatur, de quo-
tiens in cerminum primum ducatur; prodibis cerminus cujus index aequatur disse
rentia indicum cerminorum expolitorum. Sit majoris index m L n, minoris m
adeoque eorum difterentia n; Crunt per pr. 2. ipE termini ARm F2, d A Rm
facta itaque divitione, A Rm) ARm Fn (Rn, Si quoriens ducatur in A, habecur
A R~, terminus cujus indCX N PEF PF. Z
26. Si iaque concinue proporcionalium primus cerminus sic Y; quoriens cu
jutris cermini per quemris alium dirisi, clt ipse cerminus cujus index aequatur
illorum indicum ditterentix. (Intellise, excestui indieis dirisi supra indicem
dividentis; et propterea si hic major tueric, quorientis index exit negaciruS.) SC
quicur ex praeced. quia ( A == E CxIt R~ = A R
27. Tiem; numerorum ab Z concinue proportionalium; s aller per alcerum
dividatur, eric quoriens, ipsa porestas racionis communis, ditterenciae indicum da-
torum numerorum cognominis. nempe Rn. per Praced.
Acque hinc pender Regula Diritionis Logarichmicx. Nempe Si ex Loga
rithmo Dividendi auseratur Loearichmus Divisoris, quod reliquum est, est Lo
sarithmus Quotientis. Ouippe Logariclimi sunc numerorum ab F continue pro.
vorcionalium indices.
aliae propoliciones de operacionibus Lopprichmicis; pura, de excractione RA
dicis Ouadraticae, per biparcicionem Losarichmi; de Cubica, per ejusdem cripar.
ricionem, ecc. aliaeque consimiles; ex Propoticionibus jam cradies dependent
Nec opS CH l sulio ex prandis jam immorari, ne nimis digresti videamur.
dibus ab unO ExEremO, quoL Lelus a reliquo, distat.) Cum enim sIc termino-
rum alter A R C pet plOB. L. auL R a) V, per prop. 5. Lucque distania D uirobique
eadem:
Susticie dirico foncem indicalle.
28. In quancitatum concinue proportionaliun quoleunque proprectione; Ouod
sit ex ductu cermini primi in ulcimum, aequatur facto ex mucuo ductu duorum
quorumris terminorum ab excremis aequaliter verinque remotorum. Vel, Rectan.
sulum sub excremis, aequatur rectangulo sud cobus Gebustibet incermediis ab ex-
cremis ucrinque aequaliter distancibus. Incellise; quorum unus coc praecise gra

## Folio 172 — 851387705:0192
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000192.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
DE PROGRESSTONE Cap. XXHII
cadem; crit rectansulum Rd) V X A Rd = V A = H = a a = bB- =c7 = d5
Scc. Aeque haec Tunc illa rectansula quorum omnium aggregatum Symbolo Z de-
Tiondcum volumus; Ft qua limpliciter Rectaneulorum accrecatum deinceos ap
Dellabimus.
29. Sin terminus omnium medius ab nroque excremo equalirer distet, (quod
tum continset quum terminorum numerus eAimpar;) Ouadratum medii aequa-
EUF eXTremOTuM rectanuIO. NTam PrOPEer R d) V =M = A R a, (8 distancianx
D urrobique xegualem,) erit R d) V X A R d = NIXM = MI9. 4ci
30. Similiter, In quatuor terminis utut discontinue proxorrionalibus, Rectan-
sulum extremorum aguatur rectangulo mechiorum. Puta A. MI: : N. V. Cum
enim (propter aequalem utrobique rationem) sic A R = = NI, EF N R ==V, adeoque
R) V = N; CxIE NXM =R) VXA R =V A. Acquehine sequitur Regula qua
dicitur surea, live Resula Trium. Nempe
Datis. DatUF.
A) NIXN(V
VI MXNCA
MTA XVIN
N) A XV (M
32. Quaruor proportionalium, datis tribus qui-
bullibet, datur ec religuus. Cum enim lic, per praeced.
AXV == NIXNI, eric (aequalicer ucrinque diridendo)
MN
AN
3A = Y . N= N. N = pr. FAque hec
Recula infinici pene ulus per Locam Machelin, ideoque me.
riro Aurea dicta.
32. FX tribus autem continue proportionalibus, Rectangulum extremorum
aequatur quadraro medii. Puta A. MI. V. -.. Nam, propier aequalem urobigne pa-
cionem, est AR = _, et M R = V; erBOR) V = M. Ldeoque R) V X AR = Y A
MIXM : NI9.
Datis DaLIE.
A) N9 (V
V) NG (A
VAV =M
33. Trium erso continue proporcionalium, datis duo-
bus quibulris, dacur e reliquus. Cum enim, per praeced.
AV = Mg. Eric A) M GCY, _ V) M4 (A, E Y AY =
VMg = MI.
34. Acque idem ralet de tribus quatuorre terminis pro-
grellionis concinux, utut non immediare proximis, modo x-
qualibus incerrallis distantibus. Puta La. B. C. d. c. f. 8. - : erit a C =02; nam
_ a. 6. e:: Per 14. TreMaf = cd; et de = b8; ec Be alibi. NaM a. 6:: d. f.
vel a. a: : c. f, _ b. d:: c. 2. vel b. e:: d. e. EC. per 42.
35. Sed e praecedencium aliquoc conversae pariter demonstrantur. Puta con-
verla prop. 28. In continue proportionalibus, (excepta tantum aequalium pro-
greltione, ut F. T. T. F. EC. , quae ee deinceps aliquoties excepia intelligatur;)
Ti duorum terminorum intermediorum rectansulum rectansulo extremorum xgue-
tur: Tunt illi ab extremis xequalirer urrinque remori, (hoc cst, quot pradibus eo-
rum alteruter ab alterurro extremorum distat, eot d religuus d religuo. ) Puta, EI
SInE a. b. C. d. C. f. 8. - :, GEgne Ce == a8; totidem gradibus distant an c, acque
cn 8; item an e, acque 5, 5. Cum enim duorum c, e, alter sic a L d, alter Rd) e
20
mulciplicatio se mucuo destruane,) adeoque d distaucia D uirobique aequalis per
PCOP, 13.
36. KE COnVerSa prop. 20. Si continue proportionalium, intermedii alicujus
quadracum aequecur rectangulo extremorum; aequalier ile ab urroque exiremo
diltar. Probacur ut praecedens.
27. Ttem COnrer(a PFOP. 32. Si unius termini quadratum aequetur duorum re
ctansulo, erit ille medius intex Hioo Ceometricus. Si enim AV = M 9 = M M, Erie
A
N
M
38. Similiter et Converta PrOP. 30. Si ex terminis quatuor, duorum rectangu.
dum, rectansulo reliquorum aequetur; sunt illi quauor proporrionales. Puca, Si
AV = M N, erit (aqualier urrinque dividendo) A =
N
N N
 e
M =  vel c.
tiam  = =; Hoc est A. M: : N. V. R. A. N: : M. V. tem, quia, ut prius,

## Folio 173 — 851387705:0193
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000193.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
Cap. XXXIII.  GEROMETRTCA. L
AV = _1 B, erit MN = Y, e M
A
V
. vel etiam  = - : hOC Mt HL. A: 
V. NI. _c NV. A:: V. M. Nam Singulis his modis proporcio concluditur.
29. Finc sequitur; Si quacuor termini tinc proportionales, sune de inverse
(aranan) proportionales. Puca si A. M:: N. V. ENIE (PEr. Pr. 38) AV =NVI:
ideoque, (ut ottentum clt, PCOp. praeccd. ) M. A:: V. V.
40. Icem; si quacuor termini linc proportionales, lunc es alterne (permutarim,
viciltim, cramras,) proporcionales. Puca si A. M:: N. V. adeoque AV =NN
CFIE A N:: M. V. uc clt octentum pr. 38. TcEM, NV. A: : V. MI. uVibId. d PF. 30.
4T. POrrO, Si quacuor proporcionatium vel primus de certius, vel secundus de
quareus, aequalicer rel mulciplicentur vel dividaneur manene adtue provorciona-
Les. Puca si A. M:: N. V, hoc elt A. AR:: N. NR; (ubi communis ratio est
R;) eru ee A. MB. : N. VB, hoc est A. A RB: : H. NR B. (ubi communis ratio
CM R B) Trem A. B) M:: N. B) V. hoc cAt A. B) R A:: NV. B) R N. ebI COm-
nis ratIO esFB) L. Simititr H A. M:: N. V. hoc estR) M. M:: R) V. V. eric
B) A. M:: B) N. Y. hoc est BR) M. HI:: BR) V. V dec. Vel Sic. Si  - cum
A
B = B. _B)  = B) . Sire (quod cancumdem eA) L -
BY. Vel eciam C)
CY. dc.
r
n =c, 10
AB NB
M
D
ee
BM
42. Tiem, Si proportionales Fuerine cum A. M: : N. V. TM a. N: : r. v. eum
a. m:: n. u. (cum li placet quarerni, plures quorlibec;) erunc iem cum tacti,
eum dividendo orei (Terminis respectire tumpeis) cermun proportionales. Elto
enim in primis ratio R, in secundis e in cereiis r. Adcoque A. NI = A K:: V. V
= NR. ITe a. N = a8: : v. u = VC REa. m = a r: : n. W = nr. KCBO (per PFOV.
4F.) AaA. MUm = A Rapar:: NVn. V VA = NRrSNr. HOC est Aaa.
AaaRBr:: Nrn. Non Rer. ubi communis racio est RPr. Pariter _ A a. M~
A a RP N, V0
NVRS
. Eire a) A a. a1) Aa R5: : n) Nv. nr) NV RP. ubi
communis uirobique racio cA C vel r) RP. Vet SC
A.
M = AR::
M = ar
Aa4. MP. m = Aaa Rer:: Won. VvV = LV nR
Aa NIV. AaRB ND VV NVRS
M
ar
n
43. Sed de idem obrinet in continue proporcionalibus. Quod similiter pro.
bandum erit. Puta,
Si A. B. C. D. L =: vel A. AR. AR ~. A R3. AR a:
EF
a. B. y. 5. E = vel a. a
:.
Erunt Aa. BB. Cr. DS. BE:: vet Ac. ACKP. A∞R5. AaKP. AaR5t..
EF
B C D H
B
 ve
AR A R A R A B
15 ac ast
44. Tx quidem, licet altera progrestio crescens tuerit, allera decrescens. VE B
Cum A. AR. A R 2. AR3. AR 4. :. tM a. 5) a. P=)8. 83) a. P2) a. . exIt CtiaM
Aa. 5) a AR. P2) a AR2. 53) a AR3. P2) a AR ~. :: uE patet; quixpe communis ra.
ti0 elt s) R
Arque hujusmodi complures proporcionalium immutationes de comparationes
Facile

## Folio 174 — 851387705:0194
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000194.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
DE PROARESSEONE Cap. LLXZ
facile ellet cum comminisci cum demonstrare. Verum illud haud est necesse, sed
cujustibet porius arbitrio permittendum, ut id, prour opus tuerit, pro re nata cu-
ret, Cuisque nlibus accommodet. Ouxe aurem huc spectant non pauca intra, ubi
tivelidis Elementum quintum explicaturus Tum, tradentur.
45. In concinue proporcionalibus, excremorum Rectansulum ductum in nume.
rum cerminorum, aequatur adresato Rectansulorum omnium aequalium (senfir
quo pr. 28.) cum enim per PF. 28. (C H = 48 = bB = 67 == dd = eE ecc. CInI-
que haec condem quoc cermini; (nam linguli termini ordine directo sumpei in
respectiros terminos ordinis recrogradi duei supponuntur; adeoque toc erune rect.
ansula quoc cermini;) erit TV = a a = BB +c7 + a5 + eE ec.
Norandum aurem elt rectansulum aa, et ku, (si nempe e ponatur terminus
ultimus) de in reliquis timiliter, rerera idem esle rectangulum (nam a e u item
a de te, lune idem terminus,) sed cum id non Ctatim appareac, acque aliis irem de
causis, commodius purarimus canquam si essene distincta bis numerare; (adeogue
tOL reputare rectansula quor lunt termini:) cum tamen (I a a e sex (e simili-
ter de reliquis) pro eodem habeamus rectangulo, erit numerus rectangulorum di-
VerTOrUM Z T, UbI TEEMINI SUINE NUMICTO ParCS; ac Z T f 3, ubi numero impates;
nam hoc calu, ne nostro quidem computo quadratum medii bis ponitur. Ouod
monuisse sulticiat. Nos itaque priorem loquendi Formulam porius selegimus:
quo sentu et deinceps loqui incellisamur.
46. Idem valer in quacmor disconcinue proportionalibus. Puta A. M:: N. V.
Nam AV L MI N f NM F VA =+ H. PEx PP. 30.
47. Daco itaque in concinue proportionalibus quortibet, extremorum rectan-
sulo, et numero cerminorum H, T; datur Rectangulorum aBBreBATUM. Z.
Nempe Z = F H. DeT PrOP. 45.
48. Icem daco exiremorum rectansulo, et rectangulorum ABBrepatO; V, Z. ;
datur numerus terminorum. T. Nam, quia Z. =FV, erit H
49. Fit Dato numero cerminorum, cum rectans ulorum aggresato: Y, Z; datux
rectangulum excremorum. H. Cum enim lic Z. = LH. eru F) Z =n
50. Datis numero terminorum, rectangulorum aggrerato, et termino minimo.
T, Z, A; dacur maximus. V. Nam per praeced. C) Z =H. FrGO A F) L
52. Daris iisdem; datur extremorum ad inricem ratio. Z. Nam per praeced.
AF) Z =V. ErBO A2Y
52. Datis numero terminorum, rectangulorum aegresato, ec termino maximo;
T, Z, V; dacur minimus. A. Nam Per prOP. 49. L) Z =H. ErBOVT)Z
53. Datis iildem; datur extremorum ratio. J. Nam, per praecec. V F) Z. = A.
FxBO 3 =
77 Z = 7. Vel ecium Z) V2F (X. vel V2 F. Z. : V. A.
54. Datis extremorum tum ratione, cum rectangulo X, M; datur terminus
minimus A. NNam Z) H (A2. Cujus radix, A.
55. Datis iildem; dacur cerminus maximus. V. Nam I x X =V2. ErBO Y:
Ax.
55. Daris excremis (vel corundem ratione, et rectangulo) cum communi ra-
eionc; Z, H, R; habecur rectangulorum agoregatum. Z. Nam per prop. 1B. ha-
betur P. ergO e (per prOP. 47. ) Z = TV
57. Vatis extremis (vel corundem rarione e rectangulo,) cum rectanoulo.
cum axereBatO; Z H, Z; habetur communis ratio. R. Nam Pe prOP. 48. H2-
BetF L; expo et R. PET PTOP. 17.
58. Datis cermino minimo, numero cerminorum, ee ratione communi; A, Y, R;
datur rectangulorum axeregatUM. Z. Nam PEF PT. L9. V = ARd. ErBO DET PI. 4.7
TVA =Z = T A.Rd. (per d incellige Y
50. Daris cermino minimo, numero cerminorum, ee rectansulorum aexresaco;
A, F, Z; dacur racio communis. R. Nam per prop. 5F. haberur X = pr pr F.18
per PI. 17. C
50. Datis

## Folio 175 — 851387705:0195
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000195.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Cap. AAIIL. GEOMEFRTCA.
60. Daris cermino maximo, numero terminorum, ee communi ratione; V, T, R.
dacur rectangulorum aBBrCSatIM. Z. NaM Per PrOP. 20. A = Ra) V. ErGO Per
PrOP. 47. LV A == Z = Rd) TV.
62. Daris cermino maximo, numero cerminorum, de rectangulorum aGGreGatO;
V, E, Z; dacur communis ratio R. Nam, Per DEOP. 53. X = Z) V, L. Br8O
DeT PrOB. 17. R = 1+
62. Daris numero cerminorum, ratione communi, et rectangulorum aggresato;
T, R, Z; dacue cerminus minimuS. A. NaM per pF. 76. Y = Rd. EL PeF pF. 49.
L) 7. = H. EIBO Des PI. 54. FR4) Z = ) H = A2. Ideoque A =
FB
63. Daris iisdem; datur cerminus maximus. V. Nam per pr. 26 d 49. haben
cur X Et H, uE priIB. L1BO per BE. 55. V = Y: I - Y: = 1:
64. Daris cermino minimo, ratione communi, ee rectangulorum agGrCGAIO;
A, R, Z; INVENICUE CerMINOTUM NumerUS T. NaM Per PE. 45, vel 47.
adeoque 
= TM
IV. Icem per pr. 19. V = A Rd. adeoque (cum lcD F L =L)
CTIE RV = A R Rd = A RE EI RV Y = T A R. = A) ZR. (quia nempC
V. ) Ideoque FR = A2) Z R. Ouaerendum igitur, quoca poteltas
datae rarionis communis R, ducta in linum indicem sire exponentem poreltacis.
aequabicur quancicari dacae A) L. R. quippe poreltacis iltius index sive exponens
Cl T, numerus cerminorum.
65. Tildtem dacis; repericur cerminus maximus. V. nam per praeced. habetur Y.
acteoque V Per PF. 19.
66. Datis cermino maximo, ratione communis de rectangulorum aGgregatO;
V, R, Z; INVENITIE MUMErUS CENMIOTIMI F. EIL enim per pF. 45 vel 47
E = TH adeoque V) Z = FA. TTeM peT pr. 20. A = Rd) V. adcoque R) A
=RI
V. EC R) AT = RC) V F =RV) Z, nempe, quia V) L = L A
Et R) T = RV=) Z. Ouaerendum isitur quoca poceltas ipstus H, exponen-
tem luum dividens, extribebit quancicarem datam RVZ) Z. quippe poceltatis
ictius exponens sire index est Y, nuerUS terminorum quXLITIS. Vel etiam (nam
eodem recidic) mutacis sedibus, Z) RF == Z) RV2. O quaerendum (E, quoca
Doceltas ipsius R per suum indicem Tire exponentem dirila, exhibebit quancica-
rem cosnitam Z.) RV.. quippe pocellatis illius exponens est P, qualicus nume
TUS TETMINOTUM.
67. Datis iisdem, rePeTItE cerminUS minimUS, A. nam per pExced. habetur T.
adeoque A, PeF DF. 20.
Acque hae quidem propositiones omnes tactenus tradica, respondent cocidem
propolicionibus Cap. XAVII. de Progrectione Rrichmerica; linguli lingulis co-
dem ordine.
Seguitur Theorema, quo, in Geomerricx proerestionis Tumma investisanda,
ucuneur tere omnes Arichinerici. Nempe,
68. Si terminus maximus in communem mulciplicatorem ducatur, et ex produ-
eto auteratur cerminus minimus, reliduumque per mulciplicatorem communem
unitace minutum dividatur; quociens exhibet progrettionis cocius Tummam. HOc
est,
R - 1
Ouis hanc primus invenerit regulam, aut quibus mediis, exo plane ienoro; e
quidem, uenc ea plerique utantur, non memini tamen e illam uspiam demonstra-
eam vidilte; cum tamen rel maxime demonstracione indiseat. Nobis itaque hanc
libuic demonstrationem comminilei
Cum (IC, Per PY. 19. V = ARd, adeOQUE (DTOPIEF Y = D F L,) V R = ARC, de
PrOPIerem VR = A
ARC = A
e -
Facta divitione quanciratis A R. = A, per quan-
titatem R - Z, (eo modo quo supra octendimus dum divisionem Symbolicam do-
cuimus,) quociencis loco prodibir series exposica A F A R f A R. _c. hoc est,
quaneicas S, Eire cerminorum omnium lumma.
EremplI

## Folio 176 — 851387705:0196
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000196.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
DE PROGRESSTONF CaP. XXTII.
Et diridenda proxonatur AR~ = A, Per R - L. Cum iBit LC R) AR a (AR;
Erit quorientis membrum pri-
mum AR3, quod in diriso.
rem duccum dat AR + = AR..
hoc ex diridendo subductum.
relinquir AR3- A. Deinde
cum LICR) AR3 (ARE: erit
quocientis membrum secundum
= AR= quod duetum in diri.
Lorem dat AR3 = AR 2. HOC
ex diridendo subductum relin-
quie AR 2- A. FOdem MO-
do, quocientis membrum terti-
um erit f AR. adeoque tacta cum mulciplicatione cum subductione, manebit
AR - A. Denique quoriencis membrum quarcum, eodem modo revertum, elt
F A. Ec peracta cum mulciplicatione cum subductione ut prius, nihil restabit.
Focaque operatione sic peracta, habetur quoriens?
24 - A
P
= A R. + A R2 +
AR. F A = S. Extimiliter concinget quancuscunque Donatur numerus terminorum;
nempe quociens singulos exhibebic. Adeoq; univertalicer VR- A AR a
+ AR F A R 2 _c. = 5. quod erat demonstrandum.
R-
Id ipsum paricee oltendetur, si juxta prOp. 20. exponamus A = R d) V. A.
deoque
TR = A VR - RA)V VEcV
R = E F R = 2B ar R- Bd
R. - R7) Va - Y (Y.
VRA - VR3
VR3- VRZ
VRZ.
R
VR2 -= VF
VR = Y
v
R F B F p, dec. = 5. uC
ex adjuncta dirisionis operatione
manitestum elt.
F DTB Libet aurem aliam merhodum,
Tummam proorectionis Geometrica
collisendi, ex D. Ouehtredo ad
jungere, postquam hoc demma
Ostendero. Nempe
 69. Si sine quortibet termini
proportionales; exit ut unus ante.
cedentium ad luum conlequentem,
VR- Vau cuau sic antecedentium omnium aggre
satum, ad agoresacum omnium
00 dn mmo consequencium. (Oux est 12C5.)
Puta Si A. d: : B. B: : C. 7:: D. 8. _c. hoc est A. R A:: B. RB:: C. RC:: D
RD. ecc. FrIt A. a:: A f B F. C f D F_c. a-f B. ], J s ecc. hoc est A. RA::
A F B + C. F D etc. R A F RB f RC. F RD _c. proprer communem utrobi-
que rationem R.
ete GAC
Sisse
70. Ideoque; In comcinue proporrionalibus, uc cerminus primus, ad sccundum,
(hoc es ut N’ad rarionis communis exponencem R;) Lic Cumma terminorum
omnium peaeter ulcimum, ad summam omnium praeter primum. Puta AA. B. C
D. V = hoc est A. B:: B. C:: C. D:: D. V. ErunE A F B F C. + D =-S -V
omnes antecedentes; e B ] C + D F V =-S- A, omnes conlequentes. PrsO
per praeced. A. B (:: F. R): : 5 Y. S- A
72. Ec consequenter; Si ex rectangulo secundi et ulrimi, auteratur quadeacum
primi; residuumque dividatur per terminum secundum demproprimo; prodibit
summa terminorum omnium. Cum enim per praeced. Lic A. B:: 5 - V
S= A
2deoque per pr. 30. SB-- VB =SA - A q e transponendo, SB =SA = V B
= aq. Frie (nuinque dividendo) 5 - VB - 19
Sed et ex eodem lemmate demonstratur PrOB. 68. cum enim siC PEx PrOP. 73.
S -V. S-A:: (A. B: : A. AR: : ) F. R. adeoque per prOp. 30. SR- V R = S A
Fxempli graria. Ponamus numerum terminorum T = 4. ad Cogue AR E = A R 4
R = L) A R + - A(A R3 f AR 2 7 HA F A
AR4 = AR
l
II

## Folio 177 — 851387705:0197
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000197.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
CaP. XXXTII. GTEOMETRICA.
Etiransponendto, Sl - 5 = VR - A. erie surcinque dividendo) 5 = VH = A
Vel sic, per praetencem, S - VB = Ag VAR = Ag VR = A
E = A
72. Datis ipieur extremis _E FaTIONC COIMUNI; A, V, R, habetur cerminorum
omnium sumima S. Nempe S =
R - A
R - 5. per prop. 68. vel 71.
73. Idem habetur, A, PrO extremis A, V, cacencur A, II. Nempe S-
Nam A) H = V.
74. Vel A, X. Nempe 5 = a AR = A
R ==
Nam V A = V.
75. Vel V, H. Nempe S =V R -V)n
R
=+
76. Vel V, ~. Nempe 5 = Y R - ∞ )
NamV) H = A
rI 
77. Vel denique H, X. Nempe S = RY X H - Y: X)V. Nam v 1 = v.
Et XI H = 12
e-
78. Fc, dario extremis, cum cerminorum omnium Tumma; A, V, S; habetur
communis ratio. R. Nam per prop. 68, vel 72. 5 - -
R- t
=. hoc est, SR - 8
=VE = a; adeoque BR - V R = 5 = A, e   = R. Vel brerius, per
PrOP. 70.5
3
79. Idem habetur, C, PrO A, V, darentur A, 12. Nempe R =
80. Velu A, Z. NempCR =
SE. VcL V, H. NempcK- 3-vin
282. Vch V, Z. Nempe R = 8 = 
83. Vel denique, M, Z. Nempe R - 5 = V
viu
A)U
8g. trem, datis termino minimo, ratione communi, de cerminorum omnium
summa; A, R, S; dacur maximus. V. Nam (UC in PrOP. 78.) SR = S = V R = A.
Ereo SR = S F A = V B, eSR- 5 + A
85. EL datis cermino maximo, ratione communi, ee terminorum omnium sum.
ma; V, R, S; datur minimus. A. Cum enim (ut in praeced.) SR - S  A = VR;
exit (cranlponendo) VR - SR F S = A.
86. Trem, daris TerMInO MINIMIO, TatONE CONUNI, EE TETMINOTUI RUMeTO; A, R, P;
dacur cerminorum omnium cumma. S. NaM, PET PF. Y9. V = A Rd, _ V R = AH;
ErBO Per PTOP. 68, 5 - VR - A AR.-
A
87. E datis cermino minimo, ratione communi, et progrectionis Tumma; A,
R, S; dacur numerus terminorum. P. EH enim (ut in PrOP. 84.) SR = 5. F A
= Y R = AR= (Per PC. 79.) Adcoque SR - 5 F A
=Rc. Ouaerendum igituT
quoca porettas Exponenis racionis communis R, aequatur quancilali coenica
SR- 5. F A
88. EC

## Folio 178 — 851387705:0198
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000198.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
DE PROGRESSIONE Cap. XXXIII.
88. Et, Datis termino minimo, progrestionis summa, de numero terminorum;
A, S, T; dacur communis ratio. R. Nam (ut in praeced.) SR - S f A == A R F.
adeoque SR = AR, = 5 - A. FF D  = = R = R.. Cujus aequationis radix
clt R, qua (Ica.
89. EFdaris ratione communi, numero terminorum, e summa progrectionis;
B, P, S; datur terminus minimus. A. Cum enim (uc in praced.) SR - 5 f A
= A R.. adeoque SR =S = A R = A. Erit A =
R 5
R -
B. -= F R = 2
90. Pari modo; Dato termino maximo, cum ratione communi, de numerO
terminorum; V, R, P; datur lumma prosressionis. S. NaM per PF. 20. A = (4) V.
ErBO per Pr. 68. 5 - VR = A V R = RO) V VB. =
R.
+
R = RA
OT. FL; Dato cermino maximo, cum ratione communi, et progrectionis (umma;
V, R, S; datur numerus terminorum. T. NAM Per pr. 85. A = V R F S =SR;
adeoque Per pr. 16. Y R f S -SR =  =Rd. Ouaerendum itaque quora po-
teltas exponentis data rationis R, aequatur data quantitari. Ouippe iltius poresta-
tis incex unicare auctus, eAt quaelitus numerus terminorum I =-D.  X.
D2. FL; Dacis termino maximo, proerestionis summa, ee numero terminorum;
V, S, F; dacur communis racio. R. F.A enim, ver pr. 90. 5 -  R - - 1
que SR = SRd = V R. - V, e V =SRA -SR + Y R, e
R. = R43 2de0.
S-Y R
=RC. Cujus A quationis radix R, est exponens communis rationis quxlirx.
93. FF; Daris ratione communi, numero terminorum, ee progrecsionis summa;
B, F, S; datur terminus maximus. V. P.C enim, (uE in PrXced.) SRF -. SRd
=VR. =V. RrG SRC =SRd
RC
94. POrrO; (ut compencio uac,) Datis A, Y, S; datur Y. Nam, per Pr. 78.
Y = R. EI Per Pr. 26 7 = Rd. Ouarendum itaque, quota potestas R cogni.
ta aequatur coenia Rd. ut tabeatur D = F - - 2, adeoque D F L = T.
35. Idem habetur, A PrO A, V, darentur A, H. Nam habetur R, PCr PP. 79.
EF P uC prius.
96. Vel A, 7. Nam Babetur R, per pr. 80. et Y, ut prius.
97. Vel V, H. Nam habetur R, per pr. 8T. _e F, uc prius.
38. Vet V, X. Nempe R, Der Pr. 82. _ T, ut Prius.
99. Vel denique I, 7. Nempe R, Per PF. 83. EF T, ue prius.
200. Datis A, V, Y, datur S. Nam BCF Pr. 17. habetur R = YA Y. ENBO BEC
Pr. 68. Y vav
Ya
=e
= S. AFBL. IC.
TOL. Idem habetur, si, PrO A, V, darentur A, I. Nempe
25. Nam A) HCV. EE A J u (.
202. Vet A, L. Nempe a A V y: = B
203. Vet V, H. Nempe
BC V) H (A.
204. Vet V, Z. Nempe
VaV
1d: V) V2
Yd: 1) V2:-
s
N
2
=5.
Sev. a)B.A
Ya: N) H: - +
= 3. Hal V) V (4
=S. Nam X A = V.
Nam Z) V CA.
205. Vet

## Folio 179 — 851387705:0199
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000199.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
1)
Cap. XXXIII. GEOMBTRTCA.
205. Vel denique 1, Y. Nempe V X V: Z H: - Y: X) V:
V: XH: =V. EC V: V) H: = A.
206. Datis A, T, S; datur V. Nam habetIE R, per Pr. 88. adeoque V, per
DEOD. 19.
207. Datis V, F, S; datur A. Nam habecur R, per PY. 92. FL A, Per pr. 20.
208. Datis A, V, Z: datur S. Nam per pr. 48. habetur Y = V) L. Ec deinde
SPCT PF. 100.
209. Ielem habetur, si PrO A, V, denCuT A, VL. PeT PrOB. 48, 102.
F2O. vel A, 3. Per PF. 48, 1O2.
TFF. vet V, II. per pr. 48, 203.
TF2. vel V, X. Per PE. 48, 20+.
ZT3. vel I, X. VeF PF. 48, 205.
224. Datis A, V, S; dacur Z. NaM BeE PP. , 8. habetuK R = 3= . adeoque 2
Per Pr. 56.
225. Idem habetur, (I, Dro A, V, dentur. A, 12, Per PF. 79, 56.
226. vel A, 7. Per pE. 80, 56.
217. vel V, I, PeF PF. 81, 56.
228. vel V, X Per DF. 82, 56.
279. vel denique M, L. Der Pr. 83, 56.
220. Datis A, B, Z; dacur S. Onippe habetur F, per pr. 64. de deinde 5, per
PrOB. 86.
22T. DatiS A, R, S; datur Z. Nam per PrOP. 84. Habetur V. adeoque Z. per
DrOD. 56.
122.DatiS A, F, Z; datur S. Nam per BrOB. 59. habetur R. adeoque S per
DEOP. 86.
+23. Datis A, T, S; datur Z. Nempe R per pr. 88. adeoque Z pEF Pr. 58.
224. Datis V, R, Z; dacur S. Nempe T Per PP. 66. adcoque S Per PP. 90.
725. Dacis V, R, S; dacuT Z. NemDC A DEr PF. 85. _ Z Per PF. 56.
126. Datis V, F, Z; dacur S. NNEMPCR PEF PF. 6F. e S Per PF. 90.
127. Datis V, Y, S; dacur Z. Nempe R per PF. 92. e Z. per pr. 60.
228. Datis R, T, H; datur A. NEmPC X PeT PT. 26. _E A per PF. 54.
729. Dacis iisdem; dacur V. Nempe Z Der PF. 16. eC V Per PP. 55.
230. Daris iisdem; datuES. Nempe A per Pr. 128. e S per pr. 86.
23F. Datis I, B, Z; datur A. NemBe Y Der PF. 48, et A per pr. 128.
232. Dacis iildem; datur V. Nempe P ut prius. _ V PeT PF. 129.
233. Daris iildem; dacur S. Nempe T, ut priuS, e S Der PF. 230.
234. Datis I, R, S; datur A. F. A enim per pr. 68. R - =) VR - A (S. ideoque
SR S -VR, A. EL SRA - SA = HR- A adeoque A = SRA = SA =HR
Cujus aequacionis radix eAt A - Y: 5 N = 28R + 8 + 4 AB: = SR +5
235. Datis iildem; datur V. Ntam (ut in praeced.) SR =S = VR = A. adeoque
SRV SV = V=R H EFM = RV- SRV fSV. RER) H- V2 SV]R) SV.
Cujus aespacionis padix est V - V. 5. N = 25 R + 5 + + HR: + 8i - 3
236. Daris iildem; datur Y. Nempe per pr. 134, habetur A; adeoque Y Per
DrOp. 87.
137. Daris iildem, dacur Z. Nempe per praeced. habetur F; adeoque Z. per
PrOP. 47.
238. Daris X, R, Z; dacur A. Nam per pr. 18. habetur Y; adteoque A per
PrOB. 62.
138. Dacis
5. Nam

## Folio 180 — 851387705:0200
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000200.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
DE PROGRESSIOHE CaP. XXXIV.
F39. Daris iildem; datur V. Nempe Y ut in PracCd. _E V Dex PrOB. 63.
240. Daris iildem; datur S. Nempe A e V per duas pracedentes. adeoque
S PeF PI. 72.
F4C. Daris X, R, S; datur A. Nam Per Pr. 18. habetur Y. adeOque A pEr
DrOP. 89.
F42. Datis iisdem; datur V. Nempe Y ut in praeced. et V Per PrOB. 93.
T43. Daris iisdem; datur Z. Nempe P ut prius, e A, V, Der duas PraCC.
dentes; de tandem Z Per PI. 47.
244. Datis X, F, Z; datur A. Nam habetur R Per pr. 17. et II per Pr. 49.
adeoque A PeF PI. 54.
245. Daris iildem; datur V. Nempe H uc in praeced. adeoque V Per
DEOB. 55.
245. Datis iisdem; datur S. Nempe inventis R Per pr. 17. et A, Y, per duas
Draecedentes; habetur S Per pF. 72.
247. Datis X, T, S; datur A. Nempe habetur R per Pr. 17; adeoque A
DeF PE. 89.
248. Daris iiidem; datur V. Nempe R uc prius; et V per Pr. 93.
245. Daris iildem; datur Z. Nempe inventis A, V, per duas praecedentes,
trabecur Z Per pr. 47.
250. DatIS R, F, Z; datur S. NempC A Per Pr. 62. adeoque S per pr. 86.
25F. Datis R, F, S; dacur Z. Nempe A ∞ V per pr. 89, e 93. adeoque Z.
Per Pr. 47.
AEque hactenus Progrectionem Gcometrieam Fulius explicarimus; et Proble.
mata, pleraque laltem, eo spectantia expedirimus. Libet autem lequente capite
(quod de Propressione Arichmerica supra factum cH Cap. ZXVTII.) in bre
viorem synoxtin, quae jami cradidimus, praecipua problemata compinsere.
C AP. XXXIV
Proeressionis Ceometricae brevior Synopsis.
Vx in praecedente Capire sulius cradidimus, de Progrectione Gieometrica, Pro-
blemata; libet hie in breriorem tormam, sed ec alio ordine, ledigere: Re-
centis ramen uildem quibus ibidem uli sumus Symbolis.
oremaca
SRd =VR - V
SRC F YP
PibBI
b
lit

## Folio 181 — 851387705:0201
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000201.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 139 lines, status machine
Cap. XZXIV. GEOMEDELS.
Problemata.
1Daca Onatica.
E (A, V: H = Y A.
3 (a, n. D = 2) 12
4 A, Y: V = v A
x2
(5 V, H: A =V H
6. IV, X: A = y) V.
ex 2.
DeT L.
 X: A = v) H
s
OJL, R:
V2- YH
C0)F, L: R. E Nam Y =R
12) ∞ R: 7. 3
12,1
232, 7
24. P, L. ~ = 2)+
25)(A, Y, B: 5-
16 A, V, L: H.
HI. DET T
DeT 2
DeT LF.
Der 12.
PeT T.]
DeT 2.
R. Per 10.
B.
5.
Der T2.
Per 25.
R. vet 10.
3. Bel 3.
T.
2.
Der LL.
Per 12.
DeT T.
DeT 2.
DCL 13
Per L.
DCL 15.
Det 3.
DeF Z.
PeT FF.
DeT T2
DeF 3.
DeT 2
R. Per 10.
DeF 72.
e
Der 15
27 A, V, Z: H.
18)A, Y, 5: V
29 A, H, R: V.
(20 A, , Z: V.
DeT 15.
a, 1S: V
LA, 1,Z: V.
PeF 3.
DeT Z.
Der 13.
R. PEK 1O.
5. DeT 15.
Per 3.
DeL2
H. per 18.
DCC LT.
Per 12.
ver 4.
H. Per L.
Ver 11.
Z. DeT 12.
5. Per 15.
H. Pet F.
R. Der 10.
Z. Dec 12.
5. Vel 15.
Der 4.
H. per L.
R2. Per 1B.
5. Del 15.
H. PeF 1.
Z. Det 12.
i
26) A, 495: .
Der 4.
T. Per 13.
Der 4.
DeF LT.
R. Per 18.
1
DCt 2.
DeT TT.
Det 12.
2
C
5.
pet 13.
Per5.
28V
1, 2. 2.
Z.
4
R.
5
F
Det 5.
ex 2.
R. pel 10.
Pet 12.
5. Der 15.
32(Y, ∞ T: A
Der 5.
DeT 2.
DeF L3
Det 1O.
Det 15.
Det 5.
PeF2.
R. Per 18.
DeT LT.
2. Per 12.
Der 6.
H. DCc T
T. Per LF.
DeT 12.
5. Pet 15.
Per 6.
H. per 1.
R. Per 13.
Det 12.
Per 15.
29 83B2. A.
Bd. A
R: A
181

## Folio 182 — 851387705:0202
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000202.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 155 lines, status machine
82
DE PROGRESSEONE CaP. ZXXIV.
Vala. OuaeTita.
33 V, 2Z: A.
Der6.
H. Der F.
T. Per 13
R2. PeF TO.
5.
Der 25.
PeT 6.
H. DEC F.
R2. Per 18.
P.
2.
1
2
Per TT.
PET 12.
Per 7.
Der 8.
PeT TF.
PeT 12.
5. Per 15.
V.
PeF Z.
Der 8.
R. DeT X0.
S
P.
DEF T2.
Per T5.
DeT 7.
Pex 8.
Per 13
R2. DeT LO.
5. Per 15.
DeT. 7.
V. Per 8.
R2. Der 18.
T. PeT FF.
C
Per 12.
39L, ln T: V = ARd.
H. per F.
Der D.
 per 22
5. Per 15.
atit ) LL = Y RE.
+3 A, 2, S: R.
Nam RC =
Per 30.
HI. Per 14.
Der D.
5. per 15.
A + SR - S
H. per Z.
f. DeT 2.
L. DET XF
2.
PET 12
H. Per 14.
DeF 2.
R. Per 10.
5. Der 15.
25- 5 + a
V. Per 39
H. Per I.
13. Per 3.
L. Per X2.
Data. Ouxelica.
44. V, R, F: A = Rd) V.
H. Per T.
DeT D.
DeT 12
3. Per 25
V7, R, Z: T.
2
A. Per 44
H. Per 14
2. DeF 9.
S
Per 15.
VR. F S - SR
H. Per L.
Der 2.
DeT FF.
DeT 12
Tan
6V, R, S: A
3272: V
Per 14.
Per 
DEF 2
S. Per 15.
S
Y Rd - RC
A. Per 44
H. Per l.
A
3L, S: R
F,2:
2, 5: 3
F.
R. per 10.
Del 9.
DeT X2
PeF9.
H Per 14.
5.
A. PeF 7.
V. per 8.
PeT 15.
Per 9.
V.
H. DCFF.
Z. PCF 12.
Per 4.
Der D.
A.
V
DeT Z
Der 8.
5.
Pel 15.
DeT L2
PeL 13
X Der 9.
34V3 23V. y
35)V, vl: A
36V2 to Y: A.
37(I, ∞, Z: A
38,1, ∞S: A.
40 ty R, L: Y
42. A, R, S: V=
42 A, 2, 2: V = A F) Z.
A.
V.
Der 7
Per 6.
5. Per 15.
R:L
R, S: A.
Nam A F SRA - SA -HF
Det:
PeT 2.
DeT EF.
Tu Per 22.
le
D
11
ueili
1
Li
21

## Folio 183 — 851387705:0203
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000203.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
54 X R, Z: 2
Cita
GEOMETRTC
EXL
x
c
1C
(Data.
C
T, S: R
Sica
RCHGUI LeIC CalUS, Parun
auc nihit pandume, ultra Guo
dacum elt.
6 7, 2
C A P. XXXV.
Fuclidis Flementum quintum Arithmetice demon-
stratur.
DRiusquam Rationum doctrinam dimiccam, libet ee Fuclidis Flementum quin-
L cum, quod de Racionibus ee Proporcionibus agit breviter explicare. Cujus qui
dem ucilicas in cota pastin Machel nemini vel lericer exercicaco non inno-
tescit.
Est aurem illud Flementum quintum, ut de toca rationum Doctrina, Arich-
mecica porius quam Geometrica, (Calcem prouc Arichmetices tines nunc dicrum
ampliari TolenE, ut non Tolos, numeros integros, Led e Fractos, e Lurdos reci-
Diane, corangue AIOCbEX, de Arichmerica (UE LOGUUnEUT) SpeciOTa vel Symbo-
liex praxin.) Oud quod de ipta Arichmetica cora, A Srictius spectetur, vix
aliud videacur quam Racionum doctrina. TPlique NuMeTI ratIOnum cOtidem in
dicia quarum communis consequens est F, Onitas. Obi enim L, SIve OnITaS
habetur pro quantitate exposita; reliqui omnes numeri (live inceori, live Fracti,
sive etiam surdi) sunc rationum coridem aliarum ad expoticam quancicacem indi-
ces sire exponentes.
Cur aurem Lineis quam Numeris racionum doctrinam tadere maluerint ve.
teres; causa fuit non una. Parrim scilicet, quod illi, rix alios numeros quam
Inceoros admiserine; (nec enim materiam Arichmericam sicut Greomerricam, in
intinicum dirisibilem admiserunt, sed in unitare siltendum roluere;) adeoque
non pariter Numeris acque Lineis rationes omnes denotari posle perspexerint; LC
propierca doetrina alioqui universalis, specimen laltem in lineis cradere malue.
runt, eamque prout opus tuerit, inde in aliam quamris maceriam rationum ca-
DaCem PEO re nata transterre. Maxime autem uti mihi falcem videtur, quia non
modo methodus Symbolica nondum obtinuerat, sed ne quidem tigura numerariae,
quae jam pastim ulicatae sunc, ab Indis invenca, fuerunt incroduetae; ut non niti
difficulter admodum numerorum praxin exercere raluerint. Licet revera, ip(a
sire linearum, sive figurarum planarum, vel etiam solidarum, aliarumre quanci-
cacum, per liceras alphabetieas detignatio, (puta A, B, _c. quibus designantUE
in cexcu anguli lineare sc. in schemate conspecta,) Cymtolica designatio non
minus dici pocerie, quam ubi limilibus (ymbolis quancitates (non tam in charca
conspectae, quam) mente concepta indicantur.
Ocuc tueric; nihil impedir quin nos, uc religuam Racionum doctrinam, ita
speciacim cocum illud quod Elemenco quinco de racionibus craditur, Arichmetice
(adeoque simpliciter de nivertaliter) cractamus, quod ve opus fueric (Eicur ee
Arichmecica universa) cuiris subjecto poterie accommodari.
Desi

## Folio 184 — 851387705:0204
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000204.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
E L P DE P N PY OVEN TL
Cap. XXXV
Detinitiones aurem quas illic praemistas habemus, hic libet inractas cransire;
quoniam illa, partim superius, Cap. XXV, ZZIZ, XXX, explicancur, parcim
etiam cum ipla propositionum eraditione, ubi opus tuerit, obiter exponentur.
Id falrem morendum erir de detinitione sa, sire juxra Clarium 62, qua est
maenitudinum, sire quancitatum, in eadem ratione conttitutarum: quam Buclides
his verbis estere, Er rd aurcd nerco pgedu regotat E), coecoro coegs ddTCCBV, ny récror
adeis TEraETOY. drar .  We orB ny reirs iouns notNador   S d rces noi Terdpr
jounis onamector nad OOIOEI namN, Ereirce Exarip n aA EtRCIM n aua
loc y n auo radsexn anederra rarstanne. In eadem ratione maenitudines esse di-
cuntur, prima ad secundam e tertia ad quartam, quande primae e tertiae aeque
multiplices, secunda e quartae aeque multiplices, juxta quamvis multiplicationem,
utraque utramque vel una superant, vel una aequales funt, vel una deficiunt, in-
ter se comparatae. Nos tanc definitionem, quamris veram quidem et Fuelidis
Sulcepio lacis accommodam, in nostris demonstrationibus, omiitendam duximus;
neque ad hoc recrecor proportionalia examinamus. Ouipre quod perplexins vi-
decur, nec adeo forlan, rironibus praesercim, perspicuum. Nec quidem tam pro-
portionalium nacuram immediare relpicie, quam corundem attectionem aliquam
faris remotam. Nobis autem, qui Rationes superius docuimus Quoro aestimandas.
ad rationum sire aequalitatem sive idencicarem probandam susticere videtur, si
tueric aequalicas sire identicas quocorum. Duca (I siC = = =, est e a. a: : b. B.
Et Contra. Ouod nobis erie, detinitionis Loco, ejusdem aequalitre ratio :is. Ubi
autem quoruo major est, ibi et major ratio; ubi minor, minor. Puta, s  =
erie illa racio major; C  , haec major eric, illa minor. Siquis ramen mal-
lec alsectionis alienjus opem in auxilium adroeare, quo demonstrationes commo-
dius procodane; ego nullam pociorem nori quam quae 2 nobis prOp. 30. Cap
XXXTTT. demonstrara est; Ft quidem (Speciatim de lineis) ab ipso Fuclide 16c6.
Nempe Si quatuor quantitates fuerint proportionales, factum ab extremis aequatur
facto a mediis; e contra. Puta (I A. a:: B. B; erit AB = aB, et COntra, Ouod
sic ostendicur. Cum sc. A. g:: B. B. Hoc est = = -=, erit (aqualiter utrin.
que mulciplicando) A = = _ AB = a B. Contra rerO; A AB = a B, erit (X.
qualicet urinque dividendo) A =
, e = = , hoc ell A. a: : B. B. Aique
ex hoc Lemmate, facilius quam ex illa Euclidis detinitione memorata, demon-
etrari pollent omnes illae propoliciones ubi illam actibet Fuclides: quod itaque
non incommode pro illa Euclidis detinitione substiti DOLCFIE.
Elis pramonicis, Propositiones aseredior: postquam monuero, quod, pro Maeni-
suainibus (de quibus speciacim agit F uclides) nos sumplicier Quanticates ubique sub-
Hieuimus. Ouippe de quancitacibus alus non minus procedune tum propotiriones
cum demonstrariones quam de gonicudinibus. Imo de Fuclidesiple, per Maeni-
rudinis nomen, non eam magnicudines proprie dictas, seu Aricte Tumptas, (qua-
lia Tune Linea, Superticies, et Corpus,) voluise videtur incelligendas; quair
omnia cujulcunque tuerint generis, quae vel Magna dici pollune, auc etiam aliud
alio Majus Minusre: Ouo lentu nos dumticatis rocem incellisimus; nenipe
de omni co de quo quari Tolet, Quantum Sc. u
1T. Si fuermt quoteunque quantitates, quoteurique quantitatum siillatim aeque
multipta; quocuipla est una unius, roruplae erunt B omnes omnium. Pua A
Ma  MB. _L7
A == Ma, B = MIB, C = M3, eC. FFUINE A L B
 C ec. (= B ∞ f MB Y M Y eC.) =M in
a Y B + y scc. ut mulciplicando patebit. Idem isi
eur elt communis mulciplicator M, quod CraL VrO-
bandum. Hhoc idem demonstratur unirerlaliter pF. 22
de ratione qualibet, non minus quam mulciplici.
3. Si prima secunda aeque mulcipta fuerit,  tersia quartae, (A = M an B == NB,)
Sitquie
164

## Folio 185 — 851387705:0205
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000205.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cap. XXXV. RVCLTDIS DECLAK
sitque quinta secundae aequemultipla ac sexta quartae; (C ==Na D =NB:
erunt item prima e quinta simul, secundae: at que terria e sexta simul, quartae,
aeque multiplices. Nempe A f C. == M ∞ Y N o, = M -
N: in a. e B I D
MB f NB = M + N: in B. Communis itaque ucrobique mulciplicator
MI J NV. Idem ostenditur in quacunque ratione, ucuc non mulciplici. prop. 24
3. Si fuerit prima secundae aeque multipla atque tertia quartae (A
Ma
B = MB,) e sumantur aeque multiplices prima 5 tertia (N A, NB; hoc est
NMa, NMB,) crunt e eque mulciplices, illa secundae, atque haec quartae.
Ouippe iucrobique est NM communis mulciplicator. P. Aque haeC UMa SPCCIES AF-
Bumencarionis ex aequo, lire ex aequali, si 150.
4. Si prima ad secundam, eandem habeat rationem, atque terria ad quariam,
(A. a:: B. B.) Fandem item rationem habebunt aeque mulciptices prima e ter-
iiae ad aquemulciplices secundae e quartae, juxta quamlibet multiplicationem,
respective sumptae. PUTA AM. ap: : BM. BN. Si enim A. a:: B. B. HOc cAt
= erie aequaliter uerinque mulciplicando (= XM, veI) 
vel) BM
BM
i  aequalicee verinque dividendo -) A N.
(=XM
BM
B adeoque AM. ap: : B M. Pv. Ouod erat demonstrandum. Vel brerius,
Der Lemma nostrum, Si A. a:: B. B, erit (A B = a B, adeoque ABNIV. = a BM P.
vel ANIBV = aV BNI, _E PFODLERCA) AM. a p:: BN. BV.
Luclides Corollarium hoc C ue in demonttracionis sux curriculo demonstra.
tum) adjunsie; Si quatuor quanticates proporiionales sint, sunt e inverse
(aramaener) proportionales. HIoc est, si A. _:: B. B. exit a. A: : B. B. (PrateF-
quam quod ex se videtur maniteltum, puca si urrobique eadem sic Relacorum ad
correlata, eadem erit ex Correlatorum ad illa, respectire Cumpta, relacO: vel,
verbi gratia, si quories A continet a tories de B Contineat B; vice verla, quories
a COntIneTIE in A, cories e B in B,) Sequitur directe ex lemmate nostro. Sive
enim A B lincextremae, e a B mediX: Sive hae extremae, et illae mediae: exIL VIO.
que modo, si utroris, AB = a B; adeoque utrobique proportionalicas.
Haec argumentatio ab Fuelide detinitur 13 d 5 (juxta Clarium;) Inversara-
tio est sumptio consequentis, seu antecedentis, ad antecedentem velut ad conse-
guentem.
5. Si quancitas quancitaris aeque mutcipia sun acque ablaca ablatae; erit 
reliqua reliquae aeque multipla atque tota totius.
Puta li A. F B = B in: a f B: =Ma f NB, FIE.
que A = Ma; Crit e B =MB. Nam, PTOPTeF
aequalia aequalibus ablata, erune et reliqua aequalia
Idem univerlalicer oltenditur pr. X9. de quacunque
ratione, ueut non mulciplici
mi-
A + B = et a f et B
=Ma
=MB
6. St duae quantitates (A. F B, Ec C F D,) sine duarum quanticatum (an de y)
aeque mulciplae, (puta Per M. L V,) sintque ablatae quaedam (A, C,) carundem
(an 7,) aeque multiplae, (DUTA Der M:) erunt e rehqua (B, D,) vel eisdem
aequales (si nempe V. = L) vel ipsarum aque multipla; (nempC Pex P.) Prop.
cer aequalia aequalibus ablata; ut patet.
A F B = M a
MMI: A = Ma
MI: C = M.
7. Squales ad eandem, eandem habent rationem, e eadem ad aequales.
Puta S A = B, erit (aequaliter diridendo).
=
 adeoque A. a:: B. a. Ttem
 adeoque d. A: : a. B. Vel sie (s opus) per temma nostrum; Ouia S
8. LBa-
A = B exi _ A a = a B.

## Folio 186 — 851387705:0206
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000206.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
H LEMENEE OOTNEE CaPXXXV.
8. Inaequalium major ad eandem, majorem habet rationem quam minor. Et
eadem ad minorem, majorem babes rationem quam ad majorem. Nam L. F P.
= +) = =. Trem pF =. Ouippe crescente Diridendo creseir
quorus, Sed crescente Diritore, minuitur.
D. Quae ad eandem eandem habent rationem, sunt inter se aequales:  ad quas
eadem eandem habet rationem, ipsae item aequales sunt. Nam S = = =, exUnE
(mulciplicando per a) B = A. Tem, A  = = adeoque (per coroll. Br. 4.)
= =, erunt _ A = B, ut prius. Vel, per lemma noltrum, Si A. e: : B. a.
vel a. A: : a. B. erit Aa == a B, adeoque A = B.
20. Duantitatum rationem ad eandem Babentium, quae majorem habet ra-
tionem est major; ad quam vero eadem majerem habet rationem, illa minor est,
Nam si F major quam , puca aequalis ; erie aequaliier mulciplicando,
A ( = a. = ,) = a. Item A . = minor (IC quam =, puta aequalis = - (Ber
Pr. 8.) exit per co1. pr. 4.  =  , adeoque A = a.
TF. Dua eidem eaedem sunt rationes, inter se sunt eae dem. Na
erit  -
T2. Si sint quotcunque quantitates proportienales, ut est una antecedentium ad
suam consequentem; ita e omnes antecedentes ad omnes consequentes. PHO
= - ec. = R. Erit igitur A = R e B = RB, C. = Ry eec. adeoque
A. F B. f C _c. = R0 f RB f Ry _C. = R in a f B. f y ec. Ideoque (aequali-
ter dividendo) A F B. f C 8c.
=B + y _c = R = =. Vel SC A. R A:: A f B. f C 8c. (R
in A F B F C_c. = ) RA F RB. L RC. nE patet. Auc per lemmanostrum, quia
A in R A F RB. F R C eC. = (AR A F A R B. f ARC _C. =) R A in A L
B FC_C. FIt autem haec universalis propolitio ad prov. +. Ouod enim illic osten-
duur speciarim de Ratione Mulcipla; hic ostenditur univerlatirer de qualibet ra-
tionc.
E3. Si prima A, aa secundam en eandem habeat racimem quam cercia B, ad quar-
tam B; tertia autem ad quartam majorem habeat rationem quam quinta C ad seX-
ram y: babebit e prima ad secundam majorem rationem quam quinta ad sexram.
Nam  (= = ) = -. Vet sic,
(=
 L.
24. Si prima ad secundam eandem pabeat rationem, quam tertia ad quartam, sit.
que prima major quam tertia; e secunda quam quarta major erit: si aequalis, a qua-
lis; si minor, minor. L. A0 , =--. Si aurem A = B, exic _ = = -, er 8o e=
= = ) = =, adeoque a = B per Br. 10. Vet sic, quia A. B:: a. B. uE in.
Tra oltendituF prOD. X6.
25. Partes (aliquocx) inser se comparatae, eandem habent rationem quam Ba-
bent earum aeque musciplices inter se. Ftoc eAt L - = A F A F A _C. Ma
a = a = a _C. Ma Der
.
Pr. +2. Vel, per lemma nostrum, A. a: : M A. M a: quia A X Ma = a X H A.
26. St

## Folio 187 — 851387705:0207
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000207.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
Cap.  t. CDIo BFCLARATIO.
26. Si quatuor quantilales proportionales sint, sunt es alterne (permutatim
viciltim, eranaz;) proportionates. Hloc est, HA. a:: B. B, exic d A. B: : a. B. Per
lemma nostrum, nam ueroque modo, si utroris, crit AB = ∞ B.
Fllque haec ea argumentario quam detinit Euclides 22 d 5. Acerna ratio est
sumptio antecedentis ad antecedentem, e consequentis ad consequentem.
Nocanetum aurem elt, hanc propolconem lomoo ocele, uo quailor
quancitates sune inricem homogenex; non aurem ubibina binis hecerosenea.
Puta, li lic, uc pondus a, ad pondus a; sic linea B ad lineam B, non camen dicen.
dum erii, uc pondus A, ad lineam B; lic pondus a, ad lineam B. Ouia ponderis ad
lineam, quippe quancitarem illiheceroseneam, nulla est Ratio; ut qua inter ho-
mogeneas solas contistis. Acque cacem de causa, prop. +q. de Tolis homosencis
Pre
seneis agitur: Poceadie racio alus exponi cerminis inricem homogeneis; in
quibus alcernarione institura, aliisque uc opus fueric operationibus peractis, nova
alternatione retluuenet lune in priinum ordinem cermini mutuati, ee deinde de
vonendi, relimpeis a principio pons. Orad prop. 29. mox osteMeI.
visae (sraiecderra) proporionales. Pura H sc A F a. a:: B F B. B. erit d A. a::
B. B. Manitestum enim est cum quancitarem A F a una vice pluries continere
quantitarem a, quam eandem continet A: ee similiter B f B, Ulla vee Pucies
quam B, concinere B: EF propierea ab aequalibus quoriencibus detracta urobique
unitate, manet adhue aequalitas. Vel sic. Ouia
Sitic L
est
sive L +
B+B
3
d 2
- = 2, d
a
FF
sive L. = L; erit (detracta uirinque unitate)
=. hoc est A. a: : B. B. Vel He, A = = =, erie (= -
= = C, h0c
Vel etiam per lemma nostrum, Si A f a. a: : B + B. B.
erit (A B. f a B = aB f a B, adeoque AP = a B, _) A. a: : B. B.
Detinitur aucem haec argumentatio 25 d 5: Divisio rationis (craiscors neyo) est
sumptio excessus, quo antecedens superat consequentem, ad ipsum consequentem.
Adju
Moic hic Clarius duas alias Drvisionis Rationis Formas: Primam rocat Di
visionem rationis conversam; quando consequens ad excessum quo consequentem su-
perat antecedens refertur. SI R. a:: B. B. LFICa. A - 8:: B. B- B. OUX nOn
alia eA, quam Prop. 27. Fuelidis invertio. Nlam per illam Crit A - a. a:: B - B. B.
adeoque inrerle (Per Cor. prOP. 4.) a. A = 8:: B. B - B. Vel siC; AA, a:: B. B.
Erit (AB = aB, _ a B - a B = AB = aB, hoc eAt a in B - B: = A - a: 1AB.
eE DFOPTETCA) e. A = a :: B. B = C
Aleram vocat Divisionem Rationis contrariam; quande confertur antecedens
cum excessu quo consequens antecedentem superat. Si R. ∞:: B. B. FFIE A. a - A..
B. B-B. Oux concinet Fuclidis, diritionem rationis, dua sque invertiones. Nam
primo inverrendo erit a. R:: B. B. cum diridendo, sire per diritionem parionie
a = A. A:: B - B. B. Et tandem iterum inrertendo A. e = A:: B. B - B. Vet
tic, per lemma noltrum, Si A. a: : B. B. erit (AB = a B, _ AB - AB = a B -
AB, hoc est, A in B = B: = a - A: in B. adeoque) A. a = A:: B. B - B.
18. Si quantitates divisae (ueredu cenvera) proportionales sint, erunt e compo-
sitae (oruvrederra) proportionales. Si A. a:: B. B, exit iteu A f a. B: : B f B. B.
Nam cum s = = =, erie ilem (addendo vrobique 2,) = + 1 = = + L. ho
ideoque A f. a. ai: B f B. B. vel sie; Si = = = esic  f+
Imovero, e = + 2 = = + 2, sire
1t 2
Verum luando alternatione opus tuerie, ubi de quancitacibus invicem hetero.
27. Sequantitates compositae (uere du oorncivvera) proportionales sint, erunt e di
Lt
+ s, hoc est
2. A
Ed quidem unirertum. Si Hic7 = - exic eriam  LM =

## Folio 188 — 851387705:0208
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000208.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
F L EMENTT OULNET CaP. LLA
L = M, Sive
FMA + LMa
Duomodo cum haec cum pracedens junctim ee
universaliter demonttrantur. Sed et per Lemmanostrum, hraec junctim cum praece.
dente; sic demonstratur; Si A = a. a:: B =B. B; CrIC (AB = aB = aB = aB, et
AB = a B, ideoque) A. a:: B. B.
Detinitur hic argumentandi modus, praesence propocicione demonstratus, ab
Fuclide r4 d5. Compositio rationis (ourdcors nors) est sumprio antecedentis cum
consequente tanquam unius, ad ipsam consequentem.
Acque hic eriam Clarius duas alias Rationis compotitiones adjungir. Primam
appellat compositionem rationis conversam; quando sumitur antecedens e conse-
quens veluri una, qua cum antecedente conferatur. P’uta (I A. a:: B. B. CFIE A -] a.
A:: B -L B. B. Oux duas inrolrit tuclidis opcraciones. Nam invercendo, erie
_. A:: B. B. _ componendo a f A. A :: B = B. B. vel A f a. a:: B. f B. B. V et
tic: s A. a:: B. B. CTIE (AB == a B, _, AB. f AB = = AB ] aB hoc efF A L a
in B = = A in B F B, adeoque) A F 8. A:: B f B. B.
AIceram vocat Compositionem rationis contrariam; quando refertur eadem ante-
cedens ad antecedentem e consequentem ceu ad unam. Pura sI A. a:: B. B. Cxit
A. A f a:: B. B F B. FIIque haeC praCedentS inVertO; e tres Fuclidis oDera-
tiones conjungit. Nam invertendo crit a. A:: B. B. e componendo A f a. A::
B FB. B. icerumque inverrendo A. A f a:: B. B + B. Vel criam per Lemma
nostrum; Si A. a:: B. B. Crit (AB = a. B, adcoque AB f. AB = AB f a B, hoc
est A in B Y B =- A Y a in B, ideoque) A. A F a:: B. B ] B.
29. Si sut ut toca ad totam, sic ablata ad ablatam; erit e reliqua ad reliquam
ut Lota ad Jocam. F. sto enim
ed  Lt
=R. Frit itaque cum A + B =
a
R in a. = B = Ra L RB, cum A = R a. adeoque e
residuum B = RB. FF (urinque aequaliter diri-
dendo) = =R:
a = B. Eltque haec propoli-
tio unirertalis ad prOP. 5. Enclides illam sic de-
monstrat. Ouoniam ut A ] B. a f B:: A. 8. erir ascerne (seu permutando)
A F B. A: : a f B. a. Ec diridendo (sire per diritionem ratiOnIS) B. A:: B. 8..
icerunque permutando, B. B: _ A. a:: A F B. a L B.
Acque collisie hoc nopoua seu corollarium, Si composita magnituanes sint pro-
pertionales: e per conversionem rationis proportionales erunt. Cum enim olten-
derit A F B. a = B:: B. B. Frit permurando A F B. B: : a = B. B. GuXe SUInE
quancitates compolicae proportionales: sed e oltentum est A F B. a  B:: A. d..
adeoque permutando A F B. A:: a f B. a. quae eA convertio racionis. Ouippe
26d5, detinitur Conversio rationis (arosscen noyo) sumptio antecedentis ad ex-
cessum, quo antecedens ipsam consequentem superat.
Clarius hanc demonstracionem improbat, propter adhibicam alcernacionem, qua
in solis homoxeneis obtinet, cum tamen convertio rationis etiam ubi bina binis
sunc hecerogenea locum habet; adeoque hanc substiuit. Si A = B. B:: a. = B. B.
eric (dividendo) A. B: : a. B. _ (invercendo) B. A: : B. 8. e randem (compo-
nendo) A F B. A:: a f B. a. qua ct convertio racionis. NemDC A uL tOL
prima ad Tui parcem ablacam, sic tota secunda ad tur ablatam; eric ut tota prima
ad sui reliquam, sic cora secunda ad sui reliquam. Vel brerius, Ei uc tota ad
ablatam, AC TOTa ad ablataM; exit ec tora ad reliquam, ut tora ad religuam.
More noltro sic demonstrabitur; Se
erit (3 = e adeoque
3
ee
+ 1 = =  1, 10
Vel, S dibet, lic; Si p = a exit (= - 2 = - - 1, 10
A F B = LLa F RB

## Folio 189 — 851387705:0209
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000209.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
C ap. XXXV
RUCLTWIS DECLAKAIIO.
Ec similicer insticui pocerune demonstra.
tiones non modo prOp. LB C 28. uE Lupra, Sed ec earum quas illis subjungie Cla-
Vel Ctiam per LeMMA NOLIrUM; Si A ] B. B:: a F B. B, erit (AB + BB
=Ba + BB, ad eoque AB = Ba et Aa f B a = A∞ + AB, ide0que) A f B.
A.
Sed de reltimi poreric eadem hujusce proposicionis demonstratio quam modo
repudiarie Clarius, co adhibiro remedio quod ad prop. 26. InNUIMUS. PUTa, si
Tic, verbi Gracia, uc A f B numerus pedum in linea tota, ad B numerum pedum
in ablata; lic a f B numerus unciarum in EocO pondere, ad B MIIINETUM UNCIA-
rum in ablaco; (ut Symbola jam non lineas ee pondera, quantitates heterogeneas,
immediace signiticent, sed verobique numeros, adeoque homogencas:) CFIE Per
mucando A F B. a F. B:: B. B. RE HAeTUS EOCIS ad TOCM, Lic ablatuS ad abla
cum; ideoque e, per pr. 29. Sic reliquus act reliquum, nempe A + B. a = C
C:: B. B):: A. a. ierumque permurando A f B. A: : a -= B. a. uE pedum nume
ruS tocis ad religuum, sic unciarum nUCrUS EOCIS act religuu; d prOpterea
ctiam, ur linea tora ad reliquam, sic pondus cotum ad religuum. Ouod Crat pro.
bandum. Vel sic; Si sic linea cora ad ablatam, ut numeruS P ad A, e pondus
cocum au ablacum, ue numerus r ad a; sirque cadem nrobique ratio; hoc cst
. A:: r. 8; adeoque permucando (quippe jam de numeris asitur) P. T:: A. a:
ideOque per Pr. 19. F. T:: L = A. 7 - a. Herumque permurando T. P = A:
E. ErSO et (quia ponuntur numeri illic lineis, hic ponderibus propor
tionales) ut linea cora ad reliduam, lic et pondus tocum ad relidium. Ouod
crat probandum. Atque hoc pacto licebit alternationem adhibere etiam in prO.
porrionalibus non homosencis. Ubi nempe secunda permuratione relticuitur quod
Prima decurbatum exac: duc etiam, si plures, modo item quaria restituatur quod
cerria decurbatur; ee sic cories quories. Hoc enim s caveacur, nihil absurdi (C.
quicur in quancicaribus, uur hecerogeneis, alternandis.
20. Si sint tres quantitates, A, B, C; aliae que ipsis numero aequates, a. B, 7
quae binatim sumpta sunt in eadem ratione, (Duta A. B: : a. B. e B. C:: B. y.
ex aequali (sior) autem prima major sit quam tercia: e quarta quam sexta major
erit: st si aequalis, aequalis: sin minor, minor. Nam A. C:: a. 7. ue ostende
muS adt prOD.
22
2I. Si sine ires quancitates, a, B, C; aliaeque ipsis numero aequales, a, B, Y:
quae binatim sumprae sint in eadem ratione; sit autem perturbata éarum proportio
(puta A. B: : B. 7. Se B. C: : e. B.) sitque ex aequali prima major quam tertia.
erit e quarta quam sexta major:  si aequalis, aequalis; sin minor, minor. Nam
e hic A. C:: 8. 7. ut oltendemus prop. 23
Suntenim hae dux propotitiones, Lemmata ad duas sequentes; quas cum nos
sine harum ope demonstraturi simus, crunt cadem operà e ha à tortiori de
monstraca. Ouid aurem signiticent illae voces ex aequalius live ex aequo, e prodor
tio perturbata; Octendicur 17, 18, 79, det. 5.
Sx aequalitate ratio, (sive ex aequali, vel ex aquo, suov) ett, ubi plures sunt
quantitares, sumpcio extremorum per subtractionem mediorum; live, omittis me
diis. 27d5
Ordinata proportio (Teruruern avanoria) est quando est ut antecedens ad conse-
quentem, sic antecedens ad consequentem; ut autem consequens ad aliam quan
piam, sie consequens ad alium quampiam. 28 d 5. Cujus exemplum habemis pr.
20, _ 22
Percurbata vero proportio (Teraeet y toy1.) est, quando, cum tres sint quan-
ricates aliaeque illis numero aequales, est; ut in primis quantitatibus antecedens act
consequentem, ita in secundis quantitatibus antecedens àd consequentem; ul autert
in primis quantitatibus consequens ad aliam quampiam, uta in secundis alia quae
Diam ad antecedentem. 2945.. Cujus exemplum habetur PrOP. 21, _ 23
Vel
siC; Si nE L POS Pa au Lcm, Sic in alieris secunda ad TETEAM; WE
CL. Di sint quoscunque quantitates L B, C, Ec. aliaeque ipsis numero aequales
in B 3. _C. qua binatu srae sint in eadem ratione, (puta A. B: : a. B, e B. C:
ruS. Ouod obirer dictum clto.
aurem in primoribus secunda ad cerriam, sic in alteris prima ad secundam.

## Folio 190 — 851387705:0210
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000210.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
A E E ME N PF O DENTT CaPZXXV.
B. 7. _C.)  ex aequali in eadem ratione erunt; Nempe A. C:: a. 7. Nam quia
8
= = erit =
C
BC
= 1-
. adeo
que, A. C:: 8. 7. Ft Similiter quoccunque fuerine verohique quancitates. Habetur
aucem hic exemplum rationis compolua; uc et prop. sequente.
23. Si sint tres quantitates R, B, C, aliaeque ipsis numero aequales a ,7
quae binatim sumptae sint in eadem ratione, sit autem perturbata earum proporcia:
(nempe A. B:: B. v. _B. C:: a. B.) e ex aequali in eadem ratione eruns. Nempe
A. C:: 8. 7. Nam quia p = -, e = = ; erit= X
= =.) adeoque A. C: : d. 7.
AB
24. Si prima ad secundam, eandem habuerit rationem, quam tertia ad quariam:
R. ∞:: B. B. quinta item ad secundam eandem habuerit rationem quam sexta ad
quartam: C. a: : D. B. Babebit etiam composita ex prima e quinta ad secundam.
eandem rationem quam terria cum sexta ad quartam. A + C. e:: B. f D. B. Nam EI
, ee - - -: exic = + C. (- A -
B + D
B. Saceo.
oue A . L C, a:: B f D. B. Vel SiC, E OBUS, per lemma nostrum; Si A. a:: B. 6. 8
_ C. a: : D. B. erit (tum AB = a B, tum C. 6 = aD, erso A6 + C.6 = a B f aD.
ideogne) A f C. a:: B + D. 6. FAtque haec propolicio univertalis ad PrOP. 2.
25. Si quatuor maenitudines proportionales fuerint A L B, 0 = 6:: A. a. (FitqVC
A F B omnium maxima, adeoque e a minima;) maxima e minima reliquis
duabus majores erunt. (A F B F a = a. f 6 f A.) Nan per PFOP. +D. A f B
a F6(: : A. a):: B. 6. adeoque, ex hypochet, B = 6. Ideoque A f a f B =
A F a f. 6.
Acque hactenus proposiriones Euclidis cradidimus. Sequuntur alia quae a Cla-
vio aliisque, his subjungi solent; eadem facilitate demonstranda: quae e Fucli-
daeis rircualiter contentae videantur.
26. Si prima A ad secundam B, majorem habuerit rationem, quam terria a ad
quarcamE: habebit, invercendo, secunda ad primam minorem rationem quam quar-
za ad tertiam. Nam quo major est ratio quaeris, eo minor ipsius converla. Vet
FF; ideoque invercendo
Sic. Ouoniam Z = , clto per PrOB. 8. = - -
B. + F
verte-
1
A. vel  = =. Vet sic; Si
A FF = (2 =) =. Per COr. PE. 4.
B.
+ P
= =) =: erie in-
27. Si prima ad secundam, majorem habeat rationem, quam cerria ad quar-
tam; habebit vicissum prima ad tertiam, majorem rationem quam secunda ad
quartam. Nam (1 = = =, esto B F F. = F ideoque, vicistim,
= =. Vel Be; Si L F C. = (F =) =; erie alterne
Der DE. 16.
28. Si prima ad secundam, majorem habeat rationem, quam terria ad quar-
tam; habebit quoque composita prima cum secunda ad secundam majorem ratio-
nem, quam composica tercia cum quarca ad quarcam. Nam E1 Z = =, erit quo-
que (Z + E = = + 5, hoc CA) L = B a. + B Vet SC; Si
=cxic componenco A. F F. f B A + B
a. +
A FF
20. Si composita prima cum secunda, ad secundam, majorem habeat rationem,
quam composita tertia cum quarta, ad quartam; habebit quoque dividendo prima
adt

## Folio 191 — 851387705:0211
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000211.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
Cap. XXXV. B UCLIDIS DECLARATIO.
ad secundum, majorem racionem, quam rercia ad quaream. Nam si A + B a +
(hoc CA Z + 1, = = + 2,) erie quoque = = =. Vet sc; Si A + F + B.
A F B
a = C
Ei erie divideneo a f L = (2 = ) 2. per pr. 17
30. Si composita prima cum secunda, ad secundam, majorem rationem habeat,
quam composita tertia cum quarta, ad quartam; habebit; per conversionem ratio
nis, prima cum secunda ad primam mmorem rationem quam teiria cum quarcan
ad cerciam. Nam si 4 f.
L
adeoque diridendo (uE prOB. PracCd.)
= =; erie inverte (per pr. 26.) f = =, _ componendo (uE proP. 28.)
A F B a + 6
37. Si sint tres quantitates A, B, C; aliaeque ipsis numero aequales an 6, 7,
sit que major ratio prima priorum ad secundam, quam primae postertorum ad se-
cundam; item secundae priorum ad tertiam (Sire aqualis, tive) major quam se-
cunda posteriorum ad terciam; erit quoque ex aequalitate major ratio primae prio-
rum ad terciam, quam primae posteriorum ad terriam. Nam II  = C, d
eric  
B
A
C(= DC= =)=
= -. Vel SiC; Si A + F.
C =) =. DeC PF. 22.
B = 5 e = = -; exic ex aequali
32. Si sint tres quantitates A, B, C; aliaeque ipsis numero aequales a, 6, y. dit-
que major ratio prima priorum ad secundam, quam secundae posteriorum ad ter-
tium; item secunda priorum ad cerriam (sive requaliS, Tirc) major quam primae
posteriorum ad secundam: eric quoque ex aequalitare major ratio prima prirum
ad terciam, quam prima posteriorum ad cerciam. Nam SI
eric  X
A F F.
c-
B
BC =E) =
=
=) =, et E = C, eric ex aequalius
PrOD. 23. 1
F F.
33. Si sit major ratio rocius ad cocam, quam abiatas ad ablatam; et t  rett
quae ad reliquam major ratio quam rotius ad tocam. Nam S =
permucando (Der PF. 27.)
Vel lic; Ouoniam
LB. a +6
B B
a +6
que = = = -, erit quoque L + B -
A F F. F B, A F B, F.
+ 6
Cdt
6 et per convertionem rationis, (per
6, adeo que
F6 ( a +6  a + C) =
a +
+6
I. + B
+6
B
a =6
A F B
b
F(= --. Per pr. 19.)
Hoc elt
=7
;Si
+6
adeo-
Vel SC;
+B
19r
FxIt

## Folio 192 — 851387705:0212
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000212.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
Frit=
A. FF F B
A F B
a FC
ete
a F E Der pr. 8. =
Superest adhuc apud Clavium, alia propolirio, quae quortum hie loci insera-
tur, eso plane non rideo; Cum tamen illic reperiam, etiam ee hie apponam.
34. Si sint quotcunque quantitates, A, B, C, dc. aliaeque ipsis numero aequa-
les, a 6, Y, ec. sitque major ratio prima priorum ad primam posteriorum,
quam secunda ad secundam, e haec major quam tertia ad tertiam, e sue de
inceps: = = = = = _c. Flabebunt omnes priores simcil, ad omnes posteriores
simul, majorem rationem quam omnes priores relicta prima, ad omnes posteriores
relicta prima: Minorem autem quam prima priorum ad primam posteriorum;
Majorem denique etiam, quam ultima priorum ad ultimam posteriorum.
Sunco primum utrinque dux, A, B, _ a, 6. Ouoniam igitur 
coque permurando Z = =, et componendo A
_E Der PTOP. 33.
bandum erie
LB
C +7 (= - -) =
= =-. Et Sc ubiris.
B L C
6+
a 1. 6
3 +
Erit, permutando,
=
=
==--. Ouoniam per membrum
 erie permutando
C. F  icerumque permurando, et per membrum pri.
mum, d per Pr. 33. Fric A. F B. + C.
a f 6
B FC
monstranda. Fit similiuer probabitur B. + C. L D
C+ y+
Eodem modo, potitis uerobique quatuor,
brum praecedens,
) B +C + D
B- f 2 +5
nendo, ilerumque permurando, dec. ut prius,
C. + D. D
a. L
= =. Iem C. + D
Secundo, ponantur utrinque tres, ==
primum = (-
e F B. FC
B FC
B
 -LC ( = - -) = --. Oux eranc probanca. Et similiter pro-
3 L C.
=
-2
C = ~. Clu vet mem.
ideoque (permucando, et compo.
A + B F C F D, B+ C +D
a = B. f y +5
B. F 2 -
+s = 5) = =. Oux erant probanda. FL similiter B + C F D f F
C + D + F D. L E
V-
B + y + 5 +
Eepari modo, poticis nrobique, quinque, sex, septem, dec. demonstratio grada.
tm procedet. Constat itaque propolitum.
Aique hactenus Fuclidis Elementum, quintum, cum propoticionibus adjunctis,
expoluimus: Succincte quidem, sed nec propterea minus dilucide.
Si quem interim male habeat, quod in demonstrationibus nOn rarO, ea quae ad
Fractionum Dirisionem, Mulciplicationem Sc. attinentu adhibuerim; quarum do-
Etrinam nondum ex protelso tradiderim: Porerie ille rocum hoc capue, cum (e-
quenre, Fractionum iractationi pollxonere, vel salcem quali estent postpotica rc.
Dutare.
Cap. XXXV
E LEMENTFOUTNTI
quae crans de.
ep

## Folio 193 — 851387705:0213
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000213.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
Cap. XXXVI.
Mulciplicacione Diritioneque Alscblica live Speciola.
S F NCO e SLS. 1LI T 193
Dutare. Ouanquam revera vix quiequam eorum hic allumitur, quod non ee in su-
perioribus exponicur; praesercim ubi de Practionum nocacione dictum est, et de
l LL l.. 2
Flementi duinti Synopsis.
Vod pracedenve capice tulius vradicum est, in brevem synoptia redi.
SemuS.
Ubi  = -, ibi A. B: : a. B. Detinicio.
(A. B:: a (= A). B,
A. B :: A. B(= B).
ErgO L A. B, =
:
PrOP. 7. 9.
es = SC. D. pcop. 1I. 13.
lA. B :: RA, RB, PrOP. 15.
icem 
A
1
B. Et p F F  B . PrOB. 8. 10.
Sunique hae proposiciones incellectui faris obvia. Sequucur alin.
Si A
exie
2A
3tC
RB +
COr. PF. 4
Or. 24. 10.
SPrOP. 3. 4
DEOP. T. 5, 12. 13
na
ERA L e
a
F. 27. 18. COr. PC
MA S RB. S E:: Ma LRC. 3
SA,
(sBS
BS
5ed
Suncque e hae propositiones, carumque converlae, vel per se Patis obria, vel
per Lenima nostrum tacile demonstranu; adeoque si de tiacet allatos latlinet cilta
quavis consticeric, constabis et de omnibus. Sequuncur alix.
NA t RB:: 2
Ma d L6

## Folio 194 — 851387705:0214
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000214.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
E94 FLLEMENTL OUNTELSPNOPSIS. Cap. ZXXV
FrICA SC
Er
S
Fi
EPrOD. 2. 20
Frie A
: a . y. Pr. 20, 22. 22. 23
Simaxima A. B :: a. 6. minim.
Exit A + 6 = B + ∞. PrOD. 25.
Flarum ilem propolitionum demonstrationes, vel ex superiore Temmate, vel
aliunde, sunt lacis obrix, vel saltem ex supra traditis illarum exposicionibus peri
Poltunt. Adeoque Fuclidis Elementum quintum, compendio craditum clt; locis
incerim aliquammultis locupleratum.
Oux sequuneur, apud interpretes, provolitiones de non- proportionalibus; ad
alias ab Fuclide traditas tacile reducuntur, in quibus quali viriualiter continen-
TuT. PuTA PTOP, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 32, 33. I COr. Pr. 4. Pr. 16, 17, 18, 79,
22g23. COr. pr. 29. Vccap. praeced. oltentum cst..
De Marei Meibomit Dialoeo, Monitio.
De Mei Obi hactenus perveneram, incidi in Marei Meibomii, De Proportionibus Dia-
bomii oeum; anno superiori 1655 edicum. Duo, noram de Proporcionibus doctrinam
Dialoso. Spondet: AIque cum Pytbaeoram. Fudovum, Fuctidem, e quotquot unquam
Pythacoriei porvere; cum Arehimedem, Aollonium; Pappum: Theonem icem,
acque Futocium; Commandinum denique  Clavium, omniumque juniorum Ma
thematicorum filios; live, Summatim, cum totam antiquitatem, cum recentiores
omnes; lire, Totam Mathematicorum coborrem, ad nostra usque tempora; halluci-
natos esse, concendiu: Nec tantum ienorasse authores illos, quid sit Rationum
Compositio: sed e, quid sit Ratio: Quodque ipse primus, omnem cruditam vetu-
statem, insenti molimine, superaverit: Pluraque cradiderie, quam ab ullo Geometra
expectari posse, putandum erat. Ouippe is praecipuus, inquit, narrationis scopys
est, ut locam antiquilatem ienorata in quibusdam Flementis Ceometria convin-
cat; deinde autem juniorum pravas explicationes, e monstrosas hallucinationes de
monstret. Cum enim, eum veteres, Pythacoras, Fudoxus, 8c. ad rei veritatem
non omnino penetrarint; tum, quae veleres recte, doeuerant, sinistra recentiorum
interpretatione, sint depravata: Taque, inquil,  recentiores omnes reprehendam;
qui antiquos non intellexerunt:  antiquos corrieam; qui male quaedam prodide-
runt: utrosque insuper nova docturus.
Totius
VDMC
2t
110
Dec

## Folio 195 — 851387705:0215
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000215.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
CaP. LI L.
MEIBOMLS NOTATUE.
Focius aucem norx doctrina sux, hoc elt, crratorum Tuorum, originem, qui Ejusdex
examinat, hanc else deprehendet; quod inter nezor Anacoror e noyon cnpasiora; sIVC, sumi
(ut Loguuntur interpretes) inter rationem duplam, ee duplicatam; vel nelciat, vel
nolie, diltinonere. Oua cum ille pro eodem habere reli; cum leparanda verpe
ram commilcet; cum, quae ab auchoribus de utrilque rere cradica LuME, quali inEr
se puenantia Conmicee. Adeoque Pheonem, aliolque, grariter cuspac, quod pu-
caverime tripli duplum esse sextuptum: Dum ille, Tripli duplum, noncuplum esse
concendie; quia nempe, racionis criplae, rario duplicata, est noncupla.
Deinde; cum racio = rationis : lic rario duplicata, quam ille pro eodem ha-
Dec acque rationem duplam; nec incerim dubicaverie, quin dupla sC major, Guam
limpla: Ptatuie rationem L ad 4, majorem esse quam 1 ad 2
Adeoque rationem illam majorem esse rule, non quam detinic Evelides, 8 d 5.
Led, quae ab aequalitare magis recedic; lire, ue loquitur ille, cujus termini lon-
eius inter se distant. (Ouali quidem, idem eltet Ratio, acque Lnaequalitas.
Iplamque Squalitatis racionem, Rationem Nibiti appellat; uipore ubi nulla ctt
Tnxqualicas.
EE prOpIerea Prop. 8. e 1O. C5. (de quae inde dependene omnes) Fattas este
concendic; quod per cas, dicenda eet racio E, major quam racio z. Adeoque
ec 8 deF. 5. (cui imnicuncur) fallam etle
Dationes aurem Z dt 5) nem 3 _ 3, (acque. de aliis paricer,) aequales invicem
dicendas vulc. Tum; quod idem sic incerrallum incer F et 2, acque inter 2 e I;
adeoque, secundum illum, eadem ratio: Tum quod urraque, ab aequalitatis ra
rione aque recedat. Sicuti enim f + de = + (Si ipli credamus) sune inter se
aequales; quia ucerque ab o, scu nitulo, (numeri omnis inicio,) aequalicer distac:
ica ee racio 2 e L aequales exum dicende; cum urraque ab aequalicaris (sire nihili)
ratione Z, aque recedat.
Estque haec rorius norx sux doctrina summa; breviter quidem, sed fideliter
recensica; et magis tortan perspicue quam ipse vellec. Cujus quidem ego retuca
tionem, putallem, primo, hie loci inseruiste; cum quod hanc novam suam doctri-
nam non antea viderim, quam praecedencia desexipra fuerane, e prope omnia
jam imprecta; cum, quod locus hic sic fatis OpPOETNUS. Cum vero retutatio.
nem, quam, currence prelo, parari, prolixiorem rideam, quam quae uno capici
commode inseratur; tocumque hoc de proporcionibus nesorium jam lupra lacis
dilucide cradicum sic uc, qui 2 nobis cradica incellisat, non admodum solicitus lic
Fucurus de nora ipsius cradicione: P ectorem hie nimia digrestione detinendum non
centui. Adeoque Returationem illam scortim porius, vel, li opus TIc, huic tra
ctatui Tubjunsendam reliqui. Ur sicui videacur illius nora doctrina quiequam in
se habere ponderis; videre posti, et quid nobis illi reponendum elte duxi-
MUS.
Incerim vero dicimus re. N: zor Smaoio aliud plane elte quam Ntyos, Simcaniorem Refuta
ut supra oltentum et; de, quid incer se distent. 2. Abyor smméoror, rationem du- 210 bre-
plam, simpla majorem este, agnoleimus: Ced non ita semper Noyor smmasioro: (quip. vis.
De quocies expolica ratio, seu radix, supponitur minor quam L vel L; ratio du
plicara, criplicata, dec. hoc elt, Ouacratum, Cubus, Sec. perpetuo decrescune.
3. Adeoque non inde sequi dicimus, rationem : majorem esle quam :, urur illa
sic hujus duplicata, adeoqne cum 8 d 5, cum 8 et 10 e 5, (cum quae hinc depen-
dent,) Pacis conltare. 4. Aqualicaris rationem E, non racionem nihili dicendam
esse, led simplam: quipee, uc ubi terminus anrecedens consequentem bis conti
nec duplus dicitur; ubi TeL, criplus, _c. ita, ubi lemel, simplus dicendus est:
adeoque = ratio simpla. 5. Negamus iteur, cum Y E et = T, elle aequales nu.
eros; cum Z ecZ aquales elle rationes: quippe F F, binario major est quam - 1
nam 
F. + 2) ee racio Z ell rationis ? (non inquam, quadeuplicatas
Sed) quadrupla: nempe Z = 4 X 3. 6. Nesamus irem, Rationem cancundem esse
acque naequalitatem, (quippe ee aequalium ad inricem est rario, non minus
quam inaegualium:) Ruc etiam idem atque Intervallum. Sei enim; in ratione
vc loguuntur, arichmerica; eadem eAt Disterencia (quae subductionem spectat)
Iner 5 e 3, acque inter 3 e 5; non aurem eadem ratio Arichmerica, 5 ad 3,
_ 3 ad 5; quippe illic, Exceltus binarii; hic, binarii Detectus: Tra, in ratione
Geomerrica; idem est interrallum (diritione altimandum) inter 2 8 F, acque
incer 2 et 2: non aucem eadem ratio; sed illie, dupla; hic, subdupla: live,
illic

## Folio 196 — 851387705:0216
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000216.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
DE REOULA
illic innuicur duplo majus; hic, duplo minus. Ft quidem, ut illic, licet eadem
Ditserencia, non tamen idem Residuum; (ed 5 -
lla
ec hic, licet idem Incerrallum, non tamen idem Guotiens; let L) 2 (2, 2) T(3.
Neque magis sequicur, quoniam inter 2 et T, acque 2 et 2, e etrallum,
erso es eadem Racio, lire Relario: quam, quoniam incer Pairem es filium, al
que t’ilium et Patrem, eadem ell diltantia, Ergo et eadem Relatio. t que
ut Creneratio, commune F’undamentum elt cum Paternitaris, cum P’iliacionis, le-
lacionum sibi mummo opposiarum: Ita et Interrallum idem, est commune LuIt.
damentum Racionis (qua ipla elt Relario) cum Dupla cum Subduplae; qua lil
terim ipsa sunc Raciones oppoluae, lire Lurersae. Sed de his hactenus.
Cap. XXXVII
De Aurea Recula. Ejusdem Praxis e Demonstratio. Fa
empla varia. Aritudinum per umbras mensuratio.
Florae diei, sub diversis meridianis, comparatio. Per-
minorum proportionalium praeparatoria Reductio, Cqu
tela de non proportionalibus. Gravium descensus ac-
celeratus. Pstuientis aquae vis lancuescens. Termino-
rum proportionalium ordinatio. Terminorum praepara-
tio; per Divisionem: per Multiplicationem. Dubii de
quantitatibus Feteroceneis; solutio. Operationis pro-
batio.
A D Proporrionum doctrinam, (quam in superioribus Fusius tradidimus,
Ca Spectatu quae dicieur, Aurea Recula; Sive Regula Trium (Ouxe ob insienem
Tuum, quem, in cOta Machesi, utum habet, surea dici (olet.) Oua nempe, Termi-
norum quatuor proportionalium, datis Fribus, duartus investreatur.
Si enim, Tertius per secundum multipticetur (vel hic per illum, ) e productum
dividatur per primum: Duotiens exhibebit Duartum quae situm.
Demon- Sunco enim quatuor termini proportionales A. B: : 8. 6. Datis A, B, a, prodi-
seratio.
3
bic B = . Cum enim sic, ex hypocheli, A. B: : a. B. adeoque (invertendo)
B. A: : B. a. hoc cst. = - =. Virinque mulciplicando in a, prodibit = e. vet
A) B∞ (B.
Vel item (ab origine) sic. Ouoniam est, ex hypochesi, A. B:: a. B. hoc cst
B = Si mulciplicando uringue in BB, eric AB = Ba. Adeoque, dividendo u
eringue per A, critB = 
Vet, ve rironibus sic magis aehue perspieuum, cum sic A. B:: a. B. Hoc est
(per det. proporcionalium, tive, ejuldem racionis) F = . Si aequalia sequalicer
mulriplicencur, prodibune aegualia. Adeoque si cum =, cum =, ducancur in B;
Ba
Fiec, illic = XB = A; hic, x B = -=. adeoque A = -. Trerumque, ductis
uerisque in B; siec, illic A B = A B; hic,  n B = Ba: adleoque A P. = B, (10C
et;
aurea
Regula
Praxis.
Mes in

## Folio 197 — 851387705:0217
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000217.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. XXAVII.
A U R F. A
ClE; FX quatuor proportionalibus, tactum ab extremis aequatur facto a mediis:
quod e luperius aliquocies demonstrarimus.) Benique, E aequalia aequaliter diri
dantur, orta erunt aequalia. Adeoque, si cum AB, Cum Ba diridatur per A;
exic, illic A) AB(B; hie, A) B a C, . adeoque B = 7. quod exat demonstran.
dum.
Per tanc Reculam tolvi tolenc hujusmodi Problemara.
Si 3 pondo mercium constant 5 solicis, quot solidis constabunt carundem merei Lempla
um pondo 25. Ouoniam in qualtione supPOnitur, merces elle aeque charas; exit
Ut mEeX ad mercem, sic precium ad prectum; Adeoque uc 3, numerus mereium
empracum; ad 25, numerum emencarum: ita s numerus pretsi dari; ad numerum
precii quaesict. NempC
pondo. pondo. sol. S0l
Vel quia jam de numeris ubique agitur, eric, alternando, ut merx, ad PretL
um; lic merx, ad pretium. NemDC. ca
Dondo. Sol. pondo
Sol. 1
O
Solritur aurem, juxta praesencem regulam, ducendo
terminum secundum in cercium, (sire, quod perinde cAt,
cerrium in secundum,) unde HC5 X L5 = 75: &e dividen
do per primum, 3) 75 (25 = 9. Ave 13 = 25 = . A.
deoque precium qualicum clt, 25 Colidorum.
Tiem, Si 3 dierum sipendium, sint 2 solidi, dierum +2 stipendium quancum
erit. Hloc elt 34. 25:: 72d. 9. Mulciplicencur invicem
2I 22, Fiet 2X +2 = 24. cum dividendo Per 3. prodi.
bic 3) 24 (8 = G. Dierum itaque 12, Ctipendium est
8 Solidorum.
Pariter Si Arsenci uneia duae valeant (in monela
Anelicana) decem soldos; quaeritur; quanci valebunt uneiae, duodecim, sive una
libra Arsenti: Solritur, ut prius; invento cermino quar-
10 O = 60. Adeoque una libra argenti ralere depre.
hendicur 50 Tolidos Anolieanos. sive eres libras moneta.
Pariier, Sieui libeat altitudinem Turris, in plano ere-
per umbram aestimare; id ita har. Frigatur in
2) L160
C Dei
eodem plano (vel Palcem parallelo) palus seu baculum, noix longitudinis Numbras
(puta pecum S;) umbram splendence Sole projiciens, cujus mentura HEB, (Dura mensa
Dedum 2.). F odem cempOre, mensuretur umibra Purris, quae siE B, (pura pedum ratio.
20.) _quaeratur, Ouanta se Furris alcicudo ad Ouoniam itaque in simili licu,
umbrae sine Alcicudinibus proxorrionales; erit B. A:: B. a. hoc Clt 2, 6:: 20, a. F. Cy
lacta operacione, in reniur = 60 pec. Mucudo Tveris.
3. A.. B. 0.
20(60 =
Altitude
3175(25 =C
3) 24 (8 = 9
2. 10:: 12. .
Similiter, Si quaeratur. Quota sit Bora athenis, quando est, Ovoniae, oct ava. Porae di
Praesciendum aurem hic elt, ex Geographia, Achenas magis ad Orientem poritas,  sud
quam est Oxonia, gracibus (plus minus) eriginta. Ideoque citius ad Achenarum variis
Meridianum perrencurus est Sol, quam ad nostrum Oxoni. Quaeritur aurem, meridia-
quanco citius. Hoc antem ue expediatur, sciendum est insuper, Solem horis (cir. nis, com
eiter) 24 inceorum diurnum circulum transisere, ee ad cundem unde abierat Me. Parassa
riclianum redire. Ponuntur aurem, in circulo intesro, gradus 360. Tis potiuis, Lic
incicuirur AnalosiImS. Si Sol, in horis 24, perarat eradus 360; quot horis pera-
sit eradtus 20 Adeoqne, cum eadem aequabili celexitare motum, eransieat lparia
remporibus proportionalia; erie, ut gradus 360. aet gractus 30:: Ita cempus horarum
24. ad cempus qualitum, neupe Horacum 2, uc ex aejuncta operatione conllabic.

## Folio 198 — 851387705:0218
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000218.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
E CUL. L
300)720(2 = 9.
360) 720(2 =0
Floris itaque duabus (circirer) ad meridianum Acheniensem Sol cirius pervenic,
quam ad Oroniensem; adeoque illorum meridies cst, noltro, duabus horis priOr.
Nempe illic, meridies elt, sre hora duodecima; dum hic, est decima Adeoque
illic hora decima, dum hic octara est.
Termino. Si vero continea, Flomolosos cerminos, in quaestione propositos, non cjuldem
rumper (ue loguuntur) denominationis esse; reducendi prius erunt termini ad candem
Reductio denominationem, quam procedat peculiaris hujusce regulae praxis. Puta, Si vro-
Donatur hujusmodi qualtio Posito, quod tres uncia arsenti valeant quindecim
solidos Anslieanos, quanci valebunt arsenti pondo quatuor: Cum trie quacuor sup.
ponantur cermini proportionales, quorum duo, pondis relpiciune; reliqui duo,
valorem; qui autem vondusrespiciune, non eandem Portianine denominationem
Sed de uneus, ille; hic, de libris seu pondo, pronunciar; Reducendi sune hi duo
termini ad eandem denominationem; priusquam insticuatur praxis hac regula im
Perata. Adeoque; vel, pro3 unciis, tubsticuendum L libra: ( quipre, cum libra
concineat duodecim uncias; crune tres uneiae, librae quadrans;) uc quastio lic
instieuatur; VF= libra, ad 4 libras: su 15 solidi ad valorem quaesitum. Net, prO
+ libris, subltiuendum, 48 uncias; (quippe, cum libra concineat 12 UnCjas, 4 li
brxe concinebunc 4 X 12 = 48 uncias,) urquaeltio sic instituatur; et 3 uncrae, ad
48 uncias; sic 25 solidi, ad valorem, quaesitum. Orroris modo, prodibie ralor
guaelicus, 240 Tolidorum; hoc elt, 12 tibrarum monetae AnelicAnX, UE Ex Opera
TIOnC PatCL.
3. 48:: 15. 
4: : 25.
nem pra
Paratio.
aoL4 = B: 135 ∞13) 720 (240C
ubi de Musciplicalione d Diritione verba fecimus: nec opus est hie repetere.
Verum hic carencuus elt, nequando traudi lit, indeque error suboriatur; quod
proporti- Ca tanquam PrOPOLOa Habeantur, quae proporcionalia non LuNE.
Fexempli scalla; Si posito, quod pondus cravitate sua motum, duobus temporis
momentis 20 pedes descendat; quaratun, quol pe
des descensurum sit momentis 20. Si tiac hic mul-
ciplicatio numeri rerrii per secundum, aique DrO
ducti divitio per primum, prodibic quarcus 10O. AF
ille numerus quaesito non Paristacic. Ouamvis enim
verum lic, pondus illud eadem relocitate mOcum
100 pedes, 10 momentis, peracturum, qua, 20 pedes, 2 momienris perasebat; quia
tribus daris 2. 10:: 20. Quarcus provorcionatis cst L0O: atramen haud recte EC
respontum iri dicimus; quia grare descendens, non aequabili procedic motu, sed
motu accelerato; acque eo quidem celerius quo diurius fuerie in mot. Dico.
quo diutius fuerit in motu, non aurem, (quod rulso ainne Phylici,) quo sit centro
proxius. Non enim propinquatio ad centrum, scd ab inirio mocus elongatio, leu
pocius concinuatio motus, est eausa auctae celeritatis. Nam l srave
demillum a pincto C, cadac ad punctum D; aeque idem grare d
Onomodo aurem hujusmodi insticuenda sine sediuetiones, tuperius ollentum est,
Cautela
on
onalibus.
Gravium
descensus
accelera
1s.
3:
2) 200 (100 =d.
cloc
1
= 10
0.
Duncto ECCMMIII Cactat AEM ad PUIHCLLIIHB, (Det AMCa ABC D;
uetoque calu trantibit spacium CD, sed non cadem celeritare; segnl
us enim per Ilud spacium morebic, oet pat a Pulleb
Guat H MOTUS, Per SpaEIUM AC meMBdCHB, Pet SC CD COnC
Uctur. AC vero spacium illud C. D, Cadem aaa abet a cettlo
live ab A, sive d C, mocus InchoCHI. FOIO, II Pa aeslaa
sparian A de, et. Fondus per spalutit A B fath detaplum, conci
nuabu morum per spatium BC, majori velocitate, quam ver spatium
CiD moreretur, h mocum a puncto Ci inchoaverit. PTOPIUS tamen d
CenErO

## Folio 199 — 851387705:0219
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000219.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
Ca
X
A u  F A
cencro abest spatium CD, quam BC: verum illud (BC) ab initio motus (
puncto A inchoaci,) magis dictas quam ab initio mocus (inchoaci d C) distat
Spacium C D. Oux omnia cum experienti erunt comprobaca, cum ab iis cracics
qui de moruum acceleratione acuriltime seriplerunt. Omnes itaque rariones ilsa
qua apud Phytieos passim occurrune, de mocus nacralis celeritare aucta, a pro
pinquitare ad cencrum ducta, penitus craneseunt. Ouippenon cam cerminus act
quem, quam cerminus d quo, in mocuum acceleratione spectandus exic.
Idem peccabitur, li hujulmodi proponacur problema quali hac regula Tolven. Fstuentis
dum; Sivas +2 consiorum capax, aqua impleatur; alque, aperto in fundo fora aequae vis
mine, exeant in duobus borae minutis tres consui; quaeratur autem, quanto tempore lancue-
toca exibit aqua d ProPOLita quippe quaestione, s 3 congii CAUAUE In Z minuLS, 72 Scens.
consii in quor minucis exibune. Respondendum elser
juxca hnjutee regula cenorem, toram exituram genam
minuris octo; quia 3. 2:: 12. 8. Acque hoc quidem
verum eltet; modo aqua eadem pergeret relocitare
exire qua CaperaL. AC Secus omnino se res habet. Si
3. 2:: 22. 0
3)24(8 =0
quidem contnue decrescit excuntis aquae celeritas, de quo minus superest extrau-
riendum aqua, eo segnius exit. Majore nempe ee riolentia d relocitare cAIUeL
aqua vase pleno, quam semipleno; quoniam aqua interius exicura majore mole
Luperioris aqua premitur. (Non obstance, quod vulso admicti solet, principio
De gravi in loco suo, hoc clt, in rem vel aeque vel magis grarem, minime eravitante.)
Cui tidem Faciene iphi oculi, si accendatur quanco majore ri et relocitate, ex do-
lio cervisix pleno, per cundem canalem exeat cervitia, quam cum propemodum
Cracuatur.
Ouibus autem gradibus vel creseit velocicas cadenris ponderis, vel decreteit
relocitas per canalem exeunis aqua non hujus loei est inguirere. Sultieit imprae-
senciarum monuisse, hanc, quam prae manibus habemus, regulam, non nili de
quancitatibus rere proportionalibus procedere. Docet enim, Datae quanticari ali-
am in data ratione ponere. Nempe quaeritur quanticas quarta, qua, ad certiam
datam, candem habeat rationem, quam habet secunda ad primam; vel, ad quam
cerria data, eandem habeat rarionem, quam haber prima ad secundam.
Carendum porro, ut dacarum trium quantitacum, quaelibet Tuo loco PONAEE. DE LOr-
Non enim promiseue quaelibet in quolibet loco ponenca cst, led in suo singulae. Portionis
Neque etiam illi semper primus debetur, quae in quaestione propolita, primo occur- Termint
rIc. Saepe enim quaestio propolica variis ambaxibus ee inrolueris involvitur; quae
prius collenda Funt, quam proporciorice contlituta appareat: Vc in ea quam imO.
do expoluimus de disterentia meridianorum Achenientis e Oxonien(Is. Sape etiam
quaestio minus cce propo. Ouli expolita de arsenci ralore quaestio, ita
Proponeretr, Si 10 solidi Anelicani tancundem valeant atque 2 uneiae argenti
quanti valebunt aa LL HoHe  10, Sed 2, eAt proporrionis terminus pri
mus; uent ille in quaectione primum audiatur
Ocisitur suo ponantur loco singuli termini; curandum est, Ut quaLVOF quan
citates (nempe ires darae et quarta quaelita) ita disponantur uc prima supponatuL
eam habere racionem ad reliquarum alteram, quam habet reliqua ad quartam Se
cus enim non erunt quatuor proportionales. Adeoque, in qualtione proxime
expolica, primus cerminus nec exit 10, nec 12. led 2. Secundus aurem, pro libitu,
erit vel FO, vel Z2. Nempe, VF2 uncia,
adt 20 Tolidos; Sic T2 uncia, ad lolidos
quot. Nam uE numerus ponderis priotts,
ad nuinerum raloris lui dact, IC LuppoL
Zunc. 2050l: : 23unC. 910t
2une . . 13 unC: : 70(01. 901
cur numerus ponderis posterioris, ad ralorem sium quaesitum P V et etiam, uE 2
uncia, ad +2 uncras; Sic +0TolI, ad Solidos quor: Pram quae racio est ponderi
ad poltelio, ea luppon de valoris ad valorem. Arque haec de cerminis ordinan-
dis lusticiane
ora
anats.
(quod modo dictum cAF) perince e accu duorum secundo certiore LOcO Do. rietato.
namus: Sed maxime, quia duoe sricem ducendorum, perinde est uirum duo.
rum mulciplicatorem este taciamus, auc mulciplicandum: quod de mulciplicacione
Sec
Ferminis ita rire ordinatis; perinde Ommno, e (quod e jam diximus) sive Depra
rerimu cercium in lecundum, lire aae  illum ducamus. Non modo, qula rios va
superius unirertim dictum est.

## Folio 200 — 851387705:0220
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000220.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
CiaF
L ILP GUL A
Sed et perinde elt, sire Mulciplicationem, sire Divitionem, prius instimamus.
Sirc enim terminorum secundi cerriique inricem ductorum productum per pri
mum dividamus; sire mediorum (sccundi et terrii) ucroris per primum dirilo,
quotientem in reliquum dueamus; perinde omnino elt: Idem enim utcunque pro-
dibit cerminus quartus. (Ouod ee superius de mulciplicatione et Dirisione Eta-
didimus universim: Nempe, quories plures concinue taciendae sune Mulciplicatio-
nes ec Divitiones, perinde cst quo ordine instiruantur.) Nam si A. B:: a. B, exit
omnino.
 = = B = B. Vel, speciacim in numeris, s sie verbi
Ecatia, 3. 9: : 6. 18. erit 
5
6X
(= 34) = 3X6 (= 3X6) =5X9(= 249)
= 28. Adeoque cujusvis arbicrio permittitur, ut, pro re nata, eo ordine instituat
operationes, quo magis prohic et nune (uc loquuntur) videbicur accommodum.
Incerim vero, in cradenda regula, nos (cum aliis) mulciplicationem porius
praepotuimus, qua tractionum incommodum melius ericetur. Si enim verbi gra-
tia, inltiruatur proportio 2. 5:: 8. 9. relim aurem sccundum per primum diri-
dere, prodibit 2)5 (23, adeoque terminus terriuIS 8 per 23, (numerum tractio.
nis adjectione impedicum) mulciplicandus: Si vero mediorum productum fx8
=40, diridam per primum, 2) 40 (20, prodibit UITObIguE nUETUS INTEGCT; co-
dem aurem succectu, (ueut minori labore, ) nam tum 8X25 = 20, tum L = 20
=O. Icem si instiuatur proporrio 2. 5: : 7. O. Fc relim secundum per primum
diridere, 2)5 (25, adeoque mulciplicare 7x2 Z; vel etiam cerrium per primum
dividere, 2)7 (33 adeoque mulciplicare 5x 33: operatio utroris modo impe-
ditior erir, quam Si prius mulciplicatis mediis, 5X7 = 35, fiac tandem dirisio
per primum 2) 35 (57Z Ouamris enim et hic tandem prodeat tractio, tamen
quae ulteriorem disticultatem non procreabit; quippe illic sistendum est, nec alia
secutura operatio quae per Fractionis adjectionem reddatur perplexior.
Si quando aurem, jam ance peractas operationes, prospiciat quis mediorum alte.
rum posse per primum ita diridi uc nulla supertie tractio; commodum crit diri
sionem illam praemictere; ita enim operationes minoribus numeris exercebuntur.
Puta in analosia jam dicta 2. 5:: 8. O. commodum ene poterir, (non qui-
dem secundum, Sed) cerrium, per primum dividere, 2) 8 (4; et quotientem in
reliquum ducere, 4.X 5 =- 20 =
Nonnunquam item commodum erit, pracedanea terminorum expositorum di-
minutione, operationem expediriorem reddere.
Fir autem illud vel cerminum primum ee secun-
dum, vel primum ec cercium, ubi id fieri poste
perspicitur, per communem dirilorem diriden-
do: vel etiam eorum utrumque nonnunquam
Faciendo. Puta in proportione 6. 9:: 8. d. Si
Primum et secundum, per 3 dividtamus; (corum-
que loco quociences lubsticuamus;) habebitur
proportio 2. 3:: 8.. Sin primum ee terrium
diridtamus per 2; prodibit 3. 9. 4. 9. Si deni-
que uerumque tat; puta cum primo primum et
secundum dividamus per 3, cum primum (jam abbreviatum) et tercium per 2:
prodibir x. 3:: 4. . Eodem ubique succestu: Fric enim UBIGUE LETMInUS quaE.
LuS QuaelITS  == T2
Similicer in speciebus, sive symbolis: Si exponatue
Analositmus
Tubsticuatur
vel etiam
rel denique
Idem enim uccunque prodibit terminus quartus, vel qui tancundem valent; puta
AB. nbEi -DF abl L = ADC at L-BE a Et = DEgC
BC.
ABL. Ad DH:: BF F. 
BC. DF:: BFF. 
AC, ADF:: L. L.
O
ABC
C. DE:: FF. 
alibi.
Termino-
rum p
Paratio.
per D
visionem
=Q. Et similitet
Aliquando

## Folio 201 — 851387705:0221
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000221.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
Cap. XXX1
Aliquando item, mulciplicatione, tiec accommoda terminorum praepacatio. Si Per MI-
nempe vel primus de secundus, vel primus ee certius, eodem communi mulcipli. Tipat
catore mulciplicentur; (rel eciam uirumque sat.) Tue Daclo eacttonum motestia or em
mus vel primi et sccundi, vel primi a Terci duplum; Putar5. 8:: 3. O. vel
5. 4:: 6. D. Lcem prO3) 3. 3:: Z. 9. Tublcuao ret 2. 2.. 3. . VC3. 5:: T. .
rel eciam 5. 2:: 2. O. Similicer in symbolis pro
Analoxilmo
Substimamus ( ductis2
DrIMO _E LCKLO IN C.) S
ag
vel (ductis primo d2 a 9
secundo in B)
vel potius ( utroquer
Facto)
SA9
vel (ductis icem primor
DE OII
ee secundo in F) SAGF. DF::
vel denique (ductis ad2
hruc prino et 3 in F) SAGFg. DF.:: GH. O =
DECHI
A9FG
Commune harum praeparationum Funcamentum elt, quod Mulciptorum ad X.
quimulcipla, eadem est ratio acque simplorum ad simpla. PUta 3X 2. 4 X2: : 3. 4.
Tuem 2. 3: : 3. 4. lem 3 A. 4 A: : 3, 4. LLBA. CA,: B. C. FC.
Timilicer alibi.
:: B. C. L1
Onus adhuc superest, qui nonnullum morari postic, scrupulus. Nempe eum
certum lic analosias non raro insticui inter quancitares heterogeneas, (puta ut
Dubium.
Duan
dinea A, ad lineam B; Sc pondus a, ad pondusB;) qui postit una in alteram ritatibus
mulciplicari, auc per eam diridi irem, quid lic, verbi gratia, pondusa in lincam Hetero-
B mulciplicare, auc per lineam A dividere. Ouale enim factum illud eric cujus seneis.
lonsicudo cll Linca; lacicudo Pondus: auc qualis quociens, ubi quaeritur quories
Dondus a concineat lineam A
Dicimus ilaque, non hic cam comparari lineam ad pondus; quae quidem plane Ejusd
heterosenea lunt, nec invicem comparanda: Sed rationem duarum incer se linea- solutio
rum, ad rationem duorum invicem ponderum: Oux quidem raciones invicem
homogenea Tunc, puta dupla, cxipla, sesquialtera; sumpra nempe denominatione
d quociente ancecedentis per consequentem dirila. FH autem quociens ille, yt
superius cradticum est, vel numerus, vel salcem in genere numerolo aliquid, ipsis.
que numeris homoseneum; pura numerus fractus, aur surdus, auc cale quid.
Adeoque quum dicitur A. B:: a. B. hoc cancum innuicur, rationem A ad B sive
B. aequalem elte rationi a ad B, sive =. Vel quod cancundem valee, quorien.
rett quantitatis A per homogeneam B dirila, aequalem este quorienci quanticaris a
per sibi homogeneam (neur prioribus heterogeneam) divilae. Puta, Si A Sic Ii.
nea bipedtalis; B, pedalis; eric illa hujus dupla, sive ut 2 ad F. Trem, Sia sic
quadripondium; B, bipondium, erit illud hujus duptum, sive ut 2 ad r. Ouippe
exic, cum B) A (2, tum B) a (2. Adeoque 
= 2 = 7 = Z_c. Cum I1a.
que nihil hic aliud spectetur, quam racio, sive eriam quociens: licebit, pre
expolicis quaneiracibus, alias cujuscunque generis substicuere, quae in eadem tint
ratione constitura. sive eundem quocientem extribeant; etur expoliris sint hece-
rOGCnCR. Rrichmetieus itaque, quo opcrationes Tuae rectius contene, pro expO.
Licis quancicatibus cujuscunque generis, quarum tancum racio consideratur, nume.
ros Tubsticuit (sive quod numeri instar cMt) in cadem racione consliTOS. Puta,
pro lineis A, B, bipectali et pedali, binos quolvis in eadem ratione numeros, puca
A U R F A.
Facile eritacur. Puca si exponacur analogilinus, 3. 4:: 3. Q. commode sublticua.
DF
BF
C
GH
DF
B
DE

## Folio 202 — 851387705:0222
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000222.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
DE RLULA
2, 2; vel 4 2; vel 6, 3; dcc. quia uccunque 3 = 3 = 3 =  : EC, pro expolitis,
aequalia subltimmendo, quanticas non imUTatIE; Sed utrobique tancundem est.
Proinde itaque est sive dicac ue linea bipedalis A, ad pedalem B; sire, ut nume
ruS 2 adT; Src ut 4 ad 2; Sc. propter Duorientem, adeoqué et Rationem, (qu’ae
hic Tolum Spectatur,) urrobique aequalem. Et quamris, peo numeris his, nOn-
nunquam e Cmhola icerum (ubsticuar, rel etiam qua linearum crant recineat; ea
tamen quali pro numeris habet, eaque numerorum instar tractar rerlarque. Nec
tam lincas e pondera, quam numeros, iniildem, cum lineis ee ponderibus, ra-
tionibus, consticuros, se rerlare cogitat. Itaque in exemplo expolito, A A, B,
Tupponatur Signiticare 4, 2: (quia nempe  = 3) manentibus incerim (i placet an
B, ut ponderum Cymbolis: tancundem exit dicere A. B: : a. B; acque 4. 2: : a. B.
Adeoque lccundi e cercii rectansulum Bxa, eM 2 xa, sire ponderis a duplum: FL
BX a.
=, est = sire istius dupti quadrans. At vero, pondus duplare, ilerum.
que quacritariam parciri, nihil absurdi Conat.
Vel etiam simplicius rem ita explicemus. Omoniam ponuncurtum A, B, tum
au B, quanticares urobique hOMOSCnCx, (utuE HX ad illas hetErOgeNCK;) divila
quancirate B Per A, quoriens exit numerus (Are quod numeri inltar cM) ratio
nem denominans; DutaN = =. adeoque hoc cst xa, cancundem est ac.
QuE NXA. FL PTOPterCA = XO. = B vel N Ka = B: Signiticat quanicatem a (cu.
juscunque tuerie generis) ducta in N numerum qui denominat rationem B ad A,
(quancirarem aurem quamlibet, per numerum mulciplicari, nihil est absurdi,)
quod aequabitur quanticari B: vel quod cancundem est, quantitaris a totuplum,
quocuplum B elt re A, (vel eriam tancuplum quancuplum ecc.) aequatur quanti-
taci B.
Exaemen. Solent hic nonnulli Arichmetices practiex Mazistri, operationis hujus examen
adjicere; uenempe melius constet, si quod oriatur dubium, num probe peracta
lii operacio. Pocele aurem id variis modis fieri.
NTonnuli sic inllituune. Ductiscum termino primo in quartum, tum secundo
in certium, si utrobique idem productum emereat, indicio elt rem probe peractam
elle. (Puca si propotiris 3. 5: : 9. (. prodeat quartus  =- 15. F’acto examine,
reperietur 3x 25 (== 45) = 5x9. adcoque 3. 5:: 9. T5. Proportionales eHse, acque
operacionem recte inllicuram.) Nam li, quatuor cerminorum, tactum ex mediis
aequetur tacto ab exrremis, sunc illi quacuor cermini proportionales. Cujus Demon-
stratio luperius aliguories adducta efC.
Vel sic. Si terminus quartus, modo inventus, jam tiat primus, acque operacio in-
verse instiruatur: Nempe ut qui quartus erat ad terrium, ia qui sccundus erat, ad
quaelitum; tactaque operatione prodeat qui tuerac primus, recte procestit opera-
tio; sin minus, alicubi erratum est. Puta, Si uE PrIUS, exPOtLS 3. 5:: 9. C, _
prodeat quartus  = 25. adeoque 3. 5:: 9. 15. L. Xamen instituo invertendo pro-
POrtiOneM. 15. 9:: 5. C. (Nam li quantirates sine proporrionales, erunt e in-
verse proporcionales; ur supra ostensum est. ) Et quonam, lic facta operatione,
prodic quaeliTus ( = 3, (qui priusfuerat terminus primus, jam auteM quaTEIS,)
Paret operationem recte peractam esse.
Vet Sic porius 5. 3:: 15. O = 9. aut Hc, 9. 3: : 25.  == 5. VF5 vel 3, qui
orius tuerat Mulciplicator, jam tiac Dirisor. Sed aliis hujulmodi muleis modis
insticui porest hoc examen: Nec tamen canti est uc plures recenseam.
Arque tactenus de Aurea Regula quae dicirur Directa, dictum etto. De Resula
inversa dicerur Capire sequenre.
1c. L L.d L2

## Folio 203 — 851387705:0223
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000223.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Cap. XXXVIT.
AURF A RECTPROC
E AP. LAAV
De Aurea Recula reciproca. Fjusdem à uveru, a-
crimen. Praxis, es Demonstratio. Duaestiones per
hanc reculam solvendae. De operationum compendus
probationibus. Reductio hujus ad reculam Directam.
Orea quae dicitur Regula inversa, sive Reciproca est ubi expositis iribus Regula
quantitatibus quaeritur quarta reciproce proportionalis. Dicimus autem Re- aurea In-
ciproce Proportionalia, quando Rationum Comparacarum (nempe primi ad terri. versa.
um, et lecundi ad quarcum) altera, est alterius Tnversa. VI3, Z; vel 3,Z. Adeoque,
verbi gratia, 4. 28; 6. T2. erunc Reciproce proportionalia; PTODICFS = 3, 8 13 3.
Acque in aliis limiliter.
Dissere aurem a Regula Directa, quam praecedente capite exposuimus, quod ut gnomodo
illic spectatur aequalicas Rationum, vel Ouocorum; ita hic, aequalitas Rectangu a directa
Jorum sive Factorum. Nempe illic, ue cerminus primus ad secundum, sic certus differt.
ad quartum quaelicum: adeoque idem emergit Ouoriens cum ubi primus per secun-
dum, cum certius per quarcum diriditur, (quod est aequalium sive carundem ra-
cionum genuinum ec simplicistimum criterion.) Hlic autem, rectangulum sive Fa-
ctum a primo in secundum ducto, aequatur Rectansulo sire Pacto d tertio in quar-
tum qualicum ducto.
Fxempli gracia Si aeer loneus perticas 40,
latus 4 contineat juserum terrae, (RCram, vul-
80 dicimus:) quaeritur, quam latus sit oportet,
qui nonnisi 20 perticas loneus est, ut eadem
Terrae quantitas habeatur. Manifestum hic elt,
cum utrobique aqualis terrae quancicas specte
tur, quae ex lacicudine ee lonsicudine compara-
tisemersit; quo in altero lonsitudo major (.
eo minor sit lacicudo necesse ett, de contra; ut
alterius defectum alterius exceltus compleac. A-
deogne, ut prioris longieudo ad laticudinem
Tuam, sic posterioris lonsitudo (non directe,
nam sic prodiret tigura limilis, non aequalis,
Scd) reciproce ad luam latitudinem. Sire, ue
longieudo secundi ad longicudinem primi, sic
primi laciendo ad lacitudinem secundi. Nam
hoc eA, reciproce proportionales esse, per. 2. def. 6.
Adeoque E prioris longitudo ponatur A, lari
tudo B; secundi lonsicudo a latitudo B: erit
A. a:: B. B. SVC 6. B:: A. a. UF TIE AXB == a X6.
Fujusce Resulae praxis haec est. Si, trium terminorum, quod fit ex primo in pjus
secundum ducto, dividatur per terrium, prodibit quartus reciproce proporcionalis. praxis.
Adeogue, cum in expolito exemplo, prioris agri longi-
Ludo A ducta in suam laticudinem B, Faciat rectanon-
lum AB; tacta diritione per a secundi longicudinem,
prodibie hujus laciendo quae lita B = = -. Vel, in nume.
ris, cum prioris lonsitdo 40, ducta in lacicudinem suam
4, SIC 16O = 40 x 4. Facta diritione per datam secundi
lonsicudinem 20, prodibit hujus laciendo 8 = 18. Tn hoc
itaque dittere praxis haec, d praxi praecedentis regulae,
directae; quod illie, cerminus primus est divisor; hic, cercius.
C2
a) AB(C
20) 160 (8
Deion.

## Folio 204 — 851387705:0224
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000224.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cap. XXXVIII.
Demon- Demonttratio praxeos haec erir. Ouoniam, ex hypocheti, ponitur rectangu
srasio. lum primi in secundum, aquale rectangulo cerrii in quarcum; hoc est AxB =
axB, Sre AB = a B; erie urinque diridendo per a = =B.
guaestio. Quactiones per hanc regulam Solvendx, ab iis gux Solvendx suNE Per PERCC.
nes per dencem; sic distinguant TITOneS. Si, ex natura quaestionis, quo major lic ter-
hancre- minus terrius, eo major requiratur quarcus; regulae directx opus elt: Sin, quo
culam
MajOT TETTIIS EO MINOE REGUIVIEE quaEEUS, Sire quO MINOE TEETUS, eO major quar-
solvenda. rs; inversae regulae opus exit.
Verbi oratia; Si quis x2 boris conficiat milliaria 20;
12, 20:: 6. =20. idem horis 6, quot conficiet. Ouoniam, Hic maniteltum
12) F20(20 =O
est, longiori tempore plura conticienda milliaria; quo
major elt terminus cerrius (numerus horarum) eo na-
jor crit e quartus, numerus milliarium quaelits. FF
Propterea, per auream regulam directam, inrenitur terminus quartus quaelicus, 10.
12, 20:6. 9= 40
6) 240 (40 =0.
Contra vero; Opus a viris 12, diebus 20 perficiendum:
Si acerediantur viri 6, quot illi diebus boc persiient 
Ouoniam liquer, ex qualtionis natura, pauctores viros
nonnili pluribus dicbus idem opus contecturos; adeoque
quo minor est cerminus tertius, (rirorum numerus;) co
major Fucurus SIc cerminuS quartUS, (numerus dierum requisituS;) Per regulan
icaque invertam, quarendus CAE FERMINUS QuarEUIS, 40.
Eodem modo: Sit tapeti lato pedes 9, loneo 20, ob ducendus pannus vilior, qui
9. 20: 3. 9= 60.
3) 180(60=0.
tocum reeat, latus pedes 3; quaeritur quot pedes loneus esse
debeat, ut necotio sufficiat? Duoniam hic manilestum lic,
quo minorem habeat lacitudinem pannus hic, eo majorem
requiri lonsicudinem, qua lacicudinis defectus luppleacur:
per regulam inverlam, reperietur lonsicudo quaelica, De.
dum 60. Atque in aliis pariter.
Ded. Dux aurem operationum compendia, de Regula directa, in Capite praeccdente
rationum ostendimus, (sive quoad ordinem operarionum perticiendarum, lire etiam ter-
comper minorum praecedaneam reductionem,) etiam hic, mutatis mucandis, locum ha-
BenE. Nec opus est ut ea ligillatim hic repetam; sed porius ut lectoris lagacitati
comous Permittatur, quxe illie dicta sune hrie aptare. Ouod d de Probationibus illic tra-
ditis, incellectum relim; quas, qui canti esse puter, etiam huc, mutatis mutandis,
non disticulter cransterat
Reductio Norandum denique, Proportionem Reciprocam in Directam conversum iris si
lae ad
qui in reciproca est terminus certius, statuatur in directa primus. Nempe si lit
In proportione reciproca 9. 20: 3. 9 = 60.
Eric in proportione directa 3. 20: : 9.  =60.
Reciproce.
9. 20: 3. 9 = 60.
3) 280(60 =0.
Directe.
3. 20::9. =60.
3) 180(60 =9.
Acque hactenus de Aurea Regula simplici; sire Regula Trium; cam directa
quam Reciproca. Sequitur ut de Mulciplici rerba laciam; ubi nempe plures
quam tres occurrum termini, iplaque Proportionis Regula Eapius reperenda. FA-
que ea, vel, qua rocatur Aurea Recula composita; ret quae Resula Societatis
dicitur. De quibus in sequentibus Capicibus dicetur.
DE REOULA
204
diis; e
proba
Bujus Re
directam.

## Folio 205 — 851387705:0225
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000225.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Cap. XXXIX. AUREA COMPOSI.
C A P. XZ ALA.
De Aurea Recula compesita. Tum ubi omnes maloeiae
componentes, sunt directae: tum ubi altera, vel etiam
plures, sunt reciprocae.
YD Feula quae dicicur Aurea Composita ex duabus vel pluribus Analosiis con- Regula
RItaI. Adeoque Regula simplicis operationem aliquoties icerandam else (Fal. Aurea
tem vircualiter) postulat. Tildem aucem nicicur principiis Regulae compoliix, Compo
acque simplicis procestus: ut non sic opus lonsa praeparatione, led exemplis ali. Suca
quoc operandi mcthodum extribere.
Fcto hoc Fxemplum. Si 4 Academiei, in 3 Mensibus, ex - 4. 20::6.
pendant 20 libras; quot libras expendent Academici 6, in 3. 12. 9.
mensibus L2, sive anno inteero?
Manisestum est, in hac quaestione, duplicem Analogiam reperiri. Comparan.
tur enim cum pertonx perlonis, cum cempus cempori, ut ex utrilque collacis re.
Deriatur rario expentarum.
Resolura itaque hac Analogia compotira in duas simpli-
ces; Dicimus Primo. Si 4 Academici, expendant 201- 4. 20:: 6. O.
bras; quot libras expendent 6 Academiei eodem tempore ?
(Adeogne seponimus pautisper divertorum in quaeltione 4) 220(30 = 9.
temporum considerationem.) FF operatione peracta, pa-
Eebir, 30 libras, a 6 Academicis, expendendas eodem rempore quo Academici 4
expendunt libras 20: hoc elt, ex hypocheli, in 3 mensibus.
Deinde, (relumpta jam temporis consideratione)
Si sea illi scademici expendant (vei jam inventum 3. 30:: 12. .
CA) in 3 mensibus, 30 libras; quot libras expendent
in mensibus 22. (Obi terminus quarcus, priori ana-
losia inventus; tc in secunda analosia, secundus:
UE 1a1
dibic O = F20, numerus qualitus principalis.
31 365 (120 - 0.
Expolica uaque analosia compolica retolritur in has binas simplices.
Simplices.
4. 20: :6. 9.
3. 4:: 12.
narum collacio inltitueretur. Puta primo, li (guatuor expoliti Academiei) ex-
pendant, mensibus 3 libras 20; iidem mensibus T2 expendent quot libras: Re-
Dondendum, 80. Deinde, si (in +2 mentibus) 4 Academici expendant (nt
sam ex priori quaelito liquet) 80 libras; quos libras (eodem tempore) expendent
6. Respondendum (ui ex operatione Deracta liquet) libras 120.
Libpouca.
q. 2..0.
22.
Idem autem omnino tandem prodiret, si prius temporis, deinde autem perto.
3. 20: : 12. 9=80.
5) L4 (6O
4. G= 80::6.  = 120.
4) 480 (120 =0.
Resoluca nempe analogia compotta, (St S HICHHBUS, 4 virI expelilla L1
braS 20; MEHLIOS 12, virI 6, quot expendenc?) in binas simplices; alteram de
temporum, alceram de personarum, collarione.
Con.

## Folio 206 — 851387705:0226
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000226.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Praxis
DE REGULA A Cap. XXYIX.
Simplices.
3. 20:: 12. 9= 80.
4. 9 =- 80: : 6. 9 = +20.
Tocius procestus racio, ex d lacs palet; cum non aliud sic quam operatio sim.
Plex bis peracta; nec nora indigebir demonltratione.
Ouod antem Binis Aurea Regulae operacionibus jam peractum cl, Pot est id
altera. ipsum una operatione composita peraei: Si nempe uiriusque analoeiae simplieis
primi termini invicem ducti, habeantur pro termino primo analoeiae compositae:
e similiter simplicium termini terrii, invicem ducti, pro tertio composita: ter-
minus aurem alter, quaesito homoloeus, pro secundo.
Verbigracia; in exemplo prius expotico: Si 4 viri, 3 mensibus, ependant l
bras 20; 6 viri, I2 mensibus, expendent quot libras 
Pro cermino primo; analosix CompOtia, (uMatuE 12 = 4 X3, (nempe qui til
ex numero virorum primorum in numerum primorum mentium ducto;) pro
certio, 72 =6X T2, (quitic ex numero secundorum virorum, in numerum fuo-
rum mentium ducto: ) Dro sccundo aurem, 20, numerus nempe librarum, hoc
est, cerminus quaesito homologus. AdCOGUC LOLS procellus lic conctabic
Compolita.
5. 20:: T2
+. 20:: 6
2. 0
22 . 20:: 72.  - 2L0.
20
2t) 14AdCLtad
Similicer in Symbolis: Si personiae P, tempore T, expendant libras L, persona
X tempore r, expendent quot putan, numerum quaelitum. Dico exit UE P F
PY) XTXL (N. Procelsus hic exit.
F) XrXL C
) ad L; lic Xr (= XX2) Al A, HUMEFII qUXLICM. Nempe
Ejusdem Operationis hujus compotitxe Ratio, sire Demonstratio, dependet ab ejuldem
demon. Cuu Placedenre conrenientia. Cum enim ut suxra oltentum cA, Analosia com
prant. Polica, relolricur in binas simplices
L::
F. L: : X: 9.
.
Erit primo 4=
demonstrandum.
AaCoque 2, a.
TX X L1
2 aL
l
quod crat
Rodem plane modo statuendum est, si exponatur Analogia etiam adtue maois
compolica. Puta Si trabis lienea, cujus loneitudo, pedum 4 =A; laticudo, pedum
 =B; alsitudo, pedum 2 = C: pondus sit librarum 240 = D; trabs alià lonea
pedes 10 = eiu lata, pedes 4 = 6; alta, pedem 2 = Y; quanti erit ponderis?
(puca, librarum S.) DicO, UE AXBXC, ad D; SCaxBX7, ad 5, =
10X472 =40
47. 3X2= 2.4
simplices.
B.
ABC D. HOC
x240 = 400. Ouod paree, relolura anaos compolica, in tres
10b1
icom
mulei
Teri

## Folio 207 — 851387705:0227
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000227.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
Cap. XXXIX. Au OStLA.
A. D: : a.
B. 4:: B. O.
A. D:: a. 4. 4. 240:: 20, 600.
3. 600.: 4. 800.
Nam primo 9 =, D. adeoque lecundo  =  9 = -  D. F. c tertio s =
a B
Q= ABC D. Ouod erat demonstrandum.
Nocandum aurem, quod quem nos in praecedencibus secundum appellariimus cer-
minum, tieri pocelt cerrius; adeoque quem certium appellarimus, sccundus: ho5
enim duos cerminos, in Proporrione directa, pro arburio sedes mutare polte, jam
fuora universalier diximus. Adeoque perinde omnino est sive dicamus PP.
L: : 2~. N. sIvCP F, XT:: L. 2. Trem perinde est sive dicamus ABC. D: : aB7.
S. sire ABC. aB7:: D. S. Duod monuisse Lusticiat.
Acque haec quidem dixissè sufticiat de Proportionum Regula compolica, dum.
modo sinsulae Analooix componentes sint directae.
Pieri aurem porest uc Analosiarum componenrium altera directa sic, aleca
Reciproca.
Exempli oracia. Si 36 =A dibrae panis, sufficiant militibus 3 = B, in dies
6 =C; libra 180 = a, milisibus o =B, in quot dies sufficient : puta in dies r.
EIt quidem hic analosiarum alcera directa, nempe Si librae 36 = A, sufficiant
in dies 6 =C; librae 180 = a, sufficient in dies quot? Puta g = 30. AE altera
eAt Reciproca, nempe Si militibus 6 = B sufficiant in dies 30 ==9; militibus
C, sufficient in ares quot: certe non nili in dies pauciores, propter plures mi-
lites, mempe, in dies 20. Adeoque illie, resula directa eAt actribenida; hic recipTOCa
Nempe 36. 6: : 280
36. 6: : 180. 9 = 564280= 30.
3. 4: 9. =3x9 -3x30 = 10.
7. 8. C. 1:: 7. 8. 2. 800:: 2. 400.
HCI L. C:. a
A. C.: d. 4.
B. 9: B. 7.
Adeoque g =  C. L+ Y
X
= BA
Si autem libeat pro duabus his operacionibus, unam compotiram substituere:
Factus ex duobus divisoribus (pura termino primo analogix direetxe _ tertio re-
ciprOCx) erit compositus divisor: (adeoque in analoeia directa, terminus primus:)
factusque ex multiplicatoribus, compositus multiplicator: Cadeoque, in eadem ana
loeia terminus tertius, in secundum ducendus.) Hoc est, Cin expolica quaectionem)
AB. C:: aB. 7 = , C. ut prius.
AB. C:: Ba.
Ft quidem, quoreunque tuerint analosix componentes, sive directae iul AV Kesiaa
bit terminum quae sitit.
reciprocae, id universater acudum. Lub omnibus Divisorons (nempe cernuo scetmes
primis analogiarum directarum ec cerriisreciprocarum,) continue ductis, fiat Di
visor: ex reliquis omnibus continue dultioz idendus; adeoque duotrens exde
Arque hactenus de Regula AICa CoIIa, lEquItuE Regula Societatis, ducla.

## Folio 208 — 851387705:0228
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000228.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
c
2L
Regula
De Regula Societatis: Tum sine Tempore; tum
estau
cum Tempore.
DEoula quae dicicur Societatis; cum nihil aliud sic quam regula Aurea PII-
 rIES REPCTICA: nOn OpUS erit uc LOnS disquilitiOne IIIaM EXPONAM auC Ctiam
novas exquiram opcrationum demonstrationes.
Es autem ea hujulmodi; Obi data in duobus terminis ratione, terrio 10co quol-
societatis. Libet, ut res ferat, positis, totidem quaeruntur quarti proporcionales; dici hxc (e-
lec Recula socretatis: Nomen suum inde torlan torcita, quod in Meicatorum con-
Corciis, sive locieraribus maximi ulus esse lolcat.
Sine tem Fxemplum elt. Si tres mercatores societatem neuntes sortem ila componani
Pore.
ut primus a conferat libras 60: secundus B, libras 50; tertius C, libras 40; ( A.
deoque omnium agercsacum, lib. 250. = 60 + 50 = 40.) Lucrum vero neeoriando
conquisitum sit lib. 30. Duaritur, quantum inde cuique debeatur:
Duo aurem hnic quaelico lacistia nihil aliud requiritur quani ut AuIex respIX
praxIS EOTIES REPETatur quoveS res ipla Postulat. Nempe litocius Portis lummae lib.
150, lucrum sir Lib. 30. quancum eric luerum pariis A, seu 60 quantum parris
B scu 50r quancum C. seu 403 Li tacta tocies, aurex regulae opcracione, parti A
convenire comperientur lib. F2. Parei B Lb. 20. Parci C. lib. 8. PTatm ut 150, ad 30;
sic 60, 2d 12; et 50, ad 20; e 40, ad 8. Vel, in symbolis, ue conjunctim A +
B. F C = Z, ad L.; sie, sixillarim, A, B, C, ad 
B
C
pore.
50 = 20. 30:: 350. 10.
60)
03
560, 22
ciit deselent
C 10
Atque haec eAt quam vocane Reculam Societatis sine tempore:
Cumrem. Si aurem, praeter diverticarem lorris conpeltae, accedac eriam divertitas temporis,
vocari solet Regula societaris cum Tempore. V L licuci, prius, repetenda crat
Aurea Regula simplen: Ica hie, Aurea Reeula Composita erit repetenda.
Puta s collaca Tore prima 50 - A, per menles. 4 = a; lecunda 50 =-B, per
menses 3 =B; tertia, 30 = C, per mentes 2. =7: licque corius negoriationis lu-
crum 30 = : quaritur quantum cuique debetur 
Cum itaque hic composita racio lic, nempe ex ratione Porris ad Correm, et tem-
poris ad rempus: Mulciplicandae Tories lineula in. Tium cempuS, Pura A X a = 6OX4.
= 240. BXB = = 50X 3 = 15O, C1X7 = 30X 2 =-60. Ft numeri sic tacti, con-
junctim sumpci, constimuene terminum primum, Ad  BB- Cy = 240 f. 250
60 =450= 2. lidemque lixillacim, roridem terminos cercios: Iplumque Jy
crum, verminum lecundum, aleoque conveniene Brimo, 16, secundo, 10; ter-
li0 4. Et in lymbolis paricer.
6074 = 2407
5Ox3 == 150E
30x2 == 603
C240. 26
450. 30:: 7250. 10.
1
at

## Folio 209 — 851387705:0229
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000229.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
CaP.
SOCTETATTE
AEque ad eandem formam de aliis hujusmodi quaestionibus statuendum cric
Oux cum cuiris Pacis obria sine, non e cur iIis divrins iMMOTeMUI.
Regulas quas vocant Allicationis, e Falsae positionis, intactas praecereo: cum
aliis de causis; cum quod illa non adeo Frequentis ulus sit; haec autem line maeno
dispendio, polt incroductam Arichmericam Speciolam, careri postic; quae enim per
eam lolri Lolebant quaestiones, illae quidem omnes, aliaeque plures cum Facilius.
cum masis perspicue, Tolvuntur per Arichmetieam speciosam. Fas autem liquis
Seire expetat, ex rulsaribus Arichmericae Practicae Maxiltris, petat licet.
Sed e alia etiam apud eoldem practicos Arichmeticos pastim extant Recula
quas PraNEOS VOCanE. Ouae compendio inserriunE in MOnetis, Ponderibus, MCn-
Turis, _c. reducendis; e Mercatorum negociacionibus maxime inserriunt. Cum
vero illas pro variis variarum sencium Moneris, Ponderibus, Menturisque, co-
rumque ligillarim rationibus, omnino rarias esse necelle sit: Non exspectandum
elt, ic eas ego, dum quae in Arichmetiea sune communia cracto, omnino actingam;
led quae cuique senc sunc peculiaria, luis cujusque scriproribus tradtenda permit.
tam. Nec quidem etiam elt necelle, cum carum omnium Regularum tundamenta,
non aliunde quam ex iis qua jam cradidinus pecenda sinc; de unicuique incerim,
u pro insenii sui lagacitate, ec pro re naca, permicendum sic, quxe suis negoriis
maxime linc accommoda, Regularum hujulmodi compendia cum exquirere, cum
etiam exercere.
Ilis iraque omistis, ad Fractionum sive Minuciarum doctrinam festinabo. Sed
hoc prius monuo; Oux Tuperius de Racionibus sire Proporcionibus dicta Tunt,
quaeque inde orrae Regulae jam tuerune cradicx; non minus in numeris Fractis.
live eriam surdis, (de quibus alibi dicetur,) locum habent, quam in Numeris Tn-
cerris. Sicuc enim numeri inceori, inricem Addi, Subduci, Mulciplicari, Diridi.
que Colene, variilque modis Rationes sire Analogias Tubire: ita e Fracti Sur-
dique, consimiles lubenne operaciones, ex ea (dem leges. Duo pacto autem opera-
tiones illa arichmeriea, puca Addicio, Subductio, Mulciplicatio, et Dirisio, in
Fractis ee Surdis sinc administrandae; jam dicendum exit.
C A P. XL.L
De Fractionibus sive Minutiis. Fractionum orieo. Nu-
meri fracti, an veri numeri. Fractionum Faplicatio:
Notatio. Denominator. Numerator. Fractiones Pro-
priae; Impropriae. Fractionum explicatio altera. Dovi-
sionum Quotientes indicant. Fxplicatio tertia; quae
e Trrationalibus conveniat. Fractionum aequipollen
tia. Farumque cum Rationibus comparatio.
Ractionum, Eive Minuriarum doctrina, qui ee Numeri fracti dici solent, Post Fractio-
L absolucam Racionum craditionem, Facile ablolvitur.
vum ort
Fractionum Originem, in superioribus jam ante cradidimus. Nimirum, cum s0.
Tupponat Arichmetica nitatem, sire num, numerorum primum este, minimum.
quc; (quod Ono Paueius, diei non pottu:) reliquosque omnes Vnicacum col.
lectione

## Folio 210 — 851387705:0230
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000230.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
DE ERACTLONTBUS
C aP. D F L.
lectione componi: Siquando supponendum sic (quod non rarO Fc) aliquid Uno
minus, live Onum aliquod in partes dirimendum; quoniam illud rero aliquo nu-
mero delignari non porelt. Numeris (ut Loguuntur) Fractis, illud utcunque
delignare latasune. (Puta, si supponatur Onum aliquod bisecandum, totius Se-
miltem sic delignant, Z.) Ouod ipsum etiam Faciunt, liquando duobus quibutris
numeris inricem proximis intermedium aliquod delignandum clt. Puta, (I nu
IeruS TernariuS Z. Supponatur bilecari; quoniam hujus Semiltis, Vnitare major
elt, e Binario minor, nec tamen inter hos numeros (Vnitacem de Binarium)
alius intercedat incermedius rerus numerus; semissem illum urcunque lic de-
lignant 3, vel cciam FZ. Et similicer alias.
Adeoque numeri Fracti dicti, pro veris Numeris haberi non Solent, neque
non veri sub Numeri appellatione apud Fuelidem alio sque censentur; (apud quos nume
Numeri. rorum appellatione non nisi Inceori intigniuncur.) Ouippe reverâ qui verbi
Sratia, Forae Semissem sive Z, dicu; non tam ille Quot horas dicie, quam duan-
tum hora: adeoque ex campo Rrithimetieo, in Creometricum crantic. Ouamris
enim, in Arichmerica, non reperiatur Paucius Ono; reperitur camen, in Geome.
eria, Minus Inteero: EF quidem quemadmodum supponit Axichmetica, Onitarem
in intinicum Mulciplicabilem; ita Geomerria, Inceorum in intinicum Dirisibile:
sire, ut Unum Arichmericum elt mulciplicabile, sic Unum Crcomerricum, dirili-
Bile, in intinicum.
Practio. Hanc aurem infinitam Geomerria divisitilicatem, cum quodammodo imitari ve-
lic Arictmetica; Suxponie Onicatem sive Onum, quali jum quid inceorum, in
quoeris Parces divilibile; easque demum Parces numerabiles, adeoque lux consi-
deracioni subjectas. Ouamvis enim illa Inceori in partes Dirilio, Geomerricum
quiddam rite censeacur; Parcium tamen illarum, in quas diriditur, Numeratio, elt
plane arichmerica.
Fractio. Cum icaque in Fractionibus, sive numeris Fractis, omnino duo designanda ve-
num no. niane; Puta, Unius sire incegri, in partes diremprio; (nunc plures, nunc pau-
ciores;) Varumque parcium, unius pluriumre allumptionem: Ouo utrumque i-
dicetur, Duobus proprerea numeris lractio lignari Tolet, altero suverne, altero
interius, politis; ad hanc Formam: 3, E, ecc. Ouorum Interior indicat, in
quoc Xquales partes Incerrum aliquod sire Onum, dirimi supponimus; e De-
Denomi-nominator dici contuerit: Superior, quoc earum altumi volumus; dicique Tolet
Numerator. Adeoque Fractio Z, unius alicujus integri, in tres aequales partes
Numera dirempei, duas altumendas innuic.
Denominator aurem ille dicitur, quia partes in quas dirimitur integrum Deno-
minac, seu quales dicir; pura Semillem, Prientem, Ouadrantem, Sextantem, dc
lire parrem Dimidiam, Terriam, Quarram, Sexram, Cec. prout tractionis denomi-
nator elt 27 3, 47 6, ec.
Numerator vero dicitur hic alter, quia partium (sie denominatarum) actu-
mendarum numerum indicat; Dura, 3, duos trientes; 2, tres quadrantes; 3, quin-
que sextantes, lire partes (extas; 3, tres quintas, ec.
Ellque haec simplicistima Fractionum exposirio, carumve naturx explicatio:
nes pro- quae Fractionibus propriis, uri diei solent, live proprie dictis, apprime quadrat:
Inteero
Oe nempe quid Onitare MINUS INNLUNE.
In his itaque Fractionibus DrOPTIIS, NUMCratOr Temper DenominatOre mInOX
minores. Cric. Cum enim Denominator ostendat quor omnino lint rel supponantur iltius
modiu in Incegro, partes aeguales; li Nlumerator Denominatori aequalis tuerit, in-
dicabit ille tor ejulmodi altumendas partes, quot omnino in incesro continentur;
adeoque tocum inceorum, non ipsius aliquam portionem, altumprum iri: (quippe
parces Simul omnes; tancundem sune acque iplum incesrum:) Sin Denominatore
major eset Numerator, innueret illud jam plures iltius Incegri partes ejusmodi
allumendas, quam inibi omnino contineantur; quod estet impollibile: Superest
itaque uE Numerator, live parcium altumendarum numerus, minor lic quam Deno-
minator, sire numerus partium omnium in intepro contentarum.
Si quando itaque conspiciatur (quod camen ulu non raro obrenire Tolet) Nu-
merator vel Denominatori aequalis, rel ipso major; Fujusmodi Fractio Impro-
pria dici Tolet; ut quae quid Onicari xquale rel etiam ipsa majus indicet. Sunt
enim hujulmodi Fractiones 2, 3, 2, ecc. tancundem acque ipla Onitas F. Ntempe
aum duo semisses, cum tres irienres, tum quatuor quacrantes, ec. iptum praecile
Inccerum
Numer
Fracti,
num ex
plicatio.
ratio.
nator.
or.
Fractio-
Orta.
Fractio-
nes im-
propria

## Folio 211 — 851387705:0231
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000231.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
Cap. XI
STVE MENUFTIS.
Incegrum ab(olvunc. AC2, 3, E, _c. etiam duo incesra; quippe bis 1OE partes nU-
merac tractio, quoc denominacor incieac intessro comineri. ICCM 2, 2, 3, . Tan
cundem valene acque 3, live eria incesca. FC in reliquIS Pariuer. Similicer de 3, 3
ecc. judicandum. Cum enim 3, duo lemilles, cancundem FinC acgjuC Y; CFUNLZ
tres lemilles, cancundem acque TZ, unicas cum lemisse. Liemeum 5, (ex crientes
cancundem valeant acgue. 2; Crunr3, octo eriences, tancundlem aeque 23, du0
cum duobus criencibus. Ec similicer in aliis, ubi NumeratOE DenOminatOrC m2
Jor, nec camen hicillius aliguora pars. Si enim Denominator sic Numeratoris
Pars aliquora, tractio haec impropeta aequiralet numero incesro: Sin MInOr, nec
tamen pars aliquoca; aequiraler impropria tractio nIMeTO INTCOrO CUM actjunCti
Parcicula leu tractione propria.
Cum vero prior illa tractionum expolicio, per Unius Integri in aequales ali Fractio
quor parces diremprionem, ucuc tractionibus propriis explicandis laris accomo.
n ex
da impropriis camen haud ulque adeo conreniar, (quippe Onius Inteori plures plicatio
altiimi partes non pollime, quam in iplo omnino contIMent; quod exigere vi altera
deacur impropriae Fractionis nummerator denominatore major:) Poceric secundo
modo tractionum nacura, commocius huie negocio, explicari, per dicemptionem,
non unius tancum, sed plurium simul TnresrOrum (quoc nempe indicat Pumera
tor) in parces aliquor aequales, (tor nempe quor Denominaior poltulat,) qua
rum unam aliquam allumendam tractio indicat. Perinde enim est lire dicamus
tractionem 3 Unius incegri Duoscriences, Sire Duorum incesrorum Onum crien-
tem lignitieare: Fancundem enim mrovis modo indicatur. Lerempli Gratia. Cun
Solidus AnolicanS Contineat p DeparioS: Onius Tolidi eriens lunc denarii 4;
adeoque ejuldem duo criences, bis Ouatuor, sire 8 denarii. Sed d, cum solidus
uus Contineat denarios +2; continebune solidi Duo, denarios bis duodecim,
hoc elt 24: ac denarIOrUM 24 parS certia, TunE item 8 denarii, uC priIIS. PC.
inde itaque elt sire dicamus 3 Pol. indicare duos criences unius Solucli, live duorum
Tolidorum criencem unum
Acque haec quidem expolicio perinde quadeat propriis acque impropriis tractio. F, actio
nibus: Nempe 3, 3, 3, cc. nil aliua indicane, quam numETOTUM 2, 3, 4, Ecc. ErI nes indi-
ences; Nec alind TunE quam coridem GMOTIENLES NUMCTOTUM 2, 3, 4, ec. per cant divi
numerum 3 diritorum; quod de luperius, dum Diritionem cradidimus, dictum 
eum
1O
est. Et quidem, licur ex imperfecta sive eciam impossibili subdluctione, Oriuneur entes.
numeri negativI (T - 2, 23, ec.) ita ex impertecta live etiam impossibili Diritio.
ne, oriuntur numeri tracti, (2, 3, 8, ecc.) licut etiam ex impertecta impossibilique ra-
dicum extractione, oriuncur numeri Curdi, (V 3, V +, V 5, _CC.) uC pOlLAICCEE
Verum achuc nocandum elt; cum Arictunetiéa Fractiones, Cieometricas (ue Fractio
dictum es) Concinuiviritiones aemulentur, quae non temper sunt in naeres pa
x
cionales, led Pacis nonnunquam irrationales; Quo huic incommodo lubrenia. Plicatio
ertia
tur, cerrius adhuc Fractiones explicanei modus, prioribus univertalior, iradi Do quaeirra
celt. Cum enim, rerbi gracia, tractio Z indicer (uc prius dictum est) Onius in tioncsi
cegri in tres partes aequales secti parres duas; maniteltum cst, hrac tractione in. bus etian
dicari eam incepri partem, quae ad incesrum illud eandem habeac rationem quam conveni-
2 ad 3. Ouippe cum tocum contineat partes 3, quales altumpea illius porcio ha. at.
DET PaTIES Z; exIE portionis ad incegrUI ea PaTIO quae est parcium dueuM ael
ParteS EreS; hoc elt, numeri 2, ad numerU Z. Dicimus itaque, Fractione (pro-
pria) eam indicari unius alicujus inteeri (vel expotita Guaneitatis) partem, quae,
ad tocum, illam rationem habeat, quam habet fractionis Numerator ad Denomi-
natorem. Vel etiam univerlaliter Fractione (sire propria live impropria) can-
tundem quantitatis ZTomoeenee desienari, quantum ad unum Inteeruin, sive ex-
positam quantitarem, eam rationem habeat quam habet fractionis Numerator ad
Denominatorem. Puta, li dicamus cireuli Ractium esse = Diametri; tancundem est
acti diceremus, circuli Racum eam este Diametri partem, quae ad coram habeat
rationem F ad 2: vel, Radium cancum ese, ut ad diametrum habeat racionem L
ad2. Ex Paricer, cum Lacus quadrati elte dicimus = Dinconii, cancundem eltac.
Si diceremus, Lacus quadrati cancum este uc ad illius Diagonium racionem trabeat
+ ael Y 2. Irem, Quadraci anibicum, ee  Dingonii; cancundem est acque, am.
bicum

## Folio 212 — 851387705:0232
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000232.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
num L.-
DE LR ACTLONTBUS
C. ap. X I
birum quadrati tancum esse ut ad ipsius diagonium rationem habeat 4 ad V 2
(Duo pacto laris commode exponuntur tractiones illa irrationales, licer neque
juxta mechodum primam, neque ctiam secundam, commode diei poltic, vel X vel
4 diasionia, in V 2 parces aquales diridi, quo carum una a(LumaTUC.) AEque
eodem modo, sumpris duobus vel numeris, ret lineis, rel aliis quibulris quantica.
ribus invicem homogeneis, a, B, fractio =, vel = D, id innuic quod ad Vnum
Inceoruru vel altionatam aliquam quancicatem D, eam rationem habeat quam la-
Det a ad b; live sic ca racio rationalis sive irrationalis.
Atque hinc quidem sequicur, Pum Pandem quoad valorem Fractionem, pluri-
bus posse e quidem infinitis modis, desienari: Pum fractiones eas omnes, qua-
Gaipollen rum Numeratores ad suos respective Denominatores eandem havent rationem, in-
vicem aequales sive aequipollentes esse. Ouippe cum nihil aliud innuat P’ractio,
quam Rationem delignandae quancitaris ad expositam Homoreneam sive unum
Inceorum: dummodo eadem racio, quibuscunque id tiac quancitaribus, delisna-
cuT, eandem e (quoad ralorem) Fractionem desionari, intelligendum erit.
A-
deoque, verbi sratia, 23 43 83 303 38, ec. Candem, quoad valorem, l’ractionem de-
lignane, (puta lemiltem,) quia eadem est in singulis Numeratoris ad Denomina-
EOrEM RatO; (quippe, ea quae est F ad 2;) Duod quidem non de numeris pan.
tum, sed quibulris etiam quancicacibus inricem homogeneis, incellectum velim. Puta
Auc eriam
A. L A2 X B (potico quod B sic duplum quanriratis A:)
tive nuneri linc sive Linex, live eriam Superticies, Corpora
Pondera, Tempora, ec. quae Symbolis A, B, desienantur.
Pondo Bipedal.
Bipond.  Ruadripes. 3 _c. Sic : D, = D,
A
A. F AD,7
L
Pondo
Bipona D, dec.
cancundem delignant; Nempe id quod ad expolicum quancitatem D (quae pro
uno Integro habetur) eam rationem habeat, quam habet L ad 2, vel 2 ad 4.
vel A ad A. Y A, vel AadB, vel Pondo ad Bipondium, ecc. quae quidem rationes
omnes eadem sunt, live aequales.
Fractio. Sed e hinc eriam patee, Rationum ee Fractionum, sive idencitas, sive attinitas
maxima. Cumenim omnino perinde sit, live dicamus, verbi sratia Z, indicare
unius incegri eres quadrantes, (juxca primam Fractionis explicarionem;) Cire
erium inteororum quadrantem unum, auc numeri 3 per 4 diris quotientem, (qua
est explicario secunda;) Sire denique rationem 3 ad 4, aur eam integri porrionem
quae ad tocum cam rationem habeat, (qui elt certius explicandi modus:) manite
stum est eadem opera cum Fractionem, cum diritionis Ouocientem, tum Ratio.
nem, vel salcem Rarionis Denominatorem, designari.
Adeoque, quae de Fractionum Additione, Subductione. Nulciplicatione, Di-
vilione, aut etiam Proporrione, etc. dicenda erunt: Ladem etiam de Racionibus,
sire Racionum pocius Denominacoribus, incellisenda velim. Ouippe nil aliue
lune L’ractiones (sire propria, sire improprix, sire eriam irracionales, ) quam Ra-
cionum Denominatores.
Ouod quidem si Pacis attenderat Cresorius de Sancto Vincentio, NON CAL CUP
ille tocum iplius de Rationum Proportionibus, aut euiam Proportionalitatibus, do-
etrinam, uc plane nOvam vendICarEL: nec Rationum inaequalium comparationem,
quali rem incognitam et inaudiram plane extribere videretur. Eequis enim nelcie,
Reculam Auream, in Fractionibus exercere, nil aliud esse, quam Rationum Ratio-
nes inricem comparare: FF Licut idem est omnino opus Prichmericum, parcium
Lummam (addendo) colligere, aique summarum summam; ita e ad candem Ra-
tionum doetrinam spectat, sive Numerorum, Linearum, Sc. rationes; sire ipsa-
rum Rationum rationes, contemplemur. Ouod aurem ille quanciatum ablolut
rum rationes. Rationes simpliciter appeller; rationum autem rationes, Proporrio.
nes; ee Proportionum rationes, Proportionalitates; (aut cciam, si racionibus pro-
porcionalitacum, novum indidiltet nomen, et sie deinceps quoulque libec:) lici-
cum omnino elt, si ita ridebitur, ad pleniorem accuratiorenique, ubi res postulat,
distinctionem, ita loqui, ee ritandae contiitionis ergo: Ac interim non inde novr
magis dicenda elt in Arichmericam (vel, Si libet, Cicometriam,) inrodueta spe.
culacio; quam si in Adcirione (ob connnuas laepe reperendas operationes) libeat
ex POLILAS
Fraclio-
num ex
Ratio.
num assi
Mtds.
Vin
Cor

## Folio 213 — 851387705:0233
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000233.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. XI II. DE LRCCONUM dC.
expolicas aliquot minuras quanciraces (distinctionis sracia) Partieulas appellare:
Parcicularum aurem collectiones, Partos; ee collectiones parcium, Lnteera; inte
srorum aurem collectiones, Summas; ee lummarum denique, Summam totalem.
Sicuc enim eadem arre cum parcicularum in Parces, cum parcium in Inceora, de in
recrorum in Summas, dcc. collectio insticustur: ee collectiones omnes incermedia,
quanguam praecedencium relpectu, SInE AGOrCSatA; lequentium camCM, PrO Mem.
bris habeaneur: Lodem modo per omnia, iildem plane principiis cademque arce
procedendum et, cum in simplicium sire ablolucarum quancitatum racionibus con-
remplandis, cum in racionum racionibus, sive proportionibus, HaTUMQUE PEODOL
tionalicaribus, e sic deinceps: _ quidem sicue intermediae rationes sire compara
tiones, respectu quanciracum ablolucarum primo exposicarum, Relariones live RC.
spectirae quancicares merico habeancur; illae ipia Lamet C Trce CoParancla
linc, in sequencibus illis comparationibus, pro terminis quali simplicibus sire abio-
comparatione, nora relationis termini, ad instar aliorum tincium plane ab(oluo.
rum. Neque aliud, creclo, et, quod in cora illa cractatione Cacasic V. CI. Sed
de his hactenus.
Aique hactenus de Fractionum cum Nacura, cum A.quipollencia, dictum esto;
cum de illarum cum Rarionibus attinitate.
luris lune habendae; iplaeque setationes, elm cen comparaneur, san t Ca
A
De Additione e Subductione Fractionum; tum Coeno-
minum tum non Coenominum. Fractionum ad com-
munem Denominatorem Reauctio. Minimus commu-
nis Denominator. Maximus communis Divisor.
LXpolitis, in praecedente Capice, quae ad veram Fractionum naturam intelli-
Sendam necellaria ridebantur: Ad operationes Arichmeticas in numeris Fea
etis exercendas accedendum cAt. Ouxe quidem eadem ipta sunc qua in numeris
veris, hoc elt, Inceoris, luperius exponuncur. Pura Addicio, Subductio, Mulci-
Plicacio, Diritio, dec
Ab Additione e Subductione, ordiemur.
Additio
Si Fractiones inricem Addendae, auc Subducendae, sine Cosnomines, (hioc eA et Sub-
cundem habeane Denominatorem,) nulla disticultare res ablolvicur; Substitur ductio
nempe, pro Numeratoribus expositis, Numeratorum illorum Summa vel Diffe- Fractio-
rentia, retento communi qui prius erat Denominatore, habetur Summa vel Disfe-num coe-
rentia fractionum expositarum.
Sic li Addendae sinc Fractiones E e 3, prodibic summa 8. Ouippe numeri num
Se 3 simul addiri constituune 5, guxecunque res illae FInE qua HUICTANEUT: Puca
Tire inteerx, sive partes. Et qua ratione 2 e 3 homines, lune s homines; aut 2
ec 3 equi 5 equi; rel 2 e 3 inteora, 5 inceora, etc. Fadem plane ratione 2 et 3
Dartes, Tuti 5 Partes; 2 8 3, semiltes, 5 Semiltes: 2 et 3 sextantes, 5 sexrances;
hoc est 3+
Ira, s ex 3, auterantur 3, manebunc 3. Ouippe univertalicer rerum eMt,
=2; SIVC reS MIeTaTA incesra LinI, Cire Partes. Sieut enim 5 = 3 B0.
mines, tunc 2 homines; e 5 = 3 decades, 2 decades; et 5 = 3 centuriae, 2 cen
turia: ita 5 - 3 TExTaNtCS, TunE 2 TextaNCES; hoc cA 3
Et similiter Faciendum est ubi plures adtue Fractiones cognomines, continue
addenda lunc, auc subducenda. Puta 3 F
quia 2 7 3 + 4 = 9. Sic
Atque eodem pralse modo in tractionum Additione ee Subductione Speciola, Cire
1tBtC.
8- C
quia 27 3-- 4 = 1. Et Timiliter alibi
C
Symbolica
ec.

## Folio 214 — 851387705:0234
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000234.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
DE ER ACFTON UM
Fractio. Si vero Fractiones invicem Addendae aat Subducendae, non line cognomines,
num non adhibenda prius est praepirario, qua ad idem nomen redueantur, quam Addicio
cognomi- illa vel. Subductio instituatur. Fecum demum, tacta hac ad idem Nomen Cive De-
nominatorem reductione, Addicio Subductiore instimenda clt, uE prius. Puta SI
addenda sinc fractiones Z _ Z; aut etiam haec ab illa subducenda: pro z, Substi.
cuatcur ipsi aequipollens ?, (cum enim eadem sic ratio T ad 2, acque 2 ad 4, olten-
Tum est cap. praeced. tractiones Zet Z aequipollenres cAe:) adeoque 5-  4 = 3 
. FL3
Sic 3  a = 12 f 37 - 12. F.L 3-
Liodem modo, si numero 3, Tire 2, (qux aequipollene; nam divilio per L, neu-
riquam immutat divisi quancicatem;) adclatur tractio ?, porest quidem id Fieri
non mutatis terminis, lic 3 F3, vel etiam 33: Sed eriam (quod nonnunquam
tieri convenit) in tractionem impropriam coalescune, puTa 3 f
+ 3 = 27: Substicuro scilicet, pro 3 vel E, (cribus integris;) 35, hoc elt, quinde-
cim quintis, quippe cancundem ralene; cum enim s quincae constituane unuM In-
cesrum, 25 quincae, hoc cstrer 5 quintae, constiuent integra cria.
Trem si ex 3 auterre oporteat Z: pro 3 incegris subllicuarur 3, vel etiam 23,
auc 2 f 3; ec tacta demum subductione, eru
Vel 2.5.)
. Vel etiam
+3- 5 =2 + 3: (natm 3 - 3 = 3, quibus li praeponamus 2, tiet 2 + 3
Reductio Reducuntur aurem tractiones quaelibet duxe dacae, ad alias invicem connomi
ad com-
Des, e dacis aequales, si prioris TUM NUMeTatOF tum Denominator, ducatuE in
munem
Denemi- Dolterioris Denominatorem; ee contra, posterioris cum Numerator tum Denomi-
natorem. NAtOE, In DEnOMINaIOreM PrioriS. Cum enim ucrobique tractionis uterque ter-
minus per communem mulciplicatorem mulciplicetur, terminorum ad inricem ra-
EiO NON IMUTatT, (quippe duplorum ad dupla, criplorum ad cripla, _c. cadem
est ratio quae simplorum ad simpla;) dum norus interim emergens DenOMinALOE,
sit uerique communis, (quipre qui tic ex datarum Denominatoribus invicem ductis.)
Sic in modo extribicis, : eZ: li prioris uterque terminus ducaeur in 4, tier 4, -
item, si Posterioris terminus uterque ducatur in 3, Hiet 3 = Z; adeoque junctim
13 =22 = 5 =4. Sic, prO 3 e 3, relZ e Z; Tubllicuendum est 33=3 = 3, ec 3: a
deoque 33 L3 = 3 =3. Eclic ubique.
Ex paricer in Symbolis: pro expolicis , =; substituancur
AB
tum
A
Ba
AB, Ba A
=B, cum = , cum denique
B
B0
Acque eadem plane methodo utendum est, si plures quorcunque tractiones oc.
currant ad communem Denominatorem reducendae. Nempe lingularum cum Nu-
meratorem cum Denominatorem in reliquarum omnium Denommatores continue
mulciplicando. Sic 2, 3, 3, reducuncur ad 30, 30, 55. Nam ZX3X5 = +5, e
2X3x5 = 30, adeoque 3 = 33: IIEM 2X2X5 = 20, 8 3X2X5 = 30, adeoque
3 = 30: Denique 2X 2. X3 = 22, _5Y2+ 3 = 30, adeoque 3 = 16. Lt prOpterea
junctim 5 + 3 +3 = 13 f. 18 L 13 Ft paricer in Symbolis pro 
Nticuantur 2B75 b075 ca B5 da BY
aB75 Bay5 y aB550B7
=, 5, tub.
quae cum exposicis sunc sigillatim aequa.
les, cum invicem cosnomines; (nam denominatores a By d, Ba y5, 7 a B8, Saβy
Tunt invicem aequales, quippe ex iildem tactoribus compolici; alternatio enim li-
cus aequalicatem non immutat, cum in continuis mulciplicationibus perinde omni-
no est quo ordine tiant, ut superius liro loco craditum elt.) Ec pariter alibi.
Atinterim verum est (neque id ret distimulandum vel ignorandum) minoram
Commu- nonnunquam Denominatorem communem altimi polse, quam qui hoc pacto ex
nis deno-
minatoris datorum Denominatorum omnium continuo ductu emersit. Nempe quoties DC-
diminu- nominatores dari non lune inter se primi, hoc est, in eadem ratione minimi, Scd
communem aliquem Dirilorem admictune. Sic in pridem expotitis, = e Z; guxe
reduei possunt, non modo ad communem denominatorem 8 == 2X 4 ( ex datis de
nominatoribus factum,) Puca 8, 3; sed etiam ad minorem, nemDC 4, DUTa Z, =, UC
supra ostentum elt: Cujus rei caula est, quod denominatores, dati, 2, 4, non lunc
numeri incer se primis lire in endem ratione minimi, sed uterque per communem
dirisorem
L
cum.
ti0.
Lxicque
vit

## Folio 215 — 851387705:0235
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000235.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. XI. II.
ADDETIONE, _C.
diritorem 2, praecile dividi poterit; EA enim 2) 2(T. de 2) 4 (2. Sic tractio.
nes dux 2, 3; reduei postune, non modo ad 36, 35; led etiam ad 2, 3: quia tuI
T2, cum 3, communem admiccune dirilOremt 3. nam 3) 12 (4. e 3) 3(T. FC
Pacicer in Symbolis; BC E, reducuncur non modo ad AC FBC
A BF
BCC BCC Sed de ad
B C P Ei quia nempecum BC, cum C, communem admiccun divitorem C; nam
C) BC (B, _ C) C(T.
Scc neque hoc lemper tC; (Tunc enim non raro denominatores dati, incer le
DrimI:) neque etiam canci est, uc minimum semper denominatorem, communem
Studiolius prima rice inveltisemus; led pocius, s opus sic, Fractionum candem Cum-
ma vel ditterenca ad minimos terminos reducatur. (Nam revera eriam (i illud prius
praesticum fuerie, hoc alcerum nihilominus deinceps aliquando praestandum exit.
Puca, si ex tractione 3 auterenda sic Z; nec acquielcamue in aequipollentibus 36, 36;
Sed ad minores achue deprimere cuxiamus: minimi ad quos reduci postune ter-
mini, communem denominatorem habentes, sunc, 2 de 8. Reliduum itaque 3 -
2
3 == 23. Aerero reliduum hoc nondum est in minimis cerminis, led ad
minores adhue reduei poceric, nempe L. Si aucem, omilta deprestione prima,
TumPES, pro 3 - Z, aequipollencibus 35 - 33, uc habeatur reliduum -3; deprimi
tandem, live abbreriari, semel porerie hoc reliduum ad cerminos a in cadem ra-
tione minimos.) Si camen se sponce olterat ejulinodi communis denominator,
qui minor sic quam qui ex datorum concinua mulciplicatione emersit; pocerit
quidem ille non incommode allumi; Pa tamen lese, ue quoruptuscunque sic vel
quameunque habear rationem, denominator ille communis, ad cujusque tractionis
dacae denominatorem, complus omnino sit, sive eandem rationem obtineat, alit-
mendus Numerator ad numeratorem dacum: ne tractionum scilicet valor immu-
LCCuT. Puta Si tractiones Z, 3, ad cundem denominatorem 12, reducenda sinc; (i
cur pro 3, Polterioris tractionis denominatore, substitmitur 12, iphus quadruplus;
Ita PTO numeratOre I, Bonendus exic numerator 4, daci quadruplus; uc , 3 _ 5 Can-
dem recineant terminorum ad invicem rationem.
Si vero, anrequam instituatur Adeirio vel Subductio, libeat Fractiones exDOTiLs Minimus
non modo ad communem aliquem denominatorem, led ad communem denomi communis
natorem minimum reducere: id hiet hac regula. Fxpositarum duarum Fractio-
num Denominatores, per maximum communem divisorem dividantur; ee per al
ternos quosientes, mulsiplicentur utriusque uterque terminus: es prodibunt termi-
ii Fractionum coenominum, datis aequalium. Exemplum elto in Symbolis, id
iptum quod ancea expotuimus; pE, =: Denominatorum BC, ee C, maximus
communis Diritor, (Taltem quancum ex Symbolis liguet,) est C: per hoc si divi-
daTIE DELIOMINAIOE PTIOE, quociens eA B; nam C.) BC (B; per quem simulcipli-
BC= C: Si per CuN-
dem C, divisorem communem, dividatur denominator posterior, C; quoriens cst
E; nam C) C (L: per quem quotientem si praecedentis tractionis ucerque cermi-
nus mulciplicecur, prodibit eadem quae prius tractio, pa, (quipre E, mulcipli-
BF
BCBC, dacis
Fune aequales; de quidem in minumis terminis. Paricer in numeris: Si tractionum
5,3 denominatores 6, 4, per communem maximum diritorem 2 dividantur, pro.
dibune quotientes 3, 2; Si autem per polteriorem 2, mulciplicentur fractionis
Prioris uterque cerminus, prodibit, 3 = 5; et per quociencem priorem 3, simulci-
plicentur posterioris tractionis terminus uterque, prodibir Fractio 3 = 3: adeoque
Pro expolicis 5, 2, habentur aequales minima cognomines 3, 2. Fodem modo, pro
3233, habentur minimae coenomines, istis aequales 3, 3. Fx similiter alibi.
Denomi-
pator.
Duorum autem numerorum maximus communis Divisor, hrac methodo inve Maximue
nICtUT. Si major per minorem dividatur, e deinde divisor bic per divisionis si communis
quod sit residuum: e su deinceps, donec eo tandem perveniatur ut residuum nul. Divisor.
larm

## Folio 216 — 851387705:0236
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000236.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
DF IRACLION aM
Cap. XLII.
lum sit; divisor ille ultimus, est dator an hamerorum maximus communis divilor.
(Dri ab Fuclide ostensum elt, 2 C7.) Si aurem non prius liltatur quam ad Vni-
esse: quippe T, utrumque diridendo, non minuit. Sic nuerOrUM 12 E 3.
maximus communis divisor (incellise, qui dividendos numeros ita dividat, ut
nullum supersie residuum,) inrenitur 3; quia nempe 3) 22 (4. Tine ullo reliduo.
Sic nUmerOruM 1Z 8 34, maximus communis diritor elt 2: Nam 12 in 34. bis
comtinentur, ee supertunt 10; Deinde r0 in 12 concinencur semel, ee luperlunt
2; Pandem 2 in ro continentur quinquies pracile: poltremus itaque hic diritor
2; est duorum expOlItOrum X2, 34 maximus communis dirisOr. NTUIETOLMI
autem +3 ex 34, maximus communis dirisor est z; (adcoque ipti jam inter le
primi, lire in caclem calione miniril; ) uc ex adjunctis operalionibus patet.
tatem dereniatur; a Dumento Cst CxpOSITOS nUMerOS I CaC TACIBHC MIMMMIOS
X8) LL) 34 (L(+ (5
2∞
R.4
5) 8) 23) 34(2CZCZCLC+ (2
Atque haec ipsa methodus nonnunquam etiam in Symbolicis commode aehihe.
Cur. Fxempli Graria; a = e, _ a = e: li quantitas illa per hane diridatur.
prodibit quociens a (cujus tamen in hoc nesorio nulla racio habetur,) ee reti-
duum ac = e. Si per hoc reliduum dividatur ille Dirisor a = et, prodibit
(quoriens =, _) Retiduum ac =e. Denique si per hoc Reliduum ac = e,
dividacue proximus Divisor av =0, prodibic quoriens e, et nihil restabic. V7
ex adjuncta operatione patet.
acc) ac tbul .
10 - e a = ac a - ac
30.. ac = e. at = c.
Acque hinc aset, poltremum hune diritorem ac = e, expolitarum quantita
tum a =e, a = e communem esse Dirilorem. Ouod es experimento facto
Patebit.
e
0
Adeoque communis hujus divisoris ope, reducuntur expOTita quantitates
a = e, a - e, ad simpliciores in eadem ratione, -- F a f c, = + P; vel etiam
(collendo tractionem) a ut ac + e, a = c. Ft proprerea   1
Acque hujusmodi exempla plurima tacile annecti possunt.
a.
Verum hoc in Synibolis neque ita prompte, nec unirertaliter expediri potest
aeque in numeris. Exempli gracia; quantitatum a f ac - b - bc, _ ab  a)
B- bf, havd ita facile, concinua hac dirisione, communis diritor innotelcit:
cum incerim communem hateant dirilorem a= b; ut ex adjunctis operacionibus
Datet.
Mu
1
e1

## Folio 217 — 851387705:0237
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000237.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
Cap. XLIII. MULTIPLTCATIONE, EEC.
a - b (a  + ac = b2 - bc (a + B +c
Adeoque communis illius Divisoris ope reducentur exposiixe quancitates a2 f ac
bc, e ab + af - b2 -bf, ad cerminos in cadem ratione minores a + b
F6, _B + f. Adeoque a +ac = B2 - bc a + b +c
ab.
5-
b +f
In hujusmodi iiaque casibus, acque hiscetimilibus, Pagacitate opus erit, et con-
tilium in arena capiendum, ul ex posicae quancicases compolicae, ad simplicistimas in
cadem ratione LCdUCaNEuE.
Sed de Addicione de Subductione hactenus.
Gi A P. XL III.
Fractionum Multiplicatio  Divisio: per numerum In-
teerum; per numerum fractum. Multiplicationis, e
Divisionis inversae, aequipollentia. Producti, e Quo-
tientis, in minimis terminis exhibitio. Operationum
praecedentium (Saditionis, Subductionis. Multipli
Fractio-
cationis.  Divisionis) brevis Synopsis.
CEquitur Fractionum Mulciplicatio et D vitio.
D Si Numerus fractus per Inteorum mulciplicandus, Cit, nihil hrie disticulcacis nis per
inest: Ouippe id sola Numeratoris multiplicatione peracitur. Sic 3X 2 = 2. Nam numerum
bis duo sunt quatuor, quaecunque demum ea sint quae numerantur: Sive integea integrum
Sinc, sive partes. Oua enimratione, bis duo homines, lune quatuor homines; bis Multi-
dO COTPOTA, quatHOT COrPOTA; bis duo incegra, quacuor intesra; bis duo millia, plicatio
quacuor millia, ecc. (nempe, quia bis duo Timpliciter, TunE quatIOT:) cadem, de
bis duX PaTLES, quacOT parteS ; bis duo quadrantes, quatuor quadrantes; bis duo
guintances, quacuor quincances, (live partes quinta.) Sec. Sic Z X A, vel ZA, exit
Sic DX =, vel, Z xD, vel Z D, exie =. Et sic in aliis.
Vel etiam, quoties id commodetieri pocest, pro Multiplicatione Numeratoris,
Tublticui porerie Denominatoris Divisio. Ouippe idem ommino sic, quoad tractio.
nis valorem, sire mulciplicemus Numeratorem, sire Denominatorem dirictamus:
e Conra. Si enim verbi gracia, duplandus sic numerus Fractus Z: perinde cst lire
duplicetur numeratOY, ut tatS; Cire denominator bisecetur, uc tiat 3: eadem enim
urrobique prodibie tactionis quancitas, 5 = Z, quoniam eudem est iurobique nu.
meratoris

## Folio 218 — 851387705:0238
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000238.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
DE SRACPTON UM
Cap. XF. III.
meracoris ad denominatorem ratio, quippe 6. 4: : 3. 2. Sic alibi; 3= 3 = 13 -
Et 3X
13x5 = 13 = 3 ec. Et pariter in Symbolis. P. Ht
Fractio. Concra vero: Si per numerum integrum dividendus sit numerus fractus: divi-
nisper se numeratore per divisorem datum, aividitur fractio. Puca li diridenda Cie tractio
numerum
teorum 5, per 2: prodibit quoriens Z. quia ReMDCZ) 4 (2. Cum enim univerlatiter sc.
Divisco. millis numieri 4, FIL 2; quaecunque linc quae numerancur: qua ratione lemistis
quatuor incegrorum, tunc duo incegra; et semiltis quatuor decacum, dua deca-
des; ecc. eactem ee lemiltis quacuor partium, Tune dua Parces; semistis GuacuOr
quintantum, duo quintantes, _c.
Vel eriam, si ejusmodi divilio commode Feri non poNit; (puta, cum divisor
datus, non est Numeratoris aliquora pars, adeoque non illum praecile metiatur
line reliduo:) Dro Divisione numeratoris, Tubltiruatur, Denominatoris multipti-
cario; tantundem liquidem ralet, ut modo dictum est. Ouo enim major est de-
nominator, co minores supponuntur incesri partes; adeoque, mariente codem
numeratore, minuitur fractio. Ft perinde est sire lumatur parcium numerus
verbigracia, duplo minor, hoc est, semistis; hre idem numerus partium durlo
minorum, hoc clt, dimidiatarum: urrobique enim allumicur designatae quancita
eis dimidium. Sic 2) 3 (3 = , 8. Et 2) 3 (18. Fc in Sgibolis limiliter A)
AB. B.
C
C
AB
6 BC. Ft A) F
AB B. et pocest qui
dem posterior haec mechodus (per denommatoris mulciplicationem) Pat com
mode ubiris achiberi: prior aurem illa (per numeracoris diritionem) haud ita
commode nili cum diritor cst numeratoris aliquota parS.
Fractio. Cum vero Fractio proxonitur, sire Mulsiplicanda sive Dividenda, nON Per nu-
nisper merum incegrum, sed per aliam fractionem: operacio paulo magis incricata est.
fractio nec nisi duabus operationibus diltinetis absolritur. Nempe, postquam per dati
palcios: Malciplicatoris vel Divisoris Numeratorem, tanquam per numerum inteerum (UE
cacio Z modo ostensum elt) fuerit mulsiptisata vel divisa; quantitas inde prodiens
Divisio. per dari mulciplicatoris aut divisoris Denominatorem, contraria operatione afficien-
da est. Cuippehaec posterior operatio quali COrrISIL PEIOTEI, QUX MUMENaTOreIM
tractionis, tanquam (i esser mumerus inreger, altumplerat.
Sic si mulciplicetur Z in 2, prodibic E; at si in 3 (nempe prioris mulciplicatoris
trientem) Prodibit 3) 3 (,3, (nempe prioris producti triens,) adeoque 3X3 = 3.
Racio Patis paret. Nam qui mulciplicat per 2, Decic duplum; at qui mustiplicat
per 3, pecic dupli crientem (sire crienris duplum,) adeoque quod ex duplica.
tione prodie, est rrisecandum, ut trabeatur dupli niens. Sic L XC   , e D)
AC, AC
B (BD; erc0
C. AC
D BD
Eodem modo, si dividenda sit fpgctio e ver 2: Divita prius 3 per divisoris NI.
Meratorem 2; nempe 2) 3 (3 = 8: qua provenit tractio Z vel 18: multiplicanda
erit in divisoris Denominatorem 3; Puta 1X3 = 18 =5 =ZX3: adeoque
13- 3 = +Z. Racio paret. Nam qui diridir per 2, verit quali quoties in numero
dividendo contineame nuMEruS 2: quod ubi ex quoriente releirerie, mulcipli-
cando porro per 3, cognoscer quories contineatur Z, nempe numert 2 triens: quip.
De numeruscriencum binarii, eriplo major sic necesse cAt quam binariorum nume
cus, cum quiliber binacius concineac sui tres crientes. Sic in Symbolis, D) B lB B.
1C
de  C. = ∞D, c80
B
A, AC
BBD
Multroli. Aique hinc llacim constac, (quod apprime nocanctum est,) Ldem omnino fieri
e Divi sive multipliseus per =, sive dividamus per =: quixpe cadem ulrobique Pro.
sionis in-
versae, dibie quanciras. Irem Cire multiplicemus perz, sire diridamus per 2. rel Z; quixve
aequipol verobique quaericur expolita quancicaris semistis. Iem, ArC pex Z mulciplieenuis,
lentia.
FIVE
nem
cationis
d
EsIl
1
vilo

## Folio 219 — 851387705:0239
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000239.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Cap. XLIMI. MULTTPELCATIOHE, EEC.
sive per 3 dividamus. Ft sic ubique; Sr licet quantitas (sic diridenda aut HIIIIeI
plicanda) vel inceorum quid, vel tractum.
X3.
=
3:
3) 4 (3 =
et
2) 9(15 =5 = 6 = 943. 2)2(3 =6 = 223.
Brericer; Mulciplicationis ee Divitionis (in Fractionibus) doctrina, hujusmodi
CA (ut ex praedictis liquet:)
Musciplicacio, Mulcipticac)
Numeratoris.
EDiritio, dividie
3
Denominatoris
Mulciplicatio, dividie
CDivisio, mulciplicat
 Ouia vero numerus quilibet per quemlibet mulciplicari porest commode, at
non ita per quemtibet diridi (uc nempe nullum ( reliduum:) ueraque iBItX
operatio, tum Mulciplicatio scilicer cum Dirilio Fractionis, per Colam Mulcipli-
cationem a plerisque intticui tolet; illic quidem Numeraloris, hic Benominacoris.
Adeoque
Mulciplicando
EFractionem.
CDenominatorem, dividune S
Si itaque ejusdem alicujus tractionis (vel etiam quantitatis inteorae) cum Mul-
ciplicatio cum Dirilio simul insticuenda sit, (quod quidem, ubi exposicus mulei
plicaror auc dirisor est tractio, contingit,) utrumque Faciendum clt. Nempe qui
inulciplicat per Z; ille revera mulciplicat per 2, e diridit per 3: qui aurem per 3
diridie; ille diridit per 2, et per 3 mulciplicat. EF proPterea, illic HUMCTATOK
(quanciratis exposixe) hic Denominator est per 2 mulciplicandus: atque etiam De.
nominacor illic, hic Numerator, mulciplicandus per 3. (Fodem plane modo,
acque in Additione e Subductione continsit: Puca qui addit 2 -3; ille revera
addit 2, et 3 demit: et qui Tubducit 2 = 3; ille revera 2. tollir, et addic 3.
Acque haec quidem ad tractionum cum Mulciplicarionem cum Diritionem rite in-
relligendam, dicta susticiane.
Si aurem id experat aliquis, non modo rerum ut hrabeat sire Productum Mul. producti
riplicarionis, lire Diritionis Ouoriencem; sed in minimis terminis: Porelt quidem  9u0-
illud obtineri, vel _roductum aur Ouocientem jam inventum reducendo; (eo riencis
nempe modo quem in praecedence capite indicarimus; puta cum numeratorem, extibitio
cum denominatorem maxima communi mentura diridendo:) vel criam, si id po- in mini-
eius expetatur, praeparatione tacta antecedanea: nempe hoc modo. Reducantur mister-
primo, expotuae tractiones ad cerminos luos minimos; Numeratores Scilicet singu. minis
los, luosque respectire Denominatores communi mentura maxima diridendo.
Deinde vero, in Mulciplicatione, Numeratores linguli, cum Denominatoribus al
cernis, sIC COmPaTentuE e reducantur; at in Diritione, cum Numeratores invi-
cem, cum etiam Denominatores invicem, sIC COMpATENEE dE LEdUICANEUIE: FL PrX.
pacacionc sic lacta, cum candem hiac ea quae praecipicur cerminorum Mulciplicacio;
NEMMBC
Elactionem.

## Folio 220 — 851387705:0240
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000240.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
ER ACTFONUM
aD. XT IV
empe Fractionis Mulcipticandae, Numerator in MumeratOret,  CCHOMMHAIOL
in Benominatorem Mulciplicantis ducatur; tractionis aurem Diridenda, Nume-
racor in diridentis Denominatorem, ee Denominator in Numeratorem. (Ouod
C Breriter enunciat Ougheredus, Mulsiplicatio comparat heterolosos terminos, e
multiplicat Bomolocos: Divisio comparat homoboees, e multiplicat Beteroloeos.)
Sic E Fractio , in 53 ducenda Lit: Reducta prius , 8 ad 3; comparo adhuc 2 nu-
meratorem prioris, ec 32 denominatorem polterioris, proque iIlis lubltituo rdt 16:
cum etiam PrO O denOIatOTC PEIOTIS, _ 25 . P 
3e5. Ldeoque randem  18.
Similiter, s dividenda Fractio 18 = 3, Per 2 55 = 33: operatio sic procedet.
Operatio-
num in
fractis hac Sgnopli conspiciendum Labstetmus.
Synopsisi
Totum icaque cum Acdicionis e Subductionis, cum Mulciplicationis et Divisio.
numeris nis negocium, in numeris Practis; duobus his capicibus absolrimus. Quod breri
Adao a Subduetio.
eB = ab
Mulciplicatio.
Dirito.
a A P. ZL IV.
De Fractionum Reductionibus variis. Impropriae fractio.
nis ad numerum interrum vel mistum reductio: e
contra. Reductio ad minimos terminos: Ad commu-
nem Denominatorem: Ad Denominatorem datum:
Ad communem datumve Numeratorem. De fractio.
num fractionibus reducendis. De fractionibus Sevare-
nariis  Decimalibus, tum ad invicem, tum ad fra-
ctiones ordinarias reducendis.
om eadem quoad ralorem tractio, mille modis delisnari pollic, uti luverine
cradicum elb: F.  pedir nonnunguam ex una in aliam torman tractiones crans.
MUtare;
de l
Dei
eom

## Folio 221 — 851387705:0241
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000241.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
CaP. XLIV. REDUCTIONEBUS.
mutare; varia (que illarum Reductiones inctituere: quarum praecipias HOC CumuIS
capire cradicuri.
Fractionem Impropriam, ad Numerum Incesrum, vel Caltem Mictum reduei Fractio-
Pose; ex luperioribus pacet. Nempe, Numeratorem per Denominatorem diri-nis im-
dendo. Sic 28 = 4 quia 6) 24 (4. Ft 27 = 33, quia 7) 24 (33. Tiempropria
a
 = 4, quia a) 4 a (4. F+  = 2. quia 2a) 44 (2. Sic 
B. rum inte
2a + B = 2 + =, _c. Cum enim (uc superius dictum est) Fractio, (sire pro. Reductio:
3 con-
pria sire impropria,) non sic nisi Divisionis impertectae indicium: Diritio illa, cra.
actu praestica, id iplum efficie, quod Practio indicabat faciendum.
Et Contra, Numerus quilibet vel Inceoer vel Miltus, ad Fractionem impro-
priam reducitur. Nempe mulciplicando numerum incesrum, in dacum denomi-
NaTOTCM. Sic 3 = Z. 2 = -5. _C. (quia BempC ZX 4 = = F2. 8 2X 3 ==6.) Cum
enim in sinsulis inteoris, contineantur quatuor quadrances; in tribus inteoris con-
cinebuntur quadrances ter quatuor, hoc cAt duodecim: Sic de caeteris. TLem
=2 7
Paricer A = 1L
= 15 f 5-18. Sc. eadem plane de causa. FF in Syribolis
Ec 3 a + = - 3ac +B. FC a +. 2. - 26 + a ec. Auque
haec quidem numeri inceori millire in tractionis formam reductio non raro ului
estus praesercim in addendis, subducendis, comparandis, hilce numeris tractionibus
immistis: Sieur, c concra, tractionis impropriae ad numerum incegrum mistumve
reductio, ad carundem aestimationem facilius se clarius mence allequendam maxime
condueie.
Fractionis ad minimos terminos reductio, ex dictis Cap. ZI. II. Pacis innore (eit. Fractio-
Diriso nempe ucroque termino per maximam communem mensuram (quae ex ibi nis redi
dem cradticis inreniacur,) prodeune cermini in cadem ratione minimi, sive incer SC Etio au
primi: adeoque minimi qui eundem fractionis ralorem extribere pOterAnE. Su
22 = 2, dirilo Ccil. CUM HUMCTREOTC EI denOMINaLOrC PeF 3. FL 33
d
43= 2 (dirilis nempe cum numeratore, cum denominacore, illic per 5, hic Per 7.)
Sic 13 = 3 = 1 = _c. Trem
B
BC
per B.) sic AC. + BC- A f. B
c
B
B = = = A. C dividendo utrinque
= a = B. Trem aB + v = ac = bc a + v
ab + bb - ac- cb
3. L C. Clacta utrobique divitione per B - c.)
Fx similicer in alis. Fstque haec tractionum ad minimos cerminos reductio, ad
Faciliorem raloris aestimationem apprime ucilis. Requis enim non Facilius incelli-
sic et mence concipit tractionem sive rationem Z, ret 2 ad 2; quam 1568, rel
783 ad 2566. Adeoque cum tractiones cum Rationes commodius exprimuntur
(Caeteris paribus) in minoribus quam in majoribus cerminis; et propierca, (nili
quid speciacim aliquando altioris momenei impediac,) ad cerminos minimos re-
ducendae.
minimo
termino
Fractionum duarum pluriumre ad communem denominatorem reductio, (quae practio-
quam ad Redicionem de Subductionem necelsaria (, jam supra dictum elt,) octen num re
ditur Cap. ZL. II. Nempe denominacoribus omnibus continue ductis, habetur com ductio ac
munis Denominator; cui conreniant NumeratOrES, ex numeratorum expotitorum  n De
tingulis, in reliquorum omnium denominatores contine ductis, CmersenEES.
Puta, 2. . 2. sic recluctae, siune
Trem Z, 2, 3, reducuntur ad 28, 28, 18
3
a B y a B.
nomina
torem.
Si aurem non modo ad comminem faltem aliquem, sed ad minimum commu-
nem denominatorem, reducendae sine expolica quortiber tractiones: FlabetIF COM-
munis ille denominator, si datorum denominatorum illi omnes qui conmunem
aliquam menturam pariuncur, per illam dividantur, et, pro ipsis denominatori
bus, quorientes ex ca diritione emergentes altiimantur; uc ex horum quoriencum,
reliquorumque siqui sunc denominatorum, iptiusque communis divitoris maximi
Caut

## Folio 222 — 851387705:0242
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000242.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
DE E RACFTONOM
(ant eriam maximorum omnium, si plures tiant comparationes,) continua mulci-
plicatione habeatur communis denominator minimus: (ad quem quaerendi Nu-
meratores congrui, modo mox ostendendo.) Sic in modo expolitis, 2, 3, Z; quia
2 ec 4 communem patiuntur dirilorem 2; uterque per 2 diridatur 2) 2 (F, 2) 4 (2 3
e quorientes ea diritione emergentes, 2, 2, cum cerrio denominatore 5, iploque
communi dirilore 2, continue mulciplicari, extribene minimum communem deno-
InatOLeM FX ZX5X 2 =20. Cui denominatores conorui (modo mox olten-
dendo) altumpri 20, 25, 8, exhibene expoliris Z, 2, 3, aequales coenomines 20, 267 265
e quidem minimum communem denominatorem habentes.
Sic, 3 3; diritis cum 2 _ r0 per communem mensiram 2, prodibunt quorien-
tes 2,5; cum icerum s (quocientum jam inventorum alcero, qui proxrerea eriam
eliminandus erit, ejulque loconorus per lequencem divisionem subltituendus,) et
S (denominatore certio) per communem dirilorem 5, unde prodibunt quorien.
rC8F, T, et (ex prioribus duobus) relumendus J, qui in duos communes dirilores
2,5, continue ducti, dant LX PXLX 2X5 = r0 communem denominatorem mini
mum; quibus respondent denominatores consrui 5, 3, 5; adeoque tractionibus
expoliris 3, 13, 3. aequales lunc, cognomines 183 2o 16.
Sic.
25
bad caB
aBP7, 5, reducuntur ad cognomines minimos.
aβ75aBy8
Invento aurem communi denominatore minimo, Numeratores congrui inye
niancur, hoc est, Fractiones expolita ad datum Denominatorem redueuntur, hoc
modo:
Fractio. Ad dacum denominatorem reducitur data tiactio, si novus allimatur Numera.
nis ad tor, quin ad dacum Denominatorem, cam habeac rationem, quam habet tractionis
Denomi datx numerator ad denominatorem, tuum. (Ratio manitelta est; quoniam dum
serratur eadem Numeratoris ad Denominatorem ratio, eadem manet tractionis
reductio. Quantitas.) Siclitractionem Z, reducere velim ad aequalem aliam, quae denomi-
nacorem habeat 10; quaerendus est RUMCTaTOT, qui si ad 1O, ut cAt Fad 2. Sire,
ad quem, eam habeat rationem FO, quam 2 ad T. Juod per aurcam resulam per-
agItUr: Puta 2. F:: 10. 9 =-18 =5. AdCOquC, 3 =-Z. Pariter E ad cundem deno-
minatorem ro, reducere velim tractionem z; lumendus cst Numerator, 8: (quia
5. 4:: 10. 8.) Adeoque, 8 =4. Fic propterea (quod modo dictum erat) tra-
Etioncs ?, 3, 3, ad communem denominatorem F0 reducta, erunt 18, 18, 18. F0-
demmodo, tractiones =, 2,3, ad communem denominatorem 20 reduetae, crunc
25, 20328: (Na 2. 2: : 20. 10. Trem 4. 3: 20: 25. Trem 5. 2:: 20. 8.) Sic tractio
ad denominatorem Bc reducta, eric =. (Ouia b. a: : bc.
tractio, ad denominucorem b reducta, eric Z. (quia Bc. ac.
Et sic ubigue.
abc
= ac. ) e
Arque hujus reductionis magna est utilicas, Cuc alibi, sic) in parcibus expoticis
alicujus inceori, ad partes nobis notiores, vel ulitatiores, reducendis. Exempli
Bratia; (I exDONatuE Z Solidi Anolicant; et Seire relim, quot ea tractio raleat nuim
mos Denarios dictos, sire parres duodecimas. Reducenda quippe erit expolica
tractioZ, ad xqualem aliam quae denominatorem habeat 12. Adeoque (quia 3
2:: 72. 8.) inrenio : bellem, sire duos crientes, cancundem ralere acque E, Octo
duodecimas, hoc elt, octo denarios.
Nerum hic incellisendum est; quod non possit ica semper ad datum denomina-
eorem reduci tractio data, quin pro qualico numeratore emersat nonnunquam vel
traccio rel numerus miltus; adeoque non pollic fractione simplieu, qua docum ha-
Beac denominatorem, data tractio delignari, sed tractione compolita OpuS Crit.
Puta si tractionem 3, ad parces duodecimas reducere retim, (hoc elt, ad tractio.
nem aequalem, cujus denominator sIL +2) quoniam est 5. 2:: 22 13 = 45, qua
sica tractio estet =E. Hoc est, 4 duodecimae, acque intuper 3 unius duodecima. A.
dcoquem verbi pracia, 3 Colidi Aneliconi, ralebic denarios Anelicunos +Z; hoc oAt
Quatuor
Cap.
natoren
datum

## Folio 223 — 851387705:0243
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000243.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Cap. XLIV. REDUCTIONTBNS.
quacuoe denarios, acque intuper ; unius denarii. Sic, fractio , ad aliam rectu-
cenda quae denominatorem habeat c, erit ) ac
Ouae aurem jam cradlica sumc de lractionis ad dacum Denominacorem reductio. Practio
ne; vel eciam plurium tractionum reductione ad Denominatorem communem: num re-
Fadem non disticulcer de reductionibus ad Numeratorem dacum, atque ad numera ductio ad
torem communem, exponi poltune. Vix enim aliud ad hoc tactu opus clt quam
atum
Numera
uc pro Denominatoris roce Tubsticuatur Numeratoris, de contra. Sic Fractiones torem, ve
2, 23 aquipollenc hilcc 5, 5. Irem tractionibus 3, 3, 3, aquivollent 5, 5, 5. Lic tra. Numera
ctionibus =, =, =, aequipollen 2bc abc abc
ab0 BaC rab. dic tractio, ad adiam commu-
reducenca quae numeratorem habeac, c, eric  = . Et sic alibi.
De Fractionum tractionibus, sire minuriarum minuriis, reducendis; nonnihiil De fra-
etiam dicendum elt. Ouippe nonnunquam tractionem aliquam ulcerius trangi ctionum
concingi; cujus, canquam Luccsri, partes, Minuria minuciarum, sive fractionum fractioni
tractiones diei lolene. Puca criemtis lemis, vel bessis dodrans, _cc. quos sic nocare
Tolent 53. 33. 8c. vel lic, : Cx L. 3 Cx Z. _c. Mallem c80 Sic 3 X 5. 3x 3. _c. (quip.
2, vel ZXF, semillis unius incegrI; ZX 2, Semistis duorum; 5X 3, semilsis erium:
Aique hine Racim patet methodus, ejusnodi tractiones compolicas ad simplices
reducendi. Nempe mulciplicatione lola id peragicur. Duca ductis invicem 3 e 3
Crir (per tracica in CUDCrIOTE CApITC) 3X 3 = 15= 3. Sic 3 X3 = 5. c. Similiter
Si pluries adhuc componatur; pura semis dodrancis duarum terriorum, LX Z X3 = 3
4. Ec Sic alibi.
Eodem plane modo reducenda cM, hujusmodi Fcactio =Z, hoc CA 4 5, X 2, sire
24x 2 = 28 = 2. aliaque Similes ubi Pumerator Fractionem adjunctam habet.
in communem muleipliearorem 5, prodibit (non mutata quantitate) 38, vel 3
Nec dissimilis eric reductio tractionis hujusinodi (cujus Denominatori adjun-
Sicur tractio) 3, = - 3: Ductis neMDC CuI NUMETALOTE Cu DEnOminaIOIe,
in communem mulciplicatorem 2, non immutatuE quancitas.
Sic 43 = 18; ductis nemperum numeratore cum denominatore, in 20 = 5 X2.
12
Fademque plane mechodo ucendum eric, in tractionibus (s id obrineat) crjam
adhuc ulterius fractis, sire in Numeratore, Sire Denominatore, live etiam vrro.
que. Vr non lic opus hisce diutius immorari.
Suverest ut de Fractionibus Sexagenariis, et Decimalibus rerba Faciamus: ex.
redu
cndis
De nihul aliud est hujulmodi tractionis tractio, quam tractio ex duabus invicem.
mulciplicaris compolica.) Vri enim = A vel EX A, est semistis quanticatis A; e
ua Z 2 3, est semiltis crienris; 2X3, docrans bestis, sIve ires quarca duarum terrta.
rum, c.
c
Defra-
runque cum ad inricem, cum ad fractiones ordinarias reductione; atque harum nibus
ad illas. Fx omnibus enim tractionum Reductionibus, hae duxe prae reliquis cele sexage-
bres sunc; nempe reductio ad parces Senagenarias, et ad partes Decimales: de nariisés
vice versa. Illa rereribus admodum tamiiaris erat ee Frequens; haec MaXIIe,
Recentioribus.
In tractionibus Sexagenariis, supponitur intesrum quodris in parces 60 diridiu
quas vocant nenia minura prima, lerupulos primos; lt eorum quodlibet in 60
minura secunda; ex quodvis horum in tocidem minuta certia; de lic deinceps,
in concinua ratione sublexasecupla. Sie, rerbi gratia: FTora diridicur in 60 mi-
nura prima, ee quodtibet minutum primum in 60 sccunda; ec quodlibet secun-
dum in cocidem cerria, etc. Irem circuli, sire quadraniis, auc etiam Signi Ciractus
quilibet eadem ratione diridicur in Minuta Prima, secunda, tercia, Cc.
In Receuciorum parcibus Decimalibus, supponicur incexrum quodvis dividi in
TOPaF-
libus.

## Folio 224 — 851387705:0244
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000244.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
DE E R ACZFONUM
Cap.
ro partes decimas; et decima quaelibet, in T0 Cencesimas; quaeliber cencesima in
0 Milletimas; e Sic deinceps; in concinua ratione subdecupla intra Onitatis lo
cum descendendo, Beur Tuvra Vnicaris locum continua ratione decupla alcendi-
tur, ad decades, centurias, millia, ec. Dux quidem ratio dividendi integrum,
mulco accommodatior est, quam reterum Sexagenaria; quia tractiones decimales
eodem plane modo cractantur, quo numeri incegri, (uc tuo loco dictum cAt,) nul-
lanque caleuti distieuleatem involrunt; cum Sexagenaria illa progressio perplexa
nimium lit variasque reductiones poltulet. De utrisque aucem leorlim dicetur.
Reducitur tractio quaeliber ordinaria ad partes decimales, li numeratorem (ad-
diris post lineam separatricem quoc opus est ciphris, qua. gradus intra Onitarem
descendences deligneni) per denominatorem diridamus. (Ouippe hoc pacto
diritio, quam indicar tractionis notario, actu perasitur: Onomodo aureM Ca in-
Elicuenda est per locos delcendemes dirisso, jam Tupra luo loco oltentum elt, ubi
de inceororum divitione verba tecimus.) Sic 3 =08. 3 =0375. ut diritionE
Datebic.
5) 43 80 (0, 6.
8) 3,8880 (0, 375.
888
Si autem (quod non raro contingic) ejusmodi occurrat tractio, quae vel pon
omnino, vel non nili lonsiori operatione, accurare pollut partibus decimatibus
exprimi: Postumus operationem quonsque libet instituore, donce quod supertit
tam lic exisuum uc cuto neslisi postF. Sic 3 = 3333 eC. 3 =0(6666 ec
=0(1666 8c. 8 = 9(8333 ec. 17 = 0909090 ec. 13 = 0 (454545 ec. 3 = 0(42857 1428
ecc. (In quibus omnibus, aliilque dimilibus obserrare licet corundem numeroruim
recurtum, quousque libet continuandum.) Trem.
=0(09375. 84 =0(359375. (Ir
quibus, aliisque limilibus, extrauricur quidem, sed sero, expolica Fractio parcibus
decimalibus.) uc dividendo pacebic.
C, 4880 (0, 333 c.
83858700 (0, 434) ce
2, 8450 (0, 166 etc.
6, 66B
3,88858 (0, 09375.
R. 9 R. R. D
In his, inquam, aliisque ejulmodi calibus, ubi parres decimales vel in longum
nimis, vel in intinicum excurrune; sutticit vero proximum pro rero accipere:
adeoque operatione quousque libet continuata, quod superest nesligere. Puca,
0333. 0(833. 0909. 0094. V et torte 0133. 6183. 9,92. 009. Prout major mi
norre accuratio requiratuT.
Fractiones aucem Decimales, ubi opus est, eodem plane modo ad alias redu-
cuntur, quo reliquae Fractiones ab una ad aliam denominationem. Puta 05, hoc
elt, 3, ad Z, diridendo cum Numeratorem cum Denominatorem, per maximum
communem divisorem 5. Sic 909375 = , 3 =, 2, nempe diridendo per Maxi-
mam communem menturam 3125. Fe sic in reliquis. Si aurem ea reveriacur
mentura quae non quidem accurate, ac falcem quam proxime utrumque terminum
menturer; porerit illius ope allumi tractio ordinaria, quae, licet non accurare.
quam proxime tamen aequabitur exposix Decimali: adeoque pro hac altumi
polsic; peaelertim si supponatur fractio illa decimalis (quod non raro Hc, PrX.
serrim in cabulis Altronomicis, Frigonometricis, _c.) non praecile GrOmetricam
rerira em, led vero proximum, delignare. Sic, pr0 0(33333, hoc cst  actumi
Poreru canquam aequalis 5, cum tamen haec aliquanto major lic, (quippe aequalis
truic 338,) sed cancillo uc ea ditterentia curo neglisi po, uti Ceometrica
anoisste NOM exisituT.

## Folio 225 — 851387705:0245
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000245.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. XL IV. RH SLAATBIS.
Si Fractio ordinaria quaeris, ad partes Sexagesimales reducenda lic: Ducto Reductio
Numeratore in 60, per Denominatorem al , e SoeS IHIBICABIE MI- S. actroM.
nuca: Sceliduum aurem aeros, t eed HI, I 60 duetum, ee per Denomina- 9
te
in 60 ducantur, e producta per Commenem nato n aC C. males. Lt
lalcem vero pronua accumendum crit.
torem (tractionis dacae) diritum, extribebic in Ouociente Minuta secunda: EL
lic deinceps minuta tercia, quarta, dec. prodibune, si dirisionum relidua semper sexacesi
victaneur: Ouod cousque taciendum. eric, donec vel nullum supersic reliduum, contra.
vel quod (ob operacionem jam lacis concinuatam) neolisi postic. Quod enim
de Decimalibus modo dictum clt, idem de in Sexagenariis tractionibus lapissime
fic; nempe nunc in infinitum, nunc salcem in nimis lonsum procedendum ese,
priusquam toca Fractio expolica plane Caaal. Guo Calu plo alcau relo,
Sic  = MIn: 12. 30. Paeil. Or calculo paret. Hoc modo.
2
160
24) 120 (30
260
24) 300 (12 57
Vel eriam.
4) 300 (12 1 = 12
X60
2) 60 (30.
e  = tll. 38. 10. 54. 3211. ec. = M1. 38. 21. tere. Nau
260
22) 420 (38 2
10
X60
F2) 600 (54 4.
260
22) 120(1 11.
X60
L2)360 (32 1.
Partes autem Sexacelimales ad Practiones ordinarias, reducuntur: A reductis
omnibus ad Scrupulorum ulcimam denominationem, COrLIqLe nUMETO PEO NU-
octendir quoc ictius ordinis lecipuli in uno Allesio conrinentur. SIC 12. 30. le
ducuntur ad tractionem ordinartam 33. Iloc modo
meratore Tumpto, conornus scribatur Denominator; nempe numerus ille qui
X60
X60
0
260
3600
Cum enum lingula mimuta prima contmmeant 60 lecunda, 12. prima CouMCBuN
cableur.
720 secunda, quibus addicis aliis secundis 30, erit secundorum numerus 750. AC
vero in uno Inceoro concinentur Minuta prima 50, adeoque minuta Secunda 3600:
Sunc ergo illa ad unum incesrum; uc 750 ad 3600, hoc est (reductione facta
Decima-
ad minimos terminos) ut 5 ad 24. Adeoque 12. 30. =
Est autem usuis parcium decimalium incredibili fere dilferencia magis compest. lium usus
diosus, quam parcium sexagelimalium. Quod rel unico hoc exemplo Paris indt quam
Potiio quod Solis curtus annuus, per integrum Zodiaei circulum, ablolvatur malium
et
diebus 365, horis 5, minuris 45, 10, 46: quaeritur quantus sic illius morus cl expedi-
urnus medius. Hoc elt, juxta leses exita acca,  tempuis aniruuti 503 3 3 3tior.
ad morum diurnum, sradullu quor?
Sexacest
49, 20,46; ad tempus diurnum, 24..  BS anuus medius, GraduuIm 360;
Guonta

## Folio 226 — 851387705:0246
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000246.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Laeeu
Cap. LL.V
Ouonra deem hic terminus prinus, qui futurus elt diritor, ex pluribus de
nominationibus constat; qno melius insticuatur dirilio, reducendus est ille primo
ad unam denominationem. In quem finem, numerus dierum 365, Per 24 (nu-
merum horarum in lingulis diebus) mulciplicandus, aeque adjiciendae insuper
horas (in quaeltione adjunctae) ut habCatIE numerUS ROrarunI in TeMPOTe ex
Polito, nempe 8765; Ilae horx in minuta prima reducta (mulciplicando per 60)
adjunctis inluper 40 expoliris; exhibentminuta prima, 525949: Elis autem mi-
nutis primis in secunda reduetis, (mulciplicando per 60,) et adjunctis insuper
26 exposiris, habentur minuta secunda 37556956: Flis denique in certia pariter
reductis, et adjunctis irem 46 habentur minura tercia [8934 17406: GuX CxpOsi.
tum tempus aequant.
Reducto aurem rempore annuo in horaria minuta terria; in eadem etiam redu-
cendum eric cempus diurnum; nempe primum in 24, ec deinde in 60 ter, conti-
nue mulciplicando, adeoque dies unus reperietur minucis terriis 5184000 _ qua.
Arque hac praeparatione tacta; constiatur quaestio ad hanc tormam. Si in
anno inteoro, hoc est in minuris terriis horariis 1893417406, absolratur inteper
circulus, hoc elt gradtus 360: in uno die, hoc est, minutis cerriis horariis 5184000,
absolventur quot gradus: Ft, operationibus Aurex regulae rite peractis, reverie.
tur, ne unum quidem gradtum incesrum uno die ablolri; sed i   uniuis sia
dus. DE ex adjuncto rocius procestus ty po palet.
3654, 51, 48, 16746.
24
2450
1d:: 36085. Quot:
24
+ 60
2440
X60
87651
X60
525900
+43
525948
60
31556040
f16
37556956
X60
18934,17360
L 16
28934174007. 5184000: : 36085. 9uo1.
360
31104
25552
2893447406) 2866240000 2893417406
Denique, ut inventus motus divrnue medius, ordinaria tractione detionatire
nempe gradi Orsa parcibus sexagesimatibus extibeatur; reducenda elt tractio
modo superius oltenso, mulciplicando Numeratorem per 60, et productum per
dacum denominatorem dividendo: atque hoc concinue quousque opus cric. Sire
etiam (quod eodem recidet) repetiris Rureae regula operationibus; Nempe, ut
Denominator tractionis datx, ad Tuum Numeratorem, lic 60 Denominator tractio.
nis quaelitae, ad Numeratorem quaesitum; hoc est ad numerum partium (exageLi.
malium loci proxime inferioris. Adeoque tandem mulcipliet calculo comverie.
iue mocum tolis dimenum mecium, elle, gracl: 8i o  Epal. 8 55, 81, 491
nllu prOXimC. .1
66400
100
8934406.
5284000
2866240000

## Folio 227 — 851387705:0247
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000247.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Cap. XLIV. REDUCTIONTBUS.
tde
a
2893427406. 2866240000:: 60. 55 211715
2893427406. 262773046:: 60. 8
613o13362
2893427406: 619043512 :. 60. 19 iaaos
2893417406, 7167680006:160. 87 lv is ps
Tocum autem hoc negorium, per parces decimales, leristimo acum, labore peragi
Tur. Posico nempe quod Solis curtus Annuus, per inteorum Lodiaci circulum ab-
Tolvatur, diebus 365(242555; mocus diurnus, unica dirisionis operatione peracta,
reperietur, Stad. 0p856463735 proxime. Duod calculus incicabit. a ares
ereu
B (IL ACISLSC IIS
365 142555. 360:: 2. 8 b85 6463735. M muibibhars cnsb
oOE S csehI ob org
ron l tuli1 365 P. +2555) 36000c0 (0.98564637 35) - 1. C B ceresiI cIBI (13
DYI iCL 
Flanc autem quaestionis cum proposicionem cum relolurionem in parcibua Decima
libus, tancundem plane ralere, acque operolam, illamr in parcibus Seraselimalibus;
Itacim apparebit, uibi oltendero mechodum hasad illas, et viee verlas reducendi. s
Reducuntur autem partes Sexaxesimales, (dquidem eadem methodo, mucatis Reductio
murandis, alix item quancirates pluribus denomipationibus delignata, D sad, partes partium
Decimales hac mechodo. Ouoniam, verbi pracia, quodris Minucumitieviium, est Sexagest
unius secundi, de quodris secundum, e unius primi, e quodrissminurum pri malium
mum s unius horx; ec hora quaeris unius diei inRrune, (in expolica quancirate.
d Deci
annua, dierum 365, HOr. 5, MIn. 40, 126, 46. 1) minura rercia qbii aequalia 2 Ut contra.
nius secundi; hoc est (diridendo, 45 per 60) secund. 07666 8c. adeoque 167
46, = 26(7666. Cumque hac Secunda, sinc cocidem Sexagelimae unius PrimI;
dividendo 16(76666 per 50; reperiCtUIK 26 17666 = 6]2794 _ propterea 49, 16
46, = 49, 26(7666 = 4012794 Fxsimilicer cum minura prima sint coudem
seragelimae unius hora; diridendo icerum pur 60; CTUNEMIn. prima 40 12794
=0(8213hOrX: ad eoquC 5, 49, 26, 45, = 5 (8213 hora. LC quia hora etE
dici; diridendo per 24 reperientur horx 5(8213 = d. 6 (2425; adeoque 3654, 5h
40i 16, 46 = diebis 365(2425 proxime. Operacionis procelliu sje lutiiccimus.
60) +6,0000 (0, 76666 ec.
60) 26, 76666(0, 279444 8c.
3654, 51, 49, 261346. -
ctorto
60) 49, 27944 (0, 821324074 ec.
d 20
:: 126 76666. l verinct.
49 2704444. prii. 56 30tI
5 821324074 hOEx.
24)5, 82132407 (0, 24255516975. dc. 365 (24255516975 dies.  vet oup. A
(CFP
Contra vero; Patres Decimales; ad Sexagetimales (aliatre hisce similes) me.
thodo concraria recieuntur. Nempe reliduas ubique tractiones decimales multi-
plicando per 60, (aur per alium, quicunque tuerit, qua la tracttonis denomina.
TOTCM.) Sic, verhiplacia, Mocus Solis diurnus,
Bract. 0(98564627 25, reducitur ad partes sexages  311 I (0. 9856463735
males 59, 8, 29, 3711. quam piosime. V2 est 1
adjuncta operatione patet.
Atque hoc pacto partes Seragelimales, alixequeY
pluribus denominationibus conttaties, ad Deciil
59 1387824+
32694461
616676
males reduci poltune; ee rursus (ubi opus fueric) 1n 37  (00056
hae ad illas. Ec quidem de Fractionum Reductionibis hoctenve
160

## Folio 228 — 851387705:0248
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000248.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
ERACTTONUM, CC
1
Ci A P.
De Fractionum, e Rationum Rationibus. Potius
operis fipiloeS. L cle  corines e siser on duit.
iet C relsires esst e MleC. horp vecee citc
Eque hactenus quidem, culm Fractionum, sire etiam Raciotum, (quipte
perinde est utra sub notione considerentur,) Additionem, Subductionem,
DeFra- Mulciplicationem, e Diritionem, variasque etiam Reductiones, quantum opus ri
etionum
Ratio-
numve
detur, cradidimus: Non eric opus, ut quae de Rurea Regula (ut LOguuntE)
aliare de Rationum aue Proportionum doctrina suxerius cradica sunt universali-
Pationi ter, jam icerum de Fractionibus speciarim repetantur. Ouippe nihil hic novi
occurrir de Fractionum, sire etiam Racionum, (Tunc, enim et illae quantitates)
rarionibus dicendum; praeter ca quae unirersalirer de Onancicatum simplieirer
(cujuseunque sint generiS) Rationibus jam Cunc cradita. LC quidem ue numeri
interri (puca 2;3, _c.) tunc Rationum Musciplicium (duplae, eriplae, eec) de-
nominatores; lie tractiones Z, 5G c. Tunt denominatores rationum submulcipli-
eium (subduplae, suberipla, eco.) reliquaque Fractioneo, 2, 23 3, 3, _c. aliarum
item ratiOnUI denOmINAIORES. P EF quidem, ficur dupli ad iriplum, puta 2 A ad
8A, eadtem est ratio quae denominatorum tuorum 2, ad 3. Sic, selquialterius ad
Tesquirerrium, 3 A ad 3 A, eadem est racio quae denominatorum luorum 3 ad 2
Trem subduptum ad subtriplum; (subselquialierum ad subtelquitercium, dc. ca.
dem omnino racio aique luorum respectire denominacorm.
ceFL ∞IIE
150; 131101 Dupl. TripL :: 2 R. 3 A: 12. 3.
ss sctr Subdupl. Suberipl:: Z A. FA::
Selquiale. Selquitert:: Z A. Z A::
:9. 8.
Subletquialt. Subsesquter: : 3 A. 2 A: : 3. 3: : 8. 9.
Tiem; Duxt. Tript:: Ouadrupl. Sextuipt.
Hoc est;
2
Et Subdupla. Subtript:: Subquadri. Sublext. 
Hoc est,
6:3
Arque haec quidem, cum apercissima sinc; mirum miti plane videtur Recen.
tiorum aliquos, doctrinam de Rarionum Racionibus, quasi jam plane novam ren-
ditare, atque d se jam primum in Machesin incroductam; cum Tamen AUTCK RC.
Sulx (ut vocant) praxis in numeris tractis, nil aliud plane sic quam illa de Ra-
tionum rationibus doctrina, eaque omnibus nocissima; (alcem si specierum sive
Symbolorum ulus etiam acttribeatur; quae non minus quanticates Trrationales quam
rationales respiciune. Ouique casdem plane lexes de rationibus addendis, com-
ponendis, diridendis, alternandis, ecc. in numeris tractis ralere docent, aique in
numeris inceoris; eadem opera docent eriam Rationum rationes caldem cubire le-
Ses, alque rationes Absolurarum quantitatum.
Torius on Suxerest aelhue ad pertectam Arichmetiei negorii traditionem, Amalytices do-
veris Epi. Ctrina. Ouam quidem statueram praesenri operi adjunxiste. Verum cum rideam
jam ultra quam sperareram molem crevisse; nec incerim polle corum illud ne-
socium ita in compendium redigi, ue huic commode Tubjunsi postic: Placuit po-
ius rem illam eoram hic intactam praeterire; adeoque ee Poteltacum Analylin,
sire (ne loquuntur) Radicum extractionem, quaeque huic conjuncta elt de R
dicibus Surdis doctrinam. Oux omnia aliquando tortan, modo Deus ita rolue.
riq peculiari scortim volumine absolrenda spero. Adeoque pedem hic tiso.
Ouxe hic LEcuIUa Crat pars allera, Algebram spectans, Propier alia quX inter.
cesterunc nesoria, non nili sero post plures annos prodiit.
N
BHS.
logus.

## Folio  -  — 851387705:0249
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000249.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
i
+
10
IDVF RSVS
AIACLLL MIEIBOMII
De Proportionibus Dialosum,
Tractatus Llentans.

## Folio  -  — 851387705:0250
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000250.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
MDE PI AA 1
Aies oli esscOIOqOI
itus t 
uiI
31
111
1m 

## Folio 231 — 851387705:0251
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000251.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Honoratistimo Domino,
lguiti Aurato, Vicccomiti Brouneker
de Lions, Baroni Brouncker de
Nercastle.
AM quincus axitur Mensis, Honoracistime Domine, Ex quo quam oftero
tractationem absolVerunE OperX. Ouam ideo Pibi pocius octerendam duxi,
quod probe ipse incellisas, cum quanti est ad Machelin rice incelsisencam
Rationes caltere, cum quam nihili est quem retucandum sulcepimus, Dia-
Sub id cemporis, cunt Claristimum quendam Virum de Machemarieum Oronix
conrenire contixerit, ex Dania oriundum, (qui Aneliam cransiens, OXONIX nOS
invilere ee Calutare dienatus cst,) facto de hoc Meibomii cractatu sermone, in.
cellexi, non libi soli sed s D. Auzorio cuidam, Callo, hanc novam placuiste
doetrinam: Lc quidem eo usque ut rix inter se conrenerit, cujus illud inven-
cum censcacus, due quo vulsanre primo reseiseat Orbis. Ouipue cum AuTOriUS
scripcum suum edicurus in Belsium misiller, idque Meibomio mature latis inno.
tuerit; hraud aequo animo culit trie, ue Tub Auzocii nomine nova haec prodiret
doctrina, quam sibi ipse rendicarie, libique jam ante aliquoc annos originem de-
buille contendit: Er tieri quidem pocelt uc non minori zelo ersa prolem luam,
quam ec sibi genminam tuisse prae se culic, altectus fuerit AuZOLIUS: Quem parcum
tuum non minus deperille, pucandum est.
Scuc sic, Meibomii Calcem Dialopus prius prodiic, _ credo, adhe FoluS.
REx eo aurem sempore prodiit etiam, salcem ad manus meas pervenit, Laverii
ainscombe, Teluira, Fractatus, hoc iplo anno edirus: qui Gregorii a S. Vincentio
cecrasonismum labilire Trultra Pacasens, ejusdem falrem de Rationibus et PrOPOr-
tionibus doctrinam tacis, advertus Merbonium, defendit; sed et Auzocium ctiam
ouotneor (cujus ille OpuS MS nactus Crat) junctim retcHIE.
Nos aurem, qui cum Auzoci opus non vidimus, cum Ainscomii Cusceptum
ignorarimus, Meibomii Calcem Dialosum, quia nescto quid ee Novi de Magni
prae le Terre ridebatur, examinarimus es returarimus.
Onam aurem jam tum absolverant operae, nunc serius ca prodic in publicum
Returacio; partim quod cui subjunsitur opus nondum perfectum crat penicusque
ab operis absolutum; parrim etiam quod interea temporis occurrebat LTobbius
secundo caltixandus, ob conritia ee maledicta qua scripro Auglicano in ne effu
cirit ob Flenohum neum quo iplius Ceometriam retutareram. Oux quidem
Hobbii caltisatio, cum me cum Typosraphos (qui, cum vel minime impedici
Tune Caris carei) aliquandiu occupatos renuit; ne hoc cum opere praecedente ci
tius prodiret, in ipso fere parcus momento impeditum.
Aique hactenus quidem expolita praelentis operisratione, cactre poltem, neque
ulterius Dominarioni Vestrae molestus esse; nili quod alia nonnulla sine, quae li-
cet a prasenti negorio lacis sinc aliena, nequaquam camen aliena Dui Vellra,
Teripia Mea non modo lupra quam pla mereantur aeltimare, sed e rimari cu-
ritius, alque etiam ulera quam iple secerun reuta nostra promorere. ITinc
factum ett uc quancicaris Paris quidem irracterais, quam ad Fecrasonismum meum
code explicandum designandam habi, praeter eam quam ipse extribueram
delignationem, aliam adhue invenic D. V. accuraram quidem, et subrilistimam;
quam ad mentem cuam, quam pocui proxime, ad prOP. LOY. Rithinet. Insinit.
expolui. Deque hoc concencus, ex principis, poltuio, quae ad Cucusi quadracuvam
detiguan.
dus Meidomu.
quaeque hie loci minime recicenda duxi.
Dienata c D. V. Pro ea qua polles humanitate atque in me benerolentia,

## Folio 232 — 851387705:0252
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000252.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
A Y
aliquando discet Orbis Lireratus.
Verum aliud est quod impraesemia.
rum actiue dicendum habeo. PeoDo-
Sitione 4 (cui aHtinis et prOP. 49.)
tractatus mei de Sectionibus Conicis.
tranc cgo Propolitionem, In Parabo
rocide Cubicali, Diametri sunt invi-
cem parallelae; e cujuscinque dia-
metri ordinatim applicatae, sunt rectae
in ipsus vertice contincenti parallelae:
analyesce examinandam propolueram.
Tentata aurem AnaIVES, in hane de
sinit Aquationem Cabicam, 0dg
27 d8: quo lesirime, line
ullo paralo Gilmo, vel arecocuctenot, per-
rencum elt. Concludebam itaque,
(quod quidem inde omnino conclu-
dendum videbatur,) Estius A qua-
tionis radix q si quo modo reperiri po-
terit, monstrabit quaesita puncta D.
D; adeoque propositi veritatem. AE.
que hac assertione hypothetica con-
cencus, (adjuncta quae huic hypo-
ChCHI conreniar demonstrarione Syn-
checica,) ulceriori disguisirioni (ne
impossioilis planetius  cat  mnlat; adeoque et propolci imposti.
Bilitatem: Vel Caltem Paria, nec utrO-
bique eadem; ut non aequales sint pD
sursum; eo pD deortum, sumendae;
adeoque propolici Falfitatem.
Ex Co tempore (monente quidem, ex
Gallia, Sed sine ulla in contrarium
demonstratione, D. Roberrallio) pro-
votitionem illam accuratius ad exa-
men rerocans, inveni quidem, utut
verum sit quod hypochetice attirmare
ram, propositionem camen haud ita
veram cAC.
Et quidem quod tine Demonstrario.
ne innuit D. Roberrallius; Tu justa
demonstratione evicilli. Recenta (1.
quidem constructione nostra; lumpta-
que ea parallela qua per verticem A.
crantie, (ut puncta C. H coincicant, adeoque et DO superiora) rem lie abtolvis
breriter.
est ACC= 3CE) 3aP.
Et A p = = AD. (adeoque p X. DO:: 1. 2.)
FreOAP = EAD. (adeoque P a. DO: : YCL. V66: : 2. Y56.)
Sed pX = P a.
isset ideo 2 = YC6. Quod est impossibile.
Hoc aurem cum non aliunde erenire posse videbatur, quam ob radicem aequa.
tionis nostrae quaerendam q. impossibilem, vel salcem rariam: Vrrum horum esset,
inguirendum purabal. Ouamirisenie nulla omrimo sit aequalio cubiea qua fal.
rem
designandam achibueram, talem etiam quadraturam Fyperbolae deduxisti, quam
non absimili methodo designari posse docuilti: quod ex re candem, uti spero,
hruic racare tum licuerie,) superledebam, nec eousque examen deducebam, ut
oriis aliquortum temporis ex improviso suverrenientibus impedicus quo minus
inquirerem Numquo modo possit ejusmodi radia sineularis exhiberi: An potius
a1
leu
li
con

## Folio 233 — 851387705:0253
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000253.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
E D IC
cem aliquam non habeat radicem possibilem: actamen incerea tieri polle putabam,
uc radicum illa quam noltrum exigat negorium impollibilis tOret. Si autem nON
impollibilis, Talcem uc raria lic, pucandum ridebatur; ee propierea propolicionem
expolicam haud esse veram, uepore quae supponic lineam D D bilectam in P, (a
deoque ec inscriptam OO bilecari in X:) quod sipD Cursum, ec DD deortum
liumenda (quarum inditterenter urraque radice q delignatur) non sine invicen
aquales; neque erir DD bisecta in P, nec OO in X; adeoque neC Vera CTIE prO-
DoTiio.
Radicem itaque illam more meo inquirendam suscipiebam; ue riderem num
in asraror exirec; rel aliud aliquod quod nondum obterraveram mylterium pan-
derec. (Ouippe non raro concinsic, uc ipsa aequarionis relolurio, inexspectacum
quid ex improriso prodat.) Ouod lic aggredior.
A. guatio ex POTita ddg2 = 93 = 27 d’ 
Tire 93+9dg2 = =27 d8,
Tubsticuro r ≠ 3 d = 9.
adeoque q3 = r 3 +9 ar2 + 27 d. 1 + 27 a3
e =9d92 =
Frit 93 + 0dg2 =r
+9dr2 -54d2r + 82d3
27 a2 r + 5443 = = 27 d2C
ire r3 -= 27 d2 Y = + 27 d’8 F5443
Et quidem in catu cuo, (ubi C. A coincidunt, adeoque 8 = 2 d,)
adeoque r3
742
27d8+5443 =00
_ r = Y 27 d2 = 3 d
adeoque 4 = r F3d = 3 a V 3 F34
Atque hinc quidem concludendum Racim videatur radicem q, non utrobique
candem elle; sed quoad punctum D interius, PD = 9-= 3 dV 3= 3d; quoad supe
xiUIS VetO, PD
=9 = 3 a V 3 F 3 d adeoque rectam DD non elle bilectam in p
Acque id ipsum concludi etiam posse videatur, ex aequatione prunum provolica
Dd92
93= = 27 d e: cum enim lic cum 9da
cum 9dq2 +G
=27 d8, non polie hoc omnino tieri rideatur, nili vel lic g =0, vel non eadem
ucrobique quantitas.
Verum lubricus adhue est hic locus, nec ei temore tidendum; quique mihi jam
semel impoluic, cauce prospiciendum est ne nobis imponat denuo. Fx quidem.
veue id rerum sit quod concluditur, non tamen inde tam Facile concludi porest.
Vorobique enim consequencia haud Pacis tirma est, nec nisi aliunde sumpris indiciis
Ltabissel Poretl.
Ls e
etle negacira, cum enim sit ea aequatio quadrarica, vel ples nec omnino atte-
Non enim ex eo quod licr = 27 d2, cacim sequicur ponendum eAer == 3 d y
cum non minus elle pollicr = = 3 d V 3. Ultoris cuim polito, erier
(Nam radix quacleati aftirmatiri, porest quidem este altirmarira; sed et porcst
Cla, reminam tamen propterca radicent sud aluac alimativam, alteram nega-
cra: vera aurem lumenda sic, tanquam praesenti negorio accommoda, an etiam
MMIICrenter utravIs, non ltacum ex ipla aequatione resolrenda, sed ex aliis pri.
marui quaesici circumstantiis decerminandum exic.) Er quidem viraque hic loci
alhibenda lic, led nunc haec nunc illa prour res postular, ue intra rectius pace
lulpicandum erac, quia ex aequatione expolica duplici huc deventum est. Cum Sic
itaque r = = 3 d V 3, quidni dr = 3d = = 3 d Y 3 +3 d, vel r= 3 a = = 3 d V3
F3a, uc nempe radix surlum es deorlum aeltimanda, quod mucata signa inct
cant, lic urrobique vel eadem summa vel eadem ditterentia quancitarum 3 d V 5,
ractis elt genuina, (ueut non plane intemteter d promisene utraris pro libicu
bi abi cocum quod hie latet mysterim CSPOluet.) atque hoc quidem eo magIS
_ 3d. Ouid enim hic staciete H Ho HI eX Collatts atcure sei circum.
LlanCIS, eoque quo huc derencum est procestu, aestimandum elt.
Sed

## Folio 234 — 851387705:0254
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000254.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
P D
IC A Y 1O.
Sed e altera consequentia non minustubrica est. Non enim ex eo quod sic
Cum 9d42- F 93, cum 9 d9 -93 eidem quancitari aequalis, concludendum cst.
quancirarem q’vel nihil elte, vel non ucrobique eadem; cum ad hoc nil aliud re
quiratur quam uc alibi altirmetur alibi negetur eadem quaneitas, (quod iptum in
praelenti quaeltione exspectandum masis quam metuendum rideatur;) Ntai, ver-
bi gratia, polico g = F 2d, erit 9dg2 =93 = 44 43. Cum enim lic ucrobique
9dxA d =36 a perinde erit Aire addamus Y 8 d = C: f 2 d, lire auteramus
=8d2 =C: -2 d Non incerim isnoro quid huic replicationi solide reponi
Pollie, sirem prestius perpendamus, (nempe, radices utrobique aftirmatiras invi-
cem elle comparandas, es aequales elle debere ue conlter proposicum; non aequa-
cionis unius attirmatiram, negatira alterius;) Nec enim negamus aequationibus
illis id subelle quod rem prasentem decerminet; Sed accuratius adhue illas con-
templandas esse dicimus, quo illud quicquid sic eliciatur. Ouod d nos facturi
TUmuS.
Oc itaque de praesenci negorio rectius sacuatur, separabimus, quas tactenne
conjunetim traccarims, duas aequationes; nempe, 9d43 + 9.
relpicit pD deorsum lumendam; e 9 dg
=27 47 e, qua
= 27 dS, quae relpicit DV
Tuxlum lumendam, (ur ex provolica quaeltionis analsAliquet;) Ec quidem in x
quatione illa relolvenda Donitur r - 3 d =q. in hac r. f 3 d = g Virobique
aurem (polito 5 = 2 d) provenier= = 27 a, adeoque r = = 3 d V 3. FEprOP
terea illIC r - 3d = g = = 3 d V 3 - 3d, hc vero r + 3
du
F 3a. Hoc cst, si de pD deortum quaratur, dux proveniunt radices, aliera
altirmatira, F 3 aV 3 ==3 d, quae propierea rerera deorlum prout luxponitur
tumenda elt; altera negacira, = 3 a V 3 = 3d; quae propterca in parcem (ui-
Dolitioni concrariam cendic, (nam deortum -3 d V 3 = 3 d, tancundem est ar
que Curtum F 3 d V 3. F 3d.) Contra vero, li (jurra secundam aequationem
quaratur de pD surtum; duae lune et hie radices; altera aftiematira = 3 d V Z
=3d, quae propterca revera turtum cendit; altera negariva - 3 d V 3 = 3 d
quae, in contrariam partem exponenda, rerera deortum rendit; (quippe tursum
=3 aV 3 F 3 a tancundem est acque, deortum f 3 a V 3 - 3 d. ) Adeoque
utramris aequationem resolvamus, perinde omnino est, quippe exdem utrobique
proreniune radices: cum hoc solo diserimine, quod quae in una aequatione radix
est altirmatira, eadem in altera elt nesatira, ee contra. Vrroris modo, id con-
Itac, pDturlum Cumendam, esse f 3 d V 3 = 3 d; deortum vero, = 3 d V3- 3d
adeoque nec DD bilectam ese in P, nec OO in r; e propterea a r, diametro
AP parallelam, non e iplam esse diamerrum.
Aique hactenus rideamur aequarionis nodum laris Tolrisse. Ne tamen ca de re
nimis securi simus; en nova stacim hinc prodie disticultas. Annon enim quam
hactenus considerarimus recta DD, eadem plane elt, in catu d ce posito, acque
A D. Ommino, inguies; quippe, cum inseripta OO per verticem transeatu eo-
dem ipso vercieis puncto contunduntur, cum punctum Ci, cum etiam puncta
D, O, Superius lumenda. Bene olt. AC, inquatus erso recta DA, eadem est ac-
que pD Turtum sumenda. Ouidni, inquies, estet  FrCO, inquam, (utut de PD
deortum sumenda securi limus,) erie Calrem sartum DA  = pD = g =  3 aV
3d: id enim inveni modo docet aquarionis radix, Patis, uti videbatur, Ctacu-
minata. Ommino, inguies; de quidui AC, inquam, et A P = 3 AD = 3 du (H0C
enim altimie cua demonstratio; acque est veristimum:) li itaque lic eadem
DA = f 3 aV 3 F 3 d, quod jam obcendi rideatur; erit 3d = 3 d V 3 + 3 d
hoc elt I == V 3 Y 2, quod elt impossihile. Videntur itaque necdum omnia la-
eis incer se cohierere, auc ex rocis nostris succedere. Ouippe aliud adhue latet,
quod forre ne lulpiceris quidem, mylterium aelhue detesendum.
1 1151
Dum hoc 280; superrenic secunca tua demonstratio, Ouae, rem ulierius pro-
secura, non modo oltendit Rectam an quae inseripram AO bilccar, non esse
diametro A P Parallelam; sed, ipsi aliquando occurturam, ipsumque tandem con
curtus punctum C: adeoque e veram diametrum polliceri videatur; Paliem C
ulla omnino recta, ad punctum a perrinsens, iltius eurra diamerer esse DoHIE.

## Folio 235 — 851387705:0255
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000255.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
aE DLCA F1O.
In Paraboloeide Cnvicali A cen
duoniam est AP. PF: : F. 3.
Ereo  PR. Pa:: 2. 3.
t posito PR. DO: : F. a.
Frit Pa. D0:: 3. 4: : 2. 31.
Ruia vero Pa. BO:: YCAP. VCAD:: YCPR. V5DO.
Erit Pa. DO:: VCF. VCa:: F. VCa.
Et propterea = a = V ca.  a = 3 V Ca = Vc27 a
adeoque a = 27 a. a = 27.  a = V 27 = 3Y3.
Zdeoque Pa. DO:: 3. 3V3: : 2. V3.
Et AP. AD:: PR. DO: : F. 3V3.
POrro; Duia AP. AD: : X. 3Y3.
srsO AP. AP:: T. ZV3.
Et AP. Pp: : T. 3V3 - 2.
Et quia P a. D:: T. V3.
sireo Pa. PX : : L. ZV3
Tum quia S a. p X : : SX. pC.
hoc est Pa p+. B+:: P p. pC.
ergo F = = Y3. 313: : 3V3 = +
Edcoque AP. PC. . 1. 7 - 113
3... Pp. BC.
Et AP. PC:: L, 3Y3 -+ + 2= 2V.
:: x. 2
Et proplerea AP. AC: : 1 = 313. 13:: 2. 413+6.
28
2

## Folio 236 — 851387705:0256
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000256.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
e
Et simili demonstratione, in Paraboloeidibus reliquis, adhibita; reverietur.
In Parabol. 1 Quadtratic. 1 Cabic. I Biquadrat. 1 Surdesol.
P0. D0::
AP. AD: : I
F. 2
F. 2X2
+.
2. 3
F. VC4 2. V995
F. 4VC4;
F. 5V9q
ICC.
AP. AC: : (2 - 3 22. 3225- 313. 2V3(2 2Vc4. ZVC4 2- 3 1995. 2 V995
Acque tactenus acucistime de Tubrilissime procedie Dominationis Vestrae demon-
Stratio. Oua quidem haec duo evincis; Tum rectam aX, quae inscriptam AO
bisecar, diametro occurrere in puncto C; (quod quidem aliud atque alind clt
AC:: F = =V3. V3.) Tum, si omnino ulla sic recta quae ad verricem a dia-
meter esse pollit, rectam a C eam esse, ut qua inseriptam AO BisecaY
Ac incerim, cum ad Diametri rationem spectet, non modo ut unam aliquam
ex inscripeis bilecet, sed et omnes cidem parallelas: quaerendum insuver restat,
an de hoc faciat eadem AC. recta. Fieri enim ommino potest, non obstante jom
allata demonstratione, uc nulla omnino recta id faciat, led linea porius aliquo.
modo incurrata.
Hluic itagne ut Patisfacias serupulo, adeoque totum absolras negorium; ad.
juncta certia demonstrarione, oltendis; non modo non rectam illam a C, sed nec
ullam quidem rectam, imo nec (uti videtur) regularem aliquam curram, dia-
mecri hujulmodi vices supplere poste. Nempe hoc modo.
In Paraboloeide Cubicali (erecta) 
Fst AP. PL.. L. b.
Adeoque PR. AR:: b. V: b + +
Ft, quia PR. P a :: 2. 3:: b. 3b.
Frit AP. P a
38.
Ft, quia P R. AR:: BP (= P a). BC: : B. V: B- 2: : 3b. 3V: B2+ 2.
Erit AP. BC:: F. 3V: B2 + 1.
FF Gua P R. Pa :: T. 3.
Frit P a . l.: 3. 2.
Fit B c. a:. . 2.. 3. I.
fireo, qua B e.  d.. L8. 4 d. : R d. 34 = L a - p1.
Fit P a. p ∞:: F. ZV 3. C In derotonsit. Pt abbe.
deoque
1
 l
e
bV
1et

## Folio 237 — 851387705:0257
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000257.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Adeogue P d. 8
Frit B0. =
+ -
 st B a BX:: 2. 2V 3
Freo P a. PX: : 2. 3V3 - 2:: 3b. 3b V 3 - 6b.
Taeoque PA. PZ:: T. 2b V 3 - 6b.
Tum, quia P R. A R: : C Y = P X. GF:: b. V: B2 + 1.
:: 3bV 3 -- 6b. 3V 3 - - 6: in V: B2 + T.
Tdeo AP. CF: : F. 3V 3 - 6: in V: B 2 + X.
Freo AP. BY (= BC + CF):: 2. 3V: B2 + 2: pl. 2V 3 =6: in V: b. +2
:: 2. 2V 3 - 3: in V: B +. 7.
Adeoque A P. C0(= B F F GF) : : 2. 9V3 = 9: in V: B + X.
Tum, quia PR. P A: : BX (= P ∞ F PX). XF::
:: b. 2: : 3b Y 3 = 3b. 2Y3 -3.
Firit AP. XF:: T. 2Y 3
Et AP. PD(= 2ZF): : 2. 9Y 3 -6.
Et AP. AD:: F, OV 3 = 5.
Et quia AR. P R: : 50. D0:: V: b2 + 2. B::
:: 9V 3 = 9: in V: B2 = F. 9b Y3 = 9b.
Areo AP. D0: : F, 9bV 3 -9V
Sed est Pa. D:: VCAP. VCAD: : VCT. VC: 9V3 -5.
:: Yc27b3 (= 33). Y0: 24363Y3 - 13563.
FrsO AP. DD:: 2. Vc: 2433 V3 - 23563.
At vero, V c: 243b3 V 3 = 235B: est minus quam
ObY 3 = 0b = V 0: 4374 33 V 3 - 7290b3.
Nam 24313 -235 =4374V 3 - 7290.
B0c est 243 V3 = 4374V 3 - 7155.
hoc est 243 V 3 +7255 =4374. V3.
Boc est 7155 == 4T3F V 3.
hoc est Y 5FT94025 =Y 52Z95483.
Freoe DO minus quam D0.
Adeoque punctum medium inseriprae BC, non est ipsum F punctum, sed aliud
aliquod inter B8 T.
Sed neque medium inseripiae F M, est in puncto C, (sed inter C. _ M:) cum
enim X F minus sit quam L. M, erit _ P. C minus quam C. MI.
Non ilaque vel recta a. C, vel quidem alia illa recta (quippe nulla alia recta tran-
sit per puncta a X.) diameter esse potest ad verticem a
Sed neque (ut videtur) recularis curva; sed quae rectae a. X T C occurrat tum in
cum iterum in X, ee postea inter Z ∞ C, (incidit enim supra T, versus B: et
infra punctum C, versus M:) adeoque rectam aC. saepius secet necesse est. Dua
cum admodum irrecularis videatur, uspote cirea rectam a. C. tortuose incedens, non
videtur operae pretium in illius naturam stuchiosius inquirere.
Iltius autem currx (qualiscunque demum tueric) Sicus cs hujusmodi; Nempe,
Rectae a C occurrens in a, hinc subeusrendit ad ulque  (punetum medium i
Scripia per verricem); cransiens autem rectam in r, deinceps Tupra incedic usque
dum praecerirerit punctum T; cum demum non procul ab illo puncto Y rectam
jam cerrio cransiens, demceps deortum cendic; neque postea vel rectam illam a C
aucinsic usquam, vel etiam diametrum A P. Duo enim arsumento concludic cua de
monstratio, ad punctum C non acinsere curram illam, eodem concludi poterit,
neque ad ullum aliud diametri punctum percingere, nedum ad cam rectae a C. PAr.
tem quae est ulera C.
De aurem id gracis dictum videatur, quod, ab a ad = (punellita medium rectae
per verricem inseripia) curra subrus rendat; tacit demonstracio tua quarca, quae
hoc
D E DLCA FF

## Folio 238 — 851387705:0258
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000258.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
F D IC A F
C
hoc erincie: Obi supponitur recta a x non jam gruros incalere, sed ad dia
metrum convergere, eique tandem occurrere, ut in figuris duabus praecedenci-
bus, in puncto C. Punctum aurem D interius (quolehaucundem deortum d p di-
que DOi O, quod inra curram cadere erici c deouall.
stare supponitur quantum inde distat D alterum Turlum) appello, distinctionis
erso, S. Eique ordinatim applicata sC, occurrere supponitur curra in C, rectae
Sampeo AD = 5 AP. (Aaboque P D = 8AP.)
Erit Pa. DO:: VCAP. VCAD:: VCZ. V05:: 2. =
Cumque sit P a. DO: : PF. DC: : 2. Z :: 3. 3.
Sitque AP. PF : : Z, 3.
Eris AP. DC: : T. 3
Et AP. FC(= DF = PD = DC):: c. (3-8 =2 -18.
Tum quia AP. PC: : X - = 13. 2Y3 = 2: : 2. 4. V3 + 5. (ut sup. demonst.)
Erit FP. DC:: 3. 4 Y2 +5.
Et AP. FC(= F P F PC):: T. 4V 3. + 8.
E quia P C. P C:: a C. a X:: PC. PP: : 4V 3 + 8. 8::
:: 4. Y 3. +5, (3 in: 4 V 3. +5
Erit AP. PP:: F
25Y3 - 20
4V 3 F 8 t,
15V3 = 10
Erso AP. DBC = DP F PP):: 1. (8 + 
Ft AP. D5 = 2pD: : x. 25Y3 + 18
10
(3
Ft AP. C5 (= CD + D8):: x. (3 f 25
2
0
32
TE
15 3 f 10
15V3 +42
linc
ul 1
11
pu
vid
v
habene
B12
102
e

## Folio 239 — 851387705:0259
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000259.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
D E D F
Et quia CD. 68:: DO. 50.
Freo Pa. 50:: 3. =1
an tem Pa. d:: VCAP. VCAS(= Yc: AL
:: YC2 = 2. Yc (3 +
Sed est r. 15Y3 + 20- 5Y3 + r4
Eoc est, 3840 Y 3 + 5120.
4096
513
1033151 3 3don
3315Y3 +5894
4096
Sive 3840 V3 + 5120 = 3315 V 3 + 5894.
THOC est, 525V3 = 7
Vel Y826875 = Y599076.
Freo S =
Adeoque  X co = +O.
1:
Ft propterea punctum visectionis inscripiae est infra punctum n. duod erat
ostendendum. Pr smilicer oltendicur de alia quaris inseripia, quae luperior sic
ea quae per verticem cranHIE.
Cumque haec omnia linc lexitime demonstratu; Ouid interim, inquies, de A.
quacione nostra dicendum eruc, qua demonstrationibus hilce cuis lubreeri plane
videatur. Ouamris enim verobique conreniat propositionem examinandam fal-
Cam esse: AE ramen de sicu puncti D superioris, pugnare mucuo rideantur. Ouip.
De per Aquationis nostra radicem supra inventam, esec p D Superius = 3 d V:
= 3d; at in demonstratione cua prima, habetur p A (hoc est D D Tursum) = 3 a
Tiem cum sic P D Superius = 3 d V 3 f 3 d, e pD interius = 3 d V:
3a
esset ucriusque 20oregatum, hoc est, recta DD =-6 d V3: ac in demonstrarione
cua secunda, est AB (hoc elt, in praesenti catu, DD) ad AP, ut 2 ad 3V3:
adeoque cum sic A P = d erit AD = DD =- 3 d V3, non 6d V3
Ouid itaque dicemus; Num utraque vera csC: (cum Analysin nostram, cum
demonstrariones cuas ) AC qus illud Heri pOsSIE Ciguidem annsu ouvanndcdci. Num
itaque vel 12
vel illam falsi accutabimus  acque alicubi crracum elle dicemus
Sed neque videtur hoc dicendum. Fccubi enims Num isicur dicemus candem
(quod tamen uc dicam non nili extrema necestitare adisar) Analyscos leges non
tatis raras habendas esse: adeoque Analyticen ipsam (quod taciune nonnulli
iptius parum snari,) acculabimus, quasi quid Faltum doccat? AC ab hoc ego
D. V. lacis abhorrere non dubito; qu’ippe quo Analytin accuratius nemo, nemo
Subeilius, exerCCL Fateor equidem tieri nonnunquam posse (quod tamen nemo
quem scio Analycta hactenus prodidic,) ut in casu impossibili, non eam ctacim
deceeat analysis impossibilicarem, sed rem quali possibilis eset solvat; et vice
versa, videatur aliquando analy lis in â suuiamr exire, quum incerim res exposita non
sic plane impossibilis: Ac nihil ego tale hoc in calu dicendum aurumo.
Ne aurem cgo remere illud Fallus ridear, et cui Tu tortan hand Ctacim alten-
ciendum esse puraveris; non abs re FOrE AUTUMO, UcuE mipesjor videatur, corum
utrumque exemplo indicare.
BD = 4 PCtatuT aureM, I d vertice C demictatur ad balin per-
bendicularis C A, quodnam illa balis punctum detignet; live
quanca tucura sic recta BA. Analylis Sc procedit. EA C BC
Y3
et UapPbnatur Lerangulum cujus duo cruld  BC = 2, lD = 2, _bal15
LA9=
q = (CD9 = AD9 = CDC
CD9 - BD9 F 2BDx B A = B Ag. Adeoque CB.
CiD9- BD9. F 2BDxBA. HOccltCB9- CD9 + BDG
=2BD= BA. Ideoque CB9- CD4 + BDC
=BA.
= 28 = B A. quod crat inguirendum. Ouin casus aucem ille sit impostibilis, ec
qui

## Folio 240 — 851387705:0260
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000260.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
D E D IC A X IO
quis dubitet: quippe ponitur Basis urrisque simul cruribus major. Tentata la-
men analylis non secus procedit quam li caliis ellet maxime pollibilis.
AF alceram concessionis parrem quod actinet; Nempe quod Analylis aliquando
ad quid impossibile nos deducere rideatur, cum incerim casus expolicus minime
Tic impollibilis: Duo hoc rectius oltendam, opus erit de Aignationibus Cubicis re-
Tolrendis pauca peamictere; qua tum huie negocio, cum eriam inquilitioni no-
Etra primariae subserriant.
Aquationes omnes cubicas rel tales esse vel ad tales salrem reduei poste, qua
non nili sub Radice (ue Loguuntur) lint aftectae, nocum est. (Ouipre li Tub
quadrato lic affecta aequacio, sradum supremo prorimum tolli polle docuit Cai-
celius, acque ane illum Vieta, Hlarriotus, aliigue.) Poltune autem illa omnes
vel ad hanc FOrma A C - BG A == F DC, vel ad hanc reduci A C H B9 A = F DC.
Frujusmodi vero ceo Aquationes Cubicas, adeogue solutu difficiliores, me-
mini me olim conacum (exercirii graria, postquam Analycices rudimenta imbibe.
rum) ad quadraticas reducere. Idque hac methodo.
POTitis, Z = A f E. A = A F. 7 = AC f EC.
Fric, Zc = AC F F C. F 3A AF F 3AP. F. = Z, + 3A. 2.
Adeoque, ZC = 3 A. 2 = 7.
Tcem poticis X = A = F. ∞ = AC - F. c.
ErI XC = A C - F. C - 3AAF, + 3 AP. L. = ∞ - 3A
Adeoque ZC. f 3 A. X = Y.
In Aquationibus itaque cubicis ad hanc Formam consticnris, Z C = 3 A. Z = 7
animadrerrebam, squationis radicem , esse summam duarum quantitatum A, L,
quarum rectaneulum A. (tertia pars coefficientis intermedi termini;) e, cubo-
rum aecrecatum g, terminus abselutus.
Trem, in Aquationibus Cubicis ad hanc Formam consticutis, Zc f3 A. Z = y:
est aequationis radix X, duarum quancicatum differentia, quarum rectaneulum est
A. (tertia pars coefficientis:) e cuborum differentia, Z terminus absolutus.
Adeoque redacta est illarum Aquarionum difticultas, ad hoc problema; Daris
duarum quantitarum, tum Rectansulo, cum Caborum summea vel differentiam ipsa-
rum quantitatum vel summam vel differentiam aul ipsas etiam quantitates in-
vestieare. Ouod lic etticitur,
E
A. C
ErgO AC
let AcC+ A C = 7 AC.
Sire ZAC ACC == MM. c.
Similiter
Adcoque
A
A. C
= A C.
FC
F C t. CL. = AC F e. C.
Et ZF C= F eC = A. C.
le
Retoluris icaque aequationibus (quadracicis quidem, sed ex radice Colida ortis,)
ZAC - RCC = Ac = Z L C -LC0.
tcei
Eric 27 = Y. +24- A
l
adcogue AC. 2F F Y. 1Z4 AC. 
Yc. 32 = Y: 24- A.

## Folio 241 — 851387705:0261
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000261.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
DE DTC A T10.
Ad quam regulam exigenda sunc quationes Cubicx hujus IOKMIa L. C = 3A. L
=7: (vel etiam hujus ZC - 3 A: Z = - 7, qua ab illa hoc (01O aMHCL
quod quae illic altirmatire exponenda sint quancitates L A + F, =Z; hic inter
Precandta (inc negacire, - A = F. = - 2.) Duam, Reculam primam jam ap.
Dellabimus.
Eodem modo, cum sic A C - C = AC = FC = Y.
FPIE ACC = A. C = Y AC.
sre ACC = AC = A. c.
Tcem
R.C = E. C = AC - E. C = Y.
FC
_t A C - F CC= ~FC.
hoc est R CC f VFC == A. c.
Retolucis icaque aequacionibus
ACC = ∞AC = AA. C. = ECC + XFC.
Fxic V: = ~9 + P. C: +ZX: =
Adeoque Yc. V: 3~ 9 F A. C: + 3 3. 7
= Yc. V: 4 4 4 + A. C: - 3 .5
= A -- P = _
Acque ad tanc regulam exixendae sunc hujus Formae Zc f 3 A. X. = +. c7 x.
quariones omnes. Vel etiam hujus Xc F 3 s. X = - g: cum hoc (olo diseri.
mine, quod cum illic quancitas major A, sit actirmatira; minor F, negatira; de
Z = A = F quanritas astirmatira; hic, major A erit negacira, minor F attirma-
cira, adeoque d X = = A + P. quanciras negacira. Atque hanc jam appellabimus
Reculam Secundam.
Fxemplum poslterioris Regulae hoc esto Zc F 12Z =63. Hoc ct, inquam,
XC + 3 P. X = ∞. P 1BO 13 = 4 = _. _ =  =F. Et AC -G4 = AC -FC
= ∞ = 63. Adeoque ACC = 64 = 63 AC. vel ACC = 63 AC = 64. (EF S1.
milicer = = Ac. e = =FC= AC = F. c = X = 63. Adeoque 64 - F. CC
=63F. C. vel 64 =FCC = 63E C.) E1GO Y: 31e3 + 64: + 53 - ae23 + 63 -
(5. 163
564 = AC.
LF = F. C
EL proprerea V c64 = Y CT = 4 - + = 3 = X = A = F. Vel eriam, (si prin.
cipio policum eset =63) mucatis ubique sienis numeri 63, Proveniret = 4. f +
A +
Vel sic (immediare ad regulam exigendo) Aquatio est XC F 12X = + 67
ErgO 3) 12 (4 = A. adeoque 64 = A. C. RF B3 = = ∞. adeoque 3553 = =  9. e
PrOPtCrCA,
v: 1 X4 = A. C: 4 , g = v: 33 +. 64: +03 - 564 = Ac.
Adeoque = V c64 = V cr = = 4 + 1 = +3 =X
= E C.
Exemplum prioris hoc esto, Z. c= 122 =65. Hoc elt, inquam, 2C- 3 A. 7 = 2.
Ereo 3) 12 (4 = s.   = F. et AC. + G4 = AC + P. C = (7, =) 65. Et ACC
AC
+64 =65 Ac. vel 64. = 65 AC = A cc. (de similicer  + F. C = Ac + FC=
=Z =65. adeoque 64 = b5F. 6 = L.CC.) FreO e3 + V: 12ed - 64: = 13 + y eve
=57t 13
64 = Ac.
Ac.
LF C.

## Folio 242 — 851387705:0262
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000262.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
D EDICA L1O.
Et propterea V c64 F V CZ = 4 F F =5 =Z. Veletiam, (s principio po.
Ticum cAet =65,) mucaris ubique sionis nueri 65, prorenilter = 4 = F =
Vel sic (immediare ad regulam exisendo:) Aiquacio propolita elt L. C = +2.2
==65. Fr8O3) 12(4 = A. adeogue 64 = A C. FF Z = E7. ade0que 4223 =
229. Et Propieiea
22+ V: 249 - A. c: = 3 = V: 125. - 64: -
E = E.C
Adeoque = Y c64 = Y CF = =4 F L = = 5 = Z.
Postquam has eso Regulas inveneram; nec illis simile quidquam apud eos quostum
videram Analyctas nocareram (Cardanum liquidem non tum videram,) apuc quos
de Aiquationibus Cubicis resolvendis altum erat tilencium: In Carressi Geome-
eriam, (quae Tub id temporis aut paulo serius, Gallice primum prodiit, necdum
enim tunc cemporis exltabat Larine, sed polt annos aliquor,) incidebam. ADyd
quem duas itidem inveni regulas, quas Cardani Regulas appellac, caldem plane cum
nostris, ueut paulo aliter delignatas, nulla tamen demonstrarione munitas, nec vel
lerissimo dato indicio, quo de illarum fundtamento constare postit. Cardanum
tandem nactus, (qui illas Scipioni cuidam Ferreo acceptas retere,) caldem avuc
cum inveni alia quidem methodo demonstratas, (lonsa latis ee perplexa, quaeque
rei originem neuriquam explicat,) quas ego ex Analyleos principiis, uc dictum est
collereram. Oua quidem inreltisatio, s nihil aliud novi in se contineat, Calcem
eonomine Dui Veltra non ingraca torlan ell tucura, quod earum orixinem Da-
retaciat.
Jam ilaque posica aequatione resolvenda, r f 27r = 272: Ouoniam 13, e
27r, eodem signO nOTAntE, pertinehit ea ad regulam secundam. Adeoque cum
sE 3) 27 (9, C6 9XOX9 = 729, ItCM 2) 272 (== 86, e 86X 86 = 7396;
Erit V: 7396 + 229: +86 = 18125+86 = -
Adeoque Y c: V 8125 +86: = Y 13=2 = 2
Adeoque A = E = r:
2
2) 172 (86
486
16
688
7396
+720
N c: 25V 23(= Y 8125) +86:=
A1.
Ergo Aquationis r + 27r f 172, cad. r = F 4 = A - B.
Ex Aquarionisr + 27r = = 272, rad. r = 4 = = A + P.
Et eodem modo de A quationibus hujusce Formae omnibus Ptatuendum: Nulla
enim omnino elt iltius Forma aequatio, quae non unam aliquam radicem habet
realem: Sed et unicam; nam quas expectes dua reliqua, suns rantum imaginaria,
de impostibiles.
Pari mechodo; Si exponatur aequatio re lolvena r3 - 27r = 154. quae, prov.
ter duarum potestacum contraria tgna, ad regulam primam exisenda elt. Adeo.
que cum sIt 2) 254 (27, et 77 X 77 = 5929; iem 3) 27 (9, e 9X9X9 = 729: Exit
77= V: 5929 - 729: = 77 =Y 5200
P. C
c
64. = A c.
AccoquE
17

## Folio 243 — 851387705:0263
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000263.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Adeoque Vc. n LY 5200: -
Adeoque A + F = 7 - ,
ol Et 
5929
actir
V0: 77 = (Y5200 = ) 20V
--
V F rSOaa2 = 134, raala 1 =
13F
FL aquatIOnIS Y3- 2Y == 154, raci 1
St aequationis r3 = 27r = = 296, invenietr radix = 8; Tunc enim AC, L. C,
= 240 = (V 21275 =)55 V 7 adeoque A, B, = 4 = V 7. d A F L = 8 = 1. A1.
realem unam; Se quidem unICaM. Nam quaS CX SDeCLES Aa TElIGUA CrHNE CANCUI
Emaginaria; unicum Calcem li excipius catum, nempe quando GUIaCTAEHI LCIMIIHS
cermini ablolure cogniti, aequaeur enbo trientis COCTHCIEMEIS CEMIIILHICAM, IIMC
enim cum L A cum = C, (quae exunc invicem aequales,) cum = A F H,, CrUNE Fa.
dices reales. Puta r 3 =27r = = 54, cujus raci  =6, f3, +3
Verum li exponatur aequatio resolvenda r = 27r = =4+, ejusd CI LIIS
forma, eaque ad candem regulam primam exigatur: res sacim crantibit ad impol
sibile. Cau Cnm, ex mechodo iltius regulae, cubus crienus cetes, auteren-
dus sic ex quactalo lemiltis cermini absoluri, acque relidur lacus quactracieum cum
addendum lutu anterendum lemissi cermini abloluc  adea   C e
T =V: 4C.4- A. C. Id tieri omnino nequit; qula 29(. C Cubus Erientis CO-
Elticiencis) Cx 484 (Z7 9 quadraco semistis termini abToluci) non porest auterri
(major ex minori,) vel lalcem (si urcunque auteratur) reliduum (484 = 729
245) Cnesacira quanticas, cujus icaque nulla polest ele racls Glacacia,
(quippe quadrarum omne, sire ex radice altirmatira, sive negatra, temper est
erunc eriam (propies iplius raclicis imposibilicatem) EL. = V: a Z.  = A. C, (mempe
32 =V =245,) hoc eltu AC, F. C, impossibilia.
) 44 (22
3) 27(0
que ad hranc formam aequationes alixe innumerae resolrendae, radicem exhibebunE
5 =) 7V
5.
Impossibile
(Aique idem continget quoriescunque cubus crientis coefticientis, major et
eium catus impossibilis.)
Duid autem: Num itaque dicentio asuationem r -
niS r = 27 r = = 44 cadices sune, + V 15 +
quam quadrarum cermini absoluri. Sieur in aequatione quadrarica = A g. L B A
Aiu quocies concinsit A. majus esse quam = B9, quod illic semper pucacur indi
=44, planc LII.
Postibilem elle d’nullamque omnino habere Ladicem: Nullo modo. Flabet liqui-
4i et aegua
dem omnino cres radices, nempe, L. V 15 =27 FV 25 =2, F4; hoc est, aequatio.
V 15 +
nionis ro = 27 r = - 4 races lune - 1 25 - 2, + Y15 = 2, + 4.
Ln 2
Eodem

## Folio 244 — 851387705:0264
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000264.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
LC a F 1
Fodem modo, aequationis , = 27r = = 20, radices sunt = = V 33 =Z
F2V 33 =33 +5.
Trem, a quaTIOnIS r = 27r = = 26, radices sInE, = Z V 105 = 2, FZV 705 F3
Sic, aequationis i = 27 r = =46, radices tunt = 2 VO =E, F2 V6 F F
Trem, aequationis 13 - 7 r = = 6, radices TUIRL F F, F2, =F 3.
Atque in aliis pariter. Non itaque, ex eo quod Analylis nos dueac aliquan-
do ad impostibile, concludendum protinus erit, ec casum else impostibilem: Sive.
(quod cancundem valet,) quod ostendic Analysis jurta unam aliquam suppositio-
nem impossibile esse, elle proprerea impossibile simpliciter.
Porro sub id ipsum rempus, quo Regulas illas duas inveniebam; De Angulo-
rum sectionibus (exercirii cauta) nonnulla commentatus cram. Aique iMlIC, I.
ter alia, ad Anguli Frisectionem has obterrabam agnationes; z R gA = AC
=RgC = 3RGF = FC = = 3R9Z = ZC; quarum Radices recevto aliquo
nocationis modo explicare trultra conacus, non apriorem ridebam modum illud
exprimendi; (Sed nec Carresius, quin ue postea reveri, candem sibi rem tractan-
dam propoluerat,) quam quod, Posito R circuli
ractio, recta C. circulo inscripta peripheriam totam in
duo seementa divideret, quorum unius trientem sub-
tenderet A, alterius F, (ejusdem aequationis duae
radices,) e radix terria Z, subtenderet torius peri-
pheriae trientem utrovis arcuum A vel P auctum,
(nam e hujus arceus triplum subtendit C:) Pa
tamen lese, ut ubi A, F, sunt quantitates affirma-
tivae, tertia Z. sit utrique simul aequalis, sed neea-
tive interpretanda: ubi autem Z affurmariva, ibi
  necativae. (Ouippe illud ubique obtinet,
in xequationibus cujuleunque gractus; si ommino
desit porestas supremae proxima, radices omnes altirmativae simul CumpEx, nega
riris omnibus limul Cumpris, neglectis lignis, aequales crunt, sire radices illa rea-
les Cine lire Caltem imaginariae; adeoque serraris lignis, se mutuo destruune:
unde tuc quod porestas illa Cupremae proxima, cujus coetticiens se uper elt radi-
cum simul omnium mutaris lignis, aggresarum; hoc calu, propter radices attir-
matiras et negatiras se mutuo perimenres, prorlus excidat.) Puca Aequationis
hujus 3RgF. = L c= RgC, ret L C - 3RgL. = - RgC: expONItuT ra-
dix, L, de cribus radicibus puta L A, + H, ec - Z = - A = F. HIujuS an-
cem + L, C = 3RgL = RgC, rel F 3RgL = LC= = R9Cy radix L, de
aribus radicibus exponetur = A, = F, + Z = + A + P. Aique hanc RCgu-
lam terciam jam appellabimus.
Duo Pacto ad hanc regIIlam DErVENETaM, nOn OpuS est ut jam ostendam;
quipre longius illud ester quam uc hie commode inseracur, quodque alibi Forlan
aliquando lumus demonltraturi.
Incerim; si ad hanc regulam exigatur hujusnodi aquatio, 33 - 27r = = 44
hoc cst, inquam, L C - ZRgF = F R gC. Drit criens coefticientis 23=
5
RG, ergO 3 = R. Trem quia 44 = R gC, erir a3 = C. Scribatur itaque cir-
culus cujus radius R = 3, eique aptetur recta C. = 13, peripheriam diximens in
duo scomenta; quorum majoris exienci subtendar A, minoris trienci P, acque
tiis limul aequalis sumatuE Z. EEunE, per expolicam Regulam, Aquationis ex.
Dolita radices = Zy F A, FF.
 = 27r
40
== R9
9) 44 (43 = C, TIIDLEMIA ArCUS ExIPLI.
L.C = 3HGL 4 C
= 5 - 1.
FA, FE, =Z, (subcensae cimpli) radices
F 4 = Y 25 =2, =Y25 +2
Et eodem modo, A.quationes r3 - - 37 r-
46, 1 = 7r = =6, aliaque innumera, solri poltunc per crisectionem accus.
Verum
10.

## Folio 245 — 851387705:0265
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000265.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
LCa210.
Similiter li ad eandem regulam exisatur aequario r3
Adeoque recta illa hure crreulo non lepibut.
Verum si ad eandem regulam exigat aequatio, 13 = 27 r = = +54: res Ra-
eim ad impossibile dereniet: Ouippe 3) 27 (9 ==Rq, adeoque v0=
AIque 0) 154 (173 = C. AC circulo cujus Radius elt 3, non pocerit inseribi
Tubcenta 273, cum haec sit duobus radiis, hoc et diametro, mmajor.
+ 206; om.
mino idem obtinget. GuipDe 9) 296 (325 = C, major ellet quam duplum R =3.
29
5) 27 (0 = R4.
subtensae impossibiles.
Ouid altem: num aequationes has (ee ejusmodi mille alias) omnino impolli.
Biles dicemus. Nullo modo. Haber etenim illa racicem r = + 7: haec, radicem
r = =8; Ormodo oltentum elt, easdem ad Regulam primam exisendo.
FF quidem aequationes omnes hujusce Formae, quae ad regulam primam exami
natae radicem realem habene (vel actirmatiram, vel falcem negatiram,) illa ad
hanc regulam li exisancur, ad impossibile nos deducunt; (hoc est, illa omnes in
quibus quadratum semillis quancicaris absoluia, majus est cubo crientis coefticien
eis termini medii:) Contra vero quae videbaneur illic impossibiles, (nempe ubi
quadratum semissis quanticaris absoluex minus est cubo erientis coetheientis, ra
dices hie habebune reales. Nec ulla interim aeguatio utrobique extribebie tadices
reales, nili illa Pola ubi quadracum lemittis termini absoluri, aequatur cubo crien-
eis coesticientis. Oualis clF 13
illic 9XOXO =
27 r = = 54; IICM r3 = T2Y = = = 76. (quipDe
27; hic 4 X 4 24 = 64 = 8X 8.) alixque similes.
Cujus quidem ratio est, quia coetticiens medii cermini in prima resula LuPBOnITuE
3 Ai. (iriplum rectansuli duarum quancitatum A, F;) in secunda vero, (nOn
3 Ain Led 3 R4 hoc elt) A9 F A. F F. 9 (nam, in circulo, 3Rg = Fg = A9
F A1. F F. G quodnos alibi demonstrarimus, elque cognitu non inucils:) adeo.
que quocies concinsit aequales inricem esté A, L, (quodrunc erenit quando di-
etum Ouadratum dicto Cubo aquatur, nec alias unquam,) perinde erit sive dica-
cur coetticiens 3 A, Sire A g. L A: L F 9; adeoqne perinde erit ad utram CXISa-
cur reculam aequatio illa; Secus aurem, ubi nOn aquantUE. Atque haec quidem
ucut disna tine quae tulius explicentur; non camen id crit hujusloci; cum videam
me jam Cacis ne dicam nimium) prolixum ce.
Ac quortum, inquies, cendun haec omnia. Num uc Analycicen Fallacem olten.
dam: (ut quae nec catus impoltibiles deregat, ex polsibiles interim canquam impol-
sibiles perhibeat.) Ntullomodo: Sed, caure tractandam; ne nos ipsos decipiamus
dum ea quali inde cradira repuremus quae non sunt; es pro determinatis habea.
mus qux Analysis in ambisuo relinquit, ee indeterminata.
Aequid, inquies, de Aiquatione nostra dicendum est . aur quomodo solvenda
Tunt ilta crarnoparn .
Dicam breri. Nempe rexanda adhuc est aegnatio illa, quae nos rexavic tracte.
nus; uc tandem quid cerri prodat. Ouippe LIIe ONInO NOn PaTO PatituX A.
quacio Analytiea, acque Prorens Hlomerieus, (OdyfL. 5.)
ripcor cercos vnemeris
Adavaros TIpcotC soios es TE datel ans
Oru cu mumeris lic, veriaisan nec plane tidem tallat; Tuas camen tabet in sidiuas,
=nogor deiolo pieorros,
5)296 (323 =C.
9) 254 179=C.
Traons Berdia dist.
Formidabiles astuutias,
Onodta 301O ZECSY7OS
nec nisi lcus lalidem prella verum latebicur. Comprimendus uaque elt LLOles,
 prenlandus torcius, ne clabatus.

## Folio 246 — 851387705:0266
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000266.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
DF D IC
A
22
Tdo pdsi erbo su axcora noldonderra idnodei
Hat ior EXCIN p eur MNerc raeros Te BIn Z
Add S Exci. Vercacora n Eeveror me andhacu
Et rarias licet formas induat versixellis, variasque subire tentet latebras ee vel in.
Sidias Aruere; quo se subducat incauris, ret etiam imponat;
Tavra d groutre repioeram oas  jaiar
Eprera jivorram nei escie ny deaorsties rix
premendus tamen adhuc, e quidem Forriter
exueis d ascecos excuer uerdior 7E me ci.
nec prius hic dimictendus cst.
reecor oncpeoiae estos
de ci
quam, lacebris exucus omnibus, palam eloquatur. cocumque pandat negotium:
Tor y ei os suvacoi nognourduos nenabtad C+ t AHIEI E FASHIE fG C
25 Ner r0I cinnor ocdr ny uera xea ddi.e ollt
h col
Nec quidem Analycicen Homerus rectius depingere pocuittet, si vel maxime tu-
islet Analysta.
Fsto iuaque quod nobis hactenus molestus tueric hic Procets noster:
=3d S giecr soninc emelidero rexrns.
N nrot ceTSa Necor gever norgevetO.
Avrap exerra spuncor, n nussons, ist vijas ods
Tivero s ozedo istven as Serspcor onsiremaor.
Ne ramen animum despondeamus. Ouippe dum
Hucis aseppeos Exod Ternnon duuio,
alsi
non duollaneum est, quin, vi candeni adactus, id cloquatur, quod forte qua
siille non pisebit.
Retumamus iiaque aequacionem nostram (uc, quid lactum sic, dittinete per
51 111, (5 1
Dendams: ) 9ag2 +g:
27 a20
l ∞1) hoc est 93=0d9 = = 27428, (Va
riaris nempe signis F, -, prOUE
DD rel deorsum rel Turtum, à pun-
Eto P, lumenda Supponacur.) Pam
aurem in hanc procinus aequationem
mUTaVimUS B 27 42p -= + 2, d
+ 54 a: substienta nora radiee
=3 a (quod quidem p D, qua
Eenus Cuipponmus deortum lumen.
eam ausec; sursum vero, minuic
Guancitace za:) Ouod quidem tan-
tndem est, acque, pro puncto p
alind diametri punctum lumere qu’od
Cic cribus diamerris aleius quam elt
D Dunctum; (quippe hOc canLO
15 cum aliser DD deortum Funtenaam
icum DD Turlum lumendant MII
nuic. ) Punetum autem sic lumen
dum, id iptum elt quod hactettus C
dIXIUS, (COMMIMMI MMCICCdO VIa-
mecri A P, ec inlcripix OO, Paltem
Productarum;) quiDDCDO PF = 3d
adeOque _D = PD FpC =
+ 3a
=r. (Adeoque jam licebit, li libe.
ac, quancum ad puncta D detIGnan
atoe seier 11D: 110
da punetum P neglisere; adeoque
JincaruM a D CBMTHUCHIONCM.
qua ad delignandum p plinctum in-
Aicuca ett; eum non minus polsit
Dunctum
1

## Folio 247 — 851387705:0267
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000267.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
DE DTC A
punctum D per ipsius a puncto C distanciam designari, quam per diltanciam a pun-
quam g. Nam uBI hoc acctat, (D --9 - 3 d = r (hoc est, GualENuS luPPOnITuE TuE
d 1d
que, 
t V
3. (Potest enim qua-
draci simplicis radix exponi cum altirma-
cirecum nesacire.) Adcoque Lire Tur-
Tum lire deortum TImatuE, erIt GD =
3dY 3. Et propierca uriulque a5Bre.
EaTIM, DD = 6aY
Verum, inguies, cum ex hypochetiin-
Scripta OO, hoc elt, in praelenti calus
AO, OCCUEraL CurVX in A, eric ec iplum
punctum A, punctorum D alterum, nem.
De Superius: cumque eidem puncto a, coincidat eriam punctum C, Gut HerL po
celtus uc ED Tuperius, hoc est A A, seu pocius ipsum a punctum, aequari BOCTII
3dV 3. (nili lalcem sic a =0, quod non supponitur.) lc quidem, cum autea
demonstratum sIE, AD (hoc elt DD) = 3 4 V 3; qui tieri porelt ue jam sit DD
6d
Etas GD, GD, terminancia, ) Guotu aCL LaIO LuFCCHIS CIF, quanto alterum
D quod ipli A Comes Plaeter auo illa B, hac aeguarione designara. Ouod ne
miremur, animadrertendum est, utuc aequatio r2 = 27 d quadrarica cum lic. non
nisi duas habeat radices, eam tamen unde huc derencum elt, 9 dq =9
7 d
cubica cum tueric, omnino tres habuisse, (vel reales rel lalcem imasinarias;) qua
rum cum in procelli perierituna, non tamen ea propterea prortus neglivenda est
Sed solicire porius inguirenda. Non aurem ea prius perierat, quam polium tuc
harum falcem ina r = 0. (Moltgunn empe botinet in aequationibus cujus
eto p.) Nec incerim hinc aliquia acele quod notquam 3 d major lic
tum Cumenda) est quancicas esactra alebese Pc (quod lupponicur supea
cadic intra Ci. Duod quidem, quoad D intunum, semper concinsit, et, quoad ali
cum quum C ell supra A. Adeoque priori calu aequacio qua relpieit D Turtum, unam
hrabet radicem nesaciram, polletur, altas, (nempe quoad radicemr; nam al
nesacira, erit q poluira; hoc elt, punctum Deric intra C, sed supra P) contra
rero in aequattone qua leplett ccorum, ut polt patebir. Sed hoc obiter.
POrrO, cum LC
= 27 a2B (polico scilicel
cum punctum e puncto A Coretue qui
cuus catus ell; quippe cm LG = F A
F54 43 = 27 d in
d::
una, adjectione 3 a, uc habeacur q =- r. f 3 a, erader aftirmatira; puta (I r =
exic r F 3a = = d + 3 a = f 2 4 = g. deleoque, licet r Sit hoc catu quancitas
J:) quocie
Adeo.
+54 d.
Et propilicar=
adeoque r =
ontinsit esse 8 =2 4 (quod runc tid
Dicam brevi qui hoc tiat. Nempe; dsalo= 2 a. dutees attas lHec
enim plures Htabet) = 3 d V 3
= 3 a V3, duo denonate Buncta  (HemplIC.
est interius puncto C, vel (in prasenti casu) A: rerum aliud adhuc esse punctum
rit cum g =5 d = r, cum etiam (nam nil et AOC Cltat Psaie nondum periit
5 = 2d. Cum itaque, cum in aquali 34G =9. = 27 a 8, c ClatiL H
27 42r = = 27 d 5 =54 a3 (extra praesemem casum) radices omnino tre
sine; ex cribus aurem radicibusr, r, r, cum (polito 5. = 2 d,) eranelcatuna, crir
cunone oraduS, QuanCIO ABIOLMCA GIAUCCAS CVAHCLCIE, HIVC HL =O: nemDe IdC
nem palcium omnium diritionem, in ea qua prodie interioris gradus aequatione
manebune involutx.) Cum enim in aequationibus omnino omnibus id universa
liter rerum sic, quod quanciras absoluta, aequalis sic Facto ex omnibus radicibus
inricem ductis, (neslectis salrem urrobique signis f -,) Ferl Non potet,  
F27 d= 9 =54 43 = = 27 d2 h = rxrXY = 0, nisi ex tribusr SIF Talrem una:
adeoque, quoad tranc, 9 = 3d = r = 0, hoC CA q = + 3d. HOCCAL; L LuPPOHa
cum Calcetu unam elle ==o: Lea ane Lalces, deplettione tacta per commll-
cur pD deorsum sumenda, erit (praeter duas alias) radix una g = -= 3 d; 2dco-
que Tumpra in contrarias partes (nempe Tursum) D D = 3 a habebicur punctum
Plud D, (quod proprerea far  Coellullus cum lic eriam p A = 3 d:) Si vero
TUPPOnALE

## Folio 248 — 851387705:0268
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000268.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
D E BT C A F 10.
supponatur pD Turtum sumenda, eric radix una g = = 3 d (quod duorum Li8
norum interius denocae,) adeoque Cumpra in casdem parces (hoc elt Turtum
DD =3 a, habebitur icerum punctum illud D, idem cum A. Quoad autem reli-
qua duo puncta D; eum (IC, n = F 3 a V 2, (live supponatur D turlum live deor.
lum poni, quippe verobique duxe tune radices altera altirmacira, altera nesacira,
de (9 = 3a = r, lire) r = 3 d = 9. (nempe Si supponatur VD deortum, r L 3a
=9. E Tursum, r. + 3 a =9;) erit, quae Cupponitur deortum, = 3 d V 3 = 3 d
= DD: quae Turtum, =3 aV 3 F 3 d = q = DD; (verobique scilicet duae
radices; astirmacira, quae juxta suppolicionem concinsit, ee negatira, qua in par.
tes suppolitioni contrarias, qua isitur eadem est cum contrariae suppolicionis actir-
matira.
Ot dicta isicur recollisam. POtita aequatione odg= f 93 = 27 d, sive
 f 9dg = 27 a2 8. (quae supponit punctum D dcorsum, adeoque ipsuIS Fa
dices attirmatirae detignant D deortum, negatira Turtum;) posito r = g = 3 d.
exit ris = 27 d r = + 27 d 8 = 54 43; adeoque (l 5 = 2 d) CA p3 = 27 42y
=0; Cujus tres radices F 3 d V3, = 3d V3, =0, (quibus designantuE CD,
GD, GD, sIVC AD, AD, A A. hoc est AD = 3 d V3 deortum, AD = 3 d VZ
Turtum, et AD = A A =- 0) e Propterca, aequalionis 93 + 9d q2= 27 d 8
(cum sic r = g. + 3 a hoc eAt q == r - 3 d) erun tres radices + 2 d V Z
3 du - 3 dY3 = 3 d, 0 = 3d; quibus desIBNanEuE EES rectX PD, pD, DD:
hoc e PD = 3 d Y 3 = 3 d deortum, PD = 3 a V3 F 3 d turtum, ucurque
DD = 3 a Curlum = p A.
Acque id iptum plane ereniet, posita aquatione 9 d g2 = 93 = 27 a2 e vel
ddq
= - 27 a= 8, (qux supponit punctum D SuIrSUM, adeoque hujuS FX-
dices attirmacirae delignant D Turtum, negatira deortum.) POlIcO r
hoc est g = r + 3d, exit r3 = 27 d r = - 27 d’8 + 54 a: adeoque (H
= 2 dy) erIt r3 = 27 d r = O: cujus aequationis tres ractices PunE F 3 d V 3.
3 d Y3, =0; quibus detignantur CD, CD, GD, sire AD, AD, AD = AA:
hoc est AD = 3 a V 3 Turlum, AD = 3 d V 3 deortum, e AD = A A = 0
EL pTOPtCrCa, Cum SIE g = r -f 3 d, crunt aequationis g 0 d g
27d2
eres radices g =  3 a V3 = 3 d, g = = 3d V3 = 3 dus 9 = 0 = 3a; hoc ett
PD = 3 d V3 + 3d Tursum, PD = 3 d V3 = 3a deortum, et DD = 3 d sur-
Tum = pA.
Tabemus itaque in urraque aeguatione (quae nempe supponie D deortum, de
qua lupponit DTurlum) eres radices casque utiles omnes, sed de (mutatis fienis
ob suppoliciones concrarias) ealdem urrobique. EA enim r hoc elt ED, id cst
Choc catu) AD. Nempe
Tuprema = Tursum F 3 a Y 3 = deortum = 3 d V 3.
AD Lmedia = A A = Furtum 0 = deortum 0.
intima = Cursum = 3 d V 3 = deortum + 3 a Y 3.
Adeoque (cum sit DD, hoc eAt q turtum = r + 34, et q deortum = +
3d,) Orit
luprema = Turtum + 3 a V 3. + 3d = deortum = 3 d V3 = 3 d.
DD Lmedia = D A == Turtum 0- f 3 a == deortum 0 = 3 d.
 intima = tuetum - 3 a V 3 + 3 d = deortum. = 3 d V3 = 3d.
Vides itaque jam probe convenire omnia. Nempe tum P A == 3 d̀ quod sum-
ponit cua prima demonstratio; tum A p. L p D deortum = A D deortum = 3 d Y2
3 d pl: + 3 d = 3 d V3, quod haber demonstrario tua secunda; tum rectam
AD non este bilectam in p, (non quidem quia 3 d V3 F 3d = 3 d Y3 = 3 d
uri primum videbatur, sed) quia 3 a = 3d Y3 = 3d. Et propierea neque re-
Etam ax esse diametrum.
Verum actue inquies, nora tie emerxir disticultas, (quali non cam Proteus sic
quam

## Folio 249 — 851387705:0269
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000269.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
D E D EC A eF 10.
quat Flydea quicum nune aBatuT.) Cum enim D punctum, sit, per constructio
nem, clametri punctum illud cui ordinatim afau secla D In ca a K
terminara: qui omnino tieri postie, ut ejulmodt u Lepellal puncumm supla
verticem A. quod camen infinuar haec aflace Caso ascle sallem una raciX
Turlum Cumenda, supra verticem excurrit, (nam pD L 3d N 3. + 3 4 Turtum,
major elt quam D A = 2 d, adeoque verticem superar rella
Dicendum itaque (quod quidem haec crincit instantia) curram Lalabsoeidis
Cubicalis a A, suxponendam este ulera crerticend A non deb da B, sed
Tursum pocins ad a: Adeoguo iptins genmintm um MMer. (quou Palu Aortan
Ducareris) non a AB, Ned a A a. (. Aequer th  CH LMetu subu pridem
inlinuabam poH decexendum. DGi Ciut quidemonxx occurrie recta   oo
visOVE
1sS
omnino punctis; nempe O, A, O: unde ordinatim applicatae, diametro DCCMKIIMB
in punctis D, A, D; coincidentibus siquidem OD medito, spH DIMCW A, quo-
CaREUT.
ties scilicet per splu vetuem latu cu iecla. Smuller, muratis murandis,
recta coco, Oecurrit currae in punctis cAbuS co, co, a; quibus in diametro respon
dene 5, 8, 5.) Cua ua pula atto alatibnto Cubrea Laeroo t.
Ne autem hunc (inexpectatum tortan) currae sicum mireris nimium; c
dem plane Dostulat s pauto accuratius perpendacur, IBla. PhraboIdeIdeoS Cubi
Ouod sic colligimus.
Si verbi Btaciar, orditatim axplicata DO, quae detienat puncti 8 2 dlametto
calis tracura; urpote eljus otdinacim applicaca, Ponuncur, id diameerotum ratione
hubiciplicara; adeoque diamtlalr a plcalacum racione piplicala
allanciam dexirortum, diedcr  d; cullaticia siuiic aequalis sinistrorsum dicenda
rie a: acque horum eubis +  = + a r + a. X + a, d-
= a
aueoque

## Folio 250 — 851387705:0270
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000270.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
E D A C A F 1 0.
adeoque diametri AD, AD, quibus conreniunt hae ordinatim applicala, crunt
ut  a, = a (quippe in ordinarimm: appliCaLARUM TALTOMC LAPHICala,) Hoc est,
ut quancitas altirmatira, eique aequalis negatira, ANC u A L dCOMIIMI d hule
aequalis AD Turlum. Adeoque li curra punctum ccnctostu, Lespondcal
diametri punctoc D deortum; ejusdem currae punctum O sinistrorlum, respon-
vimus a Xa. 105
DO linistrortum =  an eundem planc diamerri situm vostulabunt: cum urrius.
quecum  an cum = a quadraums  a (quipe ax  a-  at = = a X
=au) erunt diametri A B, AD, quibus tix conreniune ordinacim applicatae, ut
an =a; alebque cum maghludide dsitales, cum in eodem situ; adeoque idem
utrobique punctum D: non aurem, ut in Parabolocide cubicali, aequales magni
tudine sed contrario stu. (Ouod aurem de Parabola jam dictum est pariter ob.
tinet in Parabolocidibus, Biquadratieali, aliisque a porestare sexta octara, deci-
ma, ec. denominatis; nempe quando dimentionum numerus est Par: ficut _ Cx
debit diametri Petco  Nu. De seguntur currae licus ille quem indicas
Duodautem in Parabola le res lecus habeat (quae licum huic limilem non po.
Ctulav) ratio est; quia parabolue erdinarim applicata D O dexerorlum = H a, e
ils cta. LIII
i ci sii 
verto, quod de Paraboloeide Cubicali dictum est, perinde etiam obrinet in
Paraboloetde Surdelolidali, aliisque a potestate seprima, nona, dec. denominatis:
nempe quando dimentionum numerui est impar; imo, inquam, eadem de cauta,
etiam in linea recta, qua haberi poterit linea Parabolocidis Lateralis, ab una di
mensione dicta, hoc elt, Trianguli; quippe et haec ad rerticem ulque ducta, l
concinuetur, concinuabitur turtum. Dua monuisse sutticiat. )
Sit B csao . tn pbitib ea cuera e M abt all s D Beneua ett, etiam
deortum
1
arrrurs e corcaunit

## Folio 251 — 851387705:0271
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000271.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
E DIC A EI0
deortum Hectsad. B, aeque ac lursum ad a. Polett, inquam: lieut de, li ellet La
rabola, posset non minus Turtum Hecti ad a, quam deortum ad B; nam uc ejus
modi duae linea Paraboliex sic componantur nihil impedic. An vero, dices : li
id tiac, annon ellet ea linea a AB, curra Parabolocideos cubicalis d FIIer, inquam;
eodem tenlu quo linca Parabolica dici postit, quae ad inctar a A a RCCUEVATA LIE
Verum, accuracius loquendo, dicenda videantur (Taltem quod ad hoc nesorium)
tum hic duae semiparabolae, cum illic duae semiparaboloeideos currX. Duippe;
cum Cicus ille subconerarius a A a (ob jam dicta) sic non minus Parabolocideos
Cubicalis curra senuinus, quam Parabola genvinus sic sicus luus a A B ad ejusdem
rectae AB paries oppolitas: non minus judicandus eset o. AB sicus Parabolocideos
cubicalis praeternacuralis, quam eset sicus a A a praeternacuralis Parabola.
Verum, utuc (ic, (sire Ciunacurali, sire praecernaturali;) cum utcunque nOn
incommode supponi pollic hujulmodi curra B A aco, eique inseribi recta Bco, Ta1
senci l’a parallela; annon aequatione aliqua inctagari voltune, diameci puncta
Puca a , ad quae PercinsanE Ordinacim applicata BA, cA. PoltunEinquaMI. Lt
quidem quod ad coa, ea quam tactenus tractorimus aequarione invellisabicur,
Curimox ridebitur,) quoad autem Ba non quam tractenus vertarimus a qua.
tione, led lonse alia. Ouippe ad aequationem illam ponendum cst, non AP
AA:: Pa C. ABC (quod praelentis indaginis tundamentum ell,) led A P. = AA::
PaC. ABC. Verum cum illa inclagatio a praesenti negorio sic aliena; IntErmIION.
dam illam sil oe enio ube Cat Ga HaCLEHIS LTACLAVIMUS AGUALIONEM DE-
nicius ablolvero.
2) de radices, unico talcem calu determinarimus, lcilicee, cun
=2 a hoc elt cum inseripia per rerrice crantut: Superest, ut alios achue ca
tus perpendamus; nempe, cum 5 = 2 d, ( hoc est cum incerlectionis punctum C
elt lupra verricem;) ee cum 5 = 2 d; adeoque C intra verticem. Priori calu
exic F 8 - 2 d quanciras nepativa; posteriori, quancicas altirmativa
Ne autel requationis geminX r3 -- 27 421
== = 27 a2 8F54 d, juncta conti.
deratio contusionem pariac, separare libet; camque seortim perpendere qua pun
ctum D deortum spectat r3 = 27 d = r = + 27 428 - 54 43, CUjUS DFOPECFCA Xa
dices negatirae incerprerandae erune in concrarias partes, hoc elt Curlum (quae au
rem de hac dicentur omnia, eadem mutatis mucandis de altera quae D Tursum
Spectar incelligantur, cum hoc solo discrimine, quod quae in una lune radices at
tirmacira, exdem in altera sune nesatirae, ec contra.) Tum proditterentia dua-
rum e, 2 d Cubstiuo B; adcogue  = 2 d = = B, nempe L B = A G deortum
hoc Clt, HB = 2 a hoc CHt, L C = F A, adeoque C intra verticem: e - B =AC
Turlum, E SC 8 = 2 d, hoc est FG = FA, adeoque e Tupra verricem, (nOn
modo s inter P_ A, ubi faltem F C erit quancitas altirmarira, led multo maeis
Si sic supra P, ubi ipla F G exit per se quanticas negatira, (supponicur enim C
intra V) adeoque s = 2 a erit multo magis negatira, (nempe - F C7- F A
denique,s pono d =.  (licer enim diamecrum quocunque numero delignare, adeo
que reliquas quantirares ad hunc numerum comparare,) ut diceat, Tum a TUI
iplius omnes poreltates omitere. Adeoque aequatio punctum D deortum spectans.
erit r3 = 27r == =27(Pout Lehet C conringat intra suprave rerHCcM.
TranlIt.
27.) Quippeca
Cum itaque tractenus aequationis r3 = 2) ar = = 27 d28 F54 43, adeoque
9d
His positis, ut aequationem expoturam r3 = 27r = = 27 h, resolramus; Viden-
dum primo num b =0; quippe E hoc continsat, tum res jamjam abloluta est
nempe cranescente F27h, exIt r3. 2 r =0, (adeoque radicum alrera r =0
ec r2 = 27. (adeoque radices duae reliquae, r = + V 2
Tus hric, ille cst quem hactenus cractarimus; ubi nempe inscripta per verticem
Sin illud non concinsat, sed h quancitatem tabeat re aleatit re alete
dam:) Videndum secundo; uerum Ouadeatum
Temistis numeri 27 h; majus FIE, an MIMUS, an
aequale, Cubo Triencis numeri 27: Hoc etC, v-
irum B B2, plus sic, an minus, Gcall 729, aue
etiam aequale. Hoc est, ucrun  asulo, mi
nuS, an aequade, 4: Sive h majus, minus, an X
Quale 2.
Si quactracum minus ics exiss lam   slalto aet Cuuipta Et tTatarum) Res
lai

## Folio 252 — 851387705:0272
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000272.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
 L+ 10
Jam Fertiam: E AajuS, ad Primam; Sin reguale) aet veramris; seilicet indlitse.
Fsto itaque primo, hujusmodi aequalior3 - 277 =- - 26. (Floc CAt, Lc26  2, b
AC, eo quidem AG Curtum, propter signum L: adeoque
27.) Qua responder inseripiae co(0000. Hhaec cum exigende
sie ad Regulam cereiam (est enim +3X F3 = 169
minuS quam 9XOZ 9== 729,) Scribatur circulus
cujus radlius sic 3 (radix quadrarica erientis coet.
ticientis 27) hoc elt, Seribatur circulus cujus raci-
uS aquetur rectae PF = 3 a. Hluic circulo apteeur
recta C = 38 = 28 ( quod emergit ex divisione
quanticaris absolurae per trientem coelticientis, Jhoc
est, sIc C = 25a. Prisectis itaque duobus arcubus
quibus Tubcenditur C, erunt exiemcum Subten(ae A.
E, aequationis duxe cadices astirnatirae; (nempe C7d,
C5, deortum;) d  Z = = A -- F, ractix neda
tira, (hoc est ES Tursum.) Ec quidem A =
eV 205 =  == ( SIMMIIIa, R. = + = - C, 8 deortum media, -- L - - - Z V 105 - 2 -
Cd Turtum.
Fic quidem idem omnino accideret si posica estet aequario r3 - 27r = + 26 (quod
Fieret si recta crantistet tamo intra verricem quanco illic supra, hoc elt prope
punctum P, cui inseripea liceras suas non apposui ne nimia toret contulio,) nisi
quod cunc radices quae prius crant astirmacivae jam esent negativae, e contra;
adeoque erium radicum, sive rectarum CS, C8, C. s, maxima, et quidem ca sola,
deorlum tenderer, reliquae dux Purtum.
Acque haec quidem concinsune, quories B minus est quam 2 a; hoc est, quories
C incidie rel inter A P, vel inter, A8. Polito Seilicet, A D == A F = 2 d.
Elto cum aequatio hujusmodir3 = 27r = = 254 (hoc elt B =+533 = AG de
OrlUm, DuTa A 9.) Exigenda est haec aequatio ad regulam primam; (propeer quadra-
cum semissis termini abloluri, majus Cubo triencis coefticienris cermini medii, nempe
72X72 =5184 = 729 ==9X9X9.) Hujus aurem aequationis, est radix unica
possibilis aftirmatira; nempe 7 = 8a deortum (uc supra ostentum est;) reliqua
dux imposlibiles. Quod argumento est rectam aB non nisi in uno puncto ex-
Dolita curra occurrere. Onamris enim verum tuc quod recta cog occurrat criam
InB, CVErX AB; non tamen illud ad praesens negorium omnino spectat: quippe
hac aequatio non spectat curram a AB, sed curram a Aa, uc supra dictum est.
Atque idem incellisendum erit de puncto h, iisque omnibus quibus intersecatr
E A, eciam ulera verticem ex altera parte Pursum concinuata.
Parimodo, li Polita eltet Xonario r3 - 27 r == = 25a. nis quod illie radix quae
unica est polsibilis, elser nesacira, adeoque sursum lumenda: de conveniret haec
aequatio rectae per  duCtx; SI nemPC AK, SIVC A GT FIIXHIM BONATIE 5 13
Acque luc concingit quories h, vel AC (sive Tursum sire deortum) major est
quam 2 = AF. FOC Est, quories e rel cAt minus quam o, ret plus quam 4 d:
Ouippe Cillud, eric C supra P; S hoc, erir intra .
Denique; Si ponacur aequatio r 3 = 27r = = 54. (adeoque B = + 2.) perinde
est ad utramris regulam exiratur; (quia quactracum semistis termini absolut.
XquatuE CubO crienEIS COCHCIEnES, 27X27 ==9X 9X9 =729.) Si ad tertiam exi-
satur; Ceripio circulo cujus raciuo 3 (= V 23 = Y 9,) inscribatur recta quae (It6
=38;) hac aurem (cum sic diameter, quippe 6 =3 + 3) dirimet circulum in
duos lemicirculos; urriulris aurem Pemiperipheriae crienti subrendit recta radio
aequalis; adeOque T A = 3, TUM F. = 3; Item Z (= A F F) =-6. HIOC est.
Iir3 = 27 r = + 54. (polico nempe CT, in 8,) radix attirmacira + 6 deortum su-
menda; _ nesaLVX -3, -3, (sumendae TurSUm,) quae propter aqualitatem
suam coincidune, adeoque pro duabus currae intersectionibus indicane unum con-
tactum, nem pC 2. Si verO SICr3 = 27 r- - 54 (DOSItO nempC C in P,) radi
cum maxima6 erit negacira, surtum Cumenda; e dux minores 3, 3, attirmacivae
sumenda deortum, e (proprer aequalicarem, adeoque coincideniam,) indicabunt
punctum concactus, a.
(Inrenis aurem omnibus radicibus r: si illis sigillatim auteratur (quippe jam
in ea sola rerlamur aequatione qua suxponic D deortum poni) 3 d, habenur 10.
cidem
rencer vel ad ertiam vel ad Primatm.
adeoque
liG

## Folio 253 — 851387705:0273
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000273.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
D E D F C ACF 10.
ridem LacSg = = 3d = DD. DUTa, S LINE FdusCCS Y, uL I exemplo PHmO,
Peac in negaciram. Puca, quocies punetum D, elt. infra (i, Led Tupra P.)
Vim (eut dain iata . L al Da LL BF   V 3M,
Fa rangens,) et AC =  = B (deortum quidem si fic. F. _, Surtum vero si  n:)
ducatur per G recta, cansenti F a parallela, occurrens curra in puncto (uno,
auc pluribus, pront contiserit,) O; dueta ordinarim auolicata OD. determinabie
aequationis radicem D = r; _ gu S OCcurSuS punCta O pluraSinE, Woeidem
crunt _ puncta D, adeoque Aquarionis cocidem radices postibiles; ZHhrIaLIVX
quae deortum, negatirae quae surtum, rendunE.
TCM) d. d: : + p
a interius) A P
a+8 q (nam 4 superius inquirimus;) adeoque = Aa =
Pa. C = p3. erxo, propier analosiam indieacam, d. -- d 5. + g. . p.. =
== ABC.
Ep = aB. ubi a B est quancicgs negatira, sicuc ip la 3 a = 9, quipre
Qmajor est, hoc catu, quam 3 a.) ejusque cutus 27
=aBc =
519.
=27 a9 + 0dg =q
27 a28  27 a 9. L10CCII g. = 9d9 + 54a g =  2
+ 5443. Ouae
Tubstiuendo r. F 3 d =g: redueicur ad aequarionem hanc r3. f 27 d:
5447. Nam
= 27 d
+3aY10) Za + 2d, = 3ave  et  londemradices q; F 3 d. V 105
33d, = 2 d, -, 3a VY 105 = 3: d. Ec limilicer in religuis. Vhi, interim nocan-
dum elt, quod hac subductione tieri porest, uc quae fuerat radix actirshatira tran-
Adeoque hujulce aquaTIOnIS calus omnes Lotas  cadem opera, hu-
julmodi eltera ove, ethodum oltendimus aGaoeoas hujulce torma
omnes r =mr = =n, Geometrice Colvendi. Nemps sumpra diameiro a AP
Tandem, ut tocum aliquando abfolramus hesorium; Ouoniam jam Facta est
adeoque e punctorum diamerri qua III LOIVOMICaHO. LIDCLL CAM ACII alGa-
E diamelt LCus deortum, pura a P dieatut du turtum erie = L: adeoque LICeE
Lica. d:: p. p. nON LaEN (SUPEIS OTALMALMI aPIKacS M Corariam pas-
d
a Bc. Sca AL. =- A A..
Ais aucem contideratis; eadem mechoco qua ult sctticto (Mlicalio Mllasto)
menrio puncti B, aliorum que similium, in curra B A, etiam Tursum concinuanda;
renuS inCuETI. Diximiisjam supra; SI P a dexirortum sc  p, ejutmodi recta A.
nistrortum erit  p; adeoque uc illius Chous Y D, Sic hujus L p3; _ propterea.
RcC, non caltl (quoad periuS) AP. AA:: P a c.
(Cd f d. - d.: f p3~SCp3.V FToC elt, LceE RE (quoad
C. ABC.
ad prop. 47. Con. Scct. rem ad aequationem perducemus. Nemipe AP = d. AA =
Sed etiam CAtF P. P a:: 8L. LB.   OACHAHIT,) 34. p:: 34
1
Adeoque (Facta reductione) 27 43 - 27 d29 
3 F 9dr2 = 2742r
43=
Dar =-544= r - 8+a3=
+54 a2r + 16.
+27 der + 208
7
d3
=27d8 + 54d
 a =27 d 8 = 5443
Atque idem plane eveniet, si punctum B EuetI L CUIEYX AB CONCINVaHONC
Cursum ulira verricem A, (nam, ne nunc ordinatim applicata negatira, nempe
finistrortum, applicatur diametro altirmarira, puca deortum: iia casu ilto, Or-
dinacim applicata altirmacira, hoc elt dexcrortum, applicabitur diametro nesa-
Tira, puca Turtum; applicabitur e upra Vetle N: adeoque urrobique mu
dnterimuter Tuble clne n B 6 a.  et MC EVambllad atmatia Cacot.
tum
randa exUnE diaMCERI A A SHa, _ aaBZIa rITO iMILIEaLT:) Cum hOC H

## Folio 254 — 851387705:0274
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000274.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
DEDICAEIO
Tum sumenda:) adeoque aequationis quantitas. absolura, aftirmatira; f 27 d2 B:
hrie crie negacira (Tuxlum Pumenda) adeoque absoluta quanticas = 27 d B ne.
sacira: (illic enim 5, major eritu hie minor quam, 2 d.) Ec proinde quae illic
est radix astirmarira, o a fursum, suppolitioni consond, (nam de a Turlum insti-
cnebatur haec inguilicio: ) hic erie negacira, 8a deortum, suppolicioni concraria
Nempe illic a altius exit quam e, hic interius. Oux omnia latis inteltigeneur, si
Supponatur curra B A concinuari ulera verticem Turtum, (eo modo quo a A con-
cinciatur ad a,) quam eso concinuationem, in schemare, contulto omisi ne reli-
qua curbaret led imasinarione facile supplebis. Or enim curram B A intra ver
cicem secane rectae a 8, El P, in punetis B, h; qua puncta spectat aquatio
F 27 d2r =- F 27 ah: sic concinuationem illam Lupra verricem SCcabUnE
in aliis punctis recta coC n t; quae puncta spectabit aequatio r3 = 27 d2r =
Hujus aurem aequationis r3 + 27 d Y = = 23 d’ B, radix (unica quidem;
quipre reliqua quas exspectes duae non lunc nili imasinarix; quod indicio elt
rectam quamlibet cansenci F’a parallelam, non polse curvx B A, ucur sicur dictum
et surlum concinuatam, nili in uno solo puncto occurrere,) Arichmetice in-
restieatur per regulam nostram secundam, superius allatam: Geometrice vero
(si laltem permittas uc hanc curram appellem Geometricam) hujus currxe bene
ticio. Nempe, constructis reliquis ur prius, licur rectae per ei transeuntis puncta,
CurVa a A a Occurrentia (sirc plura sinc sive unicum) designant ractices aequa
cionis hujus r3 = 27 42 r = = 27 dB (ductis nempe a punctis illis ad diame.
crum ordinatim applicatis; ). ita ejuldem rectae occursus currae B A (si opus
COntinVAL,) delignat aquationis r3 F 27 d r = = 27 d’h radicem (possibilem
unicam) nempe ducta inde ad chiamerrum ordinarim applicata.
Invenca aurem hac radicer = 8a, addendo 3 d hrabebitur radix q = r = 3 d
=pA: si et hanc libeat inquirere
Sin libeat adtiue conjuncta aequatione urumque rectae Bo terpinum indicare.
(vel etiam Sectionum puncta B, O, omnia, ejusdem rectae occurtu facta:) id
sic taciendum CxIF r3 = 27 d= r = f 27 d B, si nempe punctum B sit in curra
AB intra verricem, (hoc est, si punctum er lic intra verricem A;) Ei aurem in
ejus concinuatione supra verricem (hoc eAt, (i C Tupra A;) exit r3 = 27 d2r =
27 a h. Ouippe aequatio r3 = 27 d Y = L27 dh relpicit omnia puncta O;
de reliqua r3 = 27 d 2 r == = 27 d7B, puncta B. 1 L.
Aiquationes itaque omnes urriulque Forma, (adeoque aequationes cubiea ad
unam omnes, quippe ad harum alteram requationes omnes cubiexe facile reducun.
TUIT,) r3- 27 dr = F 27 d2 B, e r3 + 27 d2 r = =27 d2 h; Unius hujus curra
opc tacile relolruntur. Ouippe prioris radices omnes occursu rectae (O CurrX
que a A a, indieantur; ut superius ostentum elt: Posterioris, occursu ejusdem
rectae, curreque B A (continuata) radix innoteseit, uri jam octendimus.
EE quanquam latendum sic, caldem omnes Conilectionum ope solri polte, cuna
incerim sic haec nostra curra uno acthuc gractu magis compotiia, (adeoque ridea-
mux ex problemare, ue loquuntur, Solido, tecisse Lincare;) cum camen haec ipla
curra lic ex ita compolicis simplicistima, et quidem vix ditticilior (ne dicam la
cilior) factu quam Conisectionum aliqua (puca Fyperbola, vel etiam FIipAS;
eaque lemet ducta, quodcunque habeat latus rectum (cujus tric nulla habetur
ratio,) ad aequationes mille divertissimas (ne dicam omnés) una inserriat; nec
aliud intuper postulet ad cocum necorium absolvendum, quam parallelarum ali.
quoc rectarum ductum: Ii non limplicior, faltem expedicior methodus rideri pos-
tic, quam quae per Sectiones Conicas adhibetur.
Eodem Fere modo unius Parabola, ejusque invertionis, ope, solvi possent aequa-
tiones omnes quadratica. Et Parabolocidium superioris ordinis ODe, aequationes
alciores, (E non omnes, multa Falcem,) solvi porerunt; rerum haec omnia prose.
qui non elt hujus locis 1
Verum si libeat adhue, menturas in diametro jam inventas, ad iplas inscripras
cransterre, adleoque rectarum CO, GO, G0, vel etiam GO, EB, (sumpro ubi-
vis in diametro; puncta C) iptis ED CD, GD, vel etiam ED, GA, (tio
praeced.) proporcionalium, quancirares habere; Id Facili negocio obcinebitur.
Nempe LumpEIS PF. Pa:: (AP. Ta:: G A. CF: :) d. e:: h. k (adeoque)
:r. B:: D. 60. Prodibune pro aequarionibus jam extibicis r 3 = 27 d21
= 21

## Folio 255 — 851387705:0275
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000275.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
B, tae omnino similes B3 - 27eb =
ez e k; quarum prioris radtices indicabune inseriprarum
Parallelarum scementa puncto C et curra e A a intercepta; polterioris velo ed
rundem segmenta eodem puncto  e curra B A e C. INTErCCPCa.
Acque hinc quidem licebit ipta quam tupra indicarimus, diametrum cueram
(sic enim libeat dicere) quae rectas parasselas curvae B A a inscripras bilecat (qua
roci huic nesorio anlam porrexic) ulcerius explicare, ejusque puncta sinsula per
eorum d diamerro AD distantiam C, s in iptis c.O paralselis mensurandam extribere.
Siquidem inferipia oO, rel a0, (punctum interius distinctionis gratia, dici
mus O; superius, E i curra Aa O; E in AB, c:) vel est GO= 60, re
G0. F Ga. Adeoque, quocies G est supra A, est 00 differencia duarum radicum
aftirmacirarum aequationis hujus B3 -- 27 b = - 27 _, puta b, b, (quas radices
dictinctionis item pracia dicemus B = GO, e b = C0:) Ouoties aurem CF est in
Tra A, est aO summa duarum radicum (aftirmacirarum) aequationum B F 27l
27 te (quarum alteram B, alceram B dicemus,) nempe, aequationis B = 27
27 k ractiX (ret poltibilis, vel salcem) attirmacira unica B = GO, et aequatio.
L radtix unica DOlibiIS B = G∞. EL Propterea semiIS in-
nIS B.+
seripiae 00 =60 - G0 = B -- b, erie EB. 2b; e inseripia cO = CO F 6a
=B F B, semistis = B F ZB. Adeoque Cd distantia puncti Ct a puncto inseripia
c- cC
medio, exit illic 20O F OG = EB - = b F B = ZB + Eb; Hic verO
=EB +EB - B = ZB = =B. Ouod rel ex ipso schematis inspectu liguet
Coenitis itaque, ex supra cractiris, cum B, b, illic; tum B, B, hic; habetur di-
Stancia diametri currae, d diametro recta, in ipsis CO parallelis menturanda:
(quod paricer eriam obrinet in aliis cujuscunque pradtus Paraboloeidibus inrentis.
suo in linsutis modo, B, b, B, ut mox docebitur:) adeoque verus iltius curra F.
cus tinuolus quoad iptius lingula puncta. Ouae quidem primo varrem suam con-
caram (2 puncto a aliquoulque deorsum) ad rectam A P diametrum obversam
habet; deinde vero, flexione in contrarias partes Facta, ParteM CONVeXaM: RL
quidem hoc eo pacto sic, ut non modo ad rectam eam non pertingat unguam; sed
et ita incerim appropinguet, ut omni altienabili distancia propius accectat; adc0.
que eam sibi habeat rere ACymptoton. Ouod sic ostenditur.
E. Cum lic (quod modo dictum est) intcripta aO = coCF. f GO =B ] B; (F.
que (quod jam supra ostensum est) GO major ubique quam Cc; manifestum est
medium inleripiae, a puncto C, ad partes O semper vergere, ec u punctum
ipsum G aut seClat A C uplaI accedCIC. (Oux quidem intelioendq sunC, uE
e sequentia, ubt C incidic intta puu A. ubi enim supra illud punctum con-
tingie, non elt quod simus soliciti; quipre cum, non modo inscripia oO punctum
medium, sed de ipsa tota ad casdem partes polca cAt.)
2. Maniteltum item est, distantiam puncti C, 2 puncto medio, aqualem esse
lemi ditterentia rectarum CO, G0; sire B, B, (Ouippe s linea secetur cum in
Parres

## Folio 256 — 851387705:0276
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000276.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
DEDTCA FTO.
Partes duas aequales, tum in coridem inaequales, inter. segmentum eric semi disteren.
eia parcium inaequalium: ut nocum cst.) Hloc CM Gd = sB = =B. Adeoque decrel-
cenie rel etiam eranescence illa ditterentia, decrescet pariter, vel eravelcet ca
distantia.
3. Polito aurem e = r eric B aequationis hujus B = 27B = 27  racdix altirma-
eiva; ut oltentum est; adeoque per regulam nostram primam (falrem quoad pa-
rallelam Ca omnesque ipsi interiores. ut dictum est, de superioribus autem non
clt cur dubiremus.)
B = Yc. 3k + Y: 1o b2 - 729: = Y c. 22b - V: 123b2 - 729.
hoc est Y c. 23 L. + 27V: 2k - +: + Y C. 3R - 27YV: 3 P = +
hoc Cs 3Vc. 3k = V: 3 k2 - 2 : + 3V c. 3 k - V: = k2 - 1.
Ex similicer cum sic B aequationis hujus b3. F 27 B = 27 L radix postibilis unica, exit
Per Regulam secundam superius cradiram,)
B = Yc. + 23k f V: 133 R2 + 729: = Yc. - 22 k + V: 123 ∞2-+729.
hoc est Yc. + 3k F 27V. L k= = E: = Yc. = 2ZX + 27V: 2b2 + 1.
hoc clt 3Vc. F Z k F V: = b 2 + F : - 3Vc. = Z k + V: 2 b2 + L.
4. Ouo autem harum quancitacum ab inricem disterenciam, (adeoque de semi-
ditterentiam quae est ipsa de qua agitur distantia,) cum senlim decrescere, tum tan-
dem li in intinicum procedatur eranescere oltendam; allumo (quod ee nocissimum
cF) A qualem Ouacratorum disterentiam (quod ee de aliis poreltaribus verum cric)
in quadracis majoribus, minorem quam in minoribus, radicum ditterentiam vostu-
Tarc. (PUTA Y 2 = V F majus quam V3 = V 2, eec. ut nocum est:) ec quidem cons-
que aligeri posse gnactraca, ur claca illorum disterentia dissetemtiam racticum Bostu-
Teeminorem quavis altienata. (Ouod de cuutt asibi, unn ube de Hyperbola ACyriplo-
eis agiclle, Con. Sect. prop. 39. menuiiis. Y isil
CiOe CSF
5. Adeoque ditteteneia clarutu : k, V: = R 2 F+, hoc est, YE 2 V: 1ZD L L, cre.
(cente quancicare R, (adeoque crescenerbito quadratis, dum interim cadem AHCE
quadracorum dittetenia 1)) rum petperuo decresest, cuns casctent, astixuata qua
vis minoreradit.  Is sit
i
6. FLPrOPIerea, am ZB =C V: 2X~ = Z; tum. -17Z 4 1511L B 2. p Y3 Deteeriie
ut dietum cHk, décreteutu sentim e erahelenme; adeogue d coristus latera cubica,
Ehorum cripla; hoc elt, Guantitacim B, B metibra Posteriora.
J. Scd ee iIdem de CauIs; ih iplarim membris prictibus décreleit pariter at-
que Tentim cranelei, dilterencia duaru V: 2 k 2 = F, E V: 2 kE F F, (crelcenti-
BS Scilicet uc dicttm et, quactraris, cadeH Ihterim manente quadracorum ditteren.
tia 2.) caque qua Hne dependet memibrorum, item primorum ditterentia: Et
Propierea iplarum icem quaticiratiltu B, B dMerenria; adeoque et puficti  ab in.
Teripia medio diltancia. Quod crac oltendendum.
Sed ec cadem puncta omhla Put D, 6, a, cum 5, 5, dec. non mimis actenari poL-
sunc per suam a recta L Y dillageraits quali a C. Ce; Dempe addlira, ablataVe, prour
res exisat, recta  I= k
In reliquis aurem enjuteringue Bradus, ParaboIOeidibiIS, habenuur nitm B, b,
(quaneo C Tupra A) vult B, B, (quando es pntra A,) ordinancto e relolvendo has
aquaciones. Nempe
In Parab. 1 Ouadrat. 
1e
Cubic. a pon Biauacr.
B (prOB, b,) = 2V 4: B k: 3VC: b= R: 4 V99: B= k
B(pro B, B,) = 12Y 9: R =B: 13Y0: k = b: 4V 94. 8 + 3:)eC
Ouod probabicur eodem tere modo cum démonstracione, cua secunda.
Acque hae sunt randem, Hlustristitne Domine, per quas deduxic nos ambases Ai-
quacio illa. Superest ut Hlonoratistimam Dominationem Vestram pacientiae vestrae
jam nimium lala veniam exoremus: (in quam quidem eo veccari aucacius, non
modo quod noverim quam cu sis ad condonandum facilis, tacitisque Detenci; verum
eo maxime quod neque trc cibi torsan ingrata IOrCLaULIIIIAYCKIM: ) AIque urme
digneris uIEra rePUTaTe,
Ctioc
Oxonni Dec. 5.
4656.
Mastrissime Domines
Tn D. V. obsequium Paracistimum,
HOTI. WV AL. L. LS.

## Folio 257 — 851387705:0277
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000277.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
PROPORTIONTDUS, DI
Conscripti; Herucalio.
OM, currente prelo, ad Operis Rrichmetici Cap. ZXXV II perreneram,
incidi in Marei Meibomii De Proporrionibus Dialoeum, anno supe.
riori Tasniae magna quidem cum pompa sed infeliciter editum: Cum-
que illius Refurationem aliquam illic haud incommode inserendam
Dutareram, adeoque hanc quae sequieur meditatus eram; ridi molem cousque ex
crerisse ut rix opporcune uno Capire coerceri poslet; nec etiam, ciera injuriam,
Lectoris pacienciam nimia digrestione decineri polse. Adeoque, leri illic com
monetactione habica incegram ejusdem Returationem, in hunc locum, seortum re-
jiciendam putari.
Virum equidem autumo haud indoctum; Adeoque num quae illic edidir serio
proculeri, an soco porius, et quati ludendo, dubicandum tortan exic. Norimus
enim ee magnos riros nonnunquam ludendo quali, ee ranquam ironice, illud pro-
ferre, quod ne quidem ipli per omnia rerum putant. OI qui Moria Fncomium
Seriplic, rir ipse interim prudencistimus; Trem, qui de Ombra asini: qui, in lau-
dem Podaerae; et qua limilia. Ouo reterenda lunt Kepleri somnium; aliusque de
Novo Orbe, (sire Incolis Luna,) tractatus; ee quae sunt hujulmodi. Ubi inge
niole mulea dicta sunc, e quidem non parum lubest veri; ac incerim nemo lo-
brius auchores illos per omnia serio loquutos suspicabitur, sed Palcem seria ludis
immiscuisse.
EE quidem si hoc pacto se incellectum velic Claristimus Vir; exieuum est admo-
dum quod eso in concrarium dicendum habeo: Nisi quod nollem sacratistimum
Dei nomen, quod in Pratatione sua aliquocies usurpatum video, ludendo usur.
Pari. Ouppe lacratius illud est quam ut jocis nostris ronice immilceatur. Caetera
quod spectat; pollum quidem cso sire ludos Tuos, tire joc0. seria, atque ingeniole
dicta in re ludiera, aquo animo terre. Necenim cgo quicquam rideo, quidni et
in Machematica, uruc serera disciplina, etiam ludere quantisper liceat; et reliquo-
rum alperitarem, lepide, Facereque tradiris, nonnunquam demulcere.
Verum liommino serio asac Vir Claristimus, (quod nonnullos arbitrari video
rerosque se de Prchasora, Fudoxo, Fuctide, Ptolemao, Archimede, Apollonio
Theone, Pappo, Fucocio reliquisque ex reteribus Choragis (ne e recentiores no-
minem Mathematieos,) triumphos asere censeri velit: Duo ommino Tunt quae me
impediunt ne ipsi poltim hac ex parie contentire. Alterum, quod quiequid ipse veri
Tubstracum habet, minime norum sic; Led e receribus olim cognitum, et recen-
cioribus ctiamnum Machematicis probe perspectum. Alterum, quod quae iple in
Machelin videtur incroducturus nora; ca plane talsa sint, ec res nihili.
vel in limine cuiris obrium elt. Pum ex eis qua ad RegCtH HaDCl, L. pIIL. PaG. 5.
In tradiris autem illis (de Racionum, doctrind) Plementis quanquam Duin
virr, Prthacoras, Fudoxus, Fuclides,  quoist unquam Pythacoriei porvere,
desudarunt: primus omnium eruditam vetustale, quantum ex scriptis ubcs
scitur, insenti motimine, quod praefiscini dixerim, suveravi. Tum ex iptius ad
Non incerim ignoro, quam de hoc inrenco suo alcum Pentire videatur. Ouoc
Lectorens plalatione, qualiGcalutreS orbis iphi graculari debeac) his ver
BIS OtdIuE; Quod Scto. hbthlus facideat. Fosteritas erata memoria recordetur
Primi

## Folio 258 — 851387705:0278
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000278.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
METBOMET DEALOCUS
Primi novas Geometricarum rationum leces in natura deteximus: e falsas propo-
sitiones in eo libro invenimus, quem ultimae antiquitaris Divini viri, Pythasoras.
Fudoxus. Kuctides, ex Nierptiorum e Patriarcharum inventis condiderunt,
omnium autem seculorum praecipui Philosophi e sapientes lesendo examinarunt.
(Ouod quidem quoc paralansis inventum Columbi, norum orbem indicantis
ancecellar; deinceps muliis exponit.) Egregium equidem Facinus. de Viro dignum
Cui, si libet, Prolosum Faciamus, Maena petis Phaeton --. Metuo enim ne e
consruum Corciatur spilogum,
Maenis tamen excidit ausis.
Ouid aurem canti motiminis opus suscepcuro animos tecerie, si dubicemus;
exponit ipse, pasina sequence; nempe quod nihil sibi arduum tore auc inaccel.
Tum, experimento jam lapius edoctus tuerit. Ouippe hue spectare videntur quae
illic habet: nempe, Jam IUlo tempore tot locorum in desperatis auctoribus restitu
tione, quasi perperuis victoriis, animatus, nihil tam arduum, nihil ita intricatum
in scientiis, qua quidem ratione aliqua constiturae essent, inveniri arbitrabar, ut
si ingenii nervos contendere vellem, explicatum illud dare diffiderem. Vieum ica-
que jam videtis tacinori parem.
Hloc animo ferus, (quod praetat. pag. 3. indicat,) Principia quaedam Geome
trica convellere suscepit. Ec quidem, ut sciolum vuleus, etiam intellicendi diffi-
cultate, ab his arceret; breviter  presse omnia primum conceperat. F. L quan-
quam, mutata deinde sententia, intorpolata multa fuerint ee late explicata, qua
ad intellicendam doctrinam ipsam portinere viderentur: Ot tamen sciolos acthue
corqueret, multa concinne admodum e jucunde excogitata, etiamnum omisit.
Aequis aurem, audaciores jam fieri homines, non sapientiores, causetur, qui ve
rerum cradica, adamantinis fundamentis suttusta, autint sollicitare; iplumque
nueis suis animatum, sisyphi lavo majus volvere, sulpicetur; adeoque vel fose-
phi Scaliceri intorunio monitum, qui impotenti animo divini Archimedis nomini
insultarat, ab his incepris decerreri porte, vel etiam debere: Ille porius, immor-
talitatem ex novis suis in hoc pulvere inventis consequi anbelans, omnem sibi
posteritatem demereri posse, contidit; Neque tancum Luclidis praecipua quaedam
Ceometriae Elementa conrulsum iri; led ee limul Archimedis; recerumque
omnium, famam, e dectrina soliditarem, incluctabili quodam fato, hoc tempore
ruituram. Nempe hue spectane, libri Pui pagina primores seprem.
Ouum itaque non modo, Pythacoras, Ludoxus, eoc. ad rei veritatem non omni-
no penetrarunt, Led de quaedam, quae veteres recte docuerant, sinistra recentio-
rum interpretatione sunt depravatâ: Verique malo succurrendum Clacuic, pag. 9.
Traque e recentiores omnes, inquil, reprehendam, qui antiquos non intelleverunt:
 antiquos corrieam, qui male quae dam prodiderint; vlrosque insuper nova do-
Eturus. Acque haec quidem elt luscexri rarie
Ouanta vero hoccura praecticum tuerit, succectu quanto; non icem srarabitur
indicare. Duamris enim, pro eo quo crat acumine, de Pasacitace, duarum bora-
rum spacio illius doctrinae fundamenta excosicaveris, quam cum Veteres tum Re-
centiores omnes hactenus iBnOrarunE: accamen, ne, nimis Festinans, auE CxCOS
parcuriret caculos, aut intormes; lambendo, ee relambendo, Paris prospexic: quip
De in quibus deinde examinandis inteero quinquennio fuit occupatus, Praetac. P. 2
quod et Tubinde icidem moner pas. Seg. Succellu autem eo factum elt, uE et Deo
opt. max. humillimas, inquie, eratias acere deberem, qui ad inveniendum, ince-
nium suffecit: e disciptinis Mathematieis eratulari, quod certiora in posterum tra-
dere possint: Ideoque eo masis, quo majus est falsum invenisse, quod omnes sa
pientes verum credebant; quam novi aliquid in eo reperisse, de quo mulii ante du
bitarant, quod moner prae l. P. T. EL propterca, non tancum Furoeium, Theonem
eotamque antiquitatem, nedum juniores omnes, crassiltiua inculat ignorantiae, pas
88, 89,99, 100, 102, 127, 261, 165, 266,167, 269, 273. Verum e, ut Fvesi-
des, tanquam in hac causa victus, cireinum ex reculam libi tradat, modeltus perie.
Pa5. 248. Acque, se judice immortatem sibi inventionis etoriam comparavit. Pas.
UII.
Ouoniam autem, utue sciolum valeus arecat, quid tamen lector candidus e
eruditus judicaverit, audire non retugiar; praet. Pa8. 3. Patis Forsan securus. le
album inde calculum reportaturum; nec adrerlam metuens tententiam, quod, in.
quie

## Folio 259 — 851387705:0279
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000279.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
DE PROPORTIONTBOS.
quie judicium contra quinquennale examen maeno molimine intercedet: NIOon abs
re tore judicari, hanc novam iptius doctrinam ad examen rocare; ne libi Opus
EIC, quod facturus videtur, Flementorum librum quintum, editione sua, coma-
culare. Ouippe c80 me Lectorem candidum spondere aulim, quam incerim eru
ditus, penes alios esto judicium.
FE quoniam, Tharmonicorum renoratione, recentiorum errores suecrevisse (ibi-
dem) suspieatur; quod e Tubinde aliquories reperit: praelerrim Pa5. 196
nempe Funiores, quod rerum naturam in Canonicis nunquam considerassent, adeo
que, quid Ratio esset, ienorarent, monstrosam, e contra natura decreta natam,
Rationis Compositionem, excogitalle: LF PaS. TOT. Ilos, inquie, errores, ob ne
electum Musices studium, Mathematicis Deus immisit; uii olum Delus Apollo
pestem, quod Cicometriae nullam illi operam darent. LE quae sequUnEuE. (Onati
quidem ex PTarmonice lacuminanda eltet Geometria, poruS quam, ex hac, illa.)
Ec proinde (ut aic, praet. Pa8. 3.) Jhoc maxime optaret, tam sua quam Lecto-
ris gratia, qui ad haec lecenda e exammanda accedet, ut antequam censoria vir-
sula quidquam damnare suscipiat, exempla hujus novae doctrina, quae in Lharmo-
nicis natura monstravit, probe perpendat, ec. Sciat, velim, Ctram hac ex parte
optioni sux Patistactum iri. Neque me ab FTarmonicis cousque abhorrere, quin
qua inde proculerit probe incellexerim, et quancum Pacis est perpenderim. Viut
ceo incerim nihil ex Tlarmonicis productum video, quod rel protundae admodum
lic speculationis, vel sentis luis impense fareat.
Priusquam autem nova hujus doctrina medullam actingam, occurrie in limine,
quod monet, PrXel. P. 6. de Aurhorum locis aliquoi, quae Graece  Latine edenda
censuit. Duancum, inquit, in vertendis illis ee emaculandis (utinam nOn ee
commaculandis aliquories) praestiterim, illi demum cognoseent, qui aliorum ver-
siones inspexerint. Nam e (quod quidem verum est, nec rel ipse hac ex parce
exculandus cA) doctissimi quidem viri, in his interdum Ballucinati sunt.
Duam enim, inquit, curpe est, quod Jos. Scalieer, vir in Craecis e Fatinis h
teris summus, op dozeorior ro AB, BF. interpretatus sit, Clavium aliosque, etiam
doctos viros, sequendo, (Rectangulum sub AB, BC,) cum vertendum esset (RC
etangulum ab AB, BC, ) nempe concencum, aeuzouvor. Ouod quidem, utut
centuram force aliquam mereri possit, (nam rerera, so ruo AB, BP, vel ut bre
vius dici non raro solet, rd Lvo ABF, lacinius dicendum estet, quod rectis AB
BC, vel simpliciter, quod ab ABC, continetur rectanculum:) tamen nec adeo
curpe es hoc Sphalma, (cum sensum haud omnino immutarerie,) nec etiam 2b
iplo primo detectum. Id enim jam olim, ante annos DluS criginta NOLaVCTAE
Flonorarissimus D. Fenricus Savilius, (a me non line honore nominandus,) in
Tuis ad Fuclidem plarectonibus.
Verum id omnino curpius est, quod ab hoc authore Eaepistime peccatur; dum
nempe, (illud Scaliseri mendum vitare volens,) ro o et re sro (quae apud
Fuclidem, reliquosque, accuratissime distinguenda Cunt, quippe direrli admodum
Tioniticatus,) ille plane contundit; utramque exponens per Lacinorum a, vel ab
Exemplum esto, Das. 48. L. 17. pupit Sin on apes 2d Sro AO S ru OH, coeS 20 Sto PC
Si lu OZ, uei Cora noyoV ExCI Hes 20 Ero AO eis 1 ro BC F. WBHESI 20 Eoro AC
S rlio OH, cegs io ruo BOF, S rlo OH. Thi ni accuratistime distinguancur
2o dro, ec 20 o (quorum illud Ouadratum innuii, hoc Rectangulum,) nihil inde
sensus elicietur, sed contundentur omnia. Ac horum ille uerumque per an vel
ab indiseriminacim reddit; Ec, nihi ex abundanei lupplerisset voces duadratum
et Rectaneulum, quae in Craeco rexru non habentur, contudisser omnia. Sic enim
reddit (neslecta plane praepolitionum vi) Atque hinc quoque dico, quadracum a b
ATT in ZIC, ad quadratum a C FY in Fl F majorem rationem habere, quam
quadracum ab AFZ ad rectansuluma P FZC: hoc elt, Ouadratum ab ATL in
FTG, ad Rectangulum a BFZC in HIG. (Et sic multories cum illic, cum alib.
paltim.) AC omnino pocius esset (quod Fecerunt quos ille culpat) ut od sub
ec dro abqu reddatur, (utue minus Lacine Fortan, ac magis distincte, quod quidem
hric spectandum erat,) quam ut uirumque per ab etteratur. Vet Salcem, si (vE
genuina vis praepolirionis rod retinCatT) io rod BOF, hoc CA, 2d 1d s BO,
OF, cerezopdvor opdorcorior reddatur quod (rectis, vel) a rectis BTI, TIC, conti-
hetur Rectansulum, (nam ieoo cum Creniciro constructum, asencem uc plurimun
Indicac, sicut apud Lacinos ab:) rum nullo modo commodum et ut et erd sic
reddatur:

## Folio 260 — 851387705:0280
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000280.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
MIETBOMEE DTALOCUS
recdatur; DuTa, 2 So A O, hoc es rd drd ∞ A O geqeouvor rerea qcovor, redeatur quod
a recta ATI describitur quadratum. AE inquiet, Annon ero signiticat ab: Om-
nino, inquam, (sieur e rd signiticat sub.) AC non, Tieut quod rectis BFY LIC
continetur rectaneutum, illae rectae continent; sic quod recta ATI describitur
quadratum, illa deseribit recta; sed porius Geometra ad illam rectam, vel super
Cam. Vercendum isieur eBer ro So AO, quod ad, vel super, AFE describitur,
aut ticu quacratum: vel etiam Der ex, UE 30 Sro ZVNE (gerouvor) Lacine dicitur,
quod ex lieno fit: vel denique, citra praepolicionem, quadracum rectae AII: Non
aurem, quod hic auchor ubique Facic, quadratum ab AFZ, ob caulam jam lupra
dictam. Arque hoc quidem ad ipsius Cricicismum ericice reponendum duxi.
Ac interim non nego quin hac ex parre laudandam nonnunquam prestiterit
OperaM. Sed e nOn FarO, quae vel maxime erane emendanda, ille minime anim.
adverrit. Non raro etiam, quae prius erant tac recte consticura, reddidic de
Pravata.
Ejusmodi quidem eso iptius meeiar repuro, quod, dum in rationis defini-
tione, 3 d 5. 107~ 63 Sio gedior SuoCrO n XZI NINOT coeiS atnna no:d geots.
magna disquisitione inquirie, quid sic illud n r anomra (de quo post vide
bicur.) quid incerim illud noce geors signiticer, neuciquam est solicitus. Sed (alios.
tateor leguucus) exponic quaedam relatio p. 9. l. 24. vel, ad lummum, certa quae-
dam relatio, p. 10. l. 27. Et alibi, (ue de timilem Aristoxeni detinirionem pac. 83.
1. 20.) quali quidem noia cancundem Cigniticet alque nis quaedam, vel certa quae-
dam. (Sic in Fuclidis Tneroduct. FTarmonica; pa8. 1, 2, 43, 49.) Cum cercum
sic ex perpemo iltius vocis utu, noor, qualitatem relpicere: neque tam indeti-
nice aliquam, quam aliqualem, leu pocins qualitativam habicudinem hrie innuat;
quae nempe praedieamencum Qualicauis specter. Ec quidem in accurare detiniente,
nullo modo terendum ridetur, uc rario detiniatur indetinire relatio quaedam, sed
dererminandum erac; quaenam relacio. Cum enim ue elt norissimum varia sine
admodum relacionum sire habicudinum genera, determinandtum erat ((iquid de-
tinite proterre velter) quod genus relacionis hic spectetur.
Nec quidem susticie, quod dixerir Ruesides i re nnomra secundum quantita-
tem; nam vel es v= Xera grocr sunt etiam varia genera. Acque hoc qui-
dem potuisser ille (ni maluillet depravare) ex Scholiaste didicisse, quem citat
Pa5. 22. I. 25. nezerur 3 ny doin gcors, 27 2o excr (lese ad EXC1) ny ENEINCI. Fest
autem e alia (inquit) quae dicitur relatio, secundum excessum  defectum.
Nempe, praeter eam, de qua illic agitur, relationem, quae Rario appellatur, est
et alia, inquitus Relario sire habieudo, quae Differentiam spectat, live excectum
e delectum: qua _ ipsa quidem est n r mamora geors, (prout hic ille incelligit
NINOTA,) Sed nOn noca geors: quippe illic Polummodo exceltis, guantitas lpecta-
cur, non qualicas; sire, quanso sic hoc illo majus, non quantuplo. Dum autem
hric Auchor, pro inn lesendum vule ancos, prortus haltucinatur. Non enim
(quod ille Putac) de qu’a agitur relatio, quae Rario dici toler cadem de alio
nomine dicitur Relatio secundum excessum e defectum; sed plane alia. L.Atque
hoc Puorum axasedco uuel reor unum.
Sin quaeratur, L equid hic Oualicatum sic, in Racione sive Proportione. Noril.
Timum certe elt, uttixurarum Maanicudinem ad Ouancitarem spectare, ita et figu-
rarum Speciem ad Praedicamentum Oualitatis, nempe ipsius (uE Loguuneur) spe-
ciem quartam. Constat autem Figuratio, sive specierum Fisurxe decerminatio
duabus poristimum parcium ad invicem habitudinibus; puca Ratione, e Ineli-
natione. Quarum itaque urraque elt noia géors, Ut quae OuanEitans Qualitatem, puta
Figuram determinant. Ilta quidem re manoran hXC AULEM X=) Xo necodas GUIDDC ex
comparatorum Ouantitare (secundum Ouotienrem aestimanda) dependet IIla, haec
ex SItU. Acque haec quidem si probe incellexisset hie Author, non cancum sibi
tacellere negorium opus haberet, ut, quid SiC n XE mainora noia xois magno moli-
mine exponeret.
Alterum ejuidem nacg tbe deoua (quo pas. 43. P. 2. c 9. Pro apduois perperam sb.
sticmisset nozois,) cum ipse in erratorum cacaloso rerocareris eso pro reltituo
habeo, adeoque pratereo.
Dum vero pas. 10. et 22. (e alibi pastim.) pro Quanto substiir Quotum; et
pro Quantitate, Quotitatem; id admodum absurde tactum ridetur. Pequis enim
morcalium 20 novdr p. 10. l. 27. (quo d in ouveris et suprocctior mox est distribuendum)
InterDrC.

## Folio 261 — 851387705:0281
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000281.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
DE LLOIORTIONIBUS.
InFeIprCtaLuS CCet Duorum. FL quis, qualo, non plane mirabitur, dum haec ver
Ba, (Tin. 23.) mainoris 20 nses 63 28 ousey 5 S nei nevous re scopisein exponi videat
duanticas est terminus continui quoti, e quotitas disereti. Oui de Simile MOX Oc
CuTEII (pas. ZY. L. 3.) Differunt 20 mininor (8 r0 Od. quod 2d andixor, ad quotilatent
continuam referatur. 2d rcoor ad diseretam. Dic, obone, quis unquam ita conti
nuum quotum, dixerit, aue guotitatem continuam: Soleus quidem nOn rarO
duantitarem, cum de concinuo, tum de dilereco dicere; de magnicudine, inquam
Perinde a: que de mulcicudine. Acqui ita Quotitatem dixerie, c certe Primus es
morcalium. Quantus numerus, incerrosabit quilibec; ac quot magnitudo, quarit
nemo, led quantum masseaudinis.
AC, inquii nvor versi quocum pocius quam quaneum, ne cum mninor id confun
derem. Differunt enim mathematieis 20 mnixor 5 r0 roodi, quod ro mainor, act
quantitarem, seu potius quocitatem, continuam reseratur; o oos, ad discretam:
quomodo e in hoc Scholio accipiuntur manbrus  rooos; adeoque hoc ultimum novo
vocabislo, necessitate adductus, verri Ouoritas
MIrOr equidem, quam haec parum cxirice, d viro Critico, Line prolata. De
quocitate continua, modo dictum cst. Si enim, quod ille rule, quositas ad dilere.
ram cancummodo spectat quaneitatem, qui pocerit ille sine absurdo dicere quotita
dem Continuam. Deinde, dum innuis, 2o nvor ad discretam quantitatem referen-
dum, non icem ad continuam; icerum hallucinatur. Non enim rd nvoer (quan-
Tum,) SCd râ nosa (quot,) de quantirare disereta speciarim dicitur. Pooor aurem.
rei de quancitare in genere, prout ucrique specici (continua e disererae) indiste.
renter se haber, vel etiam speciarim de continua dici Colet. Er novons in Scholio
(PEONE mNNOMS OpPONitUT, e ad discretam quantirarem reltrinsitur) Tac quidem
rECtC gnOTItAS VEEETuE; non autem eam a novor, quam d nesa, diei intelligendum est.
Ouod aeM C L LOavor C 70 novor Mlleximen astionat, omnino suum elt, non
Machemacicorum. Sune enim vel plane idem, (quories nempe rd osdr de COnLL
nuo speciarim dicitur;) vel salrem ro novir tanquam senus cum de continuo cum
discreto indifterenter dicitur; ro mxixor, Speciacim de concinuo. Dum vero Le
nosor quotum vertisse dicit, ne cum mninor id contunderet; admodum ee hoc im
prudenter lactum elt; vertister siquidem (suo sentu) nod quantum, et mainor
quam maenum, (uc genmina ueriusque rocis vis CONTCTVATETUT;) nova denique
quam mulla. OMIDDCTS no quantis dux Cune species, maivor quam maenum, et
neva quam multa. Vel, si abitractis porius uri placeat, duantitatis dux lunc spe
cies, Maenicudo ee Multitudo. Sin metuat, ne hinc manoms ec udes contun-
dantur; DICO, Primo, non masuu ud elte incommodum, si (quod contendit
Hic auChOr, p. 86. 1. 8. et alibi) cancundem signiticent. Deinde, yE accuratius
respondeamus, dieo vocem uedo, nonnunquam sentu concreto sionifieare rem
maenam, nonnunquam sentu abstracto rei maenitudinem, seu grancoris mensu-
ram; priori sentu, per masnum exponi poreric; polteriori, plane idem este acque
mnmomlae seu mainor, maenitudinem, seu quam magnum. Denique, sin acttrue dua-
bus rocibus Cracis, utut synonsmis, duas Lacinas aptare volet, pocerit alteram.
maenituainem appellare; alteram, grandorem. Oc nullo modo opus sic quosi aut
quotitatis vocem, Proquanto aur quantitate, praecer omne exemplum, substicuere
ubi vel de quantitate continua, rel etiam quanticare in genere, verba tianc. VBi
vero, quoc ot Lato IC, 20nom Sclici apcac auvuntur quanticari disere
ta, (quo sensu squus dicitur animal, auc etiam sentiens,) ferri quidem porest
UE guOTI VOCE VertaTuT: Nec tamen incerim necellario tic; nam ee quantus nume
rus, e quama mnuua, e lolcecimo dici consuerit; de quidem melius quan
quocus numerus, quosa multitudo; quippe quotus, potius ad numeros (ut loguun-
Cux) Ordinales quam Cardinales respicit; e quaerenti quotusd respondendum
Dotus primus, secundus, tertius, ec. qua unus, duo, tres, _c. FF quidem re
magnicudinum voces omnes, etiam MuILIIaLI non Pate aCTouuntur: puta dum
numerus alius alio major dicitur, aut minor: uelmasimus, ee minimus; lec
ee maenus, parvus, eoc. ut nullo modo milandum Lc, numerum diei, noos quan
Tum; neC OpUS SIE ut guotum CubStIEIaMUS.
Ejuldem commatis cst, quod pas. 87. l. 9. Excicn τ8 100B, 20 per 62V ex rois ouvezior
ococaoir, d si aerede rgneirum set o  pNIS_ n VcouEN 183 EY SeSCoDIV, OE dss1
desun aset di n aep duntinn rgraziveras. FXPeM Labum Quot aliud est in corporibus
continuis, quod Maenitudo vocatur;, eirea quam imprimis versatur Cicometria:; aliua

## Folio 262 — 851387705:0282
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000282.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
MIETBOMTI DTALOOUS
in diseretis, quod Numerus existit, cirea quem Arithmelica occupatur. Oualt
quidem quotum senus eslet ad quam maenum, et quam multa. Ileque hilo me-
lior elt, quam lubjunsie, correctio, lin. 17. Rectius forte ronooor verieretur AlI-
quorum, quia nésor est Duotum. Imo, inquam, rectius rexteretur Aliquantum,
quia non quoritas, sed quantitas, senus elt ad magnitudirem e mulcitudinem.
Sednimius elsem si iplius omnia vel nacpapa vel napactopdesuara, quae pastim ad
mitie, nocare vellem. Deuc enim Cricicus admodum rideri relit, auc ctiam Fy
Pereritieus, (aliisque ienorantiam ee neslectam Graecae literaturae culturam, quali
ipse Tolus incellisar, multories exprobret;) quin porius raparpilinos non raro haben-
dus SE, exo nullus dubito; nec, credo, dubitabunt alii, li vel censuras ejus exitice
expendane. Fgo, omistis aliis, eorum unum aur alterum, quae ad praesens spectent
nesorium, adhuc expendam.
Horum alterum, Archimedis prop. 8. lib. 2. de Sphaera et cylindro, spectat, cum
Futocii in illam commentaris, p. 4.T. ec legg. Cum enim se alibi, in librarioruM
mendis expurgandis, diligentillimum oltene; et laudandam aliquando operam
impendir: hic, vel data opera, neslisens ridetur. Nam p. 4 F. l. 27. PrO Sinnelotor
(quod librariorum incuria irreplerat) reltituendum crat sindaoiora. (Sic Finelid.
Sect. Canonis. p. 28. 66.) Ouod quidem librarii mendum elle, vel hinc patet, quod
in hujus propoticionis, cum Endeoci p. 42. 1. 4. tum ovunuspan p. 45. l. 26. Cubi
ipsa propolitionis verba crant recitanda,) lesitur Amnaoiora nOn smaćioror, quod in.
dicio elt, ita in ipsa propolitione lectum tuiste. Sed erlic legitur lapius in de
monttrationis curriculo, p. 44. 2. 6, 9, Lr. e in commentariis Lutocii, p. 40. l. 20.
e p. 55. l. 22.  p. 60, l. 28. 29. _ p. 62. l. 25. 23. _ re1asiora p. 55. l. 20. Simi-
liter p. 43. I. 9. ubi icem mendose lesitur smaoer, reltimendum Crat cnooiora.
Ouod quin librarii mendum sic, minime dubitandum est; quoniam ubi hic ipse
rextus ab Putocio recitatur p. 49. 1. 29. recte legitur smooiora. Acque caclem
etiam adhibenda erat correctio, p. 43. l. 3. ec p. 45. 1. 29. e p. 60. l. F3. Similiter
ubi in editione Balileenti mendose legeretur deze smdaoror, ille non minus men-
dole Substieit, nozos smeoros, p. 55. l. 6. cum omnino substiuendum eset nbyos
snaoicor, quod quidem vel ex l. 9. latis est manileltum ubi snnaoicor legitur, ut _C
p. 64. P. 4. Fodem modo ubi alibi in eadem editione Basileensi, corrupte legitur
semaoror, Cubstieuit ille snxaons, p. 47. L. I4. cum pocius Tubltituendum cRer snhaoioros.
Sed et alibi pro smeoros, Substimendum Amaoicor. P. 60. 1. 32.  p. 92. l. TX. _ p. 63.
l. 7. FC DEO rSImEOS, r aotcor P. 63. l. TO. e p. 64. 1. 9. et PIO Smmaote, Annacora
P. 54. V. 25. Ouanquam enim, huic quidem auchori, perinde tortan sInt noyos st-
maoros e noyos snasicor: non tamen reteribus Geomerricis perinde ligniticant: quod
tire ille neser, sire ignorer, probe norunt alii.
Parem emendationem delidero, Scholii pac. 30. Nempe l. 32. prO SonNaOS;
Substimendum Sinnaoicor EC pae. ZF. L. 25. DEO reIMaOIOV, InactoV: X CONEra l. 76
pro retrnaotora, Tubstituendum rinaoor. Sed e ibidem à noyos o en rcor so expotuiller
vocins rationem ex binis compositam, quam rationem ex binis constantem. Adeo-
que sensus, qui jam plane curbidus est, perspicuus eHet; Oi nezcu on So Noyo1 2E Evoc
Sndeoros cior ny ruro pdei rep. aMt on o noyoS, S en rar No sinnavicr Esir. FlOC eA, Non di-
cit Euclides (10d5) duas rationes unius esse duplas, ( Dura 3 + 3 =- 2X2. = E,
quod etiam verum: sed rationem, ex vinis compositam esse duplicatam; puca
Ex3 = 2 elle duplicaram rarionis 3. quo quid este pocest magis perspicuum  HIoC
aurem, dum ille sic exponic, Non dicit, duas rationes unius esse duplas; quod eti-
am verum: sed rationem ex binis constantem esse duplam; cequis inde sentum ul-
lum commodum eliciet. (quam triside autem hoc incerprecetur Meibomius pae
T7T. L. 10. qui roler, videat.) Sed e sequente pag. l. 35. Pro remnaoror legendum
remnaoiora _C Contra L. 25. Pro recrnaoiora, lesendum recmdéoior.
Superest adhue aliud, quod e omnium curpistimu est, naegstoe dova. quo per-
pecuo Deccat; ec quidem data opera. Nempe, cum apud Fuclidem, reliquosque.
aogos AmetoroS, TeCXAeoIS, TErOaotoS, SEC. atque noyos Smaoicor, decmaoicor, TerS C MNadicor
Sec. immane quancum discrevent; Ille haec ubique, vertendo, contundic; nec ali
ter haec quam illa exponit. Neque Tolum ipse nestisit, sed nec ab aliis obserrari
dilcrimen PaLICTI. Adeoque cum interpretes Lacinos rideat, C’ampanum, Clavi-
um, ecc. (quo dilerepanciam illam ureunque recineane) illie racionem duplam,
Triplam, _c. dixisse; hic duplicatam, triplicatam, quadruplicatam, dec. quam de
inde (ut aIT P28. 173.) lequendi formulam omnes Mathematiei usr parunt: ex
clamaL

## Folio 263 — 851387705:0283
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000283.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
LLLDPORTIONIBUS
clamat ille, (qualt hotrendum aliquod tacinus accidister,) Ostapendam C aCd
Cuneuae ienorantiam. (quod nempe nelcirerine homines 2o ero, e ro rvo iisdem
rocibus Lacinis etterre: neque abzor smmaoror ee noyor smmaoiera contundere:) at
que erroris faeditatem: (quod nempe maline diltinctius loqui:) qua non valeus
Mathematicorum, sed Duces atque Principes inclaruerunt. Nempe non modo in
cerpretes Lacini, led ec ips Craei, Huelides, Thco, Futocius, ec. quibus diver
Pa Ponanc sintaoros e simrasiur quippe nesciebant paricer, cum hi, Ccraece loqui
cum illi incelligere: upore ab Luihrmio, Termotimoque, (quae sibi fecit nomi-
na Meibomius) nondum edocti.
Dicet torralle; Snicioror ee Simnasicor, si Frymon spectemus, perinde sieniticare
nec elle cur haec rox magis quam illa redelatur duplicatus. L’orralle quidem. Sec
nec, inquam, si deriracionem spectemus, disferre videbuntur duptus de duptca-
tus, (acque alibitorlan, extra hunc catum, PrOmisCuC WTUIEPANCUE,) ac laltem
ulu dilterune, cum abzos dirneoie e sirnaoicor, cum ratio dupla e dupticata.
Dicet porro, Lexicopraphos, et nommacim Scephanum, pro Synonymis habere.
Nec mirum, inquam, Lexicosraphos, (ucur viros doctos, et Craex Lingux peri
105, li nOn eC PeritoS Machematicos,) haud semper Lynceos else in vocabulis
Machemaricis incerprecandis: (praelerum dum quid exulu Machemarieis peculiaris
masis quam ex rocis Frymo, dependeat:) Neque enim tam a Lexicographorum
incerprecationibus, quam a Machemaricorum detinicionibus, pecendae lunc ejusmodi
vocum interprerationes. Lit quidem, iildem Lexicographis, Suber _ Bugens
cancundem ligniticant: Nec tamen incerim volet, credo, Meitomius, VE negos M.
ccopioS, _ abzos Sucens, apud MatheMaTICOS, PTOMIENE VLIIEPENTF.
Mistis aucem his cricicilinis, (qui ad Grammaricam magis pertinene, quam
Gcometriam,) iplius de Racionibus et Proporrionibus novam doctrinam perpen.
clamus.
Ratio, inquitus quae Craecis nogos dicitur, secundum quam hoc ad illud rationem
habere adfirmamus, Duorum ejusdem generis terminorum inter se certa relatio.
definitur. Pa8. 9. AC, inquam, mucila est haec detinicio . Annon enim Pater e
Filius, Tunc termini ejusdem generis: Annon eorum inter se relatio, puta Pater-
nitas e Filiatio, estcerta relatio: AEca certe Ratio non cAt, de qua jam asitur.
Cloudicat itaque haec detinitio. Sed vel Maenituainum ad invicem relatio, auE
etiam certa relatio, non omnis, est Rasio: nam neyorat ny andin gtos, X 20  XCV:
Encirer, ut ex Scholiaste modo audirimus; qua es ipla non minus est certa rela-
Zio, Quam quae Ratio dicicur.
Deinde Rationem distribuens, pa5. 23. _c. aliam vule este Rationem Aqualem:
aliam Znaequalem: ee quidem vel Majorem, vel Minorem. Cum dixisser potius,
Rationem aequalitatis, inaequalitatis, majoritatis, minoritatis; vel etiam Ratimem
aequalium, maequalium, majoris, minoris. Nempe hoc vellet, loquitur tamen pi.
nuis accurate. Ouipre Racionum nulla non clecum aqualis, cum inaequalis, et
quidem rum major, cum minor, prour illa cum aliis aliisque COmBATatUI. PuLa
ratio 3 ad 2, aequalis est rarioni 6 ad 4, major aucem ratione 6 ad 5, MInOF 12
men quam 6ad 3. Rationem aurem majorem (incellise, rationem majoritatis,
subdiridit in mulriplicem, superparticularem, (superparcientem, sive, ue ille l0
qui malic,) Superpertem, multiplicem superparcieularem, (mulciplicem superparti
encem, live) mulciplisem superpertem; recepio more. lt parionem minorem (seu
Pocius, minoriraris) similier in submultiplicem, sub suxerparticularem ec. eodem
modo quo alii. Ouibus dum ille certiora tracti posse intinuat; metuo ne quae ille
Pro cerrioribus habet, pro magis incerris linc hrabenda, quod luo Fortan loco, cum
ipsa proturet, videbitur.
et; nec quam adtere instancia hujulmoct ququa IlIadet. F.st enim ratio 256
ad 2+3, luperparciens; nempe supereredecuparciens ducentelimas quadrarelimas
flancicacibus Trrationatibus (uc loquuntur) Rationes esse innumeras quae ad haec
Genera nOn reduCUnET. At in numeris, (sire incegris, sive etiam Fractis,) qus
quidem sunc rationales inter se omnes, nulla est quae ad illorum generum aliquod
non reducatur.
Dum aurem huic distributioni hoc u)Il (P. 15.) Foroe hoc monendum.
nuner ad numerum rationemt aut, quaicao majot da minorem in mulla paerco
dductarum rationum: cujus rationis est Mitotta ut LEutlatoncis, contentum Bts
minimis numeris, 256 ad 243: Omnino Tommialte videtur. Nam neque id verum
certias: ue dividendo patet. NetPC 245) 256 (T. 33. Verum quidem est; in

## Folio 264 — 851387705:0284
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000284.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
MIETBOMET DTALOOUS
Sec, his mistis, ad ea quae sibi porissimum cradenda suscexit properabimus. SunE
aurem ea Taltem haeC GuaTLIOT. F. Furocium, exeterolque, non intellexiste quid sE
mninos: _ rationum mamouras male per divitionum quociences xstimalse. Adco-
que quid sic rationum compositio parum intellexiste. 2. Non aliam elle rarionis
duplationem, triplationem, _c. Quam quae detinitur duplicatio, triplicatio, ecc. 20 d 5.
Adeoque perperam locurum Pheonem, aliolque, qui sextuplum ese volune tripli
duplum. F.Fnon nili ob stupendam Cirxcae Lingux ignorantiam, alio sentu utur-
Pari rationem duplicatam, triplicatam, ecc. acque duplam, triplam, ecc. quo nempe
Amnotcor, recrnaoicr, eC. eE Pirnaoros, ecrnaoros, ec. diltinguantur. 3. Non eam sem-
per rationem majorem dicendam este, quae majorem quantitarem innuie, (pura Z
quam =) sed eam quae ab aequalicate maxis recedit, seu cujus termini magis inter
se distant, (pura rationem a majorem elle quam Z,) e prOPterCa, quae aqualiter
ab aequalicate recedunt (puta Z ec Z) inricem aequales elle. 4. Ft propterea,
dum Fuelides, reliquique ad unum omnes Greometrae, rationem, verbi gratia,
minorem habent quam Z; tum Fuelidis aliorumque nonnullas, cum GrCOOTII d San-
Eto Vincentio, plus centum ee trisinta propositiones hoc nomine falsas etse clamitat.
Elis ue riam Sernat, concinuis 55 pasinis (nempe d Pag. 26, ad p. 7, o. inclusive.)
Ex Futocio, Knelide, Archimede, _c. loca quadam Grace et Latine recitat, quxe
Secucurae cractationi materiam administrent.
Tum P. 70. 7T. rationem 35, quam, inquir, Commatis rationem recentiores fa-
ciuns, ille centies et duodecies componic; hoc cst, es tories politam concinue mul-
ciplicat; sive, quod rancundem est, radicis son tor continue lequentes poteltates in-
restisat. Cui bono, ipse riderit.
Dende, toris continuis quatuor paginis, docet, in Minutiis, 2 
23 = X ,3 (quod quis nescit:) Trem 3 + 3 + 1 = 2 F ,3 L 7
2
3 + 
22 = 2. Sed d
=12. Et Z + 3 =5 +8 = 8 =25. Oux liquis antea nescireric, ab Fuchr-
mio, per me licet, discat.
Perum (inquie p. 66.) Si Rationum magnitudo sit exploranda, illa major est,
cujus termini lonsius inter se distant. Pulchra quidem detiniciol acque Lychymio
digna.
AC interim longe aliud est sua major ratio, quam Euclidis de exterorum omni-
um. Ouippe illi, per rationem majorem, eam incellisunt, quae expositae quantita-
eis plus indicat. l PrOut ex perpecuo iltius appellationis ulu, Patis abunde constat.)
Adeoque criplum duplo majus esse rolunt, non quod 3, T, masis distant quam 2
E; (quanquam es illud verum (IC;) sed quia 3 A plus indicat quam 2 A. EL parI
de caula semillem quadrante majorem esse rolunt, (hoc elt, subduplum subqua-
druplo,) non quod r, 2, plus diltent, quam F, 4, (quod taltum elt,) sed quia
3A plus delignat quam : A. Ft quidem, sient inregrum est semissis duplum, sic _
semis est duplum quadrantis; quod quidem (ante Meibomium) omnes lani sen.
Terunt.
Ideoque Meibomius vel perperam nora lua definitione explicat quod illi Ma-
joris rationis nomine roluere, quipue detinicio detinito non consruet; vel, si ipse
uldem rocibus aliud quid incellectum relit quam quod illi innuebant, non lo-
quitur ad idem; adeoque absurde admodum corum proxolitiones Fallicaris inculat,
quod nora sux nomenelaturae non conreniant, (de qua nemo Pobrius ancehac co-
Siraverie,) Si incerim verx sint (quod vel ipse nulla Fronce negabic) eo sensu
quo cum iptos loguutos esse constat, tum sani omnes illos incellisebant. Loque-
bancur liquidem eo sensu quem voces illae tunc temporis obcinebanr, e quidem
per omnia retro secula hucusque obtinverune, nec alio sensu intelligebantur, aut
etiamnum a fobriis incellisuntur: quo sensu li vera line quae proculerunt, Fallitaris
minime lunc acculanda; quis enim illud julte postulet, uc Euclides, ante bis mille
Forlan annos, conjicerer quo noro sensu has voces uturpaturus elset Mcibomius,
eique Tua dicta accommodaret.
Ouo aurem sentu loguurus sic Fuelides, (reliquique,) nequis dubitet; illud
 detinitione Vi, (quam ipse resert Meibomius P. 30. l. 4.) decerminatur. Pa fi-
quidem detinicio, ucur alis verbis, eodem tamen quoad rem sentu quo nos jam
diximus, quae ratio sic apud illos habenda major, oltendit.
Ouod aurem ille pa5. 126. l. 22. falsam esse concendar illam libri quinei detini-
tionem septimam; omnino ridiculum est. Detinicionibus enim suis Machemarici
hoc tancum rolune, ur sciar Lector quo sensu haec aur illa nomina apud le incelli-
Benca

## Folio 265 — 851387705:0285
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000285.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
DE PROPORTIONTBUS.
Senda velint. Detinitionem itaque illam tallam dicere, perinde est atque dicere
Euclidem nosseuceo senlu vor illa incelligatur, quo incellisendam le relle di
Cic. Duod ne quidem Meibomius dicere sultinebit. Sed neque dicere potest
verbis ica incellcetis, uc ea incellisenda se velle dicir lvelides, Propotiriones se
quences Fallaselle. Hoc tancum aic; majoris rationis appellatione se quidem aliud
quid incelligere quam quod incellexerat Euelides, (aur etiam alius quilpiam sire
Vecerum live Recenciorum,) quod nec livelidis detinitioni, nec propolicionibus huic
detinicioni consentaneis consruic; ee propterea cum Euclidis detinitio et provoli-
tiones une inter se Paris consentanea, ipsique (eo sen(u) veritati, non tamen
contentiant norx Meibomii nomenclatura (de qua quidem illine per Tomnium
Coritarune, auc cosicasse debuerunt,) tala omnino (per logicam Meibomii) Lune
dicendae. NTempe LiCvE (quanEm ad PatIONES MInOTIS, VE LOgIunEE, inaequalita
eis) per rationem majorem id ille incelligie, quod alii perminorem; sic ee torcastis
per propositionem falsam, id ip(c inellisu, quod per veram alii
Sed exempla videamus quibus hranc sivam doctrinam exponic. Quomodo (inquit
8. 3.) ratio & major est ratione 8: (Rectc.) quia nempe inter 9e6 majus
est spatium, nempe ternarii; quam inter 83 6, nimirum binarii. Non, inquam
Idco. Sed porius quia illie ancecedens superat consequentem majore lui parie,
pura Pemisse; hic autem minore, nempe criente. (Saltem (i per Meibomium liceat
Semillemmajorem dicere, quam Friencem.) Non enim excelluis cernarii, deter
minat rationem 9 ad 6; aur binarii rationem 8 ec 6, (Nam in 20 ad 7, _ E7 ad
O, comparatis, id ipsum cernitur;) sed illic excettus semistis; hic, trientis. POrrO.
8 _ 6, lonsius invicem ablunt, quam 2 e Z; at non item racio E major est ra-
rione Z.
Dicic; incelligendum illud de racionibus cancum ad communem consequentem
reductis: rel lalrem ad communem ancecedentem. Puta 5 e 13. Vel 3_8, nOn
aurem 6C 7. L. 1IO.
AC, inquam 2. Cur non isitur hujus conditionis facta eR mencio in detinitiones
Nempe nihil illic dictum de communi ve) ancecedente vel consequente. 2. Kciam
ante illam reductionem, non minus sune illae rationes, aequales aut inaquales, quam
ubi ad eundem cerminum consequentem reducuntuT. 3. Pieri etiam ommino potest ut
ad communem vel consequentem. vel ancecedentem minime reduei postinerationes
comparanda; puta, quando cermini rationis unius ad rationis alterius cerminos
lune hecerogenei. Verbi graria; s ratio ponderis ad pondus, comparerur ad ra
tionem linex ad lincam: Poltune quidem raciones illae, (ne retrarante, credo, Mei
bomio,) vel aquales este, vel inaquales;  quidem vel haec vel illa major: qui
autem possint ad cundem consequentem reduei, nondum oltendie doctissimus vir
neque Facile et oltenturus. Si enim roler vel alterius vel utriusque terminos
commutandos in alios alius generis; exempli sraria ut ratio ponderis ad pondus.
puca quadripondii ad bipondium, numeris exprimatur, ut 4 ad 2; de ratio ilem
lineae ad lineam, puta cripedalis ad bipedalem, uc 3 ad 2; alque has demum ratio-
nes comparandas, uc conster uera major: Hloc, inquam, elt pecere principium:
nam etiamnum incerrosabitur, quo eriterio juxta hane doctrinam innocescet ra
tionem 4 ad 2 eandem esse vel aequalem rationi quadripondii ad bipondium, an
majorem, minoremre. Nam, propter numeros e pondera invicem hecerogenea
comparatio ad eundem cerminum consequentem non poterir institui, quod solum
est (juxca Meibomii detinitionem) racionis aequalis, majoris, minorisre criteri
um. 4. Sune, credo, Semistis, Priens, Ouacrans, ec. Sire subduptum, Tuberiplum,
Tubquadruplum, Scc. non minus Rationum nomina quam duptum, eriplum, qua
druplum, sc. Semillem vero Duadrance majorem esfe, nemo lobrius negare debet
sua parte majus esse, communi ratan persipiunt, (vel Meibomio judice pae. 24 L
10.) adeoque lemillem Guacrante, cpere lui parte. AL vero, per hanc MCt
bomii detinicionem, subquadruplum =, Tubduplo = vel 3, (hoc elt, quadrans se
mille,) majus ester cum F ∞ 4 pLIS hE quam I _2, vel 2 ec g. Ouod qui
dem ueut Meibomio haud, ablurdum veeatur; rix tamen alii, credo, dictu com
quippe qui duobus quadrancibus aequadu; Omnes autem homines totum quavis
modum judicabunt. Sed progrediamur.
antecedentibus spectatur. HC Ga 3)8 (8, quod Pano sensu admirri pocest.
lenlicer, si de Ditterencia chritunu leu uotB, incelligatur. Ac incerim non mi
M
Disserentia autem, inquit, illarum (8, 8,) est ratio 8 quae in uiriusque ratienis

## Folio 266 — 851387705:0286
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000286.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
MEIBOMET DTALOCUS
nus lane, alio sensum dicetur differentiam este Z quia nempe 3 -8 =
hoc dubitet; relim uc exponat mihi hos HToratii versicu105. de Art. P det.
Romani pueri loneis ratienibus assem
Discunt in partes centum diducere: dicat
Filius Ubani, Si de quincunce remota est
Oncia, quid superat poteras dixisse, triens: PU
Rem poseris servare tuam. redit uneia: quid fit?
Demis.
Ouod, Siquid eso incelliso, hoc est 3 = 13 = , 3 = 3. Et B3 = 1 = 5 = 3. AC Sc-
missem, Trientem, Ineium, Quincuncem ec. non magis negabit credo, Racio-
num este nomina, quam Duplum, Friplum, Duodecuplum, Duplum superbipariiens
quintas ec. nempeillorum correlata.
Fadem pas. 76. I. penult. Mensura rationibus applicandam nonnisi ratio esse potest,
(RectC. )Vri enim Tonsicudines mensuramus lonsicudinibus: superfieres, superfi-
ciebus; corpora corporibus, ec. (Recte. Sed d Rarionibus. Puca, linea eripeda
lis pedalem superat, linca quidem tipedali, sed in ratione eripla.) Sie rationes ra
tionibus. Omnino. Pura racio sexcupla 5, Superac criplam Z, racione criplaz, (quia
2:) Sed in ratione dupla; quia 2) E(2. Fodem plane modo quo linea
sex pedum, 6P, Superat lineam trium Dedum, 3 P, linea crium Dedum, 3 P, (quia
6P = 3P = 3P:) Sed in ratione dupla, quia nempe 3 P) 6P (2 vel Z
Similiter, quod pac. 27,78. Colligie. Dicoicitur, rationem 3, in qua tonus major
spectatur, minorem esse decem commatis: majorem commatis novem: Tuo sentu
verum el, (sumpta commacis quancitare 8S;) quia nempe novem commata, hoc
est racio eb novies compolica, (mulciplicando;) live radieis es poreltas nona,
(nbyOS EVrcaatoV) 13132Z, minor elt quam 8; ic ejuldem porestas decima, 3217e ma-
Tor quam 8. Sire in continua progrestione Geometrica, 86. 85 X8. etc. -: Terminus
nonuS (1377) minor est quam 8, decimus aurem (838333) major. Si quid aucem
aliud hic velic Mcibomius; Frultra elt.
Flis praemissis (inquie paz. 78.) ad Rationum compositionem accedimus. EF
lonsa disquitivione, per muleas deinceps pasinas, inquirie, quid mamemles voce
incellisendum (Ic. Px quidem quid mninoris esset, ex interpretibus nullum perce-
pisse, concendup. 87. I. 20. (Nimirum ex Craecae literaturae, in Graeeis disciplinis
coenoscendis, neslecta cultura, quid non ubique, inquie errorum est enatum p. 89.
5.) Imone quidem Furocium  Theonem, (utut Craeci tuerint) p. 80. 1. 22
Imo, inquir p. 269. 1. 24. perspicuum est, non tantum ienorasse illos acithores, quid
sit rationum compositio: sede, quid sit Ratio.
Adeoque mulris ostendic, p. 79, 80, 8F, 82,83. matuor e mamons de quantitare
concinua, sive magnicudine diei, (quod nemo neseit, sed non de hac Tola; ) nooor
anrem e 290es, de mulcirudine, sire quancitate discreta.
Dicimus hos, verum quidem esse, quod Toleane mainor e manoms proprie e
prima signiticatione, respueere quancitaiem concinuam, ee quidem localiter exien-
lam; pura quoad lonxicudinem, laciendinem, protundicacem; quae cs proprie
dicta magnicudo: Vel tallem, id quod ad inctar magnicudinis consideratur, utne
revera (proprie loguendo) magnicudo non lc; ubi nempe quaericur Quantum;
nom Quos. Ono enim sentu, non modo proprie dicta magnitudo, hoc elt, quan-
citas localicer excenta, led de tempus, pondus, ee aple numerus ec. diet lolene
maenum, parvum, majus, minus, ec. Eodem etiam de horum quolibet, maixor,
quantum deu quam maenum, diei pocerie. Sed es limiliter haud inconcinne di-
cieux quanta erudisio, quantus calor, quanta aetate, quanto honore, quanta authori-
tate vir, quanta multicudo Sc. non minus quam eruditio maena, parva, major
maxima ec. item mullicudo marna, maenus numerus, c. Sed e Ratio major,
minor, adeoque et quanta ratio. Lx quidem univertim, quiequid canquam men-
Furx capax proponitur, de illo haud incommode interrosamus non medo necor-
quantum sit, led e muinor, quam magnum. Muod contirmabune, siguis dubicet
cum auchores Ciraci paltim, cum L exicopraphi; in rocibus ininos, mainos, mainos,
mairos ec. Sed nec iple, credo, retrasabitur Meihomius, quippe qui de dorrois
Tonis, mnuomra sienisicanter admodum dici, aBirmne p. 83. l. 16, 20. Ubi autem
non menturanda, led numeranda proxonuntur alisjua; non quidem mninor, quam
mognu QuaCIIS; NeguC neoor, quancum; sed nesvo Guot.
Sinde

## Folio 267 — 851387705:0287
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000287.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
DA PROPORTIONTBUS.
Et quidem numerus utroris huoad considerari porest. Obi enim, verbi crati
dicitur, Numerum ternarium, majorem esse binario; atque Pria, plura esse quan
Duo; cancundem verobique, quoad rem, dicitur: Ac illic, consideratur ucerri
numerus ic Unum quid; ee dicitur, Ouancum illud; ad instar quantitatis con
FINUX: Hic vero, ut plura; et dicicur Ouoc sunt; ad instar Ouancicaris dil
CICLA.
Ouod aurem ille, rooir ad quanticatem diseretam, seu numerum restringere
velic; quod Facere ridetur, pas. TT. l. 5. pas. 82. 8. 2. pa5. 95. l. 23. Iem p. 36. b. 27
ec p. 87. 8. 4. ec alibi: Admodum incaure tactum est; cum cerrum LIF, XovOr, nOn
minus de concinuo dici. Feltor enim quos ipse citat auchores paltim. Ime
Sciplum celtor, qui p. 87. P. 5. id iplum diterris verbis Facetur, Nempe, senerale
esse vocabulum in nooo quod ex maenitudinem, ex multitudinem comprehendat
Cur igitur, ejusdem pasina 1. 4. _ praecedentis lin. penulL contendat ro reoor die
non posse ubi ratio est ineffabilis, seu numero inexpticabitis; Trem, duotum, non
nisi cum rationis maenitudines sant commensurabiles; eso Pane non incelliso:
Pralerum cum proximis verbis lin. 5. agnoseatus so reoor uirique quamitati com
mune ese; _ lin. F2, 78 20SS, Duori aliud esse in corporibus continuis, quod maeni-
tudo vocatur.
aliua in diseretis. Ouicquia enim de Quoto HE, (quX LUa
vox elt,) cerre nooir, quantum, de quancicare continua diei, perinde aique dilere.
ta, nemo Pobrius necabic. Fe ipse quidem omnium minime negare debet, qui
continui quosi de quolitatis continua, (Dro continua quantitate,) Tat LXDC MEMI
nic; et quidem primus.
Sed, ne disticiles simus; F80 quidem concedo, quod ille (ni Fallor) hic con-
cendit, (quod salcem concendere debet;) nempe, mnixor ee mainerra, vel de quan-
citace concinua diei, vel falrem de eo quod ad instar continuae quantitaris con
c
ideratur: Scilicet, ubi quid conlideratur ut Quantum, non ut duot. (Sed e
urjodos eadem, credo, laticudine sumendum cric: Nam quxe de magniudinibus hric
haber Euclides Propolitiones, non solis proprie dictis magnicudinibus, sed eriam
aliis non raro Ouamtis applicantuT.) AC quid pOrTO:
Jam, inquit pas. 83. videamus quomodo in rationis desinitione hoc. vocabuli lo-
cum habet: Rempe nogos 65I No pgedior ouogevcr n X mAINOMTa eSS adinAB. od
geors.
Ouid nobis hac in re videatur, superius dictum est; nempe eam hic innui hra-
bicudinem qualitatiram, qua sic ex quantitare oriunda; sire quae magnicudinibus
competit non tam secundum quod mulsa Cunt, vel eriam limpliciter magna, e
quam secundum quod Quanta, Tire Duam maena, linc; vel pocius duantupla
Videamus quid alii.
Scholiastes (inquit D. 84.) hac voce, insinitas magnitudines exclusas esse, pu-
cac. F’orcasse quidem. Neque male. Nam mainor, quam maenum, non simpliciter
marnum dicit, sed magni determinatam maenitudinem, sire magnitudmis men
luram: quippe de infinitis non dici porest maira, quam magna sint: adeoque
nec illis auribuenda giors, i n mnnorura quae ipsis secundum rnanorura COnVenIaT
(Scholiacta verba habentur pas. 10. 8. 2I. 20 3, XE rnaenomra, inguiE, in R atiON
detinitione additur, ire rophon 5 aneiecor uredur.) Ouem aurem hic exercet Ncibo
mius, criricitmus, P. 84. l. 27. in eo craviter peccasse Scholiasten, quod has voces
X nnnnoura, cum magnitudinum notione conjuncendas putat, cum Fuctides ipse
mitu quidem nussius momeni ridetus. Aleque enim Scholialtes ita separac, quin
articulus n relpiciar vocem geors: (neml ea relatio quae est secundum quantica
cem;) neque Fuclides ita conjunsi cum nocione relationis, quin vox nnanera
dsManes respiciat. Non enin incelligendum est, n xH ~ geoECS XnXINOT
quod videtur relle Meibomius. Oua dixittet Puclides, Maenitudinum relatib
ea quae relationis quantitatem spectun Cequis enim hie sentus cet. Sed n n
 aiscor peredior runiudrura; nempe, ed haenitudinum inter se relatio, quae ipsarum
(nOn, ip ius,) quantitatem spectat. Ec proxcerea etiam, quod obiter moneo
quum dixisset ipse Meibomius p. d. I. T. magnitudinum ejusdem eeneris, secun-
dum quantitatem spectatarum recu, Cat illud commode dietum FICrAE, nec OpuS
CTaE, UC, in emendandorum catabso, Pro spectatarum, substitueret spectata:
Tum P. 87. L. 23. hanc Commarcmi explicationem raxat, Vide ne hoc potius
dictum
redationis notioni illas aajunverat; quod articulus n in Graeea Fditione indieat:
utrumris enim dicatur perinde clt.

## Folio 268 — 851387705:0288
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000288.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
MIE IBOMTI DEALOOUS
dictum sit, ut intellieatur proportio, quae in quantitate, non item quae in aestima-
tione consistit. Cui antam tecie Scholiastae illud lin. Denult. Srnos 2d 0 16; 05.
e
eo aEia dd er nosc duplea siquidem est ratio; altera quoad aestimationem, live
valorem; altera quead quantitatem. Puta, Vini consius, consium AquX ra
tione dignitaris sire astimationis, multo TUPCTAE; non auteM, ratiOnC quanEITaLS.
Vule itaque Commandinus, e recte, rocibus, nx rnmemra, exeludi hic magni
cudinum quoad dignitatem, aliamre ejusmodi, considerationem; camque indicari,
quae est quoad quancitarem. Ouippe non hic consideratur, num, comparatarum
magnicudinum, tiaec illa melior lic, vel rectior, aut regulatior, ec. (quae et ipla
Tunc magnicudinum nosai geoeis;) Sed, num major, _cc. Ft quidem quantuplo ma-
jOr minorre; quae Cola elt, n XHI NNNINOBITA XOI gcoIS.
FCun (InGuIE P. 88.) secutus Clavius, secundum quancitatem) explicat, se-
cundum quod una major est quam altera, vel minor, vel aequalis. Recte quidem,
et quidni: AC, inquii, hoc aeque verum esset, si proXE rnaINONT Fuctides divisset,
 ovo. P’ortalle quidem, (nempe li intelligatur XoooMS, LanQUaM a n’oOV NON
eanquam d nesa dici:) et quid Li. Aminimo, inquit, si plane haec verba omisisset,
nibilominus haec consideratio locum habuisset. P’ortalte quidem; si nempe ita
omisisset ne interim subincelligenda relic: AC E plane abesse velie, ne quidem
Tubincellecta, ea consideratio locum non haberet; quipre reliqua detinitionis
etiam alibi locum habent. Si enim dicitur, Diametrum peripheriâ minus cur-
vam esse; aut quicrurum Scaleno regulatius; erit utrobique so urredior ouor-
veor roeis dronna noa giors, duarum maenitudinum ad invicem relatio qualitativa,
(hoc elt, Dualiter se habent:) ac incerim Ratio nON eriE, quia nON n XX XnAIO-
TO. guos. Dissimilicuainem quipue illa dieunt; Rationem non dicunt, nedum
Inaequalitatem.
Cum autem horum nihil Meibomio placeat; Sed, ex interpretibus nullum,
quid nainoms esset, percepisse, concendat p. 87. P. 2. aque omnes inde hallucinatos,
quod vim vocabuli nnainens ienorarent: videamus quid ipse velit, his rocibus re
ruauomra intinuari. Nempe, in hunc tinem addita vult p. 83. l. 27. ut relatio
nem illam duarum maenitudinum spectandam innueret in quantitate ee maeni-
eudine; non autem in quotitate e multitudine. Ommino quidem. Ouippe, qui
lineam bipedalem pedatis duxlam esse alterie; non dicit duot Tit illa, led duanta
ric, Peu duantupla: non enim duas esse dicit, sed duolam. An vero hoc illud
elt, quod nemo Incerpretum percepit unquam. Sed ignorarunt omnes. Ilaud
equidem crediderim. Ouis enim illud neleit.
Verum hoc Fortan addendum relit; nempe, non omnem rationem numero de-
nominari poste; pura interro, (ut Dupla, Pripla, aliaque Multipla,) vel eriam
Fracto, (ur selquialtera, sequirerria, Superhiparciens terEIaS, SC.) led eas esse poste
magnicudinis ad magnicudinem rationes, quae numeris explicabiles non funE;
nt (in Ouadrato) Diametri ad Latus; alixque ejulmodi irrationales: quibus
idicur non tam Quocuplum, (quod Aricte loquendo, rix de aliis quam Mulciplis
dicitur) quam Quantuptum lic hoc illius ostenditur. (Ouod etiam nemo nelcit.)
Acque huc, credo, spectant quae habet p. 84. 1. 22. Locabulum mmanoms hoc fine
adbibuit, ne seiticet sinistre in numero illa ratio spectaretur. Universalior enim est
ratio in quantitate spectata, ea qua spectatur in numero: quod non omnis ratio in
quantitate spectata numeris explicari possit. Hoc aurem quamris ita verum sE
ucnihil verius: camen, quid contineat novi, eso plane non rideo: quippe quod
eritissimum elt, e nemini ignomm. Sed ee perinde verum est, neque jam pri-
mitus cognicuuum hacipsa (inter alias) ratione, cum Ouid sic Ratio, cum Ouid sE
Fiadem ratio, univertalius de magnicudinibus univertim, 3 ec 5 dd 5. Quam specia-
rim de numeris, 20d6. definiri. Mulrae siquidem Magnicudinibus conreniunt Ra-
riones, qua numeris non conveniune
Dum rero addit, D. 85. I. 29. Ft hac de causa terria desinitioni statim quartans
subjunsit, quae hoc melius expliearet; nempe, omnes ejusdem ceneris maenitudi
hes, rationem inter se habere, quae, si multiplicentur, se invicem superare possunt:
Minime alsequitur in care Puclidis mencem: Acque illud, ejusdem seneris, perpe-
ram inserit in Fuclidis detinicionem. Non enim id illic asic Puelides, ut oltendat,
quanam homosenea quantitares, habeant ad invicem rationes; (quali quidem, ex
hiomogeneis, alia habeant, alia non habeant:) sed, cum det. Praeced. homogeneas
quanciates habere ad invicem. rationem ostenderat; docer hac det. quaenam quan-
tirates

## Folio 269 — 851387705:0289
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000289.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
LLLOTDATIONIBUS
cirates dicendae erunt invicem homogenex, adeoque rationem habere: nempe
illae qua, musciplicatae, se mutuo possine Cuperare: contra vero; quibus illud non
contingie, haud erunt pro homoreneis habenda. Verbi sracia, linea et superticies
heterogenea sunc, quia linea, urcunque mulciplicata, nunquam aequabie superti
ciem, nedum Cuperabu: Currum aurem, ec rectum; puta diametrum, et Perine
rrum circuli; homogeneas quidem esse magnitudines, (adeoque ad invicem rario
nem habere,) utur distimiles; quia cum perimeter diametrum ter sumpram su
Perat, tum diameter quater Cumpta Cuperat perimetrum.
Nec melioris commatis elt quod Clacim Subjungic, lin. 23. Si rationem in 
rithmetica definire voluisset Fuctides, ne quidem additurus esset re rooemtes (crecte
equidem; Sed Dorius e illic, X nnamomra, nam e haec ipla detinitio numeris
etiam conrenic; qui quidem eodem sensu dici postunt crgedu, quo rocantur maeni.
Sed incerim quidni addicurus esset. Non, inquic addicurus cset x rooomle Se
cundum quantitatem, duorum numerorum, aut etiam, numeratarum rerum, in
ter se relationem spectari: quod numerus cum numero comparari nequeat, nisi se
cundum numerum, quo major superat minorem, Scc. (Imo, inquam, et secundum
Rationem qua major superat minorem;) vel contra, minor à majore superatur
vel etiam, alter alteri est aequalis. Nempe Senarius binarium (UpCTaL, nUIMeTC
quidem quaternario; Sedratione cripla. Nec quidem, numeri ad numerum ratio
magis elt numerus, quam, linex ad lineam ratio, est linea: Sin horum utrumque
dicendum velic Meibomius (nempe alteram Numerum esse, alteram Lincam;)
velim uculcerius dicac, qui posti ratio linea bipedalis ad pecalem, atque numeri
binarii ad unitarem, eadem esse vel aequalis ratio; cum altera numerus (C, altera
linea, hoc elt, quantitates inricem heterosenex. Revera, neque ratio est illic
numerus, neque  Leu LCd Ultobique cerrium quid, nempe mulciplicario in nu-
merum, vel lalcem in aliquid generis numerosi, numeris homogeneum. Ouippe
Duplum (sive in numeris, sive in lineis eec.) CAt, nON tam 2, quam X 2, FrC X:
Sed hismissis; concedimus in maonimdinibus secundum rationem comparan
dis, spectandum esse non tam Numerum, seu Ouocitarem, quam Quancieatem
nempe, non quaeritur Quot, sed Quantum hoc sic ad illud comparatum; hoc est
Duocuplum, vel Caltem duantuplum. Concedimus etiam, Racionem hanc non
semper reris numeris explicabilem este; led nonnunquam áseuror ee inettabilem
Sed nesamus, hoc omnibus interprecibus fuisse ignoratum.
Acque tactenns de duarum priori aetinitione, 3 d5, quae dixerat Meibomius
perpendimus; ec, quam nulla de causa ienorantix omnes incularerie, ridimus.
Videamus quid de alcera senciat nempe s a6. ubi detinitur quid TIE, RatIONEM CX
rationibus componi.
Acqui, Majori, inquie, cum admiratione me de altera definitione disferenten
audies, Nam e clari Mathematici, e Craeci reprehensionem incurrent; Futo
cuis (6. _ Theo. p. 89. I. 8. MIruM HOC FaLEOT. Ouippe cum de clari Cnt Mathe-
matiei, et Graeci, diei, credo, vix porelt hoc ex Craecae literaturae neclecta cul-
tura enatum esse, nec, quod vim vocabuti mamerus ienorarent, unde tamen cas
omnes hallucinationes pultulasse modo dixerat p. 88. l. 26. e p. 89. 1. 6. Verlute
hrinc antam captat utrique intiltandi, dum Puelidem inducit quas de Futocio lo
quentem p. 89. l. 22. Jhoc equidem mihi persuadere nequeo, adeo inconsideratum
fuisse nostrum Furocium, virum eximium, quem omnes ex editis in libros divint
nostr Archimedis commentarus padquararor judicant. F.F de LHCOnC p. 09.
28. Llac narratione percellor, nec, quia ducam, bade. et LBeo, noster Lheo, dixit
rationem sextuplam esse duplam ratims triplae: adedt tiota jam illo tempore
pne ratione Mathematier considerarunt nec Cet aa verba tum homines intelleve
runt. Oc. Videamus itaque, quid HE, de quo e Mphusagicur
Detinitionem illam; 5a6. ex editione Cirxca recentet p. 78. l. 18. noy en a
ot yciad Regura orar ai 3 nojcor conamomles Hona Maa ctoae tolcuot rvus. ubi prO
rvas, legendum censet ma nempe noyor. Llequ  IGUIE, nnainomlas quantita-
tes, facile supplebis ec.
Mihi quidem, (utue nra pociorem lectionem purem, quam de seguntos rideo
interpretes,) perinde fere videtur utrumris dicatur. Si legacur nas, intespclata
erune rancxoniles, ip(a quantitates comparata, lire ration lel qui propterea
erunt inricem ducendi, ue faciant nvas (Anatotas, Ct MIHS al1OS. NOn qui
deut Ancccedens unius in suut cons d alletrus vieta in luum; (quoe

## Folio 270 — 851387705:0290
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000290.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
METBOMET DLALOCUS
Patis absurde supponit Meibomius p. 90. P. 23. _cc.) Sed antecedens unius in ante.
cedentem alterius, ue proveniar antecedens rerrius; e limiliter consequens in con-
sequentem, ut proveniat consequens. Puta, si componendae rationes Line et-
erit axa COmPOLIIX ancecedens, e BXB compoliix consequens, ip(aque PrOpierea
ratio compotita.. Sin lesendum a, (quod potius crediderim) per rationis
nmorues incellisendum erit quod ex ancecedentis ad consequentem applicacione
emergit, puta quoriens auetractio; Ouam exo veram elle exiltimo mnnioruros ligni-
ficeacionem. Adeoque rationis Z; vet pocius  E, quancicas erie  e racio
nis = vel x =, quancicas : quae abjcor rusromles, invicem ductae, nocia md (n
nnomra abso, id enim supplendtumi maliu quam asyos) esticiunc, inguam, CompO.
sirae rationis quanticarem, (rel, si libet, compolicam rationem,) =-
Acque hunc posteriorem sensum sequuntur Fucoeius, Theo, aliique cum anci-
quiores, tum recentiores Mathematiei; Facence Meibomio pp. 79. 89. e alibi
Nempe Racionis Quantitarem, dicunc, Numerum (seu quod inctar numeri clt)
a quo dataratio denominatur p. 27. I. L. _ lic p. 22. 1. T. _ 12. NemDe numeru
illum (seu quod instar numeri est, ut ibidem Fulius explicatur) qui si in sequen-
tem rationis terminum mulcipticetur, efficiat antecedentem. P. 17. I. 7. e 30. Qua
quidem quantitas invenitur. divisa propositae rationis antecedente masnitudine per
consequentem p. 79. l. 22. OiriIOnIS ISII quoriens (sire titnumerus inteser, live
Fractus, live etiam Curdus _c.) erir Racionis Denominator, ejusque quancitatem
determinabit.
Si aucem quaeratur, cur Ouoriens ille, sire Racionis Denominator, racionis
Ouanciras diceretur: res non obscura est. Cum enim, verbi gratia, vox duplum
sive ratio dupla, tancundem plane signiticet acque x2 vel x Z: Sisnum mulciplica
tionis x indicat, Rationem elle; e adjunctus Denommator 2 velZ, Quanta sic illa
ratio. Sive, quod cancundem ralet, signum x indicat Mulsiplum (incellise sensu
laxiori) vel, si libet, Aliquancuplum, e 2 vel = Quam mulcixlum, sive Quantu-
plum. Px similices incelligendum erie, quancacunque sit racio, puca r  live racio.
nalis sire irracionalis; nam mreunque  indicabic quotientem qui Oritur ex quan-
titate a Per quancitatem B divita, adeoque denominabit rationem quam habet a
quantitas ad quantitatem b. Ouum enim dit ille, p. OF. I. 28. non vidisse illos, voca-
bulum ruamorms respexisse numeris inessabiles rationes; omnino secus est. Nam nOn
minus quanticas rationis V 2 ad I, (hoc ett, Diasonii ad Lacus quadrati,) Diri.
sionis quoriente = vel Y2, indicatur; quam racionis, 2 ad r, quanticas indica.
ue quoriente Z vel 2. Nec quidem hoc negatur Furocii
verbis P. 9F. I. 25. ciraris; (quod ramen infinuac Mei.
bomius lin. 18.) Id cantum negatur, Ouoriencem il.
lum rere Numerum esse. Non negat racionis quanti
catem hujulmodi sire diritione sire applicatione, indi
cari: Fxmulto minus quidem nesat, rationes maenitu.
ainum numeris inessabiles, sic componi pesse. Fsto enim verbi gracia, tum Oua-
drati cum Cubi latus an Ouadrati Diagonium b, Diagonium Cubi c, quae quidem
TUNE quantitateS IVICE aecuroI; nem BC ut I, V 2, V 3. RacionIS C ad b, quanticas
clt-
= Y2; racioniob ad a, quamicas est - =  = = Y 2; ex his invicem
ductis, emerset -r-
Ba =, hOC CA Y 3 , V= - 13 = 1 3, quamitas racio.
nisc ad an composita Cxc adb, et b ad a.
Mcibomium

## Folio 271 — 851387705:0291
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000291.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
DE PROPORTIONTDUS.
Meibomium incerim id tortan in toto hoc negorio decevic, quod putarerit
eaudem in ucrague detinitione (3 a5 8c5 46) nnanoita delignari; cum haec ab
illa admodum sic diverta. Nempe in alcera (5 46) nnnvorutes = nogcor; in altera
(3 45) runnorus F pgedcor InNuIEuT. Detinitur enim 26) O, (3 45) Novedr ouo
rcor i X rnaxomla (nempe ess oure nOn nis geoccus, Nectu rSnoys) WeSS anina OId georS
In alcera vero det. (5 46) dilerre dICitur ai sor alzeor annnoriles. IIIic, quanta
maenicudo delignacur: nie, quanta ratio.
Nisi hoc pocins dicendum malic, (quod ee exo quidem judico,) nuamonta in
priore detinitione incellisi de Ouancicare una ( seu uno Ouociente, qui nempe ex
unius rationis ancecedente per luam consequentem diriso oritur, unde illa racio
denominetur:) in alcera vero rnnimemlas diei de Ouancicaribus (Teu Ouoriencibus
Pluribus (plurium racionum expolicarum) ex quibus inricem mulciplicaris oricur
hora Ouancicas (seu Duoriens) unde denominecur ratio ex racionibus expolitis
COmpOTIca.
Acingui, pas. dF. Iin. 4. Insulsa illa esset rationum compositio 5C. quod naarno
rilas quantitates, velit este rovornas quoritates; atqui nnmencas quantitates ratio-
num inter se mulciplicandas dieit Luctides; non rosomlas numeros bujusmodi, qui-
bus rationum esfabilium antecedentes, ad unitatem, tanquam communem conse-
quentem, relatae explicentur: quod hoc modo rationes numero nessabiles componi
nequeant. Fr p. 89. 1. 12, Diserie, inquie, uterque (Puroeius et Pheo) per ratio
nis nnuomla quantitatem, intelliei dieit rocornle quoritatem, seu ut ipsi loquon-
tur, numerum a quo ratio denominatur.
De racionibus, numero ineltabilibus componendis; modo dictum est. Per quan.
ritates aurem Fucocium et Theonem dicere, incelligendas este quotitates; neuc.
guam concedendum cft. Oui enim quosuptum dicir, non dicit duot, Scd Quan-
ium. Nec, quia, verbi gracia, Racro Dupta, a binario denominationem Lumit,
ideo, qui Daplum dicie mulcitudinem dieit, led porius maenitudinem, seu munino-
ruta. Oui enim lineam bipectalem vectalis duplam dicir, non illam duas esse di
CIF, Sed mumero unicam, magnimdine vero cantam quanca csenc pecales dux.
Nempe Duplum, nOn Duo dKIC, sed tantundem atque duo. L quidem ip(C MCi
bomius ni Fallor, p. 83. P. 2. Sera mXeis, ucur a numero denominatos, pro magni-
Eudine habet, a MLter alibi.
ACinguiE, p. 95. I. 0. hac mulcipticatione quantitatum, tantum unam quantita.
tem nanciscamur; (recte quidem; nempe quancitarem racionis compolitx, quae
quaericur:) adeoque non rationem, quod erat propositum. Imo, inquam et Ratio.
nem; nempe, cujus haec CAt quantitas: Licur e maenitudinem extriberi dicimus,
quando extibetur, Quanta sic illa magnicudo. Linc tamen sententiam insieni qua-
dam interpretatione se juvare posse diit (quati quis aurea hoc nescirerit;) nempe,
ut dicumus consequentem rationis terminum ubique esse unitatem; (l nempe ra-
rionis denominator habeatus pro rermino anrecedente.) Ac quis quaelo nescit,
tancundem esse rationem duplam dicere, acque rationem 2 ad F d’ ec, triplam, acque
3 ad F: AC, aic p. 97. l. 13. Cum PurOCiS, de consequente rationis termino, seu
unitate, mentionem non injecerit; ita denominatores suos considerat, ac si uno ille
antecedente termino, rationis quantitas essentialis exprimatur; quod plane est im
possibile. ImO vero, ut qui duo dieir, duas unitates dicere Pacis incelligitur; ita
ec qui duplum dicit (Tire, rationem a 2 denominatam,) dicere simpli duplum Patis
intellisitur; ettinee illic unitalis, Hec hic, simphi, mentionem Faciat.
Non itaque elt, quancum c8o quidem achue rideo, ex hactenus dietis quid.
quam, cur (quod rult MeibomIuS, P. 93. L. 5.) Faptosa sit Futocii, ex reliquo
rum sententia, de quantirate rationis numero (aur laltem, qui numeri instar est
diritionis Ouociente) exhibenda. Intered tamen, dum hanc quantiracis rationum
Vi
Pcolemaei Masnam Constructionem videre est, adseruit, (horrendum dictu.) eri
hoc, dicar relim, quo alio criterio erie aestimanda d
tradica est, narrat, nunquam se moturinn siisa, tast falsessimum aoema  quod
maximam errandi ansam aliis praebuit, an palsset adtcatum. P. 90. l. 23.
deamus, quaeso, quid sic. ZLac enim, c denominatorum inter se mulsiplicatione
fulius, Theo Mexandrinus, seometi a unqui eximius, quod ex Commentariis in
aclumacionem, ex dirisionis Ouoceme saetendam, repudiat; nullam nobis aliam
ictius loco cradie, qua constet quanta quaevis ratio dicenda (II. Si itague nOI
Hhaec aurem, a, omnia, quae de rationum compositione, ees verbis quibus illa

## Folio 272 — 851387705:0292
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000292.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
DEIBOMET DLALOCUS
plae duplam esse sexcuplam, seu (quod ipsius verba magis fOnanc) tripti auptum
esse sexruplum. AIque (quod cerre videtur dolendum) hunc securi recentiores:
volumina sua his paraloe ismis impleverunt: Idque adeo ut (h Meibomio crecta
mus) hac narratione perculsus Fuclides, quid dicat, non habeat, eec. Ec quidem
(D. 100. L. T2.) Cou (que hunc errorem ampliavit Cregorius a Sancto Vincentio, ut
(numerance Meibomio) in solo ectavo libro, centum septendecim falsae propositiones
COnLInCANEUE.
Cravis equidem haec, inquam, est accufatio; de non paucostangit. AC, incerim,
quidni sic, uri Loguurus est Theo, loquilicear. Si aurem sic loqui liceat, 1012
haec rel sua sponre ruit accusatio. Nempe lic locuri Tune, vel Meibomio Fatene
EUm VetereS, cum Recentiores, li non omnes, plerigue laltem; cerre nemo omni-
um tactenus eam loquendi tormam repudiarie, ucur fortan aliquando ipsi criane
alicer locuri tuerinc. Nec enim ita lolus loquitur Theo Alexandrinus; Sed de hunc
securi sunt Cardanus, Rodulphus Volumnius, Clavius, eoc. P. 267. I. 20. Clavium-
que secuta est (non modo Greeorius a Sancto Vincentio, modo dietus, Sed) 1ota
Mathematicorum cobors ad nostra usque tempora. lin. 24. Similiter, P. 267. l. 8
Theo e tota Mathematicorum posteritas. Liem P. 165. l. L7. TToc Theo vult e
Furocius, omniunque juniorum Mathematicorum filii. Sed et ante hoS, Nichoma-
chus Gerasenus, e Feronas, ue liquet P. 27. l. 3. ee Meibomius Catetur P. 165.
l. ulc. _ P. 166. l. 3. Sed et Ptolemaus, uc liquet D. 190. l. 8. de tacetur Meibomius
P. X92. L. T. EF Porpbrrius, uc liquet D. FOT. L. 22, 29. CUM ANTeM TOE prOduXETIE
Mcibomius, qui ita sint lognuri, cum Veceres cum Recentiores: ne unum quidem
(quod nocandum est) produxic vel ex Veceribus vel ex Recencioribus, qui hanc
Loquendi Formam vel repudiarerit, vel etiam culparerit. Adeoque, li lic Crror,
Talrem communis error est; et (si furiltis credimus) communis error facit jus:
praelercim in rocabulorum hniticalionibus, et loquendi Formulis; quibus non
alia praeleribi solet norma, quam mosloquendi.
Ouicunque aurem sine, qui ita tuerine locuci; omnino tamen Calsum esse praedi-
eat Mcibomius; Pripli duplum elle sexcuplum; lire ut loguitur Theon P. 25. l. 28.
Ear Yd recXaIr BVO SXNaOIOcP, verat ONES EEomaO, Si Triplum alieujus duplaveri
mus, siet ipsius sexcuplum; Et quae Cunc hujusmodi. Verum, inquic, est, terna-
rium, rationis triplae antecedentem (dixistet pocius, denominatorem,) duplicatum,
sieri senarium; sed falsamn illud quod triplum alicujus est, duplicatum, fieri sex
cuplum.
Ac exo inquam, nihil video, cur illud dieacur talsum: imo omnino judico ve.
riltimum. Nec ica rancum loguutos este ver omnia, quantum liguer, lecula M2-
chemacieos; led de vere loquuios. Fxponantur, (libet, tres quancitates inae qua
lesu A, C, F: Sique C criplum rS A; e F duplum rC: AnnOn P, quod est du-
plum ro C, hoc eltus (ex hypocheli) duplum cripli ro B, elt iplius A sexcuptum
Nlemo cerre lanus nesabit. Vel lic, C = 3 A, e P = 2C, = 2X 3 A =- 6 A. Vet
nisi hoc per se jam lacis sic perspicuum, altumamus, ex Fuclide, Axioma sexcum,
Ejusdem duplicia sunt inter se sequalia. Adeoque _ (per AXiOma DFIUMI) Ai
qualium duplicia sunt inter se aequalia. Vnde SIC ArBUIENLaIUS. Eo Ci XGUaTUF LI-
Plo A: ex hypocheli: Freo, per Axioma citacum, Duplum rC, aequâtur duplo
ro cripli A. AE Duplum rEC, (vel tacence, credo, Meibomio,) est Sexcuplum re
a: ergo ec, Duplum cripli a, elt sexcuptum ru A. Si aurem nec dum lic lacis
perspicuum; id iplum sic quorco adcrediamur. Duxtum, communi sententia, omnes
homines judicant, quod bis habet simplum: triplum, quod tria simpla aequat; cen
cuplum, quod centum; (ee ni tallor, sextuplum, quod sex:) alterente Meibomio
p. 170. l. 13. Ergo cum C licu ex hypocheli, triplum A; erit C aequale rd A ter
polito; hoc eltu C = 3A = A f A .f A. TIem, cum F SIC, ex hypocheli, du-
plum r C, eric L aequale rd C bis posito, adeoque e 3 A bis polico, hoc clt, ipsis
A F A. F A bis policis, hoc elt, A. f. A f A pluS A F A F A, hoc est A ] A - F. A
L A. f A f A, hoc cltu red A lexies potito, hoc elt, lexcuplo rô A. Ouod cracde
monstrandum. Verum itaque est quod altirmat ThCOn, car recnnésibr ne Sinaoid
ocopde querac oiri issant aoror, si criplum alicujus duplaverimus, siet ipsius sexruptum.
dux ests deiha.
Verum quidem elt, nec nos inticias imus, quod lonse alio sentu dicatur, rasia
nis triplae ratio duplicara (Sinneoicor) est noncupla; quia nempe ZXZ =Z: ob conti-
nuam mulciplicationem. Ac incerim non minus verum elt, de hripti duplum esse
sextu

## Folio 273 — 851387705:0293
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000293.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
DL PROPORTIONEB
Seatupium; quia ne +  2 = 5: quod attirmat Theo, et cum illo, excepto Met
Arque eadtem racione, cripli semiltem, live semiltis criplum, dicimus selquial
2=
terum, (quod astirmac L AC P. 28. l. 78.) quia 2X Z =F Z X:
F3. Sic FemIILIS.
sire Tubdupli, duplum, dicimus inceorum, quia 5Z2 =3 = L. quanquam verum
etiam sic racionis subdupla racionem (non duplam simnanor, Led) duplicatam.
Surnnoiora esse subquadruplam, quia.
Oue omnra eum ila clata sine ut nihil magis, non est cur aur explodat ea Mei-
Bomius, auc, si explodat, vel maxine nos illud moveat. ec quidem, si (quod aic
Meibomius P. 99. I. 26.) Flementa quoque Luclidis, ad quae fuse haec trndidit C.ta-
vius, hanc explicationem ferre sint coacta: non cst caen, cur id, vel nos, vel
ipsum Euelidem, male habear; quippe cui Fvuelides nuspiam retragacur.
Ouod aurem Archimedes (uE D. 1OE. L. 5.) rationem B dixceret nnvoncor sesquiat-
reram lincellige, Triplicatae sub duplicatam) rationis 8 seu 2 P rationem 2 esse S.-
nnaviora duxlam (seu pocius duplicatam, lic enim rectius rerrenda ellet ea vOX)
rationis 8 seu 3: nos nihil movet, quippe de nos idem dicimus. Est siquidem
(adeo
2xZX3. Hloc elt, quancitas Z est
quadratum, (sive poceltas lecunda, sire ratio duplicata,) quancitatis Z: PF quan-
cicas 283 est Cubus (sive porestas cerria, sive racio criplicata,) quancicaris 3, quae
elt radix quadratiea (sire porectas subsecunda, sive racio subduplicata,) quantica-
115Z. Ouod aurem nec Theo hoc intellexerit, nec ex posterioribus Mathematieis, ad
nostra usque rempora, ullus; miror eguidem, qua tronce Meibomius altirmare lusti-
net. Nam, quis non
Foca concovertix cardo in hoc vertatur, quod Neibomius vel neseiac, vel nolic,
distinsuere, incer rationis duplationem, sriplationem, quadrupiationem, ec. hoc est
multiplicationem in 2, 3, 4, Cec. unde OrituX Noy Or Sman, recmdor Terauo, C.
et rationis duplicationem, triplicationem, qua druxlicationem, ec. unde Oricur ntzos
Ameoicor, recmaericor, rersuimaoicor, dcc. qua tic comcinuo ductu quancicatis in cundem
mulciplicatorem bis, ter, quater, eec. Ouxe quidem inter le plane diverta elle
eriamli Meibomius millies neser, non tamen caproprer est minus rerum. Ouippe ali
ud omnino elt quancitacem A, bis mulciplicare in numerum 3, et Facta addere; unde
Proreniune duo cripla, hoc est, duplum cripli, nempe 3 A F 3 A vel 3 A X 2, nempe
SA: aliud vero, quancicarem A in 3, bis continue mulciplicare, oc elt, in 3X3, (non,
uc Prius, in 3 Y 3,) unde oricur cripli criplum, Are AX3X3 = AX 9, vel 9A.
Dicet tortalle, eodem sensu, in Archim. 8. L. 2. de Sph. et Cytind. atque Furo.
cil in eum commentariis; de caclem dici noyor srarcorov, et noyor snneotora. L’ateor
equidem id tieri. Scd, librariorum id incuria fieri non dubico (ut superius di-
ctum elty) qui cum Macheseos Forralse minus tuerine gnari, neque noro sanosoie
e simasiore diserimen facis accurace incellexerine, errorem illum, vel etiam eo
majores, tacile admiserine. Sed etti demus, cadem voce (sire smaoir ea lIC, Sire
Annevicor,) urrumque innui (quod, de voce nubncos, tacendum videtur, ob vocum
penuriam, admistum este;) Non tamen inde sequitur, res elle contundendas:
sed eo aecuracius prospiciendum, uiro sentu rox ambigua uturpetur; ne secus
crror obrepat. Nam ee rocabula Ceometrica, non semper eodem sentu uturvan.
tur. Ouipse hemo dubita quin allo lensu occurrat vOx uiess 9 ax F. alio vero
Tiem aciexem, 20 ax F, _ F d 2. IIIic, duabus rectis contineri sparium negatur;
hic, duabus rectis concineri diciust seclansulum. Ec similirer alibi.
iple p. 107
bonno, alii omnes.
25. nempe illic, parrem quamcungue lluic; hie, nonnili parcem aliquoram
Scd rideamus quae line hic Meiboii nova tradica
Lolco quod Seprimius et Octarius eadem celericace sucelait, deptumu, inquie
veso inquam, in racione simpla, ere seslalitatis, nempe, uc L ad T, uc Facetur
Ac ille, inquir, aegunum rationem, nihili seu nullam vocat.
Ac, inquam, quo Machuor qua vel ratione vel auchoricare tre
LuS: Quae illum vel Grammarica, vel Mathemarieu, sic loqui docuie. Si Mathe.
nullus Defectus; ac nullam elle Ractorem, nemo prudens dixerie Machemacieus.
dicitur: quod ter, criplum; quod Glater, quadruplum; ecc. adeoque, quod semel
mplum; et non niti quod nullies continet ladteoque nihul est) in nulla 12.
mn
tione
1. 2
celeritas: ad celeritatem Octavii est in ratione nulla, (P. X02. L. Denulc.) Imo
1. 20
sin spectemus: EIt quidem A qualium itter se nulla Inaequalitas, nullus Excestus,
Si Grammaticam spectemus: quod bis tantundem acque alcerum concinet, duxtum

## Folio 274 — 851387705:0294
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000294.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
ME IBOMIL DEALOCUS
cione dici potest constituum. Jam vero, quod aequale est, continet Paltem semet
cancundem; adeoque Simplum est; hoc elt, in racione simpla constiturum: non,
nullecuplum, sire in nulla ratione. Nulla iraque ratione allerit, aequalium
racionem nullam este. Sed videamus vrcunque quid obtendat.
Omnes (inquie p. 123. 1. 9.) nibili rationes (incellisie, rationes simplas tive
aequales) uri sunt 2, 2, 3, sunt inter se aequales: (omnino. Addo, icem omnes
duplae, uti 25 3, 5; Vel etiam omnes eripla, ui 2, 3, 3.) Duemadmodum in
Loeistica notae nullae, 0, 0, 0, inter je, tanquam nibili res, aequales, existunt.
(Addo; vel etiam omneS HOtX unitaris, I, F, F; vel etiam bInaTII, 2, 2, 2, ec.
AC, inquam, nullo modo hinc sequitur, Raciones Simplas esle rationes nihili,
maxis quam, Raciones duplao, exiplas, alialre, raciones nihili este. Sed proce.
damus. Ouid pOrro.
Porro, inguie p. 204. I. 20. ratio dupla Z, a ratione nihili (simplam, incellisic)
E, tanso abest, quanto ab eadem ratione nihili in alteram partem abest ratio sub-
dupla 3. Recte quidem. Ouippe ea duplo major est, haec duplo minOr, quam
ratio simpla. Teaque, inquii, ratio : aequalis est rationi Z. Nullo modo. NOn
enim qua ab eodem aequaliter in oppolicos parces difterune sune ideo procinus
aequalin. Non utique, inquam, sequitur; quod, li numerus octonarius, lic, quam
guaternarius, duplo major; ee binarius, eodem, duplo minor; propterea binarius
aquabuur octonario. Ht quidem, cur hoc minime admictendum sic, ab codem
ipio mox audiemus argumenta. AI, inquie, ideo aurem ratio Z, aequalis est ra-
iioni Z, quod inter illius terminos, 2 1 2, tancum intervallum sit, quantum in-
ter hujus terminos, 2 e F. Verum, inquam, neque hoc sequitur. Non enim
ex terminorum inverse lumptorum aequali incerrallo, sed ab eorum directe Fumpto.
rum aquali Ouocience, colligitur aequalis Ratio. AC vero, li F per 2 divictamus.
et 2 inidem per +, cundem. urrobique quorientem provenire, nos negamus; nec
ipse, credo, atirmabit. Sed pergat.
Iniervallum autem, inquit P. 105. L. 2. seu distantia inter duas has rationes
2, 3, est ratio bis dupla, seu 4. Foresie quidem, acque ua duccanncor neos: Nempe,
duorum inricem aequalium; alcerum alcerius elt bis duplum. Siquidem hac cum
praecedentibus eoharene optime. Sed rideamus, qui probet.
Duoniam enim inquic, ratio ? superat rationem = ratione 2: sed rationem ?.
superat ratio Z, ratione 2: Ereo ratio dupla Z, superat rationem subduplam Z, ra-
tione bis dupla, id est, quadruxla. Omnino recte. Verum hinc ego lic disputo.
Ouorum alcerum alterius quadruplum est, ea non sunt inter se aequalia: sed
rationum Z, ec 3, alcera alcerius quadrupla est: A quales itaque non Tunc. Vel
si illa loquendi tormula displiceat, sic accipiat; Ouorum hoc illud ratione qua-
drupla superat, ea non sune inter se aequalia. Sed ratio Z, rationem Z, ratione
quadrupa luperat. Aquales itaque non funt. Sed pergit.
Duod etiam ex additione (seu compotitione) planum fil. Si enim, rationi
subauplae addatur ratio quadrupla, inde fit seu componitur ratio dupla. Atque
hoc eriam recte. quippe ZX
=7. Arsumencamur itaque ut priuS; RaTIO
nes Z _ Z, non else equales; cum haec illam superet ratione quadrupla.
Aeque his habet similia, de rationibus lesquialcera ee Tubselquialtera, p. 206.
1. 79. _c. Nempe Ratio sesqmialera ,  subsesquialtera 2, quamvis non eae
dem sint, sunt inter se aequales: At interim, inter se distant ratione bis sesquial-
tera, seu dupla superquarta. Oux quam bene incer se cohareant, ipse viderit.
Multa habet his incermilta exempla; a mou in contrarias parces delumpta:
quae nec praesenti suo negorio admodum tavent, ee sunc aliis nominibus ririola:
scd quae nOn tanti TuNE uE ea Curiosius expendam. Hoc aurem pede Fere clau-
dicane omnia: Nrempe, quod, cum duplum accestum lic delisnaverit ?, duplum
recellum detignandum pucet Z; (uc p. F0g. l. 20. Se alibi paltim:) quali quidem,
inverlio racionis, indicarer motum contrarium. AE, inquam, concrarietas motus,
indicanda erac, non invertione racionis, (nam li Z accellum indicet, etiam ; in-
dicabic item acceltum, uene minorem: ) sed mutatione lignorum L -: Pura B
L2 duplum aecestum indicer, duxlum recessum indicabit = Z, non autem L 3
Hoc aurem cum ille non lacis intellexerii, sibi traudi Fuit. Ouamvis enim verum
omnino sic, quod exemplo suo ibidem it probacum; nempe, recestum parcium
duarum, non minus duplum este recestus parris unius, quam ost duarum partium
accestio, duxtuo accello parcis unius; aeeoque candeme Eve aequalem rationem:
Cum

## Folio 275 — 851387705:0295
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000295.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
DE PROPORTTONTBOS
Cum tamen hine intere: propterea, rationem Z, aequalem elle rationi 2: omnine
hallucinatur. Interendum enim crat; = 2 ad = E, candem rel aequalem esse
rationem, acque = Z ad F E. Ouod quidem verum ett; Scd, a Suis sen sis Paris
remotum.
Eadem fere temper oberrat chorda, in exemplis sive instantiis suis passim allacis:
quod cum ei traudi tuerienon lemel, nobis lalcem semel indicalse sulticiat; nec
opus Sic Eapius repetere, cum quilibee paulo accentior, facile deprehendat.
Poruisset quidem Meibomius, hujus erroris Pacis moneri, cum viderit Lucium de
Ficium, cum, ex hypocheli, eadem celeritare moveri; cum, juxta Tuum iptius cal
culum, alcerum milliaria 8F eodem contecilte tempore quo alter non nili Ls conte-
cerit. Onde dum sC exITICArE CONatUIE, P. 207. l. 24. omnino nihil quit.
Oua, de Diriciis ee Paupertare comparandis, habet, p. T20. item de Mictorum
viribus, P. TFX. _C. neque admodum perspiene eradita sunE, _ parUM aCCUTaTE:
Sed quae turo omitti pollunt, cum nihil inde magni collisere possit quo senten-
eiam suam ltabiliat; nec ad singulas minutias, lectorem decinendum purem. Ouod
vero, ut aic P. 283. I. 25. mirari soleat, antiquorum nullum ad utilissimam hane
de mistorum viribus in data ratione aucendis, aut minuendis, contemplationem ac-
cessisse ut quousque in his prooredi possimus, determinaret: Si vel PharmACODCOS
contuluiltei, vel Ruritabros, mirari torsan de siller: quippe in componendis medi-
camentis, illi; metallis, hi; non suis illos arcibus carere depretiendat, quibus de
mistorum riribus ausendis, minuendis, aestimandis judicent. Et quidem eo spectat
rocum illud, de Resula quae dicitur Allicationis, apud Arichmeticos, negotium.
Dux de Rationum Compositione ec. habentur p. 98. ecc. Herum que P. 214. etc
Pacis cum prolixe cum perplexe (qua quidem, inquic, rationes componendi me-
ihodo, rerum natura nullam breviorem admittit, nullam concinniorem D. TF5. L. 23.
cui illa bono inserriant, cso plave non rideo. Cum enim per 5 a6, Tatio CX Fa-
rionibus ,  compotica, Cic = x =. quid longa narratione opus sic, ut incel.
ligamus rationi =, rationem = componendam, ducendo in ; adeoque di-
vitione adimendam. Venemve illice prodeat, quia  x - =
; hic vero,
6a3 Quia. .)  (. Cujus item ettectionem Ccometricam nemo neseit. Annon
autem haec multo brerior et concinna masis fuerie opcratio, quam qua ille nullam
auc breriorem aut concinniorem in rerum natura admirri posle judicat; penes lecto.
res c judicium.
Cum vero, cum p. 94. l. 4. cum p. 477. l. 25. non nisi minorem rationem ma-
jori auterendam putet: non Patis videtur rationum diremptionem intellioere; quae
non tam subductionis, quam dirisionis, opus est: posse aurem tractionem mino-
rem permajorem diridi, nemo neseit. Cum enim, (ut loguitur p. F16. 1. 7.) ra
tiones Z (3 addita, faciant rationem e; quidni pariter ex compolita ?, dempta
2 superesse dicamusZ; atque ex eadem 5, dempra 3, superesse Z. (urur Z, hoc ett, a
majorem esse quams, ne quidem Meibomius nesarerit) quipve, duarum compo-
nencium, utravis dempra, luperest reliqua.
Sed videamus juae lequuntur. Ouippe, cum hactenus, nonniti quasi per nebu
lam veritatis aliquod lumen conspeximus; jam deincers, clarissimum e nulla ob-
Scuritatis nebula interceptum veritatis solem visuros, pollICetur, P. T18. L. 7. _c.
Rationis, inquie, (P. X28. I. X3.) natura es estentia consistit in duabus ejusdem
generis rebus, secundum certam magnitudinem (addo, diritione, non subductio
ne, astimandam) inter se compararis; seu potius, in carum comparatione. Qua
distantia cum infinitae sit aut parvitatis, aut maenicudinis; hinc, inquie, collisi
mus, quavis ratione infinite minorem, aut majorem, saltem potentia, dari posse
Fr recte quidem hoc colligitur. Quod fieri posse, multi, inquic, (P. 179. L. 6.) qua
haec penitus perspecta non habent, necarint. At, quaeso, quinam IIIi d quipDe C50
illud nulli (niti qui plane sic audduros) dubium esse poste purareram
Porro, inquic, (p. T28. I. 23.) rationem quae in aequalibus maenitudinibus soe
Etatur, rationem quidem esse statuimus, (ee Recte quidem:) sed nullius quantita
us; (ac hoc perperam:) quod nibili distantia maenisudines illius, antecedens e
M M 2
consequens.

## Folio 276 — 851387705:0296
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000296.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
MEABOMEI DIALOOUS
consequens, inter se distant. Imo, inquam, distantia Onicaris. Vei enim in rationi-
bus 2, 5, 3, aliisque duplis, anrecedentium et consequentium distantia (divitione
quaerenda) binario aeltimatur, (quantacunque incerim lic earum ditserencia, sub.
ductione quaerenda, quae quidem non ommino actenditur,) unde ee denominacio-
nem obtinent: ita in rationibus Z, 3, Z, aliisque simplis, cerminorum diltantia, di
ritione parefacta, unicare menturatur. Ouippe, ut illic quotiens clt2, lic hic, F.
(utut difterentia, subductione quaelica, cujus hie nulla habetur ratio, lic 0.
Quaecunque autem alia, maena, parva, (quidui item et ipla,) unitatis loco accipi
potest. D. F19. I. 29. Hloc ell, (quamris ille rideatur hoc nelcire) Radix dici po-
cerit, vel Pocestas prima, aur etiam Ratio exposita; qua aliquoties conciriuata,
hoc est, in se ducta, ejuldem Quadratum, Cubum, Biguadratum, ec. extribebic:
vel Potestatem secundam, tertiam, quarcam, ec. vel etiam (nam ee hoc tancundem
valet) Rationem duplicatam, triplicatam, quadruplicatam, esc. Smnaciore, remacva
rsanaoiova ecC. Dempe hoc suadene quae Dol Oecurrunt, p. 120. I. 4. Caeierun
cum omnis ratio unitatis loco considerari possit (nempe ut porestas prima, (eu Ra-
dix, pura =) ex ea bis composica dupla efficicur primae seu simplae, (duplicacam,
incelligic, aur porestarem secundam, seu quadratum, = X = = , -) ex ter compo-
sica, simplae cripta, (seu pocius criplicata recmuoios, poreltas cercia, cubus, nempe
n 2  = :) ex vicies composita, simplae vieccupla, (hoc est pocestas vi
cetima .) Ter aurem composica, seu cripla, (triplieacam incellieie, ) sesquial
tera est bis composita, seu duplae s vel pocius duplicatae : Nan
quater composita, supertertia est criplae; ( nempe
13a
Manitestum itaque, est per rationis expositae duplam, criplam dcc. eum hic in-
celligere, duplicatam, eriplicatam ec. Snnaoioras recraoiora, ecc. Quas detinie L uelides
20d5. hoc est, exposixe rarionis porestarem secundam, terriam, ec. Peu ab, expo-
Ticx rationis, denominatoris quadrato, cubo, _c. denominatam.
Acque hacum respectu verum elt Z vel etiam F, quaecunque Fuerit exposita ratio,
loco nihili habendam, hoc est, illius poceltatem nullam else. (Salcem nisi ip (a i2
tio expolica, licetiam E, quo calu iptius etiam quoracunque poreltas est J.) Ouipre
nocum ell, 1. 3. 28. 8. 2575. ec:, AVC L. 4. a. a. a 4. eC. , hoc elt, un
tatem, radicem, quadratum, cubum; viquadratum, _c. CAE CONLIHUE prOPOrtO.
nalia: et quotacinque expolicae radieis poteltas lit eorum quodliber, cores (uppo-
NITX Z In radicem illam continue mulciplieari, pura FX a elL prima porectas radi
cis an e Lxaxa ejusdem porectas secunda; F xaxaxa, cercia c. aceoque + sim-
pletex polica, ejuldem radicis a poreltas nulla, quippe in quam nullies dueitur:
AC L porestas prima privatira, seu inverta, denominanca pura ab = 2: lrem V an
Pocestas dimidiata; quippe media proportionalis incer nullam _ primam; ec V a3
vel ar an porectas dimidiara cerciaes deu quae dimidiara poceltare luperat primam.
puta a 3 rel L3 denominanda. Folic ubiris. Ouod autem de radice a dictum est
pura, dum ponitur =28; perinde incelligendum erit de radice quavis alia, puta
E POnatuE- =2: quippe rem hoc nehilum rariabic.
Sed e hrinc etiam maniseste sequitur, (quod d norunt omnes,) quod, quories
radix pONICIB major quam T; lingula poceltates continne ausencur, (puta (I
DB = 2, CTII 23 = 4, ∞ == 8, _c.) ubi enim in concinua muluiplicatione, mul-
ciplicator (quxe radtiX elL) est unitate major, mulciplicandus plusquam semel po-
nuur, ue habeacur productum: Ouories autem radix, (hoc est, concinuus mulii
plicator) est mInOE quam T; Porcltates continue decrescunt (puta lI 2e=
erit 2 = 2, ∞ = 8, _c.) quia cum mulciplicandus ponitur minus quam lemel;
nempe ipsius aliquanita puts; et propierca sequens porellas praecedence temper
minor

## Folio 277 — 851387705:0297
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000297.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
DE PROPORTKC
inox eriI: Si aurem racix (IC Z; aut etiam E; Doceltates omnes nec allcla CtII
nec diminuta; sed de iptae, T: (nam (I 20 = F, exit
LX LXL =
Mel BONItuE.
F. esc.) quia cum mulciplicalor elb L, multiplicandus praecile le
Ouod aurem hic de poreltatibus universim ex quacunque radice dictum ett: ie
ee speciacim in rationibus valet: puta, si expotica ratio, seu racea, sit major
quam F; ratio duplicata, criplicata, _c. hoc cst, porettas secunda, Teletan llc. Con-
Einne crescune: Un minor; decrelcunt: si denique aequalis; aequales. Mod qui-
dem si advercisset Meibomius, non Fuistet miratus, (p. 27F. L. 22,  P. 273. L. 29
ec alibis) racionem minorem, majoris duplicatam, auc criplicatam, ec. diei poste
Fujus quidem rei ignoracionem, errorum luorum prope omnium originem et ton-
tem judicamus.
Cum aurem aic, PaS. T2FL. penult. LM A
diaerammate, AB, ut ita dicam, nulla est
ipsius CB: at CB seu DE. dupla est ipsius D
LiC. Mirum est quam se, ambisua, vo.
eis dupla, signiticatione inopinato contun-
dic. Verum quidem est, uti modo diximus, rationem cimplam Z, racionis duplae
(vel alcerius cujutris expolicae,) potestatem nullam elle, (lire, pocestatem a
nihulo seu o denominandam,) quo solo sentu aequalitaris ratio, respectu alterius
cujulris, nibili ratio diei porest, hoc est, iltius porestas nulla; nempe, nec ratio-
nis expolicae ratio auplicata, triplicata, (sive, ut ille loquitur, dupla tripla,) aliare
ulla poceltas. AC vero hic nil tale aditur. Non enim, dum dicie DF duplam
esse ipsius FC, vule illam hujus rationem duplicatam elte; (quippe, nec DF.
nec FC, ratio est, Sed linea,) Led lineam DF, bis cancundem continere acque FC.
Adeoque quo senlu linea D P. est dupla linea FG, ut quae bis cantundem continet;
eodem _ linea AB, est (non nulla, (Cd) simpla linea BC, ut qua tancunden
(non nullies, Sed) Semel Concinet.
Schema Pas. +22. ejusque in Scq. explicationem, cso uc mapepyor omicco. Ouippe
ad praelens negorium rix quicquam spectat.
AC, Fx his, inquit, P. 125. l. 25. principiis omnia sua dosmata, tam quae vete-
rum, illustrium Geometrarum, principia convellunt, e falsitatis convincunt; quam
quae recentiorum hallucinationes ostendunt deducuntur. Nempe, rationis Ceome-
tricae naturam ex essentiam in maenitudinum, quae rationem constituunt, inter se
distantia (quod in Prithmetica ratione omnes admittunt) seneraliter esse consti-
ruram: uti absolurorum numerorum essentia in distantia a nihilo spectatur. (Adeo
que D. 22F. 1. 10. Fssentia sua subdupta ratio aequalis est rationi duplae, quia di-
stantia maenitudinis utriusque rationis est aequalis: at vero cum in diversas partes
ha rationes tendant: dupta adscendendo, descendendo subdupla; ratio dupla faxe-
rat rationem subduplam ratione quadrupta.) Fx parte autem (inquic p. 126.
15.) hoc principium Fuclides admisit, nempe in rationibus excessivis: sed vene
raliter in omnibus rationibus, etiam defectivis (sic appellat rationes, ut loquun
cur, minoris inaequalitaris,) Bujus dosmatis veritatem ipse (inquic) primus osten-
dit. Ori enim (inquit pag. L4. F. L. 22.) si a 12 8 20 auferam LX, residur sunt
 T&- 2, qui inter se aequales existunt; sed alter excessivus, alter defectivus:
sic si a rationibas se sugeam, residuae sunt ? e 2 inter se aequa
les; sed una excessiva, altera defectiva. Aque haec (inquie) ultima doctrinam
suam valde consirmant. D. T4F. L. 26. e P. X42. l. 17. _C. Verum ieitur est, (in-
quit P. 129. L. 3.) 7 ad 4 majorem rationem habere, quam 5 ad 4: At falsum,
4 ad 5 majorem rationem habere, quam 4 ad 7; aut etiam (ut p. 127. l. 4.) 16
ad 24, minorem habere rationem quam 2.F ad 32: Cum contra statuendum sit,
2C ad 24, HOC OIE ZF ad 3F3, majorem habere rationem quam babeat 2 F ad 3T.
quoniam major est distantia inter 2F 8 3T2, quam inter 22 84 2T. Falsa ieitur
Linguic) est octava propositio libri quinti Flementorum Fuelidis dxc, D, 126. l. 8.
Estque hat aGCCMatOI ilta Suta Adeliter (quod nec iple, credo, difticebi
cur) collecta, luisque ipsius verbis exprella.
Nolo eso ad hac repolute, quouu  reponentem ineroducit. P. L29
hac beatu gmete mihi frui aa, sando ad aures meas pervenere, inter illas certe
has primo loco censere possum. Sec, quae ad arxumemacionis vires dicenda lunc,
Nt m 3
repO.
L. T8. Siquae unquam meptiae,  dan bi inter mortales deserem,  ex qul

## Folio 278 — 851387705:0298
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000298.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
METBOMET DTALOCUS
reponam: quippe ee multa perperans supponit, et julta decst mulcories conse.
quentia.
Dicimus itaque P. Prithmeticam, ue loguieur, rationem, in terminorum ab in-
vicem distantia, sive disterentia, fundatam, Subductionis ope colligendam. Sic
cripondii ee bipondii, auc eriam quadripondii ee cripondii, ditterencia, elt, unum
pondo; linex cripedalis et bipedalis ditterencia, elt, linea pedalis: numeri quina.
rii ee ternarii, vel etiam denarii et octonarii, ditterentia, elt Binarius.
2. Disterentiam illam dicimus, non quidem Arichmerieam rationem este, (pro-
prie Loquendo,) auc etiam iplius rationis LPentiam; Led P’undamentum iltiusrela-
tionis, quae dicitur Racio Arichmetiea; quae tamen alia acque alia est, prout ad
hunc aut illum cerminum retertur. Sic numerus binarius non est relatio, nedum
racio rel Axichmetica vel Geomerrica, quam habet vel quinarius ad ternarium,
vel hic ad illum: Sed quinarii ad ternarium rato, elt excessus binarii; seu bina-
rio major esse; ternarii ad quinarium rario est, defectus binarii, sive BinariO mi-
nor ellc. Oux quidem rariones sire relationcs, utur eodem Fundamento abfo-
luto nixx, non eadem funt relacio, nec quidem aequales; sed ec Caris diverla,
acque hac illa major: Sieut ee Parris ad Filium, e Pilii ad Patrem, eadem rela-
eio non est, (nec quidem aequalis, sed hac illa Luperior) urur ucriusque funda-
mentum lic eadem generandi actio.
3. Ommino igitur inconsulre dictum est, e admodum inconcinne, + F 56 - 1
aequales esse: _ quod nemo Pobrius dixerit. Ouippe ille huic aqualis non est
numerus; sed incesro binario major. (E.A enim L X =
T uf 2.) Neque
enim, quod F e c cancundem sinc, ideo ec aequari dicendum erie f L e-
nili insuper, cancundem esse, dicamus, excedere et deficere. Nec quidem meliori
ratione dicet 0 f F et 0- e tancundem esse, quia ucrobique aequaliter ab o re.
ceditur; quam tantundem esse 4. F F 8 4 = F, quia utrobique aequaliter recedi-
Tur à 4. Ouodque ait, P. T4 F. l. 8. majus esse, quod loneius ab initio suo, hoc est
a nibilo, distat: Verum quidem est, dummodo crescendo distent: at vero quod
decrelcendo, a principio luo lonsius distacu id minus est. FL Leuri 4 -- 2, minus
est quam 4 = T, quia, a communi principio 4, id lonsius distat decrescendo;
lic et ob eandem caulam, 0 - 2, minus elt quam 0 = T, quoniam magis, d prin.
cipio Tuo 0, decrescendo diltar. Ouippe, quod magis delicie, id minus elt.
4. Dicimus pariter, Rationis item Geometricae, Fundamentum elle, terminorum
ab invicem distantiam; non aucem, ut prius, Subductione, sed Divisione resti-
maridam. Non enim, quia 4. e 2, atque 4 e 6, binario pariter distant, ergo et
eandem utrobique distantiam, quae nempe rarionem spectet, dicet Meibomius.
Ouanquam enim cum 4 = 2 = 2, tum 6 - 4 = 2; non tamen rationem 2 2d4,
acque 4 ad 6, vel 6 ad q, eandem esse, aut aequalem, reputat: Sed 4 ad 2, acque
8 ad q eandem esse rationem dicer, atque eandem ab invicem terminorum distan-
riam, nempe divitionalem; quia cum 3 = 2, tum 8 = 2. Nec quidem alio sentu
verum exii, rationis duplae e subduplae magnicudines requaliter invicem diltare.
Peo enim, Annon eadem sit ratio, quadripondii ad bipondium, acque quadripe
calis linea ad bipedalem. AFirmabii, credo. FrSO, inquam, DIstANEIX TUINE UITO-
bique aequales. Ouod ipsum, credo, Facebitur; certe inficiari non debet. Ve-
eum hoc de distantia residuali (subductione quaerenda) dici non potest. Ouippe
reliduum, illie Pondus ett: hic, Linea: at pondus linex nemo Tobrius aequale
dixerie, cum sint hecerogenea. De diltantia iraque Diritionali incelligendum exir:
nempe linea quadripedalis bipedalem lineam cocies praecise continet, quories qua-
dripondium continer bipondium. Ouippe uc 2l.) 4L. (2, Ia 2 P) 4.P (2
Porro, ello rerbi gracia quancitas A, quadripondium: erit hujus duplum 2 A
oetipondium; subduplum Z A, bipondium: Frit quidem distancia dirilionaliS,
VErObIQNE aqualIS; na Tu A) 2 A (2, tum Z A) A (2: at in subduetione secus
cs, quipDC 2 A = A = A, aC A = Z A = = A. Non isicur, hoc senlu, cadem
esset utrobique cerminorum distantia. Dleque incerim dicere pocest, reductionem
faciendam else ad communem vel anrecedenrem vel consequentem, priusquam Rae
haec comparatio: nam neque ille hoc Facie, cum dieit rationes Z e 3, (auc eriam
82,) invicem aequales, quod termini aequaliter verobique ab inricem distent.
Nam rationes Z et 3, 2d communem consequentem reductae, erune 2 dc 18; 2d
communem vero antecedentem reductae erunt 18 _ 3; aE neuErO modo CrUnE
aequales cerminorum ditterenria, sed in altera 12 = 9 = 3, in AlTEra 16. 22: = 4
Incellisendum

## Folio 279 — 851387705:0299
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000299.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
lL lROPORTIONTBUS.
Incelligendum igitur erie, vel ad Mencem Cuam, de distancia divitionali; ex di
vitionis quociemre aestimanda: quam ee nos agnoseimus rationis Greometricae fun-
damentum etfc. 
Sd Negamus camen, hanc divitionalem distantiam, este ipsam rationem sive (ue
loquitur) naturam e essentiam rationis Cieometrica: Sieur et ante negarimus re
lidualem dilterentiam elle rationem Arichmericam. F.A quipDE TaLIO, Ca quX es
hac diltantia oritur Relacio, quae incerim, proue hunc illumre terminum respicie
c alta acque alia; puca rantuxio majus, ee tantuplo minus. Acque hoc didiciste
Poruerat ab eo quem eitat p. 167. l. 2. Pheone Smyrnao; cujus haec verba pro-
tCrE; iro AS No cdCS + Ev ny d E Eros WeS 7 No, casuua Er ny 20 avro noyos  E7E
es s  No veS 10 EV, SmaotoS YY ) eros es d No, nuovs. Abinario ad unita
rem _ ab unitare ad binarium unum idemque est intervallum, (de interrallo di
vitionali, e  sarata mulica;) Rasio autem diversa: binarit
ad unicarem dupla; unitatis ad vinarium, anmidia. Fodem plane modo, quo P a
eris d Vilio, et L’ilii a Parre, idem est incerrallum; ac diversa racio; nempe haec
illius interta, ucta_C aB COdEM LIIndAENIO OETA.
6 Peltime iiaque intertur, ob idem urrobique incervallum, tire aequalem di-
Ptanciam (divitionalem,) aequales elte rationes duplam et subduplam. Ouippe
ratio dupla 2, relatum dicit correlaro tuo esse duplo majus; ac Tubduplaz; dupto
minus esse; odem plane modo quo, binaci excessis f 2, indicat binario majus
esse; e binarii detectus -=2, binario minus esse. (AC nemo TobriuS, duplo majus
este, ee duplo minus esse: vel etiam binario majus esse, ee binario minus esse; PrO
eodem vel aequali habebit: nisi qui de majus, ac minus, tancundem else velic. Ra
tionem autem, Relationem elle, non tancum Relationis fundamentum, ex ipla de
tinitione paret, quae nec Meibomio displicet; dicicur enim geors, quod est, ip(o In-
terprece, Relatio.
 Suod iaque concendic, rationem 4 ad + majorem esse quamrationum 4 ad 5
(atque his timilia:) quipre, quia major cerminorum ab invicem diltantia: (quo
Tolo nomine Falsas elle concendic. proxp. 8. ee 20 05 Fuclidis, ejusque 745. e
AeMOMLCLAtONeS CUI PTOP. L4, 20, 2F, e5. cum Archimedis 2IF de Sphaera et Cy
Lindro, atque Lutoeu in illam commencationes, muslas item Pappi provoliciones in
lib. 7. Colleetaneorum; aliasque a Theone d al traditas; ut liquet P. T26. ec.
icem Claru, Ciresorii, aliorumque plurimas. Pc quidem, rum totam antiquilatem
ienoratae in quibusdam Flementis Ceometriae, C juniorum pravas explicationes
es monssrosas hallucinariones, Ce inde demonstraturum (perat, P. T27. J. 24.) omnino
tallum elt. Adcoque qua hinc dependene omnia, (hoc ett, tota doctrina (ua
nOva,) sponce corruunE. Verum quidem clt, 4a 7 masis deficere, quam 445
adeoque rationem innuere masis defectivam: quod ipse concendit p. 243. L. 22
AC Vero, quer s info temers exreuum, id, nobis videtur, mi
nus esse, non majus: adeoque et Racionem masis deficientem, appellabimus mi
norem; Licurrum reteres, cum (excepio Meibomio) recentiores omnes. Si au
cem Micibomius per majus, incellectum relit, maeis exieuum; secum loquatur li
eet culcs Leouo luo, alesue L. Mustuo; (suumque illis praedicet acumen
chemarimum:) liquidem religuihioe non InteHSCAC.
8 NoS itaque nec exptosum IVI PaTIUI, nec antiquatum, veterem Loquenat
res (Guere MeibOMS B. 93, e 17O.) Dec eam quam habel P. 234. l. L9
conlequenciam adMIILIUS, Dt ratio  major est ratione  seiu quod idem est, siralia
minor est ratione?; etiam revertendo, ratio Z minor est ratione;. LalOHem y
que majorem dicimus, non qua ureunque ab aequaltate maois recedit, sed qua det
aequalitatem maeis superat, vel ab eaminus deficit: quae aurem vel minus supetut
vel masis desicit, eam nos minorem ralionem (anciqua nomenclatura) apella
mus. Siquidem rarionem criplam Z, dupla Z, majorem dicimus; quia 3 A, plus
elt quam 2A. Trem rationem subduplam Z, majorem esse, quam suberiplam 5
Curur hraec ab aequalicare magis recedat,) quia : a, plus ett, quam Z A. LF quangua
ille muleis concendat, alicer de minursis, aliter de racionibus judicandum, pa5. 13L.
Sec. quippe, (ut aic P. 233. L. 10.) ratio  aequalis est auddis
23. aequalis duabus Z  L nosutrobique idem dicendum non dubitamus, nemDCCH
C43 ut mmutia
minuciam, cum racionem, 5 =5xZ; e non minus cum minutiam, tum rationem
 5. Et quidem nil aliud sunc minutiae, sire fractiones, quam rationum in
dieta liequid enim cAt : A, quam quod elt ad A, uL X ad 2 _ 3 A, quam quod

## Folio 280 — 851387705:0300
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000300.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
DEIBOMTL DEALOCUS
eAt ad A, uE Z ad 2 Qc. ee sic ubigue. Sire enim dicamus; A, quanticaris A dimici.
um esse, sive subduplum, perinde est. Ouod nec Meibomius nesare debet, qui p.
266. I. 25. rationem dimidiam, atque subduplam, pro codem Habet.
 Ouod antem dimidium sire Tubduplum; majus sE quam eriens sive Taberi-
Dlum, (et de reliquis similiter,) Si dubiret, sic probamus. Omnes homines totum
quavis sua parte majus esse communi notione percipiunt, (dictance Meibomio, P.
T4T. L: 26.  AE, Tuberiplum liibdupli pars est: ergo, hoc illo majus elt. Minorem
hoc exemplo probamus. Suberiplum librae, Tuns 4 uncixe; (sicuri libra ost. ha-
rum erixlum: ) ejusdem librae Sihduplum sime uncia s; (licuri libra est harum
duplum:) Sunt aurem 4 uncix, unciarum 6, pars aligua; suberiplum itaque sub-
dupli spars clt, adeoque minus, quod crac probandum. V el sic aliter, ad mentem
Tuam. Racio = per ipsius doccrinam, componitur ex duabus addicis  e 3; adeo-
que Tua PartC Z, major est; quod erar probandum. (Sec, ad hominem, hoc ul-
imum dictum elto, magis quam ad rem; non enim esO propterea existimo,
quicquie ipse piicaveries racionem E aue minorem elle quam Z, aur etjam huie X
qualem: utur distantia terminorum, s dirilionem spectemus, sic illie minor; si
luibductionem, aequalis. NaM 3L- 2 = = F = 2 = 5; ICM 2) 3 (+Z, UC F) 2 (2.
Sed ad hominem valee argimeneum posterius; ad rem Palcem Prius.)Vel lic ter-
eio adversus cundem arSUMENTaUE. Si aequalibus aequalia addantur, aecresatu
erunt aequata. per 2 aX F. AC, Si rationibus5 ee 3 adelantur (Meibomii sentic) aequa-
lia, (puta urobique Fario, 4,) aspresatanon erunt aequalia; (quippe illic is -
2E, tuc vero 3 ==8 = 2x4, ne quidem Meihomio retragante:) Non uaque aequales
line rariones Z e 2, quod vulc Mcibomius. Item quarto. Si aequalibus inaequalia
addantur rota erunt inaequalia; (per 4 aX. Z) e quidem illua majus, ubi majus
additur: (quod, credo, nec Meibomins nesabir. ) AL, l rarionibus 3 ec Z addan-
cur inaequalia; illic 7 = 35, hie CZ; aggregata erunt aequalia, nempe ucrobique
 =4X3 = ZX54 Non itaque aequales lunt rariones Z e Z, quod vule Meibomins.
Irem, si rationibus aequalibus3, et 3, addancur (Meibomii sentu) rationes 3ec 3;
aggresatum illud ubi additur Z, (nempe  Z = 7XZ,) majus exit conbri additur 3.
(nempe 33 = 8 x3:) ratio itaque Z major est quam ratio 3; non aurem minor, quod
vulcMeibomius. Tremquinto. Si ab aequalibus aequalia adimantur, residua erunt
aequalia; DeF 3 AX. F. AFS d rationibus 3, 2, auterantur aequalia, (puca utrobique
ratio Z,) residua non erunt aequalia (Sed illic 4 Peu S; hic reroz; quippe 3) 3 (2
16, 83) 2(8, etiam Meibonii sen lu.) Non isitur aequales tunt expolua ra-
tiones 3, 8, quod ruleMeibomins. Pandem lexto. Si ab aequalibus inaequalia au-
ferantur, residua erunt inaequalia; ( per 5. ax T.) de quidem illud minus, ubi ma-
jus aufertur; (quod hec inticiabitur, credo, Meibomius.) Ac li a racionibus Z ec
2, auterantur maequalia, illic quidem ratio 13, hic aurem ratio 3; relidua CrHnE X-
qualia; nempe utrobique ratio E, na 18) 4 (35 = E acque etiam 3) 2 (38 = 5, ut
Batet. Non Egitur aequales lune rationes ? ec 2, quod rule Meibomius. Tiem, 
ab aequalibus rationibus ?, E, auterantur (iem Meibonii sentu,) rationes Z eZ;
reliduum illic minus erie, hic majus; quippe 3) 8 (40 = 18; 2C 3) 3 (38=
t; ut
Patet. Ergo, quae iIlic autertur rario 8, major est qu’am quae hic auteriur Z: Non
aurem minor, quod vule MeibomEus. Et quidem, nisi haec abunde susticerent, ad di
pollent iltis alia intinita, quibus constarer, quam absurde dictum (Ic, rationes Z, 7
Item 8, 3, dec. invicem aequales; auc etiam rationem Z majorem este quam, 5; de quae
hris limilia.
70. Cum icague qua adtrexsiss prop. 8 es Euclidis, (aliaque quae ab hac depen-
dem) adducir MeibomiuS, a P. 126. ad p. 236. inelusire; huic nicaneur omnia,
quod racio? major sir quam rario 3 (sic enim ipse ait D. 136. L. 3. Caterum omnis
haec ratiocinatio, qua Fuclidei Theorematis falsitatem demonstramus, paucis verbis
includi potest. Duoniam enim ratio Z major est quam ratio Z, quod in ista supra q
majori spatio ascendat quam 5 supra eundem 4. ideireo e ratio? major est quam
ratio ? quod 4 infra  masis descendat quam infra 5.) quod quam absurde di-
ctum sIE jam oltendimus: Inconculsa manet Fvelidei dicti veritas; adeoque e
quae inde rice deducuntur omnia ab Futocio, Archimede, PapPO, FheonC, auE
etiam recentioribus. Nec dum necesse est, (quod contendit ille p. 148. l. 16.) ut
Fuclides, caeterique, in hac causa victi, circinum e reculam Meibonio tradant.
Ouxe deinceps de Fuclidis Demonstratione habet, (2 P. 136. l. 9. et sequentibus
2d p. r4T. inctulire,) parcim nihisi sunc, parciem sibi adrexlancur. Nam L Dum
P. 137.

## Folio 281 — 851387705:0301
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000301.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
DE PROPORTIONTBA
rule; Majoris rationis eam Ruclidis detinitionem, ei, quam appellat Meibomins
majorem rationem, minime conrenire. Duod quidem verum est. Siquidem pe
rationem majorem aliud vule Pnelides, aliud Meibomius. Detinic aurem Ruclidee
non quid meibomius, sed quid ipse per Majoris Rationis appellationem. incel
lexit. Ec quidem recte. Ouippe eodem sentu ubique in luis propolicionibus incet
lisitur major ratio, quo in illa detinicione incellisendam esse dixerat. Ouod ne
que Mcibomins neSaTE POTCTIE: ut nec, Fuclidis propolitiones omnes, co lensut
incellectas, veras elle: hoc clt, quo sentui se incellectum rule Fuclides, co sentis
quae dixic vera essc. 2 Dum pas. F4F. Perhibet demonltrationem illam Cx 8 def. 5
Decicam mepram Ce. Vel Hala LATIS LHIICMM LHIC, GuIa SIC, apud GEOMCtAS, CX
detinicione demonlliare. Polico enim, quod 5a lic majoris rationis detinirio, qua
habetur 8 a5; non alirer demonstrare debuit, rationem, de qua 8C5 agitur, ma
jorem else; quam oltendendo, majoris rationis detinitionem huic convenire: quod
ibidem ad Llelee lactumei, nec (lidemonrationem Camallo MMuBaL) Mei
bonius id inticiabitur. 3 Ouod auteM habet, p. 137. l. 20. Nempe, ut major
certitua omnia clareseant, se novum adhue suum quoddam de rationibus Geome-
cricis indentum nobis non invisurum, ex quo, siquid tamen cerri a mortalibus com
prebenditur, evidentissimam doctrinam de rationum maenitudinibus explerandis
bauriamus: cujus quidem inventi Cumma haec ese, si rationis antecedentem termi-
num mulciplicemus, tic rationis additio, adeoque ratio ausetur, hoc elt, tic major;
sin consequentem, tic rationis ablatio, adeoque ratio minuitur, hoc clt, tic minot.
Hoc, inquam, suum torcalle eAe porerie; ac certe novum non elt inventum: quippe
nemo hoc non voric, (id iplum nempe cradie ea quam ille oppugnatum ic prop.
BC5.) Led e iphi Mcibomio adverlatur vel maxime. Nam, juxta hanc regulam,
Si rationiss, consequentem s mulcpcemus in FZ =2, uc tiat racio 3 (nam
5X FZ =7,) minuicur rario z; ablarione rationis Z. NOn ItaqUE MajOT CxIL Z quau
(quod rult Mcibomius,) Sed minor eric. Trem L FarionIS3 Lire 3, anceceden
tem 20, musciplicemus in 13 = 3, uc tinc rario 33 (nam 20X 13 = 28) hoc est 3
ausebicur ratio z, adjecta ratione Z; adeoque ratio 3? hoc cM 3, major erit quan
55 hoc est3; non aurem (quod rule Mcibomius) minor cxit.
Deinde vero a pas. Z4F. ad p. 248. inclutire, rix quicquam occurrienori: sed
eadem Tubinde canitcur cantilena. Ouod enim p. 247. ex Flarmonica producicur.
parum ad rem spectat: quippe de Incerrallis cancum asit, non de Racionibus:
(aliud autem esle Incerrallum, susnua, aliud Racionem, noyor ex Pheone Smyrnao
modo dictum est: quod cum non lacs animadrercerit Neibomius, quae ex Flarmo-
nieis sibi tarere pucarerie, revera traudi Cunc.) Requis enim dubirat, quin inter
68 3, acque incer 3 et 6, idem sic incerrallum? (aut eriam inter Pacrem e F ili-
um, alque Filium es Patrem:) ac interim eandem aut aequalem elle rationem (hoc
estu Relationem,) 6act 3, acque 3 ad6, sive Arichmerieam, sire Cicomerrica
haud quisquam dixerit, (nisi qui se relationem Pacris ad Pilium, e lilii ad Pa-
erem, eandem esse dixerit.) Nam, quod ad rationem ut loquuntur Arichme
cicam, 6 est cernario major quam 3; ac 3 ternario minor quam 6: Ouis aurem
ternario majus esse, et ternario minus esse, rancundem else dixerit d Quod autem
ad rationem actinet Geometricam, est 6 duplum ro 3, ac 3 est subduplum 256
nempe illud, aupso mascto, Hoc, o. Sulo alteus auplo majus, e duplo
3. 137. I. 8. Falsam esse aic 8 def. 5. cui illa innicitur demonstratio: hoccancum
minus, caucundem elle alact:
Duod autem D. 146. l. 3. insinuatur; Caeterum facile quoque ex his collicitur.
diversi generis rationes, excessivam e desectivam, inter se, quatenus una alterc
major est, aut minor, comparari non posse: quod comparatio ejudem generis no
mina requirat: FCD. L53. l. 17. Fxcessivas rationes cum excessivis,  ajectidas
cum defectivis solum comparari posse: Et limiliter D. 129. L. 14. P. 248. l. F. L
alibi. Mirum est qui dixilte postic. Nam et ipte susunmoe Comspataliones mulio.
ries insticuir. Puta P. 240. l. 21. Certissimum, inquie, est, Majorem esse rationem
quam sit ratioZ, quomam dum utrique eadem addita est, (nempe ratIOZ,) e
eadem ab utraque ablatan (nempe t, s refatiuti tat alo  Glum Z:
illa rationem Z6: haec, ne quidem nissn aaicalsu intellioie) rationem, sea
defectivam 15. Obi manitelte comparat Lace (uc Loguitur) excellivant 16, ac.
que detectiram 13, eamque hac majorem appellat. Sic p. 205. l. 4. Duoniam, in
quic, ratioi superat rationem: ratm . sea lationem: Superacraciot, ratione

## Folio 282 — 851387705:0302
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000302.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
ME IBOMII DLALOCUS
Ersoratio (excessira) 2 superat rationem (detectiram) 3, ratione bis duxta, id
est, quadrupla. Si autem excelsira detectiram superet, hoc elt, major lc; cur in-
terim, quazenus una altera major est aut minor, comparari non posse, dixerat. Sed
ex similiter, inquie, ratio 2 major est quam ratio Z, ratione 36. P. 207. l. 6. Trem
P. 206. L. 27. _ P. 244. L. 4. ratio, inquit; sesquialtera a ratione subse squialtera,
distat ratione bis sesquialtera; ne aurem dubitemus urra major sic, addic D. 144. l. 9.
rationem sesquialteram excessivam (3) superare rationem sesquialteram defectivam
(hocest, Tubsesquialteram 3) ratione bis sesquialtera.
Ouod ipsi hac in re riderur traudi tirsse, hoc cst: Viderat ille, expoliae ratio.
nis rationes duplicatam, criplicatam, quadruplicatam, ecc. quas appellat ille du-
plam, triplam, quactruplam, ecc. ita consticutas esse, ve si carum aliqua lic rario
exceltira, hoc elt, ratione limpla (τ) major, etiam reliquae erunt excellire; ( de-
fectira, delectirae: (Ouod quidem rerum eMt: quippe illud universaliter obtinet
Si ractix sic unitace major, ejus item porestates omnes erunt unitate majores; li mi-
nOT, inOres; ( aequalIS, aequales:) Adeoque rariones excestiram ec defectiram.
ejuldem expolita rationis lire radicis poteltates non esse. Cum itaque nullo ille
respectu rationem ratione majorem aur minorem purandam este velie, nit quace-
nus expolix alicujus pluries pauciulre mulciplicata dici portu, hoc clt, radicis
alicujus alcior interiorre porectas; quae ejuldem radieis sive expolica racionis po-
celtares esse non possine, eas inter se, quatenus una altera major lit aut minor.
comparari non posle purarie. (Oblicus interin, se ipsum, ne alios dicam, longe aliam
majoris minorilre rationis altimacionem paltim adhibere, ue modo dictum etE.) Ouasi
quidem non alia de causa numerum r6 numero 4 majorem censeams, quam quod
tric, numeri 2 lic porestas lecunda, sire Ouadratum; ille, quarta, sive Biquacratum:
EL, eadem de caula, numerum tractum io majorem quam L, quia radicis;, hic qui-
dem quadracum, ille biquadracum: Duorum vero, tracti nempe , et inceori 4
aut eriam Fracti Z, d integri 16; neurrum majorem else, aut minorem. vurandum
lic; quia nullius radicis, lire incesra sive tracta, uterque possit porectas cIlC. OuX
omnia quam absurde dicta sint nemo non videt. Nam (praeterquam quod Falsum
lic, numerum ,s majorem esse quam = Parrem toto; icem, numerorum 4 e i, vel Z
e 26, neutrum majorem minoremre esle;) contiderarionis elt ommino extranca
ad numerorum inter se majoritarem, aurminoritatem, cire exceltum ee defectum,
aestimandum, quod line cerrii alicujus, torinlecus altumendi, poreltas aliqua. H. L
quidem non masis olt essentiale numero 64, ut su poreltas secunda, puta Ladicis 8:
quam ut lic poteltas certia puta ractieis 4; aur eriam sexta, radicis 2; led et quarta,
radieis V 8 FIVe 2V 2; de quinta, racheis v564; aue duodecima, radicis V 2; icem
prima, radicis 64; ee sublecunda, radieis 4096; et subtertia, radicis 262144; ec
Poceltas lublelquialrera, sive Cublemiterria, radicis 5+2: d selquitertia, SIVC quartX
subcerria radtieis, 16 V 2. Ft sic in intinicum. Quodque de radieis numerola po-
celtatibus dictum est, id unirertum ralet de cujuscunque generis aliis, e specia-
eim, de Racionibus, graclacim mulciplicaris. Adeoque omnino incpristimum cst,
carum magnicudines, ab eo quem habene potectaris gradu aestimare. Acdo insuper,
luperiorem poceltarem sire gradum nonnunquam minoris ese magnicudinis: Nec
quidem sumptis cancum variis radicibus, puta 26, quadratum numeri 4, majorem
elCe quam ell B, cubus numeri 2; sed et eadlem sumpta radice, qux puta minoe
Lic quam r. Nam radicis) poceltas certia, seu cubus, s, minor est quam ejusdem
quadracum Z: Lodem plane modo quo radicis sive rationis expolitae Z (subduplae Y
ratio criplicaca sire poreltas terria 3(Tuboctupla,) minor cst quam ejusdem ratio
duplicata, sire poreltas secunca = (Tubquadeupla;) urut illa superioris gradus
sire denominationis, porestas lic; haec inferioris. Oux quia non laris perspexit
Meibomius, id ei nora sux doctrina male fundatae anlam porrexit
Ouod vero ait, p. 148. l. 3. de prop. X0. C. 5. Decima autem propositio cum
octava, cui ut fundamento superstructa est, corruit; et similia de aliis ibidem, de
deinceps ad pasinam FST. cum non alio vertancur cardine, quam quod putarexie
se octaram quinu erertisse: non elt uc de iis admodum limus Coliciti. Ouippe
eadem operâ Ctacuminamtur ee illa. Hec opus ue cadem (apIIIS rEDETAIIIS. Nam
nec ipse, credo, Meibomius negabit, quin, concella veritate Prop. 8. c. 5, reliqua,
ab authoribus luis Archimede, Apollonio, Futocio, PapPO, ec. legitima Caris con-
lequencia inde linc deducta
Ouae deinde, P. 26L. ec. ad p. 174. iceraco habeneur; de mainomros voce; de
Rationum

## Folio 283 — 851387705:0303
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000303.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
 LlOTDRTIORIBU
rationum denomnatoribus; de eripli duplo, aequali sexcuplo, Sc. de Theone e
Fucocio ita loguentibus; Clario item, aliilque, ipsos securis; acque his similibus
non est ur iis ulcerius intistam. Ouippe quibus jam supra Caristactum est. Neque
ullus sloriationi Cuxe locus relinguitur, quam habet paS. 169. l. 24. Fx his per
spieuum est, non rantum ienorasse illos authores. (Hichomachum Geeraserum
Hleronam, Pheonem, Furocium, Cardanum, Rodulphum Volumnium, Clarium
ecc.) quid sit rationum compositio; sed e, quid sit Ratio. Cum potius dicen-
dum videacur, nec quid sic corum alcerurum, incellexisse Meibomium, nec quid
libi reline auchores cicari
Ouod aucem habet D. X7F. I. 22. Quare, ex veterum sententia, ut ratio quadru-
pla est dupla rationis dupla (incellisu, duplicatam,) sie raiio subguadrupta est
subduptae subdupta (non, inquam, led duplicata;) Similicer subcentupta ration
subdecupla rationis est subdupla, (nulto modo, Sed, duplicata:) Trerumque P. 173.
l. 29. Duippe, uti ante dictum est, ratio :, rationis  ( vel 3) non est triplaz sea
subtripla: seu ratio  ad rationem  est ex Fuclidis sententia, quam octava quinti
tradidit ut T ad 3, non autem, quod Commanainus e Clavius pulavit, ut Z ad F.
Omnino fallum elt: cocumque illud necorium a Meibomio perperam intellectum,
et depraracum misere. Nequaquam enim dicendum est, racionem Z, Fationis Z:
e rationem ,o, rationis i; Subduplicatam esse, sed duplicatam; (nam . =
eC 1 == 1OX r) neque rationem, , racionis 3, Tuberiplicatam, led criplicatam
ee; (nam
Id enim expressis rerbis detinie Euelides, 10 d 5
Cum tres magnicudines (continue) proportionales sint, (puta F, 2, 4, vel L, 10, T00,
prima ad tertiam (T ad 4, vel F ad 20O) smaoiora, duptieatam rationem habere
dieitur ejus, quam habet ad secundam (L ad 2, vel + ad 20.) At cum quatuor
maenicudine s (continue) proportionales fuerint, (puta 8, F2, 18, 27,) prima ac
quartam (8 ad 27) triplicatam rationem habere dicitur ejus, quam babet ad
secundam, (8 ad 12.) FCF itaque ratio ? duplicaca racionis Z; d  duplicata
rationis 3; (non Subduplicata, sire, u Meibomins Loquitur, subdupla:) e
eriplicara (non Suberiplicata) rationis ,3 Fire 3. Ouod aurem ille hie haber de
octara quinti, est nihil ad rhombum. Ouippe ea propoltio, (qua nempe racio.
nem Z minorem esse Ratuit quam L, acque e, minorem quam to; e denique,
minorem quam 13,) nihil habet commune cum decima detinitione quinei (ubi
detinitur quae ratio dicenda exic smaoicor rechmaoicors duplicatas criplicata, _c.) Non
enim quia ratio rationis dupticata aue cripticata dicitur: Ideo e major dicenda exit:
necus EI minor Cc; duplucaca, auc eripticaca dici non pocerit. Sed ad Hoc, ut
racio racionis duplicaca, aur criplicaca sic, vel eriam Cubduplicata, Pubcriplicata, dec
omnino accidentarium est vE SIE major, auE minor. Est quidem ratio dupla
pripla, dec. nojos smidotos, recnddotos, ec. major seniper quam limpla: (puta 2 A
3 A, eC. majoF quam ZI A:) ac vero ratio rationis duplicara, criplicaca, smna
otcor, recndasior, _C.  nune major est nune minor: H0e elt a, a, ec. nune ajor
quam a; Si nempe a major quam L: nune autem minor; I nempe à mino
quam F. Oc de luperius ostensum cst. Ouum ilaque illie subjungie, p. X7 3. 1. 3-
duare, secundum Fuclidis doctrinam, prima ad secundam, 8 ad 22, majorem ra
tionem habet, quam ad quartam, 8 ad 27. omnino terum elt, per 8 e5. Dum
aurem addir,  rario 8 ad 27 subtripla est rationis 8 ad 12. hoc Falsum est.
Nam e rario, E Peu 3 major est. quam 7; Per 8 e5; dc haec incerim illius cripsi
cata, adeoque poreltas uperior, per 10 d 5. Cuque ille rationem rationis tri
Plieatam, secmmaotova, ita adersa e, (Lin. 2.2.) acli sc ut 3 adt F; e Cuberiplicatam.
raoremasiora ut L ad 3: iterum hallucinatur. Dixisser enim, non ut 3 ad X, sed
uc cubus ad radicem, sel ut ~ ad 28, vel R ad R: item non ut F ad Z; Sed uE
radix ad cubum, seu ut 20 ad ∞, vel R ad R3. Adeoque ad Fuclidis mencem put
chre constarent omnia, quae Meibomius perperam interprecando luxarie milere.
Dux Pa8. 174. _e deinceps ad finem, de Pationum inter se Rationibus habet;
hiaud caereris Caniora extiltune. Verlantur autem ea parrim in crertendis eis qua
a Creporio d S. Vincencio hac de re tractuncur; parcim in nova sua doctrira
cruenda.
Gregorium ille mulcories Pollieitar; Puta, Praef. pas. 5. l. 9. FJujus, inquit; et-
strandos duxi ut omnes Diaetent in uval Ganaralura perficienda; non plus novi
quam falsi ab ipso esse repertum. Enimvero ab inventae matheseos cempore nul-
Tum
rores, quod plane insienes sint,  sm atentum reneant, clarius demon-

## Folio 284 — 851387705:0304
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000304.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
AETBOMIE DTALOCUS
tum fuisse puro, qui plus cenrum e trieinta falsas propositiones ex uno erroneo
principio deduxisset. Gratiam itaque a Mathematieis me initurum credidi: si
quadraturam illam ab ipso fundamento everterem. Icerumque libri pas. 100. l. TI.
Tune vero errorem (Theonis, Furocii _c. de rationum Denominacoribus) am-
pliavit Crecorius a S. Vincentio, qui erande illud opus Geometricum, de duadra-
rura Circuli, ante septem annos edidit, si effectum spectemus, conatu solo lauda-
bile. TIIC, ut seopum feriret, de rationum proportionibus, seu, ut ipse cum Boe-
thio vocat proportionalitatibus Geometricis, protulit nova inventa: revera autem
multa nova errata. Namque in sole octavo libro, qui hujus doctrinae fundamenta
continet, centum septemdecim falsas propositiones numeravit Puhrmius: tot ni-
mirum quot Fuclideis fundamentis carent. Tcerumque p. 203. l. T. Falsae ieitur
sunt in octavo de Duadratura Circuli libro, propositiones 1L7. quibus, ex libro de
cimo, 17 adjuncemus: ut falsarum propositionum, e quidem elementarium, nu-
merus excrescat ad 234. FF lin. 9. Ceteras in quibus demonstrandis, has falsas
Plementares usurpavit, operose recensere nolui; quod rerum Geometricarum enarus
seiat, cum fundamento male jacto ruere quic quid ipsi fuerit superstructum. Nec
ita omnia ipsius nova inventa censui, ut adfirmare sustineam, nullum cuiquam
spicileeium esse relictum. Trem P25. 261. L. 27. Rogo itaque vos, ut pauca eriam
de istis me narrantem audiatis; eoque maeis, quod novum quoque proportionum
senus, ab uno, non insimi subsellii Ceometra, nuper sit inventum, cujus admini-
culo Circuli quadraturam, toties irrito conatu a vebis tentatam, spissis volumini-
bus se demonstrasse opinatur. Ouinam aurem sint illi tam insignes errores, de
monstrandum aggreditur. P. 188. l. 26. e deinceps ad tinem libri.
Cregorium hunc quod actinet; lareor equidem illum eam, quam ambiebat, cir-
culi Ouadracuram minime accisisse. Ouod in eEoreioes lica, ante tres annos, osten-
dic Christianus FEusenius ec nos, h opus licu parati sumus inidem ostendere. Ve
rum incerim haud pauca minime concemnenda prodidie, suamque in Geometricis
periciam oltendic: Dec ommino, eo nomine, cuspandus videcur, quo iltum Coli-
citat Meibomius. Ec quidem, ni Faltor, vel Meibomius ipse proposiciones illas
Dlus centum crisinta, quas ille ut talsas inculat Facebitur, eo quo illas proculit
Crresorius sentu, veras else. Nec alio, quantum eso video, nomine cas culpat
Meibomius, quam quod alio sentu nonnullas loquendi tormulas usurparerit
(Thconem, Furocium, Clarium, aliosque securus,) quam quo eas ulurpari rule
Meibomnus, et quidem ColuS.
Grandi paralosismo (inquiE D. 188. l. 26.) lapsus est Crecorius a S. Vincention
qui Clavii de Denominatoribus doctrinam secutus, ratimum proportionem in bujus-
modi numeris consticuit, ut  ad 3, ita ad 3: aut permucando ut  ad 3, ita Z ad Z.
Hloc est, (neque enim alicer hic rule Crresorius) uc E Quactruplum, ad Z Du
plum; sic. E Priplum, ad Z Sesquialierum: ee permurando, ut Ouadeuplum, ad
Triplum; lic Duplum, ad Selquialrerum: quippe tum illie ucrobique uc 2 ad. L;
hie autem, utrobique ut + ad 3. Acque hoc quidem quin verum Lic, cgo nihil
video. Flto enim exposicum pondus A. hujus quadruplum est 4 A, duplum 2A,
Triplum 3A, selguialcerum 3 A. Annon aucem proporcionalia lunt S A = 4 A.
A = 2 A:: E A = 3 A. 3 A: : 8. 4: : 6. 3: : 2. F. IEem permutando = A == 4 A.
A 3A:: 3 A =  2 A. 3 A:: 8. 6:: 4. 3 Si itaque hoc verum (C (quod
ne quidem Mcibomium necacurum credo; imo inquam, diserris verbis tatetur
P. 19B. L. 4.) neque aliud Circsorius hie incellectum relit, (quod ne quidem Mci
bomius isnorat: nam le, detinirione lua, se explicancem incrodueir Mcibomius
P. 792. l. 16. ee D. 194. 1. 8.) quortum cum tallicaris inculat: AC incerim ni hoc
tallum lic, neque tallae erunt illx 134. quas ille condemnat propolitiones: Vel la-
tente Meibomio, P 298. L. 4. Quod gnidem Crregorio, hac ex parre, vindicando,
abunde Custiciat.
mius P. 190. l. 8. 203 sis Dse mscor ErcoS ExC1 aeds sd _e VZE ny Aed nocor τVTESIV d
TErECMeoC, noyos eS  receor: 1os pusvor ro D e HOEY es 2d Se HEEVTE Y8FESIV, d S.
Maor noyoS We9S nbNcOV. Eur Id Eros à es  VS N D reCnaS ZE ny ZErSANAeOO y nelXI
ipubaios re nei Smmetoros SirecroV nOiO abyoV, o 7E 7erGCm010 e 35 + reC NloOV ny 6 Sindé
os Wdess  npuNOV. Cds 22d50 ov oVorceor 6t2 20 De naocr 2B X8 EV2E 405CTC ODVDCOVOTE.
eor rivedac nei 20 sis De neocor r8 De naocor ny _li perre. Ouae vel Meibomio inter-
prete, lic lonanr L acine. Bis dia pason consonantia (MEMDCZK E = Z) ita se habet
aci
Sed et sic loguucum Pcolemaeum, = Flarmonicorum lib. L. cap. 6. Facetur Nleibo-

## Folio 285 — 851387705:0305
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000305.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
DE PROPORTTONIBAS.
ad dia pente e dia pason, (nempe 3XZ =2,) hoc est quadrupla ratio ad triplam:
ut sola dia pason (2) ad solam dia pente (Z:) id est, dupla ratio, ad sesquialteram
Si enum unius ex ejuidem numeri (puca 4) sumantur triptus e quadruplus
(nempe L2 d 16:) rursus sesquialter e duplus, (nemDe S eB:) Super Terri
am rationem (3) faciunt e quadruptus ad triplum (26 ad 12,) e duplus ad
sesquialterum (8 ad 6.) Adeo ut, quanto consonantior est dia pason consonantia ipsa
dia pente, tanto sit consonantior bis dia pason quam dia pason es dia pente. Adeo.
que non receribus cancum, led ee Clarmonicis, (quo torres provocac Meibomius:
quali hi soli linc racionum snari; aliique Palcem Juniores, quod rerum naturam
in Canonicis nunquam considerassent, quid ratio esset, renorarent, p. 296. L. T. 8
alibi passim,) lacis receprum ridemus hunc loguendi morem. Siquidem, tum ra-
ciones, Prolemxo, sune denominatoribus liris proportionales, (quod vult GregO.
riuS;) nePCZ. 3::3. 3:: 4. 3. contra quam rule Mcibomius: Pum etiam, uE CX
Porplyrii in hunc locum Commentario liquet, P. TOT. L. 29. ny yd cmlaoraacis o esid
npeton O, J reCndetBtOV NDIEI. O ) SrneotO,  TEraMeorer. ny ror OVToV 3 noyor cyd o reream e
o ceis  SnMatr nai O reCNNeSIOS vees ro nbnor. Ptenim duplicatus sesquialter
facit triplum: e duxlus, quadruplum: ideoque eandem rationem habet quadruptus
ad duplum, quam triplus ad sesquialterum. Duod, quid aliud sic, quam quod in
THCOnC, TANEO StTCDIEU, camNaL MCIBOMIS, (car 2o reCXNoIOr noS Smaorocopd, sivE
Tat ourS EEannaor,) eso lane non incelliso. Sed et ejulinodi passim apud alios
loquendi tormulas exstare; non admodum ridetur dubitandium, li modo id opera
precium eslet inquirere.
Imo, inguam, et ip(e Meibomius nonnunquam, incaucus, perinde loguitur. Cum
erim dic, P. 712. 1. quippe nibili misto =, in sesquialtera ratione debilius est mi-
Stum. Hoc est, miltum illud ubi rario vini ad aquam cst +, Forcius esse quam
mistum illud in quo vini ad aquam ratio elt 3, (sire hoc illo debilius este) in
ratione selquialcera. Hoc elt, ratio vini ad aquam (quippe, ex hac, aeltimanda
Cs forcicudo milti) Z, major est ratione 8, (non aitu ratione, live per rationem.
quali hac esset ditterentia, Led) in ratione sesqualtera; Hoc est in ratione 3 ad 2.
sive uc 3 ad 2. (quippe, ese ad alcerum in ratione selquialrera, elt, ese ut 3 ad 2.)
Ouid hoc aliud est, quam rationem (Duca vini ad aquom) : live Seste ad rationem
3; UE 3 act 2, Eive uv6 ad 4d Duod vulc Crexorius. Sic P. X13. 1. 12. mistam , im
sesquialteraratione forcius est misto . Hoc est, vini adt aquam racio 3, est ad
racionem 3, in racione 3 ad 2. Sive 3. 3 (: : 5. 3: : 6. 4): : 3. 2. tcem P. 115. 1. 26.
Forrius est mistum, quam mistum in ratione quater sesquialtera,
2t = 3  3X3  Hoc ell, Torcicudo Mlius mittisive racio vini ad aquam in illo misto,
S6, elt ad racionem in hoc, 36, in ratione Eb; sVC ut BF ad 76. adeoque ratio 3
Fat. 38:: 8C, T6. Ommino Prout rult GresOriuS. (Ec similiter alibi, uE, Si opuS
Tic, ottendi poterit.) Non estiaque, cur hoc tam aerirer condemnet MeibOmIIS.
cum ec ipse (S crimen lic) eodem ceneatur crimine.
Ouod in concrarium, hujusce loquendi tormulae, adducie Meibomius, plane ni-
hili elt. Nempep. 189. l. T. non CAe, Wt Z ad Z, ita = ad 3, quia non quemadmo
dum rationis 3 dupla est ratio E, sic rationis. 3 dupla exsistit ratio . Si, ver rationem
duplam, incellisie noror snaoror, tire X2; dicimus, omnino ita esse; uc illie, sic
hic; nam _ ZX2 = 3, _3x2 =5. Sin, per rationem duplam, incellisie duplica-
tam, nover snnaoiora tire pocestarem secundam: Nesamus consequentiam; qu’ippe
quia non sic urobique noyos sndasior ergo non uerobique cadem rario sirpaoros, nullo
modo sequitur. Perinde enim elt acti argueret, non cste, ut 2 ad 4, sic 3 ad 6.
quia non, quemadmodum + est quacratum 2, ita et 6 quadratum 3. Sire, non elle
. 4: : 3. 6. hoc est2 =8, quia non eAt 3X3 = 6, SIeuT Cst 2X 2 = 4. AIque eju F
dem Farraginis Cunc reliqua quae in hunc tinem producit omnia.
Fujusmodi item sunt quas profert demonstrariones. Nempe D. F, 8. l. d. Cate-
rum inquic, rationem E non este rationis z ejusdem duplam; c. duplici demonstra-
tione

## Folio 286 — 851387705:0306
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000306.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
ME TBOMEL DLALOOUS
tione ostendemus. Si per rationem duplam, eriplam, hic incellieat, abyor Simmeoiora
recmmaoiora, (quas detinit Fuelides 20 d5,) nos hoc concedimus; nec quilpiam est
qui concrarium contendit: Sin noyor. Andéoror recmaoior, incellisat; rideamus de-
monlerationes. Prima inquie hoc adsumto lemmate; Duptorum duplos esse ex-
cessus; adeoque triplorum, triplos: sesquialterorum sesquialteros. Noshoc lemma
concedimus, (I, Per excessus, intellisiI, subductionum residua; En aurem divisionis
quotientes inceltisir, nesamus. OuipDe 4 = 2 = 2. 8 - 4 -= 4. 22 - 6 = 6
5 - 3 = 3. (AC2=
5 =2.) Dum autem addic; sic rationes 2  = inter se
differunt ratione 2; jam trantie eis dnrogeros, nempe pro subductionis reliduo, sub
Cticuic divisionis quoriencem; non enim est 2 - 3 = 2, Sed +) 2 (8. Tiem, dum
persit; harum duplae = E, ratione 26 inter se distant. Non, enim rarionum
2,2, duplae, sed duplicatae, (nOn smasion (Cd SnnaovEs,) THIME3F, 8 15: Guaque
emersie ratio 38 (rationis Z, non Amaoros Sed Amacior) non Cubducendo oritur,
sed diridendo; non enim 3 = 2 = 35, Sed 7) 5 (26. Scd procedar demonstratio.
Cum ilaque, inquic simplorum rationum Z 8Z, differentialis ratio (nemve divi-
Sione Orta) Sit 8 (quia Scilicet 3) 3 (8:) duplarum =  3, differentialis ration erit
simplae differentialis rationis dupla, nempe 8. Nullo modo inquam. Sed cadem
ipla 8. Nam jam de disterentia diritionali agicur, (de qua lemma non procedic,
non de subductionali. Sin relic lemmati luo exemplum aptare; sic pouus dixistet;
Ouoniam simplarum rationum 38c3, difterencia (lubductione quaerenda) sic
6 = 8= 8; eric duplarum 5 == 3X 2, e3 = Z x 2, difterentia 5-
=3X 2, nempe dupla difterencix simplarum. Ouod quidem verum est, uti
lemma postulat.
Alcera, inquie, demonstratione idem oltendimus, hoc sumpro lemmate: Grith.
meticae proeressionis numeros, quorum secundus primi duplus est, eodem excessit
provimos binos se invicem superare (seu Potius, eorum unum superare religuum;
non enim semucuo Cuperant, sed alter luperat, alter Cuperatur) quo primus su-
perat nibilum. F. Cto. Duid deinde. Cum itaque, inquil, in hac rationum proeres
sione 2, 332,2, =, (dic pocius5, 3, E, etc. lecus enim non erie progrestio Nrich.
meciea;) ratio simpla sit, e unitaris 1oco (hoc est primo) ponatur; cujus du-
pla est 3; triplan 2; exc. continebit dupla E, bis simplam 3, (recte quidem, nam
3= 3X2.) Atqui inquie, dua simplae additae, efsiciunt 2. Nullo modo: led potius,
mulciplicando composica, non enim 3 F 3, Sed 2X3, funtZ. Sune autem 3 +
quam de progrestio exhibet, e lemma postulat. Neutra itaque demonstratio pro.
cedit. Fa vero quam appellatille veram rationis se squialtera proeressionem 32. 32
33. 15Eecc. vel 7. 3. 3. 23. 8c. Non elt progressio Arichmetica, quam lemma lup-
vonic; led Cicomenica; adeoque nihul ad hombum. Aique de reliquis instancuis,
par esto judicium.
Sednec Felicius suam exponit de Bationum Ratione doctrinam: quam Sc defi.
niC, D. 274. l. X2. Ratio rationum est duarum rationum ejusdem seriei, a fundana
ratione secundum naturales numeros proeredientis, secundum rationem certa quae-
dam inter ipsas relatio. Cum enim, inquie ratio aliqua alterius auplam tripla,
sesquialtera, (duplicata, rriplicata, ec.) dicitur: ratio fundana e simpla (hoc
elt radix,) secundum naturatem numerorum seriem excrevisse, hoc est, continua
sin adpositione major facta, intellicitur; (hoc est concinua mulciplicarione Fune
Poceltates reliquae:) ila si quameunque rationem sibi ipsi adxonam, sit ratio prioris,
nempe simplae e fundanae, dupla, (duplicata;) si hanc cum fundana componam,
fit fundanae cripla esc. tripla aurem ad duplam (criplicata ad duplicatam) est ut 3
ad 2. (ue poreltas cerria ad secundam, sen ne cubus ad quadratum,) ecc. P orro pas-
sumus quamcunque rationem, fundanae ex simplae rationis; hoc est, unitatis (radieis
seu potellaris prima) loco collocare. Oude innumera rationum prosressiones exsur.
suncus quarcum aliquo exemplorum loco eaxosui.
oui havio ronis
4096
10003
Prima

## Folio 287 — 851387705:0307
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000307.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
DE PROPORTTONTBU
Prima inquic, proeressio est rationis duplae; altera, criplae; ceriia, quadruplae
quarta decuplae; quinta sesquialterae, Gc. Per rationem itaque fundanam, noyor
mduinor Radicem incellieu sive poceltarem primam, uni maniteltum est: con
era quam ipse alibi p. 137. 1. 25. rationem aequalitatis Z (nON aULeM UE nunC
Radicem seu porectarem primam,) appellat rationum omnium F’undamentum 
prinoipium. Sed alicer adhuc P. 25. l. 23. eodem fundanae rationis nomine, iHteHII
Su lationis in minimis numeris delignationem; Sic, inquit, ex 3
8. qua
omnes sunt in ratione sesquialtera: fundus est, rodulu, seu rodidennos noge
Sundata (lese fundana) ratio, 2 quae primis inter se numeris comprehenditur. Lt
sic de caeteris. Et Cmilirer P. 265. L. 20 Adeo libi inconstans est in luorum texmi-
ROtUM acceprationC. AF, inquam, glliequid sit quod hac appellatione alibi velit.
maniteltum est cum per rationem fundanam, hic incellivere, radicem sive poresta-
rem primam. Iinc aucem concinua mulciplicatione (sire ve ille loqui malit.
concinua radieis Fundanae adposicione) emergit series Ocometrice proportiona-
ium ab = Peu Z inchoata; hoc est continua pocestacum series; Ouarum Radix,
pritma est; quadratum, seu ratio duplicata, lecunda; (seliquX quE jUIXTA HUIIETOS
naturales deinceps denominanda;) racio autem aequalicatis;, poceltas nulta. (F F
quidem si Paris incellexistet Meibomius, hoc nihil aliud esse quam quod unirer-
lim eradi TOleE, nempe L. 2. 7 ∞. 2373. _C. TCU T. A. aa. aaa. aaad. EC. QUE
ac: a. a. _C. elle Geomerrice proporrionalia; corumque indices, sive expo-
nentes poreltatum, 0. 7. 2. 3. 4. 5. _c. Arichmerice proportionales: NOn CNet
cur ille, perplexa lua rei Facillimae craditione hanc libi e aliis moleltiam ercarer.
Per rationum rationem itaque nihil aliud hie incellioit Meibomius (urue illud de-
tinitione sua latis obleure cractiderit) quam mutuum ad invicem licum seu ordi-
nem quem incer se habent duo pluresre cermini ejusdem propressionis Geometrica
ab i inchoala. Adeoque rationem triplam ad duplam esse ut 3 ad 2, hoc est, in
ratione sesqmialtera; nil aliud signiticac, quam ejusdem racionis racionem exiplica
iam ad duplicatam, ese uc ejuldem radieis porestas cercta aet secundam Cujus in.
dices lire exponentes 3, 2, tunc in racione sesquialterd 3.
Sed deutera nocandum est, se in seriem suam nultos alios terminos admittere,
quam qui tiune continua appositione rationis tuncana: adeoque, in expolitarum
traeua serierum qualibet, rationes expostis intermedia nullum in Cuis Ceriebus lo-
cum habene. Ouamvis enim nonnunquam de ratione selquialtera loquatur, (qua
victeti polsic incermedia inter porestacem primam e secundam,) non tamen ait
ratione ullam este funclana scu simpla selquialceram; sed Falrem iriplam secuH.
da Pesquialceram esse.
Ouod Fortan non tanci eHet ue nocatu dignum videatur, nis proptet seguencia
Nempe D. F75. l. 27. IIud autem nove hic observandum dicit, cujusque ex his pa–
tionum proeressionibus rationem cum suae seriei ex proeressionis ratione solum com
parari posse, ita ut seiatur, quam rationem haec ratio ad illam rationem, sad vicil
sim, obtineat; ec P. 176. L. 23. Nutto autem modo divetsa proeressionis rationes
inter se comparari possunt ut quam inter se rationem habent désimatur. Quare
InqUIE ratioZ quae primae seriei prima est, inessabilem rationem habet, non tantum
ad2, qua prima est seriei secundae, sed  ad omnes alias seriei secundae, rertia
quarca,  caeterarum in insinitum, rationes. Hoc autem inde quoque evidens
est, quod duas diversarum proeressionum rationes per quameunque aliam minorem
menturaturi, nullam plane invenire queamus, quae utramque exacte metratur. Cui
Simile Occurrit P. 133. L. 27. Diversi fundi rationes nullam communem mensuram
admittunt, ideoque nec rationem inter se habent etfabilem. Ouod quidem ne pu-
temus eum de rarione veris numeris ettabili hoc incelligere; admitere autem ra
tionem uccunque lineis explicabilem; qualis est diametri ad lacus quadrari, alix
que pastim rationes apenrot: Ptiam e has exclusas se velle, patet, P. 192, 1. 25.
Demonstratum, inquu, est superius, ejusdem duntaxat proeressionis rationes inter
Se esse (non inquir, uc numerum ad numerum, (Cd) ut lineam ad linean
C Iquam hoc plane tallum elt, non modo aliorum lensi, sed ee suo. Nan
rationes diverti (ut loquitur) fundi rationem ad inricem habene eriam luo
sensu, Paris explicabilem; nempe (uc nos loqui Tolemus) dici porest, quota FIc
poreltas haec ilHus. Paque ratio lacis est ettabilis, non modo ut linea ad lineamm
quod ipsc nesac) sed (quod masis est) nON TATO, UE nUMErUS ad MLICrUM.
Et quidem, ne lonsius abeamus, suam iptius inttanciam, jam prolacam, examina.
bimus.

## Folio 288 — 851387705:0308
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000308.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
MELBOMET DTALOOUS, EFC.
bimus. Ratio, inquie, Z, quae prima seriei prima est, imessabitem rationem ba-
bet, non tantum ad rationem 2, qua prima est seriei secunda, sed e ad omnes
alias seriei secundae, tertiae, quarta, 8c. De ratione quam habet ratio altisnata,
ad rationem aliquam seriei tecunda, non admodum ero solicitus; quoniam qui
dem ea, utut lineis explicabilis sc (quod Si opus ellet, utur ille neger, facile su-
mus demonstraturi;) numeris tamen (Tentu (uo) explicabilis non elt: Verum,
quam habet racionem ratio expolica ad rationes seriei ierrix (vet luo sentu,) elt
et numeris explicabile. Ouippe expolica ratio Z, elt ad seriei certix rationem Z,
(uc ille loquieur) uc F ad 2; live (ne loguuntur alii) rario subduplicata: Ca-
dem expolita ratio Z, ad rationem (ejuldem seriei tertiae) 15, est ut F ad q, live
lubquadruplicata: irem rarionis et, ratio Cuboetuplicata, sire (ut ille Lognitur)
UE F ad 8. Ft de reliquis paricer. Ouod quidem adeo perspicuum est ee obrium,
ue mirum lic, qui ille pollic non ridere; cum manitectum lic, nullam non ratio.
nem seriei terria, etiam et in serie prima (Patis continuata) reperiri; VEUE nOn
vicererla. Sed et nulla, non ratio seriei prima, ad primam cerrix q (aliamre
cercia seriei quamvis) ucur in serie certia nuspiam sedem habeac, rationem habe.
bit (rel suo sentu) numeris explicabilem. Puta, ad rationem E, rario 3, clt
(Mcibomii senlit) uc X ad 2; ratio 3, elt ad candem, ut 3 ad 2; ratIO 3E, Ut
5 ad 2; _ sic de reliquis; (quamris incerim rationes Z, 5, 37, nec in serie ter-
tia reperiantur, nec ex rationis tindana 4 concinua adpolicione tiant:) Oua
omnia adeo et vera lunt e per se perspicua, ee nemini non nota, ut ne quidem
Meibomius, ubi secundas cosicationes acthibuerit, sic negaturus. Obi aurem ille,
ex uno auc alcero exemplo concludit Da8. 177. l. 23. eadem ratiocinatione quas-
cunque alias diversae seriei rationes, quacunque alia communi mensura mensuratas
ineffabilem inter se rationem habere coenoscemus; ierumque D. 178. l. 3. planum
ilaque est, omnes diversae seriei, seu non ab eadem fundana ratione adscendentes,
rationes inter se esse incommensurabies. Dicimus non sufticientem tactam esse
inductionem. Non enim C rario e5 non lit rationum Z e Z communis mentura;
ergo nullarum direrlae seriei rarionum, ulla erit communis mensura. Ouippe
nos in concrarium inttancias oltendimus, quas ne quidem Meibomius negare lucti.
nebic.
Fallum ilaque est (eriam suo sentu) quod hie altimac Meibomius, Diversi
fundi rationes, rationem inter se esfabilem non habere.
Faltum icem est, (ue supra ostendimus) Fripsi duptum non esse (sentu Fheo-
nis) sextuplum. Pc quae Cunc hujulmodi, quaeque hinc dependent omnia. Adeoque
Faltum elt, quod contra Cresorium concendic Meibomius, Non esse ut Z ad =
ita E ad 2: aut Creeorii propositiones plus centum trieinta falsas esse: aue denique
Furocii Theonis, Clavii, aliorum que de rationum denominatoribus doctrinam, fal-
jam este.
Fallum iem (ut supra ostentum est) Rationem duplam ex subduptam invicem
aequales esse. Auc etiam Rationem: majorem esse quam h. et qua hisce lunc
similia. Adeoque
Falsum est; Oetavam aut decimam quinii Fuclidis, aut ejusdem tibri desinicio-
nem septimam, falsas este; aut quae hinc dependent. let proprerea, Archimedes,
Kucociuis, Theo, Pappus, aliique, quod ea pro reris habuerine, à Meibomio, Fallo
intuculantur criminis.
Falla denique sunt ea omnia, quae, in suo de Proporrionibus Dialoeo, ROvC
proculie Meihomius.

## Folio 289 — 851387705:0309
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000309.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
MI. Mersenni locus notatur.
OM praecedentem Tractatum tactenus absolverant operae, res SuaS ica
disponencibus Typochetis, ur alioqui vacux supertuilsent ha pagina:
Flaud absre tore judicavi Marini Mersenni locum, qui praetatione Ge-
nerali ad Tua Cogitata Physico Mathemarica, Ficulo De Rationibus e
Proportionibus, numeris 12, 23, T4, habetur, breviter expendere: ubi in cundem
Nempe C Car, ad tinem l. 9. Euclidis, nocaverat Compositionem rationis
(de 9ua 20d5, d 5 d6, agitur,) non esse tanquam Totius ex Partibus, quod Ad-
ditionis negorium est; (sed tanquam P’acti ex P’actoribus, Mulciplicando;) Dura
secus totum esset minus sua parte, (Na , qua COMPONITIE CX is _ 12, utravis
componenre minor cst; et 3, quae componitur ex Z e 3, altera quidem componen-
tium minor elt, ueuc reliqua major.) Respondet Mertennus, id etiam evenire,
in addendis quancitatibus necativis: (nam ex partibus = 2 _ -3, totum -
est ucravis minus; et ex parcibus = 2. et + 4, cocum rel aggregatum. f 2, cst 2l.
tera quidem majus, veut altera minus.) Vc ipitur se expediat, ipsum supponit
quod et Meibomius, (et quidem tieri porest,. urMeibomius hinc antam nactus (II,)
Proporrio, inquie, aequalitatis Nibili similicudinem refert: Proporiio Majoris in
aequalitatis, attollitur supra nibilum; Proportio Minoris inaequalicatis, deprimitur
infranibilum. Acque hinc collisit; Prour adjectione vel ablacione o nituilis nihril
accedir rel demitur quantitati; ita nec accectione proportionis aequaliaTIS, ausetuT
vel minuitur provortio. Onemadmodum autem adjectione Guantitatis polcira
(sire ut loquitur, Fntis,) ausetur; Nesacira aurem lire Ablacira (sive ut lo-
quitur, antientis) minuitur quancitas: Ita accessio proporcionis majoris inaquali-
ratis, auget; Minoris aucem, minuit proportionem.
Verum hic libi perperam altumic, Proportionem qualitaris, nihili instar esse;
Minoris aurem inaequalicatis, minoris quam nihili, sire instar quantiratis negatira:
cum interim illa sint non minus policirae rationes, utut minores, quam oux maio-
risinaqualicatis. Ouippe qui simplum dicie, non illae rem nullies apponi incellieit.
sed semel. Et qui subduptum poni dicir, non aliquid auferri dicit, Sed Palrem se.
millem poni. Ec quidem Duplo, tanquam Fenti lire quancirati Potitira, non oppO-
nitur, tanquam Anti ens, vel quancitas ablacicia, Subduplum, sed Dupti defectus.
Ouippe F 2 A et =2 A, TunCOPPOlita quancicates attirmacira et negacira; non
autem f 2A e f Z A, sive F A x 2 ec F =, quorum vtraque est poticira.
Erquidem in scala porestatum juxta quam rationes diei Colent Duplicata, Fri-
plicata, ec. Puta 7, 4, F, 25, ec. quanquam ratio aequalicatis +, erie nullius eradus, sive
ue loquiliceat, Nullana poreltas; seu poteltas à o denominanda; et proinde 3  5
ecc. Fradus descendentes, adeoque d = F, = 2, - 3 denominandi: nOn tamen
Dropterca quancitates illae dicendae lunt ablacitix, magis quam tractiones decimales
(quorum loci seu pradus intra unitaris locum consiltune, adeoque indices habent
nesatiroS,) dicenda negatirae quantitates; aur eriam Fractiones 2, 4, 8, dc. dicendae
Tunc quantirates negatrrae, quia radicis 2, poreltates continue conlequentes lunt
4y8, 26, c. adeoque F ejusdem porectas nullana, et proPterea, 3, 2, 5, eju (demra-
dicis 2, Poreltares adhuc interiores, adeoque ab indicibus negatiris denominandae.
Sed cum rationum Composicio, Mulciplicationis sic, non Addicionis, opuS; ut
ex 5 d6 Patec: Dixisset pocius rationem aequaliraris E, esse instar F OnITaEIS; qua
quancitarem mulciplicans reddic quancicatem P’actam reliquae P’actrici aequalem: ra.
ciones autem Majoris inaequalitatis, 2, 2, 3, _C. instaT NUMMErORUM UnITaLE Majorum,
qui quancicatem F’actam exhribent reliqua P’actrice, seu mulciplicaca, Majorem: Pa.
tiones
cum Meibomio errorem lapsus videtur

## Folio 290 — 851387705:0310
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000310.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
d
tiones autem Minoris Tnaequalitatis, eDe instar numerorum (non negatirorum seu
minorum quam o scd) poluirorum minorum tamen quam L; puta tractorum qui
anter T _ O intercedunt: quippe qui mulciplicantes, F’actam extribent quancitarem,
non quidem negatiram, sed mulciplieara tamen minorem. Qua lese pulchre con-
starencomnia.
Fx quidem quod mirandum cripiam Forlan videbicur. Rationem duplicatam, ex-
posita nonnunquam minorem esse: ecc. nihil in se habet incommodi: Nil enim ali-
ud Tonat, quam Duactratum Cubum vet Biquadratum, ec. Radice sua minus
esse posse; nempe quories Radix est numerus unitate minor.

## Folio  -  — 851387705:0311
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000311.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
D F
GTIONIBUS
CONICI5,
Nora Methodo Expositis,
R A C Y A Y V 5.
Anno 1655 primum editus.
0

## Folio  -  — 851387705:0312
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000312.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 6 lines, status machine
AlsHOI
 1 d L H
isiloqr oharii NVOV
5 1 L
Bisdiis CH (HSMIE C. CD OrisIS
ume

## Folio 293 — 851387705:0313
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000313.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
Craristimis Viris, et Machematicis
OR
Publicis attronomia is, alut Saviliano
in Academia Oxoniensi, allero resamensi in Cre-
Bamense  Lu.
Ccom. Prot.
AL
terc cimilo innoreleit. Nempe Sccltores Conicas (rem reterem) nora
mechodo tradit. Erac seilicet Conteorum tradirio Veceribus jam olim
coenita, Apollonio Perea recultior, et quidem in mechodum jam tum redacta:
ul nec iple ditticetur Apollomus, de aliunde constat: (Nam Archimedes ipse A-
Pollonio antGUIOE, Flementa Conica LAPIUS MCMOTAT:) Sed ab Apollonio, (cu
jus Conicorum libri quallior lupesuu) u meliorem formam redacta, ee inlieni-
ter aucta, (quod in causa Fuisse credimus cur priora illa Elementa Conica pe
xierune.) Anciquiores enim illi, Coni solius Recti (quem solum Ruclides defini-
rerac) contemplationem aserelli, non aliam videneur iplius sectionem contide
rasse quam quae tc a plano quod ipsius laceri alicui rectum Ec; quod propterea
in Cono Rectansulo (eo nempe cujus oppolita lacera ansulum in coni verrice
rectum comprehendunt) opposito laceri maneret parallelum; in CionO ACutan-
Sulo, lateri opposiro occurreret; in Cono autem Obculansulo, ab, eo recederet
Atque hinc curras cribus illis sectionibus emergentes, appellabane, Coni Rectan-
suli, Coni Rencanguli, e Coni Obculanguli, Sectionem; quibus eclan Homini-
bus ulttur Archimedes. Sed e proxierca Conecton lau HOMTMIOUS, 10-
De Scaletiao, Ve Mclatas, non alicer traclabant esccant ut Llcclatcu portiones:
Vid novi serat (Claristimi Viri) Libellus ille, ab ipso Racim quem prae
las erectas incellisebane, non item Scalenas; (ut d Biametri nomine, IOHMI 
celligebant AXem; e Verticis Sectionis nomine, axis rerricem;) sectiones quiv
quod  o Pallles LcesHgenau CIIL) SOuS autem, praeter
Conum Rectum, etiam Scalenum suITOduxI, (d tortan primus,) e prota
Com detinitionem at Fuclide traditam (ue qua Toli recto ConreVaL) I altalt
(quae etiam Scalenis conreniac) immucarit. Sed neque tolam illam plani secan-
e pontionem (quae coni lacus recte secat, hoc ett, ad angulos rectos) sed aliam
quamlibet admisic; adeoque Coni cujustibet (sire recti lire scalcus) sectionett
ouamlibet plano utcunque potico factam, considerarit. Adeoque ee sectionum no.
mina prius recepta necesse habuit immutare, (quippe e Sectionibus cribus quam-
dibet invenit cuilibet cono inelle, prouc planum secans alio atque alio litu po-
ficum incelligatur,) quas igitur alii, Coni Rectanguli, Coni Acutanguli, Coni
Obculanguli, sectionem, appellaverant; ille Parabolam, Ellipsem, Flyperbolam
dicendas roluir: quae nomina ab illius prOD. TF, X2, 23, libri primi, originem
duxerunc; atque hactenus a Creometris retinentur. Sed et cidem Sectioni plures
Diamerros, inesse voluie, prour hujus illiutre coni sectione facta intelligatur;
quarum singulae sibi peculiares habent de vertices, ec Ordinarim applicatas, _ L. a-
cera recta. Ac tatendum incerim elt horum etiam non pauca, urur aliis nomini
bus, aliis ancea, Palcem Archimedi, innocuisse: hoc tamen diserimine, quod quxe
Comi Sectiones (nempe inclinata) ab Apollonio dicuntur, exdene ab Archimede
dectionis (erectae) Portiones diei rideantur; (ee Timiliter de Conoidibus:) ut
in iptius libro de Rectansuli Coni Sectionis quadracura (cui de quadratura pa
rabolae

## Folio 294 — 851387705:0314
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000314.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
T 1 0.
rabolae recentiores nomen FEcerunE) dt in libris de Conviaibus e Sphaeroidibus, paI-
Am est videre.
Haec autem Conieorum doctrina, quamvis an Apollonio Pacis Gieometrice ra-
dica, (unde _ Maeni Geometra nomen est adeptus,) aspera camen achue mansie
d ditticilis, ut, qui illam ausus actingere, lic e paucis unus. Onde et nimis
neplecta tuit, ranguam insuperabilis distieultaris plena: (Ouod quidem catenus
obtinuit, uc ex libris Octo, quos scriplerat Apollonius, non nili primi quatuor
ad nostras manus pervenerine;) Maxima quippe Geometrarum pars ret eo non ac-
cedebane planc, vel canquam canis ed Nilum. Famque ditticutrarem quamris
aliquanto minuere conaci sine Midorgius, aliique, minime tamen sustulerunt.
Duam ixicur plerique cane pejus es ansue formidarunt. Conicorum Doctrinam,
nos demulcendam luscepimus de lerigandtam, uc deinceps non minus tractabilis
eractac quam ipla Fuclidis Elemema; nec sir cur quis in posterum iptius aggrer-
Tum mecuar. Quod quidem quousque praesticerim, non est cux alios quam vos
iplos aquiores purem judices; qui pro ea qua polleris, uc in reliqua literatura,
Na spcciatim in Macheli periria prorinciam quam suscepistis ornatis morime
Opus ipsum quod actiner; videbiris me, starim ab inicio, Carallerii Metbodum
Tnaivisibilium, quali jam a Geometris pastim receptam, eam huic quam cractacui
sequenci (qui huic semellus cMt) sublternere; (uc mulciplici tigurarum inscripcioni
de circumleriprioni, quibus in anugagais alids utendum Capius elet, superledere
liceat;) sed a nobis aliquatenus sire emendatam live lalcem immutatam: pro re-
etis numero infinicis, toridem substicuris paralleloerammis (aleicudinis intiniie-
exieua;) ut ec pro planis, coridem rel prismacis vel exlindrulis; ee similicer
alibi.
r
Schemata actribui quam porui simplieia, ne incrieariores linearum ductus con.
Futionem interant: ee quidem iisdem ubi tieri commode posset repeticis, vel pa-
rum immuracis, uri mallem quam ubique novis; quo magis tranc lectori tamitia-
ria. In quem etiam tinem, iisdem uc plurimum liceris eadem (per totum fere cra-
Ctacum) puncta delignamus, utus schemata tuerint immutara; acque iisdem sym-
bolis easdem delignamus ubique quancitates: Sed neque illa Forrmrco altumpra, led
plerumque cum delectu, ut ipse rel licerarum vel symbolorum incuietis rem de-
lignacam aliquacenus reterat; qua quamris non necellaria rideri poltur curiolicas,
cum tamen ee phancalix e memorix adjurandae inserriat, nonnultis Forlan erie
non ingraca, reliquisque salcem inoftenla. In Cymbolis acthibendis, securi lumns
varcim D. Ouchrredum nostrarem, parrim D. Cartesium (nili relitis pocius ue
D. Fharriorum nollracem nominem, qui in eadem fere semira D. Cartesio praeivic)
nonnunquam ucumque; prout rel hujus ret illius vel urriusque nocacio praesenci
nexocio explicando maxis ridebatur accommoda. Demonltrationes pastim ex A-
richmerica Cymboliex calculo pecendas duxi, ut qux brericari simul acque perspi
enicari inserriune maxime, quasque non minus legirimas este quam quae vario li
nearum implexii hune, ton est, cur quisquam dubitet. In toco denique opexid
decursu ea brerieare studnimus omnia praeltare quae perspicuitari non octiciar.
Prolixum itaque de Conicis iractatum non exhibemus; adeoque mulia ab aliis
cradita, nos consulio omisimus, gux tamen, si opus videbitur, postit quilibet non
maeno negocio supplere, vel ex nostris deducere. Post enim praecipua Funda.
menca tradica, non erie disticile reliqua quali coridem inde contectaria adjunge
re. Ericgue Forcalse tractacus ilte vel ipta brevitare prarior, quam si minurior
sectando Factus eMter protixior. Quiequid sic reltro illud duxi aliorumque Ma-
hemacieorum judicius permiriendum Palets.

## Folio 295 — 851387705:0315
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000315.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
Procemuum.
Om Sectionum Conicarum (quae dici Colent) doctrinam (DrOut
vulso cradi consuerit) Pacis obscuram animadrerteram, atque perplexis
admodum Demonstracionibus involutam: totum illud negorium paulo
actentius apud me perpendendum statui; ue siqua possem arte rem laris intrica.
ram quadancenus excricaciorem darem. Quod ee in sequentibus (Dirino Farente
auxilio) me aliquatenus allequurum esse contido.
In illumtinem, Conum iptum primo (unde, quae dicuntur, Coni sectiones or-
cum crahere exiltimantur) accuracins paulo considerandum duxi; ut inde Coni-
sectionum originem repeterem, carumque aftectiones tanquam à vero tonce de-
ducerem; Mechodi Caltem qua e Apollonius PerEXUS, Maenus Geometra dictus,
e polt illum tam Veteres quam Recentiores incedune, fontes aperirem; qui
in iptis Demonstrationibus non ita semper eminent ut starim perspiciantur, ee
Forraltis etram nonnunguam Audio occultantur. Non tamen ea methodo coram
Contsectionum doctrinam prosequor; sed cousque Palrem procedo donee prima-
rias acque ellentiales earum attectiones derexerim, uc iplarum natura arque cl.
sentiales characteres innoceseant, ut inde reliquae deinceps affectiones calculo
deduci postine; (Duod eriam in sequencibus factum cft.) Acque hoc quidem
praelticum est in propolicionibus, sire Sectionibus riginti primoribus. In(ereis in-
terim obiter nonnullis de Conoidibus es Pyramidoidibus (quarenus sine nimia
dixrestione commode tieri pouic;) ee praemistis aliquot quali Lemmaribus ne-
cellariis.
Deinde, sexolitis quae d Cono dependene menturis, aliisque in eorum locum
substicuris, quae Coni lectionem ubique (sire in Cono, Lire extra Conum,) co.
micentur; Coni sectiones (vuleo dictas) Cono liberacas acque exempras, absolure
(nullo ad Conum respectu habito) considerandas suscipio, (toram cractationem
quali de noro exortus,) tanquam coridem lineas (sire tiguras) curras in plano
deseripras, quae vel Sectione Coni, vel etiam aliis modis intiniris effici possent. Ne-
que enim Parabola, FHiplis, aut Lyperbolan a Cono lecto magis necellario depen-
dene, quam vel Pcripheria vel etiam Friangulum, (quae quidem et secto Cono,
ee aliis milse modis produei pottunr:) Ldeoque simplicius acque universaliuscradi
ee pollunt ee debent.
Denique, Appendicis loco, specimen exhibere libuit ampliandxe Currarum do-
etriux: (lient de in proorelli, Conoideon et Pyramidoideon. tam erectorum
quam scalenorum, quod tamen nemo, quod sciam, autea secerac, doctrinam aci
seram; cum ancea Conoideon non nili rectorum, nec quidem Prramidoideon omni-
no, ratio ulla habica tueric:) adjuncta ad calcem nora, nec ab ullo (credo) ancc.
hac ceMtata Parabolo decn spcculatione.
Acque haec tunc qua in sequentibus exspectet. Lector onouadis, breri quancum
Potui mechodo cradica, nec tamen ea proprer obscuricace involuta. Idcoque
erolixam,

## Folio 296 — 851387705:0316
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000316.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 20 lines, status machine
DE SECTTONEBUS CiONTCIS.
prolixam, quam nonnussi altectare ridentur, numerotae Lemmatum et Propolicio.
num seriei, lincaribus ubique demonstrarionibus, tat quidem lonsis nonnunquam
acque inroluris, comprobatorum, xompam diffugiens; iplas uc plurimum non
modo Enderes, sed e sroctiEes (ubi id leri commonitione tanquam in trantitr pra-
Rari poltu, nec Provolicionis seriem nimis concurbet) iptis Propolicionibus in-
Perui, brevitari cmul ee perspicnitari consulens: Demonstrationibus etiam (eadem
de causa) porius ex Arichmerico calculo peciris (Arichmerieam speciosam incelise)
rem agens, quam lincaribus; cum illa nec minus scientitica lint, ee magis perlpi
cux, led e simpliciores lunc acque masis univertales, nec quisquam elt (quod
sciam) qui Demonstraciones Arithmericas in Geometria admictendas nesaverit;
e quidem (praecerquam ubi de Ansulis aue Inelinationihusasicur, aliove aliquo
Titu locali, auc qua immediate hinc dependene,) non video quorsum linearibus
ductibus in demonstrando admodum opus lic, cum ea omnia quae ex Rationibus
sire Proportionibus ordinandis, alternandis, inverrendis, convertendis, compo-
nendis, diridendis, addendis, auterendis, etc. dependene, non magis Geometrica
sint quam Arichmerica, ne dicam porius pure Arichmetica; quanguam (uE Rritt-
meciea omnia) cam ret Geometrica quam aliis etiam disciplinis Machematieis la-
pistime immileeaneur.
This Praemonitis, rem ipsu asstector.

## Folio 297 — 851387705:0317
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000317.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
eROP.
De Fieuris planis jurta Indivisibilium methodum
considerandis.
rOpDono in limine (juXta BOHANMUIA CArAIICTH Scn
Indivisibilium) Llaltum Gubeibet quali ex intinitis lineis paralle-
lis conats. res Polus (quod csomallem) ex infinitis Paralle.
losrammis aeque altis; quorum quidem sinsulorum alcicudo 
corius alticudinis =, sive aliquota pars infinite parra; (esto enim a
nota numeri intiniti;) adeoque omnium sinul altitudo aequalis alti-
cudini Rourx.
Troris aurem modo res explicetur (sire per intinitas lineas parallelas, sive
d per intinita parallelramma aeque alta intinitis illis lineis interjecta) codem
res redibit. Nam Parallelosrammum cujus alcieudo supponitur intinite parra,
hoc est, nulla, (nam quantitas intinite parra perinde est acque non quanta,
rix aliud est quam linea. (In hoc falcem ditterune, quod linea haec supponituir
dilatabilis elle, live tancillam Calrem spillicudinem habere uc intinica mulciplica
tione cerram tandem alcicudinem sire lacicudinem possic acquirere, tantam nempe
a0d ille mos
loquendi in Carallerii mechodo de Indivisibilibus rideatur obrinuisle, parcim
etiam uc brericati contulamus,) Linearum pocius quam Parallelogrammorum no-
mine parces illas tigurarum infinice exiguas (sive altirudinis intinite exiguae)
non
non habetur; Obi aurem decerminatae alcicudinis instiruetur consideratio (quod
aliquando tet) exisux illius alcicudinis cousque ratio habenda erie, ut ea infi
nities mulciplicata cotam tigurae alcicudinem suupponatur acaequare.
e Prismatibus super illa plana constuis. Cmodo supponantur tantam sive
crassiciem sive altitudinem habere quanta est alicudinis illius fieurae quam
constituunt. Nam Cylindeus nullius alcicudinis, vel intinite exiguae, quid aliud
est quam Circulus. et Prilma, alcicudinis vel nullius vel intinice exiguae, perinde
acque planum cractari pocerit. Acque hoc jam Clarim ab initio monendum esse
duxi, ne lapius illud deinceps repetere necesse FOrcL.
Duod autem de Lineis es Paralleloerammis perinde nominandis, dictum est
intellieendum etiam erit de Circulis e Cylindrulis, vel etiam de Planis quibusvis
P ROF

## Folio 298 — 851387705:0318
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000318.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
DE SECTTONTBUS
PrOp. II
F
DT
De Trianeulo
PEltatigulum recta, vasi parallela, secetur, erit abscistum FridH.
Sulum lecto simile; et proprerea latera habebit proportnalla
(ut nocum cst.) Adeoque, Si Friangulum quodris V B S, rectis quol-
cunque a a B, V7, EC. bas BS parallelis, et aGaLL ad LHVICCM
gulum in segluca alsere alla.) etuM Ia secta a a BB, 77, _C. A-
richinetice provortionales: (lunt enm inter le a a, Bβ, 7 7, dc. ub
a B, BY, etc.) Ldeoquenrecta ia upPat Mlero intinuae, exit
dissitis, Secetur; quae Propterea Crurum utrumris (adeoque e utrum-
que) diricane ua aatta (a propterca etiam locum Lltase
Vaq VB, VY, _C. hoc eA, ut 1, 2, 3, _C. PrOPter aequales exCeNIIS V a
omnium series, (hoc es, cotum Friangulum, per prop. praecod. agore-
satum rectarum numero infinitarum Arichmetice proportionalium,
quarum minima est punctum Y (verricis nimirum,) maxima est B5
balis Frianguli.
Acque idem concinget si intinicis illis rectis supponamus coridem Paralleto.
Eramma in eodem plano incerjici, quorum singulorum alcicudo sic = alricudinis
Frianguli: Frune seilicet et illa Arichmerice proporrionalia. Cum enim xque.
alta line, Tunc e basibus proporcionalia.
Haec aurem omnia Parallelogramma simul sumpta, tiguram constituent Trian-
gulo illi sire inscripcibilem sire circumscripcibilem, (cum omnium bales suppo-
nantur Prianoulo aptari:) quo autem plura lunc (in ejusmodi tigura inseripea
vel circum seripca) Parallelosramma, eo minori sire excestu live defectu dittert
tigura illa a Friangulo cui adseribieur; adeoque, cum supponantur numero in-
tinita, erit ditterencia illa infinice exigua, hoc est, nulla; aique propterea (uppO.
nenda ea tigura sic adleripta (ex Parallelogrammis intinitis Arithmetice PrOPOr-
tionalibus contlata) Friansulo aequalis, seu pocius eadem: Fadem quidem lege
qua Polysonum regulare intinicorum numero lacerum, (lire interibi supponatur
sire circumseribi) pro Circulo haberi Colet.
Ouod si quispiam sic qui noluerie hoc concecere, poterit ille nocistima merhodo
Apasosica cosi: mulciplicatis nempe cousque P’arallelogrammis, ut ditterentia
eandem quaris altignata quantitate minOx SIE. F80 vero ejulmodi à nayorais su-
perledendum esse existimo, parrim ne L ectori nauleam crearem ejulmodi cramben
Capius iterando, Partum quia nemo est in Machematieis paulO EXCTCIaLIOT, qui nOn
Porerit (Si ipli opus eRe videatur, cantique supersit ocii) supplere, cum ea MC.
ihodus demonstrandi cam apud Veceres quam Recenciores paltim oceurral. Quod

## Folio 299 — 851387705:0319
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000319.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
P10)
N
c
Quod autem de Trianeulo jam dictum est, illud nempe fieurae ex infinitis Pa-
ralleloerammis constatae (sive inscriptae sive circumscriptae) aequale esse, jeu po.
tus eandem ficuram: intellicendum erit de quavis alia fieura plana; cum eadem
Tic In omnibus demonstrandi ratio. Nec quidem Planis solummodo, sed ex fieu
ris Solidis illud convenit: Si nempe. pre Paratelosrammis substituamus Prismata
(qua voce etiam Cxlindrulos comprehendi volo, auc etiam ejusmodi qualris figu-
ras uiter parassela plana similia sive rectisinoq sint sire cyprilinca sire multa,
aequabiliter Politas; ne lonsis verborum ambasibus utendum, HC.) Aique hoc
seriel loneo, ne quis genceps porgo emopllcationes et spectet ao  de
aliis tguis dicendu OCCUTFEE.
ec dD) R O D. rCL FF. allun clisslreu ci muen ruis
De Area Trianeuli.
Om Trianoulum constet ex infinitis sire lineis, sire Fat ACO-
sxammis, Arithimerice proxorcionalibus, a puncto MCHOatis et
ad basin CCMatIS, (ut patet ex jam dictS:) Frit Area Frianguli
aequalis Bali in Alcicudimis semillem ducta.
Flt enim nocissima apud Arichmetieos regula; Summam Arithmeticae proeressio
nis, sive omnium quotcunque terminorum aspreeatum, aequari aecresato extreme-
rum in semissem numeri terminorum ducto. Adeoque, S terminus minimus Tup.
Donaeur O, (PTOut hic Supponitur, cancundem enim raler punetum in paopit.
dine acque o Ciptra in numero;) idem erit excremorum aegregatum acque ipse
terminus maximus. Alcicudinem rerO FIBIITX, DEO nuMerO terminOrum in PrO-
greltione, substituo, hac de caula, Ouoniam cum nunierus terminorum suppOna
cur c, eric omnium consicudinum agerceatum = Bais, (quia Batis jam est ex.
CremOrUM RGBrEBatum.) Cum aurem cujullibet (linex vel parallelosrammi)
cralticies sive Alcicudo supponatur = Alcicudinis crianguli; in illam eota lon.
sicudinum summa ducenda est; adeoque = A in = B erie area. FRt aucem
∞Ax = B = Z AB. Adeo ut A (sigura alcitudo) non solum longicudinum
numerum, sed eundem in communem omnium altitudinem ductum, exhibeat
quae quidem communis alticudo ranco minor suxponenea est, quanto termini seu
Pongirudines Tunc plures.
Nocandum aucem est, Lhoc non solummodo in veris Frianeulis (rectilineis) va-
lere; sed e idem pariter evenire quamvis crura sint vel curvilinea, vel quomo-
docunque a recticudine distoria, modo rectae omnes basi paralbelae sint suis a verrice
distantiis proportionales, adeoque inter se Arithmetice proportionales. Ejulmodi
vero ticuram, cum sic Trianguli inttas, Lriansulum distorcurre, luvacum, aue
deformatum. licer appellare.
PROP.

## Folio 300 — 851387705:0320
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000320.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
SECTTONTBOS
De Trianculis aeque altis.
Op. IV
Ine sequitur; Friangula Cuper aequalibus basibus a AlLd (MN
rectangula sint sire obliquangula, sire item sint aeguierura sire
scalena, lire quo o luata)  c
Cum enim in calculo nulla ansulorum liculre habeatur racio, lea hacto Lo
modo de Alticudinis; modo de his constet, constabit etiam de arca Prianouli.
Quod autem de Squalitate dictum est, facile potest etiam Proporrienalitait ac-
commodari. Ouod e apius deincers erit incelligendum.
FIas vero duas de Area Frianguli Propotitiones, non ideo hie inserendas ju-
dicari, acli novum quid aur inauditum in se contineant, (quis enim haec nelcic?)
sed ue via Sternatur consimili argumentationi in aliis tisuris sire planis live Coli-
dis. Si enim aequales sint tam bases quam altitudines, omniaque intermedia (sive
Paralleloeramma sive Prismata) eadem ratione vel creseant vel decrescant, aequa-
les etiam erunt fsurae, quamvis earum altera erecta sit, altera vel inclinata vel
quocunque modo luxata. Nam cum intinitae partes unius intinitis parcibus alterius
tigillarim aequencur, (quanquam Forraltis in alio (ILu rePETIANEUT,) crun et agere
Bata aequalia.
Aique hoc quidem semet et universaliuer monstrallé sulticiat, ne varias dein-
ceps propoliciones parriculares, cura neceicatem, mulcipliCaTE COBAI.
P R OP. V
De Cono.
T intinitxe Recta parallelae ex quibus consari supponitur Frian-
sulum, tanc toridem Circulorum parallelorum diametri; forma-
bitur fgura Colida qui Conus dicitur.
Rectaque à Trianguli vertice V (qui _ Coni Vertex CA) ad BasiS BS
punctum medium docta, puta YC, (quam Trianculi Diametrum vel
Arem libet appeitare,) bisecabit etiam reliquas Frianeuli rectas basI
parallelas (torumque criansulum,) adeoque per sinsulorum circulorum
parallelorum centra transibit; exitque propterea Avis Coni; Priangu.
lunque expositum, VBS, per Arem Conitrantiens, iplum Conum ejus-
que parallelos Circulos bisecabit: Circulusque ille cujus diameter est
balis Frianguli, Coni basis dicetur.
Comis

## Folio 301 — 851387705:0321
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000321.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
Comisantem sic Formatus, si tam expositi Frianguli Crura sint aqua-
lia, quam circulorum plana plano Frianguli recta, crit Conus Rectus,
(mtpote cujus Axis eA Basi perpendicularis, qui propterea Axis Rectus
dici COleE;) Si vero vel altera vel alterutra illarum conditionum desit,
(puta si vel expolitum Friangulum sic inaequierurum, rel plana circu-
lorum plano Frianguli oblique insistant,) erit Conus Scalenus, hoc est in-
clinatus vel obliquatus, (cujus nempe Aris Basi oblique insiltit, atque
Axis Obliquus dici Colet:) s vero Friangulum Distortum fuerit, het
et Conus Distortus, non rerus Conus.
Prout autem Friangulum potest (productis infra basin cruribus)
in infinicum concinuari; ita et Conus pari modo concinuandus (uppo-
nitur.
AEque Ctiam, SIEnE (continuatis, pos decurtationem, Frianguli Cr-
ribus supea verricem) aliud Formari potest nara noeuplu Friangulum
(quod Trianculum opposicum axpellamus, ita et Oxposcum conum formari
suxponendum eAt.
Pleraquie in propolitione (praecerquam quod Detinitiones Cinc) per se lacis
Patene, nec ulreriori egene Demonstratione. Unicum opus est, ut oltendam, nempe
Fiouram solidam sic formatam, (Ei Conum Distorcun eximas,) talem Conum esse
qualem desinit Apollonius: Vel, quod idem est, Parallelos circulos coni noltri pa.
rallelis Circulis coni Apollonii congruere. Ouod quidem rerum cAt.
Nam (propier parallelismum Circulorum, adeoque ee eorum Diametrorum in
eodem plano existencium, iltalque Diametros distantiis a rerriee proportionales,
Si lacus alterurrum, expolici Prianguli per axem, pura VB circumteratur secun.
dum circuli unius (puta Balis) Peripheriam, crantibic etiam per Peripherias re)i
guorum, Radiorum extremitares lambens (qui ubique funt distantiis a verrice
proporrionales et balis radio paralleli, adeoque, durante tora circumductione.
erianoulo quod Axe trianguli expolici, recta circumducta, e balis radio compre
hendiur, ubique accommodatur,) coramque tiguram describet: Ouxe elt Apollonii
constructio Coni. Conus isitur a nobis formacus idem est cum Apollonii Cono:
Ouod erat oltendendum.
Acque hinc etiam sequitur, A verrice ad quodvis superficiei Conicae punctum re
Etam duei posse
Recordandum incerim este, (quod supra univertaliter monvimus.) sient Jineis
criansuli; ica planis Coni, al. qualem cralticiem concedendam elle, quanta nempe
elt ∞ alcicudinis Coni: vel, quod idem cst, Circulorum axpellatione, exlindeu-
los numero intinitos, tancx quidem alticudinis, super circulis illis constiuos in-
celligendos esse; qui ivicur solidum ex intinicis cylindrulis cono vel inscriptum
vel circum seriptum supponuntur constituere; quod solidum idem esse cum cono,
eodem argumento concluditur quo uA Tuus de Frianonlo, PFOD. 2.
Coni aucem alsicudo, menturacur perpendieulo a Verrice ad planum Balis de-
misto:

## Folio 302 — 851387705:0322
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000322.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
DE SEC11ON1640
misto; adeoque eadem est cum alricudine Frianguli, si circuli sine triangulo recti,
(eric enim perpendiculum illud in ipso crianguli plano, adeoque ipsius etiam batI,
taliem productae, perpendicularis, ejus alricudinem metiens;) sin secus, minor
erit; tunc enim perpendiculum ad balin crianguli demilsum, erir ad Cioni basin
obliquum, adeoque majus perpendiculo alcirudinem Coni metiente.
Norandum tamen insuper est, Conum tormari polte, non modo s expolici Tri
ansuli recta parallelae, line circulorum Diametri, verum eriam si circulis (vel
quidem limilibus FPiplibus) alio quoris modo limiliter aptentur; (quod, A OpuS
lic, tacile est demonttracu; nos autem obiter tanCum mOnemUS:) Verum, eo casu,
Friansulum illud non necessario per Axem Coni incedet, neque ea omnia conse.
quentur simpromata qua hinc dependent.
Si vero, pro Circulis, Substimantur coridem Piourae rectilinex, (aliaere vel cur-
rilincae vel mistae, praeter circulos et Fsipses,) non quidem Conus, sed saltem
Prramis emerset: Cui et ea omnia facile accommoctari postune (mutatis mutan.
diS) qua de Cono (hoc clt, Pyramide rocunda) diximus. Pyramidis autem no-
men hic laciori sensu accipiendum volo, quam ut solis tiguris rectilineas bases Ha-
bencibus conveniac; ita nempe uc bales planas qualeunque admicta, (sieur et de
Prismace supra dictum est ad PrOP. 2.) ne scilicet lonsis verborum Ambasibus
ucendum ellet. Adeoque
PROP. V
De Pgramide
Dramidis voce (Tub qua e Conum comprehendo) intellieo Fieu-
ram Colidam ex intiniris planis circa cundem Axem rectilineum
ordinatim posicis contlatam; quorum omnium crasticies supponuntur
inricem aequales (nempe e alcitudnis tigurae Lolida,) diameeri vero
(vel homolosa latera, aut etiam recta quaeris similiter Dosicx) di-
Hantiis a vercice proportionales; adeoque ipsa plana in duplicata ra-
tione distanciarum a verrice, (sieut ex Prismatis nomine intelliso ejul-
modi planorum aporeoatum inricem aequalium.)
Si autem Prramis plano per verticem secetur; manifestum est plana
similia (Parallela) similiter Sccari; communes ergo sectiones (plano-
rum secantis ex sectorum) lunt infinitx rectae Arihmetice proportio-
nales, (nempe in subduplicata ratione fsurarum, hoc est, in ratione
distantiarum à vertice,) adeoque omnium aggresatum erit eriangu-
lum; DeT PFOD. 2.
Anem vero Prramidis (ut ex Prismatis) appello, Lincam a vertice
ductam, similium planorum parallelorum ominium centra conjunsen-
tem. Plana vero ad Axemordinatim positam appello, quae parallela, et
similia similiterque posita, centra habent in aXC.
Si vero, vel quod criangulum, unde formari supponitur Pyramis, non sic recti.
lineum, (sed curritineum, seu quocunque modo detormatum,) aur ob aliam
quamlibet racionem, Planorum, centra non sine in eadem recta; vel ipla plana
circa cundem axem non sint limiliter potira, (sed spirali puta, vel alio quoris
modo distorra;) modo incerim plana sine limilia e aequaliter cralta, debitamque
ad inricem rationem retineant; Ppramis laxata, distorta, vel deformata dici po-
icst. (Oux etiam de Prismate, aliisque fguris solidis, paricer incellisenda LuInE.)
T ineaque omnium centra conjunsens (li recta non () Avis distortus dici
porelt.

## Folio 303 — 851387705:0323
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000323.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
rOD. V
ON ICI
PRO P. VII.
De Coni-Sectione.
Ea Buucio guoris, ut a, in Prianguli VB  LCCom in-
intelligatur Plarum Pae al  ICa MMMILCTC, i aiqum CX P2-
sulo VBS exsittenti) perpendicularis, (adeoque d reliquos quos se-
cat circulos isti parallelos secet secundum rectas iplorum diamerris in
eodem criansulo exsistentibus perpendiculares, qua propterea et ipl
OO parallela crune; ut Ratim demonstrabitur:) communis Sectio
superticierum Coni, planique secantis (puta O AO,) Sectio. Conica vel
ConiSectio, dici sOlet; Ft quidem vel Parabola, vel FIlipsis, ret IIY-
verbola: Nempe Parabola, S recta sic ducta sit reliquo cruri paral-
lela, (adeoque nusquam ipsi, quantumris utrinquo produCatuE, OCCUF-
TenS,) uE AP: Fllipsis vero, M recta sic ducta ad erus oppositum ver-
Satu (adeoque ipsi, saltem producto, sic intra verticem occurtura,) ut
AF a: Fsyperbola denique E recta sic ducta ab opposito crure rece
datus ut AFE (quae ipitur ex concraria parte producta opposito cru-
In supra rerticem concinuato, occurret, puta in a.)
cedentis, e circa quod supponitur Conus formari) utroris Crure,
recta ducatur Friangulum sCCanS (DUtA AP, AF, AFI;) super quam
dum rectam OO, Jua sc illius circuli diametro puta BS, (in trian-
Punccum autem A Cont ecno re etut; a quidem A, an
(in Flliph ex TTyperbola) Vertices oppositi. Rectaeque AP, AF, AFI,
conisectionum Diametri, (nempe A P ParabOlR, AP EILIPSS, A FL
EIrperbola:) ip(aque A2 (FIlip sCos rel Frperbolarum) Diameter trans-
versa: (idem nempc planum quod Hrperbolam in uno aliquo cono
eHicit,

## Folio 304 — 851387705:0324
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000324.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
DE SECFTONIBUS
etticit, cum etiam ad Oppositum Conum pertingat, Oppositam FTyper-
bolam ibidem efficit.) Rectam aurem 0O, reliquasque ipsi in cadem
Conisectione parallelas, (toridem parallelis in Cono circulis, et Coni-
sectioni communes,) Ordinatim subtensas, sirc Ordinatim inscriptas, ap-
Dello: quae, cum sint circulorum diametris perpendiculares, (ut con-
Aructio postulat,) ab ipsis bilecantur, adeoque _ à Coni sectionis
DiamCErO, (quae nempe per eadem bilectionum puncta transic;) Pa-
rumque semisses, ut DO, diametro Coni-sectionis Ordinatim applicatae
dicuntur; funtque inter bina diametri circularis (cui perpendiculari-
ter insstUnE) Segmenta, BD, DS, medixe proportionales: Oux qui-
dem si diametro Coni sectionis AD, ad ansulos rectos insistant, Dia-
meter illa Axis dici (olet (qui luis ordinatim applicatis est perpen-
dicularis;) sin minus, Caltem Diameter, vel Diameter Obliqua vel in-
clinata dici Colet.
VE autem Conus ipse, sic et Conisectiones (Parabolam intellioe
et Ayperbolam, nam de Fllipsi secus ct,) simul cum Cono in infr-
nitum continuandae supponuntur.
Duod autem Planum Conisectionem efficiens, si unam ex parallelis Coni cireu-
lis secet secundum rectam OO, ipsius cametro BS perpendicularem, etiam re-
liguos illi parallelos quos secat circulos secabit secundum rectas quae ipsorum dia-
metris ipsi BS paraltelis sint perpendiculares: Sic demonstrabieur. Cum circuli
Tupponantur paralleli, erunc et corum sectiones OO, O0, (eodem plano tactae
Parallela, (per 16 C TT.) quae proprerea cum parallelis circutorum diametris
BS, BS,) eoldem angulos taciune, (per 1O C TF.) ponitur autem, angulos ad
diametrorum parallelarum unam rectos este; erso et ad omnes; Duod crat de
monstrandum.
Reliqua in Propolitione vel Detinitiones sunc, vel ex proposicionis curriculo
Patis patent.
Monendum autem est Parabola, Flipsis, e LEyperbolae appellationibus, apud
Greometras, (qua ixicur libertate e nos aliquando uturi sumuS,) nonnunquam
curras lineas in superticie conica factas, (quas in propositione detinirimus,
nonnunquam vero fieuras planas ejulmodi cueris terminaras, intelligi. Siquando
aurem de ambisuitare ligniticationis metuatur, non pincommodum exit linea vel
plani rocem adjungere; ue linea Parabolica planum Parabolieum, 86.
Monendum est ctiam, sub Lllipseos nomine (quod tamen alii non Colent) me
etiam Peripheriam Cireusi comprehendere, (vel etiam ipsum Circulum.) Cireu
lus enim ab Fltipsi (Figuram incellise linea F. liprica comprehentam,) non aliter
dittere quam ut Guactratum a Parallelogrammo. Nam uE Paralletoerammum cu
jus latera lunt aequalia angulique recti, vet (si libet) cujus diametri conjusata
lunt aequales e ad angulos rectos, (habent enim e tigurxe rectilinex Cuas diame.
Eros, quanquam non ut currilinex numero intinicas, suilque diametris ordina-
tim applicatas; et quidem Paralleloprammum diametrorum habet duo paria,
nempe duas diasonales, _ duas lareribus parallelas se mutuo bisecantes; tam
illa aurem quam hae lunc conjusatae:) est Quadratum: Sic Lllipsis, cujus
diametri conjusacae Tunc aequales e ad angulos rectos, Circutus ct. IEt qui-
dem ea omnia qua Fllipsibus universaliter conveniunt, conveniune etiam cir-
culis, (non minus quam quae Parallelogrammis conreniune, conveniune Oua
dratis,) nis quod Lllipseos appellario non soleac illis auribui. Sicui noltra
haec phrasiolosia non placeat, truacur suo sentu; modo seiat, quid apud me
Fllipleos nomine Tigniticetur; quod necelsario monendum erar, ne dicta nostra
Derperam incellisantur.
Monendum insuper ell, Ouod ea omnia quae jam expotuimus de uno Trian-
sulo. per axemr, unde Conum tormari supponimus, pariter incelligenda lunt de
intinitis aliis Priansulis Conum per axem diridentibus. Pocest enim Cuper co-
rum quodris ejusmodi Formatio Coni supponi. Manencibus enim eildem cen-
eris, distanciis, et planis, iidem tormancur circuli, quamvis alia acque alix su-
MAREUE
erop. VII.

## Folio 305 — 851387705:0325
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000325.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
PxoP. VII.
H LCIS
mantur Diamerri, hoc est, quamris alio atque alio
criangulo Conus per axem dividatur. Verbi gracia,
Friangulo VB0 (per axem eriam cranleunt)
Ca
dem conveniune qua ipsi VBS convenire dixi-
MUS.
Non tamen haec ita intelligenda sunt, act quo-
cunque Friansulo. per-axem accepto, eadem numerica
Contsectio, methodo jam dicta, tormaretur: Sed (al-
tem quocunque Priansulo. Per axem accepto, puta
VB0, tieri pocest uc illi accommodentur coni sectio.
nes eodem modo quo ipsi VBS. Onamris enim ve-
rum lic, quod coni lectionis OAO, aliquod pun-
ctum, ue a, sic in crure VB; attamen planorum
OAO, OBO, communis sectio OO, non eric crian-
suli VB5 bali B0 perpendicularis, (quod in Coni sectionis geneti, in propotitione
cradica Cupponitur;) supponicur enim perpendicularis esle alii ejusdem circuli
Diametro B5, rectam B5 secanti; non isitur et iphi B0 perpendicularis esse Do-
relt.
AC incerrogabic Fortalte quispiam, Ouid caulae Sic, cur illud postuletur ut recta
O0 (circulo et Conisectioni communis) sic circuli diametro BS Cin triangulo
VBS existenci) perpendicularis. Annon enim, E planum secans ad criangulum-
ver axem aliter inclinaretur, secaret superticiem Coni. Omnino. An vero ea
lectio non una eet ex eis quas detinirimus Fsset omnino. Cur igitur illa Cola
inclinatio plani secantis ad triansulum. perarem admirritur, qua rectam OO re-
cta BS perpendicularem efticiar Respondeo; Ouod alia quaeris inclinatio non
minus quidem susticeret ad Coni sectionem aliquam efticiendam; sed minus apra
eset ad Demonstraciones instiruendas; cum hae plerumque suxponant rectam OO
eique parallelas, a circulorum diametris bisecari, quod non tieret nis diametris
illis ellene perpendiculares. Ideoque cum Planum Coni sectionem efticiens ad
varia criansula per-axem rariam inclinationem habeat, illud ex omnibus criansu-
lum seligunt Conicorum scriptores ad cujus batin rectae illae OO sunt perpendi-
culares. Unum enim aliquod criansulum per axem (et quidem unieum) illud
Dacitur, (nili Forlan coni-sectio proposica unus sic ex cireulis bali paralLelis,) quo-
modocunque Conus a plano (CCCFE.
Duodnam autem ex omnibus illud sit, Eic inrestigatur;  verbi gratia Conu
VBO, plano secetur facience Cioni scctionem OAO, unum aliquem ex paralle-
lis circulis OBO secante in OO: Ducatur in OBO circulo, diameter ipE OO
perpendicularis, gua sic B S, e compleatur Friangulum V BS. Patet enim PI-
num Coni sectionem efliciens, criansulo VBS ita insiltere, (puta in AD, qua
propterea Coni sectionis diameter erit,) uc circulum OBO secet secundum re
etam OO iptius Diametro BS (qua et Frianguli V BS basis est,) pervendicu-
larem, Ouod erat Faciendum. Friansulum igitur V BS illud est, secundum quod
Coni fectionis O AO natura et proprietates tunc perpendenda, (si aucem nOn
ipsa BS, Sed alia aliqua, puta B0, Fuistet ipsi OO perpendicularis; tum non
Friangulum V BS, sed V B0, Seligendum esfet.)
Fis quamris aliunde quidem verum sit (ue suo loco dicetur,) alias Diametro
(aliolque proprerea vertices) conilectioni O AO conrenire; tola tamen AD ea
est qua diei tolet Diameter ex generatione; incellise, prout jam huie Cono aD
Plicatur: Nam rerera eadem Coni. sectio porelt vel alii Fortan Cono, vel c.
eiam huic in alio situ, ita accommodari, uE alias habeat DiamCerOS ex gene.
racione.
Atque haec quidem ad pleniorem propocus Menciam monenda duxt
in ninlum seu non quancum. Nacu  scalta et plinetum A astignetur in erI
erat Dasallela) cum ipla VS Couet, alleoque rectae SD cranelcent, de pro-
prerea craneleent ordinatim applicacae DO, (nam si alcera mulciplicantumm lico
ciptra
Trraneuli crure, puta VB, ubivis assenc p, et cabipiendum erit punctum
Sed de ulterius monendum est; uod, quum diximus Punctum R in utrovis
Verticis V; vel pro Conisectione exspectatam proaibit aliquid simplicius; et
nempe quod una taltem quancitatum ex quibus, Coni sectio dependet evanescet
IIS VB puncto V, ee velim Latabeu lleleribere; recta AP (qua ducenda

## Folio 306 — 851387705:0326
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000326.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
DE SECTIONTBUS
Prop. VII.
ciphra, erit e quanticas producta o ciphra:) adeoque ParabOla PrOAHEL HIUIIUS
lacicudinis, hoc est, linea recta, terminata quidem ex palle a vet V, mmica relo
ex parte P, vel O: (coincident enim puncta l, O, Propier Muicalem BruMac
applicatarum PO, vel DO.) Lodem modo li acletioenua IL CllipliS; Polito
puncto A itt V, (ubicunque in crure VS luppONACL a) Propet comclentiam
punctorumt A, V, coincident eriam rectae A a, Va: lucogue cratelcentibus re.
etis DS, eranescent eriam BO; eritque propterca llipls Ms Lacello
hoc est linea recta, urrinque quidem, terminata; (saltem n _ puncluM a IM
cruris VS puncto Valtisnetur; quo calu, propter coincidentiam punctorum A, a,
recta illa degenerabit in unicum punctum.) Pari modo, A delcribenaa CHet LIy-
CollIsI POTETIE, interum IdCu LallS Patet CX celiS PFOD. 6.) Saltem nili recta
erus utrumque V B, VS, Colen Dteto V, iccabit; alleoque canlverta diame.
Derbola; polico, uc prius, puncto A in V, (ubicunque altionetur II,) recta HIA 2
tex A a (propter coincidentiam punctorum A, a, V,) cranelcet; adeoque HLy
verbola in Triangulum aeselctablt, (ut ea spetora aoita Boltea tractenda
a I coulque recedat a crure VS, ut ipsi V B coincidat; quo calu. (live a
allignetur in verrice V, sive ubiris alias in crure VB,) cranescent rectae DB.
adeoque e DO; e pro Friangulo vel criam Fyperbola OVO vel O AO,
prodibir linea recta, ex iuna quidem parce cerminata, ex reliqua vero in.
Finitar
e lO F. VAT.
De Parabolan Sectione Coni facta.
N Larabola, Ouadrala Ordinatim applicatarum sunt interceptis
Diametris proportionalia.
dtala Ml Bcanacum applicacarum Lu. , a. ilat tC
etis, PB, DB, _c. (in triangulo APB parallelis) proportionalia,
(adeoque _ interceptis Diametris, hoc est, diametrorum sexmentis
inter

## Folio 307 — 851387705:0327
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000327.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
PFOP. IX.
a O e L C 1, 5
inter ipsas ordinatim. applicatas et verticem in-
TCrCePEIS, P A, D A, _C.) aequalia quippe re-
Ctansulis BPS, BDS, _C. Qua PrOPteI aqua-
les PS, DS, ec. (in parallelogrammo APSS)
Tune aeque alta, et propterea basibus (PB, DB,
ec.) proportionalia.
Adcoque ipsae ordinarim applicatae sune in
subduplicata ratione Diametrorum intercepta-
rum; nempe in subduplicata ratione Tuorum
Quadratorum.
Si isitur ordinatim applicatae quotlibet aequa-
libus ab inricem distantiis CIANEUT; CrunE cacum quadrata in COn-
tinua progrectione Arithmetica, (ut patet ex dictis ad PrOP. 2.)
Constabit isituT (PeF PEOP. L.) Semiparabola planum (adeoque et
torius Parabola) ex infinicis numero lateribus quadratorum Ariitime.
tice proxortionalium.
PROP. IX.
De Converde, Cs Pyramidoerde Lalabolo.
A
A quadratis, ad communem axem ordinatim posicis, Formetur Py-
ramidoeides Parabolicum (eo modo quo ProP. 5, 6. Formarimus Pyra-
midem e Conum,) erit illud infinitorum numero planorum Rrittime
tice pro portionalium aegregacum, (sicut Friansulum rectarum,) ab
o incipiendo ex continue progrediendo ad butin usque
TInc sequitur; Si ex omnium in Parabola ordinatim applicatarum
Adeoque si Basis tigura lic conttructa in lemistem Alticudinis du-
catur, prodibit corius figurae soliditas: (eodem argumento quo us
Tumus de triansulo PFOP. 3.)
Cumque idem (eodem argumento) raleat de circulis, aliitre Rou-
ris planis similibus quibuscunque, (sunc enim ad inricem, ut diame
Erorum, vel rectarum quarumlibet limiliter ductarum, quadrata;) erit
univerlaliter Conoeides vel Pyramidoeides Parabolicum, quacunque bale,
(sire etiam crectum sic, sive scalenum, sive etiam quocunque modo
luxacum, per ea quae dicta TunC Pr. 4.) aequale basi in semissem altitu-
dinis ductae; hoc ett, Semissis Prismatis (ul parallelogrammi Priansu
lum) super eadem basi aeque. alti.
Fsenim (ex dictis) Pyramidoeides Parabolicum (Fub quo et Conoei-
des comprehiendo) Asoregacum planorum similium numero intinito-
rum Ariclumerice proporcionalium (ab 0 continue proerediendo,)
Circa

## Folio 308 — 851387705:0328
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000328.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
l OLCLIOHLVOO
circa eundem axem rectilincum ordinatim positorum; quorum qui-
dem singulorum cxassiries supponitur aequalis d altitudinis tocins F.
sura Colidae.
Oux Cypra ProP. 5, 6. De Pyramide dt Cono, corumque alcicudinibus, axibuis,
planisque ordinatim applicacis; item de Pyramidibus Conisque rectis, scalenis,
luxatis, eec. dicta lunc; cadem Fere Pyramidocidibus et Conocidibus accommodan.
da TUnE.
Fgo vero hanc Conoeidis, (adeoque di Pyramidocidis) Parabolici Formationem
pocius achibeo, quam qua a veceribus aliisque actriberi solica cle, (nempe, cir-
cumducta Semi parabola recta, manente AXC:) quoniam ca tormatio non omni-
bus Conocidibus (sed Lolummodo rectis) nec Dgramidocidibus omnino conrenit.
Atque hoc eadem ratione Facio, qua Apollonius Fuclideam Coni Formationem,
circumducto nempe Priangulo rectangulo, manente laterum circa angulum re-
ctum alterurro,) in aliam commutaric (circumducta nempe per circuli periphe-
riam linea recta, manente ipsius uno aliquo puncto extra circuli planum exsisten-
tC:) quia scilicer Fuclidea ilta Polis Conis rectis conveniebat, haec aurem qui-
bulris sive rectis sive scalenis. Non isitur mirari dehet quispiam, s pronc ille
Euclideam Coni, sc exo Archimedeam Conoeideos, tormarionem specialemus, in aliam
maxis universalem, commutarerim: quxe etiam ee Pyramidocidibus aliis (. de qui-
Dus nulla hactenus, quantum scio, contideratio habita Fuic) pariter conveniat.
Dux autem, de C’onocicibus et Pyramidocidibus Parabolieis Formandis, jam dixi-
muS; eadem de Ellipticis e Fyperbolicis deinceps intelligenda crunt.
LDP. X
PrOP. X.
De Conoeideos C Pyramidoeideos Paraboliei sectione.
T Prramidocides (vel Conocides) Parabolicum plano per axem se-
cetur; cum manifestum sic ipsius infinita numero plana similia (I
communes eorum cum plano lecante sectiones erunt propterea in A-
surarum suarum, (qua quidem Arichmerice proportionales sunt,)
militer secari, et quidem per centra; erunt ca similiter bilecta; atque
adeoque et ditanclarum d verlice, Lubaupicala latione, e propterca,
ut ordinatim applicatae in Parabola. Communis isitur sectio (Pgrami-
doeidis Parabolici, planique per arem secantis,) est Parabola.
Treciarim dillerere: Sunt autem illae omnes (vel ctreuli, vel) Fllipses.
Nota tamen, ut ejusdem Parabolae intinicxe sunt numero Diametri, (ue luo loco
dicetur:) ita e Conocideos Paraboliei infinitos esse (lre Brametros dicas, live)
Ares; qui quidem omnes (ue Parabolarum Biamerri) sunt nvicem paralleli:
dui omnes sua plana habent Ordinatim applicata.
Vercim haec monulle cattetaes cum non lic Muejue idet ba teito ploteesut.
De alis veceocideos Patabolier lecttonous (non per adeu non sibet hic
PROP

## Folio 309 — 851387705:0329
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000329.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
e
N IC
PROP. XI
De Cuneo Parabolico.
CF d et libet hoc subjungere de Prramidocide Parabolico. 
(in Cono) Rectangula B DS aequalia lunt Ouadratis DO: Si oi-
nes recta BD ducantur in omnes DS, (hoc cA, s super La
n
APB, erigatur Prilua Cusuo al  A3, Vel 13,) henc intinita
numero Parallelosramma B D S aequalia cotidem Ouacratis DO:
Hoc es, Prramidocides Parabolicum (cujus basis SE Ouadratum PO)
aquatur Cuneo seu Prismati A P BS, (quem Cuneum Parabolicum libet
appellare.) Omnia enim BDS rectancula in Cuneo (ips BPS P2.
rallela) sunc ipla rectangula BDS in Cono desienata. Ideoque et
torum toti aequatur, et quidem segmenta illius analosis sesmentis
hujus.
Incellixendum aurem est, Alcicudinem Cunei (perpendiculari ab aeie AS ad
oppolicam basin B P S demicta aestimandam) eandem ele debere acque Alricu-
dinem Conoideos.
PROP. XIT.
De Parabolae Latere. Recto.
Anitestum est, (per ea quae dicta sunt) datis rectis DB, DS
Vt hoc est, DB, AS; dari etiam DO (ordinatim applicatam ad
diametri punctum D) ue quae est inter illas media proportionalis:
AC non contra; Nam e manifestum est, mensuras illas prOrTIS extra-
neas esse (extra Parabolae planum constitutas) ex ommino accident
rias, (non minus quam, in mulciplicatione, numeri Factores ad nu-
merum Factum, qui ab aliis etiam Factoribus, infinitis modis raria-
tis, produci postit:) Portunt enim binx rectae DB, DS, infinitis mo-
dis rariari, iisdem interim manentibus tam Diametro Parabola quam
ad illam ordinatim applicatis; (l nempe qua ratione angetur vel di-
minuitur PS vel AS, latus Paralleloerammi APS, cadem e contra
minuatur vel augeatur PB latus criansuli AP B.) Ouod quidem
cousque verum est ut quaelibet Parabola cuilibet Cono accommodari
POsTIE: (quod mox, ex abundanti, demonstrabimus.)
Ne isitur nulla sic determinata mentura, lineis ad iplam Parabo
lam peculiariter pertinentibus exprimenda, qua ordinatim- applicata-
rum maxnicudo explicetur: LOc0 rectacum DB, DS, hoc eAt D  AS.
(quarum

## Folio 310 — 851387705:0330
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000330.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
F
SECY 1ONIBUS
Conarum haec inrariata mase illa perpetuo rariatur, pront propius
aut remotius abest à L’alaoba rertice) duas alias jam olim (ubstitue-
runt Coni-sectionum Complatores; Ouarum altera est Diameter in-
tercepta AD, quae intra Lacabolam reperitur, eltque semper recta
DB (cujus vices supplet) proportionalis, (utraque nempe cadem ra-
tione simul et creseunt e decrescunt pro rario lieu puncti applicatio-
nis D.) Reliqua rete quod Latus rectum rocatur, (vel recta dia.
meter, vel recla suaea quam postunt orclinatim applicatae, rel etiam,
apud Midorsium, Parameter,) non ulpiam
vel in Conisectione, rel in ipIo COnO, TCa-
licer exsistit; Sed Cola imaginatione suppletur,
ut rices subeat rectae DS, vet AS: Ideoque
quantuplo major est vel minor AD quam
DB, tantuplo e contra minus vel majus sup-
Donitur Latus rectum, (PuTa L A,) quam
DS vel AS: Adeoque tribus DB, DS, D A,
vel DB, AS, D A, erit quarta reciproce.
proportionalis L A; ut aequalia sint rectan-
outa DA x AL, ipsis DB = DS, vel DB= AS
hoc eAt, quadratis DO. Vel, (substieutis ido-
neis (ymbolis, puta b = D B, 5 = AS, d = AD
1=E. A, p = DO,) erit ubiquue Muadarum sidinacim applicala in
Pac abo a p = (b5=) a1.
Fstore hoc quidem essentiale Parabolae symptoma, unde reliqua omnia depen-
dent e calculo deduei poltunt. Vc autem sectione Conitiat, omnino acciden-
carium est. Ideoque, genvino symptomate sic reperco, Conum dimittere licet:
adeoque ulteriorem in ipsius aftectiones inquititionem differemus donec ad ab.
Tolutam Parabolae tractationem (sine respectu ad Conum habito) perveniamus,
(quam PrOP. ZT. e sequentibus agcrediemur:) Interim similia Ellipseos ee FIy.
verbolae sennina sympiomata inguiremus, ult omnium tandem absoluram nacu-
ram seorlim perpendamus
Monendum tamen est de Latere Recto; non idem Latus Rectum omnibus ejuL
dem Parabola Diamerris convenire; (Ouod etiam de FIlipleos et Fyperbola
Lacere Recto poltea incellisendum exir:) Sed (uc habet quaelibet Parabola in-
tinicas numero Diametros, uc post dicetur, ita) quaelibet Diameter suas habet
ordinatim applieatas, Tuumque Lacus Rectum: Oux quidem linea imaginaria, cer-
ex tamen longicudinis, (quamiris vel ubiris alias setibi postit, vel etiam non
Teribi, sed sola imaginarione suppleri,) duei solet d Diametri Vertice ordinacim-
applicaris parallela.
Ouxe aurem de Parabola Larere recto dicta sunt, ea sere Lateribus rectis EI.
lipseos e Fyperbola intra accommodanda crunt.
Onod aurem supra polliciri sumus, ex abundanti, demonstrare; nempe, duam-
libet Parabolam cuitibet Ciono aptari posse; Cic Ostenditr.
Sit propotira Parabola (cujulcunque Coni) ac, cujus axis ax, ejusque pun-
Eto cuilibet r ordinatim applicata ra. (Ouod autem quaelibet Parabola Arem
habeat, e quomodo in dara Parabola reperiatur, post oltendecur; incerim illud
licebit, line riolata mechodo, quali concestum altumere, cum roca haec Demon-
stracio sic ex abundanci:) Dico Parabolam illam cuilibet Cono, Dura VBS,
aptari potte.
Secetur enim per axem Conus proposicus plano ad batin recto; (icque Frian-
sulum illa sectione lactum V BDS. In hujus alterutro crure puta VS, Suma
cux a vertice V_ aequalis ipti an diametro Parabola PrOPOTIX; ee incelligatur
recta duci x B parallela bati BS. Tum rectis xB, Xco Quaratur tertia provOr-
tionalis, cui aequalis lumatur (in bale Priansuli) secla SD; et, per punctum
D, ducacur recta D A, laceri VS paralleta, reliquoque eruri VB Occurrens
2

## Folio 311 — 851387705:0331
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000331.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
in A. Dico teclam A D diametrum este Parabolae in Cono cui Parabola pro.
Polita consruet. Quod Sic oltendo.
Super Friangulo V BDS, rectaque in illo AD, (quae estus ex constructione,
cruri VS parallela,) ad ansulos rectos crigatur Planum, D AO. Cum autem
tam plavum sic erectum, quam Batis Coni BOSD (ex constructione,) sint cri-
angulo VBS recta; eric eorum communis sectio DO, eidem Friangulo recta
sire perpendicularis (per TO CFF,) adeoque tam rectae AD quam (diametro ba-
lis Coni) BS perpendicularis (per 3 d IL;) ideoque (per 7 hujus) AO, sectio
in lupertieie Coni Plano sic crecto tacta, eric Parabola, ejusque AXIS AD.
Tum in AXC A D sumatur recta A P, rectae V x (hoc elt a X,) aequalis: du-
Etaque SDB, rectae SD B parallela; Cric (proxier similia triangula) PB aequa-
lis rectae B: Sed e SP (propier parallelas) aequalis rectae SD: Ideoque ordi-
nacim applicata PO (medlia proportionalis inter SP, PB, hoc est, InEEFSD, XB
aequalis elt rectae ncon (quae ipsis SD, B, media proporcionalis ct, ex con
Structione.)
Cum isITUIT TaM AP, aX, quam PO, nco, sint aquales rectae; acque angulus
comprehentus AP O, ansulo comprehento a xco, aequalis, (quoniam uterque re-
Etus;) puncta a, r, con punctis A, P, O, applicata ConsruenE; (rectae que AP, PO
rectis an Xc) Acque idem eodem modo probari potest de reliquis punctis. Pota
ixitur aco coni parabola AO consruit. Quod tieri polle probandum exat. Adeo.
que datam Parabolam dato Cono apcavimuS: Duod crat Faciendum.
Idem alytice sic poterit investicari. Proxolicum sc datam Parabolam a co (cu-
jus Axis a , Ordinatim applicata  co) daco Ciono V BOS acaptare. FF Suppo-
namus praestitum esse quod imperatur, (ique ea parabola COnO aptata AO, cujus
Axis AP =ax, eique ordinatim applicata PO = r co. Adeoque recta PO per-
pendicularis tam recta B PS bati Friansuli. per- Axem, aut ei parallela, (propter
Coni sectionem,) quam recta AP (pTOPter AXEM;) ideoque recta PO plano
APB (quod crianguli planum cAt) recta, (Der 4 C LF.) _ propterea tam planum
circuli BOP, quam Parabola AOP, (quorum communis lectio elt PO) cidem
Frianguli plano rectum eritu (Per LB C TT.) Atque hine quidem constat, Pri-
aneylum. per axem. Coni in quo quaerendus est Axis Parabola, illud este, quod Co-
ni bali rectum est; Acque intuper, Planum secans quod Parabolam efticit (adco-
que de Parabola planum) ilti Friangulo rectum tore. Ouxe est prima pars in-
quisicionis.
rabolae Axem AP in Priangulo per Ldem VBS jacere: Frit AP (prODEEE Pa
rabolam) alterutri Crurum, puta VS, Parallela. Ideoque (s per puncta A, P,
duci incelligantur in criansulo per Axem rectae AS, BPS, basi parallela,) PrO.
portionales erunt (propter similia criangula) VB. BS: : VA. AS = PS =
iem 15. 5B:: AP. PB3
r5
SXVA
D
Liem lpropter Conilectionem)
Scinde (reperto jam quodnam lE Lriangulum per Axem Coni in quo quaeren-
dus est Axis quaesitae Parabolae; es quam inclinationem habicurum est planum
Secans ad illud Friangulum: ut sicus Axis Parabolae in illo Friangulo reperiatur
sic progrediendum;) lupposito, ut prius, rem factam ese quae imperatur; et Pa

## Folio 312 — 851387705:0332
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000332.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
DE SECTIONTBUS
SP. PO. PB ::, hoc est.
RrSO PO9 =
VBKVSKNOC
TAXAP
XVA
P0
BSXAP
5
ProD L
 continue proportionales.
VBKYS = BS9. hOc elt, X09-
B59
VBKVS X V A X a r. e
BSgKE=  =VA. Ideoque proporrionalia BSq. VB, VS:: =
VA.
Elaberur eroo recta VA, adeoque Parabolae vertex A, in crure VB, unde ducta
AP cruri VS parallela, est diameter Paratolae quaelica.
Hoc est. Si Conus Propositus secetur plano per Avem, quod Basi Coni recrum
sit trianeulum faciente VBS: e fiat, ut BSq quadratum basis trianeuli, ad
VBKV S rectaneulum cruribus contentum; sic  (quadratum ordinarim.
sa
applicatae in Parabola provosita, per Axem divitum, hoc est) Farus rectum Pa-
rabolae propositae ai conveniens; ad VA distantiam vertieis Parabolae a vertice
Trianculi, in utrovis ipsius crure mensurandam; t denique a vertice A recta
ducatur AP opposito cruri parallela: eique Planum erisatur plano trianeuli VBS
rectum: Planum hoc in supersieie Cori fasiet Parabolam, cui Parabola proposita
coneruet.
Demonstratio, per rexetica Anatoseos vellieia facile insiruetur.
Pari tere methodo demonstrari poterit, Datam Fllipsin vel FErperbolam ( de
quibus postea dicendum exit,) non quidem Cons cuilibet, sed sattem Conis quosli-
bet specie differentibus, aptari posse. Cujus Propolitionis e Demonstrationem
et Vecerminationem lubens praetereo, partim ne cadio Cim, nec velim cironibus
ingenium suum exercendi antam praeripere, partim etiam quoniam illud insticuro
noltro non est necestarium.
P RO P. XII
De Ellipsi sectione Coni facta.
N ellipsi, Ouacrata ordinatum applicatarum aequalia sune differen-
ciis binorum rectangulorum; quorum quidem illa (majora) sunt
interceptis. Didmetris poporrionalia; haeC rerO (MinOTA) in CaruN.
dem cacione duplicatd.
Sunc enim Cuacrata DO aequalia Rectanoulis
BDX DS, (peT PrOP. 7.) Ducta vero recta SFF,
apsi A a parallela, e continuatis rectis BDS ad F;
erunt ubique rectae DS = DF = PS. Et Rectan-
suta BDX DS = BDKDF - BD X FS. SunE au-
tem (proprer aquales rectas DF) Rectansula BDX DF,
rectis BD provorcionalia, ideoque et rectis D A dia-
metris intercepris (propier similia criangula ADB.)
Rectansula vero BD X F S (quoniam tam BD quam
FS rectae Tunt rectis D A proporcionales) Tunt in
duplicata rarione diametrorum interceptarum D A.
Cum ixicur lic ubique DO9 = (BDF DS =) BD
XDF = BD XLS; constat propolic.
P ROP. ZIV.
De Clliptuco Lgramidoerde, e Converde, (seu Sphaeroeide) e Cuneo.
(UE PrOP. 5, 6. Formarimus Prramidem vel Conum, _ PrOP. 9
rim afracat I ellipsi Formetur Pyramidoeides ellipricum bieuspe
(hoc
Prramidocides Parabolicum,) ex omnibus quadratis DO ordina

## Folio 313 — 851387705:0333
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000333.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
(hoc est Prramidoides seminum super communi bale, vertices ha-
bens Oppositos,) aequabitur illud cuneo cuidam bicuncato (nempe bi-
nas oppositas acies habenti, sed situ subcontrario ex quasi decustale
hoc est, corpori solido supex basi llanulat a bi etecto, alcicudi-
nem habenti super puncto A aequalem rectae AS, Sed aequabiliter de-
crescentem donec Cuper recta aB randem craneleat et nulla sit. FF
quidem sexmenca illius, Analosis scomentis hujus. AdeOque E MOIX
mentura.
Manitestum enim cst, quod, Si Cuneus ille vieuneatus (quem Caneum Fllipti.
cum liber appellare) Plano ad planum crianguli a B A recto (Licut _ AS (uPPO.
nicur ad idem planum recta esse seu perpendicularis) ubiris secetur secundum
rectam DB quae sit a B recta parallela, sectio illa praectabic rectansulum BDS,
cujus duo latera erune rectae a B parallela, reliquaque duo recta AS, totngue
reccangulum BDS in Cuneo, Analogo rectansulo BDS in Cono delignato
aequale eric: Adeoque rectanoula omnia B DS in cunco, aequalia erunt rectan-
sulis omnibus BDS in Ciono desirnatis, hoc est, omnibus quadraris DO; hoc
Cl Tocns Cnneus cori Pyramidocidi Bienlpidi aequalis erit, e quidem segmenta nu-
jus analosis segmentis illius. Ouod erat oltendendum. Ita tamen ut eadem re
cineacur alciendo Pyram
rius aque, cralca LuLSaneur.
Curicus aucem ille bicuneacus, (quem Ellipricum diximus) est Pramis lupet
bali a B A, alcicudinem habens AS, adeoque nOLX mensurX
Ouod autem de Pyramidocide Flliprico ex omnibus Ouadraris DO, dictum elt:
perinde raleret, si pro quadraris DO, subltimerentur quadrata OO (ordinarim
inicriptarum;) nili quod Pyramidocides hoc esser illius quadruptum
Cognita vero mentura Pyramidocidis F. Iiptici super bali quadrata, adeoque et
ratione quam habet ad Parallelepipedum luper cadem bali aeque altum: cognosce.
tur etiam ratio Conocideos Fllipriei (vel, uc dici Polet, Sphaeroeideos) ad Cylin-
drum Cuper eadem basi aeque altum; rel etiam Pyramidocideos Cuper quacunque
bali plana (puca criangulari, quinquangulari, _c. vel etiam currilinea, aut mi-
Ita,) ad Prilina super eactem basi aeque alcum: (s nempe pro omnibus quadraris
sublticancur coridem cireuli, triansula, alixre limiles tigurx.) Per Basin aucem
hic incelligo medium illud planum quod duobus illis sire egramidocidibus sire
AP, Secetur Plano dSB, etI d3BA cuneus F. Iipricus
Seomentum a BSt C L Hano super u Guuialeta
aBPP; ae veroLSanu p coms S.
leu ea Prilmale (Culleo epe delle it, aute
Cioroeidibus eIB BALS COIMIUIMIS.
EIt aurem Klliptieus ille (quem dicimus) cuncus, cu-
nei Parabolici sesmet. Si C Culello Parabolicus
sive Pgramis pet Ctatsats bal aBA; reliquum vero
Tacur Pyramis aBSP P, restabu Celo Elliprieus (ve
S
Pyramis) aSBA; cui aequale est Pyramidocides F Iipcicum
Sed et idem immediare colligi porest ex propolicionis pracedenis caleulo. Cum
enim

## Folio 314 — 851387705:0334
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000334.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
DE SFCTTONTBOS
PcoP. XV.
enim omnia rectangula BD x DS, HBC est, omnia quadrata DO, aequantur ont
nibus rectansuslo BDX VF, demptis omnibus BD X LB, Patei propolium. Om
MIa CHH SCCaS la BD X D F consticuun cuncum Parabolicum, (per PTOP. TF.)
Omnia vero BOX FS, Pyramidem; (PeF PTOP. 6.) Forum isitur ditterentia à
quatur vel Cuneo EIipeico, rel etiam EIliprico Pyramidocidi.
PROP. XV.
De Conveideos e Dyramidocideos Flliptici Sectione.
27 Poramidoeides vel Conocides DNipticum plano per Arem (vel,
Ei maris, Diametrum) sccetur; sectio exit (vel circulus, rel Cal-
C) LFtdo
Probato ejusmodi uenda est, qualis prop. 6, _ r0. ubi Sectio Pyramidis
per axem ostenditur esse Priangulum; e Pyramidocidis Parabolici Parabolom
Alias rero lectiones non per-Axem, non liber hic speciacim actinsere. Moneo
tamen Conoeideos Fllipriei (hoc elt, Sphaerocideos) Ares (nisi Diametros malis
appellare) numero infinitos esse in communi centro (ue FIliplrum Diametri) cocun-
tes: qui omnes sua plana habent ordinatim applicata. Noca etiam Conoeideos FL
liprici (vel Sptiaerocideos) Sectiones omnes plano factas (Cire per-axem, adeoque
et centrum, transeunte, sive non,) esse (vel circulos, vel Paltem) Fllipses.
etis aurem diurius insistere non est hujus loci. Sulticit monuilté.
PROP. ZVT.
De Fllipsis Latere. Recto.
AFTNE manifestum  ex dictis, Ouadrata DO, (Rectanoulis
BDKDS aequalia,) ex cognitis rectis BD, DS, cognolci posse;
non autem, e contra, ex cognitis DO, cognolci rectas BD, DS5
(possunt enim rectangula BD x DS infinitis
modis rariari, dummodo eadem maneat ordi-
natim applicatarum quantitas, adeoque eadem
Eliplis in conis distimillimis reperiri: ut pa-
tere poterit ex eis quae supra de Parabola dicta
Tunt ad ProP. 12.) Placuit isitur Conicorum
Scriptoribus (ue in Parabola, HC) in FIliph aliis
mensuris ordinatim applicatarum quantitatem
determinare, quae eandem Fllipsin ubique co.
MIEONEUE.
Nempe pro singulis rectis BD, substitmunt
singutas AD, diaMEErOS INCETCEPTAS; quae qui
dem illis sune proportionales.
Pro recta vero AS, substituunt aliam, puta L A, imaginariam,
(quod Latus Rectum appellanE) quae tribus AS, BD, D A, sit quarta
reciproce proportionalis; ut sic ubigue BDK AS =D AXL. A. Ad.
eoque Latus rectum L. A =
X AS, _ AS =
DB+ L. A.
Tum (continuata Diametro AD donec oppotito Frianguli per-
axem cruri occurrat in a, ut habeatur Diameter tranlrersa Aa;) erit
propter similia crianeula) AA. AS:: Da. DS = - = x A5. 1d00.
Ad
eaC
nd

## Folio 315 — 851387705:0335
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000335.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
PFOP. XVII.
C O N EC F S.
que BD, D5 (=D04 -
2 = ASLBD-
nempe BDK AS =D A KL A, ut dictum cA.)
Na VLALDA. (quia
HOc est (substicuris idoneis (rmbolis, nempe t = A 2, d = D A
t= d = D an l = L. A, _ e = DD) Ouadratum ordinacim applicata
= d
in FIIipA e = =  1a = - 1 = d1 - = a1 = 1d == d. (omnes
enim lae nocationes cancundem ralent.) Et quidem (repetita Foura
PFOB. 23.) tam Separatim Ld = FDXBD, X = d = FSKDB, quam
conjunctim Id = - d = F D+ DB = FS+DB = SD= DB =DO9.
Demionstratione non opus est alia quam quae propolicionis curriculo paltim in.
TexSCrIEuE.
Fsque hoc quidem estenciale Elipseos Symproma; unde reliqua dependent
et calculo deduei postune. Vc jam non opus su reliquarum affectionum in ipso
Cono inveltisario; sed melius de clarius intea in abloluta F Hipls consideratione
(sine ullo ad Conum respectu habico) insticuecur: quant prOB. 26. asgrediemur.
P R OP. ZVII.
De Fyperbola Sectione Coni facta.
N Hrperobla: Cacrata Ordinatim applicatarum, aequata sunt
ascresatis binorum rectansulorum; quorum quidem altera lunt
interceptis Diametris proportionalia, altera rero in carundem ratione
duplicata.
Sune enim Ouadrata DO, aequalia Rectanoulis BD
XDS (PeF pFOD. 7.) Ducta vero recta SF F ipA AFI
Darallela, (qua Frapezium SSEIA in Parallelosram
mum S FIIA _ Friangulum S FS, diximat) exune
ubique rectae DS = DF F FS, e Rectangula BD
xDS = BD X DF + BD X FS. Sunt autem (prOP
ter aequales DF) Rectangula BDX DF, rectis BD
proportionalia, ideoque e rectis D A Diametris inter.
ceptis. Rectangula vero BD X FS (quoniam tam
BD quam FS rectae sunt rectis D A proportiona-
Les) in duplicata ratione rectarum D A diametrorum.
interceptarum. Cum isitur sic ubique DOg = (BD
xDS =) BDXDF + BD X FS; conltar propoticum.
PROP. XVITI.
De Fyperbolico Pyramidoeide, Conveide  Cuted.
Ellipeicum) ex omnibus auratis DO ordinacim applicatarum
in sperbola, Formel Lfrummanides Fyperbolicum; aequabitur illua
Cuneo cuidam, ques cuncum Lasvolicum libet appeltate; Hehpe (0-
lido supet basi criansuratt L Le crecto, alticudinem habenet Laper
puncto A aequalem rectae AS, Sed continue crescentem aequabiliter
aonec super recta HIB aequalis eractat rectae HS. EF quidem seg.
F 2
E
T (UE PrOP. 9. e 24. Formarimus Prramidocides Parabolicum et

## Folio 316 — 851387705:0336
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000336.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
DE SECTIONEBAS PTOP. XVIII
menta illius Prramidocidis, sermentis hujus Cunei analogis crunt d
qualia sue tam Pyramidocides tocuna ican n ela
notae crunt mentura.
AHIB rectum SiF, (Licuc e AS lupponiur cidem criangulo recta elle,) dt
plano HIBS parallelum: Rectanxula Angula hujulmodi sectione tacta, puta BDS,
Si enim Cuneus ille Hyperbolieus plano ubivis secetur, quod plano Frianguli
Cuneus aurem ille Hyperbolicus, est frustum Pris-
matis (plano abscistum) super basi AHIB crecti;
alticudinem habens super puncto A aequalem rectae
AS, Cuper punctis autem LI, B, aequalem recta FIS.
Adeoque notae menturx.
Est autem hic Cuneus, Regresatum Cunei Parabo.
lici FIB ASEE, _ Pgramidis SP FS. Ouod pate.
bic R secari incellixacur plano S FP parallelo erian.
sulo AFTB.
Ouod ipsum etiam concludi porest ex calculo. Cum
enim singula Onadrata DO, vel rectangula BDS in
Cono, aequentur lingulis agoregatis BDxDF. + BD
X FS; manifestum elt OMMIA BDXDE, (DET PFOP. LL.)
aequari Cuneo Parabolico, alque omnia BDX FS (per
PFOP. 6.) Pyramidi.
Cuneus aurem ille, sire consideretur ur Frultum
Prismatis, sive ut agxresacum Pyramidis et Prismaris
(Cuneire Paraboliem) crit nox mentura; Adeoque
de Pyramidocides Hyperbolieum (huic aeguale) erir
nOtX mentura.
Ouod autem de Pyramidoeide ex quadratis DO di
Etum est pariter etiam conveniret PVramidocidi ex Oua-
draris O0 Cordinarim inscriptarum) nili quod hoc ettet
illius quadruplum.
Zlem
aequalia erunt singulis BDS in cono detignatis, hoc est, singulis quadratis DO:
adeoque axpresatum eorum aggresato horum; hoc est, tocum Pyramidocides
coti Cuneo; acque (eadem ratONC) Sesmenta illius analosis sesmentis hujus.
Nodo interim curetur ut eadlem retineatur Pyramidocidis et Cunei Alcicudo; ut
Duacrata unius ee Rectansula alterius aequalem supponantur crassitiem habere.

## Folio 317 — 851387705:0337
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000337.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
O X LC1S
Trem (quoniam similes Fisurae planae sunt ad invicem sicut homolocorum late.
rum, vel etiam rectarum quarimlibet cimiliter inscriptarum, quadraca;) Cun
cognoleatur mentura Pyramidocidis Hyperbolici Tuper basi quadrata, adéoque 8
rallo iptius ad Parallelepipedum super eadem vel aequali bali aeque altum; cornol
cecuT ellam ratio cusMIHeE alus Pyramidocideos res Cocs Lsperbolici lu
ver quacunque bati plana du La vel Cylindrum super eadem vel aequa li Basi
ae alcum. Si nempe pro singulis quadracis Tubltituanur e eu et Lxi
angula rel quaris alix tigurae plana similes.
P R OP. XIX.
De Conveideos,  Dyramidoeideos Fyperboliei Sectione.
LPrramidoetes vel Conocides Eyperbolicum plano per Arem
(reb si maris, Diametrum) secetur; Sectio exit EIyberbola.
Probacur eodem arsumento quo uli sumus de Pyramide _e Cono prop. 6. ac.
que de Pyramidocidibus et Conocidibus Parabolico _ Flliprico, PrOP, 10. _ 15.
Thabet autem Converdes LEyperbolicum Aves (nili Diametros malis appellare)
numero infiniios, communi centro (sed extra Conocides) coeuntes; dui e sua
habent plana ordinatim applicata.
Si vero secetur Conoeides Fyperbolicum plano per Avem (vel Diametrum Do-
rius) non cranseunte: potest ea sectio vel esse Lyperbolam vel Parabolan vel L. L
lixsis (circulutre.)
Ex quidem de (Pyramidoeidibus ee praetertim) Conocidibus, Parabolieis, FI
lipricis, ee Fyperbolicis; corumque axibus sire Diametris, intercepris e Transver
SS; Planisque ordinarum applicaris, secancibus, e tansemibus; Ceneris, item de
Lateribus. Rectis, aliisque ejuso
disgnisirionem instituere; (ad quod etiam Pacis proctiris cum, cum coram tere
iltius negorii disticultatem jam superarerim, nec quicquam fere supersie aliud
quam uE qux mence concepi verbis exprimam:) Verum illud non elt. hujus loci:
neque jam licet nimium dirasari. Ft Forlan alii cuidam non insracum erit, ex
ea methodo quam nos in Coni sectionum cractatione calcamus, antam arripere
tale quid in Conocidibus exercendi. Nobis interim ee monuilté de innuisté hic
loci sutciat: at
eROe. AA.
De Fyperbolae Laatere Recto.
Om sic in Eyperbola, ut dictum est, DO9 = BD= DS; adeo.
que quantias orcuiatu applicacarum DO, ex cognitis rectis
BD, DS, cognolci postit; non contra: (cum posint rectae BD, DS
Plicatarum quancitatem exprimant, qua eandem Hyperbolam ubique
comitentur in quocustsue caum cono, aut quocunque ad illum
(Duod et de
ero recta vero AS u altatu, puta L. A, imaginariam,
(quo LcdLectum axpellanE;) quae tribus DB, AS, D A, sit quarEa
RCCIPTOCE
infinitis modis rariari, pro conorum rariorum diversicate, aut etiam
raria ad cundem conum applicatione, dum interim rectarum DO
quantitas eadem maneat; sicut de Parabola ex Fllipsi supra dictum
EA PTOP. T2, _ 26.) Commodum isicur rilum est Conicorum Scripto-
ribus, harum loco, alias mensuras substituere, quibus Ordinatim- ap-
modo axplicetur, aut etiam extra conum constituatur.
Parabola ex Fllipsi factum esse supra declaratum est
Nempe, pro singulis rectis en u nsulas AD diame.
tros interceptas, quae quidem illis sunt proportionales.

## Folio 318 — 851387705:0338
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000338.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
DE SECTIONTBOS PEOP. XZ.
reciproce proportionalis; ut sit ubique DBK AS = D Ax AL; adeo.
Que Latus rectum L. A = ∞ = AS, et AS = DB ~L A.
Denique (producta prius diametro D A, extra TErperbolam, donce
Opposito vel Trianculo vel Cono occurrat in a, ut habeatur Diame-
ter transverla A a,) exit (propter similia criangula) A2. AS:: Da.
D:
A a
est.)
Ad
A3
= E. A X D A, (quia nempe BD ~ AS = D A ~ P. A ut dictum
Hoc est, (substituris idoneis Symbolis, nempe c = A a d = D A,
c. F d = D an I = L. A, _ h = DO,) Duadratum ordinatim applicatX
in Hyperbola B =
d
=1d-
+d  a2
-1 = a1 + = a1 = 1a + - d (Om-
nes enim hae nocationes tancundem ralent.) Et quidem cam separa,
cim Ia = F D+ DB, _, a = FS= DB, quam conjunctim l a +; d.
= FDK DB + FS+DB =SDFDB =DO9.
Estque hoc quidem primarium acque estenciale Hyperbola symptoma, unde re-
liqua dependent omnia de calculo comprobari pollune. Reliquas Frperbolx aF-
tectiones post inreltisabimus, ubi absolucam iptius cractarionem (sine respectu
habico ad Conum) insticuemus.
Acque hactenus quidem Conisectiones vulso dictas, Parabolam, F.llixtin, acque
Eyperbolam, inspecto Cono considerarimus; ut quae d Cono. secto (quod et no-
men innuic) originem craxisse reputancur. Adeoque primaria illarum sympto.
mata ab iplo deduxi; quod ee de aliis illarum aftectionibus fecisse (si id Opus
CMet) non adeo esser ditticile. Duoniam autem carum natura masis abloluta est,
quam ut ad Conum solum percinere videantur; priorem contemplationem cousque
prolecurus tum, ut ee tontes aperirem unde Veteres doctrinam Tuam hausisse vi-
dentur, e quibus passibus ad abstrusas illas quas extribene demonstrationes aut
perrenerine aut salcem pervenisse pocuerint; Fc essentialia illarum sympromata
inde deducerem, ut randem licear illas etiam extra Conum Cuum intellixere, aut
etiam (si libet) de Cono in Conum transterre; cum carum affectiones reliqua ex
jam cradiis (etiam sine Coni auxilio) deduei possine, uc in sequentibus patebit.
Non aurem earum aftectiones omnes ea methodo prolecutus sum; quoniam illa-
rum cradicio ex absoluta, quae sequitur, tractarione (sepolico COno) et clarius e
Facilius perasi postic, nec opus sic rem candem iICratO aderC.

## Folio 319 — 851387705:0339
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000339.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
N
DM tradita sine in praecedentibus Parabola, LIIIPLIS, atque FTy-
Derbola, (quas Conisectiones appellant,) essentialia sympto-
mata, ab ipso secto Cono (unde Oricinem iaxisse existimantur
desumpta: quae ipsarum naturam absolutam tu interim exponunt,
unde continzere possit: Ft quidem undecunque contineat, absolutam earum
contemplationem neutiquant Woitutoet.
ut sive a Secto Cono sive aliunde genesm sortiantur, eadem natura absoluta
eisdem characteribus cusaa esset: Lacebit in sequenius Eacs (sid 
neas sive freutus) secundum absolutam quam in se habent naturam vonden
plari, sine respectu ad senesm habito quae del a Sectione Coni, vel etiam ali-
PRO P. ZXI.
De Parabola absolute considerata.
om sic in Parabola Ouacratum Ordinatim- apPLCala CujusIBEt
Ecriptam, lire tigulamt planam, ejulmodi curra terminatam, Puta
OAO,) cujus ordinatim applicatarum quadrata unC ItExCEPEIS aa
meeris proxortionalia.
Rectam vero (imacinariam) quae cum interceptis diametris (tan-
quam communis alcicudo) continebit rectangula (ipsis quidem dia-
metris interceptis proportionalia) Guadratis illis Ordinatim applica-
tarum aequalia, appello Latus Rectum: puta L. A.
Ordinatim applicatas vero apvello, (DO, PO,) Semisses parallela-
rum rectarum, (OO, O0,) Pacabola utrinque terminatarum (quas
Ordinatim inscriptas, vel Ordinatim subtensas appello) una linea recta
(Duta ADP, quam appello Diametrum) bilectarum.
+(p = 1a) aquale rECLAIMIO GUE MHLCLCEPA= DIAMCErO et L. a
tere recto compretienditur, (ut, inspecto Cono supra deprehendimus,
PTOD. F2.) Licebit jam Parabolam, eo charactere ornatam, (uo Cono
eximere, atque absolure quidem et Oniversaliter detinire.
Parabolam isitur appello eam (sire lincam curram in plano de-
Punetum autem illud bilectionlo, (D Vet L,) Punctum applicationis
appello; ii quo quippe Biametlo ila abplicatur ea quam Ordlinatim-
applicatam diximus.
lica compreneu (AD LLL,) Damerrum interceptam appCIIO.
Punctumque Diametri in curra illa exiltens (puta A) apPCH
Verticem.
Diametri vero seomentum, puncto applicationis ex curra Parabo-

## Folio 320 — 851387705:0340
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000340.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
DE SECTIONTBAS L1OP. LX
Verticem, (tam Diametri, quam ixsius Parabolx, secundum illam Dia-
metrum consideratae.)
Ordinatim. positas appello non modo cas, quas supra Ordinatim in-
scriptas, atque Ordinatim applicatas dixi, (qua vel utrinque rel ab al-
tera laltem parte Parabola terminantur,) led alias qualris ipsis pa-
Fallelas (quantaeris lonsitudinis) Diametro similiter apPOTItaS, et PrO.
ererca eoldem cum diametro ansulos Facientes.
Acque hinc quidem, S tuistet res integra, neque Conica Sectiones, ut VOCan.
tur, Originem a Cono traxisse vulgo reputarentur, (quare de mihi neceste crat eas
secundum illam etiam hypochelin exponere, ne ridear novas qualdam fguras
comminilci, potius quam ab aliis recepras explicare: ) licuisset corius hujusce era-
ctarionis inicium poluisse, omiltis eis omnibus qua Puperius in perte prima extri-
buimus; aue ea lalrem (s libuisser adjungere) hinc quali a vero tonce demon-
strasse. (Adeoque novas terminorum aliquor detinitiones necesse est de hic de
deinceps aliquories adjungere, omista Coni mentione, ne opus sit ad praecedentia
recurrere, auc Coni auxitium in detinicionibus poltulare.
Non enim est Parabolae maxis ellentiale, ue tiat Sectione Coni Plano lateri pa-
ralleto; quam Circulo, ue tiat Sectione Coni plano basi parallelo; aut Trianculo, ut
tiac Sectione Coni per Verticem. Neque illud volune alii: Ouamris enim Para-
Bolam (quod ex de aliis Coni Sectionibus limiliter intelligendum cst) secto Cono
generari detiniant; non tamen lolas illas, quae sectione Coni tiunt, pro Parabolis
habenc, (nam ex alios agnoscunt Parabolam in plano deseribendi modos;) sed
tales esse rolune (live tiguras sire lineas curras) quales ejusmodi sectione Cioni
fieri postunt.
Parabolam autem d nobis definitam eandem esse cum Parabola Apollonii, ec alio.
rum; talem nempe, qualis lectione Coni ettici possit: Sic demonstro.
Elto Parabola quaelibet a nobis detinita aco, (ejusque Ordinatim applicata qux-
libet na cum diametro ax angulum arc quemcunque Faciens; Lique an latus
rectum.) Dico hanc Parabolam talem esse qualis sectione Coni estiei postet.
Fianc enim rectae AP = PB = a r; Eique angulus A P B rectus e (conti-
nuata BP) Hiac PS = aN; e jungatur recta BA, quae (continvata) concurrat
cum recta SV (ipsi P A parallela) in V, ue compleatur criangulum VBS; su-
per quod erigatur circulus diametrum habens BS, qui cum triangulo YBS an-
sulum inclinationis faciac aequalem aneulo ano; eique paralleli circuli alii nu-
mero intinici suxponantur, (diametros habentes in crianxulo VBS ipsi BS pa
fecabit cireulum dB secundum rectam PO, quae (DlOpl alum etiam AP B
rectum) perpendicularis exit rectae BS, per 3 e 4 dd LI, (ansulumque APO
consticuet aequalem nCluatiOni planorum, per B dEH, adCOQUE angulo a n c,
rasselaS) qui conum VBOS compCa (De PS1. su CC
VB5 Lrtalsu esupe ia quo reperiuncur ou u parallelorum
diamerri.) Cum crisatur planum APO crianou d cc glo loscur
etanclu

## Folio 321 — 851387705:0341
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000341.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Pr
a  1 L C 1 5.
Planum igieur A P O, conisectionem efficit AO: cumque ipsius diameter AF
Paralela LIC VS oppolsto cruri crianguli per- axem; sectio illa erit Parabola, qua
lem descripsius prop. 7. (uc inde patet;) hoc ett, qualem detinic Apollonius
PrOD. LI. Lib. F. COnICOFIIH.
Sed de eidem concruic Parabola propolita, a nobis definita. Nam quadracum
PO (= BP X PS) aGUatuT quadraTO  c (=  X aXaN,) cum lr (ex constructione
ra = PB, _ a N = PS; adcoque e recta PO = = n co. Sed et (ex constructione
AP = a X, ec ansulus APO == a rco, (ut oltentum et:) congruunt ergo recta
AP, PO, rectis am rc, (et angulus comprehentus angulo comprehento:) AI
que eadem ratione reliquae ordinatim applicatae DO relignis Sa conpruUnE, ad
eoque et Parabola Parabolae congruit. Parabola igitur a nobis detinita, Parabola
sectione conitaerae coneruie, adeoque ralis eMt qualis sectione coni ettici postet.
Duod erac prulle demonltrandum.
Contra vero, Parabolam sectione Coni factam calem este qualem nos deseript
mus, (nempe quacrara ordinacim. applicararum habere aiaMCLFIS INCETCEPIIS PrOPOI.
tionalia,) Lupra demonstratum est proP. 8. _ 12
Fadem isicur est Parabola quae ab Apollonio (aliisque) ec qua d nobis defi-
nitur. Ouod ostendisse par Crat.
Sed de eadem opera doeuimus, Conum construere, eique datam Parabolam ila
aptare, ut data ipsius diameter fiat Diameter-ex generatione. Aeque etiam Theo-
remarice verum elle, Parabolae diametrum quamlibet fieri posse (in aliquo saltem
Cono) diametrum ex generatione;  quomodo illud fiat. (quamvis et illud alis
mille modis tieri poTtIL.)
AN verO univerSaliter veruM CIC, Datam Parabolam dato Cono ita aptari posse
ut data ipsius aluitatet stat cameler- en generatione, est alia disquilitio. Fs au
tem ec illud verum, modo datae diametrr ad Luas ordinacim applicatas obliguitas
major non sic quam obliquitas Axis actionati Coni ad balin suam. Si secus au
tem; illud non tiet dummodo solum circulum pro Coni base agnoscimus. Si vero
admictatur, uc non modo Circulus, sed et Elliplis quaelibet, pro bale Coni repute.
cur; etiam univertaliter illud rerum erit neque decerminatione indisebie Theo-
rema. Hloc autem obiter tantum sine Demonstracione moneo; quoniam nec illud
elt hujus loci, nec mihi animus est ad singulas minucias descendere. Ad reliquas
eitur Parabolae affectiones calculo comprobandas festino.
e LO L. XLII.
Corollaria.
Daet ex dictis; Ouod cum sit (uE oAensum CA) p = 1 d; ero
in Larabola Diameter intercepla clat axplicata, et Lallis.
Rectum, continue proportionalia.
Adeoque, Daris eorum duobus quibulris, eriam reliquum (maeni-
tudinc) datur. Nempe,
t
(Ordinatim applicata, p = V Id. vio0
ejulque quacacum, P=
HL Lalausa LLalus Rectum,
l
Clamcler interceptaus a=
:15
Patet etiam; Ordinatim aPaa Poul Lonsius 2 vertice appl-
cantur, ita semipet augeri, (cum iplarum quadeata sine incerceptis
clalitetris, hoc est, cultanciis punctorum applicationis a rertice, Pro-
Portionalia.)
sit propterea Parabolam C Cut Tat CHC, quae per le HOuLa
nen colptelendet; cum crura perpetuo magis diraricentur, nec sint
unquam (extra punctum rexticis) COitITa.
PROP

## Folio 322 — 851387705:0342
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000342.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
DE SECHLONIBUS AAMLIII.
PROP. ZXTII.
De Recta Parabolam contingente.
 sumpto ubiris in Parabolae diametto puncto P, cui ordinatim-
applicetur Pa, diameter PA extra Parabolam continvetuF UE EaE
continuatio AF, ipsI AP diametro intercepta aequalis; recta Fa du-
cta Parabolam in puncto a continset. EE contra; si Parabolam in
a contingat recta a L, diametro produetae occurrens in F; Crit AF
(continuario) ipsi. AP (diametrO inter CCPE) aequalis.
Nam Tumpto, in eadem diametro, puncto quoris D, cui ordinatim applicetur
DO, qua ad rectam F a pertingat in T; Dieo punctum T vel idem esse cum
puncto a vel extra Parabolam cadere; hoc est, rectam DT vel xonalem esse
rectae DO (s nempe puncta D, P, coineulanc) vel (s alibi sumacur D) lon-
Bicrem.
i
1II
oto inat
hujulque quadracum?
Fsto enim (ob commodiorem calculum) P a == p.
PA = a (ideoque P F = 2 d,) PD = a, (ideoque
DA = a = a DF = 2 d F a, variacis nempe signis
1, -, prout supponitur punctum D intra vel Cu-
pra punctum P sumi.)
Fric igitur (proprex Parabolam) PA. D A::
Pag. DO9. Hoc est, d. d = a : : p2.   p = DO9.
Et (propier similia criangula) PF. DF:: Pa.
DY. hoc C 2d. 2a + a: : p.
4. a a = a
4a
=DT9
Fst isitur disterentia quadratorum DF9 = DOg. =
1+a
cit
442 P.
+= a
=DF.
2 + 4 da f a
4d.
Ouae quidem vel aliqua est, si puncta P, D, distene,
(Ticque proprerea a quantitas realis;) vel omnino nulla, si coincidant puncta
P, D; (cranescente quippe quantitate an adeoque ee ipsius mulciplicibus omni-
bus.) Hloc est Ouadrata D Lq DOq e proprerea eorum latera D T, DO,
vel aequalia sunc, si Pumacur punetum D idem atque P; vel illud majus elt, li
alibi sumatur D. Fx proxierea, cum rectae aF (quancumris urrinque producta)
Cingula puncta ipso a excepto, sinc exira parabolam; ca Parabolam in unico pun.
eto a concinsit. Ouod crat Demonstrandum.
Elque haec nostra demonstracio muleo expeditior, quam quae ab Apollonio
aliisque, (adhibico Cono, rariisque lemmatis praemistis) asteruneut.
Si vero propolicio haec non tuisset antehae excogicara; led a nobis jam quae-
renda: IWud Analytice sic fieri posset.
Supponamus rem quali jam factam; concingeniem aF, diametro producta oc.
currere in d: es quaerenda sit longitudo rectae PL.
Retineatur eadem quae prius fioura; eademque symbola, nis quod pro P F
(nondum cognica) substiciatur s, adeoque pro DF, f F a. Frunt isicur (ut
prius) P A. DA:: Pag. DO9 -
P+
serc
p2
=A p FE PF. DF:: Pa. DF. hoc est,
f. f= a:: p. eV p = DP, EF 
Ca j. ta C scusCtit
 p= DF9.
EAE item (PrOpIer cangencem) B Y = DO (hoc el, D F aequalis vel major
quam. DO; illud quidem A D, P, coincidanc; Hoc, Si secnS) _ D X 9 = DO4
Hoc est
2s
aip; ee Curcumque mulcipticando in af2 e
divi.

## Folio 323 — 851387705:0343
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000343.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
C O N LC L 3.
PTOP. XXIV.
aividendo per p.) Cxit d f. = 2a) a F a u =a) = f2 a: e (auterendo utrin-
que af2, acque dividendo per = a) erie 2af = da= f
Denique ponendo DP idem punctum (ut eraneleat quanticas a adeoque e
dan) Crit 2af
=f2, hoc elt 2d = f. Quod ell iplum Lheorema quod investi-
sandum erat, quodque modo demonttrarimus.
Conterta PFOPOLITIONIS PTOBOLCA; HELIDC Larabola tansentem a S diametio
P A producta occursuram, e quam du ut aogemant rectam AF ipsi AP aequa-
Jem ex alelo lacis paue res ualrem tacile dednei Borest.
Acque ctiam; Rectam d L L aradorum in unieo puncto contingere.
Tiem, A eodem puncto F, atque ad easdem parces, rectam aliam quae P arabo
Jam contine at aut non posse.
D Parabolam in eodem puncto a non nisi unicam rectam contineere posse.
Adeoque In locum inter curvam a A rectamque contineentem o. F, aliam rectam
lineam cadere non posse. HOC elb prout cs alibi peculiari cractatu fusius de-
monstravi, Ansulum qui Contactus dicitur, este ansulum nullius maenicudinis,
sive non Aneulum.)
Verum cum ea non disticulcer caleulo demonstrari pottint (demonstracionibus
peaecedenti non absimilibus,) cgo, parcim ut cironibus quo se exerceane relinqua,
parrim ne aliis raedio sim, eis lixillacimr demonstrandis supersedeo.
P R O P. XXIV.
De Parabolae Diametris.
a puncto quoris a in ParabolX curra A an ducatur TCCLa A X Pa-
rallela diametro AP: Frit a x sic ducta eucm Calada chame-
ter; verricem habens an e Ordinati aualaslectae a Li (Pa
rabolam in vertice a Contis CHE) Pacallelas.
Libet hanc Propositionem primo Analreise examinare, deinde l ofelice
demonstrare.
Supponamus isitur rem ita eite ut perhibetur: adeoque pam O, Lecla
aF Parallelam; acque in n biscetam: Cirse recta OD, OD, a P, diametro AP,
ordinacim applicatae, adeoque inricem parallela; quibus etiam parallela ducatur
x D, quae isItur (proxeer parallelas) bilecabit (uc rectam OO, tic) Lcclan VL
Denique recta OO (produeta Si Opus) Occurrat diametrO A P (Talcem ploducta)
in C. (occurturam autem cercum et, cum iph parallela a F eidem diametto Oc-
curcatu puca in P, per pracedenem.) Fruuique (propree paralleho) 
=FC: et propterea PF = PC.

## Folio 324 — 851387705:0344
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000344.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
DE SECPIONIDUS PFOPXXIV.
Tum substituris (ob commodiorem calculum) idoneis symbolis, elto P a = p.
P A = d. (ideoque per praeced. P L = pC = 2d.) PD = a X = VG = g. (CrSO
DA = P A F DP = a f8.) PD =9. (ideoque D A = D A F PD = 4 + 5 +9.
e DO = pG F PD = 2d
Fric ixitur (Propier Pacabolam) P A. D A:: P ag. DO4. hoc cst d. d + 8
g:: p
S= 2p = D04.
Trem (proprer similia criangula) PF. Pa:: DC. DO. hoc CA 2d. p: : 2 d F, 9.
2d di
2d
Lp =DO. FI Cromendo quadlata) 44 L a dq + E p = D04
a + 5Eq
Fireo (mrinque dividendo per pe dt mulciplicando per 4 d2) 4 d + 4. ag + 9
=4 a + 4a8 =4 dg. hoc est (Tublaris utrinque aequalibus) 9= 4 d e. Adeo-
que inventa elt quanciras q. adeoque et puncta D, D, quibus Ordinacim appli.
CantuT DO, DO. Vera isitur est propolitio.
Illud Synthetice sie demonstrabimus, premendo Analyseos vestisia.
Diametro AP ducatur parallela a ∞, per cujus punctum quodvis (intra pa-
rabolam)  ducatur recta n G diametro occurrens in C, ee parallela taneenti a F
occurreni diametro in P. Dico an ejuldem Parabolx diametrum elte cique or-
dinacim poni rC.
Digmerro AP ordinatim applicetur à P, eique parallela dueatur xP diametro
occurrens in p. Iic Funto (ymbola P a = p, P A = d. FC == a x = P P = 8
Tum sumantur in diametro utrinque d puncto p, aequales rectae pD = (V 4 d e =)
2Vd 8. (hoc est, duplum media provorcionalis inter AP, a n, rectas.) acque
punetis D, D, ordinatim. ponantur DO, DO, rectae x C Occurrentes in O, O;
quae cum paralletae linc rectae p, Sicut recta DD (ex constructione) bilcca-
tur in p, erit ideo e OO (propier parallelas) Bilecta iH H.
Rectat ue ostendam rectam illam OO (bisectam in m) Parabola inseriptam
este, (ut an recta bisecans sic diameter,) hoc ett, puncta OO este in Parabola
Curra. Quod Ec probatuE.
2d. D = DC  DD = 2d + 2Vde
applicata puncto P, ad quadracum ordinacim applicacae pugclo D: hoc est d. d + 5
+2Vde:: p
Duncto D.
8
ZYde
d
P. quod isiur est quadiacum ordinacim applicatae
e1
Sed e camcundem elt quadiacum recta DO. Nam (popter similia triangula)
PF.
Fst pA = P A + PP = d F f. DR = BA =B 18 16. DC = DF
de

## Folio 325 — 851387705:0345
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000345.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
lFOD. XI
ON ICT
PF. Pa:: DC, DO. hoc ct, 2d. p: : 2 d F 2Yde
que quadtacum D09 - 4  + 4d5 = 8 avde
43
B = DO. Fjul
a+6+2Vac
FI isicurquadratum rectae DO aequale quadraro ordiiacim applicatae puncto
D; adeoque recta DO ipsi ordinaum applicacae aequalis. Sed e puncto D ordi-
nacim ponitur recta DO (ex constructione,) eroo ordinatim applicata clt: pun-
etaque OO propcerea lune in ipta Parabola curra, adeoque OO recta Parabola
inscripta. Sed ee eam (acque eadem ratione ipsi parallelas inseriptas omnes) bi-
Secat recta a. Flt isitur (per det.) an diameter, eique ordinatim applicata XO,
(ordinacim inseripeae lemillis.) Ouod erar demonstrandum.
Monendum aurem hic est, quod cum (cam in Analysi quam in Syntheti) di-
cimus duarum rectarum DC, alteram quidem aequalem elle pG a p D, hoc cl
ditterencia rectarum DC, DD, Fieri quidem pocest uc quandoque DC (nempe
quoties recta OO diametrum AP non tran(iC,) quandoque DD (nempe ubi OO
tran(ic AP) major este: AdeOque DC BDD, nuINC DEF PO = pD, nuINC Per
PD =DC incerpretandum exic. Vecum hoc calculum non omnino percurbat;
quoniam ea quanciras in operacionis propreltu quadranda occurric: quo casu,
verumvIS contingat, eadem quadraca prodibunt. Nempe cum sic in Analysi
= d J. 2. p = DO, live exponacur 2 a = 9
2. d
Eirc3
2.4
=
24 P = DO (ur ubi OO non tantiC AP,)
Ep = DO (uc ubi cantie) uccoris modo erit 4 a +4 +. 4 a9
= DO9. Er paricer concingic in Demonstratione Syncheticea. Ouod monuillé
tusticie.
Poltene hie alia Theoremata mulca sigillarim ostendi, puca,
Quoalibet Curvae Parabolicae punctum alicujus Diametri verticem esse
Adeoque In qualibet Parabola infinitos esse Tertices, atque Diametros in-
sinitas numero.
Icem; Parabolae Diametros omnes este invicem Parallelas.
FE; Duamlibet rectam (in eodem plano) cuilibet Parabelae Diametro paralle-
lam, ejusdem Parabolae Diametrum étiam esse; eique in uno aliquo, e quidem
unico, puncto occurrere
Trem; Duamlibet in eodem plano rectam, per aliquod intra Parabolam punctum
transeuntem, Diametro non parallelam, in binis punctis Parabola occurrere: 
alicui Diametro Ordinatim positam esse.
FE; Dua vel alieur Parabolae Diamerro Ordinatim posita es
vel Diametrum
aliquam quocunque modo secat, vel quae Parabolam secat laut ipsi occurrit) in
binis punctis; nec illius Parabola Diametrum esse, nec ipsius Diumetro ulbr pa
rallelam.
Tlem; Duae Parabola Diametro alieim in vertice occurrit ordinarim applicatis
parallela, Parabolam in illo puncto contineere. I. ress . LsB.  setis es Ssilee
EC; Dua Parabolam contineit, Diumetri per contactus punctum transeuntis
Ordinatim applicaris parallelam esse: adeoque eidem Diametro Ordinarim positam.
His aurem, aliisque consimilibus, sigillacim demonstrandis, non immorandum
esse sentio; Cum ea vel in progreltu praecedentium Demonstrationum Paris jam
oltensa linc; vel ex eildem principis lacile demonstrari pottint. taii suve
iovic
P R O P. XXV. (ALEITIEIOS WSC, 
Effectiones Geometricae.bf ACZCHC:SESI
Z praecedentibus, non erit disticile Ccometricas LRectiones cot-
Aligere. Putam
Datae Parabolae Diametrum invenre. Nam recta, quaslibet duas inseripras
Parallelas bilecans, est Diameter.
Iiem, Per datum quodvis in eodem plano punctum, rectam ducere quae sit
Parabolae

## Folio 326 — 851387705:0346
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000346.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
DE SFCTIOHId CIOP. LAVI.
arabola datae Lharheter. Inrenta enim (ux prius) una qualibet diametro, recta
huic parallela per darum punctum ducta, est Diameter gux(Ica.
Trem, Parabolae Axem reperire. Inlcripra nempe recta qua Diametrum quam-
libet ad angulos rectos seceT; ea qua per hujus medium punctum irantit Dia-
meter, est Parabolae AXIS.
Trem, Datae Diametri ordinarim axplicatas positione invenire. Vel, quod tan-
tundem est, nculum inclinationis invenire. Ductis nempe binis diametro daia
Parallelis rectis, ucrinque ab illa aequaliter remotis, qua Parabolam secent; recta
lectionum puncta conjunsens elt data diamerro ordinatim applicata, reliquaque
omnes huic parallela.
Trem, Latus. Rectum invenire datae in data Parabola Diametro conveniens. F. H
enim Lacus rectum, Diameero. intercepra e Ordinarim applicata cerria continue
provorcionalis.
Item, Ad datum datae diametri punctum ordinatim applicatam in data Para-
bola ducere. EA enim interceprx diamerro et laceri recto media proporcionalis,
Diamerro, juxca inclinationis angulum, applicanda.
Trera. Ad datam diametrum, datumque Latus rectum, Parabolam in dato in-
clinationis anculo ducere. Nam politis ad dacam Diametrum in daco angulo
quodibet ordinatim applicaris, curra per earum omnium extremitates aequabiliter
ducta cAt Parabola.
Verum ego harum omnium esfectionum demonstrationes omitto; parrim ut
exdio non lim, parcim ur lic quo se exerceant cirones, praelerrim cum ilIX CX PEX.
dietis Facile poltine elici. Aique eildem de causis multa alia ee Theoremata et
Problemata lubens praecereo; cum nobis non Tic animus vel sinoutis minuriis in-
tistendi, vel propoliciones ciuia necellitarem mulciplicandi. Quod erium de se.
quencibus incellisendum exit.
PR OP. XXVI.
De Fllipsi absolute considerata.
Um su in Fllips (ut ostensum est, PrOP. 16.) Ouacearum Or
 dinacim applicata e = I d -- d. Licebit jam (ut prius ParL
volam, (C) Ellipsn eo charactere insignitam, suo Cono eximere, at.
que absolure quidem e universaliter contemplari, acsi nullam ommino
ad Conum relationem haberet; ut nec circulus (qua quidem una est
Edip(eos Species) censeri Colet habere.
Cllipsm iditur appello eam (sire lineam curram in plano descriptam,
sire tixuram planam ejusmodi curra terminatam,) cujus ordinacim-
applicatarum singularum quadrata, aequantur difterentiis binorum re-
etansulorum; quorum quidem Majora sunt incercepris Diametris, Mi-
nora vero carundem quaceatis, provortionalia. (Nempe e = l d -- d.
Sunt enim rectangula Ldu ipsis d diametris interceptis proportiona-
lia, Propter communem altitudinem I: ipsa rero = d diametrorum
interceparum quacatis d proportionalia, proxter communem ra.
tionem :.)
Diametrum, Diametros interceptas, Verticem, Ordinatim positas, Ordina
rim inscriptas. (sive Ordinatim subtensas,) Ordinatim- applicatas, atque
Punctum applicationis: eodem sensu hric accipio quo supra de Parabola
nisdem usus sum.
Rectam

## Folio 327 — 851387705:0347
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000347.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
PEOB. XXV
 O X
Rectam nota l’insienicam, (lin
neam puta imasinariam, quae cum
intercepeis diametris, concinere
supponitur rectangula Majora,
diameeris interceptis proportiona-
lia,) axpello Latus. Rectum.
Rectam rero alteram, quae no-
ta t designatur, (quam quidem
supponimus Diametri sesmentum
esse, a verrice versus concaram
Currae partem ductam; quaequ
ita se habet ad latus rectum ut diametrorum interceptarum quadrata
ad rectansula Minora, illis quadraris proportionalia.) Diametrum trans-
versam appello; (ut quae oppositos vertices conjunsit, puTa A2, ut
mox dicetur:) ejusque punctum, medium, (quod in ip la Diametro
intra Ellipsin jacere luxponimus, nempe intra oppostOS rertices,)
appello Centrum.
Fellipsin a nobis definicam eandem esse cum ea quam desinit spollonius, (niti
quod nos etiam circulum, scu circuli Peripheriam, eadem voce includamus, quam
excludir Apollonius;) eodem fere prosreltu demonstrari porelt, quo lupra octen-
dimus Parabolam noltram eandem esse acque illius.
Nempe, FIiph Apolloniana, Sectione Coni factae (quae ab Apollonio deseri.
bicur P. 23. Lib. E. COZ.) univertalicee conrenire detinicionem noltram; jam pro.
batum clL PTOP. L3, _ 26.
Ellipsin d nobis detinitam quamlibet (modo circulum seu Peripheriam excipias,
quam eso sub ea roce comprehendo, concra quam ApolloniuS,) ita COnO aptari
posse ut condiriones eas habeac quas postulat EHip LiS APOlloniana; SIC BTOBaTUT.
Exponatur F. Iliplis quaelibet a nobis detinita, aco cujus ordinatim applicatarum
guadraca sine c = 1 d - = 23. Dico hane Cono ica aprari poste ut postulacur.
Ducantur enim rectae A2 = +, AS =I continentes angulum S A a quemeun-
que acucum, (modo major sic complemento anguli inclinationis in F.lliple expo-
lita, quem Faciune ordinacim applicata cum expolica diameiro;) ipsique AS Pa-
raltela ponatur aB = Aa = F, angulum faciens AaB == S Aa: (Taltem TANEX
sine lonsicudinis AS, aB, UE SE ASxaB = IF; modo incerim non LnE AS, aB,
inricem aequales; eo enim casu non Conus, sed Cplindrus Prodiret:) FL junean-
tur rectae aS, BA, quae continuatae coeane in V, complenres triansulum V a B
(A nempe a B major sIc quam AS, prouc jam supponimus; rel, l secus, crian.
pulum VAS:) quod esto triangulum per axem Coni mox construendi.
VB SN C ACBA L1I
Deinde super rectas Aa, 2 B, duo plana ita CrIGAnEE VE COMMUHIS CatuI Le
Etio aco faciar cum recta a B angulum rectum, cum recta vero A a angulum desca
lem angulo inclinationis Ellipleos PrOPOLI. HloC enim omnino ficri polle con
ICac: St CHI exIgATuE in punelo a recla dcon qua Ht iccla Pa Ualili
(adeoque

## Folio 328 — 851387705:0348
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000348.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
DE SECTIOMIBUS ICOP.
(adeoque nrOIque angulos c a A, coa B, rectos Faciat per 3 d TT.) circumvolra.
tur circa rectam a B ur axem, inrariato angulo coa B, donec ad licum plani V a B
perreniat, Faciatque in plano eriansuli ansulum c a A acurum; qui minor erit an-
sulo (acuro, intellige, nisi uterque rectus lic,) inclinationis FIlipseos expolica,
(cum Tu, ex constructione, ansulus A a B complemento inclinationis major;)
necesse est ut in cransicu aliquando fecerit ansulum, inclinationis angulo aequalem,
(Factus enim est crantitus ab ansulo recto, adeoque debito majori, vel Paltem
aequali, ad angulum debico minorem;) adeoque cunc tuerit in lieu debico, ut sic
duorum planorum communis sectio qualis imperatur.
In plano aurem a a B sic poto, Seribi intelligatur circulus diamerrum habens
aB, qui sic balis Coni; aliique huic paralleli conum complentes, juxta prOP. 5:
qui plano Ac a sectus Flliplin extribebie, per ProP. 7. cujus ordinatim applicatae
eandem ad Diametrum inclinacionem habebune, quam quae in F llipsi exposica,
adeoque limiliter poliea lunc; cruntque eriam lonsicudine aequales, ut probari
DOIEKIE PET PTOD. 13. eC 26. Consruunt isitur FIliplis exPOSIca, et quae in Cone
exhibetur. Adeoque, eadem est Elliplis a nobis detinita (nili quod nos etiam
circulum ea detinitione comprehendamis) acque F. liptis Apollonii. Quod erat
demonstrandum.
Sed e eadem opera docuimus, Conum construere, eique datam F lipsin ita ap-
tare, ut data Fllipseos Diameter fiat Diameter ex generatione. Alque etiam
Theoremacice verum ete, F llipseos diametrum quamlibet, fieri pesde, in aliquo
Saltem Cono, Diametrum ex eeneratione.
PRO P. XXVII.
De Fllipseos Diametro transversa  Verticibus-Oppositis. 
F Ellipseos Diameter- intercepea A D intelligatur (a verrice A ver-
sus concaram currae partem) tanta actumi, uc rectae quam + dixi-
mus sic aequalis, (hoc est, ita se habeat ad latus rectum, ut inter-
ceptarum dliametrorum quactrata ad Rectangula quae diximus MinOra)
erit et reliquus ixsius terminus D in EIlipleos curra. (Nam A d = 1,
erit = d= d’= 1d; ideoque e = 1d -, d’= Id - 1 d = 0. hoc
est, Ordinacim applicata eraneleit, puncto nimirum perimetri cum
puncto diametri coincidente.)
Onde patet; Ouamlibet Fslipseos Diametrum binos habere verticee
(ut quae in binis punctis perimetro occurrit;) quos Vertices Oppositos
axpellamus. Diameter vero binis illis verticibus terminata, illa est
quam Diametrum transver sam jam diximus.
Sed Cd inde liquet, Fllipsin ex earum currarum numero esse quae in
se recurrumt, adeoque figuram comprehendunt.
Fllipseos aurem Diameter incercepta, diametro. tranfverta, Longior ette non po.
relt; tunc enim = a quod binorum rectangulorum minus este supponitur, ma.
jus estet quam Ja, quod supponitur eorum majus este. Si autem tale quid suppo.
neretur; pro Ellipli, prodiret Erperbola, eandem habens diametrum tranlverlam,
verricem vero cum qui est altumpro (in Fllipleos diametro. tran (ver (a) verrex
oppolitus; quique supponitur Ellipseos diameter intercepra (cransverla major)
erit aggregarum diameirorum cransverta et incercoptae in Hyperbola. Prour ex
Hyperbolae doctrina, polt tradenda, collixi porerit.

## Folio 329 — 851387705:0349
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000349.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
eFOD. XXVIII.
C. Os L C C 5.
Ll0C. 2XY2LL.
Corollaria.
D et ex praemissis: Cum sit e = 1 a - - d: Horum in FHlipS
 quatuor, Diametri transversae. Diametri interceptae. Lateris. Rectiu
e Ordinatim applicatae; daris cribus quibusris, etiam ex reliquum (ma-
Enicudinc) dari. Nempe (disponendo et relolvendo aequationes) erit.
Ordinatim applicata, e = V: 1d -
Ejusque quadracum, e = 1d - , d. -
In EllipE L acus rectum, 1-
Ed = d
Diameter transverta, 1 =
d1 - e
1 - d
Diameter intercepta, d = 31 = V:  V = 7e.
d - a
Et propierea, Distantia puncti applicationis a Centro, 0 = V: Z P
Patet etiam; DE DIaEtEK.TFANEVerIa ad DIAMCLTUM IntCKCCPEam,
sic esse Rectangula quae diximus Majora (diametris intCrCCPtIS PrO-
portionalia) ad Rectangula qua diximus Minora (carum quadratis
Proportionalia,) nempe, 5. d : : Id. = d.
Tem: DE Diameter crantrersa ad Fatus rectum, he quadrata Dia-
metrorum incerceptarum ad Rectangula Minora, (quacratis illis pro.
Portionalia.) Nempe E. 1:: d - d2
Irem; Ot Diameter transrerla, ad interceptam; sic transversx re-
Siduum, ad quartam; qua, ducta in Lacus rectum, Rectanoulum
efticit aequale Ouadrato Ordinatim applicara. Nempe F. d: : t - d.
d
+d d  td d
Tiem; De Diameter transverta, ad Latus rectum; siC Rectangulum
segmentorum transversae, ad Ouacratum Ordinatim applicatae. Nem-
d-d
DC F. 1: : + d = d.-
= C.
Vol; DE Rectangulum segmentorum Diametri transverta, ad Oua-
deatum Ordinatim applicatae; sic esse Diametrum. transverlam ad L. a-
tus. Rectum. (Onde cujustibet FIipseos Latus. Rectum commode re-
Peritur.) Nempe +d -d. e: : t. 1 =
cd = d2
Inde sequitur; Ouadrata Ordinatim applicatarum este Rectangulis
segmentorum Diametri trantrersae proportionalia. Sune enim ubi-
que ut 1 ad t.
Adeoque

## Folio 330 — 851387705:0350
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000350.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
DECTIONEBOS PrOP. LXMIII.
DF
adeoque Omnium ad candlem Diametrum applicatarum, cam elle
maximam quae diamelt. tran (verla puncto medio (quod Centrum dixi-
uS) applicatur ut Ca. (Ononiam nempe omnium rectangulorum
ejuldem rectae seomentis comprehensorum, illud maximum est quod
biscgmentis comprehenditur; hoc est, quadratum semistis.) Nempe,
abi d = 21 = t = d, erit t d - d = iv. ideoque e (-
quadeatum Ordinatim applicatae maximae.
d - d
a
Reliquarum vero Ordinatim applicatarum qua-
drata (adeoque e ipa Ordinatim applicatae) qua
centro propius applicantur sunt remotioribus na
jora, quae autem habent applicationum puncta 2
centro aequalicer remota lunt invicem aequalia.
Fsto enim dictantia puncti applicationis d Centro
quaelibet CD =c, ideo que seomenta diametri- tran(-
verlae ; F F c, Et c; eric eorum rectangulum : P- e
(= +d = d’ 5) e e 
a - d2
: ac-
COGHE PTONE quanCILAS C dusetur, ordinatim- axplicata minuitur (non
quidem proporcionaliter, mInuItu tamen, UE Patet;) e CONETa;
omnium vero maxima quae centro applicatur (ut dictum cst,) ubis
eranescit proxter coincidentiam punctorum C, D.
Ouodque de Ordinatim. Applicaris dictum elt, idem ex de Ordina-
tim inscriptis (nepote applicacarum duplis) intelligendum est; nempe
eam esse maximam quae per cenerum ordinatim inscribitur; ex reli-
quarum quidem cenero proxiores remotioribus majores; et aequaliter
uerinque a centio remotas aequales ette.
P R OP. XXIX.
De Fllipseos Diametris, conjuxatis.
Ecta Diametro Parallela, ut a T, per illius quae diametri tran (.
R rerla puncto medio seu centro Ordinatim applicatur (quae
omnium maxima est, ut oltentum cst; estque ad caldem partes unica,
ut Patet,) extremitatem ducta; Flliplin in illo
puncto (e quidem (0l0) contingit. (Secus
enim non eset illa omnium, rersus casdem par-
tes, Ordinatim applicatarum maxima.)
Omnes autem, huic continsenti parallelae,
(Duta OdO) cidem Ellipsi sinscripta, ab illa
(quam diximus) ordinatim applicata maxima
(ad perimetrum utrinque continuatan ut aC a)
bisecantur; adeoque et ipla cA (per det.) c.
juldem Ellipseos diameler. OxpoluoS vertices
Mabens a. a.
Cum enim Olamatim applicatae DO DO sinc (propier parallelas) aequales.
aequalirer distabunt d Centro applicationum puncta DD (uc modo oltentum est,)
adeoque bisecantur tam DD in C, quam OO in s: (propter paralelas:) estque
as diameter, eique ordinacim applicancur 5O, C. A.
Duas vero hujusmodi (ejusdem FIlip(Cos) diametros, (puta A a,
a a) sibi mutuo ordinatim Positas, Diametros Conjuratas dicimus, (quae
se

## Folio 331 — 851387705:0351
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000351.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
PFOF
XLX
O N LC +S
le mutuo bilecant in communi centro C;) punctaque A a vel a d
conjusatos vercices (in Conjugatis quIPPE aIAMCLLIS ECDCKIOS) appel
lanuS.
rum haec melius torcalle pepe quu detp de H PetBOA OpPOHLIS 
Conjusatis CICLII CFIE.
enim elt uctum dicatus,) Diametrum crantrerlam communem esse, et quidem
Latera recta aequalia, (vel, si maris, idem; nos enim de lateris recti licu nullam
prorlus considelaem habemus, Led Tolmodo dle iptius magnicudine, neque
enim omnino retert ret uo, vel a o setibatur aut seribi incelligatur,) e
quidem ealdem Ordinatim applicatas; Diametros interceptas vero oppolicas ha
DenE, quae quidem L AGUanEUE SIAMCETO- ErANSVeNCX.
Ellipsin aurem binis Diamecris Conjugatis, carumque quatuor verricibus sic in-
Structam, Postumus quidem quati pro quatuor sive Flliplibus sive Sectionibus ha-
bere, quaru quaelive es habe retacu aque Diametrum, eique Ordina
rim applicatas de Lacus rectum. Duarum quidlem quatuior, BINaS aLL d da O.
positas dicas, (ut _ A e a, d dt L,) GIaLH HCIMDC verrices sune oppoliti; binas
verO a Aa, A a a, vel A42, a 20, (quarum relulles sunt conjusati, uepote in
conpisaris diametris politi,) Conjueatas dicas.
Quamvis enim Sectionum Opposicarum de Conjueatarum domine, LEyperbola ut
plurimu incellisi Toleane: nihil tamen impedit quo minus (uE L PCt DOlaS, IC)
Fllipses poticas et Conjusalas dcalulo. Vet lalem ( Le HOIS P)
FIliplin aleamus Opposito e Conjueato lieu conralant. Ld falcem interest in-
ter quatuor Sectiones Hyperbolicas, corlacigue Pdo, (COZaIIS VraCL
accommottatas,) quod ha quidem (productae) le u Cane, (adeoque L.-
liptis tota dd quemris quatuor vertieum relett Ple) illa aucem non ita. Ve
Incetim notandum est, Oppositarum sire Ellipsech sire Verricum (perinde
EROP. XXX.
De recta Cllipsm Contineente.
Ecta Ellipiin contingens in conjusacalum Diametrorum alteru-
punguam concurret, (ulpore qua spi Patallela est, ut modo osten-
sum crat.) ua velo euipim comcinoit iecia, alibi quam in con-
jusato vertice, cum diametro (producta) concurret quidem. Punctum
autem concursus sic inguiremus.
Supponatur Pangens af, Occurrens ut l, Produclae
diametro F A, cui ordinatim applicata sIE C a. Suppo-
nacur etiam ubiris Ordinacim applicata DO, Tangenti
Occurrens in T. Sicque centrum Ci; ec Oppoliti vertices
A a; quorum supponatur A puncto E propiOr, d re.
mocior.
LErius Vertice, cum reliqua (quancumris utraque produCatuF)
Dicantur autem (ob commodiorem caleutum) =e
a = +, (ideoque F a = + -- d, F.
L. R- d.
2
ED = a (ideoque L =) = an d A = d = a
Lum (quia quadeata ordinatim applicacarum LUNErC.
: F. ∞9. DOG. AdC Cst, 1a = 42. 10
a=F
Ctangulis sermentorum Diametri trantrerta proxortiona.
C
atndea
lia, uc ostensum est proP. 28.) Crit P. L
+ 2 d 2:: et  = 
e = DOc
 CPloPCet Limiia CTIaHEllid) LL. L.. DE. DL. 1OC Cltus F.6.0 =4c
e= DZ, estites Glacabu
Tum

## Folio 332 — 851387705:0352
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000352.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
DL BECTIONIBUS PEOP. LLAX
Tum (ProPter Fangencem) D F q = DOq (nempe aequalia, s DE pun-
cta coinciclane; vel, s secus, illud majus,) hoc est, S = a = 2f a
+ d = a2 = a2 = + a = 2 d a
+d -
erit f2+ d = f2 d2 = 1d a = d a = 2f+ d a = 2f d a = f2 1 a = f2 d2-
a
Ff2 7a =2fda. FL (deleris urrinque f2 + d -- f= d, acque diridendo per L a)
erit = +d a = d2 a = 2fY a = 2f d= = f2 a = f21 - 2f2 d.
Denique, ponendo D F. idem este punctum, (ut Craneseat quantitas a = F. D,
adcoque e ipsius mulciplicia + dan d’’an f a exit 2f1 d - 2fd 2 = f2 1 - 2f2 d.
Ec (diridendo per 2f) +d = d2 = 2f+ - fd. (hoc est, D AF a == D CK F)
vel 3t- d. t - d:: d. f. hoc estu F C. F. a:: P. A. E. F. vel (alternando) FC.
F. A:: F. a. F F. Ouod crat inquirendum.
duod Theorema sie inventum hoc est. Si sit Ordinatim axplicata in
FllipE P aq alque ab applicationis puncto P. FllipseOS diameter per
propiorem verticem A continuetur ad P: sitque, uc distantia puncti-
applicationis a CentrO F. C, ad diametrum intexceptam F. A, sic re
liduum transrer(x dliametri P. an ad diametrum interceptam continua-
tam P. F: recta a F Ellipim in puncto a continget.
Demonstratio (si Opus) insticui pocerit repeciris Analyseos vestioiis.
Sed ee hinc concludi porest quod modo aliunde oltentum erat: nempe quod
Recta F. lipsin in diametri vertice continsens diametro conjueatae parallela est, eique
nunguam occursura. Nam, cum sL F. C. P A:: F. a. F. V. S (propeer coinciden-
tiam punctorum F C) prima F C nulla Cic (sire nullius maonicudinis) quarta P. F
(vel C F) crir intinita (ex utravis parte supponatur diameter produei, sire per
A, Tire per an inditterenter enim se Pangens habet ad utrumque rerricem propier
applicationem in centro,) hoc est, F. P a F nUnquam CONCUTTENE (propier inf
ntam distantiam suppotui puncti concursus F,) adeoque sune parallela.
Patet etiam, Interceptam. diametrum P A (inter ap.
plicationis punctum es verricem propiorem) ipsuis con-
tinuatione AF (inter verricem illum ec tangentis cum
diametro concurtum,) minorem esse. Cum enim (E.
EC. F a = F. C f C a : F. A. F. F = F A f AF: EXII
etiam (dividendo) FC. C 2:: F. A. A F. AC F C minor
clt quam C a vel C A (ParS 1OCO,) erBO d F A minor
quam AP.
Sed de (ponendo C A = , + = 5, _ C. F. = 5 1 - d = 5,
ideo que L. A = d = 5 - c,  F. a = 1 = d = 5 + 6,)
CxIEF. P = -
1 d
 =C _CF (=FF + FC)
=; hoc cAt CF. C. A: : C A. CF.
Sed d hinc docemur Rectam a F dusere quae F.lipsin in dato puncto a con-
sineat. Nempe, ducta Ordinatim applicata a F, Fiar ut B. C ad E. a SIC F A ad
EL. Juncta enim La Ellipen in a concingit.
Trem A dato exira puncto P rectam ducere Pa quae F.llipsin contineat. Nem-
De, juncta PC, ec concinuata, (quae Ellipli in A a punetis occurrat,) ui habea-
cur F punctum in diametri Ra continuatione; Ouoniam est (ut modo dictum
est) F C. C a = C. A:: F A. AF. ideoque E A. AC:: AF.. FC; Si diridatUr AC
In E, sicuc dividitur PC in A; ec ducatur Ordinatim applicaIa F a; recta F a
juncta Fllipln contingit.
Alia liceret hie Corollaria adjuneere, qualia de Parabola innuimus prOP. 23.
Sed ea brevitatis ergo omuienda judico.
PROP

## Folio 333 — 851387705:0353
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000353.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
PFOP. XXXI.
ON IC IS.
P RO P. XXXI.
De Fllipseos Diametris.
T a puncto quoris a in F.Iip(eoS curra A an ducatur ad Centrum
C recta a C; erit haec ejusdem FMlipseos diameter, cujus rertex
an ejusque Ordinatim applicatae rectae ipsi a P, Ellipsn in puncto a
contingenci, parallela.
Fibet hanc propolicionem (ut prius prop. 24.) pri-
mo Analycice eximinare, deinde et Synthetice demon-
Strarc.
Supponamus igicur rem este ut perhibetur; adeoque
inscripiam quamlibet OO tanSeNE a F paralletam, 2
recta aC (per contactum e cencrum cranleunte) bi-
sectam in A. Sintque rectae OD, OD, a F, diametro
AF. ordinatim applicatae, adeoque invicem parallela
quibus etiam parallela ducatur se eidem diamerro in c
Occurrens quae propterea (ob parallelas) bilecabie (ut
OO in E, lic) DD in c. Denique recta OO, diame.
ErO AF, (VErISque R opuS est productis,) Occurrat in
C. (Salcem si Parallela sic, uE non pOlIE OCCUERerE; reS
ipsa jam demonstrata est, PrOP. 29.
Supponemus etiam imprasentiarum, rercieum A a (dia-
merri AF,) verticem A propiorem, 2 remoriorem, Puncto R: Trem punctume
intra puncta a C incidere: rectamque OO diametro A F producta exera F. Iip-
TIm OcCurrere: Si aurem horum alicui concrarium concinsat, (quod quidem tieri
Docclt) nihilo camen minus res succeder mutatis tancum aliquories lignis. + -
quod operationis prosressum neuciquam curbabit
Dieancur autem (ob commodiorem calculum) F. a = C, P. A = d A a = 1
Ca (= + - 4) = ∞, C C. (= Zt - 4) = C, CD = 9, 2_ = dy 4. C =0726 - d =E
C (=0 - 5
Tum (per praeced.) EC. F. A: : Ba. F. F. hoc est 5. d: : v.  = FF. EL
(proprer parallelas, et similia triangula) C a. E9.:: C. F.. CF.. hoc est 0. 5:: c.
E=CF. ELC4. C5:: F. a. Cc: : F F. CC. hoc elt, 0. 7: : e.  = c,:: d 7d X
A
= d +  de ca = 1 =  , ideoque DA (= e A = C D) = d. +   = 9, de
D2 =∞ -  = = g. EL rectanentum D A L D a =
=0 dg + 205c9 + 05 v0 - 05 dc = s2 02
2x = 8 9 +2809+20809+2055
20 - 8 = E
a d  -69-2012 16
de
q
+
2 xq
(vel, Guia X = d = 26
Cvel, quia 0 - 5 = 7, e
Deinde, (quia, propter FIiplin, Ouadrata ordinarim applicacarum sunt rectan.
gulis segmentorum diametri crantrerlae proportionalia) E A X E a = d N. D AXD2
:: Fag = c. D09 = = dx - 89 + 207c9 + 5E6
Trem

## Folio 334 — 851387705:0354
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000354.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
DE SECTIONIBUS PFODXXXI.
Item (propter Similia) EF. Ea:: DC. DO, hOc CA =, c:: Y d ~ +0c9
2dx = 0cq
odx
= DO9
e =. D0. ejusque quadraum  a N + 8 8 g + 207 d XC4e
8 ax - 8. 9 L 20y09 + 525
a 42 X
Tdeoque (urinque mulciplicando per s a de dividendo per e) y d2 N
 02c 92 + 207 dx C9 = 5 d N = 8 d ∞g = 207 d x69 F dEd N C. Et (de-
lendo utrinque = 207 d x C9, e transponendo) 02c 92 = 02 d X 92 = 8 d2 N
=v a2 4= F SE a XC2. Ft (quia o - y = d E, Per 5 C 2) 0 ∞ 9 + 8 d N G
= dEd N + dE d v c. Et (dixidendo urinque per d x + ~ = L f) o 9 = d E d X.
hoc est 3E V = 9. Constat erBO PrOPOtitum.
Illud Synihetice sic demonstratur, (rexeticis Analy seos veltixiis.) Ab F. IlipseoS
CentrO C ducatur recta Ca, acque Esiplin in puncto a concingat recta a F, diu-
metro cuilibet C A OccurrenS in F; ipsique parallela quaelibet OO rectae C a
(intra Fllipsin) occurrens in c diametroque C A in CC; DIaMeITO aurem C A
ordinarim applicetur a F, eique parallela Een _IAMEEIO OCCUrreNS in C. Fademque
maneane Cymbola qua PriUIS e, d, L, 17 6787676,7.
Sumantur aurem in diametro ucrinque a puncto c aequales rectae CD =, ,3 5 a X
atque ordinatim. DONantuE DO, DO, rectae OO occurrentes in OO. Adeoque
bisecantur tam DD in C (per conttruetionem) quam OO (propter paralle.
la5) in E.
Dieo rectam illam quamlibet OO (d recta Cia bisectam in 2) Estipsi in-
teripcam ette; hoc est puncta OO este in perimetro. Quod sic probatur.
Ouoniam sune (ut in Analy C demonstrarimus) P. F = --, eC = 7  4
CA = d + = _ ea = 1 -  =: Erit DC (= eG = CD) = 7 d  +, plav
=, eD2 = N -  = pEd +
2
e DA = d + = +  8E d
Clanerulum DA = DA = = a v. + 8Z~ = 8E 5 ~ L 2 7CY dEd~. (nempe, pro q
et q in amaluti; substiuendo YdEd C
.) vel (quia 5 = 5E =y per
SC2) eri D a , D 2 - 7 dr = dE8 L27CYSEdx
dd
Tum (propiee similia criangula) exit P. P. P. a:: DG. DO. hoc At, . c::
rdx LOY DEdX rax LeY dEdE e = DO. ejusque quactatum Y d .
odx :
dEd ~C =2ra XCY dEd X -Y dx + 83C = 27CYSEdY 8 = DO9.
02
a
Sed es cancundem elt quadrarum Ordinatim applicata puncto D. Nam (pro.
pter F. Hip(In) uE rectangulum P. A X F a ad rectangulum D A X D a; SIC (F ~G) qua-
dracum Ordinarim applicatae in E, ad quadrarum ordinarim applicatae in puncto
D. hoc CA a v. 2. d  + 53C + 2 rCVdEdx Y dv +3EC = 27CYdEd
d
quod igitur est quadratum ordinarim applicatae puncto D, eltque (ue modo olten.
tum clt) iptum DO9.
2

## Folio 335 — 851387705:0355
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000355.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
O N IC
perimetro; rectaque OO est FipR inseripea: Sed et illa (eique patastela, ca
dem ratione,) d recta a C bilecatur, adeoque ordinatim inseripia ell esusque se-
mistis O diametro aC ordinatim applicata. Quod crat demontulacum.
Et DrODterea DO, DO, (quae ex constructione, tunt punctis D D Ordina-
tim POTIEX) Tune ec Ordinatim applicatis aequalia, adeoque puncta OO, fune in
Norandum autem est (tam quoad Anatosin quam Synthesin) fieri quandoque
posse, (ubi recta OO lonsius abest d tangence a F) ut punctum CE vel inera LI
lixtin accidat vel etiam ulira oppoticum verticem: Sed nihil hinc continget quod
operationis proerellum multum percurbet; tantum mutanda tortan erunt aliquo.
ries ligna Y =, aut aliqua Paltem quancitates occurrent negatire interpretanda.
Sed hoc non tanci elt, uc capropter operationem iltis calibus accommodandam
repetam. IIlud aurem d quoris vel parum exercitato (Licui id opera pretium
videbitur) tacile praestari postit.
Incerim non erie incommodum Corollaria quaedam hic subjungere, (qualia
TUBjUMXIMILIS PFOP. F4. de Parabola,) Puta.
Oualibet Perimetri Fllipseos punctum alicujus diametri verticem esse.
Adeoque, En qualibet P lixsi numero infinitos esse Verribes, atque Diametros
insinitas.
Trem, Fillipseos diametros omnes in Contro convenire.
FC, Rectam quamlibet per centrum transeuntem, Diametrum este
Trem, Quamlibet in eodem plano rectam per aliquod intra P lipsin punctum
transeuntem alicui diametro Ordinatim. positam esse.
trem, duae diumetro alioui in verriee occurrit, ipsius Ordinatim applicaris pa-
ralleta Fllipsin in illo puncto continsere.
Et duae Fllipsn contineil, rectam diametro per concactus punctum transeunti
Ordinatim positam esse, ejusque Ordinatim applicatis parallelam.
Denique; Fllipsin, qua diametros conjueatas aequales atque ad ansules rectos
positas habet, Circulum este.1
Haec aurem, aliaque innumera, vel lacis in pracedencibus demonstrancur, vel
inde lalrem lacile demonttraci PocerunE.
P R O P. XXXII.
Effectiones Ceometrica.
A Tque ex dictis latio incelligere licet Geometricam Problematum
LL effectionem. Puta,
Fllipseos Diametrum invenire. Ouae enim duas quastibet inscripras paralle las
Bisecat est diamerer.
Fllipseos Centrum invenire. Nempe in duarum quarumlibet diametrorum con.
curtuI.
Fllipseos diametrum invenire, quae per datum punctum cranseat. Rectam nem.
De, quae dacum punctum et centrum conjungit.
Data

## Folio 336 — 851387705:0356
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000356.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
DE SFCL IONIBUS LEP. XXXII
Data in Lllipse acuserro qualibet, diametrum conjueatum invenire. Vet ge-
neraliter,
Data inscripta qualibet, diametrum invenire cui illa ordinatim ponitur. Nempe
rectam quae datam inseripiam aliamque ipsi parallelam Bisecat: Vet ((i diameter
non sic) qua ipsius punctum medium, ec Fllioseos centrum conjungit.
Datae Fllipseos Axes invenire. Nempe delcribatur Peripheria Fllipsi concen-
trica, ipsamque saltem in binis punctis secans: Rectam enim bina puucta proxima
conjungencem quae bilecat diameter, est Axium alter; reliquusque elt huie con-
jugacus.
Noca lamen; In circule omnes Diametros Aes esse, ex quidem aequales; 
conjueatas ipsius diametros omnes esse conjueatos Aes. In aliis autem P. Iipsi-
bus quibusvis, non nisi duos Axes reperiri, eosque Conjueatos, se d  maequales:
 quidem conjue atarum diametrorum omnium maxime inaequales; quare  Dla
MCtFI EXtremX divi solent: Sicut e contra, DiametroS. Medias dicere licet, quae sunt
conjueatae aequales: Suntque inter extremas media proportionales
Datae F.lipseos ordinatim applicatas (positione) invenire, quae data EpuS Ma-
metro conveniunt. TRVeNEA nEMIDC DIAIELTO conjusaTa, quae huie aequidiltant
rectae lunt diametro darx Ordinatim. POTIX.
Fllipsin ad datam diametrum e datum latus rectum describere, quae adu
habeat inclinationis anculum. Nempe invencis (magnicudine) ad quocibet dia-
mecri puncta Ordinacim applicaris, (per PrOD. 28.) applicentur ad lua respectire
puncta in ansulo imperato: Per earum enim extrema puneta, curra aequabiliter
ducta, est FIIpLis. Vel etiam (qua eric in praxi commoda constructio) Descripio
Cireulo, cujus Diamerer sir aqualis diametro quae elt, in LPipsi, datae conjusata;
Acque inventis quodiber Ordinarim applicatis ad illam Circuli Diametrum, (hoc
elt quorliber Sinribus rectis:) Ila ipla, cum Diamerro data Ellipleos praescripcum
ansilum tacienres (sic dirisa uc diriditur illa Circuli Diamerer) sune ad relpectira
DIamCITI FIlipseoS puncta, Oranacim applicatae.
Acqui ego brericaris causa (praeseriim cum ex dietis Pacile deduci queant)
harum ectectionum demonstrationes, aliaque cam Problemaca quam Theoremaca
plurima Lubens omitto.
Bue (Sd
e RO P. XXXIII.
De Fyperbola absolute considerata.
Om sic in Hrperbola (ut ostendimus Prop. 20. inspecto Con0)
Ouadratum ordlinatim applicatae B = 1d F- d. Licebit hic
(ut Parabolam et FIipsm Tupra) Frperbolam eo charactere insigni-
tam, Cono eximere, atque absolute et universaliter contemplari, acsi
nullam ad Conum relationem haberet. 
Fyperbolam ixitur axpello cam (sive lineam curram in plano de-
scripeam; sive Reueam planam ejusmodi curra terminatam,) cujus
ordinacimm applicatarum lincularum quadrata requantur 289rcgatis bi-
norum rectansulorum; quorum quidem altera sunt incerceptis diame-
eris, altera earum quadracis, proportionalia. (Nempe h = l d + - d
Sunc enim rectanenta la, ipsis a diametris intercepris proportiona.
lia, proxter communem altitudinem I; rectansula vero= d’diame.
trorum interceptarum quacratis d sunt proporcionalia, propter can-
dem ubique rationem, puta L. l:: d. = d. Oerum vero rectanou
lorum majus sit, non retert; sed modo hoc, modo illud.)
Diametrum,

## Folio 337 — 851387705:0357
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000357.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
PFOD. XXXIII. C ON LCFS.
Diametrum, Diametros interceptas, erticem dinatim- positas. Ordina-
tim inscribtas. Ordinatim applicatas, atque Punctum applicationis; eodem
sensu hic accipio quo iidem supra de Parabola d Ellip usus sum.
Rectam nota l insionitam, (lineam puca imagual qua cum in-
tercepeis diametris, binorum rectansulorum illa COnTinEE qua sunt
ipsis diametris interceptis proporcionalia,) appello Latus Rectum.
Rectam vero alteram, qua
nota + designatur, (quam
quidem suxponimus Diame.
tri supra verticem continua-
tionem, rerlus conrexam
curra partem ductam; quae
que ita se habet ad L aCuS- FC-
ctum uc diamecrorum inter-
ceptarum quadrata ad bino.
rum Rectangulorum illa qua
quadratis illis funt ProPor-
tionalia:) Diametrum trans-
versam axpello, (ut qua Op-
pohtis Oppolicarum Frver-
bolarum vertices conjunsit,
ut pon dicetur;) ejulque pun-
ctum medium, (quod qui
dem extra Fyperbolam jacer, sed inter Hypet Dolas Oxpositas, ut post
parebit) appello Centrum.
TEyperbolam a nobis definitam eaniem esse cum illa quam desinit Apollonius,
simili sere proerettu ostendemus, acque supia de Pacadola  L  Etuls
DEOP. 21, _ 26.
Hyperbolae nempe,: (qualem definit Apollamus Cb. . L. IP. 22.) Se.
ctione coni facta, univertaliter convenire detinicionem a obls propolucam; jam
Probacum cAt prOP. 27, e 20.
Contra vero, Hyperbolam à notiis de (exiptam ita Cono aptari posse, ut eas ha-
beac conditiones quas poltular Fyperbola Apolloniana; sic probatur;
isC) sIVit CdsrajeE esleret EEXE s u SIt 
Subi tiiESSit B CEBCICI
135: 2311p3eit: rier t 3 3L C1S
TEciL IO AITLSSSEIOS
estilLO SierI :set)
Exponac Lyperbola quaelibet a nobls deliulla ac, cujus Ordinacim applca
cacum qualilala hine  a+, d. Db hade CBB ia t potetal aptari
Polte.
351IS1
Ducacue

## Folio 338 — 851387705:0358
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000358.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
DE SECTIONIBUS PFOPXXXIV
Dueatur recta 2 A =F, e (in ejuscleni continuatione) AFI =d: REque ad
rectam AII ponantur (ad OppOSitaS partes) duxe rectae inricem parallelae; AS =-1
et HIB= a, (Talcem cancx line longitudinis AS, HB, ut AE ASXHB = Id :)
Sicque anculus S AH = AH B quisibet acurus, (modo major sit complemento
ansuli inclinationis in Flyperbola exposita.) Juncta rero aS producatur ut cum
recta BFI producta cocat in S; e juncta B A producatur ut occurrat ipAi aS in
V; ue compleacur erlareutum VBS; quod esto Friangulum. per axem in Cono
construendo.
Deinde super rectis AFI, BFLS, duo plana ita erizantur, ue comunis eorum
sectio HIO, faciat ad rectam HB angulos rectos, ad rectam rero AHI angulum
AFIO aequalem ansulo inclinationis in FIyperbola propolica.
Hoc enim omnino tieri poste constac: Si enim recta quaelibet HO perpendi
culariter intistens plano Frianguli V BS (adeoque angulos faciens vero (que OTHA,
OTTB, rectos) circumrolratur circa rectam BHIS uc axem (invariato 2youlo
OHLB,) donec ad licum plani perveniat in Hla, Faciacque in plano trianeuli angu-
lum coFTA acutum, qui minor erie ansulo inclinationis in Hyperbola, (est enum
ex constructione, angulus AHIB istius inclinationis complemento major;) ne-
cesse est ut, in crantiu, aliquando fecerit angulum inclinationis angulo aequalem:
(tactus enim cAt cransicus ab angulo recto, adeoque debiro majori, rel salrem aequali
ad ansulum debito minorem;) adeoque cunc tuerit in sicu debiro ut sic duorum
Planorum pront requiritur concurrentium communis sectio.
In plano aurem BOS sic potico seribi intelligatur cireulus, diametrum habens
BFS, qui sic balis cohi; aliique huic paralleli diamecros habentes BDS, conum
complentes, (Per prOP. 5.) qui plano AHO sectus exhibebie Fyperbotat (Per
PrOP. 7.) cujus ordinarim applicatx omnes (quarum TIO est una) ad diamecrum
AHI angulum facient aequalem ansulo inclinacionis ordinarim apolicatarum in Ly.
perbola, expolica act diameirum suam; sed e cisdemi sunc relpcctiro aequales (ut
Parebit ex demonttratione prop. 17, et 20.) ideoque lingulae singulis consruunt
adeoque e Fyperbola expolica Hyperbola sectione coni tactae. Ouod crat tacien-
dum. Adeoque Hyperbola a nobis detinita eadem est cum ea quam detinic ApoI.
Jonius. Ouod erar demonstrandum .t por e ts olto sil
Sed de eadem opera doenimus Conum construere eique datam Fyperholam ila
aptare, ut data ipsius diameter sit ciameter. ex reneratione: Aeque eciam Theore-
matice verum elle LEuperbole diametrum. quamlibet fieri posse, in aliquo saltem
ConO, Diametrum ex generatione.
Fet 203 31t 5HIOC IsBIGB DEC.).
14 AS 1II
sserloc st Cr rSCI
oisitraaci n
I ad eandem diametrum duxe FTyperbola OppOsito situ DOnan-
tur, collutnem habentes diametrum cransvertam, idemque la-
tus rectum; lintque ad il
lam diametrum orcinatim.
applicatae unius, ordinatim.
applicatis alterius parallelxe:
dicentur illa Lyperbolae-oppo-
sitae; carumque rertices, can
dem diametrum eranlverlam
terminantes, Vertices Oppositi:
Punctumque inter ODpoltOS
vertices mecuum es utrique
EIyperbolae centrum com-
MunC.
 aurem Hyperbolae Opposi
ix respondeno tly petbolis Oppo.
sucorum conorum eodem plano le.
atorum.
eROP.
mondous oi. - D R O DI IHXXIV. 2
De Diametro transversa  Fyperbolis oppositis.
eresis c
puci ) uert ogiel

## Folio 339 — 851387705:0359
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000359.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
C+OP
XXXV
O N I C L 5.
PROP. XXXV.
Corollaria.
D Aet ex dictis: Cum sit h = 1 d + - de: FX horum in LIyPer
b
Bola quatuor, Diametro transversa, Diametro intercepta. Latere-
Recto, e Ordinatim applicata; Dacis cribus quibulris, etiam reliquum
(maenicudine) dari. Nempe (disponendo et resolrendo aequatio-
neS) exitu
In Trper.
d  d
1
Ordinatim applicata, h = V: 2d + - d2: = V -
bola, Eatus rectum, I =
Ed + d.
Diameter trancrerta, t= H - d
d + d2
Diameter. intercepta, d = Y:  8 +, b: - ; 1.
Adeoque: Diametrorum transversae ex intercepta a0oregatum, + F d
=V: 3V +, h: + 31.
Dictantia puncti applicationis d Centro, c = 1: : c + = v
Patet etiam; SE Diameter-Frantrersa ad interceptam; sic ese Bi-
norum Rectangulorum ea qua diametris interceptis proportionalia, ad
Rectansula earum quacratis proporcionalia. Nempe, t. d: : ld.= d.
stem; Ot Diameter transrersa ad Latus rectum; ita quadrata dia-
metrorum interceptarum ad Rectansula quacratis illis proporrionalia.
Nempe F. 1: : d2. = d2.
Item; VE Diameter traulrerla, ad interceptam; ita utriusque 20-
Sregatum, ad quartam; quae, ducta in Latus rectum, Rectanoulum
eHicit aequale Ouadrato Ordlinatim applicata. Nempe t. d:: t + d.
+ + d
+d + d +d + a
e
Et
1 = B = 1d F - a2
Adeoque; SE Diameter- transverla, ad L atus- rectum; AC R ect anon-
lum sub Diametro intercepta et aggresato diametrorum tranlverla et
incerceptae, ad quadratum Ordinarim applicata. Nempet. l:: + d + d.
Fd F a
1 =h = 1d + - d.
Vet, OE Rectangulum Diametro intercepta, et aggregato Diame.
trorum eranversae ex interceptae comprehientum, ad quadratum Or-
dinatim applicatae: sic esse Diametrum trantrerlam ad Lacus- Rectum.
(Onde. Arperbola Latus Rectum commode reperitur.) Nempe,
Ea = d. B: : t. 1 =
2d + 4
inde

## Folio 340 — 851387705:0360
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000360.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
DE SECTTODEBUS PFOP.XXXV
Inde sequitur; Ouadrata Ordinatim applicatarum Rectangulis Dia-
metro intercepta e agoregato diametrorum trancrerla et intCrCCPLX
comprehensis, esse proportionalia. Sunt enim ubique ut + ad l.
Adeoque, Prout lonsins à rertice remoretur punctum applicatio.
nis, ita semper auxeri Ordinatim applicatas. Nempe quia sic tam d
quam t F a (diameter intercepta, et aggregatum tranlrerlae ex inter-
CeptX) augentur, adeoque e eorum rectangula, et propterca quadrata
Ordinatim applicatarum his rectangulis proportionalia, adeoque et
ipsae Ordinatim applicatae.
Et propterea; FIrverbolam ex earum linearum numero csse, quae A.
suram non claudunt; Cum Ordinatim axplicarx (a verrice inchoan-
d0) Derpetuo crescant, adeoque et crescat crurum diraricatio, qua
idcirco nunquam lunt deinceps coitura.
Ideoque C Fyperbolae diametrum quamlibet non nis in unico Ver-
ticis puncto cidem Eyperbola occurrere; Duoniam nempe crelcen-
tibus continuo Ordinatim applicatis Arverbola curra d dliametro ma-
sis continuo resiliat, nunquam ideo deinceps coitura. Vertices enim
Oppositi, quanquam in eadtem diametro, non tamen lunt in eadem
yperbola, sed in OppOtis.
PROP. XXXVI.
De recta Fsyperbolam contingente.
Ecta HEyperbolam continsens diametro produetae inter verticem
 ex CentrII OCCUrreT. Punctum rero concurlus sic inguiremus.
SuDDONAtuE TaNGENS A F OCCUIETeNS, in F, diametro FI A producta, eique Or.
dinatim applicata a FI. Supponatur etiam ubiris cidem diametro Ordinatim ap.
Plicata DO, cansenti Occurrens in T. Sitque A VertEX, C centrum.
Dicancur autem (ob commodiorem calculum) Ha =b, HI A = d, Aa = 1.
(ideoque Ha = + F d, HIC = 35 F a,) FIF =f, HID = a, (ideoque DF =f + a
DA = a = a, Da = 1 = d = a.)
Tum (quia proxier Hyperbolam, quadrata Ordinacim. applicatarum sunt rectan.
gulis AHa proporcionalia, ut modo ostentum cst) erit HI AX H a. D AXD2::
10g. D0g. hoc est, 1 a. + a. 14. + d + a = 1a = 2da:: B. 2d + d + a = 1at 2 da p
2d = 2
FF (propter similia criangula) HF. Ha:: DF. DT. hoc cll, f. B: : f F a.
= B = D T. ejusque quactracum
he = DT9
Tum

## Folio 341 — 851387705:0361
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000361.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
PFODZXXVI.
C O N IC F 5.
TuM (PEOPIeE Fangentem) DT q = DO4 C nempe aqualia, s DF
coincidant; vel, si secus, illud majus; ) hoc CA, f + a = 2f a
= 1d. + d. + a =2 a = 2 da pr. et (utrinque mulciplicando per L3
+d Y d
erie f27 a + 52 a + 7a a = d’a = 25+ da + 2f d a = f2 1d + f d +
c
= f7a =2fda. FF (deleris urinque f2 + d + f a2) erit t da  d a =2f1 da
+25d’ a = f a =f 2a = 25 da. Er (dividendo per = a) eric =1 d a = d a
 2f+a + 2fd2 = + f2. a + f27 + 2f2 d.
Denique, ponendo D H idem elle punctum, (ut cranescat quantitas a, adeo.
que de ipsius mulciplicia + da d2 a f2 a) erit 2 f1 d  2f d = f2 1 + 2f2 d.
Ec (diridendo per 2 f) + d = d2 = 3f+ L fa. (hoc cst, A AH a = D CHP;)
24 = 72. Hoc ests HC. H2:: H A. HF. Ouod
vel 3+ + d. 1 + d:: d. f -
erac inguirendum.
Duod Theorema sie inventum, hoc est; Si sit Ordinatim axplicata in
Erperbola ETan atque ab applicationis puncto FI continuetur diame-
TeF HI A ad P; sicque uc distantia puncti applicationis a Centro HIC,
ad aggresatum diametrorum trantrersa et interceptae HLa; sic dia.
meter intercepta IIA, ad eandem continuatam TTF: recta a F juncta
tErperbolam in puncto a continget.
Vel sic; S recta a F FEyperbolam contineat in termino ordinatim applicatae a;
erie, ue distantia puncti applicationis FY a centro FIC, ad ejusdem distantiam 
vertice remoriore FTa; sic diltantia a verrice propiori LIA, ad distanciam à puncto
concurtus tangentis e diametri TIF.
Demonstratio, Si sic opus, insticui poterit repetitis Analyseos restigiis.
Sed de patet, quod, cum sic HC. Fa:: H A. FIF. hoc cA HC. HC F C a::
AA. HIA f AF. eru (dividendo) HIC. Ca = C. A:: AA. AF. Adeoque SI fu-
macur (in diametro concinuaca) AF = FALAC, habetur punctum P. Sed
TTC
etiam, cum CIEFLC major quam C. A, (BAES L0EO) CxIL PFOPTerea FLA major quam
AF; hoc est, Diameter intercepta, major quam ipsius continuatio ad concursum
Pancentis; (contra quam in Fllipsi ubi minor elt, ee in Parabola, ubi aequalis;
uc oltendimus proP. 23, 830.)
liem, (ponendo C A = 31 = 5, e CH = C A F A H = 5 + d = c, 10
coque HA = 0 - 5, _ Ha = c + 5) erit HF -
_ CF = 0 -5 = =. HOC est CH. CA:: C. A. CF.
d2
aique hinc docemur, Rectam a F duvere quae Ly perbolam in dato puncto a
CA
concineat. Sumpia nempe C F = . , e quidem d C vertus A, si concactus
requiratur ad Hxperbolam Aa, vel (eadem ratione) a C. vertis a, Si ad Hyper.
bolam oppolicam.
Acque hinc seqVitE; Rectam contineentem LIy perbolae diametro citra centrum
occurrere: pata incra centrum e verricem: (nam quod ultra verricem Lic, patet
ex praecia
que _ ILA minor quam HF. Ouod autem sic citra centrum, patet etiam, quia,
ic dictum est, HIC. C A:: TTA. A F, adeoque HIC. HIA:: AC. AF. ac LSC ma-
jor est quam HI A, erBO A C major quam A F.)
Trem, Aquovis diametri puncto P, inter FEyperbolae verticem  centrum sum
pto, duei posse rectam Fa quae FEyperbolam contineat. Duo aucem punctum L
puncto C propius sic, eo remorius abest e punctum contactus a e punctum ap.
plicationis huic conveniens H. Ouia uc CiF. C A:: C A. C H.
Adeoque

## Folio 342 — 851387705:0362
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000362.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
DE SECTIOHEBUS PTOP. LLLLVII.
Adeoque si supponamus punctum Fipsi C coincidere, nt distantia C F = 0 nulla
Lic; exir proprerea CH intinita; HIoc et, punctum HI,, (adeoque ee punctum e)
supponendum est intinire distare, adeoque rel nusquam ret non nili i Hlyper-
bola actu infinita reperiri.
Cumque punctum Ci indifterenter se habeat ad ucramque Flyperbolarum oppo.
litarum, ea quae supponitur Continsens per centrum ducenda, vertus utramris
partem producatur, intinira erit, adeoque Fyperbolarum illarum neutri occurret.
Oux propterea ssimptoca, dici Coler, ue post dicetur.
Alia quae adjunsi posteus corollaria lubens omitio.
P R OP. ZXXVII.
De Fyperbolae Diametris.
I per Frperbolae Centrum C, punctumque in curra quodlibet ou
 tranleat C a recta; erit illa ejuldem Eyperbola diameter, rerti
cem habens an acque ordinatim applicatas rectae e FFyperbolam in a
contingenci parallela5.
T ibet hanc proposicionem (uE priuS 24, 8 3F.) Analyrice examinare, de
inde ee Synchetice demonstrare.
Supponamus isicur rem esse ut perhibetur, adeoque inscripram quamlibet OO
cansenri a Li parallelamt a recta Ca (per centrum ee contactum transcunte)
vilectam in n. Sintque rectae OD, OD, a FI, diametro HI a ordinatim applicata,
et propierea inricem parallela; quibus etiam parallela ducatur nh eidem dia
mecro in h OccurrenS; quae propierea (propies parallelas) bilecabit, (ut OO in n,
Lic) DD in h. Denique recta OO, (producta li Opus) diamerro FIA OCCUErAE
in G: Occurturam enim omnino ese patet, quoniam a L ipti parallela cidem dia-
metro occurrit, per praeced.
Supponemus etiam impraelentiarum, occursus punctum C contingere supra ver-
ricem A, exira Fyperbolam. Si aurem secus contingat, (uti tieri potelt, si in-
Teripta OO remorius a tangente sumatur, ita uc diametrum cranseat,) non tamen
Teries operationis variabitur aliter quam vel mutanda aliquando ligna  , vel
quancirarem aliquando nesatire incerpietandam tore, adeoque ex parte suppoli.
tioni concracia, incelliseneam.
Dicantur aucem (ob commodiorem caleulum) Ia = B, F A = du A a = 1.
HIa (= +
=3320
2 (= 21 +4) = C, HD = 9, an = 5, aC = 0, nC. (= 0 +5)
Tum (per praeced.) HC. Ha:: HI A. HF. hoc est c. 2. : 4.  = =HF. Et
(proprer parallelas, et simulia vrianeuta) C.a. an: : C H. HIh. Hoc cst 0. 8:: c.
 =HM. Et Ca. Cn: : HXa. Rn:: HIF. hC. hoc Cst, 5. 7: : b. = = hn. : 2~, 3d 2
= hG. ideoque DC (= nO FHD) =
do +g. Icem na C = AH + HH)
= a + =, et ha (= 1 + a + =) = = + . ideoque D A = a. + 
D2 = 2 f -= = g. EF rectangulum DA X D
F849 =20869 +0836 +0d d6 + sec
vel
0ut2
(vet 
540.
2
Deinde

## Folio 343 — 851387705:0363
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000363.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
PFOD. XXXVII. G ON FCFS.
So seoet.
e
 i
ditrii i
t. A L. P. C )  CL r
a A C
a sit Algieur ai 2 B
11e) cetrB
o esit e
ict hiro 1.
1e iide essu setioi sues cuisstittoei
Deinde, (quia, proprer Fyperbolam, Duadeata Ordinatim applicalarum Rine
rectanoulis diametro interCEPEZ SC acBresato diamerrorum cranver  _ InCERCEpE
comprehentis proporcionasia) exit H AX H a = d 2. D AXDa:: IIaq = B. DO9
d2  o 9 +20769 +586 pr. 14 2    C DC soiu iit
O2 a 2  ∞1E E P Si CCsi S
iiem Cpcopier simulia, Friansula) HF. Ha:: DC. DO. hoc eA =
2a 220bq 7d 3206
860115  8 d 2
tu
28
et
1.
=D09 -  48 +09 F207q + dE6 g.   nai osite nem muvliora
d2
Tdeoquoe (urinque musciplicando per o a2 e diridendo per B,) 7 d 2
+85g = 207dBCg = 8 d2 + 8 d29 = 2074209 + 5Ed 2C. Ft (de
lendo ucrinque +20r 426.9, acque wantponendo) 0 c 4 - 0 d29 = 5Ed 26
222. Ft (quia X = o = 86, Per 6 C2,) 09 - 0 d29
5420+ 5342 22. FF (dividendo urinque Pex 67 = d 2 = E  V exit o191
= dE a ∞. Hoc est 5.
2LS.E 
=9. Conllat ereo prepositum.  cestinia
LIaa

## Folio 344 — 851387705:0364
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000364.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
DE SECTLONEBUS PFOP. XXXVII.
Iua Synthetice sie demonstratur, (reperiris Analyleos veltisiis.) A centro C
ducatur ad Flyperbolam C. 4. Reque in puncto a Fyperbolam concingat a F, dia-
metro cnilibet FIA OcCurtenS in F; ipsique parallela quaelibet OO, eidem dix-
MetrO TIA occurrens in C, e rectae C a (productae) in n. Diameiro autem FI A
ordinatim axplicetur a HI, eique parallela nh, eidem diamerro occurrat in h. Fa.
demque quae prIUS MANCANE CymbOla B, d, L, 2,6, 8, 6, 7,5.
Sumantur autem in diametro verinque a punctoh aequales rectae hD = V   5 a 2
atque ordinatim pOnantur DO, DO, recta OO occurrentes in OO. Adeoque
bilecantur tam DD in l (ver construetionem,) quam OO (propier paralle.
1a5) in n.
Dico rectam OO (a recta Cian bisectam in n) Hyperbolae inscriptam este;
hoc est puncta O O ette in ipla Fyperbola curra. Quod sic probatur;
Ouoniam sune (ut in Analysi demonstrarimus) HF = =, 1C -
HA = d f =, e na = 2 f =: Erit DG (=hC F HD) -7 d = , ded2
icem D A ( = h A = nD) = a f 2C + y 33d2
62
D2 = 2 + a + 53d 2
E rectangulum D A  D a =  d 2 + 538 + 53d3 + 2 7C V53d2. (nempe pro
Q e q in analssi, substiuendo in synchesi 3a=  Y  3d =.) vel (quia 
=DAXDa.
Tum (propter, similia triansula) erit HF. Ha:: DG, DO. hoc est, ==. B::
Yd Z +, 3d 2 yd 2 = C Y SEd2 p = D O. ejusque quadeacum Y  2
+53d 3C +27d ZCY SEdE p = DO9
Nd2 = 52c2 = 2yCVdEd2
Sed de tancundem est quadratum Ordinatim applicatae puncto D. Ntam (pro.
pter Hyperbolam) uc rectangulum IIAX II a, ad rectangulum D A XD a; lic HI a 9
quadracum ordinarim axplicata puneto H, ad quaruim, quod erit quadrarum
ordinarim applicacae puncto D. noc cA a ∞, 3 a 2 + 53C = 2rCY53d2.: B.
stiis
trie
id
242 CC  2y ∞ N d S. d_V, JOTTLBIB, C
viess.) sbu
43.   7 6. quod aequale est ips DOq ut modo ollendimns.
EE PrOPIerea DO, DO, (quae, ex constructione, sunc punctis DD ordinatim
polita,) lune et ordinacim applicatis aequales, adeoque puncta OO sunt in FIyper.
bolX curra rectaque OO ett Eyperbolae inscripta. Sed et illa (eique parallelae,
eadem rarione,) a recta Can bilecatur; adeoque ordinacim inseripra est ejusque
Semistis nO drametro C. an Ordinatim applicata. Ouod crat demonstrandum.
Nocandum aurem elt (quod et prius monni) tieri quidem posse ue interipta
O0 diametrum cransear in C incra hyperbolam. Quoa TaMEM ODETACIONIS PIO.
prectum non alicer immucabir quam rariando nonnunquan signa f =, auc quan.
titatem negatire incerprecandam exhribendo. Or experienti patebit.
Recta autem illa a C. quam FEyperbola Diametrum esse ostendimus, iisdem op-
positis Erperbolis convenit quibus:  AC; ipsaque a C. duplicata erit earundent
Diameter Transversa. Sumatur, enim in oppolica Hyverbola ad = A HI, hoc est
Cd = CFI, d ordinarim applicerur (sieu Contrario) do, quae eric ipsi H a aequa.
lis de Parallela (proxrer aequales diamerros interceptas, candam cranlverlam, idem
lacus rectum, acque licum parallelum, per prop. 34.) adeoque anguli alterni
xquales, nempe Cido = CHa; _ propterea (juncta oC) criangula C. Ila, C d0,
similia et aequalia; ideoque (propier anxulos  ropau ad C aequales) CriE a C.0
una

## Folio 345 — 851387705:0365
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000365.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
PFOP. XXXVIII. GON L CIES
una recta; acque, illa quidem in C’bilecta; quae isitur cum ad Oppolicas AyDet
bolas cerminetur, erit illarum cransrer la diamerer, ejusque medium punctum C.
carundem CentruM.
Unde etiam liguet, Typerbola Diametros omnes in eodem communi centre
convenire.
morancur; iildem tere verbis etiam Hyperbolae conremiun (Hc non HC, OpUSeq
repetere.
Sed de ea omnia Corollaria (ultimo excepto) quae ad PrOP. 3Y. de Fllips me
ea1. aaaILI.
ffectiones Geometrica. Cchon cisitb. 
ciri
DRoblematum eectiones quae de FIips memorantur prop. 32.
exdem tere coridem rerbis etiam typerbolae conremiunt. Nec
Opus CA UL rePetanEUT.
L
ti vsi
d ~BSIBEEISB C. 1(13c1Z
XXRIX. INOM Wduneq SrenitC
e
etio SEbsivO o
3 quodvis N, eique Orcinatim ponatur NM, Racque t. I.: C N9.
NM9. (hoc eM, ic diameter cransversa, ad lacus rectum; sic qu’a
dratum distantix punctorum CN, ad qua-
dracum rectae NM,) juncta CM crit, il
lius Frperbola Asymptotas empe Lqua
(continuata) TIrperbola (quantumris pro
ductae) miinguam occurreu, ita tamen con-
tinno propius accedet ut dictantia tandein
cractat quavis aenaca mitior. lovi 13 l. L
di
Nam (2 Sumpto (intra Flyperbolam A, 9)
diametri puncto quoris HI cui ordinatim applice
cur TIO, recta, CM OCCuTrenS in MI. RrIt (prOD.
ter Timitia eriansuta) CH. NMC: CFI. HM.
Adeoque CN4 N MQ irdilLs Lii) CH9 =5
  
propier Etpecbo
De Fyperbolae Asymptotis. sistin
lumatur in Fyperbola diametro (extra centrum C) punctum
leledeta a
agoat emDC
set qpsil sii
Freo HOq minus et quad LM. es recta HO minor tliam Tecta TEX
proplerea M exic exira Fly perbolam. Recta isicur C. M M, (quancumvis, produeta,
lyperbola nunquam occurrit. Ouod erat primo demonstrandum.
2. Cum sitOM (= H M - HIC
Lucque 5,  E, quan.
ticates stabiles, at c rariabilis, de quidem tanco major quanto remorius abest pun-
(2350 = 621∞] 552
515
dum HI a centro C: Disterentia rectarum V= h V vib hoc ellu rectarum
HM, HO, perpemo minuetur Prout C, hoc cst; C H alscEr. WNamlgH ipsot
bus quacratis aequale augmientum (recenca lisurae Specle ) ihoreni postulat, la-
tetis productionem quam in quadratis minoribus, (uE nocum est.) Fdéotque ptole
lonsius abest a cenero punctum L, adeoque c majus eHt, (reliquis incerim immu.
catis) ica tempex minuetur OM, disterenria lacerum Y = 1, s   L. Pt COn.
X X
seguenter
dicl315G obsr
atm.). CC 14 =

## Folio 346 — 851387705:0366
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000366.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
DE SECTTONIBOS PFOP. XXXIX.
sequenter distantia recta CMM ab Fperbola curra _O, convinue decreseit.
Duod crat secundo demonstrandum. 
3. Sit altignara diltantia qualibet quancumris exiguas puta 2a; Dieo FBy.
Perbolam AO rectamque CM eo produei polto, un earum distantia minor cracat
quam est altionata 2a. Sumatur enim linea recta aliquanro minor, par a cui
aequalem esse volumus rectam OM; d quaerendum sio puinctum II (cui ordinarim-
ponenda sc HOM) seu lonsicudo recx CiHI. Quoniam ixicur supponimus
a =OM = V== 1 -Y -, -I; eric (cransponendo)  1 = V  L a;
 
et (utrinque quadrando)
1= = 1 + a = 2 a V = 1. EF ( transpo.
nendo, acque, reduendo) ZaeN. 7. = _ + 7 L.  BC (quadrapd9)
2
4 a2 c2Y
a + sP + 24 5e Sloetr t) scriso ut
Adeoque (diridendo per L) exit - aP f. s. P  2a 51
4 a IF
Habetur ergo quanciras c3, (cujus radix c = CF,) adeoque punctum F, cui SI
Ordinatim. ponatur TTOM, erit OM= an (quod A Opus SE, Syntherice demon-
strari possi repecicis Analy seos restixiis,) adeoque minor quam distantia astignata
2a. Fdeoque distancia concinuatae rectae Ci M M, ab Hyperbola continuata AO,
tandem minor cradet distantia quavis allignata. Quod crat certio demonstran-
dims. e. Adeoque, constat. propolicum, rocuris 1loc
Pollet e hic ostendi. Ad eandem Lrverbolam nonnist duas Nompiotas Curin-
que unam) duoi pesse: se mutuo in centro secantes. Alia enim quaecunque in
et ad recsuilitam appropinquationem
non accedet. St tacile e dembratNIS
Tret. Aimptoras unias Tperbola esse etiam TEyperbolae oppositae Asymptotas.
Olod Timili tere propretu deonstrabuur ei quo ulus sum ad Corollarium
DrOP. 37. NSABUP) clodqI (ssiuisco
Negne illis rantum vinis FEyperbelis, Oppositis, sed e binis aliis pisce, conjuea-
sis  de quibus post dicetur) eadem conveniunt Asymprotae, e quidem solae.
Patet item, quod (si ab eodem puncto L ordinatim applicatae LZO, FO, utrin-
que continuentur ut Armptoris occurrant in I,) erunt, OM, O M, (utringue
Scmoca d aegualos. Cusi )erritt raM BL NE; FM, (Y = 1,) quan, HO, HO,
LFGCsi LMLIHCLSIO 1150, LL et VOND OHBCLG NI a
CY e L 1), erume e OM OiF Ct M -= HO) aequales.
Trem, St (ad eandem quanmvis Diameirum) Ordinatim ponantur rectae quol-
libet MOTIM (Asemptotis occurrentes in M FEyperbolae in O, diametro in LY,)
omnia rectandula MOM (seementis comprehensa) vel etiam rectaneila OMO
(sumptis O, O, in utroque crure Lyperbola) erunt tam inter se, quam quadrato
recta AM (ab asrmptota ad verticem ordinasint posita) aequalia. Nam ubieun.
que in diametro (incra Psyporbolam) sumatur punctum axplicarionis FI; rectan-
siltum MDM rst OM D, LHOC c  M, HO, in. HLM + HO; hoc elt
VE in1;) semper erit = V (hC muluipii
L. 1151
cando parebic;) noc elt A M q; esbenim (ex hypocheti) L. L: : C. N g. W M9::
CA4 (= 5). AN9 =
VEII OTAEMH ZjEIM OBARI 1SL  S ilic
 sit e
dud
sumptota vero, quae jam dicitur, eadem est quae ad prop. 36. luxponitur P an-
senis insinita, a Centro ducenda, quae not nils pose intinucam ditanium (Hoc est,
nunquam) Fyperbolam concinget.
atia de Alymipions, de Thectemaca e Problemaca quae dx jam diedis decuet
PosenE PPAIOTCB. JIG NSOU Sis) coucsOni
ci
elo cipeet  sespeoior

## Folio 347 — 851387705:0367
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000367.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
 O N LC
P ROP. XL.
De Fyperbolis Asymptolis.
PEperbOla quotlibet ad candem diametrum (vecluS Cat pa-
R ECS) ita accommodatae, ut centrum idem hrabeant, atque ca(-
dem (ad communem diametrum) Ordinatim positas, rertices autem
(in eadem diametro) rarios quosti-
DCC, Puta A, an an (adeoque e V2-
rias diametros crantrer (as;) Si ea-
dem sic in omnibus ratio diametri
trancrersae ad luum respectire la-
cus rectum, (puta ratio t ad l in om-
nibus cadem,) casdem hrabebunt A-
EYIIPTOTASReCtAS, (Puta CM, Per
praeced.) Fruntque iplae ad invi-
cem Llyperbolae asymptotae: Nemve
ita ad inricem approxinquabume, ie earum distantia tandem eraclat
qualibet altignata minor, (quoniam carum qualibet ita prove ad re-
Cras Asymptotas accedit;) nec tamen invicem occurrent, (quoniam
Ordinatim applicatarum quadrata B == l minora crunt, caeteris
Paribuo, ubi s major et; adeoque HO major quam H o, acque lac
major quam IL c.)
Si vero non sic (in rariis ejusmodi Fyperbolis) ratio cadem:
Nec caldem habebunt A(ymptotas rectas; neque erunt ip (X ACympto-
Ex; Sed vel se mutuo sccabunt, (nempe E FIrperbola qua majorem
habet diametrum- tranlversam minorem habeat rationem F ad V;) vel
(si majorem habeat rationem e adt 1) debitam axpropinquationem non
alcingent. Prout ex praemistis non est diftieilé demonstratu.
Iis autem, quas diximus, Zyperbolis Nrmptotis, respondent Fyperbolae r0-
ridem ejuldem Coni planis parallelis secti; Oux quidem quo provius ad verri
cem Coni accedunt, eo ad Priangulum accedunt propius; donec tandem (in ivso
coni vertice,) cranescence diametro tranlverla, Lyperbola in Priangulum (vel
si placet, Feianguli crura) degenerer; cujus quidem Frianguli crura repraesen-
ranc binae Asymprota recta.
e at. ACl.
De Flyperbolae Diametris Conjuradis
E OPPOsitarum Eyperbola CtalCCIO. CTanIVeLIX A a Ordina-
cim ponatur rectâ per cenctunt o acetur illa Diameter con-
jurata: qua quidem rectas omns ametro A a pdrallelaS, oppostis
sectionibus terminatas, puca e Otariam sCcaBIE; quae propterCa
diametro dd ordinat a Tunt, quas Ordinatim transeribus 
cere licet.
lam

## Folio 348 — 851387705:0368
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000368.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
ECTTONTBOS
lxOD. 
Lram E orcltaum appluce
OD, od, diametro Aa (vertus
caldem partes;) crunt illae (Pa-
Laltela Palatecto cermnatae, Aco.
que) aequales; et Propterea CD,
Cid, etiam aequales CrInE (pTO-
peer communem oppoluarum Lly.
verbolarum diametrum- tranlver-
la et aGlasta latera recta;) 1d
coque et dO, 8o, (DiO Patat
Lelas) aequales CtI.
mus
Sunt aurem rectae sO, hoc est
CD, ea quancitas quam supra dixi-
d
eROP. XL. II
De Conjucatis Lyperbolis.
Latus rectum l;) acque in Manetro conjusata dd, sumantur d
nempe (ct. P:: 5. .) c dd transversa diameter conjurata: P. 2-
que si describancur Oenu Arperbola, vertices habentes an an e
Ordinatim- applIcataS dco
diameero Aa ParallelaS, L. 2
tusque rectum n = =, (u
nempe AC F. 2: : r. P.) di-
CentuT. OpPOALI VOTEICCS a a
ip(IS A a vertices conjurati;
atque Fyperbola a a ipliS
Aa, Typerbola conpuatae;
commune cum illis centrum
habentes, (ut Patet.) Sed
et casdem habebune AErm.
DtotaS rectas: ut jam de-
monstraturus Tum.
Nam completo parallelogram.
MO MMI, (cujus latera per con
jusatos verrices transeane, Line.
que conjugatis diamerris transvertis parallela, de propcerea aequalia;) crune rectae
CM OmniUm AEYMPTOTE; Der DrOP. 39. (Idem accidet, si sumpris quibulvis CD,
Cis, ipsiS C. A, C a proporcionalibus, formetur Parallelogrammum circa idem cen.
trum C, latera habens conjugaris diamerris paralleta: Omnia enim puncta anou-
laria, in AIymptoris CM reperientur. Puta, S ordinatim applicars, in hac Fi.
sura descripia, ad ATymptOraS UIque CONtInVareNEF.)
Praeter illas aurem Asymptotas duas, nulla in eodem plano recta duei potest,
guxe (producta) non alicui ex conjusaris Hyperbolis (produetis) Occurret. VE
ex praedictis facile est demonstratu.
Parallelosrammum autem MM (per quatuor conjusatoS verrices EranSIenS)
respondet parallelogrammo Lllipli circumleripto per iphuS Conjusatos vertices
cranseumei.
PROP.
F sit Eyperbolarum. Oxpolitarum eransrerla diameter A a = t (de
centro utrinque aequales C a Ca; sEque EOTA a C a = = = V EV (UE

## Folio 349 — 851387705:0369
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000369.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
H LC
P ROP. XLIIL.
De Systemate Typerbolico.
Vatuor illa quas diximus, Ioperbolae conjusatae, respondent
cotidem (in FIlipE) conjusatis sectionibus Fllipcicis (de qui
buS PrOP. 29. dictum cst:) cum hoc tamen (inter alia) dis
crimine, quod quatuor sectiones Fllipticae, centrum rerlus incurrata
se mucuo ContinanE; ac Conjusata FErverbOlX, d CeNtTO RCCTVatX
(Partem conrexam centrum rertus habentes,) neque sibi invicem, ne-
que luis AErmptotis rectis, nisi post intinitam distantiam occurrunt,
aut OCCUESUEX LUPPOnUNEuT. Fota vero fgura (quod Systema Lyper-
bolicum axpellamus) quae contineri supponitur (aut supponi PONIE)
quatuor conrexis Hyperbolis, (sibi mucuo, ut et ACymptoris rectis,
Dost intinitam distantiam concurrencibus,) toti figurX Fslixtica re
Spondet.
Onatuor aucem illas Hyperbolas conjusatas, infinire continuatas, tandem con-
curluras; Tuppono quidem, non quod vel reapte concurrene, vel ctiam actu po-
terun intinice concinvari, (cum actu intinicum ejusmodi dari non potsic:) sed
quoniam qui alcerum supponic supponere debet et reliquum. Multa aurem apud
Machematieos supponi quae actu non existun sat nocum cst; quae veritatem ha-
bene consequencia (ur loquuncur) sire Hypochericam, licet non Consequentis live
AbColucam.
Acque hinc elt, quod Polysonum regulare intinicorum lacerum pro circulo ha.
beri loleac; aliaque ejusmodi innumera: Et quidem univertaliter, Quantitates,
quae ita ad invicem continuo propius accedunt, ut earum (concinvatarum) distan-
tia qualibet assienata minor evadat; supponendae sunc (in infinicum continuatae)
tandem convenire.
Ouod quidem eodem modo demonstrari potest quo s. Archimedis de circuli di
mensione, aliaeque passim apud Ceometras demonstrari Polent. Nempe, si in in-
tinicum coninuencur; vel concurrent (quod aftirmatus,) Vel achue diltabunt;
ac hoc est impossibile: Si enim distent, esto ea distantia live differentia a quan-
tumvis exigua, probari, autem poret eas propius accedere quam est ea distancia
altienara, (hoc enim ponicur;) non isicur diltanc; conremiunt erso. Quod crat
demonltrandum.
Neque pocest quidem hac demonstracio quovis modo eludi, magis quam illa
Archimedis modo memorata, aliaeque apud MaThEIATICOS IMUeTX.
PRO P. XLIV.
Ellixseos e Fyperbolae comparatio.
ut ea  a Ayperbolae docrina superius tracica; ea
rum ad inricem cognationem magnam elle, Maximum autem
inter eas discrimen (unde et reliqua omnia ortum ducunt) hoc
eAt, Ouod in Fllips diameter transversa atque intercepta super se mutuo
replicari supponuntur; in Fsyperbola vero, se mutuo continuare. Rdeoque
in FIlipsi Da = A a = AD = + = d; in FTy perbola verO D a = A a
F A D = F F a Aeque hinc quidem oritur FIlipseos incurratio rersuS
centrum, et Fsyperbola recurratio a centro, aliaque omnia quae inter-
veniune discrimina: ut probe attendenti patebit. Adeogue totam
Tere EIlipleos doctrinam FIyperbola accommodarimus (consulto qui-
dem, ut carum coonatio melius percipiatur) coridem Fere rerbis.
mutatis cancum signis t =.
nique tactenus Pacabola, Lplecdi e speibola docheinam, luceimele qui
dem,s sed et dilucide pradicdimus.
APPF
u

## Folio 350 — 851387705:0370
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000370.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
DE SECTTONTBUS
CrOp. l1
3
A P P F N
Radidimus, in superioribus, trium illarum (prout vuleo dicuntur)
Coni-sectionum, Parabolae, Fllip(eos, atque TErperbolae, doctri-
nam succincte satis, sed co interim satis (ni fallor) dilucide. Pa-
rumque vel omnes vel praecipuas saltem affectiones vel demonstra-
vimus, vel saltem demonstrationum fontes indicavimus; ut inde liceat levi
necotio ea omnia deducere, quae loneis ambaeibus, atque perplexo variorum
Lemmatum e Demonstrationum intricatarum labore, antehac ostendi consue-
verunt.
Atque haec omnia brevi admodum alque suecincta methodo tradita sunt;
praeseriim si omittantur ea omnia (qua quidem tuto nec incommode omitii
posse videantur, quae tota parte prima tradidimus; quae quidem Conum spe-
etant, atque illarum ad conum relationem, cum quibus tamen praesens de-
Etrina (quanquam secus olim creditum est) nullam habet necessariam con-
nexionem; sed simplicius atque universalius tradi Cs potest c3 debet.
Sed interim viam simul aperuimus qua Curvarum doctrinam penitius in-
eueri atque ulterius promovere facile possimus: (quod e nos fortasse post
aliquando, Deo favente facturi sumus, si illud necesse videbitur, atque viris
doctis Mathematum peritis labores nostros eratos fore perspiciemus.) Inte-
rim specimen aliquod libet apponere, de curvis aliis Parabolae affinibus, qua
rum Diametri, Ordinatim applicatae, Latera recta FTanentes, 6. non m
nus quam in ipsa Parabola reperiantur.
PROP. ZL V.
De Paraboloerde Cubrcale.
T Parabolocides ita constituatur, ue Ordinatim applicatas habeat
in suberiplicata ratione Diamelum interceptarum; (adeoque
illaru C ubos diamert  et CePEIS PTOPOrtIOnaLCS:) Paraboloeides Cu
dicale at Pelett.
ginariam, Cusus Guact act t catietue cen anccetum, aequa
cur cuba Ordinatum aepcalae. OcM asceo
Latus rectum Parabolocidis cubicalis (puta ) appello rectom ima-
PROP.

## Folio 351 — 851387705:0371
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000371.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
PFOp. XI. VI
HLC L S
e RO P. XL V1.
De recta Paraboloeides Cubicale contingente.
F Paraboloeides Cubicale A aq in puncto quoris an contineat re-
eta _ F, diametro P A OCCuTTenS in F, Stque cidem diametro
Ordinatim axplicata a P: erit recta A F (diamerri Continatio) du-
pla diaHCCI InTExCePIA P A: hOC ett, diameter continuata P F, tri-
bla diamerri P A.
pram, sumpeo ubivis (in eadtem diametro) vupeto D, cui ordinatim abplice.
tur DO, tangenci a F Occurrens in P: Punctum Y (prOpter tangenTEM) vel CxIE
idem cum puncto a (E nempe P, D, coincidanE; ) rel (si secuS) exit L exta
curram: e (prOPterCa) DF = DO (nempe aequales, si D, P, coincidant; rel
A secuS, D T lonsior erit.)
Ponamus autem (ob. commodiorem calculum) P a = p, P A = d, PF = f,
PD = a. Eric ergo (per det. praeccd.) PA. DA:: PaC. DOC. hoc est d. d = a
: P
P =DOC. liem (propiex similia criangula) PF. Pa:: DF. DF.
hoc cA f. P.: 5 = a. p = D T. Ejulque cubus 
DTC) = (DOC =
a
23s a +3sa La
P. Fr (urinque multiplicando per fod, et divi
dendo per p3) erit f3 d = 3 f d a  3fd a2 = da f. d =f a. Tum C alite
rendo utrinque f d, ec dividendo per L a d erit 3f L = 35 da + d a =f. De
nique, porendo puncta PD coincidere, (ut craneleat quancilas an adeoque et ips-
uo mulciplicia = 3F dan = d a 3) eric 3f d = f, hoc elt. 3a = f. Quod erot
demonstrandum.
F R OP. XLVII.
De Parabolocidis Cubicalis Diametris.
Nquirere, An in Paraboloeide Cubicali Diametri sine invicem pa
rallela: Er cujulris diametri Ordinatim applicata, sint rectae in
ipsus Vectiee conringenti parallotae.
Inquilucio sacile instimi pocerte ad imicacionem illius quae de Parabola achibe.
tur ad prop. 24. nili quod PF, quae iltic dicitur 2 a, hic dicenda est 3 d. Fam
nempe Anatycice sic inllicuamus. Supponamus scilicet rem ita este: Adeoque re-
etam l’a, quae paraboloeides Aa in puncto a continsat, diameno P’A producta
OcCuTrerE in F; eique parallelam OO Paraboloeidi inscriptam, quae (producta)
cidem diaerro supra verticem occurrat in C) (adeoque  intra verricem diaetro
Occurrat, cum tam. duarum D Ei, quam duarum DO, de quibus mox dicetur, al.
Eera eriu quantitas negatira, quod tamen calculum non curbabit; ) iplanique 00
rec
ipsi a ordinacim axplicata;) denique diametro AP ordinaciim applicari OD,
ODa P iplique Paralselam r P eidem diametro occurrere in P: quare e (prOPIeI
Paralletas) Pp = a 2 = F G; _ ProPterCa P F = P C: item (propter parallelas)
rectam DD. bilectam in p, SeutO bisecatur in 2. Ouarendum autem est, num-
cubi reperiri poltine puncta D, D; quae, quidem licubi inveniantur, conslabir pro.
Dolutum.
Sublticuris igitur idoneis lymboto = P. P A = d. (ideoguC, D Pa-
ced: PF = p G = 3 a.) PP = a n = F C = 8. (erBO p A = P A F Pp = 4 + 8.
PD = g. (adeoque D A = p A L pD = d + 5 Lg. _DC = p C + pD = 3d =9.
Fxit

## Folio 352 — 851387705:0372
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000372.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
DE SECTTONEBUS PrOP.
Erit isitur (propier Paraboloeides cubicale Bex PrOP. 45.) P A. DA:: P aC.
DOc. hoc elt, d. d +5 Lg: : B3.  s=2,5 =DOc.
Irem (propter similia criangula) P. F. P a:: DC. DO. Hocest, 3d. P: : 3, d = 9.
3d
2p =DO. Ejusque cabus 27 ~ + 27 a 9 + dd9 = 4
(ict 1 27 43
=DOC
6=G
Ergo (utrinque diridendo per pe, ee mulciplicando per 27 43) erit 27 d2 L2789
FOdg2+93 = 2743 +27 d8 + 27 a29. RE (sublatis uerinque aequalibus)
9dg3=93 = 27 d8. Cujus quidem aequarionis radix q. si vel ope Coni lectionis
vel alio quoris modo reveriri pocerit, monttrabit quaelita puncta D, D, (alierum
quidem lupra punctum p. alterum intra;) adeoque propoliri vericatem. Incellise,
t binae radticesque (Tursum et deortum Tumendae) tuerine inricem aequales.
Analyli peracta, Demonstrationem Cynchericam sic liceret insticuere.
In Parabolocide cubicali Aa diametro A P, Paralle la ducatuK a N: per cujus
punctum quodvis (intra parabolocides) , ducatur recta r CF (diametro AP
OccurrenS in G) Parallela tangenti a F (quae eidem diametro occurric in F. ) Frit
an ejusdem Parabolocideos diameter, eique ordinatim polita n C.
Diametro A P ordinatim applicetur a P, eique parallela ducatur r p (cidem dia.
metro occurrens in p.) Fc lunco Cymbola P a = p. P A = d. FC = an
Tum sumancur in diametro, utrinque a puncto p, aequales rectae pD == p D =9.
utraque nempe tanta, quanca est radix hujus aequationis 9 d92 +93 = 27 d’ 8
(Nempe Lbinae radices oppotiea, tuerine aequales.) Et punctis D, D, ordinatim
ponantur rectae DO, DO, rectae in C occurrentes in O, O: qua cum parallela
sint rectae x D, Licur recta DD (ex constructione) bisecatur in P, crit ideo O0
(proprer parallelas) bisecta in n.
Supereltixitur ut ollendatur rectam DO (bilectam in ~) Papabo loeidi interi-
pram este, (’ut nempe ar recta bisecans sic diameter) hoc elt, puncta O, O, este in
Parabolocideos curra; nempe rectas D O, DO, (diametro A P ordinacim PoHtaS,
ex constructione,) ordinacim applicacis (ad eadem diameiri puncta) aequales elte,
adleoque in curra terminari. Quod sic octendi polse videatur;
DC = DC + pD = 3d +G
  34
ASIes
Tum (propier Paraboloeides, cubicale) ut PA, ad DA; Sic cubus re-
cta Pa puncto P ordinacim applicate, ad cubum ordinacim applicatae puncto D.
hocest a. a + 8 =9:: P3.  8, Z p  qui igimri cubus est ordinarim applicatae
Duncto D.
Sed et cancundem ett cubils tectae 150. Nam (propier Stilia crintibista ) PF
1.
a SCLF AICI
3a L g
Ysi
Pa:: DC. DO. hoc est 34. p: : 3 d =9-  5 9 B =D O.; Ejulque crtous
27d
4 pS L. Vel (prO. 949 L93 substimendo
erisit ~t
Eha S, quae per construtionem tulne aqalius) 32 a1. L. 2s d. 9 L 22 d. e pr, vet
l1337d21 8it
4+9 + 3 p = DOc. adeoque re
denique (abbreviando tractionem, per 27 d 2d =
Ex DO, DO, ordinatim applicarae sune punctis D, D, ad Patabolocieos curram
terminatae in O, O: et proxierea recta O Paraboloeidi inseripta est ad diame.
crum ax ordinacin. polita. Quod erat demonstrancum.
Fac aurem disquisitio, quanquam prima tronte speciosa videatur; non tamen
concludit: eo quod radix q ueriusque aequationis, lupponitur ejuldem magnicudi.
nis; quod rerera non concingit, ut ex Aequationis Cubica Resolucione pacebie
De qua plura diximus in Epiltola quae Fractatui meo conera Meibomir Dialorum
Dratisiur.) Et propterea ejusmodi Parallela Diametri in Parabolocide Cubicali
NOn REPCCIUNCT.
EIISEC
is
AROP.
esto aiie

## Folio 353 — 851387705:0373
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000373.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
 11C.
P R O P. XLVII.
De Area Paraboloeidis; e Conveidis Pyramidocidisve
illi accommodati.
T Archimedes (in lib. de Quadratura Parabolae) ostendit P2
rabolam (fsuram puta linea Parabolica et recta contentam)
esse ad Friansulum (Cuper eadem vel aequali base aeque al-
tum) ut 4 ad 3: Sic et demonttrari potest, Parabolocides cubicale
ad Friansulum (incellise, super eadem bale aeque altum) eAC ut 3
ad 2.
Trem, ut Conoeides Parabolicum ad Cxlindrum (ret Prramidoci-
des Parabolicum ad Prisma) est ut x ad 2: Sic demonstrari potelt,
Conocides à Parabolocide Cubicali ortum ad Cylindrum (vel ejul-
modi Prramidocides ad Prilma) ee ut 3ad 5.
Haec aurem alibi (Deo volente) inter ejusmodi alia mulea aliquando sumus de.
monstraturi. Arque insuper generalem methodum tradticuri, qua Parabolocidea
quaeliber ad Ouadrata, et eorum Conoeidea Peu Prramidoeidea ad Cylindros aut
Prismata reduei postine non minus quam ipsa Parabola aut Conocides Parabolicum
rectum, (quod et de Conocidibus d Pyramidocidihus P. lipricis dt Lyperbolicis,
sive rectis live scalenis, incelligendum else rolo:) Duae nemo, quod sciam, ance.
hac aggreltus elt.
P R O P XLIX.
De Parabolocidibus aliis.
CI Parabolocides Ordinatim. applicatas habeat in Diametrorum in-
d
cerceptarum ratione subquadruplicata, rel subquintuplicata, _c.
(in quibus nempe Diametri intercepex sunt Ordinatim applica-
tarum biguadeatis, vel surdesolidis, ec. proportionales:) diei poterie
Parabolocides Biquadraticale, rel Sur desolidale, ec. (nomine nempe ra-
tioni aptato.)
Latus rectum ejusmodi Parabolocidibus conveniens, appello rectam
imasinariam; cujus, in Biguadraticalibus, Cubus in diametrum inter-
cextam ductus aequatur Biguadrato Ordinatim applicatae; in Suver-
Solidalibus, Biguadratum in diametrum interceptam ductum aequatur
Suversolido Ordinatim applicatae: (et similiter in aliis Parabolocidi-
bus, respectu semper habito ad gradum Parabolocideos.) VE sit
(prouc gradus postularerit) p = dV, vel p = d V, & sic deinceps.
ReCtA VerO A F (diametri continuatio inter rerticem et tanoen-
teM InFeTCCPEA) est, in Parabolocide Biquadraticali cripla, in super-
Colidali quadrupla, diametri intCTCCDEX P A; (ex similiter in aliis: )
FIOc eAt, continuata diameter PF (applicationis puncto et Tangen-
tIS CONCUTSu InFEFCCPCA) CA DiaMEETIINECTCCPEX PA, in Biquadia-
ticali quadrupla, in Supersolidali quintupla; et sic deinceps.
Demonstracio pari modo procedet atque in Paraboloeide Cubicali; aue eriam
ipla Parabola.
Adeo ut jam Parabolocidis Cubicalis, Biquacraticalis, supersolidatis, auc alius
cujulris, doctrina, non minus cosnita habeatur, quam ipsius ParabolX.
Si ramen, post specimen hoc extibitum, operx precium centebitur rem hanc Fu-
sius prolegu, voceric illud a quoliber lacillime tieri cuicancum luppecic ori.
ROF

## Folio 354 — 851387705:0374
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000374.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 16 lines, status machine
DE SECTIONTBUS, EEC. PrOP. L.
P ROP, L.
De Flliptocidibus C Fyperboloeidibus.
E. Fllipcocidibus et FErperbolocidibus (pariter atque Parabo-
locidibus) in prompru crat nonnulla adjecisse; nisi quod eo-
rum tractatio aliquanto intricatior cset, adeoque fusius tradenda,
quam breri axpendiculo conreniret.
Sufticiac ixitur (specimine in Parabolocicibus exhibico) vel antam aliis Por.
rexilse, vel id iptum Torlan reculiari cractatu polthac praelticurum esse.
Incerim, nexorium d me primicus luscexcum, me lacis prallicisse non diftido.
espes1 Gee  (
eiie desera euctivB s
Poseie loy etseestis sepiet cere
imie
113e. o 
des. S1

## Folio  -  — 851387705:0375
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000375.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
(101
s
ALIIMETTCA
NFINITORUM,
S IV F.
Nora Methodus Inguirendi in Currilineo.
rum Ouadraturam, aliaque difficiliora Ma-
theseos Problemata.
Anno 1655 typis edita.
3 2

## Folio  -  — 851387705:0376
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000376.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
 e
est IS SOTIHLLV
 + 1C
ier  iBno i_BA et BEs MCIKC
BZCisB BEPSILE (CESLBSB Lci M
S) CsAS est de
e
 d

## Folio 257 — 851387705:0377
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000377.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Claristimo Spectatisimoque 1
Malhelcoo ec
Rcclelix qua cA Mdeburiae, in agr0
Surrieni, Rectori. S.
N ribi tandem (Vir Clarissie) jam absolutum opus illud cujus spem
Fecit Propolitio ea Cyclometrica, quam sub Paschatis festo Fypis exeu-
Pam tibi dicari. Quod cum, pro more, ubi in publicum prodeat, alicui
dieandum lic, non tam Virum magnum quam magnum Machematicum
quaerendum purari, cui illud ofterrem. Adeoque non alii cuiquam quam
ribi magis illud deberi Facile perspexi; qui de a Macheli optime meritus Cs, et cu-
jus seripris me profecisse lubens agnoleo: quippe qui in tua Clave Mathematibae,
opere licet non magno, ea breriter timul de perspieue cradidilti, quae magnis alio.
rum voluminibus trustra quaelicemus.
Opus hoc invenies (siquid eso judico) plane norum. Cur enim ita non roci.
tem nihil rideo: nec alii credo id inficias ibunt. Ouamris enim non dubitan-
dum sic, quin propositiones aliis cognicae sparsim immilecantur, (quod necestario
faciendum erai, partim ue inde ad alia lux attuleeret, neque ridear aliquid com-
minilei, quod Macheli jam inventx acque exculcae nitril habeat actine; parcim eri-
am ne hoc ipsum opusmucilum prodiree de mancum, cum illae ex principiis no-
Sris ica lacim consequantur ut criamsi alias ionota fuiltent necesse (c ut hinc
Ptacim innoreleant; et quidem ex carum illustrioribus plerasque non apud alios
prius scirerim exctare quam ad eas methodo hac perrenerim:) cum camen de
nora mulca, aliis nec inventa nec cogitata quidem, habeat; acque omnia nova
methodo a nobis primitus in Geomerriam introducta, cractat; eaque (nili meis
Fortasse nimis faream) perspieuitate qua in abstrusioribus hisce problematis nemo
(quod sciam) usus est; Non estcur Norum dubitem appellare.
Nempe inde orcum lumit haec nostra mechodus ubi Carallerii Methodus Inai-
visibilium delinit. Onde etiam et operi ipsi, iplique viculo, aula data est; ut enim
ille suam, Geometriam Indivisibilium, ita Fgo mechodum noltram, Arithmeticam
Infinitorum, nominandam duxi.
Ouomodo autem eso huc perrenerim; licet id minus videatur dictu necessari-
um, cum omnia ea fere methodo seripra sint qua inrenta; tamen, quoniam id
ribi non ingratum fore judico, iltius eriam rei historiam breriter contexam.
Fxcunte Anno 1050 nclatut ene pra Mathemarica, (qua uc per alia
negoria licuit, anno sequente 265T, crolri) ubi inter alia, Carallerii Ceometri-
am Inaivisibilium exponit. Carallerium iptum nec ad manum habui, et apud
Bibliopolas aliguoties Frustra quaesiri. Iplius aurem mechodus, prour apud Porri
cellium traditur, mihi quidem eo grarior erar quod nelcio quid ejulmodi, ex quo
Primum tere Machelin Talucarerim, animo obrertabatur; quod enim de Circulo
apud plerosque obcinet, (qui pro intinitorum larerum polysono haberi Colet
quae nondum in ordinem redeseram. Leque enim per alia licuir negocia, Machele
animum ex protello applicare, sed ei lalrem horis nonnunquam subcisiris indul-
gere: priusquam aliunde ad hanc quam jam subeo provinciam rocatus fuerim;
num non hine aliguid de Circuli Quacracura, quam lummos temper riros exel
adeoque Peripheria pro rectis numero intiniris intinire breribus;) vitum erat
mihi, mucacis mutandis, eriam alibi non lululles accommodari polle; ce quidem
eo lpectare non pauca qua apud Fuelidem, Apollonium, e Praletim Archime.
dem Dalli exCtaNE. FranE autem ea non  cmua acthue apud me cosltata
suod nol ia multo prius contlectat.
Obi hujusmodi jam oblue  PELLCMCTAIM; COGITarE apua Me CaPI

## Folio 258 — 851387705:0378
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000378.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
F.
ille nocum est, luminis accedat. Ouod spem facere videbatur, hoc erat. Infini-
torum Cont circulorum, ad cocidem Cslindri, ratio jam crat cognita, nempe ut
F dd 3; eorum autem diametri omnes in triansulo per axem con, ad tocidem in
Parallelogrammo per axem eylindri, Tunt (uti nocum est) ut 2 ad2. Pariter in
Conoeide Parabolico circulos omnes ad coridem in exlindro circulos nocum craL
rationem habere rad 2; eorum autem omnes diametros ad diametros horum esse
uc 2ad 3. Manifestum etiam erac rectasterianguli elle Arichmerice proporriona
lesqu Tre uC B, 2, 3, ecc. erso circulos coni (in cramcerorum racione duplicata ) ut
2, 4, 9, _c. Trem circulos Conocidis Paraboliei (in duplicara ratione ordinarim.
applicatarum, hoc elt, in ratione diametrorum,) uc F, 2, 3, ecc. ergo eorum dia-
mecros ut V Es V2, V 3, ecc. quippe in circulorum luorum ratione lubduplicata.
Fieri isicur posse sperabam, ut alias eriam ex cognica ratione quam habeat series
circulorum, sire (quod eodem recidir) quadratorum, ad toridem aequalia; inve
niri polset es quam habent rationem eorum vel diamecri vel latera ad aequalia 1o-
cidem. HToc autem si unirersali aliqua methodo inrenire possem, de Circuli Oua
dratura Pacis prospectum etlet. Cum enim jam hocum crac, parallelos omnes in
Sphaera circulos, ad coridem in Cylindro, esle uc 2 ad 3; li indecornosci polset
quam rationem habeane omnes eorum diametri ad diametros horum, inventum
torer quod quaerieur: nempe Circulum illa, hael Ouacracum diamerri constimune.
Redneto ita problemare Geomerrico ad pure Arichimecieum. 1d
Hluie igicur ingnilirioni, istius anni 285 ontines et inicio sequentis 2652, me
applicui; ea plane mechodo quam indieat hic Practatus: opinacus vel inde con
ltare aliquando polle quomodo quadrandus esser cireulus, vel Forre ne quidem
quadrandum elle, vel alcem aliquid hinc emensorum essé quod Opera Foree pre.
EIuM.
AgoreCTus igicur sum primo lut ~ simplicioribus inchoarèm) series simplices
Duta quancitacum Aruhmecice proporcionalium, vel in carum ratione duplicata
Eriplicata, ec. deinde de Subeluplicata, suberiplicata, ec acquo ex his compotica,
Duta, subduplicatae criplicata, ec aur eriam qualicercunque mulciplicata, vel juxta
denominationem rationalem aut eriam irracionalem; In guibus omnibus res plane
quidem ex voro et supra spem Succestit. Unde Pheorema tandem generale emer
lic, PrOP. G4. cradimm. Sed ee quadraturam simut reperi non modo Parabola
nora mechodo praestandam, sed e Parabolocidium omnium, corumque comple.
mencorum, quod vemmo anteas quod scirerim, asgrellus erais nedum allecutus
Adeoquo hinccllarim Geomecitam auctam persenti; cum enim ancea ex figuris
currilineis Cola fere Parabola gradraruram nacta crat, jam Parabolscidium omni-
um intinita genera una quidlem es generali mechodo unica proposicio quadranda
doceat. Ft quidem Sinnius Parabola guadratura Archimedem tancum nobilira
reric, (ubi omnes deinceps Machematici ex eo cempore substicerime canquam da
Herculis columnas,) gracum illud orbi Machematico FircrI PatiS PrXesenH 
etiam ejusmodi tigurarum intinica genera quacranda docerem. Sed de Conocidium
nem et Pyramidocidium doctrinam hinc ampliaram vidi. Cum enim Archimodes
ex Conocidibus et Spharooidibus sola recta cractarerit (ue _ Poltillum aliis) de
Pyramidocidibus, ne quidem mentione tacta; exo illa omnia sire Conocidea sve
Prramidocidea tam recta quam inelinara ad Cylindros e Pristrata redegi. qe
ea rancum qua ex Parabolis, sed et qua ex Paraboloeidibus omnibus corunve
complementis formancur, de gnibus. olcum hucusque, apud omnes silentiumr; ilec
quiequam ( quod scirerim) utspiam remtacum. Sed et cocam fere de Spiralibus
doetrinam hinc eriam ridiidirecta posse consequencia derirari: FL quidem non
modo sparia spiralibus ordinariis adjacentia (quod fecit Arehimedes) cum cireu
l0 comparanda docui, sed de quae Spiralibus aliis adjacent. Sed de iptam spiraliu
doctrinam, non minus quam Parabolarum et Parabolocidium, ampliasse proctire
crat, nus quod nollem ad Corollaria minis exspaciari
Fransii deinde ad series auctas (quas vocO) e diminutas Gre mucilatas; qua
ex duarum pluriumre serierum ret aggresaris vel difterentiis constane: Nique
hic etiam lucceum minime Concenser Lepert. Lempe eas ontes de lerses
redisere rem nullius elle negorii perspexi: neque ca cancum quae ex Hyperbolis
et Fdlipsibus tiane, sed et qua ex Hyperbolocidibus vet Elliprocidibus mille mo:
Ella
aycasn redisere non crar ditticile; adeote nbeliea d Sphaerocidea ve
etiam. Pyramidocidea, non modo recta sed eo inclinata, ad Ciflindeos ee Prilmata

## Folio 359 — 851387705:0379
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000379.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
d 1
als Tormari pollent; verum eis ligillarim recensendis immorandum esse non dux
ne nimis diragarer, praeserrim cum illud qui tieri pollutnemo non ex craditis luo
Marre perspeiat.
De leriebus autem iltis sire auctis lire diminuris non iptis Tolum, sed ee quae in
earum ratione duplicata, criplicata, auc ulterius mulciplieata procedunt, candem
inquilitionem eodem succeltu concinuari; uti ex iis quae deinceps sequUnEUE prO
Dolicionibus videndum est. Obi simul numerorum tiguratorum, puca criansula
rium, prramidalium, ecc. (quorum nullus vel. exiguus hractenus utus tuerie, et
Fere ludierus,) ulus intignes ex insperato detesuntur.
Vecum ubi de seriebus aliis qua line in illarum auctarum rel diminutarum ra-
tione labduplicaca, Cuberiplicata, ecc. proxime agendum crat, (quod Circuli, FI-
lipieos, ee LIrperbolae quadracuram directe quidem de immediare spectabat, et qua
sola jam supertuir difticultas:) videbam illic aquam haerere, neque me ita tacile
ac in prioribus me exrricare pocuisse. Reisicur variis modis centata, nec CO tamen
exitu qui rotis omnino Cacistaceret; eo derentum crat ut crederem rationem illam
quae quaerebatur ejusmodi esse ut quae nec reris numeris, nec quidem radicibus lurdis
(rulso dictis) elser explicabilis. Numerorum enim progreltiones aliquoe inveni
inter quarum datos cerminos alius erat interponendus, uc rationem quaelicam rale-
ren exprimere. Fas autem progreltiones rales esse ue nec Arichmericae dici pol
linc (ubi ausmenta continua lunc aequalia,) nec Geometrica (ubi numeri conti-
nue mulciplicances sunc aquales,) scd cales quae continuos mulciplicatores l-
Beant Arichmerice proporrionales, adeoque magis achue sint composita quam GCO-
Merriex. Si aucem in Geometrica procressione, (ubi continui mulciplicatores
sunt aequales,) quamvis aliquando Feri BosTit (verbi gracia, in 2, 4, 26, 64, ec.)
uc incerpolandi terminis illius medii line, numeris explicatiles; non icem in omni-
BuS (Puta In 1, 2, 43 8, ec.) id tieri poltic; sed necesse sic ne numerum imposi-
bilem uccunque indicemus, (puta V 2, Y 8, Scc.) mulco minus sperandum tore
judicari, ne in proorectione magis adtiue compolita (ubi concinui mulciplicatores
sune continue vel crelcentes vel decrescentes) id temper fieri postit; adeoque
alium aliquem nocationis modum (quam qui adhuc receptus est) incroducendum
Ducari, quo numerus ille impossibilis indicetur.
Acque hactenus perreneram iltius anni 2652 inicio, cempore (simemini) qua-
dragelimali; quo cempore nempe per Academia noltra consticutiones, a publicis
Praelectionibus teriari permistuin elt, adeoque priraris dilquiliionibus magis ra-
CarC.
Dum autem hric harebam, placuie rem cum aliis quibus tamiliariter utus Tum
viris Machemacieis communicare, ue riderem num illiauxilio esse pollene in 9y2
lira quancieare detisnanda. Adeoque ex rariis quas apud me conceperan ejusmodi
proorestionibus, unam sclesi, quae omnium ridebatur simpliciltima, (NE quX Per
numeros incesros procedie;) eam nempe quae jam habetur prop. 292. hujusce
cractatus; eamque ad hanc tere formam (non enim omnibus illam iisdem plane
verbis, sed eodem tamen sentu proposui) problematice concepi; Si aequabilem
quandam curvam contine at in dere recta, unu du eut dan ducantur rectae axi
Paraltelae, aequalibus ab invicem distantiis remotae, quarum prima sit 2, secunda
6, tertia 30, quarta 140, quinta 630, S. Gunuta erit illa quae interponenda est
Illa Guae quaerebatur quancirate aboalu tore quadracuram Circuli. Non aucem
Vel es Inihi rel eriam corum quispiam (quibus nec erac obrium respontiu,
ec
media inter L _ 6d Vel eciam Arichmerice, In serie numerorum 2, 6, 30, 240.
630, c. quaritur terminus medius ipsis 286 interponendus: Fieri autem hos
terminos indicabam, ex concinua musciplicatione numerorum FX 4 ZX 4 Z X 4 Z X 4 3
une Nrichmetice proportionales. Promna cepu propolui, mensibus se
scencibus, (inter alios) Claristimis viris ee Machemacteto, V. SeBo Wardo AIErO
8c. Vel Ctiam LXSX = X 3+ X 3 CC. quorum tam numeratores quam denominatores
nomid Plotellori Saviliano, Consa L Roce eune auud
Oxomenles commoranci, pollapu L  Corlesio Crestramenti Protes-
tOIL Altronomico. ee Richardo Karenn, o BCSIt Reginalis axud Oronienses 50-
cio; nescio annon erjam sub eodem tempore, (an aliguanto serius) Roverto
Nood Socio Collesii Lincolnientis, et Christophoro Wren Collesii Omnium. ANi-
marum Socio; (Led d aliis etiam aliquor, quibus nominancis supersedeo:) de
quidem derecto iis (ni fallor) omnibus eo. ad quem cendebat (copo; nempe, cata

## Folio 360 — 851387705:0380
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000380.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
nec racabat luis poslpoliris de quaetiris meis admodum este solicitis,) ex volo Pa
risfecit. Monuir aurem eorum aliquis ut Gregorii a Sancto Vincentio Opus Geo-
metricum contulerem, (cujus ne nomen quidem anrea audireram,) uc qui magno
rolumine hujusmodi res quae ad circuli Guadraturam spectent expolueric. Ilinc
cso monito obcemperabam; librumque ucur tanto erac volumine uc non interrum
perlegere racarerir, perrolri uccunque; solicitus an inde quae adrem noltram
tacerent reperire possem. Inreni aurem aliquando casdem ec illi e mihi (quod
nihil mirum Crat) speculationes obtigilte, licet diversis methodis eo perreneri
mus. Fexempli gracia, quod appellat ille plani in planum ductum, id ipsum est
quodnos ex hic, et in Fractatu de Conicis Sectionibus (qui huic gemellus olt eo-
ACI AnNO F65Z COnCeDEUIS _ primicus FOrmatUS,) dicitur, ductus rectarum omni-
umunius plani in alterius respectivas rectas: Cur aurem eso ductum plani in pla-
num non dixerim, in caula crat, quod revera non cam planum in planum (sic
enim prociret plano planum, quacuor nempe dimentionum, non Colidum,) Sed la-
cicudo unius in laciudmem alterius, ec lactum denique in communem alcicudi-
nem dueitur; adeoque cres (non quatuor) emersune dimentiones. Ft alia tor-
calle nonnulla. Or aurem ex luis ne unam vel provolicionem vel demonstrarionem
in nostrum cractarum altumpli, quam eso antea non inveneran:; ita liqua Fortan
Occurrant uerique communes, non opus elle credidi, uc propterea ex noltris dele.
rem, cum ee illud Paepiltime concingere sic necelle, uc ubi duo rel plures rem can-
dem cractundam luscipiant, in caldem aliquando incidant speculationes. Verum
(ucur ille mulca habeat acure inventa, mechodo a nostra plane aliena) illud quod
apud cum maxime quaerebam nusquam inveni; neque enim ille vel consque rem
perduxerat, nec etiam circuli quadracuram, quam le invenille pertriber, omnino
accingir, led ad propolitionem nolliae PCOP. 136. non mulcum ablimilem ubi per
venerat, racus inde se cireuss quadracuram inrenisse, non tamen aAccurus est; uti
in FEcreoes lua oltendit D. Lugenius.
Sub ejusdem anni (1652) aucumno, Clarissimo Viro Francisco Schootenio Mache.
leos Protellori apud Lusduni Bataros, inter alia, propolui etiam hoc problema,
(recto tamen quo collimabat seopo;) quin rectacim cum Claristino Viro Christia-
no Flueenio communicata, releripeis non ita muleo post liceris incricaram rei ditti
cultatem (utue primo alpectu tacilior vila tuerit) Tubindicarie, neque incerim
iDem tecic vel libi vel Dom. Fugenio vacaturum tore ut ei ulterius exquirendae
plus operae impendorent. Hlis eorum omnium relponsis, contirmacior tactus Cum
in ca quam pridem conceperam opinione, nempe terminum illum quaesirum neque
numerum rationalem esse, neque ex adhue reccpris surdis aliquem; sed nova no-
ratione delignandum; ee quidem, si libet, ea quam nos ad prov. 190 altignavimus.
Si vero (prour verbi graria V 2, licet veris numeris exprimi praecile non postit,
Dollicramen quam proxime, ita) velimushranc quantiratem veris numeris quam
proxime exprimere, (tanca nempe axpiBeia quanta quis relit, modo praecilam non
relic,) quomodo illud tiac docemus prop. FOr. Ouomodo illud Geometrice uc-
cunque exhibeatur, ostentum estirem propolicionibus sequentibus. Adeoque cir-
culi quadtraturam cousque prosequuri ridemur quancum numerorum nacura pari
TuI. Dui vero ulceriusrem praeltare postulac, perinde est acli postulet V 2 veris
numeris exprimere: quod iniquum ellet posculacum. Non incerim ignoro quin
Dossic e aliis eriam modis inexplicabilio illa quanciras characteribus delignari,
atque ad numeros reris proximos aliis icem methodis perveniri, (Licur d de ra
dicibus surdis diei poltic,) qua in re non est uc eso viris Machemaricis quicquam
praeleribam, sed quibus quilque malic uri liberum relinquam.
Absoluta aurem circuli quadracura, non opus elle duxi cognata illi alia pro
blemata ligillacim aerinsere; puta quam habeat rarionem diamerer ad periphe
riam; auc lphaera ad cubum; aur conus vel cslindrus ad pyramidem aut prilma;
aliaque similia: nemo enim neseie hraec inde collisere.
Sed neque de quadracura Fislipseos scortim quiequam dicendum ridebatur;
stionem lacis mirabilem de menturandis tiguris alcera parre cerminaris altera in
intinitum concinuaris. Adeoque quod in una figura solida praestitie Forricellius,
id nos in aliis innumeris, cam planis quam colidis laciendum ostendimus, prop. 87.
e
quippe quae junetim cum quadracura circuli craditur.
Flyperbolae quacracuram quousque fierim asecutuS, PrOP. 165. Ostendimus
Incerim camen, mechodi quam crado tilum secucus, iopinaro incidi in qua-

## Folio 361 — 851387705:0381
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000381.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
E D I C A T FO
et Scq. ad 207. Et simul docemus quo dignoscatur cricerio num ejusimodi Feu
rx propolicae in intinitum concinuacae tinitam tandem an infinicam maoniendi
nem SInE aNteCUCuTa. Ouxe quidem ee miranda Paris, et jucunda simul, videacur
speculacio.
Ouod aucem jam ance cres annos invenerim, cur non cicius in publieum dede-
rim; in caula fuie partim quod cgo aliis non raro negotiis fuerim arocacus, sed
praelercim quod Prposraphus, alus edendis occupatior, non nili serius susceperit
et cardius exsecurus sic e hujus et aliorum qui cum hoc prodeunt tractatuum im
pressionem. Ouam vero, dum quae jam prodeune tub Prelo crane, placuic (Tub
aequinoctio verno) qualim anreceltum emittere, propositionem Ciselometricam,
(quae e eam continet, quam are aliquot annos sub problematis torma, ue Tupra
dictum est, esresiis aliquor riris proxolueram,) invenies ex tribus illis quae huns
cractatum claudune delumpeam elle. FX eo aurem tempore, (mense jam proxime
praeterito) prodiir Liber D. FTobbes; qui jam magna policitus in GrCOmetIa, e
speciacim circuli quadracuram, ansulique in data ratione sectionem, aliaque His
coenata, Librum tandem Cuum in publicum emisie, quo se ostendic nec horum
quicquam praesticisse, nec quidem praestiturum esse; adeo enim curpiltimis parala.
silmis ubique scatet Liber ilte, uc raro aliquando quid sanum invenias, (quod
noltro iltius Flencho, qui et jam sub Prelo est, manitestum Het;) unde d Au-
chorem non cum elle facile dignoscas a quo hujulmodi mysteria speremus re.
texenda.
Caeterum vale, Venerande Senex: Fr ce Deus summe misericors feliciter Cospi.
tet caque omnia taxie prospera: ucrandem, post Senium Feliciter de Pie cran(.
actum, atumnolam quam virimus ricam vica commures meliori. Quod animicus
Drecatur
Dabam Oxonia
Suli 19. 1655.
Li Chserdantis sumus
3. W A L. L I5
est quae sequicur.
Zropositio quinedo tratoatum Lasoonus strobtibto lodet

## Folio 362 — 851387705:0382
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000382.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
62
PECEA 
GVTIIFLMO 
MatheseoS cognitiOnE CLAVEH
NNVS. NALLIoI
D
Vam sibi antehae (Celeberrime la Propositienem, velata facie,  for-
rehatica eloquentem (quam prius subricebat) ctcn.
1
Ctl
SIe EFIESI
OI
ISSTMO VIRO
L. PrOF. OXON. 15.
ma Problematica; ut e aliis, quibuscum rem habui Mathematicis non
parcis ante aliquot annos, extibueram:; celato plerumque (nonnullis ta-
men detecto) in quem diricebatur scopo: Fn tandem aperta frente, forma Theo-
Cireuli Quadraturame.
Xpolica aequabili curva VC, cui
occurrat in vertice recta V I
in quorlibet particulas aequales diri-
Can ec, a lingulis diritionum punctis
coridem rectis parallelis ad curram
ulque ductis, quarum secunda TII L,
Quarta 6, lexta 30, Octara, 14, _c.
Frit, ut carum secundta ad terriam,
Tic Semicirculus ad Duadracum Dia-
metri.
Vebus Si Tic secunda F, Quarta 13,
Texta 28, ec. Frit, ut secunda ad
terciam, sic Circulus ad Ouacrarum
Diamerri.
Vetu Si HE Secunda F, quarta 2 Z,
FcAra 48, Sc. Frir, ue lecunda ad
serciam, sic triplum Circuli ad qua-
druplum Ouacrati ex Diametro.
Pocum Demonstrationis proeres-
sum, ipsamque methodum qua tam
ad hanc circuli, quam ad innumeras
alias aliorum curvilineorum quadra-
turas pervenerim, ostendet tractatus
quem apud me jam aliquandiu per-
fectum habeo,  quidem in Trpo-
craphorum usum exscripeum, quem
in publicum daturus sum, quam pri-
mum per Typoeraphorum moras lice-
bit, quorum otia per duos inteeros
quod exeurrit annos jamjam ex-
spectavi.
Dabam e Typoerapheo Oonien si
Poltridie Palehatis, AnnO D0.
mini 1655.

## Folio 363 — 851387705:0383
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000383.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
TGI
paccuee pcotam (Polouu edi-
cum) acpe. Sudesnd ille d hacme-
thodo senterit, innotescat.
Venerabili Viro e Amico plurimum Fonorando
D. FOTIANNY WAL. L TSTO
Aud tacile dici porest (Venerande Vic) quanta cum Voluprate pectu.
srari (prout per alia licuie Negocia, per intirmam Valecudinem, per
Grandem Atarem e ad finem properantem, asentis annum 82,) Fructi.
ulla Cua (de Pruribus eximiis subeilibu sque argumentis) scripta, ad me milta.
Deoque primum, palri luminum, sratias recognoleo debitas, qui tam illustri ce
donarie lumine: Fibique dein cratulor, cuam cum Admiratione, cancam tum
perspicuicarem, cum perspicaciam meniis geniique cui; qui noram non tantum
inireris iple, sed et aliis aperueris viam, in abdicistima Arcis mysteria penetran-
di; Veceribus incognitam, ee ne coxiratam quidem. Poque me majori inorent
altectu haec inrenta tua, mylteriis plena, quod Flonorabilis Rques (Scientistimus
ipse _ Scienciarum patrONUS) D. Carolus Cavendis, jam ante annos viginti, mon-
Atraric mihi Charculau (Parisiis ad se miltam) pauca quidem, sed esregia quae-
dam nora Fheoremata continentem; per Cavallerii (credo) methodum excogi.
tata; quae c8o icidem (methodo meis magis contormi) icerato absolri, ec cum
pluribus communicari; quorum aliqui ex meo seripio fecerunt sibi APoSrapha,
sed quod ple nunc ad manum non habeo. Ouod repeto, quia jam tum ridere
mihi rilus Cum tanquam e longinquo Puborienrem lucem, patetacturam mira; qua
supremis hisce mundi seculis humanum genus olim aliquando foret irradiatura.
Duam c8o lucem; tunc, quali a longinquo conspectam, Calutabam; nunc, ut in
Propinguo poticam, complector; prosperis his initis esulsentem. Ouod 10.
 praetisere dignarus lIS, insignL
tuo Favori debeo: qui slorix cux nihil ultra conterre raleo quam plausum meum;
Precelque ad Deum ut relit ille perticere lic feliciter incepta, luaque Cilorix pro-
morenca CongrUa. Quod eX AnimO precat,
Aueusti 27. 1655.
Tui Amantissimus de
Admiratot,
Ctemus Ouehirea.

## Folio  -  — 851387705:0384
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000384.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 14 lines, status machine
 eal BAeLI.
Eetorem bic monendum censii, quod Vir Clarissimus D. TImaet Bullialdus
in breviculum hunc tractarum amplos scripsit commentarios, erudito qui-
 dem e multorum annorum opere, maeno Polumine Anno 1682 P arisis
eaito, cui nomen fecit Ad Arichmeticam Intinitorum. In quo multa eorum quae
sant hic succincte tradita exponit ille fusius:; plurimaque quae hie latebant elioit
Theoremata,  speculationes scitu non indienas. Or sicui minus placeat mea
succincta brevitas, poterit ille res easdem ibidem ampliatas es solenniori pompa
deductas contemplari. Cui Viro Clarissimo a me deberi erarias eo nomine. lu-
vens aenosco. Rem ipsam quod spectat; non video quin haec nova methodus. l’uiut
de ea primum, quod de rebus novisfieri solet, haesicaverint nonnulli sit apud Vi
ros Firuditos jam passum recepta atque in usum adhibita, ut apprime utilis e
compendiosam sed  satis demonstrativa: Quaque aliquando objecta fuerint, nos
alibi dituimuts, ut repecitu non sit exus. Lui Lector, Fruere,  Y ale.

## Folio 365 — 851387705:0385
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000385.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
TIMD
C A l2CL L.
S I V F
NOrA AELHODOS IHOBTREHOI
in Currilineorum Ouadraturam, aliaque
Difficiliora Matheseos P roblemata.
PRO P. I.
Lemma.
Y proponatur series Ouantitatum Prithmetice proporcionalium (sire
juxta naturalem numerorum consecutionem) continue crescen-
tium, a puncto vel o (ciptra, seu nihilo) inchoatarum, (puta
UE O, 2, 2, 3, 4, _C.) Proposicum sic inguirere, quam habeat ra-
tionem earum omnium axxresatum, ad axeregatum tocidem maxima
aequalium.
Simpliciltimus investisandi modus, in hoc et seguentibus aliquot Problematis,
est, rem iplam aliquousque praestare, de rationes prodeunces oblerrare atque invi-
cem comparare; ut inductione tandem univertalis proposicio innotescat.
Es isitur, exempli gracia,
0 = 2+ 2 + 3=6
3 + 3 
= +2
0+ c + 2 +3 +4 +5 = 75
+ 5 +5 +
+
+
10
0 = T
0 + r + 2 =
1 2 + 2 =
O = F + 2. + 3 + 4 = 20
4 + 4. + 4 + 4 + 4. = 20
0 = 5 + 2 +3 + 4+5 +.6 = 27
6+6+6 +6+6. + 6 +6 = 42
Et pari modo, quancumlibet progrediamur, prodibit semper ratio subdupla. A-
deoque-
PROP. II.
Theorema.
U7 sumatur series quantitatum Arichmetice proportionalium (sive
juxta naturalem numerorum consecurionem) contimue crescenti-
um, a puncto relo inclioatarum, et numero quidem rel tinitarum rel
intinitarum (nulla enim discriminis causa erit,) erit illa ad seriem cori-
dem maximae aequalium, ut 2dd 2.
Nempe, Si primus terminus (LO, secundus 2, (nam si secus, moderatio achi.
vencta erit) e ultimus l, exie summa-, = Y (erit enim, eo Casu, RUETIS LT.
minorum I. + L.) Vel, (polico numero cerminorum m, quancuscunque sic terminus
Sccundus) Zm 
PROF.

## Folio 366 — 851387705:0386
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000386.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
ARIXHMETLCA
PrOD. III.
LAOP. TTI
Corollarium.
iled; Lriantulum ad Laralletderammum (super aquad base, aque
altumu) est ut L act 2.
SiId
in
ite e
Frignontum enim constat quals ex infinitis saus parallelis Arichmeries pre
porcionalibus, a puncto inchoacis, quarum maxima est balis, (ut ostendimus ad
Pr. Y, d 2. libri nolbri de Conieis Sectionibus;) Parallelosraminum autem et t0-
idem bali aequalibui, (ur patet:) Er80 iludt ad hoc Mst uL L adt 2 ( per praced.)
Duod erat demonstrandum.
Corollarium.
PRO P. IV.
Tem; Pyramidoeides vel Conoeides Parabolieum pe crectum pt p
inclinatum,) ad Prisma vel estindrum (super aequali base aeque altur)
est ut F adt 2.
O
 
sil, coitie CiO om D
cisseses c etr (a
ao
Ls se   c
110) FISis B silE Si (C cid XO 1C) C
Constac enim Pyramidoeides vel Conoeides Parabolieum quali ex intinitis pla-
nis Arichmerice proportionalibus, a puncto inchoatis, quarum maxima elt balis,
(ut oltendimus proP. 9. Con. Sect.) Prisma vero vel Cylindrus ex rocidem basi
aequalibus, (ut patet:) rgO Ic ad hoc ut. F acl 2, per prOP. 2.
i
am P R, OIP. V.  C  ) i
Corollarium.
Tem Linea Spiralis (quam Spuriam dicimus) quaetibet NIY (a Spi
ralis Principio exorsa) ad correspondentem Peripheriae areum contermi.
num PT (a Principio circulationis exorsum) est ut L ad 2.
(Per

## Folio 367 — 851387705:0387
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000387.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Crop.
TFINTTORU
(Per Spiralem, trie intellico, non iptam Curram Archimedeam, led, Neree
tum Arcuum Sectorum similium numero infinitorum, Spirali Archimedeae con-
tinue inscriptorum, Fieuram complentium; F.c Sic deinceps, quocies de ipsa linea
aGItuT. Ouories autem de Figura Spirali adjacente agitur; perinde est sive ve-
ram curram Archimedeam incellisas, sive hanc quam Spuriam dicimus.
Ecto enim Linea Spiralis (una circulatione facta) MITA, Principium Spiralis M
(quod idem esto eE Centrum ArcuS Peripheria, quem Correspondentem voco
Principium circlilarionis recta M A, qua aquabili moru circumducta (manente
Buncto M) supponicur puncto suo A Periphieriam deseribere AO A (qui Circum
lus primus rel pocius Cireuli primi P eripheriam diei vel solet vel commode porett,)
dum intu Puu aliquod (in eadem recta circumducta) moveri supponitur
Caequabili IECM MOLI) ab M ad A, mou suO lineam Spiralem MI F A deleribens:
Adeoquo recta quaelibet MT (a principio spiralis M, ad spiralem ubiris ducta
eric ad rectam M A, ur peripheria arcus A O (eodem retpOE detCripEIS) ad pC
ripheriam EOtam AO A, vel ut anoulus AMI F ad quatuor rectos: AdCoque ee
rectae MP, MI P, arcubus AO, AO proportionales CrUnE; ut Patet.
Tum, ductis quorlibet rectis M F pI T, _c. angulos COntinUOS A NT Y
TM T, dc. aquales inricem facientibus (adeoque Arichmetice proportionalibus,)
Supponamus (super illis angulis) similes Sectores cocidem (Caltem uno minus,
quid in spacio primo sector inseribi non poteric) figurae M TM (spirali vera
M L ee recta TMI comprehena) inscribi. Sectores illi omnes constiment Aou
ram (ex similibus sectoribus compoticam,) ipta figura MTM (cui inseribitur
minorem: Dilferencia rero perpeco minuetur prour sectores illi (cidem M TM
figura inscripei) plures Fuerines (uc Patet,) adeo ue, si fectores illi TupPOnantIE
numero intinici, tigura sic inseripra ipEi M FMI fISUTA CONSTUCL, (per ca quae
univerlaliter monumus ad prOP. 2. Con. Sect.) et propterca sectorum illorum
omnium arcus ipsi Epirali (Spurix) MI P COnGTUCNE.
Sunc aurem illi similium sectorum arcus (sicut eorum radii) Arichmetice pro-
porrionales, nempe ut 0, T, 2, ecc. angulus aurem cujustibet sectoris elt ea pars
anguli TOcUS AM F quae sectorum sire spaciorum numero cognominis est: 2.
eoque si sectores supponantur numero intinici, erit angulus cujustibet L (varS
intinicesima, seu intinite parra) anguli corius AMT, ita nempe uc omnes timul
XGVENEUT tOt AMT. (Liceat aurem mihi, narazensins Cortan, Anguli nomine
appellare ansulorum eriam aggresatum, quamvis torcalle duos rectos Vet aquet
rel etiam Cuperet.)
Spiralis isitur nostra M P constare supponitur ex infiniris sectorum arcrbus
Arichmetice proxorcionalibus, (subrensis S anguli AMT,) quorum minimi ra-
dius elt0, seu punctum, (nullius magnicudinis,) maximi vero recta M T.
Correspondens aurem arcus concerminus PP, ex coridem constat sectorum ac-
CubUS MAXIIO aQualibUS, Ut PateL.
Ergo aggregatum illorum (hoc est linea spiralis nostra N F) ad aGoreBaLI
horum (hoc cAt accum conterminum PF) cAF uC L adt 2. PeF PFOD. 2.
PRO P. VI.
Corollarium.
E ProPterea, Linea Sp (nostra) M A una ciroulatione salti
aequatur semissi peripheriae circuli primin A A.
Nam

## Folio 368 — 851387705:0388
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000388.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
AR IYHMEFICA
PrOP. 11.
Nam arcus conterminus spirali MI A, cA integra peripheria cireuli primi puncto
A deseripra. Ideoque _c. per PrOV. 5. quod crai demonstrandum.
P ROL. VIL.
Corollarium.
F Spiralis haec descripta circulationibus duabus, tribus, quatuor, 30.
interris; aequatur semissi peripheria circuli secundi, tertiiu quartiu Oc.
bisu ver, quater, 86. Sumptae.
Nam dum describicur Spiralis M AB (duabus circulationibus Facta,) Punctum
illud B, Peripheriam BB bis deseribir: S dum describitcur spiralis MI ABC, peri-
pheria C C ter describitur; ec peripheria DD quater, dum deseribitur spiralis
MABCD. Et sic deinccps, pro numero circulationum mulciplicanda cst peri-
pheria concermini circuli, e mulcipli semillis aequatur spirali incerea deseripra.
P ROP. VTIF
Corollarium.
T vero Spiralis haec ultra circulationem primam, sed non duabus inte-
Deris continuetur, aequabitur semissi tam peripheriae inteeri circuli con-
termini, quam ejusdem continuationis supra circulum interrum.
Nam incerea dum describitur (motu composico) Spiralis M A F, deseribetF
etiam (2 puncto P) arCuS P P F nempe tota peripheria P P cum adjuncto ad.
ditamenIO PY. ErGO EC. PET PTOP. 5. Quod exat demonstrandum.
eROP, TZ.
Corollarium.
T pariter, Si spiralis ea continuetur per circulationes duas, tres, qua
tuor, aut plures interras, cum additamento; aequabitur illa semissi con-
terminae peripisetiae intestu, oisque ver quibt iot suplus epta H ta
mero nempe interarum circulationum) cum semisse item additamenti.
mina inceora, aliue upet altestamentum: Hloc ets Coses P alelo CONTCKMI
nus continet tondem incegros circuli ambitus (quot lune intesrae circulationes)
cum addiramenio. Ideoque conttat propolirum, per prOP. 5.
Ouia nempe dum spiralis illa deseribitur, tories deseribitur peripheria conter-
EROL.

## Folio 369 — 851387705:0389
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000389.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
exOp. X
FINEFORUM
PROP. A
Corollarium.
Tque in(uIper, Linea Spirales hae una duabus, cribus, quatuor, 33c
circulationibus factae, (puta M A, N AB, M ABC, M ABCD,
se habent ad invicem ut numerorum Prithmetice proportionalium quadrata;
nempe ut 2, 4, 9, 26, 3c. Sive sunt in duplicata ratione rectarum M A, MIB,
MTC, ATD, CC.
Sunc enim recta M A, AB, BC, CD, invicem aequales (proprer aequabilemm
progreltum puncti mobilis in recta MIA, etiam continuata, rantum in una circu-
latione aequabiliter progrediencis quantum in alcera;) adeoque tam radii M A,
MB, MC, ND, quam Peripherix (illis ractiis deseripea) A, B, C, D, FunE ad
invicem uC E, 2, 3, 4. Si igicur sumancur peripheriae, prima lemet, secunda bis,
texEIA TeT, quarra quater, crune illa mulcipla, (puta Y A, 2B, 3C, 4 D,) ut nu-
MerI quadrati 2, 4, 9, 26, (VC LXI, 2X2, 373, 4X4. RC propterea etiam hO-
rum mulciplorum lemilles, hoc est (per PTOP. 5.) Spirales M A, M AB, M ABC,
M ABCD.
Vel aliier, Si circuli primi peripheria ponacur A = p, erie secundi B = 2 p,
TCrEII C = 3 p, quarn D == 4 P, _ SiC deinceps; e IA = E p, 2B = 2X2 p == 4 p.
D = 4 X4 p = 26 p: _C. EL (per PrOD. 5.) Spirales
et a = 3 p, t A B = EB =3B, M ABC = 3C = 2p, MABCD =3B = 18 p, _c.
ideoque ad invicem UE F, 4, 9, 26, ecc. hoc est in duplicata ratione rectarum
MlA, MB, M Cy MD, eec. (quae sunc ad invicem HC 1, 2, 3, 4, ec.) Quod
erat demonstrandum.
E ROP. XI
Corollarium.
universaliter; Ejusdem (vel similium) Spiralis segmenta quaelibet
(a principio Spiratis exorsa) sunt ad invicem in duplicata ratione re-
ctarum conterminarum.
it
Cum enim (per constructionem linex spiralis) cadem siE racio rectariim M. I.
NI F, gyae est angulorum PM F, PM P, (anguli voce eo sensu sumpra qui
Tupra InNUITUI pTOP. 5.) ratIO arCuU PF, PF, (quae ex duabus illis rationibus
COMPONITE,) ut e spiralium MF, M F, (quae istorum arcuum sunE semilles,)
erit duplicata rationis rectarum M P, M T, Peu VE M F9, M F9
Sic V. 8. E recta M A (unius circulacionis) dicacur Fr, e peripheria circuli
primi (eo radio descripra) E P, eric spiralis M A = Z P. Pgitur, in una circula-
tione cum semisse, Aec recta contermina L Zr = Zr, e Decipheria concermini cir-
culi 3B, quae ducta in 3 (numerum circulationum) AE Z X 3 X p = Z p: Ejusque
semiltis - p = 8p est spiralis eodem tempore deseripra.
Similes autem appello Spirales, si recta M A, MB, MC, Bc. in unam aequa
les sint homoloeis rectis in alsera.
PROC. LLL.
Corollarium.
T vero ejusmodi spiratium assu (Palco S. LA B In una tanta sit
quanta VIC in alia) rectae conterminae sint aequales; erunt Spiralium il
larum sermenta homoloeis sant tenm (patio a Alala B M A in altera)
tel or 6b voblatted.
Nam

## Folio 370 — 851387705:0390
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000390.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
ARITAME FICA
erop. XIII.
Nam v. 8. in prima, erie Epiralis MI A B (duabus circulationibus descripta)
aequalis Temith peripheriae Cux B, bis Cumpexe; e in secunda, Spiralis MI A BC (Eri-
bus circulationibus deseripta) aequalis lemilli sux peripherix C ter Ciimpex: Cum-
que Tupponantur aequales peripheriae B in prima, _C in sccunda, (propter X-
gnalesradios; crunt spirales MAB prima, _ MABC secunda, ad invicem UL 2 ad 3,
(nempe ur peripheria bis Cumpra, ad eandem vel aequalem tex lumpram;) hoc
C, in reciproca racione rectarum hOmOlOSATU MI A, M A. Nam recto M A in
Prima est = rectae MB, e recta M A in secunda est Z (ejuldem rel aqualis rectx)
MC: Tunc isitur M a in secunda ad M a in prima, uC5 2d Z, vel uc 3 ac 3, vel ut
2 ad 3. Ideoque Spiralis prioris legmencum MI AB, ad spiralis polterioris seg-
mentum MI A BC, uc recta M A in lecunda ad rectam MI A in priia.
Acque idem similirer oltendetur, quaecunque sic rario homologarum rectarum in
distimilibus spiralibus.
P R O P. XII
Corollarium.
d’aequales; et lta illa sprratun setrahio du olcem in ed ratione qua
componitur ex duplicata ratione reclarum conterminarum, e reciprocaratione
rectarum homolozarum.
Sequitur ex DFOD. FF, 12.
T autem ejusmodi Spiralium dissimilium rectae conterminae sint etiam in-
circumlocutione toties opus lit,) abulire ulum tuislé. Nempe, per Spiralem,
(quocies ea ad Peripheriam comparacur,) intellectum vellem Acerceatum omni-
PxOP. 5. CCC. BujuS, _ ArChImedeS a LFOP. 2F. _C. LII. SpIr. uh lumus.) ut 2d
SCHOLTV M
Notandum autem est, in propolicionibus praecedentibus, quae de Spirali aBunE
(quod _ I lecuturis aliquot tacturus Tum,) me Spiralis APDEIIAEIONCIM (NC LOHSd
um arcuum Sectorum similium, numero infinitorum, ex quibus constat fieura illa
ex infinitis numero sectoribus Spirali verae inscripta; (qua Scilicet e nos ad
Tumpra, perpecuorminus elt, e maxime gundem circa spiralis inicium. Ouamris
Deop. 5. innuimus eoiiod quidem Regresarum ipla linea Spirali proprio sensu
enim Scctorum illorum nmerO InTMIOrUM aBSTCSALCI SPILMa L ACa C
Spirali cerminata, (juxta methodum Indirilibitiim) agutase Ponatu, non tamen
ilud de omnium Arcubus cum ipta linea Spa CDCOPHIC dicta) comparatis oblI
nebil. Tancundem enim estet, acli quis, auli sumla numero parallelosram-
ma irtansulo inscripta, (aur ctiast erreumleripIa) Tor Transulo Bd a
oit Duca in criansulo volcols nON TaMeN le   CH.)
Atque hoc quidem co pollus admonendum duxn quoa os liblo
monvunquam speciora esutmoei veritimituucine in lab. t PrOCAreS esse. Cu
qualia videat, inde concluderer corum omnium latera rectae VS adjacentia (re.
etae V B paraltela) ip( VS simul aequalia este, vel quae rectae VB adjacent (ipsi
VS parallela) aequalia siniul CHIe TOE V B.  CC COHCIM-
autem

## Folio 371 — 851387705:0391
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000391.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
NFINETORUH
alem omicta Spirali linea gennina, spuriam hanc Spiralem Deripheriae compata
verim; causa elt, quod huic possim, non aurem illi, aequalem peripheriam altignare.
PROP. XIV.
Corollarium.
PPropterea etiam Segmenta Spiralis hujusmodi, a principio Spiralis
exorsa sunt ad rectas conterminas, sieut P’arabolae Diametri interceptae
ad ordinatim applicatas.
Nempe in ratione duplieata, pex PrOp. 1F.
PROP. XV
Coroll.
Deo si supponatur Spiralis nostra N T F ita
evolvi ut rectam constituat, es rectae omnes
TM TM, fiant invicem parallelae; erit illa
Diameter, hae vero, ordinatim applicatae in Pa
rabola: Contra vero, si supponatur Parabolae dia
meter ita in arcus convoluta ut ordinatim-ab-
plicatae ad idem punctum terminentur; fiet illam
Spiratis: ista, rectae conterminae; hoc denique,
princixium Spiralis.
SC ZIO F. ZV M.
atque hinc eriam ulterius pacet illud quod PosL prOP. L3. indicarimus. Nempe.
Soiralem illam nostram ex intinicis similium Sectorum arcubus contlatam, non esse
senuinam spiralem proprie dictam, sed ipla minorem. Cum enim constet, in Pa-
rabola, ordinatim applicatas, quae rercici propiores sunt quam ea quae lateri recto
aequatur, lonsiores esse quam sune diametri interceptae; adeoque non ita convolvi
DOsC Parabola diamecrum (dummodo infracta maneat) uc earum ordinatim appli-
catarum extremitares in ipso rertice cocan, (quippe quodque qua jam currata lup-
ponitur, minor esse non poltic, quam recta contermina, qua priuscrac ordinatim
axplicata:) Necesse est ut rera Spiralis, qua sic conroluta elt, major sic quam
ea qua supponitur ex arcuum aggregaro conttari, quam Pgrabola diametro con-
venire jam oltentum elt quippe quae est ubique in duplicata ratione rectarum con-
terminarum.
P R O P. ZVT.
Corollarium.
rabola vero si convotura (hoc est, fieura Spirati nostrae adjacens) est
ejusdem Parabolae evolutae semissis.
Frenim r. 8. Si Supponamus paralletogrammi P MLatIS P P ita CONVOHL UE re-
ctarum omnium PM puncta M in eodem puncto coc-
ane, tiet ex Parallelosrammo (proprer radios omnes;
communi centro M aequales) circuli sector (qui circulo
inteoro vel minor eric vel major rel aequalis, Pro Ca
rarione quam ad invicem habeant rectae PP, PM:) qui
quidem Sector (hoc est Paralleloorammum convolucum)
erit Parallelosrammi (eroluri) Semistis; (Propterea
quod pro intinitis Parallelorrammis ex quibus P’arallelo.
Srammum expolitum constare suxponitur, tiune coridem
in Sectore criangula easdem ee bales e alcicudines ha
beneia:) Pari modo, si ica conrolratur Parabola ut dielum cl, ut ordinarim-
appliediarum (pridem parallelacum) caciema altera in eodem puncto cocaliu,
A2a 2
PxOD.XIV
intinita

## Folio 372 — 851387705:0392
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000392.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
PFOP.XVII.
intinica illa parallelosramma ex quibus constare Lupponinus planum Parabolxe (per
ea qua diximus ad prop. 2. ec 8. Con. Sect.) fiene cocidem criangula casdem de
bales e alcirudines (cum illis Parallelosrammis) habentia: e propterea Para.
bola sic convolura (hoc el, tioura Spiralis,) ipsius erolurae semistis exit. Notan-
dum incerim eric; si velimus uc Orainacim applicata in Parabola (Parallelogram-
ma illa terminantes) tiant, in Spirali, ex recta quae Sectores similes terminane
(aequales utique angulos habentes:) sumenda este, in Parabola, continua P’aralle.
logramma, non quidem aeque alta, sed quorum alcicudines sint Arithmetice pro-
Dortionales, (puta, uc 1, 3, 5,7 _c.) quo adjacentes Ordinatim applicacae Cnt
Arichmerice proporrionales; (quod Spiralis nostrae ratio postulat:) Duta, UL F, 2, 3,
A ec.
Atanc hoc quidem convenit cum iis quae habet Porricellius Exempl. 8. Corum
quae ipsius cractatui de Colido Hyperbolieo praemitie; ucur a principiis plane diver.
Ls pecita.
Notandum autem hic porro erir; Sieut ex Parabola convolutione hujusmodi,
(contracta Diametro in unum punctum) tic Spiralis Archimedea; sic ex aliis Pa-
rabolocidibus (aliitre Fritineis istiusmodi,) sinili convolurione tieri poste alia
Spiralium genera mille modis variata. Ouorum nonnulla post considerabimus.
e ROP. XV.
Corollarium.
LaLEALALFCCA
NTuPEr, Sermenta Spiralis hujusmodi quae fiunt circulationibus pt tauu s
inceps in proeressione Arithmetica.
cunda tertia, quarta, co s uars satiet se ut 2, 33 5373 6 sb a
Sunt enim (Dex 1O) Spirales MA, NI A B, M A BC, M ABC D, dcc. Ut L, 4, 9
76, _c. ergo lesmenta Spiralium M A, A B (= M AB = M A, IBC (= M ABC
M AB,) CiD(=M ABCD - M ABC,) etc. 2b 4, (4 = E=) 3,(9 4 =
5, (26 = 9 =) 7. dc:
PROP. ZVITI.
Corollarium.
jusmodt segmenta conbtne tierceptan (A L7 L L7 c36.) ut 233, 377766.
 unirersaliter, Ductis quoltibet rectis NIT, MIT, Cc. aneulos conti-
nuos PNIT, TM I, C3c. aequales norcem saltemus, etunt spiralis u-

## Folio 373 — 851387705:0393
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000393.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
TFLN
lFOD. XI.
Cum enim (proptet aquates angulos) iplae
reCta MT, M V, SC. GInC UL L, 2, 3, 4, ec
(per constructionem Spiralis:) ec propterea Spi
rales MIF, MT, _c. (iltis rectis contermi-
nX) sinc in rectarum ratione duplicata (per
DEOP. TT.) NEMPC UE X, 4, 9, T6, CC. erunE ipIa
legmenta continua, ML, TY, _C. ut 2, 4
9= 4, 26 - 9, Ouod erat demonstrandum.
SCHOL. ZVM
Foca hac de longicudine linea Spiralis doctrina; continuis quatuordecim pro.
policionibus jam cradica, est, apud Archimedem in libro de lineis Spiralibus, pe-
nicus omitta: Neleio an ab alio quoxiam ex recentioribus tradica tuerit.
e ROP. XIX.
Lemma.
tul
T PrOBON selles Suantitatum in duplicata ratione Arithmetice.
 proportionalium, (sire juxta seriem numerorum quadraticorum.)
continue crescentium, à puncto vel o inchoatarum, (Duta UE O, L,
An 9, etC.) propolitum sic inguirere, quam habeat illa rationem ad se.
riem totidem maxima aequalium:
Fiac inrestisacio per modum inductionis, (ut in PTOP. L.) eritque
0 + X= Y
+ F = 21
0+ F + 4 +0=24
O+ x + 4 =
+ + 4 + 4 = 1 2 = 3 f 15.
9+ 0+ 9+9- 36 18 5 1 15.
0 ++ + + +9 +26= 30
26+16 +16. + 56 +26 -808 2 5t 2.
0 +F + 4 +9 + 16 + 25 = 55
25 +25 + 25 + 25 =25 + 25 =450 3
0 f F f 4 + 9 = 16 F25 +36 = Or
5 + 2
36 + 36. + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 = 352 30 = 3 + i.
Et lic delnceps.
Pacio proveniens est ubique major quam subcripla, seu J. Fxcestus aurem
DErpCTLO dCCTELCIL DTOUL NIMETUS EETINOTUM AUIS CIIE, DUT 53 133. 183 213 263 35, _C
aucto nimirum tractionis denominatore, sire consequente rationis, in lingulis Jo-
eis numero senario, (uE Patet,) ut sic rationis provenientis excettus supra sub.
rriptum, ea quam habet umicas ad sexcuptum numeri cerminorum pote 0. Ad.
coque-
PROP. XZ.
Theorema.
LPoponatur series quamicatum un duplicala satione Arithme
rum) continue crescentium, a puncto vel o inchoatarum; ratio quam
habet illa ad seriem totidem maximae aequalium, subtriplam supera-
bic; exitque excessus, ea ratio quam habet unitas ad sextuplum nu-
meri terminorum post o; sire, quam habet radix quadratica termini
primi pott o, ad sexcuplum radicis quadraticae termini maximi.
A42 3
cice proportionalium (sire juxta seriem numerorum quadratico-
Puta

## Folio 374 — 851387705:0394
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000394.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
ARLT HMP FIC A.
PFOP. XXI.
Puca (E cerminus pot 0 primus pongcue 2, et ulcimi lacus 1,)  F L p .  P
Vel (potico numero seu mulcimdine cerminorum m, d ulimi lacere 1,)  P
6m
Cum autem crelcente numero terminorum, excestus ille supra suberiplum ita
continuo minuatur, uc tandem quolibet assignabili minor cradat, (UE Patet;) A
in intinicum procedatur, prortus craniturus cst. Adeoque -
PR OP. XXT.
Theorema.
CY PrOPOnatuE Serres infinita Ouanciratum in duplicata ratione A-
richimetice proportionalium, (sive juxta seriem numerorum qua-
draticorum,) continue crescentium, a puncto seu o inchoatarum; erit
illa ad seriem toridem maximae eegualium, ut F ad 3.
11
Patet ex praeced.
10i
PKOP XXII.
rss) M1SSHOGOI.
Seritiee
Sis Bes) Seueiei Corollarium. e S CeisCES SsIS Se
le
s
Deoque conus vel Peyramis ad Cylindrum vel Prisma (super cadem vel
aequali base aeque altum) est et L ad 3.
Constare enim supponimus tam Conum quam Ppramidem ex intinicis planis
similibus e parallelis, in duplicata racione Arichimetice proportionalium constitu.
tis, quorum minimum supponitur Punctum, maximum rero balIS; (per ea quae
diximus ad Prop. 6. Con. Sect.) Cylindrus aurem vel Prisma, ex toridem, maxi.
mo aequalibus (uc patet:) Racio nicur At uC L all 3, per pruced.
PR OP. ZXTTI. ∞
Corollarium.
Lem complementum Semi parabola, (intellige fieuram AOF quae cum
ipsa semi parabola comput Paralleloerammum,) est ad Paralleloeram-
mum LD (super eadens sel aequali base aeque- altum) ut F ad 3. (Ft con-
sequenter, ibsa sent abola est ad idem P aralleloerammum, ut 2 ad 3.)
Fsto enim FIOVE AO F vertex A, diameter A F, batis FO, eique perallelae
quorlibet (balem inter de rerricem) YO, FO, Sc. Ouoniam LUINE (per PrOP. 2F.
Con. Sect.) recta DO, DO, etc. in Tubduplicata
ratione rectarum AD, AD, _C. FFUNE C COnTra
ipta AD, AD, ecc. hoc cAt TO, FO, etc. in ra
tione duplicata ipsarum DO, DO, dec. hoc cAt A Y
AT, Ec. FOra iBItuT fGUITa AOT (constans ex
intinitis numero rectis TO, FO, ec. in duplicata ra-
tionc rectarum AY, AF, ec. Arichmetice prOpOr-
cionalium) erie ad Parallelosrammum aeque alcum
TD (constans ex cocidem rcclis ipsi TO maximae
aequalibuS) ut F ad 3. per PTOP. 2F. (Ouod crat
Oltendendum.) Ec consequenter, semiparabola AOD
(parallelosrammi residuum) ad idem P’arallelorram.
mum, ut 2 a c 3.
PAtEE ex PPOP. praecec.
PROL.

## Folio 375 — 851387705:0395
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000395.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
XC
XIV.
LNFTNLTORC
ROP. XX
Corollarium.
Tem, Fieura DIZM, quae Spirali NLZ (a principio Spiralis NI exorsa)
PMT; ut + ad 3.
ed recta MIT contermina continetur: est ad Sectorem correspondentem
Nam (utdlixitulis adt LTOD. 5.) conitare supponimus Figuram illam e LML Cx
intinicis Sectoribus similibus, quorum radii sunc Arichmetice proportionales, adeo.
que Sectores ipsi in duplicata ratione Arichmetice proportionalium (quippe Luo-
rum lacerum;) Sectorem autem PM P ex cocidem Sectoribus maximo aequali-
bus: Frirque propterea Figura illa ad hanc, UE F ad 3. per PFOD. 2F
Sectoris autem nomine hric appello etiam Sectorum quortibet agpresatum, licet
semi circulum (auequidem circulum incesrum) aequer rel etiam superet; (SICut
et de Anguli appellatione supra monvimus, ad PrOB. 5. )
SMisI.
ROP. XXV.
on sler eC Corollarium.
 P DEOPIEECA FieuraMIF A quae Spiralis circulatione prima describi-
tur, aequatur trienti circuli primi AA.
Nam correspondens sector conterminus est ipse circulus inceger A A, circuli
primi radio M A eodem cemipore deleriputo.
R O P.
Corollarium.
deinceps: (qualibet parte totres repetita, quolies circulando describitur:)
aequatur trienti circuli secundi, tertii, quarti, 836. bis, ter, quater, edc. (junta
numerum circulationum) sumpti.
Nam dum describicur Spicalis M A B (duabus eirculacionibus tacta) d puncto
mobili ab M ad B (in recta circumducta M B) promoro; et simul tigura plana
2 recta (hic continue crescente) circumducta: Fodem tempore describitur (2
recta cola
a toca M B circumducta) circulus secundus bIS. Adeoque quot partibus con
cinve crescencibus (in ratione duplicata Arichimetiee PropoonatuM) cousat
bis deseriprus. Ouare ligura sic deleripca Spirali adjacens, eric ad circulum con-
tur, erit 3d circulum cerrium res sumprum, uT X ad 3. Ft quae describitur circu-
lationibus
A: vero fieura describitur interre  baltaibus prima C secron.
da: prima secunda e tertia; prima, secunda, tertia,  quarta: (8 sic
terminum B BBe LpC  L all 3. PeT pFOD. 24.
Et paricet ligura Spiralis, qua circulatios prima, secunda de terria describi-

## Folio 376 — 851387705:0396
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000396.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
ARTTHMETIC
FOD. XXVII
laciorulorio prima, secunda, cerria, et quarta, ad circulum quarcum quatex tumprum,
iem ut x ad 3. Pt SC deincePS.
Norandum hic, quod coca figura Spiralis, prima circulacione delcripra, in le-
cunda circulatione repetituT; e quae describitur secunda, reperitur in cerria; et
sic deinceps. Adeoque r. 8. in quaruor circulationibus, figura prima (quae intra
Spiralem primam, prima circulatione descriptam, concinetur) quater, secunda
quae inter Spiralem primam ec secundam sacet) cer, rerria (quae intor Spiralem
secundam ee tertiam jacer) bis, quarta lemel deleribitur: ideoque tigura prima
quater, secunda ter, certia bis, e quarra semel Tumpra, simul aequantur crienei cir-
culi quarri guater sumpri, nempe juxta numerum circulationum. Le pariter de
quoeris circulationibus judicandum est, habira semper numeri circulationum con-
Aderatione.
P RO P. XXVII
Corollarium.
quie
etii oriem
L autem Spiralis ulira circulationem primam sed non duabus inteeris
 continuetur, figura Spiralis su descripta (bis sumpto quod bis describitur)
aequabitur trienti tam intesri circuli contermini, quam ejusdem continuationis
supra circulum interrum.
Nam incerea dum describitur Figura Spiratis N A TM, describitur etiam figura
circularis aveta P P YM; netipe circulus inceex P P, cum adjuncto eriam seclore
EMT.
P ROP. XXVTTI.
Corollarium.
E PPariter, si Spiralis continuetur per circulationes duas, tres, quatuor,
L aut plures interras, cum additamento: feura Spiralis suc descripta (repe-
tita totres qualibet parte quoties describitur,) aequabitur erienti tam inteeri
circuli conterminibis, ter, quater, aut saepius sumpti (pronumero nempe inte-
erarum circulationum,) quam etiam additamenti sive sectoris adjuncti.
Ouia nempe dum figura illa Spiralis (a circumducta recta crescente) deseri-
bicur, cories deseribitur, (a recta circumducta aquabili) circulus concerminus, ac
que insuper additamencum.
eLOC.

## Folio 377 — 851387705:0397
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000397.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
2222LLDAUF
PRO P. XXIX.
Corollarium.
Tede intuper, Figura Sirales, quae prima, quae prima es secunda qua
prima, secunda C tertia, quae prima, secunda tertia e quarta, (es
sic deinceps) circulationibus describuntur, (puta MI A NI, AE AB NI.
NI ABCHC MI A BCDMC, C9c.) se habent ad invicem ut numerorum Arith-
metice proportionatium cubi 2, 8, 27, 64, 53c. sive in triplicata ratione recta-
rum D A MB, NC, AID, Cc.
Sune enim rectae M A, MB, MIC, MID, BC. ut F. 2 3 d dec. ( ut Paevins dictum
CAt,) ideoque circuli primus, secundus, CertiUS, gnartIS, _C. (his radiis deseripti)
Uc F, 4, 9, 26, eic. (nempe in duplicata ratione radiorum;) adeoque s Poa
circulus primus A = FC, crit secundus B = 4 C, TerTIUS C == OC, QuarEIS D =, 160
Sc. et propterea si lumatur primus semel, secundus bis, terrius ter, quartus qua-
ter, ECC. CFUINEF A = FC, 2B = 2X 4C =86, 3C = 3X9C ==276, 4D = 4 X16C
=64.6, ecc. adeoque ad inricem uc numeri cubici F, 8, 27, 64, dc. quapropier d
horum ErienteS 36, 5C, 376, 52C, _c. hoc est, (per prop. 25, 26.) figurae ipirales
MI AMI, M ABAI, M A BC M, M ABC DM, ec. lunc eriam incer se ut numext
cubici 1, 8, 27, 64, ec.
PROP. XXX.
Corollarium.
Snirersaliter, Fieut de Spirales (a Spiralis principio exorsae, c ea
dem vel simili linea dd ali terminatae) sunt ad invicem in criplicata
Cum enim (per constructionem linea spiralis) eadem suc ratio rectarum M L, in Ficyra
MF, qua eIL anSULOTUM PMT, PM F, (sumpra Anculi vOcC, e0 sensi quO Prop. 24
Supra pTOP. 5. uc d sectoris voce, eo sentu quo lupra Prop. 24.) Sectorum PMI,
PM P, ad inricem racio (quae componitur ex ratione ansulorum e duplicata
ratione radiorum,) est rectarum M L, M L, ad invicem, racio criplicata: FF
propterea eadem eru etiam ad invicem racio figurarum spiralium MI F M, M F M,
qua illorum Sectorum funt crientes. Per pr. 24.
Sic v. 8. Si recta M A (unius circulationis) dicatur Fr, e circulus eo ractio
descripius dicatur =c; tigura spiralis eodem cempore deleripta erit zC. Tgitur in
una circulatione cum semisse tier recta contermina FZr = 3r; circulus contermi-
nuS 3 X3 XC =26, qui ductus in 3 (numerum circulationum) FC 3 X 3 X Z XC
ejulque iriens 3c, est tigura spiralis quae et circularione inceora et insuper semillé
describicur. EF limilirer in quancacunque circulatione.
P RO P. ZZXI.
Corollarium.
ET vero ejusmodi feurae Spirales, ais spiratibus dissimilibus,  rectts
aequalibus terminentur: (puta s AB in una Spirali, tanta sit quatu
MIC in alia:) erunt ficurae illa splrans homolosis suis rectis (puta M A in
ratione rectarum conterminarum.
unam e M A in altera) reciproce proportionales.
Nam in prima exic Ligura M A BM (duabus circulationibus descripta) aequalis
Cumque lupponantur aequales cireus Dn pria e C’in secunda (propier aequales
radios,) erune tigura spirales M ABM prima, et M AB CM secunda, ad invi-
cem
HeH CHCMM sui B bis SumpE; FC in Lca HGura M A BCM (cribus cMeu
latiOnIbuS descripta) aequalIS FrienCI CC  C Tex CuMPEI (per pFOV. 29, 30.

## Folio 378 — 851387705:0398
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000398.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
A R PTEMETICA PFOP. XXXII.
cem, ut 2 ad 3, nempe ut circulus bis sumptus ad eundem vel aequalem ter sum-
Pcum;) hoc est, in reciproca ratione rectarum homolosarum M A, NI A. Nam
MA in prima Cst Z rectx MIB, e MA in Sccunda = (aequalis rectae) MC; Tunt
isicur M A in sccunda, ad MI A in prima, uC 3 ad Z, vel 3ad 3, vel 2 ad 3. Tdeo.
que Figura M A BM in Spirali prima, ad tiguram M ABCM in spirali sccundu,
uc recta M A in secunda ad rectam M A in prima.
Acque idem similicer oltendetur, quaecunque sit ratio homologarum rectarum in
distimilibus spiralibus.
PROP. XXXII
Corollarium.
CT autem ejusmodi fieurae Spirales, lineis Spiralibus dissimilibus, e rectis
item inaequalibus terminentur; erunt illae ad invicem in ratione quae com-
ponitur ex triplicata ratione rectarum terminantium, ed reciproca ratione re-
carum homolorarum.
Seguitur CX PFOP. 30, 3T.
eROP. AAACII
Corduurium.
quartan 6c. desrouut, sat ud norcemu ut 27 7, 29737, 649 66.
nempe ut differentia numerorum cubicorum, quorum latera sunt Arithmetice-
proportionalia.
Nam (Der pr. 29.) Guae pra, qua Pa e secunda, quae prima secunaa c
tertia, quae prima secunda tertia et quarta, ecc. describuntur: Tunt ut 2, 8, 27
64, +25, _c. ergo, quae prima, quae secunda, quae cerria, quae quarta, ec. deseri
DOrro, Fieura Spirales, quae bialindus prima secunda, tertia
buntur, Iut  L, 6 = 1, 27 -8, 64. = 2p 2
27, 61, dc. nempe ut ditterentix numerorim cubicorum continue proximorum:
5 = 64, _c. hoc est, UE Y
ATICLMCLICC PIDOIOnaleS: Nam X F 6 = 7. 7 F L um l9. 19 + 16- 31.
37 =24 = 0L. C.
Ouarum quidem disserentiarum exceltis, sire ditterentiarum differentix, sune
PROP.

## Folio 379 — 851387705:0399
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000399.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
At.
LALENITORUM
PROP. XXXIV.
Corollarium.
T universalicer, Ductis quotlibet rectis MIT, MT, Cc. anculos conti-
nuos PNTT, TATT, C30. aequales invicem facientibus; fieurae Spirales
continuae, his rectis interpositae sunt ad invicem, ut F, 7, 29, 37, 6+, (3c.
Nam (per DTOB. 30.) Lisura Spirales à principio ad has lineas continuatae funt
UE F, 8, 27, 64, 225, eC. Ergo Fisura inricem continue sequentes his rectis ter-
MInaLA LIINE NE F, 8 - + =
17, 27 - 8 = 19, 64 - 27 = 37, 225 - 64 = 61. _cc.
Yct ut 367 367 3 67367 569 etc.
P R OP. XXXV.
Corollarium.
Enique Fieurae Spiralis portiones, quae in simeutis circulationibus de
novo describuntur; (praeter illud quod in praecedente circulatione de
scriprum fuerat, nempe, quod intra Spiralem primam continetur, quod inter
primam cd secundam, quod inter secundam e tertiam, quod inter tertiam es
quartam, edc. sunt ad invicem ut F, 6, +2, +8, 24, ec. (addendo semper,
post locum secundum, numerum senarium;) Nempe ut differentiae disseren-
riarum numerorum cubicorum.
Sequitur ex 33. Guia 17 7 = 2, 19 = 7, 37 = +9, 62 - 37, dc. TuNE 1
2, 67 12, 18, 24, c.
SC FIOL ZV MI.
Flaec aurem de area Figurae Spiralis doctrina, concinuis duodecim propolitioni.
bus jam cradua, consona est illis quae tracic Archimecdes cirea tinem libri de Li-
neis spiralibus. Labet aurem id iplum paulo ulcerius prosequi.
PROP. XXXVI.
Corollarium.
omplementum feurae Spiralis (quod nempe cum ipsa sectorem contermi-
num complet) est ad sectorem conterminum, ut 2 ad 3.
Sequicur hoc quidem ex prOP. 24. Sed id iptum alicer ostendemus hoc
modo.
Constare supponamus FBuram PMI T J (complementum Figurae spiralis NI L LM)
ex intinicis numero accubus PP, PY, esc. qui quidem lune in duplicata La
tione rectarum MP, MP, Arichmetice proporcio.
nalium, (uc ostendimus ad prOP. FF.) sector au-
tem conterminus MP F, ex tocidem constabit ar-
cubus, ipsis MP, MP, proportionalibus, adeoque
Arichmerice proportionalibus, (ut Datet:)
EsE autem series ejusmodi, (in duplicata ra-
tione Prichmerice proportionatium,) 5 leriei aequa-
lium, (per proP. 21.) d Series Rrichmetice PrO-
portionalium : ejusdem feriei aequalium, ( per
DFOD. 2.) Erso illa ad hanc (hoc cst, comple
mencum tigurx Spiralis ad Sectorem) ut 3 ad 2,
hoc CAt, ut 2 ad 3.
PROP.

## Folio 380 — 851387705:0400
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000400.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
LLNIFAMETSCA L
P R OP. ZXXVTI.
Corollarium.
T Speciatim; Complementum faerorae Spiralis una circulatione descriptae,
est ad circulum primum (ipsi conterminum) ut 2 ad 3.
Nam constabie complementum illud ex intinicis areubus PY, in ratione du-
plicata rectarum MIP Arichmerice proporrionalium (sire ut 0, F, 4, 9, c.) quo-
rum maximus est integra peripheria A; constac aurem circulus ille integer ex
coridem peripheriis Arichmecice proporcionalibus, ut 0, 2, 2, 3, _c. quarum etiam
maxima est eadem peripheria A: Ideoque Complementum illud, ad hunc circu-
lum, ut 5 ad 3, hoc estu ut 2 ad3.
PRO P. XXXVIII.
Corollarium.
Patia vero quae fieuris Spiralibus in sineulis circulationibus desunt ad suos
respective circulos complendos; sunt ut 2, 5, 8, 2F, 24, 536. Srithmetice
proportionales.
Cum enim (Potito circulo primO C) erunE (per prOp, 29 et 33) figurx spira-
les circulatione prima deseripia 3C, secunda 3 6, tertia 136, quarta 3Z C, _C. Cir-
culi aurem contermini primus FC, secundus 4C, TerEIUS OC, GNarEUIS F6C, ec
erit excelts circulorum, supra figuras Spirales conterminas, primi ZC, secundi
36y tercii 5 6, Quarti 56, _C. Na LC = 36 = 36. 46- 36= 36. 96= 36 = 56.
26 C - 336 = 136, eC.
SGTZOL. TV M.
Ec quidem tacile eltet complures proposiriones alias hisce similes adjuncere,
tam de iplis tiguris Spiralibus quam earum complementis; tam quae circulationi
bus inceoris deleribuntur, quam intermediis. Sed ex dictis tacile pocerit quilibet
eas, li opus videbitur, supplere, ut non necesse sc diurius hic morari. FI metuo
ne jamjam nimius tuerim. Adjungam tamen unum auc alterum ex dictis Corol-
larium, (in eorum pratiam, qui dubitane, an postibile sic figuram aliquam recti-
lineam cieculo aequalem elte:) Nempe
DAtet ex dictis; circulo cuilibet feuram aliquam rectilineam aequalem
esse.
Cum enim patet (ex pr. 25.) circulo cuilibet tiguram aliquam Spiralem aequa-
tem elle; de (ex prOP. 25.) cuilibet Figura Spirali aliquam Parabolam; e deni-
que (ex pF. 23.) cuiliber Parabola aliquam tiguram rectilineam; sequitur d cui-
libet circulo tiguram aliguam rectilincam aequalem elle.
Non Tunc ipicur vel rectilineum et cireulus, vel linea recta e curra, quantira-
res adeo inter se heterosenex, quin dt invicem rite comparari, de quidem invi-
cem aequales esse polline: Ouanguam tieri possue ur circuli diameter et perimeter
consque sint irrationales, ut nec veris numeris, nec eriam ullo adhue in ulum
recepio nocationis modo, earum ad invicem raro exprimi poltit.
DOrrO: FX jam tradiris innotescic etiam methodus Rectam Parabo-
licae (vel etiam Paraboloeidicae) aequalem quan provime, inveniendi.
Si enim, quae semiparabolam rectam in verrice concinsat recta AY, in quorti-
bec aequales particulas dirila; (quarum quaelibet dicatur a acque numerus omnium
n;) ec in linsularum parcicularum terminis ad rangentem illam cocidem ordi-
nacim axplicencur rectae, (Parabola diametro propterea parallelae et faciences
dC

## Folio 381 — 851387705:0401
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000401.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
PTOD XXXVIII. TNEENEEO
ad Tangentem angulos rectos,) FO, FO, _cc. quarum
minima dieatur Z; crunc illa ad inricem Der DFOD. 23
uc numeri quadraciei L, 4, 9, X6, ec. ec carum ditteren.
FIX UE L, 3, 5, 7, _c. numeri impares deinceps ab uni
tare; (gnarum ditterentiarum aximma Crit 2 n -- F.
Recta parallelarum illarum terminos (in linea Parabo-
lica conttItutos) connectentes, (quae crunt propterea
ipsi Parabola deinceps in(cripta,) CrunE ut V: a = L
V: a + O. V: a + 25. V: a + 49, ec. (quippe quarum
quadrata per 47 C c. aequantur quadraris cam particul.
rum an quam ditterenciarum inter proximas quasque pa
rallelas, hoc elt, numerorum imparium.) Ouxe quidem
rectae (Parabola inseripix) quo plures tuerine, co pro-
pius ad parabolica menturam acceder carum omnium ag.
Gresarum; ica tamen ue ex omnihus sic aggregata recta
tic ipla parabolica minor.
Sin velic aliquis rectam julta majorem (ut constet intra quos cancellos deter.
minare possie parabolica lonsicudinem;) neque difficilis erie haec inrectisatio,
tansencium ope perticienda.
Si vero curva AOO, non supponatur Parabola, sed Paraboloeides Cubicale,
Biguadraricale, _c. Idem proceltus erit, muratis mutandis, atque in Parabola.
Sumendae enim pro parallelarum differentiis, non 2, 3, 5, 7, ecc. ditterentia nu-
merorum Ouacracicorum; Sed F, 7, 19, 37, Sc. ditterentia numerorum cubico-
TUM; rel E, 25, 65, 275, ec. ditterentia numerorum Biguadratieorum; _c. Prout
Pacabolocideos cujusque nacura pottuler; adeoque inseripix erunt V: a f 1.
Y: a = 48, _c. vel V: a + T. V: a = 225, dec. et sic deinceps. Vt ex interius
tradendis pr. 45. Parebit.
Adem sere methodo; Invenietur recta Spirali senvina quam. proxi-
 me aequalis.
Si enim (per ea qux dicta TUNE prOP. 5.) lupponatur inleribi tisura Spirali
alia ex quodlibet sectoribus similibus contlara: Frume (propter Spiralem) tam
Fectorum arcus, quam horum finus sire recti sire verti, ut et radii, Arichmetice
proportionales. Radiorum autem concinuum aue
mencum dicacur a. Si isitur a lectoris cujulris ar
cus inicio ad ractium per iplius cerminum ductum
demicri supponatus perpendicularis, erit illa iltius
arcus sinus rectus, cujus quadratum simul cum qua-
draco linus rersi communi augmento a aucti, a
quabicur quadrato rectae Spirali in leripia: (Per 4
CF.) Sinus aurem verfus ilse dicatur 2, et tocius
circuli sui diameter d; erie isirur quadracum Linus
recti (ex ductu sinus versi v in diameeri residuum
a = v factum) va - 2; ec quadratum linus versi
communi augmento aucti (nempe v f à) crit
2 F 2Va f a; _ propterea quadratum inscripix (ex his contlatum) v d F 20a
a. Cum aurem (proprer aequales similium Sectorum angulos) eadem sic ubique
linus versi ad diametrum rario, elto ea quam habet F ad m (quae ratio major
minorre reputanda cric prour lingulorum sectorum ansuli majores minoresve tue
rInC:) Adeoque cum liE F. m:: V. d, erit d = Vm: et Proprerea quadrarum recta
Spirali inseripex v a F 2 va F a2 = vv m f 2 2 a + a. Denique, cum lint (.
milium illorum fectorum deinceps politorum arcus, adeoque e sinus versi, A.
richmetice proporcionales, (ab o inchoati,) dicancur illi 0, F, 2, 3, dC. Frunt
ergo inscripia illa V: Om L 0a + a. V: Em + 2 a + a V: a m f 4 a + à
I: 9m + 6a = a. V: 26 m. F 8 a + a2. e Sic deinceps. Ouo autem plures
Fupponantur eidem Rpurx Spirali sectores inseribi, eo proxius ad lineam Spiralem
accedet rectarum sic inseriptarum agoresatum: quod tamen rera Spirali perpetuo
MinuS CxiI.
Si aurem harum inseriptarum prima omittatur, et illius vice post ulciman sub.
IANSACUE

## Folio 382 — 851387705:0402
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000402.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
ARITHMETICA LIODLECLETA.
juneatur quxe proxime erat insecutura, (quod cantundem est atque pro figura ex
Sectoribus inseripca, circumseriptam lubsticuere,) atque tandem addlatur a; habe.
bitur ex omnibus ageregata recta qua vera spirali major erir; sed quae ad justam
eo propius accedet quo plures supponantur Sectores ad (eribI.
PR DT. RL LL
Lemma.
I Proponatur series quantitatum in Triplicata ratione Arichmerice
 proxortionalium, (sire juxta seriem numerorum Cubicorum,) con-
tinue crescentium, a puncto vel o inchontarum, (pNt2 UL 0, 2, 8, 277
64 eC.) proposicum lic inguirere quam habeat illa rationem dd seri
em cocidem maximae aequalium:
Piac inveltigatio per modum inductionis (urin prop. F. XC 19.) Fxicque
1 =
0 F 1= 6+2, = 36
0
+8 = c
8 +. 8 + 8 == 2.6
27+27 +27 +27 =108  a t 12.
0 F F + 8. f2
20c
64. +64 +64 + 64 +64 = 320
F F + 8 + 27 + 64 7 125 ==225
+25 F 125 F 125 F125 + 125 + 1252 750=
0
+8 + 27+ 64 + 125 +216 = 44
216 = 216 +216 f 216 f216f216 +216 =2512 21a l 34
Et sic deinceps.
Ratio proveniens est ubique major quam Subquacruplas sen I. FxceNus autem
perpetuo decrescit prOUE nUMCTUS terminOrum ausCTIIE, Puta 2, 3, 13, 163 303 27
Ec. aucto nimirum tractionis denominatore, sire consequente rationis, in singulis
locis, nummero quaternario, (uE Patet;) uc sit racionis provenientis excectus supra
Tubquadruplam, ea quam haber unitas ad quadruplum numeri terminorum polt 0.
AdCBquC-
PROP. XI
Theorema.
EF proponatur series quanticatum in Triplicata ratione Rrictime.
rice proportionalium (sire juxta seriem numerorum cubicorum)
continue crescentium, a puncto relo inchoatarum; ratio, quam ha-
bec illa ad seriem cotidem maximae aequalium, subquadruplam suPCxa
bIL; exitque exCeNTuS, ea ratio quam habet unitas ad quacruplum nu-
meri terminorum posto; sire, quam habet radix cubica termini pri-
mi Dost o, ad quadruplum radieis cubica termini maximI.
euca F  B +F ) p vet  1 +  P = = mt +: mV.
Patet ex praecedente.
Cum autem, crescente numero terminorum, exceltus ille supra rationem subqua-
druplam ita concinuo minuatue, ue tandem quolibet altignabili minor eradat, (ut
Pacet;) si in intinicum procedatur, prortus eranicurus est. Adeoque -
L R O P. XLI.
Theorema.
1l10.
L proxonatur leries intinita quantitatum in Lriplicata ratione Aritli-
metice proportionalium (hire juxta leciem numerorum cubicorum)
continue

## Folio 383 — 851387705:0403
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000403.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
L+F. L.L .l
INETNLTORUM.
continue crescentium, à puncto seu g inchoatarum; exit illa ad feriem
totidem maximae aequalium, ut 1, 214.
Patet ex praececence.
P RO P. XL. II.
Corollarium.
Deoque, complementum semi paraboloerdis cubicalisque AD T, est ad Pa-
ralleloerammum FD (super eadem vel aequali base aeque altum,) ut 2 ad
4. C F consequenter; ip sum semipar abolocides ad idem P’ aralleloerammum, ut
3ad 4.)
Fsto enim Semiparabolocidis cubicalis AOD, (cu-
jus drameter AD, ordinatim applicatae DO, DO
_c.) complemencum AO T (cujus diameter A F
ordinacim applicatae TO; TO, dec.) Ouoniam igi
TuT (Der Pr. 45. COn. Sect.) rectae DO, DO, dc
vel iplis aequales A P, A P, Sc. Tunc in luberiplicata
ratione rectarum AD, A D, _c. vel ipsis aequalium
FO, TO, _C. FrunEC contra ip(a YO, TO, _c
in criplicata ratione rectarum AT, AT, _C. FOta
isitur tisura AOF Cconttans ex intinitis rectis
FO, TO, aec. in criplicata ratione rectarum A F
A P, eec. Arichmerice proportionalium:) erit ad Pa-
rallelosrammum FD, Der praeced. (conttans ex 10.
cidem ipE FO maximae aequalibus,) uc F ad 4. (Duod
crat oltendendum.) Et consequenter, Serciparaboloei
des AOD ( parallelosrammi reliduum) ad idem pa
ralleloerammum uc 3 ad 4.
P R OP. XLTTI.
Lemma.
DAri methodo invenietur ratio seriei infinitae quantitatum in ra-
tione quadruplicata, quintuplicata, sexcuplicata, etc. Arithme-
tice proporcionalium, à puncto scuo inchoatarum, ad seriem toridem
maximae aequalium. Nempe in Ouadruplicata, erit uE F ad 5: in
Omincuplicatam ut 2 ad 6: in Sexcuplicata, ut L ad 7. EF sic deinceps.
Facto enim experimenco patebit rationes inductione revertas ad has continve
propius accedere, ita ut ditterentia tandem eractar quaris altignabiliminor; adeo.
que in intinicum continuara cranelcet.
Operolas demonstrationes lineares non adjunso; quas tamen, siquis postulet
poterit ille (modo vacet) tales exquirere figurarum in leriprione es circumscriprio.
ne vel etiam alias praeltandas; (quales habet Archimedes. PF. FOG et XZ, de lin. spiral.)
ostendendo, quod rario neque major neque minor elt quam allignata. Ac mihi suHI.
cere videntur illa quas produxi, Carallerii Metbodum Indivisibilium (quoniam
eam invenio d Geometris jam ese receptam,) secuTIS.
Noca tamen eas quibus ulus Cum demonttrationes, porius figuras inscribendas
imitari, cum supponane primum cerminum o. Si quis vero figuras circum scriben.
das imitari maller, tieri quidem de illud porest, modo primuis tErIINUS PONatUE F.
Norandum etiam, raciones inductione quaerendas, in seriebus illis quarum pro-
cectus est in Arichmerice proporrionalium racione quadeuplicata (et leguentibus)
masis implicatas esse quam praecedencium.
Pura in Biquadraris  = p +-
3M ja
m
201 301
m
20t
314-
3072
+
301
14. Vel - 84
∞ I = : m I2 = omV = 2 m12 = : mL. (BOLicO nemBC
termino primo o, secundo s, lacere maximo 1, numero terminorum m = 1. f 2. )

## Folio 384 — 851387705:0404
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000404.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
LRITHMBLICA
In Supersolidis aurem = =B +
m
B-
m
 127
B+
F2. 12
221
22P73 = 6m 13 + 3 m I F L. m L - 1 m12.
Yet  13 +
In Serranis, seu Cuborum Ouacracis,  =15 p 5L + 5 p. L. 2 + 2 p -
+
1+ B
2p. + = E1. Vel m Vo + E. m 13 + ;m Ia - : mL -  mD + = ml. FL
Paricer in sequencibus: ut ad prop. 182. doccbitur
Sed (quod nobis hic sulticic) ad debiram rationem ita concinue maxis accedunt,
ut candem disserencia cradat quaris allignabili muinor.
SCHOL TV M.
Si quis aurem cupiat rariones hujusmodi, veuc incricatas, quae seguencibus serie.
bus tinicis quibuscunque conreniat, (puta in sepruplicata, octuplicata, Scc. ratione
Arichmeriee proportionalium) invenire: quomedo illud tiac intra dicetur in Schol.
PrOP. 182.
PROP. ALII
Theorema.
PFOP.XLIII.
Deoque Si uCelSatur leries intinita quantitatum, a puncto sell DM-
choatarum, e continue crescentium pro ratione vel Arichmetice.
proportionalium, (quam seriem Laceralium sire Primanorum appello,)
vel eorum quadratorum, cuborum, biguadratorum, ec. (quam ap-
Dello seriem Secundanorum, Tertianorum, Duartanorum, _C.) Frit totius
Teriei ratio, ad seriem toridem maximae aqualium, ea quae sequieur in
hac Fabella. Nempe
Aqualium
Primanorum
Secundanorum
Tercianorum
Ouartanorum
Ouincanorum 8
Sextanorum
Seprimanorum
Octaranorum
Nonanorum
Decimanorum 
6
Vet
t sic deinceps. Ia ut tractionum Denomnatores, ue Conlequentes
ratiolum, sinc ab cale Ac Poae Co Al-
tem sive Numerator sire Antccedens L.
PRO P. XL
Corollarium.
Ine discimus methodum invemendi ateu compleett L’ut abolae
Paraboloeideos Cubisalis, Biquadraticalis, Surdesolidalis, aut superio-
ris cujustibet potestatis; (3 consequenter, etiam aream Parabolae, aut Para-
boloerdeos cujuscunque potestatis. Duod ostendere pollicibus sum ad Prop. 48.
Con. dect.
rum. (uc diximus ad PrOP. 23;) complementum Paraboloclais cubiealis (vel semi-
pacaboloerdto,) terreo texcianorum, C uc diximus aet BCOB. 42;) acque (eadem
ratione)
Nemve, cum complementum Parabolxe (vel Semiparabolae) sic feries secuncano.

## Folio 385 — 851387705:0405
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000405.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
PFOP. XL V
rarione) complementum Paraboloeidis Biquacraricalis, series Ouarianorum; edm
plemencum Parabolocidis supertolidalis, leries Onincanorum; et Sic deinceps:
krit horum racio ad Parallelogrammum circumseriprum, (Periem nempe toridem
maximo aequalium,) ea qua elt Z ad 3, X 2d 4, F ad 5, F ad 6,  sic deinceps: juxta
tabellam proposicionis praecedentis. Srconlequenter, ipla Parabola, Paraboloci
des Cubicale, Biqnadracicale, Supersolidale, ec. (quae nempe cum suis comple
mencis aequancur Parallelosrammis circum seripeis,) (unt ad Parallelogrammum cir-
cumleripeum, uc 2 2d 3, 32d4, 4 2d5, 5 ad6, ec.
SCTTOL. TV
Ex hoc quidem pacto licebic inrumeris tiguris currilineis aequales rectilineas con-
lticuere. Ouodque in Sola Parabola (Cumma cum admiratione) praeltice LIC
medes (e post Hlum alii;) id nos in P’arabolocide eujulcunque porellacis jum prae.
TLiEImIIS.
Oux aurem de Parabolis de Parabolocidibus hueusque tractica suney aut mOX tra.
denda, poltunt etiam Spiralibus tacilsimo necocio accommodari. Si enim (uppO-
namus rectam M T concinue auxeri, non quidem in eadem ratione cum angulo
PMT, (ut in Spirali Acchimedea) sed in ejuldem ratione duplicaca, exiplicata,
quadruplicata, ecc. vel subduplicata, lubiriplicata, subquadruplicaca, Cec. vel etiam
subduplicatae criplicaca, quactruplicata, ec. Suberiplicatae duplicata, quadruplicata
Ec. aue alias ureunque composita: orientur alia acque alia Spitaslum genera: qua
rum tamen ad Deripheriamt vel arcum (eo sensu quo dictum elt in ScHoL. prOP.
23. Cc 15.) ratio non minus innotescer, (uc ee tigurarum adjacentrum racio ad et.
culum vel sectorem,) quam in illa Archimedea. FX
empli gratia. Si auccarur recta MT in duplicata
ratione anculi P ML: erit lnea Spiralis (a princi-
pio incheara) MT, ad arcum conterminum FZ, ut
Fad 3: (quippe erit Spiralis illa, series Secunda-
norum; areus autem, leries Aqualium: J’Ft Freu
ra adjacens erit ad conterminum Sectorem ut L ad
5: (nempe ut series Onartanorum ad feriem A.-
qualium:) st similiter, si creseat recta MF in
aneuli MD T ratione Triplicata. Duadruplicata.
ec. Frit Spiralis (sensu que supra) ad contermi-
num Arcum, ut = ad 4, 5, c.  Fieura adjacens
ad sectorem conterminum, ut F ad 7, d, Vc. Liem
sicrescant rectae MT in anculorum P ML ratione Subduplicata Suberiplicata eec.
erunt Spirales (sensu quo dictum est) seu crescentium arcuum similium Aecreca
ta ad conterminos Areus (ex totidem aequalibus constatos,) ut 2ad 2.
X5, ∞C.
Et Fieura adjacens ad Sectorem conterminum, ut + ad 2Z, LZ, 8c. Hloc est; il
lic, ut 2. adt 3, 3act 4, 96. hio ut. 2 ad 4, 3 ad 5, ec. Et lic alibi; quacunquetue
ric racio mulciplicata, rel submulciplicata, vel ex hiis uccunque compolica. Oux
omnia eodem modo (muratis mutandis) demonstrabuntur, quo proD. 5, 24, ec
(achibicis lalcem in auxilium provotirionibus aliquor sequencibus.) Acque bine
quidem Spiralium doetrina in immenlum auseri poltit. Cum aurem id luo quili-
bet Marre per jam dicta Patis poltu incelligere, neque nobis sic animus labore fy-
Perracaneo haec ulterius ampliandi: Suttieiar id in cransicu monuisse
Sed de hinc eriam facilis estet crantitus ad Spirales non caneum in plano, sed in
Colido deseripcas, puca in superticiebus Coni ee Sphaerae, sire eriam conocidium de
sphaerocidium, rite considerandas; e, ad Spirates aut Circules in Cxlindro compa-
randas: Figuras item illis adjacences, ad tisuras adjacences hiloc.  Adhibiris, canien
iis, quae de seriebus auctis de diminuris intra secucura Cunt, propolicionibus. FIXC
aurem omnia, nenimius lim, incacta praecereynda judico: ) Cum ca quilibet, ex i18
quxe hic cradlica sunc vel intra cradtenda, tacise poll deducerenes
NF INLTOKUM
MONZFOH
Monendum denique hic pOrrO auXI; I horum Lduions prima, ireptille (live
mea lire eyposraphi incuria) Mendum quoddam Numerale. (4, 5, 6, perperam
sexipeis prO 5, 7, 9.) Quod occationem dedir CI. Viro Scephano de Ancelis (dum
c
non

## Folio 386 — 851387705:0406
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000406.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
ARYYHMETICA
non animadrerterie, merum fuisse rel Calami vel Calculi laptum, non ex Demon-
srarionis vitio ortum,) centendi (in luo de Spiralibus Tractacu) non recte
procedere hanc meam de Spiralibus doctrinam. Verum ubi reltiturus tuerit Cal.
culus debitus, Demonttrarioni contormis; ltacim verspiceree, omnia, qua in ad
versum objecerat, sponte sua concidere; (et quidem, quod audio, aliis id mo-
nentibus, eriam me cacente, dudum perlpexic:) Sed ec coram illam de Spirali-
bus Doctrinam, quam ille Futius exponit (se crudite;) hoc uno Scholio summa-
tim tradicam else; Fc quidem universalius, utue hoc ille non Ctatim animadrerre-
rit; Ouod in causa tuis, cur aliquanto plura exempla jam enumerarerim (quam
Prius,) eadem senerali mechodo comprehensa, acque eodem plane modo (ri Prop.
44, 54, 64,) demonstranda. Oux non eo dicta sunt, uc inventis ejus deroxatum
eam; (neque enim illi ririo dandum est, quod exo ci in eadem re praeirerim:)
Sed ut appareat, quam Corollariorum terax tic haec noltra Mechodus generalis;
cum vel Scholium unum (ubi parcicularim exponatur,) maceriam subminiltret
justo Volumini. E.c quidem cotam illam de Parabolocidibus doctrinam, provo(i.
tionibus aliquammuttis praecedentibus, ex subsequentibus aliquammuliis, traditam;
hioc uno Scholio volebam Spiralibus Spatiis accommodare, (quxe ex convoluris
Parabolocidibus oriuntur;) porius quam coudem rel etiam pluribus proxosicioni-
bus eadem de Spiralibus reperere, quae de Parabolocidibus dicta Fuerane: tum, ne
nimis excurrere viderer; cum, quia non esser cuiquam ditticile illud facere qui ad
praecedencia latis accenderit. Quod quidem cousque rerum est, ut non modo
istiusmodi Spaciorum spiralium rarionem 2d Sectorem conterminum extribere va-
Leamus; sed ee Spiraleni sic aftixnare, ut spatium adjacens, ad Sectorem concer-
minum, rationem (minoris ad majus, pumeris explicabilem, ) datam habeat. PHo
urique ratio sic data, ut x ada. LL PONantuE recta MT, MT, _c. (qua con
tinuos angulos AMT, TMT, _c. invicem aequales Faciant,) ab 0 concinue
crelcenres secundum seriem cujus Index si  F. Vico, spacium hoc Spicale
(a principio exortum, ee quousque libet concinuatum,) ad Sectorem concermi-
num, esse ut F ad a. Cum enim Radii (similium Sectorum) sine Series cujus
Index est  ; Sectores ipti (uipore in Radiorum suorum racione duplieara, )
Tunc Series Indicem habens a = r: Oux iiaque ad Periem toridem maximo aequa-
lium, (hoc est, spacium Spirale, ad Sectorem concerminum circumseripuim,)
CH ut F ad a lleriei Indicem unicate auctum,) per pFOB. 6+. Guodctac facien.
dum. Pura, SC Racio daca, X ad 2; adeoque = =: ErSO RECtX NP, SUNE
Series Subsecundanorum. Sit racio data, L dd 5; adeo que 2 = = 2: F1∞0,
M T, Series Secunaanorum. Sit ratio datas L ad 3; adeoque   = L: FrB0,
MT, Series Primanorum: (quae est Spiralis Archimedea.) Sit data Patio, 2 ad 37
hoc est vad 3; adeoque  =: PrCO, MY, Series Subquarcandru. Sit daca
rario, 1 ad 4; adeoque
=Z: ErCO, M F Series Radicum Duadrasiearum
Torrianorum. Ex similicer alibi, quaecunque fuerie sic daca racio. Iplam vero
Curram spiralem Archimedeam, Currae Parabolica aequalem este; a me alibi de
monstracum Mt; in Practaru de Curiarum Eiduoin Tractatui de Cyclocide sub.
juncto. Ec quidem pari mechodo etiam alias Spirales, Parabolocidum curris
rguales ostendere, non est dittieile. Sed neque ditficile esset ostendere (nil quod
nolim hic nimium excurrere,) Ouaenam Spiralis cuinam Paraboloeidi respondeat.
Nempe, uc Parabola Apolloniana respondet spiralis archimedea; (quixpe, Cur-
vx Semiparabola cujus batis aequetur maxima rectarum N P, d Aris ABereBatO
arcuum limilium inscriptorum, numero aequalium; hoc ctt, semisti arcus conter.
mini PY; aequalis est Curra Spiralis; de Figura Fipurae dimidia:) Sic, Si po.
nancur MX (midiuru dectorum Radu) eresceures in Ratione decundanorum (hoc
et

## Folio 387 — 851387705:0407
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000407.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
NLEHLLOKCM.
estus ue Dumeri Onactratiet;) Spirali
Erespondebit Parabolocides Semicubicale
cujus itaque currae aequabitur, non modo Semiparabolocideos curra (cujus batie
aquetuT rectarum MI T maximae, ec Axis aggresato arcuum similium Sectorum in
Seriptorum, numero infiniiorum, leu Prienti areus contermini;) Sed ee Recta lines
quam iltius Semiparabolocidis Semicubicalis currae aequalem oltendimus, in dicto
de Foduiss Tractatu;) LBa vero Spirali acacens; dimicla tisura acjacencio
delit aladvident. Li tltaiet adiet.
Lemmas
Tem (per prop. 44.) Data ratione quam habet series una, cujustibet
Poreltacis, (ad seriem aequalium:) reperitur racio quam habet alia
series alterius cujulris potestatis, (ad seriem item aequalium:) inre-
niendo nempe homolosum terminum progrestionis Arichmeticae.
Se Si Ouadratorum sire Secundanorum series sic 2 Teriei aectalium; erit series
Lateralium sive Primanorum ? Periei aequalium: Ouia, ut Series Primanoruni media
est inter seriem Aqualium e seriem Secundanorum, sie 2 (consequens rationis
qualitae Primanorum) est media Rrichmerica inter F et 3 (consequences rationum
Aiqualium et Secundanorum.) Sic cum Cuborum sire Pertianorum ratio SIc = Sire
ad 4, inter quam seriem ec seriem aequalium, duarum porestatum series inter-
jiciuncur; quaerendae tunc dua mediae Arichmetica inter L et A, DuTa 2 e 3, qua-
rum illa Primanis, haec Secundanis convenit. Pt Sic in exteris.
Ec similiter, si quaerenda sic rario luperioris poteltatis seriei conveniens; id
reperitur progrestionem continuando ad terminum qua sicum usque: VI, Si series
Ouartanorum rationem habeat, ad seriem aequalium, eam quae ct F 2d 5 GIVC =
Teries Sextanorum habebit rationem rad: quia in prosreltione arichmetica ubi
terminus (post unitacem) quarcus est 5, ceiminus sexcis exic7, et paricer in reliquis.
eROP. XEYII.
Lemma.
Tque haec regula HOnuS ralebit s exponatur series quantita-
cum quarumlibet (non quidem juxta seriem Primanorum, sed
juxta quamris aliam Fabella seriem, et de illarum Ouacratis, Cubisi
_C. inquiratur.
Verbi Gralia. Si intelligatur ejusmoci series quancitatum quarumlibet secun-
dum seriem Secundanorum (quibus altignatur in Pabella ratio L ad 3) dispolica
rum: harum Ouactracis conreniet ratio L act 5; (quia 2, 3, 5, Pune Arichmetice
proportionales; ee Cubis conreniet ratio F ad7; et Sc deinceps; quia 1, 3, 5. 7
Sc. Tunt Arichmetice proportionales, proutOnicas, Radix, Guadratum, Cubus, ec.
Tunc poreltates proxime sequentes et Creomerrice proportionales.
Nec hoc aliud est, quam quod habetur in Pabella; nam Li quanticales altuM PIa
sinc series Secundanorum, cujus ratio cst 3; carum quadrata erunt series Ouarta
norum, cujusratio Z; et carundem cubi erunt series Sexcanorum, cujus ravioz; ec.
uc dictum est.
P ROl. LCVII
Corollarium.
 R OP. ZL VI
Econtequenter, Conseides vel Py amilles complemento semi para
bolae (circa ipsus diameltu) uxtandum est ad Cylindrum vel Prisma
super aequali base aeque altum, ut x ad 5.
CC7
cireum.

## Folio 388 — 851387705:0408
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000408.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
PFTOP. ZLIX.
circumra H detcribatur Conoeides rectum: vel, universaliter, S (juxra
methodum a nobis indicaram prop. 5, 6, 9. Con. Scet.)
diametro vel axi AT, ordinatim applicentur cireu
Ii, vel similia quaeris plana, quorum vel radii vel
rectae Cimiliter polux rarionem eandem habeane in-
ter se quam rectae TO, TO, ec. ut complealur C0.
nocides rel Prramidocides live rectum sire inclina-
cum: dieo illud Conocides rel Prramidocides elle
ad Cylindrum vel Prisma Cuper eadem bali aque al-
tum uc X ad 5. Nam, cum rectae omnes YO, IO.
Ec. Tine Teries Secundanorum, (quibus convenitra-
tio L ad 3:) similia quaelibet plana super has rectas
similiter constituta, erune incer se uc harum rectarum
quadrata; lire in duplicata rarione rectarum O,
FO. Aeque ratio seriei rectarum illarum conveniens (seriei quippe secundano.
rum,) estr ad 3; ergo seriei planorum conveniet ratio F ad 5: quia nempe I, 3,
5, Tune Arichmerice proporrionales: (prout Onitas, Radix, e Ouadratum sune
Cieometrice proporrionalia.) Ft quidem, si rectae YO, FO, ecc. Tinc Series Se-
cundanorum; earum quactraca (vel plana quadratis proxorrionalia) crunt series
Ouarranorum; cui in FabeIa COnVEHII EAHO + ac 5.
PROP. XLIX.
Corollarium.
T similiter; Si complemento semiparaboloeidis cubicalis aptetur (circa
ipsus Diametrum) Conoeides vel P yramidoeides; erit boc ad Cylinarum
vel Prisma (super eadem vel aequali base aeque altum) ut 2 ad 7.
Nam, cum rectae YO, YO, _c. (in complemenio semiparabolocidis Cubicalis,)
Tinc series Tertianorum, quibus in Pabella conrenieracio c ad q; horum qua-
dratorum (vel planorum quadratis proportionalium) feriei conveniet ratio L ad
7; quia 2, 4, 7 Tune Arichmecice proportionales. Vel eriam, quia plana lunt se.
ries dexcavorum, quibus in Pabella alsionatus ratio r 2d7.
ape P Rs C. Po ecI s
Corollarium. ) Sectileeu aue
cs fsitayc
F Pariter; si semiparaboloeidium aliorum (puta Biquadraticalium, Su-
persolidalium, C3C.) complementis aptetur (circa eorum diametros) Cono-
eides vel Pyramidoeides aliquod: habebit illusd ad Cylindrum vel Prisma (su-
per aequali base aeque altum) rationem notam (puta 2 ad 9, 2 ad TF, (3c.)
Cum enim complementorum illorum rectae sinc series Ouarcanorum, Ouintano.
rum, ecc. adeoqne rationes in Pabella altignatas habeant L ad 5, F ad 6, e. Teries
Ouadracorum (vel planorum quadratis proportionalium) rarionem habebunt =
2d9, +ad TE, _C. quia 2, 5, 9, vel L, 6; TF, _c. Tune prichmetice proportionales.
Vel etiam, quia E rectae Sine feries Onartanorum, Guincanorum, etc. plana simi-
lia ad has rectas similiter posira, erunc series Octaranorum, Decimanorum, ec.
quibus conrem ratiOL ad D, Z ad FF, eC.
SC T2OF TV M.
Atque hoc pacto figurarum Colicarum superticiebus curvis comprehentarum
insens mulcicudo reduci vollunt ad alias superticiebus planis comprchen(as; et
corpora non modo coniea (quod docverunt veteres,) led et alia quamplurima
conoeidica, ad estindrum reduci. Quod neleio an quilpiam alius ancehac osten.
deric.
PROL.
LRLIAMETTCA

## Folio 389 — 851387705:0409
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000409.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
D. LiL.
INFLNLTORUM
L LOP. L
Lemma.
Uxta eandem regulam (prop. 46, 47.) Si exponatur series quancitatum
quarumlibet, juxta quamlibet Pabellae seriem; de illarum radici-
bus quacraticis, cubicis, c. aut quibutris intermediis potettatibus, pa-
riter inguirendum exit.
Fxempli pracia; si exponantur infinita numero Onactrara (vel quaelibet plana simi-
Lia) jurca seriem Duartanorum; (cui altignatur, in Labella, ratio L ad 5:) Peries la-
rerum (vel rectarum in illis Cimiliter politarum) rationem habebie (ad seriem X
qualium) Fad 3: quia F, 3, 5, Sine Arichmetice proportionalia: vel eriam, quia
ubi plana Tunc series Duartanorum, eorum latera crunt series secundanorum, qui-
bus altienatur in Tabella ratio F ad 3.
Sic, li exponantur cubinumero infiniri (vel quaelibet similia Colida) juxta seriem
Textanorum, quibus in Pabella conoruit ratio F ad 7; eorum lateribus cubicis (vel
rectis in his similiter posiris) conveniet ratio F ad 3; ee horum larerum quadraris
(vel planis in cubis illis similiter posicis) ratio F ad 5; quia duarum mediarum
Arichmetcarum incer Z et 7, minor elt 3, major 5, (sunc enim 2, 3, 5, 7 Arich.
metice proporcionalia: duas autem medias ArichmCtCAS INFETPONO IMICF TCE 7;
quia coridem lupponimus medias Geoniecrieas inter unitatem et cubum, nempe L. a-
tus ec Ouadratum; sunc enim Unitas, Facus, Ouadratum, Cubus, Geomerrice
proporcionalia. Fc quidem (i Cubi line series sexranorum, Latera crunt series se-
cunclanorum; et lacerum Ouadrata, series quarcanorum; quibus in Tabella conve.
niune rationes E ad 3, Fad5
Sivero quantitates expolica in eadem serie leranorum, Elent Ouactrata (vel
plana quaeliber limilia,) eorum laceribus conreniret ratio Lad 4. Ouia incer L e
 media Arichmerica est 4; Pieut inter Unicacem e Ouadracum media Ceometrica
cst Radix vel Lacus. Ec quidem Si Ouadrata Lint series sextanorum, eorum Latera
crunc series certianorum; quibus in Pabella conrenit ratio + ad 4.
PROP. LTI.
Corollarium.
T PEOPtCrCa; Ex cognitis rationibus quas habent Conveidea C Pyrami-
docidea, prop. 48, 49, 50. memorata, ad Cylindrum vel Prisman (suver
aequali base aeque altum;) coenoscentur rationes quas habent plana illa unde
construuntur, ad Paralleloerammum circum seriptum. Nempe complementum
Semiparabolae ut L ad 3: complementa Semiparaboloeidis Cubicalis, Biqua-
draticalis, Supersolidabis, 36. ut X ad 4,. + adt 5, F ad 6, c.
Si enim Conocidea vel Dyramidoeidea illa cornolcantur ellè series Onartano.
rum, Sexranorum, Octaranorum, Decimanorum; dc. cilque convenire rationes
2ad5, Fad 7, Fad 9, L ad XI, dc. Porum laceribus (qude proprerea. lune series
Sccundanorum, Ferrianorum, Ouartanorum, Duincanorum, etc.. ) convenient ra
tiones + 2dZ, Y ad 4, Y ad 5, F ad 6, _c. Ouid 2, 3, 5, IteM L, 4, 7, ItCM L, 5, 9,
icem L, 6, LF, ec. Sunc Arichmerice proporconales.
PRO P. LTTI
Lemma.
I intellectis; patet adicus ad inrestigationem rationum quas
(ad seriem marimae aequaluu) Hlabere ceantur ejulmodi letLs
rorum sire quancicatum slerice proporcionalium, a puncto velo
C 3
Racicum Ouadraticarum; Cua BddTaLICaTUM, AC. HIIHC.
cBala

## Folio 390 — 851387705:0410
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000410.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
ARLTAMETICA
erop. LIF.
inchoatarum; (puta VO, VF, Y2, Y3, _C. YCO, VCF, VC2, YC3, _c.
V990, rgqF, Ygq2, V9433ec.) Ouas appello series Subsecundano-
rum, Subtertianorum, SubguarEanorum, etc.
Exempli oratia. Si exponantur ejusmodi infinita numero Ouadrata Arichmetiee- pro-
portionalia, lire juxta seriem Primanorum; quibus in Tabella altignatur ratio + ad 2.
Forum Laceribus, (hoc elt, seriei Tubsecundanorum) conveniet ratio E ad L =
(Tire 2 ad 3;) quia F, F3, 2, Tunc Arichmetice proportionalia.
Trem, si supponantur ejulmodi intinii Cubi Arichmetice proporcionales, Cire
juxta seriem Primanorum; quibus conrenit in Pabella, ratio F ad 2: IIlorum
radicibus cubicis, (hoc elt seriei subterrianorum) conveniet ratio X ad F3 (vel
3 ad 4:) ec harum radicum quadraris, ratio + ad 23 (vel 3 ad 5:) Ouia Lcilicet
F, F5, +3, 2. Tunc Arichmerice proporcionalia; sicur Onicas, radix, quadratum, e
cubus, sunt Geometrice proportionalia.
Ft pari modo, s intinira Biquadrata, Supersolica, dec. constitura intellisantur
juxta leriem Primanorum, quibus convenit ratio F ad 2; eorum radicibus Biqua-
dracicis, Supersolidalibus, ecc. conrenient rationes 4 ad 5, 5 ad 6, ecc. vel 1 ad F7
Zad F= _C. quia nempe F, X2, +4, L3, 2; ieM I, L5, F5, L3, +8, 2; deC. fUINE
Arichmetice proporcionalia. Adeoque.
P ROP. LIV
Theorema.
F incelligatur series intinita quantitatum, a puncto seu o inchoata-
Drum, et continue crelcentium pro ratione Radicum quadraricarum,
cubicarum, biquadraticarum, etc. numerorum Arichmetice proportio-
nalium; (quam appello seriem Subsecundanorum, Subtertianorum. Sub-
quartanorum, 6c.) Frit corius ratio ad seriem cotidem maximx aequa-
lium, ea qua sequitur in hac Tabella: Nempo
Subsecundanorum
Subterrianorum
Subquartanorum
Subguintanorum
Sublextanorum
Subtexcimanorum
Suboctaranorum
Subnonanorum
Subdecimanorum 
Lit he dCinCePd.
Patet ex praecedente.
R O P. LV
Corollarium.
RBO Planum semi- parabolae (vel etiam Larabolae) est ad Paralleloeram-
mum circumscriptum, ut 2 ad 3. ( consequenter ipsius complementum
est ad idem L’aralleloerammum ut X ac 3.)
Fst enim Planum Semipara-
Bolae (aur etiam Parabolae) Sc.
ries intinita sublecundanorum
(Der 8 PFOD. COn. Sect.) Pa
rallelosrammum autem leries
coridem maximo aequalium: F r-
80 illud ad hoc uE L ad x3, vet
ut 2 ad 3. (et, consequenter,
ipsius complementum, nempe
Eata) decamimi reliduum, uc
PKOP.

## Folio 391 — 851387705:0411
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000411.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
LNEEALTOROM.
EROP. LVI.
Corollarium.
TCII. Planum Semi-paraboloeidis (vel eriam Laraboloeidis) cubicalis.
est ad Parallelorrammum circumscriptum, ut 3
ad 4. (C consequenter, ipsius Complementum, est ad
idem Paralleloerammum, ut X ad. 4.)
Cum enim (per 45. PFOB. COn. Sect.) ordinatim
applicatae in Parabolocide cubicali sinc in suberipli
cara racione diametrorum (sive diltanciarum a ver-
ticc,) erit planum ex illis omnitus conflatum series
subcercianorum; qua se habet ad seriem cotidem
maximo requalium, (hoc est, ad Parallelosrammum
circum (exipeum,) ut xad FZ, live uc 3 ad 4. (EL con-
lequenter, iptrus coliplemencum, nempe paralleloeram-
n relicuum, elt ad idem Pacalleloxrammum, ut L
a 4.)
PROP. LVII
Corollarium.
Odem modo, Planum Semi paraboloeidis (vet Paraboloeidis) Biqua-
draticalis, Supersolidalis, aut superioris cujusvis potestatis, ratio ad Pa-
ralleloerammum circumscriptum nota erit; puta ut 4 ad. 5, 5 ad 6, 536. (Et
consequenter, ipsorum etiam complementa ad eadem Paralleloeramma ratio-
nem notum habebunt; puta ut E ad 5, X ad 69, 896.)130 
Sunc enim illa plana series subquartanorum, subquincanorum, dc. ideoque, ad
series AEqualium, uc 4 ad 5, 5 ad 6; _cc. e consequenter, eorum complementa
(quae quidem sunc serics Duarranorum, Ouincanorum, eec.) uc X ad 5, 2ad 6, etc.
SC ZIO L ZV M.
Adeoque de per hanc etiam Tabellam, ticet Parabolarum, et Parabolocidium
cubicalis, biquadraticalis, aur superioris cujustiber poreltatis, e corundem etiam
Complemenrorum, aream invenire: quod pollicius tum ad Prop. 48. Con. Sect.
_e supra praestici ad PrOp. 45. hujus.
eR OP. LVITI
Lemma.
Anaert ope ejuscest Regulae (prop. 46.) Si proponatur ejutmoci
series intinita quancitatum, a puncto rel o inchoatarum, et
continue crescentium, pro ratione Potectaris (non simplicis tantum
cujulris, sed _) compositae: ratio quam habet illa ad seriem tocidem
maximae aequalium, inrestisatur. Puta Guadrata, Cubi, Biquadra-
ta ec. Sublecundanorum, Subtertianorum, Subquartanorum, etc.
aut etiam secundanorum, TeKLIANOTUM, GUAEEaNOTInI, _C. Vel Ra.
dices Ouadraticae, Cubica, Biguadraticae ecc. Sccunclanorum, Tertia-
norum, Guartanorum, ec. aut Sublecundanorum, Subtertianorum,
Subquartanorum, _c. Aut etiam Sexies alix quocunque modo com-
DOIta.
1
LaClapli Fracia. Cum Teries lubtercianorum (Puta Y CO, VCr, YC2, VC3, Ca)
rationem habeane (ad seriem cocidem maximx aequalium) eam quxe clt 3 ad 4,
seu xad F3: Porum quadrata (quae eadem Tune es radices cubica secundano.
rum, Puta Y CO, Y CT, VC4, Y Cd, ec.) cationem habebune ad coridem maxima
2qualia

## Folio 392 — 851387705:0412
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000412.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
LL L LLAI ACL LSCA
PFOD. L. IX.
aequalia, eam quae est F ad +3, vel 3 2d5. Ouia DeMDE L, 23, 23, vel 3, 3, 3
lunc Arichmerice proportionalia.
Pariter, seriei lubquartanorum cubi, vel (quod tancundem est) radices biqua-
draciea seriei cuborum vel certianorum; rationem habebunt ad seriem A: qualium
ut 4 2d7. Cum enim series (ubquarcanorum rationem habeat in Tabella L ad F L
vel 4 ad5: eorum cubi rationem habebune (ad seriem tocidem maximo aequa
Lium) uc F ad F3, vel 4 2d7. Ouia nempe F, F4, 2Z, 237 vel 37 43 2, 3
lune Arichmerice proporcionalia, licur Unitas, Radix, Guadratum, Cubus, ecc.
Tune Greomerrice provortionalia.
Et similicer in porellacibus magis adhue compoliuis; pura Radices quadratiex
cuborum seriei Cubquincanorum. Itam seriei subquincanorum conrenit ratio L ad
22, vel 5 ad 6; ergo eorum cubis conreniet rario F ad F3 vel 5 ad 8, (quia nem.
DE 2, X3, F3, 23, vel 3, 5,3,3, lune Arichmerice proportionalia;) et corum
Radicibus quadraris, ratio F ad F,3, vel 10 ad. 13, (quia nempe F 3 est medium
arichmeticum inter x ad F3, Tunc enim 1, 1 13, 2 6
= 13) vel 183 10, 18(= 3
Arictmerice proporcionalia;) Vel eriam cum radices Ouadrariea subquineanorum
lint series subdecimanorum; cui convenic ratio 20 ad EF, vel F ad F o: Farum
radicum Cubi rationem habebunt eam qua elt F0 ad 23, vel F adt 2 1: OUIa L, L 107
2133 2B, vel 18, 15, 13, 18, sunc quatuor cermini Rrichmerice proporrionales.
arque eodem modo, in seriebus aliarum P’oceltatum urcunque compolicarum.
carundem ratio ad seriem aequalium, inrellisabitur. Adeoque
P R O P. L TZ
x incellisatur series intinita quancitatum, à puncto leu o incto.
 carum, e continue crelcentium pro ratione porestaris cujulris
ex simplicibus (PrOP. 44 _ 54 memoratis) composiex; erit totius
ratio ad seriem totidem maxima aequalium, ea qux sequieur in hac
Zabella, Nempe
Theorema.
 SCTICI
Quactatic
Beccii
S C
ALISee  
13
ve e
3
1.
131
et
e s rre
Bote
Cubiex
Biquadrat.
Supertolida
Sencanae
Seprimanae
Octaranae
NOnanX
Decimana luo l1e. ve l 13 ( V lV
Ex sic deinCcBS.
re
22 22
PROF

## Folio 393 — 851387705:0413
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000413.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
FLN LTOR UM
P R O P. L.X.
Corollarium.
ROO, Conocidea es Pyramidoeidea Parabolica C Paraboloeidica; quae
nempe Parabolae, Paraboloeidi cubicali, biquadraticali, supersolidali
Oc. aptantur; sunt ad Cylindrum es prisma circumscriptum, (vel
aliud quodvis super aequali base aeque altum,) ut 2 ad 4, 3 ad 5, 4 ad 6.
5 ad 7, 66.
Cum enim Parabolae, de Parabolocidium illorum plana sine series rectarum in
ratione subsecundanorum, subtertianorum, subguartanorum, TubquinFanOTUM, _C.
sire uc radices quadratiex, cubicae, biquadraticae, supersolida, dec. Primanorum:
Conocidea e Pyramidocidea sic aptata, sunc series planorum in duplicata ratione
iltarum rectarum; et propterea, uc radices quadratieae, cubiea, biquadraticae, su-
persolica, ec. Secundanorum: quibus in rabella altignancurrationes illae 2 ad 4.
3 2d5, 4 ad 6, 5 2d 7, ec.
e ROP. LXI.
Corollarium.
CFd C hinc innotescit methodus quadrandi non modo Parabolam sed 5
Paraboloeidea omnia, (eorumque complementa,) non modo ea quorum
ordinatim applicatae procedunt juxta rationem simplicis alicujus potestatis,
(de quibus dictum est prop. 55, 56, 57, item prop. 23, 45.) Sed es juxta
rationem potestatis cujussis ex simplicibus compositae. Puta: si ordinarim-
applicatae sint in diametrorum ratione duplicatae subtripticata subquintupti-
cata, subseptuplicata, eSc. vel triplicatae subquadruplicata, subquintuplicata–
C3c. rationem habebunt ad Paralleloerammum circumseriprum eam quam ha-
vent 3 ad 5, 5 ad 7, 7 ad 9, 530. 4 ad 7, 5 ad 8, 3c. Et eorum com-
plementa (quorum ordinatim applicatae erunt propterea un suarum diametro-
rum ratione subduplicatae tripticata, quintuplicata, septuplicata, (3c. item
subtriplicatae quadruplicata quintuplicata eSc.) rationem babebunt 2 ad 5.
2 ad 7, 2 ad 9, (30. 3 ad 2, 3 ad 8, 3c. Eit similiter in caeteris: junta
tenorem praecedentis Tabellae, prop. 59.
Nam si ordinatim applicata sine in diametrorum luarum ratione duxlieae
subtriplicara, erit planum illud series rectarum qua se habent ad invicem ut qua-
drata radicum cubicarum, (vel ractices cubiex quadratorum) numerOrum Aricti
metice proportionalium, sive ut radices cubica secundanorum; quibus in Fabell
convenit ratio 3 2d5.
Ec hujus complementum ordinatim applicatas habebie in diametrorum suarum
ratione lubduplicatae criplicata, (quod cali arsumenio probabitur, quo utus sum
ad PrOP. 23.) de propterea planum illud erit series radticum quadraricarum Cy.
borum lire Pertianorum; quibus altignacur in Tabella ratio 2ad5
Et pariter de aliis judicandum.
SC TIOZ LM.
Atque hoc pacto alix adhue trourx currilinea (praeter eas quas innuimus ad
PrOP. 45, e 57.) ad aequales rectuineas reducuntur. Nempe onnia cujuleun.
que generis Pacabolocidea, et eorum complementa.
ACF.

## Folio 394 — 851387705:0414
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000414.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
AL L L L FT ME H FTCA
P RO P. L XII.
Corollarium.
ATque exinde etiam patet methodus ad aequalie Cylindros e Prismata
reducendi Conoeidé a C Pyramidoeidea omnia Paraboliea  Parabo-
locidica (non modo qualia memorantur prop. 50, ubi planorum ordinatim-
applicata procedunt juxta rationem simplicis alicujus pocestatis, sed es) etiam
quae aptantur ejusmodi Parabolocidibus, (qualia memorantur prop. 6L.) quo-
rum ordinatim applicatae procedunt juxca rationem seriei alicujus potestatis
composita.
tirempli gracia. Si Parabolocidis ordinatim axplicarae sine in diametrorum ra
tione lubiriplicatae duplicata, (vel suberiplicata duplicacae,) erit iltius planum re-
ctarum series intinica in ratione radieum cubicarum secundanorum: d propterea
Conocides vel Pyramidocides erir leries coridem planorum in carundem rectarum
ratione duplicata, ideoque radicum cubicarum Ouartanorum; _E PTOPterCA (juXIA
tabeltam PrOP. 50.) ad Cylindrum vel Prilma circum seriptum, ut 3 ad-
Trem, si Parabolocidis ordinatim applicarae sine in diametrorum ratione subqua
deuplicatae criplicata; crune plana Conocidis vel Pyramidocidis, in carundem dia
metrorum rarione lubquadeuplicatx sexruplicata, (lire, quod rantundem valer, sub.
suvlicatae criplicata,) ideoque Conocides vel Pyramidoeides illud (ex iltorum pla-
norum serie contlatum) ad Cslindrum ret Prisma circumscripcum, uc + dd 20, ret
2ad 5.
Et paricer in aliis juxta tenorem Pabellae.
PROP. LXI
Corollarium.
Odem modo; Forundem Semi- Paraboloeidium complementis aptata Conoei-
dea Pgramidoeidea, ad aequalia Cylindros e Prismata reduvuntur.
Exempli Etacia. Si semi paraboloeidis complementum ordinacim applicatas ha.
beac in diamerrorum rarione subduplicatae criplicata, erit planum illud rectarum
series intinira in rarione radicum quadraricarum Cuborum sire Tercianorum, et
proinde Conocides vel Pyramidocides buic aptatum, erie series coridem Plano.
rum in carundem rectarum ratione duplicata, adeoque in diametrorum ratione
subduplicatae sexuplicata (seu, quod cancundem ralet, in diametrorum ratione
triplicata:) exic isitur ad Cylindrum vel Prisma circumleripium, ut 2 ad 8, vel X
ad 4.
Trem, si semi parabolocidis Complementum ordinarim applicatas habeat in dia.
metrorum ratione Luberiplicarae quadcuplicata; erunt plana Conocidis vel Pyrami
docidis in carundem diamerrorum racione subcriplicacae octuxlicata; et PrOpierea
uc radices cribica octaranorum; adeoque Conocides rel Pyramidocides illud, ad
Cylindrum vel Prisma circum (exipEum, ut 3 ad FF.
Let Palitet de aliis judicandum est juxta Pabellam praemistam.
I
PxOD. L. 
C 11O L. LVL.
Docuimas ssuur, quo do Parabolae dt Parabolocidea omnia cujuleunque se
peris, e eorum Complementa, ad Parallelogramma: FL corundem Conocidea ee
exramidocidea ad Cylindros e Prismata; reduci poltunt. Adeoque innumera PrO-
blemata solrimus quae nemo (quancum scio) anrea lulcepie, nedum exequutus
Placet autem adhuc ex Fabellis omnibus praecedentibus (ProP. 44, 54, 59.
hocunirertale Theorema collivere, (quod quidem conrenit cum Regula PrOP.
4V.) Nempe
eAOP

## Folio 395 — 851387705:0415
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000415.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
LAbP. CXII
LNETMLTORUA
PROP. LXIV.
Theorema.
F incelligatur series infinita quantitatum, à puncto seu o inchon
Dtarum, et continue crescentium pro ratione cujuscunque potesta
tis, sire simplicis sire ex simplicibus compolitae; erir torius ratio, ad
Teriem tocidem maximae aequalium, ea quae est Unicatis ad Indicem
iltius potostatis unitate auctum.
Primanorum, Sccuncanorum, Tertianorum; Guartanorum, _c. (sive Porestatis
Faceralis, Ouadrarica, Cubica, Biquadratiea, _cc.) Indices PlatO L, 2, 3, 4 dc
tublecundanorum, subcercianorum, Tubquartanorum, _c. (Cive Radicum quadra.
cicarum, cubicarum, biquadrariearum, eec. Primanorum, sive Arithmetice prOpOr-
tionalium) Indices latuo Z, Z, Z, dec. Poreltatis cujulris compolix indicem tacio
ex componencium indicibus compolicum: Pura Secundanorum Cubi (vel Terria-
nOrum Ouadrata) indicem habent 6 = 2X3: Sublecundanorum Radices cubica
(vel Tuhtercianorum Radices Ouadrariex) indicem habent5 = = X Z: Cubi Radi-
cum quadracicarum Ouintanorum, indicem habebunt 33 = 3X Z X5
Rationes autemm his Poreltacibus (in Fabellis) astionarae, sunt hujusmodi. Puta,
Primanis, Sccundanis, Perrianis, Ouartanis, _c. F ad 2, F ad 3, F ad 4, F ad 5, ec
hocett Lad L F 2, F2d2 7 5, + ad 3 f F, L ad 4 f T, eec. Subsecundanis, Sub.
certianis, Subquartanis, ecc. 2 2d 3, 32d 4, 4 ad 5, dc. vel F ad 23, +ad 25, F ad F 
_c. hoc est Fad Z f L, L ad 3 F F, Fad =. f T, ecc. Terrianorum Ouadraris (sive
Sextanis) Fad 7, hoc est, Fad6 f F. Tercianorum Radicibus Ouadraticis 2 2d5.
sive Fad 3, hoc est X ad 3 f F. Sublecundanorum radicibus cubicis (sive Sub-
(exTANIS) 6ad 7, Sive +ad 3, hoc est Fad Z L F. Cubis radicum quadracicarum
Onintanorum, (Sire Ouindecimanorum radieibus quadraricis,) 2 ad 27, sive + ad
, hoc elt F ad 33 = T. (Et sic de Careris.) Ouod altirmat Theorema. Sin Index
supponatur irrationalis, puta V 3; exi ratio, ut F ad F + V 3. _c.
PROP. LXV.
Theorema.
L coenicaratione quam habet qualibet series ad seriem Aequalium.
coenoscicur ratio quam habet quae libet ad quamlibet aliam.
Firempli pracia. Parabola ad criangulum, (hoc elt series tublecundanorum ad
Seriem primanorum,) uc 3 ad 5, vel ut 4 ad 3. Semi parabola complementum ad
Triangulum, vel etiam Conus ad Conoeides Parabolicum, (hoc elt leries Secunda-
norum ad seriem Primanorum,,) ut Z ad Z, vel ut 2 ad 3. Semi parabola ad suum
complementum, (hoc elt series Subsecundanorum ad seriem Secundanorum,) ve
Ead 5, vel uc 2 ad I. Sic Parabola ad Parabolocides cubicale, ut Z ad 2, vel ut X
ad 9: EF Conoeides illius ad Conoeides hujus, ut Z ad 3, vel uc 5 ad 6. Paratr
locides cubicale ad Biquadraticale, ut Z ad 3, vel ut 15 ad 16: PE Conoeides illi-
us ad Conocides hujus, uc 3ad8, vel ut o, ad 20. Fclic in aliis.
Incellise; si easdem vel aequales habeant et bales ee alti-
cudines (aut laltem reciprocatas:) Nam A diverlas habe.
ant vel bales vel alcicudines rel urrasque, ratio seriei unius
ad aliam, componitur ex rationibus ee balium es alcicudinum
_ ea qua est serierum propria. Pura  Parabola batis B
alcicudo A, Frianguli balis 6 alticudo a; erit Parabola illa
ad Priangulum, ut ZA B ad 3 a6, vel 4 AB adt 3 a6, e pa.
riter in exteris. Tiem, Si Frianguli balis B, alcicudo A
E Parabolae balis B, alticudo a ern Parabola ad Friansulum
UC3 aB ad 3 AB, vel 4a Bad 3 AB.
Demonstratio patet. Cum enim Parabola AB SC Z Paral-
telogrammi AB; e Priangulum a6 (C = Parallelorrammi ab,
erit illa ad hoc uc Z AB ac = a. 6. Ft Sumilirer in aliis.
Ddd 2

## Folio 396 — 851387705:0416
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000416.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
ARTTAMELICA PFOPLXYI.
P R OP: FXVI.
Theorema.
LCenica quancitale seriei alicujus inteerae, cognolcitur quanci-
Tad Csce Oala.
.
C.  F
Duta, Si A B Friangutum sIC Z A B Paralleloprammi; et a6 Frianeulum,  ab
Parallelosrammi: cric reliduum Praperium, ZAB,  3 a 6. 17 Trem AB Parabola
EHB Paralleloorammi cemeripei; de a P parabola Z a B parallelogramini circum-
seripei: eric reliduum, E A B = 3 a B. Ex pariter in aliis. ti
P R O P. LXVIF. oidi  etriur 10
Corollarium.
Triangulum rectis quoclibet secetur basi parallelis e aequaliter ab in-
virem remotis, (portiones aeque altas abscindentibus;) abseissa Trian-
sula (verticem inter es rectas secantes,) sunt
ut 2, 4, 9, 26, c. numeri quadratr. Sparia
vero rectis illis interjecta, ut 27 3, 57 778c.
Ariihmetice proportionales.
Ouia Friangulorum abseittorum cam asticudi-
nes quam bales sune Arithmerice proportionales:
ergo plana in duplicata rarione Rrichmetice DrO-
porcionalium, tire ue numeri quadrati, F, 4, 9, 16,
ecc. FF Propterea, spacia incerjecta, 1, 3 A 2
5=(847= 16 - 9, eC.1
EROP. FXVFTY
Corollarium.
Tconus planis quorlibet secetur basi parallelis, c aequaliter ab nuncem re-
motis, portiones aeque altas abscindentibus;) abseisse coni (verticem in-
ter C3 plana secantia) sunt ut L, 8, 27, 64 C5c. numeri cubici. Portiones
vero interjectae, ut 2, 7, 29, 37, 80. disserentie numerorum cubicorum, (es si
lc
FIG. Pra
ed.
militer in Pgramide.)
erir ratio conorum (qua ex alcicudinum e balium ralis) in ra-
tione alcirudinum triplicata, sen ne X, 8, 27, 64, eec. EI proprerea portiones inter.
jectae ut F, 7 = B = 1, 29 = 27 - 8, 37 = 04 27, e.
Ouia cum conorum absciltorum alicudines sint Arichmetice proportionales, et
propierea etiam balium diametri; adeoque vales in carundem ratione duplicata;
PROF.

## Folio 397 — 851387705:0417
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000417.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
CropL. AIX.
TNFFNETORUM.
ROP. LXIX.
Corollarium.
Parabola rectis quortibet secetur (basi paralletis e agaiiter ab invi-
Dcem remotis, portiones aeque altas abscinden-
ribus,) crunt abscissae Parabolae (verticem inter
C0 rectas secantes,) ut FV Z, 2V 2, 3Y 3, 4Y 4.
Cc. vel ut Y +, Y 8, Y 27, V64, 5c. radices
quadratica numerorum cubicorum. Spatia vero
interjecta, ut earum radticum differentiae.
Sunc enim bales (quippe Ordinatim applicatae
in Parabola) in alcicudinum racione lubduplicata.
e js e
 ee E1  SIS
L1EIA NC sec ~BD R O. D: ~, F XEXC.  1. 5195I
Corollariums.
PTConoeides Parabolicum planis quoclibet secetur (basi paralletis, e aequali-
ter ab itoicem remotis, portiones abscindentibus, aeque altas,) erunt, Cor
noeidea sic abscissa lverticem inter e3 plana secantia) ut 2, 4, 9, 26, 9c.
numeri quadrati: Ft portiones interjectaen ut 2y 3,5, 7, 10. Arichmetice-
proportionales. (Et similiter in Pyramidoeide.)
31VC)
C cranom  oesi . t . 
sic 21533 si lcs1 3B C atim  iaulain D it cs.  .
Nempe, uE de Prianculo dictum est Drox. S. J. tunc enim conocidium ableistorum
bates in racione duplicata semidiamerorum, hoc est ordinatim applicatarum in Pa.
rabola; et propcerea, alcicudinibus proporrionales.
PROP. L XX L.
Corollarium.
CTcomplementum semipar abola rectis quorlibet secetur (complementi baso arat-
lelis, Cd aequaliter ab invisem remotis, portiones abscindentibus aeque-altas.
erunt complementa su abseisse (vertirem inter e rectas secantes.) ut 2, 8, 2).
64, 3c. numeri Cubici: Et portiones interjecta ut 2, 29, 29 37, Bc. numero-
rum cubicorum disferentit. (. : L. 3 BIE A5 1 13) CLII HBAEDALALC. AIDEIS
Nempe ut supta de Cono dietum elt, Prop. 68. sunc enim bases, Hoc eteu comple
mencorum ordinarim applicatae, in alcitudiuum ratione cupicata.
P RO P. LXXII.
Corollarium.
TConoeides etiam semiparabolue complemento
daptatum, planis quotlibet secetur (basi paral-
delis, e ab invicem aequaliter remotis, portiones
abscindentibus aeque altas,) erunt abscissa conoei-
dea (verticem inter (3 plana secantian) ut 1, 32
2437 2024, c. numeri supersolidi: et portio-
nes interjectae, ut L, ZTGZY2, 78L, 80. numero
rum supersolidorum differentiae. (Ft similiter in
Prramidocide.)
Ddd3
111
C
s
St siC iss
s
d

## Folio 398 — 851387705:0418
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000418.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
ARPTHMETICA PrOP. LXIII.
Sunt enim hales conocidium absciltorum, in duplicata ratione semidiametrorum
Tuarum, ideoque in quadruplicara rarione alcicudinum, (Tune enim iplae semidia-
metri basium, seu ordinatim applicarae in lemiparatiola complemento, in duplicata
ratione alticudinum.). Ft propterea figurae Polida abseilla, in altieudinum ra-
cione quincuplicata; quippe qua componicue ex rationibus batium et alcirdinum.
SCHOZ. EV M.
Ex similiter de aliis ejusmodi Figuris (sive planis sire Tolidis) eo modo sectis,
judicandum erir: respectu semper habico ad gractum seu poreltarem illius seriei quo
perrinent.
P R O P. LZXITT
Theorema.
CF duxe quae libet series (aut etiam plures) inricem respectire mul-
Dciplicentur, (nempe primus terminus unius in primum alterius, se
cem habebit ex multiplicatarum indicibus aggregatum; rarionem au-
tem, ad seriem terminorum ipsius maximo aequalium, cam quam J2-
vella praecedentes (reletiam Proxosicio 64) indicabunt.
Exempli gracia. Si Serieo Ouadratorum vel Sccundanorum (cujus index 2)
respectire mulciplicetur in seriem Cuborum rel Tertianorum (cujus index 3,)
prodibic series Ouincanorum (cujus index 5 = 2 f 3:) qua propterea rationem
habebic, ad seriem maximo A qua-
Oan Tan 4a, 9 an 16a, 8c. lium, eam quam haber 2 ad 6 =
0b, 2b, 8b, 276, 64 b, 8c. 5 =r. Puta l respectire mulciplice.
Oab, +ab, 32ab, 243 ab, 2024 ab, _c. tur Series Secundanorum in seriem
Terrianorum prodibit series Ouine.
Trem, Si Series Secundanorum (cujus index 2) respectire mulciplicetur in se.
riem Subcertianorum (cujus index Z,) erit producta leries, Radices cubicae Sepri-
manorum (cujus index est 3 == 2 7 3;) qua eltad leriem roridem maxima aequa.
Lium, uc F a813 = 3 = 5, rel uc 3 ad 20. Puca A respectire mulciplicetur.
Series Oa
2a
4aqu
eaq ec
in sexiem V3 Ob, V. 2b, V32b, V3 3b, c.
hoc est Teries V3Oa, V 3 Za, V3 64 a. Y 2729a dc
in seriem Y 3Ob, Y32b, V26, V336, ec
Prodibise Teries Y. 0a b, Y L ab, Y 138 a b, Y. 2187 ae b, 
Tiem, si series Subscerinclanorum (cujus index L) respectire mulciplicetur in
seriem Subquintanorum (cujus index Z,) erit producta leries Radices Decimanae
(cujus index 18 = = = 5:) et propcerea rationem habebit, ad se
riem maximae aequalium, eam quam habet + ad 13 = i8 f 5, rel 10 ad x7. Puta
si respectire mulciplicetur.
Series V2 Oa, V2 Za, V= 2a, V2 3 a, dc
in seriem Y3Ob, V 2b, V3 2b, V33 b, dec.
hoc est, series Y 1Oa, Yro X a, Yo 32 a, Y 243 a, 
in seriem Y 1Ob, Y1o LV, Y1 4b Y1 3 V, 86.
prodibic series Y v Oa V, V V L aV, Y 10 128 a V, Y 0 2187 a b, c
Et similicer in aliis ejusmodi musciplicarionibus continget.

## Folio 399 — 851387705:0419
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000419.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
PxOD.
at.
INFENLTORUS
P ROP. LXXIV.
Corollarium.
Deoque, Dbi Mcereeatum Indicum serierum invicem respective mulcipti-
catarum idem est, ibi es idem erit Index seriei productae.
Frempli eracia. Si series Terrianorum in seriem Fercianorum, vel series se-
cundanorum in seriem Guartanorum, vel series Primanorum in seriem Ouinca-
norum, vel series Aigualium in seriem Sextanorum, respectire mulLplICeT:
Prodibis series Sexcanorum. Duia nempe in lingulis aggregatum indieum est 6,
(nam 3 f 3 = 2 F 4 = F + 5 = 0 +6=6.) Et Similicer i aliIS.
PR OP. CXXV.
Corellarium.
CI AD B Paralletoerammi rectae omnes DB, in D B rectas Lrianeul.
ADB (aeque alti) respective ducantur; rectaneula produca erunt se-
ries Primanorum, (qualia sunt plana cunei P’arabo-
lici, prop. 2Y. Con. Sect.) pro quibus si substituan
tur totidem Quadrata (vel quaevis aliae fieurae
planae similes) illis aequalia constituetur Pyrami-
doeides Parabolicum: Et eorum Duadratorum (vet
fieurarum similium) latera, vel mediae proportio-
nales inter rectas sie multiplicatas, D consti-
tuent Parabolam, vel Semiparabolam.
(Incellige, A plana illa, vel medix proportionales
quae SIC CErGUNE, SupPOnantur ad rectam aliquam
ita ordinatim Dolica, ux tixurarum consticuendarum na
cura postulat. Ouod et deinceps aliquories incelligen.
dui
Itam, cum rectae Parallelogramimi, sinc series Aqualium, (cujus O;)
recta Prianguli, Teries Primanorum, (cujus index L:) producetur, multioliean-
d0, series irem Primanorum (quid O = P = L,) qualia lunc plana cunei P’arabolici
et Prramidoeidis Parabolici, (per PrOP. 9, II. Cion. Sect.) e mediae proporcio.
pales (seu latera similium planorum) cxune series Subsecundanorum, (quippe ut
Radices quacsariea Primanorum,) quales sunt parabolarum recta Pex PFOP. 8.
Con. Sect.
e ROP. LXXVL
Corollarium.
 ADB Latducoani ecta D in
 rectas DB semiparabola aeque altae ADB
respective ducantur, rectancula producta e-
runt Series Subsecundanorum; 5 mediae pro-
portionales, Series Subquartanorum, (quales
sunt rectae Paraboloeidis Biquadratici DE.)
Hoc est, Series Aqualium (cujus index 0
in Seriem Sublecundanorum (cujus index Z) re
Spectire ducta efticier Seriem item Sublecunda
norum, (quia = f 0 == Z,) de mediae PrOpOr
tionales (quippe sublecundanorum radićes qua.
dralica) Crune Series Lubguartanorum.

## Folio 400 — 851387705:0420
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000420.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
DC
ARTTHMEHICA PFOB. DXXVII
PRO P. LXXVIT.
Corollarium.
L ADB Parallelam rectae DB in rectas DB Complementi Semi-
parabolae respective ducantur; rectaneula producta erunt Series Secunda-
ris prae norum: Mealae aulem proporcionales, Series Primanorum, (Trianculum con-
ed
Surotrum AD F.)
Nempe, Series A. Guana I Seriem Secundanorum sic ducta, dat Seriem eriam
Secundanorum, (quia 0 f 2 = 2,) corumque radices quadraliex sunt Series Pri.
manorum.
PROP. LXXYILI.
Corollarium.
Y Trianculi rectae DB respective duean-
tur in rectas semiparabolae DR, rectan-
cula producta erunt Series radicum quadra-
ticarum Lertianorum, e mediae proportiona-
les, radices Biquadratieae Tertianorum, DF.
Dempe, Series primanorum in seriem sub.
secundanorum sic ducta, dabit Seriem radicum
quadraricarum Tertianorum, (quia r f 3
quarum radices quadrariex, sune radices biqua-
draticae Tertianorum.
eROP. LXXIX
Corollarium.
TTrianguli rectae DB respectide ducantur in rectas Complementi semi-
parabolae DB; producta reclangula sunt Series Tertianorum (quia
Et mediae propotcionales, radices quadraticae Tercianorum,
3.)
Demonstratur ut praecedentes.
IL. LXXX
Cdlollarium.
 rectae Complementi semiparabolae
in rectas semiparabolae respective
ducantur; rectantula productà̂ erunt
Series radicum quadraticarum duin-
tanorum (quia 2 Y 2 = 2;) es mediae
proportionales, Series radicum biqua
dratuvarum suintanorum. Ot Patet
SC TYOL. YV M.
sione prorentent, sudicandum erir. Or si triansuli unius recta  Iectas LHan-
suli alterius (hire limilis sire dissimilis, modo aque alti,) respectire ducantur
tiet Pyramis; media vero proportionales constimmene etiam Priangulum. Semi
parabolae unius rectae in rectas alcerins respectire ductxe, eHicient Pyramidocides
Parabolicum; media aurem proportionales semiparabolam. Lt sic de exteris.
ROP.
Et pari modo de liguris sive planis sire solidis, quae ex ejusmodi mulcipliez.

## Folio 401 — 851387705:0421
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000421.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
rop. L. L1
INFTNETOR
eROP. LXXXI.
Theorema.
Cunius Seriei termini omnes per terminos alterius Scriei respe
ve
dirictantur, quotientes erunt series alids cujus index repexitur
lubducendo indicem scriei Diridentis ex indice Scriei Dirila
quod restat enim est index Seriei dirisione provenientis, sire Duo
FientIS: Racio autem quam habitura est Series sic productan ad de-
riem tocidem terminorum iplius maximo aequalium, ea erit quam l’a-
bellae praecedentes (rel propositio 64) indicant.
Exempli Gratia. Si Series Biquadratorum vel Ouar-
tanorum (cujus index 4) diridatur per Seriem Cubo-
rum vel Terrianorum (cujus index Z,) Ouotientes c.
runc Series Laceralium seu Primanorum, cujus index
Si Series tertianorum dividatur per Seriem primano.
rum, provenier series secundanorum, cujus index 2. =
FE R Series secundanorum per Seriem secundanorum
divicdatur, provenier series aequalium, cujus index o=
2. FF Sc de Cateris.
Demonstratio patet ex PFOP. 73. Onia nempe SC.SOC.
ries Terrianorum in Seriem Primanorum respectire ducta 09
etticiet Seriem Ouartanorum. Ft Series primanorum in 19)
Seriem secundanorum sic ducta efficiet Seriem tertiano.
44
xum. FF Series secundanorum in Seriem aequalium (ic 99)
ducta, producet Seriem secundanorum. Et lic in reli-
i On
quis on
Diritione retolritur.
PROP. FXXXII.
Corollarium.
Deoque ubi idem est sradtuum sive indieum excessus derret Dividendae
supra Seriem Dividentis, idem erit Seriei Duotientum indes.
Fxempli gratia. Si Series Sextanorum per Seriem Ouartanorum, vel Series
Onintanorum per Seriem Terrianorum, vel Series Ouartanorum per Seriem Secun-
danorum, vel Series Tertianorum, per Seriem Primanorum, vel Series Secunda-
norum per Seriem sEqualium, diridatur; proreniet Series Sccundanorum. Ouia
nempe in lingulis Series Dirila Seriem Diridencem duobus gradibus superat; clt
enim 6 - 4
idem Seriei prorenienris Index. Vit pariter in aliis.
PROP. LXXXTII
Corollarium.
Ideoque (per praeced.)
Pert. Ouart. Prim.
ec.
094
29C
164C
8+9C
_C.
(0)
TI
2L
uc
Tert. Secund.
Oc
09
8
Oc)
c
8c
Prim.
I
Sec. A qual.
04
EC
4.9
Da
aC.
Legramis (series nempe Secundanorum) ad Trianeulum (aeque allum)
respective applicetur, (nempe Plana illius ad Rectas hujus,) prodibit Tri-
anculum; (quia nempe L L = L.) St der axplcetus au complementus
parabolam, planum prodiens erit series Radicum quadraticarum Tertiano-
 3
semi parabola, prodibit Paralleloerammum; (quia 2 - 2 ==0.) Si ad semi-

## Folio 402 — 851387705:0422
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000422.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
tum; (quia 2 = = = X2 = 3.) Si ad serrem Guouo uo oiteen
AREPAMETTCA PFOD. L XXXIV.
Patet ex L10D. 8F.
tum semiparabolae; (quia 2 = 0 = 2.) Et sic in aliis.
OP. LXXXIV.
rium.
YEL P respectivis rectis Trianculi primi AB D C3 secundi AL L, su
mantur certiae proporcionales: prodibit Frianeulum tertium ADB: Si
respectivis rectis complementi sestopt addu A D B, C Trianeuli AD F, pro-
dihit paralleloerammum ADB: Sivero l’arauiammi AD BC Lriancut
AD F, prodibit complementum semiparabolae AD B.
Seonitur ex praecedente. Ouadrata enim rectarum in Priangulo constimunt
Pyramidem. Fc similiter in reliquis. Oltendicur aurem parsprima in figura priori;
secunda es terria in potteriori.
PROP. IXXXV
Corollarium.
Gu2 F = Z 0.) St ac arcolletoe micibuno b falum.
 Exyramidoeides Parabolicum (series nempe Primanorum) ad Trianeu.
lum (aeque altum) respective applicetut. prodibit Parallelorrammum:
quia 2 = o = X.) Si ad semiparabolam, prodibit semparabola: (quia
=3.) Si ad semiparaboloeides cubicale, planum prodiens constabit ex
Secundanorum Radicibus Cubicis; (quia X = 3 = 3.) Fit pariter in aliis ejus.
modi applicationibus.
Patet EX PFOP. BF.
R OP.

## Folio 403 — 851387705:0423
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000423.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
TOD
ENFLNLTORO
ea0L. L42412.
Corollarium.
SImiliter. Si respectiors rectis Trianculi ADB, C3 Semipurao AH F.
 sumantur tertia proportionales, prodibit Parallelozrammum  B:
respectivis rectis Paralleloerammi BD, C Semiparabolae AD F, prodibit
Frianculum ADB: si respectivis rectis semiparabolae primae AD B, Cs secundae
ADF, prodibit semiparabola tertia AD B: C sic in aliis.
Sequitur ex praecedente. Ouadrata enim rectarum in semiparabola, constituene
Pgramidoeides Parabolieum. Oltendicur, in tis. praeced.
SCHOLYV M.
Et pari modo de aliis Feurarum folidarum ad Planas axplicarionibus respectiris
judicium tiet Sufticie paucas exempli caula indicalse, ad quarum imicarionem fieri
Postunc innumerae aliae.
P R OP. LZXZVIL.
Theorema.
EF PrOxOatur series quaelibet praedictarum per aliam superioris
Gractus seu Potestatis diridenda, nulla jam memoratarum series
prodire poterit, (cum index porestatis superioris ex indice potestatis
interioris, major quipre ex minore, anferri non POL:) Sed aliusmodi
Plane Series, cujus nempe termini sunt reciproce proportionales ho-
molosis terminis alterius seriei, qua indicem habet aequalem excellui
indicis seriei diridentis supra indicem Serici dirila.
Series aurem sic provenientes, Scries Reciproca appellantor, habe.
ancque indices nesatiros.
Fxempli gratia. Si series Secundanorum dividenda sic per Periem Terriano.
rum, vel series Primanorum, per seriem Sccundanotum, vel series Ai qualium per
seriem Primanorum, (uhi leries diridens est uno gradu superior serie dividenda
adeoque index seriei diridentis unitare major quam index seriei divila, puta
2 =
T - O = F:) Termini serici oriundae crunE RCCIPTOCC PFOPOT.
cionales homoloxisrerminis teriei Primanorum. Puca si respectire dividatur
Peries
Oa2, 2a2, 4a2, 942, 1642, ec.
per leriem 043, 207 84, 27a3, 64a3, ec.
vel series
Oa, Ia , 24,
34, 44, ec.
Der Periem Oa 2, 2a2, 442, 9a2, 16a2, ec.
vel Peries
2
ec
per Teriem Oa, 24, 20, 34 3 41 7 C.
Da 2a 24, 3a3d  4a, dc.
cujus teriei cermini sume reviproce proporiionales homoloris cerminis seriei prima.
norum 
ubique.
a 3a 4E, c. ut putet. Nemre 2 a 3 a
3
Eodem modo  series primanorum dividenda sic per seriem tercianorum; vel
F. CC 2
(quod
+
E
22 F He

## Folio 404 — 851387705:0424
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000424.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
AREPEMEETCA PEOD. LACLLELVELI.
proreniens seriei Secundanorum reciproce proportionalis. Lula
(quod tancundem valec) series Aqualium per seriem Secundanorum; erir Peries
Et pari modo in omnibus ejularot c sons conc
02 2 242 4a2 9a 2 16a2
LROP. LZXXVIII.
CorollatEum.
Tinfinita numero plana (parallela) Paralle lepipedi, ad totidem rectas Ld
venientium erit reciproca seriet Primanorum, quae quidem rectae sunt suis a
vertice distantiis (vel, si placet, diametris interceptis,) reciproce proportio-
nales.
Esto enim Parallelexipedum, cujus infinica plana equentur quadraris coridem
rectarum Parallelogrammi ADt, quae l applicentur ad rectas Prianguli ADB,
prodibunt rectae (rectis triansuli et Parallelogrammi certiae provorcionales) tigu.
anculi (aequealti) applicentur; (vel si respectivis rectis Triansuli, C la
ralleloerammi. sumant a proporoales;) series rectarum pro-
5
nam ADB mixtam consticuentes, quae reciproce proportionales erunt tam hom-
Jogis rectis Trianguli (quia nempe cum illis conttituune rectansula aequalia,)
quam Diametris incercepiis, seu distantiis à vertice, quae (proxter Similia Frian-
sula abscicta) Tune illis criangul rectis proportionales.
L RO P. LXXXIX.
Corollarium.
Dem contineet, si Plana Pyramidis (quadratis rectarum Frianeuli ADF.
aequalia applicentur ad totidem Rectas Complementi Semiparabolocidis
Cubicalis ADBC.
Patet ex PrOP. 87. Nam (UE In DCOP. praeced.) series primanorum ex quibue
contlatur Friansulum, est uno gradu Luperior, quam feries N quatium ex quibus
constat Parallelepipedum: Sic (in hac Prop.) Series Fercienorum in complemento
semiparabolocidis cubicalis est uno gradu superior quam series secuncanorum ex
quibus constat Pyramis. Verobique igieur provenir series seriei Primaniorum
reciproca.
P ROP. ZC.
Corollarium.
Dem co si Plana  aladoeidis Parabolici (hoc est, series Pri-
manorum,) aequalia, quadratis rectarum semiparabolae A. L. respective
applicentur ad rectas complementi semiparabolae AD BP. (Seriem nempe
Secundanorum.)
Nam e hic index seriei dividemis unicace superat indicem seriei dividendae.
P RO P

## Folio 405 — 851387705:0425
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000425.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
XFENLFORUM.
lXOI
P R OP. XCI.
Corollarium.
Teutu plana ex serre rectarum Primanis reciproce proportionatium con-
stando est interminabilis. Duod e similiter verum est de omnibus se-
riebus Reciprocis.
Cum enim primus cerminus in serie Primanorum sic o, primis cerminus in se-
rie reciproca erit e vel intinitus: (licut, in dirisione, s dirilor sic o, quotiens
erie intinitus.) Adeoque recta AS, et curra BB, non nisi post infinicam distan.
eiam (hoc est, nuINquaM,) COnCurrenE.
Parr racione neque concurrent (nili post intiniram diltanciam) eadem curra
BB et recta AD (quantumris vrraque ContinUCTUE;) non prius enim cranelcet
distancia DB quam lacta fuerir intinica recta DB. FL propterea
P ROP. XCTI.
Corollarium.
VOroa BB duas habet Asymptotas rectas Ad, AD. Duod C de aliis
lejusmodi Curvis rectarum series reciprocas terminantibus, verum est.
Nempe ita perpetuo proxius accedunt ad curram rectae, ue randem earum di-
stancia lic quaris alsignabili minor, (ue ex dictis Facile est probatu,) neque tamen
unguam concurrent, ut jam ostentum cst. Acque idem de aliis ejusmodi cur-
ris pariter octendi Pocerit.
P R, O P. XCTTI.
Corollarium.
 ectae (DB, DB, Cc.) Primanis reciproce proporiionales ab infinica
(Ad = ∞) continue decrescunt, (eadem ratione qua respectivae recta
DB, D B, in serie pimanorum a puncto. A = 0 contirue crescunt,) donec
pervenitur ad minimam, (sieut in Terie primanorum pervenitur ad maxi-
mam.) Duod verum est e in aliis seriebus reciprocis.
Patet, propter proporrionem reciprocam.
P ROP. XCIV.
Corollarium.
(N Pisura ADBB, e primanorum reciproeis). Paralleloeramma in-
scripla DB L= B, 8C. sunt invicem aequalia.
Frabene enim bales et alticudines reciprOCAS per PFOP. 88.
P R OP. XCV. 
Corollarium.
JL PEOPCerCa Ipsa Turva BB est Hyperbola; cujus centrum A, Asym
PCF PTOP. X2. lib. 2. APOIOHI.
P ROP. ZCV
Corollarium.
Prota AD, Ad.
T chorda musica AD varie dividatur in punctis DD, Bc. sonos edet
proportionales rectis DB, DB, B0.

## Folio 406 — 851387705:0426
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000426.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
ARITHMETICA
Nam (per principia Mulica) eadem chorda (aequabilis de aequaliter tenta) So-
PrOD. XCVII.
+06
AD, AD, eC. loni eruNE vE DB, DB, _C. per PrOP. 88.
nos cdic longicudinibus reciptoce proporioales. S  CMoa LIIL HL
lAOP. XCYII
Corollarium.
plana Parallelepipedi (quippe serres aequatium) aequalia quadratis re-
ctarum Paralleloerammi AD F ad respectivas rectas Complementr Se-
miparabolae ADB (Seriem scil. Secundanorum applicentur; prodibit
tur conslari fieura plana ADB, erit ea interminabilis; co curva illas ter-
minans duas habebit Asympioras rectas AD, 4d.
series rectarum Secundanis reciproce proportionalium: F quibus si suppona-
Probatur Codent odo quo propoticiones aliquor prxcedentes de lexie reci
Proca seriei Primanorum.
PR OP. XCVIII
Corollarium.
Dem contineetus s plana Legramidis sic applicenter ad rectas complemente
send paraboloerdis Seguudraticalis: vel plana Pyramidoeidis Parabolier
ad rectas complement Paraboloeidis Cubicalis.
ersitr
Nam e iltic index seriei diridenris binario superat indicem seriei dividenda.
PR OE. XCTZ
Corollarium.
N ejusmodi serie secundanis reciproca, rectae DB, aB, Cc. sunt in reci-
procae rationis Diametrorum (vel distantiarum à vertice) ratione dupli-
catam (sive ut d A9, D A9, B5.)
Ouia nempe reciproce proportionales sune rectis DB, AB, dec. quae sune in
diametrorum AD, A d, dec. rationis directae ratione duplicata. Puta
A
B
DAG de
P R OP. C
Corellarium.
N tieuta patao (A DB(3) ex serre rectarum Secundanis reciprocarum
constata inscripta Paralleloeramma (ADB, A d B,) sunt interceptis dia
metris (D A d A) reciproce proporcionalia.
Sune enim (per 23. C6) ut D A~DS adt d A ndL st duiem (per praced.)
dB

## Folio 407 — 851387705:0427
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000427.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Pr
NFINITORUM
DB. EEd AxdB-
: dAX L AXDB. D A9XDB::
I
DB. FHEOEEDALDB. dA Xde
D A.
Corollarium.
T vero feura plana (AD BB) sit ex serie rectarum Tertianis recipro-
Dlarum constata; (quae nempe sint rectis complementi Paraboloeidis cubi-
calis ADB, Co Paralleloeramimi ADF, tertiae proportionales;) erunt rectae
illae (DB, aB, Cc.) in reciprocae rationis Diametrorum (D A, d A, (3c. )
ratione triplicata (scil. ut d AC, D AC, CdC.) Ft Paralleloeramma inscripta
ADB, AdB, BC.) in reciprocae rationis diametrorum ratione duplicatam (si
ut d 9,D A9, C3c.)
dB =
Fst enim (ex constructione) DB. dB:: dB. DB:: d AC. DAC. EL propterea
etiam dB =
aB=
dAE DB. ErgO ParaHLelOBTamma ADB. AdB: : D AX DB. d AX
d A XD AC
EDB-
DA
d
Ouod crac demonstrandum.
=DB:: d A gx D Ax DB. DA CxDB:: d A g. D A g.
5C 77OZ ZV M.
Arque eodem modo de aliis ejusmodi sixuris planis ex qualibet rectarum serie
reciproca conttacis judicandum erit; ut de de Parallelogrammis (sire rectangulis
sire obliquangulis, prout sicus figurae poltulat,) ipsis inscripris.
Ouod ad Aream aurem accinet iltarum tigurarum ex seriebus reciprocis con-
Ctancium; quarenda est illa eodem fere modo quo lupra in seriebus directis. Vbi
aurem series directae indices habent +, 2, 3, _Cc. ut quae supra seriem A qualium
ioc gradibus ascendune; habebum hae quidem (illis reciprocae) suos indices con-
ErarIOS negaLIVOS = L, = 2, -3, ecc. tanquam cor gradibus intra seriem A. qua
lium descendentes. Proutaurem illae ab o ciptra rel Wihilo continuo crescune, bixe
contra ab ∞x Intinito continue decrelcune; acque ut illic terminusmaximus, hie
minimus, seriem claudit: (qua tamen et pro arbirrio concinuanda supponitur,
quousque libet illic crescendo, hie decrescendo.) Adeoque, ur illie tigura Cir.
cum (cripta (parallelosrammum puta vel prilma) sire series toridem terminorum
Maximo aequalium; hic, tigura Inscripca, sive series cocidem cerminorum Minimo
aequalium, habenda est pro communi mentura ad quam facienda est comparatio;
urrobique ad illum terminum respectu habiro qui leriem elaudit.
Neque incerim mirum cuiquam videatur (ut uc Fortalsis in exspectarum,) si t.
Bura interminatae rationem ad datam aliam terminatam inquiram. Ouamvie
enim hujulmodi sgurx ADB (uc uE ex parte DB ad libitum cerminaca, ut
modo in his scholiis dictum est,) SuPPOnANEUT ex Parte SB in infinitum conti
RUATA (PEF PFOP. OZ.) nOn tamen propterea vel nullam vel semper intinican
rationem habicura sunc ad datam fguram terminatam, puta ad parallelogrammum
aque altum super eadem bali DB descriprum. Quod eo quidem facilius allen
tum obtinere posse videatur, cum id iptum in una quactam tigura solida (quam
Eyperbelicam accucam infinitam rocat) jam ollenderis Forricellius sed neque
seriper

## Folio 408 — 851387705:0428
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000428.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
ARPPAMEFTCA
PrOD. CII
C
id line solaecismo aiet POIH) majorem quam intimam. Nempe, l eadem ra-
tione abbreriantur rectae sB, qua prolongantur rectae dB, erir ea ratio intinita,
ubi nempe prolongatio unus aquiposlet abbreriationi alterius, (e propterea fi-
surae intinita Continatx ratio Cx utraque compotita aequipoller tigurae alicui
prolonsatio harum praepole (leu plusquam aequipoller) illarum abbreviacioni:
Si autem majori ratione decreleunt rectae sB quam crescune rectae DB, Praepollet
earum decremuencum MeCo harum; adeoque futura est ratio finita, minor f.
quidem quam intinira. (EF quidem secundum hoc rometor, non modo de figuris
hisce quas jam cractamus, sed de aliis criam quibusris incerminabilibus, sive planis
sire solidis, ad terminatas aliquas compararis, judicandum exir; gux credo (Decu-
lacio non videbicur injucunda.) Oux aurem lucura est in lingulis ratio, sequen.
tibus aliquor propolicionibus (regulam ProP. 64. securi) indicabimus.
P ROP. CLL.
Theorema.
semper rationem habiturae sunc Finicam, sed aliquando vel intinicam, vel eriam (s
aequabiliter in intinicum continuanda:) Si vero minori ratione abbreviantur re-
Etae SB quam prOIOBSANEUE DB, ticura est ratio plusquam infinita; tunc enim
LEGuTA ADBB verticem habeat Ad infinitum, et perpetu (
titudine decrescat ad balm usque DB, secundum seriem aliquam
rantur,) quae indicem habeat minorem quam r: hrabebit illa ad pa-
rallelosrammum super eadem basi aeque altum rationem finitam; cam
nempe quam habet + ad istius seriei reciproex indicem unitate
auctum.
reciprocam seriet Cundet cnecla (carun puca Guae prop. 59. memo-
FxempII gratIa; Lunto series directae subsecundanorum, subtertianorum, sub-
quartanorum, ec. quarum, indices
reciproca indices habebunt
_c. (unitate minores;) Series his
_c. (Nam l Supponatur series
equalium, cujus index o, per illas dirii, series diritione provemiences habebunt
indices 0 = 3, 0 3, 0 = +, _c. hoc cst - 2, = 3, = 4 ec. (Per PrOP. BT.)
quibus si (juxta regulam PrOP. 64.) addatuE F, FenE
+
eec. hoc Clt, 2, 3, 2, _c. e proxterea ratio corius figurae ad parallelogrammum
inseripcum (luper eadem base aeque altum,) uc F ad 3, 33 43 ec. vel ut 2 ad 2,
3 ad 27 4 2d 3, 8c.
Fc pari modo, s Sumatur series reciproca seriei radicum cubiearum secyndz
norum, rel radieum biquadratiearum secundanorum, aut tertianorum, vel radi-
cum supersolidarum secundanorum, tertianorum, auE quarranorum, (quarum in-
dices

## Folio 409 — 851387705:0429
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000429.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
NE INTZOR UM.
dices TunE 3, 2, 3, 3, 3, 3,) auc alii cuiris serici, cujus index est unirate minor.
Duia reciprocarum seltetum indices negatiri his concrarii (puca
43 
addirione unicaris tient astrmac adeoque ratio quam habec s ad indices 105
PROP. CTTI.
Theorema.
151O(I. MI L
F vero ejusmodi Fixura ADBB sic contimue decreleat juxta se
PxOD. CTTI.
lic auctos, eric racio tinita; qupDe humeri positiri ad policirum.
Ecripcum rationem intiICa: Cam nePE qua ett L 4d 0.
D riem qua sic reciproca directae indicem habenti unitati aequalem
(nempe le L) a de Lataa
e S. ZECI) cet
CEsiSCI FAnAE
hoc elt + 2d 0.
d seriem quae lic reciproca directae inchcem laben tale Majo
rem; habebit illa ad Parallelogrammum inscripcum rationem pluF
quam infinitam: qualem nempe habere supponatur numerus posici
rus act numerum nesatirum, sire minorem nihilo. Nempe eam, quam
habec s ad indicem unitate auctum.
Cum enim series primanorum indicem habeat X, series huic reciproca indicem
habebit = x, ideoque (DeT PFOP. 64.) ratio proveniens exit 2 2d - L + 2.
eROP. CIV.
Theorema.
EF ac  Camodi Figura ADBB, sic continue decrelcat juxta
men negatiri, puta
Puta cum indices seriei Secuncanorum, Pettianorum, Guatranorum, dec. sine
2n 33 43 Cl. utate Masoico,) Meliceo Lerierum illis rECIpTOCATUI CTUNE = = 2,
de propterea ratio quam haber = ad indicessillos sic auctos, puta + all  1,
2d - 2, F ad = 3, _c. major exit quam Itinia, sive s ad o; quia nempe ra
vionum consequentes lune minores quam o.
Acque idem conrinset, Tisllmatur reciproca seriei radieum Onadratiearum
Tertianorum, Ouartanorum, Ouincanorum, etc. (cujus indices (unE3, 3, 2, ec.)
vel radicum Cubricarum Guarranorum, Guincanorum, Sextanorum, dec. (cujus
Ec
Datet.
ndiceo lune 3. 33 33 c. adte eto tele a e Celtale Masl. B
22
PKOF.

## Folio 410 — 851387705:0430
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000430.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
LLLLLILML LLC A
O
eorema
Teiusmodi fioura AD BB verticem habens Ad infinicum ex basin
DDB determinatam, rationem habeat ad inseripcum Parallelooram-
mum AOBd majorem quam infinitam; eadem ACura AL) BB verti-
cem habens AD intinicum ex balin dB determinatam, rationem habe-
bic ad inscripcum Parallelosrammum Ad BD minorem quam intini-
tam (finitam nempe:) EE contra, si situ illo considerata rationem ha-
beac minorem quam intinitam; sicu hoc habebit rationem majorem
quam infinitam: Si denique in licu uno rationem habeat simpliciter
habebit rationem simplicirer intinitam.
Nam verbi gratia in serie Secundanis reciproca, cum tinE (per PrOP. 33.
rectae DB, DB, In diaCITOruM AD, A D, ratione reciproex duplicata: erunt C
ErOTUM AS, AS, rarione reciproex subduplicata; adeoque ip(x SB, SB, _C. TunE
Series Sublecundanis reciprOCA. EL CONTA. AIque (cum idem etiam in aliis ejus
modi seriebus concingat,) Pater propolicum pex ProP. 102, _ 104
In serie rero primanis reciproca; cum (Per Prop. 88.) reclae DB, DB, Cine dia-
metris AD, AD, reciproce provortionales; erunc eriam rectae sB, SB diametris
luis AS, AS reciproce proporrionales, ipsaeque SB, SB, series icem primanis reci
PrOca. Conctaterso propolicum per PCOp. 203.
1XI)
PROP. CVI
BCISCC 
Theorema.
CT series aliqua reciproca ver seriem aliam lEre reciprocam sive
directam) multiplicetur auc diridatur, rel etiam aliam mulciplicet
aut diridat; eadem leses oblerrandae sunt quae in leriebus directis
PFOP. 23eF 8F,. OHI. Lies si  e Sis MMSME
.
Frempli pracia. Si seriee secundanis reciproca (puta zyiy q dc.) eujus inder
2 relpectire mulciplicetur in seriem Pertianis reciprocam (puca 2, 8, 27, sc.
cujus index el
index
3; Prodibic series Subquintanis reciproca (F, 327 243, etc.) cujus
Iiem s series Fertianis rectloca (+, 37 27, _C.) cujus index - 3; respective
mulciplicetur per seriem Secundanorum (1, 4 0, dcc.) cujus index 2; prodibic sc
ries 4, 8, 373 ec. hoc elt 232, 3, ecc. Primanis reciproca, cujus index =1=
ttem si series Sublecundanis reciproca (7 +3 Y 33 , ec.) cujus incdex -;
respectire mulciplicetur in feriem Secundano.
rum (1, 4, 9, etc. ) cujus index 2: prodibir sc.
Ties
3V2
ecc. vel ZV 2, 3 Y 2, 2V 3.
ac. vel TV F, 2V 23 3Y 3, dc. vel VF, V8.
Y 27, _c.) radieum quacrariearum cuborum seu
certianorum, cujus index z =
t:
Porro, li series Secundanis reciproca, cujus in
dex = 2, diridat seriem Primanis reciprocam.
cujus index = 2; Prodibit series Primanorum.
cujus index + = - L Y 2, nempe- Lminus- 2
Icem ( series Primanis reciproca, cujus index
, diridat seriem lecundonis sccipiOeam, cu
Ju5
Z UE patet.

## Folio 411 — 851387705:0431
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000431.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
lroP. Cit L1.
jus index = 2; prodibie series Primanis recipro.
Ca, Cujus index -- L = - 2 + F; nemPC =- 2
minus = +
Trem, S Series Primanis reciproca, cujus in-
dex - 2, dividat seriem Secundanorum, cujus
index 2; prodibit series Percianorum, cujus in-
dex 3 = 2 7 T, nempe 2. minuS = L.
Trem (i seriem Primanis reciprocam, cujus index =x, dividat series Secundano.
rum, cujus index 2; prodibir leries Z ercianis reciproca, cujus index = 3
29 nempe == + mInUS 2.
Arque idem concinget, in aliis quibutris hujusmodi seriebus. Adeoque constac
Propolicum.
PROP. CVT
Corollarium.
TprOPterCa; Si ad hujusmodi ficuram AD Bd3 (ex una parte in infi-
nitum productam) juxta quameunque seriem reciprocam, aptetur (eo
modo quo 9 Prop. Con. Sect. C alibi supra ostendi:) Pyramidoeides vel Co-
noeides inversum, (seu potius Calatoeides:) habebit illud ad Cylindrum aut
Prisma inscriptum (super eadem basi aeque altum) eam rationem, sive fini-
tam sive infsinitum sive plusquam insinitam, quam praecedentia Theoremata do-
cebuni.
Puta si planum sic rectarum series Subtertianis reciproca, cS index -
adeoque ratio quam habet ad parallelosrammum inscriptum (Per PTOP. 64, e
202) ut F ad 3 (= - 5 ] X) hoc cE, uI:
ad 2: Colidum ex cocidem planis constans in
rectarum carum ratione duplicara, erit series
Ouadratis Tubtertianorum reciproca, cujus in-
dex (Per PFOP. 106.)
DluS =5, _ ratio illius Colidi ad inscriptum
eslindrum vel prilma (Cuper eadem bali aque.
alium ) uc 2 ad 5 =
F E, vel uc 3 ad
utrobique ratio tinita. Per prop. 64 X202.
Si planum, sc Series Sublecundanis recipro-
ea, cujus index - 3, adeoque ratio iptius ad
Parallelogrammum inseriprum ut 12d= =
Solidum ex cocidem planis in rectarum ratione duplicata coultans, erit series Oua-
dratis Sublecundanorum reciproca, vel
(quod cancundem valet) leries Prima-
nis reciproca, cujus index - 3, vel-
Ideoque ratio hujus folidi
ad Cylindrum vel Prilma (super eadem
basi aeque aleum) ut F ad = L F F =0
(DeT PFOP, T03.) Nempe illic ratio tinita,
hic simpliciter infinita.
Si planum sic series Ouadraris Subter.
tianorum reciproca, cujus index
ejusque racio ad Parallelogrammum in-
Seripeum ut F 2d3 =- 3 F F, vel ut 3
ad T. (PeF PEOD. 102.) toluum ex planis cotidem in rectarum illarum duplicala
ratione constans, erit series Bignadratis Subtertianorum reciproca, cujus index
Ee propterea rario ipsius ad inseripcum Cylindrum vel Prisma su-
per eadem tasi aeque alcum ut 2 ad = 3 f 1 =  - 3, vel ut 3 ad = + (Dex PFOP.
204.) Nempe illic rario finica, hic plulquam intinita
Si planum Cir series Primanis reciproca, cujus index = +, adeoque ratio quam
habet ad Parallelogrammum inscripcum ut r ad - c F F = O: (per PFOP. 1O3.) 50-
lidum ex planis in rectarum illarum ratione duplicata constans, erir leries dua-
draris Primanorum (hoc elt, Secuncanis) recipioca, cujus index = 2, e proprerea
ratio
INETNETORUK
Vet
PTOP. 1O2,

## Folio 412 — 851387705:0432
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000432.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
AR ITHMFTICA
ratio ipsius ad Cylindrum rel Prisma super eadem basi aeque alrum, ut F ad - 2 F 7.
sen ut Fad = I. (per PrOD. 104.) Nempe illic ratio simpliciter intinica, hic plus-
quam infinita.
Si planum sit series Secundanis reciproca, cujus index =2, adeoque ratio quam
habet ad Parallelogrammum inseripcum ut Fad - 2 f F =- -- T. Solidum ex 10.
tidem planis in rectarum illarum rarione duplicata conttans, erit series Ouadraris
Sccundanorum, hoc est Ouartanis, reciproca, cujus index
4
2: GjuF-
que rario ad Cylindrum vel Prilma debire intcripcum, ut F ad - 4. f F = -
(Per PrOP. 104.) Nempe utrobique racio plusquam intinica.
SC TTOL TV M.
3
Acque ita problema illud (ingeniotum quidem, de non paucis mirandum, )
quod Torricellius in una figura solica praellirie, (Dura, Solido LIyperbolico Auto
in intinitum concinuato, aequalem cylindrum coniticuere) nos in aliis innumeris
tiguris cam planis quam solidis (praecedencibus sex propositionibus concinuis)
peaestirimus. Pucn, Fieuris innumeris specie differentibus, tam planis quam so-
hais, interminatis, aequales fieuras terminatas (vel saltem, quod cancundem ra-
let, in cognita ratione conltituras) exhibere.
Consultius forrastis esser, (si tancum aucupandx Famae operam darem,) celata
methodo qua huc pervencum est, paucas aliquot parriculares propositiones (tan-
quam admirandum quidpiam auc ltupendum) demonstrarionibus apacoojeis osten-
disse. Ouod vereres olim non raro fecisse, plane Pulpicor; qui illud lxepius sibi
videntur propotuisse, uc ipsos alii admirentur porius quam incelligant; Talcem UE
illis corum eltatis actentum coacti praebeane, porius quam ut genuinam problema-
tis invelligationem incellisant. Aique hinc factum esse credo, quod eOruM A-
nalyrice (quam quidem ipsos habuisse ex multis iptius, in demonstrationibus eo-
rum non paucis, veltigiis Paris liquet) Polteros tere penieus laruerit; (exigua
enim plane pars illa elt quae apud Diophancum exstat, si ad egregia illa quo
ipli perrenerunt inventa comparetur:) Or necesse habuerine praelentis aeri ma-
thematici (Vieta Oncheredus, Tharriotus, Checaldus, Cavallerius, Torricellius,
Cartesius, aliique magni riri,) vel noram excogitare, vel antiquam saltem (con-
clamaram plane et penitcus isnoratam) de noro resuleitare; quod quidem eo suc.
celtu praelticerunt, ut noltram nunc dierum Analyricen, vererum iltam, tanta su-
persticione celatam, aequare falcem vel superare porius nullus dubirem.
Verum cso mallem libere philolophando, tontes ipsos aperire, ut caclem opera
Pollic lector et provolicionum demonstrationes de methodum qua iltuc pervene-
rim persenciscere; unde e ipse porti proprio marce ejulmodi alias innumeras
inreltisare, quas ego (ne raedio lim) lubens praecereo, contentus eo disicum in-
cenditse, unde alii alia noltris similia pro libitu depromant.
Licuillet quidem de pramistis mulia subjunsere, ee mulca pastim interpolare,
quae ex principiis jam tradiris facile deduei pollent. Verum eum ea, qua jam
cradidi, mihi rideaneur abunde sutticere, ut et ipsa perspieue Patis incellisantur,
e pertectam Paris serierum (cam simplicium quam compositarum et utrilque Re.
Ciprocarum) tractarionem videantur concinere: ad series Conjunctas (live ad Bi-
nomiorum lire APOtomarum FOrmam) explicandas, teltinandum sentio.
P R O P. CVTTI.
Theorema.
CT series A. qualium serie Primanorum respectire muletetur (puta
DE primus terminus hujus a primo illius auteratur, secundus d se-
cundo, ec.) Relidua erunt semissis totius: sn ita angeatur; Agere.
satorum series erit expositx seriei Aqualium selquialtera.
Incellige, si A.qualium e Primanorum terminus ullus Idem lc vel XgV-
lis: (Ouod de in sequentibus aliquories incelligendum eric:) Cius Fuerint insequales,
non tamen exit difticile rationes provenientes inrenire; quod monuille sutticiar
cum id quilibet suo marte praeltare poreric.
Sie
PFOP. C

## Folio 413 — 851387705:0433
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000433.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
PrOD. CIX.
LNELMTTORUM.
Sic verbi pratia terminus aequalium quilibet
_ primanorum maximus R; ejulque pars infinice
parra dicatur a = =; numerus terminorum om-
nium (vel figurx altimdo) A: s cermini
concinuentur in intinitum usque ad . . ..
eric Reliduorum ec Ageresatorum lumma . . . .
Nam omnium AE qualium aBBrEBaEUM exIE A R (UE pateL;) Primatorum aeGre.
pacum ejuldem semissis EA R, (per PTOP. 2.) ErgO AR - ZAR = = AR, e
A R. F 3 A R = Z A R. Nempe seriei Aqualium (AR) illud clt Z, HOCZ: PTOUT
altirmatur. Hoc est, erie illud ad seriem Aqualium ut Z 2d Y, vel uE F ad 2:
hoc aurem, uc Zad cn ret ut F ad 3, vel 3 adt 2.
PRO P. CTX.
Corollarium.
RBO, Si Parallelozrammo auferatur Tri
ansulum (super eadem vel aequali base
aeque altum) Residuum (quod quidem e ipsum
erit Trianculum inversum) erit Parallelorram-
mi semissis: Sin addatur. Triangulum, erit
axoreeatum (nempe Trapezium) sesquialte-
rUM.
Patet ex praecedenri; est enim Parallelopram.
mum series Aqualium; Triangulum, Ceries Pri-
MaHOTUM.
PROP. CZ.
Corollarium.
Tem, Cylindrus Parabolice excavatus, est pleni semissis. (Quod idem
verum est de Prismate analorice excavato.)
Nempe li ex Cylindro (serie nempe Aqualium) eximatur Conoeides Parabo.
licum (super eadem bale aeque altum) quod quidem est series Primanorum (por
PcOP. 4 vel 63.) quod reliquum est eric semiltis Totius Per PFOP. 108.
Arque idem accider s Prismati eximatur Pyramidoeides Parabolicum.
P R OP. CXI.
Theorema.
T Series Aqualium mulctetur serie Secundanorum, Fertianorum,
Oartanorum, etc. Residua erunc torius duo Frientes, tres Oua-
drantes, quatuor Ouintantes, _c. Sin ita avSCaTIE, CrUNE AGOrESALA
ejuldem sesquitercium, sesquiquareum, Sesquiquintum, _tc.
R +0a
R2 FI a
NemDC (i Termini 3 D2 = 4 a
conineneur asgue ad
R2 79 a
Ec.
R = P
R + R
crune summae (per Prop. + H.) AR F5 AR AR F + A R3 AR + Z AR
Hoc cst, Reliduorum summa +-
Axprexacorum summa
c+ 3 =3. + 
drat
X  3= 5 CC.
a
ec
2 = R
AR L Z AR
L R
AR Y : AR
le F Oa  = 04
R + Xa3
lq La
H + 0a3
R = 27a
ec
R~ Z BF 4
RA Z R4
IC + 169

## Folio 414 — 851387705:0434
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000434.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
ARITEIMETIC A
PxOP. CX
LLL. CXCl.
Corollarium.
RsO, Si Paralleloerammo auferatur complementum semr par avouu, semi-
rabola, Semi-paraboloeides cubicale, biquadraticale 6C.) erit 53 43 33 .
eotius Paralleloeramm: sn eidem Paralleloerammo ejusmodi complementum,
addatur, erit acgregatum 3, 2, 5, 6c. ejusdem Parallelogramme.
Patet ex praecedente.
P ROP. CXIII
Corollarium.
Tem Cylindrus Conice excavatus, (vel Prisma Pyram) Conu
iseeri duos trientes. Et similiter de aliis excavationibus (mutatis mu-
tandis) siet pudoti
PALEt Ex PrOP. FFT. Subducta quippe serie Sccuncanorum, ex serie aequalium.
PROP. CXIV.
Theorema.
lSeries aequalium Muletetur serie sublecundanorum, uuotextiano-
norum, subguartanctum, etc. Residua crure torius Friens, Oua-
drans, Sumcasso, u. Sh ita augeatur, crunt Reoresata ejusdem quin-
que Frientes, serrem Ouadrantes, norem Ouintantes, ec. rel, du-
Dlum minus Friente, Ouadrante, Guintante, etc.
Rempe l perneunt.
Continuentur ad
EYR= VOa
VRF VCa
VR FY2a
VR = V3a
dc.
VR FVR
ErunE SuMME (PEr BTOP. 54.) AVR + Z AYR
Hoc est Retiduorum Cumma 1 - 3 =
Reprexatorum Turm2
PR OP. CZV.
Corellarium.
LC Si Paralleloerammo auferatur Parabola L’araboideraes Calte
Biquadraticale, 850. Residuum erit totius Friens, Quadrans, Qurt
tans, 13c. Sin addatur, erit Aeerecatum Paralleloerammi duplum minus
Triente, Duadrante, Duintante, (36.
SequituX ex Praced.
rel 64.
Paraboloeidis cubicalis, biquadraticalis, Coc. Residuum (puta Sehit pa-
Vlc + V3Oa
VL4V +l
V3R = 132a
V3R F
13
etc
V R F VR
AY IC + g+V3R.
L AOT. CXVI.
Theorema.
VAR = V0a
V+R F V+ Ta
VtR F V2a
NIR = Y 3a
VAR Z VAK
AVAR FE AVAK
ari modo judicandum eric in serieous a LCAL aum Sub.
ducendis rel addcs; Quarum quantitas BCCIt CX PrOP. 59.
Pura

## Folio 415 — 851387705:0435
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000435.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 91 lines, status machine
PEOP. CXVII. TALLATLOROM.
Puta si cermini L N FY 8 a
continuentur ad VR ZV R
CNIE SuIA AYN FZ AVP
Hoc est, Relidua X - 3 = 3
AECreGata
Et Similicer (mucatis mutandis) in aliis quituscunque.
P ROP. CXVII.
Theorema.
R ZV Oa
P. FV La
VR F V 27 a
_c. 2d
13R = V3O a
V I FVTa
V3R
134 d
VR2 F 139a
C. ac
V3R~ Z VR
VPA = V3 04
V3R
Y3R4 F V3 76a2
VR F V8Za
ec. ad
BR = V R
AYN FZ ANK ANRI FZ aY P.
T exponatur tereS Agnalium muletata terre Primanorum; RCt
3 duorum Ouadeata, Cubi, Biquadrata, 8c. ad seriem toridem co-
rum maximo xequalium, rationem habebune cosnitam.
Placet autem pro noris T, a, 2 a, 3 a, _c. (in praecedentibus proposicionibus utur-
pacis) jam sublticuer: an by cy dc. quo melius operationis proceltiis perspiciatur.
Serie
dc.
AR - : AC (A l = 2 A R + i a 
nemDC F = =
vel
A8-3 L, f32 aat
Fir sje deinceps, concinue mulciplicando nunieros Rrichmerice proportionales.
prouc pocectacis gradtus postulac) ab L e 2, unirare conrinue crescentes.
tit qualem nihil sunc quam coridem series Primanorum, Secundanorum, Pex-
tianorum, Guarcanorum, dcc. InveriX.
FROP. CXV
Theorema.
F exponatur series Aqualium muletata serie Secundanorum: R esi-
duorum Ouacraca, Cubi, Biguacrata, ec. ad seriem toridem corum
maximo aequalium rationem habebunt conicam. Nempe
Ouadrata
Praca.
L
aR
EC. dc
F
R3-
R3.
R3
R3-
0 R2 + 00k =000
BF
EC. 20
R2 = 3RR F 3R R =R3
X2
X3X4
k0
R
Cubi
3a2 R+  34 R-
bR+ + 364R2
36R + F 3∞+R2.
_c. ulque ad
R = 3RR
LR
aL - 2a P +: a f. - , a d
14XC
R
R6
Scriei
dec. 
R2 = BOR  c2
R2 = 2 R R L R2
R+ =00R 2 LOC
summa AP. - iA
net De
L 2a l
R4 = 2VR +
L = 262R F6
cC. usque ac
R4 = 2R W F R
e -14 2 + i aV
00R. f00R2 -00
R

## Folio 416 — 851387705:0436
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000436.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
LARITHMETICA
F Sic deinceps, continue multiplicando numeros Arichmetice proportionales
(quousque gradus po: eltatis poltulat) d 2 e 3 concinue binario crelcentes.
P R OP. CXIX.
Corollarium.
TProPterea Conveics (vel Pyramidoeides) Semiparabolae laut etiam
Parabolae) circa asius ordinatim applicatam aptatum, erit ad Cylin-
drum (vel Prisma) ejusdem basis e alticudinis, ut 8 adt 15.
Nempe ut Ouadrata reliduorum seriei Aqualium
muletata serie Secundanorum, (ad rocidem maximo X-
qualium.) Nam si volvendo Semiparabolam A DO cir-
ca iplius ordinatim axplicatam DO, uE axem (vel
etiam alias, UEPTOP. 9. Con. Sect. diximus,) FOrMEtIE
Conocides (vel Pyramidoeides) Cujus Vertex O: erUNE
plana illa Conocides (vel Pyramidocides) consticuen-
cia, ut Ouadrata serici Aqualium serie Secundanorum
muletara. (Nam recta in Semiparabola ADO diame
ero AD parallela, lunt relidux Aequalium ablaris Se-
Candaris, in complemenEO A Y O rEpertIS, VIE PaLCL EX
dictis ProP. 23.) Ideoquo ad coridem maximo aequalia
(hoc est Cstindrum rel Pritma,) ut 8 ad 25 per praecedenria.
SC TTOL YV M. 0.
Et parr modo de Conocidibus vel Prramidoeidibus ad Paraboloeidis cujulvis
ordinatim applicatam aptatis, judicum tiet, ope sequentium proposicionum. Puta
in Paraboloeide Cubieali ratio erit ut d ad r4; in Biquadraricali, uc 32 ad 45;
in Supersolidali, ut 25 ad 33, eec. ut in tab. PFOP. 126.
P ROP. CXX
Corollarium.
Pinde, Si nnita serres Aqualium mulitata serie Primanorum, in
eandem seriem AEqualium eadem serie Primanorum auctam, respective
ducatur: Rectanculorum (vel Duadratorum aut etiam similium quarumvis
feurarum, ipsis aequalium, aut quidem proportionalium) Aecreratum, ad
Accrexatum tocidem maximo N. qualium, rationem habebit cornitam. u
Alque idem accidet, si Duadrata seriei mulctara ducantur in Quadrata se-
riei auctae; e Cubi illius in Cubostrujus; (5 sic deinceps.
Nempe cacdem prodibune rationes quae in PCOP. 178. NaM, A NREBE  Y
1 2C 1
in R
Pacic D- a5
C: R
D: R V a:  R, 2a.R F a 7. 1 1. 1L C MC 5(IL LC 1
a
 C: R.  a. = R.
Fuct. BB FAi e OtiX.
2
22 = a
3aR2 = 3 a2 R + a
Cacit R = 3 a 2R + +
ec
5
ee sic ip lineulios cerminio cujutvis pocestacis; ur mulciplicaneto patebic
PFOp. CXIX.
3aR=+ 3,4 d
5

## Folio 417 — 851387705:0437
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000437.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
PFOP. CLLLI.
Deoque, Circulus ad Duadratum Didmetri, (vel etiam Fllipsis quaelibet
ad Paralleloerammum sibi circumscriptum,) eam habet rationem, quam ha-
bent Radices Duadraticae universales Residuorum seriei infinitae A qualium
serie Secundanorum mulctatae, ad seriem illam A qualium.
Nam s circuli. Radius po-
natuER, (cujus pars intinice
Parra = = a, ) eique insistant
Perpendiculares tive sinus re-
cti numero intinici Ouactran
cem circuli complences; crunt
illa Perpendiculares medix
proporrionales inter Diametri
Seementa, (ut nocum elt; ) hoc elt.
inter R F0, R FTa, R + 24, R + 3a, dc
Ouorum Rectangula,
e
R - 0,
P
a3
R = 2a, R
3a,C
 R2 = 00, RZ = LN, R. - 44, R = Ga, C.
Eplaeqi media proporcionales V: R - 00. V: R = 24. V: R - 4u V: R =9a ec.
Ouam isitur rationem habet harum radicum univentalium Aggregatum, ad
cocidem maximae (Radio seil.) aequalium, eam haber Ouadrans Circuls (ex illIs
constans) ad Ouacratum Ractii (constans ex his;) Adeoque de cireulus inceser ad
quadracum Diamerri. Ouoderac oltendendum.
Acque idem de qualiber Ellipli (muratis mutandis) facile ostendetur; cum iptius
eriam ordinatim applicarae sine mediis proxorcionalibus (inter diametri tranversae
fexmenca) Propdrcionales, e quidem nonnunquam aequales, u ex conicorum do.
etrina nocum ett.
SC TTOF YV MI.
Ratio autem quam innuic haec proposicio (Cireuli nempe ad Quactrarum Dia-
metri,) ea est, quam habet Oniras ad numerum incermedium inter F ec Z in sccun-
da serie Transrerta Tabella PrOP. +27. Duomodo aueM InVENICTUE nuMErHS
ille (rel alius quixis illius seriei numeris incerponendus) deinceps inquirendum exit.
EROP. CXXII.
Corollarium.
Pproinde, s supponamus infinitas numero rectas semiparabolae cujusvis
in ejusdem continuationis aeque alta e titu inverso posuae rectas, respecti-
ve duci; quod provenit solidum ex infinitis illis Rectangulis constatum, (aut ex
Quadratis quae rectaneulis illis sint aequalia,) erit ad Parallelepipedum super
eadem base aeque altum, ut Circulus ad Quadratum Diametri. (Ft quidem
mediae proportionales erunt in subduplicata ratione ordinatim- applicatarum in
Circulo vel Fllipsi.)
Semiparabolam quamlibet A PO,
secet recta MIO (bati parallela) in
duo seomenta aque alta; e Recta
MO dICaLIIE VR. Frunt reliquae
ordinarim. applicacae in segmento
superiori alcendendo, V: R - a.
V: R = 2a. V: R = Z a. _C. FF in
segmento interiori descendendo,
J: R F a. V: R + 2a. V: R + 3a
_c. (propter quadrata ordinatim.
applicacarum in Parabola, arirtme.
LNFPN FTORW
XX7
Corollarium.
ROP.

## Folio 418 — 851387705:0438
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000438.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
ARTTHMETICA
Prov.
_cc. proportionalia.) Ideoque ( supponames semiparabolam ita sectam sic in le
replicaesu ut punctum P puncto A congruat tocusue sexu MLO transte.
ratur in licum M Aco, (ut ordinatum applleala interioris lesmenti ordinatim ap.
palebit.
l
vleabio superiorio ivetse selsondedi p  rat ceditu
 S. CCLALCaLLONC
1:
V: R -
0.
V: R
I: R
V: R -0. Y: R
a
L 2. a.
V. l -
V. L = 3a
V: N = 44. Y: N =9a 
desiicit 
FToruM ISIEIE OMMMIM agGCGaC au Maxum (V: R2 -0.VNR
toties potitum, (HoC C tostaum provolvum ad Parallelexivedum ejusdem balis et
alricudinis,) ut Circulus ad Ouadracum Diametri per Praced. P. F propterea étiat
mediae proporcionales erunc in subelliplicala racione ordinatim applicacarum ipt
circuto vel ellipti, ut patet.
PROP, CZXII
Corduut cato.
0515t
ad Cytindrum (vel Prisma) circumseripium; est ut series infinita aequa-
num mulclaia serie seculunorum, ad seriem rocidem mavinio aequalium.
Sequitur ex PrOP. 1ZL. Nam si mediae
proporrionales inter diamerri segmenta,
quadrantem circuli (vel essipscos) com
plences, jam tieri supponaneur cocidem
aliorum circulorum invicem parallelorum
radii, semislem Sphaera (vel Sphaerocideos)
complencium, (vel smilium quorumris
planorum rectae similiter polia semi pu
ramidocides FIlipeicum constimentium:)
erune hi cireuli (vel plana) in dupli-
R - 4a. R =0a _c. (Tunc enim rectae illa V: R =0
V: R = 4 a. V: R = 9a SC. Per PFOB, 1Z1.) Ideoque hOruI
omnium axprexatum, ad assrexacum ommium maximo aequalium ut 2 ad 3. per
Loc est ut 2 ad 3.
CsEd 1S : 21133Bev
Temq Sphiera (vel Spheroeides aut eriam Dyramidoeides Fllipticum
c15
Ut R.-
I: D2.
0
DrOD. 1I8.
cata ratione Radliorum Tuorum (sire rectarum similiter potitarum:) Hloc est
ROP. CAXIV.
Corollarium.
Tem, si Frianculi ADB recta respective ducantur in rectas Trapezii
ADB (aeque altr, ique ut so Lriangulo Paralleloorammum com-
pe) qua Podeun rectangula erunt aequalia tonidem similibus plats
Conoeideos (vel Pyramidoeideos) Flliprici: et mecu proportinales DF
DE, Oc. Frunt ordinatim applicatae in (Cireulo, vel saltem) Fllipsi.
Demon-

## Folio 419 — 851387705:0439
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000439.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
erOP. CXXV.
IHEENLTORUM.
dictis ad PFOP. I2F. _ 723. NTam
segmenta recta BB in hac Figurs
Demonctracio facile patet ex
tancundem ralent aeque scomen-
ea BlaMLELA  ASuTa. 5C1
Ent aequales, quam recta AD, DF
circuli sive Ellipseos AH, ma-
jor ett auc minor quam Ouadrans, Prout DB major cst aut minor quam DB.
Si autem tam rectae AD, DF
ad invicem verpendiculares, CrunE
ip(A DE, D L, ordinacim axpli
cata in circulo; sn mins, Cal-
tem in ENtipH. Portio autem sve
P ROP. CXXV.
Theorema.
L exponatur series Aqualium mulctata serie Ferrianorum; Re-
Siduorum Ouadrata, Cubi, Biquactrata, ec. ad seriem tointem
eorum maximo aequalium, rationem habebunt cognitam. . sel eup
_C. del
-
Nempe,
Cabi.
R =00R5. [00R -00
R = 3 a 5 = 3 a R - a
R = 3B R5 f 335R3 - 321P 1
A - 303 R f 3 c R3-  C2, 108
ec. ulque ad
RE= 3 R3 R F 3 R R3 - R
summa A R = = A R) AR = Z AR. F ; ARAR = Z A R F 3 A R =   AB
nemDe L
vel
3X 6, ic 23 113 sisC  3 X6IX, 91101F 9O1l cst, pIL
ausq..B V solve eot Cq Xuy usd ualBB X 3X XO River 111 101
EL BC deinceps, continue mulciplicando numeros drichmetice proporionales
(quousque cujustibet porestaris gractus poltulat) a 3 et 4 ternario concinue
creleenies. ioin sae i
sr cunitamm omirum P, R O P.  OXXVL. 0 mbilest eodinoisilia
Theorema.
Ari modoq Si exponatul series Aqualium muletata terie Cilarta-
norum, Ouintanorum, Sextanorum, etc. Residuorum Ouadra-
ta Cubi Biquadrata etc. ad seriem toridem eorum maximo aequa-
lium, rationem habebune GoeniTam. B 
e ic ads sidccteuer siestrit
aste
ei Iui iBOcritr
Puca 1 - 5 = 3. 2 = 3) 5 =, 13. B = 3 + 3. pih = 5B. it p hct 13 13. F. ii == 32B.
vet
4X8-
5X9
4.XB X 1Z, cu∞hs guci b d 4 X BX X2 xh6. visil
5XOX13
SXOXF3XL7
TIem L - 8 = 3. F - 3 + ,i = 85. 1 - 3. + 52 = 16 = 18 8. F- 8. f 5 - 18 + 1i = 1r0
vel
5XTO
6x2F
SXTOXF5
6XIFX16
5XLOX F5 X20
6XTZXT6XZF
Ec sic in aliis quibusibet; nempe continue mulciplicando numeros Arichmetice
proportionales (quousque gradus pottulat) a 4 e 5, vel 5 _ 6, vel 6 _ 7 ec.
quaternario, vel quinario, vel lenario, _c. (secundum indicem seriei subductae)
contmue crescentes. Prout inductione parebic. Ad huncmodum,
(8S 2
Seriei
Serdei
R3-
Oiacrata
D6-
26
25
2
00 R3 OC
2. a
2b3 F L L
ec. ulque ad
Ro = 2R3R3 FL

## Folio 420 — 851387705:0440
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000440.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
ARLYAMETICA PTOP. CLANI.
Ratio quam habent ad seriemmaximo equalium
Residua. Onadrata. Cutri
(Primanorum 3. 3XZ = 5. 5x3 =:
Secuncanorum 3. 3+ 3 = 1 3. ∞ X4 = 6.
Biguadrata.
24 X 3 = 138
Supersolida.
28 XE = 730. 3
103 28 = 3 3. 323  1 = 10333..
Tercianorum 3. 323 = 38. 38X 18 = 363. 300 X 13 = 381.
364S X 18= 3 8248
9943 21= 206845
S COnineanorum 3. 2X 12 = 58. 28  1 = 138. 136 27 = 3, 18. EtBX 28 = 3S.
Et Sc deinceps.
Nempe, si index seriei ablacae ponacux a; rationem habebune, ad Ceriem maxi.
mo sEqualium, ipta
3SF . Besidua. Quadrata.
10t1O CsaS: :a  2. a
quam habent
vel
6 a3
Cubi.
00 a t V. 2 a + 3a + L 6 a F r2 a +6 a + Z
Velquam ha- a F L a +F E 2a f F a f F
bec Onitasad
2a
2a F r
2a
3a. + 2
3a
c.
a. = + 2a f 3a = F 6 a F ZZ a + 8a F 2 
2a
Aique hoc idem valebit B ablata Peries Cit Series Radieum.
Verbi gracia. Si a serie Aqualium auteratur series Subsecundanorum cujus in-
dex L. Nam si Ponatur a = 5. Fric.
Cc a + 2, 2a + L 3a +
= = 3. F+ ~ + 1 2a =
2
=3X2-6.
ablacionibus, Residua, Guacrata, Cubi, ecc. ad seriem maximo aequalium; ut Z ad
3. 6. T0. _c.
iui
Similitcer, si auseratur series Subquastanorum, cujus index i; et ponatur a =
s. d. 
Frie a +
25.
2a L Y
3a L
=23
  2. 8. FF5 X 3 =25.
15Z23 35. 35+ Z = 9b. _C. Sunc autem, in ejutipodi sublationibus, RC
Sidua, 9
ejulmodi aliis, uc intra enam ulterius patebit.
Interim placot propolitiones aliquot praecedentes in Tabellam conjicere, propo.
lirioni lequemi tubjunsendam. Nempe
et
uii
.(ad unica.
cem.
ROP.

## Folio 421 — 851387705:0441
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000441.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
PTOP. CXXYII.
PkOt. CA=YLI.
Theorema.
T expOnaTIE (MMIILA) series aequalium mulctata serie (ataloe2
Primanorum, Secundanorum, Tertianorum, etc. Residuia ipsa.
corungue Onadrata; Cubis ec. Fam rarionem trabebunt ad exxo-
licam seriem aequalium; quam habet Cnitas ad numetos in subjecta
Tabella indicatos. Lrempe.
Retid. ) C. )Cubis Big. ISupers. ) Sext. 1
122 1 28I e
6 ab l 384 I 56 I 
13 1 18 1 162 l 104 2 1 3 bo l 3b
13 3u  3bqu l Sraa l 132685 l 3943 13
150 l 130 ISI 31SoB  prer 6 E
IIvrs Sela lesto 1o
Et Ec deinceps.
Sequitur ex praecec.
SCZYOF ZV M
Verum quo pacto inrestigabitur, quam habeane rationem serierum illarum A.
potomarum Radices Ouadratica, Cubiex, _cc. ad seriem rocidem carum maximx
aequalium: Ilic labor, hoc opus est. Nihil enim aliud deelt ad Circuli e Fllipleos
quadraturam. VTCx PrOP. L2C. jam pacec, ee ex propoticionibus aliquor secucu-
ris ulcerius patebit.
P R OP, CZXVTTE
Theorema.
T errnatur leries squalium mulctata ferie Subsecundanorum:
Residuorum Ouadrata, Cubi, Biquacrata, etc. ad seriem toridem co-
rum maximo aequalium, racionem tabebune copnicam. Nempe
R- VC
VR = Vb
IR = VC
ec. ad
Cubi.
X. LdL+dtra. 3210+36VR - bV
1R = 2YCR L C) RVR - 3RYC + 3CYR = cVC
cl. ad
_c. ulque 2d
VK- VR R = 2VRRFRRVR = 3kVR F 3RVR - R YR
AVR ZAVR AR, ZAR FEAR ARVRS ARVK + Z ARVR = ZARVR
Scriei
(Primanorum
Secundanorum 13
Tercianorum
Ouartanorum
Ouintanorum
Sextanorum
Ouadrata.
 Lda LVaZaVat3ad aa
 S dB
2
Lt lic demecps; nempe cam rarionem quam haDet lad uueros criangulares, lire
agoresata numerorum Arichmetice proporcionalium (quousque sradus porolta
iis pottulat) ab x continue unitace exelcenrium.
10 1

## Folio 422 — 851387705:0442
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000442.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
219.
2dC 2L LLL1 L L LC A
PrOP. C XXIX
PROP. CXXIX.
Corollarium.
PPTOPterCa, Conceides (vel Pyramidoeides) Complemento semiparabou
circa ipsius ordinatim applicatam, est ad Cylindrum (vel Prisma) ejus-
dem basis eo alticudinis, ut 2 ad 6.
is proo. Nempe uc Ouadeata retiduorum teriei AEqualium muletaie lerre Sublecuncallo
rum, ad eoridem maximo aequalium. Cum enim in Semiparabolae complemento
AOT, rectae ipsius diametro AT Parallelae, sinc relidua LeGuasum demptis Sub-
secundanis (ordinatim- applicatis in lemi- pacabola AOD;) si volvendo comple-
mencum illua AOF cirea iplam O P uc axem (vel etiam alias, ut alibi dictum
est,) tormetur Conoeides, (aut etiam Pyramidocides analosum,) cujus vextex O;
circuli sic rolrendo deseripri (vel similia plana similiter polica) crunt in recta-
rum illarum (ipsi A F parallelarum) ratione duplicata. Hoc elt, ut quadrata
Reliduorum seriei A. qualium sublacis Sccundanis; ideoque ut L 2d 6 per praccd.
SCHOL ZV M
Ft pariter judieandum eric de Copocidibus, e Pyramidocidibus complementi Se-
miparabolocidis cujulvis cirea iptius ordinatim applicatam apcatis, juxta propos.
tiones lequentes: Nempe, muraris mucandis, prour Semiparabolocidis gradus po-
Stularerit. Puta in semiparaholocide Cuticali, ut +ad FO; in Biquadraricali, ut
2 ad 25; in Supersolidalis + ad 2F. esc. juxra cabellam PrOP. 13L.
PROP. CXXX
Theorema.
TerDONACAL LLICo SEqUaNuM mulCtata SeNIC SHIBLEFEIAnOTHHH, KCH
duorum Ouadrata, Cubi, Biquadrata, etc. ad seriem totidem eorum
maximo aequalium, rationem habebuntcognitam. Nempe
V3H-
BF
_c. ac
~3R-
AVR ZAVR
Ouadrata.
2V3 aR + V
LVDa FV
2V6R 
aC. ac
QV3KL L VR
Cubi.
V3R SV aL SY a R = 13 d
BR
3V DR2 = 313b2L
MSK A 3VC2R= 13C
ell ulque a
VK = AVL F3AVRZ AR = Z A R F 3AR = Z AR
Scriei
ENE
4
Et sic deinceps; continue addendo numeros trian gulares seu aBBreSATA numero-
rum Arictmerice proportionalium, uc hrabeacur, con lsquiens racionis cyjus ancecestens
olL. 2.
131
Si
5
L120+10 = 20
 1O. A LL.
Theorema.
DAr modo, Si exponatur etleS sGualum selata lerie Subquarta-
norum, Subquintanorum, ec. Residuorum Ouadrata, Cubi, Biqua-
drata, etc. ad seriem tocidem eorum maximo aequalium, rationem habe-
BUNLCOBHIEAM. lE) cOOgO SiiSM L. NWEENe
LSICLI SuSIIEO L dB C. site
Nem ut in Subductione seriei Sublecundanorum, consequentes rationum tune
continua addirione numerorum Arichmenice proportionalium, 1 L 2 =
T f 2 + 3 = 3 +3 = 6. 5+ 2 +3 + 4 - 6 + 4 = 10. F + 2 7
t. + 5 =
10 +5 = 15. F + 2 f 3 7 4 f 5 f 6- 15 f 6 = 2T. ec. Ita in Subductione
Subiertianorum consequentes rationum tiunt concinua addirione numerorum illo.
PUMt

## Folio 423 — 851387705:0443
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000443.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Prop Cle. Inam
TU (Z, 2, 6, 2O, L5, ZF, _c.) in Subductione Subsecundanorum modo invento
TUM; nemPCF. F 3 = 4. 4 f 6 = 20. 20 f 10 =20. 20 + 25 =35. 35 21-
56. acc. vel L. F x + 2 = T. F 3 = 4. 4 fF F 2+
1
F 2 -f 3- 4 = + + 3 + 6 7 10 =-20. 20 7 572 +3
C.F 2 
+
5=
(0. 10-
+ 3 +
4 + 5 f 6 = -F f. 3f6 f 10. 1 15 1 21-56.
addicione, tiunt contequences rationum in Subductione feriei Subquartanorum
(nempe L.  4 =5 5. F 10= 15, 15 20 =-35. 35 56 = 9. e0;) EF ex
horum iterum concinua adelicione, tiunc consequences rarionum in Subductione Se.
riei proxima (Subquinianorum;) Ex sie deinceps; ad hunc modum. 3
iviseriei aqualium mulctate serie 1 aissit 
VeL 3Y 13C SiC (I Sati  SCHILe r Ls  crO V
eol.r C1SC t
es DCAEL LC eSiX
1. l
0 BB SeCE qel  pie
1id ic 1s+ eit cer
) I
n
 XI
u
1
e
ri
4
Cppisit p3.B at pp. hos loqpet. B
 Jms airlOrH PB
2 su 4
n
0
3 1 ci ii
 ju 3
ti
odu cvel
)
3)  ja BIm
i
ic-
dI in
m
wo
e 
1
in ain uin eim voim
3
CCIS
est s detite
eideo se il
in (C
L 1CL1L. ~I cl 1CS
l
im eu
Et Sc deinceps.
6 F 20-F 25 -- 35. 35
CLLO.

## Folio 424 — 851387705:0444
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000444.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
24
AR IPHMETICA
P
Dictor
EV
lajue hic obiter incidimus in numerorum Figuratorum (ut dici (olent) Specu-
lationem insperatam. Sunt enim numeri omnes. (tam hujus quam sequentis Ta-
bellae) Husumnou adamtoste lactus bigurari; puta Lacerales, Lriangulares, lyra-
sequenti provoticiont Absuusa. LetC
Palet eriam, (in ueraque Tabellaz) series numerorum sic inventorum trans-
verlas caldem plane elle acque crectas.
FX dictis autem liceo propolicionum aliquor prxecedentium summam (nemve
midales, c. Ouod Cun  es oora, monunm sutetal.
de serie aequalium serie rac MCtata) in MMaH Laa CBHCtE quau
ROP. CXX.
Theorema.
L exponatur infinita series aequalium mulctata analoga serie Pri-
maniorum (vel si libet, Subprimanorum, quod tancundem ralet,
Sublecundanorum, Subtertianorum, etc. Relidua ipla, corumque
Ouddeata, Cubi Biguadrata, _c. eam cationem habebunt ad con-
sruam seriem aequalium, quam habet. Onitas ad numeros in subjecta
Tabella indicatos. Nempe
Du
Suopattorum
Sublecundanorun
Subtertianorum
Subquartanorum
Subquintanorum
Sublexcanorum
Subseprimanorum
Subolaranorum
28
3
20
50
80
120
5
126
2dC
T26
2F0
330
8
210
462.
330
702 j 7287
462 924, 2716 (3063 5005) 800
2002
3007
792 1726) 34326435 (L1440, 10448
165
220
495 12267,3003]6435172670,24.310 43750
9r5 1300315005(T24402432048620, 923781
Subdecmanoum 1 F (+11 60, 286 11001 )3003 80081 29448) 43758, 92378) 184 756)
Et sic deinceps.
Ejro
Subnonanorum
Sequitur ex praecedente. Numeruo aIEHI Lava Gu LMICdIUS elt a
prepatum ex duobus libi proximis altero Tursum altero ad dextram poticis.
Nocandum etiam elt, cundem prodire rationis consequenrem in reliduorum Oug-
dratis s auferantur Subtertiana, ee in Cubis si auterantur Sublecundana; irem in
Sextanis s auterantur Sublepcimana, ec in Septimanis li auterantur Subsextana; e
sic ubique, reciprocatis quali porestatibus, uc ex inspecta rabella patet.
Sed

## Folio 425 — 851387705:0445
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000445.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
primana, e in iplis Reliduis si auterantur Subquintana, led e in Ouadraris si au
ferantur Subsecundana; Irem in Tonanis I auterantur Subprimana, _ in ipsis RC
liduis h auferantur Subnonana, sed et in Cubis li auterantur. Sublecundana, e
Ouadraris Ei anterantur Subtertiana: Trem in Oetaranis si auterantur Subsexrana
e Sexranis si auferantur Suboctarana, sed e in Decimanis li altetattu Sugum-
cana, ec in Ouincanis Rauserantur Subdecimana: et sic alibi ur ex tabella patet.
PFOP. CXXNIIT. TNEENETORUM.
Sed _ etiam alias idem aliquando accidie, puca in Super solidis s auterantur Sub.
PROP. CXXXITI
Theorema.
CTexponalue Lelus Flmanorum mulctara serie Secundanorum; Re-
siduorum Ouadrata, Cubin Biguadrata, erc. ad seriem squalium, Fa-
tionem habebunt cognitam.
Pata
Ouadrata
20
2bD.
_c. usc
Relidua
dc. usque ac
DD-
ZAD 5
Cubi.
a D = 3a D + 3a D -
pe
83D3 = 3UD  3b3D -B
BB - 30D F 3B51- ∞
AD - 3 AD f 3AD - 3AD
+3 = 20
C3D3 = 3c4D 2 = 363D -c
ecc. ulque ad
4X5X6X7 840 140
30 273 4X5 6x7 140
Ft sic deinceps; continue mulciplicando Numeratores per numeros quadratos.
et denominatores per binos continue sequentes Arichmence proportionales.
2LL. CaAaIV.
Corollarium.
Deoque; Si series Aiqualium mulctata serie Primanorum respective du
catur in seriem Primanorum: Rectanculorum (aut ipsis aequalium, vel
etiam proportionalium, Quadratorum aut frurarum quarumvis similium)
accreratum, ad accrecatum totidem aequatium, rationem habebunt coenitam.
Aque idem acvidet si Duadrara seriei illius in Quadrata hujus: Lt Cube
illius in Cubos hujus, C3c. respective durantur.
Nempe cadtem prodibune rationes quae in PrOP. praced. Nam si ducatur
D - a 9: D - a: = D - 2a D. + a C: D - a: = D - 3 a D. + 3 a D - a
Fet a D - a
ec.
M a2
in a
a D = 3 a B + 3a D = a
ec
aD - 2 a D + a
ec.

## Folio 426 — 851387705:0446
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000446.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
ARTTHMETTCA TTOB. CAAXV.
dii Eit
Edsi La et so stobi
od et t. s 151
2t
tit eode  Coroatum.
Deoque Semi Circulus ad Duadratum Diametri, (vel etiam Semi- Fillipsis
ad Parallelocrammum Fllipsi circumscripium,) eam habet rationem quam
habent Radices quadraticae universales Residuorum seriei. Primanorum serie
Secundanorum mulitatae, ad seriem Primanorum illorum maximo aequalium:
Totus itaque Circulus (aut Fllipsis) ad illud Quadratum (vel Parallelo-
erammum) rationem habebit illius duplam.
=3E es
InIEx
ideoque V
vel
Ntam si diameter circuli (vel etiam
Cllixleos) ponacur D, (cujus pars intinite
  1
PacVA  = a,) eijque ordinacim. axpli.
centur infinitae rectae (requatitor ab in-
vicem distantes) Temicirculum (vel semi-
elliplem) complentes; crune illae (ut
nocum clt) midia proportionales (vel
Taliem in eliph mediis illis provortiona
libus proporcionales) incer camerri 1es.
menca; Puta
D 3 a 3
4. 
N. 2a0- 3a. Y. +a B - 16 a dc
V: CD-= C2
V. aD = d
cidem ipsi VB aegllau puta ad quadracum Diametri (Tallem ad diametrum
in alricudinem ductams)
uc V: a D = ~: = V: BD - B: = V: CD = 52: = 8c. usque ad V: DD = D
ad YD +  YD F  YDE + _c  = AYD = AD
Ideoque circulus intexer, ad idem quadrarum, ut
nid 2 y: aD   _C. ad AD.  sB gileg n teO
16
aigis sid 1.1
pt curcrs al se
P R OP. CZXXVI.
Corollarium. 
L proinde Si supponamus semparabolae cujusois insinitas rectas (or-
Mnatim applicatas) in ejuscumo inverso situ positae respectivas rectas
duci; quod provenit solidum ex ihsolatis illis Rectanculis constatum (vel ex
ducdlatis, aut aliis quidem fieute sinitibus, quae rectaneulis illis aequentur,
erit ad aeque alium Parallelep pedlum coneruum (nempe cujus basis aequetur
Duadrato basis. somiparabolae ut Semicirculus ad Duadratum Diametri-
Li quidem mediae proportionales erunt in subduplicaca ratione ordinatim.
applicalarum in Circulo vel L lips.) Sic eadem parabola A PO sicu directo,
et P A a Titu inverlo potita: crune ivicue
(ex natura Parabola) Gractrata relinatim-
applicatarum (nemve rectarum LD, DC ec
doscendendo; vel Ihco, D0, cc. aicendendo,)
intinita Cexies Prrmanorum; Puta a, 2a, 3a-
_c. vel corum loco a, b,C, _C. quorum ma-
ximum dicatur L(cumpe quadracum ba(IS
PO vel Ac:) Ec propterea, eadem inverlo
Tieu erune  = an L = 2 a, D - 3a, ec.
vel etiam D-
d
d
c, ec.
(A quale enim elt lingulorum incremen.
tum,
pidts P. R O R.  CXKZV.
V: aD a
Adeoque omniuu aogrexatum, hoc est semicireulus, (vel lemi elliosis) ad to-

## Folio 427 — 851387705:0447
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000447.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
PFOD. C
VIl. LACLAtTORuN
cum, Ei a minimo ordiamur, acque decrementum, s ordiamur d maximo.) FB
consequenter ipsae ordinacim applicatae (quippe in quadracorum luorum racione
Subduplicata,) illic guiclem V an V 2a, V 3a, _c. vel V a, Y b, Y
TEM V: D - - a. V: D = 2a. V: D = 3a. _c. vel (eorum lOCO) V: D
_cc. hic an-
V: D = 6. ec. Ductis isicur his in illas, emersunc rectangula ODc. Nempe
Ductis V: D = a.
V: D - b.
V: D - c. _c.
6
CEC.
Fient V: aD = a.  V: bD - b. Y: cD - e. _c.
Ftorum aurem rectangulorum omnium 2ge egatum, ad rectangulum V: D - 0.
in V: D = O, hoc est V D =D cocies policum: hoc clt, solidum ex illa mulci-
plicacione orcum, ad dictum Parallelexipedum: est uc semicirculus ad quadrarum
Diamerci, per praecedentem.
Et propretea cuiam mediae proporrionales inter conciguns rectas OV, D,
erune in lubduplicata ratione ordinatim applicatarum in circulo vel ellipsi. Ouip.
De quia rectangula ODa sunc illis ordinarim applieatis proxortionalla.
SC FYOLZVM.
Nora tamen, non neceltacium este uc semi parabola inverso sieu potica sic plane
eadem cum ca qua ponicur liru directo: nam res non minus succedet in qui-
bustibet duabus semiparabolis inverlo sicu posiris, modo aeque altis. Pta TaMEN
uc, Si bases habeane inaequales, balis Paralle lexipedi von sumacur, uriusvis Para-
bolarum balis quacrato, sed ueriusque rectangulo aequalis. Puta PO X A c. Ouod
monuille susticiat, cum eadem qua praecestic demonstrario, levi immucatione tacta,
etiam huc accommodari poltic. Vel etiam hoc inde facile inferri polsit.
Figura vero ex omnibus mediis proportionalibus (inter OD, Da) constans,
erit quoddam Flliprocides: cujus nempe ordinatim applicacarum quadrata LUnE
iplis ordinacim axplicatis in FllIpli proporrionalia, ut Paret. Sieut nempe in Pa-
rabolocide Biguadratieo ordinatim axplicacarum quadraca sunt ordinatim applica-
tis in Parabola proporrionalia; EF quaclcata ordinacim applicatarum in Parabola
proporcionalla spllo in Lriatsulo ordimacim appelicacis.
PROP. CARRVIL.
Corollarium.
ad Crlindrum (del Prisma) circumscriptum, rationem habebunt eam quam
habet quadruplum seriei Primanorum serie Secundanorum mulitatae, ad se-
riem cotidem aequalium maximo Primanorum. Nempe ut 2 ad 3.
tiZ
Cum enim rectae II L. NCHIO
vel Fllipsi sinc Duplum serici
V: aD = a, _C. Frunt plana
in Conocide vel Pyramidocide ut
Cmadruplum iplorum aD = a
ec. Ideoque ad Prisma vel Cy.
lindrum circumleripeum, ue 4
Tem Sphatoeuus (ad clmo Conoeides aut Pyramidoeides Flliptieum,
2d 6, vel 2 2d 3. Per prop. 133.
Deda d anrea oltentum etat
PlOP. 223.
EROP. CXX.
Tem, Si Paralleloerammum lined u ut cdraatur; rectaeque untus
Corollarium.
trianculi in continuas rectas alterius trianculi ducantur, mediae propor-
tionales erunt totides (ot babuit, deb salem) euseos didinatim
Thh 2
li

## Folio 428 — 851387705:0448
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000448.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
ARAZHMEFICA PFOP. CXXXIX.
miles) Pyramidoeidis aut Conoeidis Ellipries
20
applicatae; earumque quadrata aut circuli laut fieurae quaecunque si
Plane.
Sequitur ex duabus praeced. Nam rectae conter-
minx lune instar leomentorum Diametri. An au-
rem Circulus, an Flliplis prodibir; judicandum
exit eodem indicio, quo in PrOD. 124.
R1. CAAAL1
Lheorema.
Y exponatur leries Primanorum muletata serie Tertianorum; RC-
Siduorum Ouadrata, Cubis Biquadratam eC. ad seriem Aqualium,
rationem habebune cognicam. Nempe
Residua.
aD- a
_c. ad
DD2 - D3
Ouadrata.
a D2 = 2 a D + a
ecc. ulque ad
D D2 -= 2DeD F
3-3. +; = os A D
2. X 4
3X5x7
 5a l 2a u a
AXOXBX 1C
Et EC deincePS; puta
2X4 X6X8XH0
OxSxTOxTZXL4RI
2X4 X6X8X1OL1L
7XGXTLXF3XT5XF7XLB
PROP. CXF.
Corollarium.
Dem accidet, si series A:qualium mulctata serie Secundanorum, ducatur
in seriem Primanorum. Eit illius duadrata, Cubi, Cdc. in Duadrata, Cu-
b05 (5c. hujus.
C
(Puta, si recta in Semiparabola, diamerro parallela, ducantur in rectas Frian-
sudi; nam earum continuariones, in complemento, lune series Secundanorum.)
Ouia nempe D2 - a7 in a esta D 2 = 43. _c.
PROP. CXLL
Theorema.
I exponatur series Primanorum muletata serie Ouartanorum; RC.
siduorum Ouacrata, Cubi, eec. ad seriem Aqualium, rationem H3.
bebune cognitam. Nempe
Rclidua.
aL
_C.
Ouadrata.
245D3 a a  3 a B F 3a .- a
ecc.
6
3X6X9
SC.
4X7X2OXL3
SXGXOXTZ XX5
EL Sic deinceps, pUT- 3XOX9XZ2
SABKLEXIARTI SLONIZLISLIBREE 
PR OP. CZLTT.
Corollarium.
Ec
Cubi.
ecc. ulque ad
DD5 -3 D3 DI L Z DID2-D
10= 13204
2.X 4. X6
aeto AD
Latat.
3X6XC
2. x4 X6X8
SXZXOXTLXTS
34120
Dem continget, si serres Aqualium mulelata serre Lertranorum, ducatut
in seriem Primanorum.
(Putam

## Folio 429 — 851387705:0449
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000449.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
PrOP. CXLTTT. INETNELOLUM.
(Puta, si rectae Parabolocidis Cubicalis diametro Parallela, dueantur in rectas
Frianguli inseripei: Nam earum concinuationes in Complemenco, sunc series Fer.
cianorum. Et similiter mutaris mucandis, in aliis propolicionibus.)
Ouia nempe D = a in a est a D -
SCF2OL ZV M.
Et pariter judicandum eric, mutatis mutandis, in aliis quibusvis catibus, ube
Teries hujusmodi componitur ex duabus rel pluxibus aliis seriebus inricem mulii-
Plicaris. VE Patet.
PR OP. CKLTTI.
Theorema.
Dariter; Si exponatur series Primanorum muletata serie Ouintano.
Lrum, Sextanorum, etc. Residuorum Ouadrata, Cubi, Biquadrata,
ec. ad seriem Aqualium, rationem habebunt cognitam.
Pura 4
428
4X8XTZ AZBRTEETS
eet
246 ZRZREE AUBZEEHTS GRONTZZTREE
5X 1O
SXLOX15
5X1OXZ5X20
LXZ 3XBRT3 AROXTARHO GRTOKESLLON2S
ec
Ectic deinceps, ut potestas seriei ablatae postularerir: Prout inductione patebit.
Ideoque
PR O P. CXLIV.
Theorema.
Texponatur series Primanorum muletata serie Sccundanorum, Ter-
Otianorum, Ouartanorum, ec. Residua ipla, corumque uadrata,
Cubi Biguadrata, erc. rationem habebune, ad seriem squalium, cam
quam indicat subjecta Tabella: Sire, quam habent numeri Tabella,
adOnitatem. Nempe
Reliduas Guadrata.
Cubi I Biquadraca.
TX2X3
4X5X6X7
2X4 X6
AXOKSKEO
3X6X9
4XZ XIOX23
4X8XT2
4XBXT2 X16
SXTOXTG
4X OX T4X +O
6RT2X18
SXCKZZBNS
2X 4. X6XB
SXZXOXTEXIZ
3x6X9XY2
SXBXTTX24.L
4XBX IZX
SXGXI3X27XL
SXTOXISX2C
ISXTOXTSXZOX25
62 12X 18X 24
4XTOXI6X 2Z ISXTIXT7X23X29
7XT4XZE I ZXT4XZTX28
229 3xrox L7L4YCLYLBYZS (5XF2 X[9226~33)
Et lic deitceps, ad uluctione patebit.
ThH 3
X
Sccunda
3X 4. X)
r
c
S
Dep
3A5X.
3X6
3X7
328
2x8(329L
6XT2
Oeturam.
7XIC

## Folio 430 — 851387705:0450
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000450.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
ARETHMETICA. PrOP. CLL. V.
P R O P. CXLV. Theorema.
Cimiliter, Si exponatur series Secundanorum muletata serie T’erriano-
rum, Ouartanorum, Omintanorum, Sextanorum, _c. Relidua ipla,
corumque Ouadrata, Cubi, Biguadrata, XC. rationem habebunt, ad
Periem Aqualium, cam quam indicat subjecta Tabella. Nempe
3
Oumcar
SC XCatL.
5 Seprim.
Racio quam habene ad seriem aequadium
Rel. ) Quacrata. 
1
CX2
15102)
2K4
Cubi.
Fx2X3
Biquadrata.
EX2X3X4
ZXBKOX1O OXTOXTIXL2 X13
2x4X6
2X4X6+8
SNZXO ,ZKOXTLRIZ ORETKTSETSLE
3X
3X6X9
ZX6X9XT2
3X6SXBXTE (ZXIOXL3ZT6IOXT2XE5XIBX2TC8
(3X7
4. X8
4X8XI2.
4 XBX IZX16
SYORE3I LZXLLXISKTOIONLZKE7 X2EX25 
-5X10 - SXTOXY5
-SXTOXTSX2O
13X8)SXTOXT5 ZXY2XT7X22 9XT4XT9X24. X29
3C GEq ilsp= 6 s1 BXFZ i p. 6XT2X 18  L16NI2X18X24
sudsi osit BCBC(3XOSXEEXLZ YXL3XF9K2GI9X DSRXEX 27X33
usis dmt
latii inim it lic deincepe, uc inductione parebiti, ii siliti
PROP. CXLVI.
Theorema. siu
Tem, Si exponatur series Ferrianorum muletata seric Ouartano-
rum, Ouintanorum, Sextanorum, etc. Relidua ipla, corumque
Ouadrata, Cubi, Biguadrata, ec. rationem habebunt, ad seriem
aqualium, eam quam indieat subjecta Fabella. Nempe
Septuat.
B Octaran.
Racio quam habent ad seriem aequalium
Rel. Ouadrara. )
F
Cubi.
TXZ 1 TXZX3
Biguadrata.
TX2 X3X4
4X5) ZXBX9 TOXLEXLZXT3 TZXT4XF5XYX17
2 2X4.
2X4 XC
2X4X6XB
4X6) ZROXEF IOXLZ XT4 X X6, T3XYSXP7 X Y9X2
3
346
3X6X9
3X6XOX12
427 7RIOXL3(1OX1316X1913R 26~L9H 22
+1 4X8 4XBX12 4XBXT2. X16
4XB ZXLTX25 YOXX4XL8X22 (23XZ7X2LX25X29
-3 ) 5Z1O SXTOXIS SXTOKESX2C
4X O(7XTZXX7 sTOKZ5 X2OX25(F3XL8 X23 + 28X 33
Ht hic deinceps, ut inductione patebit.
3
c
SC+2O.
X
Tercian.
Ouaee
VMattaM.
Ouincan
Sextan.

## Folio 431 — 851387705:0451
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000451.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
PFOPCHLII. LNETNIEORAM.
S CHOZ IFVM e 4
Acque eodem modo facile eru vel has Tabellas, quonsque libet concinuaro; vel
alias etiam pro serrebus sequencibus componere; puca serrebus Ouarcanorum.
Ouimcanorum, Sexcanorum, eec. muletaris lerichus, quibusiber superioris pocellatis.
ut 
PROD CXEVEL
Theorema.
T exponatur series Subilecundavorum muletata serie Primanorum:
Residuorum Ouactraca, Cubi, Biguadeata, etc. ad seriem Aqualium
rationem habebunc CoGila. C it
Ct2C  ds tIE 
eit a Nenipe eam quae exhibens prOP. 133. PNCa sast C Mit euu
Retidua. Jdu Ouadraca
t Cubi.
V aD=YaZ Va V 2V a D FV aV~D 3Va D F3VaD = Va
ecc. 2d
esc. alque a+
ec. ulque ad
VDD VDE WVD = ZVVD FVDVDD =3VDD F3VDD VDS
EAVD EAVBEZAVII- EAVD TZADEAD3 =EAD. + EAD3-SAD
=22
3= 3 +6= 130 = 3
2. X 2
TX2
3 24 223 425 X6 3uauS
3- 5+3 8= 160.= 1o
2.X2X3
TX2X3
526KZHB ARSHOK7
M RO P. CXEVTFF A +
BICEANIEES e 13VS O Coropi C E
Dem contineet si series A quatium mulitata serie Sub secum danorum, duxa
cur in seriem Sub secutd ore.sust  ishC. 3. B S. Bs. BdE r. piet se ved
llid
(Puta li ordinarim applieata in serrsi parabola ducantur in eatunden contiru.
tiones in ipsius complemenco ). Nam VD. Vain va taciur ad Va= VaD-a.
eC. Ft tacta ab eorum gurdcatis, aequancur quadraris horum, ec.
P RO P. CXLTZ.
Corollarium.
Aer etiam; Fasdem provenire rationes, sive exponatur series a = a 186.
Sve series Va Y a 90. (vel V a a:)
Nempe collatis PrOP. 133. d 147.
n SC HIOL ZV M
Edeoque et reliqua quae poll PrO. 233. habentur Corollaria, huc etiam (muta.
eis mucandis) non ditticulier cransterri polsent. Quod monuisse Tutticiat.
P R OP. CL.
Theorema.
tiie
ET exponatur series Sublecundanorum muletata serie Radicum Oy3-
draticarum Torrianorum; Residuorum Ouadrata, Cubi, Biquadrata,
_c. ad seriem squalium rationem habebunt cognicam. Nempe
V. E
Ouadrata.
C
Cubis
3VB + 3VaD-1a
_C.
Residua.
Vad
aecitad
X
426xC
3nst
XXI
E L OF.

## Folio 432 — 851387705:0452
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000452.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
ARLTHMETICA
ExOp. Cil il.
PRO P. CLI. Corollari.
Dem continzet, si serres A.qualium mulitata serie Primanorum, ducatur in
seriem Subsecundanorum.
Ouia D = a vel V D = V a in Y a Facie DY a = a Y a, vel V a D = V a.
SC TTOF TV M.
Ex simidicer etiam alibi incelligendum est, ubi series expolica diridi postie, in duas
rel plures componentes.
itc
eROP. CLI.
Tbeorema.
T exponatur series Subsecundanorum muletata serie Secundanorum;
Residuorum Ouadrata, Cubi, Biguadracan etc. ad seriem Aqual
um, rationem habebune cognitam. Nempe
Relidua.
Ouadrara.
Cubi.
VaD =Ya Va D = 2Y a D + Va Va D = 3Ya D F 3Va D3 = ya2
Ec
_C.
4.X7 X1O
et
_c.
24
5160 1546
6X6XO
SXBXTEKT4
ENEC deineeps. Ec simmilices in subdluetione seriei cujutvis porestatis superio.
ris. Adeoque
PROP. CLMT. Theorema.
CT exponatur series Sublecundanorum muletata serie Primanorum;
Secundanorum, Tertianorum, Sc. vel Radicum Ouadraticarum
Tercianorum, Cumtanorum, XC. Relidua iplas corunque Ouadrata,
Cubius Biguadeata, ec. rationem habebune, ad seriem squalium, cam
quam indicat subjecta Tabella. Nempe
Racio quam habent ad seriem A. qualium
Residua) Ouacracaj Cubi
2X2
5X4 4X5 X6
T2
424
27223
Biguadrata
2X2 X3XC
SX6X IXB 6X7XBX9XTC
4X 4. X6.)
4X4. X6~8
4X6x8 SXZXOXTF 6XBX TOX LZ X L4
676
6X6XO 6X6XOXTZ
4X7XTO ISXBRTLXI4 OXOKTZXF5XY
878
BXBXL2 8XBKT2X16
4XBXT2 SXOX 13XX7 6X2OXL4 X LBA2. 2
1OXZO IOXTOY25 LORYOX15X20
4X 9X Z4 SXTOXZSXZOOXZZXZ6XZ FX26
IZXT2 T2XT2X1B 1ZX T2 XTBX24.
3X9 4RTOXI6SXLEXZ7X236XTZ X TBX 24. X 30
24 24XF4 24. X24 X2 F 24XX4X2FX28
A
3x 10 4X TZXZBISXT2XF9X266X13X2OX27X34
Et Ec deinceps, ut inductione patebit.
XC
X
3
Pxitmanor
V2
Fcltranor
et Y Sepii
Duarran.
PROP.

## Folio 433 — 851387705:0453
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000453.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
Pxop. CBIY.
TNFTNLTOROM.
P LOF. CLL V E
Theorema.
P.D Ariter, St exponatur seltes subtertianorum mulctata seriee Prima-
Lenorum, Sccundanorum, Tertianorum, _c. vel Radicum Cubica-
rum Secundanorum, Ouartanorum, Ouintanorum, Septimanorum, sc.
Residua ipta, corumque Duadrata, Cubi, Biguadrata, ec. rationem h2-
bebunt, ad seriem squalium, eam quam indicat subjecta Tabella.
Nempe
1111OI.
Ferrianor.
Kacio quam habent ad seriem A quatium
Ret. Ouacrata.
X4. 
5X7X9
16
SXBXTL
T2 X8
Cubi. I. re Biguadrata. d.
113 X 2, X 3 01
8X7X8X9
19103X2X33
ZXBKOKTO
AICI
_P 6X4X6hβDE OX4 X6X8 11
SEBRIORIZZKOKLLKTSKIS
oubto
ORBRONIE
6XOXTZ ZF5 7XTOXT3XT6XT9
T2X8XT2 ZZXBRTZ X TC
X 8) SXOXFZ 6XTOXTAXLBI7XTLXISXFOX2:
Z5X7OX 75,) X5X 1OX15X2C
FAIBINXTOXES OXTZXISKEEBZXERXN7 X22X27
148, 18xY2 1) 18XT2X 1B sf 1BX L2 X 1Bx 24
AXEOLSXTZXEZ SXTZXL8X24) 7XT3X FOX25X3F
2F PL ,2F X 14 2YX F4.X2TC, ZEX L4. X 2T. X28
AXLZ S, XLZXY9 I8XL3Y2OX27 7 X L4X 2L, X 2OX 35
2t
24X26 24XT6X24) 24XL6X24X32
E
(4X72(5XT3 X2Y (6YF4X22. X 3O(ZXYSN23X 3EX3Dd
Et sic deinceps, ue inductione paret.
SC HO =Z0 I.
rorn
Ft simili methodo non erit distieilé dt has Fabellas quousque libet concinuare.
et alias eriam pro seriebus aliis: componere; Duca. senietus subquartanoxuns Cub-
quincanorum, ec. f auc quidem radicum quadracieirum subcertianorum, fybquin.
canorum, Sc. vel radicum cubicarum sublecundanorum, subsquartanorum, c.
auc aliarum similium) muletatis seriebus, quibullibet luperioris poceltatis.
Sed e Facile est has Pabellas (aliasque similiter condendas) inerpolate, Tal
rem quoad alticudinem, incerponendo sexies pransversas quorjbet, uc ex ipla Ta.
bellarum progrectione rire considerata pareBs.  1
exbi oratia in Tabella PrOP. 144. Si series Primanorum mulctetur serie Ra.
dicum g
series alia transversa incer primam st sccundam istius Pabella, (quia nempe Raci
ces quadrarica Ouincanorum, quarum index est 3, vel 23, medium locum ha-
bent inces secuncana e tertiana, quorum indices Z et 3;) eriique teries Illa,
2
2
a
E
ic
25, C pl, L5 X 1O
Relidua.

## Folio 434 — 851387705:0454
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000454.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
La LLLLCLLL LLCA
LCOD. Cl. V.
re
Cabi.
23X3X4 3
Biguadrata.
FZX3X4 3X6
324 2 48   4755X728LB SXOLKBRGL XTF
226 ICC ZX6XG C BCII 3X6XOXT2
3
ARTLZLALE CSREZLISLTOKLE
646 110 5 6X6X9
6X9XF2
8XTFXT4 X 17
GXONOX12
TOXFZXZ6XFOX22
acque idem eriam in aliis Pabellis praltare non erie distieile, si procestii eu-
Jutris Fabellae acteneatur.
Ac quo pacto licebit ca(dem Fabellas incerpolare quond lacicudinem, seriebus
scilicet crectis alias incerponendo; (puta radlicum univertalium Residuorum, Ra-
dicum quadrariearum Cuborum, sc. vel Radicum cubicarum Residuorum, Oua-
dratorum, Biquadratorum, ecc. ret similium;) non adeo facilis est labor, (I qui-
dem postibilis. IIlud autem deinceps, quoad potero, conabor, e quidem aliquo-
ulque praestabo, licet illud unirertalices ellicere rix spondere autim alicer quam
approximando.
Incerim de seriebus auctls aliqua dicenda sune, ne videar eas penicus omitcere;
sed brericer, ne lim ladio.
PROP. Ct
beorema.
sucures
L exPOIaLI setles Aquatium ducta seric analosa Primanorum;
Agcresatoru Ouadrata, Cubis Biguadrata, etc. ad sertem il-
Jam A qualium, racionem habebune cognitam. Nempe
ABSrEBACA. p. 8 Gadrata. 131
R. F a DY. E. R H 2 aH  a3
ec. ad
Sc. ulque ad
R F R v. I. XR H 2R R L. R~
1 et 23 Cubi.
R + 3 a R + 3 a R + a
Sc. ulque ad
R3 f 3RRF f 3R= H f. R
AR F E AR AR +, 3 A R + 5 A R e R F 3 A P  3 A P f = AH
OBi oumeracor quilibe constat ex praecedenris duxlo unicacé aucto: Denomi-
nator ex praecedente unitare aucto.
3dsils 3fecBet ses eeg =D SB sit 3it
P R OP. CL VI.
disienssos cil susitesorp cnllus
Corgllarium.
5
ut Deoque, Si Traxezio (ex Paralle loerammo es Frianeulo aequaliuin ba-
sum e) alticudinum; constato) apretur Conoeides (del Pyramidocides)
etruncarum sive conversione cppa aem soe atias:) erit illud ad Cy
lindrum vel Prisma inscriptum, ut  ad en, Det pel 7 al 3.   te 1 . 3. .
135. l 3 1
Nempe ut quadiaca leriei aquasinu serse Primunerim ailela de seciem aequa.
Tium. s
Sin Pacalleloeramm e  japousi ba ex fine sp eiasesi moderaien Ectilben.
dur sit.oa niisp) ssillis cB L evsiste crs hs13St B ABIELLG 133MI SlWo stu sile esiest
 151ISDOL snsiLBEA C = l  ESI LOIBRE IATTLBBIP LWZOMNCIIE ciI
 25
sllE 23i 13I B.i BDEIB C, E B : esiBEiI sZOUP sitisiB 1S  SMsibCOiES
Residua.
llacuata.
tad elut
PROP.

## Folio 435 — 851387705:0455
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000455.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
PFOP CLVII. ANFINETOEUM.
P ROP. CLVTT.
Corollarium.
Tautem Conoeides vel Dyramidoeides illud Crtindrice vel Prismatioe et–
Dcavetur; residuum erit (ad exemtum Cylindrum vel Prisma marimum in
scriptum) ut 4 ad 3.
Nent  3 =3 ad 1.
T erxona terres A qualium aucta Perie Secundanorum; 29gre∞2-
 torum Ouadrata, Cubi, Biquadrata, etc. 2d seriem illam Aquali-
um, rationem habebunt coenitam. (Puta, Ei Paralleloorammum com
plemento Semiparabola augeatur.) d
Nempe, pro quoris cermino seriei Primanorum posico à Cad abbreriandam ope.
rationem,) e propterea pro quoris cermino Secundanorum a, esc. Frunt
AgicBata.
Ouadrata.
R. = 22 R2 + at
_c
Cabi.
R0 + 3 ae R + 3 a1 R + a
ec
c2. 2 pa f34  rate F3a F. Al F,Al
BBeNCSC FTO F TV M
re oii modo procedendum ejeus b se t  pota
Ouaccanorum, ec. UC Pacet. Sed non explia et  petu
Aurem D R O P, GCLIZ.
1Soe Theorema.
hujus pro
T exponatur series Agtaliuim aucta serie Sublecundanorum; 20
eresacorum Ouadrata, Cubi Biguadrata, ec. ad leriem illam A
qualium rationem habebunt coenitam. (Puta s Paralleloerammum
auseatur Semiparabota. () Sempe
eo exilti
acrach. ett. 
YR + ZraR + Va
Bi td13
arte +: are) are Y. d 
FZ = 10 = 3) 3+
ditumm seni zeure ageBiotai Prongate reuu diitut et Bie inaiso matot
astiuss est duo Theorem se ixt, 03 SC xsHMEES 9HOE
Iseries Aqualium angeneur serie Sulertianorum; AgOrePata, eo-
rumque Cuadrata, Cubi, e0. ad seriem squalium, rationem ha-
bebunt cognitam. oisar sirt. y. 1e
atiiii e
(Puca, s. Paralleloprammum auscacus Semipur aolocide Cdibienti. . Nempes. C
A8GreSAIA. I
Ouadrata.
V3R  Va (VC 4 2Y   I1. F. 1 L.  3V aR
d
ec.
 eri
a
=3
Cabi.
eRO1. CLVITI.
Theorema
VR) F ZVaRS + SraL FVa. Sit
St civlt seb e t up0Bh
AIBHCM
C FY L L M. C M D1 ILIOIL WW3CBAOC 3
Rc pari modo procedendum erre, l exponatur leries A qualiumacla les l se
quartanorum, Subquintanorum, dec. vel etiam lerie radicum. quadraticarum Cubo.
rum, duperselidorum ec. vet padicum Clbicarum decuinguoctm G attartorum,
_C. Ex pariter in aliis.

## Folio 436 — 851387705:0456
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000456.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
B ROP. CLXI.
ARLTHMETTCA PTOP. CL. XI.
Theorema.
stesata edtumque uacteata Cubi, etc. ad terrem Aqualium,
lationem habebune cognitam. Nempe
AggreSaIa. I
Cubi.
a R F 2 a R f a (a L f 3 ae R  3 a R F a
Dariter, Si series Primanorum augeatur serie Secundanorum; A
Ouadraca
eC.
2 + 3 = 3AR= 3f a F 5 = 30 AH, a + 3 + 3 F, = 5e AH
MMVIONABM SC FTOL EV M.
Ex pari modo procedendum eric, si exponatur Pories Primanorum (vel criam
Socundanorum, Terrianorum, ec.) aucta serie qualibor alia; ue non SIE ODUS
hisce diurius immorari. In quibus omnibus Consecurio Numerorum, cum in u.
meratoribus cum in Denominacoribus, el ad oculum conspicua. to ur ergo non a
regulas revocatur l. sidendum
e A OP. CL XII.
Corollarium.
Deoque conseilles vel Pgramidoeides Lyperbolicum, ad semissem Cytut
dri vel Prismatis circumscripti, est ut 5 ad 6: ad totum vero, ut 5 ad 22.
Incelliee, si lam transversa diameter, quam diameter intercepta maxima, pona-
cur aequalis lateri recto: secus enim adhibenda erit moderatio.
Nam, si vonatur HyPerbola latus re-
arsionris l’sitst tilsrp Ctum vel R, cranlrerla diameter + = l et
2p:c
CIAMCTEE INICISSPIA d, erum quadiata Or-
. TD dinacim applicacarum aI F = aL (DerPE.
35. Con. Sect. ) vel (propter + = 1) al+ d
ater ccitemma D F Lproperea (cum BE L vel R, cerra quan-
Hoo
in
3.3 Sidtis estas, e  mucatilis d quidem alcirudini
oroportionalis, pro qua isiclis Tubllicui po-
p.F it 5.e F) ibea B, S, ecc.) erunt omniuim Ouactrara,
(adeoque et platta Conocicis reti Pyrami.
docidis,) sories intinita Primanorum aucta
serie Sccuneanoru ; BAEa, a R F a, BR F BZ, CR FcF, esc. ulque ad R F R.
Adeoque series illa ad semissem seriei rocidem maximo (R L R = = 2 R =) aequa
liurus (putu aet, A R  D. eriG, vE 5 aet 6, per praced. Ft proxterea ad inceeranvil:
lami leriem aqlimu, ut f ae L2. Quoderac proxolicum;
SC FYO Y, YV M
Idem etiam eveniet, E Paltemm sumatur Diamerer intercepca maxima sequalis Dia.
metro tranverlx. Est colliei porerit ex propostione sequente.
=OD CLDLOSIEOR CMIVABIIMLINNIX. SCL.XEPIS IOPi es1
sist suBCi uilsts sCorellariums B ciclis. D. Ses s. IIBB HC) SEPCLIS
CT autem non adsic limitacio prop. praeced. Frit ratio Conveidix vet Pyra-
Dmidocidis ad estindrum vel Prisma circumseripnum utut non eadem quae
illic innuitur, coenita tamen.
AHEILBBC
Cum enim, uccunque, quadialum orcinacim applicata in Fyperbola sie
at +  h vel aL. F  L, ret F. + ddT; S pro diametris incercepio, d d.
Ec. Ponantur Luecettirea, B, c, Sc. licque omnium maxima D, adeoque quadra.
FDF
tum ordinavit applicaux maxima p = L: FrunE omnia a Y = BY f CF
c (usque, ad D Hd F AD F; e ompia a: L B .  P _c. (ad D Y = = A D.
quorum axxrexacum = ADF +3 A D. H ducacur in L, et lactum iid dirida
Eur
Eol
aR  22

## Folio 437 — 851387705:0457
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000457.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
CTOP. CI. LALEHEEOKUM.
cur per Y; prodibic ?   . F s AD L, vel eriam F + 3B ADF, et a
nique 3
x
ADL: Ouam aurem habet rationem :
eacum Ouactacorum omnium ocdinacim applicacarum; ad
P L)
2D
ADE, neere
dF  D
Conocides vel Ppramidoeides illud, ad Cstincrum vel Prisma circumseriprum
(propcer plana Quacraris illis proportionalia; ) nempe, uc 3 F L 2D
d
P + D
uc 3 F + 2D ad 6F + 6D. vel, uc = Y + sD ad F + D. ndeoque -
PROP. CLXIV.
Corollarium.
vel
T Semissis Dianatri Transversae auctus triente Diametri Intercepta ad
Transversae C Interceptae Aecreratum; seu ut Triplum Fransver sae si-
mul cum Duplo Interceptae, ad simul utriusque Sextuplum: le est Conoeides vel
Eyramidoeides Fyperbolicum, ad Cylindrum vel Prisma (super eadem basi)
circumscriptum.
Patet ex praecedente.
PROP. CLXV.
Corollarium.
Tem, Lyperbola ad Paradeloerammum circumscriptum, est it deries Ra
dicum universalium, respectise aucta, ad seriem iobidem Laceum maxi-
mae aequalium.
Nempe si aesic timuilacio Prop. 262, uc V: a t. + a: + V: BR + B2: + VcR. + c.
_c. (usque ad V: R3 F RZ:) ad A V: R = F R =: = A V ZR  = A RY 2. HOC
e, uc omnes ordinatim applieacae ad maximam tories poticam.
Si vero ua limicauio non adisic; Faltem exie ut V:
FY: =p = L: _. (utque ad V.
+ LL. 4.
F
Y = L:) ad AY: DF + L
est, (dividendo omnia per Y L de multiplieando in V F) vE V: a F
L: Hoc
PFD2. + Y: 0T +c _c. (usque ad Y: D T + D:) ad A Y: DF 1D.
ut Paree ex desmonCHatione P1OP. 263.
SC AZOFF V M.
pacum cocidem maxima aqualium, numeris explicari poreric, non ica, taeile
octendecur. c
quam supra aliquocies meminimus de Ouadratura Circuli vel Ellipseos, (aliarum.
que aliquortigurarum currilinearum:) nempe ucinquiratur jam ratio quar ha-
bec intinita series Radicum universalium Binomiorum, Pieut illic ABOLOIMAPIM.
FC quidem aliquando proctiris eram uc crederem rem plane impossibilem elle
ut Radices surdx numero intiniex se inricem incommenturabiles ica in unum ae
cregatum coire pollint uc illud, ad expolicam aliquam quancicatem rationalem, ra-
tionem haceat explicabite.
modi leried tinica ad seriem coridem manima aequalium vix aliam palta est racio-
nis
Ac quo pacto candem ratio Aggregal Lalctum illarum Univertalium, ad ABBCC
Arque hoc quidem eo magis adhC COLALCIALII CHC VIdEBATE, quoNau esHI

## Folio 438 — 851387705:0458
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000458.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
ARLTAHETICA PFOP CLXV.
nis explicationem quam omnes sisillatim repetendo; rato enim dux vel plures
Occurrunt commenturabiles quae in unam addirione colligi possint.
Verbi gracia, s ponatur circuli Raclius aequalium parcium 6, Sinus recti seu Or-
dinatim applicata in Ouadrance lingulis parcium iltarum rerminis inliltentes, crunt,
V: 36 - 0:  V: 36 -= E: + V: 36 - 4: + V: 30 - - 9: + V: 36 -- 26: + V: 30
25: f V: 36 -= 36: (Der ea qua dicta TunE ad pr. X2F.) vel quod eodem reci
dic, V 36 F V 35 F V 32 + V27 = V20 f VEF -F Vo; rel, ue irrationalitas
ad minumos terminos reducatur, 5 f V 35 F 4 V 2 f 3 V 3- f 2V5 f V IT F0:
Racio igicur quam habet illud radieum aggresarum ad radicem maximam tocies
Poticam, puta 7 V: 36 = 0: rel 2V 36 vel 7X6 hoc elt 42; non explicatius ef
ferri porelt quam  F Y 35 + 4Y2 + 3Y3 + 2Y5 F Y1 +c
arque ea
eA rario quam habene illi sinus recti scu Ordinacim appliearx in Ouadrante ad
rocidem rectas Ractio aequales d parallelas in Ouadrato circum seripco.
Pariter, si ponatur radius parcium 20; erunc linus recti V: 100 =0: L V:
100 = 1: = V: 200 - 4: f V: 200 - 9: f V: 100 = 16: + V: 100=25: +V:
100. - 36: f V: 100 - 49: f V: 100- 64:  V: 100 - 8F: f V: 100 = 100:
Hloc elE V 100 F V 90 F V 06 -= V or F Y84 = V75 f V64 = V5I + Y 26
FY ∞9 Y V0. Vel cciam 20 + 3V 11 + 4V6 F VOC L 2 V 21 + 5 Y
8 f V5F F 6 = Y 2O + 0. Ouod agerceatum non alicer abbreviari porelt
quam pro 10 + 8 + 6 f0 substimendo 24; ut rario iltius aseresati ad radicem
maximam cocies policam, pura act 12 V 100 vel 2L x 10 vet 110, non explicatius
elterri poltic quam 24 + 3 Y 2c + + V6 F V or + 2 Y21 +513 + 151 + Yr0
O
quae minus adhuc videtur incellisibilis quam ubi ponitur radius partium paucio.
rUIM, Puta 6.
prove eodem modo quo plures supponuntur radii partes eo incricacior neceste
est ut fiat rationis explicatio; qua quidem fere omnium radieum repetirionem po-
Culet, cum pauex admodum, raro quidem, ec non nisi Forcuito qualiu OccurrunE,
qua vel rationales sint vel quidem invicem commenturabiles. lic propierea li
lupponatur Racius partium numero intinitarum, racio proveniens eriam minus ad.
huc videatur explicabilis.
Idem contingeret, Ei, juXta tenOrem prOP. F3G. ponatur circuli Diameter par-
inim F2. Tta enim ellent Sinus recti correspondentes in Semicirculo, V: OX F2
- 0: LF V: FKF2 - 7:  V: 2X T2 = +: F V: 3 x FZ = 0: L V: 4X +2 = 16:
+Y: 5X +2 - 25: f V: 6x12 -36: F V: 7XF2= 40: + V: 8x +2 64:  V:
9r12 = 82: = Y: 2Ox12= 100: + V: FFX12 -121: + V: 12X12 - 244. HOC
clt V: 0 - 0: L V: T2 = c: + V: 24 - 4:  V: 36 -- 9: F V: 48 - 26: = V.
60 = 25: + V: , 2 - 36: + V: 84 49. + V: 96 - 64: + V: 208 = 8L: + V:
120 - 100: + Y: 232 = 221: + V: 14.7 - 244. HIoc ct Vo = V 22. = V 2C
F.Y 27 = Y 32 f Y 35 F V 36 + V35 = Y32 + V27 + 120 F VIT + V0. Vet
propcer caldem radices bis poticas, 2V0 F 2V FF F 2V 20 + 2 V 27 + 2V 32
=2V35 f V36. Vel reducendo irracionalitarem ad minimos terminos, O = 2 VLF
= +V 5 F 6Y 3 F8Y2 f 2V 35 +6. Ratio iBITX quam habet hOC agGrCSA-
tum ad cocidem radices maximae aequales, Duta ad 23 V 36 vel 23X6, hoc Ctt, ad
2V12 + 4V5 F 6V3 + 8V2+2V35 +6
28, non explicacius esterri poreric quam,  
vel
8
Ye + 2Y5. +3Y3. + 4 Y2 + Y35 + 3. Aeque ea eAt rario quam habet
aepregaum illorum sinuum rectorum in semicireulo, ad rotidem reclas Radio
aquales ex parallelas in Parallelosrammo huic semicirculo circum leripio. Si au-
cem Cinus maximus Y 36 = 6 supponatur bis poni (pro utroque leilicet qua-
drance Lemet) atque Capropter prO 13 aqualibus, ponantur 24; (puta, pro
13X6 =78 PONACUE 14+6 = 84;) eadem erie haec racio cum ea quam lupra pro-
venire diximus potico racio parcium sex.
Pariter, S Drameter Ponatur pareium 20; Sinus, relti in semieireuso crunt
V: 0x20 - 0: = V: 1+20 - 5: + Y: 2 220 - 4: + V: 3220 = 9:  1: 4. + 2c
16: = Y: 5x20425: + Y: 6x20-36: 4 1: 7420 = 49: + V: 8720 64:
+ Y.

## Folio 439 — 851387705:0459
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000459.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
PFOD CL XV.
INFTNLXOKCM.
+ Y: 9x 20 - 8F: + Y: 20Y 20 = 100: + r: 22420-121: + 1: 12720 - 144
+V: 13420 = 269: f V: 14X20 -+96: + V: 25X20- 225: + V: 26X 20
=256: + Y: 27x 20 - 289: f V: 18720 = 324: f V: 29X20- 361:4 V
20x 20 - 400. HIoc elt V0 -f V 29 + Y 36 f V5L + Y04 + V 75 + Y8
F V OF - V96. f V 00 f Y 200 F V 90 F V 06 F V9T F V84 + V75 + N6
F Y5I + Y 36 f V 20 = V0. Vel 2V0 + 2V 19 + 2 Y 30 + 2V5F + 2V6
=2V 75 + 2 V84 + = V 9F + 2 V96 f 2 V 994. Y 100. (Nempe iidem ipt
qui luxra in quadrance habentur polico radio partium 10, bis hic potui; nili quod
linus maximus urrique quadranci COMUINIS NON ROPCtaTIT.) Vel ctiam O + 2 V FC
F12 f 2 V 5F + 16 + 10V3 F 4V 2F + 2V OF + 8V6 F6V FF + 10. Vet
denique (quia 0 F +2 f 26 f. 20 = 38) 38 f 2V19 F 2V5T F 1OV3 F 4 V28
F2Y oc = 8Y6 = 6Y 2I. Adeoque ratio quam habet aspregatum illud radi
Cum, ad maxitmam rOIIeS POTITaMI, (puTa LFX EO = 270)
38 + 2 V 19+ 2V50 F 20V3 + 4V 27 + 2Y0r + 81646VIE
vel 29 +Y29 + 152 +5Y3 + 2Y2r + Y9544V6+3 er 1
205
FC quidem quo plures ponantur Radii vel Diametri partes, eo minus ridetur
explicabilis racio linuum omnium ad maximum cocies sumprum: adeoque A TUD.
ponantur radii vel diamerri partes numero intiniex, (quod ad seopum nostrum
taciendum videcur,) rauo linuium omnium 2d radium cories poticum, hoc cst, Ona-
drancis vel Semicireuli ad Guadeacum vel Parallelogrammum circum seriptum.
rideacur penscus inexplicabilis, Paltem nili ejusmodi explicacio sutficere judicanda
tic, qualem prOP. F2 F C 135. extribuimus.
FlIs uaqui Derpentis, prove abtuit ne rem qual Denieus conclamatam ulterius
inrestisando delisterem. Id unicum quod (pem fecit HOC exaL. Nempe quod
eadem distieulcate non obstante, in radicibus quaclrarieis, cubreis, biquadraticis, etc.
humecorum Aeschmerice proporcionalium res non male succestut.
Nam verbi gracia, s Peries Sublecundatiorum aliquousque concinuetur, puta
10 + rc + Y2 + Y3 + Y4 F Y5 +Vo, iplius racio ad maximum cories policum
puca 7 Vo, non viderur alias explicabilis quam Y0 = V2 = 12+ 13+ v4+ 15+10
vel etor tir 2+3 + t 5 + 16, vel calem (30 ac 0 + 1 + 2 -3
3 = Y2 + Y3 + Y5 + V6; nisi tortan placeat ram anrecedencem quam conse
quenem rationis ducere in YS, de prodeat rario 3 Y6 F Y +2 + Y 18 F Y 3C
F. Y 36, ad 726; vel porius, 3 V6 =2V 3. + 3Y 2 + Y 30 +6, 2d 726 = 42.
tit limilitet in alis ejulmodi. Texiebus.
Vettim I eadem leries supponatur in intinitum concinuanda, prodibie candem
Eatio Z, vel 2 ad 3, aut L adt L3, ut dictum est prop. 53, 54. ipla quidem intini.
cace (quod mirum videatur) irrationalicatem destruente.
Ta lntutitet Ei subtercianis, lubguartanis, _C. ContBeE, UE Patet ex superius
cradiris, prop. 54, 59.
Cum ioques ladisticultare non obslance, quadcacura Parabolae et ab aliis ante.
hac _c a nobis etiam nostra methodo, sed e Parabolocideos cujusvis quadratura
(eadem tiatiente ditticuleate) d nobis in superioribus lacis Felicicer cradira _C
non pline ompis, aberat spes rarionem eandem inveniendi quam Radlicum univer
talium (soriei vel aucta vel muletaca) series habear ad seriem aegualium, et qui
dem li non unirertalicer, in quibusdani laltem, quadancenus explicandi; Forcais
etiam in illis iplis quae Ciroularet EHip seoS, et qua Hyperbole quadeacuram at
cingune nonnihil proticere.
EF aitrems quid deincess sie inquirendum rectiis perspiciacur, memnilte licot
hos (inter alia) Circuli (vel erram E lipleos cusulpio) quadtacurans tuuc ulque
perduxisle.
Nempe, per pLOP. F28, _ 122, s rationum series illa 1, 3, 3, 3, 3, _C.
incerpolari porerit; racio illa qua prima et secunda ponenda est incermedia, elt
ea quam hraber circuli Quacteans ad Gnacratum Ractus, rel Circulus ipse ad Oua-
dracum Diametri.
Trem,

## Folio 440 — 851387705:0460
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000460.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
ARLTAMETICA PFOP. C LLLI
Trem, per PrOV. 133, _ (35, Si incerpolari poreric rationum series illa Z, Z
503 1603 810, etc. ratio illa quae prima et secunda ponenda elt intermedia, elt ca
quam habet Semicirculus ad Onadratum diameeri.
Sed et insuper, si incerpolari porerunt numori diagoniales rabella prOP. 232.
nempe 1, 2,6, 20, 70, ec. ratio quam habet uniras ad numerum eorundem pri-
mo e secundo intermedium, est ea quam habet Cireutus ad Ouadratum Diametri:
ee Elliplis ad Parallelogrammum circum seriprum. Or probabitur, ex prop. leq.
DP. CF XV
Lheorema.
I teries intinita Aqualium, Primanorum, Secundlanorum, aut Ter.
tianorum, etc. relrectire ducatur in sciplam inverle positam; at-
que eadem etiam in seiplam directe Dositam: exit Ageresatum rectan-
gulorum illorum, ad ABBreBacum hOru; UF X ad) 1, 296, 20, 70, eC.
numeros diagoniales Tabellae PrOD, 732.
cc
1t
Nlam si series Ae qualium in seiplam (sive directe sive inverte poticam) re
spectire ducatur, tic series A qualium: cui convenit rario F ad L.
Si aurem series Primanorum in sciplam directe posiram lic mulcipticetur; Fet
series Sccundanorum; si series Secuncanorum Sic, ducatur, tiet Peries Ouartano.
rum; si series Terrianorum, tiec series Sexranorum, etC. DeF PrOP. 73. Ouibus COn=
veniune rationes Z. 5. 7. 3. _cc. Per prOP. 44. vel 6q
Si autem Series, Primanorum respectire ducacur in seiptam invertam; (Dura
teries an B, C, dc. in seriem D== a D F b, D = 6, ecc. Trem series Secundanorum
in seiplam invertam, (puta leries a2, B2, 02, dec. in seriem O: D = a. Q: D = b.
Q: D - c ac. vel D2 - 2aD + a
d2 = 2bD + b2
D
26D. F 62. ec. )
lem series Fercianorum in sciplam invertam; (puca series a, b3, 03, dc. in se
Sls
iem C: D - a
D.
C: D = c. _c. ) EF LC de reli,
quis; Raciones iplis conrenient, 53 303 1403 630, _C. Per prop.
3.
c34
ralope cterstar
Ratio igitur rationum harum ad rationes illas, ea est quam
habet T ad nuerOS I, 2, 6, 20,70, ec. nempe numeros diago.
niales tabellae Prop. F32. (ut ex calento Datet.) Quod exat
demonstrandum.
aurol Edia
SC HIO L. ZV M
Nocandum hie, in serie taciohum 1, 5, 5, 13 5. de. Denominatores sivé conte
quontes sune Aruhmetice proporrionales; adeoque si in singulis incerrallis coridem
essere incerponendae rationes, ellenc illae 3, 436, 5, ec. juxca analoxiam Arictime.
cice proporcionalium, _ les es DroD. 44, et 64.
In lexie veroracionum 13 5. x3 iion ex, _C. consequences 1, 6, 30, 140,630, c.
Sec. Fiune concinua mulciplicatione RUMETOrM FX Sx 1OX L4. X LE
1 T2XZ972 8736 eC.
 eec. vel
3a 3) 1 X X 2 X 3 X 4 13
2 n4 X6LB eC. Cubi scactionum tam numeraiores quam dexominacores suns
Ariclimerice proportionales.) F. L propterea (juxra proprectionis ilius analodiam)
si numerus primo et secundo interponendus dicacur A, tiene reliqui, reliquis inter
16724 432 _c.
1
5X2 _c (F2
quidem numerus primo anceponendus J. A; juxca eandem analoejgm. In praece
denci aurem, et proprerea in mox sequenri serie, numerus primo anreponendus
eranescie; nempe, illic in nihil, iltic in infinitum.)
In serie denique rationum 1, 2, 6, 203 to c, Consequentes 2, 2, 6, 20, 70, Sc. Gunt
concinia muliplicaeione numerorum 2 , EuoXI PI+ dC.
et X , 4 1 24201238 _ec. pubi
TX2. X 3 X A _CD s..E 1. BX. A)X6 X B dC.  5.
Uc

## Folio 441 — 851387705:0461
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000461.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
PEOP. CLXVII. TNFENETORUM.
UE TUPra, tam numeratores quam denominatores TraCtIONU SunE AFHHMericC prO.
porcionales.) Lt propterea (juxca progressionis analogiam) Li aumerus primo d
secundo incerponendus dicatur a tiune reliqui concnua mulciplicatione Alimero
TUIM a , SxIOY24 dC
Est aurem a = , A; PrOptes ;) 
P ROP. CLXVIL
Theorema.
Deoqueu Si series Mminita Subsecundanorum (puita V an YB, Y C, _c.)
respectire ducatur in sciplam inverlam (puta V: D = a. V: D = b.
s: D = c. _C.) atque eadem etiam in seiplam directe positam: (puta
Teries V an Vb, Yc, ec. in Seriem V a, V b, V C, eC.) erit aggregatum re-
ctansulorum illorum (puta V: a D = a 2: F V: bD = b 2: = V: cD - c:
_C.) ad ageresatum horum (puta V a F Y B2 F V c2 ec. vel a + b. +
C8C.) uc unitas ad numeruum intermedium, numeris diagonialibus L, 27
in Fabella prop. 232 interponendum.
Sequitur ex praecedente. Nam leries Sublecundanorum est seriei s qualium, de
Feriei Primanorum incermedia, (ue patet ex dictis prop. 64.)
Series autem Subsccundanorum in seipsam directe posiram (puca V a, Vb, VC.
_c. in V a VB, YC, _C.) eAt series Primanorum (puca V a 2, V B2, V62, c. vel
au b, 6, eC.) cui convenit ratio = per ProP. 44, vel 6q. EF propierca, I ratio qua
convenic seriei Primanorum in seipsam inverlam duetae (intermedia nempe ratio.
nibus Z, 5,) dicatur 52: Racio rationis hujus  ad illam E, puta Z) 30 (B, erit
Per PraCCd.) ea quam habet F ad numerum inter F X 2 incerponendum, in serie
diasonialium F, 2, 6, 20, 70, _cc. tabelIX prOD. X32. Qui numerus icitur in posterum
dicatur D. EAque lemistis numeri inter F et s interponendi in serie 1, 67 30, 240,
630, _c.
PROP. CLXVILI.
Corollarium.
LPFOPterea Circulus ad Quadratum Diametri, est ut X ad ∞, numerum
nedope inter LB2 interponendum in serie Diaxonialium F, 2, 6, 20, 70
16. tab . L3L.
Cum enim (per PrOB. 233, 235.) Semicirenlus ad Ouacdratum diametri SiE UE F
ad 2B (numerum intermedium inter F _ 6 in serie F, 6, 30, 240, 630, _c.) crit
circulus (quippe semicirculi duplus) ut L ad B, (numerum intermedium inter F
et 2 in Serie F, 2, 6, 20, 70, etc.) per praced.
Ft quidem eadem racio 5; ea elt, quae incermedia ponenda est inter L e Z, in se-
rie i, 3, 197 165, elc. prop. 218, e 121. u et deinceps etiam uuerius parebic.
SC FOL TV M.
Cum igitur (ue ad ea quae monuimus in Schol. PrOP. 165. tandem redeamus)
res eo redacta sF, ut Si pollimus rationes illas incerpolare (PrOP. ZZB, MCMOTAtAS)
133, 25, 285, _C. hOC C, quashabet Z adt F, 3, 8, 18, c. (hoc ett, ad 1, 25, 287
2 40, ecc.) sut cermint conlequentes tiunt ex connua mulciplicatione numerorum
3.
30, F40, Sc. Fiune ex comcinua mulciplicatione nuMETOTUM F , S X LOX L4. X 18 _C.
2 X 3 X 4 ec
Vel denique E illas +, 3, 2, 3, _Ec. nempe quas tabet F ad 2, 2, 6, 20, ec. (nuI-
meros diaxoniales rabellX PrOP. 132.) qui trunc ex concinua mulciplicatione nume
TOTUM EXZX 5 Y3 X 3 ec.
5X7 
Ad 29 4
XOCC
2X426X8eC

## Folio 442 — 851387705:0462
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000462.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
pepi
ARIPHMETICA
PFOP. CLXIX.
Siq inquam, harum rationum seriem unam aliquam interpolare poltimus, hrabe-
bitur accurarissima Circuli Ouadratura. Ft quidem in prima et Terria interDO-
nenda erit (Polt primam) ratio : in secunda vero racio, . Adeoque interpo-
lacione in una praestira, in reliquis etiam non difficulter Fet.
Placet ioirur (ut inde exordium Cumamus, unde major clucet Spes, quaesitum
consequendi,) Fabellam illam Prop. 132. aggredi, ut videamus numqua pollimus
arte illam interpolare: Adeoque, ipsam repecere intermistis alternatim spaciis, (ut
qua istic Cune series prima, secunda, terria, ecc. Tint hic secunda, quarta, (CXta, EC.)
e paulo accuracius cxamase; quod sequencibus aliguoc propolionibus Liet.
e ROP, CLXIZ.
Theorema.
Umeri omnes Pabellae prOP. L32. Tunt Fisurati. Nempe, qui in illi-
 us seric prima (sire crecta sre tran (rer (a) sunt Monadici; qui
in secundan Lacerales; qui in tertian Friangulares; qui in quarta, Py-
ramidales; et sic deinceps, puta Priansuli triansulares, Frianguli Prra
midales, Prramidi-prramidales, ec.
Patet hoc inspecta tabella: e comparatis ((i opus) iis, quae de numeris figuratis
apud Mauxolicum ant alios occurrunt. Nominibus aurem illis utor, quitus utitur
Dn. Ouehtredus nottras (Machemacieus exiius) in ipsius clavi Mathematica
CaD. F7. R. FT.
Ouae aurem Cune in illa rabella PrOP. 132. Teries prima secunda, tertia, ecc. jam
in eadem hie repetica tiunt (Propter incermista sparia, numeris, l tieri possit, re
plenda) secunca, quarta, (exta, _C. 
Morlacui
Laterales
G Friangulares
Pgramictale
Triansu
Priangulipsam.
2l (6l 121 156
Et sic deinceps.
2
P R O 1.

## Folio 443 — 851387705:0463
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000463.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
EFOD. C L. XD
ENFINTTOKU
L AO P. CLXZ.
Theorema.
CFries duae, in exposita Tabella, nempe Monadicorum, et F acerati
Lum facile interpolari poltunt (locis interponendis quotlibct;) in-
terpolicis scil. illic quor opus est, unitatibus; hie, cotidem mediis A-
xithmeticis.
Puca, Ei placet unum ubique numerum interponere; erit monadicorum series in-
texpolata, E, E, E, E, F, F, F, Fy F, E, T, T. Lateralium rero 5, 1, 12, 2722,3,33,
4335,52,6. vel Z, 49272927 333,4, 2,5
6.
Racio patet; quoniam numeri lunc illic aequales, hic Arichmetice proportionales.
SC FZO L. ZV M.
Deliquae aurem series non ita Facile interpolantur, nih invento prius cujusque
fexiei prorio charactere; quod sequencibus propolicionibus invectisabimus.
e ROP. CLZXL
Lemma.
DRopolcu  Inquirere, quam habeant rationem numex Tpiangu
laresus adt suum latus.
Illud hoc prosrectu inreltisabimus.
2. Si puneta cocidem, quoc numerus aliquis
triangularis postulat, debira forma criangulari
dispOnAnEUE, _ reCtIS COnjUNGANEuT, ut in ap
Dolico Schemare; manifeltum elt toram figuram
Triansularem in toc criangula diridi (tam tou,
quam incer se Limilia,) quot est quadracum nu-
meri laceralis unitate minuri, ( quod A opuS LIt,
demonstrari potest Cx 29C 6.) Adeoque l ipLuS
numerus laccralis sir h erir numerus triangusorum parricularium : J = Z: = 72 -
. Snum porum criangulorum quodlibet habent res angulos, eric horum an..
Sulorum numerus 31 2 = 61 + 3
3. Nocandum elt ad corius tigura eria puncta angularia, non nisi toc anovlos
adjacere (nempe ad singula unum:) de propterea illi rres anguli occupant eria
Duneta, Peu 3 l.
4. Ad reliqua puncta in laceribus, cerminancur anguli cerni; quorum ixirom
quilibet occupat triemem puncti. Sune aurem intermedia illa puncta lateralia, in
quolibet latere 1 - 2, erso in omnibus 3l -6, (nempe proprer eria latera;) ee
anguli ad haec incermedia puncta adjacentes 9) =18, (propter ternos angulos
ad ringula puncta;) quorum quolibet occupal urieucem punctis seu + P; adeoque
omnes occupant 3 = F
5. Ad religita qua tupertunc puneta, inera aream tigurae, terminancur anenti
seni (ad quodlibet nempe Pex,) qui propierea occupant sextancem puncti. Ouot
aurem iIII sune ansuli, sic collisitur. Tocus angulorum numerus cst (ut dixi-
US) 312 -61.F3: FTInC SI LubduCaNEur 3 (ad cocius Fgurxe angulos potiu)
e 91= 18 (ad puncta laceralia adjacenres) manebunt 312 = +51 F 18; 9ui
elt numerus angulorum ad puncta incra aream terminacorum. Cum vero no-
cun uibet decupat sexlatem puncti, Are S P; occupabunt hi omnes
R. K H 2
Denique,

## Folio 444 — 851387705:0464
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000464.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
ARITHMETICA PFOD. CLXXII.
Denique, s timul addantur puncta siC InVEnL; nemBe 3 P et 3 = 18 p
e
61. = 1514 1
rum omnium: Hoc est, numerus criangularis cujus latus L. Tdeoque.
ROP. CLZXII
Theorema.
Acus numeri cujutris Priangularis ad ipsum numerum, est ut
1 ad
VE oltentum est in praecec.
Adcoque, daco lacere l dabitur numerus Priangulacis illi lateri conreniens,
puca n -
Et Contra, Daco numero Triangulari, invenietur iptius latus.
Nempe, resolvendo hanc Aquationem 2u = 1 + 1, erie Y: + + 2n: -
P R O P. CLXXITI.
Corollarium.
T Fyperbolae Diameter cransversa sit L, e Lacus rectum :: sumpois
diametris (puncto applicationis es vertice interceptis) 2, 29 3,4 5, 0c.
Ordinatim. applicatarum quadrata erunt 1, 3, 6, 10, +5, C5c. nempe numera
Trianculares, cujus latera sunt 29 27 3,4, 5, Bc.
Probatue per 17 vel 33 prop. Con. Sect. nolE. Hyperbolam iptam exhribebie F.
pura prop. leq.
EtsitE
eROP. CLXXIVI
Torodarium.
ADB; Sique ut X ad V = sa AD ad DB, C a D ad DB; es suman-
tur aequales Aa = + = a D = DD e0c.
Rectangula BDB, BDB, Cec. erunt
ad invicem ut 2, 3, 6, 20, edc. numeri
Trianculares, quorum latera sunt a D,
a D, 530. Mediae vero proportionales in-
ter BD, DB; BD, DB, CC. sunt or-
dinatim applicatae in Fyperbola e, DF;
cujus diamerer transversa Ao- e3 latus
rectum aB, vel ipsi aequale.
Lercium 3V = (4V 2- 6. Quareum 4 V 3X5V
10.
Et lic deinceB. Suae lunc quadrata ordinatim applicatarum in Fyperbola, per
praced. Ideoque Medixe proporionales pura Y Z, Y 3, Y 6, Y 10, _c. ipsae ordi.
nacim applicatae.
Tem, Si fiant ad eandem rectam A a D dua Triangula similia, a DB,
Patet ex calculo. Nam rectangulorum BDB, primum erit V Z XZ V 3 = +
BecunduM Z V 3X3Y3 =3
dC. cbL. +VM
Si aelem sumpta tuistent AD = DB, _ a D== DB, cum rectangula Fuistent
XX2 = 2. 243  b. 34 = d 2. 4x5 = 20, _C. Cupla Mumerorit LHansula-
ruul:

## Folio 445 — 851387705:0465
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000465.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
eet
LHL LALEOR UN
e
rium: e Media proPOrtONaleS V2, V 6, V (2, V 20, _c. ellenE Ordinatim. a
plicata in EIyperbola, cujus tam lacus rectum quam lacus tranlversum sIC T. Ut
ex dietis, contideranci parebic. Ouod aluis rarionhus Lateris Recti ad Diametrum
Lcumtrectam, tacile accommodaBIEIII.
PROP. CLX LV
Theorema.
Fries numerorum Priancularium, in praemista tabella, commode
 interpolari poterit, s ipsorum numeris lateralibus tor interponan-
tur media Arichmetica, quoE opus est, et ex iis formentur numeri
FriangulaTeS, JuXIA PFOP. 172.
Puca si in serie numerorum criangularium F, 3, 6, 20, 15, dcc. unus ubique
interponendus est numerus; eorum latera 1, 2, 3, 4,5, ec. mediis Arichmericis
debite incerpolara, erune 3, F, 23, 27 2. 4, 3, 3234 427 5, c. quibus laceribus
(DEF PrOP. 172.) respondenc numeri criangulares, 8, L, 18, 5
4876, 78, 1C
1287 25, 176, 2. Fy c. Vel 83 E, 87 3, 8,6, 8, 10, 8, 25, 8, 24, _c.
denique 8, 8,
rentice lunt Arichmerice proportionales
Ve
8, 18, 150, 8c. quorum quidem disse.
Pari modo, li incerponendi sinc in lingulis interrallis duo loci; prodirent nu-
Meri, 3, 3, 1, 3,3, 3
5367 3, 13, 20, ec. Vel 3, 37373357 3, c. quo
rum iem ditterene luue Aciclumerice proporcionales.
Bo s: P R O P. CFZXVI
Lemma.
DRoposium sic inguirere quam habeane rationem numeri Prrami-
dâles, ad latus suum.
Liceret de hanc proxolicionem pari propreltu inrestisare, quo in prop. L7F.
utus Cum: (obserrato incerim diserimine quo disterr debua numeri Pyramidalis
dispOL
Verum cum non ita facile elter lectori concipere debicum punctorum licum in py-
ramide, (ue quae non omnia supponenda tunc in eodem plano,) et ansulorum (o-
licorum ad ea puncta politionem: Cacius ridetur illud hac qua sequitur methodo
praeltare. (Oux quidem, nisi mallem urrumque modum oltendisse, adhiberi Do-
ruisseo etiam ad DEOP. L7F. )
F. Numerus Pyramidalis aequatur asgregato numerorum Friangularium (uE p2
rec ex dietis ad prop. 130. es 132.) nempe ab Onitace ad numerum Triangularem
sibi collaceralem inclusire: (heut et numeri Priansulares hunc aggresarione L. a-
reralium; et Lacerales, Monadicorum; ur e Friansuli eriansulares, Pyramida-
lium; et sic deinceps.)
2. Est aurem lateris h numerus quiliber Friangularis
3. Ergo, sumpris lateribus F, 2, 3, 4, ec. Yel (corum l0c0)
ag b, C, due dec. summa horum a  an b = B, 6 + 6, d2 + a
Scc. erit duplum acoregati Friangularium; (quorum numerus
exit aequalis lateri maximi;) e hujus proprerea lemissis, erit
numerus eramidalis, cujus lacus aeguatus laceri maximi Pri.
angularium.
C.
4. PIE ivicur numerus egramidalis, semiltis aBerexaci dua Num Pyramid.
rum serierum; cousque ab unitare continuatarum, donec numerus locorum xove
cur laceri numeri Pyramidalis quaesiti, quod supponatur l: Onibus Si praeponatur
locus alter 0 f O, (ur series incelligantur ab 0 inchioacae,) Het HaruM nuMeTUS
FF. Ec ucriusque seriei summa scorlim innoteleet Per pFOP. 2 C 20.
5. Nempe, summa seriei Peimanorum 0 f a + B. F C, dec. quorum ulcimum est
3 numerus locorum L F E; erie  =L. per proP. 2.
PEF DEOP. 271.

## Folio 446 — 851387705:0466
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000466.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
ARTTAMETICA PFODCLXXVII.
6: FE summa Perici Secundanorum o- f a 2 f B2- f 02_c. quorum ulrimum est
-
P, ee numerus locorum L. L. L; cric F L P + , P, vet = =  +
PrOB. 20.
1. Per
7. Viriusque isicur summae aexrexaum, (pura  F = 1 f. L = 2 p. 1 1 +
nempe 3V = 31 + 2.P + 21 +1 + 7 213 +61 +4 es aexrepacum dua
cum serierum; cujus aeprepui semistis P + 3 V +
jus latusV. Ideoque-
et
 est numerus P pramidalis eu-
P RO P. CLXXVIL Theorema.
Atus numeri cujulris Prramidalis ad ipsum numerum suum, est ut
1 2d - + 31 + 21
Or ollendicur in praeced.
Acq daco numero Pyramidalin, non innoreleic iptius latus, nisi resolvendo A-
quationem Cubicam 6n = 13 + 312 F 21.
P R OP. CLXXVTTI.
Theorema.
CEries numerorum Pyramidalium, in praemissa cabella commode in-
terpolari poterit; si ipsorum numeris lateralibus tot interponan-
tur medix Arichmeticae quot opus est, et ex iis formentur numeri er-
ramidales, juxta prop. Praeced.
E csosue lois cst
Duta, si numerorum Pyramidalium 1, 4, 20, 20, 35, 56, lacera F, 2, 3, 4,5, 6, etc.
Sic interpolata LInC Z, 2, L3, 2, 23,3,32743 423535336, ec. hisce lateribus re-
spondebit series Pyramidalium 26, 1, 2 16, 4, 676, 20, 24 16, 20, 26 16,35, 44 16,56,
Ac. vel etiam 26, 1, 28, 43 183 20, 767 20, 187 35, 76,56, _C. Vel pOrivS, 183 L, 2834
a8310, 28320, 98,35, 18, 56, eC. 11111
P R OP. CLXXIX. Lemma.
D Ropositum sic inguirere, quam habeant rationem numeri Frianguli-
eriansulares ad latus fuum.
Praestabicur hoc eadem methodo qua prop. 1, 6. Dempe,
T. Numerus Frianguli criangularis aequacur agoregato numerorum omnium Py.
ramidalium, (incellise quorum latera sunt numer inceori, nam de incerpolacis tic
non agicur,) ab unicace ad numerum libi collareralem, inclusire.
2. Est aurem laceris I, numerus Pyramictalio L F 31 F2. per prop. 177.
3. Freo, sumpris laceribus L, 2, 3, 4 c. vel (eorum
10c0) a, b,6, a, Sc. Cumma horum a3 f 3 a f 2 a, b3 L
b = 2b,63 f 302 + 26, 23 4 3a2 + 2 d, ec. exit
Texcuplum asoresati Pyramidalium, (quorum omnium
nUMerUS exiE aequalis lateri eorum maximi, ut patet:
e propterea hujus asgresati sextans erir numerus Pri
Num. Prianguli crians. anguli criangularis, cujus lauls idem exie cum latere
maximi Pvramidalium.
4. Adeoque numerus Frianeuli triangularis est lexta pars aggregaI irium Perie
rum, cousque ab unitate concinnacarum donec numerus cerminorum sC aequalis
lateri numeri Friansuli criangularis propoliri, quod dicaturl: adeoque si iplIS prXe
ponatur terminus alter 03 + 52 f0 (uc series intelligantur ab 0 inchoatae,) fict
numerus terminorum l.+. 1. Fclingularum serierum illarum lumma scorsim inno.
teICet Dex PrOP. 2. 20. et 40.
2a 30
5. LCai DC.
F 3
13 + 322
etC. e. lC.

## Folio 447 — 851387705:0467
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000467.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
PFOD. CL XZZ. INELNLTORUM
5. Nempe summa duplicata seriei Primanorum, 0 F 2 a f 2b f 26, _c. Cu
jus cerminus ulcimus 2. L, et numerus cerminorum H. L; exie   2l. BeL. PCOP. 2.
6. Summa criplicacae seriei Secundanorum, 0 f. 3 a 2 f 3 b f 302 _c. cujus ter.
minus ulrimus 3 12 de numerus cerminorum L  F; erit  =3 12 1+
PFOP. 20.
67 3V. per
J. Summa Periei Fercianorum, 0 f a. + B3 + c. dec. eujus cerminus ulcimus 1,
numerus cerminorum L. +. L; eric  L p +. F 12. per Pcop. 40.
teuumisinus summucum aepreguum, (pura = L 21 +  F 3 1. + l. = = 3 1.
+LF p + F E V.) nempe
24 P. 4 2414+ 24 1 + 24 1. + 12 1. + 121 4612 +61. + 611 +61.
Gregati sextans
st Aeereeaum ceiumillacum serierum; cuju s. 28.
Ia + 613 = +F12 +61
c
cus h Ideoque -
24
Cst numecus Frianguli triangularis cujus la.
PRO P. CEXXX
Theorema.
Acus numeri Trianguli crianeularis ad ipsum numerum, estut P act
a +613 + +r12 +6
Adeoque, Dato latere Idabitur numerus Frianguli criansularis, puta
a +613 + 2c13 +6
Daro autem numero Frianculi criangularis non invenicur iplius lacus nisi resol.
rendo hanc aequationem 24 n = 14. + 61 + F2t 2 + 61.
P ROP. CLXXXI.
um crcncts ue cin Theorema.
is
eries numerorum Frianguli criangularium, in praemisa Tabella-
commode interpolari poterit; si iplorum numeris laterasibus, FOF
interponantur medii Arichimerici, quot opus eAt, _ ex iis FOrMENEF
numeri Trianguli criansulares, Der praecedentem.
Pura laceribus interpolatis 3, E, +2, 2, 23, 3, 32, 4342, 5, 53, 6, _c. respondene
numeri Frianguli criangulares 238, 2, 2338, 539 128, 15, 23728735,50728,70, 94 2373
+26, _c. vel eriam 238, 1y 2663 5, 118, 15 728335, 528, 70, 726 7 +26, dc. Vel potiis
3d23 F, 335, 32 325, 3335, 3170,38. 126, ec.
PROP. CLXXXTI
Lemma.
DRoPolicum sic inguirere, quam ad latus Cuum rationem AabCa
lequencium serierum numeri Fisurati pura Frianguli prramida
les, Prramidi erramidales, etc.
Poster quidem hoc prastari eadem methodo qua ulus sum ad ProB. 176, _ 173,
ope propolicionum ibidem memoraTUI REIDC PTOp. 2, 20, e 40, timul cum
PTOP.

## Folio 448 — 851387705:0468
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000468.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
LDRITAMETICA LCOP. CLLAAII.
PCOP. 43. Taltem si prius ulterius prolecuri fuerimus cradirionem rationum quas
habent seriestinitae Ouartanorum, Dumranorum, Sexranorum, (cum lequentibus,)
ad Teries A qualium; quam craditionem non nisi leriter innuimus ad prov. 43. Fam
vero liquis ulterius continuandam velie, licebit ipli vel alia quae libi maxime pla-
ceat methodo id praeltare, vel etiam (nili meliora ipli occurrant auxilia) opc hu-
jus iplius quam jam prae manibus habemus Pabella, poltquam ria mox docenda
oltenderimus rationes numerorum tiouratorum ad luum cujullibet latus in le-
quentibus seriebus inveltisare. Nam ut ad prOP. [76 _E F7O, CX CONNILIS FaTIO-
nibus limplicium scrierum tinitarum (puta Primanorum, Secundanoxum, Lexta-
norum, per proD. 2, 20, 40. ad leriem. Aiqualium) inveltisantur rationes hujus
Tabellae (puca numerorum Priangularium, Pyramicatium, Prianguli eriangula-
rium, ad lua respectire latera:) ica, rice verla, ex cooniris his licebit de illas ex.
piscari, adeoque illam proxolicioms 43 tracttionem quousque libet continuarc.
Nec quidem necesle sic ad praelens inllicucum illud ulterius prosegui, cum ex
cornitis paucarum iltius Pabella serierum characteribus (Eve rarionibus quas nu-
meri isti figurati habent ad sua respectire lacera,) sequentium eriam characteres
inrestisandi methodus eluceleat, c80 illa ut tacrliori jam utar, quae haec clt.
Monadicorum L.
Faceralium 
Friangularium
Pgramicalium L + 3V F 2 L. Prianguli riane, 2o + 613 4 21 12 +67
Patet etiam, accuratius inmenci, characteres hos fieri continua mulciplicatione
harum quancitatum,
1. F 2 1F
(7 X F G _ 1 C. . 4
E. dec. Net
2
In
M
Ouoniam aucem illud (uc dixlulis) o  seviter tracticum etE adt pFOP. 42.
Pacet ex praemissis, character eriei numerorum.
2
in 1+ 2 in l. + 3
13 + 312+2
13 + 31 + 21 , 1+ 3
12 +61 + 12Y +61
Adeoque, S concinuetur ulcerius mulciplicatio rationis ultimo inVenEx in
+5
1
7
c. nabebimus sequentium Serierum Maracteres.
1151
Puca. 1. H 101. + 35 1. + 501. + 241
c
Icem  = 251. + 852 + 2251 +274 1 + 120
Ttem
2+2230 + 2751 + 735 12 + 1624 1 + 17641 + 720,
Et Sic dcincero, quoulque libet.
5040
SC FOL EV M.
Tivimus modo, ex rationibus sive characteribus praesentis labella concinuatis.
deduei posse continuationem etiam rationum illarum quas indicat prop. 43. Ouo-
niam vero illud Fortalle non eric omnibus obrium: operx pretium duxi paucis id
in transitu oltendere. Ouod quidem uc sine incommodo hc Pottic inseri, ita qui-
buldam tonlan ingratum non erit. Idcoquem exempti slalian
Propolicum

## Folio 449 — 851387705:0469
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000469.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
PFOD. CL XXXII. INFLNLTORUM.
Propolicum sic inquicere, Ouam habeac racionem series finica Ouartanorum, (ab
Oinchoaca,) ad seriem coridem maximo A qualium.
T. Character numeri Priansuli criangularis, ( per PrOV. 180: ) est
21 +61 + xr 1 + 61. Et Frianeuli prcamidalis  F 10H + 351 + 505 f 211
DEF PrOB. 182.
O2 f 03 f 0+0
a +6a  + 4 482
24) B F 6b3 +
ct +6c3 f 226 4 60
14 f 613 F FF 12 = 61
1. f 101. + 35 1. + 5012 4 241. Aer eeacum.
120
20 a Aivs 1OM
2. EHt aurem, (ue Paxius
dictum, est,) numerus Fisura-
cus unius gradus ( in praelenes
tabella) aggregatum omnium
Praecedentium in gradu sibi
proximo: Adeoque numerus
Friansuli Prramidalis, clt a8.
Pregacum Friansuli criangula
rium. itt e
3. Ec propterea, sumpris la-
teribus 2, 2, 3, ecc. vel (eorum
I0cO) an B,C, _c. (quorum maximum dicatur B,) e Formanis inde numeris Frian-
Sulicriansularibus; tlorum axeregatum exie numerus Frianguli pyramidalis ejul
dem laceris, nempe F101 = 35 13 + 50 V f 24. l.- ∞ ∞3pen0 ciy 1a 3u1i
+. Summa aucem seriei 0 = 6 a + 6B + 6c _c. eA (per PrOP. 2.)
2+67
5. Summa seriei 0 = TZ a2 = rF B2 = FY C2 _C. est (Der PrOP. 20.)
E 1X22+
6
2x p = 2213 + 211, 21 1. + 121- 221 +338 +721
6. Summa seriei 0 + 6 a3 + 6B3 f 603 _c. est (. per Drop. 40.)
26P + =6p -612 + 51, 67 +61 612 4 121 +61
. Ea creo lummae in unam collectae tune
51 +61, 221 + 331 + +11, 622 + 1213 + 67 9 1 + 4013.  60 f291
8. Si igitur ex riginciquadcuplo corius agoresari, auteratur summa irium serierum.
Nempe A ex 5) 13 = 1014 + 3513+5012 + 24. 1.
autcratur 6) 912. + 4013 +6012 + 291.
Hoc est, Si ex 30) 813 +601 + 2701- + 3001 +. 244. L
auteracur 30) + 45 11 + 2001 + 3001 + 2151.
Panebir summa
Seriei quarrae, 9uae 30) 615 = 15)4 = 1013 + 001 = +1.
Mst Quarranorum e
Hoc ectus
HOC ett,   = p+
30
613+67
+01+05
1+ 3 p + + 2p 1+
Oux est ixicur summa seriei Ouarianorum cujus cerminus ultimus est J. nu.
merus terminorum I F. L.
Vel; s Pro numero terminorum J F F, substienatur m et propterea series
aequalium m I; eric serieo Quarcavorum = m 12 F 3m 13 = 5 m 12 = 2 m I. (A
nempe cerminus primus (it o, sccundus r:) vet  V , 3m 12, m 1. m1a
L.
261 361 301
ec. ad
Addica.
O. Adeoque

## Folio 450 — 851387705:0470
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000470.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
ARPTAMETTCA PFOPCLXXXII
9. Adeoque series Finita Ouarcanorum ad seriem coridem maximo Aqualium
est ut 3 + 707 F 3072 307 2d c. Ouod erat inguirendum.
Et pari modo, his cogniris, racio quam habet ad seriem Aiqualium series Ouin-
tanorum, inrenietur ope characteris in proxima prasentis cabella lerie: Pr deinde,
quam, habet leries Sextanorum, ope characteris serier proxime subseguentis in
Hac tabella; ee sc deinceps quousque libet.
20. Nimirum; cum charaeter numeri. Frianguli. pyramida lis (IC ..
13 + 2012 + 3513 + 5012 + 24
120
25 + 1513. + 8519 + 22512 + 2741 + 220t
Prianguli- poramidalium
omnium continue addicorum
axgregatum ( uc oltentum
03 f 0a f 03. 40
a5- F 204 + 3543 +50a2 = 24 a
ClE,) est correspondens nu. 120)63 = 20b1 + 356. f 50V + 2+ b
metus Pyramidi- pyramida- (- 17
Lis. Cls i (et ai M
Sc. = =241 = 121 + 121.
T2. EF Omnes 50a= ecc. TUnE
1 F X
1. 5012 +. = = 501 =313 + 30)
etc, ac
720 = 120X6
3= 4079 156 sto . scB  1. + 2312 + 25)
43. Tiem omnes 35 a3 dc. FumE
+2
4+ 13513 = 27 11 + 23 B3
4 351 +
=33B 4 3312.
24. Trem omnes 10 a 1 dc. (per jam modo demonstraca.) Sunt
0
101
213 =210
1e + 31a  3
F 3 13 u 3
307
30
ReGreBatuM.
25. Ouxe omnia simnl adelira, (5TF, 22, 13, 54 comprehen a,) sunt 2B. F
133 P + 37, P + 45. P + 201, - 81 + 55 11 + 1507 + 1831 + 801
26. FIxC itaque si ex AGgregatI 120 plo auFerantF. FIOC est
Si ex 6) 15 +2513 f8512 + 2251 + 274. 12 + 2201
auterantur 4)
815 f.5574. = 15013. = 18312.f 801
HOC cst,  Cx 12) 215 f3015 F 27011 f 45013. + 5481 + 2402
auterantur 12)
2413 + 16512 + 45013+54312 +240
Reltabune. 12) 215+ 673 f 572
Oua ilaque est summa omnium a5 _c.
Nimirum 270+ 273
12)
+ 41. + a,
=- 1212
pise
1e
HOc etlb+

## Folio 451 — 851387705:0471
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000471.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
PFOP. CI XXXII. LNFENETORUM.
Vel (posito m = 1 F F;) 3mV3 e 3m 12 + 12 m13 == m12. Ouxe icaque ett
Tumma Seriei Guincanorum ab o inchoatorum, quorum ulcimum est 15: e termi-
norum numerus m =1 = F.
27. Ad eandem Formam; Cum sic character Numeri
egramidi. prramidalis 720)  F 25B + 85 H + 225P + 274P + X207. 1. r. b
Frianguli ctiang uli. Pyram. 5040) P. + 21 V F 275P. + 735P f 1624P + 17645 +7 201
A deoque omnes  720) a = 15 a3 = 85 a2 + 225 a3 + 274 a + 120a
lint
Hloc elt, omnes
SInE
15040) p +211 + 175P + 7358 + 1624 + 1764P + 7201.
a F2545 = 85a2- f 2252 f2748 f 120a.
7) +21P + 175B. +735B f 16245 + 1764P 47201.
28. Suneque Omnes 120 a = - 1201 =60P. +601.
Omnes 274 a2 =
227417 +
(=2747 = 91 313 + 9c37
Omnesars a =  = 225 1 + = = 225P-
56+7a + 56+13
+56113+56+72
Omnes 85a = = 285 1a + 3(t 3 85 7. +
= 2713 + 2772
+25311 + 25513
+
= 2513 + 231
-2312
Omnesque I5 a (per jam modo demonstrata)
+
= 45312 + 4
85
=151 +  = 251 + F = 15B-
= 310 + 31.
+5B +534
+ 574 + 313
29. Eric harum quinque summarum Aggregatum,
515- F 24373 = 1051+ 2325B = 25217 4 10231.
Hoc est 6) 1510. = 247 33 + 630 12 + 2393 1 + 1512Y + 6771.
Ouod itaque, una cum omnibus a5, complet incesrum
7) n F 2216 + 275B. f 735 P f 5624B + 176417+ 7301.
20. Si ex hoc ilaque subducatur illud habetur omnium a dexrexatum: vel
(sumpro communi denominatore)
Si ex 42) 61 + 1261 + 20501 + 4420 N + 9744. P + 10584V + 43201.
Subducatur 42) 105P f 1029B + 4410+ 975rB + 10584P + 43791.
Rectabic 11 42) 61. F 2TF F 2FB
7B
Duxe icaque ese summa omnium a, ab o inehcalacum, quorum maxioaum est 5 et
omnium numerus m = l+ 2.
HOC ett, 61+675
12)
F2516 F 15
+ 613+61
614
1
851=
151 =

## Folio 452 — 851387705:0472
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000472.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
AR LYAMETTOA
Prof. C
Vel (Dosico m =  F C,) lunt nusu
Et Timiliter de aliis poreltacibus Lacteu CrIF.
Ouo melius autem hoc elnsa, Oelae Forcalle prerium erit, quae jam E2.
dita fune, paulo diltinetius aperire: Veut enim ea latis aperre tracidille nos no-
bis videamus, tieri camen pocest ut jector illis minus astueus, nonnunquam tor.
Pan haelitet.
Notandum isitur ellus nos hic (ue de alibi semper, ubi de finica Perie verba
tiune) umerum terminorum altignare Y L L, (nempe si terminus primus 0, sc.
cundus dicatur L,) nimirum unitare majorem quam est numerus particularum ex
quibus contlatur rerminus maximus, hoc est, omnium disterentiarum terminorum
continue Dolitorum, quarum omnium aspresaro terminus maximus aequatur, sive
difterentix illae sine aequales, ut in Perie primanorum, (DUTa F, L, F, F, ecc. ditte-
rentix numerorum Arichmerice proporcionalium,) sire crescentes, ut in Perie le-
CundanOrUM, terFIAHOTUM, C. (PuTa F, 3, 5, 7, etc. disterentiae numerorum qua
draricorum, vel 1, 7, 19, 37, ec. ditterentiae numerorum cubicorum; _c.) live
etiam decrescenues, ue in serie subsecundanorum, subcercianorum, ecc. (nam verbi
gratia, difterentia V 3 = V 2 minor elt quam V 2 = V L, acque Bxc minor quam
E = VoO; e sic in exeteris.) Ilarum omnium ditterenciarum (in qualibér le.
ric) numerus B unitare minor elt quam numerus terminorum, ut patet; CaruM-
que omnium asresatum (proprer termini primi o nullitarem) est: ipse terminus
maximus. VbI autem numerus seu mulciudo cerminorum dicitur m, numerus
ditterenciarum, sire parricularum in maximo, crie m = +
Exemplum elto, leries primanorum, quale est Agoresatum Parallelosrammo.
rum aeque altorum figuram criangulo adseripram complentium: quorum si primum
dicarur o, (quippe nultius laciudinio, uuic alcicudinis ejuldem cum reliquis;)
= m 16  Ea M 13   G M   28 = 43 16b  2E M I.
secundum T, dcc. Omnilum nueTIS X6, erunt ditterentia 25, Linricem aequales
nempe L ubique,) ec maximum propterca 15. Adeoque cum in sinsulis paralle.
logrammis alticudo communis sE = V B (in A∞. F. ) ee lacicudinum incrementum
continuum es BS: Omnes simul alcieudines, hoc est, tigura inscripia altuudo,
B = 2SVB; at omnia simul lacitudinum incrementa, hoc elt, Balis figurae ip.
feripeae, non BS, sed uE BS, sire BS = is BS. Si autem uno adhue gradu vl-
terius Procedatur, adjuncto intra basem uno aeltiue parallclosramo, erit quidem
illius lacicudo B S praecise, sed altimdo jam Fiet auctior, nempe V B F is VB. Si
vero (uc in A8. 2.) Tumatur Frura ex parallelogrammis circum (eripta, CrunE tuI
omnium simul parallelozrammoruim aliicudines, hoc cst, figurx cireum seriptae al
timudo VB, (quam tinse jam basi perpendicularem,) cum lacicudinum simut
omnes particula, hoc elt, basis figurx circumleripea, BS praecile: ac vero jam
non ab0, led E, series inchoatur: lin series hac lupra rercicem uno adhuc practu
continuetur (ue inchoetur ab o,) erie jam alciendo sic aucta VBA
6VB, ut
Patet. Adeoque tigura inseripra uno intra basin gracu concinuaca, et fisura pir.
Cum seripta continuata uno gradu supra vercicem, cancundem valent.
Acque hoc cocum in Triangulo, (atque cactem ratione in figuris aliis, AII 9O
issic incrementa LinE maequalia,) Paris est maniteltum. Nam (praeterquam quod
ex jam dictis latis parcat) si in Friansulo ducaneur quortibet rectae hasi paral.
telae (in quarum centi ei batin iplam, et punctum rercicies centeri rolumus,)
eisque

## Folio 453 — 851387705:0473
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000473.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
eisque tocidem adjaceane parallelogramma: li illa omnia supponantur intra uas
rectas jacere, eric eorum intimum lubter balem; lin Cupra, erie Lupremum lupra
vercicem; li aucem supponamus rectas illas neque in parallelogrammorum (O
rum lummoneque in imo jacere, led per iplorum media cranSIre, LIIIM COTUM LaI
Fupremum quami intimum eric parcim inera parcim extra Friangulum. Adeogue
quemcunque licum habere supponancur illae rectae ad lua parallelogramma, Fixura
illa ex parallelogrammis constans (dummodo ab O inchoecur,) habebit vel batin
Tuam una parte minorem, vel alcicudinem una parte majorem quam habet verire
illud Friangulum.
Arque hic quidem sire excestiis sire defectus, quamdiu de finita serie axitur,
omnino animadrerrendus clt: ubi autem de Perie infinita agieur, euro porerit ne
Eligi. Cum enim quo plures suxponantur termini eo minor illa cractat sire ba-
lium sire alcicudinum ditterentia, ubi in infinitum proceditur eranelcet, quippe
∞ (pars intinite parra) habenda erit pro nihilo; (ea Palcem achibica limitatione
de qua mox diceTur.) Sie, verbi gracia, E Friansulo cujus alcicudo A, balis B,
inseribatur figura ex parallelorramnis quorum lingulorum alcicudo L A, e lon-
sicudinum incrementa s B, erie inscripex alcitudo cox so A = A, baliS nOn B
sed B = SB: elt enim alcicudinum numerus ∞, at difserenciarum ∞ = T.
Si
vero ligura sic inseripta continuetur uno oradu intra balem, vel circumlecipta
uno gradu lupra verticem, erie basis ∞ X Z B = B, alcicudo A f eo A; quippe
jam numerus incrementorum est co, alcicudinum ∞o L T. ObI igiur de Seric
finita aditur, per alticudinem ee balin intessivendae Cune alticudo et Balis houra se
adleripex (sire inscripra lic, sire cireum (cripta,) non aucem istius cui ad seribitur:
at rero in serie intinica perinde est sire hujus sire illius intellisantuT, PrOpter
ditterentiam intinire exieuam, adeoque cranescentem sire nullam. Nam ∞,
∞  T, ∞ = T, perinde Tunt. Ec quemadmodum ubi polysonum infinitorum la-
cerum, pro circulo habetur, perinde est sire inseriptum sire circum Ceripcum intet-
ligatur, (hoc est, sire supponacur circuli radius aequalis rectae quae a cenrro ad
angulos, sire illi quae d cencro ad medium laceris ducitur, quarum disterencia
propter lacera numero intinita, est intinire exigua:) Sic in ad seriprionibus noctris
Derinde clt (propter ditterentiam intinice parram,) an insexipea an cireumleripex
altitudo aue basis SIatUE prO vera. Fc quidem ue in polrgono intinitorune
lacerum inscripio de circumseripio, latera supponuntur invicem aequalia, hoc est,
ejuldem arcus sinus rectus ee tansens aequaleo tam invicem quam ipsi arcui, ila ee
hie tigura ex parallelogrammis inseripea es circum seriptae iam bales quam alcitu-
dines lupponenda cunc aquales tam incer se quam illIuS Cul aeleribuntur; HOc
est li accurare loqui libeac, non nili intinie exisua cui parre ditterre.
Eodem modo, in Hs. prop. 5. Figura ex similibus Sectoribus spirali inseripta, sI
sectorum numerus si finitus, eric series finira, cujus terminus primus elt o, ulri-
mus rero sectorum interiptorum ultimus, (cujus radius est una parte minor quam
ultimi circum seripeorum,) omniumque horum sectorum arcus sumul sumpti, aequan-
tur semisti arcus circuli contermini, nempe qui est figurae ex lectoribus conttata
conterminus, non qui conterminus elt rerae spirali; ac li numerus sectorum (prout
ibi supponitur) supponacur infinicus, erunt adhuc omnium sectorum arcus timut
luumpei, aequales semilsi areus circuli contermini, nempe concermini tigurae ex tis
intinitis sectoribus conslatae, qui tamen vel ille ipse est cum contermino rerx
spirali, vel iplo falcem intinite exigua sui parre (hoc est, nihilo,) minor. Si
vero pro sectoribus inscripeis Cumantur circumleripti, areus circuli contermini
erit una sui parte augendus (sire finica lire intinita, pro numero sectorum,) ut
iplius semistis aequalis hrabeacur omnibus sectorum arcubus simul Cumpris, adéoque
supponendus est incepiste uno sradu ance inicium verae spiralis, u primi fectoris
arcus sic o: nam in Arichmerice proporconalitus, nisi primus cerminus FEcO,
ascregatum omnium non erie aequale semilti alcumi in numeruim terminorum
ducti.
PTOP. CLXXXII. TNETNTTORUM.
Duod autem de his figuris ostensum et, intellise et (Mutatis mulat.
dis) de quibulris aliis, nempe numeru  (A ab o IClplat) este
unitate majorem quam est numerus difterentiat are pariscutarum ex quibus
maximus constac; (sire aequales sine illa ctereneix sive inaquales;) adeoque s
ligurae propolicae cui adseribicur, (sire continuando inseripram uno eradu insea
balin.
ad (CripTX HBUTA (AIVC SIE iNSCrIPCa LIN CACLHLLIPTa,) basis Fumatur aegualis bal

## Folio 454 — 851387705:0474
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000474.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
CA
intinite parram.
nunquam quantitas lats luasna, nempe illa ipla cujus illa fuie aliguota parS VEE
intinite Darra: NIaM BX ∞ = I, e ∞ AX∞ = A.
batim, vel circumseripiam uno gradu supra verticem) erir istius alcicudo una
parce major, quam alcudo hujus, (sire pars illa tinira Cic sire intinita;) ubi au-
rem numerus partium alcirudinis hujus lupponitur oo, erir in illa ∞ F r; vel B
hujus alcicudo A, erie illius A F ∞ A; S illius A (quod nos ponere Solemus)
exix hujus A = ∞ A, quod tamen (in intinitis) tancundem valet ob ditterentiai
Dum vero dilerenciam intinite parvam, pro nusa habesat esS. Cale
hoc accipiendum est; neque enim id ubique obtinet, sed aliquando laplui occa-
tionem praebet. Cum enim intinice parrum intiniries mulciplicatur, aMlursIENON.
Fixemplum ostendimus in Schol. prop. 13. Sienim (in fig. Fe 2) conclude.
ret quis, quoniam intinitorum parallelogrammorum lacera ( rectari V B consti-
euencia) ec trapeziorum latera (complencia rectam V5) sixillacim sumpra non
nisi ditterentia intinite parra ab inricem ditterane, (cum eam haec quam illa (inE
intinice parra, quippe s rectarum VB, VS,) eam isitur concemmendam else,
ipsaque parallelogrammorum acque crapeziorum lacera dicenda aequalia, et propterea
(cum ex aequalium aequalibus additione aggresata lint aqualia,) infinita tec in-
tiniris illis aequalia, hoc est, toram VS, aqualem elle cori V B: manitestus ester
paralosiimus, (in quem tamen lapsus est admodum proeliris, ni careatur:) Ouam-
vis enum ditterentix sinc sixillatim intinite parrae, (nempe L VS = + VB) omni-
um tamen (numero intinitorum) aggregarum lac nocabilem habet magnicudinem,
nempe SV = VB
Ac incerim eadem parallelogramma acque trapezia (si aream spectemus,) non
modo ligillacim Tumpra differentiam habent intinice parram: sed et corum aggre.
sacum et axeresatum horum, (hoc est intinita illa parallelogramma simul Cumpra,
acque intinita haec crapezia,) difterentia non nis intinire parra ab invicem disse
rune: quod de iplorum lateribus non obtinet.
Discriminis ratio haec est: Ouoniam ulsi de laceribus comparandis agieur, quamvis
in binis quibustiber respectire sumpris disterencia minor est quo major est omni-
um numerus, ae in eadem semper racione qua singulae difterencix minuuneur, dif.
ferenciarum numeens augetur; adeoque difterentiarum aggresacum dividendo
non minuitur: Reubi de areis agitur, non modo binorum (crapezii et parallelo.
Srammi) respectire sumprorum disterencixe singulae minuuneur, sed ee omnium
aggresatum; ee quidem quo plures sunt disterentix eo minus elt omnium agoresz-
tum, donec tandem non modo a lingulis lingula, (quod demonstrallé non luttice.
ret,) Sed ec ab omnibus omnia differant spatio intinite parro, uc ex demonltrationi-
bus liguet. Acquehaec aliqnanto Fulius nocasse operx precium duxi, quoniam hie
loci nonnullos laplui proclires animaguerri.
Ne aurem hinc aliquid periculi quis suspicetur dum nos alcicudinem Fgurg
cujustibet accuratam, acque eandem aliquora sun parce intinice parra auctam, per-
inde habemus: hoc unum lac securos reddat, quod, caeteris paribus, auctio alti-
iudinis figura cujullibet (sire planae sive solida,) non niti in eadem ratione au
set iplius aream lire magnicudinem; adeoque ubi alcicudinis augmentum est non
nisi aliquoca Tui parte intinice parra, exic eriam cocius figurae non nisi in eadem
ratione auctio hoc elt aliquora parce sui intinice parra, live e cocius fsurx;
quod

## Folio 455 — 851387705:0475
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000475.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
INETALIOKO
Prop. ClLLCII.
quod (cum non LIIIIIIES, Sed Semel tancum Lumatur,) omni altignabili spario mi-
nus erit, adeoque pro nullo habendum.
Sin tandem quaeratur, cur ego figurarum inscriptionem, porius quam cireum
scriprionem, elegerim; adeoque ab opocius quam ab J, ubique tere inchoarerim?
praelereim cum tieura circumleripra (non uno gradu lupra verricem continuara:
ut ab oincipiac, led porius ab 5) eandem habeat praecilè de basin de alcirudinem
cum ea cus adseribitur, sive inserie Primanorum, sire Secundanorum, aur aliorum
sequentium; item Pire linica lic sire intinica series.
Dicimus: Posse quidem id quod agimus urroris modotieri, nempe vel per f
surarum inseriptionem vel circum (exiptionem (quod ee supra monnimus adl prop.
43. quae corihuie Scholio antam dedit, cujus quidem pars magna cradi cieius non
Pocuit, ue qua a propositione proxime praecedente dependeat,) adeoque, rerbi
pratia, series Primanorum inditterenter detignari, per 1, 2, 3, _0. vel per 0, F, 2
ec. nam terminus primus o reliquorum quancicati nihil addic. Ec guidem e8
jam olim ucroque modo lemmata mea ordinaveram, ut ut alrerurrum demonstra-
rionibus noleris (ufticerer, quapropier lectorem ucroque oncrandum non censui;
praelerrim cum c8o Series Intinicas maxime spectabam, tniris rex alirer quam lem-
marum instar ad intinitorum cheoremara usuS.
Ac incerim tigurae circum scripra, si res accuratius perpendatur, non magis con.
geuune liguris illis quibus circumleribuntur, quam inseripex: Nam rerbi graria
inseripta cum expolita consruit alticudine et verricis laticudine, sed quodd balin
(hoc est lacicudinem in imo) differc; eadem inseripta uno intra balin gradu con-
tinuata, (rel circum (exipta lic continuata Tupra verricem) conrenit exposita quo-
ad baln ee rerricis lacicudinem, sed quoad alcicudinem dittere; circumleripta vero
(non concinuata) conrenit quidem exposiex quoad balin es alticudinem, sed
non quoad lacicudinem verricis, quippe in alcera elt o in altera F.
Cum icaque admodum se inditserenter habebant ad nesoriiim noltrum ABurX
inscripea ee circumleripea; mallem ego series noltras abo quam ab r inchoaro:
Parcim quod illud, ucur inscriprionem pocins reterre videatur, utrisque tamen
accommodari poltit, (ut jam dictum est,) prout vel supra verticem vel intra Ba-
sin suxponatur continuari: parrim quod hoc pacto (propter minimi cermini nul-
acem) extremorum agpreratum idem sc acque cerminus maximus: praesetrim
vero ut postim, line lonso rerborum ambitu, seriei Primanorum apvellatione
comprehendere non modo 0, 1, 27 37 c. (cd Ct 0, 2, 4,6, etc. Vet O, 3, 6, 9, etc
vel 4, 8, 12, ecc. Similelque alias ab p inchoatas quicunque t terminus secun-
dus; et Tub serie Secundanorum nomine, non modo 0, 1, 4, 9, etc. lCd et 0, 2
8, 28, _C. Vel 0, 3, 12, 27, ecc. limilelque: e pariter in seriehus lequentibus.
Siquis aucem mallec ab 1, series inehionce, poreric ad hune moctim temmnaca ordi.
AArE.
Ad teriem Ldtabrtum;
-
51
+6+

## Folio 456 — 851387705:0476
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000476.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 99 lines, status machine
0. = Y
2 + 2
tes
ARTTAMETICA PTOP. CL. XAXII.
n i L. eicum
Aue etiam,
lia _ X F. 2
eedia c atZ
O uf F -f. 2
3. + 3. =3
rti
=2-
0+ F. + 2. + 3
4 + 4 + 4. + 4 n
t
+:
vels x f 2 = 3 de ata
t+2+3 +4 -.
+5+5+5 + 5 
3 = 3
c+ 2 + 3+ 4
incesat.
eee
4 F 4 F 4 F4 act t
+2 + 3 + 4 f5 101 t. a
3. 4 2
AIESECLC. BE Ses S  .  C. Bpaye 
incam a 
sp 2o Ad seriem Secundanorum;
2+ F= 3+62= 3 
04. E + 4  t: 1d que dB. 11 C L. + 4
F.
4 F4. F 4 nc
0 + 2 + 4 + 5
9+9+ 9+ 9
+ is
bis 
0+ x+ 4 F o+ 16
+ 1
sed stv.
d+d3 ib
2+ 4 + 9
1F 4 F 0 + 16
26 + 56 f 16 f 26 f 163 2 25 + 25 + 25 + 25
ice illo
Lene crirce, AUL etiam E 1. 1B 1
rte C
er 2 = 4
1
o
 c
+. + 4. 3 Eopoiret ond a + 4 = 3 = 3 siot su peiter
e ed c isi d
0-  + +u 4 , s
26 + 16. + 16. + 16 3 o.
0. = F + 4 F 9 F 16
25. + 25 + 25 F 25 + 25 3- 32.
0. + 0 +9
8 F 8+8 a +5
0 F F F 8 + 27
27 + 27 +27 +27 à t i
0 = r. f 8 + 27 +64
64 +. 64. + 64. + 64. + 64 2 + 15
_c.
= 87
r + 4 + 0 = 16
16 =16 f 16 + 16 = 3 + 25.
F f 4 + 9 = 16 ] 25
25 + 25 + 25
Ad Teriem Terrianorum.
r+ 2= à + a
0.L. T- L. 8
s clac
ntiss 2 F 4 + 9
9+ 0+9 3 s
0 = x f 4. Y
0- L X
aC.
+25 + 25 3 = 32
_C.
225 + 125 F 125 + 125 30
_C.
 t Ei
dem Gespe _C.  C  sC eti Mi c. 3
 ie s e 
0- x 14
tessi
licu. el
16. + 26 + 16 3 2a
ei
a
eieesta 
i
EL
c4 8
27 + 27
F = 8- 27
64 + 64. + 64 
x = 8 F 27 + 64

## Folio 457 — 851387705:0477
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000477.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Porerir, si luber, lector non magno nesoro vel hac ipla lemmata in Theoremata
formare, vel alia his similia seguencibus sertebus aptare, _ ad ca quae jam cradi
dimus actenderie.
Sed de alius adhuc est (A varierate lector delectetur) series has ordinanci mo-
dus, qui etiam aliquando non minus erir accommodus: Si nempe nec ab 0 (ut
in figuris inseriptis,) nec ab + (ue in tiguris circum seriptis,) sed ab intermedia
quancirate, pura Z, series inchoetur, (adeoque tiguram reprasentet quae inseripta
e circum exiptae est intermedia, Eire major quam inseripea ec minor quam cireum-
seripra:) Vr Cicus verhi gracia, leries primanorum Z = FZ f. 22 f 3 = ec. vel (quod
eodem recidic) x F 3 F 5 = Z ec. Quo casu lemma sic erit ordinandum, pro
Serie primanorum.
L15i
PTOB. CLXXXTI. TNEENLTORUM.
esreet Eos. isee
Et lumiter ad series sequentes, suous ecemetu abitineo ne lim prolixus.
i i
  +
4 +
5 + 6
+
+5 +
8 +. 8. +8 + 8
 Arque he qu Modus omnium optime convenit pFop. 25, 26, ubi Risuram
Spirali adjacencem cum Parabolica comparamus. Nam s in Heura spicali, ductis
quorlibet rectis MT angulos tacientibus continuos inricem aguales, li in lingulis
spatiis sectores inseribi supponantur, erunt corum arcus, ut 0, 1, 23 3, ec. Tin
circum seribi, UE 2, 2, 3, 4. _c. E vero ita adseribi
ut sectorum arcus d spirali BiseCentUx, CrUNE UC Z,
3, _c. vel ut +, 3,5,7, ecc. (nempe ue
aitterentia numerorum, quadraticorum:) adeoque si
arcus illi (sire numero intinici Cire finici, quamris
ibidem de intinicis cancummodo verba lacta Cinc
adeoque hanc curiolitarem illic omictendam duxe.
rim,) supponantur in rectum extendi es invicem
ContinUArI ut Fiant coridem segmenta diametri para.
bola (continue polita;) unde cracant diametri in-
TETCCPCA F, 4, 5, 16, etC. (nam 1 +
+
L5 = 9, _C.) quibus conreniant ordinatim appLI
catae (quipre in diametrorum ratione Tubdupicaca)
quae crunt ad invicem, uE L, 2, 3, 4, Scc. hoc est ut ipta recta MIF, MI F, ec.
in tigura spirali rera per limilium sectorum terminos cranscunces.
finitis (quod nos illic fecimus,) led eniam ex numero tinuis conclatam, spirali ad-
jacentem, cum fixuta ex cocidem parallelosrammis adjacente parabolae. Ouod
guidem (sine nova figura) Patis incellixi poterit. Si illi sectorum aleus ponan.
tus Ta, 3 a, 5 an ec. radii vero, (ipliS proportionales) 2r, 6r, LOr, ecc. erunt
sectores Far, gar, 25 ar, _c. (nempe semilles paralselo grammorum radiis et ar.
cubus respectiris contentorum.) Sumptis item in parabola diametro continuis
Tegmentis Fa 2 a 5a _c. adeoque diametris interCePFIS. + a 4. a (= X a L. 3 a
Da (= 4 a-F 5a) _c. e ordinatim applicatis quae illis diameeris conveniant (in
si
aeque alca, sed quorum alcitudines sint Arichmetice. proporrionales, ut 1, 3, 5, d
UE Patet;) Parallelorramma spaciis illis inseripta erunt La X 01, 3d X21, 5u2417
ec. vel Oar, 6ar, 20ar, _C. cireum (exipTa, CTUNE L a X2Y, 3d X41, 5dXOr, C
vel 2aY, T2aY, 30ar _c. nis aurem intermedia parrim IINTETIpTa parUIm CIF-
cum leripta, (qua nempe eam habent lacicudinem qua est Arichmerice media in-
M in m
2. + 32
F 4 1 +
Aique hoc pacto comparare licet, non modo figuram ex sectoribus numero in-

## Folio 458 — 851387705:0478
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000478.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
Bic) in seripta EFapCZIA CxHINE TAXZY, 3aX3Y, 5aXSY, eC. Vel Tar, 9ar,
25 ar, _c. expolitis sectoribus ligillarim aequalia: iis nempe quorum areus TUnE
Parallelogrammorum alcitudinibus (hoc est, segmentis diametri parabola) aequa.
les, radii vero lacieudinum parallelogrammorum dupli: vel, si sectorum radii sine
Parallelosrammorum illorum lacicudinibus aquales, erunt parallelogramma lecto.
tum dupla. .
Sed tempus est ui prolixo Scholio finem imponam; quod cur in hunc locum
rejecerim, lupra dictum cA.
PAOP. CLXXZII
Theorema.
ARPTHMEETCA PFOP. CL XXXIII.
ier duas ordinarim applieatas spacium cerminantes,) vel (quod cantundem vale.
sitae (BIOP. L5L.) Guouque libet concinuandae; ad luum illunt
numerum Figuratum; rationem habet cognitam.
Nempe eam quam indicat prop. praecect.
P R O P. CL AK A IV.
Theorema.
T proxterea, Series sequentes.  praemilla l’abella quoulque libet
n Dempe, invento per prop. 282 cujusque proprio charactere, tiac, incerpolario
UE in pFOP. 175,1 178, FBP. C,  ilo
vileroriit CIt s, GLSBM 11NSSII
gete e
 Tabella rero, ut dictum ell, incerpolata sic le exhibebit.
Acs numeri Figueati cujuslibet, I Gulalibee lexie Tabella expo-
continuata, non et ditreile cinterpolare.
dc
L.ace
Mo
Frianeulares
Pyramidales.
48. )F 2a
EAaB
dee ee
360
+ 628 10 2420
20 12648
35
(2628 )1- il 50522
81 lib
Ac A Sat L1 Et. 142  1X28)
FriansuM. ExlalIB. 384 l = l= 364 5 (936a L3 (23364l 33 1 364
A
461 + TF12 +61
5 LC1H)ZBC Sit Cde  At HICaCMMCCPS.
da socte sabi sestisti

## Folio 459 — 851387705:0479
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000479.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
N Hs AL LO L d M
ExOP
L. ALLLLV.
tam tranlverlarum quam creclatum alseubsse incepta ett, licet cam ulterius
continare quousque libet sola additione numerorum jam in ventorUm; na nOn
modo numeri cabelIa PrOP. L32. (prout ibidem monuimus,) sed ee qui intervo-
latione immiscentur, fiune ex duobus aliis addicis, altero superius altero ad Eini
Etram, (non quidem proximis, ut in PrOP. F32. Sed, propter loca jam interpolata,)
Doll unum locum interjectum potris. Oranimadrertenti parebit.
Ouod autem de interpolatione unius in lingulis spatiis loci, in provolirioni.
bus aliquor praecedentibus jam dictum est, etiam ad duorum ret trium pluriumre
incerpolitionem, mucaris murandis, tocile accoa Polerunt.
Vel alirer expedicius. POAquaM per PFOP. 170, +75, Rc. inerpolatio Perierum
dE LIOF. FV M
Notandum hic, tocum hoc interpolationis negocium, huc ulque praesticum, per-
tici polle (etiam sine inventis cujulque seriei propriis characteribus) ope moni-
torum qua habentur in Scholiis Prop. 726. e 254. Interpolatis nempe primo se
riebus crectis, e istis deinde interpolationibus in series icem trantverlas relatis.
Verum cum lingularum serierum characteres inreltisare, res esset non injucunda,
e lectori torlan non ingrata: placuir ea pocius quam haberis methodo incedere.
Cum autem huc perrencum cst, Pacet, intercalarione facta in singulis seriebus
tam erectis quam transrersis Tabellae ProD. 232. novas jam emertisse series ipsis
incerpolitas: nondum tamen compleras, sed hiances. Etquidem locus ille (noca
Gintignitus) quem quam maxime supplecum rellem, manet adhue racuns. Si
autem vel unus ex racuis illis locis luppleri dacum sic ee reliqui non difticulter
suppleri Pocerunt; ut ex PrOP. F88. pacebit.
Cum vero Tabella PrOP. (32. jam haberur noris seriebus interpolaca, ut inter
secta series suos habeani ciculos juxta renorem illius cabella accommodatos, ob.
serranda est haec sequens Propotirio,
PROP, CLXXXV.
Theorema.
CF seriebus TabelIX PFOP. F32. nOrX lincerserantur series, ut luum
Dquaeque debitum Cortiatur titulum; obserrandi sunt indices po.
celtatum illic appotitarum; exque potestates sunt interponendae qua
rum indices cum illarum indicibus devicam analosium recinent:
Puta, cum potestates, in summitate Tabellae istius reperixe, indiceshabeant, o-
2, 3, 4, ec. Incerpolatione unius loci ubiris jam facta, porestatum apponenda.
rum indices eruut = 2, 0, 2, 1, L2, 272333,3794. dc:
liem cum poreltacum illic ad marginem appolicarum indiced tine 3, 27 33 2, 
Ecc. TCuZ, 3, 2, 3, 3, _c. porestatum jam appolitarum indices erune=
38
3
E, 3167238, ec. (vel pio 2, Tubsticuas, - 2, vel 2, vel  2, cantundem enim
valent.
Adéoque Tabella illa jam incerpolalà sic se habebit.
Si infinita series Aqualium mulctetur analosa serie Subprimano
rum, vel Subsecundanorum, vel subtertianorum, _c. Relidua, eo
rumque Ouadrata, Cubi, sc. eam rationem habebune ad Aqualium
seriem coneruam, quam habet unicas ad muveros ’abellae leguentis.
M mi L
SCxtet

## Folio 460 — 851387705:0480
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000480.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
460
ARLTAMEETCA PFOP. CL XXXV
Recipr. Ouacrat.
e Nulla. seu X qualium.
es Sccundanorum.
erim. seu Subprim.
E Ouadr. Subtert.
3
2
25j.
48] l0 658 (9384 8
E. Subsecundanorum. 3 j. F 28 3] 48) 6 78) 50 (128, 25 =
 Ou. Subquintanor.  2 327- 78 11 2428,  23564 
e Subtertianorum. 28 F 228) 4 638 10 2428 20 2628, 35.
Ou. Sub sepcimat. 3 pui j F , n b 14 51 au 1228. 1112618., 5036a
SubGHaTTANOTUM. [38E F 12583 5 1858+. 25 (23364 35 150507 7. 1
Ec sC deincers.
SC HOFFA
Arque hic jam notare licer alceram eriam seriem earum quarum in Scholiis
PrOP. 265 et 16B. meminimus, nempe eam quam PrOp. FFB _ T2F prius tradideram,
etiam in hac ipsa Tabella inexspectato Prodire: in serie nempe trantrersa tertia.
1SI Su Li1SI insiDTR O, PSCL, X X ∞ V L. s. HBCI. a ∞.M L 1II1
ey esiie sest ibasrnsto Theorema. siis t scwgictoB eu
esee eri  1C3 C
Inc. patel, quod Sexies intnita radicum univerlatium, ad seriem co.
LL cidem sequalium, rationem habere potest latis explicabilem.
di Nempe per prop. praeced exies lorrienit sie sp   sset
YqRetid. ) Retidita t atricu rol x a ClbOrum.
Yu: V.R = Y 9: VR = Y a Nu: YR = 3 VR= a + 3VRa2= Va:
Va: YR = YB: VR = VB Va: VR3 - 3YR =b + 3YRB 2 = VB3: 
Va: Y Yc: VR VC Va: YA:  3YR2C + 3YRC~ -103:
5
c. ad
dec. a2d
dec. ulque ad
Y: Y_ = YR: YR = YR Va: YR2= 3YR
3 AV99R SAVB
Ss AV9qR
ius Rehiduorum. P Residua. L pl. 1130BIur ) 9.JCuborum. et eiiu de
Sa. VR = Va: V R = V a Qu: VBH Z VRa  5VR a = 13 a 3.  eur
Ya: R Yeb: NRY3B. Va: V (3 VRB f 3 YRB -N3b3: 1DC 1
Ya. VR= V6: Vet =N3C Va: VRi 3 V. NotB, NE R ∞ = V768 nirit
ecc. ad
ecc. ad
ec. usque ad
Vu: VR = VR: VR = V R Y: BR = 3 VRR F 3 VRR f p.P
IS AVOR j+ AVX
vel E5 AVSR
325 AVCR3 = 38, A V R
a r 1s I A VCR3 = 16, A V R
2
132
e
Et

## Folio 461 — 851387705:0481
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000481.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
EFOP. CLXXXVII. INFENETORAM.
Fic pari modo in quibulris aliis illius Fabellae seriebus in quibus interpolatio
pertecta elt.
Adeoque nihil decs ad idem in reliquis Periehus perticiendum, (de speciacim ad
quadrandum circulum,) nisi ut mechodus supplendi loca racua reveriatur, vel
(quod eodem recidic) uc serierum ictarum proprius character in veniatur. Lt qui
dem quamris non obrium sic incerpolicarum lerierum characteres invenire, tamen,
quam habent illi ad invicem racionem, ex DrOP. Seg. innorelcet: ut liqua postimus
aece eorum unum inregie, tlacI inrEMIentUE e reliqui.
P ROP. CEXXXVII
Theorema.
N Tabella prOP. 284. VE posito seriei secundxe (hoc est, parium
A prima, charactere i, reliquarum (ex paribus) characteres fiunt
concinua mulciplicatione numerorum +X = =  F 2, l + 2 1+ 38c. (ut
dictum CA prOP. 278.) vel (quod tantundem ralet) F x =
21 + 4 21+6
=eC. Sic, Posito seriei primae (imparium) charactere
A, reliquarum ex impatibus characteres tunt contimua multiplicatio-
RE MMETOruM A X = = =, 21 = c 21+3
21+ 5 8c. Adeoque ex
horum uno coenito innotescent catim et reliqui.
Nam id postulat analosia progrestionis arichmetiex, quxe e in Numeracoribus
19
e in Denominatoribus conspicitur. Aeque id iplum comprobat inductio locorum
omnium qui complentur; uc non sic dubium quin ee idem de racuis, Udicandum Sic.
Adeoque ex imparium characteribus, uno cognito innoceseent etium de reliqui.
P ROP. CLXXXVIII.
Theorema.
N Scricbus Labella Prop. 184. Siprum Ter Ha an A, B, B
7C, d, D, c B. ec. Sccundi (hoc cAt, primi parium,) I. Reliqui
omnes (tam pares quam impares) hunt concinua mulciplicatione nu-
merorum sequentium. Nempe il
In prima a3
In secunda AX
In terria B
In quarra B
In quimea
Impares.
Ot2X 4X 62 8 dec.
FX3X 5X 7X 9 ec.
TX 3X 5X ZX O _C.
FX3X 5X 7X O _C.
2X4X 6x 8x +0 eec.
FX3X 5X 7X 9 ec.
3X5X 7X OXFL dec.
LX3X 5X 7X d eC.
4Z6X BXXOX T2 8C.
TX3K 5Z 3X 9e
In SeNIa C, S XHX OXHL N L3 etc
In Seprima 8
EXZX 5X 7X 9e
IxBXTOXTZLT4 eC
LX3X 5X 7X 9 eC
In Octava  DF IXOKFEKL3X25 8C
2X3X 5X 7x 9 ec.
Ex sic deinceps.
EEc
In 62 8X 2O BC
8x10 dic
2X 4X 6X C :2O eC
QX FF eC
2X 4x Ox 8x1O etc
57
BXTOXT2 _C
ZX 4 X 6X BX 1O _C
DXLLXZ3 _C
Lx 4X 6X 8X1O _tC
X
8XTOXL2X14 _C.
x 4.X 6X 8F1O aC.
2X 4X 6X 8KLO _C.
2 X 4. X 6Y 8X TO _C.
PTO.
2k 13X1) eC
SRTOKT2 XL4 X 16 ec.
Et I I 3

## Folio 462 — 851387705:0482
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000482.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
ARLPAMETICA PFOD. CLXXXIX.
Probabitur haec ex praecederite. Vel etiam (ut praecedens) ex analosia pro.
grectionis Arichmerica. Ec quidem induetione comprobarur in locis omnibus re-
Pleris; ue non sic dubium quin idem de racuis eciam judicandum (IE.
Si quis autem haelitac de imparibus seriei prima, (quos aio tieri ex concinua
mulciplicatione numeTOTUM a x OX2 X 4. X6X8 _c.
TKZKGX7KO _C.) nempe, neo ciphra quae iltie
conspicitur, coram comrinuam mulciplicationem, quantacunque fuerie, penicus de-
Pruae faciarque omnes iltius Teriei terminos cranelcere in o ciptrram (eu Nihil:
Sciendum elt, inde huic malo cautum esse quod cerminus A in ista serie sic ∞ In-
tinitum, (proue superius oltendimus in Scholiis ad prov. 266.) adeoque nili se.
queretur o (ad iplius o rires minuendas) excrevilsent omnes illius seriei ter-
mini in ∞ Intinitum. Sed corum alcerum alcerius malo medetur commode.
Ouamris enim co x0 non aliquem decerminare numerum designet, (de propterea
nihil inde certi de religuis quantiratibus concludi postic,) porest tamen quali vir-
tualicer cujusris numeri vices Tubire. Nlam quicunque numerus per a diridatur,
quotientem dabie o, et contra. Puta ∞) T(0. d) F (0. ∞) 2 (0. 0) 2(c0.
)3(0. 0) 3 (∞. EF Ec de quoris alic: Et propterea (cum Divison in Quocientem
ductus restituere debeat numerum Dividendum) ellet ∞ xO = F, rel ∞ X9 = 2,
vel ∞20 = 3; Et lic de quoris alio rumero.
EROP. CLXXXIX.
Theorema.
  sequitur, quod Si ex Fabella prop. 284. locis racuIS unuS
LL quilibet numeronoco suxpleatur, erume ex reliqui omnes cogniti.
Verbi gracia; si numerus hac nora D designacus supponatur cognius, religui
omnes etiam cognolcentur; qui nempe eam habent ad illum rationem quae tic
Tubcus indicacur.
35
3e
X 4 CVCL (1BLBSL CNIICL
4
81 + 24 1 f 161
2
+646+ 566 161,-15
105
613 F4F12461 =
2611. + 9613 + 1761 + 06
384
Fotus
te
.D2

## Folio 463 — 851387705:0483
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000483.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Focus processus demonstratur ex proP. Placcu.
Norandum aurem de hic numerum quemris incermedium aegrexatum este ex
duobus altero turlum alcero ad dextram, (non proxunis, Led polt unUM IMET.
millum,) politis.
Cujutque seriei characterem (quatenuS per PrOP. 182 _ +87 innoceseie,) libuit
etiam adjungere, quo melius per spiciar lector quousque rem perduximus.
SC XILLI.
Atque hactenus quidem rem perduxisse rideamur Paris teliciter. Verum hie
tandem haeret aqua. Neque enim video quo pacto possim vel quancitatem D repe.
rire, vel characterem leriei A. (Et propterea, nec characteres lerierum imparium
penicus alsequi, licet eorum ad inricem rationes cognoseantur; nec imparium le
rierum locos impares, quomvis es horum etiam cognoscanEE quas habent ad in.
vicem rationes.) Duanquam enim l numeri lacerales sine inteori, puca L, 2, 3, 4,
ecc. noci sinc serierum illorum termini, primi; puta 1, 2, 3, 23, eEc. nOn tameM
facile elt deprehendere quo pacto horum numerorum ad luos respectire nUIMIETOS
laterales rario potsic una aliqua aequatione explicari: unde et reliquis laceribus (10-
corum imparium) 2, 2, 3, ecc. accommodari poltic luxe cujulque seriei primus
terminus. Ouanquam enim hinc DDes non exiona vila ele attulsilse, lubricus
eamer quem prae manibus habemus Proiens tam hic quam luperius non raro clap.
sus, spem Fetellit. Ouem aurem et hie comprimenti rultum ostenderit, non erir
Forcaltis insrarum appotuisse. Nempe 
SCdEE Dest C LVCII
numerorum leu rationum LX ZX3 X3X Z, dc. Leu IXZX4X6X 8aC. _, (in
Locis imparibus,) 2, 3, 33 3, ec. ex mulciplicatis z X ZX 3 XZ X3, _EC. Si, PrOPECK
intercalationem unius in smpulis spaciis numeri, (ut exlocis tam pa-
ribus quam imparibus intermistis una fat series,) qualibet racionum,
in quas continue multiplicatur terminus omnium tam parium quam
imparium primus, in binas dirimendta est, (nam rerbi gratia, ratio F
ad 2 composita eAt ex ratione L ad F E ex xZ ad 2,) hoc modo
PrOP. CXC. INEIMITORUM.
LCT. CX
Lheorema.
N Serie quartam (sire parium secuncla,) cujus nu ale tBC Lumpe
(in locis paribus) 1, 2, 3, 4, 5, ec. tiunt conciltua Mulciplicatione
e
buenda est quaelibetratio item in binas, led quarum utraque cA ex
duabus composita; ad hunc modum.
In serie sexta, (sire, parium certia,) si idem faciendum sic; distri-
ecc
(4X516
empe dirita prius qualiber ratione in allaternaSu (PUTa E 2X 3X4 15
est b
4
6x
34425x6 e Hcan ca)acu autributione alcernati id
Ela Aet Cattao Etalteo.

## Folio 464 — 851387705:0484
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000484.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
AlsetmLcea LcoP. CC
In Perie Octara (Ere parium quarta) distribuencta cst quaelibet
racio item in binas, sed quarum ulraque eAt ex ternis compolica, sic.
ec.
1620 327LG nne
CX3
2 X4. X6 F
n527 42618 52729
8c.
464
Nempe, dirita prius, qualibet ratione in senas, (puta
3X4 X5 X 6x7 x8
2 X 3X 4X5X6X 7
5 X 6 X 7 X 8XO
324Z5 26x7 ~8, _C.) quae postea di
Ctribuendae lunt alternatim in duas clases.
Et similiter in serie Decima, Duodecima, etc. diridenda quaelibet.
racio in Octonasu Denasu ec. qua alternarim distribuenda sunc in dua5
ClasTeS.
(In serie aurem Secunda (sive parium Prima) nulla rationum divi-
sione opusest, sedcum omnes lint eadem aequalicaris ratio, (ire L: ca-
dem illa est eubique intervonendta, nam +x + = +.)
Verum si in sericbus Imparibus illud aegrediamur; nempe ut quaeli-
bec racio in duas (aequabilites progr ediendo) distribuatur; res non
ita feliciter succedit.
Nam (verbi eratia) cum (ex analosia reliquarum) rationes seriei Oninex
diridendae essent in ternas, Sepcimae in quinas, ec. (numero semper impares,)
non porest tieri ilta aequabilis earum diltributio in duas cclastes quiae ad debitam
interpolationem requiritur.
 FSECII:
Fota propolitio (inspecta Tabella) Patis per se patet animadrertenti.
Res aliquanco clarius torcasse parebit ubi serierum aliquoc rariones in bia5, Ter
nas, quaternas, ecc. ( prouc lexies quaelibe pottulat) dirilero. empe
1.(I TIICHB cideli
A S  C . G CIn serie quarea. IS LWII SICISCOS CANp ut
In lexie rertia.  stde  II EC EISL sII CBEIIZ sIVESECI
Ao sidIICCyeHO) C BC
18IX 9 s Bestot S , sed Si. HOVC
DxFO , 3.TIIZX 8. SVH, cdrst 3irS) st
en terre lesla.
ssioces herrsel Bsi c siselcgete erclsicl
2.X3X
5X6X
4.
XC
IXBXG
6x328
ZTC
xC
3X4. X5
X8
5X6X
BXOKTC
XG
it 1S1BX 9X20 i1e 1 at. 1110
In Perie quinca.
3X4X5AO
2. X3X 4. X g
X. 7X
5.
Z.X
t.X
c4
LX.
X6X7
3X
C5XO
3X9
SX6X7X8
ZXBKO XO
4X5X6X)
Z XBXOXTO
 627LBVG eVI
OxTOKTEKEZ
BXD XFOKTXIL 3
BRORTSKEE
i chactet eit slm

## Folio 465 — 851387705:0485
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000485.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
La terte le plltid.
3X4 45XC
2. X3X4 X
5X6XY X
AX5X6X 7
FINLTORU.
JXBXGXFOXF
6X7X8XOXL
FX2. X
4.X5XC
X8
3X4. X5X6X7
OKTZOLGXTO
5XO X7 XBX9
8ZGXFOXLIKIL
OXTOXLIXTZXIZ
B2G NIONTXXI2
In seriebus hisce (quancumlibet conrinuatis) et seguenribus omnibus, nocan.
dum est, Rationes cujuslibet ex paribus seriei dividi in alias numero pares, quae
propierea commode diltribui postune (ue dictum elt) in duas Claltes: cujusibet
aurem ex seriebus imparibus, rationes dirici in alias numero impares, qua prox.
rerea sic distribui non poltunt.
SC HOF YV M.
Si quis autem Ducet huic malo medelam Pacis commode applicari posse, divi-
dendo rationes seriei quinta, seprimae, Ecc. (non in ternas, quinas, dec. Sed) in
Tenas, denas, _c. (nempe bis ternas, bis quinas, ecc.) ut ita rationes (jam numero
Pares) distribui postine in binas clalles: Res neuriquam ex voco siccedet. Nam
hoc quidem cancundem est acti Rationes seriei quartae, sextae, octarx ec. diri-
dantur (non in binas, quaternas, senas, ec. Sed) in quaternas, octonas, duodenas
Sc. Et harum poltea Aac alcernarim distriburio in duas classes. Ouod quidem 
fieret, non ipsae prodirent rationes quaesica, (quas lupra extribuimus,) sed alixe
ab iplis latis diverla, uc experienti parebit.
Fix quidem procliris sum ut crecam (quod et ab initio suspicatus Tum,) rationem
illam quam quarimus talem esse ne quae non pocerie numeris exprimi juxca ullum
adhuc receptum nocationis modum, ne quidem per lacera surda; (quale quid in-
nuit Schoorenius, de radicibus REgnationum quarundam cubicarum, in ipsius
Appendice ad cractacum de Oreanica Conicarum Sectionum descriptione, idque ad
mencem Vicrai, Carcesii, e aliorum:) uc necelle rideacur alium ejusmodi rario.
nem explicandi modum incroducere, quam vel per numeros veros, vel etiam per
recepta latera surda.
Acque haec quidem nostra sire sencentia, lire conjectura, hinc contirmari vide.
tur; Ouoniam, (I, ut serierum parium quaelibet (in Pabella Prop. 184.) Cuum
habet appolirum characterem, ita ee imparium qualibet ejulmodi characterem
nacta etlet: cum, ut per characteres parium, racionem inreltisari docuimus
quam habet series tinita Primanorum, Secundanorum, Percianorum, Ouarrano.
rum Scc. ad seriem coridem eorum maximo Aiqualium, (in Scholiis ad PFOP. 182
ita per ejusmodi characteres serierum imparium, similicer inveltiganda ridere
cur ratio quam habet finita series Subsccundanorum, Subtertianorum, ecc. 2d
seriem coridem horum maximo Aiqualium: cur aurem hoc non sperandum sic,
ostendimus in Scholiis ad Prop. 165.
Ex propterea, quod in aliis Arichmetices nesociis feri Colet; illud et hie Facien.
dum eric: nempe, ubi ad astraror aliquid perrenitur, quod quidem tieri suppo-
nendum elt, nec tamen actu tieri porelt; excosicae modum aliquem exprimendi
id quod tieri supponicur utue Factum non LIC.
Acque hoc quidem in Arichmerieis operationibus omnibus retolutoriis usu ve
nic. V. 8. In Subductione; li proponicur numerus major ex minori auterendus.
DUca 3 Cx 2, vel 2 ex F; quoniam id actu praestari non potelt, excooitantur nu-
meri negariri quibus exprimacur ejusmodi suppoluiria lubaletio, puca, 2 = 3
vel F = 2, ve
In ceritione; li proponatur numerus pel allu alridendus qui iplum non me
FITE, puta 2 per 2; cum hoc actu praestari non postie inrentus est modus ejut.
modi luppoliciciam diritionem indicandi ad hanc tormam z vel L3
ZXBY9 XIOKIL

## Folio 466 — 851387705:0486
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000486.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
ARLTAMETICA PFOP. CXC.
In extractione Radicum; Si proponatur numerus resolvendus qui non EI Sui
generis rere tiguratus; rerbi gratia, s quaratur radix quadrarica numeri 12;
quoniam radix illa non porest ullis numeris live incegris lire fractis exponi, ideo
inrenta est methodus ejusmodi Radicem suppoticiciam uccunque indicandi ad
hanc Formam, V 12, vel 2V 3.
Pariter, in Progrectione Gcometrica, puta 3, 6, 12, _c. Si quaeratur terminus
norus inter 3 et 6 interponendus, dicetur ille 3 V 2, vel V 18, vel V: 3X6: vel
Forte (quod tancundem vatet) V: 2X9: quod idem elt acque explicarius dicere,
terminus medius inter 3 ec 6 in proeressione 3, 6, 12, c. aut inter 2 1 O in pro-
gressione 27 0, 40= esc. Ita  incer 3, 6, interponendi eltene duo medi Greome-
trici, eltet eorum prior VC: 3X 3X6: vel V C54 vel PotiuS 3V C2, (nempe 3
ducti in radicem cubicam communis mulciplicatoris 2,) et Sic in CxterIS.
Si autem Prosreltio Creometrica, qua supponitur tieri ex continua mustiplica-
tione primi termini in numeros quodlibet inricem equales, (puta 3, 6, 12, 24,
ecc. ex continua multiplicatione 3 X 2 X2. X 2 eC.) nOn semper admittat terminos
intermedios rationales: non mirandum est li neque illud contingac in progressione
facta ex termini primi concinua mulciplicarione in quortibet succedentes numeros
inaquales, sire crescencessire decrescentes; (Duta T, 2, 6, 24, Sc. ex concinue
mulciplicaris LX2 X3x4 esc. rel L, 2, 8a8 ec. ex concinue mulciplicatis TXZ
8, ec.
Ouories autem hoc continsic, cum illud reris numeris designari non postic, (et
ne quidem tolis radicibus Turdis dictis,) Quaerendus erit modus aliquis id ipsum uE-
cunque exprimendi. Si igitur uc V: 3x6: ligniticat terminum medium inter 3
e 8 in proeressione Ceometrica aequabiti 37 6, L2, ec. (continue mulciplicando
3X2X2 ecC.) IIa W: L(Z: Cigniticet terminum medium inter Fe Z in procressione
Eyper reometrica decrescente 2, 2, 8, ecc. (concinue mulciplicando LX3 XZ CC.) crit
D = M: F (3: PL Propterea circulus est ad quadratum diametri, ut Z ad N: F12
Oux quidem exit Vera Circuli Ouacracura in numeris, quarenus ipsa numerorum
nacura paritur, explicata.
Ec quidem, sieut in progressione Geometrica aequabili, 3, F2, 48, dcc. quanquam
qui terminum inter 3 et r2 intermedium dieit V: 3 X 12: non dicendus erir rem
lacis explicasse, quoniam cerminus ille explicatius dici poNir 6, (elt enim V: 3X12:
=V 36 ==6:) attamen qui inrer 3 _6 (in progressione 3, 6, 12, ec.) terminum
altignat intermedium V: 3x6: (vel laltem V IB, aut 3 V 2,) rem Caus explicalte
dicendus erit, quoniam non potest vero numero allignari: Ita qui in progrectione
F, 3, 382, eC. terminum inter F ec B intermedium dicit m: T (33: non lauis expli-
eare rem tradie, dicere enim pormistet 3; Aequi inter F_ 3 medium terminum af-
Tignac n: L(3: Patis rem explicasse dicendus est, cum iste terminus non postit ve.
ris numeris exprimi: adeoque lutticit si ureunque indicetur.
Arque inTuper, ut V: 3X6: (in progreltione 3, 6, 12, ec.) vel Y 18, vel 3V2,
quamvis veris numeris explicari non porest accurace, pocest tamen quam proxime
delignari; (Duta major quam 424, minor tamen quam 4(25; icem major quam
12426, minor quam 424 27; item major quam 4(2. + 2630, minor quam 4(242640;
et lic deinceps,) ita ec nuMeruS D = M: F1Z: detignarI POTCCL VerIS HUMCrIS quaM
Proxime, licer non accurate; Puta major quam +(7, minor ramen quam 1, 28; Item
major quam 22732, ec minox quam 1(2733; item major quam X1273239, e minor
quam 4273210; e sic deinceps, prout vel ex cabella nostra (quod lequente pro-
potitione oltensurus tum) vel etiam aliunde rariis modis collisi porelt.
Adeo uc nihil videam cur non ratio Circuli ad Ouacratum ctreumseriprum, (vel
etiam F. lipseos ad circum scripium Paralle logrammum,) nempe ut F ad B = 
F(Z: vel _ = X n 3. (hoc elt, ve F ad terminum medium inter L ec Z in progrestio.
nC L, 2, S eC.) aque rexviucis explicari dicenda sic, atque ratio lateris ad diasoni-
um in quadraio, nempe uc F ad FV 2, vel ad V: ZX2: (hoc est, ut rad terminum
medium inter F et 2 in progrestione 2, 2, 4, dcc.) nili quod taec nocatio V 2 vel
V: LX2: jamdiu fuerit recepta (sed qua aliquando Fuit ROVa;) noltra vero
jam primitus incroducta, propter norum progrestionis genus jam primum (quod
sciam) detectum. Sieut aurem nocatio numeri Curdi (DuL2 V 2 _C.) in Acictime.
ricam incroduxic methodum addendi, subduvendi, mulciplicandi, dividendi, ecc. 12-
cera Curda; ita non eric difticile ejulmodi operaciones ad norum hunc noltrum
nocacionis modum applicare; quod camen pexsentis inllicri non elt. Non ienoso
incerim

## Folio 467 — 851387705:0487
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000487.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
LrOp. CXCI.
incerim ad hanc iplam nocationem accuratius perficiendam, apponendas este nota
THETHETOROM
ec. Prour delignat radicem quadraticam, vel cubicam, biquadraticam, sic. hoc est
vel unicum, vel primum duorum, erium, ecc. mediorum proportionalium: Tcem
alias apponendas esse distinctiones quae indicent, au concinua mulciplicationes (in
expolica serie incerpolanda) vel unitare, vel numero binario, ternario, ecc. Conti-
DuC CreICaNE. Verum ea ommia, e liqua Tunt Similia, remittenda lune ad accura
tiorem hujurce proseoo oe  Matm Arichmeticam admittendam
sentiane Machematiei, (quod quo minus tiac nihil video.) Praelenci susticie insti
cuco illud quod rolumus urcunque indicare, e quod in charactere detieit apertis
verbis supplere. St ale AbCaI ocus C a nobis excositacus Machemati-
eis minus placuerit; cgo quam Lubentissime illum mucari pattar modo aptiOrem
OltendanE.
DEUCCC: F∞O quidem neceste habeo ut tatear, me nec ejusinodi pro seriebus
imparibus quales pro paribus in Pabella, characteres; nec lerierum imparium lo-
eos impares, adhue supplere posse, jurra aliquem (quem achue recepeum scio)
nocationis modum; (quanquam eorum ad inricem rationes jam octenderim.) Ft
quanquam in TuperIS, Der aria non raro, a cramites nulli quod sciam ancea
calcatos pelcupens, miperatos exirus aliquores invenerim: rix tamen (ob cau-
(a5 jam ex porcao) aliuIm Iperare, _C H ICM ex roco omnia succettura. Si Fortan
alius aliquis noccta detine premens velra coandem perreniac quo mihi non
datum est perrenire, (nollem enim pro noltri modulo aliorum item omnium inse
niis terminos sCte,) e luodos iasls deconmodos eidem quancicati exprimendae
ieris ablolutis quam proxime designari, ee desle criam lineis rectis.
er diltinctiones uaS, Puta M , m 3, n 4, ec. prouc indicaveri vel medium uni-
cum, rel primunt cuore s cl. Ledde nocae V hieri Coler, puca V 2, V
tore aurumo me nora asgIaM nec (H quid exo judico) prortus concemmendam
obscuro facis de Circuli Ouadratura probsental lucem praebuille; CaIGUC CaEENUS
numeris explicalse quatenus ipsa numerorum natura FeraL.
Ouod aucem jam invenimus, liber etiam, in sequentibus aliquot propoticioni
bus, mutaca aliquanculum torma proponere. Et primo quidem qui id posticnu-
P R O P. CXCI.
Problema.
289.) in numeris absolutis quam proxime.
invenerii eso nelsa Stavatim teram. Machematieis incerim haud insratum
Duo Facilius res succecatu progrettionis (ibidem reperta) termini
DRopositum sic inguirere, quantus sic terminus 0 (tabella PrOP
59. F. D. 3. 3C
EC
dicantur, a. a. 6. b. 3. 6.
L k426
ec.
ECt auteM F. 2:: 8. B. Ft2. 3:: a. b. Et 3. 4: : B. 3. Ft4. 5: : b. 6. Ft5. 6:
7. 8. FF6. 7::6. d.
Hoc
Ideoque (cumcationes contnue mulliplcateo Pespecuo decreleant,) eric
XIMLHOE
d
EE PrOPtCTCA B=
mitibE Glats V+ = Y L+
masot Gllat V= = Y L=
Lmajor quan 2= LY
minor quam, ZV 2 = T V +Z
I A 2
Irem

## Folio 468 — 851387705:0488
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000488.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
AR ITAMETTCA
Arem.
minor c b
duarum 2
m
duarum 
Prop. CXCI.
minor qual r3 = Y 2=
ajor quam, 13 = Y +2
Ex propterea B n 7 = y = 3∞
Sminor quam 3 XV 2 .
Emajor quam ZX V L2.
HOC estus A minor quam 3  3 ~ Y L3. major quam:
3 + VF2.
(minor quam
n
XYX3
majoc quam 3 + 5 x Y 15
Hhoc elt, ominor quam  u a u a 26Y 25. majoc quam
2 X 4
PXG
2X 4. X + 26
Et (concinuata ejusmodi operatione juxta PabelIX leges) invenietur
Cminor quam3
Cmajor quano
e 
(5X5X7X7YGY OHELKZEXTZX12
2x4 X4 2676Y818L1OX 10+ 124 12 1 24
3X3X5XSX7 XZXOY OXTEXTEXT3XF3
Y2i.
ZKALAL6X6LBZBZLOLLOL22 LI2L24
2i
3
Et Sic deinceps quousque libet. Tra nempe ue tractionis Numerator Fat conti.
nue muluplicando numeros impares 3, 5, 7, ecc. his Politos; Denominator vero,
continue mulciplicando numeros pares, 2, 4, 6, c. bis item POHIIOS, exceptS
primo ec ulcimo, qui lemel ponuntur: Pt toca denique ratio sen tractio, sic facta,
ducatur in Radicem quadraticam Onitacis aliquota parre sui auctae; ea nempe quae
denominatorem habet cum qui cst ultimus numerorum, continue mysciplicatorum,
imparium, si quaeramus numerum justo majorem, vel parium, si julta minorem.
Acque hoc pacto cousque tandem pervenietur donee majoris ee minoris ditte-
rentia cractat quaris altignaca minor; (quae PropterCa, Si Sipponatur in infinitum
concinuanda operatio, randem cranicura CA.) Ouod quidem, E opuss, sic de
E
monstrabitur.
Numerorum, ita ut jam dictum est, concinue mulciplicatorum, parium maxi-
mus (nempe, ex Denominatoris factoribus ulrimus) dicacur 2; adeo que impariun
maximus (nempe, ulcimus ex Factoribus Numeratoris,) exit 2 = - L, (quippe qui
ab ilto unitate detieic.) Frit isitur (proxrer eundem ucrobique mulciplicato.
torem compoticum) numerus justo major ad numerum julto minorem ut
V2 = - ad Y 2 =, (nempe, uc terminalis numerus surdus in illo ad cerminalem
numerum turdum in hoC,) hoc est, ut V - - ad V =  = hoc ct, ut Y- 
2d V: 2. = T: Hoc cle, ut V 33 = ~ ad V: 2 - F. Fieri aurem porest (aucta nem.
pe, quantum opus est, quantirate 3) ut differencia radicum V ~ e V: 22 = +:
nempe Z = V: 2 = 2: minor cradat quaris assisnanda, (ut nocum clt, et alibi
etiam a nobis dictum ad prop. 29. Con. Sect.) Et Propterea numerus julto ma-
jor excedat numerum justo minorem, secundum cam rationem quae minor Lc qua-
vis altienata. Quod crar ostendendum.
Cum autem, ut ex dictis patee, aucto in infinitum numero Z, numerus julto
major numerum jutto minorem ea ratione TupeTCF quae minor sic quaris astienata:
exie
Ex (pari ratione) exit d = Cx

## Folio 469 — 851387705:0489
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000489.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
PEOD. CXCI. INETNLTORUM.
erie eorum ab invicem disserentia (ee propierea uiriusris a justo) intinice parra,
hoc clt, nulla.
PorrO; Duoniam, numero e sic in intinicum aucto, illa Onicari adjuncta pars
Sui aliquoca, sucura est intinice parra; exique, sive Y L =, sive Y =- =
3 Can.
cundem acque V I, Sive 1, (proprec eranescencem parrem intinice Barram,) qua
mulciplicando nihil murar: Dicimus, Fractionem illam 3r3r5 X5 ~ 7 X7 X ec.
tey
On25X49 XBL 8C.
8x24X48x80 80.
2X4X 4 X6X6X8x _C.
in intinicum concinuacam, este ipsistimum quaelicum nu-
merum e praecile; ad quem ita se habet F, ut Circulus ad Onacratum Diametri:
Vel, (E id masis placeac,) ut cst iltius Fractionis Denominator ad Numeratorem,
sic esse dicimus Circulum ad Diametri Guadratum: F.G, uE Numerator ille ad DC-
nominacorem, sic Ouadratum illud ad Circulum; Nempe ue tactum ex continue
mulciplicatis 9x25 X4.OX BF eC. (quadraris numerorum imparium,) ad Factum Cx
8 x 24 X 48 x 80 ec. (eisdem quadraris unicare minucis) in antinirum conci
nuatis.
Si quis aucem curiotius inquirat, quousque continuanda erix illa musriplicario
continua, uc eandem ad differenciam datam, sire ipla minorem perveniatur: J. Neni
De ue numerus julto major, numerum justo minorem, iptius parce quamlibet exi.
Sua (vel ne illa quidem) Superec: Id hoc modo investisabiturs
Ouancitas major dicacur m, minor n, licque earum difterencia, iltius pars fuan.
tumris exisua; puca  m =m =n; et quaeracur quousque concinuanca eriu
operacio, hoc ell, quis tucurus esE numerus S mulciplicacorum (simplicium) maxi.
mus, un illa differencia (ret salcem ipsa minor) prodeat.
Ouoniam igieur M = n = = M, exic n = M M; e m. n:: M. m- m::
112
m. -, = m: : B. B = a: : 8. Y: 2 = F. (per modo demon strata.) Ideoque
BV: 2 = 2: = b2 =a 3. Fx (verinque quadrando) b 3 B2 = b ~ + a2 2
=2ab2. Acque (delondo urinque 3 ~, e reliqua cantponendo,) 2aB 2
= a 3 = V. Ft denique (uerinque diviclendo) 2 = 2 ab =  2. Flujus: Egitur
numeri radix quadratica, (s Fuerit mumerus par,) vel saltem, (si vel fracts vel
Furdus sit rel numerus ImpaT,) par numerus illa radice proxime major, futurus
est mulciplicatorum maximus, ut altignata disterentia, vel ipsa salrem minor, pro-
veniat. Ouod crac inrestisandum. B  i
Idem Aiter.
Post hanc autem noltram, iptius quancitatis e designationem; libet etiam aliam
Tubjunsere, quam a Nobilissimo Viro, atque acutistimo simul Greomeera, Dom.
Guliel. Vicecom. e Barone Bronnoter, accepi.
Cum illi progrestionum aliquot mearum propoluerim, es qua lege procederent
indicaverim, id interim rogans, ut qua forma quancitatem illam commode de-
sixnandam pucareri, indicaret; Nobilistimus. Vir ille, re apud le perpenta, me
Mhodo item Infinicorum sibi peculiari quancicarem act
tranc Formam commodissime designandam judicarit.
Nempe si unicari adjungatur Fractio, quae denominato-
4 = 2 4 3 13 13 12 c.
rem habeat continue tractum; ca lesc, ut parricula. lE
rium Fractionum PumeratOres (InE F, 9, 25, esC. numeri quadrarici imparium
Eg 3, 5, c. Denominacor rero ubique 2 cum adjuncta tractione, et sic in infini
tum. Hoc simul addiro, ut ubicunque candem placeat consistere, pro ulrimo
numero 2 cum tractione deinceps insecucura, ponatur horum aliquis (prour 10.
cus ubi consisticur postularerit) 3, 5, 7393 etc. (deinceps ab T, numero inteero,
Arichmerice proporcionalium;) nempe li in primo loco lillacur, 3; si in lecundo,
NR N 3

## Folio 470 — 851387705:0490
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000490.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
F. justo minor.
F3. justo major.
122. justo minor
C1 3.7. major.
2223 13. minor.
Ciun cenominat duplo unitare aucto. Acque hoc pacto,
li in Fractionis loco impari liltatur, prodibit numerus justo
AajOL, AA ParI juIEO MOI. Ouo longius autem prO-
cedatur eo propis utrinque ad numerum jultum accc.
adtl.
Aique ad eandem Formam numeros reliquos eabella no-
stra quaelitos designavie; aliasque ex prooressionibus no-
Aris, liS in expolica tabella similes, intervolarit. Potum
rero illius mechodi proceltum aperire, longius ellet quam
ut trie inseratur. Sperabam aurem aliquando tore uc id
ipsum ab illo in tormam digestum publice extriberetur.
ad C. LLOL. LM
ARLTAMETICA
PrOD. CuSCi
5; S in terrio, 7; et sie deinceps; polico numeri qui lo-
cipere relit: conabor ego rem illam ad iplius mentem, quam postim proxime,
breriter extribere.
Animadrercir siquidem Nobilissimus Vir, numeros duos impares continue proxi-
mos, si invicem dueantur, rectangulum tacere, quod quadrato intermedii numeri
Paris Tic unitale Mus (Duta LX 3 =
I =2 - 1. 375 = +5 = 16 -
=O4 = T. ECC. ) Ft similiter duos pares proxime positos rectangulum Facere
quod unitare minus Cit quam quadratum incermedii numeri imparis, (puta OX 2 =
4. X6 == 2
OF= I. AC) Quarebat isicur qua ratione ausendi erani factores, ut prodirent
rectansula, non quacratis illis unitare minuris, sed ipsis quadratis aequalia. IN.
venic aurem id tieri polle, si urrique tactores tractione augeantur, quae denomi-
natorem haberet continue fractum in intinitum, ad cam Formam quam Cuxerius ex-
hibuimus: Nempe uc particularium tractionum Numeratores sine quadrata nume.
rorum imparium, Denominator vero ubique inteori duplus tractione auctus in in
cinicum. Ad hanc formam, quonsque libet concinuandam.
25 =5 49 = 97 8r = 09
Onum vero Nobilissimo Viro difficilius pertuatum iri video ue illud ipse su(-
12 137
616 76 a
LI 22 22 32
= 10 24 30 = 664 = e 100=910
Factores aurem illi sic consticuri, quantum libet concinuari, (modo ne in intini-
cum,) rectangulum Facient debito quadrato rel minus, si numerus fractionum in-
reoro adjunctarum sic par; vel majus, si impar; ita tamen ut quo lonsius proce.
datur eo propius ad quadratum debicum accedat. Ouod hac demonstrarione con-
Frmatur.
Fsto, ex debitis Factoribus quibusris, prioris numerus inceser P, adeoque poste.
rioris L. F 2; numerusigicur incerjectus. ( quod lacus eMt quadrati) P F T. L’orum
rectangulum Fq F 2F minus est quam hujus quadratum F9 F 2F = L.
Jam adjungatur urrique Factori tractio una; l’actoresisitur
eF
F +
2F F 4. consticuent rectangulum
AF 44 = 16F C F 20 F 9. + 8F +8, quod majus eric quam quadracum
4 F q. = 8F
P9. + 2F f + -4 F29 + 26FC + 20F9. + 8F
+F9. F BF
Adjungantur deinde Fractiones bina; F’actores emergentes
1818.
4 22+
EFu
tit 4t.
2. Fi +
conttiruent rcclangulum

## Folio 471 — 851387705:0491
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000491.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
Prop. CXCI.
INFIALLOKUM.
4Fc. F ETF 4Fc. F 24. F 9 + 59F + 54-
4F9 + d
4F 9 = 26F = 25
16F0C + 96Fc9 + 280F 94. + 480F c. + 648F 4. + 594 F
16F99 f64F c f 136F9 + 144 F + 225
quod minus est quam quactrarum Fg + 2 F + F =
26FcC + 96F c9 + 280F99 + 480 Fc + 649F 9 f 594 F = 225
16F99 +64 Fc + 236F9 = 244 F = 225
FE SC quousque procedatur, prodibit rectangulum quod erit nunc minus nune
majus (alternis ricibus) quam expolicum quadratum, (quae tamen difterentia
perpecuo minuitr, uc paret,) quod crat demonstrandum.
Hlis aucem sic inrenris; poterune illa ad series nostras ica accommodari, ut inde
innoceseant termini in cabella deliderari juxra hunc nocationis modum designandi.
Exempli graria; (Dotto A pro primo cermino cujulris lerici.) Pabellae noltra
SCTIES PFIIA COMPONIEUE, (uc lupra ostensum est) in locis imparibus, ex conti-
nua mulciplicatione. AXZX Z XZX3 _C. vel AX 3 XZX Fo X L _C. Et in locis paribus
XX5XZX 3XBeC. Vel XX Z X 8x 12 X 1F ec. HIOC CA
Ox2)00(2
= 24
426)4 (8
1=22+ 36
d e
8x70)98(10
14 2a
1818+
=27 23
10
2.X4) 2(3
Vel eriam, (quod eodem plane recidic,) ad hanc Formam.
2) Ox2 (2
AX - - X --
96) 476 (2
QTO)BXTO(
 X -  XE
222+ 368, 5103, 7a 2, d18 8 ZX 3 2
(3 2636
C4) 2n4 (2 98) 648(8 VT2) IOX12 (15
Orroris modo, rationes quibus numeri vel paribus rel imparibus locis ponendi
constimuneur, resolvi pollune in binas (uc patet) quibus constituantur numeri
locis continuis ponendi; numeris nempe locorum cum parium cum imparium in
unam seriem interpolatione mutua redactis.
Similiter in serie certia, cujus numeri in locis imparibus potici, constituuntur ex
concinue mulciplicatis AX Z X Lx S XG _c. vel AXZXSX 13X 15 eC. FF Locis paribus
XX ZX3 Y3X8 _C. vel LXX 1GX 1Ex 1 _c. HOC ett
2X4) C+ (3 678) O8(8
863, 510,3+ 14 aF
20e1t) e l1o
10
4X6) 25(8 Bx1O) OO(8
T2X24)  54 (1h
Acque haec quidem abunde susticiant ad omnes tabella nOArX nImerOS com-
plendos, cum jam supra ostensum (u prop. 188. uno aliquo desideratorum inrento
reliquos statim innorelcere. Si quis tamen cupiae, uE nOS seriei prima et tertiae
rationes resolrimus, itq ee reliquarum serierum rariones irem reloluras habere.
Poterit quidem de illud tieri, ita tamen, ut in serie quarra (hoc est, post unitatum
seriem. secunca) exic racionum prodeuncium qualibet binembrisu in quiuca urs
membris, es sic deinceps.
Nempe
2O212) 10(13
3
628)0013
d 1
336
il

## Folio 472 — 851387705:0492
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000492.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
inde Ro
ARITHMEEIdK ProP. CXCII.
Nempe, in quarra, ad hanc Formam.
2X4. X426) 9: 426: (3 = 2 6X8X8Z10) G: 8x1O: (18= 3
368+ 4510 8, 5103, 27 ia 2, 21a 2, ~9 18 18, 318 18 
AX
2 X 4
X 6
6X 8
4X6X6x8) O: 6x8: (2 = 3
In serie quinca, ae hanc Formam.
2X4X6X4X6~8) O: 42628: (3 =a
363, 2510,81 2714 2, 51 8, 47 11 2 Y D 18 81
2 X 4 X C
X 8
8 X 10
AX6XBXOXBX7O) O: 6XBYTO: (2 =3
Et similiter in sequentibus seriebus. Nempe singula rationes Periei quartae,
quintae, sextae, ec. componuncur ex leriei terrix rationibus binis, ternis, qua-
ternis, ec.
Cum autem in singulis his rationum jam inventarum seriebus (ex quarum con-
tinuo ductu constitmuntur Tabellx nostra numeri) commodum videatur ut in
variis tormis exhiberi postine, de (prouc opus videbicur) ab una in aliam trant-
Formari, quo melius (aliarum Fractionum instar) overariones Arichmelleas AINCL
piane: Porelt et id commode ticri per ea quae in hujus Scholii inicio tradica TunE.
Nempe, resoluris (ue ibidem docetur) quadraris numerorum parium in rectan-
sulorum illis aequalium latera illie indicata, nocencur cinsula (ob commodioscu
procellum) suis Cymbolis, hoc modo,
∞
221C+ 19610810101612
C
D
2 a
366+ 510
14
ia 19
d1818
2B li5C) 2D
2X 9l a r 18L
23 d
16 x 3C
pin sn teo sentont
28X38L
(35 X sC
764
Cum enim sic_. B = 92 = 4, _ BC. = 94. = 16:
Frit 4. 16:: BB. BC:: D. C =- 150 = 4B;
EC Z C =∞. Icem D) 4 (B, _ B) 4 (O.
Ec Timilicer in locis reliquis.
Adeoque eum rationes nuper inrenta, sint in serie
Prima A ~- - - - -
10
233, 308, 5108 712, 918 18, =2 3 3, 32623
hoc est AL = + ∞
8 TO T2
D F F X 2 c.
Secunca, AX = X3 XSKB X 1BX B _ _C.
-
Ferira,

## Folio 473 — 851387705:0493
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000493.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
ProD. C.XC.I.
Terria, A X = ~ C X
Ouarta, AX
Ouinea, AX
IN FTNLTORUM
x= X
TI
10 12 14
ecc.
BC CD DE EF FC GH, HI
2X 4 4X6 6XB BKTO TOKTZ T2XI4 L4XZS
DCD CDE DEF EFC FCH GHF
Enguo quonB SIBRTO BHTONIZ TONLZKTA TEXTANIS
c
c
Fx sic in exeteris: (ubi tamen incelligendum est A non eandem esse ubique quari.
citarem, sed in serie prima A = c vel Porius ∞ B, in secunda A = L = ∞ BX C, in
terria A = 3B = L X. 7, in quarea A = 5 = = BXF, in quinta A = 50 = 3 X. Z
2XZC =EXBF. Fc sic deinceps. Nam series prima crecta, eadem est cum prima
trantrerla; (ue supra liquet.) Poltunt illa, per aequipollentiam modo demonstra.
tam, sic extriberi, uc non nili uno aliquo numerorum horum incerminabilium
opus sic in lingulis exprimendis; ec Caepe quidem ne uno. P. xempli gracia, In serie
quinta, ratio secunda
CDE.
36F 64C 4u 16 C 12 3F
quond quone quone
8ec.
hac igicur ratione, quolibet modorum illorum designata, ducta in iltius seriei cer-
minum secundum E, C in rabella nostra repertum) haberur rerminus cerrius,
16
6 c
Fertius aucem hic cerminus, ductus in rationem seguentem
DEF 64F 10OD
900B 15 I5B 15 5D
CrBKIO SRBKIO 6XBKLO 1920 81 32
2C.
40
F
c.
exhibebit ejusdem seriei cerminum quartum 2. = 23, eundem nempe quem exti:
bec Tabella. (Sed ee idem terminus pariter extribebitur ex ductu secundi cermini
T, in rationem ex secunda De tertia compostam.) Atque ad hunc modum licebit
Tingulos cabella nostrae terminos indicare, adhibito nonnunquam uno quoris,
Tapius aurem ne uno quidem, numerorum istorum interminabilium; quorum qui-
dem nos primum, hac
e
Fst isicur racio Circuli ad Ouacracum Diametri, (per jam dieta) a P d. d
:: r. 0 = 4-
DF
225 256
Sa 16F 256 ec. Ertimilicer (cum sic racio
perimetri ad diamerrum quactrupla racionis circuli ad quadratum, quia nempe
pd. 42:: = p. d.) racio perimeiri ad diametrum p. d:: 4. O: ee diametri ad pe.
rimetrum d. P:: D. 4::
:: 2. 4 = B =
c
+D 256 64F 1024
225
Nempe sD: sic Circulus ad Ouadratum Diametri.
uE T ad E B: Sic Circuli Diameter ad Perimetrum.
256
Rc
Superest, ue rationem octendam cur in altignando ratorem quantitatis B, supe.
rius dixerim, pro tractionis continue tracta denominacore ulrimo (ubicunque si
Stendum quis relit) ponendum este, non 2, Sed vel, 3, 5, 7, 9, Scc. PrOut LOCS
ubi contisticur postularerie, (quod non cum necestitaris, quam perspicuicatis cauta
factum elt.) Oux quidem ratio, haec est.
Cum supponatur (juxta jam tradtita) DXB = 2 = 4. LiiquE D = + 39 e
B = 363. Adeoque si numerum 4. = 9 2 dividamus per B (factorem polterio.
rem) Prodibit D. Si quancitas B impertecte sumatur, non prodibie ipla quanciras
O, sed alia quae major sic vel minor, prout Bimpertecte Tumpta, sit ipsa B acCu-
rate, minor vel major. Nempe si pro diritore B luumacur 3, divisione facta, pro
Oprodibic L5: ( pro dirisore 35. prodibit L33: H358, prodibic L 2 323. Ft Sic
deinceps: ut ex ipso calculo patebit.
Et lic in B = 35a) C. = 5 to2 D = 7 1  _C. Facienctum eric Nempe in B,
000
denomi.

## Folio 474 — 851387705:0494
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000494.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
ARFTHME TTCA
PFOD. CXCI.
denominator ulcimus exit unus ex his 5, 2, 9, FI, Xc. (is nempe quem locus ubi
Listicur poltulaverie;) quia z (numero incesro unde quancitaris B delignatio in
ChontuT) in prorestione Aruhimeriea binario concinué crelcunt. Ec similiter, in
C, unuS ex HIS7, 9, FF, Z3, _C. FF, in D, unus ex IIlIS 9, TF, F3, 25, dc. (qui
nempe illie a 5, hic a 7 in Aruhmerica progrellione continua, binario creleunt:)
Ft in sequentibus Cmilicer: quod ipse calculus indicabit.
Adeoque univertaliter; in carum quanticatum qualibet de signanda, (quocunque
tandem loco sistere libueriI,) pro denominatore ulcimo lumendus erir numeri qui tra-
ctionum locum denominat duplus numero integro quae designacionem inchoac auctus.
Siguis auitem quaerae, cur in hoc procettu (in denominatore ultimo delignando)
per factorem polteriorem porius quam priorem divitionem taciamus: Ratio cs,
quia lic res commodius procedir. Nam uri jam denominatores illi ab inchoante
numero incegro Arichmetice procedunt crelcendo; si per tactorem priorem tieret
dirilio, denominatores illi ab inchoante numero integra rerrocederent decrescendo,
donec randem perveniatur ad numeros nesaciros (qui delignationem magis tE.
babune) ue experimento tacto parebit. Adeoque ad illam legem, li (verbi sra-
tia) delignanda sic quancitas F, diridendo 10 = 100 per F denominatores iIi
lic prodeunces FLIcurt TunE 9, 7,5, 3, E, = 2, dec. Si aurem ad methodum priorem
dirictatur 9T2 = 144 per G, Fiusent 13, 15, F7, 29, 2. 2, 23, 25, eC. nempe d
numero eF illic decrelcendo, hic crescendo: ubi aurem hac mechodo iora quani-
tas prodir julta major, illa prodibit etiam jucta major, ee contra. Unde etiam
patet priorem illam mechodum delignandi ulcimum denominatorem non modo mi-
nus curbatam, led ec masis accuraram esse, quam est posterior. Cum enim excel-
Tus ec defectus sic semper penes ulcimam tractionem, (cujus nempe adjectione quan-
titas quae prius crat julta major tic julta minor, aut contra,) ubi denominator elt
major (eodem manente numeratore) tractio minor elt, adeoque sire excestus
sire defectus minor, quam si denominator ille tuistet major: adeoque denomina.
torum illorum altumptio per concinuum augmentum minnie, ae quae per conti-
nuum decrementm auget errorem. Ouod quidem cousque verum elt, ut ne
quidem illa nostra emendario, qua per concinuum denominacorum incrementum
procedit, quiequam actert commodi (sed incommodi pocius ob dictam rationem,)
donec eousque procedatur ut denominator ille auctus major tic denominatore com-
muni, (eo nempe qui aequatur duplo inchoantis numeri inteori,) nam, donec eo
perreniatur, mutacio illa communis denominatoris in denominatorem crescentem,
non minuit, sed auser adjunctam illam tractionem, adeoque d errorem.
Hoc unieum adhue restare videtur; nempe uc ostendam qua lege Fractiones
hujusmodi continne tractae ad Fractiones ordinarias commode reducantur.
Cum aurem id tieri possic merhodo nemini isnoca, inchoando d finc, e rece-
dendo donec ad principium candem deveniatur: Optandum incerim videtur, uc id
tieri pottic inchoando à principio et procedendo quousque libet. Hoc igitur qui
tieri possie jam Cumus ostentur.
Esto igicur tractio ejulmodi
continue tracta quaelibet, sic
delignata.
mechodo, reductionem insticri
polle ad hunc modum,
Cum ixieux constet recepta
+ a cd = aB7
c5-

## Folio 475 — 851387705:0495
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000495.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
PTOP. CXCI. INFLNETOLUM.
Fe sic deinceps, quantum opus erit. Nos inde hanc colligimus regulam, cujus
opC a principio reductionem inchoeus quousque libet concinvandam;
13.
Es: Si (orium comcinue lequenium tractionum) cam Numeracor cercits
propolicus ducatur in Numeratorem primum jamjam quaesicum, quam Denomina-
cor terrius propolicus in Numeratorem secundum jamjam quaesitum, aggregatum
Cxit Numeracor cerrius quaelitus. Ex similiter, Si tam Numerator certius propoli.
TuS ducatur in Denominatorem prinum jamjara quaelicum, quam Denominator
cercius propolicus in Denominatorem, secundum jamjam quaelicum, aggresatum
erit Denominator gualits.
Fxemplo res tiet manitesta.
Sic tractio reducenda 3 3, 23 1
Operatio sic insticuetur. Inventa fractione secunea modo usicaco; cerria et
quae deinceps sic reperientur.
25]X T ==25
13312 X 2= 
3B seI 
 Sc111 25 (XI 2 =50
1eBd 21) X 13 =26
st. 
1C) 149
1
e
X 2 =-98
 2 1x 29 = 5
49 X 23 =-637
X 76 = 752
BFi X 29 =-23497
lFF 1 X256 = 17105 4065
e 8F, X 76 =6156)
lcIB ZF. 1789 =86795, +4835 u 1.
Et sic deinceps quousque opus erit. Ratio opcrationis ex jam dictis
Siquis autem adhue miretur, unde factum sit quod tractiones hae concinue
Fractae, (prour hrie rel illic cuiquam sistere placueric) sine alternatim nunc m
jores nune minores quancicate debica: hujus rei caulam sic breviter accipiar. Cum
cerrum sic numerum incegrum sine ulla adjuncta fractione justo minorem este:
Fractio prima, huic incerro adjuncta, quantitatem aliset: Sed eo minus auget quo
ipta minox fuerie. Iac isicur prima tractio quantiratem auset, et quidem eour-
que ut jam, quae fuerat justa minor, tiat justa major. Hlujus aurem Fractionis,
Eodem manente numeratore, si denominator auscatuT, (quod tuc adjecta Fractione
secunda,) Fractio prima, adleoque et tota quancitas, adjectione secundae minuitur.
FExc autem diminutio eo minor erit, (adeoque ee tora quantitas major,) quo iptius
secunda tractionis (mamente nUMCratOTC) denominatOr augetE; quod fE ad
jectione cerrix tractionis. Tertia igicur tractio secundam minuii, adeoque pri
mam auxet, ut de totam isitur quancitatem. Et similicer in sequentibus. Puca
quartae adjectio minuie terHa, hoc est, auget secundam, adeoque minuie primam,
totam que quancitacem. Ouinta minuie quartam, adeoque auger terriam, minuit
secundam, augerque primam toramque quancitatem. Adeoque tractionum ad
jectio in locis imparibus anser, in paribus minuie quancitatem: Ouod non de nis
tantum, sed de quibutris aliis Fractionibus ica (quoad denominatores) continuo
tractis, intelligendum exit.
AEGuE

## Folio 476 — 851387705:0496
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000496.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
ARTTAMETICA LTOP. CiCI.
Acque tractenus Nobilissimi Viri mencem, quanta pocui brevicace simul acque
perspicuitate exposui; quaque de iplins mechodo dicenda habus breviter indicari.
P R OP. CXCTI.
Theorema.
Tse aegnabilis Curra (non hrinc inde Cubsultans) V C, cujus Axis
DVX, et Pansens in rertice VP: unde ductis ad curram rectis axi
parallelis, et ab invicem aequalibus distanciis remoris, harum Secunda,
Duarta, Sexta, Octara, etc. (in locis paribus,) sine uE T, 6, 30, 540,
_C. (qui numeri tiune ex continua mulciplicatione hOrUM, ZXEX 13, X 15 X ,
eC.) Frit, ur Secunda ad Tertiam (hoc est, ue xad numerum ipsIS I,
s, incerponendum,) sic Semicirculus ad Ouadeatum Diametri.
Sequitux ex PrOP. 139, et 135.
P R OP. CXCITI
Theorema.
L exponatur aequabilis curra VC, cui occurrat in verrice VY.
 unde ductis ad curram quoclibet rectis parallelis et aequaliter ab
invicem remotis, harum Secunda, Ouarta, Sexta, Octara, Decima, _c,
(in locis Paribus,) sint uE 2, 233, 583 3 ec. (qui numeri Aune ex
continua mulciplicatione horum, 2, X3X3 XZXZ etC.) Frit, ut Secunca
2d Tertiam, (hoc est, ue r ad numerum ipsisL, 3, interponendum,)
sic Circulus ad Ouadratum Diametri. (VF autem Sccunda ad Ouin-
tam, sic Triplum Circuli ad Ouadruplum istius Ouadratiu _c.)
Sequicur ex PFOP. X18, 12T, e 285.
P ROP. CXCIV.
Theorema.
Tsic aquabilis CuerX V C, axis VX tangens in vertice V P, un-
de rectae ad curram ducta (axi parallela e aequalibus interstuiis
dissita) lccunca, quarta, sexta, octara, decima, ec. (in locis paribus)
lint uE 2, 238,18, 23 ec. (qui numeri hiunt ex continua multiplica-
tione HOTUM FXZX ZX3X B _C.) Prit, uc secunda ad tertiam (hoc est,
ut c ad numerum ipsis F, Z, interponendum;) sic Circulus ad 3 Oua-
drati circum (exipei(sire Ouadrati ex Diametro;) Sire Triplum Circuli
ad Ouadruplum Ouadrati circum scripei. (Oc aurem Sccunda ad Ouin-
cam, sic Friplum Circuli ad Octuplum iltius Duadeati _c.)
PateE ex praesed. _ Tabella pFOP. 189.
dC FOT. L M
Ec quidem hujulmodt alla propotitiones innumera ex eadem Labella (prop. 180.)
deduci pollime: Formaris scilicet aliis acque aliis ejusmodi curris juxra istius LL
bellae tenorem.
Ouales aurem futurx sine illae omnes curra non adeo Facile erit juclicare.
Hloc incerum de quibuldam observare licer. Nempe; In terie serta, numeri (Pri
angulares) F, 3, 6, 20, _c. (qui tiune ex continua musriplicatione horum
TXEXZ XIS _C.) Sune uc quacdraca ordinacim applicacarum in Hyperbola; ue di.
ctum est prOD. T73.
In serie Ouarta, numeri (arictmerice proporcionales ) 1, 27 3, 4, 8c. (qui Fi
une ex concinna mulciplicatione horum FX3 X E X E eC.) Luneue quadrata ordina-
tim applicatarum in Parabola: sire ut rectae in Friangulo: ut patet.
T2

## Folio 477 — 851387705:0497
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000497.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
PFOD. CXCIV: IN EPNLZORUM.
la lerie Secunca, numeri (aequales) I, F, F, T, dc. (qui fiunt ex concinua
mulcipseatione horum, 1XZXZX6 cC. ) I i Guamala sectatuim (rel etram
bla recta) in Parallelogrammo, ut patet. Adeoque in Secunda e Guarra serie,
pro curris prodteunt revera rectae lacus nempe hie Prianguli, illie Pacallelo.
prammi.
In seriebus sexta, octara, decima, ec. (alcernatim sumpris,) prodibunt currae
maris adhue composiix, sed quarum characteres non minus accurate designantuE
in dicta cabella, quam Parabolae, Hyperbolae aut F.Iipleos characteres nOri.
In religuis aurem seriebus incerjeclis, prima, cerria, quinta, ecc. (in locis im.
Paribus,) provenient item aequabiles currx et regulares (quales puta pro Geome
iricis agnosceret Cartelius,) quamris carum characteres ditticilins explicari postine,
ut qui exposiris serierum, in locis paribus politarum, characteribus sunE incerme.
dis juxca illam quam extibuimus progrectionis Formam in Prop. 187.
Oualicer aurem ad aspectum se prabent expotica curra, (tam quae locis paribus
quam quae imparibus conreviane,) singulis tabellae seriebus indieatae, octendit ap
Polica tigura, qua sixillacim illas depictas extriber, debicis Tuis menturis ex eadem
(ut Loquuntur) Scala delumpris.
Norandum interim est (quod ee ipse aspectus indicat,) quod conrexitas curra
YC(rectam Y F vertus obversa) quae in currarum utrima est maxima, (si retre
0003
Compu-

## Folio 478 — 851387705:0498
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000498.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
ARLTEMETICA PFOD. CKCIV.
computemus,) in anterioribus sensim decreseir; donec in loco quarto curra illa in
rectam (secanrem) cranleat (quae inter convexam et concavam est media,) deinde
loco cerrio in concaram, secundo autem in parallelam, ec in primo denique in re-
curram, (qua nempe ex iis parcibus ad rectam concinue appropinquat quibus re
liquae inde recedunc.) Trem recta VP, quae in quiner et lequentibus est tansens
in quarca rectam secar, in tertia tic currae diameter, in secunda tc parallela, ee in
prima denique A (y mpTOta.
Ouxnam autem sine currarum harum omnium affectiones, et quibus modis eom-
modissime describantur, non libet mihi (Festo jam, racioque et impedito icinere
Paris Laltato) curiolus impraesentiarum inquirere; uc nec Hyperbola quadracuram
ulterius (quam supra Factum clt) artingere. Fc quidem tieri porest ut pracum
nonnullis nesocium vel ea cacendo praeltiturus sini, quo liceat ipsis, indicata jam
methodo, eildem inreltisandis oblectari.
Fas autem omnes tales esle quales pro Geometricis haberi velit Cartelius, quo
minus dubitem id Facie, quod de locis paribus jam Paris conster, derectis jamjam
corum characteribus, adeoque ee de locis imparibus (quamris eorum characteres
non ita commode delignari pollint) non alicer censendum elt. Ouales autem
illae sine Aquationes quae linsulis conreniant, ex iplo ordine parebic. Cum enim
Teriei quarta conveniat aequatio Laceralis, sexrae Guadratiea, octara Cubica, ec.
(puca quarum suprema poreltas est, Lacus, Quadratum, Cubus, ec.) ad feries in-
cerjectas tales necesse est aequariones pertinere qua line his incermediae: (puta
quiniae, calis quae sit quadraricae ee laterali intermedia; et de careris paricer judi-
candum.) An aurem ejusmodi Aiquariones lat commode posint recepio more de.
Lionari, dubitandum Forlan erit.
Mihi incerim sutticiar (nec quidem suscextorum laborum poenitet) rem tracte.
nus perduxille; noramque ingrelso semicam, eandem aliis aperuille: quae quidem
quo me duceret, in principio non adeo facile crachariolari, sed quae ad currilinea
rum (saltem quarundam) quadraturam, aliaque ejusmodi abstruliora problemata,
recta tendere videbatur. Nec quidem spem Petellit. Veut enim in Circulo ratio
ea quam habet ille ad Ouadratum (quam mihi pra oculis etiam ab inicio fuilse non
nego) non ita plane ex roco se procatu ut in aliis aliquot currilineis, recepto ali-
quo nocationis modo explicanda, (sed per rarios Maandros me deduxerit, e tan-
dem in aeerror quiddam desinat:) Operae tamen pretium est catenus eam indicasse
quatenus ipla numerorum nacura paritur; uc nihil insuper reliquum lic quam ut
inter Machematieos conreniat qua reline nocatione (Cire mea sire alia achue ad ar-
bitrium excogitanda) rationem illam aseuror indicare. In aliis autem currilincis
non paucis ita ex voco successerune omnia (ee quidem supra SpeMI nON FATO,) ut
innumeras Currilineorum quadraturas, parrim ancehac plane incognitas, partim
etiam coenitas gnidem ancea, sed nova jam ee faciliori methodo cradicas, indicare-
rim: Aliague inmumera ex incricacioribus Matheleos problematis, (puta de Pyrami-
docidibus, Conoeiditus, et Sphaerocidibus, de linea Spirali, e Spariis ipA adjacenti
Dus, de Parabolocidibus, aliisque pastum,) vel primus decexerim, vel multum cluci
darerim: Figuras item in intinicum concinuacas (non unam aliquam, quod tamen
a Foricellio factum, Paris ridebatur mirandum, sed rarias) ram planas quam Coli.
das, ad menturam nocam, et finitam recdtuxerim.
Facile quidem tuiltet (modo libuistet) innumeras paltim proposiciones alias in-
seruilte, (quod nemini parum rerum perico dubium else pocest,) cum tc Ca quam
prado doetrina consectariorum Pacis ferax. Fx quidem in primoribus hujusce cra-
Ctatus parcibus coxiosius hujusmodi consectaria incerserui, ideo praeserrim ut quo
tenderet haec doctrina indicarem. Verum in sequentibus illud parcius prolecutus
Tum, parcim quod jam ex praecedentibus cousque pareret methodus noltra, ejusque
utilicas, ut jam suo Marce postie quilibet id ipse praestare; parcim eciam ne propoLi
tionum numetus l qui jam curgere rilebatur) adeoque louS craelatus motes nimis
excrelceret. Adeoque mulca passim in transicu leyirer indicata lunc, quae, E libu-
isset curiolius prosequi, inceoram potius disquilicionem sibi sixillacim poltularent.
Ouod reliquum est; orandi sunt harum rerum periti, ut quod nos praestare va-
luimus candide dignentur decoptare, e siquid ipsis rectius, obcisit in publicum Ma
theleos ausme LLCC.
grste
. LNEFOI
10d BOsse Ledit

## Folio  -  — 851387705:0499
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000499.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
e
C I. I V S CS
L A R I
DXO NIT V IS AI
Anno Airx Christiana 1654.
2 Dic Mensis Aveusti.
SYIL O V B F F R 1.
BSF R V A Y 1O.
AnnO 1555 Fdica.
a

## Folio  -  — 851387705:0500
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000500.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
tisit
E HH IIII
pca
O: 112. LeiBn. Mar9. 100: 112, Suick

## Folio 481 — 851387705:0501
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000501.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
SBLALLOAI DANTISCIAHO,
Matheseos peritissimo;
A A N N F. S WV ALL TSIVS
5.
ON illud axitur hisce literis (Vir Ilustris) ut quanta Tua fue
rit in rebus Mathematicis peritia, quanta industria aut quan-
tum etiam ipsa Mathesis sedulitari Tuae debeat, literato Orbi
innotescat. Duotusquisque enim est qui illa nescit: Aut qui-
dem, si nesciretur, quis ero sum ut ea mihi de Te praedicanti major quam
ipsis tuis operibus debeatur fides. Non patiuntur autem ecresia illa quae
ex tuis exstant opera non patitur nominis tui celebritas, nec Mathemati-
corum omnium in te conversi oculi patiuntur, ut TIF, V F. LII nomen ab
erudito Orbe vel renoretur, vel amplis laudibus undique non efferatur.
Quisquis enim limatissimum illud opus Selenoeraphicum, (ut caetera taceam)
quod Te authorem praedicat, inspexerit; co, quanta cura quantis sumpti-
bus, quantis visiliis, quanto denique (ut uno verbo omnia complectar)
Viro opus sit, ut eererium illud opus instruatur, satis perpenderit; non po-
verit ille non in admirationem rapi. Duis enim illum vel tacere poterit.
vel satis eloqui, qui unus isthaec omnia peregerit: Feo quidem non Catis
mirari valeo, summum virum, tam rebus domesticis, quam necotiis publicis,
es obeundo maxistratu, occupatissimum, eousque calestibus observationibus
vacare posse, eisque tanta cum sedulitate, tanto O temporis eo facultatum
C valetudinis etiam impendio, tam pertinaciter invicilare. Tanto enim
apparatu, tanto molimine, tantis sumptibus, in conficiendis instrumentis, in
vitris excolendis, aptisque parandis observationi locis, in tot insuper Lunae
phasibus, aliisque Caeti Phaenomenis, accurate nocandis, delineandis, ari
que incidendis, opus esse nemo non fatebitur, ut ea non unum aliquem
licet summum virum, sed sat multos potius viros eoresios postulare vi-
deantur.
Cum autem mihi contizeri non modo Tuis quae publice entant scriptis,
sed C humanissimis ad me liceris Tuis aliquoties frui; a gratitudinis oftr
cio neuriquam alienum duxi, quae nobis nuper observare leuit tecum com-
municare. Duamvis enim hujusmodi conatus nostri, tanti non sint ut cum
Tuis illos comparandos velim, (cum neque tantus mihi suppetat instrumen-
torum delectus, nec eam mihii vendisem, minus exercitato, in observando
ave iEctav)

## Folio 482 — 851387705:0502
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000502.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 14 lines, status machine
DF DIC A TIO.
aueCcar) atramen Tibi non ineratum fore facile judico, quid ab aliis ob-
servatum fuerit intellirere: praesertim cum ea quae a Luminarium Eclipsi-
bus addisci solent, non tam ab una aliqua, utut accurata, uno in loco prae-
stita observatione, quam ex collatis variis, in variis Terrae locis peractis,
innotescant. Ideoque hanc nostram qualemqualem deficientis Solis Observa-
tionem Oxonii habitam, sive observantiae, sive gratitudinis erso, Tuis ocu-
lis subjicere visum est, simul cum ea qua usus sum observandi methodo. Si
quid autem inde vel delectationis vel commodi perceperis, omnino mihi era-
tissimum erit aliquid praestitisse tanto viro non ineratum. Superest, ut à
Deo Opc. Max. omnia Tibi felicia precatus, Juique observantissimum
me professus. Valere jubeam. Dabam Oxonii, ipsis Calendis Fanvarii,
Anno 1655.
Fctipsi

## Folio 483 — 851387705:0503
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000503.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Aug. 2. 16541. ∞. Ct.
Observandi Methodus.
OM Exhemeridum indicio moniti, Helivlin solarem Pacis guidem am-
plam secundo die Menlis Augulti (sylo vereri) Anno AITX Chri
stianae rulparis currente 1654, tempore macurino, conspiciendam ex
A Spectarimus: Parabam ea quae huie negotio necellaria videbanCUE, ut
li calo propicio trui dacum tuerie, Felipsis exlpectata commode spectari pol
set. Cameram nempe curari probe obscurandam, ut merxe esent cencbrxe; in
quam per Telescopium Paris limacum Solares radii ineromis in adversa cabula
reciperentur, quam ita Feleseopio accommodareram, uc, ubi ad Solem illud di
rectum fuerit, haec Temper Solari diseo maneret parallela: eodem ipso instru-
mento ulus, quo ance biennium eodem in loco Feliplin (quantum per coetum
nubilum cune licuit) obserrareram
Huic cabella, sire asterculo ligneo, chartam actireram, quae circulum contine.
bac cautao magnicudinis ut illum exacte impleret per Feleleopium incromilta 50.
laris corporis effigies. Hlunc circulum (duabus diametris decultacim potiris di-
visum, quarum altera lineam verticalem, altera horizontalem ostenderet,) ita
diridebant alii circuli concentrici ue in qualibet diametro disici de digitorum
quadrantes distinguebantur. Ec perpendiculum cuiam appentum crat, cujus um
Bra moneret Eiquando linea rerticalis a debiro Cicu deflecteret.
Flabui autem obserrationis comites duos coregios viros, Artium MagistrOS, et
rerum Machemaricarum peritistimos, D. Richardum Parvlinson Collesit Regina-
lis Socium, de D. Christophorum et ren Socium Collesii omnium Animarum, quo-
rum etiam alcerius ope in aere incidendo usuS CUM.
Ubi dies adrenerat, metuebam primo mane ne nutitum caelum aspectum So-
lis penicus impedirer. Sed nubes paularim disperta, anre Rclipleos initium, cae
rum (udum oltendebant, e negocio noltro fatis accommodum.
Iplum Eclipleos principium non obterrari, quippe quod paulo cirins conti-
sit quam exspectareram; sed ex sequencibus obserrationibus aliquammuliis Patis
illud collisi Doceric: incidisse nempe (apud no5) hor. 7. 45. (cireiter) tempore
maturino: in limbi Solaris gradu 22 a puncto rerricali Occidentem rersis.
Deinde vero phaes umbra crescentes nocari (es, prouc illas habes in Tyo
delineatas; ut d decrescentes quindecim.
Maximam vero Solis obleurationem omnino non vidi, non cam injuria Coesi
quam loci ubi tueram impeditus. Camera enim ubi habita elt oblerratio eum
Tabuie sicum ut non per unam aliquam fenestram tota pocuerie Felipsis obser-
vari; sed principium quidem per unam, finis aurem per aliam. Maxima aurem
omnium obseuracio cum contisie cum instrumentum ab hac ad illam movendo fui-
mus occupati, dum neutra fenestra Patis erat commoda: Sol enim ab una diorestus
nondum ad alteram perrenerat. Ouanca aurem illa Fuerit, ex reliquis phasibus
collatis Paris colligitur. Frat nempe illa (suxta eam quam exhribemus oblerra
tionem) decem inteoris digitis paulo minor. Incidic aurem (apud nos ) hora 8.
585. circiter, paulo ante obserrationem noltram seprimam.
Obi denique Feliplis ad Fnem rergebat, curarimus tam momentum exicus, quam
punctum marsinis solaris quod ulrimum umbram pallum est satis curiose obser-
vare. Incidit nempe (apud nOS) hora 10. T4. (ante mericiem:) in limbi Solaris
Gradu 43 2 puncto intimo Orientem verius. Duraricisicur Ectiplis per HOraS
duas integras cum semisse, circiter.
Ouem aucem in lingulis phalibus licum habuerint lueis cornua, ee quem Solaris
limbi gradtum ceriserine, in ipso quem vides Typo exprectum habes; uc non sL
Opus

## Folio 484 — 851387705:0504
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000504.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
F, C L TPS IS SOL A R 1S.
opus mulcis illud verbis explieare. In omnibus aucem illis quas nocavimus pha-
Tibus; consentus ipse Paris indicio else videtur, toram obserrationem laris accurare
tirisse peractam, Palrem errores siqui sint non adeo magnos este.
Diametrum Solis risibilem deprehendimus in hac Felipsi minorem esse quam
in ea quae accidic duobus abtrinc annis, (Martii 29, 2652. It. ver.) quod coltarim
indicio patuit, quod idem Circulus Obserratorius quem cunc adhibui nonnili in re-
motiori a Perspicillo distantia implebatur.
Diametrum Lunx vilibilem, quamris illam exhibeant Pabula Diametro Solari
Paulo majorem, invenimus porius aequalem este, ab ea saltem vix nocabili quanci-
tate disterre. Quod hoc indicio deprehentum elt. Circulos habebam aliguocchar.
taceos antea pararos, dirersa paulo ab invicem magnicudinis, Circulo Oblerrato.
rio (qui dilcum Solarem extribuic) partim majores parcim minores aue aequales;
quos hgillarim umibrae in Solari disco vilae applicando illum inreni arcui lucem
ab umbra leparanci optime conrenue, qui circulo Obserratorio congruebat.
Acque hoc quidem circulo chactaceo utus sum in singulis phasibus observandis.
Cum enim celerior mocus umbra non paltus est nocabilem moram in una aliqua
phasi delineanda; circulo chartaceo umibrae applicato, per ipsius stacim marginem
arcus eos plumbo descriptimus quos in iplo Typo vides exprellos. Hhoc enim pactor
Se expedticioni melius prolvectum, ee contutioni caurum, iri judicari, quam si sin-
sulos arcus cernis punctis indicatos ciremo candem polt obterrationem peractam
delineandos reliquerim.
Cum aurem vilibilem Luna Diametrum respectu Diametri Solaris paulo mino.
rem nobis apparuille dictum est quam indicabane Tabulae: non canien propterca
Tabulas illas eo nomine suspectas Ctarim insinun auterroris incuso; cum e Falva
Pabularum tide Paris illud concingere pottic. Corpus enim lucidum, dum radiis
suis corpus opacum lambic, iphus marginem ita perltringere solitum est actI nOn.
nihil inde abraderet, et corpus opacum paulo minus apparere tacit quam revera
elt. Ouod tamiliari instancia concueri licet. Si enim bacillum teres oculum inver
e lucernam transrersim colloces, ut lucernae Hamma partim supra baculum parrim
lubrus conspiciatur; videbitur rocundum illud bacillum eo loci ubi radiis perserin-
Sicur aliquanto minus este, quam alibi ubi racliis Hammulae liberatur; quaEi urrin-
que aliquid radiis perstrinsentibus ablacum esset. Ouod quidem de corpore L. u.
nari sI concedatur, Solem inter ex oculum polito; necesse et ut iplius discus, ra-
diis Solaribus quali detertus, minor aliquanto appareat, quam vel rerera lic, vel
in alio sien videatur este. Ouod quidem animadrertilse, in Solaribus Felipsibus
altimandis, non levis erie momenti. Hlinc enim crenset ue Fclipses Solares Cem
per videantur paulo minores quam Luminarium proxoriio et siius postulant. F. L
(eadem de cauta) Feliples Lunares etiam justo minores apparere postime, dimi-
nuco scilicet umbrae terreleris cono (abratis quasi lumine Solari iplius particulis
exterioribus,) unde necesle eric ut de mynuamir Lunaris dilei obscuratio. Ouan-
rum aurem, in vrraque Pelipii, hanc oh causam decse judicandum exit, accuraciori
indasine non indionum videatur.
Temporis momenta quod attinet; ea indicio Forolosii ambulatorii, sinsula
minura prima de secunca monstrancis, astimari; prout illa habes in adjuncta Pa.
bella indicata. Ouamvis enim ilthaec auromaca, utuc arciticiose facta, non ita pla-
ne aequabili mo prOcCdanE uE Machematicam cexpiscuuv attinsane; si tamen minuto
tortan inceoro (vel eriam altero) aliquando DecCatum FIICFIE, nON CaprOPtEF CO-
rum ulus ellet concemmendus. Sed de alticudinem Cencri Solaris aliquories interim
aneo Ouacrance obserrari, non quidem adeo magno, sed accurate diviso d tide.
liter etiam ractalo. FX quibus compararis liquet, Forolosium, in principio
Ecipseos, porius sequi justum tempus, sed properanter; in sine rero, praeire, sed
et legnelcere.
Plura cemporis mensurandi mecia non aehibui, parcim quod ad manum alia non.
cranc, parcim etiam quod non coridem adjurores hahui, Ellarum rerum peritos, quot
pluribus accenti else Porent.
Fora Obserracionis Perie sie peracta: cum randlem estet are incidenda, non ulla
placuir emendatione uti, ne correctionis praetextu deprarare videar: Sed obterva-
tionem integram, Licut in procoerapho primitus depicta Fuerat, fidelirer in geneam
laminam transterre. Schematis camen torius licum invertum, ex radiorum decut.
Pacione orrum, in incesrum resticuendum duxi, (quod sola chariae convertione
praelticum

## Folio 485 — 851387705:0505
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000505.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
2.
P 5 IS
L a R 15
Deastitum est,) quo melius apparentix ccelesti congrueret. Focum eriam in mino-
rem aliquanto formam redigere coactus Cum; quia circulus, quo usus eram, Ob-
Ferratorius aliquanto major fuerat quam ur una pasina commode concineri poltit.
Centri denique Lunaris tranticum, per dileum Solis, depictum habes; quarenus
ex obserratorum arcuum ceneris colligitur. Oux quamris linea sit non ita plane
aequabilis, quin aliquanculum hinc inde Auetuet; tancillum tamen aberracum est,
UE rix majorem arpiBeur Sperare ausus elsem; cum in accuraristimis quas videre
contisie Obserrationibus, non minorem deprehendi centrorum diraricationem,
nonnunquam eciam et lonse ampliorem; quod et quiris alius deprehendere pore
ric, cui libet in aliorum Oblerrationibus arcuum observatorum centra examinare.
Nequemirum illud illis ridebitur qui rebus hujusmodi sunc exercicari: NTOrunE
enim lerissimam in oblerrandis umbra arcubus (praecipue minoribus) aberra-
tionem, latis nocabilem nonnunquam centri diraricationem creare polte; praeter-
tim si accedat vel lerinscula instrumenti ricubario, vel perpendiculi a suo sicu
deflexio: quid quod ee ipsum lueis ee umbrae continium non adeo accurate, quali
linea Machemarica, determinare darum est, quin aliqua laciendo concedatur lic
necesse non nili conjectancis oculi xstimatione determinanda. Ne autem sic linea
planc recta, impedire debent mucata subinde in lingulis momencis cam Luminarium
Parallaxes quam Solaris Disci puncta Verricalia.
Tandem praecipuas aliquoc phales seortum placuit in minori Forma describere:
non quidem eas ipsas quas in Obserrationis curriculo notarimus, sed qua integris
porius diametri Solaris disiris respondeane, prour eas ex majori Schemate colligere
licuit.
Ouis aurem fuerit Zodiaci sicus in lingulis obserratis phasitus, nec erat necesse,
nec quidem conreniens adnotare; adeoque nec nodi Feliprici poticionem. Cum
enim Lodiaci ad FToriz onrem inclinatio non eadem permanear, sed in linsulis lub.
inde momentis immutetur; opus esset Zodiacum vel non omnino notare, vel tories
quoc tint ipix obserracx phales, unde linearum contutio nimia oriretur (iC ne-
cesse. Nec tamen capropcer placuie oblerrationis Erpum primarium (quem nempe
cempore Obserrationis descriplimus) immutare, ut omnes obserraia phales ad
unum aliquod perpendiculum reducerentur, cujus respectu Zodiacus in codem sem-
per perliltat licu. Sed mallem rem iplam limplicirer ut tacta elt extribere, et
Ejulmodi calculum seu resticurionem cujulris arbicrio permittere.
Acque haec sunt quae de praesenti Obserratione monenda duxi. Reliqua ex ipsa
Fypis qui sequicur, inspectione facis parebunt.
OBser vairo

## Folio 486 — 851387705:0506
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000506.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 117 lines, status machine
480
Observan Lanscos ooiaris
OXONIIhabica;
uno Serae Christianae 2654. Die 2 Aueusti At. vet. Llevao
Poli 5F, 46 circiter.
enatium 1Disiti  Lempus secun-) Alrcudi. Lempus ex al.
Obserrata. FCpri- dum Florologium nes ceneri cicudine Solis
ambulatorium Solaris crutum
FIOr.
8.
2
9.
d. 15.
22.
28.
34.
39.
59.
4.
8.
T2
15
17.
22
28.
33.
53.
20
30.
23
O.
20.
24.
3+
Gr. MI JTTOF.
42.
50.
34
4).
C7
56. 24.
59. 14.
10. 2.
10. 6.
10.
3.
350
15
50
T0. T4. 00.
33. 3450.
Luz.
20, 20. 35.47. 57.20. 27. 3r.
Speciales aliquot Phases ad analoriam
Schematis Universalis.
Crescentes
Enreum. ( HTor. NB.
FDiZ. 7.
2D18.
3D1g.
4 Di8.
Di3.
6Di8.
Dio
8
8
8
8D18. 8.
9Dig.
8
10F erc. 18.
45.
5T.
5
32
10.
465.
23.
292
362.
38.
Decrelcentes
OD18.
8Di5.
7Di8.
6Di8.
5DI8.
FTOT. MIn. 1
4D18.
3D18.
d. IF.
9. 102
9. 263
d. 34.
9. 42.
0. 48
d. 55
2D15. 20. 73
FDIg. 20. 8.
L2_IS. 20. 24.
rum oido.
ci.
2.
4 CirC.
5 circ
3
e
9.
22 Finis.
29.
25. 40. 34. 3. 13. 31.
Deo
a
42. 30.
43. 45. (9. 38.
 e
C d

## Folio  -  — 851387705:0507
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000507.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
Typus Edlipseos Solaris, ut apparuit
OXOSG
Augusti, 1654. ante meridiemo
Septentrio
Crescentes.
Phases.
Hor. 7. 562. HL0r. 8. 3 =. Hlor. 8. 97. Xor. 8. 16 2. Xor. 8. 23. H(0r. 8.292. 3(0r. 8. 362. Flor. 8. 597.
Dig 2.
Phases.
Decrescentes.
FCor.9. 9. FLor9. V7. XCor. 9.27. HLor.9. 34. Hfor. 9. 41. FTor. 9. 48. Xor. 9. 54. For 10. 9.
.
6)
5. 
19. 2.
Nurghers sculp.
6

## Folio  -  — 851387705:0508
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000508.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
1.
is s

## Folio  -  — 851387705:0509
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000509.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
ZRACZATVS DVO.
PriOr,
CrCLOIO
S) nit essire Et corporibus inde geniris. (Metii 
 Corit
51
Pollerior, P P fS FOL A R L5,
170 qit
re
1e 131O) Cestsils esi In qua axicur, i Derss sice stdete
CISSOID
Et Corporibus inde genitis:
EF
DF CV R V A RV M
Tum Linearum Ed duvoes, cum Superticierum Hn_N opco.
Anno 1650 Fdici.
12

## Folio  -  — 851387705:0510
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000510.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
Monitum adt Lectoremm.
vit
Onendus est Lector, plurima eorum quae de CY-
A cloide habentur in hyc Fractatu (qui, PrOpter
Dertonrilii cractatum interea prodeuntem, relictus
crat imperfectus) Fulius haberi, ex plenius tradita (sed
alio ordine) in Fractatu (Por plures annos edito) de
Mechanicis, hre de Motu. Oux crane ibidem repe
tenda, ne Tractatus ille (separatim editus) Foret mu-
Milatus.
e e
:EisraS SBrI eneirogro Sit
s
a c
i
SE ca aiveda nuriaori T cuui
 aD. DCML

## Folio 491 — 851387705:0511
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000511.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
Lnoradia Ln moque iro
DB
A R M YC F R O
Tum illustri Familia, Tum magnis
Virtutibus Nobili.
DDMI, Scientiam nullos habituram inimicos, praeter ienorantes.
jam olim sit scitissimum: Nemo, credo aut iniqué aut imprudenter e
me factum existimabit, quod Scientissimum Virum opusculo huic no-
stro patronum advocaverim. Dui praeter tuam in Theoloricis tum
cognitionem tum praxin; at que in Lincuis, tum sacris, antiquisque, tum mo-
dernis etiam peritiam; in Politicis item, e negotuis publicis,  rerum e per-
sonarum, domi perecreque, intimam notitiam;
Cui mores trominum multorum noris et urbes:
In Physieis etiam, C verae Philosophiae denatione, ita perpetuis e subtilissimis
Experimentis, Medicis, Chymicis, Anatomicis, aliisque omne genus, Natu-
ram quasi ferro e iene prosequeris, (nedum per omnes subtiliorum in quacun-
que arte Opificum officinas,) in secretos abditissimosque sequeris recessus, e
quasi in viscera penetras; ut mirum ii tibi tandem se in praedam dedat-
Durque Naturam, tanquam equuleo imposieam, severa saltem, ne crudeli di-
cam, quaestione, torquendo vexas es recorguendo, quo verum tandem fassa
secreta pandat omnia: idem, in Mathes, Equationes Analyticas, (L quu
leum Mathematicum) versas; quo vix subtilius aliud instrumentum abdita
perquirendi, aut extricandi involuta.
s
Duanquam enim tam perspicacis incenii Virum atque subacti judicir re-
formidare debere videar, qui de nostris sententiam feras; ut qui vel leviora
apooapata aut cinvoias. vel duedodias etiam; si qua deviatum est, potis es
dienoscere; Futamen, qui caetera noris, etiam noris quam infestino scripto mul
ca sint condonanda, quamque omnino arduum si, omnem uneuis oritiei scalpeu
ram devitare.
Invenies autem, ex subtilissimis praesentis seculi inventis, sinon omniam prae-
cipua saltem, vel ex professo tradita, vel obiter insinvata: Faque, utut non
nova omnia, aut nulli hactenus reperta, at novis saltem demonstrationibus or-
nata es methodis nostris accommoduma. Et quidem ab aliis nonnulla per
loneiores ambases es particulatim invenilu mirabere for san tam facile ex prin-
cipiis nostris, es universaliter traditis, simplivius e sponte fuere.
Tu vero, ut soles, e doctis favere pereas, e studie promovere: nec aver
seris interim,
rIR NOBILISSIMI
Tui observancistimum
e amaniistimum.
Dt B A L. L 1b.

## Folio 492 — 851387705:0512
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000512.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
So, quid in sequentibus acatur, rectius persentiscat Lector, quaque
ansa data haec fuerim meditatus: praeviam hanc totius rei sestà, qua
tenus ea me spectet, narrationem pramittere visum est, quaeque ad
a operis me impulerunt causas breviter aperire. Cum Tlustrissimi
Rguitis Disbxi literis (7alii 27, 2658, Parisiis datis) duas simut
inclusas charculas, pridie Cial. Aucusti, styto nostro, hoc est Au8. 20. Styto novo,
Oxonii accepi. Quarum prior, haec continebat Problemata: (P’arisiis, quod au
dio, ineunte mense funio primum divuleata)
Dato, in Cycloide quacunque ABC. D Ag. P. quolibet puncto 2, ex quo ducta
Z Y recta, bali AD paraltelam arem C. lin puncto Y sCCeT: OuXTUNEUTi
Dimenlio spatii CZ Z; Ejusque centrum gravicatis:
Solidaque ex ejuldem CZ. Y convertione, tum cirea Z Z, tum circa C Y, geni-
ta; ee horum Solidorum Cenera gravicaris.
Ouod si eadem Tolida, tum quod circa Z. L, tum quod circa CY, plano per
exem bilariam sccentur: Horum iem temilolidorum quaeruncur centra erari.
TaLIS.
Ruorum quidem Problematum tolurionem, a praestanciltimis toco orbe Cieome.
eris, supplex postulat Anourmus, proposito simul peaemio in haec verba, duilquis
tuperius propolira, incra primam diem Menlis Octobris anni 1658 Tolverit ee de-
monltcarerie, magnus erii nobis ApoIlO. Et primus quidem consequetur valorem
quadraginca duplorum aureorum Flilpanieorum, quos ipsi FTispani Dublones, e
Calli Distolles vocant: Secundus vero visinti ejusmodi duplos aureos: Si unus
tancum solveric, sexaginca Tolus habebic.
Charta posterior, indicat: Per (Cgeloidem quamcunque) non aliam ab ipto
incelligi, quam Cycloidem primariam a Foricellio descripiam; cujus nempe Ba-
lis perimeiro circuli generantis aequatur; Seque rationem quam habet Balis CY.
cloidis ad alricudinem, sire ad diametrum circuli generantis, pro data reputare:
Remirtit denique nonnibit de propositionum praecedentium rieore, nempe multorum
catuum caleutum, ee absolutam tolutionum conseriptionem; Adeoque his tandem
verbis conditiones suas exponit, Dui publico Instrumento, incra praellimum tem-
vus, Illustristimo D. de Careari ligniticarerie, eorum quae qualica lunt demon-
etrarionem penes se habere; et aur iplammet demonstrationem quancumvis com-
pendiolam ad ipsum miserit; auc si charra mandare nondum per orium licuerit,
lalcem ad contirmandum sux altertionis veritarem, calus quem mox delignabimus
calculum dederic; seque paratum elle protettus luerit omnia omnino demonstrare
ad iplius D. de Carcari nucum, hunc nobis Patistecilte declaramus: Ec conten-
rimus, primum qui hec tecerie primo, secundum secundo, praemio donandum, lI
tua solurio ab ipso D. de Carcari virisque ad id secum adhibiris, cum ipti vitum
Fuerits extribita, Geomerrica ac vera judicetur: Salvo semper erroris calculo, (lese
errore calenli.) Calus aurem cujus solius sufticier calculus ille elt.  Si semiey-
clois AC.F cirea balin A F conrertatur, et solidum inde genicum secetur plano
per iptam AF (quae jam hujus solidi axis ct) ducto, quod quidem solidum di
videt in duo semilolica paria. Alcerius horum temilolidorum cepirum Braricaris
altignari postulamus.
Flis acceptis lteris cum inde per speverim Zlustrissimo P. quiti in Dotis esse, ut
eoo huic me inquisitioni accincerem; id statim feci, non iam exposito praemio
quod quidem ad pempam facere visum est) quam Llustrissimi Lquiris desiderio
inductus. Videbam aurem non parum temporis propositi (mediam saltem parcem)
jam essuxisse: Pt quidem (quod incellei postea) non exieuum etiam à calee
amputandum erat; quantum saltem exscribendis, transmittendis e tradendis i-
reris sufficiat: (duod enim in charsa prima dictum est, qui inera primam diem
Octobris solverit ee demonstrarerit; id in secunda sonat, qui publico Inltrumento,
intra praesticutum rempus D. Carcario signiticaveric; quod tandem exponunt Pas
calii ad Wrennum lierae, li incra dictum tempus Carcarius id aCcCDexIC.) In
aneustias

## Folio 493 — 851387705:0513
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000513.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
PR AE FA
ansuscas ilaque temporis conjectus eram; (e quantas quidem tam perplexae 
quisitiont oix sufficer det aurhor ipse judicabit:) Pra sertim cum rucis eeo ad 
operis altesserim, quda ipsum,  Catos suos, jam per venti annos ex ultra, ne-
aum quaaraeinta exercuit: (neque enim eso de Cretoiae quidoiam ante medita
tus eram quam his Problematis fuerim excitatus.) Duod itaque temporis aneustia
postulabant, nec abnuebant oblatae conditiones, rem eso summatim aperiendam duxi:
adeoque literis A8. 20. Oomi dutis, parasraphis 55, (eisdem fere verbis cum
toridem tractatus insequentis primoribus,) ad . Carcavium amandabam; quibus
cotius methodi summa continetur: reservata mihi, quam  oblatae conditiones pa-
tiuntu, libertate, lapsas (si qui forte fuerint) emendanc. (Non enim tam
ipsum calculum quam calcuri methodum tum exponere satacebam.) Et quoniam
Eultrumenci publiei mentionem factam videram, quamquam quid illae voces ibi
dem innuebant non satis perspiciebam, ne tamen ex hac ex parte quidquam defi-
ceret, Nocarii publici subscriptione rem confirmandam curabam.
Llas meas literas, ad D. Carcavium 10 Septemb. pervenisse intellico:; vel sat
tem (eo absente) ad i sum Pascalum: qui tum eu Problemata, quod jam in-
tellicimus. Anourmus proposuerat, tum D. Carcavio permiltente aliorum scripta
literasque ad eum ea de re datas accepit es perlustravit, id enim in suis ad D.
WVrer literis 13 Sepi. datis innuit, his verois. Ablencia communis amici nostre
D. de Carcari qui cuas ad me misit svistolas, causa elt cur non ille led ego quam
vis ignocus audeam relpondere. Pt tandem (post alia multa) Onum cibis in
quit, dicere habeo, scilicet hie receptas elie ab eximio ex rettris Creometra exilto-
las in quibus omnium qua de Cyeloide problematum sunt proposica Tolutionem
EradIE. Et ipsi luum ordinem relixiole serrandum ab illa die seilicet quo recepta
tuerume, nempe d decimo die hujus mentis Iilo novo. Sic enim habetur inten-
eio Anonymi provonentis, ut qua die D. de Carcari excipie solurionem alicujus eo
die ordo ejus lumatur. Ec quidem conformius tuisset Anongmi iplius incentioni
uE per Nocarios Paritienses acrestario Facta tuiller quam per Oxonienles. Parilien-
ses enim tidum facetent recepcionis D. de Carcari, unde ordo sumitur; Oxonien-
les vero nihil ad hoc Facere pollune. (Fanta signidem solennitate res transicenda
erat. Duasi quidem nesciverit Carcavius, sine Vocariorum plurium Publicorum
restimonio, se accexisse; vel etiam que die accexeris.) Ne autem isthaec non satis
intellicantur: Ad ea verba impressae charcula posterioris. Oui publico instrumento
aute praelticucum cempus, Wlultriltimo D. de Carcari ligniticareric; hanc adscriptam
transmisit nocam mareinalem, id est, per Nocarios Parilienles, Per extraneos enim
nihul ligniticari pocelt D. de Carcari: Fc in hoc elt aliquanculum plus sratia in
Callos, quam in alios Gcometras; sic aurem voluir Anonsmus, lux lesis domi-
nuS: Traque quicquia ante Calendas Octob. 2d D. de Carcarimitretur, ordinem
obtinebie, quod aurem poltea, non recipietur quamvis probaretur actum tiiste
ante Calendas Oetobris: ligniticario enim facta ad D. de Carcari, Peu ejus re
cerrio, sola valet ad ordinem praemii. Ec liquis c resione magis remota jam mit-
cac lolutionem actam ance 29 Aususti (qua dic acta est solucio vestri dieti Cieo
iBecra;) ipsa quamris prior, polterior habebitur, hepore polterius recepta. A
que haec fant gui du D. Nren de me scripserat. De quibus mihi nihil quiequans
contra aspulaie in animo est.  praemium enim quod artinet, de quo videtur
ille acodum solivitus, ia a ommum minime solcuu renel. Rem ipsatit gudo
publieis notaris opus esset non dcdum. dea asscent quam velt mentem suns ver
bis,  de praemio quod subet paruut, non repueno; Callisque sins prae aliis favo
rem que velit lareiatur. Lat siquidem est rem refero, non de jure litiea-
Turus.
spectat: Geomerrurum illud judicio permiltendum est. De Instrumento publiet
quod dicitur: purarim quidem eso, vel eo hoc opus esse ut D. Careavio fidem fa-
ceret quo tempore solurio quandet al factu faeru del non onmino opus esse: ut
exim sioi se accepisse constet, vel quo au aoperit, quid Instrumento publico vet
Tncerea vero temporis, liveris secmais 3 Sepremb. datis, minestiora quae dam in lite-
ris praecedentibus contenca, parium explicabam partim immulabam (reservata rament
qua prius libertate,) adeoque in eundem pane statum quo jam habentur redie ebam:
Visi quod etiam tum non satis altenrus, 350. falsos adhue numeros apposuveram; (
similiter 8 45.) Iulis unique numeris invostrsandis, trimeum LF R fic. L. B0c
est et a fig. 7. (qui facilis lapsad est) eirea rectam A F, convercerum, quda sea
19:

## Folio 494 — 851387705:0514
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000514.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
R A
CF convertendum erat, (ut 577, ubi calculus instituitur, videre est,) nempe ut
habeatur aerreeatum omnium F L, sive 87 f15. 7. It L. Z Arichmetioe provortio-
nales ductarum. Duam quidem oleitantiam ubi animadoerrerem (quoaque uni-
cum in jam traaitis emendavimus) ultimis tandem literis, eodem meuse datis
insinuabam: Superelle, nempe, in prioribus nonnihil immucaridum, quod ec iplis,
i nondum ad examen redeserine, perspectum ese postic: cum aurem iplis actue
plura videri torce polline slupplenda, ad jultum eorum demonstrationem quae vel
lrictim intinuarerim, vel uc pro conceltis habuerim, exlpectaturum me aicebam,
donce quid iplis videretur incelligerem, uc eadem opera immutarem immutanda,
supplenda supplerem, et Supremam adjicerem manum. Atque haec quidem eet
ipsorum conditionibus conformia esse duxi, (qui nonnisi demonstrationem quan-
cumris compendiolam peserent, vel ne hanc quidem, modo numeros uni casui ac-
commodos quis exhiberet,) idque lalvo temper errore calculi: modo saltem (quoa
in literis ad D. Vren additum est) parari simus reliqua exhibere ubi fueri-
mus a D. Carcavio ad hoc moniti.
Lapsus autem ille quis suerit quem emendaturus eram, speciatim literis illis non
indicabam; quia jam mibi subolebat lupus in fabula. Conjerebam enim ex literis
ad D. Wren scriptis, (me enim nullis hactenus disnati sunt,) Paschalium bunc cui
D. Carcavius literas accipiendi, perlustrandi, eisque responden di copiam fecisse dicere-
tur, (fortasse e sententiam ferendi num conditionibus satissiat,) eundem esse qui
haec problemata Anourmus proposuerat. Cui cur eeo mea ulterius aperirem non
videbam. Accedebat, quod jam edoctus fueram, quocunque tempore quiaxiam alibi
factum fuisse constet, nisi id Parisiis anre indictum diem Carcavio tradatur, (quo-
cunque id faro fiat,) non admittendum fore; adeoque cum non sperandum videba-
cur ut quiequid esorum scriberem (exeunte Septembri) ante primum diem Octo-
eris eo accederet; id faltem insinuare visum est, tum deprebendisse me errorem il
lum calculi, tum paratum esse vel illum emendare, vel étiam; quae ultra desideren-
tur, ad eorum nutum supplere.
Cum vero eso per aliquot menses, ut monitus eram, (sive D. Carcavii, sive po-
tius) Pasebatii nutus expectaveram, quid ultra postularent, aut quid suppleium
adhue vellent; nec quiequam literarum acceperim, (licet literas meas ternas ad
D. Pasehatium rice fuisse traditas aliunde intellieam:) Fandem prodiit, quasi rei
sesta Parratio; Eliltorie de la Rouletre; quam exeunce mensé lovembri primum
vidi. In qua, utut de solutionibus à me exhibitis (quod de aliorum item evenisse
conjicio) altum fuerit silentium; tamen etiam aahuo exspectandum insinvatum erat
dum alii nescio qui a D. Carcavio ad id desienati (siqui saltem desienati,) judicium
culerint de scripus sive nostris, sive  aliorum, quorum etiam nomina reticere vo-
suit.
921IL
Inmuil quidem haec historista, Considerationem Creloidis, Mersenno proponente,
jam ab anno 26F5 (dum eeo nondum natus eram) Gallos exercuisse: Robervallium
vero anno 1634 demonstrasse primum, Fisuram Cycloidalem circuli genicoris rri
plam elle: quod e post illum demonstrasse dicuntur Fermatius e Carresius, sed
quorum demonstrationes, prae illa Robervalli, exrennatumitur. (Porum vero neme,
quod seiam, demonstrationem suam rypis vuleari bactonus curavit.) Forricellius
deinde, qui anno 2644, harum rerum nescius, vule aoit suas (omnium, credo, pri-
mus,) insimulatur plaeri; (quam juste, nedum candide, non inguiro: pestquam
per complures annos sit demortuus;) non quod Robervaltu demonstrationem pro sua
vendicaverit, sed qued (sie urique suspicantur) inter Calilai schediasmate vidisse
forte potuerit propositionis istius demonstrationem a D. Beaverand ad Galilaum
olm transmißsam. Cui simile quid de Lalouera fesuita videntur suspicari, qui eo-
rum nonnulla proculerat quae sibi peculiaria putaverit Robervallius. Fortassis etiam
 nos ejusdem insimulandi, ubi viderit eadem e a nobis inveniri. Inveniri, in
quam; non enim si se prius haec servise contendat, ulut id verum esse possit, nos
ideo minus inveniste dicendi sumus, dummodo clam nobis sit quod ipse fecerit: qui
nec vel serimia ejus vel scripia compilavimus, nec ab illo quidquam fuimus edecti.
Didiceram quidem a Toriceltio, (a Poriceltio, inquam, nam Robervalium de re-
bus hisce guidxiam meditatum esse, qua mea erat infelicitas, ne per somnia coei
cabam:) didiceram, inquam, ab illo, tum Cyloidis aream circuli criplam esse: tun
Taneentes describendi methodum: Plura vero de Crcloide, quempian excoertasse,
nescrebam plane; ut e (quantum hactenus incellieo) nostri juxra mecum ienorabant
omnes:

## Folio 495 — 851387705:0515
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000515.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
P R E F A F 1 0.
omnes: Nec quidem ullo jure censendi sumas coenovisse; cum illud omné quod se
invenisse contendit, vel intra privata sua ferimia recondidit, vel familharibus saltem
aliquot communicavit, in publicum certe (quantum mihi hactenus assequi lieuit)
nondum edidit.
Peroit deinde eadem historiola edisserere, quid Robervallius, quid author ipse inve-
nerit. (Se solos autem eadem invenisse, non dicent, credo.) Duid autem invenerint alii-
subcicuisse mirandum non est, cum palam prositeatur peculiarem se Callis sins favo-
rem exhibere voluisse. Non dissitetur interim FTusenium Batavum, e Wrennium
nostrum prodidisse, Porrionem Creloidis quam abseindic recta ad axem ordinatim. ap.
plicaca, ejuldem axis parrem quartam vertiei proximam abscindens, aqualem et (e
Spatio rectilinco: (Quod quidem verum est; aequat utique 3R 2 V 3: ut ex caleulo
523 liquet; uti e trilineum CDB fi8. T. vel 7, aequare R= quadratum radit; Fi+
prismatis oblique secti portionem, sive momentum ejusdem CDB trilinei respectu
CB, aequare P cubum racii; item ejusmodi portionem, sive momentum trilinet
BFC, sive respecta CB, sive respectu BF, aequare 2 R, duos cubos racii circuli ce-
nerantis: qua nos in sequentibus demonstravimus:) Fundemque WVrennium no-
strum Creloidis currae, ejusque partibus, aequales rectas invenisse. Arque hinc
denique ansam desumit novas proponendi quaestiones, De centro graritatis eum li
nea currae Cycloidis, cum parcium ejusdem, deque superticiebus ejusdem curra cum
conrertione cum semiconvertione, tam circa balem, quam cirea azem, deseriptis, et
hacum superticierum cenero gravicatis. Nos autem (nullius nominis in narratione
sua) quid praesticimus, patebit in sequentibus.
Tixspectandum autem aliquanaur videbatur (prout superius insinuatum divimus,
mumquid aliquando nobis injunctum foret a Carcavio ad demonstrationes nostras sum
marim tradicas pro libitu suo perficiendas. Aique interea quaestiones de novo pro-
positas solvebam, (quod quidem post solutas praecedentes non erat factu difficile.)
Tandem vero, cum nihil prorsus acceperim, nec noverim quid aceretur: quae ad so
lutiones meas qua priores, qua posteriores, elucidandas, visa sunt necessaria, ( quae
nempe post 555 insequuntur,) seholiorum instar subjunsr, eaque praut nune sunt
ad D. l’isecomitem Bromiter Mlense Marcidrransinsi: neque ex eo tempore quio
quam innovandum putavi.
Rem autem ipsam quod attmet; Fd animo propositum babui, quam suecincte
omnia, sed sa perspieue provonere: Non tamen quae subinde occurrunt Lemmata
sineula seorsim semper demonstrare, (id enum si fecissem, nimis increvisset operis
modes,) sed ea satrem quae videbantur obseuriora; reliquorum fontes vel dizito indi-
casse satis esse ratus. Sede eadem non raro, variis in locis, variis etiam modis
demonstrata reperiantur. Nec eandem semper demonstrandi methodum seculus
sum, sed nunc ad morem vererum, nunc ex Geometria Indivisibilium, nunc eriam e
ex Infinitorum Arichmetica nostra petitis demonstrationibus. Non quidem quod
illud necesse habui; sed quoniam id Lectori, e maeis utile, nec minus eracum fore
credidi, quam eandem saepe cramben recoquere. Quod monéo, ne miretur foisan
aliquis si in se quidem similia, dissimili nonnunquam demonstrandi methodo probata
videat. Non raro etiam a minutioribus nonnullis demonstrandis consullo abstipiint:
nec ad sineulos forsan casus possibiles ubique descendi: satis id ratus, si viam deron.
Strandi palam ostenderim, sinsulos interim apices (scillud Errostionro postulent ) para
rus exbibere.
Atque haec sunt quae Lectorem praemonendum purabam. Qua quidem parolo fu
sius exposii, ut, qui supra memoratas chartas non viderint; enrum saltem summam,
adeoque rei resta narrationem, hinc intellieant; e causam simul cur hac methodo
mea disponancur, quae secus alia forsan merhone rectius disponenda esse, st ros essec
oateeta, Cobistitot C pbsobtr.
Libet hie Tubjuneese Anonymi duo leriptas ae ie caa quae hue ipectatit. 
111215L 01
12IC

## Folio 496 — 851387705:0516
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000516.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
YM ab aquo Menlibus, quaedam circa Cycloeidem eju Ique centra Pra.
ricaris meaiaremur, In propoliriones Paris arduas ac difticiles, ue nobis
 vilum, elb, scidimus, quarum solurionem a praeltancillimis toto orbe
Geometris suxplices poltulamus, proxolico iplis praemio, non mercedis gracia.
quod absic sed in oblequii noltri, aut porius meriri eorum qui hac invenerint,
Dublicum arsumentum.
Oux vero proponimus sunc ejulmodi.
Dato puncto quolitet Z. in quacunque Cycloeide ABCD, ex quo ducta sit Z Y
bali AD parallela qua axem C. L sccet in puncto Y. QaerimuS.
Dimentio spatii CZ Y. Ejuldemque centrum gravicaris. Solida genita ex cir-
cumvolucione dicti sparii C Z Y, cam cirea Z. P quam circa C Y. Ec horum Coli-
dorum centra gravitatis.
Ouod s eadem Colida, plano per axem ducto secenur, et Sic Fane urrinque
duo Tolida, duo scilicer ex Solido circa balem Z Y, e duo ex Tolido circa axem
CP genito. Cujusque horum Colidorum quarimus eriam centra Gravitatis.
Oura rero quaelitorum demonstracio torlan adeo prolixa eradet ur vix intra
pralticurum cempus exequi latis commode poltic, senio et ocio doctistimorum
Ceometrarum contulentes, ab his cancum postulamus, uc demonstrene, vel more
antiquorum, vel cerre per doctrinam indirilibilium (hanc enim demonstrandi
viam amplectimur) omnia quae quaelua tunc, data este: Ica ur Facile ex demon.
Aratis, quaelibet puncta qualita ex datis in hyxochelibus possine inveniri.
Ec uc apercius mencem meam explicem, nec lublic aliquid ambisuum, exemplo
rem illustro. PrODOnatur, verbi graria, parabola ABC, cujus axis AB, balis
AC, tangens BD, parallela axi C D. Inveniendum cencrum pravicaris crilinei
DC. B. Satistactum esse problemati censerem, si demonstretur, datum elle cen-
erum graritaris parabolae ABC, nec non ec cenrrum graritaris rectanguli C.D BA,
e proporrionem hujus rectansuli cum parabola C. B A, ideoque et datum eAe
cenerum gravitatis quaelicum erilinei C. DB; nam etsi praecise punctum in quo
reperitur centrum graritatis non exhibeatur, demonttratum tamen cst darum elle,
cum ea ex quibus invenitur dara sint; resque eo dedueta erir ur nihil aliud lu-
perlic praeter calculum, in quo nec ris ingenii, nec periria artitieis requiruneur,
ideoque non is d nobis calculus exigitur; cur enim in iis immoraremur. Sed can-
cummodo pecimus demonstrari, res qua proxonuntur datas clle.
Verum doctistimi Geomeira, prortus necellarium judicabune et ab his postula
mus, duarum proposicionum, vel duorum catuum incegram constructionem, leu
incesrum calculum.
Primus calus ettus eum punctum Z consticuicur in A.
Secundus cum idem punetum Z. datur in B, in quod irantic parallela C. B ducta
puncto ex centro circuli genitoris Cyclocidis
Ouod si aliquis error caleuli in his duobus calibus subrepserit, eum libenter con-
donamus, et veniam quam ipsi peteremus Facile promerebuntur.
Ouisquis superius propolica, intra primam diem mentis Octobris anni 1658.
tolrerit ee demonstrarerit, magnus erit nohis ApoIlO.
Et primus quidem consequetur ralorem quadrasinca duplorum aureorum hispa-
nicorum quos ipli Flispani doblones et falli pistolles vocant, rel certe, si maruti,
ip(05 duplos aureos.
Secundus veco viginei ejulmodi duplos aureos. Si unus cancum Colveric, Pexa.
sinca Tolus habebir.
Fit quia serio rem aximus, dictos sexaginca duplos aureos Wlustristimo Domino
de Carcary Resio Consiliario Pariliis commoranci, apud Celsiltimum dominum
ducem de Liencoure deponi curarimus, qui eos exsolvet latim ac demonstratio.
nes quae ad ixsum mittentur, rerx ac Geometricx, a riris ab iplo ad id deputaris
judicabuntur. FC cum Illustrissimum consiliarium, jam a muleis annis virum pro-
bum, ee macheleos amantistimum, aenoverimus, audaeter pollicemur rem lincere
e absque fallacia exequendam.
Ouoet la his Cheller dibus etaptis mentibus nullum inveniatur qui quaetica
noltra
Cycloidis
efinitil
sere
ripi
habetu

## Folio 497 — 851387705:0517
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000517.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
DeC
1d1
A.
3l0
1(15
1C
10
elle,
Tu.
ICuT,
CaA
ila
set
On
558.
F
E Y CL OI D F
voltra lolrerie, non dencgatimus quae ipsi inrenimus, nec aliis inridebimus unde
majora jam invencis nancileantur, et ex quibus torlan apud polteros gratiam ini-
bimus.
Hoc unum rettac ut LCa CClott celeriprionem exhibeamus, d qua brevla
iis causa abstinendum aebitrabamur, cum haec linea jampridem Cralileo, Foricellio,
et aliis innoruerie, sed quia eorum libri omnibus non lunt, obnoxii ideo hanc ex
Poricellio danrus.
Descriptio Creloidis.
Concipiatur super manente recta linea A D, circulus DL concingens rectam
DA in puncto D. noceturque punctum D tanquam fixum in peripheria circuli
DE: cum inceltisatur super Mactee secla D Couretet circulum D L. mOTI CIF-
culari limul et prosressiro versus partes A, ica ut subinde aliquo sui puncto rectam
lincam AD Cep a Guos Xu ParctIM D Het au Cocar
rerercatur, paca  L. Cercum est Guod punctum DXu  Perpeta Ceu
TOTaNEIS AC, aa SIIICam ACTCKIBEL, LIIBCHCEM pEO a Subiecta linea AD,
seinde culminancem vertus C, poulen piolan cetenee vellus punctum
A. Et calis tinea rocara cl Cy cl018.
BCRIPTOROM POSTERS
NDM circa ea quae de Cycloide propoluimus duo orta este dubia, nobis
IIlustrissimus D. D. De Carcary lismlicarere hisctarim occurrendum duxi-
erius inde orieur, quod in proponendis nottris de Cycloide problematis hiac
voce uli tuerimus, in quacunque Creloide, cum tamen unius tancum speciei Cycloi
dis detinirionem acculerimus. Verum nihil aliud intelleximus praeter Tolam illam
simplicem naturalem ac primariam Creloidem cujus ex Toricellio descriptionem
dedimus, cum enim quae de illa resolruntur Facile (r ad omnes alias species pro-
crahere, qui nottra problemara de hac lola lolverun nobis omnino latisteceris.
REX
Posterius
mus, e ita occurrinH.

## Folio 498 — 851387705:0518
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000518.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
D F C Y C L O I D F.
PBMerius in eo consiltit, quod a nobis non sc praeile posicini an supponamiis
datam este rationem balis Cxeloidis AV, cum sua alciridine, seu cum diameto
circuli genicoris PC. Sed iplam daram esse rationem pro concelso usurpaneum
atbirrabamur, e ut omnino aequum est datam esse lupponimus.
Nihil ergo jam superest obleuricaris. Unum tamen restare videtur uc doctisi.
mos geometras ad propoliriones nostras commodiis es libentius inveltisandas in-
ritemus: Seilicer ea omnia removere quae a perspicacitare ingenii, quam solam
magni facimus e explorare ac coronare instituimus, sunt aliena, qualia Tunt tam
calculus inceger muliorum catuum quem poltulabamus, quam absoluta Tolutionum
conscriptio, cum ea non d viribus insenii, sed ab aliis circumstantiis pendeant. Hoc
itaque rancummodo jam instiuimus uc Cola problemarum difticulias remaneat su-
Peranda. Nempe
Ou publico instrumento, inera praesticurum rempus, Mustristimo Domino de
Careaui signiticareri, eorum quae quaelica sune demonstrationem penes se habere;
ee aut iplammet demonstrationem quancumris compendiolam ad ipsum miserit;
aut si carrae mandare nondum per ocium licueric, saltem ad contirmandam LuX
altertionis vericatem, casus quem mox delignabimus calculum dederit; leque para-
cum ese protessus fuerit omnia omnino demonstrare ad iptius D. de Carcaui nu-
tum, hunc nobis Parissecisse declaramus, e consentimus, primum qui haec fecerit
primo, secundum secundo, praemio donandum, si Tua solutio ab iplo D. de C’arcari
virisque, ad id secum adtribitis, cum ipsi ritum fuerie, extibita, Geometrica ac vera
judicetur, salvo sempererroris calculo.
Casus aurem cujus solius Cufticiet calculus ille est. Si Semierclois AC F circa
basim AF conreriatur, e Solidum inde genitum secetur plano per iptam A F (qua
jam hujus Colidi axis elt) ducto, quod quidem, Tolidum dirider in duo Semisolicta
paria. Alceruerius horum semilolidorum centrum graricatis altignari poctulamus.

## Folio 499 — 851387705:0519
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000519.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
Lblematum Solutio.
Inde Semtis,
IOR.
anitestum est, in construcione Cycloidis, Peripheriam CMCI SC
nerancis, proprer continuam lui quae supponitur ad rectal  A Recta
applicacionem, huic aequalem ette: Adeoque e semistem leluti, Z. Y.
E. Et quidem, paccicularim, dum Cicculus cenitor, balin in E continecto,
mincto suo Dneante designat Cycloidis punctum Z, manitetcum elt (propter ean-
dem continuam cusuoylui) rectam e A congruere currae 8 L, hoc est (ducta Z Z
baliparallela, quae occurratin Z circulo C. Z F cirea Cyclouis aXeMt) CurrX LL.
Adeoque e reliquam reliquae: nempe sF, hoc eltZ Z, ipsi ZC. EF lic Hbrgue
Recta igicur Z L aquac ubique aggregarum Arcus e dinus recti, Sinui verto
C P convenientium.
4. Si super circulo CZF cirea Cycloidis Axem
constituro, aut huic aequali, exigatur Cstindrus re
Etus FZC F, altirudinem habens CiT, diametro Ba.
Sis aequalem: Pota suverficies hujus Cylindei (curr
batibus) est dupla Cycloidis ACDF; (nempe
dux bales Cylindri FIg. 2. Tunt duplae circuli, C 2. F
tig. T. _ Cylindrica superticies curra, dupla reli-
quorum segmentorum:) Acque si eadem superticies
(supersicies, inquam; non Cylindrus, ne norae su-
perticies sccando cmerganc) plano F CIF Per aXeM
bilecetur: Semisuperticies Cylindri erit dupla semi-
cycloidis A FC; (nempe duae semibales, Tunc du
plae temicireul Ci2 Lfβ. E; ee Semiestindrica Lu.
RXF 2
Semicy-
ctois.
Et ta

## Folio 500 — 851387705:0520
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000520.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
LCL. OIVe.
cur adhuc plato etsipeico f d quod plano fCP rectum lir; Semisuperliciei illius
semistis TS FZ C X P aquabit Semicycloidem C AF; (nempe Semicirculus balis
CZ P tig. 2. aequabir Semicirenlum C Z F tig. L. es Superticies Curra PSF ZCF X
quabie cxiluIcum C A P Z.)
5. Nam, Sumpro ubiris in Creloidis axe puncto Y, unde paralleta BaSI ducatuF
Y2Z: rectae C X in aXC CyClONiS LumaCuT C Z aequalis in diametro balis Cylin-
drica, unde dueatur Z. lateri CF parallela, diasonali FP Occurrens in v; d per
punctum, plano bati F ZC Parallelo, puta vec, secetur superticies Ciylindrica
sectionem exhribens sc arcum circuli, quae (propter parallelaS) CongrueE arcII
2 C in basc Csinc hde et alem LC cirenli renitoris, adeoque 2Z. rectae aequa-
lis, (Sicurve congruit rectae X2. Sive inbale Cy lindri sire in circulo generante.)
Duod cum ubiquetiac, erunt omnes currae in luperticie Cylindrica rE F Z CP, ipl
Cparallelae, aequales rectis omnibus ipli ZC. Parallelis in Prilineo Cycloidis C A F 2,
ee lingulae lingulis, ee limiliter polux (in cildem pura Cire 2 bale sire a vertice
diltantiis:) Adeoque, propter aequalem etiam ucriulque tioura alcicudinem, tioura
tigurae aequasto. Iperteles CMaa plano Frilineo; (led e seomenta illius re-
spectiris legmentis hujus, ut paret:)  li addaneur urrobique aquales Semicir-
culi C. 2. F, erit agpresacum aggregaco aquale, et duplum duplo, quadruplum qua
deuxto, ac. Hoc elt Superticies FSFLC YF, Semiereloidi AC. L; et Semisuver-
tieles exlindri (quixpe ictius alpu) Cycloidli ACDf; e cora superticies, hujus
6. EIL iisitIE Cfcloi A C. DF, ehculi genitoris cripla. Ouod sic colligitmr.
Cstindri incexri modo cspolut Lufscurra, aequatur facto ex alcirudine (qua
aqualis elt diameero Batis) in Batrs Circumterentiam; adeoque elt quadrupla Cir-
culi balis: Cui Si basis vrraque adperatur, agoresacum erie, baleos (hoc est cireuli
genitoris) sexcuplum. Fst aurem, ue supra oltensum est, duplum Cycloidis: F. P∞O
Crclois ipsa est circuli Genitoris Lripla. Nempe Prilineum C A F 2 Semicirculi
DFEFZCYF, Secetur actum plano 27 X, quod sic plano elliprico FSF u
Parallelum: Superticies abscista VC YZ, aequabit legmencum Cycloidis CXZ.
Nam, propter Cylindrica superticiei sectiones parallelas, congruet 72. C ips F3C,
hoc est Trilineo CZ L Cycloidis; sed e C. I2 urrobique aqualis; F1GO aBBrC8 2.
8. Si supex Cycloide CD erisatur Semieylindrus rectus, sire Prilina, (utro-
ris enim nomine dicatur perinde cst) altieu-
dinem habens C a duplam rectae AD; quod
peraxem secet FC a planum, sectionem in
lacere taciens C. a rectam; cui plano incelli-
Batur planum aliud recte inlistens, per rectam
Fae cranliens. Polidum abscindere D A e CD:
Tluic Polido aequatur Poridum factum ex con-
vertione Cycloidis AC. D circa rectam A D
Cum enim lic A D aequalis peripherixe diame.
tri F C; erit iplius dupla C e, aequalis peri-
Pherix Semidiametri F C; adéstue (Propter
angulum F C∞ rectum) criansulum P C ∞
aequatur circulo ex convertione racii FC
Facto. Ec limiliter ostendetur criangulum
XZ E aequale circulo racii ZZ: e bc ubi-
quo. Frgo omnia Priansula omnibus cir-
culis, adeoque solidum lolido RguatuX, S
sexmenta scomentis respectire sumprio: Pura,
tur solido ex convertione plani Z Y C cirea rectam Z Y Facto. Nam _ Hic c0.
dem modo oltendetur, teiangulum un d aequale circulo radii or; de de reliquis simi-
liter.
. Simili-
perticies curra, dupla crilinei C. A F L: d Ex denique si ea Semituperficies bilece.
Crclois
Circula
pripla.
dupla. Duod crat propolicum.
C2. F duplum.
cu axpresato aequale
7. POTTO, S expolica quae prius superticies (nempe, Semisupersicei Cstindricx
Sogmen-
cum CxZ. Semiss
solidum Z Z EA, Solido ex convertione plani ZZ A tacto; &e sic ubique: Frem
Prilma LLEvPF Tolido ex converlione Lalallelosrammi XZ. PF; adeoque et
Tolidum Z X C ev E Tolido Cylindrice excarato conversione plani Z. Y C circa rectam
A F facto. Sin achue secetur plano EdL Val Parallelo, Peementum e Fun Xe quabi-
Solaum

## Folio 501 — 851387705:0521
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000521.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
eL
E
9. Similicer, li luper Semereloide A lC erisatu
Prilina, sive Cylindri recti quadrans, alticudinem ha-
bens A V, quae lic ad A L, ut q. A F ad F C; (nempe
ut circuli Perimerer ad Radium;) secetur antem pla-
AO FCV: Solido FV CiZ A aequatur Tolidum ex
convertione plani FCZ A cirea rectam FC; e leg.
menca scemencis respectire Cumpris; pura segmentum
ZZ Y C lesmento convertione plani ZC X tacto.
Nam et hic errangulum LA V aequatur circulo ractii
E A; e Friangutum LL x circulo radii YZ: FLdie
ubigue.
10. Atque hactenus quidem utur cum planorum
cum Colidorum omnium expolicorum dimentionem
aliquatenus hac merhrodo cradidilse rideamur: Cum
camen de Graritaris Cenrris nihil hinc constet, libee
in sequencibus, relumpio icerum ioro negorio, rem ali-
res expedire, hoc modo.
LL. Or lupra oltendimus rectam ZZ Fs. T. aequalem areni Z C: ita ostendetur, angulu
angulum ZG A, hoc eltZF A, arcui Z ClIre ZF, hoc est recta AC, prOpOrtIO. ZE 
Baum else: (nempe, ut arcus PZ, hoc elt AG recta, ad arcum F Z C, Hoc est re Fig. Y
Ctam AF, sic elle angulum ZG A vel ZF A, ad C F A rectum:) propier angulum
2G F anguli2 F a ubique duplum, e proprerca urrumque aceut PZ. libique pro.
Borrionalem.
F2. Adeoque, dirita recta A F in partes quoclibet aequales, in punctis h, U, B, G.
_c. ductisque rectis a L, V. MI, BB, 6Z, dc. 2 puncto contactus ad plinctum li-
neanS, (quibus parallelae exiltune in cireulo F I, F M, F B, FZ, _c.) anguli L. N A,
ML p. A, BB A, Z. SA, ec. sunc Acutimerice proporcionales; quorum concinuus
exccllus primo aequalis eles nempe angilo L a A.
23. Ductis itaque cum in Cyelorde recis n L AM, BB, GZ, ac. tum ipES rC
spondencibus in circulo FI, F m, FB, F Z, ecc. distrituencur Semicyclois et Semi-
ercculus in seementa numero aqualia; lierita linsulto. (tespectire) correspon-
dentia.
74. Ductis icem in Ciycloide,  piinctis vyZ, B, _. rectIS VF, G P, B8, etc. quae
DaralICIa LInC reCtIS 5Z, bB, LMI, dc. Frum anonomnes NV =, L. C et BB8, Sc
aqualescum incer se, cum ansulo ln A, cum etiam clssibet anoulorum AFI, IF m
MEB, ecc. qui icem (propier aequaleo arcilo FI, L p,  b, dc.) lunc. Ihlet se x
quales.
25. Ductis porro cum in Cycloide rectis NO, Z P, BR, Scc. Mui IH Eireblo
RO, 2 P, bC; dec. inleribacur cum Cyeloidi figura ex Praperiio, rum cireulo lixura
ex Priangulis correspondentibus conltans.
26. Erunt aurem illa Frapezia, Friangulorumm horlim respectire sumptorum
ubique plusquam tripla. Conttac enim quodlibet Frapeziorum, et Frianoulo (
ut e Patalleloscaminio. Quorum illud, criangulo correlpondenti in circylo (
ex dictis lacile collixilie) ubique agale ell; hoc plico lucjant ollencetut) plus
quam duplum.
27. Nam, verbi Bralia, in Praperio ONd F, Friangulum On F est utrigue F.
surx commune; _ ParalleloBramuI NHF, (aeguialcum) plulquam duplum
Frianguli, proprer rectam Nn, hoc esteurram nC, majorenino recta.
18. Sin aliud sumacur Praperium, Duca PZC.; Err inibi Priansultim P i
Friangulo pF Z aequale; de Paralleloeramnum Z. C, r plusquam duplum, proptet
rectam Z n, hoc elb, 51 Hoc est Curram Z h majorem quam ZB, vel + P. Nam
S apretur chorda ZB; exit angulus p F X (Propier rum semiperipheriam CLF
tu
e angulum rectum CF A, in sex partes aguales dirilum) sanouli recti; 2dc0
que ansutus Y DF, HOC Ct ZBn, E recti; cui A adelacur augutus n ZB, qui est
recti, (subrendic urique duplo arcus ZC, minus Zn;) asoresatum ZrCCLI Ex 2FC.
Etis subductum, relinquer angulum Zn B, 8 recti. Major irague est anolilus Epn
ansulo Z. n D, (nempE uE5 ad 4,) adeoquelatus oppositum Zn recta, major quat
2p; ideoque d Forciori, Zn curra, hoc es recta L F, multo major ctiequam rectu
2P, hoc et x P. Ec similirer octendetur (inleripta chorca BZ) ariculuim BFZ
masorem elte ansuilo b2 5, l hempe Vc 4 al 3.) et licalibi. Nemre, univettalicer
d
ue

## Folio 502 — 851387705:0522
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000522.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
F C. Y C Y O ID F.
Si ponamus arcum lencirculi CF, adeoque angulum rectum C F A, dirici in partes
aequales numeros; quarum areus Z C, adcoque et ansulus Z L C, contineat parles nu-
meron, (adeoque angulus DF C Partes n == +, et propterea angulus YDF, hoc
est Z. D B, Partes 5 =n F Z;) exic ansulUSNZ D Partium 2n = T; qui si adeatur
angulo ZPn, d utriusque aggresatum s. F n ex duobus rectis, hoc est Cx 25, au-
teratur; manebit ansulus 2n D Partium s =n, minor ansulo z Dn partium s. n f 1.
29. Sin istiusmodi figuracum Crcloidi cum Circulo circuimleribantur; crunt
linsula Cyeloidis Prapezia, respectirorum Circuli Priangulorum, minus quam tri
Pla. Friangula siquidem erune in urraque tigura aequalia; Parallelogramma mi-
nus quam dupla Priansulorum; cum aque alca line, led super minore bale.
20. Nam, verbigraria, In Praperio C Or F, recta 19. hoc cltr F recta, 100
ClF areus n C minor est tangente qC. Vcur enim secans L’qu nOn d CentrO C, Lec
ab oppotico, diametri termino F ducatur, adeoque minor lit gC, quam LangenS
rulso dicta quae rectae a Ci cenrro per areus terminum n transeunti occurrat; elt1a
men ipto, areun C major; Nam li incellisatur, a centro (i duei recta recta FqPa
callela; bisccabic illa cum arcum n C, cum rectam qCi; adeoque crit qC aequalis
duabus Fansentibus Semiareus, quas limul ipso arcu majores elle constat.
2F. Atque eodem fere modo oltendetur, n7, hoc est N I, majorem elte quam est
n2 curva, hoc est recta FL; item Zv, hoc elt Z. u, majorem quam Z b curra, h0c
est recta Y u; e in reliquis pariter. Ec quidem quolongius à puncto C recestume
est, cointignior erit excestus. Nam, in ejusmodi Prianoulo quoris, utZ F v, tig. 2.
vel 7. arcum zb incercipiente; conmnnacavZ, donec occurrai Diamerro C. L I L:
ductisque cum Tubrenta bC, cum bx Langente qua occurrac recta v2. (CxIa
Peripheriam) in X: Maniteltum elt, propres aequales angulosx BC, oF Cy (com
munem ircum b C incercipientes;) corum item ad rectum reliduos XbV, P~Y
aequales esse; ideoque et rectas Xb, X, inricem aequales: FC, propcerea, rectam
Z, qualem duabus bX, XZ majorem curra bZ. Pilic ubique.
22. Duoniam igitur figura lic circumseripta Semieycloidi CiZ A, aue ipsius
parte CiL, (utrobique enim eodem modo procedir demonstratio,) ivinor est quam
cripla treura Semicireqlo C Z. F, aur iplius parri, C.Z, circum seripex, (quorcunque
fuerinc illic Praperia, hic Friangula;) interipta vero inscriprae major quam Pri-
pla: FF quidem ausendo illic numerum Prapeziorum, hic Priansulorum, eo Tan-
dem devenietur urrobique, ut difterentia tigurx inferipiae d circum scripta minor
Fucura sic quaris altionaca, (adeoque in intinicum procedendo eraneseat:) erunt
cumtioue sipoulae quacrilinex (qualis B BS L.) singularum respectire sumptarum
Frilinearum (qualis b F Z,) cum omnes omnium, Priplae. Hoc est, tum Sumier.
clois CZ A F Semicirculi C Z F, cum iltius segmentum B e 5Z Lectoris hujus b F Z
cum Sesmentum Z. AC Segment Z FZ, cum segmencum L. G F, C, sectoris Z F C, (d
lic ubique ) criplum
CELS HSSSde
23. Pam vero, ex ductu Semiradii (= EZ.) in arcum Z Cnihoc est rectam L. 2.
cum CL. L. habetur sector C2 C: acque ex ductu femiradii (LG F.) in alticudinem 2. L, ha
Decus Frianeulum GZ F: Freo ex ductu semiractii in joram Z V, haberur sector
FZC; Aique ex ductu, Selquiradii in eandem Z Z, habetur seomencum 6Z C. F.
Onde, h ayteratur (7 LH craperium, habetur dimentio scementi CL. X quaelica.
Vel etiam, subducto insaper CZZ, habetur C Z Z crilineum.
Solidum.  2A. Porro, Ouoniam si ponamus lemicircutum ex intiniris crilineis, qualia C n F
axis AP. RZ F, eC. vel criam (nam de hoc, propter infinitatem, adeoque et approxima-
tionem in infinicum, cancundem ralet,) ex intinicis criansulis, qualia O n F, D Z F.
Sc. constare: ponendum ee semiercloeidem constare ex roridem quadrilineis, un
F LG dc vel etiam craper iis numero intinitis, ut ONv F, P L. 6V, ec
quorum quodris extribea cum Priansulum cum Parallelosrammum iltius duplum
Ex conversione aurem Paraslelogrammi, ut N F, circa axem AP, tiet Cylindrus
saliem diltorcus; e ex simili convertione Prianguli, uc On F, in hoc licu, ticu
similis Cylindrus conice excaratus, qui erit 3 cylindri pleni: Ex converlione igi-
cur Prapezii, ex paralleloerammo simul et criangulo constantis, tic solidum quod
ad solidum convertione Prianguli est uc 2 = 3 ad 3, sire ut 5 ad 2. Quod cum
ubigye fiac. eric solidum ex convertione escloidis, ad tolidum ex conversione
circulli dirca rectam AF, uc 5 ad 2. (Ouod ipsum eciam tic colligicur. Cen-
crum craricatis Praperii PZ Cr distat ab A F, ver 3 recta PY; centrum aurem
xaricasss. E ljansult p2. P ab eadem A P recta, diltac. 7 vet s esuildem F Y: Cen.
trOrum
F18. 1.
Semicy
clois se
iortan
Segmen

## Folio 503 — 851387705:0523
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000523.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
D
orum itaque ab A F distantiae sunE UE 5 ad 6; Fc magnimdines ostentx sunE Wt
ad F. Eroo quae ex illis componitur, Cire momentorum respectu A S rectae, sive
Tolidorum circa eandem A P convertione lactorum, ratio, est ut 5 ad 2. Nempe
25. FK ea vero conversione circuli, tiet annulus (ut loguuntur) clausus, Xqua
lis Cylindro cujus balis est ille circulus, et alcicudo aqualis ictius circuli circumte
rencia, hoc elt recta AD, tis. T. Solidum itaque ex ea convertione Crcloidis,
aequatur Cytindro cujus balis elt idem cireulus CF, de altitudo aequalis rectae qua
SIc ad iltiis circumterentiam ut 52d2; hoc ct, dupla telqui altera rectae AD.
(P. Ct urique annulus ilsc =D P XD = = D P; et Tolidum illud Cycloidicum 8D D2
Incelligendo scilicet per D, diametrum, e, per P, peripheriam circuli generantis:
nE e HeInecpS alibr PasiI.)
26. Sed ee pari arsumenio de partibus judicandum erie. Nempe cum Solidum seementa
ex convertione seemenci SZ A, ad Tolidum ex conversione segmenti PZP; cum solidi cir-
solidum ex conrertione Quadrilinei CZCF, ad Tolidum ex convertione lectoris ca
IZC; cum Tolidum ex conrertione Guadrilinei BB Z E, act Totidum ex COnVer.
lione sectoris bEZ; ele uc 5 ad 2. Dantur aurem haec, ergo et illa.
Lut
Sed _ intuper, si ex solido ex convertione quadritinei sZ C F, auteracur
Tolidum ex convertione crapezii sZ L P, manebit annulus convertione segmenti
CZ T circa axem AF tactus; qui itaque dacus cAt
1+
28. FR aurem Annulus ille, aequalis Colido Z. YC. ~vE fig. 3. (ur 58. Ostendi- Fi8. 3.
tUE;) unde s anferatur datum prisma VZ, Eon C (cujus batis est Termentum
modo repertum C Z Z, alcitudo ZV, qua est ad Cae sive 2 AD, UE F Y ad FC;
quod superest Colidum aEon aequacur lolido ex convertione sesmenti C. J. Y eiica
rectant L L Facto.
20. Ve vero habeamus Colidum ex conversione Semiercloidis circa rectam C. F, Solidum
ejusque solidi seementa, liber paulo immutare constructionem, (nulla neceltitate, avis CF.
sed phancalia jurandae graria.) Nempe cum prius octendimus, in figura cireun.
Seripta, Prapezir Paralleloerammum minus esse quam Frianguli duplum, led ma- F18. 1.
jus in tigura inscripta; differentiam vero utrobique (sectione in intinitum conri.
nnata) eranescere; adeoque reapse perinde esse sire inseripiae sive circum (eriprae
tigurae Trapezia perpendamus, (ec de Frianculis similiter:) Commodum jam vi-
decur viam inter ucramque mediam sectari, adeoque tum Prapezia Cycloidis, tum
Friangula circuls, partim circumseribere, partim inseribere; Duta pro Praperio
EGV P fiF. F. TFaPCZIUM V erF: e pro Triansulo Z FB, Friansulum vF p Cub.
Stimendo; ut cum illic recta Z. 5 Praperium, cum hic recta ZF Priansulum, quali
medium secet. (Vrur enim in sectione detinica VZ major sc quam Z. P, ∞ v7
quam Z P, haec tamen difterentia, sectione in infinicum continuaca, craneseit; ad
eoque in figuris intinite exiguis, cum Traperiis cum criangulis, supponenda cAt
xgualitas.) Sed e intuper, s liber, licebit (ducta recta 6 +) Fraperii Frianeu-
lum uC parallelogranmo medium interponere; adeoque substituere, pto uno
parallelosrammo intesro, duo parallelosramma dimidia VS de BP (supponicmr
urique, propter continuatam in intinitum sectionem, tum L. X, X P, tuM C, = Y
invicem aequales este;) qua duo parallelosramma dimidia cancundem circumvo.
vendo praestant sire recta Z C uerinque contisua, sive aequaliter ucrinque remord
fuerinc: cum sic idem utrobique centrum gravicatis. (Supponimus enim, quod
ee Facile s opus sic probabitur, planum quodris cancundem hujulmodi convertione
producere quancum est quod tic ex eodem plano in lineam iptius cenero praritatis
deseriptam ducto; quod et de linea quaris sire recta sive curra in eo plano de
seripta pariter incellisendum est. Ouod quidem quum ipse olim me primum in-
venisse pucarerim, monicus mox eram nonnihil apud Guldinum exstare quod huc
spectat. Id aurem si animadrercisset Pacquetus, dum de Cylinarieis ex Annulari
bus acutum opus conseripsie, non parum illi tuisset adjumenco; multaque quae il-
lic exstant cum universalius tum ec contractius forte tuillene tradita. Bad e
Lacquetus tandem deprehendit, ut patet ex ejus horo duinto, Anno 1659 edito,
Primoribus Quatuor Anno 265+ editis, addendo.
30. Re sic constructa; Ratio Solidi ex convertione Traperii V BvF, ad 10l1
dum ex convertione Frianouli FP; componitur ex racione Travezii ad Frian
gulum, (hoc est, sectione in intinirum continuata, ut 3 ad F;) atque ex rarione
distantiarum cemeri praricacis in urraque tisura d convertionis ate; Nempe, in
Trapezio,
F
CYCL O+

## Folio 504 — 851387705:0524
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000524.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
C Y CF O ID F.
Fraverio puncti K, quod ita dividic rectam Z 8, uE st GR ad Z 8, ut 5 ad 9.
(adeos diltancia R k eric ZZ F 3ZY;) In Friangulo, puncti PI, quod ita di-
vidic rectam PZ, uE SIC F IL ad F Z uE 2 ad 3; (adeoque distancia FIh clt ZZ Y.)
Ratio icaque distanciarum est, ut Z7 F 32 Y ad 3 ZY; Cive ut 322 + 32Y ad
22 L; qua si cum ratione planorum 3 ad F componatur, emersit Colidorum catio
ad inricem ut 92Z + 5ZP ad 22Y; sive, ut 5ZY ad 22. l (hoc est, ut 5
ad 2,) acque intuver ut 9ZZ ad 22Y. Ouod quidem cum ubique tiat, ficque
Callem ubique ratio 5Z X ad 22 Y, adeoque ec ominium ad omnes; non autem ca-
dem ubique rario 9ZZ ad 22 Y, sed neque aequalia ubique triangula vF D cir-
Minducta, (quorum s urrumris eller, pro omnibus 92Z ad 22 Y, ponendum
esset 18 ad 2; quia nempe omnes ZZ ad omnes ZY, hoc est crilineum C A F Z
ad semicirculum C ZF, est uc 2 ad F; quum aurem eorum neuerum (t, non licet
SC argVETC;) Praecer racionem illam 5 ad 2, quaerenda est alia ratio; nempe quam
habeat noncuplum omnium Z2. (sire 2. C arcuum Arichmetice proportionalium)
in respectira Priansula vF p, ad duplum omnium 2 Y (sinuum rectorum, eorun-
dem arcuum) in eadem respectire criansula. Hoce (propier criangulorum
5O4
bates aequales) noncuplum arcuum Aricthmetice proportionalium, in reliduorum
sinus versos ductorum (urpote Priansulorum alcicudines;) ad duplum sinuum
rectorum in eoldem linus versos, Hoc est (uc deinceps tulius oltendetur 5 74, etc. )
ut disserentia quadratorum batis A F Se alcicudinis C F, ad 3 quadrati C F, sire ut
DAF = 9C Fg ad 2 C F9. Cui Ei adjunsatur rario 5 ad 2, hoc cAt 5C F9 ad
2CFq; Het D A F9= 4. C Fg ad 2 C F9, ratio solidi ex semieycloidis conver-
tione circa C. F, ad Sphaeram circuli genitoris.
Segmenta 3T. Fodem tere modo etiam de Tolidis ex conrertione segmentorum arguendum.
solidi cir- Dam es hic omnia minura Prapezia segmenti, verbi gratia CZ C F, circumducta:
ca CF. ad omnia minuta Friangula sectoris FZ C. Sic circumducta, circa, eandem rectam
CF: Tunc ut 5 ad 2, acque insuper, uc noncuplum omnium. ZZ. in respectira
Friangula, ad duplum omnium Z Z in eadem criangula: sn ex hoc demum Colido,
auteratur colidum ex convertione Praperii CZ. Y P cirea rectam C F factum; ma-
nebit solidum ex convertione seomenti C. Z. Y circa rectam C Y.
32. Ft pari sere procestu, si demilta recta Z. X rectae C. F parallela abscindi in-
celligatur segmencum Z. X A; istius segmenti cum dimentio, rum ee Colidi inde tacti,
sive convertione circa rectam C F, sive circa rectam Z X, tacile colligitur. Sed
haec inter qualita non Tunc.
sentrum, 33. Ad cenirum gravicacis inveniendum, supponimus ob datas C F, AD, (B. 2
Gravita datam esse circuli quadraturam; adeoque et centrum gravicatis in segmentis. Nam
tis semi-uE, ex dato cencro pravicaris in circuli segmentis, collisi poste circuli quadrat.
cycloidis. ram, jam ab aliis ostentum est; sic vice rersa, ex data quacratura tacile colligicur
Duan-
centrum gravicatis in scementis. (Quod, si opus C, deinceps oltendetur 367.
e SC99.)
24 Ponamus ilaque primo centrum librae in C, de rellam C. F lineam aequilibrii
cum di (librae tranverlam:) Cicque mriutris semicireuli C. P cencrum graricatis punctum
stat a CF. F. (in circuli diamerro basi Cycloidis parallela.) Ouoniam vero momentum se
miercloidis ad momencum semicirculi, respectu linea C. F; est in racione compotica
e
t

## Folio 505 — 851387705:0525
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000525.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
D. F C Y CLO FD+
ex rationibus magnicudinum, de distanciarum ceneri gravicacis ab eadem aequilibrit
linea C. F; acque ex eildem rationibus componatur ratio solidorum ex corundem
planorum circa C F convertione genitorum, (ue Tupra infinuacum cAt 5 29.) ea
dem erie momentorum ratio, acque racio Colidorum lic genitorum. Nempe, ue
OAF 9 = 4C F9 ad 2C F9. VF 5 30. dietum est.
35. Ducta itaque CC bali Crcloidis parallela, quae sic ad GF, UEOAF9- 4 C FO
ad 2C F 9: Si incelligatur ex puncto e lulpendi aequalis semicireulus, aequiponde.
rabit ille lemiereloidi oppolitae in suo Cicu. Duoniam rero magnicudo semieycloi
dis elt ad magnicudinem semicirculi, uc. 3 adE; E lumatur (in urraris lemiey.
cloide) recta CF (bali parallela) qua lic ad CF C, ut F ad 3; e ducatur recta P3
rectae C. F parallela; eric cencrum gravitaris iltius semieyeloidis in recta Fy.
36. Ponamus deinde Centrum librae in F, ex rectam AD lineam aequilibrii. Guan
Ouoniam momencum semiercloidis ad momentum semicireuli, respectu rectae AD, tum di
elt in ratione compolita ex rationibus magnieudinum, ee distantiarum ceneri era stat ab
vitatis ab eadem AD; adeoque in eadem ratione cum solidis ex convertione cirea 2L
rectam AD Factis, hoc est (uc Tupradietum est 52g.) uc 5 ad 2; Si in continuata
GF, Sumatur FF, quae sic ad F G uE 5 ad 2; semicirculus in puncto t, aequipon-
derabit lemicyeloidi in luo litu: Cumque semierelois sic ad Pemicirculum ut 3 ad T.
si sumatur (in recta FG) recta Fa, qua sic ad FF uE Z ad 3; atque a puncto 
ducatur bali Cycloidis parallela as (rectae Py occurrens in S,) erit cenirum gra-
ritaris semicreloidis in recta as; adeoque in illius puncto d.
37. Arque exiildem principiis, eodem sere procellu, colligetur Centrum Gravi. centrum
tatis leomenti CZ.T. Frit enim momentum segmenti CZ. L ad momentum (eg gravita
menti C. Z X respectu linex aeguilibrii C. F, uc Tolidum istius ad Solidum hujus con- tis se8
vertione circa eandem C. P Factum: Sed haec rario dari supPOnITT ex O3F; er 80 et mend
illa: Flto uc a 2d6. Sed ee data est racio magnicudinis ad magnicudinem, per cL
23: Psto haec ut a ad y. Datur item segmenti C. Z Y centrum graritaris (uc 533
Tuxponitur, ec 567. 85. deinceps oltendetur;) adeoque de iplius diltantia ab X qui-
librii linea CF: EstO Ca C. Erit ilague, propter =) = (7, Dillanria ceniri Bra-
viratis seomenti CZ Y ab eadem C. F recta, ad diltantiam en ut y ad B. (Nempe
in ratione qua componitur ex ratione momentorum, a ad B; acque reciproca
magnicudinum, 2 ad a. ) Duca 
38. Similicer momencum sesmenti CZ V ad momentum segmenti C Z X, re-
srectu linex Z Z, est uc solidum iltius ad Tolidum hujus conrertione circa rectam
EY factum. Sed haec ratio Superius data est, per 5 28; Prso _ illa. FtO ut a
ad s. Magnicudinum aurem ratio (ut prius) ut a ad v. Distancia vero centri
praricaris lexmeni C2 Y a recta Z. Y, Cit C. Fxir distancia centri pravicaris sexmenci
CZ Y ad distanciam C, ut 7 ad S. Nempe E.
39. Cum iraque daca sit iltius dittancia cum a recta C F, tum d recta. Z. L, (31
que intra iplum segmentum esse constet,) datur et iptum gravicatis centrum qua
licum.
40. Deinde, ad inveniendum centrum graritatis in solidis; Supponimus ut LL Contrun
ora in sexmentis circularibus, ita jam in iphaeralibus sexmenris centrum graritatis solidi cir
dacum cse: vel, si exisatur, parati lumus extibere, uc intra 567 et (C99.
4. F. Ponamus jam solidum factum ex convertione Semiercloidis C A F circa re-
Etam A F, secari plano quod plano C A P recte infiltac in AP recta, lemisolidum
abscindens; cujus propterea cenerum praricaris in plano Ci A F este manitectum
42. Deinde, cum Colidum sire ex convertione, sire ex semiconvertione Frape.
zii V BrP (circa rectam AF,) ad solidum ex simili conversione vel semiconver.
sione crianguliv F P, SICuE 5 ad 2, (ucS 24 oltentum est; ) quaerantur ueriusque
centra graricaris, ut habeatur ratio diltantiarum cum a rectâ AF cum d recta
eAF
recta CZ. incelligacur punctum K abscindere rectam (R quae sit ad 5Z uF7 ad XO
(quod quidem cencrum eraricaris esset _ curratus a RxurX deMETeTE; puta,  DrO
linsulis
43. Flabetur autem Colidi ex semiconvertione Prapexii centrum gravicaris, s in

## Folio 506 — 851387705:0526
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000526.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
E C Y OL OIDF.
Angulis semiciculis sire superticiebus semieylindricis cirea axem A F incellixan-
cur cocidem linex rectae vel luperticies planae plano C A V ad angulos reclos polita
acque ab eo bisectae;) acque deinde in recta R u qua lir bali AD perpendicularis
SUIALUE (PFOPECE CUPVaTITaM) uE C F ad P A, (hoc cA, ut Diameter ad Semipe
ripheriam cireulis) sic ~_ ad x K, (qua nempe ratione dividendus est axis Cemi-
cireuli ue habeatur Semiperipherix cencrum gravitatis:) Frir a centrum graricacis
Solidi ex Ceniconvertione Frapezii V B, P circa rectam AF.
44. Cencrum aurem grariraris solidi ex semiconvertione Prianguli, habetur, B
a rectae LZ puncto FI, quod jam incellisatur ableindere rectam PHI, quae lic ad
FZ, ut 3 ad 4, (quod nempe cencrum graritatis cHet L dCWIETCCUE CUEVATITA,
verpendicularis Fn incellisatur (propter curraturam) ita diridi in p uc modo di
vilimus IEn in ~. Eru ucique e cenerum gravitaris tolidi ex semiconrertione Pri
ansuli v F P circa rectam A F. (Ouamquam revera perinde omnino elt ad hoc
negorium an omnino reperiantur puncta e, e, an cancum puncta H, FI: Nam ea-
dem est distancia, quancum ad reccam CF, punctorum K e P, irem punctorum I)
ec p: _ quancum ad rectam AF, eadem talcem dictanciarum rario, live puneta
IE, FI, Circ ae, 8, Considerentur.)
45. Cum igitur rario distantiarum lire punctorum K, FI, sive a, P, L recta AF,
lic uF +8 ad3, Lire 28ad30, rel 14 ac 25; ee magnicudinum, ut 5 ad 2: Prit,
qua ex his componitur, racio momentorum, uc 70 ad 30, live 7 ad 3. Quod cum
ubique tiac; caclem erit sc ratio momenti lolidorum ex semi convertione Frape.
Ziorum omnium ad omnium Friangulorum sIC COnVerIOTUM MOMenEI, HOC est.
momenti Colidi ex lemiconrertione senriereloidis, ad momeneum solidi ex sevy-
conrertione semicireulis (circa rectam AP, ) respectu rectae A F: NTempC vC7 ad
3. Onde collisencur puneta, t, 0, s, uc supra. Nempe si incellisatur ( cencrum
praricatis Folidi ex semiconvertione cireuli circa rectam AF, (gnod punctum C
dari supponimus, vel, si exigatur, deinceps exhribebimus 556;) ec tiac, ut 3 ac
sie FG ad PF; et deinde, uc5 ad 2, lic P P ad Fa; aeque ducatur as bali paral-
lela; eric cencum gravicatis solidi ex lemiconverlione lemiercloidis cirea rectum
AD, in recta 4d.
46. Cum rero distantia puncti sive R sive e a recta CF Fit 22. = 20ZZ; acque
distancia puncti H vel ae ab eadem recta lic 3Z.V; (quorum utrunque ex dictis
Patet:) erie diltanciarum racio, uc ZZ F 20 2 L ad3Z Y, EIre nC 2022. + 14. 2. L
ad [5 Z T. Oux si cum ratione magnitudinum 5 ad 2 componatur, habecur mo-
MEnTOTUM FatIO 100Z Z f 7OZ Y act 302Y, Sive 102Z F7Z X ad 32 L. Quod
cum ubique tiac; pro ratione momenei lolidi ex convertione (vel semiconvertione)
semieycloidis, ad momentum tolidi ex convertione (vel semiconvertione) lemi
circuli cirea rectam AP, respectu linea aequilibrii CF, sumenda erie cum racio
ad 3 (Propier 7 2. Z ad 32L) cum (Propier 10ZZ. ad 3Z L) ea ratio quam
habet decuplum momenei solicorum ex conrertione Prianoulorum oF pCicCA A F,
luspentorum in diltantiis Z Z respectire, ad triplum momenci corundem Colidorum
suspensorum in distantiis Z T: NemDC Ut Z RP3 = 3~R P ad ZR3 P, SIVC UE
(5A F9 = 2OOF q ad + C F 9. (Ouod 5 87 de Segg. Tusius declaratur. ) OuX
quidem ratio si cum ratione 7 ad 3 conjunsatur, habecur racio momenci (respectu
rectae C F) solidi ex convertione (vel semiconvertione) semicycloidis cirea re
Etam AP, ad momentum solidi ex simili convertione (rel semiconvertione) seni-
circuli: Nempe Z- R P3- 16R3D ad Z R3P, SiVC ut 45 P Z -- 5CZR ~ ad, FO2R2
HIOcCst, uc 45 A F 9 = 32 GF9ad +2CIF 9.
47. Si itaque ponamus Ce F, distanciam cenri graricaris solidi ex ea conversione
rel lemiconrersione semicireuli, (d recta C F;) de tar, ut 22 C F9 ad 45 AF9
32 C F9, lic GF ad GC; ierumque, ue 5 ad 2, Sic G 0 ad CeF; et duCaTUN F)
parallela rectae C F: Fric lemisolidi ex convertione (hoc est sosidi ex tergicon.
rertione) Semicyeloidis cirea rectam AF, cencrum graritatis in recta Py; adeo
que in ipsius eo puncto ubi occurricur recta as modo inventa 545. (Deligno-
mus autem in schemare cencrum graricacis in ea semiercloide, ubi minor ficura
centrum elset linearum contusio; perinde enim ad rem est, in vira defignetur.)
42. Flabito aurem centro gravitatis in lemilolido, d Forciori in Tolido interro
tecri cir- haberi cerrum est: puca in Aris punctor.
40. Louen n procestu (mutaris mutan , ut TuprA B 3T.) colligitur cen
icum scaricatis temilelidi ex conversione lei nemi ED C. F ciea rectam AP; e
conse
Duam
um
dinan
in
Colidi in-
AF.

## Folio 507 — 851387705:0527
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000527.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
C Y CL O1
contequenter eriam centrum gravitaris semisolidi ex convertione segmenti CZ Y,
cum cirea rectam A F, cum e circa rectam Z Y.
50. Tandem superest uc centrum gravitatis semisolidi ex conversione Semiey. centrum
clordis cirea rectam C. F inveltigemus. Nempe Si Lemisolidum illud plano abscin- semisoliat
dacur quod plano C A P in recta C F recte insistat; manitestum est Gravitaris cen- circa C F
crum tore in iplo plano C AF. Ouaeritur, in quonam ejus puncto. Hloc modo
52. Semisolidum ex convertione eriansuli v F P, erit lemiconUS eXCaVaTUS; Cu-
jus propeerea cencrum graricatis, s curraturam demas, erit in rectae ZF puncto EI
quod abscindat FH = 3Z F; (nempe in recta 2 F lic lecta ut secanda eset F Y
ad inveniendum cenerum graritaris hujus solidi integri;) Sed deinde, propter
Curracuram Pemicircularem versus rectam C F, (S verum pravicatis centrum in-
dagare liceat,) abscindenda est rectae FYh, ea porcio verlus h, quae sic ad cotam
TIh uc ciameter circuli ad semicireumterentiam; (sic utique dividendus elt aXIs
Lemicireuli uc habeatur lemiperipheria centrum gravitacis.)
52. Semilolidum autem ex convertione Praperii V B,P, est tructum coni ex
caracum, cujus cenerum grariratis (si curracuram demas) est in rectae CZ eo
puncto, puta H, quo ita diriditur ut diridenda eset F Y ad inveniendum cen-
irum graricatis hujus solidi inceori, nempe excarari Frusti coniei. Centrum au-
rem graricaris verum, est (proxcer curraturam J sin rectae KK eo puncto quo ita
diridicur uc de (Th modo diximus.
53. Cum itaque horum semisolidorum ratio momeneoeltin, tum respectu rectae
CF, cum rectae AF, componatur ex rationibus magninidinum et distanciarum;
reperiencur puncta P, _, limili tere methodo quo supra; adeoque e punctum s,
centrum prariatis semisolidi; _ simul centrum graricacis solidi interri, puta pun-
Etum AXIS 2.
54. Cumque similiter Faciendum sE (mutatis mucandis uE 5 32, 49,) de semi centrum
Tolido ex COnVertONE SESIENEI, puTa SZ C F; pariter datum erit et hujus cen solidi ex
trum graritatis; e consequenter (proxter dacum eriam cenerum Braritats semi-seemento
Tolidi ex conrersione Frapezii CZYF,) centrum pravicacis lemilolidi (adeogue
et Colidi inceori) ex convertione seomenti CZ Z cirea C. F. Dabuncur itaque qua
guarebancur omnia.
55. Poltumus aurem haec eadem exhibere, ctiam sine ope cencrorum R, 1I, dc.
methodo mihi quidem tacili de tamiliari, ex principiis in noltra Infinitorum 
rithmetica craditis desumpta, (de quidem in muleis expedicius:) sed quam alis tor.
san haud ua prompre line tonsiori verborum apparacu allequereNEUE.
Arque hactenus ea sunc quae ad D. Carcarium menlibus Augusto et Seprem.
bri, Anni 1658, mileram (hoc eltus inira rempus a proponence limitacum,
mechodum meam, rociusque rei quali sceleton, exhibencia: Et quidem iit
dem fere cum rerbis tum ordinc; NIs quod ad 5 30. numeros emendare.
rim qui vitioli crant vexore quos inveltisando Prilineum C AF fig. 7
ciroa rectam A B, ineautus conrerceram cum circa C F convertendum esser
e similiter ad 5 +6;) Quem calcusi laplum, ubi deprehenderam, liceris eo
dem Seprembri daris inlinuabam; eque insuper cum istius emendacionem.
cum alia quae sibi suitre ad jultam deonttracionem deesse vila Forent
ubi hoc indicarerine, extribicurum. Cum aurem nihul inde bactenus no-
nicus tiierim, (quod oblacae conditiones ex spectandum innuuine, ut ec emen-
tandi calcusi veniam impune permitcunc;) ea tamen quae sequuntur, quali
scholiorum inctar, ad praecedentium cuni Ellultrarionem cum jultam de-
monstrationem, liber hic subjuneere.
56. Ouum Tupra 545. deliderari rideatur punctum C, quod ibidem designat contrum
(non cenrum circuli, Sed) cencrum crariraris seriannuls ex, semiconvertione portionis
Cuculr C. F. cirea rectam A B: Illud hac mechodo investixamus. Super circulo ylindr.
ique
CZ F F8. 5. (.qui circulo CZ L SCori Crcloidis aequetur) erigacur Cylindeus secti es
rectus Fe alcicudinem habens C circuli genicoris verimetro aequalem, adeoque semian-
aequalem lemiperipheria CircHH Lac FC deleripti. Fc incelligatur Cytindrus nuli.
ille bilecari, tum per axem plano FC C. parallelosrammo; cum, per hujus diago.
nalem FC Transeunte plano elliprico FC(s quod plano FC C recte insistat; eum
denique plano bali parallelo pn; reliquaquo constriantur ut in schemate. Dico
primo, Cstincei portionem plano elliprieo absettlum F CSCC, per omnia aequasi
semi-

## Folio 508 — 851387705:0528
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000528.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
LE L OID F.
semiannulo expolico, dempra curratura. Nempe re
ctam Cc aquari semicireulo a puncto C descripio;
e similiter rectas Zv, Z6, (Tumpris ubivis in base
Cylindri respectiris punctis Y, 2,) Temiperipheriis
punctorum similiter poluorum in semiannulo; item
L8 parallelogrammum, semisuperticiei cylindricae re-
eta XZ in annulo deseripeae; et lic ubique. Nec
alicer differt haec porcio Cylindrica ab illo semian-
nulo, quam quod semisuperticies eslindricae omnes
rectis ZZ in annulo deleripta, in portione Cytindri
in planum expandaneur; adeoque lxc Cstindei pOr.
tio cancundem valer acque lemiannulus deMpT CuI-
vitate.
57. Cencrum aucem gravicaris in expolica Cstin-
dei portione, sic collisitur. Si ponamus CC lineam
aequilibrii (adcoque planum huie perpendiculariter
inliltensu aequilibrii planum;) crune, cum alcucudines
YV ad inricem, uc rectae F V; cum distanciae ab
aequilibrii plano, ut YC; adeoque, qua ab ipsis tiune, ue rectangula F YC, hoc
estu ut quadrata T2; qua quidem in iplas X2 ducta, hoc est, tacta ex balis in
alcicudinem ec distanciam continuo ductu, hoc cst, planorum ZB momenta respe.
etu rectae Cic, Tunt uc cubi rectarum. L Z. (Per momentum aurem, cum hic, cum
pallum alibi, incelliso tactum ex magnitudine in distantiam ab aequilibris plano
ducta; ut quae momentis lunc proporcionalia.) Sunt autem omnes cubi rectarum
Y2, ad coridem cubos rectae C. F; hoc cst, momentum P LuC CC porrionis scmi-
cylindri in suo sicu, ad momencum Parallelexipedi aequealei balin habentis quadra-
cum FC ex puncto F Lulpen; ut 3 ad 32D; (ubi per F ad _ intelliso ratio.
nem circuli ad quadrarum diametri, lire ut P ad 4 D;) quod mox probabitur
560, ec. adeoque, ad momentum Cy lindri parallelepipedo illi inseripei similiter
Cuspenti, uc 3 ad 32; (substituris scilicer circulis pro diametri quadracis:) Ht
Propterca, momentum FCSCC Porrionis incceri Cylindri in Tuo sicu, ad momen-
cum Cylindri sic suspensi, ut 3 ad 26. FI aurem magnicudo ad magnicudinem,
UE F ad 2. Frso, distantia ad distanciam, uc 3 ad 8. Si itaque divictatur FC
in 3, ut sic C 8 ad C F. ut 3 ad 8; _ ducatur 8Y rectae CC Parallela: F rit cen-
trum graritatis portionis expoliae FCC CC in recta 8y. Sed e (quod tamen ad
praesens negorium quaesim non est necessarium, ipsum enim e punctum jam inven-
cum nobis lutticic) idem oravicaris centrum est in recta L’u, (quippe quae per
omnium ZC parallelosrammorum centra cransie, ipsique rerera PC in annulo re-
spondec;) ergo in eorum communi puncto y.
58. Si itaque ut rectam F x in Y, vel FC diametrum basis Cylindri in 8, ita _
FC axem annuli dirictamus in 8, (quod semiannuli cencrum graritaris cMer
dempta curratura:) iptamque F8 = 5 D diridaLS iLCTU (PrOPTeE Curraturam)
in C, ita ut sir FG ad FB, ut circuli diameter ad semicireumterenviam; crir C
centrum graviraris semiannuli ex lemiconvertione circuti FC circa A F rectam.
tlaberur itaque (quod 5 45. supponiur) semiannuli centrum sravicavis C. (nem.
Des ut  P ad D, SIC PB = 8 D ad   CD = F C.) Ft consequenter, ProPter
3) 33
47
(ot, erie 2 vel , = F a sie. 2. dillancia centri Bra
vicacis solidi, (semiconventione semieycloidis cirea AF facti) ab AF.
59. Ot autem habeatur P, cenerum era vicaris somiannuli ex sumili semiconver-
Tione lemicirculis Sumenda he eriu a puncto C jam proxime invento, recta
GF (bati parallela) quae ranca sc gtanta distantia centri graritaris. Pemicireuli
FC a circuli cenrro; quae nempe sir ad Z F C (sire 3 Fadii) ut B, C aet F A, Sive
ut D ad 3 F
60. Ouod aurem. 1857. probandum susceximus, Nempe omnes cubos rectarum
Y2 ad toridem cubos CF, eslet uc 3 ad 3251; sic ostenditur ex nostrae Infinitorum
Srithmeticae principiis. Si ponamus ciametrum F C _F D in partes, aequales nu
meco intinicas diviei in punetio Y, erumt omnes F X = a series intinua Prima
norum,

## Folio 509 — 851387705:0529
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000529.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
E C FCLO4
C. =D = a respectire ducta, danc Relidua a D = a omnia rectangula FC Y
hoc est omnia Ouadrata LL, qua ad bocidem D. Cunt ut F ad 6; Residuorum
vero Ouadrata, hoc est rectarum YZ Biguadrata, ad coridem D, uc X ad 30
Reliduorum cubi, hoc est rectarum LZ Porestates sextae, ad toridem Z, ut 1 ad
F40,_C. Unde colligitur series F, 6, 30, 240, 630, c. (Arich. Infin. pr. 133.)
Dua non alia cAt quam Series 1, 2, 13, 158, 387, ecc. in seriem Geomerrice provor-
tionalium 1, 4, 76, 64, 256, ecc. respectiro ducta: Adeoque series illa (ibid.
PrOp. 189.) interpolata 2, B, 3, ZF, 3, ZB, ec. in hanc item interpolatam +, 2
49 8, 26, 32 ec. respectire dueta, exhibebit illam prunam interpolatam 1521, 6)
=E 30, 251 140, ecc. Et propierea, lieur T ad 6, 30, 240; ecc. exhibent racio-
nes quas habent rectarum omnium YZ porestares sccunda, quarcas Texta, etc. 20
tocidem DE, D, D5, _c. Sic L ad 2B, 331, 23D EC. exhibebune ratiONCS quaS
habent carundem rectarum XZ Poreltates primas cerria, quinta, eec. ad coridem
D, V, Z, Scc. Fc Speciarim (quod nostra jam interest) omnes eubi rectarum X2y
ad cocidehi D sive cubos FC, rationem habebunc F ad 33B, Livo uc 3 ad 32F.
Duod lulcepimus probandum. ls.
6T. POrrO, quum calentus ad 5 5F, 52, 53,54 Cubi agieur de cenro graricatis centrum
Colidorum ex conrertione Semiereloidis circa rectam C F.) omistus Hc,  caleulieravita
tancum fundamenta remoriora extribica: libet hie calculum illum aliquarenus ex. tis semi-
hibere, juxta methodum quam 555 intinuari. FL primo quidem Dervendemus solidi cir
convertionem Friansulio P P, deinde Frapexii Vier P Rectam autem in PPIanL
dulo p, adeoque et Br in Frapezio, dicemus B; ejusque aliquoram partem intinre
exionam b; ad eoque V P erit B F B, vel 2 B. Item Z L, dicemus Y; ejusque partem
intinue exisuam, y. Ec rectam FX, hoc est altitudinem, rel etiam diltantiam ab AF
dicemus A; ejulque parrem intinite exiguam, a. Rectam denique Z Z, dicemus 2.
62. TTis politis; supponimus in Triangulo . Lp intinitas rectas parallelas Arich-
merice proporcionales, a vertice F ad DAHIT CuC vP COntinUataS, O, +b, 2 b, 3b.
vlque ad Bearum maximam, quae est ip(avP. Hae aurem recta, dum circa rectam
C convertuntur, deleribunt coridem annulos planos (falcem hujulmodi annulo-
rum partes similes) aequales toridem rectangutis parallelosrammis a rectis ip(is qua
Convercuneur, ec peripheriis quae catu punctis mediis deleribuntur, contentis:
quas peripherias, live incesras sive dimidias, cum tnc radus proporcionales, per
rum momenta Lelpectu cc  ea aoM dutantias pro-
portionalia; Cincque distantix, (UI O, a, 2 a, 3a, ec. usque ad A; CruHL Cd HIOIHICHCZ
27abY, _c. ulque ad ABV. FTocelt, omnia momenta, lune leries J’eprin
Dux Percianorum leries, ad toridem maximo xqualia hoc all. ad maximum n alei-
tudinem ductum, hoc elt ad Cylindrum vel Prilma ejuldem vel aequalis batis aequet
bZ +7 B, By
CF.
norum, Eive Aritimetice proporcionalium, quorum maximum eAt D: quae in
ID (OS TacOS CCL CaIo, LCLDCC, L, 2503 _C. ulque ad , hoc est Z Y radio.
rum illorum maximum. Frunc isitur plana illa, i 0, LR2)3 2DX27, 3bX 2)
Ec. hol CA 00, Lby, 4b7, 937, c. ulque ad Br. Deinde, cum horunt plano
u OhyXOa, EbYXEa, 4by X2a, Oby x 3 a, etC. hoc est 000, Taby, 8 ab7
alcum, ex puncto Y suspentum, est ut X ad 4. Quod dicamus igitur : A ABF.
B = B, live 2 B, hoc elt VP in dunc B + 0, B. F B. + L0, .  3b, cecsalgue
ad 6 =B. _Radii veto peripheriarum d mediis rectarum punetis delcriprarum.
Tun L. F0, Z= p, Z. = 27, Z = 3y, dc. usque ad L F P. Lp GuIB IeICBIS
Enricem respectire ductis tu series magnicudinum, sL. F OL + 0B + 00, BZ 1
5Z = 2bZ F. 2y B + 4 by
BL+ 3b2 f 3y B + 9by, dc
ulque ad BZ F BZ F Y B. F. BY. Oux li ducancur in respectirao suas abi A F
distancias 0, a 2. a, 3 an ec. usque ad Ag tier Series Momentorum ib
0B7 1000Z]0d B f000
Z + abZ + a y B + ab.
C 4erB = 8 ab7
C+ Oay B + 27
c. usque ad
it
Cujus summa est Z A AI L. F; DC. +5 2AB + = A1B)
tive
351811
ilicc. D.  MEMIK SBOE
63. Fgdem modo; Lutinita rectae Praperii, a minima B, hoc elt. Bi, ad nisque
BH
1B + A
3A uta

## Folio 510 — 851387705:0530
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000530.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
DF CY CL O ID F.
64. Cum igicur sicracio momenii hujus ad momencum illius, ut 3 A ABZ +
12 AABY ad = A ABY; hoc est (diridendo per A AB) uc 8Z + 25Y ad = Y, sive
(ductis omnibus in 12) ut 10Z F7Y ad 3~: Nempe, ut 10ZL + 7 2 Y ad
32 Y, (eadem scilicet ratio quae _ lupra 546,) Acque hoc ubique: Propter omnes
72  ad 3Z T, ponenda ratio 7 ad 3; e propter 102Z ad 32 l, eadem qua su-
Pra 546. Ec quidem eandem utrobique rationem provenire necesse elt, (utur variis
modis libuerit inrestigare:) Nam momentum lolidi ex convertione ejuldem E-
Surae, cirea A F respectu recta C F, atque circa C F respectu recta AF (proptex
marnimdinum ex diltantiarum reciprocarionem) tancundem exit. Adeoque hine
habemr tum distantia ceneri graritaris semisolidi ex Lemiereloidis femiconvertione
circa C. F, a recta AF; cum inceori iltius solidi iplictimum GTaVITatIS CeNEruM,
uepore quod in C F Cicum esse conttat.
65. Ouancum aurem ad distanciam cencri gravitatis ejusdem Semisolidi (ex se.
miconvertione semicycloidis cirea C P) ab ipla C F: Simili methodo investisanda
CTII. Cum enim Colidum ex semiconvertione Frianguliv Ep circa C F, sIc agGrC.
sacum seriei oby, TbY, 4 bY, 9bY, ec. ulque ad BY, (uE Cupra 562:) EF toli-
dum ex semiconvertione PrapezII V B, P cirea candem C F sit aggregatum CerICI
BZ +02 +0B +00, BL +, bZ + y B + by, BZ = 2bZ = 2y B + 4by
BZ = 3b2 = 3y B + 9by, etc. Luc Lupra 563.) Si uraque series ducatur in le
riem suarum respectire diltantiarum a recta C P; (nempe illa, in 0, y, 2y, 3y, ec
usque ad Y; _ hac, in Z f0, Z F Y, 2 f 27, Z F 37, dec. ulque ad Z. + Y:
habebitur series momentorum corundem Colidorum respeetu linex aequilitru C F.
Onde ee aogregati ad aggresacum racio; hoc est, momenci semilolidi ex Friangu-
lo, ad momentum semilolidi exi Frapezio (circa C F converto) respectu recta C. F.
Nempe
2t1s esC. uIque ac
BZ.Z 16DLL+0YBZ + obpZ FOpY B F Obyy.
B2.L + LbLZ+ 27B2 + 207Z = 2y y B + Fbyy
5LL F 262 L. + 47BZ + 8byZ + 4py B + 8bg7.
2. + 3bL 2. +6yB2. + 18672 +9yyB + 27617
Ac. in intinicum usque ad
B2Z + BZZ + 22B2 + 2BYZ + YYB Y BYY.
Summa: 1BTX ad Cumma ABZ 2. +: 1B~C +3 MBZ +: aBYZ + : a rB + = aBYY.
live AABYY
ad 3 +B2Z + 3ABYZ + B A BYY.
EdEut, 228 (∞.  a 2d 10511. 322 +. 3r2 + 1228. 1
Tire ut 3YX 1
ad 11 33F8Z Z = 2072 +1. 17YY.
FIoc est, uc3 quadrara rectae 2 P, adt 28 quadraca rectae Z Z una cum 20 rectangulis
Z2 Xy ec 7 quadraris 2 Y. Duod cum ubique tiae: ne hrabeatur ravio momenei 50.
lidi ex semiconrentione omnium Praperiorum, hoc est Setnicycloidis, ad momen-
tum Colidi ex convertione omnium Friansulorum, hoc elt Semicirculi, (oirea re-
etam CF;) quaerenda ratio cum omnium Ouadratorum 2Z Arichmerico proxortio.
Fis. Y. nalium cum omnium Rectangutorum Z Z L, in. Fespectra Friangula v F P, Sire
(.Proprer aequales ubique p.) in respectiras Alcitucines Y F; ad omnia Guadrata
2L in eadem respectira sive Priangula sive Alvitudines. Acque ilta demumrario
E dueaur in racionemes 8 ad 3, SIVO 6 ad r; aique haec quidem in rationem 20 ad
35 d uerisque randem (sie ductis) aejutsatur rario 7 ad 3: Flabebicur rario ea
quam haber momentum solidi ox lémiconvertione Semicyeloidis circa C F, ad mo-
mencum solidi ex Semicireuli sirca candem C P semiconvertione, respectu eju sdem
CF lineae aequilibrii. Onde si eximatur ratio magnicudmum; habebicur rario di
ltanciarum centrorum gravitatis.
66. Similicer Si Cumantur (in Lig. L, vol 8) omnes Z Y aequalibus incervallis dis-
Sica; ex quarum semiconvertione cirea Ci F fic Solidum Cyeloidale, Licur ex lemi-
conrextione semicirculi sire omnium in eo ordinatim applicatarum circa candem
rectam tic Femisphaerium: F ric momencum illius ad momentum hujus, respectu ejut-
dem C F recta, ut omnes cubi rectarum CY, ad ommes cubos rectarum 2Y: Hoc est,
uc omnes 2Z. C + 32L. 9X2. T F 3ZZXZZ9 F DY e, ad omnes 2 Z es Oux qui
dem omnia similibus mechodis ad caleutum reroeanda sunc acqie superiora.
11.
67. POrrO,
Ob

## Folio 511 — 851387705:0531
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000531.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
F CY C
dinibis sive Slariat CCMIS htlel (guae Lupra 633, 40, datL LPLOHILIS,) I
habeat. Decireulo, nemo nelcit, ex ductu Semiradu in
arCUI Z C vel 22 haberi sectorem ZGC vel ZGZ; cui li
auteratur Priangulum ZGC, vel ZGZ, manebit legmen-
cum 2C vel ZZC; (incellise, s Z CZ arcUS nOn excedat
Semiperipheriam; ubi enim excedie, non auterendum clt.
Sed aadendum Priansulum ZCFZ:) Tum, addendo Prt
angulum Z I C vel ZF 2, haberi Sectorem Z F C vel 2F Z.
Fet sic alibi. Fr in Sphaera similiter, superticies Sphaerica ZC. 2.
ableilta plano Z Z Z est ad eoram (pherae luperticiem, sive
quadruplum circulimaximi, uc C. Y ad C F, (nei nocum elt: ) ca vero ducta in
erientem radii, dat sectorem sphaericum CZZ C (factum ex convertione lectoris
circuli Z G C circa CC;) unde sublaro cono (2Z, manebit porrio 22 C; (intet
lige de porcione qua hemilphaerium non excedit; sin excedar addendus cll, non
auterendus, comis ille:) cui portioni ( addacur conus F22, habetur (phxricus
SeCTOE F ZZ Cy lire Tolidum ex convertione sectoris circularis Z F C cirea C F ta-
ctum. Ec similicer de Segmenris aliis.
68. Vel etiam idem Sector Sphaericus sie colligi poterit non ineleganter: In
ventis nempe cum circumdueti Sectoris circularis magniemdine, ut supra, cum
centro graricatis, per 5(Cg. Sector ille circularis ductus in peripheriam hujus
ceneri conrertione deleriptam, dac sectoris Sphaeriei magnicudinem. Sed ee me.
morata superticiei Spharica partio plano abseilla eodtem modo colligi porerit:
habiris nempe areus Z C. cum magnicudine cum centro gravicatis: quipue arcus ille
in peripheriam hoc centro circumducto descriptam ductus, dat illam superticiei
Spharica portionem: (qua quidem omnia, quod oppido nocandum est, non TaH.
cum de conrertionibus inceoris sed es partialibus perinde valent;) unde nOn MO.
ee vorriones jam dictae, sed ee alix variio modis politae, menturae CuBjiciumene.
Ec quidem, suppolica cirenti quadracra, quae hic supponitur, quadrabitur Pi- Fieura
sura qualibet in Tuperticie Sphaerae circulorum quorumris (sre minorum) ar in super-
cubus cerminata. Duod quamris non sic hujus loci fulius prosequi, paucis camen sici
oltendam. Nam F. Polle Figuram hanc quamcunque in Frilinea Spharica circu. Spharica
lorum peripheriis dirimi, manitestum est. 2. Trilinca haec si sine vera Spharica
Triansila (circulorum maximorum arcubus terminata) data LunE: Ouippe, ut
Fixcellus quo ansulorum in Friangulo Sphaerico aggresatum luperat duos rectos
ad duos recCoS; sic Friansulum illud, ad Circulum in Sphara maximum.
quod vero Prilineorum non sic cale Priangutum Spharicum; habecur tamen illius
d Sphaerico Friangulo, sisdem puuctis ansularibus cerminato, disserencia, habicis
Bilineis quae circulorum maximi de minoris arclbus conterminis incerjicinntur
p. Flabetur aurem hujusmodi Bilineum, si incelligantur ab extremis arcus cireut
minoris ad polum suum duei duos arcus circuli maximi: Oui, cum arcu illo cir-
coli minoris, concinebune Trilineum Llosceles, cujus magnicudinem hic (868.
exhribemus; Ticemque, cum Contermino areu cireui maximi, Continent Frianou
lum Sphaerietim; Oucrum disserentia, est Biliveum guaelitum. Adeoque, SuvDO
suca circuli quadratura, quadrabitur fieura quatibet in supersiere Sphaera cireuso
ram quoratrvis arcubus terminaca; non minus quam, in Plano, Fisura rectilinea
Duod nos, Hi tallor, primi docemus.
Vel vice verta, Flabiiis cum porcionis superticiei Sphaericae, tum e arcus cirey.
laris magnicudinibus, inrenietur. ipsius arcus cencrum graritatis. Generu autem
Graricacis arcus cujutris, in radio bisecance sicum, distat d centre circuli ea racii
parte quae sic ad radium incegrum, uc iltius arcus subrensa ad ipsum arcum: Di
stac vero idem praricatis cencrum a diamerro huie areui concermina, simili semi-
Tubren(X parre. Areuum denique, ut C2, momenta, respectu conterminx diamerris
ut CP, sune ad invicem, un eorum sinus vert, C. V. Sed haec obiter, acque ex
adcanci.)
67. Porro. liguis de Segmentorum Circularium de Sphaericalium Sive. Magnicu
50 De cenero praritatis in Segmentis circuli, res iteim Conslat. CuI Cnim, oB a
et Ct0
qui arcum bisecat) ut Z C. Z arcus, ad sur Fubrentam ZZ ; sie Z Factii, ad P: erie si circur
F. cen- laris.
dacam (quxe dari Suxponitur) racionem aleicudinis ad balin Crcloidis, hoc cst, iis secto
Diametri ad Circumterenciam circuli, decur etia arcus (Dura Z CZ H8. 6.) masat ris, vel
cudo; dabitur etiam segmenEI CenCrUM GrAVITaLS. Dlempe si fiur (in radio CFC Seemen-

## Folio 512 — 851387705:0532
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000532.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
b. C Y CE O TD P.
E centrum Graritatis Sectoris 2GZ; sire Semicirculo majus sic, sive minus, sire
aequale. ( Duod quidem cum ab aliis; ee nominatim Flugenio, demonstrarum ct;
cum s opus est, sic more nostro poterit demonstrari: Si incelligatur (2C 2. Sector.
ex aequalibus limilibu (que Priangulis numero intinuis contlari, quae cocidem radir
repraesentene; per horum omnium centra graricaris qua trantie curra, adeoque
radiorum illorum duas cercias abscindie, erie limilis arcus circuli racium habentis
EGC; cujus quidem arcus lingula puncta (urpore aequalium criangulorum cenEra
graritacis) cum supponenda linexque oncrara, idem crir tum hujus arcus, Tm ex
Potui Sectoris, centrum graritatis: Fujus aurem arcus cenrrum graritaris habe
tur, li tiat (quod modo dictum est ec mox probabitur) uc arcus ille ad tuam (ub.
tensam, (hoc est, uc arcus Cumilis ZCZ, ad Tubrensam luam 22,) sic radius dicti
arcus Z GC (nempe 3 radii Sectoris exposiri) ad quartam, quae erit GF: Est ira-
que punctum P. cum hujus arcus, cum proprerea Sectoris expolici, centrum grari
tatis: Ouod ostendendum erat. Ouod aurem arcus centrum gravitaris illud ett
quod diximus; sic probatur. Ouoniam parallela plana cadem ratione secant Liiper-
ticiem Sphaericam, qua secant axem, (quod ab Archimede de aliis demonstratum
est;) Maniteltum est, porrionem superticiei Sphaericx quae aren 2 C 2 Semicireulum
non excedence circa bb axem converto deleribitur, eam rationem ad toram (phaer
superticiem habere, quam habet 2. 2. Subtenta (vel axis porrio huic respondens) ad
bb axem incesrum: Puta, ut axis D, ad subrentam s; sic coca Sphara superticies
D P, ad porrionem areu deseriptam; quae iaque elt 5P. Duxe quidem porcio l
per maxnicudinem accus a, dividatur, prodibir = P peripheria cenro gravicacis
iltius accus descripia, adeoque hrujus peripheriae radius, hoc est distantia cencri
pravicatis dicti arcus a centro circuli, = R: Nempe ca pars radii CC = R; GuX
est ad corum, nes ad a subrenta dicti arcus ad iptum acum: Ouod probandum
Cuscepimus.) Ec limilicer de cencro pravicatis Sectoris 2 CF C. l’auc alius cujulris)
eodem procelli constabit. Ex speciarim, lemicireuli centrum pravitaris, a circuli
cenrro diltat, , Eivc =: Nempe ut 3 P ad D = 2 R, sic 3 R ad
8
3
2∞
2∞. Datis vero Sectoris cujutvis Z C. C, dt ZC. G crianguli, cum magni-
Eudinibus cum ceniris pravitatis, dacur eriam centrum pravicaris sexmenti ZC. Da-
tis autem cum sexmenEs 2C, cum triansuli Z C. P, magnicudinibus de graritacum
centris, datur etiam cencrum pravicaris aexrexari 2 Y C. Et similiter de Sectoris
Z F C, aliutre, centro gravicaris conltabu.
centrum D. In porcionibus Sphaera, cencrum gravicaris sic collisitur. Ouadratum re
Grabita. Ex Z. L tig. 6. aequar ubique quadratum Ractii minus quadrato CY, (quod Datet.)
sis secto. Dicamus aurem, uc alibi, Ractium R, ejusque parcem aliquoram intinite exiouam
15. vel r. Exun isicur quadrata omnium Z P (quadrancem b C C complentium)
cement
R2 - 0
+, R2 = 9r = _c. ulque ad R2 - R=, (quod est punctum rer
atot. et C.) Sim pro Ouadracis hisce substicuamus ubique circulos, lateribus quadra
corum uc Raciis deteripios, (adeoque quacraris illis proporrionales: ) pro omni
buS R habebimus circulos Cylindri, hemisphario circumseripei; pro omnibus
00, r2, 4r2, Or2, ec. Cireplos Coni, cujus rertex C centrum Sphaerx, batis cadem
cum bale Cylindri, in plano quod Spharam in C cangic; pro uirorumque vero dit
lerentiis R= =0,
2, R2 = 9r2, ec. Circulos hemilphaerii, (qua
dratis utique rectarum 2. L proporrionales;) qui proprerea xequales deprehendun-
cur planis annulis cylindri conice excarati: Sed de eadem habebune gravitaris
centra, (nempe respectira puncta X, in recta C C:) aequiponderabunt itaque
cum lingula fingulis respectire, cum omnia omnibus; idlemque erir centrum era-
vitatis eylindri hujus conice excarati, acque hemisphaerii: Nempe in eo axis he-
misphaerii puncto quo ita diridicur, uc pars ad cenerum Sphaerae lic ad reliquam ue
ad5, sive 3 cotius: Id enim ob dacumcum Cxlindri, cum exempri coni, magnicu
dines e graricatis centra Facile collixicur.
gr. Vel Sic. Cum circuli hemisphaerium complentes, sinc (quod modo dictum
st) uE R2 = r 2, R = 4r2, R2 =grE _c. (hoc elt, jurca nostram Arichmeri
cam
1. 8. 6.

## Folio 513 — 851387705:0533
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000533.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
eam Infinitorum, ue series Aqualium dempta Cerie Secundanorum; quae ad CoL
relpondentem seriem Aqualium, cst nt F = 5 ad r, hoc elt ut, 3 ad Z, live vt2 ad
3; Qua itaque cAt racio Llemilpharii ad circumseriptum CHlindrum;) Sintque co-
rundetu Circulorum dictantia 2 CenErO SphXFX, UE Y, 2 r, 3r, Scc. nempe feries Pri
manorum: Haec distanciarum series in seriem magniudinum respectire ductam dat
TeriemY R2 = Y3, 2r R2 = 8
3YR ∞2773, ec, hoc elt seriem Primano.
rum dempca serie Percianorum, qua ad correspondentem seriem Aiqualium est ut
= = ad F, hoc esF ut + ad T, SIvC UE F ad 4. Oux quidem serieS Cum LIC momen-
es dictorum Circulorum respectu Centri Sphaera proxortionales, (quorum urique
rationes (unc ex rationibus magnicudinum e distantiarum compolita;) crunt eo
rundem omnium in luis locis momenta, ad momenta tocidem maximo aequalium ii
maxima diltantia; hoc est, momentum Fremispharii in Cuo licu, ad momencum
circum seripei Cylindri ex puncto C suspensi, (respectu centri C;) ut F ad 4. FIE
auuem magnitudo ad magnicudinem (quod jam ostensum est) ut 2 ad 3: FrBO;
prOPter 3) = (3, distancia ad distanciam, uc 3 ad 8. Distat ItaGUE CEnETUM GraVICA-
Eis Flemilphaerii a cenero Sphaerae, 3 Radii. Oe prius.
2. Ft limili procestu (juxta utramris mechodum) de centro pravitaris in aliis
Sphara partibus judicandum est. Nempe idem esse cencrum gravitatis SeBmentt
Sphaerici plano 22 absciltae, acque Peomenri sic excarari Cylindri eodem plano ab
scilla. Sed ee similicer judicandum est de cenero segmenci Sphaeriei duobus planis
axi rectis interjecti: Fc quidem live in eodem line live in oppoticis Femisphaeriis
ea plana; si e circa reliquum Femilphaerium consticmatur Cylindrus limiliter
excaratus. Cum iraque cum Cylindri, cum allati Coni vel Frusti conici magnicudi
nes _ Centra gravitatis nON ISnOreNtuT; nec ignorabitur cenerum graricaris tigura
excarara, adeoque nec Sesmenti Sphaerici planis quibulcunque parallelis abscitI.
13. Daris aurem legmenci Sphaerici 22C (sive tremisphaerium sIC, Sive majus
aut minus hemisphario) cum magnicudine cum centro gravicatis; li eidem adji
ciatur, vel auteratur, conus ZZG, vel 22 F, vel aliud quodris solidum cujus cum
maeniendo tum centrum graricacis innorelcunt; dabitur d aggresati vel residui
CCMErUM GTaVITaLIS. FF quidlem, quancum ad Sectores SphXriCOS, Ut GZZ C, TunE
illi respectiris superticiei Sphaeriei leomentis 22C, adeoque _ Y C. rectis, PFOPOT
tionales; (aequales urique = Ractii in illam superticiem ducto:) Suorumque cen-
crorum graritatis a ceniro circuli distancix, sunt rectis CF (li incelligatur P pun-
ctum medium inter C _ Y) proportionales; aequales urique ZCF F. Idem nempe
exit centrum exaritatis Scetoris Sphaerici GZ ZC, acque legmenti superticiei sphae
ricx lesmento Z2. C limilis et concentriei radium habenris ? Ci C. Or enim F. (Dun
ctum medium rectae C Z) elt centrum sraricatis legmenti Superticiei sphaeriex
22C (propter sesmenta luperticiei sphaerrea logmentis Axis iildem planis abscistis
ubique proportionalia;) ita Segmenci similis conceneriei radium habentis ZCC
(cujus lingula puncta, upoce conorum vel prramium rocidem aequalium Secto.
rem Spharicum complencium cenera gravicatis, aequaliter onerari intelligenda Lunc)
centrum praricatis erit in luo radio limilicer licum. Duod iptum elt de cencrum
Gravicaris Sphaeriei Sectoris, sire prramidum simul omnium numcro intinitarum
74. Duam Luverius (3 30.) Acep rationet 9 AL 9 = 4 C l4 ad 2CFq Momen-
um semi
veloidis
puncta 2 coincidant punctis Y: et sic ubique. (Mod tancundem elt acque luper. condet
Aelem curram crilineam FGF Z C l18. 2. in planum expandere.) Duo tacto,
xe
rectx CZ _c. prius inclinata in F1B. L. Cgentur ur in Fis. 7. Hxempris nempe factum
Fraperiorum omnium Friangulis (qua Friangulis Semicirculi ubique aequantur)
manebunc cancum Parallelogramma, Friansutorum illorum dupla: puta Parallelo.
grammum VPr B in Trilinco restituro, duplum Priarisuli o F p in Semicireulo,
(_ Sic ubique:) Sc eadem jam lic ratio omnium 2.Z. in haec relpectira Parallelo.
it
Sectorem illum compiencium.
oltendendum; cam sic inveltisamus. Primo quidem cum Frilineum CZ A F Z
Fig. T. in Semiercloide (propter Semicireuli incerpolicionem inter irilineum illud respecta
eulque axem CF) sic dictorcum; incellisamus (exempro semicireulo) tritineum Aurs.
Friangula, vel horum corumre alcicudines.
illua restitui in sicum debitum, procrulis scilicer omnibus Z 2 ad rectam C. F, uc solidum
pramma, ad omnes Z. Y in eadem Paralseloerammas acque prius in sua respectire
25. Cum, Tumpris Y, y, aquat  a CCIO (E TEMOIS, alutucnes Bla
Ly LY simul Lumpra aequent ique FCy sincque ZY my equales; exir ubique

## Folio 514 — 851387705:0534
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000534.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
D EC X OL OFDF.
ZZ XF Y F M YX FB = 7 PXF C. Sive, quod tancundem elE, quacHIIICdIS
M_A L. Una cum quadrilineo Z. Er FI, complent Parallelogrammum vaus 5) al
Bcamma Pacalleloprammi C. B u omneo relpecle reclas L. Y unius quactrantis;
cdinis PC, (altero sencet supplente quod n altere Welt.) Adeoque perinde
est Bre ducamus omnia Parallelosranima vol Ouadrilinea Trilinei resticuti CZ AV
in omnes respectire rectas Z PEtocius Semicirculi, sire omnia minuta Parallelo-
hoc est, in omnes sinus rectos arcuum Arithmetice proportionalium in Oladrante;
hoc et in omnes respectire rectas, aequalibus ineerrallis sumpras, erilinei C BB
ipsi Cib parallelas, incipiendo a B (quod ltatim ostendetur.) Hoc clt, perinde
est sive Tuper base A Pn, erigamus figuram alticudinum respectire carundem cum
crilineo restituto C AF: Sire super base F Bn, hoc est BBC, tiguram alticudinis
CF ubique; (posiro nimirum RGUTAS CM ABN, cum F Bu, Fisura BBC COn-
Sruere.) Ouod aurem rectae Frilinei CBb sint arcuum Arichmetice propoxtiona-
lium Sinus recti, sic constar: Cum enim proprer cum Semiperipheriam CbF, tum
rectam AP, in partes aequales dirisam, omnes P Y, hoc est omnes 6Z. (crilinei
C AF Fg. 7.) Sine sinus versi arcuum f 2 Arichmetice provortionalium cocius Se
miperipheriae; crune timilirer omnes EY (carundem exceltus supra semidiame.
trum) hoc cH, omnes recta crilinei Bb C, arcuum b2. Arichmetice proportion
lium in bC quadrante, Sinus recti; (uri e, cadem ratione, Cy detectus rectarum
P Y Sire Fy a radio, hoc est rectae crilinei similis B b F, sunt linus recti arcuum
Arichmetice proportionalium quadrantis bF:) quod sulcepimus ostendendum.
16. F.H aurem (ut calculus 5 23. indicabic) prismatis modo dicti, balis BBC
Bio T. aequalis R2 Quadrato radii cireuti generantis. (Nam si vonatur punctum Y Fg. Y
in centro circuli ut C, eric cum F Y = R, Tum Z Y = R, e ZI. == 2C =29
adeoque Z Y = R + a P, quae ( in Z  ducatur, habetir 3 R2 F 3 RP magniindo
quadrilinei CZ C F, hoc elt, in hoc casu, quadrilinci BBCF, fig. L. unde (i au
feramus traperium BBCFF, hoc est, cum parallelosrammum BBBF = C F X BF
=RXZ P = P, cum triangulum P bCE = G F X Z BC = RX Z R = = = R2, mane
bic RE F s R P magnicudo sexmeni C. CB; unde _ icerum Cubeucamus quadran.
rem

## Folio 515 — 851387705:0535
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000535.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
inter
inde
CHIMI
dinis
11
Ond
MM
NInC
FUM
AUII
L  L CL1,b
his radis (convercendo) delelipldo, B10 La, Db L L. Lod qul.
dem clE triplum Sphaerae circuli genitoris: (quod hinC oritur, quia cum paralle.
locramma V Br P Tunc criansulorum oF p dupla, cum 2 L diltantia media balis
crianguli, elt 3 distantiae cencri graritatis Prtanguli d convertionis dae l. L; dac0-
que 3X 2 = 3:) Sicut _ iildem de causis, 2 R3 criplum Momenti Semacirculi re.
spectu reccae C. F, elt Momencum omnium parallelogrammorum HC LIIIPCHIOTUMI.
Duod de in Colidis, mutatis mucandis, perinde valet. Verbi cracia. Si incelli-
Bacur cum Tuper Prilinco relticuro C AF, cum Cuper lemicirculo CDF, insistere
corpus Extindrieum live Prulmarieum eodem plano oblique sectum, ita ut in
puncto F _ recta A F alcicudinem habeat nullam, ec in C maximam; acque in-
cellisancur sinsula prismata parallelogrammis ut V Br P incumbentia luspendi in
diltanciis 2 Y relpectire: erunc eorum omnium Prilmatum lic lulpentorum pon-
dus, ad pondus pyramidum criangulis v F p incumbencium, hoc cst ad pondus por-
tionis cylindri Lemicirculo inlistentis, relpectu rectae CF; ut 2 2d T. Cum enI
Parallelosrammorum Prismara line tixillarim ad Triangulorum Pyramides, uc 3
ac 2; acque 2  diltancia sulpensi Priimatis, sire distanua mediae balis Pyramidis,
ele act diltantiam ceneri graritatis iltius Prramidis, ut q ad 3; eric quae ez his
componitur ratio 2 ad F. (prOPIeF = L, = 2.) Adeoque pondus sic luspenlorum
Prismarum, erit ponderis Pgramidum in Tuo litu, hoc est ponderis dicta DOrtIOnIS
cxlindei, (relpectu recta CF,) duplum. Er limilicer alibi. Sed haec obiter hic
loci, quorum tamen ulus esse porerit in sequencibus. Redimus ad suspenta Paral.
Delosramma)
77. Si vero eadem eritinei resticuti C A F Parallelogramma V B, P A8. 7. du-
cancur in omnes respectire rectas Z L arichmetice provorcionales (quippe arcubus
Arichmerice proportionalibus aquales: ) hoc est in omnes parallelas rectas Frian-
suli FA a (quarum maxima Aa = A F;) habebituE pOrtO Prilmacis, Balin CAF
alticudinem Aa hateneis, oblique abscilta plano per balis lineam C F ee verricis
punctum a cranseunce; (qua quidem portio extibebit momentum dicti crilinei
CA F respectu recta C F.) Sin pro crianguli rectis Aa SC. (ut pridem pro re-
etis Bn _C.) Sumancur alix qua ad has sinc uc peripheria cireuli ad ejuldem ra-
dium; abseitta prismacis porcio aequalis exit solido ex Prilinei C A F convertione
eca CF tacta; (tunc enim Priansulum P Aa xequale het cireulo racii H A; rO
liquaque respectire criansula reliquis circulis parallelis:) Duod Colidum, cancisper
dum ex uldem criansulis ves Balalleloorammis in respectiras leclas Z L, vel PerI.
pherias his radiis deseriptas; elt ut 22, ad 2 R2 P, (per 8 76, 77:) Adeoque
noncuplum iltius ad duplum hujus ut 9 23 ad 4. R P: Cui l addatur rario 5 ad 2.
Eive 2O R= Z ad 4 R2 P; habebirur ratio solidi ex convertione Semicrcloidis, ad
Eolidum ex convertione Semicireuli, (circa adem C. P,) ut 9 2 = 10 R2 P ad
4R = P, Der 830.
invicem rario sic alias colligitur. Solaun
cein CbC = BRZ, manebit R2 magnicudo crilinei CBB Ag. F. hoC est CbB
50. 7.) Dua quidems Dals BDC = s In alticuamem lC. = 2 R ducta dat 2 A
menturam dicti PHatIS; lire agGresatum otuu L L In respectira parallelo-
eramma ductarum. Si aurem pro omnibus L. L, Aublllatus ubique peripherias
dum illius masco oela apeabimus 
78. Solidum igitur ex omnibus Friangulis v F D Scc. vel Parallelosrammis
V erF _C in respectiras rectas ZZ, vel peripherias his radiis descriptas; ad soli-
7S. POrro corundeM SoLIorum ac
ex convertione Semiereloidis (FIg. T. Ve
8.) ad Solidum ex conrersione semicir.
cul (circa axem C F,) elL, UI omnes
CHCuM radliorum Z. X (aqualIIS ab IM
Vicem interraltis tumprorum,) ad omnes
Cucctos radiorum 2 Y respectire; hoc ett,
ut omnia quadrata 7 Y, 2d omnia qua
drata ZY; hoc est, UE OMNIA Z
=2 D Z. Z. Z = Z X 9 ad omnIa Z L 9
80. Sed omnia 2 L9 (per PEOP. 133, F35. Srithm. Infin.) equant ZD, ve
ER3. (Sunt enim omnes ordinatim applicarae in Lemicireolo, ut series q: a D
: adeoque earum quadraca, uc series a D = a: quae est ad sexiem aequaliu

## Folio 516 — 851387705:0536
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000536.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
C Y CL O I D F.
dempe D tories sumprum, hoc est, ad D3; ut Z -= 3, ad T; SIVC Ut Z 2d C. )
8T. Icem omnia rectangula Z 2. Z, aequiantur solido cylindrico, balem habenti
semicireutum CDF, alcicudines vero 2Z respectire Tumpras, hoc elL (prOpter
7. Y =M Y, ec Z. 2 + HIm = A F =Nn + L. L, ecc.) Colido Cylindrico habenci
balin Gb F quactramem, alticudinem vero ubique AF; hoc clL +S RP=: (quod
tic ex 8 R F quadrance circuli genicoris, in A L = Z P ducto:) Adeoque omnium
rectangulorum dupla, sIve 2HZ ZZ, Lunt 5 R F 2.
82. Sunt igitme Z R: F SRP (hoc est, omnia Z Z 9 F ZIZZY,) una cum
omnibus ZZ 9, aequalia omnibus quadratis ZY. FE (pro radiorum quadraris
tubstimendo circulos, hoc clt, diridendo per R et mulciplicando per Z P,) Crunt
R2P F E D una cum omnibus circulis radiorum 2Z (aequalibus interrallis
Lmprorum,) hoc est, una cum Colido ex convertione crilinei relticuri C A F tig. 7.
Cirea C F, hoc elt una cum 13; nempe Z R= ~ f, 2D3 ] A3, aequalia Colido ex
convertione semiescloidis circa CF: cujus itaque racio ad sphaeram circuli genI
coris (ex convertione lemicirculi cirea eandem rectam C F tactam) est ut Z R 2 7
F is P3 + A ad 3 N = F.
83. Verum eadem ratio superius reperta elt (57 8) ut 9 43 F 20R2 P ad 4 R= P,
hoc elt (diridendo utrinque per S,) ut 2 A3 F 3 R P ad Z P= P: quam jam re-
Derimus (582) ut Z R= P F 26 P3 + 1 ad Z RZ P. Sunc isicur 3 A F Z R2 2=
R2∞ + 16∞3 + A. Adeoque (subductis utrinque aequalibus) : 13 = R2∞
2∞3. Hoc Cst,  = 8∞3 - 2 R P. (HIOC eltAF in AF 9 = C F 9. fg. T.
vel 8.) Flabemus itaque magnicudinem Tolidi ex convertione Prilinei resticuri
C AF A∞. 7. circa C F, (nempe SD3= 2 RED;) Adeoque ipsius rationem 2d
Spharam cireuli genitoris (hoc elt ad 3 R P,) nempe ut SPZ = 2 R ad Z R =
Live ut 3 DZ - 12 R, ad 4 R=, hdc elt, Ut 3 AF9  3 CF 9 ad C. F 9. (AIque
eadem est rario momenei iltius Frilinei, ad momentum semicireuli, relpectu CH
recta. F. st utique illud s R P 2 - 2 R3; momencum aurem Semicireuli = R3: ) A-
deoque (diridendo per magnicudinem Prilinei = P P) dictabit centrum gravicatis
Trilinei abF C, + P = p : _ a BB,  R. Diltat aucem (per Tuverius raclica)
ab AF, 2 R: Cum enim momentin Frilinei ad momencum semicirculi (respectu
A F reCta) SE ut 3 ad 2, de magnicudo ad magnicudinem ut 2 ad Z; erie PFOPteT
2) 2(3, distantia ad distanciam uc 3 ad q. Diltancia aurem centri gravitaris semi-
circuli, est R; Ergo diltantia centri pravicatis Trilinei ab A H elt Z R.
84. Cum ISitE 3 R2 P aequetur Sphara circuli genitoris; oric (per 5 82)
R2. P +
6F3- A3, hOC est, 3 R P + 16~ 3 + 583 = 2 R2 P, hoc el 76Z3-
R2P, aequale Colido ex conversione Semiereloidis circa rectam C P.
85. Veleriam (per 5 78,) cum ejuldem Colidi ad Sphaeram ratio, sic, ut 9 13 ]
20 R P ad 4 R= P, hoc CH, ut 3 1 + 3 R2 P ad 3R= D; SIque Z R = P aequale
SpMXrK: erit etiam 3 A L 3 R2~, Hoc cAt 26~3 = Z R2 P f 3 R= P, Hoc C
 F3 = 3 P2 P, aequale solido ex convertione Semieycloidis circa rectam C P, ut
PriUS.
86. Similiter, cum (per 57 B) ratio omnium Z Z. Nrichmerice proporcionalium,
in respectira Friangulav F P, ad correspondences omnes 2 Z in cadem Friansul
SC UE A3 ad 2 R2 F; Bocelt, 3∞3 - 2 R= P ad 2 R = P, Tire ut 872 = 2 R ad
2 R, vel ZP 2 = 4 R= ad 4 R2: (HOC CAt, UE AF9= C F gadt CF g: ) Adeoque
noncuplum illius ad duplum hujus, 3 22 ad 4 R2 P; hoc elt, ut 373 - +8 R2Z
a 4 R Z, live UEZ P = = 36 R = ad 8 R2; (hOC est uE O AF 9 = 9C. F 9 ad 2. C F9:)
Si adjungatur racio 5 ad 2, live 20 R2 ad 8. R=: Flabetur iterum ratio 27
36R = 20R =2P2 - +6 R2, ad 8 R: HIOC CAt9 A F 9 - 4 C. F 9 ad 2 C F9.
Ouod lupra (5 30) Tuscepimus demonstrandum.
Nomen- 87. Ostentum est supra (5 46,) Momencum solidi ex convertione (vel semiconrer.
cum solidi tione) Semiescloidis cirea A F (Hg, F.) respectu rectae C. P, ad momencum solidi
circa AF annularis ex convertione, (vel lemiconvertione) senicireuli Ci bF circa candem
respectu A F respectu ejuldem C F rectae; este, ut 7 ad 3, acque inluver ut decuptum mo.
inca  si menci solidorum ex tali conrertione Friangulorum v F D in distantiis 2. L Fuspen-
t e
restectu forum, ad triplum momenei corundem solidorum in distanciis Z Y respective sul
Dentorum. Cujus rationis inrestigationem sic appredimur. Omnes 2Z (aequales
arcubus in semicisculo Acictmerice proporcionalibus) inrespectira solidr ex sic
COnVer.
rectae
AF.

## Folio 517 — 851387705:0537
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000537.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
n
11I
DE CX CL 0
F
converlis criangulis v F P, ad omnes z X (arcuum illorum finus rectos) in cader
relpectire solida; Hoc ett (proprer vp ubique aquales) omnes illae 2Z in qua-
drara alcicudinum F X (hoc est, inuum rerlorum reliduorum arcuum,) ad omnes
illaS 2 Y in eadem respeetire quadraca; lunt, ut momenta omnium circulorum
(vel cylindrulorum) Z5 ( aequalibus incerrallis Cumptorum) convertione crili-
nei relticuri C A F tig. 7. Circa A F factorum, Suspentorum in distantiis C = (tri
anouli E Aa) hoc cltZZ (crilinei reltituri;) ad momenta corundem circulorum
vel cylindeulorum) sulpentorum in distaneris sE (bilinei Pan; ) HIOC est, ut
momentum solidi ex conrertione Prilinci resticuri C A F (circa A F) respectu
rectae C. F, ad duptum momenti annuli ex limili convertione Cb s lemicirculire
spectu C si rectae. (Dico, ad duptum momentiannuli; propter, tum magnicudi-
ium solidi ex convertione Parallelogrammi in crilineo, ad magnicudinem lolidi ex
conrertione correlpondemis Friansuli in semicirculo, ut 3 ad 2; cum 2 Y distan-
iam media balis, ad distanciam ceneri gravicatis solidi ex criangulo sic converto,
vt 4 ad 3: EItaueM 3X3 = 2.) Adeoque decuplum omnium Z Z in dicta loldd
vel quadrata, ad criplum omnium Z Y in eadem Colida rel quadrata; erit, ut decu-
plum momenei lolidi ex converlione Trilinci reltituri (circa AF) respectu recta
CF ad sexcuplum momenci Colidi ex simili convertione semicireuli respectu. C. L
rectae; lire, u quintuplum illius, ad criplum hujus.
88. Flt aurem Annulus convertione Semicirculi factus, = R P2, (ex ductu nem.
Delemicirculi a RD in P peripheriam centri conversione de seriptam;) qui quidem
ductus in  (distanciam ceneri eraricaris semiciceuli adleo que et annuli semiceirculi
convertione facti, a recta C F,) dat Z R3 P, momentum annuli respectu recta
C F: (cujus icaque criplum elt 2 X 3∞.) Momentum autem Tolidi convertione
Pritinei relLICUEI C A F CIrCA AF, respectu CF rectae, dicamus aliquantisper B
Duincuplum isicur hujus, ad Priplum illius, eAt ut 5 B ad 2 R3 P: Cui rationi A
adjungatur rario 7 ad 3, live 3 R3 P ad 2 P P, habetur ratio momenti lolidi ex con-
vertione Semiercloidis ad momentum solidi ex convertione semicirculi (circa AF
respectu rectae C. F; nempes Ba f 1 R3 ∞ ad 2 X3 P, vel 15 B + F4 R3 Z ad
37
80. Scd (quod 564 dictum est) eadem plane racio est momenci, respectu re-
Atx A F, solidi ex convertione (vel semiconvertione) Semicrcloidis circa C. F,
ad momencum solidi ex simili convertione (rel semiconvertione) lemicirculi,
respectu ejuldem a F linex aequilibrii. Duod hinccrenitus quia eadem rationes
uerobique componuntur; cum hoc salcem discrimine, quod duxe magnicudines re-
CiprOCAnEUT; nempe Z. P qua in hoc Colido ineredlicur compolicionem solidi, in
aliero nocat diltantiam a linea aequilibrii; contra rero recta LY
90. Haec autem eadem ratio sic alias colligitur. Nempe (Tumpris rectis Z Y
FB. 8. aequalicer ab inricem distantibus,) momencum illud solidi ex convertione
Semieycloidis, ad momentum solidi ex timili convertione Semicirculi, elt ut mo-
mencum omnium Circulorum radiis Z. Y deteripcorum, ad momencum omnium
circulorum deseriprorum radiis ZZ; Hec cst, uc momentum omnium 2 2. 9 L
2DZ2Y = Z Y q. ad momencum omnium 2 Y 4 (respectu ejusdem AF rectx.
hoc est, ur momentum respectu ejusdem A P rectae solidi ex convertione crilinei
reCicur C A F Eg. 7. circa C F (quod, proprer quancicarum reciprocationem, aequi
Pollet ilti quod jam diximus B) una cum momeneo Tolidi ex lemicirculo lic con-
verto (quod aequipollet nuver invento z R3 P, 588,) acque intuper momento s0-
lidi ex convertione plani cujus rectae sint media provorcionales incer Z2. 2 F (quod
dicamus C. 4) bis Tumpro; ad momencum sphcerie ex limili convertione semicirculi,
respectu ejuldem AF recta: FTOc elt, ut B4 = 2C 4  ZR3 L ad 3
OT. Cum isituE haec ratio B=- f 2C. 2 = 3R F ad Z R3
(590) hoc cst;
0Ba + 18C4-= 6R3 F ad 6 R3 F, eadem licatque illa (588,) 15 Ba F 24 R3
ad 6 R3 P; erIL 9Ba f 18C. + + 6R3 P = 25 B~ + 24 R3
; adeoque 18C 4
SB= +8R3 P, live 9C. + = 3 Ba + 4 R. P. HOC ellus C. a = 5 B.. +3 R 8. Unde
cornito vel Ba vel C4 religuun cosholcetur.
O2. Ue aurem habeamus B2, hoc est, momentum Colidi ex conrertione Frilinei
TCTLICMIL C A F 18. 7. CirC2 AL, respectu recta C P, (vel cirea CH, respectu A L,
quae tancundem lunc:) Primo pro omnibus circulis radiorum Z7 TubITILaMUS
ondem rrianeula rectansula super iplas l. L. bases contlicuca, e Alcicudines (in
t
P(IS

## Folio 518 — 851387705:0538
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000538.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
CY CL O+D F.
IPSIS Z punctis) basibus aequales habentia; adeoque porcionem prilmatis plano
oblique lecti complentia, basin habentis crilineum illud C A P, alcicudinem vero
in A F nullam, sed concinue crelcencem donec ad punctum C alcirudinem obrincat
aequalem ipsi F C rectae; adeoque ad singuta balis puncta altitudinem habeat aequa-
lem corundem ab A F distantia. Ouxe quidem Priangula, tum magnicudine, tum
eo momento respectu CF rectae, sunt respectiris illis cirentis proporcionalia.
93. Deinde in hujus prilinaricae portionis bali C A F, duci intelligamus curram
BF, curris BC ee B A ommino similem. Cui B P curra, intellisatur crecta Cu-
verticies curra insistere, dirimens porcionem illam prilmatis in duo legmenta; quo
rum alcerum exilineo B F A, alterum crilineo B F C, insiltant. Ouorum legmen-
torum momentum, relpectu CF rectae, sc teortim inguirimus.
94. Fst utique (per 5 23. ue supra 575. ostensum est) Prilineum BBC = R2:
adeoque Frilineum BF C (quiprcictius duplum) 2 R2. Ilujus autem cenrum
gravicaris in recta Bb jacere, manitestum est; adeoque ipsius ab A F distantia cst
R = b F. Ouxe quidem diltancia P in magnicudinem 2 R = ducta, dat 2 R3, mo.
mencum dictiixilinei BF C, respectu A P recta: (Adeoque aequale plane ejuldem
momento respectu BB, ut ex S ∞OPateL. ) Sed e (propter portionis alticudines,
uc dictum eltus distaneiis punctorum quitus insistunt ab AF aequales; adeoque 2)
ricudinem super balis cencrum sravicaris, aequalem rectae bF = R;) idem 2 R3
est masnitudo prilmariea portionis crilinco B F C insiltentis.
05. Lst autem corius C A F crilinci, momentum respectu AF, (adeoque d
priimarica porcionis cori intistentis masnicudo,) 3R2F; (nempe Z momenti se
micirculi, Der S 24:) unde si auteratur momentum irilinei BFC, Hoc est Z R3
Der praced.) manebir 8R= ∞ =2 R momencum crilinci BF A respectu ejus-
dem A P rectie: (unde, li opus est, collixetur distantia centri gravicaris dicti Fri.
linei BF A ab A F recta, nempa
3F = 26k
4X - - 26 K
Rquod provenic ex divitione mo.
menti 3 R2 P = 2 R3; per crilineimagnicudinem Z R P - 2 R2; adeoque ejuldem
Ri quae nempe cum illa alcera complet re-
AP - 16
Ctam BB = R.) Ouod iplum 8R. P = 2 R (obcautam modo dictam) est etiam
magnitudo porrionis prilmaciex cidem B P’A irilinco intistentis.
56. Flujus aucem prilinatica portionis (crilineo B P A intistentis) centrum Gra
ricaris in recta BB jacere, manifeltum est. Est itaque ejusdem a C l distantia,
BF =2P. Oua quidem diltantia in portionis magnitudinem 3 R2 P = 2 R3 du
eta, dac 3 R2 D2 = R. P, momencum dictae porcionis (crilineo B F A insilten.
eis) respectu C F rectae
37. POrTO, cum (per 504) porrio prismatis crilineo B F C insiltencis fiL L R3.
aequipolleat autem, cum maenicudine cum de momento respectu C P rectae, prilmatr
Tuper eadem base, alcicudinem mediam habenti; hoc elt, aequalem ei quam habet
dicta portio super balis lux centrum gravitatis, hoc est, alcicudinem R: Centrum
craricatis dictae porcionis cancundem LC P recta diltabit (seu vorius ab aquili.
brii plano supextrane rectam erecto; quod hic loci nobis perinde est; quod e (.
militer alibi ubi opus est incellectum volo,) quancum inde distat centrum grarica-
cis aequipollemtis prilmatis; hoc est, quantum ab cadem C F diltat centrum gravi.
tacis Trilinei B F C. Ouod quantum Cic, lic inquiritus.
08. Frilineum, cormm C A F, est = RP (nempe duplum Semicirculi per 522)
unde si auteramus exilineum B F C, hoc CIF, 2 R = (per 594) manebit Z RL = 2 P
aequale trilineo B F A; cuinscrilinei centrum graricaris (in recta BB (icum) 
recta C F distar 2P. Ouxe distantia in = RZ = 2 R2 magnicudinem dueta, dat
RD2 = = R= P, momencum crilinei BF A respectu C F recta
99. Pocius aurem C A F crilinei respectu ejusdem C F, momentum est ; R∞=
2 R, (per 583; cum enim solidum ex convertione circa C P, (IC P P 3 =2 R P.
erit, sublticuendo radios pro peripheriis, sR~ 2- 2 R3 momentum plani.) Unde
R anteramus f R D = = Z R2 P (momenrum exilinei B F A, per Praced. ) manetrie
R2~ - 2 R. momenium crilinei B LC. Ouod momencum li ver exilineimaeni-
udinem 2 R divictatur, prodibic : ~ - R diltancia ceniri pravicaris dicti Prilinei
BFC 2 recta CF. (adeoque R ejuldem distantia d puncto B.
200. Cum ixicur distania cenri praricais, cum Br C ruinei, rum et (5 97
porcionis
FiB. 7

## Folio 519 — 851387705:0539
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000539.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
D E CY CL OFDF.
vorrionis crilineo huie insistentis d GF, siC Z D - R; Sicque dictae portionis max
nicudo (perS 94) 2 R3: Friristius, respectu C F, momentum Z R3 P = 2 R a.
FOT. Hluic itaque momento, S adjunsaus 32 R 2 ∞2 - = R3P (momentum por
tionis crilineo BF A insistencis, respectu recta C P, per 596,) habetur 3, X24=
=2 Ra momencum corius porcionis trilineo C A L intiltentis, respectu rectx C L
Sin porro, pro criansulis 502 Tubsticuris, relticurmus circulos, (diridendo per K
ee mulciplicando per P,) habebitur 3 R∞3 = 2 R3 P =Ba, momencum Colidi
ex conversione cilinei C A F circa A H, respectu recta Ci F. Ouod 8 92 proponi.
tur inguirendum.
22 Invenimus aurem (588) momencum Colidi ex convertione semieretaistie
ad momentum solidi ex convertione semicirculi (circa A F) respectu rectae C fi;
este, ut 25 B. = T4 R 3 Z ad 6 R P; Sire ut ZB+ f H R3 F ad ZR3P: LTOC cAt
(prOPteE Ba =3- R∞3 = 2 R P,) Ut S RD3 -  R3 P +  R3∞ =3 R∞
16 R3∞, ad 3 R Z. (Ouod 5 46, 87, Suscepimus ostendendum.) Est autem
ER3 F momentum annuli ex ea convertione semicirculi: F. r9O _ 3, R~3 - 16 R34
eltmomentum solidi ex dicta conrertione semiercloidis (circa A P) respectu ejus-
dem CF. Duodmomencum Ciper solidi magnitudinem s R D Z (per 524) divida contrum
cue, prodibic; P -
28 R
45Z
Cravita
distancia ceniri craricaris dicti solidi (ex convertione vis solidi
F28R2
semiercloidis cicca A F) d recta C F: (adeoque
2 recta BP.)
circa AF.
45 ∞ ejuletem ceneri distancia
702. Si vero incelligatur idem Semiereloidis planum cirea CF converri; mo. centrum
mencum solidi inde facti respectu AF recta, (proxier magnicudinum e distan. Gravita
tiarum reciprocationem,) idem plane erit acque momencum jam inventum Tolidi tis solidi
ex ejuldem plani cirea A F conrertione, respectu rectae C. F, (ut Tupra 364, e 89. circa CF.
dictum clt:) nempe Z R P3 - 18 R3P Quod momentum, si per magnicudinem
dieti solidi diridarur, hoc cAt, per 8 P3 = 3 R  (per 5 85.) prodibit
45~2 - 5T2 R
54. P. = 384 R3 R, ditancia ceniri pravicaris istius solidi a recta AF. (vel
O72 = 728 R
54 P. - 38q p. P ejuldtem distancia a B5.)
204. Poltunt haec eadem item interri ex 590. Cum enim racio momenti Colide
ex convertione semiexcloidis, ad momentum lolidi ex conrechone Semicirculi,
circa A F ut axem, respectu C. F ut linex aequilibrii; vel, cirea C F ut axem
respectu A F ut linea aequilibrii; ibidem esse oltenditur, ut B4 + 2C 4 - 3 39
ad Z R3D; hoc eHt (PrODteE B4 = 3 RP3 =2 Rd P, ver SIOT, _ C 4 = L Ba
F3R3 P, per SOT; adeoque 2C 4 = 3B+ f 8 R3 P = 7 RP3 = 3 R3 P L 8 p 
5 RP3 =3 R3 P,) Ut  RD3 = 8 R3 P ad Z R. P; (omnino ut supra S 1O2:
habentur inde cum solidorum momenca, cum cenrorum grariauis diltantia d re-
spectiris aequilibrii lineis, eodem plane modo quo 6 +02, 103.
705. Sed et Simul colligitur tum momentum (respectu rectae A F) cum cen
eri gravitaris diltantia, solidi cujus omnia plana lunc ipla Z. 2. L rectangula, Hoc
est solidi cylindrici batin habeneis semicireulum C b F, alticudines vero Z 7
(fig. 7. vel 8.) respectire. Cum enim (590.) Douacur C.. momentum lolidi ex
circulis radiorum V: Z. Z XZ Y: qui sunc iaque ad rectangula ZZ Y vel Z. 2. X2. L
ut circulus ad quadratum ractii, hoc est ut = P ad R, Sve uE P ad 2 R; sigué
(per praced.) C + = = B4- f 4 3 P = - = R∞3- 3 R P: Si pro circulis substi.
cuancur radiorum quadrata (diridendo per 2 ee mulciplicando per 2 R,) habebi
tux 26 R= P 2 - 8 Ra momencum dicti solidi (ex omnibus Z Z Y rectangulis) ie
spectu rectae A F FsF autem Colidi hujus magnieudo  RP2 (aequalis urigue
Cylindro quactrancali, cujus batis b G F quadrans, alticudo F A = 3~; vel Semi
cxlindro cujus batis Cb F Semicirculus, alricudo Z AF = = Z: proprer duas ubi. Fis. 8
que alcicudines, d medio urrinque aeque remoras, rectae L’A limul aequales:) Pec
quam maenicudinem si diridacur momencum, prodibic,  - 8+ P. distancia cencei
Pravicatis d recta AP: adeoque
08
R ejuldem diltania d bC.
206. Aly

## Folio 520 — 851387705:0540
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000540.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
a
206. Ac, quancum ad rectam CF, vel planum huic intictens; aequipoller, ut
Ca LC1D P
magnicudine, lic e momento, semiertinaro ejuiaem cals, et allamis almiata.
Adeoque momencum habet Z R3 Z, e  distantiam cencri pravicatis d CF:
Nempe dummodo incelligant Semicirculo Cb F tecte insistere.
Ouxe autem de Crctorde Puata oltenta Tine, eadem omnia aliis Cpeloidunt
generibus, sive prorractis lire abbreviaris tacile applicantur. Id siguidem
Tolum intercst, uc Pro L. L Tect libique substimantur alix quae lint ac laS
in eadem racione qua valis Cycloidis ad Peripheriam Crreult BchetanLs.
Pars Secunda
ridem Z punctis cet B MaCad) aanCa ab A F recta est ubique F Y - 
Nam, proxier similla triangula, ut F C. = D, ad FZ = V: D - a: sic eadem
FZ = V: D =a: ad F Y, quae igicur est
. (Exponendo nempe quanti
tacem a Succeltive per 2, 2, 3, dc. quarum maxima sic D. Y
3. Si isitux CUErX C A f8. 8. aequalis extendatur recta C A Hg. 9. guxe incellI.
Sacur unes dirisa in punctis Z: atque a punetis 2. crixi incellisamur Z. X
ab a2. Rectae, respectivis ditanciis PY aequales; perque omnia puncta X duei curram
AXF: Exhribebune cum lingula
recta ZX tig. 9. (respectiris LX
tig. 8. aequales; lingularum Z pat-
cium aequalium, in Curra C A
Fg. 8. momenta respectu A F re-
etx; tum omnes omnium. Adeo-
que omnium Z partium aequa-
lium, hoc est COHUS CUrVR C.A
Ho. 8. momencum in suo licu, re-
spectu AF rectae, elE ad momen-
cum aequalis lineae in distancia FC:
jus parris, maxima TOSpenIa, (hoc esF de momentum maximum cories sumprum,) uc crili-
_ESpara neum A P C tig. 0. ad libi etteusteripcum parallelogrammum: Hoc elt, ut semi-
praptios parabola (quod mox oltendelus  6.) ad circumleripeum parallelosrammum;
rectis diamerro parallelis abscilta: quamque habent ha parabolae partes ac re
Centrum
urvae
i8. F
Vide a
calcem
bujus.
Ocentrum graritatis currae lemescloidis AC Hg. F. hoc est AC
riee proporcionalibus, crune item correspondences currX C Z. Rrichmetice proPOr-
tionales; et curra C A in punctis L. I aequales partes divita
2. Harum vero parcium aequalium Cquao lupponamus numero intinitas; et 10.
tis. 8. inveniendum, altumo tasquam d D. Wren = demonstratum,
cum curram C A duplami elle recta C. F, cum ubique C Z curram
rectae C. Z duplam eAte. Adeoque polita recta CZ == a, CFIE COr.
respondens curra C Z = 2 a. FF propierea, Tumpris chordis circuli CZ Prichme
Fiies
Centri
distantia
NB. II
itationi.
DIS
NOTaC Pa
Eootu.
praece, ab AP recta, duabus terriis rectae C F, SIVC Z L
dentis.
centrum candum cric: LTabenE utique OMenEa ParHUM curra C A fis. B. respectu A F
seemen-
corum
curva
A
recta, eam inter se rationem, quam relpectira partes semiparabolae A F C. tig. 9
spectiras partes parallelogrammi circumseripri, eam habene diltancix centrorum
Gravicans carundem partium (2b A P recta) ad tOCam F C
3. St Veto Plosulis rectis L R fg. 9. hoc est radiis circulorum punctis Z
crescirca (8. 8. CirCa A F rectam conversis descriprort, substimantur ubique rectae quae
partis sive uc 2 ad 3. EF consequenter, Ceherum sravitatis eurra C A tig. 8. diltabie
4. Et similiter de segmenti cujulris cum momento, cum cenrro graritatis judi
Supersin
AF de sinc ad has ut circuli peripheria ad ejusdem radium: Hoc est, li semiparabola
scripta. quae balin jam habet AC = 2 D, ee alcicudinem C F = D, incellisacur, super
cadem

## Folio 521 — 851387705:0541
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000541.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
eadem bale consticuca, alricudinem habere 4 AF = L f, estet ea semiparabola
aequalis superticiei convertione currx C A fig. 8. circa AP lectam descriprae;
(nempC Z D P, Sire 3Z circuli genitoris:) ejusque partes respectira respectiris par
tibus hujus aquales.
6. Ouod aurem FX A Fg. 9. sit Parabola, sic oltendirur. Rectae ZX sunt
ubique uc=  Der  2. HOc est, ut D = a; adeoque retidux X5, hoc
CAF EF diamerri, ubique ut a; hoc est in duplicata rarione ZC, Hoc eAt ZE Or.
dinarim applicatarum. Ouod Parabolae proprium est.
Z POrrO, eju(dem curra C. A H8. 8. dirilae ur prins in punctis Z, omnium centri
punctorum Z. (seu parcium aequalium his punctis designatarum) distancix d C. F, curva di
LInE Z Z, Hoc eAt Z. Z = 2. Y.
8. Adeoque S curra C A Hg. 8.
aequalis excendatur recta C A tig
20. Timiliter dirila; atque per di-
vitionum puncta Z ducantur re-
etae VZV, ita quidem ut ZV
tig. 20. Linc respectiris 2Z fg. 8.
aequales, et Z0 relpectiris ZY.
extribebunt ha rectae VZ.0 lingu-
lae lingulorum currae punctorum
Z momenta respectu rectae CF
fis. 8. adeoque omnes omnium.
Hioc c, Figuta F V Cv A momen-
cum cOciuS AC currae (respectu
rectae CF,) e illius ParteS, par
tes respectiras hujus.
9. Cum vero rectae CZ FIg, 10.
hoc CA CZ curra fig. 8. SInEUE
CF.
C2 chordae in Pemicireulo aequaliter crescentes, hoc est, ut sinus recti in quactran-
ce crelcentes aequalirer, puta uc B V in crilineo BCC fis. 7. (si nempe incellisa- F18. 7.
cur cB in punctis V aequaliter dirita:) iplaeque rectae ZV tg. 10. hoc eAt ZZ
tis. 8. SIre arCUS ZC, hoc est arcus chordarum in semicireulo (vel linuum in
quadrance) arichmetice proporrionalium, ue rectae VZ crilinei B Cc H8. 7. (Nam
licut recta Z Z Fx. 7. hoc clt rec
tig. 7. Quae una cum Z Z complet cotam VZ = Bb, hoc est b Ci arcum quadranta
lem, aequatur arcui ad quadeantem reliduo Zb, cujus sinus rectus est ZB = = BY)
F3. 7. adeoque omnes VZ. crilineum BC C fis. 7. complenres, aequalibus diltantiis
sumDEX, TunE ut arcus Linuum arichimerice proporcionalium in quadrante, tire
chordarum aequaliter crescentium in Lemicireulo; hoc est, uE Z. Z FIB. 8. CorrCIDOn
dences punctis Z aequalibus incerrallis in curra C A Sumpris:) Frunc omnes V Z
erilinei CZ AF f8. 20. ad F A tories politam, hoc est crilineum illud ad circum.
seriptum parallelogrammum; uc trilineum BCc (8. 7. ad parallelogrammum cir-
cumseripium sibi. (Fc illius partes parribus hujus respectire Lumpris propOr.
eionales.)
20. Frilinei aurem B Cctis. 7. (aut eriam parris hujus cujustibet) mensirz
habetur ex calculo523. Fst enim BB = +~, et BC = R; ergo parallelocram.
mum BBCC = = R∞: irilineum aurem BCb = A = (ut 576 dictum est,) ergo
irilineum reliquum BCc = = RP = R2 = 8 D P - =D2; (HOC C(t = AF = , CY
In CF.) Onde et crilinei C F A mensura colligitur; quippe ipsius octupla, (prop.
Tex AF = Z P e AC. = 2 D = 4 R, ad eoque paraICIOOTAMMUII F C = 2 RP,)
mucandis, codem modo colligitur.) Momentum itaque CUEVX CZ A F0. 8. resvectu
rectae C H. quantum ad diltantias Z 2, esset ad ejuldem currae momenium in di-
stancia F A TuIpenIX; ut CZ AF f8. 10. ad circum seriptum parallelogrammum
hoc CAE, ut DP = 2 D ad DP, SiveUt P = 2D ad P; HOC est, Wt AF = C F
ad AF.
FY. Fum vero, quancum ad distancias Z Y FS. B. (quae simut cum Z Z complent
inregras LY,) hoc ell, L0 (bulinei A Cio) he 28. Cum rectae Ct, 18. 10. 10e
E
Ci Y C L O FD

## Folio 522 — 851387705:0542
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000542.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
E +CL OLV 1.
Pie. 10. 
C2 FB. 8. Sine uE chorca C  = a: erune respectirae 2 L: (= Z. v A8. 10.)
:Nam (Propier Llia criangula) ut C P = D, ad C. Z = a, HIC
= Oui iaque es character rectarum
70 bilinei A C., AB. 10. POsita recta C Z (si3. 8. ) = a. adcoque curra C Z. tig. 8.
hoc eltus recta CZ H5. 10, = 2a.
22. Fujus autem Bilinei, hoc est omnium A-
mulZ v, mentura sic collisitur. Omnes V: D.
a 2: Tune uc ordinatim applicatae in Circuli vel
Ellipseos quadrante. Adeoque liradio D = F C.
deseribatur circuli quadrans C. Pn Ag. LT. iplIUIS
omnes rectae ZS, radio Ci n parallela, LUNE
V: D2 - a 2: (ponendo C2 = a.) Deinde, (i
Tuper hoc circuli quadrante erigatur quadrans
Cylindri recti, alcicudinem habens F = CP = D
qui oblique lecetur plano e Cn; e ablcilia por-
eio secetur plano Tuper ZS recta crecto: lectio
parallelogranimum, cujus balis ZS = V: D= = a 2, alcicudo Z( = C7 = a
adeoque iptum paralleloorammum Z. 0 = a V: D 2 = a2. Cumque haec omnia Pa-
rallelogramma mnero infinita, portionem Cylindri complencia, sine respectiris
rectis L.v fis. 18. Rloportionalia, Cul quae ad eandem D = C P’applicala, dant ip (a5
Si trat ubique u C F A8. TT. ad CZ =2 6, SiC Z. 5 ad 2. L;
crunc onnes ectae 2 Y A3. TI. aequales respectivis rectis Z vtis. 10. Neque alicer
dittere Bilineum ACv tiz. 10. d Bilineo LCY tis. TF. quam quod (PrOPteE re-
ctam AC duplam rectae P C) alcerum sic alcerius duplum. (FF
parres illius respectirarum parcium hujus duplae.) Lst autem
CXF curra, currae hujusmodi in se, post decultationem in ici-
nere, recurrentis) pars quarta.
13. Sed ex pari rarione Bilinei FC. Y AG. FF. Segmenta C Z Y, Tunt Cylindrica
portionis segmentis C. Z0 provorrionalia. Pocumque Bilineum LC P, ad quadra-
cum recta C I, cam habet rationem quam expolita porcio Cylindrica ad ejusdem
sectae C F cubum. AdeOque HE F ad 3. Sunc enim omnia triansula 25+ (crian-
sulo C Fo Parallela et limilia) portionem Cylindri complencia, ad cocidem eri-
angulo C. PP aequalia uE omnia quadrata ZS, ad omnia quadrata C. P cubum rectae
C. F complentia; nempe ue omnia D = a 2 ad cotidem D2, hoc clL UE I == 5 ad F,
Tive ut 22d 3. (Vel, quod eodem redit, uc omnes circuli radiorum L. S ad tori-
dem circulos radii C F: hoc est, ur hemilphaerium ad circum seciptum Cy lindrum;
hoc elt, ur 2 ad3, uc prius:) Adeoque omnia criansula 2.5s (quadratorum di
midia) portionem complenca, hoc elt ipla porcio cylindrica, ad eundem rectae
C.F cubum, uc x ad 3. FF consequenter, Bilincum L C Y His. 1F. ad cundem C F
quadratum, ut + ad Z: FF Bilineum A Cv ti3. 20. (Prioris duplum) ad idem qua-
dratum, ut 2 ad 3. HIoc est, 2D 2, TIve3 R2
24. Fe simile de parribus tiet judicium. Cum enim criangula =. Ss FIB. TZ. CInE
ad inricem uc circuli in hemisphaerio; eric porrionis segmentum Z.S0 u, ad totam
porcionem, uc respectirum hemisphaerii scementum plano absciltum, ad tocum he-
mispharium; adeoque magnicudinis nocx: Cui portionis segmemto =.S  n, (i acct-
tur prilina =55C2C, haberur Tegmentum a S οSZC; adeoque ex iplius ratio ad
D cubum diametri circuli genitoris: hoc est, racio segmenci  Z L, cum ad tocum
bilineum PC. T, cum ad quadracum rectae C F. (Bilini aucem iltius F C Y, laci-
cudo maxima, sire maxima alricuco ratione batis FC, cst R = Z CP, quae quidem
illic concingit, ubi lumitur CZ = C F V E = D VE; hoc est, ubi C2 ad C F cst
uctinus rectus graduum 45, ad Ractium: quod tamen ad praelensnesorium cogni-
iu non videtur necellarium.) Porest aurem idem etiam sic collisi. Cum Z, 0 pa
ratlelosramma, sint ubique rectarum Z. S momencis, respectu recta Cn, propOr-
tionalia, (UE PaTCT;) FrunE n S∞CZC seementa, cum incer sc, cum ad cocan
np F C. Portionem, ut momenta planorumn SZ C. respectu rectae n C, tum inter Ce,
cum ad momentum u FC guadrantis respectu ejuldem n C, (quam 507 d 1e49.
exhibendam
F = V: D2 = a2: ad ZY
li
2.6 ex

## Folio 523 — 851387705:0543
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000543.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
DE CYCLOTDL
exhibendam doeuimus;) cadem igitur ee ratio planorum CY Z. FF quidem, eun
omnium rectarum 2S, illa maximum, respectu Cin rectae, Corriatur momentum quae
erad 45 Subcendic; ea similiter quae huic corresponder erit omnium Z L maxima,
adeoque bilinei C F Y verticem delignabic.
25. Cum isitur habeamus (fig. τ0.) cum Frilineum C.Z. A F = 2 RP = 8 R2
Per 9, TO; tum Bilineum C AV =Z R2, DeF c 13: Porum aggresatum Z R D FIB. 10.
16 R2, aequatur facto ex omnibus particulis currae C A fg. 8. in luas respectire
distancias Z Y. POta verO CUrraC A = 2D = 4 R, in rectam AV = EP ducta,
C(F2 RF. Momencum isitur curra C A Hg. 8. in Cuo situm ad momentum ejul-
dem ex puncto A suspenta (respectu C F recta) cAt uE 2 RD =  RZ ad 2 RP.
vel uc Z X = Z R ad Z Z; hoc eltu Ut AF - ZC F, ad A F. Adeoque cenrum era-
riratis curra C: A H8. 8. d recta C F distat, ea parte rectae F A quae lit ad FOTaM UE
F A = Z F C. ad F A. HTOC ettu (ducta Aa recta FC parallela,) ab A a distat,
2FC =3D: Tancundem Scilicet quancum Cupra invenimus (∞ 3.) ab AF di-
Itare. Adeoque Tumptis cuM AS, TUM AF, = ZCiF, ductisque da, F7, (rectis
AF, FC, Parallelis,) sc decultantibus in D, eric D centrum GraricatS C. AF
16. Sin porro, pro rectis omnibus Z. V dt Z v F8. 20. Substicuancur alia quae ad superfi-
has line ur peripheria circuli ad ejuldem radium; adeoque DrO 2 R P - 35 R = (qua cies con-
Cst magnicudo figurxe ex crilinco et bilineo fg. FO. Compotita,) Substituatur 2 P2 versione
16 ReD; habecur superticies quae ex ConVertIOnE CuEra C A Ag. 8. Cirea C F de circa C
seribitur. A.quat icaque duo quacdrata balis inceorae Cyeloidis (hoc est, periphe de scrixta
rix circuli genitoris) minus 3 genitoris circuli. Adeoque cum, per 5, Super-
ticies ejuldem convertione cirea A P deseripta sic 37 senitoris cireuli,) superticies
duxe ab eadem curra C A tig. 8. desexipEX, (altera CIrCa A F, altera CIrCa C. F,) II.
ul LuMPIX, Xquant prxesse duo quadrata balis incesrxe Cy eloidis sire peripherix
genicoris cireuli. Puca, h uc in tis. 22. intra semiltem qua-
drati cujus latus intellisatur = 2 P, describatur lemiparabo.
la aque alta, basin habens 2 D; dirimetur semiquadratum
illud in duas parces, quarum altera uni, alcera religuae, super-
Ficierum illarum currarum aequatur. Sin converei intelliga
tur, illic tora AC D, Pemicycloidis A C dupla; hic vero
ejuldem icem dupla, nempe AC intra balin continuata d0
ec producta CF OcCurrat; pro Lemiparabola et semiqua-
e
es
draco, incesra prodibune parabola e quadratum.
27. Compleco aurem parallelosrano F.a f18. 8. OUX C A curra, circa A a COn-
versa, describitur superticies, est aequalis ei qua ab eadem cirea A F converla de
Seribitur; (DTOPIET AS = AF:) Dux aurem ab eadem cirea C’a conrerta delexi.
Ditur, est dimidia illius quae deserihitur convertione CIrCa A F; (prOpter DF
duplam recta Dy.) Ft universaliter superticies quae d curra C A circa quamris
rectam (quae iplam non sccet) converla describitur, eam rationem habet ad ta-
rum quamlibet, vel quamris aliam sic descripiam, quam incer se habene distantice
puncti D ab illis rectis. Ft quidem (nam ee hoc adjunsere non crit Forlan in-
commodum) si cirea rectam quae iplam lecet converratur eadem C A curra; Dif.
ferentia Superticierum, quam ca pars currae quae ex uno rectae secanris laiere lita est
deleribit, et quam (vel quas, si binis punctis secet,) describit illius currae relidu-
um ex altero secantis latere policum, eam habet rationem ad superticiem circa u-
perius memoratarum rectarum quamris descriptam, (Duta qua CITCA A F,) quam
habet dictancia iltius rectae ad distanciam hujus a centro graricaris D. Ouodque de
Tuperticiebus tota curra deseripris dictum est, superticiebus iptius parce quaris de-
Teripiis Baihter accommoctabitur, invento prius (per jam cractica) istius parris cen
plences illius semissem, a singulis currae punctis deleriptas, proportionales elle an
diximus ( 3.) Semiparabola rectis Z Z Hg. 9. diametro parallelis. Parundem Quaa
aurem semiperipheriarum Momenca respectu rectae AP, cum exrationecum maxni distat.
1 2
tudinm L18. 3
ao graricatis.
18. Absoluto jam opere de graricatis centro, tum curvae Lette ctordis C A F8. 8. Supersici-
seet
cum parcium ejus, inquirendo; deque superticiebus istius convertione, tum eiea converso
AF, cum circa C F, deseriptis: de superticierum harum ceneris gxaritatis inqui one circa
rendum. Incipiemus aurem ab ea luperticre ua coretione cirea rectam A L de. M )a
seribitur. Peripherias autem hanc complentes, adeoque de semiperipherias com. cta, cen

## Folio 524 — 851387705:0544
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000544.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
DE CYOLOFDF.
cudinum cum distantiarum centrorum cravicatis dependeant, lincque hae ip(X Cen-
erorum distanciae ab A F recta ipsarum peripheriarum radiis, adeoque e magnieu-
dinibus, proportionales; erunt ea momenta in radiorum ratione duplicata; hoc elt,
in duplicata ratione rectarum Z X Fig. 9. Semiparabola diametro parallelarum; hoc
estu in ratione circulorum radiis illis descriptorum. Adeoque ea omnia momenta,
ad toridem maximo aequalia; hoc elt, momentum superticiei quae hac CuEra C. A
semiconvertione describitur, in luo licu, ad momeneum luperticiet Cylindriex ex
aequalis rectae in distantia FC semiconvertione, elt ut Colidum ex convertione le
miparabolae circa balim tuam, ad eslindrum ex convertione circumleripti paralle.
logrammi circa eandem basin, deseripeum; Floc est, uc 8 ad 25 (Per PFOP. 1I9.
Arichm. Intin. ) Superticierum aurem magnitudo ad magnicudinem est ut 2 ad 3
(PeF = 3. ErSO, PrOPrer Z)8 (3, cencrorum graricaris distancia ad diltantiam ue
 ad 5. Diltancia isitur ceneri gravicaris, dempra curracura semicirculari, cset
SF C, = 3 D. Sed, propier illam curracuram, lumendum acthuc, uc semiveripheria
ad diametrum, sIve ut L P ae D, LiC 3 D ad quarcam, 8 D
5D quae iiaque est dictan-
tia centri praricaris superticiei ex sEmICOnVErtIOnE CUrVA C A circa A F, ab AF;
nempe ea pars rectae FC Hg. 8. qua c ad totam, ut B F C ad 1OF A. (Ft quidem
timili proceltir tacile eset idem indicare in aliis incegra convertionis datis parti-
bus; pura non modo in lemiconrertione, sire z convertionis inceorae, sed eriam in
3, 235, 19c. rel 3, 3, 3, 88c. inceora convertionis: Nempe Sumpra recta 3 F C. Ca
Parre quae sic ad iplam Z F C, uc chorda ad arcum convertionis.)
79. Or aurem ejuldem ceneri distancia a recta F C (fi8. 8.) habeatur; compo.
nendae Cuntrationes rectarum Z Z fig. 9. acque Vv Fr. 26. (quarum quidem IIIX
cat à cF. nocanc distancias punctorum Zfig. 8. a recta F A, hae vero corundem ab FC. di
L18. 9,tC
ltantias. ) FOcest, Propter Vo = Z V +. Z componendae lunc rariones illa Z. X.
cum cum ZV, cum etiam cum Z.; guaeque emersune Binx ratIONeS COMPOLICA,
Tunt conjungendae; carumque aggresata, Tunc rationes momentorum peripheria-
rum, vel semiperipheriarum, punctis L HB. 8. circa F A descripcarum, relpectu
recta FC.
20. Rationes aurem rectarum Z. X, hoc est 
aV: D2
aD2 - a
= COMPOLIIX, SUNEUE=
cum rationibus Z0, hoc est
=AV: D2 = a2: (nempe, Ut rectan.
gula ex ductu rectae Z Z fig. 9. in Zvtis. 20.) Oux omnia ad D = tocies Cumpeum,
HOC CIE (DFODTEF A C = 2 ∞) ad 2 D 2: TUNC uE Lad5; (quod Tcortum prO
babicur n 52 e Segq.) Adeoque Solidum ex Bilineo AC.v fiz. 20. in alticudines
respectiras Z. X Fg. 9. est 2D:
2T. Rationes vero rectarum; Z Xtig. 9. cum rationibus Z V tiz. 10. compotiix;
sunc rationes rectangulorum rectis Z. V J. X contentorum; hoc elt rectarum Z V in
relpectire ductarum; Sive in D-
22. Omnes aurem Z V in D; hoc est, trilineum CZ AF in D; hoc est (per
con 10.) DP = 2D in D; elt D~ -2∞. Onde li auteramus omnes L. V
in , hoc est 3 D D -- a D (uE deinceps ostendetux = 25. _t Seg9.) manebit
DP - .37, quod iaque est solidum ex Trilineo C. Z. AF lig. 50. in alcimdi
nes respectiras L.X tig. 9. ducto.
23. Fluic isitur solido, si addatur solidum ex Bilineo C A. in ealdem respecti.
vas alticudines ducto, nempe 2 D (PeF  20;) a8BreBaTIM 3 D= ~
D
ED P, ED est Solidum ex Frilineo Co A F Fg. 20. in alticudines
ZZ E8. 9. respectire ducto; sive ex omnibus Vo fix. 10. in respectivas Z. X
fig. 9. lire ex omnibus Z. Y in 7 Z tig. 8. respectire.
24. Ouam aurem racionem habet hoc solidum (ex omnibus Z X Eg. 9. in V.
fig. F0. respectire,) ad Colidum ex lemiparabola F A C (hoc est, omnibus, 2. X7
fir. 9. in AF H8. 8. ubique ducta, hoc est, ad 3 D P: (nam pFOPTeT AC. = 2∞
ec CiF = D, adeoque rectangulum AC F = 2 D3, erir ea lemiparabola 2 D,
quippe Z rectansuli; quae semiparabola, ducta in L A = hP, dat Z N P magnicu
dinem
Fi8. 8.
Duan
um d

## Folio 525 — 851387705:0545
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000545.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
elt
an
111
10
Ed
D E C Y CL O FB F.
dinem solidi, sire prismatis parabolici:) Eam habet momencum superticiei in
Tuo licu, quae tir ea lemiconrertione currae CZ A tis. 8. circa AF, respectu recta
CF, (hoc est, factum ex semiperipheriis, iplis Z. X proporrionalibus, in distan. Fi8. 10
etaS Vo, hoc estZ X, respectire,) ad momentum ejuldem superticiei ex puncte
A suspensa, (hoc est, ad factum ex iisdem semiperipheriis in distanciam A F ubi-
que.) Et consequenes, eadem est ratio distantiae centri sraricaris ejusdem Cuper-
tieies a recta F C, ad diltanciam F A. Nempe ut P = 25 D ad P.
25. Duod aucem omnes Z V in =, Cic 5 D D - 3 D, sic pedereneim osten-
decur. Omnes Z V tig. 20. in 4 a2, HOC CsE (PFOPIeF C. A = 2 D) in respectira
quadrara diltanciarum CZ; ad caldem omnes in quadratum C A; TUNE UE momen-
cum (respectu rectae cC) portionis prismatis in suo siu, oblique plano secti
super crilineo CZ A F erecta alticudinem habentis in puncto C nullam, ac super
A F recta aequalem recta CA; ad momentum (respectu ejuldem cC) incegri
prilinaris super eadem bale, alticudinem habentis recta AC aequalem, ex puncto
A Suspenti. (Omnes enim Z V ducta cum in CZ = 2 a proprer distantiam, eum
icerum in eandem CZ. = 2 a propter alcitudinem distancix aequalem, cantundem
est arque in 4 a: es limiliter, caedem omnes ducta cum in alcicudinem maximam
cum irerum in maximam distantiam, cantundem est arque in quadratum AC duCtx.) F18. 7
Hoc est (propter binatum tigurarum parallelas rectas proportionales,) ut mo-
mencum ejusmodi portionis prismatis super crilineo BCC Hg 7. in Tuo SItu, ad
momencum limilis prisimaris, incegri ex puncto C sulpensi, respectu recta Bb.
Ouam rationem sic inrestisamus.
26. Distantia Centri praritaris Frilinei BbC Fix. 7. et consequenter trilinei
BcC, a recta Bb, Sic collixitur. Ouadrantis EbC H8. T. vel 8. centrum gravi.
raris d recta. CB diltat Z , (quanrum scilicer à cenrro circuli distat cenrum
Pravicaris semicircull;) d recta igicur A F distac, = + 3 D; quae distancia in
ejusdem, quadrantis magnicudinem S D Z ducta, dat  23 + -3 D Z, momentum
quadrantis CD C respectu rectae AF; cur si adldatur momentum reiansuli CBF
(factum urigue ex magnicudine in diltanciam centri gravitatis)  D =Z R XZ R.
trabetur  D f, : D Z MOmenEU sectoris F B C respectu AF rectae.
27. Fl autem momentum quadrilinei B B FC Fg. F. ad momentum dicti secto.
ris FBC (respectu ejuIdem AF recta ) UE 5 ad 2 (per 5 26;) Adeoque mo.
mencum quinquilinet BB F bC. Hg. F. hOC est quadritinei BBF C. H8. 7. ad idem
sectoris momentum, ut 3 ad 2; adeoque 5 ∞3 3D27
28. Unde E autetacur momencum parallelocranmi BF; Derripe 3 D Z X L ∞
D P, manebit 3 P F es D. P momencum rrilimi BbC (Ag. 2. vel 7.) re
spectu rectae AF.
20. Hoc aurem momentum, per crilinei hujus magnicudinem R = 1 D divi.
Tum, dac 3 D F iS Z diltanciam ceneri gravicatis dicti crilinei BbC ab A F recta
AdeoquE S P ejuldem diltanciam a BB: Ft consEGUENIEK à D X  ~ =   72 Y
momentum dicti crilinei B BC respectu rectae BB.
30. Ouod quidem mOmentum S D = P, Si ex Parallelosrammi BC MOmeDEO
D∞x 2 D = +D D auteratur; manebic s+ Z ~ momentum crilinei BCC re(De
etu ejuldem Bb. (Idem unique acque momencum cllinei Bb C respectu ejul
dem Bb.)
3T. Ouod denigue crilinei BCC momencum, per ejusdem magnicudinem
2
distantiam cencri praricatis dicti BCC iri
6DP =  D divitum, dat g4 = 162
linei a recta BB. Oux itaque est ea parS recta b C = = D, qua CA ael Eoram : D
ut 2 P ad 8P = 26D, Ive ; P ad 2P =4D; h0C ell, uC AF ad 4 A F - 4FC.
Ouod  e6 propoluimus inquirendum.
32. Flabita vero distantia cenri praricaris trilinei BCC X BB; adebque pOr
tionis alcicudine luper idem graritatis centrum, (ope diltantia qua illi aqualis
elt, proprer alcicudinem maximam aegualem maximae distancia, adeoque ee reliquas
reliquis,

## Folio 526 — 851387705:0546
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000546.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
F1B.5
D E C NCF OIVL
∞4
reliquis, nivore proporcionales; ) nemve  = 16 B:Si haec alicudo in balio
magnicudinem 5D D = F∞ ducatur; habetur s D ~ dictae porcionis prismaris
(ailineo BCC insisteniis) magniudo: (aqualio quidetu momenio supra in
VentO. 1
15 e
33. Ejuasdem vero porcionis prisnaris (erilineo BCC insistentis) Momeneum,
his pallibus inveltioamus. Si luper Pemicirculum F BC Ag. F. erigatur semieslin-
dei porcio, qualis LCC ZZ F3. 5. alticudinem habens in F nullam, in C vero
CiC =C. F: Semicirculus basis est Z DX; hic in altieudinem super centro grarita-
tis plani, hoc est in ED, ductus, dac 1 D P magnicudinem expolicae porcionis
Semicylindri.
34. Flujus rero portionis Semiexlindri, cencrum gravicatis distat à plano in F
tangente, recta F 3 ==3D (uc supra 557;) quae distancia in magnicudinem
6 D P ducta, dat Les Z D momencum expolica porrionis Semicylindri respectu
rangentis in L, hoc elt F A Hig. F. 1e
35. Fx hac veroSemieylindri portione, auteramus primo eam istius partem
quae quadranci FYZ tig. 5. insistir, (hoc est, quadranti F Cib fig. X. Vel 7.) eu-
jus magnicudinem primo, deinde momencum, sic invelligamus.
36. Ouactrantis F YZ Hi8. 5. cenrum Bravicais, d recia YZ, distat Z ; ad.
eoque ab F A diltabir : D  =7; quae distancia (cum sie alcicudini suver idem
Pravicacis cencrum aequalis) ducta in balis magnicudinem S D P, dac porcionis tivic
p
quadranci insistencis magnicudinem, sD P = + D, vel 3
90
4, ∞ D2
37. Si autem incellisatur haec porrio (quactranri K YZ fig. 5. insistens) plano
Y2C0 abscindi, ee sic Cuper reliquam parcem replicari, ue cum ca compleat Cy-
lindrum quadrantalem: F’acta hac replicatione, tanto ulera Y constiruetur ictius
replicatae partis centrum sraritaris, quanto prius cira conlticutum crat: uc patet.
38. Momencum veco hujus Cxtindri quadrancalis, sie habetur; Cenorum eravi.
catis quadrantis YZ C. fig. 5. distat ab AF,  ∞ F=D, (quod modo oltentum
Cst i 26;) quae itaque esE distancia ceneri gravicatis quacrantalis Cylindri (super
YZC constituri) a plano e F A: Oux quidem distancia in quactrantalis Cylindri
magnicudinem is D P ducta, dac  D + s D P ejuldem momencum respectu
rectae FA.
39. Hinc rero si auteramus momencum porcionis ance seplicacionem, lactam,
1 D P (uE supra  34.) manebit a D = 1i0 D. P, sive 26 3 D, aug
84
mentum momenti ob promorum gravicacis centrum parcis replicata. Ouod qui-
dem momenii auxmentn, per 3
dirisum, dac 26D -39
AD ∞ replicacae parris maenicudinem,
96
72F = 7 Z D, mencuram promotionis cencri eravitgiis:, Cujus
CB CLIS.
24 ~ = 32 7 D est ceneri pravicaris parris lreplieata distancia )
itaque Temistis 26D = 37
15F
medio: Dux quidem _ ex ; D auteratur, quod restac =
vel
15P = 32∞
L 2
2D
3P = q. D =3 D, est ejusdem centri distancia a plano a F. A. Aique Haec
denum dillantiu, in J E.  a P p maenuudinem ducto, dix 5 P  32. 2, D
sire 136 D P =  D, expotia porcionis quadranti F YZ insistentis momentum,
respectu rectae FA. Duod  35. proponitur inquirendum.
40. Hoc ixitux momentum, ex 2 D X momenco corius portionis semieslindri,
ablacum,

## Folio 527 — 851387705:0547
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000547.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
D E LCY CL O FDF.
ablacum, relinquit 36 D3 P + 5 D porcionis relidua Z Z~C C, quacranii Z Y C
insiltencis, momentum. 1c
41. Deinde, polt hoc ablacum, restimendum est quanrum iriangulo quadcanci
F YZ inseripio (hoc elb, triangulo F G b Hg. T.) intistir: Nempe Prramis, balim
habens Yv6Z =. =D, alcicudmem FY = E D, quae in batin ducta dat 3D, cu-
jus criens. D est prramidis masnicudo; acque hiaec in 3D, diltantiam lui cencri
gravicaris 2 plano PFA, ducta, dac  D prramidis momencum respectu FA
rectae: Ouod quidem momenium, momenio religuae partis, 36 Z P + D addi
cum, dac 36 P + is D momencum illius omnis quod seclori FbC H8. I. in
lictii respectu rectae AF.
42. Cognico aurem momenco Porrionis sic secti prilmatis sellori C FB intisten-
tis: connoscicur etiam momeneum portionis prismaris Ouadrilineo C F BB FB. L
inuiltenus, eodem plano secti, (respectu ejusdem A F recta:) Fst urique ad illud,
uc 7 ad 3 (per 545:) Adcoque illius quod Duinquilineo CbF BD Hg. T. hOC
est Ouactrilineo C P BB H8. 7. (utpore quod ad idem momentum est ut 4 ad 3;)
nemDC ,3 D3 P +  D.
43 Unde li auteracur momencum istius quod Paralletogrammo FB L3, Z. in
Sltu, (hoc est, prismaris basem habencis criangularem, semillem urique quadrari
Fb, adeoques D, alcirudinem reco Bb == + P, cujus itaque magnitudo est 3: D P.
qua in Z F b = ; D diltanciam ceneri graricaris a plano rectae PA insiltente ducta,
dat o D D prilmatis momencum respectu P A rectae;) manebit  D P + un D
momencum iltius omnis quod crilineo CBB insiltit, respectu rectae AF.
44. Ouod aucem Prilinco huic jam insistie, (alcicudinem jam nactum in puncto
B aequalem ipli F b = = = D, et deinceps continue crescentem,) constat ex prismare
super illa bale, alcicudinis Z D, et aequalis insuper prismatis portione oblique secti
(Fodem plane modo quo luper ZZC quadrance fg. 5. insiltit cum Z Y vn C CY-
lindrus quactrancalis, rum ejusmodi Cylindei Porrio oblique secti Cycn.
45. Elujus rero Prilmaris momentum respectu rectae A F, est is D = 126 ∞ 2
(Momencum enim erilinei Bb C repertum est  28. elle sD l a D P, quod in
Prismatis alticudinem = D ductum, dac momentum prismaciS, diclum.) Ouod qui
dem ex 3 P + t D ( 43.) subductum, relinquic 118. 3P +   mo-
mencum porcionis prismatis oblique secti crilineo BbC. insistentis, respectu AF
recta. CAdeoque cencri pravicacis ab A F. distancia est L D L  ; et momen.
Eum respectu BB, , : 21.)
46. AC vero inceori parallelepipedi aeque alei parallelosrammo BC FZ. 7. in.
Tiltentis, eodem plano secti, Porrio, nempe 3 D Z, in sui cenri gravitatis a plano
rectae FA insistence diltanciam, nempe Lb f 3bC = = D + ZD = -3D, ducta
dac, E D P momentum iltius priliacis, sive portionis parallelepipedi, respecti
iltius A P. Onde s auteramus ,58 D P F, 5 D momencum porcionis crilineo BBC
insistencis,  praeced. invencum restabic ,  D P = , D momencum porcionis
exilinco BCC insistentis respectu rectae A F.
47. Duod quidem momenium, per tolidi magnicudinem s D. P ( 32. in
ventam) divisum, dac  D, -,  cenri eraricais ab A F distanciam; adeoque
Ex
ejuldem distancam a BB; qua in magnicudinem e; D. P ducta, dac
3D. ∞ = = D expolicae porcionis momencum crilineo Bc C insictenris, respectu
BB rectae. (Vel etiam, ex prilmaris paralle loorammo B C insistentis momento re-
spectu Bb, nempe  D Z X ; D = + D P, Tubducto,  D momento porcionis
intiltencis crilineo BBC, reltâc 1s D~ -, = D momentum portionis BCC. irili-
neo intiltentis respectu Bb; ut prius. ) Duod v 35. proponicur invellisan
dum.
18. Inceori vero Prismatis, cidem BCC crilineo insistentis, ex puncto C. sul-
penli, momentum respectu ejusdem B rectae, Sic habetUT. Pritmatis nujuS BaIis est
iplum crilincum BcC =f DP - = D (per  10.) quae in altitudinem ? D ducta,
dac 15 D P = 8 D prismatis magnicudinem, quae in diltanciam bC = 3 D ducta,
dat  D. P = rs D prismatis ex puincto C sulpensi momencum respectu rectae
43. Racio

## Folio 528 — 851387705:0548
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000548.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
D E CY CF O TD F.
40. Datio igitr momenui Porcionis prismatis in suo sicu ad monientum prit
matis inreori ex puncto C sulpensi, respectu ejusdem Bb rectae, elt (per  47, 48.
ut 3 D ~ L ∞ ad (+ ∞3 ∞ L2 5∞; hoc clt, ut 3D = 4 D ad 9P = 18D
Oux rario a 25. proxonitur inveltisanda.
50. Hanc aurem rationem sic inventam, candem ese acque rationem omnium
Z.Y fg. 20. in 4 a respectire ductorum, ad caldem omnes Z. V in quactratum
rectae CA; jam Cupra ostensum est ∞. 25. AE omnes ZV, hoc est crilineum
CZ AF, hoc est D P = 2D (per  10.) in C A = 2 D duclae, dant 2 DY
=4D prismatis masnitudinem; quae iterum in 2 D distanciam ducta, dat 4 D3 ∞
=8 D momencum dicti prismaris inceori crilineo C. Z. AF H8. 10. insillentis, et
puncto A suspensi respectu rectae Cc.
52. Adeoque (pr opree rationem 3 P = 4. 2 ad 9~ = 18D,  48. invencam)
erie
9~ = 18D in 4 B p = 8X1 HoccM 12. 8 = 16D D, momenrum ex po.
1). 29
Sicae portionis prismaris crilineo C.Z A F insistentis, in suo licu, respectu Cc rectae;
hoc est, factum ex Omnibus Z. V in 4 a respectire: Er consequenter (diridendo
per 4. D) erit 3= = + D D, hoc est) D P = 3D, lactum ex eildem omnibus
ZV in = respectire ductis. Ood  22, 25. Cuteepimus oltendendum.
52. Ouod aucem omnes
D
D.  Y. D = a sint ad D cocies Tumprum
ut F ad 5, (quod 4 20. probandum Susceximus,) sie ollenditur, ex princiriis
nostrae Lrichmeticae Infinitorum. Intinira series Primanorum, Cire Aeithmerice
provortionalium, ic a, (vel eadem series in X ducta,) elt ad convenientem se.
riem Aqualium ut x ad 2. Padem Primanorum leries in seriem Reliduorum
D= a (hoc est in seriem A qualium muletatam serie Secundanorum,) nempe
a D = a elt ad seriem A qualium, Ut Z = = ad L, sive ur F ad q. Fadem leries
Primanorum in Reliduorum Ouactrata, hoc elt, in DI - 2 a D F a, nempe
a D2 = 2 a D2  a, 2d seriem Aqualium, elt ut 2 -- Z f 5 ad L, Sivc ut F 2d6.
Fadem primanorum series in Cubos Reliduorum, hoc clt, in D = 3 a D
= 3 at D = a, nempC a D = 3 a D F 3 a D = a, ad seriem Aqualium, est
nC 3 = 3 f 8 = 3 ad E, SIVC UF F ad 8. EF sic deinceps, (ut ligillarim probabieme
ex prOP. 64. Arictm Intin.) Nempe series Primanorum, respectire ducta in
seriem, 0. Unir. Retid. Qu: Relid. Cub: Relid. Biquad: Reliduorum, dc.l
at raciones 3. h. 5 = a. 2 = 2 + 5. 3 = 2 + 8 5. 3, a + 5 8 + 10, c.
HOC est
5. 3.
1o 01V . etc.
53. Sin hi loei pro paribus habeaneur, de tiac conerua incerpolatio pro locis
imparibus, (juxca proecessionis analosiam,) prodibit ea quae lequicur rationun
series. Nempe series Primanorum a respectire ducta in
seriem 0. Recipr: Onita. YRCH- RCE. Y q Cub. Ouadr. V: Surtol. Cub.
VRelid. tum. duorum. duorum. Relid. Relid. Relid. Relid. Cc.
dat rationes 1. 1.
_c.
54. Adeoque leries av: D = ae (nempe series Primanorum in Radices Oua.
draticas Reliduorum,) erir ad seriem Aqualium, hoc est, ad cocidem D, uE F ad 3
(quod eriam superius demonstrarimus alias  12, 23.) Ft series a D - a in
V: D = a: sive aV: D - 3 a D = 3 at D = a: (nempe series Primanoru
in seriem Radieum Ouadrariearum Cuborum ex Reliduis D = a ,) ad seriem A -
qualium, hoc est, ad roridem D, est ut 2 ad 5. Adeoque et series a P = à
V: D = a: ad coridem D, erit irem ut L ad 5. Ouod demonstrandum sulcepi
mus 20. Adeoque absolvimus omnia qua ad cencrum praritatis superficiei ex
semicomrentione currae AC (fi8. L. vel 8.) circa AP, detignandum requi
NUnE.
55. Suxerett

## Folio 529 — 851387705:0549
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000549.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
Ci Y CL OTD F
55. Supereltus ut centrum graricatis superficiei, qua semiconvertione ejusdem suvertue
CA currae circa C F converta describitur, inveltisemus. Ouod quidem jam ei semi
Dareim peractum est. Ouum enim (propter binarum quancitatum reciprocationes, conversa
uc aliguories dictum est,) idem lic, respectu rectxe A P, momentum superticiei qua one circo
convertione C A curra cirea C F describitur; atque, respectu rectae Ci F, monien
CFfacta
centrum
cum superticiei guae ejusdem circa A F convertione describirur: Sitque hoc luperius quantur
invencum  23; Etiam illud limiliter inventum exic.
distat ab
56. Invenimus urique ( 23) facta ex omnibus Q X in Z Y As. 8. respective AF.
duetis (curra C A in punctis Z aequaliter dirita,) esse ZD2P - 37 D3. Adeo. F18. 8.
que (pro Radiis restimendo ubique Peripherias, hoc cMt, diridendo Der ZD e
mulciplicando per ~,) cric 3∞ ∞2 - 12) D2 P momentum circulorum omnium
punctis Z. descriptorum, sive radiis Z X in dictanciis Z Y Cuspensorum, sive radiis
J. Y in distanriis P. X suspentorum; hoc est, Superticiei convertione C A currX
circa AF deseripran respectu reetae CF; rel, conrertione circa C P, respectu re
Eta A F.
57. Iloc iaque superticiei momentum convertione circa C F deseriptae, si pCt
ejuldem magnicudinem, hoc elt, per 2∞2- 16 RP (ut TuPI2  56,) vel 22 3-
=8DP, dividatur; habebicur 30 = 522
452 -607
D distancia ceniri gravicalis supert.
ciei convertione (vel semiconvertione) curva C A ciica C F deteripta, ab AF
recta.
58. Ouancum aucem idem sravicaris centrum (superticiei ex semiconrertione Ruan
C A CuErA CirCa FC. descripca) ab F C distae, sic inquirims. Semiveripheria
rum punctis Z Eg. B. cirea PC deleripcarum, cum magnicudines, cum ec carundem
cencrorum graricacis ab FC. distancia, sune rectis Z Y proportionales. F r3O LIn-
n di-
stat a CF
Gularum momenta respectu ejuldem FC, Tune ut quadrata rectarum Z Y fg. 8. FiB. 8, 10.
hoc est (per . 8) rectarum Vo tiz. 20. Adeoque omnium momenta funt ad
momenta coridem radio FA descripearum; Hoc est, momencum superticici qua
Temiconvertione currae C. A tig. 8. circa PC describitur, ad momentum superficiei
Lemierlindrica recta C. A aequalI deseripia, distanciam a convertionis axe habentis
ipsi PA aequalem; ut omnia quacrata Vv Hi8. 20. act rocidem quadtata AF; hoc
elt, uc omnia V Z 9 f 2 V ZX L. v F Zvq ad tocidem A F g.
59. Ouam aurem habencrationem omnia Z09 ad omnia A F 9, Sic colligitur.
EA recta Z . = 2V. (9 =a = C Ber ∞ 11,) et e0Z09 = . Sedt omnia
a D ad coridem D =, TunE ue T ad 3; et omnia a ad coridem D2, Vt 1, 2d 5.
Ergoomnia a= 22 = a 2 ad cocidem Da, ut 5 - 5 ac 1, sive ut 2 ad 15. Adcoque
omnia   = ad coridem D2, hoc elt (pr spter C A = 2D) ad 2. D3, IC3
ad 25. Ideoque E D agoregatum omnium L. v9.
60. Deinde omnia V L. 9 ad cocidem a Fq luntne omnes circul radiorum Z. Y
2d cocidem circulos radiorum A P: Hoc cRe, uc folidum convertione erilinei C7 A F
circa C A deseriprum, ad solidum descripium simisi conrertione cireumseripti Pa
rallelogrammi; hoc elt, ue momentum ejuldem Prilinei ad momencum circum
Scripei Parallelogrammi, respectu ejusdem C A recta; hoc est, ue momentum Fri
linci BC C F∞. 7. ad momentum B C. parallelosrammi sibi circumseripei, respectir
rectae CB; hoc et, ut P2= 8D = ad 22. Nam crilinei C Bh magnicudo cAt = D2.
ejusque cencri graricaris d cB distancia, (eadem urique cum diltanria centri gravi.
Fatis crilinei CBF ab eadem cB,) est ED, ( per 59D:) Adeoque momencuni
D = 5D3: Ouod quidem momenium si ex Paralselosrammi Ci B mometiio
DD2 = + D D ~ :  auferaTIT; relinquit Z D2
-3∞3
momencum criliner
BCC respectu Bcrecta. Ouod uaque ad s D P Morenium C. B pasallelostam.
mi clt uc D 2- 8 D = ad 8 2 siVC UEF A9 -= 2FC. 9 act P Ag
62. Ouod ipsum sicetiam probamus alias. Si dyes incelligatur, in A8. 7. recta F18. 7.
CA (guam per B cranticuram cerrum est) Friangulum rectilineum C a I aequale
Hiet Frilineo CZ A P mistilineo: Ouod quidem miltilineum a rectilinea in hoc
rantum diftere, quod segencum illud B A curra et recta cohiorehentum, a SIu
B A in Sicum B C TranStertE. F.X hac autem dicti lesmenti cranslarione, quod ori–
cur diserimen hoc est: Solidum ex convertione ccilunei milli cicea PC ortum, est
X X

## Folio 530 — 851387705:0550
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000550.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
F
C Y CL O IDE.
(Per 583) 3X3 -2 R2 P, GivC 1 ~3 -5D 2D; Solidum seu Conus ex simili
convertione crianguli rectiliner elt 7 ∞3, (nam circulus radii R est Z R~; ergo
2. vel 2 ∞
qui circulus, cum sic coni batis, ductus in s D eriencem alticudinis, dat L5 F3 mag-
nicudinem coni: ) Florum Colidorum ditterentia, nempe excellus coni lupea reli-
quum solidum, ct = D2P = =, ~3. Sin urrobique, pro circulorum peripheriis
lubstirmamus radios, (facta divitione per P, et mulciplicatione per ZD,) habebi-
mus planorum momenta respectu rectae CF; nempeillic isD ~ = - = D3, hic vero
3D P2; adeoque momentorum ditterenciam; D= = is D D2. Hlaec vero ditteren.
eia per legmenei magnicudinem divisa, hoc clF per 12) 2 - = DP, (est enim cri
lincum multum BBC = = D= unde si auteracur eriangulum libi inseripeum, quod
est circumleripei parallelosrammi dimidium, adeoque JsDP, manebie 1∞:
=is DP magnicudo scgmenci BA vet BC recta e curra comprehensi;) dat
12∞ 2 - ∞
12D = 3t
menturam promocionis cenrri pravitacis, dicti sexmenei cranctocari,
vertuS FC rectam: cujus iraque (emistis 12D : - ∞2
E+ D =6~ est ejuldem cencri distancia a
recta cBe: Oux quidem distancia, in legmenei magnicudinem 1D 2 = =, D D du-
cta, dat + 23 - 36 D X2 ejuldem momencum relpectu cBP rectae. MOmentum
autem erianguli rectilinei BcC. respectu ejuldem cB rectae cst 192 D Z 2 =  DY
5. 10.
X P. Onde si auteratur scomenci dicti momentum ; D - = D PE: manebiis D ∞=
D3 momentum criliner milci BcC respectu rectae cB. FM aurem corius BC
Parallelogrammi, respectu ejuldem cB, momencum Z D∞2 =-5 D ∞ xtP. (Unde
obirer liguet, selidui BCb crilinei momentum esle 5D3; adeoque, propeer ipsius
magnicudinem = D2, diltantiam sui centri graricatis d eB esles D; et consequen-
ter, d BC Crir Z P = ZD, uE Tupra 599.) Ratio igur momenu crilinei misti
BCC, ad momentum circum (eripes Parallelosrammi, ( respectu ejuldem cB rectX,)
CstuES DP2 - 8D3 ad 6+ D P2; SIVe, Ut ~ = - 8 D 2 ad D 2: UE PrIUS.
62. Veldenique, sic eriam eadem racio inrestisabitur. Momentum crilinei misti
CZ AF Hg. 7. respectu rectae C. F cM (uc Tupra) is D P = = = D3. MOmentum
aurem aequalis parasselosrammi C B, respectu ejuldem C F, est Z, DP- +D P∞ Y
Ilorum momentorum ditterentia J D D2 ==D3 (cum ex lola crilinei B s A in EI
tum BCC tranctatione oriatur) si per SDP - = D? (trilinei BCC magnicudi-
8D
L L = 8∞ mentura promotionis centri gravicatis cri-
nem) diridatur; prodibit
P2 - 8∞ 2
linei BB A in Tirum BCC cranclari. Fujus igicur semistis p p = 16D erit ejus.
dem centri d cB distancia: OuXe in SD P == D magnicudinem ducta; dat
a D F 2 = SD ejuldem BC C trilinei momentum respectu cB rectae. Vel, quod
eodem recidic, ditterentia momentorum inventa ;, D ∞ 2 - = D3, TemictIS S D ∞.
SD3,. est trilinei cranslocari momentum guasicum. (Nam Ouocientis dimidi-
um, in Dirilorem, duetum, relticuir Diridui semillem.) Unde cadem quae prius
Oritur racio s D ~ = - s D3 ad sa D P, live ~ 2 - 8 D2 ad Z2: quae in6OguX.
rebatur.
63. Hlac iraque ratione InVenCA, SIC prOcCdimIS. Ouadracum AF ti8, 10. est
1∞2 quod ductum in C A = 2 D, dat Z D P= agreBacum omnium AF 9. Si tiat
itaque (propter rationem modo inventam) uc ~ 2 2d 8 2 - 8 D2, sic : DP2 ad
quarcum; exir illud Z D P. = 4. D3 ageregarum omnium Z. V 9.
A Suverelt ur inquiramus, quam ad eaciem omnia A F 4, rationem habeant.
omnia bina rectanxula 2 V Z. n L. vtig. 10. (i 58 memorata;) hoc est, omnes
V2 in 2Zo hoc CL (per in XY) omnes VZ in 2 ar
n
1: D
=: HOC Cst, omnes V Z
=: in 2 a. Quam rationem his paltibus investigamus.
65. Rectae Z. Y crilinei C. Z. A P tie. 20. sime rectis Y Z. vedlinei B V CC. ti8. 7
PTODOT.

## Folio 531 — 851387705:0551
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000551.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
nist
Tun
udi
a Y C F 0
proporcionales: Iiem rectae CZ. = 2 a Lig. 10. rectis B V LB, 7. FL Y
rectis 2 Y quadrantem Cib C complentibus proporrionales. Omnes isitur V Z ip
:sunc ut omnia rectangula VZ. XZ Y Ag. 7. Oux iterum in 2 a du-
Cae, sunc nchorum rectangulorum momenia respectu recta Bb fis. 7. Ouancum
aurem st horum omnium momencum sic colligimus.
66. Incellieatur primo super planum crilinet C. Z A F Fg. 7. erigi semicirculum
CBF ad anoulos rectos; ita quidem ut C F diameter Temicirculi, congruat C l
laceri crilinei. Deinde Super idem planum, moreri intelligatur idem semicirculus
inrariaro angulo, a C F ad CiB, et sic deinceps ulque ad A; hoc motu describens
Semiceylindrum: Duem Semieslindrum si secet planum rectae AC perpendiculariter
insistens, abscinditur semiestindei Portio (Tuper C A F criangulo jacens) ex inti-
nicis Paralselosrammis conslata, quorum bases intelligantur ordinarim applicata
in balis Semicxlindricae semicirculo, alcicudines arichmetice proportionales trian
sulum C AF complentes. Sin cundem semierlindrum secet superticies currata
perpendicularicer insiltens currae CZ A, abscindetur Semieslindri Frasmentum
Tsic enim, libet, distinctionis caula, vocare) Super CZ A F crilineo misto jacens
ex Parallelogrammis icem intinicis conslatum, quorum bales incellixantur caedem
2 L oedinacum applicala in temicireulo, alricudines vero LZ crilineum CZ AF
complentes.
67. Hlaec autem duo Colida, nempe Portio semiexlindri, plano abseilla, ee semi-
exlindri Frasmencum, absciltum superticie currata, sunt quoad magnitudinem in
ter se aequalia. (Propter, cum binas qualris rectas Z Y in base, utrinque a medio
aequaliter remotas, inricem aequales; cum binas ubique his balium rectis conoru-
entes alcicudines, sire in trilineo misto, sire in trianulo rectilineo, simul aequa
les rectae AP.) Vrrumris Eiquidem Semiestindro ejuldem batis, semialto, X
quale.
68. Sune autem eadem duo Colida, quoad momentum respectu AF recta, in-
regualia: Propter cranstatum id torum quod in alcero infistic bilinco, B A, ad si-
cum BC in reliquo.
69. F.I autem Portionis, crianeulo rectilinco incumbeneis, momentum respectu
AF recta, 3= D =~ 2 = = D F ZXS ∞. (FA enim CemicirculuS F BC =5D F
S Temialcicudo sA F = a P, adeoque porrionis magnicudo in D P=; qua in 87
distantiam CenCrI BraviCaLS ab A F (Det 557) ducta, dat 336 D = X 2 POrtio.
nis mOmEnCu.) Frasmenci vero, crilineo misto insistentis, momencum re-
spectu ejuldem A F rectae, est (per S+OS) 1 R24
R
D2 D
Unde h auteratur Porrionis momentum 356 EDE, habetur 356 2 P 2 = 3 D
momentorum ditterentia.
70. Pr contequenter (eum haec monencorum disterencia non aliunde provenin
quam ex segmenei bilineo BA insistentis in sicum BC traustatione,) li illa mo
mentorum disserentia incelligatur per magnicudinem cranstocatae parris divila, unde
habeacur mentura promorionis centri graricatis quancum ad AF rectam; hujus
que semissis, distantia utique ejuldem centri d Bb, in eandem magnicudinem ilerum
mulciplicata; prodibic Dividui semittis, nempe ,i D 2 p 2 = + Da, monientum
istius cranclocarae partis, bilineo BC intiltentis, respectu rectae Bb.
71. Deinde, super criangulo C. BB rectilineo, incumbit estindri quadrantalis
porcio, cujus balis C b C quactrans circuli, alticudo Bb = = P; momencum vero
ejuldem respectu recta Bb. est is D3 P =, i2 DE D2. Quod eodem modo collioi
Tux quo Supra (= 35 de segg. colligicur momentum ejulmodi portionis F L v
H8. 5. Cum enim illic = 39 habetur =, D + =, 8D. D momeni augmenein (ob
dictae portionis ibidem translationem) respectu recta P A, (si nempe incellisacur
YF A planum horizonti parallelum) vel rectae FP (B Seilicet planum Y F X ho
rixonti paralletum incelliratur:) Adeoque ejusdem lemiltis L ∞
6D3F, DOI
tionis dictae momentum respectu recta LZ vet Z. (prour haec vel illa incelligatur
horizonci parallela,) polita quidem (quod illie lupronitur) segmenci alcicudine
T0 = ZD: Onde, li posira tuistet XV = à P (Prour jam in eatu limili SupponiinuS
super aequalem balem porcionis alcirudinem Bb=
L) Fuisset ejusdem momentum
respectu rectae YZ ret Y on 56D3 P= si DEP: Ouod isicur est momencum por-
XX X 2
riOnIS

## Folio 532 — 851387705:0552
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000552.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
D E C Y C F OID F.
tionis Cylindri quadrancalis, criangulo CBb incumbentis, respectu rectae BB
fig. 
72. Forius aurem Cplindri quadrancalis, paralle loprammo B C incumbentis, mo.
mencum respectu ejusdem Bb rectae, elL is D. P = s. D PX q. Unde s aute.
ratur cum momentum Colidi hilineo BC insistentis, 5i D 2P2 =  D a (∞ 70;
cum  D3F = = D= P = ( 7F) momentum portionis semieylindri crianoulo
CBb incumbeneis; hoc est, 36 237 - D a momentum solidi cocius crilineo milto
CBb incumbencis; manetitZ Da momentum (respectu ejusdem Bb rectae) Colidi
insiltentis crilineo milto BCC. (5. 7. nempe Colidi ex omnibus YZ XZ. L H8. 7.
Ouod  65 proponicur inguirendum.
F18.7, 10.
73. Hoc habico; propter cum AF A3, +0. duplam rectae cC fig. 7. adeoque et
ZV f8. 20. duplas rectarum VZ. Hg, 7. Tum V: D 2 = a2 (propter D duplam re-
eta GC tig. 7. ) duplas rectarum Z. L fig. 7. adeoque lingula V: D2 = a2: in Z V
fig. 10. quadrupla lingulorum VZXZ L Hg. 7. FF (proprer alricudinem C A ti5 20.
quadruplam alcicudinis cB fig. 7.) omnia omnium Ledecupla, (est enim 4. X 4. = 16:)
Erdenique (propier eandem A C. = + C B) distantiam ceneri gravitatis d cC fie
20. Guadruplam distancixe a Bb fig. 7. CrIE (PTOPIEF 16X 4 == 64) momencum ad
momencum uc 64. ad T. Adeoque omnes Z. f8. 20. in V: D 2 - a 2: in 2a, = 87 4
(nempe ad momencum omnium VZ XZ Y x BV Hg. 7. hoc elt ; D a per Praccd. WE
64. ad L.) Ft Propterea, Facta applicatione ad D, omnes V Z (HB. 10.) in
2aV: D2 - 
L: hoc est, omnia 2 Y Z. X Zv bina rectangula ( SB MEOTATA)
3∞3. Ouod  64 provonitur inguirendum.
74. Cum isicur sinc omnia Z09 (Per 59.) B D, e omnia Z V g (per
63.) 2∞ ∞2 4D, ec denique OmIa 2V P. XZV (per 1 73.) 3∞3. Frunt
omnia VZ9 L 2VZXZv F Z09 fg. 10. ZD P= =128 D3 Omnia verO A F4
TunE : D ∞2 = + D2 X 2D. Eorum isitur ad haec ratio constat; nempC UE L ∞2
128 D2 ad Z P2, Tire ut 45 P7 = =256D ad 45 P2. Ouam quidem candem
esse quam habet momentum superficiei ex lemiconrertione currae C A H0. 8. circa
CF, ad momentum curra semicy lindrica ejuldem basis, alcicudinis vero 2 ∞ =C A
respectu rectae CF sive plani per axem; jam c 58. ostentum elb. FA autem
istius magnicudo (per = 26.) P = 5RD Sve P == DD; hujus autem ~:
(quod nempe sic ex aliicudine 2. D, in  semiperiphreriam radio A P = . P de.
Fcripram:) adeoque illius ad hanc ratio, ut P - 3 D ad P, Sive uE 3F = 4 D
ad 32. Ideoque proprer 3 = +D, 45P -2562, 45 ∞ = 256D
45 P
45X -60 D p, di-
Pranciarum cenerorum graritatis ratio Ct, ut 45 ~2 = 256 D = ad 45 22- 60D 8
E.s autem centri graricatis expolua currae semicylindriex a plano per axem di
sapria D, (nempe radii AF = =P ea pas quae elt ad coram, uc chorda ad
arcum, hoc est ue D ad ; P;) EL proprerea + ~2 = 256 D D diltancia centri
15X2 -60 D7
Graricatis superticiei ex semiconvertione currae C. A circa CF ab eodem plano
sire d CF recta. Quod erat ulcimo inquirendum.
aD P F. N D Z X.
Cum ex Wrrennii nostri Demonstracis de Cseloidibus (quae sub inicium fulii
anni 1658 amieis quibuldam ostendic) Semiereloidis curram axis duplam esse
 2. altumplerim: Iius demonstrationem prout cam ab eodem D. Cbristophero
Wren, Socio Collexii Omnium Animarum dicti, Oxonix, et in Collesio Crestra-
mensi, Londimi, Actronomix Protestore, acceperim vilum est hic lubjunctum
exhibere.

## Folio 533 — 851387705:0553
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000553.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
un
it
per
Pde
F
De recta lancente Cyeloidem primariam
Lemma.
YY SIE Circulus AOD, Diameter AD, tangens
VD, _ oY Tubcenta cuiris D0 ad rectos
angulos. Dico Fansentem eAe ArCu OPD
majorem. Ducatur Pangens oT. Ouoniam an
uli 20D, TD0 sunt aequales, ergo anguli
FOV, FVo sunc aequales. KrgO V FD aequa
lis est OT, TD Simul Tumpcis. Sed ip (∞ OF,
CL
Superant arcum OpD. PrSO VD major est AF-
cu OpD.
TI. Tildem potiris (I ducatur ux pe (vel oprE
tangenti VD parallela: dico legmentum externum
UP, etle arcu DO, (rel vn aTCU = c) majus: (C8
mencum vero internum De este arcu p0 (vel
XE aECU e c) minus. DuCatUE CubtenCa PO (Vel
D0) e pm (vel  ∞) subtentae ad rectos angulos. Angulus igitur opu ret
acurus elt, vel obcuus UE coFV.
Sic primo obtulus. Oroniam anguli VDa ea D sunt aequales, de vc parallela
ipsi VD, erso Fosceles est pCF, er∞O ve ec sunc etiam aequales, e quoniam cor e
eL obtulus ergo cou minor est op ee adhue minor ip(a u; sed cum aoV BIE tan-
gens, _ p. subtensa ad rectos angulos, erso demonstratum est cou majorem cAte
arcu con, ergo on major eAt areW CoN.
Sit secunco angulus u po aeucus, erro in triansulo omp, angulus omp est
aequalis recto minus angulo mop; et in criangulo Fpm, ansulus xBM, CIL X qua
lis recto minus angulo upo: sed anoulus npo est major angulo uco, rel an-
Sulo moD: ec ans. mox est minor angulo moD, ergo complementum anguli
upo scilicet rDm, est minus complemento ansuli imop, scilicet angulo omp;
erso in criansulo epm latuIS Em, est minus latere FP. Sed uI, rO aequales else
jam demontrancur, erso uP major elt ipta OM, e OM MajOx areU OP: erBO
uD. CAt MajOF areU OD.
Dico poltremo segmentum internum De esse minus arcu op. Duoniam enim
anguli Foe, re0 tunc aequales, ergo minor est angulus Poc angulo peD, erso
in criangulo poc lacus De minus est latere po; recta autem po minor olt areu
PO; ereo pe minor  accu p0. Simdiver demonsteacue de 1.
Problema.
Ad datum punctum c in Cycloide
Sta d Panoentem ducere.
Ducacur 10 bas parallela, e per
punctum o Genitoris ducatur subten (a
20u, cui parallela ducatur XLY, dico
rectam   tanoere in punCtO L. Nam
S non tangat, ergo SCCaL In I, erSO Ca-
dic intra curram aut rertus basem, aue
rexlus verticem.
Cadat primo Si Aeri PosTit vertus Ba
em de sc punctum aliquo d X inera cur-
SCITI S
ram: ee ducatur bali parallela XuP, _ producta secet curram in 8, et produca-
cur subrensa ad u. Ononiam erso alibi demonstratur e primis Cycloidis pro-
prietacibus esse quod Parallelae bali incer Cvetoidem e Cienitorem terminatae, snt
arcubus Genitoris ad verticem abscistis aequales: ergo 8p est aequalis arcui pODa,
et 10 areui op  ereo c0 plus accu oD aequalis ett ix SI B P. sed xu aequalis et
X XX Z
ipIX

## Folio 534 — 851387705:0554
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000554.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
DF C,Y CL OT D F.
IpH CO, _ SeBmentUM ExternuM UP Cst majus arCU OD; ergO XUD major est
ipsis c0, op limul Cumpris: ergo pX major est ip (a p 8: ergo cadic exera punctum
 Curra, ergo idem punctum ele intra ec extra curvam, quod ele ablurdum: eroo
non eltinera. Cadac jam intra curram versus verticem; et sic punctum aliquod
Y rectae cy inera Curram. Dueacur bali parallela y p’e, et producta secet Cyeloi.
dem in h. Ouoniam ergo ye clt aequalis ipsi t0, et hp plus areu po aequalis
ipli c0, e pe segmentum internum est minus arcu p’o; ergo hpe minor est ipsis
hip, Potimul sumpris, ergo minor est ipla c0, ergo cy major cM ipla ch. FrgO
punctum y est excra et inera curram, quod est ablurdum: ergo non elt intra. Si-
milicer demonttratur nullum punctum rectae XY esse inera curram, erso non se
cat curram in puncto t; erso ducta est cy tangens Crcloidem in dato punctoc;
quod erat Faciendum.
AAIANE c
eoduos Curvae linea Cycloidis primariae secundum methodum
Antiquorum demonstratus.
es Definitio.
Masnicudines in intinuu decrescentes sunc quarum non dacur minima.
 Problema.
In daco Semicireulo A DD subren tas quorcunque
A D in data ratione continua disponere. Sie Racio
AM ad AD. Ducacur cirentus AM M; tansenS
in A; 8 fiat ubique AD (Tubren sa majoris circuli)
aequalis ipsi A M (antecedenti Cubrenta minoris cir-
culi.) Dico iplas A. D esse in continua ratione ip.
tiuS AD ad AN. Junctis NNI, e DD, vel
MM, eDD, e sic utiris; quoniam M M, DD
Tunc parallelae, ob aequales in similibus scxmentis an.
sulos: ergo patet propolitum.
Scholium.
inTisdem potitis dico hanc subcenlarum rationem in intinitum continuari polte.
Nam S non posit, ergo datur minina subcensa, quo minor duei non pocest: lit
ea verbi gracia AD secans minorem circulum in M; e ducatur ut Prius AS
aquatiS ipEI AM: ergo AS ell minor minima, quod cst ablurdum; erso non
dacur minima, erso Falto subtensarum porest in intinitum concinuari.
Temma.
Sine tres circuli, tangences se invicem in puncto
A, quorum diamerri A F, A F, AC Tunc in conci-
nua proportione. Circulos aurem secet recta ANDC;
item recta Au S n, ita ut A d apcetur in medio cir-
culo aequalis ipsi A NI minimi Circuli. Per puncta
denique s et D medii circuli, ducatur tam SNO
diametro perpendicularis, quam D B ipA SN paral-
leia. Dico ip(aS NM, p. S ele aequales: item MD,
Sn: item DC, n B. Fungantur nCi; item MM: item
AF. Ouoniam AN M F. CA quadrilaterum circulo
inscriptum; erso ansulus externus sp. M aequalis est
oppotico incerno AP. M; sed anguli ANO, A F. M
ob similicudinem eriangulorum Tune aequales: ergo
anouli suM, SNM Tunc aequales: aequalia Tunt
exeo Priangula Ad P AV. M; e quoniam BD pa.
rallela
Fig. 15.

## Folio 535 — 851387705:0555
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000555.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
LCV O I
ralleta elt ipsi S N, _ n C ipti v MI, aequalia sunt etiam Friangula A BD, A Cin
aequales Tune igitur ANY e Au; AM et Ad; AD e An; AC a AB. Guate
dempeis concinuo aequalibus, aequales crunt L E e nd; D e dn; DC e 1B
Problema.
Data media trium proportionalium, ec differentia extremarum, dare extremas.
Sit media data AD, eique ad rectos angulos ponatur DZ. aequalis differentix Fis. 17.
excremarum, e diridatur bitariam in S, centro aurem S ee interrallo SD deleri-
hacur circulus D e n _ per S ducta A e Sn; DOnatuT A M aequalis A H, e AC X
qualis An. Duoniam AD cansic circulum, ergo quadratum AD aequale est rectan-
sulOP. AM; ergo AM, AD, A C, Tunc in concinua proportione, et M C. (ditterentia
Extremarum) aequalis cA iPAD L
Lemma.
Si Fuerine maenicudines in intinitum decrescences summa Dil.
Ferentiarum aequatur maximo Termino.
Sinc magnicudines a Z, b, C, d, egc. in intinitum: dico omnes
earum ditterentias aequari ip(I a Z SIReGCEUE; Une majores e
Fane aB, 27, 28, 85. xequales iplis b, C, d, eC; crunt ergo
2, 78, 8c. Parres iplius a L; non sune ergo majores P0-
t0. Sint jam minores, quare aequales sint ipsi Z S, reliquo autem
ad aqualis Ponatur d ipla etiam d pOnaTUT aE minOr; erso ad
dira elt alia ditterencia d’e, quare Z. est aequalis summa omnium
differentiarum, ergo Z. dxqualis elt ip( ZC, major minori, quod
cl abTurdum. F. r5O L a (eum lit neque major neque minor) aequa-
lis elt Cummae omnium in intinicum ditferentiarum.
Temma.
Binarum magnicudinum ditterentia, aequalis est disserentixe incer summam de du-
plum urriulris. Patet addendo ucrique masnicudini minimam, vel ucrique maximam.
Desinitio.
Polreonum Serracum est figura constans alcernatim ex lateribus sibi invicem pa-
rallelis, e laceribus obliquis. Sola aurem lacera non parallela rocentur simplici
ter Latera.
Polysonum Serracum circulo Circundari dicitur, quando unusquisque angulus FiB. V7
internus circulum artingit. Acque idem circulo inseri dicitur, quando unusquisque
angulus externus circulum accinsis, et angulum incernum polysoni circundari ad
verricem habet.
Problema.
Poirsonum Serratum lemicireulo daco inserere, cujus summa lacerum sic duolo
diametri minor; acque aliud circundaro cujus summa lacerum sic duplo diametri
major; ita tamen uc uriulque lummae disterentia sic datae cuieinque magnicudini
aequalis.
Sic Cemicireulus datus A DD, cujuscliameter Cic A D; maxnicudo dara X. Data
isitur media proporrionalium AD, tianc AM, AD, A C. concinue proportionales,
ita ut difterencia extremarum M C, aequalis sIC iPSi X. Disponantur autem subrenix
AD ubique in data ratione A D ad A M, e continuetur ratio in intinitum. Pro.
ductis deinde subtensis, per unumquodque D ducantur parallelae N DB, ad prOXI
mam urrinque subtentam. Patet ex iis quae dicta sune, Polysonum semicirculo in
Terrum este. Rcque aliud circundarum. Dieo autem insuper latera Inlerri simul
Tumpta (seilicet omnes in intinitum D N) deticere a duxlo diamerri delectu D, M:
Lacera vero circundari (scilicet omnes in intinitum BD) excedere duplum dia-
metri, excellu DC: difterenciam denique lacerum urriusque aequalem esse daix
Diametris AN e AC, ala CC Caspenes eriam in A, d Lecances IlV.
tenlas
Fig. 19
cub
magnicudini Z.

## Folio 536 — 851387705:0556
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000556.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
DE C Y CL OID F.
serentia iplarum DN, DN (anceccdentis et CoMIS:) IpIa VerO DM
cum sint magnieudines in intinitum decrescentes ditteremtarum lummam aequalem
habenC maXIMA DMI; ETGO LUMMA MMIIITCM LM MaS M e (ejuldem Cubien(a,)
subcensarum in intinuum accrelcentum, xquatur maxima A(Ic ae1.)
Frgo duplum summae ipsarum DM (hoc est duplum diametri) minus summa L a-
cerum DN, aequalis cM. Ergo omnium polysoni Iulerri Lacera deticiunt
a duplo aaHCs ACICCMSM.
BC. Sed AB aequalis ell p aC, eb C iph CD. Ergo omnia Polysoni circun.
dati lacera superant duplum Brametri execllu DC.
centas in MI et C ubique. Ononiam ergo subten (X AD disponuntur in data ra.
tiOnC AD ad AM; elZ AHI, (anceccleis suea) asualis est (consequen.
EI) AD; erso samec asae Co) C
ubique: ergo disterentia iplarum DNI, M N(ejuidem subtenla) aequalis cst dit.
aeguaCuT maxima D ML. Sec quoniam D N minus M N, aequalis est duplo DM
minus DNI, _ Sic ubique; ec quoniam summa omnium DM, cum linc ditterentix
Curlus quoniam AM, AD, A C. Tunc in continua proportione; er3O C. D (an-
recedentis Tubrentae) aequalls cpB C (conlequentis) ee lic ubique. L18O
(eodem modo quo lupia) demoeratus, quod duplum lumma iplarum BC (BoC
est duplum subcensa A B) minus lumma lacerum BD, aequalis sic maximae B Ci
erxo omnia Polysoni circunaa lalela t a Miplo subtena AB, defectu
Addatur demum detectus, et excestus quibus, hinc inde polysona ditferunt d
duplo diametri; erso CN est urrisque disterencia; et aequalis quidem ponitur
iph X. Ergo semicirculo A D D polysonum serratum insercum ctt, et Cimile cAt cir-
cundatum, hoc majus, illud minus duplo diametri, ucriusque aurem ditterenua a
qualis eAt datae magnicudini X. Ouod erat Faciendum. 1
Sehosium.  a
Dato circuli sexmento quovis A s D, eodem prortus modo polysonum serraculle
inseritur et circundacur; et demonstracur lacera inserri deticere d duplo balis leg.
menti AD, delectu DM; Lacera rero circundati excedere duplum ejuldem, ex
cettu D C; uriusque rero disterentiam esse CM; qua cum minor lc, quam
CM, minos est quam X.
11t1
 eit
mne ed t  a Lemma.

## Folio 537 — 851387705:0557
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000557.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
Temm
Si d puncto quoris O in Crcloide primaria S PO A D, ducatur Pangens OV
vertuo balten te bali palastela NOB, et V PC lecances cenicorem in B, C, qui
buS. A junsatur, ec ducatur OF. parallela ipsi A C. Dico tangencem, OV majorem,
iplam vero OF minorem esse portione Currae inter parallelas intere epix O P
DuCatur P Y N ip(I O F parallela, icem subrenta portionis P, O. Ouoniam anou-
LuS PF. O est obculus (cum sic aqualis ipsI P C. A, ) ersO FO minor est recta PO,
erso minor etiam curra PO.
Pursusquoniam P N parallela est ipsi AC, ergo tangir Cyeloidem in puncto P,
ec quoniam angulus V PY elt obcusus, ergo T P minor est ip (a T V, ergo O TV
major est iplis O F, P P, timut lumpris, erso major est portione OP.
Desinitio.
Polysonum setracum Cyeloidi circum setibi dicicur quando unusquisque anculus
incernus Creloidem concinsis aique idem inseri diciuir quande unusquisque ex
cernus auineit.
Dis TOIH
7 Beorema. lorat
i est
Curra linea Cycloidis primaria est quiactriipla diametri Genitoris.
.
Sie Curva semercloidis 00A, cujus Balis tit dD, Diametet AD cam Creloidis Fi8. 17.
quam Genicoris A SD D. DICO Curram 00 A eNC duplam ipliUS AD. Si nese
Eux Sc Curra rel major vel minor duplo AD. EF sc sive excelluIs, sire defectus Z
Genicori polysonum sertatum inseratur, alque aliud cireundetur, ita uE ditte-
rentia summae lacerum utriusque sic aequalis ipsi Z. Ft producanelir parallela Poly.
sonorum latera NV DB ut Sccene curram in 00. Et ductis ransencibus ou, ou cir-
cum seribatur Cyeloidi polysonum serracum intinicim. Ft ab sisdem punctis odu.
Etis oe, oe, ita ut quae que paralsela sic ei subiensa A D quae in eandem eD paral-
lelam incidit, inseracur Cfeloidi polysonum serracuim intinitum. Ouoniam ieicur
ip(a ou tansunt Cycloidem, erso parallelae sunt et aequales ipsis DB sinsulae siv-
Sulio; et quoniam ip(x oc parallela sunE, e aequales ip(IS ND, etso latera pos
Soni Cycloidi circumseripii aequalia sunc laceribus polse otii quod Cireulo circun
datur, et lacera polysoni cycloidi inserri, ejus quod cireulo inseritur. Ouace 13
cera polygoni circumseripei simul omnia excedune duplum, diametri exceltu DC
Scilicet minore quam X, e curra quidem adhuie minor est: e lacera polysoni Cy
cloidi inserri deticiune a duplo diametri defectu DM, Scilicet minore quam X 8
curra quidem adhuc major est. Acque idem demonttratur dato quoris detectu vet
exceltu X. Ergo Curra semiereloidis non elt major neque minor duplo diametri.
Ergo curra Cycloidis primariax est quacrupla Diametri Cienitoris. Ouod erat de
monstrandum.
Corollarium.
Lodem prorlus modo demonstratur, portionem quamcunque currae, d’rertice
abseiltam ur. oso A, duplam elte subrenlae _ D; Seilicet quae d sectione Balio por.
 lareoti
tionis, es genitoris ducitur. s.

## Folio 538 — 851387705:0558
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000558.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
CiTCLOIDF.
De Dimentione Cycloidum Concractarum et PTOIALCaLEMI.
Propturates quaedam Cycloidum.
Eper eandem Balem CMI constituantur tres Cycloides genere tees, lcult
D Cet Ca AMI Primaria, cujus genitor est AHID: C0OM Crclois quaedam
Contracta, cujus genicor est OFD: _ GTCF. M, Csclb GuacaM Lrorracta, cu-
jus genicor cAt F. K D
Primo, quoniam Cyelois cujutris generis tc ex moc aequabili in peripheria se-
nitoris, dum interim genitormoeu aequabili cranstertur, Cuver datam balem, donce
punctum generans circulum absolrerir, a puncto contactus incipiens et ad idem
rediens: Ergo utrique Mocus, tam circularis quam rectus, erunt ubique in cadem
ratione. Duare in omni Cycloide, A ducatur Bali parallela d Genirore ad curram.
ut FX, vel HP, vel RZ; erir ue mocus in arcu OF, ad mocum in semicireulo
OFD, ica mocus rectus FX, ad semillem corius monis recti, scilicet femibalem
DM. Similices uc arcus A HL ad semicireulum Tuum AHD, ica H Y ad semibalin.
Idem dicicur de arcu P. R e recta K L
Ouare policis in directum vunotis D K HF, quoniam areus OF, AH, F. R sune
in eadem rarione ad semicireulos tuos, erunt rectae LZ, IIY, IZ, in eadem ra-
tione ad communem balem DM: sunc ergo aequales, de puncta Crcloidum Z LZ
in directum potica unc; rectae igitur X Y Z N F HKD, sunc aequales, de similiter
lectae ee posiia: Sed F D ee OD similicer secta Tunc: erxd recta LLZ N, O AF. D
similiter secta sunt a Curvis Cycloidum.
Sccundo, quoniam aneulus ODF est ad rectum, ut arcus O F ad semicireulum
suum, seu uE F X vel D N ad DM; erEO, ut M N ad DM, ita aneulus M NX
ad Rectum.
Fercio, juneanuur HIA, eique parallela dueatur Y9. Duoniam demonstracum
est Y O canpere Cycloidem primariam in Y: ergo WY cadit normaliter in Cur-
vam primariae.
TheoremA.
Curva Creloidis primaria est quadrupla Diametri: e portioni
euivis assenatur recta aequalis.
TC semiba lis CD dirita in parces aequales um indetinice minimas, et a punctism in.
Dcidant ubiqi in primariam normalicer rectae ma, et in proxime majorem ma recta
mu: ducantur Dn (subrenta genicoris) _ m2, Parallelx iptim à; ilem AB, à 2, a 8
parallela: quare a 2 tansit Cyeloidem in a, de parallela de aequalis est iptim e Og0-
niam isicur ipla ma l quum lins aequales ee parallela lubtenlis penicoris) sune tinus
angulorum

## Folio 539 — 851387705:0559
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000559.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
onCO
Jen
Ct
aM,
cute
en
DF C Y CL O I D F.
angulorum suorum am Ce ad Radium AD; ee in Friangulis rectangulis mum
lacera mu linus corundem ansulorum ad Radium mm; ergo est uc A D ad m’m,
ita m’a ad mn, vel a 2. Lc quoniam ansuli amCr aequaliter sese excedunt.
erso in Friangulis similibus A Dn, a’ mS, elt ut A D ad An ita m’a ad as, et
(quum An sic indetinite minima, et proxterea aequalis areui An, lire ipsim’p
elE ut AD ad m’m, ita m’a’ad a S; erac autem ut AD ad m’n, ica m’à ad
à Z; quare est ut m’à ad m’a, ita a 2 ad a5, sed ditterentia inter a m’e
a’m estad a ndata quaris ratione minor, ergo a 2 aS Tunt aequales, de limul
Tumprae portioni currx a’à aequales. Est erso porrio a à duplum iplius m’u:
acque idem ubique demonstratur. Omnes isitur a a lunc duplae omnium m u. P.F
si abscindatur a verrice porcio quaelibet A a, ea dupla est omnium m W quX TUNE
inter D _ m: Sed omnes mu (quum ipli mu sine linus complementi, quorum
linus recti sunc um) sunc aequales omnibus um: omnes aurem um (guuim (inE
difterencia iptarum m a) Tunc aequales maxima ma, hoc est ip(I AD.
Fereo semi-
curva A a5 duxla est diametri AD. EF quoniam omnes um inter C e m, LunE
aequales maximo sinui seilicet m’a; ergo omnes mu inter C ee m sunt aequales
sinui complementi iplius m’a. Ouare Portio qualibet ut A Y (cujus normalis
et E. At tnvorcctis ansuli P NM ad racium AD) dupta ell linus complemetc
Curvis, Cycloidum Proractarum B Contractarum
ancur semiellipses aequales.
eret BB LCIBE
N Crcloide contracta GoOm, demitcantur ubiqué de perpendiculares in
prexime majorem Om, cui parallela ducacur a’ y et junctis 00 inscribatur p0.
lysonum. Guoniam est uC AD ad AO, ita m’a ad a0, et in Triansulis
Emilibus m’a Sy a oY, eAt ut m’a adt à o ita a Sad o Y; erso cstuE AD
ad AO, ita a S ad dY, e converte nt 2 AD, ad 2 A D F A O, ita 2a5 ad
2 a5 f0 Y, Sed 2 aS elt currae porrio d’à, 8 2 a 5 fo’y elt o g: est ergO
UE 2 A D ad 2 A D f AO, ita porcio a a ad08. Quare omnes 0s simul
sumpex sune aequales duplo A D F AO, S unaquaque 68 est in cadem ratione ad
portionem Tuam aa; e omnis a 0, ad suam tma primaria, hoc cl, sunt 20 ut si-
nus recti angulorum Tuorum EFmo ad Racium AO. Ouare liponatur recta P Y
aequalis duplo AD plus AO, eique ad rectos angulos P O aequalis ipsi AO, et F-
anE P à P à Pa Cinus complemenei aequalium angulorum ad Radium PJ, et
ducantur tam a co corundem sinus recti ad Ractium PO, quam Y co ipH P F ubi.
que parallela et junsantur coc; pare ex iis quae dicta lunc iplas y co aquales este ip(IS
X0 lingula singulis, e iPLaS aco ip(ISaO; quare ipsa etiam r co aequales erunt ipsis
0, St Friangula rectansula coco 7 criangulis rectansulis 008. Fx vulsaribus au-
tem Ellipseos principiis patet Pixuram Pa Q P esle polygonum quadranci F. lliplege
inscripcum; ergo Polysonum Lacerum indetinice minimorum quadranti F lipleos
inseripeum, aequale est Polys ono Semieyeloidi contractae inseripium: Frgo Cyelei
dis contracta curva G0OM, aequalis est semiellipsi cujus Avis transversus est
duptum AD pluS AO, e Avis minor AO.
Fodem modo ducta c X Parallela ipsIs m’S, demonstratF Ut 2 AD ad 2 AD -- AFi
ita esse 2 d5 ad 2 d5 = aX (sire ade di) quare procedendo ut supra demon-
Aracur curram Cyeloidis Protracta aequalem elle semiessipsi cujus Axis irantvertus
elt duplum AD minus AP, et Axis minor A L.
SFebolium.
DATeC Figuram GOZ M Z a CMHIS PrimariX de Contraclae CelMinatam, elle
MICTAL LCMICMIPIM in arci Aexam, ita uE Axis cran(vertuS appliCetuK CyelOL
di Primarix a parie convexa: et Fixuram C a Y M Z. C, Curris Primarixe et Pro-
practa cerminatam, esse semietipsin, cujus Axis crantverus applICatuT PCimaria 
parre Concara; hujus autem axis proporcionalicer procrahitul, manente Curra
Elliprica dimentione licet recUEVetur, IlliuS autem PTOPOTEIONAMILer COnCraHILIL
manente Curra, licet magis curretur. Patet etiam iplaS 0a, e a C elle merdo LL
apsecn ordinatas. Ouare non est per accidens, OE Clariltimo Deconvillo placus Lpisc.. ac
quod Curra Primarix sic rectae aequalis, ex eo quod Curra Relignarum lint LIIP. Lusen
tibus aequales; hed e conira Curva Reliquarum Cycloidum sunc F lliplibus aequaleo Pab. 7
Et

## Folio 540 — 851387705:0560
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000560.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
E CY CL OFD F.
ver accidens, ex eo quoreatum axes applicentur ejusmodi Curra, quae ex natura
Tua lic Enthysini patiens; quod de nulla Curra, hactenus nota (ne quidem altumpta
Circuli Ouadratura) prius demonstratum fuit, quam cso haec de Cycloide Prima-
ria amicis communicareram; nis quod TIIustris Juvenis Cnliclmus Nelius, Cur-
vam quandam ita construendam uc sic P ucty sini capax, summa cum laude inrene.
De problemate Fepteriano per Creloidem solvendo.
Dseru Replecus, et Cauu phylicis, planetas ita Perri cirea solem in Orbica
La Alliprica, ut relocitas plasserxe sic ubique distantixe ejuldem a Sole reciproce
proportionalis; unde sequenem Hlypochelin ingeniole commentus elt. Sccat sci-
licet aream F. Iip(eos Planetaria lineis a Sole ductis in infinica Friangula MixtilI.
nea aequalia; unde HE ut Curra FMip Leos diricatur in porriones inaquales, mino-
res quidem circa Aphelium, majores circa Perihelium: per has aurem portiones
ponit Planetam aequalibus temporibus terri. Ouare ex Medio motu Anomaliam
conquatam ut indasaret, secanda est semiesliplis per Pocum in data rarione; vel
(quod perinde ese ab eodem demonstratur) Sccundus est Semicireulus per quod-
vis punctum Diametri in data ratione. Mirum estquantum in hoc problemate
Tudaverit Kexlerus, Orbitas Suas - - -- volvens nitendo neque proficit Bilum.
Fandem antielus, Geomerrarum opem implOraE; INCCTIM VeTILIS nE PTOPTeE aE-
cuum ee Linuum crepoverciar inreniacur Problema inexplicabile. Ouod nihilominus
ope Cycloicis procracla nos olim sic extibuimus.
Problema.
oriculum per datum punctum Diametur lit
data ratione secare.
T SemicireuluS ARB, cujus Centrum D. Punctum dacum C. Ratio dala L ale
DS. Fiane DC, DB, DB concinue proportionales; e cetto D delexibalue au B
cui aequalis ponacur recta BM; data aurem baH BM, et Genitore A K b, deleri-
vatur Temicy lois Prorracta M A B; Rat deinde BC ad BM uE R ad S, et ducacur
CP ad angulos rectos secans Cxeloidem in P, item P F Basi parallela secans Creni-
rorem in L. Jungantur denique L. C. Dico mixcilineum A F. Ci elle ad lemicireu
lum uE R adt S. Ducalut LaatuIS D F. C, e demittatuEL P; et jungantur F. B.
Moat esCa a 28, H C.L I tmissia, ersO UIareUS a. c dE8, IIa aFCUS
AF. ad F. F; ec quoniam arcus A F. ductus in semiradium aequalis elc lectori A L. D,
_ semiltis balis BD sive semiradius ductus in alcicudinem L. P aequalis ett Prian-
outoDE B: ergO UE A F, ad E F ita sector AF. D ad Friansulum DL B; d ut
ac ad ED ita A F D, ad DE B: sed ut E∞ ad F. F, ita Friangulum DE B ad Fpi.
angulum DE C (quia Tunt ut Bates DB, DC:) erit igitur ex aequo ut ac ad R. F,
ita sector AF D, ad Friangulum D F C, et converse simul et inverte crit, ut aE
pluS E F, ad acg ita AF, D pluS DF. C, ad A F. D; Sed ac est ad semiperipheriam
anB, ut sector AF. D ad Pemicirentum A RB; eris igituT ex aequo ut ac pIuS
E. F ad semiperipheriam, ita A E D pluS DEC. ad femietreulum: Sed ex iis qux
demonstrata

## Folio 541 — 851387705:0561
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000561.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
nII
da
de daid
demonstrata lunt de Cycloide, quoniam F. P est adt BaLin BM, ut anerilus ABF
ad rectum, sire arcus ac ad semiperipheriam an B qua quidem aequalis est ip B
BM; ergo ac plus H. F aequalis est iphi F P: ett erso ut FP (vel BC) ad BNI
(Tire uE R adt S,) ita Mixcilineum A P. C ad semicirculum A IE B. Ouare semicir
culus A KB per punctum dacum C ita secatur a linea C E, ut pars Sic act torum in
daca ratione R ad 5. Ouod crartaciendum.
Seholia.
Ouod si punctum C. tic in ipla extremitate Diametri, puincta C, B, B, coincidene,
ec Balis BMI aequalis cst peripherix Genitoris; Ouare Cyelois est Primaria, e
ductis GP, P F eodem modo perticitur Problema, et tacilius demonstratur.
Ouod li punctum C. lit exera circulum producta Diametro, Cvelois erit con-
tracta, _ Miscilincum A E. C, non solum alignatur semicirculo minor in data ra-
rione, led pocelteriam major esse vel aequalis.
Demonttratur à Lcplero ex data sectione semicireuli a puncto Diametri, poste
lemielliplin quoque d puncto Axis itantrerEiis data racione secari; sed idem eriam
perticicue a puncto cujueris AXIS.
Hinc Pacet ex concemplacione Creloidum ad eundem modum innumera alia pro.
blemata pertici posse de legmeneis, Frianoutie mixcilineis, et Lunulis, sire copo.
nantur exportionibus circularibus, sive ellipcicis. Mmon indicalle Tufticiat.
Verumauen, cum Cxelois sc Linea Mectianica non Ceometrica; non vere sol-
runcur problemata, sed Mechanice pertciutur, non enim magnicudine dazur Li-
nea CP; unde incersectio P non datur Geometrice. Fatendum est enim nullas
Incersectiones Geomerrice dari praeterquam Rectarum, de Interfectionem Recta
e CutV (ue quando Recta lecat Circulum aut sectionem Conieam) Non dari
guarenus calis elt, sed quatenus est communis incersectio binarum Rectarum in ipla
Curra, ita vE (CX natuIra CuEVX) untormem glandam ad invicem habeant ubique
Relationem, qua aequatione aliqua possie expriimi. In Cveloide vero Reclacio in-
ter PC _ PF, lire inter Arcum majoris cireuli Sinumque minoris Cumul lupros
ec linum Verlum, perpecuo raria est ec difformis. Posuro autem punctum P daci,
non deest contemplationi reritas et pulchrinido Geomecrica.
1503
Ouiequid perticitur hoc modo per rectam secantem Cfcloidem, habetur eriam
S circulus sCCeL FvoIuEx curram. Fvolueam autem appeltamus luperticiem On-
sulae Cylindeica. Sunc alia etiam curra glx caticundet prallant, quacum etlam
interfectiones Greometrice non dantur.
Non inutilis elt contemplatio Cycloidum qua setierantur ex circulo Fupet B,.
sem circularem reroluco, hujus generis vocentur lpieycloides, tales enim curVaS
Planctae in Fpieyelis recti delcribune. Onaldam habent proprierates Creloidum
proprieratibus non abtimiles, qualclam diverlas et magis perplexas, praecipue Evi.
eycloides Planerariae, in quibus mocus non sini aequales. Verum hac omnia piose
qui non ell peaesentio intlicuri

## Folio 542 — 851387705:0562
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000562.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
e
L. O L
ilissimo Doctissimoqué iro-
1st. I.
C I decipies, Vir Nobilistime, diurinas preli moras
exspectavus literas Puas s Junii datus, post mensem circiter acci-
plebam.. Duxe parrim promilta mea, de hisce cibi communicandis pri
dem facta, memorant; partim libros aliquot a Decronvilio sive Pat-
Caliq. cdicos, quos Iustristimus Carcarius distribuendos miseras, huc deterendos
curanci quos eso lacim aique accepi cum olliciola Carcarii Palucarione, uc im
peracum cratu distribuebam
Detcon-Psomilsi met sidem quod alinet habes eam tio seripris liberatam. Decconviltii
vilii era veco fractatum, (de quo e sencenciam meam sive. Tuo sive de Carcarii nomine
pecis,) cum arripietam aridus, cum eodem polteroque die crolvebum; es acumi
nis plenum invenio, Luimque anere co minus impedico auc inottento pede per
rolabam, quia nec, d nostris plane dissenciencem reveri, nec muleum absinili me-
chodo incedencem: quod poltquam, lua cum noltris contuleris, cuo deprehendes
Cum autem Vir Clarissimus jandudum de hoc negorio multa mediratus fueric,
quod Gallos jam d visinci vel eriam quadrasinca annis occuparit;) illaque ipse
propotueris problemata (num Hbh, M TCMPOTIS PenS perlpecta nec ne, milii
hondum constat; ax mastam salcem eorum parrem libi jam perspectam else, non
dubitandum credo:) omniumque undecunque ex eo, tempore de hocnegorio
seripta, atque hac occasione ad D. Carcarium (uc desiderabatur) cransmilla, evol-
vendi nactus opporunitarem, indeque quod ad rem luam faciat tranlumendi, vel
ad sua falrem senla perticienda aulas non seres arripiendi: non distitCOr, accura
ciora lonse ab ipso torsan exspectanda; quam à me, qui tolus et rudis huc accelti.
Praecex enim ea quae apud Poricellium exstanc, qua que apud Schorenium in suis
ad Carrelium annorationibus, (nescio an ee quae apud Facquetum,) non memini
me, ante exposita hac problemata vel lesiste de Cycloide quicquam, vel medica-
cum este. A1 incerim non pisee, ea quae e nobis in hoc negorio obrenerunt
palam Facere, nec (spero) illarum rerum pericis displicebit.
Verum orandus exit. vir Doctistimus, ne plagii nos intimulare relic, (quod de
Foricellio infinvarum video; quam juste, nescio, saltem parum candide postquam
Der tOL annos tierit demortuns:) Si Forte eadem _ Sibi et nobis nON FATO OCCUT-
PerunE (praeserrim cum ivle mea prius inspexerit quam c80 Tua:) neque ctiam
ut inveneis noltris derogatum ire relie, si force horum nonnulla vel iple vel
Robervallius (quem pro conjuncta pertona habeo,) prius inveneric. Dummodo
enim ipsi lua apud se premune invenca, nec publici juris faciune, iniquum plane
eslet ni e alios paciantur ea qua ipsi celant itidem invenire, acque interim inre-
niendi (Eiqua SIc) Bloriam reDOrtare. Si enim nobis, verbi gratia, (inter alia)
proponatur inveltisandum (ex quidem Tub praemio) canquam res ardua ec diffi-
cultatis plena e quXe mercedem mereatuT; Duanta sit solidi ex Cyclordis cirea ba-
jem conversione magnitudo: Non nobis id obesse debui aur Lama noltra, ( RO-
berrallius aliquando (ance alignoc Fortan annos,) clam notis, id eriam invene.
rit; neque s rum exo, cum de aliu id iplum proprio marre inveniamus (nec in-
terim alius alium inculamus plaxii,) minus propierea invenilse centendi lumus,
quam ipse Roberrallius: (eadem enim in eodem aperto nacura campo a rariis
inveniri nihil prohibet.) Ouam quidem inveniendi laudem si praripuisse ret.
lent; oportuic id nobis uc jam inventum extibuisse, non ut nunc investisandum
PrOPOnetC. Quod et de reliquis urrinque invenris paricer dictum, etto.
SA
atus.

## Folio 543 — 851387705:0563
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000563.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Y CL O ID F
Ex quidem maluiltem, rel hoc nomine, ut abstinuiltet Auchor Fistoriolae, de la
Roulerte, Patrem eis quae in Torricellium dicta sunc; (in Torricellium, inquam:
nam de Lalouera minus Tum folicitus, ut qui superttes adtuc est in sui APolO.
siam;) quam ut meritissimum virum, jam per muleos annos demortuum, suooil.
larec. Forricellium utique ex seripeis norimus cum rirum doctum esse se Ma
chemacicum, cum de Machemaricis opcime meritum; credo, et ingenuum. Nec
rideo quid apud illum admitum sic, quod Cilarissimo Viro, vel Roberrallio eciam
cujus parces asic, bilem moveret. Fdidit Porricellius, anno 2644, inter alia,
demonstrationes Tuas de Cveloidis area circuli genitoris tripla: quod quidem cux
ipsi non liceret, non video. Demonstrationes illas, luas eRe, non nesant; nec
causantur illum Roberrallii quicquam pro Tuo venditasse. Non dixit quidem,
resciebat enim, rel iplis id Fatentibus,) Sed nec negarir, Roberrallium hoc etiam
demonstrasse. Ouod jam cum vel publice nocum crat, vel non; Si Lic, Rober-
vallio id injurium esse non pocest, si post illum alius idem solvar problema, maxis
quam Acctumedi quod polt illum idem Porricellius demonstraverit Ouadracuram
Parahola; Si minus, Caltem Torricellio succensendum non erir quod ipse nelcire
ric quid vel in seriniis fuis apud se premeret Roberrallius, vel etiam acieis suIs
communicarer. Nos Faltem Forricellio plus debemus, qui demonstrationes Litas
jam palam factas rulsarit, quam, qui luas acthue supprimic, RoberralliO. F.L
quidem iniquum plane judicamus, ut, E Suas nolic Roberrallius erpis manctare,
non ipicur liceat Forricellio Cuas. Ac Galilao, inguiune, id alseribit Forricel.
Iius quod Nersenno debecur, eo, quod Roberrallio, tibi. Ac bona verba, guaelo:
Siquidem ego neuirum horum rideo. Frat utique suarum solurionum AuthOr
Roberrallius, et Forricellius fuarum non minus. Sin sua interesse putaverit RO-
berrallius ur sciac orbis priores luas esse, ue uc id nescirerie Torricellius; liberur
id illi tuic, hoc indicatle, nec erat ad hoc neceste ut Torricellium, hujus nelcium,
Fussiller, aur iniquis Tuspicionibus onerer. Fc quidem cancum abest ut, in de-
rosationem Roberrallii, le problemaris hujus solutionem invenisse primum actir-
maverit, ut ne quidem se invenisse dicar: Sed Tolummodo propolicionis veritatem
protellus, luis eam demonstrationibus contirmat. Ouod quid ni impune postic,
non rideo. Ac tieri pollic, uc inter Cralilaei Schedialata, Beaugrandi scripcum
viderit, quo demonstrationem Roberrallii, celato nomine, ad Cralilaum milerat,
unde antam siis arripuisse pONTIC. Nempe hoC LuspiCaNEUT: AuM auteM PrO
comperco habeant, isnoro; nec nisi hoc tactus fuerii ipse, quod non attirmant,
unde id sibi constare postic non docent. Scd, ut ut Sc; non lurreptas inde de-
monstrationes causancur ipsum pro suis vendicasse, nec nesant luas elle quas exti-
Bec. Ouodnam isitur situ cujus insimulene criminis, plane non intelliso: nec
praeter linistras suspiciones, quiequam quo id constet alterumi. Imo veio, in-
quiunt, (quod palmarium est apud eos argumentum,) liceras iptius manu seripras
habene, quas ut nemnasor quoddam in hunc diem conserrane, (quasi quidem res
ipsa tanci esec,) quibus Roberrallio primas concedit in hujus Problemaris Tolu.
tione. Nempe Vir ingenuus, cum tandem incellexerie, quod dum librum ederet
nesciebat, Roberrallium etiam (elam ip(o) hoc idem demonteralte, utut erpis
illud non rulgarerit, (quod necdum, credo, fecit,) non aegre Faltus illud Crat
Verum hoc libi cum innocuisse cum librum cderet, nec illum consettum dicune
nec actirmant ipti; imo concrarium docent. Ouid itaque culpene velcio, nili
netas esste reline, ue quisquam vel inveniat alius, vel in publicum emitcat, quod
sibi Forre clam cognitum, apud le premic Roberrallius, vel suis Tolis nocum ma-
lic. Mersennum rero quod spectet, cui derosatum intinuant quod Calilxo eri-
buicur: vel nullo quidem, vel perexisuo, mihi ritum cst Fundamento niei. Flto
enim quod volunt ipti, Mersennum Lalcem anno 2615 hanc consideraste curvam,
la Poulerte lbi dictam; acque de hac cum temporis Geometras interrogalle: I ra
men et verum CC, quod prodit Forriceltius (quod quidni lic, non video, nec di
cunc illi,) Banc iplame lineam à Calilaeo jam supra 45 annum, (adeoque annO
Falcem 2590 prodiic enim liber ille anno 1644,) Cyoloidem vocatam: Eequid
guaelo, Mersenno derosatum itur, dum hoc dicitur. Nec quidem aliud de Cali-
ao dictum, quod huc spectet, apud illum quiequam reperio: de Mersenno, nihil
Et quamquam nolim sibi suum reponere, ce fut un sujet de rire en France; ab
nOS CertC, qui minus Forre sumus quam Galli lui ad risum proctires, miramur (al-
cem (dum Porricellii rerba cum hiac hilloricta comparamus,) quid illud canci Lic
quod

## Folio 544 — 851387705:0564
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000564.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
F.
C X CL OI D P.
quod tantis hisce queltibus subsic fundamentum. (Ouai quidem Nelius noster
Eeuracium reltrum ejuldem insimularer criminis, qui id iplum se PrimuI prO-
terre Ducat, quod jam ulrra duos annos apud nostros pallim innocit, se tamen
inscio, ec a pluribus demonlerarum.) Sed nimius forte ridear in alieno negotio.
Tenolcent incerim Clarissimi Viri (quos cgo veneror, et Mersennum suum) si
pareius ilta dicta malim, quibus in doctistimi Viri, ec bene elim merici, famam,
nulla necessirare involatur. Optallem pocius, ui si quid apud se ranci habent,
quod sibi ab aliis praerepcum nollene, quo cum id libi securius allerant, cum in ulus
publicos masis conducat, dirulsent ipli; ut non sic opus ea sibi candem ex vost.
liminio vendicandi. Salcem, li, dum hoc ipsi negligune, id alii aliunde dilcane,
vel cum sibi tieri injuriam non eausencur, vel sibi d se Factam incellisant. Sed
his miltis ad Decconrilium nostrum redeo.
Ouam aucem sua pleraque, aliis licer verbis, in meis eriam exteneu erat quidem
mihi aliquando in animo, collaris locis, disico indicare, acque in eum tinem jam
anre accuratius pertesisse, (vix enim alicer, quam, quod aiune, tanquam canis ad
Nilum, incra biduum illud quod diximus, summa quae que delibando perlesimus;)
quod cum per orium hactenus non licueris, id cibi tamen ubi ucrumque pertese.
ris facile pacebis. Oua tamen nOn Co animo diela velim incellisas, quasi Claril-
simi Viri meriris derosare relim; rel liniltrae quicquam suspicionis alere; sed
laltem uc reipla conster, quam in rebus hujulmodimirum non CE, varios, colque
lonse dilsitos, nec ab invicem cdoctos, dum caldem verlant res Creometricas, in
easdem item speculationes incidero; acleoque non remere alius alium insimulare
plasii, (in hoc praeserrim, ingeniorum leraci seculo,) vel etiam aliis, quod ipse
prior invenerie vanus intultare debeat. Nam Invenisse, quidem Acuminis clt;
ac primum invenisse, L’orcunx: neque enim minore vel subtilicare vel acumine
polterior idem non raro inveni, quod alius (se nescio) invenerat primuS.
Cur autem existimem CI. Viro, haec omnia lua problenrara non sibi cune per
specta elle, cum ea propoluerir; nec anrequam aliorum hac de re seripta, ad D. Car-
carium milla, inspexerit, quae perpoliendis et perticiendis inventis liris adjumento
ellepoltine: multa funt qua Tuadent. Suscepieuique rir Cil. jam ab initio cum
tua primum expoluit Problemata, non quidem se illa polle omnia absolvere; sed
Paltem, nisi quis alius interea solverit, se, ea quae inveuerit ipse, non aliis invisu-
rum, unde majora jam inventis nanciscantur: Ouxe quam caure dicta Punt, rides.
Fallor etiam, vel ipsius solutiones (quancum ex leri inspectione colliso) depen-
dem ex cognitione lonsicudinis Cycloidalis linex, ejusque in dara ratione divisione,
(neque enim, cirra haec, illius tigura 13. ad praesentes, calus, omnes accommoda-
bicur;) quarum cum inventionem Wrennio nostro atribuat, non ante inspectas
Wrrennii liceras cognorisse censendus erir. Ft quamris hoc inventum Wrennii
extenvatum ire Parasar, Gallosque suos iltius, cum innocuit, demonstrationem
suppeditare posse: non tamen aftirmare sustinee, vel id sibi prius innocuisse, rel
Callorum suorum quempiam, ne prirarim quidem, cuiquam innuille perspectam
libi elle iltins lineae vel longicudinem rel in daca rarione diritionem. CAc ince
rim candorem torre desideremus, cum rideo exterorum inventa qua apud D. Car-
carium elam reponenda ridebantur, cum Gallis suis etiam ance indictum diem sta-
um communicata; quo, si non alias, falcem. ex lis inspectis raleane quae sita (ol-
vere.) Addo insuver, Posteriora quaelua, quae tandem ipsa provonic fistoriola,
quae ex istius curvae in daca racione diritione dependeni, indicio sunc illius ton-
sicudinem, ee parcium luarum, ignoratam prius ete. Neque alia apparet ratio,
cur non eadem una cum prioribus proponerentur. Sin mea mehac inse fetessii
conjectura, eaque sibi omnia pridem perspecta dixerit, Palcalius dicam : an Detton-
dum Valeo. Hest Hacoramen quin, qua aliquatenus perpendi, tana sint, et rire
Sprcalis aequalitate. Ouamris enim istius dectacionem nondum perteserim;
cum tamen propolicio illa rera siC; eamque Sc CH, UL alias, lic ex demonstratione
per inseriptiones es circumscriptiones tigurarum, ple anrehae perspexerim: non
villius; non concendo: necinridebo sibi, Ced graculor inventa (u2.
Delingulis aurem sencentiam Cixillarim ferre, ob caulam jam MEMOTATAM, nOn-
demonstrata. Aique ea spcciarim (de quibus interrosas) de linex Parabolicae et
pronussum ut suspicer CI. Virum demonstrando laplum este. Ouod eo liberius
prosineio, qui Roberralum ancehac conqueltum itellB, me propositionem il-
lam falsam esse remere affirmasse: quam quidem ceo negue temere nec omnino
rexucta

## Folio 545 — 851387705:0565
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000565.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
D F C I5SOFD F.
repudiareram, sed demonstrationem cancummodo ut ab Fobbio prolatam, ut in-
sutticiencem improbabam: Propolicionem ipsam, ubi illam examinaveram, veram
deprehendi.
Calculum, quem ille torum omittie, Fundamenta eradidisse contentus; nos inte.
srum extribuimus, usque ad calum illum quem ipse ex omnibus selegerat, nemue
de centro graritatis semisolidi semiconvertione semicycloidis circa balin deferipri
(et quidem Tolidi inceori ejuldem conrertione circa axem tacti.) Putaveram
etiam ad reliquos item casus (prius quam rem operx absolverint) calcutum per-
duxisse; eum Caltem qui ex 565566, collatis supplendus est. Sed cum interea
temporis prodierie Dectonrilii cractacus, nihil deinceps addendum censui; ne iptius
vicula aralse ridear: Adeoque prour Mense Martio conseriptus crat, atque ad FO-
noratilI. Vicecom. Prounker Ctacim transmiltus; eodem plane statu in publicum jam
emissum cractatum habes. Pocuiltem quidem prolixius mulco, et magis ad Dom
pam, hocrocum opusperduxiste, quod et cironibus fortan e rebus hilce minus
exercitacis fuisset gracius, si per Detinicionum, Lemmacum, Problematum, Pheore.
macum, Scholiorum Tolennitates incedere, ee lonso apparatu lincares ubique de-
monstraciones adornare rellem: Sed ribi, credo, non minus placebit concinna bre
vitas, e in paucis multa; qui, vel dioico ad Fonces intento monitus, demontera-
tionis rim succincte craditam non minus assequeris, quam (i tanta eller lolennitare
in lonsum procracta. Sicubi vero in mulciplici calculo (quod omnino est polti-
bile) numerum pro numero policum deprehendes, id indicare non pravaberis et
conconare. Atque haeclun qua cum de Allius cum de Nostro cractacu monuille ri-
TUIM CTaL.
Sed priusquam Cycloidem penirus dimittam; non inoratum cibi tore credo
Si magnam illius cum Cissoide conrenientram ostendam.
Propoluisti non ita pridem, de Cilloide propolitionem perelesantem; Nempe Decis-
in expolira linca Cilloide, C.ZZ, cujus haec nacura est, ut rectam Z 2 ad C ten- soide.
denrem, Cilsoide de semicirculi C Z2 peripheria incerceptam, bitariam secet GFY
recta diametro FC. perpendiculariter insistens in centro G: Spatium F CiT, A Hi
loneitudine infinitum, C.Z.I. cissoidi e Fi A circulum tansenti interjectum, semi-
circuli FZC, triplum esse, asteris. Peris aurem, Num, ut TEyperbolas Insinitas
(de quibus cum D. Fermacio paulo ance disserueram) lic et spacium hoc Cissoidale
ex nostra Insinitorum Srithmetica Cuppeditare pollem.
Id icaque Hacim qui fieri possie seguenci demonstratione indicabam; quam non
Discbic HICxePetere.
Si dueancur cum 2C L diameter, cum recla
RC, e RZ (diametro C F In L OCCUErENS:)
octendit Pappus l. 3. P. 5. propter tum Z. Z bi-
sectam in II, cum ZI in C, rectam RZ rectae
EFT parallelam esse: Adeoque cum ZC F an-
gulum in semicirculo, tum ansulosad L, rectos
este: EF consequenter rectas L. F, L. R, L. C, I. L
continue proportionales. . Quod quidem non
minus valet de puncto Z quoris in Ciltoidis
concinuatione extra lemicireulum, quam (qui
Pappi casus est) ubi intra semicireulum con-
tingic.
FOHaIUS jam sCClauI FC diametrum in X.
quales partes numero infinitas intinitis punctis
L diridi. Firunt iiaque omnes C. L, Wt X, 2, 3, 8c. arichimetice proportionales,
qua suecessire dicantur, a; quarum maxima C Pdicatur D. Frrique L. R, (quippe
media proportionalis inter C. L. e L. P, hoc ett, inter a  D = a,) v
Cungue SE UE L. K ad L. C, sie L C. ad L. Z; erit L. 7
VanV: D.
Tive
= Live
:D
vel V
i
ihoc est
Hoc est, omnia
rumu relpectire oltula. Ilalsue Lola recla, in horum quadratorum racione sub
quadrata L Z, Tunt leries Terrianorum, per Seriem Primanorum inverse posito-
dupritala.
Quod

## Folio 546 — 851387705:0566
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000566.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
E C 1550LD L.
Duod aurem omnes v  = - hoc est, omnes L. Z. spacium L C. Z. AF complen.
tes, ad omnes V: a D = a 2: Vel V aXV: D = a: hoc est, ad omnes I. K com
plentes semicirculum, sne in ratione tripla; ex principiis Arithmeticae Infinitorum
lic colligimus.
Si series lublecundanorum sire Va, in seriem primanorum a invertum (hoc
eltus in D = a) respectire ducatr, tiet Series DV a = aVa, Sive DY a -Y a
quae cst ad seriem Aqualium lire tocidem D V D vel V D3, ut3 3 2d c, live
uc 4 dd 25. (per PrOD. 64. et 73 Arithm. Infin.) Eodem modo l relpectire duca-
tur eadem feries v a, in seriema = inverlam, hoc est in seriem Q: D = a: vel
D2 = 2 a D + a2, tiet series D = V a = 2 D a V a  a2 V a vel D= Y a = 2D Va
F VaS, quxe est ad terrem A. qualium, Ere coridem D= V D vel VD3, ut 3-
FZ ad F, live ut x6 ad 105. Fc limiliter, li eadem series Y a respectire ducatur
in alias leries inversas, prodibume hae rationes Tubjecta. Nempe li teries V a duca
tur inverte in
Teries L. a. a. a. a. _c. prodibunt
rationes =.
4
16
06
158
25 205 345 10305. c
hoc est 2 2 X2 2Y2Y4 2 +2+476 2T2~4XOXB
3 325 3usXI 3H5N7H9 ZHGHMCOXTY dec.
Si vero hi loci pro paribus habeantur, de suppleantur incerjecti loci impares;
vonendo, in loco certio, (inter L et ay) pro Perie va in Va inverse ducta, ra-
tionCM F ad ZD (PeF PFOB. 167. Arith. Insin.) Sieut racio loci quarti mulciplicat
rationem secundi per Z, et hanc ratio sexii per 3, ecc. manisestum cst (ex Con.
secutione fcriei) rationem quinci mulciplicare rationem certii per 3; e similiter
in reliquis. Nempe series v a ducta inverle in 1
Teries -,. 1. Va. a. V~. a. V a. ec. dabie
a
rationes L) =
242 2, 3 242 44 2 3
4 20 3 20 325 2G 6 3RsH7 2968
ecc
Onde, in praesens nesorium hoc laltem seligendum clt, series Va e Nad invi
cem inrerse ductas, ad leriem aequalium, sire ad  =V  cocies sumptum, u
x 3 ad 2; sive ut L ad 4∞.
21
L: et3r. B s L~ GI. MB) LA 
Deinde, ue seriem Y a jam perpendimus, perpendamus similiier seriem  ad
Ea nempe ducta in seriem a inverlam, hoc clt, in D a dat Seriem D Va aYa
vel D Ya = Ya cui convenit ratio 3 =3 ad 2, GVE 4 ad 35. PL similicer in re-
liquis. Nempe series Va inverse ducta in
sexies T. a.
rationes 2. 4
5
a
16
ad 4 c. dabir
06
768
35 315 3465 45045
_c.
hoc est 2 242 2X2X4 2Y2N4H6 2X2XqV6 X8
5 SX7 SH7YO SXZKOKLL SXTXONLLKES. _C. (SCSI
Si vero hi loci pro paribus habeantur, e suppleantur loci impares, ponendo
(ver inquisicionem modo factam) loco certio (intex + et a) rarionem: VLra-
iio loci quarri mulciplicat rationem secundi per Z; et illam ratio sexti per Z; HC
rationem loci cerrii mulciplicabit ratio loci quinu per 8, ratio cerrii rationem pri-
mi per S; es de reliquis similirer. Dempe leries va inrerse ducta in
Teries . L. Vi. a. 1a a. Yu: l. aat
sa
ci
2244
25. L. 5. 13
4u 5 4l 517
Al e 1050t 4l ot
CaM

## Folio 547 — 851387705:0567
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000567.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
ra
Cat
DN
licet
vioi
D F C FS S OFD E.
Cum jvicur series rad in seriem = inverse ducta; Hoc est Peries Vad per se.
riem va inverse dirisa, hoc est dirita per V: D = a; lic ad seriem aequalium, Cive
D cories sumprum, WE =) = ad F, hoc est, uc 6 ad 41, vel 3 ad 2G; FrunE
+.l
omnes v L hoc est Omnes L. Z, hoc est F CZ A F Spatium, ad D coties
Tumprum, hoc est ad D uE 3 ad 2D. Sed (Per prop. 167. Arich. Infin.) omnes
V: a D = a: hoc est L.K, hoc elt CZ F semicirculus, elt ad D, ut Xad 21.
Ergo Spacium illud est Priplum Semicireuli. Duod crat ostendendum.
Sed _ ex abundanti ostendebam, Dicti sparii lineam centri graritatis rectae
FA parallelam ab eadem diltare sexta parre diametri: trem, Solidum tactum ex
convertione dicti spatii circa F A ut axem, aequalem esse solido ex convertione
FZC femicireuli circa eandem PA cansentem, hoc cst, semicylindro cujus balis
sc idem semicirculus, ee alcicudo aequalis corius circuli peripheria: Tiem, solidum
ex ejusdem convertione cirea rectam C a Tolidi prioris quincuplum: Solidum vero
ejusdem convertione circa C. F, magnicudine infinitum: Centrum denique grarita-
tis nusquam esse. empe hoc modo.
Posica linea aequilibrii C a, erunt momenta rectarum L. Z, Series composica ex
terie magnicudinum L. Z, hoc est V Z  de distantiarum C. L. hoc est a;
adeoque series momentorum à V
VaY a Cujus racio ad Periem
equalium, hoc est ad momenium quadraci diametriEx punsto F Fuspensi, lic CoI.
ligitur. Series Va inrerse ductâ in
Teries T. a.
a
a:
at.
rationes = 242 2N24 24 2u4 16 2) -342X4 26 28
 CaIi 3CL
Scc. datrit
quO ZNGXEEC GNOHLEHEZ LGNOXLTRLZKES
ec
Adeoque cum Ceries Va in seriem vae inverse ducla, racionem exhibene (lupra
invencam) =  = L = ad r. hoc est 5 ad 32 _; suxplebimus interjecta loca vi
analogia, ad hanc torman. Nempe leries Va inverle ducta in
series =. I. Va. a. Va3. a. Ya. _c. dabie
la
2 1512 242 (5 4130272X4
5
rationes 8) 32V Z G2E   3EBIILOIL 7MONHE 3EB 120 12
Nomenca ilaque omnium L. Z, (hoc e spanii FC. Z. A F) ini tuo biuu, ad, mo-
mencum coridem CF, sire D, hoc est D, in distantia maxima, hoc est ex puncto
F suspenti, uE =) 3= 2d r; sive ue siac qur: Adeoque ( proprer maeniudinem
32L
semicirculi ad diametri quactratum, ut F ad 2. ∞) ad momencum semicirensi- ibi-
dem suspensi, ut 5 ad 2; vel suspensi ex C: centro, hoc est, in suo TI, yE5 ad. F
Spacium igitur PC Z. A F in suo sicu aequiponderat quincuplo semicirculi in tru
suo, tire n diltaneia CC suspento; adeoque semicirculo in distancix C. Ce quintu-
pla. FF consequenter (propter diltancias magnirudinibus reciproce proporciona. Fis. 22
les) cum spacium sit Pemicireuli criplum, eri diltancia diltantixe suberipla hoc
est 3C. G, vel ECF, nempe d recta, C: Adeoque = CC vel, S C F a recta F, A.
Tancundem itaque distat istius spatii linea centri graritatis, (e, siquod est, ipsum
cravitatis centrum) d rectis, illis Ca, P. A. Ouod erat ostendendum.
Idem eodem modo collisitur, sumpra ab ipicio, aequilibri linea F A. Nomipe
cum series vaenimdinu J. Z Sic V . ee distaniiaru Da; est ei vril.
22:
que

## Folio 548 — 851387705:0568
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000568.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
ea do es E
que composica teries momentorum V  in D = a: hoc est Va in V: D- a:
hoc es Series Va in Periem Va inverse ducta; cui convenit (ut Fupra) ratio +
ad 4F. Momentum itaque dicti spatii in luo liu (respectu PA rectae) cst ad
momentum quadrari P C in distantia FC suspenti, ut F ad 4H; adeoque ad mo-
mencum Cemicirculi sic Cuspenti, ut F ad 2: Hloc clt xequiponderat semicirculo
Cuspensa in distancia  F Cy hoc est ex puncto e centro; hoc elt in suo liru. Cum
isitur spacium illud Cissoidale in suo sicu aequiponderat Semicireulo in luo, (re-
specti rectae E A;) Licque spacium illud Semicirenti criplum: Pric distancia di-
stantiae Suberipla; hoc elbZ FC, vel SFC, nempe a recta P A; Adeoque 3FC,
vel ZF C, a recta Cia. ut peius.
28. 1
Aique hinc Ctarim collisimus; Solidum ex conrextione dicti spatii Cilsoidalis,
ad Sotidum, ex convertione Pemicireuli, circa eandem rectam Ca, esse ut 5 ad F,
(nempe uc planorum momenra respectu ejusdem Ca rectae:) Cirea rectam au
em FA (propter aequalia platorum momenca respectu liujus recta) aequalia
este Tolida.
Si quis autem quaerat, de Polidorum hujulmodi semiconvertione factorum,; cen-
eri graritatislinea, sire ejusdem ab F A vel Cg distantia: Id eodem plane modo
inveltisabitur. Ouippe cum semicslindrica Cuperticies rectarum L. Z Temiconver.
tione tactarum, Anc rectarum illarum momentis proportionales, hoc etb (respectu
rectae C. a) ver QL; suorumque cenrorum ab eadem recta, in ratione racio:
rum Ci L, hoc Mlta: cruncomnia momenta superticierum illarum semieslinerica.
Cujus seriei racio ad seriem aequalium.
sic colligitur. Series Var inverse ducta in
Series T. 4.  a
rationes =
242 27244,
a3. a4. c. dabit
2+24416
 2X2 +4. +6x8
d’BRHE OXLExHB BTLLMLZHIS, OTLLKLSELSHIZ
dec.
Adeoque cum series Va in seriem va inrecse ducta (ur ex inguisirione primum
tQH6 _ FO
terjecta loca ad hanc formam. Nempe series V a’inrerse ducta in e
series =
a
rationes. L)
111
. CCIS. LSI SOI O.S
2. Va. a. Va. a. V a3. Sec. dabit
7
242
2u2ua
115. d 11
31 p5. dec.
10) 645: 5 64D 9r+L 64D tZ BRTEXLS 649 72 14
Nomentum igitur supersicierum ominium ex rectarum L. Z. circa C a lemicon.
vertione factarum, in suo licu; hoc elt, Polidi ex semiconrertione sparii Ciltoidalis
cirea Cahiomencum in suo sieu; respectu Ca rectae; est, aet cotidem A qualia,
nempo momenca rocidem superticierum, rectis Ci F. lequalibus in distanciis C F semi-
convertio factarum, in Distancia maxima sispen Carums l=).S
35 ad 32B. F.R aucem mannido ad magnicudinem, av (5 ad 4 1, (momencis uii
que platiorum proportionales:) Pre distantia del distantiam ue 7 act 8: Hempe
ctius distanciae quam haber cenrum gravicatis Pemieireuli sradio C P. deteripri ab
ipso C: quae quidem non est roca C H recta, Sed (propter curraturam lemleirou-
Tarem) illa ejus pars quae est ad iocam ut Diameter ad Semiperipheniam 1103. si
Sitmiliter, Facta Conversione eired P As Lemieylindrica luper Heies rectis L. L. do-
scripea sunt VadiaV: D= a:(quippe momentis rectaruni proporrionales ;)
diltanciae vero centorum superticierum illarum sume rie racii conrertonis ire di
stantia D a; P reS Superticierum illatum momenta Cunv ut V a 3, in Z crv in
Y: D =a. Ave utD V a V a2In: D.  a. FHI autem (per Cupra dem on straLa)
Series DY a3 in V 4: sire series D V a in seriem V’a inverte, ad seriem
aequalium ut L ad 4 D: EL V a in Ya imverse, _L 5 ad. 32l: PO DY ad =Ya
in

## Folio 549 — 851387705:0569
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000569.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
16,
115.
al
ode
set
ectu
dio.
ica
D E C 15 5O, +D F.
in Ya inverte; ut
du.
= ad L; hoc elt ut 3 ad 32 F, AC series magsni.
cudinum ael aequalium seriem, invenca est ut L All 4D. L I80 proprer L) 3
40 325 (83. di
Stantia ad distantiam, uc 3 ad 8. Distancia itaque linea ceniri graricacis hujus se.
misolidi cirea FA, ab ipla FA, Sistius rectae qua elt ad PC ut diamecer ad lemipe
ripheriam circuli.
Denique Si spatium illud Cissoidale FCZ A P converri incellisamus circa re-
ctam C F: Circuli radiorum. P. Z. Cquipre in radiorum ratione duplicata) crunt
teries ; quae ad seriem aequalium, nempe coridem circulos radiorum D vet
CF, racionem habene intinicam; adeoque est intinicae magnicudinis. Ouod sc
colligitur. Series ad inverse ducta in
Texies, 2. a.
rationes,
a
a2. c. dabie
LXZ ZXTX2 LX FX ZX3 TXFX2X3X 4
4 425 425X6 4X5X6Z7 4Y5X6X7X8 dc
Cum igicur rationes continuentur (uc patet) mulriplicando proxime praeceden.
Le8 per 3, 533, etc. harum prima mulciplicare debet PTRCEdCMLEM PeT Z, quae isiur
CNet 2) :̀ (8. Adeoque Feries eadem a3 inverse ducta in seriem =, (hoc elt, se
ries ) rationem haberet ad seriem aequalium 4 ad o: quae est intinica.
Iplumque solidum proprered estet magnicudinis intinicx. Ouod item octenden.
dum CFaL.
Sed e propierea, momencum plani Citoidalis F CZ A F respectu FC recta
eHer ad momeneum quadrati FC, vel D=, ut 4 ad0, (propier planorum momenta
Folidis convertione tactis proxorcionalia,) hoc est intinitum. Et consequenter
cum spacium sic magnicudinis Finicx, distantia cencti gravicatis esser initinna: quod
igitur nusquam est. Quod uleimo suscepimus ostendendum.
Sin de lolidorum hujumodi seniconrexsione cirea FC centro graritaris inqui
racus. Cum sermicirculorum caciis L. L deleriptorum momenca respectu ejusdem
FCi recta, sinc in radiorum racione eiplicaca seruntigicur ut Series
3
+3 a  
(d3 3 a D= 1, 3. a 2 2d  a3 1
as inverse dulla. Serieo aurem Y a  inverte ducta in
series X. a.
raciones
a
3ue 2urut
eue
a3.StOcN 44. _c. dabie
2uynquo  zuengubue
29 29735 2973133) Z9Y3T733Y35 Z9X3TX33X35Y37
_c.
Cum ixitur, (uc ex prima inguisitione concinuata pacebie,) series Y a 2I et Y a in
verse mulciplicatae rationem extribeane-
29 2+ 23 125
n 2
27. IS I E N LBC
22 24 26 38, 30
10
15
17
137 24 16 18 30
eE L EEa; eademratio per  divia convenic serier Y anin  inverte ducta, ac
que hac iterum por   divisa convenicet seriei momencorism exposita, nempe
seriei V a. in  inrepse duclae liVe per ViaE imrele dirisa. Fx qua denique
raione e eximucur iem cuis maenicudinum  modo roprica, procubi
Z. Z

## Folio 550 — 851387705:0570
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000570.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
G C. usque ad = = ut supra; vet -  2 =3  = c.
Led ee particulatim segmentum L CZ F (Ciltoidali C7 e rects F Ci Z S Compre.
laris FZ correspondentis iriplum. Muuim igicur vides, sed qui non displicebit,
ficurarum ram distimilium consentum. Arque de Ciltoide quidem hactenus.
Est aucem et magna, inter Conchoidem et Cycloidem, convenientia. Relumpra
enim, quae cAt Lpist. 30. Commereu epistolici, tigura; Manitectum elt, rectam
ND, Sinum esse anguli HC D, ad ractum C. A; E rectam MO, hoc eA (pTOPICE
esuldem ansuli Lansenrem, ad radium P C. Vc igitur Ordinacim.
applicata in Crcloide, est Sinus  Areus,
ejusdem anculi, Accreeatum, (ejuldem
circuli, in Primaria; lec, in Secundariis.
diverlorum:) Sic, in Conchoide, Ordinatim;
applicaca ell Aecresatum dinus e l an
sentis, ejusdem anguli; (ee quidem ejus
dem circuli in Primaria, viz, ubi PC
et FCA; led divertorum i adiis:) Ouod
Hine autem porro colligimus, utt. Conchoidis Planum O A CH, intinice con-
dis soli cinuarum, intinuae Cic magnicudinis, else tamen Solidum hujus conversione circa
axem CH genirum, magnicudinis tinitae. Quod urique sic converso quadrante
ARC deseribitur, hemilphaerium elle liquer. Quod aurem reliquo R AO in-
tinito describitur, aequacur Ostindro, cujus Balis ARC, quadrans, alcicudo a
qualis peripheriae radio CP descripixe. Ouod sic probamus. Ouoniam est
uc CD ad DM, sic PC ad. CH hoc est MO; eric ubique NDXPC
=CDRMO; HIOC elt, factum ex DM in PC vel peripheriam hoc radio descri-
pram, aequale Facto ex MO in C D seu peripheriam hoc radio descripram: LreO
et omnia omnibus aequaliâ; hoc elt, dictus Cstincrus, dicto Tolido convertione
Facto. Ouod nos, credo, primi demonstramus.
contrum Plani vero centrum pravicacis, nusquam est: uepore cujus distaniia d C A in.
gravita rellisenda eric intinita, et d C H intinite exisua: Sed neque Solidi aut Semitolidi.
Distac urique Semisolidi Cencrum gravicatis, d CHI) cistancia finita, et tacile
altienabili; sed, a CA, diltancia intinita. Hac aucem, et hisce gemina, fusius
prolequi, non est hujus loci. Tempus est ut ad ea redeam quae noviltima tua lux
gerit Lpiltola.
Fcuracii veltri, quod memoras, nuperum invencum, (sub inicium praesentis
rum o anni, vel praecedenuistinem, quod ex iuis liceris conjicio, excogitatum, ) quo cur-
vam rectae aequalem invenit; contirmat id quod superius inlinvarimus; Nempe
plurium non raro, in iildem rebus inveniendis oupecirnoy: Pr Cymul ut de curra.
rum (Evdiro am. Alt) Cosvo, Pauca disseram, ansam Tubministrat.
Tradideram eso jampridem, in Scholio prOP. 38. Arith. Insinitorum, mechodum
curras cum rectis comparandi; Nempe, continuas subtensas inscribendo quarum
quadrata, quadratis differentiarum ordinatim applicatarum, quadratis invicem a
qualibus auctis, aequentur: Ec Speciatim in Parabola (propter ordinatim applica-
tas in Parabola complemento, ut numeros quadraricos, adeoque illarum disteren.
tiaS ut 17 3, 5,7, 6. arichimetice Moporiionales,) subrentas illas esse uc V: A
2. V. 2 + 9. V: A + 25. hoc M, ut quadratorum aequalium, quadratis
arith.
UR Y A R UM FVduvOIE.
Posrus ad0:) Adeoque cereutu sraricatis nusquam. 
(cum luero) ablolrimus. Acque haec fere funt quae directa mechiodo hac de re
jam (anHo superiori 2658) ad re seripseram. Bi
udsac aurem hic repetendi antam dedir, quod securis literis de ipse miones; Nempe
non modo rorum illud spacium E CZ A b corius F C 2 Lemicirculi criplum else:
qua criam acthue (proprer = + quancitarem nesaciram) erit rario intinita; nempe
uto ad numerum negatirum:; (quia non minus est ratio infinita quam ut numerus
Vides itaque quomodo ex Infinitorum Arichmetica. Fxpolitam propolitionem
hentum) respectiri sesmenci circularis F Z F, ubique criplum cBe. Nos aurem jam
Tupra demonstrarinnis  22, limilis segmenti circularis F Z F fg. F. vel 8, criplum
eRe leomentum Cvcloidale sZ A. Id iplum itaque praectar in spatio CitToidali FL,
acque in Cycloidali 6Z; utraque liquidem segmentum abscindit segmenri circu-
38.
Conchoi
les.
Paralletas) CI)
NOS, Quoc LCLaH BIM CelGMo.
Conchoi-
dum.
1
Curva-
duvors.

## Folio 551 — 851387705:0571
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000571.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
II
eusu
bul.
quae
aeca
MIC
F T Tlarvouos.
arichmetice proportionatium auctorum, radices quadrati
cas: (Ouas esse ut ordinatim applicatas ad conjusa-
cum axem hyperbola, prius demonstrareram prOp. 35, 8
4F, Con. Sect.) In Paraboloidibus autem Cubieatibus, Bi-
quadracicalibus, eac. ue radices quadraticas quadratorum
aequalium auctorum quadratis differentiarum Ciuborum;
Biquadratorum, exc. Ouarum quidem Cubrenlarum omni
um aggresacum cum perpetuo minus sic ipla curra, sed
ad eam ira propius temper accedat ue ditterentia, data
quaris minore, tandem deticiat: Et Pangentium pariter
opc haberi simili modo poltic rectarum lumma quae ditte
rentia, data quaris minore, eandem curvam excedat:
Polle hinc terminos veris quancumris proximos inveniri
intra quos currae lonsicudo rera caderet: (Adeoque in
intinicum procedendo, iplam curram exhibitum iri: ) docuimus.
Ec quidem, quum scholium illud ibidem inserebam, currente prelo, (unde In
Propolitionum centum non erat redactum,) animum habebam speculationem il-
Jam, cum per ocium liceret, relumendi de perficiendi. (Animadrerrebam enim
jam cum, rectas ad curras este, ut Piguras congruas ad figurarum quali Fruncos:
lCd, uE quas FiguraS ad quOS FFUNCOS, prout cujulque currae natura postulet; uE
_ quaenam ex figuris illis cum truncis respondencibus nocam rationem libeant
contiderandum adhue restabat.) Sed (ut clarus, quod aiune, clarum pellit,
aliis se lubinde incerponentibus speculationibus, priorem illam relumere reglise.
bam, donec praerertens Nelius nolter me excitavit.
Selerie autem D. Gulielmus Nelius Konitis Pausi Elins Curram cam
quae ordinatim applicatarum disterentias habeat ordinarim applicaris in parabo-
la proportionales; quarum itaque quadrata quadraris aequalibus aucta, crun
item Rrichmetice provortionalia, cornnque racices ut ordinatim applicarx in
Parabola crunco; es proprerea, ut parabola truncus ad parabolam, sic curra illa
ad rectam. Nelium secucis Wrennius item, e post, illum MIust. Brounckerus id
iplum demonstrarunt, et tandem cxo; nelcio an et alii. Ouo primum tem
Pore invenit Nelius, non certus scio: vulsaric autem sub fulii vet Taltem Au
ducti mentem AnnI 2C57 primus (credo) omnium qui ulli cuerae aequalem re
etam astionavic.
Vercente Arino, mense Fulio 2658, Curram Cycloicis, axis sui quadruplam.
demonstraric Cl. V. Citir. Pren; Juod post illum ab aliis item demonltracum est
Tandem, quod prius Nelius nolter, Fleuratius item rester (neseius, puto; id no-
Aris passim prius innocuisse) invenir denuo, quod Schotenius relter scripris fuis
hoc anno editis inseruit.
Nelii demonstratio, quam (ue dictum est) ance duos annos rulsavit, haec crat. Cut 
TA Wrennio, quod post audiri, aliquanculum immutata de retormaca. )
Sit ABCD parabola recta oujus axis AD divida
tur in aequales partes minimas cc; aique ad puncta e
ordinatim applicentur eF recta, parabolis A Cb propor
rionales. sit fat DST rectaneulum, ad parabolam
ADC, ut AD ad DC. Denique sit en ubique aequ’a
lis porentia utrisque Cs, cb.
Dico primo, eandem esse inter se proportionem fieura
ADHII, rectansuli DI, e parabolae ADC, quae est
linearum AFC curva, e rectarum AD, DC
2. Rectas eh esse ordinarim applicatas in P’ara
Bola.
Sunt enim rectae et, per constructionem, parabolis A CD proportionales: 
propterea rectarum differentia, commode repraelentantur per rectaneula eeb. Re-
etaneula, ees sunt aequatia: (eorumque, omnium summa, ad summam omnium
ceb, ut AD ad DC;) repraesentant ilaque rectas ee. Rectae FF sant aquales
potentia tum rectis ee tum rectarum et differentiis. FI roctaneula CcH sunt
ubique in eadem proportione ad quantitatum illarum repraesentarivas. Constat ila
que propositionis pars prior
Ouadrara rectarum cb sant Mubmetise proporcionalia. Quadrata rectaraim
ec sunt
fig 23.
a2
loidis S
micubica

## Folio 552 — 851387705:0572
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000572.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
F. II rectoe quadratorum Prithmetice proportimalium latera: adeoque sunt ut se-
ille llacim, quae sequitur, non abtimulea concinnarie, de impercirie mihi, quam
jam ulera duos annos apud Ine LDI. Fc parum abtuie quin eam Commercio Lpi
Holico a me non ita pricel cauo inseruerim; (eodem liquidem rempore accepi
primo, quo incer nos et DD. Fermalium, Frenicliumque, alcernabantur illae li-
TerX.) Sed, cum iplus Nelit (qui primus invenic) demonstrationem nondum
videram; non commodum Vicebatur, ipsius intermilla, aliorum demonstrationes
edere; sed rel sibi permictenatu uc luam ipse cdar Nelius, vel aliam Caltem ex-
Cum ieitur su
2aaC
DC
Sit ABC parabola recta; cujus diameter AB== a.
basis BC = b, sitque BF =C; e frat ubique, ut
paraivola ABC ad parabolam Aa C, sic BF. adt 2C:
(num autem coincidant neene puncta C, L, perinde
est.) Dico rectam AB ad A CF curvam, esse ut
27 a c2, adt 4 a + 9c2, in V: 4 a + 90 s minus
Cum enim sint ubique ut AaC, AaC, parabolae:
sic d e 2c, rectae: erunt etiam DC, DCs rectarum
differentiae; ut ac c a acca differentiae parabola
rum; hoc est, (sumptis aa infinite exieuis,) ut ac,
dc, rectae; sive ut a ac, ad c, rectaneuta
Fiat aurem, ut AB ad BF, (sive ut 2 ad C: )
sic BK rectansulum aeque altumu ad ABC para
bolam.
=AB, eria
Car. ABC
B
r. A2C
AB
e
Duvantur an rectae, quae utrisque a , 2c, aeque possint; (qua propterea pa-
a
rabolae scemencum complent:) Pritque  a a
AB
ec.
sise
Or igitur omnes al, hoc est rectangulum DK; ad omnes a h, hoc est parabola
seementum ARFIB: sic omnes a a, hoc est AB recta, ad omnes c C, hoc est ACF.
curvam.
Fst autem BK rectangulum, ad segmentum parabola AKF B, ut 27 aC, ad
4a + 95, in V: 4. a + 9c: minus 8 a. Quod su ostenditur.
Parabola A BC est 3 ab. Edeoque DK rectaneulum est 
30. Fr3oBH (= V: BCq + AR9:) = Y: V +
F 4 a2.
Fiat autem, ut BH4 ad A KG; (Boc est, ut V. + 2
P: B AK = BD
a B2
a b
902
adt 4~8.
V: 9c3
dei sive, ut
90 = 4a, ad 4a:) sie BH = = Y: 9c: + 4 a ad AM; quae est ieicur
278 = 22a ∞ V: db + 4a. FL propterea WH (= BHI - AV) --
330
90 + a
9b + 4 a. Es quoniam, uL NH ad A M: (Boc est, ut dc au 4 8;) sie N M
sive BA = an ad AF: erit AP = 2 a: Ft FB = dc a + 4
26ab
9
bola P A R = 8rC. EC parabola F BH -
2BabC + 8 a B
818
Y: 30 + 4a. Ldcoque
parabela
CUR YAR AM EV DIVSIE.
ries orathatim applicatarum in parabola.
spectandam opportumitatem. HIXC autem erat.
Fig. 24
ec sunt aequatia. Fireo e quadrata et sunt Arithmetice proporrionalia; ipsaeque
Et consequenter; Exhiberi porerie linea recta aequalis CUrVX AF C.
Elanc D. Nelii demonstrationem ubi conspexerat IIIultriII. Brounkerus; Luam

## Folio 553 — 851387705:0573
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000573.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
It
11II
PT IInanouoS.
parabolae segmentum A LLIB =
Zist aurem rectaneulum BR = =. F S Llun  BL, ad parabola
Seementum AR FTB; adeoque (ut supra probatum est) AB recta, ad curvam
ACF; Ut 27 aC2, adt 9C + 4 a in V: 96+ 4 a. minus 8a. Quod erat de
monstrandum.
iplaque AD, D: Frunc ordinatim applicatae dp = V a L; iplaque DP = V DL:
18 ab0 +8 a b,
Meam denique hanc habe.
in Y. 90 + 4 a. minus 16 a b
Fsto ADP PataboIa Lecla, Cisco Laccto LCc WCacuI e Accogce, sumpris
diametris Ad, Ad, ecc. arichmerice proporcionalibus, quae sigillarim dicantur d:
29. 2G
Ft parabolae abscista A d p =. Z d V dL; adeoque ad invicem, ut aY d, vel V 23:
Ec ddp rectansula (quae, sumpris dd parriculis infinice exisuis, quae dicantur
Q Parabolarum disterentiis aequipollent) AV aL; qua itaque cunc ad inricem,
UE Va, (lire ut ipa dp ordinatim applicatae;) aique ad parabolas suas, ut
A ad Zd
Ducatur denique curra A CF (parabo la in P OccurrenS,) ea lege ut singula
de rectae, sinc A dp parabolis proporrionales; adeogne ut dV d, sive Y a3
Duam isitur curram, ex P’arabolocidum genere esse constat; quam Semicubicalem
appellemus: urpoce cujus Ordinarim applicata Diamerrorum, A POnaEuT AD dia.
mecer; vel, Diameeri Ordinatim applicacarum, _ Donarus diameles A A; funt in
ratione sub duplicata criplicatae.
Cum igicur sine de ad invicem, ut a Y d; SiIguE DF = DP = V DL: Frun
de = = V aL. Nempe, ut D Y D ad aY L; SiC V D L. ad = V a L.
Cumque sint de, parabolis Adp proportionales; crunt d disferentix disteren-
iiis proporrionales: Adeoque difterentise Fe, cum inter se, cum ad incegras de.
ealdem habebunt rationes, quas parabolarum differentix, cum inter se, cum ad
suas parabolas: Nempe illic, ut V d ad Vd; hic, uE A ad 3 a. Adeoque F F.
ZOVDL = CF:)
X FC = 3 = YLL = Y F aL. Ouibus isicur si ponaneur equales de erit
42Y
ADC pacabola, cujus lacus rectum . =: quod nempe in diametcos a ducrum,
quadraris ordinarim axplicatarum de equabitur.
Eacundtem vero se quacteaca d a L , quadraris da hoc ett a. adlica, extis.
bent rectarum ee quadrata A f Dd L . Ouorum quidem quadratorum aue
menta supra  cum sinc iplis a proportionalia; s rectis ce ponancur aequales db,
eric AbB D nuncus parabolas cujus laus rectum est idem . . ordinacim ap
2 2
plicar

## Folio 554 — 851387705:0574
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000574.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Curvarum FudvotE,
plicaca minima A b = A;; adeoque alcicudo abseilta A V = + 2.. ( Nempe
es
L.
)Ouam quidem altimdinis designationem cum A quancicas
neuciquam ingrediatur; cadem plane tucura Cst, quanculaCunquE POnatuE A = dd
diametri particula.
Denique, Propier cum Fe =de, tum cc = db; erit, ut ADC parabola ad
AD Bb truncum; hoc elt (propter idem uerobigue larus rectum) ut V d Acub.
ad V dV cab. = V A V cub: (ut lacus quadrarieum cubi d A, ad larus quadraticum
cubi d V minus larere quadrarieo cubi A V:) sic omnes Fe, hoc est de recta; act
omnes ce, hoc eltcurram AcC. Ouod crar inveltigandum.
Exempli gratia. Si PONatuT A D = 4, et D F = 35; exie AV = L, _
ACF =
Ouodque de hac Parabolocidis curra demonstracum est, id aliis non paucis cur-
varum generibus, quarenus res teret, mutatis mutandis accommodabitur.
Vides itaque quod Fcuracius relter, id iptum nostri demonstrarune; ec quidem
priores. Eadem enim est linea quam Delius nolter, relterque Feuratius conside.
rarunt, (quod ribi, ubi animadverceris, isnocum esse non potelt.) Jd maxime
damentum ueriusque methodi, nos in dicto Scholio prov. 38. Arich. Intin. cracti-
dCraMUS.
Ouanguam aurem non minore tortan jure licuilter, rectarum hanc curvis X-
qualium inventionem ex poltliminio mihimer ascribere; ouam quo alios video eo-
rum avide sibi alteribentes inventionem quorum ipsi tundamenta se jecisse puta-
verine; praelerrim s familiarium aliquibus haec fundamenta paretecerine, ut ut
Seripio ediro nondum dirulsarerint; Calrem si suspicio aliqua esse postic haec (ua
Fundamenta inventoribus illis perspecta tuisse, auc illos inde ansam nactos: Nolim
ramen, quum in ipsa praxi me prarerti video, hane Cuam Nelio nostro cvroxian
inridere; nequidem si constet (quod jam intelliso) ex nostris tradicis le an-
lam accepiste: Neque enim alio tine nostra edimus, quam ut aliis usiri esle pOs-
FInE. Ouancillum aurem inde abtuerim, ex dictis vides.
Hloc interum addamus: Eadem opera haberi etiam conrexam Conocidis TuperH.
CIEM, CONVeNSIONC CHEVX AC F cirea axem tuum Aa descriptam. Cum enim re-
etxe de db, ipsis Fe rectarum dilterentiis, e ce Tubtensis, hoc cst, (procestir in
infinicum continuato,) currae particulis, proportionales; acque in iildem ab Aa di-
Ranciis: Fric ut solidum ex AcD parabola, ad Solidum ex ABD trunCO, Circa
b A a converso Factum: Sic Superticies ex omnibus Fe in tuis distantiis (quae elt
ut series a V a) sire Z (tres quinta) Superticici Cylindriex quae describicur recta
DE, (hoc elt, omnibus Fe in maxima distantia, quae itaque est ut series V a;) ad
superticiem conrexam qua ab A C P. curra sic converta deseribitur. Est autem
Tolidorum eorum racio (ex noltra Arichmecica Intinicorum principiis) nota:
(coenicis enim cum maenicudinibus, cum momentis, adeoque d centris Gravitatis,
parabolarum AD C, V A b, VDB, adeoque de crunci ABBD, Tolidorum conver
lione tactorum magnieudo pariter innocescet:) Erso et harum Cuperticierum.
De iptius criliner A e d magnicudine, aut centro gravicacis, aut Colidis istius con-
versione factis, nihil adjicio: noca urique funt ea omnia; et ex principiis in no-
stra Intincorum Arichmerica e alibi eraclicis facile deducuntur.
Sed ad Parabolam reverro; quam (ut dictum est) in memorato Scholio prop.
38. Arich. Entin. speciatim contiderarimus. Relumpra isicur qua ibidem est ti.
sura; octendimus, propter dd vel 05 (reclarum or in parabolae complemento
Fis. 26. Ordinarim applicacarum ditterentias) ut 2, 3, 5, 80. Subtenlas 00 esle ueV: A2 f 1:
V: A2 = 9. V: A + 25. 85. hoc est, ue ordinatim applicatas ad Hyperbola con-
jusacum axem: ipsas aurem os vel dd, uc ordinarim applicatas in Priangulo eAte,
nocius est quam ur dictu opus FIL.
Sin guaeratur adhuc, quaenam cuique parabolae conreniant Priangulum et Fy.
perbola: quam quam ea nullius disticultaris res SIE: paucis tamen expediam. Intet-
lisantuE KL, L m, ad angulos rectos consticuta; omnesque L. m, L. M, eC. uE
3,5, 7 e3c. difterenriis dd vel 05 equales, vel talcem proporiionales; ut d
Ar I.
Supersiet
es Conoe
Curv
Parab

## Folio 555 — 851387705:0575
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000575.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
Me
un
10.
11d
1
21
Pot
ert
E Y TInanouo.
RL IpA EF vel A: FrunE omnes Rm,
Tubcenlis 00 similiter aquales vel propOr.
tionales; illis nempe lingula quae cum
ordinatim applicaris do angulos Faciunt
respectiris in H L. ansulis aequales; hoc
elt, sumpeis er intinice exisuis, currx
particulis quarum vel Tubrenla vel ran-
gences ansulos faciunt iildem i K L. vel
nK L aequales. Sitrat ipitur NK L eri-
angulum rectangulum, limile criangulo
FOD (H8. 26.), quod semiparabolae Cir
cumleribitur: FxIE uE omnes Rm, ad
omnes L m; Sic omnes 00 fubtenta, hoc
est AO curva ad omnes o5 vel dd disterencias, hoc est AD diametrum. HIoc
est, (sumpris parallelis mn = m R, _C M N =m L,) ut omnes mu (hyperbola R u
ejusque conjusaro axc L. N interCepEX) complentes L. NIn R quadrilineum, 2d
omnes ma complentes L. n N criangulum; EIre, ut quadrilincum illud, ad hoc eri
ansulum; sic expolicae parabola curra AO, ad AD diametrum. L.t consequen-
cer, Data Parabolica linea lonsicudine, dabitur Ouadratura Hyperbola; e V
versa. Juod ee cu aliunde oblerracti.
Vet sic etiam, (ur uno schemate torum complectar,) Ci tac i LD, ad DO.
_ OF; sic DO vel TA, ad AR; e FK
=K F: e describatur P n Tly perbola, verei
ticem habens R, cenerum A: e, Tumpra TN
= TA, tiac A Dn criangulum: Prit ut AT
criangulum, ad A Pu K quadrilincum; sic
aXis AD, ad AO curram Parabolae. Addo,
Et partes parcibus relpectire Cumpris propor.
cionales esse: ut ex demonstraris patet. (FTa-
bet autem haec FIyperbola lacus rectum lateri
transrerso aequale, es utrumvis lateri recto
Parabolae aequale, duplum aucem rectae AK:
FL
Prota; KS, axis interCePIS; ec sn = A F ordinatim applicala BalS.) Acqueha
Etenus de ParabOIX CUTVA.
Sed et eadem opera, de Conoidis Paraboliei supertieie judicandum cxic. Cum conoidi.
enim lingula rectarum co differentix, ad respectiras currae parciculas, FInE UE F Parabo
ad en, sincque in iildem ab axc distanriis: Frirue Solidum ex convertione a F, lici super.
crianguli, ad solidum ex convertione A Jn K quadrilincis circa A HE rectam. Si. Kicies.
superticies ex omnium currarum c0 differentiis sic conversis, ad conoidis super-
Ficrem ex conversis currae parciculis. Ouxe aurem ex disserentiarum illarum ariih
merice proporrionalium, in distanciis icem arichmetice proportionalibus, conver-
Tione deseribitur; ad superticiem carundem arictumerice proporcionalium, in di-
Stancia maxima, convertione descriptam, (series Secundanorum ad Teriem Prima-
norum;) hoc est, ad curram Cylineri circumscripti; eAt uc 2 ad 3. ErsO, ut Poli.
dum ex A P a criansuli convertione, ad solidum ex conversione A J n R quadri
linci, cirea AR, descripeum; sic Z superticiei currae Cylindri circum Ceripiii act
curram conoeidis Parabolici superticiem. Est aurem quod tic ex illa crianguli
conversione. Z Cylindri alticudinis Pa: Quod aurem ex quadrilinco sieconverto
etticitur, est Cxlindrus (ejuldem balis) alcicudinis Pn, dempio Conoide Is perbolico.
Fest aurem Conoides illud Lsyperbolicum (per proP. 263, 264. Arich. Tntn. ) ad clt
cumlcriptum CHlindrum, ut ET + SD ad P F D, (semiltis laceris tranlverA unia
cum crience diameeri interceptae, ad ejusdem lateris cranlverti e didmerrl degre
Sacum;) HOC elt, ut A K F Z K s’ad A H = Fn Teu 2 AK ] RS: Adeoque oylin-
deus lic hyperbolice excaratus, ad eundem plenum; ut ZF f 2 D ad T  D, sire
ut AK F 3 Ks ad AR F Fn. FFBO(pTOPICI aequales omnium bates, ) OuZ F N
ad F n minus A R F L R d KS; vel ad A K f. =
AK F Y
E
AK F. F  R, sE Sie 5 Inperticica
curvae Cslincri circumteripri, ad curram Conocidis pacabolioi suvertieiom i sel
A 22a 2
erciirsic serpins (.MWI EI

## Folio 556 — 851387705:0576
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000576.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
Curvarum Fodosi
(milciplicatis antecedentibus in 3, ut L, ay, all Cau A  
AR. L T.
28
Sic exlindri cireum sexipti superticies curra, ad curram Conocidis paraboliei superti-
ciem. Dua num inventis cuis consentiant, ride lis.
Ouam vero eadem parabolx curra cirea A P conversa superticiem describii,
(Propter cum disterentiarum rectarum co, cum particularum currae, ab A Y di-
Btantiam e0, in carundem ab AK distantia ratione duplicata,) erie ea superticies
curra, ad circulum semidiametri AD; non quidem ut ipsa solida modo dicta, (ex
convertione quadrilinei ARn T, _ trilinei AN YP, circa AR,) sed uc semiloli-
dorum horum momenta respectu AR rectae; vel ut omnes en ad omnes en, in
respectirarum Tuarum ab AK distantiarum quadrata. Oua quidem ratio, non
magis explicabilis est, quam ipsa Ouacrilinei ad Frilineum ratio.
Verum (ut ad alia etiam, extra Parabolocidum genera, transcamus:) Perpen
eupansa. danmo currame A BC. HS. 7. quam Fllissin expansam dieimus. Ouadtcala parci.
AK F ZR8
Cllipsis
cularum hujus, vel carundem subcentarum, sune ut quactrata disserentiarum Ei.
nuum vertorum (incipiendo ab A vel C,) live difterenciarum Cinuum rectorum
(utrinque d B procedendo,) quadraris aequalibus aucta. (duod ex ipso Schema-
tis inspectu patet.) Ouam ixitur racionem habene corundem quadratorum lic
auctorum lacera quadrariea, vel ad quactratorum aequalium latera, vel ad omnes
illas sinuum disterentias, eam habet ABC curra, vel ad AF vel ad FC. (Ouod
_ de partibus respectiris incellioendum cst.) Ouxe lamen ratio non magis ex-
plicabilis est, quam perimerri F llixseos, ad peripheriam Circuli, rel hujus dia.
metrum. Oux enim eranc in Hg. 2. FZC, FCF, Circuli et Fllipieos semiperi.
metri in superticie Cylindrica; eadem sunc in eadem expansa, H8. 7. AF recta,
e ABC curra. OT isitur AF recta, ad ABC curram; Sic Lemiperimeter Cir-
culi, ad semiperimetrum Fllipseos, cujus minor axis aequalis sc diametro circuli;
major, ejuldem duplum Dostic. Vri e in tig. 10. F A, e FC, Tunt ut quactrans
verimetri circularis, ad quadrantem Fllipseos, cujus major Axis minoris posset
quincuplum. Ec in aliis similicer, variara curvaturae mentura, pro varia conju-
Bacorum axium ratione.
E. AquE

## Folio 557 — 851387705:0577
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000577.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
1
1
L.L Llnarouos.
Nescirisse liquidem videtur, curram ABC H5. 7.
non aliam esse guam F. IipLI LGF Fg. 2. in planum
expantam. Si aurem centro C, diltancia Cili, in su-
perticie cylindet fi8. 2. Cemi ductu deleribatur
FRque hXC, ni Fallor, ea curra quam Gycloidis Comitem vel Dociam (la Com. Cyet
Paene de la Rouleste) appellat Auchor Fistoriola, utur aliter apud ipsum acque socia
me generata. Onam enim ille dimtolam aulta alnt in superficie Cplindri rect
descriptam dicit; nos simplicius sectione Cylinari pland sudm locami defexibimus.
linca, non eti illa LE Lpo (communi plani
et Cylindri sectione tacla, sed alia curra, com-
muni Sphaera le s te facta, quae in
planum expanla omnino LS erit curra BC
tig. 7. prioris LeH. Si enum MceMgatur, (in Fig. 2.
FCF circini auctu deseripta, deleoque C8 recta
ubique ips C. L’aequalis, unde aenicta G2 in super
Ficie cylindri occurrat basi in 2: Ouia cum C. Z E
2F Subrentae, tum C Z _ Z6, aeque possine ips C
rectae, hoc CIE CF; exit Z F subtenta aequaliS ip(I
ZC; Adeogue omnes Z6 (dirila FZC in partes
aequales in punctis quotlibet Z) erunt ut chorda arcuum in lemicireulo arithuse-
rice proportionattum, hoc elt, uc linus recti in quadrante, hoc cst, ut rectae rili
neum BBC Hg. 7. complences, ipl Bb ordinatim applicatae.
Adeoque l incellisatur semieslindro FZ C F fg. 2. Timilis alius cujus balis dia-
urrague expalidatur, congruent.
meter sic semissi hujus F C. aequalis; Curra ut FC P circini ductu delcripea in lu-
perticie minoris; et semistis PCF semiellipleos in superticie majoris, si in planum
Porro A incelligatur, non jam F A uE in L3. 7. hoc Cst FZC fig. 2. sed FC. Curr.
ut in fig. 30. sire CiF, ret CiF recta, vel otiam F F, AC. 29. dividi aequaliter; Ellixscos
deoque F A F8. 30. hoc est FZC fg. 29. dividi pro ratione arcuum ordinatim
applicaris sire linubus rectis aequaliter distantibus respondentium: Frunt (in Dar
cibus intinice exiguis) quadrata particularum ABC curra, huie dirisioni respon-
dentium; ut quadrata ditterentiarum horum arcuum, quadraris aequalibus aucta
(Duorum omnium radices, ad omnes illas vel ditterentias, vel diametri particulas
aequales, sune, ut ABC curra ad rectam AF, vel ad P C: quibus quidem axere
satis proporcionales supersicies planas, tacile est concipere; sed non ita tacile ra
tione noca explicare, magis quam rationem currae Fllipseos, ad Circuli vel peri
pheriam, vel diametrum.) Sunc aurem illae arcuum ditterentiae (DrOPIEE areuUM
intinice exiguorum e chorcarum quali coincidentiam, adeoque s cenirorum era-
vicacis, mpore quxe arcui de chordae incerjecta este debent,) ut , hoc est Fa.
dum ex se radio et diametri aliquora parce exieua  per sinum rectum s diri-
sum: (Ouod ex Archimedis de aliorum demonstratis, qui luperticierum, Sphae
rica se circum (eripix Cylindeica, sesmentam parallelis planis abseilta, aequalia este
oltenderunt, tacile collisitur: nempe  2 =5c, tactum ex Radtio in A, aequale
este facto ex sejusdem distancia a diametro, in c correspondencem curra parii
culam:) Adeoque illarum quadrata ; quae quadracis aequalibus A2 (PEOP.
1222 2

## Folio 558 — 851387705:0578
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000578.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
URVARUM FdirOM.
1e  F 3 Qlladrata parcicularum cuEVX
rer F C = C F) auctas extribett
ita Glaaca; eorumque radices AV
Cpla au
tem arcuut cc rentia = = AY. Adeoque ut ille om
nes ad omnes has; sic Plipseos exposirae peritmeter, FEF, vel ABC, ad peri
pheriam cicculi FZC, vel AP. (Quod et aliis FIliplium speciehus faerte accom
modabitur, ut mox docebitur.)
Sphaeroer. Detle, Si intellisancur cum Ellipleos illa, cum hae perimetri Circularis parriculae,
ais oblon-in iidem respectire a luis axibus distanciis conrerti, unde tiac illic, Sphxrocidis oblon-
Si; hic, Sphaera Superticies: Frir superticies illa ad
hanc; ut omnes AV: 2 R= a: ad cocidem
AR: lIve, ut omnes V: 2 R 2 - a: ad cori
dem R: Hoc elt, CE incellieatur in parallelo.
Grammo (Hg. 3c.) AB = R V2, e AR = R,
adcoque ar = a reliquaque ut in schemare
constructa,) uc RC B A quadrantis circuli seg
mentum, ad quadratum AR minoris lemidia-
mecri. Sunc enim omnia beb rectansula, hoc
elt. RV 2 F a In RV2 = a, hoc est, 2 R = a; ut rectarum rC quadrata: adeo-
que omnes rC rectae, uL V: 2. R = a. Duod eriam ex prop. 124. Apich. Intin.
Fulius patebit.
Fodem modo, ad alias Ellipsium species res accommiocabitur. Si hoc Falcem
adrertatur; In praesenti casu, propter FC. =CP Hg. 2. vel 29. aliguotas partes
cum rectae IC tum rectae CF, Eodem (ymbolo 2 detignari. Sin recta C’ F (quae
Potelt excellum quadrari axis lonsioris lupra brevioris quadrarum) vel longior
elter vel brerior quam FC. (circuli diamerer, rel E.Hip (EOS aXis MINOE,) DucA uE
FE ad R; Bolica A aliquota parte diametri circularis (uc prius,) erit = Academ
R A
P2
DarS recta CP: Adeoque pro p: + , sumendum eric
F
1 + 
R2- a
Adeoque Spharocidis illa superticies, ad superticiem Sphaera, exit VE omnes V: R.
F 772-
R2: ad coridem R. Ideoque ponendum eric, fig. 3F. AB = V: R -
es iliisii
+ ZP: _ AR = YY (semisti recta C F H5. 29.) quare d ax = 2. Fritque,
uc prius, VE A BC R quadrancis circularis sexmencum, ad coridem R, hoc est ad
LLXR: Sic suverticies illa Spharocidica ad Spharicam. (Et parres partibus re-
oecionales.) Est aurem, ut patet, AB, F. Mipleos semiaxis major;
RC, temiaxis minor; a R, distancia focid cenro, que recta quae porest disteren.
tiam quadratorum semiaxium.
Dicoisime, Si in cireuli quadrante cujus ractius A B ellipseos semiaxis major, or
dinatim applicetur RC. semiaxi minori aequalis, e complearur ARC rectaneu
Jum: Frit ut R C B A quadrilineum, ad A R C. rectansulum: sic Sphaerocidis ob-
jonsi supersicies, ad supersiciem inscripiae Sphaerae. d.  B ~t. ∞
Sphaeroei Incelligatur jam C plindus FFCZ Fis. 29, obliquus ette, cujus batis FCF circu.
dis lati lus5 e FZC Fliplis, axi recta, cujus minoraris FC. Cum isitur, divisa PF cir
upersi culi diamerro in parces aequales numero intinicas, quorum quaelibet dicacur A, e
parricule peripheriae (ue prius oltentum ) - vet.
Y. R. = a2 de harrmi pac.
ciertarum quadrata . ; unde si auserantur quadraca aequalium parieularum
recta
ABC; corunque omnium radices, curram ipsam: HloC eAt, (pr optec s = Y: N- a.
a h
sumpris a uerinque a medio, uE E, 2, 3, ec successire,)
super-
Fig. z
feres.

## Folio 559 — 851387705:0579
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000579.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
ula
1011
nale
lia
HOC
deo
psior
es
rred
Ca Ul
det
rectae CF, puta
K
2
e
I Y TInanouOS.
A2 (Tumpro Scilicet, ut CF ad FF, SC =F ad R;) erum
42 quadrata parricularum FIlipleos FZC; corumque radices
22: ipla parriculx. Oux quidem utraque partieulx (tum
Peripheria, cum FMip(eOS,) Si in suas caldem a Puis axibus respectiras distancias
S=V: R2 = a3: ducantur: Pacta (superticiebus harum conversione circa Luos
axes proporcionalia) sune, illic R A; hie, AY: R2 - F]. + =
2: Adeoque
Sphaecocidis laci superticies (conventione Fllipseos circa minorem axem desexipei)
ad superticiem Sptaerae circumseripiX, ut omnes Y: R 2 - TY2 +  p, -; ad cori. Fiβ. 28.
dem R. Hoc est, uc quadrilineum A T L K Hig. 28. hyperbola suoque axi conjugato
incerjectum (cujus lemilatus crantrertum AK = V: R - 172: d ATH, Tn
=R;) ad a Pa rectansulum.
Hoc est, Si, ab Fyperbola cujus semilatus tum rectum tum transversum AR.
Fllipseos semiaxi minori aequetur: ad conjueatum asem ordinatim applicetur n Y
semiaxi fllipseos majori aequalis; e compleatur A Tu rectanculum; Frit, ut
A Tu X quadrilineum, ad A Pn rectansulum; sie supersieres Sphaeroeidis lati, ad
circum scriptae Sphaerae superficiem.
Vel sic, elegantius paulo, utrumque simul esteramus. Sint ellipseos axes conju
Eati, AC. F. major, DCTI minor, e BD (parallela
CF) circumscripti circuli quadranti F K occurrens in
D: e compleatur C BD P rectaneulum. Sumatur
en DF continuata, PC aequatis C F. Denique centra
Cverrise LL, scribatur HO hyperbola; e compleatur
CF CT rectaneulum. Intelleatur autem tum axe
AP. sphaeroeides obloneum, tum axe BII sphaeroeides la
tum ellipseos conversione describi. Frit, ut C F DR
quadrilineum, ad inscripium rectaneulum CF DB; sic
Sphaeroeiais oblonei suversicies, ad supersiciem inseripta
Sphaerae: Acque, ut C F C II quadrilincum, ad rectan-
eulum circumscriptum C F OL; sic superficies sphaerocidis lati, ad ci
spbaerae, superficiem. Addo letiam, e partes partibus respective sumptis proportio
nales esse, (nam d de parribus etiam procedit demonstratio:) Iloc est, Il il Cd
dem ratione, ordinatim applicatis secta intelligatur recta C F, qua sphaeroideos et
comparata Sphaerae Ares lecantur plano. Data rero ratione quam habet Sphaeroc
deos superticies ad Spharae luperticiem, vel etiam iltius parres ad partes hujus:
rationem item ad circuli planum dari nemo neleit. Sed de his tactenS
Accedo ad Spiralem, quam et memorato loco (Schol. prop. 38. Arich. InFin.
contiderarimus. Inrelligatur, intra Spiralem lineam inscribi, figura ex similitua Linea
sectoribus conttata. Horum arcus, propter aequalia radiorum auxienta (ut toneitn.
C A = A) arichmetice proportionales esse oltendimus:
Adeoque _ arcuum horum (quippe similium) cum chor.
das (SC =6,) cum linus rectos (S V = 5) et verlos
V Ci = V) arichmerice item proportionales eAte: RF
propterea Subcensarum Spiralis quadrata, SA9 = SVC
FV A9 = 52 -  22 f 20 A f A2 = C2 + 2V A  A
ut quadrata A qualia, tum quacratis arichmetice PrOPOr
tionalium, cum planis arichmetice proportionalibus, 21
Eta: (Ouod ibidem tirsius ostensum clt.) HOc clt, u
quadrata ordinatim applicatarum in hyperbola, quadratis
dd
aqualibus aucta. Adeoque, dummodo decerminatus est numerus Sectorum, unde
_ angulus ad centrum determinata magnicudinis, maniteltum est has spiralis sub
renlas subtentis in parabola supra memoratis (quarum urigue quadraca, guadratis
equalium arichmetice proporrionalium lire ordinacim aoplicatarum in erjanoulo
auctis, aequalia lupra diximus,) minime conrenire. Quoniam vero, in minari
iral

## Folio 560 — 851387705:0580
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000580.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
CiURY AR UM EodSIS,
Fineq. busangulis ratio sinus versi ad rectum minor est, CAQUE SePEF PrOUL MInLMNME
rum Spi- anguli diminuitur, adeo ut eo tandem perreniatur ut data qualibet minor lt; unde
ralis e in angulis intinie exiguis, propier rationem linus rerli ad rectum intinite exigu-
Paraboli am, evanescere incellisendus cA V C sinus vertus (coincidencibus quali cum areu
tum chorda cum sinu recto; quod quidem intellisendum erit, ubi S A subrensae pro
Spiralis
alia.
Spiralis particulis reputaneur;) adeoque quantitas 2, es Propterea 2 2 A, pro nulla
repuranda: Prir, hoc calu, c2 = 2V . + A2 Tancundem atque c2 f A2: RacOgUE
Particulae Spiralis, non minus quam Parabola, crunt, uc quadratorum aequalium,
quadratis Rrichmerice proportionalium auctorum, latera, sive uc rectae En f8. 28.
Unde linearum Spiralis et Parabolica aequalitarem manilectam esse constat.
Oux quidem inventio, num Hlobbio, an Roberrallio, debeatur, (uterque enim
vendicat,) non decermino; an inter urumque diridenda. Certum est, Merlen-
num Roberralsio tribuere: contendit aucem Hobbius se primum invenille, prae-
rendic urique (quam suam praecensionem cum Elenchum neum seripsi non audi-
veram) se Roberrallio rem toram pridie communicalle, cum aucem, hac anla
dara, postridic demonstrationem suam adornasse. Ouicquid sic, cum res Facti LIL,
nolo cso me arbicrum incerbonere. Propolicionem aurem, cujuscunque demum
Eic, veram esse, comprobat haec nostra demonstratio
lane aurem demonstrationem nostram, figurarum inscriptione e cireumserip
tione ad morem recerum, Fusius cradi posse, non opus cHE uE CgOD moneam; qui
probe noris quam tacile hujusmodi demonstrationes concractae, ad operosas illas
vecerum reduei possine, modo quis id tanti else pucarerit. Atque hactenus de Spi-
rali Archimedea.
Incellisamus jam altus generis Spiralem deseribi; in qua, verbi gracia, radiorum
incrementa C A non lint aqualia, sed eadem ratione continue creleant qua cret.
Fi8. 33. Cunt arcUIS SC, vel MS radii. Id autem tiet si intellicamus, vel, manente cir-
cumductae rectae M A mot aequabili, punctum lineans moveri ab M ad A motu
aequaliter accelerato; vel, manente puneti lineancis ab M ad A moru aequa-
bili, rectam MA circumduei moru aequabiliter recardato, nempe ut quo longius a
medio recesserit punctum lineans, eo tardius circumteratur recta; Cunde conse-
quetur puncti lincantis, in ipsa curra deseripra, mocus aequabilis, vel aeque re-
10Z.)
Re sic constructa, manifectum est, cum omnia similium sectorum triangula
SVC incer se esse similia, cum omnia SV A, vel SCA, triangula rectilinea rel
mistilinea, cum omnia SM A, item incer se similia. Unde et angulus ad A, quem
vel S A curra, vel ejusdem subrensaS A, vel etiam tangens, cum M A faciat, tum
quiris esse Porest (pro varia mocuum inter Pe ratione) cum ubique idem erit.
Erunc autem omnes S A rectae, hoc est (in partibus exiguis) omnes S A CUrVZ
ad omnes A V, hoc est (in parribus exiguis) ad omnes AC, hoc cst ad AMI rC-
Ctam, ut AS ad AV: sive uE Fyporenusa ad Balin Frianguli rectanguli, angu-
lum habentis ad batin, angulo A aequalem; illinempe, quem curra Pangens cum
Raciis Conteituir.
Construecur aurem hujusmodi Spiralis; s sumpris, (ut in L8. 34,) rectis M A,
ML, M 2y M 3, 135. concnue proportionalibus, radiis hisce deseribantur coridem se.
Atores liculles, elslie circumleribarur A L 2 3, _C. CurVa.
Si tataucem, ut F5. 35, Tuxer aequali MI A basi, triangulum rectangulum M A S,
A X
ansulum  sitat . L B ta  L L2,23, 86. in lpirali, rectla
e aequa
itas.

## Folio 561 — 851387705:0581
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000581.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
eiP
UI
et
ic
Ou
se
te F Y TIanouOS.
A1, 229 25, . in trianeuli hyporenusa, singulxe singulis respectire aequales, et
omnes omnibus: Adeoque A F2 309c. Curra, rectae AS aequalis. Spatia vero Eri
linca Spirali acjacentia A MI F, TM 2, 2M3, 8c. crapeziorum in criangulo subdu-
pla. Focumque criansulum, corius sparii Spiralis duplum; si nempe intellisan-
Eux conrolutiones inceriores cories repeti quories novis circulationibus icerato de-
TexibUnEU.
Nam revera; uti spiralis Archimedea, non aliud est quam Parabola convolura.
aut eriam Circutus vel Circuli Sector, conrolucum Parallelogrammum, (quod
DrOP. 26. Arich. Intin. ostendimus:) Sic sDiralis hac, Fig. 34, non aliud est quam
iptum M AS criansulum (fi8. 35.) convolucum; concracta nempe in punetum
recta SMI, adeoque Darallelosrammis (sre inseriptis sire cireum seripris numero
intinitis) in rocidem triansula redactis.
Nocandum aurem hic est; TUM prOPIEE radIOrUM M A, NLE, M2, 890. (vel
rectarum in criansulo his relpondencium) concinue proportionalium procellum in
intinicum, decrescendo; cum eriam propter cundem ubique Pangentis angulum eum
recta circumducta factum, (unde, circuendo, ad punctum M medium, nunquam
perreniri poteric;) Manifeltum est, Spiralem hane intrortum (non minus quam
extrorlum) elle interminabilem. Neque enim ab A per F2 3866. quoreunque de
mum circulacionibus peraetis, ad mecium unquam perrenietur, magis quam, sump
tiS AF, +2, 2 3, 8c. proportionalibus, exhaurietur unquam AS recta. Vc au
tem hae omnes in infinIEum COnTInVAIX, Sic A L2 3 ec. concinata inortuu in
intinicum, aequabic rcctam AS. Elabes icaque curvam interminabilem terminata
rectae aequalem.
Sed et lacendum eries Fangencem Spiralis hbjus, non maxis duei polle Geome.
trice, quam Spiralis Archimedex, (uc quae ex quacracura circuti dependeat, ut et
Spiralium omnium Tansentes; ) adeoque nec anoulum A Geometrice altonari.
Linea tamen incerminabilis rerminata rectae aequalis, non minus line hoc actionabi-
cur: Sl nempe, lumatur criansilum, non rectangulum, uc ASV H8. 33. Sed iri
angulo AS C. limile; ut enim AC ad A S, se AM ad omneo AS rectad arcribio
AS numero intinitis in seriptas.
Fanciplam curram, alia occatione, contemplatus ijem est, Wrennius noster
Nec eantum currae lonsicudinem, partiumque ipsius, et maenicudinem adjacencis
plani: sed ec iptius ope, Limacum se Conchiliorum domunculos mecitur. Fxisti-
mat ueique, magna verisim liudine, domynculostolce non alios elle quam Pyra
mides conroturas; quarum Axis lic iltiusmo di spiralis; non quidem in plano ja
cens, sed sentim in convolutione (circa crectum axem) astursens: pro variis au
tem currae, live ad rectam circumductam, sive ad subjacens planum, angulis: v
rix Conchiliorum formae enalcantur. Rique, hiac hypocheti menturaca Pyramide,
meritur etiam ea conchiliorum (pacia. F. L. quidem de hac Spirali hactenus.
Puraram hic aliam spiralis speciem iradidisse; cam nempe quae ex convoluta Pa spirales
raboloeide Semicubicali orrum duceret. Cujus itaque curra quum Paraboloeidis alie
illius currae aequetur, quam aequalem esse secta jam oltendimus; cciam Curra Spi
ralis inde oriundae, aequalis rectae otenderetur. Sulticiet aurem univertim dixisse
Spirales omne genus, ex hujusmodi planis (sive criansula Cipe, Sire crapezia, vel
Parallelosramma, sire parabola, auc paraboloeides, dut eliam hyperbola, aliaere
vel rectilineae vel mistilinea tigura,) sic conroluris oriundas, curras habere cyr
vatis planoruu sic conrolutorum laceribus, ut AS, aequales; et quidem, opposito
lacere, ut SM, in punctum concracto, spatium spali aesacens, tigura nondum F15. 35.
convolucae semistem.
Acque tactenus specimina cradidimus methodinostra, Tubrentarum ope, rectisi.
candi curras.
Duoniam rero, Tangencium ope (in memorato Scholio prop. 38: Arith. Infin.)
id etiam tieri polle insinvarimus: libet ee hujus icem aliquor specimina exhibere.
Aeque a Parabola inicium desumam, id iplum Lansencium ope demonstraturus, curva
quod supra per Inseriptas ostendimus. Incellisatur itaque in Hig. 36. A P, parabolam Parabo-
rectam in verrice cansens, in punctis e quoclibet aequalirer dirila; adeoque AE, sire la
do, arichmerice proportionales, quae dicancur p; carumque communis excettis f18. 36.
b0 =CE dieacur A: Fric autem o - da = ; adeoque L propret 10 =. 9)
cansCnS

## Folio 562 — 851387705:0582
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000582.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
GURY A R AM FVDWVSIS,
raneeno 08 = V: 102 + : = 2 Y: L. ~ + 4p: Occurrat autemr quaelibet 07
F15. 28
proxima tangenci 08, in c. Fxitque ut SF = 3 P, ad50; sic b0 = cE = A, 9d
oc = = V: L.2 + 4D2 Sive AL, ad AV: L.2 + 4 P2: vel L, ad V: L + 4p:
auc Z L ad V: 2 L  + p2. Adeoquent omnes V: + L 2 F p2: ad coridem : L; sic
omnes oc tansentes, hoc ele, (in partibus exiguis) OO CurVa, hoc ct AO
curra, ad omnes FE, hoc est rectam A F vel DO. HOC esE, si tig. 28. POnatuE
AR = ZL lemilacus cum rectum cum transversum hyperhola Kn; de A F uc in
parabola: Frit, uE F AR H rectangulum, ad P A Rn quadrilineum: Sic A Y
tangens, vel balis DO, ad AO curram parabola. EC partes parribus respective
proportionales. Ouod quidem supra inventis convenit, ubi axem AD ad AO
curram esse ostendimus, ut T Ax criangulum, ad idem PA R. quadrilineum.
Nam ut Friangulum F An = 3 a L, ad rectansulum Y AK = L L. V d L; Hoc est,
ut d ad V aL: AC A D ad A F.
Conderdis Sed de hinc smili modo atque supra, inveniemus superticiem convetam conocidis
Parabo Parabolici. Nempe (ob ealdem particularum eE _n n diltantias ab AH, ) Rrit
lici super- ut Cylindrus ex convertione P K paraltelogrammi, ad Cylindrum ex limili con-
rertione parallelogrammi Fs minus conoeide hyperbolico ex convertione Rd n
nyperbola, (cirea eandem As rectam;) sic circulus radio A P descriptus, 2d co-
nocidis superticiem conrersione AO curra deseriptam. Ouod ee lupra cradiris
etiam conrenir. Nam eadem est rario circuliradio A L deleripei, ad duas tertias
superticiei cylindriex recta FO deseripiae, quae est solidi ex conversione Y A R
rectanguli, ad solidum ex conversione crianguli Y An, circa candem AV. Ouare
es eadem superticies Conoeidis urroris modo proveniet.
Sed incelligamus jam (non A F, Sed) AD in punctis d aequaliter divisam:
Carabo. adeoque d A = d arichmetice proportionales, _ dd = 1 xquales, e d0 = V d L,
_ (PrOPtr dF duplam rectae d A) cangentes oF = V: 4 d2 f dL. Trem (con-
Fi8. 36. tinuatis do donec proximx quaeque tangenti o FOCCUrTaC In I) uc aF = 2 d, 2d
FO: tic d d = A, ad0i - 2V: 4d + a L.
2Y: d + ad L. Adcoque ( ad
eundem AD axem constrnatus Tum A D acriangulum isosceles reclangulum, rum
ADHI hyperbola (cujus cum lacus rectum cum iran (vertum sic à Ly.) acque AD F.
rectangulum cujuscunque lacimudinis, (adeoque singulas e d singulis A vel aequales
vel lalrem proportionales:) EL Fac, ubique, ut d5 =d, ad dc = A, sC dh =
V: d2+  d L: ad dB: exILUEA D E rectangulum, ad A DC 8 quadrilineum (in-
cerminabile quidem, sed magnicudine finicum;) sic axis AD, ad AO currami p2.
rabolae. Et partes parcibus respectire proporcionales.
Porro, Si ducantur omnes cum dd, cum io, in luas caldem d verrice respectiras di-
Conoeidis stantias d: reperiuncur momenta (respectu A P rectae) rectarum dd ad momenta recta-
rum oi, hoc elt (in parcibus exiguis) currarum o0; ut d Aad AV: d7 = = dL: Cve
ut d ad V: 42 + adL: Hloc elE nc dS ad dh. Omnium igitur ob, hoc est d d Hoc
elt AD rectae, momenia, ad momenta omnium oin hoc ell00, hoc clt AO currX,
Crespectu
ficies.
Curva
Euperse
ies.

## Folio 563 — 851387705:0583
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000583.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
Cu
cidio
LrIE
eost
F Y IIranouos.
Tespectu euidem A L;) est, ve triangulum ADA, ad ADE hyperbolam: FL
consequenter (urpore momentis proportionalium) cadem elt rario Circuli padio
AD descripri, ad curram Conocidis luperticiem (conrexo concaram) currX AO
circa A P convertione descripram.
Denique, Ouoniam ob (rectarum co difterentix) e00, in iis repurandxe sunc contrut
ab AD diltanciis; adeoque e superticies carundem respectire circa A T COnVET- opavita
tione descriprae, in iisdem item distanciis nempe do =V d L; Cincque superticies ris.
illa, ad has, (quod modo oltentum ell,) ut dd = d, ad dA = V: d  =aL:
Ductis utrisque in eandem V a L. distanciam; reperitur luperticierum omnium re.
etis illis ob, ad superticierum, omnium curris 00, sic deleriptarum momenta, ut
omnes d X V dL, ad omnes V: d F =d L: X V aL; hoc elt u, V d3 Ly ad V: 43L
+42L2: hoc cst ut d Y d L, ad d V: a L, F = F2: HTOC est, ue momentum pa
rabola qualis AD Ci fis. 25. ad momentum crunci, qualis ADBB, respectu ejus-
dem A b rectae: (Si nempe incelligatur A V alcicudo abscista H8. 25. aequare =L
quadrancem recti lateris parabolae expolicae H8. 36. F.t axis A D urobique aequalis:
_ lacus rectum L.) Manifestum urique est, omnes V a P elle uc ordinatim appli-
catas in parabola, e omnes V: aL F = L 2 uc ordinacim applicatas in parabola
trunco: quae utraeque in a ductae exhibene rationes momentorum: Oua quidem ra
eio, (proxter cognirasrum magnicudines, tum cenera gravitaris, parabolae et crun-
eiu) cognita elt. Hlabetur autem momentum planorum rectis ob, circa A F con-
versis delcriptorum; est utique (proprer plana ipsa aequalibus rectis ob in distan-
eiis ab A P arichmetice proportionalibus converss descripta, arithmetice proportio
nalia; corumque distantias ab AD in illarum ratione subduplicara; adeoque ipso-
rum momenta ut series a Va: corundem vero planorum in distantiis maxime X
qualibus, hoc est circuli radio TO descripei, momencum, uc series a:) ad mo-
mentum cirerli radio TO deseripti relpectu AD rectae: uc series a V a, ad seriem
a: adeoque uc5, ad Z: sire ut 4, ad 5. Et proprerea, data superticiei magnicudine,
dabicur ejuldem centrum graritatis.
Cum aucem (uc vides) in demonstracionibus alsumpserim, nunc oc, nune oi
cansentium parriculas, in dirisionibus exiguis ipsi 00 curra parciculis coinci
dere: ne traelires tamen num hoc remere fecerim; id cuco factum incelligas, modo
animadrertas rectas oi oc, angulo contactus subcentas, pro diminucione Oc, 0i
tansencium, ita minui. ve illxe ad has rationem tandem Tubeant data quaris mino
rem, (secusenim, ansulus rectilineus asignari postet ansulo conractus minor,
ideoque eranescencibus oi, oc, tansenri e curra incerjeclisu coincident, tum
Oc, cumoi, cansencis parcicula, particulis CurrX 00.
In Paraboloeide semicabisali, quam supra memorarimus, similicer alque in Para. Panahe
bola, per Langences item id iptum expediri polse, quod per subrentas luperius ab. locides se
Solrimus, paucis ostendam.
micubica
Incelligatur itaque AO F8. 36. (non jam Parabola, Sed) Parabolocides semien. lis.
bicalis: Cujus nempe ordinatim applicatu d o = Ac, sinc in diametrorum d A p.
tione subcriplicatae duplisata: (adleoque d A diametri In IptarUM A FratIOnC sub. FiB. 36.
duplicatae criplicata: ) EF propterea dF ad d A, ut 3 act 2; _ 1S ad TA, Wt Z 24
Sumpris icaque A e, R e, arichnierice proporcionalibus, quae dieaurur p, eacumque
communis exceltus A = L e, diamerer vero d A = d = V : Frit cansen S05 = Y:
Y: 3 + E. I ut 15 = 3p, 2d08: Sicb0 = 11 = A, ad 0c
 L. Freo, ut omnes A, ad omnes AV
L. + 3e; noc
+3DL: sic A F recta, ad curram AV. Hoc eltu ut paralle logrammum cujus La-
nari lacus rectum Parabolae, unde Lalabolocides illa originem ducit.) Atgrie trinc
chiaa Converero lupertierieo hinde lodo colierueu, alque illic; ue non s opuo rese
31
Cltu VE OMPES V L, ad omnes V: L F aP. hoc CAt, ut omnes L, aet Ddes Y: .
cicudo L alticudo D = A F: ad truneum parabolae requealtum, cujus lacus re
cum 2F, ordinatim applicata minima. C, ad eoque alcicudo abseilla z L. Ouxe qui-
dem cum supra tracticis convenire, qui examinaverit, deprehender. (Nocandum
incerim s, quo hic deliopatur lacus rectum parabolocidis Semienbicalis, illic delio
662
Idem
FerC.

## Folio 564 — 851387705:0584
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000584.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
CiUR VA R UM FVDuOOIS
Parabo. Idem similicer in aliis non paucis Parabolocidum generibus obtinebieur. Verbi
socidum Sratia. Sunto ordinatim applicatae do = A c, in diametrorum ratione subquintupli-
aliarum cata quadruplicata. Ft propterea dE ad, dA, ut 5 ad 4: eIS ad E A, WE 4. dd 5.
Curva. SumpiIS AC AC, arichmerice proportionalibus, quae dicaneur p, carum que com-
muinis exceltius A = cE, diumetee d A = d = Y .l = p Y. E. Pric cangens
V: 2p 2 + p~ Y E: = pY: V f V=: Tem, UE C5 = 3P, ad 03: sic b 0 =
21 = , ad Oc = AV: F F 26V =. ErBO, ut omnes A, ad Omnes AV: Y
t2BV E: hoc est, ve cocidem L, ad roridem V: L. + B L YB L: IiC A F rectam
ad curram AO. Nempe, ut Parallelorammum, ad tigurae cruneum, cujus ordi-
narim applicatae sine V: L. 2 + 25L. V P L. Similicer: Si essene ordinarim applicata
in diametrorum ratione subsepcupticata sexruplicata, aur subnoncupticata octupli-
cata, ec. in intinitum: Ouas omnes pariter cuduvseuos capaces recte asserie Feu.
FaTIUS. (FIx durem omnes, a Parabolocide Biguadraticali, Bieutricali, Priguadrati-
cali, caeterisque quarum poreltares d numero pari denominantur, eodem plane
modo derirantur, quo supra, ab ipsa Parabola, Semicubicalis: Si enim intellisatur
ADP f3. 25. Parabolocides Biquadraticalis, ret Bicubicalis, 8c. adeoque dp, uc
V dF3, Vod L, 8C; erit d0, ut d V a d L, 3, dV d L.3, 8c. hoc clt, ut
Y, V - Bc.
Eo duvoros autem eas capaces, (ne gratis dictum videatur) paucis ollendemus. Po.
namus aurem (quia generarim asendum est) n numerum pocestatum quemris, ee
m = n F L, I = n =- T, _5 = = Z n. C u = 2 i. F.lo autem curra rectiticanda AO
(H5. 28. rel 36.) parabola rel parabo locides quaeris quae ina constinarur uc dovet
ACLic p = Vm a L, adeoque Ad vel 10, d = Y n = = V P LI: PonamuS
item (quo tractiones ritentur) ut n adm, sic R ad L. Inrenietur, eodem procesii quo
nuper, H8. 36. (proxter d A ad dt, Cire 1S ad cA, uen ad m; quod unirersaliter de-
monstrarimus ad prop. 23, 45. 4.0. Con. Sect.) c1, ad00 vel oc, ut R ad V: R2 L V
pLi: Adeoque, siponacur tis. 28. AK = R, C Ln = V: R + V. PLI: FrIL UE PAK
rectangulum ad T A Kn quadrilincum; sic recta AY, ad AO CurVaM. AEqUE
hoc quidem unirersalirer, live sit n numerus par, sire impar, lire etiam tractus.
Ouories autem n elt numerus par; crilineum R n s Cadeoque P ARu quadriti
neum,) quadrari polle, (adcoque et AO rectiticari) lic oltendimus.
Ponamus K d’quorlibet aequaliter crescentes, quae ligillarim dicaneur a ( qua-
rum maxima sit a:) quibus respondeane tocidem s’n crilineum Ln s complentes.
FIt autem a (= En E AK) = V: R3 - F V. pZI: = R; adeoque a + R = V: K
V.P Li: Eta= + 2a R F R= k2 + v. p Li; e a2 + 2 a R = V. p L2; Cv-
suS aquatIONIS utraque pars mulciplicata secundum exisentiam porettais sin dat
5. a + 2a K: = p si: adeoque d. a + 2 ab = p = A C = d n, quae omnes
complent K u S irilineum: quod itaque (quantacunque sic Dorestas S numero in-
regro delignanda) Quadrari Poterit. F. 180 C.
Exempli gracia. Si 5 =2 (quadtracum delignans) ad eo que n = 4 2 = 3, 
k = 3L: eeit 5 a + 2 a R: a + 4 a k + 4a
circumteripcum Parallelogrammum; ut-
L
4F
: Adeoque Lrilineum ac
13DF~; Ere, 1t 3 27 L A3 R + Z a R ad L V D)
3L
 a L=
Si 5 = 3, adeoque n = 6, 8 1 = 5, _ R = GL: FrIC S: a 2 = 2 aR: = a
6aR F 12a3 R + 8 a R3: Adeoque Frilineum ad circum seripium Paralle.
loorammum ut hA. A A3 K + 53 D + R2 + 243 H3, ad L3V) D L 8. Et in reli-
quis similiee. 
Sin n = 2, adeoque cum S, cum i, = +, potestatem primam designans, mulri-
Dlicatione
564

## Folio 565 — 851387705:0585
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000585.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
1110
de-
AK
LT TIanouos.
plicatione opus non crit; (cum ipla quaneitas expolica, ejusque poceltas primatan.
cundem Tunc:) Tunc icaque omnes p (crilineum complentes,) MMIbuS a F 2 a R
ligillarim proporcionales, hoc est, uc quacicum  apicatarum IH AV PCt.
bola; Sire, ue ipsae rectae (diametro parallela) ucommplemento trunci parabo.
lici, (quod nempe cum ipso crunco complet circum ler  ParalICtOSFAIMMUI
quae quidem recta, quacratis ordinatim, applicacarum in hyberbola luNC prOPOr
rionales.
Ouories reroN CILMILMCLHS PaL, allCOqueS nuMeTO MIISO NO aLSaBI
1i3: Pro 3:
:=p, Eistendum erie in : a 2 +
=p2. Ouo catu-
LiCet K~ S quactraturx capax non sic, adeoque nec AO uduionos: FH ramen C0.
nocides, istius conrerlione cirea R s, magnicudinis norx; adeoque de complanari
poterit superticies curra conocidis quae recta A O circa A D describitur. Sed non
_ exinde, propterca exhibetur etiam semituperticiei Conoeidiex momentum resie.
ctu AXis. Ouories reron eltnumnerus par; porerunt ea omnia exhiberi. Aique
dehishactenus.
Denique, ut cocum hoc de parabolocidibus negorium Cimul et lemel absolvam Sit
n numerus quilibet, m = n = X, 2 = n = ∞, TIrgue 2 = 2 ∞, _ W = 2i: delignet
aucem ipsius n ad in respectus, quota poceltas diametri quoca ordinacim applicata
Pocelloci proporcionalis Sic. Tabebieur V: a.  + 2 a H
= D2. Adeoque aBr ee
cum omnium p2 extriberi poteric; ut de omnium poteltatum iptiusp, quae deno.
minantur d numeri z mulciplici. Si vero insuper n et 2 numeri, communem ali-
quem dirisorem admittane, puta f: sirque f) N(S, _ f) Z (c. Fxhibebitur
etiam omnium pe aggregatum, ut ee poceltacum iplius pqua d numeri e musciplo
denominantur. Acquehinc dijudicandum erie, quatenus vel ipsa A O curra, vel
conocidis Cuperticies ab hac deleripta, aur hujus lemisuperticier momentum respe
ctu axis, aliare hujulmodi, exhiberi polsint rel non postint. Acque de Paraboloci-
dibus hactenus.
Pandent, Coroniais loco, splauis Csclordis curram ad examen revocabimus. Curr
Nocum eAt. Crcloidis ransentes L. I, subrentis Crculi Cichlcoris Z C, parallelas Cycloidis
Tuvra insinuatas) concidere encia Tu. Da aet C L MH Partes aequales
quoclibet in punctis Y, quae dicantur 2 = L l; unde tlane C larichmettceplo.
porrionales, qua dicantur du colaque C L =D CruHL lbique ZC = V d D. Trem
uE C X = du 2d 2. C. = Y aD; HiC Y Y vel M 2d 2. 5 = Z 1 =  2Y a L
1d  1 Sy VD IDeMMUI 
N
Adeoque, omnes  ad omnes AV vel  hoc est, Cl recta, ad cul-
vam CZ. A; uc series A qualium, ad seriem Rceiproedm subsecundanorum. Hoc
est (per prop. 87. ec segg. Arich. Intin.) ac C F Brectansutum, d conorUai fi
puram incerminabilem C F B B DC: (et partes partibus respectire proporcionales.)
Hoc et (per prOP. 202. Lrict. Intin. ) ut 2 ad P. PL prOptered C Z. A semiereloi-
dis curra, diametri genitoris circuli C F, dupla. 1011,
(Tlabentur autem ip(x YB, si incellisantur cum semiparabola (cujus vettex C,
axis C F et balis axi aequalis, adeoque e lateri recto,) tum huic elreum leripeum
BbbB 3
quadratum;
elle, et aequales; Adeoque et earum parrieulas Z. I, iplio Zd. Oulae quidem laneen.
rium parciculae (in partibus exiguis) ipsis Z. Z Pyeloidis parriculis (ob rationes

## Folio 566 — 851387705:0586
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000586.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
GURY A RUM CIDVIOIS.
quadratum; e tiat, ut rectae in parabola, ad rectas in quadrato; (hoc est, ut
YaD, ad D,) sC VB, vel A, ad quarram; eric ea 2B = -
Ya Z
t
.Vel etiam, si intelligatur eadem parabola inverse Dolita, (verricem habens
F, axem, basin, e lacus rectum, = D,) de sumatur uc ordinatim axplicata in se-
micireulo, ad ordinacim applicacum in parabola; hoc eA ut Y: d D = a: ad
V. D - d in d D: = v: D = aD: sic F B, vel B ad XB vel A
Vuroris modo eadem prodibir Y B recta.
licu
NV
Porro; Ductis tum iptis  tum =  in d = CY, (distanciam d verrice,)
habetur rario momentorum respectu rectae C. L tangentis in vertice; nempe ut
omnes d A, ad cocidem AV dD; leries primanorum, ad seriem Tublecundano-
rum; HOC esF (per PrOP. 64. Arith. Int. ) uc Z, ad 3; vel 3 ad q. Oux cadem
CA e rario Circuli ractio C F deseripei, ad Cupertieiem curra C Z. A circa C. L de
Seripcam.
Deinde; proprer linearum rectae e curra maxnitudines, uc 2 ad 2; _E MOMCnEA
uc 3 ad 4; FrIE PrOpter Z) 3 (2, distantia centrOrum GraVILALIS d C L, ut 3 ad 2:
adeoque currae cencrum graritaris distat 3 radii, hoc ell; diametri, d CF; ad co
que  racii, vel 3 diametri ab F A.
Ft consequenter; (proprer cenerorum diltantias ut 3 ad 4 e magnicuctines li-
nearum uc F ad 2;) cireutus radio lC deleriprus, ad superticiem cuera CZ. A
circa AF deseripcam, ur 3 ad 8.
Ouod iptum similier colligimur, ductiscum  tum AV =; in D - d dillan.
tiam ab F A. Frune urique momenCa, ut AD = d A, ad QVZ
vel 22
1D- 2d1∞
Hloc eltus ut 32d8.
re
ADVZ
eibine V. a
in D = d.
Similicer de centris graricatum semitaperticierum tum eirea C F, tum eirea F A,
constabit. Ductisnempe superkeiebus, cum rectis Z Y, cum curris Z Z, descripris,
in distantias Cas, Sive a CT, lire ab A F; habetur rario momenti lemiluperticiet
currae ad momenrum senticirculi. (Reliquaque Facilius quam uc iis opus sic insi-
Ctere.
Nempe, ductis tum d A Tu AV aD, in d; repericur momencum (respectu
rectae C P) Semicirculi, ad momeneum semiluperticiei curra circa candem C. F;
m series aA, ad seriem Ad V a BHoc est, ut : ad 5, sire ut 5 ad 6.
D V T
tiem, ductis cum AD= d A, cum   . WY A P, in D,  a. habetur
ratio momenti (resDeCi rectae A F.) SemicireulI, ad momencum Temituperticiei
curvae, cied eandem A F; _E series AD L. 2 a AD + 4 4, ad seriem
AD= YD
15d
Vd 2 aN a D +  Va D. 1100, ostu uE 5  3 = 53 242  8 + 3
Hoc est, ut5 ad 16.
Habicis aurem, cum magnicudinum, cum momentorum racionibus, ee unius cen-
ero pravitatis; distantia eerri praricatis alcerius non lacebir.
Sed, de parcibus similicer instimetur judicium. Diriforcique quadritineo incer-
minabili in ratione daca (quod per Srith. Infin. facile tiecud dividirus e CZ A
curra in eadem ratione. Nempes sumpta C. L ad C H, in ratione pE: 2d P2. erit
cum C ZBd ad C FBBd, tum CZ ad CZ A, in racione padt P. (Fr consequen-
Ter, Tumptis C.L, C L, eoc. quoclibet, in duplicata ratione Arichmetice propOr-
tionalium; eruntcorrespondentes C L. CZ, es arichimeciee provortionales, ipsa
que C. Z. A, in xequales parres in punctis Z divita. ). Distat aurem dF C18 recta ver.
ticis,

## Folio 567 — 851387705:0587
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000587.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
filtan
F T TIavouoS.
cicis, sive CZ eS figura, sire CZ currae, centrum gravicatis, Z (parte Fertia) re
eta CY: (perregulam generalem quam Lixistola 26 C ommercii e pistolici Tubieci
uS.) Onde reliqua Facile inrestisantur.
Vides itaque quam facile Auane horum Problematum Solutiones.
Si vero ad Crelocides Procractas aur Concractas libeat procedere; eviam Lic res non cycloeides
inteliciter Luccedet. Fsto enim, eodem C. Z F circulo senitore, Lemierelois, live secunda-
Contracta, sre prorracta, aGC; cujus balis a P aequet lemiperipheriam on, (majorem ria
in procracta, minorem in contracta;) ducantur L2, 02, rectae; eilque ad rectos an
SulO5ZC, Z.I. Eis aurem parallelas esle Z. P, 81, Cvelordum tansentes; ex Porrioet
lio, Schorenio, aliisque noium est. Adeoque (procracta proxima L2 per puncta
353L, 1) erunt Z L,61 Ip(IS Z5, Z0, aquales
Dirita jam, ue prius, C P in paries quorlibet aequales in punctis Y; policisglé
CF = D, FY = D = d =a; exic Y Z = V: a D= a2: quae dicatur s: et propter
FZ, ad Y2, uE ZZ 2dZC, exie Y C = =; adeoque ZC. = V: = + si a V
452 a
= = Y.5 + a. Tem, ue XC, ad 2C; hc XX -  ad 25 AV: 5 + at.
Ponamus deinde, P Y = a. AdeOque, PFOPTer p Z F angulum rectum, nC ∞ Y = a
ad22 =5; SiC Y2, ad Yc = -: _ 2C = Y: = + 52: = - Y: 5 + a. Trem
vt LCad 2 G SC Y Y = 1, ad 20 = -Y: 5 + 0
Et contequenter, ut Y: S2 L a2: ad V: 52 + 02 (hoc est, ut F 2 acd 82;) sineula
25 vel Z L, ad Lingulas Z0 vel 51. Fr, li he tiat ubique, YB ad aliam; erit ? rit
CF B rectangulum ad figuram sic constructam, lic Ct ad curvam lemierctoidis se
cuncariae, (hre protactae lire contractae;) es parico parcibus respectire proporiio
nales.
Facendum incerim est, figuram, sic constructam, non magis quadracura capacetm
ese, quam est elliplis curra capax Euduvoccos.
Sin libeac paulo achue explicacius rem etterre; ponanns F. 9 = P, adcoque
=a =B,  a = a = 2 a B = B2; Ideoque (propier s=
 + a = a D +2 aB + B; e 2Y: s+ a
s
a D = 2 a B ] B2
it erio
aD42 Suncaucem
omnes a D + 2 a B F P2 quadraca ordinacim applicatarum in parabo la trunco cujus
alcirudo D = F C: lacus reclum pacabola, DF2 B =gL; otdinaum axplicata
intima et minima, B; adeoque alcicucto abseitta  +. ) Si ipicur tiae ubique, us
Z2 = V: a D - a: ordinatim applicata in semicirculo, ad V: a D + 2 a B  2
ordinatim applicatam in hoc truneo parabola; sic  ret FB, ad quartam, qua
i =2a B F P: Oue ex hisce quatris constacur tigura, est ex
quam diximus ad. C F B paralleloprammum, sic elte, uc est curra lemiercloidio
prorractae contractaere ad C F circuli genicoris diamerum; et parres partibus re
spectire proportionales.
FToc isitur interese inter curram Cycloidis primarixe, et secundariae; quod Fa-
ciendum est, Oc ordinarim applicacae in semicireulo; ad ordinarim applicatas, illic
in parabola; hic, in parabolae trunco: Sc dara recta; ad quartas.
Si vero libeat currae excloidis secundarix parrieulas comparare, non ad axisC F
partes aquales, sed ad aequales partes curra cscloidis primarix: diridenda crit
C Z A curra in partes quorlibet aequales in punetis Z.: adeoque CF inaqualicer
in punctis Y; Duta (sumpris p arichmerice proporrionalibus, quarum maxima
D = D, ) CY = ; FF ZX, ut 1, 3, 5, Bc. arichmerice proporrionales, qua
omnes aequent iptam C. F, dicantur auic y. Polilio ixicur ubique 2- , pra

## Folio 568 — 851387705:0588
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000588.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Curvarum FdiVI,
a== D = a = F Z; e y, pro A; (et congrua reductione Facta : ) PrO
D = 2 a B + B2
prodibir BV:
aD = a tet cmrp 3  P 7
21
D2 + 2 B∞
3 ori C ejuldem
blahe Torstiae cum A i:  p  qua quadrancis Llipscos parriculas, ca.
rumre subtentas, aequalibus semiaxis longioris parcibus respondentes, desienandas
Tupra docuimus: ) Inde liquer; currae semiercloidis sccundarix particulas, pri
hariae parribus, aequalibus respondenres, esse un particulas currae quacrancis L. I
dipseos respondenes, songiort lemiaris, parcibus aequalibus; Ellipleos, inquam,
1t2se
cujus, temjaxis minor, est D = CF: d p, 
Eros (.cujus quadtracum quadrars semiaxis minoris addirum, dat quadratum set
miaxis majoris;) adeoque FL D semiaxis major; (nempe, sitiac, ul F P = B,
ad BC = D LB; siC F. C. = D, ad quarram; eric haec quarta, semiaxis major: )
Ouod ex supra craditis patet.
Fujus autem quadranris Ellipseos parriculis, quibus parriculas semicycloidis
secundaria diximus proporcionales, non camei aequales dicimus, (adeoque nec
roram cori; ) Tunc urigue ad illas, uc = B, ad A C pariem aliquoram iptius
D = FC:) ut ex jam cradicis pacet: Hloc elt, m B ad A; (elt erim y ad p,
ut Z A ad. D, quod moxoltendetur:) sive ut2 B ad D. Adeoque si tiac qua
drans Mlipseos cujus conjugati axcs, ad axes conjusatos ellipseos modo dictae
SInE ut 2 B ad D: (hoc est cujus semiaxis minor T, 2B = 2 F ∞; major 2D +
2 B = F C F en:) Frit quadrans ille, curra lemieycloidis secundaria, aequalis:
ec parces parcibus respectire. Sux Nrennii nollriiraditis comparala, invenio
ConVenire.
18 eel
Ouod aurem y adp,s sit ut 2 Aad D; sic, E opus ell, probabicur. Omnes 
(tOL, numero quor In D Supponunult parces aequales ) tunc series arithmerice
proporcionalium quarum masima D; cujus semilsis ( propter cerminum mini-
mumi intinite exieuum) ductus in numerum cerminorum =, exhibet = =, om.
njum sumnam. Sute autem omnes y arichmerice proportionales, ee quidem cocidem
numero, quarum item cerminus primus est intinite exiguus; omnium vero summa
est ipta D. Adeoque (cum utraque sic progrettio arichmerica, ab infinice exi-
suis inchoaca) erumc cum omnesy ad omnes p, rum ad tingulas singulae, ut D
ad  hoc ells ut. 2 A3d D. Ouod dietum erac. 
Acquo haec suntNic Dobilissime, methodi noltrae, cueras ee rectas comparan.
di (adeoque tum Lincas Rectisicandi, cum Complanandi Superticies Curvas,
aliquot specimina; cujus (ut vides) examini, cum uorum quadam, cum de alio-
rum nupera inventa subjeci. Putaram alia quaedlam addicissé; sed ne in volumen
exeac Epistola, prolpiciendum cst.
Meihodum, quam memoras, de Mavimis e minimis, ejusque ad Fangentes
ucilirarem; vide an non ee apud nos, ucuc nominis ignaros, iltius pallum exstent
Specimia; cum Con. Sect. prop. 23. 27, 28. 30. 36. 39.46. 49. 80. tum de Aneulo
contactus aliquoties; sic Operis Arithmetici Da8. 12F. +22. cum alibi lape.
Ouod autem tu detiac re commentus es, si placeat proterre, non dubiro quin Ma.
chematieis gratum sic fucurum, ue cua Colent eAe omnia.
inTrem Flementa Conisa seorsum a Cono, nos etiam cradidimus, uri nolli, in meo
De Conieis Sectionibus tractatu, parte Palcem posteriori. Sed non eo minus gra-
cum exic, D. de Wult, quod memoras proditurum opus.
Fhoroloeium cuum ingeniosissimum; de Felicistimum De Saturni facie Systema,
(de quibus antehac ad te scriptimus;) intacta jam praetereo.
Ouod habes de Theoremate meo de Pytamidis seu Coni Frusto, quod exposi
Tum

## Folio 569 — 851387705:0589
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000589.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
P1O
e
e
nCL
MInI
12fa1
1158
LL LCNOUOS.
erad. 120. brevius posse demonstrum; omnino recum ell, neque id ignorabam
Sed illam ex rariis quae prae manibus erant demonltrationem selegi, quae d tri
ctione ansuli depender (tanquam elesantem utut non brerillimam) depromp.
rum cum Oxygonoes proprietates limili Dlane mechodo demonttro. Sin bre.
Horem malis, hanE LaBEaS.
cum est Commereii Epistoliei FP. 23. nempe proprietatem Trianeuli ambiveonit
tam ex tractatu quem ante decem annos, de Angulorum dectione, exercitatio
nis gratia conseripleram; ubi consimiles aliorum criangulorum cum Amblysonio.
Sit C continuatio lateris utriulvis, pata A, usque ad perpendiculum P. Frit
(propter externum angulum sract. 60.) C = = L. Adeoque f9 = F, 9 - a F9
E9. Et Q: A F C: = A9 F AF F = F g. ErgO F9 = A9 F AF +. F. G.
Quod crat demonstrandum.
Superest, ucraedio, quo re hactenus detinui, tandem liberem. Valeas interim,
oro, nobilque tareas, et amare PerBAS.
dccc

## Folio  -  — 851387705:0590
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000590.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
e
ipierier si
vicis 53, 11
et) Sese sliasi
e
i siue B  
 ei edit Etei.
 scit  im ciu
. 
als 

## Folio  -  — 851387705:0591
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000591.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 11 lines, status machine
 IATIC A.
SIVF,
SC HOTO
R ACY AYVS CFEOM E YR IC U S.
P ARS PRFM A.
TN OV A,
De Notu Generalia.
De Cravium Descensu, es Moruum Declivitate.
De Libra.
Anno 1669. typis edita.
Cccc

## Folio  -  — 851387705:0592
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000592.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 3 lines, status machine
iet pat s e sisrt hm id oit
16 1 et
3: 112, SUic

## Folio 573 — 851387705:0593
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000593.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
FTONORATESSTMO DOMTNO
D. GVLTPLMO BROUNCRER
R Q W Y Y L A U R A FO;
BaTONI BROUNCKER de Nerecastle, VicCCO-
miti BR OUNCKPR de Lions; Screnisima
R FCT A Majectatis, prO RC NAUTICA
Commissario; Screnissimae R EOIN F. C an-
cellario: Recalis Societatis L ONDTNI, pro Sci-
entia Naturali promovenda, Praelidi Dienil-
Cimo.
N habestandem (Flonoratissime Domine,) eorum
partem, quae. Puis Regiaeque Societatis (cui Tu
jam a pluribus annis summo cum honore Praesi
des) mandatis obsequens, anno ab hinc secundo, prelo
commiseram. Speraram equidem Opus interrum bre-
viore tempore absolvendum fore: Sed. partim ob eam,
quam causantur Trpothetae, rei difficultatem, e inso-
lentiorem erpos ponendi modum; partim ob meam Oao-
nio acentis) perpetuam fere a prelo absentiam; partim
quod aliis sub inde occurrentibus necotis impediti Typo-
thetae non huic potuerint semper intenti esse; factum
est, ut in loneius protractum sit necorium quam spera-
verim. Ilinc est, quod, quem totum una vice proditu-
rum Tractatum destinaveram, jam particulatim prodeat
Cujus jam habes Partem Primam, quae totius Funda.
menta continet; e speciatim, De Libra doctrinam.
duam propediem sequetur Secunda, C quae De CentrO
Craritatis erit; ejusque Calculo, in fieuris quam pluri.
mis curvilineis, atque ex his oriundis solidis, e super-
siciebus curvis, satis intricato:) Otpote cujus partem
maximam jam absolverunt operae. Pt. post illam, Ter-
tia; quamprimum per Preli difficultates licebit. HIOc
autem, quieguid est. Tuo potissimum nomini dicandum
duxi; non tantum ob eam quam Tibi debemus obser-
vantiam, (quae tamen maxima est,) eamque quam à
pluribus annis expertus sum tuam in me provensam
CiCCC 3
smi-

## Folio 574 — 851387705:0594
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000594.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
Amicitiam: Sed e ob eam, quam cum summa Nobili
tate conjunctam habes, summam hujusmodi rerum In-
tellicentiam. Duanquam enim cravissimis necotiis alias
occupatus: tum quae Rem Nauticam spectant, quibus Se-
renissimo Resi inservis; tum quae Serenissimam Regi-
nam, cujus tu curas necotia; tum quae, cui Tu Praesides,
Societatem Resiam: Pa tamen in rebus Mathematicis
perspicacia, summoque incenii acumine fretus es, quasi
tu huic tantum necotio intentus esses, e nulli secundus.
Ferum quidem est, tum ea quae hic habes, tum eorum
quae mox insecutura sunt partem manimam, ante plures
annos scripta fuisse, (quod norunt saltem ii in quorum
privatos usus exscripta fuerunt exemplaria; e quibus
jam urcentibus prodeunt:) Sed eo audacius in lucem
jam emitto: quod Tibi antehac perlustrata non displi-
cuerint,  Je jubente prodeant. Tu porro peree, quod
facis, rem literariam  ornare  promovere: Nec
averseris interim,
Noremb. 10, 1668.
Lut boservantas iecte
Jol.. Matlto.
Mccllanica:

## Folio 575 — 851387705:0595
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000595.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Bitt.
(i.
lias
Se.
es1
d0
qiuis
past
dIS.
ut
ures
ruM
ibus
CCM
ispli
Neb
quod
1l
cactatus Creometricus.
De MOTU CFENERABIA.
DE F TN T FTON F S.
T. DTECHAHEOEN, appello, Geometriam de Motu.
Fchanicae arces, per concemprum diei Colene illiberales illae Cerdo.
num artes, e his similium, quas rude rulens exercet: ad quas Ld-
bore magis quam Ingenio ridecur opus. Hc distinoui Polene, non d
Ocometria tantum, led ab aliis etram Lneenuis, (quae mente magis
quam manu exerceri Colent; atque acumen animi rel poltulane rel faciunt;
Liberalibus dictis; uE quae Liberos deceant; ut, Servos, Serriles illae de illibe.
rales.
In re Geometrica; Mechanice quid Factum, non Geometrice dici solet; quando
rudi zapueria, vel macerialis instrumenei applicatione, aliisre mediis non ablimi-
libus, aliquid metimur: nOn Srodemrms. Puta; Si quis, admoto Filo, ad Di2-
mecrum primo, deinde ad Perimetrum Circuli, quam haec ad illam rationem ha-
beac inveltisacum iret; camque, experimento facto, cripla paulo majorem inve
niret, vel criplam sesquisepcimam proxime: Mechanice tactum diceretur. Secus
autem; quum Archimedes, modo Cieomarico, e Demonstrationibus ab ipla Cip-
culi natura pecitis, eandem in libro ael s’ ninno verehorcs inquisivrit.
Nos neutro dictorum sen (u Mechanicen dicimus. Sed eam Creometrix partem in
celligimus, quae Mocum tractat: acque Ceometricis rationibus, et diroscunnus, in.
quirit, Jua ri quilque MOTIS PeragatuT.
Nomen ain aNxeris Corcicur: quia Machinis construendis maxime interviac.
An autem Mechanica, Mechanica, dicatur, (numero singulari) an (pluralirer)
Mechanisa, Mechanicorum; Perinde est. Id est, ru aset reor Mnrcercoi an H adet y
Muzarcor (Teil. rezon, vel exissum vel Mctonanta.) Nam ad eandem Formam dicup
tur, Crammatiea Losiea, Phy sica, ecc. Ut incelligatur, vel n gaxpamen nogrm quomii
rel ra geauuunnen noyres quorna. HOC Ct H asei reor geouurcor, aset rs noyo, aet + quoccos.
(rexon Stistium Ssuononia,) aut ra aset Fur, 3C. Oua de re videatur, ( libet, FL. Ste-
phanus, De abusu Craecae Lineua.
Sed e (ab isnum pendo pondero,) etiam Statiean diei solet, vel Mechanice cota,
vel ea salrem pars quae de Ponderibus agit; quae, quanta Tinc, ad Libram (Sud uor)
solent examinari.
TT. Per Notum intellisimus, Mocum localem.
Sanquam enim de pluribus Mocuum seneribus agant Logici, aliigue; puta
LGeneratione, Anomentatione, Alceratione, eC. (quae omnes an ad Mocum
Localem reduei postine, non libet hic disquirere:) NoS Morum hie in Famosiori
signitieaem incelligimus de Noc Locali; quae quan Latio, dici Solet.
Circa Nocum aurem, multa consideranda reniunt: ut Vis, TempUS, Resistentia,
Lonsicudo, Momencum, Impedimentum, Cetericas, Craritas, Pondus, C.
LLT. Momen.

## Folio 576 — 851387705:0596
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000596.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
De Mocu, Generalia.
TTI. Momentum, appello, id quod mocii efficiendo conducit.
IV. Impedimentum, id quod motui obstat, vel eum impedit.
AOmentum, eadem racione d verbo Moveo descendic, acque Impedimentum
l ab impecto: Factem scilicer Analosia, qua et alia Verbalia, in men de men-
rum finica, a suis verbis. Nam, uE a Luceo, Tumen: a Fluo, pui; Flumen: 2
Nuo Numen: a Leco legumen: d Faleeo fulsi: Fulmen: a Fuleio fuleio fulei
tum, Fulcimen, e fuleimentum: a Doceo, docui: Documentum: à Monseo mo-
nui Monumentum: ee a Monitum, Monimentum: d fuvo, juvi, jutum; Jumen-
Tum: ab Adquoo adjuvi, adjutum: Adjumentum: a Fuvatum, Tuvamen: a Stan-
de Stamen: a Sterno, Stravi, Stratum: Scramen, Stramentum: a Flo, pavi,
satum: Flamen: d Fari, fatum: Famen: a Franso, fresi, practum: Frarmen
ee Fraementum: a Reco, rexi, rectum; Reeimen: ab A80, esi, actum; Aemen: ab
Arceo areui arctum; srmentum: a Rado, rasi, rasum: Ramentum: a Caedo, ce-
cidi caesum: Caementum: d Forqueo torsi tortum; Formen, Tormentum: a Nosco-
novi, notum: Nomen, de Nobile: Sic, a Moyeo, movi, motum: Momen, Momen-
tum, ee Mobile. Sed et Moles, molior, molimen: nili quis haec d nox ncvco, dedu-
eta malit.
ad Momencum retero, Vim motricem, et Tempus. Oux, quo majora sune, co
masis efHICILUE MOTLS.
Ad Impedimencum, eetero, Resisteniam, de Distantiam. Ouae, quo majora sume,
eo maxis morus impeditur.
V. Vim morricem, vel etiam Vim simpliciter, appello Potentiam effiviendi
motum.
VI. Per Tempus, intellico, Temporis spatium id, in quo motus transpitur.
VTT. Resistentiam, sive Vim relistendi, Potentiam Motui contrariam; sive
quae motui resistit.
VIII. Per Dictantiam sive Fonsitudinem motus, intellico, Loncitudinis
Satium illud quod moru transicitur.
TX. Celeritas, est affectio motus ex comparatione Longitudinis e Temporis
resultans: Depote quae, Quo tempore quanta Longitudo transieitur, deter-
minat.
X. Aqualis Celeritas, est, quae AEqualem Longitudinem, A. quali tempore,
trantioit.
XI. Mlajor Celeritas est, quae Majorem Lonsitudinem s quali Tempore
transieit: vel inVlinori Tempore Loncitudinem sEqualem. Et quidem,
I CA TaTIONE MajOE, quam vel illa Loneiudo, Major est; vel Tempus, Mi-
nus. MinOx; quae contra.
ZII. Cravitas, est vis motrix deorsum; sive, ad Centrum Ferrae.
Codnam sies in consideracione Phylica, Cravicacis principium; non hic inqui-
rirmus. Slequeetiam, An Oualitas dici debeat, aueu Corporis AHectio; aut,
quo alio nomine cenTert par sic. Sire enim ab innaca qualitare in ipso gravi cor-
Pore; live a communi circumstancium versencia ad cencrum; lire ab electrica vel
magneciea Perrae tacultace, quae gravia ad se alliciar; et eMuriis luis, tanquam
carenulis, aurahac; sive alias undecunque proveniat; (de quo non est ut hic mo.
reamus lirem: ) Custicie, ur Graricaris nomine, eam incellixamus, quam sentu de-
prehendimus, Vim deorlum movendi, tum iptum COrpuSGraVC, Tum quae Obltant
minus elicacia impedimenta.
Et quidem, quanquam de Nacurali Graritate (prouc concipi Toler) seu ipsa
corporis altectione, qua, tua sponce (ue solet dici) deorlum rendic, directe incel-
SaTUII. Famen, quoniam nihil incommodi inde provencurum videtur in lequenre
propotitionum serie, criam(i de externa vi concinua deortum premente recta ad
Centrum Terrae velu quis eas incerprecari; non eram solicicus vel hanc ex Gra.
viratis detinicione excludere. Ouxe enim de Ciraricare atirmaneur, de quacunque
ap. I.

## Folio 577 — 851387705:0597
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000597.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
NIN7
1OrI
eter.
DeF. XTII. De Moium Catarau
Vi continua, secta ad Perrae Centrum morente, perinde rera SunE; Sire sit ea vi
innata, Cire adrencicia.
Ouae aurem de Gravicace dicta sumc, respectu Centri T’erre; perinde de quavis
alia morrice Vi continna porerunt incellisi, respectu fui, quo cendit cermini. Adeo-
que S rox ea, particulari significatui hactemis accommodata, quarenus Terra C’en
trum relpicit, laciori sentu intelligatur, de quaris ri moirice concinua, recta ad
Tuum terminummorente: non minus vera crune quae craduntur; sed d FOrtan
magis aecurace dicta; dum generalia sencralirer efferuntur Sed quoniam de Cira-
vitate Soleniea speciarim tradis qua continux Vi Mocrici univortaliter conveni-
ant: Fgoetiam communierrori catenus me accommodari, ut interim moneam, sC.
neraliter esse vera, quae speciatim efferuntur. Ve mox dicetur Futius.
FELWII L aN Bu
ZIlI. Per Loucusentelliso gravitatis mensuram.
Danu seu Pendeo, ec Polmas, parem habeneincer se cognationem atque apue
105Neish et Meieh,quae a Patinorum. Veho rideneur, descendisse: Licur
etiam Wayn et Wason, qua Lacinis Pebes et Kehiculum dicuntur.)
An vero Pondus d Pendo, an hoc ab illo dicatlr, non masui inserelt; an, quod
cgo malim, utrumque.
Fst urique Verborum Penas _ Pendeo dux lex significatus, Prior eA Z0 LLanS
Aquo Signiticatu Pondus dictum Duto: (Ticut d L e80, Fo4; d nVinco Pompa; 2
peps Bouat Phombus, eC.) idemque ligniticare quod Crxeis Onnn, et proprie de
Cravi pendente dictum: Adeoque ab Onere distinouiu quod Craecis’omo, (unde
e Onus descendisse videtur;) ut Pondus, t quod appendet; Onus, quod Incum-
bit, Grare: Bapo, urrumque. Sed et, ab a jaos A dos etiam acttuc latilis videtur;
quod quocunque Adisit, vel impellic; cum illa eria Crrarium nomina (onnn orne.
BaipO,) non nili deorsum tendentia delisnene: utuc laxiori sensu promiseue non
rarousurpentur omna.
Polterior Verborum sigpilicatus, qui elt To Weish, a Pondere ortum praxiste vi-
detur: ur quod sit, Appense ad libram Pondera examinare.
A priori signiticatu, dicimus, Appendo, Duspendo, Dexendoo, Pendulus, dcc. A
posteriori, Perpendo, Sapendo, Impendo, Rependo, Pensum, Pensio, dC. (CX mOre
veterum, qui Pendere Polebant NNummos quos nos LVumeramus.) Scd et P erpen-
ao Fpendo, ecc. sentu Mecaphorico, aet animum cransteruntur; à polteriori
Tieniticacus quando ve ad Libram Pondera Tic Res Animo Denlitamus: GCUE d
Priori, dicitur, Animi pendere suspensus animus, spe pendulus, 
Differunt aurem Pendo, et Pendeo, non alicer quam Frablicirum ab Intransi
tiro. Ouod in ejusmodi Forma Verbis, ulu venit. Or Pando, Pateo: Mando
Maneo: Tendo Teneo: (carceri Mando, in carcere Maneo: morem Obtendo, mos
Obtinet; Tenet sententia, ad me Aiinet, Pertinet, c.) Vendo, Veneo: Tenunde
Venum eo; Circundo, Circumeo; reliquaque fere a Do et Lo compolica; ut Subdo
Sabeo: Prodo, Prodeo: Reddo, Redeo; Traco, Transeo; Fdo, F Neo: Condo Cger
Aodom Aeo; Adao, Adeo; Tndo, Lneo: 0bao Obeo; Perdo Pereo e qud sune.
simitia.
F8o aurem, neclecto A quod est inter Ponaus et Omis diserimine, (guo 7)
vram, illud: hoc, rectem maxis spectet, d per Pondus jam incellico, iam, in
ucroris. Cravicatis mentyram, quam ad Pibram Solemus exatriinare.
Ponduis sic intellectum, aut Cravicas etiam; prour rel in Movence, vel in Mo
bili consideratur; ita rel ad Morendi, vel ad Relistendi rim perrinebit: Adeo-
que nunc ad Momencum, nunc ad Impedimentum releretur.
Fx quidem, cum ex ommibus Virium Generibus, non alilid tic quod accurdcils
ad exammen rerocari Tolet, quam Pondus; Tolemus, ad hujus vormam, re liquas rune
Virescum Relistentias xstimare; ea (que tantas reputare, quanto Ponderi aequipoltent
Et quamquam cum Pondus, cum Vis etiam, ex aequo respiciant, vel rim MO
vendi, vel rim Retistendi: cumtamen, ut plurimum, quod motum itur Pondus
sic, seu Ciraro; Vis antem, quae efficiendo motui achibetur, (ic nON raro Nis LLV
mana, auc Animalium, aue Ventus eciam, aut vis Lilaltica, alixere plures, non mi
nus quam Cirare Pondus: Ponderis nomine, plerumque, rim Resistentia, in se
quencibus detisnabimus; et Vicium nomine, rim Motricem OBi secus etIC incelli
sendum; dictorum series satis indicabit.
Dddd

## Folio 578 — 851387705:0598
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000598.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
De Motu, Generalia.
CaP. I.
Tonsicudinem appello.) Sin curda seratur Mobile, (cujus Directio in
ZV. Drrectionem Virium, seupoventis, appello, Rectam qua tendit vis
Motri. Motusqa ansuram secundum hanc astimatam, appello NOtus
Alcicuamem.
Scque hec Virium directio in Descentu Grarium, Recta deorsum ad Centrum
Ferrxe, quo Craria spoesua rendunt. Ouales quidem Rectae, quamquam
in Centro coeant omnes, Pre Curallelis tamen haberi Polene: Tum quod sentrium
judicio cales sine (non enim valene sentus distinguere inter vere parallelas, e
quae rancillum a parallelimo declinane;) Tum etiam quia si incellisatur, verbi
Gratia, Libra Jusum adhuc lonsius d Perra removeri ad intinicum distanciam;
eric ea declinatio quaris astignabili minor.
ZVT. Declivitacem, seu Craca Dectivitatis, appello, Respectum illum.
qui ex motus Altitudine e Consitudine comparatis, (ob variam Directio
nis Nocus ad Directionem Moventis positionem,) emereit. Atque Accli-
ritatem similiter: qua Declivitate non aliter differt quam quod altera
Puta, FO, dectivis; OF, acclirisrecta.
ZVII. Aqualem Declivitatem, axpello
qua, aequali peracta Lonsitudine, aequalem
Alticudinem peraxit. Atque Rectiritatem,
similiter.
XVITI. Majorem Declivitatem, vel Accli-
ritatem, dico, quae aequaliperacta Longitu
dine majorem Altitudinem perarit; vel mi-
norr Lonertudine, Altitudinem aequalem. Et quidem, ea ratione majo-
rem, qua vel Mbitudo illa major est, vel Fonxitudo, minor. Minorem:
quae contra.
Terti pracia. Sic FP, directio movencis, (puca, recta ad Forironem per-
S. Pendicularis:) FO, F B, vel FC, directio motus, (Dura, obliqua quaelibet,
per quam descendat Grare.) Si FO, FCy lonsicudine aequales, sint A. que alix:
Siqualiter dectives; dico: Sin vero, Longicudine aequalium altera, uE FO, SIE
alcior; eandem ec Magis declivem dico. Similiter; s AA que alEX FO, FB,
quarum alcicudo tc iDG F P, aequalis,) sine et Lonsitudine aquales; Aqualiler
dect
Brerior quam F B
XLX. Obliquitatem vero, hujusve mensuram, appello Aneulum quem facit
cum Perpendiculo, (vel Directione Moventis,) Directio Notus, seu Linea
qua fertur Mobile.
enta, OFP.
ZX. Inclinationem vero ad FTorizontem, appello, obliquitatis comblemen-
rum, sive quem facie Aneulum ad Florizentem, aut ad rectam Directiont
d deto L. L mmularem.
XIV. Directionem Mobilisu aut etiam MIOLuS, appello rectam qua ten
curvam in illis punctus Recta contineit.
dit Nobile. (NTotusque mensuram secundum hanc aestimatam, MOES
sineulis punctis immutetur:) ea est, pro sineulis punctis, motus Directio, quae
Descensum, ascensum altera respiciat.
et tdL.
Dectia

## Folio 579 — 851387705:0599
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000599.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
(0r
illum
irectio
ACct
altes
ACC
o
De Motu, Creneralia.
Fetivicarem aurem ab Obliquicate, de Snelinatione, (quamquam ex una reli-
qua dependeane,) diltinsuere necesse duxi; quoniam Obliquitas  Incli-
natio Angulis menturari tolene; Ea rero Dessivilatis racio mihi cractanda vide
batur, qua rectarum inter se rationes respieiat. Ouippe, qua inde dependent, non
quidem vel Obliquicatis vel Inclinationis Angulo, led Alcicudini rectarum longi
rudine aequalium proporcionalia, vel in reciproca ratione Reclarum Alcicudinc
raqualium, in segiencibus deprehendentur.
Porro: Cum ea quae de Gravitace diserrè dicta sunc in sequentibus, non ita Gta
ricaci sint peculiaria, quin uc plurimum alii cuiris continuae ri motrici accommo-
danda veniant; adeoque e unirersaliter tradi debere videantur, (ut modo dictum
elt:) Cux illud nominatim de Grarirate proculerim, caula est, quod, cum Cravi
um mocus teequencius considerationi homminum exponi toleat, adeoque vocabula
hure accommoda, menei tamiliarius se ofterane, cicus animo percipienda duxerim
guxe de hoc moc (qui ex mulcis unuselt, sed prae exereris magis norabilis,) crade
rentur, acque ad hujus deinde normam incelligerentur reliqui.
Ea vero tienc generalia (nec minus incerim demonstraca) interposica laxiori
hac Cravicatis (cum connexis) detimicione.
aclarit
X X I. Per Cravicatem, lavius acceptams intelliee, Vim quamvis continu
am in quamcunque placam motricem: Per Terrx Cenerum, intellige
Terminum quo tendit vis illa motrix: Per Perpendiculum, vel Rectam
ad Terrae Centrum, vel etiam Rectam FTorixonti perpendicularem,
intellise, Lineam Directionis Vis motricis: Per Delcentum es Ascentum;
Approxinquationem Es Flonrationem a Termino Vis Notricis: Per Re-
ctam FTorizoncalem, vel Florizontale Planum; Rectam, seu Planum,
lineae directionis moventis ad ancules rectos: Per Descensum, vel Ascen-
sum Obliquum: Fationem secundum Lineam quae Lineam Directionis
moventis oblique secat, ad moventis Terminum Accedendo, vel inde Rece-
dendo. Caeteraque similiter accommodanda sunt.
ZXII. Machinas, appellon Instrumenta motibus examinandis, vel etiam
facilitandis, forinsecus adhibita.
Valia Cunc Libra, Vectis, Trochlea Coehiea, avis in Peritrochio, Cuneus, e
similia. Ouorum Detinitiones Titis
eriulquam aurem ad Machinas illas separatim considerandas acccdamus, guae
Nechanicorum scripiores tractare Colene: Praemicienda erun communia quxcam
Qua omnes ex aquo spectant. Ouae sine Principiorum loco, et d quibus reliqua
dependent, qua de lingulis postea tradenda erunc.
Idque eo magis mihi faciendum incumbere videatur: Outa qui antehac eractan.
dum hoc sulcepere nesocium, videncur cuira Principia consticille: nec ab imis
eruca functamentis, etiam ea quae lana lune, cractidille: Sed postulalte pOcius, qux
ucur vera line, Demonltratione ramen aliqua videntur indisere: Onde, cum, in iis
qua consequuneur, minus acquieleat animus diros eisccos avidus, cum et ea minus v2
leaeus in vora muexia, ampliacc.

## Folio 580 — 851387705:0600
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000600.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
De Motu Generatia.
Cap. I
AC I
3er 1B1s. I3lF. 1115, 2 dS
Oux ad aequalia candem habent rationem, sunt inter se asaa.et
CCOnEra. I  gIS ElS EMa SI sisD c
18. 2. 111113. L Ot e3is) A = L. 2 A ==2 F. r 3 A == 3F. n A = r R  aeIOV
DOta; Si A, F sine inter se aqualia; erum et inier se aequalia L A, Z R.; iem
E 3 A, 3F; EE universalicer, r A, r F; cujulcunque rationis Indet LicY. Per
2. Prop. 5. F.1 Fuctidis.
D2tC
3i
ELOIXSiL ASHIBTISMI CmnSerStC
Obi ratio ex duabus pluributre COmpOnITuE; DRtIS CompONCHLIBIS.
datcur compostea. Nrempe Mulciplieatis invicem exponencibus com-
Ponentium, ut habeatur DXPOnONS COMMPOME
(1 5. 3 d cslessita
113 1SLE SEECSIACG 115) A 1711 5i1. FFig 19. a
critu i
st
FrMEIN
103(.
e
YA
rE
 5m 1BIZL CCAWCSL SIASN 
Fig3.
ei
cirvitoriiet MrineiA a aXC
23est atitis
o132
oo ot line lu
axe ACFa.
X -
r5F
1g. L.
us indir vssom
repe
Mam 2Y3 = 6.
X2 X
sctE bie
COnco, datarum Rationum componencium, dati Indices seu Exponentes (ra-
Ltionum mansmras appellar. Fuctides; quod duantitates exponune Interpretes;
malim Duorientes; id enim rulc quod ex termini Ancecedentis per consequentem
dirisione emeroit,) anc. Dacur, inquam, Racio ex his Compolica; Fa Rempe Cu-
jus Exponens elt a = a X C. (ver 5. Def. 6. Flem.) Ouod crac demonstrandum.
dimilicer, oltendecur si plures ellent raciones comporentes, puca l adr, m ad 5y
n n
n ad c; quae ex his componicus, est rario 1mn ad Y AL. PCOPre = 
ut EAE AtE
SC HOL ZV M.
c.
imn
YSF
Vohac rectius incelsigantur, notandum erit (quod non pauci perperam
accipiune,) Raciones, puca Dupli, Pripli, ecc. Indices seu fxponentes
habere 2,3, _c. Onde Denominationem Sumunt: Nempe Ouotientes
terminorum Antec
+ 2d2, F.XpOnenS est 2; quia 2) + (2: quam itaque Dupti rationem dicimus.
Racionis 6 adt 2, Exponens ell 3; quia 2) 6 (3: qux propierea diceicur Fripti ra-
i0. Fc univertim, Racionis l adr, F. Xponens est: nempe Ouoriens Anceceden.
tis  per Consequentemr dirisi.
FIOS Indices (IVC Exponentes, appellat Fuclides, Rationum mamonris; quod
Quancitates exponune Interpreces; expotuillene cunius Quotientes. Ouippe illud
rult Kaclides, quod ex Antecedentis per consequentem diritione emergic. Dixit
autem mamoruras porius quam rorsmrus, uc illos etiam Ouorienres comprehenderet
qua
P RO P. VT, 51
, I
Fig
OFL 5A25.S

## Folio 581 — 851387705:0601
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000601.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Pet
OM.
ibus,
PFOP. PCL. De Motu, Generuu.
quae non csenc numeri Inceori, sed Fracti, aue Surdi, Scc. Nam Quotientis Live
rooios vocem, sricte sumpram, non de aliis Ouociencibus, usurpabant quam qui
ellene numeri inceori; qui oltenderent duotuplus, 200a, etler Anreceden
Consequentis: AC mamons de Ouoriente quolibet, uccunque Fracto; vel Irratio
valius dicebatur; qui non modo Quotuptus, (Duta, Duplus, Lriplus, Quadrupus, ec.
Sed ee mnonnaore duantuplus estet Ancecedens Conseyuenris, oltenderet: puta
Duplus cum semisse, Friptus cum quadrante duadruplus cum besse c
Detinic aurem Puctides, 5. Def. 6. F.L. Rationem ex Rationibus compositam, dict
quando illias Laponens (mamorus) ex harum Lxponentibus invicem multiplicatis
consicitur. Adeoque, ex Rationibus Dupli e Tripti, componi, Rationem, Sextu
ph; (quia feilicet 2X 3 = 6:) nihit aliud est, quam, quod vulso dicimus, Duplum
Tripli, esse dextuptum. Tem L Dupli e Sesquialterius rationibus, compont
rationem Fripli (quia 2 x 3 = 3.) idem elt acque, Duplum Sesquialterius, Friplum
esse. Duoniam vero hoc in omnibus racionum compolitionibus non ita commode
ad posteriorem hanc tormam, proterri pollic; priorem itaque adhibere (olent. Pu
ca: Rationem 9 ad 4, ex rationibus 3 ad 4  3 ad L, componi; pocius dicunt
quam Duplum Sesquiquartum (2 = 2. 2.) esse, Subsesquiteriu Triptum; quia sci-
licet 2 =2 x7. Id iplum tamen urrobique significatur. Ouod quidem qui pott
advertunt, tum Fucliais detinitionem rectius incellioene, tum et de perplexa ir
componendis rationibus distieultate s fortasse conguerentir. Salietu quiet
nos in hac, e sequentibus propolicionibus incellectum volumus, Paris allequoneur:
qui Rationes lotemus per earum Indices vel Fixponentes delirnare s. CPuta2 A.
Duplum quancicatis A; 3A, Friplum A; 3 A, Sesquialcerum; 2 x3 A, Duplum
Sesquialcerins; A, quod est ad A, in ratione l ad r; - x = A, quod est ad A,
in ratione quae ex l ad r, et m ad s, componitur. Ec in reliquis smilicer.
Dat Componentis LxPoMentem, ut habeatur Lxponens reliquae.
Similiter. I ex quoldbet componitur; Data compottla, et relunau
vel quoclibet componencium, rel ex lis compolitai datus compo
Sta ex reliquis.
a) a (0.
.
265:
ui cadim. L) 2mx. ( 13, si Sm . Imn. porii rocdilis. m eoBnesiBeIBC F6. 3
rS AILARIBEC Isdis ZLFrEI Losi CBEYC) sirep sret
TE Bationis CompotisX Exponens datuls a; datusque unius ex componentibus. d. L. diil
DExponensa: Datur, inquam, reliquae Fxponens e. Cum enim (per prXced. )
Sit axe = a: Si divicatur a per a; Prodibis e, Exponens religuae componemis.
Similiter; Si compoliia ex pluribus FxPOnenS
M
demur, uniulque ex com-
Donencibus-; illo per hunc dirilo, prodit exponens compotita ex reliquis
nn
sit ceric.
t
im
hithuere ca
Darisque tum EXpomente compotitae, cum aliquor compohentium,
aue ex his composica, = e = vel s dagur exponens religuae, vel ex rel.
quis (S Plures Rue P compbica; B. 1cgu Os ciuticeris. st aise veji 33 sL 10 etHC
asdit
132 Fis io Bi. HL CILiA: 5. 191103 3it
P R C
Obi Ratio ex duabus componiturs Daca Composia, et Conpionen.
tium una; datur altera. Nempe, Dirilo exponente ComPatica, Det
+L

## Folio 582 — 851387705:0602
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000602.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
aP. I.
De Notum Creneru.
Onendum interim est: Intellisenidam elle hanc Propolicionem (de quae trine
Vere quancitas, e tinita: Non o, vel Intiniums.
OlivDe, E quae lupponiur compeneticium altera data, sic nullius quanciraris
(Duta; uc 0 ad L,) quaecimgne Tic Componens cellua, Compoca eliam nullius
nens reliqua non CoMtabIL. LH CHIM tAM OX Y = O, Quam OX 2 = 0, AUE OXZ
=0, dc. Nucdus numu peride nullum est, acque Nullies Duo, vel Nallies
Pria, dec.
iis dacis,s quaenat  lera tabios esta trlellgiue, cum insinica compolica, erram
Insinicam exhibete.
aquae Pe LaHOSCaS. Cu astu Sacttre compota, 
Gonus
SElA siplic
5 C 7I,8. LL M. 1t
LVL dependenc) de ejusimodi Racion Componence data, cujus Fsponens elt
erit quantitaris: Adcoque, ex compolita, es illa componente, qua tuerat Compon
Similiter; Si AE Comsponencium alielau racio Lnfmt (CujuS IndCK HC ∞.) F AL
enim tam COx F = B, quam COX2, vel ∞ X 3, 8C. Infinities Onum, paricer Lune
Insinica, aique insintus Duo, vel infinicies Tria, ec. Non constabie itaque, ex
eoq isp 1B b P RO P.
Si Racio quaeris cum A qualitcatis pacione componatur; eadem manet
2I.
tam inon immulaes en seGualicatis ratio.
oditeta et E pi Forii 3. L FX YB. V F.  3 
DVed, Dux ex Aiqualis e Dupli rationibus componitur, ell Dupli ratio: Oux
ex Aqualis _ Pripli, est Pripli ratio, ec. Sire; Quod ett Duplo Aquale,
Duplum Ct: Quod Friplo, Priplunt dc.
SeguItur ex 2 tujus. Exponens ucique Racerns Lglasum CLF; (Nam. A.
A   S
alium exponentem misscipican, calem reltiie; (quipperX t =r.) Adeoque
constar Propolim. il  SI CCMSASCCEZL SIBCBCCi
BGCHO) sid gocilou  il crodilicuile
ide
TTF i CE, HI FsoctilsouB lo
eiup. 1 19+ 10 edil
quale quodris per Tultin H quale divisum, Ollocientem extribet r: ) Oui quemois
PEROP. V
Fix. 4
Ouancitates quxelibet, in eadem ratione rel atictx rel diminurxe; in ca-
dem qua prius ad inricem ratione constituuntur.
Fi8. 5, 6. 2  A. B. C. 1 2 A. 2B. 3C: : 4 _. L B. ZC: r X. F B. rO. 1C) cinoisus
lcd 11115
Equiem ex praecedenre s FA urique
==. rumi
BDEOCIX  ∞LEBD 19 3.3I1O
Adeoque r A. r B. i C. in eadem ad invicem
rationo aeque A. B. C.3 E3CZO itrcur. Orib sarret e olli:  enclisnsc
Idem demonltrabicur CkE XB L lement. 5. Cum enim sit, ex hypocheti, ut r A 20
A, ticr R ad B; exic (. permurando) r. A, ad, n B, ur A adt B. FF de reliquis similiter.
P.
Dux ex Reciprocis Racionibus componiut faco Cn Lalto A GuataliS.
18. 78
Ec contra; Aqualicaris Ratio, ex Reciprocis componitur.
EF
Puta;

## Folio 583 — 851387705:0603
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000603.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
poit
pode
d
in
 Mob ceta ala.
DOca; Dupli Dunidium, Friplum Friencis, Ouadrantis Ouadruplum; Selquial. F 18, 7, 8.
cerius Sublelquialcerum, ec. tancundem radent acque Ai quale.
Sequicur et 2 pujus BHPBF si racio A44 F, cum ejusdem reeiproca F. ad A.
CompOnatuT: prodibit raeio A P ad L. A, quae aequalitatis est
8cH0FYOM
F F AC quae praecedune Lemmaca, ex Racionum doclrina detumpra, huc cansenti-
LR mus, ob trequentem corum in sequentibus ulum.
Demonstrationes vero ita comparatxe lune (cum hie cum in sequencibus pallim,)
ut e Praxin Arichmetica quam Speciosam vocant, directe respiciant; et ad appo.
Tiras tiguras lineares (li cui id gratius videbitur) accommodeneur.
Exempli sracia. Ad propolicionem primam; perinde est line A e F. habeantur
pro Symbolis sire Speciebus Rrichmerieis; sire pro linearum adscriptarum, his no-
eis delignatarum, indiciis. Orroris enim modo procedit demonstratio, lire de LI.
neis, hire de iTeris.
Sic ad PsOP. 2. de 3 verinde luecedir demonllineio sire Tini an en Symibolu Rlich.
mecieae speciotia adeoque a quod ex harum, ipricem moscipsisatione oricus: five
desionet a Alcicudinem, e Balin, Paralleloorammi a. OuspDe Paralleloramma in
racione ex Balium et Alcuudinum racionibus compolita constip gorum est Adco.
que, ur Parallelogrammorum similium Laceribus, homologis reiaeseniet loseptis
tiones Componentes; ua Pacalseloerammis. iplisi COTuIVE Ai YIOeS CO.
DOlILX.
ArO
Sic ad. PCOB 4. Perinde cst, sire incellioamus quancitases AL, per eandem
mulciplicarasus eplaor A, n F. (mulciplicatione factas) in easem rariore extribere
cum ipsis A, B; sire Paralleloeramma r. A, r F, (Propen xgalss AIcirudines 2,)
esse ad inricem uc eorum Bales A, F.
Fesimitices ad Prop. 5. Sive dicamus quantitaces A ,  per au de r lipsit
SirC Paralleloramna
rA, rB, rC, (propter aequalem alcicudinem) Balibus proporcionasia; Sive eriam;
in similibus errangulis lacera A, B, C, etr Ar B, 5 Cn IB, eadem 188 nvicem esse
rarione: perinde elt.
tiem in Pcop. 6. Perinde cll tirc incelligamus A X F. = i A A: tive aequalia
dicamus Parallelosramma quorum Alcicudines suns uc A ad fis Beles vero his reci.
DFOCX, DemDC uE L. 2d A.
Id Tallem incerest; Duod demonstraciones, si lanquam Arhimeticx habeantur;
Gnivertaliores Tunc, _ de quocunque Ougncitatum senere pariter concludunt:
Si vero ad Lineas rel Paralselogranima speciarim respiciani; de sis solum directe
concludune, (idque ex ri Propolicionum varricularium de siis in blementis demon-
Stratarum: quales lune, Paralleloerammorum rationes componi ex rationibus
L
terum Flomoloeorum circa aequales ansulos; Paralleloeramma aequialta, esse ut
Bases: Paralleloeramma quorum Bases e Acirudines sunt reciproce proportiona.
les, esse Aiqualia, _c. ) de aliis vero, non nili accommodando ad alias quantira-
ces (putas Vires, Pondera, Velocirates, Dectiritaces, Bor ). caldem analogias guas
in Lineis vel Parallelosrammis, ézc. demonstratae tiieranE. 1G X
Fiso incerim, utur Demonstrationes hujusmodi, Drout Arichnetiea speoios
praxm directe respiciune, (adeoque unirersaliores existunt,) pociores exiltimem:
adeoque adseriptas tiguras, non nili unum aliquem ex multis catum, qui tub Uni
rerlati provolitione concinetur, (cui retiqui ramen, in aliis quanciracibus lunt
COnFOrmES,) exhibere: Si camen maline alii (quibus Demonstrationes Fineares
maxis atrideno) ue rationes omnes, in quibuleunque quanciraribus, ( guamquam
Lineis linc Hlererosencae) Lincis ureunque exhibeaneur; aque hinc ad ipsas de
quibus agicur quancitares transterantur, Ilis etiam lacistieri vellem. Idgue eo ma.
siS, ut quam incer se conjuncta sine ha binx demonstrandi mechodi, perspiciatur;
e quam tacili nesorio, demonstraciones Rationum Linsares, Lineis exuix, sim-
plicius simul et univertalius exhiberipollipl: 
au

## Folio 584 — 851387705:0604
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000604.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
De Mo, Cieneratia.
Ciap. 2.
∞IZ Llsspit P. ; CiquiDEN airasibEBC sSE clere l cenibi
A Br i
slsispil 31ps. P Pr O. P.cNLLo: ve suri
C. F:: 2C. 2 P,:: 3C. 3F: : rC. r F.
ilrstnES den B SsIE
(rilteq end 2. 2u 6l ct eeu1
OGqo BB et A 15i   13 C 33.
terserisBOE
Luscsiocls.it il B _ 3 1t 11D3
=Ost eiA sssesr(VVOHBB CITSISS
sacis
vil
l917
e
duT 5B 3YEL BessSHIOMISB SII. F,  OBOTHL LIECL, C
iicise. lh.
13
  JLCB E.
l it cesuie
RTAm, E Causa ut C, esticit uE F.; etiam altera C, cxeteris paribus; alterum
lii efficiet; tertid tertium, 330. Adeoque 2C, 2P, 3C, ZF; et quoribet C
cocidemi P. Hoe ese Dlxia C, cuiplum e; cripta criptum; et limilicer in quaris
alia MassiphoinracioC. sOC
Sit ditNHBet Circumstancias evenire posle, ut C alteras priori parem
non produede eRectum: Jam non erit traec aue illa C, ne C, adaequata Caila; sed
pOS, haec vel AIIa C, His aie Illis chreustariciis aejuca rel impedita; Ouod cst
contra Fypothesin
Aolle idem ostendetuir, de quaviseatione submutripteium. Verbi lgratia: Si
2C eictae iB, ZP, ettam C eticiet ur P. Si enim C ettieiat rel plus vel minus
quam F.; etia L C silicer ettideret ptus vel minus quam 2P., (per primam
parrem hujus demonstrationis:) Ouod est contra hypochetin. Similiter osten-
decur, De guaris aia Tubmisripliciim rarione; Puta, Si 3C eficiat ue 3 L;eriam
C eichot t 4edLOBOO 
Idem de quatis commensaraichum Palione, Ac oltendieur. ERo, terbi opq-
ia expolita Causarlim Facto 2 ad 3, sibe it ad m: erit eadem e P Rectuum ratio.
NIam SICaUSA UF 2C, eHicIaE UE 2 F; etiam C aula ut C, eHiciet ut P; (per secun.
dan Parcem hups.) adeoque (per parcem primam ) ZC, ut Z H.Quod erat
PropoT. Pe Timiler de quaris commenturabilium catione ostendenre, as
Tumpta in demonstrationem communi mensura. Puta; Si caula uen C’efticiat ut
nP etiam C estichet tF l’adeoque mO ut in Dia L houC
J1SI SCIE
Ouodque de Commenturabilibus Ostehicur; Cumnulla causa concipi possit,
curnon de Incommensurabilibus Pilicer Vecuum AC, (posticque eriam, de nis, l
oBes I Demonstratione APasoSiCa Crc,) de omnibus pariter verum eric,
Esfectuts Cautso lui adaequiaiis proporcionales elle. Quoderae demonstrandum.
2SC FTOT.ITV M
= BIIESII es. 1LB Bs OBMsBOCLEOA PiA NOC
Penivertalem hanc proposirionem praemircendam criam duxi; quoniam viam
aperit, qua ex puro Marhemarica speculationes ad. Phylicam cranscatur; seu
poustne et illam eomecti. 1L Oisitj uA HCLinSicO
iC dut
Cs eroisties oeon
lisE
VII
Sarik Csci eB ciilet
v2I. L Conoversinonos P B O P.
Concrariorum; quatenus contraria sunt, RgBrogatum; aequipolleE FX.
cellui praposentio: Conoruencium rero; corundem summx.
usriicilt, Aibof 3. A bam 3 Acot s cc s. F. M ∞ et 3 A = 3A
Fig. 160. it , 3. H1I= A 2N YZA ApiB. A 20 L AII 4. 2. A = 2A
+0
FEA = A + 2A = 2A F 5A = 5B
Onto Contrariorum Siena f e -. Adeoque; Si illud Sursum designet; de
henabic hoc Deorsum: Si illud, Addendum; hoc, usciendum, delignabir:
F
c
(+103
154 2 3Aie 2Ce S.
a
VeII csis
L18. 9.

## Folio 585 — 851387705:0605
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000605.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
avt
sec
mati
ostent
110
CUM
erat
FE de aliiS CONTTATIIS LIMISITCT. SINEque Contrariorum quancitates A, 2 A, 3 A, d
Erit + A = A == 0. + 3A - 2 A = + A. = 3A f 2A = - A, ec. (VE CX
Addicionum segibus conttac.) Hloc est, ABBresatum aequiralet FXcessii praepol.
rentis. Quod crac propositum.
AC F A
= 2 A =
DrOPOCicuM.
A = = 2 A. - A - A = = 2 A. + 3A F 2 A = + 5 R
5A. (uc ex Addirionum lesibus similirer constat.). Quod item erat
Exempli Bracia. A Curtum, _ A deorsum; se mutuo destruunc: 3 A surtum,
∞ 2 A deorlum; tancundem ralent arque LA Turtum: 3 A deortum de 2 A Tur-
Tum; aeguiralent acque 2 A deortum: Adeoque, Dui (rerbi gratia) unum paltum
aCcendit, e rancundem descendir; nihilo elt vel altior vel humilior: Oui alcen-
dic3 paltiis, et 2 paltis descendit; est uno pattu altior: Oui 3 pallus descendit
iterumque alcendit 2 pacus, est uno palsu humilior.
Trem; Oui unum Addis et cancundem Autere; nihilo vet Auget vel Minuit:
Oui addic 3, e Auterr Z; uno Auget: Oui 3 Folit, ec 2 Restitmic; uno Mi-
nuIC. FF de Concrariis aliis similiter judicandum.
Contra vero: Dui 3 paltus alcendie, et insuper 2 alios; est 5 pastibus altior:
Oui 3 paltus descendit, e deinde 2 alios; est s passibus humilior.
Tcem: Oui 3 Addic et insuper 2; quinario auset: Oui cum 3, cum 2 F ollic;
quinario minuie. Et de reliquis similirer.
Prop. IX. De Motu, Ceneralia.
AEquipollens H vel AIISCaTUE, vel Contrarium Minuatur; sic PraepoL-
lens: Si Minuatur, vel Contrarium AusCatur; sc minus. PollenS.
A + F. = A.
A. = F = A.
Via Focum est sui Parre majus. Pura: Totum A + E, Papollet iptius par.
ei A. Ec Tocum A, iplius parci A - F
SCHOF ZVM.
COnique hX Propoltones Norem, coridem Lemmata; quae non magis spectane
Dpraelentem Mocuum Doctrinam, quam quamvis aliam; Sed Trequencistimi usus
erum in sequenribus; quare in reltibulo demonstrandas duxi.
P ROP. X.
Obi conjuncta lune Momentum et impedimentum: Si Nomentum
praepollet, Pro Momento simul habenda sunt; pro Impeclimento
vero, si praepollet Impedimentum; Ft utrobique Tanto; quantus
est praepollentis Excestus; Sin aequipollent, DrO NCUErO.
Sin plura sinc conjuncta vel Nomenta, vel Impedimenta: Panta si-
mul habenda sunt, quanta eAt eorundem summa.
Om enim Concraria sinc Momentum et Impedimencum; hoc est, CauLA ut FC,
d Causa ne lic: Constat propositum, per 8 hujus.
e ROP. XI.
Si Momencum Impedimento praepollet: Motum efticit. Adeoque; S1
Dulius fuerit, Inchoatur: Si jam fuerit, AusetuE.
Si prxpollet impedimentum: Impedit. Adeoque Motum, Siguis jam
sc, vel FOllit, vel Caltem Minuit.
Ft quidem in ca ratione plus minulre P. HiciC aut Impedit, qua major
est rel minor Excestus praepollentis.
eec
PHO

## Folio 586 — 851387705:0606
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000606.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
De Motu Generalia.
Si sEqnipollenE: Neque POnituE motus, neque Follitur. Adeoque
quae prius erat vel Ouies vel Motus, perleretat.
Equitur ex pracedente. Nam pront ucriusque Agcresatum pro vel Momento,
rel Impedimento, vel Neucro habendum elt; ita vel mocum lIci, ret Im-
pedit, (et quidem in ea ratione,) vel Neurrum, per y hujus.
SC FO L TV M.
DOstremam hujus Propoticionis parcem; Nempe, Inceptum Morum, (nisi oblla-
culum pONaTuI,) Euapte Iponce (Cine continuo motore,) non minus quam
jam exiltentem Ouietem (niti accedat MOTOF) persererare; Calilaus, Carte suus,
Gassendus, aliique, rideneur Poctulare; atque hinc non leris momenei multa in-
terunt: Dui aurem Demonctret non memini me ridiste quempiam. Fracque hOc
nobis, in sequencibus, allerendum, ubi de Mocuum Acceleratione dicetur: tam
provere tamen, in ipso stacim rellibulo, alterendo abstinuiltem, nisi consequentix
necelticare viderem me coactum jam llacim altirmare; non parri pollea momenis
Ficurum.
P ROP. XII
Vis vi concraria, si aquipollet sustinebic: Si minus pollet; ne hoc
quidem: Si prapollet, (neque aliud adsit impedimentum;) more-
Bic. Et concra: Si moret; praepollet: Si non moret; cum vel mi-
nus pollet, ved saltem aequipolle vel aliud quid impedit.
F A - A = 0. = 2A - 3 A = = A. f 3 A - 2 A = f A.
= D =- 0. + 5 = D =
ETI verbi oratia, S, vis Tursum; D, deortum. Si invicem aequipollent; nul-
adlis aequiralent, (per 8 hujus;) Adeoque morum non efficiunt; (per 7 hujus.)
Si S prapollet; Fic mocus surtum: Si D; deortum. Aquiralent urique Excestui
praepollentis: per 8 hujus; Frirque motus consonus; per 7 hujus. Ft Cmilirer
de quibulris aliis Viribus contrariis oltendetur.
Dicotamen, Nisi aliud aasit Impedimentum. Ouoniam tieri potelt, ut vet
Medii densicas, vel durities, vel Obex aliquis obstet, quo minus a praepollente mo-
reatur vis interior; utue Obex ille, vim in contrarium Mocricem non habeat.
Sed simpliciter Impediat. OE, quum grare parimento imcumbit: quod vim Ba-
beac impediendi ne descendac; non aurem Mociram turtum; quia nec iptum sux-
tum nicitur.
SCHOLZ0M
Rocedit hinc cum Propoticio, cum Demonstracio pocistimum de Mobili jam
in Ouiete constituro. Si vero jam sic in Mocu; Hoc iplum, elle in motu
accentendum eric cantis ejuldem mocus continuatiris, vel impediciris con-
prarii. Ouippe Sublario motus, tam caulam efficiencem poltulat, quam mOtIS PO-
Tcio; uti ex PrOP. praeced. Constat. Unde cst, quod Moius Penduli, verbi gracia
a Braritare inchoacus, non quidem a gravitate sola continuatur, sed ab iplo im
Deru seu moru jam exiltente continuatur, etiam ulera perpendientum, adeoque
ascendendo; non obstante ixsius pravicatis in concrarium nitu, aliisque tortan non
contemmendis obstaculis, quod et in aliis poribus ab impetu inchoaco continua-
tis pastim obtinet. Ouodque ad hanc Propolitionem monemus; eriam in sequen.
cibus, peout res culerir, intelligendum exir.
Hoc autem Funclamento nicuur, de contra ponderantibus, seu contra movenri-
bus judicium: Adeoque vel Ouieris, ob aequilibrium seu contra morentium aequi-
pollenciam; ret Motus, ob praeponderantiam, seu prapollentiam.
Cap. I
P

## Folio 587 — 851387705:0607
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000607.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
P. 
Loqui
OIenIO,
1el L
OM
nC HOB
more
set mi
Exccl
simili
e
A0
PFOL. XIII.
De Motum Generalia
e RO P. XILL
Oux ex Mobilium Pondere resultant lus plucta, (Cateris
DatIbuS,) Cune Ponderibus proportionalia.
Ouodque de Pondere dicitus, d euaro alla contrarta Vi limiliter
LibuS.
incelligendum, quae pondeto d exit. Et similiter in sequen-
sit
P. 1: : 2P,. 2. L: : 3P,31:
TAm si pondus UE P, edici VEL; etiam alierum P, caeteris patibus, ut atre.
l. d ram I impedier; cercium, ue certium; _c. Adeoque 2P, ut 2 L; 3P, ut
3T; et quortibet P, uc coridem J. Duare et tancundem Ponderis, cancundem
impedic; duplum, duploi criplum, criplo, ec. Er in reliquis similiter propor-
tionibus: per 7 hujus.
siLLC OIC e e esis S ie   site
5C +2OF ZV M.
DIco aurem, Cateribus paribus; Ononiam idem Pondus, pro vario sicu, ali-
’ilre circumstanciis, porest varie impedire. Obi autem excera sunt paria.
tora quae oritur dirertitas, a Cola Ponderis diverlitare, ut ab adaequata caUSa, PFO
Auic. Caeteraque, cum Aqualium rationem subeunt, proporrionem mon inumutanE.
Per 4 hujus.
Ouodque hic dictum est; etiam in aliis propolicionibus pariter incelligendum
erit, licet non diferte dicatur. Ouod Semet monviste Cufficiat. 
PRO P, XTY.
Ouxe ex Longitudine transigenda, relultane motus impedimenta; TunE
Lonsitudinibus proporcionalia.
Ouodque de Pongicudinibus, dicitur; de Medii densitate, tenacitate.
auc limili quoris impedimento, pariter dicendum exit. Et simili-
ter in sequentibus.
T. T: : 22. 21.: 3L. 3P: : M L. ML
DOra; A.qualio Longitudo transigenda, aequaliter impedie; dupla, duplo; pri-
pla, criplo, ec. Nam Si Longicudo ut L, impedic uc L; Friam altera L, ue alre-
rum l’impedier; et certia, ue cemium, eoc. Adeoque; Dupta, dupto; Fripla, ui
Plo; et in reliquis similiter proporcionibus. Per Z hujus.
IP, RO P. XV.
Ca CL Pondere simul et Fonsitudine cransigenda, relultant motus
Impedimenta; sunt in ratione ex Ponderum ex Longituanum ratio-
nibus composita ire ut soxiler il
aCE se
t.d t1 1+ 31P. 15i _1 2P. C7 2P, 23 CH nP. e iit Qpits+
2. L..
3L. 111 9 3C mL.
eL. L:: 4 P L. 4. P: : 6PL. 62:: mne L. myl.
ECCC2
l18. 124
151C. L16. 24:

## Folio 588 — 851387705:0608
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000608.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
De Trictius Ceherand.
ap. l.
DOca; Duplum Pondus, per Duplam Longicudinem serendurii, est Impedimett
cum Ouadruplum; ver Priplam, Sexcuplum: Priplum Pondus, per Lonsicu.
dinem Triplam, est Impedimencum Noncuxtum; per Ouadruplam, Duodecu-
plum, esc. Nam, Si Pondus P, per Consicudinem L. serondum, impedit ucL; etiam
alterum P, per eandem Lonsirudinem terendum, impediet ur I alierum; terrium
uc certium, egc. Adeoque; Duptum, duplo; Triplum, criplo, ec. per candem
Lonxicudinem Cerendum. Per F3 hupis. Cum itaque Pondtus ut 2P, per Longitu-
dinem L. terendum, impediat uc 2 I: Pondus idem per Congicudinem 2L. feren-
dum, impediet uc 4 L; per 3L, uc 6P, ec. Per praeced. Irem; Cum Pondus 3P,
per Consicudinem L. lerendum, impediar uc 3 L: idem per 3I. ferendum, impe-
diet ut 9L; per 4L, UE 12I, e9C. Per PEXCCd. LE univertaliter, Si Pondus P,
per Lonsicudinem L. Ferendum, impediat ut L: Pondusn P, per eandem L. feren-
dum, impediet vEn L (per F3 hujuS;) Adeoque, per m L, uE mnL; (Dex PrX-
ced.) Hloc est, in racione ex Ponderum et Longicudinum rationibus compolita,
(per 2 hujus. ) Ouod etat proposicum.
P ROP. XVI.
Si in duobus motibus, Pondera et L ongitudines, vel utraque sint 
qualia vel sint Recipioce proportionalia; Oux hinc retultant Im-
Dedimenta, sunt sEqualia. FE Contra: Si quae inde resultant im-
pedimenta lunc xqualia; Pondera et Lonsitudines synt vel utraque
Aqualia, ret Caltem Rcciproce proporrionalia.
2
2 F
MF.
nt
2PL. 1: 2PL. 1. 612. L. DcL. I. mne L. L: mnP L.. L
Li
F18. 14
DOc: Aquale Pondus, per AEqualem Pongitudinem terendum, A: qualiter Em-
Dedir. Irem, Pondus Duplum per Aqualem Longicudinem, et A quale Pon
dus per Congicudinem Duplam ferendum, Aqualicer impediunt. Sic, Pondus
Triplum per Consicudinem Aqualem, ec, A quale Pondus per Lonsicudinem Pri
plam. Tiem, Pondus Duplum per Consicudinem Triplam, e, Priplum Pon-
dus per Lonsicudinem Duplam,, _C
Sunt enim Impedimenta, inratione ex Ponderum ex Fonoicudinum rationibus
compotica; l. Per praced. ) Adeoquer (cum lx Tunt reciproex, Y aequalia Tunt:
(per 6hujus.) Onde e conversa paret.  itissi
du 8 C FIO Z ZV qoito
POtet quidem ea clausula, ’el utraque aequalia curo dmini, uiporé quxe in se
quenti, Reciproce proportionalia, continetur. Nam, ut Dinridio Duplum, sC
e Aquale A qualis reciprocum est. Mallem tamen, perspicuicatis gratia, cum in
hac Propotirione, cum in lequencibus aliquories, illud etiam diterre inserere. Ouod
quidem non cancum ex 6hujus, sed ec 4 hujus, perinde patet.
Fx his aucem quacuor Proposicionibus proxime praecedentibus, aestimatur Mo-
ruum perticiendorum Maenitudo. Fa scilicet qua ex mobilium Pondero, ee mocus
Lonxicudine, limul consideratis emergit.
LAO P. AVTI.
Cae lecurto impedimentis aequipoleae  ant Impedi.
(Adeoque Ponderibus, si reliqua sine paria; vel Consicidinibus, Si
reliqua lincparia; vet qua Cx Loucete d Lo llaine resultant Im-
pedimentis, si reliqua sint paria.)
Eaque Momenta H aUSCantuT; ret miMuaMII Impedumenta; more
banto
NI.
iemis proportionalia

## Folio 589 — 851387705:0609
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000609.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cdimett
onsiu
rocceu
11d
CrriuII
a
Perett
et
sint A
1C I1
1nC 11
Atcaqul
plices I
ale PO
PonO
nem Y
(aP
PFOP. XVITI.
De Motu, Generalia.
. 18
iri
ne
HI. T: 2M. 2. P:: 3MI. 3L:. rM. rL.
DOTa; Aquale Momencum, A quali Impedimento aequipollet; Duplum, Duplo;
Triplum, Lriplo. 6. Nlam li Momentum ur M, aequipollet Impedimento ut L
exiam alcerum M, alceri Laquipollebir; et Ferrium, Perrio, 65. Adeoque, Du. 27
plum, Duplo, Priplum, Triplo, ec. Per y hujus.
Adeogue; vel Ponderibus, vel Longimdinibus, rel quae ex urisque simul re-
sulcane Impedimentis, (caeteris paribus,) sune proportionalia. NNam HIS PTOPOT.
tionalia lunt, quae ex his relultane Impedimenta. Per 23, 24, 25. hujus.
Sin auxcatur Momentum Aquipollens, vel Impedimentum minuatuT; Momen.
cum praepoliebit; adeoque, morebit. Der O, 20. hujus.
SC HOL YV M.
Tque hine dependec de Aquilibrio, seu contra nicencium Aquipollencia, ju-
C cerum; d quae hine leguicur, Ouiere: quique ex Prapollentia procedic,
MOtI.
PROP. XVEII.
Virium momenta, exeteris paribus, sunc Virium sractibus proportionalia.
V. M: : ZV. EM: : 3V. 3. M: : n V. nM.
26,
DOca; Vis aqualis, cancundem movendo vollet; Dupla, duplo; Fripla, iriplo, Fi5. 18.
8c. Nam, Si vis ut V, moreat uc M: etiam vis ut 2V, morebit uE Z M; 3V.
UE 3 M; n V, UEn M, 835. per 7 haju
Estrcti
PR OP. ZIZ. sillas
L. 1.. L L. L+12.. 52. 3=1. 91b L. MH.
aTAM, H viS EXPOLICA, LCHIBOrC Y, OVCaE UEM: eciam alte1O L, Cancundem
N elticier; certio, tancundem, esc. Adeoque, in 2T, utZM; in 3 F, UE Z BI:
In m T, ut m Hl, e. etbC et, Duplo rempore, duplum efticiet; Triplo, criplum,
Oc. Pet 7 hujus.
Virium, srace asa   aus LCBL1.
bus provortionalia.
L1C. 19.
P ROP. X2.
memlaillin rallone ca utuLa CoVCa
Oux ex Virium gradum simul et axacationum Pemporeresultant MO-
F. M: AVF 4 M: oV L. BB: mudT. muet
Tripla, criplo rempete, poe nepi; quadruxlo, Duodecuplum, et
CCC3
NaM
POc; Vis Dupla, duplo Tempore, Guadruplum pocest; eriplo, Sexcaplam:

## Folio 590 — 851387705:0610
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000610.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
De Motu, Generalia.
Cap. I.
(per Z hujus.) Duod erat ProPO.
cila
era: Si Momenta ia  Lesclatia. Viles e lempora, sune, velutra-
que aequalia, rellaltem Reciproce proportionalia. toueit 35
1n0. V.
DOca; Vis aequalis, aequali Tempore, cancundem efficic. Trem, Vis dupla X
quali rempore, et, Vis aequalis duplo Tempore, tancundem ecticiunt. Sic, Vis
dupla criplo Tempore, et, Vis cripla duplo Tempore, ec. Sunt enim Momenta in
racione ex Virium ec Temporum rationibus compolita; (per praeced.) Adcoone
(cum hae SinE RCCiprOCX) A qualia Tunt. (per Shujus.) Unde _E Conrersa patet.
1SC HEOL ZV M. T
LH his quatuor Proposirionibus proxime praecedentibtis aestimancur, qua et
L Viribus et Temporihus simul consideratis emersun, Momentorum Maenitu
Mines.
Nam, AVIS UEV, TeMPOrE F, MOVCAL NE M: Vis UE2V, eodem Tempore, mo-
vebic AE2MI; _ ZV, uEZNI, 890. per 18 hujus. Cum itaque ViS uE ZV, Fem-
Pore P, moreat uc2M; Vis eadem, Tempore 2F, movebir uc 4M; e tempore
BF, ut 6M, 3C. Per FOhujuS. Trem, Cum ViS UE 3V, TemPOTC F, moveau
UE ZMI; Vis eadem, Lempore ZP, morebic ut oMI; Tempore 4P, ut T2 MI, e.
FC unireraliter; St Vis V, TEBPORC P, MOVCAFUEM; Vis n V, eodem Tempore
L, morebic UEnMI, (per LB hujus: ) Adeoque, Tempore mP, UEmNM, ( pet
FD hujus.) Hoc est, in ratione ex Virium ec Temporum rationibus composita,
Si Vires et Tempora, sint vel utraque Aqualia, vel sinE ReciprOCC prO-
portionalia; qua lne Lerccun  sunt Aqualia. FF COn
1.
2VF. M: ZVT. M. NVF. M:: OYF. MI. mnVF. M: : mnVF. H.
AOP. XXII. 9.15
 c
In quibulris Mocibus mce comalacto ea une uet
tis proPortionaa
VF = BI. EL. = T:: 2VY = 2M. 2PC =2L:: nVL
 M. nie L.  ML.11.
1C
M = YL. 1 =07 :
ine
F18, 20,
F.
F13. 22
23, 247
Impedimentum; Triplum, Priplum; e H cellesc  FLCILIBIIS: LCt
B. s Vis V, Temipore F. sives quod ex his retulcaes Momentum M; movec
Pondus P, Per Longimdinem L; sire collic, quod ex his retulcar, Impedimen-
cumT: Duplum Nomeneum, toller Duplum Impedimentum; Priplum, Priplum,
. .  35. Nam, S Momentum M, collic Impedimencum L; etiam alierum M, alcerum
Trollet; tertium, rerrium, ec. Adeoque Duplum Momencum, collet, Duplum
Sire, luc i sai et dele st t tb. 2d Ot tallum ex Pondere de
LOnsi
Thujus. Ouod erati propoticum.

## Folio 591 — 851387705:0611
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000611.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
ViS
1
HI
Prop. XXIII. m Cnrata.
Consicudine, in unomotu; ad, l’actum ex Pondere a Lonsicudine, in alio Motu:
lic, Pactum ex Vi e Tempore, in priori mocu; ad, F’actum ex Vi et TempOrE,
in posteriori mocu; exteris paribus.
SC ZIOL TV M.
Ti X hac Proposicione porissimum dependet Motuum interse comparatio, quoad
PROP. XLILI.
Vires, lempora, Pondera, et Lonsicudines.
ricacum gractus lumc eranlactis Longicudinibus proporrionales.
L. X: : C. 1.
L. C:: 2. L1. 2. C:: n LI. nC.
In Comparatis Motibus; Si Lationum Tempora sint aequalia; Cele
e. 2. d.
sic
eut. ed
ig. 29:
E 10
13C-c
Oc Ca. Vc Lonsitudo prima ad secundam, eodem cempore cranfactam; Sic. P. 18. 26.
Fuca; Supla Celeritate, (eodem Tempore,) Dupla Lonsimdo crantisiur; Di-
midia Celericace, Subdupla Lonsicudo. Ec limiliter in aliis proporcionibus. Per
Celeritatum detinitiones.
B R OP. XXIV.
In comparatis Nocibus; Si transacx L ongitudines ul aguaus; Ce-
leritatum gractus TunL LCMPOTIBUSFCCIPIOCC PrOFOTLIOIaILS.
7. P:: C. v.
c:
L  Celeritas prima ad secundam.
2. L2
 n
TOcelt; VE Tempus Eccundum, ad tempus primum; se (reciproce) Cce. Fi8. 27.
a ricas prima ad secundam.
eura; Dimidio Tempore, dupla Celericace, transigicur aequalis Longicudo: Du
plo Lempore, dimiclla Celerirate. Px similiter in alis proporcionibus. Per Cc
:
P RO P. XXV.
lericatum detinitiones.
Comparatorum Nocuum Celerirates, sunt in ratione ex directa LOn
2Y mF. X, +
o L2 nL
situdinum et reciproca Temporum rationibus composita.
TT. AF:: C. n. 2TL. C: : 3YL. 3C. TE. mn LLi: C. mnC.
2F2
C.
L n
Puta;

## Folio 592 — 851387705:0612
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000612.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
De Notu, Creneralia.
Fis. 28. Y)Vca: Longicudo dupla, dimidio Tempore tansieicur, Celericare Ouadrupta:
Lripla Lonsiudo dimidio Lempore, Celericare Sexcupla: Fripla Longi-
Nai _ L. ongitudo L, TempOro L, absolvatur Celeritate ut Ci: P onguudo
2L, eodem Tempore F, ablolretur Celeritate ut 2C; (per 23 hujus:) Adeoque
dimidio Tempore seu = P, duplo adhuc celerius, sire Celeritate ut 4 C. (per
Praced.) Similiter, Lonsitudo 3 P tempore T, celeritate ut 3C; (per 23 hu-
jus:) Adeoque Tempore = T, Celeritaro ut 6C; d Tempore 2I, Celeritate ZC.
per praeced. Ec, univerlaliter; Si Longitudo L, tempore T, cransixatur Celeri
tate C: Lonsirudo n L. eodem tempore iranligetur Celeritate n C, (per 23 hujus:)
adeoque Tempore m F, celeritate  C; (per praced.) Hoc ett, in ratione qua
ex directa Consicudinum et reciproca Temporum rationibus componitur. Ouod
erac propolicum.
PR O L. AXVI.
In compatatIS AIOTIDUS; St cranfactae Congitudines, sint Temporibus
proxortionales: Celerirares sunt aequales. PF Contra.
L,. F: : 2L. 2F: : 3L. 3T: :n L. nF.
PEguItuE ex PracedeMe. Ouoniam, hoc catu, Reciproca Temporum (qua eg-
dem elt cum recipioca Lonxicudinum) cum directa Longicudinum, compo-
Tua; aequaliraris ratio est. per 6 hujus.
Vel ex detinionibus Celericatum. Cum enim Aqualis Celeritas, aequali PCm.
pore, aequalem Congitudinem absolvit (per Det. FO.) Friam Duplo temvore du-
plani Congicudinem; Friplo, criptam, _c. ablolret. Et CoMITa. per 7 hujus.
cudo duplo Tempore, Ccleritate Sesquialtera, etc.
P ROP. XXVTI.
CaP. I.
In Comparatis motibus, Virium gractus (caereris paribus) lunt in ra-
tione qua ex Ponderum ex Celeritatum rationibus componitur.
1
V. F. 61.. PF
.0
:PL. V. ARL.. F. C. X
DC
 CHH (per 22 hujus) Nomentorum ratio, quae ex Virium d lempo-
rum rationibus componitur; eadem sic cum ca, quxe ex Ponderum e L on-
sicudinum rationibus componitur, ratione Impedimentorum: Si eximarur ucrinque
Fatio Temporum, vel (quod eodem recidit) illius Reciproca accedat; Relinque
cur Virium ratio, ca quae componitur ex racionibus Ponderum, es Longiudinum.
e reciproca Temporum; HIOC est, (per 25 hujus) ea qua ex Ponderum et Cele-
ricacum racionibus compotitur. Ouod erat propolicum.
dC HOL TVM.
Z hac Propotitione dependet Problematum aliquot, I Mcehanieis maxime ce-
a tenm to oIB. Helmpem
PROP.

## Folio 593 — 851387705:0613
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000613.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
rib
DIIPB
TC
11 sa
EFOD. XXVIII. De Motu, Generalia.
eROT. XAVIII
Datum Pondus, data Vi morere.
nP
PC. V: PC. V.
P.
2P.
PC. V:: P
IE exPOsIta Vis V, quae morere potis sit Pondus P, celeritate C: _ reguira.
Dcur, ut eadem rel aequali Vi, moreatur Pondus n P.
Dico; Si, caereris paribus, res ita comparetur (interposita Machina) utq qua
ratione Condus nE majus hic minutre quam Pondus P; eadem, contra, minor tat
majorre Cetericas, puta C: eadem Vis V, expolicum Pondus nP, morebit ee
lexicate  C.
Cum enim rationes nP ad P, _ LC ad C, sine reciproex; quae ex his com:
Donitur cst Aqualicas; (per 6 hujus:) Adeoque (per praeced.) aqualis Vis re.
guiritur ad morendum Pondus P celeritate C, acque Pondus n P celeritate = C.
Duod crac proposicum:n
SCHOLZOM
PDic isitur potistimum negorio se applicet Mechanicus, ut iltiusmodi macti-
 nas excogiret, casque in usum recisat, quibus Vi d Ponderi interporiris,
motuum celericarem ita moderetur, uc Ponderum Maenicudinem Fardicace morus
compentet; seu, Temporis Consicudine, Delectum Virium.
Datum Pondus, data Celexitate oretC.
P LL. L L L L.
eC. V:: neC. nV.
IC expolitum Pondus P, quod, cellricate C, morere potis sit Vis V: ee requi-
Dico: Su exteris paribus, qua rarione ausenda sit aut minvenda celeritas, et
dem similiter auseatur rel minuatur Vis achibica: expolicum Pondus daca celeri-
tale morebitur
Cum enim (proprer idem ucrobique Pondus) eadem sic Celericarum ratio, cum
illa quae ex hac et Ponderum rationibus componitur, (per 4 hujus; ) eadem eric
et Virium requilicarum racio; (per 27 hujus.) Quod erat octendendum.
SCHOF EOM.
Terandum incerim: Cum AOn ICa Upo HC, Vires pro arbicrio ausc,
alue Celerirarem motus mulluere; non ita Pacile erir prelens Problema, atqué
illud quod proxime ancecedie, maxnis Fonderibus actu applicare.
Tacus at Geleritare hG, MOreatu.
PROP.

## Folio 594 — 851387705:0614
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000614.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
De Cravium Descensu
A B OP. XX L
Data Vi, data Celexitare, mocum efficere.
idp. II
PC. V. FC. V
Ic ex porica Vis V, qua Londus P, ccteritate C. movere poristic: requiratur du.
rem, ve Celerirate n C tat mocus
Dico: Si exteris paribus, qua ratione ausencta sic aur minuenda Celericas; ca-
dem, vice verta, minuatur rel auseatur Pondus: Padem Vi, dara celericare, mo.
rebitr. Puca, POndus = P, eadem Vi celeritace n C movebitur.
Cumenim Ponderum = P ad P, e Celericacum n C ad C, raciones sine recipio.
cx: Oux ex his componitur racio, Aiqualitais est; (per shujus; ) Adeoque e
Virium requisirarum. per 27 hujus,
SCILOL. ZV M
TOcandum denique; ita calculum his Propoticionibus instici, ac si in edio
L Vacuo peragendus Tirmots: Ouare nec Reliltentix in medio, vel Magnitu-
dinis auc Figura rei Mobilis, habita est consideratio: Sed conduione hac, Caeteris
paribus, cum hae cum alix circumstantix sic exeludi incelliguntur, ut vel nullae FinE.
vel ita falrem comparatae ut non immutent aur curbenr rariones. Adeoque, ubi
adlunt, opus erit (quo calculi Mathemariei anpibcus conserrecur, vel ab ea quam
minimum recedatur,) uc carum vel accurata contiderario etiam habeatur, et cal.
culo lle; ret LaHEM, ACEO MOAO COMPATEATUT quO minimUI EuThenTE re
nC.
liquae rationes.
SETOM OCa A P, 1h FI. 3∞OT 1V3CLS
 Cradium Descensu, e Motuum Dectroitate.
PR O P. 1T.
aiee
Cravia, caeteris paribus, pravicane in ratione Ponderum. FF, univerta-
liter, Vires Mocrices qualibet, agune pro Virium ratione.
P. C:: 2P. 2C.: 3P. 3G::r P. YC.
Ora; Si PondusMl P, Graricat uE E: Eriam alcerum P, ur alcerum Ci eravi.
tabic: certrum, uc cerctum, e c. Adeoque 2 P, ut 2. CE; 3 P, Ut 3CE; dt quor.
EsL en CraritaS, IBMOITIX; ejusque mentura, PonduS: (per 12, +3. Det.
Cap. 1.) Movet ixitur Cravitas, pro Ponderum ratione; pex LB. Cap. L. F L
milirer in Moribus aliis oltendetur.
2
libet P, ut rocidem C, e8C.

## Folio 595 — 851387705:0615
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000615.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
Mecio
gnicu.
Cxteris
si
NuC I
Ft Motuum Dectivitate.
Grare, quatenus non impedicur, Descendit; seu Proxius ad ZCrrX
Centrum appropinguat.
Et, univerlaliter, Vis quato a secae  Aclanus
Ferrae Cedcrum. Hacreuul, quarenus non impedicur, seretur Crare, pravi.
tate LIa. per LL Cap. L
quaceno  pel, procedit.
TAm (per DCF. CTarICaI) CtaVIAS EIL VIS AEBLIUIIM LHDTHS LCU reLAU
Et similicer in aliis moribus ostendetur.
Grare tantunaem Alcendit, quanto EC LMtae Centro propius: Tan-
tum RICCHI Guanto cemocius.
Etus univertatiet, Cusrio VIMOICIS FTOSFen cantus est, quancum
secundum Directionem Tuam movetur; RegrefUS, COnETa.
Cd Cb. Ca  = CA -- CB. CB = CC = B = C1.
ETEC, TETTX Conrum: unde ducancur aquales recta CB, C D. ContinvetY
DCB ad A; _ jungatur AD. Tcem, Cumpio ubiris in CB, Puncto F.; junga
Tur F. D. Dico; Crare ab A, puncto alciore, ad B vel D motum; cancundem
Descendisse, quanco B vel D, minus quam A, distar à CenrroC: Mocum vero ab
E, puncto quoris humiliore, ad B vel D; tancum Ascendisse, quanto B vel D,
magis quam B, d C enero distat.
Fs enim (per Det. Cravicatis) Descensus grarium, (seu Mocs secundum Di-
rectionem (uam,) Mocus versus Cencrum Perra. Fanco isitur Descendisse dice.
cur Crare, quanco ad P’errae Cenrrum propius accesserit. Puca, quanto Brevior est
CB vel CD, quam C A. Adeoque tanco Ascendisse, quanco fuerie concrario motu
lacum; hoc est, quanto à terrae Centro remorius abceterit; pura, quanto L On
sior estCB, vel CD, quam C. F. Quod erat propolicum.
Adeoque: Ouamquam AD vel F. D recta, LonBiOF (IC quam AB rel E. B; non
tamen Alcior seu major Descentus est rel Ascensus, Cravis per illam, quam per
hranc lati.
Ouodque de Cravicare ostentum elt, siiliier de alia ViNorrice incellicendum
erit. Ouod enim est, respectu Craritaris, Descentio: idem est, respectu cujusvis
Vis Morricis, Lacio secundum Directionem Tuam: LLCOnETa. Der Det. 2. F. C ap. F.
SCHOZZV M.
TOrandum incerim; pro peripheria BD, iduterenier ut plurimum lumi Re
Etam LOriconcaleni BFI: qua, propter immensam Ceneri distanciam, e pla
norum quibus maxime verlamur parricarem, cum illa quasi coincidens haberi lo.
let. Si quando tamen vel immensa plana cractanda veniant, vel accuratius philo.
Cophandum Cit; secernenda erunt.
EFFF 2
LCCUI

## Folio 596 — 851387705:0616
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000616.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Machematica.) Consideramus urique, HO Gua Cande Corpus, nedum qua FI.
mole marna TIE, an parra, aut etiam nulla se Lnu vis illa inlis lien, pla-
tum sc an rocundum; plenum, an excaratum; quod a pontal.asa
enim, in Hydrostaticis, aur alias etiam ubt de ecu sclilenria agacur, ayt alibi
aliis de caulis; magni incertit, qua mole quare sua nare ponderans: Ca
tamen omnia hic lecludimus, (cadem libertare qua Po Mimedem, alii, de lla-
norum, Linearum, auc etiam Puncti gravitare philolopnalu, gubl de nos inte-
rius tacturi Cumus.) Acque hoc iptum ne a veritate Phyllea AIS abhorrere ri-
deatur; ostendetur, in sequentibus, (ubi de Centro. CTarstal dsCTuIE,) GravIS
quancumvis magni rim cocam ita diltribui uc perinde omnino ponderalico valeat
acque si in unico illius puncto esfet. Verum ca contideratione POILHABIIA, quIa
hujus locinon cst; (quippe guim nondum detinirimus Centrult STaVtacis nedum
este demonstrarimus, auc quanta ris huic intic; adeoque, utur in Schoto ubi
laxiuis agimus, illius mentionem faciamus; in Demonticalioo cale non ca
turum sic, si hoc auc illo puncto canta; t ecesto (aue cuaut esta Ponderis in.
quentibus, incellisendum exit.
Cap. II
De ctadium dscensib
Necui incerim mirum videatur; quod de Grari, tanquam in uno Puneto, verba
Faciamus; cum interim Grare non Cir nisi Corpus lolidum: Monendum erit, con-
siderare nos hic loci, Grave ut abstractum a Maeno, (abstractione, ut loquuneur,
Sura lit, sed quania Ponderis Vis hoc in pureu applicatur: Perinde habentes,
liberrare ucimur;) Sutticie hie loei monulle nos id, lalcem hic inquirere, quid Fu.
Mar eric,) acthibeacur; undecunque demum lucrit. Quod e tubinde laepius, in se
Fa, caeteris paribus, provendet Crave, vel ex
pluribus graribus Axoregatum:, (TTOC est, ca
ea potius tertur:) quaplus Descenditur: id-
que in eadem ratione qua plus Descenditur.
Laque masis repugnat, et in eadem ratione
magis, qua plus Ascenditur. EF COnETa.
Oua vero xequaliter vel Delcenditur vel AIcen-
ditur; aqualirer vel Propendet rel RepuBNAE.
EE CONETA.
Caeterisque Moribus idem similiter accommodabitur. Fa potius Fere
tur Mobile, (a in ca ratione porius,) qua magis secundum ririum
Directionem proceditur.
Om enim tendat Crare (per def. Graritacis) simpliciier Deorsum; adeo.
que, quam porest maxime; (Nacuraliter signidem agentia, non asun ex
delectu, sed eaco impetu pro summa virium:) Fa porius feretur, careris Paribus,
qua magis erit Deortum, seu minus Surtum; Dura per C A A8. 3c. Si hac dectivi-
us sic quam CB. (adeoque concrario momi masis repugnat:) Hoc ett, qua plus
Delcenditur, quaque Alcenditur minus, (ec contra; Ouaminus Descenditur, qua-
que Ascendicur maxis, xerius (CretuT.) Et quidem (per 7 cap. L.) in eadem ra-
tione. Ouod erac provolitum.
Oua vero aequaliier vel Delcenditur vel Ascenditur: (Duta, ut Crave Ci indif
ferencur ad A vel B:) A qualirer vel Propendet vel Repugnat. A Gravitate (.
quidem (per det. Gravitatis) non nisi Descentus erzo, vel omnino fertur, vel
hac masis quam illac Fertur.
F18. 3F. Contra vero; Oua, caereris paribus, aequaliver vel Propendet rel Repugnat; X-
qualiter vel Descenditur vel Ascenditur. (Nam liqua rel magis Descenderet, vel
minus Ascenderet; ea magis propenderet, minusre repugnaret; per jam Demon-
srata.) Ouod icidem erat propolcum.
Et eadem ratione ostendetur converta primae parris; Nempe, qua plus ProPen
det Crare, ea masIS Descenditur; ec qua plus repugnatu ea magis Ascenditur, 845.
Caeceris paribus.
Et similiter in aliis motibus octendetur.

## Folio 597 — 851387705:0617
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000617.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
atio
ACCet
3u8V
PrOP. V.
Et Motuum Declivitates.
tudines sint xequales; in ratione Conderum: Si Pondera e Altitudi-
nes, vel utraque sinc aqualia, vel snt Recipioce proporcionalia;
Aguipollent.
FE univertalites, Virium Mocricium quarumcungue Proprestis Re.
sressulre, pollent inratione, quae ex ratione Virium, et Proorestuum
Rexrestuumre secunclum lineani Directionis Virium aectimatorum,
componitur.
tue silse
Crarium Descensus, invicem comparati, in ea ratione pollent, qua
ex Ponderum ratione et ratione Alcicudinum Delcentuum compon
nitur. Acque ACcensus similiter.
Adeoque; Si Pondera sint aequalia; inratione Altitudinum: Si AIEi-
LD. C: nt D. nC
PD. Ci: mnt D. nnCI.
PD. C:: meD. mCe
neD. C: n D. C5. sit B. L) C s t  CI1B
1V. V. neD. nC: meD. me
yp B: Ia EBL 
AnED. mncs: PD. C
locu eI
8.
DOc; Si Grave ut P, pet D descendens, valet ut Ce; etiam alterum P (exeteris F18,. 32,
paribus) cancundem descendens, valebit uc C alcerum; certium, ur cerrium, (3c. 33, 34
Adeoque nP, uEn C; in ratione Ponderum. Per 7 Cap. F.
Trem; Si Ponderis uE P, descen suS per D, valet ut C: ejuldem Ponderis l ex-
ceris paribus) per D alterum descensus, tantundem ralebit; adeoque ut alterum
C: per tercium, ut cercium, ec. AdeOquE Per MD, u m C; in ratione Alcicudi.
NUM. Per 7 Cap. T.
Si itague Pondus P, per D descendens, ralet ut CF: etiam n P, per D detcen
dens, ralebit uen C: Adeoque, per mD delcendens, ue mnCi; (ut ostensum
est:) Hoc est; in ratione ex Ponderum ec Alcicudinum racionibus compotia,
(Der Z Cap. F. ) Ouod erat probandum.
Ouae quidem rationes si sint Reciprocae; quae ex his componitur, squalicas est.
DeF 47 6, Cap. F
Simuster de Ascensu judicassdum.
E.E in alia quaris VMorice, similiter octendetur
dC LLL. L I.
et similiter demonstrari, acque in capite praecedente tactum ct, in PTOP. 13
24u 25, 16. iem, 17, 26, 29, 20. irem, 22, 23, 24,25. Quum aurem illud letiet
EFF
icerumque,
Poret quidem haec, ec subseguentium Propotitionum aliquor in plures distratiis

## Folio 598 — 851387705:0618
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000618.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
Decradcum scnsa
Cap. 1l.
icerumque, Perspleuitatis gratia, tactum tuerie; malebam rum huc cum in lequen-
tibus succinctius agere, ne ridear vel nauseam creare, vel propolurionum nume.
rum praeter necestitarem in immensum ausere velle. Ob quam rarionem ctiam
Corollaria Propolitioni principali rocies subnectere risum est.
 Ex hac aucem Proposicione (quae Descentuum Ascentuumque Maenicudinem,
ex Crrarim Dondere simul es Mornum slcirudine, aeltimat,) pocullimum dependei,
de Machinarum quarumris Porencia, judicium. e it dtee
ite3istA 3 Si 131S. 1 L L.. 141
Conjunctis invicem Delcentu et Alcentu; St PrXepOIlet DelcensuS, pro
Descentu simplicirer habendi sunc: Pro Ascentu rero, si ACcenuS
cuprapollet: (Er quidem urobique tanco quanta est Praepolsentia:)
in aquipollent, PrONcuttO.
Si vero vel plares Ascensus conjuneti sint, vel plures Descensus: tan-
cundem simul pollent atque corundem summa.
Idemque motis ab alia Vi Mocrice, mutatis mutandis, accommodabitur.
PaLEECX PrOP. 8. CaP. L
P ROP. VII.
Comparata Graria, caeteris paribus, ea rarione Ponderant (Descen-
sum moliendo, aversando Ascensum,) qua pollent corum s mo-
reantur Descensus Ascensulre; sire, quae ex Ponderum et Altitudi-
num rationibus componitur.
Idemgue aliis mocibus, mutatis mutandis, accommodabitur.
Deca; Tancundem ponderant Onum Pondo per Duo Spacia, acque Duo Pondo
per unum Spatium, Cursum deortumre (eodem tempore) Ferenda. (Ouipue
ucrobigue Duplum Onius Pondo per Onum Spatium.) Adeoque Duo Pondo per
Duo Epacia, quadruplum ponderabunt; Onius Pondo per Unum Spatium eodem
tempore ferendi. Ft in reliquis proporcionibus limiliter.
Cum enim ea ratione plus ponderant Craria, careris paribus, qua sunt majoris
Ponderis, (per x hujus;) quaque plus Descenditur, (per 4 hujus;) Fa ratione
Ponderabune (utriulque ratione habita) qua pollent eorum (secundum ucramque
contiderationem) Delcentus Ascenlutre: Hoc elt, (per 5 hujus,) Ca qua ex PON
derum et Alcicudinum racionibus componicus. Quod erac demonstrandum.
Fixempli

## Folio 599 — 851387705:0619
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000619.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
abitu
De(CCH
mo
ricuce
indos
Prop. PIIl.  Declivitate.
Fexempli pratia: Si duo Graria (seu Vires Mocrices) V, P, Sint, vel Fonde
aequalia, e (pro situ quo ponuneur) aequaliter (dum moventur) aut Descenture
aUE ACCenSuT; vel, quod Grarius elt, in eadem ratione (eodem cempore) mi
38,39,
nus sit Delcensurum; sEquiponderabune: (proprer Descensus Ascensutre xgui 40.
pollences, per s hujus.) Sin alcerius praepolleat, quae ex Pondere et Alcicudine
oritur, Velcentus magnicudo: praeponderabit iltud; acque in eadem ratione cum
illa prapollentia. Puca; Delcensus Ponderis 2 P per Alciudinem 3D, cum DC.
scenlii Ponderis z P per Alcicudinem 2 D compararus, quipollebir; (propter
13
=3X2;) adeoque qua sic movenda sune, Aquiponderabine. AI, Delcc.
lus Ponderis 2P per Alricudinem 4 D, Descentui Ponderis 3 P per Alcicudinem
2D, Drapollebit, (PFOPIEF 2X4 = 3X2;) Adeoque, quod sic movendum eries
praeponderabit. Et in aliis limilicer.
37
L2
Si (cxeteris paribus) ad duos (pluresre) mo-
tus aequaliter provendeat Crare, (vel ex plu-
ribus conjunctis Craribus Agoregatum,
neque ad alium ullum maxis propendeat:
NuIIO FCrCtF.
Sin ad unum aliquem, pra exeteris, maxime
propendeat: illo (nisi alias impeditum) te-
cetur.
Idem incellige, mutatis mutandis, de quacunque Vi MOtricE.
BVIa; Si ad A, B, aequa lités provendeat Prare C: neurra seretur. Nam (per
12 Cap. T.) propentiones contrarix (siquidem urrinque simul terri mon Posic)
cum sint Aquales, se mucuo perimunt. (st similiter B ad plures adhuc motus
rqualiter propenderer.) Sed nec alio teretur mocu (liquis lc) cur minus pro-
pendeat; Duta ad C. Nam (per eandem) huic praepolleret ucraris duarum ad
A, B, ProventiO; _GrarO DEXTipereL. Adeoque, h ad nullum masis propendear
nullo FeretUT. Ouod erat primo probandum.
Sin ad unum aliquem morum puca ad D, quam ad exterorum ullum, maris
provendear: sinsulis haec prapollebit; Adeoque (nisi alias impeditum) hac fe-
recur Crare: (per candem 12 Cap. E.) Quod ilidem probandum erat.
P incerim, nequis metuat, impersectam este hane Demonstrationem, ec
quod ucuc conatus scu Proventio ad D uni cuiris ex reliquis praepolleat
non inde camen seguatur, quod prapolleret itaque ee simul omnibus, cum tamer
omnes huie adrerlencur: Monendum hie erit; non cum simul omnibus reliquo
rum comparandum esle conatum hunc ad D, sed cum lingulis sixillarim; eo quod
non simul omnibus illis terri possic, sed nec pluribus limul, sed uno falcem ex
omnibus: Adeoquem conacus ad D, E sisillacim sinsulis praepollea, omnibus pra.
ripiet grare.
Secus autem omnino est, ubi plures consentientes conacus, uni alicui advertan-
FUT. Puta E plura Minoca graria, uni alicui (lingulis quidem, sed non omni
BuS) Mtajori, in opposita Librae lance, contra ponderarent. Ouamquam enim
Majus illud in una lance, reliquorum sinsulis in alcera, prxpolleat; Minora camen
haec Funul Sumpra F iheam in Tuas parres trahent; Ouia, cum simul omnes illi co-
natus minores in eundem motum conspirant, pro Conjunctis habendi sune cona-
ribus, non Dispararis. Conra quam hic obtiner.
Ouodque hic monemus, alibi (siqui similes occurrune casis) incellisendum
erit

## Folio 600 — 851387705:0620
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000620.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
50C
De Ciraccum dest
sit
PRO P.
Craris in luperticie Sphaerica, Terrae concentrica, utcunque moti,
nullus cst vel Descensus vel ACcensus.
Idem dicendum cA, de Plano FTorixontalis dummodo, propter Par-
ricarem plani ex immentam à Centro distantiam, quasi cum illa Spha
rica superficie coincidens habeatur.
Idem incellige, mutatis mutandis, in alia Vi morrice.
C B =- C. D.
CB- CD =0.
Duca; Si a B aet D, in supertieie Sphaerica, Terrae concentrica, mOveatur PrA
re: (vel eciam in Florirontali Plano, quousque hoc cum illa coincidens ha-
teacur;) Wihilo tic vel Propius vel Remotus d CentrO FerrX; (propier aqua
les CB, CD, Sphaerae radios:)
Adeoque (per 3 hujus) non vel Delcendit quiequam vel ACcendit sic lacum
Crrare. Ouod erat propolicum.
Idem in moris ab alia Vi Mocrice, mutaris muraridis, timilice octendecur
eempe, nihil vel protecisse, rel contra, Vim illam; dummodo secundum Vis Mo-
ericis Directionem nihil vel procelterit rel recesterie, urcunquse alias MOrCat.
F18. 30.
P R O P. Xmm cistsim
Craris per rectam Forixonti perpendicularem Descendentis, Delcen-
sus tancus est quanta est ea recta per quam fercur. Et similitex
ACcendentis ACcensuS.
Adeoque Oblique vet Descendentis rel ACcendentis, LanCUIS quantA CAt
perpendicularis aeque alta.
Idem incellige, mutatis mutandis, de alia Vi motrice.
1. 30. 
oistuis ei
ABC - BC = AB = ABC DC.
DC - E C == BEC - F C = BF. 
mesut: Beotoe
Oc2: Si in ABE recta, qua ad Foriconcalem rectam HB perpendicularis
sic, (adeoque ad C centrum Terra recta rendit, per FO Flemen. 3.) Feratur
Mobile, ab A ret R, ad B: Manitestum elt, tanto vel propius vel remocius
a Cencro tieri, quanca est ipsa AB, Vet EB, recta qua Fertur, (per 3 F lemen. F.)
Adeoque ( per 3 hujus) cancundem ret Descendere ret Ascendere. Quod exat
provoticum.
Adeoque; Si uccunque Oblique, ab A vel F, Feratur ad D punctum, quod can-
uundem acque iptum B a Cenero distet: cancundem uirobique vet Descendisse ret
Alcendisse censendum erir; per 3 hujus: Floc cst (per modo demonstrata) quan
ta est AB, vel F. B, perpendicularis aeque alca. Ouod irem probandum exat.
Idem, mucaris mucandis, de motis ab alia Vi, similiter oltendetur.
P R OP. XI.
Craris, per rectam utcunque dectirem descendentis, Descentuum A
titudines Tunc emensis Longitudinibus proportionales. Atque AF
censuum lmiliter.
(Incellise; Dummodo planum FTorixontale, cum superticie Sphaerica,
Ferrae concentrica, coincidens habeatur. Ft similiter in sequenti-
bus aliquot, quae hinc dependent.)
Idem de alia Vin muratis mutandis, intellixendum.
EC

## Folio 601 — 851387705:0621
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000621.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
ti
C
a
l
i alLodc CeCibabe
FO. FL:: FP. FD.
TE DO, Forizontalis recta; FP ad FTorizontem pet
pendicularis; FO, inclinara recta, per quam vel
Descendit vel Ascendit Crare; Ec rectae PO, parallel
DE, (trianguli crura sccans proportionaliter, per 2
Elem. 6.) ErgO: uE FO, ad P L, Longitudo ad Lon
gicudinem; lic FP, ad FD: HIOC CHt, (per 3 _ TOhu
jus,) Descentus ad Descentum (s Deortum,) vel (A
TurCum mOveatuT) ACcentus ad Ascensum. Ouod CraL
Propolicum.
Idem, mutatis mucandis, de moris ab alia Viquaris, similiter octendetur.
SCHOF TV M.
vmie haec Demonstratio: Forironcalis rectae PO, puncta omnia, uE P, C
aeque alta: adeoque PO rectam, quasi in superticie Sphaerica, Perrae concen-
trica, jacere. Sin arerBcs loquamur, pro rectis PO, DL, Substiendi funt arcus
circulares, Perra ce fentrici; (ee quidem pro singulis in FO punctis, mucabitur
Perpendiculi rolicio, ec inclinacio decliris rectae:) Sed rancillum a Rectis differunt
Arcus illi, ut pro Rectis ruro usurpari soleane, ob causas ad DeF. 15. Cap. L. emOrataS.
P R OP. X
Reais, lire ad orizontem perpendicularibus, sire utcunque inclina-
tis; Si per AEquales Longitudines feratur Crare: Descensuum AF
centuumre Alcicudinco, sunc Consicudinibus portionum aque alta
rum reciproce proportionales.
Su per Inaequales Longitudines ferantur: Descensuum Ascensuumre
Alticudines, sunt in ea ratione qua componitur ex ratione Longi
tudinum pex quaS HIcmOtuS, _ reciproca Congirudinum portionum
aeque altarum.
Adeogue; Si emensa Fongitudines, sint Consitudinibus aque altis
proportionales: Descensus Alcentutre sunt aquales.
Idem intellige, mutatis mutandis, de alia Vi motrice.
FO. FP:: FL. = F P. FD: F K. FM.
mL. L:: H = D. = D:: nM. = D.
TTE PP, ad Forirontem recta; FO, inclinata: Per PP, descendat P Crare:
in F O, grave L; per Longicudinem P L, recta PP aequalem. Jungatur PO
Florizontalis recta, (abscindens porciones PP, FO, aque altas:) ec, huic D2
rallela, L. D. Descenlus itaque graris P, tantus est quanta recta F P; pravis L
quanta est recta FD; (per LO hujus.) Eltque (per 2 Elem.: 6.) uc FO (Jonei
cudo porrionis obliguae,) ad F L, vel huic aqualem F P, (longitudinem perpen-
diculi aeque alti:) Sic, rice rerla, F P (alcitudo Delcentus, in perpendiculo de
Ccendentis, P,) ad F D (altidinem descensus, oblique descendentis L, per lon-
picudinem aequalem.) Idemque de ascendenrium per ealdem L. F, PF, Ascen
libus, similicer ostendetur. Ouod crat probandum
Adeoque; Si per Tnaequales Lonsitudines terantur; (puta, per PD; _ FR =
EF P;) erunt Descensus Ascentulre, in ratione quX ex illa, dt longicudinum per
quas feruntur, compolica; (nempe F M = E LD.) Dec praeced. OuOd POTEOPEO.
baltcuim ctal.
Fis. 4
altarum, ee directa longicudinum emenlarum,) Cint inricem reciprocx; IIOc et
( lonsicudines emensa, sint consitdinibus aque altis proportionales; (PUta, F L
FD, longicudines ementae, iplis F O, F P, lonsicudimitis aque altis, proporciona
+88E
Ldeoque; (per 6 Cap. 7. ) Si TaLIOHILS La, (MLMMDC, RCCIPFOCA PONLOMII aGUC

## Folio 602 — 851387705:0622
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000622.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
les:) Delcentuuu Ascenluue Alricydines, aequales erunt. Quod erac ulcimo
probandum.
Idem rirtous as motricibus Faeile accommodabicur.
Cap. TI.
De Cravium Descensib
PL O P.
2
Crarium,  Rectac  sue ad Horirontem inclinatas, Descensus, in
Ca FatBBC Dollent, quae Componitur ex rationibus et ponderum, et
Longicudinam ementalum, et. Reciproca Consitudinum aeque. al
Idemquemoris ab allà Vi morrice Faeile accommoctabitur.
7 AlenE enim (per 5 hujus) in ratione ex Ponderum ee Altiruidinum rationi.
e
bus compotira: Hloc elt, (per praecedentem,) ex rationibus Ponderum, e
Congicudinum, ementarum, et Rectprioca Lonxicudinum aeque alcarum. Ouod
erat probandum.
e ROP. XIV.
Rectarum Decliritas Lonsicudine aequalium, est Alcicudinibus pronr
tionalis.
Rectarum Decliritas AEque altarum s CR Fonsitudinibus Reciproce
proportionalis.
Adeoque; Rectarum quarumvis Déctiricas, et in earaciorie, quae ex ra
tione Alcitudinum et Reciproea Lonsitudinum componitur.
Acque; Si Rectarum Longicudines sint Acitudinibus proporciohales:
carum Decliritas aequalis eAt.
1i e
Duod et aliis perinde ac prarium im oribus a ccomolabitus.lt
encx
 4 1I_ X R 3111 Sip s. e 121. mscritori
F. 37D  D. p
ciuitie  it rilut u . l Alastiro Te: Supussis
nt
mb.. 1-. Zp. MA, m F ma m B = 1. Si ir CcjeICI
imin sininiimm L. SIsesit
A Puncto F, dueantur aequales rectae, quoctibet F P, H O, F B,, quae continvatae
occurranc Horizontali Recta (vel Plano Calrem) in punctis P, S, T.
Rectarum P P, FO, F B, longicudine aequalium, Decli-
ricaces, Tunc earum AIcicudinibus, puta, F P, FG, FR, pro-
Portionales. per Det. 17, +8. Cap. F.
Rectarum F P, FOS, FBV F, aeque alrarum Declivita.
tes, Tunc carum Longicudinibus, hoc cAt, ip(IS F P, FS, F Y
Reciproce proporrionales. per caldem Del. 17, 16, Cap. F.
Ouxe erant demonstranda.
Ouas quidem rationes eatdent etté; adeoque seminam
quae hrabetur DeF. 18. Cap. T. Majoris Dectivitatis detini-
tionem tantundem valere, (et Minoris similiter;) hine
constat: Duoniam, Siretumantur rectarum F P, F. OS, porriones longicudine -
quales P P LO, quarum Alicudines (INC F P, FQ; Sive portiones aeque altX F P
FS, quarum lonsitudines reciproCR, TUnE FS, F P, hoc est FS, PO; Ladem vErO.
bique prorenic Declivitacum ratio. Nam, ut FP, ad F.: Sic elt FSad FO:
per 2 Elem. 6. Similiter, in rectis FP, FBT; porcionum aequalium FP, FB
alricudines FP, PR; et porcionum aequealcarum F P, F T, lonsimdines RCCIprOCX
FT, FP, hOC CAF T, FB; proportionales sune: per 2 Flem. 6. Trem; rectarum
FO, FBV, porcionum aequalium FO, F B, alcicudines FO, P R; _ porrionum
aeque altarum PO, PV, longicudines FeCIPTOCK FV, FO, hocCAFV, FB; pro-
portionales sunc: per Z F. temr. 6.)
Ideoque;
tarum. Acque Ascensussimiliter. 

## Folio 603 — 851387705:0623
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000623.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
(0p01
iprOCO
et
PFOD. X V. Motuum Declroitate.
Tdeogue; rectarum, puta F P, F V, Decliricates lune inratione FP ad FR
nempe in ratione qua componitur, ex Ascicudinum ratione, puta, F P ad F C; at-
que FO ad FR, sire FV ad FB, hoc est F, V ad FP, reciproca. Longitudinum.
Ouod itidem demonstrandum erat.
Adeoque (per 6. Cap. 1.) Sirationes illae (directa alcicudinum, et FeCipFOCA
Longicudinum) sine invicem reciprocx; hoc cst, si Alcicudines Cint Longicudini.
bus directe provorrionales; Decliricares sunc aequales. Ouod erat ulrimo demon-
Strandum.
SCHEOL. ZV M.
TOrndum hic; Dummodo Ferrae Cenerum intellixatur carquam intinice, di-
.d stans; eadem est ubique ejuldem recta, puta F B P, DectIVItaS; PTOPtCF Pa
rallelam Perpendiculorum potuionem: Si vero intellisatur ut in certa dultantia
Finica; varia est in lingulis punctis Dectiritas: Ouippe cumm Perpendicula omnia
In CCNITO COCaNE; quanquam eadem sic directio MOLIS, NOrriCIS LANKH V 
rectio Cubinde mutatur: adeoque alia exie illius ad hanc Posicio, aliulque ad per-
pendiculum Angulus, puta in B quam in Lpuncto: Ouaque ex praesentr L Fura ,
demonstratione colligicur Decliritas, Toli F puncto convenit; aliaque BIO alIS,
ucB, V, P, punctis limilicer collisenda eric; demittis inde ad Lerrae Cenllt )
Pendiculis.
que recta ibidem continsentis. Et Superficiei currae, cadem atque
ibidem contingentis Plani.
Ouod aliis perinde atque Crarium motibus accommodabitur.
IE FP, perpendiculum; PC, Curra; F P, recta contingens. Cum candem cur-
Dvam in variis sui parcibus varie declirem elte constet (dectiriorem alibis alibi
minus dectirem:) Fandem dico, in L pincto, de caset
eliritatem FC currx, acque contingentis rectae F Y
censendam cAe. Cum enim CF P ansuluS CONFaCIIS
(Sire Circulorum, per 16 F. Lem. 3. lire Conicarum
sectionum, per 32. Lib. L. Spollonii; lire, quod si.
militer oltendetur, currarum quarumris;) sic vel
nullius magnicudinis, (quod nos, peculiari Fractatu
De Angulo Contactus, mulcis oltendius;) vel Cal
cem, intinice exisuxe, (utpore qui sic vel minimo
voltibili rectilineo minor; quod apud omnes in con-
Celto est:) eadem erim in puncto P, Directio, sire
C currxe, sire P T concingentis rectae; (laltem,
ditterencia quavis altionatli minor eric:) Adeoque d eadem, ueruilque 
puncto Declivitas. Ouod erat provolicum.
Idemque de superticiei currae punctis sineutio sulisex ollendetur.
eRO P. XV
1. (1 . 1C
Finexe currae Decliritas, in singulis respectire punctis, eadem est at
fet.
3CitS CL et D R O P. XY
114, 218 
13 sic 31
Di3sistocO
Si ad duos os a Catatum Grare, CautIs patIouIS; Uey a
tero l feratur, Delcenurunt li; Aceneum, l altero: Ld Pa
Siu alcelo lacum plus Descendet; allero, mimis: d prapondera
Si alleto, plus ACcendet; alcero, minus: ea minus RexuenaE, qua
n aa oris sclalu, ret lcendet, ret ascendet: Aqut.
Qla plus descendet.
pondetat, qua DescetTurum est. POWP) vNEISI
minus Alcendet.
18
COntra
Ponderat uerinque.

## Folio 604 — 851387705:0624
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000624.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
De Cravium Descensu,
CaP.
Contra vero: Oua, eaeteris paribus, Prxponderat, vel minus Repuo-
nat; Fa vel plus Descensurum est, rel Ascenturum minus: Sin neu-
eras sequalis urrinque fucurus est rel Descensus rel Alcentus.
Fig. 3c. DOra; Si in puncto C sic constitutum Grave; vel per C A, vel per CEB Feren-
Lo dum: Scque CA, caereris paribus, vel masis deortum, vel minus, fursum,
quam CB: Per illam porius quam per hanc feretur. Sin aqualiter; neutra PrO
Dendet agIS. EF CONTTA.
Sequitur ex 4 hujus.
P R OP. XVI
Fa prxeponderat Grare, exeteris paribus, et in ca ratione, qua mOtuS
est Declirior: Ouaque est Acclirior, maxis repusnat.
Adeoque, omnium maxime in perpendiculo.
(Ouare et Ponderis simpliciter tanta Vis censeri Colet, quantam in Per-
Dendiculo habet.)
Ouaque sequaliter vel Decliris est vel Accliris, aequaliter vel Propen-
der vel Repugnat.
Suneque haec perinde rel Crarium moribus, rel aliis, accommodanda.
nic. 42. DVca; In rectis FP, FOS, FBT; ea racione ponderat Grare, qua LinE DE.
L.clires illa rectae. FM enim Dectiricas in Reciproca rarione Longicudinum
eque altarum; sive, quod eodem recidic, in Directa Alcirudinum seque longarum;
(per 24 hujus.) Hoc eltu in ratione Delcentuum (Ascentuumire) caeteris pari-
bus; (per 10, 12, hujus:) Adeoque in ca ratione poxderant; per 4 hujus. Quod
crat propolitum.
Ouare _ in perpendiculo, omnium maxime: Ut qux ex aque. altis Brevittima
Clt; et ex aeque lonsis, alristima.
EE ProPterea (quod Detinitionis inctar esto) cantam Ponderis cujusrio Vim cen-
semus, quantam in Perpendiculo habet.
Ouodque de F F recta ostentum et; idem de currae FC puncto F, incelligen-
218. 43. dum ett. Vepore cujus Decliricas, adeoque Pendentia deorlum, eadem ell acque
Concingentis rectae FP: (per 25 hujus:) Adeoque et graricario; per 4 hujus.
SC HOL ZVM
Onendum camen est: In rectarumu, ut F P, punctis singulis, candem incel.
LV ligendam esse praris Ponderationem, dummodo intellisatur Centrum P’er-
ea tanquam intinire diltans; adeoque, proprer Pexpendiculorum quali parallelis.
mum, candem ubique Dectiritatem. Si camen (quod ad ProD. F4. monuimus)
Cenirum incellisatur in cerra distancia finica; mucabitur, in singulis punctis, recta
Decliritas; adeoque e Craris, in eo puncto, ponderacio. Ouo calii; quod de
Curra modo dictum est, idem de recta pariter dicendum; Nempe eam este Cira-
vis, in recta F V puncto fi Ponderationem, quae ex rectarum L L, F P, reci.
proca ratione collisicur: Aeque in aliis punctis similicer judicandum. Ouippe.
ut in curris, sic rectis, pro murata in lingulis punctis Dectiricate, mucabitur e
Ponderatio.
Nerum cum Oentrim Foleat, tanquam intinice distans, repucari;; ee Perpendicula
parasela: cuto solene (quoad sentum). _ rectae in lingulis sui punctis pariter
Declires aestimari. Ouanquam (quod ec lubinde antea monuimus,) Si, LanEX
Consimdinis recta, Planare canex amplitudinis, consideranda venianE; ut nota
bile hinc diterimen emerxat; etiam hujus mucacae Dectiritais, adeoque e Ponde.
cationios, habenen etic ralio
218. 43

## Folio 605 — 851387705:0625
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000625.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Pet
Opest
landa.
CDC
dinum
eun
in
PrOP. XVIII. Pt Motuum Dectivitate.
e P R O P. XVTTI.
Si Crare, ubiris in eodem Perpendiculo, vel Iocumbat, vel Depen
deat, rel in ipso sustentationis puncto intelligatur, (vet cum ipto
ita utcunque connexum, ut vel simul quiescant, rel simul aequali-
ter moreantur contraria rires; altera secundum, altera contra di-
rectionem suam:) Duo sustineatur, requiritur, aequalis Ponderi,
vis Impediens; atque haec sufficit.
Idemque incellise, mutatis mutandis, de quacunque Vi motrice.
Neclligatur Pondus (Seu Vis quae libet MOtrix) in P; atque ibi. Fig. 49
dem ris Impedicira mocus V. Si Vis Ponderis (seu Mocira)
Mlajor Lic; praepollebic: adeoque descendet (sive secundum Directio.
nem Cuam Feretur,) non Cultinebitur. Si AEgualis, aequipollebit:
adeoque Tustinebitur Pondus. (per TF. CaD. E.) Onde constat prOVO.
litum. (Si Vis Impediens (it major; eo Fortius impediet: Non re
quaritur camen; quia aequalis sutticit.)
Idem oltendetur; Si ubiris in eodem xerpendieulo (sire Directio.
nis Linea) constituatur P; dummodo quantum Descendit (sive (c.
cundum dircetionem La MOVeTT) P, cancum deprimatur (seu
concra directionem Cuam rerellatur) concraria Vis V. Nam (Per S
tujus) aequalium virium aequales progrellus xequipollent: Adeoque,
cum linc contrarix, (Dura, secundum directionem luam altera, altera
contra Tuam,) propter Impedimentum Momento aguipollens, non
FIc motus; (nedum si Impedtimeneum majus sic: ) Fir aucem; sI mi-
nus valet impedimentum. per FF C aP. F.
Idem ostendetur; Si urcunque cum Pondere, seu VI MOtice, Il
connectatur Vis Impediens, ut Contrarii mocus (alter le-
cundum, alter contra Virium Directionem,) sint aequales.
Puta; Si incellisatur P POnduS, ex Funiculo P F (BreVI
an lonso perinde elt) libere dependens, qui orbiculo cir-
cumpolitus ex adverla parte percingat ad V; ibique X
quale Pondus seu Vis aequalis applicetur; ita quidem ut
delcendente P pondere, tancundem alcenderet, vel contra
dircetionem tuam rerelleretur, pondus Cou Vis V; (sire
contra; alcendente P, tancundem descenderet V, _c.
Nam (per 5 hujus) aequalium Virium, aequales progrectus,
aequipollent: Adeoque concrariae cum sinc, non tiet motus; tiet autem, si Vis
Impediens minor SIt. Per LY C ap. 1.
i c1e1.
SC HOL7V M.
Ine sequicur; Ctadta ex Elo lonsior an breviori dependentia, cancundem
 ponderare: Ileu Provius an remocils diltent quae incumbune pondera, aut
Hinc etiam sequitur;: I construendis Machinisi; Vectes, susa, Lusclaq Funes,
exeteraque Machinarum demamenca, canta tirmirudinis incellisenda esse sula, ut
oneti quod sere susch sinc serendo paria. Alioqui ciriis Lpe Ma
china vel incuerabicus, quam perticierus exspectacus morus.
dependeno; dummoco, u codlem perpendiculo.
X
Craria, caeteris paribus, in ea ratione craritant, quae componitur l
rationibus L  CArC Ponderum ex slcicudi-
d

## Folio 606 — 851387705:0626
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000626.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
cccum estets io
Cap. II.
num rectarum lonsitudine aequalium; vel Ponderum et reciproca
Congicudinum rectarum aeque- altaTUM.)
Adeoque; Si Pondera sine Aqualia; in ratione Decliritatum; Si De.
eliritates snt Aiguales; in ratione Ponderum: Si Pondera Cint De
cliritatibus reciproce proportionalia, (sire proporrionalia L onsicu-
dinibus aeque altis;) aqualiter graritant. 
ldemque aliis Viribiis Morricibus accommodabitur. ps
15 Ldsi CidiSS
3ASt
1 le B. CilsilI D .CssiiiB. i C nD. OWC l: n P. it 1C
mD
mD:
5
D
VD. C:: neD. nO: : me D. mC:: mnPD. mnC:: PD. 6. 1 311
DOTa: Si Pondus, P, in Declivitate D, Gravilet ut C: Pondus nP, in cadem
dectiritate, GravicabienE nG, (per L hujus:) Adeoque, in Dectiricate m D
Graritabic uc mnC, (per 17 hujus:) Hoc est, in ratione ex Ponderum ee Decli-
vitacum rationibus compotita, (ver 2 C ap. T.) HoccH, (ver T4 hujus,) eX POn-
derum ec Alcicudinum rectarum Lonsicudine aequalium, vel ex Ponderum et reci
proca Lonsicudinum aeque altarum. Guoderat probandum.
Corollaria constant, cx 4 ec6 C ap. L.
Aia Demonstratio.
L18. 4F. Idem sic alias demonstrabicur. In FP ad Horironem recta; sit Pondus D:
e huie aequale L, in inclinata PO aeque alta. Pr connecti incellisantur Pondera
D, L, filo Aexili D F L, punctum Pimmobile ambignue:  rr moto D, vertus P
cancundem moreatur L. verlus F; e contra. Pric i P P ad FO; puta ut mad
T; Licrice rersa, Delcentus Ascentutre ponderis Liniliac, ad Delcensum Ascon-
tumre ponderis aequalis D in IIIa; I( Per F2 trujus:1) adeoque de (quae AUrC PIO-
porcionalis elt, per s er ry hujus,) Graricacio Ponderis in L, ad aegllalis ponde.
ris D gravitationem. Hocelt, s D graritat ut C; aequale pondus lu Gravicabie
uc mG; hoc est, in reciproca Lonsiudinum aque altarum; sire in Decliriracum
ratione.
Ct Farieii
Adeoque; Si Inaequalia A L D, pondera; Dutar ==nD: Stancab, Iud
Ly uc mn G: (per F hujus: ) hlocelt, in ratione quae ex Ponderum ee Declirica.
cum rarionibus componitur; lire ex vatione Ponderum e reciproca L
aeque altarum.
portionalia L onsieudinibus xque altis; Xeque graritant. per 6C
demonstranda.
1
F.
DuX CranE
Ouaproprer; Si Pondera sint Deoliritacibus reciproce proportionalia, Tirei Pro-
Siu circa Punetum quodris (extra Terra Concrum) in FTorixontali
recta, ut Centrum, Recta linca, manente uno extremo, altero de
scribat Circuli veripheriam, in plano act Fforizontem sire recto
lire utcunque inclinato: Alcissimum peripheriae punctum, illud est.
quod supra. Florirontalem rectam est in recta ad illam perpendio-
lari; Flumillimum, illud quod est in eadem perpendiculari intra II0.
ticontalem rectam: Punctorum vero in peripheria intermediorum
illud Altius est, quod est supremo prOpHIS; Interius, illud quod est
propius intimo, Teu a Cupremo remotius: Oux autem aequaliter
utrinque rela summo rel ab imo distant; sunt aeque alta.
Idem, mucatismutandis, aliis mocibils accommodabitur.
79 IVS. SIOC, HCS SeIP SansirS:s nOIsseIASI SucliEs cirSse sive
ibresiis h urral 3ril); sussesivilsCS cusisbruss ducline Cicca
SAIHIBI

## Folio 607 — 851387705:0627
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000627.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
ndera
18 V
otuum Ocnditate.
PFOL. LLLL
LSIC) I LLOTZOntali recta AB, (cui ad recton
angulos insistit S F P recta,) conrerla recta PA in
celligatur peripheriam AS B P describere, in plano
ad Florizontem vel recto vel urcunque inclinato.
Prit, inquam, peripheria punctum Alcissimum, S
Intimum, P: Intermediorum vero, ut C, HI; quod
propius ab S diltat, ut  Superius; quod propius d
E, uc FI, interius; Ouxque xequalirer rel ab S, vel
2 P distant; puta G, C: Vel FB,II; aeque alta.
Sic prinum ASBF Deripheria, in plano ad Fori
zontem recto; Adeoque Centrum Perra in eodem
plano, (per FD Elem. 3.) DUta, in C, extra Cix-
culum. Ductis, ab altignacis punctis, lineis rectis.
in C. Ferrae Cenero cocuncibus: conitabit provoli.
Tum; Per 8. FleM. 3.
Sin tantae magnitudinis intelligatur Circutus
ASBP, uc ad iplum Terra Centrum, vel ultra,
pertinsar; silque C, rerbi btatia, vel incra Circulum, vel in ipta peripheria. Con
ltabit proxoticum, per 7 EtOM. 8. IC
 5:
Sit deinde, Circuli planum ASBP non ad FTorizontem rectim, led mreunque
inclinarum; Adeoque nec Centrum Ferra in eodem Circusi plano, pura in C: led
extra planum, ut in R: Onde, ad obliguum circuli planum, duci incellisaeur
RC perpendicularis, (punctum C, ominium in obliquo Cireuli plano punctorum,
proximum ad Terra Centrum, adeoque omnium intimu delhonans. ) Ec jun-
sancur cum SC, GCy HIC, PC; cut S H GH, PL K, F K 1. Ollendecur, ut peius,
(Tire contingat C intra vel exera Circusum.) omnium ad C ductarum, longissi.
mam esse SC; brerissinaim, PC; irem CC, longiorem quam FI C; aequales autem
cum CC, CC; Tum FIC, HO. AdeogBe Smocis quadratis; Ouadracum SC.
maximum; PC minimti; C, Mrajus quam FLC; Ouadrata C C, CC, hem IIC
FIC, invicem aequalia. Ideoque, addico communi augmento, quadraeo CR; CxUHE
ouacracotum SC, CIE, abSIC atint, hoc elt (per 47 FLem. L.) quactracum S K, omni
um maxinhum; Guadracorin PC, CH, Hoc est quadratum LL, minimum; Glla.
dTatOTUM CC, CL, hoc es GnacaC L, majus quam quadracorum FIC, C. I.
hoc Cst quadratum ITI; quadratorum GC, Ci K, dC C, Ck, hoc est quadrata
EK, CK, invicem aqualta; similiter, quadratorum HC, CK, d HIO, CK
hoc est quacrata III, TIR, inricem aequalia. tirgo et Tumpiis laceribus; Recta
SK, Omhium ad IE ductatusm, maxima; P R, minima; CdK, lonsiOE quam LL H
ec GK, GK, icem HK, HR, inricem cequales. Adeoque, punctum S, omnium
Ferrae Ceniro Alcissimum; P, Iatimum; C, alcius quam LL; e (, 9, vel FI, LI,
aeque alta. Ouod Crat PrOPOLIUM.
Ala Demonstratio.
Idem ostendetur, Si intellisarur Cen
erum Terrae panquam intinire diltans. Nam.
ductis id punetis S, P, C, H, act subjectam
rectam Florizontalem quamris perpendi.
cularibus: Si planum Cireuti CL, 2d. FIOrI.
20
Prop. 25. F lem. 3.
Si vero planum cireuli ad Florizonten
TIE Obliquu. Intellipantur ab assignatis
punctis S, P, G, L demici ad planum H0.
rizontale quodris subjectum perpendiela.
TeS S0, PX, C7, Fln; ex ab uldem punctis,
ad communem planorum FTorizontalis c
Inelinaci Sectionera, coridem. act angulos CSC
rectos Ss, Pp, C8, IIB: (e compleancur, Friangula) Ostendene, (ex 20 de sen XL.
has illis (propier similia crianoula S0 si P X p, (DG, IIn B.) proportionales elle
Adeoque; quae d communi dectione 5sp h lonsius distanc puneta in oblquo
plano
Trea Punctum F (quod Perrae Centrum non

## Folio 608 — 851387705:0628
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000628.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
De Cravium Descensib
plano posica, eadem ab illo Ftorixontali plano longius distabunt, cruneque (HCIM-
dum perpendiculum) alriora. Octenso ixitur ur prius (ex I5 Elem 3.) d com-
muni lectione esph (quae ipla est Horicontalis recta;) oltendetur eriam, ab
ipso subjecto plano FTorizontalI e sBr0; punctum S, maxime; P, minime; C, (1
e IBH, aequalirer; _ G, magis quam E, dictare. Unde conltat provolitum.
SCF O L FV M.
Voniam (ne supra monicum elt alignories) consideratur Perrxe Centrumnune
quali intinire dstans, nunc aurem tanquam in distantia tinita; ad oque per-
Dendicula, nunc uc parallela, nunc uc in puncto concurrentia. Vilum clE propo.
litionem hanc secundum ucramque suppolitionem demonstrare.
Norandum incerim in propotirione diserre diei, In plano ad FTorizontem vel
Recto, vel utcunque Tnetinato: Duoniam in Hlorizontali plano, hoc cst, in plano
Eorizonci parallelo, nullum exit peripherix vel Alcius vel Fumilus punctum, sed
xque alca omnia.
P R O P. XXT.
Descendens Crare, eaeteris paribus, recta ad Forixontem Perpendica-
Pori Feretur: Ex obliguis vero, ea potius qua minus est obliqua.
Ascendens; Contra.
Ponderat aurem (pro raria Ascensuum Descentuumre obliquitate) in
ratione Rectorum Sinuum, Inclinacionis ad Horizoncem, lire Com-
plementi Obliquitatis.
Idemque aliis motibus accommodabitur.
iB. 42. ) Scendetur enim (ex praecedente) rectarum lonxicudine aequalium, perpen-
dicularem (ut F P) este omnium alciltimam; adeoque, es maxime declivem
(per r4hujus.) Hlacisitur; prae exteris teretur Delcendens grare; contra vero
Alcendens. per 17 hujus.
Ex obligniS verO, UEF O, F B; Similiter ostendetur (ex praeced.) illam quae
minus est obliqua, Puca FO, alriorem elle; adeoque (per i4 hujus) et masis
dectirem. Idcoque (per  hujus) per hanc porius lacumiri Deleendens CTaVS;
AScendenS, CONErA.
Virobique vero ponderat Grare (Descentum promovendo, adeoque Ascensum
impediendo) in ratione F P, F O, FR, alticudinum rectarum Lonricudine equa-
lium FP, FO, FB, (per F4 e X7 hujus:) HIoc cst (quod ex Frigonometricis
constat) in rarione Sinuum rectorum, angulorum Inclinationis F PS, FOO, FBR;
qui sunc angulorum Obliquicaris P FP, P F O, P F B, complementa. Quod etat
propolicum.
P ROP. XXII.
Crare, qualetus non impeditur; per rectam ITorizonci perpendicu-
larem descendet.
Idem incellise, mutatis mutandis, in aliis moribus.
Escendet enim, quacenus non impeditur; Der 2 hujus. F C, hac prX exteris;
Cap. II.
per pracedencem.
LAO P. XXTII.
Supex impenetrabili Plano FTorizontali constitutum Crave, vel super-
ficie Sphariea, Perrx concentrica: Craritate lua non morebitur.
ldcmince mllatis mutancis, qua cuue i ViS MIOCII. Lep
quum planum eA Directioni virium ad ansulos rectos.
ote

## Folio 609 — 851387705:0629
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000629.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
endie
11d.
acc) in
CO
pecd
PFODXXI
sit Motuum Declivitate.
ET in B, Grave; impenetrabili plano torironali EBO incumbens; vel tu- F18. 30.
perticiei Sphaerica, quae Sic Perrae concencrica, DDB. Manitestum ett (propter
aequales Sphaerae ractios) nullum in ipsa DDB Sphaerica superticie punctum, (ne-
dum quod supra ipsam est, auc eriam supra planum Horizoncale,) propius a Per-
ra Cenero diltare, quam ipsum B punctum. Adeoque; li nec luperticiem illam
(live Spharicam, Sire Florizontalem,) Denetrare pollic, (quod lupponitur;) in
nullas morendo parres, descendet, (per 3 hujus.) Cum itaque (per DcF. Cravi
tatis) non nisi Delcenlus erso, graritate tua moreatur grare, nec pot (Per jami
demonstrata) descendere: Non OrebIEUI, GraVItaIE TUa, SIC COnLLITITM GITAVC.
Ouod erat Demonltrandum.
SC FZOL ZV M.
Dem oltenderetur de Crari, in B, superticiei concara incumbenei quxe in B
cansat FTorizoncale planum; seu cujus punctum intimum sic ipsum B. Lrem,
de conrexa Sphaerica cujus Centrum CiE ultra Centrum Terrae, quam tamen in
Bcontinset plunum Horizoncale; urpore cujus punctum intimum sic ipsum B.
Idem verum cA de superticie minoris Sphaera quam sic contingat B: nOn autem
ob hanc caulam, quia punctum illud non sic reliquis altius, (cAF enim;) Sed prop.
TEF PrOP. 8. hujus: quipre non clluna aliqua decliricas, reliquis omnibus major.
Per Impenetrabile planum, ec. Illud incellieimus, quod ea Paltem quae adhibe-
cur Vi, non penetrabitur; utur Vi majore penecrari poltit.
Nocandum elt hic porro; Dummodo, ob immenlam Ceneri Terrae distanciam,
ec expoliri plani parritarem, intelligacur Florizontale planum, cum superticie
Spharica cerrae concentrica, coincidere; adcogue iplius puneta lingula: guali 2egua-
licer a Ferrae Centro dictare: perinde est, sive in B, Cire in Fl, aliore Hlorizonta
Iis plani HIBO puncto, intelligacur Crave consticurum. Sin axpiBcos considere.
cur; non exic illud, nisi unius B puncti respectu, planum Forixontale. Omare et
in I consticurum erare, pocerit ad B moveri gravicate lua; urpore punctum interius.
P ROP. XXIV.
Super impenetrabili plano ad FTorixontem sire recto, lire utcunque
inclinato, constitutum crare; nec alias impeditum; per illam Plani
rectam descendet qua est rectae FTorizontali ad angulos rectos; de-
Orsum. Oux quidem recta, in crecto plano, es iplum P’erpendicu
lum; in obliquo plano, Perpendiculi succedaneum, appello.
Adeoque; eadtem eA, Descensus Craris in Decliri plano, ipsusque
Decliris plani, tum Decliritas, tum Obliquitas, de Inclinatio.)
Ft univertaliter; in quacunque superticie Decliri, illo prae caeteris
ductu Feretur (Siquis SIE) qui est reliquis omnibus Declirior 
Idem intellise, mutatis mutandis, de motis ab alia quaris Vi morrice;
Nempe secundum illam plani rectam feretur Mobile, (nisi alias jir-
Dedicum,) quae est ad angulos rectos illi rectae quae Lineam Di-
rectionis Virium ad angulos rectos secat.
CE in Declivis Plani puncto F, consticurum Cirare; rectaeque Ftorironcali AL. B L 18. 403
D ad angulos rectos FP recta, in eodem Ptano, deortum. Oltendetur (ex 20 47.
_c F4 hrujus) ominium quae in illo plano sunc (nedum quae supra planum) lon-
sicudine equalium, ad F ductarum, Onieam LP rectam, maxime declirem este.
Adeoque (cum, proxrer impenetrabile planum, ad illas intra Planum ne cranleat,
impediri incellisatur) per iplam P P (Per 27 et 5 hujus,) vili alias impediatur,
delcende Cirare. Ouod ctal demonstrandum.
Idem aliis Superticiebus accommodandum erit, Pro re nata; Nempe, exeteris pa
rivus, illo semper ductu (liquis Sic) larum iri Crare, qui est exreris omnibus de
clirior: per 27 ee 5 hujus. Sin calis nullus sic (reliquis omnibus dectirior) du.
Etus; non movebitur. per B hujus.
Hnhh
alia

## Folio 610 — 851387705:0630
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000630.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
ceruorum Descensis
Aia Demonstracio.
eap. 11
Pocest hoc idem demonstrari, ex PrOP. 2F. proxrer Obli.
quiorem alibi Descentum: hoc modo.
In Decliris Plani P GOHI puncto C, consticurum inceli
satur Grare: Acque, in eodem plano, cum ITorizoncalis
recta PC (nempe ea recta lecundum quam Hlorizontale
Planum, Der C trantiens lecat Declire planum,) cum huic
ad angulos rectos GO: Tnoeque ad lubjectum Planum Llori-
zontale FOR, demilta pervendicularis GR: (Per quam
itaque, nili impediatur, delcendet Grare; per 22 hujus.)
Incelligatur aurem, ob duririem Decliri Plano subjectam,
impediri ne Denetret. Dico per CO descenturum Grare.
Cum enim duo Plana Forizoncalia, adeoque Parallela, alcerum in FLO, alte-
rum in PC, secer idem declire planum P CiOHL (per constructionem:) CxUNE
HO, PG, Parallelae rectae. per 16 Flem. FF.
Tiem, propter DC rectam, rectis GO, GR, ad angulos rectos, (per constructio.
nem,) erit ad planum OCR recta, (per 4 L. leM. TT.) Adeoque et (truie paral-
dela) HO, eidem OGR plano recta exiu (per d L lem. L1.) rectiique OG, OR,
ad angulos rectos; per 3 Det. F LCM. EF.
FE, sI GentrO R in plano HOR, ducatur per O, peripheria OS; eam con-
tingens TIO, extra peripheriam jacebit; per 16 Flem. 3.
Si iraque ad recta LIC, aliud quam O, punctum quodvis T, dueatur C Y re
Etaque _ R I jungatur; secabit haec peripheriam; Puta in S. Fec, juneta CFS, erit
(proprer CR ad planum Horixontale rectam; adeoque angulos GRO, (R5.
aequales rectos; _ RO; RS, aequales radios; rectamque CrR communem) SG
recta, aequalis rectae OC; et angutus S EF R aequalis ansulo OGR; per 4 F. lem. 7.
Fst aicem angulus PER, major angulo SGFR (parce Cui,) ergo ee (huic
aquali) angulo OGR major elt. Adeoque Descentus obliquior eMt Per GT,
quam Der (O.
Cum igitur Cirare, quam porest recta ad Cenirum descendat, (Per 2 F hujuS ;)
Per GO potius quam CTP FeretuIT.
Arque similicer de aliis ejusdem Plani rectis ostendetur. Adeoque d Forciori, de
rectis ulera planum, auc etiam curris.
deoque (cum nec Planum penetrare posTiE) per rectam CEO (nisi alias impe-
dicum) descender Grare in C, (ue qui reliquis rectior elt Descentus:) Ouod erac
demonltrandum.
SCHOL. ZOM.
FAnc Demonsteationem praecedemi subjungere vitum ell, propter ea quae apud
a Mechanicorum Scripiores de Obliquitate Delcentuum Occurrunt, Anguti-
que Obliquitaris magnicudine. Ac priorem ego praetulerim, quae ex Dectiritate,
hoc e ex Alcicudne rectarum lonsicudine aqualium, vel Longiudine aeque
altarum, depender: cum uc simpliciorem; cum praecipue, quoniam quod ex Obli-
quicare hac oritur Cravicationis impedtimentum, Ausmenco lonsicudinis Descen-
luum aeque:
jam dictis _e post dicendis manisestum eric:) Adeoque illi Borius, quam huie, ut
vera caula referendum.
Hinc aurem seguiur; Fandem esse Descensus Cravis in Declivi Plano, iptius.
que Dectiris Plani, ad Florizoncem Tnelinarionem; (Nam, Per DeF. 5 et 6, L lem. LL.
Ansulus GOR est Inclinarionis Mentura, cum recta GO, cum plani PCO, ad
Horirontem HIOR:) Adcoque eandem utriusque tam Obliquicarem, tam Decti-
vicarem. Nempe idem Obliquicacis Aneulus OCCR; cademque Decliricas sive
rectae CO ad C R, ratio.
eROP.

## Folio 611 — 851387705:0631
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000631.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
PFOD.XXV. F Moruum Dectivita.
PR O P. ZZV.
Obliquitas motus, ea ratione minuit Craritationem, (adeoque De-
scensum impedit, adjurat ACcenum;) qua LongiOr est obliqua xe
cta illam determinans, quam perpendicularis aeque alta; Are Se-
cans Anguli Obliquitatis, quam Racius.
Idemque aliis motibus accommodabitur.
Tam (Per 27 hujus) Crare, pro raria Declivicace, gravicat in ipta Decliri. F18. 42.
Acacis ratione; HOC CA (PeF T4 hujus) in reciproca ratione rectarum aeque
altarum. Puta, qua ratione longior est F S vel F P obligua, quam FP perpendi
cularis aeque alta; sire (quod in Trisonometricis dicitur) FS vel PP SecanS
Anguli Obliquitaris P F S vet PF P, quam P P Radius; Fa minus gravitat in FS
vel FT ferendum grare, quam in F P. Ouod crat probandum.
Adeoque (per 27 CaP. T.) in eadem ratione minus Descensum promovet, vel
ACcensuri repugnat; live (quod eodem recidit) in ea ratione Delcensus Obligui.
cace impeditur, et Facilitatur AscensuS. Ouod iridem probandum crat.
P RO P. XXVI
Obliguatio Plani in quo fC NOtS; in eadem ratione minuit omnium
in illo ferendorum Craritationem: ea nempe quam ipla Plani Ob.
liguitas postulat.
EL in aliis mocibus similiter.
CTE in Obliquo Plano GOF, recta queris GT. Acque a puncto C, demita. F18. 48.
Dcur, ad Florizontale Planum FOR, perpendicularis GR. AEquC, ad com
munem Planorum incersectionem FO normalis GO; (ue sic GOR Iuclinacio
Plani, per DCF. 6. EL. FT. e OGR ObTiquItaS.) Si isitur intellisatur GO Y
planum, super Horizoncalem rectam O F crectum esse; erir utriulque recta (O
EP, communis Alcieudo CO: In eodem vero Plano Obliquato, Communis AI.
qua racione CK brevior est quam GO, (hoc eAt
Radius quam. Secans Ansuli Obliquitaris,) eadem ob Plani Obliquationem mi
nuicur Alcicudo, (adeoque Dectiricas,s e Crraritatio, per 14 et Y7 hujus) sIve per
GO, sire per CP, terendi Craris. Quod erac probandum.
P ROP. XXVII.
Cirare, sicu Decliri ferendum, sponte sua movebitur: Sii Forixon-
tali (sire secundum Superticiem Sphaericam Terrae concencticam
Vi quantumris exigua: Situ Accliri; ea Vi morebitur quae Imve-
dimento ex Accliritate (cum POnderE COMPATATA) orto Praepollet.
Idem aliis motibus accommodabitur.
DEx Becurem ductum, ut PL, FS, (adeoque Deleen-
dentem, per DeF. 26. Cap. T.) sponte lua (nili alias
impedicum,) feretur srare; per 2 hujus. Per Horizon-
cale Planum, vel superticiem Sphaerieam, Perrae Concen-
tricam, UE PFI, (cum nullus siF vel Delcenus vel ACCen
TuS; Per O AjUS;) nec lPOnL sua mOreBITI, (PeF 2
hujus;) nec tamen motu adversatur, (per 4 hujuS;
adeoque Vi quancumris exigua OVEBIEUT, PeT IT C aP. Y
Per Acclirem ductum, ut PF, PO, (adeoque AICen
dentem, per DeL. 26. Cap. L.) motui adrerlatur Ccraritas, (p 4 
Ahhh 2
Gue

## Folio 612 — 851387705:0632
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000632.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
erdum scensa
Cap. II.
12
duque, (Pet 8 vel 10Cap. L.) FIULC TaMEN ImpEcLIenLO VIS PTAPOLENS, mo-
vebit; per TZ Cap. L. Ouae cranc demonstranda.
5E7 0Z ZVM.
habitam esse rationem rel Relistentia medii, vel Asperitacis aut scabritiei plano.
Impeltimenti vel Acscue. Calquam li in medio racuo perasendus cHet moils,
plane excrinleca; et seortum, opus el perpendenda. CanGa ScI, te1DL
Forundum vero, mum hies, tum 1oco hoc Capiie, (auc eriam alibius) ubi vaciam
 planorum motuumre, sire Decliritarem; Sire Acclivitatem (quodque hinc
Oritur mocus vel Adjumentum vel Impedimentum) consideramus: Nullam omnino
rum aue superticierum Cuper quibus niOrecuE, e ligua lunt ejusmodi impedi.
menta alta: Sed Folius, quod ex Cortueale Descenlium Ascentuumre oritur,
gracia, Tuper Horironcali Plano, auc eciam aliquancum Declivi, nonnili maena
nullaque aliunde remora adreniret. Duixpe illa omnia lume huie considerationi
Bount a P. GHOT PL Cattat LSac: Non tamen illud ex plani PosirionC
oriri censendum ett; led ex aliis alufet luperandis morus impedimentis, quo
rum hic rationem non habemus.
PLOC. ALANITI.
Idem incellise, de avis alia Vismipeciente, per aliam quam Directio
1 : 5115SYH seC
V. 6:: nV. nC
c leslOq cariss
INE PHI, FC, rectae Forironales; P P, CF perpendiculares. Aiquie incel-
ligatur elerandum Pondus, in P: ee huie altixum Filum Aexile, Teu F’uniculs,
PFGV; puncta tixa F, G, anibiens: ee in V.
Vis Motrix applicata. Adeo ut, quancum era-
nacur Funiculi exrremum, seclindum Vis appli-
carae directionem C V; canthndem elevetur
contradirectionem Cuam, pondus P, in P S per-
pendiculari AEque incelLIGatuT Vis V, Vi pon.
deris P aequalis. A quipollebit isitur, (per 
trujus;) Adeoque Sultinebit; ec, li vel augcatur,
vel Ponderis Vis minuatur (recta P F vel tan
tillum rectinaca, puca in sicum P O, Pex 25 liu-
Requieatur aurem, ut idteM vel Aquale Pondus, Vi minore moveatur, (Nam
de Aquali vel Majore, jam conllat:) Puta Vi n. N + quxe nempe Ec ad V, in mi-
DicO; Si apretur angulo P F C, recta P O, qua BL ad P F, itC Fad ny (nempe
in reciproca rationo virium,) ec morendum Pondus, super Accltre Planum, in
PO recta, per OC N. Fptum Rexile cratatur: Vis data n V, Donderi P, in hoc
sicu Aigelpollebir; ee si cateillum actuc auscatur Obliguicas, movebit.
NNaM, DEOPIEE PO ae C F in ratione F adn; Si P in P F Gravitet ut C, idem
in PD graricabit ven C, (per F4 _ 17 hujus:) Fdeogue, cum illi aequipolleat
Vis V, huic aequipollebit VisHV, (per F7 Cap. L.) Adeoque (Per 25 hujus
Ei trat P O adtruc vel caucitum longior, Vis praepollebir, adeoque morebic; per
Datum Pondus, data Vi morere; pro varia motuum Accliritate.
nis suae lineam reterenca.
jus;) movebic. per D, TF. Cap. T
nOritatIS ratione data n ad T.
Bi Ctg Cap. F.
P R O P. XXIX.
Dalu Londus, Per Datan Acculalem orel.
Idem intellse  uaris alta vi impecente.

## Folio 613 — 851387705:0633
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000633.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
cct10
PtoP. A1. t Motuum Dectioitate.
V. 6: m F. ncc.
2113
iciet
D Eliguis, ut prius, constructis: Incellieatur Vis V, aequipollens Pondeti P, Fi8. 50
LL per Accliritacem PO morendo. Et requiratur, uc per Acetiricatem Majo.
rem (nam de Minore Patis constac) puta PF, moreatur.
Dico; Si qua racione Brerior est P F quam aqui alta PO, cadem augeatur Vis
V; aequipollebic; Adeoque, Eulcerius auseatur; movebit.
Nam, uc PO ad PF: pura ut m ad F; Sic, vice verta, Gravitatio ponderis p
in PF, ad ejusdem gcaritationem in PO: (per T4 dE F7 hujus.) Adeoque, cum
Vis vEV, aequipolleat huic; Vis ut m V, aequipollebic illi; (per 17 Cap. Y. d. e
aueta, movebic. Per, FF. C aP. I.
P ROP. ZXX.
Dati Vi in Accliritate data, motum efficere.
: 1
idem incelliee, mucatis mutandis, quacunque sit Vis impediens.
V. P:: nV. MF
Axexis, uc prius, constructis: Incelliontne Vis V Ponderi P, per Rcclirica.
cem dacam PO movendo, equisollens. PFrequiratu, ut data Vi, n Y, (pura L18. 50.
quae Cic ad V, uc nadF,) tat mOTuS.
Dico; Sipro P pondere, substicuatur nD, (quae nempe sit ad P pondutsu ln ea
dem ratione qua data Visn V ad V;) huic aequivollebit dara Vis (ver F, Cap. F.
Adeoque, Si rancullum adthue minuatur Pondus; Vis praepotlebic, adeoque more.
BIC. PeF 9, EF. CaP. F.
eBSC E IICHE CIIESDNDC
SCFZO F. TVIM. 44 e
es
Eporro intribus proxime praecedentibus Problematiss Eclericalis racio shabenda
Derit; uc non tancum motus urcunque tiat, sed de dalq celexitate tiat. Huic (a-
cistactum exit ex PrOP. 29, 30, Cap. T. Nempe invecio (per tres Propolitiones
praecedentes, respective,) quo pacto morus tieri possic, aliqua faltem celericate
Dua ratione ausenda CFIE celeritaS; eadem ansenda eri  P FOP. 28. hujus in
venta lonsicudo rectae PO; e in ProD. 20, invenca Vis; a AHFTOP, 30, cadem
minuendum eru inrencum Pondus.
eR OP. 1XX X I.1
Grare, ex puncto sixolibere dependens; Si in Perpendiculo consirua
tux; manebit: Si exera Perpendiculum, ad Perpendiculum Perceut
(Et quidem per arcum circuli in plano ad FTorizontem rect: ) edei
In plano autem ad Florizontem obliquo; ad eam rectam FCrCtUY qua
est Horixontali roctae ad angulos, rectos; (quam Perpendiculi Sivece-
daneum appello:) e in ea SiPOnatuEs ConSiltot. d S p sSIIL.
Idem intellise, mutatis mutandis, in alia ViMotrice. Lsssilogoiq sis
CT FC, Forironcalis recta; F P, perpendicularis. Arque ex F puncto hsO, FiB, a
Ddependeac, per F P Filum, pondus P. Adebque Si exira perpendiculum quo
cunque moreatur, puta ad S; describet (propter eandem sili longicudinem) arcum
circisti. P S, (Paltem aliquod in superticle Spharica, centro P’deseripia, punctum
Sdelignabie, quod PS circuli arcum cerminahic:) Est aurem (per 20 husus. 9 Dun
ctum P (urpore omnium in illa peripheria, auc eriam Sphaera; intimum) ipso S hu-
milius. Non isicur ad S Feretur; per 2 hujus. Ouod demonstrandum eral. 
Si VerO CxITa P Constituatur: Propter punctum P omnium intinium, ductumque
SF continue descendentem, (. per 20 hujus;) omniumque maxime (vepote por
circuli peripheriam in Sphaera maximi, in perpendieulari plano potiti) Per 247
25, 26. hujus; eo sererne; per + et 8 hajus; i Cubd ilidtem ecac demonstrandum
AThhh 3
Idem
et cisistiil S

## Folio 614 — 851387705:0634
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000634.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Crarcum Descensib
Idem similiter ostendetur: Si in F P CE plano ad Florizontem obliquo Ferendum
intelligatur Grare; propter punctum P omnium in illo plano intimum, per 20
hujus: ductumque circuli, maxime Dectivem, per 24, 25, 26. hujus. Duod erat
alrimo demonstrandum.
SC +FOL LVH.
COpponic haec Propolicio, Filum non Ratensile, led non et Inftexile; adeoque
dilerre procedit de Crari Pendulo; quod itaque humilius incellisicur, Palcem
non altius, quam F punctum tixum. Verum quidem clt; Si estet in eadem P C
Deripheria, lupra Iorizontalem rectam. PC concinuata; descenderet hoc adt Per-
Dendiculum; at non Ctarim hac de caula, neque stacim secundum peripheriam; Sed
sccundum Pexpendiculum, uc Cirare adhuc absolure liberum, (non cantum libere
Pendulum,) per 22 hujus: donec, extenso ad Tuam longitudinem AlO COCTCCTCTx
ne diurius recta descenderet, sed sccundum Peripheriam, Vi Proxositionis hujus.
Sin Filum illud eriam Inflexile incellisatur; ubicunque in ea peripheria (ex.
era perpendiculum) ponatur; (sire lupra tire intra Horizontalem lineam:) sceu
dum veripheriam delcendet, circa Cenirum motus rorando. Verum illud hujus
loci non est; sed ad Libram spectar, ee intra demonstrabicur.
PROP. XXXII.
Crare pendulum, in Pexpendiculo consticutum, Vis quantumris exigua,
a Perpendiculo dimorebit.
Idem de Perpendiculi Succedaneo, in Obliquo plano, intelligendum.
Deque aliis motibus, mutatis mutandis.
VX punctoF, in Perpendiculo FP, dependeat ex Filo Pondus D: Ouod, ex
perpendiculo morum, describat P SC Circuli quadrancem; Cui circum seritr
TuT FFI quadratum. EF exponatur, Secundum directionis lineam P IL FLOrizon-
talem. Vis quancumris exisua: pura, quae lic ad Vim Ponderis P, uen ad F (hoc
Cst, s incelsipatuE Vis V, Ponderi P in perpendiculo aequipollens, sit expolica Vis
nV. ) EE POnatUT (ex PeXexIpIO PrOP. 28. hujuS.) PO recta, ita declivis, ut
Ponderi P in PO morendo aequipolleat Visn V. Nempe, Tumatur, in HG recta,
recta FO quae sic ad P HI in ratione virium expolica n ad T; dt jungatur PO. Cum
enim (IC, ue Vis ad Pondus, lic Altitudo HO in perpendiculo (qua elt Directio
Ponderis) ad FTP lineam directionis Vis Nloventis: Expolico Ponderi per PO
morendo, aequipollebit Vis exposita; adcoque aucta rel tancillum Obliquitate,
Morebic. per 28 hujus. Elt aurem (propter S P HI angulum contactus, minorem
angulo rectilineo OP FI, Per 16 Flem. 3.) Obliguior AsCenSIIS per PS quam per
PO. Morebic ixitur datum Pondus, Vis Exposica in P S peripheria. Ouod etat
probandum.
Aia Demonstratio.
Idem demonstrabitur ex 25 hujus: Proprer candem PS peripherixe in puncte
P decliritatem, acque Contingenis rectae PH; qua cum Florizontalis licu consta-
bic proxolicum, Der 27 hujus.
e R OP. ZXXTTT.
Crare Pendulum calum, quousque extra perpendiculum, data Vi
morebitur; determinare.
18. 4
Cap. II.
Onstructis uc prius: BICo; Per areus P A (quem ableindit PO recta) SC
millem PS, Hec ulera, Fxposica Vi motum iri Pondus P.
Lrat, quae P A aC (adeoque d LubtenIam, PeL 3O Elem. 3.) bisecat e Cen-
tro recta LS, Secat Lubientam P A ad angulos rectos; per 3. Flem. 3. Huic ioi
tur subcenta, hoc elt PO rectae, parallela est quxe Circulum in S cansit SP re
etam
E18. 43

## Folio 615 — 851387705:0635
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000635.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
d
(181d
dum.
De Libra.
Cta, (per 16 Elem 3.) Adeoque e Paliter Obliqua (pet 29 Elem. L.) Cum
ieaque masis adhuc sic de LoButen Obliqua, arcus PS pars quaelibet (ip(o S
Dct. I.
piet excepTO:) minus auce, pals ecaibet alelo da. (Goa Cx 15 Ausus de
cla L abteus aquipoteli ver 2d Sd. d Ctat ACteIBHaHCUM.
monstrabicur:) ad S, nec ulera, morebicur Pondus P, ab ea Vi quae illi, per AC.
P R OL. AAAIV.
Crave Pendulum dacum, ad dacam alcicudinem movere, quanta Vis
requiritur, determinare.
N eadem Pigura: S velim ad S punctum usque moveri grare Dendulum P; P18. 43.
B SiHaCUE AECHS L A, C Io CA PBHE LS, fCLaGHC L L COMHHuEtuT doneC OC
currac, in O, perpendiculari rectae GHI. Cumque arcus PS parricula minus ac
clires sinc quam L.o ret L  actiriores autem palclcusa omines ultra S; st lu
IaLHII (per 29 AusCo)  Ea quae Tuttieiar morendo oeL dau  acclivicaie
P A, Tou PO, Tuttietel Eidlem morendo per areum PS. per demonttraca ad PrOP.
etared.
De 1
ci
DE F EN LYLON P 5.
J. Libra (quae es Bilanx dicitur) nocissimum est in Officinis inscrumencum,
quo Pondera explorantur.
Tlana, a vinis laneibus, nomen habec Cracis caduos dicitur, ab isyuu pen-
hra nomen, an d Graeco nina detcendat, an hoc ab illo a posterio.
ribus Craecis deformatum lic; non convenie inter Criricos.
Oui originem Cracam esse volunc; d nirea, quae exigua vel Ponderis vel Mo-
neta Species erat, (sic enim Siculis Oborum dixerunt,) polleriores Cracos ejus al-
teram signiticationem deduxiste senciunt, (qua vel Pondo signiticer, leu duode.
cim Onciarum Pondus; vel ipsum eriam Ponderationis Instrumentum:) acque
hinc Duxisse Latinorum Libram: ut d sépesor, Ferebrumy (nisi quis hoc à L ero
malic) T in B MUTATO.
Oui Larinam malune originem; Libram quasi Liberam dicis. rolune, (quod
iptum a Libet rideacur descendisse, nili repugnaret primae syllabae quanciias; for-
talsIS IXIEIE, ab EncVdEO, Liber; UE, ab esu dpos ruber; mutato D in B; SC d randos
Plebs; e ab Edue uber; unde et noltrum uader, muraco  in d; Tieuc, d dozarie
daceher:) Provier Aiquilibrii in urramque parcem inditerentiam: Iude aucem
Ciracorum posteriorum nivou, hoc sentu, detormatum; licur a multis aliis vocabu.
lis Lacinis, Graeca descendiste, cerrum est.
Mrulcas habet pactes; pua Jueum, Arem, Trucinam, F namen, Lances, BC.
II. Librae Jueum, Vectis est seu Trabs obionea, cujus ab extremis depen-
dent L. anCeS. Duod es tantae firmitatis esse intellixitur, ut appensis pon-
deribus sustinendis par sit, nec eorum pondere vel rumpatur vel incurvetur.
TVeum, a fanso, dicitur, (Licut, eodem sentu, d Peizoz Coyds,) quod Lanciumr
axverolies incerjungat. Lli quis immedtiale à l’oyueus Queum diei malic; lieu
TIL AxiS,
Libreu Carrie, Sumeo

## Folio 616 — 851387705:0636
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000636.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
De Libra
Ca
III. Axisu est fuei meato transversim insivus, qui jueum susiinet, ( circa
IV. Fuei Brachia, uiringue ab Ave ad Appensionum puncta porrisuntur
V. Lances a Brachiorum extremis libere dependent, quibus immitti solent
Pondera; alteri quidem, Notum; alteri- Fxplorandum
VI. Frucinam appellant Manubrium sive Scapum, quo Axis extrema utrin-
que sustimentur, es, cum Ane Jurum ipsum.
FRurinam vero iptam sustinet rel cenenris Manus, vel Uneus aliquis fixus,
L aliudre sustentaculum.
Dicitur autem d Graeo revram, quod idem signiticat; de hoc, d nsicon tere, at
tero; quod pondere sustinendo Peracur. Osurpatur etiam ouvcusdy mas pro Bi.
lance tota.
Solet aucem (nec incommode) axis, jugo reantirus, uplurimum fugo tirmi-
ter conjunsi, tanquam ipsius pars; ejulque extrema, intra duo in intina parte
Trucina Foramina, libere moveri. Ouanquam ee pottic Axis iptius TrurinA ParS
fieri, ica uc, circa iptum immorum, liberc roretur Jusum.
Examen dico Lingulam, quae medio furo insistens ad angulos rectos, indi-
cium est vel A quilibrii, dum intra fissuram perpendicularis Trutinae con-
tinetur; vel Praeponderantice, prout ad hanc aut illam partem extra va-
eatur.
anico deducun
illud, Geore.
Fxamenve improbum in illa
Castiges Trucina.
Dici videtur (ab FvisO, FNegI FNactum,
Fxamen quali Fxasmen: Atque hinc FXa
mino. Alii eamen, ab apua vinculum, lieamen
(quod ab àc lieo,) deducunt Amen live Amen-
tum, quod Lorum cigniticat, (illud speciatim
quod mediis faculis annectebatur, quo melius in
holtes jacerentur:) acque hinc Fxamen; tum
ubi Lvamen Librae ligniticat, (quod Filum esse
volunt seu Funieutum, quo Frurina regitur;
cum ubi cigniticat Fxamen Apum; qua quale
vinculo societatis connectuntur: Sicut de iplum
apum nomen ab antiquo spio, acque hoc ab
quod se invicem pedibus allieent: Quali hruc respieiar irsilianum
aue illae pedibus connesa ad limina pendent.
VIII. Aquilibrium vero dicimus, quum ad Libram concraponderantia
aequiponderant.
Vodque in Tibra speciarim Siquitibrium dicimus, idem elt in aliis Machinis.
Llire concrariarum virium quibuscunque complicationibus, virium A. quipol
lentia: qua tamen ee A quilibrium, (cranllatione, a Libra, Facta) non raro dici-
cur; quum aequipollent concrarixe vires in aliie non minus Machinis, quam in ipl
Libra: Pariter acque Propensus, Propensio, aliaque cognata Vocabula, quanquam
prima signiticatione Libram spectenr, Mecaphiorice camen de quibuleunque ad
mocum Inclinacionibus uturpari Folent.
In adjuncto Schemate: AB, est Jueum Fibra; per cujus medium C, transic
=18. 5F. Avis X5, dirimens sueum in duo Brachia C A, CB; unde, ex punctis A, B, de
pendent dux Lances L, L. Axis autem excrema X, S, Sustinet Z LS Trmina
quae ipla, in Y, sustinetur; per cujus Filturam mediam, PNamen C. F. tue illue
transie (dum AB Jugum CIrCA AXEM ZS FOTaTUIE,) vel Aiguilibrium indicans
vel in hanc aut illam partem Prxponderantiam.
EAtque haec rulsaris Ofticinarum Libra.
quen rocatur: fueum in duo Brachia dirimens.
Vc, credo, respicir illud P ersii Sat. L.
PROP.

## Folio 617 — 851387705:0637
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000637.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Tibr
PROF.
Dum AXC AO sustinetur L ibra; duo utrinque Brachia (cum suis Pon-
deribus) contra ponderane. L
TAm, tixo ARe XS, non pocel (propcex inflexile fugum AB, per DeF, 2. F18. 5,
 hujus) Brachium A (Onulque Tuum) Descendere, quin Ascendat (cum su0)
Brachium B; neque hoc Delcendere, quin ascendar illud.
P R O P. II. ilaciliup
Si utrinque Porrecta duo Librae Brachia, (una cum Lancibus, reli-
quaque siqua cs armatura,) inricem aequiponderant: tantundem
cst, Librationem quod spectat, acsi nullius estene Ponderis: Axis
vero reliquaque Librae firmitatem quod attinee, tancundem ralent,
quantum cs simul ueriusque (cum ormatura lua) Pondus.
Dcai Si Brachium C A cancundem ponderando valeat, ad sui Deprectionem
 adeoque (proxter inflexile surum) Flerationem contrarii CB; quancum in
contrarium valec brachium CB, (nempe ad fui Deprectionem, cum eleratione
contrarii C A:) tantundem limul valene acque a nullius essent P’onderis.
Nam (per PFOP. 8. Cap. T.) Contrarii conatS, eum invioem aquLENEY, se mu-
cuo destruunt, seu nullis aequipollene. Nempe, Librationem quod spectat; quate
nus scilicet contra ponderane duo Brachia.
Ad Avis VerO (NC PUAE) Fueique (ne FUPaTE ANE inCUEVCTIT) Firmitatem
reguilitam; iplinsque Trutinae, Fulcrive quo sultinetur, Vim: non modo non nui-
lis aequiralent Brachiorum pondera; sed cancundem ralene, quancum est utrius.
que Timul Brachii Pondus, ee liquid ulera est oneris. Lii
Ouippe, hoc respectu, non sunc conatus concrarii; sed uiriusque deortum: cui
quidem communi Conatui, cum obstet tum Axis permanentia, Fulerique quo su-
stinctur, cum Tugi vis instexilis, esc. e quidem Cigillarim Singula: illi par elie
debet lingulorum firmicas. Per 28 Cap. 2.
DeF. IX. Libram ieitur Mathematicam consideramus, ad inscar unius in-
Rexilis Lineae Rectae, utrinque quantum opus est porrectae, librandis Pon-
deribus adhibita.
Ommodo enim, poliis in Aquilibrio Libea Brachis, eorum Pondera nullius
einstar habeantur; pocerie limilicer cum Librae Magnundo, rur Bigura ipsa
cuco neglisi, uc solius Congicudinis habeatur ratio, ob ca quae inde dependentia
Dolt cradeNEUT.
X. Cenerum Librae dicimus, Dunctum illud quod eam dirimit in Brachia
invicem A quiponderantia.
Ai Ruiponderantia, dieo, porius quam Aque gravia; quoniam fieri porett, ui,
quae sunt (absolure considerata) xque Graria, polline, ratione licus Peu Po-
Sirionis, inaequaliter Cravitare vel Ponderare; quod tum ex lequentibus patebit,
cum supra oltensum est, PrOD. 10, FF. Cap. 2.
XI. Adeoque Bractiia sunu quae ulrinque à Centro Fibrae porrieuntur; quae
vel Loneitudine, vel saltem Ponderatione,  qualia intellieuntur.
ZII. Appentionum, vel Applicationum Punctam dicimus, ea Librae Pun-
Etae in quibus vel actu sunt, vel inde libere dependent appensa Pondera;
vel saltem (in eodem ad Centrum Terra Perpendiculo) directe vel ineum-
buntu vel subjiciuntur.
Norandum
2t

## Folio 618 — 851387705:0638
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000638.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
Otandum igitur; siquando inaequaliter utrinque d Centro librxe diltant A ppH.
cationum Puncta; adeoque qua incet Centrum et illa puncta Mletsacent RC
Etae, Inl inaequales: intelligendae erunt illae recta, (si ullius omnino centeantul
Donderis,) Vel aequaliter utrinque a Cenero porrisi quancumlibee, Clal ustra sPIa
Appensionum scu Applicationum puncta; vel ea lalrem quae brerior elt recta, in
eadem raclone ponderotior censenda erit; uc una rora toti religuae aequiponderet:
quo poltint cum Brachia inricem equiponderare (secundum Det. FF.) tUM EOL2
Libra quali nultius Ponderis censeri, (vi Prop. 2 hujus: ) lc applicatorum (0-
lummodo Londerum comparandorum habeatur racio. Siquid autem Inaequaliraris
rerera fuerit M Brachiorum Ponderatione; id appensis Ponacitols actee Exit.
XYTY. Ceacrum Aquilibriis appenamus, illua Laorae punctumu quo scie
licatur suspendi Fibra; quae utrinque ponderant, invidem X quipondet cta-
XIV. Perpendiculum squilibrii, appella; quod per centrum Aquilibrie
transa Perpendiculum, seu recta ad Terrae Centrum (1
XV. Contrum Nocus, appello, Laarano boca quod immotum, rotatur No-
ZVT. AXCM NTOtuS, appello, Rectam, circa quam immotam rocatur obise
ZVII. Rocari vero dicimus mobile circa Fulubun flobctis, dt qurescentem
Rectam; quando ita movetur, ut ipsus puncta sineula rum inter se, tust a
Tuo seu puncto fixo seu Recta quiesorm indes it en futcobos eandem per-
11t
Petuo distantiam conservent.
morealu (retenta magnuudine e Specse Pranguli, adeoquo cadem inter se
ab M distantiam conserret. Adeoque enea M punctum, vel dexerorsum aur sini-
Ei∞. 52. POca; Circa punctum M rotari dicetur ABM iriangulum modo ita utcunquo
punctorum omnium positione,) ue iplius inumquodque Punctum, ut A, candem
ltrortum, vel prortum a secorlum, vel in quamris plasam rocari pocest; puta,
in tirum a BM. ACcirca Rectam Z S, nonnisi prorsum rel retrortum rocabitur. Si
enim iptius puncta singula, ut A, aliter moreantur quam Peripherias describen-
do, quorum omnium planis X S AXis, rectus sit; non eandem ab iptius punctis
singulis distantiam conservabic.
Sire aurem inera iplam Fisuram (planam Colidamve) sire extra, tire in anibitu,
mcelligancur punetum M aut Axis LScirca quae Fixura roretur; perinde ett.
ZVIII. Planum A quitibrii dicimus, quod ita per Crave incedit planum, ut
quae utrinque sunt sermenta Gravis, aequiponderent.
Vumquae utrinque sunt Scemenca dico; id etiam comprehentum volo, si v.
Lerinque nihil ponderet; puca, si punctum rel linea coca sic in ipso plano.
ZXIZ. Axem Xquilibrii, appello, Rectam per quam quodeunque incedit pla-
num est Planum A quilibrii.
XX. Centrum Craricaris, appello, Punctum, per quod quaecunque incedit
recta, est Axis A.quilibri: Adeo que e quodeunque incedit Planum, est pla
num A quilibrii.
H0C

## Folio 619 — 851387705:0639
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000639.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
M pB
Cunqu
nlet
DeLt
YOc urique posterius, CX PEIOM sEGHItuT. Nam quodeungue Planum per illud
 crantie, ejus aliqua recta per illud cransic; quae quidem si sic Axis A: guilibrii
etiam e Planum illud exie Aiquilibits Blaluu, Der el. Pralld.
PROP. TTI.
Nanente Librae Centro; sibi permissa Libra non movebitur.
Incellise; de Libra jam Ouielcente, (et similiter in sequentibus:) con-
Era VerO, s jam st in motu.
TF FibIX AB, Centrum C. FIoC, inquam manente; tibi permista Libra, (hoc Fi8. 53
D’est, nullo Pondere, Vi auc impullu quoris alio quam Craricace tua, in has
aue illaS Paries actacta,) nON OVCBITUT.
Cum enim CA, CB, Brachia (AE quiponderancia, pEF DCF. YZ hujuS,) invicem
CONIA POndereNE (per F hujuS:) PFOPIEL CONETarIOS ConatiIS aquales, non tiet
MOtIS: per +2 Cap. T. Nempe, Si Libra jam Ouieleat. Lt similiter inde ostende.
cui, quod non Silterur, si jam lic in moru.
SC F O L YV M
CY Alec haec demonstratio, in quocunque L ibra ad Forizontem lcu, (DuTa; vel
FTorixontali, vel urcunque inclinato:) Siquo enim lie CB, C A, non aequi
ponderant; non eritu in eo siu, punctum C, Librae Contrum; Sed aliud aliquod;
de quo procedet demonstratio.
Ft quidem, secundum Machematicum rixorem, in certa a Ferra Centro distan-
eia finita, non eric ejusdem AB Libra, idem in omni situ Centrum C. Sed, in
Situ Dectiri, a puncto medio (quod in licu Forironcali est ipsum Librxe Cen-
EruM) Pro varia Decliricate varie remorebitur Cencrum, Versus dectirius extre
um. Adeoque, dectirior semillis, si ex puncto medio sustineri intellisatur Li
bra, reliquo praeponderabic; tocaque Libra, hoc situ, potica, suapre sponte ad si
cum Forixonci perpendicularem terri debet: (Contra quam aliquibus, visum, est
Nempe, ad licum FTorizonti Parallelum ferri dehere; concra quos tule dilputat
Cinia. Poaldus, in Mechanicis, Capite De sibra, ProP. 4.) Quod leorlim, L opus
videbitur, demonstram non est disticile. Fic tiet, polt Propolitionem Lq
Verum sincelligatur Pibra canquam d Perrae C’entro intinice diltaris; adeoque
e Pervendicula invicem Parallela: omnino idem censendum est in quocunque
tiri Centrum; nempe punctum C, libea AB medium. Quo modo in Mectanicis
allumi solet.
PR OP.
Apuncto quoris libere dependens Crare, aut eidem directe ves siit.
jectum vel incumbens; tancundem grarat illud quo ita sustinetur
punctum, acque siin illo ipso puncto intelliseretur. Fantundem sci-
licet quancum est ipsius Pondus.
Idem incellige de Vi quaris alia, mutatis mutandis.
Tam verbi pratia, ex puncto B, libere dependens P pondus, ad perpendieu. F18. 54
l.  lum Fcretur Graricate Tua; (Der 3F Cap 2.) De quo Sic potito, sive alias di-
recte vel subjecto vel incumbente pondere P, (sive propius sire remorius absit,
modo in eodem perpendiculo,) constabir propolicum; per 18 C ap. 2.
SC FOZTV M.
reducit Pondera, live non  Eadem recta, tire non ad fugum icclum apPL
alao atitus t plamum aliquoed A DB; aeque in co Laibra ACB se
Ela
FiX. 55.
Scque haec Proposicio non exigua ualis. Ul quae ad cerram aectimationem

## Folio 620 — 851387705:0640
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000640.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
D. II
Eta: EX VaTIS altem hujus plani punctis (sive in ipsa Libra, Sive lupra, Cive in.
Fra Libram) appenla PoNaCId. Ouxe ex A vel B L ibra punetis libere dependent
Pondera, cancundem crarant ea puncta acque li in illis estento
a n  puncto
hujus.
quxe ex a S B punetis upendenr perinde ac li ex ABD punetis dependerent.
Tupea Libram; rancundem erarat huic luoceum libre punctum s, acque si in il.
lo eset. Ouodque, ex F puncto intra Libram; cancundem gravat punctumr, Cu
direete Tubelt, acque li ibidem esset. (Incellise semper, ita conjuncta ete plcla
D, S, vel F, E; uc non possicD deprimi nili deprello s: auc si deprimi, nisi de
F18. 56. Similiter; Si librxe Jusum Mexum incelligatur, a Meurvatm, uE a C. B.
Ouum nos Libram Mathemaricam detinirimus Lineam Rectam, c. Det. 9hujus:
ero juso illo inslexo, substimere lcet quamlibet in eodem plano rectam; (cam
pocillimum, quae, per Centrum morus trantiens, clt Horizonci parallela;) acque
ad hanc, ut Pibram, exigere linguloru appentorum Ponderum momenta: Puca
aequipollebunt excel plapulio
non esticiune per 8, 12. C a P. L.
Si AEqualiter CLartur utrumque Librxe Brachium; Aquipondera-
bunc i grarata Brachia: Et sibi permicta Libra sic Grarata, ma-
nente Centro, non morebitur.
Sin altero alterum magis Tareu, HOC Prapondctab aque M-
Cum (nisi alias MPCaicum) Feretur: Lit sincu ult aque Ponderando
Fiz. 57. Tam, l aga ponderanribus urinque Brachiis, ut C A, C B, (pex EE DeF. hujuS; )
accedant adhuc aequalia graramina, ut P, P, (live ex appentis Ponderihus, live
adhibita Vi, vel Impultu quoris, aliatre;) Aquales eriamnum manebunt Con-
derariones; (quispe Aiqualia aequalibus addica, Agorepara taciune A qualia.) La
eoque contrarix cum sine, (per c hujus;) nullis aequipollent; et Mocum proprerca
orlum FCretUI, Per 12 C ap. 1. A. quipollenc aurem P’onderando, simul Tumpta, ex.
cellui praepollentis. Per B Cap. Y.
SC HOFYVM.
hanc aue uat Parcentclatiendo. Ac quancum ad Axem iplum, ee quodeunque
quo Libra sustinetur tulerum; Deo contrariis habenda non lunc, sed pro con-
sunctis
Sin magis sraretur alteruLUM, PNA POMICTaBE (PLS Cap. L.) AdCOque ac
Macruio, inquam; nempe quatenus invicem contra. ponderane, Libram in

## Folio 621 — 851387705:0641
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000641.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
juo
De Libra.
junctis oneribus: Sicut ad Prop. 2. ostentum est. Ouod in sequentibus ilem PTO.
Dolicionibus incellisendum exit; niEi liquando contrarium in (INLICTT.
PRO P. VI
Si Ponderibus utcunque scarata Libran Cenero squilibrii sustineatur:
NCutrum praegearatur Brachium.
Et contra; Punctum illud Libra, quo si suctincatur sic gravata libra,
neutrum prxeeraracur Brachium: eA Cenerum squilibrii.
Patet, ex Detinicione Centri AEquilibrii.
P ROP. VTI.
Plavenre Cenrro Aquilibriis uccunque scaracis Prachiis, Libra non
morebitur.
OHE AB, Libra. Aeque incelligacur Cencum Aquilibrii, vel idem cum C Fi8. 58.
centro librae, (nempe li aequalirer vel graventur, vel non graventur Brachia;
adeoque constabit propolitum, ex 4 ets hujus: Vel ab ipto aliud, ut F. HOC, in
quam, manente; Libra non morebitur.
Cum enim (per DeF. Cencri siguitibrii) E A, E B, prout jam gravantur, invi-
cem aequiponderane; Dec pollic (proprer inflexilem libram) alterurrum descen-
dere, manente F, quin alterum Ascendar: contrarii conatus invicem aequales, mo-
cum non eHficient. Dex +2 C aP. T.
SCZOY, TV M
Vod autem de Cravitate dicimus, (sive in hac sire in aliis Proposicionibus,
Ldeorsum movente; idem de quaris alia Vi morente secundum Directionem
Tuam, incellisendum erit; juxta DcF. 2T. C ap. L.
Manente in cdac a Ccnuo lecta luane, Centro Aequilibrii:
neque Descendere censenda est grarata Libra, neque Ascendere, ut-
cunque moreatuT. Et contra; dum neque Descendere, neque Ascen-
dere censenda est praraca Libra; Cenirum _quilibrii manet aeque
altum.
Et similiter de aliis moribus a Vi morrice quaris, mucatis murandis, iu.
telligendum exit.
FNcellientur AB Libra, uccunque gravaca, i ls a P ubrest: Mavente (P
mum) Centro Aquilibrii in eodem E puncto.
Cum isicur (propier P. Centrum A quilibrii)
Partes E. A, F. B, in quocunque Tu, adeoque in
roco prosrestu, invicem Aquiponderant: Sit.
que, propter inflexilem Libram, unius Alcen.
tus cum Descensu alterius perpecuo conjunctus:
Frit ACcentus Descensui Agnipollens, (nam (I.
cubi praepollet alter, ea praeponderabitur; Per 7
Cap. 2.) Nuli isitur vel Descensui ret A(cen
Tui, simul aequipollent. per. 8 Cap. 1. Quoderat demontrandum.
Idem deinde oltendetur; etiam hi non in eodem P. puncto maneat Centrum A
quilibrii; sed in aliud quodris aque altum transteratur, ut E.
Librae siquidem in siin a CB, incellisatur parallela in a F B; nempe dum intelli-
patur Tercae Cencrum intinice ditans: Si vero in distancia tinica, incellixuur eirea
Centrum
Pcop. VI.
P R O P. VTI.

## Folio 622 — 851387705:0642
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000642.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
Centrum Terr FOtaTI Libra EEB, in SITUM AE B; UE SICEH arcus circuli, terrae
concentriet; de similiter aa, BB, Cgc. Probabitur urcunque (vel ex 33 F lem. X.
Vel ex Vet. Rorationis) lingula iplius acP puncta, punctis linsulis in a F B rC
spectire mpris, xque alta, (de similicer de Ponderibus appensis siqua Fint, egc.
Adeoque Cotam a. EB, LOLI a F B, hoc est (per jam demonttrata) ip  L. B, a que
altam. Mllod porro demonttrandum cral.
lyde hinc converla Facile constabit.
c elI
Et limilster de quaris alia Vi motrice, mutatis mutandis, idem oltendetur.
brii.
Ouaeque de Crarium Alcentu de Delcentu dieta lune; pariter de mo.
tis ab alia quaris Vi motrice, mutatis mutandis, intellisenda crunt.
CIE AB Libra uccunque gravata: F, Ceurrum A quilibrii; quod incellixatur
Fir. 62, ad moveri; Velcentu live recto sive utcunque obliquo: Dico, tancundem
62363. centendam elle delcendise Lubram cum luo quantocunque graramine; es quidem,
sire eodem manente, Live urcunque mutato, ad Elorizontem LIU.
Tancundem rel Ascendere ret Descendere censenda eri cusla
rata Labra; quancum rel Ascendit, vel Descendit Cencrum A quili
rem inclinationem, adeoque manente libi uc prius posux Parallela; puta in a B.
Maniteltum est, rancuallem descendise libram tota. Sunctis enim Tum F. E, tuM
aliis quibulris punctis respectiris, ut A a: Propter aequales Paraelas rectas L. A,
2a; TunE _ (ver 33 FLe. T.) aequales item e parallelae F c Aa; punctorum
E A, descentus menturanres (pet FO. Cap. 2.) qui itaque aequales tunt. Kc limi-
licer oltendetur de quoris alio Librae puncto: adeoque de ipla Libra.
scendat F. ad c, descentu urcunque Obliguo. Lelgunisue ul prius conttructis
demictantur ab L, A, ad Horizontales reclas C, a a perpendiculares P. C, A a
(descentus punctorum F. A mensurantes, pEF 2O Cap. 2. ) EI demonstrato, ve
orius, aequales elle et parallelas, F. L, Aa; aequales ilem erune (propter similia
Friangula) E e, Aa; adeoque punctorum F, A, desensus aequales. ED similicer
de quoris alio Librae puncto ostendeturs adeoque de Libra ipta.
Fertio; DelcendatF. ade, delcentu quorsire secu re bbliquo; a limul
utcunque mucetur Labra ad Hlorirontem Inclinacio: Puta non uE in BEB Siru
parallelo, sed ur in a cB alio uteunque sirII. Etiam Lic cancundem de scehdiste Li
bram, quantum A. quilibrii Cenerum, sie ostenditur. Si incelligatur Libra in acB
sim paraltelo; tancundem descendiste, jam ostentum elt, (in primo et secundo
Nembro hujus: ) Sedt lper praecedenrem) aque alla centenda elt. L ibra in lucu
2Et
Primo; Delcendar L ad: delcentu recto; recinence Libra candem ad Horizon.
Secundo, Mlanente, ut prus, sadem Labra ad Horirontem inclinationem de

## Folio 623 — 851387705:0643
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000643.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
ett
BIC
eM
puI
lliB
quide
eroP.
acb, atque  B: Frs d lic cancundem delcetme nbla algee plu L Cu
trum Aquilibrii, censenda exic. Cuod crat demonstrandum.
Ouodque de Delcensu ab F ad, oltentum est; similiter oltendetur de AScenSu
ab s ad F. Nempe tancundem Alcendere censendam elte Libram, acque C’entrum
Aiquilibrii. Onod porro demonttrandum erat.
Idem alii cuiris V, Monriei, mucacis mucandis. Caeile accommodabicur.
Si Cenerum squilibrii sit in codeu al LCd Centrum perpendiculo
cum Celu euo. I elua partem praeponderabue; sibique sic
permilta Libra non sorebitur. Sin extra perpendiculum contti-
cuatur; ad perpenaleuum, intra Centrum Mocus, terctur Centrum
squitibru (nIl alaS IMPeclEum,) in Plano ad FToriZOntem rectO
Caltem quam porelt omnium maxime Dectiri.
Idem aliis mocibus, mucatis mutandis, accommodabieur.
GTE M Centrum MlOMIS; cirea quod roranda Bit A B Libra: E, Centrum Aiqui
 librii, in eodem Porpendiculo eum MI; sire intra, Sire lupra, sire in ipsoM
puncto: Ouielcem inguam,, su constinna Libna, in neucram parcem praeponde.
Ca1S. c
IS
sit psi schnqhocil
Primo; sIE E Cencrum A quilibrii, idem atque M Cencrum MOruS. Manisectum Fig. 64.
ct (manence Ceniro. Mocus MI, immoto, per DeH) immotum manere Centrum
Aquilibrii F, (quippe idem. ) Non igicurin urramvis parcem praponderat;
neque morebitur in eo citu sibi pertmilla LIDTa; per 5 hujuS.
DEF Centro M delcripta. Cujus cum punctum intimum lic iplum L, (DeF 2C
Cap. 2.) Quacunque moreatur, Ascendet P Centrum Aquilibrii; e, cum co, Lii-
bra, (per Praced.) non isicur sua sponce morebitur.
X
l dt a.
P R
O2.
hejus) moca Libra, FeretUE E I Peripheria (Caltem superticie sphaerica) ut
Secundo; Sit ln In M E. perpendiculo, intra M. Adeoque (per DeL. 25, 16. f18. 65
Fertie
Bra, FCTCCUE F. in D F. F petipheria (vel
(PeF 20 C ap. 2.) ett ommum alcilimum; arcusque ED, P. P, pariter dectires:
(per 15 Cap. 2. d X6 Elem. 3.) Iu utramris isieur palcem aequaliter propendet
E. (pet 17 CaB. 2.) iplaque Labra, (per praced,) cla Ha Aler. Pex B
C aP. 2.
Cam SIE ML CCnErU MOtuS, circa quod RO
tando F. deseribet peripheriam (laltem in
Sphaerica Supertieie lineam) puta SE P
PrOPtEr arerm E P desecudentem, ascenden.
tem vero F.S (ver 20 Cap. 2.) E centrum
Aquilibris (libra cancundem delcendente,
per praeced.) ad P Feretur (nili alias impe
dicum) in plano AT E P ad FTOriZOntem rC
Cto, (urpore quod est omnium maxime de
clire, per 25, 26, Cap. 2.) Saltem (A illic
impectiatur) delcentu quam potell cuntal Masime declivi, per 2 _ 8, Cap. 2.
Quae demontlranca erant.
el duus
AC (RE priuS) mota Li. Fi8, 60.
Xrica,) cujus punctum F
10.
SCL
superticio
Denique, Sit E extra Delvendicutum SML.

## Folio 624 — 851387705:0644
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000644.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
DL1V
A Deoque G, in P consticurum cencrum Siquilibrii, inde vi amoveatur; se
Lrelticue sibi permista Libra, gravicace sua: Si consticurum in S, amorea-
TUT: non eo restituetur, Sed deorlum ad P FerCTUT.
Quod aurem de Libra, Stricte sumpta, ponderibusque libere appentis (adeoque
in plano aHOTILOMLEM PetPHICulari) ostensum elt: Pariter ostendetur, MMa
tis mucandis, in quaris alia ri. Puta; Si planum S F. P non crectum sIC, Sed urcun-
que obliquum, in quo AB libra incelligatur, cum super illud moveri appenla pon-
dera: Similiter enim (ex 20. Cap. 2.) omnia procedeM i SL al HOIILBIICALCM
rectam in eo plano normaliret potitam (quod Perpendiculi (_CCe a ACLL HIHUS)
aique SP verpendiculo ad Cemrum PCErX. AULCtIaI; SI MI LIOTLLBCa atorC
planc modo proccdei demonttracio.
quocunque Plano incelligatur L ibra, (sive quod Libra instar cst) eique in A e
B applicarae vires quaecunque secundum Directionem ipli SP parallelam: Fodem
ex lplislibere dependent sartas ua tant ea puncta a Centro Libra.
a alor ncete ret edere (eodem seilicer quae in eodem Bra
Alcendendo vel Sclcenacuc, cum ipsius puncta singula, tum quae
Si circa Cenerum suum rotetur Libra; in ea ratione moventur, vel
rca L. Cen Locetur Libra AB. Dico iptius puncta LISua, IL A, B, D.
saiste
chio; quae in contrario, contrario momu;) qua distant a C CentrO.
Deleribune enim A, B, D, puncta (propter eundem rel aequales angulos ad C)
limiles arcus (puca A a, BB, Dd,) qui itaque cum ipsi, cum ec iptorum alticndi-
nes perpendicuto menturatae (puta Aa, B B, DS,) Tunc (propcer tisuras similes
ee similiter licas, Talcem limu concrario posiras, quod hic tancundem tacic) radiis
luis, hoc est,s d Ceviro distantiis C A, CB, C. D, proportionales: adeoque et (Per
20. Cap. 2.) Punctorum A, B, D, Ascensus, Delcentutre. Ouod crac demonstran-
dum.
Ouodque de iptis punetis ostenditur; perinde verum est de Ponderibus inde li-
bere dependencibus; vel per Prop. 4. hujus; rel etiam, quia, quemeunque arcum
deleribie, verti gracia, B punctum; huic similem ec aequalem de similicer litum, de
scribet ab eo libere dependens P, (utpore quod cidem, per 30. Cap. 2. perpendi
culariter ubique Tubelt; e propier aequalem fili longicudinem, in eadem distan-
eia.) Adeoque cancundem vel ascendu vel descendit; hoc est ( per modo demon-
Arata) in racione distantiarum punctorum appentionis d Centro. Ouod etiam erat
Demonstrandum.

## Folio 625 — 851387705:0645
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000645.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
P RO P. XIT.
Si idem sIE LIDEX CENETUM, aEqUC CENTrUM HOTUS: Ouae ex illa lI.
bere dependent Craria, (aut etiam alias directe rel subsunt ret in-
cumbunt) in ca ratione ponderant (seu grarant lua respectire
Brachia) caeteris paribus; quae ex rationibus Ponderum, et Diltan-
tiarum punctorum axplicationis a communi Librx et Notus C’en
ErO Componitur.
Adeoque: Si Dittancix sint aequales; in ratione Ponderum: Si POn-
qualia; rel sint reciproce proportionalia; sEquiponderant: Oux
vero ex Centro dependent; neurrum grarant Brachium.
Idem incellige de Viribus aliis: Nempe in ca ratione movendo pollent,
quae componitur ex rationibus Virium, et Dictanciarum a communi
Centro Motus e Librae, (sire quod hujus instar est) quibus directe
axplicantur Vires.
mD.
nt
PD. C: n FD. nE:: m PD. MC:mnP D. mnC: PD. 6.
Tam. (per 7. CaB. 2.) in ea ratione ponderane; qua pollene, si moveantur
ACcenlus, Delcentutre: Hloc cA (per 5. Cap. 2.) in ratione quae ex racioni-
bus Ponderum, e Alcicudinum ascentis descentutre componitur: FLOc est (per
praecedentem) qua ex rationibus Ponderum, e distanciarum punctorum AppliCa
tionis a communi motus ee librae Centro, componitur. Ouod crat Propolitun.
Ouodque, de Incumbentibus e Dependentibus, additur; constat ex 4 hujus.
Corollaria constane, cx 4. et 6. C aP. F.
5CT2O Z. ZV M
DRopOticio hac Cut de praecedentes) poristimum respicie Libram canquam ex
unico suo puncto liberrime dependentem (non ad cerram axis politionem, ali
ter quam graritate ua et ponderum devendentium, determinatom,) adeoque in
plano ad Florizontem recto, sire circaarem Florizoncalem, librandam; ec quidem.
Draelerrim, ut in sicu Horizoncali consticutam: (quanquam es ad alium tum L ibrX
tum axis licum accommodari poterit.) Saltem Pondera supponuntur omnia in
eodem plano, atque ad unam eandemque rectam per Cencrum notus cranscuncem-
applicata; secus urique non eltet idem Libra acque MOcuS CentruM. Fratque haeC
provolicio neuriquam omittenda, ut qua tam Celebris sic in re Scarica, Aqualia
Pondera, in ratione Distantiarum d Centro Libra, graritare.
Verum omnino erenit non raro, comparanda venire Pondera, ad Libram exi-
Benda, neque in situ Forizontali, neque in uno aliquo, sed divertis politam: Sed
neque in plano ad Forizontem recto, duc circa Foricontalem Axem, libranda; sed
circa inclinatum AReM, accou  sCato plano morendatit. Vel etiam non
ad
applicata: Iplaque Pondera neque ex ejusdem recta, neque ejuldem plani, pun.
etis Cuspenta.
nem huie subnectere, quae rem eandem unirerlauS exponL.
Huic ilaque catuum varietari ut cacissaciam, vitum est sequenrem propolicio.

## Folio 626 — 851387705:0646
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000646.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Libe
e R OP. XITI.
Pondus iaem ad idem Librae punctum applicatum; pro varia Librae ad
Horisontem politione; in plano ad tTorizontem recto (sire circa
Axem HTorirontalem;) Conderat in ratione Distantiarum a perpendi-
In Plano aucem ad Fteentem inclinato (sire circa inclinatum axem;)
in ratione distantiarum a perpendiculi succedaneo; Ceu recta quae est, in
illo plano, ad Florir ducalem rectam ad angulos rectos.
Et quidem, univerlatuis; Aiqualia Pondera, sire ad ejusdem, sire di-
verlarum librarum, utcunque ad Forizoncem inclinatarum (modo
circa Ares aequaliter ad Florizontem inclinatos, sive in planis aequaliter
inclinatis, rocentur) puncta quaelibet, appensa; ponderant (seu
srarant sua respectire Brachia) in ratione discantiarum à perpendi-
culo per Cuum cujusque Cenrum motus, vel hujus succedaneo, (illo
quidem, siin planis ad Horizontem rectisrocentur; hoc, si in pla-
nis inclinatis:) FToc est; utrobique à Perpendiculari per Axem plane.
CirCA AXeS VerO inaequaliter inclinatos (adeoque in planis inxgualiter
decliribus;) in ratione quae ex rationibus Distantiarum illarum 
Perpendiculo ejutre Succedanco, vel Perpendiculari per Axem Pla-
no,  Declvitatum Planorum, componitur.
Adeoque, Pondera Inaequalia circa aequaliter inclinatos Axes (adeoque
in Planis aequaliter decliribus:) in ratione quae ex Ponderum et Di
stanciarum illarum (a Perpendiculo ejusre Succedaneo) rationibus
CoMMPOnItME.
Circa AXes vero Lnaequaliter inclinatos; in ea quae ex Ponderum, et Di-
Stanciarum illarum, e Declivitatum, rationibus componitur.
Ncelligatur Libra, a situr Florizontali ACiB, ad sium a C 6, vel aCb, moveri;
puncto sui B, describens arcum Peripheriae BCb, in plano sive ad Horizoncem
recto, sire utcunque obliguo. EE compleatr CBCS
circuli quadrans. c ducantur rectae Cn DC, ipsi BC
parallelae; Perpendiculo (ejutre (uccedaneo) SC
occurrentes inn, c. Dico in cararione ponderare ex
posirum pondus in punctis B, 6, b; quae est rectarum
BC, En D C, distancias ab SC menturancium.
Pam, demiltis a punctis C, b, ad Libram in Pitu FIO-
rizoncali AB, perpendicularibus 65, bd: Ostende.
TUT, ex 4tiujus (ejusre Scholio) siCBCS planum
Sic ad Forixontem rectum; tancundem ponderare, re-
spectu altumprae Libex AB, pondera ex B, 6, b, pun-
etis suspenta, acque ( ex B, 5, d, luspenderentur. A.
deoque; Siline aequalia pondera; in ratione Distan-
ciarum BC, SC, dC, (per praecedentem;) hoc est
(propter parallelas) Distasarum BC, Cx, bC: Sin pondera sine inaequalia; in ra-
tione quae ex Ponderum ec Distanciarum rationibus componitur (per candem Prop.
Praeced.) Dux crant propotita.
Idemque in Plano inclinato, constabit ex 26 Cap. 2. Cum enim inclinacio plani
per 26 Cap. 2.) in eademratione omnes in illo Dlavo gravicariones minuit; in
eadem inter le ratione ponderabune in B, 6, b, punctis appenla pondera, in plano
inclinato, qua in plano ad Ilorizontem recto ponderasent (per 5 Cap. T.) HIOC
est (ut jam ostentum est) in rarione Distantiarum, E Pondera tunc aequalia; vel,
Rinaqualia, in ratione ex Ponderum et Distanciarum rationibus compolica. OuX
itidem probanda cranc.
Ouodantem eadem tic punctorum s, b, ab crecto per Axem Plano perpendieu-
lacis
culo per Centrum MOtuS.

## Folio 627 — 851387705:0647
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000647.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
De Libra.
lari, acque ab SC recta (quae illius est, atque circuli libratiore deseripeiu ad pla
num illud recti, communis sectio) Diltancia: Sive (quod eodem recidit, proprer
punctorum, live d recta, sire a plano, distantius, rectis perpendicularibus men lurar;
Solitas) quod rectae Bu BC in circusi plano perpendiculares, ad SC rectam, sune
etiam ad illud per axem planum perpendiculares: Constat ex, DeF. 4. F. L IX. Duoc
etiam aftirmatum erato
ruist srcts. dC a. iu Demonstrati.
iiCISE CLIIE
e
:ELILCS
sccliet C
1e0
Fadem, alias demonstrabimus, ex PFOB, 2 L. Cap. 2. pro varia moins Obliquirace.
Nam (constructis ur prius, ductisque continsenribus BP, Br, bL, uc, in Schemare;) L18. 69
Duncti B, quocunque onercoravani (et quidem sive in recto ad horizonrem plano
sive urcunque Obliquo) per areum BBB moti; eadem est obliguitas mocis, in Ep(iS
B, B, B, puctis, alque B L, B+, bc Concinsentum; (per F5. Cap. 2.) quarum in-
elinationum ad horizontem ansuli (si planum st erectum) sunC L BC, TBI, CDC:
et his aequales; anguli SOB, SCB, SCB; (ett mique TBO, SCiBis Interque re
EtusZ _r SBn, cnmSC.B, Timpro communi BC, complent reCtuM, Per 10
EL. 3. ec 32 FI. L. es Similirer cum cBC, cum SC.b, sumpro communi cbC: ) quo-
rum Sinus recti sune, BC, Bu, BC: Flisisicur proporrionalia sunc A qualium pon-
derum momenta in punctis B, B, b, in crecto planO, DeF RF, Cap. 2. lAdeoque
Inaequalium, in ratione quae ex illa et Ponderum ratione Componitur; per FO Cap.
2.) Fademque plano Obliguo accommodanda, ut priuIS, PCF 26. C ap. 2. Oua
erant probanda
Ouodque de una Tuubra ostensum est; de pluribus similiter ollendetur. Pura, A
ad Libra C B, punctum s; et, Librae Cb, punctum b; appensa sint xqualia POD
dera: ponderabuns (per jam dicta ) in racione distanciarum sO, b c, exeteris pari
bus, (Adeoque, s Pondera tinc incequalia; in rationibus ex Dictanciarum e Ponde.
rum rationibus compolica, per FCap. 2.). Ouod itidem erat propolicum.
Denigue; quod de Axibus inaqualiter inclinatis, aftirmatur; adeoque, Mocuum
Planis inxqualiter Decliribus: Conltac Cx PrOP, 24, 255 26, C, aB. 2. Duod ulrimo
demonstrandum erat.
dC+
0
Forandum incerim bsc erit; non ita haec inehisenda este, quati, F ad Libram
N AB appentum pondus in B, Ponderi in A, aquiponderei; illud in B, huic
in a cederet, seu minus ponderaret. Ouanquam enim illud in B, minus ponderet
quam in B; non camen destruitur agnilibrium, quoniam et in cadem ratione (prop-
ter eandem obliquiratemt) minus ponderet hoc in a quam in A. Quodqué de
Aquilibrio dicitur; Pariter de de momentis inaegualibus obcinebit. Puta, qua ra-
tione pondus in B, praepondetat ponderi in A; eadem de illud in B praepondera-
bic huie in a. Nam ueriusque momencum proporrionaliter minuitur, ob candem
motuum obliguitarem ratione Perpendiculorum ad terea Centrum; quae Ponce
rum moventium Directiones sunt, e supponuntur inricem parallela.
AE Vero: Si loco Ponderis in A, a, a, (elljus Directio supponitur eadem cum di-
rectione ponideris in B, B, b; ucraque scilicet deortum ad rerrxe cenrrum; adeo
que de proptex Tansentes parallelas, Declivicates aequales: () Substicuacur, verti
scatia, Vis humana; quae non minus applicari pocerit secundum directionm av
quam a V perpendicutum; (adeoque ejuldem crirmomenti in quocunque libra
licu; dum incerim illud Ponderis a B ad B mori minuitur: ) Minuerur continuo
ratio Retistencia ponderis (d B ad B, B, noti) ad aquale momentum Virium in
A, an a. Adeoque Vis in an tacilitis movebie potidus in B, quam ris eadem ju A3
pondubidem in B. Dux ex propoticione sequenle apextius constabunt.
lLep =TII.
(1P 1O1

## Folio 628 — 851387705:0648
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000648.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
ib
P ROP. ZIV.
Si duo pondera (aut alix quaecunque vires) ad Libram applicata.
ita se habeant, ut, in quocunque Librx litu, cadem utriusque sit
obliquitas motus: Ouam habent inter se horum momenta ratio-
nem in uno Librae situ; eandem ec in quoris alio habitura lunt.
Si vero (vel, proxter curratum libra juoum; vel, Centrum Mocus
extra ipsam Libram; vel, non easdem applicatarum ririum Dirc-
ctiones; relu alias undecunque;) contincat, pro vario Librae situ
inaquales subinde fucuras este duorum moruim obliqyitates: Non
eadem exit, in omni Librxe siu, momentorum ratio: Sed rariabi-
cur, pro raria ratione Declivitatum, sive sinuum Angulorum In
clinationis ad Florizontem, sire Complementi obliquitatis.
Ouodque de duobus ponderibus dictum est, de pluribus similiter
constabit.
L. Y Ncellisantur, ad libram ACB, duo Pondera (Teu vires alix) in A, B, ita
applicata, uc directiones mocuum AV, BT, vel nullam habeant vel aque
lem obliquitatem (hoc cst, ad directionem Morentis, quae in Graribus est Per
F18. 69. pendiculum, vel nullum Faciane, rel aequales angulos:) Fademque l, mora Li
bra, in alium quemris sicum perrenerint, ut a s; eadem adhue sic Directionum
NOcuS aV, B r, obliquitas: Ladem, inquam, erit inter se momentorum ubique
ratio. Puta, Si pondus in B ponderi in R aequiponderer; illud in B huic in a aequi
ponderabit. Si illio praeponderet: es, hic, praeponderabir; acque in eadem ra
tione. Cum enim, ex hypochesi, eadem ucriulque sic ubique Obliquitaris raria
tio; adeoque (per 2F Cap. 2.) eadem ratione vel augeacur vel minuatur ucrius
que momentum: Frunt adhue in eadem ad inricem ratione, qua prius, consti-
CUITa; (Der 5 Cap. T.) Duod erat primo demonstrandum.
TI. Deinde: Sit Librae fueum incurvatum AM B:
Seu (quod eodem recidic) Centrum motus M, extra
libram ACB. Et lunco, verbi gratia, utraque A, B.
intta L. M N Horirontalem rectam per Centrum Ho
cus cranseuntem; sed ad perpendiculi M P partes op.
volitas. Adeoque, utur hieri possir eandem esse in
A e B morus obliquitatem; li tamen moreatur A
ad o vertus, P; adeoque (propier rotationem qua
angulos AM B, a M B, aequales postutat) B ad 
verlus N; (nec tamen vel A ad P, vel B ad N per
veniat:) Maniteltum est, majorem elle motus obli
quiratem in a quam in A; minorem tamen in R
quam in B; (majorem urique angulum cum perpen-
dicuso faciet Tansens in a, Gealu Fangens in A, minorem vera Fansens in 
quam Latisens in B.) Adeoque (per 2E C aD. 2. vel PrOB. Praced.) mi-
nuicur momentum ponderis ab A ad a mori; mori vero d B ad B, auBCTUT. FF
Propterca (per B F. L. 5.) major eric ratio momenti in B ad momentum in a, quam
momenti in B ad momencum in A. Fc limilicer oltendetur (mutatis murandis) in
aliis librae politionibus alias rariari momentorum rationes. Et quidem, pro varia
ratione linuum Angulorum inclinationis, seu complemenri obliquicatis; per can.
dem 22 C ap. 2. Ouod crat iridem demonttrandum.
TII. Idem ortendetur, S ex A CB Librae puncto aliquo, ut B, dependeant,
Tjo. 7r, b quem libere (uc eidem semper librae puncto directe Publit) sed in cerra
ansulo, uc CBF, tirum pondus L: Aur eriam, li limiliter superne actisatur.
Manifestum urique elt (rorarione tacta circa centrum C.) punctum F. (vel huic
aftixum pondus) circulum delcribere, non quidem radii CB, Sed CF: Idemque
plane accidere, ac si jugum estet incurvacum AC. F; de quo modo oltentum cst.
slquc ttie dibetiiat lt t tbt. Ltddbe. et tt t td dei t oarto  sta
libram
quod crac propolitum

## Folio 629 — 851387705:0649
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000649.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
(III
1
1
Er
libram fivum; prout allius elevatur, ila plus penderat, seu majori in  pondere
um supra libram; minori.  Ouod, inspectis fisuris, Ctarim pa-
cebit. Ouippe distanciae xstimandae sunc, non secundum lonsicudines C
B
P
aequipollet: At
sed C. D, Cid: ut ex 4 hujus patebit.
similicer positos, deseribant B, F, puncta; eadem semper uiriulque erit obliquitas
mots. Adeoque e eadem ratio momencorum; pex primam partem hujus. AF
que omnino perinde etl, arque A Libra X P. (iptI C. B parallela) cirea centrum _
texretur.
IV. AC vero, A LC Tupra libram, nec intra, sed a latere, astirum tc Pondus F;
(incellige, ita ut rorata libra AL B CHICa aselI XCS, SinE ubique C Z, BL, In F18. 73
eodem plano: ) eric eadem ubique momentorum ratio, ponderum in A ∞ L, HOI
minus quam in A _ B, potitorum. Cum enim parallelos arcus, aequales similes de
SCHOFTV
Eque hujus ope, quae uccunque, ad rarias circa eundem Axem libras (con
 nexaS tamen) in rariis Planis applicantur Pondera (pura in parallelis pla
nis Perpendicularibus Der AB, XF, _c.) ad corum unum reducuntur. Pexinde
siguidem Ponderat P. Pondus, ubiciGue I BP. recta intirica tuerie, acque II
eset in ipso B puncto. Ut jam ostentum cst.
Suxe autem ita ad unum Planum reducuntur Poullera; cadem, pex 4 trujus,
ad unam ejusdem rectam quamlibet (utcunque inHd, Cuprare fuerint) redueun
CuX. Fec liquidem ponderanu, ubicunqile Luct in eodem Lerpendiculo (lire
rerera, lire huc uc modo dictum est, rclua) alque li in ipla quam quis relie
iltius Plans lecta cMent. Or ibidem probatiu crat.
Duxque ita ac una blam reducta tunt policeta, Caltemt ee al unum iplius
Punctum, AquilibEI Centrunu MOX reduCT, Det 20. AujuS. Quippe ita per
inde Ponderane tumul omnia, acque I ex illo pulcto dependerent. Ot ibidem
probabieme.
men alia lic directio ririum in A c B acbcalcu, rallabtus, pro raria Librae
potirione, momentorum incer se ratio; atque ita quidem ut in proxolitione est
altirmarum. Esto enim, rerbi cracia AB librae susum, in liu Eoriconcali po.
V. L011O, Manente sugo recto AB, e cencro motus in ipta Libra, C: St la- F. 1B. 4
Cicum; ejusque puncto B applicatum grare; adeoque virium Directio BL de H0
rixontem perpendicularis: Puncto autem A, vis alia quaeris (puca, huntaltan,
adhibita, lecundum directionem AF (ipsi B P minime paralletam;) cui quidet
AF Parallela L _, peripheriam puncto A (circa C. xotando) deseripCal lalxal
in Li; (intra rel supra punctum A, prout conciserit) Manilestum urique el
k HK
moto

## Folio 630 — 851387705:0650
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000650.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Ne lito
Oto A ad a versis T. (prinsquat ad L. perringat) Minui Obliquiratem motuS;
(sire angulum quem tacit directio morus cum directione virium AF, rel hui
Parallela:) Adeoquo (per DrOB. praeced. vel 2F. Cidp. 2.) Augeri Momentum:
Dum incerim moto B, per similem arcum, ad B, hujus Obliquitas AugeruT; 2d00-
que Momentum MInIIEuT. FE Proprerea (per 8 Fl. 5.) alia rario erit, pro mu-
cato librae ticu, momenti virium in A ad momencum Ponderis in B; acque mo
menci Virium in a ad Ponderis in B momentum. (Et quidem in ca ratione quam
innuit propositio: per 2F CaP. 2.) Quod crat altirmatum.
VI. Contra vero; Si Pro AC B juso recto, substimams (hoc in catu) L. CB
F1B. T. jusum inflexum; acque ita quidem inflexum, ut quem angulum facit C B ad BP
directionem Craritaris scu vis morenris in B, candem Faciat CL ad L P directio
nem vis in L. movencis: Manebir eadem ubique ratio momenri Virium in L, n
ad momencum Ponderis in B, B. Ouippe idem hic praectabit jusum inflexum
L. CB, acque in primo hujus demonstracionis catu, rectum ACB. EF ut illic
(proprer similes arcus Aa, BB,) aequales crant obliquitates in a, B, non minus
quam in A, B; lic hic, ob ealdem cautas eadem eric in B, n, non minus, quam in
B, Ly eadem Obliguitas. Caereraque, ut ilic ostendentur. Dummodo (quod
hic incelligendum est) directio ririum in L, a punctis, sic Temper cadem; puta
recta L. a parallela: licuc eadem supponicie directio Ponderum, in B, B; puta
Pexpendicutum ad Perra Cencrum.
VII. AC VcrOZ A in punctorum aliero, ut B, B, ponderis directio, cadem HL
(pura recta ad Centrum Percae, seu Perpendicularis ad Lforizontem;) in altero
vero, ut A, an directio movenus in lingulis A a currae punctis alia aeque alia.
Ticque, verbi gratia, lecundum ductum iptius currae, vel Rectas in iildem punctis
Tanseltes: Propter mocus obliguitacem in A, a, sive nullam, sive candem; mu-
tatam reto in B, B; (adeoque ririum momentum illic aequale, hic continuo im
MUITatIM;) rer etrobique immucatum ouidem, sed non similicer immmutatum:
Vaiab D momentorum inter le rario (Cre rectum lic jurum, sive Inserum
pro Dacio. Hibea sicu; hea quactu ut in Propolicione decermrinacum et. per 2E
at
Ouodque in expositis casibus oltentum ett; similiter oRtendetur (ex iisdene
Prop. 2L. Cap. 2. e praecedencs hustio) in aliis quibutris calibus. Constar 18.
speissics Acrs BcC 1
SC AOZ+8A
) Esum est, in hac Propolitione generaliter propotica plures catus exhibere,
e
trictim comprehendere; porius quam coridem Proposicionibus lingulos ex-
hibere: cum quia eodem principio nicuntur omnes, eademque demonstratione
contirmantur; cum quia intinici esser saboris singulos recentere qui huc adduet
calus possent. Fixposiris isitur hisce paucis, faeile erie alios hisce similes, prout
res tueric huc reterre; e canquam generall propolicione comprehentos, esuldem
demonttratione contirmatos repurare.
EAque opporcunus hic locls demonstrandi illud quod supta intinvaritus in
Scholio Prop. 3. Nempe F Si intellisatur Centrum Terra ranquam in infinita
distantia: Libra (vel non srarata, vel utrinque aequaliter Sravata) quocunque
situ ponatur, quiescet: S vero intellicatur Centrum Terra ranquam in distantia
futa; quiescet quidem Libra in situ T lorizontali posita; vel etiam in situ adt LTo-
rizontem Perpendiculari: posita vero in situ ad lLorizontem Obliquo, neque su
guescet (quod volune aliqui) neque (quod volun alii) ad situm Forizontalem
feretur: sed ad situm FTorizonti Ferpendicularem.
Incelligantur, in AB Libra, duo quaevis puncta, AB, aequaliter uerinque a
F18. 39. Centro C remota, invicem aequiponderantia (sire aequalicer erarata) d SItu A B
Horizontali, per sirum Obliquum aB ad litum a b Forizonti Perpendicularem
lata, arcus timiles et aequales rotando deseribere Aa a, BBb; quos tansant rectae
ATB a F
P, BF, B F, D F; quae iaque Directionem Morus in Illis respe
atire punctis delignabume per Drop. 15. Cap. 2.
Aique Incellisatur, primo, Cenirum Terrae (quo cendunc Ciravia) tanguam in
Intinita Distantia; adeoque Perpendicula, seu Rectae Deortum (Directionem Mo-
vensis, leu Vis Morieis, detignances) AD, aD, aD, BD, BD, BB, invicem
Paraltela.
eltu quddl etac propotem.

## Folio 631 — 851387705:0651
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000651.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
uine
Parallelae. Frunt igitur, in sicu Floricontali
(propter cum rectas AD, AP, cum BD, BP CO-
incidentes) eadem urrobique Declivitas: (nepo-
ce urrobique perpendicularis:) Irem, in licut
ad FTorironcem Perpendiculari (propter an
Sulos Da P, DB I, rectos) eadem etiam
Dectiritas (quippe uerobique nulla:) Sed
ec in Ciu Obliquo (propier cum a T, BI
cum aD, BD, invicem parallelas; adeoque
Obliquicatis angulos aequales D a T, DBT.
quos eum directione Morentis Facit Dire.
Etio Nobilis;) aqualis urrobique Decliricas
(Per Decliritacum Detinitiones;) adeoque
erim caetera line paria) aequiponderabunt
(per X3 hujus:) Cum itaque concraponde.
ranc (per X hujus) se mutuo Tustinebunt
nec HeT MOCUS (PeT 12 Cap. Y.) Ouiescet
isicur Libra, quocunque siu polita. Ouod
crat provolitum.
Incelligatur deinde Ferrae Centrum, ran-
quam in Viltancia Pinita; adeoque Perpen
tet
dicula seu Reetx ad Cencrum (Directionem Moventis designances) invioem con-
vergentes puta, AK, BK, ∞R, BR, aK, bK, in Terrae Cenero R cocunces. Si
itaque ponacur Libra in suu ad Horizoncem Perpendiculari; erir (proprer R a F,
Rb C, ansulos rectos) aequalis utrobique Declivicas (quippe nulla:) Trem, in
Tic Forizoncali (proprer cum angulos C A T, CB I, rectos, tum C AR, C BK,
invicem aquales) aequales item exunt Obliquiratis AnSuti K A F, IEB F. Adeo
que (propter aequalen ucrobique Decliritacem) aequiponderabune, de sese ucuo
Jastinebune, A, B; Libeaque propterea quiescet, per modo demonstrata. Si ve-
20 vonatur Libra in siru Obliquo: Obliquitatis Ansuli IX a F, RB F, inaequales
Crunc; ec quidem major ille qui est ad Brachium clerarius: puta IL a G.  Nam
duorum aqualium ansulorum Da T, DB. P, altero semper Major est ansulus, ille
Ka L; AILCTO verO anguluS RB F vel Minor erit (nempe quoties ob magnam
Librae declivitatem, vel magnam Cencri distantiam, BR cadit inter BD. et BI
vel eric Nullus (nempe, Si BK circusum concinigat, adeoque coincidant B L, BF)
vel saltem Minus cum superabit (nempe E quando propier exisuam Librae De
dlivitatem, vel exieuam a Centro Perra Distanciam, BP caclat inter BH BL PD)
ob angulum, R BC, majorem angulo RL a C (per 28. FI. T. Pvctid.) adeoque (qui
ad rectum reliquus cst) HEB L minorem (reliquo) R a T: (’Oux Schema cin
templanci Patis obria Lunc.) Fric igitur (quocunque sic Obliquo ponatur Li-
bra: modo Terra Cencrum incellisatur in distancia tinita) in mocu depressioris
puneti Bminor Obliquicas, (adeoque Dectiritas major) quam elatioris a: adeo
que B praponderabitu per c3 hujus. Fr consequencer (eum de punctis reliquis
veriusque Brachii respectire sumpris, idem sic judicium; lineque caetera paria:
deortum ferecur Brachium deprellius (per 12 Cap. L.) donee redisatur Libra, ad
sucum FTorizonci Perpendicularem a b. Quod erat propolicum.
Sune qui contrarium hujus attirmant, inter quos sordanus dt alii, alterentes
Libram obliquo Tuu policam, lacum ivi in licum Horicontalem: contra quos pro.
lixe disputar Cnid. Obaldus in Mechanicis. Dui candem concludit, permansuram
Fore libram quocunque sim policam, etiamsi contideretur Centrum Terrr can-
quam in distanria tinica. Duorum neurum dicendum este ex supra demonstra
eis constat.
Eime lequicue, Ejusdem Recta non unum aliquod starum esse cencrum A
quilibrii; quod nempe idem sic pro omni sic: Sed, in sicu obliquo, a puncto
medio magis maxisque ad parcem declixiorem procedere, prour obliquicas major
fuerie; dummodo Centrum Ferrae incelligatur in dictaneia finita. Ouodque hic
de Rectae Centro Aguilibrii dicirur; similicer intra incelliseme de Centro Cra-
vitatis in Solidis, Planis, aliiive.
Sed e ex uldem principiis probabitur, Ejusdem Cravis (caeteris paribus) era
vitatem minorem continuo fieri, prout Centro T errae macis appropinquat. Si enim,
verbi
7
PrOP. X

## Folio 632 — 851387705:0652
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000652.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Tibr
verbi sracia, recta AB, punctum mecium C, incelligatur recta C. R ad Cencu
directe terri; adeoque eadem semper Decliritate, e eodem impetu: reliqua tamen
puncta, ut A, B, majorem concinuo Obliquitarem Cortientur prour Celubreld
tiune propiora. Nam, eadem manente AI B crianguli base AB, proul alistudo
CiK minuitur, obtusior tiet angulus AKB; adeoque reliqui R AC, RBC, mi
que in Tiru obliquo aB timiliter tere ostendetur.) Lt quanquam de rectxe litu
Perpendiculari ab, non Lae Cihsat (eo quod tora recta lir in perpendiculos
ramen de rectis extra hunc sicum, led ee de curris omnibus, omnibusque tun
superticiebus, cum Colidis (ut quae non posint tora in perpendiculi recta jacere)
idem ostenditur.
Verum ubi Centrum Ferrae considetatur tanquam in intinica diltantia; adeo-
que Perpendicula tanquam parallela; (quod in Staricis plerumque AC;) Hal 
nia locum non obrinent. Ouam quidem hypochesin (Post Archimedem, aliol.
que) nos eriam sequimur, nisi cum concrarium insinuatur: quod et aliquories
monuimus.
nores; et consequener, majores tient Obliquiratis ansuli R AY, RBF: (Idem.
e
2
Ex tribus his, Londere, Conclatiee, ee Diltantia puncti applicatio.
nis (Sires a communi Mocus et Librx Centro; nempe siguod sC;
sintque ad eandem per centrum motus rectam applicata pondera:
Sire, a Perpendiculo per Centrum motus; si in eodem recto ad FTO-
rizontem planorotentur: Sire, a perpendiculi Succedanco; (I Fal-
tem in eodem planorotentur: Sire denique à perpendiculari Plano
Deraxem motuS:) Datis duobus quibulris, dlaturtertium.
Nempe; Datis Pondere ex Distantia; datur Ponderatio: Datis Pon-
dere et momento seu Ponderatione; datur Distantia: Datis Pon-
deratione ex Dictantia; datur Pondus.
Excipe; Si (quod una cum ponderatione datur) Distantia vel poncus
nullum liL.
Incellisitur aurem Proposicio, prxsertim de Libra in plano ad horiron-
tem recto librata; saltem in data dectiritate. Et similiter in le-
Guentibris.
Omenim (per L2 ∞ +3 hujus) Ponderationis sire Momenti ratio, ex ratio-
bs Ponderum e Diltanciarum componatur: Datis componentibus; datur
compoltu. Iem; Datis compolica, el componentium alcera; dacur reliqua; (Dex
Excepitonem inde pates. Ouoniam Pondus nullum, nihil Ponderabic, in qua-
cunque Dillancta. E Mallius Distanciae, nulla est P’onderacio, quodeunque sit
Poncus.
2 e 3 Cap. T.) Adeoque conttat provositum.
dC +1OL. FD 1.
Va chium; quod iraque speciarim Ponderationem appello: NOn quatenus vel
Centrum Labrx grarat, vel vuset illud ex quo directe depender
Propolitionem hanc (ex sequentes aliquoL) mulciplicem facere, pro raria Di-
Stancix incerpictatione lecundum varios casus, pocius quam propolitionum nume-
rum augere, rilum elt; quoniam eadem cories cllet reperenda demonstratio. Ouam-
que hic adhibui rariarum incerprecationum Distantia, variis calibus accommoda-
tionem; eadem in sequencibus Propositionibus incellisenda exit.
Omencum illud hic incelliso, quo Pondus Grarat Tuum respectire Librx Bra-

## Folio 633 — 851387705:0653
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000653.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Calile
d (II.
derd.
1110
1 Cat
Plano
P0
Pot
10
exOD. X
de Libra.
P RO P. XVI.
Dato Pondere, in data (a communimotus et Libra Clulro; vel a Per-
pendiculo per Centrum motus, ejulre succedanco; vel a Perpendi-
culari PlanO per aXCM MOLIS;) Distantia: Pondus aliud inrostisare
quod, in assignata distantia, dato rel aquiponderet, vel i cala la
tione ponderet.
Ttem: Distanciam inrestisare, in qua, Pondus altignatum, dato rel X
quiponderet rel in dataratione ponderet.
nD.
PD. C: PD. C:: PD. C:: m PD. mE: mPD. mC.
DCD, quam D arcimus, IIIPen
Tum. Sicque alia expolica distantia.
Duta n D, (qua sic ad D datam ut n
ad L;) idque vel in eodem rel in
u RD
 F nF
concrario Librae Brachio. Dico; Pon. 
dus = P (guod sit adt datum P, ut +
ad n.) in assignata distantian D, priori in D, aequiponderare.
Ttem: Sic altignatum Pondus, UEn P (quod ad datum P, _Lutn ad P.) Dico;
In distancia = D(quod sit aet dacum D, ut L ad n) altignatum n P pondus, priori
in D aequiponderare.
Cumenim ucrobique posteriora Pondus de Diltancia, sint prioribus reciprone
proportionalia; (alcerum utn ad Z, alECTUM ut Z 2d n:) A Qui POnderabUINE. Per
T2C F3 hujus.
Similicer: Si imperetur, non ut aequiponderent; sed, uc in data ratione; pura,
vem ad Z: PFO = P, =D; Dotiris = P, = D; habetur quaelicum. Ouippe haec,
ad prius posica, ponderant in ratione m ad r. per caldem 12. et 13 hujus.
P ROP. ZVIT.
Aqualis; Quidem, rel aequalium Ponderum; (sire, ad commune mo-
tus _ LibEX Centrum; sire, ad Perpendiculum Pex centrum mOTuS,
ejusre succedaneum; sire, ad Perpendiculare Planum pex mOTS
Axem;) Propinquatio; aut inde Flonsatio: (sire Pondus Centro
illi aut Perpendiculo Planore, admoreatur; sire Centrum, Perpen-
diculum, Planumre, Ponderi; rel contra:) Aqualiter Auget, Mi
muitre Ponderationem. FF; Inaequalis: vel, Inaequalium Ponde-
rum: ProportionaliTET.
DEgnituIT Cx 12 BCL3 hujus. Cum enim A qualia Pondera, ponderant in ratione
SDiltantiarum: Gua rarione Augetur Minuiturre Distancia; in eadem similiter
vel AugetuT vel Minuicur Ponderatio. Tancundem aurem Addir, qui ex Dupto
Triplum facie, ee qui ex Triplo Ouadruplum, etc. Quodque de qualibus di.
citur; de Proportionalibus similiter inde constat.
L
CFEP, dacu Portuus,  diltancia
ED 
6

## Folio 634 — 851387705:0654
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000654.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
PROP. XYIII.
Centrum, aut AZCM.
punctis; velhorum ab illo Cemto (ant perpendiculo, perpendicu-
live succedanco, aut Plano) de datas partes Dictantiis: Inreltisare:
Ouanca sic cum linculorum, cun simul omnium ponderatio; et, 2d
quas partes; Tum denique quancum grarant iplum quo sustinentur
F0D.
2D.
+DP. +6: f I5DP. + 250.. LL. YL. 6DP. 106: -6DP. - 6C: - 12DP. - +26.
NV Distanciis: verbi pratia, ad Ceneri (Perpendiculi
a hujusre succedanei, Planire) Dexiram (quas ligno 1
inlignimus) D, 3D, 4D; dependeant Pondera, P, SP, 3P
quxe (polito P in Diltancia D ponderare uc Cr) pondera-
bunc ite 2) , T2G; per T2 _ r3 hujus: Adeoque B.
 Saran Brachium Dexerum, ut 28CF; per B C ap. F
In Oiltanciis ad linistram (quas concrario sixno-infis.
nmuS) 2 D, 3D; devendeant Pondera 3P, 4 P: Oux
itaque contraponderabune, ut -6
I2CF; per 12 e 13hujus: Adeoque
Cimul srarane linistrum brachium ut TSCT;
Per 8 C ap. Y
Acque ex ipto Centro, quod itaque
neutrum grarat Brachium, Pondus q. P:
Cujus Ponderatio eAt, ut FOG. per 12
et T3 hujus.
Duae simul omnia vateu, at 4 286 = 18C +06 = F TOG; per 8 Cap. F
AdCOGUE DTRSTAVANE BTACMU DENEruM, UE XOC. HlOC est (proxter politum
DP = G) quantum Oecuplum Ponderis P in diltantia D, dexirortum, apvenli.
Et similiter Paciendum eric, quotcunque e quantacunque in quibuscunque di
ltanciis, ad urramris partem appendantur Pondera: (habencur enim vel ex 12 8
=3 hujus, vel ex rs hujus, Singulorum Ponderationes:) Idque, sive dentur ipix
Distantix; sive Cenerum (Perpendiculum, Perpendiculi Succedaneum, Planum-
re) una cum appentionum Punctis; (nam, his datis, Distancix simul daneur:
nempe ductis ab appentionum Punctis, rel rectis ad Centrum illud, ret perpendi-
cularibus ad Perpendiculum, Perpendiculi Succedaneum, Planumve.) Inrenimus
ereo, cum singulorum, tum simul omnium, Ponderationem; e, ad quas partes.
Duod erat taciendum.
Ouod vero C communemotus de Librae Centrum spectac, vel siquod aliud est
motus Centrum, vel Axemeriam; quo sustinetur cum ponderibus Libra, ne tora
euac: tancundem ralene acque limul omnia pondera f P f 5P f 3P f 4 P f 3 P
F 4 P == 20P, ex contro equilibrii directe dependencia; (Faltem in ea decliritate
inde dependentia, qua cum Ponderibus Libra librari incelligitur: ) per 2 hujus ret
18 Cap. 2. Oipore quorum Descentis eo impedirur. Duod indem inveltieandum
erat.
SC HOL TV M.
det Brachii Libra (s siB DCrIICatL) CCa CCHITLII mOIS FOTaEuE.
Fatenus desceceto, Guatenus delcendir Cenerum Aequilibrii (per ohujus:) F ixum
illud Centrum OtuS (velmos AXis) non ulcerius impedic Descentum Librx,
quam, quatenus Descentus ille ex Roratione proreniens, minus valet, quam di-
rectus
Datis Ponderibus quortibet: Darisque, rel communi morus et Libra
il Centro (dut verpendiculo per centrum motus ejulre succedanco,
aut perpendiculati elano per motus axem,) acque Applicationum
-
Teoaurem, Fx cemro aequilibru. Mottatum eum Dpet aOddetaniam

## Folio 635 — 851387705:0655
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000655.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
0
PrOpiLLTII.
De Lbra.
rectus eorundem Ponderum, cotiusque Librae, Descentiis. Er quantum valet hOrUI
Descentuum Difterentia, cancundem Gravatur Centrum (vel AXIS) Sustinens.
At vero; s addiro, ad Brachium sinistrum, Pondere quod gravitet ut 2OG.
quo ad Aiquilibrii stacum redisatur Libra; unde propterea impediatur ne ascen-
dat Sinistrum Brachium, quo itaque impediatur Rocatio: jam tocum descentui
impedie Cenrum illud (vel AXis) Fixum; Adeoque tancundem graratur, quancum
Tunc (cum ipsius Libra Pondus; cum advencirium illud, quod additur, quan-
cumcunque HC, quod, sicu quo ponitur, valee ut r0C, libram reducens ad aqui-
librium; cum) illa simul omnia appenta Pondera.
Obex rero, liquis superne objectus Rotationem impedit, TanEA VI PTCHMTUE, quan-
ca est Ponderis, quod eo loci appentum, Libram reduceret ad A guilibriuu. Le
tamen Centrum (AXemre) cantillo onere levac; (quia nihil suctiner; hoc est, nihil
impedit qu’in roca moles simul descendat:) Sed grarat porius.
Sin, loco hujus ad Brachium sinittrum Obicis, incelligatur Fulerum Brachio
dextro subjectum, quo Rotatio impediatur: Sultinet quidem hoc parrem Oncris,
eaque Cenerum lerat.
Verum haec consideratio non est hujus loci; sed ad Vectem spectat duobus Fiul.
cris sustencum.
Si quis incerim (praecedentem hanc demonstrationem quod (pectat) Caleuli me-
thodum aversecur; (utur Demonstrationes Rrichmericas, Lincaribus intermiltas,
non retugiar vel Puclides ipse, vel quanumeinque sererus quisquam ex Veteribus
Demonstrator;) Lineisque malit illud praectari: P’acile erir quicquid et Calculis
sire hic, sive alias, ad Lineas rerocare (quod tamen ad Pompam magis facier, quam
ad Demonstrationis Robur vel Perspiclitarem:) Cujus quidem ad hanc provolitio.
nem Inctanciam libet exhibere. Ad cujus exemplar, quiequid hujusmodi hiic alias
occurrat, pocerir similirer in Lineis, cui id libicum eric, quispiam extribere.
Alia Demonstratio.
ExpOlitis, ut prius, Distanciis, Ponde.
ribulque: Super rectis, quae expolicis Di
Stantiis D, 2D, 3D, 4D, ecc. lint aequales, vel
proportionales; tocidem construantur Re-
etansula, vel, limiliter inclinaca Parallelo-
cea
i
Ponderibus proxortionales. Puca; Aa
vis
DCXEraI, DF SCu G; 3D 5P sCu F5C
AD 3P seu T2CF: Ad Sinistram, 2D 3F
seu 6E; 3D 4 P seu 12C; Oux quidem ParalletoBrattna,
exposicis Distanciis proporrionales; et Alcitudines, proporrionales Ponderibus
(ex constructione:) Tune ipla, in ratione ex his composica (Per 23 F. l. 6.) hoc
e; in ea. qua ponderant appensa Pondera; per 12 et 13 hujuS.
Ilis demum Rectansusis seu Paralleloerammis (Der
443 45, FL. F.) coridem respectire aequalia (puta, pri
mum primo, lecundum secundo, _c.) invicem aeque alia
et aequansula urinque ad eandem rectam, puta C. II in-
Finicam, ranquam communem balem, concinue ponantur.
Puta, ad Dexrram, ea quae ponderibus dexiris respondent
Ut 6, 25C, 126; ad sinistram quae respondent Ponde
ribuS SInUtTIS, UE OO, LL C.
Ouxe quidem Paralletogramma, cum ipsa (quia prio
ribus sunc respectire aequalia) cum ipsorum Bales (Der
X F.I. 6. CUm SINE X quC. altd) puta C. B, BH, F. D, C. F
FS; sune (per modo demonstrata) Ponderum quibus
respondent Ponderationibus proportionalia. Adeoque:
SE CD, Tumma basium ad dexiram; ad CS lumma
balium ad linistram; ita ponderum omnium ad Dexrram,
Ponderatio; ad Ponderationem omnium ad sinistram. ACg.
uc SD ditterentia, sive ad CD, Eire ad C5, sire ad CB, eec
sic elt Praponderantia ponderum a dextra, ad Pondera-
tionem rel omnium a dexira, ret omnium a siniltra, ret
nI
in Bate

## Folio 636 — 851387705:0656
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000656.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
De oru
iptius speciatim Ponderis cui responder batis CB, ecc. Oux crant inrestiganda
Pondus vero, quod ex CenErO (vel AXC) dependet, uc nullam habet inde di-
stantiam; sic quae huie responderent Parallelogramma (puta C 4 P, C A) nullius
Tune Lacirudinis; adeoque nullius magnitudinis; ut dc ipsum (librationem quod
Spectat) nihil grarat vel hoc vel illud Brachium.
Denique; iplum quo omnia sustinentur Centrum (res Lesent) cun simul
omnium pariter descensui recto retistar, in ea ratione grarant sinsula, qua lune
ipla respectire Pondera; ec simul omnia, quantum est omnium Agxresatum ex
aequilibrii cenero suspentum: (per 2 hujus, vel 18 C ap. 2.) Hoc ell, uc L13 L
F3P + 4P + 3P. F 41 = 20f illic spena. Suou cat  re
sandum.
PROP. XIL
Datis COnderibus Guotlibet (vel Tumma Ponderum;) aataque COKUI
ad datum commune motus et Librae Centrum (vel ad datum per
centrum motus Perpendiculum, aut Perpendiculi Succedancum;
vel ad datum Nocus Axem, Planumre per illum axem perpendi-
culare) Ponderatione ad datas partes: Ponderationem illam Au-
sere vel Minuere, data quantitate; sire manente hoc centro (Per-
pendiculo, pervendiculi Succedanco, Axe, Planore;) sire manen-
tibus Ponderibus sic appensis.
+ : D220D = + r0PD = + 10C.
F =Dx2OP = F sPD = + 56
COnco data pondera, rel summa Ponderum, verbi gratia, 20 P. Sicque omnium
D Ponderatio ad datum Centrum, vel Axem C. (vel Perpendiculum, planumre
perpendiculare per AXem) = FOCI == F FODP, dexerortum: Oux verbi gracia
Minuenda AE (vel Ponderatio linistrorsum Ausenda) quancitate sPD; hoc clt,
expolicae Ponderationi L TOPD, auterenda (IL. 5PD.
Inveniatur (per 15 hujus) distantia dextrortum, qua datum Pondus 20 P,
Ponderet uE S PD (nempe quantum exposicae Ponderacioni auterendum est) puca
20P. Cui sic aequalis, rerbi gratia, C F. Dico; (I, manente C, omiia
limul Pondera linistrorsum moreantur; quantum est F. C recta; Vel, manentibus
18. 77. Ponderibus, tancundem dexcrortum cransteratur C: Vrrumris Fac, tanco minor
eric ponderum lingulorum Distancia dexirortum (vel major linistrortum) quanta
est F. C = = D. Adeoque (per 17 hujus) expoticx ponderationi dexirortum.
cancum autercur (vel addirur ponderacioni sinistrortum) quanca et 5 PD. Quod
erac imperatum.
Similicer, omnino tieret, s Augenda cHet Ponderatio dextrorsum (vel pon-
deratio sinistrortum minuenda;) nili quod cunc vel Pondera dexcrortum mo-
venda ettent, vel C. (Cencrum, Axis, Perpendiculum, perpendiculi Succedaneum,
vel Perpendiculare per axem Planum) liniltrortum; quo appentionum distantia
dexcrorlum auxcanur, vel minuancur sinistrorlum.
SC HOL ZV M.
rInc tieri porest, ul eua prius tuerat live Dexctortumare Sinutrortum P’on-
LLderatio, in Aquilibrium crancseat; (puca, _ Ponderationi F TOPD, FaH
eundem auteratur; quippe f TOPD = FOPD = FOLB:) vel, ut Ponderario
orius Dexcrorlum, jam tiac Sinistrortum; vel concra; (puca li Ponderaricte
= TOPD, auFCratuE LS PD; quippe F +OPD = F5 PL
ED: )
Duoc
per 26 hujus (qua docerur, in dara ratione minuere) non tier; in quacunque
crim ralione lquae intinica nen sic) minvacues verbi Praciam + PD; marebic ad.
hucu signo + aftectum.
ta

## Folio 637 — 851387705:0657
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000657.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
PB
inet
PROP. ZX.
Datis Ponderibus quoclibet; una cum communi Mocus et librx Cen-
Ero (vel perpendiculo per Centrum NOtuS, ejusque Succecanco.
vel motus Axe, aut per hunc plano Perpendiculari;) atque appli
cationum Punctis, aut horum inde Dictanciis:
Vel; Datis saltem summa Ponderum, et simul omnium Ponderatione
ad datas partes:
Punetum Libra data (rel Perpendiculum illud, aut Perpendiculi Suc-
cedlaneum; vel Perpendiculare Planum per AXem; pront ab HOC
aut illo Dictantia data fuerit;) invenire: quo si Suspenderentur
omnia similitex ponderarent; Nempe, caucundem, acque ad datas
DarteS.
Cuod iptum inventum Libra eunctum; est Centrum Aquilibrii:
eltque Onicum. FE Perpendiculum inventum, aut Perpendicali
Succedaneum; est Perpendiculum Rquilibrii, aut Succedaneum hu-
JuS: eAtque item Onicum. Fit invencum Perpendiculare Planum;
es Planum Aquilibrii P expendiculare; eAtque hoc (ex planis plano
huic per Axem parallelis) unicum.
L +OG = TODD
20P
= ErDP L MSDP= AEDP +IrLMS-nt
= rP FsP + cP
p +5
IStO (UE in PFOP. 18.) expoticum C cenerum motus st libix (vel Perpendi-
.culum ver motus centrum, aut perpendiculi Succedaneum, vel Perpendicu- F 18. 77
lare Planum per MOTIS AXem; juxta conditiones ad PFOP. F5. MCMOTALAS:) AL
que expolita Pondera; quorum summa siC, verbi gratia, 20 P: Et simul omnium
Ponderatio, ut 1OGT, vel XO PD, dextrortum.
Vel, exponantur linsula scorsum Pondera, cum suis Diltantiis; unde, per 18
hujus, haec Summa _ Ponderatio collisi postint.
Datur, inquam, Distancia (Per Z5 hujuS) qua Si ad dataS partes HOC 1O-
rum Fondus, vel lumma Fonderum suspendacur, timilices pondcrabic. Nempe
f TOC = = 1OPL
== = = D. HIOC elt; Si Dexerortum (quod innuit signum L.)
in Distancia ; D (puta in puncto E, dictancia CD medio; vel ubivis in ver-
pendiculo, auc perpendiculi succedaneo, per P. cranleunte; rel in perpendicylori
Der F. plano, plano per axem motus parallelo;) Suspendantur simul omnia
Pondera seu lumima ponderum 20 P: Similiter ponderabume, acque jam in Tuis
Tingula suspensa locis; nempe ut f 1OCF, ret F TOPD. Quod erat investi.
Bandum.
Veli Onivertaliter: In distantiis FID, = mD, = nD, Rec. appenta pon-
dera rP, sP, +P, e. Ponderant uc + Ir DP, + msDP, = ntDP, eec. (pet
28 hujus.) Florum Ageregatum, SI per summam Poncerum dividatur; quod pro-
dic (= ErDP =m sDP = nEDE + Ir + ms - n+
P FSP +
p. L s FE D, est Diltantia (DEX.
trortum, auc Sinistrortum, prout nocara signis f aut = praepollent) qua S Tum
ma Ponderum suspendatur, similicer Ponderabunt: per Y5 hujus. Quod crat in.
veltigandum.
Dico porro; Librxe punctum P. sie invencum, A. quilibrii Centrum etse; (Ouod.
que per hoc transic Perpendiculum, rel P’erpendiculi Succedaneum: est Perpen-
diculum Aquilibrii; vel Succedaneum hujus: FF, Perpendiculare planum per F
perpendiculari per axem Plano parallelum; est Perpendiculum Aquilibrii Pla.
nuI.)
Cum enim ita grarant Fibram omnia ilimul Pondera, aque Si ex F. puncto
vel per illud cranseunce Perpendiculo, Planore perpendiculari) dependerent
ommia

## Folio 638 — 851387705:0658
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000658.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
OMta (Det al ACMIOHErata:) Si ipsum E librae centrum Fat (rel ubiris in eo
Perpendiculo, Planore suspendantur;) nihil ponderabune, sive nCutrUM PEXGrA-
vabunt Brachium, per T2 ec TZ hujus. Fritque propterca (per o hujus, vel det.
Ceneri Aguilibrii) librae punctum F, Centrum Aquilibri: Ec (per det. Per-
vendiculi Aquilibrii, hujutre Succedanei, et Plani Aiquilibru) Pervendiculum
illud ejutre Succedaneum; erit Perpendiculum Aguilibru, 2uI Musus Succeda.
neum; e Planum Mud, erit Perpendiculare Planum AiguHIri. ADd erat
demonstrandum.
Vel etiam; Ouia, Potico C Centro librae tantundem cimul omnia dexirortum
Ponderant, acque s in diltantia CF. dexirortum, suspenderentur omnid: Si Cen-
trum tranSFeratuT d C In H. (vel d Perpendiculo. Succedaneore, vel Perpendieu-
lari per AXem PlanO, per C, ad parallelum per B. Planum rectamve) tancun.
dem omnium (ubieunque dependeanc) vel mintiiue distancia dexirorsum, vel
(quod eodem recidic) ausetur linistrorsum, quanta et C F. recta (vel paralle-
lorum distantia.) Adeoque (per praeced.) cancundem Ponderationis, vel dexiror-
sum demitur, rel additur sinistrortum, quanta clL. simul omnium Ponderatio in
diltantia C E: hoc est, per modo demonstrata, tota Ponderatio dexerortim coli-
cur. Prirque propterca (per S hujus, vel det. Centri A quilibrii) F CCHErUm
Aquilibrii. (EF similicer, per Cuas respectire detinitiones, octendetuir, de Per-
Pendiculo Aquilibrii, ejusre Succecaneo; et Perpendiculari Plauo Aguilibrii.)
Duod demonstrandum crat.
Denique: Centrum Aquilibrii unicum este dico: (e timiliter unicum esse
eerpendiculum A quilibris auc hujus succedaneum; Unicumirem P’erpendiculare
planum plato per Axem parallelum.
Potico enim, verti gratia, L. ceniro aquilibrii; quo scilicet suspensa libra in
neuram partem propendet: Si inde in ucramris parrem ad quamcunque diltantiam
IaNStETatuE CenErUM NIOTUS, puta ad C; vel ex illa parre minuetur, vel ex altera
augebitur omnium distantia; adeoque e Ponderatio (per praeced.) Praponderabit
iaque brachiorum alterum (ver o Cap. J.) Adeoque non erir C centrum A quili-
brii. (Et similicet de Perpendiculo Aquilibriiu ejulre Succedaneo, vet de Perpen-
diculari Plano, oltendetur. Ouod erar ulcimo demonstrandum.
Lotd.
 LL. ALI
aliquod librae punctum ut commune motus et libex Centrum (ret
ad dacum Perpendiculum, succedancumre, vel Perpendiculare pla-
nuM Per AXeM) Ponderatione: Datur ejusdlem, ad aliue quodris li-
brae punctum ut commune Centrum motus et librx (rel Perpendi-
culum, Succedaneumre, aut Perpendiculare planum parallelum, ut
dietum est) altignatum, Ponderatio.
TAm, Propter data duo Centra (vel Perpendicula, Succedaneare, auc parai-
L.  sela Plana) adleoque secundi a priore Dictanciam ad datas partes: Datur (per
(29 13, ex X7 vel Fohujus) quancum daci ponderis ponderarioni datae ad datas par-
tes, addendum erir velauterendum, propter cranslarum Cenerum (vet Perpendicu
rum, Succedaneumre, aue Perpendiculare planum.) Adeoque quanta erir, et ad
quas partes, Ponderatio respectu polterioris. Ouod erat provolitum.
Puta; S Pondus, vel ponderu AGBTCSaTM, Ut 2OP, ponderet ad C. Centrum
(vel Perpendiculum, Planumve perpendiculare) ut = FOPD, dexcrortum; e
transteratur centrum (Perpendiculum, planumve) ad F; ut SI, vecbi eracia, di-
D
Si CiF. = =D: auterendum f SD X 20P = = 1OPD. Adeoque ponderabie, ut
Data dati Ponderto (sIr Mucss r C Pluribus 20orexati) ad datum
que ponderabit ad E, uc F 10PD - 5PD = +
= 10
DC
1OP
Similicer
Si C F = D: auterendum f D x 20P = f 20PD. Adeoque ponderabit, ut
=1OPD = 2OPD = - 1OPB, hoc eltu uc 10 PD linilleorsum.

## Folio 639 — 851387705:0659
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000659.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
De Libra.
Similicer omnino, hlumeretr F. sinistrorsum; nisi quod gux jam auterenda (une,
CC CHIEHC acceHa, _CONtTa.
P R OP. XXII.
Data Centrorum Librae Motusque et Aquilibrii (rel Perpendiculorum
Per Centrum aequilibrii ec per Centrummotus; vel Plani Perpendi-
cularis per motus axem ex huic paralleli Plani Aguilibrii) ab inricem
Distantia ad datas partes: P.X cognito Pondere (vel summa ponde
rum) cognolcitur Ponderatio; vel, cognita ponderatione, pondus
vel summa ponderum.
FDKP = + DP = +C
Om enim appentum Pondus, vel summa Ponderum uccunque appentorum,
Ls perinde libram grarant acque li omnia ex Cenero Aquilibrii (rel in perpen-
diculari Plano per Cenerum AEguilibrii, plano per Axem motus perpendiculari
Parallelo) dexenderene; per 20 hujus. Adeogue per T2 de Z3 hujus, in ratione
quae ex Discancia, e Ponderis (seu summae Ponderum) rationibus componitur:
atque ad eas partes qua est aequslibrii Centrum Planumre. Datis, cum ad datas
parces Diltancia, cum summa Ponderum; datur Ponderatio (quanta, de ad quas
parres:) Vel, Dacis Distancia e Ponderatione; Pondus datur, vel summa Ponde.
rum. per 15 hujus. Quoderac probandum.
P R O P. XXTTI
Datis Pondere (seu Tumma Ponderum) et Ponderatione ad datas
Partes: Datur Ceneri A quilibrii (Perpendiculis Planire, in quo est)
a Plano per axem motus transcunte, (rel, in data libra Per cen
trum mocustranscunce, à Cenero librae) Distantia ad datas Partes.
Adeogue; Plani Perpendicularis per axem motus, de lnic paralleli
Plani Aquilibrii: Vel, in dato Libex Plano, Perpendiculorum (aut
Succedaneorum) per centrum Mocus ex Cencrum Aquilibri: Vel
in data libra pex CeNETUI MOLS FraNSCAnEE, COnCTOTUM MOTuS et
Aquilibrii: Ono dato, dacur reliquum.
Om enim Ponderatio ad datas partes, sie in rarione quae componitur ex ratio-
nibus Ponderis (seu summae ponderum) de Distancia Cencri  quilibrii(per-
pendiculire aue plani in guo illud est) sive a communi Mocus _ librxe CenerO.
sire a Perpendiculo per concrum motrs ejulve Succedaneo; Are d plano per axem
motus perpendiculari; ad datas partes: per 12, F3, et 20 hujus: Data Ponderg-
tione ad dacas partes, e iplo pondere seu summa ponderum; dacur ad. illas partes
Distancia, per FG RujuS.
Adeoque (in data libra) diltancium punctorum uno insuper dato, datur reli-
quum (puta, dato centro librae per cencrummotus cranseuntis, datur Centrum
Aquilibrii; vel, dato centro A quilibrii, darur iltius librae Cenerum:) Similiter.
dictancium Pexpendiculorum (per Cencrum Motus, e per Cenrum Aquilitrii,)
dato uno, datur reliquum: Irem, planorum perpendicularium (per AXEM MOTIS,
de paralleti plani Aquilibris) daco umo, daur reliquum. Quod propolicum eral.
TOP
TXI

## Folio 640 — 851387705:0660
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000660.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Fis. 51.
PR OP. XZIV.
Libram rulsarem Orficinarum Construendi, TatIONCM EXPONCrE.
Ibra rulearis Ollicinarum, incellixitur Cenero suo suspendi; Bractiaque a
squali praecile a Centro longitudine verinque porrigi: Aeque ah norum extre.
mis dependere Lances, ad Aquilibrium redactae: Quarum uni impolita noto
Pondere, ignotum prius Pondus in alcero altimatur. Ouippe cum aequalibus u-
trinque a Librx Cenrro distanciis, sint appensa: Ouod noco Ponderi, Sc appen-
tum A:. quiponderat, A quale vondus et: Sin majus; prxponderabie, adeoque de.
ortum Feretur: Si minus; elerabicur. Sequitur ex +2 hujus.
SC TTOZZV M.
NVo exactiores sinthae Librae; reguiritue, ut haec guxe sequuncur, Observen
in tUE.
2. Ve Brachia vrrinque ab AXe (quo sustinetur Libra) porrecta (una cum
Tancibus reliquisque armimentis) sint ejuldem praecise ponderationis; (praeserrim
dum sicu Florizoncali ponitur, a quo ponderationis inirium lumi Tolet:) Lloc
elt, in ipso praecile Aiguilibrii perpendiculo sultineatur Libra, eum armamentis.
Ouippe li alierum Brachiorum (cum armamentis suis) praponderet, ca propende.
bit Libra; indeque appenso ponderi inique larebic, per 2 hujus.
2. Or ex Tui Jugi Cenero aequilibrii praecise dependear. Sive, ut Aris Libra
Sic AXis Aquilibrr. Nam (per FO hujus) Si Axis sic vel cancillum intra Centrum
aequilibrii; libra in alteram partem decrusa non reverter, sed plane praecipitabitur
ut ului omnino futura sic incommoda. Si supra Centrum AEquilibrii SIC AXIS; RC.
vertet quidem detrusa Libra; Sed hoc habet cum priori sieu commune incommo-
dum, quod Libra ipla in alteram partem praeponderabie, eam scilicet qua exit Ai-
quilibrii Cencrum. Onde, uc in priori catu pracipitatio promovetur (Propier
Librae praeponderantiam, ad sicum dectiriorem) ita in hoc catu (ubi praeponde.
rantia Libea est ad partem contrariam) rerocatur quidem Libra ne praecipitetur,
sed simul minus tincere suum munus perasit; dum illa Librae praeponderantia,
ponderis ex ea parre appensi partibus Favet. Oux constant omnia ex r0 hujuS.
3. Orejuldem sinc praecise lonsicudinibus ipsa Brachia: Oux quidem ab ipso
AXC PeU CenTO MOtuS, ad ipsa Appensionum Puncta, aestimanda est. Ouippe li
Brachiorum alterum altero longius lic; minus ex illo dependens Pondus, majori
ex alrero dependenti, aequiponderabit. per 12. AujVS.
Arque hinc oriri porelt insignis impoltura. Puta, Si, qui merces vendune pon-
dere astimandas, Bilancem ita consticutam habeane, ue racux lances equiponde.
rene, brachiorum aurem alterum altero sic lonsius: Dotiris enim in lancc ex Lon-
siori brachio dependence Mercibus; ec, in concraria, noco Pondere: Mercium
Pondus minus, majori Ponderi in oppolica lance xquiponderabit, in traudem
emproris.
4. Deliberrime ex appentionum punctis dependeane (cum suis oneribus) Lan-
CeS. Lonempe tine, uc in quemeunque ad Horizoncem situm reciprocetur ju-
sum, Onus camen (vi prOP. 3F. Cap. 2.) eidem semper Jusi puncto tublic; adeo-
que aequali semper a Centro distancia sulpendi incellisatur. Ouippe ex eo Libra
puncto suspendiincellisitur, cui directe subest: per 4 hujus.
5. Ve ipsa, in librae Jueo, appensionum puncta, sinc in eadem praecise Linex
Recta cum ipso Motus Centro; sire (quod eodem recidir) in eodem cum AxC Plano
cui Fxamen Pexpendiculariter in sistic. Ouippe E ret infra, vel supra, sinc Appen
tionum puneta; (cum tancundem raleant appensa pondera, dique li in iplis ellent,
Per 4 hujuS) Pro vario libeae ticu, rariabitur momentorum ratio: ut ad E4 huius
ostenditur in calu 2; ubi Centrum Mocus elt exera Lihram; hoc es, extra rectam
illam quae appensionum puncta conjunsit; per d et X2 det. hujus.
6. Or duo Brachia, sine, quam commode tieri porest, Lonen. Quo enim lon-
eius d Cenero distanc Appentionum puncta, eo plus ponderant, cum sigillarim ap.
vensa pondera (per LZ hujus,) rum (quod inde sequitur) comparatorum ponde.
rum

## Folio 641 — 851387705:0661
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000661.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
De Librao
rum Disterentia: (cui ponderando aequipollent simul vrraque pondera contrariis
Lancibus imposira; per s hujus.) Onde quod in breri suso, sensum tusiat di-
scrimen, idem, pro Jusi longicudine auctum, cradet laris nocabile.
. VE fugI FrmIaS LanTA AE (pro ratione Ponderum ad illud exigendorum) ut
nOn vel rumpatue, vel inflectatur. Hloc ucique ad verlaretur det. 2 _ 9 tajus:
quae Libram suoungne inHexile SuPPOMIME. EF (ne careris immoremue) illis
talrem incommodis obnoxium exii, qua ex Centro Motus extra libram potico ori-
unda, modo mCMOTA VIMDUS.
8. Oraxis Acies, qua Tustinetur jugum (quaque per iptius Centrum gravita
tis, vel Aquilibrii, cransire incellisitur) Tum Acuta Sic (ad iultar quali linex
Machematiex, quam referre incelligiur) quo facilius in utramris partem recipro-
cecur Libra: Tum sicu FTorizoncaliconstitura, (quippe Libra circa Florizonta-
tem Axem sincerius libratur, utpore in plano ad Florizonrem recto, in quo, exteris
paribus, Pondera magis graritant, et Tuapte Sponte FErUntUIE, Per 25, 26, Cap. 2.
Tum denique uc Declivicatem habear verinque aequalem (nam liqua morus elt
declirior, ea magis propondebic Libra; Per 17, Cap. 2.) Adeoque ut Axis Cune
um retera cujus duo plara in Aciem cocuncid, sine (posito Juso in Licur LIOri-
Zoncali) ad Florizoncem aequaliter inclinara, ee simut Prurinae Foramina, quibus
Fultineri Colene AXiS extrema, ita Tubeus comparaca sinE ut ab intimo princto, CuI
incumbie Axis aeies, aequali urrinque acclivitate altursane; utringue enim (nempe
cum ob tormam Aris indebitam, cum Foraminum Trutina inaequalem aectirica
tem) oriri poteric inaquaticas in dectiritare moeus.
9. VE, quam fieri possre per alia incommoda cenue Cc de lere Jurum, cum ar-
mameniis Tuis. Nam (per 2 hujus) veue, exteris ut dictum est compatatis, iplum
Tugi Pondus, cum Lancibus reliquaque armatura, Librationem qlod spectar, nul-
lius instar habeatur: Axemtamen, quo sustinetur, premit, ejusque obcundit dciem,
quo minus circa illum libere rocetue libra. Adeoque quo minus tuerit Jugi pon-
dus, co minus hinc incommodi, exteris paribus, oborictur.
20. Denigue; pro varia Cirarium ad F ramen exisendoriun pondere de magni-
cudine, aliter atque aliter prospiciendum eric in Fabriea Librae. Nempes in Auri
Fabrorum d Gemmariorum Bilaneibus quibus res minutistima ad Cxamen LevOCan.
tur; maxime prospiciendum erie ut accurate omnia tiam, quo levistimum Ponde.
ris diserimen decegatur. Ouas quidem tanta cum accuratione fieri nonnunquam
dicitur, uc -= unius exani huc illuc vercaur; uno (quod in Honoracistimi Bopti
3
noctri accuracillima quaclam Bilance observacum cst) parre unius prarius 
(quod coram compluribus cestibus fide dignis experimenro facto (xepius compro-
batum fuit.) Obi autem res, magna Molis et Ponderis, libranda veniunt (ut
in Fabrorum terrariorum negociis, aliisque masni moliminis rebus tieri solet.)
magis prospiciendum erir tirmicati rorius machinae: Adeoque ita actemperanda
func quae de Longicudine Brachiorum, de renuitate es lericate fugi, de Aciei Axis
acumine, religuisque hujusmodi, supra diximus; un tirmitati corius machina non
ofticiacur. Ft quidem, quae ad Cencipondium pendendum paratur Libra, non mi-
nus accurara censebitur, si uno scrupulo vertacur; quam quae ad Dractinam pen.
dendam comparatus, si vercatur parce  unius srani. Nam ut Cencipondium
28800
1
unius crani; compu.
rando seilicet in Libra seu Pondo 12 Vncias; in Oncia, 8 Drachmas; in
Dractina, 3 Serupulos; in Seruipulo, 20 Crana:) Adeoque; utrobique eadem ap.
pensi Ponderis parce aliquora vertirur.
Prc
MMM

## Folio 642 — 851387705:0662
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000662.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
13
blateram Romanam construendi rationem exponere.
tera, quam (ob ulum ejus Frequencem Romx ut putatur) Romanam rocar
i
Prulxari Libra, Brachiorum Consicudine poristimum differr: a , l Vulgaris
Libra, A.qualia habet; sed pro raria Ponderum comparandorum ratione, rarie In
aequalia. Porrecto nempe ab AXC Motus (qui et Axis A quilibrii esle debet) Bra
chiorum altero, utC A, in cerram congrudinem, pura unius Pollicis, auc ctiam
minorem; in altero Brachio, uc C.B, quancumris porrecto, distinguunt parces iplo
CA lonsicudine aquales, quoc opus videbitur, distanciis 1, 2, 3, 4 etc. termina-
cas; (quas etiam in particulas quortibet aequales distribuunt.
Appento iaque C Ouxlico Pondere seu, explorando ex A; P’ondus datum teu
nocum P, ex Brachio concrario dependens, d puncto C remorendo et admorendo
explorane in qua distancia Hiet aequilibrium Aeque invento, rerbi sracia, pondus
P in distancia 5, Donderi  in A, aequiponderare: hinc colligunt (propter pon-
dera Distantiis reciproce proporcionala) Pondus . Ponderis P noci, quincuplum
cAe. Cujus Demonstratio ex 12 hujus dependet.
1S C T2O L YI
POchabet Scatera haec, prae rulsari Libra commodum: Tum ut uno pondere
a noco, quodcunque explorandum ponderent: Tum ut minus graretur Cen
trum vel Axis Librae. Ouanquam enim rocarionem quod spectat cantundem
valet P in 5, acque sP in Z; non tamen aequaliter grarant Arem; OF ad LB hujus
ostentum clt. Sed Fraudi masis est obnoxia.
Nonendum porro hic tandem duxi, quod a Pocockio nostro (Linguarum O.
rientalium apud nos nuper Protectore peritissimo) didici; ab ip(o, Constantinopoli
olim commorante, obserrarum; ubi frequeneissimus est hujusmodi Statera uliis:
Nimirum, quod Sacoma, seu Concra pondium, in hac Statera, in torma Mali
Punici (seu Pom granati) construere Toleant (quam Formam et Nostri retinent,)
quod Hebrais Rimmon dicitur, Arabibus Romman; unde illis nomen huic Sca-
terae factum est Rommana: (quod Pexicosrapti contirmant:) diceretur quati
ponderatio ad Matum Punicum. Nos aurem (Scateram ipsamr ab Orientatibus,
ue ridecur, mucuaci) Nomen eriam (quod tieri Polet) xmulaci Lumus: ad Sonum
magis quam Significationem intenti (quam Forre minus incelleximus.) Indeque
ex eorum Rommana nostrorum detormata est Romana: declinante Sono ad V0-
cem nobis notam: (Ouod porro suadet, etiamnum apud nos retenta Mahi Puniei
Forma in contra pondio, ut apud illos.) Dum incerim Romanis, quam aliis Ru.
ropaeis, Scaceram hanc maxis ulicatam esse, aut ab illis ad alios tuiste deriratam,
mihi nondum constat. Viderint alii.
Haec aurem Ponderandi ratio (ni male conjicio) ea est quam protibet L. cx no-
stra Parliamencaria Anno, 25. Fd. 3, Cap. 9. Tub nominé Auncet W eieBt. Vbi
caucum est (incer alia) ne in posterum usurpetur hac ponderandi rario sncet
dicta, Led vendenda et emendae merces, ad Bilancem Dondetentur. (I Bereas creat
damase and deceit is done to the people, by se much that divers Merchants use se
buy  Weieh Wool and other Merchandises by a Wveieht tbat is called Auncet:
Et is accorded and pablissed that this reiehe called Auncet vetrixt buyers and
sellers sall be reholly put ont; And tbat every sale and burins be by ibe Ballance:
se that the Ballance be even, and the W oolls and other Merchandise eventy reeiehed
by riehe reeieht. Trerunque (iildem ferc verbis) Anno 34. Fd. 3. cap. 5. Item
Anno 8. FLen. 6. Cap. 5. Verum ance ea rempora ejusdem ulum approbacum fu-
iste liguet ex Slatuton Anno 24. F. di. 3. ca8. 22.

## Folio  -  — 851387705:0663
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000663.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 18 lines, status machine
II.
caMLi.
J118211B
11les Y
1CT I
1ond
ocet pO
IP
ln
MlCDRO
STVP
actatus
M OT U.
P ARS SFCD N DA:
Oux est
DE CENXRO GRAVITALIS, EjuIGUE CALCVLO.
Anno 1670 edita.
AIM M AB 2

## Folio 644 — 851387705:0664
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000664.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
644
Let LCCtOTC
MI O NI T IO
Eguis miretur, quod Pars haec Secunda, praeter
solitum, ex abrupto inchoari videatur: continua-
tis tum Capitum, tum Firurarum, tum Pacina-
rum Numeris: Lectorem monendum duxi, id pluribus
de causis conticisse. Primo quidem, quod non ab inilio
statueram particulatim edere; sed simul e semet opus
inteerum emittere. Et quidem (ut dicam quod res est)
Partis hujus Secundae pars quasi dimidia jam ante im
pressa fuerat, quam vel Partem Primam (anno praete-
rito) ediderim, vel Opus ipsum in Partes distribuendum
putaverim. Sed partim Operarum Morae, quae Opus Ty
pothetis diffuile, atque inusitatum, in loneum protrave-
rant; partim aliorum impatientia, qui ut saltem Par-
tem illam praemitterem efflaritarunt; fecere, ut loco
commodo Sectionem facerem. Verum, si id in causa non
fuisset; alia tamen ratio est (quae etiam ab initio fecit,
ne pus hoc in Librospartirem,) cur sic fecissem. Duippe,
cum Frequentissima occurrat Citationum occasio; si, quo-
ties Fisura vel Propositio citanda foret, toties, praeter
ipsarum Numeros, tum Libri seu Partis, tum Capitis
Numeri recensendi essent: Omnino minus commode id
fieret, quam (quod hic fit) ubi Fieura quaelibet unico
Numero, es quaelibet Propositio vel unico vel saltem duo-
bus Numeris desienatur. Atque ob eandem causam,
etiam sequentis Partis Numeri cum Numeris Secundae
continuandi erunt.
C. AP.

## Folio 645 — 851387705:0665
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000665.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
it
praeto
nait
31IS I
entre Cravitatis
D F F IN
Concinuum quodvis (secundum Cavallerio Semetriam anduorsibilium) intelle
eitur, ex Indivisibilibus numero insun constare,
Momenris, TCplo Cc.
T, ex intinicis Punctis, Linca; Superticies, ex intinitis Lineis; de ex
intiniris numero Superticiebus, Solidum: Trem ex intinitis temporis
rum, a Tract. de Co. Scll.) ex particulis Hlomogeneis, infinite
exigutsu o intnicIS; Ldque (uc plurimum) secundum unam
talcem dimensionem aequalibus.
Dera, Linea, ex intiniris punctis, HOC et LICOLIS imtnIte exIGuIS, Consitu. F18. 8F.
dine aequalibus, vel aeque altis; quarum cujusris lonsiendo ret alciendo sV
E (pars intinicelima) lonsicudinis vel alcicndinis corius lnca.
FIOc cA; (ut nos idem explicamus in nostra Arithmetica Intinito
ig. 8.
Fig. 84
Ag. BC
81
Irem, Supeticles Ex intinutis sineis sive rectis sire curris paralletis; hoc estus fje 
Superticieculis (lineis illis interjectis) aeque altis, quarum cujulris alticudo sic in
Finicesima pars cotius alticudinis; aur etiam ex punctis (quibus illae linex intessi
guncur constare) hoc est ex superticisculis aequalibus ee similibus, quarum cujus.
vis magnitudo lit ∞ tocius arca.
Trem; Solidum, ex intinitis numero superticicbus, hoc est Colidutis aeque alrio
sive aeque crastis, quorum cujutris alcicudo rel cractiries sic e torius; vel, lineis
numero intinitis (ex quibus incelliguntur illa Superticies constare) puta ex toy.
dem Prismaris, sicu parallelis, quorum bales (communi plano lectorum ad ca
recto) timiles sint de aequales, quarum magniiudo sic so iltius quo lceaneur plani;
vel etiam, ex punctis (quibus illae linea incelliguncur conltare) hoc est Colicusis
exiguis, aequalibus, quorum singulorum magnicudo incelligatur e torius.
Ouxe quidem Lineolae, Superticieculae, Solidula, _c. rariis modis disposica in-
rellisi solent, prone constructori rideatur expedire. Exempli gratia: Circulus
83. 84.
dicetur, hoc lensu, ex intinitis numero rectis parallelis constare, ad eandem unam F is. 84.
aliquam diametrum ordinatim applicatis; hoc cst, Parallelosrammis aeque alcis:
Vel ex intinitis numero Circumterentiis concentricis; hoc elt, annulis aque crassIs: F18. 83
Vel ex intinicis numero radiis; hoc cst, sectoribus, rel triangulis similibus, ecc. F18. 85.
Et Sphaera similiter, sive ex infinitis numero planis aque craltis; sive ex tocidem
superticiebus Spharieis concentricis; sire ex intinuis numero sectoribus sphaericis,
aur pyramidulis, dec
Dieo tamen, uc plarimum, ica tieri, uc illa parriculae secundum unam lalenr
MI m m m 3
aitiem.

## Folio 646 — 851387705:0666
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000666.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
L-P. I.
quando expedire ridebitur, pro alticudinibus (verbi gracia) aequalibus, poterie
constructor vel Arithmerice proxorcionalibus, vel lecundum aliquam alidus ou
nacam seriem erescentibus vel decrescentibus pri..
Hoc est (secundum Mathematicum rigorem) salcem inseribi porest,
vel circumeribi, vel alias adaptari, ex hrujulmodi particulis con-
Aacum quidu quod ab expoluo differat quantitale intinte exisua, Are
quae data quaris minOr SIE.
il
DOTa; in Circuli Peripheria, ex arcubus numero infinitis, contlabitur curra
 qua peripherix exaete congruat; sed d eidem peripheria inseriti porest ex
subrensis numero intinitis, vel circumseribi ex intinirio numero cangentibus, con-
Flaca linea, qua a peripheria illa deticiar, vel eam suveret, ditterencia quae data
quaris minor lic. Onde factum ettus ut Circulus, pro Polygono regulari laterum
numero intinuorum, haberi loleat. Fc, in aliis curvilineis siilirer
Tiem Circuli Plano, aptari porest, sire ex Annulis, sive ex Sectoribus, Figura
qua circulo accurato consruar: Sed et eidem inscribi porest vel circumteribi
lire ex Parallelogrammis, siro ex limilibus Friangulis tigura, cujus ab exposico
circulo differencia, sic dataminoe. Reque in aliis simiticor.
Acque hanc, de Indivisibilibus, doctrinam (nunc pastim receptam, acque, polt
Carallerium, a celcherrimis Machematicis approbatam) Dro Vererum continua
Figurarum Adseriprione, substicuere ritum est: uebreriorem; nec tamen, minus
demonstracivam, si debica caurione acthibeatur.
tanc incerm detinitionem, uuc Capi V. maxime sublervituram, huic ZV
Capici praetiso, quoniam e hic alicubi utui erir. Or Liguando Cirave, per om-
nia sui puncta, delignem, ecc. nec velim tamen perperam intellectum iri.
Sin Demonstrandum hoc, non Detiniendum, putet gnis; F90 quidem pro ca-
tenus demonstrato habeo quatenus demonstrarione opns lic, ex demonstrata ab aliis
Mechodo Indirisibilium. Hsic urique id agitur, uc detiniam quo sentu relim
hujusmodi quae occurrun incellisenda; quod est Detinicionis opis.
Detinitio Contri Cravitaris, habetur in Capire praecedente.
 atte cetdidn.
dimentionem sint aequales: Deque enim illud necessario exigitur; quin, si id ali-
St duobus punctis, pluribulre in cadem recta, ut morus Are lusti-
neatur: Poteris, circa illam rectam, in veramvis partem rotando
tovert, HOM alaS.
Si cribus (pluributre) non in eadem recta punctis suctineatur: in nul.
laS partes morebitur.
Si Puncto uniCO, uE CentrO MOtS, Sustincatu CFarC (vel ex plu-
aus conjunetis praribus agoregatum:) Docetse nhilominus in
qualris partes, cirea illud rotando moreri; non aas.
.86.)
Fir. 86. TNcelligatur Crare quodris ABF, unico punCtO NI UE CEnErO mOTUIS LuIEMCHL.
Manilestum ell, Planie hoc puncto M, in qualeunque circa hoc moveacur patles,
eandem

## Folio 647 — 851387705:0667
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000667.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
oteli
DeCentro Crravitatis.
eandem polse cotius tiguram rerineri. Ouippe in quodeunque Superticiei Sphia
ricae, centro M descripia, moreatur (rerbi gratia) punctum A; (hoc est, in qual-
cunque partes cirea MI xOtetuT;) nihil impedit, quin ee reliqua puncta, uE B, ita
simul moreantur, ut eandem quam prius incer se posirionem retincant. Puta, v
A, B, SinE in eadem qua prius distancia; sicque AB F idem ansulus, iisdenique ue
prius cruribus comprehensus, ec
Sin duobus punctis, ut X, S, (vel pluribus in eadem recta) auc eriam ipta X 5
recta uE AXC motus sustincatur: Manitestum el, stante recta Z. S, adeoque omni
bus in illa punctis, posse aliud quodris punctum, cirea hanC UE AXCM, VeL PrOE
Tum rel recrortum Deripheriam deleribere, seliquaque limul puncta, ita ut necesse
exir quo eandem incer le policionem recieant moreri; timiles icem peripherias
circa eundem Axem describendo.
Sunique haec duo, vel ita ex Elementis perspieua, vel per se manisesta, ut in
(4, 15, 26, 27, L8, 19, 20, 22, 229 23, dest. +F Euclidis (quae Sphaeram, Conum, de
Cxlincrum spectant) quali pro poltularis supponantur.
Scd dico POrrO; Stance centro monis M non polte, nili cirea hoc rotando
moveri grare: proprer eandem, quam manere lupponimus diltanciam, cujustibee
Tui puncti, cum ab MI puncto, cum a Cui quoris alio. Per def. Centri morus.
Tiem; Scancibus Z, S, punetis; non posle alias quam circa hanc rectam FOtan
do (uE Circa AXem) moveri. Ouippe omnia ejusdem ZS rectae puncta, eodem
Stu manere certum est; (secus enim non possent eandem quam prius ab utroque
distantiam recinere:) Duaeque exrra hane rectam puncta, si aliter moreantur
quam circulos cirea XS axem deleribendo, non rerinebunt eandem ubique cum
ab Z cum ab S distanciam; (quod ex Elementis Sphaericis Facile constabit) Ec
nisi simul ita morcancur omnia (hoc est, nisi totum grave circa Z S axem POtetX)
non eundem inter se situm conserrabunt; (quod supponitur.) Non igitur alias
quam sic rotando morebitur.
venique: Sitribus punctis,, ut ZS A (nedum Pluribus.) non in eadem recta,
sustineatur: Non morebitur. Cum enim, stancibus X5, non posse aliter, quam
rocando circa ZS ue AXem, moreriprare jam oltensum lIC: non posse autem BC
moreri, stante eriam (exera hane rectam) puncto A; (utpore quod cum extra
Axem lit, non a reliquis mori punctis omnibus, nisi e iplum timul moveatur, ean
dem distanciam tecinebic, quod Rocacionis detinicio postistat:) non omnino more.
bitur.
5C 22OF ZV MI.
Ncelligitur Propotucio, de Cirari (seu erarium AgCrexAIO) duro et constante.
cousque saltem constante, uE, ea, quae adhibetur Vi, nec trangatur, nec luxetur
aut incurretur; quin eandem (salrem aequipollentem) rerincat tiguram, omni
umre ipsius parcium inter se policionem respectu corius, urcunque Titum seu potI.
tionem respectu locimutent: Non de Grari Auido seu mollis quod promileue
incurretur, vel tiguram luam muter partiumque incer se polirionem. Quod ec in
aliis Cubinde propolicionibus incellisendum erit.
Puncta vero, ut M, Z, S, _c. quihus sustineri intellisitur grare; adeoque im-
motis illis, moveri; sive sinc in ipso Crari, sire extra, Perinde clt. Sed uceun
que ita cum Crari quod moretur quali connecti incellisenda sunc, tanquam ipsius
puncta etsene; ee eandem cum reliquis cravis punctis policionem rerineane, uicun-
que MOYCatUIT CTaVC.
Puncto autem (uno vel pluribus) sustineri dicetur illud Cirare; quando (re-
tenta sua ad Ciraris parces singulas politione) loco luo minime dimorem incellisatur
punctum ud, seu plura puncta.
Denique; Duod, de Crarium Agoregato (dum ita, uc dictum est, connecti in
cellisantur) tanquam pro uno Crari habendo, hic intinuamus: idem in sequen.
ribus incelligendum eric. (Ouippe d Crarium Axeregatum, Crare CAt.) Quod
emel moneo; ne lingulis idencidem proposinionibus repetere opus LIE.

## Folio 648 — 851387705:0668
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000668.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
DeCentro Cravitatis.
Fix. 87. P Tam, Pance recta ut XS, 3d Horirontem pervendiculari (adeoque iptius
La punctis omnibus eodem hui manencibus;) quodeunque, extrahanc, punctum
noreatur, ut A, BeriBHeriam deleribet, ut A a CIrCa ZS VE AXem (per praeced.)
adeoque in TTorizoncali plano: (Cum enim ZS perpendicularis (F, cum ad pla
num circuti, ipore cujus Axis est; tum ad Florizontem, ex lxpotheli; exit circuli
planuin illud Horironcale; Per L4. F. L. XI.) In quo quidem plano cum nullus sI
Descensus, aut Praeponderatio; nec Aer, ob fravicarem, motus. (per 4, d, 23, Cap.
2.) Cumque de ominibus praris plnctis permde contter, conttar de Gravi 1010;
Quod eral propotitum.
Si recta quaris, ut AXe MOcS, ad FTorironem perpendiculari Pucti-
neatur erare; in nullam partem graritate sua praeponderabit; A
deoque, sibi sic permictum non morebicur.
L
actineri dicecur Crare, si duotnis latcem ipsius punctis Fultineatut
pe sic cora recta eodem sicu recinebirur; ut ad prop. praeced. octentum ett.
LLc
Si Crare recta quaris, ut motus AC, non ad Horixontem perpendi
culari, sustineatur; sitgue in Flalto per Axem Notus incedente con-
sc permictum, non morebitur. umi
Sin extra illud Planum constitutum sit; ad Planum illud, infra motus
DEF ZSMOLS ATem (vel Forironti paraL.
Jelum, vel uccunque oblignum) incedat
Planum Forizonei rectum ZS A, in quo in-
celligatur consticucum Crare. Fric quodcun-
que Graris punctum, vel in ip(O AXC, UEMI;
vel intra, ut B; vel Cupra AXeM, UE A
DepunctoMI, manitestum cst, ItantC Z S,
ipsum Micem Ctarc; urpore quod est in ipsa
recta.
DeB, constat; Cum enim (pex X hujus)
non Doltic B moveri, Ptance Z S, Gu peripheriam rorando describae, ue B N A
ad cujus planum rectus elt X S AAB, Cujus quidem Peripherix punctum intinum
CA iptum B (ver 2O Cap. 2.) Inde non morehitur sponte ua: OUiDDC GTave (DeK
deF. Graritaris) non nili Vescensus erso, graritare lua morebitur.
Idem denique, de A constac: OuipBe Cum nOn pOsTit A moreri (Per L hujus)
nili peripheriam, uE A NB, circq ZS ut axem describendo; cujus (Per 20 C ap
2.) cumi supremum punctum est ixsum A, cum Descensus ucrinque paricer Decliris;
in neutam parcem Feretur. per 8, x7 C ap. 2.
Cumque hoc conller de singulis Craris punctis, sire intra, sre supra, sive in ipsee
AxC; constat de Crari coro, sic consticuto, in neurram parcem praeponderare;
adeoque necmorum iri. Ouod erat propoticum.
Sin extra hoc planum constiturum sic Cirare: iplius puncta Fingula, guxe extra
planum TunC, UE NV; incermedia crunt, in suis respectire peripheriis, incer punctum
supremum, ut A, e intimum ut B (PeF 20 C ap. 2.) Adeoque deortum ad B fere.
tUT, PET 2, 8, Cap. 2. Quod exac ulrimo demonstrandum.
Cicutum, ad FTorizontem recl. (quod Perpendiculare planum per
Aem, dicimus;) in neutram pallem praeponderabit; Adeaque sibi
EC
PROP
LLaeM TCTCCII.

## Folio 649 — 851387705:0669
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000669.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
ex
De Centro Cravitatis
Si circa rectam quamris, ut Axem, (sire ITorizontalem, sire uicusgne
Obliguum) roTetuE Grare; ea ratione ponderant ipus puncta sin-
sula aqualiter grarata (aut illis applicata
sant à Perpendiculal Del eLlatO.
Adeoque: Si inxqualiter grarata; in ratione ex Ponderum (sire Cra:
raminum) ee Diltanciarum racionibus composita.
EEprimum Axis XS, in plano Horiconcali; acque in eodem Horirontali pla. FiB. 50.
Duo puncta quoclibet A, B, F. Onde ducancur ad Axem normales AC, BX, ES:
Fug. 9
Pondera xequalia) qua di
(qux iraque, per det. 4 FI. 3. plano per arem perpendiculari normales sunt
Dunctolum ab eo Plano distantiam menturances.) Cumque, Der L hujus; non
zontem rectorum;) trunt AC, DL, L.5, condem Labra, eica iua respectir
Possine alias A, B, E, puncta, quatis locando terri; (circulorum peripherias Cen-
Eris C, Z, S describendo; et quidem, propeer sicum Axis Hlorizoncalem, ad FTori
Centra C, Z, S, TOTaIK: AdeOque, pet l2, 13, Cap. 3. A, B, F, puncta, in codem
ACy BX, F.S: Tnxqualiter verograrata; in ea quae exhrarum, et Ponderum ra
cionibus componitur. Ouod crac propolicum.
Dcinde; ManENEC AXC XS, in Licu FTOriZ MCa, (quo plana circuIOTUI FOTA
eione tactorum, sint adhuc ad florsLe Lecla. J Cxa Pa LLBLILBIICatC.
plano orizontali posita, aegualicer, caracas ponderane in ratione diltanciarum
118.92
puncta Gravis quorlibet, an B, 2: (sire in eodem, live divertis Planis, perinde. est: 
Onde, ad Planum Horizontale ducantur perpendicutares; puta a A, BB, cF. IH.
celligatur aurem, ver iptum Axem XS, crisi Planum ad FTorizoncem perpendicu.
lare; acque ad hoc perpendiculares rectae, a n, BE, 20; vel his aequales (urpore D~
Hoc est; (per jam demonstraca) in rarione distanciarum A CD A, L. S, Vel 3H
BE, E0, A Puncta sint aequaliter gravata; vel, si inaequalicer, in ratione quae ex ha-
rum e Ponderum rationibus compolcur. Ouod erat propolicum.
Perpendiculares ad idem Planum, a A, BB, EF. Similiter omnino ploceltet de
monstracio, nili quod Circuli rocarione deleripri, qui prius crant ad Forizontem
rectus nunc tranc obliqui; adeoque propter planorum Obliquicarem, minuuntus
Ponderum Momenta. Es autem, proprer cundem omnium axem, eadem cireulo.
rum omnium Obliquicas; Adeoque in eadem ratione minuuntur Ponderum Ho
menta, Per 26 C ap. 2. Quam itaque rationem inter le haberent Momenta Pon-
derum in A, B, F, a B, c in crectis circulis; candem e hric habebune in circulis
vata; vel si inaequalicer, in ratione quae ex harum et Ponderum, rationibus com
rallela paralletis Terminata) AC, BX, F S. OAtendetur (CX PrOB. T8. Cap. 2. ve
23 Cap. 3.) tancundem ponderare eadem pondera, in an By C, atque in A, B, P.
Denique: Sic sicus Axis ad Horizontem uccunque obliquus: Reliquaque, ut
prius, constructa. Nempe, in eodem XS AB F. plano Inclinationis, rectae AC
BX, E.S, Axi ad angulos rectos; in quas scilicet caduni, a punctis an B, E, demista
aequalirer inclinatis (per s cap. T.) Eloc eA (per jam demonstrata) in ratione
diltanciarum a Perpendiculari per Axem Plano, ponderabune, si sint aqualiter gra
ponicus. Duod erac ulcimo demonstrandum
MM 
BrerI

## Folio 650 — 851387705:0670
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000670.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
e Centro Cravitatis.
Breri. Summa Demonstracions lle Fedic. Cu scut t P. O. 12 e 13 Cap. pla.
ced. Ponderacionum Kationes craduntur, in hanc ulerecalem propolitionem con-
Spireneu igualia Pondera circa axes aequatet as ponderare in ratione
distantiarum a plano per Axem Terpendiculari; Et, Tnaquuu proportionaliter:
(Ouacunque lc vol aIs, Velllibra ad Porizoe potu, ce PCeMCLM
Motus cransoae Teitra, are secios stem, Tire linc ad culic  ertas Labras,
lire, in eodem rel direrlis Plasus fbrentur.) Cotal propoluum, de quocunque
Cap. IV
axis licu, non ad Horironem recto; ee de quocunque Punctorum ad Arem licu.
8g0d exac demonstrandum.
axem propentio, leu Conderacio: uc dulum ell, Prop. 2. hujus.
311∞1E E S.  SHC, 1EHIIsiis
GNNOSO Z OZ ZV M as (secE
F Sicu rero Aris ad Horironrem recto, non noit haec Propolicio; (ut negne
 reguencium aliguoc:) OuOnIam, HOC Cat (prOPteL TOCIIOu enculOS HO.
rizonti parallelos) nulla erit cujulris puncti, urcunque gravdem ad motum circa
Si Pervendiculare LTanu Pel Hocus Arem, incedens; lecet Grave in
partes inricem aequiponderantes: (HIoc est; Si Perpendiculare Pla-
num per Axem lic elanum sequilibrii:) Non morebitur, sibi siC
permissum, Grare.
Sin Sesmentorum alterum, religuo praeponderet; (dummodo non
sic Axis motus, ad FTorizontem perpendicularis:) Pa feretur; c-
tenus donec tat Squilibrium. Pt simul uraque aequipollent excestui
praepoltentis.
Adeoque; Non erunt, ejuldem graris (aut Agoresati oravium) duo
Aquilibrii Plana invicem parallela.
non moveri grare.
F Axc mocus ad Florirontem recte, o p, ea L usllo. AeDC,
De Axe motus non ad horizonrem recto; lic demonstratur.
Fis. GL. Si Derpendiculare planum per ZS morus axem, divicat Crare in segmenta A.
B: horum verague (graria cum sinc, de extra perpendiculare planum posita
hac illac Velcentum motientus (per 3 hujus;) Rc quidem uecs Propter rO
rationem circa XS axem, per Fhujus) cum Alcentu contraru; adleoque conera
vonderabunt: Si iraque aequipondetant: contrarii conatus aequales, le muruo susti
nebune; nec Aetmotus. Si alterum praponderet: hoc reliquum luperabit; adeq
que mocus hortum tier, donee Aquilibrio impediatur (Per L2 CaP. L.) Duogue
limul conarus concrarii: aequipollebune excellur pra poAlenS. (per 8 cap. I.
Duxe demonstranda crane
Acque hinc seguirur: (Ouod etram ante demonttratum elt, ad prop. 20. Cap.
Eis. 93
Diacca.) Lo caitus uidem graris (aut aeEczalt Zaru) duo parallela llana
AguilibrI. Lal i LTanum per 2O Lic Clau LMLDCA; hie Paralelu.
mla Del L Lg Uiel. Nam (polis uccclescu au lllea peivendiculal.
bus) si sexmena. XSA, LSB, xequiponderane; seemena YY A, Y FB, non
aequipon.

## Folio 651 — 851387705:0671
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000671.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
De Centro Cravitatis.
aequiponderabunt. Nam XS F Y interseementum, aequiponderantium uni abla
cum, alteri addicum, momenta faciet inaequalia; per 9 cap. T. Salcem, s inter-
Teomentum illud nullum lic (sed quasi vactium; incer duo connexa Graria inter
jectum;) tiec uccunque segmentorum alterum, ut XSB, Lorgius ab Y T quam abs
XS; propius aucem alterum XP A: Adeoque illius momendum augebieur, hujus
minvEtuK (Pex X3 eap. 3.) _ esrueime _. guilibrium, per D cap, P. V. I I1I e13
rucsiliis siess le
irselitirspik Borpil. SiB SC 1ZO, LI L _T M. OuO WL : WWpOSBA
DEana Perpendicularia Parallela, hic axpello (de subinde alias; ubi’eadem
L racio) quando Forixoncales Rectae unius, sunt alcerius Rectis Forixoncalibus,
rallelae. Ouanquam ehim, perpendicularia cum sint Plana, in PerIX, cento d.
coeant; eadem camten ratione (ne lonea periphrati opus lit) Parallela Plapa di-
cencur qua Pespendieula (propres immensam Cengi cerrae aiarviam) pro Pa
ralletis Rectis haberi solent.
14_ iGHE  WP SdHC ABL
boup scitro no P R, OP. ,Y
Si recta quapiam, Ut AXO, non ad Florixontem perpendiculari osu
Rencum Orare, quielcee: Idem Ceare eodem heu constitutum, alia
quaris ejusdem ad Eoriconcem perpendicularis Plani recta sutten.
cum, Paricer quiescet.
ReCtA vero extra hoc Planum, el ano Paralleta (non ad Horirontem
recta) Ruc Axe Lullineatur: non, eo situ constieutum, qmeleetoio
Oca: Si AB GravC, AXC X S (non ad Forizonem recto) Sustentum, qui- F 18. 945
elcet: Perpendiculare Planum per hune incedens, ut Y X S I, grare diri-
met in A, B, Segmenta, inricem aquiponderantia: (Nam (I AlTCTULELI PPX
ponderaret, non quiesceret Grare; Per Praeced.) Sumpta jeicus alia quaris in eo
dem Plano recta, un PP: quum ver hanc incedens Planum YXS F (uc jam
octentum est) secet, Crave in parces in vicene aequipotderances : AVe L L susten.
tum, sc constuutum Grave, guelcer. per praeced.
3111C
Sin alia guaris, excra hOC PIanU recta (qua Platio parulola Tt _ nSH ad
2
eo luu, quielco uipDes Cyquie
ane incellens, porvendicularo Plantmm
Planum Aquilibrii; (nam, nili aequiponderarent legmentas, nOn quielceret; Per
Praced.) Fstque plano priori parallelum; (quod, proprer parallelam plano per
quam incedic rectam, non ad Iorironcem perpendicularem; ec quem lupponi
mus, Perpendiculorum parallelismum; probabitur ex 15 F. I. LI.
Adeoque, duo
eltent parallela Pland siguilibrii. Duod pet pacect. ) fiert Hon Porett.  L ilic
5.11119O D(FC) S
SeSi OCCE SHMHDEDEA
rseresi
e sis luilra sarla R OPs NTT. VG CtrCUP cont. ie : ∞be
Si sequilibrii dre tattineatur Crare; quocynque siu ponprur, sibi
Sic permissum, quiescet.
Et Contra; Si Axe motus sustentum Crare, iqugeunque siti ponatux
quiescet: Axis ille motus, est Axis Aquilibxii.  il m
ete ~As. LIS. DB IDEDCVSI
TAm; Si Aquilibrii AXC sustineatur Crare; quocunque ticu ponatur Crare;
(nempe; quocunque ad Forizontem litu ponat Axis ille; de quodeunque
Planum per hunc motus Axem, consticuatus, ad Hlorizonrem rectum:) Perpendi-
culare Planum per Axem, Planum erit aequilibeu: (per, deL iAxis A quilibuil) A
eoque non morebicur, sibi sic permissum Crare; per S hujus.
Converta similiter patet. Nam, nis motus AxiS ille, sit: Axis Aquilibriis erie
salrem aliquod Planum per hunc incedens, quod Plariem equilibrii non erit
(per det. Axis A quilibrii.) Adeoque, positos hoc Axo non in sicu ad Ioriron-
rem recto; posicoque illo non Aiquilibrii Plano, in, Tiuu perpendiculari; MOro.
bitur GraVC: Per S hujus. Ouod ett contra hypocetM, n e
N AnN 2
eaL
PROL

## Folio 652 — 851387705:0672
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000672.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
De Canoro taatis.
LAOP. VIEI; sit 
Si unico sui puncto sustineatur Grare: quocunque situ ponatur; Fal
tem unum per punctum illud incedens Perpendiculare planum, cA
planum sguilibrii.
Adeoque; Per omne Craris Punetum incedit aliquod sequilibrii
Planum.
1i
u
Fip. 88. C H XASB Geare; pincto sui Mt suctencum; per quod transeat Pespendiculum
 AMB; perque hOc incedat ANBN perpendiculare Planum. Prit hoc
AMBN, vel Planum Aquilibrii (adeoque habetur quod erac probandum;) vel
seomentum alterum, pura AB NS, praeponderabit. Duo catu; Planum A M BH
(cujus Faciem alteram, Dura quae S respicir, Anteriorem dicemus; alteram. Poste.
riorem;) incelligatur, immoto Crrari, imaginatione converti cirea AMB axem;
donec eo perreniatur ut quae utrinque lune segmenta Craris Aguiponderent. FIOC
enim omnino fore certum est: Oippe, lacta lemi convertione, quod erat ab an-
ceriore converti. Plani facie, a Polteriore relinquetur, scementum Craris prxepon
derans; et contra: Cunque a prxpondergnria antica ad polticam sic concinuo
Ocu pervencum (ic, Co momenio quo ab hiac ad. illam cransibatur, neucca exac:
sed aequiponderantia. Ouodque cum converso Plano, hoc liu potuo, coincidit
in
Onde e contlat Corollarium. Ouipee quovis ui pisncto sustencum inteltisi
Postie GCarB. ((1. H3113ISCLO) Ldi Od 
19 seris
(11 1
e set et (sidoe
Si unico sui puncto sustircatur Crare: Per illud incedens Perpen
diculare Planum squilibrii, manebie Horiconi rectum.
Tdeoque; vel quielcet grare; (nempe si perpendiculum per centrum
mocus, seu punctum illud quo sustinetur erare, sit Pervendiculum
Rquilibrii iltius Plani sc grarati.)istis ri
Vel (R perpendiculum illud non sie Perpendiculum Rquilibrir icrius
Plani) rocabitur circa Horizontalem Axem, Plano illi rectum, per
centrum mocus scu punctum illud quo sustinetur Crare rranteun-
tem; donec, ad seguilibrium redigatur.
Sin Planum aliquod Perpendiculare, non sic Planum Aquilibrii: See
mentum prxxonderans descendet (adeoque obliquabitur Planum;)
donec ad Aquilibrium redisatur.
Onde; Si duo quaeris per idem punctum plana perpendicularia sint
Plana sequilibrii: etiam reliqua sic erunt; exirgue perpendiculum
per illud Punetum, Axis squilibrii.
.133I S isi
Ex vunctum M, quo, sultineri incellixatur Craves cranleac cum X S recta
torisoncalis, quae pro onusta Labra habeatur; tum huie ad angulos rectos
AMB N Perpendiculare planum per AXem, Crare dirimens in duo legmen-
a AMBX, A MBS; quibus respectire onerantur M X, M S, librae brachia.
DeF X3 Cap. 3.
Cumque (Per PXced. J ex Perpendicularibus per M planis, Calcem unum ali-
mod sic Planum Aquilibrii. Inccllisaeur, primo, illud AMB N planum Aqui-
librii; adeoque (per deF. Blani A. quilibrii) AMBX, AMBS, segmenra inricem
Aquiponderantia. Perie ixime MI (per def. F3. Cap. 3.) centrum A quilibrii 000
cum (ex hypochetr) Pultincatur Libra, in neucram partem movebitur, per y vel
20. Cap. 3. Adeoque nec obliquabier A M BN, sed manebic (uE prIuS) FlOri
zonei rectum. Quod crat primo demonstrandum.
Adeoque; rel non moreblur crare, rel circa manentem _M Sasem rorabie,
pex
F18. 88.
ol
F. C11F

## Folio 653 — 851387705:0673
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000673.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
PrOV. L.
De Centro Cravitatis.
Der  hujus. Illud quidem; Si AM B sic Perpendiculum A. quilibrii ictius plavii Bjo. 88.
AMBN sic grarari, (sire AM SBZ perpendiculare planum A. quilibrii pet
axem Z5;) HOC, Si secus (puca si seomenrum alterum, uc AM B N praeponde.
Tet;) per s hujus. Oux itidem erant demonltranda.
Sin A MB N perpendiculare planum aliquod per NI, non sic planum Aqui-
librii; hoc est, s segmencum alterum prapondereis puta AMBS, quo scavatur
MS Brachium: Descendec hoc (adeoque obliquabitur AM B N planum) doncc
ad Aequilibrium redixacur, (xes 5 hujus, vel. 5. Cap. 3.) Quod erat irem demon.
Strandum.
Si ilaque duo Plana per idem M punctum Perpendicularia, ut AMBN,
AMSBZ, HAE veraque Aquilibrii Plana, eriam reliqua per illud punctum per-
vendicularia plana erunc icena platia A quilibrii (adleoque A MB, aris A quilibrii.)
Cum enim propcer Aquilibrii Planum AML B N, non moreau grare nisi rocando
circa illius plani axem; ec simili de caula, non nisi circa atent plani AMSBX;
qui quidem Axes, cum suis respectire planis perpendiculares elte debeanes nOn
erunt eadem recta;) non omnino morebitur grare (propier tria, Caltem, non in
eadem recta, puncta permanenria) per x hujus. Sed (per praecedens membrum
hujus) si quod sc ex perpendicularibus planum, quod non sic planum Aquili-
brius moreudum elter corave; Nullum ixicur est. Quod utimo erac dertion.
Arandum.
R
Si Perpendiculum per Centrum motus, sit Axis sequilibru; libi per-
mistum Crare, non morebitur.
Rectaque illa, qua si sic Perpendiculum per Centrum mOtus, Crare
non morebitur; est Aris sEquilibrii
Om enim (per det. Axis Aquilibrii) quodris per illum transiens Planum,
sic Planum sF quilibrii: Si Axis A quilibrii Ti in Perpendiculo per Cencrum
motus; quodvis per centrum motus incedens Perpendiculare Planum, est Planum
Aquilibrii. Adeoque sponre Lua non morebicur sic SustentuIm GTaVC; DeT
Praeced.
EF COnVerCA Cimiliter PaceL. Nam nili Perpendiculum Dex Centrum motus,
sic Axis sguilibrii; aliquod salrem per illud incedens planum, non erit, Pla-
num squilibrii (per det. Axis Aquilibrii:) Adeoque CarS MOrCbiTuT;, (Det
praeced.) Muod est concra Hypochetin.
R
In quoris Aquilibrii Plano, per quodris ipsius Punctum, incecit Ario
aliquis sequilibrii u
Adeoque per omne Craris punctum incedit aliquis Axis 
Xpoticum Aquilibrii Planum, ut A Mt BN, incelligatur in seu ad FOriTON. FiB. 80.
cem recto constimum. Ejusque puticto quoris, ut M, sultineatur Crare.
Ouod icaque (per 9 hujus) non nis rocando circa Axem plano illi rectum, ut
ZMS, morebitur. Ex Perpendiculum per CentrUM MOTUS, ut AB, erit vet
perpendiculum A quilibrii iltius Plani sic Gravati: Vel, Catemuis Cirea X MS FOra-
bitur erare, donec hoc continsat; e sic policum, libi permiltum crare quiescet
per eandem o hujus. Eaque Graris recta, quae, sic quiescente Crari, in AMB
perpendiculo per M cranseunce jacebit, est Axis Aquilibrii. per ptaced.
Corollarium conttat: Cum (per 8 hujuls) per quodris Punctuim eanseat Pla.
tultatid  A at. titoL Lto
NAMM.

## Folio 654 — 851387705:0674
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000674.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Cravit.
in
D. IV
quiponderantes.
Sirero, polito Crari in e uu ulletiss lolmi intelligatur in gravi
rinculum, illudque alio jam cui vuneto suttiveri; Sicgue hoc aliud
punctum in eodem quo prius Are Rguilibriis quielcet adhuc AC
licum Crares
Sin extra illum sequilibeii Axem sx hoc aliue Punetum: non, eo scus
quiescet.
Adeoque: Non erum, ejuldem Craris, duo Aguilibris Axes inricem
Daralleli.
Puncto F libere depenacns puncio lui Z, MMLIHCatuT AZB grave. Non
Fis. 5. La erius inquam, quieleet, quam iptum X punctum sic in P’ X perpendicuto:
3S. LEd CatSCOHI
Situsis sL estsit
rssi
es nslisoi je
nC idet s
itat 3t  ss
LBICNIL sICE
quod et, ibi positim, contistet. Cum enim unico Z puncto sustineatur Crave
(gnod iaque punctum EOEIUS Onere DrATaTIE, per T8 Cap. 2.) S extra perpendi-
cutum h eo fererur: ibique constiucum, confiltet  punctum lic gravatum. Per
3E C aP. 2.
Sin, Potico Z puncto in perpendiculo FZ, per quod incedat Planum aliquod
Perpendiculare, dirimens expositum Crrare in A, B, duo segmenta inxqualiter Pon-
derantia: nondum quiescet Grare. per ohujusi
Si vero ita constimnum sic, ur, Planorum perpendicularium per F X incedenti
um, nullum non diridat grare in partes invicem s quiponderantes; FIoc clt, A
eerpendiculum illud sic Axis sijuilibrii: non morebitur AC appensum CTare.
Der _ hujus.
et st
Dico porro; Si (polico Gravi in hoc Ratu quieris) soluro vinculo in X alio
ejusdem perpendiculi pulicto ut C, sustincatur Grare; Ouielcet achuc in eodem
licu positum. Cum enim, ex constructione, idem sic perpendiculum FX et
e F C; sique F Z Axis Aquilibrii; erir et P Ci Axis Aquilibri. Adeoque (per
20 hujus) quiescet Grare
Sip alio, extra hanc rectam puncto dt P, sustineatur; puca perpendiculo C. Y
priori paralselo; lalcem nonnis in Centro Ferrx occurrence, quod pro parallelo
jam habemuis;) non eo licu quielcet. Incellisacur enim planum quodris Perpen-
diculare (aliud quam CV XF) ver C V incedens, Crrare dirimens in leomenta
CTA, YFB; et tiuie plago parallelum, per PX incedens, Grave dirimens in
Scementa ZSA, ZSB. Cumque SC ex hypochesi, illud per P X ( Ae quilibrii
Arem) Planum Aquilibrii; non eric huic parallelum per C Y, Planum Aiqui-
librii (per s hujus:) Adeoqne nec GZ, Axis Aquilibrii; (per det. AXis A-
quiliburi: ) Nec hujo, in perpendiculo manentis, uno puncto sustencum, crave
quielcetus
Si a puncto fixo libere acpendens Ctare, eotas pusicio u Centre
rsimocus suctineatur: Non prius quiescet quam illud Cui panecu s
 in eodem perpendicule euum puncto o Pranumque quodris per
illud perpendicutum aclo stare ca  patces raet d
In eo vero situ constitutm (nempe, cum Perpeluculum appen-
Gonis, eA Axis Aquilibrii,) Absic permulum, Guael.
F).

## Folio 655 — 851387705:0675
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000675.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
 mro Crravitatis.
quielcet, per 20 hujus. Non isir alio, exira hunc L LS Agulibrii NSeM
uneto Lultentum; eodem seu constitutum quiescet. Nec exic alius ALISCX qui
libeii expolico FS parallolus. Duae demonstranda exaub.
PrOP.XIV.
BR aB XFIL
Si CCnErO OFaVICatIS sustineatur CrarC; quocunque truponatur, sb
sic permictum, non morobitur. qSN PesC C
Punctum quo illud, quo si suctincacur, Cirare nom moreC, CsS
sicu posicum; est Cenerum Craritatis.
iscilisspX eIIXIESD CVIG sIS 
LSSiHE CICESEEES E L 1BG CIOCMIL OispaUSI
att al
Om eniis (per dess Concri Graritaris) guaeris peri hImia anelis, aecta, si
Aris Aquilibrii: Si lui Ceniro Graritacis Suctincane LaVC, Quocunque s
cu ponatur, perpendientu per Cemrum illud morus, eric Axis A guasibPI. Adco
que non morebieur G0 Fultencum Grares. per T0 hujus.
EEConrerla Similiver paveEs SNamsnitibEunctum iIId quo, VE CCntrO MOTIS
Sustinctur, lic Centrum Grariracis; aliqua Calcem per illud incedens recta, HOHCB
Axis Aquilibrii (per dets Cemni Craviraris.) Adcoque polica hoc recta cad HO-
tizoncem perpendiculari, non quielcet unico illo puncto sustencum Crave. Per
Z0 hujus. Ouod conera hspochotiminus
11 3 S 13C] 31
IbquPR O..  XIV.
AGLLBSEISI
In Aguilibrii Axe quoris; est Centrum Graritatis.
Aisq uc Libra considerati, Cencrum sEguilibri.
Nempe; illius
Um Higquilibrii ARCI, ublZ8, Tistentum Gcare, quocunque Sicu poticum , F18. 96.
LGieset (ver HiMsJ AdeoguE eotu Craris onu ustineaM visiillo ((pC
+8 Cap. 2. vel 2, 4, 18, Cap1 13.3) Inteslisacur XS recta, sic vnucta, lecundum L si
brae lonsicudinem applicari; vel ipta etiam, pro Libra censeacur. Flujusquo the
onulta PHbTa, GuaTAEE (P et 20 Cap. 33) ecnen quilibriis Ouod siv C.. DDico
C Cenerum Gravicacis eles corius Crarisi ssos sils (sn soe aidil carre
Cum enim idem C pinettm, in quocunque Graris sic, Gr Ilius (SrenAais sire
Libra) XS, Cenerum Aquilibrii; (quod lacim xtem onforabituv:) Manence
puncto C, non orebicur XB recta. per 7 Cap. 3.). Si iiaque Opuueto, ut CtenrO
NOcuS, SustineatuF (Crare: Neque cirea manemetm rectam LD Lurporel quae, el
Aris Aquitibeii drocabicur; Neque (proprer C, oenrum hici quilibxii) morebitur
Axis ille: (quae sair oltensa lunE:) Neque poielt alius moreri Grare; (pen r hu-
jus.) Adeoque, puncto C. sustentum; sponce lua non morebicur, quocunqué sieu
conllicutum Crare. Eltque propterea, Punctum C, Cenirum Gravicatis; (per
Dcaeced. ) Ouod erat demonstrandum.
Ouod gucem idem C. punctum, si ejuldem axis A quilibrii _L. S, Genrum Ai.
quilibriis quoeinque sn consticuatur Grare: Sio oltenditun l.
Sit primum, ita urcunque constinuum Crare, ut expotuus aquilibrii AXis Z5,
sic in sicu Forrroncali consticucus. Per ipsius, ue onultae librz, Cencrum AEqui
librii C, Transeat AXIS LibrX; qui icaque ae dibram X S normalis erie; dt quidem
in sieu Florizoncali; (cum enim incellisaeur XS libra unico sui puncto C ut oen
ero mocus, sultineri, aderque ad nullam axis policionem aliter quam gravitace sua
determinari, librabitur in plano ad Florizontem recto, urpore omnium maninia de
eliri; adeoque circa axem Florixontalem; ut in Scholio PFOP. (2. Cap, 3. dictum
est:) atque per hunc arem perpendiculare Planum A C B ; quod iique (1prOpHI
Ccentrum aequilibrii ex constructione) estaequilitrrii Planum perpendioulare per
arem mOcus, grare dirimens in duo segmenta AB X, ABS, invicem aquiponde
rantia. Atque hoc eo usque saltem permanebit, urcunque MOVCaVE BraVC, duN
idem gravis planum X AS Florizomale manear (puta, Vel rOraLO vecunque circa
Perpendiculum pec C. Gravis vel exiam altius tumiliutve ete vaco aur cleprotto.

## Folio 656 — 851387705:0676
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000676.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
aD.
TCVLIED Scsse
recto; Incellisaur Z. BIdibra alceuse a Lorkonem inelimari: Dieo eciamnum
tull Ne aurem potrerSolidi in Plano re
. Praelehrationem; Anearum mulcicudo ducen-
Orfits. 47). sn Telarun, turbet, phamatiam: ca projectione
cslsintrura vcorsiquae oculum supponie in ipsc
isaxe porCuransounce, acque in diltan
intinira. t Propterea, cum axis ille in
unicum C punctum projieirur; cum. Rectae
quaeris hunc parallela, in condem respecti
se puncta: Planaque per axem omnia, in
cocidem rectas; in iplo Z A CBS per li-
bram Plano perpendiculari. Oux quidem
Projectio, uc Phantatiam jurat, ita nec Ra-
itiones percurbac: Ovonam (pert cal. a
Prop. +q. cap. Z. ) qerinde omnino ponderai
(respectu C axis) quocunque ejusdem rectae
e tssilos essee ASOP OreRO n (Duta per D cranteuncis) ari parallelae
puncto incelligatur grave. cK adem urique est. singulorum, ejusdem, punctorum ab
AOB perpendiculari per axem Plano diltantia, aique ipsius D ab AC B perpen.
diculo. LCI
11155.3IT195
Incelligatur ilaque, surcunque cirea. C roraco Crari,  C. S Libra (ee simul Pla-
num librae per axem) ex liu Hlorizontali in licum = C Z, uccunque ad FTorizontem
inelinatum delata: Cui respondear, in eodem Perpendiculari plano, in licu FTori-
rontalis XCS; hujusque punctis D, E, F, _c. puncta illius d, e, f, ecc Intelli-
Bacur aurem Cirare corum, ex partibus (aqualibus an inaequalibus, pluribus an
paucioribus, adeoque numero tinicis an infinitis, perinde elt) puta tribus L, M
e constare, (ae quidem, vel in spis pespendicularis plani punctis L, M, N
vel in L, M, N, rectis, axi parallelis; urcunque posicis, dummodo Lic, ZC. S axis
requiliberi; ) ad librae puncta, in sicu horizontali potIX, D, L, F, applicatis; u
quae (per 4 caD. 3. _ cal. 4. prOD. 24. ejusdem) limiliter ponderent ac s in iplis
O, E F, punctis incelliganeur. Delata vero libra ZC.S, in =CZ; delata simul
erunt (proprer rocarionem torius graris) D, F, F, L, M, N, puncta ponderaque
in d, e, F, m, n. Eric, inguam, adhue ACB perpendiculare planum aequilibrii
Per axetl; adeoque Ccenrrum aequititrii.
Nam, cranctaris D, C, P, punctis, in ae, f, minuentur quidem horum (proplet
obliquationem librae) Donderationes, (Per r3. Cap. 3.) Sed in eadem ratione
minuentur; adeoque, quod prius erac aequilibrium etiamnum manebic (per cat. F.
prop. 24. Cap. 3.) si ad eadem quae prius libra puncta D, B, F, Hoc CA d, e, f
applicata maneant pondera L, BL, D, hoc est B, m, n.
libra murentur applicationum puncta, Duta, CX d, C, F, In. 8, E, 9; adeoque mu-
cecur ponderationum ravio; (per cal. 3. PrOP. 14. Cap. 3.) Ponderum l, m, qua
supra libram fixa incellisuntur, ponderationibus sinistrortum auterendum aliquid:
addendum rero ponderacioni similtrorsum ponderis n intra libram tixi; (nemper
prout in prasenci lchemace ponuntur; ee limilicer, mucacis mutandis, in quacun-
que sire obliquationis tibix, sire ponderum ad obliquacam liboram potitione.) Suut
aurem
De Centro Cravitatis.
Per 23 Cap. 3. Ouippe eadem adhuc manebir omnium cum ad Horiconcem inelina
io, etum ab AC. B. perpendiculari per axem plano diltancia.
E18. 97.
quocIbet planorum, per Z CS cranlcuncium, perpendiculare tat:) Dico, cciam
num idem ACB planum, planum elle aequilibrii; adeoque C, ut prius, aequilibrii
Centrum. Cum enim omnia urtiulque segmenci puncta, in planis ipsi AC B p2-
rallelis rorencur; Manebunt achue in eadem qua prius, ab AC. B, perpendiculari
per adem motus, distanua: Adcogue u Cadem qua prius ratione ponderabune;
Der 4 hujus, vel 13 Cap. 3. Cum itaque prius, relpectu ACB plani aequiponde
C, uc prius Centrum aequilibrii.
idem C punctum, esse lituaes al Sicenirum A quilibriisi id
Fis. 96. Deinde; Manente uE prius, XS ase uccunque in siu Horiconcali: incelligatcur
e
utcunque circa illum rotari Grare, in quemeunque situm adarem (nempe ut
rabaHE TEEIMenIA NB Xs ABS; oramnum aequiponderatum.  Lrirque propterea
Oenique; Ouocunque Planorum per ZS cranscuntium, manente ad Hlorizontem
213C
21t
Destt
Cum aurem; pro ponderum l, m, n, intra suprave libram fira policione; mora

## Folio 657 — 851387705:0677
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000677.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
PrOD. XIV.
De Centro Cravitatis.
aurem Addenda illa vel Auterenda (per 27 Cap. 3.) in ea ratione qux componL. L IB. 3
tur ex ratione Ponderum Bm, n; _ ratione rectarum as, ec, f8, hoc est (proV.
cer Timilia eriangula las, mec, nfe) rectarum ah, em, fn: Adeoque in ea ra-
rione qua ponderarent eadem Pondera circa axem = C Z. libranda; per 13 Cap. 3
Adeoque (per T2 FI. 5.) in eadem ratione est summa Auterendorum pondera
cionibus Bm; ad Addendum Ponderationi n (vel summam addendorum, si plura
elenE;) qua estet ponderum l, m, circa axem = C Z ponderatio; ad ponderatio.
nes ponderisn, circa eundem axem. Adeoque cum sint Ponderationes lx (prop
ter ZCS vel = C Z axem Aquilibrii ex hrpocheli) inricem aequales; criam Ad
denda Auterendis sunt aqualia: 2deoque perinde simul valene, acque A nihil vel
adderetur rel auterretuT, per B CaP. P. (Quodque de Auterendis Addenditre pon-
derationi linistrortum dictum ett, perinde elt acque S de Addendis Auterendisre
ponderationi dexirortum diceretur: quippe idem ralet, plus ad dextram, acque,
minus ad sinistram.) Cum itaque; applicaris ponderibus l, m, n, ad puncta d, e, 
ENet AC. B planum Aquilibrii per axem, ur supra oltentum elt, (adeoque simul
omnium ponderatio, nulli in urramris partem aequipolleret;) et C centrum Aqui-
librii: Fxic similiter, idem C, cencrum aequitibrii; ponderibus ut nune applicatis
ad puncta d, c, 8
ER isicur idem C punctum, aequilibrii Centrum, axis aequilibrii ZC5, quo.
cunque sic constituatur crrare. Quod demonstrandum lulcepimus.
SCTTOF TV M.
Kempli gratia. Si incelligantur Bon
dera L. = +P. M = 3P. N = 3I
Diltancia vero CD = + 6D. CF = f 1D
CF = - 3D. Erit Ponderum ad librx
XCS puncta D, E, F, applicatorum pon.
derario respectu axis C; ut P x + 6D
+6a C  3dC = daC =6e+
F6DP. 3Px + D = F 3DP. 3Px - 3D = =9DP. Adeoque simul omnium
ut F6DP. F 3DP =9DP = ZODP. (arque hoc, ex constructione; poni-
cur enim C, cencrum A quilibrii.)
Et similiter (diminuris in eadem ratione omnium ponderationibus, propter ob
liquationem librae, puta in ratione d ad D) corundem ponderum ad librx =C Z
puncta a en f, applicandorum ponderaciones, erunt uc + 6a P F 3a l = 9 a l=
FOaP.
Forundem vero Ponderum a Plano
per Axem XCS vel =CZ. dictantia;
Duta rectae DL, E. M, F N; vel ab em
Fn; linc ut + 6D, = 3D, = 5D; EF
P
3P
3F
+6D + 3D = 5D
+6DP FODF = I5DP = LODP
tis proporrionales (puca in ratione s’ad +6s P f 9s P = 25 8P = +OS P
D) ad, ec fe; ut + 6d, +
Adeoque corundem Ponderationes ad axem Z CS, vel = C Z; uc f 6DP L ODF
=F5DP = F ODP: (Idque, ex hypochesi; supponitr enim Z C. S, axis aequi-
librii.)
Acque (his proporcionales) ponderationes auterendae f 6s P F 9S P = 15 SP =
+05P
Flis icaqpue rice subductis (addicitre respectire) a ponderationibus prius poticis,
tanquam in d e, f, punctis; prodibit AEquilibrium, sive =Od P ZOSP:
DC
Verbi gratia; Si ponamus d ad s, ut 3 ad F; vel, ut F ad 3; L. X - F 6d P L 3 dF
0aP, Tubductis F6dF F 6sP = 25SP
manebun L 4 qP + oa = 4a l = F0aF
St ponamus d ad s, ut 3 ad 2, vel, ut L
ad Z. LX f 6aP = 3 a L - 3 a l, lubductis
F65P = 9s P = 25sP, ABC estus + 4d
ponaetabat prius vel linultrorium: Lola l1.
bra, vel in neutram parcem, rel in opposi.
hoc  + 2aP + 3dP- 5de:
+ 6a P + 3aP  9aP = =0dP
= 2aP = Za L caP = Z0dP
+ 4aP = 0dP - + aP = +0aF
+6dP + 3 aP = 3aF
4aF - 6gD L 1OdF
F2aP - 3 aP + + aP = + 0dP
cum ponderet: non tamen dettruicur, tumul omnium aequilibrium.
PtCt.
D
L
sDP F 3DD = gDP = =ODP
+6aP = 20 a P; manebuat + 24 P - 3 at
+ TaP = +0dF
Adeoque; Veur ea Porrio quae dextroctuu

## Folio 658 — 851387705:0678
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000678.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
utro Ciravitatis.
L e20 22
Cusasque Craris, Centrun Craricatis unicum eAt: Idque cum ut om-
num Arium AguIOTU; cum in Planorum squilibrii omnium
EAque omne per illud transiens Planum, Planum squilibrii; omnis-
que recta cransiens, Aquilibrit Axis.
THcellisacur AB Grare, puncto sui X Tustenm, ex F
puncto tixo libere dependens, in sicu quieris posicum;
HIoC elG ita dependens uE F ZS perpendientiim, sic AXis
A quilibrii; (Der (2 hujus.) In quo itaque perpendi
culo (per Praeced.) est Centrum Graricacis; AlIO autem
extra hoc perpendiculum, puncto fultentum Cirare, non,
in eo licu, quielcet; (per candem +2 hujus;) Adeoque
extra hoc perpendiculum, non est Cencrum Ciravitaris:
Nam liquod ellet, eo tultencum Cirare, criamnum in illo
Tiru quielceret, per L3 hujus.
Intelligatur deinde, Toluro vinculo in Z, alio lui exrra rectam PZS continua-
cam puncto ut Z Tultentum, ex puncto tixo ut C libere dependens, guiescere
Adeoque (per ZZ hujus) in cum sirum redisi pravicace sua, uc Axis A quilibru
per L cransiens, (est urique aliquis, per FX hujus,) sic in C X perpendiculo, puta
CX P. Octendetur, ut prius, cum in CX P (intinita recta) centrum Grarica-
tis elle; tum, extra hanc non elte.
Cum itaque oltentum sicu tum in rectarum (intinitarum) XS, Y F, utraque
tum, non extra ucramris, esse Centrum Graritaris; cumque illae non nis in uno
intersectionis puncto, ut C, communicent: unicunt erit Centrum Cravitatis, C.
EsF autem in AEguilibrii omni sire AXC sre Plano (per ZY _ T4 hujus) cen-
trum aliquod craricacis: Cum iiaque unicum esle, jamr oltentum lc; erie hoc
unum in omnium concur(u.
Duodque omnis per illud trantiens recta lic Axis Rquilibrii, omneque Planum
per illud crantiens, sequilibrii Planum: ex detinicionibus conttat.
SCHOLTV M
Emonttrarimus ilaque (_ credo, omnium primi) quod Postulare solent
alii; cum Dari, in quoris crari, centrum, aliquod Craricaris, cum illud
Unicum esse.
L AC D P. XVL.
Manente, in eadem a Ferrae Centro alticudine, Centro Cravitatis:
neque Descendere censendum est Crare, neque ACcendere.
Pantundem vero vel Ascendere vel Descendere censendum est Crare,
quantum Ascendit, vel Descendit Centrum Craricatis.
Adeoque (quoniam hoc in aliis Craris moribus perinde obtinet) per-
inde Ponderando ralet Crare urcunque sicum, atque l in illo puncto
torum esse incelligeretur, ubi est iplius Centrum Craritatis.
Fig. 90, Y) Emonstratur eodem modo, mucacis mucandis, age, B Et 9 Cap. 3.
Nam, IMMOTO C CENErO GraVICAEIS; VECUnquE rOTEtuT Crave, (neque enim
alicer, quam rorando moreri porest, per LhujuS) Puca ut iplus recta ACB in
licum a C B deveniat: Ouoniam in gnocunque lini adeoque in toro proxrestu
oppotica sesmenta, plano quovis ad llorizoncem recto nc PD divisa, invicem
aequiponderant; (Per deF. Cencri Cravitaris; ) FAque ( propter rotationem) unius
Descentus cum oppol Ascentu neceltario conjunctus; turic ascentus Descentui
aequi
Concursu.
10O.

## Folio 659 — 851387705:0679
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000679.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
PfOP. XVI.
De Centro Cravitatis.
aequipollens (nam sicubi alter praepollet, ea praeponderabitur
Per 7 Cap. 2.) Ad
eoque nuII vel accentiis rel Delcensui simul A quipollent. P ex 8. C ap. L.
9100
Item; moto Centro Ci in n, nec alcendendo tamen rel delcendendo, Lea I Cadem Fig. 99.
a Terrae Cenero altitudine; licque ibidem ACB recta, in situm a n B transtata
Acque hujus similis ad horizontem licus intellisatur, in a C. B. Manitestum est,
Proptes xque alia puncta Cy n; rectasque C B, n B, aequales ee similiter POsTaS;)
Duncta B, B, urrobique xque alta este. Idemque de reliquis respectire punctis li
milicer oltendetur. Adeoquetorum Crare in Ciu an B, aeque alcum et d tCPIX
CCnEO, acque in sIt a C. B; hoc est (per jam demonstrata) aque alcum acque in
TI AC B. Adeoque nec Alcendisle nec Descendille censendum exit.
Sin aleius humiliutre sic punctum n quam C; acque similiter ad horizontem
lira incelligatur eadem recta in a C B, atque in an B: Ostendetur (prOPIeF aqua-
les rectas limiliter positas) tanto alriora esse vel humiliora sinsula reCX a n B
puncta, quam puncta rectae aC e: quanto est iplum n, quam C: Adeoque (cum
dereliquis punctis eadem Lic ratio) tanco altius humiliusve Crare in a.X B, quam
in a C B; Hoc eH, (per anre demonstrata,) quam in ACB. Adeoque tancundem
vel Ascendisse vel Belcendilte centendum erie crare, quantum Ascenderit, vel
DeFcenderit centrum CraritatiS; Per 3 Cap. 2. Oux demonstranda CranE.
Cum isitur, per 4 Cap. 2. in ea ratione ponderat idem Crrare qua, Limoreatur
plus rel Ascenturum sic rel Descenturum: cancundem ponderando ralere centen-
dum exit; acque si ibidem corum estet crare, ubi ipsius elt Cemirum Crraricaris.
5C1OZ ZVM.
Dex igitur, in praecedentibus, ostensa funt, de Punctis Applicarionum, corumre
La Cenero vel aliunde distanciis; de Crrarium item loco, et moribus varie de
cliribus; execeraque iltiusmodi: Forum Ceneris Ciravicatis accommodanda crunE.
Duippe tocum Crare, hujus ope, in unico illo puncto vircualicer licum incellisa-
tur, in quo est iplius Cenerum Craritaris. Ouodque de incegris graribus jam di-
incellirendum ett; Ouippe ec txe Parriculae sime roridem Gravia: Sieur et Grarium
Recregacum, pro uno Cirari habendum; cujus est et unieum commune Cenrrum
Crraritaris.
Ouxe igitur (per torum Capur L auc alibi) de Grari, tanquam in uno Puncto
exiltenre; aue ad Punctum unum Applicato, eire vel subicto, vel supereminence,
ecc. dicta Tunc: De Cenero Cravitatis commode exponuntur omnia. (Ouod de
obiter intinuarum est, in Scholio PrOD. 3. CaP. 2.) Duippe tancundem ponde-
rando ralet Grare, utcunque politum, acque h in eo puncto torum incelsieeretur,
ubi est Cencrum Craritatis: auc etiam, Crarium quortibet ACGreBatuM, UICUn-
que policorum, acque si in communi simul omnium Centro Gravicatis el(enE.
100.
Acque hinc eriam ampliandum jam erit, et aliquarenus relarandum, quod in PIB
Scholio PrOD. P. hujus detinirimus: Nempe, quod lingula torins Graris, vel AGBTCBaLI LOF,
O0002
BraVIUI, 102.

## Folio 660 — 851387705:0680
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000680.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
DeCentro Cravitatis.
staritum puncta, incellivenda line in eodem ad invicem siul permanere. OuivDe
mota necunque Crabis parte aliqua, vel aliguoE parcibus, Ila Tamen ut earum vel
lingularum vel limul omnium Centrum Craritaris maneat uc prius litum; perinde
est, ponderationem quod spectatu atque si omnino permantistent in eodem licu pun-
cta lingula. Adeoque, quod hactenus demonttracum est, supponendo singula 10.
cius puncta licum situm ad invicem (acque ad motus centrum vel aXCM) recinere:
Posthac pro demonttraco habehitur, si saltem partium C’ entra grarIratis, maneant
ne prius lica; aut eriam commune omnium Centrum Graritaris limiliter adt mOEuS
Centrum vel Axem Ctum. Puta, Si AC B Grare, (moris urcunque parcibus, ma-
nencibus partium centris graritaris, in licum a CB perreniat; perinde ommino pon-
derabit. Similiter; Rutomari roris quorliber urcungue circa lUa CenEra mOTIS, ma-
nence communi corius cencro graricaris in eodem (rel aequipollente) situ, Manet
eadem corius Ponderatio.
P RO P. XV
Si Centrum Craricatis sit in eodem ad terrae Centrum Perpendiculo
cum Centro motus: sibi permictum Grare non morebitur.
Sin extra Perpendiculum constituatur; ad Perpendiculum, intra Cen-
trum motus, fereeur: Idque (nihi alias impeditum) in Plano per
centrum MTocus, centrum Craritaris, et Contrum Terra transcunte.
Ouodque de Perpendieulo dictum ett, Perpenellenti Succedaneo ac
commodabitur in oblique decliri Plano.
Fis. 103 C Eguic ex 20 Cap. 3. Nam Centrum Cravicatis, Talcem Aguilibrii Centrum
DMt; (per eorum detiniciones:) Nempe, s recta quaevis per Cinrum Gravica
eis, pro Libra cenleatur.
Vel (hc ea) sic oltenditur,
elt crssoune sii
Pata; Si Centrum Ctravicatis SIL in M ceniro motus; hoc manence, non descen-
det Crare; per praeced. Adeoque a Graritate non movebitur.
Si sic in perpendiculo intra centrum mOtIS, ut in P: Cenirum Craricatis, C2-
deoque e Cocare, per praeced.) jam est in situ roracionisintimo, (per 20 C ap. 2.
Adeoquenon, ob craricarem, morebitut.
Si lit in Perpehdiculo supra centrum motus, uc S; adeoque in puncto supre.
mo; (per 20 Cap. 2.) In qualcunque partes rocetur, aequaliter descenturum elt,
(Propiet aequalem quaquavertum decliritacem,) cum Oentrum Craricaris, cum
(per Praced.) iptum Crare. Adeoque (per 8 C ap. 2.) non morebitur.
Sin extra perpendiculum sE, ue in Cc: deortum ad P Feretur, per areum C P,
in M CiP plano perpendiculari lirum, ( ut qui omnium, in superticie sphaerica ro-
carionem determinance, descensus est maxime dectivis,) per 24 C ap. 2. Oux de-
monstranda erant
Fademque, in oblique dectivi plano, de perpendiculi Succedaneo, smiliter octen-
dentur. Pura; si luper declive planum impeneerabile, volvendum ellet Cgrare
Circa C cenerum MOtIS; Tuo cencro Crravitatis peripheriam in illo plano deseri-
bens BP C. Ouippe, cum propter duritiem subjecti plani aur Fortan Axis circa
quem roretur determinaram positionem, similemre causam aliam, in plano perven.
diculuri descendere non postic; quam camen porest maxime decliri terecur.
Ld D.
PROP. AVLL
Ad datum mocus Axem, (rel similitee inclinatum,) ca ratione ponde
TANE COMPATATA GTaVIA; (vel idem, Crare pro rario situ:) quxe ex
rationibus Ponderum, et Distamciarum Centrorum Craritatis a per-
pendiculari per Arem Plano, componitur.
Adeoque: Si Distancix sinc aequales; in ratione Ponderum: Si Pon
dera sint aequalia; in ratione Distantiarum: Si rel utraque SinE XqUZ-
lias vel sint reciPrOcC proporrionalia: Aquiponderant: Ouorum
Vero

## Folio 661 — 851387705:0681
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000681.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
endict
1
neo
Cent
654
et
PFOP. XIX.
vero centra Graritatis lunt in iploper Axem Perpendiculari Plano;
nihil in utramris partem ponderant.
Circa Ares vero inaequalitet inclinatos, adeoque in Planis inaequali-
ter Decliribus, Libranda: in ea ratione ponderant, quae ex Ponde.
rum, ec Distantiarum cenerorum Craritatis a perpendiculari per
arem plano, et Decliritatem planorum in quibus librantur ponde-
Ean COMIPOHILUF. IA
pt
mD.
a
PD. C: mED. nE:mP D. mE:mmt D. mnti: PD. C.) PDS B. nmre DO. mnrCE.
SEqUITUT CX LZ _ L3 Cap. 3. PFOPter 16 hujuS.
 3ua) cirrenu P R O P. XLX. sit e errte.. L. a0L etonC
Ex tribus his; Pondere, Ponderatione, et Distantia Centri Graritatis a
Derpendiculari per Axem Plano; datis duobus quibulris, datuxter-
tium. Bec isno
cuess cure
Nempe: Datis Pondere, et Distantia, dacur Ponderatio: Datis Pon-
dere, et Ponderatione; datur Distancia: Datis Ponderatione, et Di-
Rancia; datur Pondus.
Excipe; Si (quod una cum Ponderatione datur) Distantia vel Pondus
nullum st.
Incellise; in data Axis inclinatione, (de similitet in sequentibus:) SecuS
enim ee hujus habenda erit consideracio.
110. PD = G.
SEquicut CX L5 Cap. 3. PrOPCer 16 hujus
e lt.
Dato Pondere, dataque Distantia Centri Gravitatis a perpendiculari
per Axem Plano: Pondus inrestigare, quod in astignata Centri Cip-
ritatis a perpendiculari Plano per axem Distantia, Dato illi vel x
quiponderet, rel in data ratione ponderet.
trem: Distantiam inreltieate, in qua Pondus Attienacum, Daco illi
vel aeguipondere vel in data racione ponderet.
n otii cn
D. nD.
D.
sel.
ED. C.: PD. C: PD. C: mED. mS: meD. me
P. es
Aa sF et 1o
mD
mD.
Frig. 1e
do
DeCentro Cravitatis.
DlguItUE Cx IO C aP. 3. PrOPIEE LBMUsId.
7.C
eie

## Folio 662 — 851387705:0682
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000682.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
De Comro avitatis.
LROP. X
Eit Tuaequalis, rel, Inaequalium Ponderum; proportionaliter.
SEguitT ex 17 Cap. 3. Propiex 26 trujus.
P RO P. XZ
Datis Ponderibus guovel; datilque vel AXe motus (aut pervendie
lari per hunc Plano) et Conderum Centris graritatis; vel horumZ
Perpendiculari per ARC Plano distantiis ad datas partes: Inresti-
sare, quanta sit cum lingulorum cum simul omnium Ponderatio; et
2d quas patces: cum clenique quantum grarant ipsum quo sustinen-
+40.
F0D
ADl. F8. 13C2. 1LC:: f T2DP. + 126. F0DP +0C: -6DP. - 665: -12DP.-- 226
Scenditur ex 18 Cap. 3. proprer 16 hujus.
Signum F, innuit distanciam a Perpendiculari
per axem Plano, Dextrorlum: Signum -, Siniltrortum.
Pondera rero eodem signo. L nocantur omnia, quia in-
celliguntur omnia, Deprimentia. Si vero eslet Ponderum
aliud Deprimens, aliud Flerans: illud signo F, hoc
signo - nocari par etter: Et mulciplicationum leges in-
Cuper eslent obserranda.
Fijusdem rel aequalium Pondetu, Centri Graritaris ad perpendicu.
laris Plani per Axem mocus Appropinquatio, aut inde Flonsatio.
l
35
P. I
Aqualis, (sive Centrum Plano admoreri intellisatur, sivo Planum
Centro, vel contra;) aequaliter auget, minuiere Ponderationem.
tur Axem. 
Datis Ponderibus quorlibet (ret summa Ponderum) dataque corum
limul omnium Ponderatione ad datas partes, respeCtI AxiS exPOsiti
(rel expolici per axem Perpendicularis Plani:) Ponderationem Au-
Sere vel Minuere data quantitate; sire manente eodem pex AXem
plano perpendiculari; sire manencibus (in iisdem parallelis Planis)
Ponderum ceneris gravitatis.
D SIendituT Ex 19 Cap. 3. PrOPEeT 18 hujus.
Nempe: Mavente AXC, (Falcem similiter ad horirontem inelinaro; in eo.
dem perpendiculari plano,) Amorendo vel Admorendo ponderum Centra Gra-
vitatis.
Velu manencibus ur prins (Falcem in iisdem parallelis Planis) Ceneris Grarica:
tis; (vel communi timul omnium CenErO;) Amovendo vel Admorendo AXem.
Timiliter inclinatum, in parallelo Plano. Fanco quidem interrallo, quanto expo-
Tica Pondera (rel summa ponderum) cancundem ponderarent, quancum est vel Ad.
dendum vel Auterendum ponderationi expoticum.
R
PROP. XXIV

## Folio 663 — 851387705:0683
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000683.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
PFOP. XXIV.  Ccar aatis.
P ROP. XXTV.
Datis Ponderibus quorlibet; una cum AXe motus, (aut per illum Per-
pendiculari Plano,) et Centris graritatis, (aut horum à Perpendi-
culari per Arem Plano distantiis, ad datas partes:)
Vel, Dacis salcem summa Ponderum, ee simul omnium Ponderatione
ad datas Partes:
Dittanciam Ceneri cravicatis simul omnium, à Perpendiculari per
Arem plano, inrenire.
Adeoque; Ponderationem Augere vel Minuere in dlata ratione. Nem-
pe; in ea ratione, aueta rel minuta Distantia. lu
=106 = + LOPD
20P
Luta; Si F TOC== F LOPD summa Ponderationum dexrrorlum, data;
(vel ex dalto AHMCCa, Der 22 hujus;) per 20P summam ponderum diridatur:
HTabetur L ED, distancia Oeneri graritatis a Plano per Axen Perpendiculari, dex-
trortum: Puta, in =Z. Recta, Planore.
Corollarium, constabit ex 20 tujus. Ouippe jam datur corius Aggregari (can-
quam unius Grraris) cum Pondus cum Centri Ccrariratis distantia.
eR OP. XLV.
705
Scenditur ex 20 Cap. 3. PrOpter 16 hujuS.
tio Ponderibus vel summa Ponderum; cognolciuur La.
Vel ex coenita Poucratione; summa Ponderum. u mne
+DRF = + DP =+ 2. +C = + DP. .
10 2 s 01t
SEquituT Cx 22 Cap. 3. propeex XB huju S. 11.A 311 . X 0
e R O D. NXVI.
Datis, in Grari (quoris, tribus A, quilibrii. Planis~ sGuX non in una
vecta concurrauri Omnia; s. Nel Vatis duobus squibiusris AxibuS, AP-
equilibrii: Dacuni osusdem Cenerum Craritarisil Dempe inicommuni
lecantium concursu.
CoLSHCISION
Et quielems. Diguree Plana,. vel. Livex utcunque xurrae in Plano de
Scripex: Datis duobus (praetersiplum Plamim elanisi gnititorii,
(non in liujus srecta aliqua concurrentibus: J. N elus VIna Axe sgni
librii non umillo Dlano Jacente: hLaeur. Cencrum Ciraritaris. ) Nem
De in communi datorum ConcurTU. Lps lI SisNSIYS: LE FAVISES
Linca vero recte; Dato uno rel AEquilibrii AXC, vel Plano Aquili
brii, rectam NIam secante: Dacur Cencrum Craricatis. Nempe,
sectionis Punctum.
Puncti vero, Cencrum Ciraricatio, est punctum ipsum.
On enim duo Plana. e lstic  nisi in una recta secent; Rectaque sve
rectam, lire planum, non nisi in unico. puncto; (ut ex elementis nocum
est:
Vatan a Perpendiculari pet Le Plano communis Londetum quot-
libet, uccunque positorum, Centri Craricatis Distantia, Px cooni-
11s): aSst

## Folio 664 — 851387705:0684
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000684.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
De Centro Cravitatis.
Cap. lV.
elt:) Matiifeltum et lon poste niti in unico puncto; vel Duos Axes A quilibrii
vel Tria Aquilibrii Plana, non in eadem recta concurrentia; le mucuo lecare
(Tercium ucique Planum, duorum communem sectionem, non nili in uno puncto
secat.) Cumque Centrum Craritatis, per 25 hujus, li in communi omnium live
Axium sre Planorum Aquilibrii concurtu; Daris illis, datur (quod in eorum
concursu est) Centrum Giraritatis. Ouod erat primo demonstrandum.
Sin illud Cirare sic vel Fisura Plana, vel. Linea urcunque curra in Plano de-
lexipea; erit, hoc ipsum planum, unum ex cribus illis Aequilibrii Planis requiliris:
(per det. Plani Aiquilibrii: quippe polito hoc ad horizontem recto in neurram
partem peaeponderabitur, per 3 hujus.) Adeoque (cum Centrum Graritaris in
illo plano esse constet) li vel duobus aliis Aquilibrii Planis (non in eadem ali-
qua hujus Plani recta le mucuo sccantibus;) vel, Axe uno; secetur Planum hoc:
unico lecabitur puncto, (quod itaque Craritaris Centrum erit;) per jam dicta.
Duod secundo demonltrandum erat. 1i1
Linea recta vero (cujus Centrum gravicaris in ipsa esse, similiter ostendetur; )
extribus Aiquilibrii planis duo suppler; sire communem duorum sectionem: Ad.
eoque, ( rel uno aliquo s: quilibrii vel axe, vel Plano, secetur; secatur puncto
unico, quod itaque Cencrum exit Crraritatis.
Denique: Ouod Puncti Cencrum Cravitaris extra iptum non sic, similiter osten-
detur acque de Planio, et Linea recta; (quippe s Planum aliquod extra ipsum
ponatur ad Florizoncem perpendiculare; cocum grare ad unas partes ponderabir:
Cum itaque Punctum sic indirisibile; eric ipsum sui Cenrrum. Quod crat ultimo
demonstrandum.
dCHOLTV M
Xempli gracia. Cencrum Craricatis Puncti C, elt ipsum C Punctum. Centrum
eraricacis rectae XS, est in ipla recta; ejusque Puncto C quo ab A quilibrii
Plano vel AXC XCT, sCcatUT.
Fixurae Planae, vel Linex Currae in Plano, YZ FS, cenrum gravicatis cst in
duorum Planorum Aiguilibriis putas ZS _ V T, communi sectione, (quae ipla
elt Axis Aquilibrii; ) hujusque puncto C, quod est in expolico plano
Fixuraxe rero solidie, vel linea cyrrx non in plano descripia, (quales lunc spi-
rales circa Conum, vel Gylindrum, ecc.) Cenerum graricacis erit in erium Pla-
norum Aeguilibrii; puta per YX P, duorumre hoc secantium ut in XCS, 8
TC T; communi concurtu C: sire duorum Axium A. quilibrii XES e Z T com-
muni sectione C.
Ejulmodi aurem duo axes habentur; ope +2 hujus. Puta suspenso primum
Crari ex sui puneto X, ut hrabeatur XSi deindem ex sui puneto Y, ut habea.
TuIE XCT
P LOL.. LXVII.
E18. 9C
trum Craritariss est in ea recta qua sua respectire Centra Crarica-
eis conjunsit, sie dirisa, uc Distanix sint Ponderibus reciproce pro-
-151 11LIC CEtSEIiS
Adteoque, daris allobus corumque Centris Cravicatisis datur commune
Ouodque de cuobus clertur; de pluribus similiters obtinebitur. cic
Irem: Datis Torius er Rolaci Ponderibus, et Ceneris Craritacis; dacur
Cencrum Craricaris religus. . sit IWBAC stirLSSI iAI
Vmco verbi pracia, duo Pondera, vel l quod
Deodem recidic, per 16 hujus) eorum Centra
Graricacis, in punctis A, B: Adeoque (per prae
ced. ) AB A xis A. quilibrii; et (per 25 hujus) in
illo, Cencrum GTaVITATIS: PUTa C. Fst, inguam
Ac Pondus A ad pondus B, Re (reciproce) distan-
eia C. B ad distantiam C A, (pex _B hujus) uc A qui-
Ponderenc.
Iavenco
porcionales.
Simut utriusque Conerum Craritatis. J.p. 111) duc00

## Folio 665 — 851387705:0685
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000685.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
C
De Calculo Cantri Cravitatis.
Octs
Irvento autem duorum AB pondetum communi Cenero Graritatis C; dato ac
huc tertio Pondere, ejusque CCo Craritatis D: eodem modo invenietur trium
commune Centrum Graritaris. Nempe, ica dirila recta CD in B, ue distantio
E D, E. Ci; linc Ponderibus D, e A f B, reciproce provortionales
cuT Telidui Centrum CTraVItaLS A. Latu culio Ponderibus A F B _ B, HabeLK
PONGUS A, ad Pondus B datum, HC cala C. B Maia, ad distanciam C A, quasicam.
Ttem; daris Tocius A f B, e AblatI B, Ponderibus e Ceneris Graritatis; da
(subductione) Pondus A. Sumpris isicur (in BC recta concinuata) ut invencum
Dico Fomoeeneorum; quia quae lune invicem sclcoenea u siea l u.
perticies; superticies, et Loldu, aul ca) nullam habent ad  alo.
vem; (quod docene dett. 3 et 5. Ous Luclidis:) lunquehsaducompala
tionis incapacia. Quodque hie monium etu, altos, utoo es c .
esiles eeaescie ee e essete seeso selese eter ee  se ete
ei A L. 
alcuto Cienri Gradndis.
I C NL LV HI
teriora Creometriae penetrandum erit. Calculus necessario futurus sit per–
Hoc Capist Inceerum, quanquam a Praecedentibus dependeat, C (per Methodi
leres) hunc sibi locum vendicare dideatur: Non tamen ita cum sequesu
plexior, quam forte Tirones, vel minus exercitati, commone ferre possau.
illud jam statim sub initium monendum duxi; ut sicubi per plexi Calculi mo-
lestiam subire noint, possunt cassenso pede ad Capita sequentia transire.
quae ex praecedenions, hoc omisso, tum satis intellisi, tum cs legitime de
monstrari possunt.
bus connexum est, quin ut possit ab illis separari. Cum itaque ubi ad in
D F F F N F F FO N L S.
Det. T. Quanta quaelibet, Arithmetice proporcionalia, (sive secundum natu-
ralem Numerorum consecutionem constituta,) appello Primana.
Quaeque sunt in horum ratione Duplicata Triplicata. Duadruplicata, (3c.
(sive ut Duadrata, Cubi, Biquadrata, 550. aruhmetice proportionalium,)
appello Sccundana, Tertiana, OMartana, 5c.
Duae autem in eorum ratione Subduplicata Subiriplicata, Subqua druplicata e3c.
(sive utillorum Radices Duadraricae, Cubicae, Biquadraticae, 1c.) appelle
Subsecundana, Subtertiana, Subguartana, 0c.
Duae inratione, Duplicata Triplicata, Subtriplicata, Oc. Triplicata Duplica
tae Subduiplicatae, 3c. (sive ut Duadrata Cuborum, aut Radicum cubicarum.
150. ut Cubi Quadratorum, aut Radicum quadraticarum, Cd c.) appello Oua
drata Tercianorum, Subtertianorum, Csc. Cubos Sccundanorum, Sub-
secundanorum, 18c. Fit similiter, in quavis alia rationum compositione,
mutatis mutandis, appellanda erunt.
Acque hujusmodi Serierum Indices sive Exponentes, appello, numeros (inte-
eros an fractos, surdosve, ut contiserit) unde denominantur illae series auot
Rationes.
t consonanter, AE qualia dico Nullana: Duoniam AE qualia secundum nut
lam (ne simplam quidem) rationem arithmetice proportimatium crescunt aut
decrescunt. Subprimana vero (sive, ut dicam, Radices Laterales Prima-
norum) eadem erunt atque Primana. proprer i = +.
F. Xempli

## Folio 666 — 851387705:0686
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000686.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Xempli graria: 
Exponentes. Series.
0. Aqualium,
F. Primanorum, e0
2. Secundanorum, 0.
3. Tertianorum, 0.
2. Subprimanorum,
0.
L. 2.
c..
2.
3.
Z. Sublecundanorum, V O. V T. V 2. V 3. V 4. V 5. V 6. _c
.Subtertianorum, VeO. VCT. VC2. VC3. 164. 1c3. VC6. eC.
243 ==6. Ouadratoru Z 0O. EXF. 8x8, 27x27, 64464. LL5 XF25. 216X216. ec.
terrianorum, 5. vel O. T. 64. 729. 4096. 15625. 46656. ecc.
223 -3. O. Subtertianorum, V00. VCT. VC4. V60. VC16. VC25. V036. ec.
3X2 =6. Cuborum (C. 2000. TXIXL. 4X4H4. OTOYD, 16XL6XL6, 25Y25+25. 36Y36Y36. _C.
cundanorum, 5 vel 0. X. 64, 729. 4006.
3x3 3. C. Sublecundanorum, VO. V L. 18. 127. 164.
eC.
_c.
Def. II. Series, jam definitis, RCCiPTOCAS appello; quando Series aequalium
per earum aliquam Dividi intellisitur. Quae itaque Indices habebunt Ne-
rativos; Ut - - F, - - 29 --3, 36.
Templi gracia.
Index. Series Reciproca.
 Aqualium,
-1. Primanorum,
2. Secundanorum,
-3. Fercianorum,
3. Sublecundanorur
3. Subtercianorum,
6 - 2u3. J. Fertian.
T. 1 eC
6. _c.
F. 4. 9. 16. 25. 36. _c.
5
_C.
5.
4.
F. 8. 27, 64. +25. 216. ec.
Yco
C.0
25625, 46656. _c.
Y125. V216. C
2. 64
OOc
00 O. Vc OVc2 OYC3 OYct
Yca Ved
V62O
crc
XC.
 3ta. C. ACHatIOEU
d
C.4 C0
 = - 3ns. C. Subsccundam
725
d
18 127
409C
C.Y4
ve
Ec.
5c 10.
tt
co. CVI E12
Vet =.
560

## Folio 667 — 851387705:0687
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000687.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
PcOp. L. Se culm canr ctadiutis.
Occr
et es eA AB 1S  C IL 5. LV II.
YOcandum hic, (quo rectius haec incellisantur:) quod H Porestas quaelibet se.
L. N cundum quam series instiuitur, (unde et Indicem sive Exponencem detu-
mit,) per aliam cujusris seriei voceltatem mulciplicetur; Poceltarem Facie cujus
Index sic Axgregato indicum utriusque aequalis: Vet Index Mulciplicata, tanto
augetur, quancus est Index mulciplicantis. Vr
X a=
0 = F
a x
f + =
0+
a X a = a
x a = a
+ 3 =
a = a
3 =
a X a =
2 X a = a.
0 + 4 = 4.
a X a = a
2 + 4 =
a X at = a.
2 F 4 = 6.
Ouancicares.
Indices.
Onantitates.
Indices.
Ouanticates.
Indices.
Sin per alteram Poreltarem Diridatur Porestas aliqua; Oritur potestas cujus
Index lic aequalis excellui Indicis porestaris dirisae supra indicem poreltacis divi-
dentis: Vel Index Dirita tanco minuitur, quancus elt Diridentis Index. (Adeo.
que si hric illo major sic, prodibit index NegatirS.) VF
a) a CF
7
2) a
C
4) a (a. a) à (F. a) a (=
2 - 2 =0.
2 -3 = 1.
at) 2 (=. Ouanticales.
1= 4
Indices.
a) a C F. Ouancicates.
F, 4 = 3. Indices.
a1) a (. Ouancicates.
2- q =  2. Indices.
Si irague intelligatur series poceltaris inferioris, per seriem poteltatis Tuperioris.
respectire diridi; (hoc est, terminus primus illius, per primum hujus; secundus
per secundum, etc.) orietur series ex Reciprocis aliqua, quarum Indices sunt Ne-
Bacivi.
Si cui incerim haec minus aehue explicaca videancur: Consulat, si libet, nostram
Arichmeticam Insinicorum: ubi futiss traduntue.
eulsi
C LCL.
Si intellixatur intinea setes Ouantorum, ab l cape serei (pula
cocidet c auau eaesa eDMluS, ad Indicem lertetMl
auctum.
Idem continget, si, omisso termino primo, leu o, Series a lecunus
termino incipiat; seu d quovis termino qui sic primo et secundo in-
EPPDZ
termedius;
0 vel 5) inchoatorum, e continue procedentium secundum leriem
Primanorum Secindanorum, Terrianorum, ec. Subsecundanorum,
Subtertianorum, ec. aliorumre modo detinitorum; corumre RC
ciprocam: quorum ultimum datum sit: erie torius rario, ad seriem

## Folio 668 — 851387705:0688
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000688.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
e enam ir ceraitatis.
cermedius; Puta s in serie Primanorum (cui reliquae accommo-
danda intellisuntur) terminus primus suc laltem non major quam
communis Frcestus lexiei.
 FEE CMO
e
Oca: Intinica Peries ejulmodi Primanorum (qualia sunc, parallela Plana in
Condcide Parabolico; et Rectae in Triangulo, Bali parallelae, _c.) cujus In
dex elt F: Fst ad seriem torhdem Maximo A:qualium, (Duta, ad circumleripeum
Conoeidi illi Cxtindrum, auc Friansulo Paralselogrammum, aeque aleum: ) UE F
Ejulmodi series intinica Sccundanorum; cujus Index est 2; (qualia tunc va
rallela basi Plana in Como aur Pyramide; vel Ordinarim applicarae in complemento
Parabola;) ad coridem maximo Aqualia, (puta, circumseripcum super cadem
bati Cstindrum vel Prilmna, aque altum; auc circum leripeum complemiento Para-
bolx Parallelogrammum;) ut X 2d 3
Ejusmodi serres intinita Sublecundanorum cujus Index elt Z; (pura, rectarum.
in Parabola basi parallelarum,) ad coridem maximo aequalium, (puta, ad Patal.
Leloprammum luper eadem bale aeque altum;) ut F, 2C
= Z F T: TIVC UC 2 ad 3
Ejulmodi series intinita Subrerrianorum, enjus Index cMt Z, (puca, rectarum
in Parabolocide cubicali,) ad cocidem mazimo aqualium, (pura, ad circumserip.
cum ParallelOSraMUI;) NC X ad 3 = 5 F L: live, ut 3 ad 4.
Ec Similiter in iltiusmodi aliis innumeris.
Trem in Reciprocis seriebus: Puta, ejulmodi series cujus Index sic - Z; exir
adt conidem ulcimo A. qualium, uc 2 ac = h + F; Are ML L ad Z; vel 2 ad L. F.L
in reliquis limiliter.
Per noltra Ariihmeticae Insinitorum PrOP. 64. 202, ecc.
Idem continset, G, pro serie Primanorum
vel
8. 10
12
ec
ec
quae repraesenter Piguram Inscripcam: Incellisatur Series,
ve
hoc elt,s ut X.
auE Ctiam 3
Hoc est, ut F.
23
7.
ec.
3 10. 12. 24. 8c.
quae repraesentet Figuram Circumleripram:
re
32. 43. 52 62. _c.
d. 1TI. 23. Ec.
43.(53. 63. ec.
10. 13. 26. 29. _c.
quae repraesentent Figuram incermediam; puta quae sic parrim Tuscripta, parrim
Circumseripta; adeoque major quam Inscripta et minor quam Circumleripta
DuipDehx omnes (acque horum similes) dummodo series Intinita incelligatur.
cantundem ralene, (ueut in Serie terminorum numero Finicorum secus (L:) PEx
Schol. PrOD. 182. Arithmet. Infinit
Ouodque de Perie Primanorum dictum est, reliquis Scriebus quae sunt in Dri
manorum ratione Duplicata, Friplicata, ecc. Subduplicata, Subtriplicata, _c. auF
alias compoticam accommodandum exic.
SC F7O L ZV LL.
Vocies, in lequentibus, ferierum hujusmodi mentio tiet: quarum astimatio ex
Lhac Propolitione depender; incellisendae lunc series illae, ab ipso capite ordiri
puca O rel S; et dato cerminari. Ouod eum in propotirione una aut altera ex
presse dictum Tuc; idem in, sequenribus incelsisendum erir; (nisi concrarium insi-
nuetur:) uene, quo lonsa veriphrasis ericetur, (quae propoliionem, alias Fortalse
lacis implicacam, perplexiorem redderet,) illud ditercis verbis non dicarus.
1L1911 
Slbis. 1Z, (13 es 1B 15 C1 V1IIC 1) B  Cstt  C
Baret S BBEE  HSI OrIEC Occese c
sii olosrit B cetiere s) sis
1It. d
Cap. V

## Folio 669 — 851387705:0689
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000689.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
OMMII
PrOB. II. De Calculo Centri Cravitatis.
Superticiei Cylindrica rel Prismaticae, aut quae horum instar LUME;
Centrum Graritatis, c in media loncitudine.
Nempe; Linea Rectae, in Puncto medio: Parallelogrammis in me-
dia Recta oppolitis basibus parallela: Parallelepipedi, Prismatis,
aut esindri, vel Superticiei Cxlindrica vel Prismarica; in medio
Plano, oppolitis basibus Parallelo.
2
l.
Adeoque: Parallelosrammi, in ejusmodi binarum Rectarum concurtu: C.
Parallelepipedi, in ejulmodi erium Planorum concurtu.
Datur isicur Puncti, Linea rectae, Ouadrati aut cujusris Parallelo.
sranimi, Cubi aue Parallelepipedi cujulris, horumre solidorum cu.
jutris Superticiei, Contrum Graricatis.
Adeoque e Punctorum quotlibet, positione datorum, commune Cen-
trum oxaritatis datur. Item, Rectarum quotliber, magnicudine et
positione datarum. Imo, et linearum quarumlibet, magnitudine
e politione datarum, quarum singularum Centra gravitatis dantur,
datur commune Centrum Craritatis. Ope Prop. UIE. C ap. 4.
Fit similiter, quotlibet Ouadratorum vel Parallelogrammorum quo-
rumlibet; icem, quodlibet Cuborum, rel quorumris Parallelexipe
D
F.
dorum; aut superticierum horum; (magnitudine e positione da TI,
EOTUM;) datur commune centrum Graritatis. ODC ejuIdem PFOD. TFT,
Linex Rectae Parallelosrammi, Parallelexipedi, Pritmatis, Cxlindri,
8
a
ult. Cap. 4.
t
Fig. 12
08.
109;
6
aeguali incervallo ab invicem distiris, poliuilque i litu ad horizontem rectis; in
Teomenta invicem aequalia (plura an pauciora, numero tinica an infinica,) diridi:
Manisestum ostu (ex (3 Cap. 3. vel 4 Cap. 4.) Propter segmenta quoribet ex una
Parte, tocidem ex altera, A. qualia magnimame, (decoque d Condere, 
mus urique aequabiliter graria:) e in Distantiis respectire aequalibus polla, A
quiponderare linonta sinoulis respectire lumpris; adeoque omnibus oma limul
Tumpra. Adeoque, quod per C tranSic, eAt A. GULIMLI Les penaM, vet LCpE
diculare Planum; (per detiniriones Cata; Det 13
 enim intelligatur Linea Recta, Parallelogrammum, Prisma, Cylindrus, que A.
D quod horum instar est aliud; urirsguie a medio Ci; Rectis Planitre parallelis,
Adéoque; (per 26 Cap. 4.) in Linea Recta, hinc determinacur ipsum Bunctum; B.

## Folio 670 — 851387705:0690
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000690.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
.
l 13.
Cid p. V
in Parallelogrammo, aut quod hujus instar est, saltem Recta; in Prismate, QuE
Porro; Cum sinc in Parallelogrammo
(sire sic Ouadratum, Oblongum, Rhom
bus, aue Phomboeides,) bis bina latera
oppolica: Hhabentur hine duxe rectx, ut
XCS (media intex AB, e DF,) e
TCT, (media inter AD, et BF,) in
quarum utraque (per jam demonttrata)
el Centrum Gravicaris: Adeoque; in nO-
rum communi sectione, C. puncto. Per 26
CaD. 4.
Denique; Cum fint in Cubo, ec quoris
Parallelexipedo, cer bina Plana oppolita:
Elabentur hujusmodi (per jam demon-
strata) eria Plana, in quorum lingulIs,
(adeoque in communi omnium concurtur
Cy) elt Cemrum Graritatis. Per 15, _ 26
Adeoque, eum Puncti (sive per 26
Cap. 4. sirc hinc, quia nihil est quod
n Prxeponderet,) cum Linex rectae, cum Ouadrati aut
cujulris Paralselosrammi, irem Ciubi aur P’arallelopipedi cujulvis, datur ipsum Cira-
viracis Cenrum; per jam demonstrata. Quodque de Cubis et Parallelepipedis,
dictum elt; perinde valet de horum superticiebus
Ec propterea, Punctorum quoritiet, vel quortibet rectarum; item Guadratorum
aut Parallelozrammorum quoclibet; quortibet item Cuborum rel Parallelepipedo-
rum; quodibet denique Superficierum Cuborum aut Parallelepipedorum; datur
commune Centrum Ciraricaris, modo ipla linc magnicudine et potitione data. PCx
Prop. ult. C ap. Praeced.
Od.
Aia Demonstratio.
Id. 2d. 3d. ec. usque ad D.
6a P F raP F 24 P f 3a P F _C. usque ad DP. = L NDP.
Idem demonstratur ex F hujus. Incelligatur urique, per C. mediam longicudi-
nem incedens, Perpendiculare per Axem Planum; (cui incellisancur parallelae,
Paralleloerammi vel Prismatis Bases oppolicx:) Ouxeque sunt vtrinque C A, C. B.
recta, ex intinicis numero Punctis (eo sentu quo def. T. Cap. 4. detinitum cst
constare: (de similiter ex intiniris numero Rectis, Parallelogrammum; _ Planis,
exisina, ec.) Dux incellisantur omnia, aque cralta; (de Timilicer alibi incelli-
sendum, ubi hujusmodi constructio adhibetur, nil aliud IMNUatE:) Adeoque
cum ipla (ut Rectarum, Parallelosrammorum, e Parallelexipedorum, natura po-
Pulat, ulpote in omnibus sui parribus aeque altorum;) cum _ ProPIerca Corum
praeced. Pondera, incer se aequalia: pura, ut P, P, P, P, Ec. quorum omnium numerus in-
celligatur, N: Sed e, in Diltanciis a Perpendiculari Plano per Axem, UF Od, F d.
2d, 3 d, ec. ulque ad D, maximam. Adeoque momenta seu Ponderationes (Per TZ
Cap. 3. Vel 4 Cap. 4.) ucOaP, EaP, 2a P, 3dP, dec. u(que ad DP. Ouae qui-
dem intinitae series Primanorum, simul valene ut ZNDP; (nemPE, ad NDP
summam coridem Maximo Agualium, uc T ad 2:) per L hujus. Cumque hoc.
utrinque perinde concingat: Aiguiponderabitur utrinque. Adeoque (Der 25
Cap. 4.) Cencrum Cravicacis est in illo Plano. Quod erat demonstrandum.
Reliquaque hinc deducuncur ut prius.
De Calculo Centri Cravitatis.
Cylindro, Planum; in quo est ipsum Graritatis Centrum.
AExI
Dem
a
3d. ulque 2
peet
∞dP. F FaB, + 2 aP. F 3 aP H es. alque ad DP. = L NDP = NP ~ ; 1
Idem

## Folio 671 — 851387705:0691
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000691.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
erop. Ull. e Ciam atai .
Idem Analycice, tanquam A nOndU NOTIM L
esset, sic inveltisabitur. Intelligatur AB, EaB.
quam ex intinitis numero Punctis constans; (e
timiliter ex Rectis, Parallelosrammum; _c, ex
elanis, Prilima, Sc.) aeque cractis; quorum ita
que Pondera SInE, ut P, P, P, P, EC. Guorum
NumeEUS SE HI. POTITOGUO CENEO, vel AXC
MOTIS in ipso extremo A; erunt eorum inde
Distanciae respectirae, ut Od, Fd, 2 d, 3 d, c
2b 223 4 E
alque ad D. Et momenta seu Ponderationes, ut daP, TAP, 2 d P, 3 dP, dc
usque ad D P. Ouorum omnium summa (Der F hujus) est uc Z N DP = N P XZV
Nempe quantum simul ponderaret _ P cocum Pondus vel lumma Ponderum in di-
stancia = D. Fancundem itaque distac Centrum Cravitaris a perpendiculari per
A PlanO, (per 24 Cap. 4.) Pritque proxcerea in parallelo plano per mediam lon-
sicudinem, Duod crat ollendendum. Cxeceraque hine deducuntur, ut prius.
SC HO L TV M.
DEacuie hanc demonttrandimethodum, in re lacili, exteris subjungere, ut eome
lius intelligatur, ubi illa post in difficilioribus adhibehitur.
Intellisimus (quod semel monendum exic) ubi de figurarum centris graricaris
agitur, xquabilicer graria elle, sive puncta, Sire plana, sire Solida; hoc elt, aequali
magnicudini aequale pondusmesse; et proportionalibus, proportionalia.
trem; Puncta, Lincas, aut Plana, ex quibus idem Cirare, ut Linea, Planum,
aut Solidum, conslari intellisitur; aeque crassa este: utnempe, pro incerjectorum
numero, diltantiarum ratio cenleatur. Ituc enim non negarerim, ad del. F. C ap. 4.
posse quidem secus aliquando altumi: ubi tamen nihil cale inFInUIaCuF, Pro Xque
craltis lunt habenda.
Ouxque hie monemus; in lequencibus eximt incellicenda.
Nocandum interim, ad hane Propoliionem, et alias lequentes longiores, Liceras
in margine positas, indieare, in quo Demonstrationis menibro quaerenda sic istius
parcis probatio.
P R O P. IIL.
Si quaeris Linea (recta aut Curra) vel Figura qua
vis (plana, curra solidare,) plano per medium
ita dirila sic; ut sinsulae unius seemenei par-
eiculae, singulis alterius respectire sumpeis, sint
aequales e aequaliter à diridente PlanO FemOEX:
Centrum Graritatis Cs in Plano dividente.
Puta, Linea recta, utcunque bilecta. ArcuS Cir-
culius producto Radio bilectus. Curra Parabo-
lica, Fyperbolican auc Fllipricam Are producto
bisecta. Portio perimeeri Polrsoni regularis
(auE etiam FOTA PerimCTeF) recta per centrum
tiourae transeunte bilecta, si bisecans illa recta
vel Laterum unum, vel unum Angulorum bile.
et.
irem: Circulus, FIlipeis, Polrgonum regulare
(ejulre portio; ita ut dictum est, recta bilecta:)
Item Sphaera, Sphaerocides, Conus, Conocides, Cxlindrus; et horum
Supexticies: Item Prramis et Prisma, balium regularium; Segmen-
cum Circuli, Ellipseos, Parabola, EIrperbola, Sphaera, Sphaeroci
deos; muleaque alix figurae; plano per axem bilectae.
Elarumque aliquarum, (quae pluribus lujulmodi Planis secari postune
1o Aig. 2

## Folio 672 — 851387705:0692
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000692.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.Ca p. V.
in Puncto unico concurrencibus,) ut circuli, EIlipscos, Parallelo-
exammis Plani Solidire regularis, Parallelepipedi, SptiXrX, SphX
rocideos; Cencrum Craricaris hinc determinabicur.
mo ne, ec
sD,
1D, dc
tDP + ms DP. LnDC, c
Tam, s Pondera Ponderibus respectivis sint A qualia, (puta, uxinque IP.
m F, nP, _c.) e in Diltantiis respectire aequalibus, (puta rD, SD, FD, ec
utrihique,) erutie ucrinque aequalia Momenta ErDP L in sDP + nFDP, ec.
Adeoque, Centrum Graricaris in diridente Plano. per L5 C ap. 4.
Et quidem, ubi sune hujusmodi plura Plana, quorum communis sectio sit Pun-
ctum unicum; iptum Centrum Graritaris dererminatur. Per 26 C ap. 4
Ouodaurem haec enumeratis Lineis et Figuris (et harum similibus) conreni-
ant: Fx earum Detinicionibus manifestum el, aur inde tacile demonttrabicur.
SC +7OLZOM
TOcandum tamen; de Curris Parabolicis, Hyperbolieis, FHlipricis, (quod et de
d harum limilibus intelligendums) diserre dictum este, Axe producto bisccan-
495; Cnon, quavis diametro:) Nam, nili Punctum bilectionis, lc in AXis vertice
Bilecta linea non eric ucrinque similiter curra. AC in Parabola, Hyperbolx, aue
Ellipseos, Porrionibus Planis, (recta abseissis; quippe de his incelligendum:) oux-
vis Diamerer basin coramque aream bilecans, rem praestat
Dimi aurem has Linearum aut Figurarum species enumerarimus; alias tamen in.
numeras reperiri cercum cst; De quibus Demonstratio non minus procedic; sunE.
que sub propolirione generali comprehensx. Nobis incerim famoliores aliquot
enumerasse lutticie.
Ponderum, quae ex eadem parre Punt, quantacunque inxequalitas, aue quantacun-
que rarieras distantiarum, demonstrarioni non ollicit: dummodo in comparandis
quae utrinque Tunt, si aequalicas. Sed et, in prop. sequente, major adhuc erit va-
riandi licentia.
1P
PRC
Iem; Si Finea vel Figura quaevis (plana, curra, Colica,) ila Plane
diridatur; ut snscla us senenet pallicuta, lingulis alterius re
sectire cumtous alulee. Centrum Craricaris est in Plano
diridente.
MP.
n
nomodemotdmode nide.
DOra; Si CX Una parTC POndera IP, mP, ne, sine in distanciis rD, SD, LD: ex
altera vero, Ponderar P, SP, LP, in diltantiis VD, m D, n D: Vccunque (propter
Pondera diltantiis reciproce proporrionalia) comparara comparandis respective
aequiponderabune. Adeoque, cum lingula singulis respectire tumpris aeguiponde-
renC; etiam omnia omnibus aequiponderabunt: (per I2 Pl. 5. ) Erirque Proprerca
Cencrum Craricatio in Disidence P1an0. Per 15 Cap. 4.
rsor etui
se se 
Sersesitiee
ilient isust ciaul

## Folio 673 — 851387705:0693
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000693.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
(1
DeCalculo Centri Cracitatis.
PFOD.V.
Frianeuli Paralerosrammi, Reoularis Planis Circuli, FIlipseos; vel H. D
nae Tolidaere, quae Diamectum aut Axem habet, quae libi ordlinatim-
axplicatas rectas omnes parallelas bilecat, perque omnium sibi ordi-
natim applicatorum Planorum parallelorum centra graritatis tran-
sic: Centrum Craritatis eAt in ejusmodi Diametro vel Ave quovis.
Rcque hinc datur Circulis Fllipseos, Frianouli, Parallelorrammis Re- B. D.
oularis Plani, Spliara, Sphaerocideos, Cubi, Parallelexipedi cujus.
vis, (et figurae cujuscunque quae hujusmodi plures Axes vel Diame.
rros habet in unico prncto concurrentes,) Ceherum Crquitatis.
Nrempe, in duorum pluriumre concur(i.
Fsinc item (cum prima hujus) dacur Centrum Craritatis Cxtindri, F.
Prilmatilre vel Solidi Prilmatiei cujulris, cujus balium centra gravi-
tatis dantur; (eorumque Superficierum, dummodo Perimetri BaliS
centrum craritaris dacum (iC:) Nempe; in Aris medio. Bsi e
adnceds
Portionis Circuli, Lllipseos, Parabola, HIrperbola, recta (vel pa-
Fallelis rectis) abscista; Coni Prramidis, Cxlindri, Prilmatis, Splx-
rx Sphxrocideos, Conoeideos; vel Portionis cujulris horum, plano
vel parallelis planis abscista; rel cujuscunque demum Fisura pla-
iless
3821
dde
Om enim (verbi gracia) in Priangulo, Recta à quovis angule au oppotici a
ver det. T. CaD. 4) BiseCet, per 2 8 6 Fl. V. (quam itaque tigurre Diaietrum
dico; ea tigniticatione qua Conicarum Sectiolu Caulletru ab Apollonio detini-
1 lC dicuntur:) Adeoque per lingulari CLa NTaMILaLS TranICAE; (Det.
hujus.) Pric in plano per illam rectam (D 3 Hujus,) adeogle  la lecta (quiDDe
in crialiguli plano, per 26 Cap. 4.) Centrua arablS.
Similuter oltendetur; de Figurae cujutris Planxe DiatCHO; (ut Parabolae, Lly
quae omnes parallelas rectas, planum comp CCaI.
Cumque line hujusmodi Diametri, in Friangulo cres, (sempe, a sinsulis ansu- B.
Iis ad oppolica latera;) in Parallelosrammo, Guatuor, (nempe diagonales dui
ee duae quae oppolicorum lacerum media jungunc;) in Polysono regulacis 101
de
quoF
LLateris medium rectas omnes huic laceri parallelas (Priangulum complentes,
perbolae, Ellipleos, Circuli, Parallelogrammi, Plani Regularis, ec.) ea rempe

## Folio 674 — 851387705:0694
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000694.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
DeCalcun at acrs.
quor sunc Ansulu rel Latera: nempe, Ei lacerum numerus par sic: cum d lingu-
lis angulis ad angulum oppolitum, cum a medio saceris cujulris ad medium late-
ris oppositi, ducentur hujutmodi diamerri; sin lacerum numerus Ic impar, 2 g00
vis angulo ad oppolicum Lacus: in Circulo, _ Ellipli, diametri numero intiniex:
In singulis his tiguris (aliisque quibulennque quae plures habent diametros ut
sune irregulares multae,) in duarum quarumvis concurtu, es Centrum Gravitatis.
Per 26 C,a
In figuris solidis, quae Axem habene, per Planorum Parallelorum omnium C’en-
era Graritaris cranseunrem; (quales sunc Prilma, Cylindrus, Pyramis, Conus, Py
ramidocides, Conoeices, Sphaera, Sphaerocides, aliaque muIIIX;) idem similiter
oltenditur. Ouippe Plana omnia per hos Ares (sire erectos Cire inclinatos ad or-
dinacim applicata Plana) sunc elaria squilibrii; (uc qua, cum lingula P’arallela
Plana per quorum cenera graviraris eranseune, cum proprerea quod ex his confla-
cur solidum, in parres aequiponderances divictune;) Adeoque ipti AReS, AXes A
quilibriis Ex propterea, in illis Cencrum Graricaris. Dec 15 C ap. 4
Cumgiie sint in Parallelepipedo, Sphaera, Sphaeroeide, (aliilque multis fiouris
(0) ielis.   esc Plures, Axes: in. cnarum quarumvis concurlu, elt Cenirum
Cap. V
GravitarIS Der 26 C aP. 4
Cocollarium ulcimum; facis per se patet ex hac et P r0B. 1
AI. Linea lecla, LalalleCatua Pxilmaris, Crlindri, Triansuli, Para.
volae, Parabolociuu Coplementi Parabola, Parabolocidilre; Pr.
ramidis, Coni Conocideos Parabolici, rel Parabolocidici; et cujus.
cunque demum Aicurx ex parallelis rectis planiire secundum seriem
infinitam (ab o inchoatam, ex dato; terminatam; Primanorum, Se-
cundanorum, Subsecundanorum, (aliorumre in deF. F. Cap. hujus
detinitorum,) constantis:
Maenitudo, est ad magnitudinem Paralleloorammi, vel, Colidi Pris-
matici, super aequali Bale, xque alti; ut r ad indicem Seriei unitate
auctum: FF Centrum Gravitatis in ea à vertice distantia qua Diame-
trum vel arem ita dividie, ut pars ad Basim, sit ad partem quae est ad
verricem; ut F ad Indicem Seriei Dnitate auctum: Vel (quod codem
recidic) in ea qua cAt ad Basis distantiam; ue Index ille Dnitate auctus,
2d eundem Binario auctum.
HIOC Cst; ut pars aet Basio, ad partem guae est ad verticem; sit in Li-
nea Recta, Paralleloorammo, Prismate, e Cxlindro, (intelligendo
verticem in utroris extremo,) ut r ad F.
In Friangulo, Lupertcie crecti Coni vel Prramidis (dempta bale,) et
Conoeide (relerramidocide) Parabolico; ut F adt 2.
In Complemento Parabolae, Prramide, vel Cono; ut F ad 3.
in Complemento Parabo loeidis Cubici, ut + ad 4: Biquadrariei; ut F
2d5: c.
In Parabola; uE L ad LZ; Sives, 1E2 ad 3.
In Paraboloeide Cubicali; ut L ad LS; sive ut 3 ad 4: in Biquadratico;
uE s adt F2, Vel ut4 2d5. 8C.
Sire, (quod eodem recictic:) Distancia Concri Craritatis à Plano per
Verricem basi parallelo, ad distantiam Balis ab codem Plano: (Ouod
ex in Semicono, Semicylindro, Semi- Parabola, etc. aut qua horum
instar sune; non minus ralet, acque in figuris incegris:) est,
In Linea Recta, Parallelogrammo, Prismato, ret Crlindro; (facto
Vertice uE PPIMS :) Ut 1 ad2
In Friangulo, ee Conoeice (vel Prramidoeide) Parabolico; vt 2 ad 3.

## Folio 675 — 851387705:0695
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000695.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
Pcop. VI. De Cuanoectti ceaouaB.
In Prramide, Cono, et Complemento Parabola; ut 3 2d 4.
In Complemento Parabolocidis Cubici; ut 4 ad 5: Biguadrariei; ut F.
52d6, _C.
In Parabola; ut F = ad 23; vel 3 ad 5.
In Paraboloeide Cubicali; ut r5 adt 2 3; vel 4 2d 7: Biquadratico; ut
T42d 2 2; rel 5 ad 9.
Ec similicer in aliis hujulmodi figuris quibulris.
C.
Fc quidem in Pisuris Inceoris, uerinque ad Diametrum vel Axem DO. H. L.
Stis; datur iptum Axis vel Diametri punctum in quo est Centrum
Craricatis: In Dimidiatis, excaratis, exc. Paltem Centri illius a ver-
tice distantia.
Onde de Frulti figurx ejusmodi, (paralletis basi rectis planiere trun- X
CaLX) Centrum Craritatis habetur; ejutre a Base Verticitre plano
distantia.
Aut etiam hujusmodi Pisurx utcunque muleatae figura cujus cum
Magnitudo nota sit, cum Centrum Graritatis. Per 27 C ap. praeced.
Irem, quae ex hujusmodi totis, rel harum fructis componitur.
Fit, Speciatim, fiourx cujusris planae Rectilinea, et Solida Planis ter-
minatae; Centrum graricatis habebitur, ex eadem 27 C ap. praeced.
19. 127
Tam, si incelligatur AXiS mocus, per A rericem cantiens, Basi BB paralle
LN lus: Ouxecungue sIC series particularum (Pu LCLKLOLMII LLCCLALIIIH LLa
norum,) ex quibus constatur linea, figurare, (pura Peries A qualium seu NuIIa
norum, Arichmetice provorcionalium seu Primanorum, vel ur horum Ouadratas
Cubi, ecc. Radices quacratieae, Cubiea _c. hoc est Secundanorum, FerriatoruI, L29.
ecc. Sublecundanorum Subtercianorum, ec. aliare quaecurique ex dehnicis in
del. F. tujus;) Cum sinc in distanciis 2b aXC MOTUS, Ut∞, X, 2, 3, ec. Arivtme.
cice proporcionalibus, (propter aequalem sinsularum crasticiem:) Prie Serios Wo
mentorum (quippe quix sunt in ratione ex Ponderum de Diltantiarum rarionibus
composita) uno gradu alrior quam est series Parcicularum; sire series ilsa cpct
cla  custea major quam Index seriei Parriellarum: Onde haDELHT. CHM
127
+28
Magnicudo ligura, cum tumma Momeniorum; per + hujus; adleoquo Dislanua
Laant

## Folio 676 — 851387705:0696
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000696.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
ap. .
FUCd; CIM LINea Tecta UE AD, (propter aequalia Puncta;) Parallelosram
um: uc BBA (proprer rectas aequales;) vel cirea hoc constructum Prisma, vel
Cstindrus, (propter aequalia plana;) sic Scries Aqualium scu Nullanorum:
Cd.
BaL, TdP, 2.
ENDP-
(Duta Ut P, P, P, eC.) cujus Index o:
eltque isitur ad seriem cocidem maximo
aequalium, hoc est, illam iptam, ut 2 ad
O F T;) Cineque Dictancia, uE Od, L d, 2 d,
ecc. quarum maxima, D: erit Peries mo-
mentorum infinita, uE OaP, TdP, 2dP;
3aP, _c. u(que ad DP; Scries Primano-
rum, cujus Index c: Adeoque simul omnium momenta, (per F hujuS;) ut Z N DP
:NPX Z D. Adeoque diltantia Centri Gravitatis, = D. per 24 C ap. 4
Trem: Cum Priangulum ABB (proprer rectas, Bali BB parallelas, distantiis
à vertice proportionales,) Et superticies Coni Prramidisre (PrOPIEr PerimetTOS
planorum similium bali varallelorum, distanciis à vertice proporrionales;) Ft C0.
nocides (vel Pyramidocides) Parabolicum, super Parabola B AB constructum
(cujus parallela plana, propter ordinarim applicatas in Parabola in Cubduplicata
ratione diamerrorum interceptarum, lunt in diametrorum ratione, lire diltanciarum
a verrice; quippe in duplicata ratione ordinarim applicatarum in parabola circa
0
a
∞dp, i
N
quas tiune illa limilia plana;) Sit Series Pri-
ManOrum; DuTa, UE OP, L P, 2 P, 3P, ecc
alque ad P; cujus Index F: adeoque omnium
Tumma, uc ZNP; (nempe, in ratione ad t0-
eidem maximo aegualium; hoc elt, ad Paral-
lelosrammum, Cplindrum, auc Priima, Cupex
eadem bale, aeque alcumm; ut F ad 2, peF F
hujus:) Sintque in distantiis, ut Od, Ta 2 d, 3 du Ccc. quarum maxima D: Lrunt
Nomenta, uE Odp, Tdp, 4. d p, 9d p, etc. Ulque ad DP; Series Secundanorum:
cnjus Index 2. Adeoque (per F hujus) simul omnia, ut ZNDP = ZNP X ZD
Adeoque, Distantia Centri Graritaris a verrice eAt ZD. Per 24 C ap. q
Trem; Cum Pramis vel Conus, circa Triangulum ABB, (propter diametros
Circulorum, vel latera similium Planorum, in ratione distantiarum a verrice:
Odp, Fd
dp, 27 dp,
ANDP=
adeoque eorum plana, in distanciarum ratio
ne duplicata,) lic intinita series Secundano.
rum; (DUTa UC Op, TP, 4P, OP, Ecc. ulque
ad P;) cujus Index 2; _ omnium summa,
ut ZNP; (hoc est, Prramis seu Conus, ad
circum leriprum Prilina vel Cylindrum, uc L
ad 3;) Per F hujus: Sineque, distantix ut
Od, Fdu 2 d, 3 du c. u sque ad D: FrunE momenta, ut Od p, Z d P, 8 d p, 27 a p
ec. ulque ad DP; Series Fertianorum: cujus Index 3. Adeoque (per E hujus)
simul omnia, ut EN DP = SNPXZD. Adeoque, Distancia Cenrri Graricatis 2
vertice, ZD. ver 24 C ap. 4.
Similiter omnino, de Complemento Parabola dicendum: quae series est Secun-
danorum. Complementum aurem Semi parabola, appello, id quod cum semi. Da-
rabola complet paralleloerammum circum seriptum; (cujus diameter, est parabolae
Tansens in vertice; et ordinatim applicaca, Parallela diametro parabolae;) quod
utrinque cirea eandem sui diametrum duplicacum, appello, C omplementum P arabola
(Puta, quod cominetur incer duas lineas Parabolicas conrexas AB, AB, A8. 128
quas in communi verrice A, cangat AD, complementi diameter; batinque huic
ordinatim applicatam BB; cui parallelae incellixuncur rectae tixuram complentes. )
Elujusque ordinacim, axplicatae ad diametros suas; Tunt ut diametri intercepiae in
Parabola, ad Tuas ordinarim applicacas. Adeoque, in duplicata ratione Diametro.
rum, sire Distanciarum d verrice. Cum itaque sic (ut Pyramis) Series Secunda-
norum: Momenca, lunt Series Tertianorum: Adeoque simul omnia, ut L N DP
=NPxSD: EL Centri eraricaris a verrice, distantia; ED. II, de Cono e Py.
ramide, oltentum. Elt. uvel
De Calculo Centri Cravitatis.
Fix. 127, Centri Cravicaris a plano per Verricem; per 24 Cap. 4. Fa quam habet pro-
128, 129. polirio. Er quidem, ubi per praeced. Centrum Craruacis ell in Diamerro vel AXC,
Com.
datur propterea ipsum Diametri vel Axis Punctum.

## Folio 677 — 851387705:0697
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000697.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
PrOP. VI. DeCalculo Centri Cravitatis.
Complementum Parabolocidis Cubici, (proprer hujus Parabolocidis ordinatim.
applicatas, in suberiplicaca ratione diametrorum interceptarum; adeoque ordina.
rim. applicatas Complemenci, in Priplicara ratione diametrorum, sire dictanciarum
a Vertice Complementi;) est Scries Ter-
tianorum: Puta, ut OP, IP, 8P, 27P.
Ec. Ulque ad P; adeoque summa omnium
d
263
de
UC =N P; per F hujus; (hoc est, ad Pa OdP, +d p, 16d p, 8F dY
ralleloorammum circumseriptum, ut F ad
+:) Cum itaque Diltantixe CnE Ut Od,
E d. 2 d 3 dus _c. ad. D: NIOmenta CrUNI
ENDP = LNPxAD.
UE Oap, E d p, 26ap, 8E ap, usque ad DP. FE Cimut omnia (per L hujuS) ut
ENDP =ENPXSD. Et Diltancia Centri graricatis; ZD. Per 24 C aP. 4.
Acque, ad candem formam, mutatis murandis, in aliis Paraboloeidium Com-
plementis, aut etiam solidis eorum convertione circa Axem Tuum factis: aliitve
lecundum ejusmodi alias series.
Parabola, BAB, Fig. 127. (Propter ordinatim axplicatas in subduplicata ratione dia. L.
metrorum:) est series Sublecundanorum; cujus Index Z: Duta, VOP, VEP, V2P,
V3p, ecc. ulque ad P: Adeoque simul omnia, ut ZNP; (nempe ad Parallelo-
grammum cireum (eriptum, Ut 2
ad 3,) Der F hujus. FE PrOPteF
diltancias, uc O d, 2 d, 2 d, 3 d.
VOD, YEB, V2P
Odqe
Ed
Sec. ulque ad D; NOmenL C. OdV p, 2 d V p, 2 a V 2P,
TUnE, utOdVP, EaVFP, 2dV2D, dVoP, aVD, dvop,
3 dV 3P, ecc. vel ut a V Op
aV FP, d V8p, d V 27 D, eC.
ulque 2d DP: quae est, Peries
ZNFDF = ZNPXZD
Cuborum Sublccundanorum; cujus Index TZ vel 3. Adeoque (per F hujus)
Omnia, UEZND P = ZNP XED. EE distantia Centri graritatis, 3D.
Paraboloeides Cubieale, (proprex ordinarim applicatas in ratione diametrorum Cis
Tuberiplicata,) est leries Subterrianorum; cujus Index z. Puta Ut V COP, V CP,
V c2P, VC3P, _c. ad P
E. L OMNIUI LUMMA, UEZNP;
Der E hujus. (hoc clt, ad
VcOB VCTP YCZB,
Parallelosrammum circum. Od V cOP, Ld V Cp, 2 d Y C2P, 34Y C3)
Seripeum, uc 3 2d 4.) Et,
proprer distantias, uc Od,
2d, 2d, 34, etc. ad D: NO.
menta erunt, ut, Od V COp,
aY COp, aV CP, dVC+OP, aVCBEB,
ZNDP= Z NPM3D.
a
DF.
TdYCEp, 2aYC2P, 3dY C3P, eC ad DP; sire, ut dY Cop, a Y Cp, d Y C26p.
qYCB+ p, ecc. ad DP; Series Biquadratorum subtertianorum; cujus Index F.
vel Z. Ec Cumma omnium (per L hujus) ut ZNDP = E N PXZ D. Pc diltantia
Ceneri gravitatis, ZD.
Et similiter de aliis seriebus judicandum.
Nempe, univertalicer; Si Index seriei Ponderum sit S; adeoque (per L hujus) HL.
cumma corius, ue   NP: Index seriei Momencorum, erie S. + L; adeoque
norum summa, ut =  = NDP. Ouxe per summam Ponderum NP di
vita; exhibet  = D, distantiam Centri pravicatis d verrice; nempe, ad distan.
tiam maximam, ut S. f + ad 5 f 2: Adeoque reliquum distantia (quae est di-
Pancia Cenuci oravicatis L Bati) ut g.  D. EC propterea, Axio potrio ad Ver.
ricem, ad porcionem ad Balem, ut 5 f 2 ad 1. Quod exat demonctrandum.
Modque

## Folio 678 — 851387705:0698
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000698.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
 enano am aotatis
Ouodque de Firuris interris ostentum est; idem de Di.
midiis, limilirer oltendetur; (Puta, de Semi parabolis,
Semi- parabolocidibus, e Complementis; vel horum Soli-
dis; ecc.) quoad distantiam Centri graricaris d Plano per
verricem basi parallelo. Ouanquam enim ipsum Centri
punctum non hinc innoreleat, (quia hujusmodi Dimidia-
ta Pigura, Diametrum non habene, qua d linea recta
Ec _ lnculas ordinatim applicaras bilecer, quo proxolicio
Praecedens hic in sublidium adrocetur ut iptum Cencrum
determinetur;) tamen, quantum illud à vertieis Plano
distet, (quod est hujus Propolicionis opus,) non minus
in dimidiacis, quam in integris fieuris, hine innoreseit; et
demonstrario limiliter quadrac; eadem utique est ordinatim applicatarum series
sire in inceoris, sire in dimidiis figuris. Oe exearum definitionibus patet: Dimi-
diorum enim acque Duplorum, cadtem cMt incer se ratio; per 25 Fl. 5
Similiter; Idem obcinet; si non quidem sic Dimidiata Fgura (pura, AD B Semi-
parabola) Sed uccunque hujusmodi series una ex alcera dematur; relidui Cen.
irum gravitatis (figurxe Diametrum vel Axem habentis,) vel saltem Ceneri Di-
ltancia d plano per verricem bali parallelo. Pura; Si Semi paratola ADB, exi
matur ADB semi parabola; relidui AbB Centrum Graricatis innorescit; laltem
quancum d Plavo per A diltat. Nam ejuldem generis series ett, rum ADB cum
2bB.
Imo vero; li non ejusdem generis sic ADB, acque ADB; Sed verbi pratia, ex
ABD Parabolocide Ciubico, auteratur AbD Parabola, auc Priangulum, auc alia
tigura quaeris quae ex aliqua detinitarum serie contlatur: Cognitis enim Fotius et
Ablaci cum magnicudine, tum Centro Cravicaris; etiam Relidui cognoscitur; per
27 Cap. 4. Saltem cognita ueriusque Magnicudine, et Ponderatione respectu expo-
lici plani; cognoscitur Relidui Ponderacio et Magnimdo; adeoque de Cencrisra-
ricatis diltantia; per PrOP. 24. C ap. 4.
De Frultis item similiter fier judicium. Nempe, propter darum vel ipsum Cen-
irum Ciraricaris, vel distantiam Ceneri Grariratis, una cum magnicudine; corins
ADB vel ABB, _ ablati AV F, vel AEH; dabirur et Pructi reliqui, F H D B, vel
FFB B, UE antO. Per 27, Vel 24, C ap. 4
Similiter; de figuris ex hujulmodi pluribus constaris, fiet judicium: Et Specia-
im de Planis omnibus Rectilineis, (quippe in Friangula posse diridi, nommest;)
ee Solidis qua planis terminaneur; (quippe, hae salcem in Prramides diridi pore-
FUnE:) Daris urigue parcium Magnicudinibus, e Ceneris Graricatis; dabitur F0-
EUS; Per 27 Cap. 4. Vel datis lalrem magnieudinibus, de distanciis centrorum (ab
expoliro plano) adeoque Ponderationibus; dabitur etiam Fotius Ponderatio et
Magnitudo; adeoque d Cencri graricaris distantia a plaHO exPOSIO.
Neque haec de tiguris Planistancum obtinent; sed in Solidis non minus. Puta,
Si Conocides Parabolicum, vel Parabolocidicum, rel Conus eriam, auc Pyramis,
vel Cylindrus, auc Prisma, Sec. Conice excaretur; vel horum Frulta, Cylindrice;
aur aliis mille modis: uni ex jam dictis Pacis demonstratur.
5C Z70F YV M
TActenus ilaque Centrum Graritatis invenimus, infiguris omnibus Planis RC.
ctilineis; et Solidis, gux planis cerminantur: Sed e in Planis Currilincis, dt
Solidis curris superticiebus cerminatis, non paucis; cum Magnicudinem cum ee
Cencrum Graricaris determinarimus. Fr quidem lonse pluribus quam quo per-
cigerat doctrina Vererum. Atque, in sequentibus, ad plura achue procedendum.
ulera quam (quancum Seio) quisquam pertisit Recenciorum; Paltem ultra quam
a quoquam editum elt, inte cdliram noltram (unde haec directa methodo deducuncur)
Arichineticam Intinitorum.
Duod aucem, de Fieurarum Fruttis, figurisque Excaracis, auc alias mulcaris, e
tigurarum Axresaris, etc. ad tranc propositionem ostensum est: Eriam in sequen.
tibus incellisendum exit. OrpOte ex PTOP. 27. Cap. praeced. deducendum.
Plura vero quae hue spectane, ridear (cui id lubitum exic) in nostra srichme
sica Infinitorum; (ubi laec Mechodus Fulius traditur:) Et in nostro Commercio
ipistosico, (cum D. L’ermacio, alisque,) P. pilt. 16, ejulque Appendice.
5

## Folio 679 — 851387705:0699
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000699.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
PxOP. VII. DeCalculo Contri Cravitatis.
LROP. LI.
Si intelligatur ex Rectis Planitre, secundum aliguam ex Reciprocis (in
def. 2. hujus definitis, Indicem habentibus Negatirum) seriem insi-
nitam, (ab 5 ip(a feriei orisine inchoatam, et dato terminatam,) Fi-
dura conslari:
Etabebit haec, ad Verticem, laticudinem Infinicam:
Finitam tamen, G, ex parte Verticis, intelligatur vel tantillum Plano pa
rallelo abscindi; (adeoque sigura faltem truncata magnitudinis erie
Finica:)
Aream rero; quae sic ad Parallelogrammum, vel solidum Prismaticum, D.
super aequali Baseaque altum: uL Z, ad Indioem Dnitate, auctum:
Adeoque rel magnicudine Finitam; E Index sic major quam --- =;
(DuTa = 2 = 3, = 2, 8C.)
Vel Intinitam; si Index sit ----F:
Vel Plusquam Intinicam; si sic Index minor quam = F; (puta, -- 27
3,etC.)
5.
t
Ouaeque sunc magnicudinis intinita, (auc plusquam Intinicx,) Cen- II.
erum Graritatis non habent.
Duae sune tnicx magnicudinis, siquod habent Cenerum Graritatis, in L. L.
ea habene a rereice distantia, qua uta dividitur Diameter vel AXiS,
ut pars ad Basin, sic ad partem quae est ad Verricem: ut +, ad Indicem se-
riei Onitate auctum.
Habene aucem Centrum Gravicatis hujusmodi Fisurae (magnicudinis
sinitae) si sint Incegra, (hoc est, utringue Circa Diametrum rel
Axem similiter polica;) Nempe, in Axis illo puncto, quod, ita ut
dictum eA, distar.
Eix dimidiatis vero (vel quae trarum instar (unE) qua habent, quaeque
non habent, in Propoluione sequente dicetur.
Ouau exemplis facile explicantur.
Deque his Figuris Fruncatis, auc alias Mulctacis, vel Aexresatis; idem
judicandum est acque de illispropositionis Praecedentis.
AEque tae Fieurae interminabiles (plana, Solidaeros) ad. Par aboloeidium
genera spectant, vel adharum Tolida.
IpIx autem Linea Curva, ad quarum conrexas adjacent interminabiles
hujulmo di Pieura Planx; ad = syperbolarum seu Ly perbolocidium senus
reterendae lunt.
Sed et ouxe ad Fyperboloeictium harum (ea TOIA CKCEPtA QUX CA VerA HY-
perbola Apolloniana) Concavas adjacent Fisurae plance, (concara et
FCCtIS tErMInaLX) tum quam magnicudinem habent hinc determina.
bitur; tum ex Centrum graritatis datum exit.
Ncelligatur, ad Diametrum vel Axem AD, hujusmodi Figura plana solicave
construi, asBD; cujus Basis DB; d huie paralelae rectae aue superticies pla.
K.
L.
1
d
D
F18.
na (tixuram complences) ordinatim applicarae, lecundum seriem ex Reciprocis il 129,
lis quamlibet.
Erit, propter Teriei Directae terminum primum o, leriei reciprocae primus termi-
nusco intinitus: puta 2 = ∞. (Nam, ubi quanciras quaelibet dividitur; si diri-
dens Tro, quociens erit co: quippe nulla quancitas tinita, pro quoriente polita,
diridentem o mulciplicans, rellicuer dividendam.) Adeogue Recta Verricis A S
erit incerminabilis: Sive sigurae lacirudo, in Vertice, infinira.
Cum vero Seriei directae terminus post primum quiliber quancitarem habiear Fini. C.
can; seriei reciproex reliqui omnes termini sune tiniti; adeoque ligura intra
verticem

## Folio 680 — 851387705:0700
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000700.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
CaD. V.
lerici directae; hic quancitarem finiram diridens, quocientem dabie Fnitum.)
ter intinitam rerrieis lacicudinem;) Si tamen intelligatr, ex parte vercicis, vel
cantillum cruncari plano basi parallelo; reliquum tisutae, magnicudinis erit F
DItX. (Prie veique magnicudinis dara, alcitudo finita; led ee cruncatxe lacitudo
vel amplicudo per jam ostensa; adeoquerora tigura, sire plana sit live Tolida, lic
truncata, magniculdinis exit finitx.)
Est aurem, a verrice ad basin tora, ad Parallelorrammum, vel solidum Prisina.
lieum (sire lit Parallelepipedum, sire aliud Prisma, sive Cylindrus, vel iltiusmodi
quodris Solidum, super quacunque bale, eandem ubique, per tocam alcicudinem.
amplitudinem habens,) super aequali bale, aque alium; hoc clt, ad seriem tori-
dem ulcimo aequalium, (per det. 2. Cap. 4. ) ut T, ad indicem seriei Onitate au-
ctum; Per Fhujus.
Adeoque, (propter Reciprocarum Serierum Indicem negatirum,) Ei Ludex, TL
=+; exit = L = T. =O; adeoque ratio x, ad 0, Intinica. EF propterea (I series
illa sic Reciproca primanorum, (quale es, complemencum typerbola Apollonia-
na per prop. 95. Arcchm. Intin.) siguea eric magnicudiiio inturica. (Ovippe adt
2
eu ec. (ver B Cap. L.) ale, Lacio X ad - =
finica; per 8 F. l. 5. ) L.SB, et Fixura (quae aet dacam, ilsam habeat racionem,)
Dlusqua Intinita
VETEICCI HnIa LaFILCIAO. (NAIM, GNAMHIBLHIEHRGEE HC AIC POR PLIHCILM LCLIMMIS
finicam datatt,  L alt .)
Si velolndex sic minor quam = +, (Hoc est, magis negaurus,) Duca, = 23
3, ac. etram acdico L, mancB autiue nesatVIS; pura.
72d = 4, F ad = 2, _C., Nempe; ut Pot de Lesatrum; quae est plusquam
intinita; (nam, F ad 0, est intinita; ergo, F ad minus quam o, elt major quam in-
Sin Index major sic quam = +, (hoc elt, Hmus negativus,) puca,
3 ec. adcito L, Het. LOnrus, PIa
eC. (DeT B CaP L.) Adeoque, rario L ad 2, X ad 3
Tad 3, Lad 3, L ad a, _C. tinita. PrsO, _ Pigura (uequa ad daram tinitam, h
nicam habet rationem,) magnicudinistinix; utuc laticudinis in verrice, intinita.
Dux aurem Magnicudinis lunc a, (au pusa ,) Cencrum gra-
vicacis non habent. Ouippe,  M ipla verricis recta, Ad, intelliseretur, (aut su-
Dea verricem; auc etiam per Balm, aur intra Balin:) Pigura tota (respectu Plani
basi paralleli per Centrum Lld transcuntis,) ad unas parres ponderaret; adeoque
non esset Aquilibrium. Sin Mlta Perricem d Balin incelligatur; quantilacunque
(per sac ostenta;) illud aurem ad verricem, Intinitum etH; (quippe, li a tO1O
intinico, Linicum auteracur: reliquum exil CH. SECUS CHI, LIMLCUI L III-
10 adaum, Faceret intinicum:) Adeoque, Intinicum hoc ad retlicent ( Guauu
lacunque distantia) Finiro illi ad balin, (in distancia quantacunque tinica,) Pla-
Ponderabic: Adeoque non erit in illo pLaHO CCHCTUM CFaVIEaLIS. Nulquam ISITUE
Eit a verrice diltancia; planum bali parallelum per hoc trantiens, Figuram diridet
in sesmenta duo; quorum illud ad basin, Pinitum erir, atque in distancia tinita,
St vero sint magnicudinis Finicae; pura, secuncum seriem cujus Index G = 5
major quam = L, (uc jam otentum est;) Ostendetur (ut in prop. praeced.) cocam
Figuram, sire seriei summam, ette - -- - NP, (qua, nerape sic ad parallelo.
erammum, ret solidum Pritmacicum, N P, ut X 2d = 5 f x;) ee summam mo.
MEHCOTUM.

## Folio 681 — 851387705:0701
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000701.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
PrOD. VII. DeCalculo Centri Cit aouaris.
mentorum, sive momentum totius, (respectu plani per rerricem A S, baLI paral. L B
deli,) uc - =, = NDP, (nempe, ad momencum iptius N P in diltancia D suL.
Denti, uE F ad = 5 + 2; Propter teriem Momentorum, uno eractu alciorem,
quam est series Ponderum:) Per E hujuS. AdeOque, PFOPICK =
5+2
5J =D exit distantia Plani A quilibrii (Per 20 Cap.
3.) adeoque et Cencri Cravitaris siguod est, (per 24. C ap. 4. ) = 5 L
=D; 2dc0-
que reliquum distantix maximae, (quae l’aseos est,) -  - D. Haec ilut ad il-
Jam, est uc F ad - S F 1, (in racione tinica; Propter = 5. f. x quancicarem potiei. K.
vam:) Si itaque cora distancia D (batis d verricem) ita divicatur puta in C; uE
pars ad balin, C. D, sic ad parrem quae est ad verticeni; C A, ut F ad - 5 f E; pla-
num per C crantiens, baliparallelum, est Planum Aquilibrii. Per 20 C ap. 3. LC
quidem (siuerinque ad Diametrum vel axem similiter construatur tigura) in ipso
Diametri vel aris puncto C, (per 5 hujus.) Sinminus; Caliem siquod est Cen-
trum Graricatis, in eo plano cst. Per 24 C ap. 4
Dico aucem, siquod est; quoniam, in tigura dimidiata (vel quae istiutmodi est)
Feri Potest, ur Cenerum graritaris, utur in C B intinica intellisatur, intellivenda
tamen sic ab ipso C. puncto in intinira distancia, (ut in prop. Seg. ostendetur,) adeo-
que nusquam crit.
Exempli GratIa. Si LC A DBBS Figu-
ra, ex serie reciproca lublecundanorum.
conslata; (puta, cujus rectae vel plana
Tinc in reciproca ratione ordinatim ap
plicatarum in parabola:) cujus Index,
=Z. Adeoque, ad inscriptum Parallelo.
grammum vel Prisma ADBA, (quod
lic NP,) ut F 2d - 3 F F; hoc est, uE
2 2d 2, vel 2 ad Z: nEPC UT Z NP. NIO-
mencorum eries, indicem habebie
F L vel Z; (quippe uno sradu alcior quam Ponderum, propter diltancias arich.
metice provortionales:) Adeoque torius momencum, ad momentum Parallelogram-
mi vel Prilmacis in diltancia maxima appenti, (quod ( NPD,) uer ad +-
hocelt, ut Z ad FZ, vel 2 ad 3: Nempe, ZNPD = 2N PXS D. Oistancia itaque
Plani Aquilibrii (ee, liquod est, Cencri Graritaris,) a verrice, elt: D. ejusdem-
que propierea a Bali dillancia, SD. Adeoque haec ad illam, (hoc eAt C D ad C. A,,
ut 2. ad F: vet LadZ; hoc elt, 2ad - = + L
Si sic ex serie reciproca Fercianorum; cujus Inder =3. Exie lumlla Ponde.
TUIM, (DFOPTeF -5 F F
et
ut X ad 3, hc 3 ad 2;) ZNP. In.
dex seriei OmenTOruM FL =
Adeoque (propter 3 F L =
d
Tad 3, uE 3 ad5) summa Nomen-
TOTUM ENPD = 3N PX =D. Adeo
que plani aequilibrii (_, s quod
elt, Cencri Graricaris) diltancia d
verrice, ZD; a bale, 3D: Adeo-
que haec ad illam, (nempe CD
ad C A, ) ut 3 ad 2; vel X ad
VCoap, Y CFap. V C4 4p. V C9 ap. - - DP.
hoc elt, F ad = Z F F. Atque in aliis similiter.
3NPD = 3X
Si itaque in ea ratione diridatur AD in C; Sirque Figura verinque similicer ap
plicata, ad AD Diametrum vel Axem: erit C. Centrum Gravitaris; per 5 hujus
Sin minus; Calrem planum per C. est planum squilibrii; aique in hoc, siquod
siu Cenerum Crraricaris
Porco; Flabicis hoc pacto, tum Fieura torius ADBS, tum absci UE ACB5,
RPEK
maeni.
L
N.
d.
V0dD. VEdP. V-Y. Y3dp =- DP.
1c0
ENPD = ZNPKS D

## Folio 682 — 851387705:0702
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000702.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
magnicudine, ec Centro gravitacis; lalcem magnicudine, es plano aequilibrii, pla-
nO Der aXeM mOtUS A Sparallelo; seumaonitudine ee ponderarione: Ilabentur
relidui, sire tigura truncatae C BBD, magnieudo e Cenrum Gravitaris; Caltem
magnitudo ee ponderatio; adeoque distancia Centri Ciraritatis, Planumre in quo
est, plano Bals Peu Plano huic parallelo per axem motus, paralletum. Or in
PrOP. Praeced.
Er Similiter ostendetur de figuris hujusmodi alias mulctatis, vel aggregatis; at-
que in prop. praeced.
Fixuras aurem has interminabiles, eso ad Paraboloeidium venera retero; aut ho-
rum Solida: propter continuatam seriem simplicem, utut reciprocam, qua dispo.
nuncur ordinacim applicatae rectae, vel tigura plana, ipsas complentes; ut in Pa-
rabolocidibus corumque solidis, observare est. Oua de caula, de communem lor-
cem Tubeune, cum iis in propositione preccedente memoratis, (nisi quod ex HiS
aliquae sint magnicudinis intinitae, et Cencrum sraritatis non habeant.) Fc qui-
dem has in eadem cum illis propotitione comprehendissem, nitr quod in his (prop.
ter intinirarem) speciacim aliqua decerminanda essene, quae in illis absque aliqua
determinatione proxonuntur. Ouippe nulla est ex tiguris illis quae vel intinita
Tic magnicudinis, vel Ceturum Graricacis non habeat.
Tosa tamen Currx, ad quarum Conrexas adiacene hujusmodi figurx Planu, ad
Eyperbolatum, vel Fy perbolocidium, Tamiliam Spectane.
Fit quidem, eux terminat tiguram. planam, ex sexie reciproca Primanorum con-
Hacam, (qualis est media Curvarum irium in tirura L3 P ad lexipta,) elt vera LTyper-
bola, AColloniana; CujuS A(ZIMPEOTA TIInE AD, AS. (Ut pFOP. OF, 05, Arictm.
Intim. ostentum est.) Acque perinde omnino elt, sire, ex parte D terminata, sit
interminata vertus s; sire, ex parte sterminaca, interminata sic rersiis D. VErO-
vis enim modo eradet figura simplicicer intinica.
Reliqua vero, quae LSyperbolocides diei poterune; duabus item A symptotis AD,
AS, interjacene: ita quidem ut quae, vextus D cerminara e interminaix versps s
tiguras terminane magnitudine tinitas; eadem terminata verluss, e interminar
versus D, tiguras terminabunt plusquam intinitas: RE contra. Ouippe, sI ad AD
ordinarim axplicatae, ec ipsi A S Parallelae line, rerbi sraria, in serie reciproca Sub.
Scclmdanorum; ordinatim applicara ad As, ipti AB Parallelae, erunt reciproca
Teries Secundanorum; Et tioura ex illis constans non intinita; ex his vero, plul-
quam intinita. Et in reliquis limiliter. Or ad prop. 105. Ariihm. Lufin. olten.
dimus.
Alque hinc etiam constat, hujulmodi Tlyperbolocidium Ficuras, Curra Concava
terminatas, quadrandi methodus; _ Centrum Craricatis inrestipandi. Cum enim
Fructi C BBD, (ut hic E prop. Leg. ostentum cst,) e Parallelogrammi DCi Bd,
(uc nocum cst) cum Magnicudo, cum Centrum Craricatis habetur: Ilabebitur et
yperbolocideos B Bd, magnicudo e graritaris Centrum. Acque hoc quidem sive
tigura adjacens convexae, tinira Cc, live plusquam intinica; quippe cadem est. Cur-
va (ucuc secundum aliam diametrum considerata) qua utramque terminat; ut
modo ostensum est. AE in vera Lyperbola (caque, ex jam tradiris Sola,) nOn
idem tiec; quippe ad cujus convexam adjacens tixura incerminabilis est ee magni-
cudine intinica; sire AB, sire A5, pro diametO habeatur.
SC. I7OL ZV M.
Tque Lactenus (ut de Rectilineis Planis, de fixuris Solidis quae planis ter-
minancur nihil addam,) octendimus in Planis Currilineis omnibus, quae ac
venus Parabolicum vel Parabolocidicum spectane, et horum Solidis; atque ex Re
ciprocis, et Solidis horum, guorguot Cenirum Graricatis hebene; distanciam Cen
eri Graritatis d Verrice: Adeoque, Si pro Diametro vel AXe Rectam habEANE Pex
omnium sive rectarum sive planorum, ex quibus (secundum det. F. C ap. 4.)
contlari incellisatur tigura, cenera gravicacis cranscuntem; iplum Craritatis Cen
trum totius; urpore quod in ipsa Diamerro Axere constitutum est; per S hujus.
In hujusmodi tamen touris Dimidiaris (ut. Semiparabola, SemiparabolocHe, CL. )
aliisque ejulmodi; uruc de diltania Cencri Graricaris a verrice conster; de iplo
Cenri puncto, propiex iplius ab illa Diametro Axere diltanciam nondum cradicam,
nondum constat.
Flujeto

## Folio 683 — 851387705:0703
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000703.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
PrCP. VIII. DeCalculo Centri Cravitatis.
Hujus isicur a Diamerro Axere distancia, propoticione sequente cradetur, (ar-
que, in Colidis, certium adhue aequilibrii planum,) uc ipsum eeneri punctum de-
EETMIMETIT.
PR C
Onitate auctus, de upso ase indieis unitate auctum.
In Solidis aurem; Pro Basis puncto medio (quod in planis est balis cen. F.
quod per illuc va Clutrum Clartatis cransit; adcoque et per
omnium Bali parallelorum Planorum, (quae similiter posica suppo.
(Ouod quidem planum, in Colidis ex Planorum lemiconvertione falla
ramidochles Lalabb, ves Lalabolocidicum: Semi solidum ex
convertione fisura Reciprocae circa axem luum; et horum omnium
seomenta qualibet, duobus per axem planis, incerjecta:) illud est,
quod Balis arcum bisccat.)
Aequeu pro Indicis seriei Duplo, ponendum erit sesquialterum ejusdem
1
Semiparabola eM pataBloercis, aut Complementi etriutris; Plani-
ve Reciproci (centrum sraritatis habeneis;) ad diamerrum axemve Fix.
adiacentis; Distantia Centri Gravitaris ab illa Diametro Axeve, CA, ad 129,
discantiam inde puncti medii (vel centri cravitatis Basis,) u Index seriei 232.
trum sraritatis) Cumendum est Centrum Gravitatis Basis; Fritque
tocius Centrum Craritatis, in eo per Diametrum Axemre plano
nimus,) cenera graricatis.
re conrertione quaris impertecta) circa axem illum deseriptis; (qua-
lia tunt, Semiconus; Semtsas; Semt.Conocies ret senets.
Lncicts.
F1G.L3
Fiig. 132.
Adeoque; hujusmodi Dimidiatarum figurarunt llanarum (quorquol c
Basis Centrum Craritatis notum ell: Centrum graritatis determi- 134.
DatuT.
Nempe; In Semiparabola; distat à Pansente Verricis, 3 Alticudinis;
a Diametro, d Laticudinis (seu Baleo5) Parallelosrammi Cireum.
seriptiu rel 3 Semi laticudinis.
RPKE 2
d
habent) omnium; et Solidarum circa illas constructarum, quarum FiP. 132,

## Folio 684 — 851387705:0704
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000704.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
B.
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V
In Semi-parabolocide Cubieo; distat a Fangente Verricis, 3 alcituci-
nis; a Diametro B Laticudinis; vel Z Semi latitudinis.
In Semi parabolocide Biquadratico; distat à Tangente Verticis, ; AI-
titudinis; a Diametro, 3 Latitudinis; rel, 3 Semi-latitudinis.
In Semi- parabolocide Supertolidali; distat a Tangente Verticis, E AI
titudinis; a Diametro, I Latitudinis; vel,? Semilaticudinis. Pt Ai
militer in Semiparabolocidibus sequentibus, mutatis mutandis.
In Semiparabola Complemento; Diltat a recta per Complementi rer-
ticem (qua est parabolae Diameter,) 3 Alcicudinis; d Diametro
Complementi, (quae est Parabola Pansens in verrice,) id Laciru
dinis; vel3 Semi-laticudinis.
In Complemento Semiparabolocidis Cubicalis; Distat a rertice Paral-
lelorammi circum seripei (ret Parabolocidis Diametro) 5 Altitudi-
nis; à Diametro (rel Parabolocidis Langente in rertice,) i Latitu-
dinis; vel 3 Semi-laticudinis.
In Complemento semiparabolocidis Biquacraticalis; distat à verticis
rectam (basi parallela) E Alcicudinis; a Diametro ejusus id Lacicudi-
nis, vel Z Semi-laticudinis.
In Complemento semiparaboloeidis supersolidalis; distat à verticis
recta; Alcicudinis; a Diametro,  Lacicudinis; rel i Semilatitudi-
nis. Tit in sequentibus similiter, mutatis mutandis.
Fisura Reciproca dimidiatae, secundum seriem cujus Index non est
major, (hoc est, non minus negatirus,) quam -- 5, constitutae; Cen-
erum Cravitatis non habent. Sin major sic index quam Z; (e.
quuntur serierum directarum leges. Nempe.
Si Index SE --- 3; Contrum graritatis distat a vertice ABuTX, 3 AItitu-
dinis; ab ejus Diametro, Z Latitudinis (seu Ba(eos) Inscripei Pa-
ralleloorammi; vel Z Semi-latitudinis.
Si Index sit -- 1; distat a Vertice, 3 Altitudinis; d Diametro, E L. ati-
tudinis; rel 3 Semi-laticudinis.
Si Index sic - 3: distat a Vertice, 3 Altitudinis; a Diametro 8 L acitu-
dinis; vel Z Semi-latitudinis. Et sic deinceps.
Si Index siC = Z; distat a Vertice, 8 Alticudinis; a Diametro, Z Lati-
cudinis; vel ? Semi-lacicudinis.
Si Index sit =-3; distat à Vertice, i Altitudinis; à DiamCtTO, S Faci-
cudinis; vel 3 Semi-latitudinis.
Si Index sic --- 3; distat a Vertice, E Altitudinis; a DiamCErO, Z L ati-
cudinis; rel ESemilaticudinis. Et in reliquis similiter, mutatis mu-
tandis, Ret ex calculo judicium.
In Figuris Solidis, idem plane obtinet atque in Planis, secundum cal-
dem series conttructis; nisi quod, Pro Semi. L atitudine in planIS, PO-
nenda erit in Solidis (in illo plano quod per diametrum axemre, et
Centrum graritatis Basis, incedit,) Distantia Centri gravitatis BaliS,
a Diametro vel AXC; vel, pro Laticudine in illis, Dupla illa Distan-
ria in lis. Atque, pro Duplo Indicis, Indicis Sesqui alterum.
Puta; Si seriei Index Sit, 2, 37 2 5, etC. 2, 37 475, dc.
43
3, etC.
eC. quiq in Planis (ut dictum cAt) extribet 8, 163 12
_C. 103 143 187 223 _C. 23 436, eC. 3, 2, 3, eC. Latitudinis; Yel 2,338, 2
eC. 3, 33 33727 etC. 2, 2, 33 _C. 2, 4, 2, _c. Semilatitudinis: Substituen-
dum erit, in Liguris Solidis, 3, 3, 17, 13, _C. 8, 173 22, 17, _C. 3, 3, 3, eC.
2,8, 18, _C. Distantiae Ceneri praritatis BaliS, d Diametro vel AXC.
Llabet aurem Centrum Craritatis Figura Solican si seriei Index Paltem
atast tibus ECtaol an 3
Fie
132.
33
34
e

## Folio 685 — 851387705:0705
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000705.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
PFOD. VTII. DeCalculo Centri Cravitatis.
Si quando isitur ad communem Rectam per Verticem, (aut aliam
unam aliquam rectis per verricem parallelam,) concrario situ pon
nantur hujusmodi Roura (plana, Colidaere,) similes et aequales: Pi-
rit Centrum Cravicatis in illa communi recta, atque in ea à com-
muni Diametro Axere distantia, quam in sinsulis casibus jam de-
terminarimus. Sin rel dissimiles vel inaequales ret dissimili sicu
Posiex sint ejusmodi Risurx dimidiatae; cognita tamen erit com-
mune simul vtriusque Centrum Craritatis; per 27 C ap. 4.
Ouodque de heuris Fruncaris aur alias Muletatis, vel Aspregatis, in
duabus propolitionibus praecedentibus dictum est: Et hic similiter
incellisendum eA.
eio enim ad A D diametrum vel axem, adjacens illiusmodi Fieura Plana di-
A
 midiata, cujus parallelae rectae figuram complentes, sine secundum Periem di- FI3. 127-
rectam cujus Index sic S; vel reciprocam, cujus Index = S. Cumque lingularum 128, 129
rectarum cenera gravicatis sint iplarum puncta media, (per 2 hujuS,) atque per. 13F, 133
inde ponderane lingulae acli ex illis punctis mediis TUIDENdeTeNEE LOEX, (per 16
Cap. 4.) lineque dimidia toris proportionales (per 5C ap. T. vel 15 FI. 5.) Cimilis
exit series Distantiarum centrorum graritaris (d diametro vel axe) atque iptorum
Magnicudinum seu Ponderum; nempe cujus Index sic irem S, vel- S. Cumque
Momentorum seu Ponderationumratio, composira sie exrationibus Ponderum de
Distantiarum, (per 28 Cap. 4.) Erit Momentorum series, ea quae Indicem habet
SFS, vel --S=S; hoc elt 2S, vel - 2 5. F.H ergo (per rhujus,) Cumma
Ponderum cu Magnicudinum, hoc ct Figura expolita; ad teriem toridem ultimo
aequalium, hoc est ad Parallelosrammum super eadem Base aeque altum; (Puta
NP;) uc Fad S F F; vel (in reciprocis) ut 2ad - S F C, (adeoque, h- 5
major quam = I, exit = S f F attirmatirus; ee propterea figurae magnicudo fini-
ta: secus; intinica, vel plusquam intinita:) nempe p , AP, vel = 5. f =) NP. Et
Tumma Momentorum, ad cocidem utrimo aequalium, (hoc est, Momencum figura
expolicae ad momentum Paralleloprammi in distancia D Cuspenti,) uL F ad 2 5 F L,
vel ad = 2 5 FF, (quod itaque Fnicum
exic, s = 2 S major sic quam
et
=S major quam =: ; tecus, intini S f = NP) = = NEDC
cum: ) Nempe
2 5 +
= NPD. Hac icaque sum. =SF 
25
ma, per illam divila, distantiam exti-
= 20F
D
25
251
bec Cenri gravicatis ab AD, (per 24 Cap. 4.) Nempe; in seriebus directis.
ES. L, D: Inreciprocis, = F = D. OuOd eraE PrOPOTitum.
2. a
Requiritur autem, in Reciprocis, quo Cencrum graritatis habeant, ut = 2 5
major st quam - L; vel =S, major quam -3. Nam, niti = S f FLICFerMINUS
altirmatirus; nullum erit Centrum graritatis, per prop. praeced. Rique, niti d
=2 S F E Ticirem altirmatirus, (hoc est, - 2 Smajor quam =2, per B C ap. F.
nec dum eric cenerum pravicaris: quippe AHirmativi = S F 2, ad  25 f cqui
vel o tic, vel Aegatirus; ratio exit vel intinica, rel eriam plusquam intinita; adeoque
2 5. F, D. distancia intinica, vel plusquam intinica; ipliunque propterea Cen.
trum gravitatis Nusquam. Onde patet decerminatio.
Cumque termini ulcimi, (hoc est Balis,) centrum gravitatis sit in ipsuS PUN. C
cto medio (uc ostensum est, ex 2 hujus,) iplius Distantia D; erit semi Lacimido
tixura, sive Parallelosrammi super eadem bali xeque alti. Onde constat Partieu-
larium casuum Calculus, quod ad distantiam a diameero spectat.
Sed e Centri Graricatis a Plano Per verricem, distantia constat, ex 6d 7 Hu.
jus. Erso et iptum Cencri craritaris punctum; (Per 26 Cap. 4.) Ouod ilem
RFEF.
exat

## Folio 686 — 851387705:0706
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000706.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
DeCaleum Cntri Ceravitatis.
crat Copositum. Idem nempe quod i singulis calibus designarimus: VF ex Cal.
culo patet; ne opus HE ut lingulis casibUS IMOTCMUE.
In figuris Solidis: De Cenrri graritacis Distancia d Verrice, Similiter constat aE-
que in Planis; cx 6 e7 hujus.
Onodque hr in Plano per Biametrum d Centrum Graricatis Batis (adeoque e
reliquorum bali parallelorum Planorum Centra Graritatis; proprer omnia, quod
Fuxoonimus, plana similia, ee Similicer ad diametrum polita;) constabit ex q’hu-
Jud.
Ouod sit in ea quam dicimus d Diametro vel Axe distantia; sic item conttabit.
In similibus Planis (ex quibus conslari Solidum intellisatur) Cenera Graritatis
sune similirer sira; (quod ex 4 Cap. 4. et5 Cap. X. demonstrabitur:) adeoque
ab homolosis punctis distane in ratione lacerum homoloeorum; vel, rectarum ut-
cunque in luis respectire planie similicer posicarum; (quod ex det. T. _ prOP. 4.
FII. 6. demonstrabicur:) Cunque, ob similem, quem supponimus, planorum ad
Diametrum Axemre licum; homolosa timilium elanorum puncta sint in Diametro
vel Axe consticura: Distantiae Centrorum gravitatis à Diametro vel Axe, sunt in
ratione lacerum Homolosorum, sire rectarum similiter poticarum, in suis respectire
Planis: HIoc elt; (quod ex prov. 20. F.l. 6. demonstrabitur,) in subdluplicata ra-
tione Planorum. Adeoque: Si sexies Planorum, Indicem habeat S, vel -5: se-
ries Diltanciarum, Indicem habebit ZS, vel - ZS: Tt series Momentorum (ut
qua sunt in ratione ex rationibus Ponderum ee Distantiarum Centrorum Gravir
eis compotita, per 28 Cap. 4. ) Indicem habebie S. F ZS, vel - 5 - =S; hoc est
ES, vel = 25. EC ixitur (Potiris P, pro Pondere scu Plano ulrimo: NV, pronu-
mero Planorum, ex quibds conslari incellixacur Solidum; D, pro distantia C’en-
eri gravicatis Balis, d Diametro vel
AXC;
S F = NP, vel - - NF
5
Solidum, lire Planorum Ponderum.
ve Reoreerum: L, NVED, vet
35 =2
NPD
eD; Summa Momentorum, Sire Solidi Nomentum rel Ponde.
ratio. Adeoque dirita summa Momentorum, per summam Ponderum; prodibit
5 +
35 F =D v
5
O, distancia Centri praricaris Solidi, a diametro vel
axc: Nempe, ea quae sr ad D distanciam Centri Graritatis BaLiS, ut 2 5 f 2 ad
35. F 2, aut-
ad = 3 5 F +
2572 ad - 35 f 2; hoc ell, ut S F sad = S f L, au- 5tF
Ouod erat demonttrandum.
Cumque, in Figuris Reciprocis, quo Centrum gravicacistrabeane, non Tolumre.
quiratuE, uc = SF F sic terminus policirus, (per prOP. praeced.) Scd e- 35 F X
(ne ratio illius ad hane sic vel Intinita, rel plulquam Intinita; adcogue, propter
Intinitam, vel plusquam intinitam distantiam, Cencrum grariraris nusquam sc:)
major else debeac (seu minus negacirus) = 35, quam = L; sVC = S, quam
Z. inde constat dererminatio
POrrO; quum, in Fipuris Solidis, secundum seriem sire Directam, Cire Reci.
procam constitmris, oltensum sit; tum, quantum distet Centrum graritaris (adeo-
que de planum Aquilibrii) a plano per Verricem bali parallelo; cum, in quo per
axem plano reperiatur; cum denique, quantum in illo plavo d diametro vel axe
distat: Datur iplum Craricaris Centrum; dummodo Cencrum Craritatis balis non
iOnOrCtT, (Per 26Cap. 4.) Ouod crat propoticum. Nempeillud iptum quod in
sinsulis calibus detignâc propotuio: It ex Calculo patebit.
Denique: Duod, de duabus hujulmodi Figuris Dimidiaris, (timilibus ee aequa-
libus,) utrinque ad candem rectam contrario litu posiris; dictum elt: Constabit ex
hujus. Ouodque de iiidem (planis Coliditre) fixuris dimidiaris (aut quae harum
instar Lunt) cruncacis, aliasre mulctaris, ret apxresatis, addirur, Constat cx 27 C ap. 4.
SCT2
Cap. V

## Folio 687 — 851387705:0707
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000707.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
PFOD. VTII. DeCaui Citr suatis.
SC+OL TV M.
N praecedentium aliquor propolicionibus; in figuris Parabolicis omnibus, es
Parabolocidicis, corumque Solidis, Centra graricaris determinarimus. Neque
hoc tantum in Figuris incegris: Scd et (quod neleio an alii nobis priores sece
rinc) in Firuris Dimidiatis; uc Semi parabolis, Semi parabolocidibus, dc. etiam
in figuris Reciprocis (quorquot habent) Dimidiaris: Arque in horum omnium
Semi solidis; auc eriam, solidorum porcionibus quibutris, duobus per adem pla.
nis, interjectis.
De FieuriS autem RCcipEOCIS (uE ADBB5,) speciacim monendum est; VTE
tae natura lua sine ucrinque in intinitum concinuabiles, (sunt utique AD, AS.
ad curram B B, ATyMPTOIX;) nos tamen hie eas consideramus ut Bale BD termi-
natas, ad Diamecrum ordinatim Dolica (sicur _ Parabolas alia sque tiguras indeti.
nice concinuabiles, Base pro arburio claudimus;) led ad Partes B s indetinite con.
FinuataS,
Cumque harum aliquas magnicudine simpliciler Entinicas ostendimus (nempe,
cum Index seriei eAt = L; quo catu BBcurra, cll vera Ilyperbola, cujus ACymp
tOca TUnE AD, AS;) Alias vero rel Finitas, rel plusquam Intinitas: Tunt qui-
dem hae tigura ad ea(dem curras utra que terminata. Ouippe, (I A DB BS, Ter-
minata basi BD, interminata rero ad partes Bs, Sie Pinira; Cadem ex parre BS ter-
minata, et interminata ex parte BD, eric Plusquam infinira: e Contra. OuX Vero
ad veram Flyperbolam ponitur (seriei indicem = + habens) utraris parte cermi.
verur, (modo ne ucrague,) Cst paricer Intiniia: Argue haec 1ol2. Quod prop. 105.
Arichm. Intin. Ostendimus.
Conttat aurem, ex his Figuris Reciprocis; (quae inter Geometria miranda cen-
Tentur;) Piguras lonsicudine Enfinicas (Planas Solicatre) Magnicudine l’initas
esse polle. Nempe, li ADBBS ex parce BS incerminara, seriei Indicem habeat
nesatirum quidem, sed majorem quam- +.
Fademque Figura, (longicudine infinita, Sed finica magnicudine,) si verinque ad
AD diametrum similiter ponatur; habebir (in ipsa AD) Centrum pravicaris.
Eadem rero figura dimidiaca AD BB s, indicem habens negatirum led majorem
quam = =; utuc magnicudine finica GE, centrum tamen Craricatis non habebit;
nili ee major lic Index quam -=. Ne quidem quae ex duabus hujulmodi dimidiaris
veringue ad infinitam AS similiter POLciS ConHatur. Diltabit utique ab A verlus
P, diltantia Calcem intinica, vel daca quaris majore.
Sin major sic Index quam - 5, Cencrum Cravicatis habebii, tum dimicliara illa
Figura, tum et ex duabus ucrinque ad AS potiris constata.
trem; Figura istiusmodi plana, magnitudine Finica esse pocest; (nempe cum
Index major est quam = F;) ee Solida camen, quae hujus convertione tic, magni-
cudine Intinita: (Nempe, S non e major sic Index quam-
Ouippe, I FC-
ries Rectarum, planum complencium, indicem habeat = Z; series PlanOrum, quX
harum convertione circa ADtiunt, Solidum complencium, (propier Plana inra-
tione duplicata rectarum in illis similiter posirarum,) Judicem habebic .,
eriique proxcerea magnicudinis intinita. Sin series Rectarum In.
dicem habeat minorem quam -3; series Planorum habetrie indicem minorem
quam =+; adeoque Solidum erit magnicudinis plusquam intinicx. Ouae omnia,
Ex lupra demonstratis constant.
Contra vero; Istiusmodi Figura Plana, non modo maenicudine finica quaevis;
Sed ec intinira, modo Index major sic quam = 2; circa As converta: Solidum
exhibet maxnicudine sinicum: Et quidem, modo Index major sit quam =+; quod
Cencrum habeat Cravicalis. Quod ex prop. leg. patebic.

## Folio 688 — 851387705:0708
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000708.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V
PR OP. IX
Si Figura Plana (integra an dimidiata;) cujus ad diametrum rel axem
ordinatim applicata rectae Planum complentes sint sccundum seriem
aliquam vel ex Directis (deF. T. hujus, detnitis;) vel ex Recipro-
cis (deF. 2. hujus, detinitis;) cnjus index major sE quam -- 2; in-
celligatur, circa rectam per rerticem ordinatim politam, conrerti:
Solidum conrersione factum, erie magnitudinis Ainita. Nempe
quod sic, ad Parallelexipedum, cujus basis sit parallelogrammum
suxer eadem cum plano base aeque altum, altitudo vero sequalis Pe-
ripheria (integrae vel partiali, prour convertio fuerit vel perfecta
vel imperfecta) Diametri vel Aris puncto quod in bale cAt, de
TCrIPER: UE T, ad indicem seriei in plano expositae binario auctum.
Ejulque Rigura, si Inteora sic (hoc est, urrinque ad Diametrum Axem-
re similiter posita; sicque conrerlio intesra;) Centrum praritcaris
erit ipsum Punctum rerticis Diametri Axitre.
Si vero (fisura plana) Dimidiata sIC; ejusque ordinatim applicgr
sint, ad diameerum vel axem, ad angulos rectos; sitque Index vel
afirmatirus, vel Paltem major quam --- +: Solidum illud, Centrum
habebit Graritatis. Nempe, in illa, a plano ad exposicum planum
recto, perque ejus Axem incedente, distantia; quae elt, ad distan-
tiam puncti medii in bale plani expositi; ut Index serici, plani ex-
posici, binario auctus, ad duplum ejusdem Indicis binario auctum.
Sin major se Index ille quam ---2, sed non item major quam =--r :
Habebit solidum illud magnitudinem tinitam, sed non et contrum
graritatis.
Adleoque; E dimidiata illa Eoura Plana, sE reciproca secundum se-
riem cujus Index ---F; (quo casu curra, eA rera FIyDerbola;)
et convertatur circa verticem infinitum (qua est ACrmptotarum una
interminata) Colidum conversione factum, exit magnicudinis finita
(estque Torricellii, Solidum FTyperbolicum Acutum:) Cenerum autem
Sraritaris non habebit. FH utique Colidum illud, aequale paralle-
lexipedo, cujus Basis sic Parallelogrammum plano inscriptum, al-
citudo aequalis cuiris ex peripheriis extimis solidi: Vel; (quod
eodem recidic) duplo Cxlindri, parallelosrammo illo circa rectam
verticis converlo descripei. Distantia vero Centri Craritatis, a
Plano per axem expositi plani, simpliciter Infinita.
Si Plani Series Indicem habeat .--3: Solidum convertione factum
exic ad tale Parallelexipedum (vel duplum Cxlincdri,) ut X ad
=23
rel uE 2 ad F. Distantia Centri Cravitaris, esset ad
lemi laticudinem earalleloerammi plano inseripei; ut 3, ad --- +:
plusquam intinita. Ouod itaque nulquam exit.
Si Plani series Indicem hoteat --; (quae est Reciproca lemi- para-
bola:) Solidum erit 1d pase Parallelexipedum (vel Cylindri du-
Dlum,) uE X ad
2 = 2;) vel nE 2 ad 3. Distantia Ceneri
Craritatis, ad semi latitudinem Parallelogrammi; ut Z ad r, seu ut
2d 2.
Si Plani series Indicem habeae Z; (quae est semi parabolae:) Solidum
eAt, ad Parallelepipedum (seu Duplum Cxlindri, circumleripto le-
miparabola Parallelosramimo descriptin) uc 2 2d 2 3 (= 2 = 2:) vel
1
2.
Fic
5
12

## Folio 689 — 851387705:0709
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000709.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Prop. LR. De Calculo Centri Craritatis.
Ut 2 ad 5. Distancia Centri Graritatis; ad semi laticudinem Pa
rallelosrammi; ut 3 ad 3; seun ut 5 ad 6.
Atque in reliquis sumiliter.
Fritque Solidorum ejulmodi, intesra conversione descrixtorum; Cen
erum Craritatis (siquod est) in iplo conrertionis Arc; ejulque illo
puncto quod distantia jam tradita designat.
Seini-solidorum vero, (aut alias imperfecta conrertione deseriptorum,)
Centrum graritatis (siquod habent) est quidem in dictantia jam
altionata a plano quod ab axe plani exposiei conversione describi
tr et in illo per Axem conversionis plano quod per Centrum
Graritatis Rourx planae, expoliti plani Axe desCripEa, TranSIC: AL-
que in illa ab axe convertionis distantia, quae elt ad modo dicti
Centri sraricatis inde distantiam; ut index seriei exposici Plani
Binario auctus, ad cundem Indicem Ternario auctum; vel (quod co-
dem recidit) uc Index seriei Solidi conrersione facti Onitate au-
ctus, ad cundem auctum Binario.
l
Ouodque de Solidis convertione Factis dictum eAt: idem similiter in. N.
telligendum exie, de tiouris aliis: si pro Circulis (corumre POr-
tionibus) conrertione deseripris, incellisatur ex similibus figuris
planis quibustibet (circulis illis proportionatibus) similiter ad con-
rersionis axem policis, Solidum conctari.
Ouodque jam traditum est; Supponendo ordinatim applicatas in ex-
polito Plano ad hujus diametrum vel axem ad ansulos rectos con-
icutas; adeoque conversionis axem ad plana circa illum polita
rectum esse: Petinde verum erir si ad axem uccunque inclinatum
intelligantur similia illa plana parallela ordinatim poni.
Irem; Si ejusmodi exposita figura plana dimidiata, cujus orctinatim.
aeplicata non sint ad anoulos rectos, sed ad diametrum Cuam ut-
cunque inclinatae; convertione sua solidum describere intelligatur:
describet exposici Plani Diameter, (quaeque huie lunt parallela eo
eta,) non quidem circulum, (ut tactenus;) sed lupeiticiem coni-
cam (conrexam concaramres prout ansulus, quem cum conrersio.
nis axe facit Diameter illa, acutus obculutre tuerit:) ad quaM L2-
men superticiem Conicam accommodabuntur omnia (mutatis inu
tandis, ) quae de circulo illo, ejulre Plano cradita sunt.
Denique: Ouxe de fioura, circa rectam in rerrice ordinatim applic
eis parallelam conrerla, hie cracca lunc; ad conrertionem circa
rectas alias, alio sicu politas, Facile accommodantur; Puta, circa
Basin, aliasre huic parallelas, sire intra sive supra figuram pOsitas;
circa Arem, aut huic parallelas, ultra citrare tiouram positas, sive
adjacentes, sire urcunque remotas; aliasque sicu multis modis va-
riato. Ouibus casibus omnibus, pro re natam principia jam tradica
Facile accommodabit prucens Geometra.
iSto enim expolicum Planum, cujus ordinacim applicatae ad AD diametrum A.
vel Arem, linc secundum seriem directam ADB, cujus Index sic s; vel IC. Fi8. 129,
cundum seriem reciptocam, ut A D B BS, cujus IndeX SIE = s. AEque inreliSaCuFL3C, +35.
cirea rectam, ad eandem AD, in a, orctinatim applicatam, PuTa AS; converti.
Deleribent recta sic conversae, superticies curras Cislindricas cirea A S’UE AXEI;
quae quidem supersicies currae aequantur cocidem Patallelogrammis quorum Bales
aequentur rectis conrertis, alricuees en peripheriis uno aliquo eorum puncto
dele: (Ouippe curra CMariea, expansa, cum hujusinodi paralleloseammo
colncidet.) Sune isitur illae luperticies Curra Cytindriex, in ratione, ex recta-
rum converlarum, ee peripheriacum sic deseriprarum, rationibus composica: (per
i

## Folio 690 — 851387705:0710
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000710.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Fie
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
23 L. l. 6.) hoc eltu (propier peripherias radiis proportionales,) ex rectarum con-
rersarum, et earum d recta per verricem AS distanciarum, compolita. Est au
tem (propter aequalem quam suxponimus rectarum crassiciem) series laec diltan-
ciarum, series Primanorum, cujus index r; adeoque (propter s, vel = s indi
cem seriei Rectarum,) Ceries Tuperticierum Cylindricarum rectis descripratum.
(rel, his aequalium Parallelosrammorum,) Indicem habebic s F F, vel Ls f F
Duae icaque simul omnia, (hoc elt, Solidum convertione tactum) ad corictem
ulcimo aequalium, (hoc elb, ad Parallelepipedum super A B parallelozrammum,
alticudinem habens aequalem peripheria puncto D delcripiae; vel, quod Paralsele.
Dipedo illi aequale elt, ad Duplum Cylindri, paralleloorammo illo circa Vertieis
rectam convertione deleripti:) ut F ad s F 2, vel ut F adt =  + 2. (Per L hujus.)
Hoc est, (posico P Bo unO, ex aequalitus parallelosrammis, et N, pio omnium
numero, adeoque N D pro Parallelexivedo,)-NP, vel
 NP. Duod
quidem magnicudine tinicum ericus si vel p lic Endex Astirmacivus, ve) si Necari-
vus =smajor sit quam = 2. (Ouppe cum ratio L ad f. f 2, vel ad  s4 3
eric racio tinica: nempe ue terminus policirus ad policivum; non ut Posicirus ad
0, rel minus quam 0.) Oux crani demonstranda. Arque hinc particutdeium
caluum calculus deducetur.
PorrO; Si Lisura plana sie converta, dimidiata sic, (nam de Inrcora, dubium
non ett, quin Centrum graricatis abloluta convertione, erit in A puncto:) Finc
que ad axem AD ordinacim applicatae, ad anculos rectos: Frunt superticierum
(32 illarum currarum Cylindricarum centra graviratis in media illarum lonsitudine.
34. (per 2 hujus.) adeoque (propter, dimidiaca integris proportionalia) in ratione
rectarum in plano, quarum convertione hae superticies Cylindricae describuntur:
HIoc elt; in serie cujus Index est s, vel s. Cunque superticierum illarum, seu
Ponderum, series Iudicem habeat s. F X, vel  s. F F,. (uc tupra oltentuni est;)
ee seriesdistantiarum Centrorum Cravitaris a Plano per AD, indicem habeat s.
vel =s. (uc oltensum est modo:) Oux ex utrisque oritur (per 18, CaP. 4.
Momentorum series, (respectu perpendicularis Plani per AD,) indicem habebir
F. F, vel = 2
FI. Adeoque (poliro D pro diltancia Centri graricaris lu
perticiei Cstincrica iecta DB deleriprae; qua el teni laciudo. Pacaltelozrammi
AB; ) eric (per X hujus)
1107
NPD, vel
el 31) siit
XPD, cimul omnium,
7 2+1; (ICC le
hoc elt, Bolidi, Momentum. . Ouod quidem sI Pet F ) f = N P summan. Ponde.
rum, divictacur; prodibic  = D, vel
=D, dictantia Ceneri Crravicaris
L Plano per AD. Duae quidem diltantia; H lic bel s Endex Altrmatiotos, vel
Negacirus =s major quam = +, adeoque = 2] F 2 cerminus astirmacirus, (Vto.
cer altiruaciri ad altirmatirum rationem finicam,) finica exie: acque, in illa, Cen.
erum Graritatis. Oux icidem crane demonstranda.
vsi cela
i
Sin lasor quidem =s quam = 2, Hon autem masor quam = T: Flabebic qu
dem solidum illud magnicudinem tinitam; (ut oltentum est:) Sed non ee C’en-
erum Craricatis. Frir enim s. + 2 ad = 2 5 4 27 lali BbLI, vel ad 0, vel
ad negatirum; adeoque diltantia Cenero Craricatis debica, vel infinita erit, vel
plusquam intinita; quod isitur nusquam erit. Duod irem ACirmatum erat.
Ouaeque hinc, ad partieulares casus enumeratos. laliolre quoclibet) deducun.
tur: FX calCuIO PatEME
Ella. et LLa terres indicem habeat = c, quae est Trianguli reci
PTOCA:

## Folio 691 — 851387705:0711
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000711.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
PrOv. IX. De Calculo Centr  avitath.
proca; (quo calu, curra BB, CA Fyperbola; Cujus ATyMPIOI LUNE A D, AS: uE
DEOp. 02, 95 Rrichm. Intin. demonstrarimus: Adeoque, Tolidum istius conver
lione circa AS deseriptum, cst Forricellii, Solidum Eyperbolicum Aeurum. 
ex hujus apud Forricellium detinitione constat:) Fric elanum illud Magnicudine
Intinitum, (per 7 hujus.) Si tamen, circa As convertum, incelligatur Solidum
deseribere; erir hoc magniudinis finita; rantae scilicet quanta in Propolitione de
Tignatur. Cum enim, luperticies Cylindrica, recta DB deseripta; vel, huic xqua
le Parallelogrammum cujus Balis DB, alticudo aequalis peripheria puncto D de
TexipEx, SE P: acque huic aeque altum Parallelepipedum, super parallelosrammum
A B crectum; (L NP: (cui quidem Parallelepipedo, aequatur Duplum Cytincrr
eodem Parallelogrammo cirea A S converto deseripti: Nam, qua ratione cireulus
racio AD deleriptuIS, xequatur semisti Parallelogrammi cujus Basis elt AD, alti
cudo equalis Peripherix puncto D deseripexe; quod notum est: cadem de Cylincrus
parallelosrammo AB deseriprus, eandem habens alticudinem, aequabitur semissi
Parallelepipea: propier linsula hujus Parallelogramma linsulorum in illo Circu-
lorum, relpectire sumprorum, dupla: ee communem alcitudinem DB:) Sincque
superticies Cylindricae rectis ipli DB parallelis deseriptae; (vel, his aqualia P2.
rallelogramma quorum bales, exdem rectae; alticudines respectiris peripheriis x
quales;) Series aequalium; propter - s.+
= T==O: (vel ctiam; quia
cum peripheria lunt in rarione dillanciarum ab As directa, et rectarum conver-
Parum in carundem diltantiarum ratione reciproca, adeoque cum Parallelopramma
inricem xqualia, cum ex Superticies Cylindrice; per 6 C ap. T. vel 24 F. l. 6. Demper
quod ob minorem balis peripheriam oritur decrementum, aucta in eadem ratione
alcicudine compenlatur; ur superticies Cytindrica, rectis in AD BBs plano ipsI
DB Parallelis deseriptae, sine inricem aequales:) Frune simul omnes illae superti.
cies Cytindrica, live quod ex his incellixitur constari Solidum; = ,, = NP, HOC
cst - =, -NP =NP; aquale scilicet ipli Parallelepipedo, vel Duxlo Cytin-
ori, quod per NP detignarimus. AF vero; proxier Distancias (d plano recta AD
deleripto) Centrorum praritatis harum superticierum Cytindricarum, rectis con-
versis proportionales; adeoque secundum seriem cujus index = L ex constructio-
nC: eFIL Momentorum seu ponderationum series, indicem habens
(nempe qui ex Indice serier superticierum cytindricarum, o; et Indice Periei di-
Stanciarum, = 2; aBGrCBatUT) Adeoque summa momentorum,  
(nemPC, quae SIC ad NPD, ut F ad = r F Z. = 0; qua ratio est infinica;) vel
ENPD; quod per NP (quod est omnium Pondus, ut modo oltensum est) di
vitum: distanciam exhibet, cencro gravicatis debicam, sD, intinitam. Ouod isi.
tur nusquam exit.
Similiter: Si Plani series Indicem habeat -s = - =: (quod est magnicudine F.
Plusquam infinitum; per ProP. 7 hujus.) Prit Solidum hujus Plani convertione factum,
=s  = N P = 2 N P; maxnicudine tinicum. Sedt summa momentorum
-2 NPD = =- NPD, plusquam infinita. Et distanria Centro gravicacis
debita; == D, plusquam intinita. Ouod itaque nusquam exit.
Icem: Si Plani Series indicem habeat == =Z; (cujus itague ordinatim. ap.
plicatae, lunc ordtinatim applicatis in Parabola, reciproce proporrionales:) Planum
hoc est magnicudine Finitum, ( pex 7 hujus. ) Et Solidum conventione la
cum, icem tinicum; nempe -,, = NP = = NP. Eriique hujus Momentum,
SFCF =
e

## Folio 692 — 851387705:0712
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000712.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
-25+
DeCalculoCenri adibuis.
APD = APD, tinicum. Et distantia Centri eraricacis, =
Trem: Si Plani Series Tridicem habeat s = =, (quae elt Semi parabolae:) Soli.
dum convertione factum, exit,  NP = = N P. Fujus momencum -
NPD = = N PD. Dictancia Centri Gravicaris, = D.
2s.
Aeque ad eandem Formam Fiet judicium, quae cunque sic expositi Plani series isti-
utmodi ex definiris i_ deL. E, 2, hujus.
Ericautem, in Solidis hilce, incegra convertione factis; Cenerum pravicatis, in
Fig. 123, ipso conrertionis axe; per s hujus. Adcoque in ipsius illo puncto, quod diltan-
tia ab A, jam demonstrata, delionat.
Semi Tolidorum rero, (quae semi conversione deseribuntur,) aliarumre porrio-
Fis. 132, num duobus per conrertionis axem planis interjectarum, (puca, quae convertionis
intesrae Priente, Ouadrante, _c. describuneur;) Cencrum graricaris erit in illo
per convertionis axem plano quod per Cenerum gravitaris fisura plana recta AD
deseripea (adeoque per reliquarum huic parallelarum, urpore limilium de limiliter
ad axem potitarum, Centra CiravitatIS,) trantir: quod probabitur ex 4 hujus.
Ouodque sic in ea quam dicimus d convertionis axe distantia; sic constai. Cum
Superficies Cytindricae ex quibus contlari intelligatur solidum, (ut lupra ostensum
clt;) adeoque et harum porriones similes quancacunque intesrae conversionis
parte deseripixe, (propter arcus similes, peripheriis suis inteoris proportionales;)
Linc series indicem habens ) + I, ret = sF I, (adeoque si extima dicatur P, CrUINE
simut omnes uE NP, ret NP;) tincque carum ab axc convertionis
distantix, adeoque (propter similium Figurarum Cenira Graricatis similiter Fica)
diltantix Tuorum Centrorum graritaris, rectarum in expotuo plano quibus deseri-
buncur distantiis ab A s proxortionales; adeoque ut series indicem habens L, (ut
lurra octentum est:) Prit momentorum series (respectu axis conversionis As)
indicem habenss  2 vel -s + 2, (nempe s + s f L, vel = s. + F + T:) Ec Simul
omnium Nomenta (posito D pro distantia Centri graritacis extima luperticiem
recta DB deteripiae a conversionis axe AS, ) ut , NPD, vel - L. - WPD: (per
(+
Zhujus. ) Duod, per  = NP, vel =,,  NP, summam Ponderum, diritum,
exhiber  = D, vel = s. t = D, distanciam Ceneri eravicais Csiquod At) ab axe
convertionis AS. Ouod erat proposicum.
Porro: Si pro circulis cirea AS axem convertione rectarum AD ee truic paral.
lelarum deseriptis, dum sic D As angulus rectus; adeoque, axis A s’ad illos rectus:
Incelligantur cocidem circuli, his respectire aequales, cirea candem As ut axem
inclinatum, quocunque applicationis ansulo circumpotici; tiguram solidam com-
plere: Vel eriam; li, pro cireulis, incellisaneur alix figurae planae similes, et li-
militer polira, circulis illis proportionales: L.adem uccunque, quae prius, manebit
demonstrationum vis.
Vel denique; Si, PrOPTeF D AS angulum Acurum Obculumve, conversa circa
AS ut axem figura plana A D BBs; loco circulorum recta D A ee huic parallelis
describendorum, deleribantur conjex superticies Conrexae Concarare: Similiter
ad superticiem hanc Conicam, recta D A descriptam; atque ad circulum eactem, ut
prius deseripeum; (de de reliquis limiliter tuic parallelis;) eadem accommodabieur
Demonstrationum vis.
Denique, quemadmodum in Propolicione hac esimus, de Solidis, conversione
Planorum circa rectam per rerricem Ordinacim applicatis parallelam, descripeis;
COEIIGUE CCMErIS BTATIIATIS: Pronus cram idem praeltare in aliis Planorum con
versionibus;
V
Cap. V
= 2, LlIa.

## Folio 693 — 851387705:0713
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000713.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
PrOP. L. Se cuamoii  avitatis.
versionibus; puta, H Fatabora alare ex jam cractaris figuris, circa Balem vel
AXem, vel rectam Axi parallelam conversa, intelligatur figuram Solidam deseri
bere; aliaque hujusivodi. Abstinui tamen; partim, quia ad jam tradtitorum me-
dum pocerie his limilia Lector ipse pro libitu plura subjunsere (uo Marte: par
rim etiam, quia eadem, sequentum aliquor provolitionum op ucCMS d Li-
ul univertalius tracentur: maxime vero ne caedium crearem Lectoribus i sIS
ellem in hisce conserendis; praserrim cum tanta seges hic se otterat, ut vel IB
cilesium carpenci, nimis incumeleat Capuc hoc De Calculo Centri Graricatis.
SC HOL. ZVM
Padiaus hactens, Ca Praeterrim qua FsuraS Spectant, (planas Solidatre,)
a ad quarum Diametros vel AXeS, quae Ordinatim applicanEUE (recta aue plana)
sunt secundum ordinacam aliquam (ex iisquas deF. F _C 2 HUjIS CapIEIS ACLMIIM.
muS) Seriem constituta. Oux quidem ad cencrum gravitatis in tiguris innumeris
determinandum viam aperiune: F.X nostra Infinitorum Srithmetica plurimum De-
cita: Oux tamen adhue facile ampliabir peritus Geometra, es pluribus acthue cati-
bus innumeris accommodabit.
Ouoniam rero non omnes tisurx ordinatam hate Consticurionem lortiuntur:
quo aliis ucur inordinaris consulatur; sEquenEE PTOPOLILIBHC HICLLIOIIE alIMIC Ma-
eis generalem exhihemus; ordinatis juxca acque inordinaris paricer applicabilem.
Si diridi intelligatur Libra quaeris, in partes quotlibet aequales, (u-
mero vel finitas vel infinitas,) in distantiis a motus sui Centro vel
tice proportionalibus politas; ponderibus, aut ponderum particu-
lis, (aequalibus aut inaequalibus, ordinatis rel inotat,) Ulcun-
qe graratas: Paque quibus grarantur pondera, scu ponderum par-
ticula, in suam quaquo ab axc motus (C Plaio peraxem) diltan-
tiam ducantur; hoc es toties Cumatur Gllade particula quoto, est
ridebitur maxime expedire, consequi licebit:) Llabeus (relpecti
ejuldem axis) Momentum omnium; et hujus ope (cognita maoni-
tudine) distancia Centri Graritaris, ab illo per arem plano.
Nceslieneur, in A P libra, parces invicem equales, AB, BC, CD, dc. quarulae
diltanciae (auc mediorum in illis punctorum) à morus axe X, (aue, l partes
incelligantur infinite exisux, ab ipso A pun.
Eto) LInEHE L, 2, 3, Sc. arithmetice pFODOE.
tionales; tuis quaeque ponderibus (aequali-
bis auE inaequalibnS) a 6, 7,5, Scc. Onustae
Ouorum quodque tocres lumatur, quoto est
ab aXC motus loco.
Puta: 20, 26, 33, 4 5, Feu a, C +. 6, 7 +
F 8, _cc. HIOc eA (in Parci.
bus intinice exignis) omnes onulta BB, CC
DD, Scc. Triansulum rel Ongulam AP. P
complentes.
nice exiguis) omnes onultae rectae A E, BE, Ci L .  A L. L. Uat C
vel unsulam complentes.
AF demipris OMIIIBIIS A B, A C, AD, Cc. Hoc est, (in partibus infinice exiguIS,)
Pacalle toxrammum seu Prilma (onultum) A L. F. c, minus (onulto) Triangulo ret
Ongula contraria AP. c.
dETC
_c. Arichme
AxC (aut perpencculari per axem plato) ut L, 2
ipCa loco ab axc motus; (Duod rariis methodis, prout cuique casui
fie
Auc eriam, a f 6- f 7 f S, 6. f y = s, y. F s, dcc. Hoc Cst, (in parcibus infi-
Aut eTtaM  A L AL = AB, AL = AC, Al.= AB, dc. Hoc et colidem
AHC

## Folio 694 — 851387705:0714
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000714.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Aut etiam alio quocunque modo obtincatur asgregarum omnium tories respe
elire lumptorum quoto est quodque loco ab axe mocus remotum.
(Perinde aurem est, sire ipsa a B, 7, _c. quibus onerari censetur libra, sinc li-
nexe rectae, aut currxe; live luperticies plana, aut curra, aur miltae; tire olida
cujuscunque tixurx; aut etiam vires, impetus, ecc. aut qualiacunque demum invi-
cem homogenca, qua auc graria lint aut tanquam graria habeancur. )
Z: Adeoque (cognita etiam masnieudine limul omnium) diltantiam Centri ora-
vitatis ab X, seu perpendiculari plano Tuper Z motus axem crecto.
sit in ratione ex ponderum ee diltantiarum rationibus compolita; hoc ell, in Fa-
tione factorum ex ponderibus in luas lingulis distantias ductis; Flabuto horum
aegrexato, habetur momentum, (Per 18 Cap. 3. vel 22 Cap. q.) Adeoque; l
porro habeatur magnicudo simul omnium, hrabebicur (momento per magnitudinem
dirito) dilaa  lar DEt a CM PlaHO: Pet BIOP. 24.
ap. V
DeCalculo  Cravitatis.
Dico; hus potitis, haberi momentum simul omnium respectu iptius axis motus
Cumenim (per PTOP. 1Z. CaP. 3. vel prOp. 18. Cap. 4.) cujusque momentum
aD. 4
a C. 11VF. 1V
quoc Provoluionibus extibebimus.
TY5 tradicis: Monendum porro cll, _DC, quod Centrum Cravilatis dicimnis
punctum; ctiam alias urile esse, quo, quae ex se lune Cnaequalia, N. qualium
Ouod dici non incommode pollet (Gcheraliori nOmIE) LMea S WC
cum, nitr quo  e a Mllllare. Malum Lovossus hujus Ccn
eri indicare.
Si Super Base quaris Plana, crigatur Cylindrus, Prisma, Solidumre
quodris Prismaticum; Planoque utcunque ad Balm inclinato, ob
lique sCcetur: Fructum, plano balis, planoque secanti, interjectum,
(qua Ongula dici solet, aut etiam Cuneus non male,) aequatur So-
lido, Tuper eadem vel aequali Base, tancae altitudinis, quanta est
altitudo rectae in Fructo, quae basis Centro praricatis insistie simi-
licer inclinata atque ipsum Solidum.
Frustique Superticies, (exclusis Balibus oppositis, quibus intexjacet)
aequatur superticiei (exclusis item basibus oppositis) Solidi prisma-
tici similiter inclinati, super cadem rel Toperimetra Bale, cujus
latus tanta sic longicudinis quanta cA rectae in Tructo qua perime.
eri balis Centro graricaris insictie, similicer inclinaca aeque ipsum
Solidum.
Atque hinc etiam, de Frusto, Frustire superticie, duobus utcunque
Planis Obliquis, interjecto; het judicium.
incellisitur autem de Secante Plano, quod exposita balis Plano Oc-
currat vel extra sipuram vel in ipsius saltem extremo; non, intra
fiouram. Ouippe hoc casu solidum Prismaticum expositae bas in-
sittens aeque altum rectae Centro Craritatis insictenti; aequabitur
duarum trusti porrionum Differentia, sub ex supra balem exposi
tam Factarum, continnato Plano secante donec expositum Solidum
Prismaticum icem continuatum tocum crantrertim secat. Ft de
Fructi Superticie similiter.
Frinc autem Dneularum, quaS rOCanE, omne senus, mentura colli-
gitur.
icem Ongularum super eodem Plano, Rectare, aut Curra in Plano
deseripta

## Folio 695 — 851387705:0715
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000715.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
ress
PrOB. ZI. DeCalculo Centri Ciravitatis.
descripea, (cujus Caltem magnitudo nota AC) diftorentia, prout aele
(Seu planorum intersectio) propius auc remocins ablE.
Aut etiam duclentia momentorum ejusdem sravis; Prout Axis MO.
tus propius absic aue remotius.
Hinc speciatim habetur etiam Frilinei vel Polrsoni oujutris, in su-
perticie Cxlindrica deseripti (planis utcunque positis corminati)
masnitudo. Ouod et de aliis corporum Prilmaticorum Superticie.
Dus tixurisque iildem sic inseripris, intellisendum:
Ncellisacur basis plana B D, (rectilinea, curvilinea, an n_a gualIbCF; ) iguia A.
c
d
(polico oculo n Cocem pralio del intinitam diltantiam) proscracur in BD IC. F18. 136.
ctam: Cacleoque et huse paraltela plana quaeliber, in pardetas rectas projecta:)
3
incelligatur, quo sensu del. 7. Cap. 4. detinivimus;) B DdB; luque lupor palis
Cencro sravicaris C, (quod provius remociutro a B vel D intellisendum exit
prouc Balis tixura d licus poltularerit,) erecta Cc, ipsis Bb, D. a laceribue, pa
Fallela. Incellisacur vero Colidum hoc Pxilmacleum, alio achuc plano ad planum
halis oblique inclinato sectum; quod sectionem taciat, Bn s: rasta Cs, OcCurrenS
in u. Dico; tructum BDs e, aequale esse Solido Prismarico suver, cadem, bale
(ret huic aequali; propier aequalia Prilmaca, et Cslindros, quae sune super aquali
bus balibus aeque alta:) alcicudinem habenti cam quae elt rectae Cu; (nempe, huic
rectae aequalem, si Cn lit ad batin perpendicutaris; vel lalrem, aequalem perpendi
culari a puncto n camuta ad planum balis BD.)
Incelligatur urique Planorum BD, BS, communis seclio Z recta; quae in nni
cum Z punctum projiciatur; adeoque ee huic parallela rectae, in toridem puncta,
Perque rectam Z incedat Planum ZP, plaHO X BD rectum: quod in X P rectand
Projiciatur. (Ouam projectionis tormam eo tine adhibemus, quem ad prop. 14
Cap. 4. intinuarimus; quo et phancasia plurium linearum contusione leretur ne
que curbentur interim rationes: Ouippe cancundem d plano X P distabunt lingula
Solidi Duricta; acque, ab X P recta, cactem in plano projecta distane.
Ponatur POrrO; Planum ZBD, planum Horirontale; recta X, ad IB MOIUS;
Super qua Erieace corpus Prismacicum quodvio (pucqe Colitiaruo, si basis olta
Tic circulus; S rectilinea, Prisma Fnelideum; lalcem, Solidum aliquod Prisinati
cum seu Columnare, quod ex intinicis numero rectis paraslelis aequatibus constari
tocidem ipli X C aequales.
Sed e (propter Timilia Friangula;) iccllo AB, XC, XB, dC. PlOPO
adeoque Planum ZP, perpendiculare Plauum per motus axem. Adeoque in ea
ratione Ponderane Lingula Balis puncta B, C, D, dec. qua dictant ab axe mocuS L,
vel a perpendiculari per hunc Plano ZP; ver 4 C ap. 4. Hloc est, in ratione re
ctarum ZB, XC, ZD, ec. SCCI GravitaciS) cancundent
Timul omnia ponderant, acque si in C. puncto intellisereneur omnia: pet 26 C ap. 4
Adeoque (per 4 Cap. 4.) tancundem lunc limul omnes ZB, Z C, ZD, dcc. aique
les Tunt BB, C nn DS, ec. Adeoque (per 12 L L. 5.) cancundem sunE Simul Om-
nes BB, Cinus B, CC. (Acum BDSB complences, ) acque cotidem Cn (cotti.
Plentes

## Folio 696 — 851387705:0716
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000716.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
596
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V
Duncto nad balis plaium demilta.
Cepuris erectae.  unris eella exie cum propolicio, cum Demonstratio.
plentes Solidum Prisimacieu BD Y 7, ipsi Cn recta aeque alum:) Adenque B DSB
Fructum, est Tolido Prismarico BDrr 2, aequale. o ea a.
Atque perinde omnio ralet haec demonstratio, sire bali BD intillens tolidum
Prismacicum, ejutre tructum, Rectum CE, Sive Tnelinatum: Dummodo CoLN
do censeatur recta Cn alticudo, acque prismatis; nempe recta perpendeclari a
Supponit aurem demonstratio, communem planorum sectone Z, exIra Figu-
ram, (saltem non incia, sed in ipso Fortan Colidi extremo,) lecus enim, non exit
eadem Inccori de Lenet Balis, quod supponit Provolitio.
Sin planum secans, flatio Balis intra tixuram occurrat; MMCendum CxIE eo-
ulque deortum concinuaca tolidum, ut Frusti sesmenta auo linc; alterum (u
pra de alcerum intra BD batim: duxque rectae, Cn, duorum balis segmentorum
F18.
137.
Fio
BXB, iplI B X 7n 3
praecedente Demonltratione, mclacs d les poltularerie lignis , elicietur.
Ducto Plano Ba ipE BD parattelo; oltendetur, ut lupra, tructum sBa aequale
Colido BAy n y: FF, ablato uerinque BZ Da, manebit sXD aequale tori reliduo
BXDruY hoc ell, duobus BLB F BDr nY; Adeoque (subductis ucrinque
POrrO: Si duobus uccunque prans ieem Tolidum Prismatieum secetur, (sive
simile exit praecedentibus sucletum: Fructum scilicet urrisque planis incerjoetum,
iltiusimodi Prismarum seu solidorum Prismacieorum Rexregato vel Differencia (UE
res potulareri) dsclabuit.
enti BX
Duca: Si Planum BD plano B5 secetur in X; Cumptis uriusque (Cg
ZD, centris graritatis C, C; reliquisque uc prius constructis: Oltendetur Prustum
DXs, aequale solido Prismarico D X r u 7 (super eadem bale XD;) et Huteuim
Vel etiam, conpune. Relento communi torius Cemro gtaBIlatis C; PrOPICK
238. XDS Superne (quod Holctur 11B10 F) de BB lletne (quod signo = nOtCLIE)
plano balis BD ec secanti Bs incerjecta; ee Colidum prilmaticum B D r n Y su
perne (signo F nocandum:) Fric F XDS =BXB = = BD, n Y. Ouod ex
Vel, siguis esulmodi arerletur aemuattonen; senm alias sic oltendetur:
BZ B) eric 5XD BXB =BD~KV. Ouod erat octendendum.
eadem sic urriusque cum exposiia basis plano communis interlectio, sire lecus;)
d9. 13.
efig. 19c
F18.
Puta: Si Solidum quodvis Prilmaricum, cujus exposica batis aliqua plana sic BD.
38. EjuIque CC Glafa  Pet Quod cranseat Cn CC: Quod duobus utcunque
planis

## Folio 697 — 851387705:0717
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000717.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
PFOP.XI. De Carculo Centri Craouato.
planis obsgt sCcCI, Duca In Bu S  BCd. Ductis PIanis y u yZ BC5
BC D Parallelis: OltendetUr, nE SuPTa Fructo BD SB aequale Colidum B Fd V
item Frusto BDdB, aequale Solidum BDS8: Frustum igitur BS db (duorii
BDSB, BDdb, Cumma vel differencia, DtOuE ex oppoltis, vel hisdem parcibus
ejusdem BD Sumantur,) Solido Prilmatico 3788 (duorum limiliter BDr 
BD85, Tumma vel disterentia,) aequabitur. Ouod ostendendum cxat.
Sin haec duo Plana secancia, sibi invicem intra Solidum occurrant: idem hic Fie
monendum (acque similirer oAendetur) uc prius. Puta; Si BS, bd, plana (C 140.
mutuo secent in Z; eric 2 7 88 Tolidum prismaticum, aequale duorum sX d, BZ B
differentix. Adeoque de Fructo duobus urcunque Planis interjecto, constat. Quod
CTAE DTOBOTIcum.
Denigue: De Superticie Frusti, quod altirmatur; similiter omnino demonstra.
Bicur atque de Frulto ipso: Hoc prius animadrerso: Ouod Prismaris Solidire
exismatici cujulcunque magnitudo astimatur, ex ductu alticudinis in Balin; Su-
perticies vero Prilmaris, Cxlindri, Solidire cujulris Prilmariei recti (exceptis ba-
libus) Aieam habet aequalem tacto ex Lateris longicudine in Perimetrum BalIS
ducta. Onde, uc ex Solidi Prilmatiei Alcicudine e Bale cognitis, copnoscitur
Solidi magnitudo; quaque aequales habene cum Bases (urcunque distimiles,) cum
Alticudines (urcunque inaequalicer inictinata LnE,) sune incer se Aqualia: Sic,
hujulmodi Solidorum Rectorum, Superkcies (execpeis Basibus) Aream habent
coonira, li cum Laceris LongIEIdO, tum BaLS PEXIeTET, nOEX TunE; quaeque
rum Bales habene Lloperimetras, (urcunque dissimiles vel inaquales,) tum Latera
longicudine aequalia, aequales habent areds. Oua quidem ex Elemencis nota sup
ponmus, vel inde demonctrabilia.
Constructis igitur, ut prius; nisi quod e tic jam Centrum Gravicaris (non qui. Fis
dem BatIS, Sed) Perimerri Baleos: Ouoniam lingula perimceri puncta B, D, ec. 236.
in ea ratione ponderant qua distant ab Z motus axc; hoc elt, in rectarum ZB
XD, eC. ratione: qua timul omnes (propter C Cencrum graritaris) cancundem
rune acque cocidem ZC aequales: Suntque (provier similia Priangula) rectis
ZB, XD, XC, ac. proporrionales BB, DS, Cn, _C. Fancundem itaque TuNE
(per 22: EL. 5.) simul omnes BB, DS, ecc. (superticiem L rusti recti B D S B com-
Plences,) acque coridem Cn, complentes superticiem Solidi Prismatiei (dempris
Batibus) BB33. Quod erat demonstrandum.
Si rero exponatur superticialis Ongula Scalena, cum ejusdem basis Prisinatiea
Similiter inclinata (hoc urique supponimus in superticialibus, utur in Colidis id
non erat necelle,) comparanda: Similicer operabicus similis. utrobique inclinatio,
adeoque non deltruer aequalitatem.
Vel eriam, (uE in Eis. 139.) praecer duo plana Ongulam Sealenam cerminancis
UEBKS, bCd; incellisatur cercium aliquod BC.D, quod solidum secet ad angulos
rectos; adeoque duas exhibeat Ingulas rectas (de quibus procedet pracedens de-
monstratio) quarum summae rel disserentia aequabitur exposita Scalena.
Reliquaque, eodem modo demonstrantur de Frulti superticie, acque de ipto
Frusto demonstraca sunt. Adeoque constat Propolitum.
Atque hine Ongularam, quas vocant, omne senus. (Cylindricarum, Paraboli. L.
carum, _cc.) Menturam, (coonito vel suppolico Balis Centro graricatis, vel hu-
jus falcem a communi sectione plani balis, planique secanris, diltantia;) quam
magno molimine plures sunt axgresti; expedicius, simplicius, acque unirersalius,
una vice absolrimus.
Hinc eliam pacec; expoliti Cxtindri, Primacis, Solidire cujusvis Prismaciei, (ut
BDdb,) segmentum BOS B, quocunque plavo, et quocunque sicu potico, (dum
modo cocam tiguram transvertim secec, non bali intra figuram occurrat,) si Det
idem (in CC recta) punctum n vanseat; ejuldem magnicudinis elle
Duod et de Frusti Superticie (ita ut dictum est) Paricer incellisendum
Hinc eriam innoceseit difterentia duarum Ingularum super eodem plano, re.
Etave (aut curra in plano descripta) cujus magnicudo nota sit; prout Ongulx
Acies (leu planorum incersectio) propius remociutre abtuerit.
Nempen
2

## Folio 698 — 851387705:0718
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000718.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
Nempe, Si Tuper VA (plano, rectare, aut curra in plano deseripta) Magni-
C4. F. cudinis nocae; erigi incellisantur Ungula dua, quarum altera aciem habeat  leu
VB, altera a seu ar (ipsi VB parallelam;) licque eadem ueriusque inclitatio
(puta angulus F VA, angulo Fa A aequalis:) Maniteltum cA (Propter parallctas
tire lineas sive superticres V F, rF,) Ongularum V F A, V vFA, disterentiam esse
luperticiem Tolidumre V L Er, vel V raA; hoc est, tactum ex base VA in alti-
cudinem V v: Duxe quidem alcicudo Vr elt vel ipsi a V (distanciarum difteren.
cix) aequalis; nempe, si inclinationis angulus F VA, Seu Fa A, Tcu Y a V, sic sC
miquadrancalis; vel illa major minorre, in ea racione quam postulat dacus incli-
nacionis angulus.
Adeoque, si Vngula FV A nOT SC; addito VF FV, vel V va A, (Facto ex
bate V A in alcicudinem V v,) habetur Ingula V vFA. Si noca sic V v F A, dempro
eodem VF Er vel Vra A, habetur Vngula V F A
Si vero iplae VB, a r, acies, non lint parallelae; s tamen sint in eodem plano,
eademque ueriusque Ongula inclinacio noca, acque innoteleat Paltem quanta (IE
distantiarum a halis Cenero praritatis ditterentia; idem Cimiliter obtinecur: uE ex
ante demonstraris patet.
Ouodque de Ongulis dictum elt; Momentis grarium quorumris accommodabi-
tur. Cum enim graris V A momentum xstimetur ex facto a magnitudine in di-
stanciam Cencri graritaris ab VB, Seuar, (incellise, a perpendiculari plano per
axem, VB, seu a r,) differencia harum dictanciarum (hoc est distancia planorum
paralletorum BV, a T,) in eandem V A magnicudinem ducta, extibebit Momen.
torum ejusdem V A ditterenciam respectu AXium BY, e a 7.
Aique hinc speciarim, Frilinei auc Polysoni cujusris, in superficie Cylindrica
deleripei, planis urcunque poliris abscisti, (seu quod eodem recidii, rectis, circu
lis elliphbutre, quibuseunque terminati,) magnitudo colligitur. Ouippe mani
Feltum est, hujulmodi quamlibet tiguram in supertieie Cylindrica descriptam, elle
vel hujulmodi Ongulam, vel Calcem in hujusmodi aliquot Ongulas dirisibilem.
Adeoque (si dari incelligatur arcus circularis Centrum gravicatis, quod prOD. 14.
exhibetur:) iltius sive Ongulae, sive Ongularum aggregari, magnicudo hinc ta-
bebitur. Ouod de aliis icem Corporum Prismaticorum superticrebus, tixurisque
inibi descripris, pariter incellisendum exic.
SCTTOL TV M.
JOrandum incerim, Ouanguam univertalices proceclat propolicio, de quocun-
l. N que plano Z B C D, cui incelligatur uc bali insiltere Solidum Prismaricum:
adeoque e quameunque habeat ad balin suam inclinationem: Expedire camen
nonnunquam polle, illud ex omnibus Planum seligere, quod solidum recte secet:
cui iraque ad angulos rectos intistat solidum. Vcur enim rel Fructum secet, vet
ne accingac quidem, illud XBC D planum, idem incerim de alcicudine ex (H5.
239.) incelligendum eriem, quod de Cin (fis. 136.) dictum est.

## Folio 699 — 851387705:0719
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000719.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
abb
Y
II. Damm mcer aditatis.
P ROF
Si FiBlra plana circarectam quamvis in eodem plano ExPOSitam (guX
expolitam fgura non secet) converla, Figuram Colidam deleribat: Fix
Aquacus Tolidum le, eru Lmarico super eadem vel aequali 142.
Bale; altitudinem habenti aequalem Peripheriae (perfecta rel im
pertectae prout conrersio perfecta fuerit vel imperfecta,) quae ex-
politae Roura convertendae Centro Graritatis describitur.
Idem incellise, de Linea recta (vel curra) in plano illo descripean qux
converla intellisatur superticiem delcribere. Aeguabitur urique
haec superticies, superticiei super expolitam lineam erectae, alticudi
nem habenti aequalem peripherix quae Cencro sraritatis converla
linea describitur.
B.
Sin recta, cirea quam convertitur, expositam Aguram lineamre con- C.
vertendam secuerit: intellisendum erit de Ditterentia descriptorum,
ab illis conversi parcibus, qua utrinque ad recta secantis concrarias
Partes constituuntur.
Hinc icaque; Data sisurx plana, lineaere in plano, tum Magnicudine, D.
tum Centro craritatis, (hujusre ab Are convertionis distantia;)
datur fisurae, expolita convertione factae, magnitudo.
Dataque cum converlaen tum conversione expolta factae magnicudine; F.
datur diltantia centri graritatis converla, ab axe conversionis.
Data denique, cum maenitudine exposita conversionefactae, cum C’en- F.
crieraricatis conversae distaneia ab axe CoDrer GonIS; datur conver-
(x magnicudo.
Conversionem autem expositam hie dicimyo, quae quoca vel quanta paps sit
inteora convectonis, aut ipla inceora conversio, exponitur. Sup-
ponimus item, peripherix data Ponsicudinem datam esse.
Fstgue Centrum Cravicatis Onoula (sire solida sre superticislis) in
illo per aciem plano quod altitudinem bisecat; Solidi vero, aut s-
perseiei conversione facti, in illo pano quod conversionis angulum
vel arcum bilecat.
6
Atque hinc constat generalis methodus exhibendi solicum sigrre pla- Y1
na circa rectam quamvis in eodem plano descriptam (Paltem qux
iplam non secet) conrextione tactum; superticiemre conversione
lineae cujulris (rectae auE curra). In eodem ep conversionis ase
Plano descriptae. 
Flinc utique collisitur; Solidum convertione semiparabola circa re-
ctam in verrice Tansentem descriptum; ad Crlindrum qui simili
conrersione Parallelogrammi circumseripti cirea eandem rectam
Pangentem deleribitur; esse, ut 4 ad 5.
Similiter, si circa semiparabola balin COnVeKtatIE, tum Semiparabola, K.
tum Circumscriptum Paralleloerammum: Solidum illius, ad (oli-
cum hujus conrertione Laccum invenietur, ut 8 ad τ5.
Si circa lemiparabolae Axem, utrumque planum conrertatur; Solidum
Semiparabolx ad Coticum parallelosrammi convextione factum; in-
L
Si cirea rectam basi aejacentem, Axi parallelam, utrumque planum M.
Eit similiter, Ouxe corundem CChrersione circa aliam, quamvis in eodem N.
plano expolitam rectam (quae liguram non secet) in quacunqued
EEF:
Rancia
venietur uC F 2d2.
convertatur; inrenictur oorum ratio, ut 5 2d6.

## Folio 700 — 851387705:0720
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000720.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
De Calculo Cri Ceravitatis. Cap. V
santia remotam, et quocunque si positam, hunt Solida; Pationem
inter se habebune, hac methodo inrestisabilem. Idemque in aliis
Fsuris mille modis eHicietur.
Elinc etiam seguitur: Si converlarum tum Moenitudines, tum Cencro-
rum pxaricatis Distancia, sint vel utraque aeguales, vel reciproce
proportionales; Figuras, simili convertione, factas, aequales ese:
Sinminus; Calcem in ratione ex illarum mlagnicudinum, et Dictan-
tiarum rationibus compolita. Det PrOP. 6, 7, C aP. T.
Item; Annulum quemris, xqualem este, elano converso, in Peripte.
riam Plani Centro graricatis descriptam, ducto. Duodtum de An-
nulo inceoro, cum deiplius parcibus, perince obcinet; prout Con-
vertio inceora Fuerit, vel partialis.
Eem; Circulum, aqualem ette, Facto ex Kactio ducto in lémistem Pe-
ripheria; (nempe, in Peripheriam, Radii Ceneropraritaris seu pon-
Ato medio descriptam; qua Peripherix Radio descripex semissis
eAt.) Duod cum in Circulo intesro, tum ipsius sectoribus perinde
verum est
Erem; Curram Chlinari recti Supersiciem, aequalem Facto ex Latere
(hoc eA, recta circumducta,) in Peripheriam iptius puncto medio
descriptam, (quae Balis Deripheris aequalis est.) Idenique de Con-
vertionibus Dimidiis, aur Parcialibus alis, perinde obciner acque de
Inceoris. FF sc in reliquis.
item; Cylindri recti solidum, Reguale, Paratetogrammo circumducto,
ducto in peripheriam tuo Centro graricatis descriptam; (quae est
Peripheria Balis dimidia, propter Parallelootammi Cencrum erari.
tatis in media sire longitudine sive lacicudine.)
Tem; Curram Coni recti Superficiem, aequalem L ateri (hoc CA rectx
circumductae) ducto in Peripheriam iphius puncto medio descrip-
tam; (quae eA dimidia peripheriae Balis.) Olod e Prunci supertr.
ciei (plano Basi parallelo abscisi) etiam accommocabitur.
Irem; Conum Rectum, aequalem Friangulo circumducto, ducto in
Peripheriam ipsius Centro gravitatis descriptam; (qua Pcripheria
Balis Friensest.) Ouod et Trunco (plano Basi paralselo abscisso)
accommodableur
et in reliquis similicer.
Ailn suia uic
Sio expolica fieura plana BC D (in B CD lineairi rectam projecta, ea proje.
Ctione qua in PrOp. Praeced. uH Sumus) quae circa rectam in Codem plano X
in unicum Z punctum projectam) exera
(Falcem non incra) lisuram expolicam
conversa, deleribar BD db tisuram Coli-
dam; (limiliter in planum projectam;
Adeoque batio Cenccum prariatis C deseri-
bat CC Deripheriam.
Vel etiam BC D recta vel csirva lineg
quaelibet in eodem plano, (Similiier in
BCD rectam projecta;) gux circa Z con
versa describai BDb. d supertieiem eodem
odo in Planum projectam: suoque Cen-
tro Crraritaris Cy deleribat Cic peripherium.
Ec super eandem basem erigatur Soli-
dum. Prilmaricum, vel Prilmarica Super-
ticies; cujus recta, Cenero graviraris C in-
alis ponatue ipli Cepeteerta. Pooque X abscindaue Frum
Cunque
AIIICHS Ci
Ctum BD56.

## Folio 701 — 851387705:0721
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000721.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
D0
et
Prop. LII. S Cuam canir ravitatis
Cunque tum BB, C C, D d, dc. (similes arbus) Sineradiis suis XB, ZC, Z D.
proporcionales rectae BB, Cn, Dd: eruni ha rectae arcubus illis proportionales:
Sin Conrertionis aris Z, LecLISALALI LIICAHIVe COn-
vertendam: limiliter oltendece, Segmencum LFII.
XDS, seomento facti ex Conrectione ZD d; e re
liquum ZBB, reliquo XBV. 2u dilterencia dit.
ferencia aequalis; FF ucrario (per demonstrata ad
PrOP. PracCd. ) ipLi Prilmatico (Sorido, vel Superticici,)
BDr  2. Duod icidem crac demonstratetiim.
BB
PBB PB
PBB, vel B~. Dempe quole   B vel B, in
P ducto.
Tem; daca magnicudine Factae exposita convertio. 1
BBDEBBCC
B) PB(P
ab axc convertionis.
P) PBB(BB
P)PB (B
per P dirito, emersit.
Denigue; Bisectis D a in M e DS in ; ductisque per conrectionis adent vel C.
AdEOgUO, PFOPteE Cn ipSI Cic aequase Del Conttructionem; crunc ee reliquae re
liquis, aequales; et omnes omnibus: (Ce, BD ab figura (lire solida sive su-
perticiaria convertione tacta ). ip B Frulto; adcoque e (per Praeceden-
tem) ipsi B Dr n 3 figura Prilmacia lper candem vel aequalem balin Alcitudi-
Sc. proportionales; tum (proxeer limilla ( atSa) s LB, AC, XD, ec
nem habenci Cin, ipti Cc aequalem. Ouod erac demonstrandum.
magnicudine quae sic B B, vel B; atque
Ceneri graritatis C, ab X convertionis
axc, diltantia; adeoque ee peripheria
CC longirudine, quae sIFP: datuIT Cx
potita convertione tactae magnitudo
Llague; Dacatiura Planx lineaere exposica (BCD)
B
F
nC; puta P BB, vel P B; ipsaque conrertae magnitudine BB,
vel B: datur arcus (speche expolici) lonsiudo ~: (nempe
quod ex P B B vel D B, Per B P vel Pdirio emersit) adeoque
et radii quo deseribitur: quae eMt dStaMia CONCTI BraVILALS C.
Iem: data P BB vel  B magnicudine tieura convertione F
factae; _ distancia ceneri praricaris convensa a conrextionis axc;
adeoque de quae ab hoc delcribicur Peripheria Z; Datur conver-
exe magnicudo PP vel  Nempe, quod ex PBB, Vet LB,
Ongulae aciem X, planis Z BI, X a: Firime, ip illo, Contra 13
avitatis liveri
et
arcuum ut Bh, Dd, convertione factorum: in doo, rectarum lingularum ne, B B l43, 144
Ds ungulam constimentium, (per 2 8 3 hujus:) Adeoque in illo aFCuI CO. -43, 140.
mune omnium, (hoc etC, Superticiei vel Loliat COnVeKtONE TaCI;) I HOC, Com
Ex Plana (lincare I plano) circa rectam in eodem plano deseripram: Salrem Fis. 148.
Icta iplam non lecet.
Fxempli SCalta. SIt A DB semiparabola; cujus maeniindo ad maenicudinem L.
PEEE3
Darallelo.
din
1FIS. 142
mune omnica rectarum, hee ngula Supersscialis La e,) cencrii star
catis: Fe 2, Bap. Plaled. Ia Cla  ALaHIa.
Aeque hinc constat generalis Methodus exhibendi Solidum conrertione figu. H.

## Folio 702 — 851387705:0722
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000722.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
ut.
Cap. V.
bor Parallelos lal e cumteripei AD Bs cst uc, 2 243; Cen.
vero elaricaris a Verrice A S. distat 2. Alcirudinis,
jus; Parallegrammi cenerum a verrice diltat,
injo: Frgo illius ae hujus distanciam, u = ad =;
vel, ut 6 ad 5. A deoque propter plani
magnicudinem ad magnicudinem, uc 2
act 3; ee Centri diltanciam ad dictan-
tiam, uc 6 ad5; Frit Solidum ex con-
vertione temiparabola ABD, ad CylindTuM Cx COnVer.
tione ADBS, circa eandem AS; in cacione ex ilis com.
Dolita, ut 12 ad 15, vel 4 2d5.
Fadem E converta incelligatur eiica BD; (unde Cen-
trum Cravicacis distac = alricudinio; adeoque ad distanciam. Cencri
Cravicaris parallelo srammi eneum leripii, ut = ad =; sive ut 4 ad 5;
et magnicudo ad magnicudinem ut 2 2d.
cum leripeum Cytindeum, erie ut 8 ad 25.
id Solidum convertione lactum, ad cir.
Fadem cirea AD converla; PropteE magncudinem, ut prius, Scuc 2 ad 3:
2
e distantiam Cenri eraricatis ad AD,  L acicudinis, adeoque
12 2 ad distantiam inde Ceniri gravicaris parallelogrammi circum.
teriptis, ut 3 ad 4: per 8 hujus:) solidum facier, ad Cslincrum
cireum (eriprum; u16 ad 12, vel + ad 2.
Eadem denique circa BS, (unde Cenrrum pcavicacis distac  laciuidinis; adeo.
5, 1LXO, 15 que ad distantiam Ceneri graricaris parallelogrammi ut 5 ad 4;
4 126
ee magnicudo ut prius;) solidum facier, ad circumleriprum
Cylindrum, uc 10ad 12; vel 5 2d6.
Arque eodem plane modo taciendum esset, ctiamli rectae AS, SB, AD, DB,
non adjacerent, sed in remora distantia, vel etiam obliquo quoris litu, utcunque
in eodem plano; dummodo tixuram converiendam non seCEt exPOLITUS CONVeE.
Tionis AXIS.
Et Amiliter quaecunque exponatur figura planaq cirea rectam quamvis in co-
dem plano (quae illam non Lecet) urcunque politam converrenda. Ouodque de
licura plana dictum, de linea quaris in plano desexipca, similiter convercenda in.
telligatur.
Keliqua consectaria, in ipso propolicionis curriculo facis demonstrantur.
SCTO L ZV M.
TAnc mechodum cum ance plures annos inveneram (neseius id prius inno-
Lcuiste) inveni randem Forricellio, aliisque post illum, prius tuiste, nocam.
Si vero Figura conversa, non sic Plana, vel non in eodem Plano cum Conver-
sionis AXC, (quod et de Lineis similitex incellise:) pro converta, substienda
es alia (in eodem plano cum AXC) inquam, Converla, sic projecta incelligatur,
uc veriulque respectira Puncta sinsula cancundem distent a conrertionis AXe.
3 
De Calculo Centri Cravitatis.

## Folio 703 — 851387705:0723
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000723.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
e COp. LLIL
Decuna Citr avitatis.
EROP. LITI.
Si circa rectam quamris, ut conrertionis Axem feratur (conrersione
interra vel partiali) Linea recta terminata, in eodem (cum AXC)
Plano uccunque posita, (modo ne axem secet, aue illi sic ad anoy-
los rectos:) Oux a conrerta recta describitur Superticies Curra,
aegnatur Superticiei Crlindri recti, quae simili conrertione deseri-
bitur a recta quae aequalis sic Aris Portioni duabus rectis a con-
rerlae recta excremis punctis ad axem perpendicularibus interjectae,
in illa ab axc distantia quae aequalis sic perpendiculari, medio con-
rerlae rectae puncto insistenti, ad axem terminatae, circumlata.
Ouodque de una conrerta recta dicitur, pluribus similiter accommo. D.
dabitur.
Adeoque; Si Semi circumterentix Circuli, rel arcui minoris circum- P.
Ponatur ex continuis rectis (quae mediis luis punctis peripheriam
COntInSANE) contata linea: Ouae ab hac linea compositâ, cirea
iltius circuli diametrum quamris (quae illam non secet) conrerta,
describitur Superticies curra; aequatur Superficiei currae Cplindri
recti, aeque alii, basin habentis exposito circulo aequalem. 
Adeoque e; Superticies curra quae a Semi perimetro (vel hujus pOr- P.
tione, ex inteeris Lateribus quotlibet constante) Polyconi regularis,
circa Polrgoni illius diametrum (quae illam non (ccet) converla
delcribitur; aequabitur superticiei currae Cylindri recti aeque altis
basem habentis aequalem circulo qui Polroono illi inscribitur. EF
Partes partibus respectire sumpris.
Et speciatim; Supersicies Sphaericam aequatur superticiei currae Cxlin- C
dri recti circumseripti: Tjusque Portiones, respectiris hujus por-
cionibus; sire Planis per axem, sire planis ad arem rectis, ab
SCiMIS.
Atque hinc sequitur; Superticiem Sphaera, aequalem esse quatuor cir-
culis in Spliaera maximis.
Item; Superticiei Sphaerica Segmenta, parallelis planis interjecta, AI
titudinibus (rel abscissis Axis Portionibus) esse proportionalia.
TI.
Et; Scementi Superticiei Sphaericae, duobus parallelis planis interjecti, p
Centrum praritatis eAse in Axis seomenti medio.
Dux quidem Consectaria, etiam sinibus Rectis, et Subtensis arcuum L.
(mutatis mucandis) accommodanda sunt; (utpote illorum in Sver-
sicie Sphaerica Circulorum Radiis et Diametris.) Nempe.
Summa Sinuum Rectorum totius sire Ouadrantis sire Semicireuli:
adeoque et summa Chordarum rel Subtenlarum arcuum torius sire
Semicirculi sire Circuli integri; aequatur Parallelosrammo circum.
Scripto. Et Partes partibus respectire sumpris, qua parallelis pla-
nis abscinduntur. Nempe,
Summa Sinuum Rectorum inteori Ouadrantis, aequatur Ouadrato Ra-
dii: Summa Sinuum rectorum torius semicirculi; vel Subtensarum
arcuum in Semicirenlo; duobus Ouadraris Racii: FF Summa Sub.
cenlarum in Circulo incesro, Muadrato Diametri, sCu quatuIOE Oua.
dratis Radii.
M.
Trem

## Folio 704 — 851387705:0724
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000724.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
De Calculo Centri Ciravitatis. II C ap. V
NI. item (in parcibus horum) Summa Sinuum rectorum cujulris Ar.
cus particulis (in Tuo situ) conrenientium, aeguatur Parallelosram-
mo aeque alto, balem habenti Radium Chrculi. (Summaque Sub.
tensarum correspondentium, hujus dupla. )ivrasop cunis
Adeoque; Summae partiales, lunt Alticudinibus (seu Axis particulis
rinterceptis) provortionales.  3a aoe) ssilo iN c
FCs Summa Lsre Partialis, sire Tocalis,) Centrum graritatis, in me-
dia Alticudine Sclitenlarum quidem, in ipso Axis medios Sinuum,
Taltem aque alE. icC VIC Sixs sit ilssipis S.I LitBV sISI
evore t
=F. liC
Hine eadem etiam, pransterumne 2e Supersierem curvam Dneula suver
Semicirculum, ejutre Portionem crecta cujus Acies siE. Diameter
Semicirculum terminans. Nempe,
Si plani secantis ad. circuli planum Inclinatio, sit Graduum, 15, seu
Semi quadrantalis, (adeoque altitudo maxima, aequalis maximo Si-
nuum;) Curra superficies xequatur summae sinuum rectorum; (et
Partes partibus respectire sumptis.)
Si vero Alcicudo maxima, sit ad maximum sinuum, ut Peripheria
vel Semiperipheria ad Radium; erit Ungulae Curra Superticies.
aequalis curra superticiei Sphaerae vel Fremisphaerii cildem planis
Cari rectis) incerjecta. Arque in aliis Atcicucinibus, proportio.
naliter.
S. Et. Centrum Graritatis (quacunque sic Snonlae altitudo) in porpen-
diculari Plano medio inter extremos SinuS.
deti 70
AC BBELI CEP) cum i evilli inciorto
M, N, T. Atque haec eadem, ad Ficuram Sinuum Rectorum, sire Ouadrantis unius
sire totius Semicirculi, (quae quidem nihil aliud es, quam illa Se-
miquadrantalis Ongula Semicrlindri Curra Superficies in planum
expansa,) similiter accommodantur. Nempes Fisuram illam Si-
nuum rectorum unius Onadrantis, aequalem, esse Onadrato Raci:
totius autem semicirculi, aequalem duobus iRadii Cuadratis; et
Sermentum quodris duobus linibus interjectum, aequale facto ex
Radtio in Diametri Circularis Scomentum duobus correspondenti-
bus in Semicirculo sinibus interjectum ducto. (Unde et alia ejus
dem portio quaelibet, currae hujus particula et recta rectitre ter-
minatas similiter data exit.)
cteas ntist tue.
stC
Eademque porro ampliantur, ad Summas Quadratorum, Cuborum, Bi-
quadratorum, aliarumre pocestatum, corundem Sinuum. Rectorum.
Nempe; OE omnes Sinus Recti, Seemento cuiris Semicirculi (paral-
lelis Sinibus interjecto) respondences, aequancur facto ex Radio in
Diametri Scementum interjectum ducto: Sic et corundem Sinuum
Guadrata omnia, Xquantur Ractio in omnes ordinatim applicatas
(eadem ad inricem distantia sumptas, qua distant in arcu circulari
Sinus ipsi) segmencum illad complentes ducto: Et Sinuum illorum
Cubi omnes, aequantur R adio in harum Ordinatim applicatarum Oua-
drata: Sinuumque Biquadrata, Radio in harum Cubos ducto: et
Sc deinceps.
W. Acque hinC POLHaDEtuT, Momentum supec hua itius Sem-
exlindri, ejulre segmenti, respectu (aciei lux) Diametri circularis.
(Nempe, in Semiquadrantali Vngula, Sinuum illorum Ouadratorum
Summa aequale: in aliis, pro alticudinum rationc.) Iplumque ora-
ritatis Celuut.
IFCM;
D.
e.
V.

## Folio 705 — 851387705:0725
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000725.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
101
PFOD. XTII. De Calculo Centri  aouat
Trem; Figura Sinuum Rectorum, ejulre Seomenti, Momentum re- X
spectu rectae cui adjacent sinus illi: Veh Semiguadrantalis VH
sula (unde et de aliis Ongulis hiet judicium pro alticudinum ea-
tiOnC,) Fisnex Sinuum Rectorum, ejusre Segmenti aciem habens
rectam illam cui adjacent. (Nempe, Semissis dumma Ouadrarorum
corundem sinuum.) Adeoque, Centri graricaris Plani distantia
ab ipla cui adjacet recta.
Item; Alujus Ongula Momentum, respectu ejusdem adjacentis rectae,
aciei sux. (Nempe, Friens Cummae Cuborum corundem Sinuum.)
Adeoque, Centri graritatis inde dictantia. (Intellioe: Si prius co5-
noscatur, cum ordinatim applicatarum illarum summa, hoc est,
ipsum Semicirculi Sesmentum; cum summa quadratorum carun-
dem ordinatim applicatarum: Duorum utrumque methodis jam no.
tis coenolcunur: atque hic intra docentur.)
VIECa AXCM XS, recta ec (in eodem plano
 constirura) conrertatur; cujus medio
Puncto Y intiltens perpendicularis TC, axi
occurrar in C: Ab excremis aurem punctis i, 1,
perpendiculares ad axem ducaneur cd, Fd; ac.
queu d T medio, TD.
Si sIc ETF axi Parallela: Manifectum eAt,
cum TC, TD, eandem esse rectam, tum dD d,
cTc, (Parallelas parallelis terminatas,) rectas
aequales; adeoque conltare propolicum.
Sin Parallelâ non HI; OCCurraE Axi in A:
Eritque (propter parallelas, ec limilia trian-
Gula,) cPE ad dDd; ut AT ad AD; hoc
elt, (propter limilia criangula,) ut CT, ad TD.
Adeoque tactum ab extremis, EE in FD; aequabitur facto a mediis, d d in CF.
Ft (provcer, Similes Peripherias, radiis suis proportionales,) Factum ex et in
xipheriam racio D I descripeam, ad factum ex dd in limilem peripheriam de-
Teripcam ractio CT, vel qui luic xqualis Cc. AdCoque (Der PrOP. PrXCCd.) Su-
perticies curra quae a conversa et (cujus centrum graritacis elt l, ejusque ab axc
distantia FD) deseribitur; aequalis erit currxe superficiei Cylindri, quae recta da
vel huic aequali deseribatur, in distancia ab axe quae sit ipsi C Y aequalis. Quod
crat demonstrandum.
Nempe; qua ratione CP longior est quam DY, eadem brerior est d d quam LL.
Dico autem; modo ne Avem secet; quonium (uc ad prop. praeced. dictum cAt)
hoc calu, duarum curvarum disserentia, aequalis ester illa Superticies Cy lindrica.
Trem; ne sit ad axem ad aneulos rectos: quoniam, hoc calu, non Curram sed
Planam supertieiem describeret conrerta recta; cui in Curra superticie Cylindrica
nihil responderet. Nec, de illa procederet demonstratio.
Ouodque de una converta recta dictum est;
Dluribus limiliter accommodabitur; ductis, a lin-
sularum punctis mediis, ad axem, respectiris re-
etis. Ouippe s in omnibus cadem (Ic, vel aqua-
lis, recta FC; ejusdem Superticiei Cylindrica
sesmentis aequâles crunt quae a et rectis desert
bentur: Sin minus; diversarum.
Puta; Si circa Semiperipheriam (arcumre ad.
huc minorem) circumponatur, ex rectis contlata
cer linea; quarum lingularum puncta media
P, T, sinc in F L peripheria; adeoque TC
TC, invicem aequales: rectis autem LI, FL aeque
altae dd, dd, aris portiones; atque his aquales
55, 5d; quarum ab axc distancia d d sit aequalis
2.
C.
B
19.

## Folio 706 — 851387705:0726
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000726.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
R.
ipli FC, (guae cum sic inscripet Cneum radius; eundem canget S SS.) Ostende.
tur, ex jam demonstraris, Superticies rectis er, rr, descriptas, lisillacim aequales eis
elle qua rectis do, ss, describuntur. trso; quae rora eet deseribitur, toci de-
Adeoque; St LLC AL Toca Semi Perimeter Regularis Polygoni: De hac item
Constat. Sin iptuis Taltem aliqua latera; De superticie Palcem his lateribus de-
Scripra constat. Sin Forre, ad complendam Semiperimetrum, detir Semi latus, uE
td; quod perpendiculare (t iph a d AXi; (vel etiam uerinque inter lineae compo-
SITR EEF extrema, e axem, limile sic incerstirium:) Falcem cota luperticies Curva
quae a Semiperimetro deleribitur, aegualis jam oltenta est deseripea Cylindei Cur-
rae d 555. Duippe quae d cd deleribitur, plana crit: nec masis hic in contr.
derationem venic, quam Cylindri Bales. De Curris urique Superticiebus proce.
dic Propolitio
(acque hinc Facile deducerentur, non modo ea prope omnia quae ab Archimede,
de Sphaera e Cplindro: Ced et eorum plurima qua a Torricellio, de Solidis Sphae-
ratibus, demonltrantur.)
Denique: Cum Circulus aliud non sic quam
Polrgonum reculare lacerum numero intinito-
rum; sique Semiperipheria, iltius Polygoni Se-
miperimeter; (juxta det. L. Cap. 4.) etiam hie
speciacim verum erit quod de omnibus demon-
stratum est. Hoc est: Oux Semiperipherix
D PD circa axem D D convertione deserihitur
Superficies Sphaerica, aequatur Cuperticiei Curvae
Cylindri aeque alti a recta sS delexipta; EF POE.
tiones illius portionibus hujus respective lum-
Deis; Duta, quae d curra D L deleribitur, illi
quae a recta sd aeque alta; item, quae semicon-
vertione unius, illi qua a Pemiconvertione al-
terius; (ex in aliis similiter convertionibus im-
perfectis..) Duxe itidem erane demonltranda.
Aeque hinc segnitur: Superticiem Sphaera, quacuor circulis maximis regnalem
elle. Est urique Circuli in Sphaera maximi peripheria, aequalis peripheriae balis ex-
pohri Cylindei (propter aequales utriusque radios:) eaque ducta in lacus Cylindri,
(quod aegnacur Diameero Sphaera,) exhibet Cylindri luperticiem curram, ut no-
cum et; (vel, quod eodem recidit, recta ss in peripheriam ipsius puncto medio
descriptam, quae eadem est cum peripheria circuli in Sphaera maximi, candem ex-
hibet superticiem curram Cylinchri, per prop. Prxced.) Cum itaque quod fic eX
Semidiametro in Semicircumterentiam aequetur Circulo, (sire, quod tic ex Semi-
diametro in peripheriam ipsius puncto medio descripiam, quae dimidia est periphe.
ria cora deleripiae:) quod tic ex tota Diamecro in coram Peripheriam, (hoc est,
Curra Superficies Cylindri, adeoque _ Sphara,) aequatur duadruplo ejuldem cir-
culi maximi. Ouod erat proxolitum.
Irem Suverticiei Sphaericae Segmenta, parallelis planis abseicta, alticudinibus
(sire porcionibus Axis abscistis) sune proportionalia. Ae qualia scilicet respectivis
sesmentis Superticiei Currae Cylindrica; quae sunc alticudinibus proporcionalia.
Duod icidem demonstrandum erat.
Adeoque; ut Superticiei Currae Cylindricae, (per prOP. 4 e 5 hujus,) Sic de
Fix. 152. Segmenti Sphaerici, parallelis planis abseisti, Cenirum gravicatis est in Axis Me.
dio. Nam, quorcunque planis parallelis, utraque secerur superticies curra; aequa-
lia erune respectira hujus acque illius Segmenta; et (si incelligancur numero in-
finita, juxta def. T. Cap. 4.) aequaliter a medio plano remota, adeoque et aequa
licer respectu ejuldem ponderancia. F.st isitur in plano medio (batibus parat.
telo) Per 4 hujus; estque in AXC, per f hujus; ergo in Axis puncto medio, per
26 Cap. 4. Quod crar etiam demonstrandum.
Ouxe quidem hinibus rectio, et prouum subrentis lire Chordis, lacile accom.
InOdARET.
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Incel.
leripix a d3. Quod inidem plobandum erat.

## Folio 707 — 851387705:0727
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000727.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Ollen
PFOD. LLII. De Calculo Centri Cravitatis
Incellisantur enim, cum a singulis punctis sire parriculis intinite exiguis Dia. Fi8.
metri circularis sire Axis Aa, Ordinacim applicatae, ad ssTansencem circuli Pa- 153.
rallelam perringentes, (parallelorrammum circumleriptum complentes:) cum 2
Semicircularis arcus ADa lingulis punetis, sive particulis intinite exiguis (parri-
culis illis Diametri aequalibus) Sinuis recti ad Diamecrum vel Axem A a demit:
(Duorum icaque numerus seu mulcicuda, repuranda erie ad numerum seu mulri-
cudinem ordinacim applicacarum, ut elt Consicudo Semiperipherix ad Diametrum
Circuli. )
Cum saque singula arcus Particula; Neu carum Fansenres, cum parriculis illis
exiguis quali coincidences; sinc, (uc jamjam oltentum elt.) in ea rarione magis
Obliquae, seu minus Alca, qua Breriores sunc Sinusrecti inde demilti: adeoque,
Areus aque alti, in eadem racione Longioros, indeque sinus demisti eo, plures in
eadem alcicudine quo breriores Punc; (et quidem eo plures quam finc in cadem
alticudine ordinacim applicatae expolix, quo breviores tune quam illae ordinaum.
applicatae Rachio aequales: ) Frune ubique, in eadem alcicudne, omnes limul. Sinus
recti, omnibus simul ordinarim applicacis, aequales: (. Tuppleure Scilicor MuICIU.
dine
Adcoque; Omnes sinus recti Cnadrantis A C D, omnibus Ordinarim applicaris. M.
Ouacrati ACA
HIOc elt; (Si incellisacur Arcus A D in rectam extendi; eique ad angulos rectos Fis
insiltere Sinus recti in luis respectiro punctis; et per eorum omnia excrema pun- 255
Eta duei curra, Pisuram terminane quae siigura Sinuum Rectorum dicacur; . Fii.
sura Sinuum rectorum corius Ouadrancis, A CD, Ouadraco Racii aeguralisierie
nii
Icem; Omnes Sinus recti, in Na D Semicirculo, omnibus Ordinatim upplicaris Pir.
in Parallelosramno A a Sid.
5 10111. (E
53.
Hloc ettu Fisura, Sinuum rcclorum corius semicirculis A C.a; duobus. Guadra Fju
ris Radiis  At cruli
Aceoque; Si conrinuaris sinibus, compleantur Subcentae duplorum Ateuum.
mavitestum elt (Proxrer Subtensas Sinuum duplas). Omnes Subcentds Semicirculis
aequari duobus Cnacraris Radii; ec Omnes Subrentastorins Circuli, quatuor Oug.
dracis Raclii, sive Duadrato Diamecri. Duod erat, eriam probandum: 1p3: 
Cumque hoc ubique obtineat; Idemesu parcibus non minus raler, B Byt m
(55.
N.
nes sinus Recti in porrianibus Ciroularibus ABH, LBCD, E BF GG GFHH) P18.
ec. aequales omnibus Ordinatim applicaris, in Parallelosrammis AB, 8GI BC 0; 254.
EBF V, yb AIn C. 1VCS
Hoc ett, (erpansis Arcubus in Rectas, crectisquonsinibus, de complera uc Fis,
prius figura d Fisura tigura aequalis uta E. B F Cellin Hgura Sinuum, X91a - 154)
lis Parallelosranmo: B F 7: Et sic in CaterIS. Ouod etiam et av prOBAR 155,
dum.
adedt et Si AES, N a I Cireule, jam consideretur, ut Libra, (in sicurPloris 10
ronali polita;) Similiter ostendetur ipsius particulas aequales lingulas, insiltencit Fig
by5, ( in suo lim) Sinibus rectis, aequalicer praratas elle; inon minus quuns ex 233,
oppolita paerem Dicirarim applicalte
e eu duvare ou. l
Adeoque;

## Folio 708 — 851387705:0728
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000728.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V
AdepaE. (AVC TOTA Aa, Sre parS UE B S Con SideretE,) Centrum Aquilibrii
Fig. exit in allumpea Librae medio; (Dex PrOD. 2 e q hujus:1) Puca, Summae Sinuum
154. Portionis E. B P Ci, in alcicudine media inter R B e FC (sire ad casde, tive
0
F18.
ad oppoticus cencri parceo ponancur ipla B, F(.) Ouod erac iidem demon.
Ctrandum.
Dico aurem, In suo situ: Ouoniam Ei incellixatur (ur in Figura Sinuum, F.
255.) arous in rectam extendi: rem secus elle, (ob rariatas sinuum distancias,)
manitectum est. Nili cum P. B, C F, utrinque a Cenio requaliter distanr. p
Tocumque hoc quodide Sinibus Rectis (. Arcuumve SubcensS) trie cradicur.
eodem plane principio nieirur, atque illud de Sriperheie Sphaerica, ejusque parri
bus. Ouippe Sinus Rocti, Arcuumque Subrenla, in suo situ existences, non sunE
nisi Radii Diametrique Peripheriarum, aqualibus ab inticem dictanciis remocarum,
superticiem illam Sphaericam complenciumi carque ur illa omnes Peripheria,
omnibus Cylindricam luxerticiem complencibus Peripheriis aeguaneur. Sie e TIIa
rum omnes Racii; de Diameeri, omnibus icem Radiis, e Diametris, Flarum. Ouod
ee in parcibus obtinet respectire sumptis pariter urrobique.
11So loi. Isi1
losiesecbs si es C s eL WHI sC). IIS vCI
Eadem Curra Superticiei Onoula Be accommodaneur. si is eE sssite
Si super A a D Semicirculo, vel iphus Segmento quoris, UE E BP G, (rectis
254. EB, C B, quibulris, quae lint ad ansulos rectos Axi a a interjecto,) erieatur VN
Fie
255.
2it.
Eie
sula, cujus Acies (seu communis incorsoctio Balis Planique secantis) lic in A a:
licque Planorum (Basis Scilicet, Planique secancis, seu Ingulat ableindemis,)
nelnario, Semi quadrancalis: (quam domi quadrantalem neulam appellatus:)
Lectis E. B, CH, (reliquisque hisce parallelis,) insistet Friangulum Rectatontum,
ec quidem. (propier Tnolinationem Semi quactranca lem) Volceles. Adeoghe (cum
hoc ubique obtineat) singulis Peripheria ADa vel P Ci; pinictis, inltent scela
(curram Ongulae Supertieiem complences) Tuarum distantiis ab A o, seu Sitribus
rectis, aequales. Frirque propterea, Curra Superticies Onsula, aequalis Sittiniae
Sinuum rectorum; live (excenso in rectam areu A D∞, vel P _, crectisque Sini.
bus, et complera ut prius figura,) conrespondenti Pisure Siniltim rectorutir; eju p
re porcioni dorrespondemi. (Pelt urique Fisura illa Sinuum rectorum Na C, HI
hil aliud quam ictius Ongulae Superticies curra, in planum expan (d.)
HOS elt per modo demonstrara, P’arallelozrammo a AS. (H8. L54.) Si Basis Vn.
154. gulae sit. A a. D. vel Paralctoxranimo B F y C, _ Balis sic F B. 1- ei parres parcibus
Fis.
respectiro sumpris aequales.
Nempe, Ouae insiltet arcui E C curra suverticies Ongula Semi quactranca lis
25A, Caciom habentis B F) aegnalis erit superAcier plana P B P C in figura Sinuum;
(55. Hoc ett B F Ve Parallelosrammo. Px lie ubiqué. li o rsi liI
R. Si vero (pro alia Plani secancis ad Balin Inolinatione) alial Ec altiendo:) vilta,
Fis. alticudo in E, ad diltanciam L. B, (de sic ubique, ) Ut Petiphetia vel Semineripté.
254. ria ad Racium: Pro hinubus, Sumendae erunt Peripheria vel Semiperipheria his
op a3boR
Radiis

## Folio 709 — 851387705:0729
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000729.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
PrOp. LIII. De Calculo Centri Ciravitatis.
Radiis descripex, (salcem Rectae his Peripheriis rel Semiperipheriis aequales;) ad
eoque Ongula curra Superticies, aequalis erit Superticiei Sphaericae, vel PTemilphae-
rica, (huyulre Porrioni respectirae,) ejuldem Areus A D a, vel E C, convertione
vel semiconvertione (cirea A 4) delcriprae. Aique in aliis alcicudinibus PropOr-
tionaliter. (Dex PrOP. LF e F2 hujus. )
Adeoque, pro Parallelogrammis a A s, BF r E, lumenda erunt alia aeque alta:
sed quorum Bases, ad Basin As vel C2, (Radio Circuli aequalem,) sine in ca
ratione quae est Alciendo in P (vel alio Peripheria puncto,) ed hujus ab A a di-
Ctanciam.
EritguO, propter eandem rectae P. B, rectaeque ipsi in E insistentis, (d de re-
liguis similiier,) distanciam 2 Plano Sphaeram cangence in o, (vel huic parallelo
quoris;) Cencrum Graritaris in eadem ab illo Tangence Plano (Planore illi pa-
Fallelo) distancia, qua est Cencrum gravicaris Summa Sinuum, rel Superticiei
Sphoericae, (ejulre porrionis,) correspondentis. Hoc elt in Plano inter extre.
mos Sinus, (puca incer E. B, G F,) medio. Duxe icidem cranc demonstranda.
Fujus aurem Figurx Sinuum rectorum A a C (quam coram duobus Radii qua- F.
draris aequalem oltendimus,) si portionem aliquam duabus urcunque rectis BaM Fix
perpendicularibus interjectam, libeac menturare; puta E. B F Ci: Sumpris in Semi. 155.
circulo (huic respondente) ADa (tig. 254.) Sinibus rectis EB, CF; quae aequa-
les line, de similiter siri iplis E B, CFP, in tioura Sinuum (fg. 255.) Interjecta
Diamerri Circularis portio BF, in ejuldem Circuli Radium ducta; exhribebie Re-
ctangulum, expolia porcioni E. BF C in tisura Sinuum, aquale: ue in supra de-
monltracis oltentum elt.
Si vero aliam quamris ejuldem portionem, rectis urcunque abseiltam, (UEVE
non linE baL perpendiculares,) mensurare libeac: id see addiris vel ablaris (Hu-
sulmodi Porrioni perpendicularibus incerjectae) spaciis rectilineis; prout calus ex
Policus postulaverit.
Sciendum porto est, Summam Sinuum rectorum, porrioni Circulari UL L BF C
V
respondentium, diei posse alio acque alio modo complere cum L BF C in Agura Fig
Sinluum, cum P B PG in Semicirculo; Licut eandem portionem Circularem com- 154
plere dicancur, cum illa Sinuim summa, cum summa Ordinacim applicatarum, ip(IS 155.
E B, G F, interjectarum.
Incelliguncur ucique cum Sinus omnes iptis EB, GF, incerjecti in Apura Si Fix
nuum, cum omnes Ordinacim applicaca Epsis E B, C F, incerjecta in porcione Cir. 153.
culari; aequalibus ab inricem diltanciis rémorx ec quali aequalicer crallae seu lare:
2547
lire (quod eodem recidic) exiguis quidem sed aequalibus balis vel axis particulis 255.
intistences; quarum itaque aequalium particularum non alia ratio haberi loler (in
mechodo Indirilibilium) quam quod SimuL. omnes cOri aeguenEIY.
Sed in F BF C portione Circulari, Sinus recti (prOPter ATCuM, nOn AKem,
in aequales partes divisum) inaequalibus ab inricem interrallis removeneur: adeo-
que inaequalibus axis particulis insistune; (minoribus prove polos, quatm lonoius
inde:) quarum itaque habenda ratio.
Aiqualibus urique Fansentibus CE, CI, (quas Z dicemus,) sive Peripheriae Pi8.
Particulis (quae, cum intinue exiguae supponantur, cum iplis Pangencibus repu. 250.
tandae lune coincidere;) inaequales respondent Axis Particula dd, dd, (quas d
dicemus,) quibus insiltere incelligantur Sinus recti respectire sumpri
Htac autem consideratione interposica, non minus dicetur Summa Sinuum, quam
summa Ordlinatim apolleatatum, complere expolicam portionem Circularem. Pam
enim omnes tinus s, in (uds respectire d inaequales ducti, quam omnes Ordinarim. ap
plicatae (quasodicemus) in suas Cinsula Y particulas aequales ductae, candem portio
nem Circularem complent. (Supponimus aurem, quod et prius dietum est, parciculas
Peripheriae quibus respondent Sinus recti, particulis Diamecti seu A ris quibus tespon
denc Ordinacim applicqua aequales esse.) Hoc est, Omnes sa simul, aequales limul
omnibus oZ, liiidem P. B; C L, incerjectis,) DOrtionem P. B P C in Semicireulo, p2.
riter complences. Omnes aurem iidem Sinus s, in Arcus sui, Rectere, LC, Par
eiculas Y; hoc est, Omnes sF; aequales spatio P. B F C in ficura Sinuum: adeo
que Paralleloprammo (ut suxta probatum) EB P y porcioni Circulari EBFC
(ret hinic timili et aequasi cB P B) aque allo, batur habenci Radio aequalem.
(Disse.
F1E
33
13.
14

## Folio 710 — 851387705:0730
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000730.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. C ap. V.
(Ditterencia quae extento Areu in Rectam oritur, cst CBY C.) Sic, in portione
Circulari CF FTK, Omnes Sinus recti s, in luas respectire d porcionem com-
plences; aequantur Omnibus Ordinatim applicaris o in Y ductis, qua complent
(illi limilem et aqualem) porrionem sF FIk: Omnes aurem iidem s’in Y ducti,
(complentes spatIUM EF FTK in Ficura Sinvum,) aequantur Parallelosrammo
EIIx; excedenti spacium Circulare s P FIK, spatio 38km. Fx sic ubique.
Similiter; Sumpeis cum Sinuum omnium, cum omnium Ordinatim applicatarum,
Ouadratis, Cubis, SEc. crunt Omnes sd, aequales Omnibus oT: liem, Omnes
Sd = Omnibus o L: et Omnes se d= Omnibus 0+T. ec.
Duanca aurem sic a in lingulis, sic collicitur. Cum AE (uE in HaC pTOP. S A.
143. demonstracum ct) et ad da, ut CF ad FD; Hoc clt, Z ad d, uE R ad5;
Adeoque 5Z = d R: Fxit a -.
Adeoque; Sd = =: Ft Omnes sd hoc est, Omnes oZ, aequales Omnibus
: Et Omnes s. T, aequales Omnibus o = R: Sive, Omnes 5, aequales Omni-
Bas OR. HTOC CsE; Summa Ouadratorum Sinuum Rectorum in spatio Circulari
Fis. F. BF C; aequalis, Omnibus o R; hoc elt, ipsi spatio E B L CF in raclium R ducto.
254. Er lic ubique.
hieue Omnes s Z = Omnibus S d = Omnibuis  . Adeoque Omnes o P
Omnibus 5.
Iiem; Omnes a Z = Omnibus s d = Omnibus =. Adeoque Omnes a R
=Omnibus st. Ex sc deinceps. Oux ostendenda erant.
Acque hinc porro habetur Momentum Currae Superticiei Ongulae Semi cslindris
F18. Semicireulo ADa ejulre Segmento cuiris BR C F, intiltentis, (Aciem hahencis
154. AC,) relpectu aciei Cux. Cum enim omnes Recta superticiem illam complen-
tes, lint Sinibus rectis qui eildem areus punctis respondent Aquales, (nempe, li
Planorum Inelinario sic Semiquadrantalis,) vel Calrem Proportionales, (guaecun-
que si Plani secantis ad Balin inclinario;) linrque carundem ab Aa diltantiae,
iidem Sinus Recti: Frunt carundem Momenta, uc Sinuum horum Ouadrata; e
Summa Momentorum, hoc elt, Momentum Superticier Curra, ut Summa Ouadra-
torum illorum: Nempe huic lummae aequalis si Inclinario Ongulx sic Semiguadrari-
calis; vel ad illam lalrem summam eam habebic rationem quam habet rectarum
quaeris superticiem illam curram complentium ad suam respectire ab A a distan.
Eiam.
Ouod quidem Mlomentum, per Mlagnimdinem (jam cradlicam) divisuta, exhi-
bet distantiam ceniri crariraris d Plano per Aciem Aa, rectis superticiem curram
complencibus parallelo. Sed et in eo per aciem Plano elle constat, quod Rectas
superticiem curram complentes bilecar; DEF PTOP. LE. hujus. Acque in Plauo ip-
rei rectarum illarum extremas medio, ad axem recto, jum ostentum elt. d5. ErgO,
iplum Centrum datur. Per prOD. 26. C aP. 4.
ltem; Momencum Ficura Sinuum Rectorum A C a, ejutVC SCBMEnLIULBEGF,
respectu recta cui adjacent ADa: Seu (quod eodem recidic) Semi quadrancalis
Oncula ejuldem Fieura Sinuum; ejulre Scementi, aciem habens, candem AD a
rectam. Cum enim (propier cujulque Rectae Cencrum praricatis in medio lui)
cujulque Sinuum Momenium, seu Friangulum cictem inlistens, sic ejusdem Semi-
quacratum, (ducto scilicer unoquoque Sinuum in semiltem lui:) erie semi sum-
ma Ouadratorum, iptum elani Momencum, seu Semiquadraucalis Ongula. (Unde
ec de aluis Ongulis, serraca Alcicudinum ratione, tiec judicium.
Acque hoc Momencum, per Magnicudinem (jam invencam) divisum, extribet
Centri graritaris diltanciam, ab ipsa A a recta.
Denique; Hujus Ongulae Momencum, hinc etiam habetur. Cum enim cujos-
que Priangulorum horum Cencrum praricaris, a recta Aa, communi omnium
Aeien auc huie pocuus intiltente perpendicutari Plano diltac, duobus Friencibus
Aliuo
Fie.
N
Fi
55

## Folio 711 — 851387705:0731
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000731.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
O
PrOD. LLIII. DeCaleulo Centri Cravitatis.
istius cui intistic Sinus; sirque ipsum Triansulum (uri jam ostensum est) Semiltis
Ouadrati; FrIt (pTOPteF ZX Z = 3) Cujusque Prianguli Momencum, Cubi Friens:
Adeoque Priens Cuborum sinuum illorum omnium, elt iptum Onsula (Semi-
quadrantalis) Momentum.
Atque hoc Momentum, per Magnicmdinem (modo invencum) diritum, extri
bec Centri sravicatis Onsulx, ab iplo, in Aan crecto Plano.
Cum vero, pro invenienda Summa Ouadratorum, Omn. s; e Summa Cubo-
rum, Omn. 5; habenda Crunt Omn. OR, e Omn. o R, (per SV. hujus: ) hoc
elt, Summa Ordinatim applicatarum, e Summa Ouadratorum ex illis, (in R du.
cenda:) Hhaec quo habeantur nihil impedit; cum et jam nocis mechodis, haberi
Postint; et methodis a nobis intra tradendis.
SCTZOL TV M
DOret quidem hac Propolitio, pront Supertieiem curram ex cireumducto Areu
Circuli ortam spectar, ab illa qua lequitur (aliunde demonstrata) inferri.
Nam data Arcus Magnicudine, ejusque Cenero graritaris; habetur cum Ongula
superticies curra, (live, quod eodem recidir, Summa Sinuum Rectorum;) cum
Superticies curra illius convertione facta: per prop. LT et +2 hujus. Sed perinde
est sire haec ab illa, sive ab hac illa, interatur; dummodo harum Palcem altera
aliunde probetur. Fgo hanc pocius praemiti, propter sequentis ex hac demonstra-
tionem perspienam, et quidem simpliciorem quam apud alios hactenus riderim.
Illa enim (mea mechodo) directe lequicur de immediare, a demonttraris olim ab
Archimede, ee post illum aliis.
Ouxe autem hic tradica sune de Curra Superticie Ongulae Semi cylindri, aciem
habencis Diametrum basis circularis; Peu, quod eodem recidit, ArCUS MOmentO re-
Spectu iltius Rectae: tacile (per ea qua ad prOp. TF. cracidius) EraNSTCrrI POTC.
rune ad Ongularum aliarum Cotindricarum Superticies curras, alios habentes
AXeS; Peu Arcuum Momenca respectu rectarum aliarum. Cumque omnes in siL
perticie Cylindrica Pisurae, planorum sectionibus terminata, relolvi poltint vel
in curras tiguras Cylindraceas, vel Caltem Ongulares hujulmodi: Poterunt propter-
ea ejulmodi Pigurae omnes in Superticie Cylindracea, hac methodo, ad certas imen-
Turas revocari. Ouod cum Colius calculi opus lic; acque etiam in sequentibus ali-
qua
Ea vero Linea Curra quae Ssuram Sinuum rectorum (MOdO MCMOTATAM) Fje
terminat, ACia As. 255. alia non elt quam Semielliplis, sectione Semi Cylindri
facta, in planum expanta. (Ouod olim docui in meo de Cyeloide Tractatu; et in
Tubjuncta ili Epiltola, Pa8. 99.)
Ouippe si Tuper A a D Semicirculo (f8. 254. ) erigacur Semi eylindrus, alricu-
dinem habens, in D, aequalem ipsi DC; perque punctum iptiD (in ea alticudine)
imminens, Balisque diametrum Aa, tranlear Planum (Onsulam Semi quactranta.
lem abseindens;) Sectionem illam, Plano secanti ee Superticiei Cy lindrica commu-
nem, Semi elliplem esse constat. Eadem vero abseista Onsulae curra superticics,
in planum expanta; estipsa quam Fisuram Sinuum rectorum vocatus, A a C.
Iptaque AC a illam terminans, eadem elt linea jam in planum expansa, quae, in
Superticie Cylindri, tueral Semi cllip(Is.
Sin porro, Planum idem (quod Ungulam tranc ex Semi cylindro abseindic)
concinuetur per tocum Cylindrum, inceoram FDiptin sectione perticiens; caque
inceora FIliplis, eodem modo quo haec semi ellipsis, expanta in planum superticie
curvan expancatur: Continuata curra A C. a in A et a exhibebic (urrinque d C)
curvam eam (quam F.llipsin expansam pridem nominarimus) quae Fieuram Si
nuum versorum terminabir. Ouod in Practatu de Cyeloide tusius oltendimus;
quaeque in ictius Tractatiis FI8. 7 et 30. extibetIE: EF in sequentibus ulcerus
contiderabieus, ad prop. 27 hujus.
255

## Folio 712 — 851387705:0732
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000732.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
ROP. ZIV.
Cap. V
A. B. Aecus. Circuli, Centru slaritatis, est in axis lui eo Puncto, cujus
distantia a Centro circuli, est ad Racium, ut expoliti arcus Chorda,
ad, Arcum suum: FF quidem, in Semiperipheria, ut Circuli Diame-
ter ad demiperipheriam; scu uc Duxlum Radti ad Peripheria Se-
missem.
(Adeoque; Data ratione Chordxe cujutris ad Arcum suum; datur AE-
cus Centrum graritatis: PE, Daco Arcus cujulris, tota Peripheria
minoris, Centro sraritatis; datur Arcus ad Chordam Puam ratiO:
EE, consequenter, circuli Quadraturam seu ratio Diamerri ad Peri
metrum.)
E. Estque Distantia Centri gravicatis, Superficiei Solidire, conversione
(perfecta vel impertecta) tactu ab Axe conversionis lux; ad Di-
Stantiam Centri graritatis, correspondentis Dneula (Superticialis
Solidaere,) a Plano per ipsius Aciem exanseunte (rectis in ipsius Cur-
ra suxerticie parallelo;) ut est, ad convertionis Arcum, Chorda (2:
Fit quidem, in Semiconrersione, ue Diameter ad Semiperipheriam;
seu, ut Duplum Radii, ad Peripherix semissem.
Acque hinc habetur, Superficiei spliaericae, Zonx dimidiae (aliutre im-
pertectae) Cencrum craritatis.
Sto Arcus circularis B A B, qui non lic major Semiperipheria, Chorda BB;
H12. La cujus exiremis punctis B, B, demista (ad parallelam Diamerrum DCD) Per.
156. Pendiculares sint Bb, Bb. Adeoque, l CirCa D C. D ut Axem, converri incelliga
D.
C.
tux D A D semiperipheria: qua d D B desexibitur portio suverticiei Spharicae,
aequalis erir tacto ex bD in Circuli Peripheriam, (atque hoc urinque;) quaeque
a B AB describicur, sequabitur facto ex bb, hoc est BB, in eandem circuli Peri-
pheriam: (per 8. C, LL, I, prOp. Praced. ) Hloc est, S Chordae seu Balis B B magni-
indo ponatur c; e inteorae Peripherix, P: eric, qua ab Arcu deseribitur curra
Superticies, cF.
Fst autem, quae ab illo Arcu describitur Superticiescurra; aequalis facto ab
Areu in Peripheriam Ceniro gravicatis deseripram; per prop. 12. hujus.
ErsO; Si per magnirudinem Arcus, ut a, dividatur sP; prodibie = P periphe.
ria centro gravicatis descripta. Adeoque pro Pcripheria P, substiiuendo Radium,
ut ; erit R (cui aqualis ponatur C5) Distancia ceneri praricatis d D CD dia.
metro.

## Folio 713 — 851387705:0733
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000733.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
il
PTOp. ZIV. DeCalculo Centri Ceravitatis.
4) c∞ (= P. ) CA (= A = b. d. b.. A. C.
Fst autem, in ArCUS AXC AC; per PrOP. 3 hujus. Ergo, in illius eo Puncto
quod d Diameero DCD, ejulre puncto C, (circuli cenero,) ita diltat. Per DTOP. 26.
Cap. 4. Nempe, ut a ad 6, SiC R ad G. Hoc elt, ut ArcuS B AB, ad BB Chor
dam; sic C. A Racius, ad Cenerr Crrariraris a Cenero Circuli diltantiam, C. Gr. Ouod
erac propoticum.
Fxoonacur deinde, Arcus circuli Semiperipheria major, BaB. InVentO, ut B.
prius, relidui arcus B AB cenero graritatis CF: erit (propier torius Centrum gra-
vitaris C, per prop. Shujus) expolici Cencrum graritarisy, in GC continuata:
Aeque uc Ba. B, ad BAB; SC C. (, ad CY: (per prOP. 27. Cap. 4.) sive, ut
a = 2 = an 2d a; AC C = = R, dd y = (= x
= =) = R. Adeoque ut a 2d
C, BC RadY: Vel UE Ba B ArCUS, ad chordam suam BB; sic Racius C aq 2d C 7,
distantiam Ceniri pravicatis areus expoliri, a cireuli CenHO C. Quod erat propoti.
tum.
8. a:: G = = R. 3 = = R. 2. C:: R. Y.
Speciarim vero, in Semiperipheria, (quam ad urumris duorum eatuum relera. C.
mus, perinde eAt;) cum lic (propter c=D,) cF =DP; li hoc per Areum
a= a = = ~ dividacur; exit = P) DP (2 D, peripheria Cencro grariracis descripta;
cujus icaque Radius  R, hoc elt, , est Cencri Cravicatis d Circuli CentrO
dictancia, C6 =6 =
a. C:: =2. D = 2 R:: R. 6-
∞ A
itam Tuam, qua CAt Racii C. A ad C C distanciam cencri graviratis in ipta C A:
Daca rationum una, datur altera. Data vero unius Areus (cujus ratio ad tocam
Peripheriam nora incellisatur) ad Chordam Cuam ratione; dabitur ejuldem, adeo-
que corius Pcripheria, ad aliam quamris Chorcam, ad eoque ad Diamecrum iplam.
Iiem illud de Ingulis, Solidisque aux superticiebus convertione tactis, simili-
F
tex parer. Si enim Superficiei Solidire b ddb (conrentione Linex Planive BD Fie
15
Corollarium iem pacet. Cum enim eadem sic racio Areus B AB act BB chor. D
facti) cinguli Arcus BBB, dDd, (plano X BD bisecti) extendi intelle a
tocidem sibi aequales rectas BBB, SDS, eildem plani X B D punctis du alSI
rectos inlistentes, acque ab eodem bilectas, (xesttale Oneulam, vel ex euabi
compolicam complenies; per prop. v osuo  a
pI

## Folio 714 — 851387705:0734
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000734.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
CaP. V.
iptis B, D, punctis constitura, ab axe convertionis X diltabune respectirorum ar.
cuum Semidiametris ZB, Z D. Iplorum vero Arcuum lingulorum (Rectis aequa-
lium, ec inricem similium,) Centra graritaris (Proprer curvationem) in eadem
ratione omnia (propter arcus similes) propius admorentur ad conrertionis Axem
Z: atque in eadem ratione minuirur Niomencum (respectu ejusdem X axis) sin-
sulorum; adeoque e simul omnium; e propterea, communis omnium C’entri
gravitacis distancia. Nempe (per modo demonstraca) uc Arcuum unus quilibet
bBb, ad bb Chordam Cuam; lic Distancia Ceneri graricaris, adeoque Momencum
cum lingularum, cum limul omnium, Rectaram BB, SS, _c. Ongulam complen-
eium; ad Distanciam centri graritaris, de momentum, cum lingulorum respectire,
cum simul omnium, Arcuum bBB, dDd, Ecc. (Superticiem Solidumre conrer-
Tione circa Z Factum, complentium,) ab eodem X convertionis AXC. PUTa, ut
ArCuS a, ad Chordam 5; siC X C dictancia illa, ad diltantiam hane X3. Quod item
demonstrandum Crat.
FocelL; In Semi convertione; uc Z P ad Z R: seu nt P ad 4 R.
Porro: Cum oltensum sic (ad 5. L. Prop. praeced. ). In portione Sphaericae Su-
perticiei incegrae, parallelis planis interjecta (quam Zonam inteeram apDello,)
DUTa, QuIA ArCUS F. C circa B F convertione inceora deseribitur; Cencrum orari
tatis esse in Axemedio, (puta, in rectae BF puneto medio:) Adeoque in Zonis
imperfectis, (puta, quae converlione dimidiata, aliave impertecta, deseribuntur,
E correspondentibus Ongulis; Concrum Graritatis in eo plano elié, quod tancun-
dem dister a plano sphaeram in e. rangence, seu quod mecium eAt incer B d P
axi rectum.
Sique (Per prOP. 12 tnjus) in illo plano quod (per convertionis AXem vel
Ongulx Aciem A a incedens) bisecar, in superticie Ongulari, crectas omnes re
ctas illam constituentes; in Sphaerali, omnes Areus convertione Factos: Ouippe,
in quo Plano Tunc Omnium Centra srariraris, in eodem est commune omnium.
Duod autem rectarum illarum unam bilecat, bisccat omnes; arcuumque unum
bilecans, omnes bisecat: propter similia illic Friangula, hic Arcus similes; ob
eundem Inclinationis Angulum ad Aciem vel Axem A a: ) Adeoque in duorum
illorum Planorum communi sectione:
Ouo ipsum Centrum decerminetur (in Ingulis hisce, de Zonis impertectis,
Ouaerenda erit etiam ejusdem (in hoc plano per Aremrranseunte) diltantia ab
ACIC vel AXC Aa Onod SC BabCTUE.
Incellivatur Areui cuiris, uE F E, insiltens semiquadrantalis Ongulae (aciem
habentis BP) Superticies Curra: cujus lingulas rectas arcui insistences (superti-
ciem curram complentes) aequales else respectiris Sinibus rectis (ad 5. 1. prop.
Praced.) ostensum est; (adeoque superticiem illam Summa Sinuum aequalem; hoc
elt Facto ex AIcicudine BF, quam ldicamus, in Radium ducta; hoc clt, lR; per
S. LV. PrOP. Praeced.) Sed carundem distantia a perpendiculari plano per aXeM BF.
Tunc item iidem sinus recti. Momenta itaque singularum (magnicudine in di-
stantiam ducta) sune ut Sinnum Guadrata. Adeoque omnium Momenca (respe.
dtu rectae BF) uc omnia s. Tumma Ouadratorum Sinuum. HJoc est (Der S. V
ejusdem) ut spatium F B F G in Radium ductum. Ouod quidem spacium RBFC
(cum latis innoteseat) dicamus k2; adeoque k R est Momentum expolix super-
ticiei currae Ongularis, respectu rectae BF. AIquC hOC MOmentum Per Magnicu-
dinem IR diritum; exhibet =,  -  distantiam Cenri eravicacis à perpendieu.
lari Plano Tuper A a crecto.
Cumque eadem Tirratio (hoc respectu) Ongularum cujuscunque sinc Alcitdi-
nis; (urcunque enim auela Alcicudine, adeoque e Magnicudine, et Womento; puta
in ratione P ad R; exic adhuc eadem diltantia; J4
IR = 7: ) Erit cujuF
cunque superticiei Ongularis, suver Arcum Circuli crectae, (Aciem habencis
Circuli Diamerrum Ae) Distancia Centri graricatis a perpendiculari plano per
ipsam Aa, =; hoc est, quae oritur ex plano F. B F C ad rectam B F axplicaco.
Fademque cAet, (dempra curvitate, quae convertione Dritur,) in Superticie
conrextione facta, a convertionis Axe diltancia; (proprex tingulos Arcus in hac,
tingalio

## Folio 715 — 851387705:0735
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000735.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
ed
PFOD. X. V De Calculo Centri Cravitalis.
lingulis in correspomlentis Ongula luperticie curra respectiris rectis, aequales
atque in eadem d convertionis Axe Diltancia, qua sunc illa a Parallelo Plano per
aciem (uam.) Sd, propter curraturam convertione factam; minuenda elt ea Di-
Etancia, pro Racione quam hahet Convertionis Areus ad Chordam Cuam; uc jan
oltentum est. Puta; in Semiconversione, ut Semiperipheria EP, ad Diametrum
2 R; in conrextione Ouadrantali, ut = P ad se V 2: FI universaliter, ut ArCUS 
vel m, ad Chordam luam c vel n; lic distantia in Onsula (jam oltenta)
=,2d  vel   diltanciam Cenuri gravicaris Zonae impertecta, a conversio.
nis AXC.
Sed _ in AUOTUI PLaNOTUM, PrIUS MCMOTATOTUM, Communi lectIOne reperIrI
Tuvra oltentum elt: Freo, in hujus lectionis eo Puncto quae sic (ue dutum ett)
diltat. Dacur isicde, cum in Ongula, cum in Lona ucur impertecta, iplum Ca.
vicatis Ccnrum. Quoc erat ultimo otlendendum.
L AOP. XV.
Sectoris Circuli (duobus Radiis eC ArC COmPTCHENSI) Centrum BTa- A.
ricatis est in Axis suiillo puncto, cujus a Centro Circuli distantia, Fig
eA ad duos Frientes Radii, ut expolici Arcus Chorda, ad ArcuM 158.
Tuum.
Adeoque, in semicirculo; OE Semiperipheria ad Diametrum, sic 3
Radii ad distantiam Centri gxaritatis semicirculi a Circuli Cenero.
Atque hinc etiam Seementi circularis (recta absciMi) Centrum grari-
catis colligitur: Atque de aliis Porrionibus similiter. Cxteraque
quae hinc dependent.
B.
Nempe; Si ponatUE, in exposito circulo, Radius C A vel CB = R; C.
Peripheria integra, P; ArCUS BA = a, adleoque B AB = 2a; CHOF- F1B. 159,
da BA = c; Sinus rectus BV = 5, adeoque Chorda BB = 25s: Si. 160.
nuS VeRTUS A V = v5 xeliguusque V a = 2 R = V = B; 2 CCHErO DI
Rancia VC = ~ = R = V s V EE supra CenEruM, velV C = ∞ = ~ = R
S intra, vel VC = ~ = 0 li in CeNErO: IECM a - 5 = e; a + 5 = f:
R + V == 2
Fric corius Semicireali A Do, Magnicudo, : X P: Cenerique gravitatis, D.
sive ar an sive a Y A. distantia, R; momencum respectur a, vel T A.
1.
 P. P. Distancia Cencri Cravicaris ab A : momentum respe. O.
Au A a, Z R3
Sectoris BC A maxnicudo La R: Centri cravicatis distancia a DC, D.
A; ara _ +  R; a FA, R - == R; momenum cjus, relpectu
ra, La X2 =s R; momentum ejuldem respectu Y A, La R - 2 5 R2:
Ceneri pravicatis distancia ab A 
JVR2
s
=: momentum respectu Aa, O. W.
Trianguli BC. V, magniendo : Sr: Distancia Ceneri pravitatis a DC, 3 ~; F.
a 7 an R =3 X = Z R = ZV; a TA, R + 3 4 = 3R + ZV; MOmenTIM FCsBC.
Au 2oy 3 5 X R L 1 5~
LSX; resPeCtU FA, 35 XR F5 5X2
R.
x: Diltantia Ceneri Gravitatis ab Aa J S; MOIENEUM R. Y.
respectu A a, 3 52 V
Semitcementi B V a, masnieudo ie P + : SV: Momencum respectu ran F.
X X X d 2
ZCR2

## Folio 716 — 851387705:0736
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000736.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
ll. T. V
I
N
DeCalculo Centri Cravitatis.
Cap. V
DR F 35V R + 353; respectu TA, EC R2 F 35VR - 35; distantia
centrigravicatis a ra, R f -
3e Rt 50∞
V,
3C _ + 359i d F A, B
3C R + 358i aDC,
ZCK F 350 R + v; momentum respectu BV,
= 20 R + sa0 R - 8s3: Momencum respectu Ao, 3V R  - 55 R + 3V
2
=6u2 R + 55v; distantia Centri eravitatis ab A an ZC R + 25y
Frianguli Ba V, masuieudo :50: Distantia Ceneri gravitatis a YA, Z0;
27 4, 2R - Z ; momentum respectu r a, SVR = 3502; respectu l’A,
3502: Distantia Ceneri sravicatis ab Aa, 35; momentum respectu
A03 352 V.
Seementi ABA, maguiendo sC R: MOMCnFM respectu F∞, 3C R +
su ; relpectu FA, LC R - 3 sV R; distantia Ceneri eravicatis a DC, 
3
aras R. + =; a F A R - : Momentum respectu Aa, 5v2 R: di.
SdeBStiL 13C
mraricia Concri Bravicatis ab A
Ex similicer de scemento a Ban mutaris mutandis.
Citere
Frianculi, BCq, magnicudo s R: Centri stavicaris distantia à t a,
15V; a L A, R F :V; insTaDC, 3; momencu respectu + a, 25 p2
e6sR; respectu. LA, 35 R F 5SV R: Distancia cenrei scabicatis ab
A0, 3s; momentum relpectu A a, 5S2 R.
Triansuli BV a magnieudo Zsh: Dictantia ceneri sravitaris a r a, =B;
dTA, 2 R- Zh; momentum respectura, z sh2; resrectu T A, shR -
S. Y. sb2: Distantia Ceneri sravicaris ab Aa, 35i momenrum respectuAa
IL.
352B. Ae 5010d
Sectoris Ba A, magnicudo : s P: Momentum respectu r ay 2F R +, 5SBR;
respectu TA, 2 s R. = EsB P; distaneia ceneri Gravicatis a 7 oy R +;
c.
2 PA, R = =; aDC, =: Momentum respectu A a, 50 R2 = 3SER;
3)
20k +
Ceneri eravitatis inde distancia, =
5
Momenta autem eadem sune ubique ee Semiquadrantales Dnoulx: 5o-
lidaque respectira intesra convertione facta, sunt ad Ongulas illas,
ut P’ad R; et Semisolida, eorum Semisses; quod et proportionaliter
incelligendum est de Solidis aliis impertecta conversione factis.
O. P. X. Ouxeque de Momentis et Solidisrespectu rectarum F A, Fa DC, BV.
dlcta lunc; Facile transterentur ad alias rectas hilce parallelas: Pt
quae respectu Aa, ad alias huic parallelas: Aut (propter ipsa C en-
Era Graritatis elanorum data) ad alias CtiaM RECtAS LTANSFETENEUT.
Ouxque de Circulo dicta sunt, ejusque Portionibus; endem FI-
ripl ex porcionibus hujets, facile aecommodantur.
Ncelligatur Circuli Sector CB AB, vel C Ba B, (major, minor, an aequalis Se
lmicireulo, perinde est:) ex intinitis numero sectoribus componi: Sire, quod
(propter intinitatem) eodem recidic, ex cocidem criangulis, invicem aequalibus:
(quorum communis rertex siC C CenErUIm:) per det. L. C aP. 4. Oux cocidem re
etis (ut eorundem Triangulorum AXibus) repraesententur, ut CB. Cumque (per
prop. 6 hujus) Cencrum gravicatis in Friangulo, Alcicudinis Priente d Bale diltet,
(sire, a parallelo plano per Verricem, duobus Friencibus;) Si Radio Cb = 3C B,
deseribatur

## Folio 717 — 851387705:0737
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000737.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
P.
listau
ad
au
R
1,d
2
PFOD. XV. De Calculo Centri Cravitatis.
describatuir peripheria bB, (expositae BB MMMIIIS, de Similitex POLica) cransibit hXC
per Friangulorum SInGUIOTUI CentTa BTAVIIAUS. Cujus Haque cum linsula puncta
1 e
Fig. 258.
8 R2
C. B, diltaciciam Cencri graricaris Semieircudi (in axe suo polici) a Cir.
culi CenErO C.
Corollarium, de Circuli Sesmento; constat ex 27 Cap. 4. Ouippe cognitis, cum B.
magnicudine, cum Centro graricacis, Sectoris CB AB, vel C Ba B, _ Prianguli
BB C: Cognolcitur inde cum Magnicudo cum Cenerum sraricatis Sesmenti BB A,
vet BBa
Idcinque in altis Circuli porcionibus oltendetur.
vitue
Exemoli gracia. In exposito Circulo, lic Racius C A (vel C.B) == R: Inte- C
Era Peripheria, P: ArcuS B A = a: Adleoque BAB = 2a: Chorda B A =c: F18.
Sinus rectus BV = 5i adeoque Chorda BB = 25: Elujusque ab A verrice diltan. 259,
100.
(aequalibus ab inricem distantiis remota) aglaliter onerentur (aequalibus utique
Triangulis, gnorum Centra grarscatIs Lultinere MIITCISSAMTUL:) LaCM etI areus bB
Ec onulti Centrum praritacis, atque ipsno Sectoris BC b, POI 10 Cidp. qu l’ac1o
itaque; ut chorda B B ad aicu luum, hoc ell, Ut CHOra BB ad alcum luum:
sic CCn ad radium Cib, hoc Ci ad ZCB: (Hoc est, CC = 2 R: ) Erit C
Centrum gravicatis Arcu VB, (Pex PrOP. praeced.) aleque e (per jam demon.
Strata) Sectoris BC. B. Duod demonstrandum erat.
Hloc elt, speclau  Semicirculo; SE SemiperipherIa = L; dd C HOFCaM LUat
hoc ett, ad circuli Biu 2 R; sc duo Trientes Radtii, 3 R; ad
na, (hoc elt, Segmenti DB A. alcitudo, vel expotiri arcus B A sinuS ver LuS) A:- V.
ejusque Alciudo Teu distancia d bale, V a = 2 R = v== B; eju (que a CeHEO C
dictancia VC == N; (eriique a = R ~, S V EL supra Centrum C, adeoque BAB
minor quam Semiperiptieria; vel N =V - R, R V EE intra Cencrum, adeoq
B AB major quam Semiperipheria; rel denique n =0, R V sic in Cenito alt
que B AB Semiperipheria:) Trem a = 5 = e; a + 5 = f; X + v = 2.
CXX X 3
Est

## Folio 718 — 851387705:0738
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000738.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
FI itaque Sectoris BCB A magnicudo a R, (nempe Z BA BK G A, per proP. T2
Fis. 159, hujus;) ejusque demiltis BC A, La R. Ei, spcciacim, iocius demiciiculis (propter
Trem Frianguli BB C magnitudo : BBx CV (per PrOP. 6 hujus;) hoc est SX:
(Nempe, SR = - 5V, A V HCrIE CuPEa CentruM; vel 5V = 5 R, si intra:) Adco-
que BC.V = 55 ∞: HIOC CA, Z 5 R = Z 5V, S luPrL; vel Z5V = = s R, Ei intra
Adeoque, Si a Sectore BC. B A = a R, Auteratur Friangulum B BC = 5 K
=52; vel Addatur Friangulum BBC =5V -s PP; (prout tuerie V supra in-
Frave Centrum:) urroris calu habetur Segmentum BB A = (a R F 5 N =) a R
=sR + 50 = e R F 5V. Adeoque BV A = = a R F Z 5 N = = a R = 2 5 R + = 5V
ZC R + = 5V
Hoc clE: Si inCeripro (in Circuli Sermento) Friangulo aequialto A B B (= 52)
addatur Friangulum aliud (a R = s R = e R) cujus nempe Balis sic aequalis C ir
culi Radio (= R) e AIcicudo (= 2a = 25 = 2e) equalis excelII AreUS LUI-
pra Tubrentam: Flabetur Segmenti B B A masnicudo; a R 5 R f 5V =- c R + 5V.
Ejusque Semistis, Semilegmentum B V A = = a R - 35 R + 3 5~ = Z C R L 2 5V.
Adeoque, duo timul Scgmenta abscista AB, AB, (qua, cum interipro Frian-
sulo, complem Segmencum BB A, ) aequant a R - s R = e R, e corum utrumris
a R 2S R = ZCR.
Hoc elt; Si (a = 5 = e) excestias Areus B A supra suum sinum rectum B V.
ducatur in (= R) semistem Radii: Elabetur magniudo Scemenri BA; = 2 a R
Si vero Semenros BB A (= e R. F 5v,) adjieiarr Feianeulum BB a (= B 5:)
Hhabetur Sector B a B A (angulum habens B a B in peripheria, et B A B arcum,)
eR + sV F sh: hoc et (propier v + b = 2 R,) e R F 25 R; vel (propier
e= a sy) a R + 5R = fR. Adeoque Ba A = Z a R F 3 5 R = 3 f R
(Idem proreniret, si Sectori BCB A = a R, adderencur duo Friangula B C a,
BCa: quorum communis Balis ett C a R, e urriulris AIcitudo BC =-5: adc0.
que simul urraque sR. HIOc elt, BaB A = a R + SR = fR: EF Ba A = = a R
F25R = 3
R.)
HOc est: Si (a F s=f) aggrexatum ArCUS BA, e Sinus Recti BV; ducat
in Semiltem Raci (= = :) Hlabecur Sector Ba A = 3 a R F Z 5 R = 3 f. R.
Similiter de Centro Craricatis procedendum.
Nempe, (per jam demonstrata ad hanc propositionem S A,) Sectoris BCBA
(sire Semicireulo major sic, live minor, sire ipli aequalis) Cenirum graricatis clt
in CA recta, supra Cenrum C, quancum elt = = R. Nempe ea raione ad 3 R,
quae est Chorda BB = 2s, ad arcum B A B = 2a; sive ut s ad a:) Adeoque il.
lius, a puncto e seu ra tangence, distancia est R. f 2= X = 3a F 25 R. Ad.
eoque d P A (cangente verricis) R - = X = 3a= 25 R. Fademque est, ab
cildem ram T A, diltantia Ceneri pravitatis semisectoris BC A; Propier dimidias
B V ec hruic parallelas semisectorem complencibus, toris B B et huic parallelis com-
plentibus Sectorem inceorum, proporrionales, ee in eisdem cum illis distanciis sire
d ray sire a Y A. (Quod ee similicer incellixendum crir de Semi conis, Semi-
sexmentis, sc. quorum Centra pravitaris sive a Balis plano, sive à Plano verricis
bali parallelo, cancundem distant, quantum inde distant C’entra graritatis integro-
rum luorum sire Conorum, sire Sesmencorum, ec. Ouod semet monitum csto
ne opus sic idem Caepius repetere.) Li speciarim, Semicirculi ADa, Ceniri pra.
vitatis (urpore in DC jacemis) distancia Ere d ran sire dTA, est R = C. a
C A.
Adeoque (proprex magnicudinem Scctoris BCB A = a R, _ BC A = ; a R,)
Momencum (respectu rectae ra uc axis Libra) Sectoris B C. B A, est 3 a + 2 3 p
Cmenivdine seilicet ia distantinme ducta; ) et Semiletoria BC a, 3 a + 25 .

## Folio 719 — 851387705:0739
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000739.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
PFOD.XV. DeCalculo Centri Cravitatis.
Fes respecta rectae FA, momentum Scctoris B CB A, elt 
23 p., e iplius F18.
BCA, 3a = 25 pr. FC speciacim, corius Semicirculi ADa, momentum sire
respectu ran sire respectu T A, (PTOPtCE a = 3P, _ 5 =0,) est : R2 P.
ERque (per 5 ee S hujus) Trianguli BBC, Cencrum gravicatis in C. V, ejus.
que d C. Cencro distancia ZC V = ZN. Adeoque d ra, R FZ X; proue intra S
prave Cencrum tueric; (nempe  F Z a si lupra; R - Z x si intra Cencrum;)
HIOc est (DrOPIeF N = R - v E supra Centrum, e x = v = P E intra C entruIM,)
uiroque casu, 3 R =32. Adeoque ejuldem à T A distantia, R F Z N = 5 R + 3V.
FIt autem (ut supra, GF,) magnicudo Frianguli BBC = s N; (hoc elt
5R = s2 si Tupra, rel 5u - s R si intra Centrum.)
Ouod ductum in Ceneri graricatis distantiam a 7 a, R + Z _ =3 R - 20; exhi-
bec ejuldem, respecta rectae ran momencum s.X R + 3, 5 ~7 - 3
2v: HOC
230 =750 R + 258, vel =5o + 7 50 R - 20V. prouc lupra inttave
Fuerit.
Idemque ductum in ejuldem d F A distanciam, R = Z ~ = = R f 2V; extribet
ejuldem BBC. Frianguli momentum respectu rectae L A, 5 V R F 35 v; hoc ett
R2 + 50 R =250
Fuerit.
vel
=50 R + 25V
Dront supra intrare Cencrum
Aut etiam (PFOPter Aa AB, AV; hoc est 2 R, c, v; continue proportiona
les: adeoque 2v R = 0 = 5 + v2:) Ilie quidem 5. R = 35 0 X = 25 vet
=55R + 350 R + 25
Deou supra intrare Cencrum tueric hoc Frianeulum.
(Acque hic monendum duxi; quod oppido nocandum velim, ne sic opus idem
ExpIUS RCPetCrC: Hlanc reductionem in sequentibus saepistime occurrere. Nempe.
DFODTEF 22R = 0 = 5 f 2; quocies occurrit c2 vel 2; pro c substicui 2V R
etu pro v, Tubstitui c = 5, hoc elt 22 R = s. Ommino enim expedire comper-
cum habeo, uc unam aliquam Formam de signandi eandem quancitatem adhiberem;
ad quam aequipollentes aliae reducantur quum opus fuerie; ne Cymbolorum rarie
tas contutionem pareret. Ouod memineris relim, ne, in reductionibus a nobis
Tubinde crebro taciendis, aliquando haereas.)
Arque hoc Prianguli Momentum, respectire Subtractum Addicumre, (prOnE
supra Centrum intrare Fuerit,) Momento Sectoris BCBA, (nempe, a R2 L Z5 B
respectu rectae ra _ a R = 3s R respectu rectae F A,) exhibet (ueroque catu)
Momentum Segmenti BB A respectu rectae 28, a R - s R + 5u R + Z5-
eK
FsVR F= s; e semilesmenci BVY A, Za R = Zs R = Z5VR + 353 = = e R=
FE5VR F 3s: Et respectu rectae T A, Momencum Sesmenci BBA, a R =sR
-SVR -
S = e R= = sVR = 35; e semilexmen BV A, ZA R =  5R
F35VR - 3 5 = Z e R = 3SVR - 55
Oua quidem momenta, per magnicudinem scementi BB A = C R L 5V, aue
semiscomenri BV A = Le R = 350, (respectire,) arila: extibent segmenti,
aut semitermenti, distantiam d r a, R +
etam,
3CR F 3 5y: Adeoque illius altitudinem (uPTA CeNIUM C, auF C D sC.
3eR F 359 hoc est
2.S
BaR = 3sR. F 3SV. BE Tupra rectam BB, seu BV,
0.
L
BCL + 350
5ta= 3544350,
Atque

## Folio 720 — 851387705:0740
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000740.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
De Caleulo Centri Cravitatis.
Cap. V.
Atque haec demum, d BV, diltantia; in maenicudinem ducta; exhibet momen-
259, cum, respectu rectae BV, Segmenti BB A, 353 - a R f s R~ F aVR = 25VR
160. F52 = = e R f aVR - 55. PF semilesmenti BVA, = Z e R + Z aVR = 25.
=+ZCN R + 35ZV.
Deinde, Frianouli BBa, auc BV a distancia Cenri grariratis a 7a, est 2B
ER - ZV: adeoque d Y A, 2 R - Zh = ZR f 3V. Ouxe in magnitudines
(sB, ZsB,) ducta; exhribet Prianguli BBa, momentum respectu 70, 3sh = ZsR
352R = 35 ~2= 35 R = 3 5VR - 35; e, respectu YA, 2SBR = = 5B
= 35 R7 + Z5VR = 352= Zs R = Zs VR  Z53, e Frianguli BV a, momen.
cum respectu rectae T e 3s h = 3s R - 35V R - =5; _, respectu recta L A,
SBR - =5B = 2 5 R2 = = 5 ~ R +
13
Oux quidem momenta, addica respectiris momenris Segmenti BB A, e Semi-
seomenti BV A, (SL inventis) extribene Sectorum Ba B A, B a A, momenta re-
spectu carundem ra T A. Nempe, Sectoris B a B A momencum respectu r a,
a R F Z5 R = Z5VR = fR F ZSBR; d respectu rectae T A, a R2 f =5 R2
F35VR = fR = = sBR: EF Sectoris Ba A, momencum respectu rectae Ta,
2fR2 F 6SBR; _ respectu TA, Z F R =  ShR
Fodem modo; Frianguli BCaq Centrum prariratis est in recta a P, qux Z
puncto a ad medium rectae BC ducitur, ejuldem a e duas terrias verlus a abscin-
dens. Fst aurem ipsius medii puncti B, eadem altitudo supra ra, quam habet
rectae C. V medium punctum r; nempe ay = R = = X (prOuE Supra intrave Cen-
erum fuerit V punctum; ) hoc ell, (uctoque casu) a y == = R = =2. Adeoque
distancia Cenrri gravicaris TriansulI BC an d ra et 747 = R = 3 v; aeque 
EA, R + 3V.
Adeoqué (propier magnicudinem Frianguli unius BC a = = SR, ee simul am-
BOrum 2 B C. a = s R,) erit unius momentum respectu rectae r a Z5 R2 = LSVR
e simul veriusque sR2 = Z 5VR: FF, respectu rectae T A, momentum unius
25 R +55V R; e Limul utriuIque sR = Z SVR.
Duxe quidem addira momentis sectorum BCA, e BCBA, nemDC Z a R=
F3SR, _ a R2 =Zs R= (per SI.) exhibent momentum, respectu rectae ra
Sectoris Ba A, Z a RZ F 35 R = = ESVR = EF RE + Ssh R; e lectoris Ba B A,
fR2 + EsB R: FF respectu rectae TA, momentum Sectoris B a A, Z a R2 = ZS R
F55VR =Zf R = =sBR; et Sectoris Ba B A, momencum f R = 3sb R.
UE PriUS.
Aique haec demum momenta, per luas respectire planorum magnicudines (: F R,
SR,) divila; exhibene ucriulvis sectoris B a A, B a B A, Cencri graricaris diltan.
riam dr an R + ; et d F A, R -  p; Adeoque alcicudinem ejus supra Cemrum
C, vel CD rectam SB 25 R - 50
3a +35
Similicer, Prianguli ABV, magnicudo, cst = sV; distancia cenri gravicacis d
A, clt Z0; adeoque, d r aq 2 R = 3V; et propterea ejusdem momentum respe
etu 7a, 5VR = 3 502 = 25V R + 353: e respectu T A, 3522 = =5VR -=
5
Ouxe quidem momenta Subducta ex respectiris momeneis semisesmenti BVA,
nemDC, Za R2 = = 5 R2. F = 5V R = 3 53, per SL.) relinquit Scsmenti AB A mo-
menuim respectu Ta Z a R = = Zs R= + 65VR = Z C R2 F 550 R; et, respectu
PA, ZA R =5 RZ
55VR = ZCR E = E5VR.
Reque taec momenca, divisa per sectoris A B A magnicdinem, L C R (per 5G.)
extibent dillanciam Ceniri pravicatis dr a, R f =; _ d Y A, R - ; adeoque
supra DC,
5V
30 3a, 35
Pariter, de Scementoa Ba judicandum; puta, Pro areu AB. = a, substicuendo
arcum reliquum ad Semicirculum a B = a = =  = a: _ PrO LNuverSO A V = V,
Tubstimendo aV = h = 2 R - 2: item PFO T A tangente contermino arcui AB,
substiuendo ra tansentem concerminum ips a B; et, vice verta, T A prO Y a
Ouippe
F18.
1.

## Folio 721 — 851387705:0741
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000741.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
PFOP. ZV. DeCal aadta.
Suippe e omencium Sesmenti aBa, respectu Fansentis oppotii FA, eris
a R2  2 A  83BL; _ respectu Tangentis concermini 7 a exit Z a R 2-
5R= 6
ANEetiam, ex LP R momento rocius Semicireuli ADa, respectu Paripentis
uexiulris ra vel T A, auterendo =a R3 = 3s R2 -5sV R momentum scctoris
Ba A respectu ip(ius Ta, (Der SM. ) habetur relidui ad semicireulum Segmenti
aBa respectu ejuldem + a momencum + P R2 = = a R 2 - 35 R 2 = SSV R; hoc est
DEOPTCF = Z = a = a, _ V = 2 R - B, ) Za R 2 = Zs RZ = ZsBR: Acque limili-
cer inde subducendo ejuldem Ba A lectoris momencum relpectu T A, Za R 2 1
5s AE = 35 R; habetur legmencia B an respectu ejusdem P A, momentum ix p2
22 R2-
5R= - 550R; hoc et (PrODICE Z P = 4 = a, _ v = 2 R = B,
Fx simili racione, mucaris murandis, corundem exposicorum omnium Planorum C
momenca respectu alius rectae iptiS T a F A, BV, paralletae; cujus diltancia intra
vel supea harum aliquam dacur.
Ouodque de horum Planocum Mamenris respectu rectarum Fa, F A, BV, aut
hisce parallelarum, dictum est; paricer incellisendum est de Ongulis luper cadem
plana crectis, qua plano ablcindantur per ealdem respectirera, TA, BV, vel
hisce parallelas, (quae expolicum planum non secent,) cranseunte. Nempe; Si
secancis plani ad expolicum, inclinacionis angulus sic Semiquadrancalis seu eracl. 45,
quam demiquadrantalem Ingulam dicimus;) eadem erie (per FF hujus) Ungu-
La atque Momenti delignatio. (Rric enim Ongulae alricudo, super quodris expo-
sici piani punctum, eadem arque ejuldem puncti ab illa recta quae est, communis
planorum incerseetio quam Onsula aciem dicimus, distancia.) Sin major fuerit
minoxre lnclinacionis Angulus; major exic minorre illa Ongula; ee quidem in
ratione Tansencium Ansuli Inclinationis. Nempe Solido Prilmatico seu Colum-
nari aequacur; cujus Balis, sic expolicum Planum; Alciindo, aequalis alcicudini
rectae Centro graricaris inliltenris; (ur ad prop. rr. oltenlum eft;) HOc ett, (A
ansulus Inelinacionis sic Semiquadrantalis,) aequalis distancix Centri gravitaris ab
illa recta quae concipitur rel uc Axis mocus, vel uc planorum, expolin ee secantis,
communis sectio, seu Acies Ingula.
Denique; Eadem quae diximus Momenta, extribent etiam Magnicudinem 5o-
lidi, quod expolicorum Planorum circa expolitas rectas conversione deseribitur;
per T2 hujus.) Nempe, in ea racione ad momenta ut jam delignata, vel CIngu-
las Semiquadrantales, quam habet Periphoria (incegra, vel dimidia, eec. prout con-
verlio illa estincegra vel dimidia, ec. ) ad sui Circuli Radium. F.A enim distan-
tia Ceneri graricaris plani, ab exposita recta, Radius iltius Peripheria (sive per-
tectae, sive impertectae) quae convertione Ceniri gravicaris cirea illam rectam de
Scribitur.
Pnta, Sectoris BC. A, respectu rectae Ta Momeneum, vel Semiguadrantalis
Ongula, est (uc supra, SI.) Za R7 = 3s R2; e respectu rectx TA, =a R2
Es RZ tirso Solidum Annulare, illius incegra convertione cirea r a Factum, est
Za R P = 35 R~; e leniconvertione, +a RP + SS RP: EL, Circa T A, ine
Era convertione, Z a R P - 35 RP; et semiconvertione, ̀ a RP - + 5 p4
Trem, Sectoris Ba A, respectu rectae r a Momencum, vel Semiguadrantalis Dp
Bula, (ut BM.) cst  a R = + 8S R = = 35VR = 3f R2 + 6sB R; _ relpectu re.
Eta TA, Za R2  SS R = + 35V R =3f R2 = EshR. Erso, Solidum illins inte
eia convertione circa r a deteriprum, cst, L a R P +
165h4; e convertione anmidia, = a R P = 3S R.
Acque, circa TA, ConVeTHOLC Incegra, Za RP + 55 RZ
SR
2507
55V
5
2
S RP + insBZ
EFRP EstZ
Tiem, semiscementi BV A, respectu iPlius ra Momencum, vel Semiquadrancalis Vn
ad A F Z5VR
= 25 R2 + 35V R-
=ZC R 2 f 35VR + 353; F.L
= ZC R2 = Z5VR = 353. H. LGO
Solidum illius incepra conrettione cirea ra deseripium, cst, La R ~ = = sR ~ +
i e convertione dimidia, + a RP
25 X
20 R2 = = 5 R + Es B R. UE priuS.
Scta Ct (Per D L.) = a R3
relpectu l A, Za X
150 P + p  6a L + 150 +
et couvextione dimidia, = a RL f 12 R P + 12 sV P = = fRP = = 5hZ

## Folio 722 — 851387705:0742
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000742.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
=1 5 RP + ; 5uP-
A aC P P + isvP + : Re, cilea F A convet
sione integra; Za R D = = h5 R D = ZSVF - - = = C R F + 35
convertione dimidia, a RP = 3sAP + 1 52F.
6+
= de X F +
trem ejusdem Semilegmenei BV A, respectu rectae B V, momentum, rel Semi-
quadrantalis Ongula, cAb. (per S L.) = ZC R2 + 3 a V R - 653. tirso Solidi
illius circa BV, conversione inceera, deseciprum, est - : c X P + : av2 =  ; e
convertione dimidia, - Le R P + = a2∞ 53Z
12X
Ouodque hic de Semitolidis, (inceltiee, quae conversione dimidia describuneur,)
oltensum elt; quae lunc Incesrorum dimidia: Similiter de aliis, quae conversio.
nibus aliis impertectis, (Duca Ouacrancali, _c.) deseribuntur; lerrata prOpOF-
tione, judicandum erit. Ouod et in sequencibus paricet incellisendum exie.
Ouodque de Solidis, Planorum horum convertione circa rectas ran FA, BV
ostentum est; similirer ad alia, mutacis murandis, accommodabitur, quae corundem
planorum, cirea aliam quamris in eodem plano rectam illis paralletam (qua pla-
nC
in convercendum non scce) in quacunque ab illis diltancia, intra luprare, Po.
ficatum convertione describuntur.
Rcque jam quidem, quod ad Sectores incegros BCBA, Ba BA, _ inceorum
Sermencum B B A, ecc. quorum non modo Conrri graritaris alcitudo, (puta quan-
cum distat d ra F A, BV, vel C D, _c.) Sed ipla Centra jam determinantur (ut
quae sinc, in alcicudine designata, in IpPO AXC, PuTA A a Fecta, per s hujus: ) IIIO
rum Momenta, Ingulae, e Solida convertione facta, Patis déterminantur; non
modo respeetu recta qua sic iplis ra, PA, ecc. Parallela, sed respectu rectae cujus-
vis expoluae ureunque in illo plano sitae (lalrem quae converrenda Plana, leu
Ongulae Basin, non secet.) Nam, propcer datum iplum srariraris Centrum, datur
etiam ejusdem distancia a quaris lic expolita recta. Onde reliqua conlequun.
tUII.
Ouod eriam, de Sectore BCA, Segmentis ABA, a Ba, Friangulis BV C,
BCa, _c. similicer intelligendum elt: uepore quorum ipsa Centra graritatis non
minus determinantur, quam iptorum BC B A, BBC; guippe in illorum axe pO.
lita.
Sed Semiscetoris Ba A, e Semilermenti BV A; quorum Centra Crraritatis
nondum ipta decerminantur, sed iptorum tantum a ra, T A, vel quae hisce Da-
rallelae Cunc rectis, Diltancia: Momenta, Ongula, de Solida convertione tacta, non-
dum decerminaneur, nili respectu iplarum ra, T A, rectarum, auc hisce paralle
drum. Ouum rero eorum irem Centrorum distancia ab A a decerminata fuerit
(quod jam Facturi Tumus;) adeoque illorum Cenrra ipsa decerminata; cadem
eriam ad rectas ipti A as parallelas, aur eriam alias in eodem plano rectas, similicer
transterentur.
Ocisiur, de his etiam, eadem univerlaliter decermineucur: eorum ipta Gravica
tis Centra jam decerminabimus, (per 26 Cap. praeced.) extibita eorum etiam ab
A a diltancia, quae iptis ra, P A, dc. Parallela non est.
Nempe; Cenri eravicaris Sectoris B C. A, d recta A n diltancia, est = - 20R
Duod sic ostendicur. Disectis B A, BA, arcubus in s, S; erit (proxter areum d S,
aequalem areui BA = a, ) Chorda SS = BA = c; ejusque SemiltISS , = = 6. Trem
Sectoris B C. A, Cenrum pravicaris G, in recta C8; ejusque d Cenrro distantia
C.C = = R; (pec hujuo B A.) Arque (propier similia Trangula) ut Cs = R,
ad 81 = 3C; Si C. C =  B, ad C. e- , diltantiam Centei praricatis ab A a;
ve

## Folio 723 — 851387705:0743
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000743.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
eFOD. Z. V
De Calculo Centri Cravitaris.
vel (PrOPter 2V R = 0
a
FE speciacim, in Semicirculo A DC, (PrOPIer
V = 2 R, et a = EP,) distantia Ceneri graritatis ab Ae cst -. In Ouactrante
veco ADC, prOPteC, D = _, ee a = + X) distantia Ceniri gravicais ab A a, eA H.
milicer
Est igitur, (propier magnicudinem, Za , per SD,) Sectoris BCA, respectu Fis.
rectae A a Momencum rel Ungula Semiguacrantalis, (ducta magnicudine in di- 159,
Ptanciam,) SC2 R = ZV RZ. Adeoque Solidum incerra convertione circa Aa de- 160.
(criptum, Z02P = ZV RP; e convertione dimidia, +02∞ =ZVRP. FL, spCcIa-
im, Nlomencum Semicirculi AD a respectu A a, vel correspondens Ongula, 2 R3:
Fic Cotidum convertione circa A a factum (nempe Sphara intCBrA) 3 R =P; et
Semilolidum, Scu Femisphaerium, 3R2 B.
Ouxque Quadrantem spectant, lunt eorum Semilles. ile
Sin, ex hoc Sectoris BC A momento 30=R =Z V RZ; auteratur momentum (re.
spectu ejusdem Aa) Friansuli A BC; noc est (propier Balin AC = R; alcitu-
dinem BV = - 5, adeoque d Base AC distanciam, =5,) Es2 R: Habetur, legmenti
AB A, momentum (respectu ejusdem Aa) ZV R 2 = ZS R = EC=R - 752R -
5vR. Duod per magnicudinem se P (per 5C,) divitum; exhiber Ceniri pra
vicatis ab Aa distanciam  = 22=. Solidumque ejusdem inteora conver-
sione circa A ay JV RZ = 5528 = 3 v Q; et convertione dimidia, sV R~ -
252 = =V2F
Exsimilier de seemenro a Ba muraismucandis: Dura, subticuris a pro an et B
PrOV.
Deinde, Trianguli BV C, dictancia ceneri gravicaris ab Aa, (per 6 hujus) est R.
LBV = =5. Adeoque (propter magnicudinem, ut prius Z s. N; hoc elt, Z 5 R - = 5V.
vel 25V= =s R prout supra intrave Centrum fueric;) ejuldem, respectu recta
AC Momencum, vel Semiquadrancalis Ingula, CstJ s X; hoc est 3S2 R - 5 52V
vel 352V -352R, pront lupra intrare fueric. Adeoque Solidum interra conver-
NE
Tione circa Aa lactum, elli p: (hoc cll   - s. P, ve v - 
6R S2P, PTOuE
uprave intrave sueric:) Ey semiconvertione,  i hoc est (ProuE supra in.
Frave Luerie) 
12 X
1D, bet v = R, . 4
12X
IIludque Frianguli B V C momencum vel semiguadrancalis Vngula, momento
vel Ongula Temiguadrancali Sectoris BC A (respectu ejusdem A a rectae,) Subla-
lacum E Supra Centrum tuerie, vel addicum sintra; exhibet Nomencum (respectu
ejusdem Aa) vel semiquadrantalem Ongulam correspondentem, Senusesmenti
BV A. Hoc Cst, Si momenco Sectoris BCA, 502 R = , y R (per 5O) aute.
YYY 2
FaCUIE

## Folio 724 — 851387705:0744
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000744.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
De Calculo Centri Gravitatis. Cap. V.
ratuE SS2 R = 55 = V, vel addatur = 5s2 R = 352V; habetur Semisesmenti BV A
Nomentum (vel Semiquadrancalis Ingula) respectu iptius A an ZV R 2 - 552R +
552v. Adeoque Solidum illius incegra convertione circa A a deleripeum ZV R2
P + =: de Semiconvertione, 30 PD =  52 P +
2
T2X.
Cencrique
Graritatis, eju(dem B V A Semisesmenci distancia ab A ∞, (divilo MOmenIO pEF
magnicudinem SF inventam) erir 30X =3s R + 5s2 2V = s R + sv
3aR = 25 R + 1 52 , 3eR = 35V
AUE CtIAM, PTOPIEF 2VR - s = C7 - 5 ==2; MomentM CrIE SV R + E5 V. Solidum
convertione integra lactum si P +
ert
i e
x;ec, convertione dimidia, 122X f. 
22. R
VR] 52V VR (52
distancia centri pravicaris ipsius semiscemenei BV A, ab R7 20 R  250 ZR + 250
Si autem, ex hoc Semisegmenti B V A momento 5 92 R. F 55 =V, auteramus mo-
mencum Frianguli B AV (respectu ejuldem A a) 5S2 V (est enim Balis AV = 2.
alcieudo BV = 5, Cencrique Gravitatis d tiate diltancia Zs; adlCOquE MOMEHEUM
s2v:) relinquiene Sexmenci AB A. Crespectu ejuldem A∞.) momenum, 502 R.
Oeprius.
Sumiliter; Distancia Cencri graricaris Frianguli BCan 2 recta Aa CA (per 6
hujus) SBV = 55; ejusque magnicudo =s R. Rrso illius (respectu rectae A a)
drantalis Ongula, est 55= R: Adeoque Solidum inteera
convertione circa Aa Factum, SS= P; et convertione dimidia-  28
Priangulique BOo momencum illid 5S2 R, addicum Sectoris B C N momento
(BO reDetcO) LVR3 ==5C2R: exhiber Secloris D a A (respectu eju sdem A a)
Momentum, rel Semiquadrantalem Vngulam, 5D R = F S = R 50E R. H2 5e R
Solidumque incegra conrerlione cirea _ a Factum, ZV R P  L52 ∞ =. 2C2P + Es2 4
et Demisolidum, 8V. RP + B 52~ = (EOEP + 152 illivie e
Auc eciam; Propter Prianguli B V e magnimidinem ZsB = 5 R 35V; et Cen-
eri graricaris ab A a. distantiam Zs; erit ejuldem, respectu Ra, momentum Zse B
S2R - 552V: Ec Colidum ejuldem cirea Au’inceora convertione Factum,
53B∞ 1IeV 1t
12 X A352P-
5N = 3SP=; Semisolidum,
22
vZ
Triangulique B r a momiencum Ilud ; S X = 3sEV; semileomenti B V A mo-
ento ZV R= =  5= R = 5S =V (B R rePertO) additum; extribet Sectoris Ba A
(respectu ejusdem A a) momentum, leu semiquadeantalem Ongulam :VR F Z52 R.
Cc prius. Adeoque (uc prius) Sosidum, ZV RP = 55 2 D; e Semisolidum SVRF
Fricque (momento per magnicudinem : a R F E s R = 3 fR, SHI inventam, di-
riso,) Sectoris B a A distantia Ceveri gravicatis ab A a,
VR2 F 3SR 20R + 5
3a R + iSR
Decerminarimus ieine (inter alia). tum sectoris D C A, tum B a A, cum Se-
miseemenci BV A, Cenera graritatis, (per corum cum a r an leuif A, seu BV,
seu DC, cum ab A a, distancias,) quaque hinc dependent.
Arque ae eandem tormam, murais mucandis, de aliis cireuli portionibus judi-
candum erit.
Potine aurem hac eadem, quae rectam A a spectane, (SD, R, S, tradica,) hac
adhuc alia methodo explorari.
Sunt utique (Per nollx Arithmetica InfinitOrUm, DFOD. LIZ, 22E, 223, _EC.)
Ouadrata ordinarm applicatarum in Ouadrante, (vel Subtenlarum in Semicireu-
lo) Series A. qualium mulctaca serie Sccyndanorum. Pura, ut R 2 - 0, R?
qu R= = 9, ec. ulque ad R2- A2. HIoC ell, ur Plana Cylindri Conice
exCaVAII (Per PEOP. X13. ejusdem;) Veh (per ejusdem PTOP. X72.) ut Rectae in
Semiparabola diamerro parallela.
Si enim Ouadranti ADC, circum soribatur AOD C. quadratum, quod Diaso.
nali
115. 159
Fie
463.

## Folio 725 — 851387705:0745
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000745.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
i
Centi
vitatis
nati CO diridatur; ducancurque ordinarim.
applicaca V B, OcCurrenEES ipB DO in MI, ipI-
que CO in N: Maniteltum eA, Ouadratum
ordinacim applicatae B V, aquaFI GUIadratO C B
minus quadrato CV (per 47 cl. F. Fuclidis:
FIOC ell, OVactraTO V AL MInUIS quadtato VH
sime enim V HI =C B, e Y N ==C. V: ee lic
ubigue e
Adeoque, Omnia quadrata B V complencium
ADC quadrantem; aequaneur omnibus qua.
dracis V MI complencium AOD C quadratum,
minus omnibus quadearis NV complentium
ACO Priangulum. Ec cingula lingulis re-
spectire TumBCIS.
Adeoque li ex Parallelepipedo ODCa (quod
compleant omnia ML V g;) eximi incellisacur Pyramis OC A (quam compleant
omnia NYV 9:) quod reliquum est, aequabitur omnibus BV g.
Auc etiam (propeer Circulos Guadracis Radiorum proporrionales) Cylincrus
ODDO, exempio Cono OCO; aequabinue Tremisphaerio, D A L
Sed e (propier singula BV q lingulis M Y q = NV q aequalia,) etiam par-
res parcibris lerpcecre mpils dequantur.
Nempe; Paratlelexipedum OM V A dempro Exramidis LTunEO ONV A (SIV
Sic Supra Centrum) vel dempra Pyramide aucta OCN V A (si intra Cenerum;
hoc est, dempro OC A FNCV: A quatur quadracis ordiracim applicatarum in
ABV, Tegmento. Et lic ubique.
FEbmilluer: CstinaruS OMMO, deMPTO ONNOvel OCANO (hoc ett
dempro Cono OCO, mulctato vel aucto simiti COnO NC N, PrOuE lupra in-
trave cencrum tueric punctum V) aquacur Scxmenco Spharico ABB. Et sic
Ubigue.
tis potutis: crie ( propter M1 V q = R, et A Y = v,) Pacallelexipedtum
OMVA = v R2.
TrM; (prOPter O A g = AC g = R2, et AC = R,) est Pyracis OCA = 3 R3.
Trem (propier NV9 = VCq = v, _ VC =~; ) PyramiS NCV
vi
Fsergo, Summa Ouadratorum omnium Ordinarim applicatarum (puta omnia
02) complencium ipsum ABY lemiscemencum; OMt Y A =OCA FNCV
=DR2L
Fst aurem, supra Centrum, N = R = V; IIa CCMM, N = = R F V: Adeo.
que illic NS= R 3 au 3 V R Z F 3V2R = 23; hic verc
202R f V3. Ergo (cum illo calu habeatur L = ∞ 3; hoc vero
x3) exie
VR2 = =  L5 ~3 = v2 R = 5 V3 (utroque catu) summa omnum o2; Teu Ou2.
dratorum ordinatim applicatarum complentium A B V semisesmencum
Veleriam (propter v2 = 6 2 = 52 = 2V R = 5; adeoque v2 R = ZVR - sR
2R = 3 52D = 3V 
Lutrima 22 R = 3 03 = 3~ A2
pt
R-
52
552V;) cric eadem Omnium a
Sed et manitectum porro cst; cujusque rectae ut B V, ( acque de huic parallelis
Semileomentum BV A. complencibus simile eris judicium,) momentum respecti
rectae Ra, aequari semiquadraco ejuldem, (propier Recta Cencrum gravitatis in
iptius medio; adeoque YBx = V B = = V Bg.) Fx Similiter quae lemiquacranca
lem Ongulam (aciem habentem A a) complenc plana, iplis B V inCiltencia, aquart
gjusdem BV semiquadraco; (nam, propier angulum in V semirectum; alcicudo
3V2R-
vA
Hure vero Semilegmenei BV A morento (respectu recta Aa) Se invento; St
addantur Friangulorum BV C, b ra (respectu ejusdem A a) MomenIZ; (SR, 3
reverta:) Prodibune Momened (respectu ejuldem Aa) Sectorum BC A, B a A:
Cxceraque de Solidis conversione cisea A a lactis, C’encrisque gravicacis planorum
PrOP. XV. De Calculo Centri Cr.
In B, aqualiS CFIEIPLI BV bali; ipluneue Priangulum Rcctangulum IPosceles
eric Ouadrati dimidium.) Pr consequenter, cum Semilesmenti BV A momencun
respecta iptius Aa; cum semiguacrancalis Ongula cidem BV A in siltens, acien
tavetto Aa; aeguabitur corundeo semilumma; Hoc elt,
852 R + 352V =5v= R f 5 528. Idem quod supra (5 R.) repercum erat.

## Folio 726 — 851387705:0746
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000746.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
De Calculo Centri Oravitatis.
CapY.
Fis. ab A ae distanciis, similiter elicieneur acque priys. Ve non sic opus eildem ulteri.
263. Usimmorari.
Ac incerim haud eric incommodum hic loci monuiste; eadem eriam me-
chodo Friangulorum BCV, B a V, B Ca, momenra respectu iptius Aa, haberi
Dolle.
Cum enim lingularum B V rectaruim, (seu huic pacallelarum) Friangulum BCV
complencium, momenta respectu Aa; seu Priangula eildem insistencia, semigua-
drancalem Dnoulam (aciem habenrem Aa) complencia; sinc carundem BV, ecc
Semiguadrata: Oux quidem Semiquadrata, Pyramidem complene cujus Balis est
EBV 9 = 252, alciudo, CV = x; Pric ipla PyramiS (per 6 hujusi) HToc est
momentum illud, seu lemiquadrancalis uneula B Y C, acietm haberis Aa, L 57 X L N =
5S=N. UC priuS SR.
Tiem, (pari de cauta,) Momencum Frianeuli Ba V, leu huie insistens Semi-
quadrantalis Ongula aciem habens Aa; Pyramis erie, cujus Batis ; BV 9 = 352, al-
ticudo V == h; adeoque ipla Pyramis (hoc eM, Momenrum illud, seu lemiqua
drantalis Vngula,) Z5= XZB = 65 = h. OE prius SE
Estque Frrangulum BCa; idem acque B V a dempio dddicove (prouc supra in-
frave Cenirum C, sic V punctum,) BCV: Adeoque (respectu iptius. Aa) mo-
mencum Priansuli BCa; idem acque momentum B N, a dempro, additove, mo-
menco BCV: Adcoque Frianguli B Ca momencum (respectu iplius A a) leu SC
miquadrantalis Onsula eidem intiltens aeiem habens Aa; CA 6sE B + 65 E N. HOC
clt, ( prOPtex B = 2 R - V; e lupra Centrum, x= P v; auterendum; intra
vero, v = = R + v addendum; adeo que b F v = R;) 55R. OI priuS, 55.
Eadem ilem ostendenEIE ex PTOV. LF2. Arictim. EnFin.
Cum enim illic oltendatur, Rectas in semiparabola, Biametro, vel Axi paralle.
154. las, cliC ut Seriem A. qualium serie Secundanorum Muletaram; (Tunc enim Omnes
Vs, parallelogrammum AC as complentes, series Aqualium; omnelque Bs
complentes Semiparabola complementum AA S, series Secundanorum; FrgO, omnes
reliduae V B, Parabola diameiro Ca parallela, sune series A qualium muletata le
sic Sccundanorum:) Eloc elt, DEquadrata ordinatim applicararum in Cireuli qua-
drante; ut modo oltentum elt.
Si ipituru super eadem A a recta, (ut communi Base,) deseribatur nim AD a
Semicireutus, cum ADa Parabola recta (cujus Axis C a aequalis sit ip(IC D cir-
culi Radio:) Fc ordinatim applicata in Semicirculo qualibet BV producta, oc
currat Parabolae in B: Frunt omnes V B Recta, omnibus Ouadraris V. B respectire
lumpris proportionales.
Adeoque ductis omnibus VB rectis, (sire coram Parabolam, sive iptius segmen-
cum ut A V B complentibus,) in communem aleicudinem R = C A = CD: Frune
omnia V B in R parallelosramma (Prisma, Parabolae, ejutre porcioni, insiltens
complencia,) aequalia omnibus V B quadratis (et tingula singulis respective sump.
cis;) Hoc est ( per ance demonstrata) Duxlo momenti Semicirculi ejutre cur
insistunt porcioni, respectu rectae Aa; seu, Duplo semiguadrancalis Ongula COr-
respondentis, aciem habentis A a. (Sune enim HXC ParAIICIOSTAIMA, PFOBEEK
communem alcicudinem R, iptis quibus insistunt Rectis V B, proportionalia; adeo-
que, per jam oltenta, provortionalia ipsis V B quadratis: Sed e prOPter CD =
C. A = R, Parallelogrammum, C. A in R, aequatur ipsI C. D quadratO: FrGO et re
liqua reliquis respectire.) Fademque, V B in Z R, (urpore illorum dimidia,) ipsi
Momenco plani A B Y respectu ipsius Aa; vel semiquadramali Duxula correl.
pondenti aquantur.
Siigimr, Paralletogrammo A V S P; auteratue A BS S vet AA B5S (hoc est
Semiparabolae Complementum AA S dempeo acdicore ABS, prour supra intrave
cencrum tucric V punctum;) habetur P’arabolae texmencum AVB = AV s =
A AS F BAS.
Est aurem (PrOprer AV = v, ee Y S = R) Parallelogrammum AVSS = ~ R.
Icem; (propier Semiparabolae Complemencum, subcriplum circumleripii Paral.
lelocrammi, PeF PrOP. 23. Arithm. Infin. vel proP. L. hujus; rectamque AC =
C a = R;) demiparaboae complemencum A AS = hA.
ri
Trem;

## Folio 727 — 851387705:0747
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000747.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
PFOp. XV
De Calculo CantriCravitatis.
TLEM; (pFOpter A C = C A; ) ParabOIET. a.
cus rectum erir aequale ipti Cia =R: FF
(propter Bb = V C = x) eric B5 = b a = 
Adeoque Semiparabolae complementum B à S
(urpoie circumseripri Parallelosrammi BB AS
Exiens) - 
ErgO; ParaboIX SeGmentIM AV B = AVS
=AaS = BA5 = v R -, R + . Acque
hoc demum in Z R ductum; exhibet ZV R 2
=SR3 = L4 Semiseomenti Circularis ABV
Momentum respectu rectae Aa; vel Semiqua
drantalem Ongulam correspondentem: Ejusque duplum, V R 2 - = 3 = Z ∞3
= V R = = 23 = ZV R2 - Zs R  Z522; UE PEIUS, 5 Y
Acque hinc similiter elicientur, tum Sectorum B C A, B a A, Momenca Peu Pemi-
quacrancales Ingula respectu rectae Aa, cum Cenrrorum praricaris inde distantia;
ExteragUE VE PrIUS.
Fademque adhuc alias sic investisantur.
Si incelligatur Sphaeran vel Sector Sphaerieus, (puta BC B ex conrertione Secto. WV
ris circularis BC A cirea Aa factus,) ex numero intinitis Pyramidulis (juxta Fis. 159.
det. T. Cap. 4.) contlari: Ouorum omnium communis verrex Tic C Centrum; 8x 260.
communis alcicudo Circuli Sphaeraere Radius; Balesque compleant iplam superti-
ciem Sphaericam, vel Sectoris Sphaerici: Superticiem curram, (puca B A B quae ar
eus B A, circa Aa conrersione deseribitur:) Fric (propier, Pyramides Prilimatum
super cildem balibus aeque altorum Friences, per prop. 6 hujus;) Sector Sphari-
cus BC B a, aequalis superticiei Sphaerica sesmenco B AB in Friencem Radii
ducto.
Tlabetur aurem Superticiei Sphaerica sesmentum illud B AB, s ducatuE AECuS
A B = a in Peripheriam ejusdem arcus Centro graricaris deseriptam, per Z2 hu-
ius. Fst aurem ejusdem AB arcus Cemrum GravICaLIS, Duta C (in H18. 16F, 162.) Fi8
162
in recta C. S arcus axC; rectaque CC = = R, (per 24 huju s.) Rectaque 5, = = C, 167
(uc SO. oltensum cst:) Acque (proprer similia Friangula) Vr CS = R, ad
5. = 1C hc CC = = _, ad = = Cc diltanciam Ceniri eravicais Arcubo AB, ab
Aa; Adcoque   est Peripheria juldem neera convectione cicca M a deleripra
In quam itaque si ducatur AB = a, habetur Sphaerica Superticiei segmentum
BAB = =: vel (PTOPIeT C = Z VR,) Superticiei Sphaeriea seomentum
BAB = ∞4
Vel ctiam (per L3 hujus;) Propter incesram sphaerae superticiem quatuor Circu. Pix
lis maximis xequalem; hoc elt, 2 R P: acque abseiltum lesmencum ABB, in Ca 150
ratione ad toram, qua elL ipsius alticudo AV = V, ad Aa = 2 R: FFIE UEA a = 2R, 160.
ad AV = v, Sic tora superticies Sphaerica 2 RP, ad iptius segmencum B AB = ~Z.
uE prius.
Ouod irague superticiei Sphaerieae segmentum, in ; R ductum, exhibet Sectorem
Sphaericum BCB A = Z V R P: Adeoque semiquadrantalem Ongulam, seu Plani
BC A momentum respectu Aa, ZV R 2. Idem, quod supra, S O repercum est.
Caeteraque hinc, ut ibidem, deducentur.
Exhibuimus icaque Semicireuli Partiumque iptius exposicarum, cum Magnicudi-
nes, cum Momenta respectu rectarum aliquor expolitarum; corumque distanciam
Ceneri graricaris d rectis illis. AdeOqUE PeT prOP. 26. Cap. PrXced. (propter datas
COrum
2.

## Folio 728 — 851387705:0748
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000748.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
e
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
eorum d duabus in eodem plavo rectis, non inricem paralletis, distancias,) ipsa
GravIcaTIS Centra.
Eademque mechodo, de aliis Circuli porrionibus, corumque Momentis, ee Soli-
dis convertione tactis tier iudicinm. Puta, ( pro lectore BaA, (ad verticem ter-
minatO) exponeretmr sector Da B, aliulre hujusmodi: Cum enim cum Sectoris
Ba A, cum D a A, magnitudines de momenta (reliquaque quae hinc dependent)
jam extribeancur; etiam sectoris D a B (qui illorum vel difterentia vel Cumma (ic)
magnicudines et momenta (adeoque et quae hinc dependenc) Facile extriberi po-
terunt.
Trem; eadem methodo qua momenta, verbi gratia, semilesmenti B V A, a recta
Ta, ad rectas FA, vet BV, transteruneur; possune limiliter d recta Aa, ad FT,
vel B a cransterri. Caque, quae hric craduntur, mille modis aliis ampliari.
Oux aurem de Circulo ejusque portionibus dicta (ImE: eadem ad Elliptin, nujut
que portiones, tacile cransterentur. Nempe, si incelligatur Axium ellipleos alter
Aa, alEF DA: MaDENTE, VE pEiUS, A a = 2 R; (adeoque A V =- V, V a = B;
Crit D a in ca ratione ad 2 R, qua est ad A a; adeoque B V in cadem ratione ad 5.
Adeoque ubicunque BV, aue hinic parallelae in caleylum veniune; pro s, substi-
uenda exit quanciras quae sic, ad5, I ca ratione qua cst D a ad A a: (majore
quidem, Si Da Sic axium major; minore, si minor;) Adeoque, pro s; quanci
Latem quae sic ad hanc in duplicata ratione rectae D a ad Aa: et Cimiliter, mucatis
mucandis, in reliquis ejuldem poreltatibus.
2
PRO P.
Sectoris Sphaerici Contrum praritatis, eM in aris Cui illo puncto.
quod a Cenero Circuli dictat Fribus Ouadrantibus Racii, minus
Fribus Octantibus altieudinis Superticiei Currx: Seu Fribus Oua
drantibus Radii, minus Fribus Oetantibus sinus VerH: Seum quod à
Centro Circuli distat, Fribus Octancibus altiendinis residuae super-
feiei currae; seu Fribus Octantibus sinus Versi residui.
Hoc est, in Femisphaerio; 8 Radii.
Acque hinc Segmenti Spharae (plano ab(ciM) Centrum graritatis col.
ligicur: Ex in aliis porcionibus similiter. Pt quae hine dependent.
Nempe; Si ponantur Symbola ut in proxositione praecedente; erit,
Semiguadrantalis Qnoula torius lemicirculi aciem habentis, A a
(unde de Solidis conrertione factis, e Semilolidis het indicium,)
Magnitudo 3R3; dictantia Ceneri graritatis; sive a F a, Sire a TA,
R; momentum respectu + an rel TA, ZR.: Distancia Centri sra-
ritatis ab A an  P; momentum respectu A an SR P. . 1
Aciemque habentis ra, Magnicudo ; R P: momentum respectu Aa
3R; distancia Cencri cravicis ab Aa : Momencum respectu
ran isR P; respectu T A, 13 R P; distantia Centri pravitaris à 7a,
ER; d FA
Aciemque habentis Ta, Magnicudo : P. P; momenrum respectu Aa,
ERa; Distancia Ceneri gravitaris ab ao, : Womentum respectu
Ton BR P; respectu TA, E R. P; distantia ceneri gravitatis a r en
2R; d FA, 3R.
Semiguacrantalis Ongula, Sectoris BC A, aciem habenris Aa, (unde
de Solidis conrextione factis, et semisolidis, tiet judicium;) Magni
tudo, 50 R; dittantia Ceneri gravitaris d DC, 8B; 2 ra, R F 3B; 2
Ta; R - 3b; momenrum respeetu r a, Zv R3 F 3SR3; relvectu ,
2V R
A.
FiS. 165.
ibo

## Folio 729 — 851387705:0749
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000749.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
PFOD. XVI. De Calculo Centri Cravitatis.
Fi
JuX = Ss P: Dislancia Ceneri Bravicatis ab Aa, 3C P + 35; mo. 1
mentum resrectu Aa SCR3 = 85VR2.
159
Aciemque habentisr a; Maenicudo : a X F L s R; momentum releectu L
Aa 30 R + 5s R; distancia Ceneri gravicatis ab Aa, S R F 35
85
Momentum respectu ran Ba R, = 225 R3. = 5SVR; respectU TA, 3aR: X.
= ssR. + 8 5 0R; distancia Centri sravitatis a 7a, Y5 a R + 195 R- 350
a T4, da R = 35 R = 35V
12a F 85
12a + 85
Aciemque habentis FA; Magnitudo, L a R2 - = s R; momentum rC. 1.
spectu A an Z R. = 8 s R; distantia Ceneri gravieatis ab A a,
8VR -- 35
22 a = 8,: Momentum relpeCtu T a, 3a R = 35 R3 + 35~R2; re X.
spectu PA, 3a R3 = 325 R3 = 550R; distantia Centri pravitatis a
12a -85 1 a TA, 25aR = 135R = 35V
a, daR = 35 R + 350
12a - 85
Onsulx (Semiquadrantalem intellisc) Friansuli BVC, aciem haben- D
eis Aa; Magnitudo, S sx; dictantia Ceneri Braritaris a DC, ZN; 2
ran R =ZN; d E A, RF2V; momentum respectu +a, ES X R = 3S N:
respectu TA, 3S N R F 8s N: Distantia Ceneri eravicatis ab A a 25
momentum respectu Aa = 5 N.
e
Aciemque habentis Ta; Maenitudo ZS N R - 3S XV; OMENTM resPectU M.
X 30
Aan 2 S X R = 6 S VX; distantia Centri sravicatis ab A a,-
NOMENtUM resPeCt Fa, = S X R = Z5 X R = =5N; respeCtU TA, X.
Lou _. -oa: dillantia Cencei pravicatis d ra 
FA, R + + ~ R + 3 
6 X = 4. X
2
Aciemque habentis YA; Magnicudo, SsN R F 55~V; Omentum Re-
spectu A a, 2s= _ R = 352 ~ v; dictantia Cemeri ScavitatiS ab A a
R = 3V
M.
P. + 8y S: MOmEnEUM Fespectu ra, 3 S.t R. = , 543; respectu FA, X.
2s  R + 35 _ R +; sad; dictantia Centri Bravicatis a ro, R + + X R + 3 v
2 FA, R
+ X R F3~
6R F 4 
6l + 4 N
rneulae Semileementi BV A aciem habentis Aa; Maenicudo, 5d R F.
= 5SV; momentum respeCtuI Ta, ZV R3 = 55 R 4 Z52V R = Bst; xC
spectu TA, 3VR3 =35 R F5s V R - sst; dictantia Ceneri gravieatis
2 7 8, R+ 6 = 3V
3S B = 3B V
5; d TA, R-
40R + + vB d BV, a R + 4B
6R = 3V
+uR + q5 ; a DC
6   ZV
uR + 4 5
=R F V; MOMENEU resPeCtUBV,
3VR3 = E5 R. -   s: Momentum respectu A a, tC R3 L 5 5VA F  SX; O
distantia Ceneri eravicatis ab Aa, 3C R. + 3 5VR2 F 2 5 X
4V R = 4 s2
Aciemque habentis ra; Maxnicudo, he R2 F 3 su R + 5 B; momentum R
L. Z. Z. Z
resrectu

## Folio 730 — 851387705:0750
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000750.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
Fis. 159, reSPeCtU Aa, ZV R3 =  s R F 3sV R F Ss; distantia Centri Bravita
R.
R.
V.
6.
de
d
tis ab A∞, + 2 R + 4 s R = 352 b
12C R= = 12 52R =8 55 V: Momentum respectu Ta, 3CR3
+350R2 = 13 5 R - = 5 V: respectu TA, 3e R3 + 350R2 -  s R +  5v:
respectu BV, = dC R3 F 3 a VRZ + 55VR - = 5 R + i sV; distantia
-
853B
Ceneri Bravitatis 2 7 a, ZR Y 6CR + 65VR + 4 5
3SB
35 B11
ScR2 + 650 R + 4si a B Y, 2R - B + 5CR + 65u R + 4
53B
= v + ScR2 F 65uR + 4 5
FA, 2R
Aciemque habentis FA; Maenicudo JC R= F L 5VR = 5 S; MOCHEuIM
est; dictantia Ceneri cravi
tatis ab A a, +2 R2 + 4 s R = 85 B
T2 C R  F 125VR -=8, V: Momentum respectu ra, BCR
+352R =  5 R + , s V; respectu FA, EC R3 + 35VR2 = 2 5 R - = sV;
respectu BY, - 3e P = av X = 65V R - i s R = it sv; distantia Ceneri
22
Gravitatis d 7, an 3R = SC R= + 65VR = 4 55i a FA, 3 R -
353~
ScR. +650R - 4 s: d BV, 3 R - h -
+ v + SCR2 +65VR - 4.5
5V
6c R2 +65
Aciemque habentis BV; Magnitudo, = 3C R2 + 3 a V R - 35; mo-
mencum respectu Aan 3uR3 = 3s R-  51 = 5v2 R
distancia Centri pravitatis ab A,
24 22 B2:
12CR2 + 22 a V R = 45323
Momentum respectu Ta, = 3e R3 + 3 av R= + 5sv R2 =  5 R + E SV;
respectu TA, = 8eR3 = Z a V R 2 = 85 ~R 2 = 2s R = = 53V; re-
spectu BV, 3CR3 = 35V R 2 = Z a S R + 3 53 R = 13 53 V; distantia
Centri sravicatis a ra, = 9C R = T2 aV R 2 = 35VR 2 -65 R = 253V
=12CR2 = 12 aV R = 4 5.
2 FA, = 25 CR3 + 12 a V R2 = 35V R2 = 2 s R = 2 s2
22 e R 2 + T2 aVR = 45
I5eR3 + 255VR 2 - 22 a 5 R = 2 5 R = 2 5 V
-12 CR2 + T2 aVR - 453
a BV
Oneula Frianguli B A V, aciem habentis Aa; Maenieudo, 35V; CeH.
eri Graricatis Distantia a 7a, 2 R = 2V; a Y A, ZV; OmenEM re-
Spectura, SV R = Ss; respectu TA, a sV R =5 s: Diltantia C Cn-
eri Graritatis ab A a, ZS; MOenEUM resectU A a, 15 V.
Aciemque habenris F a; Magnicudo, 5su R + 5s; momentum respectu
2V R  352
Aaey  v R = est; centri gravitatis distancia ab A ay 80 R F 852
piJi.si
Diltancia Cenrri cravicatis à 2a
4.  2 = 2 s R = 3s2V
q. VR 2 f 20s R = 3s V
4VR + 4 5 i d FA,
1d1 quR + 4 5  =i MOmenEuM resPectu T a, 35V R + 8 5 R = = 5V;
relpectu L A, 35VR 2 = Z 53 R L = 53V.
Aciemque Babentis TA; Magnicudo Zs V; momentum reseectu Aa-
s V R - ss; ceneri eravitatis ab Aa distancia, 8s: Distancia Cen
eri exavitatis 2 74, 2R, 30; a Y A, 2V; momentum resrectu ra
nessv R 258; respectu Y a, 15V.
1e
VuCula
100.

## Folio 731 — 851387705:0751
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000751.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
2Cd1
d
111
PFOD. XVI. DeCalculo Centri Cravitatis.
Ongulae Sesmenti A BA, aciem habentis Aa; Magnitudo, 5V R2; mo-
mentum respectu =a, 5 V R2 F 2S V R; relrectu TA, ZV R 2 = SVR;
distantia Ceveri graritatis a ra, R F Zh; a FA, R = ZB; d DC, = B.
Momentum respectu Aay se R F 5SVR = sR; distancia Ceneri
Gravitatis ab A~ 3CR = 350R = 253
8VR = 45 = 4V
G
6
1597
5.
Aciemque habentis ra; Magnicudo, 20 R2 = 55~ R; mOmentuM rC. N
spectu A0, 6vR F i SVR; ceneri sravicatis ab Aa distancia
R 2 = 2hR +.
6cR. + 250
respectu FA, SCR3 + SV R = i S R; distantia Ceneri sraritatis d
250R2 + 750R + 25
12CR f 4 50 i dFA, de R= + 5VR - 25
22CR + 45V
Aciemque habentis TA, Maenitudo, Se R - 5sV R; momentum re-
spectu A~, 6V2R2 = =S V R; centri gravitatis ab A a dictantia
2 - 2B R
6cR - 252 ~: Momentum respectu ra, de R3 +  SVR3 = S R;
N.
respectu YA, 3CR3 = 35VR F 2s R; dittantia Ceneri sravitatis à Y.
de R2 = 5VR = 25
22CR = 45y 1 dFA, =5 C R2 = 95vR + 25
12 CR - 4 5V
Ongula Frianeuli BCa, aciem habentis Aa, Magnicudo, is R; di F.
Rantia Centri sraritatis a 7a, ZR = ZV; a T A, ZR F 50; momentum
respectu Ta, s R = = SVR; respectu TA, 35 R = + S VR: Di R.
Rantia Centri gravitatis ab A∞, ZS; MOCnEUM reSPeCtu Aa,  S R.
Aciemque habentis ra; Magnicudo, Es R2 =E sVR; MOEntuM re. M.
Spectu Aa, Z S R = 1 s v R; centrique eravitatis ab Aa distancia,
R - 2
= 30X
F2Rs: Dictantia Centri gravicatis a ra, SR- 20
TA, 542- v R
6R = 20 =: MOmEnEum respectu F a, 35 R = = 5v X 2
= 155R; LeSDeCtU T A, 135 R3 = 1 5VR 2 = = 5 R.
x
Aciemque habentis TA; MagniendO, ZSR= F SSVR; OEHEIM FC. M.
spectu A a 8 s R2. + i5 se 2 R; distancia Cenrri gravitatis ab Aa,
3R + 22
S: MomentuM respect F a ZSR3 = , 35VR = = i S R; rC-
F2 R + 4 V
Spectu LA, iSR3 F 3s V R = i3 S R; distancia Ceneri eravitatis a 7 a
6R + 22
a FA, 2 F5VR = s ila caase avistue
6R + 2V
tra
8
Oncula Frianguli BV as aciem habentis Aa; Magnitudo, Ss’ B; centri F.
Scaritatis distantia a ra, 3B; d F A, 2 R -3h; momentum respectu
2a 55 b; respectu TA, 5s B R- 6s h: Distantia Centri gravitatis R.
ab Aa =s; momencum respectu Aa, is SB. 
Aciemque habentis ra; Magniendo 35B; momentum respectu Aa, M.
Ss h; distantia Ceneri pravitatis ab Aan 8s: Distancia Ceneri Brari. WV.
tatis d ra, ZB; aT A, 2 R - 2b; momentum relpectu ra = 5B; rC-
spectu T A, 35B R - 4 sB = 15 SB + 5 s B. C1VIC
Aciemque habentis TA; Masnicudo, sh R = = sh; momentum respectu M.
e-
31
Aa Z s B R = 8sB; distantia Ceneri Gravitatis ab A an 24 R = 8L
:
Momencum respectu Ta, 35 R3 = 55V R2 = 35R - + 53V = 3sB2 R W.
sh. = 1 5B + 5 sB; respectu F A, 3s R3 - 3 50 R + ,  _ + + se v; ci
L. 2. Z. Z. 2.
Mantia

## Folio 732 — 851387705:0752
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000752.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
S2V
FiB. Rantia Ceneri eravicatis a ra, R = 8 P = 4 v _ + 45 11 a L H,
8 R = 4 v R + 45
4R + 4V
P8X. = 40 _ +4 4b
Ongila Sectoris Ba A, aciem habenEis Aa; Magnicudo ZV R2 + 352 R;
momentum respeCtU 7a, 50R f 5 s2 R 2 =  E 5 VR; respectu F A,
30s + e s VR; distantia Ceneri gravicatis a r e R 
4V R + 3 5 d DC, 4 v X [2 5: Momentum respectu Aa
TA -
SC R + 5 50 R + i s R; dittancia Contri eravicatis ab Aa,
3CA + 350 R + 25
8VR f 4 52
Aciemque habentis ra; Magnitudo, 3f R + 3 s B R = ; a R + 35 R2
=35V R; momentum respectu Aa, ;v R3 F 3 s R =  s v R; distan.
tia Centri eravitatis ab Aa, 4~ RE + 4 5 R - 5. v
6fR = 25B
: Momencum resPC.
Au ran 3aR3 = 35 R - 85VR 2 - 1 5 R = 3f R3 =  SB R7 =  5. R;
respectu FA, 3a R3 +  s R F  5uR = = 1 3 S R = 8F R = 2a sBR2
F3 S R; distantia Ceneri Gravitatis a ra 25f R = = 95BR = 2 5
TA
OfR2 = 5Bk + 28
+2R + + 5B
125_ + 4 5h
1
Aciemque habentis FA; Magnitudo; 2 F R2 - 3 sB X = ; a A = 1. 5 R:
=5sVR; momentum respectu Aan Ju R + isev R; distantia Cenrri
Fravicatis ab A oX
4V R 2 + s2V
6F R = 25B: MOmentM respectu 7 a, 3 a R.
= 22 5 R3 - 52 R2  5 R = 8fR3 - = sB R 2 = ESR; respeCtU Y A,
Ea R3 =  5 R3 = = SV R 2 = 2 5 R = 8FR = 2 s B R2 = = s R; distanEia
Ceneri eravicaris 2r a, DF R - sh R + 2 5
12]R = 4 5h
2 FA, 25. f R  7 sBR- 2 5
 12fR = 4 5B
Adeoque extibuimus, Sphaerieorum Sectorum et Segmentorum, Vn-
gularum irem aliorumque Solidorum expositorum, tum magnicudi-
nes, tum momenta respectu expositorum aliquot planorum, corum.
que Cenerorum craricaris a planis illis distanciam, ip laque gravica-
EiS Cenera.
Oux omnia, ad alia etiam Solica, ad Sphaeram ejulve partes spectan.
tia, Facile porerunt accommodari: Aut etiam ad alia Solida ex Cir-
culorum portionibus oriunda.
Ouaque, de Ononsis Semicirculi ejusre portionum; Sphaeraque et
portionibus hujus, dicta lunt; eadem ad Ongulas Semi ellipseos
hujutre portionum: et Sphaerocides, portionesque hujus; Facile
accommodantur.
1587
160.
R+
2.
F.
L.
AletliBaCI

## Folio 733 — 851387705:0753
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000753.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
PrOD. XVI. D Cm Sentri Cravitatis.
FNTcellIZatuIE B C B Sector SphaerieuS; (inect-
lise Piguram Solidam in Sphaera, quae con-
vertione Sectoris Circularis BC. A, ICu BC a
Circa AC a deseribitue:) Fx intiniris nume
ro Prramiculis limilibus ee aequalibus (juxta
det. T. Cap. 4.) componi: Ouarum commu-
nis vertex sic Sphaera Centrum C; Balesque
componant Sphaerica Luperticiei sesmentum Se-
etori sphaerico conveniens. Frit saque, Pum
Timul omnium Magnicudo, aequalis Frienri
Radii (communis Alcicudinis omnium) in
Sphaericam superticiem B AB, vel B a B, lecto
si convenieniem, (upore Balium Agpreea
cum) ducto: (Onod ex = vel 6 hujus pro.
Babitur; Propter Parallela Pyramidum Plata similia, atit etiam parallelas Sectorum
sphaericorum curras superticies similes, in ratione Secundanorum:) Tum Centra
craricaris omnium, in Simili Supertiere Sphaerica, deseripea, Ractio Cb- CB =3X
proprer Cencra graritaris Pyramidum, in Axe Tuo polita, eres quadrances ejus-
dem ad verricem abscindentia; per shujus.) Cujus quidem superticiei D ab, ra-
dio Cb deleriptae, cum lingula puncta incellisantur aeque onusta, (UE qua aqua-
lium Pyramidum Cencra gravitaris Cultineant;) idem erir hujus Centrum gravi-
cacis, acque expoliu Sectoris Sphaerici. Puta (in sectore BCB A) in C, medio
puncto recta a v (Cinus versi arcus ba) per FZ hujus. F auTeM, (PTOPTCK
CD =ZC B = 3R:) recta a v = 3AV = 30: Adeoque 2C == Z 2 V = 3V, _ CO
V = 8h, (DTOPtErE R = V = B.) ECB
milicer oltendetur, in oppotio Scctore BC Ba, a V =d a V = 3B; e 2C = 3 a
8B;  CC == C. a-
8V, (propier 2 R = B = v.) Hoc est.
Dutancia Ceniri graricatis Sectoris Sphaeriei (in Sectoris AXC DOlit) d̀ Centro
Sphaera, aequalis Pribus Muadrancibus Radii minus Fribus Oetancibus alcicudinis
Tuperticiei Curra lectori convenientis; aut etiam (quod eodem recidic) aequalis
Fribus Octantibus alticudinis religuae superticiei sphaerica. Ouod crat propoluum.
Hoc cl, speciatim in Hlemisphaerio, (PrOpter V = B = R, ) 3 R-
Corollarium constat, ex prop. 3. Cap. praced. ITam Scctori BCB A, dempio
BBC Cono, habetur Sesmentuim B B A; e Sectori BCBa addico eodem BBC
Cono habetur Segmentum BB a. Cum icaque cum sectoris lphaerici (per jam
oltenta;) cum dempri addicire Coni (per 6 hujus;) magnicudines et Ccurra
sraricatis altignantur; habebicur et Relidui, vel Aggregaci, Segmenti Sphaerici
cum Magnicudo, rum et Cenirum gravicaris. Ec similucer, (muraris murandis,) in
aliis Sphxrae porrionibus.
Exempli pratia. Ceniri pravicatis Sectoris inceeri BC B A (convertione se-
B
misectoris Circularis BCi A, circa C A, desexipei) diltantia a C, (per modo de. Pip
monstrata) est Z C. A - 8 AV = 8A a = 3AV =3V a, in ipIO AXC AC
Hoc elt (policis ur in demonstratione propolicionis pracedencis, Radio C A = 160.
CD = Ca = R; inceera Peripheria = P; ArCU BA = a; Chorda B A = c; Finu
recto BV = 5; ee verso AV = v; vertique reliduo ad Diametrum V a = 2 R -
e = B; d Centro Dictancia Y C. = ~ = R = v vel V = R; Tiem a - 5 == e; a 7
=f; _cc.) 2R - 3V:
Adeoque ejuldem Cencri cravicaris ab a vel ra, lincellise; a plano in a
Sphaeram Fangente,) R = 8b = Z R - 30. AIque d F A, R
is
Eademque est ab nildem ra, vel TA, planis; distantia Ceneri pravicacis semi-
sectoris, (puta, qui plano per Aa transeunce, incesrum bilecante, decerminacur;)
aur Sectoris Ouadrantalis; aliulre impertecta quaris conrertione deseripii, (adeo.
que duobus ejusmodi planis, quorum communis sectio AIC A a, interjecti;) prOpTOK
omnia plana, Sectorem incegrum complencia, iplorum partibus, Sectores partiales
complencibus, proporrionalia, acque in iildem d ra, T A, planis Tansencibus
distanciis. Ouod de lemi conis, vel semilermentis Sphaerieis aliis, atiisve Solidis
impertecta convertione deseriptis, es correlpondencibus Ongulis, dec. Similiter ob-
tinet. Ouod semel monco, ne lapius Lic Opus idem repetere.
bZ. Z. Z

## Folio 734 — 851387705:0754
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000754.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
CiaD.1.
Fig. Fs autem (per prOP. praeced. 5 O.) Sphaerici Sectoris integri BCBA
c50, maenitudo, 60 P = SV RP; (adeoque semisectoris magnicudo, 20= P = SVRP;
260. e Ongula Semiquadrantatis, qui huic respondet, (incellise, qui Sectori circu-
en
lari BC A insiltit, aciem habens Aa) magnicdo : c2 R = 3 V R
Ducta isitur distancia illa in magnicudinem; Elabetue momentum Sphaeriei se
Etoris inceori BC B A (respectu AXIS motS, Planire FangenLS, 7∞,) 3C2R∞ +
166 B~ = V R= P =3VE RD = ZVR2 P +8s2 RP: Semilectoris, 5V R2
=16s2 RP: Onoulaeque Semiquadrantalis, 2 2 R 3  3 52 R2
F respectu ipsius T a, momencum sphaeriei Sectoris incegri BC B A, 5C2 RX
16C= BP = 13 V R2 P = 5V=RP = LV R= P = 5s RP: SemilectoriS SVR= Y
ios RP: Ongulaeque Semiquadrancalis, 5V R. 3 52 
Et speciarim, qux tori Semicireulo intistic Semiquadrantalis Ingula aciem ha-
BenS Aa; (DFODIET V = 2 R, e s
0,) etZR3, e solidum convertione ta-
ctum, hoc est, Sphaera intcora, 3 R2 P: ee Semisolidum, seu Hemispharium L P. P
Diltancia Ceneri graricatis a r a vel. Y A, R: Momencum Ongula respectu ra, vel
EA, 3 RE; Sptiara, Z R3D; Fremisphaerii AD~; ZR3P.
Deinde (Der PrOP. PracCd. SR.) Coni intcori B BC, (conrertione Prianouli
52 ∞
BYC, circa Aa,) magnicudo est 
29
L∞: Ongulae Semiquadran.
calis, Er. HLOC ett, Si V CC Cupra C Centrum, P s P,  5 P, R 52: Siue in
P
tea Cenirum; . 2 ∞ v- R 2∞ V k
6R
22
R
72R
Est autem (per 6 hujus) Cencri gravitatis d D C distantia, ZN: FTOC CR
R = 2V, SI FuPra CCHErUM; _ 30L ER, E intra Cenrum. FF utroque casu
uldem 2 r a dictaniia, 2R - 3V = R = Z N: AIque a LA, a R + Z = R F3 v.
Ex proprerea (ductis magnicudinibus in dillantias) Momencum, respectu ixtius
Ton Coniinceeri BCB, 5.L 5 P L ; Semi conis 1. L 5 X + =
a
8R, 
drancalis Ingulae Eus. P L LV2: vet
Hoc elt; si tupra Cenrum,
SSVR 55; Si intra Centrum
5  + 35vR + 551.
7R 3V
2+R
R
7R - 30
1522
N = qua 35 2g
18 as D, 2s R = ENSV.
P - 40R - 35.
148 X
52P, -SR-
7X + 40 R + 35 ∞ = 7 N + 40 R + 35
24.R
48R
EE, respectu iptius FA; momentum Coni inceeri, semi coni, dt Semi.
2
52
Qactrancalis Oneulae, 3 x S P + 8R. 3 L N S = P + 26 R 3dX s R F B ~ S: vel
R + 30
24 R v 524 R + 30
48  + s P, 3. 4 s R + 8  5 v. HOC et, Supra Centrum,
R2 4V R + 35
24 X
3. p, e =40 Re + 35 . 8, iis  - 55 v  + 3s0; vel
Intra cencrum = R + 4v R = 35 29
+3522R - 15a 24 R
R + 4v R - 35 5 8
48R
us R
Flaec itaque momenta Coni, Semiconi, Ongulere, BBC, BV C; momentis de-
ctoris, Semilectoris, Ingulaere, BCBA, BC A, respectiris; Subducta, Additare
prout vel supra vel intra
Sulaere, BB A, B V a momema respectu iptius r an LV R2 P= 3s R P + 6 v 
E
+ 8P, 6VR2 P = i s RP + i s vD +
51 = 5v R + 3s v R + 552.
16P, 50_ = 1 s2 R. + 3 5. v R +
D.

## Folio 735 — 851387705:0755
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000755.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
PFOD. XVI. DeCalculo Centri Cravitatis.
E respectu iptius F A, 30 P2 ~ - 852 P~ + 152V 4
13S=RF = 2 52 ~Z-
352 V R = 354.
4 
 33VR3 = 852 R2 + 65 = VR = 852 = EV R2+
Adeoque, momenta per magnicudines dividendo (puta, Ongula momenta, per
magnicudinem Ingula, SV2R F 55 2~ = 5VR 2 - 55 2R  5s E V, PrOP. praced.
S R. inventam,) habetur distancia Ceneri gravicatis Vngulax B V A aciem ha-
bentis Aa, (adeoque e Sectoris, vel Semisectoris correspondemris,) a ra,
P + 80R: = 4 5 R + 4 59:
TA, R-
8u R. = qui R + 45
8uP: - pe t 45  80N - 4. Pe + 4  + R - b
Vel (quod eodem recidit) a T a, R
20R + 3s
quk = a5 Vi d DC
6R 30
 q0R 45
4 R. + 4b + R - B-
6R - 30
qu + 4s
3h52
Boxe 4Rt q0
FA, 
360
4uR + 4 quR + 4 uB 4 R + 4B
4R + 4B R + v.
Ex (restiuendo magnitidines) momentum (respectu iptius BV) Sermenei
Sphaeriei BBA, 3V P2 D - 5 52 RP-
547
24C; Semileomenii BV A, SVR2~
1o: de corresponctentis Vngula, J V R3 - 3 52 R 2 - -1 54
Sed ee poltune haec eadem, sic alias haberi.
Cum enim (ur oltentum elt proP. Praeced. P. V.) Semi Ouadrata rectarum BV Fie
d huic parallelarum semilesmentum A V B complentium; linc rectis VB, dc. 164.
(tig. 264.) Parabola portionem A V B complentibus, proporcionalia; d quidem
iplIS VB, Cc. in E R ductis Sigillatim aequalia; acque in eildem a T an T, A, DC
distanciis: Eadem erunt respectu ixsarum ra FA, DC momenta Semiquadran-
calis Ongula (quam illa complene Semignadrata) Semisesmento AV B insistencis;
acque Prismatis porcioni Parabola a Ve insistentis, quam illa complent parallelo-
1
a
gran
Ci, e 73) ab iplis 7 an F A, D C, (planis) respectire. Hoc est (ver S hujus)
quantum inde distac iplius porcionis Parabolae A V B cencrum graritatis V.
FIt aucem Semiparabola AAC magnicudo (per 6hujuS) ZACXC A = Z R =
ejulque Cencri graricatis ab Axe C a distancia (per 8 hujus) SAC. = 8 R; adeoque
2 7 a, R F 3 R = SR; d T A, R = 8 R = 8R. Adeoque iphius momentum respectu
DCB, est = R3; respectu ra, in R3; respectu F A, 13 R3.
Icem Semiparabolae Bab, magnicudo ? abx bB = 2 V
3
24
3X: Centrique
Pravicacis d Ca distantia 8bB = 8. N: (adeoque d ra, P L3 X; a F A, R FB; prouc fuerit
Tupra intrare rectam C B.) Adeoque momentum ejus, respectu ipsius C.0.
ei Cui
addicum momentum parallelosrammi V. C. B B, hoc est (proprer PB, == _, 8 C b = X -
+ s
Cenrique gravicatis d C a distanciam, 3BB = 3 N: )
 extribet porrionis V BDC. momentum respectu iptius C. A
2 52 N
2. Hujusque propierea portionis V Ba C (propter
B N a d
magnicudinem v R - = =) distaacia Cenri pravicaris a C. A, est 12x R:  4 v
6 R2 - 3 ∞ 2
22.  - 4 4 V. Ade0q; d 7 a, R.
6N2 - 342
R2 - 3 
12R - q2 Vi d TA, R F 12 R - 4 
(DTOut
supra
A
160
4V R + 45
2 X  R2 - 

## Folio 736 — 851387705:0756
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000756.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
DeCalculo Centri Cravitatis. Cap. V.
F18. Lupra intrare Cenrrum fuerit.) F.L ( resticuendo Magnicudinem) Momencum ejusdem
264.
F.
YBDC, respecta r an ~ R. - L, ∞ 3 + 2
5.∞3 F
2A
2 = x 2
e
4 R
un ee respectu FA, _ 
Alque haec porcionis Y BL Cmomenta respeclira, dempra adlicare (prour Cuxra
intrare Centrum C contiserit V punctum,) respectiris Semiparabola AAC (rC-
spectu rectarum +a, T A,) momentis, i R3, iE R 3: exhibenc Portionis AV B, mo-
mencum respectu r an I R. F ~ R 2 L = ∞3- 
xR2 + 3 ∞3 +
R2 = ~2
c
= a2; e respectu F A, E R 3 F
Reductione aurem facta, valorem iptiue a retticuendo, reperientur haec momencis
Tuperius detignatis conrenire.
FA enim N = = R F V; prout supra intrare Centrum concigerit; (Hoc CA,
x = R - v, lupra Centrum; rel x = = R F v si intra Centrum.) Adcoque
FN R2 ==- R3 = V R2
=v=R = 203. HIOC CE ( DEOPtEF V2 = 2VR = 5, e V3 = qVR2 = 2 5 R-
5227) =3 ∞3 = + 3R3 - =A2 = 35 R + 152V.
Et uiroque catu (hoc ett, AvC N = F R = v, SvC X = - R F v,) est N = R
= 2.V R = v2 = R2 = 52. Adeoque = R = - x
=iR
+
R2 +
4 
Adeoque momencum Porrionis ATB, respectu ra, I3 R Z V R2 + 1 403
eR
4_ v2 = 20 R  s R +  s. v + -
ei
pPrFiro +2R= x
4X
4i e respectu Y A, 1 R F
 = 30R - 3 s R + 352 - 
Acque haec momenta (. propter Prismaris ipsi A V B insistentis altiudinem 3 R)
ducta in Z R; exhibene iltius Prilmacis momentum, hoc est momentum Semigua-
drantalis Onoulae Semiscomenio Circulari A B V insiltentis (aciem habentis A a)
respectu ray ZV R = 6s R= + 352V R + 354; et respectu L A, 5V R3 = 6S 
F352VR = + 5A. OEpriUS.
eCenri cravicaris discantia, tive d re Ciye F A, Eve d BY, elicietur,
UE PEIIIS.
Porco; Coni incegri BB. (Prianguli BVa, cicca A a convertione de teripri,) mas.
R - 
vie. 153, nicudo (per proP. praecedl, 55.)  P ∞ = 2  ,  P; seniconi, 12  S2 P; DN.
Gulaque 5 S2B = 3 52 p = 252v.
6R
crariracio distantia (per 5 hujus) 2 2 a, 3b =3 R = 3V; d F A,
= R +
Ouae quidem distantia, sin magnicudines ductae, exhibene momenca, resvectu
iphils r oy Coni =  f  + R = 4u R + V, . ∞ - 4 R - 2V R - 5
60.
K
miconi 4. = 2VF
8R
52P; de
26Xs2 P; Serhiquadrantalis Ongulam 5S2 B2 = 2 52 R. -
252yR = 854.
Et, respectu iptius TA, Momentum Coni L S BF -
Semiconz, 4. 27 = 2v R f 55
48R
S BR - S2B25 1
2B2
8k
+A - 20F35 58
24 
s2∞; Vneulaque 60 R -  s2 v R + 55a =
Aeque

## Folio 737 — 851387705:0757
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000757.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
et
1TA
PFOD.XVI. DeCalculo Centri Cravitatis.
Aeque haec momenta, momeneis Spharici Segmenti, Semilesmenti, et Correspon. Fie
dentis Unoulae, BB A, BV A, respectire addira, exhibene momenta, relvectu insi.
aS 7a, Sphaerici Sectoris B a B A, 3VR = Z = 352 RX = 1 52~Z; SemilectOris
Ba A, SV R = P = 55=RZ =  5222; e correspondenis Ongula, JV R3. 
Exrespectu TA, momencum Sectoris Spharici Ba B A, ; V R 2 D F ; ) s2 VP; Sc.
misectoris Ba A, SVRZ∞ + +52VD: Ongulaeque ZV R3 F 1552V R.
Vet etiam; Incelligacur, luper BC a Priangulo, Ongula Semiquactrantalis,
aciem habens Aa: Oua Pyramis erit verricem habensa; et balin J riangularem
Tuper BC rectam. Fujusque Balis Friangularis (in rectam CB projectae) Cen-
trum gravitaris puta B, distabit a C. (vercice Priansuli) ZCB, (per 6 hujus;)
ejusque ab A a (plano) dictancia, B7 = ZBV =35; e, in recta inde ad a ducta,
Frianguli centrum graricaris ut S, ablcindet a8 = Z a B; Cujus itaque ab A a di-
lancia BC = 2B7 = 3X35 = =s: PjuSque d r a ditantia, (7a = 2y a; Hoc est
(PrOPter 70 = R L3 V = 3R = 30,) Z R = =y; adeoque ejuldem d l A distancia
X F ZV.
Oux quidem distancia, in 55 R (Pyramidis magnicudinem, per prop. praeced.
55.) ductae; exhibene momeneum Pyramidis; (seu Vngula B Co, aciem hrabencis
Aa,) respectu iplius ra, s 2 R= -  52D R; e respectu iptius LA, 85 = R 2 ]
SVP. Adcoque Solidi (seil. Coni; conice excarati,) convertione Prianguli
BC 2 circa Ra tacti, momentum respectu ra, Z5= RP = E5 = VX; de respectu
TA, 252RD F - =S2VP: Semisolidique momencum respectu ra, ads2 RF -
+s2 VD; e relpectu L A, 16S= RP + + 52~F.
Acque haec momenta, momentis Sphaerici Sectoris, Semilectoris, et correspon.
dentis Ongulae, BCB A, BC A, respectire addira; exhibene momenta Sectoris,
Semilectoris, Ungulaeque, Ba B A, Ba A, respectu ipLiNS Y a, 3 V R 2~ L = 52 R4
252 V2, 5VR= P + 352 RD  52VP, 3VR3  362 R 52V R
F respectu Ip(uS PA, 3D R =P + 5= VE, 6VR2P +  5= VZ, LV R +
2S= VR. VE PrIVS.
Ouxe quidem momenta, per magnitudines dirita, (prop. praeced. 5 S. Tradicas)
exhibent dictanciam Centri graritatis, a ra,
252R - 520
42 R = 25 i d d F A, X = 25 R - 5v
40  25
VR +Z52R = 2 S2VR
EVk + 5 s X
252R - 520
B52
DC, quR t 25 quR f25
R1
Similiter; Coni incegri B AB, (Trianguli B A V convertione cicca A a de.
scripes) magnicudo (Dex S R, PrOP. praced. ); Semiconi VF
22 X; e Semi-
quadrancalis Ongulae 5 5 2V. Centrique graritatis distancia d F A, 3V (per 6 hu-
juS;) atque a ran 2 R -32. Ouxe quidem distanciae in magnicudines ductae, ex.
Si Semiconi
16 pi Ungulaeque tsv
= : s vR - 5 52: Respectu ra, momentum Coni 5 s2 v X - s V Z
552 DD = sv
8 X3 Semi cons
Ongulaeque 3S2 VR = 5 s2V = 3 S V R + 3s
Oux quidem momenta, ex respectiris momentis segmenti, semileementi, Vn
Bulaeque, BBA, BV A, (S F. tradicis,) subducta; relinquune annuli, (conver
tione segmenEI A B A cirea Aa) momencum respectu Ta, ZV R = P - Z5 2 R ~ 
2s= VF: Semiannuli 5V R 2 P =  S2 P + a 5 ~~; EF correspondens Vn.
sulae ZV R3 =65= R2 + 252V R = V R2 + 12S = V R. AIque, respectu TA.
momentum annuli 30 R= P - 55? RP = 12 S = VD; Semiannuli 5VR = ~-
35  R~ - 25 2 vF: Ongula que ZVR3 = 65 R 2 - 1 5 = V R =  2 X = 3 5 VR.
Adeoque (propier Lncula masnicudinem S B, R. proP. praced. JV P = 5 V X.L
55 R,) distancia Cencri pravicais est d F ∞ R + = R + iB; a T A, R - :B;
acque a DC, 3b = 2
159
260.
A 2 d d 2
101t0

## Folio 738 — 851387705:0758
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000758.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
5
160.
De Calculo Contri Cravitatis.
Porro, Cum jam exhibuerim, Momenis respectu rectae r à (aue huic parallelae)
uc Axis Mocus seu Librae; Solidorum ex convertione vel semiconversione Semi-
sectorum vel Semiseomentorum BC A, Ba A, BV A, circa A a UE arem ConVer-
Tionis; e Ongularum Semignadrancalium, illis correspondentium, aciem haben-
tium Aa: Eadem opera etiam extribuimus, Momenta respectu A a ut Aris Mocus
seu Litrae, Solidorum ex convertione rel Semiconvertione corundem Semilecto.
rum vel Semisesmentorum BC. A, Ba A, BV A, circa r a (vel huic parallelam
ut axem Convertionis. Fr Ongularum Semiquadrancalium illis correspondentium.
aciem habentium ra, vel huie parallelam. (Ouod e Solidis ex quaris alia con-
versione impertecta, non minus quam ex Semiconvertione orris; Ongulisque aliis
quam Semiquadrantalibus; mutatis murandis, accommodabitur.)
Ouippe idem omnino momencum erit; sive sic A a Axis Convertionis, et T a
axis Libra; sive ra axis Convertionis, ec A a axis Librae. (Pr similiter in unsu-
lis; idem momentum exie, sive Acies Ingulae lic A0, ec Aris Librae ra; sive Acies
Ongulx Fa, _ Axis Lihrae A a, e similicer alibi.
Cum enim, (verbi gratia,) rectae BV momencum respectu Aa, sic BV X Z BV,
(proxcer iplius cencrum graritacis in lui medio,) hoc elt, =BV9: AEque tancun
dem etiam sic Priansulum, in Ongula Semiquacrantali (cujus Acies A a,) cidem
BV insistens, (uc dudum oltentum est:) Eric hujus Friansuli momentum respe.
etu ra rectae (propter V a distanciam) ZBV qX Va. Sed et in Onsula Semiqua-
drancali cujus aeies 2a, eidem BV. insiltet parallelogrammum cujus alcicudo
(proxier ansulum Semiquadrancalem) aequalis erit ip( V a distancix; cujus ita-
que magnicudo erit B V X V a: Cumque hujus Cencrum graricacis sit in media sur
longicudine (per 2 hujus,) adeoque illius distancia ab Aa, seu perpendiculari
plano huic inlistente, sic ZBV; erir ejuldem Parallelosrammis respectu axis Li
bra Aa, momentum, EBVXBVX V a = EBV qXYo ue prius. Cumque idem
obtineat, de lingulis rectis ipsi B V parallelis, Semilectores vel Semilementa BC A
BaA, BV A, complentibus: Idem de torius Onsula Momenco obtinebit: Nempe
idem omnino esse Momentum, Ongulxe (suver eodem plano, ) sive Sit A a acies, 
aaxis libex; Ere ra acies, e axis libra A a.
Acque idem plane obtinet de Solidis convertione, vel semiconvertione de
seriptis: Ouippe haec cum magnituline, cum ee momento, nihil aliud ab Ungulis
Semiquadrantalibus correspondentibus disterune quam quod sinc ad illas in ravione
Pad , vel : P ad R: ut Lupra ostensum est. Adeoque tum facti ex conrertione
BV circa A a momentum respectu r a, tum ejusdem convertione circa ra mo-
vertione, utrobique,
V9n V p: Faclique ex lemicon-
VouVa p. Pr sie rbique.
Est itaque Semiquadrantalis Ongulae super BC A Sectore, aciem hrabencis ra
momencum respectu rectae (planire perpendicularis) A a Cu SC.) 5V R3-F
S2 R= Solidique ejusdem integra conrertione circa r a facti momentum (respectu
ipliuS A ∞) 5V R2 P = 3S= RP; e Semilolidi SV R = X f r6 S2 R L
Adeoque, proprer Ingulae magnicudinem (rel momentum Sectoris BC A re
spectu r a) Za R + 3s R2 (per prOP. praeced. S I.) exic iltius Ongula Cencri gra-
vitaris ab Aa. distancia 82R + 35
T4. R =- 30
122 + 85 12a = 8s
8 R F 3B
72a = 85 ~. Fademque est
distancia ab Aa (recta planove pervendiculari) Golidi convertione (persecta
vel imperfecta) BC. A cirea r a deseripei.
Ingulaque Semiguadramalis super eodem BC A Sectore aciem habentis F A
momencum respectu iptius A a CA (uE SC) 5V R: = 5s2 R2; Solidique cor-
relpondentis, ZV R2 P - 8s2 RF: e Semilolidi, 5V R2P = 6S RP. Adeoque
propier Ongula magnicudinem, Za R2 = = s R, Der S L. PrOP. PrXced.) distantia
Cencri graricaris istius Ongulae (adeoque et Solidi seu semisolidi corresponden.
2is) ab Aa, est
BVR -
3
124 - 85
R - 3B
12a =8.
Es, Speciacim, qua coti Semicireulo insistie semiquadrantalis Ingule aciem ha-
DenEIS
cf. V.

## Folio 739 — 851387705:0759
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000759.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
PrOD. XVI.
De Calculo Centri Cravitatis.
bentis sive T an Eive FA, Momencum respectu A an CAt Z RL; Solidique correspon. F1X. 150.
dentis ; R3 P; ee Semisolidi, ; R3 P: Centrique praricaris ab A a distancia, 8 N2 160.
Trem, Semiquadranralis Ongulae super B V A Semilesmento, aciem tabentis ra
momentum relrectu Aa est (UESF.) 3V R3 = 35 R + 35 2 V R = 354; (50-
lidique correspondentis, et Semilolidi, momenta, ad hoc; ucP, vel = P, ad R.
Adeoque, proprer Onsula magnicudinem (vel momentum Semilectoris BV A re
Spectu 7a,) Za R2 - =s R= + =sv  + 353, (Der S L. proP. praeced.) Diltancia
Cencri craricaris istius Ongulae (adeoque Solidi Semisolidire correspondenris) ab
8VR = 45 R + 4s V R = 35 4V R + 4s R f 352B
3 2a = +25 R = 12 5VR = 85 12CR F 125V R + 85
Onoulaeque Semiquadrantalis Cuper eodem B V A Semisermento, aciem haben-
eis TA, momentum respectu ejuldem A a, esE (utS F.) ZV R3 -  s R = Es V R
352; (Solidique aut Semisolidi correspondentis momentum, ad hoc; ut ~ vel
~ ad R:) Adeoque, propter Ongulx magnicudinem (seu plani BV A momen.
cum respeetu F A, ) Ea AZ = ES RZ = LSVR = Z53, (Per SL. prOP. praeced.
Distancia Centri graritacis Onsula (Solidire aur Semisolidi convertione facti) at
A
82 R = 4 s= R2 - f 4 s V R - 2 54 -- 4 2 R  4 s R - Zs B
12a R = 125 R + F2SVR = 8s Z2CR + 1250R - 85
Similiter, Semiquadrantalis Ingula Caper eodem BV A, aciem Habentis B V,
momentum respectu, Nas e (UES C,) 30 R3 L352 R  A = 89 P - 122B
Solidiquene Semilolidi convertione tacti momenta, ad hoc, ut P _ ; P ad R:
Adeoque proxter Onsula magnicudinem (rel plani respectu BV mOentum)
a + s A + havR Es = F ex R = t522; (per S L. PrOP. PrXC.) Distancia Cenrri
Braricaris ab A a -
62 f2 52 ct 3 1B
8VR3 = 452R
12 a R = 125R F 12 avR = 453: Vet Cquod codem recidic)
toV2+ 1er X D3Ceu + v- 2R + B
quRS2B
4502 + 12   ~ seu =2 p + 12 avR = 4
Trem Semiquadrantalis Onoula super Ba A, aciem hahentis ra, momentum
respectu Aa, (ucSF. ) 3V A3 F35= R  = 25 2 V R = = 52 R2 + 1V R; (Soli.
e convertione factius 15V R7 X + 352 R P = sevD; ee Semilolidi 6V R2F
ccleste
=35 RZ = s= vF:) Adcoque, propier Oneula magnicudinem (Teu plani
momencum respectu ran) aX F 8sN = 5s2 A (per SM. prOP. PracCd.) diltancia
Centri graritatis ab Ag
42R 4 4sR = sV 4R + 4BA = s
Sak F TOSR = 250
6fR. = 25h
Opoulaeque Semiquactranralis super eodem B a A, aciem habenris P A, omen.
ium respectu ejusdem A a (ULS F) ZV R3. f Z se V R; (Solidique e Semisolidi
conrettione Pacti, ZV A2 P. = 15 = V F, 5VA =F + , 2 5 2 D P: ) Adeoque, prOPtCI
Ongulae magnicudinem, (seu plani momencum respectu J A,) Za R3 + 65 R 2 +
55~R, (Per S M. PrOB. Braced.) Distancia Cenri pravicaris ab A a
4u + sev er 4 R F s2
6ak + 25R + 250 6s R = 25B
K.
L
Eodem modo, semiquadranalis Oneulae Teianeulo B Ca intiltentis aciem ha. M.
bemis ra, momentum respectu A a, elt (UES F.) 352 R2 - - S V R; (ec 50.
lidorum, conversione vel semiconressione descripiorum, his proportionalia; nem
De in ratione P seu : P ad P: quod et in sequenribus incollise.) Adeoque (prop.
ter maxnicudinem =s R Z L5VR, per SMI. proP. Praced.) diltancia Centri ora-
vicacis ab A a, est 35 _ + 25V d5X  20
12R = 4V +ZX 4V
Oneuleque Semiquadrancalis su-
per eodem B Ca intiltencis, aciem habencis TA, momentum respectu A a est (ut SF)
2s R + =S v X; adeoque (proprer masnicudinem 35 R + 35u A per S M
PrOB. PEacect.) distancia Centri pravicatis ab A a,  3 f F 2V
12 R + 4V
Ongulaeque Semiguadrancalis super Frianeulo B V C, aeiem habencie F , MO.
memum resprectu A a; est (ut BD. )
24  N: FL magniendo (per SH.
A a a 22 :
1 PFOP

## Folio 740 — 851387705:0760
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000760.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
d
Fi∞. DCOB. Praecccl. ) 5 P= 22
150.
160. que habeneis T A, momenrum (respectu A0,)
Panciague P + 30
4R F 80
7R- 30
20R 80
R +30 fx, magnicudo,
24
+ 22
Aciem.
Et Semiquadrancalis Uneulae suver Friangulo B V a. = BC a = BV C, aciem ha.
bentis ra, momencum (respectu A a) S _ = 2V 52 _ + 7 R = 38 si v; hoc est
(prOpter x = R = 2, supra centrum, addendum; vel v = - R + v, intea
Cencrum, auterendum;) R = 2~,. X +
4
22- 200R + 30
24
5
12 R = 120 R + 30 5; vel (pCOpier V = 2y R - 5,) 3 5 ) - : s v R
2.4
Sst = 5S H; (US P.) Adeoque (PrOPIermaz. 3 R -  5  + 5R - 20
3R - ~, P +5 R= = 7v R + 2V
5 X
35R, = 352 R = 3 5~ = 85R2
= 35VR - 3 5 = = 5B; UE SM. PEOB. PEACCd.) dictancia Cenri graritatis ab
A a 85. Aciemque habenris T A; momentum (uc S F.) ; s2 B R = f s2 B2:
1
maenicudo (uc BM. prOP. Pracec. ) sB R =  sH: distantiaque
2R + 3V
8R + 80
8R. L 3B
24R  8b
Ongulaque Semiguactrantalis super Friangulo B A V, aciem habenris Z a mo-
mentum respectu Aa est (Ut S G, ) SV R F 55; e magnieudo (propter mag
nicudinem Prianguli Zsv; distantiamque Ceneri pravitatis a L A = V, e 2 7 a
2R - 30,) 52R- 35~ = 352 R +35; ee dultanria Centri sraritatis ab Ae
2V R + 35
8VX = 8, 5. Aciemque habentis PA, momentum respectu A ay = S2 V R
Ssi magnicudo,  5V = 3 52 R = ; P; Cenerique praricatis ab A e distantia,
6VR = Z52
160R - 8
de EescnrArE eru
Et Semiquadrantalis Oneulae super A B A Segmento, aciem habenris Za, mo-
mencum respectu Aa, est (uc SC.) Z V R = 6S R L =S V R = 5V R L 2S VR:
magnimido (per SN. pr. praeced.) = a R? = = 5 R = 55V X; Cenerique gravicatis
ab A a distantia, 4+ 2  = 2 5 R + 5 v
4 X- 2B R
6a R = 65 R +25V 6cR + 25V
V. Acienique haben.
tiS TA, momentum ZV R3 = 5s R2 - , 2 s V R = d V R = i S V R; magnicudo.
3a R = = sR = 6svR; distantiaque 4 2 N- 2. s R- 5 v 4 R  2b  s
6aR = 65R 25V GCR = 25V
Atque jam (inter, alia) Solidorum Semisectoris BCA, B a A, aut semisexmenci
B V A, Seomencire AB a (nedtum Friangulorum BCa BC. V, BAY, B Ha, dC.)
circa Aa integra convertione deseriptorum, Cenra. graricatis determinarimus:
Ostendimus urique, distantiam Cencri graritatis a T a, Y A, BV, _C. Acque in
iDlo AXC Aa sicum elles constat, Ex prOP. 5 hujus. Iplum iaque punctum de-
terminarimus.
Fctimiliter, Cencra pravicais Solidorum incesrorum, quae (non modo sectoris
BC B, vel BaB; Vel Sesmenci BBA; uc quae in medio Axis conrertionis esse ma-
nifectum est; sed e) Semilectoris BC. A, vel Ba A, auc Semisegmenti B V A,
Segmentire ABA, circa 7a vel F A, aut eriam Semilesmenei BV A cirea BV,
convertione incesra deseribuntur, determinarimus. Cum enim eorum distancias
ab Aa plano designarimus, eaque in ipso convertionis AxC Fa TA, vet BV,
este contter (per s hujVS:) iela Axis puncta, quae Cena gravitaris funt, deter-
MinRnTT.
Verum
N

## Folio 741 — 851387705:0761
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000761.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Prop. LVI. DCuam Centri Cravitatis
Verum in horum Semisolidis, solidisre impersecta quaris conrertione deserio.
tis; Vnoulisque correlpondentibus: nondum decerminancur ipla Centra; ut qua
L13
259
non in ipto Arc polica sunc, sed alibi, exrra axem, in planO per atem Iai 160.
Feunte.
Cum tamen in quo per Axem convertionis, seu Aeiem Ungulx, transeunte plano
constiruta Linc, jam constet ex s G prov. T2. hujus; (nempe, in eo per conversio
nis axem plano quod solidorum, conrertione tactorum, arcum convertionis bile.
Cat; eoque per Ingularum aciem plano, quod bisccac ungulae alcicudinem:) AF
que in qua quidem hujus plani recta, jam lic determinatum; nempe in eis quoxum
Axis seu Acies eA A a per Centri graritatis distantiam, a ra, T A, BV, ec
e in eis quorum AXis elt Za, F A, vel BV, per ejus ab Aa distanciam: Id F0-
tum superelt, uc in quo iltius rectae puncto sicum lic, determinemus per ipsius a
convertionis axe distanciam in eis qua convertione describuntur Solidis; ee, in
Ungulis, per discantiam a perpendiculari per Aciem Plano. (Unde iplum grari
cacis Cencrum determinarum ii contat, peT PrOP. 26. CaP. Prxced.) Id ducem
sic axcrectimur.
OE Sectorem Sphaericum incesrum, B CBA, S A, (plani BC. A cicea rectam
Aa incegra conversione deleripri,) sic ejuldem semillem seu Semilectorem Sphae
rieum, aliumre impertectum, (convertione dimidia, aliare impertecta deseriptum, )
incellisamus ex Pyramidulis (similibus e aequalibus) componi, (juxta det. I.
Cap. 4.) Ouarum communis vertex lc Sphaerae centrum, Basesque compleant
Superticiei Sphaericae porrionem Semisectori huic, Sectorire imperfecto, convenien-
rem: nempe Frilineum Spharicum, quod Sectoris Basin appellabimus,
Cunque (per s hujus) Cenrri graviratis in Pyramide, diltancia a vertice pyra-
midis sic 2 corius alcicudinis; Pyramidularum illarum omnia Centra graritatis
(aequalibus ab inricem distanciis remoca) incelsisancur complere Simile Prilincum
Spharicum, ut b a Hig. 265. Cujus radius sE C b = ZC. B = 8 R. Cujus cum Cin-
sula puncta, (urpore aequalium Prramidum Centra gravicaris,) aequaliter onerata
reputentur; idem erit Prilinei hujus, ipliusque expolici semisectoris, Sectoritve
impertecti, Centrum graricaliS; (Per 76 Cap. 4.) adeOquC, capcundem ab A a con-
vectionis axe distabit.
Ouod de limiliter accommodabicur Onpula eidem BC A Sectori Circulari infi-
stenci; Cujus utique (pari ratione) Cenirum gxaricatis idem erie aeque Suverti
ciei Ongula Cylindracea areui b a insistentis aciem habeneis Aa; adeoque tancun-
dem ab A a Pe penMlait plano aalo.
Est autem (per S V, W. BIOB. 23.) Semiguadrancalis Ongula superticialis, ar-
cui B A inlistentis, momencum respectu iplius ao; idem acque Tumima quadrato.
rum linuum rectorum ipsi A B arcui conrenientium; adeoque aequatur facto ex
BV a semisegmento, in R ducto; hoc elt, (prOpter BV A == ZC R f 3 5V, ver
SF. SPrOP. praeced.) ZC R F 35V R: Aique hoc, per Ungulae superticia lis maoni-
cudinem diritum; hoc ell, (per SN. (. prOp. 13.) per v R divitum; exhiber iltius
Ongulae Superticialis B A, diltancium Ceniri gravicaris ab A a. = -
 + Z5. Ad
cogue (propiet CB =  CB = Z R) areui b a insiltenis Ongulx supertieialo, e
propterea (per jam demonstrata) Ongulae Solidae ipti BC. A insistemis, aciem ta
8b  +35. (De, specia
im, illius quae tori A Da semicirculo intistie, ingula, distancia Ceniri pravicacis
ab Aa, PFOPter 5 ==0, ad eo que  = 4 = Z P, _ v = 2 R, exi
Eademque eltet diltancia Cencri graricatis Solidi, impertecta ejuldem BC A cir.
Ca Aa convertione deseripri, ab Aa convertionis axe; dempra CurratTA. oSCc
propter curraturam, minuenda est pro ratione quam habet ad, convertionis aveun
chorda sia; (Der PrOP. L4. hujus) hoc est, in Semiconvertione, ut 2 R ad 3~
seu uc 4 P ad P; (et in aliis convertionibus similicer, mucatis mucandis, in ratione
Chorcae ad Arcum;) Adeoque Semisolidi, ipsius B C. A semiconvertione circa A a
deseripris distantia Ceneri orar lais a convertionis sue Axe Aa, ef( 3 a  + 3 sV
et
(L speciacim, quou semiconrertione Semicirculi A. D a dascribicur, Hemisphaerii,
distancia Cencri praricatis ab Aa, elt 3 R.
d’acque
t

## Folio 742 — 851387705:0762
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000762.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Fi8. 159,que tae distanciae in magnicudines ductae, (nempe Ongulae, JV R; e Semi-
Tolidi SDRP, Per SO. PrOP. Praeced.) exhibent semiquadrancalis Ongulae luper
BC A Sectore, aciem habentis A a momentum respectu iplius Aa, SC R3 F 85V R2
Semilolidique correspondentis, Le R2 f EsV R. Ec specinrim, pro Onsula Se.
micirculi, de Flemisphaerio; ib R3 P, e 3 R32
(Alque hic obirer notare non erie imporcunum, momentum Semilolidi respectu
tui axis conrertionis, duplum esse momenti correspondentis Ongula Semiguadran-
talis respectu aciei sux seu Plani per illam perpendicularis; quod in hujulmodi ca.
sibus semper obrinet, quod semel moneo: Cum enim magnieudo ad magnicudi
nem sic ut Z P ad R; Cencrique distantia, propter conversionem dimidiam, ut
2 R ad L P; erit quae ex uritque componitur, momencorum ratio
Deinde, quae Friansulo B V C intistic semiguadrantalis Ungula, aciem habens
Aa Pyramis est; verticem habens C. Cenirum; Basemque Priangularem rectae
BV insistencem; cujus quidem Prianguli Cenrrum gravicacis ab A a plano, distat
EBV =35; Centrumque graricaris Pgramidis (urpoce in recta, a batIS Centro
ad C prramidis verticem ducta, qua cs Pyramidis axis, tres quadrantes vertus C
abscindens; per S hujus;) diltabit ab Aa plano, Z x 35 = 35. Oux quidem di.
stancia, dueta in Onsulae maenicudinem 3s x, (per S R. PrOD. Praeced.) extribet
ejuldem momencum respectu Aa SN: Et Semitolidi correlpondenns (eujus
magnicudo ad magnicudinem Onsulae ese ut 2 ∞ ad R; Cenuique graricaris distan.
cia, ad distantiam hujus, ue 2 R ad Z P;) moimentum Z 5 X.
Acque haec Ongulae, Semicolidique momenca; momentis Ongula Schmisolidique
Sectoris BC A (S P. reperris;) Ablata, si supra Centrum; vel Addica, si intra
Cenirum; exhibent Cngula Semiseemenio BV a insistentis, aciem habenris A0
nomentum respectu A a, se R3 F 85V R F 2S N: HIOC CA, (PFGpteF N= X
supra Centrum, auterendum; et x =- R FV, intra Cenirum, addendum;
SCR + 55V R = 2S R F 1 S V: FL lemitolidi, = e R. + Z5V R27
N=e R
F25VR= = 5s R F 5SV. Adeoque (proprer Onsula magniudinem, vR
=ESR f SsV, Der S R. propolitionis PracCdentis) diltancia ceneri gravitaiis
Oneula ab Aa 3C R3 + 350R7 = 25 + 250
80R2 - 4s R F A 52V 101
3C A3 + 35VR +25 
4V R + 4 s 2
Cencrique semisolidi inde distantia, ad hanc ut 2 P ad 5 P, teu 4 R. ad P.
Porest aurem hoc momentum Oneulae. de Semisolidi, Semisegmento BV A Con-
renientium, sic alirer concipi. Nempe, E omnes ordinacim applicata BVI etc
aequalibus incerralsis sumpiae, (complentes BV A Spatium,) ducancur primum in
sui semistes, uc habeantur Trianpula eidem intiltentia (Ongulam complentia,
quae lune (ut supra ostensum est) Ordinarim applicatarum Semiquadrata: AIque
ac demum Priangula. (semiquacratis aequalia ) in rectarum duos Friences, (pro
diltancia Ceneri graritatis a verrice in Friangulo:) Ouod prodic, BV X = BVX
BV = SBV C, exhibebit momentum Friansuli rectae B V insistentis. Ouod clin
ubique tiac: Frit Onsula Semiquadrantalis, super B V A insistentis, aciem haben.
eis Aa momentum respectu iplius Aa; Tummx Cuborum ordinatim axplicatarum
Lriens; Pura, :Omn. 8 (Quod perinde rerum est, si pro Semilesmenio BV A
in verrice terminato, sumeretur B V CD, vel quaevis alia Semicirculi vorcio, dua
bus ordinacim applicalis incerjecta. Quippe, e ties; Omn. s monenium Onsulae
Timilirer exhibebic.
Sed e idem momentum jam modo repertum est, se P 3 F s5V R ELL +53R Y
253V. Flujus icaque Priplum, 3e R  F 3SV R  = 4 53 R + L53V, aequatur Omni-
bus o; hoc eu lumma cuborum ordinarim applicatarum, quae seimisesmencum
circulare BV A, in verrice terminatum, complent. 
(Si vero haec ad summam Cuborum ordinatim axplicatarum in alia pOrTONC
puta BV CD, non ad verticem a cerminaca, accommodare liber; id Fer, ut alH
modis, sic hac falrem Faeili rarione; nempe, si, modo jam tradiio, habeatuE PIF
num simmma omnium o qux Eorum A D C Semilesmentum spectant; acque deinde
summa omnium  quae spectane Semilesmentum AB V, acque demum haec summa,
ab illa subducatux; quod reltat, erit omnium o porrione BV CD spectancium
fumman
 WWAS Verun
Cap. V

## Folio 743 — 851387705:0763
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000763.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
PFOD. XVI. De Calculo Centri Cravitatis.
Verum potest de hoc idem Ingulae semilesmento B V A insistentis, aciem ha. FiB
Bencis Aa, momentum respectu iplius A a, lic adhue aliter concipi. Nempe, Si 259.
recta omnes ip(i AV Parallela, Semileomentum BV A complentes, ducantur in 260.
quacrata distantiarum liarum respectire, d recta AV: (hoc elt; propier aequalia
quae supponimus parallelarum illarum incerstiria; in seriem secundanorum, ut 0.
4, 9, c. quorum maximum sic remorissima parallelarum distancia quadrata:)
Nam rectarum quaelibet in diltanciam Tuam ducta, extribet parallelosrammum ci
dem insiltens in Semiquadrantali Ongula expolica; idemque icerum in candem
distantiam ductum, exhibet istius parallelosrammi momenuum respectu AXIS AV,
Peu Aa. Adeoque simut omnia, illius parallelosrammi momentum.
Ouxque de Oneula dicta sunc; solido ejuldem plani B V A convertione im-
vertecta deleripro tacite ( ex praemonstrais) accommiodari porerune. Sed de tris
tractenus.
13C
Progredimur ad impersectum Sectorem, Sectoris plani B a A eirea A a. impersecta
convertione descriptum; Onsulamque huic correspondentem. Ouancum scilicet,
in tis, Cenirum gravicacis diltac ab Aen convertionis, ANC, seu plano per actem
Ongulae perpendiculari.
Ouxe Friangulo B Va intistie semiquadrantalis Ongula aciem habens A a Ps
ramis elt; Cujus rertex a; Basilque criangularis ipsi B V insiltens. Centrique gra-
ricatis diltantia ab Aa, 2X35 = =5. (Ouod eodem modo octendetur, aique in
SO. de Pyramide criansulo BV C incumbente.) Ejusque magnitudo (per 5S
DrOP. Praced. ) 3s 2 h. Adeoque momentum respectu A a,  S B = 553 R =  SV
Ouod quidem addicum momento Onsule Sémisesmenti BV A (SO. invento
SC 3  35VR = = 25 R f 1353V; exhibet Semiquadrantalis noulx sectori
BaA intistentis, aciem habencis Aa momencum respectu iplius A a, 30 A +
8SV R =  12
Edemque sic habetur. Semiquacrancalis Inoula Prianeuls B C. a, aciem habens
Aa est item Pyramis cujus vertex, a; Balisque Friangularis (ipli C. B insilten.
tiS.) Centrum graritatis ab A a plano distat, Z BV = 35; adeoque Cencrum PY
ramidis inde distat, 3X35 = =s. Adeoque, propier magnicudinem 55= R (per S S
DrOP. PrxCCd. ) momencum, =53 R. Acque hoc Addicum momenio Onsula BC.A,
SP. InVencO,) SCR f 552X2; extribet momentum Onoula Semiquadiantalis
Sectori Ba A insistentis, aciem habentis A a, respectu iplius A a, SC R3 F 35VR
 i sR. OF prius. CFujusque duplum, elt Semitolidi corrclponcentis mo-
mencum.)
Acque hoc Ungula momentum, per ipsius magnicudinem divitum; hoc est, per
VR = F SS=R, (Der S S. PFOD. Praeced. ) extribet hujus. Ongula Sectori
Ba A insistentis, aciem habencis A a, distanciam Ceneri gravicatis ab A a plano,
ZC R f 35V R + 25
8v R = 45
Adeoque Semitolidi correspondentis, distancia Ceniri gravi.
cacis est ab Aaconvertionis axe,
ta ut 4 R ad Z.
SCR + 3 50 R + 25 P: nempe aet illam Vnsu.
2V RP F 52 D
dimiliter otendetur, Ongulae Semiquadrancalis Triangulo B A V intillenris
aciem habentis Aa, (qua etiam Pyramis elt,) Cencrum sravicatis ab A a plano
dictare 2x35 = =5; magnicdinem este ss =V; momencum respectu A a,  53V.
Acque hoc ex momento Onoulae Semilesmenti BV A (S O. invenco) sublacum;
extibet Semiquadrantalis Ongula, Segmenco AB A intiltentis, aciem habentis A a
momentum xetpCC A a Se P3 = 35VR == 2
le
Vel etiam; Dnoulae Semiquadrantalis Friangulo B A C insiltenris, aciem haben-
is Aa, (quae vel eyramis, vel lalcem duarum Prramidum agcregatum vet ditte
rencia, quarum communis balis criangularis ipsi B V insistic,) Cencrum gravicario
similiter ab A a diltare, 2x35 = =s; magnicudinem, 5S2 R; momencum respectu
Aa 225 P. Atque hoc ex momenio Ungula Sectoris B AC (SP. invento)
Be R3 = 85VRZ Subductum; relinquit se R3 F SsV R 2L , +53 R, momencum
respectu Aa Ongula aciem habentis Aa, ipLI AB A, Scomenco insiltencis. VE
Prius. (Flujusque duxlum LC R3 + + 5V R2 =553 R, momencum semisolidi cor-
respondentis.)
EIIdGuE

## Folio 744 — 851387705:0764
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000764.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
DeCalculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
Fis. 159. Lullasue Ongula momencum, per iptius magnitudinem diritum, hoc cst per
6V R = 5V R = 5sR (per S Q. prOp. Praced.) extibet iltius Ungula Ses.
mento AB A intistentis, aeiem habentis Aa, diltanciam Ceneri graritaris ab A a
plano, 3 C R + 3 50 R = 253
80F = 452 == 4 V2
ltanciam 3 C R 2 F 3 5V R = 2 5.
2V RP - 5 24
Semisolidique correspondencis, Ceniri inde di-
Rectat, ut timilicer expendamus Solida, impertecta convertione circa ran L A
BV, deleripra: Ongulalque correlpondentes: Porum Momenta respectu r an l A,
BV, respectire, decerminando; Cenerique graricaris inde distantiam.
IncelliBacur vaque super A D a Semicicculo, Ongula Semiguadrancalis, aciem
habens Fa. Cujus iraque lingulis ordinatim applicatis, ut B V, coridem inlictune
Parallelosramma Rectangula, Ongulam complencia; quorum alcirudines sint iplis
Varrespectiris aquales; corumque d J A distanria V A. Frirque propierea RC
ctangulorum horum cujusque momencum relpectu TA, (OPPOTIX lansenIS,)
aequale tacto ex Bale BV, in alcicudinem V a, ee diltanciam a vertice V A, Con
iinue ducta: HOc cAt, BV X V aXV A. FK aucem a V X V A = BV 9, (PrODteF
BY mediam proporcionalem incer Diumetri sexmenca AV, a V:) Adeoque BV x
aV XV A = BV C. EF Lic ubique.
Idemque cric ( eadem de calisa) momentum, respectur a Onpulae, aciem p2
bencis T A. Ouxe enim MMt, in alcera, alcicudo; est, in reliqua, diltantia: 
rice verta.
Sune iaque Parallelogrammorum torum omnium (sive quae Vngulam coram
ipti Aa D insiltenrem; live quae ipsius portionem ipsi BV A, vel BVCD, insi-
stencem complent; quippe utrobique eadem est ratio;) momenta respectu I A, A
acies lic ra; vel respectu r an A acies _Y A; Summa cuborum ordinatim appli-
catarum balin complentium. Puta, omnium o, respectire.
Eequidem in ea quae Semisesmento BV A intiltit, (ad Verricem A cerminato)
Omn. 03, = 8C R3 f 35VR = =5 R + 553, ut 59. oltentum est. (Idem-
quen i opus suerir ad aliam porcionem, ut BV CD, facite accommocabicur; u
ibidem eriam ostentum elt.)
Ellud itaqe momentum; A dividatur per Ongulae magnitudinem ipsi BV A Sémiles.
menco insillencis, aciem habentis re, 3e R F S0 R f ; s (per G L. prOP. Praeced.) ex.
hibet diltanciam Centri graricatis ab (opposica) PA
3
R. 1
653R - 353V
6eR +65u R. f 453
53B
35.B
16 A) + 9522 = 65t R f 6534
12eRE + 125V R + 8st
Sc R +65uR + 45
5
Adeoque ab ipta ra-
SeR + 65uR + 453
Ongulaque
DEOPECTCA respectu iptius BV, momentum = 3C RR 3 = 3 a V R f 35VR  - = 53 R
F ESV: Fjusdemque respectu ipsius r a, aciei lux, momencum, J0 R3 = 3SV R=
F253 R-
53V. Hlujusque duplum Z0 _3 f 35V R2 f 15 5 R - =5 3 V MOmen-
tum semisolidi, semiconvertione semisesmenti BV a circa r a, respectu ipsius r a
axis convertionis: aique hoc, per semisolidi magnicudinem diritum, exhibet
ZSCR F L5SVR7 f 225-65V
R
+25 R 6532
3C R 8 = 350 D + 253∞
P: Semisolici istius, distanciam Ceneri
pravicaris a tan (nempe ad illam Ingulae, ut 4 R, ad P.) Adeoque, d TA.
F = 5B
3C k. P + 3 5V R P. L3 5   Semisolidique illius, respectu iptius
T A (axi opbila) momencum  e R2 P + : 5v R P + 3 s P = 3C R. - = sV R
853 R + 35v.
Idemque (quod Prius) momentlm se R 7 8  a5 R F 253V; si d
vidatur per Ungula magnicudinem ipli B V a inciltencis, aciem habentis T A,
SCR + 35~ R = 35, (per B L. prop. praced.) exhibe, hajus, Cenri gravicacis
distanciam
3C R F = 3suA P + 2537
350RD + 2534

## Folio 745 — 851387705:0765
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000765.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
PFOD. XVI. De Calculo Centri Ciravitatis.
distanciam ab C oppotita) ra de R3 + 9 5V R = 65. X + 6
22C R = 1250R - 8
Sete + 60uR = 453. Acque d B V, 2 R - B +
3V
1
5e2
6ese + 65u R - 45
V
ScR= +650R = 4 5id Z. A 3 = SC R2 + 650 R - 4. 53: Ungulaque
PrOPterea, respectu BV, momentum = 3e R3 L Z aV R 2 = bS V R2 L  3 53R -
1E53V; e respectu iptius P A (aciei TuX ) momentum SC R3 = 3SVR = = ZS R
2530: Flujusque duplum, ZCR3 = Z5VR2 -353 R = 353V, momentum Se
mitolidi correspondencis. Hlujusque propterea Semisolidi distantia Ceneri grari
caris 2 T A (anC su0) cAt  R-
653Vrit
raq (aui oppolica) 2 P - 5 R 3C R  + 3 50 R D = 2 5.  2; aleoque 2
v
3C R P + 35VRP = 255∞ . Ejulque
momencum respectu hujus r oy L0 R P + 3 5u R ~ - 5 53 P - = C R = 2 5V R
+353R F L53∞
Ee Speciatim, quae cori Semicireuto aDa insistic Vneula, aciem habens, sire
a sire T A; momentum habet (peopter s -0, e 0 = a = ZP,) respectu ca
rum alterius, nempe aciei sua, 1SRP; alterIUS verO, quae aciei OppONITE,
8R3 F; Adeoque Centri graricaris distantiam inde, J R; hinc, 3 R. Ft corre.
spondentis semisolidi convertione lacti, momenium respectu asis conversionis lua,
3R P; Cencrique pravicaris inde distantia erit x. Onde habetur ejuldem
ab altero extremo distantia, et momentum respectu istiuis.
Deinde; ut HaC Ad AXeM B V, ErANSFErAntIE; (Der S F. prOP. FF. hujuS: ) EX
Ongulae Semisesmenti BV A, aciem habentis PA, momento respectu ra modo
invento, Se R3 = 35VR2 -253 R f 553V; s auteratur factum ex Onsula mag-
nicudine Z C R2 F ZSVR - 353, in a V = B ducta, hoc el, =CB R = = Z5VBR-
253B == ECBR 2 F Z53R - 353B, (DFODCer BV = 5 =,) hoc et, CR3 = = eVR
+ =53R = Z 53 R + 553V = = cR3 = Z a V R = = L5V R Z  657 R + 353V: Ouod
restat = SC R  = Z a V R = = 85 V. R = - , 35 R - 35 2V, elt ejusdem VngulX BV A
aciem habencis TA, momencum respectu BV; (quod S P. alicer ostentum elt:) Pjus-
que Ceniri graricatis distancia a B V = 2SC R = L2aVR - 35VR - 25 R -2532
2
=0 - Z R F 6CR2 + 650R = 453
12CR = F 725VR = 853
Idemque haberur, si ejuldem Cencri di
stancia d T A, auteratur ex AV = v, (aue ab ejus d ra distancia auteratur
B = 2 R - v;) ut habeacur illius a BV distancia; acque haec d B V distancia du
cacur in magnicudinem Ingulae, ut trabeatur momencim: (ue S F. factum est. )
Eiiurovis modo, habebicur Semilolidi correspondenismomencum respectu ejusdem
BV; Cencriqi craricatis inde diltancia: Nempe, distancia, -
∞ + v; ee momentum, 1 SuR D - :  X
35 R +
6532
3et P + 35V XP - 25 
5308
6X = 3CR = 25V R +
FX Ingula vero semilesmenti BV A, aciem habentis Ta; puta Y VFA (AB.
24T.) auterendum primo factum ex plano BV A in a V, pura Prisina V Ya A,
uE habeatur rat, leu V AF, Ingula ejusdem balis aciem habens BV: AIque eX
momenco istius Ongula respectu ejuldem 2 ∞ hoc est, ex 3C R3 f 35VR2 +
13S R = = 53~ (per ST.) auterendum illius Priimaris relpectu ejuldem r a mo-
mencum; hoc est, plani BV A momencum, in VV, Peu à V = h ductum; hoc
clt (per SL. DEOV. PraCCd.) ZCB R = + 55VB R = 353B = e R 3 - Z a V R2 
5VR + 8
V; ue habeatur momencum Onsulae BV AF (SemiseB
mento BV A intiltencis, aciem habemtis BV,) respectu ipsius 7a, = d C R3 +
av R +552R =  R + 5 53V. (Idem acque momenium respectu BV,
Bbbbb
aciem
16C

## Folio 746 — 851387705:0766
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000766.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fis. aciem habentis r∞.) Acque ex hoc demum momento respectu ra, auterendum
159, quod tc ex ipsa Ongulae BV A F magnicudine, in V a = B; hoc cst, (per SL.
260. PrOD. praeced.) = = eB R 2 F Z a V B R = Zs B = - C R3  Z CV R = + Z a S R
 353 R = 5 5D: FF habebitur dCR3 = E5V RZ = = a s R Y 13 S R =  s V mO-
mencum Onoulae BV A F (semisegmento BV A insistentis, aciem habentis BV,
respectu aciei sux BV: Adeoque (per magnicudinem diridendo) diltantia Cen-
iri gravicatis a BV, L5 C R + 255V R = = 12 a s R F 25 R = 2 5. 2
N.
12CR2 + 12 aV R = 45
=de R3 + 12a0 R + 350R2 = 65 R + 2. 5 
=T2C R2 F LZaVR = 45
(Semilolidigue corre.
spondentis momentum, sire respectu ra, sire BV, est duplum momentum Vn.
gula: Ejusque Centri gravicatis, distantia sive d r a, lre d BV, est ad di-
stanciam Cencri Ungulx, uc 4 R ad P.) Cemrique Ongulae diltancia d F A,
= 25CR3 = 12 aVR 2 = 35VR 2 = 25 R - 253q
12CR2 + 12a0R - 45
; ejusque momentum respectus
TA, = Ee R3 F ; aV R 2 = 85VR = = 1 S R - 1 53 v. (Idem acque, respectu B V
momentum aciem habentis FA.) Similiter, li Semisolidi distantia Cencri pravicaris
d ra, auteratur ex A a = 2 R; habebiur ejuldem d P A distancia. AEque haC
in semisolidi maenicudinem ducta, exhibet ejuldem respectu P A momenium.
PorrO; Triangulo B V a intistens Ongula Semiquadrancalis aciem habens r a
CAPgramis; Cujus magnicudo BV X V a. X 3 V ∞ = Z SB. = 3s R 2 = 35V R + = 52
=85R2 = 352R = 3 5: Fjusque Centi Braricacis, d + a, distantia 3 V a = 3 B:
Adeoque Ongula momencum respectu ra, ZsB. == 25 R3 -- 35V R 2 + 3522 R
=25V = 25 R3 - 353R = = 52 = 25 R3 = sV R 2 = 5 R +  53V.
Alque hoc additum momeneo Ongulae ipsi B V A intiltencis, aciem habenris ra
respectu ejusdem ra, 8e R3 F 35V RE F i S R = 2 5 V (ut S F. ) Teu 3a R.
f5R3 = 35V R2 = 2E B R - = sV; extibet Za R + 8s R = 85V R = 12S R,
Seu 3fR3 f 3SBR2 = ~ S R, momentum Ongulae sectori Ba A insistentis, aciem
hrabentis ra, respectu iplius ra. (Flujusque duplum est momentum correspon-
dentis Semisolidi, respectu ejusdem r a.) Idemque per magnicudinem diritum,
hoc CIb, per Z f R2 f SSBR = = a R 2 + 35 R= = ESVR; (UES MI. prOP. praeced.)
extibet distanciam Cenri pravicatis d r a 25 a R = = 335R, - 9 50 s - 25
25 F R2 + 9sBR = 253
22FR F 4 5B
12 a R = 205R -- 45V
Adeoque ejuldem Cenri distancia d FA,
Da R2 f 75A2 F 5VR + 25 9FR2 = 5BR + 2s
c2a R F 205R = q 5~
12FR = 4 sB; _ PrOPterea eju Idem
Ongulae momentum respectu TA, 3 a R F 13 s R3 + ,  5~ R 2 = i S R = 8f R3
sh R F =B R. (EF correspondentis Semitolidi, ditancia Ceneri craritatis
d2
distantia a P A; aeque haec in Semisolidi magnicudinem ducta, exhibet semisolidi
momentum re
Ejuldemque Priangulo B V a insistentis Ongulae, Pgramiditre, Centrum pravi-
ratis d T A, diltat 2 R - 3B = 2 R f. 3~: Adeoque ipsius respectu TA momen-
tum (distantia in maxnicudinem ducta) 35 R3 + 352 R 2 = = sV R = 35 se
= 2 5. 2 = 35 R3 - 3 5V R 2  253 R - = 5 v = 35h R =  5B3 = 1 3 s B3 f  53 B.
DTOPIEE S= BV.
Acque hoc addicum, momenco Ongulae ipsi B V A insistencis, aciem irem haben.
2i8 20, 3aR3 = 85 R (= 3eR3) F 35VR2 = 2 s R F a 5~, (UtGV.) extri.
Bet 3a R3 - = 5 R 3.F 2 5V R = + 35 R, SCU B f R3 = 2 5 b R 2 + ,  5 R, MOMEM.
tum Ongulae sectori Ba A insistentis, aciem habentis ran respectu iptius T A. VE
prius.
Fidem vero Friangulo B Va intiltens Ongulau aciem habens PA, conltat ex
Prilmate eictem insiltenre cujus alticudo A V = 2; cique suxerjacence pyramictem
cujuo

## Folio 747 — 851387705:0767
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000767.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Pcop. LVL. cunm cinadidatis.
cujus balis Priangulum BV a (aue huie aequale;) altiudo, perpendicularis (Pra Bis. 159
a punetum aequalis ipsi V,a =h; Adeoque (propter BV a = Z sB) Pyramidis, 100
magnicudo SSB2 = 35 R 2 = 35VR + 65V = 35 R = 35V R - Es: RL, (prOP
ter Cencer gravicaris batis B V a, 2 r a diltanciam, Zh; Prramidisque Cencrum ora
ricatis in recta inde ad verricem ipsi a puncto supereminenrem ducta, abseilla inde
vertus vercicem, Z ipliuis;) dictantia Ceneri graricaris prramidis d ra planos erit
Ex = B = Eh: e propierea prramidis momentum relpectu ra, = 5B3
=5V R 2 + = F 2= R = 52 = 35 R3 = 3 sV R 2 = 3 5 R F ,E SV. PrIlIaLIS Ve
r0, cidem B Va incumbentis magnicudo (propier balem BV a = Z sh; et alciru-
dinem V A = 2) cM 35B0 =Zs: Ejulque Cencri gravitacis a r a distancia (quiB.
De cadem qux basis Friangularis) Zh; adeoque Pritmatis respectu ra momencum
2SWB = 5S B= 2s R = =53v. Acque hoc addicum Prramidis momento  Sh 
extribet Ongula (ip(i B V a intistentis, aciem habentis T A,) momentum respectu
7 aq 3 SB = Z5Vh = Z SB = ZS B = 25 R3 = = 5 ∞ R 2 + = S R -  L B3~. (IdCM
acque aciem habentis ra momencum relpectu Y A. ) Acque hoc addItUM, MO-
mento Ongulae Semilesmento B V A insistentis, aciem irem habeners Y A, respectu
a 3a R3 = 85 R (= 3C R3) + 3 5~ R2 = + 5 R + a sV; exhibet, Ongila
Sectori Ba A insiltentis aciem habentis T A, momentum respectu Za, 8 a X
245  f 25D R f 2S R = 8FR3 - =sBR  + S R. (Idem plane acque
Onoulae aeiem habentisr a momentum relpectu F A: Ouippe quae illie elt AIEI
iudo, hic est Distancia; et vice verla.) Aeque hoc nomentum per Ungulae mas.
diritum, hoc clt, Per Z fR2 - EsB R = Z a R F ES R  F SSV R (UES NI. prOP.
Deaced.) exhiber da _ 2HC7 5R2 + 5v R + 25 9fR = sb R + 2 5. .
12a R + 45 R + 450
B
Rtanciam Cencri craricatis (Ongulae seclori B a A insiltencis, aciem habentis FA,)
2r a. Adeoque ejuldem Centri d T A distancia est  a R. F 5 X + 7 5u R = 2. 5
5fR. 2 SB R =
12 a R + 45R + 450
125R = 45B a e Ongulx respectu iptius T A (aciei Sux) mo.
mencum Ba R. + i SR =+ L S R= = 2 S R = 3s A L 2 5bR. = + s R
COnd
in L
habene= a Factum clt. )
Vel oiam; vrovier Ongulae; triangulo DV a intiltentis (aciem habontis P A,
ex Prramide et Prismare constancis) magnicudinem (modo exhibitam) ESh F Z Sh2
SA2- 35V R f 3 5o = sBR= Eh; Momencum ejus respectu r a (modo
ostentum) Es R3 = 5sV. RE + 5 s R - = 52, per magnicudinem illam dividendo:
habebicur istius Cencri praricaris a r a Distancia 85 R. - 452 R2 + 4 s R = 35 V
D
8 R2 = 4vR f 4 52
85 R= = 45V R F 4. 5.
L AI 8R = 4 0 XC + 45i Cadeoque d
spectu T A mOmenCum, 3,S R 3 = 3 su RZ -f 553 R. f 3 s V. Atque hoc addicum
Momenco Onsulae Semilesmento BV a intiltencis (acrem iem habentis Y A) re.
spectu ipSIuS FA, 3aR3 = 35 R3 (= SC R3) = 35VR 2 = 3 S R = = 53 V, (UI
S F;) exhibet momencum Onsulae lectori Ba A insistencis, aciem habentis T A,
respectu iptus Y A, 3a R3 + 35 R2. f  5V RE = FE S R. Ut priud.
Deinde .l ex his momentis Ongularum sectori. Ba. A insistencium, subductis Vn. X
gularum Priangulo BCa insistencium momentis respectiris, habentur mometita
Ongularum iccoe BC A Imeum respectira.
Oua autem. Frianeuto BCa insiltie Ongula Temiquadrantalis, aciem habens
a elt Pyramis: Cujus vertexa; Balis, Praperium rectae, BC, intistens, duabus
rectis, plano, circuli perpendicularibus es inricem parallelis incerjectum; quarum
altera, puncto C intiltens, aequalis est rectae C4== R; alcera, insistens puncto B,
aequalis rectae V a =b; quas itaque, in planum replicatas, repraesentent recta
Ca Ba. Ouod quidem Praxorium, (quo Centrum graritaris habeatur,) dirime
incellisatur in duo Priangula aBC, aB a. Ouae (propter communem alcicudi-
BbbBB 2
nem
8R = q u R + 45 12X - 4b + R. + q vi d et proprerea ejuldem re

## Folio 748 — 851387705:0768
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000768.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
160.
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V
Fis 159, nem a a TOn BV = S,) Tunt ut bales C a Ba; hoc CAt C a, V a; Seu, R, B: Puta
25 R, ZSB. Distatque illius Cenerum graricaris ab A a (recta planove) Z V B = 35
Rujus vero, ZBV = 25. Frunque, propterea, eorum momenta relpectu A a, ut
55 R, 3SE B. AdEOGUE MOmEnCIM tOTII SS2R F SS? B, per cotam magnicudi
nem Zs R F=sh dirilum, exhribet corus Fraperii dictanciam CenCI BPAVITaLIS,
quod puncto B delignacum incelligatur (ioro scilicet Praperio, in rectam cni in-
Sleie, B Ci projecto, ) ab Aa  R + 252 B
R + 2B
35R + 35B 3R = 3h
= 87. Adeogue (PrOP.
tex similia Friansula BVC, B, C,) ut BV = s, ad V C = x; GCBY, ad rC. -
R = 2l
L 2B
3R F = G V. Sumpeaqne a3 =Z a B, (ductaque, ut
3R F 3G~. FL 7a = se
B7, _C BC, ipti r a pacallela, d erie a C. = + 0 7 = 3 R + R + 2B, p = 3 RL
5R - 2.2
4 R + 4B
Ex, diltancia Centri praricaris pyramidis a (plavo Tangente ) r a. H0c
2R = 42
est (Propiex v = R = 0, supra Cenrum, addendum; vel x = = X + v, intra
Centrum, auterendum; adeoque L v = R - v,) 3 R 1 5 R 7v R + 2 v
7 R2 = 5VR L v2 7 R2 = 3VR = 52
SR = 2V
12 R = 40
6X = 20. Acque haec distaneia, in Pramidis
magnicudinem ducta, hoc ct, (per SM. prop. praecect.) in Z5 R. - 55V R, exhibet
eyramidis illius respectu ra momencum 7 _ = 3V R 5
e
5 A
3 3
A3 -
25VR2 = 353 R. Atque hocdemum momentum, lubductum ex momento Dnou-
la Sectori Ba A insistentis, (aciem item habentis 7 a) respectu iptus Fa; hoc
el (uES W. ) Cx ZaR3 F s R - 35V R2 - 35 R, relinquit momencum On.
sulxe Sectori BC A insilteneis, aciem habenus Za respectu iphusr a, 3a R3 
EsR3 = FsV R. (Semilolidique correlpondentis momentum, hujus duplum.)
Duod quidem Ungulae (ipsi BC. A insiltencis) momencum, per magnicudinem
Ea R + 55R (ut SI. prOP. praeced.) diritum, exhibet ejuldem Centri grarica-
vis dillanciam d ra, 25 a  = 195 R = 3 52
12a+ 85
(Adeoque Semisolidi correspon.
34F + 258
R; prpore adt
illam Cngulae ut 4 R adt P.) DC proxterea dillancia Ceneri pravicatis Ongula,
a TA, 3 a R - 35 R + 352
12a f85
; Ongulaque iltius (Sectori BC A insistentis, aciem
habenris r a) momencum respectu T A, 3a R3 - 55 R3 + 55V R2. (Ouod Se.
misolido Facile accommodabitur.
Auc etiam, propier P pramidis illius, Friangulo B Ca, incunbeniis, magnitudi.
30R -
nem = S X = 85VR; Cenriguo gravicacis a r. a distanciam 6R = 2V Cut
dictum ett,) adeoque d Y A
5X - v R + 5
6R = 2V
 eric ejuldem, respectu F A, mo.
mentum BS R3 = i. 5V R2. + 3 53 R. Ouod quidem momento Ongulae sectori
Ba A incumbentis (aciem habeneis ra) respectu T A, 3a R3 + 2SR3 +  5~R
L 3S3R, (ut SW.) Tublacum; relinquit Ongula Sectori BC A intiltenis.
aciem habentis ra, momeneum respectu T A, 3a R, = 85 R3 F s5VR7. (IC
DriuS.
Oux rero Friangulo illi B Ca insistit Semiquadranicalis Ingula aciem habens
TA, idem plane haber respectu ra momentum, quod habet respectu T A ea qua
aciem habet sa; (Propter Alcicudines de Distancias ubique reciprocatas, ue pridem
aliquories:) HIoC eltus (ur modo ostentum est) 3s R3 = 1SV R2 = L53 R; quod
per Ongulae magnimdinem Zs R F S5V R (ut SM. PCOP. praced.) diritum; ex
hiber sui Cencri praricatis diltantiam a ran
R2 - v R +5
6R + 22 Adeoque, d F A,
7X.

## Folio 749 — 851387705:0769
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000769.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
PEOP. XVI. De Calculo Contri Cravitatis.
R2 2 - f 5 ~ R - 5
5R + 2V;  propterea ejuldem respectu Y A (aciei SuX) momencum
35 R = 35V R2 = 125 R (Solidique correspondentis momentum est hujus du-
plum.) Oux quidem Onsula momenta, momenris respectiris Onsulae sectori
Ba A inGltentis, aciem habencis P A, hoc elt, 8a P3 + , +5 R3 + 5V X  12SA
rclp. 7a; e relp. T A, 3a R3. F 3+.s R3 F 545V R2 = 12 5 R; UCS W. ) Tublata:
relinguune Ongulae Sectori BC A inCiltentis, aciem habentis TA, momentum respectu
7893 a R3 = E5 R3 f SsV R2 (idem nempe quod Ongulae eidem BC. A inliltencis,
aciem habentis ra, relpectu YA; propier alcicudines ee distantias ubique recipro-
catas;) de respectu (aciei sie) YA, 3a R3 = 35 R = 3sVRE; (hujulque
duplum, elt momentum correspondentis demisolidi, respectu sui axis conrertio.
nis:) Onsulaque haec momenta, per magnicudinem Z a R 2 = = 5R 2 (uEST. proP.
praececl.) divica; exhibene ejusdem Ceniri etav. dillant. 2 r a 3a  - 3 5 R f 3 50
eu a FA, 25 a R - 135R- 350
12 a - 85
12 a - 85i Cquae, obserracis obtervandis, semisolidis ac.
commodari tacile poterune.)
Eadem haberi polerune, ope Prianguli BY C, et Ongularum huie intisten.
rium.
Oux aurem huic insistit Ongula semiquadrantalis, aciem habens D C; est Pyra-
mis: Cujus verter C, alcicudo C V = x, BaliS (rectae B V intistens) BVLC V =5∞
adeoque prramidis magnicudo; sX 2; Distancia Ceneri gtaricatis d DC, Z V; adc0.
que momentum Pyramidis relpectu DC, L5 X 3
Si vero ponatur Vngula axisr a Begne V Supra Centrum; vel aeies Y A, EL.
que V intra Cencrum; Pyramidi huic subjungendum, est Prilma, super eadem base.
alricudinem habens C a, vel C A, hoc est R; cujus itaque (propier Frianouli
magnicudinem ZSX,) magnicudo erit Z Sx R. Centrique graricaris a DC diltan.
tia (eadem quippe quae Fransuli,) zu; adteoque momenum respectu DC.
SX 2 R.
Focius icaque Sngula ipli BV C criangulo insittentis; aciem habentis Y a Vel
PA, tangentem remociorem; ex Prilinace et Pyramide confsaca: MOENEre
spectu DC, cl, 35 N = R + a
Acque hoc per Ungula magnicudinem : Sx R F 5sv dirisum, extribet Centri
Bravicaris d DC distanciam +. r P F 3 ~
6 R + 4 X
 adeoque ab Ungula acie, scurangence
remociore, (incelliee, ut alibi, a perpendiculari plano luuie intistence,)
AR F 4 + i d propiore, R - 4 v R + 3 ~; Adeoque momentum respe.
6K = 4 X
R + + N R = 3 ~
Au remotioris tangentis (aciei TuX) L S X R + 3S ~ R + L 5∞3; de respectu ran-
sentis proxioris (quae aciei opposita est) : S W R = - = 5 ~3
Si veroponatur Ingula acies ra, _ V intra Centrum; vel acies Y A, 8 
supra Centrum; Prismati anterenda est illa Prramis, (ejusque momento motmen
rum hujus:) Adeoque Ongula magnicudo, etitus 25 v X - 3s x; momencum respectu
DC, 35 ~ R - = 543; Centrique gravicatis d D C distancia, + ~ R = 3 _
Acie, teu rangence propiore; P-
6R - 4a i e ab
LX R =3; a remoriore (quae aciei oppo.
6R - 4 X
Eiua ett) P. + 4 ~ N - 3 n: Pe momencum respecta aeiei (seu roneenris pro.
6R = 4 2
Pioris) ZSNR= -35 _2 R + + 543; et respectu cangentis opposica (remorioris)
S_ R = 2 5
Hoc est: Ongulae Priangulo B V C insistencis, aciem tabeneis ra; momehium
respectu iptiusFa; est Z 5a P = ZS ~ E R F a S N3, (prout supra intrare Centrum
Tverit V:) EC respectuT A, SN R = Z5∞3, (Cve suvea Ere intra Centrum
tuerit V, proprer alcicudinum et diltanciarum reciprocacionem.) Cenirique era-
Bbbbb 3
vitacis

## Folio 750 — 851387705:0770
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000770.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
4. X R = 3 ∞ 2
Fis. vicacis d ra, distanicia, R. + 4v. R L3 N
6R+ q iide d F A, R + 6 R L 4. V.
100. Ongulaeque eidem Friangulo B VC insistentis, aciem habentis T A; momen-
tum respectu r a (oppolita) ZSN R = =25 ~3 (sire supra Centrum, live intra,
fucrit V punctum;) et respectu Aciei sua T A, ZS N R F35 X 7 R = L5 ~3,
(prouc lupra Centrum intrare tuerie V punctum) Centrique graritatis a r a (op.
6R + 4. + i a F A (aeic) R= 4 ~ R + 3 v
Polica) distantia, PJ. F X P + 3.x.
6R F 4. N
Acque haec momenta, momeneis Ingularum (respectire sumptarum) semiles.
menco BV a insistencium, Addica, vel Ablata, Drone Cupra intrare Centrum
fuerie V punctum; exhibent momenta respectira Ingularum Sectori BC A infi-
Rencium.
Puca; Onsula Semiteomenti BV A, aciem habentisr a momento respectu r a,
3a R - 85 R (= 8C R3) + 85V R + 13S R = 2 53V; (Ut S F.) A addatr,
vel auteratur, (prout supra intrare fuerit,) respectirum Ingulae Frianguli BV C
momencum, Es_ R2 =35 _ = R = 45 N3; HloC elt, (PTOPTEE N = R - v, Supra
Cencrum, addendum; ec x = -- R + v, intra Concrum, auterendum: adeoque
v3 = R 3 = 30 R = = 32 = R - v3 = R  = V R = = 5= R + 5= V, addendum; 8
63-
= R + 30 R2 = 3v R + v = - R3 F V R2 + s2 R - s2v, auteren-
dum; quae tantundem valent: Scd, N Z = R2 = 2~ R f v= = R = - 52; eltque
vel + x= addendum, vel - x auterendum, quod cancundem ralet:) Si addatur
35 R - 2 5VR2 -- 125 R f + s v: Hlabetur momencum Ongula sectori BC A
insiltentis, aciem habentis r a respectu r a, 3a R3  12 5 R3 = 55V RE. OE priuS.
Acque ejusdem Ongula BV A(aciem habentis r à) momento respectu F A,
3aR - 35 R3 (= 3e R3) + 35VR = = 5 R F = 53 V (uE S F.) B addatur
rel auteratur (prout supra intrare fuerie V,) momentum correspondens Ongulx
BVC, 2SN R? = =5N3; Hoc elt, (ob caulam modo dictam) s addatur L5 R.
25VR 2+ 253 R = 2 53v: Flabetur, Onsulae sectori BC. A intiltenris aciem ta-
bentis ra, momencum respectu P A, 8a R = 55 R. + 55V R. OE prius.
Ongulaque aciem habentis PA, momencum respectu ra; idem est alque illud
aciem habentis ra respectu Y A; proprer alcicudines et distantias ubique rect.
procatas.
Vnerilae vero intisteniis semileemento illiB V A, aciem habentis FA, momen-
tum respectu, aciei, sUIX PA, 3a R3 = 35R3 (= 3C R3) + 85VR2, 35 R
253V; Si addatur, vel auteratur, (prour supra intrare tuerit V,) momentum
correspondens Ongulae BV C, Z5 N R F3s N = R + 4 5∞3; HIOC ct (ob caulam
modo dictam) B addatur Z5 R3 - 3 5V k = F 253 R f 253~: FIaDCTUE momen-
cum Ongulx Sectori BC A intistemis, aciem habentis P A, respectu iptuuis F A,
Ba RET 245R 55VRE. OEPrIUIS.
Denique: Ex momentis eildem Ongularum Semiscemento BV A intistencium,
si auterancur relpectiva momenca intiltencium Priangulo B AV; habenur mo-
menta insistentium Segmento AB A.
Ouxe aurem Frianeulo B A V insitic Semiquadrancalis Ongula, acieni trabens
LA; CstPvramIS. Cujus vercex A, batis BV XV A = 5V; alcicudo, A V = V
adeoque magnicudo ; 507 = Z5V R = 353: Distantia CenerI Braritatis d I A, 32:
adeoque d Ta, 2 R - 3v: FF propierea momencum respectu T A, + 5V3 = 5V R2
25 R 253V; e respectu Fa, = 5V= R = 2 5V3 = 55VR 2- 65 R + +53V
Haec itaque momenta, momeneis respectiris Onsulae Semiscemento B V A infi
LtenEIS, (8CR F 35VR2 - 353 R = 2 53V, _3CR3 + 85yR - 453 R + 4 5V
per ST.) subducta; relinguune, Ongula legmento AB a inliltenis, aciem ha,
hentis TA, momencum respecta T A, 3C R3 = 35V R 2. = 12s. R; e retpectu
ra, 3eR3 +  sVR2 = = S. P: FC (propier magnicudinem, LC R2 = ESVR,, u
SN. prop. praeced.) ditancia Cenuri pravicaris d F A, exic L5 et 2 = 95u R + 28. e
1X
deR7 + 50R = 253
T2CR - 45V
12C. R = 4 siv
Ouaeque Friangulo B A V insistic. semiquadrancalis Uncula, aciem habens. 7 c. 5
idem

## Folio 751 — 851387705:0771
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000771.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
PFOD. XVI. De Calculo Centri Craviraris.
idem habet respectu F A momentum, quod habet ea cujus acies F A respectu ra.
(proprer alticudines e distantias reciprocatas:) hoc CAt, (uE modo)  50R
-55 R = ; 5v: Adeoque (proxier magnirdipem Sy R = 3 5V = 35V R + 35
Per SN. pEOP. Praeced.) distancia Ceneri graricatis d FA, erir + 2 X- 25 R L 3 s2 ~
ec d 7 
42 R + 45
42 R2 F 10S R = 3 5 V. ideoque momentum respectu 7 a 5 5D R=
4VR F 45
-5~ R + 150
Eaque momenca, momentis respectiris Ongula Semisesiento B V A inssentis,
aeiem habentis T ag (3e R3 = 35V R = = s R F a 53V, d 3C RE +85VR2  15 X
25.V, UESF.) subducta; relinquune Ongulae Segmento A B A insistentis, aciem
trabentis ra momentum respectu F A, 3CR3 f = 5VR2 =  sR; _ respectu
raq ZCR3 F 5V R= F 2S P; et (propier magnicudinem, ZC R ? f ZSVR; per
SH. propoluionis praeced.) DiMtancia Centri Braricaito L. X4, 30 F + sV R L 25
e d r
( BCZC R = 45~
15eR3 + 75V R  253 11 eri setes is) S. WP : SLTIOI reICt
1Ci X2C R 4 4 5VDeSC CISCSOT) O MMAS
Fademque Sermento a Ba respectu rectae ra aCCOMOdantE, quae Segmento
AB A respectu P A; e vice verla. (Nempe, pro an Substimendo a = 38 t a;
ec pro v, Tublticuendo B = 2 R - v.
Pula; Segmenco a Ba intistens Semiquadrantalis Dnsula aciem habens ta,
magnitudinem habet z a  = = 5 R = Z SBR = = R 2 P - = a R - 35 R + 55VR.
Momentum respectu Tan 3 a R3 - 85 R3 - 8s B R + S R = 1 R3 P - 3a R3
= 55R3 +352 R F in se R; respectu F A, 3a R - 85 R3 +  sB R2  5. R
26 R3 - 3a R3 - 25R3 -  5u R 2 -  5 R.
Er; Seomento a Ba insistens Semiguadrantalis Ongula aclem habens FA, mas-
nicudinem habet Z a R 2 = Zs R   S sBR =  R2F = = a R= = 05 R 2-
55VR:
Momentum respectu ran 3aR3 - 35 R3 + 2 S B R 2 = in S R = 1 3 R3 Z = 3 a R
2aSR3 = 2 5V R 2 = = 5 R; e relpectu TA, 3a R = 35 R + + shR:
=  S R = 16 R 3  = 8a 2 - 2 5 R - 4 5V R2 + 13 s R.
Fxtribuimus icaque, expoticorum sectorum sphaerieorum, de Segmientorum,
Ongularumque eo spectantium, et correspondeneium Solidorum seu Semilolido.
rum convertione factorum, cum magnicudines, cum momenta respectu Planorum
aliquot expolitorum; corumque Centrorum graritatis distanciam à duobus Caltem
planis sibi inricem non parallelis; aeque in quo tertio per Ongula aciem Peu con-
vertionis axem ducto, neurri priorum parallelo, idem reperiarur: Adeoque (per
PrOP. 26. Cap. PraeCed. ) ipsa graricatis Centra decerminarimus.
Ouaeque ad calcem Propolicionis praecedencis monuimus; etiam hic monenda
erunE: Nempe, haec omnia aliis Sphaera portionibus, simili methodo accommodari
DOSTC. Puta, quae de Sectore B a A (ad verricem terminato) ejusque Ingulis, _c.
dicta sunt; Facile accommodari posle sectori D a B (duorum ad verricem cermina-
corum D a A, Ba A, difterentia,) ejusque Ongulis _c.
EL prouc hic qua de Ongularum auc Solidorum magnicudinibus ee momentis
AOCEHTME; d recta ra, ad T A vel BV, transteruntur; simili methodo, haec aut
tis similia, d recta A a, ad FF vel Ba, CranStETTI POLETINE. Aliaque quae lic
xradtuncur, mille modis ampliari.
Duxque de Ongulis Semicirculi, ejutre porcionibus; Sphaeraque, et porcioni.
bus hujus; dicta sunc; ad Ungulas Semiessipleos, et porcionum hujus; Sphaeroci
des hujusque portiones; Facile accommodaneur. Nempe li incellipatur axium el
lipleos alter Aa, alter Da: manente Aa = 2 R, (adeoque AV = 2, V a = B;
erit Da in ea ratione 2d 2 R, qua est ad Aa; majore quidem si sie Da axium
Major, (adeoque Sphaeroeides convertione deseripem, Sphaerocides lacum;) mi-
nore, si sit Da axium minor, (adeoque Spharoeides loneum, convertione de
Scripeum:) _ BV, in endem ratione ad s. Adeoque, quoties BV in caleulum
venit; pro s, substituenda erie alia quancitas, quae sit ad hane, ut est D a ad A a:
d pro s, alia qua sit ad thanc, ut in duplicata ratione recta Da 2d A a: _ in
reliquis pocellaribus similicer, mucaris mucandis.
F
Fis
460.
2.
9

## Folio 752 — 851387705:0772
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000772.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
sil
tane
=LL. LVTY, 3
1
CapN.
A.
1e  AAEVIE Mi
Fisura Sinuum Versorum, ut A Z a; (quxe eadem est  Fisura Arcuum:)
Fis. 169, Fst Semicirculi correspondentis Dupla; e partes, parrium (respecti-
70.
B. C.
ve lumpearum,) Duple; Puta, BBa A = 2B a A. Et sicubique.
Nomenta vero illorum, ad momenta horum, respectu ejuldem ra
cansentis, suneut 3 ad 2, sen sesquialtera. .
LLCILI
Acquehinc, eadem respectire determinantur, tum quod ad Magnitu
dines, cum quod ad Momenta, e Centra graritatis, in hac sinuum
Versorum Figura; quae supra in Semicirculo (ProP. 15.) determi-
nantur. Nempe; (retentis Sybolis ut in propositionibus praece-
dencibus) ssc o coli
Fritinei ATa; Maenicudo = RP: MOmentum Fe(PECtu Za, 3R2 P; xe-
spectu T A, 3R= Z; distantia Ceneri GraVItatIS 2 ra, 3R; d T A, ZR:
MOmeKTuI respect AC, S XD 23: relpectu Y1, 3RD, +2 R;
distancta Ceneri sravicaris ab A a, + 8- 4 A
; 2 F X, +F  2
B. D. Porcionis b Pa. A; Magnicudo, f P: Momentum respectu ra, 2S P2 +  sbR;
respectu Y A, 3Y R. =  sb R; dittancia Centri pravicatio a ra,
e
5. BetiCCBil EM d 5 1 S
 R + =; a FA, ZR - : NIOmeHTuM FeSPECEU Aa, = a R F as R V R;
respectu b; Ja P F vR.; distantia Cenrri pravicais ab N a,
a2  2 a5  2 V R
2 + 2V R
2a + 25 1 d b3 2a f 25
B. F. Portionis ABK; Magnitudo, CR: Nomentum respectu TA, 3C R 2-
sd R; releecturo, sC P + s0 R; distancia Cexeri eravitatis, d F A,
illo
3R 18 
461
4C
VRZ; respectu BBK, 3a R= V R; distantia Ceneri gravicatis ab Aa,
4 2a5+ 2V R
2a -25  it 4 P, B A
a2+ 2, ~ Reorur renssi 
B. E. Portionis BB~; MasnieudO, a R = SR: NIOMCHEIM reSpeCtu Na, ZLR=
sisb, respectu F _, 3a p 35 R + i SB R; diltania C ey.
Eri gravitaris d = ay, 3. R = =  ; a FA, : R +: Momentum
4.
retrectarF, La R= q5 P F B R relpectu BB, ; a R = B Re; distantia
=26s
Centri eravicatio d , 2  2 C 5. + 3 bR. 2BB, 20 = 25
1. 2. 8  2 5
B. F. Parallelosrammi bBaB; Magnieudo, ab = 2 a R = a v: Distantia Cen-
eri Sraritatis a ro, = B; 2 T A, 2 R -= Zb; momentum respectu ta; abe:
respectu TR, 2abR = 3 ab =2a R2 - - a02: Diltantia Ceneri oxa
vitatis ab Aa, seu b B, La; momentum respectu Ao, vel BB, 3 a2 b.
B. F. Portionis bBA; Maenitudo f R = ab = -- c R F aV: Momentum respe
Au 7a3 = 3CR + avR - 5 50 R + 3as; relrectu F A, =3C R + avR
+: 50R =3as; distaneia Ceneri eravicacis 2 r a, Z R - SvR - 2a5
a Fa: t
fDR = 2 a 52
=4et + qavi d bB, 0 - : R-
foR = 2452 4e R + 4a0
+e P + cavimomenrum
respectu
C.
P A RS P R L M A:
est

## Folio 753 — 851387705:0773
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000773.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
PFOB.XVII. DeCalcuto Centri Cravitatis
relpelo f45- 5as. Moeu relvectu la
25R  V se
helpectu bb, -  a a + v se 4 2a v; distatictau ric. 169.
Centri sravilacio ab
2uR - a
Adeoque determinarimus, corius Fieura Sinnum Vertorum, Arcuum-
re, ejusque partium expositarum magnicudines, et momenta re(pe-
etu rectarum aliguot expolitarum, corumque Centrorum grarit
eis ab illis rectis distantias; adeoque e ipla Centra graritatis, per
corundem à duabus faltem in eodem plano non parallelis rectis di-
Stantias, determinarimus.
Atque hinc Ongularum, et Solidorum convertione factorum, horumre RL. L. R.
Semilolidorum, momentis jam eraditis correspondentium, magnitu-
dinestrabentur. FTorumque omnium rationes, ad his correlpon-
dentia Semicirculum ejutre porriones spectantia. Ouxe et ad alia
Facile poterunt ampliari.
P A RS SE CV N D A.
Acque his Analosa, in Fixura Sinuum Rectorum aru, similiter determi. Fis. 170.
tanEuE. NempC,
Bilinei arn, Masnicudo, 2R2; Momentum respectu  a dR P; distan-
tia Centri sraritatis d 7a, 16P; dFF vel A a 2P; momentum re
SDectu FT, vel A a, =R2 Y
M.
Trilineiasu; Magnitudo, R2; Momentum respectu Za, is R2 Z; distan- N. O.
tia Ceneri Gravitatis a 7 a, 1 P: Momentum respectu Aa R3; rCIBC. P. O.
CtuSn = R2 P = R3; distancia CenEri grarItaLIS ab A a, RG aS n, +∞ = R.
Portionis a Bo, Magnicudo vX: Momentum respectu ro, e R2 + 4 50 R; O. O.
distancia Ceneri Gravicaris a ra F: Momencum respectu Aa, P O
=e R + av R; respectu Bo, e R; distantia Cencri gravicaris ab Aa,
=e R + 22
Adeoque determinarimus, totius Fisurx Sintium Rectorum, ejusque R.
parcium expositarum, magnicudines, ee momenta respectu rectarum
aliquot expolitarum; corumque Centrorum graritatis distantias it
illis rectis: Adeoque e ipsa graritatis Centra, per luas a duabus
Caltem in eodem plano rectis non sibi mutuo parallelis distantias,
determinarimus.
Atque hinc de Ongulis; Soliditre conversione factis, corumre Semi-
Colidis, aliisque qua hinc dependent, calculo debite achibito, judi-
cium Ret.
Ouxque de portionibus hic expositis dicta sune, postunt et aliis por-
tionibus tacile accommodari; aliasre multis modis ampliari.
Fademque (horum opC) ad auF figura Sinuum rectorum unius qua-
drantis Complementum, facile transterentur.
Ouae autem de his sinuum Vertorum, Rectorumre, Pisiris HictL nC; S.
ad ealdem Procractas, vel Contractas, facise accommodantur.
Ouaeque de Digura Sintum Rectorum uniys quadrancis praduntur, eas
dem ad sieuram Subtenlarum lire Chordarum demicirculi, similicer
cransterencur. Ouod e de Solidis inde oriundiseriam incellisendum
exit.
CCCC
Intet
5
b
2ek +

## Folio 754 — 851387705:0774
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000774.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
A NCCIIBatur Circuli Aa, (Fig. 269.) SCumHeria ADa in partes quoclibet
L aequales utridi, in punctis Z, Ly B L, C a ACaHCUE ZO, Z. V, DC, F. 2
_c. Sinus Recti aleuum arithmeuce proportionalium, A X, AZ, AD, AF, _c
quorum Sinus Versi AO, AV, AC, _c. adeoque arcuum reliduorum ad Semi.
circulum sinus versi (seu punctorum X, Z, D, ec. alcicudines (upra Ta, tan-
Bencem,) Oa V e C e c.
usis surot figi
34
DeCalculo Centri Cravitatis. Cap. V.
lla
O M 1estito;
D.5
3
0
Oriplio CCr (1BBBOSE CIC. efi SI vii ct Pi
caer
el5 
itoris esicist
CFII
aoid io 
cl33. 
egi B
orin iete  si oupla 
erecireaicier
.L. eIOYOS diilce : clrgC) o i
i  o Suoluesi veriet isplilla vil
ducit s.Bit cisites sict erseli crestorer
a isluar gitai oetia ssci
erie C
1ACAES 113s d
Eique Semiperipherix in rectam expantae, aequalis ponatur (FiB. 170.) A T,
seu a r, similicer dirita, in punctis E, (, S, c, dc, quibus intictane (ex una parce,)
50, 50, s nn c. iplis XO, ZV, DC, _c. (Fi8. 160.) Equales; tisuram Sinvum
Rectorum an F (E numero intiniex intelligantur) complentes, (juxta def. r.
Cap. 4.) _ (ex Parte Conraria) ipLs Oa V a C ay _C. aquales rectae X E, Z 6)
aS, dec. timiliuer complentes Ar lixurant simuum rersorum; ipE A a circule
xguealtam.
Oue

## Folio 755 — 851387705:0775
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000775.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
PFOD. XVII. DeChlculo Centri C arlatis
Oux quidem A ra Fesura dindum versorum, sumpiis arcubus arictintet
proporcionalibus; est eciam, alia consideratione, Fieura Arenum, Lumpris nemve
Sinubus Verlis arichumerice proportionalibus. Sumpeis ueigue A V, AC, A =, ec
Sinubus versis arichnerice proporcionalibus; (divila scilicee recta A a in parte
quocliber aeguales) qua ipsis occurruE recta Z V, dC, CZ, ecc. aqualibus inter
vallis diltitae lisuram Ara complences; hoc ellu eC, ed, ac eC. XQUanC areu
bus correlpondentibus, AZ, AD, AF, ecc. e sic ubigue.
Ductis jam in Semicirculo rectis Xa, Z o, Da, _c. dirimi intellisatur Semieir
culus in iocidem Sectores Aa X, XL aZ, Z. a D, _C. QuOTUM arCUS A X, XZ, ZD
Ecc. sine aequales; adeoque Sectorum Xa A, Z. ∞ A, D a A, eC. aFeUS A A, Z A,
DA, _c. arichmerice proporrionales.
Ouibus quidem arcuum aqualium Sectoribus A a X, = a Z, Z. a D, _c. respOn-
deaur, in tisura Sinuum verlorum, quadrilatera A aGX, XE(2, ZGd d, _c. ba-
sium aE, E6. 68, ecc. aequalium, cum inter se, cum ipsis AX ZZ, ZD, _C. a1-
cabus; (Droxter rectam a 2, Semiperipherix ADa, aequalem, ee similiter divilam.)
Adeoque arcuum arichmerice proporcionalium Sectoribus, Xa A, Z a A, Da A, _C
Tinilicer relpondebun quadrilinea XEo. A, ZG a A, d d’a A, balium acichmetice
provortionalium aE, a6, a8, ec
Suncque haec Ouadrilinea, Sectorum illorum, (Singula singulorum respectire
TUMPEOTUM,) dupla. Ouod sic oltendicur.
Incellisatur vel tora A Da Semiperipheria, vel ipsius areus AB, in partes aequa-
les numero infinitas dirimi; adeoque (duetis a diritionum punctis ad a rectis
Za, Z. a, EC.) vel cocus A Da Semicirculus, vel ipsius Sector Ba A, in toridem
Sectores dirimi. Ductisque, 2 diritionum punctis, rectis ZO, Z P, _c. tangenti
ra parallelis, incelligatur Sectori Inseribi figura ex cocideni Priangulis, OX a
PZ a, _c. Ductisque Porro eidem rangenei parallelis, AG, ZI, ecc. (productil.
que a X, a L, ec.) limilicer incellixacur sectori circumseribi tisura ex Peransulio
AQa, XTa, _C.
Dc similicer Figura Sinuum vertorum A+ a, vel toca, rel ip(us vortio BBa A,
(Sectori B a A correspondens) in toridem Ouadrilinca, ballum aequalium, (Secto.
ribus correlpondencia) distribui; (recta Scilicer a z, vel a B imiliter dirila, prout
diriditur AD a vel AB, arcus; ductisque rectis correspondencibus, 5X, 62, dc.
Ductilgue XO, Z P, _c. ipI Z a parallelis; inseribi incellisatur Ligura ex Paralle.
LoBraminis OXEa, DZC5, _cc. CFriansulis O X a, PZ a, _c. correspondencibus.)
Ductilque eidem =a paralelis A 9, XL, _c. (productilque 52 62, ecc.) C ir-
cum seribi incelligacur Fisura ex Paraltelosrammis A4Ea Xiha, _C. (Friangu-
NIS A Qa, X Ia, _c. correspondencibus.)
Suneque haec Parallelogramma Priangulis illis, (propter rectas Ae, X6, Z. C, dec.
iplis Aa, Oa V an _c. ex constructione aequales,) lngula singulis relpective
sumpris, aequealca: Tum quae Circum scripias, cum qua Inleriptas tiguras complent
Sunc aucem Inscriptorum Parallelosrammorum Bales, balibus Priansulorum
inscripiorum correspondencium, ubique majores; e propierea P’arallelogramma
Triangulorum, (singula lingulorum respectire, adeoque de omnia omnium.
plusquam dupla. Fs utique Parallelogrammi OXEa, balis XO, Peu Za recta,
hoc elt, (urpore ipsi aequalis ex constructione) arcus X A, major linu syo XC
(base Frianguli correspondencis;) uc patet. In reliquis aurem; WC PZCE: Pa
rallelosrammi balis ZP, leu SE, recta; (aequalis arcui Z X, ex constructione) est
major quam Z. X chorda: Sed et haec major est quam Z. P, balis crianousi cor.
relpondenis PZa; proxier angulum Z. PX (Frianguli PZ X) illi oppoticum
majorem angulo huie oppositO Z XP. PA enim angulus Z PX, vel huic aequalis
PXO, HoC clt, a XO, angulus in letspula areum subcendens (in opposico Se-
micireto) aequalem arcui Za; _ ansl L. XP, hoc elt, Z Z a, ansuluS icem
in Peripheria, Subrendens arcum Z. 8, (dreu X a minorem;) elt igicue anguluS
PZO, hoc ct angulus Z PZ, major ansulO Z XP; adcoque Z X recta, major
recta Z. P; _ mulco masis Z X Curra, seu huic aequalis (E leu ZD balis Paralle
loerammi, major erit quam eadem Z. P balis Friansuli: adeoque Pacallelosram.
mum Fetans Plusquam Duplu. L lbique. ER icaque PiBUTA Cx Pa.
inserlpra plulquam dupia lelila ex Priansulis inseripia sire con Semicireulo, sive
(69
70
rallelosraminis, live eori Figura Sucuu vectorum, sive iptius portioni AZC
declori Ba A.
LCCCC2
S

## Folio 756 — 851387705:0776
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000776.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Sed Circumteriptorum Parallelogrammorum bales, Basibus Priangulorum cir-
269, cum (criptorum correlpondencibus, minores Tunc. F. st enim Parallelogrammi A gEa
170. balis AG seu Ea, hoc est arcuS Z A, minor Tansente QA; (cujus semittis, cl
tangens semiarcus, secanci ex Centro ductae occurrens: adeoque semiareu illo ma-
Ior.) In reliquis vero, ut XIGE; Balis Parallelogrammi X i, seu E5, hoc cM ar-
cus Z. X, minor est quam recta XI, balis Frianguli correspondentis. Ducta enim
tangente 7. Z, (quae rectae ZL OCCuTrat in X,) aequales crune anguli (prOPteE
eundem arcum Z A INCCTCCDEUIM) ZZ A, _ Z a A (angulus in peripheria) seu
T0O: adeoque se horum ad rectum residui r 7 I dc X IZ. Teu OTa; (est uti
que propter AZ a ansulum in lemicirculo, criam AZ I, hoc est X Z. A F XZ. I,
rectus; , propeer LOa criangulum rectangulum, ad O, duo reliqui anguli
OIa f TaO rectum aquanc.) Lc proprerea aequales Tunt L X et IX rectae; 
(Sumpra communi X X,) recta IZ, hoc est LX L X X, aequalis duabus simus
LX F X Z; adeOque ajoF aTCU Z Z. FNE itaque Z X arcuS, hoc elt recta E,
seu ix, batis Parallelogrammi, minor quam LX balis Friansuli correspondentis:
FF propierea Parallelogrammum Priansuli minus quam Duplum. Ec sic ubique.
Est itaque, Figura ex Parallelogrammis, sire cori Ara fisura Sinuum verlorum,
sire iptius porcioni bBa A, circum leripta, minor quam Dupla Fisura ex Prian-
sulis correlpondentis, sive cori semieirculo, sire ejuldem sectori Ba A cireum.
ICcipEx.
Cum ilaque Fieura ex Paralleloerammis inseripia, sic inseripta ex Frianoulis
major quam dupla; ec circum seripra circumscripiae minor quam dupla: Cumque,
mulciplicatis sectionibus, inlcripIX es cireum scripia ditferentia continue decrelcar
utrobique, donec randem data quaris minor eradat: Nec tamen unquam Inscripra
inscripiae minor quam dupla, nec Circum seripca circum seripea major quam dupla
elle polsc: Concinuara in intinicum sectione, eranescer disserentia; inseripris si-
mul ec circum seripeis coincidentibus; illic, cum Fisura A ra, ejusve Ouadrilineo
bBa A; hic, cum Semicirculo ADa ejutre Sectore Ba A: Priique illa Sinuum
vertorum Figura A Ta, ejutre Porrio BBa A; Dupla semicireuli AD a ejulve
Sectoris Ba A. Ouod erat probandum.
Hoc est; Trilineum ATo, duplum temicirculi A Da; ejusque poriio BBa. A,
dupta Sectoris Ba A; Rt, proprerea, porrio reliqua bBr, sesmenti aBa dupla
exir. Irem, dsEx, dupla Sectoris correspondenris Da X; et lic ubique.
EC aurem, (retentis symbolis, uc in proposiionibus duabus proxime praeceden.
tibus,) Semicireulus ADa = = P R; ergo, Figura Sinuum verlorum leu Prili
neum ATa = = P R. Tiem Sector Ba A = 5 a R F Z s R = 3 fR, (per d H pr. 15.)
Erso, (Dolita a B = BA = a; adeoque Bb = a V = b; e b R = V A = v;
porrio bBa A (urpore Sectoris dupla) a R + sR = fR. Tiem, Segmencum
AB A = = a R = = 5 R = = C R (Der B G. PrOP 25.) ErBO ABR = a R = s R
CR.
(Es ucique AZK: simile, ec similicer policum ad T A, uc 2C, 2d 78:
licut e in Semicireulo, Segmentum AZ A ad F A, ut a F. a ad ra: e Fic alibi.)
Et Timiliter Segmencum aB a = Z a R - 3 5 R = = P R - = a R - 25 R -
EfR: ErBO BOrtIOBBT = a R = 5 R =  PR - a R = 5 R = 3  R - fR. FI
sic alibi.
Et consequenter; s ex BBa A porcione, auseratur Parallelosrammum BB B .
2R = aV; erit Segmentum residuum AbB = sR = a h = - a R +
R + aV = -
=V = R,
eR F aV. Ec speciarim in Scgmenio A dC, (PrOPIEK a = = 2, e
trem Ouadrilineum ZH C A = 2G0A - kG a. C (prOPter Z G a A = a R + 5K
_ LGaC = a R) cl s R. FL Z K d = R2 = 5R; NeMDe, (DrODIeT R = 5, dit.
ferentium Radii ee Sinus recti areus Z A, aequalem Linui verto arcus Z D,) Fa-
ctum exsinu verto arcus DZ. in Radium ducto. (Dieo aurem Zk C. A, Docius
quam bkC A; uc distinguam punctum b supra Cencrum, ab illo intra C’encrum.
Ouanquam et alceri etiam b, re rite incellecta, idem accommodabitur: Nempe, (I
dHb intra Cencrum hoc est d kC, exponatur nesative, uipore ad COnCTarIaS Par-
tes recta Cdc et exira tiguram A ra: Guippe Sic, urroris titu, eric b B a A = L Ba C
=bKCA; id quod rectis bHc, KC, CA, et curra Ab, comprehenditur; nemper
uerobique, A d C. = dKb, de sensi poticivo.
Ec limilirer de alis porcionibus uccunque recta abseilti, mucaris murandis, fiet
iudicium.
Foceit.
t
B

## Folio 757 — 851387705:0777
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000777.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
PFOD. LLILI. DeCalculo Centri Cravitatis.
Poteltque LMIHei ABB seu ABV fig. 270. (quod urique complent rectae
portionales) magnicudo, lic alias (ex arcui du iuo reltos latione) explicari.
bV aequales arcubus B A = a quorum ss vet A V = 2 Cinc artchnielce 1O.
firg. 106.
Ductis enim BgY Semicirculum cangentibus, (Tangenci verticis YA FiB
in P occurrentibus;) dirilaque A a diametro in parres aequales intinite exisu 186
as, quarum una incelligatur Vo = B; (adeoque sumptis AV =~, arictime.
cice proxortionalibus;) duetaque recta oZ g (rectae B V paralsela) qua semicir-
culo in X occurrat, ec tangenti proximae B P in 8: Erir ubique (per S A. pTOPO.
Sucionis L3. ) ue BY = 5, ad _; sc Y0 = B, adB8, -. - -. (Nempe, ut Se.
cantes complementi, sinibus rectis reciproce proporrionales.) Et consequenter; I
incelligantur aO, vel VO, rectangulum A aOO complences, lingulis VO (re.
Etam Aa complentibus) aequales; de Pumantur ubique, ut BV = 5, ad R; HIC
VO, ad Vo: crunttingula Va, (hoc est coridem == sumpris v arictimerice
proportionalibus,) singulis B8 tangentibus (respectire sumpris,) hoc est, (in
partibus intinire exisuis,) iplis B X arcubus (corum B. A complencibus) aequales.
Adcoque, ut Omnes , Teu rectae Va, complentes A V aa Reuram incermina.
vilem; ad cocidem B, complences a VOO reclangulum; (seuut Figura illa, ad
hoc rectansulum; ) sic omnes B Z arcum B A complences, ad sotidem VO com-
Plences rectam V A; Peu ArcuS A B, ad ejuldem sinum vertum AV
Cumque hoc ubique obtincar; erunt, Omnes AB arcus (superticialem Unou-
Jam Semiquadrantalem BA, cujus acies BV, complentes,) vel (his aequales)
rectae bV crilineum AB V complentes; ad omnes AV respectiros Linus vertos
arichmerice proporrionales, vel A V Semiquadrancalem Ongulam aciem habentem
V, hoc est, ad Semiquadrarum AV; uc lunc omnes AV coco tigurae interminabi-
les correspondentes, hoc est, Ongula A V coco aciem habens V co; ad omnes AVOO,
hoc est. Ungulam A VOO aciem habentem VO.
(Ei eadem rarione; Momentum superticialis iltius Ungula, areui B A insi-
stencis, ad momencum istius superticialis Ongulae seu Semiquadrati A V, respectu
ejusdem bV B; ut ejusdem Ongulae Solidae A V coco momencum, ad momencum
correlpondenis Ongulae Solida AV OO, respectu aciei V co. FF Similiter ejul-
modi alix Colidorum portiones huc spectancium, facile extribentur.
Verum, cum praecedens illa Figurx Ar a conlideratio, sit calculo masis accom-
moda, quam haec seurae incerminabilis, (Secantium complementi, Cinibus vertis
arichmetice proportionalibus convenientium:) Priorem pôtius prosequemur. AL
que inde, Lopus Fueris, incerminabilis hujus tisurae dimentio, reliquaque quae eo
spectan, deduci BOteTUNE. Ouod hic sufticiar innuiste.
Porro; Si incellisatur semicireulus (juxta det. T. Cap. 4.) ex intinicis numero C
Sectoribus consticurus ut A a X, Z a. Z, _c. rel etiam (quod in parcibus intinite FiB. 169
exiguis, propter intinitam approximationem, cancundem raler,) ex intinicis nu. 170.
mero Triangulis, tiguram inseriptam complenribus, uc O a X, P à L, dc. live, ex
coridem Friangulis tisuram circumseripcam complenribus, ut a. A, La X, ec.
CiCCCC3

## Folio 758 — 851387705:0778
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000778.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fis. Aueciamfiguram inseripia de circumseriptae intermediam (ulpore partim in-
269, Seripram parrim cirenmseripeam) complentibus, uc Y a P, _c. (quae rectis a Z,
170. aT, eC UE IlOruM aXIBUS RCPEXSenTENEUE:) Incellisenda erie similiter FiguTa
Sinuum vexlorum Ar a ex coridem constitui correlpondencibus Onadrilineis ut
AEX, XE62 _c. Sectorum illorum duplis; vel etiam (quod eodem recidic, le-
Etione in intinicum continuara,) ex cocidem Parallelogrammis, tiguram inseriptam
complentibus, uE Z XEa, D265; ac. ant circum seriptam complencibus, UE A 9C a
XI55, Sc. aut quae tiguram partim inseripiam parcim circumleripram complent,
qualia Dy dE, _C. (qua rectis 25, 26, dcc. ut eorum axibus repraesententur; qua
criangulorum aeguealiorum a 2, aZ, _c. dupla incellisantur.)
EIt aurem Diltancia Centri graritatis in Parallelogrammis EX, 62, ec. ad Di
stantiam Cencri graricatis in Priansulis aequealtis, a X, a Z, _c. (d recta Fa;
uc Z2d3; seu, uc 3 ad 4, C per prop. 6. hujus.) Adeoque (propter magnitudi-
nes ut 2 ad L;) Frunc momenca Parallelosrammorum (tune linoulorum, tum (.
mul omnium,) ad Priangulorum respectirorummomenta, (cum lingulorum, cum
simul omnium; ) uc 3 ad 2, ( prOPIer Z+3 =3:) Adeoque Momencum, Prilinei
ATa, ad momentum Semicirculi ADa; gulque portionis, (ut A BBa, (Cu
XEd d, seu bBr,) momentum, ad momentum lectoris correspondentis, (uc BaA,
seu XaD, Teu legmenti a Ba,) respectu rectae ra; ut 3 ad 2
Fs aurem Semicirculi A Da respectu ra momentum (propter magnicudinem
PR, ee Ceniri gravicaris dictantiam, R,) ZR2 R; ergo Trilinei Ar an respectu
ra momentum, Curpore ad illud Semicireuli, uc 3 ad 2,) 8R2P. (FTOC ett
omnia = h2, scu =V= rocius semicireuli, seu semisumma quadracorum linuum ver-
Torum corius semicirculi, sumpris arcubus arichmerice proportionalibus.) Adco.
que (propter masnicudinem LP R,) distancia Centri sravicaris d Ta, ZR; adeo-
que a F, A, E R; ejulque momencum respectu L A, 3R= P.
Ergo et Semiquacrancalis Ongula eidem insilteno, aeiem habens ray 3RZ P
e aciem habens F A, 8 R? P: Solidumque ejusdem convertione circa r a Factum.
EX DE, et Semisolidum 8 R D=: e cirea Y A, Solidum 3 RZE; ec Semisolidum
6R∞:
liem; Sectoris B a. A momencum respectu Z a (per SM. prOP. 25. ) : a R2 +
35 R= = SSVR = ZfR2 FSSBR: FrBO, Portionis BBa A, momentum respectu
Fa, ZA R  = Z5 R - + sV R = 2fRZ + aSh R; (idemque cAt Onsula Semiqua-
drancalis, portioni bBa A inliltens, aciem habens s a:) Adeoque (Propier
magnitudinem, a R f s.R = fR,) distancia Ceneri graricaris portionis bBa A,
2 50, 3 R +
si e d FA, E R - -; e Propterea ejusdem respectu P A, mo-
mencum ( seu semiquadrancalis Vngula,) 3a R 2 + 35 R2 + = 5V R = 2fR 2-
SBR. Fc consequenter, Solidum, porcionis bB a A convertione circa r a Factum,
Et P p
sbP: e demisolidum, 8 f RP + 55hP: et, cirea Y A, Solidum
25bP; e Semilolidum, 3f RP - 35BF
Liem; SEGMentI ABA, MOMEnCuM resPectu TA, (BEr SNV, prOP. 15.) est
a e
65VR = = C R 2 = fSVK; ergO, Frilinci A BK momentum
respectu PA (vel semiquadranratis Ingula aciem habens F A,) est 3C R2 
252 R: (HIOC elF, omnia 302; seu semitumma quadrarorum linuum verlorum
accuum ariitimeriee proporcionalium, ab A, usque ad AB.) Adeoque (Proprex
maxnicudinem e P) distancia Centri eravitatis d Y A, a R -   ideoque d
Ta, ZR + ; ejusque respectu ra momencum, Z0 R = L SVR: Fx consequen.
rer; Solidum ejusdem convertione factum circa Y A, C R P = =52P; et Semilo.
lidum, 3C RP = 352P: _ cirea ra, Solidum, Z e _ P + + S2 P; e Semilolidum,
SC RF = 35VF
Similiter; Scgmenii aB a momentum respectu r0, L a R = - = 5R 2 - G5BR =
R2P = Za R = 85 R2 + 55VR: ErgO, Trilinei bBT, momentum respectu
7 ay ZaR 2 = 3s R2 - = sBR = 8 R2 P - Z a R - 35 R + =sVR. Adeoque
(propcer magnicudinem. R = . _) distania Ccuuri pravicuis 2 r a, . R.
40 - 4. 3
ideoque

## Folio 759 — 851387705:0779
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000779.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
PFOD. XVII. De Calculo Centri Cravitatis.
ideoque a F A, 3 R +. -
=; ejulque respectu P A momencum C vet correlpon. 1go
dens Ongula) Za R2 = 25 R= L ZSB R. Et consequenter, Solidum ejusdem circa
ra convertione factum, Za RP = 25 RP = = sBP; e Semitolidum, Pa R∞
ESRZ = BSBD: Ft, CIrCa F A, Solidum Za RP = Zs RP  a sBP; e Seuii-
Tolidum, Za R P - Z5 RF = 3 SBF
Si vero ex momento Ouadrilinei BBa A, respectu + a, vel Y A; auteratur mo-
mencum Parallelogrammi BB Ba; habebitur (respectu carundem r a Y A, ) mo-
mentum Segmenci ABB.
Est aucem Paralleloerammi BBBa (PFOPEEE Ba = a E BB = B) magnieido
aB; e (proxter Ceneri gravicatis a ra dictantiam = B, adeoque d Y A, 2 _ = Z B,
momencum respectu +a, Z aB2 = 2 a R3 = 2 a V R + Z a v = 2 a R.- a v R-
2a52; e respectu TA, 2 aB R = = a B 2 = 2 a R 2 = = a 2 2 = 2 a R = a V R +
52
adeoque (subductione Facta) Segmenti BBA, momencum respectu ra (vel
correspondens Ungula Semiquacrantalis,) = Za R =  Z5 R=  a V R =  5V R +
EaS2 = - = C R= + aV R = = sV R  = a 5 2 = 2f R2  = 5B R = 3 a b respectu
TA, - 3 a R2 + 2 5 R3 + aV R + 2 5VR = Z a 5 = E fR2- 2 aB R -  5 BA
F= a B. Ec (propier magniudinem, = a R + s R F av,) diltancia Ceniti sravica.
ris Scemenei AbB, d = a, = R.
ZR - B
foR- 2a52
4c R + 4a0
fvk 2a5
4e  + 4a2 i a Z A, 3 R +
fok - 245
4e R F 4aV
bV
3R + v -- suR-245.
gese t quo: Adcoque momencum re
spectu BV, 2a X2 = 25 R  + 35V R = 1 a S = Ze R +. 25~ R = 3 a 52. EL spC.
ciacim, Scomenci A d C. momentum respectu DC (PTOPtEF a = +P, e s V= R,
R = P: Ejusque Cencri gravicatis 3 DC distancia, 16F. (Vel criam, ex Triliner
ABB momento respectu ra lubducto quod Hc ex magnieudine in a V  B, nempe
abA = sh R F a bV = - 2a R + 25 R f a V R = 5V R + as; tabecur TEi
linei ABB momencum respectu b V vet Semiquacrantalis Oneula, Z a N  = 2 sR
+250R = 245 = =e R + 35V R = 54 5 ; ut priUS.)
Adeoque Solidum ejusdem A b B convertione circa ra factum, est,  ZCRP +
avF = 2 5vZ + = X; circa F A, = 2G R P + a v P + 3 5vP
ca bY, de PP + 350, X   Ex terpiloliea, temises horum.
2 R; dt cir.
Elabencur aucem eotibneem Platiotiimi; Momenca respectu Aa, vel Senriqus.
drancales, Ongulae aciem habeptes Aa per prop. 18. Cap. 3. Vel PFOD. 22. CaB. 4.
vel prop. 10. hujus.
Si enim rectae omnes 43, 25, _c, complentes A ra Frilineum, Cvel minua
quae his reptasentatieur, paralle logranma, Prilineum illud complentia, J ducancur
in Tuas ab A a dictancas aE, a 6, dc. rel in his aqua les E =, 66, _c. (eridmentum
arE complentes;) Hlabetur Semiquadrancalis Ongula crilineo A r a intistetis, acjem
habens, Aa. Ouamm ueigne complent, I(d XE  ZC a _C. CCH XE Z, L. 66, dc
Paralleloxramma (sel mitrita Priltrrata) EptIS XE, Z C, _c. (rectis, Peur mnutis
parallelosrammis) insilteneia. Hoc es; omnia aB, lacta ex arcubus aricknerice
proportionalibus in reliduorum ad Temiperipheriam tinus versos ductis.
Auc etiam; C incellisacur R a in Paeces invicem aequales, in punctis Z, D, _c.
diridis (adeoque rectas ZZ, D d, ec hoc elt aC, a5, _c. repraesentare Hon qui-
dem arcus arichmerice proportionales, sed qui selpondene Ginybus vertis AV, AC
Rc. arichimetice proportionalibus, puta AZ, AD, aC. HS. 169. adeoque FrMinC
um A Ta consideretur non tam uE Ficurq Sinuum Persorum arcubus arictCLICC
provortionatibus convenientium, ips Aa Paralletorum etam ue feura Meuum
in rectas expansorum, Tinabus vetts alictimetice proportionatibus conremencrum
ipsi ar parallelarum:) eandem Ongulam comiplebine Rrebum iNIOrUM Semigia
drata, seu Frianouta Citoem 7 Z, D d, ec. mhltentia; iosio scilicer a b Cy ast A
de. tmulia caquaa. Hsoc ei duorur a taita veneome prororione
1b16.
151. 715O
C
e

## Folio 760 — 851387705:0780
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000780.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
De Calculo Centri Craortatis.  Cap. V.
Fig. 169. Si vero eadem Dnoula, tereiis adhue planis (seu exienis Prismaribus) comvoni
incelligatur, Basi seit Prilineo Ar a parallelis, Ongulam complentibus; cruME. ea
(propier. Onsulx Obliquam Sectionem, ad eoquo plana luperiora concinue magis
maxisque ab Aae deticiencia,) Prilineis A7 an XTC, Z26, eec. (ulque ad ulcimum
Ere, ipsumre r punctum;) aequalia: Hoc elt, cocidemi A. F a planIS, demptis
omnibus XEa A, ZCa A, ccc. HIOC ct; Prismati alcicudinem habenti, 8.2, dempta
concraria Ongula, super eadem A ra bale, aciem habence PY. Fr linsticer, qua
Ongulam porcioni bBa A insistencem complent plana; tunc iplis bBa A, bBEX.
bB62, Sc. (ulque ad iptam bB) aequalia: Hoc elt, roridem bBa A, dempris
omnibus XEa A, Z. G aA, Cc. seu Prilmaci ipsi b Ba A intistenci alcicudinem ha-
benei aequalem ipli CB = Ba seu arcui B A = a; dempra copcraria Vnsula, aciem
habence DB.
Acque hanc cerciam Ongulae compotiionem, ut caleulo, maeis opporiunam,
(cumperinde sic, Ongula magnicudinem quod spectat, planive momeneum, sire
haec, Tire illa, Cire ilta demum sumatur, ) Speciacim hic considerabimus.
Fst aurem (uc 5 A.) Frilineum AF a, ZR P; erBO omnia, A F a; HOC est, AF an
in r4 = ZP, ducta; aR P
trem; portio bBa A, (per 5A.) a R L 5. R; adeoque omnia XE a M, 2G a A
_c. (ulque ad Z a A,) tinc omnia a R Y S R. Suurque, omnia a (hoc est, Tum-
ma areuum arichmerice proporrionatium; guorum MaXIMUS A D a = 3Z,) Se
missis quadrati 7 a = =P; sey 3 : l DET PEOP. C. hujus.) Adeoque Omn. a R
=3RF2. EC omnia s, (Hioces, Cumma smuum rectorum torius Semicirculi,
2 R 2 (DeT SMI. PTOP. 13. hajuS. ) Adeoque Omn. sR, = 2 R3. Eroo omnia
XE a A, ZC a A, _c. quadrilincq; hoc est, Omn. a R f sR; (hoc eA, Onsula Fri
linci Ar a, aciem habensus r. I; Seu correspondens Momencu;) S RP L 2 R3
tirgo; Momencum ejuldem, A+a respectu pai (seu. correlpondens neula
aciem tabens A a.) hoc eltu. Omnia A  ey X 7E, 27G, dc. seu, Foridem: A Za
dempris; omnibus XEa A, 2F a A, dc. Hoc est Prilina Frilinei Ara, (alcirudi
nem habens ra) dempra concraria neula aciem habencerl; Hloc elt, cotidem
RP dempris omnibus a R L sP: Fs P
+R4
Atque hoc momentum, pex igepicdinem L R P dixilumi; et hibet dillanciam Cen.
ei scavicacio Frilimet Ar a, ab A0, 1∞ i H helebese d riv, a ∞ . Aoo bs
Vel eriam; monieneum juisdem respectu Y, (8 P D + 2 R D) modo inven-
cum; per magnimdinem (3 RP) dirisum; extibet Centri graritatis d7 F di-
A3. VEPriuS
2
Similicer; Potionis BBa R, momentum lespectu A a (eadem racione, ) erit A3
presacum omnium, BBa A, bBEX, BB (Z dec. ulque ad ipsam bB: Hoc cA, FOrI
dem bBa A demprio omnibus XEa A, ZC a A, _c. HIOC ett, Prisma ejusdem bB a B
alricudinem habens Ba dempta conacia Ongula lejuldem b Ba A Sectiotis) aciem
habente bB.
F.st auem ejusmi oci porio quaeris, uc bBq A (per SR. d a R. = s R. Adeoque
Omnes XEAA, ZC. ∞ A, Rc. ulque ad maximum bB a P; Tunc Omn. a R + 5X
lumpiis a arciibus, arichmetice proporcionalibus ulque ad maximum a B, qui dicatur
; iptilque slinubus rectis corundem arcuum, quorum maxiuS BV dicatuES
Sunc aucem omnes a ulque ad  (Per DrOB. L. hujys, uipore arichmetiee pio
porrionales,) : (teu àB6 crianeylum;) adeoque Omn. a 
22R.
F
Omnes s, ulque ad maximum By = S cun responder Sinus vertus AV = v; (hoc
eltus a bo crilinemi d supr u R (per BM Y, proP. 13 Au 13) adeoque Omn. s R.
=V R 2, 1IV et1cLI3E
FrBo; Omn. a f  5R:
L . 2 est aeerepatum omnium XE∞ R
EibAA, _c ulque, ae b ea A: Hoc At, momentum porents b Ba A respectu iptius
BB; rel huic correspondens neula  molio obrius
1
jusdem ilaque momentum sespectu Aq (,auc corsespondens Vngula;) hoc
est, tocidem bBa A, inus omnibus ZEa A, ZC a A, _C. seu Priima batis BBa A
alcicudinem habens Ba = A, dempra contraria Ongula b B a A aciem habence BB:
F.I
70.

## Folio 761 — 851387705:0781
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000781.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
PTOP. XVII. DeCalculo Centri Cravitatis
Fst A R = ASR minus, Z A R F ~ R2: HoC Cst, Z A R + AS R = v R; l
vel (relticuro valore minuscularum a, 5y) Za R + a sK - VR
Adeoque (momentis per magnicdinem dirilis) Portionis bBa A, distantia cen.
eri gravitatis a bB,
a +=
R = a5
2a = 25
F 2V k
2a. + 25i e ab Aa 
; ec. ab A a = a -
e - a-
2. a  2 5
25
Vel d
Fodem modo ostendetur (proxter bxB = a R = s R,) momentum portionis
bBx respectu bB, (ungulamre correspondentem cujus acies BB,) este = a R = B R2
e respectu rT, za R = as R F B R2: Et Cencri praricanis distanciam a bB,
= 2 BR
a -= 25
_, 2 7 Y _ = 2 4 5  2. B R
Auceriam (propter ABK = a R = 5 R,) momentum porrionis ABV relpectu
BK (ungulamre, correspondentem,) este : a R - v R2; d relpectu A ay L a R
=as R F 2 R =: Centrique graricaris distantiam d B R,
a = 2. a 5. + 2V R
a = 2
EvR. et ab AC
2a = 25
Si vero, ex Portionis bBa A, momenis respectu bB, et Aa; anteratur Paralle.
logrammi BbBa momentum respectu ucriurris (proxter cencrum gravicatis aqua-
liter ab utraque distans:) ITOC eAt, (propter bB = V a = B, ee BB = a, hujus
que semissem ZbB = Z a) E a B = a R - = a v: Tlabetur Seementi ABB, mo-
mentum respectu BB, -Za R F V R= L = a V: de resrectu Aa, == a R  a5 R
=VR2 F = a V: HIoc eAt, Semisumma quadracorum arcuum nibus versis arith.
metice proporcionalibus convenientium, porrionem b B A complentium: Adeoque
hujus duplum, corundem quadratorum Summa. P.F (momenta per magnicudinem
dividendo, hoc es, per = a R + s _ F a 2, ut SB.) Distancia cencer pravicacis
d BB, 3 a -
2V R - a5
2eR + 2a
2VR a5
R; de ab A a, Z a = = 2C R f 2a2
Eu speciatim, Segmenti A d C momentum respectu ds, (proprex v = R), est
R3. Centrique praricatis a ds distantia est R.
Y78.
Solidaque de Semitolicta convertione facta; sune ad respeclivas Vngulas, (ut P
Expius dictum eAt,) ut P, e ZP, ad R. Puta
Solidtum Frilinei Ar a convertione circa + Y tactum, est d P3 + 2 R2 P; de
Circa A a, 5∞3 - 2 R = Y
Solidum Porcionis bBa A convertione cirea BB Factum, clt. 3 a P F v R P; &
circa Aa, = a P = a 5P = v RF
Solidum Porcionis bB, convertione cirea bB tactum, ell. = ae P = B RP; de
Circa FF, Z02 P = a5P F BRZ
Solidum Porcionis A BK convertione circa B K tactum, elt : a P - v R Z:
_ CirCa Aa = a P = a5 P = VRF
Solidumque Segmenti A b B convertione circa Bb K factum, cst. - 3 a P f. v RP
2i e eirea Aa = = a P + a5P = v RP +  
2.k
2 DE
Et Semisolida, horum semistes.
Si vero libeat haec Ouadrilineorum, et Sectotu corsespondencium, momenta L
respectu Aa incer se comparare; (praeterquam quod illud jam Factum ests dum
VETOrumquE MOmenta danEUE;) Dicendum est, Momencum Ouacrilinoi bBa A
respectu sibi adjacentis Aa ad momencum Sectoris B a A respectu A. a adjacenns
sibi; else uc, omnes BB (illud complentes) in respectiras BC (complentes a BiC
Friangutum;) ad casdem bB in respectirarum B. (complentium a po Frilineum)
Triencem. Hoc est, ue Omnia rectangula bB6 (eo spectantia) ad PrienLCM
omnium bBv. HIoc est, ve Omnia ab, ad Omnia Z sB.
Ouippe Priangula sinouta ut a B (Sectorem complentia) sunt (quoact magni-
iudinem) ad correspondeniia Parallelozramma bB (Quacrilineum complentia)
D dddd

## Folio 762 — 851387705:0782
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000782.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
DeCalculo Centri Cravitatis.  Cap. V.
ut 2 ad 2, (Incellige, in parribus intinice exiguis, dum Friangula Sectoribus, e
69, Parallelosramma respectiris Ouadrilineis coincidere reputaneur.) Forunque
270. Friangulorum cencra graritatis in a B polita, ab a distane Z a B; ideoque, ab A a
3BV; hoc clt ZB0. ErgO (propter EX Z = 5,) Momenta linsulorum a B Frian-
sulorum respectu adjacentis aa; hoc est, Friangulum a B = Z bB, in ZBY = 3B1.
elt ad BB in B0; NE F ad 3. FC, consequenter, omnium Friansulorum, hoc est
Sectoris Ba A, momentum respectu A∞; ad momentum omnium DB Parallelo
Grammorum quadrilineum bBa A complentium in respectiris distanciis eo Tuspen-
TOrUM; UE F ad 3. FH autem (per S S. prOB. 25.) Sectoris Ba A, momencum
respectu Aa, seu correspondens Ungula, = V R 2 f ES2 R: ErgO, omnia BB.
Rectansula; seu Omnia Bs, aut omnia 25 R -~5, eo spectantia; (hoc ell,, 50-
lidum Ouacrilineo BBa A incumbens, alcicudinem habens super singulas rectas
XE, 26, _c. aequalem respectiris Eo Cv, _c.) V R 2 fZS R. Ft de aliis iltius.
modi Solidi porcionibus, mucatis mutandis, timile fiet judicium. Puta, (propter
Seomentum AB A = Z a R = = s R, ejusque respectu A a, momentum : V R2 = ES R
per 8B. prOP. 15.) quae porrioni Ab K incumbic ejuldem Solidi concinuati pOr-
cio (hoc eltu omnia vs eo spectancia,) exit D R 2 = = s R. Et, Similiter; qua
trilinco rbB incumbir ejuldem Solidi porrio (hoc est, omnia hs hruc spectantiam)
BA2 = = s R. EF Sic alibi.
Acone his ita in Fisura Sinuum Versorum A ra absolutis; idem eciam in
Fieura Simuum Rectorum (corius Semieirenti) arn ab(olvetur. EM utique hu-
jus ucerque Semistis a s un rdn cadem, plane fieura acque dCi A, (figurX A7 a
Leomentum,) vel de 2; alio sicu Dolita. Cum enim bB hoc est V a (et de reli-
quis similiter) sit arcus Ba = =B, suus vertus; erit ptopterea (ejusdem à Ro-
dio differencia) bk, hoc CA V C, arcus BD linus rectus. FL sic ubique. Fs
isitur, cum dCi A, cum der, fgura Siruum rectorum tocius Ouadrantis, (puta
quadrantis DA, vet Da AI8. 169. urrinque à D inchoando;) adeoque cadem
plane figura cum a d  vel rd u, qux iridem (per constructionem) lunc Fisura
Sinuum Rectorum unius quadrantis incegri, acque ad cundem Radium. Cum igi-
cur cum ipsius dC A crilinei, cum partium iptius, magnicudines, momenta et Cen
era cravitaris determinantur: Etiam fisurae a rn utriusque Semittis, adeoque e
rocius, ejusque partium, masnicudines momenta et Centra srarucatis derermi-
MaNEUE.
Exempli Bratia; e, d n = 7 8 n = dC A = = a R F 5 R F a V (per SB.) id est,
noc casi, (prOpter D = A C = R, _ 5 = DC = R, _ accum a =D A = 2 7.
P = R= F = R~ = R2. Fjusque momencum respectu batIS as, vel dC,
(hoc elt omnia Semiguadrata Sinuum rectorum unius quadrantis,) 2 a R2 =35 p
F25V R = 3 a s (per S F.) id est, in hoc Catu, 16P R 2 - 3 R3 F ZR3 - 3Y R
SP R2; (Adeoque, Summa quadratorum sinuum rectorum, Peu omnia s’, t0
tius quadrancis, 5R2 P; uE Supra S V. PTOP. F3.) Cenerique gravitatis à balC aS
seu de distantia (momentum per magnicudinem dividendo) is P
Similiter; porrio n d BV, HoC cst (Lumpta C l =dB) ACIZ, est (ut SB.
Ss, SuMptO arCI XO hOC CA Z A, ==a. Nempe Factum ex Radio R, in s Si
num rectum arcuS Z A = =O; hoc cAt, in Sinum arcus DB = s B; hoC est, (BO-
sito aB= AB =a; adeoque BD ejuldem complemento,) in x = VC. HOc est,
1 dBV =
Ex consequenter, a P, = a. 8 n = S uv B (prou minor majorre quadrance tuerit
arcus a B Teu AB) erit R F ~ R; hoc Cst (PTOPTCF N = R = v E AB tiv qua-
drance minor, et x:
= --R = v E quadrance major; adeoque, urcunqueu R F N = 2,
aBV= R F _ R =
atine item deducetur Momentorum ratio in Frilinei as n. vel rsu porrioni-
bus; ex momentis portionum Frilinei dC A; sed perplexiori aliquancum calculo
ob concrarium Pixurarum scum. Cum enim, in priori Titu, areus ab A inchoa
rimus, (utu recbi graria, arcum AB diximus a; cujus linus rcetus s, et verlus v.
adeoque BD eNet ejuldem arcus complemencum, cujus linus rectus VC. = v:
jam mutaro Titu, areus inchoantur ab a hoc cst d D; (ad eoque arcus a B, HOC
elt DB, dicetur an cujus lnus rectus s = V C; et linus complementi BV = X, etC.)
Verhi gracia, sii
Ex Pacalleto eramoni ALC A momenco respecta Y A, hoc ell, (volico L X,
H0c
Fip
1.

## Folio 763 — 851387705:0783
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000783.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Ccop. V.moiravitatis.
hoc cl X A, = a,) ex Z a R2; Si auteratur momentum Frilinci AXG, hoc est, FiB. 169,
(per S F. ) 3a R2- 2s R3 L =SV R; habecur quadrilinei X LC A momentum re 170
spectu PA, = Z a R3 +Z sR2. F =SV R.Adeoque (proprer masnicucinem sR.
per SB.) distancia centri gravicatis, d F A
 f35. +52
; adeoques adC
a R. + 5R = 50; ejusque respectu dC momencum,  a R +  s R 2 L ; 5y p
=+a A F = SN R. Idemque est momentum porionis vBs uy respectu r a potico
SB (= XZ) ==a: Sed, Dolito aB = a, adeoquo (ejusdem complemencum ac
quadrantem, auc etiam excellus supra quadrantem,) SB =-DB = L D i a, (areus
a ditterentiam 2 quadrance = P,) quem arcum q dicemus; eritque hujus fnus
rectus, non s, Sed n == O C (sinus complemenci arcus a == X A.) AdCOquC MU
caco a in g; permutaris eriam si opys s’et x (sed hic nihil opus, perinde enim
cA sN e N S;) PrO Za R F as x R, habebitur quadrilinei vB sa momentum re
spectu ra, (DOsito aB = a,) ag R F EN SR; (HOC es omnia L S seu Semi-
summa quadratorum sinuum rectorum complenrum porcionem ves u, leu arcus
DB parriculis respondentium.) Pjusque a Z a Dictancia Cenri Gravitaris 2 F v 5
Adeoque; (propter Frilinei as u, respectu ejusdem ra, momentum 3 N 2
ut lupra;) Portionis a BV = e dn F Sn vB (prout aB minor majorre quadrante
Everic) momentum respectu ra, CriL =S R F = = G R2 F F5 N R; HlOC elL (prOPter
D = an et N = R = 2, si a B lic quadranie minor; vel q=
P +
e
X = - R + V,  a B quadrante MajOF;) Ea R2 = = sR2  =5VR: (OUX Ita
que est, Semisumma quadratorum Sinuum rectorum, complentium portionem a Bo
leu omnia 352 arcus AB particulis comperentia, Cumpris a arichmerice provortio
nalibus.) Factaque, per magnitudinem aβ0 = V R, dirisione; habecur distan
cia Ceneri pravicaris a ra, 2 R - s R  5y es + s0
Similiter, Frilinei a. d momentum respectu Aa (productae,) Hoc est, Frili. P
nei dCA momentum respectu sd (producta;) est, (per SI.) = Z a = R +
vR 2 f = a 2V. HOc est, in praesenci catu, (PrOPter V = R,) R3. (HOC cst
omnia a s, cocius quadrancis. ) Acque hoc, per magnitudinem R2 dirilum; extri-
bet R, dictan
que CentrI=
eeder
ucri sraricacis eritinci dC A, a sd; vel ad n ab Aa. Adeo
momentum correspondens (seu Semiquadrancalis Ingula, ) nemDe Frilinei dC a
respectu Aa, vel a s n respectu s n, 2 R2Y. R
Fx similicer in Portionibus, (licet perplexiori paulum caleulo, ob mucandum
ut prius, symbolorum valorem pro mucaco licutisurae,) idem obtinebicur
Est urique (per S F.) quacrilinei X Ea A momencum respectu A a, (potito
XZ = ag) 3a R F aS R = v R2: Adeoque (dempto Paraltelogrammi ElC 8
momento respectu ejusdem Aa, = a= R;) momencum quadrilinei X LC A, respecti
ejuldem Aa, as R =V R2. Aique cancundem eris momentum Ouadrilinei v Bd
respectu s in PolO SB = X X = a: Cenrrique gravicacis d du (propter magnitu
dinem sR,) distantia,  - - . Sec, polico ab = a; adeoque BS = + P si a = g
Et proprerea mutatis sin x (sinum complementi areus q;) et V in R ==s: Frit
Guldem vB Sn momentum respectu su, q V R = R3 = s R2; ex centri graricaris
a du distaniia, 2 r = R2 + 5
E: Adeoque, ab A a, 1 ∞. = G ~ = R= + s A
momencum respectu A a, = N R P FG ~ R L R3 F 5 R = d X R L R2 = 5 R=
EE, Proprerea, Momentum porcionis a B = a sn F S uv B, respectu Aa, (PrOptet
iptius asa, respectu Aa, momentum, R3) erit F a X R F 5 R=
R F av R. Centrique gravicatis ab Aa diltanria C propier magnicudinem,
VR,) eric =   + sR + aV
spectu B0 momentum eR.
=eR + a2
: Adeoque, d 8v, ; ejusque se
Ddd dd2
Verum

## Folio 764 — 851387705:0784
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000784.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
DeCalculo Centri Cravitatis.
Ciap. Y
Verum haec omnia quae Trilineum a r uy ejusque portiones spectant; simplieius,
ex ance tradiris, per se eliciuntur, sine ope Fisura Sinuumsrerlorum.
Fst utique (per SP. prop. 13.) polito a B = a Cubicunque in a + (ICB pun-
Ctum) reliquisque symbolis proporcionaliter; a BV = V R, d d n = R 2, VBS n = _ R
Trem, Trilinei aBo momentum respectura; hoc ett, omnia Semiquadraca Si-
nuum rectorum sectionem illam complentium; hoc elt, omnia E53, seu omnia
ZVh, eo spectantia, arcubus arittmerice proportionalibus ab a ulque ad aB conre-
niencia; (per S V. ProD. 13. ) Za R2 L 25 R2 + SVR = Z CR2 + ZSVR. (NCm
De, quod fic ex Semi. Radio = R, ducto in correlpondens Semisermentum circulare
ABV = Za R + 25 N = ha R = = 5 R = = 5V = EC R + 35V.) AdeOquC (DTOPIEK
Ls
magnicudinem V R,) distancia Ceneri gravicaris porcionis a B0 d ra, E  
Ft speciacim, Fralinet a S n (PrOPIeE a = , 8, e v = R, ) momencum respectu
ran i6 R? P. Cenrique graricaris a r a diltania, 5~
Similiter (per proP. 10. hujus) Tumpris omnibus a 30, a20, _c. usque ad a Bv
hoc est, omnibus v R eo spectantibus; Hloc elt, tacto ex R in omnes v, hoc elt,
in omnes AO ec. linus versos arcuum arichmerice proporrionalium ab N ulque ad
maximum A V quem jam dicamus V; hoc elt, tacto ex s in crilineum ABK =
a R = s R = C X (Der SB:) Flabetur momentum Frilinei a B. respectu BO, nempC
aR= = sR2 = C R2. Factaque per masnicudinem v R. divisione; diltancia Centri
Gravitatis a BV,
e
=; adcoque ab A∞, a - -. F. e propterea, ejus.
dem momencum respectu A a, = e R3 + av R.
(Fademque de porrione rBu; lubsticuris a pro a, et B prov, item PF PrOAa;
de rice verla.)
Ei Speciauim, Frilinei adn (propter s = V = R) momenium relpectu Aa
3; respectu snn = R2 P = A: Cemerique graricatis distantia ab Aa, R; acque
Determinarimus ilaque corius Pigura, partiumque ejusdem expolicarum, tum
magnicudines, cum momenta respectu expolicarum aliquor rectarum; carumque
Centrorum gravitatis distantias ab illis rectis. Adeoque, proprer exhibitas eo.
rundem a duabus talrem rectis non paralsetis dictancias; etiam ipsa CCHa BIa
VItatis (per prop. 26. Cap. praeced.) exhibentur.
Acque hinc de Ongulis, Solidisque convertione factis aut Semisolidis, aliisque
quae hinc dependent, calculo rire actibiro, judicium fier. Ouaque de his dicta
lune, ad alia tacile porerune multis modis ampliari.
Acque haec quidem omnia quae de a du figura Sinuum rectorum unius quadran-
eis tradita sunc; eadem ejusdem complemento au r Facile aCCOMIOdANEUIT. OUIP
De li ex aduF Parallelogrammo, auteracur crilineum an s: restat eriLInCUIM a N F:
ee limiliter, si ex parallelogrammi illius Momencis, Ongulis, ee Ingularum Mo-
mentis; auterantur respectira Trilinei a sn Momenta, Ungula, et Ungularum
Momenta; rellabunt respectira Frilinei au F Momenta, Ingula, et Ungularum
Momenta: unde e Centrorum graricaris Distancia ab expolutis rectis colliguntur.
Ouodque de cora an P dictum elt; idem de parribus, ut a0y, mucatis mutandis,
incellisendum est.
Si aurem, ut us Sinuum Vertorum, Rectorumque, Figuris: Manente, ut prius,
Aa == 2R, _5
=R, reliquisque hisce parallelis in cactem qua nunc ratione:
Recta ra, Procracta lic, vel Contracta, (puta, Major, vel MinOT, quam ZP;) reli
quaeque huic parallelae, similirer rel Protractae vel Concractae; (quas Figuras Si-
nuum Verlorum, Rectorumre. Protractas, dieamus; rel Contractas:) Eadem
quae jam cradita lunc, etiam his conveniune; cum hoc solo dilerimine; Ouod quo-
cies recta bB in calculum veniune; pro a substicuenda erir alia quantitas quae
ad hanc Cc in ea ratione quae elt XO ad : Z: Ec similicer, mucatis mutandis, pro
carundem bB quadratis, cubis, reliquisque poreltatibus; ReMPC, prO a, a3, _c.
quantitates quae sinc ad has in Duplicaca, Friplicata, _C. racione, illius quam ha-
Det r ad  L.
OuX.

## Folio 765 — 851387705:0785
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000785.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
PeOD L. VII. De Calculo Centri Cravitatis.
Ouaque de Figura Sinuum rectorum unius quacrantis, (ut a Sn f8. F70.) dicta
sune: eadem figurx Sinuum Chordarum seu Subrentarum in semicirculo (ut Ad h
518. 283.) Facile accommodantur: Sunt enim Chordae Areuum in semicirculo, ubt
que Dupla Situum Rectorum, Semiarcuum in Ouactrance correspondentium.
Adeoque Fipura Choraac in Semicirculo ASn HB, 183. EpHaS _ H3, 270; F
surae Sinuum Rectole acrants, omnino limilis; es partes parcibus respecttre
tumptis. Ouod e de Poliens e us pariter intellisena el.) Dua de
re rideantur plura, ad prOP. 22. dC L HaCOPeaIC OD CA II.
SGi HOF. F∞ M.
Y Ac aucem sire Sinuum vertorum sive Arenum tigura Ara, alia non est Fig. X
LL quam, Dimidia Semicylindri (plano oblique secti) Superticies curra l pla  C.
num expansa: Seu Semiguadrantalis Ongula Semieytindrica Superticies curra M
nea curras ul plat  expanla.
planum expanla. Paque qua termindeut. uoa Clera A d7, eA Sehet plCdS
respondenc rectabb in Lrilinet plano. E e Det Conteructioe) alcll
quales.
Incellixatur enim super Semicireulo ax BF8. F7F. (qui sit ipta A aB ti3. 169.
aequalis, adcoq: illius curra = Ba, HB. F7 T. Curra hujus AB a, H13. 169.) Semieslindrus
rectus, alcicudinem A a ipsi A a tiz. 760, 270. aequalem llabens. e secet pla-
num chspseosrb A, (quod ipsi peraxem Cytindri plano a  ec ) ablcl
dens Semiquadrantalem Ongulam rb A a; cujus luperticiem curvam compleai
(juxta del. L. Cap. 4.) Parallela rectae Bb Sc. linSIB CMra Ba PIHCLIS MIeH-
tes: (uc e patalleli areus bB, _c. Pingulis recta Ha Pul currentes.
Sumplo sati I L Vate 2Ba 118. 176. Puncio Guoro B, elt scipondear
recta, sicBb. Dico rectam hane Bb in curra Onoula superticie, aequalem esse cor
=B xoualISrBrectae, hoc et alcl a B. Sece  o Popler aequales cir
culorum DiametrOS:) Adeoque hujus linui verso a V, Fis. 169, 270. aequalis
est illius tinus versus ra; hoc est, (propier angulum semiquadrantalem, ). ver
pendicularis a r; et (propier parallelas) ipsa Bb in Ongulae luperticie curra
Sed d eidem aV fig. 270. aequalis elt (ipli paralleta) Bb in Prilinco. A quales
itaque lunc, quae in Ongula luperticie curra, ee quae in Zrilineo plavo, rectae BB
relpcellre Tumpea. (Similiter ostendetur, areus bB, dD, ecc. Hg. T7F. aeguales
elc rectis bB, dD, Sc. H8. 170. hoc elt, arcubus AB, AD, Scc. FS. 269.) Cumgue
hoc ubique obrineat: Fxpansa in planum superticies illa curra, Frilineo super. im-
Polld coneruet: adeoque cum coca coci, cum parres partibus relpectire sumpris X
(Pura, Superticies currae AbBa, Ab B, iptiS ABBa, A bB; planIS. L lic
ubique.) Iplaque qua, in superticie Ca etat Semicllipleos curra rbA
quam Ficuram Sinuum Versorum, Louumve, diximus.
cadem, in superticie expanla, est sinuola curra r b A terminans Frilineum AI T e
Es2
170
Eodemmodo; si incellientur idem r A semieylindeus, plano A a F secari, Seni- Fie
quadrancalem Ongulam A Jn abscindence, (cujus irague lituco sn SC batIS se
midiumerro aequalis:) Mendelu, pellierem Oneulae curvam F S A i in planum
Ddddd3
udt

## Folio 766 — 851387705:0786
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000786.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
CapV.
Fig. 170 expantam, coneruere Bilineo r S. an Fig, +70. quam Figuram Sinuum Rectorum
272.
curram in luxerticie Crlindei, expansa in planitiem Cuperfieie Curra, CurVX X n a
tiguram Sinuum rectorum terminanci congruere; et parces parribus respectire
Tumpris. Oux pridem monuimus ad prop. 13.
De Calcun eit tadaus.
diximus. Ouippe urrobique ostendetur B0, ipsi BV. linui recto corresponden-
tis arcus AB, hoc est r B, aequalis: _ Sic ubique. Adeoque _ rna semieslipsis
P R OP. XVEII.
6 l L
Si super, AF a Lisura Sinuum rertorum, Arcuumre, Solidum insistat
alcitudinem habens in lingulis bB Sinibus versis, aequalem respecti
vis B0 Sinibus rectis corundem arcuum: Solidum sc constructum,
Friplum eric Semiguadrantalis Ongula semicirculi, aciem haben-
tis Semicirculi Diametrum. FF Partes partium respectire.
Onde; Solidi sic constructi, partiumque ejusdem, cum Magnicudines,
cum Momenta, e Contragraritatis, innocescent.
Nempe, (retentis Srmbolis, ut in proposicionibus aliquot praeceden.
tibus:)
A. C. Solidi Ara, sic constructi; Magnicudo, 2 Pe.: Distantia Ceneri sravi.
caris a plano Ara, is P; momentum correspondens respectur a in pla-
D0 Ara erecto, s R P: Diltantia Ceneri praritaris à planO rqU, 3R;
momentum respectu ra in plano ran crecto, 3 Ra: Diltantia Centri
craritatis a plano super A a crecto, ioP; momentum relpectu Aa
8A38
A. C. Porrionis, ejuldem Solidi, AbBC; Magnitudo, v R2. F 3 5 R: Momentum
A.
resrectu ra in crecto plano Ara, +0 R3 + 25V R 2 + 553 R; distantia
Contri pravicatis ab illo plano, 3C R2 + 3 su. R f 25i
12V R F 5 52
Nomencum
retrectu ra in erecto planoran, 3 v R + 3S R = 3s. v R; distantia
Ceneri pravicatis d plano tan, 42  F 45 R = 5V
6vR +35; Momencum re-
spectu Aa = Z CR3 + a V R2 = 2 sV R2 = has P; diltavcia Ceneri era-
vitatis ab A - 5 e R + 4 av R - suR + 2 a s
4V R F 25
Portionis, ejusdem Solidi, bBr; Masniendo, 2R = v R - 3 s2 X
BR2 = ZsR = : B. R. Momentum respectu plani ara crecti,
R P = = C R. - 1 5VR2 = 5s R; relpectu plani + an erecti, 3 Aa
3VR -
 a 5 v R
352R2 = 552VR; respectu Aa, 8 R P + 3CR = av R2
a s R; distantia Ceneri gravitatis à plavo A ra,
ZRF = 6CR - 65DR = 4
98 R 24 vR - 12 5i d planorani
ab A a
R. Z
8R3 - 4V  = 4 s R + S2V
12R2  6vR = Z5
+ 20CX2 - 8 av R + 250R = 4a5
16R = 8vR = 4. 5
A. T. Portionis ABK; Magnitudo, VR 2 = ZsR = Z V P: Momentum respectu
plani Ara crecti, ZC R3 f+5VR2= 85 R; respectu plani ran erecti
3VR3 = 35 R + 55 vR = 3~ P2 + 5 5 VR; relDeCtU PA, 3V R3 - 3 s R
Es vR = 62 R; relrectu A a = 3C R3 + av R + : 50 R2 = 3 a S R;
distantia
Fi
c

## Folio 767 — 851387705:0787
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000787.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
et
PFOP. XVIII. DeCaleulo Centri Cravitatis.
dittantia Ceneri pravicalio a plano a ra,
3CR = = 35VR2 = 253. R
12VR2 65R = 6v2R
a plano 2 a n, 3 R + 5 b; a Y A, 3 R
=3e R= + 4 aV R + 5~R = 2a5, 
4V B  252 = 2 ∞
2 ; ab A a
Porcionis A R Ba; Maeuituelo, 2v R; distaneia Cenrri pravicatis à plano 1.
ATa =P momentum respectu ejusdem Ara plani (crecti)
JC R3 F=50 R2; distantia Ceneri gravitatis a FA, vel ra (hoc CA,
a planis suxer rectas illas erectis,) R; momentum respectu T A, vel
2a 20 X3; distantia Ceneri gravicatis ab Aa, a = ; momentum
respectu A d 2av R=  20 R3.
Portionis AKBB; Magnicudo, v R; distantia Ceneri Bravitatis a FA
vel bB, 30; d Fe Z. R 7 2V; ab AC, a -; a Pla1O Ara   + 5y
momentum relpectu TA, vel BB, Z2R; respectUTa, 2V R2 - = V R;
respectu Aa, av2R = ev R; resrectu plani (crecti) ATOn à C VR 2
F a 5~ R.
relie
Portionis bBaB; Masnitudo, vh R = s R: Distantia Ceneri sravitatis a B.
plano A_ F; momentum respectu ra in crecto plano Ara
chR- Fs R: Diltaricia Ceneri pravitatis ab crecto plano ran, ZB; F.
momentum relpectu ra in crecto plano ran, SR - = sV R = Es BR:
Dittantia Certri cravitatis ab Aa =C  F a2; momencum respectu HI.
Aa, = 2CR3 = ev R F a s R.
Sesmenti Solidi ABB; Maenicudo, 5 V P: Momentum respectu ra in B.
crecto planio Ar a = +0 se 3 f + av R2 = = s R; dictancia Ceneri gravi. D.
cacis a planO Ar a, = 3C R F 3av R = 5: Momentum respectu ra P
62
In CrectO PlanO TaN, ZV. R3 = 5 s R = 5 sV R; distancia Ceneri Bra-
vitatis a plano ran, 3 R = Zh; _ d bB, 3R = 3 B = 5V; d FA, 30:
momentum respectu bB, 3vR3 = 3 st R2 - 6S VR = 6V R; respecto
TA, 3V R; Momencum respectu Aey ZCR + 250R 2 - 3 a S R; di
stanria Ceneri gravitatis ab Aa, 3C R = = 35VR - 2a5
4V R = 25 = 202
P A R S S F CV N D A.
POrrO; Si Ipet AF a (Figura Sinuum vertorum, Arenumre,) Soli X.
dum insistat; alticudinem habens, in singulis b B rectis (seu arcu- F18.
bus in rectas expansis,) aequalem respectiris BV in Semicirculo, 260,
(eorum respectire arcuum sinibus rectis:) Solidi sic constructi, 170.
Parciumque ejusdem, cum magnicudines, cum momenta, et Centra
Graricatis innotelcunt.
Nempe: (retentis symbolis, ut in propositionibus prxecedentibus ;)
Solidi corius a ra sic constructi; Magnicudo, is RP Z: MOmEnTuM rC. K
spectu Y A, i6 R2 P 2 F3 R; respectu Ta, is R2∞2 - 3 Ra; dictanLia M.
Ceneri cravicatis a FA, R +
R.
ri a ra R - 34 L. Momencum N
respectu

## Folio 768 — 851387705:0788
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000788.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fis. 169, resrectu Aay _ R P3 = is R. P; distantia Centri Gravitatis ab A c,
eno
A.
5P = q: Momentum respectu plani Ara (erecti) a R. P; Distan.
8 R
tia Ceneri gravitatis ab illo plano, =
Portionis, ejusdem Solidi, ABBC; Magnitudo, a a RP = = a R = à 52 R
==a RP = = ef R: NOmentum relveCtU FA, = a R 2 P - = a R 2 + 6 S R
+3VR3 + 3s2vR; respectu ra, = a R2P - = a R + 3852 R = = ZVR3
=3 sevR; distantia Ceneri gravicatis a TA, R f + ~ R + 4 52
d2a, R - + v R + 4 5. v
9aE = 9ef
3a D -des i Nomentum respectu A a, 5 a RP-
SC R = 55VR = 5 a R + + a s R; distancia Ceneri cravitatis ab
A ∞, 322 = 30 R = 350 R-
64F -60)
4a3 +6a
po
: Momentum respectu
plani Aru, 3 F R3 = io s R; distancia Ceneri gravicaris ab A r a plano,
T2 fR2-L 253
9aF = def
NI POrtiONIS AKBa; Magnieudo, = a XP: Diltantia Ceneri gravitatis à
Ta, vel ra R; momentum respectu Y A, vel ra  a R P: dictantia
Cenrri gravicaris ab Ae ras momentum respectu Aon da RP: Di-
Mancia Ceneri pravicaris d plano Ar  S R
3i momentum respectu
iltius plani Ar0 (erecti) Za R3.F ei
1bo 
21153SISIC
Portionis, bBa B; Maxnicudo, a . P = = a R + L as R = 3 a 5V = + a R P
= ECaR = = a5v: Momentum respectu L A, 2 a R 2 D = Z C a R=
= = a 5VR  = a53; respectU Ta =aR= T = Z ea R7 = = a 5VR = = a 53:
respectu Aa, 3a P = = a R F = a S R  a SV; respectu plani AT a
3a R3 = Z a VR2 = 3 a S R = 5a 5 D; distantia CCMErI GtaVitatS, a TA,
R +.
s
ZRP - 6c R - 65yi d F0
5 ∞; ab A0, 3a;
3RP - 6CR - 65V
a plavO A7∞ 8R3 = 4 V R2 = 252 R = 2 52 2
3RD - 6CR = 65V
Eta clign C
T. M. Portionis, ARBB; Masnitudo  C a R + Za SV: Momentum respectu YA,
L.
Zea R F = a 5VR = 3a s; respectu r  Zea R + 3a5V R + 5a s; distan-
5
tia Centri pravitatis a TA, R = 3C R f 35y: d ra R + 3c P =350
Nomentum respeCtu Aa, =̀ a R = 3 a 5 R f + a 5V; distancia CenErI
Graricatis ab Aa, Za: Momentum respectu plani (crecti) A7 a,
2R = 522
cav P + sase v; distancia Centri pravicaris ab illo plano, 3 e R f Z 5V
Portionis, ABB; Magnitudo, = a = R = = a5 R 4 = s R + 3 452 = d 02 R
M c = Za 5V: Momentum respectu PA, a a R2 = = a 5 R2 + 8s R F Z~ R3
5a50R = 5s vR = 3aS; respectu ra,  a= R = = a5 R + 1 57 =
L30R3 + 3a 5VR =, se VR F3a s distantia Ceneri sravitatis a FA,
R +
+2 R2 + 452 vR = 12 a 5
de R + 1845V ∞i 2 2a R.
4V 2R2 + 452 V R = +2 a53
de R + 18aSV
Momentum respectu A ∞, = s C R3 = 8S V R2 + 1 a3 R. -
+ a= 5 R = = a sR + : a 5u; distantia Ceneri gravitatis ab Aa,
30 350  42a R 6 a 5R +6 a 5 +6 a 50
6e R F 12 a 5V
Momentum respectu
Plane
+

## Folio 769 — 851387705:0789
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000789.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
PFOP XVIII. DeCalculo Centri Cravitatis.
Dlani AZC, = 3 C (3 F 3 aV R = 8a5 R = 185 R F 5a sV; distanria C entri
Gravitatis ab ATa planO = 120 R + 12 a v R - 6a S R + 25 R +6a 5V
de X + +8a 5V
Portionis ABR; Magnicudo, : a R = = 5 R = = CFR: MOMENEUM FCSpC. R. M.
Au FA, = a R = 85 R7 - 3V R3 - 3s VR; respectu 2a,  a R = 1 sE R
+30 _ + ; so e; dillantia Ceurri Pravicalis d Fa, - +V _ + 45. v
2 ra, R. + +v X F 4 F ~. Momenrum respectu Aa, se A. + ds vN + s a X N.
= as R; distancia Ceneri pravitatis ab Aa, 3C F +3 5uR + 4 a - 6 as
6a2 - 65 = 6e
Nomentum respectu plani A Ta, ZC R3 = , 8S R; distantia CeHEri STA O.
vitatis ab Ar a planO,
Portionis ber; Magnitudo : ae  = i PP: Momentum respectu 7a
a2R 7 = 38 5  R 2  ZBR = 52 BR; respectu Y A, a a2 R2- 33s2R ?
= 3BR3 = Zs2B R; respeCtA PF, + a R3 = 3 s3 f  SBR 2  3a 3 R
=as R; respectu plari ATO Z a R3 = 3sR3 = ros R; distancia Cen
eri Cravicatis d ra, R = 4 B R + 452B
ab A a
34 = 952 i a FA, R +
3 a R 2 = 35 R2 - 3 s B R  4 a 3  6a 52
12a R 2 = 225R2 = 25
6a2 852
P + 45 B
9a 95
i a plano AFO,
B
2
Adeoque exhibentur, in utroque solido; cum eo quod sit ex AF a R.
fieurae Sinuum versorum rectis bB, in B0 Fisurx dinuum rectorum
respectiras rectass tum eo quod hE ex Ar a Figura Arcuum rectis
DB, in BV, respectiras semicirculi rectas, corumque partibUS OX-
Dolitis; Tum Magnicudines; cum Momenca respectu planorum
aliguoc expositorum; et Centrorum gxaritatis 2b illis planis distan-
cix. Ec proxterea proprer exhibicas Cenerorum craritatis distan-
tias a tribus laltem planis non parallelis; exhibentur (Per PTOP. 26.
Cap. Praeced.) ipla Centra gravitaris.
111
Ouae que de expositis dicta sunt; ad alia Facile porerune accommodari.
Et quidem quae de his solidis cractuncur, ad Prorracta, et Contractam
Facile transferentlir.
Ouxeque de solidis fieuram sintium Rectorum unius Ouadrantisre.
spicientibus, cracuntur; eadem ad Solida Fieuram Chorcarum Se
micirculi similiter respicientia, transferentur. 
Dper ora Fipuca linuum rectorum eries incelliealut seslindri (Pritmuitoe)
A
a recti portio; ea ratione, ur super lingulis B0, tiguram complencibus (arcuum Fig
arichmerice proxorrionalium sinibus rectis,) alcicudinem habeac respectiris Bb 169,
(corundem arcuum, eorumre complementorum ad lemicireulum sinibus verlis) 170.
aequalem. Auc etiam (quod eodem recidic) super Rra tigura Sinuum versorum
(Arcuumre) insiltens ad angulos rectos, in ra recta, Fipura Sinuum rectorum
erun promoreri incelligatur ad P A, solidum deseribens columnare (Cylindra-
ceum dicas, Prilmaticumre, perinde est,) Paralleloxrammo P Aa r incumbens; quod
sinvola superticie sinvola currae A d r ed angulos rectos insistence, secari POrrO
incellisatur, Solidum a dra abscindente.
Manitestum est, ex constructione, Plana Solidum hoc complencia, rectis bB
intiltentim Pacalletoriamma elte rectangula; ip lib. bB0 rectanertio abique equa
BCC CC +A1

## Folio 770 — 851387705:0790
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000790.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
ap. I.
Fi5. 169, lia; hoc oltu rectatBIIS BS; FactIS DEMDC Cx arEHUM ZB, (hoc est a B H~, 169.)
scu complementorum arcuum aB (Peu A B) Sinibus vertis; in B, (hoc cst BV
tig. 169.) eorundem arcuum sinibus rectis. Adeoque Solidum hoc sive totum,
Sire iplius portio uE ADBa Cltagoresatum omnium B5, Seu sB, figuram Cive co-
tam, lire iptius altumpiam porrionem, spectancium; divila ar in parces aequales:
hoc elt, Cumpris a arcubus axichmerice proxorcionalibus.
Manitestum icem est, Plana rectis bB inCiltentia, Colidum hoc complentia, aequa-
lia esse respectiris aB. Fisura sinuum rectorum porrionibus; dirila Aa in par-
tes aequales, hoc est, Cumpeis v arichmerice proportionalibus. Adeoque (PrOPICE
aBv =VR, per SO. PFOP. 17.) Solidum hoc, Sire tOcM, Sive ipsUS POrrO nE
AbB, estagorexacum omnium v R, eo spectantium, Cumpris V arichetICE PFOPOE.
tionalibus.
Fstque Tolidum hoc, Semiquadrancalis Ongulae a Semicirculi ADo. aciem ha-
beneis Aa, (sen Momenti Pemicirculi AD a respeCtu A a rectae) Friplum: R.F
partes parcium relpeclire lumplarum: Pura Solidi porcio AbBa, exipla correspon.
dentis Ongula B a A (aciem habentis A a,) _ Porrio BBr, cripla Ungula COI-
respondentis a Ba, (aciem habentis A a;) de sic ubique. Sunc enim (DEr DTOB.
27.) Cinsula a B iriangula Semicirculum complentia, ad b B Paralleloratma. Com.
plencia figuram Sinuums vertorum, ut L ad 2: Tiem PrianouH1 a B cujulque C’en.
crum graricaris ab a distat ZaB, (Dex PTOP. 6. hujus; ) adeoque ab A a, ZBV:
cujus itaque ad B V = Bv rario, e ut 2 ad 3. RAE erSO (DrOPICF Z XZ = 5) Tri
anguli cujulque momencum respectu Ro seu semiquadrancalis Onsula Pyram (ve
(aequalis urique facto ex maenicudine, in illam distantiam;) ad respectirum Pa.
callelepipedum (Factum ex b B in Bv;) uE F ad Z: EF sic ubique. HlOC Clt, Ba A
Ongula, quam illae complent Pyramides; ad Tolidum B Ba A, ex Parallelepipedis
contlacum; ut L ad 3. Pocumque Ad ra Solidum, Friplum itius Ungula Se-
micirculi (aciem habentis Aa:) FE partes parcium respective; Nempe ABBa
Solidum, criplum ungulae Ba A aciem habentis Aa.
Fst aurem illa Semcireuli Ongula (seu momentum respectu Aa,) Z R3; e SC.
Etoris Ba A, Z~ R2 f 352R; _ Segmenti a Ba, ZB R: (per SO, S, DFOV, 15.
Froo corius Ara Tolidi, magnicudo 2 R; e porrionis ABBa V R 2 + 3sR; d
DortioniS BBT, ZB2R = 2 R3 - v R = 35 R = B R3  Y 5e R. 1c
Ec similiter ostendetur portionis AbK (extra crilineum) magnieudo; Peu
Omn. 5V5. (sumptis a arich. prOBOT. ) ZVE R = V RZ, = 52R.
 Si vero ex hac porcione solidi, AbBa; auteracur pars b, Ba B (quae nempe tuic
parallelosrammo incumbit;) hoc eltu factum ex plano ABV (= ~ R, DCr, 8
DrOP. 17,) in Bb = B; hoc est B~ R = s2 R; (propter smediam proporciona-
tem inter D et h; hoc Ct, B V inter AV ec V a:) Relinquitur Solici seomencum
ADB, = ~ R2-F
S2 R = BVA = D R2 + Z5 R  52R = v R ZV Z5 R = V R
Ouod est aggrexacum Omnium v R co spectancium, lumpiis  sinibus versis arich-
metiee proportionalibus: (Singulis enim b V rectis respectire insiltic planum aB
vR.) Seu, quod cancundem valet Omnium se, lumpris a arichmierice pro
portionalibus: (VEad SI. videbitur.) Hloc est factum ex omnibus B. in respecti
ras bk. Adcoque Sinuosa superticies, currae A d r insistens, bisecat HbB Coli
dum, facique solidum ABB e folidum Ab K, invicem aequalia; (quod merito
obserrandum;) Curum Vis urique ZE R: EsL enim (PFOPIer a BV == VX, d AV  v,
Solidum LE BB A = v2R. 111DSeSi
35CF L 13S5ICCI 1217 1L31C1
Idemque per se, (sine ope portionis ABBG,) Sic colligitur. Cum singula plana
(aequalibus incerrallis tumpla, Solidum complencia,) quae rectis bB intilcunc, lint
respectivis aB0 aqualia, (quod ex constructione manisestum cst;) Cinique plana
illa a B0 = v R respectire  (per S PG O, Prop. 17.) Solidi legmentum ABB auc
etiam solidum incesrum AF a est ascregacum Omnium vR, co spectantium:
sumpris  arichmerice proporrionalibus, usque ad eorum maximum V. Sune aurem
Omnes v, (arichmerice proporrionales, usque ad maximum V,) = Z V2, (Det prOP. L.
Buius.) Ergo Omn. VR: = : 2p. Seu (restimo minuleulae v valore) Z v= R:
UEPrIIS. (Adeoque Solidum inteoru ( prOpter V == ~ R,) = 2 R3, ut prius.)
Cui si addacur porrio bBa B, habebitur porcio ABBa; eadem quam prius extibui
mus. Cumque Solidum AbB Sic (ut dictum est ) =vE R; Sicque Colidum AKBB,
22 (propier balin a Bu == V R, _ alcicudinem AV =2,) eric etiam pars reti
dua ABK, ZV= R, (ipE AbB aequalis; ) adeoque Supertictes eurra, currae A B
uccateo bisceat iplum AKb B solidum.
FOO:

## Folio 771 — 851387705:0791
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000791.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
PFOD. XVIII. DeCalculo Centri Cravitatis.
Porro; Si intellivatur Solidum inegrum ita poticum, uE Za n planum sic in sieu
horizontali, adeoque A ra (super illo crectum) in plano ad Florizontem recto:
Momencum Tolidi corius, respectu za rectae; erir Duplum momenci Ongule (c
micirculi aciens habentis A ay respectu iplius A a. (Bc linsiliter in parcibus respe
etire Tumpris.) Sunc neique singula b eo Parallelepipeda Solidum hoc complencia
(ne ostentum eltSA,) ad respectiras Pyramides a D Ongulam illam complentes
ut 3 ad T. Porumque Parallelepipedorum à perpendiculari plano r0 A distantix
Cenri GravitatS, hoc est Z Bo respectire, (per PrOP. 2. trujus; ) ad Pyramidum
illarum diltaneias Ceneri graricatis a perpendiculari plano Ra ZBV, (distane Uci-
que ab a, 3a B, per proP. B hujus; adeoque, ZBV, ab A∞;) seu 2B0; U Z ad Z
Ieu 2 ad 3. ErBO, (PrOPteF ZX 3 ==E,) momenium cujusque Parallelepipedi, (adeo.
que et limul omnium,) ad respectirae Pyramidis (adeoque et simul omnium) mo-
mencum; ett Ar 2 ad L. Ouoll quidem momeneum, ell aggrexatum Omnium ? SB
sire cocum Solidum, live iplius portionem, spectantium. (Sunc urique masnicudi
nes, asgresatum Omnium sB: diltanciae que Cencrorum grarieatis respectire, 25.
FIL aurem Ongulae Semicirculi A Da ZC em habentis Aa momentm respecti
A_, 16 R3 P; Onsulaeque Sectoris Ba A, BC R3 F 55V K2 F 153 R; (Der SP, R,
PrOp. 16.) Ergo Tocius Solidi aFa (Pieu illo polici) momentum relpectu a 7)
est S R Z; d porrionis AbBa, momentm, LC R3 F, sV R2  853 R. AIGVC
hraec momenta, per respectiras magnicudities divila, (hoc elt, pet 2 R3, e V R 2 +
252 R, Ut ad S A.) extribene Cencrorum gravitatis ab A + a platio distancias:
nempe corcius solidis etP; et porrionis Solidi Pibca, 3e  + 350 X f 2 5
120R + 65
1a
Si vero ex eo Solidi Ab ea momenco; auteracur momencum iplius bB d R: se.
stac momencum Solidi ABB.
c1
Est aurem Solidi BBa B magnicudo (per SB.) s R = vB se; ejulque Cenrei
Braricatis ab Ara plano diltancia, (quanta plani ABv d F a Der GCi. DEOP. 5.) ell
eR +52
 Per SO. DrOB. 17. adcoque momemum (in co situ) relpectu r a,
ZCbR2 = 4 5VBR = d eB R2 + 253R = = C R3 = = ev R2 + 4 53 R =  C R -
2a0R = = +5V R 2 F +53 R: FIOC itagHe  ex FOTIIS A B Ba MOMeNIO, ZCR3. 
25V R 2 + 353R, (SC.) subductum; relinquit = =P _3 + Z a V R 2 = 1 53R
momencum Solici Ab B ( super Planio abo erecti) relpectu ra. CQua est sum.
ma omnium 2 R Colidum complentium in suas respectire distancias  ducta
+ 2
rom: seu, omnium : c RE. + + 5V R; sumpris v acictmetice propoccionalibus. H
Judque momentum, pes magnicudinem dirilum (S B. cradITam) V R2
Ev R; exhiber ejuldem AbB, Centri gravicaris a plano A r a diltanciam
=3e R + 3a0R - 5
220R - 652=60
Idem eriam per le (absque ope porcionis ABB a) sic colligitur. Cum sinoula
plana rectis bB insistencia, Solidum complentia, aequalia lint iplis respectire a B0
=2 _, (ut dictum est;) lincque eorum Cenira gravicalis in eadem ab A r a plano
distancia, qua ipsorum a Bv d ra; hOc CR  F respectire: Prunc singulorm
momenta, respectu ipsus Ar a perpendicularis plani, Le R=  = 5V R, seu ; a R
R2 = =5VR. Adeoque Solidi AbB momentum, eri Omnium Summa; hoc
C, Omn. = a R2 = = s R2 f =5V R: Tumpris v arichmetice proporrionalibus.
Sunt autem, Omnes a, (lumptis arichmetico proporrionalibus,) ipsut ABB
planum; hoc est, = e R F a V, (per SB. PrOP. 17.) Adeoque Omn. L a R = = i∞ R
+aVR2
Frsimiliter, Omnes s, (sumpris e arichmerico proporrionalibus) sune iptum
in semicirculo ABVY planum; hoc esti Ze _ f 3 52, (per BP. prop. 15. ) Adeo.
que Omn. = 5 R3: = de R3 4 5VR2
trem, Omnia sv, (hoc sentu,) Cunc iptius, in semicireulo, plani ABV, mo-
mencum respectu P A, C est enim ingulorum s, d Y A diltaneia v, respective;)
E eecc2
hoc
C
Fi8
69
170.

## Folio 772 — 851387705:0792
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000792.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V
hocest, ZC R= F Z VR = 3 s (Der SF. PrOB. 15.) Adeoque, Omn. 2 5VR: = de R
+55VR= - 53R
ErsO, Omn. Z a R2 = = 5 R2 + a5V R: = - = e R3 + + a 2 R2 = - s R, Mo-
mentum Solidi ABB, respectu perpendicularis plani A r a. VE prius. Unde Centri
graritatis inde diltancia habebicur. Aeque huic momenco, si addatur momentum
Solidi bBa B, habebicur momencum Solidi AbBa, idem quod alia mechodo jam
invenimus.
Deinde; Si insellieatur Solidum illud inceorum A ray ita poticum, ue sic A X0.
planum in licu horizoncali, adeoque a rn planum, sicu ad horizonrem recto: Mo.
mencum Solidi cocius, Duplum erit momenti Ingulae Semicirculi ADa, aciem
habentis Aa, respectu rectae ra. PF timilicer in parcibus respectire Cumpris. Sunt
enim (uc prius dietum G A, C.) Sinsula Parallelepipeda Solidum hoc complencia,
ad respectiras Pyramides complenies illam. Ongulam, uc 3 ad r: Forumque pa-
rallelepipedorum rectis Bb inliltentium diltantiae Cenerorum gravicatis ab erecto
plano ran EBb = =h, respectire; Pyramidum vero a r a plano, Diltanciae CCntro-
rum graricatis, respective, ZV a == Zb. Cum isiur magnicudines sinc uc 3 ad 1;
e diltantix, uF = 2d 3, seu 2 ad 3; erit (Propter ZX 3 =:Z) NIOMENEOruM TaLO, UE
2ad 1. Hloc elt, Momencum Solidi A7 a (hoc sicu potici) respectu rarectae, du-
plum momenti Ongula Semicirculi ADa, aciem habencis A an relpectu recta 20:
tit porrionis Solidi Ab Ba momencum, duplum momene Onsulx correlpondencis
Ba A, (aciem habentis Aa,) respectu ra. Elt aurm (per SC, F. prop. 16.) On.
rula Semicirculi, aciem habentis R a, momentum respectu r a, Z Ra; Ingulaque
Sectoris Ba A, 5V R3- F 3 52 R2 = S= V R. ErSO Solidi A F a liC pOlici, moten-
cum respectu ra Z R+; e PortionIS ABBa ZV R3 F 35=R = 8s= VR. (OUIX
te
est summa, omnium Z sB2, eo spectancium; lumpeis a arichmerice proportionali-
bus: Sune enim magnicudines, lumma omnium sh: ec distancia Z h relpective.) P. a
que momenta per respectiras magnitudines, 2R3, ee V R2 F 3S= R, (Per SA.
dirita; exhibent Cenerorum gravicatis ab erecto plano r an, distantias: Nempe,
cocius Solidi, Z R; et portionis A B B a = X + 4 s R = 52 v
60
Fix ilso autem portionis ABBa momento; si eximatur momentum portionis
bBa B: habetur momentum Segmenti ABB.
Est aurem bBa B, (per SB.) vh X seu s P; diltantia Centri graviratis (per
DrOP. Z hujus,) EbB = =B: Ergo momentum (in hoc situ) respectu rectae ra
Vh2R = =s= BR, Ceu (propter Vh = 5 2, e B = 2R = V,) S2 R2 = =s2 VR
Hloc itaque subduetum ex Portionis Solidi ABBa MOentO, ZV R3 f 352R2 -
ES=V R (S praeced.) Relinquit ZV R3 = Zs R 2 f Z5 2V R, momentum Solidi ABB
in hoc licu) respectu rectae r0. Quod per magnitudinem, V R = = s R,
(SB.) diritum; extibet ejusdem Diltanciam Ceneri Gravicatis a ra u plano,
4V X - 25 R + 252V
CR: (eu 42R = 2Vb R + 2V1 4R = 2BR + 2vh 20 R + 20b
60R -30b
6R- 3h- 30
ER F Zh: Adeoque, d BB, 2R = = h = ZV: FE propterca momentum ejusdem
AbB Colidi (se potici) respectu bB, L0 R - 5 sv R. = 30 A - 35 R-
65 VR-
Ouod quidem momentum, est summa omnium planiorum a B. eo spectancium.
(hoc cst, omnium VR, per SO, Q. PrOD. 27. Tumpris v arichmetice prOPOrTIONa.
libus usque ad V eorum maximum,) in suas respectire a b B distancias ductorum
hoc eltus in V=v respectire: Hoc elt, Omnium vY R, minus Omn. V2 R. Adeo.
que, (Der PrOP. F. hujus, ) EV 3R = 3 Y3R = EY3 R, (eu 3V3 R: ut prius.
Idem per se habebuur, (sine ope porrionis AbBa.) Cum enim singula rectis
bB insiltencia plana Solidum complentia, aequalibus incerrallis ab invicem distira,
sinc aequalia iplis a. Bv = v R respectire, (ut dictum est:) Sineque in diltanciis a
vertice P A, iptis v respectire aequalibus; erie cujusque momenium respectu FA,
V= R; adeoque summa omnium (propter v arichimetice proporrionales, ulque ad
maximum,) 3V R. (per prop. T. hujus.) Scu, relicuta v minulcula, ZV3R.
Adeoque propter magnicudinem, Ev= R, (per SB.) Cencri graricacis d F A diltan-
ti2 =V: ErBO, d7a, 2 R - ZV, tCu ZR f ZB; UE prIUS: EC propterea ejusdem,
relpectu ram momencum v’ R = 5 u R, seu Su R7 + 302 b R, hoc elt 30 8
25 K

## Folio 773 — 851387705:0793
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000793.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
PFOD. XVIII. De Calculo Centri Ceravitatis.
35= R2 F 352 VR, ut prius. Acque huic momento, si addatur momentum POr= FiP. 169
tionis BBa B, habebicus momencum porcionis Ab Ba; eadem qua priuS. L. M
Idemque Solidum ABB, eodem sicu potitum, si respectu rectae Aa considere. C.
EuT; Momentum ejus est asgregacum omnium aB. planorum solidum complenti
um (hoccst, omnium v R, eo spectancium,) in suas relpectire cencrorum grari.
cacis distancias ab Aa; (hoc ett, in = e R + a
Hoc est, Omnium = ek = F av R, Ccu Omnium - a R 2 F s R? F a V R; Tumpeis
 arichmerice proportionalibus, ulque ad Veorum maximum.
Suntautem Omn. a. (sumpris v arichimerice proportionalibus;) iptum planum
ABB; hoc cAt, = c R = aV, Pes EB. PTOP. 17. Adeoque Omn. a R2 = = e R3
 aV R=
EC, Omn. 5. (hoc sentu,) iptum Semicirculi segmentum ABV, J e R + Z5V;
per S F. prOD. 25. Adeoque Omn. SR3: = ZC R3 + ZsV R 2.
Trem, Omn. a2, Cunc ipla bB rectae, planum ADB complentes, in suas respe-
ctire a P A distancias V; Hoc elt, Plani AbB momentum respectu P A; Hoc est
40R3 Fav F 250R = Z252: per GF. pFOP. 17. Adeoque Omn. av R: 
CR3 = aV R = + 4SVR 2 = = a 5= R
ErSO, Omn. = a R2 + s R2 = avR: = 3C R, + 2 50R2 - ; a 52 R. Ouod 11a.
que eltmomentum solidi ABB respectu A a.
Idemque momencum, per magnicudinem v R2 = ZS2 R (SB) diritum; extii
bec ejusdem diltanciam Ceneri gravicatis ab A a, 3e R F 35V R - 2a5
4VR = 252 = 2v =
Huic aucem Solidi ABB momento sic reperto, si addatur momentum Solidi II.
bBa B; habetur momencum Solidi A bBa respectu A a.
Elt aurem bBa B Solidi magnicudo s2 R = v B R. per SB: Ejusque ab A a di-
Ptancia Cencri graricatis, (idem quod iplius a Bu plani, PEx PFOP. 2, 5. hujuS) Cst
e R + a2
3 Per SC. PrOP. 17. Frgo ejuldem, respectu Aa, momencum est,
=cb R + avB R = - 20R3 + cv R + a s R = -= 20 R. + av R = suR.
as
Hloc iiaque Solidi ABB momenio (modo reperio) ZC R 3 = 2 sV R 2 - , a 5 R
addirum; exhibet Solidi ABBa momencum respectu Aa ZCR3 + aVR2
5~R2 + Eas= R. (Adeoque rocius Ara Solidi, cum lic in hoc calu,
2 = 37
 = 2 R, 5 = 0, _ e = a = 5 = a = = P, mOmenEum respeCt A a,  3 R37 1
PP =SP P.) EEmomento per magnicudinem vK + =S2 R (S A) dirilo; hahetur ipsiuis
Absa solidi, dictancia Cenri Graricaris ab A a, = seR + 4av R - sV R + 2a5
que in incegro A ra Solido, 3~.
40 +25
. (Adeo-
Arque hoc (sire corius Ar a Solidis sire iptius porcionis ABBa) momentum
respectu Aa, est agerexarum omnium a sh eo spectancium; Tumpris a arcv b15 3
richmerice proporcionalibus, usque ad maximum A. Sunc enim, rectangula (cu
parallelexipeda bBo, summa omnium sh (ur s A dictum ell,) corumque ab A a
dictancian Ba = a, respectire.
Ouxque de his Solidi porrionibus duta luntu lacile ad alias uBI OpuS feril
transterentur: Ouarum tum magnicudines, cum momenta dt Centra graricatis,
ab tis quae jam traduncur tacile derivari poterunt: Pura, Porcionis BBT, aui
ABR,
Si enim ex corius Solidi Ara, magnitudine Z R3; Momento respectu ray in Fi8. 170.
crecto plano Ara, 3R3 D; respectu ra in erecto plano ran, 3 Xa; ee respectu
plani luper Aa crecti, 3R. P; supra craditis: Auterantur Magnicudo, & relpe-
ctira momenca Solidi ABB, V R = = LS R; e Z CR F  5D R2 = 3s R; e
VR3 + 352RZ = = 52~R; _ = ZCR3  a
25VR2 +  as R; lupra
tradica: Relinquentur, Solidi bBr, magnicudo, 2 R3 = v R2 - = s R; Momen.
cum respectu ram in erecto plano A rO s R3 P = = C R3 - + 5VR2 = 65 R; rC
spectu ra in plano ran crecto, 3Ra - 3 V R3-
E cccc:
S R2 = ZsV R; respectu plani

## Folio 774 — 851387705:0794
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000794.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
CapV.
Aa erectis 8R3 P + Ze R3 = av R2 F 4 5VR= = 3 a S2 R. REGUE HXC MOMenLA per
Magnicudinem dirila; extribene solidi bB2 diltanciam Centri gravitacis a plano
Aram =
P - 6CR - 65VR- 45
oleic 48 R2 = 24 V R = +25
i a planO TCN
R 4V R - 4s R F s2V
12 R - 60R - 35
ab Aa Plano, 3   + 10CR2 - 8av R + 25V R - 4a5
16R = - 8V R - 4.
Similitet, eum solidi porcio AKBa paralletogrammo incumbens, Magnicudi-
nem habeat ( ex ductu A a = 2 R, in a B0 = V R, Factam,) 2V R2; et Momen-
rum respectu plani A Ta crecti, (ex ductu Magnicudinis 2v R3 in distanciam
Cencri pravicaiis plani a. BV, a r0
R
(D per 6 O, O. prOP. 17.) ZC R.
=5VR2; _ respectu ran crecti plani, (ex ductu a C = R, dimidii longitudi-
nis pritmatis, in magnicudinem 2V R2,) 2V R3; de respectu Aa crecti plani, (Cx
ductu magnicudinis 2V RZ, in distanciam Ccurri graricatis plani a B0 ab A a, HOC
ost, in
eR + aD
3 Der SP, C. PrOP. 17.) = 2 eR F 2 av R (est enim
Prismaris centrum gravicatis in medio recta Cencra gravitatis batium oppotitarum
jungente, Per PrOP. T, _ 5 hujus:) Si ex his Solidi A K Ba magnicudine e mo-
mentis; auterantur Magnitudo ee Momena respectira Solidi A DBa; V R3 F Z5 R
et 3CR3 + 250R +553R; e ZV R = Z52 R2 = 3S VR; _ = ZC R.  aV R
=ESVR  Za S R: Tupra cradtiia: Relinquentur, Solidi ABK, magnitmdo, (hoc
est, ascresatum Omnium su, co spectancium, sumpris a arichmerice proporriona-
Libus,) VR = =s R = ZVR; Momencum respectu plani A ra crecti, (hoc elt.
Omn. = s, co spectancia,) iCRF 45V R ==5R; Momentum respectu plani
ran erecti, ZV R = 3s2 R2 F Z S VR = 3 V R + SSVR; Momentum respectu
plani Aa, (hoc est, Omnia a 5V, eo spectantia,) =ZC R F aVR L L SVR
=Za SR. Atque haec momenta, per magnicudinem dirisa; exhibent, Solidi
ABK, ditanciam Ceniri graricatis d plano A+ a, 3e R F 3SVR = 253
plano 2an, 160R = 8 s R. + 2 52
12VR - 65 =68
L3R +.
12VR - 65 =6v
=B2
32
i (adeoque, d Y A, 3 R -
30  3R + 3 h == ZV; et propiorea ejusdem respectu T A, momencum, hoc est
aegregatum Omnium ; 5~, eo spectancium, sumpris a arichmerice proporionali.
busu 523 R = Z~= R~ = ESEDR = ZVR = 3 sR =5SVR;) distanciamque ab
Aa plano, =3C R + 4 a0 R + 5V R = 2 a 5
+VR = 25 = 28
Trem; Portionis A L bB, magnimdo ee momenta, habencur ex Porrionum AB F,
es Ab B, magnicudinibus et momentis (respectire) additis: Vet subductis Por-
tionis b B0. B magnitudine ee momentis, ex magnicudine e momencis (respectiris)
porcionis AKBa: Vel etiam eodem modo quo habentur iptius bBa B magnuudo
_ momenta. Nempe ex ductu plani a B0 = ~ R, in AY = 2, habetur iptius
AR BB (pritmatis) magnirudo v R. Acque ex hac magnicudine in 5~ (ejuI.
dem CentTI BTAVITALS a P A rel b B distancam,) habetur ejuldem, respectu P A
vel bB, momentum, 5 v R. Duetaque in B = : v = 2 R = 3 v (dillantiam a
ay) ejuldem momencum respectu + an 2v R = E V R. Fademque magnicudine
ducta in Ceneri pravicatis distantiam ab Aa, = C R + a~; et d plano Ar an
CR. = 50 Cealdem nique quae sunes in a bo plano, distantia ab A C, d ra; )
habencur ejuldem momenia, respectu A a, a V R = c. v R2; e respectu plani A r a,
evR2 = = 5VR.
EE cinilicer de porcionibus alio, mucacis mucandis, sudicandum eric.
Supex ADa Semicirculo, crigi incelligatur Cylindri recti porrio; ea ratione,
ue super singulas B V ordinacim applicacas, alticudinem habeat respectivis b B 
qualem,
1C

## Folio 775 — 851387705:0795
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000795.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
PFOP. XVIII. De Calculo Centri Cravitatis.
qualem, hoc est arcubus B A. Nuc etiam (quod eodem recidic) super Prilinei.
Restituri ATa, (quam Fieuram Sinuum versorum, Arcuumve, dicimus,) recta 170.
Aa, Posicus ad angulos rectos ADa Semicirculus, promoreri incellisatur ulque
ad Fr, Semieylindrum describens; qui Semieytindrus linuola Cuperticie, Cinuo(X
reCtX A dr ad angulos rectos ubique intiltence, secari incelligatur, Solidum A d = a
TErIIManTC.
Maniteltum est ex constructione, Plana Solidum hoc complencia, rectis BB
directe insiltenria, Parallelogramina esse rectangula; ex rectis bB Hg. 270. hoc
elt arcubus B A tig. 169. in BV corundem linus rectos, seu ad diamerrum circuli
ordinatim applicatas, ductis: TIocest, rectangula bBV, tig. 266, 168. Hoc est
as rectansula, sumpeis arcubus a non quidem arichumerice proporcionalibus, sed
qui finibus verlis AV, ecc. arichmetice proportionalibus conveniunt: quo plana
Solidum hoc complenria sint aequalibus interrallis distita. Adeoque ABV, Solidi
tructum, est aggregatum omnium as, eo spectancium, sumpris v sinibus vertis
axichmetice proporcionalibus.
Manitestum item elt, ex constructione, Plana rectis BB directe insistenria, 50-
lidum idem complentia, (cum lemicylindri porrio HF,) Cemicirculo rectae A a in
liltenci parallela, Segmenta elle Semicirculi, ut B V a tig. 169. iplis bB rectis
fig. 270. (arcuum arichmerice proporcionalium sinibus verlis) aequealta. Puta re
Eta XE, SEgEnCIM OZDA; rectae ZG, Segmentum SZ Da, d lic deinccps; uI
que ad ulcimum e F a seu iptum a punctum, si torum Solidum spectemus; vel
usque ad VBa Scgmentum, si Tolidi portionem ABBa, Spectemus. FL Sic alibi
Adeoque ABBa, Solidi porcio, est aggrepacum omnium V Ba Segmentorum Se-
micirculi, eo spectancium Cumpris a arcubus, (puta AX, AZ, _C.) arichmerice
proporcionalibus. Sunt aurem Omnia Segmenta OZ Da, SZ Da, ec. tocidem
Semicirculi dempris concrariis Scgmentis OX A, SZ A, _cc. HOC cAt, Semicireu
lus A Da in rectam a2 ductus, seu A a r V Semicylindrus, csi eorum Solidum
spectemus; rel, si portionem ABBa Spectemus, idem Semicirculus in a B ductus,
(Teu AaBR Semicylindeus:) Dempeis vcrobique omnibus, O(X A, SZ A, _c
hoc est omnibus A BV eo spectancibus; Hloc est, dempio Solido quod ipli A= Y
vel AbK, trilineo insiltere deberet ad respectirum Semicylindrum complendum.
cui aequale et, quod simili porrioni puncto r adjacenc incumbit: Duca, quod
AZ K erilineo incumberet, ihcumbenci crilineo re∞; _ Sic ubigue.)
Elt aurem Scomentum B V A quodris, (peraS F. prOP1 25.) 3C R + 25V
Za R = 35 R F 55~. Adeoque lumma omnium eo spectancium, lunt Omnia
=a R = Z5 R + L52, ulque ad (eo spectancium) utrimum, quod dICAUS IIPEA
senciarum 3 1R = 35 R + 35
Sune aucem Omnes a, (areus arichmerice proporcionales, usque ad A maxi.
muI,) = Z A2, (Per PEOD. T. hujuS:) adeoque Omn. Za R =
12K
Irem, Omnes sy (sinus recti arcubus illis convenientes, ulque ad S maximut,)
TUInE = V R, (Der SG. prOP. 17.) adeoque Omn. = =5 R:
Trem, Omnia 5V, usque ad SV maximum; sunc tacta ex sinibus rectis ar.
cuum arichmerice proporcionalium, pura XO, ZS, _c. ti8. 169. Hoc CAt E., C
c. tig. 270. ductis in relpectiros sinus vertos, ut AO, AS, dcc. Hg. 189  3
hoc clt, X9, Z.K, _c. linuum vertorum EX, 62, ec. reliduos ad diamerriim
a = 2 R. (Nempe, Solidi prius constructi, porrio AbR, SA, L extiitiia
Hocest, Omnes E0 ZV, _c. rectae, in 2 R ductae; dempris eildem in EX, CZ, _
respectire ductis. Sunt actem, Omn. 50, 60, eec. hoc est Omn. s usque ad S
maximum, hoc est aBo crilineum, = V R; (ut modo dictum:) adeoque exdem
Omnes in Aa = 2 R, SunE ZY RZ; Item eaedem Omnes in respectiras EX, (Z) e
hoc clt, Omnes sh usque ad SF maximum, (seu Solidi, prius constructis por
lio ABBa, 5 A extribira;) Sine Priplum momenci Sectoris correspondenris B la A
As. 160. respectu rectae Aa, (utaS L. prOP. 17. ee G P. hujus ostensum ett,) hoc
2S R; per 55. prop. 25. vel S A. hujus. FrBO, Caedem omnes 80
Co, _c. IH TEIPCCtraS AO, AS, UC. leu X9, ZK, dc. hoc est; Omn. 5v, ulque
ad maximum SV; Tuns 2 minus V R2 F 3,S R; HOC eAt YR3- - 3S2H
Omnia isitur, AXO, AC. B C. AaCSegmenta, usque ad maxinitim
(eo Spectancium) ABV, (SOHUM ABK complentia; ) hoc est Omn: 3 a rk
25R + 35V: ulque ad   = 35_ + 2SV: Cunc;; NR, minus ZKX
Plu
169
Rs UES A, T. ) Adeoque Omn. 35V

## Folio 776 — 851387705:0796
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000796.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fio. 169, plus ZV R2 - 4 52 R: HOC est, à A2 R - = S2 R = = ef R. (Nempe Solidi hu-
jus porcio ABK.
Erso, Omnia OZa, SZ a, _c. Scementa; hoc elt cocidem Semicireuli, dem
Dtis ipliS AZO, AZS, _c. Tunc (propter Semicirculum = ZRZ;) EARF.
minus Z A R - = 5=R; IIOC elt, E ARP = = A R + LS R: leu (reltiuris mi-
nulcularum. valoribus,) a RP = = a R F Z S R = = a RP - = e fR: Ouae eltu
Portionis Solidi quadestineo ABBa incumbentis magnicudo.
Adeoque, torum A dr a Tolidum, (PTOPter a = = P, e 5 =O;) clt 5R2=
16RP2 = ERY
Sed e eadem corius Solidi magnitudo, sic Facilius colligitur. Sumpris in A a
diametro, duobus punctis quibulvis equaliter a C Ceniro vrrinque remoris, ut
S Z: manifestum est, cum linus rectos 5Z, Z F, tig. 160. invicem aequales esse;
tum rectas 52, 2 C, Seu Z. 2, F C, Fg. 170. hoc est, areus BA, F A, Scu B A, Ba
Fig. 269. Timul aequales Semiperipheria ABa, seu ra rectae. Adeoque duo limul
rectangula, ZT X L, S, CF X F. Z, aequalia uni xaxSZ. HOC clt, Omnes BV 10.
tius Semicirculi, in respectiras bB; cancundem este acque Omnes BV unius qua-
drantis (hoc elt ipse quadrans A DC. = 3 RP,) in 70 = = P, ducta. HOC cAt,
SRDZ; totius Solidi magnitudo; ut prius.
FIinc etiam; Porrionis Solidi bBr magnicudo colligitur. Nam tocum Solicum
sRPZ; dempio scomento AbB4 = = a R~ - = a R = Ls= R: Relinquie
Scomentum i6 R~ Z = = a RP. + + a 2 R  L52 R; V el (TUmPIO a == = P - a,
a2R = =52 R. Quod iplum in inguilicione prius rOPCrEUM CraL. OuipDC, Sumpto
AK = 7B, (adeoque relticuro a pro e) cric rBB == A K b, cujus magnieudo si-
pra invenia cA + a = R = = s= R; COU L ef R. Fst enim, es, hoc ett a = sin a Y sy
POrrO; Si ex Solido ABB~ = E a RP - + a R F + 52 R: Auseratur Solidum
bBa B; HOC est, bB = a, in Segmenum Semicirculi V B a = Z a R = = 5 R L =SB
lper GF. prOP. F5. quippe quod, in B V A elt an V, idem in BV a olt a h; et s
uirobique idem;) hoc cst (PrOPtEF a = ZP = a, e B = 2 R (v,) in = RP -
Za R = =5 R - 25V; NempC = a RF - = a R ( = a 5 R = = a 5V, Teu l’a R F-
Zea R - = a 5V; Relinguicur Solidi porrio AbB = : a R - 3 a 5 R f : 52 R +
2a5V = =CR + =a5v: Seu summa rectansutorum omnium as Colidum illud
complencium; sumpris v arichmetice proportionalibus.
Auretiam; Si ex Semicylindri portione AK BB; hoc elt, ex Semicirculi Ser-
menio ABV = = C R + 35~ (per B F. prOP. 15. ) in DB = a ducto; hoc Cst, CX
SCaR + 3 a5V = 3 a = R - 3 a5R = = a 5V: auteratur Semicylindri portio ABR
= a2 R -  52 R (per BK, ) reltabic Semieytindri porrio ABB, = : a R=
2a5 R + 3 52 R + Za5V; UE prius.
Similicer de Momenris judicandum erit.
Nempe, Momentum Solidi AbK, respectu T A; idem elt acque Mometira
Omnium A B V Semicirculi Sesmentorum illud complentium respectu iplius (plani
tangentis) Y A: HOc cst, (Dex SL. DTOD. 25.) Omn. Z C R = ZSVR = 353.
seu Omn. Za R - = sR + L SV R 55 553: Sumpris a arichmetice proporciona
libus.
Siine aurem Omn. a Carictmetiee proporcionales ulque ad, a maximum,) 5a:
(DEE PFOB. I. hujus. ) Adeoque Omn. Za R: = a2 R.
Trem, Omnes s(eo spectantes,) Tunc iptum a B0 = v. R, (Per 5O. PrOP. 17.)
Adeoque Omn. = =5 R2. = = = V R3
item, Omnes su, tunc ipsum A bK Solidum ex ductu rectarum, B0 in bR
hoc est (per SI. ) LV= R == V R2 - 352 R. A deoque Omn. L 5V R: = = V R3
TIem, Omm. S3: (PEF S V. prOP. 23.) = Omn: d R. Sun autem Omn. 02
hoc est, quadrata Ordinacim axplicararum, Segmencum ABV complencium, seu
Omn. 52, Tumpris v arictmerice proporeionalibus: Duptum Momenti Segmenit
ABV (Aig. 269.) respectu Aa: HOC est (per 5 V. prOD. 15.) ZV R2  45 2 R - +
352V: Adeoque Omn. 0 R: (= Omn. 53:) L RV R3 3 52 R2 u 3 sEB R: F. D
proprerea Omm. L 1. 5t:  3d  H392 R2-. B3 _ A.
FNBO
2
st

## Folio 777 — 851387705:0797
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000797.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
le
PFOD. XVIII. DeCalculo Centri Cravitatis.
ErGO; Omn. Za R 2 = 35 R2 + 3 5V R = ; 53: HOC est, Momenum Solidi FiB
ABR, respectu F A; Clt, 242 R - 385 = R2 - 3VR3 = 55 = v X.
269
Adeoque, propiex iptius magnicudinem + a R = 2 s  R, (per SH. ) Distancia 270.
Ceneri Bravicatis d T A, P - 80R - 45 R + 45V
20, R f. 80 X - 4 5R+ 450 - p + 4v R + 452
da2 -95
cf
P-408+ 450
Spectu ra, momencum, : a 2 R2 = 18 s R 2 + 3, V R= +  52V R.
Si aurem Solidi hujus ABK momenta, ex respectiris Semicylineri A Z Ba mo-
mentiS auFCTANEIE: Relinquuntur respectira Solidi A B Ba momenca. FIt autem
Semicxlindri hujus magnicudo (ex ductu Semicireuli AD a = = RP, I aB = a,
a P; Centrique graricaris diltantia d TA, vel ra, AC vel C a = R. Adeoque
iplius respectu J A, vel ra, momencum, =a R2~. Onde subductis, Solidi ABK
momencis, modo tracitis,  a = R = - 8s R2 - Z V R3 - 3 5= V R; _ = a2 R -
385 R 2 = 3VR3 = 3s V R: Relinquitur Solidi A bBa momentum respectu TA,
a R2 P - = a R= + 565 R = 3y R3 f 5 52 VR; e relpectu ra  a R 2 2 - = a 
= 38S R2 = ZV R3 - , s= V R: Fujusque propterea Distancia CenEri GraVI-
catis (proprer magnicudinem L a RZ = = a2 R + à s2 R, per B R.) à FA,
R + d~R 4 5 R + 4. 5 V
da  - 9a F 952
4V R = 452 V
OaP = dC)
=R +. +2 R + 45 V
92 X = 9ef id 20,R.
80- 4 s R + 4 52 2
daD - 9a + 95
Si vero eadem solidi ABI momenta, ex respectiris seomenti semiestindri
AKBB, auterantur: habencur respectira Nomenta Solidi, ABB. FR aurem
Tegmenri semicirculi A B V magnitudo = e R F Z5V (Der S F. PrOD. 25.) quae
ducta in bB = a, exhribet maonicudinem segmenti Cylindri AKBB, : C a A
FEa50: Cenrique gravicaris diltancia (urpore eadem quae sexmenci demicirculi
ABY, Per SC. prOB. 5.) a FA, R= 3C R + 35∞;
Sck + 350
Adeoque momentum respectu FA, = ea R = (= = a R = = = a 5 R =) =  a 5VF
= = a 5; respectu 7a, =C a R = F = a 5VR  3 a S; (eadem quae plani A BV mo.
ductis respectivis solidi ABIE momencis, mode
ribIcIS, 2a2 R= = -85 R = = ZV R3 = 35 VR, et 4 a R
585 R= + 3~R
+3 sV R: Relinquicur Solidi ABB, momencum relpectu TA, (hoc cst, Omnia
a5v, sumpris 2 arichmerice proportionalibus,)  a R = = a5 R + 565 R f 3~ p
f325VR F3 S V R = 5 a 53; _ respectu 70, (hoc elt, Omnia a sB, Sumpris V
arichmerice proporrionalibus,) L a R 2 = = a 5 R  = 36s R = ZV R + ; a 5V k
==Sv R + 3a5. Adeoque (propcer magnicudinem, a a R = 3 a sR + a s: se
F3a5V, per SL.) Solidi ABB, distancia Centri Gravicatis d FA, R +
8V R -4 52 R2 F 4 S V R - T2a5
Da R = 1BaS R. F 9s2 R ( 28aS∞
A
4V R 2  4s2 V R = +2 a 5
96 R F. 18aSV
ro,R
8V N- 4s R + 4S2 VR - +2 a 5
92 R - 18a5R + 9 5e R f. 18a52
Fommone Rra Solidum, (.Sive SpectetX uE ABBO, SiVC UL ABB, perinde est;
momentum habet (prOpter a = = P, v = 2 R, 5 =0,) respectu P A, i5 R 24
f3R2; respectu 7a  R D2 - 8 Ra. Centrique Graricatis distaneia a Y A,
est. R + O4 R3
982i d 20 R.
64 R3
22
PorrO; eadem ABV Segmenta plana, dollaun Ab R complencia; leu, Si 1
BCR = 35V, (per S F. prOP. 25.) ab Aa, diltant ipsis bB = q arcubus arithine.
rice proporrionalibus: Adeoque corundem omnium, hoc est ipsius AL K Solidi
Momentum respectu Aa sunt Omn. Z e a R + Z a5~; seu Omn. 1a R = 3a5 H
F Za50: Sumpris a arichmetice proportionalibus.
Sune aurem, Omn. a: = 5 a (Der PrOP. L.) Adeoque Omn. Z a R: = 3 2 P.
Et Omn. a S: hoc e, Omnes s, nilineum a B. complentes, in an coruncem
tEFL

## Folio 778 — 851387705:0798
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000798.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
Fig. 170. ab Aa distantias ductae; Tune eju(dem aBo momentum respectu Aa; hoc cst
(per SP, 8. BCOB. 17.) = e _ + av P. Adeoque Omn. = : aSR: = Z e R
EaV RZ
Fiem, Onn. a 50: Sunt ipsum A b K praecedentis Solidi (ex ductu rectarum B.
in bK respectire) momentum respectu Aa; hoc cl, - Ze R3 + aV R7  = 5VR
2a5 R; per B I. Adeoque Omn. 3 a 5V: = = 3C R3 + 3 a v R + 550 
2a5 R.
Frgo; Omn. = a R = = a5 R F = a 50: HIoc es ipsius AbK Solidi Momentum
re(Dectu Aa; elE, 3C R (= 5a R3 = 35 R3) + 35D R2 + Z a3 R = = a Sl.
Hoc itaque per iptius magnicudinem,  a R = 3 S R (Der D K.) divisum; ex
hibet ejutdem distantiam Cenri eravicacis ab Ag, 3C P + 350 k + +a - 6a5
6a = 65 = 6c,
Hndque Solidi ABK momencum, ex momenro Semieplindri AL Baq Subdu-
ctum; hoc estu ex magnicudine ; a RP (SM. octensa) in Za distantiam Cenrri
Graricatis ab Aa (peT PFOP. 2.) ducta; hoc elt, ex s a RD Tubductum: Relin-
quit Solidi A bBa momencum respectu eju(dem Aa, 3 a R P - se R3 - f5VR 2
5a  F: aS R. Adeoque (proptes magnicudinem : à RP - + a R + 4 s R,
Per SK.) Distancia Ceneri graricatis ab A0, 3 a P = 3C N - 3 5V R- 4 a + 6 a s
6a = 6 a F652 =6a = = 6cf
Idemque Solidi ABK momentum, ex momento Solidi A R BB, subductum;
hoc elt, ex magnicudine Ze a R F Z a 5V (SMI. ostenta) in La (Diltanciam Cen-
tri graritatis ab A ∞) ducta; hoc ett, ex =e a R F L a 5v: Relinquit Momen-
cum Solidi ABB, respectu ejuldem Ae (leu Omn. L a 5: eo spectantia, Tumpris
2 arichmetice proportionalibus,) = se R3 = 85V R = 5 a 3 R + + C a R
2a5 R = 3a250, Teu (PTOpter C = a = 5,) = 5a R = 35 R) = 85VR
= a R = a5 R  = a SR f = a5V. Adeoque (proprer magnicudinem : q p
==aSR  L5E R F = a5V, per S L.) Distancia Ceneri graritaris ab Aa, et
= 3e R3 = 35V R 2 = 2 a R - 6a 5 R + 645 R + 6 a 52
6a R = 12a5R + 65 R (= 6e R) + 12a5V
Tommyne A ra Solidum quod spectar; (sire contideretur ue ABBa, sire VE
ABB, perinde est,) Momenum ejus respectu Aa (prOpter a = = P, V = 2 R, e
= 0,) est  R ~  - s R. P: Dillancia Cenari sravicatis ab Aa, 5 F - 
Denique; Fadtem A BV scomenta plana, Solidum ABK L3. 170. complencia
Cenera sraviraris habent rancundem a plano Ara distancia, quantum ab A a di-
lane corundem Cenera in H8. 169. Forumque omnium sespectu A a f8. 269.
momenta; HOc est, Omn. 3 V R2 = 55R = ESV: (Der SR. V. DEOP. Z5.) TuINE
iptum solidi ABK momentum respectu plani Ar a crecti.
Sunc aurem Omnes v, (sumptis a arictimetice proportionalibus,) Hoc est, 2r-
Cuum arichmetice proporcionalium sinus versi, eo spectantes; idem acque Al KR
blanum; hoc ett, e R, (per SB. DFOP. 17.) Adeoque Omn. ZV R2: = = 0 R3.
Ei, Omnia s, eo spectancia; Dupium Momenti iptius aBo respectu ra; hoc
ells hC R2 + 3 5V _, (per GO. prOP. 27.) Adeoque Omn. - 55 R: = - i e 
=13SV R
tiem, Omn. S. v; sunc Duplum Momenii Solidi A B K praecedencis, (ex ductu
rectarum BV, in B K relpective,) respectu Plani (erecti) Ara; leu Ze R3 = = 5V R
18S RR.
ErsoOmn. 3V_ = 55 R + 35 V: = Z C R - 1 s R = Z a R = = sR3 - 155 R.
Ouod inque est Solidi ABK momencum respectu crecti plani AT a. Adeoque
(propier magnicudinem, i a R = = se R = = e f H, per SK.) Dictancia Ceneri era
vicais d plano A r ey eAt 2 a . = 12 5 R = 25 - 12C R - 25
da - d
def
AludgHC

## Folio 779 — 851387705:0799
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000799.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
PrOPXVIII. DeCalculo Centri Crasitatis
Elludgue Solidi ABK momencum; ex Semieplindri AK Ba momento respe.
FI
ctiro subductum; hoc est (propier magnitudinem  a R P, acque Diltanciam Cen. 169,
iri graricaris a plano A rai eandem quae semicireuli d sua diametro,
R
p Der
SO. PrOP. +5.) ex Z a RS: Relinguic Momenuim Solidi ABBa respectu platii
Ara (erecti) 3aR C R + 16s R =  AR3 + 3sR + 105 R = 3FR
F 1o s) P. Adeoque (propter hujus magnicudinem La R F =  a R + a sE R
= = a RD = 2C fR, per 5. R.) Diltancia Concri gravicaris a plano Ar a,
T2 f R= = 253 T2a R F 125 R~ f 2 5315. 1 L4111. 1
0a F = 9CF
da F 94 f 953   L.b. 13 citL calo119B 3B 3rep Seu MotcB D.
Fdemque Solidi AB K momentum; ex Segmenti Semicxlindri A R b B momento
respectiro subductum; hoc est. (proprer magnicudinem LC a R F Za5V, et diltan-
tiam Ceveri gravicaris a plano As e eandem qx Sesmenci semicireuti AB V, d
diametto A a, 27 R + s v311.
30 R + 3502 P  5 R. proB. 15.) ex a v R + 5a 5 v = = a vX
LSas2R F 3a SV: Relinquir Solidi a bB. momencum respectio ejusdem plani
A Xa (HOC. elt, Omn. Z a s: Tumpris 2 arirhimerice proporrionalibus,) L L CR3
+ 5aVR +. 1853 R F Sa sVL_  Z a R B iq = sR3  L aV R  8aSR F 1853R
F Sa SF V. CAdeoque (propier magnieudinem Z a R = Z a s R L L s2R
YEa5VL = e R = = a5V, Der GY. ). Distancia Ceniri grariraris d plano A Fa,
= T2 CR3 = +2aVR 2 =6a s R = 253R + 6a SV
D0 R = +8a5V
Toriusque Ara Solidi, (sire consideretur ut ABBa sive ut ABB,) Nomen
rum respectu Ara Planii (PEOMTO A = Z (et A  2 R, e s =0,) 5R P; DI
lindri ARPa: Fancundem ulique ponderat respectu A ra plani, acque cancun-
dem inde distar; sive sic in sicu Ara sire iprellisacus PI5, id87 ip s A, A At
replicata demiestindrum complere
Sed d eadem qua jam Fradtuncur Solidi AB B mometiea, smiliier haberi p0.
cerun s Cx Solid A BB ∞ Holmentis, ausexancur Solidi VB a B mertenta relpe
etira creocsd ceor cirrostitu. el a olnu irislu
Fst aurem Solidi BBa B magnicudo, = R,  + E a R. F SS Rr 545U, (ut
SL. ostenlum est;) ejusque Cencri pravicatis, ab, A a distancia 5 ai, AIGuE a F 4
ec PA, quancum inde diltar Centrum, graricacis Sesmenci Seieireuli B l e; ac
que ab Ar a plano, quancum ab Aa diltac iptius B V a plani Cencrum gravicaris.
(elt enim, pec pCOB. 2. et s’hujubi  medib siecta cenula srdvicacio oppotica.
rum balium conjungenre: 1) cH9C, eAt n X T 45 R
3ts = ba + 6oK - 
SR.
ia T. A, R
3AP=6aR + 65R 65  Plavo, A 20,
vA + 25R = 252
te
3aR = 35k f 35B 3RP = 6a R + 65R, = 5V
: Adeoque niOmEHHIIH TespC.
Atu A a, 52 = R = - Z a3 R + + a2 5 R = = a 5V; respectu T_ = a R2 F - = a = R
FhaSR = = 45VR = 3a 5; respectu, Z, Ag 4  R E P = L a R, + = as R 
2a52 R F 5a53; respectu plani A 7 9, 5G A) =3 aV R  6aS= R - = Ea 5 v.
Flaec itaque momenia, momentis respectiris solidi A b B a Subducta, Relinquunt
Solidi ABB momenta respectira: eadem qua prius extibentur.
Eademque Solidi BBa. B momenca, momeniis respectiris ABB addica; extribe.
bunc cadem quae prius momenta Solidi A BBa Fespectira.
Solidoque bBr, eadem applicancur omnia quae de B R. A craduntur: Substienris
ubique a pro an Bprov, ra pro Y A, _ r Y prO A∞. Simmiliuer enm iplis ra,
T, adjacet bBr; aegne DR A, ipliS A L, A a.
EFFFF 2
Exhribuimue
270

## Folio 780 — 851387705:0800
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000800.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap..
Fxhibuimus itaque, in urroque Solido; cum eo seilicet quod ex Figurae Sinuum
verlorum Ara rectis bB, in Bi respectiras Figurx, Sinuum Rectorum rectas,
ductis; tum eo quod ex Figura Arcuum A 2 a rectis bB, in BV, respectivas Se
inicirculi rectas, ductis componitie; Porumque parribus; cum Mashimdines,
cum Momenca respectu planorum aliquot expolicorum, ee Centrorum cravicatis
ab illis planis distantias. EF Propterea, (per prop. 26. Cap. praeced. ) propter ex-
hibitas Centrorum graritaris a Eribus laliem planis, guorum ne duo quidem sunt
invicem parallela, (puta a plano Ar a e duobus altis quae huic in rectis A e, r a
ad rectos angulosintistum) exhibentur ipla graritaris. Cenera. Ouaque de his
dicta lunc; tacile erit ad alia ampliare
Ex quidem, quae de Solidis his craclidimus; eadem ad Proiracta de Coniracta Pa-
cile cransteruntur. Manentibus urique, (ut in proxositione praecedente) A0 = 2R.
adeoque A V = 1, e V a = B: SIEZa major (EIF In Solido PrOIaCtO) vel mi-
nOr (ut in Concracto) quam =P (reliquxqne His parallela similier vel pro-
tractae vel contractae;) Ouories recta BB in caletitm VEHIHHE; pro a Subltit
enda erit alia quantitas, quae ad illam AI in eadem ratione qua elt ra, ad = P
Ouxque de lolittis tiguram Sinuum Rectorum untus quadrantis à Jn tio. F70.
respicientibus, dicta funci; eadem omnid, ad solida, fixuram chordarum seu Tub.
cenlarum tocius Semicirenti, uo AI P HB. T83. accommodanda CFUME: PFOPTCF
chordas Cubrensarum in Cemicireio ubique duplas linuum rectorum arcuum di
midiacorum; adeoque tisuras a sintiss. 170. _ A su, tig. 183. omnino limiles. Oua
de re plura videantur ad prOP. 2 i S. Fis FL, I, ubi hac operacione opus exit.
o 1s
SA L et  Z Sis 3vit eo d e R set 21302SBIIHCS
R P. XEX
3i G11 C. LW BII. 1GlsESEINS IC IH
e 
∞e q Orstq vx B C
1
E empse ienlqus v r A 1ot3 34 132 sr.13l sipiso i
 311i
A 11133C(13I ett
5e1 8 L1SLISid eBs
Oneula Fiisurx Sintum verlotum Arcunnive A Fa insistens, Aciem
habens ra est ad correspondentem Ongulam Semicirculi, ut 3 ad
2: Teu Sesquialtera. ru E d R iBiloc. sSAWBLIF 11I
1e1513.
Fijusque Momentum respecturaeiei lux; OA Sesquitertium Nomenti Vn-
sula relpectira Semicirculo A D a insiltentis, aciem habentis ra re-
spectu aciei sua; Peu ne L ad 3. Cirsinema a ved
Iderque in respectiris Portionibus obtinet: pura, Vngula Ouadrili-
neo bBa A insistens, (aciem habens F a) est Sesquialtera Dnoulx
respectirae, Sectori Ba A insistentis; Cou uto 3 ad 2. Fjusque Mo-
mentum, relpectu aciei lua Faq est Sesquitertium momenti respectiva
Onsulae insistentis Sectori B a Hy vespectu acier r a: seu ut 4, adt 3.
Arque hinc, eadem respectire decerminantur, cum quoad Magnicudi-
nesqe cum quoad momenta, et Centra graricatis, in Ongulis Pigura
Simuum versorum, ejulre porcionibus, insistentibus; acque in illis
quae demicirculo, ejusre porcienibus respectiris insistunt.
Nempe (rerentis Symbalis ur sip propositionibus praecedentibus,) Se-
miguadrantalis Ongulae, Frilinei ATa, aciem habentis r a, Magnitu.
do3R P; MOMCHEM FeSpECtHYO, 3 R3 P respeCtU T A, 5R P; di-
cancia Cenrri scavitatis 2 7 ) 2817
iec
x 8p.Momentum respectu
Aa 3 R D = 2R; relrectu  1, o   = Z s ii diltantia CenErI
Eraritatis ab A ∞, 2∞ 1,26.
lar
n d. p 1, +  4. ld  .
Aciemque habencis La: Magnicisdo 3RZP; momentum respectu ran
R. P; respectu F d, id P3; distantia Ceneri sravitatis d ra  R;
L A,
B.

## Folio 781 — 851387705:0801
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000801.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
PFOP. XIX. a De Calculo Centri Cravitatis.
a T A, i R: Momemum respectu Aa, ZR2 ∞: -2 R; respectu F,, Fiβ. 169,
rsA
33R2 D2 + 2 Ra; distancia Centri Bravitatis ab A a, + ∞ 26R2 1151
∞.
26 p2
VSStE rV. vA: X 2 158 
SPiem ina00 insi
dF7,
23C, dc 115.
Aciemque habentis Aa; Magnieudo sRZ 2 = 2 R3; momentum rOsp. 2 a
5 R2 P 2 = 2 R+; re(B. TA, Z R2 P2 - 2 R2; distantia Contri sravita-
E5 2 7 , 3 R = ∞ 16 3 i 2  A, a  +
4 R
NtGICNCUMFE
espectu YT, ad RP Esi distantia Centri era.
8R27
R2
vicacis ab A ey 1 2 = 9 . =48 p 2 1 d. Y, 1, 6 P + 2g.48
170
5
X
Aciemque habentis Pr; Magnitudo, 5 RP 2 F 2R3: momentum respectu 6.
Tan B R P2 + 2 R; respectu TA, 5 R ~ f 2 R; distancia Ceneri
E
Gravicaris a r a, ZR F gu. + 16 , i Y A, 3 R = x, = B
8R F
vicacis ab A a, 5 P - 5 P. + 48 23 1 d F. 19 5 P +
8R34
3P + 48 R
Onoula (Semiguadrancalem intellise) Ouacrilinei ab els aciem ha C.
bentis a; magnicudo, 3s R F Esh P; momentum respectu r la 2 R
F EShR -5s R; respectu X A, 3F R3 +, 53 R; dictantia Centri er2
45B
453
vitatis a 5 07 13. R  37f R f 9sq i d F A, 3 R = 27sA fosB: AAOIMCnEIMFC. F.
SpectuBB, 8aR2 H V R. F 552R2; respectu A a) 32 R + Z aS R2-
a SVR L vR  5s P; distancia Centri pravicatis a bB, a
80R 5a5R F SR  a5V
SVR 5a5R S R + a5V
Fa saK  1OSR 2syi ab A a, Lairriu sase F (OSA 25 F 11) BCII3 C3L
Aciemque habentis FA; Mapnicudo ZSX2 =L PhX; momencum Fe-
spectu + a 3fR +35 R; respectu F A, SSX3 - ZSBR - 952 R; di-
Ratitia Ceneri eravicatis d r a, 3 R + 24 5B R + 205
2235R = 43 5B : d Y N, B X
24 sh R + 2053( 113 3111.2
t duthocitr
A 225]P = 45oB. Momencum respectu bP, 3a R, + y R. - 5 5 P
eisis
respectu Aa, 8a2R2 - v R + 5 52 R2 + 3 as R + 5 452 R: distanti
Ceneri Braritatis à bB, 5 a ] 8~ R  = 52 R = 3 a 5R - a 52
i ab A a
10aR + 65R + 252
14 - 8vR= - 52 R = 3aSR = a 5V
102K + 65R + 250
C
Aciemque habentis Aa; Maeniendo, = a= R F aSR = V R~; OMENTuM p
respectu ra, 8a2 R + 3a5R 2 = + a svR = V R3 - 5s2 R2; resrectu F A,
3a R + = aSR2 = vR3 F Ss R F + a 5V R; distancia Centri Bravitq
EiS 2 7a, 3R - 2vR2 L4a 5R + s2 R = 2 a 5. V111
422 + 8a5 = 8VR
id FA, 2R +
2v R. = 4 as R. + 5: P + 2asD: MomentuM Fespectu A a, 2 C H - 21R K.
442 + 8a5 - 8V R
+a R + a sRi relvectu bB, - 20R F av R + 3a R; distancia Ceneri stavi
tacis ab A 12CR, 12aVR + 20 +605
342 +645 - 6vR
idbB = 12eR + 6auR + a
3a + 6a5 = 6uR
Aciemque habentis bB; Magnitudo, La2 R f. V R; momencum respectu F.
en du R F V R3 F os R; respectu T A, 3a2 R = v R = 85; di-
EFFFF
stantia
8C

## Folio 782 — 851387705:0802
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000802.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
D.
D
E. 1
in 
DeCalculo Centri Cravitatis. Cap. V.
stantia Ceneri eravitatis a ra, 3R f 22  = sEC p
20X 52
e s c resersr 1ne 4 43+ 8v s
a FA, ZR
4a2 f 8VR P: Momencum respectu A_ - 2e R: + av R + 5a3R:
respectu bB, 2CR F 3a R; distantia Ceneri gravicaris ab Aa,
CFZOIE A_QBTCI
1203 F 21 311 v. IA.
3a 6bX1esd bb,  a F OvX
C CHPIe
Ongulae Trilinei ab acietm haberris ta Maenicudo, ze R F suR;
momentum respectu r a se R3 F = 5oR F35 P; respectu PA, 3C R.
=3s R; distancia Ceteri er abitatis d 7 a, 23R Y
113 245D R  20531
24. sV X = 205
2FA,
3A 2250 R + 45 57; Momentum respectu BbK, 3a 2 R2 = ZV R.
 62R; respectu Aa, 322R as R2 + 2 a 5V R F ZV R3 = 52 R2;
distancia Cenri era vicaris 4 BB H, + 4 - 20V se= V R - sas R + asv
Aon 2a + 20~R -- v = R5a5 R + a 52 d.
HOc R F 25V
LOCR + 25y
Aciemque habenris F A: Maxnicudo 2e R= = : sV R: momentum re-
spectu ra, 3G B BS B; respectu L A, 3CN- su R +sR; distantia C en.
tri eravicaris X FB, 5R+
450
: Momen.
27 eR - 052
elm respectu BBH, 3a R = 30 R3 =sV R2; sespectu Aa, 3 a R2-
245R=-  = a 5vR = 2VR3 + 3V R; distantia Ceneri pravitaris a BBR, ; a
L. 3es R. +. 432 = 6V  V B; ab Aa, 5 a  3as R + asv 6vX vx
6CR 25u
CCR, 25V
Aciemque habentis Ag; Maenitudo, Z a 2 R = a5 R F V R; momentum
respectu TA, 3 a 2 R2 - 2 a5 R2 = + asvR + 3 v R3 + 522 PZ; respectu
7 en 3a R- ZasR +Z0  + 1asu R-  R2; distancia Cencri eravica.
tiS d FA, 3 R. + v  2asv
4a = Bas. + 8uR  a 7 a Z R -
V R - 245V
qa = 8as f82X Momentum
respectu bR, 2CR3 - a V R= + 5a3 R; respectu Aa, = 2C R3 = 2 aV R=
a R - ae sR; diltanria Centri gravicatis aBX, 12eR - 6avR + a
2eR L 120V R f22 - 685
15. 3a - 6a5. f6uR
3a = 6a5 = 62X; ab Aa
Aciemque habentis BbK; Magnitudo, = a R = vR 2; momentum respectu
TA, Se R -3VR - sV R, respectu re a P use H sV R; dictauria Ceneri
Gravitatis d TA, 3R-
AuA9, 2C R = av R + sa R; selvectu bK, = 20 R +; a R; distantia
si
20 X = 6avR + ~; 2 bK
32 - 6uk
72CX2 + 24
3a2- 60R
Ongulae Frilinei bB r, aciem habentis YA; Magnieudo, Z0. R - 25 P
SBR; momentum resrectu P A, 1s a R3 - 65 R3 + ZSBR + 353R,
resrectu Fa, ZeR)  3sR3 -353P; distantia Ceneri gravitaris d TA,
245B R. H205
24sBRR F 2053
33 R + 225aR 2255 R H 4 5of d ruy 1 R 225a R - 2255 R + 455B: Homen-
ostum respectur bB, 3a 2 R7 = Z B R3 + SB R; respectu FY, 3a 2 R2 -
12as_E F  a sh R A Zb R. EBR; distantia Ceneri sravicaris a bB,
P1I1CSC
F4=
D
et.

## Folio 783 — 851387705:0803
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000803.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
e
PFOD XIX. De Calculo Centri Cravitaris.
 ZOBP B R = Gas A. F asB tpL, HOhR-h R- sas R. 1 asto 
104R 105R f 25B 1a 177 2 F 70a R = 105 R + 251 eii
FiB. 169.
Aciemque habentis ra; Magnicudo, 2a R 2 = 2 5 R, = = 5BR; MOEnTuM D.
respectu Y A, 3a. = 35R = 35 R; respectu 2a, 3a  = 35 R. -
45h
Esb R + SsR; dictantia Ceneri eravicatis a TA, 3 R F 2 , o R- 275 R - 95Bi ad
45B2
Tan 3 R = 27 a k = 27 5 R = 95h: Momentum re spectu bB, Sr P - 2b ∞ H.
= 5B2 R2; respeCtu TF, 3a 2 R2 - 3a 5 R 2 -  a 5B R F Z B R3 + sB= R2;
distancia Ceneri sravitatis abB, : a - f 3 a s R + a sB - 6B R - b2 R, a T
a.-
3a5 R + a 5B - 6hR 2 - B2 R
60R + 65R = 25B
6a R - 65R = 25B
Aciemque habentis F F; Magnitudo, 102R - a 5 R L B R=; MOMENTM H.
respeCtU 24, 3a =R= L8 a5 R 2 = 2 a SBR + 2B R3 + dh2 R; respectu
TA, 5a2R2 = Z asR f EB R3 + =asB R = 5hE R; Distantia CenErI
Pravicatis 2 20, 1 2. +
B.R = 205B
qu. = Bas t 8b e id F A, q R
B. R, 2a5B
:Momen I.
tum respectu BB, 2 a R 3 - 25R3 =aB R 2- +3 a3 R; respectu TF, = 2aR
F 25 R3 = 2a BR  f 3a3R = a25 R; distantia Centri gravicatis d bB,
F2aR2 - +25R2 6aBR + a
=T2aR2 fT25R2 L F2aBR f20-6825,
302- 605. f 6BR
Aciemque habentis bB; Magnituco, 502R =B R =; MOmentM FelBC. H.
Atu Ta, 3a2R3 = = BR3 = shE R2; relpectu FA, 3~2 R2 - 3B R +
Sh R2; distaucia Ceneri Bravicatis 2 r a, 3R 4 a2 = 8BR
32
EA,
a: = 8BX: Momentum respectu Z =, 2a R= - 25 R3 = ab R + Y
3R+.
5aR; relvectu bB, = 2 a R f 25 R3 F 5a3 x; distantia Centri gravi-
TariS a F ∞ Z2a= +25 R2 6aBR + a
30 - 6bR
3a - 6bR
Onpulae Parallelogrammi bB a. B, aciem habentis r a; Magnieudo, L a B:
distantia Centri sraritatis d 70, Zh; d FA, 2 R = ZB: momentum re-
F.
spectu ro, 3ab3; relrectu TA, ab2 R - 5 ab:: Distanta C OMErI pr2 Y
vicatis ab Aa, SCubB, Ea; momentum respectu A a, vel bB, = 2p
Aciemque habentis TA; Magnicudo, 2a b R = Z 2B = = 2 a R = + a22
momentum respectu YA, Sa R3 - 5a23; respectura ab R - ; aB3;
16R- 2V
distantia Ceneri eravicatis d FM (2 P - , 3 i a 70, 2 R- 26R-
12R - 3y2: MO-
mentum respectu Aa, seu Be, a’ BR - ; a b; distantia Ceneri eravi-
tatIS, ab Aa, (CuBB, 34.
aciemque habentis A a; Magnicudo, : a B; distantia Ceneri gravicacis L.
an 2B; dFA, 2R - = B; tomencum respectu Ta, + a2 B2; respectu
A, ab P = = a B.: Distancia Ceneri gravitaris a BB, 5 a; ab A e 3ai M
momentum relpecta bB, 5a3h; respectu A∞, Z a 3B.
Aciemque habentis bB; Magnicudo, =a B; distaritia Ceneri Braviratis a
0,Zb; a FA, 2 R - Eb; momentum respectu ra + a 2B2; respectU FA,
ah2 R = Z a = B2: Distantia Ceneri gravitatis ab Ae, 54; d BB, 34; NO. N
mencum respectu A e 5a b; respectu bB, 3 a3b
Ladem.
0.

## Folio 784 — 851387705:0804
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000804.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
F18.
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fademque ab Snoulis bBa B, ad Vngulas bK A B, transserentur, substi-
269,
tutis ubiguev Prob, _T A PrOra, e vice verta.
230. Onoulae SeementibBA, aciem habentis r a; Magnirudo, 2f P + + SB R
=ZaB2; MOmeNTUM respeCtUT a, 3fR 3 = ZSBR 2 - 353R = = a b3; rC.
sDectu FA, 3 f R3 = aB =R + 353 R F 3ab3; respectu bB, 3f R3 - 3aB R
ESBR2 - 353 R = = sB R + SaB3; dICtANEIa CCHErI GTaVITaTIS d 7 a,
30f R3 F 185BR - 45 R +2 ab
27R L95BR- 18aB  id FA
305R F 18SBR- 45R -- +2aB
272 = 9sh R - 18ab
24f (23 - 36ab P2 + 4a5 R + 12 ab. d BB,
27(R = 95tR- 18aB
24fR3 - 36ab R F 4 5 R F +2aB. N-
27(X f 95B R- 28aB.
mentum respectu BB, = 3a= R2 F 2 R3 = 55= R = = 3 a = V R F + a252;
respectu Aa, = 3a 2R2 + Zas R E = VR3 - 5 s2 R2 = = a 5~R + 3a 2 V R
+ a s; diltancia Ceneri eravicatis d BB, a f 80 . - 5 as s + s s. + asu 
10c R2 + 8avR 250 R + 4252
2b A a, ; a - 80R 3 -5 a 5 R = = s2 R 2 = a 5VR
= 20cR  8 a V R = 25V R -+ AaS
E. Aciemque habentis FA; Maenitudo, - 30 R + av R + 4 5~ R - ; a 52;
Momentum respectu T A, = 8C R3 = 3, a V R 2 + =5V R2 - 3 a 5?R - 3 5 R
= = a 5=V; respectu 7a = ZC R3 = Z a V R 2 - = a 52 R F 353 R3 + 3a522;
respectu bB, Ses3 = EaVR = 2SVR = , as R - 25 R = sasv; distAHEIa C CN-
tri pravitatis d TA, = 30C R = 48av R + 2850 L - 3425 R - 45. P - 12a5V
a +a
=270 R + 36 avR F 950R - +8aS2
24 e PP = 24 aV R = = 12 a 52 R f 4 53 R L F2 a 52V
= 27 e R2 = 36 a V R + 95VR = 28a5 2
30eR - 3 av R + 2752R2 - +2aSR = 55R = 6aSV MOMENEI respectu
=27C N = 36avR = O5u R = +8as
bB, - 3a 2 R 2 F ~ R3 - 8s= R = + Za = V R = = a 2 52; respectU A 0, - 8a R
73asR2 = V R 3 + 3s R= + =a sVR + Za 2 V P = =a s2; distantia Cen-
s
8VR3 = s2 R2 = 3 a 5 R = = a 5V
tri cravicaris d bB, 5a +.
SeR = 8avR = 250R = 425
a - 8vR 3 - 52 R = - 3 a 5R 7 = a 5VR
6cR2 F8aV R + 25VR = 4a5
3 ab A a,
Aciemque habentis B B; Magnitudo, de R + 2 5VR - = aS2; momentum
retrectu ra, ZCR3 + = a VR2 F 35~R 2 - Z aSR + 555 R + 325v;
resPectu FA, SC R 3 = = aV R= + 25VR2 - 3 4 52 R - 85 R = 3a52V;
relrectu bB, - SC R + 3a2 X + sas P = 1ss P = sas v; distantia Ccrrpi
Bravitaris a 20, 24 c R3 = 3a0 R + 27 52R - 24 a 5 R + 5 5 R + 6 as2 n
27CR= + 2750R = +8a52
a FA, 30CR. = 3 av R2. + 2750 R2 = 22a52 R - 55 R = 64 52 v
27C R 2 = 275VR - 1845
27e R 2 + 275R = 18a5
: Nomentum
resoectube, da2 R F v R3 = Bs R = ; a 52; relPeCtu A o, 3 a 2 R. -
yR3 + 3s R2 - 3 a5 R + 3 a 50 R = 4 a2 s; distantia Ceneri Bravi
Catjos d BB, 1 a + 8v R. - 7 5 R + 3asR = a5vR. ab A a 3 a
 6c R2. + 65VR = 4a 5 2
1 80R3 -75 R F 3aS R2 = 3 asuR
SeR2 + 65v R = 4a52
a
1.
F.
ACICM.

## Folio 785 — 851387705:0805
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000805.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
D
PEOD.XIX. DeCalculo Centri Cravitatis.
Aciemque habentis Aa; Magnitudo, = = a = R + a5 R = ~ R 2 + = a2v:
momentum relpectuZ a, = 3a R  + Za5 R2 = V R3 = 352 R2 = = a 5V R
+Z22 V R + 3 a2 52; respectu PA, = 3a R2 + 3a5 R 2 = V k 3 +352P2
++a52 R = Za= VR = 2 a 52; dictantia Ccurri sravitatis d Xa, ZR -
2 a 5 V R + a 2 V R = 2 V R3 + s R = = 24 25
=4 a2 R = 8a5 R = 80R - ( 4 a 2V
2 a 5 VR + a 2 VR = 2 V R3 + 5 R 2 = 2a
=+ a2 R = 8a5R = 8V R= + 4a =v
2050 + a VR 2VR L SR2- 2as
 d FA, 3R +
a bB, 3 X = B -
=qa P F Bas R - 8v R f 4aV; MOmentuM respectu BB, 3a R -
l18
1697
vR3 + 85R =3a5 R F 3 a5VR = + a2 S2: Momentum respectu bB, M.
=2C R = aV  = 5a R = 5aV; respeCtUAa, 2CR = 2aVR - a R + a 5P f
3a3v; distancia Ceneri gravitatis a BB, 120 R + 6avte - a R + a v
Z2CR3 = +24V R = 2a R + 6a 5R f 283V
=3 a R F CaSR = OVR  3aV
3a. X + 6asR 6vR + 3 aei 2b Aa,
Aciemque habentis BB; Magnitudo, - 1 a2 R L vR2 + 3 a V; momentum I.
respectu ra = 50 R= + V R3 = 5s R2 = Z a V R + Za5; respectu Y A,
=3aR2 F vR3 = 35 RZ = = a V R - = a2 s; diltantia Centri gra-
vieatis d ra, 3X - = ~ R = a 2 V R -- 52 R2 = 2 a
20R + a vR - 5 P - 2a s
4a R + 80 R2 + 4a2V
; a T A, 3s
=4a R + 8uR f 4ae y id bB,   - B - 20 k + a vR - 5 p - 2a 5
42 R + 80X + 4a2i mO
mentum respectu bB, Sa = R = f ~R3 -8s = R = + a = sE: Momentum M.
aev; distancia Ceneri Bravitatis ab Aa, = 1 2e f. + 6a0k. - a P + av
=2 CR3 = 2 a 3 R + 2 a3 V
3a R F 60  + 3a0
3a + 60 + 340 id be.
P A R S S F CV N D A.
Fademgne in Vneulis Fisuram Sinnum Rectorum, ejulque partes spe. P
ctantibus; determinantur.
Nempe (retentis rmbolis ut prius;)
Ongula ari aciem habentis ra, Masnicudo SR. P: momentum re X
spectu ra, 3 R2; distauLiA CCHEri BTaVICaLIS D F0, 32 N
aP; momentum respectu PZ, vel Aa, = R2 P.
9~ i d F2, vel Aan
5
Aciemque habentis FF, vel Aa; Maenicudo, E R2 P; momeneumre-
N
spectuFa == R2P2: distantia Ceneri graritatis d 7a, 5P: Nomentum O
resrectu Aciei TuX, =RED2= 4 R; resrectu extremi oppositi, 4 R1;
distancia Ceneri sravicatis ab acie (ua, L P - 8 P.
TremO,
3
i 2b oppotico ex
Oneulae as i aciem habentisra; Magnicuclo, i. R2 P; monentum re. V.
spectu ro, 3 R; distantia Ceneri pravicatis d ra, 32s
C86BC
respectu
170.

## Folio 786 — 851387705:0806
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000806.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
21C. 169, resrectu du no R. P, - 5 R=; respectu A a Eo R= P + S R; distantia
.
1.
d
Ceneri sravitatis a 5 u, 3P -
p; ab A0, 5 X f 2
Aciemque habentis sa; Magnitudo, EZ R2 - R3; momentum respectu
Aa 2 R+ = = R3 P; relrectu s un s R2 D2 - 2 R+; distancia Centri Bra-
vitatis ab A 0
BR2 = R 4
P = 4 k
 = 32 R2
4P = 26X: Momentum respecturam
ris R = P: = 5 R; distantia Ceneri Gravitatis d ra, -. P +5R =
P2 --76R2
22F- 128R
Aciemque habentis Aa; masnicudo, R.; momentum respectu S u, 2 R
==R3P; reSPeCtU Aa Z R3P =2 Ra: distantia CenEri graVItatIS d Su
2R = + P; ab A a 3~ = 2 R: MOMENEI LESpeCtU F on 1B R = P = = 5 R;
distantia Ceneri gravitatis a r a, sR +
226R
Ongulx aBo, aciem habentis ra; Magnicuclo, LC R2 F = 5VR; Momen-
cum respectu ra, 502 R2 + 55 v R; distantia Centri cravitatis
22
27g +2R + 45 ~: MOmeNEU respectu BO, SCFR; RCSPECtU A a,
dCR + 95V
ha  = = a 5R = 55= R + + a 5VR =  0 R + + a 5VR; distantia CCI-
R
R F 245V
2ek + 250
Aciemque habentis BV; Masnitudo, e R; MOMENEuM resPeCtU Aa
20 R = as R; resPeCtUBV, a N = 2vk; distantia Ceneri gravitatis
LVR as
2b Aa
-2c
Rantia Centri Gravitatis a r0, 5f.
Aciemque habencis A∞.; Masnituco, = cR = F aVR; MOMeNEUM RC
spectu Bo, 2V R3 = asR; relpectu Aa, = a R + 225R + a v R - 20R;
vK-asR
n
ek F ar; 2b Aa a -= 20 R = asR
distantia Ceneri gravitatis d Pu, -
ek + aq
NO.
mentum respectu ra, 58R F 3a50 R; distantia Centri oravitatis
d7 = R + 2452
-8 cR + 8a2
Adeoque in expositis Ongulis, cum quae figuram Sinuum Nerlorum,
cum quae Rguram Sinuum Rectorum, carumque partes spectant; de-
terminarimus cum Magnicudines et Momenta, cum et ipta StaVICALIS
Centra.
Ouxque de Ongulis dicta sunc, ad tolida conversione (perfecta vel
imperfecta) descripta, Facile cransterentur.
Ouodque in exposris factum est, ad alias portiones facile ampliabitur.
Ouxeque de Ongulis, Solidisque conversione factis, ex his Eguris oriun-
dis tradluntur; ad ea quae ex Prorractis Contractilre figuris similiter
oriuntur Facile accommocantur.
Et quxe de Solidis siguram Sinuum rectorum unius quadrantis cractun-
tur; eadem ad Solida Rouram Chordarum lemicirculi similirer respi-
cientia, transferentur.
ictriburis, (ut ad propotitiones praecedentes,) cum Semicirculo AD a, in
Sectores seu Priangula; cum Lirura Sinuum Vertorum A xa, in Ouadxili.
nea seu Parallelosramma, Sectoribus illis seu Friangulis correspondentia: Intet
ligatur, utrique intistere, Semiquadrantalis Ungula, aciem habens ra.
Ouarum quidem Ongularum, ea quae vel cori semicirculo, vel iplius sectori ut
Ba A, insictic; componi intellisacur ex intinicis nunero Ongulis teu Pyramidulis,
MIMILIS
d
O.
d
2.

## Folio 787 — 851387705:0807
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000807.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
1N 1
Prop. mm idua.
minueis illis Friangulis (ut aB, seu Y a P, _c.) incumbencibus: quarum commu. FiB. 168
nis vercex sic a punctum; Balelque super Priageulorum illorum basibus (ut X P, 270.
ec.) crectae alricudines habeant iptis V’a respectiris aequales
Cuxeque Prilineo sire cori, sire ipsius Portioni, ut bBa A, (quae Sectori B a R
respondet) insiltir; ex coridem Ongulis, qua respectiris Paralleloprammis, B
seu ySEP, Scc. incumbunt; acies habentibus in ra recta continue javentes, alci
cudines vero super ipsis y bp parallelogrammorum basibus (pro lemiquadranta li
ungulae racione) ipsis V a (respectire) carundem d ra distantiis aquales. Oud
quidem Ongulae, sune Cunei, seu Prismata basibus criangularibus (ipsis S Y, Ep
insistentibus) interjecta.
Sunt aurem haec Minuca Prismata, (urpore Semiguactrantales Ongule, paralle
Joorammorum quibus incumbune, momenris respectu ra, aquales, seu P’aralle lexi
pedorum dimidia;) Pyramidularum illarum (respectiris Priangulis incumben-
cium, horumque momentis respectiris aequalium, ) cum singula lingulorum, cuim
omnia omnium, Selguialtera, (per S C. PrOP. 17.) Seu uc 3 ad 2. (de quidem Py-
ramis illa, elt ad Parallelexivedum Cuver eadem bale, aque alcum, ut L ad 3; Cu-
neus vero, ut T ad 2: Eltque Z ad L, uE Z ad 2.
lise, perpendiculare planum Cuper ra erectum,) urpore eadem quae est balium
Friangularium quibus interjacer (Der prOP. 5. hujus;) elt ad distanciam inde
Cencei graritatis Pyramidis correspondentis (aeque altx) ut 3 ad 2, (Der PrOP. 6.
hujus.) HIoc CAt, ut 8 ad 0.
ErSO; (prOPTer ZX 3 = Z) Momencum Vneulae seu Prismatis Paralle logrammo,
ut BB, incumbentis; ad momentum correspondentis noulx seu Prramidis incum-
benris Triangulo, ut aB; (respectu ejusdem ra;) elt ut 4 ad 3, seu Selguiter.
rium. Et Sc ubique. 
FIE icaque illins, qua ex Prismaris componitur, Ungulx, sive toui A ra Pri-
lineo, sire ipsius Portionis ut BBa A vel bBS d, vel bBr, _c. infiltentis mo-
mentum; ad illius, quae ex Pyramidulis componitur, Ingula, sive cori Semicir-
culo, sire iptius correspondenti sectori, Ba A, vel B∞D, rel segmento a B a ih.
Tiltentis momentum; ut 4 ad 2, seu Selgnitertium.
Engula, (actem HaBCnUS a) momentum respectu ra (urpore illius Selquiter-
GentrI Graricatis d Ta, 18 R: Adeoque, d̀ PA, S R; ejusque momentum respe
ctu T A,
Eademque momenta ex Ongulxe tori Parallelogrammo A La insistentis mo-
mencis subducta, exhibent (mutatis mutandis) momenta Onsula aciem, habentis
TA: Nempe momentum ua os LataHICHSLA  L du (BODTOr A.
= 2R, e ra vel T A = = P) aMacHLIS Ta; respectu aciei suX, elt FA a0
XZ AAXTA =Z R. P. Onde suhductum momentum Ongulae Priliner ATa re.
spectu ra; relinquic momencum Ongulae Trilinei AX F, ungulam hrabenris: r a.
respectu ra; hoc est Ongula Prilinei Ara (ipli A= P similis ec aequalis, in
verso siu) aciem habeneis TA, respectu iplius PA, iS R3P; adeoque (propier
magnitudinem SR3 P, ver SC. prop. 17.) Diltancia Ceneri praricaris ab acie
rua 23 R; atque ab exITeO OppOlIcO, i R; et, respectu hujus, momentum,
R3
mencitta
ESF AUTCHA EOH SEMICICIO MMMIenII Ongulae, aciem habentis ra momentum
respectu ra; 13X3∞; (per S T. prOP. 76.) Adeoque Prilinco Ar a inlistentis
Eium) 13 R 3~. FC (proplet Magnicud 8 X = P, per SC. prOP. 17. ) Diltancia
lrem; Onculae Sectoris B a A, aciem habencis ra, momentum respectu r à (per
5W. PrOD. 26.) ett 8
R3 + 3 S R3 = 352
 2d 1 a
Ta (propter masulcucem 3 a R F 35
F 28sB R = 4.
A + 95B
85hX
respectu ra, mo-
R3 +
est
e
a 5VA = ZfR? + + sB R, Det
31
in S R. Frso Ungule quadrilinei correspondentis DBa
urxore istius Sesquiterrium) 3f
55hVR = 6a R3 F 155R3 ==sV R, 3SR: Cenerique pravicaris distantia
5
R + 95
5
gue, d TA
5852
EsuI Gue
B
vit
5V. 610B. 17.)3
85BR = 45B2
27fR + 95b

## Folio 788 — 851387705:0808
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000808.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
DeCalculo Contri Gravitatis. Cap. V.
ejusque respectu PA, momiencum, 3f R. F 3SBR 2 =  SH R = 3 fR3 f 362. R.
Edetique 3f R3. F 3 B R, est momencum Ongula eidem bB a. R insiltenris;
aciem habeneis T A, relpectu ra (propter alticudines ex distantias ubique reci-
Procatas,) et (propter maxnicudinem Zf R2 = = sBR, per 8D. prop. 27. ) D
Pancia Contri gravitaris a 7 ay
24 fR= Y 453 E 245BR f 28531
cl1B ct   e quil 4S  Sit
FA, 96 fi R = 18 5 bR = 45
K
=1 R.
225FR = 455B
245B R +, 20 5 al1 xjusque respectu
esla 45 f. R t 95B1 C B E1EI B25 fi R = 45 8Biii
F A, momencum, 2E f R 3 = = sB R 2 = = 53 R.
 tersi
FsL autem, Semiguacrantalis Onoulae Eori A aB K quadrilineo insistentis aciem
habentis ra, (DTODECK Aa = 2 R, ee AK = aB = a) momentum relpectu ra,
(aut criam, aciem habenES T A, momencum respectu T A,) 3 a R3. Onde, li
demactir momentum Ongulae quadrilinei bB a A, modo inventum, 3 f R3 f L SB R
=553 X -= 3a R3 F 165 R3 = ZsV R = SR; reLINQUICHY MOENEII, respectu
ra Ongula insistentis Frilineo reliquo ABR, aciem habentis r e S a R3 L 1L5 R.
F352 R2 = 9s R = Z C R3 + Z 5V R  = 3 53 R. AdcOque (PrOPICC magni.
indinem, 2C R= = E 5VR, Dex S F. PFOP. F7.) Diltantia Cenri cravicaris a
oii 660 R 2 = 18, 52 R (t 4 5
BR 24
R L 20
Iu 225 C R + 45 5V 1 acque d Y A,
5 Tdeoques ejusdem AB H Ingula aciem habentis ra
i 245, C R  A5, S,V 0. l3 ei EOCII SeICB EEO B
Eliste
momentum respectu T, A, B eR 2 -- 5 S R19 1t. it 2), C i 1 
Tdemqne ZC R3 =35 R, elt momentum Ongulae eidem A b K intiltentis, aciem
habentis PA, respectu ra; (propter alvicudinos. de ditantias ubique reciproca-
caS:) Adeoque (proprer magnituidiem Z es RB  ZISV R, per S R. prOB. F7.) Concri
V
12(1 2A. B R Z - 4.53 et 5:
EBIVISSIVDIE NI
1.850R 453 2t
8. A onfr + um Fm lest ; RIgue, d L A 5, L1131
( )C R, , dSV, p 9BA C. D2. 1C51  B 1.
2
1850 4 52B
33 27 ek912
 1111
30a pti 1B so R + 45: Ideoque ejusden, respectu X. B, momeniune de p.
1r Sd B etR. 95∞.
12R2 f235 p DIV(3.A d A P s CspontiA: _ 8 sn si esC iVE EINS
Similicex ostendecur; Semiquadpantalio Ingulae Frilineo bBr, aciem habenitis
TA, momencum respectu aciet (ua I A, t a R = 165 R3 = ZSBR2 +
dexespectu ro, 3 a R3 - 35 R3 - 3 S R: Cenirique gravicatis ditanciam a L A eAC
23 X + 1
4 5b R + 205
acque d Fa, 153 P-
EF ∞2 225 4 R - 2255 R + 45 5B
24sBR = 2053
 225 a R - 2255 R.  45SB
Aciemque habenris ra, MOmenEuM respectu P A, 3 a R 3 -Z 5R3 = 35 R; e
respectu, Ho, aejer suae, 3 a R 3s R3 = SBR +5 5 R: Cenrique erarica
ris distariciam. a F A, B R +
4 5B e 1. teves t3
4 SB
-
27 a  = 275 R = 9 sb
_ a 24, 18 R
Nam, eodem plane modo rectae ra adjacer prilineum
279R = 275 R -= 95Bi1.
BBF acque Lhuic simile ec aequa le) Frilincum bK A rectae AF: adeoque idem
ralet eu h, in illo, atque an 2, in hoc
Deinde (PeE prOP. LR. hujus S F.) E ex, Ongulae quadrilinei BBa A, aciem
habeheis ra momenro relpectu r à auseraulr Ongulae Parallelogrammi bBa B.
aelem Matsetiris ra hidinemreum respectu ra; relinguicur Unsula legmenio DB A
insistentis aesem hiabemis xa, momeneum respectur r a.  c
IIa aurem Paralletoerammi BBa B Ongula, aciem habentis ra, est Prisma,
oppositarum balium eriangularium, rectis BB, aB intiltentium: Cujus itaque Cen
eri grabitatis distanca d Ta (quippe eadem qua balium criangularium, per prop. 5.
trujus;) elt Z a V = Zh; adeOque dT A, 2R - Zh; QUae, ducta in MaGHIE-
dinem. 16 . b (pex SF. BioP. 17.) extibene. ejuldem momentum respectu aeici
p l11
SU

## Folio 789 — 851387705:0809
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000809.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
PFOP. XIX. DeCalculo Centri Cravitaris.
Tux ray 3 a b3 = 3 a R3 = 4 a V R + 2 a. V R -  3 a V = 3, a R3 = 24. 5, R ∞ 5 aV; FiB. 169.
=8aR3 = 3 aVR 2= 3a S R = 3a 5V: Ft respectu PA, qh R = 5 a b2- (Duo d 270.
etiam erie momentum, respectu ra, aciem habentis T A. ) L1M
IIlud icaque (Ungula bBa B, aciem habeneis ra momentum respectu ra
ex Momenio Ongula quacrilinei bBa A, aciem item habentis ran respectu ra
(nemPO Sf R + Z SBR 2 =553 R = Ea R3 + 15 5 R3 = 25V R Z  353 R, per
SC.) subductum: selinquit = a R 3 + 85 R3 + 3a V R Z L 35V R + 3B 5 R
== S R = = a s= V = 8f R3 = Zs B R 2 = 3 s R -- 3 a B, monencum OnSuIX, FrI
linei bBA, aciem habencis ra respectu ra; ejusque (proprer magnicudinem,
=3 a R = + E5 R= + aV R = = 5V R + 5a 52 = 3 f R =  =5BR = Z aB per 5 F.
PEOV. 17. )Distancia Ceneri Graritatis a Ta, erie (R L ccsvet os
66cR + 48 a D X2 L LB5VR2 + 4B a S R = 4 53 p = +2 a f2 2
45 CR + 36 av R - 950R + 18 a S
30fR = 18 sB R - 4 5 R - 12 a B.
275R = 95BR = +8 a B i d YA
a bB, 30]R. + 18sB R. - 45. R - 12ab
27fR + 95hR - 18ab
24F = 36 ab R + q B3 R L 22 a B
B-
27fR 2 = 95hR = +8 aB
24]R  36a B R + 4. s. R + 12 ab
27fR + 9 shR - 28, aB
240 R. + 3a0 R + 2750R2 = 24 a 5 R + 5 s R + 6a s V: Adeoque c.
45 et R = = 45s R = + 36 aV R - 9 5V R = 18 a 52 110
juldem respectu TA momencum, 3f R3= a b. R = 5s R + =a B = - 3C R.
F 3a2 R 5as R + 3S) R = 5aS=V; _ respectu bB, Ef R3 = 3 a b R
= = SB R =  35 R S B2R  Z a B3 H 30R3 + , a 2 R 2 +2 5V R 2 11IPZ I 5. H
 365 R + 5a 532, ~11. 55I3BCsis  C at  El ne
AEque ex illo porro momiento Dneulae ipsi BB A intistentis, aciem habentis
ra respectu iplius ra; li Tubducatur Prismatis eidem bB A inliltentis, alcicudi-
nem habentis Va = p, momentum respectu iplius Ta; hoc elt, ipsius bB A,
respectu ejusdem ram momientum in B = 2R= v, ductum; hoc et (per 8Y
DEOD. 17.) = ECR = + 4VR - = 5V R + = a 5= In B = 2 R = v BOC, est
EcBR Y + a VB R  4 sv B R + = a s 2 b = = Z e R3 + ZC V A3 + 2 s 5 R
2 sR = Z a sv: Relinguicur Onsula eidem BB A insistencis, aciem habentis
DB momencum respectu Z a, Z a R3 = Zs R3 + 1 AV R. + 35V R = 3a SR ( 8 S R
+5a s v. Ageoque (propter MaB. 3C R 2 + 3 50 R - 3 a 5, per 5l. pr. 17.) Dictantia
Cencri pravicalis d r a, 24 E.  F 3 av p. + 27 50  24 as) R. + 5 5 R + 648
EtO l  eRE+ 275~ R0 L1LB B S
orids
30CR = 3 av R2 + 27 50.R2 = 22 a S R -= 1 A R = 6a5 2, 2t
de d FA, 
27eR f 3750 R = 18 aS A A tL. in, atIuC
270 R3.  27 50 R = 18 a s curtq suvii Ejutque mo-
sissiole
meneI respectu TA, 3CR3 = EaV R2 + 3 5V R = 3 a 5R - 13 5 R - 7aS2V:
Ec respectu BB, = sC R f 3aV R + 3 a5 R = ib s R   a 5 v
Idemque SC R = + aV R + 3 5V R haS R B5 R = Ea s v, est momeneum
respectu bB, Ongulae cidem bB A insistentis aciem habenris L’A, (propier aliicudi-
nes e diltancias ubique reciprocatas:) Adeoque (proprer magnicudinem; = ZC R
= av R F = 5VR = = a 52, per SF. PrOP. 117.) Diltancia Generi Gravicatis
1pe st c
= 270R + 36 av R + 95u R = 18 4 5
on: Adeo.
que 2 F4, = 30C R3 + 4B av R + 185V R = 24 a5 R 45 R - 12 a 5t V
270R 2 + 36aV R + 95VR - +845
eit
R3 + 24 av R = 12 a S R + 4. 5 R + (2a 5 V. pjusque respecti
27CR + 36a0 R + 9sv R -= 1845
688653

## Folio 790 — 851387705:0810
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000810.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
TA momentum, = 50 R3 + 5 aV R2 = 3 5V R2 = 3 a S. R - 3 s R -  a 5V; _ rC
spectu Ta = ZCR3 = Z aV R = - Z a s R = y 5 R + Z a s v.
Illud autem, ejusdem Onoulx, crilineo bB A insistentis aciem habentis Y A,
momentum, respectu ipsius TA, ex momento Ongulae quadrilineo bBa A insilten-
tis aelem icem habencis T A, respectu ejusdem Y A, Tubduetum; Hoc clt, ex
SFR3 = ZsBR 2 = 3 5 R = 3 a R3 =35 R3 = Z5V R 2 = 3 sR, (Der SC.) re
linquie Ongulae parallelogrammo BBa B insistenris, aciem habentis Y A, momen.
cum respectu T A, 3a R3 = 3 a V R = = 3 a 5 R = 3 a S V = 3 a R3 = = a V.
Idem habetur, si ex Ongula paralleloprammi R Ba A, aciem habentis Y A,
momento respectu TA, 3 a R3; Subducacur paralleloorammi RBB A, (aciem
item habentis Y A,) momentum respectu TA, Z a v: Cuippe quod restat, elt
Ongula Parallelosrammi bBa B, aciem habenris T A, momencum respectu F A,
a R 2 = = aV; UE PriuS.
Adeoque, (propiex magnicudinem, 2 ab R = = a H = 2 a R2 - = a V2, Ber
SF. PrOP. 17.), Distantia Centri Braricatis d F A, 26 R3 = 22
X
16R3 = 2V 8R3 - 6V R + 22
12 R2 - 3V
T2 R2 - 3 221 acque d 7 ay
22 R= = 3V; ejuque respectu ra momentum,
3a R3 = a v R F 5 a v = 3 a R3 - 3 a v R + 5 a 5 R = ; a 5 v = a B R - = a B;
ut eriam prius ostentum est.
Rut eriam ejusdem Ongulae Parallelogrammo bB a B intiltentis, aciem habentis
Ta, maxnicudo, momenta, et Cencrum praricaris, per se tacile decerminantur;
est utique Polidum ex Prismate, eique suxer impolico Cuneo constante; cidem
BBaB super eminencibus: Ouorum ueriusque separarim magnicudines, e Centra
pravicaris, adeoque et momenta, lacile dererminanur; adeoque de axprexat ex
utoque conttaii.
Rccedimus ad Ongularum Prilinei A ra, ejutque partium, aciem habentium + a
aut huic parallelam, momenta respectu A a: Acienique habenrium A a, momenta
respectu ra aut parallelarum huic; quaeque hinc dependent.
Si Trilineo restituto Leu Fieura Sinuum versorum, A ra insictat Semiguadran.
ralis Ongula aciem habens ra: Oux rectis bB, planum complentibus, insiltune
plana Ongulam complentia, Cunc. (propter angulum semiquadrantalem) Frian-
sula Rectangula Tloscelia; ipsarum bB, seu B, Pemiquadrara: Adeoque ipsa Vn-
gula, (sire qua cori ara, sire qua iplius porcioni ABBa intiltit,) aggresacum
omnium =h2 eo spectancium. Forumque ab A a distancia est BB (= a) relpe
etire: Adeoque simut omnium, hoc est iphius Onsula momencum, respectu Acy
CM Aoerepatum omnium =a B=, eo spectancium, Cumpris a arichmetiee proporeio-
nalibus: Hloc est, Arcuum Arichmerice proporcionalium in Semiquacrata Sinuum
verlorum, arcuum ad Semicirculum reliduorum.
Oux aurem rectis bB, xqualicer ab inricem distancibus, planum similicer com
plencibus, insiltunc plana Ongulam complentia, coridem crunc parallelogramma
quorum bases b B = a et alcicudines (proprer angulum Semiquadrancalem) aequa-
les eorum d ra distanciis respectiris, hoc clt iplis V a = B respectire: Adeoque
Onxula, live quae toci A r a Frilinco intiltit, sire qua iptius Porrioni ABB; est
Aporexatum omnium aB, eo spectantium; sumptis AB, seu AV, hoc ettV, aricti-
merice proportionalibus. Forumque ab A a distantia, EbB = = a relpectire, (per
prOp. 2. hujus.) Adeoque simul omnium, hoc est iplius Ongula, momentum re-
spectu Aa; Aexcexatum omnium =a= B: FToc est, Semiquadratorum arcuum sini-
bus versis aristimerice proporrionalibus respondentium, in sinus versos arcuum
ad semicirculum reliduorum.
Hujusque Ongulae aeiem habentis , a momentum respectu Aa idem est acque
Onouitae aciem habentis Ra momencum respectu ra; propter magnicudines et di-
Ttancias reciprocatas. OradSFI. prop. 16. ostensum elt.
Nempe, si eidem Fritineo Restito A r a, Ongula insiltat semiguadrantalis,
aciem habens Aa: Dux rectis bB intistunc plana, Ongulam complenria, crunE
(propres angutum adt A e temiquaccancalem) iplacum bB Semiguacraca, seu z a
adcoque

## Folio 791 — 851387705:0811
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000811.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
c
Pxop. LIR. De Calculo Centri Ceravitatis.
adeoque ipsa Ongula, sire quae tori A r a, sire quae illius Seomenco ABB, insistits
elt axeresatum omnium =a =; Tumptis AB, seu AV, hoc ClL V, arichmetice prO. 169
portionalibus. Forumque d ra distantia cAt V a = B: Adeoque simul omnium,
hoc est iptius Ongula, momencum respectu ra est aygregacum omnium = a =B
sumpris v arichmerice proxortionalibus. Acque cadem racione, ejusdem respectu
PA, exic Aroregacum omnium = a =V; proprer lingulorum planorum d F A di-
Ctantiam, v respectire.
Planaque iplis bB insiltentia, eandem Ongulam complentia, crunt rectangula
DBa, hoc est a B respectire; corumque à ra distantia, Zh: Adeoque Ongulx
aciem habeneis A a live quae tori A r a lire quae ipsius porrioni AbBa intiltie
elt aggresarum omnium Z ah3, eo spectancium; lumpeis a axichimetice proporciona-
libus.
Sed et eadem Ongula, Ei terriis adthuc planis sccetur, basi parallelis, aequaliter
ab invicem distancibus: Frunc ea plana, (propier obliquam Ungula sectionem
adeoque plana luperiora continue masis masilque ab A a deticientia,) aequalla
ipsS A a 7, XET, ec sic deinceps, ulque ad ultimum F∞7, scu ipsum r punctum; li
Ongulam tocius a r a trilinci spectemus: Vel, li porcionem ABBa Spectemis;
ipsis AaBB, XEBB, e lic deinceps usque ad iplam Bb. Hloc elt, in cocins Frili-
nei Onoula; aequalia toridem A a r planis (hoc est, priimari ipli Ar a intiltenci
alticudinem habenti 7a,) demptis omnibus A XEa AZ 60, _c. (hoc est, dempra
contraria Ongula super eodem plano aciem habente PT.) Lx similiter, in porrione
AbBa; aequalia toridem AB Ba planis (seu prismaci AB Ba alticudinem ha-
benti ipli a β aegualem) dempris omnibus A XEa, AZCa, _c. eo spectantibus;
hoc est, dempra Ungula concraria AB Ba aciem habente bP. (Ur lupra dictum
elt, SG. PrOP. 17.) Frgo, Ingula momentum, (sive corius Trilinei, live portio-
nis ABBa) respectu 20; elt Aexresatum Momenti planorum horum omnium.
Oux calculo tacile exquirentur.
Est urique ejulmodi plani ABB a cujutvis momentum, respectu 7 a 2FR 2 +
a5I R =
2R2 + 35 R ? F =sB R; per S D. PFOD. 17. Adeoque prismatis huic
intistentis, alticudinem habentis B a = a; 3 a2 R 2  2 a 5 R 2 f = a SBR.
IEem, Omnia Z a R = = 35 R2 = Z SB R, usque ad iaXImUN Z A R 2 + Z5 R2 +
2SFLR, (sumpiis a arichmetice proporconalibus,) est unsula ABBa, actem ha.
bentis bB, momentum respectu Z a; (adeoque ee aciem habentis r a, momentum
respectu b B; Propier alcicudines et diltancias reciprocaCaS, ut liptuS ance dictum
st.
Sunt aurem omnes a, (arcus axichmerice proporrionales,) ulque ad A maximum,
ZA2; per prOP. T. hujuS. EYBOOMn. 3 a R2: =8 A R 2
Trem, Omnes sy (eorundem accuum Sinus recti) sunc iptum a B. Feslineum,
hoc eltV R, (per SO, Q, DrOV. 17.) ErGO, Omn. 35R 2: = Z V R2
Et Omnia sB, Tune V R = E S2 R, (uc ostentum est adt 5A. PrOP. 18.) F 18O
Omn. Z SB R: = Z V R3 + 3S2 R2.
FrBO, Omn. 3 a R2 + 3s R= = L sh R: (hoc est, Ingula AbB∞ aciem ha-
benris bB, momentum respectu ra; vel aciem habentis ra, momentum respectu
bB;) Tunc 3 2 R F Y R + 5S2 R2; seu (recticuris minusculacum valoribus)
8a R2 F ∞ R3 + 35 R.
(Ouod quidem, ex Prilmatis respectu ra momento, modo repertO, 2 a X
=a SBR = Z a R2 = Zas R2 = 4 a 5V R, lubductum; relinquie On
sulae ABBa, aciem habencis Aa, momentum respectu ra, (vel etiam acietu ha
Dentis r a momencum respectu Aa;) Nempe, 3a R2 = Z a5 R =
+a5VR L V R
Sed a Idem (line ope Prilinatis) mox alio modo obrinebitur.)
Lud autem 5a R = f v R3 F SSR Momencum, per Ongule ABBa, acienI
habeniis BB, magnicudinem = a R f v R (per SH. prOP. 17.) divitum; extii
bec ejusdem Dillanciam Cencri pravicaris d +d; 3 R + 2v R f5
80P Y
dv X + 4a
R; adeoque d
R; ejusque respectu F A homencum, 3 a R F v X
e . Duod iplum est aciem habentis FA, momenium respectu b8.
Idemque
Fie
270.
t tu 7 4 l

## Folio 792 — 851387705:0812
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000812.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
11
De Caleulo Centri Cravitatis.
Cap. V
Idemque 3 a R2 f V R = Ss R= momeneum, per Ongula ABBa, aciem ha-
bencis ra magnicudinem, 2 f R = f Z sB R = Z a R2 = 25 R2 = = SVR, (8 D.
ProP. 17. inventam,). diritum; extibet hujus Distanciam Centri gravicaris a BB,
2a. f 80R5a5 R + s R + a52
6a R + 205 R = 25V : adeoque ab A a, : a - 80 N - 5as R. + s’ R + asv
6aK = 1OSR- 25V
ejusque respectu A e momentum, 3a R 2 = Z a5 R 2 = = a SV R = V R3 = 8s R2:
Idemque est momencum Onsulae AbBa aciem habentis Aa, respectu ra; prius
exhibitum.
Duod quidem 3 a2 R = Za5 R= = = a 5VR = V R. = 5 s R momencum,
per Ongula A bBa aciem habentis A a magnicudinem = a  R = a s R = v R=
(Per S LL. PrOP. 17.) divitum; extribet hujus Distantiam Centri graritatis d 7a,
2V P F sR + 2450 4 a5R
4u = Bas- 8vX ; adeoque d FA, 3 R  2V R + 5. R + 2 a5y - 445R
42  das - SuR
ejusque, respecta TA, Momenum 3 a P. L 3 as R - v R F Bs P2 + + d5VR:
aciemre hahentis La, momencum relpectu A∞.
Atque hoc demum 3a2 R = F3a 5 R2 = ~ R3 f 35 2 P2 + = a 5V R momeneum
per Ongulae AbBa, aciem habenis F A, magnicudinem Z f R= = = sB R = 3 a R
45 F450 se (ED. PCOP. 27. InVenIam,) diritum; exhibec husus Bultan-
tiam Ceneri gravicaris ab A en L a - d~ R2 = s2 R = 3 a 5R = a 5~: adeoque d
b8: 3a-
10a R F 65 R + 250
80R 2 = 5 = R = 3a 5 R = a 5 2
10aR + 65R + 25V: Ejusque, respectu bB, momencum,
Za= P2 = vX3 = 55 R2; idem quod prius repertum es momentum aciem ha-
bencis bB, relpectu F A.
Adeoque; Si cocius Ara Ongulas spectemus; (PrOPteT a = Z P, V = 2 R.
5 =0;) Eric Ongulae Aro, aciem habentis Pr, magnicudo, 5 R D2 = 2 R3: MO.
mencum respectu r0, 3 RE ∞2 + 2 RE; respectu Y A, E R2 D2 + 2 Ra: Distan-
4 R
uia Centri eraritaris a ra, 3 R F p. + 16R. i a FA, E R p. + 16 7
Aciemque habentis A0; Magnicdo, S R D = =2 R: Momencum respectu 20,
ER=∞2- 2 R4: respectu T A, 5E RE D2 = 2 Ra: Diltancia Cenrri graritatis a
en 3 R.
+ R
P7 - 26 X. d FA, 3 R + p, - 16p2
Aciemque habentis =a; Mlasnicnco, 3R2 P; momentum respectu F r. 3 X2 c
F 2 R; respectu Aa, = R2 ∞ 2 - 2 R.: DictanCIA CenIrI BraVICaTIS d FF,
∞ + 26 R.
34; ab A a + ∞ 16 R2
Aciemque habeniis F A; Magnicudo 3 R, P: Momencum respectu F Z, . N. ~=
= 2 R2; respectu Aa, E R = P. - - 2 R.: Diltanca CenerI GravitatIS d F~
2 f 26 X
5D i ab A0, 1∞ 16 R
Fademque per se poterant, eodem modo, caleulo exquiri; quo Ongularum
porcionis Ab Ba momenta prius exquirebantur; quaque inde dependent.
Ex his iem sic tradicis, Ongularum portionis BB= momenca (quaeque hine
dependent) haberi porerunt. Nempe; ex Momentis Ongularum tocius Frilinei
AT a Cubductis respectiris Ongularum portionis AbBa restanc Momenta respe.
ctira Ongularum bBZ; sive respectu iplarum ra, FA, sire respectu iplarum
A∞, FY, _C. Acque ex cognicis aliquibus reliqua facile derirantur.
Sed et eadem poltunt per se eodem modo exquiri, quo in iptis A b Ba Factum est.
FIL MLIquE (PET SF. prOP. L7.) plani cujusque bBr, momentum respectu 7 a
a R2 - 35 R = + sB R; Adeoque Omnia, 2 a R 2 - 2 5 R = a sBR; (HOC es,
momenta planorum omnium Ongulam bBr, aciem habenrem bB, complencium;)
Tunc iltius Onsula momencum.
Sed Omnes an larcus aritimetice proporrionales, ab ipso an usque ad maximum
seu rB = _y) CumEs l PEr PEOP. X. husus, ) 1 a 2. F1B0, Omn. 3a R2: = 8a = R.
tcem
160
7C

## Folio 793 — 851387705:0813
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000813.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
PFOD. XIX. DeCalculo Centri Cravitatis
Trem Omnes s, (corundem arcuum Sinus recti,) Tune iptum Frilineum rB0 F 1
B R (per S 2. PrOP. 17.) ErSO Omn. = 25 R 2: = = ZB R 3.
269.
irem Omnia Sh (ad bB F spectancia) 1B R, C peC BA. prOP. 18.) ELCO Omn. 270.
aSBR: = = 8B= R 2.
ErgO; Omn. Za R 2 - = 5 R = - = sB R: (hoc cAt, Ungulae bBF, aciem Ha-
benes bB, momencum respectu ra; seu aciem habencis r a, momentum respectu
DB;) 30. 2 R 2 - Z B R 3 = BB2 R 2 = 8a2 R 2 = B R3 f 35 2 R =; SCU (DTOPEEE
a = 3 ∞ - a, _ B = 2 R = V,) =ER E P2 = 8a R = D + 3a  R  = 2 R a + V R
=3s2R2
Onod quidem, 3a2 R - 3 B R3 = 8b2 R= momentum, per Dnoulae BPr, aciem
habencis bB, magnicudinem z a 2 R = B R (per SH. prOP. 17.) divitum; exti.
bec ejuldem cencri graricaris dictantiam d ra, Z R -
d FA, 3R + -
+ Sh= R2
402 -- 8B R: adeoque 2
4 a 2 - 8B p: ejusque relpectu T A momencum, da: R - 3b X
Idemque Za 2 R = - 3 B R3 - d B R momentum, per Vngulae BBr, aciem ha-
benuis ra, magnicudinem 3 a R2 - 3 5 R = = = sh R (per S L. prOP. 27.) divisum;
exhibet hujus dictantiam centri graricacis a BB, ; c- f. 3 a. s R = aish - 6b t - 15. A
a F57 + a - 3 as R + a SB - 6B R2 - B: R
6aR = 65 R = 25B
60R = 65R = 25B
Adeoque ejusdem Ongula bBr (aciem habentis ra) momentum respectu F+.
a2 X2 - 3 asR =  a sB R + 3 b R = 3b2 R2. Idemque eAt, aciem tabentis
Fr, momencum respectu ra
Ouod quidem 3a= R = = 3 as R 2 - + a 5B R + 2 B R  = 5h2 R 2 momencum.
per Ongulae bBr, aciem habentis PY, magnicudinem, Za2R = a5 R + BR= (Per
S H. prOP. 27.) dirisum; exhibet ejusdem Distancam Cencri gravicatis d 7 a
R = 2e 5B
4 a 2 = 8a5 + 8B X; adeoque d F A, ZR -
2R +
E = 2 a sB
442 - 8a5 = 8BR; ejuL.
que respectu T A, momencum, 3a = X 2 - 3 a5 R 2 f ZB R 3  + a sB R = 3 B2 R2
Idenque cHt, aciem habentis F A, momencum respectu F=
Acque hOc demum 3a = R = = Z a 5 R 2- f ZB R 3 f + a s B R = SB= R2 WOMCH.
cum, per Ungula bBr aciem habentis T A, magnicudinem, Z a R = -35 R? L Lsh R
(PeT GF. PrOP. 17.) dirilum; exhibet ejuldem distanciam Cencri gravitaris d Yr,
a-
TOB R B R - 5a5R + ast
TOR - 105R + 25b iadeoque, d bB, a 20B R - B R - 5asR + asto
10a R- 1OSR + 25h ejuF.
ques relpectu bB, momencum, 3a2 R2 - 2b R3 + 5b. R2; idem quod aciem hy
bentis bB, momentum respectu Y A, modo repertum.
Ouaeque de Ingulis bBr tric dicta sunc; eadem omnino Ongulis ABR con-
veniune; subltituris a pro a VprOB, T A prO Ta Aa Pro PT, d vice verta.
Ouippe AbK porrio, limiliter adjacet rectis Y A, Ae, acque rb B rectis ar, 2I.
Solidorum aurem, sire semisolidorum, respondencium magnicudo, ad maenicu.
dinem Ongula correspondentis; eorumque momentum ad momencum hujus, (respe-
au ejusdem plani ad convertionis axem aciemque Ongulae, recti;) elt ut X vel 38
ad P. Distantiaque a planis ad conversionis axem, actemre Ongulae, rectis, uirO-
bique eadem respectire.
Dende
: Si ex Ongularum ABBamomentis, SF tradiris; auterantur respectira
Onculacum Bb Ba momenta: habencur respectira Momenca Ongularum ABB:
e quae hinc dependene.
Est aurem Ongula BbBa, aciem habentis b B vel Aa, (propter magnicudinem
Ea= B, Der ST. PrOP. X7. Centrique gravitatis, in media longicudine Dolii, per
PrOD. 2. distanciam a ra, Z B; adeoque d Y A, 2 R = ZB:) Momentum respectu
ra, +a= B2; respectu PA, a  B R = = a= B2: IIIudque : a 2 p2 (ob distantias et
alicidines recipiocaras,) momentum etiam, aciem habenuis ra, relpectube vel
Hhhhh

## Folio 794 — 851387705:0814
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000814.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
DeCalculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fig. Aa: FLa BR = = a 2B2 momencum criam aciem habentis Y A, respectu BB vel
169, A∞. FAque uriusque horum, Distancia Centri graritaris 2bB vel A a, Za, Per
270. DroP. 2. Magnicudo aurem, aciem habentis ra, E a h7; aciemque habentis Y A.
2ab R = Z Bh2 (per SF. PrOP. 17.) Adeoque Diltancia CeMErI graVILatIS d + di
EB; d T A, R = 3
Si ilaque ex Dneulae ABBaq deiem habencis F A, momento respectu bB; aci
emre habentis bB, momento respectu T A; 3a 2 R2 = VR3 = 5s E RZ, (BerSF.
Auteratur respectirum Ongula BBBa momentum; modo extribitum, a 2 B R -
a2 B2 = a 2 R 2 = = a 2 V R + + a 252: RelinguetIE, IngnIX ABB, aciem haten-
tis T A, momencum respectu bB; aciemre habentis bB, momentum respectu P A;
3a2 R2 F ~ R3 = 8s R2 + La= V R = = a752. Quod per Vngulae AbB, aciem
habentis TA, magnicudinem,
3a R= = 35 R2 = aV R f =5VR - ZaS, (Der BF
ProP. 17.) diritum; exhibet ejuldem distancam Ceneri craricaiis d bB, Z a
8V- s R - 3a5R- aSVR
=6eR FBavR + 250R - 4a5. ; ab Aa, a dvR  5 R - 3as R - asv R
Ses = 8aVR + 2SVR - 445
Trem; si ex Ingulae ABBa, aciem habentis T A, momento respectu Aa=
aciemre habencis Aa momento respectu LA; 3a 2 R2 = 2 asR 2 = V R3 L + S2 R
F=aSVR, (per S F.) Anteracur correlpondens momentum Onoula BBBa, modo
extribicum, a 2 BX = Z a = B2 = a R3 = Za  V R + 2a2 52: Relinquetur, Onoula
ABB, aciem habentis T A, momentum respectu Ra; aciemre hrabentis Aa mo-
mencum respectu LA; = 8a2 R F 3a5 R2 = v R + 5s R + 2450 R F + a vR
Tiem; Si ex Ongula ABBa aciem habentis ra, momento respectu bB; aciemre
hrabeniis bB, momenco respectu ra; 8a R2 F V R3 F 3sZR2 (per SF. ) AufC
ratur correlpondens momentum Onsulae BbBa modo extibitum,  a = B2 = a R
=a2 V R F + a2 v2 = a 2 R2 =  a V R = + a 2 52: Rclinquitur, Ongula ABB.
aciem habentis ra, momencum respectu DB; aciemre hrabentis bB, momencum re-
spectu 2a -8a R2 = V R3 + 5s R + Z a 2V R F + a 252. Ouod, per Ongula
ABB, aciem habentis a magnicudinem 2 FR 2 F = 5B R = = a BE
2a R = +
35 R + av R = 4 sv R + 2 a5, (Der SV. prOp. 17.) divitum; extribet ejusdem
Dillanciam Cencri gravicatis a bB, La +
Ea
80R = 5 asR F S R + aSvk
10c F + 8av R- 250 R + 4as2 i ab A a 7
8vR3 =5 a 5 R= = 52 R2 + a s~R
=10C R = 8aVR= 25u R + 495
Idemque, per ungulae AbB, aciem
habentis bB, magnicudinem, = =a 2R f. V R2 - f 3 a 2v, (per S. T. prop. 27.) divi-
sum; extibet hujus Ongula diltanciam Ceniri Graricatis a 7 a, Z R -
20R + a vR = s R- L 2a 5
4ue R + 8vR + 4a2
quen a b. B, : R - B (= v-
2
FA, a  f 20 _ + a vR = b. R = 2a. 5. Adco
4ae R F 80 R + 402
20A+ a vR = sN + 2a s
 = 4a R F 8VF f 4ae FL DTOPICTCA C.
jusdem, respectu BB momentiim 3a 2 R2 f v R3 L 352R2 - 29252. Idemque
ell Ongulae ABB, aciem habentis BB momencum respectu bB. Ouod iaque
per hujus magnicudinem 2 a X 2 = 85 R 2  35D R - - Z as2 (Der SF. DrOD. 17
ceritum; exhibet hujus Ongulae AbB, aciem habenis BB, distanciam C’eumr
eravicatis a b B, = a. f 82 R - 7 52 R + 3a 5 R3-
1-
1.9. DC RE∞+ 6SVR= 4a s
8o R = 75 P H 3asP. = 3asuB. ejusque respectu A a momencum, 3 à 3 p
SCP L 65VR = 445
oA3 + Bs P =3as R + asuR -  a s quod eriam (propier alcicudi-
nes et dictancias reciprocatas) est Ongula A b B, aciem habentis A en momencum
respectu bB.
em; s ex Oneula AB B aciem habencis re, momenco respectu A ey aciem-
ve habencis Aa, momenco respectu 24; 3 a R + Zas R2= = aSVR = V R
=3sR= (per S L.) Auteratur correlpondens Onsula BbBa momentum, mo-
do exhibicum,  a B = a R = 3 a v R - + e s: Relinquerur, Ungulae ABB,
aciem habeniis xan momencum respectu AB; aCICMVC haBEHEIS A a momentum
respectu

## Folio 795 — 851387705:0815
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000815.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
PFOD. XIZ. DeCalculo Contri Cravitatis.
respectu F an - 3 a R 2 + Za5 R 2 - v R3 = 3 52 R 2 = + a 5V R + = a V R +  a 5
Ouod per Ongulae ABB, aciem habentis Aa magnicudinem, - = a 2 R F a 5 R 16C
=vR 2 F Z aV, (per SI. prOP. 17.) dirisum; extribet hujus distanciam Cenrri p70.
Graritatis  7 a ZR = 2 a sV R F a v R = 2 v R + 5 N = 2 a s
+ a R + 8asR = 8vR + 4 a V
R + 2a5V R + a v R = 2V R3 = S R2 = 2 a25
4a R L BaSR = 8 v R 2 + 4 a V
(= v - 2 R)
Adeoque d bB, 3 X - 1
2250R + a vR = 2V R3 +S P2= 2 9 e
4 a R F 8 a5 R = 8VR2 + 4q
Et PrOPterCA,
ejuidem respectu BB momentum, 8 a R 2 - V R3 = 3 s R = = 3a5R 2 = 3a 5VR
=a252; ut prius. Acque hinc etiam, regrediendo, reliqua qua Ongulam
ABB aciem habencem BB spectancia modo tradebantur, similiter derivari po-
TeTINE.
Sed et haec omnia Momenca Ongularum ABB, (quaeque hinc dependent,) E
milicer haberi possent, ex Ongulis ARBB, Subductis respectiris Ongulis ABK.
TTabentur aurem Ongularum AK b B momenta, reliquaque inde dependentia, co-
dem plane modo quo Ungularum BbBa: Cublticuris ubique v pro B, et Y A
Pro ra, e vice verta. Oux monuisse sufticiat.
Restat, ue Ongularum aeies habentium Aa, (aut huie parallelas,) mOmenTa R.
respectu acierum suarum (rectarumque his parallelarum) oltendam; et Centro-
rum graviraris inde diltantias.
Si incelligatur portioni AbBa Semiquadrantalis Ongula insistere aciem habens
bB; quae hane complene plana ip( Ar a parallela, TunE ipla A XEa, A L C et, eC.
ulque ad ABBa; seu Omnia ABBa, eo spectancia, ut ad S F. octentum cAt:
Adeoque, e eorum omnium, respectu Aa momenea; hoc olt, (per S FI. prOV. 17.)
Omnia, = a R F as R = V R2, eo spectantia, (sumpris a arithmetice proportiona
libus,) est iplum Ongulae AbBa acieri habeneis bB, momiencum respectu A a;
auE etIam (proprer alticudines de diltantias reciprocataS) aciem habentis Aa ma-
mentum respectu bB.
Sune aucem Omnia a (sumpris a arictmetice proporrionalibus,) 5a3; Per
DEOD. T. hujus. Adeoque Omn. = a R: = 5 a R.
EE Omnia as, (hoc est momencum respectu A a omnium Bo crilincum a Ba
complencium;) Lune, = c R = F aD A, DEr S Q. PFOP. 17. AdCOqHE, OMM. a5R:
R3  a v R 
tiem, Omnes v, (sumpiis a arichmerice proporcionalibus,) hoc est, iptum
ABK crilineum, elt C R; per SB. PrOP. 17. Adeoque Omn. = V R2
R
Ergo, Omn. Z a R + a siR  2 R2; hoc est, momencum Onsula Ab Ba aciem
habentis bB respectu Aa; aciemre habentis Aa momentum relpectu bB; elt,
=2CR3++ aV R + 5a R.
Hoc itaque momencum, per Ingulae ABBa, aciem habeneis bB, magniudinem
Za R = v RZ (per S HL. prOP. 17.) divitum; exhiber ejuldem Dictantiam C’eneri
26 R3  2 a.
i
Bravicaris ab ACy a - -
3a + 6VR
Adeoque, d bB.
22CR 2 + 2 a3
terea; ejusdem, respectu BB, momencum, 2 e R3 + 3, a R.
3a +60X. Et prOp.
Idemque = 2e R F aV R + Z a R momencum, divilum per Ongula ABB a
aciem habencis Aam magnicudinem Z a R F as R = v R, (per B FL. prOp. 17.)
extribet hujus Diltanciam Cencri gravicacis d BB,
eoque ab A∞ =2 C R = = 12 aV R f 2 a f6 a’ 5
5a +6a5 =6v R
22CR= + 6 a VR L a
32 + 6a5 -6vR
1d-
et propterea, ejusdem, respe
Au Ran momencum (teu Omnia a. h eo spectancia, ) 2 C R. - 2 av R +; a. A
a 5R.
Et quidem A TOEUS A r a Ingulam speclemus; exit (propter a = 38, V = 2. R,
et 5 =O;) aciem habentis Fr, momencum respectu Aa; aciemve habentis A
momentum respectu Pr, + R~ 3. Adeoque (proprer illius magnicudinem s R~
f2. R3; hujulque S R D2 - 2 R, per GC. prOP. 17.) eris Aeiem habentis F.
EhhHH 2
Distancia

## Folio 796 — 851387705:0816
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000816.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
De Calcuto Centri Cravitatis. Cap. V.
Dictancia Centri pravicaris ab A en 6X. + 96 X=
2-
8 R2
8R2∞
3P2 + 48R:
3P2 F 48 .: ejusquem respectu Y2, momentum,  R P3 + R. P.
Aciemque habentis. A a, Distamcia Ceneri pravicatis d F 23 6~, = 96 p.
-82-
8 R2 P
3 D2 - 48 R2i ab A4, 34-
momentum,  R∞ 3 = R34
8R2∞
3~2 = 48 p2i hujusque, respectu A a,
Si aurem ex Ongularum parollelogrammi A R Ba momentis, auteraneur respe-
Etira momenta Ongularum A bBa; habencur Ongularum ABK momenta re.
spectira.
EC aurem Ongulae AK Ba aciem habentis KB, vel A a, (uEpote PriIMatS, OP-
policarum batium criangularium,) magnicudo, Z a X 2 R = a R; ejusque ab acic
Tua Diltancia Ceneri gravitatis, 3a; d cermino oppotito, 3 a. Adeoque Aciem ha-
beneis bB momentum respectu Aa, vel aciem habentis Aa momencum respectu
bB, elt = a R: Aciemque habentis bB momentum respectis iplius hB; aciemve ha
bentis Aa, respectu iptius Aa, momentum 3 a R.
Ex His itaque; s Subducantur respectira Ongularum A BBa momenta, S R.
cradica: Relinquuneur Ongularum Ab HE momenta respectira.
Nempe; Ongula AbK aciem habentis BbK; momencum respectu Aa; aciem
ve habeneis Aa momentum respectu BBK; 2 e R3 = a ~ R2 F Ea R. Adeoque
(proprer illius magnicudinem, Z a R = v R2; bujus L a R - a 5 R. F V R?; Per
S FI. prop. 27.) Aciem habencis BbK, Distancia Ceuri sravicatis ab f. a,
T2 C R2 = 6 a V R  a
3a = 6vRi adeoque d BbK, = 22C AE. + 2 a
Aa, Distancia Ceneri graritatis à BbR
A
=T2 C R = = 72 av R + 2 a = 6a 5
3a - 6. a5 + 6VR
3a = 60 i Aciemque liabencis
2CR2 = 6a VR f a
3a  6a5 +6v R
 adeoque ab
Aciemque habentis BBK, momencum respectu BbK, = 2C R3 f Z a R; A-
ciemque habentis Aa momencum respectu Aa = 2 C R3 + 2aV R 2 F 5 A3 R
a SR
Ouaeque de Ongulis AbK dicta sunt; cadem Ongulis =bB, accommodantur,
TubItICEIS a PrO a B PrO V; _ YY, PrO Aa. Ouippe similiter adjacet rectis rI,
rau iptum rbB; acque ipsum A bR, rectis Aa, A P. c
De. Unoule rBB, aciem habeneis Bb KE, momentum respectu Fx: aciem-
ve habencis Tx momentum respectu BBR; 2 a R3 25 A3 aB R= ( Z a R =
Aciem habentis BB R momentum respectu BBH, = 2 a R3 f 2s R3 L = a R: A-
ciemque habentis Fr respectu iptius Fr, = 2 a R3  25 R3 + 2 a B R2
F343R = 0 5R: Et Aciem habeneis BB H, Diltancia Ceneri grariaris d PT,
12 0 R. - 12 5R - 6 a BR + =; aBBK, = 12 a R + 12 5 R  29
3 a = = 5BX
ciemque hrabencis Pr, distancia Centri graritatis d Bb K,
25.
A-
+2 aR = +25N 60BR L a3
2   125 R2  +2 a B R + 2 a -6 a 5
3 a2 - 605 = 6BR
X
38 -, 6a5 + 6bX
e SeL cie
Sed ee carundem Ongularum XbB momenta, haberi poterunt; ex Ungularum
totius Ara momentis, subductis momentis respectiris Ongularum ABBa: RC.
Ctabune utique momenta respectira Ongularum rBB, qua et ad alias, ut opus
tuerie, rectas tacile tranoterentur.
WIIESF
Ex momentis aurem Ongularum ABBa; Si subducantur respectira Vngula-
rum BBaB momenca; habentur momenta respectira Onsularum ABB.
Fs aurem Ongulae bB a B, aciem habentis bB, ret Ba, (urpoie Prismatis.)
magnicudo, Z a XB = Z a B; ejusque ab acie sua Diltancia Cenevi pravitatis, 2a;
a termino oppolico, 3a. Adeoque aciem habeniis bB momericum respectu Aa;
acietVC
pi5. 163
M

## Folio 797 — 851387705:0817
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000817.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
PFOD ZIX. DeCalculo Centri Cravitatis.
aciemre habentis A a momentum respectu bB; d a B = 3 a R = : ad v. Aciem. Fi8. 169
que habentis bB, momencum respectu bB; acienire habencis A a respectu A en 170
momencum, Z a3 B = 3 a R = = a V
Haec icaque. ex respectivis momencis Ongularum A BBa (S K. invenris,) sub.
ducta; relinquunt relpectira Ongularum A b B momenta.
Nempe; Ingulae A BB, aciem habentis b K, momentum respectu Aa, aciemre
habentis Aa momencum respectu BK; = 2 C R 3 = a v R  = Ea 3 R +
Aciemque habencis b R momentum re spectu b K, 2C R3 = 5 a3 R F 5a 3V: Aciem.
que habentis Aa momencum respectu Aa, (hoc elt, Omn. 343, eo spectancia,)
2CR3 = 2 aVR 2 = 3 a 3 R + a2 5 R f 3 a 3v.
Adeoque, (proprer illius magnicudinem, = 3 a R = v R2 + Z a 20; hujusque
==a2R F aSR = V R = = Za =V; per S T. prOp. 17.) Vnoulae ABB, aciem la-
beneis bB, Dillancia Ceneri oravicaris ab A0, = 12 C R f 6avR - a R + a v
abe
22eR = 22 R + 242
3a R F 60R 2 F 3a 2V
=3a R = 6V F F 34: Aciemq; habentis Aa. Distamia Ceniri gravit. d bk,
22eR + 6avR- aR + av
35 P +6as R -60 + 307 2b 1u 1 2eR 12auX 20 8 + 6aes t 2a0
-3a R + 6a5R 60N + 3aV
Atque his, in Pisurae Sinuum vertorum AFa ejusre parrium, Ongulis, (ic ex-
Dediris: L’adem opera, eadem in Fisurae Sinuum Rectorum arn expedumrur. P IL
enim (ut Set. prOP. 27. Oltencum elC,) Figura Sinuum Rectorum Onins quadran.
eis a sn eadem plane figura arque d D A, Ficurx Sinuum versorum portio. Adeo.
que ex magniudine, Momentis, Ingulisque, tiourx d D A (quae FGUTA A r a parS
elt,) e parcium ejuldem; Paeile erie tionra adn, adeoque de àr u parciumque
illius, Magnicudines, Momenta, Onsulalque, quaeque hinc dependene, derirare. s
Veleriam, line ope ligurae ATa, ejutre porcionis d D A; DolLunE iPLIUS a Xn
parciumque hujus, Ungula, (utS V. prop. 17. Ostentum clt,) carumque momen
ta, tacile obrineri.
Cum enim rectae BV, Erilineum aB. complentes, sinc arenum avichetice pro
porcionalium (ipsIs aB respectire xgualium) linus Recti: Dua Ongulam aβ0
aciem ha
miguadrar
aa
lei
cu ipta aB0 angula aciem habens ar, seu plani momentum respectu recta
ar, elt Z C R = F =SV R, Per SO. PrOP. 17.  AIque eorundem semiquacratorum
252, Seu planorum Friansulorum momencum respectu iptius ar, (Propter 25, Vis
Itanciam Centri Bravicatis a T a, per prOP. 5. hujus) sune, Omnia, 553: (PrOPter
352XZ 5 == 353.) AULCtIam (PEOPter S = VB,) Omn. 35Vb. Hoc est Omp
35V R -= 55V2: Cumpeis a arichmerice proporcionalibus.
Sune aurem Omn. 53; (sumpris a arictimecice proporrionalibus,) idem deque
Omn. V R: (per BV. prOP. L3.) seu Omn. S2 R, Cumpris v arichmerice proDOr.
cionalibus: Hloc est, duplum momenei (respectu A a.) legmenti semicircusi AB V
tig. 169. in R ductum; (Tunc enim Omn. Z5: sumpes v arichmetiee proporcia
nalibus, momentum illud:) HOc cst, (per S R. prOP. 15.) ZVR3 -- 5 S2 R= +
352VR = ZV2 R2 = ZS2 VR. FFBO; Omn. 353: =
vR
S2 R2 + 552V R,
seu 3V2 R = 352 V R, est Ungulae a B0 aciem habencis a r, momentum respectu
ar. Adeoque (propier magnicudinem L C R 2 + a sv R, per BO. PrOB, 17. ) Di-
Pancia Ceniri Graricatis a ra, est 4v R + 45 V
OcR + 95V
Vel sic eriam; Sunc Omn. 353: = Omn. 3 5vh; (propies B I meciam pr opoi.
cionalem invex A V et Va; hoc est, s. inier v et B; ) leu (prOprex b = 2  = 2,)
Omn. = 5V R - 3 5V
Sune aucem Omn. su: (sumpris a arichmerice proporiionalibus, ) 3 v E. A = 2R
R2
(per S L. PrOB. 18.) Adeoque Omm. 35V R. = 3V1 R1 = 3V R3
AI AhHH 3
N.
TIet,

## Folio 798 — 851387705:0818
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000818.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
DeCalculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fi8. 169, Trem; Omn. 35V2: = 8V3 R = 3VR3 - 3 s2 R2 =3 s v R, (per BT. PrOP. 18.)
Adeoque Omn. - 3 502: = - 5V3 R = - Zv R3 + 35 = R2 + 3 s2 V R.
ErgO, Omn. Z5VR - = 5V 2: (= Omn. Z 5Vh: = Omn. 353:) HOC est, mo-
mentum Onoulae aBo, aciem habeniis ar, respectu ipsius ar rectae, est, LV2R2 -
323 R, hoc est, 3V R3 = 5 s R= + 5 s2 V R. ut prius. Aique hinc Distancia Cencri
Graricatis ab ar colligitur, ut prius.
FG speciatim; Ongulae ad n aciem habentis ar momencum respectu iptius ar
(PrOPtCEV = s = R; e a = + P, ) CAZ R; ejusque magnicdo rs R= P; CeNEI
que pravicaiis ab ar distancis, 32 P
Ongulaeque torius arn, aciem habentis r a momentum respectu ra 2 R4; (ipLius
adu duptum, propter duplam masnicudinem:) Diltanciaque Centri graviratis a
eR
ro eadem, nempe: Fc quidem (Per PrOB. 5.) suver ipla du recta; hoc est,
d F~, vel Aa, +P; e proprerea ejusdem respectu Aa scu IF momentum,
(propter magnicudinem sA= P,) elC, = R P2: Quod itidem est aciem habeniis
FT, vel Aa momentum respectura; propter alticudines se distantias reciproca-
tas. Adeoque (proprer hujus magnicuainem =R2Y) Diltancia Cenrri graritaris
27a, 162
Similicer; Ongula aB0, aciem habentis Bo, momentum respectu Aa; SUNE
omnium planorum aEo aCv, ec. ulque ad a Bv, (ungulam illam complentium)
momenta respectu Aa; hoC CA (DerS 9. prOP. 27.) Omn. = C R 2 + a V R: seu
Omn. = a R Y sR + a V R, eo speclancia; sumpris a arichmetice proportiona-
libus.
Sunt aurem Omnes a, (arcus arichmetice proportionales, eo speclantes;) Za2,
(per prOP. L. hujus:) adeoque Omn. = a R 2: = = = a 2 R 2
Ft Omnes s (eo spectanies) hoc est, iptum a B0 planum, ett Vv R, (Per SO.
PrOD. T7.) Adeoque Omn. 5 R =: = V R3.
Tiem Omn. a0 (Tumpris a arithmetice proporcionalibus,) Funt ipsus A BK
plani, momentum respectu Aa; hoc CH, Z a = R = a 5 R F V R2, (Per S FL. prOP.
27.) Adeoque, Omn. aVR: = = a 2 R 2 = a5 R2 = VR
ErgO; Omn.  a R2 = sR= F aV R: = 2V R = a s R. Ouod itaque ett
Momencum Onoulae a B. aciem habentis Bu, respectu Aa; aciemre habentis Ae
momentum respectu Bv.
Duod quidem momencum, diritum per Ongulae a B0 aciem habentis B0, magni-
cudinem e R= PCu a R E - s RE, (Per S O. PrOD. 17.) exhibec ejusdem Distanciam
Centri pravicais ab A a
2VR- a5
a-5.
;adeoque d BV, a = 2VR = a5 a = 2VR. cjus.
que Propterea respectu BV MOMentM a 2 R 2 = 2 V R3.
1 S-
Idemque 2v R = as. R2, per Ongulae a B aciem habencis A a, magnicudinem
=e R + av R (per S G. PrOP. 27.) diritum; extibet ejusdem distantiam Cencri
Gravicatis d B0, 2V R2 = aSR
R = 5R = av
=2VR
2VR 2 = a5R
hujusque propterea, respectu Ao, Momen.
tum, = a  R2 = 2a5R2 L a v R = 2V R
F Speciarim; Ongulae as n aciem habentis su, momentum respectu A d; aci.
emre habenris Aa momentum respectu Sn; 2 R 2 - = R3 P: Ongulaque a Sn
aciem habentis s’un momencum respectu s u, 1 3 R 2 P= - 2 R: Aciemque haben-
tis aan momentum respectu Aa, L R3P = 2 R.. Centrique gravicacis, Ongulxe
8R RT
adn, aciem habeneis su, distania ab A o ∞ - a R
-32
4P - 16K: Aciem.
que habentis A a, distantia Centri praricatis d S u, 2 R - = P; ab A a, 2 P - 2 R.
Ongulae autem coriusa r n figurx linuum rectorum torius semicireuli, aciem ha-
ventis lire Aa, Ere YT, (PTOPTeT a ==ZP, V = 2 R, 5= 0,) Magnnudo, E R P:
Nomentum
0
R + 2a5 R + a
aR + sR + av = = ek F av

## Folio 799 — 851387705:0819
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000819.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
PrOD. XIX. De Calculo Centri Cravitatis.
Momencum respectu aciei Cuaer ; R2 P = 4 R2; respectu cermini oppotii, 4. R. FiB. 168
8K
Distanciaque Ceniri sraricaris ab acie lua, LP - ; ab oppotito cermino, 8 270.
Ongulaeque a Bo aciem habentis Bo, momencum respectu ra; idem est alque P.
omnium aB. planorum, iplam complencium, respectu ejuldem ra: Hloc cst, (per
S9. prOP. 27.) Omn. a e A E + a SV R: seu Omn. = a R = 4 s A + a 5VR: e0
Spectancia: Tumpris a arichmerice provortionalibus.
Sune aucem Omnes a: (aricthmerice proporrionales,) = : a3. Adeoque Omn.
2aR2: = da 2 R=
FcOmn. S: ( modo ostentum,) = v R. Adeoque Dmn. - + 5 R2: =  v R.
Trem Omn. SV: ( per SA. prOD. 18.) = EV= R = v R2 - 3 52 R. Adeoque
Omn. 2SVR = 5V R3 = = V R3 = 85 2 R2.
ErBO, Omm. 4 a R2 = = 5 R 2 + = 5V R: == 5a 2 R2 - 85= R2, (eU BCF R . OuOd
itaque est momentum Ongula aB0 aciem habentis Bv, respectu ra; Idemque
(propier diltancias et altirudines reciprocatas,) etiam aciem habentis ra, motmen-
cum respectu BV.
Hoc saque momentum, per Ungula aBv, aciem habencis B0 magnicudinem
(modo dictam) e R2 diritum; extribet hujus, 2 7a, distantiam Ceneri graritatis,
F= 8a + 35
ioterai
Edenique momentum, divitum per magnitudinem Dneulae as Bu aeiem habepiis
ra ZeR + 2 5VR (per S . prOP. 17.) extribet Ongula a Bo aciem ha-
bentis ra, Distanciam Centri Graricaris a Bv
Aa
a R = 2asR. + s R + 2a5V eR + rast
 adeoque ab
2a R = 25 f + Z, 5V 9099(1 1. Y
2aR = 25R + 250 ,11 2CR + 22
A a momentum, Za = R2
aa 5 R
e-
efR
ee propterea, ejuldem respectu
  asV de R 95b R:
Ouod iplum (propier diltancias _ alciiudines reCIprOCatas) el eriam mementum
Ongulae a50 aciem habencis R a respectu ra. Aique hoc demum per hujus Mag
nicudinem (modo dictam) e R2  av R, diritultu; cextribet Onsul aBV
a R - 245 R + SR + 2257
aciem habeneis A an distanciam Ceneri exaxicais d ru 8 a R = 85 X F 8a 
c2X = 2 a 5V
8ck + 8aV
colu
115e
ot
Fr Execiacim, Ongulae a Sin aciem habentis sn monienum respectu r az aciertive
habenes ra, momentum respectu sn; (PFOPIeT a = +P, ex S V = R,) 73 R2 D2
ER4. Aciemque habentis ra, momentum respectu Aa; aetemve habenLs A a
momentum respectui 24; 228 R2 F F 3R1. Irem Aciem habentis du, Distanria Cen
eri gravitatis a ra,  P F SR: Aciemque habentis A a, Diltancia Cencri gravitacis
D2 + 16 R
d ra, 
13t 1IE P2 = 26R
vicacis a du
B∞p: Aciemque habentis re Diltancia Ceneri. gra.
1 2R2
L p f 16B
∞i ab Ag, 
ejus
Wscton
In Ongulis ivicur expoticis, cum quae liguram sinuum vertorum, cum quae ligu.
ram Sinuum Rectorum, corumque partes spectant; decerminarimus cum Magnicu-
dines, cum Momenta; e Cencri graricatis distantias, tum d plano per aciem per-
vendiculari, cum d plano ad aciem recto; acque in quo cerrio per aciem plano
conlticucum (IC, Constat ex PEOD. 12. nempe in eo quae Onoulae alcicudinem bile
cdc. AdeoquE (per prOP. 26. Cap. praeced.) iptum in sinsulis gravicatis Cetlerum
determinarimus
Oux aurem de Onoulis craduncur, eadtem et Solidis convertione tactis, eorum.
ve Sedisolidis, aliitre impersecta convertione Factis, tacile accommodan 3 per
DrOP. 12, ec 2g. hujus. Nempe Semitolidi conrertione Facti, magnicudo, est ad
correspondentem Ongulam Semiquadrancalem, uc L P ad R: Fjulque Centri gra-
vicacis diltancia a plano quod conversionis axi rectum sic; eadem est quae Vnoula
Plano aciei sux recto: Adeoque momenca illius ad respectira momenta hujus,
respectu iltius plani, sunt ut ipsa magnicudines, nempe ut L.  ad R: Cenrique
Bravicatis

## Folio 800 — 851387705:0820
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000820.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Ciap. V.
Sc
170.
Fig. 269, Grariratis Scholat Manera a convertionis axe, ad lat ua ab acie lua 2
Ut 2 A del = f. Semoridique momentum respectu axis lui, ad illud Ongula re
spectu aciei lux, (in ratione quae ex magnicudinum es distantiarum rationibus com.
Ouxeque de expoliris Onoulis (sire quae tiguram sinmis reltorum, live qux
figuram Simuum Rectorum spectant, corumre partes,) dicta sunt: cadem ad alias
(calculo rite adhibiro) tacile accommodantur.
Si autem pro figuris jam exposicis A T~, arV; Prorractae Contractaere conside.
randae veniane: Onocies rectae b B in Calentum veniune; proa, substimenda erie
alia quanciras quae ad illam liu UE ra; ad JP; ut ad Propoliciones praecedentes
monitum elt.
Ouxque de Colidis figuram Sinuum Rectorum Onius Ouadrantis craduneur; ca-
dem eriam ad Solida tiguram Chordarum in Semicirculo Spectantia cransferentur;
uni ad propoliciones praecedentes monirunt elt.
Donitur,) ut 2 ad r. Uc in luis locis paltim oltentum elt.
L LC F. a X.
Semierclois, elt, correspondentis Semicirculi Generantis, Tripla: PL
Partes, Partium (respectire sumptarum,) Triplae. Puta A= a = 3ADa;
e BBa A = 3 Ba A. FE RC ubique.
C. Ilorum vero Momenta, ad Momenta horum, respectu ejusdem ra
B.
Fansentis, ut 5 2d 2; seu Dupla sesquialtera.
Atque hinc eadem respectire determinantur, tum quod ad Magnitu-
dines, tum quod ad Momenta, e Centra gravitatis, in Semier-
cloide; quae supra in Semicireulo (PrOP. 25.) et in Fixura Si-
nuum verlorum, (PrOP. 27.) determinantur.
Nempo (recentis Symbolis ut in proposicionibus praecedentibus)
Semicrcloidis Ara; magnieudo, 3 R P: Momentum respectu ra,
8P2 P; respectu TA, 8 P D; dictancia Centri grariratis a r a, 8R;
a TA, 3R: Nomentum relrectu Aa RP2 = Z R3; respectu T
 PP. +; R; distanria Centri er avicatis ab A a + P - 10 .
8.
16 P2
0∞ ia Y7
Complementi Semieycloidis, A T Y; Magnitudo, L R P: Momentum
resrectu ra 3P2∞: respectu TA, S R. P; dictancia Centri BraVIEaTIS
2 ra, ER; d TA=R: Momentum respectu Aa s A D2 + Z R; respectu Y,
Es RP2 - 3 R; distantia Cemeri eravicatis ab Aa, + P +
16P
16R
∞i aY.
Portionis Semiereloidis BBa A, magnitudo 2fR: Momentum respe.
Au ran FR F EsbR; respectu F A, 2FR = Esb R; dittantia
Centri gravicatis a r a ER F = B f; 2 TA, ER-
18F: Momen
tm respeCtu Aa, 2 a R F 3aSR = 3v R~ + ZsR; dittancia Ceneri
Pravicatis ab Ao  a  25 -40 R + 25
Oa L95
f 4v R + 2s
Segmenti Semicreloidis bBF, NIaBnitndOZ a R = Z5 R: Momentim re.
spectu ra Za R = 3oR= i sbR; e respectu FA 2 a R. = 75 R
=B sBR.
a.
206.
3.

## Folio 801 — 851387705:0821
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000821.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
PFOP. XX. DeCalculo Centri Cravitatis.
= 35BR; distantia Centri BraVITatS a Xay 3 X =
3R +
T7, 2aR = 3 a 5 R f 3 s2 R + EB R.
l
18 a - 18,i d FA, FP. 105.
 momencum respectu 
Traperii bBa V; Magnicudo ah F L SB: NOmENEUM rESPeCtU Ta, = aB= B.
+55B; respectu TA, 2ah R F sh R = Za h- 3sb; diltancia Concri F.
eraritatis a ra,
+ 25 B; a F A, 2 R - 3 a. + 2 5 B: HOMENtIM sC. K.
6a Y
spectu A an Efa B = 3s h; dictantia Centri eravicacis ab A a,
3Fa +5
6 a + 35
Scementi Semiescloidis, bV A; Magnicudo, - : e R + av + 3 5y: MO. B
mentum respectu ra, = Z eR~ F aV R F Z5V R F 3 a5 F 55; respectu P
TA, = E e R, + aV R + 35VR = 2a5 - 553; e respectu DV, L0 R 2
=LavR F Z 52R L3 a s = 353; distantia Ceneri Gravitatis a 7a,
dete F 12av R. f 3 50R +6a5 + 45
=6cR = T2 aV + 65V
dTA, = 3C R + 12avR + 950 P- 625 - 45
2 bV, 3C R 2 + 6 av R. + 95VR = 6a s = 35
6eR F 12aV +657
-60R + 1222 +650
=: Momentum respectu Aam R. P.
= + a R F = a sR + 1 3 s R = 3V R7 + : a v + 5 a 5∞ + 55. v; distantia C en.
eri Graritatis ab A an Z a - 8 R = = 3a5 R = 5 R = 3 a5V - 25 v
6a R +65 R + 22a0 +650
Trilinei AbI; Masniendo, ZC R F Z SV: Momentum respectu TA,
B.
aCR2 + 4 5~R = 35; respectu Ta, de R2 + 35 V R + 3s; resvectU BV, C.
Le R =5 av R F 2 5V R = 35: distantia Centri Bravitatis a T A,
E -
3eR + 350
Momentum respectu A an 3V R + + a R = =_ 5 R = 1 s R + 3a 50+ 3 5 v:
distancia Cerri scavicatis ab Aa, 3oN +3 a. N- 6 asA- 5 R + 6as0 + 4sV
60 R + 650
R
Adeoque exhibentur cum torius Semiercloidis, tum ejusdem Parrium N
expositarum, Magnicudines, e. Momenta respectu rectarum expo-
scarum, iplaque Centra graritatis.
Ouae autem de Momencis hic cradita sunt; ad Ongularum maonien-
dines, et Solidorum convertione factorum, Facile transferuntur. PF
planorum hic consideratorum momenta, (propter data ipta C’en-
era graritatis,) respectu rectarum aliarum, quocunque siu Polita
rum, Facile haberi poctunt.
Fademque omnia qua de his expolicis ercloidis portionibus Ea
duntur; ad alias icem, rariis modis abscistas, Facile erit accommo-
dare; addicionibus et subductionibus, prouc res poctularerit, act
tribitis.
Ouaque de Creloide primaria jam tracuntur; Ad Crcloides PIO. N
cractas ex Concractasu Facile TranStCTUNTUT.
CTTupec ra recta, insillens Circulus (quem Circulum Generantem, Teu Cceni.
R
Deorem dicimus,) puncto sui b (quod punctum lineans appella bimIS) Fectam in Fi3. 166
cangens; qui super eactem secta volri incelligatur (mocu concinuo ee aequabili
Tilii
Deripherii

## Folio 802 — 851387705:0822
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000822.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cap. V.
COntraCtC KUNNOE1SS5,) dicenda: utpote quae non tam Circulo similem, quam eN cir-
Manifestum autem est, (ex constructione
Cveloidis,) non modo Peripheriam Cirenli
Generantis intepram (propter concinuam lui
guxe supponitur ad rectam r a applicationem)
iphira aequalem esle; (adeoque semissem le-
milli ec. puta curvam Semicirculi a B A, re-
Etx 78, Sc.) Sed e, particulatim, dum Cir-
culus Crenicor, Balin in B contingens, puncto
Tuo lineante delignat Cycloidis punctum b;
rectam rB ( propter eandem continuam cpxpuo-
zlu) curra bB aequalem esle; hoc est, (ducta
recta bB V Basi parallela, qua occurrat in B
Circulo Genitori cirea Cyeloidis Axem consti-
cuTO, Axique in V,) curra aB: Adeoque
et reliquam reliquae; nempe rectam Ba, HOC
eA BB, ipsi B A curra. Ec sic ubique.
Et propterca: Rectam b V, ubique aequa-
lem elle, aggresaro Areus ee Sinus recti, Sinni
verto V A compecentium; puta (rerencis Sym.
bolis propoticionum pracedencium) bV =
BA F BV =- a Y 5. Acque hoc inditteren-
ter, sire sIE V punctum, supra C Cenerum
circuli Generancis, live intra, sire denique in
ipso C. puncto.
Ductisque Ba, bB, rectis; TunE (Per 33.
EI. 6. Fucliais) Anguli Ba A, proportiona.
les iplis quibus insiltune Arcubus B A; hoc elt
rectis bB, Tcu Ba: Adeoque anguli B a 2, hoc
eltus BB7, arcubus Ba Seu BB; hoc elt rectIs
B7. Nempe, (propter angulum in centro
duplum Anguli in Peripheria, per 20. F. L. 3.
VErB recta, hoc est arcus, Bb, Teu aB, act
Semiperipheriam a B A, vel huic aequalem re-
Etam 7 a; Tic angulus bBr, hoc et B ar, ad
A ar rectum.
Dirisa itaque ra in partes quortibet aequa
les, in punctis 8, , s C,E, ec. ductisque, ab
his punctis contactus ad punctum lineans, re-
Atis F, 2C, 8d, 62, EX, ec. (quibus paralle.
Iae sint in Scmicireulo, a L, a  aD, à L, a Z
ec. arcuum arithmetice proporcionalium sub.
ten(:) erunq cum anguli F87, c27, 487, 2lr,
XET, _c. tum, his aequales, PaT, F ar, Dar.
Z ar, Z a r, _c. arichmerice proportionales:
Forumque communis excellus, primo aequa
lis; puta Fp7, rel Par; Nempe, Ca parS an-
culi rectius quae ell Te tocusr_; Teu arcus Fan Semiperipherix a F A.
Diritis aurem hoc meco, cum semieyeloide rectis Le, Ci d5, ec. rum semieie.
culo-
De Calculo Centri Cravitatis.
602.
Fig. 166. Peripheria Tua (concinua ad rectam applicatione) commensurans aequalem rectam
tem rectam (Bali perpendiculares) aC A, Crcloidis Avem.
Crrace Konnois, KinnoISO,) Pocus quat C. ides (hoc elt, Konnociss, Konnoast
culo oriundam, lioeam vel tiguram indicat.
7 ar, donec b punctum lineans, in sublime latum, (adeoque curram suo mocu
describens bB,) cireuien Facto, eandem 2a2 rectam, (in ejuldem altero extremo
7,) iterum contingat: (dum interim Centrum tuum c, rectam c Cic deseribar, ipsi
20r parallelam ex aequalem:) Curram bD descriptam, Lineam Crcloidem appel-
labimus: Rectam ra, Croloics Basin: Figuram curra illa et Base comprehenlam,
2T A, Fieuram Crcloidem: Pjusque semillem ra A, Semisreloidem: Er hilecan.
Crcloidis autem Nomen, quod spectat, Vaur (mihi faltem) Cyclois (hoc ett,

## Folio 803 — 851387705:0823
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000823.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
∞. ZX. DeCalculo Centri Cravitatis.
culo rectis Faq F, a Da, Cc. in legmenta numero aequalia, Tincula sinontio resrre.
clire cortesponena. Ductisque insuper in Semiercloide, a punctis E, 6, S, _c.
rectis ZX, 6p, so, ec. quae parallela lint rectis 62, SacC, ec. Ferunt anguli omnes
XEX, 26C, d50 _c. aequales, cum inter lo, tum ipsi Fer, cum cuilibet anoulorum
T_F, F a P, F a D, ecc. qui item (propter aequales arcus a H, E E, LD, ec. ) sune
80
Fig.
1675
19. 16
MItet se aequales.
Pravezus; cum Semicireulo, lisura ex Priansulis correlpondencibus constans
Fruncque illa inseripta Prapezia, Friangulorum inscripeorum, lingula lingulo-
rum respectire sumpeorum, (adeoque de omnia omnium,) plusquam Fripla.
Constat enim Fraperiorum illorum quodlibet, ex Priangulo simul de Parallelo.
prammo. Duorum illud est Priangulo sibi correspondenci in Semicirculo (fig
267 Teu 269.) ubique aequale; (quippe timili, et aeque alto.) Hloc aurem, illius
plusquam duplum; vepote correspondenti in fis. 170. Parallelosrammo aequale,
(aeque alcum scilicet, et super aequali base;) quod respectiri Trianguli plusquam
duplum esse, ad 5 A. CprOP. 27. octentum ell. Puca Prangulum rED H3. 167,
aequale Friaroulo Z a P tig. 267 leu 169; e Paralleloprammum 2GEX, f0. 167
aequale (utpore aeque alcum et super aequali bale) Paraltelogrammo correspondene
ZCEr H8. 1,0: quod Frianguli correspondentis Z. a P plusquam duplum este, ad
S A. PrOP. 17. demonltratur: Adeoque Pocum ZCEP Praperium, ejusdem =SP
Teu Z0. P Frianculi plulguam Lepem. Lc sic ubique
Deinde concinuaris rectis a Z, a Z, a D, _C. 2d , B, L, dcc. rectisgue EX, 62,
dd ecc. ad g i, y, ecc. rectisque Ex, 65, _c. ad 1,v, _c. ductisque rectis tun
AOq X I, Z Y, Scc. Im X1 I ZVY, Sc. ip(I ra parallelis: Civenmscribatue, cun
Semieycloidi Fisura ex Praperiis, cum Semicireulo Fisura exuLriansulis corre.
gulorum respectire sumpiorum, (adeoque ee omnia omnium, )minus quam Pripla.
Conllarenim Praperiorum horum quodliber, ex Friangulo simul et parallelo
liiii2
BFAMIO.
10b.
Ductis porro, cum in Semiereloide rectis XO, ZP, dr, ec. tum in Semicirculo
ZO, Z. P, DR, _c. bati ra Bacanens, eribatur, cum Semiereloidi, tigura ex
spondentibus constans.
Fruncque illa circum scripta Frapectu Ceet Porum Prianguloru, HSa HIM.

## Folio 804 — 851387705:0824
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000824.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
DeCalculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
213. 168. Srammo. Duorum quidem illud elt Friangulo ad Semicireulum Dotico, ubique
aequale, (urpore simili, & xque alto:) Hloc aurem, illius minus quam duplum:
uepote respectiro Parallelogrammo tis. 27a aequale, (cum aeque altum Lit, et Lu-
per aequali base;) quod Frianguli respectiri minus quam duplum elte, ad SA.
PrOD. T7. Ostenditur. Puta, Friangulum 1EX fig. 268. aequale Friangulo I a 
tig. 168, Teu 269. FF Paralleloorammum : CE, Fg. 168. aequale Parallelogrammo
165X fg. 170. adeoque minus quam Frianguli duplum, ut ad 5 A. prOD. 17. Osten-
dicur. EE proprerea eotum is Ex Traperium, ejuldem Pa Z Frianguli minus quam
Triplum. FX Sic ubique.
Fis. 166, Cunque haec ubique obrineant: Pioura illa ex Fraperiis Inscripta Cre tori Se-
67, 168, micreloidi =b A a lire ipsius portioni, ut rbB, aut Bb A a auF ctiam Bb ds
(prrobique enim, sire de cota sive de parte, eodem modo procedie demonstratio;)
Major elt quam Fripla Pisurx ex Priangulis correspondencis, Inseriptae, sive tOt
Semicirculo aB A, Aire iplus correspondenti portioni, ut a B a, aut a BA, aut
etiam a BD a: Circum scripca vero, Circum scripixe, Minor quam Fripla.
Cumque, mulciplicaris Sectionibus, Intcriptae d Circumseripca Ditlerentia con-
tinue décreseat utrobique, donce tandem data quaris minor cractat: Nec tamen
unquam Inseripta Inseripex Minor quam Pripla, nec Circum scripia Circum scripea
Major quam Pripla, esle pollic: Concmuata in intinicum sectione, crancscet ditte
rentia; Inscripeis simul e Circumseripris coincidentibus illic cum Semieycloide
ejusre portione, hic cum semicirculo hujulre portione correlpondente: critque
Proxcerea cum Semierclois Semicireuli eripla, cum partes parcium respectire sump.
carum.
Hloc est; cum Semieyclois rB A a Tripta Semicireuli a D A; tum istius POr-
tio, bBaV A, Sectoris hujus Ba A; porcioque reliqua rbB, reliqui segmenti, a Ba:
porrioque Bb a5, secloris B a D, Tripla. Lr lic ubique. Ouod erat primo loco
probandum.
∞. 166, Esturique Semierctois, Figura ex Semicireule de Fieura Sinuum Versorum
(69, 170. l Preummve) compolica. Ouippe Recta qua libet bBV tig. 266. aequalis duabus
limul bB, BV, tig. 170, 169. Ec quidem, si ex Semierloidis Traperiis lingulis
(tis. 267. vel 168.) eximi incellisantur Cua respectire Priangula; hoc elt, ex
Semieycloide quam constimmune illa numero intinita Prapezia, Semicireulus quem
illa numero infinita Friangula, auc illis saltem aequalia, constimE; (PrOTNSIS
rectis bB, ad rectam A~; uc puncta B, V, congruant: Reliqua Parallelogramma
(prius inclinata, jam exempris Prianculis crecta,) eadem erunt cum parallelo.
Erammis (fi8. 270.) correspondentibus, tiguram sinuum Verlorum Arcuumre
complentibus. Ouod itaque Trilineum Restitutum dicimus; propter parallelo.
pramma, qua in Semiescloide interpolicis rriansulis obliquabantur, in debitum si-
cum relticura in Prilineo fir. 170. Quod quidem Frilineum aliud non est quam
illud ipsum tig. 266, 2673 268. Frilineum A raD, (curra Cycloidis, de Semicir.
culi convexa, rectaque ran comprehiensum,) in debitum sicum, exemplo Semieir-
culo, reltirucum.
Aeque in parribus similicer: Puta, ex Prapeziis Ouadritincum Bb Aa in Semi-
eycloide constiuentibus, exempris Priangulis Sectorem Frilineum Ba A consti-
uencibus (vel his equalibus;) reliqua Parallelosramma consticuene Ouadritineum
BD Aa Prilinei resticuri, aut huic aequale; HToc elt, in Semieyclorde, Ouinquili-
neum bBaBA (tribus rectis bB, Ba a B, e duabus curris b A, B A, comprehen-
Tum;) vel Duacrilincum B Ba D A fIg. 266. (cribus curris bB, b A, ADa, e
recta Ba comprehentum;) Sectoris Ba A duplum: Adeoque (quod ex urrilque
componitur) Ouachrilineum Cxcloidis Bb A a, (rectis A a aB, Bb, curraque b A
comprehentum,) ejusdem Sectoris B a A, criplum. Ft Sic ubique. Similirer; Si ex
Semiercloidis Segmento ABV, eximatur Segmentum Semicirculi ABV; relin-
quicur ABB Aig. 166. = A BB fig. 270. Ft LC ubique. Ouod et de corum NO-
mentis respectu rectarum ran Y A, aut aliarum hisce parallelarum, pariter incessi-
gendum erit: Propter cum Magnicudines cum Distancias aequales. (Si vero ad A a
aliamve rectam qua ipLIS Ta T A parallela non sic, aestimentur momenta; secus
erit: Omppe ll aualium Magnicudinum, Distancia inaequales erunt. VC in-
tquidem, ut lasebide, recta hB V (ascresacum arcus e linus recti) ea
quancicas est quam dicimus f = a + s: Sic, in Prilineo retticuro (seu Pigura AC.
cuum
804
Fra dicendum exiI.

## Folio 805 — 851387705:0825
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000825.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
la
ad AXem Aa, elta ArCuS; quae vero ad peripheriam ulteriorem continuetur elt
a FS =F; quaeque peripheria propiore intercipitur elt a - s = e, ditterentia ar
cus et linus recti linui verso AV conrenientium. (Puta, lig. 286, bB = a ]
F5. 185, bB = a = 5 = e; urrobique bV = a, BV = 5.) Adeoque LI exempro
illo Semicireulo, procruderentur illa intercepia rectae usque ad A a 2Xem; qua prO-
direr tisura esser figura Ditterenciarum arcuum sinuunque rectorum: Sicut, ex
Semicycloide, exempro Semicireulo, tigura Arcuum Formabatur.
Elis ita constituris; (Nempe Semieycloidem Semicireuli Priplam esse, de partes
parcium respectire sumpearum; vel quod eodem recidie, Semiereloidem Semicir-
culo e Fisura Sinuum versorum Areuumre (hoc elt, Frilineo restituto,) simul
Tumptis aequalem, ejusque parces partibus horum respectire sumpris:) ad caleu-
Lum sic procedimus: Rerencis Symbolis propolitionum praecedentium.
Est Senseneulus ADa = a L, (DerSB. PrOP. 15.) a Prilineum relticulum
= A D a (iltius duplum) Z R P; Der SB. prOp. 27. Ergo Semierelois (ejusdem
Friplum) TAV a =3 RY. Adeoque Parallelogrammi reliduum seu Semiercloi
dis complemencum A~ P = = RZ
Ecem Sector Ba A = Z a R F ZS R = = fR (per S II. Prop. 25.) Frilinei resti.
nuni portio bBa BA = a R F s R = fR, per SB, PrOP. 17. FrgO Porrio Cycloi-
ais b Ba V A = 3a R f. 35 R = 3FR.
Irem Sermentum Semicireuli residuum a B a = = R D - = a R - =5 R = = a R -
25 (E, (PET GC. PrOP. 15.) Ergo Segmentum Semiercloidis residuum bB+ = Z RP
3aR - 35 R = Z a R = 3 5 R.
Icem; Si ex illa porrione Semieycloidis BBa V A; auteratur cum parallelo.
srammum bBa B (= b Ba B H8. 270.) =aB, cum Friansulum aBV = ESB:
hoc est Fraperium bBa V = a B = Z sB =. 2a R = aV + 5 P = 5 52: Relinqui-
tur Semiereloidis segmentum ABV = = 5a R F Zs R + a 0 + 25~ =- - = cR +
a2 = 25V = ZfR = a B = Zs B.
Vel etiam; prOpter ABV = Z C R f Z S~ (per S F. PrOP, 45.) e ABB -
= c R + a 2, (per BB. prop. 17.) erie ABY = - he R + av + 1 50 = - 5 a R +
25R +
Eq speciacim, Seemencum AdC (prOPter a = 1 2, 5 - v = Re,) = R: + E A∞
Trem, si ex ParalIelogrammo AV bK = fV (ProPter A V = V, e bV = f, ) FI8. 166.
eximatur Scgmencum illud ABV = 3fR = a h = =sB: Relinquieur Frilineu
ABI (seu seementi ABV complemencum) fv - 3f R F aB + = sB; hoc clt
(reductione facta) Le R = 352; Nempe, cancundem acque Semicirculi scemen-
cum AB V, modo dictum.
Pic
50
170.
PFOD. XX. De Calculo Centri Cravitatis.
cuum) Si Diametro A e deseribatur circulus, quae d b puncto ordinarim applicatur
Sectoribus consticui, ut, AdL, La 2, C. rel eltam (quod in partibus intinire FiS. 167-
exiouis, propter inucar approsattoeu, Tautundem raler) ex intinitis nu. 168.
eet LFal uto a CCat CCpClibIS, uE D a H, P a t, dc. Eve ex
Porro, si incelligatur Semicirentus (juxta des. 2. cap. 4.) ex intinitis numero c
rotidem

## Folio 806 — 851387705:0826
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000826.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
500
DeCuuu Centri Cravitatis.
Cap. 1
Fjo. 167 coridem Lliangulis siguram circumseriptam complentibus, Wt O a A, Ta X, _c.
268, 173, aur ecam tixuram inseripex ec circum seripiae intermediam (uipore parcim inscrip
Caus partim circum eripiam) complenribus, uc Y a P, eec. (qua rectis aZ, etc
ut illorum axibus repraesententur:) Intelligenda erie Similiter Semierclois ex 10.
tidem constirui Ouadrilineis A aEX, X56Z, ec. vel etiam (quod eodem recidie
sectione in intinicum continuata,) ex corideur Fraperiis tiguram inscriptam com-
Plencibus, ut O ZEa PZ 6E, _cc. aur circumseriptam complentibus, ut A9E a
X 155, dec. aut quae tisuram partim inscriptam parrim circum seripiam compleni,
Uc Dy dE, _c. (quae rectis 26, Scc. ut eorum axibus repraetenLEntUT.)
Cunque haec Frapezia lingula, ex Friangulo limul e Paralleloprammo con-
tistunt: quorum illud est respectiro Semicirenti Frianouto aequale, hoc autem
respectiro Parallelosrammo Frilinei Resticuri fig. 270. lunique in eildem lire a
a sive aT A diltanciis: Praperii cujusque momentum sive respectu recta 20
sive respectu rectae T A, (aliarumre hisce parallelarum) aguabitur Nlomentis li-
mul sumpris eorundem quibus aequantur Trianguli Parallelogrammique.
15. 166, Cumque hoc de lingulis obtineat, obtinebit de de limul omnibus complentibus
167, 168, vel cocam A ra Semieyloidem, vel iptius portionem aliquam, ue ABBa, DB7,
bBdd, ecc. Puta Momencum Porrionis Demicyeloidis DBa V A respectu rectae
a vel TA, aequale erit momento Sectoris Ba A, et Ouadrilinci tig. 170.
bBaB A, (respectu rectarum r a vel F A respectire,) simul Tumpris.
Tec similiter ostendetur, Momentum Scgmenti Seneveloidis AB V, aequale mo-
mentis Sesmenti semicirculi AB V, et Segmenci Frilinei H8. 270. ABB, (re-
spectu rectarum ra, Y A, vel hisce parallelarum, respectire,) simul. Aequalia
liguidem tunt, acque in eadem diltantia.
FII autem Semicireuli ADa, respectu TA, OMenEM, a R2P, (DeF SI.
PrOB. 25.) Ec momencum Frilinei Resticuri, ejuldem sesquialterum seu ut Z
ad 2, hoc est 3 R2 P. per SC. prOP. 27. Semiescloidis ipitur, respectu ejusdem
Ta momencum (urpote illis simul sumpris aequale) ad illud Sectoris, ut 5 ad 2
hoc est 3 R2P. Cunque hujus magnicudo sic (ver S B.) 2 RD; distantia cen-
tri praricatis Semiereloidis d ra, erit 3 R. Adeoque à FA, 3 R. Ejusque re-
spectu T A momencum (magnicudine in diltanciam ducta) 8R2 P. (Ouod X
quale est momentis semicirculi Frilincique Reltituri, DrOD. 15. ec 17. inventis
limul Tumpeis) Frgo et Semiquadrantalis Ongula eidem insistens, aciem habens
ra, et 8 R2 P; aciemque habens Y A, Z P3 P. Solidumque ejuldem conrertione
eirea ra tactum, 8 PP; e Semitolidum, is AP3: Arque eirea Y A, Solidum
ERP2: e Semisolidum ,B R F2
Acque si ex Paralleloerammi A P ra momenco respectu ra vel Y A, hoc est
ex R24
(proprer magnicudinem Z P X 2 P = PP, distanciam que Ceneri grari-
catis R;) auterarur Semiceloidis momentum jam inventum; habetur, Comple
menci AT F, momentum respectu ra, 8 R? D; respectu TA, S R = P. Adeoque
propter magnicudinem modo inventam, a RP,) Dictancia Centri graricatis ejus
dem d 78
R; acque d T A, ER. Irem Semiquadrancalis Ongula cidem in-
liltens, aciem habens Fa, 8 R = ~: aciemque habens F A, 3R 2 8. Solidumque
guldem convertione cirea ra tactum, 8 RD2; ee semisolidum, io RP: Acque
cirea TA, Solidum s RP 2; semilolidum, S RX=
Icem Sectoris Ba A momencum respectu r0, cAt Z f R 2 = 3sBR = Z a R2
+35 R2-
50
momentum Z fR=
DeT SMI. PrOP. Z5. Et Portionis Frilinei resticuri DBa BA
=E SB R = 3a R2 F Z5 R 2 = = SV R, Det SD. DrOP. L7. FYBO
Portionis Semieycloidis bBa V A, momencum respectu ra (ulpote ex illis aggre-
Bacum,) 35 R = = i S BR=
Ea R2 = 235 R2 = 3 5V R. (Idemque eAt e Vn.
sula Semiquadrancalis eidem intistens, aciem habens ra.) AdCOque (BFOPIEF
magnicudinem SB. inventam, 3f R = 3 a R F 3 sR) Diltantia Centri gravica-
iS 2 74, est 8R + 5 sB
25a R = 255 R -
5SB 2Ld A  115 A F 552
8
18a = 185
550: Aeque d F A, 3 R -
18 a F 285: Ejusque respectu F A momentum, (vel Semi-
quadrantalis Ongula eidem insistens, aciem habens T A, ) 2 f R 2 = 5 5 B R = 2 a R
F I2SR2 +, E5V R. Solidumque ejuldem convertione eirca r a, 3 a R P + 23s R F
25uD; et Semisolidum 3 a R P + 34 5 R P = 2SVP: AIque CirCa FA, 50.
lidum
174.
170.

## Folio 807 — 851387705:0827
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000827.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
PFOD. XX. DeCalculo Centri Cravitatis.
lidum 2a R P F i 5 R P + 3 5 2P, et semisolidum, 3a RP + 2L 5 R P + 5 5V ~. FiB. 169)
Similiter, Segmenci Semicirculi a Ba, Momencum (vel Semiquactrancalis Sp
gula) relpectu ra, et Z a R 2 - =s R 2 = EsB R; e relpectu IA, : a R=
F3SBR; per SN. PrOP. Z5. EAque LegmenE Frilinci Restimei BB7; Momen-
cum (vel Semiquadrantalis Ongula) respectu 70, Z a R = -- 25 R 2-
A
e
respectu TA, 3 L R  - 3s R = + + SBR; Det BF. PFOP. 27. LrBO (quod ex v
trilque aspregacum est) Segmenci Semieseloidis bBr, momentum (seu Semiqua
Trancalis Ungula) respectu Ta, Za R2-  25 R2 = 35BR; e respectu F A
Za R2 = 2 5 R =  35BR. HIOC est (PrOpieK a = = ∞ = d, e B = 2 R - d
respectu 7a, 3 R= P = 3a R = 72 5 R + 35VR; e respectu T A, 3 A Y
Za R2 = = sR : = 2SV R. AdeOquE (PrOpTeC magnicudinem S B. invencam,
2 a. R = 25 R = 3 R P - 3 a R = 3 s R,) Distancia Ceniri gravicalis d ra,
X
28a = 185
205R - 55V
105 R-550
D2 = 18a = +85 2 F 1, 3R+
18a - +85
dP = 18 a = 185. Solidumque ejusdem cirea r a Conrertione tactum Z a R P
=35 RZ =  ESBP = ER~ 2 = Z a RP = 235 R P F 135VF; e Temisolidum
8a R - 85 RP - 2 SB R = 16R P2 = 3a RD - 375 R P +  5VD: AEque, Cir-
ca Z A, Solidum Z a RP = Z sRP + 3 sBP = 8 RD2 = Z a RP - =L 5R∞
= 352P; e semisolidum, 8a R P = 35 RP + 2 shD = 16 RD 2 = 3a R F
45RP = 4522.
P
Tiem, Segmenei Semicireuli BV A, Momenuum respectu 20, LC R2 = 3SVR F.
+ 35; e respectu TA, ZCR 2 f =5V R = =5, _ respectu bBV, - 2C R2
= ZaVR = 5S; Der SC, R. PrOP. 25. Momencum aurem Segmenti Trilinei b B A,
respectu 70, -- ZCR = + aVR = Z5VR L 3 a 52; e respectu Y A, - Z CR 2
= a~ R + 25VR = Za s; e respectu BBV, 3C R 2 + 35~ R = Ea s; DCt SF.
DEOP. 27. Momencum igitur Segmenti Semieycloidis B V A, (vel Semiquadranta.
lis Ongula correspondens,) respectu =a, - 3C R + av R + 45VR + 3a5 + 55;
e respectu Z A, = a c R2 + a v R + 35V R = = a 5 - 3 s; e respectu bBV.
aCA 2 + Z aV R + 2 sVR = = a 5= = 8 53. Adeoque (propter magnicudi.
nem SB. inventam, = = C R F a ~ f = 5~;) Distancia Centri graritatis d 20
=3ek + 12a0 R 4350 R +6a5 +45, a TA, =30 N f 12a2 R + 912 R- 6a5 - 45
-6C K + 12aV + 650
bBY, 3CR + 6a0 R + 950 R - 625 = 25
= 6eR + 12 aV +650
cirea ra factum, - 3 c RP + av P + : 5uX
=de R + + avP + 550X-
= =CRZ = a v~ = 2522-
+ Za0P +3508.
+ 5a0P + 3508
a52 D 53∞
4R 12 X
25
+R
452∞
eX
a5 P + 2537
522
2
53∞
E K
538
3
6ek f 22aV + 652
Solidum ejuldem convertione
S2F, 53∞
eA
3Xi ee temitolidum,
Eiem cicca TA, Solidum,
E; e semitolidum, = J C R P
L: Denique circa BY, Solidum : C R Z
6k
53∞
64
et semisolidum, se RD L : av X + 350X
Fadem habentur ope Fraperii BBa V. Ouippe si ex quadrilinei BB a A
fig. 266. auteracur Fraperium bBa V, reltabir Semiey cloidis segmencum b V A:
rijusque momencum ex momento Ouadrilinei subductum, relinquit segmenei
b Va momencum, hve respectu recta Y A, tire ra; unde et reliqua conte.
QVIEHTUT.

## Folio 808 — 851387705:0828
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000828.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitaris. C ap. V.
Fis. Es autem Frianguli BV a, magnitudo = sB; momentum respectu ra, Z sH:
266, respectu T A, ShR =- ZSB: per SMI. prOD. 15. Et Parallelogrammi bBaB,
270. masnicudo ah; momentum respectu ra, Za h; respectu Y A,, 2 a b R = Z a B:
per s f. prOp. T7. Erso Traperii bBaV, magnicudo, ah F Esh; momentum
respectu ra, Ea B F =SB; relpectu Y A, 2 a B R = sB R = = a B - 3 sB. OUX
relpectire lubducta ex Ouadrilinei BB∞ A, magniudine ec momenris SD. iradi-
cis: Relinquune Scomenri b V A magnicidinem 3 f R = a B - 3 s b = - 3 a 
F25 R + aV + = 50 = = ZC R F aV F Z5V: Momentum respectu ra, (vel cor.
respondens Ongula, ) 2f R = E sB R - Z aB2 = Z sh2 = - 2 a R= + 3 sR 2
+ 240R +  50R = 3 aV - 35v = = de A = + a 2 R + = 5V R = = a 5 + = 5:
respectu TA, 2 fR  = S BR = 2 aB R = sB R + Ea B = + 5 sB2 = - = a R =
1I.
=a5 R F 252R + 3202 + 55V2 = - = e R 2 + a V R = 3 5VR = = 4 52 - = 53
Unde reliqua deducentur ue prius. Praperiique Distantia Centri sravicatis
(momenco per magnicudinem dixiso) a ra, 3 a = 2 5 B; d FA, 2 R -
3a+
6a + 35
6a F 35
Si vero, ex Parallelozrammi A VBK momenis, eximaneur momenta lexmenri
ABV; relinguencur Momenca respectira Trilinei ABK.
EIL AuTEM, (DEOPter AV = ~, b V = f, Distanciamque Ceneri gravitaris ab
Aaq vel BR, Zf; ab AK, vel BV, ZV; adeoque ab a F, Z V = B = 2. R = ZV;)
Parallelosrammi magnicudo, fu; momencum respectu Aa vel DK, = f2V; re-
spectu AF vel bV, 3fV2 = fVR = 2F52; respectu ar, 2f~R = 3f22-
3FV= + fvB = = fv2 +f52 =fvR + 3s5.
LSI itaque ex ZfV 2 = fVR - 2f52 = a v R F 5V R - 7 a 5 2 -- 2 53, auFETALIIE
segmenci ABV momentum respectu T A (modo inrentum) = E C R2 + aV R L
35V = 2a5 = - 5 53; habetur Le R + asV R = 353, momentum Trilinci ABK
respectu T A. Fdeoque, propter magnicudinem (S B inrentam) Z0 R = 352, Di-
Mancia Centri praxicaris d X A, 3C P + 350- 25
30 k p
Oek + 652
3 150: Adeoque, d
i abY, 2R - b (= 0 - = R) + -
3
et (rellicuendo
magnimudinem) momentum respectu Za, 3C R= + 3 50 R F 553; et respectu bV,
ZCVR + 350= = ZC R2 = = 5V R + 553 = = de R 2 + 3aV R = = 5V R - 353
(DrOPteE ZC VR = = a V. R = = 5VR, _ Z5V2 =5 V R -- 353.) Vel eriam Cx mo-
mencis Parallelogrammi AVBK, fVR F 3f5= e fV R. - - = f5 (modo iradi
risy) hoc clt, ex av R F 50 R + Z a 5= + 3 53, e a v R = 5V R = = a 52 - =53
subductismomentis segmenti ABV, = 3C R= F av R + : 50 R + = a 52 + 35, et
ZC R= + 3aV R F 25V R = = a 52 = 553, modo inventis; TIabETUT MOmentuM
Prilinei ABR, respectu 74, 2C R = F 3 50R + 553; e, respectu bV, = =e R-
+7av  + 3 5V R - ,53; ut prius.
Acque tractenus Semieycloidis, partiumque illius, Momenta et Ungulas, conside.
ravimmus duncaxac prout ad rectas Ta, J A, aut huic paralletas respectum habent.
Oux quidem, (propier eandem d rectis illis distanciam P’arallelosrammorum DBE n.
sive uc inclinata jacene in Semieyeloide tig. 167, 168. Tire ut crecta in Trilineo re.
stiruco H8. 270. Ec Priangulorum Cimiliter, uc x ED seu Ba P, Ag. 167, 168. cir.
que aequalium Ba P, F8. 259.) alia non sunc quam asgresata partium correlpon.
denrium in Semicirculo, ee Frilinco Restituro, H8. 209, 1 0. Ft Momenia Ongu-
laque qua Semiercloidem spectant respectirorum Momentorum Onsularumque
aceresata, Semicireulum Prilineumque illud respectire spectancium.
Verum si ad rectam A a aliamre ipLis ra T A, non parallelam exisantur; sire
ut Ongularum aciem lire uc librationis axem: Ouoniam alia est inde distantia
Paralle logrammorum in demieycloide inclinatorum, alque erectorum in Frilineo
Retti.
5

## Folio 809 — 851387705:0829
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000829.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
PrOD. XX. De Calculo Centri Cravitatis.
Resticuro; altiore acltue indagine opus erit, quo diltanciarum rariacarum justa ra.
iio habeatur.
Incellicatur itague, ut prius, cum semicireulus in minura Friangula, ut Y a P, Fis. 166.
cum Semieyclois in coridem Trapexia correspondencia, ut y sEp, distribui; quae 168, 173,
tieuram utrobique inseripea ee circum scripea incermediam (urpore parcim inserip. 274.
tam partim circum seriptam) compleant. Oux luis Axibus seu Diametris Ba
DB repraelencari incellisaneur. In quibus itaque rectis lua respectire Centra sra
vicaris constimta Fore, constat (ex prop. 5. Rujus,) laltem inde distare distancia
ouxe data quaris minor lit; quaque sectione in intinicum concinuata eranelcet.
Cunqne ex praemonstratis (SA,) Praperiorum illorum quodris ex Priangulo
constat, respectiro Semicireuli Priansulo aquali, es Parallelogrammo ejuldem
Friansul duplo, (urpore aequali respectiro Frilinei rellicuri Parallelogrammo:
Incellisatur Praperii Friangulum illud, ut vBr, (ipsi L a P simile et aequale,)
uerinque ad bB Policum, (Der cujus icaque Centrum gravitacis cransire incellisatur
BB recta;) adeoque Parallelosrammum (Fraperii reliquum) in duo Parallelo-
pramma dimidia dirimere, ut yBS Y, = BEP. Per cujus iraque biparciri Parallelo.
Grammi, seu duorum Parallelosrammorum simul sumPEOrum, commune CentrHI
graricatis non minus cransibis b B recta, quam li, exempro Friangulo, (quod in
Frilineo resticuro tic,) utrinque eidem b B rectae adjacerene dimidia illa P’arallelo.
sramma, urrinque jam aequaliter remora. Onanquam enim in sectione definica
major sic B Y quam BP, et bo quam b r; sectione eamen in intinicum convinuaca;
ditterentia illa in aequalitatem sensim eraneseie; ut ex praemonstraris patet.
Re lic constructa; Momentum Frapezii cujutris, ut y dEP, ad momencum
correspondentis Frianguli, ut Y a P, respectu ejusdem A a (adeoque de Ongula
Super ilIo ad TIngulam super Hoc, quae commmnem Aciem habeant Aa; Solidum-
que illius ad Solidum hujus convertione circa A a tactum;) est in ratione quae
componitur ex magnicudinis dd magnicudinemrarione, (hoc elt, sectione in intr-
nicum concinuata; ut 3 ad Y, per SA;) acque ex racione Diltancia Centri sravi
ratis illius, ad Diltaneiam Ceneri gravitatis hujus, ab eadem A a recta.
Flt aucem Centrum gravitatis Frianguli Y a P, in ipla a B; ejusque ab a distan-
tia cltZ aB, (per SC. prop. 6. hujus;) adeoque ab Aa distancia eAt 3 BV = 3 s, et
7
Frapezii veroy 5, Z p, Cenerum graricatis in bB positum, a B diltac 3Bb. Cum
enim Frinneuli oe= Centrum, a B diltec =Bb; de parallelogrammi biparcici leu ex
duobus compotiti, By, BP, CentruM d B distet EBb; per 6 hujus; licque utrum-
que in Bb recta, ut modo ostentum ct: Piorum ab inricem diltancia erit SBB =
3Bb = =Bb: Haec icique cenrorum ab inricem distancia, dirisa in magnicudinum.
quae TunEut F ad 2, ratione reciproca; pro communi ueriulque, hoc est ipsius
Praperii cenero graricaris, superaddic distantia Ceneri Parallelogrammi d puncto
B, criencem iplius SBb, hoc elt sBb; Per 27. Cap. praeced. Nam, Ut 3 == 2  1
ad L; sic 5Bb, ad S Bb. Adeoque, proprer = + 18 = 18 == 3, Praperii cencrum gra.
ritatis, in Bb poticum, a B diltabic, ZBb.
Et propierea, ejuldem d r a distancia erie 3 V a = 3 b; e ab A a distantia BB
(=Ba = BA) F ZBV, (Ut ex Schematis inspectu facile constabic;) hoc est
+
Racio itaque distanciarum Cencrorum gravitatis Praperii y sEP, e Frianculi
Ta P, ab eadem Aa; nempe bB f ZB V ad 3BV, Peu a F 35 2d35; cum rarione
mapnicudinum  ad F (mulciplicando) compolita; extribet rarionem momento.
rum 3bB FSBV ad Z BV, seu 3 a f 35ad 35. Hoc cM, Momentum Praperis
YSEP, in suo siem, ad momeneum Friansuli Y a P in luo, respectu ejusdem A a
rectae; elt ut Trianguli illius in distancia 3bB. f ZBV suspenti momencum, act
ejusdem suspensi in distancia ZBV, (hoc est, in luo sicu,) momencum respectu
ejuldem Aa. Hoc est (propier eandem Priansuli magnicudinem) ut diltantia
3bB. F 3BV, ad distanciam ZBV. HOC est, UtZBY ad ZBV (len uc 5 ad 2,
acque inluper uc 3bB ad = BY, seu obB ad 2. BV. Hoc est; ut 5 ad 2, acque
inluper ut 9 a ad 25.
Ouod quidem cum ubique Fat: Racio momenti Fraperiorum simul omnium.
sire qua cocam Semiercloidem, sire quae iptius Portionem ut BBa A, complenE;
Couippe de parcibus perinde procedit demonstratio acque de toris;) ad MOmENCI
omnium Priangulorum complencium rel corum Semicireulum, vel iplius Portio.
K H K H K
ne,

## Folio 810 — 851387705:0830
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000830.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
De Calculo Centri Ccravitatis. Cap. V.
F18. 166, HEm, u B~ H, respectire; ea est quam habene omnium illorum criangulorum ut
168, 173. La P, in distanciis respectire z bB F ZBV Cuspentorum momenta, ad momenra
corundem in distantiis respectire ZB V Suspensorum; seu, ut omnia Y a V in 3BY
ad eadem in ZBV respectire ducta, acque insuper uc eadem omnia Y a P in 3bB,
ad eadem in Z BV respectire.
Cumque lic cadem ubique racio criansulis ue Ta P, in 3BV, ad idem in ZBY:
adeoque s omnium ad omnia; nempe ut 5 ad 2: Sed non eadem ubique ratio
Prianguli, uc Y aP, in 3bB; ad idem in ZBV; propeer cum Priansulorum su-
per aequales bases inxqualem alcicudinem, cum aliam acque aliam racioren b B ad
BV, hoc elt, arcus ad linum: Proprerea, rationi sad 2; alia consocianda clt
Duam nempe habeant omnia respectire criangula ut P a P in 3 bB, ad eadem in
EBV; scu, quam habent omnia in 9bB, ad eadem in 2B V, respectire: Hoc est,
Duam habet Noncuplum omnium b B, Scu B0, (hoc est. B A areuum arictimetice
proportionalium,) aur his aequalium BC Friangulum a rc tig. 170. complencium
in respectiva Lriansula l a P, Teu (proprer aequales omnium bales) Trianeulo
rum altitudines Va respectiras, (hoc est, sinus vertosarcuum Ba, qui cum BA
complene Semicirculum,) Icu in, iplis aequales, bB, leu minuta paralleloeramma
his proportionalia tisuram Sinuum Verlorum seu Prilineum Resticurum H8. 270
complentia: Ad Duplum omnium B V CSinuum Rectorum corundem areuum BA,
aur hris aequalium B0 (complentium rqu tisuram Sinuum rectorum cocius Semi
circuli tig. 270.) in eadem respective Triangula leu Priangudorum Alitudines.
aue minura Paralleloeramma iplis Proportionalia: Hloc elt (in Frilineo Reltirure
tig. 270.) quam habet Concuplum omnium bB in B6, ad Duplum eorundem BB
in B0, respectire.
i. 170. ACBB, in BC seu ea ducta exhiber iptius b e momentum respectu Rei; ade.
que omnes bB in respectiras B6 seu Ba exhibent respectu ejusdem Aa, momenta
omnium bB, hoc est momentum Prilinei Ara; Adeoque Noncuplum omnium
bB in B6, elt Noncuplum Momenti Prilinei Ar a respectu Aa. Ve similiter in
porcionibus: Puca, Noncuplum omnium bB porcionem bB a B A complencium, in
respectivas B6 seu Ba ductarum, (hoc elt omnia dah, porrionem b A a B A spC.
ctancia,) elt Noncuplum momenci porcionis bB a B A, respectu ejuldem A a.
Fis. 168. Aeque omnes eadem bB in B0Hi3. 270. seu in BV tig. 168, 169. Lixhibent Jri.
169, 170. plum Momenci Semicireuli ADa aur ipsius Sectoris B a A, (prout de Priangulis
rocum Semicireutum, auc iplius tancum Sectorem complenebus, intolligatur,) re
spectu Diamecri Aa; per B A. PTOP. 18.
adeoque Daplum omnium b6 in Eo, est Persuplum momenci semieirculi a D a
respectu ipsius Aa: Aeque, in partibus limiliter, respectire sumptis.
Adeoque Concuptum omnium bB in B6, ad Duplum carundem DB in BV, cA
ur Noncuptum momenti Trilinci Belticu ATa, (ejutre portionis b B a B A,)
fi8. 170. respectu rectae A0; ad sexruplum momentum Semicireuli AD a (ejulve
Sectoris respectiri Ba A,) respectu Diametri A∞: Vel, u P riptum momenc il
lius, ad Duptum momenei hujus.
Flt aurem (per SC. prop. 17.) Trilinei Restienti A r a H3, 17O. momentumre.
spectu Aa, S RD2 = 2 R3; adeoque hujus Friptum ZR ∞ 2 = 6R: Lt momen
cum Semicireuli, respectu A a, pEr SO. PTOD. L5. 3 R3; hujulque DupluM 3R3
Llt erso Triplum illud ad Duptum hoc; ut 3 R P 2 - 6R3, ad 3 R3; hoc est
dR∞2 = 144 R3, ad 3E R 3: Sen ut 9Z2 = 144 R2 ad 32 R2. Acque hac de
mum racio (uc supra ostentum est) rationi 5 ad 2, hoc est 80 R ad 32 R2 con
juncta; exhibet rationem momenci semiercloidis Nra, admomencum Semicireui
A Da respectu ejuldem Aa rectae; nempe, ut 9~2- 64 R ad 82 R . Cum
iaque momencum illud Semicirculi sit 3 R3: Fric Semiercloidismomenum respectu
P2- 64 R
Aa. (seu corcespondens Onpula Semiquadancalis,) =
R3
R = 3 R2.-
Alque hoc Momencum per Semiey eloidis magnicudinem  P ~ (S B.) diritum:
extribet ejusdem ab A a Ceniri gravitatis distanciam, a P = L0∞
L
ox iadeoque, d r F,
d lteruendo maenicudinem,) ejulectu respectu + Y momentum
16R F
204

## Folio 811 — 851387705:0831
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000831.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
PFOP. XX. De Calculo Centri Gravitatis.
32~ 3 = 3R3. Solidunque convertione tactum (pirpoce ad Ongulam ut Z ad PB 168.
s) circa Aa, 8P3 = 3 RZP; ed cirea r T 16D  3 A P: Semi sOlidaque H0. 269, 170.
rum dimidia.
Lademque Momenca, ex retpectiris Paralletosrammi A ax F moinencis, hoc. cst,
(DTODIEF, a = LP, et A a.=7 2R, diltanciamque Conori gravicaris d Cre d = Psive
ab Aa, 274 == +7,) ex = RDE, lubdueta; relinguunt Complemenei Semiercloidis
AZ P, momentum respeetu Aa (seu correspondensem Onsulam Semiguadranta:
lem) a6 R~ 2 f L R3. e relpectu r d, 16 R 
Ct es (lic Solica Semilolida-
que correlpondenua, ad hac Momenca Ongulatre, ut D seu ZP, ad R:) Fadem-
que momentaCompleniene senriquselgidtis, ecr magnicydinem,  R P (per 5B.)
dirita; extlibene ejuldem abst a ctamiaui centri graricaio +P +
La des LBKIL HI
12
26K2
Clii 331.
5i
6X
19X.
 1s1 AHIi et _) GCIBI HBCL 1C SBI (1IS
et arF.
Sutiluer, in Semieyeloidis portione Be a V A. Momentum hujus) ad momen.
rum Sectoris in Semicirculo chrrespondencis, D a R, respectu iptius Ro, Cut modo
oltentum ell,) clt uc 5 ad 2; aeque insupers ut Triplum momenei correspondenus
Porconis Frilmei rellicuti b RaB A, ad Duplume momenci. dectoris Semicireuli
Ba A; respectu A a.
tlt autem Momencum Porrionis Prilinei Rellituti B BaB A, respectu A a, = a2 R
F asR = v R2, (per D EI. prOP. 17.) adeoque ejusdem Priplum 3 dR F 3a5R
=ZVR_ omencum SectotiS B a A, respeCtILA a, ZV R 2 = 352 R, (per 55.
DTOB. 255) hujusque Duplum 3.V R E f F. 5E PP. B. Racio itaque quam haber l’riplum
illud ad hoc Duplum, hocelb B a 2R  3a sN - 3.2 R 2 2d 3~ R 2 +- + 52R, lCI
9a 2. F. 28a5= 18VR, ad 40X Y252: dalisni 8 2d 2, lcu 100 R f 5522d
42 R +12 152 P acdetos Consdeiaca; extriber Monienui Porrionis semieyclodis
bP a V A ad momencum cortespondcurio Sestorts: (B a A, relpcetu a a rationem
Dat 845∞ 8V R + 15 5 d A ~ R F. 252 Cum itaque Sectoris momencum
illud lic 5V R  + is s Cinnatioco dictum; Jerir Porrionis Sanieycloidis bea V A,
momencum respectu Aa, (seueorrespondons Cngula SemiguadrancalIS) 222 k f.
2a5R = 3V R 2 + 35 2 X
Acque hoc momencum, per Porcionis Semiexcloidis b Ba V A magnitudinem
3fR = 3a R + ESR, (Per SB.) dirisum; extribet diltanciam Centri Graricacis ab Aa,
94 + 18, 1= 82 R + 55 st 5
1 sc 1Ba AEBS ui
03CH.~ (  2521. d 4u_ + 25
0a +95
. Unde cciam en
jusdem d h. L et b K diltancia tacsle colligicur; de momencum respectu illarum,
Icem Solidu ejuldem circa Aa convertione factum, 3a 7 P A. Ba5P = ZV R ∞
F1552∞: e lemitolleum, hujus dunicium.
Si aucem ex iorius Semlercloidis sespectu A a, momento, 3 X X 3
3R, sulodii.
catur hoc potiionis b B a. V A momencum 3 a2 R + 3 a s R = ZV R2 +. 3S2 R: RC
lingnitur, Scemenei b 6. 5 momencum respectu ejuldem Aa, 1 R P. E- 1 3 R3 -- 312 R
2a5 R + 30 R 2 = 25E R; TeU (DFOPICF a = 3 P = a, e B = 2R - v,) 3 a p 
=35R~ (3 a 2 R + 3 4. s R = 3 B R2 = 352 R: OuOd per MaenicudIneM 3 a R -
35 R; (8 B.) divitum: Fxhibet Cencri sravicacis ab Aa distantiam, 5 P - : a. +
55-
3
-05
 Adecque d Y+, 1a - 35
9a - 951
du -os: Ejulgue, cespectu F +, momencum 3 et R - 3 a s R. + 3 5. R + ; V R.
EX illo aurem Porrionis Semiexcloidis BBa V A Momenio (Ongulave) IC. B
spectu Aa; Si subducatur Praperii bBaV, respectu ejusdem Aa Momencum
Onculare: Relinquicur, respectu ejusdem AC, Momencum Ongulare Sexmenci
Semcercloidis ABV
Componiur aucem hoc Fraperium, ex Parallelogrammo bBa B, et Friangulo
aB V. Parallelosramnni magnicudo (propter baln BB = a ee alcicudinem
V a ==B, elt aB; Centrique Pravicaris (mepore in sui medio polici) ab A a di.
K H H H K 2
llantiam
8TF

## Folio 812 — 851387705:0832
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000832.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
De Calculo Contri Cravitatis. Cap. V.
Fi0. 108, santia, ZbB = Z BV = = a + 35 = Zf: AdeOque mOmentum Z F a B. Frianonli
103, 170. magnitudo (propter BV = s, e V a = B,) ZSh; Centrique graricatis ab A a
distantia 3 x = BV = Z s: adeoque momentum respectu Aa, Zs B. Momentum
itaque Traperii bBa V respectu Aa, el, Z fa B = Es h = a R + a5 R - = a V
=2a5V =55 R - EsV. (Magnicudo aurem, ah = = sh: Adeoque Centri gra
vicatis ab A a Distancia, 3F a + 5.
6a + 35
3a = 25
1
a +6.
Ilud autem Fraperii Momentum, ex Porrionis BBa V A momento (modo
ReDertO) Z a 2R F 3 asR = ZV R2 + 35= R subductum; relinquie, = = a 2 R
FZaS R = AES R = ZVR F Z a V + 3 a5V fEsV, Momentum Scomenei Sc
miereloidis b V A relpectu aa; Onsulamre correspondentem. (Solidumque et
Semisolidum ejuldem circa Aa conrertione tactum, ad Ongulam illam, ut P,
_ 3F, ad R.
Ouod quidem momentum, per magnicudinem (S B. inventam) = = e R
(= = = a R = E5R) + a2 f5v, diritum; extibet Centri gravitatis ab A a
distantiam = 3a R = 6a 5 R + se R = 8 v R2 + 6 a 3 v + 6a 50 + 2 s2 v
= 6a R F 65R f +2 a v + 65V
hoc est = a + 3a5 R f 52 R = 8 v R2 + 3 a 5V + 2 52 v
6cR + 12a0 + 650
80R = = 3a5R = 5 R = 345V  252
sei
=6CR F 12 aV + 650 Unde habetur etiam ejusdem d rY
vel BK distancia; ejusque respectu hujus Momencum, Ongulare: Solidumque
et Semilolidum ejusdem circa ~ L vel bK convertione Factum.
Si aurem ex Parallelogrammi A. V B R momento rospectu Aa (S G. tradito)
f2V; hoc eltus Cx 5 a V = a5v, = L s v; auteratur momencum scsmenci AB V
respectu ejusdem Aa, jam invencum, - = a2 R F = a5 R F 
R
v
L= a V f = a50 fEs2 V: Relinquitur Prilinei AB K respectu ejuldem A a mo-
mentum Z V R= f = a R = Z as R = =S R = 3 a 5v = 3s V: AdeOqUE, PTOPTEK
magnitudinem (S B. tradicam) ZC R + Z su; Diltancia Centri praritatis ab A a
BuR2 + 3 a R- 6a5R = s R + 6a 5v + 45 ~
60R = 65V
Haec eadtem Momenta ee Solida, alia acdhuc methodo sic investisantur.
Fis. 160, Omnia momenta rectarum bV, aequalibus intervalsis sumprarum, (sive totam
Semiereloidem, Cire iplius seomentum ut BV A complencium,) respectu recta
Ra; momentum inteorum complentia: Vel omnia Frianoula rectangula TIOlCe
lia eildem insiltentia, Semiquadrantalem Ongulam, aciem hrabentem Aa com
plencia: Sune coridem Semiguadrata carundem b V rectarum: Hloc est, lemi-
summa quadracorum rectarum omnium bV = bB f BV = a F s: Hoc est
semilumma omnium a f 2 a5 = s; seu cumma Omnium, Z a + a5 = 252
sumptis u arichmetice proportionalibus.
Fi3. 170. Sunt aurem Omn. 3 a seu semisumma quadratorum omnium BB rectarum:
Fig. 268
169.
Idem acque momentum Frilinei relticuri A Ta, (quam figuram Arcuum, non mi-
nus quam sinuum vertorum tiguram esse, octendimus S. A. prOp. X7.) ejutre Les.
menti DB A, respectu Aa. (Fst enim magnitudo cujusque DB = a qua ila
que in sui semiltem, seu Ceneri oraritatis distantiam, 3 a ducta; extibet ejus
dem respectu aa momentum, E a.) Nempe Frilinei Ar a momencum, 5 R P=
=2 R3: Et Scgmenti bB A, momentum, - Z a R + a s R = v R= + = a V, per
SG, I. PrOD. 17
Irem Omnia Z S; seu semitumma Ouadratorum rectarum B V (aequalibus in-
cerralsis Tumprarum) Semicireulum A Da ejutre segmentum AB V complen-
cium; est ejuldem ADa Semicirculi, ejusre Segmenci ABV, momemum re
spectu diametri (ux Aa. Nempe Semicireuli mOmentM, 3 R3; d Segmenii
ABV imomencum Crespectu ejuldem A ∞) ZV R7 = 65 R F 65V; per 5Q. R.
PTOD. 15.
Eis aucem jam inventis Omn. = ae  2 s; si addantur Omn. a s, (ut modo
octensum eAt) habencur Omn. Z a f a 5. f 353: Momencum Semieseloidis, ejus
ve dexmenii b V A, respectu Aa.
Adeoque
BI2
68.

## Folio 813 — 851387705:0833
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000833.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
PFOP.XX. De Calculo Centri Cravitatis.
Adeoque s admictamus Nomentum illud Semiercloidis Segmentire sui, per
praecedentem mechodum, jam inventum: Inde collisitur lumma omnuiri. 
hoc est, Factum ex omnibiis ordinatis in Semicirenlo, ductis in tespectiros aretio
iplis de vertice interceptos.
Ouippe, s ex Momento Semierctoidis, respectu rectae Aa (S FI. invento,
3 RP2 = 3 R3; auteramUS t S RD2 =2 R, cum = R3, (hoc elt, summam
Omn: = a + =5; ) Ouod rectat t  P= e Cumma Omn. a 5.
Similiter; Si ex Momento Segmenti Semieycloidis bV A, respectu Aa, (S H
invento,) = + a R = 3 a5 R F 1s R = ZV R + Z a V + = a5V = 35 V; autc.
ramus, cum = = a = R F as R = V R= = Z a V; tum ZV R 2 - 55= R + ∞ 5=V
(hoc est Tummam Omn. = a f =5, eo spectantium;) Ouod restat, = a R - = a 5 R
 =s R = Z as V, CAt. Tumma Omn. a 5, co spectantium.
Si vero Momencum illud integrum sire Semieycloidis, sire Segmenti ejus
BV a, nondum uc inrentum allumatur: Fadem Cumma Omn. as, per se habe
tUE, per S K, L. DFOP. 18. (Completur utique Solidum AB B V, ibidem de
seriptum, ex ductu rectarum bB = a, in BV = s, respectirc.) Nempe, qua
eotam Semicycloidem spectant es PPZ; Ouaque ipsius Seemencum BV A, + a R
== a5 R = = S R = Z a 5V.
Addicis isitur, pro tota Semieyeloide, cum S RP 2 = 2 R3 = mn. = a; tum F18. 166,
ER =Omn. = s; tum is RP 2 =Omn. a s: Tabentur, quatenus totan Semi. 168
cycloidem spectane, Omn. =a + a s = E s2: HIoc est Momentum Semiereloidis
respectu A a; 8 RDZ -Z R3. VE Tupra SR.
Addicisque, pro Semicycloidis Seomento BV A, tum - = a R F aS R = v R 2
 Za22 = OMn. Z a =;. tum ZV R 2 - 35 2 R + 35 = V = Omn. Zs; tum = a 2 R
= =a5 R = 45 = R = = a 5V =Omn. a s: TTabenEuT Omn. = a 2 + a 5 + 55=, eo
spectancia; Hoc elt, Momentum Segmenti Semieycloidis BV A, respectu A 
= = a R = = a s R = 2ES = R = ZV R 2 + 3a = V + Za 5V + 55ZV; Ut DEIUS SR
Onde Centra graricatis, Solidaque convertione tacta, eodem modo quo prius
elicientur.
Icem, Si Momenco Segmenti bVa respectu A a sic invento; addatur MO-
mencum Trapezii bBaV (S IE. cradicum,) FTabebitur portionis bBa V A NI9.
mentum respectu Aa; idem nempe quod alia methodo prius extibicum cA 6)
Onde ejuldem Centrum graricatis, Solicaque conrertione facta, eodem modo quo
prius elicientur.
Exhibuimus itaque cum iptius Semiercloidis (adeoque et Cycloidis torius)
ejusque parcium expolicarum, cum Magnicudines, cum Momenta respectu recta.
rum aliquor expolitarum; carumque Cencrorum praricaris ab illis rectis distan-
tias: Et propierea ipsa carundem Centra gravicatis. Datis enim Ceneri gravicz.
tis distanciis a duabus in eodem plano rectis (non invicem parallelis;) clacur
iplum gravicatis Centrum, per prOP. 26. Cap. praeced.
Acque his quidem ita cradicis; non erit ditticile in aliis iiem Cycloidis Sec-
mencis, variis modis abseistis, cum Magnicudines, cum Momenca, adeoque de
Cenra graricaris determinare: Addirionibus scilicet, et Subductionibus Factio
prouc res postulaverit.
Laclemque Segmenta quae nos ad aliquot rectas compararimus, corundem re
spectu illarum Momenta determinando, ipsaque Cencra graricaris (per distantias
luas d duabus saltem non parallelis rectis) desienando: Porerit quiliber ad alias
qualris datas rectas (propter cum Magnicudines cum diltantias Centrorum datas)
timiliter comparare: Idemgne _e in aliis Segmentis (horum oDe l prestare.
Ex Momencis aurem; Ongularum Magniudines, d Solidorum convertione
(pertecta aut impertecta) descriptorum, obtineri posle; in prxecedentibus lape
dictum est. Sunt urique Ongulae Semiquacrantales, iplis Momeneis (ut d nobis
delignatis) aequales; (alixgue Ongulae, ad has, in alricudinum pacione:) Solida-
que incegra conrertione facta, ad correspondentes Ongulas Semiquadrantales, ut
P, ad R; ee Temisolida, eorum dimidia: Et similicer de aliis impertectis con-
vertionibus, lerrata racione, judicandum. Ot ad hane aliasque propolltiones (-
Dius intinuacum est.
R K HKK 3
Denique;
M.

## Folio 814 — 851387705:0834
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000834.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
18.
De Caiculo Centri Cravitatis. Cap. V.
HA Sustre VdiC C, il 51∞03 I,
Denique; que de Cxeloide primaria jam cradidimus omnia, cadelu all decun-
curias facile transselureur, quas Procractas Contractasque pDellaME. si
0
vire ct
Cycloidem vero Primariam illam dicunt quam tractenus descriplimus; Ouam
Seilicet volventis circuli Punctum aliquod in peripheria, describit, dum ipla sibi
Peripheria commenturae in subjecto plano aequalem rectam rar; Fjulre C en-
erum rectam de
Si vero recta cCC, quam Centrum describit dum circulus unam convertionem
tacie, seu guxe huic tubest in plano rar, quam Cycloidis Balem dicimus, Major
fuerit quam Circuli Cienicoris Peripheria, Procractam dicimus Cyeloidem; ut r L r
f18. 275. Si MinOr, Contractam, UL TF T.
Dumque Circulus ADa aliquo peripherix sua puncto, deseribir Cyeloidem
Minoris correspondens punctum describit Cyeloidem Protractam ut 7I, H8. 276.
Concentrici vero Majoris cujusque punctum correlpondens, Contractam delcribie
UE FE. Ouarum quidem Cyeloidum Protracta Contractaeque Genitores, sint illi
Minor, Majorque Circulus.
Ouxe aucem de Creloide Primaria craduntur omnia; eadem Secundariis accom-
modancur; cum hoc dilerimine, Duod, cum in Primaria rectae bB linc ipsis Cc.
nicoris Cui arcubus BA Aquales; in Protractis, Majores Func; in Contractis
Mtinores; quam suorum respectire Genitorum Correspondentes arcus B A; de qui-
dem
B24
hine
DEr2
d1I
32t
1

## Folio 815 — 851387705:0835
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000835.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
C
PFODXX. De Calculo Centri Cravitatis.
dem in ea ratione Majores Minorclre, qua recta r a major est vel minor quam
EP, Genitoris Circuli Cui Semicircumterencia. Adeoque; quocies in calculum ve-
niune rectae BB: pro a lubllicuenda erit quaneiras qua ad hane lic in ca racione
qua cHt 7a, 4d 3 2. Ft Timilirer, mucaris mnicandis, in carundem GDuadracis, Cu-
bis, reliquilque poicllacibus. Oc in pracectencibus aliguor propolucionibus mo.
nicum fuic.
=ROP. XXI.
2nouta Semiercloidi Ar a insictens deiem habens F a eAt Dupla sesqui- A.
alteran correspondentis Ongulae semicirculo ADa insistentis; (cu Fis. 166.
ut 5 ad 2.
Ejusque Momentum respectu aciei suX, Cst. Duplum sesquitertium NO-
menti Onsula respectirae Semicirculo ADa insistentis, candem
aciem habentis, respectu aciei (uxe; Peu ut 7 ad 3.
Idemque in respectiris portionibus obtinet: Puta Dneula Ouadrili-
neo bBa A in Semiercloide insiltens, aciem habens ra, eAt Dupla
sesquialtera respectirae Ongulae Sectori B a R insistentis; seu ut
52d 2.
Ejusque Momentum est Duplum sesquiterrium momenti respectirae (p.
sula insistentis Sectori B a A; respectu aciei suxe Fa; scu ut 7
ad, 3.
1 25. A. Y
Atque hinc eadem respectiro determinantur, tum quoact NOmenLa,
e Centra graritatis, in Tnoulis semicreloidi, ejutre portionibus,
insistentibus; atque in illis qua semicirculo, ejusque portionibus
respectiris insictunt.
.
ce ete
Treimpe Crecentis Symbolis ue in provosicionibus praecedentibus,)
Semiguadrancalis Ongula, Semicreloidis ar an aciem habencis ra Mar-
nicudo cA3R P; momentum respectu ra, 3b R3 P; relvectu Y A,
28R. P; distancia Ceurri sravitaris a ra, 3R; d P A, SR: Momentum
respectu AC, 3 R2 . - G R2; diltancia Ceneri gravicaris ab A a, i P
128 R
45~
Aciemque habentis T A; Masnitudo, 3R. P; momentum respectu Za,
e R P; relvectu TA, 38 R. P; dittantia Ceneri BravicatiS 27a, 23R;
B.
1I.
B.
a TA, E R: Momentum respectu AC, + R2 P 2 = 3, R; distantia C en. HI
eri pravicatis ab A a; 1 P - e+
637
Aciemque habencis Aa; Magnitudo, S RP2 -3 R3; iomentum respe. H.
Aura, ER P = 5RC; respectu T A,  R. P, -3 R; distantia Cen-
Eri CravicatiS L Fa, DR= p- 6G  i d FA, 8R. + 32 43
9P2 -64 R: MOMentuI M.
respectu Aa, is R P. = 2b P P; distancia Ceneri eravicatis ab A a,
35 R28
0P -64 R
Onsula (Semiguadrantalem intellise) Portionis Semiereloidis BeaVA,
aciem habentis ra Masnieudo, 3FR F i SB R; momentum respectu
an 3 fR3 = 3sB R2 - 585 R; respectu L A, 2 f R3 -  sB R + 265 R
distantia

## Folio 816 — 851387705:0836
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000836.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Fie. 186. distantia Ceneri eravicatis d ra, 3 P f 24 5BR - 7 5.
24 5B R = 75
Cap.V.
45FR + 255B; d T A, 3L
45fR F F5 sB. Momentum respectu Aa, 3a 2 R + 13a 5 R2 = 3aSVR
30R3 + 52R - 8s2  R; distancia Ceneri gravitatis ab Aa a -
45 a R + 64 V R 2 - 4252 R + 14 5 =V
90a R L25OS R - 305V
C. Aciemque habentis TA; MagniendO 2f R2 = ESBR; mOmentuM re-
Spectu Ta, 2 fR3 = = sB R + 3853 R; respectu Y A, 32FR3 - 12 5B R
265 R; distancia Ceneri xravitatis, 2 r0, 23 R f 52 sh R + 405
441fR = 1055Gi d TA,
32X-
525BR F 4053
qq2sR = ZOGSB: MOMEnEuM LCSPECU A a, 3a2 R + i: a S R2 -
30R + 2s R + 3a 52 R + B sE v R; distantia Centri eravicatis ab
A∞, a - 32VR2 + 63a 2 R = 19s  R = 24 52 V
126 a R + 665 R + 3052
C. Aciemque habentis Aa; Maenicudo, 3 a2 R. L z aS R = 3 v P + 3 s. R;
momentum respectu ran 3aR  33 a5 R7 = 3 a5V R - 5 V R3 + 3E 5 p
 25 V R; respeCU FA, 3a R F iaSR = SuR3 + ,35 R + 3asV R + 3s VR;
distancia Ceneri eravicatis d ra, sR - 22V R - 30aSR -- 8s. R + L5a5V 1 7 5V
27a + 5445- 24V R f 7552 111
20R 30aSR - 8s R + 25252 + 7522
272 +54a5- 2quR f155: Momentum respectu Aa,
32C R3 = 3a V R~ - 8sVR F 3a R + 3~ SR + 3as R F B5 R; distantia Centri
eravicatis ab A
87C R - 96aVR - 952R + 36a3 f 208a 5. f60a5 + 245
3S 54a F 108a5 48V R + 305
D. Ongula portionis Semiercloidis bBr, aciem habentisra; Magnituda
Za R 2 = 25 R 2 - , EsBR; momentum relpectu 24, 38 a R3 -3Z5 R3-
3sBR2 = 853R; respectu T A, 33aR3 = 225 R3 + sB R 2 - 365R;
distantia Ceneri Graricatis a ra, 3 R -
25h
15 a R = 45 5 R - 155B
45 a A = 45 5 A = 155B: Momentum respectu A a, Z R 2 ∞.
16 p1 - 3a P f 3vR - 2aSR = G5 R + 3asVR f ,s v R; distaNLia CCHErI
praricatis ab Aa; a F
45 RD2 = 280aR P + 180a R = 5 12 R + 256VR2 = 7645 R + 5652
180RY - 360 a R - 6005 R + 1205V
Aciemque habentis T A; Magnicudo Z a R2 - 2 5 R3 = E sBR; mOmen-
EUM ReSPeCtA X∞ 25 ∞ R3 - 375 R3 f + SBR 2 - 353R; telDectu T A,
37a 3 = 325 R3 + 135 B R + 85 R; distania CenErI BTAVICaTIS d ra, 2R
525b R + 4053
525hR f 495
44ca R = 4+ EsR f 207, si d P A, 3 P F agraR = 44 usR + 1055: Momeneum
respectu Aa, 2 R 2 ∞2 = 8 p a + 3V R3 = 8a = R 2 - = a SR 2 - 13 57 2
=1 a5VR = 25 R; Distantia Ceveri gravitatis ab Aa, a +
63 R∞ 2 = 252 a RF = 256 R3 - L 128VR = = 252 a2 R - 765 R - 56524
252 RP - 504. a R - 264. 5 R - 1205V
Aciemque habentis Aa; Magnitudo, iSRZ = -3,R3 = 3VR2 -2 a 2 R -
2a5R - 25 R; momentum relpectu ra, , 3 p P - 15 R + 8uR - 3a X -
325R - 35  + 2a5uR + VR; respectu L A, Z R. P. 3 p + 30
82 R
MI.
D.
a

## Folio 817 — 851387705:0837
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000837.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
O
PFOD. XXI. De Calculo Centri Cravitatis.
F7
-3a  = 1 a5t - , 3 s R. - ha5VR - , 2 v R; dlictamia CCntri Era vitatiS a FiB. 166.
+a, 3 - 292R. - 962 R + 240a 5 k + 64 5 R = 120 a5V- 5651y
5422 - 384 R = 216 a = 432a 5, + 192vR - 1205
lA,
colc. 21t
3R. f 292 R. = 96v R2 + 240as R + 64 57 R = 120 4 5V - 56. 5 7 011. Ys9 -
54 P2 - 38 + R = = 2164 2 = 43245 f F92VR = 7205 2
mentum respectu Aa, is R P3 = ab R3P = 32 C R3 + 3aV R + 55VR2
2a3 R = 3a 2sR 845E P = 58s R; distantia Centri stavitaris ab A4,
0P3 - +05R P = 1740R] + 292aV( + 1650 R = 72a = 21645 = 12045 - 2853
2.7- 192. (7 F96vA 108a 22645-6057
N.
Ongulae Fraverii bea V, aciem habentisra; Magnitudo, , ab. F 5 5 H; F.
momentum respectura, 3ah + Lsb; respectu T A, ap= P + 3 5H K
= 3a b3 = = sB.; dictantia Centri GravitaLiS a F a,
2R-
12 + 3.
4a F 35
8a +
id ea
b: Momentum respectu A0, 1aeB2 f sast f sseh; dictanria C en- R.
eri gravitatis ab A 0, ; a f 425 f. 35
22 a + 85 73a. + 35. f
 et
Acienque habentis F A; Magnicudo; 2 aB R F 5B R = 2 aB 1IBE5 B 2l. F.
momentum respectu ra ahR = 3sB R = Z a B = = sB; respeCtUTA.
4ab R2 + 2sB R2 = 2 ah R = 3sh R + 5ah3 + 5h3; dittantia Ceneri
B
25BR  FB2
13BA - 6. t a R + 12 5 Re = 6aB = 4 5 B; d F A,, 2 R -
24 a R + 125 P = 6 aB = 4 5: Momentum respectu A∞, sabR K.
F 35BR a h-hast - 5sh; dictantia Centri sravitatis ab Aa ta +
252R = f5B
25  98 a R = 24 5 R = 22 a B - 85B
es
Aciemque habentis Aa; Masnieudo, 2f ah F Es2 B; MOmentum re-
Spectu ran 102B + 3a5h + 55 2 h2; respectu TA, faB R + ss BR ta B
=Jaot -ss. H; distancia Ceneri pravicatis a ren : B. f 2 a sh + s b
2R - +B -
2 a s B + s? B
125 a = 4 52, id TA,
12Sa t +s: Momencum resrectu Aa, 5 a. B + ; a 5B. F
as b F i. s b; distancia Cencri gravicaris ab A, + +64e 5. + 4as + 5
65a + 25
Ongula Segmenti Semiereloidis bV A, aciem habentis P A; MTonie
do, = = e R + a v R F 3 52 R = 5a5 - 55; momentum respectu I A,
= C R3 + 3 a0 R = 852R  - 3 a52 R - 38 5 R = 5 a 52 V - + 53V; rC(DC-
Au ra, = 2eR3 + 3av R 2 + 85VR= = 5 a 52 R = 165 R + 3 a 52 V + ; 52v;
resrectu bV, ZCR3 + 3aV R = + 35VR -- 5 aS R = 3 S R - a5V-  s V;
distantia Centri eravicatis a TA, 5R +-
dFa, ZR -
(= 8R = B)
6fVR- 3(5R - 4252 V - 35V
65VR = - 3552R = 4452 v - 253=
3C R = 12aV R + 95u R = 6a5 = 453i abV, v - 3 X
R.
F
esoR - 35s R(= 3 f22 ) = 4a5 v - 3 5. v: HOMeH R
30R = 12a0 R + 950R = 64 52- 45
Tum respectu A a, - 522R2 + 2a5 R = + 252R2 - 4 ~ R3 + Za = V R +
245VR = 18S2 V R = , a2 53 = 3 a s = 6s; distancia Ceneri gravitatis ab
L. IIIV

## Folio 818 — 851387705:0838
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000838.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fix. 106. A a = a  das R + 752 R = 32uR = 27asv  + 205 VR - 1 2a5 = 9s+
= 28C. R + 7 2auR + 545VR = 36a5 - 245
Aciemque habenris ra; Magnitudo, -- ZC R2 + aV k = 25VR + Z252 f 555.
momentum respectu TA, = = C R3 = 3aVR = + 85VR  = 3 a s R -
385R = 5 a sV F253V; respectu ra, = 32C R3 = = aV R + 55VR 2 +
3a52 R + 3853R = 3 a 52v = 253 V; respectu bDV, Z C R3 + B a V R2 +
25VR2 = Z452R = = R + 3a5v f 1:SV; distantia Ceneri gravicatis . a TA,
= 22eR + 48avR + 275VR = 24as7 R - 105 R + 24452V + 185V
54e R = 72avR F 18SVR + 36a5 + 245;
a 7a,  87e R + 96auR2 f 95VR = 96as R + 585. R - 24. a5 v = 185. 2
a BV
=54C R= + 72 aV R + 185y R + 36a52 + 2453
22eR + 42av R + 6350P = 4BaSR - 85. R + 12 d.2 v f 65,  . ∞1
=54C R2 + 72 aV R F 2850 R f 36a 52  2.53;
Momentum respectu Aa, = 8 a R + 3a 5 R f ,3  R - 8VR, f 1a v R f
2a 5vR F i6s V R + +a252 +5a5 F554; distantia Centri searicatis ab
Aa, 2a. f 27as R. = 55. R = 64u R + dasu R + 45’ vR + L2a 5 F 9s
=54eR F 72avR + 2852N + 36ast f 24 5i 
Aciemque habentis bV; MasnieudO, Le R + 3 a v R. + 3 5V R = 3 a5 15:
momentum respectu P A, 3C R3 + 3aV R + 35VRZ = 5 a S7 R = 35 R
= 5a 52V = 25V; respectu r , GR3 + 3aV R + 85VR2 -= 3a s R-
35 R + 6a52 v F 1S V; respectu bV, = 3 C R3 + 3aV R + 35VR-
Ca S R- 18 s R = 3 a s v = 3S V; distantia Centri pravicaris a F A, ER-
2a5V =53V - est R
2a520 + 539- es R
30 N f 6av R + 952R- 6a5- 25:  72, 3R 7
3e + 6avk + 950R 6a5 - 25d: d
R. L. bV, 3R = B (= v - 5R) f  11 2a5v + 5iv = es R
ZeR = 6avR + 95VR = 6a5+ = 253 MOmen.
cum respectu A a, sa R = a5 R f 3. s2 = Zu R + ia vR + 3a5V R + 5 s VX
=+a2 5= = 5453 = 25 +; distantia Ceneri Bravitatis ab Aa, 32 +
4252 R= = 945 R = = 64 V R3 + 27 a5V R = 1O s V R - 6a53 - 35 2
180R = + 36 a V R + 54SV R = 36a 5 2 = T253
K. L. Aciemque habentis Aa; Magnitudo, - = a R + ; as R + i 52 R - 3 0 R
+ Za2v F =a5∞ =E5=V; momentum relpectur a,  - 3 a 2 R2 = 3 a5 R2 +
2S R = 80 R3 = Za 2 V R = 2 a 5V R = 1b5 = V R = + a 2 5 2 + 3a 53 + 852;
resoectu TA, = 5a2 R2 +  as R7 + sE R 2 - 8V R23 + = a = V R + 4 asVR
1ds VR = = a252 = =453 - 55+; relpectu bV, 5a = R2 - : a 5 R = +
2S R = 3V R3 + + a 2 v R + 3 a 5~R + 5652 V R = 1 a2 5= - 5 a 5 - 2 5 2:
distantia Centri GravitatiS d XO, 3R L  Csisi
452  = 8vF = 18 a V R f 36a5VR = +45vR - 18a 25 - 24 a5 - 95t
= 18a R + 36asR f 65 X = 48u. R + 36a v + 36a5V F 125V
Z TA, LR ] 4 N - 80 R  18a VH + 36a5V k + 245 V R- 1825 - 24a5, - 9s+
=18ae R L 36a5  f65 R -= 48uR + 36a v + 36a52 = 125
abY, 3 R B.- 4 R BvR + 18a2 R + 3645V PP + 14 s V R- 28a5- 24453- 9st
=18a R + 36a5 R +65R - 48vR + 362 v + 36a52 f 12520
Momentum respectu A a, 33C R3 = 3 aVR = - 5 5V R2 = 5a3 R. = Z a 25 R
+ 5a5 R = 365 L F3 a v + 1 a 50 +5 a5v +  sv; distancia Centri gra-
vitaris ab Aam
87 c P = 96aV R - 95vR = 12 a R + 36 a sR + 12a5 R = 25 R f 29a v
=36a252 L 244522 + 653V
48V  = 18 a R F 36a5 R + 65 R + 36 a v + 36 a5v + 1752 v.
Adeoque
E.
X.
O. P.

## Folio 819 — 851387705:0839
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000839.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
PrOP. I.. DeCalculo Centri Cravitaris.
Adeoque extribuimus, in expolicis Ongulis, cum Maenicudines ee Mo-
menta, cum e ipla Craritatis Centra. Ouxque de Onoulistradita
Tunt; ad Solida conversione facta facile transterentur. Ouaque de
expolitis dicta Cunt; Facile est ad alia, calculo rite achibito, accom
modare: Puta, Ongulas Frilinei ABK; alialre ejusmodi.
Ouaeque de Ongulis Solidisque Semiereloidem Primariam spectanci-
bus tradita sunt; eadem omnia ad Ongulas Solidaque, Semiereloi-
des Sccundarias (sre Protractas sire Contractas) spectancia facile
tTANSFETeNEUL.
Tcriburis, (ut ad proposicionem praecedentem) Tum Semicireulo ADa, in
A.
minuta Friangula, numero intinica: Tum Semiercloide A xa, in cocidem FiS. 166
Tcapecia correlpondeucta: Lucelligutur unique insisteic demiguadrancalis Vngula, 168, 170
aciem habenS 5a.
173, 174
Oux aurem rel toci Semicireulo, rel ipsius Sectori, ue Ba A, insiltic Vngula:
componi incelligatur ex intiniris numero Ongulis, seu Prramidulis, minuis illis
Frianoulis (vE aB, Seu Z a P,) incumbencibus: OLarUM COIINNIS verrex lIC a
punctum; Balisque super Priangulorum illorum Basibus (we YP, etC.) crecta,
alcicudines habeane iplis Va respectiris aequales.
Ouxque Semiercloidi sire toci, sire iplius Porrioni, ut BBa V A (quae Sectori
Ba A relpondet,) insiltic; ex toridem noulis, quae respectiris Fraperiis Bb, leu
YsEP, ecc. incumbanc; aeies habentibus in + a recta concinues jacenres, alcitudi-
nes vero super iptis y bp Frapexiorum balibus (pro Semiquadrancalis Vnsula
ratione) iplis V a (respectire) carundem a ra diltanciis, aequales.
Dux quidem Minuris illis Praperiis insiltentes Ongula B(propier Prapezia
illa aequalia, respectiris cum Semicirenti Priangulis, cum Prilinei Rollicuri
tis. 270. Parallelosrammis limul Cumpeis, ) aequales erune respectiris Pyramidulis
Cuneisque simul sumpris, quae respectiris Semicirculi Priansulis rilineique, re
sticuci Parallelosrammis, incumbunt; adeoque ad prramidulas illaS, ut 5 ad 2
Cut ad PrOB. PraCCd. oltensum cs.) Suncque in eildem respective sive d ra, live
L’A, (aUE hisce ParaHCLIS,) distanciis (HE BatCL.) Adeoque et Momenta MO-
2
mencis aequalia habebume live respectu recta ran sire LA, lire cujulris hisee
Parallela rectae.
Cunque hoc in singulis respectire obtineat, (adeoque in simul omnibus:
TIlius, quae ex Ongulis hilce, minutis Frapeziis incumbentibus, componitur, (sive
Toci Ara Semicrcloidi, sire ipsius portioni, ut BBa A, vel bBd d, vel bBr _C
tig. 266. insiltencis,) Onolilae Momencum; aquale elt Momelicis, simul Tumpris
cum illius quae ex Pyramidulis componitur Ongulae, (lire coci Semicireulo ADa
lire ipsius porcioni respectira, uc Ba A, BaD, BaB, ec. intiltencis,) tum il.
lius quae ex Cuneis componitur, (sire cori Frilineo relticuco, live ipsius vorcioni
respectirae, ut bBa A, bBd d, bB7, Sec. Hi8. 270. insiltenuis,) simul Tumpris.
ER autem illius quae ex Cuneis, ad illius quae ex Pyramidulis componieur, Un
sulae momentum, respectu rectae 7a; ut 4, ad 3, (Per S A. PrOP. 2O.) Fst ita
que illius quae ex Ongulis Prapeziorum componitur (lire con Semieycloidi ANa
tire iptius Porrioni, ut bBa A, bBd a, bBr, ec, insiltencis) momencum (ut
Dore iurisque illis aequale) ad momentum illius qua ex prramidulis componitir
(sire tori, Semicireulo ADa, sire iplius respectirae Portioni, Be A, B a D Ba B,
ec. intiltentis;) ut 7 ad 3.
Et quiden, ea quae Prilineo resticuro ArO, l8. 270. intistic Ongula sive
aciem habeat ra, sire PA, sire aliam quamvis rectam hilce paralletaim; alia not
est quam quae Frilineo diltorto Ar aD (Cycloidis currae, de Seietteuli conrexa
incerjecto) intistie, in licum debitum resticuta: FF Ongularum Nomentas respe
Au rectarum ra, TA, aut hisce parallelarum, (proprer cum Magnicudines tuu
Diltancias aequaleo,) sunc aequalia. Ouod et in parcibus respectire comparacis,
perinde obtinet: Puta, qua curra rectaque AB, AB, ti3. 170. e qua chrris
AB, AB,, HG. 266. interjacet; item quae rectis Ba BB, H0. 770. qua que duabus
sive rectis Ure curris Ba, bB, fs. 166. interjacet; (et simulicer alibi;) proprer
L.t1I.
tun
te

## Folio 820 — 851387705:0840
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000840.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V
Fir. 266, cum Magnitudines cum Diltancias utrobique aequales. (Si vero vel Ongularum
acies, vel rectae ad quas momenta altimantur, tinc Aa; aliare quae ipsis ra, TA,
Parallela non tic; lecus erit: Propier vel Magnicudines, vel Diltancias, rel utral.
que rariatas. Or post dicendum exit.)
EA auem, rori semicirculo insiltenis semiquadrancalis Ongulae, aciem ha-
benris ra Momentum respectu ejusdem ra rectae, 3R3 Z; e respectu rectae
PA, 2 R3 P; per S T. PFOV. F6. Porique Frilineo insistentis, aciem icem ha-
bentis za momentum respectu ran eltu Z R3P; respectu T A, Z R3 D; Der SB.
PrOP. 19.
tergo Semiercloidi insistentis Ingula aciem habentis ra momentum respectu
70, 28 R3 P; e respectu FA, 25 R. P. Adeoque (propter magnicudinem S R2 P.
Der S C. proP. Praeced.) Diltantia Ceneri graritaris Dnoula d re 6R; a JA, 3R.
Semisolidique circa ra, Magnicudo (quippe ad illam noulae, uE = P ad R, scu
P ad 2 R,) E RDZ; Diltancia Ceneri gravicaris a ra (quipre ad illam Ongula,
ut 2 R ad L P, seu 4 R ad P,) 2 P; semitolidique momentum respectu axis
sui ron ad illud Vneulae ut 2 ad L; (propter maenicudinem uc P ad 2 R; ee di-
Canciam ve 4. R ad X: per PrOP. 12. e 24. elque R n  = 7:) hoc est,
23 R. Y.
Similicer; Semicireulo insistentis Ungulae, aciem habentis F A, Momentum
respectu ran 16 3∞; e respectu Y A, 1 R3 P; (per 5F. prop. 16.) Trili
neoque Relticuro insistentis, aciem habentis TA, momeneum respectu ra, Z R34
(idem urique acque aciem habentis ro Momencum respectu TA, propier magni-
iudines _ distantias reciprOcaTAS,) e respectu TA, IE R3 P; Per SB. PrOP. 19.
Ergo, Semiereloidi insistentis, aciem habentis T A, momenium respectu ra
2R3 P; e respectu TA, 28 R3 P. Adeoque (propres magnicudinem, 3 R2
per SC. prOP. praeced.) Diltancia Centri. a r an 23 R; e d TA, 22 R. Semiloli-
dique cirea TA, magnicudo, i R D=; Diltantia Ceneri sraricatis ab aXC ConVer-
tionis TA,
(18X
2 ∞i Momentum relpectu ejuldem F A, 3 R3 P.
irem Ongulae Sectoris BaA, aciem habentis ra momenium respectu ra,
8FR3 = 3 SBR2 - 3 s R; respectu L A, 3F R - 2 sB A = 12 s R; Der B W.
PrOD. 16. Ongulaque porrionis Trilinei resticuri bBaBA, aciem habentis ra
momencum relpectu ro, EF R + E 5BR = 3s R; relpecta YA, 3F R + 35 R
Der SC. PrOP. 19.
Ergo Ongulae Portionis Semieveloidis B Ba V A, momentum respectu ra, 27 f R:
+85BR = 2b5 R = 32 a R) + 3sR = 85VR= 65 R; relpectu TA, 3 s R
3 SBR2 + 2b 5 R = 37 a R3 + 3 5 R +  50 R + 23S) R. AdCOqUO (PTOBIT
magnicudinem Z f R2 L E sB R, pPerSD. prOP. Prxeced.) Distancia Cencri Sravica.
15FR + 155B1 e a, F A, 3R 4 sBR - 7
45FR = E5 5B
rIB 2 78 Z R + =4SB R =  5.
dique circa ram magnicudo EF PP +  sBP: momencum relpellu ra, 3 f R.
+3 sB  =  . R; Centei erabicatio L ru dillania, (4 R  56 5B F. - 28 S R
37
45fAP F 15 5tZ
Similicer, Ingula Sectoris Ba. A, aciem habentis Y A; Momencum respectu
T A, elt 3fR= 2 sB R 2 - 2s R; pex S W. PrOP. 16. Ongulaeque in Frili.
neo correlpondentis bB a BA, i FR3 = = 5B R 2 = 3 s R, pet 5C. prOP. 10.
Ergo Ongula portionis Semiercloidis BBa V A, aciem habentis L A, momen-
tum respectu iptiuS TA, 3 fR3 - 22 5 B R 2 = 365 R = 2 a R3 + 35R F 32 5V R
=3sR; _ respectu ra (idem quod aciem trabentis ra, momentum respectu
PA: Propies magnicudines et dictantias reciprocatas,) 34 S R . L  a 5B R2  , 35 R
=3 a  + 2 sR. = 2 52 R 4 1. s R. Adeoque (propter magnicudinem 25 R
 Sb_ per S. D, BEOP. pracect.) Distancia Ccatei pravicaio 2 F A, 3 R=
52 5 B R
320
170.

## Folio 821 — 851387705:0841
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000841.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
vel
PFOD. XXI. DeCaleulo Centri Cravitatis.
52sBR = 495
14SR = 2055B; e d ra, 3 R + 525B R + 435
4415 R = 205 sB. Semritolidique Ciica TA, E, C. 166,
magnitudo 3f R P = Z5 BZ; mOmenEuM respectu TA, 52fR = 13SB R2 - , BS R;
Cenrique gravicaris inde distantia L28 R. 208 shR = 19653
2+~ 4+2fRP - 105SBZ
Trem, Ongulae Segmenti aBa, aciem habentis ra; momencum respectu ra, est
8a R3 = 35 R3 - 8sB R 2 f E s R, e respectu T A, 3a R3 - 85 R3 + + SBR =
iES R; per SY. prOP. 26. Ongulaque respectirae in Zrilineo Relticuco bB7,
momencum respectu + a, 34R = 35 R) = E sB R + ; sR; et respectu Y A,
Ea R3 - 35 R3 = 3 5 R; Det SD. PrOD. 19.
Ergo, Ongula portionis Semiercloidis bBr, aciem habentis + a momentum re-
spectu ra, 3 a R3 = 37 5 R3 = 8 5B R= = 28 5 R = 2b R3 ~ - 33 a R - 3 s R.
=35VR 2 = 353R; respectu T A, 3 a R3 = 33 5R3 + + sBR2 L 3+ 53R
= 28 R 3  - 22 a R3 = 2 5 R3 = 2+ sV R = 385 R. Adeoque (prOPteL magni
cudinem, Za R 2 = Z5 R2 = ZSBR, Per SF. prOP. PraeCed.) Distancia Cencri gra-
vicatis a 74 205 aN - 1055N- 63 sB R + 14 5
=3X.
900. R = 905R = 305B
T4SBR = = 5pV
45 a R - 4155R = 255B 3
25a R2 -755R = = 35BR = 24 52
90a R - 905 R - 305B
R-
=62
T4SB R = 7 53
45 a R = 455R - +55B
45 a R - 455R - 155B
=3.
F 15aR = 455R - 15 5B
Semi-
solidique correspondentis circa ra, magnicudo, 8 a R P = 3s R P - Z5BP; ejus
que respectu ra momentum 33 a R 3 - 325 R 3 - - 3 sh s E. H 18 s R; indeque Di-
Pancia Ceneri gravicacis, 24. 
 285B R Bn etum
32 45 a RY = 455RY = TFFBY.
Similiter; Ongulae segmenti aB a, aciem habentis F A; momencum respectu
FA, est 3a R3 - 35 R3 +  sB R  f 2 S. R; Der 8 Y. PrOB. 16. Ungula que
correspondeneis in Tcilinco Rellicuro b er, sa R) = 35R + 35b R F 35 R:
DET S D. PFOV. 19.
FrSO, Ongula BBF in Semieycloide, aciem habencis FA, momentum respectu
T A, 33 a R3 = 395 R3 = 12 sBR = + 38s R; et respectu ra (idem quod aciem
habencis ra, momentum respectu PA,) 37 a R3 - 34 5 R +  S B R= = 285 R. Ad.
eoque (propiet magnicudinem Z a R2 - 2s R + ESB R, Der S F. prOP. praeced.
Distancia Ceneri gravicaris a F A, 277 a R
=3ER
3P.
525BR + 495.
442 a R - 442 5 R + 105 5b
525hR + 495
44F a R - 44F s R + 105 sB
 1
5R + 57sBR + 145
126 aR = 1265R + 305B
lXd
25 a  - 75 5 R + 3sBR- 14 5
226 a R = 1265R + 305b
Semisolidique correspondentis circa FA,
magnicudo B a RP = 8s RP +  shP: Momenrum respectu YA, 33 a R
=225 R + 1 sBR F 1b 5 R: Cenrique Graricacis d T A diltancia L18 R.
20d 5BR2 L 29653 R
44T a RP = 442 5 RP + 1055BY
242
Eiem, Ungulae Scementi Semicirculis B V A, aciem habenis F A; momencum
respectu TA, cAt, SCR3 + 35V R = 3 s R = 4 53y; d respectu ra, dC R 3
+35VR2- 3 5 R +  siv; et respectu bBV, = 3C R3 + + avR - 5 sV R
1E5 R = 1 SV; per B F, PrOP. 16, tu
Et Ongula Frilinei BB A aciem icem habentis TA, momencum respectu FA,
est = 30 R + 3aV R + 3 5uR3-  3a 52R ∞ 55 R- 3 a sev; et respectu ra
L. IIL
ZC R
70
D
821

## Folio 822 — 851387705:0842
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000842.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fi5. 166, - 3C R3 + 3aVR2 - ; 4 52 R + 3 si R 4 5 a s v; et respectu bBY, 30R.
70.
= = aVR 2-  25V A2 = = aSt R = 2 s R =  5aS V; per S F. PrOD. 1D.
Ergo Ongulae Segmenci Semieycloidis bV A, aciem habentis T A, momentum
respectu TA, C =, 2CRP = 3a~R2 4 85VR 2 - 3 a s R - 385 R = 5 a s2 V
+53V; e re(DeCtuL nan = 2 C R3 + 3aVR 2 + 350R= = 3aS R = 53 R
f = a s V f Z53 Vg. _ respestu BB V,, 120. R 3-  3a V  f 35D R = Z a s R = 35R
3as2V =  V. Adeoque (proprer magniuidinem, - e X F a v R + 35V K
2a5 = = 5; ver S F, C, prop. Placect) Distancia Ceneri Pravicatis d Y A.
=15C R3 = ∞6 av R + 815DR2 = 48 a 5 R = 385 R - 2445 v = 1850
 sustonDC R  72 aVR + 545. V R = 36a 5 = 24 5
=8R
650
23 F sR C = 3f0 R) - 4 a 520 = 3532
=3eA7 + 12aV R + 95VR- 6a5 = 453
22CR3 + 48a v. R7 1Y 27 50 R2 = 24 a s R - 105 R = 24 4 52 2 = 18530.
15. 111
184R3+. 72. a V R = 545VR = 36a5= 245
3 fV R - 4 26 V - 35~,c
=3 a BE+ T2 avR + 95V R = 6 a 5: = 4 53:
a bBV,
25CR3, + 30 av R2 + 45 50R = 24 a 52 R = 26 5 R = 12 a s2 v - 653V
= v-
= 18CR + 72 av R + 54 5VR = 36a5 = 24 5
3fV R = 4 a5~ = 35 V
=3CB + 22 avR + 950R = 645= - 45. =
350 R -4 a 5V = 3 53V
=3C R3 = 12 av R, H3 V R = 6a s = 45; Demisolidique correspondentis
circa TA, magniendo ad illud Ungula aciem habentis Y A, ut Z Z ad R. Mo-
 Cenerique sraritatis di-
sancia in semilolido, ast illam Ongulae ut 2 R ad = f
Similiter, Ongulae Seementi Semicirculi BV A, aeiem habentis ra; momentum
respectu ram eltus de R + 85V R + i s R - = s2 V; e relpectu bBY,  deR.
F3aV R F 3 5V R2 = 4 5 R + 1SV; per B F. PTOP. 16.
10c
Uneulaeque Tritinei bB A, aciemr habencis ra, momeneum respectu  a, Es R3
E5bR 35 R, 3a B = = 3CR 4+ ZaVRE =5VR + 3aSR  5 R
=5a s2v; e respectu, bBY, 3fR 3 abR = 5BR 35 R - = 5B2 R
DCOD. 19.
3C R3 A,  4V A E + 3 5V R7 = 3a 5 R + a5 5 R t 6a5v; Dex BF.
Adeoque Dngulae Scomenti Semieseloidis BV A, aciem habencis +a monien-
cum respectu rb,  3 C R3 + 3aV R + 55V R + 3as R + 285 R = 3 a s V
= = 53V; e respectu BBV,  C R = 3a V R 7 35D R2 - 3 a 5R = 3 s R
=5a 5 V. f ∞ sV;  relpectu T A, (idem quod aciem habentis Y A, momen-
rum respectu re,) C R3tSaV R2 + 350R 5 aS R = 35 R L 5 a sV
F 253V. Adeoque (propier magnicudinem, 13C RE = a V R + à sV R
Y 3 25 f 353; per 8 HsC. DFOP praeced.) Distaneia Centri gravitarisy X Xa,
=d7o R, + 9640 , + 95D R2 + 96 a 5 P + 58 5 R = 24 452 v = 18 500
a bBV3
2TCR
54c R2 F 72 aV R = 18 sV R + 36a5 + 24 5
= 42aV R= = 625VX = 48a S R  85 R + +2 a 5 v + 65V
54c R + 72 aV R f 185V R  36a5  24. s M v 1,
iZ eRF 48 aVR F27 5D L 24 aS R. 185X f24 a 5 D + 18sV
d. F A ∞ 115
5C R F72aV R  185V  2 36as F24 55  11.
Semisolidique correspondemis citca r a Magnimido ad iplud Ongulae, ut L V ad R;
Momencum respectu axis sui ra ad illud Onsula, ut 2 dd L; Dictantia Ceneri
Braricaris d 2o ad illaur Csnsutascub Z se ad : 8. Let dire. ologues
Simlliter, Ungulxe Segmeniti Semicirculi BV A, aciem habenris b B V, momen-
tum
822

## Folio 823 — 851387705:0843
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000843.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
C
bB
PTOP. XXI. De Calculo Centri Cravitatis.
cum respectu BBV, est, 3C P + 3 5V R L ; a st R +  B R =  S v; per GV. Fip. 166.
PrOD. 16. EE Ongulae Frilinei bBA, aciem habentis b BY, telpectu bBV, est 170.
de R3 = 3 a V R2 + 3 a s R = 28 5 R - = a s V; per S f. PrOP. 10.
Erso, Unoula Sesmenti Semiercloidis B VA, aciem habentis bBV, momen
cum respectu BBV, cst - =  CR3 f- 3aD R + 35VR  = d a 5 R -
53se
== a 5V - ESV: Ejusque momencunt respectu Y A (idem, acque aciem b2
bentis PA, respectu bBV, ) C X + 3aV R 2 + 35V R 2 = 3 a s, R = 353 R
=6a52∞ = 253V; e respectu ra (idem aique aciem habenis ra, momen-
tum respectu bBV,) + C R 4 Z a D X 4 35VR L 2 aS R = Z53 R
+3a52V F 5 SeV. Erdo (piopier maenicudinem L C X= f  av R F Z 5uX
= = a52 =553; per SF. prOP. Praced.) Distancia Ceniri pravitacis a BBV,
=15CR3 +60 aV R + 455 R = 12 a5 R = 385 R, 24 a5 v- 653 v
28C R = + 36av R + 545V R - 36a53 = 125
= 3R - B (= 0 - 2) 1
2 a52V = 53V = e52R
3C F + 6au R + 95v, R = 6a5 = 2, 5
15CR. + 30aVR 2 + 4550R 2 = 24 45 R - 1653 R = 124 52 v -6530
= 3 R -
18CR =. + 36aV R + 54 5D R = 36 a 52 = (253 b 1IIF
245v + 53 v = e 52 R
3C R= + 6 a v R + 950 R = 6a 5 = 25
22CR 3 + 42 av R2 + 63 50 R= = 48 a s R  85, 3 R t 12 a152 y + 68V
== 3R 1
18CR2 = 36 a0R + 54. 5,~ R, = 364 52 = 12. 53 + 1Y
a52v. = 53 v = C 53, . p ta I. Semitolidique correspon.
30 R2 +6av R = 99VR = 6a52 = 253
dencis cirea h V; magnicudo, ad illam Dnxula ut Z. P ad R, nempe se R P ].
=a2P + 8507 - 2s 
5. 34
Momentumt, ael illud Onente, uc 2 ad +.
adeoque - 3e R 3 = 3 a V R 2 + 25 ~ R 2 = = a S2 R - - 13 53 R = 2 A 5 2 V - 1 532:
Diltancia Cencri Gravicatis  B V Curpore ad illam Vngula uE 2. R ad Z ~, )
=30c  4 + +20 a vR 3 + 00 5V R 3 = 24. 252 R= = 765 R22 4BaS VR- +25VR
oc R2D + 18 a D R + 275DX~ = 18a5P 853∞
Eademque habencur oDe Praperii bBa V, ee Oneularum huic insistencium.
Ouippe subductis Ungulis Praperii bBaV, ex respectiris Ongulis porrionis bBa A;
restane Ungula Segmenti BV A. Ec de momenes similiter. .
Est aurem Ongulae Prianguli B a V aciem habencis r a momencum respectu
2a 25B3; respectu F A, ZS h2 R = 25b3 per S W. prop. 16. Ongulaeque cor.
respondentis Paraltelosrammi bBaB, momentum respectu r en hab3; respectu
TA, aB= R = Z aB3; Der SF. PrOP. 19
Erso Vnoulae Praperii bBa V, aciem habencis ra, momentum respectu ro
5aB3 = + 5B: = 8 a R3 + 25 R3 = 3 a V R2 = 5V R - 3 a s2 R - 53 R + = a s V
= 253~; respectu T A, ab= R + Z sB2 R -= 3 aB3 - = 5B3 = 3 a R3 + Z5R.
5aV R 2 - 350 R2 = 5a S R + 553 R = 3 a 52 V = = 5d v. AdCOque (PrOPICS
magnicudinem, = a b F Esh2, per SC. prop. praeced.) Distancia Ceniri gravi.
catis d 7 a, 4a = 3s
6a + 4
B; atque d YA, 2 R, 4 9 + 35
6a + 45
Eademque momenta, ex respectiris correspondencis Ungulae porcionis B Ba V A
momencis, 3: a R3 + 32 5R3 = 85VR2 - 56SR, _ 37 a R3 + 3 5 R3 f 5V R
F 35 R, (d C. tracticis,) subducta; relinquune Ungulx Scemenei BV a aciem
hrabentis ran momencum respectu ra, = 32 a R3 + 325 R3 (=. - 3ZC R3) + Zav
+550 R 2 + 3a52 R + 3853 R = 5a 52 V - = 53V; e respectu T A, = 7 a R +
a S R (= - 2 C R3) + 3 av R2 + 35VR  3 a s R - 28 53 P + 3a 5 v + + 5ev;
uc supra SF. Onde reliqua deducentur uL PEIUS.
Similiter;
P
82

## Folio 824 — 851387705:0844
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000844.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
CapV.
Fis. 166, Similiter; Ongulx Frianguli Ba V, aeiem habencis PA: Momencum respe
Atura (idem acque aciem habentis r e, respectu F A, ) 3 S B= R = = 5B3 = 35 R
350R2 + 55 R = 2532; relpcetu Y A, 2 sB R2 = 3 sB R = + 5B3 = = sBR
+353R - a 53B = 3s R3 = 35~ RZ + 553R f 5 3V; DEx S N. PrOP. 26. Vn.
sulaeque correspondentis Parallelosrammi bBa B, geiem habencis. L’A, moivencum
respectu r0. (idem acque aciem habentis ra respectu, Y A,) ab3 R = 5 ab =
SaR. = 3 4uR + 5as R - 3 a s2V; respectu T A, Za R3 = 5 aV3 = 3 a B R2
+3aSR = 5 a F2B = 5a R3 =5 a V RF +, 3a57 R + 5452V; per GE. PFCP. 19.
Erso Ongula Praperii bBaVp aeiem habentis, PA, momeucm respectu ra
(idem acque acieni, habentis r a, respectu P A,) g, B R + 3 sB2 R = 5 a, B3 =  5h.
=3a R3 + 35 R3 = 3 a v R
respectu TA, 3 a P3 + 2sB A L. 3  R A d a s  C + 3 s R - 5 a 5 v. - ; 52 v; ee
35B R = = av + + sB3 =  a B RZ + 3s BR 2
+3a5=R + 853 R = 3 a s B = = 53 B = 4a BR  2 5 b R - 2. c b R - 3 s H R
= 3a B3 + 4 5B3 = 3 a R3 + 35R3 - 2 a v R2
55VR= = 345E R F 353R +
5a52 v. + 253V. Adeoque (Proprer maenicudinem 2 a b R F SB R - = aB2 -
35b2 = 2 a R = F35 R2 = a v R - 3 52 R + 5 a 52 + 5 53; Der BC, PrOB. Pra
ced.) Diltancia Cencri Gravicaris d r a
25R sB
12 a R F 8 5 X = 4 a B = 3 5 B
24 a R + 125R = 6ab = 4 5B
25R fBh
B Y 24ase F 12SR 6ab = 45B  d A, 2R b 2 aR f125R 6ab 5
Fademque Momenca, ex respectivis Momentis correlpondencis Onsulae porrio.
nis bBaV A, 33a R3  385 R3 F 25V R 21. F 353R, c 3 a R3 + 35 R3 L 1252 R2
=2753R, (SC. praditis,) Subdueta; Relinguime Ongulae Segmenti b V A, aciem
trabencis F A, momencum respectu Ta)=  a R3 f (2 s R3 (= - 76 R3 ) = ZaVX
+85VR2 = 5a52R  3853 R + 3a 5 V = +53V; d respectu T A, = 2 a R3 F
25R (= = =C R3) + 3 aV R2 + 85V R = 3a 5 R - 18S R = 3a 5 v 5v:
Oc Tupra SF. Unde reliqua deducentur ut prius.
Accedimus ad considerationem Momenti Ongularum Semieycloidis, ejulque
Fig. 166, parcium, aciem habencium r a vel huic parallelam, respectu rectie A a aut paral.
168, 170. lelae huic: Adeoque et (proprer diltantias es alcitudines reciprocatas,) aclem ha-
73, 174. bencium A a duc huic parallelam, momenci respectu re, auc parallelae huic: FO.
rumque quae hine dependent
Diltribiuis inaquie (Et ad S L. prop. praeced. e alibis ) cum Semicireulo in sua
minura Priangula aB, Peu Y aP; cun Semiercloide in respectira Traperia Bb,
(eu ysEP, tig. 168. quae respectire aequalià linc iplis L a P Priansulis, et paral-
lelosrammis y dEp Fe. Y70. Tunit Tumpris: L rISI intellisaneur, ac prius, On
sulae Semiquadrantales aciem habenues ra; quas compleane uldem Priansulis
Praveriisque minuris, intiltences minutae Onsilla. Oux itaque Frapeziorum
Ongulae, aequales crune respectiris Friansulorum de Pacallelosrammorum, Onsulis
limul Cumpeis: Or ad SC. jam ostentum est.
Ongulae Prianguli Y a P (Pyramis cum sic) adeoque de huic aequales similiter.
que policxe Prianguli (in Praperio incermedii) vBr, Cencrum gravicatis (illic
in aB, hic in BB, potiris, ) a ra distabit Dodrance alcicuclinis, (Per PEOP. 6.
hujus,) hoc cst, 3 Va = Z B. Adeoque iptius YaP prramidis (sed non et
iplius vB =) distancia ab A a, ZBV -
s
Ongulaeque parallelosrammi Y sE p H3. 270. (urpore Prismacis, duabus baFI.
bus Friangularibus incerjecti,) centrum craricaris d ra diltat, alcicudinis Belle.
(guancum scilicet inde diltat TriansuLI CenErUNI,) Der PrOP. 5, 6. hujus; HOc
elt, 3Y a = 3h. Acque cancundem inde diltac bipareicae Onsula, parallelogram.
miS vS, 2E, (utrinque Z DB aqualiter remotis,) Hg. 208. Centrum GravITaTIS, in
ipsa bB policum. L jusque Cencri, a Cenrro Onsulae vB modo indicati in ca
in quod spectat, seu dictanciam a 7 cs,) c(t 2 h- 2B
dem bB, distancia, (alticudinet
=:. Adeoque, propter Prismaris magnicudinem ad magnicudinem PytariciS,
Uc = ad 5, seu 3 ad 2, (est urique Prisma dimiclium correspondenris Paralle lepipeci,
824
70.

## Folio 825 — 851387705:0845
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000845.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
PrOv. XLI. De Calculo Centri Ccravitatis.
ee Pyramis ejusdem Friens,) alcicudini ceneri Prismatis addicis duabus quintis Fiy. 166.
ditterentia alticudinum, hoc est Z X E b = oB, habetur Ongula Frapezii y 5Ep 168, 170.
(ex utrisque constantis) alcicudo Cenrri sraricatis, leu diltantia d 7a, ZB + 35h
= 2oh. Adeoque ejusdem ab A a distanca, bB + SBV = a + 135.
Cum itaque Cnorila Prapezii cujusque Y sSp, ad respectivam Prianguli Y a D
Ongulam sic, magnicudine, ic 5 ad 2, (ur ad d A. ostentum est:) Sicque illius
Diltancia Ceneri gravitaris ab Aa, ad hujus distantiam, ut a F 135 ad 3 s; exit
Vnsulae Fraperii cujusque y sEp momencum ad momencum correspondenis Vn
sulae Prignouli Pa P, respectu ejuldem Aa, ut 5 a = Z5, ad, 25.
Cumque hoc ubique obrineat; (licque eadem ubique magnicmdinis, Ungule
Prapesii ad magnicudinem Ongula Friansuli ratio, uc 15 ad 2:) Fric momen-
cum Onigulae Porius Semiereloidis, ejulre porcionis, AbBa aut BBd d, aut bB7
ecc. (nam in parcibus perinde procedie demonstratio acque in toris,) ad corre
spondens Momencum Onsula Semicireuli, ejutre. Sectoris Ba A, aut Ba D, aut
a Da Termenti, scc: (quacum deies Cino roy) respectu recta A a: UL omnes illa
Frianguli Ongula, Pyramidetre, eo speclances, in distancias respectire 5a. + 35
ad caldem in 3s, ductas; seu ui omnia quadrata V a (quibus, proprer X P ubi
que aequales, proportionales lunc illa prramides) in 59 = 35, ad eadem qua
drata Va in 3s: HIOc C, ut Omnia 5 a B f 2 sh eo spectancia, ad Omnia 3.5 h
respectira; Teu, ut Omnia 10 a B + 75 B2, ad Omnia 3 5B, eo spectancia: HIoc
eltus We 7 ad 3, acque insuper ut Omnia 20 a B, ad Omnia 3 sB, eo spectancia;
Cumpeis a arcubus arichmetice proportionalibus.
Sune aurem (PrO ABBa Portione) Ommia a s (Tumptis a ariitimerice pro.
Dorcionalibus;) hoc elt, Omnes a arcus arichmetice proportionales, in quadrata
Sinuum. vertorum, areuum ad Semicireutum residuorum; idem acque Duptum
Momenti correlpondencis Ongula ABBa EB. 77 aciem habencis ra, respectu
recta A∞; (propier Triangula sinrulis BB rectis ibidem insiltentia, = B; e0
runque ab Aa distantiam, a; adeoque momenta = a B:) HHoc cA, Duptum ip
TiuS 3a R 2 = Za5 RZ= = aSVR = V R3- =s R=; PeF S F. DEOB. 1O. Adeoque
corundem Decuplum, Icu Omn. 20 aB: CA hujus Momenci Visecuplum; hoc
Clt 3 a R2 f 25 a5 R= = 5 a5VR -= 20V R3 + Z5 R
Suntque Omnia sB2, eo spectantia; hoc ct, corundem arcuum arictimetiće
proporcionalium Sinus recti, in Sinuum vertorum, arcuum ad lemicireulum reli-
duorums quadrata: Idem acque Duxtum Momenei Solidi, quadrilineo ABB ∞
fg. 270. incumbencis, ex duetu rectarum BB, in B0 facti, respectu rectae ra:
Hoc cA, Duplum ipHuS, 32 R3 f Zs RZ = 5S2V R per S F. prOP. 18. Adeoque
corundem Criplum, lcu Omn. 35b7; ct, hujus momenri ledcuptum, hoc ett
4V R3 + 45 R = 5V R.
Preo Omn. 20 a B2: ad Omn. 3 sB2: (portionem ABBa spectancia;) Tunc.
vc 3 a = kZ + 25 as R2 = 5a5VR = 20. VR - 3 52 R, act 4V R3 f 4 52 R
=s V R. Cui li adjunsaeur, prius memorara, ratio 7 ad 3; (en 232 R3 +. 28, 52. R3
ZSVR, adt 4V R3. = 45 RZ = SV R; Hlaberur ratio momenti ungula porrio
nis Semiercloidis AbBa ad momentum Ongulae decloris BaA, lquarum acle
Ta,) respectu ipuS Aa;
a R. + 25 a5 R = 5aSVR = E V R3 + ac s2 
35 d, dd 4. dk + 45 R2 - s V R
Cum icaque momentum illud Ongulae Sectoris B a A fit (consequentis Tubiduo.
decuxlum )Ev 3. - Zs R2 = 2s= V, (Der SL. prOP. 16.) erie, Ungula porrio
nis Semiercloidis ABBa, aciem habencis sa, Momencum selpectu Aa, (lubduo
decuplum ancecedentis,) 3a R = 23 a5 R= Ba 5VR 3V R + 3+ 52 R 2
36V X
adenique est, Ongulae porcionis Semieyeloidis AbBa aciem habentis A a, mo-
mencum relpectu ra
Ouod quideti Momientum; divisum per Ingulae illius ABBd aciem habentis
Ta, magnicudinem, Z f R2 + 3 sB R = 2a R2 + 235 R2 = B S V R, (per SD
DrOP. Praced.) exhibet Distanciam Cencri graritaris ab A a
64VR 75 asR 4F s R f 15a5V + 14 5V
90 ak  15OSR-- 305V
45 a.  +640   4 25 R + 14 5
90aR. = 1505R 3050
Idemque Momencum. diritum per Ongula ejusdem ABBa portionis Se
micycte aet TIabenTS Aa, magnicudinem Z a  R + 3a5 R = Z V R
F2S, , per 8 I. prop. praced. exhibet hujus Diltanciam Ceniri stavila
Mt in n m

## Folio 826 — 851387705:0846
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000846.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
FiB. 16C
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
68, 170 lid a r0y E R - =2v R. = 30 as R = 8 s. R + 25 as0 + 752 v
27 a + 54a5 = 24 V R + 15 s2
2R + 12.V R 2 = 30 as R - 85 R = 25 a 5V = 7 5.
27 a + 54 a5 - 24 V R = 15 52
2 TA,
Adeoque ejusdem re.
spectu T A, momentum, 8a  R = F I= a5 R2 - Z V R3 + 73 52 R2 + 2 a 5V R
f 3652 V R.
Ouod ipsum, est eriam Momenium Ongula porcionis Semiercloidis ABBa,
aciem hrabentis T A, respectu Aa. Adeoque, si per hujus ungula magni
cudinem 2 fR2 = E sB R = Z a R2 + 2t 5 RZ F 1Z SVR (DeF S D. PrOD
peaeced.) diridatur: Elabetur ejuldem Dictantia Cenrri graricatis ab A_
af 33as R. + 195. R -- 32v R + 15a50 + 145V 63a R - 1 952 R + 320 R2- 145V
226a R +665R F 305V
126a R +665R + 3050
Si isitur cocius Semiereloidis Ara Ongulas spectemus: Juoniam hoc catu
CAt a = Z P, V == 2 R, e 5=0; erit Onsula Ara aciem habentis ra, momen-
rum respectu Aa 3 R. p. - 15 P; Magnicudo, 3 R2 P; Cemrique sravicaris ab
Aa distantia, 27 128 k=
aciemgue habencis Aa, momentum respectu ran 3 R.  2 - 13, R 2; Maeni-
rudos 3 R ~ = - 3 X; Cemrique fravicaris distancia à r 0, 3 R -
32R.
32. R3
d∞- 64 R2
a TA, 3R + ∞2 =6q R2: Momencum respectu T A, 5. R2 ∞ 2 - 3, R2.
Aciemque habenis TA, momenrum respectu A a, : P, ∞. - 9 R; Maeni.
cudo, 3 R = P; Distancia Ceneri Bravicatis, ab A a, +∞ - 64 k
637
Si autem ex Ongularum Forins Senrieycloidis A ra Magnicudinibus et NO-
mentis; auterantur respectire Magnicudines ec Momenta Ongularum ABBa: IIa.
bencur Ongularum bBr, Magnicudines de Momenta.
Pura, sI ex Ongula Ara aciem habentis ra, Magnicudinc Z R 2 F; _ NO.
mento respectu Aa, Z R 2∞2 -s R+; modo extribitis: Auterantur respectirae
Ongulae AbBa magnicudo, Ef R= + Z sBR = Z a R2 + 235 R2 = 35VR; 
momentum respectu A∞, 3a2 R = F 23 a SR 2 = 3 a5V R - 8VR3 F G= 52R =
= 35 S V R; supra tradica SC. Hlabetur Ungula portionis Semieycloidis bB2,
aciem habentis ra Magnitudo, 3 R P - Za R = = 23 5 R= + Zs V R, Teu (PrOP-
Dex  = = P = a e B = 2 R = 2,) Za R = - Z5 R2 - 3sBR; ejusque, relpe
Etu Aa momenium, Z R= D= - 3 a R = - 15 R a = 8 v R3 - 23 a sR 2 + 3 a 5V R
22S2 R2 = 2b 5= V R: Adeoque Cencri gravicaris ab A a distantia, a +
45RD2 = 180aRP + 180 a R = 512 R3 + 256VR2 - 164 5 R + 565 v
180R ~ - 360 a R = 6005 R. F +205V
Si ex Ongulae A r a, aciem habencis P A, magnicudine, 8 R2 P; e momento
respectu Aa, + R2 ∞2 - 8 Pa modo cradicis: Auterantur respectira Ongula
A bBa maxnicudo, 2 f R 2 =  SBR = 2 a R2 F I= 5 R= + Z5V R; _ momen.
tum respectu A a, 3 a R2 = IE aS R 2 = 3V R3 + 13 5 R= + 3a 5vR + 3 s V R:
Tupra tracica SC. Flabetur Ungula bBr, aciem habentis TA, magnicudo, 3 R 2Z
-2 a R2 = 1 5 R2 = 1 2 5VR = + a R2 - 2 5 R = + ZsB R; ejusque MOIENtM
respectu Aa, 3 R2∞2 =  R+ = 8 a2 RZ + 3V R = i asA2 = 22 52 R
Za SVR = 365 V R: Adeoque Cencri graricaris ab Aa distantia, a +
63R D 2 = 252. a R F = 256R3 f +28V R = + 252 a R = 765 R - 565v
252. RP - 504 a R = 264 5 R = 1205V
Si ex Ingula A54, aciem habencis A a magnitudine, 2 RD 2 - 2 X3; No-
menco respectu ran 2R, ∞. GPL; e respectu F A Z 2 ∞.- 5 pa; modo
tradicis:
820

## Folio 827 — 851387705:0847
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000847.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
PFOD. ZXI. De Calculo Centri Cravitatis.
cractiris: Auterancur respectiva Oncula AbBa, Magnicudo 3a = R + 34 S R = F1B. 166,
30 P2 +, 352 R; mOmenTuM respectu 24, 3a2 R 2 + 23a5R  = 2 a 5V R - 170.
50R3 + 92 52 R2 = 585 2 V R; e respectu T A, 3a2 R + 1 a5 R = = 8V R4
2252R2 + 3a5VR = 85 2 V R: Habetur Ongula BB7, aciem habentis A a M2∞-
nicudo, 3 R~ 2 - 3 R3 = = a = R - 3 a 5 R + 3~ R 2 -  35 = R; MOMENCuM re
spectu Ta, 3R = D2 - 15 R 4 - 3a 2R3 = 23a5 R2 + 30R3 = 935 R3 +, 3 a 5VR
= 3652 ~R; respecta Y A, 2 R 2 D 2 - , R a - 3a2 R2 - 1 a5 RE + 3V R3 -
2s 2 R2 = 325VR = 56s 2V R: Adeoque Diltania Centri gravitatis d Ta, 8R-
202R3 = 96V R 2 F 240a5 R + 645 2 R - 120a 5V -56570
d
5+22 - 384 R 2 = 216a 2 - 432 a5 f 192VR = 120522
TA, 3R f 292 R3 = 96v R + 240 a5 R + 64 sR = 120a5V = 5652V
54D = 384 R - 216a = 432 a5 F F92DR = 22O52.
Acque hinc facile derirabitur, Ungulae bB, aciem habentis Fr, Nomentum
respectu ra, vel TA, Centrique graritaris inde distantia.  1
Sed e haec omnia quae Onsulas bBr in Semiereloide (Ag. 166.) Spectant, por-
Tunt etiam per se exquiri, sine ope Ongularum A B Ba. Nam e hic etiam perinde
ralet quod SC. demonstratur: Nempe Momentum Ungulae bBr, aciem habentis
2a relpectu Aa; ad momentum respectirae Onoula sermenei a Ba, aciem haben.
eis ra respectu Aa; elle ut 17 ad 3, acque intuper ue Omn. 10aB2, ad Omn.
3sh2; seu, uc Z ad 3, acque insuper uE Visecuplum Momenii Ongulae bBr in F.
sura Sinuum verlorum tig. r70. aciem habentis ra, respeetu Aa; ad Sexcuplum
Momenu Onsulae Scemenci circularis a B a tig, 169. aciem habeniis ra, respectu
Ac. Ldemque erit, Ongulae BBr tig. 166, 268. aciem habenEiS Aa, IOMENEIM
respectu ra. Unde et caetera eo spectantia derivari porerunt; cadem quae priis.
Deinde; Si ex Momentis Ongularum ABBa, auferantur respectira Momenta K.
Ongularum Fraperii bB a V; reltabune respectira Ongularum A b V Momenta.
Constar aurem Onsula Frapezii bBaV, fs. 266: aciem habentis ra; ex dua-
bus Ungulis; Nempe Frianguli B a V, de Parallelosrammi bB0B.
Est aurem Onsulae Friansuli B a V, aciem habentisra; Momencum respectu
Aa, 352B2, per S MI. prOP. X6.
Onsulaque Parallelosrammi bBa B, magnitudo (quippe eadem quae respectirae
Onsula bBa B t18. 270.) EaB2, Der S F. PrOD. 17. Cencrique sravitaLIS d ra
dittancia, 3B, (Der S C. DFOD. 5. ) adeoque ab A a, 3a. f, 3s, Cuc ex schematis
aspectu tacile coMlisiuT:) Et propierca, ejuldem respectu A e momencum, Z a s
+: a5B:
Ereo; Ongulae Tocius Fraperii bBa V, aciem habeniis re, momentum respe.
du A0, cst = a = B= = 5asB2 = 352 B, seu ( PrOpter B = 2 R - v, adeoque
B2 = 4R2 - 42 R + v2 = 4 R 2 = 2v R = 5,) a2 R2= = a = V R-
2 a5 R2 = 3a 5VR - 3453 + = s= R2 = + 5 = V R - 852. Idemque est Ongulae
bBa V, aciem habeniis Aa momentum respectu ra; propier Distancias ee AIIi-
Eudines reciprocatas.
Ouod iaque momentum, per Ungula aciem habeniis ra magnicudinem : a H
=SSh= (uc B F. oltentum elt) divilum, extriber ejuldem Ceniri gravicaris ab A e.
distanciam, ia f. 4a5. + 35 -.   4a + 35
120+65
121+85
= : a + 1st 36 a + 245
Idemque momentum, per Onsulae aciem habentis A an magnicudinem : f a b +
5S h = h a B + =ash + 5s2 b (per Sk. prop. praced.) divitum; exhibet
hujus Ongulae Diltanciam Cencri Gravicacis d Xa
3B + 2a5. + s
6a t 8 a 5. F 35
22 a7 + 12a5 + 45
12Fa fq5 B: Adeoque d FA, 2 R - : B (= R + 5 2) - 2a + 5 - 5B. FL
125 a + 4.
propcerea ejuldem respectu TA, momencum, fa B R = 3 52 BR = + a B = = a sB2
5S2B2. Ouod etiam (propier alcicudines ee distancias reciprocatas) est mo.
mencum Ongulae bBa V, aciem habentis Y A, respectu Aa: Adeoque per Vnou
lae bBa. V aeiem habentis Y A, magnicudinem 2 a b R + 5b R = 3a B7 - 3 5 h
M m m M M 2
(PeF

## Folio 828 — 851387705:0848
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000848.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
(per S G. prop. praeced.) dirisum; extibet hujus Diltanciam Centri gravicatis ab
252R f5B
A∞, =4 + 5 
f5V- 2a5R
4Ba . +24sR - t 2aB -- B5B :  t a t 24a R. + Bs R + L2aV + 850
Fig. 166. Si itaque ex Ongulae portionis Semicycloidis ABBa aeiem habentis T a, MO-
mento respectu Aa; Peu, aciem habeneis A a, momento respectu 7∞; 3 a 2  2 f
23a 5 R 2 F 325 2 R 2 = 8 V R3 =  a 5 V R = 365 = V R (Der 6 G.) auteraLE
respectirum noula bBa V momenium modo tradicum, a 2 R2 = Z 2 5 R 2  Z52 R
=Ea 2 VR = Z a 5V R = + S V R = = a 25 2 = = a 53 - Z 5+: Ilabetur Ongula
AbV, aciem habentis ra, momentum respectu A a; aciemve habentis A a, MO-
mencum respectu 50; = 3a 2 R 2 = 2 a 5 R 2 + 35= R 2 = 3 V R3 + = a 2 v R
F= a5V R F i s2 V R + + a2 5 2 + 5 a 53 = 854
Duod per Oneula AbV, aciem habencis ra magnicudinem, - 2 a R = +
35 RZ = aV R = +5V R F =a 5 = f 353, (Der SF, G. prOP. Praced.) divitum;
extribet ejusdem distantiam centri graricatis ab A e Z a F
27 a5R2 f55 2 R 2 - 64V R3 f 9a5VR + 4 5= V R + +2 a53 + 954
=54e R2 +72 a V R = 185VR + 36a5 F 2453
Idemque momentum per Ongula AB V, aciem habenus A a, magnicudinem,
a R + asR + 3 S R = 3v X + 3a V + = a 5v = 55= V, (Der SR, L. PrOP. PrX-
ced.) diritum; exhibet ejusdem distantiam centri gravitatis d ra, 3R -
q X = 80R + 18a VR + 36asVR + 245 VR - 18425 = 24a5 - 952
= 18a R + 36as R f 65 R= 480  + 36a v. f 36 a50. F 12 5V
Adeoque d F A, 3R +
452 R 2 = 8v R3 f +8 a VR = 36a5V R = L4SVR = 18a 2 5 = 24a5 - 95t
= +8a R = 36a5R f 6s2 P = 48uR = 36a V + 36a 5V F 1252V
dbV, 3R = B (= v - = R) -
4  = 8v R + 18 av + 36asuR + 245 V R = 18 a 5 - 2445 = 95
= 1Ba R - f 36aSR + 65R = 48VR + 36a V-  36452. + 1252V
Ejusque propterea respectu T A, momencum, = 3a 2 R2 = = a 5R2 + 252R =
qu R3 =  a2 V R = 3a 5VR + 18S2 VR = + 4252 - 5 a53 = 5 5+: Et respectu
BV, (Factum ex 2 in maonicudinem, dempro momento respectu Y A,) 1a 2 P
+a S R2 = 252 R2 + 3 V R 3 - 3 a V R = = a 5V R - -8 5 = V R + + a 2 52 + 3  S
F 554 = 3V2 R2 + = a 2 v2 = =a 5v 2 = 352 V23 TCU (PFODLET V2 = 2V R -5,)
5a RE = 3 a5 R2 f 92 52 R2 - 3V R3 + + a 2 V R + 3a 5V R + 8 s  VR = = 4  5
=6253 = 5+. Oux duo, tune etiam (propter alcicudines et distancias reci.
Procaras) momenta, respectu A a Ongularum ABV, acies habentium F A, e
b V: Adeoque per harum respectire magnicudines, - Le R = (= - = a R  + 2 5 R.)
= avR F35VR = 3 a 52 - Z53   C R2 (= = a R 2 - 4 5 R2) + Za V R +  52R
=Za S2= 353, (Der S F, G. ProP praeced.) divita; exhibenc earum distanciam
cencei gravicaris ab A a: Nempe, Oneulae A B V, aciem habencis T A, distanciam ab
A a 3 a f 3 a S R f 7 52 R= = 32 V R = 27 a 5V R = 205 V R = 12a5- 954
28CR 2 + 72 a V R + 545V R = 36 a 52 = 24 53
aciemque habenris B Y, ab cactem A e distanciam = a Y
4L SR = 9 a 5 R = = 64 vR3 + 27 a 52 R = +OS2VR = 6453 - 3 5a
180 R2 F 36 av R + 54 5V R = 36a 5 = 22. 53
Fadem Momenta, Vngulas ABV spectantia (et quae hinc dependene,) sic ad-
huc alias inrestisantur, absque ope Ongularum AhBa.
Tnoutam AB. V, aciem habentem B V, (Ei planis ipsi A B V plano parallelis.
aequalibus ab inricem distanciis remoris, sectam incellisamus,) constituent, omnia
ABV plana, eo spectancia; Cumpris AV, hoc est u arichmerice proportionalibus,
ulque ad AV, seu V, maximum. Adeoque eorum momenta respectu A a; HOC
t (per SH, L. ProP. Praced. ) Omn. = L a R + : a 5R + 1n 52 R - 3V L +
242

## Folio 829 — 851387705:0849
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000849.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
PFOD. XXI. DeCalculo Contri Cravitatis.
=a 2 V = 5 a5V = 552v: (Tumpris v arichmetice proportionalibus; ) complent Fis. 166.
ejusdem A b V Ongula, aciem habentis bV, momencum respectu A a; leu (prop.
ter alcicudines et diltantias reciprocataS) aciem habencis A a, momencum respe.
ctu bV.
Sunemcem, Omnia = a2 eo spectancia, (sumpris v avichmeriee proporcionali
buS;) hoc est, momencum ipsius AbB tig. 170. Plani, respeciu Aa; (per 8F.
DFOD. 17.) = 3 a 2 R F a 5 R = ~ R 2 F Z a 2 V. AdeOque, Omn. = = a  R: =
 a 2 R2 = Z a5 R 2 + ZV R3 = = a 2 V R.
Trem, Omnia as, eo spectancia; hoc est Solidum A B Bfig. 170. ex ductu re-
ctarum bB, in BV (H8. 269.) respectire; (Per SL. prOP. 18.) + a 2 R +
2sR = = a5 R = Za5V. Adeoque Omn. 2 a s R: = 542 R + 3 52 R
+a5R 2 = = a5 V R.
Trem Omnia Z52, eo spectantia; hoc ell, Momeneum Scomenci Semicireuli
ABV A8. 269. respectu A a; (per SR. prOP. 15.) 32 R2 = 5S2 R + 35 V. A.
deoque Omn. 752 R2: = bV R3 - -  52 R2 + - 1 52V R.
Tiem, Omn. 2 (arichmetice proportionales,) Zv, (Der proB. T. hujus.) Adeo.
que Omn. - 3v R2: = - 5v R2 = - 3V R3 + 352 R2
Trem, Omn. L a 2V; hoc elt, Momencum Ongulae ABB fig. 270. aciem haben-
tis Aa respectu Y A; (per S L. PrOP. 29.) = 3a R2 + 2a5 R3- v R3 + Es p2
 + a5VR = 3 a 2 V R = = a 25
Irem, Omn. = a 5u; hoc est, Semimomentum, respectu F A, Solidi AbB fig
270. ex ductu rectarum bB, in b V tig. 169. (Der SM. PCOP. 18.) 5 a 2R2-
245R + , 25  R 2 + 3VR = = a 5V R + 13s= V R - 5 a53.
Trem, Omn. Zs=V: hoc est, Momentum Ongula A B V A5. 169. aciem ha-
benris A a respectu Y A: (per SF. PEOP. 16. ) 30R3 = 55 R2 + 6s2 V R-
552. Adeoque Omn. 652V: = 5V R 3 = 18S2 RZ + 1b 5 2 V R 2 5 a.
ErgO, Omn. = = a2 R F Za s R = Es = R = 3V R2 + 3 a 2 V + 3 a 5~ + 552v:
Hoc elt, Ongulx AB V, aciem habentis B V, momentum respectu A a; aciemre
tabentis Aa, momencum respectu bV; Sa2 R 2 = + as R  + 9= 52 R2 - 3 V R3 +
2a2 vR + 3a50 R + , 35 = V R - = a 25 2 - 3 a 53 - 452. Idem quod priuS.
Acque hoc momencum diritum per Onsula aciem habentis b V magnicudinem:
Exhibec distanciam cencri sraricaris ab A a
Idemque per Ungula aciem habencis A a magnicudinem divisum; exhibet hujus
distanciam Ceneri graricatis d b V; e consequener, d TA, et ra; ejulque prop.
terea momencum respectu TA, et ra: Dua eadem etiam lunc Momenta, relpectu
Aa, aciem habentium F A, _ r a: Oua per magnicudines divita, extribebune
et harum diltancias ceneri graritatis ab A a. Eadem quae prius.
Acque, his demum Momencis, si addantur relpectira Ongularum DB a B mo.
menta: Hlabencur Ongularum Ab B a momenta respectira; cadem quae superius
alia mechodo invenca LunC. Acque hinc, distanLIA CCNHOTUIM GTAVIIALIS; U pruIS.
Superest candem, uc Vneularum aciem habencium A a, momenca respectu ejus. us
dem A a, investisemus; ee quae hinc dependent.
Distriburis igitur, uc prius, cum semicirculo in minuta Priangula P a P, tum Fio. 166.
Semicyeloide in Minura Prapezia y sEP: Semiquacrancalem Ongulam, Semies. 168, 1737
cloidi insistencem, aciem habentem A an complebunt Solida his Minuris FraperiIS 174.
insistentia; sicuc ee Ongulam Semicireulo intiltentem, eandem aciem habentem,
complene Solida Friangulis illis insiltentia.
Friangulo Y a P intistens solidum, Pyramis est, cujus centrum gravicatis in a B
positum, abscindit inde, versus a 2 a B, (per proP. 6. hujus;) adeoque ipsius ab
A a diltancia exit ZBV:
Traperioy s E p intiltens solidum; Componitur ex Fruncato Cuneo, seu Pril
mare duobus similibus Fraperiis y dEP incerjecto, alcicudinem habence ip (i a B = a
aequalem: AIque, ex Cuneo ei superimpoliro alcicudinem habence, in B, nullam;
sed, in b, ipli B V = s aequalem; cancam seilicet quanco altius est Colidum illud
in bus quam in B, hoC ett, quanto tonsiOr ell b l, quam Ba.
MMMM I 3
(Nec

## Folio 830 — 851387705:0850
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000850.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
De Cuamo at cradundis. Cap. V.
Eis 166. (Nec quenquam inerim morari debeat, quod (propter aciem Aa;) alricudo
in L, 5, 03 IIIa OP SIC; aeque in P, p, E, minor, quam in B, B, B, respectire. Onam-
quam enim illud omnino rerum sIc; aique, in fectione determinata, alicujus sE
Momenti: Continuaca tamen in intinitum sectione, (quod Cupponimus,) ditte
rentia eraneseie in data quaris minorem: Ouxe non modo in methodo indivisibi-
lium, sed in omni per tigurarum inseriptionem et circum scriptionem demonstrandi
methodo, nesligenda erir. Deque enim aliud produeis, qua quod centrum era-
ricaris quod in Ba, b B, rectis lupponimus; promorendum erit ultra illasus inter-
vallo quod dato quoris minus TIL. Ouod aurem ab alio, ditterentia quae data qua-
vis minor sic, ditferre demonstratur; pro aequali habendum exit. Dumque cal
dem suxponimus, tum in X, y, S, cum in P, p, E, alcicudines quae in B, b, B: Soli-
dum ex minuris adscripcum (partim inscripeum, parcim circumseripeum,) pro
vero Solido sublticuimus, quod ab illo disterat, non nili disterencia quae data mi-
nOr LIc. )
Cuneus autem Fruncatus ille, quem diximus; seu Prisina parallelis Fraperiis
interjectum: Constat ex Cuneo intermedio, seu Prismate Friangulo vB r infi-
Aerice; et biparcico Parallelexipedo, Parallelogrammis vB d y et =BEP inli-
Stente.
Oui quidem Cuneus incermedius, propter tormam, elt, ad Pgramidem aeque aL-
tam eiusdem bateos, uc 5 ad 3, Peu 3 ad 2, (elt neigue Cuneus illa parallelexivedi
illius Semis, cujus Pyramis Friens clt:) Cumque porro alcicudo Cunci, in B vel
b. Tic ad alcicudinem baleos Pyramidis in B; uc B9 lcu D B, ad BV: hOc elb, uE a
ael s: Exi Cunei Friangulo vB = insiltencis, ad Pyramidem simili et aequati Lri-
ansulo Y aP incumbentem, ratio, (ex illis compolica) ut 3 a ad 2 s. Cumque
Cunei cencrum graricatis sc in Bb, abscindens, vectus B, ZBb, (Der PrOP. 5, 6.
adeoque ipsius ab Aa distancia sic, bB f 3B V, Peu a. f Z5, (ue ex schematis in-
spectu facile colligitur;) Centrique graritans Pyramicis Z a P (ve dietum est
inde diltantia sIr Zs: Adeoque diltanciarum ratio, ut a F 35, ad 3s: Ratio haec,
cum ratione magnicudinum (3 a ad 2 5) compotica; extribet rationem Momenti
Cunci illius, ad Momencum Pyramidis (respectu ejuldem A∞,) ut 3 a2 F 2 a sy 2c
252 ACu6a 2 = 4a 5ac35
Et parallelexipedum (biparritum) cum sC, propter Formam, ad Pgramidem a-
quealcam, ejuldem balis, ur 3 adr: Sieque baleos in B vel b altitudo, ad alcitudi-
nem in B, ut a ad s: F.rit Parallelepipedi ad Pyramidem ratio 3 a ad s. Cumque
Parallelepipedi (neue biparcici) commune cenerum rearicatis tic in medio Bb:
Adeoque ejridem ab A a distantia, a f 35: (Sirque centri graritatis Ppramidis, uE
dictmm elt, distancia 35:) Diltanciarum rario, a f 35ad 25; cum ratione magni-
cudinum, 3 a adt s, compolita; extibeE FaTIONEM MOenTOrUM, 3 a = f 3 a 5acl 25,
TCu 12 a2 6 as ac
Cuncusque, Pruncaro illi Cuneo superimpolitus; Componitur ex Pyramide in-
cermedia, eriangulo Bx supereminente, (Pvramidi in Y a P simili ee aequali;) d
Cuneo biparcico, paralleloBrammis. Bs Y, rBEP, Supereminente.
Pyramidisque PriansulLVB = Cenrum graricatis, cum incellisaCuE in BB Titum.
(Talcem in pluno luper tanc crecto,) oblemdens, versus B, 3Bb; adeoque iplius
a0 Aa distancia (uc ex schemaris inspectu tacile conligitur,) a F 2s: Rrit (PrOP
ter magnicudines aequales) momenti ejus rario, ad momeneum Pyramidis L a P
(respectu ejuldem Aa) cadem quae distantiarum; hoc est, ut a F 3 5 ad 25; seu
UC 4 a Y
1d3s, Hoc cC, 1C 4 a5 - 35, 2d 35
Cuneique biparriri, cum (propter aequales bales dt alcicudines,) sic ad Prrami
dem, ut 3 ad 2; Cenrique diltancia illris, ad ceneri hujus distantiam, ve a f
ad 25: Liric momentum biparciei Cuneis ad momencum eyramidis L a P, (respectis
ejuldem A0,) ut 5 1  25 4d35: sCl 6a5 = 452 2d 35
Frso, Solidi corius, minuto Frapezio y SEp incumbens, (quod ex parcibus
jam expolitis componitur,) ad momentum Pyramidis correspondentis, incumbencis
Friangulo L a P, (respectu ejusdem A a,) est ut 6 a 2 = 4 as plus 22 a2 f 6a5
Dlu5 + a5 = 3 s2 plu56a5 f 45 2 ad 3 52: HOC cA, uE 18 a 2 f 20a 5 +75
ad 3 52. Vel (ductis omnitus in communem alcicudinem V a--B,) ut 28 a h
f 20 a sB f 7sB, 2d 3s B. Ft sic ubique. Adeogue momentum Solidi ex
illis contlaci (sire quod totam ATa, Sive quod ipsiuS partem uE ABBa spectat;
ad momencum correlpondenris solidi ex his conttati, (quod rel torum ADa, vel
iPEUS
168, 173

## Folio 831 — 851387705:0851
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000851.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
PFOP. XXI. DeCalculo Centri Craritatis.
iptiuo paccem B a M, spectac; ) uc Omnien 18 a B. + 20as b + 45. b: adt Omnias ti p. 100.
357 B: eo spectancia.
Fademque ratio, sic alias collisimr: ad methodum nostra ristmetica Infinis
torum.
Siro rectae complences Xa D Friangulum (mpore arictmetice proportionales,)
b, 2b, 3b, ecc. ulque ad maximum. YP = B. Ouarum puncta media, seu grari
catis Centra, in a B posita, habebunt (in Ongula Semiquadrancali aciem habente
A a) alticudines dictanciis suis ab Aa aequales, puta 5, 25, 3 5, _c. ulque 2
maximam BV = S. Oux distancia, in rectas illas respectire ducta, extribent seri
em magnicudinum rectis illis insiltencium (ungulam complentium, ) b5, 4 B5,
9bs, _c. usque ad maximum BS. Oux quidem series Magnicudinum, Pvrami-
dem L a P complentium, (urpote Series Secundanorum;) erie ad Seriem toridem
maximae aequalium, (hoc cst, ad Parallelepipedum ejusdem balis e alcicudinis, )
ut 2 ad 2 F X; (pex prOP. Y. hujus: ) HOC est ut L ad 3. Puta, SB B S.
b. 2b, 3b. dc. ulque ad B
5. 25. (35. ec. ulque ad S5.
65. 4b5. 9b5. ec. osque ad B . = 5 bB 5.
teru
Fademque Series magnicudinum (quarum omnium Centra pravitatis Tunt in
a B, planore super hanc crecto; Faltem inde diltane incerrallo quod daco quovis
minus AIE;) in luas iterum distancias, 5, 25, Z5, ec. ducta; extribent momen-
eorum carundem, respectu ipsus A a) Seriem B5 2 8B52 27 B52 c. ulque ad
BS2 maximum. Dua quidem series, (urpote Terrianorum,) elt ad seriem coti.
dem maximo aequalium; pura B B S2: CHloC est, ad Parallelepipedi Nlomentum in
B suspenti;) ut X ad 3 f Z; hoc e, ut X ad 4: (per prOp. L. hujus.) Adeo.
que 1 B852.
b5. 4b5. 9b5. ec. ulque ad B, S.
25. 35. _c. ulque ad 5.
B5. 8b5. 27652. c. ulque ad B52 = = B BS
Trapexium vero complencES reCtX, (quarum minima SE = Y P = B,) etun
B. =b, B f 2b, B +3b, ec. ulque ad P + B, Teu 26. Quarum iaque sutu-
man aequabic b_ = ZB B = ZbB, Det prOp. 1.
B. B. B. _c.
plus B. 2b. 3b. _c. utque ad B. = 5 B8 5 = 3bB.
Eademque series in distantias tuas ab Aa ducta; hoc elt (proprer pravicaris
centra singulorum in Bb,) in A Fs, A+ 25, A F 35, ecc. usque ad A F S:
Exhibenc Seriem Magnicudinum eildem intistencium (Tolidum complenrium)
BA + B A +sB + 5b, BA + 2b A + 25B + 45b, BA + 3b A + 35R
9sB, ec. Ouorum omnium Axrexarum (per eandem prOP. Y.) est BBA
+ EbB A + :BSB + 3BSB, seu 3 bB A + 3b SB.
B F B, in A F s, = B A + B A + 5B + 5b
B + 2b, in A + 25, = B A + 2b A + 25 B + 4 5b.
B +3b, in A + 35, = BA +36A+356+95b.
ec. ulque ad,
6. + B, in A + S, = B A + B A+ SB + SB.
BB A F 3BB A F = BS B F 3BSB.
seu 3bBA + 3BSB.
Calemque Magmcudinum leries, in diltantias icerum ducta; hoc est, in  F s,
A = 25, A = 3 s dec. exhibet seriem Momeniorum, (respectu ejusdem A a.)
Quorum

## Folio 832 — 851387705:0852
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000852.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
o Centri Cravitatis. Cap. V.
F1B. 166, uarums omnium Agorepatum (per eandem sprop. Z.. ) est B B A2- = Z B B A
10d. 10. + b56a + 36562+ 5b5B + 1b 5 B, seu 2bB ∞ + 3b56 1+ 3 b 5. B.
ainsia BsA2uf B oloiS B. A pu. 1125.B1A f. 1 1S2 B of. CI se B.
B A2 = 2b A2 = 4 sR A F 8 5b A. F 4 s B L 8 s b
(edteao B 4C. f 30 90 f 65 B 1 F 185b  + 9s R . 1
12 1. 1C
n oriprr
1.833. OcC
tit es B e
sersalsiel eici LIRESC BquO, acta LS ei) saedec icte cen c cces
E vise 13 a B A et SiB  v B  S t SE.R. tarla
IeC  BB L : bY EB SB 1 H 3cB. GBII L2B92 B 2B, SE B. 2 = Y Ct 1M. L1I1
1. Cn 3B B, 1423LCICP 1gCIC cuisp gE  CAEEteSNISIENE C
ICBI L TLHILHISICBBM eETO ∞IC EE ESE n t es adC
Adeoque Solidi Praperid  S ED merinibemtis maghieuido; dd magnicudinem
Hyramidis i FriansuloP a AV Eneumbonto es ui 3B B H  3B S B, 1ad = B B5.
Acque momentum iMiuss ad momenetm hiijiis (Tesfectu ejusdem A a) ut
BB A2 F ZBSB  F 3BS=B, ad Z hS B. Seu, excrito B ubique, (urpote
intinite exisuo, et ubique aequali;) duetisque omnibus in 6 (pro magnicudinibus,)
seu (pro momentis) in 12, (quo ttractiones rollaneur :). Magnieudo ad magni-
cudinem exit, uc 9h+ s hS, ad, 2 A Pc. momentum iljuS, ad Momenium
hujus, uc 28B A2 F 20h 15 F 7h52, ad 3h 52. Seu (relticuris minuscularum
valoribus. ). Magnicuda ad Maemicudinem uE) 0a tsSi sh, ad 2. s h: FF MOmen
cum ad momenum, HETE. A  A ZBIABAit B(SB, a 3 S  C
Cumue, hor ubique obcineac; eric. Solidorum omnium. L raperiis V DEP inSI.
sencium (.sire qua cocam Genereloidem lpectantui spo, sura spectant. ip(uis Por-
cionem,, ABGau BBP, cB. Bi _C. Jtgigudois ad magnicudinem omnium Pri
angulis,  a. P, insistencium a sire squae tocum spoctum. Demicireulum sire iptius
respeetiram, porrionem, ut. Be A, BBe B a C. Y ut Omnia da h =15. S, B: 2d
Omn. 2sh: eo spectancia. (De quo non ulera Coliciti lumus, urpore quo d in ca-
pire praecedente tractarimus.) Forumque omnium Momencum, ad Momentum
horum; UE Omn. 18 a = B f 20. a Shfois B: ad Onder 3. 52h: co srectantia.
(Duod ec supra invencum exat. ) 2 br 911pls 02.
BP. 131IXI
2B: (Teu 7 ad 3:) acque insuper ut
Omn. rBn B = 20 a sR: cad. Omm.. 3, s B.) Sumpris, lpristmetioe, provorriona-
libua
e1
15 si e  EE BB 31 PIB 
Sune hutem Omn. a B: (puta, quae portionem. A Bea Spectants ) hec e Vn.
sula ABBa Fg. 270. aciem habencis Ra momencum respectu Aa, (per SK.
PEOP. 19.) 2 e R = 2 a V R = F 3a R + a2s R, Adeoque Omn. 18 a 2 B:
= 36CR 3 = 36 aV R + 6 a R + +8 a 5 R
tiem, Omn. asB: eo spectantia; hoc est, Solidi ABBa Fg. 170. ex ductu re
ctarum bB in burlaetis momentum respectu A en (per S. HL. prop. 28.)  Z etR.
25C R3 + 20a0 X
555VR3 p 76 2  G) CICLest MosE cii
p18 d 5 R. = Y0 a se R. 1BB 15G) WWNSECS sS O
Similiter; Omn. 3 P B: Dise CR; Solidi A B Ba tig. 270. ex ductu rectarum bB
in B0 facti, momenium respectu plari A ra (per SC. prop. 18.) aC R  + à 52 R
LSS R. Adeoque Omn.
SB = 2C R3 + Z5VR 2 + s R
Momentum ixicur Ongula portionis Semieycloicis AB Ba aciem tatentis A e
respectu ejuldem Aa; elt ad Momencum respectira Onsula porcionis Semicirculi
BaA, aciem habentis Aa respectu ejuldem A_: UI ET C R3 = +6 aV R=
= 5 5VR= + 6 a R F 2B S A  10 s A ad Z C R3 + 35V R = S R; a1.
que insuver (ut modo dictum) ib 7 ad 3; hoc cst, uC 3C R3 + 2 5V R2 = 3 5R,
ad 3C R3 = 3 5V R 2 = s R: Adeoque ornino, ut 23 C R 3  16 a V R 2 - 2 5V R
+ 6a R F 28a S R, + 10a s R + Z53 R, 2d 3 C R. + 35V R 2 f 53R. Cum-
que Hoc polterius siC (per S l prop. 25) duodecuplum Momenei Onoulae B a A,
aciem habentis A respectu iplius Ra: Lric et priis illud, duodecuplum mo-
5t0IC
menei
D

## Folio 833 — 851387705:0853
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000853.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
AI
PFOD. XXI. De Calculo Centri Cravitatis.
menei Ongule ABBa (Porrionis Semieycloidis) aciem habentis Aa, respectu FiS. 166.
ejuldem Aa: Adeoque iplum ilLIUS MAMENEUM, 32 C R3 = 3 aVR 2 = = 5V R 2 168.
FZ a R  3 a s R  3 a s= R F 8 S R: (Hujulque Duplum, et Semilolidi circa
Aa conveclione lacti, Momencum respectu iplius adis AS: uc Tupra (xpius osten.
Tum elt.
Tludoue Ongulae Bomencum, per magnicudinem suam, 2 a R = 3 a 5 R - 3 y p =
F BS se (per 5I. PrOP. 20.) divisum; extribet ipsius ABCa Ungula, aciem
hrabencis Aa, diltanciam ceneri graritatis ab A a
87 CR2 = 96a v R = 95~ R + 36 a + 108 a 5 + 60a5 + 245
54a = 108a5 = 48V R F 305
(Semiloli.
dique correspondenris, diltantia centri graritaris ab axe Aa, est ad hanc Onsula;
UE, 2R 2d 3X.)
Soeciacim vero, Ongulae corius Semieyeloidis A r an aciem habenis A a, Momen-
tum respectu Aa, (PTODECK a = ZP, V = 2R, _ 5 = 0,) is R X3 = 33 R3 
Cenerique gravitatis ab A a distancia, cst 2
=35 R27
9P2 - 64 22
Similiter ostendetur, Ongula Segmenti Semiercloidis BBr, aciem habentis N
Aa, Momencum respeetu Aa; ad momencum Onsulae segmemi semicirculi a Ba,
aciem habentis Aa, respectu ejusdem A∞; elle, ut 7 ad 3; acque insIIDer, ut
OMM. Y8 a B = 20 a sh: ad Omn. 3 s B: eo spectancia; lumptis a ariitimerice
proportionalibus. Ouae similicer, mutaris murandis, ad calculum reducentur.
Cumque Ungula Segmenti Semicirculi Momentum illud per 5S. proD. 16. inno-
telcac: Habebitur es correspondens Ingulae Scemenei Semiescloidis Momentum;
et quae hinc dependent.
Vel etiam; ex corIuS A Ta Ongula momento, (modo cradico,) Si auteratur
(modo cradicum) momencum Ongulae ABBa: Reltabit 15  ~ 3 - 23 R3∞ 22CR3
+3a0 R7 + 550R7 = Za R = Z a SR - ZaSR, - 56s R, Momencum OnsulX
BBr aciem habemtis Aci respectu ip(US A a
Acque hoc, per iplius magnicudinem (SF. Cradicam) 13 R ~ 2 =3 R3 = ZV R2
3a R = = aS R = 3sR, diritum; extribet ejuldem, ab Aa diltanciam cen-
eri graricacis;
O∞ = 105  P - 174 c R + 102 avR + 185uR - 72 a - 216 a5 - 120a5 - 28 5
2722 - 102 R = +960 R - 208 N 216 a5- 60s
Si vero ex Ongulae ABBa (portionis semiereloidis) momenco illo, modo
reperto; auteracur pomencum Onsulae bBaV, (aciem habencis Aa,) respectu
Aa: Relinguitur Ongula A B V (aciem habentis A a;) momencum respectu Aa
Componitur aurem Ongula illa BB a V, ex Pyramide Priansulo B a V incum-
bence, et Polido incumbence P’arallelogrammo BBa B.
Prramidis iltius MOenCUM (Per SR. prOP. 16.) CAt, in 53B = 5 53 R
Solidum Parallelogrammo b BaB incumbens; alcicudinem habet, in a nul-
lam; in B, aB = a; I B, BV = s; in b, bV = 5 f a. AdEOqUE COPONIEIE
ex prismate, criangulares bases habente, aB, vel Bb, = Z a; (quarum ilaque
CenEra Gravitatis a B, e an lunc Za; e, propter alcicudinem V a = B, naeni
cudo peismatis : a B; centrique staricacis ab A a distancia 3a F Zs, propter cen
erum prismacis in medio recta centra batium conjungente; adeoque momencum
ejus respectu Aa Za B = Z a sh:) Acque ex cunco, alciudinem habente in a B,
nullam; in bB, xqualem ip( BV = s: Adeoque (propter bB = a, de V ∞ = B,
magnicudinem habebit =a Sh, (semillem Prismacis, ejuldem balis de alcicudinis:)
Cencrique graricaris ab A a diltantiam, Ea F 3s: Ejusque proprerea respectu Aa
momentum, a a sh F a s h. Solidique propterea corius parallelogrammo in-
cumbeneis momencum, respectu Aa, 3a3 b = Z a sB = 3 a s B.
Adeoque Solidi Praperio bBa V incumbentis, momentum respectu Aa 3 a3B
F= a sh + =a sB f, L53 B. Aegne hoc per Ungulae magnicudinem ; fa b + 8s B
(per SK. PrOP. 20.) divisum; exhibet iplius bBa V Ingula, aciem habentis A a,
distanciane cenui pravicais ab, A a, + a + 6 a 5 + 4 a5. + s
6fa + 25
AY n A RN
C

## Folio 834 — 851387705:0854
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000854.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
Fi3. 166, Vel etiam Sc colligitur, ejusdem b Ba. V Ongulxe, aciem habentis Aa, respectu
iptius A a, Momeneum.
Rectae Praperium complentes, ab a B incipiendo, usque ad bV; Funt , A s,
AF 25, A F 3s, _c. usque ad A F S. Parumque puncta media, seu graritatis
centra, distantias habenE, 3A, Z A F 35, 3 A +35, 3 A +35, ecc. usque ad
EA+ =S. Oux in rectas illas ductae, exhibent carundem momenta, Ceu Frian-
sula rectis illis infiltencia Ongulam complentia, 2 13, Z A2 = s A + Z52, E A2 +
25A+ Z, 52, Z A = 35 A + 252, _c. usque ad 5 A + S A F 3S2. Fadeque
Friancuta, ducta in carundem respectire distantiam centri gravitatis ab A a,
nemDe Z , 3  = 35, 3 A = 35y 3 A +55, eec. usque ad 3  = 3S; extribent se.
riem Momentorum, corundem Friangulorum, respectu A a; Z 13, Z 13 + 5 A 
S A = 353, 3 A + 25 N + 45 A + 35, 3 A = 35 A2 F 9s A + 2353, 8c.
usque ad 3 A F S A F S A F 35. Ouarum omnium aGGreGATuM (per PrOP.
T.) PEOPIeE V a =B, clb, SB A3 + =BSA = sBS A+ BS. Seu (recti.
cuco ralore minuscularum,) Za3B F Za  SB- F 5a 52 B -f =53 B. VE prius.
2+ Su in Z A + Z5, = Z A2 + 5 A+
2
A + 25, in = A = Z5, = = A + 25 A + 352.
A + 35, in 2 A + 25, = : N + 35 A + 35
Sec. usque ad
1+ 5, in 3A+ Z5, = 3 ~ + S A + 352
3bA + 1b52F 1b52.
EA= 3S, In3 A F 5 A + 352, = 3 2+ 5 A + s A+ 353
A = 35, In 3 A = 25 A + 3527 = 3 A3 + 25 A + 4 52 A.
34+ 35, 12 = ~ + 35 A+357 = 52 + 35 A + 95 A + 35.
cu ec. usque ad
1+ 35, in  4 F SA + 35, =3 1 + 54 + S A + 353.
B a + 1b5 N + b5 A + ib 5.
Duod quidem noula BBa V momentum, =a 3h f Z a 25B f Za 5 2B. f ,553h,
Teu L. prOpter B = 2R - 2,) Z a R = 3 ad V + a 5 R - = a 5V + 3 a 5 R - = a 5= V
F65  = 253V; ex Ongula ABBa mOmenIO, 22 C R3 =3 aV R2 -85VX2 +
Ea3R + 3025 R + 3aS = R + 5653 R, (modo tradito,) Subductum; Relinquit
Ongula Ab V, aciem habentis Ao momencum respectu A a 2CR3 = 3 a V R-
5SVR2 = 5a R + 5a  5R + 5as R +. 555 R + 5 a 3 v + 5a 5v + 5a 52 v +
2530.
Acque hoc, per hujus Ongulae magnicudinem, - 3 0 R 2 = ; a R + : a 5 R. +
SP = 5420 + 5a 50. + 552 V, (per SK, L. PrOp. praeced.) divisum; extribet
Ongulae AbY, aciem habentis Ao, distantiam cenri pravitatis ab Aa,
870F = 96avR = 95VR = 12 a R + 36a 5 R + 12a5 R + 25 R + 240 2 + 36a 50
24 a 522 +653v
= a8 ve - 28a R + 36asR f 65. R. + 36a v. + 36as0 + 1250:
Semitolidique conrespondentis Momentum respectu axis convertionis sux, du-
plum est Momenci Ongula respectu aciei sux: IIiusque distantia ceneri cravita.
iis ab axe, ad hujus distantiam ab acie; ut 2 R ad ; P. Or Capius ostentum est.
Figdemque Momenta et Distantiae, sie acthue alias investisaneur. Nempe, Mo-
mento Ongulae AbV per se invento, sine ope Ingula AbBa: Hinc iplius
ABBa Onsula Momentum, reliquaque deduCUntuT.
Dirisa recta A a in parres intinue exiguas, inricem aequales, in punctis S, C, 2,
Sc. hoc est, sumptis v arichmetice proxorrionalibus: Ouae Semicreloidem A + a
ejusre scomenrum Ab V, complene reeta bV; sunt Omnes a F s, eo spectances.
Cuaque
168.

## Folio 835 — 851387705:0855
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000855.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
PFOD. XXI. DeCalculo Centri Cravitatis.
Ouaque Semiquadrantalem Ongulam eidem insistencem, aciem habentem A a, COm. Fiif. 166.
plenc plana, eildem rectis insiltentia; sunt Priangula Plolcelia, carundem recta- 168.
rum lemiguadrara: hoc est, Omn. Za 2  a 5 + Z52: eo spectantia. ITorumque
Friangulorum centra graricaris, ab Aa diltant carundem rectarum B V beste, hoc
elt ZbV = 2 a- f25. Adeoque Priangulorum illorum Momenca, (duetis magnicu
dinibus in relpectiras distancias,) Tunt Omn. = 43 + a2 5 = a55 + 553: (seu Fri-
ens cuborum omnium b V,) Cumpris varichmecice proporcionalibus.
Sunt autem, Omn. 3 a3: (lumpris v arutimetice proporcionalibus,) hoc ett, Vn-
Sulae AbB Hi8. 170. aciem habencis Aa momencum respectu Ae (per S M. prOP.
20.) 2C R3 = 2 aVR= 3 a3 R + a 2 5R +  a 3 ~.
FxOmm. a= S: (eo spectantia,) hoc eltu Duplum Momenci relpectu Aa Solidi
ABB f8. 170. ex ductu rectarum bB in B V respectire, (per 8N. Prop. 18.
==C R3 = 2 5V R2 + 3a3 R = = a  5 R + 3 4 5 R + Z a 2 5  1113IC
lip
TremOmn. a 5: (eo spectantia,) hoc est, Duplum Momenti, ejusdem AbB
Solidis respectu plani A ra, (per GO. pr OB. 18.) =3C R ̸ 3 av R
+353R = 5a 5= v.
a 5 R
ECOmn. 355; (eo spectantia,) hoc est, Momencum Ongula AB V aciem ha-
benuis A a, respectu A a; de R + 5sv R = ns R + : 5v: per 8C
DrOD. 26.
LrGO, Omn. 3a3 = a 2 5 = a52 + 353: = 3Z e R3 - Z aVR 2 = 85VR - 52 R
= 3a25R + 5aS=R = 36s R + 3a3V  5 a2 50 f3a52 V + 353v. Quod igi-
cur CAMomentum Onsula segmenti semiescloidis AB V, aciem habentis A a re.
spectu iptius A a. (Idem quod prius invencum erat. ) Ouod iEaque PEF MaGNI-
cudinem diritum, exhibebir diltantiam centri gravitacis ab A a: UE priuIS.
Atque huic quidem Momento, Si addatur Momentum Lnoula BBa V, (modo
cradicum,) habebitur Ongulae ab Ba, aciem habencis Aa, Momencum respectu
AC: UE PriuS.
Fxhibuimus ipicur in expositis Ongulis Semicrcloidis, ejusque partium, tum
Maonicudines, E Nomenta; cum Ceneri graricaris in Lingulis distancias a duobus
Talcem planis non libi inricem parallelis; acque in quo certio per aciem plano
constiturum sIC, CxS G. PFOD. X2. constai (eo nempe quod Onsulae alticudinem
bisecat;) AdCOGUC (PEr PTOP. 26. cap. PracCd.) ipsa sravicaris centra determina.
rimus.
Ouaque de Ongulis dicta sunc; eadem ad Colida conrettione tacta Pacile trats.
FCrUNtIE, ODC PTOD. 72. ec 24. uc suis locis Capius ostensiim.
Ouaeque de expoliris dicta sunc; ad alia, calculo rire adminiltrato, facile avoli.
cantur: Or ad pracedences aliquor propoliciones admonuimu s. 1) iI Clas CIIPCIEseS
Ouaque de Onoulis Solidisque Semicfeloidem Primariam (hactenus cradicam)
R
dicta tunc; eadem omnia ad Ongulas, Solicaque, Sccundarias (sive Prorractas FIB. 175,
sive Concractas) similicer spectancia, tacile cranstereneur. Nempe, quocies rectae 176.
b B in calculum veniunt; pro an substicuenda erit alia quanciras, quae, ad illam.
eam habet rationem, quam habet recta r a, ad Z P, semiperipheriam circuli gene.
TantIS. Ex similiter, mutacis murandis, de carundem Ouadraris, Cubis, Cxeterisque
pocellacibus; ut ad caleem propolicionis pracedencis ottentum eM.
Innnn 2

## Folio 836 — 851387705:0856
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000856.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
DeCalculo Centri Cravitatis. Cap. V.
utcos  k u tel ci. tide rsin  au Sle eicone
111. I
eteri etsiet 1els.
113 921I
MnrLST .D R O P. L XXTF, 11NIVP1851C
lit
15DO
ereo
I5. 177. Ouxe Crcloidem concingit recta, eM correspondenti Circuli genitoris
C. 
C. K.
(circa crcloidis axem posici) Chordae, ad verricem cerminatae, pa
rallola.
dest e
Curraque Semiercloidis, est Dupla Diametri circuli, Genitoris.
Ejulque portio quaeris (ad rerticem terminata) Dupla subtenlae cor-
respondentis, Arcus circuli genitoris.m BC vsdul . O2 es dd
Adeoque sccabitur Creloidis curram inratione data.
acque hinc Momenta de Magiendiues, ipfaque oravicatis Centran
extribentur; Tum Curra Creloidis, partiumque ejuldem; cum
superticierum, carundem conversione, factarum.
Nemee (retemis smbolis ut in proposicionibus prxcedenribus, BOt
Loque X =- V: 4 R 2 - c2: = a B.
Currae Semicrcloidis A r. masniendo + R: Momentum respectu L A,
3R7; respectu, 7a 18 R; dictanLia CCenEri BTaVITaLIS, a Y A, ZR; d 7a
eR: Nomencum respectu Ao 2 K P  1SRE; respectu F7, 1 RE; di-
cancia Coneri graritatis ab Aa, ZDL   A; aF rssB, M
e carete locct estirib o
Currae Ab; masnieudo, 20: Nomentum respectuY A, 302; respectu
1.bV, 200; relpectH Fa, 20B+ 300 = 46R  3CV; distantia Centri
Gravitatis d YA, ZV; 2bV, 30; 2 2a B f 30 = 2R =Z0: Mometeum
sespectu Aa 245 = 6 R + 4 Z R  3BX ; diltantia Centei eravicaris
ab AC, a - 8R  B7 = 6X R. 1
 9112 30 cu dispiir:cilo
eaeei redet acui geu
D. P. Ongulae Suxertictalis (Semiguadeanealis) ipsi ar currae insistentis, dei
L. F.
1. L.
D, F.
F. F
l.t
ei habentis PA, Maenicudo, SRE: Momencum respectu LA, 15 R.
respecturo, 3 R3; distantia Ccutri sravitatis d FA, 5R; d 7a, ZR.
Momentum respectu A e = R= P= 5, R3; respectu Pr, C5 _3; distan-
tia Ceneri pravicatis ab A a, ZZ - R; d FF, BR.
Aciemque habentis ra; Magnicudo, 5R: Momentum respectu TA, 2ER;
respectu ra nep; dictancia Ceneri sravitatis d PA, Z R; 2 78, 3 R: 2
7, 25 R; ab A 52 =  R; MOenTIM rOsDeCtU FY, a R3; relvectu
Aau ER= P - 110
C, K. Aoiemque habentis a a; Masnitudo, 2 RP = 5 R2: Momentum respe
1hL. AuTA, 3R2 ∞ = a pe3; respectur a, SR2 P = .5 p.; distantia Cencri
1, M.
C, L
tE, L.
M.
D, F.
602 = 208R R: NOMENEM
Bravitatis d TA 30~ - 32R
45F = 120F R; d r0n 45~ - 220
respectuAa, RP im p3: respectu Fr, 193 p 5 p P; distantia Centri sra-
vitatis ab AC, 4522 - 1024 R
F024. R = L2ORY 5T2 R - 607
90F = 210 id L, 908 - 240 45P = +20X
Aciemque habentis Fr; Magnieudo; 15R2: Momentum respectu T A,
e R3; respectu ra, a R: distantia Ceneri Bravicatis d F A, I5R; d T a
25 R: Momentum relpectu A∞, 1924 R3 - 5 R? P; respectu Y ~, 15 R28
1024 p3; distantia Ceneri gravitatis ab Aa, 53 R = =P; a Y5, P - 5+R.
Onpula Superticialis AB, aciem habentis T A; Magnitudo : CV: MO-
EF. mentum respectu TA, 3002; respectu bV, 3C92; respectu ren 300
3C2

## Folio 837 — 851387705:0857
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000857.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
PFOD. XXI. De Calculo Centri Cravitatis.
=35V2; distantia CenEri GraVItatIS a TA, 3V; a bV, 3V; 2ra, B F 3V = Fi8, 177.
2 R  3V: Momentum respectu Rar cmbicls sis uti scicito
30ac3 R = +28R f 64. Z R+  8C2Z R 4 Oct ~FI LOTIS
15. 11C
90 R esi dictancia Ceurri sravicatis
20a63R = F28 R3 f 64X R 2 = 8C2Z R2 L96
ab. A a
60c0R2 = 30c3 k
o 
FI. L.
Aciemque habentisbY; Maenitudo, ser, Homentum respectu. L A SC~Y; D, F
respectu bV, 15aV; respectu ra, SCVR 1OV; distantia Ceneri Braritatis F, F
a FA, =V; dbV, 30; a ra h + 30 = 2 R - 52: Momentum respectu Aa, I, L.
60ac R = 24067 R3 + 2120 X R +6627 = 64 X. R2 + 128 R.
00N=
tia Centri gravitatis ab A e,
60ac3 R = 24002R3 + 1120 2 X R2 + 601 X = 64X Ra + 128 R3
12OCVR2 = 60C3R.
Aciemque habentisra; Masniendo, 2ch F 300 = 4CR = 3CV: NOmen- D, F
tum respectu T A, 30V R - 3022: respectu ra, 8C R2 = 30VR + 36V; F, F.
respectu bV, 3CVR - 45V2; distantia Ceneri graritatis d J A,
30R - 57 1d =  60k - 20vR + 3V
TOVR - 322
20VR - 2V
30R - 52 id b 13 30R - 5V
 Nomenrum selpe H, L
2604C. 3 = 30aC. R - 832R + 4267 R + 5262 Z R -- 9
90 X 2
eia Ceneri Graritatis ab A  ALHIBd D XZ 9I Lll d
sec et  I olu
36040 R = 30 ac1 R - 832R + 4162. R1 + 520 7 X R, = oC 2 X a HI
 3606R3 - (60cV R2 =) 30c3 R.
Aciemque habentis A a; Magnicudo, 2 ac - 15 R2 = (+X R - 3bX l) 3Z R + C. V
Zux: MOmentuM respectu F4, 3c  1284, +642  + 8c X R + 90. 3
e d0 7
c.
SPectur a, 360aC  = 30 aC R = 832 R + 426X R1. + 5ect X N L 9CA X 1 it 1911
90X 2
spectu bY, 00ac R = 2405  4 112 5 2 se + 0 c2 = 6+ X R. + 128 
00 X
Rantia Ceneri eravitatis a YA,
30403R = 128R3 +64 X R2 + 8027 R 2 + 90+ X
EBORCR = 480 R ~ F 24OX R3= (6OVX R2 =) 3052p
2
360 ac R3 - 30aC3 R = 832 R + 416X R2 + 5262 X R
180aCR2 = 480 R a f 240X R3 = 30c27 P
21+ 60cR - 24002R f 1120 X R + 6027 = 64X R + 128F3
FC-
9cd7
i
thL.
280aC  - 480x + 2407 4 f 3007X iMOMEMEIM L, M.
reloectu Aa, 2426 + 303 - 1 5 c R2 + 30X + 8a X R- 2 a X
distanria Ceneri sravicatis ab Aa,
3R
ic
18046N + 60c.  = + 1200 R + 400x R + 720a7 ( = 60aX R - 95
1802CR - 480 R + 2407 R = 30c7 R
Adeoque extibuimus, tumrectas Creloidem (Primariam) cangentes;
cum iptius curra, partiumque ejuldem, lonsitudines, et Centra
eraritatis; carumque Nomenta respectu exposicarum rectarum;
Ongularum item superticialium, (adeoque et superticierum conver-
sione Factarum,) magnicudines, momenta, et Centra graritatis.
Ouaeque de expolicis dicta lunt, ad alia Facile tranoterentus.
NnMRN 3
Ponunt

## Folio 838 — 851387705:0858
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000858.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Polsunt etiam ex Crcloidum Secundariarum (Contractarum scilicet 8
Crotractarum) Tansences exhiberi; carumque Curris semtpe
aequales; d partes partibus respectire lumptis.
COmpto, in SeMmeyeloidis curva R7, puncto quoris B; aIICL WHLCHIZACUII Bai
18. 177. Vra, Parallela bB, Circulo genitori, cirea Cxcloids ase La Coc, 
curreus in B: Junetaque Chorca AB; ducacur hiuie paraltela, per punctum b, recla
Sbh. Dico rectam sbh,
Semieycloidem in b comringere.
B
Sumpiis in recta sbh, supra b, puncto 8; ec, intra, puncto h: ducancur, ipsi
BB Parallela, recta 8 x X C, hd HD, Semicycloidi occurrentes in X, d; Semicir-
culo in Z, D; chordaeque AB (producta) in G, HI
Otentum est (S A. prop. 20.) arcui BA, aequalem elte rectam bB; adeogrie de
(propier parallelas) sG, e hHI. (Trem arcui Z A, rectam XZ; e arcui D A,
rectam dD.
Cumque ibidem demonstracum sit rectas BP, (tic. 167, 20B, 288.) areubous
BX, ubiqueminores esse; rectasque B F, arcubus BD majores: Similiter osten-
detur, (Hig. 777.) rectam Z C minorem arcu B X; rectamque HI D, majorem este
arcu BD. (Nam Cimilicer, hic, ducitur AB, ab A; atque illic, a B, ab a.
Adeoque; propter cotam p CE rectam, tori B A currx aequalem; e ablatam ZCI,
ablata XB minorem: Frit reliqua X 8 recta, major quam reliqua X A curra, leu
recta XX. Erpropterea, punctum g, extra Cyeloidem cadet.
Icem; propter hE rectam, ipsi B A currae aequalem; de FID adjectam, majo-
rem adjecta BD: Frit cota Dh recta, major quam tora curra D A, leu D d recta.
FC, propterea, punctum h est extra Cycloidem.
Cum iraque, cum 8 (punctum quodris supra b,) cum h (punctum quodris
intra B,) sic extra Cycloidem; (adeoque unicum b punctum Cycloidi commune;)
recta sbh Cycloidem in b cangit.
EIIque (propier parallelas) b8 = BC, bh = BHI, gH = CH; e (producta
b8. donec tangenti verricis A P OCCUETat in T,) bY = BA = C = V 2VR.
PFODEEE AV, AB, A~ hoc cllu V. c. 2. R. continue proportionales; ut CaepC
dictum est.) Irem, (ductis BXO, bBV, hDC, ipsi F A parallelis, AXi Aa
occurrentibus in O
C rectam VO, vel CO, incercipiencibus; quam dicamus
B;) eri uE AY = v, ad A B = Y 2~R; siC VO, vel CO, = B; ad BC, vel
HC; hoc Cst, ad b8, vel H8,-
8120 =B,
FiB. 177, Si ieaque intelligatur recta A a = 2 R, in partes aequales numero infinitas, di-
ridi, quarum una incellisatur VO, vel OC; adeoque omnes AV, hoc est om-
nes v, eo spectantes, arichmerice proporrionales: Oux his respondene subren(x
toridem AB, hoc elb, toridem V 2V R correspondences; (series urique Tubsecun-
AanOruM;) Tunt ur coridem rectae Vp semiparabolam AP P a (H5. 278. ) com-
plenres; cujus cum AIS Ao cum batis a P, (adeoque de lacus rectum,) it
Rectaeque b8, seu eh, cangences; hoc est, (in parcibus intinice exieuis) ipsa
DX
1d.

## Folio 839 — 851387705:0859
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000859.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
PrOP. LLXII. DeCalculo Centri Cravitatis.
BVZR
39
BX, SCU X d, CUrVX; LUINC LOHCCI BV -, seu
estus series seriei subsecundanorum reciproca.)
hoc estu ut Y 20R, dd 2 A, DC B, ad
dupla rectae Aa.
Adeoque; S rectae VO, vet OC, Lingulae;
d
respondentes; (hoc 17 8.
cidem B; incellisaneur
iptis aO seu VO roullem, fig. 277, 178. reclann La copenctos.
8.
e A
aequales; es Tumaneur ubique, ut VD, ad a P, Seu V P: SC aO, seu VO, ad V co,
ad. L BM
nes illae b8, seu 3h; hoc est, (in parcibus intinite exienis,) omnes illae BX,
Peu Zd, cueram Ar complentes; ad omnes illas VO. Peu OC. complentes re-
etam Aa; hoc est, ipsa A7 curra, ad rectam Aa: uE omnes illae V c Fguram
PrOD. T. hujuS.) ut L ad = 5 f L = 3, tet ut L de L. Adcoque Ar curra, est
incerminabilem A a OC COIMPICHLES, ad omnes illas VComplentes Rectangulum
AaOO; ITOC CA, ut Igura illa incerminabilis, ad Mecipcum parallelogrammum;
FIOc CA, ut Reciproca Secundanorum series, cujus index est - E; ad congruam
Aqualium seriem, cujus Index est =0, (Det det. F, 2. hujus.) hoc cst (per
Vel etiam; eadem Parabola inverso litu polita, ut a n H, fs. 179. ductoque ad
eandem diametrum Semicireulo ABa: Si lumatur, ubique, ut V B ad V 2, Sic
VO seu a0 ad Vo; (hoc ell, ut s = Y vh ad Y 2B R, RC B ad BY = :) ba
bebitur eadem qua prius figura incerminabilis Aa Oc: Reliquaque consequen.
cur ut prius.
Similiter octendetur (in parribus,) curvam AB, ad A V rectam; este, ut est C.
figura A V coco interminabilis ad A V OO rectangulum
Fig.
17
EE consequenter, si incelligatur A a O c (figura interminabilis) recta V a (C. 178, 179.
cari in ratione data: in eadem ratione secabitur, in b, curra A +.
Duo autem secetux A a Oa in ratione data; lecanda erit A a recta in ejuldem
racione duplicata. Incellioe, si rario data sit r ad R; Licgue AV ad Aa UC 
ad R2; exit A V coco, ad R aOa, (adeoque Ab curra, ad curram A7,) in daca
rationer ad R. Eco enim AV (=2) =p (hoc est, ad Aa = 2 R, in r2.
tione

## Folio 840 — 851387705:0860
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000860.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
840
De Calculo Centri Cravitatis.
Fis. 177, tione r ad R2:) Eric proprerea V P (= AB = Y 2VR) = Y 4 =21: Lt
78, 17.
Va (= BV ==) = BV-
BL
) = 2r B. Fujus ilaque duptum Ar B, eric ipsa A V cco interminabilis.
CNa qua rationC AaO co el CIIa MHHICIIEI pataLLCLOSTAMMII AaOO; eadem
id .1.
.Adeoque Rectangulum AYa ( = v BY
est A V oco incerminabilis, dupla huic inseripet pacasselogrammi AV co; nempe
DeF PTOP. T. HujuS.) Est aurem (PrOpCL Aa = 2 R, _ aO = B,) Rectangi-
lum AaOO = 2 RB: hujulque propierea cuplum AaO∞o = 4 RB. Lrga
AY cocoq ad A aO con (adeoque e AB, alt L7,) uc Ar B, ad 4 R B; hoc ett,
ut r ad R.
Cum itaque Sivus verti AV ad Aa, (hoc est v act 2 R;) LII L duplicata
ratiore subientarum AB ad Aa; (hoc clL, V 2V _ ad 2 X Ieu V 4 R2; vel
Vo ad V 2 R:) Cincque item eadem A V ad A a in dupLICaLa Faltone Curvarum
Ab ad Ar, (ut modo demonstrarum est: ) Fadem erit ratio AD currae ad cur-
vam Ar, qua et rectae AB ad A a rectam. Adeoque, ut Ar curva ad rectam
A a sic eurra AB ad A B rectam. Fs aurem (vri jam demonterarimus) curra
M dupla recta Aa; ergo _ A
curra, dupla est rectae A B. EF sic ubique
HOc CAt, A7, = 2 A a == 4R; 8
b = 2 AB = 2c = 2Y 2vR = V8VR.
Fis. 177, Vel CtiaMI, AL HaDCLME CAEVX AF dirs M TactosC Caca. Sa SCMICCLH
180.
in ratione data, in 7; aptetUT AB = A 7: Ductaque BB rectae A F parallela, in
eadem ratione diridetur A7 in b. OF ex aetiS PateI. DemDe H. Y:: 1d.
A2 = AB:: AT. AD.
PorrO; rectarum V ay hoc cst, BC, b8, vel GHI, 3h, hoc est, (in parribus
fi5. 177. intinice exisuis) b x, vel Xd; a Fansenre vercieis YA, distantia, sunt iplie
AV = ~, respeclirae. Oux ilaque in magnicudines BY = = (modo inventas)
ductae; cxhibent carundem respectu T A momenta, B Y 2VR (Teu cB.) Adeo-
que (Tumptis v arichmerice proporcionalibus) currx A~, vel AB, momeneum
respectu AF; vel Semignadrancalis Ongula superticialis iph Ar vel AB CurrX
insiltens, aciem habens PA; est asxresatum omnium BN 22 R eo spectancium;
vel (omistis B) omnium Y 2 2 R, hoc est, omnium Vp rectarum, Semiparabo.
lam AaP, vel AV p, H8. 1, 8. complentium: (est enim B, uc ex iptius origine
paret, nihit aliud quam ipsius A a vel AV pars intinicesima; quae omnes limut
sumpeae iplam A a vel a V. conticiune; acque hic nihil innuit aliud quam recta.
rum illarum, planum complenciu, eralsiciem.) Ft propcerea, Cuperticialis Vn.
sula ipti AF vel AB currae insistens, (aciem habens A L,) aequatur ipli A a P,
vel AV p, Semiparabolx; hoc ost (propter latus rectum 2 R, axemque Aa = 2 R,
vel AV = 2,) eric Ongula AT, = A a P =3 R2; e Onguta AB, = AV P
=ZVY 20 R == 3V6. DeT DEOD. E, vel. 6. hujus. Adeoque quae convertione CUT.
X A + vel Ab cirea F A, deteribicue superticies; cM 3 R P, vel  vY2VR
259
 e semiconvertiones 1. X P, vel  0 Y 2V R = v C
Iudgue

## Folio 841 — 851387705:0861
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000861.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
PFOD. XXII. De Calculo Centri Oravitatis.
HIudque momencum, 8R, vel ZVV 2V R = 3C~, Der IDEUS CUTVX AF vel F18. 177.
Ab maonicudinem, 4  vel 2 V 2VR = 20 (modo invencam,) diritum; extri-
hecu cenri Braricacis d FA, dictanciam; nempe, iptiuo A2, 3R; iphulque AB,
Adeoque; ipsius Ar diltantia cencri sravicatis d ra, erie 5 R; ejusque prop.
terea relpectu ra momentum, seu semiquadrantalis Ingula, 5 3: Ipliusque
AB, Diltancia Centri Graritatis d bV, 3V; e d 78, B. +
R2
V; ad
eoque ejusdem momentum (rel Semiquadrancalis Onsula) respectu b V, ZV V 2 V R
=3 2c; e respectu 7a, 2B V2~ R F ZVV 2VR = 2h0 + 40C, vel 4 RV2V R
ZVV2VR = 4C R = 3CV. FL superticies convertione vel lemiconvertione la
etae, ad haec MOMenCA; ut P vel = P ad R.
Deinde: Forundem omnium V22 R (Ongulam A r vel AB, aciem habentem F.
TA, complencium,) distantix à PA, LunE AV = V respective: Adeoque co.
rundem respectu PA momenta, sune omnia v Y 2VR (Cu Y 2~ R (vel VC;)
hoc est, ipta rectarum VD semiparabolam A a P vel A V p constiuencium mo-
menta respectu T A. HIOC CH, (per PrOD. T. vel 6. hujuS,) Semiguadrantalis On-
sula superticialis, ipli A7, vel AB, insiltentis, aciem habentis Y A, respectu
ejusdem PA, momencum, est 1S R3, rel Z V V 2V R = Z CV. Adeoque, luper-
ticiei Pemiconrertione circa Y A Factae momentum respectu iplius Y A, (quippe
duplum momenti correspondentis Onsula Semiquadrantalis, pronter magnicudi
num rationem, uc Z P ad R, seu P ad 2. R, e distanciarum ut 2 R ad Z P, (eu
4 R ad P; ut Caepe ostentum est;) 33 L3, vel 3c2 = 3 V Y2VR; Prout de 1O14
A7, Partere AB, incelligitur.
Iudque Ungulae Momencum 15 R. vel 3 EV ver maxnicudinem 3 P2 vel
Ec dirisum; exhibet distanciam cencri oraxicacis illius A5 vet AB superficia
lis Ongula (aciem habenris I A) ab ipta PA, E R vel 32; (adeoque COrrC
spondentis Superticiei Semiconvertione lacta, ceneri inde distanciam, 2
T2VR
3 vel
distanciati cencri oravicatis ejuldem Oneulae A = Caciem habemis F A) d XC, E X
(ejusque isitur respectu ra momencum 33 3;) Ongulaeque Ab (aeiem item ha-
BenCIS Y A) dictanciam, CenErI GraVICaLIS d B V, 3V; 2 7a B + 3V = 2R-
adeoque iplius, relpectu b V, momentum, 13 V Y20R = B0V e relpectu ra
306Y20R + 1~ Y20R  3570 + 13026, vel 3VR Y 2VR = ZvEV 2V R
36VR + 3CV.
Sed ee idem 8 R. (propier magnicudinum et diltantiarum reciprocattohetti)
elt etiam Ongula Superticialis Ar, aeiem habentis ra, momentum relpeet T R
quod itaque per magnicudinem. 15 X3 (modo invencam) divisum, extiber distan.
riam ceneri graricatis dPA, 3R; adeoque, d ra, 3 R, ejulque propierea re
spectu aciei lua ra momentum, 173 R3: Superticiei vero lemiconvertione cirea
ra deseripiae respectu ipsius ra, Momentum, (urpore Momenci Onsulae duplum,)
5R; Capirique graricalis a r0 dillanciam, ( vipore ael illam Ongulae u A 
ad P,) 32 t
Tiem (propter eandem magnicudinum ee distanciarum reciprocationem)
3 Ve Y 2VR == 3 CV, momentum eriam erie Onsulx Ah aciem habenis BV
respectu iptius FA: Ouod iraque per magnicudinem modo inventam 3V Y 2V X
=300 dirisum, extribet distanciam centri pravicaris d Y A, 3V; adeoque a bV.
V; d re B + 3V = 2 R = =v; ejulque proprerea respectu iplius D V (aciei Lua)
momencum I5 VE Y 2VX -5 18002; e respatu ra, 36B0  13002 = dcVR-
3522: Superticiei vero semiconrertione circa D V Cacta, momeneum respectu ipsiuS
6V, BC V; ejusque inse distancim ceneri sravicacis 26 V 
Tremque (ob eandem cantam) 3C2 R = 3CV, est etiam Nomentum Ongula
Superticialis AB, aciem habentis ra respectu P A: Ouod iinquo per maxnicudi-
nem modo inremtam 4c  -35V dirilum, extribet illius d T A distanciam ceneri
00000
Bravicatis

## Folio 842 — 851387705:0862
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000862.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
342
20dR- 23
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
32
2
deoque, a +
200  + 32
30 R - 5V
50R - 5,: Ejulque propcerea momentum relpecta ra, Bc R. - 3C v R. + ZCV;
et respectu bV, 8cVR = + CV: Superticiei rero semiconrertione ipsus AB circa
118. 1)J. Slavit
que graricatis inde distana 240X
ra deleripiae, momet et  to ten L0 R - 15C v R + 36V; cenri
=800R
+ 122
ti
3a  57
Eadem etiam Sc habentur. Sumpris Subrentis AB =6, (adeoque et curvis
f.18. 177, AB = 20) druchmecice proportionalibus; adeoque (per SC.) dirita Ar curra
in parces aequales; exic lingulordim b punctorum d Y a dillanciae, A Y (= 0
 2 X. (hoc elt, uc series secundanorum, seu ordinarim applicala in semipara.
bolae complemento;) corumque à r a distanriae Y ∞ = 2 R ZR. Adeoque s
intelligatur AbF curra Fg. 177. in rectam expandi, vel huic aequalem rectam
Tumi ABF, vel aBP, H∞. Z8F; Rjusque b punctis, aequaliter ab inricem distanti-
vus, intiltentes rectae bP ipsis A V respectiris aequales, tiguram A PF complen-
tes: Fxhibebunt hae rectae lingulorum B plinctorum, seu particularum minuta-
rum momenta respectu ipsins T A fg. 177. (Peur e reliduxe pB, carundem
momenta respectu Za; nam propter Bp = A V, erit DB = V a:) FE proPterea
cum planum AF P, tOrIS A F CuErE; cum planum A BP, CurVX AB, momien-
cum respectu T A: Fe similirer planum A P a, CUETA A T,, et ADBa, cuera Ab,
momenium extibebit, respectu ra; de ADV, ejusdem AB momeneum respectu
BV. Fst autem, (Proper orctinalas b D = =, in dupsicata racione diametro.
rum AB = 20,) Prilineum A Pr Temiparabolae complethentum; ipsumque A P a,
Parabola: Adeoque (proprer A D = 4. R, ec rP = 2 P,) A P + = = R; e A P a
 RE; (per prOp. S. hujus:). Ouae uaque Cumr cUera Ar momenia respectu
Y A _ ra. Similicer; Proptex AB = 20, e Bp = =; erit CurVR AB mo-
B3 lit B. crCiB.1ZeC
mencum respectu TA, ; ee respectu bV,
25
y e Ap BC (= AbBa = A pb)
3 R rehissisee 1 3. Aoasi BOVC
 cjuldem, respectue r a, momencum. Hoc est, (Propiec e = 2 V R)
2CV, et 3C2, e 4C R = 30V.  VE prius. Oua guidem momenta, eadem surI
acque correspondentes Ongulae; ut lapius dictum ettsrsicu
Cumque quae has superticiales Vnoulas constimune rectae, sune ipsarum ab acie-
bus suis distanciis aequales; adeoque momenta, ut iplacum quadrata: Erit suPCr
ticialis Ongulae AF aciem habencis T A, momemcum relDectu P A, omnia rectarum
. uleue ad corum marinum, noc est quadrurum
22
bp quadrata, hoc est omnia
182.

## Folio 843 — 851387705:0863
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000863.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
PFOP. ZXII. De Calculo Centri Ciravitatis.
7P.
26 P4
Pi = 4 R: adeoque ad marimum cories Cimprun, ue 2 ad 5: Moc L 8. 171.
elt (prOPTEE A 7 = 4 R,) Ex 4 RX 4 R2 = 15 R3 Per DEOP. L. hujus.
Ec Similicer, Superticialis Ongula A b, aciem item habentis F A, (f8. 277.
respectu ejuldem T. A momeneum; crunc omnia ulque ad eorum maximum,
pura ; adeoque (proprer AB = 2C,) momencum illud eric 5 42 C. L
F0 Pi vel (resticuendo e minusculam)
adeogue c4 = 4v= R2,) 35V2
e
C∞i HOc est, PrOPteF C2 = 2V R.
Similier, Superticialis Ongulae AB, aciem habentis BV, F9. 277. momentum
respectu ejusdem bV; eruni omnia quactrata rectarum, ip( AV parallelarum,
semiparabolam AD V complentium; hoc elt, quactrara rectarum Z  Zihioc ett,
omnia C = 262C2 +c
+R2
quadracum b P, =
minusculae) 4c
; hoc elt, Per PrOP. Z. hujus, (PrOPter AB = ZC., et
4 X 23
2C.3 - 3C3 + 3C3
4R.
15 (23
4 R2i vel (rellituto valorec
16CV; ut prius.
Trem; Superticialis Ongulae A b aciem habentis xa momencum respectu ra, Tunc
omnia quadrata pB eo spectantia; hoc elt, quadraca rectarum DB, parabolae
Portionem ApBa complencium; hoc csF, omnium bB = bD; hoc elt, omnia 2 R
2X =; hoc et omnia 26 R a = 8C2 R4
+
e seu +
2. Bujus (Propter AB = a B = 2C,) 32 C. R. -
15 C R + 3C; hocc (prOB.
Ter C= = 2 VR, 8c4 = 4 v = R=; icem, resticuta c minuscula;) BcR 2 = = CV R
=ZCV2: VE priuS.
Acque hinc, centrorum Gravicatis d Y A, BV, ra, distancia; reliquaque dedu-
centur; eadem quae prius.
POrrO; E intellisatur Curra A F Fg. 277, in minutas partes aequales (vE prius)
dividi; Erit Singulorum b punctorum, scu parrium minurarum, ab A a distantia F18. 177
bV = bB F BV = a + s: Sumpris AB =6, (adeoque e Ab = 26) arictimetice 182, 183.
proportionalibus.
Adeoque; s incelligatur curra A= fg. 277. in rectam A r F8. 182. expandi;
cui ordinatim applicentur, (in singulis b punctis,) ex una parte, rectae bB (iri.
lincum A ratis. 182. complentes) iplis bBHig. 177. aquales; _ ex altera parre,
rectae B. (complentes bilineum A rv) aequales iplis BV fiz. 277. Lingula Recta
Bb0 Fix. +82. Lingulorum b punctorum, seu minutarum partium, MOMEnTA respe-
ctu rectae A a fig. 277. exhibebunt; aceoque e omnes omnium; live qua cOtam
A r, Sirc quae iptius pariem A B spectanE. HOC est, TOt AaTV, TOEIUS AF cur-
1
 ejusque pars ABbV, partis Ab; momencum respectu rectae A a HS. 177. ex
Sunc urique recta BB, crilineum A a r fiB. 282. complentes; hoc est, recta Bb
177. ut arcus chordarum in semicireulo, vel linuum rectorum in Guadrance,
arichmetice proportionalium; hoc elt, ut recta 30 fig. 170, complentes crilineum
F; (quod el Fixura sinuum rectorum unius quadrantis a. ns, complemencum
a Parallelosrammum.)
Ouippe lumpris ar; seu E0, sinibus rectis arichmerice proporcionalibus; erunt
quae his despondene, 10, tetta, crundem arcubus aequales: quorum duptis, X
quaneur, chordarum in lemicireulo respondentium arcus; seu rectae BB, H3. 182
Pura, rectis ro complencibus Ana crilineum Hig. 183. EpHi ar F fis. 270. limile.
Eleque alicer ditere eilmeum A xa. l6. 182. ab Aan His. 183. quam quocl (retencio
000002
eildem

## Folio 844 — 851387705:0864
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000864.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
844
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fix. r7y eildem latitudinibus B B = , 0) altitudinem auxlam habeae, nempe  = L. A .
282, 183. AdEOqUC cum trilineo n, . 176. CoPatab LatC MabC AlPLaM
1. 162
bB = 2. 30)
ladruplam, A r = 4ar. Cum itaque Lacitudo Du
ela libus e u Hachupla; Ligura tigurae est Octupla: HCMDC A 7 a H18. 182.
=8aFu HB. 17D.  ABb = 8407; limilicer diritis A = in b, d a F in1.
vA. AaCOGuC ABD (16. 162.)
8a56da, Hoc eu Occuplum tacti exs teba seu  Aelatelto,
in ejusdem sinus arcum, seu lemiareum subtentae; minus, Octuplo sinus verti
ejuldem semiareus, in Radium ducti. LOc est (ti8. 179.) 8ANX AM = 8M N
XNC: HIOC est, ZAABKAMB = BMNKNC: HOC ClL (prOPteE M N =CN
a AMB = 6, aB = y
b Aoli ,) 2aC = 0a
4X et
(Tumpris AB = c, 2deoque e Ab = 26, arichmetice proPorciOnalibuS,) sune linuS
recti Arcuum quorum Cuhuen (ae lunc arictimeriee proportionales. Elt autem (propter
limilia Feiangula A3. 177.) uc A∞ = 2 Re ad AB = 6; lic a B = Y: 4 R2 - 07.
1X
FM aurem ad
∞ (propter a5 = 2 D, e at = R;) _ an d = p (pC
69. proB. 17.) ereo ant = = RP  R.. Adeoque Aa r (H8: 282.) =2R
Similiter; (in parcibus,) a507 = a s (potiris a E = a; 8 50 = 5;) e 402
CVR (pet S. PFOP. 17.) e180aV
=SaB) 2ANBKAMB = 8HC +HC Y 4aDxNC: HOC est (poticis ANB
Deinde; rectae bvH3. 182. (Bilineum A ro Complentes,) hoc est BV fig. 777
a

## Folio 845 — 851387705:0865
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000865.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
PrOP. XXII. DeCalculo Contri Cravitatis.
= 2, ad BY = 5 = cY: 4 2 - c2
CX
2X. Adeoque Omnes bu complences 1 81. 103
vel cotam A ro, vel iptius parrem A Bo, sunc Omnia CY: 4 R2 = C = vet E X.
eo
Spectancia; tumpeis carictmetice proporcionalibus. Ouarum asgrexatum sc col.
lisitur.
Si intellisatur AaC (L5. +83.) Circuli quadrans; qui Ractium habeat A a -
2 R aequalem circuli genitoris Diametro; iI quo FIMANEUF A 3 == c arichimetice
proportionales; rectaque 79, ips AO ParallelX. Frit ubique y9  V: 4 R2-
2: = x. (Nam quadracum qA, hoc est Aa, dempto quadraro A 7, XquatIE qua-
dracor 4.) Adcoque Omnes 7 4 sive quae toran A a  quadrancem, sive qux
iplius partem A7q complent, Tum Omnes V: 4 R 2 - 52: (Teu OmneS X) eo
spectantes. Cumque harum ab A O distancia LIHE Ry = c respectire: FrunE Ommia
CV: 4. R == ce: (scu Omnia CX,) idem acque iltius A a ( quacranris, eju(Ye A79
segmenci, momentum respectu AC recta.
Ouadrancis autem A aG, li ponerecur radius = R, momentum respectu AO
estet Z R3 (per SO. prOP. L5.) ergo, politoradio A a = 2 R, crit 3R3: Ouod
uaque est aggresarum omnium cV; 4. R 5E: eo spectancium. Adeoque BR
=Omn. CV: 4 R 7
CE ipsum A av Bilineum L8. 283. (sumpris ubique, ue A a
ad A, Eic Y9 ad 7v.) Ejusque duplum (proxier duplam alticudinem) 3 R2,
est Bilincum A=v. Fis. 182. duod ab A a.v FIg. 1283. non aliier disfert, quam quod
(recenicis cildem lavicudtinibus respectiris bv = 7 v) alcicudinems duplam habeat,
2Y= 2 Ac
Tiem, Scctoris q AO mbencum re spectu A C, posico Radio = R, ENeL (Per
5O. prop. 45.) =0RZ; hoc elt, Priens tacti ex areus linu verso in quadratum
Racii; hoc elt, in praesenri calu, ex OV = A9 - 7 4 = 2 R- V: 4 R - c
=ZR == X in guactarum A a, = 4 R2: HOC Clt, 8R = 3. R 2 Y: 4 A2 = c2.
=3R3 = 3X R2 Cui si addatur Momentum (rospectu ejuldem A Q) Frianouli
A97: hoc est (prOPteE y q = V: 4 R7- 621: 9 == X, _ R v == 0j; centrique sra
vitatis ab A O distanciam 3c;) 302 V: 4  2 = 62: == 5024. FTabeLUE tOTIIS
AygO momencum respectu A C, 3 R   B R2 V: 4 X   02: + 362V: 4X
vel SR. = 3X R F 3xCE: Hoc est ( propier 4 X2
2c3
Ouod naque icaque elt. Omnium cV: 4 R 2 =c; cospcetancium aserexatum: A.
deoque : P:  = Omn. EY: 4 R c
2. X 1711
6R
 ipsum A ro ti8. 183. Fjulque
duplum ? N. - = x. (propiet duplam alicudinem) est iptum A B. liL. 182.
Est itaque (PrOpTeT AAY = 2 RP = 8 R 2, _ A rV = 3 R2,) cotum AaXy
A8. 182. = 2 R D L 15 R2. Ouod itaque est currae Semiercloidis A= fis. 17
momencum respectu rectae Aa; vel Semiquadrancalis Ongula eidem insistens aciem
hrabens Aa. (Adeoque Superticies curra ejusdem circa Aa convertione deserixra
2D2 16 x ∞. e, semiconverlione, D2 = 8 p ∞.) IIIudqueCUEVE A F momen-
 per maonicudinem (4 R) dirisum; extribet ejusdem a r currae distanciam
cencri gravitaris ab Aa, ZP =3 R: Adeoque d Pr, 8 R, caneundem scilicet quan-
cum d
SD.) acque cancundem est ejusdem respectu ncriutvis Momentum,
nempe S R2: e aequales urobique superticies conversione extibira, 1S RP; e Se
mieonver lione 8RP.
liem (propiet ABB = 22c - 8  + +XR; et AB. = 5 p - X porum
ABb0Fic. 283. = 2ac = 13  + 4X. R =  ; vel (proprer X3 = 2b. s; la
SIEa. A, a B, a. V; hoc e 2. R, X b, concinue proportionales; d 2ac = 15 R2 +
AX R = 3BX = 2.aC - 16 P2 +, 3X R + 3VX. Ouodicaque, est iptius A B CUEVX
momentum respectu Aa; vel Semiquadrantalis Ongula cidem intistens, aciem ha-
000003
bens

## Folio 846 — 851387705:0866
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000866.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
L19. 17)
FI.
DeCalcuo Centri Cravitatis.
15 RP + (3X ~
2v2E
=) 3X2
LaCF
2BX : Ft, semiconvertione Facta, hu-
jus semistis) IIudque momentum, per magnicudinem (20) dirisum; extribet,
ejuldem Ab currae, distanciam cenii pravicaris ab A e a-
BR2 F. BX-
6X 
P
+ Z. X B
7
Deinde; (Dirisa ut prius A Z, Curra H3. F77 +80. in minutas partes aquales: )
Fif. 177. Cum quae lingulis b punctis (seu minucis parriculis) insiltunc, semiquadranta.
D
tem ungulam, cujus acies Y A, complenteS, FiINE(Per S F.)=Z; sincque illarum
ab A a diltancie (per 5C.) a f s; crunc sineuilarum momenta 
2-
(Tumpris c arichimetice proportionalibus.) Adeoque momentum simul omnium.
Llive quae coram A2, live qua pariem AG ipcclanes)  ABBiegacum omnium
2 X eo spectancium; hoc est, Omnia 
5c
F2R
Fig. 170, Sune autem Omnes a (Tumpris carichmerice provorrionalibus) aequales respe-
82, 183. ctiris rectis bBtig. 182. rel 20tig. 183. (ucS Cr. ostensum elt) harumque ab
AS distancix sunt ip(x Ay = c respectira; adeoque quae illis intistune plana
Ongulam semiquactrantalem complentia ( aciem habentem, A5) Punt Omn. ac:
Florumque planorum ab Ad distantiae lunc icidem Ay = c: Erso eorum omnium
momenta lunt Omn. ac
Sune ilaque Omnit a c eo spectantia, idem acque Momencum Ongulae Semiqua.
drantalis A~a Vel AOV, (aciem habentis AS,) respectu ipsiUS AS. FIOC eH
Sca decuptum momenei timilis Ongulae auP, vel 407, Hg. 170. (aciem habentis
2. 5,) respectu ipsius as. Nempe in ratione Quadruplicara lacerum homologorum,
A∞ ad aF, (qua dupla cst;) propter cum lingulas erium solidi dimentionum,
cum diltanciam ab axe convertionis; Duplas in Ana, carum qua In a X I.
Elt autem Momencum Ongula ax F fie. X7, 0. respectu aciei luxe as, idem atque
Momencum nailae a Su F, dempto momento Ongulae au drespectu communis
aciei a5. HOC CHF, = R3 ~ (DTOPIEF a F = R, _ a S = = P,) dempto Z R + (peF
dH. PrOP. 29.) HOc ect, 2 R3P = Z R2. Adeoque Momentum similis. Ongula
An a Fi8. 183. respectu aciei AS, (urpore illius Sedecuplum) 3 R3P = 38 R4
Duod itaque est aggresarum omnium a c? rocam A ∞ tig. +83. Spectantium. Adeo
que 3 R  - 15 R., 2er exatum Omn. , eo spectantium. Ft (propter A -
tiB 182. = 2A a. tig. 183. Dejuldem duplum Z R2∞ - 3 R. est ascrecacum Omn.
2X. Spectancium A , rectam tiB. 182. cli vamve A F. fi8. 177.
Trem Momentum OnguIX a07 fg. 270. respectu aciei sux aE, idem est acque
Nomenium Ongula aE02, dempio momento Ungulae aoE, respectu communis
aciet aE. HOcest, 3a 53 (poliis aE = a, _ ay = E, = 5,) dempio 3u2 R2 +
Es?VR (per DH. prOP 29.) HOC est 3a 53= 5 V 2 R 2 = 35=V R; TumptiS S
pro Temilubienta, leu linu dimidii arcus; et a v, pro illo arcu dimidio ejusque
linu rerso; hoc cst, a = AN, s = AM, ~ = MIN, f8. 579. Adeoque Momen
cum similis Onsulae A02 F8. 283. (uepore illius lexdecuplum,) 15 a 5 = 1822 X
=1652V R (Tumpris a 5, 2, eodem sen tu:) Hoc est (sumpris a = ANB, C = 25
AMB, V = AI = CH . CM =-C, N = = aB = R = 3X, adeoque e V2=
R2 - X R + 2X 2 = R 2 - x R + R2 = 2 C2 = 2 R2 = X R - + 62;) + ac3 -
3R2 + 157 R3 + 302RZ- 3~ R + 3C2 X R, = 3 a6 - 3R2 + 16X R + 252 R
Duod iaque elt iescenum omnim ac rcetun a, spelanium. A eoguet
Cap. V.
846

## Folio 847 — 851387705:0867
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000867.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
15 X. + 37. Re +36 Lo uber exacum Omn. 
dem duptum, nempe
aC2
=33 R3 4757 R 19 X et deslexatum Omnium
P rectam A BFs. 282, curramque A b Fg. 177. spectanium.
Insuper Omnes s (sumpris c arictimetice proporcionalibus,) sunc idem acque
omnes bo Hi5. 282. seu dupium Omnium 5 = 70 tis. 183. (ut S Cc. Octentum est.)
Sea Omn. 5 (= Omn. 20) sunc Omn. V: 4 R2
=c
seu Omn. 27. Adeo.
que Omm. 55, (seu iptius AaV, vel A7V, momentum respectu AG, vel COF
respondens Ongula) sunc, Omn. C V: 4 R2 - c
2R
:(Idem acque Ungula A990
vel A Q97, aciem habentis AO, momentum respectu AO, per 2 R diritum:)
EF Omn. SC; (hoc est, momencum Ongula Aav, vel A70, AB. 183. aciem tia-
benis AO, respectu ejuldem AO,) fnE Omn.
E. Ec provaltu Mt
et tdit ste
 4
oticab
4a
Teu Omn:
d03 Letu
DeCalculo Centri Cravitatis.
34
PTOP. XXII.
eo spectancium. Ft C Prop. FiE. 177
cex AF A8. 282. figura alcicudinem, duplam alcicudinis A a A8. 183.) eju (. 183.
4
seu Omn.
Sunt autem mgnes V: 4 R = c: leu Omnes X: (sumpris e arichimetice prO. FIB. 283,
porcionalibus,) ligullatu agitates rectis rg, complentibus quacrantem A aO 184
fig. 183. (per SG.) Ouibus aequales incellisantur rectae r9 quadrantem Aa C
fis. 284. limilicer complentes. Cui adjacere incelligatur semiparabolocidis Cubi-
calis complementum, APa, quadrato AaPD inscriptum; verricem habens A.
Cujus icaque Parabolocideos Latus rectum erit 4 R (quod utique in diametttim
AD = 2R, ductum, clliciat 8 R. Cubum ordinatim in Paraboloeide applicara
OP = 2 R;) per quod itaque 4 R, S diridatur recta DP = A∞ = 2 R, cubus
8 R3; habebicur Diametex in Parabolocide, rel Ordinacim in Complemenro axpli.
catas AD = aP-
R3
= 2. P: Ee similices, Si per idem + R3, diridatur, recta
ed = A3 = c, Cubus e; habebicur diameter in Pacabolocidle, vel ordinacim ap.
plieaca, in complemenio, Ad = rP = P e lic ubique (Sune urique Ordi-
nacim. applicatae in semiparabolocidis hujus complemento, in diametrorum inter.
ceptarum complemenii ratione criplicata, teu uc carum Cubi.)
Cum itaque qux quacrantem AaO A8. 184. complent rectae r 4 Cnt ipla
X = V: 4 R2 - 62: quaeque semipasabolocideos Cubicalis complemencum A a P,
complene recta rP, sinc ipsae ; quae ex his fiune rectaveuta sune ipsa
CV: 4 R - c2:
+ se3
4 L

## Folio 848 — 851387705:0868
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000868.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fi8. 1773 Si itaque intelligatur ex hujusmodi rectansulis compleri Solidum, ipsi AaC
quadranci incumbens, alcicudinem hatens, in linsulis rq rectis, sequalem respe.
ciris rectis 7 p; Solidum hoc inceorum Aa B, ejutre logmenrum A7 4; erit a8
srexarum omnium  V. 4
 quae vel totam Ao vel iptius partem A3,
spectant. Vel etiam (quod eodem recidet) si intellisatur A a P complementi Se.
miparabolocidis planum, Tuper circuli plano, in Aa ad angulos rectos crectum
moveri (invariaro ansulo) ab A a ad Qr, motu luo describens solidum Pris-
matieum seu columnare, circuli plano incumbens, duobus Trilineis ipli AaF B.
milibus de aequalibus interjectum; quod secet Cytindri recti superticies arcur
ga intistens, solidum inde ablcindens AOga: Solidum sic abscistum, comple.
bune istiusmodi rectangula. Ouippe y P recta, sic mota, super y9 rectam de-
seribet q2p rectangulum. EL Sic ubique.
Idemque Solidum, alia adhuc complebunt plana, rectis n g (ipA A a parallC-
lis, et aequaliter ab invicem dilliris,) insistentia; ipsis A x p respectiris similia e
aequalia. Ouippe, dum AaP, moru jam dicto latum, ad nq perrenit; ejusdem
ParS A XD, eidem nq, insiltens, plano solidi lic deseripri, eidem na intiltenti,
COnOTUIE. Et sic ubique. Adcoque, Omnia AX p plania, coridem ng rectis in.
Sltentia cotum AO ga Colidum complene.
Sumoris aurem in AO (= 2 R,) rectis A n (=-c) arichmetice proportiona-
libus; quae his respondennqe sunt tocidem V: 4 R=- ct: hoc ell, cocidem X
Ductisque qXP (ipsi O A ParallCLIS,) rectae in complemento Paraholocidis cildem
: (sune urique in Paraboloei.
dis cubicalis complemento, Ordinatim applicate, in triplicata ratione diametro-
TUM; PuTa, X P recta, ad rectam a P, ue cubus Ax ad clibum Aa; et sc ubique.)
Adeoque AX Dd rectangulum, ( urpote factum Cx AX = + q = X, in X P
4 23) CA ; hoc est (PrOPter X = V: 4 R - ∞:) 26R  = 8c R + a
4 R
Adeoque Ax P parabolocidis Cubicalis complementum (vrpore ad circum scriptum
ParalleloBrammum uE L ad 4, PEr PTOP. 6. hujuS;) cst - ~ -1B R. - 8c R f e
26R
16R
Ex sic ubique. Adeoque omnia A X D Trilinea, hoc est, Ommia u g plana, CoII.
dum complentia, sune Omnia 26 ~: - 8C = R + E co spectancia; sive corum
16R
AO40 Tolidum spectemus, sive iptius portionem aliquam ut A Y qa.
Sunc aucem (Ber PTOP. L. hujus) S torum A Q9a spectemus, (DTOPIeT
AC = 2 R,) Omn. 62, = 3R3; e Omn. c2, = 35 R5. Adeoque Omn. 16 R a
=15 R3. Hoc est, Omnia V: 4 R-
A. R =
16X = 88 X +C
16R
 seu Omnia d6, rectatu Aa H. 184
vel planum A av HC. 183. spectania. AdeoquE (PrOPHeT A = SB. 282. = 2 A a
Fip. 183.) hujus duplum, 2 R3, erit Aexrexacum Omnium L Spectancium pla.
num A ro, vel rectam A = tig. 282. vel curvam A ~ fig. 177.
Si vero Solidi portionem A V q0 spectemus; ve sit rectarum AL == C, maxima
AV = 7 4 = X; erum (per candem prOP. T. nujus) Omn. 1, = 5 X3; ee Omn.
e = = X3: AdeOque Omn. 16 R  - 8c R + et: = 16X R + - 3 X R 4 5 x3, e
Omn. 26 R 2 = 8c R2 + ca
16R2: = = R = 3  + 30 R
Hoc aucem AV ga Tolidum, ex solido A9q0. = 15 B5 lodo reperco) sub.
dluctum; relinguit Colidum V4G, = 15 R3 - X R 2 + 5X3 -
80 X
Huic vero V90 Colido; si adelatur solidum AV 47) hoc est (propter pla-
num
84.

## Folio 849 — 851387705:0869
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000869.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
PEOD Z XII. DeCalculo Centri Cravitatis.
num V a = A, P=
Ci+. l
.32 XC.
16 . et AV = 1)  (volico AY = C; d) Pabetur. 184
e
Folidum A 790 = 5, R. =  R + 3 X3 +. 16H 80 P: HOC ell (PrOHIeE
p = 4 , = C7, adeoque X9 = 16R 1 - 8C R + C. 1 .) 1 P = x R. + 3X P.
a
= 5XC2
XC
XC2
16 R2 FX R2 + 15XC 2
4
8 N =  R3 = 1 X R 2 = i X C. 2 +
20 R: Vet (resticuro valore minuscularum, A7 = c, et AY = 74 = x = Y:
4R -c:) 15 R. - EX R = i c X H 20 p. Duod iaque est negrexrcum
2
Omnium  V: 4. P =C: seu Omnium =, rectam A Y lis. 284. vel planum
A rV H8. 183. Spectaniiim. Adeoque (proprer A + fB. 182. = 2 A a L8, 187
ee consequencer AB = 2 A7;) hujus duplum, 33 R3 = 15 X R 2 = 362 X +
E0  2BBregatum Omtiium , spectancium planum AB0, vel rectam AB
2 R
H8. 182. vel cueram AB AB. 177. rel (propier C = 4 R = X,) B R - 3 X
20SZits   L eirmmlest cerjius: B R 3. 5B oeq . 1
Chmm senque sine, quoe cotana A r spectane, Dmmul.
C
2X
(ne modo oltentum erac;) de Omn. X
po
R. P = 1 R, Fis. 177.
2 = H _, (ve jam ostentum est:)
Erunc Omn.   c: = 3 R2 ~ L at PB. Ouod icaque (per modo demon-
strata) est lemiguactrancalis Ongulae superticialis, tori, A T F3. 177. intiltencis,
aciem habentis A F, momentum respectu Aa; Aut etiam (propiee Alcieudinum
d Diltanciarum reciproeationem,) aciem habentis A a, momencum respectu LA.
Hoc itaque Momencum, per Ongula A7, aciem habentis P A, masnitudinem
R2 (AD, F. Ostensam,) dirisum; extribec ejusdem Centri graricaris ab A a di-
Itanciam, EP = 3 R. (Pademque erir inde distancia centri graritatis correspon.
dentis superticiei convertione vel semiconvertione circa TA factae; cadem yri-
que quae superticialis Onsulx: Momentorum rero ratio, eadem quae magniendi-
num; nempe ad illud Ongulae, ut P vel =P ad R. Et sic alibi; nempe quo-
ries axis librae est, ad axem convertionis ad angulos rectos: Ve Caepius insinua.
cum est:) Adeoque ejuldem a Pr distancia, cHt = R; EjuIque prOPterCa, re.
spectu T∞ momennim, t R
Ouod inidem est Ingulae A7, aciem habencis T. F, momentum respectu F A.
Hoc iaque per magnicudinem (S C. tradicam) 15 R3, divisum; extibet hujus,
T A, diltanciam ceneri gravicaris, 5 R: Adeoque a + en 35 R; ipsiusque respectu
Ta momencum, aS R3. Aque hoc iidem est Ungula AT, aciem habentis ra
momentum, respectu PF. Quod ieaque per hujus magnicudinem 5 R 2, diritum;
exhibet ceneri gravicaris d Fr diltancium, icem 25 R: Adeogue ab A a, LP - 15 R;
ejusque respeCtu A a momentum 3 R = 2 = aS  3.
Idemque (quod modo dictum est) momencum GR2 P - a R3, per Vneula AF
aciem habeneis Aa agnicudinem, 2 R P = 15 R, (SC. Ostentum,) divitum;
exhibet ejusdem dictanciam cencri pravicais d Y A, 30~ = 32. R R: Adeo.
que 2 τ0, 60P = 208. R
45P = +2OR
R2 P - 16 p3
45P = 120F
P. Ft proprerea ejuleem respectu r a Momentum
Sed e hoc iptum (propter Alcicudinum ee Distanciarum reciprocationem) est
etiam Onsulae A7, aciem habentis r a, momentum respectu Aa. Pex hujus ita-
PPDPD
quC
3

## Folio 850 — 851387705:0870
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000870.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
Eis. 177. que magnicudinem 5 P= (sD, F. inventam) diritum; exhibet hujus distantiam
cencri gravicatis ab Ae ZP =35 R. Or modo dictum est.
Similiter; Cum quae portionem Ab spectant, sinc Omn.
1C=
2R
ac
3X = 3R2.+
∞: = 1: R - 1 3 X R. - 3 . 7. t   psi Cut mode
octensum est:) Frunt Omn. 2  c2: -
R
ac
3t
= 2 R3 + 3 X R= + 362 X +
2 X - 30ac R = 1 28 R +64X R f BC X R. + 95X. Quod inque est
DX
d0R
Momencum Ongulae AB, aciem habentis F A, respectu Ra; vel etiam (ob alii-
cudinum ec distantiarum reciprocationem) aciem habencis A an Momentum relpe.
etu T A.
TIoc itaque Momentum; per Ingulx AB, aciem tabentis Y A, magnitudinem
3C2 (5D, P. inrencam) divilum; exhiber ejusdem ab A a distantiam cencri graricatis
ac2 32R, 16X N, 2CX
363X
2VR 15C~ 250V 150 ZOVR; Vel (PrOPteT 2 V R = 02,) a-
32R, 16XP.
267 p 3CX: HOC Cs, 3Dac R - 128 X +647 P. H 80 x N + geex
25CV F5CV τ5V 2OL
6OcVR = = 30C R
Tdemque Momentum, Der Ingula AB, aciem habentis Aa, magnitudinem,
24c - 3 R2 + 4X R = 3BX = 2ac - 15 R2 + 5X R + 3 vX (6C. invencam)
divitum; extibet hujus distantiam ceneri gravicaris d F A,
30403 R = 128R3 = 64 X R + = 8C2 X R + 9c a Y
180aC R = = 480 R 2 + 240X R3 = (60VX R =) 3OC2 XR.
Adeogue d = a, 360ac  - 30ac R - 832. R + 426XR + 525xX- B ex
IBOnCR = 480R3 + 2407 R3 = 3002 2 R
a bV (subducendo ex A V = 2 ejusdem a F A distanciam,)
280acVR - 48OVR2 + 242X R = 30~2X R - 30aC R + 12BN,-64XR - 8C.X R
9647
280aCA -= 480  + 240xB + 30C X B,
vel (Propter 20 R = 0
SOac R 240C R f +L2C7 N f6027 647R L X28X
180acR - 480R. + 240XR = 3Or2 X R
Et conseguenter, ejuldem momentum respectu ram (magnicudine in dictanciam
ducta) erie 3 SBaC.  - 30ac R = 832 R + q26 N + 528 X  = 90t. Ouoderi
90R
an (proprer alticudinum et distantiarum reciprocationem) est momentum Ungu-
atis ra respectu Aa: Adeoque (momentum illud per hujus
magnicudinem diridendo; hoc est, per 45 R = ZC 2, ut SD, P. ostenditur,) hujus
distantia ceneri graricatis ab A eu est
360aC. R = 30 ac) _ - 832 R + 426X R 2 + 5202 X R = 96X
360CR3 = (60cVR2 =) 30c3 R.
Similicee, ejuldem Ongulae A b aciem habenris Aa, momentum respectu BY,
(magnicudine in distanciam ducta) erit
60ac: R = 2405: R. + L12C27 R + 6c1x = 64X R + 128R. Ouod i.
d0R3.
que (propter alcicudinum ec distantiarum reciproeationem) est etiam Momentum
Ingulae Ab aciem habentis bV, respectu Aa. Adeoque (per magnicudinem
AC~, SD, F. inventam, dividendo;) eric hujus distancia centri gravitacis ab A a,
60 ac R - 2400 R + 112c. x P. + 60 2x - 64 x _ + 128 .
120CVR60c3R.
upercll

## Folio 851 — 851387705:0871
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000871.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
PEOP. XXII. De Calculo Centri Cravitatis.
Superest tandem, ut suxerticialis Snoulae AF vel AB, aciem haberitis Aa, m0.
mencum respectu A a inveltisemus.
I
Fis
Dirila itaque, ut prius, Ar in minutas partes aequales: Adeoque Tumpris AB 182, 183
=26 fiy. 177, 182. arichumetice proporcionalibus: Frie cujusque b puncti, Pey 170.
Partis minurae, ab Aa distantia, bB V Hg. 277. hoc cst Bb  tig. 182. Adeoque
omnes rectae punctis b inlistentes, Ongulam complentes, lunt tocidem Bbo rectae
crilincum A a 70 tig. 182. complentes; hoc cst, bis Omnes orv Hg. 183. hoc est
tocidem a-  s. Subtensis c’arichmetice proporcionalibus respondentes. Oua icidem
in a f s diltanciam ductae, exhibent earum respectu A ae momenta, rotidem a 2 +
2a5 = 5
Sune aurem, omnia a; seu omnia quadteata 70 lig. 183. Duptum Semiaus.
drantalis Ongula, seu momenti crilinei An a, PCU A07, (pront rel tocum vel parS
consideratur,) respectu Aa tig. 183. Hloc elt (propier figuras similes A n a. (i8
283. _c a _ F fig. 170.) Sexdecuplum momenti crilinei a r P vel a0y, fig. 170. Ic
spectu rectae a P, (nempe in eriplicata ratione laterum FTomolosorum, Aa = 2. R,
ad aT = R.)
Fstautem, Momentum Frilinei 403, Fg, 170. hoc Ct, 4E07 =E0a, (respectu
aF,) Ea = S, minus, = e R F aVR; (DeF BO. PrOP. 79.) Seu 3B =5. + e R2 -
avR, hoc elt = a 2 5. = a R = - 5 R - a 2 R, (DolitO a = a EHi8, 1, O. PTO AiCU AN
A8. 279. Temiste arcus AB; adeoque s = AM, et 2 =M N = C N - ; a B = R
=EX:) Adeoque Momentum crilinei Aoy EB, 183. ( uipore istius Octuplum,)
425 = 8a R2 = 85R = 8 a V R, (Tumpris an s, 2, eodem sentu:) Hoc est,
(DOlito a = AB, = 2 AH; _c = 25; _ R = =X = v;) 3a2C + 4 a R2-
4cR - 4 a R = 2a 7 R = = a 2 6 - 4c R2 = 2 a X R: Adeoque Omnia a  c0
spectantia (uevore momenti duptum) a = c = 8CK = - = 4 a X R; hoc est Omnia
quadrata 70 f18. 183. Adeoque (proprer A r Hig. 182. = 2 A a tig. 283.) Omnia
quadrata BB F9. +82. Peu Omnia a 2 (eo spectantia) = 2 a = C = 16CR = + 8aXR.
FEprOPIerCa, SI EOtaM AF SpectemUS; (PrOPter a = ZP, 0 = 2 R, 8 X = 0,)
CFIE RP 2 = 32 R3 =OMn. a 2
Trem, omnia s, hoc est, omnia quadraca bo fi. 282. seu tis Omnia quacrata
70 f8. 283. IdeM TUNE C PFOPIeT 30 = b0-EV: 4L
R
cl) acque coti.
dem 4 2. = . Sune auceme (sumpris e avichimerice proporcionalibus, usque
4 R
ad maximam C. = A B,) Omm. 62: = = C3; et Omn. 54: = = C3 (per PrOD. T. BujuS.)
FreoOmn.   = : == Omn. c2 -
+
4 R2: = 3C
20 X Nempe Omnia
quadtaca 70, seu Omn. 52: (15. 183. Fi∞O (proprer A, = 2 A 0y) Omnia qua.
drata bv f5. 282. Omn. 52 = 3C3 - - . Et propterea, Si toram A + specte.
20
muS, PrOPIET C. = 2 R, ) Omn. 52: = 15, R3 - 18, R3 = 32 R3.
Irem, (propter s= V. + Rc
) Omnia as, sune roridem = cV: 4. N - 2
2R: Adco-
que (propter oy = aq e 9) = V: 4 R= = c 2: de Ay = c: Omnia a5: hoC
est, Omnia Rectangu la oy v fi8. 283. Tunt Momencum, respectu As, omnium gyo
rectansulorum, (tolidire ex his conclati,) per 2 R divitum. HIoc est (propter
sixuras similes A n a H8. 183. _can F seu dr S, fig. 270. item AO 40. H8. 183. 8
DEa Fx. 269. rationemque lacerum homologorum A a ad aF, ut 2 ad 1;
Sen decupt
habentis respectiris E. Z H∞. 269. aequales, respectu rectarum a. d vel dc.
Festaucem portio solidi hujusmodi brB, Tcu e TE, Hg, 170. = +  R - = s R, Per
SKE. PrOP. 18. (BOLIIO ~C = a;) HOC eA (Dosito e8 Pev 28 =- E, adeoque a = = P - E;)
22 R = dE= A 1 aG A = qd A. A deoque d TS (PTOPterE =0, et 5 = R,
_,  R. L proprerea decd. l drs = er.) = 1E R = i6i s +
PDD

## Folio 852 — 851387705:0872
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000872.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
F13. 177, 4 S R - = R3. Unde Si Subducatur portio ec d s; hoc Cst, Factum CX CB = E, in
1827 163, F Z a (ti8. 269.) hoc C, (per SF. PrOD. 25.) in 3a s - 35 R = q SB (potitm
a = ∞. = a E areui, et B = a = = CE;) hoc cst (DOLIIO a = =  = E, e B = H - v. 1)
in 5E R = ZE R = 35 R F = 5 R - 35 _; HOC elt, In  Z R = = 5 R = 3 5 _; Dem.
Des SE P R = 1 53 R = 2 F s. _: Relinguieur porcio de8 = - E R + 3E 5 X + 1 5. se
Ec porcionis Colidi b= B Seu Cr e, respectu ra, momentum cst, = a R = = -8s R2
=ZB R3 = 3 s B R, Der SO. PrOP. 18. (POsItO ZE = a, _ a Z. =B;) HOC CA,
(potitis a = = ~ = E, e B = R = ∞,) s 2 2 R2 = 3EP R2 + LG2 R = - -8 s R=
3R 2 + 3 a R = 95 R + 3s _ R; SeB  D = R  - dE P R= + + E R -  5. R.
3 Ra- + 3 N R = 3s x R. Adeoque momentum Colidi d FS (DEOPICT E = 0, e
_ = , e 5 = R,) 6 D2 R 2 = a R2 = 3 R4, (CV, s R 2 ∞2 - 18 R 4. FF PTODICI-
ea, Momentum porrionis deEd (respectu cjusdem 70) elt 3EZ R 2 - + 32R
+ R4 = 2s R2 = 3 ∞ R = = sX R. VndC lI ANIFETALUE MOMeNtM PORCIONIS.
ccd 3; hoc est, factum ex c3 =E, in momencum segmenci semicirculi F. Z a
(ti8. 169.) respectu iptius Za; hoc CA (PerS L. PrOV. 25.) in L a R = = = 5P=
FZSBR = Z s (DOFIEO XE = an _ a Z = B;) hoc Cst, (DOLII a = = 2 -E, 
B = R = 1,) in 3~ R 2 = 3 E, R 2 = 35 R 2 + 3 5 A2 - 2 5 _ R - = 5 feri, in 8 Y R2
= 3ER 2 - 2 5 4 R = 3 5d; Dempe BER = D = = E2 R  = 2 E 5 N R = 3E, S: RCLIB.
quicur porcionis des, Momencum (respectu eju dem Ta) : 52 R - = R. +. : 5 P
=3∞ R = = s X R + 3G5 N R = LE5
Xic. 170. Hloc icaque, per magnicudinem, (modo invencam,) divisum; extribet ipsius
deg (porcionis solidi) distanciam centri gravicaris a 20
DE2 P2 - 9 R2 + 952 R 2 - 8 + R = 4 5. a R + 18E, 5  P + 12E5
9E R = 1855Y + 95 R = 9R
8 ∞ R3 + 4 S N R == +2 E5
95 R = 1855 X = 9s R = 9R,: Adeoque d Cd,  8  P. + 4 s a R -= L2 E 5
OE2 R. F 18E5 N f 9s2 R 9p
Duod in magnicudinem ductum, extribet solidi des momencum respectu cd,
3a R3 + = se X R = 355 (BOSItIS, E = DF. H8, 169. = c8 =07 = aE fB, 17, 0
et N = CZ = E0 = 47; e s = F Z;) Vet (Tubstituro s pro s, qui Tc linuS ar-
cus Ba tig, 169. = ES f3. 170.) momencum timilis solidi a0y respectu ad,
3 N R = 3 2 ∞ R = L E,03.
Fi5. 182, Et consequenter; similis solidi A07 fig. 283. (ex ductu rectarum oy in 79
183.
respectire) momentum respectu AS, (uipoce prioris sexdecuplum, propier cum
lingulas dimentiones, cum distantiam, ut 2 ad F,) 33 ∞ R3 f 18 ∞ X R = 15, 503:
HIOc Cll. (Dotito a == 2E, propier arcum semicirculi duplum respectiri arcus in
quadrante; et c = 2 x, propier chorctam arcus an duplam sinus recti dimidii ar-
Cus; de X == 20, propter subcentam complementi arcus a ad semicirculum, du
plum linus complemenci dimidit arcus ac quactrancem;) 18C R3 = 3X cR - 3a X
Hoc ilaque per 2 Pe divisum; hoc ost, 30 R + 50X - ; extribet (uc jum
oltensum elt) aexregatum omnium a s, seu rectangulorum o7v F5. 183. adeoque
(prOPIer A7 = ZR a) hujus duplum, est aeoresacum omnium a s, leu rectan-
sutorum Bbo fis. 182. Ec propcerea hujus duplum, seu illins quacruptum,
BCK + 367  12. a
E =Omn. 245: H8. 182. Adeoquem li rotam A F (pC
Cemus (Propter 6 = 2R, e X = 0) eruine (qua co spectanc) Omn. 2 a 5:
64 R3
BiB. 177. FrEO (proptex Omn. a: = 2 a c = 16CR +, 8 a X R; _ Omn. 5: = 38
2F0NI e OMM. 2a 5: = 336 R2 + 50X 2-
2 aX
3R ut jam ostentum
S.) Omn. a 2 +. 2 a5 + s2: = 2. a. 9 4 3c3 -- 136 R + 30 21 + 8aX X
= 227
0

## Folio 853 — 851387705:0873
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000873.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
PFOD. XXII. De Calculo Contri Cravitatis.
3X 10X. Quod itaque elt Momencum Ongulae A B fig. 177. aciemFis. 17)
habeniis A∞ respectu A a: Fujusque Duptum (ue saepius dictum) Superticici
lemiconvertione lacta momencum respectu axis conrersionis Aa. Adeoque, li
rocum A 5 EpCCtCMUS, (PEOPEOr a = E~, e 6 = 2. R, C X == O, ) CTANE OmM.
2+ 52 + 2a5: = 2 2 R 4 18 R3 - 234 R3 - 16 13 = D 3 Pe = 1839 523. 9u0d
itaque est Ongulx Ar, aciem habencis Aa momentum respectu Na: Fujulque
Duplum, Mst correspondemis superticiei lemiconrertione cirea Aa deleripta mo.
mencum respectu ejuldem A0.
Momenco iaque per magnimdinem (SC. inrentam,) diviso; habetnr On-
sulae A b, aciem hrabentis Aa, distancia centri gravicaeis ab ipsa A a,
180a c 2 + 6003 R2 - 11206R 4. + 406X R2 + 720 aX R3 = 60a X R 9
180aC R 2 = 480 R + + 240 X R3 F (60DX R2 =) 30C2 X K
ec superticiei Cemiconvertione circa Ra Factae, distancia centri grarIatIS d CON-
vertionis axe Aa erit ad illam Ingula, Vt 2 R ad 3 P, seu 4 se ad P; ut alibi:
Nempe quocies idem est Axis Conrertionis et Aris LibrX.
Fociulque ar Ungulae, acieni eandem Aa habencis, distancia ab A a, simi.
liter habebicur, 45~2 = 2024. R.
90 P = 290 : (e superticiei semiconvertione lactae, ad
hanc Ongula, uc 4 R ad P;) Ongulaeque propterea distancia cencri gravitatis
2F~, 5∞, 4522 = (024 R2 1024 R 2 - 120RP 5I2R = 60Y
90 = - 240 R 11 90Z =240 R
452 = 120 8
O24. R3 = +20 P29
. It
1827 s
P2P. Onod icidem est (propter alcicudinum et distanciarum reciprocationem)
eomentum Onsula A7, aciem habeneis Fr, respectu Aa. Adcoque, per hujus
mannicudinem 5 R2 (per S C.) dirisum; extribet hujus, ab A a, diltanciam cen-
tri graricatis, 53  - = 2: C ab acie (Va YY, Z - E+ RP: e PTOPIETCA MOeN.
cum respectu aciei (uX LZ, 15 R2∞ - 1924 R3.
Elis ita peractis; ea quae jam extribuimus (SC, F, T.) divita A = Curra in par. K.
LC5 aquales; adeoque sumpiis TuBCENSIS AB =c, arittimetice proportionalibus; F18. 177.
non exic inucile, aliguatenus protequi secundum alteram methodum (qua SB, C
D, E, ut Cumus,) dirita Aa in partes aequales; adeoque sumpris linibus vertis
A V = 2 arichiuccice proporcionalibus.
Si itaque incellisacur recta A a fig. 177. in exiguas partes aequales numero inti-
nitas diridi; quarum una incelligatur VO = B: Oux his respondent b8 can
sences, seu (quod in parribus infinite exiguis pro eodem repurabitur) bX CuEVH,
sunc ut cocidlem Va = BY ZE, seu =Y , (pes SB, C.) Farumque ab
Aa diltanciae, sunt B V = a f s, (sinibus vertis arictimerice proportionalibus re
Spondentes,) iptam Ara semieycloidem complentes, (vel criam, cum tionram
ArCnuM A Fa H8. 270, 185. tum lemiciiculum ABa HS. 169, 185. complentes.
guixpe illam complent omnes a; semicirculum, omnes S.) Adeoque parricularum
curra A + fis. 277. momenta respectu Aa; sunt uc rocidem rectangula bV ∞ 18.
277. Boc est rocidem, BY 2R; seu cocidem bY c F BV a Fig. 285. HOc
est, tocidem = BV 2 R
SBV24
paerem iptius Rasieniticat, seu rectarum cralliciem planum complencium,) cocidem
1o28+1
Et quidem, Reeregaum omnium -,  Y 2 P Faeile habetur: Cum enim (iC s. -
odus alled ee S= YvB, eeit
Vh; doOmnes Y2 A3 dele alglle
PPPPF
Omnes

## Folio 854 — 851387705:0874
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000874.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
Eix. 177. Omnes V 2B R, hoc est ipla n V, fi8. 279. Adeoque Omn. SY. a IV
fi8. F77. SpeCtanteS aequantur ipsi portioni parabola AH = V Fg, 279. HoC cA
ERE - ZhV 2BR, per prOP. 6. hujus. OuOd (PFOpter 2BR = X =, e B =
2X 1) cancundem est acque 3 R2 - X =, in G C. repertum; seu Omnes, s, (vet
3
Omn. EV: 4. R 2 -
) Tumpris AB = 2c arichmetice proporrionalibus. Nempe
AAV x E∞. 179. = ABV Fg. 282. (Similiter divilis AX, AZ, HB. X77, +82. in pun-
etis b;) HOc ct, Omm. s, lumpris Ab = 26 arichmetice proporcionalibus; idem
acque Omn. sV = =, Tumpris A V = 2 arichmerice proportionalibus. Otrumris
enim est iplius Ab momentum, quantum ad distantias B V.
AC Omnia =, - Y 2R, Teu Omn. a V = , TumpriS V AriCHIMELICE PEOPOrEO.
nalibus; puta Colidum AB V c F∞. 285. Cex rectangulis B V a COnCatuM) Per B,
hoc est aO, vel VO, diritum; tancundem est aeque planum ABB F∞. 182. Seu
Omn. an Tumpris Ab =2c arichmerice proporcionalibus: (Orrumris ucique elt
momentum Ab Fc. 177. quancum ad diltantias bB.) Adeoque cum horum 29-
gregacum deprehentum ct (SC.) = 240 = 8 R + 4 X R; tancundem erit es
AxCregatum Omn. a V Z sumpris AB = u, ariitimetice proportionalibus. Ouod
quum ibidem deprehentum sic, non opus erit uchie solicire investigenus. Aique
hinc religua deducentur, ut ad96.
19. 1
Sed et idem Colidum ABV a Fis. 185. (quod complent omnia b V a rectangula,
 Tumpris v axictimerice proporrionalibus;) complent eriam
seu Omniaa BV 2 A
alia plana rectis XF (aqualiter ab invicem distancibus) crilineum AB V complen-
ribus intistentia, hoc est coridem rectis, qr - 9X. Sunt autem quae singulis b(E.
seu qr insiltunc plana solidum complentia, respectiris A V cco aequalia; (ut CX
constructione ficura patet, si incelligatur A aOa planum, super plano Ar a ad
angulos rectos crectum, moru tuo vertus r, Tolidum describere.) Adeoque omnia
qr plana; cancundem sunc acque, BV = a in planum AV coco; hoc ettu in du-
plum rectanguli A Y o; hOC Cs (per SB, C. ) in 20 a BY = = 2 B Y 2VR;
hoc elt 2 AV XBY = Crotuo AZ = _, d AV = V; d seu 2 AXBYZV R;
seu bV p rectangulum, in alticdinem 2 B ductum; vel Duplum rectanguli bY P,
in B ductum. Ei, eactem racione, Omnia X 9 plana; tunt coridem Aoco planis X.
qualia; hoc est, rocidem 2 vX B Y Z =, seu 2 BV 2 V R, (sumpris a ariitime
niec proportionalibus, ) usque ad maximum V = b R. Adeoque 2 AB Y ZY R,
dempris

## Folio 855 — 851387705:0875
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000875.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
PxOP. XXII. De Calculo Centri Cravitatis
dempris Omn. 2 BY 2V R, Cumpiis a arictumerice proporcionalibus; idem est ac. Fi8. 177.
que Omn. a BY = =; lumpris v ariitimerice proporcionalibus. (Nempe idem 283
Colidum ABV. ) Ec (dividendo per B,) 2 AV ZY R = Omn. 2 Y 2 v R: Sump.
cisa acictmetice proporcionalibus; idem acgue Omn. a Y = =, sumpris v arictr.
merice provorrionalibus; (cu Omn. an Lumpris Ab = 2 c arichmetice propOrtio.
nalibus; hoc est, Trilincum ABB tig. 182.
Porestque idem (si Opus est) Colidum considerari tanguam ex planis ipsi ABV
Parallelis conslatum. Et lic alibi.
Similiter; Divita, ut prius, Aa in minutas parces aequales; cum quae his re-
spondent particularum b x momenta respectu Aa, H3. 277. Teu Ongulae (aciem
habentis Aa) Parcicula, sine (ue dictum est) uc coridem =  Y 2R, seu a V
E +S Y =; sineque iplarum a T A diltancie, AV = v respectirae; eric
omnium respectu F a momentum, toridem a V 20R. F sV 2V R; sumpeis v aricti.
metice proportionalibus.
Fequidem asgregatum Omn. 5Y 2V R, (hoc est, omnium rectangulorum DV p
Fix. 185.) facile habetur. Cum enim sinc Omn. 5. Y 2 , idem acque coridem  V FiB. 179.
F8. 179. erunE Omn. SY 2V R, hoc est Omn. V SV =; vet etiani ( propter
s = Y VB,) Omn. V V 2BR; idem atque earundem  V momenta respectu H A
rectae. Flt autem (per prOP. 6. hujus,) Semiparabola a M A diltancia centri gra-
e
vitatis ab a7, Za A = ER; adeoque ab A Y, 4R; e (propier magnicudinem
ER2) momentum ejus respectu A P, 32 R3. F semiparabolx a n V, diltancia cen-
eri gravitatis ab a5, Za V =- ZB; adeoque ab AY, 2 R - 3 B; _ (PTOPIEE mae
nicudinem ZB V 2B R,) momentum respectu A F, 3B R V 2BR = Z h= V 2B R.
ErgO (subductione facta) Nomencum portionis H A V  respectu Y A, cst 23 R:
= Z BR V 2B R F Z B= V 2B R. TTOC CIL (DFODHEE Z B R = X 2, e V 2BR = X,
P. Tancundem Scilicet acque Omn.
sumpris AB = 2c arichmetice proportionalibus; ut S F. octensum clt.
5c
E. X
Sunque Omn. a Y 2V R, tumpris v arichmetice proporcionalibus; (hoc e, Fir. 177
omnia rectangula BV D H5. X85.) idem atque Omn. =, sumpris AB = 2C a-
richmetice proportionalibus. (Ocrumris urique est Ongula ABAG. 277. quantum
ad alticudines bB, momencum respectu T A; ungulaere Ab aciem habemis Y A
momencum quancum ad dillantias b B. ) OuodsFL. deprehendimus 2c
F 18X R, + 352. Acque hinc reliqua deduceneur ut ad S I.
Sed ec idem solidum Ab V P tix. 285. (quod complent omnia b V P rectangulam
Teu 0
alia plana rectis ur insistentia; hoc est (ue ex constructione parebie, si incelli-
BatuF Aa F semipnhZ ad angulos rectos erecta, e Tuper A a Y plano mota, (0-
lidum describere,) coridem semiparabolae AV p, dempris omnibus AOP, quarum
alcicudines A0 =gX sine sinus versi arcuum arichmetice proportionalium: HIoc
est (DOTito AR = BV = A, ee AV =V, ) ZAV 2V s dempiis omnibus
a V 2V R, sumpris a arictinetice proporcionalibus. Quod itaque cancundem
etiam valet acque Omn a5 sumpris AB = 2. c arictimetiee proporrionalibus.
Porestque idem solidum (A opus est) considerari canquam ex planis ipsi ABV
parallelis conttatum: Oc anre monitum ett.
Similicer;

## Folio 856 — 851387705:0876
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000876.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
33
DeCaleulo Centri Gravitatis. Cap. V.
M. Similiter; cum, divisa ue prius A a in minutas parces sequales, sinc, quae His
 ith respondene, currae AF parcieulae b X, uc coridem BV , uc otentum est; erie
Oneutae aciem habentis A a momentum tespectu A a, ut Omnia D V= , in re.
spectira quadeata BV, hoc est, in respectira a f 2 a 5. F 5, sumpris v arictime.
rice proporcionalibus. Hoc est (omitto B, ut peius,) Omn. a V = + 2 as V
2X
L se y 2 P. sumptis v arichmerice proportionalibus.
Ex quidem Ageregaum Omnium sY = =, BoC CIL (PTOPteK S = v B, )
Omn. S Y 2 B R: vel Omn. vBV =, seu Omn. B V. 2D R; facile tabetur. Fs
urique Semiparabola A PV H3, 77S. Momentum respectu P a Peu ZC. HOC est
(propter distanciam centri sraritatis a P A, 3 AV = 30; adeoque d 7a 2. R
30; ei magnicudinem Zy Y 2VR; Per prOP. 6. hujus;) 50R V2V X
20X
Fancundem scilicet acque Omn. 5, lumpris Ab = 26 arichmerice proporcionali.
bus; quodS L. repercum est.
Sunque Omn. a SV =; hoc est (propter s = V v Bii) Omn. a Y 2b R, idem
in respectiras A V f8. 179, 185. Adeogbe Omn. 2. a sV =; est istiusmodi 50.
lidi Duplum. FAtque tancundem acque Omn. 2 a s, Tumpiis AB = 2. c arichmetice
proportionalibus. Ouod 5 I. revercum clt.
Porestque idem (si opus est) Tolidum considerari tanquam ex planis quae rectis
xr insistane conslarum: Auc etiam ex planis ipl Ab V parallelS; ut I Praece.
denciluis monicum c, alque alibi etiam incelliseudum etit.
Et Omn. a V=, (Tumpris v arichmetice proporcionalibus,) cancundem est
atque Omn. a Tumptis A B. = 2c arichmerice proportionalibus; quod S I. itidem
reperrum cst. (FB autem, idem alque Colidum ex ductu quadratorum rectarum
BY A8. 185. in respectiras Y con per VO diritaS. ) Atque hinc reliqua haben-
cur qua S I. craduntur.
Ouveque, de codem tolido aliis aeliue planis (puta quae rectio er insistane,
vel ipli A BVY sine parallela,) constando, in praecedencibus monicum est; etiam
hic loeum habet. .
Exhibuimus ilaque non modo rectas Cycloidem. (Primariam incellige) cangen-
ces; led ee ipsius Cyrrae Semiercloidis, ejusque partium lonsicutinem, (extiben-
do lcilicet curvis illis requales rectas, ) eusque in daca rarione diritionem: Sed 
curra semieycloidis, parriumque ipsius; cenera graricaris, (per horum scilicet a
duabus salcem in eodem plavo rectis, non invicem paralletis, diltanciam;) carum.
que momenca respectu expolicarum, aliquot rectarum, (qua ad alias item rectas
facile rransterentur:) Ongularum icem Superticialium, et Superticterum conver-
sione tactarum, momentis illis respondencium, cum magnicudines, cum momenta,
iplaque Cencra graritatis; extribicis scilicer horum dictancus d duobus lalcem pla-
nis, plano Cycloidis ad angulos rectos, non invicem parallelis; dummodo eriam
in quo tertio per Onsula aciem, seu axem conrertionis plano sicum St, per S G.
prop. +2. Constet; co nempe, perconvertionis axem quod convertionis areum bi-
secar; eoque per aciem Ongula, quod bisecat Onsula alticudinem; unde (per
DrOP. 26. Cap. PrX CCd.) ipsa Craritatis Centra determinantur. Ouxque de expositis di
Cta sunc, ad alia transserentur; ut ad propoliciones pracedences aliquoc ostentum elt.
Arque de Creseide primacia, hactemis.
Cyct01d ed

## Folio 857 — 851387705:0877
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000877.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
Prd. Z XII. DeCalculo Centri Ceravitatis.
Cyoloides vero Secundarias quod atinet; Protractam scilicet de Contractam;
(quarum illa quidem batin habet Majorem, FLac Minorem, quam est Peripheria FiS. 176
Circuli Generantis:) Disferunt quidem illae, a Primaria, in hoc potistimum:
quoa eca bB (Ceris Semlesctoius, d Semicirculi Generantis circa Cyctoidis
arem conltituti, let secla) nt respectiris Arcubus BI (in protracta,) sey BF
(in contracta) non quidem Aquales, (uc, in primaria, b B rectae Arcubus BA,
sed Proporrionales; (Majores quidem in Procracta, Minores in Contracta de ip
ca urrobique ratione, quam haber Cycloidis illius rel Semiereloidis Batis, ad Peri
pheriam vel Semiperipheriam Circuli generancis;) Aquales autem respectiris
arcubus istius Circuli, cujus Peripheria rel Semiperipheriâ sic hujus Cycloidis vel
Semiereloidis Basi xgualiS. Puta, recta BB (H3, 276.) sive quae Procractam 76Y
sire qua Contractam r6F, spectat; aequalis recta b B, hoc est areui B A, circute
ABa Genitoris primarix rb A; cujus utique Semiperipheria ABa, XquacuF SC
mieyeloidis lux BasI Xa (adeoque  ip(IS r17 2cy) seu promorioni Centri c C
Sunc enim rectae bB, 6B, f8. 276. (Scu BB, Ba tig. 266.) mentura distancia centr.
circuli Genitoris ab axe A a, dum respestira puncta b (in Cycloide primariaz.) lei
e (in secundariis) motu circuli generantis designantur: (ut ex construc
Patet.) Adeoque, dummodo aequales sint Z a, F1, r1 seu c C in omnibus cadem:
aquales item erune bB, CB, upore aequalium exdem parres vel proportionales.
Oux aurem Cycloides secundarias (76I procractam, vel ContraCtAM DBF,) in
dalo quoris puncto s, concineuncscclar Eu, lic habentur. Semieicculo connori
24944
187. 188.

## Folio 858 — 851387705:0878
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000878.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
De Catculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
Fis. 176, TB1 vel R BG circa axem F1 F c constituro; Concemricus tiac (circa idem C cen
187, 188. TruM) ABa, Semiperipheriam habens A B a aequalem expolira Semicreloidis bale
71, 7C. Ductaque CB basi parallela (circulo genitori cirea aXEM CANLEIEILO OCCUF-
rens in B, e semiereloidi lux in 6,) junsatur BC, peripheriae A Ba OCCUTrENS in
B; (arcum B A, ipsi BI, vel BF, timilem abscindens.) Acque a peripheria A B a
puncto axis intimo a, ad peripherix genitoris punctum B, ducatur aB recta; et huic
ad anoulos rectos BP. Ouxe huic parallela (per astionacum Semiereloidis punctum
6) recta ducitur  en, Semiereloidem illam in 6 continsic. (Lxcepro calu, de
quo mox dicetur.
Ex quidema si incellisatur B punctum, in ip(is R, 13 T, 1; rECtX Y BA TAnZENTES CTMNE
ipsi cC, vel ra (Cyeloidis primaria Genitori Aba correspondencis bali) pa-
rallela.
In Cycloide autem Contracta E BF, si B incelligatur in ipsa a r, Cubi Scilie.t
haec peripheriam P Bc Sccat,) quae huic relpondet tangens y 6n elt axi H. C paral-
lela; A vero B lic alibi Tupra ar, tangens  en (sient _ BF recta) aXi ES OCCUT-
rec supra F; sed intra c, li B lic alibi intra a2
In Crcloide vero Protracta TCr, Si ita Cumi intelligatur, in TB, peripheria, pun-
ctum B, uca B recta peripheriam illam in B cangat; quod huic relponder punctum 6.
cum illud ipsum lic in quo Cyclois illa recurrari incipie,) cansentem nullam ha-
bet (Sed quae iplam Pansere deberet, illam ibidem Sccat;) quae vero lupra hoc
punctum lunc tangentes, exrerius tangune; quae intra, interius: Arique L, (con
FinuatO) occurrunE, illa quidem Tuxra L; hX vero, lupra 1; (Palcem non intra: )
Rectaeque BF correspondentes, ipti P, axi occurrunc; illic quidem supra C centruM;
hic, intra.
Iota aurem Cyeloidum harum Currre, Curvis semiellipsium aquantur: P.F par-
res partibus relpectire Cumpris. Puta, Creloidis Conrractae CurVa Y R Y, F18. L7,5.
Semiellipseos curra aequatur, cujus Arium alter, quem quidem (sed, propter cur-
VatuITAM, COnraCtUM, ) repraleNTAE TRTCUEVA, SIE = 2A a F A F, (cujus ordi
nacim. applicatae sinc iplae bC;) altex rerO = 2 A P; quipue cujus semiltis sit ipta
AF recta.
Crcloidis vero Protractae curra F LX F8. 175. aequatur Currae Semiellipleos,
axium habentis alterum (quem, Proprer curraturam, procractum repraesentat
TAZCUETa,) aequalem Z A a = AI; (cujus ordinatim applicata sunc ipsae bD; 
alterum, = 2 A L.
Ft quidem tOta ZE F Fr tigura (Tumpris A F = A T,) alia non cs quam ellipsis
quaedam distorca; cujus quidem, li axium alter incelligatur = A2, suam retinens
lonxicudinem, semielliplis (uperior, (prOPteF CuEVaTuTaM,) protrahitur; interior,
contrahitur: eique Axi ordinatim applicatae lunt cBD rectae.
Dehis autem, quae Cycloides Secundarias spectane, (quarum considerationem
ultra non prolequimur,) videatur Appendix ad nostrum de Cycloide Tractatum.
una cum Epiltola cidem subjuncta (circa tinem:) Obi haec Fulius explicantur 
demonltrantur.
SC FIOL TV M.
N propoticionibus aliquot praecedentibus, quae Cycloidem spectane ejusque loli-
da vel eo riam Reuune; aliquanto tulior tui: ea praesercim de caula, quod in
meo De Creloide Fractatum (Anno 1659. Cdico,) calcutum non ad omnes calus
perduxeram; Sed ad eum lalcem (aliolque qui ad hunc cranc necellarii) quem;
ex reliquis seleetum, Anonvmus Problematum Propolitor prae exteris delignabat
eanquam ditticillimum, arque ad quem nisi exeteris incellectis non perreniri possé
putabatur. Concencus, in reliquis, (ob rationes ibidem cracticas,) Paltem tontes
Tradidisse unde Calculi Geomerriet beneticio omnia deducenda Crant.
Ouanquam enim mihii in animo fuerat, dum ea quae prodierune sub prelo Forene,
reliquum etiam calculum absolvilse, ee simul edidisse: Cum tamen interea tempo-
ris (eodem anno) inexpectato prodierie D. Paschalii, leu Detronvillii, (PrODO.
Tutoris Problematum,) de eadem re tractatus: Porius ducebam; rem cotam, prout
tunc erat, edere, (caleulo ad reliqua nondum absoluro,) ne viderer ex tractatu
Tuo (quod insinuacuros nonnullos praesenciebam) mea deduxisse. Lt propierca,
ipsa schectialinaca sic edenda placuie, prour ea jam ance cum noltratibus commu-
nicaveTAI
FiE, 175

## Folio 859 — 851387705:0879
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000879.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
PFOD. XXII. De Calculo Centri Cravitati.
nicaveram; quaeque nomatim LTonoratistimus D. Vicecomes Brounkerus Tubducte
calculo examinaverat (ne torie, in mulciplici caleulo, quod Eape contingiez ali
cubi error caleuli obrepsiltet,) es comprobarerat, (ne uno quidem calculi lapsi
per cocum illud opus depichento, jam cum per plures menles ancequam Dettonvilii
opus prodierit. Sed ee corius Mechodi lummam, jam ance per annum incexeum
ad D. Carcavium Cuum (prouc Destonvitius ipse, tum Anonymus, julterats) P’ ad
risiosmileram; ubi e ea riderat Paschalius ipse; Prour ejus ad Wrennium noltrum
litera, diserre indicant: Or nullus iniquae de meis luspicioni locus lic.
Ec quanquam tieri non pollic, quin, eandem rem cractancibus, nonnulla mriti
cum illo tuerine communia: Mechodum meam ab illius divertam esse, qui veram-
que compararerit, non porerit non ridere. Quanto autem mea lic quam illius ex-
Dedicior, masisque directe ad scopum cendai; aliorum elto judicium, liqui tuerine
qui volene cum juxtamea, cum juxca illius principia, vel calentum universum, vel
iltius latrem calus quem ex reliquis lelesit ille, (de Cencro graruatis Semilolidi,
ex Semiereloidis cirea balin cuam demiconreitione facti, decerminando,) calculum
inStitMErE.
EC, speciatim, illam Cycloidis in Segmenta diltriburionem, ubi ostenditur, non
modo Semiereloidem Semicirculi triplam esse, (quod pridem innocui,) led de illius
Portiones (rectis debico modo absciltas) Porrionum hujus respectire criplas elle;
(pura in tis. 266. bB7 =3BaB, AaBb = 3 AaB, ds Bb = 3D aB, ce sic ubi-
que;) quam cso torius procettus mei originem tacio; caeceraque hinc deduco: TIIc
neulpiam adrertit. Ec quidem nesciisse plane ridetur, donee ex scripiis meis id
rescirerit. Ouippe rem tanci in hoc negocio momenci, non pucandus elt, modo
scirerit, reticuisle velle. Neque illud prius adrerterune, credo, ex Gallis ulli:
quamquam jam cum per annos plus quam guadeaginta in rem illam Cxeloidis, in-
renci tuerant ex illis Cummi riri, quam csocum primum (ad illud prONOCaLUS)
considerandam luscepi; neseius alia jam cum ab aliis invenca fuisse, quam quod
apud Torricellium _ Schotenium cradicum noverim; Cyeloidis planum circuli eri
Dlum elle; Mechodumque ibidem eradi, pro Tansentibus ducendis.
Acque hinc esle judico; quod ille Ficuram Sinuum Versorum, nusquam in auxi
lium adrocat; sed ea torgis amtasibus ex Sinuum Rectorum doctrina pericum i,
qua ex Sinibus Vertis mulco promprius tuissent depromenda.
Curramque figura ilti adjacentem A d 7, tig. 270. ( quam Flipsin. Lxpansam
dicimus) non omnino contideralse videcur: Ouanquam enim quae ips est Cy
cloidis Socia non alia Cit quam hujus Currae pars dimidia ut da: (quod in lub
junctis tractatui de Crcloide, Pas. 557. demonstro;) illam tamen ex alia plane
origine deducis, unde haec cora, non deducecur. Quam enim ille Dimidiam, duetu
Circini in superticie Cstindri, (ea apercura quae diamerro Balis Cylindri aequalis
sic,) descripiam rule: FIoc est, (quippe hoc cancundem valec) communi Sphaerae
atque Cxtindri sectione; (potro Sphaerae Centro in Cylindri superticie; ejusque
Radio, hujus Balis Diametro aequali:) NoS, Locam, ex communi Cylinari (x P
ni sectione cus. Ove incerim absumpram Cylindri suverticiem in Pla-
Fillic elt, quod, in propono luls, selesir ille calum illum, uc disticillimum, qui
Semilolidum circa Semicreloidis bacta spectat; (quem, nili perspectis quae Semi
Tolidum circa Axemi spectane, Loli polle non pucaverac; nec quidem, per
ejus methodum, ab sque illis (o pe.) Oui tamen (ucur ille hoc neleiverir
noltris, propier illam quam aixlutus semiercloidis in sua Scementa, Seomeniis
Semielteth respondentia, dutriouonem, Paris liquer. Verum eum ille hanc di
stributionem nelcirerir: non pocelat eo perrenire, nili ope Semisolidi cipen Arem
Adeoque, longo cireuitu ee perpie so admodum calculo eo randem tendere necelle
160
num expandentes.) Ouod illum minime advereille existimo.
habet, quo nos recta perrenimus.
lonze tacilior elt, quam catirs similis de Semilolido circa Axem. Quod ex cradirie
Hinc etiam elt (nitallor) quod in Problemaris primitus proposiris, illud Semi-
parallela abscinditur, (uc bV A, tig. 266.) Pocins quam quod recta at scindarur
stributionem eam nondum pertpeclati susu prior illa habica est incricatior; e
quidem, per methodum ab illo cradicam, dilticilius absolvecur.
1c
eyeloidis Seomentum (cum liis Solidis) expendendum proponar, quod recta Bali
quae parallela tir AXI. Seurenim, diltribucionem hane incelsivencibus, polterioris
hujus consideratio tirisser non minus ea Cum magis; illi camen, qui di
UX

## Folio 860 — 851387705:0880
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000880.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Calculo Centri Ccravitatis.
Oux omnia, quidem manifesta sunc indicia, distributionem hane (de quidem
pulcherrimam) ipsi minime tuiste perspecta.
Ouod quidem cousque verum est, ut siquis relie, sccundum ipsius mechodile.
ses, (quod nos innostra Fecimus,) casuum omnino omnium calculum aggredi.
eorum praesertim qui Semisolidi circa ra (semieroloidis batin,) vel (hurc paral
delam) bV, cencra graritatis spectant; (expertus loquor;) rem adeo perplexam
reperiet, ut mirum lic ni, laboris pertaelus, in medio itinere laltus detistat. Quod
in caula tuisse suspicors cur ille (utur id pollicitus rideretur) ad calculum non
rerocarerie casus omnes d Se propolicos; led, unius cancum numeros extribuisse
Contentus (supprestis incerim quibus hue perrenerat veltigiis) de reliquis alcum
habet silentium.
a. Sed neque noverat ille (neque ex tuis alii) Cyeloidis currae aequalem rectan
exhibere, auc in data racione curram illam secare; ancequam id ex Anglia rescire
rit. L.nde factum erar quod Posteriora Ouxlira quae Cyeloidis Curram hujusque
segmenra spectant; ee Superticies illius, vel segmentorum luorum; convertione
Factas; harumque omnium Cenera graritatis; non tuerine una cum Prioribus pro-
polica; sed cum demum poltea quam ex Wrennii nostri liceris indicatum tuerat
quo pacto postino huic currx, suisque partibus, aequales Rectae extriberi. Ouod
ex illius ad Wrennium liceris abunde liguet.
Oux omniâ non eo animo dicta fune, ut invenris Tuis derogatum cam: Sed ut
nobis quae nostra Cunc asteram, es reaple ostendam, etiam omnia illa non minus else
(ne dicam maeis) mechodis nostris perria, quam luis; nequis Cuperelle poltit
iniguis Luspicionibus locus, nedum malionis insinvationibus.
Ouod autem hac in re, praecer ea quae pridem edidimus, jam superadditum ha-
becur: Non alind est (rem iplam quod srectac; quam caleuli, pridemrrinchoaci
concinuatio. Non enim alias hie achibemus principia, vel methodi leges alias
quam quae in illo de Cycloide Tractatu paltim adhibemis. Sed et qua illic chaben
Tur, tere deprompta lunt ex principus meis, in srithmetica Insinitorum peidem
craditis, AnnO 2956. ediris; quae et in Commercio Fpistolico, Annol 1658. cdito
(Lpilt. F5, 8c 26, hujusque appendice,) ad Centra graritatis accommodareram.
Duippe haec omnia rix aliud sunc, quam illius Mechodi Cnirertalis, ad Parcicula-
res calus accommodatio..
Postquam vero ea quae praecelserunt omnia, ad caleulum curi hie habentur per-
duxeram; eaque per complures menses Prelo subjecta tuerant; ec magna pars im-
precla: incidi in Laloverae de Cyeloide cractatum; ante aliquot annos Pololae edi-
cum sed (uri audio) nonnisi nuperrime in Angliam allacum. Oui varios de
Cycloide ejusque Solidis, e horum Ceneris graviraris, Casiis, ad calculum redegir
Tua methodo. Hlanc cgo, quamris eam tactenus totam examinare nondum racaverit:
caque, prima latremtronce, non parum intrieata mihi videatur: Sanam tamen este,
lalrem quod summam rei spectat existimo. F0 porissimum, quod calculi sui nu-
meros (Caltem in plerisque quos conculi casibus,) cum nottris consentire reperio
Sicubi vero ditseneiant, ( quod in paucis tic,) id Caleuli porius alieni laplui For
ruico (qui condonandus cric) quam Mechodi ritio, impucandum ridetur. Ouod
e de noltris intellectum esto, licubi irrepleric (quod facile heri Dotti, et quiden
aesre carebitur, in tam mulriplici calcule,) calculi laptus aliquis, (nedum calams
auc eriam Preli.) Ouippe, Mechodum ipsam meami, facis ubique demonttracam
elle, lacto securus Tum: Sed nesue d ipso Calculo mulcum metuo.
Ouod autem ille mulius sic in conquerendo, quali cum eo minus candide actum
fueric: F.xo quidem non miror; ue qni laepius eadem ab cildem hominibus exper.
pIanEUT, OpprobrIIS OneraME, inHL PlaSH. (Gea Guidem ipli loli laprana
aique imposlibile sit ur aliis niti iptorum seriniis expilaris, quiequam in Machema.
bat
ap.
iplius editis Fpiltolis pallim liguet) eadem lapius conquestus est. Pr Forriceli
AM (HC Prlires memorem) pari modo habn tuitle, ex ea liquet Apolosia quan
pro ilo lire Carolus Dari, sive quisquis alius, lub tieto nomine Pimauri Antia-
us, edidit Florentia, Anno 2663. Lingud LCaCd. S Ulique qui Problemata
Tua, Forius Furoxa Mathematiois Solrenda exponcul; ne dicam renditant, jacti
canere; (quali quidem huic Coli nesorio caeceris racatel, ne illorum pensa abssolve
FEnL:) Oua quidem si negligimus; Insulcant. St Les, Tralcuneur, calum
tus Fuerim, de quibus hie conqueritur. Sed e jam, ante nos, Carcetius (ui in

## Folio 861 — 851387705:0881
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000881.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
ricis aeduum praestare BOMIHI.) Duod Fecit nt eso jam per plures annOS tantun
non relisiole abeme, u aliquocies publice provocacus, e lacelticus, nequic
hujulmodi commereii cum illis utera haberem, apud quosnec impune licer eloqui
nec tacere: nec nili nuperrime, nimis lacesticus, Silencia rupi.
Ouid aurem rei su, cur ibi Detonvilium a Paschalio alium elte, insimutacur
ire rideantur, (quod et Lalovera obserrat,) cgo non inrelliso; quem ceo pro
eodem semper habui, acque criamnum habeo. It quidem, cundem ce, Lalovera
(in tractatu (uo) iis indiciis ostendie, ue de eo non sic cur quilquam dubicet, salcem
donec alius (à Paschalio) Dersonvilius reperiri pollit. Pt quidem ex Paschalii ad
Wrennium Lceris, (jam ancequam Problemacum Propolitor Dettonvilii nOmen pro-
Festus fueras,) non erat conjectu difticile, iplum fuilte iltorum Problemacum Au
chorem: Cc quidem, ucuc D. Carcavus in luis ad me liceris, quali rem diltimula-
tIEuS, Derconvillium a P aschalio diltinguar; (quasi non idem Forent;) in D. FTu
demi eamen ad me liceris, (Per quem D. C’arcavius ad me crantinierenda curarit
aliquor Destonvilii exemplaria, ad alios aliquor distribuenda; quem itaque putare
rim cum Carcaviimentem, cum Auchorem libri cornorisse;) Funii 0. 1659. Flae
datis, sic scribitur; Ad postremas tuas nihil bactenus releripsi, eo quod ab il
jam rempore expectabam libros hosce Dectonrillii seu P’aschalu, quos mihi ad re
curandos commissum iri noveram. Quaterna haec exempleria ad te uti multerem
roeas Carcarius; te vero ut sineula ex bis Viris Clar. Wrennio, Wardo, eg II0b-
BIO traci cures. Oratque ut examinato Decconrillii opere sententiam suam quisque
ipsi edere velit. Fc quidem Wrennius noster, Parisiis huc anie criennium (ANHO 106.)
TEVEESUS, (ubi moram aliquam poluerar,) Pasehalium, dixie, iltius libri Authorem
Paritiis habicum esse, nemme (guancum ille obserraverat) vel reclamanre vel du
bicance. Sin Fallimur omnes, (quod rix crediderim:) Siguando alius a P aschalio
prodirerit Detronvillius: mihi cerre perinde erir: (Ouipre hic, mihi, neque (ext
Tr neque mecitus:) F,g0 Saltem hactenus, alium non nori.
alovera Numeros quos cum meis me Contulisse dixi; illi Func qui habentur
ad octo Problemata, piop. 25. 1b. 3. qui (ad cerminos neos redueli) cum nolleis
contencinne omnes.
Ttemr, qui habentur, ad octo Problemata prov. 36. lib. 4. qui omnes item cum
meis consentiune; nili quod in octaro Problemare dissentiant. Ouippe quam al
Sisnat ille distantiam (2 convertionis axc) Cencrigraricaris Semilolidi, ex. Semi-
conrertione superioris semiltis semiercloidis AdC. (in mea tis. 166.) circa Axem AC;
ctet (ad cerminos noltros reducta,)  + 144 R. P. + 2164. P - 512 R
9P3 = 144 PF= = 240 p2
 ACre
rO, juXta eOS nUMETOS, (per 5O, P. prOP 2F. hujus,) Ongulae Segmenti ABV
aciem habentis AV seu A a diltancia ceniri graricaris ab AV, seu R ay (hoc est
a perpendiculari plano Tuver Aa crecto,) ubicunque sumatur V, Tire supra C, sive
intra C; lire (quem ille Tolum catum contiderat) in ipto C centro; est
87aR = 875R - 96aE F = 95VR = +22 R = 36a5R = +2aS R f 25R + 24 aV
= 36a 50 + 249520 + 6532
+8V = 18a R = 36asR + 65 R = 36a V. = 36a50 f 125 ∞.
Hoc ese, in praeleni catu, (PrOPter a = + P, C 5 = v = R, )
3 RD3 + 72 R2 P2 + 108 R P - +408R
28RD2 + 288A2 P = 480R
(uc lacta Redtuctione patebic.) Adco.
que in Semisolido (cujus distancia est ad illam Ongulae, ut 2 R ad 5. P, Peu 4 R ad P,
ne Capius ante ostentum elt,) exiu
6RP3 + 144 P P = 216R D = 2816P Ouod
9P3 = 144 RP = 240 R. D
a numeris vostris in hoc distentie; quod habeat ille =512 R4, pro = 2816 k 
Siguis aurem dubitarerie, ubi numeri dilerepant, urrum penes illius mumeros, an
Denes meos, errarum tuerit; errorem penes illum etle, etiam ablque operola dis
quisirione, tacile conttabic. Ouippe li ad numeros absoluros (quam proxime
tiac reductio; reperietur distantia centri graritatis iltius Semisolidi, ab A a, Secun.
dum meum calculum, quas? corius diltantiae a7; ac secundum ejus, quali Z; Guair
nimiam elle, qui tiguram istius solidi mente conceperie, minime dubicabic: Est
enim ranca tere quanca si esset Semieylindrus, cujus distancia faltem minor estet
29999
quam
PrOP. XXII. De Calculo Centri Cravitatis.

## Folio 862 — 851387705:0882
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000882.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
quam Z; quae nonnisi paulo major est quam Z, hoc est 3: Adeoque hanc nimiam
elle, non erit dubirandum.
Denique; qui habentur ad octo Problemata, Fux prop. 59. lib. 5. qui cum no-
ltris item consentiune omnes; excepto octaro Problemate. Quod est de diltancia
centri graritatis (a convertionis AXO A a) Superticiei factae ex semiconvertione
currae A= (inmea fis. 166.) cirea A∞., El enim, secundum iplius numeros, (ad
meos cerminos reductos,) Ld AP + 48X. P -5444
92 - 24 RD
tosreducta, major erit quam Z Torius a r; quam nimiam elte, certum cst; (quippe
quae major cst quam li esset luperticies lemicylindrica, in qua diltantia minor ellet
quam =, imo quam, 3. ) Fstautem, juxta numeros meos (SI. N(PrOP. 22.) Cen
cripraricatis Ongulae ipli Ar insiltentis, aciem habentis A e, distantia ab A a (hoC
elt,s a perpendiculari plano huic insiltente,) 45 P2 = 1024 R
00~ = 290 p; aoeoque in semi-
Colido correspondente, distancia a conrertionis ase a an (uipoce ad illam Dneu.
La UE 2 R ad LP; Eeu 4. R ad ~;) 90  ∞ 2 = 2048 R
45X2 = +20 p∞; guxe, ad numeros ab.
Solutos reducta, minor erit quam L, imo quam ,, (scd major quam 13,) tori.
2S a2.
Verum cum numeri ejus pro catibus illis (nunc unico, nunc duobus,) quos
alle expendic; (nempe, qui vel cocam A ra, vel superiorem semiltem AdC ipe-
etanc:) cum nostris universalibus (casum quemlibet inditterenter respicientibus:
in caeceris conveniant: non in iplius Mechodi vicium, sed in caleuli laplum ali.
quem, rejiciendus erir hic in pareis dissentus.
Inreniet aurem, in his meis, Lector, eandem non raro quanricarem pluribue
modis (sed qui sint ioosrauor) designatam. Quod ideo factum est, quoniam nune
hic, nune ille modus, (ubi ad ulum reducendus eric,) accommodatior videri pos-
sic; adeoque Lectoris commodo consultum est, uc (reductionibus a me jam Fa-
clis) cum seligat designandi modum qui ipsi grarior videbicur, vel suis utibus ac.
commodatior. Ouinimo es alii plures esse poltunt modi (quos eso ne nimius
ettem non appolui) culdem quantuates designandi, prour quis alias arque alias re.
ductiones insticuere relic.
Sed et paltim deprehendet, me easdem quanticares pluribus methodis investigalte,
atque ad calentum perduxisse. Quod tactum est, cum ut Mechodos illas plures
cdocerem; (adeoque ostenderem quam abunde sufticiant principia nostra ad haec
guxlica muliis modis extribenda:) cum etiam ut de calculo rire adhibiro magis
securus ellem, quam si unico modo illum exguisivillem. Onam enim, in mulciplici
calculo, laplus in procliri sic, nemini vel parum exerciraco inocum elle porest.
Tdeoque, quo carereneur hujusmodi laplus, caute prospiciendum pucari, ut ca fere
omnia, in quibus talrem siquis foret error idem etiam alia inde dependencia late
inticerer, pluribus mechodis ad calculum redisereneur; ue plurium mechodorum
consentu (quae libi murno Probationum seu Lixaminum vices Tubirenc) contirma-
rior ellem de calculo rire insticuro. Oued tecit, uc vel de ipso Calculo, canquam
omnino recte intlicuro, contirmacior tuerim, etiam ante cognicum (quod jam nu-
perrime, polt tinica omnia conrinsit) Laloverae cum nostris consentum.
Elis aucem de Cyeloide, tulius (ue dictum est) explicaris; reliqua quae sequun.
cur brevius exequemur: Ne si omnia particulauim persequi relim, in immentum
excresceret hoc Capuc; quod jamjam mulco ulera quam sperareram exerevit.

## Folio 863 — 851387705:0883
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000883.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
PFOP. XXIII. De Calculo Centri Cravitat.
L ACOP. XXILL.
Supersicies curra Cxlindri recti, ejusre Portio duabus rectis lineis in-
terjecta, aeguatur Parallelogrammo rectanoulo aeque alto, cujus B-
Sis Et aequalis peripheria basis Cplindei; ejusre respectira portioni
cildem rectis lineis interjectae.
Tdenque obtinet in Superticie istiusmodi Solidi cuiustibet Columnaris
recti, quamris balin habeat non circularem, sed Fllipticam, Para-
bolicam, FEsperbolicam, aliamre sire rectilineam sire currilineam
quamlibet.
Concrum eraritatis est in medio rectae conjungentis centra oraritatis
Deripheriarum (sire totalium sire parcialium, prout casus contiserit,)
Oppositarum balium.
Adeoque (PrOpteE arcus circularis centrum gxavitatis datum) datur
Superticici ictius Cxlindrica (perfecta rel impertectae) centrum
sraritatis.
C.
D
Edemque in aliis illis superticiebus columnaribus dabitur, sidentur rC. F.
spectira currarum balium Centra graritatis.
Datur etiam exposita superticialis Onsula Crlindrica, cum Magni-
cudo, cum Centrum gravitatis.
Idemque (datis Curracum, ut dictum est, Fonsitudinibus et Centris C, L.
graritatis) dabitur inreliguis Tuxerticiebus Columnaribus.
Ouodque de Ongulis supertcialibus dictum est; idem ad qualris in su - KL, L, NL
perticiebus illis tieuras, planorum sectionibus terminatas accommo-
dabitur.
Ouxque de Erlindri Rectis Rectire Solidi Columnaris, superticie di-
Cta Cunt; eadem ad Scalenorum (UPeFFiCIES FrAnSFCTENEUE.
Fsque Superticies Colindri Recti, ad Superticiem Scaleni, ejuldem T
Eeris, e super eactem Base; ut est Perimeter Balis, ad Perimetrum
Sectionis quae Lateri seu Axi sic ad angulos rectos; Quod ee de par-
tibus respectiris incellisendum crit.
N
demque non minus obtinet in aliis Solidis Columnaribus, cujuscun- P
que balis.
Ongulaque, et alia fgurx superticiales modo dictae, quae in crectis c.
exigenda sunt ad Balis Perimetrum; eaedem, in Scalenis, similiter
exigenda sunt ad sectionem illam qua Recta sic ad Scaleni AXem.
Ncellisancur enim, fs. 172. Tuper batis Cylindri recti Peripheria, ejusyc Dor
A
acione aliqua a ax, in singulis punctis (aequaliter ab inricem dillicis) erigi Fi8. 172
perpendiculares rectae, ut AS, curram Cylindri superticiem complentes; (juxra
Det. F. Cap. 4. hujuS:) quae, propter omnes ad balin angulos aequales rectos, 10.
eidem parallelogramma rectangula (aeque alta invicem et aeque latz) rerraesen-
tabune, superticiem illam curram complencia; quae, si in planum expandi incelli-
santur, coridem rectansulis rectilineis congruun, complentibus rectangulum re-
Etilineum ejusdem alticudinis, cujus balis aequetur ipsi a Ar CurrX in rectam Cx-
PanCX.
Idemque similiter ostenderetur, etiamli a a7 curra, non esset areus Cireularis,
B.
Icuala quaeris Curra.
tlujus aurem upencei curra CaCa, Vel Columnaris, Cenum Staritatis
elle in media longirudine, ostentum est, ad prop. 2. hujus; acque in ea recta quae
oppolitarum

## Folio 864 — 851387705:0884
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000884.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
864 PFOD. XXII. DeCalculo Contri Cravitatis.
Fix. 172. opposicarum balium superticiei istius Cencra gravicatis conjungis, per prop. 5. hu-
sus: Frgo, in hujus puncto medio
Adeoque, propter datum areus circularis centrum graritatis, per T4 hujus; da-
bitur, non tancum corius Iuxerticiei Curra Cylindri recti, led ex portionis cu-
jutris (duabus rectis ad batin perpendicularibus incerjocte) Ccirum gravi
EdLIS.
Idemque limiliter dabitur, in alia superticie columnari, etiamsi aA Z Curva, non
sic arcus circuli, sed alia quaris curra, dummodo hujus currae centrum graritatis
nocum (IL.
Si vero ex hujus Cytindri recti superticie curra, plano quovis T u A F uteun-
que oblique potico, abscindi incellisatur superticialis Onsula Pn A s; (ubicunque
concingat PA, Ongulx acies; non minus quam (i Sic Diameter Circuli Pd A:
proviei dacum inclinationis ansulum v a B, arculque Centrum sraritatis; dabitur
Onculx altieudo super cenerum illud, quae in arcus longimdinem ducta dat super-
ticialis iltius Ongula ATCaM; Der PrOP. TI. hujus. Ouod non minus valei de
Ongula FOTa Fu AS, quam de partialibus ABv, B0n S, eoc. Nam _ hic ob data
aECIUM AB, Bs, ecc. Centra graviratis, adeoque eorum ab acie A T distantias, et
angulum inclinationis, adeoque alcicudinem super gravicaris Cenera; habebitur
area; Ducta alcicudine illa in currae lonsirudinem.
Acque haec obcinene, quaecunque sit AdX curra (non minus quam si su arcus
circularis,) cujus de Lonsitudo ee Centrum gravicatis nota intelligantur.
Hlabicis aurem, eo quo dictum cMt modo, Onsularum magnicudinibus; carundem
Momenta ea mechodo inrestisari poltune, quam, ex prop. 10. peciram, in Luperio.
ribus Eaepius actibuimus: Nempe, omnium arcuum (Ungulam superticialem com-
plencium) Momenta respectu expolicae rectae, (quae, propter cognita curvarum
cum lonsuudines, cum Cenrra graricaris, adeoque iplorum ab expolita recta, pla-
nove per illam perpendiculari, distanas, habentur,) sune ipsum Ungulae Mo-
mencum respectu iltius rectae; quod, per magnicudinem diritum, extribet distan-
riam Centri graritatis ab illo perpenaieulari plano. Aique hoc si respectu plu-
rium rectarum (quae non sincad iuricem parallelae) tiac; habebicus iptum era
ricatis Centrum.
Vel etiam, (per SW. prop. L3. hujus) haberi poltune Ongularum iltiusmodi
in superticie Cxtindri recti, saltem quarum acies est Circuli diameter, Centrum
Gravitatis; ee Cytindracearum superticierum (parallelis rectis interjectarum) C’en
tra dari, modo oltensum est, SC, D, hujus: Aique in harum aliquas (addendo
vel subducendo, prout opus tueric,) resolri pocest iltiusmodi quaeris Ungula su-
perticialis Cytindri recti, (ut exemplismox proterendis oltendetur:) Dabitur isI.
CUIT, (Der PTOV. 27. Cap. praced.) istuismodi cujutris Ongula Cencrum gravicatis.
HaC autem, quo ad alias curras transterantur, OpuS Crit, ut cum ipliuS AS Y
quaecunque fuerie curra, cum parcium iptius qua rectis puta ipsi A P parallelis (si
nempe momencum respectu hujus inquiratur) aequalicer ab invicem dilticis abscin-
duncur, cum longitudines, cum Cenrra graricatis, vel (quae ex his retulcant) mo-
menta habeamrur. Ouippe, his tabicis, momenca similicer exquirentur (per PrOP.
20. hujus) acque si ellent arcus circulares.
Ouod aurem de Ungulis superticialibus tradicum est; idem ad quasris in Ca su-
18. 189. perticie tixuras, planorum uccunque politorum intersectionibus (cum ea curra su-
perticie) cerminatas, accommodabitur. Nam, uctigurx quaeris in plano rectili-
nea resolri pollime in rectansula criansula et parallelosramma; eodem tere modo
tigurae quaelibet (in recti Cylindri vel Columnaris solidi superticie) planorum
lectionibus factae, resolvi polline in superticiales Vngulas et Cy lindraceas superti.
cies rectangulas. Adeoque ex partialium magnicudinibus habiris, hrabebicur (ad.
dendo, et subducendo, uc calus poscularerie) magnicudo expolica: Aeque, ex illa-
rum habitis Ceneris praritatis, habebitur hujus, per proP. 27. Cap. praeccd.
Exempli gratia; Su iltiusmodi Fieura expolira (’in superticie Cylindei recti)
planis terminata, C AD, (ti8. 189.) Acque deistis (ad Cylindri balin B AS)
rectis CB, DS; eric expolica C AD figura, eadem acque Ongula superticialis
CB ASD, dempris C AB, e D AS.
Sed, propter dari areus B AS Centrum graritatis datum (per prOP. T4. hu-
juS,) adeoque ipsius diltanciam d daca Ongula acic ( seu communi balis B AS,
planique Cnontam abscindencibus CD F, sectione) XL; e conseguenteT (PEOP
et

## Folio 865 — 851387705:0885
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000885.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
PFOD. XXTII. DeCalcuto Centri Cravitaris.
26.
ter datum etiam Tnelinationis Planorum angulum P X B) Fongindinem reclas L1. 103
quae arcus Cenero pravicatis insiltit, rectis in superticie curra Cytindri parallela
Datur etiam L per PEOP. LX. hujus) superticialis ungule C. B A BD area seu MaB.
nitudo.
Exsimiliter; proxter datum areus B A Centrum gravitatis; Ongulaque Aciem
E A (quae sive tic ipli X Z. parallela, sire secus, perinde cst;) Angulumque In.
clinationis C. F B: Dabitur Cuperficialis noula C A B magnitudo.
FE, Timili proceltu, dabitur magnicudo superticialis Ingula D AS.
Datur erso, expolitae Figurae CAD = C BASD CAB = D AS magnim
d0. (Et Timilirer, mucaris mucandis, in expolitis Fixuris illiusmodi aliis. ) Duod
oltendendum erat.
(Idemque paricer obcinebic, etiamti curra B A S non sr arcus circularis, sed
alia quaeris curra, dummodo (uc supra dictum cst) cum ipsius, cum parcium sui
B A, AS, habeantur lonsicudines e Centra graricaris. )
Porro; quo habeacur expolicxe hourx CiA D (juxta cenorem 6W. PrOP. 13.
hujus) Centrum graritatis; resolvenda erir ea, non cancum in Ongulas C B ASD,
CiAB, D AS; sed e ha porro ica lunt resolvendx, ut per luperticies Colindra-
ceas rectansulas, atque ejulmodi ungutas quae acies habeant in diametro. Cireuti
(addicas demprasque prout res poltulareric,) exhiberi DossinE. ciu c de as
Puta; cum Onsula CB ASD acies XZ. non lu in, diamerro cireuli B AS
(sed exira illam in eodem plano:) ducta incellisatur in secante Plano Ci si D
ver L. punctum in Axe Cstindri, recta L, F, iB E X Z Parallelas; quae curva CD
Occurrat in HI: Atque, per HI, circulus CHIK, centra L. descripcis, balibus Cy-
livdri parallelus. Adeoque tiene superticiales Ongulae C. HG, GH K, communem
aciem habences L. HI in circuli Diametro. Duarum si auteratur illa, ec haec addlatur,
superticiei Cylindraceae rectansulae CB ASK; habetur Cngula C B ASD. Ha-
bitis itaque illarum cum Maonicudinibus, cum Cencris gravicatis (nempe Onoula-
rum CHC, DHK, Der SW. prOP. 13. e Cylincraceae G B AS H per DC, D, hu
jus;) habebitur etiam (Per PrOP. 27. cap. praeced.) Centrum craricatis ipsiuo
CBASD =GBASR F DHR= CiLG
Similicer oltendetur (muracis murandis) Ongulam D A S componi ex Cxlin.
dracea AM NS, addira Ingula DON, dempra AOM, quarum Ongularum
communis acies OP cst in diameero Circuli. Flabebitur itaque Cencrum gravira-
tis iptius D AS = AM NS F DON = AO MI.
Tcem, Ongulam C AB haberis dempris, ex nouta G O F, tum Vngula AOR,
quarum communis acies O V est in circuli diametro,) tum Cylindracea B AR L.
Adeoque habebitur Cenerum sravicatis iptuS C AP = C. D L AOR = BARF.
Tlahebitur itaque (per prop. 27. Cap. praeced.) Centrum gravitatis AgUrX exPO-
sa CAD = CBASD - DAS =CAB. C FE timilicer in aliis tiguris, mutacis
mucanes.) Quod erac ostendendum.  ili ciist D E. E diresttiC 11bcMHS. 
REKPK
Non
M

## Folio 866 — 851387705:0886
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000886.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
860
Calculo Centri Cravitatis.
C ap. V.
Fig. 189. Non autem erat necesse, in auxilium adrocare S W. proP. 13. Sed per metho-
dum illam (saepius adhibitam) Cx prov. 10. hujus pecitam, absolri posset nego
eium: Fademque rem absolret in aliis ( uc dictum cst) Superticiebus Columnalt
bus, dummodo Curra basis, partesque sux, noca habeane tum Magnieudites c
Centra graritatis.
Si rero exposita sit Cylindri (non Recti, Led) Scaleni superticies; _ IH IE
290. Oua ad singula Perimetri balis puncta l aequalirer ab inricem distica) obl-
que, callunt recta (axi Cytinut pat alcta) Suiperticiem curram exlincdraceam com
plentes; neque habebune ab inricem eandem quam respectira balis puncta distan-
riam, (sed minorem, propter obliqua qua repraesentant parallelosramma, quo-
rum lacicnudo minor est quam est balium lonsitudo;) neque distantias invicem x
quales, (propter inaqualem inclinationem ad basis perimetrum.) Seue enim na-
beant illa ad planum balis Cylindri eandem omnes inclinationem; non camen can-
dem habent omnes ad curram balis perimerrum; (guod si opus ellet, tacile est
demonstratm; sed consideranti, clarius per se liquebit, quam ut id Sic opuS.) Ouo
sit, ue Parallelogramma, quae reprxesentant rectae illae, superticiem complentia, ne
que Rectansula repucanda Sint, led neque aequaliter inelinata; (adeoque nec aeque
rata, veut aequales BaleS HaDCHCIa.)
Acque ob harum considerationum priorem, erenit, quod Curra Superticies Cy.
lindri Scaleni non (ue Recti) aequetur tacto ex Cylindri lacere in verimetrum
balis (hoc est, in ageregacum balium omnium Parallelogrammorum qua repraesen.
lene illae rectae) dueto: Sed minor eo lic. Oua consideratio communis etiam cst
Cylindri solido; quod minus cst, quam Factum ex latere Cytindri scaleni in batis
planum ducto, (hoc est, in aecresatum omnium balium Prismatum, quae repra
lencant rectae, solidum juxca det. q. complentes;) quoniam Prismata solidum com-
plencia, non sunc (ue in Cylindro recto) Recta, sed Scalena. Sed, cum line
aequalicer inclinata, ( eanidem urique ad planum balis inclinationem habene,
quam AXis Cslindri,) in eadem ratione minuuntur (propter inclinationem) omnia
nempe, in ca ratione quam habet Cylindri Alcitudo aet Lacus TuUM. Adeoque
Cxtindri Solidum aequale tic lacto ex (non Latere, ut in Cylindco Recto, sed) A1.
cieudine C AtaPL MM Balem ducla
Ob polteriorem rero contiderationem, (quod Rectae in Superticie Cylindri Sea
eni non tinc, ad batis Periecrum, Aqualiter inclinata,) evenic, quod non (ut
in Solido Fiebat) una aliqua recta, qua sic communis omnium Parallelogrammo.
rum Alcitudo, pro Latere subllituenda sic, in Balis Perimerrum ducenda, quo ha-
beatur Area; Sed, pro aliis acque aliis Perimetri punctis, alixe atque alix rectae;
propter variatam in lingulis punctis inclinationem ad Balis Perimetrum, adcoque
Parallelocrammorum Alcicudinem.
Huic naque quo subreniatur incommodo; Si exponatur consideranda (fie
290.) Cstindei Saleni hB55 superticies curra; nexicclis batibus BA5, b a5, (qua
TUNE

## Folio 867 — 851387705:0887
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000887.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
PEOP. XXIV. DeCalculo Centri Cravicati
tunc ad Cplindri lacus b B oblique politx:) Sumatur planum aliud, quod sc ad Fig. 190
Cxtindri Lacus (vel Axem) rectum, sectionem taciens Ba5 F Iliptin C dummode
B AS Tu CirculuS;) ad quam itaque curram Ba5, rectae omnes Bb, Aa, _c. Tu
perticiem complentes, non minus Rectae lunc, quam sunc in Cytindro Recto L a
cera ad perimetrum batis. Ft, consequenter, l per lingula curra Bas punets
aequalibus ab invicem in eadem curra distanciis remota, cransire incelligantur tori
dem aequales rectae BBb, Aaa ecC. superticiem complentes; repralenrabunt ills
non minus quam quae sunt in superticie Cylindri recti) coridem Parallelogramma
Rectangula aeque alta, ec xque lata, quorum omnium Bales simul Tumpea com
plent ipsam Ba0 curram, e communis Alcicudo esE iplum Cylindri L acus BBB
quae itaque in curram cotam BasB ducta, exhibet integram Cylindri superticiem
curram; eademque in curra porrionem quamlibet ut Ba ducta, exhibet correspon.
dentem superticiei portionem B A a b.
Flinc sequitur; Superticiem Cylindri Recti, ad superticiem Scaleni, ejusdem Y, a-
reris et super eandem Balin, ita esse, ut est Perimeter Balis, ad Perimetrum Sectio.
nis quae Lateri vel Axi sic ad angulos rectos; puta, ut BAS, ad BaS: AIque
illius porrionem, ad respectiram portionem hujus, uc cst ea balis porcio cui ins
Iit, ad respectiram sectionis recta porrionem; puta, ut B A ad Ba, Sic quae por-
tioni B A insistit in Cylindro Recto, ad eam quae eidem insiltit in Scaleno uperti-
ciem, idem Cylindri Lacus habentem.
Idemque obtinet, ob eandem caulam, non tancum in Cylindris reris, qui batin
habene Circularem; sed ee Solidis qnibusris Columnaribus. Nempe, quaecunque
SEB A S curra quae balis sc Solidi Scaleni pro ea Cublrimenda erit Ba5, quam Cx.
hiber sectionem Planum illud quod est Lateri, vel Axi ad Angulosrectos. Oua
quidem Flipsis eric, EB AS Tu Circulus; A vero B AS FIlipSIS SII, erit Ba5 ret
alia Fllipleos species, vel etiam Circulus. Ft similiter, quaecunque fuerit curra
BAS; PrO ea Tubltimenda erit correspondens Ba5, prout cujusque currae raric
Dostularerit.
Oux autem, de Ongulis, aliitre Eouris in Recti Cylindri seu Solidi Columnario
superticie, ad Basis Perimerrum B ASexigendis, dicta sunc: Fadem omnia in Sea-
lenis, ad Perimetrum Sectionis rectae Bas accommodanda crunr. Ouippe Sol-
dum illud, (sive Cylindeus Cic, sire aliud quodris solidum Columnare,) quod ad
BaFIM B AS Scalenum est, idem ad batin Ba5 Rectum exir.
P R O L. AXIV
Fixurxe cujulris in Superticie Sphaera, Planorum quorumris cum SphX-
rica superticie sectionibus, (hoc es circulorum quorumris sire
maximorum sire minorum arcubus) terminatae; Magnicudo datur.
Nempe; Superticies sphaerae inteora, aequatur quatuor circulismaximis.
Segmenei cujulris, Plano abscistu (aut ociam Zoux cujulris Parallelis
Planis interjectae,) superticies, eam rationem habet ad totam Sphx-
rae superticiem, quam habet intercepta Aris portio ad Axem tOtum.
Cuncus superticialis, seu portio superticiei currae duobus planis in AXC
cocuntibus interjecta, sire torius Sphaericae superticici, sive Scomen-
ei superticialis, sive Zonx; Superticiem habet in ea ratione ad in-
ceoram illius sire sphaerae, sire Segmenti, sive Zonx Superticiem
quam habet Angulus inclinationis planorum illorum (vel arcuum
Plana illa jungentium,) ad quatuor rectos.
Frianculum sphaericum, (arcubus circulorum maximorum tErMIMa-
cum,) eam rationem habet ad circulum in sptara maximum; quatm
habet exceltus axpregati omnium ansulorum supra duos rectos, act
duos rectos. Seu (quodtancundem ralet) aequatur facto ex Radio
in Arcum circuli maximi, qui ilti angulorum excessui subtendit,
ducto.
ALCLL Z
Trilinca

## Folio 868 — 851387705:0888
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000888.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
De Calculo Centre  ascouth.
Cap. V.
36C
C
Adeoque, Figura cujutris, in luperticie lphiaerica, planorum sectioni
bus, vel circulorum quorumris arcubus, terminata, (utpote quae
in exposicarum figurarum aliquas semper resolri possic;) Magnitudo
datiir.
rum Magncucilles exhibere.
F.
Trilinea circulorum minorum arcubus terminata (vel parrim his, par
tim arcubus maximorum,) a Friangulis Spharicismodo dictis, dif
Ferunt Bilineis locae magnicuuinis.
DONet quide Hac Propoticio, non cantum de Magniiudine, sed d de Centro
pravitatis, iltiulmodi Ligurx, c pracedente deduci: Cum pottu omnisistius.
modi in Sphaerica superticie tisura, in Prilinea Rectangula resolri; quae in Cy.
lindri recti superticiales Onsas expandi porerune: Ouarum quidem cum Mas
nitudines, cum Centra grarua, (Dt praecedentem,) haberi Poterune; atque
inde ad LMlinea Sphaeriea transterri, o PtoP. 14. husuS.
Verum cu Ita caleutus fUCUTUS BE PELPLCLIOL Qnam ut illum jam axoredi l1-
sent ea Frilinea Sphaerica, corunuse Palles: ) liber alia mechodo Fisurarum illa-:
beac, (propter rarias se mutuo decultantes Sphaera diametros ad quas exisenda ef
Supeltieiei Sphaeriex desmentum, (Plano abseistum;) vel etiam Superferans
i5. F9r. Zona Sphxerica, (duobus Planis Parallelis interjecta;) eam habet rarionem ad to.
cam Sphaerae Superticiem (hoc eltu ad quatuor Circulos MaximOS;) quam habet
AXIS Portio, Plano seu Planis illiS terminata, ad AXEI COtM. PUTA, quanta pars
est AV, vel VC, torius Aris Aa: eadem pars est corius Superticiei Sphalla
Sexmencum ABB, vel BBSD ZOna; e sic ubique. Per S H, L. PrOP. 13. Hu-
15
Curra Superticies Cunei Sphaeriei, aut etiam Cnnei Seementi Sphariei, Zonaeve
arcubus duorum circulorum in Axe cocuncium interjecti; cam haver ad tOLaI
Sphaerae, vel coram illius Seomenti, aut Zoux superticiem, quam habet Angulus
inclinationis illorum Circulorum, ad quatuor RectoS. Ouippe si incellisatur
A B Da Semiperipheria, circa axem A a conrersa, Luperticiem sphaericam deseri-
vere: quam parcem corius convertionis absolvit A Ba, in licum ABa delata; ca-
demerit cum angulus B AB, quacuor rectorum; cum, integrae Perivherix syi cir
culiu arcus Bb puncto B deleripeus; luique, arcus Dd deleriptus puncto D; d sic
ubique:

## Folio 869 — 851387705:0889
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000889.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
ed
dFOp. LAIV. De Calculo Centri Cravitatis.
ubique: adeoque eadem pars erit, Bitineum A Da d A, torius Superficiei Sphieri
rica; _ ABB, segmenti BBA; ex BB dD, ZOnX BBsD: e sic ubique. Pex 5C.
PrOP. 23. hujus.
Pura; Oniam habet rationem Areus BB, vel Dd, ad fuas respectire Periphe-
rias inreoras BB, vel DS; auc angulus B Ab vel D A d ad quatuor rectos: cam
habet rationem Sphaerici Cunei Suxerficies AB a b A, ad. torius Sphaerae supertici
em; Cnneique degmenti sphaerici superficies. ABb A, vel aBba, ad respectiri
Seementi sphaerici Luperticiem ABB, vel a BB; Cuneique Zona Sphaericae superfi-
cies BBdD, ad torius Zona superticiem BBd D. Et Lic ubique.
Fixponatur jam, in superticie Spharica, Triangulum Sphaericum ABD, circulo-
rum Maximorum arcubus comprehentum. Dui quidem areus concinuari, intelligan- Fi. 292
cur circulos inceoros absolvere. Hi Circuli cum line in Sphaera maximi; se mu-
cuo bisecabunt bini quilibet. EC, propres aequales ansulos cum qui, tunt, opposici
vercieales, cum qui sunt in eodem Bilineo oppotii, (Duta A== a, e a == a _, Lc
ubique;) aequalia invicem erunt quae lune in contrariis Flemisphaeriis Bilinea.
corundem Circulorum concrariis Semicirculis interjecta;) puta àa, e (quod, in
Schemare dilrupcum est ee replicatum, sed in Sphaera concinuari incellisendum elt)
AA; e similicer BB, eBB; itemDD, 88d. Sed d, eadem ratione, Oppolica
Friangula ABD, aBS, (propeer Lacera laceribus, et Angulos angulis, respectire
Tumpeis, aequalia,) erunt inricem aequalia. (Ouae elt eriam D. Samnehs Fosteri nostra-
eis Demonstracio, in Collegio Crestamense, Lonaini, Astronomia dudum Proteco.
ris; Oui hoc mihii, de Friangulo Sphaerico, Theorema Indicarie, Anno circiter
2646 aUL Z647; ut apud nolteos cum dudum receptum; ec ab FParrioro noltro,
E laris memini, primo repertum.
Si autem, ex semisuperticie Sphaerica Pu PVY = R D, (hoc eA, Facto ex Ra
dio in Peripheriam ducto) auteratur A BD criangulum; Residuum (RF- (ABD
complebune Friangula arV (hoc elt, à a L a BS; hocCA, A A = ABD; ) et
Bc7, (hoc est, BB ABD; ) _DEV, (hoc eAt, DB L ABD. ) TTOC est, Bi
linea A A + BB f DD.
ABD, = RZ. ABD. HIOC CAt, CEran
Sponendo) A A ] BB f DD - = RD = 2 A BD. Adeoque, quam habet racio-
nem, exceltus Bilineorum A A L BB L D D Supra X P, ad R Z Semisuperticiem
Sphaericam; hoc est, quam habet rationem, Fxcesus angulorum A F B F D Lupra
duos rectos, ad duos rectos; seu FxCesus areuum (angulis illis comperenrium)
Fupra semiperipheriam, ad semixeripheriam; eam habet 2 AB D duplum Prian-
suli, ad eandem se P Semituverticiem spharicam, scu duos circulos AXIOS;
plumque ABD Friangulum, ad = P P circulum in sphaera maximum.
TTocestu inrertendo (Dolito a pro aggresato arcuum, in cireulo maximo, an-
sulis A, B, D, comperencium;) uc Semiperipheria ZP, ad a = E8; tic Cireulus
in Sphaera maximus Z X P, ad (a R = = R P) criansulum sphaericum AB D. Ouod
itaque aequatur tacto ex Racdio R, in areum a = 5 P, qui conrenit Excellii ansu-
lorum A. F B F D supra duos rectos.
Elto demum Frilineum expolicum A B D, cujus lacera DL. A, DRB, SinE ar.
cus circulorum minorum P. D A, C. DB H; (lacusque B A, arcus circuli maximi.) FIP. 193
Inveniatur circuli ED A, Polus P; et circudi CDBH, polus A. Franscarque
Per A, D, circulus maximus ADa; et Der D, B, maximus LD BP; irem per P, D,
MAXIMUSPDT.
Habetur itaque (per SB, C, ) magnicudo tum integri Segmenei Superficialis
P F. D A, cum hujus Cunei seu portionis PDL A: Et (per SD.) Magnicudo
Frianguli Sphaeriei P D MI A (arcubus maximorum circutorum terminati: ) Adeo-
que et (horum difterencix) Bilinei D A magnicudo.
Similiter, (per SB, Cy) habetur magnicido cum integri seomenti ACDBHI,
cum hrujus portionis AMDKB: Fs (per SD.) Prianguli Sphaerici AMDLB:
Ergo _ (horum differentia) magnicudo Bilinei D B.
(Et similiter Faciendum eltet, ad lacus B A, I Fuister arcus cireuli minoris: Cum
vero lacus illud sic arcus Circuli maximi; id minime opus erie.)
Hlabetur aurem, ut modo dictum est, (Per S D.) Maonituce Prianguli Sphae-
rici (arcubus maximorum circulorum comprehenli) A M DTB: Unde l autera
tur Bilincum jam invencum DA, acque addacur Bilineum DB; habetur magni
iudo Trilinei expotici ABKD L. A: cujus lacera (Falcem aliqua) sunt areus mi.
ALFFFL
Auscte
norum cireulorum.

## Folio 870 — 851387705:0890
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000890.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
DeCiman La Cravitatis. Cap. V.
larerit, Bilineis uno rel pluribus; habebieur area Prilinei cujulris ucur minorum
circulorum arcubus comprehenti.
Denique; Cum nulla pollic exponi Fixura, in Superticie sphaerica, Planorum
sectionibus (hoc est circulis sive maximis sire minoribus) terminata; qua in hu-
julmodi satis accao. suao  Do sclotri: Dacur iltiulmodi tisurae cujulris
magnitudo. Guouctat o.
Atque, ad eandem Formam, Frianguio sphattco, adauis ablacitre, ut res postu-
L
OP. ZZ
Seomenta Spliaerae utcurque Planis cruncatae; Magnicudinem datam
hrabent.
Outmodi enim Sphiaerae SesHIeHta quae libet, terminantur, partim portione re-
Cidlua Superticiei Spharica, parrim planis cruncancibus.
Incelligatur aurem (ur adt prop. 16. hujus) ca qua reltat superticiei spharica
portio, (cujus magnicudo data elt, per proD. praeced. ) in parciculas quancumliber
minutas diltribui, cocam complences; quibus insiltere intellisantur tocidem pyra
mides exigux, communem verricem habentes Splaerxe Cemrum; e communem al.
cicudinem, Sphaera Radium. Adeoque, Radii Friens, in curram illam supertici.
em ductus, (urpore Balium illarum agxresatum,) extibebit, Pyramidum lire Se-
ctorum Sphaericorum illorum, portioni currae inlistentium, Aggregatum
Blana rero, quae, una cum hac curra superticie, cocam complent, sunt etian
nocx magnicudinis: Cepote quae sunt rel Fisurx Rectilinea, vel laltem Circulo.
rum pOrriones, quarum Magnicudo habetur, per prOP. L5. hujus. Flarumque item
(uepote positione datarum) dancur Diltantix d Ceniro Sphaerx; Ouarum quidem
erientes, in sua respectire Plana ducti, exhibene Prramidum magnicudines, Planis
illis insiltencium, et communem rerticem habencium Centrum Sphaera.
Oux quidem Pyramides, addicae vel subductae (prout res culerit) Aggresato illi
Pyramidum superticiei curra insistentium, jam invento; exhibent Expoliti Ses.
menci magnicudine.
Datur igicur istiusmodi cujutris segmenri sphaera, planis uICUnqUE CruNCAL,
Magnicudo. Quod erat ostendendum.
C LLV L LV M
Frero Propolitionis hujus, et simul praecedentis, Praxis, Exemplo alique
LLillustraca, tacilior recea. Libet hic Tubjungere, Problematis Solutionem
desicetacam; et quocidiani ulus, in menturandis ratis vinariis e cerriliariis, Par.
Cujus ego Problematis SoluIHEM, Gutque Demonstrationem, eodem Ccarim
die, lutemarim ei extribui; (e gcancum seio, omnium primus absolri) ad hunc
a Redixendum elte exposicum Dolii vel Spharocideos cruncari Fructum, ad in-
CChabebIErationem, quam haDCL BBL IOCIACOS AXIS, ad Diametrum SpHXrR; PFOPter
a invae Ca Parione lonsius remora, quam habet Axis Spharocideos ad AXem
CESPIaFa.
a conttatum, communem verisees habencibus Centrum Sphaeix; balesque in Fru
Ouorum quidem qua Bases Planias Habene, facile extiberi poste; eum plana
cc illa alia non linc quam Cllectoru porciones, noris methodis extribenda; ca-
ac rumque a Cemiro dillantia lalcicudinem decerminanes) facile exquirantur.
ic Ouoe
quo altae asOL ALIIES MIEI LOLDCLE prOPOTuIE Vir ingeniosuS, _ FeFNM Ma
um depleris
senlum. Nempe
chemaciearum perirs, D. Joh Collins, CAususti F2 2665.) canquam rem maxime
a scriptae Sphaera Prustum cortetpleno, ad quod, Prustum illud Sphaerocideos cam
ae Plana Sphaerocideos parallelis SCIXta Planis correlpoudentibus aqualia, se d ab
e Iti Superticie conrnuas, iplam complentes.
aTIIud autem Sphaera Frustum, considerandum este tanquam ex Pyramidibus

## Folio 871 — 851387705:0891
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000891.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
PrOD L XVI. De Calculo Centricuus.
a Ouod autem ad eas innuveras alcinet, quarum exigux bales superticiem eur
ec tam duadrare.
ec cum ance plures annos ablolreram, et sexipio edito (anno 1659.) rulsa
ec veram.
Ouod iptum paucis post diebus, latius aliquanco explicatum, ad illum etiam
misi, hac tere qua sequitur rerborum forma.
a vam complene: cum balium aboreratum licea ipla superticies curra; ex coms
cmunis omnium Alcitudo, Radus sphaera; id unum supereste posse ditticulcaris,
 ut exhibeatur illa Superticies curra.
cc J ntem quicquia  cuatto, a  saut  C LCal CHC U bsuCS
ux Circulorum quorumvis (siddm sa anorum) arcubus termina
e d Calcem mei de Crcloide Fractatus, PaS. 122. (sed quae inserenda fuerant pass. 23.
1568. quod satM Lact cll.)   L m Quamlibet, in Supersieie Sphae-
c AACRem tocam, ser Deliderata, non elle censendam; ut quam cgo jam
Sit Dbnum Z5PSZ P, (Sphaerocideos P BD B Frustum, parallelis circulis
aequalibus 25, 20, abscistum,) situ Floricontali positum. Dataque
Snc; tum Circuli Nedii PP, Semidiameter C P; tum Fixtremo-
rum Z0 Semidiameter dZ; Vasisque Longitudo dd, (cujus Semictis
Cd:) Summique Liquoris ae R B, Altitudo, supra intrare C centrum,
CK; quae minor sit quam dZ. Ouaeritur, Liguoris contenet quat-
citas: leu dexucu asto  e L L L8 MdB H
cuco.
PlatVCIAI PBPB, Lula incellisatur Sphaera PBPB: quam sccenE Circuli
DSs, SS, ipL5 =.8, Z0, aGuales ee paralseli; Planumque ae I a Florirontale
exhibeno in Sphaera CCucu L. FL, F.llipsi n ~ a in Sphaeroeide respondentem
Fritque Sphara Portio LSpst, expolita Spharocideos Porrioni a s Ds a COrrE.
Spondens.
Estque haec Sphara Porrio; idem acque semisesmentum DspSD (quod semi
dolio responder, estque magnicudinis nocis mechodis investisabilis; de speciacim
DET DTOPD. PrXCCd. vel PrOP. 26. hujuS.) Addita, DEMPTAVC, (PrOUL PR F Supra
intrave Centrum fueric,) Segmenii Porrione L’FDD; planis PF, DD.
FP
FD, incerjecta; quam portionem invellisare, eM poristima torius negorii diticut-
18.
(duo aurem mulciplices solidi sectiones, in plano uccunque extribitae melius Fig. 194
percipiantur: Rem eam pluribus sixuris explicare vilum est: Ouarum His. 194. 195, 1
exhibet Sphaeram Sphaerocidi inscriptam; limplicittima projectione. F18. 295. Cx. 197, 198.
hibet Spharani, Fisurx praecedenti exempram, acque aliter projectam, quo par-
tes ejus detesantur: F.L H8. 206. ejuldem Octancem (planis quadrantalibus P C. C,
eC b, b, on exsectum,) quo ox lic linearum contulio. Irem duos eir.
culos

## Folio 872 — 851387705:0892
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000892.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
312
De Calculo Centri Cravitatb. Cap. 1
1973 198. Fixura Y98. D
Fig. 194 culos SS, Hg. 204. hoc elt SFdsdFS, As. 795. Scortum exhibet figura 297. Cir-
195, 296, eutum que la F A L 1 . 194. 510C. el oL LLCLL LB. 195. Leortim extibet
11s 13
Fig. 195.
Constat antem ea Portio F F DD, (poristimum inrestiranda,) ex Ouinque
Solidis egramidatibus; Conicitre: Ouorum communis Verrex, est C Centrum:
Baselque, iptx Portionis Superticies FD, FD, F P, planae; duaeque CurVX DFCB
DFFD, Hg. 294. (seu POriuS dFFd, dFFd, H8. 795.) Planis illis, plandie V
terminaca: Alcicudinesque, Superticierum illarum à Ceniro Diltancia.
e
119)
51ITI. II:M cuid
12
1
i sictae es sciDEl: E
Ouantaeque lnt illae Superticies Currae DP R F D, H8. 294. Tcu Bocius dFKFd
investisaneur;) inreme docui, in subjunctis meo, DeCVelbide, Fractatui, 2t.
que hic in DTOP. 24u W)d.  I. 1. 3 1 1l 31 e3 1 1II e s s .te
Nempe;
AX. FO5. (quae Pola Superelt ditticultas; reliqua siquidem, nocis methodis; facile
l
li
p

## Folio 873 — 851387705:0893
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000893.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
PFOD. ZXVI. DeCalculo Centri Craritaris.
Nemve; Si incelligatur ((i8. 795, 796.) FBF, arcus Circuli Maximis ip(IFLFFiB. 194
arcui Minoris Circuli conterminus; ee compleatur PFsF Friangulum Sphaeri 195, 186
cum: Flujus Priansuli Sphaeriei PFsF magnitudo innoceseir; urpore cum alibi 197, 198.
tracita, rum hic ad SD. prop. 24. hujus. Aeque innoteseie Frilinei PFK Fmagni-
tudo, excoonito angulo FPF, seu ratione arcus FHF ad peripheriam lui circuli:
(DerSB, C, prOP. 24. hujus.) Adeoque d magniiudo Bilinei FHFgF, illorum
differentia. Sed e, excognito Angulo sBd, seu Areus td ratione ad Periphe.
riam Tui circuli, similiter innocesei maenitudo Onadrilinei Sphaerici d Fo Fd. Frro
_ (dempto Bilinco) Ouadrilinei dFk Fd maenicudo.
Denique; Ex magnicudine Portionis Segmenti Sphaerici sic inventa; FTabetur
etiam Portionis Scementi Sphaerocideos corretpondentis Nagnicudo. Fst urique
haec ad illam, ut Sphaerocides ad inscriptam Sphaeram; (sivC ut Axium Major ad
Minorem:) Propter Plana Planis respectire sumptis aequalia, et ad Axes in
ca ratione consticuros ordinacim polita. Ouxe elt tocius Problematis constructio.
Calculus hine Constructioni respondens.
E. Daca Circuli, in Sphaerocide Mediis Semidiameter; seu Radius inscriptae
Sptaera; CP =CB = C16 =CS = CF; dicatur R: Ejusque Peripheria Qua-
drans, 2; quae sic ee Anguli Recti mentura.
2. Data Circulorum, in Sphaerocideos Frusto, Fxtremorum, (f8. 207. Teortim
etiam extribitorum) Semidiameter sZ ==DS =Dd; dieatur a R. (Vacto sei-
licet, ut C P, ad DS; sic L ad a. Fc lic alibi.) Fltque, Sinus Rectus areus
BS = BF.
3. Itujus Cosinus, seu Sinus Complementi; hoc est, Sinus AreuS SP =[8
cst HS = CD = RF =V: R2 = a2 R2: = RV: F - a. Oui dieatur (brevi-
tatis gratia) a R.
4. VEBB ad 55, seu CB ae HS; hoc est, ut. R ad a. R, Feu L ad a = : 7 - 
Sic est inteora Sphaerae Superticies, seu Quatuor Circuli maximi, 8 RR; ad super-
Fciem Z OnX 5855, = 8a R~.
5. Hlac Superticies, ducta in 5 R; exhibet magnicudinem Zoux Solidae, (intet-
lige, Segmenti SDSSDS, exempris duobus Conis, SCs, SCS,) SCSpSCSV =
6. Vc Ouadratum Radii CP; ad Ouadratum Radii DB; hoc Cs, uE R 2 ad
a2 R2, TCu UE F adt a 2: Sic est CirculuS MaximuS 2 P 8, ad Circutum SDS = 2RQ
. Circulus hic SDS, ductus in sC. D = ha R; exhitet Magnicudinem Coni
SCSD, == Za42 R2G
8. Hujulmodi Coniduo. una cum Zoua Solida (S5. inrenta,) extibent Segmen-
cum Solidum SDSSDS, == 3a 29 f3 aa R8. Adeoque Semilolidum DSSD,
=ha Ra + 34aR
3. Dara Tummi Liquoris P K F, supra intrare Centrum, Alcicndo CK = DF,
dicatur B R. P Aque, Sinus RectuS arCUS BL.
20. TIuju sque Co. TinuS, seu SinuS ArCUS L. P =FP; est KL =RK = V: R 2
h2 R2: = RV: E = b2. Oui dicatur (breritatis er80) BR.
FF
TF. V

## Folio 874 — 851387705:0894
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000894.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
Fis. 294 IF. VERL =BR, ad R; SeHML V: F = B2: ad T: Sic CA reCta R F = a R, ac
R = RV=
72; Cinum arcus FK in suo circulo, sire anguli FKK = FP L
=FPS; Oui (per Canonem Sinuum inveniendus) dicatur c8.
22. Flujulque C0. sinus seu tinus Arcus FL. in suo circulo, teu Anguli FRL. =
FPL; est V: R 2 - = R2: = p     = - V: B2 = a2: =  Y: a - v
23. SEDS = a R, ad R; seu UE a ad F: Sic DF = BR, ad = R, Sinum AP.
cus Fd in suo Circulo, seu anguli FDd = ∞Bd. Oui( per Canonem Sinuum in-
veniendus) dicatur a Q.
24. Vtrora Peripheria, seu Ouatuor Recti, 4 a; ad Arcum seu Angulum a a;
sive ur q ad d: Sic eAt Z onx torius 555S superticies, 8a R Z; ad Duadrilineum
Sphaericum dF8Fd, =2 d a R Q.
25. OFPp = 2R, ad PK = CP = CR = R -B R; SIvC ut 2, ad + - B:
Sic inceora Sphaera superticies, 8 R B; ad lesmenti P L. K L. P Superticiem, = 4 R
=4b Rd.
26. Vriota Peripheria, seu quatuor Recti, 48; ad Angulum FPF = 2FP∞ =
209; Sire ut 2 adc: Sic Segmenri PL.K L. P luperticies, 4 RR + b R Z: 2d
Trilincum Spharicum P Fk CP, = 2c R8 = 2bcR8.
22. In Friangulo Sphaerico RectanguloFBP; VF Co. SinUS areuS [8, Teu areUS
BF Sinus a R; ad C0. finum anguli FP B, scu Anguli FP L. Sinum,  V: a - b:
Sive ut a Bad V: a2 -- B2: Sic Racdius, 2) L: a = b: P Sinum Aneuli PFB.
(Nempe per doctrinam Frisonometricam.) Dui ( per Canonem Sinuum inveni-
endus) dicatur ed.
18. Veduo Anouli Recti, 22; ad Frium angulorum, Frianguli sphaerici
PFGF, exceltum supra Duos rectos, 20a f 2C= 2g: HIOc clt, ut Fadc ] C
=L: Sic est Circulus in Sphara MaximUS, 2 R Q; ad iltius Frianguli Sphaerici
PFSFMagnicudinem, 26 RQ + 2C RQ 2 R &
20. Triangulum hoc, PFBF ex Tritineo PFKF (invenco 516.) exemprum,
relinquie Bilincum tKF8F = 2 RG = 2CRG -, 2bCR 8.
20. Atque hoc Bilineum, ex Ouadrilineo dFsFd (invento sr4. ) exemptum,
relinquit Ouadrilineum d FKFd, = 2 a d R a F 2b0 R Q F 2C RG= 2 R8.
2F. Atque hoc Ouadrilineum, in ; R ductum; extibet Sectorem Sphaericum
CdTKFd, = 3a d R: 8 + 3bCR2 Q + 3C R2 Q 3 P28.
22. VECD = R, ad RL =KL. = BR; ((8, 195, 198.) Eive Wt F ad B: BC
anguli LXK arcuse R, ad consicudinem arcus tK, = BCQ: Pt sic Anguli FK F
= FK L Sinus,  V: a 2 - B2: ad rectam LF, = RV: a 2 - B2
23. RK = BR, ducta in FK = BC R; exhibet SecOrem LK L = B2 C R Q -
CRQ B= CRD. Acque hic ductus in Z C K = 5 b R, exhibet Coni portionem
CFKF = 3BCR= 3 - 3B3CR2 
24. HF = a R: dueta in FF = R V: a2 - B2: extribet FrianGulum R FFF =
a R V: 23 = b2. Rque hoc ductum in SCR = 5 b R, exhibet Prramidem
CRFFF = GabR V: a = B2 CUI (PTOPteT CR = DF, RF =CD, adeo
que ZCKXKFAFF = ZCDKDF XFF,) aequalis est Pyramis C DFF.
25. VECP = R, ad DS = a R; seu ut F ad a: Sic Arcus Anguli FD d = d Q
2d Arcum Fd = a dR. Dui ductus in D d = DS = a R, extibet binos Sectores,
2FD d = a aR R. Dui ducti ins CD = 5 a R, exhibenc binas Coni Portiones,
2CFDd, = 3 aa a R2 8.
26. Adduris
5. 130

## Folio 875 — 851387705:0895
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000895.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
PFOD. XXVI. De Calculo Centri Cravitatis.
26. Addicis isitur Binis Sectoribus (52F. ) 2C dCk Fd = 3 a a R= 8 + 7 BC R R F18. 194
F3CR - 4 X2 Q: Acque Binis Coni portionibus (623. ) 2 C FRF = 3bC R B
3b3CR =_; Binilque Pyramidibus (524.) 2C. KtF == = ab R3V
qua cum binis illis portionibus Coni, complene Solidum Conicum, balis quactri-
Ir
=b2: SBis binis Coni portionibus (5 25.) 4 CiFDd = Z a a 2 d R26
(qux
cum binis Prramidibus C DFF, complene, bina Solida Conica C d d FF: ) Haberur
Scomenti Porrio dddd LFFF, = 3 a d R2 Q = 3a a2 d R= Q + 2. bc R 28 3b c 
3CR 2_ = =R2G ] 2 abR3 V: a
27. Aeque hoc Additum vel Subductum (Prout Seomencum Majus, Minusre
requiratur) Semilcsmento (58.) dSd C dSd = 5 a R =9 ] Z0. a  R=G: FXhibet
Sphara Sesmenum Majus, Minulre; FSDSFR, vel FSPSFR; = 3a R =3 +
aa R.  + 3ad s  +3a n a  Q L 2bC R _ + 3 b C R 8 + 3C R R F 3V 4
= = abR3 V: a 2 - b2
28. Denique; Data Valis Semi longimdo, seu rario C5, ad CD; hoc elt, ra-
tio CB, ad CB; Ponatur ut fad T. Fritque expoticum Sphaerocideos Segmentum
Mtajus, Minulre; 80p0 8, vel a=. PZ8; = Z fa R= B) + 3faa R ? d = 3 fa4 
+3f0a2 a R= 9+ 2fBCR2 QF3fb2 C R2 8 L fe R _ + 3FR2_ =3fab R V:
a = b2. Ouod proxolicum erat inquirendum.
Caleul Synopsis.
ST. R; Dara Semidiamerer Major, seu Radius inseripta Sphaerae; C P
52. a R; Data Semidiaeter NTINOT; DS.
59. b R; Data Alcicudo supra intrare Cenrrum; C. H.
528. f R; Semi longicudo Conocideos; Ci B.
T0. B = V: Z - B=
SI. R; Angulus Rectus; rel Guadrans Peripheriae Circuli Maximi.
SEZ. 6Q
5 13. a Q maximi respondentes Sini. f = R.
527. e2
bus rectis
F3R2 D; Sphara inceBra, BPBF.
= 3RED; Hlemispharium, BBP.
L2b R2Q; ZOna Solida BI CL B,
FZBB2 R=Q; COnUS L CL F, 5 Segmentum BL. L. B.
=2a R=Q; ZOna Solida BSCSB,
+320 RQ; ConuS SCSH,
55. = 3a R Q, Semirona Tolida-
SCSP,
Segmenum BSSB.
(Semilesmencum)
57. = Za a P Q, duo Semiconi (SDDSF
2DC5,
5F4. = 3a a R =2, 
d20. 2.L
6T9. = ZCR22, (duo Sectores
dT9. -
8
ZFFCDD, scu PO
529. = 3bC R ∞, Drius 2 CFKFd d
523. F 3b6 R= 2, 2 dux portiones) 5 26.
523. = 263c 8, SCOn, 2CRtkF, (Py. (Interles.
24. = Z a b R V: a = B : duxe (ram. (mentum
d + t t
524. + 3ab R V: a 2 - b2: 626.
dux Pyramides, 2CDFF F (2 PVram.
525. F 3aa d R ~, bis, binX (FCD
Portiones Coni, 2C. DFd,
826. Hec ducla m s; sunc Phomoloex partes Conocideos.
STIFC2
(95, 19
23198
526.
Anguli, vel AECUS Ci
majo
re
ESPSF
minor
Portio.
Pyramides, 2C. R FF F,
FNemplam

## Folio 876 — 851387705:0896
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000896.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
Exemplum Calculi.
Circulus MaximuS, 2R=
_=0. 52359877 Supert. Hemisphaerii, 4 R L
opIaTa integra, BD BP, 3R = X,
Femispharium, BBP, 3 R =
Casus F.
2. 6333E
d- D. B a =0. 5625 a = 1 - a =0. 4375 a = 0. 6674376
. 3 b=0. 25. B= L b=0. 75
=B
B-
4.  2a = 5. 125
d.3725 V
B
2.
4a  2a a
Scgmentum SSPC P, vel semiscemenum SDDSe,
+. F 20 = a R2&
Seomentum integrum SSpSSP, Cictius duplum,)
0. 8660254 -
0. 5590169 +
3. 38986687
Segmencum SSB, vel 2SDB, (= BBPSDDSP,) = 0. 3194639 1
Semilermentum SDB, (iltius Temissis,)
4- 20 - 4. 875 40 + 204 3. 65625
Segmentum B55B, 4 Y 2.0 = a. R28,
Segmentum SSP, (= BBP = BSSB,
Scomentum DSSD, (=SDDSP - SSP
=B5SB = 25DB)
4 + 25 = 5. 5
4b. + 28b - 2. 75
Segmencum BL. L. B, 2 = 2 BR2 d.
Segmentum LL P, (= BBP =BL. L. B, )
Scgmentum L.SSL, (= BSSB -- BL. L. B,)
R = 0. 7637626ESin. An8. BF. 49. 47,8225
R = 0. 6666666=Sin. AN8. 8r. 4. L. 48, 6186.=
aB = 0, 64051903
1: a = B2
2B  R = 0. 8606628 =
O, 6509070
F, 00000OE=X
= 0. 65449843
d. 5533605
F. 0000000
464559C
=cd
1, 000000∞Z=48
BI. AMB. EP. 59. 2334656
6==0. 5533005 a =0. 4645590 e = 0, 6599070
Verumtic, adeoque in iis quae hinc dependent, ulrima noca, tortactis e pe-
nultima, Tune in ambisuo; e0 quod Canon Sinuum ad tancam aiupibeur vix paritur
perrenire.)
6b - 2 b3 = 2. 75 605 - 285 =- 1. 5215764 46. 2.6396040
6. 2B2
+ - - - Bc R = 0. 7966955
2a
 = a. d R= _ = 0. 8245649G = InETSCEMEnE. DFFD, =L, 2554621.
F 3C R2&
+ RZE
= F. 3820935
2- 004395F
LZabRV: a = B2: - 0. 2465033
Taltem L. X5546 PrOximE.
Fructi Sphae- 5Major, P spSF, (= SDDSP FDFFD) = 2. 9303933
riei Portio ZMInOT, PSPSF, (=SDDSP- DFFD,) =0, 61946DF
Abscicta 2 L. F DB, (= BL L. B -- DFFD,) =0. 2844345=
L FDB =, O. X422173 -
2SFL, (. = L LP - FSPSF =ZEDB- ZLFDB,) =0, 0350293:
SF L = 9, 0175147 -
3. 74. (,920
12. 5663700
6. 2831853
4. 1887902
2. 749312 =
3. 5498624 -
0. 25973197
L. 9144080f
8. 179507L-
F. 504044 +-
Fi8. 194, POFIIO R = L.
195. Exit L= L. 3N1903 Superticies Sphaera, 8 R Q =
= F. 43989667
== 0. 4745TT33

## Folio 877 — 851387705:0897
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000897.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
A
PFOD. XXVI. DeCalculo Contri Gravitatis.
Casits II.
a =-0. 8 a = 0. 64 a = = + = a2 = 0. 36 a =0. 6
b = 0. 6 B =0. 36 B = + = B =0. 64 B = 0. 8
a - B =B - a2 = 0, 28 V: a = b : =0. 5292502 +
4 + 2a = 5. 28 40 + 2a4 = 3. 168
SDDSP = 4 + 2a - a R Q = L. 6587609 +
SSpSSF(= 2SDDSP) =3. 3τ75218.f
S5B = 2SDB(= BBP =SDDSP) =0. 4356342-
SDB = 0, 2Y7 8E7X L
4+ 203 = 4. 72 4a + 203a -
76
BSSB= = = a R R = F, 9771090 +
S8P(=BBP - B8SB) = 0. LV, 2867 +
DBSD (=BDDSP - S5P. -B55B. 250B) = 1. 5424 748
4+28= 5. 28. 46 +28b = 3. 168
nersium BE. L.B = Z + 2B7 R9 = F. 658,609. +
trestei
F L P (= BBP -BL FB) =0. 4356342. = 11. 1
LSSF. (=B5SB. BCLB)--0. 3183481-
R =- 0. 75 Sinus Ang. EP. 48. 35, 4229 =
TC
0. 539893+
2, 0000000Q= c
0. 539893F511.
R =0. 75 Sinus ANS. B1 48. 35, 4323= 7, 00000002 = d8.
aB = 0. 64
1: a2 = B2:
2R = 0. 8267073 = Sinus AnS. 8r. 55, 46, 26821
0. 6196793
F. 000000O= d.
6=0.539893F  ==0. 535893Y  =06796793
6b - 21 = 3. 168 6b0 - 265 = 1. 7103814. 40 = 2. 4787172
6 3 B2
4
= - BCR= B= 0. 8955536).6.
24 a 2Q = 0, 8955536 ( = Tucersexment. DFFD, = 2. 2485575.
+3C R28 L +. 2978533
R28
= - 2. 094395F
= aB R V: a - B: = 9. 253992F
salrem F. 24856 proxime.
Frusti Sphae- 5Major, FSPSF, (=SDDSP F DFFD) -- 2, 9073184
rici, POrtiOL MINOE ESPSF, (=SDDSP= DFFD,) = 0. 4102034
2LF DB(=BL. J. B- DEFD) =0. 4. 102034
L. FDB - O, 205TO7
2SFL (=ETP-FSPSF =ESDB ZLFDB) =0. 0254308
SFL. = 0, 0127254
Acque ad eandem Forman procedendum erit in alis casibus quibu scungile, proyt
alii acque alii ralores ponuneur datarum magnicudinum a ec b.
Inrentis aurem (pro calibus alsignatis quibutris) Porrionibus Frusti Spharici:
habentur correspondentes portiones Frusti Sphaeroideos, ductis singulis inf; gux
cunque Fuerit ea ratio, Axis Spharocideos ad Diametrum SphaerX; (BB ad BB, vet
CB ad CB= C P, vel C.s = K ~ ad CD = R F =HS Cosinum dati DS, in
Circulo Radii CP;) quam appellamus, fad r.
STTET:
F18. 194.
295, 190
1973 198.
PR O

## Folio 878 — 851387705:0898
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000898.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
 Cuamorr Cetcididudis.
Cap. V
P ROP. XXVII.
A. B. Figura spHalIS (linea Spirali a principio Orta, et recta contermina,
terminata) est contermini Sectoris Priens: Toties repetitis omni-
busu quoties iterato describuntur.
Sumprisque anoulis AMI T, A M P, ec. arichmetice proportionalibus;
E Figura Spiralis primo conreniens ponatur F; eadem per duos con-
FInUata CFIE B; DEF FrCS, 27; Per quatuOr, 64; e sic deincCPS,
lecundum numeros cubos continue seguentes.
Pocaque fgura circulationis primae, est contermini circuli primi Fri-
ens; e, duarum circulationum (repetito quod in secunda iterato
describitur, quod ubique intelligendum est,) ejusdem Circuli primi
Octo trientes; Trium Circulationum, ejuldem Vixinti septem Tri-
ences, (seu corius Noncuplum;) Suacuor Circulationum, ejusdem
Sexaginta quatuor Frientes, et sic deinceps.
Ft, universaliter, (polico R procirculiprimi Radio; P, pro ejusdem
peripheria; ansulique circulationis quonsque libet continuatae pa-
tione ad quatuor rectos; vel correspondentis arcus circuli Primi, ad
inceoram ejus Peripheriam; ut à 2d P:) Fieurx Spirales sic
descriprae srepetitis toties omnibus quories deseribuntur) Magnitudo est
522
Adeoque, qua continuis Circulationum aneulis equalibus conveniunt
fourx Spirales, sunt ut numerorum cuborum continue sequentium
On 2, 8, 279649 T25, EC. differentia; 2, 7, 29, 37, 62, ec.
Et speciatim quod Circulatione Prima describitur, est contermini Cir-
culi primi Friens; quod secunda, ejusdem Primi Circuli Septem
trientes; quod Tertia, ejusdem Prientes Novendecim; quod Duar-
ta, ejuldem Frientes Frisinta septem; quod Oninra, ejusdem Iri-
entes nus et sexaginta. Fit sic deinceps.
Figurx Spiralis (a Principio orCX) quousque libet concinuatae, cories
repecitis omnibus quoties iterato describuntur: (positospro linu
recto anguli circulationis, ad Ractium R; ex pro sinu complemen-
ti; iploques, pro Semicirculis secundo, quarto, (exto, Octaro, Cx
cerisque in locis paribus, per contrarium signum semper expolito,
urpore ad concrarias diametri partes posito:) Momencum respectu
RECtR PMP, est a R = 65R =6av R - a P + 3ais  + a v; Cenrrique
22aR + Z25F = +2aVR 2a  +6a5R = 2~VR
Et quidem vel ad partes P. vel ad parres C, prouc sienum F, vet
Pravaluerie.
H. EiusquE MOmEnCUm respecta rectX F. MC,
v  + 32 P. = bas Re -3a v + asR. Cenerique eravicatis inde di-
Rtantia,
22VR1 = 6a 2 R3 - + 245P3 =6a 2 V R 2 + 2 a35 
vel ad partes P, rel ad parces F. prout sienum F, vel -, praeralue
2
2

## Folio 879 — 851387705:0899
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000899.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
PFOD. XXVII. De Calculo Centri Cravitatis.
EE spcciatim, Circulationis Onadrantalis, Unius; Masnieudo,  RZ.
RELDECtUPMF, verLIS E, momentuum, =32 R f X . ∞:
= 768R3 = 24 R3 ∞2
334R96R. P f R X
292~3
1623 ; distaneia F.
=: RCSPECtHEME, vertuS P, ma
768R = EO2R. D + 2X2∞.
Duarum; Magnitudo, ea RP = as P P: ResPeCtU PMF, vertuS F, momen
24 3 = R3∞
Eum-
248 i distantia, = +8 R a = 2 R2∞:
F
=: RCSDeCHEMCI,
VErTUS F, mOmentu = 16R + Ra
i distancia, = 202  + 12  p.
423
Frium; Magnitudo, ,  RP = 28 RP: ReSPECUPMI F, vOxTISC, momen.
25615 + 72. R2
cum =32 R + 9 R X.
2673=idistantia,
=: ResPeCtUEMO, vexIuS
F, momentum = +28 R = 96 R3 P f 9 R3 P
64. 23
distantia
768 R3 - 576 R a P F 54 R 2Z3
D
P
Ouatuor; Maenicudo, si R P = 5 RP: ResPeCtu PME, vertus C, BO. D
mentum, . 63 = R3∞2
28= =; dictaneia, - +2. R  + 2 R. p2
∞:
6 R3
EMC, versus P, momentum =; distantia,
2
: Respectu F.
ee
Ouingue; Mtagnitudo, 1BE R P: RespeCtUPMF, rertus F, momentum,
=32R6 + 25 R + P:
2623
768 R5 +600R3
F25  a
vertus P, momentum, 384 R  = 480 R3 P + 125 R3 8.
268 R3 = 060 R+~ + 250R 293
Aeque in reliquis similiter.
592 ∞
 distantia,
Adeoque; Secunda, Maenicudo, sor R P: RCsDECtU PMF, versuS
E, momeneum,
06R 6 = 48 R3 P = 3 Ra ∞2 F 2 R3 ∞3
4823
768 R3 = 384  . P = 24. R3 P2 + 16 R2 ∞3
F, momentum,
 diltantia
=: RespeCtU FM C, versuS, L.
=384 R = 96 . P + 48 R. D + R: P3
19223
768 R3 = Z92 R. P + 96 N P2 = 2 R2 ∞3
i distantia,
Ferrix; Magnitudo, sB RP: ResPeCUPME, vertuS C, momentum,
96X5- 48 R5~ + 27 R 4 D2 = 2 R3∞3
182
i diltantia.
768R3 = 384 R+ D + 2+6R3 P2 = 16R283
102
Tus F, momentum
: Respectu F MG, Ver
128 X - 96 . P = 16R. ∞ 2 + 9R3 7
64
B
D3
30d_, =576 81 8 96 X. f + 34 . 8
als 1 s.
OUarta:

## Folio 880 — 851387705:0900
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000900.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
De Calcun Cchr Ciravitatis. CaP. V.
D. Ouarra; Magnitudo, set R P: RESPECtU PMF, vertuSC, momentum
5.
96 6 - 96 R5D - 27 R4 ∞ 2 + 26 R3∞3
4823
; distantia,
768R3 - 768 R+∞ = 2+6 R3 D2 + 128 R2∞3
37∞4
: ReSPeCtU L. MG, verSS
P, momentum, = 228R5 - 06 R3 P + 64 R. D2 + 9R. 7:
64 23
= 368 R5 = 576 R + F f. 384 R3D2 + 54 R2∞3
37
 distantia,
Ouinex; Dagnitudo, et R P: ResPeCtU PMF, vertus E, momentum,
= 96R0 = 96R. P + 75Ra P. + 16 R3 p3
48~3
i distantia,
468R3 - 768 R2 F + 600 R3D2 + +2BR283
6F Fa
=: RespectA EMC, ver.
sus P, momentum, 384. R, = 480 R 8 = 192 R a P: + 125 R p
292∞3
cia, 368R. = 060 P. ∞ -384 R P2 + 250 B2 P:
Fx similiter in caeteris.
Da
i cultan.
C. X. Ouaque de Fxura Spiralieradita sune; eacem Solido Sealari Facile Accom.
mOdanEuE.
A CIE MT T Spiralis archimedea; cusus natura haec est: Dum recla quaepiam
FiB. 199, LD UEMA, d SIM SuO M A (quod Circulationis principium vocant) manenté
200.
puncto M it Cenro (quod vocane Principium Spiralis) aequabilicer circumdu-
Eta describit circulum AOO A (quem vocant Circulum primum;) incelligitur
Punctum aliquod L CGubu  Lunct L  
880

## Folio 881 — 851387705:0901
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000901.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
ptI
PFOD. XXVII. DeCalculo Centri Cravitatis.
in circum ducta recta M A aequabiliter promotum, motu hoc compotico spiralem
MYT A describere, (quem vocane Spiralem Prima circulasionis:) Lildlemque 20
moribus continuaris; dum cadem recta MI A, tancundem ad B procracta, hoc est
M AB, sccundo circumducta, deseribic BOOB Ciremum sclundum:; Punctum
199.
fig. 200.
illud Lineans, similiter ab A ad B promoca, describit A F T B Spiralem circulatio.
nis Secundae t lc deinceps, ad cerciam, quarcam, aut etiam plures crculaciones,
quousque libet.
Maniteltum itaque est (ex constructione) rectas MF, respectiris angulis
AMT T, rel arcubus AO, (propier aeguabilem utrobique motum) proportionales
este: Nempe, Duota Bars est Areus AO cocius Peripherix; vet Aneulus AM L,
quaruor rectorum; ea pars cst M T respectira, corius M A: Vel ctiam (lumpra
Ansuli appellacione, laxiori sentu, pro Ansulorum quorlibet ABgregato, quamquam
duos rectos, aut eriam plures, rel aequer, vel superet; Arcusque appellatione, pro
Arcuum ageresaco quoris, eciamsr Luperet incesram Circuli Peripheriam; ut de
Sectoris nomine, pro Sectorum quoctibet Agoregato, ucur incesrum Circulum vel
etiam plures lupereE;) Quam habet rationem AM P Ansulus (lic Cumptus) ad
quatuor rectos; vel correspondens arcus AO, ad peripheriam InCEgram AO A;
eam habet respectira recta M P, ad M A. Ft Sic ubique.
Fit consequener; Si incelligatur Figurae Spirali MI L PM ( curra M F F re
ctague M T, sumpro ubiris T ulcimo, comprehensa) apcari tigura ex similibus
Sectoribus conttata; (quorum commune Centrum sic M, principium Spiralis;)
erunc eorum Radii Arichmerice proporrionales, (puta ut O, 1, 2, 3, 4, eec. Si fixu-
ram inscripiam consideremus; vet ut T, 2, 3, 4, 5, dec. si cireumleripram; aut eti-
am u1 3, F3, 22, 33, 42, ecc. hoc estut 1, 3, 5, 7, 9, etc. si his incermediam, par-
eim inseripiam, parrim circumseripiam; qua omnia, in parcibus intinite exiguis,
cancundem valene ut ad prop. I. hujus ostentum est:) Nempe, ut Series Pri
manorum. Adeoque Sectores ipsi (urpore in duplicata ratione Radiorum,) ut
Series Sccundanorum.
E consequenuer, eorum Aecrexatum ad Aepreeatum roridem maximo aqua
lium; hoc est (per def. T. cap. 4.) M FM Agura Spiralis, ad Sectorem conter-
minum P TM; uEF ad Z; (PeF pEOP. L. hujus:) ubicunque Sumatur P ulLimIIML.
Puta (Dolico ulcimo F in V, ) M F TVM =SMV PM. EL Sic ubique.
Fxspeciarim, Figura Spiralis Primae Circulationis, aequalis Frienci Circuli Pri-
mi: Fcligura Spiralis Duarum Circularionum (bis compurato quod bis deseri-
BIEUE,) aequalis Prienti Circuli Secundi bis Tumpri (ut qui Radio maximo bis
circumducto bis deseribitur:) Pixura Spiralis Prium Circulacionum (a principio
TEEEF
termipex
b.

## Folio 882 — 851387705:0902
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000902.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Cia P. V
De Calculo Centri Cravitatis.
Fis. 299 semper ordiendo,) Totres compurando quamlibet parrem quories iterato descrihi-
Tur (quippe quod pruna ceuatione deleribitur, id in secunda repetitur: EOFM
que hoc, intercia; ee lic deinceps;) aequalis Prienti Circuli Tercii ter Tumpri
(upore qui a Radio maximo, ter circumducto, ter deseribitur:
Felic semper, uvicunque eandem terminetur (sive in ablolutx alicujus Circu
lacionis termino, sire loco quoris intermedio:) Nempe, Fisuram Spiralem, Tri
entem esse Sectoris contermini, tories repetitis omnibus quories ca iterato deseri-
buncur, sire a Radiis crescentibus intra Spiralem, sive d Radio maximo in conter-
mino Sectore.
Sumptis igitur, ad idem Mpunctum, (a Principio Circulationis ordiendo,) an-
gulis continuis quorliber aequalibus, (cujuscunque magnicudinis,) ut P MI, EN 2,
2M3, 3M 4, ecc. quae (a Spiralis Principio or(X) huc perringunt Pigura Spi
rales; (pUTA M L M, M Z ZBI, MI F23MI, MI F23 4 MI, ecc.) TUNE UE 2, 8, 277
64. ecc. numeri cubi continue sequentes; Tire ut Series Tercianorum. Cum enim
(per iplam spiralis constructionem) Racii M F, M 2, NI 3, ecc. line arichmetice
proportionales, seu ut Series Primanorum; puta uEa, 2 a, 3a, _c. adeoque Secto-
res similes ad hos Racios (vrpore in Radiorum rarione duplicata,) ut a2, 4 a 2
Da2 ec. Series Sccundanorum: Frunc (propter iplos Sectorum ansulos arictime
rice proportionales, limiliter cxescentes Uta, 2 a, 3 a, _C.) SCCtORES MI FP, NI 2 P
M3 P, _C. ut a 3, 8a 3 27 a3, c. (nempe in ca ratione qux componitur ex rationé
Ansulorum, ex ex duplicaca rarione Radiorum,) qua ell uc series Percianorum
Adeoque d Conterminae LigurX SpiTaleS, M LMI, M L 2 MI, ML X 2 3MI, ec. (utporC
Sectorum illorum Friences, ur modo oltentum ett,) ut 3 a 342 27a, ecc. leries
item Terrianorum; Teu ut F, B, 2, ec. numeri cubi.
Fx consequenter; quae his concinuis angulis aequalibus conveniunt Figurae Spi-
ralis POrtIONES; DUTa MI L M, LM 2, 2M 3, 3M4, _CC. Ut 1, 7, 2O, 37, _c. Cy-
borum 0, 2, 8, 27, 64, ec. differentiae. (Oux omnia in nostra srithmetica Infi-
nitorum, tulius expoluimus; praesertu a prop. 24. ad prov. 38.
BC, speciarim, tumpris Angulis rectis PME, EMF, FHO, GMA, AMEI
AIMI, LMR, RMB, BMC, Sc. Polita tigura Spirali NIPEM = F, eruni
MTH FM = 8, MI TE FOM = 27, MTEFGA N = 64, ecc. Cum itaque
tIE M I F. FC AM iriens circuliprimi, (. uc jam oltentum ct;) hoc est, (volito
Circuli Pruni Racho M s a Pelipea AO A = P, adeoque iplo circulo
6X 2
3B4 R L 11n, qUa SIII, ANId = 3a R P ;
Et RD; qua SCM, TM IE = 34 R P3
qua Oclavo, RNB =  AL; guX NOnO, BNL. = 3A RP:
e lic deimceps, quousque libec, in ratione diffetenriatum numerorum Cuborum
concinue sequentium.
DeS, CaICMal Duad BlaeITOS, PMIF, F. M C, Se mucuo in M decustantes exi.
demus; carum momenca hacum respectu, adeoque Ceurrorum fravicatis ab hus di.
Panchis, inquicendo. EC prio quidem respectu iptius PM F.
00.
in binis primoribus) JeS R P = 8 RP ; qua Seprem quadrantibus (rePetitO quod
cxarin cribus primoribus) 34 RP; qua quadrantibus Octo; hoc est, binis Circulario-
(refectuis quae tuerant prius descripta, d quidem coties quocies descripia fuerant,
Drimo, AO A = = RP,) Figura Spiralis primae Circulationis M P F LG AM =
AD = S AP: Frir quae primo quadranti conreni tigura Spiralis ze RP; quae
Duobus seu  P = ab PP; quae PribuS, ot RP = 2E RP; qua Ouatuor (hoc est
Ligura Spiralis Primae Circulationis.) s RP =SRP; quae Ouadrancibus Ouinque
lrepecito quod erat in primo) 33 PP; qua sex quadrantibus (repetiro quod crat
nibus, (revetico, quod erat in prima) 3 RP ==3 RP: qux Norem quadrancibus
S = F 228.R P ; eg lC demcers quolude opus eric. Nempes univertalicer, in
ea ratione ad SRP, (crientem circuli primi, ) qua cst a 3 ad P3, seu r3 ad R3. Puta
quae secundo, L. B P = 3b2  L . Al Lertio, F M G, = 3 R D
qua CMareO, GM A=
quae Sexto, HMI =
Adcoque, quae Primo quadranei convenie, NI P F. M = , l RZ
Eis ita de Fisurarum maxnicuume conte, Guo C StavICalIS deLexMI
Sune

## Folio 883 — 851387705:0903
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000903.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
liop. VII. SeCascuoamtcor
Sune aucem (ue jam ostentum est.) cimilium Sectorum intinice exiguorum (cx Fis. 199-
quibus contlari incelligicur Fisura Spiralis) Radii, ut cocidem an Arcus vel Anguli 203
arichmerice proportionales; adeoque Sectores ipli, uc toridem a, cotum Ouadrata.
Sed et eorum Cencra Praricatis R in Sectoris cujusque medio Racto hiliier Licam
utpore quae iplius Beste (seu duobus criencibus) ab
M distane (propter arcuum intinite exisuorum quam
Suxponimus cum chordis coincidentiam; laltem, 1a-
tionem intinite- exisuam;) Per prop. L4. hujus.
Ec propcerea illorum a PMF diltanciae L5, (Hs, 200.)
Tunt in ratione sinuum rectorum, areuum seu angu.
lorum arichmecice proportionalium, ad Radios icen
(M R) arichmerice proporcionales; Duca UtaS; HOC
elt in rarione quae componicur ex slinuum angulo-
rum axichmecice proportionalium, et a radiorum li-
militer in proportione arithmetica crelcentium.
(Neguis aurem haereat, eo quod non sic idem an
SuIuS PMR (cui conrenit RS,) qui ell Sectoris
PML Z, (PTOPter rectam M R P per medium Sectoris
ZM X incedentem:) Id nihili res est. Ouippe; li
Donantur anguli PMI Y, UE E, 2, 3, 4, _C. CrinE an.
BuLI PMR, ICW PM F, 11Z, Z2, 25, 32, dc. OuX
in parcibus innumeris, intinite exiguis, cancundend
valent. Vc ad prop. F. hujus, ostensum elt.)
FxUNE itaquC COrUM, respeCtu ipSIUS PMIF, MO-
mentorum ratiO (UIPOTC ex ratione magnicudinm
a2, e diltanciarum a s, compolica,) uc as; hoc
elt, ut a Series Terrianorum (seu cuborum quan-
ricatum axichmetice proporrionalium) in s respecti
vos Sinus rectos arcuum seu angulorum arichmetice
proporrionalium. (Perinde aurem elt, Momentum
quod spectat, sire Donantur Pondera a 2 in dictanciis
asy live Pondera a in distanciis s; quippe urobique
NOmenta CruHE a 35.) Et quidem, pro duobus qua-
drancibus primoribus, 2d (ipsIuS P MI F) ParteS F
quam Ponderationem Ligno L detignabimus; pro
duobus sequentibus, ad Partes concrarias, hoc elt ad
G, (Dropter quancitates ipsas, ad conrrarias rectae
PMF partes, POTItaS,) quam Ponderationem Signo
delignabimus. Ft similicer in quadrantibus se-
quentibus faciendum erit, prour, ad illas rel istas
parces ponantur: Nempe, proquadrantibus Duinto
e Sexio, ponendum lignum F; pro Seprimo ee
Octaro, tignum -: et lic deinceps (alternatim) duo.
bus intermissis.
Ouod cantundem est atque ( cotidem BV (ip(IS 5
proportionales) complentestiguram Sinuum Recto.
Fumarr (fig. 170.) rel l quae candem aliquories
repecitam extribet) Mo FVAvP (fi3. 2OF.) quousque
ODus erit continuandam, (ad alteras atque alteras
iPLINS MF A T partes politam, prout iptius tigurae
Spiralis licus poltulat;) onerencur respectiris a, in
eriplicata ratione luarum ab MI distanciarum, arich.
merice provorrionalium; hoc eA, serie Fertianorum.
Sive (quod tancundem est, proxter dictantias M
=an) ut Momencum (respectu ipsius M P tiG. 2OF.)
omnium a 25; hoc est Omnium BV ==S, selpe
ctiris a onultarum. (Signis f - rire considera.
5.
HIOC elt, DeF PEOP. FO. hujus, ut Aecresatum
omnium a Si l’ulgue ad a masimum) rories sump.
PEEEL2
altaltus
Fig. 201

## Folio 884 — 851387705:0904
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000904.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
De Calculo Centri Crravitatis. Cap. 1.
Eis. 201. CI (hoc est in a ductum;) dempris Omnibus Aecresaris ejulmodi usque ad re-
spectiros a arithmetice proportionales.
Estantem illud Sscreeatum Omn. a2 5, = - - a  R 2 f 2 a5 R 2 = a 2 V R-
2V R3, per 5O. prop. 29. Nempe, Insulae a B0 Fi3. 170. aciem habentis A a, mO-
mencum respectu Ra; cui relponder, in nostro calu, Ingulae M BVtig. 201. aciem
habentis PMI, Momencum respectu PM. ) Adeoque illud cories sumprum, hoc est,
in a =M B ductum, est - a 3 R2 + 2 a 25 R 2  a 3V R = 2 a V R3
Ouod quo rire intelligatur, contiderandum est; per s, incellisendum esse linum
rectum arcui a B fig. 270. hoc cA M B tis. 2Or. conrenientem; hoc cst, iplam BV
rectam; qua incerpretanda erir attirmacire vel nesative, prour citra vel ultra
M F A jaccat: Sieur de in ipso circulo Sinus Recti in contrariis semicireulis, con-
crariis signis aftici incelligantur; urpote ad contrarias diametri parres poliri: Trem
per V intellisendum este Sinum verlum arcui aB tig. 270. hoc est, MB AG. 2OF.
conrenientem. Si aurem B lumatur cura F; adeoque in primo Semicireulo; ni
hil cst quo quis haereat; (quippe hoc Caepius ostenlum cst, in proP. F7, de tigura
Sinnum Rectorum a rn fg. 179.) Si vero ulera P qui terminus est primi Semicie-
culi (cui convenit linus vertus v = 2 R, _ Sinus Rectus s=0) lumatur B;
(quod tancundem est acque s in Fg. 259. Post abtolutum semicirculum AD a, COn-
tinuandus csfer arcus, ulera a in Semicirculo oppotico, Turtum, versus A, Puta
ADaB,) Sinus Rectus contrario Signo alticiendus ellet; et decrelceret Sinus ver-
Tus (Tubducto ex 2 R, quancum eler linus vertus conrinuati areus aB, atia incho.
andus;) ulque dum, absoluro secundo Semicirculo, ad A tig. 169. Perrencum
tuerit, cranescence cum Sinu Recto, lecunda vice, in s=0, tum Sinu verso in
2R = 2 R = = 0. Sin porro procedatur, ultra circulum integrum, ad terrium
Semicirculum; ibidem Sinus Rectus ACtirmatire interprecandus erit, ee crelcet ite-
rum Sinus Verlus; Omi in quarto iterum decrescet, e Sinus Rectus nerative in-
cerprecandus: Et sic porro, alcernis vicibus. Ouippe eadem recta AV tig. 169
=Aa - a V = Aa - ∞ A F AV, ecc.) CM sinus vertus, cum AreuS AB, tum
Crelidui ad Circulum incegrum) AD aB, auc etiam (ulira Circulum concinuari
ADaBA B: TTeM arCUS A B, TinuS V B =s aftirmatire interpretandus, arcusque
ABaB, LinuS OppOSItS VD = -s negatire interpretandus; iterumque AreuS
AB. aD AB, sinus VYB = s; et Areus ABa. B ABa B, CinuS VB = - 5: FL Sic de-
inceps, si ad plures intcgros circuitus procedendum exit.
POrTO; PrOPIeT Aesresatum Omn. a S, = = a 2 R2 = 2a 5 R 2. = a 2 V R - 2VR
(utmodo oltensum est;) crunt Omn. Aecrecata a 2 5, ==Omn. = a = R2 = 2a5R
= a  v R = 2V R3; sumptis a arichmetice proportionalibus ulque ad a maximum,
noc cstMB
Sune aurem Omn. a 2 = Z a DeF pFOP. L. HujuS; FVBO, Omn. =a R, = - 2 a R
EF Omn. a5 = = e R = f a VR, per SO. PFOP. T7. (est urique Trilinei a B0
ti8. 270. momentum respectu Aay) FrGO, Omn. 2 a 5 R 2; = - 2 C R 2 = 2. a V R.
Et Omn. a2 V, = - 2 C R3 + 2 a V R 2 = Za3 R - a S R, Per S L. PrOB. 19
Nempe Ongula ABIE H3. 170. aciem habentis Aa, momentum respectu A~.
FrBO, Omn. a  VR, = = 20 R a + 2. a V R3 = 3 a 3 R 2 = a 2 5R =
EE Omn. V
=eR, per SB. prOP. 17. CF.lL urique Trilineum AbK H5. 270.)
ErSO, Omn. = 2. VR
a
FrCO, Omn. Aerecat. a2 S, = Omn. = a 2 R2 + 2 a 5 R 2 + a = VR = 2 V R3
=2C R a = 2 aV R3 = 2 C R a + 2a V R3 + 3a R = 42 5R2-
2CR4 = = 6CR + 4a DR3 = a 2 5R 2
Arque hoc demum subductum ex, Aesresat. a s, in a maximum, = - a3 R
F 2a2sR2 = a v R = 2a V R3; relinquit Omn. a3 5: = 6C R - 6 a V R 3 -
a3R2 + 3 tu da.
Fje. 199, Cum itaque singulorum Sectorum exiguorum Angulus siE, rexbi gratia, intini-
retima pars quacuor rectorum; cui respondeac. in Circulo primo, areus T = ∞ P:
adeoque in siis P F peripheriis conterminis, + = = Z; (DOTO a pro areu cir-
cuili primi qui respondene aneulo PM Y;) et propterea eorum magnicudines
GAE
884
00.

## Folio 885 — 851387705:0905
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000905.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
PFOD.XXVII. DeCalculo Centri Ceravitatis.
Finc = Er (sumpris cum Fcumr arictumetice proportionalibus; LInEquC CenEOTUI Fi5. 199
Gravicacis ab M distantiae R M = Zr; adeoque corundem a PM F diltancia (uc. 200.
Docc ad RM, ut Sinus Rectus anguli P M R ad RactiuM, Leu uC S ad R, ) RS =
Xi adeoque corum respectu PM momenta LIY X q R
3X (cumpriscum
t, Tumr, arithmerice proportionalibus, ipsilque spro linubus rectis arcuum arirs.
metice proportionalium ad Radium R; ) adeoque (ut prius etiam, oltensum est
in ratione iptorum a3S: Si, pro Omnibus a s, = 60 A1 = 6aV R3 = a R 1
3a 25 R~ = a 3 VR, Substicuaneur Focidem  
6C+r2R3 = 6aV+r 2 P 2 = a3 tr 2 R = 3a = 5Tr 2 R = a3 v17
xe Spiralis, quoulque libet concinuatae, (cujus Raclius ulcimus MI Y = 1,) momen-
cum respectu recta PM F, (tories compucata parce qualibet quocies iceraio deleri-
bicur,) e quidem vel ad parces E, ret ad partes C; Prour signum  auc = PEX
valeat. Aut etiam, (PrOPter + = ∞,
6er2 R3 (= 6a2 P - 6st R) - Cavr  = a re R + 3a s12 R + a vr Y: Vet
3a24
(Propier eandem ubique rationem rad a, quae est R ad P; ulpote in cadem ra-
tione semper crescentibusr et a donec perreniatur illic ad R, hic ad P, in termino
primi cireuti;) 6a R - 65 R. = bav N - a P + 3 a s R + a v R 7: Vel (nectecto
T: quipue dum P Donitur pro ∞ P, intinicelima parte ip(ius Z, e P pro carun-
dem in  linea parcium numero; tancundem eric DF, acque ipla ~ Linca;)
6a R3 = 65 R3 = 6a V R 2 = a 3 R23 = 3 a 2 5 R3 + a 3 ∞ R2
Sune aurem, ut ex praedictis patet, singulorum sectorum exisuorum maeni-
2∞ ileu 3∞, , (propter r =  R.) Adeoque omni.
Eudines, Etr; hoc eltus
R2
um summa = ∞ : ret  Curpore ad maximum coties sumprum, ut L ad 3:
PeT BrOP. F. hujus.). Nempe in ca ratione ad 3 R ~ Z vet (neslecto Y) ad 5 R~
erienrem circuli primi, seu tiguram spiralem primae circulationis,) ut a3, 2d ∞3
seu utr 3 ad R3; hoc eltu ut Cubus Radii terminalis MT, ae Cubum M A radii
circuli primi.
Per hanc ilaque Magnicudinem, si diricamus Momentum modo craditum; ha-
Debitur
Ceneri graricatis Fi.
surxe Spiralis (quousque libet concinuacae) M P T (cocies compuais sinoulis
parcibus quories iterato describuntur) distancia a recta PM P; ec quidem vel ad
partes F. vel ad partes Cin (sire Momenta spectemus, lire diltantiam Cencri grari-
tatis,) prout signum F vel = pravaluerit.
Nocandum interim (ne haec perperam incelligantur) in semicirculationibus se-
cunda quarta, sexta, (reliquisque in locis paribus,) pro Momencis his acque Di-
stantiis restimandis, linum snegacire incerpretandum esse; urpote, in his lemicir-
culis, ad concrarias Diametri parces polium: Adeoque ita exponendum, acque si
concrario ubique ligno afticeretur. Quod et ante intinuatum est.
Et quidem, pro integris Circulationibus absolutis, (propter cum s=0, cum F
v = 0, in sine cujusque cicculacionis, ) Magnicudines crunc,  ; Momen.
Ia retpectu PM F (nexlecto T, ob caulam modto dictam) 5a P. - a’ P (corieo
repecicis omnibus quories iceraco deteribuntur;) dictancixe cencrorum gravicais a
PEEEES
PMF

## Folio 886 — 851387705:0906
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000906.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
f18. 199. PNF vertus F
De Calculo Centri Ceravitatis. C ap. V.
2 a2R
i Focest, (propter lienum =, prevalens; cs
urique, hoc casu, a2 semper plus quam 6 R 2; non porest enim a in fine circulacio.
nis, minor eltè quam Z;) diltantix a P MF vertis C, = 2 2 R  = 2 a 2 X
quibus omnibus, exponetur a in tine Circulationis Prinme, per X; intine secunda,
Per 2P; Terria, per 3P; et lic deinceps.
Pro Circulationibus Dimidiis, quae incegram Circulationem non cerminant;
(puran pro una, cribus, quinque, eC.) propter s=O, _E V = 2 R; CTUNE MaBMI-
rudines (uE prius) ∞ 2; MOmentA reSpECtU PMF = Ca R + a
PME VerTISF,  (2 R+ F 2a2 R
3
. In quibus exponetur a, in fine Semieir.
culationis prima, Per LP; TerFIX, per 3 D; quinIX, per 3X; et Sic deinceps. A.
deoquelignum F, in hoc calu, semper praeralet: proprer Ouadratum, Semiperi-
etie
Pro Circulationibus Ouadrantalibus, qux Semicirculationem non terminant,
(puta, pro prima, terria, quinta, _c.) PFOPTer cum S= R, proprima, quinta, no-
na, _c. Seds= - R, procerria, Seprima, undecima, ecc. tum v = R in omni-
bus: magnicudiues crune (uc pcillo) S. iMOmentA respeCtuPME, =  = 3a R
=2 R. + == Pa; distantIA A PHIE, vertus F, == 12 R, + Ba= R; nempe
pro prima, quinta, nona, ecc.. In quibus exponetur a, in tine Ouadrantis primis
Per =D; quinci, per ZP; noni PerZP; et lic deinceps. Fc Signum F, Praeva-
lec: Propter quadrarum Arcus Quadrantalis, majus quam Duo quadrata Racii. Sed,
pro tertia, seprima, undecima, etc. (proprer scontrario lieno exponendum,
seu s = = R,) Momenca erunc. + 6 Xo - 3 a 2 P
F+2R3 -6a 2R
3
2X7-
∞3 R; Dictancia,
; adeoque (PrOPIeT a, interprecandum Bes, 3 P, 3 P, 3 P, C.)
signum = praeralebit; cruntque tum Momenta, cum Distantia, versus C.
Sin libeac singulos quadrantes Peortum perpendere, (non, ue hactenus, incho.
audo à princixio, omniaque cories reperendo quories iveraco deseribunur;) illud
lic tier.
DePrimo quadrante, M F F. MI, jam ostensum est, magnicudinem cAc  ∞ 2, hoc
est (PrOPIeT a = 4 2,)  _s R P; MOmentTUM Respectu PMF,
32R + Rrp
26P; distancia centri pravicaris d PMF vertuSF,
=768_3 + 24 _ ∞
2 R 5 = a2 Ra
124 +6a 
Magnicudo Primae Semicirculationis, NP L. F. MI, eA = i HOC C (PrOpter  P, d
s AP: Momentum respectu PMIE.
versus F, . 48 nt 2 P. p.
6a  F a R - 24 R3  R2 D2
248.i diltantia
Ex hujus itaque Momento, si subducatur Momencum primi quadrantis,
32 R5 = R+ ∞
2623
spectu PMF.
i Habetur Onadraniis secundi M E. FM, Momentum re-
96 N = ab ex- 9 P. p. + 2 p. P
i Adeoque propter mS
nicudinem
88C

## Folio 887 — 851387705:0907
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000907.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
PFOP. XXVII. DeCalculo Centri Cravitatis.
nicudinem (S D. cradicam) b R P; Dictancia centri gravicaris d PME ver(uSE, Fis. 199.
768 R3 - 384 p + P - 24 R3 P2 + 16 R2∞3
200.
Magnicudo Frium quadrancalium cir culationum, NI Y F P C MI, 5 p - = e _P,
(PTOPEEF a = 3~; ) NOEnEUM FEsDectu PMF, 2 N -a R 32 R5 = 9R 
20~3 =; Cad.
∞3
eoque versus c;, propte praevalenciam lieni -; hoc elt, revera, - 32  + 9 R p2
16~3
(propcer tienum = peaeralens, ) rertus C, = (2 R. + 6a P - 256R + 72 R. 
DP4
Ex hujus memenco, i subulucacur momentum prinmae semicicculationis 2+ P. L. P P
32
Flaberur momentum Tercie quadancalio WIFCMI, D6 L. L 4B R. P 37 f p 2 M p
487:
Adcoque propiex magnicudinem (BD. craclicam), 2. P P: Dictancia Centri gravicaris
APME vertus F, 768(7 +364417- 216X P 16 X. 2
19∞4
= 768R3 - 384 R 2 P + 216 R. 22 + 26R2 83
e
20∞4
; hoc estrerera, VextusC,
Maenicudo inceerae Cicculacionis prima, NIFEF CAM, ∞, = EP LPEOPIer a =
P. Momencum respeCtuL PHF, Bates = ad R  63 - p. P,
3.
2
3∞2
:Distancia Cercri Bra.
vicatis a P M F versus F, 22 = 2a  12 R = 2X P.
+C a 2
+
5 Z
valentiam tigni -, C vertus , 22 A  + 2. R2 ∞.
Ex Aujus Momenco; s Sublucacur Momencum ciiculacionis Dodrancalis
32R F9f 
15∞,; Tlabetur Guadrancalis GuATTA NE AM Momentum reSpeCtU PME
96 R + 96. P P + 27 L - 26. R. P
Msisto.
48~3 oluoo 3 m: de (propree magnicudinem A R P, ) Distancia
et
Cenci eravicuis a PHE vertub B, - 168 ~. 4. 16B E P 4 2 26 R. X - 1 2B R .
ABEEI BS CSISIS
est (rerera) verlus C,
= : HOC
58 - 768 216  + 128  por 1a0 atn
37P
Noericudo Ouingue, Duadtanalium NITFECAIIAI S  = E R P, Cpapter
-2R L a R L32R + 25 R12
16F3; Distancia
Cencri praricaris a PMIF,  22  +. 6u  = 768R + 600 X p.
Ya34
2t c725 Pa, 101
vensust.
Ex hujus Momenco, s. Subelucacur momencum Primae Ciceutation s, S . - P. p.
∞2
FTabetur Momentum Ouagrancatis Ouinea, NI A FTNT, LV LO9 2SC: 1MIICIEO
06 R5 L 96 R3D L i  P4 D2 f XB R3 ∞3
Ia M ito at 4883
: Ec (propter magnicudinem  RP;)
Ditenia ccui oariuio n Brtie s eti. pe. oe e 10d eet saose t uose o
FE GC deinceps, quousque libet.
AIGuE
7

## Folio 888 — 851387705:0908
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000908.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
fii8. 199. Alque eadem opera determinarimus cum Magnicudinem, tum Momentum et
Centri graritatis ab erecto super reCtam P MI F plano diltantiam, Solidi Scalaris,
Super Lisuram Spiralem T Y M obliquo licu alcendentem politi, candem ubique
habenris alcicudinem (quamlibet) supra oblique alcendenrem liguram Spiralem:
quae quidem alticudo sic etiam cujulris puncti in sequenti qualibet circulatione
diltantia a subjecto proxime praecedencis Circulationis puncto.
Ouippe ad hoc nihil aliud requiritur, quam ut 7 (quae pro intiniretima parte
Peripherix circuli primi habebatur, adeoque neglisi porerat,) jam habeatur pro
illa quancalibet Alcicudine; in Solidi cum Magnicudine cum Momento aestimando:
Distancia vero Ceneri Pravicatis d plano PM F, eadem hic eric jux prius Crat 2
PME recta.
Si aurem Solidum hoc uceunque Fruneatum intellisatur; vel superne, ne ad
Mapicem pertinsat; vel interne, puta quo balem planam Forizontalem habeat:
vel alias quomodolibet: non erir distieile, pramilla rite perpendentibus, ampu-
cari rationem habere; quodque inde oritur discriminis lire in Magnicudine, lire
in Nomenco, ee Cencri grariratis diltantia.
Vel eriam si pro eadem (quam hie ponimus) Alcicudine, aue Circulationum
incerrallo, (unde continuo mutabirur accliriras alcendentis plani) eandem veli-
mus retentam accliritarem, (unde rariabitur alticudo, quae pro decrescentibus cir-
culis concinuo decrescet;) limili procellu habebitur cum Solidi Magnicudo, cum
Momentum, Centrigue graricaris à P M F plano diltantia: Sed Calculo paulo acdt.
huc intricatiori, Bropter novam adhue cum careris componendam rationem, pro
rariata alcicudine. Verum omnia sigillatim prosequi muhi non cst in anmO, ne
nimius sim. Ad figuram icaque spiralem receo.
Seaurem ejusdem MLTFNI tigurx Spiralis Momentum (quod hactenus ad
PMF rectam expendimus,) ad rectam P. M Ci expendamus: considerandum est,
Centrorum graritatis Sectorum exixuorum diltantias ab R. M CY, esse ipsOS R X
(f8. 200.) linus Complemenci carundem arcuum quorum Sinus recti sunt RS; (acquo
ad eoldem radios RM continue crescentes in proxortione arichmetica:) puta ut
ax; (policis x pro linibus complementi, iptis sretpondentibus: hoc elt, DrO V C.
Sinibus Complementi arcuum AB, tig. 169. quorum Sinus recti lunt BV.
Adeoque (propier magnicudines, ut supra dictum est, ut a 2,) momenta relpe-
Etu rectae R. MIG, CrUNE UE a 3 X (= a 2 Xa N:) Hoc elt, ut a3 Series Percianorum,
in respectiros x arcuum arichmerice proportionalium Co. sinus seu finus comple.
menti: Hoc elt, in ipsas B. rectas, complentes tiguram s’nr (fig. 270, ) quous
que opuserir concinuandam; H9C, est in ipsas Bu complentes tixuram evevron
Fis. 201. (tis. 20T.) quousque opus est concinuandam; inchoandam aurem, non (uc pri-
uS) ab MF, sed a uv. (Fsturique eadem vB recta, cum Sinus rectus atcus, im
rectam excenti, M B: em Co. sinus atelis, in rectam exren(I, _B.
Nam, uc Sinus s a minimo incipjum sontinue crescendo usque ad quadrancis
tinem; ubi decrescere incipiune: Sic, viee versa, eorundem arcuum Ca sinus a
leu sinus Complementi, a maximo incipiuns continye decrescendo ad tinem ul-
que quadrantis; ubi creseere incipiun, led ad contrarias parres iptius, L VL C
rectae.
Ouxe enim spectane. ad quacrantem Primum, Ouarcum, Ouincum, Octarum.
Nonum, ecc. ponderant ad recta P. M C Fg. L99, 200. Parces P; (quam ponde.
rationem signo + designa:) quae aurem, perrinene ad quacrantem secundum.
Terrium, Sexcum, Seprimum, Decimum, _c. ponderano in partes contratids, hoc
est ad P; (quam ponderationem ligno - designo;) _ SC deinceps, alternatim,
duos interminendo contimios quadrances seu inceseum Semioireulum. ns
Oiem licum imirantuir ixtins fiourx prcorh, c. (Hs. 2OT.) Portiones, ad
alias alque alias rectae u x parres polica.
Ouae quidem eadem est Rigura acquie C. ABK (Hg. 47 0.) quousqué opiis erit
concinuanda: Cujus porriones C A BH, ret C A d b, H, AB, 190. (hoc esti uvvB,
vel urcB, fis. 20T, ubicunque in sinvola curra, pu inchopra, sumaeur, u, pun-
ctum,) considerarimus; ad SB. pFOP. 17. Ostendimusque istiusmodi tigurxe magni
cudinem esses R, aequalem tacto ex respectiri ArCUS P. B (seu Anguti AM I
A8. 199, 200.) Sinu recto, in Radiu ducto; habira mmen, (prout, ad alias, acque
alias tectae parres jaciums tisurx porriones) Sebira signorum f consideratione.
retit ssili Civ  iio diL VC

## Folio 889 — 851387705:0909
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000909.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Ouo itaque habeantur Omnia a 3 V; HoCCll, Omnes _, (seu BV recta Figuram
_ vEV7, _C. ComplentES) respectiris a (serie Pertianorum) onulta: Incellisa
mus, juxra doctrinam prop. 10. hujus, (quam Cepius in auxilium adrocarimus,
Singulas an B, 7, ecc. H15. 135. aequaliter ab invicem remotas, coridem elle respectiras FiB. 135
x rectas; adeoque ipsam AF onustam, scu Omnia, a + B F 7 _c. = Omp. x
=5 R, ut jam oltentum est, Cx S B. pFOP. 17.
Florumque omnium momenta respectu axis A; hoc CH, Omn: a N; TUNE ipL
onustae rectae, AF f BF F CF, ecc. hoc elt, roridem A H, dempris omnitus A B
= AC, _c. HTOC CH, (PrOPrer A F = s R,) cocidem sR ultimis (Teu a sR,
dempris omnibus sR anrccedentibus, pro arcubus arichimerice proporcionalibus
V(que ad a ulcimum.
Sunc aucem (pro aceubusa arichmecice proporcionalibus) omn s, =u R, per
8O. PrOP. X7. (utpotC ipsa aBV F3. 270.) Adeoque Omn. SR, = V R3. HOC
itaque ex as R subducto, habetur a S.R = V R2 = Omn: a v.
1L
Incelligantur deinde eadem an B, 7, _c. Hx. 135. tanquam cocidem aN: adeoque
onuctq recta AB. =Omn. a N, = aS R- V R 2. PTorumque omnium momenta re
spectu iplius A; hoc est Omn. a = N; Func ip (a AF f BF. F CF, Sc. rectae sC
onusta. Hloc est, rocidem AF, (= a7S R  aV RZ,) dempris Omnihus AB F
AC, Ccc. hoc et, omnibus asR = 2 R?, pro arcubus a arithmetiee proporciona.
Libus.) 3.5p0
Sunt autem (pro arenbus a arichmetice proportionalibus) Omn. a5, = - e R 2
+ av _ per SO. PrOP. 27. Curpore momentum ipsius aB.fg. 270. respeCt 1C
ctae Aa;) adeoque Omn. asR, = - e R3 = a V R2.
Tiem Omn. V, = e R, per SB. prop. L7. (uipore iptut A B R crilineum, 1.8.
270.) adeoque Omn. - v R
ErGO, Omn. a s R = v R2: = - 2C R3 + av R - - 2 a R3 + 25R + avse
HIoc itaque, ex a SR = a V R, Tubducto; habetuE Z a R 3 25 R 1 2aV R
 a25R = Omn. a2 X.
Incellisaneur denique eadem a, B, 7, dec. fig. +35. Catigliam coridem a: allloque
onulta recta AH, =Omn. a 2 ∞, = 2 a R3 = 25 R =, 2a V R 2 + a 2 5 R. IIO
rum itagiie omnium momenta respectu axis A, hocCsL, Omn. a X; TunC iI A P.
= BF. F CF, Sc. SCOnultX: FTOC CHL, coridem AF,  (= 24Z R3, = 2as R3 -
2 a 2 V R + as R,) dempris A B f A C, dec. TTOC elt, omnibus, 2 a R 3 = 25R3
2aV R 2.  a = s X, pro arcubus a arichmetice provorrionatibus. P2 13g 15. 11
Sune aucem (pro. a arichmetice provorrionalibus) Omn. an FF ZaV, DEN DEOP. 5.
hujus. Adeoque Omn. 2. a 13, == a Z R3.) essd 5 esistosieB esdso elisiin e
Tiem, Omn. S, = v R, Per SO. prOP. 17. adeoque Omn: , 2. SR3 =2 1(2 ∞ R
mtrem, Omn. a v, = 3 a = R -- a 5 R = V R~, Per SFI. prOP. E7. (uipore momen-
cum cilinei AbK. HB. 1 70. respectu Aai) adeoque Omm. = 2 av R2, = = a R.
245R3 = 2V R2.
Trem, Omn. a2 s, = = a  R2 + 2 a s R + a e v R  2. y R2, per S, O. BFOP. 19.
(nempe Onculae a Bv fz. 270. aciem habentis Aa, monrentum relpectu Aa;
Adeoque Omn. a2S.R, =  a R3 = 2a5 R3 + a 2 V RZ - 2V Ra01 +S
FFO, Chorum neprepatum) Omn. 2. a R - 2. s R2 = 2aV R, + aZ sR, =
 4a5 R3 F a dk 2 - 6V R
Hoc iraque subducto, ex 227 R 3 = 2a5. R3 = 2a 2 v R + a sR; habetur,
6vR  + 3a R3 = 6aSR3 - 3a  v R = = a sR, = Omn. a N
Arque ad eandem Formam, (eadem quoties opus erit repetendo restigia) proce
dendum esset, E POrro Omnia a +, Omnia a3X, (aut etiam ulera) inquirenda el.
sent: Vel etiam, Si loco iplorum x, alia quaelibet quantitates ponerentur, Ouod
nic obicex n etLB. 193. CssAE cALB
Clsa ntaque ( uc jam anee ostensum eAt S P.) singulorum Sectorum exiguorum MaB: Fix. 193.
nicudimes, timc t 11. Z
28
a RL
22
;distanciaeqi, ab P NC, R X =
vuunu
e
a X
383 (Po. 200.
Fto
PFOP. XXVII. DeCalculo Centri Cravitatis.

## Folio 890 — 851387705:0910
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000910.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
DeCalculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fis. 199, ito rpro Co. finu anguli vel arcus an ae Radium R;) adeoque momeniq respectu
200
F. MC,
28
x2
137
a3 ∞ R
: vet (neglecto Y, ob cantam aliquories di-
3P13.131.
cam,) - p: Erit (proptee Omn. a 3 _, = 8 vR a + 3 a R. =6 as R -
3aE V R= F a3s. R, ) Momentum Spiralis M YT. D MI, respeCtA RCCtR L MC, Omn.
a3X es II 60R3 L 2~ F = 6a5R  Z~V R  a25 p2. 1 1
3 aot et vrntier 3  nia or  cherist 
rc
Adeoque, (proprex magnicudinem, jam auce traditam, .p, 5. Distantia Ceniri
21
22V R2. f6a  - +2aSRD -= 6a v R + 2a2sR XE quidem vet
a3 1te Ot siit.
ad partes P, vel ad partes F, (sire omeneum seu ponderationem Spectemns, Sire
dictanciam Centri eraficacio;) prouc vel sienum +, rel sisputa praesaluerit.
Er quidem, pro inecelis quodibei circulationiblis abscturis, Momenia erunt
124 
∞3 (exeteris cranescentibus, PTOPIEETuM S = 0, tum v = O;) adeoque (pPrOp
f E1Veris ECTCCLCIE ~iI_ DisclC CS CC) FBM.II. S
sex magnicuaines  f::) Dillantia Generi gravicaris, ab F. M C, vertils P,
a 4
Vi exponendus et, a ip tine Circulacionis primae, per P; secuncae, per 2P i, ter-
CIa, Per 3F; _c
Pro dimidiais Cjeculationibiis, quae incextds non rermnane, una, ribus, quineuem
_ec.) prOPer s.=O, e p -= 2 A; Momencasime  R - 3 a  q. R - a 3 p
33
8
Cpropter Magnicudine s, UI, PriuS, ∞ 23) Distantia Ceneri, pravicaris ab. L. ABC,
Ott 1.t 124 R3 6a 2 p3
vexsus P, t s a i Hoc est revera (proprer praralentiam sieni,  1) ver
sie F = 24 X3 F 6aE  3. il L. Mohi sos llo ouit: aeltione sit . +B cit D. L. X B.
ad o sC Exponendus, ulique est anin fine demicirculationis
Primx, per L P; Tertia, per 3~; Ouinca, per SP; ee He deincepo: ade
in omnibus plus erit quam q R=B eltenim, ZF pluS quam Z  I Il133I3S, 
Pro circulationibus quadrantalibus (qua Semicirculationes non cermitant) una,
iribus, quinque, ec. proprer cum se R in prima, quinta, nona _c. de 5 = L R.
in tertia, seprima, undesima; ec. cum v = R, in singulis: Momenta, TunE
6,25. = 6a Re 4 ai 
383
  (Propcet maxhicudines, ut prius, ) Dillancia Ccnrri
caticario ab PM E, vertus P, 23. P. = 12 a P. t 2 a P nempe pro prima,
SGCBEOEI
aid ene ea 3F
quinra, nona, esc. sed, pro terria, Senrima, undecima, _x. (.Propter s contra.
bR + 6. a R.
rio Tixno exponendum, J. Momeniea i
2. R. + 12 a R2 = Za A
-vd3880
P; DIamIX, ver.
versus (F,  1Z B = 13  AB + Z P    xsponelus aucem est a, in prima,
A1SLBE (FSILI cT B.AI5)  nimue
certia, quinta, eec. per +P, 3 P, 8∞, 80.) sit. 1. iwviolur 0nol 1
Si libeat singulos Circulationum Ouadrantes scortum perpendere, id facile
FIet.
sec nis C Oacraneis Primi AL P P. M, monitiuum respectu P. MC, jam ollenitum est
Cps -ale t e f--30q e m 96 e . t.  9
192. P
ritatis
8c

## Folio 891 — 851387705:0911
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000911.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
PFOD. XXVII. De Calculo Centri Ceravitatis.
vicacis ab FHIC verlus P, 12 P - 12 af1. 4 24 F - 768 ~ - 202  + ∞ p. 7 rie 103.
a3∞
Semicireulationis Prima, N TEF M; Momencum = Ro = a X 26R = p 1 p 2
(proprer a-i P;) Villania ab F. MC vertuo P, 2 4 P 6a  - 192 N - 12 p. ∞.
292 R3- = 22 R3 2 il 11. 
FX hujus Momenco, si subducatur Momencum primi quadrancis; habetur Secundi,
Quactancis MII FMI, Momencum respecta LNC, 3B + P, + 96 R. P- 18 A P Re X
F92∞3 te
Ec (proprer magnicudinem s B R P;) Diltancia Centri graritatis ab R MI C ver-
sus P, 268 3 = 192 R a P = 96 R P2 = 2 R 2 ∞:
: Hoc est vertus F,
=768R3 = +92 R 4 D + 96 R3 ∞2 + 3 p2∞5
Circulacionis Dodrancalis, seu Frium quadrantum, AL P E. F CM; Momen.
6R5 = 6aR a R, 384R F 288R3  - 27 A3 p3
228  + 96 R3 ~ = 9R 23 3isit  11B. aretili 1 292 D3 t it n
∞
6423
e e.
(DrODter a = 37;) Distantia Ceneri graritatis ab
EatC vertus B, 12 + 1uaRe. - = 2a   768 + 5) 61. B - 54  p.  1
5a
; 170C Cst,
3 9i cde et cCM .3 St. C. 1I.
L.X)) BC. 1B C112 E1 1113111 
FX hujus iaque Momenco, si subducatur Momencum semicirculationis
Primae; habetur Pertixe quadrantalis M F G MI, Momencum respect F M C,
384  + 288R P . 48  P2 27 R 23 (- 128R f96 R. D + 10 X 1 ∞2- 6R∞
202
6
FECpropier magnuudinem , E X Z, Dillancia Cencri Gravitatis ab F.MC, vertiis P,
768R +576 R a P + 96 x P. =  2
9∞4  dis  E,
20D.
 629 51 1. l. 011
2. 5. Y C, 1 (AO
l13.1
eliiret
Enreprae Cicculations Prine, AI JLF CCAM; Momentum relpectu F MC est
 pa
R
6R3
 =  (propter a - D:) Distancia Ceneri praricais ab FMS, vertu8P,  ,.
Ex hujus iraque Momepco, Ei sybelueacur momencum Circulacionis Dodeanicalio;
haberte Ouadirancalis Ouascae momencum,  384 (  288 P. P. + 192 P. P, + 27 p. p.
= 128 P0 = 96R. P + 6+  p + o t
64∞
nem _ XD,) Dislancia Ceniri pravicacis ab P, H C, vertus P,  u
368R: = 376 P0 p + 3d4 R: 8 , + 54 64
1.0  11
Ct 
Duachrancalium Guinaue, MIT FT. C, AVI, (reperico quod erac in primos ) Nomen.
culm respecta P M C, elt. 5 F -= 6a P + a. P - 384 25  480.  P + 225 se p
3.
(02∞:
Distantia Cencri Blavicacis ab P. M C, versus D, 2 R: = 12 a R + 24 R
768R3 - 960 R a ∞ + 250 R 2 P3: 11 ( S G11 sis.11B
5 ~8  us e cirtitie olstern
Vuuva2
3C C, 1~ 43D ast I HICdC
891

## Folio 892 — 851387705:0912
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000912.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
E
De Caiculo Centri Cravitatis. C ap. V.
F.X hujus itaque Nomento, E Tubducatur Nlomentum incegrae Circulacionis
Primae; habetur Momentum Guadrancalis Ouinea, respectu F. M C,
364 - 480 R. P - 292. R. D2 + 125 X
192∞3
Et Sic deinceps quousque libet.
: Et (propter maxnicudinem, S. X P, ) Dillan.
1681 -960 R1 p - 384  P + 250  7
62P
Atque eadem opera decerminarimus, in Solido Scalari, (super tiguram Spiralem
PTM obliquo sicu alcendencem, alcicudinem candem quamlibet habente super
oblique ascendentem tisuram spiralem,) magnicudinem, momentum, acque dictan-
tiam Ceneri graviratis ab erecto luper R. M G plano. Ouippe eadem omnia hic lo-
cum habent respectu erecti in F. M C plani; quxe respectu plani in PMF crecti
Tupra diximus, SC. Denon Ec opus cadem repetere.
1.O Oux M Propositione praecedente, de Spirali Archimedea, cradita TUnE;
Fis. 199, cadtem omnia Spiralibus aliis Facile accommodantur, in quibus Ra-
2.
dii M T, M I, continue crescant, non quidem (ut in illa) in ipso-
rum AML, AML L, anculorum ratione, sed ex in iplorum ratione
Duplicata, Friplicata, Ouadruplicata, aliatre utcunque mulcipli-
Cata: dut etiam in Subtriplicata, hujusce uccunque multiplicata.
Sed _ Maenitudinem quod spectat, iis etiam in quibus crelcant MY,
MT, radii, in corundem AMT, AM T, ratione Subduplicata, Sub
quadruplicata, aliasre urcunque submultiplicata; vel etiam in xa-
tione subduplicatae triplicata, quintuplicata etc. aut subquadrupli-
cata, quintuplicata, septuplicata, ec. aliatre, ex multiplicaris et
submulriplicaris composita; auc eriam alias per numeros turdos de-
bionanda.
Ouod ad HOmentA vOrO, et Centra graritatis, quae dicta sunt, non ita
Facile ad has accommodantur ubi ratio submultiplicata eAt, Icu CX
submulriplicata compositca qua multiplicatae non aequepolleat, rel
Caltem suberiplicata, aut hujusmulciplicatae.
Suncque hae Spirales omnes ex Parabolarum vel Parabolocidium cor-
respondentium convolutione facta; possuntque in Parabolas illas
Scu Parabolocidea crolvi.
C. D. Ia quidem Spiralis Archimedea ex Apolloniana Parabola: Pa nempe.
quae Balem habeat aequalem Spiralis radio cerminali; Axemque a
qualem semissi arcus Sectoris contermini.
Cujus quidem Parabolae semissi, aequatur illa Figura Spiralis. Onde
constat, omnino possibilem esse Figuram Rectilineam, Circulo aequa
lem; ejutre Sectori cuilibet.
FX data vero Alcicudinc istius Parabolae, quae Datae Spirali respondeat;
datur circuli Onadratura.
Rectaque Parabolam tanoens, eundem cum Ordinata angulum Facit
quem Facit, cum spiralis correspondente Radio, rect a Spiralem tan-
SCnS.
H. Unde alia colligitur circuli quadeatura Archimedea (Oualis ee ab aliis
R.
Fic, Curram Parabola, aequalem esse Spiralis Cuira.
L. M. Alix vero Spirales; ex iis Parabolocidibus in quibus Ordinacim applica
EX
e l L. aA
Spiralibus collisi pocerit.

## Folio 893 — 851387705:0913
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000913.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
PFOD. XXVITI. De Calculo Centri Cravitatis.
x sine series Iudicem habens ; Posro seriei rectarum MX Indice N. P.
S; Basisque Paraboloeidis, aequalis iph M L cerminali; ejusque 2]-
citudo, ad lonsicudinem arcus Sectoris contermini, ut F adS F F.
Postuntque pari modo ex aliis irem Figuris (puta FIrperbelicis, Fllipti.
cis aliisre mille modis rariatis,) alia spiralium genera Conrolu-
tione fieri; atque in eas unde construuntur erolri. Ouarum qui-
dem Fisurarum Spiralium mentura, ex illarum figurarum menturis
dexendent, quarum Conrolutione Aunt.
R.
Sunt uriquo Fieurx Spirales, non modo quxe ex Conrolutis Parabolis, R
Led et quae ex aliis fisuris Conrolutis oriuntur; Figurarum illarum,
ex quarum Convolutione hune Dimidia.
Ft quidem non modo Curra Spiralis Archimedea, est aequalis CurrX Pa- R.
rabolica spollonianae correspondenti; sed e alia spirales quaelibet,
aequales illis respectire sire curris sire rectis quarum Conrolutione
trunt.
Adeoque cognita Figurxe Spiralis Magnicudine, vel Currae Spiralis lon. H.
sicudine; cognolcitur similiter vel magnitudo iltius Agura cujus
Conrolutione Hc, vel longitudo linea: Et rice rerla.
Et quidem Spiralis illa cujus rectae M P crescunt in angulorum ANY
ratione duplicata, non modo rationem habet coonitam ad Secto-
rem conterminum; sed ipsius Currae Rectam aequalem astignare li-
cet, camque in data ratione SCCarC.
Ouod ipsum aliis item spiralibus innumeris continsit.
Sed e Figura Spiralis (ex Parabolocide conroluta) astienari potest,
qua ad Sectorem conterminum rationem quamris datam habeat;
faltem Minoris ad Majus, numeris explicabilem: Et Parabolocides
similiter, eidem correspondens: Ve ec cuiris Parabolocidi respon-
dens Spiralis.
O.
B
N.
Potestque haec Sxiralium doctrina, ad alia mulca spiralium genera am. R.
Pliari.
ETSviralis RadtiI M F, M P, crelcant, non quidem in ratione Angulorum ANY.
A.
LD A MT, (ut in Spirali Archimedea) Sed in corundem ratione duplicata, puta FiB. 199.
ut a2: Frunt Sectores similes (figuram Spiralem componentes) ut a  (uipote in 200.
duplicata ratione arcuum Tuorum:) Adeoque, corundem asgresacum ad aggresa-
cum coridem maximo aequalium; hoc elt, rigura Spiralis, ad Sectorem contermi.
nUm; uc L 2d5 (= 4 F E,) Per DrOD. L. hujus.
Si Ractii M P, M T, sinc in anxuloruM AM P, TeU PM P, ratione criplicata;
hoc estu ut a3; adeoque Sectores similes, ut a5: erunt simul omnes ad iocidem
maximo aequales; hoc ct, Figura Spiralis ad concerminum dectorem; ut L ad 7.
per eandem rhujus.
Fq universaliter, s RadiiM T, creleant in Angulorum PM P, ratione Sim
pla, Duplicata, Friplicata, Ouadeuplicata, ec. Fisura Spiralis, ad Sectorem con-
Terminum, exIE uEF, 2d 3, 5, 7, 9, eC. CZOn, uV Fdd 3, 47 5, 6, c. quod per
incuriam seripium tuerat in Srithm. Insin. SCh Ol. PFOP. 45.) Propter Sectores Simi-
Les in Radiorum ratione duplicata.
Ex Smilicer; si creseant Ractii in Angulorum ratione Subduplieata, subcripli.
cara, Subquacruplicata, eec. adeoque Sectores in ratione simpla, Duplicata Sub-
eriplicata, Subduplicara, ec. Fisura Spiralis ad Sectorem conterminum eries uE L
ad 2 = C7 3  1, 2 F L, aC. Bel uE L a1 2, 3, 2, dec. vel L ad 2. ; 3ad 5; 4 ad
_C.
St cetcam Kadii in Anoutorum ral Suplicata Subcriplieata, Triplicata sub-
quadeuplicata, etc. adeoque Sectores, in ratione Ouacruplicata suberiplicata, Fri
plicaca subemplicata, dec. (uipore in duplicaca ratione ractiorum;) exit Figura
Puuuu 3
Spiralis

## Folio 894 — 851387705:0914
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000914.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
DeCalculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
L18. 299. Spiralis ad conterminum Sectorem, ut F ad 3 f F, 3 f 2, ec. (nempe ut L ad sc.
riei indicem unicare auctum, per prOP. 2. hujus;) hoc clt, uc 32d7, 22d5, etc.
Ouod iplum similiter ralerer, li incelligerentur Racii crescentes secundum Se
riem cujus Index siE numeruS TurdUS, PUTa V 2, V 3, Sc. adeoque Index seriei Se-
Etorum, 2V 2, 2 V 3, Ecc. quippe Figura Spiralis ellee ad Sectorem concerminum,
ut L ad 2 V 2 = T, 2V 3 F 2, ecc
TIIud utique ubique obrinet; Ii Radii Cint ut Series cnjus Index sIc S; Sectgrum
Series Indicem habebit 2 S; adeoque summa Sectorum omnium ad maximum tocies
sumprum; hoc est, Figura Spiralis ad Sectorem conterminum; ut, 2 ad 25 f F:
Dex PFOD. L. hujuS.
Ex consequener, Facile altignabitur Spiralis sic constructa, ut Figura Spiralis,
ad Sectorem conterminum, datam habeat (minoris ad majus) rationem. FIto
enim ratio dara, ut L ad D. Ouoniam cst (uc jam oltendimus) Fisura Spira-
lis ad Sectorem conterminum uc L ad 2 S- L F; aegue imperarum ett ut Lic, uE F ad
D; erunc xad 2 5 F X, et Y ad D, cadem ratio; adeoque D =2 5 ] I, 1OC
est D - 1 = 2. 5, e =
dicem habens =
= 5. Si icague Radtit M T, ponanuue ut Secies In.
Qi exit sienra Spicalis ad concerminum Sectorem, ut L ad D,
in ratione daca. Cum enim series Radiorum indicem habeac   ; Series Se-
Etorum habebit Endicem (iltius duplum) D =x; adeoque Sectorum crescenti.
um ageresarum, ad coridem maximo aequalium; hoc est, Hisura Spiralis ad Secto.
rem conterminum; exit uc F ad D; nempe ad Seriei indicem D = F, unicate au-
ctum (Per PTOP. L. hujuS.) QUOd CTaE imPeracum:
Puca; Si ratio data, sit F ad 2; adeoque (DOSitO Z -  2
Erme M. F, Series Sabsecundanorum: hoc ell, in subiduplicata patione angulorum
PM Z
e lire sit. e le ulee tLM Iq
Si ratio data, Tic F ad5; aceoque (BOlitO D = 5) = == 2. ErunEMII,
Series Sccundanorum; leu, in duplicaa ratione anentorum P M P.
D = = 1 S dEI 111I.
Si rario data, sic X ad 3; adeoque =  = L. FxUNEM P, Series Primano-
rum, seu in ixta angutorum P N J raione. Ouxe MA Spiralis Archimedea.
Si ratio data, Fit 2 ad 3; seu Fad 3; adeoque  =LL FruNE MF, Se-
ries Subguarcanorum:; seu in angulorum ratione Subquadruplicata. 10
Si dacaratio, lic r ad 4; adeoque  = 2. Fryne M F, Series Racioum
Duadraticarum Tertianorum; Tou in ansulorum ratione Subduplicata criplicat.
Et similiter alibu quaecunque tuerit ratio data.
Dico aurem, In Ratione Minoris ad Majus: Ouia supponitur Spiralis (a Prin-
cipio orta) radios habere M P, ab 0 continue crescentes; totaque, circum seripto
Sectore concermino. MInOr . L~NA Eit 1.
Si veco peponereur Rauio aualiais, L ad r; adcoque 
=2 = O. EF
Sent M L Seties aeualium (cuijits ihdex o;) ee pro sixura Spirali, prodiret Cit-
culi Sector, (ex Conroturo Paralle logrammo contectus,) cum iplo Sectore (quem
concerminum sipponimus) coincidens.
Sin provoneree Majoricalis rario, puca 2 ad L; seu x ad 3: adeoque
= = Z: FBenLM P ex eis Seriebus utia, quad Reciprocas detinivimus,
CAeF. 2. huju5. ) pura Reciroca Subquarcanorum, cujus Index  ds Adcogye non
inciperenc ML ab 0, crescendo; sed ab Intinico (0= ∞) decrelcendo: Fsset
que concermins declosi non quidem careumleriouis led taterieruo. t
894
200.

## Folio 895 — 851387705:0915
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000915.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
Cellae quidem Pigurae, ucu pro Splaltum seneribus haberi possinc, ee aliarum
Spiralium leges non retinsiant (debite accommodatas: ) nos tamen eas pocissimum
hic spectamis qua contermino Sectore includuntur. Quamquam si libeat Spirali-
um niinen ad iIlas etiam anipliare; erune urcunque ad reliquas Spirales similiter
redisenda, (noltrisque subjicienda lesibus;) atque Fisura quas Reciprocas dici-
mus, ad lalaoorocidium tamiliam.
Ouod aurem Spiralis Mrehimedea, aliudnon sic quam Conrolura Parabola Apoz
Joniana: sic cridentissime demonstracur.
Fie
Sumpris ad Spiralet Fi8. 200. M F, MT, hoc est MP, MP, quodibet; ut202.
23 3, 5, 7. _C. arictimetice proportionalibus:
condenque ad Parabolam rectam P1g. 202. il-
lis respectire aequalibus MPs MP; hoc e
in F, m F: aeque his proporcionalibus utro
Bique Z Y, ZY; hoc eltM _  dc. Sump.
eoque ubiris tigurae Spiralis termino, pura
M F, cui aequaIS BOnatuE P. P Batis Parabolae:
hujusque aleitudo P H seu MB aequalis Femisti
Eeripheriae lectoris contermini racio NI P Fg.
200. deleripei: FrunE IpIa MI V, p 1 SeUZ Y,
2. Y, recta, (3. 202. iphs Z Y, Z X, areubus,
fig. 200. ligillatim aequales.
Ouippe, B incellisancur numero infiniri ar.
cus Z L’arichmecice proporcionales (UENT,
5 SC. ) erunehi omnes simul sumpti; aequa
les Perdilt coridem maximo: requalium; hoc
et, semi areus contermini radio NI V dC
Teriper per prop. 2. hujus. Cai quidem (e
missi cum ponacur aequalis alrieudo Fatabola
X 1I, Icu MB, hoc elt, aggresatum omnium
P p Seu Z Y 68. 202. Sinque cum cocidem
numeto, eum proxorconales; lipRSI Z V arCI. Ci
bus tig. 202. Prune Curgulae lingulis, respectire
Tumptis,, xquales.
Cum hague sinc etiam FgilIacim NTP Ceu
in F Hg. 200. ip(IS MP, ICU MT, FB C2O2
aequales: Si incellisantur omniaen, e puncta,
in unum M colligi; (toro Parabolae axe in et P
vercicis Purietum conrracto; ) maneneibusre
Ctarim uZin D, X XG. donsicudinibus; re.
etisque Z FY, in arcum flexis: Roctandula
Z  X, in Sectores contracta iptis Z N Y
sectoribus; respectire sumpris, congruent;
propier cum ractiorum, tum areuum aequalica.
Tem.  153IB
ISitl pis i
Sed Sectores illi Z. M T,. E numero infiniti
incelligantur, idem sune, acque Figura Spiralis
(per deF. F. Cap. 4.) iplaque similicor Rectan-
vula Z iu V Idem acque Planum Parabolae:
Si itaque Parabola sie Convoluta incellisatur, uc ea omnia ex quibus conslari intelli.
Satur Fectaneula in cocidem Sectores contrahantur; sic Pigura Spiralis.
Et quidem ea tic Spiralis (ut ex demonstraris constar) cujus terminalis recta D.
neMP, Scxqualis ipsi B P Basi Parabolae; ansulusque circulationis tantUS, UE eon-
termini Sectoris arcus, duptus sir alticuidinis Parabolae: Hloc est. qux cam habet
rationem ad unam Circclationem incegra, quam haber Parabola alticudo dupla.
ad Peripheriam incegram ejuldem base deleripiam: Nel etiom . (si incellixatur
axis BM supra Parabolae verticem continuari, ilsque dum in C’ puncto ocourrat
rectae CF parabolam in ticoncingenti; unde, propter Parabolae naturam, duxla
Futura est C B iplius BN: y eam, quam habet B C. (axis continvatus ad oecurtimm
recta Parabolaui in balis puneto concisencies) ael inicxram peripheriam quae Paca.
bola base uc Raclio detenibatur.
2003
Co
PrOP. XXFLLL. aCalculo Centri Cravita

## Folio 896 — 851387705:0916
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000916.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Constatautem, ex hac constructione, (proprer singulos Sectores Z. MI Y, Sin-
gulorum respectire Rectangulorum Z. V. H X, dimidios;) Figuram Spiralem
MTTF M, figura Parabolica M F B, dimidiam esse; et partes parcium, respe-
ctire lumptarum, dimidias Quod limiliter probabitur, de quoris alio spiralium
genere, quae ex quacunque tic tigura he conroluta,
Constat irem (quod ex receribus dubirarunt nonnulli, nedum ex recencioribus,)
Figuram Rectilineam Circulo aequalem esse posse; hujusre Sectori cuilibet: adco.
queu rectam Peripherix. Cum enim cerca lit ratio tigura spiralis MY P F, tum
ad Sectorem concerminum, (nempe, ut L ad 3;) cum adt M FB Parabolam, ex
cujus convolurione Fc, (nempe, ut F ad 2;) cum denique hujus parabola ad cir.
cumscripcum rectansulum M BF M, (nempe, ut 2 ad 3;) eruc concermini Secto.
ris Radio M F deseripti (puta Semicirculi) ad MB F MI rectangulum cerra ratio:;
(erit ueique xqualiS; PTOPTET EX L XZ = L. ) Cum itaque nullus sic circulus, cujus
erienti non aequetur Pisura Spiralis; nullaque tigura Spiralis cujus duplo non x
quecur Parabola; nullaque Parabola, cujus selguialierum non aequer Rectansu-
tum Rectilincum: Nulsus eric Circulus, cui non aequatur Rectangulum Rectili
neum.
Constat etiam; si dari postit Alcicudo Pacabola NF B Cseu hujus ad Balin r2.
tio) qua respondeac Spirali NI F Y FM. ( cujus circulationis angulus daram ra-
tionem habeat ad quacuor rectos;) dacum iri racionem Ractii, Diametrire, ad Pc.
ripheriam Circuli
Sed ee endem F C. qua Parabolam cansit retento, eodem cum B F angulo, CF B;
eandem etiam curram canset, poltquam in Spiralem convolura fuerit P’arabola.
Nam, qua ratiohe probabitur omnes in Parabola rectas n Y ordinarim applicatas,
Ccum quae sunc supra B F, cum quae sunc intra, ) Sola B F excepta, ad C F concin-
sentem non pertingere; eadem oltenderur neque ad eam pertingere, caldem, con-
voluras in sicum M P in Spirali. Ouippe s (verbi gratia) ad M F A∞. 200. ica
consticura sic LC, ut ad illam non percingeret rectae M F punctum T, etiam sI
extensa Z F Y curra in rectam fisteretur ad iplam MF pervendicularis (potita,
etiam TM, SCu Fm, in sicu parallelo ad FMt, Seu FB,) quod fit in Parabola:
mulio minus ad eandem FC pertinget idem P punctum in Z. P Y. inde recurrata:
concurrence recta Pm seu PM cum recta P M, in eodem Mt puncto; quod tic in
in Spirali.
Inde sequitur; eundem este, ad tangentem, angulum M F C, in Spiralis alque
(qui huic correspondet) BF C in Parabola.
EE consequenter; s intelligatur F (verbi sracia) in fine circulationis prima,
rectaque (ad MI P perpendicularis) ML C, Tansonti F C, Occumens in C; erit
ipsa M C. tig. 200. ( principio spiralis, ee contingente, intercepta, d ipsi B Ci As
202. (Parabolae axe ad occurtum tansentis continnato,) aequalis; (ProPter an
pulos ad P’utrobigue aequales, adeoque similia. eriangula rectansula;) hoc ett.
per modo demonstrata,) incegru Peripherix ractio M P, descripix, seu Periphe
rix circuli primi: (ponitur enim F, in termino primx circularionis; adeoque
circulacionis angulus, quatuor rectis aequalis.) Id quod ab archime de tutrus osten-
diur, in libro de Spiralibus; eAtque iptius Circuli quadratura, inde deducta; quo
prxcspue collimalie videtur in illa de Spiratibus doctrina. 
Sin ubiris alibi (quam in finc circulacionis prima. ) incellisatur illud F pun
ctum; pura in tine semicireulationis primae, rel primi quadrancis, vel ubiris alias:
idem consequi licebit. Ouiprerum M C sic ducta (rectae Mt P perpendicularis,
Se LCi tarigenti OccurrenS in C,) eric eadem pars ( puca, vel seinittis, vel qua
drans, vel pars alia proueres culerit,) inceora periptieria radio illo M P descripese
Sed  inde eriam sequitur. Curram Spiralem M Y YF fig. 209. CurVX Para
bolicae, correspondenri Ml P I 202. aequalem clle.. Ouippe si incellisantur urro.
bique lumi partes analosx re exisux; in quibus itaque tangentium F C. re
spectirarum parcieulae, proiplis F T curris habeancur per det. T. Cap. q. (utpore
a quibus ditterunt ratione cala, quaris minore;) ut et LT curra, similiter, pre
YI recta, eidem aequali: aleoque minuta Trilinea, P P P, utrobique, pro Frian-
sulis rectangulis; et quidem (proxier aequales utrobique respectiros angulos
ad F) invicem similter, quae itaque ee lacera habebun proportionalia: Frunt,
PFOBLCL LL rectas aobique aequales, etiam P Y (respectire LumDIX) icidem
aquales
15
200,
quae est, eicculationis incesta expolita cireulatio.

## Folio 897 — 851387705:0917
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000917.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
Crop. LrI. ICuamo amct aortatis.
aequales. Cumque hoc ubique contingat; crunt omnes F P curram Spiralent ce
Sticuentes, aequales omnibus D P constimentibus curram Parabolicam; hoc cA, 202
M PT F curra Spiralis, aequalis correspondenti M LCurrae Paraboliex. Ouod
demonstrandum erat. Idenque alias demonstrarimus, in Fractacu, DeCurvarum
Erduooc Fractatui de Cycloide subjuncto.
Duod etiam in aliis Spiralium seneribus non minus valet. Si intelligatur enim B
eadem MF B fis. 202. non jam ut spolloniana Parabola, led ut Paraboloeides
Iyperbola, aliare ad libitum figura, in minuta Rectangula, ut Z uN Y, resolur
qua (punctis omnihus m, v, in unum M collectis,) in tocidem Sectores, (Rectan
sulorum dimidios,) redigantur: qui quidem vel similes inter se crunc, si eadem
Donatur ubique ratio rectarum Z L ad m P; vel, S secus, distimiles; (eam uei
que rationem habehit sectoris cujulris angulus, ad quacuor rectos; quam habet Z V
ad incegram Peripheriam ractio m P delcribendam:) aliâ acque alia tient Spira-
lium Genera.
Neque retert, utrum M F A3. 202. Tic curra, an Recta; sed necu nirum ad
unum MI vercicis punctum terminetur, an seeus. Ouippe h inceorum RectanB-
Ium MI B FH sic Conrolreretr, (toto MB lacere in unicumM punctum collecto,
latereque HIF in arcum currato,) Spiralis hinc oriunda, Circulus etlet; vel Sector
Circuli, qui eam habeat ad inceorum circulum rationem quam L_ recta ad peri-
Pheriam radio BF vel MIM descriptam.) Fc quidem; Si Prilineum MF B, ubi
ris truncarum recta im F, intelligeretur sic conrolri; hoc Paltem inde sequeretur
discriminis, quod non jam a puncto ut M, ordiretum Spiralis Eg. 200. Sed, d rc
eta aliqua, uE M T
usistes
c
Hoc interim omnibus commune eric; Nempe, Figuram Convolurione Factam.
AE NI F T E Fg. 200. dimidiam esle ejusdem OrOluX UENTFB F~. 2OZ. PFODECE
singulos ZMI Y sectores, Singulorum Z V. p Y rectangulorum respectire Lumpro-
rum, dimidios.
Trem; Tansentem FC, Fz. 202. retento ansulo C. F B, cansentem etiam Fore
Fgura COnVOIEA M P L F M Fg. 202. Omippe de hie non minus obcinebit
praecedens demonstrario, qua ostendebatur hoc contingere in Spirali Archimedea
Si enim rectae in P, punctum P in Z F Y recta, fg. 202, ad L C tangentem non
percingat; multo minus ad eandem pertinget in eadem Z T Y recurraca, H9. 200.
Quod iplum obcinet etiam vice versa: Si enim conrolura curra VP. Ag. 200.
explicanda incelligatur in correspondencem F Y fg. 202. quanquam P. propius
accederet ad TC tansencem, non tamen eo perrinserer: Niu laltem explicanda
ettet in lineam rectam, (quod in Circulo tc; cujus explicata curva, eadem Fucura
elt cum parallelosrammi pridem convoluri lacere;) quippes hoc calu, explicata
linea cum tansente coincidet; quae enim supponatur recta rectam continsere, alia
non erit quam ipla recta; quippe, nisi coincidat, secabit. Si vero adhue ulcerius
explicanda incellieacur figura, uc non modo ad iplam F C Pertingat Y, Ped cran-
Seat; adeoque F P recurra tac, in contrarias parres Aexa: eriam adhue candem
F C, sed ad concrarias partes, tanset. Cum enim Aexionis angulus, qui idem est
acque angulus contactus, magnicudinem vel nullam habeat, vel intinite exiguam
(lire sic rectae et currae contactus, sire duarum eurrarum exterue vel internecan
sentium,) quod ad prop. 25. cap. 2. oltentum elt; eadem quae prius Thetat mane.
Dit recta contingens PC, ureunque Rectatur (modo ne frangacur, uc angulum ta-
ciac, rectilineo aequipollentem,) FP curva, in puncto F. lc
Sed de qua ratione hinc intertur, (ob cognicum in parabola punctum l in que
cum axC producto Fangens occurrat,) Archime dea Circuli quadracura pet LAII
senrem Spiralis: idem eciam simili ratione colligetur, ex aliis innumeris Spiralium
Generibus, ex conroluris figuris oriundis, in quibus idem C. punctum piriter co
noscitur. Cum enim MB fis. 202. alcicudo tigurae convolvendae, aequalis M Om
nibus Z. Y arcubus Fig. 200. Simul sumpris: P quocunque modo costiot pouc
quam habeant illi omnes ad contermini sectoris areum, quemque hie thabedt ad 
regral peripheriam; conticietur nesoliuu. CaDDe COgnIta MI C H8. 12C0. Cel
julcunque Spiralis,) cognoscitur etiam (cidem aequalis) BC Fg. 202. adee
quam habeat ea rationem ad cognitam MB tig. 202. hoc cst, ad omnes Y. L 19. 200
adeoque et (cum horum ad arcum Sectoris contermini ratio nota PONaTUV,) ad aL
cum Sectoris contermini, et propierea (cum hujus rario ad incegram peripherian
noca ponacur) ad circuli peripheriam radio e P His 200. vel BF LS, 202. Deteripram.
(XX
trem

## Folio 898 — 851387705:0918
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000918.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
De Calculo Centri Crravitatis.
Cup. V
Fis. 200, TLm MF FigurX ConrOlrenda tig. 202. aequalem CurrX FiguIEX Convolut
N L L~ 13. 200. Ouippe Demonstratio prius achibita in comparatis invicem
polloniona Parabola, e spirali Lrchimedea; in aliis non minus obrinet. Nempe.
in parcibus sntinite exSIuIS, Habenda esse vrrobique T Y P crilinea, pro Friangulis
rectangulis, e quidem (propter aequales urrobique angulos ad E) invicem Cimili-
bus; adeoque, propter aequales utrobique Z F, aequales item erunt F I; acque
hoc Temper. Aqualis itaque cota MF curra Hg. 202. LOt MI Y Y F HB. 200.
Et propterea; ex cognira vel figurae Spiralis magnicudine, vel Curva Spiralis
longitudine; similiter cognolcitus vel Magnicudo tigura cujus convolutione tu,
vel Longicudo livex. Pc vice verla.
Et aurem, ex conroluta Parabola, tic Spiralis Archimedea; Fic, ex Paraboloci-
dibus conroluris, tiunt Spirales alixe; quarum radii M P crescunt in rarione angu-
Jorum ANC T duplicata, criplicara, aliatre mulciplicata; vel subduplicata, suberi
plicata, alialre Tubmulciplicata; aur eriam ex his urcunque compolita.
Ouod eodem modo oltendi porest quo in Parabola id octentum est; Tumpris
Parabolocidibus idoneis, in quibus roctae M B, MIH, SiC diridanEuE UE MI B, V. P,
Ec. hoc eAt Z Y, Z Y, _C. snE ipSIS MP, MP, _c. proportionales, (quo sectOreS
Z. NI T. H3. 200. ex rectangulis Z uV. Y fis. 202. convoluris tacti, similes Cnt,)
Paraboloerdisque curra per ip(as Z Y, Z Y, rectas cranscar. (Quod aliis aliisque
modis, pro variis Parabolocidium generibus, taciendum exit.) HToc enim tacto.
ostendetur, ut prius in Parabola, lingula Rectangula, in respectiros Scctores,
iplorum dimidios, conrolucum iri: reliquaque qua hinc lequuLIE.
Cum vero alius occurrat modus expedicior, aliunde sumpris principiis, ideu
praeltandi; (neque loctori, credo, displicebir varietas;) rem sic asgrediemur; ca
methodo qua ad Trithm. Insin. prop. 36. ecc. utus Cum.
L18. 199. In Spirali Archimedea, MTTF, lig. 199. Tumpris Sectoribus Cimilibus; 2d.
eoque cum raciis M F, M P, _c. HOC eA MP, MP, Scc. cum angulis P NIY
PMT; dec. arichmerice proporcionalibus; ut 2, 2, 3, 4, dec. Frunt arcus PY,
PY, Cmpore in ratione qux ex radiorum MP, et angulorum M P P, rarionibus
COMPONITUE,) UE F, 43 5, 16, ecc. leries Sccundanorum; (nempe uno gradu al-
tior quam elt Ceries Radiorum MP, propter ansulos M PY, in racione leriei Pri-
manorum, seu arichmerice proportionalium:) adeoque, si in rectas expandi intet-
ligantur, crunt ut tocidem ordinarim applicatae in complemenio Parabolae, (axem
habente MIP; alcicudinem, ip( P F, non ut prius hujus dimidio, aequalem,) ut
pote in ratione duplicata axium MIP, MP: (quales Tune PT, P P, complenes
Semiparabolx complementum MIT F II Ag. 202. Sumpris BF, FHI, Fg. 202. Xqua-
libus iptIS MF, FOP, fie. 299.) _ propterea, limul omnes, (hoc est U FP
spiralis complementum ad conterminum sectorem,) aeguancur Prienti Rectansule
Parabola circum Ccripri; Hoc Cst, SM PXPF, SCu ZMHXMF, (per L. vel 6. hu
jus.) F Aque Concerminus Sector M P PM, (nepore ex arcubus arithmetice. pro
POrTIONalIBS ContlatUS,) = ZBI LX P F, (per T. hujus.) Frso, figura Spiralis
(mepere secloris reliduum) == 6M PXP F, (PTODtEF Z = 3 = 5;) hoc est, (PrOPICK
218. 2993. Requis aurem taetivet cur parabola MF B tig. 202. alcicudinem, jam Donam
eo LBL. ipliuS arcus contermini P F H8. F99. longicudini aqualem; quam prius teceranr
arcus P F Fg. 200. dimidiam: racio in prompeu est. Cum enim recinencibus Tuam
Tingulis lonsicudinem rectis Z Y, uur in axem curratis; dum, in rectis MB, con-
trahuntur ee in unioum in punctum; adeoque Parabolae magnicudo decresear:
necesse ct u, in HF, rectae E0 (ipsis Z L aequales) prorratianeur puta in ZY
quibus respondeane, in Sectore Spirali concermino, areus OO;) adeoque Com
plementi magniendo creleat. Fr propierea, dum complementum contideramus.
(juxta hanc hyporhetin,) Tacienda erit H F (complementi Semiparabolae seu Se
miparabolocidis balis) iph PO F semper aequalis, (quicunque fuerit Parabolae seu
Parabolocidis gradus,) crpote quae ex omnibus =Y, (hoc M, omnibus OO,
componitur. Dum vero Parabolam vel Parabolocidem liguram M F B (juxra
priorem hypothelin) consideramus; facienda cst. M B Parabolae seu parabolocidis
alticudo, (non quidem omnibus OO, hoc est ipsi P O F,) Sed omnibus Z T simul
sumpris aequalis: hoc M in Spirali Archimedea, (ProDuer iplas M X, adcoque
2
202.
5. 3:: x. 3,) ad Sectorem conterminum, ut 1, ad 3

## Folio 899 — 851387705:0919
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000919.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
PFODZXVIII. De Calculo Contri Cr avitatis.
L L, (18. 200. arichmerice proportionales,) aequalis semissi arcuS POF: Sec LH
CAeHE iP (a MT, adeoque Z T, uc illarum Ouadraca (aeu  pllCata rationC an- 200,2
sulorum DM Y,) hoc cA, ut series Sccundanorum; eset MB = = POF: Si il
Deries Lertianorum; esset M B = = PO.   alto Glactoto, Bout eusuique
ratio postularerie; per prOP. T. hujus. (Duod in Srithmetica Infinitorum, DrOP. 5.
et sequentibus, Fulius ostendimus.) Acque hinc est, quod dum, in complemento
considerando, reputamus omnes OO,  , r aesaleo. It Lalabola-
Pen ParaDIocide, repuTamUS iPCaS _ p PCu Z Y rectas; hoC e I SpITaII aicUS
RT; Concinue crescentes, in rarione iptarum mT, seu M L, rectarum. Oux
cunque entu ucle ipsaru LL etea, modo sacta sit angulus Lm L
Jeu Z M L, Cademque Radu M eu  consiudo; eadem ubique crit iptius
r seu OO censicudo. Tancundem urique TunE Frianguta LI L, =M X, aL.
199.
que Sectores L ML C, M O, Tespectire lumpri; per +2 hujus. Oux aliquanco
fulius explicanda pucabam, quo clarius percipiantur omnia.
19. 20
MT, Mt L: ScuM P, MD; MM Coram rarione Duplicata; Ceu, ue Peries Se-
cundanorum: manitectum elu Aleus PP, PY, Periem esse Fertianorum (uno
oradu altiorem quam elt Series radiorum MD, M D, ) urpore quorum rationes com
Donuntur ex rationibus radiorum MP (quae est Series Sccundanorum,) et aporto.
TuM PMY (quae est Series, PrimanOrum) respectire sUMPTOrUI. PUTA, ut reCtX
drata axichunlc. Proportionaltuu; Otutauum applicarae DP, DP, ut Tertiana.
Scu arithmetice proportionalium Cubi: Adeoque in Diametrorum ratione Subdu-
bolocideos M P F P Fig. 204. erit Complementum illud Spiralis M T F P, ad Se
ctorem conterminum PM F; ut Z ad Z; seu 4 ad 5: Ft consequenter (quod roli-
quum etb) Figura Spiralis M P F M, ad eundem Sectorem, un 1 ad 5. (Quod
RXXX X
Etiam
a
Eodem plane modo; s intelligatur Spiralis M Y P F (9, 203. ita construi. pt
Tumpris angulis PM T, PMT, arichmetice proporcionalibus, (ut prius;) ractii
DT, pT, H8. 204. diametro M P ordinarim applicatae, in parabolocidis comple
mento MCF. Cujus quidem dan MB  B u oeata IV Clla-
plicatae. Triplicara. Oux iraque, l aegualbus letalo lumerentur (non; uti
nunc sunE, prOxIeE NIV, MD, in ratione secundanorum;) hoc est, ue ordinarim.
applicatae ad diamerros Mp arichmec oales, se Les CHM Incirem Ba-
bens 3. Ouarum itaque racio, ad maximam cocies sumpram; hoc est, ratio com-
plementi M P F P ad Parallelogrammum circum seriprum MI B F D: ut F ad 3 F +
3. Icu de 2 ad5. Llt aurem Scclot LM L 1G. 203. au ileu Parallelooram.
mum, uc F ad 2: (aequatur enim Sectot, ul  Ct SCMII rectanons quod Il.
lius Radio et Areu comprehenatu.) m su (BCOpteF LnguIOS aielo P L,
MP;) Complementum Spiralis M PP P H8. 203. aequale sic Complemento P’ara-
lingulis recls pP respectire sumpi aguases, es casuem acrobione alticudinem

## Folio 900 — 851387705:0920
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000920.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
C ap. V.
Fig. 293. etiam prius oltensim erat adt S A. ) (Areusque FFH3. 203. complences liguram
Spiralem MIP F; cancundem lunt acque recta T Itig. 204. complenres Bilineum
MTFM. (OEieriam ipIX YF, fg. 202. tantundem sune arque F F areus tig
(99. complentes tiguram Spiralem MI F P M; seu, qui arcubus P F detune ac
complendum sectorem conterminum.) Cum enim rectae p F complentes Lrianon.
lum MF P fis. 30q. tancundem sint acque p tareiis complentes Sectorem M F P
Eg. 203. (urpore urrobique ariihmetice proportionales, ec maxima maximx X
qualis, cademque urrobique alcicudo;) lineque rectae p L cantundem acgué p I
areus: legnitur, Rectas reliduas FF, cancundem ele atque residuos arcus T L.
Sed e simul innoreseir, ex cujus Parabolocideos conrolutione, oriatur exposica
Spiralis, cujus radii M P sinc in duplicara ratione angsulorum P M T. Nempe
Parabolocideos Semicubicalis, (quippe talis elt MI Z F curra [8. 204. Uc ex con-
AruCtiOnE DALET;) hoc est, cujus ordinarim applicacae Fp in complemento, sinc
in diametrorum MP ratione Subdliplicatae. Priplicata: ex propierea in Paraboloei
de ordinarim applicatae L cn hoc eltu pM, in diametrorum M d, hoc est P F, Y2
tione Duplicata Suberiplicata.
Cnjus quidem Paraboloeideos BatisB F, aqualis eAE dEBeE IpE N L terminali in
Spirali: Alticudo vero, non aequalis ip E NIB L5. 204. hoc cMt areui PF A8. 203. sen 29.
gregato omnium OO (quales in fIs. 299, 200. conspiciuntur;) sed in ea ad iplam
M B tg. 204. rarione; qua e (tisura natura rite perpensa) omnium Z X, ad
omnes OO, leu = Y, (quales in tis. 199, 202. conspiciuntur: ) Hoc cA, in PEX
senti catu (propter iptas MI, adeoque Z Y, Seriem Secundanorum,) ut Lad z
Adeoque, ti Parabolocidis Semicubicalis, cujus basiS Sic B F, alcicudo Z M B, tio
204. omnia rectansula (qualia Z. V. V. Y tix. 202.) in coridem criangula (utZ m Y
seu Sectores Z M L (prout in (8. 200.) conrolri intellirantur: hectigura Spira.
Iis M F F M fig. 203. aequalis iltius Parabolocideos semilli. Oux eodem modo
demonstrancur, quo eadem de l’arabola ec Spirali Archimedea Ostenduntur, SC, D, F.
Idemque ex, caleulo paret. Cum enim Index seu lexponens seriei Complemenri
MF PHg. 204. sic (uc supra ostentum Cst) Z; adeoque iptius Parabolocideos MHB,
3; Crit hujus ad circum scripcum Parallelogrammum M P E B, (per prOD. L. hujuS)
UE F, ad FZ; Tet 3 ad5: Adeoque si (eaeteris manencibus) Pumatur a.cicudo lub.
cripla, (quod faciendum ene ostendimus,) Aiet ratio, uc L ad5: Ec consequenter,
(quae hujus est dimidia,) figura Spiralis M T P M fig. 203. ad idem Parallelo
Grammum MIP F B H3. 204. uE Lad FO; hoc clt, ad P M H tig. 203. Sectorem con-
cerminum, (Parallelogrammi dimidium,) ut Fad 5. Quod Aeri debere; Tupra
oltensum est.
Similirer etiam oltendetur, (ut ad SL K.) Curram itins paraboloeideos sic
constructi, aequalem elle currae Spiralis M T P tig. 203. Verum hujus Paraboloci
deos CurrX, aequalem rectam jam olim exhribuu Neilus nolter, (AnnO- 1657
omnium primus,) ee, post illum alii; (quod in Practatu De Curvarum Eo duvsei
PaS. OT. (nunC fGT.) ec Seg9. OCtendimus. ErgO, ip (IM PP Spirali, aequalis recta extibe.
Dicur; Suppolira circuli quadratura, quae hie neceltaria erir (ue ex pradictis pa
TeF) Pro delionanda Parabolocideos alcitudine, quae expoticx Spirali conveniac
repore cujus alcicudo, aequalis eAe debet crienei arcus P F.
Ouodque de recta tujus Spiralis currae aequali ostensum est; similiter ec aliis
Spiralibus accommodabitur, qua ex ejusmodi parabolocidibus aliitre figuris convo
lutis tiunc, quarum curris aequales rectae alsienati possunt. De quibus tulius egcramus
in Tractatu De Carvarum Fduvoc, praelorrim pa3. FFF. _ SCg9. (nuNC 563. _C.)
Ad eandem Formam procedendum erie, in aliis spiralibus, quarum Radii M Y.
sint in angulorum PMY ratione mulciplicata, submulciplicaca, vel ex his uccun-
que compolica. Sunco enim verbi pratia, (ue una vice omnes absolram,) ip(a
M Y, scu MP, tis, 203. Series Fxponencem seu Indicem habens S: crunt uaque
arcusP C. (urpore in ratione ex Radiorum e angulorum racionibus compolica)
series uno gradu alcior; adeoque Indicem habens S. F L. Idenique Index, per
Sdivisus, exit correspoimtenis M F L. P Complemeni Paraboloeideos (H5. 204.
Hsujus Paraboloeidis (eujus icaque Tudex erit  ;) Batis ponenca exie aequa
lis ipE MF spiralis Terminali rectae. Alticudo vero, quae ad areum Sectoris con-
termini P F eam haberrationem quam Seriei rario poltulat; nempe quam habene
OMMES
104

## Folio 901 — 851387705:0921
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000921.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
PFOP XXVIII. DeCalculo Contri Cravitatis.
omnes Z. Y, Teu NI F, ad coridem maximo aequales; hoc est (proprer seriei Indi
cem S,) uE F ad S-L F (per prOP. F. hujus.) Oux quidem P’arabola seu ParL
bolocides est Figura Spiralis dupla; Curraque illius, hujus currae aequalis; Fan
genlque illius cum Parabola seu Parabolocidis Ordinacim applicara in puncto con-
cactus, eundem angulum tacit quem lacit Lansens Spiralis cum hujus radio respe.
ctivo.
Si vero, vice versa, quaeratur quaenam Figura Spiralis expoliia Paraboloeidi
conveniat; puca cujuis Fxponens Lit . Fric =
5 L = Cut ex dictis pacet; )
ergo p = =  =, e p5 = 5 + +, et p8 = 5 = +, _5 = -, qui Index eric
Seriei radiorum M Z in Spirali quaelica; cujus recta cerminalisM F Pucura est Pa
rabolocidis bali aequalis; angulusque circulationis calis ur Sectoris ArCUS COnter.
minus eam habear rationem ad expositae Parabolx vel Parabolocidis altitudinem,
quam habet S + Y ad E. Duod ex modo demonstracis fucile colligieur.
Superest, ut Centra gravicatis exguiramus. Quod eodem modo siet acque in
Propositione Draecedente factum est. Potito enim, ut illic, P pro peripheria primi
circuli; cujus pars intinitelima st T; radius R; limiliumque scctorum radii ut
eunque crescentes, n; quibus relpondeanr in eadem ratione t: Prunc similes Secto. L1B. 2c0.
res quilibet En t, sen=; corumque ab M distancia Centrorum gravitatis re-
sectire MR = 2n; adeoque d PMP, Coruncem distancia R S. = 2p, ab FHIC
distantia RX =
lnempe, in caratione ad R MI qua est Sinus Rectus illie,
hic Co. tinus seu sinus complementi, ansuli PMR, ad Racium: ) FL PrOPterCa,
singulorum respectire momenta re spectu recta PMP, 2R
spectu rectae F. M C, 2 s
MX n3 X Z
n5 n 5Z
3R 3  = i1 XC
3R 3 =: Vet, (nexlecto Z, ob caulas 2d
SE. BTOP. Praced. Madticas, ) illie, ; hic, n . Acque hoe quidlem univer.
taliver, quacunque ratione creseane radii M P, quos n dieimus ulque ad eorum
maximum N, qui sIE M P cerminalis.
Et proprecea; Siereleant M T, seun, in ralione angulorum PM P ariutinericee
proporcionalium, quosa dicimus; erit n = = R, (hoc est, in cadtem ratione ad
A radium circuli primi, qua est a ad P; hoc est, angulus expoticus P Nt F, 2d
quacuor rectos; seu istius anguli Arcus in Circuli primi peripheria, ad veriphe.
riam incegram; ) adeoque 2 F ae 87
a3X RF
n5+
2R 272 ic
dic 38.
a35RY
1, 32
nEa F
3 s 
3∞3. Dui est calus, spiralis Archimedea, capice praecedence expotiens. lo,
Si vero creseane M. P seu n, in angulorum a racione duplienca, cripliceala, ali-
alve mulciplicata; exien = . B, vel m , _, et sie porro prouc racionis, mul.
riplicacae eradus postulareric: Adeoque
nXF. ca X RY
3R 3~; V
n2Z. aERY
2R 280
et lic Porro, prout res postulaverit.
ut
ee
aR
2 ∞4 3 e
n3 5T
3R
aesRZ
3
5∞53
aSRTI NXZ ~ a XRY
383 3H 383
Si crelcane M F seu m, in angulorum a racione subduplieata, tubiriplicaca,
XX XXX 3
A raulsryllo inis: dscaliatve

## Folio 902 — 851387705:0922
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000922.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
. red. aliatve submulipsicata; erie n = RY , vel n = R Y =, alque siC porO.
Adeoque
au e2
3F
∞T
X
∞=
aRY
2x
reZ1 7
au e
3
52
5RT
esRT
C: Arque tic porro, uc casis postularerit.
7
Sicreseant denique M T seun, in angulorum a ratione aliqua quxe composica
Tit ex mulciplicara e submulciplicara; pura, subduplicata criplicatx, teu ut
Va3: Eritn = RV p =  RV; adeoque
35RZV
25R Y
a
3- VX, d
ese
nXZ a y R Y
3R2
2∞ RZ, de
3F
3 ∞a V : Et similicee alibi, PrOur
cujutque compoticionis eradus postulaveric, mucaris mucandis.
Origicur habeatur summa Omnium  p; hoc cst, ipta tisura Spiralis, quo-
cunque demum mulciplicatae seu submulcixlicatae seu ex his compolicae racionis
ractu creseant MiF Seu n: id Faltem requiritur ut habeatur Lumma omnium a 2
d
Eomn. a  vel omn. a velomn. an vel omn. V3 a2, vel omn. a3 aliave. istiu-
modi sumima prour res postularerir: (Quod universaliter obtinebitur per PrOP. L.
hujus.) uippe haec lumma (Des analogam iplius P poteltarem dirita) ducta
in =RF, vel (neslecto tandem Y, ob cautas SF. prOP. praeced. traditaS,) in ZR;
extibet Spiralis Fisura magnicudinem. Quam et auce habuimus S A.
Ve autem habeatur summa omnium , vel omnium n V
 hoc estur illi-
us tigurae spiralis mOmenCUM ResPeCtu PMF, vel P. MC; adeoque (momento
per magnicudinem diriso) Diltancia Ceneri gravitatis ab illis rectis: Id requiritur,
ut habeatur summa omnium a 3 s, a3 N; rel omnium a s, a_; vel omnium ads
a X; vel omnium s V a 3 X V a; vel omnium sV 3 a3, X V3 a3, (hoc est, omni
um aS, a X;) vel omnium sV a3, X V a 2 (hoc est, omnium a  SV a a X V a;
aliave istiusmodi summa proue expolitus calus postularerit. Onippe haec Cumma
(per analogam ipsius F Porestarem dirisa) ducta in = R Y, vel (neglecto Y
in :R; extribebit cocius momencum respectu rectarum PMF, F. MG; atque ad
tas aur illas parces, proue tionum  vel  praeraiverit; uE ad prOp. praeced.
ottentuum est. Onde criam (ut dictum est) colligitur Ceneri graricatis ab illis re-
etis distantia.
Ouo pacto autem habebitur tumma omnium a s, a x; rel omnium a = 5, a = N ;
rel omnium a 3S, a3 N; (ODC PTOD. 1O. hujus,) ostentum est ad SF. FI. DrOP.
praeced. Duod etiam (ut ibidem monicum est 5 FI.) ad alias ejusdem a poreltates
(indicem habentes numerum incegrum) concinuabitur; pura, ad a ES, aE ; a35,
a3 X; a 5, a X; dc.
Ouodicaque sucticiet casibus eis omnibus, ubi BonuntE MF SCu n crescentes
vel in ratione angulorum a, vel in horum ratione duplicaca, criplicata, alialre
mulciplicata. OEpatet.
Veleriam, in iptorum a ratione subtriplieata, auc subtriplicaca mulciplicata.
Ouippe L Sn = RY 3 , veln = RV, ec. in horum Cubis, colletur R a-
diealicatis nota ; nemre nd =  R vel n3 =  R2: et sie in eareris: A.
nST, AS RT n3 XTC aN RF
déogne
a X R
3R2
3P17 3R 3~ iv
n3 5E a7 5RZ n3 p Y
3P
3P ii et sic in careris. Oux ingue omnia opo ejuldem prop. 10. extiberi
poterunt; uti ostentum ett.
Verum
a 5RZ
902

## Folio 903 — 851387705:0923
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000923.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
PFODXXVIII. De Calculo Contri Cravitatis.
Verum SI BONantuE MT, Scun, crescentes in angulorum a ratione subdupli. FiB. 200
cara, lubquadruplicata, aliare submultiplicata, aut ex his urcunque compolica,
(qua non aequipolleat rel ipsi angulorum a racioni, rel hujus alicui mulciplicata
vel saltem Suberiplicatae, aut hujus mulciplicatae;) res non ita feliciter succedit.
Duoniam hic, ne quidem in Cubis eliminabieur Radicalitaris noca: Adeoque nec
Paris applicari porerie mechodus illa, SF. FI. proP. praeced. expotita; Cx PTOB. 1O.
hujus Decica.
Oux aurem, ad 5Q. univertaliter cractita sunt; Nempe, quocunque ratione 
creseaRE M F seu n radii; sectorum similium magnicudines eften 2 s; eorum.
que momenta respectu PM F, et E MG, esse
134 +
3R23 e
R:: Non modo in
his Spicalibus locum habene, ubi radie n sine in aneulorum a ratione mulciplicata,
vel submulciplicata, rel ex his composita; sed quacunque fuerit utcunque perplexa
seu implienta racio. Ouacunque enim fuerii, liquo modo haberi possit summa
P5+
 habebicur spiralis magnitudo: e, si haberi postic summa omnium
n’X T
R=, et Omn.
pFi habebitur ictius Momentum respectu PMF, _ L MC:
 quidem si utraque habeantur; habebitur (momento per magnicudinem di-
vilo) Diltancia Ceneri graritatis ab illis rectis.
Esempli gracia; s ponancur radii n, crescentes in ratione Ordinacim. applicata-
rum in Hyperbola; pura ut V: Za P + 3a2: adeoque n = V. 3a 8 + 3 a:
Frunc horum Ouacrata, n2 - a. P + a
Y a F+
T
Cum itaque (per prOP. T. hujus) haberi postic cum summa omnium a, cum om.
nium a; habebitur eciam, omnium 
 RT; quae est ipta figura spiralis
magnitudo. Ex quidem, s porro haberi postie summa omnium n seu omnium
F + a
273 R.V: 2a F + 3 a: acque etiam summa omnium - =, e omnium . r. Y
hoc cl omnium =  5 Z RV: : a X +; ae: de omnium  
3
 aTV: 3a
FZa: Hloc eltu istius Figurae Spiralis mOmentA reSpeCtU rECtarUM PMF, F. MG:
Momenta hac, per magnicudinem illam dirila, exhiberene Ceneri gravitaris distan-
cias ab illis rectis.
Cumgue haec in aliis Spiralium generibus, mille modis variatis, paricer obri.
neant: amplus hic pateret excurrendi campus, si liberet exspatiari
Et quidem nonnulla alia spiralium genera, in Fractatu meo, De Curvarum
Erduvoes expOnuntuT; quae, cum multis aliis pollent in hunc locum transterri. Sed
ne nimius sim, Lectoris illud industrix (E opus tuerit) permicrendum exic.
a l. 12 LLM.
V Arichm. Tnfn. in altignanda ratione quam habet Fisura Spiralis ad Secto-
reM CONTerMINUM, PTONE CrESCunE M P radii, in angulorum AM Y parione lim-
Pla, duplicata, criplicara, quadeuplicata, etc. Cum (juxta demonstrationis ceno-
rem) dicendum crat, ut L ad 3, 5, , 3, et. Aelcto qua incuria scriptum tue
ratus ut Z adt 3, 4,5, 6, 80. Ouod cum non animadrerterie V. Cl. Scephanus
de Mechs, merum elle live Cialatt ae Cateuse laptum, (non ex demottutat.
AlS vicio ortum;) Suspicatus est doctrinam illam de Spiralibus intirmam elle. Cum
incerim si Paris animadrerrisset demonstrationis rim (qua hinc potissimum de
pendec, quod similes sectores sint. in Rodiorum ratione duplicara; adeoque ubi
Radiorum
Onenaum hlc duxi, (quod ee supra, S A. intinuacum et l,) II ScholiO vrOP. 45.

## Folio 904 — 851387705:0924
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000924.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
dOq
CuamoCentri Cravitatis. Cap. V.
IB. 200. Ractiorum series indices habent 1, 2, 3, 4, ec. series sectorum habebune indices
En 4, 6, 6, ec. adeoque omnium lumma, ad maximum rories Tumptum, loC el
doctrinam lubrertum s: multo tacilius, cribus verbis emendallet; dicendo, (pra
3, 4, 5,6, Suosandum (junta demonstrationis tenorem) 3, 5, 7, 9:) quo facto
non erit quod reprehendat. Sed de timul videbic, cotam illam quam ille julto
volumine De Spiralibus doctrinam habet; eodem Scholio summatim tradi: EF
quidem (utur hoc ille non Carim perspexeric) univertalius quam ab ipso tradica
elt. Cum enim dixeram, doctrinam illam de Parabolis d l’arabolocidibus, tum
ante cradicam, tum deinceps tradendam, Spiralibus accommodari poste, in quibus
Cre(CanE M P rectae, in angulorum PM Pratione duplicata, tripticata quadrupli-
cata, ec. illud ex caetera extendendum erat non modo ad alias rariones (stricte
loquendo) multiplicatas, sed et submulcipticatas, vel ex mulciplicatis de submut.
riplicatis uccunque compositas, vel eriam numero surdo exponendas. Ouippe il-
lud summatim intinuatum rellem; (quod de Parabolocidibus, magis particulatim,
tigura Spiralis, ad Sectorem conterminum; I L’ad 3, 5,7, 9, _c.) vidistet, tum
demonstrationi rim inesse; cum, emendato mendo MMCa Ca plode con-
stare. Adeoque quam ille prolixa retutatione (in luo de Spiratbus cractatu)
vel ance craditum, rel mox cradendum erac; ) Ouemcunque habeat Indicem Series
Rectarum MT, (incepruu caccum, lurdumre;) hujus Duptum, indicem elle
Seriei Timilium Secloru Lacs  Cleporum: Summamque horum, ad maxI-
num cories Cumpeum, (hoc CH, tisura Sprate ad Sectorem conterminum,)
esse, ut x ad indicem illum (duplum) unirare auctum. Cujus quidem doctia
unirertalis, nonnisi pars cst, cora illa quam habet ille de Spiralibus. Oux lamien
non laco dicta Tunc, ue, ab eo cradicis, derogacum cam. scul i Ollendam, quam
(nec adeo lonsum) quo paltecatul exponatur, materiam subministrare polti
sic corollariorum, Ferax generalis illa methodus; cum Scholium illud Unicum
justo Volumint.
ROP. XXIX
Ouxe de Spatio Crcloidali (PrOP. 15.) crac  Pallla BI
sunt et Spatio Cisfocidali accommocari.
Essocidis linex meminit Pappus lib. 3. prop. 4, 5. (pro duabus meciis propor-
clonalibus inreniendis excogitatae;) Cujus haec natura. Sic ADa SclICI
culus; cupto Centrum, C; DiameteF, A a; cui ad angulos rCCIOS MMLaL CMLV
Ducta ubiris Chorda AB, quam tecet C. D e  i ea lumacue, rectae Bl
aequatis HB; (ret AB = BF;) qua per omnia b Panla incedit curra AbD.
Cissoeides dicitur. Pademque eriam utira D punctum eodem ritu continuara (al-
ternaco cancum punctorum Bb situ, quae in D coincictun,) ea ct Guata hic vo-
Lumus. Cui Alympioca Mt ar recta, circulum in a concingens.
Spatium Cissocidalem dieimus, quod currae ABB, rectisque Aa ar, itetsacet.
incerminabule qu a ta  axtto mmen trnica.
Spatium

## Folio 905 — 851387705:0925
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000925.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
PFOD. XXIX.
DeCalculo Centri Cravitatis.
Spatium hroc considerarimus in Fractatu Fpistolaris Fractani de Cycloide Sub. Fi8. 205
juneto. Fjusque cum magnicudinem, cum momentum respectu rectarum A P, a 7
Centrique pravicatis (si quod toret) ab iis distantiam; Solidique ejusdem conver.
lione lire circa A T sire circa ar, facti magnicudinem, decerminarimus.
FIt utique illud A b B 20 Spatium interminabile, semicireuli A Da criplum. F.F
Axis Aquilibrii (adeoque, liquod esfet, Centrum graritatis) distat d r a, Sextante
DiaCEFI Aa; adeoque, a T a, ejusdem Diametri quinque Sextancibus; eildem
TA, Ta, cangencibus paralletus. Cencrum aucem sravicacis, incelligendum cAt.
in aXc illo, ab A a remoreri ad infinicam diltantiam; adeoque nusquam exic.
Solidumque ejusdem cirea ra convertione factum, est aequale Solido ex simili
conrertione Semicirculi ADa, circa candem, r a: adeoque Semiey lindro cujus ba-
lis sic idem Semicirculus, e alcicudo aequalis peripheriae puncto C’circumducto de
seripia. Solidumque ejuldem circa F A convertione tactum, est Solidi prioris
guincuxlum. Solictum vero quod incelligatur ejusdem circa Aa convertione de
feribi; est magnicudinis intiniix.
Finoularum vero cidem insillencium, aeiem habencium Za, vel F A; ad similes
Ongulas Semicirculo insistentes, caldem acies habences; cadem est ratio quae S0-
lidorum istius conrertione tactorum, ad solida sinisi convertione semicirculi
Facta.
Ongularum reco; Planum Aquilibrii (in quo ee Centrum graviratis liquod
CAet,) quae aciens habene ta, ab ea distat, 3 rectae Aa; quaeque aciem habent L A
ab ea distanc, 8 ejusdem recta A8. Semisolidorum vero, aliorumre impertecta
convertione taetorum, distantia Aris A quilibrii ab axe convertionis ra vel F A.
ad illam in Ungulis distanriatt, (ut lapitis ance otentum elt,) ut est ad conver.
tionis aicum Chorda Fud.
Ouxe omnia cum ibidem demonstrata sint, non opus est ut eadem hic re-
Detam.
Or autem de Spacio Cycloidati oltentum est, (proP. 25. hujus,) non modo to-
cum Ab2a (ti8. 166.) rotiUS ADa Semicircusi criplum csIC; led d Partes Par-
cium respectire lumptarum; puta bBr, bBBb, b Ba A, criplas parcium aBa, Ba B.
BaR; _ sic ubique: Ted in Spacio Cillocida: fig. 205. non modo tocim bb A a
(spatium incerminabile) criplum corius Semicirculi A Da, (adeoque Semicycloidi
A= a H1z. 166. aequale:) Sed d porciones Da A, ba b, ba7, 15. 205, EriplaS rC
spectirarum Semicirculi portionum aBa BaB, Ba A; e sic ubique; (adeoque
ipsis Semiereloidis portionibus, bBr, bBBB, bB∞ A, _c. fg. 166. respectire Cumip.
IS, aequales.) Duod Vir Cl. Christianus LTueenius me primus monnit.
Verum haec, ne nimius sim, mihi nunc non elt in animo ulcerius prolequi; ne-
dum quae ad parcium Centra graritatis spectant, quaeque hinc dependent.
Id incerim monendum duxi, Polle quidem eandem curram alio adhue modo
construi.
Cumenim (ue ibidem ex Pappo demonstracum est,) ducta diametro BC B
junetaque nm AB, cum BB, guX rectam A a SCCet in V; Sc (Propter cum BB bi
sectam in HI, cum BB in C,) BV b, ipsi C. II parallela; adeoque angusi ad V recti:
erune V a V B, V A, Vb, concinue proporiionales; hoc clt (poticis, AV = 2
(Ouod perinde valet, sive sumatur B, in AB D curra intra Semicireutum: sive
in eadem exera Semicirculum continuata.) Adeoque, Cumpio ubiris in ABG se
miperipheria punctoB; sumpraque ad VB, V A, (seu s, 2, linum rectum et ver.
Tum AECuS AB = a,) cercia proportionali-; erit haec aequalis ipti b V ordina.
tim applicacae ad Diametri Aa punctum V. Ouxque per omnia b puncta tran (it
Ab b, est ipsa Cistocidalis curra. Sumprilque AV == 2, arictimerice proporciona.
libus; erunt omnes = coridem b V spatium Cistoeidale complentes. Cujus qui-
dem portio ABa, cum cripla sit segmentia Bay hoc est sexmenii, A B A ) CriL (Per
SG. proP. 15. ) 30 R, CCu 2 a R = 35 R.

## Folio 906 — 851387705:0926
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000926.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis.
c16. 23. Sed et sic potest construi eadem Curra.
Cap. V.
Ducta recta a B F quae tanoenei F A P occurrat in T; erie ubique Bb = A F.
Fs enim a V. VB:: V A. Vb: : a A = a V + V A. AT =YB + Vb = Bb.
SC HOZ. TV M.
TAne Cqsoeidalis spata menturam, me primus monuie (sed absque Demonstra.
LLrione) Vir NobiliA. D. Christianus Lusenius (acuri ee lasaeis ingenii Vir)
literis ad me datis S Aususti 1658: Solicitus; An id exo poltem consequi metho-
dis meis in srithmerica Insinitorum cradiris; (quas ibidem ille summe comprobat
_ collaudat;) pront me nocar ante Fecisse ( in Commereio Epistolico, tum nuper
edico, Fxist. 5 e 16.) in D. Fermatii Lsyperbolis Infinitis; (nondum ulique
Sciebat Vir Nobilistimus, id icemme secille in Cycloide; cum ille De Crcloide II
ber nondum prodierit; sed Annocum sequente 2659, una cum Tractatu Lipisto-
lari, ad illum seripio, De Curvis Rectisicandis e Complanandis.)
Ouod antam dedit ea conseribendi quae hac de re habentur in Fractaru illo
Epiltolari: Quo constaret Nobilistimo Viro, Fildem Mechodis, directo ordine,
huc perrentum iri polle; etiam cum Luero.
Post autem editum Fractatum illum P. piltolarem; acque hanc etiam Secundam
Mechanicorum partem: Dignacus cM Vir Nobilistimus (d me TOBaTUS) luam
ejusdem (Ciltocidalis Spatii) mentura Demonstrarionem (ad modum Veterum
Constructam) mecum communicare. Juam cgo (ne perirer) Cubjunsi, canquam AP
pendicem, Mechanicorum Parri Perriae (Cap. 25. prop. 2.) meamque aliam cidem
consulco accommodatum: Quas ambas inde huc cransterre jam vitum elt,s uc in
locum debirum.
906
demonstratio D. Tuvenii.
Ouod Spatia Cissocidatia b a A, B a B, B a2, ec. sint tripta respectivorum in Se-
micirculo aBa Ba B, Ba A, _c. e sic ubique. D. Fusemi Demonstratio crat
ad une sentum; (verbis nonnihil, iplo intinuante, muracis;) quam porui proxi-
me ad mentet tulalis etea.
acit A CB, semicireutus, (cui Centrum Z tans
aerincsis inde Sclua. Cusco dac proprietas, ut l ubique AC = F. F. AIque ci
enS BF) _ AV P F. Ciltoides
E prOdVCtA Ocbilinabi  L.
es dem Semicirculo (scortum tranceripio, quo ricetur linearum contusio,) circum
es ponatur ABS circule alao (Ce   lo,) cui AC
l BCO

## Folio 907 — 851387705:0927
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000927.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
l1op. L2.  ciatt cdiais.
cc DicO, SpasiuM A V P E FB aequari Pripio seemento C B F una cum Frianeulo
aNOB: HOC est, Sectori AR B una cum Spario C VBK. FI enim Secm.
ccCB Y =Spat. C FBK. Nam (juncta C Z,) CxIt ANS. CZ. B =- Z AnS. C AB
ec Adeoque Sect. Z. CB = 5Sect. AKB. ErgOSect. Z CB = Priang. AC7 1
cSDaT. C TBK. Auterancur aequalia, hine Frians. AC.Z, inde Prians. Z. C. B.
Fic, Spat. C F BK = 803m. CB Y
 Ostendendum ergo, quod Spat. AVPKF B = Sect. AKB f Spat. C LBK.
 (Praesumitur autem, tanquam facile demonstraru, per noras exhraultionum me
cc codos, Sectori A L. B Inseribi posse e Circumseribi ficuram Dentatam, ita ut
ce sera alteram excedat spatio minore quolibet dato: Et similiter, Spatio Cissoidali
cc A V P F. XB.
ac Si dicamr Ciltoidis Spatium AN L L. H B, TNUS CNC GtaH Scll. AL BF
amilta perpendiculari C R) ut AB f BR ad R A. FrBO, componendo, VTa-
DeZ. E. C F Frians. ACil ad Triang. A C. L, nt 2 AB ad AR; TIOC est, ut
2 Ouadrat. AB ad Ouacrat. AC; Hlocett, ut 2 Oi. A R ad Ou AC; HOC est,
cc. L FrapeZ. C. N = LTap.  C CatetIS. LISO, LBMTa III SeclOrC
ec In(eripia F OMM. FTaDCZ. C H = PIBUEX Spatio CModis Inlcript. Sed H-
a Ciltoidis spacium A V P H. P B  a aGuatur CRAPOCC SCOARB F Spac
aCFBK. LreOHBura i Cilloide ipso Cilsoidis spacio major exic. Ouod clt ab.
ec furdum.
a Cp2t. C T BK: Sit horum excettuS 2. FC inseribatur sectori A R B tioura ordi-
a pate, ut duplum omnium Fllincorum d ND _C MIIIS quam su. Et CiIoidis
cc Spatio AV P F. FB, Aigura inscribatt ex toridem arapestis. Otendetur Fra-
a perium L. F O ( = FFIanS. AR N F Prapez. C. N. EHt enim Fraper. F C ad
a FrianS. ACP, ut F G-F F O ad C. L, (quia eandem habene alcicudinem;)
aHOC elt, uE F A f AF ad AC; HOC ell, vE A F F FC ad AC; Hoc eAt, (de-
eC 2 FTIanB. AK N ad FrianO. AC L. CIBO, LFapCZ. H. G -F FFianS. ACL
C2 Frians. AZ N. Ft, ablaco utringte LFIanS. AC L, IaHCB LLTaIIZ. A AH
agura in Sectore altumens omnia L NB, item Frapezia C N altumeneia omMid
KND, ilta inguam omnia simul Cumpra superant Sectorem ARB. L SpaL
CFBK. AIBO Hgura in Sectore L craperlto CH lHoc est tieura in Cirtoide,
Dicacur jam Spaciu
ac astumens spatium s, lonse superabit Sectore AK B. F (pac. C P BR. Sed ipsum
in AVP F. PB, majus
a i
a sine miltota excelli s. Fr Cistoidis spatio, figura ex toridem Frapeziio; (nili
e quod, Pro ulcimo Traperio, habeatur in Cilloile Frianoylum A HLB = Lrians.
A HB Moectore.) Ostendetur, ut supra, PrapeZ. P O F G = FrianS. A D. N +
K
aSitque excestis s. Fx circumleribatur Sectori Fgura, ut omnia K N D bis TuM PCA
Tcaper. L. D. ErSO, corm figura circumseripra Ciltoidi, aequalis circum lexipia
12
dectori

## Folio 908 — 851387705:0928
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000928.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
O
De Calculo Cent t.
et R DVI, reliduum minus erie quam Sector AKB f Spat. C LBR. (Nam DrI-
mum auferendo omnia P DN, a figura circum seripea Sco Tenguitur Sector
ARB: AC eadem K D N anterendo a Frapeziis L D, LCnaa omnia Limul mI-
ec nora Tunt spario C F BK: Ouin addiris rurtus spatiis L. IC, Cusla LMuL aequan-
cur demum spatio C F BR.) ErgO, Si ab his iplis, a HMa HUMTUM circa Se
ctorem F Frapeziis L. D; Hoc Ct, a Figura spaci CMo Cicumleripca; Au.
spacium ipsum Ciltoidis dempto 2 aequale dicebatur his ip sis. Lrgo Cistoidis spa-
rium majus exic tigura sibi circum seripta. Quod elt abluraMI.
 HIoc itaque demonstrato, Quod Spat. A V P F V B = 2 Scom. CBT F Tri.
Cap. V
a geCtori-L omnibus Praperiis F D. Sed ab his si demantur bis omnia Frilinea
a ang AC. B: lache unce, duod, Spatium infinitum AVP F. YFB = = 3 dc
HE FETAtUE SI: Religuum multo minus erit SeCtOre ARB F SpaT. C TBR. Scd
micirc. AC B.
acTrem, Duoa Spatium AV PF. B = 3 Segment. C BF.
Aeque tractenus Demonstratio D. FFucemi. Alam le dicit ad D. Stuscum olim
milille, an  tu sle  att.
Tdem alicer.
Fnic D. FTueenii demonstrationi, liber etiam meam Tubjungere, (JTueenianae
llclo accolaocatam) d caltte inte colulam qua tutta iut lietoide ulllo
tum; rerencis item cildem Symbolis. Nempe.
fi
Fig. 169, Incelligatur (ut, in Cyeloide, SC, FI. prop. 20. e alibi,) Semicireuli Genitoris
174,332. peripheria ADa in punctis Z, B, D, _C. in partes quoctibet aequales diridi; puta,
complencia tiguram Circumseriptam, quorum unum (icB a Y; rel denique lGuoe
hic pocissimum sequemur) complencia figuram parcim inseriptam parcim circum
scripiam, Glorum unum sC L a L.
Ouibus respondeane Friangula (sim concrario) ad Cireutum, BA P, BAY,
P AX; ad CilToidem, b A P, B A Y, P AY; ad PansenteM, BA X, BAV, n Av; de
Friansulorum ad Cilsoidem, et ad Pansencem, disserentix) Prapezia bB F P
bB,Y, DXVY. Oux quidem (figuras parcim inscriptas parcim circum (criptas
spectantia) P a Y, P A Y, P AY, = A0, P = vY, repraesentent axes sui aB, AB, AB,
AB, bB. Ouanquam enim, in sectione detinita, major sic B X quam BP, adeoque
by quam bB, et B0 quam B r: neque rectae AZ, aD, in eodem Y puncto pE
cile coeant; aut rectae a X, AD, in eodem praecile puneto P: Sectione tamen in in-
Finirum continuata, disterentix illxe cranelcunt; adeoque hic pro nullis habendae,
iplaque recta PB = B X arcui e B Y = BD, et PBY = XBD. OC, ex Tupra
traditis de Creloide, liquer.
sin PBY = B; AdCOque (proprer hujus alcicudmet A ==,) ctit Prrangulum
PAY, TCU AB, = =D. SCd (provter similia criangula) vt recta AB ad AB,
e ad AB; hoc estu ut A =B, dd AZ = a. V = h, et ad A9 = 2R; EC est
XB, BD, vel ZBD, ecc. Onibus respondeant Sectores XaB, BaD, vel XaD
Sec. Semicirculum complentes: Seu (quod in partibus intinire exisuis tancundem
ralee) Friangula tiguram Inlcriplam comptera, quorum unum lcB a l; ve
Tis ita constructis; Ponamus Friangnlorum P a Y, P AF, (seu aB, AB,) ba-
Ct =B, ad side ad   - ro. adebusu C proprer aiicueinem, illice

## Folio 909 — 851387705:0929
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000929.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
PFOD. XXIZ. De Calculo Centri Cravitatis.
A = = B, hic A a = 2 R,) eric Friangulum ABY, Seu AB, -
20i dt A rV
seu AB, = 4 =; et (horum disterencia) Fraperium pyun, (eu bB, - 4 - B.
HOc elE (propter B = 2 R = v, ad eoque B2 = 4 R 2 = 4 V R = v2, _ 4 R2
=4. V R = 22,) += ~ B. FE SC ubique,
Ve igitur, Omnia A B Friangula, hoc est Omn. ZV B. (sumptis arcubus a arichmetice
proportionalibus usque ad a maximum seu arcum A B, quorum communis differentia
B,) complencia ret corum Semicirculum ADa, vel illius Sesmentum AB A, vel
Sectorem BAa; ad Omnia PYVr, hoc est Omn. 4 P -
cum spatium Cistoidale interminatum O BB A ar, vel ipsius partem (icem inter-
minatam) bBr areum AB spectanem, vel partem reliquam A b bBa areum
Ba spectantem, (nam de toro et de partibus perinde valet demonstratio;) vel
(Propter omnes ? Pinricem aequales) uc Omn. V, ad Omn. 4 R = 2, eo spectan.
tia; lic spacia illa Circularia, ad resrectira Cissoidalia.
Sunt autem (sumpris, ur dictum est, a arichmerice proportionalibus) Omnes v
arcum AB Spectantes, (hoc cA, ADR Ag. 170.) =e R (Per S B. prOP. 17.) 8
Omnes 4R, = 4 a R. Adeoque Segmentum AB A, ad correlpondens spatium Cil
Soidale bBr , uc e R ad 4 a R = e R, hoc est, ute ad 4 a = e, vel (Propter
e == a - - 5) UE a = 5 2d (4 a - a - ] 5 =) 3 a = 5. F.S aUTCM SCGMENTIM ABA.
=ECR = = a R = ZS R (perSG. PFOD. 25.) FrgO, Spacium Cilloidale DBT.
=3a R = =5 R. Hc additis Friangulis illic a B A, hic aHB, (invicem aequali.
BuS, propter aequales bases AB, BB, ee alcicudinem eandem,) quorum utrumris
5R; tiet Sector Ba A = Za R = =s R, et Spacium CiMoidale a bQ7 = 3 a R +
25 R, Sectoris Triplum
Similicer; Omnes v arcum Ba Spectantes, (hoc est R B Z F F3, 170.) =Z ~ R
eR = = P R = a R + 5R = a R ] sR (per GB. PTOP. 17.) _ Omnes 4 R.
=4 u R. Adeoque Scctor B Aa, ad correspondens Spacium CilToidale ABBB a
UE a R L 5 R ad (4 a R - a R - 5R =) Z a R  5 R, HOc ClC, UC a + 52d 30-
Fst autem Sector B A a = = a R-  :s R (per SFL prOp. 15. ) ErsO, Spacium Cis.
Lo
todale AbBBa = 3a R = =5 R. Fc, sublacis aequalibus Priangulis, (illic a B A
hic a bB,) = 5 R; tiec Scemencum a Ba = Z a R = E5 R, e spacium Citoidale
a b b A = Za R = 35 R, Seementi PriplUM.
Porum aurem, quod AD a semicirculum spectac, Spatium Ciltoidale AbbOra
urroris modo consequemur, propier eranelcentia criangula aB A, a bB; lcy
5R = 0
Eadem non mulio aliter contequemur, ope Triangulorum P∞ Y. Nam, Ut
(Omnia Friangula P a. V arcum A B spectancia, hoc est) Omnia = B B, ad (omnia
respectiva Fraperia B Yva, hoc M) Omnia   = B; seu ut Omn. b. ad Dmn.
4R = v =) 2R + b; SC Sector (quem illa complent Triangula) B a A, ad Spa
tium (quod ea complene Trapezia) BbQr. Sunt aurem Omn. B, eo spectancia
(HoC Cst ABBatB. 170.) a R F sR (per SB. prOP. 17.) adeoque Omn. 2R f 1
respectiva, 2a R F a R F sR = 3a R = sR. ErSO, u a R F sR ad 3 a R +
SR; SCuUE a F sad 3 a F s; sIC Sector B a A = ; a R F 3 5 R (Per B FI. prop. 15.)
ad Spatium BbOr = 3a R FZS R. Si huic itaque addatur Prianoulim Bpa-
a BA = 5R; Het tocm spatium a bO7 = 3a R f 35 R, criplum SectoriS Ba A.
Tiem, uc Omn. (Frians. Pa. L, Teu) EB B areum B a Spectancia, ad Omn.
(TraPCZ PVVr, sen) 4 = Brespectiva; seu Omn. B uet Omn. (4 R - v -)
2R = B eo spectancia; sic Segmentum (quod illa complent) aBa, ad Spacium
(quod haec complent) Bbb Aa. Sunt aurem Omn. B areum B a spectantes (hoc
eltus bBr Ai8. F70.) a R = sR (Der SB. PrOP. 17.) adeoque Omn. 2 R = b xe.
spectira, 3a R - 5R. ErGO, uE a R = sR ad 3 a R - 5R; sen Vt a = 5 2e
a = 5, lic Segmencum a Ba = = a R = = s R (per SG. prOP. 25.) ad Spatium
BbbR. a = 3 aR = = 5 R. Unde si auteratur Friangulum Bb a = a B A = sR; rC.
Linguitur

## Folio 910 — 851387705:0930
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000930.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
DeCalculo Centri Cravitatis.
linguitur Sparium a bb A = 3 a R = 35 R; Friplum Segmenti a Ba.
C ap. 1.
Elinc tacilis estet ad Nlomenta, ee Centra gravitatis (ubi habentur,) Solidaque
mechodos Lupra lapuus actbIlds.
condertere sacla, corum se (uoaden cnca artatio, cattuto, det
eROP. XXX.
A. P. In Conchocide, quae ad Arem Ordinatim applicatur recta cemponi-
15. 206. Tur ex Sinu recto e Tansente ejuldem Ansuli: Ft quieem ejusdem
C.
Circuli in Primaria, (ubi PC _ CA aquantuE,) s diverlorum
in aliis.
tdsa couat denn emleate ed CAOOtL Ca 
drante Genitore CAR, et Agura Pansentium R B AOO; ad cun-
dem radtium aestimatarum in Conchoeide Primaria, (ubi C A, PC
aquanEuE;) Sed, in Secundaria, ad alium; (nempe PC:) Majorem
quidem in Protracta, (ubi excentricitas PC major est quam AC
alcicudo,) in Contracta vero (ubi PC minor cA quam C A) mi
nOrCM.
Atque, in Conchocidibus diversis invicem Comparatis; Genitores
Ouadrantes (corumque segmenta respectira) sunt in duplicata ra-
tione Altitudinum C A. Reliquaque spatia RB AOO, (eorum.
que respectira segmenta, ut ABO, rel OBBO,) S Alicudines
CA aequales sine; sune in ratione Fxcentricitatum: Si Fxcentrici
tates PC sint aequales; in ratione Alcitudinum C A: S neutra;
in ea quae ex Altitudinum ex Fxcentricitatum rationibus componi
tur; seu in ratione rectangulorum CP A.
A. F. Conchocidis Planum (Currae et Resula interjectum) interminabile
C.
est, et maenicudinis intnita.
Ejusdem vero Momentum, respectu rectae C H quae Resula dici Colet
sinicum est: Ongulaque eidem insistens, aciem habens Regulam CII:
Solidumque Plani circa Regulam illam convertione Facti: Tunt qui-
dem Intorminata, sed Masnicudinis tinitae, et nol. Quod ee de
partibus, uC ABO, perinde valet.
Plani Semi Conchoeidis Contrum oraritatis nullum cA, (Peu, quod
eodem recidit, non nisi in infinita ab Axe distantia:). Sed néque
Ongula, nec Solidi conversione facti.
C. H. I. Idemque obtinet de scementis OVCF, recta CHTF adjacentibus;
atque de Ongulis Solidisque co spectantibus: Sed non item de
Segmentis
TI.

## Folio 911 — 851387705:0931
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000931.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
PFOD. LL. De Calculo Centri Ceravitatis.
Scomentis remotis AVO, seu ABO; aut ungulis Soliditre ce
spectantibus. Sed neque de Ongulis Solidisque quae Conclioeidem
totam spectant (utringue ab AC Porrectam) uae Contrum ora-
ritatis habent in ipla AC rectas
N exposica quavis recta AP, dicatur P volus, A vertex, punctumque quodris
intermedium C. Cenrrum, rectaque intinita C FIII (ad exvolicam AP perpen-
dicularis) Regula: Acque incellisatur A P recta (ad partes Pquantum opus cst
continuata) circa Polum P manenrem lic converti, ue C punctum in recta CFI
perpecuo mancat; punctoque sui extremo A, curram designet AOO: Hanc cur-
vam veteres Conchoeidem dixerunt.
pranitestum autem est, (Propter rectam PO, regulam CH Secantem in H,)
punctum O ad CHI regulam nunquam perventurum: Sed e (proprex HO per
pecuo aequalem ipsi C A, et sectionis angulum continue aCuTiOTEM;) eo tandem
verventum iri uc puncti O ab ipta CHI distantia Fucura Cic data quaris minox:
adeoque rectam CFIHI ad curram AOO Alimpiocam esse; spatiumque, inter-
minabile. Quae demonstranda erant.
Cenro C, radio C A, deseribatur circuli quaclrans C A R (quem Cenitorem ap.
vello) resula CHIHI occurrens in R; licque ordinatim applicata qualiber in Oua-
drance VB, in Conchoeide YO, (quadranci occurrens in B;) junxancur CB.
Manitestum est, (prOPter aequales C A, C B, HIO,) parallelas elte OB, HO,
hoc ele, CB, PO: adeoque ansulos ACB, A PO, aequales este.
Fst aurem VB, Sinus Rectus Anguli ACB ad radium AC; E CFI, hoc est
BO, ejusdem ansuli APO sCu A C. B, Pangens ad Ractitim PC; (quani F V-
centricitatem appello:) Hoc clt, ad cundem radium, uibi PC, CA, aequantur:
ad dirertos, ubi non aequantur. IIas cgo Conchocides Primarias appello; has
Seccundarias; et quidem vel Contractas vel Protractas; prout Rxcentricitas PC
minor est vel major quam Crenitoris radius CA, quam Micudinem apDello. Puta
in Ai8. 207. AOO est Primaria; Sccundaria vero, A00 Contracta, d A cco
Protracta.
Adeoque; ut in Creloide, Ag. 166. Ordinatim applicata qualibet b BV, com
Donitur ex Sinu recto BV in circulo genitore; et ex BB, quae respectiro arcui
aequatuT; nempe ipH B A in Cvcloide Primaria (cujus Balis f a r aequatur ve
rimetro Circuli genicoris,) vel in Sccundariis, (sire protracta line, lire contractae,
Tunili arcui alterius circuli; cujus nempe perimeter xequalis elt expolitae Oreloi
dis bati; (uc ad prov. 20. hujus ostentum elt: ). Sic in Conchocide Hg. 206. Ordi
nacim applicata VBO, componitur ex sinu recto VB (ad radium C R inseripii
Ouadraneis C AR) et ex BO, hoc cs C II, tangente correspondenris anouli; e
quidem ad cundem radtium, in Conchocide primaria (ubi PC, C A, aequancur;
sed in Secundariis, live protractis sive concractis, (in quibus PC, C A, non aeguan-
tur,) ad divertum; nempe, ad radium PC. Ouod icidem erac demonstrandum.
(Ec quidem num illud ante me quispiam animaarerterit, neleio.
Componitur itaque Semiconchocidale Spatium interminatum C AOOHY, ex
CA R Ouadrante Genitore, _ RB AOO, Figura Fansencium (diltorra) unius
quadrantis, Racio PC conreniencium, linibus vertis arichmerice proportionali
bus respondencium: Sed, quae alticudinem habeat AC Parirer aique componi
cur Semicycloidale spacium Ara fix. 166. ex Semicirculo Grenitore AD et
ADar figura Arcuuni distorca (linibus versis arichmetice proxorrionalibus re
spondentium,) ad eundem cum cireulo genitore Radium, in Primaria; ad aliur,
in Sccundaris; sed quae Alticuainem habeat eandem cum Crenitore circulo.
Hinc sequitur; In Conchocidibus divertis, ejusdem alticudinis, (incellige, qua
rum eadem sic ractii C A longitudo, seu magnieudo eadem quadtrautis Genitoris
CA R,) Sed quae inxquales habeant LXCCHErICitateS PC; Conchocidale spatium
(quod excra Circuli quadrantem est) RBAOO, (quam Tansencium tiguram
ele, jam ostendimus) vel eriam ejuldem altionatum quodris seomencum lordi-
natim applicata ableiltum) ABO, vel duabus ordinarim applicaris incerjectum
OBBO; in ea ratione majora elle rel minora, qua majores sunc vel minores sux
respectirae Excemricirates PC. Pam qua racione creleit vel desereseic racius P C
eadet
22

## Folio 912 — 851387705:0932
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000932.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
DeCaleulo Centri Cravitatis.
CaD. 
hoc eltu omnes BO, spatium complenres, R AO, vel BAB, Vet OBBO.
secur vel minuitur sparium quod compleur illa rectae. Lllla, (118. 207.) Spa
cium ABO in Primaria: ad AB, in sccundaria Contacta  RBC, IM FYO
tracta; eam rationem habet (propter car a   esca adet L. dccuut
citas PCy ad p C, et rC. Ei sic ubique.
Si velo, eadem manente ExCentricate P C, mutetur Alimdo C X, cunrespe-
ctira spatia ABO, esc. alcirudinibus illis proporrionalia. (Sempe, propier cal
dem laricudines respectiras.
Adeoguo, Imuientur urraque; erunt respectira Spacta, In ed Latione qua com.
Donitur ex Lationibus Alcicudinum C. A, ec FXCCMCitatum PC: hoc est, IN Fa
Primus indicabam cso, in Coma LpstocO, L. puIL. 39, 40.
elt quam uc demonstratu opits liI:
eadem ratione erelenne vel decreseunt Tangences omnes (respective tumpex) C. F,
Adeoque (propter caldet ctoue ts alcces) i Cactem ratione au-
Ouactrantes autem Genitores, E alcildines (hoc ellu radios,) aequales habeant,
aequales else; sin inaequales, in Radiorum luorum racione duplicata ele; nocius
Duod aurem Conchoeidale spaliuut sicetmimacum, sic etiam magnicudinis Intini.
tione rectanouli PC. A in una, ad rectansulum P C. A in altera. Ouod (credo)
exe; lic collixim
SC
pencium contideremus: P’artique (CxCusp Duadrance genitore) relticuamus in
sicum proprium, uc in sio 208. ubi recla 6S, figuram Fansentium complentes,
dinacim applieaneur. cue
nus aliquantisper Ouadrantem genitorem; ee adjunctam figuram Fan-
Tinibus versis A V arichmeriee. proportionalibus respondentes,) ad axem C. A Or
tlto aurem, l18. 208. lumato eta IC.
orsum exemptus: lumproque, ubivis in CA
radio, puncto V; exit V C. (ejusdem a cen-
Ero distancia) sinus complementi, ictius an
Fuli cujus A V est sinuS versuS, e V B SinuS
rectus, e A Y FangenS, est autem (Propret
Uimilia criangula) ne CV ad V B, lic C A
ad AT; Hoc ett (POGciS V C = N, VB = 5
A = 

## Folio 913 — 851387705:0933
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000933.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
PFOPXXX. DeCalculo Centri Cravitaris.
CA = R,) ut x ad s, sic R ad = R = A F = BO.
Si itaque sumi intelligantur, uc (in fig. 208.) CV Ceu _ arithmetice prOBOT
tionales; vel, his aequales, Vu criansulum C. Au complentes: Sumpris ubique
nc _ ads siC R ad quartam; erunt illa quarta, series toridem AI, hoc cAt, toci
dem BO, complencium R B A O fipuram tangentium.
Sed (neglectis aliquandiu terriis R) perpendamus quid fucurum FE, EI, prO R.
Substimerentur cocidems: Adeoque sumerentur ubique, ul n ad slic s’ad quar.
tam. Frunc urique illae quarcae, rocidem: Hoc est, (propter, in ti8. 209.
YB4 = CB9 - CY4 = C A9 - CY 9 seu P = P. = ~,) cocidem  ; seu
rocidem = - v.
Sune aucem (propiex  arictmetiee proportionales, ab ipso C puncto, seu 0
ordientes; ee P2 eandem ubique quantitatem;) Omnes = Series ReciprOCA pri
manorum (per deL. 2. hujus.) Tndicem habens = r. Adeoque ad seriem coridem ulcimo
aequalium, hoc est ad cocidem RZ, in ratione intinita, (per prop. P. Vel 7. hujus;) e
Dropterca, magnicudinis intiniea. (PAque rerera, Spacium Hyperbolieum exierius,
Curra ec Asimptoris interjectum, ue ad prop. 3L, post oltendetur. Pademque l’igura
Secantium, sinibus versis Arichmetiee proporcionalibus conreniencium; Proxter
proportionales, in f8. 209, CV = v. C B = R:: C A = R CY = =.
Scd Omnes v, sunc series Primanorum; adeoque tinicxe magnicudinis: Nempe
ERE Seu Z AR, (Der PrOD. T. vel 7. hujus:) cancundem scilicet acque C A u Pri
angulum, quod complent rectae Vu iplisx aequled.
Fx prOpterea, Omnes = - x, mgnicudinis acttiue infinica. Nam sinicae mueni.
tudinis ab intinica detractio, relinquit adhuc infinitam.
Verum, quam jam consideramus, Fisura Pangencium eriam achue major ct:
Ouippe Fansences Lingulae, sunc (non quidem cocidem = sou =
- sed
coridem : Adeoque, (Propter R; ubique majorem quam sy) Series Omnium
seu Fieura Tangencium, major erie quam Omnium ; adcoque mulco ma-
sis erit magnicudinis intinitae. Adeoque mulco adhue magis, Spatium Conchoci.
dale, seu Semiconchocidale C AOOHI, (ex quadrance Genitore, et hac tigura
Fangencium, compolica,) magnirudinis exir intinica. Quod demonstrandum
TuscepimuS.
Verum quidemete, in Conchocidibus Secuncariis, iplas BO, non elte cansenres Fie. 2a5
ad radium C A, sed ad radtium PC. Hloc tamen intinitari figurae non derogat
quippiam. Si enim P C major sic quam CA, sigura R B AOO in eadem ratione
auSetF, (uE SD. oltensum est,) non minuitur; adeoque non minus erie intinira.
Sin PC minOr FE quam C A, minuitur quidem figura RB AOO; sed non nili
in ea ratione minuitur, qua PC minor ett; Hoc elt, in ratione finita: Ouod au
rem intinico non nisi inrarione tinita minus ell, etiamnum elt intinicum; adeoque
Plani intinicudo non destruitur. Salrem, nil incellisatur ipla PC venitus cra
nECCerE (UE P C quam C A sic intinicies minor) coincidencibus P C punctis; quo
calu Conchocidale spatium degenerabir in Ci AR quadrantem.
Ouod aucem Planum hoc, utur magnicudinis intinicae, Momentum respectu F
Regula suX C FI HL Finirum habeat; adeoque Ingulas quae aciem habeant Regu.
Jam illam, Solidaque circa illam convertione facta, magnicudinis esse fInIra
(quod nos, ni Fallor, primi docuimus, in cubjunctis Tractacui de Cyclocide;) lic
Oltendimus.
Guodnrats
u L. L. L. Z

## Folio 914 — 851387705:0934
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000934.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
DeCaleulo Contri Cravitatis.
Cap. V.
Fi3. 200. Ouodnam habeat momentum Ouadrans genitor C A R, resvectu recta C R,
ostensum elt prop. 15. 59. nempe Z P3, (semilsem scilicet iltius quam haber Se-
micireulus relpectu diamerri fux:) Atque cancundem elt Semiquadrancalis Vngula
eidem intistens, aciem habens CR: Solidumque iplius convertione circa C R ta-
Etum (uepore ad ungulam illam uE P ad R,) Z R= P: nempe Hemispharium.
Plani reliquum, RB AOO, ex Tangentibus constan seu rocidem BO; FIoc
est, in Conchocide primaria (ubi PC = C A = P, ) coridem  seu = R; in Se.
cunctariis (Potico DC = 5) rocidem == seu = P: (Nempe in ea racione vel lon.
siores vel breviores quam tangentes ad radium C A = R, qua, P C. = e longior est
rel brerior quam Ci A.) Duxe l ducantur tingulae in luas ab C H distancias C V = a
tiunt cocidem sR vel se. Sunt autem omnes s, idem acque circuli quactrans C AR
quem complenc; DuTa SR P, (per SD. prOp. 25,) Adeoque Omnes SR, Teu
Omnes se, idem atque quadrans ille in distanria R vel e suspentus; hoc Ct, 3R 22
vel ZP RZ: Cui itaque aquatur Momentum Omnium BO, seu plani RB AOO,
in suo loco suspensi, respectu rectae C II.
ex similicer ostenderur, Ongulam semi quactramcatem cidem insistentem cujus
acies CHI; hoc est Omn.  X N, Teu Omn.  Z~ cancundem esse atque Omn.
s teu Omn. Se. Hoc est, circuli quadrancem C A N in alticudinem R, Teu e
CP ductum; scu Cxlindrum quadrancalem, cujus BatIS C A R quadrans, e AI
cicndo spti C. P aequalis: Nempe, SR= P vel SER P. Solidumque convertione
plani R B AOO circa C HI tactum (urpore ad Ongulam illam, ut P adt R, ) can-
cundem acque Cylindrum quadtrantalem Tuper eadem Base C. A R, alcicudinem ha-
bentem aequalem Peripheria radio C P deteripex: IlOc CA, 5 R D 2 Fep L B
Idemque, eadem ratione, in parcibus ostendetur. Nempe, Momentuir (ex
menti ABO respectu CHIFI, idem acque segmenti AV B in distancia R, vel 
C. P. luspenli. Ungulamque semi-quadrantalem cidem ABO insistenrem aciem
habentem C HLII; tancundem elte acque Cplindrum cujus balis sic a V B ee alci-
cudo C.P. Solidumque ejusdem A BO convertione cirea C. FTHI Factum) tantun-
dem atque Cylindrum cujus balis sit idem AV B scementum et alcicudo aequalis
Veripheriae radio C P deleripta. Perinde enim procedit demonstratio de parcibus
respectire sumpris, atque de tOris.
Plani vero totius C AOOHI, aut etiam torius figuexe Pangentium RB AOO
Cencrum gravitacis nulsum elt. Cum enim Momencum (uc jam ostentum est) sII
Finicum, ee Magnicudo Intinita; Si illud per hanc diridi intelligeretur, prodiret
Centri gravitaris 2b CFTFT distancia infinite exigua: Nleque camen in ipla C HI
elle, commode dici pollet; quippe cum cocum pondus ad linas partes rectae CFIHI
(quam elle ranien axem Aiguilibrii OPOTLCTeE) POnCretUT. Ttem, cum Spatium
jam octendatur intinicum este; in quacunque ab A C. distantia finica poni incellise
recur Cencrum gravicaris; eller, circa illud, pondus finicum ee in distancia tinica:
Sed utera Cenerum illud, pondus intinicum in distantia irem intinita: quod cum
nacura Cencri gravicatis non consistit. Nullum isicur erit Plani corius Centrum
Graricatis, vel (quod eodem recidic) nonnili in intiniia distancia ab A C.
Idemque limilier ostenderetur de torius porrione OV CH, vel OBR, quae
rectae C. HIHI adjaceat. Omppe quicquid id sic quod ultra V BO abscinditur, fi.
nicum erie, (uipore undecunque cerminatum;) reliquumque quod iptie HFL ad.
jacet, manebir adhuc magnicudinis intinitae.
Seomentum vero quodeunque remotius A VO, vet A BO; cum et Momentum
finicum habeat, et Maxnicudinem tiniram acque undecunque terminaram; habebu
etiam Centrum graritatis.
En Ongula Semiguadtrancali, aciem habence C H, quae sineulis BO rectis insi-
Aunc Parallelogramma rectangula (ungulam complencia) Tunc (proprer longi-
cudinum  seu , in respectiras altitudines, distanciis a sequales, ductas) co-
tidem sR TCu s8: Oux tancundem sunc acque toridem rectangula respectiris
VB = s insistenicia, communem alcicudinem habencia R, TCu S, = P C. Suntque

## Folio 915 — 851387705:0935
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000935.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
CxOp. XXX. De Calculo Centri Cravitatis
in eisdem d C H H distantiis. Adeoque eadem habent, respectu ipsius CH E mo. F18. 20
menta; cum sigillatim respectire sumpta, cum simul omnia. Hloc cst, idem est
Momentum Ongula RB AOO (ejulre segmentorum, ordinatim applicatis ob
sciltorum, ABO, OBR,) acque Cylindri C A R (hujulre sesmentorum respectire
Cumptorum, AVB, BV CR,) respectu ejusdem rectae CTIII
Distat aurem quadranris C. A R ( adeoque Cylindri huie insiltentis, per SF.
DEOP. 5. hujus,) Cencrum graritatis a C FTFI
A
3∞3 l Der S. PrOD. 25.) quae
in quadrancis magnicudinem J. R P ducta, extriber quadranis Momencum respectu
CHH, :R; adeoque (propter altitudinem R vel e,) Cytindri momentum : R a
vel =eR3. Idemque proprerea momencum erit Ongula L B AOO respectu ejus
dem CFIF. Arque hoc Momentum, per Ongula magnicudinem 5RD seu
EPRP, divitum; exhibee distanciam Cencri graritaris (si quod SIc) vel Paltem
axis A. quilibrii a CHH (incellise a perpendiculari plano luper recta C. HI L
erecto,)= . (Fancundem urique quancum inde distat per BC. prop. 15. C en.
irum Braricaris quadrantis C A R d C FTR, seu Semicireuli ab ea cui adjacet dia-
metro.) Fc propterea, Solidi Semiconvertione circa CHHI Facti, Cencri pravita
ris inde distantia, (uipore ad illam Onoulae, ue 2 R ad LP, Teu 4 R ad P, Per
SP. F. PrOP. Z4. BujuS,) 32
D2
Similiter de Ongulae Termentis, puta quae ipsis ABO, OBR, intiltunt; proce-
dendum exit. Sunc utique illa aequalia respectiris Cylindri legmentis, quae iptis
AVB, BVCR, insistun; acque in eildem d C. HIHI distanciis; adeoque e aequa-
lia habent momenta: quae quanca LInE, ex proP. L5. hujus, Facile clt collisere. Fa-
demque momenta, per respectiras magnitudines dirila, extribebunt Cencrorum
Graricatis (liqua sint) a C TTII distantias respectiras. Acque inde collisetur
(Der SE. F. proP. 14. hujus) Semisolidorum (aliorumre impertecta convertione
circa C HIHI factorum) Ceneri praricaris (siquod est) inde diltancia.
Et, propcerea; cum etiam Ongularum (aur Solidorum correspondencium) quae
CA R (ejutre portiones) spectant, cum magnitudines, tum Cenera graritaris de-
terminata lint, prop. 25, 26. hujus: Ongularum similiter quae Conchocidale spa-
eium C AOOFI (ejusque partes) spectant, Momenta e Magnicudines (per
prop. ulc. cap. praeced.) non minus decerminantur, quam quae l’isuram Fangen-
tium C AOO (ejusque partes) Spectant.
Si vero, eorundem parallelosrammorum iptis BO (Hs. 208.) insistentium.
hoc elt toridem sR vel sP, (ut supra ostentum cs;) respectu rectae A C vel Fig. 208.
AR (cuiu exempro quadrante, ibidem adjacent) momentum consideretur: Cum
sua Centra eraricatis in media lonsicudine sira sine (per prOp. 2. hujus,) erunE
corum ab A BR distanciae respectira,
82
inventarum semiltes:) quae in respectiras magnicudines s R vel se, ductae, ettii.
bent eorum respectu rectae ABR momenea
R-
 = R - v2) =
2.
R2 seu =
2~
P: Hoc est,
Fs aucem, series omnium , teu 
seu
247 ALOC eAt (prOpter
Er x, seu P M
2 2 52
a Reciproca primanorum; cujus ica
que magnicudo intinica erit, (Der PrOB. F. vel 7. hujus:) Sed omnium
E R teu Z~ P=, Peries primanorum, adeoque magnicudinis Finica, (per proP. L.
vel 6. hujus:) Hujus iiaque ex illa subductio, non impedir quin, adhiuc maneatu
omnium = = = ~ R2 seu    - = x p= Teries, hoc CA, Ongula R BAOO (aci-
em habentis C H H) momencum respectu recta A BR, magniudinis infinica.
Adeoque Momentum illud intinitum, per Ongula Magnicudinem (quam finitam
elte jam oltentum est, S F.) dirisum; distanciam Centri gravitatis ab ABR Cx
hibebit intinicam: Et mulco maxis As. 206. (interpolico quadrante Ci AR) di.
L.Z.2. 2. Z. 2
Ctanciam

## Folio 916 — 851387705:0936
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000936.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
De Calemro Centri Cravitatis.
stantiam Centri graricaris ejusdem Ingulae RB AOO (distortae) distanciam d
recta A VC intinitam: EF magis adhuc, torius C A OOHI Ingulae Conchocida-
Vis, Centri gravitaris ab eadem A V C diltantiam intinitam. Ouod itaque nulquam
est; seu (quod eodem recidit) non nisi in intinita distantia ab AC.
Idemque Timiliter ostendetur, de Ongula segmenti CVOOFI, ipsi CFFI
adjacentis: Acque etiam de Solidis convertione (pertecta vel impertecta) sive cO-
tius C. AOOHI sive Sesmenti C VOOH Factis: Nempe, diltantiam Cencri gra-
vitatis ab A C. infinitam Csc.
Onoula vero sermenti remori AVO, (uepore undique terminata, adeoque
magnicudinis finica, ec in diltancia tinica,) Momentum habet tinitum, et Cencrum
gravicatis. Fit Cimiliter, lolidum convertione tactum.
Tiem, quae Conchoeiddem totam (verinque in intinitum porrectam) spectant,
(aur eriam ejuldem segmencum, ordinatim applicata abseillum, et urrinque ab
AC aequaliter porrectum) Ungulx, Solidaque convertione Facta, (propter duos
semisses, utrinque ad AC Dolicos, inricem equiponderantes,) Centra gravitatis
hrabebunt; in ipsa quidem A C. recta (seu Plano huie perpendicularicer infistenti,)
acque in ea d C distantia quam ad 5 FI. modo determinarimus.
Cap. V.
PR OP. XZZ 1.
Spatium Frperbolicum exterius, (Currae et Asymprotis interjectum,)
exPTimaHOTum EcCipIOcIo Conatur: inseripea Parallelograma Ma
bens inricem aequalia.
ERque Tuapte nacura utrinque interminabile.
Fstque magnicudinis intinitxe, sire ex utraque sire ex altera tantum
Parte interminatum mancas: Sin utrinque truncatum (cu termina-
tum censeatue, magnitudinis finita.
D. D. Portio hujus, ex altera tantum parre truncata, et recta terminata quae
alteri ACymptotarum parallela sE, (ut ASFIH∞,) ucutmagnicudi-
nis sic infinitae, momentum tamen habet respectu istius ASympEOta
(A5) sinitum: Ongulamque, cujus acies sit AErmptota illa, extribet
magnitudinis finita, enoto Parallelepipedo aequalem: Solidumque
convertione circa Crmptotam illam tactum, magnitudinis finitae et
nOLX.
Ouxque huie Portioni sive toti (HE ASFTH∞,) sive ejusdem parti
duabus rectis A symptotx illi parallelis interjectae, (uESC TFT) in
sictit Ongula aciem habens AErmptotam illam; habet sequilibrii
Planum (adeoque e Axem squilibrii, s siquod sut Centrum grari-
tatis) in perpendiculari Plano quod praecile medium sit inter paral-
lelas rectas portionem hanc, ejulre partem expolitam, terminantes;
atque in illo per aciem plano, quod Ongula alcicudinem bilccat.
Centrum autem sxaritaris quod hujusmodi Ongulam, ipsi ACrmp.
TOEX (quae acies iplius cst) contiouam, respicit; nultum et rel
(quod eodem recidic) nonnisi in intinita distantia ab altera Alymp.
totarum.
Portionis hujulmodi veringue CrUNCAEX (duabus AErmptota parallelis
interjectae (utS OVLI, SCTFT,) magnitudo, (rero proxima,) cal-
culo altignari porest quancumlibet accurate.
Adeoque e Porcionis interioris; ut HV X, HIX, vel AVD,
IIId.
F. Et urriusque momentum tum respectu AIYMPIOC A8, cum relpe-
ctu Axis rel Diamecri AX, AX; Centrique graritatis inde distan.
Eido
Fis. 210.
4.
1

## Folio 917 — 851387705:0937
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000937.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
Crop. L1. I na Camtidatis.
tia. Adeoque ixsum graritatis Centrum. Idque in TErperbolis cum
Frectis, cum Scalenis.
Fhabetur etiam Hyperboliei Conoeideos (rel Prramidocideos) cum L.
magnitudo, (nempe ad erlindrum seu Prilma, ejuldem balis et a-
ticudinis, ut 3T F2D, ad 6 F F6D;) cum Centrum graricatis; M.
utpote quod in ipso solidi Axe ita constitucum est, ut pars ad ver-
cicem sic ad tocum, ut 4Y F 3D ad6 T F 4D.
TTinc etiam habetur (qua cum TIrperbolx quadratura conjun. N.
eta est) Curra Parabolicae Rectiticatio; seu Recta huic currae x
qualis.
irem, Superticiei Currae Conocideos Parabolici Exransio; seu Plana N.
huic Curra aequalis.
Aliaque multa, quae Curras alias tum Lincastum Superficies spectant, O.
ad Rectas e Planas reducendas, (earumque Centra eraritatis,) lub
junsi possent.
CTE FIMH Hyperbola, cujus Asymptota AS, A0, (angulum ad A ureunque Pa A.
cientes,) AXIS AZ, vertex V: Alcerique ex ACymptoris, puta AC, Parallela L18, 2103
Sth aliaque quoclibet st l aequalibus incer rallis dilticae) spatium euerae et aTymp. 2 LL.
1es ASY
rlo
Dond
ales
necoridem se complen
rocis
Oundimus
in olim (ad prop. 88, 91, 92
Arithmel
rum) Figuram (nisi sparium appellare lalS) Curra e a(yMPtONS Mcerje
Etam, ex Primanorum Reciprocis constatam este; adeoque nacura sua uttmque in-
terminabilem este, (tum ad partes hon tum ad partes HS;) e magnicudinis in-
finita, sire utrinque sire ex altera tancum parte interminata censeatur; sed, utrin.
que truncatam, adeoque undique terminarum, magnicudinis esse finitx.
1
Nempe; proprer inscripta Parallelosramma ASFIS, AShos CC. omnia inter
se aequalia, (quae nota est Hyperbola proprietas, per prop. r2, lib. 2. Apollonii,)
erunt ubique rectae SII, SH, ipliS Ad AS, (adeoque ipsis ST, St,) reciproce
prOpOrtIOC Leu axietimence PIOFOEVOnA.
a Insinito-
2L22 Z
t3

## Folio 918 — 851387705:0938
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000938.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
De Caleulo Centri Cravitatis. Ca p. V
C. 210, lium;) ex calibusicaque Fixura seu Spacium illud constatur. Ouod erat primo
demonstrandum.
Cum ilaque ita lumi possit spunctum, ut recta AS ad AS, Seu SLad SP, sic in
ratione quancumvis exigua, (donec tandem in iptum A punctum deseneret,) erit
propterea (quae illi relpondeat) sh ad SFI in ratione quancumris magna, (do-
nec eandem quae ipsi A puncto respondere intellisatur eradtar intinita:) Onde se.
gnitur, respectira punctat, o nonnisi polt intinitam dictantiam (hocest, nun-
quam,) coirura: (Scur incerrallo tandem distent quod dato minus lic, quantil.
lum scilicet est AS:) Adeoque Spatium illud elle, ad partes ho, interminabile:
rectamque A∞ alymprotam esse.
Similicer; Cum ita sumi poltiE (in AS concinuata) punctum s, ue sit AS ad
AS, Teu SF ad SP, in ratione quancumris magna (nec unquam eo perreniri pol-
sic ut non portu major Tumi,) erir propierea qua ipli respondeat reciprOcC PrOPOT.
tionalis sh ad SFL in ratione quancumris exigua, (nec eo tamen perrenietur ut
non possie sumi minor.) Onde sequitur; neque unquam coitura este puncta FI,S,
(ucur, ad distantiam data quaris minorem, continue accedant:) Adeoque SDa
tium idem, ad partes etiam IIS, interminabile esse: rectamque AS similiter eAc
ATymptocam. Oux itidem exane demonstranda.
Incellisatur autem Spatium illud ex altera parte truncatum (puta ad partes
AIS,) recta LIS (ipSI N∞ Parallela) terminatum, interminatum vero ad partes
ho: Frit (proxier seriei ex primanorum reciprocis Indicem = I, per det. 2. hu-
jus,) Spatium illud ASHIh5, ad inscripcum Parallelosrammum AS L∞, ut F ad
+ F+, (per PrOD. L. Vel 7. hujuS;) Hoc est, UE F ad o: adeoque magnitudi-
nis Intinicx. Quod iem erat demonttrandum.
Acque similicer ostendetur, Spatium idem recta ho terminatum, ee intermina-
tum ad partes HIS, magnicudinis else intinica. Adeoque, a Forciori, (i ucrinque
tuerie interminatum. Oux itidem probanda erant.
Si vero utrinque truncatum, adeoque e terminatum, fueric; puta, rectis LIS,
h0; vel HS, Sh; (vel alias uccunque:) Manitectum est, figuram illam sc trun-
catam, (urpore undique terminatam,) puta SFTha A, vel SIThS, magnicudinis
esse tinitae. Ouod etiam erat provolicum.
Incelligatur itaque Bati S H, parallela recta C. I, portionem C. SH L abscindere.
Sitque balis SFI = B, lacus AS ( vel, in obliquangulis, figurae alticudo, AP)
A; adeoque parallelosrammum inscriptum ASIIo = AB: Item CS (vel, in
obliquangulis, ut fg. 2CT. hujus alcitudo, CP) =-C: Ipliusque  vel C; parti-
culae intinite exioux, a a _c. Cum, itaque rectae sh, planum complentes, fint
ipsiS AS (seu harum alticudinibus,) hoc est, suis a vertico distantiis, reciproce
proportionales; Hoc cst, AS, AS:: SH. Sh: Frunt ipsa sH, (d vertice deor.
Tum,) =
Turtum) 2
AB AB AB
AB
a
e. usque ad batin L = B: Vet Ca bate
AB AB
A- a A= 2 a A 3a dc. ulque ad
AB CA acl 1
tum verticem proceclatur;) vel (S cancum ad C. F) usque 2d  . = C. L. Ouo.
rum itaque omnium ABgregacum, sunt iptum quod complene planum.
Exdemque rectae, in suas singulae d vertice distancias ducta; Duca,  in a-
It
=in 2 a _C. hoc estus cocidem AB; sunc ipta As ho parallelopramma; (qua
itaque omnia, ut prius dictum est, sunc invicem aqualia: )
Sed et eaedem rectae in ealdem distanvias ducta, sunc carundem. Momenta respe.
au rectae A0: Vel eriam, parallelosramma, cildem sh rectis insiltencia, Semi-
quacrantalem Ongulam complencia, aciem habentem A o: Oux itaque lune toti-
dem AB. tic propierea quae teri ASTIho (tigurae interminatae) infultie Onou-
la aciem habens A o (Seu Plani ASFIHo momentum respectu A5,) est iptum
AB in A (cocius ahricudirrem) ductum: Iloc est, B. Pelimiliter ejusdem On
sulae porrio ipsi A C. Pho intistens (seu plani hujus Momentum respectui A0,) cst
aBin A- Cii h0c cl  B= ABC: Ouaeque portioni SH FC insisti, aciem
inidem
2

## Folio 919 — 851387705:0939
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000939.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Pcop. I. Decalculocen raais.
inidem habens Ao, (seu plani momencum respectu A0,) ett AB in C; hoc elt FiC. 210,
ABC.
Hlabetur iraque, quae plano interminato, magniendinis intinicae, A SFTHA, insistit
Ongula (aciem habens A5) magnicudinis Finica; nempe Solido 2 B (Paralleli-
Dipedo Rectansulo) aequalis. Lijuldemque Plani (masnicudinis intinitae) quod
convertione circa Rs deleribitur, Solidum Magnicudinis l’iniex: Guippe, ad un
sulam illam, ut (P ad R, hoc CA, uC) Circuli Peripheria ad ejuldem Readium:
lDer PrOP. T2. Bujus:) FAque hoc Forricellii Soldum LEyperbolicum Acurum.
Hinc etiam seguicur; iltius ngula (aciem habentis A5)    ASLIo
sive aux veriris porcioni AC Pho, velS C. PFI insistie, Centrum gravitacis (nempe
si quod sic.) seu Planum Aquilibrii, esse in eo plano quod inter excrema medium
cA. Nempe, primae, in eo quod medium cst intet A∞ e SFL, (quodque ab A ∞ Peu
TIS diltat : ; ) secunda, in medio inter A∞ _ CL, (quodque ab A0 seu C. I di
Pat: -- =C;) terria, in medio inter CI_ SHI, (adeoque a CT vel SII diltat
EC.) Duippe, cum linsulae rectae hs planum complentes aequaliter onerantuX
(nempe parallelosrammo IB,) Concrum gravicatis seu X quilibeii planum in iple
medio eric (non minus quam si Paralleloerammi plano infilteret P’arallelepipedum,
alricudinem habens ipsi L aequalem;) Per ProV. 2. vel 3. hujus.
Acque in quo per aciem plano lirum lic jam lupra Caepius oltentum est; (nempe,
in eo quod Ongulae alcicudinem bilecar.) Preo, in ca recta quae est uirique commu,
nis: quae itaque recta, es Axis Aquilibrii.
In quo aurem hujus rectae puncto sir Centrum pravitaci (quod ungulam resplciat
ipti A0 concionam) s inguiratur: Tnrenietur, (secundum ea quae cracica func ad
Drop. B. hujus) nusquam esse: seu (qund eodem rectute) in diltantia (ab AS) in-
tinira. Fst enim SeriesMagnicudinum, leries Agualium (proxter aequalia paral.
lelogramma iplis shrectis insistencia,) cujus Index, o; adeoque Magnicudo, verbi
BraCIa, NVP: Serres vero Distanciarum (Cenerorum graritacis) ab AS, (utpore in
media lonsitudine rectarum sh,) Series elt reciptoca primanorum (qualis est ipla
rectarum series) cujus Index, = I: Ft propierea Series Momeniorum (ex illis con
Tlata) TCTIES IIEIM RCCIPIOCA PTIAHOEUM; (PEOptCr = 1 f 9 = = T.) Adeoque
Nomentum intesrum, - =, - N~D = 5 N~ D: N~) SNDD (5D.
Hloc itaque per Magnitudinem ND dirisum, extribebic distanciam ab AS, SD; hoc
ClL, quae sic 2d ∞ (distantiam ceneri gxaritaris basis ab AS;) seu, in hoc catu, ad
EB; ut F2d0. Dux ratio est infinica.
Sed, Cuc ad Planum redeamus,) octensum est, (5 D. ) CSFL, (planum incer.
minacum,) aequale eAe axsieerco omnium sH, hoc elti omnium
B
21
C.
cC. Ilque de
A- 2
FAE autem
+ c. in intinicum. (Ouoc divi.
dendo L Per A - + patebit.) Adeoque
B
a = +
A
21
B. Fctimiliter ostendet
_c. in
F
B
12
Ec. in B
3a
dic

## Folio 920 — 851387705:0940
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000940.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
DeCalculo Centri Cradicais. Cidp. V.
Fie. 220, in B. Ex similier in exteris ulque ad =
B= 1 +C += +C
Sic. in B.
Vel, posito A == T, (quo iptius  potestates omnes deleantur, B in, T = a f a2
= a3_c. P F B in, F + 2 a + 4 a2 + 8a3 _c. Et B in, T + 3a = 9a + 27a3
Sc. Fx sic deinceps usque ad B in, L = C. = C2 + C.3 dc.
Frune erpo, omnes sh
(spatium CSHI complen.
1C5) pOlIO A = 2,
Ouorum omnium Agere
eacum (seu iptum C.SHII
r + a. = a2 + a3 + a dec.
F F 22 7 442 + 843 + 16at _c.
F = 34 + 94 2 + 27a3 + 81 et _c.  in B.
et lic deinceps ulque ad
F + C + C F C. + C 2 8c.
Planum) ctt. (per proP. 1. = C. + 3C 2 + 5C. 3 + : C2. f 5C.3 _c. in B. = Plano.
hujus; vel prOD. 64. A.
rithmet. Infinitorum)
Si vero non ronatur  = 2, sed cujuleunque maenicudinis: Tric falcem Pta-
nuno, seu P L9 = C. +  4 34 4 2. t 5 qu ec. in p.
Vel, BotuO = = R.; cxit P L = 1 + ; F. + 3 P + + R3 +; F.  C. in C. B.
Res antem ad calculum sic commodistime reteretur.
Cum C. (per constructionem) semper minor s quam A( propter CY rectam,
rectis A0 _ HS interjectam; adeoque hujus d C P distanciam minorem quam ab
A∞:) Polito A = F, eric C. in partibus decimalibus quamlibet proxime expri-
menda. Fujusque propterea poteltates, C7, C3, _c. (quod lemper obrinet ubi Ra-
dix Peu Lacusminus elt quam P,) continue decrelcune, adeoque in remotiora loca
decimalia continue decruduntur. Ouamquam isitur, in plano detignando, incessi-
Bantur ipsius C Porestates, C.2, C.3, C2, ecc. in intinicum continuandxe: P’ostquam
tamen aliquousque procellum est (e quidem plus minutre proutmajor minorre
a npisue spectecur,) reliquae, urpore in loca decimalia altius detrulae quam ut magni
linemomenti, merito possunt nesligi.
Rxempli graria;
POtIca AS = A== L
SitSC = C =0, 2T.
5H = B=0,02.
FrUME C =0, 2L
=C2 =0, 02207
l. . 0,003087
C = 0,000002573+
C8 =0000000473 -
3 C3 =0,000000088]
15C  = 0, 000090OF7-
C1 =0, 000000003 +
FIorum Summa, 0, 235722333
Ducta in B = O, OF
Exhibet planum CNHI, Teu P L = 0, 90235722333 Proxime.
Atque de Candem ioruam procedendum critu Pa -= L, Gua CiC IHICLI
C (qux tamen temper minor est quam ,) et  (quae vel major esse potest, vel
minor, quam vel  vel C:) PTONE exPOLTS caluS Poltulaverit
Acque huic non mulcum absimilem Lyperbolae quadraturam exhibuIE nupex IN
Coearichmotechnia lua D. Nicolaus Mercator. De qua verba tecimus in binis I.
TexIS
C 4 == 0,006460203
C3 =0,000087682
C5 =0,0000r4294 +

## Folio 921 — 851387705:0941
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000941.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
PrOD. LLSI. De Calculo Centri Cravitatis
ceris ad D. Vice comitem Brouneker, (Societatis Regix Londini Praelidem dignisti. Fig. 210,
mum, ex harum rerum sciencistimum,) datis, Julii 8. _ Aueusti 5. 2668. acque IN ZLY.
Transactionibus Philosophicis Condinensibus. lub idem tempus, intCFLIS, PrO Mense
Aueusti 1668.
Eabica vero, ut dictum est, Figurae Fyperboliex Fixceriorismagnicudine: Friam E.
Incerioris magnieudo facile obcinetur.
Incellisatur urique ab V vertice, recta VO, ip(i A∞ parallela; portionem ab-
Scindens SFIVO. Cujus plani magnitudo, (sic ut jam craditum est inventa,
dicatur P L. FAtque AVO = Z AOV∞ = = AB. TIem AZS = Z  (RemDE
li sic Friangulum rectansulum; adeoque Z5 et S A ipsi A, figurae alcicudini,
aequalis;) vel salrem (polito SX =. F,) AZS = 3 A F: ErGO HVZ = AX5
AVO-OVIS = = 2 = = AB = PL, Teu = AF = = AB - PL. Sed et
hinc etiam, s OpuS LiE, abscindi porerit (per HI D ordinarim applicatam) LI D X
criansulum; ue habeatur porcio FIDV
Si vero, non quidem ad Axem, Sed ad aliam quamris Diametrum, ponatur hy.
perbola: Menluram ejus non minus alsequemur.
Nempe; Sumpto, ubiris in Flyperbola, verrice L; cui respondeat Diameter
AIdX. Ouippe hie timilirer habebicur Magnicudo Triangulorum AC,L, ASX,
Eldx et sparui SCLHI: Adeoque e LHIX, LFId.
Sed _e, propter cognira triangulorum ASX, AOV, EDX, vel ASL, ACL,
FTdZ cum Plaonitudines, tum Centra gravitatis, horumre momenta re(DCCtU re-
CtX A∞; (per prOP. 6. HujuS:) AEque etiam (per jam iradita, 5G.) Sparii
SOVHI vel SCTMI magnicudinem, Cencrique pravicaris ab A0 distantiam.
ejusque (respectu ejusdem A5) momentum: Flabebitur etiam portionum FIVX,
EDV, rel TITX, HdI, momentum. Cunque (uc jam octentum est) habea-
cur e harum, magnicudo; habetur (momencum per magnicudinem dividendo)
cacundem diltancia Cemtri sraricaris ab A0.
Porro: Si contideretur eadem V HD semi hyperbola, tanquam ex rectis ips R.
HID parallelis, ad axem VD ordinatim applicaris, contlata. Manifeltum clt, Lin-
sularum FTD ordinacim applicatarum momenta, Peu Priansula iplis inliltentia
Semiquadrantalem Ongulam complentia, aciem habentem VD; carundem Semi-
ladracis esse aequalia. Adeoque Temilumma quactracorum IIIOPUM, CrIE FOEiS
VHD semi hyperbolae respectu iptius V D momencum: (seu semi quactrantalis
Ongula aciem habens V D.)
Polito iIagUE PTO AXe FranIVerIO, Z; pro Lacere Recto, L; Sumpris Diametris
interceptis, a arichmerice proportionalibus, uc F, 2, 3, ecc. ulque ad maximum
D = V D: tirunc quae his respondent ordinatim applicacarum (lemi hyperbolam
complencium) Ouadrata (uc in tractatu meo De Conicis Sectonibus, PrOP. 33.
ostensum est:) cocidem d L. +  (eu 
Z, Tumpris d arictimetice. pro.
porcionalibus, usque ad maximum D Y + D L. = Duadr. H D. Adcoque (PrOP.
tex Omn. a, = = D 2: e Omn. d2, = = D3; per prOP. T. hujus;) Omnium qua-
deacorum summa 
+3 F, seu 3
plani momencum, 3F + 2 2 ∞. 2.
L 2
D2 L: _ Semi Summa, seu
Acque hocMomenium, per plani magnicudinem (modo extribicam) divisum;
exhiber ejusdem ab V D diltantiam Cencri graritatis.
Sed ejusdem Centri distantia ab A0, jam extibita cst: FrGO (propter A0,
AVD, non invicem parallelas,) exhibetur iptum Plani V FD Centrum Gravita.
tiS; DeT PrOP. 26. Cap. praeced.
EE consequenter; (propter data etiam criangulorum ASX, AOV, FIDX,
Magnicudines et Centra praricatis, per prop. 5. vel 6. hujus; iptiusque SOV H
magnimdinem, jam oltentam;) datur etiam plani SOV HI C entrum sravicatis; Per
PECP, 27. Cap. praecect.
A 2 2222

## Folio 922 — 851387705:0942
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000942.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
22
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fig. 214. Vel etiam, in FiB. 224. ubi Foperbola AO, vertex A, Cencrum C, Diamed
conjusata C.S, Semilsis diametri crantrersae AC = S = ZQ; Ordinarim axplicata
ad hsverbola diametrum DO =h; Ordinacim applicata ad drametrum conjusa
tam dO =c. Octensum est (in Practatu meo De Conicis sectionibus, prop. 35, 4 2.)
Rectas 50 = c, elle cocidem V: S + = B: (sumpris C5 = DO = B, arict.
merice proporcionalibus.) Farum ilaque quadraca, sune cocidlem. S J  B2; quo-
Tum SumMA ( Pex pCOp. L. hujus) 252 +
( 32
A
L. V, (volico Apro alcitudine fieu.
3L
conjusatae incerjecti) momentum respectu C A.
Sed et magnitudo cognoscitur, ex jam tradiris; proprer cogniram Spatii NICAO
f18. 2T4. hoc est S AV HI fig. 210, 2IT. magnicudinem; ee magnicudinem trianguli
MCd Hg. 214; adeoque e torius Ci d O A.
Elujus itaque momencum per magnicudinem dividendo, habetur Cencri sravica.
tis ejuldem distantia d C8.
Verum e Forius Parallelogrammi CDOS, cum magnicudo tum de Centri sra-
ritatis d C.S distantia habentur. Flabetur itaque e partis reliquae AO D, tum mas-
nicudo cum Ceneri gravitaris ab eadem Cs distantia: per prop. 27. Cap. praeced.
Sed e ejusdem distantia live d C M, sive ab A D, A8. 224. (hoc elt ab AS, vel
VDHS. 21O, 2IF.) jam ante data clt. Ergo et iptum gravicatis Cencrum datur,
PEF PEOP. 26. Cap. praeced.
Lig. 2I2, aue de Semi hyperbola Recta V FD jam ostensa sunt; eadem Scalena
E13. EHI d, tacile accommodancur. PA urique Semi hyperbola LH d H5. 223. Cen.
Si
J. Z12
rectae VD) diridit batim HD
trum praricatis in ea recta (puTa G R) diametro Ld Parallela, quae ita diridit ba-
Tin FId, acli ansI au BaltA C CeHL. Lua  A8. 212. Paran
Hinc eciam collisicur Conoeidis (vel Prramidoeidis) Hyperboliei cum Maeni.
do
indo
t

## Folio 923 — 851387705:0943
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000943.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Pio. L. mam aiadnalis.
tudo cum Cenerum graritaris. Cum enim similia plana solidum complentia, bas
Fiβ. 212
Parallela, sine in duplicara racione ordinarim applicatarum, ICu vE harum quadra. 213.
ca; hoc ettu ut cocidem   L, sumeris d arichmerice proporcionalibus; 50.
lidumque Cytindricum seu Prismaricum tuper eadem bale, aeque alcum, compleane
plana coridem maximo aequalia, .   L: Fric Conocides illud seu Pyramit
docides, ad Solidum hoc Cplindricum seu Prisimarieum, (ProPter Z, L. cadem per.
pecuo utrobique,) ut omnia a P. F a2 (Tumpris d’arichimetice proporcionalibus,)
ad coridem = Z = D= (sumpris D maximo aequalibus;) hoc est (urmodo octen-
Tum est, ex prOP. T. hujus, ) uc =D2Z f 5D3 ad D 2Y + D3; Teu uE 37 F 2∞
2d67 = 6D. Ouod iplum jam olim demonstrarimus, ad prop. 163, 264. A.
richmetica Insinitorum. Fx perinde obtinet sire Conoeides hoc vel Pyramidoci.
des, Frectum Lc, lire Scalenum.
Sunc aurem planorum horum Distantia a Vertice, iptis d diametris intercepris M.
proportionales; adeoque eorum Momenta respectu plani tansentis in rertice, ut
rocidem d?P F a, Cumpris d arichmerice proxortionalibus; qualia toridem D2Y
+ D3 Tunt momentum Solidi iltius Cylindriei seu Prilmatici in maxima distantia
Tuspensi; adeoque illorum omnium summa, sen Nomentum Solidi (per prov. L.
hujus) 3D. F + 5 ∞ a. Quod quidem momencum, per magnivainem ? D. F. +
ZD3 dirisum; extibet
F3Z
5T + 4. Z
nocidis vel Ppramidocidis
sire Frecti, sre Scale.
nis) in ipso Solidi axe
constiti. Pademque est
D Diltanciam Cencri gravicaris d vertice C0.
2D2T + 3.D3 72∞3 7 + 1 7 (4
+ 3∞
67 = 4Z
distancia d Plano Verricem cansente, in F recto, (cujus Alticudo eadem est cum D,
32
maxima diametco incercexta: ) In Sealeno veso, 67 + 4 7 2; posico apro tigu.
ra alricudine, seu dictancia maxima.
Cum Fyperbolx vero Onadratura, conjunctam esse Currae Parabolica  Fodivoir,
seu Rocta huic Currx xqualis extribitionem; jam olim demonstravimns in Fp
Etatu Epistolari de Curvarum Foduvoe e HnanOMC Fractatui de Cycloide TuB-
juncto. Obi etiam, Conocidis Paraboliei Superticiei Currae, aequalem Planam ex
tribuimus.
Acque hic quidem pateret Campus Patis amplus; si ad Currarum aliarum F inca.
rum Rectilicationem, et Superticierum Complanationem, (rel Rectarum illis
Planarum his, aequalium extribicionem,) liberet procedere: (Oualia non pauca
in illo de Foduvoei e Inanouco tractam srictim indicarimus, ee multo plura in
prompeu esset exhibere:) Cenerique graricatis in illis inveltigationem,
Allaque mulca, contimilis argumenii, de figurarum aliarum, auc eciam linearum
currarum, Mlagnitudinibus, Momentis, eGeneris graritatis, Solidilque aue Suver-
Ficiebus carundem varia convertione factis, magna rarierate adjungi pollenr.
Verum, ex his non pauca, ibidem (Talcem breriter) intinuara sune: Aliaque,
juxta mechodos hic supra tradicas, cum opus fuerit, excoBicari POteTInE ee Cal
culo subjici. Acque eandem aliquando sistendum ridetur, ne i inmensum ex-
creleat rolumen, quod jamjam multo ulera quam sperareram excrerit.
SC ZLOLL M
0.
DRiulquam aucem hoc spacium Lpe dimittam, libet ejuldem cul
aliis aliquortiguris Symboliraenco non olim observatas recolligere.
E. Si rectarum quorlibet aritha tionalium quadrata, quadraris in
vicem aequalibus (vel eodem communi) auseantur: aeereeatorum latera quadra-
tiea, ad rectam ut axem aequalibus intervallis ordinatim applicata, complebunt
Spatium Lyperbolieum, Carvae, Seni assi transverso, e Qi Conjueato inter-
A 2 2 4 4 4 2
jectum,

## Folio 924 — 851387705:0944
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000944.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
924
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
Fig. 323. Hg. 323. noruralis Fat CS A quanTumVIS producta, II GUa SMIIII Palles aequales
quorlibet (d, 58, 5a, ec. adeoque Cs, C8, C10, ecc. arithmetice proportion alo
e junctis d A, A A, _EC. qualeS PONanEE SO, AO, _C. RriE A0O curra FIy-
perbolica, cuslis Semiaxis cranlvertus C A, et C. A axiS conjugatUS; spatiumque
C. A Oa hyperbolicum complebunt rectae s0, ecc. ipsiss A aequales. LC cmo
Pramus in Praclatu De Curvarum Eoduvoes, iterumque mOL aet Pr O. 32. HUSIIS CapL
Fi8. 324. 2. Si Exponatur, H8. 324. A0O Parabola, cujus Axis interceptIS A _ D, AIL.
is V
jectum, rectaque axi transverso parallela clausiim. Puta, Si ExPOLII rectX C A
nacine appliCa DO, iag B en   e OcCUTaL M H; Cal Ealista i
vertice AET, = DO, dirisa utcunque in t; cui aequalis ponatur C. d a (Fx
323.) Similicer in s’dirisa; tiatque angulo D F O, aequalis C. a A, decerminans (in
recta ipsi C Sa normali) rectam C A; e junctis s A, A A, aquales PONantuESO.
AO, IpE C A parallela, tiacque (uc modo dictum cst) A0O Hyperbola, cujus
Semiaxis tranlversus CA; lEque alymptOt C.M M: FxIE, OT, (F15. 323.) spari-
um byperbolicum C∞O a, ad Co Mtrianculum; sic (F18. 324.) AOO curva pa-
rabolica, ad ejus axem intercextum AdD: Tremque, ut (illic) C s OA, ad C. dm;
sic Chic) A0 curva parabolica ad ejus axem A d; e sic ubique. Hoc demonstra-
mus in eodem De. Eodavoni Hactatu; icerumque hic monemus ad prop. 37. hujulce
Cap. V
3. Si convertione Parabolae AOD cirea Arem A D deteribatur Conocides
Parabolicum; ex convertione Rectanguli circum seripti AD O F circa cundem
axem deseribatur Cylindrus: Fric, Si momentum spatii Byperbolici CAO A, ac
momentum criansuli C LM, respectu ejusdem CA:; seu, ut erecta Dreula super
illudu ad Oneulam erectam aeque altam super hoc, quarum communis acies sit ea-
dem CA; seu, ut Solidum ex conversione illius, ad Solidum ex conversione hujus,
circa eandem C A; (sunc enim hxe rationes, exdem omnes;) Sic Conoeidis hujus
paraboliei supersicies curva, ad duos trientes superficiei curva Cylindri circum-
scripti. Vel etiam (PrOPTETCAOA = CAOD= AOD.) OE Momentum Re-
ctaneuli C. AOD minus momento Semibyperbola AOD, ad momentum Frian-
suh CAM, (respectu ejusdem C AD;) Sic est C ondeicis Bujus superficies Carva
ad duos crientes curvae supersiviei Cplindri circumscripei. Quod ibidem demon-
stramus, acque hic monemus ad proP. 3F. hujus Cap..
4 Sed; Poticis (uE SF, PrOB. 32. tujus Cap. V. ) AC = 5 = 3F, Latereque
+
recto = L, AD = a, DO = C B = B = Y =  2, AO =CD =0 = = 7
+ a = 5 f a = Y: s2 + = B2 = V: = 22 + = B2, aM = V = B 2 = B Y =:
Momentum Seri Byperbola AO D respectu recta C. AD (urpote Semiquadrata
omnium DO) est
27
d
=L; (Ouod, uc ibidem demonstracum, altiminus

## Folio 925 — 851387705:0945
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000945.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
PFOD.XXXI. De Calculo Centri Cer avitatis.
ex PrOB. 264. Srith, Infen. iterumque ostendimus ad 5 L. prOP. 3Z. hujus Cap. V. d Fi8. 323,
Momentum aucem (respectu ejuldem C. A D rectae) Rectanguli C. AO D, ZCB2;  324.
Frianeuli CoM, 1 b. Y = ; Cper Pr. 8. Ejuldem. ) F ∞0, ul ; cB. - 2E +  gG
ad 3 b3 Y =; hoc e VE cH Z - d ZL. - 3 d L, ad : b. Z v; Hoc est
(proproc  = . 7 + a X B. = 42 + d 1y) Vc1 7. + a2 + : d, ad 2 + a
in ZV: 2T = a2: Sic illa superficie s curva C’onoeidica, ad Z Cplindrica: Seu, VE
EF7+ aF +34, ad 7 F d, in V: aF +; Sie Conveidia ad Eplindri
cam.
5. Sed ee eadem est racio momenti currae parabolicae AO, ad momentum rectae
TO, respectu ejuldem rectae AD, (nempe, quae est convertione factorum: ) Cum
icaque Momencorumrario ex rationibus ponderum es distantiarum componatur:
Ti ex hac momentorum ratione eximatur ratio magnicudinum, hoc est (ut modo
ostensum est) quadrilinei C AO A ad criangulum C AM, (Teu hujus converla
cum ea CompOnatuT:) habebitur ratio distantia centri cravitatis curvae parabo-
lCa AO, ad distantiam sentri gravitatis rectae TO, (ab eadem A D,) hoc cst, ad AL
a
CA = DO = B = Y:   L: Adcoque
2 + a7 + 322
CAM
T. + a, in V.: aT F a2 C0OA
AFDi
Stantia Centri gravitatis curvae parabolieae AO ab ejus ave AD: Vel, prOPter
CAM = = B = V =, Si Donamus h8 = C AO A, adeoque
272 + aZ + 3a2
s
C AM
T. + d, in V: d L f a.   BV =, hoc est, recluctione lacta,
Cproprec h - p a + d L, e br  - 1. 42 + a., . F. + ar +3 4
3T + 647 + 44 V: dZ + 43
EB
Ex determinatae praeter unam e quae eum C. A = B incellixitur Rectaneulum com-
prehendere aequale Ouacxilineo. Ci aO A; eaque ipla approximatione quamlibet
accurata decerminatur prop. 3F. hujus Cap. V. Sed et hinc similicer habetur ejuF
dem ab O P diltancia; adeoque rario suverticiei ab AO curra circa OP convers,
deseripia, ad Cylindrieam recta AD sic converla deseripiam. Aliaque de ejusmodi
aliis currae parabolica convertionibus; quae hic ulcerius prosequi non est animus,
ne nimis dirasarer.
6. Si eadem curra Parabolica AO cirea tangentem verticis, A F Vt axOM CON-
verratur. Conocidis Parabolici Acuri superticiem curram deseribens; rectaque AD
sic conversa deseribat cireulum: Prit, Ot Oneula Duadrilinei PTyperboliei C. AOA.
aciem habentis C A, momentum respectu acrei sua C. AC ad Onsulae Frianenti
C.AM, aciem item babentis C. A, momentum respecta ejus dem C. A: Dic superfieies
curva Conoeideos paraboliei acuri ab AO cirea A F deseripri; ad circulum recta
AD ut ractio circa A ut centrum conversa descriptum. Ouod etiam in eodem De
Eduvors cractatu demonstratur. Manente seilicet Magnicudinum ratione 00, d d,
in Parabola, vt so, dm, in yperbola; distancix c0, 10, Tunc (non ut d0, do,
axichmetice proporrionales, Sed) ut quadrata arichmerice proporrionalium: adeo-
que comparancur, (non eum Guacrilinei C∞O A, e Tcilivei C AM, Ongulis
Seu Momentis respectu C A rectae, sed) cum Momentis Ongularum C AO A et
CA M respectu communis aciei C A. Fademque (quae tactorum a convertione) est
racio momenti Currx AO, ad momencum rectae AD, respectu A F rectae. AIGuC, CX
hrac momentorum ratione, si eximatur ratio magnicudinum, (vel hujus ConverCa
CUI EO COMPONALUIE,) habetur ratio diltantia centri graricaris Curra parabolica
AO, ad distanciam Ceneri rectae AD (quod est iptins punctum medium,) ab
AT eadem cangente verricis. Adeoque lproprer habicam istius Cenri diltantiam
A2 a a a a 3
d dua-

## Folio 926 — 851387705:0946
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000946.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
320
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
a duabus rectis non parallelis) habetur ipsum curra Parabolica AO Cenrum gra-
ritatis; ec, quae inde dependent.
7. Lieura ex Primanorum Reciprocis constata, est Spatium F yperbolieum Car-
vae ed Asymptoris interjectum recta Asemprocarum alteri parallela terminatum.
218. 210. Oc A SH0 lis. 210 Hoc demon stravimus prOp. 94, 35. srichmet. Ensinis. ierum
que prop. 3L. hujus Cap. V.
8. Tdenque sparium LEyperbolieum, est Fieura Secantium, sinibus rectis com-
plementorum (aut areuum suorum sinibus versis) arichmetice proportionalibus re-
spondentium. Lesc infinuacum eAt, sB. PrOP. 17. scs CaP. V. Hctque OCCUI
rIES E. prOR 30. (Nam qua illic OcCurrunE rectX = LuINE lX SecanteS.) FAque
obrium ee demonstratu facile. Cum enim Fic, in Fio. 327. Ur sinus complementi
CV = v, ae ractium CB = R; siC racliuS C A = R, adt secantem C. F = =: Sumpris
Sinibus complementi C V = x arichmetice proporcionalibus (adeoque et sinibus
vertis AV =V arichimerice irem proporcionalibus;) Siponaneur (f8. 325, 326.)
rectis C BT secancibus, aequales ordinacim applicarae V BO; (quae itaque crunt
conidem , iplis t altmerice proporcionalibus recipioca, Fisuram Secancium
complences; CtI eadem Figura Secancium, spatium illud Fyverbolicum, (Dex
modo dicta;) urpore Figura ex Primanorum Reciprocis conslata. 
Nempe, ut C AFTOMT: Ubi Elyperbola Centrum, C; AIZmPEOE CMI, e
CA, Vercex, II. (Ouae aurem de C, A, EI, O, M, dicta Tunc; Pariter intellican-
tur de n, a n.
EF quidem, s Sumatur A FI, aequalis semidiametro Circusi C. A, (ut H8. 325,
326.) Ordinacim ad Asymproram applicatae VO Cunt iptis secancibus CP aequales.
eritque II Vertex Avis. Si vero brevior SE A IY quan AC, in cadem ratione bre.
riores erune VO, quam C. P, respectirae Secantes ad Radtium C A: neque erir II
vercex Axis, sed alterius alicujus diametri; Axis autem vertex sicus erit propius ad
Almprocam, (nempe ubi recta bisecans angulum C, occurrit currx.) Sin lon-
sior lIt A HI quam AC, etiam in eadem ratione longiores erunt VO quam C Y
(ucrobique scilicer aequales Secantibus ad Radium A FI, sive lonsior Cic sire brevior
quam AC:) NeC CxEHI vertex Axis Sed alterius diametri, Vercex aurem Axis
nusquam comparet, quippe qui ibi Fucurus esset ubi recta ansulum C bilceans occur.
reret currae ulera H produtecae. Ouippe recta angulum C bisecans, in tigura Pri-
maria, (ubi AHI ipli A C aqualis,) occurrie recta AH, in H: Secus autem in
Secundariis: Nempe, In Contracta, (ubi AIL brerior quam AC,) utera HL, inera
Hyperbolam: In Procractan (ubi A HI longior quam AC.) citra FI. (inter LI et
absolventes; erunt dux Hly perbolx FTO0, noo liu luvelse Policae communem ha-
bentes Asymptotam C. MI, uE e A C a: Sin quadrantes duo invertis rerticibus com-
Donantur, (uc Hg. 326.) Flyperbolae dux, (00, 1100, commmunem verticem
EI habentes, AsymptOtAS habebIInE OpPOlICIS CML, n H, CommuNeM rerO C. A V.
ua
A) excla L1) Petvblam.
Si velo Duo Circuli Ouadrantes componantur, (ut L8. 325.) Semicirculum

## Folio 927 — 851387705:0947
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000947.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
PFOPXXXI. DeCalculo Cenri Cravitatis.
Duae aurem Fyperbola, TTOO, H00, sie compotiixe; veur similes Fint, et gul
dem quamris (ut in Primaria, tis 326.) communem habennt Aris Verricem II:
non camen eandem concinuane Curram hyperbolicam; sed Angulum in EI Faciune
producteque, se mucuo secabune,) Rectum quidem in Primaria: Acutum, in
Protracta: Obculum, in Contracta; magisque vel Acutum vel Obculum, quo ma-
Sis vel Prorracta rel Contracta Fuerit: adeo ue in ralde concractis, fere videaneur
Una FaCOTE COnFIHCIAM CUEVAM.
Pomuntur enim (si8. 326.) HOO, Hao, semihyperbolae, sieu distorco; prop.
ter dirempra puncta C, u; (qua, ut OHlo Foret una hyperbola, idem elsent pun-
Ctum nempe commune centrum semihy perbolarum F10O, H00;) converoenei
bus punctis M, 1; 2deoque e O, o. Neque est AH urriusris vel Axis vel Diq.
metrorum ulla: UEDOTE Gua Per C crantire debeu omnes quae spectant LIOO; e
Der n quae L100 Spectant.
Si vero, in figura Primaria, (Proptex EI verticem Avis, manente communi
Duncto F, diraricari incelligantur currae Oo; simulque Asmptoca in MV do-
nec in unum cocant K, n pnncta; cranescet angulus ad II, tierque oF]O una H-
verbola. Sed non item in Secundariis, (in quibus FInon cA rertex Axis:) POF-
nelcente ansulo ad HI, coeant in unam curram, at non in unant syperbolam (Led
duarum porriones.) Manifestum enim est (ex constructione) II) PerDOtaS L100
e HI00 omnino similes esse et congruentes: tieri aurem non vocelt in usso pe-
bolx puncto, praecer iptum AXis Verticem, ut curra utrinque adjacentes con-
gruant.
9. Verum hic carendum estne existimetur OTIO Fg. 326. eadem curra cum
ocootis. 186. Duanquam enim AaO gc sic oriam figura Secantium, (sed COn- F18. 186.
Eracta, PrOpEeE AO minorem quam AC,) uE SB. prOV. F7. insinvatum elt: SINL
tamen illa (non ut hic; Secantes finibus vertis, leu complementorum rectis, Sed)
Sinibus Rcctis, arichmerice proporrionalibus respondentes Sunc chin AsiC Fecta
Vo=
(sinibus rectis s = V B, areuum AB, FCCIPTOCX; ) HC reco, ==
iptis a = VC sinibus complementorum B D reciprOcK.. HoC est; Sumpiis A V
arithimetice proportionalibus; spatium complentes recta VO f18. 326. Tunc arcuum
A B Secantibus C T Ag. 327 proportionales; sed
V ctis. 186. Proporeionales complementorum BD
Secantibus C. 7.
20. Cumque Fints =V: R= = v2. Si Tuman-
tUT N =C. V, (ad Coque _ V = AV) arichmetice
provortionales; crune omnes s, ut rectarum in
varabola, axi parallelarum radices quadratiex, seu
in iplarum racione subduplicata; puta quae sine
in rectarum VBfis. 264. lemiparabolam complen.
tium ratione subduplicata; (cum enim rectae RS
complentes semiparabolae complementum Cint ut
x2 quadrata primanorum; crune harum concinuationes V B, axi parallela, 
R= = x 2; sUPIO AXC ut RE: ) quaeque, ex iltiusmodi radicum reciprocis consta-
cur Figura, est ipsa C. A Octis. 186. Omnelque s2, lune ut iplae recta axi Para
bolae parallela. Pura, ut ipsae YB fB. 164. (vt p. 212. Arichm. Insir. de BV.
PrOP. 25. hujus Cap. 5. Ostenditur: ) acque harum reciproca,, E 3. funE ut rectarum
Va ((8. 186.) = vel = quadrata, seu ve carum mementa respectu Aa; aUe
circuli earundem conrertione circa A. Facti. Rectarum veto V9 = = fe. 325
CrO e
Cspatium hyperbolicum complentuum) qadala Leu momenta, U=, TuM UE Ip.
Tarum BS (Fig. 264.) rectarum reciprOCX. OuX aurem SyHE iplS Pb fi8, 264. vel
VP F8. 178. orclinatim applicacis in parabola reciproca, Fync ut Va figuram A aO co
tix. 178.) complentes, curvae Cseloidalis pextienlio (concinue Lumpiis) pro-
porrionales:

## Folio 928 — 851387705:0948
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000948.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
20
De Calculo Centri Cravitatis.
Cap. V.
porrionales; Spatiique (quod illae complent rectae) A a Oa portiones, proporcio.
nales respectiris Currx Cyeloidalis partibus quas illa complent particula: ut SB,
C. prop. 22. Ostensum est. Sed rectae V cfg. 286. Tunt peripheria circularis parri-
ciculis (continue sumpris) proportionales; spatiique quod illae complent rectae,
Poportionales respectiris peripheriae partibus quas illa complent particula: uES B.
FOp. T7. Ostentum elt.
TF. Etiam hoc addo. Spasii FEyperboliei, sive interioris sive exterioris, non
Quidem ipsum Crraricatis Cencrum sed Rectam in qua CA, seu Arem Sequilibrii,
exhibet posse, etiam si ienoretur. Plani maenitudo.
Fsto enim expotiia Hyperbolae FhV, Centrum A, axis AZ, vertex V, latus rectum
Cy axis tranlvertus T = 2 S, axes intercepti V D = D V d = a ordinarim applica-
ex HID = FI, hd = h, axis conjugatus A a, ad quem ordinatim applicatae IIa = R
hs =k, asimprocarum alteri A0 Parallela HIS =- B ad alteram AS = A appli-
cerur, et VO ad AO = F, et hS, H5: acque incellixarur SA ansulus rectus:
Sirque OS (= A- F.) =O
Sune (propier B = Y: a L. + = 23:) ordinacacum aelatem semiquadrata, seu
momenta respectu A D X, L L. a +  d2: e lPrOpteE Omn. d, = = D3, 
Omn. d, = , D,) simul omnia, seu Momencum rocius HV D respectu A _,
a X. D2 + D3
Tiem (propier L = V: S + = B:) ordinacarum ad axem conjugatum semiqua.
drata, seu momenta respectu A B, L 52 +  = B2; _ C Propter Omn. B, =
EH,) limul Omnia, seu cocius AV H a momencum respectu Aa, L S. TL. +
67 . Ouod ex (rorius AD FL a momento) : R= FZ = 2 52 LY + -, FY3
subductum, relinguic residui FI V D respectu A e momenium =, LP.
ErBO (proptex Distancias Momentis provortionales,) in DH, smpTa DC
quae sit ad AD, ut L L. D = + - = D. ad -, ZY, hoc Ct, 3EL2 D2 + 2L2 D
ad 4 Z 2 FF; erit in (juncta) AC, ipsius HL V D centrum Praricatis; Upote en-
jus puncta lingula in caratione diltane ab AD, A a.
Idem obtinebitur ope momenti ejuidem H V D respectu ASyMPEOL A5. F. A
(DeFSD. pTOP. 3E, Cap. 5.) ipsius OV HS respectu A0 momentum ABO. F.A
autem crianguli ASX (= E A2) respectu ejusdem Ao momentum 213; et iri-
anguli AOV momencum Z F. 3; potirisque IIZ (= L - B) = X, et DB (pa
rallela A5) = 7, adeoque HIDX = = XY, hujusque ab As diltancia centri sra
vicaris A- 5P, exie crianguli HD Xrespectu Ao momentum Z A XY = 3 XY
Fr5O

## Folio 929 — 851387705:0949
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000949.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
PFOD. XXXI. DeCalculo Centri Cravitatis.
ErgO (PrOPteF HVD = ASX = AOV LOVHS = HDZ) ipsius H YD
relpectu Ao momentum Z A3 = Z F 3 - ABO - Z AXY + Z
Erso (propier Distancias momentis proportionales,) in DEI, Tumpta D.
quae SE ad AS uE : L. D 2 + , D3 ad 3 4 - , F = 4B0 - = A X 7 f 5 X72
ductaque OF paralleta A Z OCCUTrente SZ in R; erit in (juncta) AR (uepore
cujus lingula puncta in ea ratione diltant ab AD, A5,) Centrum graritatis IIVD.
Oux quidem AP est eadem policione recta cum ACI, quoniam ucraque cum per A
tran(Ic cunc per centrum graricaris HIV D.
Similicer (ob eandem caulam) in AFE, TUIPTA AL, qua Cit ad AS uE
22ad ; 2 - 5 F - 1B0 - = A XY + 5XZ2; ductaque L. K paralleta
AO, OCCUTTInL SK in K; eric in (juncta) AK (cujus urique singula puncta
in ea ratione diltane ab A∞, A0,) Cencrum grariratis. HVD. Prit autem hOC H
idem quod prius, ob caulam modo intinuacam.
22. Simili procestu urendum est in spatio exrerioriO V HIS.
Fst enim (ut jam ostentum) hujus respectu A0 momentum ABO.
Trem, respectu AZ, trianguli ASX =3 A elb (propter centri ab A X distan
tiam Z QVE) momentum aA VE; ee limiliter criansuli AOV momencum
5F3VE; criangulique HDX = = XY C propter dillantiam S LY) momencum
SXYFZ; iptiusque HY D (ur modo ) : L. D2 f = = D: ErGO (BEOPtETOVHIS
=ASX = AOV = HDX - HVD, ) iptius OVHS respectu A X momen.
cum E N VZ - EF3VZ = EZYHI =ZF D2.
∞
ErEO (proprex distancias momentis proporcionales) in DF, sumpta DL, quae
Sic ad AS, VES A V5 - EF 3 V= = 8XYIL = = L. D2 - q D ad ABO; du-
Ctaque LF paralleta A Z OCcUrreme SX in F; erie in (juneta) A F ( cujus pun.
Eta Tingula in ea rarione distant ab AZ, A 0) Centrum oraritatis O V HIS.
Idem obcinebitur comparando ejusdem O V LIS momenta respectu A∞, et AA:
vel A Z, _ AC; eande
eteta
cum per A, cum per ipLius OV FTS cencum graritatis.
F3. Simili icem procestu urendum elt in spatio exteriori A V HI A.
Fstenim (ur modo) hujus respectu A a momencum, L S FL + s, HL
Trem, respectu A X, rectanguli ADFLA momentum L R FF; unde Tubducto
iptius HYD momenco L L. D. +  F D; habetur iptius AVHID, respectu A X,
momentum ZXFZ3 - = L. D2 - = D3
FrgO, in AFI, sumpCA AMI, quae sit ad DFL, ut = S YP +, FL ad 3RFY
1 2. D -  = D3; exit in (juncta) A M, Ccujus sineula puncta in ea racio.
ne distant ab A A, AZ,) centrum graritatis A V FI 1.
Idemque obtinebitur, comparatis ejuldem momentis respectu AA, ec A∞; vel
respectu AZ, _ A∞: eandem autem AMI prodire necesle erit, ob causam ance in-
Finuatam; uenon lic spes inde ob duas hujusmodi rectas se muruo decustances, ipsum
Centrum obcinendi, ab (que plani magnicudine.
Si vero, in his omnibus, vel non sE S A∞ angulus rectus: ve) Foverbola nON
recta, sed Scalena, (sumprâ diametro quavis alia LocO axis AZ:) similis acthibenda
erit accommodatio cum ea quam de Scalenis insinuarimus ad GR. prOP. 3I. Cap. 5.
Multaque alia adjunsi polter, nisi sic nimius ellem.
Mistis icaque aliis; Unam adhuc de Hyperbola Speculationem subjungam, quam
Bbbbbb
Wrennio

## Folio 930 — 851387705:0950
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000950.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
DeCauum Centri Cravitatis.
Cap. V.
Menmo nostro debemus: Oui Solidum Hyperbolicum, Conrexo concarum,
Lothiope, acie Dolabra rectilinea obliquo ad Axem tieu polita, conticere doenit.
Cuaus Te du Meds Meocos reduetam, sic vilum elt exponere, et paulo tulius
Diolequi: Ljulque Solidi Sectiones, et Centra Bravilalio, contideraie.
PROP. XXXII.
A. B. Si in quacunque ab Axc Forni distantia, ponatur Acies Dolabra rC-
Ctaque in sicu ad illum axem (non parallelo, ut in Fornando Cylin-
drum, (ed) quocunque obliquo: Formabitur torno Cylindroeides
AIrperbolicum Conrexo concarum.
Et quidem ea Fyperbola; cujus Semi-axis Fran(versis aequatur mine
ma distantix aciei dolabrae ab Are Cylindrocidis (Teu Semi-diame-
ero Basis inscripei Cylindri;) Axisque conjusatUS Cum AEYmPTOTa
cum Faciar anoulum, quem facit Dolabex Acies recta, cum rectaari
torni parallela.
Onde patet mectiodus, Cxlincrocidestorno Formandi, cujus sectio per
axem AF Daca HIY Berbola.
Solidihujus sectiones Plano Factae; si planum iltud sit, ad Axem Solidi,
Rectum; Tunt Circuli.
F. L. Siu ad Axem, minus obliquum quam est ACmptota; FIiples.
P. F.T. Si similiter inclinatum sit atque ipta AIrmprota; sunt Parabola; vet
(si etiam per Centrum sic) Parallelogrammum.
F. G. R. Si adhue Obliguius secet Arem, vel etiam sic Aei Paralletum; Oppo-
M.
sicae Frperbola; vel (haxi parallelum acque per rerticem FIrper-
bolae Genitricis; aut Erperbolam hanc ubiris TaHCaL,) OPPOlIca
Friangula.
Solidi sie contructi (à Centro uerinque aequalicer conciniati) Magni-
cudo, nota est: Ouippe ad Crlindrum circumseriptum, ut 3 L. Y
=4772, 2d3LT F 12FP. Et Centrum graritatis in Cenero Colidis
seu Axismedio.
113 5 13
N.) Semisolidi (plano per Centrum, ad Arem recto, abscisti,) Contrum
11B. 214
Scavitatis, in Axe situm, abscindit axis sui partem ad Contrum, quae
SIE adL EOTUM, uE3 L. Z + 6FT2 ad 6FT + 8F72.,1.
FY Oc quo commodius absolvatur; Temma pramiccam, in meo de esdaiba Fra-
A
ctatu, modo memoraco, intinvatum; Demonstrarione ex meo de Conicis se-
Ctionibus cractatu, prop. 35, 40. Petica. Ad hunc sentum;
Si ad Rectae alicujus puncta quollibet, aequalibus intervallis sumpta, ordinatim.
applicentur Rectae, quarum Quadrata sint, ut numerorum continve consequentium
1, 2, 3, 4, c. quadrata, eodem aliquo vel aquatibus quadratis aucta: duae per ba-
rum extrema reliqua transit Curva, est TEyperbola
Ouippe, (in tis. 27. ibidem, quam hic repeco Hig. 224.) Manilestum est rectas
S A, cales ette quales innuit L emma; (propter C S, Cid, C s, dC. UI L, 2, 3, ec.
eC A communem:) Duxe si in situm sO cransterantur, ad C. d d Ordinatim ap.
plicarx; Asperbolam AOO detignabunt.
Ouodti, manenibus C A, 5O, ordinarim applicatis, incerralla C. d, 8 S, minora
Fuerine vel majora quam nune lunt; vel etiam angulus ACiS, qui jans rectus in
cellioitur, tiat obliquus quiliber: Prodibir ureunque A OO Hyperbola; Sed cujus
aliud exie Lacus rectum, aliusque ad ACumprocon C.M angulus sCMI, aliusque
angulus quem cum diametro taeiant conjugata diameter et ordinatim. applicata.
Demonstratio petitur, ex meis de Conicis Sectionibus PrOD. 35, 4 F. ubi ostendi-
tur, rectas ad Hyperbolae diametrum conjugacam ordinatim applicacas dO; hoc estu
D

## Folio 931 — 851387705:0951
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000951.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
LLOP. ZXXII. DeCalculo Centri Cravitatis.
CD aHCaHCaS, Panctorum applicationis ad diametrum, a Cenero, quas iltie e de
cimus; (ex Semialaleuo cransverla, e diametro intercopta asGresataS SeU
2, +.  ) c V: 272 = Be: Ouarum ilague quadrata sumc, 1 72 +. = b.
(PONIIS Z prô diametro tran sversa, Z. Pro latere recto, de B pro ordinarim axpli-
cata ad hyperbora Mlamecrum.) Adeoque, (Propter L, L, quantitales pelmanen
resus) s sumiancur B,   e io a   13 27 3
ecc. manilestum est, quadtata illa, a Y = +. = B, ette, ut Duadrata aequalia, qua
constat.
ralis proprietas, (quaecunque Tuerie racio Biameter camreriae ad Lacus rectum.
draris arichmerice proporcionalium austa.. Oux ilaque cum sie Hyperbolae pene-
et quemeunique ad dial alscllu Laclant ordinauim applicatae;) Lemma
Esis praemistis; Incelligatur (Hg. 215.) Actes aca secta, AOO, in qua-
mod
cunque ab Ase Cylindrociet (corno conticiendi) diltancia, siui quocunque ob
liquo (adaxem illum) polica. Maniteltum est, per rectam illam AO O, cranSicu-
rum esse planum aliquod, uc O Aa cli (plano) parallelus sc CH lincrocidis axis Cs
Rectamque aliquam in eo plano axi parallelam, ut R a (nempe, ex parallelis
eam qua sicaxi proxima,) lineam contactus ete qua planum illud cangat Cytin-
drum, (Cylindrocidi inscripeum,) cujus AXis Cs; _ basiS ractius Ci A; (quae est
minima distantia aciei dolabrae, quancum opus sic continualx; ab AXC Cy lindri
seu Cylindrocidis Formandi. ) Sumptisque in Axe C SS, parcibus continue aequali
bus Ci5, 55, ecc. atque ad cum perpendicularibus CiA, d’a, ecc. crectisque icidem
ad planum C. A a perpendicularibus a O, aO, dec. Manifestum est, rectas, aO este
Ut F, 2, 3, ecc. numeros continue consequentes; carunique quadrata, ut quadrats
horum: EE propterea (proprer angulum s’aO rectum, rectasque a s inricem 
quales,) junctis omnibus Os, quadraca tarum este, ut quadraca numerorum illa
aequalibus quadratis aluld.
Adeoque; Si Forni ope, circa axem Cs (fig. 215.) describi incelgaHIIE III
Cylindioeide Circuli, quorum radii sinc ipta dO recta: Scctio per axem extii-
bebit ipsum sC AO (fi8. 214.) planum. Fruncurique Circulorum illorum ra-
diu planum complences, iplis sO, ueriulris Figurae, aequal6s. Nempe Si, in binis
Fiouris, Tumpeis cum A C aequalibus, cum aequalibus C s respectiris; lumantur aO
H8. 225. ip (IS C s f8. 214. respectiris aequales: Ouodtii, sumpto O A a fi8. 215
angulo semi recto; (qualis eltu in fig. 224. sCiM, quem cum axe conjugaco Cs
TaCIE A CyMPTOTA C. M:) Si rero alius sic angulus O A a quam lemirectus; EIli con-
eruet Hyperbolae quae limisens sadea angulum, s CM; Ut nempe Ci s f8. 2143
Constac itaque, non modo Cylusenoeides hujulmodi torno lormari posse cujus
lectio per axem sit hyperbola; se , qua lic data Tlyperbola Ouippe expo.
nacur LIy perbola AOO (fi8. 214.) Quaetibee, cujus Cenerum C, semi axis tranl-
verlus Ci A, axis conjusact Co,  liMt alymptoca; cui similem peracum lic
C_ CxMIDEIC. LIOC tantum CuTALLU exIE; nempe ut C. A fi8. 215. Ub aequalio
a H 13. L14. HIGHC ansuIS a AO A8, 215. ipsI S C M, AB. 2F4. (queM CUI
Bbbbbb2
LL). Unc relpectiris, aO H8. 215. aquales.
Asymprora Lacic axis conjuxatus) aqual 13.
Souc

## Folio 932 — 851387705:0952
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000952.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
De Caleuto Cenor Gravitatis.
C ap. V.
Formatum; convertione scilicet FIyperbo
lae O A O fig. 216. circa conjugatum axem
sC.S. Oupue hoc, idem esse solidur
acque illud quod Forno constructum
iri modo doeuimus, ex dictis latis pa.
tet.
Cumque Solidi hujus fectio quaelibet
plano facta, sic alicui per Axem sectioni
recta, seu perpendicularis: F.sto Ca per
Arem sectio 0000; in qua oppolita
Fyperbola (Genitrices) AO, 20; qua-
rum Centrum, C; Axis conjugatus (qui
_ Solidi AXis CA) SCs; Asmptotarum
altera, CMI; AXIS Fran(verIUS, Aa =
2C A = T = 2 S; Axis InTETCEPTUS, AD
+
a Centro distancia, C D = C =
F a = 5 Y a; Ordinatim applicata ad
EIyperbola axem, DO ==h : Cujus qua-
dearum, B - 2 a + = 42 - = a + d 7
=Z; (quae tunt itaque, ut series
Primanorum aucta serie Secundanorum; aut eriam, ue Series Secundanorum mulcta.
ia serie Aqualium:) Adeoque 02 = S = = B: Ouod icaque est quacratum re.
Etx CD (distantiae d Centro) vel (huic aequalis) Os, ordinacim applicatae ad
Arem conjugatum. (Oux omnia olim demonstrarimus, Con. Sect. DrOD. 35, 4. L.)
Et, propterea, Tumpris C. S, hoc est DO = h, arichmetice proportiona libus; crunt
omnia rectarum sO, ordinarim applicararum ad Axem conjusatum, (spacium
OsCA complentium,) quadrata, toridem S2 f == B2, Tumpris B arichmerice.
proportionalibus: HOc est. Series sEqualium aucta serie Secundanorum.
Sed e sumpro M in ACymPtOta C. M, erit (Per prop. 30. ibidem,) ut L adZ,
sic quadracum C s Scu DO, hoc est h2, ad quadrarum sM. Adeoque quadrata
omnium SM (spacium M Ci s complenrium) tune cocidem = h2; tumpris C. d = b
arichmerice proportionalibus.
Maniseltum autem est, (ex constructione Colidi,) quae rectis Aa, Do, insictunt
erecta plana (solidum complentia) cocidem esse circulos; quorum diametri sunt
iplae Aa, Oo, rectae. Ouippe radii C. A, SO, circa Axem SC sconversi, totidem
deseribunt Circulos.
Incelligatur autem, sumpro, ubiris in sO recta, puncto m, recta per Centrum
Cm, cui crectum insistat Planum sectionem faciens, quam itaque compleant rectae
m (iptis in punctis insistentes:) Ouarum. quadrata (uipoce; in suis respectire
circulis, incer diamerri segmenta Om, mo, mediarum proporcionalium, seu ordi-
nacim applicatarum ad Circuli diametrum,) sunt coridem quadrata sO, dempris re-
spectiris quadraris sm; Peu m 2 =- dOg - 5mg.
Sitque L punctum mins. adeoque s m =0, 8 sO4 -- s mg = 5Og: FF
propterea, qua rectae C. S insistir sectio, cadem erit atque SO A Ci hyperbola.
Sit 2, punctumm in M, (nempe C meadem existente atque C. M a (ymptota; )
adeoque s m = dM e dm9 = S H9 = = B2: FL pr Opterea 5O9 - d m9 =
8 + = b. - , b. = 8 = m: ipsaeque m, coridem S, invicem aequales. A.
deoque, quae Asymprocae intillic lectio, est Pacalletoprammum Rectaneulum.
8
Solidum vero sic constructum cum varias admitrat sectiones plano factas; eas
Fig. 216. ut ordine exquiramus, considerabimus hoc idem solidum uc alia constructione

## Folio 933 — 851387705:0953
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000953.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
PFOD. XXXII. De Calculo Centri Cradadis.
Sit 30 punctum mincer s e M; adeoque s’in minor quam sM, sed cidem Fi2. 216.
ubique proporrionalis; pura in ratione n ad h. AdeOque dn9 = , n 2: F L8O9
= 5mg = 5. + = B. - = n = 5 +  = 7 = m.. Duae icaque (Bop.
Tex nminorem quam B) Sunt quadrata ordinatim axplicatarum ad hyperbolx axem
conjusatum, (urpore series squalium aucta serie Secundanorum:) Ouxe quidem
Eyperbola, Semi axem Frantrerlum habet (super Ci centro crectum) S =CA:
Teu Fransvertum Axem Z = A a; AXem Conjusatum, C I m: et P acus. Rectum
2L. +
=. Ouippe, cum si in quaris Hyperbola, B. = . - -  Z; Pro
B, C, L (ne tiac Srmbolorum confutio, propter has lireras jam uturpatas,) Bona.
muS, i hac, B un a; (manencibus S, P, uepote huic cum Hyperbola Genitrice
communihus :) Friique D2 = - ,  n. Adeoque
(= Cmg = Csg + 5mg = ) B2 + =, 1; _e P. 7-
Dore quacracum rectae puncto n insistencis quam in diximus,) = 1 = 5 f   Y;
Adeoque n2 = 52 -1 P. FL propterea
tus Rectum. Fstque Conjugatus Axis, ipsa C m recta: Centrum, C.
Sic 4 punctumm inter O et M, (inter Curram et propiorem Asymprotam;
adeoque Cm, continuata, curvam lecabic; et quidem urrinque continuara, sectio
nes oPPOLITAS:) Adeoque (proprer sn majorem quam sM, seu n majorem quam
B,) erune s0g - 8m9 = 5 +-, b = -  n -= m, hoc est 5.-   7; qua.
drata ordinatim. applicatarum ad F. llipseos conjugatum axem, (Der C. on. Sect. prop.
28. urpore series Aqualium muletata Serie Secundanorum;) Cujus minor AXis
Franrertus, P, Seu 25, = Aa: cujus Cientrum, Ci; Axis cOnjugaTS CM O; L. a-
tus Rectum  L L =. Ouiore cum, in quavis FIlipL SC e. = 3 =
DrO C, L, (ne tiac Symbolorum contulio, proptex has jam in Fyperbola usuxpa-
tas, ) BOnamUS, in F.lipEI, u a, (manentibus S, Z, upoce communibus P. Dipsi cum
Eyperbola.) Eritquee 2 = - - = n. Adeoque
(= Cmg = C.8 g + dm g) = h2 + = n2: 8 C 27-
= 2. FA autem C2
B2Z
(urpore quacdratum rectae puncto minsistentis) = 52-.
= B T. FL PrOPterea
2
B
et
T. Ltem n =
T. Adeoque 52
=n, Latus Rectum.
EtCmO in eo puncto Curra A0 occurrie, cui respondet 5O = d m, hoc est
c = - Z. FLC.O9 = B + c2 = B + = 7 -
Z. cemi axis crantvertus Conjusatus.
. Hoc est, CO-V:
Omnis igitur hujus Colidi sectio, plano per Centrum Facta, erit vel Circulus,
nempe si super rectam C A; vel Fliplis, H InteT C A et C. M (seu inter curram
e alympeoram proximam;) vel Parallelogrammum, si in ipla ACympiota; vel
Eyperbola (seu potius Opposicae Fyperbola, intra lupraque,) si Per C m inteF
CM_ CS; vel ipsa quidem Genicrix hyperbola, si per Axem CS.
Incellieatur deinde, Sectio rectae n vy axi paralletae, insistens. Fruncque, d
Bbbbbb3
nic, FiB. 277.
a. FRE autem 92
P. Tremn (ut.

## Folio 934 — 851387705:0954
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000954.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
ries Aiqualiu
deoque, sin sic in C; erit (ut pri-
US) Sectio per n u, Cadem qua per CiS
hoc est sOA Genirix hyperbola (Drop.
cexd p = - 0.
Sin Licin A vel a; adeoque C n = C A
S: FrunE 8O9 - Cn 9 = 52 
B2 - 5. = = b. = p 3. Oua ilaque
Tune quadrata ordinatim applicatarum in
criansulo, (utpote Series Sccundano-
rum;) seu pocius binis criangulis com-
munem verticem A habentibus, quae HunE
rectis decultancibus cundem anoulum ta-
cientibus quem FaCIUnE A CymPEOER SC Mu-
tuo in plano decultantes.
Si a Licinter C et A, vel C e 2; 2-
deoque Cin = 8 MINOF quam S; FrUME
50g - C n9 = S2 + =, B - 0 = p 2
quadrata ordinarim applicatarum ad con-
jugatum axem hyperbola; (quippe sc
ucta serie Sccundanorum:) cujus Semi axis transversus elt V: S2
52: (Nempe, quae puneto n inEiltic ordinarim applicata in Semicireulo Aa;)
Latuo rectum,  F V: S = 02, seu = V: 5 - 02: alque anis conjuencus, ipla
n p recta.
Sin sit extra Solidum, puca ulera A vel as ladeoque plani secantis pars mecia
etiam extra Colidum,) Planum secans in iis punctis occurret ubi eAt sO (vel 50)
=Cn = =S V; (quae itaque puncta lunt rerrices oppolui:) puta, V, V. Acque ut-
cra haec puncta, exiltente r intra Tolidum, erunt 1.  = dd9 = dv, 9 = 509-
Cug = 52 f = B2 = 02; hoc est (propteris majorem quam S,) = B - 0 + S2
=P. 3; quadraca ordinarim applicatarum in Fyperbola (seu Oppolicis hyperbolis)
ad tuum axem: (utpore Series Secundanorum muletara serie A qualium:) Cujus
Axis tranIvertuS est 2 Y  =  L, et Lacus rectum, 2. V   T. Centrum
vero, ipsum n; acque AXiS, XH; Fran(rer(uS, V X V.
Omnisigicur hujus Solidi Sectio, plano quod Axi sic paralletum Pacta, est, vel
Oppotita Friangula ad eundem verticem, nempe si per verricem hyperbola Cic.
nitricis; vel Hyperbola Opposicx, si alibi.
incelligatur denique, ubiris in Hyperbolae Genitricis axe A a, quancumris pro-
Fir. 218. ducto, tumi punctumn; unde ducacur (cui insistat sectio) in plano per AXem
Colidi, recta n r, Tolidi Axi Ci s non parallela, sed cidem alicubi occurrens.
Fc quidem s sumatur n in C; fier sectio per Centrum, de qua jam supra di-
aum est: In qua quactraca ordinacim applicatarum sune m = 5 F , h - , n2:
Adeoque sectio ipta, vel Hyperbola, rel Paralleloerammum, vel Filliplis; prout
in minor est, rel aequatis, vel major quam B.
Jam rero, cuiris peaedictarum Cm, parallela incelligacur n n. Sicque C. n. (= M X)
JL F2 = F V =; Curi prius erac 5 m = v = n2 = av =. Adeoque d n -
dm. FMn, vel dm = m =, vel ma - sm, (pro vario sicu punctorum m, X; )
hocett, aequalis summae vel dilterencia rectarum sm, mr; hoc etu iplarum
De Calculo Centri Cravitaris. Cap. V.
Fig. 217. hie omnia quadrata rectarum punctis e insistencium (planum complentium, )
DUta H , = 5Og - 5 p. g = 5Og - Cin9 (PFODTCP S H = C n.

## Folio 935 — 851387705:0955
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000955.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
PFOP. XXXII. De Calculo Centret ada.
nv=, FY =: (nempe, Summ, A pun-
ctum m Sic incermedium incer 5 et r: DiF.
Terentia, li secus.) Adeoque iplarum dn
quactrata, 8 r g. = n = 2n f +
Cum itaque Ouadraca rectarum pun-
ctis n intiltencium (sectionis planum ip(i
nx intiltencis complencium,) Duta 
Sinc (per prius octen (a)5O9- Snq; erunt
ipla, - - 5. +    F2
(Nempe, 2 n F cum CignO =, Si M Cit
intermedium; cum lgno , A (CCuS.
Vbi S2 C F2 Tunc Terres A. qualium; 2u F
leries Primanorum; B- n, series Se.
cundanorum.
Et quidem Z, SEn X parallela ipRI CNI
aSMPEOIE: Adeoque (PrOPter Sm =dM,
B2 =n2 Se MuTuO perimentes.
Ouo catu, (1 Ic etiam S = =, 2, (existente seilicet n in A vel a; adeoque
CA = Cn:) his icem se perimencibus mutuo, solum supercst 2 ee quidem
cum signo F: (Nam, Botito n in A vel a, non pocest punctum m intermedium
etse incer se r, guin r exic extra Solidum: ) Leu (PTOPTE n = B,) 2; seu
(proprec 52 =  T, adeoque s = =, 5., e F = 5V = = : IV = = VLT,)
BZ V =, Ceries Primanorum; (uc quadeaca ordinacim. applicatarum in parabo.
la.) AdlCOgHC qua rectA n X per verticem A vel a cranseunti, utriris ACympto
cacum Parallela, insistie Sectio, elt Parabola. Ciujus vertex, W; AXIS InCErCEPtIS.
n = C m = Y. Cd4 + dM g: = Y: B. + = B2: =bY: Tacus rectum,
7: F. 2 f 7 ∞; vel (PrOpteE F = 3 Y L T,) ZY
Sin (manente nn paralleta C. M alymBToIX) punctum a sic exera Colidum, (ultra
A vel a,) adeoque Z majus quam S: Fric exiamnum 2. 1 f seu 2 B F cum
sieno-F, (quippe polico n extra Solidum, non pocerie m incermedium este, quin
 etiam eric extra Solidum: ) LL = 2 = 82 p
124-
F
T, HoC CAt = B F
ei
= Ceries Primonorum mulehaca serie squalium: Adeoque, et nie,
sectio erit Parabola; sed enjus vercex sienon in u, sed (ubim, intrando, cur-
ram secat) in V; ec u in axe continuaro extra Parabolam: L acus rectum (yt
Y: E F X7: Verrieis distantia a V = -
CiS = B = 2
+
 Cni respondet
Si aucem (manente n x paralleta CMalymptOt) punctum sic incra Colidum,
(sire incer Aet C, sive inter C. et a,) erit Cn minor quam C A; ad eoque
minus quam P: Porestque m vel H incermedium olle inet d et n (nemrpe

## Folio 936 — 851387705:0956
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000956.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
DeCalculo Cemr Cravitatis.
Fi8. 218. FI _  LatuX citra CM,) vel (_uta) Non ette: adeoque 2n F seu 2 B F
CaP. V.
qualium, illie mulctata, hic aucta, serie Primanorum: utrobique, sectio erit Pa-
rabola, de n in axc inera Parabolam: Lacus rectum (ut prius) J: L. 2 F L. Z:
verticis distantia n V
spondet C. S =
a
1
=; illic surtum, hic deortum. Cuire.
Omnis itaque Solidi hujus sectio, plano ACimptotae parallelo Facta, est Parabo.
la verticem habens in recta n n illo puncto quo Curram genirricem (Ccat.
2. Si Cm cui parallela est n n, nOn (I
ipsa CMt alympeota, sed quae obliquius
lecet Tolidi Axem Cs; sumpto scilicet
puncto m inter s et M: CPIE n minUS
quam B.
Ouocatu, LFL S. = =, adeoque
Cn = C A, Sumpro Ccilicet n in A vel 2.
Ilis ita se perimentibus mutuo, crunt r -
=T, quactraca ordinacim.
applicatarum in oppotitis hyperbolis, (ur-
Dour series Secundanorum, muletara vel
aucta serie Primanorum;) quarum qui-
dem axis tranlvertus n V ett extra loli-
dum rertices habens in eadem Curva se-
nitrice: Siena vero - + respiciene, hoc
unum; illud, reliquum rercicem.
Idem accidet, E Sic S2 minus quam - 
adeoque n extra Tolidum: nisi quod jam
 non erit in verticum altero, sed in axe trantrerso alicubi intra rerrices. Ouippe
Tum r 2 = 52. ]
B - n = 2n f
=T, hoc Ct   7-
F27 = 52T 2uF
- ’erit
leries Secundanorum muletata serie Aqualium, mulctata vel aucta serie Prima-
norum. Dui etiam est Locus ad Eyperbolam: Cujus Axis est ipta nn, verricel-
que illius ea puncta quae lune in curra genitrice.
Si S’ mujus ic quam  = adeog; ninura Colidum erune n = P. + 2 a 1 2n 5. 1 4
Hoc CA 5 L = F27
F
=Z: series Secuncdanorum aucta serie
Aqualium, de muletata vel aucta serie Primanorum; adeoque Sectio, OppOtiX
Hyperbola: Iplaque  x carundem Axis si curram genicricem secet, verrices ha-
bens in ipsis incerlectionibus: Vel, si curram illam non acringat Axis conjuga
tus; Sin curram Fangat; perinde est ad unrumris casum reteras; Ouippe cum
oppolicae Dyperbolae degenerant in opposita Friangula, quorum communis Vertex
elt O, punctum contactus; eranescente L atere Frantrerto.
Omnis isitur hujus Solidi sectio, plano tacta quod oblignius sccat axem solidi.
quam eam secat Alympioca, Tune Opposicae Hyperbola, vel Priansula.
3. Si Cm cui parallela est n r, minus oblique secet axem solidi quam ACymp
Fix 20O. tOta CM; adeoque sic m punctum intra M e O: erit n majus quam h: rectaque
n oppolitas curras genitrices sccabit.
Quo eatus li 5 = Z polico seilicet n in a vel ai leumnen posti m cadere
inter
vel signo =, vel signo F astici. Adeoque r 2 = 5 - , T+ Z; series A
E
8

## Folio 937 — 851387705:0957
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000957.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
PFOD. XXXII. DeCaau Centri Cravit
incer d X X,) eric 2 - B   t 2uF T; hoc ell
sectio, FIlipsis; cujus AxisunV, de verricum alter inn, reliquus  OpPolica hyperbola-
Si vero n si extra Solidum; ade0.
que Se’minus quam =; (nec voL.
Tic m cadere inter S et :) ErunE
 = 52 + B - n + 2n
 T: hoc est,
2nFF n - B F27 -52Y
Atio iem Ellipts erie, cujus axis est ipsa
u sed neuter verricum in puncton
quod est in axe continuato extra FMlipsin.
Verticelque in illis rectae n  punctis qui-
bus oppolitas curras genitrices secat.
Sin Se majus quan =, , adeoque
n intra solidum; Crunt +2 = 52 f
n. . B
F2
7 + S2L - F.
=.: Sectioque FHlipsis erir; cujus axium alter est ipta L X
recta, punctumquen in neuro verrieum, sed in axc illo incra elliptin, cujus verri-
ces lunc in eis ejusdem punctis quibus oppolitas curras genitrices AO, a0, secaL.
Omnis itaque hujus Solidi sectio, plano tacta quod ad Axem Colidi minus obliguum
Sic quam est ACymPTota; est Fliplis; vel Paliem (si rectum sic ad axem) Circulus. F18. 214.
Solidi hujus Centrum Craritatis quod spectat; Si torum spectemus, aequaliter
uerinque concinuatum, non est quod ambisemus in ipso C cenrro policum esle;
propter tum SCs cocius axem (in quo propeerea Centrum graritatis Licum esse
liquet, ex prop. 5. hujus;) cum Circuli planum Aa, quod cum axem cum Tolidum
etiam ica dividar ut linsula sesmenti
sumptis, xequiponderent; urpoce aquales, ee aequaliter utrinque remota; quare e
in hoc etiam plano sicum este constat, pex prOP. 3. rel 4. hujus: adeoque in ipto
C puncto quod est urrique commune.
Si vero alterurum legmentum consideremus; putaO Na0, a diridente plano
Aa quancum libet continuarum, vel hujus etiam segmenta quaelibet planis ipsi A a
Parallelis abseista, vel interjecta: Hic etiam rem Facile obrinebimus.
Cum enim, rerbi gratia, in Plano C AOS, tig. 214. cujus convertione cirea
Cid axem, illiulmodi semisolidum tormatur; rectarum 5O quadrata (quibus e
cicculi tis ractis deseripri sunc proporrionales, sincs per S A.) P. H ,  b, vel 172 +
B, hocell, series Aqualium aulla serie Secundanorum: Sincque (per Pcop. 1
tujus) omnia T. idem alque Z. (in alcicudinem) FL ductum, seu H Z, ee omnia
272 = = HIT2: acque omnia B, idem acque J L; et omnia = H, = = 773: Fi
runcomnia  7. + = 5, = : T F+ , X, (polio HL prO DO = B masimo:)
Soliaumque Convertione rel Semiconvertione factum, ad hanc ougdracorum sum-
mam, uE Circulus rel Semicireulus ad quadrarum radii. Adeoone ad Cylindrum
aeque alcum cujus balis aequetur Circulo radii DO maximi, ut Z2 FL F
=1 ad + 7.YI + = Y, seu uc = L. F2 + ; YH ad ; L. Z + ZF. HoC
C, ut 3C T + 4 FT2 ad 3L Y = 12F72.
Sed et rectarum, adeoque et quadracorum auc circulorum sO, d C A distantiae, W
CcCCCC
TunE
15.
i exitque
ENE Se

## Folio 938 — 851387705:0958
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000958.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
De Calculo Centri Cravitatis. Cap. V.
lune uc b arictmerice proporcionales: Adeoque (verbipracia) quadracorum 5O
momenia respectu C. A, sune cocidem , Z: B. + = B. (sumpris h acictimerice pro.
portionalibus usque ad F maximum;) Adeoque (per prop. T. hujus) omnium
(Tire quadratorum sire circulorum) in suis locis sulpenlorum Momentum, ad mo-
mentum cocidem maximo aequalium in distancia maxima suspensorum, ut 3F2 FY.
+, 22 ad ; 72 752+ = SL; hoc est 3 L Z: + Z7P ad L. Z + 4TLY,
seu LY + 2F2 ad 2 F. 2 + 8772
Cum itaque Magnicudinum ratio siE, ut 3 F, T + 4 F2 ad 3F T + 72TI2; &
Nomentorum ratiO, L T F 2TY ad 2T T L8FI2; Cque MOmentorum ratiO CX
rationibus Masnicudinum et Distantiarum compolita; erut Distanciarum ratio, (hoc
est, distantiae Cenrri graritatis d C A, ad distantiam toram leu aleicudinem tigurX,)
uc 3FF2+ 1872_2 F 24 5542d 65272+ 32FY172+ 32 874, vel (ab
breriando per L7 + 45,) uc 3 L2 +0+7 ad 6C.7 +8F5
3EF = 477 LF + 2172 (3PZ2 + 18ZZTP + 24YY 3LT + 6772
3LT + 12FF 2LZ +8F~ 67.7 + 321. F2E + 3217 627 +817.
Adeoqne (cum in AXC Solidi Cirum cAC cerrum SiL,) eric in AXC sic divilo.
Verbi GratiA; LI PONANtUE L = 7 = F: Frit ut 3 f 18 f 24 = 45, 2d 6 ]
82 F 32 = 70: Seu, ut 3 7 6 =9, 2d 6 F8 = F4; hoc clt, ut 9 ad 14: Sic,
Eolici Ceniri gravicaris (in C.S Tci) d C distancia, ad totam C. S. Acque Similiter
indicandum exie (muratis mucandis) quaecunque ponacur iptorum L, 2, LX, ad inri.
cemratio.
Ouaeque hic de Magnitudine de Centro pravitaris SolidiErecti, ejutre recta
Portione ipsi A a plano adjacente dicta sunc: ad Scalena Faeile transteruntur; (po-
lto Aloco FEprO tigurx alcicudine;) Arque ad segmenta duobus urcunque planis
plano Aa paralletis interjecta; urpore quae sunc duorum ipli Plano A a adjacenci.
Eium, rel Summa vel Ditterentia.
SCHOF ZV M.
A Lque hC TandCM PCCCM IGO. Lque hoc De Cateulo Centri Cravitatis Ca
Dur ulterius produco. In quo li quispiam causetur me laris aliquando per
plexum ale; urue id non nedem, perplexo (siquod aliud) subjecto impurandum
erit. Nec dubito quin, qui Mescalisimam rerum traditarum nacuram intelligune,
me Patis dilucide pro subjecta mareria eradidisse, existimabunt; nec Speraverine lor-
san clarius hoc olim ab aliis cradicum iri. Si cui nimius tuisse videar; (utur C90 18
sim qui de hoc omnium maxime conqueri debeami, qui incredibilem intricatissime
caleuli laborem, ne dicam infinitum, lustinui solus:) qui ramen musciplicem re-
rum traditarum coxiam perpendit, acque succinctam eradendi methodum; facile
promesponsor erir, me, pro canta materix rarietate, etiam brerem fuiste: Dum
ea unicotoc capire, tradi rideat, quae, si aliorum quorundam exemplum sequu-
cus, in lonsum procraxiste vellem, ad spilta Patis volumina, neque pauca, materiam
actacim suxpedicarene. Concra vero, liquis iltiusmodi alia non pauca adjunsi Po-
cuisse queratur, quae tanquam omissâ deliderat: neque cso hoc negarerim, (neque
id mihi in animo suie, sic omnia undecunque corradere, ut nullum superestet le
quenei spicilesium:) Addo tamen, etiam ea Forsan ipla, quae tanquam deliderata
caulancur illi, si rice animum adverterine, ita univerlaliter tradi persviciane, ut
nihil ulera delic, quam ut, universaliter tradica, ad parciculares calus applicentur:
Salcem, eas hic mechodos cradi, quae si ad quaelica parcicularia accommodentur.
etiam alia innumera, quae tactenus pro difticilibus fuerint habita, expedire poterunr.
Suversunc adhuc plura ad hanc, quae prae manibus est, De Mechanicis, Cire Dde Motu
doctrinam spectanria: Sed preli moras acque ditticultates jam expercus; hiaec ince
cim praemicienda juclicari, dum Partem Terciam, jam inchuvalam, absol Vanc opeta.
NZ5 _ ARYLS SFCVND

## Folio  -  — 851387705:0959
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000959.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 22 lines, status machine
ap.
eu1
ejie
HLCILANTCORUM
S IV F
Tractatus DF MOTV;
P
ARS YF RI
e0
Drecde; aut unico, aut dinis pluribusve uatis sustento.
De Axe in Peritrochio, cum Potentiis coenatis.
De Prochlea, seu Polrspasto.
De Cochlea.
De Motibus Compositis, Acceleratis, Relardatis, e
roscltorum.
De Percussione.
De Cinneo.
De Flatere,  Resititione seu Reftexione.
De Tydrostaticis,  Aeris. quipondio.
Pariisque duaectionibus Mechanicis.
Anno 167T Cdita
Ccllbe2

## Folio 940 — 851387705:0960
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000960.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
940
AD L E C FOR F M MI ON F F1O.
NOR Partem hanc Tertiam, (ut prius Se-
cundam,) tanquam ex abrupto inchoemus;
continuatis tum Capitum, tum licurarum,
Numeris: Ad Partem Secundam jam dictum est:
Nempe, ut Citationes commodius perasantur.
ed
33.t 
et a 0

## Folio 941 — 851387705:0961
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000961.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
EI N E Y IO N F S.
Dex. T. Dectem (nota sienificationis in usu vuleari) hic consideramus, tanquam
Lincam Rectam Infexilem, Ponderibus vehendis, sustinendis, vel levandis
accommodatam: Ponderisque vel nullius, vel saltem aequabilis. Gracis
poxnos dicitur.
II. Fulerum (Graecis inuo Xacor) illud est quo rectis sustinetur: Vel eriam
super quon tanquam immobilius movetur.
Petis nomen, d Vehendo diei videtur, (ut vector, vectio, vectura, ve
Etieal conveaum, vexo, vevillum, quaeque his cornata tunc;) cumque
praelertim iptius ulum respicere, quo Bajuli (seu P alanearii) utrinque
adhibiti, ecti (Palaneae uidem dictae) impolicum Onus vehunt: AUE
etiam (quod eodem recidic) quo Vectis, Frabs, Teu Tisnum, Fuleris
utrinque sustentatum, incumbens Crrare sustinet.
VOX GrRCa pOXNoS, TIre a poDO labor molestia sre (ut oxacs ejusdem Cionifi-
CatIS) ab Byncco moveo, dieatur: alterum pocius Vectis ulum respicit (quemMte
chanici pocissimum cractane) quo unius Fuleri ope, Vis alteri rectis extremo
applicata, religuo imposicum Grave, Facilius sublerat: Ouo respicit ee nostrarium
vox Deaver, canquam a sevando dicta, quod noltri dicunt tolti rel eltam tD Beave,
(quali a veho diceretur invertis literis; ) unde ec nostracium rox veaven, Caelue
denotans; tanquam Flatum, Arum, sevatum; (quomodo et Calum convevum
dicunt POCtX.) Fodem sensu nautx, speciatim de Anchora subleranda, dicune
to Weish anchor, hoc est, Anchoram sublerare, acque invebere; (cui concrarium
cA to cau Anchor, hoc elt, projicere.)
A poxios diciur noxrado, quod prima sieniticalione est vette moveo, lunde ad
alia etiam molimina Tanstertur;) atque hinc Lacinorum mosior, molimen, molesq
molestia, _c. dici ridentur; nili quis haec d moveo dicta malie
Nos, unrumque Vectis ulum respiciences, quo et Vchendis seu suctinendis pon-
deribus, et Lerandis eriam accommodatur; unique detinicionem accommodari.
MUS.
Ouod aucem, à poxres, ronuirnior dienne Graeci (mepore quod Vecti subjacere
Tolet,) Latinis Fulerum dicitur, quod d Fulcio, fulsi, fultum, tormatur eadem ana-
losia qua a suis Verbis, corumre Supinis, Formantur alia; nam prouc d lavatum.
simularum, ambulatum, involutum, sepultum, Formaneur lavacrum, simulacrum.
ambulaorum, involuerum, sepulerum, (et liqua sunc similia) de d fuleum Formabi.
cur Fulerum. Sed e, d Fuleio, suleum, sulcitum, etiam Fulcimen dicitur, de Lulci-
mentum, eodem significatu. Signiticar aurem rel illud immobile super quo mo-
veri Vectis incellisitur, ubi submorendis ponderibus actribetur; vel bina illa (sive
plura Finc) Fulcimina, quibus uerinque incumbens Prabs, Ceu Vectis, sulcitur seu
sultinetur: Prouc Teilicee vel unico, vel binis (ptuributre) Fuleeis rectio lu.
Ninetur.
Dectlc 3
a P.1C4.

## Folio 942 — 851387705:0962
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000962.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
ap. VI
FI8. 22.F.
TII. Applicationum puncta, Cenerum Aquitibrie, aliaque hujusmont
suubi hic occurrunt, eodem sensu intellisenda erunt quo supra de Libra de
finitum est.
CTC, (Fi8. 22F.) AB, rectis; O, Onus lerandum seu Tubmorendum, vel criam
DObex amoliendus; V, Vismotrix actibira; B, punctum applicatiolus fnde.
riS; A, punctum applicationis Vis morricis; P, Fulerum quo lustinetus; cujus
apex C est Centrum mocus, Axique Librae respondet; Onusque et Vismol, 
voluis ad Libcam Ponderibus respondent.
F18. 222. Trem, (F18. 222.) AB Vectis, duobus tuleris seu bajulis F, L, O POn.
dus seu onus impolicum.
ectem aurem canquam rectam lineam (Ted non Hexilem) eadem ratione ule
habemus, qua Libram Cupra Sic trabuimus: Ouoniam tanquam nulsius ponderis
xstimatur. Ft siguid, rerera ponderis habeat, id vel Oneri morendo, vel Vimo-
axicis ret parcim hiuic parcim illi, (pro vario situt) accentendum exit.
e ROP. 1.
Si rectis, (unico fulero Oneri et Viribus intermedio nixus,) tanquam
Libra consideretur; quae de Libra supra dicta sunt, eadem e Vecti
Accommodantur.
218. 221. DSca; E rectis AB, Fulero sustineatur in C; acque applicencur Onus in B,
et Vis in A, (utraque deortum prementia;) Vis et Onus contra ponderant;
(Seu InVICEM CONErA HItuNCE;) hoc est, Vis deorsum in V, eleVATO. per T. C ap. 3.
Trem, caucundem simul grarane leu premune Fulerum, quantum est ucriulque
simul (cum ipso Vecte) Vis (dum sulpentum onus in quiere libratur;) PeF 2.
Cap. 3. dumque est in MOL, quantI peF 16. C ap. 3. determinatuT.
Etem, tantundem utrumque suum alticit seu grarai applicationis punctum, cui
vel dircete imminet, vel directe Tubest, (rel iptum, vel ejus Centrum graritatis,)
acque si in ipso ellet applicationis puncto. (Ouod eo alibi perinde obtinet.) PeF
30. Cap. 2. Vel 4. Cap. 3. _ 16. C ap. 4.
Trem, in ea racione valene (Vis agendo, et Onus retistendo,) qua componitur
ex racionibus Graduum (puta Ponderum ec Virium,) e Distanciarum punctorum
applicationis d Fulero seu CentTO mOtuS (Caereris paribus;) Per 12. C aP. 3.
Irem, si Vis (sic aestimata) oneri prapolleat; morebic: Siminus, non more.
Bic. per LT. CaP L.
Adeoque, quo proxius ad sulerum sic Onus O, e Vis V remorius, eo minori Vi
majus morebitur Onus. Der 12. C ap. 3.
Item, SI Propter curracum Vectem (quem rectum supponimus;) vel (quod
eodem recidic) propter Cencrum motus extra ipsum Vectem, (hoc cst, exira rC
ctam applicationum puncta junsencem;) vel propter non ealdem Oneris e VixI
um Directiones; rel alias undecunque, continsac; pro rario rectis u a
quat6

## Folio 943 — 851387705:0963
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000963.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
L1
quales subinde futuras esse motuum (Oneris ee Vul meium,) Obliquitates:
Faedem hic anomaliae continsent, qua de Libra clur, P oV. 14. Cap. 3
Aliaque de Libra cractita, eciam de recte nlesenda ctu. Veclos enim Li-
De recte.
bra clt; ee Fuleri rertex, est Librae AXis, seu Centrum MocuS: Onulque e Vis
Mocrix, Tunc ut Pondera uerinque Librx applcata. Adeoque ua   Labld
unirersalicer demontsantur; Specta Vec CoMreMH.
1
SC F2OL EV M.
respicere videantur;) tamen cactem StsH Talto ClL, mutatis mutandis, Vectium
TOcandum interim est; quanquam rectium praecipuus utus esse soleat ad oncrz
in alcum seranda, (quem itaque rocabula horlum accommodara porissimum
in alio sicu achibicorum, ad quolcunque doles amoliendos; (cademque et hic Fi8. 222.
demonctratio.) Flllau cn  reo B to Meo e alt elta
tram poluto nixus, adhibeatur (ri in a applicata) ad amoliendum obicem, Oad
Tinistram policum; aut ad fores ibidem pertrinsendas; aliudre hujulmodi perfici-
endum. Lodem modo; si Fulero F, superne posico, adhibeatur AB rectis, 910
Clarus superne fixus subducatur, Vi acttibica in A qua TUrtu PTEMAt. LL SiC F.5. 224.
alibi.
Dico aurem, sirmiori Fulero P. Niti enim Paris Firmum sie Fulerum; Manente
O morebitur P, (ut tiac O Fulerum, et F mobile; de quo in Propolitione sequente
dicendum exit.) Sicuc e, nisi rectis AB sic Pacis tirmus; transetur rectis AB,
vel currabitur. (Ouxe et alibi similiter incelligenda crunt.
Fit quidem sic aliquando incer plura distribunur mocus, ut in ambieuo sic, quod
Fulerum dicacur, quod Mobile. Sic in Navisii vel Cymbae, Remis; dum Vis Ma-
nubrio applicatur, Palmula Aquae ut Fulero innixa, Scalmum cum conjuncta Cym
ba submoret: Verum, cum neque ita tirmum tulerum sic Aqua, quin et ipla
nonnihil presta cedat; ratione motus hujus, scalmus pro Fulero erit, eriique
Aqua proMobili: Sed ei, cum neque Remus ipse ram ralidus aut tirmus sic, quin
Flectacur nonnihil seu Incurrecur, (etiam cum non trangitur;) certius hinc ori.
cuT mOtuS: Oui quidem ires motus se minuune invicem. Ouippe Aquae Cestio
et Remi Flexio, motui Cymba nonnihil demunc, qui major ellet si non adestene
illa; sicut ex adverso, Mocus Cymbx, cademque Remi Flexio, Celtioni Aqua;
duoque mocus reliqui, Flexioni Remi nonnihil demunc: Adeo quidem ue Vis ea
dem achibica, quae jam fectir; si nec Aqua cederer, nec submoreretur Cymiba, BC.
mum transeret. L.t limile clo su as judicium.
Sed et nonnunquam semini rectes, decullacim potici, eidem communi Lulero FiB . 225,
nicuntur. Vr in L’orticibus, e Forcipibus, ad interjectum obicem vel scinden- 226.
dum vel comprimendum adhibicis. Ubi duo rectes AB, a B, communi fulero F
nixius (adhibica vi in a, a) comprimune incerjectum obicem O; et quidem co
Fortus, quo rel O propius estad F, rel Ae inde remorius,
Duae aurem ad hanc propoluionem monemus; eriam in sequentibus obtiment.
PoHenE

## Folio 944 — 851387705:0964
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000964.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
2b
D. V
Postent quidem haec oMIa CCL, CL BIOD. 43 3, d. Cap. 2. Cubi Funclamenta
jacta TunE PrO MaCHIarUM OMMIII VILBAS XILMAHdIS:) Cum aurem id de Libra
jam factum sIE, Cap. 3. Potius duxi, ca qux de Libra dicta Cunt, ad Vectem hic
transterre, proxter limiles urrobique attectiones ab iildem principiis deductas.
Libra craduntur, etiam huc labne cantstereur. Auccliam, l Vis
Eulero dOneri interjaceal.
SiOnus, recti applicatum, Fulero et Vi motrici interjaceat: Oux de
Fi. 227. Z TEmpe; Si ad AB rectem, Met Vucs in V, _ tulerum in b, applicetur
Ocontra directonen la, (BoPe e AB.) Accessl contra nicuneur
ViS e onuS. Per L. Cup. 3.
lOnus in O: Vis Curtum in V, sccundum directionem Cuam procedens, elevat
Fulerum vero non ueraque ri premitur (vi scilicer oneris, e vi motrice,) quia
Vismotrix non est deortum, nec Fulero impeditur (ut in casu propolicionis prx-
cedentis:) Sed Tursum: Sed neque toro Onere premitur F. sed auxilio virium in
parcim subleratur. (Cui consonum occurric ad prov. 18. Cap. 3.) Ouantam au-
cem oneris partem sustinet F, determinandum exic ex iis qua polt cradentur de
Vecte duobus Fuleris Tusentato.
Sed d hic in ea ratione ralent, Vis sursum nicendo, de Onusrenitendo, quxe ex
rationibus Cractuum, et Diltanriarum puncti applicationis a Fulero, componitur.
PeT TE CE T2. C ap. 3
AEquE L Vis (Sic aestimata) praepolleat; submorebit Onus: Secus; non movebic.
Ft quidem si minus Pollear, ne sustinebic quidem. P’er TE. Cap. L.
Adeoque, quo proxius ad Fulerum sc Onus, vel Vis remotior; eo minore Vi
mOretE majuS Onus. Ouippe SiC Oneris VisminuIEuE, VIS MOETIX aUSCTUT.
Ouaeque ad Prop. praecedentem, ex PrOB. 14. C ap. 3. nocancue: etiam hic locum
habene.
Fadem fere omnia dicenda veniunt si Vis V, Fulero et Oneri intercedat. Hoc
(8. 228. Faltem incerest, quod Fulerum jam superne ponendum erit; de minus Onus, non-
nitimajore Vi eterabicur. ded neque cam Oncrepremt tulerum, quam Virium
Parte.

## Folio 945 — 851387705:0965
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000965.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
e
St ad rectem cum unico Fulero applicatorum) ratio Vis MOLLIS.
ad Onus Major sit quam reciproca distantiarum (punctoru appi
cationis) a Fulero; Vis Onus morebit: Secus; non morebie: Si
minor; ne lultinebit quidem.
TErbi gratia. Si Vis Mocrix ad Vim Oneris, sit uE 2 ad Z; seu n ad m; SiL. FiB. 22
que dictantia V F ad OF, uc 3 ad 2, Scu ut m adn: A: quipollebune quidet 230, 251
Vires (PTOPtEK 2X3 = 3x2, Teu mn =nm;) sunc utique (ue jam octensum
M
Demonltratio perinde ralet, lire uus ultra luletm sezals, ut In I
220. Sire cutra, uc in f3. 230. Aur etiam (ut in Fg, 23F.) Si Vis urique interce.
ex adrerlo, ubi Onus eitia Pulerum elt (V morrici d Lulero interjectum) Vi
motrix minor, majori Vi ponderis, aquipollet; (proprer minorem Oneris d Ful
ero Dilcanciam:) Ui aurem Fulerum incermedium et, porell urrumvis continsere.
Ct, ad prop. F _x 2.) illarum valores in ratione ex praduum ec distantiarum ratio.
nibus Composica. Adeoque, nondum morebit. Sed s Vis morrix vel tantillum
augeatUT, aut minuatur Onus: Vis praepollebit, adeoque morebit Onus. Sin mi-
nuacur Vis, vel Onus augeatur; Vis Onus ne Tultinebic quidem, per 9, et TF. C ap. T.
dat; nili quod, hoc calu, Vis morrix semper major elle debeat quam Vis Onerio
(proxter minorem a Fulero Diltantiam) quo possie Vis Oneri xequipollere; Beur
P R O P.
Datum Pondus, data Vi, Vecte morere.
n=
utique siC ad O uEm ad F;) _n Y viS exPOMta; (pUTa quX SIE ad V,  n ac
F;) LEque OnuS mO, vinV movendum. Si Vectis AB (H∞ 220. J Ia CVICatuT
mnDV = mnDO
Ncellieatur vis V, oneri O, aequipollere; sicque expolicum Onus m O ( quod Fis. no
in BlL, (GuOE PMICTO HICMNVa) adCAL da E B, HE m ad H, V1 MY
in A achibica, Onerim O applicaro in B aequipollebic; per 3. Hujus. (Propter ra
tionem virium ad onus, n ad m reciprocam racionis distantiarum m ad n; adeo-
que, quae cxuTiIgue componiee, momen ad impedimentum rationem aqual
Ddddd
22CI5.

## Folio 946 — 851387705:0966
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000966.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
1
es elbe
Cap. VI.
calIS per 6. Cap. Z.) Si iraque, vel cancillum ad Fulerum versus admoreatur O.
nuS, (quo minuatur Impedimentum,) rel inde remotius applicetur Vis (quo Mo-
mentum augCatE) vel denique Pulerum cancillum promoreatur ad Onus (quo
ucrumque tiat,) Momencum impedimenco praepollevit, et Vis expotica (sic adtri
bica) exvolicum Onus movebit. Per OCE IF. Cap. T.
Fi3. 230, Fdemtieu, A Vectis AB ica in O dividatur, ut sit AB ad OB ve m ad n. Ouip.
Decum, polico Fulero in B, aequipollebit ris n P in A, ponderi n O in O.
propier Vis ee Oneris a Futero distantias ipsis reciprocas;) Adcoque si vel Ful-
crum Oneri, vel Onus Fulero, tantillum admorearur, vel remorius applicetur Vis;
haec Oneri praepollehir, adeoque morebic. Ouippe tribus laltem hilce modis (ne
plures nominem L auschitur racio distanciarum A P ad O F.
Pacet aurem, in hac posteriori via, si Vis Oneris major sic quam Vis MOErIX;
detere Onus Fulero es Vi Morrici intercedere, uc in F18. 230. Si Vis MOtriX VE
Oneris major sic, Docest Vis illa. Fulero e Oneri interponi, ut in F18. 231. VC
rum ubehoc conrinei, Vectenon opus eric; quippe is Mocris, Oueri immediare
uxplicata, mOrCBic DuS.
P R O L. 
Si rectis (Fienum, Palansa, seu Feabs oblonsa,) sicu FTorixontali
jaceno, utroque sui extremo Fuleris lustincatur: Fulera bina sucti-
nentia, onus inter se partiuntur; idque in ea ratione qua est reci-
proca discanciarum luarum a Vectis Cenero graritatis: Et quidem
ucrumris eam totins portionem sustinet qua ad tocum eam habeat
rationem, quam habet contrarii Fuleri dictantia ad distantianr totan,
Teu rectis longitudinem.
Adeoque, s rectis, vel Trabs illa, se aequabiliter graris; et propterea
Centrum praricatis habeat in media lonsitudine; (aut ctiam, S hoc
Propter aliam caulam continsat;) Onus inter se aequaliter parti-
UntUL.
Si vero Contrum graritatis in media lonoirudine non sIE: Eulerum il-
ud magis premitur cui propius eA Centrum eravitatis; atque in ca
ratione qua hac proportione determinatur.
Idemque valet, si Vectiubiris applicetur Pondus quodris. Nempe si
Pondus praecise rectis medio appliceturs aequaliter ab utroque
Fulero sustinetur. Sinon in ipto medio, in ca ratione premitur, ab
incumbente Pondere, utrumris Fulerorum, quae est reciproca distan-
tiarum luarum a puncto applicationis. In ca vero ratione ad totum
Pondus absolure consideratum, qua est concrarii Fuleri Distancia (2
puncto applicationis ponderis) ad Fulerorum ab inricem Distantiam,
seu reclis censitudinem.
Si aurem in pluribus punctis, plura applicentur Pondera; de singulis
scortim simile ser judicium (nempe, quantam partem cujulque
Ponderis, utrumris ferat Fulerum;) atque inde de omnibus simul
Cumpris. Vel etiam (quod eodem recidet) ibidem omnia applicata
centeantur, ubi eA commune omnium Cencrum gravitatis.
Sco, duobus Fuleris in A e B. Vectis A B sustents; cujus Centrum graritatis
1.B 2.  lit O punctum medium: Vel (quod eodem recidit, per PrOD. 16. Cap. 4.
Intelligatur A B Vectis tanquam linea recta nullius ponderis, qua in sui puncto.
onulta incellisatur corius rectis (Fieni seu Frabis) pondere, cujus Cencrum
praricatis ibidem elle incellisatur: Vel denique (nam et hoc cancundem valet)
rectis puncto medio O, incellisuur Pondus quodlibet applicatum. Dico utrum-
vis F’ulerum semille corius Ponderis operart; adeo que L’ulera duo corun onus aequa-
Manisectum
dicer inter le parrire.

## Folio 947 — 851387705:0967
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000967.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
P
Maniteltum ueique estu Onus Cilero A incumbens, tantum elte, quanta vis elt
quae ibidem Foret necessaria huie sultinendo onet  (WaleMle Lutero B) tulerun
A abelset. (Onippe tancum Onus est, quanta Vis eAquae Fultinendo susticie: per
PrOV. TF. Cap. T. vel prOP. 28. Cap. 2.) Hloc eAt; (propier diltantiam AB, duplara
distantix OB,) qua dimidio Oneri aequipollet, (per ProP. 3. hujus.) Idemque (i-
de Pulero B. Adeoque rocum onus requaliter inter se partiunsit
duo Fulena A, 1. Ouod ostendendum crar.
militer oltendet
Si vero Punetum O (quoe I Vet Woldo Veclis leu Frabis Pienive aur P alat. FiE, 257
ipso Veclis puncto medio. Orcunque tanto Onere premitur Fulerum A, quanta
Vis es qua huic ibidem sultinendo par ellet, A abesset a fulerum: Iloc Clt (Per
prov. 3. hujus,) quod sit, ad tocum Pondus, in ca ratione quae elt reciproca di
Ttanciarum A B, OB; hoc est, ut OB ad AB. FF similiter ostendetur coonere
premi fulerum B, quod sic ad Pondus totum, in ratione reciproca distanciarum
BA, OA; hoc est, ut O A ad candem AB., FF proprerea (ob eundem ucrobique
contequentem) onera Fulerorum A, B, lune ad invicem, ut O B ad O A; hoc est
in reciprocaratione suarum (ab applicacionis puncto) diltanciarum. Qua iiclem
crant demonstranda.
Sin plura applicencur Pondera, puca alterum in 0, alterum in I: Similicet Fie. 234.
octendetur, Fulctum A, eam parcem ponderis O sustinere, qua sit ad cocum ul B
ad A B; canque parcem ponderis L, qua ad ToruM SC uc PB ad A B: FF FHICLHHC
B, caus tultinere ponderis O parcem, qux sic aet cocum, ut O A adt B A: canique
partem ponderis L, quae lic ad torum ut L A ad B A.
Vel otiatu, (i per prOP. 27. Cap. 4. quaetacur commune simul uirius que Epetitium
graricaris; acque ibidem ucraque censeantur tanquam unum Pondus applicari: HIu
jus eam parcem sultinebic urrumvis tuterum, quam indicane reciprocae diltariria
(pet modo demonstraca.) Fancundem urique grarant ulcunque applicata pon-
dera acque si ibidem ellent ubi ett commune omnium Cenirum figricass: per prep
16. 827. Cap. 4.
+
Leoauem diserte, In suu LTorizontali jalcM. Olaniquam enim de hac COr, Fif. 2,
que vertim est vE, Pront alterutruse rec excremum A. altinscelevatur, ila coni
nuo minuatur Onus; donec tandem, ecte ad lirum perpencioulavem orectaita
Fulerum A nihil prortus oueris sustineat, sed B tOruM. Quod in erigenda PrX-
lonsa Pertica, rel Scala, facile quis deprehendat.
ex Centrum graritatis, vel punctum applicationis imposuti Ponderis) non lic in
ditione prortus tacere soleant Mechanicorum Seripiores (quantum sejo
Omnes:) rationem onerum ad Ae B, eandem altignent in Obliquo rectis sicu,
quam allignant in siem Forizontali: F.st tamen onerum, alia plane ad invicem ra
tio, in hoc, arque in illo, Sicu. (Or ex dicendis adt prop. P. Parebir.) Quod quidem cous-
Dau 2

## Folio 948 — 851387705:0968
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000968.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
 ete.
ssis  R ct i 
P R OP YI
12
D. V
Fuleri (seu Bajuli) onus, all onus reliqui, Cam habeat cationem
Eis. 233. DOcas. Si Gigns de Intans (Peu Fulera tirmicudinum mcunque maqualium) ad.
hibeantur (ille quidem in B, hic in A,) cidem porcando oncri, imponendo
Vecti AB: quod ita moderandum sic ue ferencium riribus justa proportione con-
Tulacur: Id Hec, si ica dirictatur, in O, rectis A B, ut Sic distancia BO ad O A.
Ut sune vires A ad vires B. Duippe, cum erunc Onera Viribus proporrionalia: Per
praeced. Scd iptius Nectis hic nulla habetur rario.
Etinc sequirur; Ita potte all cuneleM. Vectem (duobus Fuleris sustinen-
quam quisque relit.
dum, vel duobus Bajulis setc,) applicart Pondus; ut uniue
Ensc etiam Casculo coltigetull, Ouanta cuique rectis puncto, FiMllas
12.1I
Fi8. 3. H fux in communi O puncto, impeciuncur ne rupeo Vecte ruant. Panta ixi
cur confuton  rm regustiu, atea li disjuncta essent vis etL
Toret nécessaria ucriusque lesmenti exrremo sustinendo. Si aurem, disjunctione
in O tacta, suppolica Fulero lultinendum elter urriusque legmenti extremum; one-
randum toret (per prop. 5. hujus) futerum illud, cum semisse ponderis BO
(propter Veccem BO, duobus tuleris in B et O sustentum:) cum semisse ponde.
ris OA, (ob similem cautam:) Hoc elt, semisse rorins AB. Panca itaque tirmi
cudinis Vis in O requiritur, ne rectis, suo pondere rumpatur
imponi vel suspendi porcco ac GuasIVIS. Maniteltum elt oncrandum lore
subjectum Fuserum illud, cum semisse rorius AB, (ob cautam jam dictam,) tum
toco onere Ponderis ibidem incumbentis. Panta itaque Vectis firmicudo ibidem
requiritur, quae simul utrique (Tur semissu, et coci ponderi impolico) aeguipolleat.
Incellisatur demum proxoni punctum quodvis aliud expendendum (exira pun-
ctum appli cationis appenti pondess) d L. Manitestum est, si disjunctione ib
dem facta upponendum esset in L Fulerum, onerandum fore tulerum illyd (ob
cautam modo dictam) tum lemisse ponderis BP, tum semilse ponderis lA, (hoc
c, semiste corius B A,) cum etiam (peF prOP. 5. hujus) ea parte oneris O. (inter
B _ I Cuspen(i) quae lic ad tocum ut BO ad BI; (acque limiliter, si plura adhue
pondera lire inter B e P, sire inter Iet A, imponi aut suspendi incellisantur, de
lingulis siet judicium; adeoque, addicione Facta, de ominibus:) canta itaque fir.
micas in L sequiricur quae oneribus illio aequipollent. Ajque lic alibis, prouc pescule.
requitalu,  fe
sempli pracia. Veclis AB, duc ua C, A, tirmicace consgctionis
Intelligatur deinde, eidem O puncto (praeter ipsum Vectis leu Prabis pondus)
F
C t V M.
BeIO IENTHIB
11
Eguehinc, in re Architectonica, Facienda eric xestimario, quam trabis cujul-
que partem oporrear torriorem lacere, lo te  poend
ratio postularerit. 
i

## Folio 949 — 851387705:0969
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000969.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
 HiISLH
stelico 1
O P.)
C533NSDETRS CMHBCLBS stOS
INLIL.S C2list
21SDe. IG. ∞t OCI C
Si intelligatur rectis obliguo situ pOsicus; Fulerum elatius, Cam fOtiuS
Oneris imvositi partem sustinebit, quae sit ad torum, in ca ratione
ucomponicur ex ratione Distantia Opposti Fuleri ab applicario-
nis pincio, ad cocairi Fulororum ab invicem Distaneiam; et, ratione
.
PrO
SNL
St
Nempc (in H8. 230.) Oncls campartem lustineti Fulerum A,i qua
At adtorum ut B a ad BIl: B veroigua eM aTI ad W FT IoAdeomO
Onus Euteri a ad Os Fuleri B, us Bc ad co Fr. 13 lor
duo legmenta, AO=
tut
FELII
is  2uSVA
 sit 1 NOISSE S EL SEESIFEEEIE
Cap. 3t vet pCOP. 2T. Cap. 2. HlOc elt Ab ad BA; leu OB rel Bco ad BO; PuTa
quam habet ad Ralium sinus. Cctus istius ansiri quem cuim rectà
d horizontem pervendiculart ac Voctio seu Co. sinus inclinatio
si fulerum S hot criset A cBOI NON aiIIOAEII; ouoq  BsC
nis rectis adhorizontem: sse Ses sub inferiis
Nicliehiur enim Vectis A B  X, A ad Horirontersi OplIquo posicus Tuler S FiB. 236.
A B, faltencus; cui applicetur, in O, pondus guodris; Vectem dirimons in
OB = b. Manifestum est (per demonstrata ad prop.
5.) Onus fuleri elatioris H, tancum elso, quanta Vis esset eidem ibidem Pastinen-
ABdiritionem in O; in ea ratione ad cocum Doneis, gux est distanciatum BO
ad BA, seu b ad R: Per PTOP. 2. hujus, vel prOD. 7. Cap. 2. _ prOP. II. C ap. 3
Sed ee Porros propier Obliquum licum ad Hlorizontem, adeoque Obliquum De.
scentum li (manente B) MOVCaTUIE A, (puta in arcu A FL, cujus Fangens AL,
in ea racione quam ad Kacium haber sinus rectus anguli quem tacu Vectis cul
donecellarta, si (manee CtOB) abesset etm. Soc, Bopicla
perpendiculari, vel Co. sinus ansuli Inctinacionis ad Florizontem: Der PTOP. 13
1
1131
moidei
neruta
noiet
ut s ad R. Adeoque; propter simut utramque cautam; in ea fatione quae ex utrit,
que componitur; sad R, et b ad R; hoc ett, ut sb ad R3: Seu ex BC ad BO, 
BO ad BA; hoc est, utBO ad B A, seu B co aet B TI. ATHIKCP SiI
Adeoque Oneris religuum quod sustiner B Rilorum, cl ad corum, ut eo H ad. B H.
Et propterea Onus tuleri A, ad Onusfuteri B, ut Ba ad. co tL. J.c CduX eranE dez
monltranda
( L 11BIEOAC ELISICM: IILBSMIEEO
Fsic nota; rectam B a C.Co sinum anguli inolinationis A B FL.) in eadem satione
Secari in cn qua secatux B R in O.  O) unssiA sINEI, isicler CIC
SC ZZO F Z V 14014) moe e mine
Rocationem puncli Crrea B Cel eta  AdC  dqu
Dddddd3
Descentur
diste
nD MnoiiCL iMMMOB
 Ctlii e
AuSa direr Cae rationis in Obliquo rectis licus, ab. ea quae est in u LTOrIZON- F18. 236.
tali; Iinc Oritur, quod manence Tulerum A; impedic tancummodo

## Folio 950 — 851387705:0970
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000970.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
5C
Y ect
ap. VI.
Delcentui Secundum tangentem OF, (per prOP. Z5. Cap. 2.) non descentii recto
Ei8. 235. in recta Oc. Fulerum rero B, (ut in Hig. 235.) impedic, non cancunt AoraliO.
nem iplius O circa centrum A: Led etiam ejuldem Delcentum Ooliguis secunauu
rectam AOB, cui tulerum A non obstat. Nam, nisi obltaret B tulerum, pollet,
manenre Fulero A, non modo punctum O circa Arotari, sed etiam tocus AB VC
etis deorsum laBi; aceoque pinctum Oferri in moni composito ex momu Rotacia
nis et mocu Vectis Tabenris, cui verique obltat lulerum B.
S vero incelligacur. Nectis AB, non cancum Fulero A. innici, (quo impediatur
Fi3. 237. TOtatio,) el (ut fix, 237.) eum illo lie ligari, auu unco aliafre lic conju
ues etiamsi B abesset, non voller alias, quam circa A rotando, moveri punetum .
alia prodibit ratio. Cuixue jam Fulera A, B, obliquum laptum secundum AB re
Clami aequalicex impediunt: rorationem rero impeduunt in oppolicat uu acata
TatiOne. iBMIBLNL OT1CO
F1s. 238. Sed _ DOrrO, LMMEISaCE, non modo A fuleLM, A c MCTH  Bes elle
comparatas ne non impectiano obliguuur illum sccundum (rectam - A B, Delcentum
Crmo s incellisaruri A B) Vectis exiromo tanimm tuleri B, ansylu, ineugibete:) la
becus rectis limul cum annexo pondere, descensirilsa, obliquo. Rorationem VErC
impedient in ea ratione Fulera qua est Oppolicarum Biltanciarum; (qua COntinUE
rarabicur prout () popius ad B feretur) Focumque quod inter se pacLIUINEK
Onus, nom elt couute Ponderis imposiu, sed ea pars rorius quae deceriitcanda, EriC
ex diminuo descentu im obH9Ga sCct4. D B (AS. 225.) prx eo, qui ellet in O
Derpendiculari (H∞. 1236, d IuXta LeGCS BrOD, 1Z. ∞ ZF. Cap. 2. Tradicas. Puta
quae ti ad cocum ver Cin. A_ 42.) Li R act P F, proprer obliquum descentum in
E B secta nocielt (I HE 236,, duc B. B  ∞, 2A B
a
sit C
dum AOB rectam descendat; (Futero B RoMMI Locationem circa A impediente:)
eritonus tuleri B, ad onus corcus ponderis impolis IM Ca LalC, qua ex 5 ad A
e a ad  componicur, hoc cst, u sa ad R2, (quod lumitet de B probabuur
acque supra probatum erac, in casu proposicions, laltore  ete dd 10.
THM, UE SB 2d. E 3. ) religusC SSCDIO LHLMMEBIC 119079.
Fi8. 239. Si vero, (Fulero B id permittence,) inceslieacur rectis A B, tulero A sic Luspen
di (aliatre cum illo sic connecti) ut hoc solo impediatur Vectis A B, ne sccun
F18. 24
Benique; si incellicatur Fuleri B Facies superior hoviroxcatio, sic ab omni, aspe.
ricate lamaca  Guatris lib peccab Vecti deldonsum Bos A O rectam
permuctas lalcem ut rectis extremum B(rerbi Salla  icu cestabatur.
neque huie obstec aliqua ConneXIO CuIE L sat, L. Uncs, aliqualis. Lalsni, deleen-
Jus puncto Aclctatur: minus proprerea preteus ee o een
sum hon penims impe Ssseireso e Gudius, tuteri A Onus; sed quod
continuo racunt, Paltum Auctum (proplet.  f
parcim Diminutum l Propter majorem rationem dictantia AO ad OB) pTOUE
rectis extremum Bremocius in EIBrecta recro saptum tuerit; dummodo (quod
Hic incelligenidum exiv) Nectis pars Ois iiscellisavur ulera A quancum; sopuS Luerie
prolongara; secus eni rocro labente extremo B, alcerum lunns deset
i Bp AESESES E B3 IL O idMI CLIO
1b1
ec C tuctinebic. uii .d

## Folio 951 — 851387705:0971
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000971.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
PxOD. 1X.
omnes sigillatim prosequi nims moleltum toret.
de lecte
Fic quidem AmHer, mutatis mutandis, in aliis catibus judicandum erit, quos
P.
.
Si Dlurivus Finleris (rectium inricem commissarum ope) Sustincatur
reritus calcul alimadilus, en setesto par elle debet ne latuleat.
FXemplI SCacia: Si rribils, dcerterto selt L 1BnIS, AO, BO, CO, in communi OFiB. 24T.
 puncto et consurecto apolicum pondus, cribus Fuleris in A, B, C.
(ob limilem omnium licum) aequaliuer sultribui; adeoque quodlibet Fulerum ui
Enrem TOtUS OnerIS LulFinere.
impositum Pondus: Ortasesese Prolt inguloru leus portula-
lustincatur. Maniteltum elt, li AB C. suc criansulum aequilaterum, litque O in
Frianguli medio, aequaliter a linsisis ansulIS remoto; Onus hoc inter eria Fulera
tia) Vecllo Concinuari, doneo in D occurrat rectae BC. Cumque tuleri A id
unicum muntuls lic, uc impecracus Oneris Orocatio circa B Ci rectam (ut Cx prOP. F
Cap. 4. liguec:) Perinde est (quancum ad Fulerum A) sive idtiat ope continuat
Vectis AOD, in ejusdem BC rectae puncto D sustulci Civetiat ope duorum BC
CO: Vrroris enim modo eadem praecile Rocario impeditur. Si vero id tiac (Tub.
latis Fuleris B, C,) ope continuari Vectis AO D, (supposico Fulero ipti D puncto;
eric Oneris A, ea pars corius quae sit ad EOtuM uE O D adt A D;. Per DrOP. 5. hujus
Pancundem itaque eric, li, sublato D, Fuleris B, C, idem obcineatur. Acque Simitier
ostendetur, (concinuatis BO ad P. in recta AC, eE CO ad F in recta AB, )onus Fuleri B
eam esse cocius O partem, quae lic ad corum in ratione O F ad B F; onusque tuleri
C, ad cocum, ut O F ad CF: Cujuseunque formae tueric Friansulum ABC
Et similimodo procedendum eric, prour res poltulareries quoicunque Puleris
quomodocunque licis, sultineri incellisacur Pondus O. Ouippe id semper prospi-
ciendum eriu, Ouam Rocationem impediar quoalibet Futerum; et, quidem, Num
Unum aliquod an Plura id praestenc. Ouippe Si Plura sInE; vcuE unum corum
non latis raleat Oneri sustinendo, tamen si simul omnia (suis cuju sque Viribus
rite computatis) ferendo Oneri Calrem aequipolleant; Onus sustinebitur.
Duta; si non cancum in A, B, C, Cub modo) sed ee in G, LI, F, incellisaneur
Fulera; (execeraque constructa uc in 18. 242.) Ouorum relpectivae Vires SuntoFi8. 242.
2n b96783 B71.
Scantibus Fuleris A, B, vel A, G, B; non aliter Descendendo morebitur Pon-
dusO, quam circa A B rectam rotando, (ut modo oltentum est ex PrOP. T. C ap.
4.) Huic aurem obstant Fria Fusera C, F, I. Ouorum quidem C, Pondus in O
sullinebies quod ad Vices suas si ut C F adl P O; puta . C c: per 2 vel 3 nu.
jus
Sin secus Fueris; Tingulorum tamen Onus sic habebitur.  Incellisatur ( verbi ora-

## Folio 952 — 851387705:0972
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000972.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Der cte.
sus: (tancundem neique est, ac si continuaca Vectis COF, Fulerum haberet F, in
ea recta AB cirea quam facienda esset Rorario.) Similiter Fulerum H, Fultine
bic Poncus in O, quod sic ad Vires Suas, uF LI A ad AO; puta O B. EF FuL.
crum I, limiliter Pondus in O sustinebit quod sic ad Vires luas ut LL ad L. O,
Puta= i. Si itaque rorum Pondus O (simplieiter consideratum) majus non
FA
TL
sic quam XOCF A O F F G2; valebune haec iria Fulera C, LL, I, onus in O
Custinere DE CITCA A B FOLTE. Sin majus fuerie Pondus O, quam ut dictum est;
Fatiscent Fulera, C, II, I, Ponderi Pultinendo imparia.
Similiter; Scantibus Fuleris A, C, seu A, F, C; non descendetO, nisi circa AC.
rectam rotando. Huic aurem obstane Pria Fulera B, C, II. Ouorum, Fulerum
B, Fustinebic  b: Fulerum C, C S: Fulerum H,  B; Cucexmodo di-
ais, et Schemacis inspectu Batec.) Si icaque majus non sic Pondus O, guam
BF
GC
IIA
F Ob + ∞0S F XO B; Cacis valebune B, C, H, Fulera, Oneri sustinendo ne
CIrCA AC FOTCIE: Si secuS; FatiscenE.
Trem; Scancibus Fuleris B, C; non delcendendo movebitur O, nisi circa BC
rectam rocando. Iuic vero obltane Ouaruor Fulera, A, G, FI, I. Ouorum A,
sustinebic (per ance dicta) F a: Fulerum C,  S: Fulerum H.
Fulerum L, F 2. Si itaque majus non sic Pondus O, quam A L
HD
DC
EC
C9sit
D3B +I; facis valebum Fulera A, C, H, P, nC CIICa B C roletur O: SFC.
Cus; sub onere fatiscent.
Alque ad candem tormam, mutatis mutandis, inclituetur Calculus, quoccunque
tuerine Fulera, ee quomodocunque Lita.
SCHOL YV M.
ocanidum hie, (quo rectius incelligantur omnia,) Onus seu Pondus quod
Le incelligitur ad punctum O applicari; e Vectibus AO, BO, dc. invicem
compactis Cultineri: pollo Tabulatum esse (oraracum vel non pravarum incum-
bente aut dependenre pondere quoris alio) vel aliud quodris Grave conarens; cu-
jus Taltem Centrum graritatis vel sc in ip(0O puncto, rel huic directe SubSF auE
immineat: per prov, T8. Cap. 2. _C prOP. 16. Ciap. 4.
Irem Vectes, AO B O, ecc. non semper alios esse ab iplo onere; sed vel iptius
Tabulati seu Craris rectas, rel imaginarias Caltem rectas a suis respective Fuleris
ad O pertinsentes, de prour opus fuerit continuatas, secundum quas Fulerorum
A, B, ecc. distancias cum ab Oonere, cum ab oppolitis respectire Fuleris imagina-
riis in AXC Rocationis, xestimemus. Ieque aliud innuune, quam quod Graris par-
reS ita LnE IICeL DC lat tirmitex COhRrenFES I PuHcti O, ab ipsIS A, B, C, ec. di
stancia, exdem maneanr: sire id tiac coridem rectis inde in O cocuncibus ibique
connexis, live per currosccs altatre, la Mal.
Fulera vero, quae punctis A, B, C, sc. supposita intelligimus; considerantur (0-
lummodo ue Fulera, non irem uE Recinacula: impedientia sciliceine quod illis im-
ponitur ibidem Descendar non aurem ne inde ACursat. Adeoque, ucur Fulcrum
II (verbi gratia) incelligatur impedicirum Roracionis cirea BC, (quoniam non
deprimetur O, nili depresto HI;) non camen incellisitur Fulerum Ci, impeditirum
rorationis circa AB, quoniam uc haec fiat roratio (descendente O) non fiet Ful-
eri Cs depreltio, Led Turtum allurset quod H Memibit; cui Lulerum non obstac.
Si vero, quod huic imposicum elt, non tantum subjecto tulero incumbat, scd
cum eo ita connexum lit ut nonnisi rupta copula poltu astursere; (aliove quovis
Rerinaculo, aut Impedimento, vel onere superimposiro idem eveniat:) Hoc quic.
quid elt Rerinaculi. Impedicirum erit Rorationis cirea AB, Tulerisque C, II, T, sup
vecias Ferec: (quippe, stante recta AB, non porerit O delcendere nisi ascendente
Cra

## Folio 953 — 851387705:0973
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000973.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
1V
PFOD. X.
DeVecte.
Graris puncto C; propter rectam OC quam supponimus inflexilem, seu totum
Cirare ita compactum ut non luxetur; per Schol. PrOP. L. C ap. 4.) Cujus quidem
Recinaculi rires si ponancurr; Tustinebunc illae, pondus in O, quod Cic ad r, uE GF
ad FO, (PET PTOD. T. rel 3. hujus,) puca . r. Adeoque jam, non modo, si 0
nOn Sic majus quam.
CF
CF
C
c+
HA p. +
10
TF.
T
L.0
GF
en lur prius:) sed si majus non sit
F FC r; Sacis valebune Fulera C, HE, t, una
cum Recinaculo in G, impediendae rorationi Oneris O cirea AB. Simileque erie
in reliquis judicium.
Rocationes autem nonnisi Fres in Calculo considerarimus; nempe cirea AB,
ACy BC: non quod plures este non Dotint, (uE circa A G, G B. _C) sed quo-
niam insticuro sutticiant liae tres; in quibus considerandis Fulerorum omnium ri-
res sub caleulo reniunt. Ouippe si saltem eria puncta, (ut A, B, C,) inera quae (IE
iplum Crare ejulre Cenerum graritaris O, Patis Custincantur, (sire luis Finorla fii-
eris, ut in fig. 24. T. sive cum succenturiatorum subsidiis, uc in Ag. 24 2.) cocum
Fultinebitur Grare: Ver proP. T. C ap. 4.
PR O P. X.
Contignationem planam ex Fignis mulco Brerioribus quam sIC ATCK
Latitudo inricem conjunctis construere: Ft. computo xestimare,
Ouantum cuique juncturae Onus incumbat.
Contienationis seu Fabulati Construetio.
DOcest quidem hoc rariis modis Fieri. Fam vero Formam prae Caleris seligendam
pucari, quam jam olim Anno 1644. Cancabrisia primum cetncabam, in Co1. F15. 243

## Folio 954 — 851387705:0974
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000974.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
e Vecte
curratura oIlacur.
legio Reginensis in quo tum cemporis Socius eram: dt quam non iin mulco post
Tigillis ligneis construendam curabam, (quo maniteltius indicarem Theoriam
volle in Praxin reduet:) camque in Velpe C   1652.
Pollquam altmunus illud quod ctiamnum Tultneo rocarus ctal) s Llale-
ctione exponebam; ejusque Calculum Vesperiis Comirior L lulto 1073
limilicer explicabam: Onamque ex eo tempore cum Noltralium cum fxterorum
non pauci Patis approbarune, aliqui etiam imitaci lul. Manee Selenillimus Rex
noster. Carolus Secundus, post auspieatum suum in Lnenam Lcureum Olatam sibi
Octobr. 28. 2660. inter Lcynaca lua dignatus est lepenere.
SpCCIeN CXHIBCE AICa Gactat CIS LaedO eL tere quadrupla longitudi-
nis Pignorum lonsum; quae ita sunt invicem incerrexca, ut se mucuo ult.
DeanE. Ft quase quo lupra planiriem non alTurgant, qua parte cienum quodvis
aliud sibi Cuperne impoltum sultinet (quod sui parcibus Mlerca ) supe
(ad mediam quali Partem) excaratur: qua parre vero alii impolicum lulie,
mucuo impacta, alcau pratam taciant. Si tamen metuendum rideatur, ne, propur
ligni nacuram Hexilent parces Hicala, onere preltae, nonnihil sublidant: huic IH-
commodo cdrebitur, si excarationes non praecile ad mediam cigni crasticiem pet-
tinsane, led paulo citra medium detinant. Ouippe, hoc pacto, alturser pautulum
in lingulis juncturis concignatio, quo compensetur illa exigua deprestio quae ex
(quod in Cui extremis tir) tancundem quali exearatur interne: quo tit, uc, Libi
Paciem lateralem Fignt Loneioris, exhibet Fig. 24 4. Brevioris, (5. 245. Facies
Silo autem ordine dilpotancur; ex Schemaris intuicu (tig. 243.) Facilius in-
Videre enim elt. _ ab fxcremis ordiri libeat, totam Aream Muro circum septam:
vel etiam (Eiquis id malic) Muri loco, totidem quor opus erit Columnis, quibus
imponantur Frabium sire Fignorum exteriora Capita. Ouorum capira altera, in-
crorsum spectantia, Tignis aliis impotica fultinentur; acque horum porro, ab
aliis; acque haec ab aliis; et sic deinceps donec ad oppolitos muros perrenia-
TUT.
Verbi gratia, Tioni S ec, excremum alterum muro sustinetur, alterum cigno
e Z: Hlujus alterum excremum muro icidem sustinetur, seliguum tigno  P. Sed
et cioniVY, exrremum alcerum muro sustinetur; reliquum eodem O P tisno.
Hlujus vero SV, sed et cigni ON, extrema alcera rigno SR, alcera rigno R P lulti
meneur. Aique horum irem excrema (uii videre cst) cienis alceris superimpo
lita sustimentur; horumque alteris; e SiC POrrO, Prouc ex inspecto Schemate lu-
culentius patet quam ut mulris verbis explicatu opus fL.
Similiter; si a medio libeac ordiri, quodlibet Fignorum AB, uc e cignorum
CD, Sultinentur alteris extremis in alcero A B, alceris in cigno P F: acque hujus
irem, ut e risni L. M, excrema altera tigno GFI, altera rigno NO: atque horum,
aliis; ee sic porro usquedum ad muros perreniatur; ut ex Schemate liquet.
Norandum incerim, eadem methodo, aream istiusmodi construi posse vel ex
paucioribus, vel etiam ex pluribus cignis; sed d in alia Formia, (pura oblonga,
non minus quam quadrata;) prout res postularerit.
Verbi gracia; Porerit ibidem concinuus Murus collocari, ubi jam habentur
Tixna SR, VV, e S; aut uibi Tigna e Z, MIL, PO; quo area reddatur mi
nus lata, uc paucioribus cienis d muro in murum perreniatur: idque cousque ut
L18. 246, non nili Paaternis tienis opus SC; ut in fis. 246. Vel etiam (quae est forma
Verum etiam, LI Ie OPl CCHI, DOLETUNE tBNa XR, WV V, (cxteraque quae re
liguis breriora L se hic In MUTO FEPMINaNEY,) ad parem cum reliquis
longicudiMe PrOtra cnaque secunda (iptis SR, VV, parallela, et eXIra
haec potica) sustinere; corunigue sic procractorum extrema, vel muris (exira
promoris)
FiB 244
18. 24
superna in ipla fI8. 243. Patis apparet.
telligatur, quam possie muleis verbis explicari
24i).
F18. 243
omnium simplicissima) Ternis rignis; ut in f8. 247

## Folio 955 — 851387705:0975
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000975.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
CxOP. X
bromocis) ibidem cranseuncibus sustineri, vel etiam (aropliaca aethire area
cionis aliis, (iptis M L, PQ, Parallelis;) atque lic porro prout opus videbi-
EUT.
Hoc aurem ne in intinicum protratii postic, impediunt, non tam ratiores Ma-
chematicae, (qua In CONETATIU nOn CUNE,) quam Materix Physiex condicio.
Ouippe in protracta area, aucta Tignorum multieudine, ausetur Oms; donec eo
tandem perreniatur, ur majus eractac, quam ur, quae sustinendo paria Lmt, Tigna
conquiri possine, quaque lub tanto onere non taciseant _E PUMPAnEUE.
Ououlque autem curo liceat hac ratione procedere; ex calculo lacienda est xcti-
matio. Ouippe li conster cum quanto oneri terendo sufficiant Firna quae adhi-
venda veniant; (quod periti Archirecti, experimenen docti, docebune: ) cum
quancum oneris, proue licus rario poltut; euigue Fiono ferendum imponatur
(.quod calculus indicabit:) hine opeme hier judicium, quid urto tieri postit. Oun
quidem calculus, in tisnis numero paucioribus; facilius inttithetur; operolius au-
tem in pluribus.
Duo autem qua methodo fieri possit octendam; expositae concignationis junctu.
ras linsulas calculo subjeci; perplexo gnidem, propeer rignorum ulcitudinem;
sed qui in paucioribus cignismulto citius ad exicum pervenistet..
Caleulus, exposicae Concignationi accommodatus.
Duo calculus (Synopti sequence tradendus) rectius incelligatur; norandum est FIB. 243
quod oculi judicium laris indicabie,) Fignorum alia aliis lonsiora; atque il
ouidem uc longiora sinc breviorum quali selquialtera. Ec proprerea, cum Pigni
cujusque ex lonsioribus pondus delienemus synibolo Z; cujusque ex brerioribus
Tymbolum erit 32
Omis autem euigue Pienorum juncturae incumbens, ea licera indicacur quamr sibi
in Schemate ascriptam haber ea junctura.
Nocandum porro erie; cum manileltum sic, (Schema vel medioeriter contide.
ranti,) quacerna semper puncta esse, quae (propier similem hrum respectu torius
contignationis) aequaliter onerata censenda SinE: ea Semper (BC, praeTer necessH2
rem, tymbolorum numerus crelceret, et calculus proinde redderetur mutto per
plexior,) eildem symbolis detienamus. Onde habeancur quatuox  (simitites
lita, atque aequaliter onerata,) alquetoridem B, ee lic de reliquis
Cum itaque habetur, verbi pracia, (ad Num. 2. seu A quarioriem secundatr,)
8 = =T = ZC F; ; tancundem ell acque si diceretur, subjecti Pigni AB, pun
Ctum B, (praeter eam tirmitarem quae ibidem requiritur ne luo pondere rumpatur
rignum, quam hec aequatio non inrolrit,) tancum onus impositum sustinere
quantum est cum =Z (semictis ponderis incumbentis cieni JoneraS AB,) tm
EC. (bellis oneris cidem a B cigno impolici in C puncto; vetore quod in C, A
punctis eritariam sectum incelligitur;) cum Z Ay (crientis oneris eidem AD cgto
in A, impolici.) Icem ubi habetur (ad MI. 2T.) I - 17 p =V: innuit hoc
Figni, L. MI, puncto WV, onus impolicum cancum elle, quantum est cum ZZ (se
millis incumbentis cigni brerioris, qui idem est acquerieni lonsioris exiens,) cum
RCCCCC2

## Folio 956 — 851387705:0976
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000976.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
eedte.
Cidp. V1.
=Y (Temiltis oneris quod incumbentis rigni puncto medio V Super imponitur.)
Duxe omnia lingularim demonstrantur ex prop. 5. rel 7. hujus Capitis. Quod limi-
licer obtinet in Ai quationibus primoribus Viginci quinque.
Lgnario 26. _ qua seGHNHEUE; Cx praecedentibus derirantur, L quaS per n
meros egnarionibus illis ad seripros cirarimus, quo dilucidior esser corius procestus
racio.) Oua inserriune parrim ad abbreviandas tractiones, (quoties cum nume.
racores cum denominatores poltunt communi aliquo dirisore dividi,) partim vero
ee quidem poristimum) ad reducendas ex exponendas aquationes prxcedentes
Tublticuro symboli alicujus ralore, aliis Cymbolis explicaco,) quo, dispunctis sub-
inde aliquor symbolis, lymbolorum numerus residuorum sentim minuatur, donce
tandem unum aliquod symbolorum a principio ignotorum, per notam quantica
tem T (pondus unius tigni longioris, simplicicer considerati,) exponatur; ejus-
que demum opc (revetendo praecedentium aliquot aequationum veltigia) reliquo-
rum etiam Cymbolorum (onerum primitus ipnororum) ralores innoceleant.
Verbi gratia; cum habeatue (nUM P.) A = =T + Z A + =C; manifestum est
(Proprer Ain aequationis utraque parte reperrum) sublato utrinque Z  luperesse
 = =Z = Z C; hoc est (ucrinque per 3 mulciplicando) A == 3I + C; quam
itaque Aquationem (num. 26.) habemus, tanquam deriratam ex Aequatione
Prima, (num. T.) quam itaque citamus.
Similiter; cum lC (nuM. 2.) B = =Z F 3C F ZA; SIEqHC (DET nuM. 26.)
A = 32 F C; adcoque 3 A = =Z + SC; erit B(= 3 7
+
CF
+
EC7 + 2C) = T + C. Onam itaque aequationem (B = Z + C.) habemus
BUm. 27. tanquam ex num. 2, 26, deriratam. Re similiter in aliis.
Nonnunquam vero (ut modo dictum est) Tola fic Fractionis abbreriario (Peu
ad minores terminos per communem dirilorem reductio.) Or, cum (num. 64.)
habeatur 77 = 6922
F672C + 552 F + 279C
2907 = 3X969
 Dossintque omnia mem.
bra per 3 dividi: habetur, num. 65. (canquam ex num. 64. deriraca) aequario,
77=
23C4. L + 2246 + 184 f + 93C. Fx sic alibi.
969
Ouoniam aucem has omnes AE quationum reductiones acque abbreriaciones fin-
sulacim exponere (prout has pareas expoliimus) Lectori raedium crearet, (cum
illud possit suo marre quilibet praestare:) contenti sumus omnes una Synoplibre-
viter exhibere; indicatis iis aquationibus antecedencibus ex quibus quaeque im
mediare dependeat.
7.
20
Caleali dynoesio
E PrOP. 5. vel 7. hujus 
C. Per L.
C. Der 2, 2C
F ZI. De
t 4
et

## Folio 957 — 851387705:0977
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000977.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
PrOp. X.
(30)F = 22 Y + 46 + 5.
De Vecte.
(3F N = 7Y + 4H + 2K
F. Der 2E, 10.
+2 c
32 )X = 2Y + 40 + 28. per 22, 27.
33 )X -. 3 X + 2H + 4 F. per 23, 20.
34 )8 = 72 +20 + 42. per 25, 28.
35(2 - 22 F. + 0. + 21. pec 24, 34.
36 )2. = 30Y + 8H + 4 L + 40 + 21. pec 14, 3C, 32
37 n1 = 30 C + 4 H. + 26 + 80 + 4. per 12, 3E, 32.
38]P =395T + 4 H f 8K + O + 2C
309- 20Y +1I. + 2R + O + 20
400 - 20Y FH + 2K +0
- Per 15, 33, 35.
Per 16, 33, 35.
Dex 36.
AE N = 34. L. + 26C. + 3H2 + 201 + X. + 40 + 28. per 13, 30, 37
42 (O - 45 Y + 4c. + 2H. + 5 1 + R + 40 + 2C. pet 14, 30, 37.
43 (0 - 45 Y + 4c + 2H + 51 + K + 2C. per q2.
4+ (6 = 2137 + 406 + 8(1 + 32t + 4 + 40 + 2C. pet 1. 29, 36.
108
45 (C - 213r + 811 + 321 + 4F + 40 + 2e. vec ap
40 H -48 r. +C + a 1 + a L + 2F + 20 +8. per 8, 20, 36.
4 (1 - 48 T + 56. + 4 1 + 2K. + 20. + 8. pecas
48)Y = 658, P + 6465. + 2011 + 801. f 28R + 190 + 140
3
Pec 9, 38, 41.
10 )1 - 658: P + 695. + 20t1 + 28l. + 100 + 24. per ad
50 (K = 204 F. + 26C. + c4+1. + 201 + 25K + 70 + 80
(62
Si (X = 294 F + 106 + 24 1 + 201 + 70 + 80
Pex 10, 38, 41.
ver 50..
526 = 2724 F = 65H + 2561 + 34K + 330. 1F. d. 0.
8168 -544
. per 45, 4e
53 st = 3382 + 806. f Hl. F 641. + 341 + 330 61c1
16X23--368
pet 47, 40.
5+ (H - 28Br + 600. + 64 + 346 +. 330
367
Dex53.
EeeeCC3
Fi5. 243.
155)8=

## Folio 958 — 851387705:0978
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000978.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
D. VI
De Vecte.
55(2 = 54082 + 5 12C. + 16711. + 238K + 1500. per 48, 40.
la
24. 4X8 ==1952.
16. 213. 56, k = 608Y + 326. f 2011 + 401 + 2k + 150
Y37X2 =- 274
DeF 5F, 40.
(57, K - 60dY + 326 + 2011. f 402 + 150. per 56.
272. = 8X34
58(0 =380Y + 326 f 17Hl. f 401. f 10R +0
23X8 = 184
50 (0 - 380Y + 326 L vyt l. + 401 + 10F. per 58.
83
605 - 24400Y + 326 +549tl. F 20881. f2790
544X8=-4. 352
. DeF 5
162 (C - 24100Y + 543t 1 f 20881. + 27 9. per 6
4320=92480
162,6 = 2600r + 6cHl. + 2321. f 31D. per 62.
+8c
36748= 2936
164 1 - 5012Y +6726 + 5521 + 2700
2907-37969
65 )et = 2304r + 2246. + 2841 + 93. vec 69.
960
Dex 54357.
66)2 = 475207 + 43206 f. 1939 Ll. + 2801. + 13770
e
TO52Y8 =25616
. Dex 55, 5
67)2 = 42520Y + 43206 + 15391. f 137 (8. per 64
25336 --27x568
68)7 = 2760Y + 1606 + 57tl + 510
568
69(0 =54720Y + 45 126. + 245711 + 5640F f 750
2837F36-24888
20(0 =547207 + 4513G. f 24571 + 5640
24.8T3 = -2X82 7X
72 0 - 28240Y + 25046. + 81otP. f 1880t
827Y -- 372757
Dex 59,
Der 69
Der 70.
326 - 23799040F + 4662465 + 529920H + 197125) L. pet 62, 17
48Ox8271. 2070080
73 (6 = 13790040r + 529grot I + 1977152 per 72
3023456=-64461304
746 - 215610Y L 82Bot + 20893C. pec 23.
67304
25 (1 - 601 7508Y + 8041926 + 2538917 + 565568t. per 65, 71.
136)H =
77 H=
78T=
06072757 - 267153;
b927568T. + 664192.Cc + 5655081. per 75.
2646244 - 64 X4. 1346
10808]Y. + 103,7 85 + 8837. per 76.
4F346
01.
15487 200T + 1400064 + 51321011 + 058801
5682827 1 = 4697928
20)1 = 25487 200 F. + 140006gC. F 5 13nr6tL. por 28.
4602048 = 9624. 7938
per 66, 72.
e
8
180

## Folio 959 — 851387705:0979
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000979.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 112 lines, status machine
PrOP. X.
De Vecte.
80 (F = 2623252 + 245846. + 5346t. per 79.
38
8F (C = 38095774201 + 85929840C1 + 13504. 723381
82 C-
83
o
85
c
2
I:
61304X4. F346 =-2534675184
9809571420Y + 13504723381
2448745344 = F62Y9T9X16448. Der BI.
658001 + 507r1
26448
1217976552F +6584708526 + 47242602. 1.
89
2034801946 = LBXOIOY176953 Der 84.
F16963
9829607228T + 3610802261
216963X16448 = 1923807424 P6106,63
98296072287
1562727108 =4594340167 Per B7. Hbc est, ordine
P. 130662. X. per 88.0
340267
2542309. F. per 83, 89.
340767
25784432
340167 F. Per 3, 80, 00.
92 1D = 24440942 T. per 4, 89, 90.
3:
04.
95
96
L
08 0.
99
100
P
10F 10
202 N -
103 (-
104 se
D
4793824. F346 = 1982044548 . Per 80, 77.
7247976552Y +6584708526
86 (r = +38150Y + 39806C
87 1T.
8
340767
29186102 2. pec 27, 92.
340767
348167 L. Der 26, Oc.
2030522.
340167 . Per 5, 92,93.
3)=T. Per 6, 92, 93.
19848+22.
340267 F. per 7389, 00.
18954185, 5. per 71, 89, 90, 97
340167
26903142 Y. per 57, 88, 90, 97, 08.
340767
2056730 X. Ber 19, 9798.
340767
1058564. Y. per 20, 97, 99.
340767)
124.1704
340267 Y. Per 2F, 100.
T09267T
340267 F. per 23, 107.
8790223
34020 7 Y. per 40, 3788,89.
Alphabecico. E
TOL
340167
8- 81972142.
340167
a
072.7427 1t
340167
629253
340567
9186
340467
24
540167
162540
340267
33
340267
8600
E
340267
340167
340267
340767=
329646
63313
1813263
15
L1 9
34016
4583
340767
34016)
8678.
340167
503827
105(R =
t13. 243

## Folio 960 — 851387705:0980
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000980.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
207
126700
ex 27,98, 204.
340107
8789E
Ct 231d
340167
3
26
2LL
213 e
640767
67336
DPer 227 40).
340767 2. Per 25, 406.
1
27058
340167
P. Per 24, 108.
2568323
340167
3182 12
P. DET FE, 202, 107.
340767 Y. Per 12, 102, 107.
24. +892C
340767 F. Dex 13, 96, LIL.
37088
340167
T. Der 25, 203, 109.
5
267
D04.
340167
Onera Columnis seu Muris incumbentia, non erat necelte distineto calculo de
Tignare; urpote qua eadem plane sunt quae corundem rignorum alteris capitibus
conveniunt. Cum enim (verbi gratia) Tionum XR, non nisi in medio sui
puncto R oneretur; Pultinet ucrumris Fulerum (cum quod est ad X, tum quod
est in Muro,) cum semintem Figni, rum semillem oneris in R impositi: per PTOP. 5.
tujus.
Patet, ex hoc calculo, juncturas A, medio proximas, omnium maxime urgeri.
Urpore quorum onus peculiare, est plusquam Novem Lignorum lonsiorum; (re-
liquorum vero, minora saltem quam novem:) Cui quidem adhuc addendum erie
(Per prOP. 7. hujus) semionus Omius cigni pro tirmitate debita ne suo pondere
rumpatur: Acque porro semissis oneris junetura Ci incumbentis, (per eandem prop.
7.) Fere Quaruor tignorum. Adeoque (computaris omnibus) tirmitas ibidem
requisica ne rumpatur cignum, plus quam aequipoller ponderi Lignorum Frede-
cem, de tere Ruatuordesim, 9- 27 L91
F 4 394549
340167
(rieni suipondere computato.)
503313
13606683 1360608
167775
453556
Cum ilaque nulli dubium esse possic, quin rigna, etiam Patis LOnSa, LANIX FIr-
micudinis else pollinc, uc raleant Onus lonse grarius in eodem lui puncto sulti
nere quam est Duacuordecuplum sui ponderis; Neque poteric este dubium, quin
hujulmodi Concienatio cuto poltic usui accommodari.
Fis. 248.
F18. 245
Mia Constructionis Forma.
aliam Forman exhibet, F18. 248. Ouxe a praecedence in hoc distere, quod
qua illic duorum Fignorum Capita Tigno tertio incumbune, ejusdem duobus di-
stinctis punctis applicantur (quibus tritariam sccacur cisnum;) iplaque Tiona
sic suttulca ad ealdem partes jacenc: Isic, ad idem subjecti Zisni punctum medi-
um applicantur utraque; sed ad ContrariaS Dartes.
Tignorum Faciem Laceralem extibet tig. 249. Facies Tuperna, in ipla Ag. 248.
saris apparet. Sunc aucem omnia longicudine invicem aqualia alque incer se fI.
milia.
Eix. 248. Pocest aurem hxC, ut prxecedens, plus minusre continuari prout opus videbi-
tur; acque materiae conditio terre porerit. Ouippe hic etiam, prout, protracta
area, augetur trabium multiendo; Sc _ augCtuIF PonduS.
Tlabet autem haec Forman Drae praecedente, hoc incommodum; quod, propter
utrumque ponderum incumbencium eidem substrati tigni puncto applicatum, hoc
Fortius premitur, (urpore quod sultinet utrumque onus incegrum; cum, in forma,
pracedente
5
2
S
2C
2
27
6
167
OF

## Folio 961 — 851387705:0981
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000981.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
PrOP.
De Vecte
1. 296
961
praecedente, punctum idem sustinueric onus alterum incexrum, alcerum dimidium:
Sed e propterea etiam eodem loci plus excarandum erie cignum sustinens, que
admittantur uiriusque incumbeneium capita. Ouod quadantenus Forre comven-
Pari videatur, propter cigna incumbentia ad contrarias partes DOLita; quae ix
praecedente forma, jacebant ad casdem partes iraque: Ouamquam de hoc non
mulcum incertic; praeterrim si incumbencium cienorum capica, non ad sutjecti
mediam tancum lacicudinem, sed ulque ad remociorem marginem, aut eriam ul.
Era, extendantur; quod pro Archirecti arbitrio vel tieri potelt, vel non tieri.
Sed neque admodum metuendum erit iltud incommodum; nam eo non obstante.
Patis valere porerunt cgna oneri sustinendo; prout ex subjecto caleulo vatebit
Aspectum quod actinet; praecedens Forre gratior ridebicur: cum propter cieia F18. 243.
sic dispolita ut corius operis rexcura li oeulo masis conspieua, (quae in polteriore
Forma rix aut ne rix obserrabitur;) cum propier incerralla, ibidem, unitormi
distormitare variata; quae, hic, Tunt quadrata omnia.
Calculus, iisdem principiis nicicur in hac Forma arque in praecedente: Sed expe Fi8. 248.
ditior hic est, proxter ciena omnia ejusdem lonsicudinis, cademque in uno tan-
cum puncto medio oneraca, pluraque puncta aequalibus onetibus precta: Ouxe
omnia conducune ad reddendum calculum expediciorem.
Calerlus huie constructioni accommodas.
et C 
Ad calculum hic expedicius instimendum, nocandum erit; non tancum ea
puncta (sire bina, lire quaterna,) quae lune respectu roisus Schemracis similicer
PFFFFF
Sita

## Folio 962 — 851387705:0982
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000982.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
De Vecte.
Cap. VI.
d62
enso praecedente tactum erat:) Sed criam, propter rigna linsula in mecio cancum
siri puncto onerara, ucraque ejusdem cigni capita aequali onere subjecta Fulera
Srarare, (Per PrOV. 5. hujus;) qua itaque analosis lymbolis delignarimus,
onera invicem aequalia indicantibus. Caetera quae de praecedente Casculo dicta Lunt,
etiam hic (Prout opus exit) locum habent.
Caleaili Synopsis.
Fita (_ Propterca aqualiter onerata) eodem symbolo designari; (quod in cal-
IC
T2
R + =F.
C + =B +
C F 26.
+
si
D
R.
N
L F 21.
= u =- LY L 3P
t
T4
+
19
20
22
2
2
24
2
20
27
B
a l. Per 13, TT, 12
F 81. PeF 2.2924.
E. Del 25, 7.
CF 31. Per 16, 24, 24.
=4 F. F ZI. Per 27 τ9.
+. +
Per 26.
(28) F. = 23 Y. + . B. F sL + I K. per 5, 35, 27.
129F. =
3
= 16X
Der 28. 41 
HI = 2 L f sL. F = R. DeT 20, 27
F 16 l + 8L. DCF 9, 23
Det 3L.
33, = 25 L f F f 33R. Per 10, 30, 32.
(34K
36)3
37
F 4 2F.
=. Per 33
F T4OF
23F. Per 329 34. 1111 C.
12389Y + 952.F.
34277 2628. per 29, 34,353
1627T + 136F
SClNC
3472 1 = 374 PeF 36. 1
38 F. = 153b F. Per 37.
39 C = 238 l. DEl 1350.
409 = 335T. Per 15, 39.
(4+(R = 158 F. per 34,38.
2L
2
L ZV
26 R = e = 2 = 1 EX  ZO
Per DrOV. 5 vel 7 hujus Cap.
P = B. DCL 3, F.
18 D = T F = v. Per 4, ET.
F = Z1.
FEB f al. Per B, T, 10
= =B  EF. DeF6, 7, 27
Per 12, 24.
L.

## Folio 963 — 851387705:0983
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000983.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
PFOP. X.
142)C = 338T. Der FT.
F
43D = 1855T. PCF 4y 4. 2
44 B = 2038 T. Der 27, 38, 42.
45)A = 2128 F. PeF L, 44.
46 C = 2248 Y. per 3, 45.
47 F = 2172T. PCt 6, 39, 40
48,H = 1718 F. per 8, 43, 45.
40 L = 1338T. Per 32, 38, 4.1.
50)P = 2887. Per 14, 49.
5F(MI = 318 F. Per F2,50.
52 N = 336 F. Per 13, 4295F.
53)R = 2 18 F. per 16, 40, 50.
1A = 8258T. IF = 6338 T.
B =8 -38 F.
C = 0-28I.
(F = 83
(
T.
D = 4338F. ( = 7 38F.
Hoc est.
I2 = 5 168T.
R = 63
M = 2 35 1
INI:
2=
Patet, ex hoc calculo; Ponderum singularium maximum eAte A = 831ZT. Cum
itaque eidem puncto (tigni C Ci medio) incumbane duo A, (utringue unum,
hoc clt 17338L; idemque porro (ne pondere rigni sui rumpatur) Ono adhue semi-
eigno oncrari censendum lic, (per prop. 7. hujus Cap.) Firmuas ibidem requisica, (ne
rumpatur cignum) aquipoller ponderi Fignorum 8258 f. 83 7 f, = 18 38 = 18
Ouod quidem Onus non tancum est ut propterea mecuamus ne non Ferendo
Tusticiat tignorum robur: Ouipperigna, etiam Patis longas muleo prarius onus si-
stinere valebunt quam est Oetodecuplum, Ceu Novendecuptum lui ponderis.
FIt aurem grarius quam onus maximum formae praecedentis; urpore quod ad
Quatuor decuptum ponderis unius rigni non perrigisse, supra deprehensum est.
Paucioribus incerim eignis in hac forma res absOIVItUE, (utut arex hujuS lati
indo inera muros, duodecima sui parte superet lacicudinem illius, cadem marente
lonsissimi cigni longitudine:) Ouippe hic adhibentur eigna omnino 40 aequalia;
illic vero, ex longioribus 40, ex brerioribus 2l.
Tercia constructionis Forma, quam exsribet AB. 250.
bocillimum d Prima
1. 2.G2.
De V’ecte.
Constructiones adhue alae plures
Oc
F1B. 248.
eit

## Folio 964 — 851387705:0984
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000984.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
Cap. V I.
et quod quae divertis ejusdem subjacentis cigni punctis sustinentur rigna in-
cumbentia; sint, illic, ad casdem partes polita; hic, ad concrarias.
A Sccunda rero, in hoc porissimum dittert, quod, quae ad contrarias partes sub.
jecti eigni jacent tigna incumbeneia, applicentur illic ad idem subjecti cioni pun-
ctum medium; hic vero, ad dirersa puncta, quibus cieni dongicudo critariam se-
CatuIT.
Duarca, Oninta, e Sexta, Cimiliter ex figura crilatera Hig. 247. derirantur; ut,
ex quadrilacera tr. 246. derivantur prima, secunda, et terria.
Forma Ouarta, quam exhriber Hi8. 25F. Cst analosa Perrix; mutatis Quacratis
(propter angulos non rectos) in Priangula e Fexagona.
Forma Ouinta, quam extribet E3. 252. Cs magis analoga primae; propter duo
eigna incumbentia, 2d easdem partes cioni sustinentis polira: In hoc autem cum
sccunda convenit, quod ad idem tultmentis punctum medium, applicentur u-
crague.
Forma Sexta, quam exhibet fig. 253 est Secundx plane analoga; propter in-
cumbentium ad concrarias parres tignorum caxica, eodem subjecti rioni puncto
medio suftusta: Acque in hoc poristimum a Ouarra diftere; quod hic, ad idem
sustinentis punctum applicantur ucraque; illic, ad diversa. In Schemate autem,
necesse hahui cignorum capira ampurare, paulo cirra rigni Fultinentis puncta me-
dia, (quibus luttulcienda inrellisuntur:) Ouippe alias, cocuncibus ad idem pun-
ctum tionis concrariis, una tierer continua recta, nec ad oculum paterer rigni tu-
Sinentis ab incumbencibus distinctio, nisi rellem in majori Forma Schema deli-
neare (ur in Fx. 2.48. Factum est) quo pollinerienorum oppoticorum capica sulti-
nentis medio disterminari.
POTTunE autem HX FOrmX (sieut pracedentes) plus minutre concinuari, prout
opus ext, acque expedire ridebitur.
Polluncque, qua lingulis incumbune juncturis ancra sustinenda, similiter ad
calculum rerocari, ut ad Formam primam et secundam factum est.
Sed et aliis mille modis Dollunt hxec omnia variari, prour rel conditio loci, vel
scopus Archirecti postularerit. Nobis, haec pauca Custiciat extibuisse specimina,

## Folio 965 — 851387705:0985
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000985.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
De Lxeine cinrai ruins lostatis.
+
ON F. 5.
Der. L. Axem In Peritrochio vocant Machinam, seu Instrumentum Mecha-
nicum, ponderibus levandis aptum: in quo Cylindrus (quem Axem vocant,) E18. 254.
Fuleris per extrema sustinetur, circumpositum habens Tympanum, (quod
Peritrochium vocant,) in cujus ambitu, foraminibus ad id factis, infi-
euntur Serrala; quibus applicata Vis, Peritrochium una cum Are verritu
cui convoluri Funes Onus elevant.
linarus (ninerspO) d nunirsto seu nonmsccdicitur, (atque hoc a nonico volvo,)
obformam cererem, apte rolubilem: quam autem in Geometria figuram
a lic appellant, nocum est.
Cytindri autem, Palcem qui promagnitudine breves sunt, (in Nechani-
eis praeserrim) etiam Tumpana (Tiunara) dici Solene: ob similicudinem, credo,
Instrumentorum Muticorum pullacilium sc dictorum, qua ec criamnum in usu TunE.
Fa vero sive d rinc sic dicantur (unde Scholialtes Aristophanis riunaror deducir
cum pro suste lumitur quo quis verberetur;) seu potius ab FIebrao 5)75 (quod
tancundem Significat) non dispuro. Cerre a SyrOrum LHISI, GTACOTUI Tipnara
orixinem craxisse, non videtur ambisendum; qua Romanis postea aliilque genei
BuS in V(I venCruDE. Neque Cacis conrenit incer interpretes num illud Exvne
readnour LDCBP. C. FT. innuar quod susticati tuerine seu fustibus caest, an quod tue-
rint quali in equuleo sorsi aique extensi, haud secus acque Membranx Tympano.
rum capitibus imposita.
Cxlindrum aurem (in Mechanico hoc Instrumento) minorem, led et lonojo.
rem, Aem (a Eora) appellan. Avis aurem seu à Eor, ab à ju a’ Eco videtur dere-
niste; urpote circa quem aeatur ROTa. OuipDC de rotarum axC vox ea prima ligni-
cacione dieicur; aique inde ad Circulorum, Sphaerarum, aljorumque Solicorura
AXes transtextur.
Tompanum vero sive Cxlindrum majorem, sed d breviorem. Peritrochium
(veciXCOr) VOCaNE; (quod quin d neoz ~ rota, atque hoc d rexa curro dicatur.
non estambigendum:) quod Rocarum instar circa AXem (aet rsé7 et) Clreumeur.
ric: cum eo tamen dilcrimine, quod curruum ROEX cirCa manentem Axem (hoc
est non convertum,) convercuncur; hoc aucem Pericrochium una secum et Arem
Tuum volvit.
Er quidem Axem hunc, ueut alibi cornacum, ea tamen parte qua Periirochio
intigitur, quadratum relictum vule Pappus, (aptacum simili in Pexieroehio Fora-
mini quadtaco,) quo Perirrochio tirmius jungacur, cerriusque eum eo converto
COnVEETatuT.
AXis autem Fxtrema, (quae de axis Capita dienneur, aux etiam Poli) in Fora-
mina (rehuu ra) immori Pegmatis quo sustinentur immilla, CireumDosits axique FIXIS
munimentis aneis armari jubet, quas Chaenicidas (XominiSes) vocat, (dicitur au-
rem Zomnis d XoiniE, ob Formae, ut videtur, similitudinem; acque in eodem sentu
uturpatur Xuon:) Sed de in pegmatis Foraminibus, eisdem Chaenicidibus subje.
Atos vulc riBes aeneos, (sic enim est in noltris codicibus orxcis NISS; Comman-
dini rertio reibes habet;) quod a rsibo tero, dietum vicetur: In cum rero tinem
FFFFFF
UtTaque,

## Folio 966 — 851387705:0986
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000986.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
6c
De Ave in Peritrochio.
ap. VII
uttasuue, tum ut Axium extrema in Foraminibus expedicius verrantur, cum ut mi
nus terantur ulagle.
Idem vero, ubi Glossocomum deleribit, pro axium extremis, habet Disitos eeneo
Dyxicibus XHEISaCCCDEOS, Pauxinus dicit ob Forma similicudinem; et escts limi-
Jiter. Ve enim mEis d recos dicatur, quoniam primitus e buxo, ut ridetur, fie
Lanc prxides; Doltea tamen non ex quoris ligno tancum sed ex quaris materia cum
tierems, idem tamen nomen retentuur cst.
Foldem idem ibidem etiam Formos roppus videtur appellare: quod sive a rcipa
tero dicatur, (quod rerlandoteratur,) Cire a repeco vel ropeco terebro, perforo, per
inde elt; sire etiam cognatae signiticationis fInE rbeHO, spua, reppus, Tep pur, e ter-
minus. Vicrurius, Cnodacas appellat; Iero, urcssanas; ut ejusdem forre originis
TInE urcosuE, ec nrcestor, muero seu cuspis stbaiiu quod a nairo et odis dictum ro-
Tunt.
Fiaucem sive scinnno, sive ropur, sive masunes dicantur; non tam videntur
tuisse continuati axis (qui ligneus esse solebat) Partes, in minorem tormam tor-
natae; quam Clari ferrei vel aenei ibidem impacti, adacti, aut etiam implumbati;
quo fortius axem sultinerent quam li lignea elsent haec axis Capita. Ouare et
subseudes quaedam seu subsendiculae rorunda dicuntur elle. Subseus aurem a suc.
cudendo diei perhibetur; quod quali cudendo, mallei ictibus perculta, immitta.
tur.
Sepralae (onvruineu) dicuntur, Fustes seu Baculi teretes, qui pro Manubriis sune,
in Poramina in Peritrochii ambiru facta immissi tixique. A ouire (corium) ouo
reslu dictum volune; eo praserrim signiticatu quo Flaerum coriaceum Tcu scuti
cam ligniticar. Sed e clavam corio obductam tignitieare rolune; (acque, hinc
simplicirer clavam vel fustem.) Ec quidem tieri Porest, ut haec manubria nOn
raro tuerine corio obducta (quo tractantium manus minime laderentur,) indeque
Sertalae dicta. Sed (quicquid sit de origine seu causa nominis) SCYTala VOX PrO
baculo seutieno teresi pastim adhibetur. Acque hine Lacedaemoniorum Seytale, (d
muliis paltim Scriptoribus memorata,) modum innuit occulce scribendi. Ouippe
Segmencis Membranx (quod quati Corii genus est) bacillo tereri circumpoliis
sive Spirali torma circumrolutis, Epistolam inscribebanc: quibus inde Coluris con-
Tula licera non leserentur nili baculo simili similicer circuncarencur.
Oux aurem Pappo orvrinas, Aristoreli (in quaeltionibus Mechanicis) nonons
vocantur. Flaberque et haec rox, nelcio quo pacto, cum Corio connexionem.
Duippenoment prima figniticatione Corium durius lignitieat, quod in boum cer-
vicibus es dorsis ett; quod ita dictum rolune quod ex eo coctotiebat nomda sluten.
Hinc et Cicharae verticilla, quibus chordae incenduneur, noniones dici volunt, ex
materia qua fiebant: nili porius dicendum SIc, qua resebantur. HIoc ucique pura-
verim pocius; quippe corium uccunque durum e callotum, non tancae tirmitaris
estut ex eo fiant haec vercicilla; qux lionea Patrem esse debent, aut s mavis me-
callina. Scd cum haec Verricilla rum illa Manubria corio recta tuisse nihil impe.
dit; acque inderum nordenas diei, rum et orvruius.
Dum

## Folio 967 — 851387705:0987
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000987.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
DEF. l.
Dum vero Collopas appellat Aristoreles haec manubria; idem onvrunas veent in
strumenca quaedam alia; Oualia seilicet nos exhibemus fs. 260. iem, qualia in-
nuic fisura 258, R, S, oncribus trahendis supposita, quo minus in subjectam Ter-
ram oflentene; eaque rel roculis qualicapitibus attixis, vel eriam line his. Cum
enim Sertala pro lieno teresi habebatur, mox ea pluribus inttrumencis ex lisno Cy.
lindraceo tactis accommodata elt.
Funes goriam quae Axi circumpolica eriam ad Onus sublerandum (eoprior dictum)
anneXA CranE, orna appellat PappuS; hoc elt Arma; (pro quo in Commandini
vertione, errore credo Typosraphi, Arna lesitur: quod quid sic, nonnullis tortan
Facellat nesorium.) Sic enim ee Rudentes seu tunes naucici majusculi onna dice-
baneur; E Lacine, navis Armamenta. Oux de Sparta exapru dicebantur; HOC
est, uc quibusdam ridetur Sata; (tanquam d ar cipco, Pro sero, sevi;) quia excan-
nabe aliisque rebus lativis tiebanc: malim d aocipa necto, hoc est, sero, serui. Nan,
ut aocipo, sic sero (quod inde factum videtur) utrumque signitieatum habet; sed
in altero elt sevi, satum, ubi pro semino uturpatur; in alcero, serui, sertum, ubi
Pro junso, auc necto, dicitur; (qua signiticationa etiam ab cipa necto dici poterit;
ut e sermo, series, etc. ec quidem serere sermones, tortaltis ab épa dico.) Idemque
de in compolitis ridere est; quia ab insero, pro diverta lignificatione, dicitur insi-
tus, e insertus, aconseto, conscas, ce conetus, a cisseto, assco, e asercas;
desero, desitus, et deserrus; ab assero, assitus, e assertus; ab evero, evertus; (sed
exitus, pocius ab exeo.) Funis aurem leu sparrum in hoc e hujusmodi instrumen-
tis, dicitur e Punis tractorius, ee Funis ductarius.
rcuiscs loctais.
Il. ehou Salisus Sea sine leritrochio, Suculam vocant.
SG. 256.
Suontam
Fis. 256.
Oculam, sive Sacculam, (nam veroque modo
Ecribitur,) dici rolunt, ob Suis nelcio
quam (rolurando Fortan) similicudinem. GIrX
Cis, ob Asini potius (in ferendis oneribus) (i-
militudinem, ôv∞, oriono, orvo, appellatur.
Scycalas autem vel ad alcerum vel ad ucrumque
extremum, pro arbitrio, habere pocerit.
ctionibus, aliique ad illum, eribunt.
Neque huic absimile elt Jusum textorum
oybs) de quo Aristoreles in Mcchanicis qua- F18. 257.
Sig.
Tnomen spectemus, Machinam Operariam dixeris; (est urique ipsatus operari
Dusue ab epza c:) sed huie speciatim Organo nomen impoluir ulus. In quo erecta
d
Sucula, rectibus quaternis, (seu, quod cantundem est, iiobis HaLLTCMEI PONICI
et urrinque exrancibus,) vel etiam pluribus, converti solet; ausu pbs
Accratiendis, ( porius quam eterandis auc allollendis,) acthribert.
5. 258

## Folio 968 — 851387705:0988
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000988.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
960
De Axe in Peritraisio,
VV. Ehuc reserenda erune ejusmodi alia Enstrumenta innumera; ex extindris
Fis. 259 Seu Tympanis confecta (seu quae horum instar sunt, eisque set Ventatrs
vel non-Dematis. Quieo unue upuis. Eque sict bitca eu
dem motus axemrotentur, svecirca diversos. Lalia sunt LCCMa LYII
Danum manubrio instructum, Tempanum cum axe, aut etiam hujus-
ap. VII.
260, 261
262, 263
penri huc referre possit.
modi plura invicem commissa, (ut in Automatis fieri solet,) Ceranium,
aliaque multa, qua vel ex feuris satis intellizantur, vel quae Lector ex suo
est quam vel sucula vel Freata cum Sertalis binis; cujus ope acies qua secat
premitur seu Prolsud.
Ei8. 259. J F quidem Perebra seu Ferebrum; a Tero dictum, (UL Grxcorum repereor a
 repeco perforo,  a tero ctO,) Vel a laeco repereor immediate; vix aliud
Fig. 26r. Tumpanum cum aue, CAt Avis in Peritrochio led line Seytans: (laltem nili, in
Tumpanis dentatis, ipsi Dentes linc pro Seycalis:) Sed es hujulmodi plura invicem
committi Tolent; quo Vis Viaddatur.
Fig. 262. Geramum appello, Instrumentum illud cujus in Parisiis oncrandis d exone-
randis (acque Oneribus alias sublevandis) trequens est ulus; (ubi a Rota magna
ab hominibus calcata, porrisicur lonsa Cerrix, unde ad Onus demittitur Fracto.
rius Funis.) NOstrates vOCaNE a Crane, (Cruem;) cui respondent Machina
Crxca nomina rpares, rparior; et Lacinorum, Grus.
18. 263. Sed e rulharis Ferrei Mallei usus, crellendis Claris acthibiti, poterir et hyc re
Terri, Aliaque ictiusmodi plurima. BCBSeSS BO,, 153I) _t FIDISII eMelSBV
disBaoci p, 3olos srnen arderisle sesido dov (cCchouss Sprir S
odito. (,iaculloria dusi cibeamroio ineis p eniem) eX RIO P.
Eig. 260. Tempanum manubrio instructum, est instar Sacula cum uniea Sercala.

## Folio 969 — 851387705:0989
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000989.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Oli
o Machinis cognatis
In AxC cum Lerochio, (e cognatis Porentiis, quibus eadem est ra- Fif. 254
tio,) ut eAt Perimeter Axis, cui applicatur Pondus morendum; ad 255, 256
Perimetrum Orbis Fixtimi, cui axplicatur Vis MOtrIX; (Seu illius 257, 258
Diameter rel Semidiameter, ad Diametrum rel Semidiametrum Ru 261, 262,
59, 260
jus:) sic, rice rerla, Vis aequipollens, ad Pondus Morendum. OuX 263.
itaque vel tantillum aueca morebit; aut etiam, si tantillum minua-
tuE Pondus: Secus; non morebic: FL, Radhuc minor sI, vel Pon
dusanscatur; ne sustinebit quidem.
DRopolitionem sic unirersaliter conceptam, eadem opera pluribus Machinis
Seu (ut dici Solene) Porenciis accommodandam centui (eum in omnibus ca-
dem sErariO;) Potius quam ut eadem de lingulis torieS REpCTANEE.
Solent aurem plerique omnes Mechanieorum seriptores Potentiam hane ad Ve-
Etem reducere, (de quo in superiore Capite dictum est:) Neque id incommode.
Ouixpe li C. Cencrum seu Axis Mocus pro Fulero leu FIypomochlio habeatur; re-
etaeque C A, CB pro Diltanciis punctorum applicationis, Virium e Ponderis, ad
eandem rectam ceu Vectem AC B: Fadem omnia quae de Vecte superius demon-
Ptrantur, etiam hic locum habebunt. Fsturique hoc Organon cancundem acque
Vectis continuus, seu alius atque alius continuo ordine subinde succedentes. Cuip.
DeuI vercence Machina, (ti9. 254, 255.) aliud acque aliud erit Perimeeri aXIS
punccum B cui applicatur Pondus; limulicer alius aeque alius succedit Vectis ACB.
eo non quidem ad iptum A
punctum opposicum axplicetur Vis, sed ad aliud quodris exrimi. Orbis Punctum.
uca: Litamen ad hoc punctum quodris sic applicetur Vis uc linea directionis lux
Uc a V, sic secundum Fangencem hujus Orbis; res eodem plane recidic, per ca qyr
de Libra Demonstrarimus, ad prop. 24. Cap. 3. Si aurem non secundum rectam
qua Orbem tansac, sed quamris aliam, ut ao, applicetur Vis; cadem pro lineulis
respectire calibus locum hic trabebune, quae illic de Libra demonstrantur. Sive
enim ad Libram reteratur haec porencia (quod mihi pocius videtur) sire ad Ve.
etem (qui d ipse Libra estu) eodem res recidic.
Verum ego, ut rem ad pruuz principia rerocem, malim ex prOP. 5 d 6. Cap. 2.
demonstrare; urpore quod unirertale principium elt, ex quo omnium Machinarum
vires aeltimandae funt.
Si itaque intellisatur (quod hic supponimus) in una Machina convertione
tancundem Elerari (seu concra propentionem suam moveri) Pondus avvensiu
P, quantum cractorii tunis illud est quod Axeus semet ambiar, (quod iraque issius
Ambitui aequale supponitr;) unaque cancundem Descendere (seu sccundum
propentionem suum procedere) Pondus concrarium seu Vim Mocricem Y, quan.
cus est Extimi Orbis Ambirus cui ristaxc axplicatur, (quod parirer inreslivendum
crit:) Manifestum est sic elle Descentum ad Ascentum, ut cst Ambicus hic ad il.
lum, seu uc hrujus diamerer vel semidiameter ad diametrum vel semidiamerrum il.
dins: PuItd uE m ac n Seum D all. N . Si itaque ponatur
riee verta) Pondus ad Vim Mocricem, ue n ad m, seu ur
n ad mF: EriC MocuS illius Magnicudo ad Magnicudinem
hrujus, (utpore in ratione ex duabus illis racionibus com-
Dolita, Per PrOP. 5. Cap. 2.) adeoque de Momentum illius
WL
mne L = mne D
ad Momentum hujus ( per pEOP. 7. Cap. 2.) u nP Xm Z ad mP XnD, seu ut
8885B
mnZ D
ut
MZ
nD

## Folio 970 — 851387705:0990
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000990.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
e Lnei L ercroio
mus D ad nnPD; nempe aqale. Hoc est, Virium ut nZ, Descentis (Peu Ia-
tio secundum directionem luam) uE mD, aequipollebit Ponderis ut m Z AScen
tui (seu lacioni concra directionem Liram) ut nD: Dui itaque cum line concrarii,
pro nullo simul vel Descentii vel Ascenlu reputandi TUINE; pEF POP. 6. CaP. 2
adeoque (per prop. 7. ejuldem,) Nomentum in neutram parcem praevollens; d
VIreS COnCTaTIX se mutuo SultinebunE. Si verO vel AUIGCatE VIS MOcrIK, vel
Minuatur Pondus; praepollebit Vis Morrix e Pondus elevabit: Sin COntrA; PEae
Dollebit Pondus, e Vis Morrix ne quidem lustinendo par exic: per prop. 8, e 12.
Cap. X. Dux erant demonttranda.
SC FTO L. YV M.
FOcundum hic, si ad Machematicum risorem res exisatur, a ratione propOLica
Le nonnihil recedendum elle. Nam Funis longicudo quae una serolutione con-
volvicur aliquanto major elt quam axis ambitus: Tum quia, proprer tunis cral
Liciem, exera Axis ambirum Supereminet, (adeoque peripheriam majorem etticit;
Tum quia non praecise circularem peripheriam efficit; sed Spiralis circa Cylin-
drum convertionem, qua circuli peripheria major est. Iiem quae Scytalis appli-
catur Vis, non in ipsis carundem punetis exrinis applicatur, sed paulo citra Cx.
CrCMUM. Verum hujusmodi minurix in Mcchanicis ncelisi Tolent. Si aurem ad
Machematicum rixorem exigere relis; cantus repurandus erit Axis Ambicus
quanta ele lonsiendo timis una convertione conroluri: Rtque tancus repurandus
ambitus a Sercalis descripcus, quancus ab eo illarum puncto deseribitur cui Vis
censenda erit applicari. Flaec ueique supponie Demonstratio.
Nocindum Porro; Demonltrationem hanc spectare potissimum H8. 254, 255
_c. ubi Pondus dependet, adeoque propter graricarem Tuam asic ur Vis contraria:
quae iraque uE Pondus eleretur, superanda cs d Vimorrice; es Palrem aequancia,
duo sustineatur.
Si vero, ue in fig. 258. Pondus humi jacens Frahendum sir (in Plano Lori-
zoncali) non Flerandum; vel aliud obltaculum amorendum sIC; (ucFB. 259.
ubi lignum Terebra scindendum crit, quo pottic Perebra converti; d H8. 263.
ubi clarus erellendus elt;) considerandum erit hoc Pondus, vel Obstaculum
nON UCVis contraria, (quippe ut non horsum sua sponce nicitur quo crahitur, si
nCquC ad ParEeS CONTrAEIAS,) Led limpliciter ut Impedimentum. Juo cali vEuE
Vis major quam quae xequipolleat requiratur ad Pondus illud rei Obltaculum
movendum vel amoliendum: quo tamen sustineatur (hoc est, impediatur ne te.
ratuIE in opposicum,) nulla Vis requiritur; supponitur urique vel non aliorsum
uiri, vel lquod cancundem hic eric) aliunde Cultineri (pura subjecto pavimento.
vel alio quoris modo;) ne eo feratur. Alia siguidem habenda elt rario nudi Im
pedimenti, UE In prOP. TX. Cap. F. alia Vis contrariae, uE In PrOP. T2. Ejusdem.
Si vero, uc in tig. 256. Parcim Frahatur, parrim Pleretur; urriusque habenda
CrirratiO: Nam, praeter amoliendum Impedimentum (ex scabricie rerrae vel ali
unde ortum quod majus minusre esse porelt, prout magis vel alperum vel sla
brum sic subjectum, quo nicitur, tunctamentum;) Superanda eriam est Vis contra-
ria deortum cendens; quxe alcentui non opponitur tantum sed contrariatur. Ouxe
quidem Vis contraria major minorre erit (eodemmanente ponderc) Prout nra-
jor minorre fuerit mocus acctiricas; secundum ea qua Cap. 2. tractidimus, prop.
16, X7. de alibi.
Ex quidem illud iptum impedimentum quod quo Fratacur pondus superandum
eric a Vi morrice; quo tamen CustInCatE, (ne a Vi concraria in Oppolitum mo.
veatuT,) Adjumenco esle porest: Ouippe eadem, verbi gratia, alpericas PCrrs
quae impedit tractionem surtum, impediet etiam lapsum deorlum in eodem obli
quo plano, e Gualiquam V. Tractriei opponatur uc impedimentum; Recenriet
Staurem perasenda lc Fractio in plano (non, i prus, Aecu Set) DecH.
vi: Superandum et hic eric quod d Perrx Scabricie (vel aliunde) orimir impe
dimentum; sed qua Soperecur vis contraria, d Ponderis gravitare orta, nulla elt:
imo ea ipla qua in graritate illa ell Vis Morrix deorlum, Impedimento illi con-
traria erie; illudque masis minutre minuie, prouc major est aue minor dectiricas;
quae ee tanca eAe poreric uc haec ipsa impedimenrum luperet, ut Vi Fractrice opus
nOn
tamen ue Adjuclum allociandum exit.

## Folio 971 — 851387705:0991
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000991.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
PrC
Machinis costans.
non sic. Vecunque, V Lacuse cousque adjumento exit, ut ea nihil ulera lu
perandum relinquatur quam id quo impessimencum illud, luperat hoc ex Graritare
Momentum, pro ea plani declivitare.
Verum haec omnia suni extra considerationem hujus Propolicionis ; quae (ex
teris rite computaris prout ex luis quodque principus altunandum crit) hoopo-
ristimum probacum ic; Vim quamlibet in A directe applicatam, ad candem di-
recte applicatam in B, eam Momenci rationem habere 2d Pondus P movendum
quam habet C A distancia, ad distanciam CB, vel eo pacsio descripra Perimeter ad
Perimetrum hoc radio deleriptam.
Dieo aurem directe applicata; (hoc ett, secundum rectam quae ad Orbis aibi-
cum in puncto applicationis Pansens lit; ue ad prop. 24. Cap. 3. explicarum est:)
quippe li oblique applicetur; minuicur Vis pro ratione Obliquitatis; secundum
Obliguitatis LegeS Cap. 2. expoliras. Nempe, Vis per au oblique applicata, ad
eandem per a V tansentem directe applicatam, in ea rarione valebie quam habet
_V ad av; per PrOP. 14. C ap. 3. vel DrOB. 2F, auc 25. Cap. 2. FE quidem Vis
per aan ad Vim candem per a. V vel A V applicalam; valetu u C a ad C. de Vet
CiA; Pet DCOP. 13. C aP. 3
Aeque hoc, Geranium leu Cruem Speciacim Spectat.  DBi Vis morrit adlibica, Fis. 262.
hoc elt, hominis caleantis pondus, non directe applicatur secundum Orbux tan
sencem, sed oblique. FF propterea minus asir Pondus caleantis in e, quaim S esset
In A; Cum enim agat hoc Pondus, propter graritarem Tuam, secunduim rectam
qua sir Florizonri perpendicularis; deleoque, _ ad FTorizontalis rectae OA pun-
etuim a applicara toreu, orbiram tangeret ea recta; arque aequipollerer calcanris
Pondus Oneri in P, quod ad ipsum sit uc C A ad CB, per modo demonstrata:
eErti ad punctum a applicatum, minus valebit (ob caulam jam dictari) qutam si
in A FOrec. Ft quidem Gi Foret a ipsi C directe subjectum, nihil omnino averet
ad convercendum Tynipanum aut Pondus clerandum; sed eo plus asit quo pro-
pius ad a promoretur; algue in ea quidem raciorie quamjam ollendimus ex
Drop. 2T. Cap. 2. C prOP. 23. Cap. 3
Dico eniam, in ea ratione valere ad Pondus P movendum: quoniam hibi ad
mareriam Phylicam perventum erie, nullum erit tam in omnibus expedicum
Organum (utcunque actabre decornatum fuerit, omnesque mobilium committura
ad glabririem redactae, e pertulo Oleo aliatre adjuex,) quin aliqua supererie
Scabriries, aliare inaequalicas, auc impedimencum quod lacierue Nirieu nonnihil
impendendum fueric ad ipsum Drsanum simorendum; acque hoc, quancumeun-
que sic Cumma Virium in A applicatarum decrahendum crie, illudque, quoe su-
perelt Virium epcattu eric adhibicum ad Pondus morendum quod ad B ap-
Plicatur.
o7A enc
Si tamen Mallei usum illum (altaisa similia) ad rectem reteras (aue L ibram
etiam) Cujus CCM Ms Cala Vectem (Libramve) Ct: Perinde est. Ouam
rel dd Pl0p. 14. Cap. 3. Caus.
Ouxque hric monemus, alibi pront, opus tuerir inrellisenda erune.
Malles vero ulum illum quem mnui H3. 203. C_ HeC Leducimus, ratio mani- Fi8. 262.
Adeoque quo propius s B ad C, eo torcus aset viscadtem in A.) Acque ideut
Festa est: Duoniam, etiam hic, virtus in A achibita, movet in circumterentia pa
dio C A deseripta (DEOPtEE C CentrUM OCuS,) B vero, una cum Impedimento
seu Obltaculo, (hoc est claro crellendo,) in circumterencia deseripta radio C. B
dicendum erit de quoris alio organo contimili, ubi eadem rario
4888882

## Folio 972 — 851387705:0992
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000992.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
Fis. 254 Ba) morere.
De Axe in Peritrochio-
PRO P. II.
nict. .   20
Dacum Pondus, data bI AXC  LCar s
55,ec.
=TF p+ POndUS P, ad Vires V sic (reciproce) hujus distantia C A, ad CB:
Latque agupollebune in hoc lim Vis ee Pondus, (Mpore  Mans Lecpoce
reatux; auctum lic erut Virium Momentum, Ponderique prapollebi lue
rebit: PeF PTOP. XY, 1Z. Cap. r. Quod erat propolicum.
eHicietur motus imperacus.
ceste eAt.
SC FTOT YV M.
sire roculis inricem commullis id praeltanc. Dequo in lequence propolitione agitur.
liatio.
proporcionalibus,) per Pracedentem. Rucoue s ana res camnu a-
Dacechinc; quo minor luetxis ambicus cui applicatur Pondus, vel major am.
bicus Periroehii exrimus (leu qude usis at e) Eut VIs Motrix applica.
cur, eominori Vi morebitur Pondus.
Verum ie recordandum erit, praelerum valtis Londeribus exigua V morel.
omnia, Vi eo Ponderi incermedia, linc pro luisrespectire oncribus lultinendis la-
dis, quod in Schol. prop. 28. Cap. 2. Monumus; nempe prode curandum esse, ut
ristirma: secus, rumpecur ipla t siere aqua Armammenta, POciuS quam
Viveragatur, eo cardiorem fieri; adeoque defectum Virium LCMIPOIIS AMPenM
lonsicudine recmendum este: Mo e Munvus omnino Organis mechanicis
trem. quod ad prop. 28. Cap. r. monuimus; nempe, motum hunc quo minori
locum haber. Adeoque, ubi Tempori parcendum erie, uc plus Virium addatur ne-
Denigue; quoniam, ubi Virium eo Ponderis magna est inaequalicas, haud com-
mode BOtctIE quod in hujus Propoticionis conttructlone lupelacum est ad praxin
redigi una rice (proPhrlica materia ipeseccene;) ideo pluribus sire cempanis
Sipluribus commissis Rotulis, aliisre Ponderis lerandi mediis achibitis,
mocus Facilitetur: Calculo nihilominus constabit, quanta sic illa faci-
SCO, verbigratia, CentrO (seu mOtIS AXC) C Tompanum leu L C H, Cu
Lin aibitu (ux moris est) ANerculi seu PinnactaIa aHSALCL, GuS HPIH.
se in A, Aqu
rrentis Flurii, Rocam conrertat. Asue au CaMdeM MOTHIB
reus C, Rora minor CB dentata; quae ica el pre consuala  ut eed
communem

## Folio 973 — 851387705:0993
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000993.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
C Machinis cognatis.
communem Arem junctim mOrCantE. Siique C B ad C A, ( rerbi gratia,) ut 
adb, seu uE r ad 3: valebic isitur, (per ProP. L. hujus) Vis in A ad aequalem in
B; ut b ad a, Peu ut 3 ad F. Adeoque Oncia in A, aquipollebir Quadranti (hoc
eltu tribus Vnciis) in B.
FAO POrrO; CCnITO (sEn MOtIS AXC) D, alia ROta DB; ita dentata, ut den-
tes sui apre congruant dentibus rOtX CiB; eilque sic implicentur ut carum ope con-
Vertatur roca DB circa Centrum Cuum seu Axem D. (Sic aurem congruene, li in
ea lic ratione Numerus Dencium rota DB, ad Numerum Dentium rOcx CB; qua
elt iltius ambitus, ad Ambicum hujus; leu ut Radius, ad Radium.) Sicque circa
eundem mOTuS. Axem D, Roca minor seu Orbita DH; quae cum DB junctim mo-
reatur; habeacque libi circumpolicum L’unem Tractorium R. P, quo Pondus P
trahatur. Sirque Radius D B ad DB, uE c adb; Puta ut 4 ad F. valebit isieur
Vis in B, ad aequalem in F. (per PrOP. T. hujus) utc ab b, seu 4 ad F. Adeoque
Dunarans in B, aequipollebic esi in F. AC (per modo ostensa) Oncia in A
aquipollet Quadranti in B. FrSO, Oncia in A, xquipollebit Asi IN F, AuE CtIaH
(per PrOP. 18. CaP. 2.) in P. Adeoque Vis Oncialis in A, Tultincbie P ondus Asis
in P; eademque Vis, tancillum aucta, movebit.
Vel, univertaliter; Propter C. A ad C B, utb ad a; vis V in A cancundem ra-
lebit acque  Y in B: LCh PrOprer DB ad DF, ut c ad b; vis = V in B(leu
V in A) cancundem valebie acque =  = V = = V, in F. Hoc elt, Vis in B,
aequivollebie Ponderi in F, vel P, quod ad illam sic in ex ratione quae componi
tux ex C A ad C B, e D BadD E. Aique eodem modo procedendum erit quor.
eunque porro tuerint Rocxe invicem Commilla.
Si vero Pondus illud non ex F directe dependeat, ut in P; Sed, ut in H, ob.
liguo Plano FO incumbat; Pondus in YI, ad idem in P, in caratione ponderabit,
qua est F, I (perpendicularis aeque- alta) ad FO; puta ut c ad a, leu 3 ad 4
(per BrOP. Z1, vet 25. Cap. 2.) Adeoque cum ris  in A, aguipolleat Ponderi
 = V = = V (eV +2 V, in P, eadem aequipollebit Ponderi  = - x - V = = Y
seu 16 V, in H. Hoc el Ponderi quod ad eum sic in ratione quae componitur
ex A C ad C. B, ec BD ad DE, e O F adt F L
Acque ad eandem tormam, mucaris mutandis, in aliis casibus Calculo restimanda
est Vis in A, quae Ponderi in P vel H aequipolleat; (quae icaque, rancillum aucta,
Poncus morebic.) Ouod taciendum crat.
SC HOL FV M
S1. A D hanc Forman de quibulvis Machinis, ex Tumpanisdenratis contectis
 siet judicium: qualia sune raria Aucomacum senera, aliaque inttru
menta in utum paltim acthibica. Et speciacim Etossocomum illud quod ex Fleronis
Alexandrini Barulso delexibit P’appus, Collectionum lib. B. PrOp. 20. Fr qua lunE
iltiusmodi.
2Hane aurem de Roculis doctrinam priusquam dimucam; locus hie haud i
commodus erie alias adhuc de Rocis speculariones lubjungere; quae quamgnam hu-
jus loci directe non sine huc camen quaclanrenus spectare non immerico vide-
aatUE.
3. Observacum est in ulu communi (quod et Ariltoreles aurixic in Mechanicis
Ouxest. 9.) majores Rotas, Cptindros, Lrmpana, Sphaeras, c. facilius moveri
quam Minores. Ouod utuc per omnia verum non sic (limicatione ucique opus
exit;) rice tamen intellectum, concedi porelt. Ouippe, dummodo idem siL uirO.
bique Pondus, (id ucique manifesto incerponendum erit,) id non raro ridemus
in Curruum Roris, in Cylindris Sphaeritre humi voluris, in Prochlearum Orbi-
culis, aliisque concingere. Salcem si et Axium liqui sine cirea quos moventur, ea-
dem sic uirobique magnicudo; aliaque qua sunt impedimentorum loco, sinc utro.
bique aqualices conctiruca. Nam nili haec ica tinc, res omnino lecus elle pore.
XuINE.
P.
966663
Obi

## Folio 974 — 851387705:0994
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000994.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. VII.
6. Sunco enim ejusmodi duo Cylindri, (velu
Si maris, dux Rore, Spheraere,) ut AB, aB
in tig. 265. qui vel Frutione vel Fractione mo-
rendi sint, super B B plaHO.
Manifestum est, Si nulla esset medii resictentia
superanda, nullumque 2 Fcabricie subjecti (su-
Per quo MOVEEU) impedimentum, aue quod
horum instar Lc; pondusidem, ab cadem Vi, ca-
dem Facilirare ancrorlum propellis aue rerrortum
trahii; Dex DEOD. 22. C aP. J
Siautem Relisteneiae Mediiracio habeatur:
Maniteltum est Cylindrum (exeteris paribus) mote
majorem, majori Aeris (Aquaere) porcioni obriam
ire, unde major isitur eru Reliltentia; e proP
terea Major Cylindrus difficilius movebicur:
contra quam expectandum erat. (Ouod in duo-
bus GlobulIs, plunioeo puta ee ligneo, ejuldem ponderis, per acreurmillis, omnino
obcinehit.) Adeoquehaec contideracio distimulanda porius eNer, quam in caulae
partem adrocanda. Sed tantilla pocest haec elle difterentia, uc aliunde superari
DOTTIE.
8. Si vero Subjecti (super quod moretur) Scabrities seu Asperitas in consi.
derationem adrocetur.
Dico, primo, hinc poristimum esse (si non Tolummodo,) quod Rocunda pexe
Tertim corpora humi volrancur multo Facilius quam labantur vel possint Enc vo
lucione crahi. Cum enim nullae sinc tam perfecte tersae _ glabrae Superticies, ut
nihil prortus alperitatis habeant, qua se mutuo impediant derincantque: hinc
tic, quod Cylindrus AB, impeditus (conractu plani) ad partes B, Sed non item
ad partes A; qua porest expedite, praecess Fertur; (R Celeriis quain B moto.
Acque hoc continue: Ouod est, Volri. Flaud secus act Dentata RocaD BHg. 264
Tuper Dentata Superticie movenda cAter: ubi ne labatur impediune implieir den-
res; (ut ad B ridere elL;) non iem, ne rolratur. Id urique, nis denesblis ret
alterutris vel ucrisque ruptis, tieri non potest: hoc porelt; ne descrente quidem
tuum namicem Centro C. Arque eadem racio est aspericacum minuciorum ucuc mi-
nus obserrabilio
0. Idemque (ob eandem causam) in Curruum Roris Tustaminaris videre est:
quae muleo difticilius ica tratruntur renitentes, (sora ambitu, cerraque superticie
70. Fallor; au non ob candem causam sie, quod projecta in Aere, volrancur
etiam; nempe, quia pars aeris ea quae projecti parcibus interioribus obviam Fc
humilior sit adeoque pauxillo crallior, maxisque proprerea reitatur, quam quae
TuperioTIDIIS.
ctione imprellum. Cuu Cum qua ex Funda (vetbi gratia) projiciuncur, cir-
culari notu prius laca tuerine, quam relicta funda per iltius circuli cansentem
procedane; projecti partes ab hujus circuli CenITO TEMOLIOTES, majoreS prOPTCrCA
circumferentias eo motu deseriplerans, adeoque relocioris motus conceperant im-
perum, quam quae propiores; qui quidem impecus inaquales, ubi ex peripheria
40
De Ae in Peritrochio
ubi Asens secundum unam, Pariens secundum alteram consideratur.
incellise aliitre Fympanisus auc s phaeris.
Ji9. 2
4. Vbiautem hoc contingit; s de causa quaratur: quilibet fere proctiris est
eam ex hac de Are in Pericrochio doctrina altionare. Neque hOC PTOrTUS incom
mode; (quippe ee huie considerationi locus exit:) Sed alia eriam in consideracio.
nem adrocanda crunt, si res penitius inspiciatur. Ouippe haec de AXe in Peri
crochio doctrina, non de Roris leparatis inricem comparandis agit; led de dua.
bus (pluribure) conjunctis, quarum monis alter ab altero depender: et quidem
5. Scigitur ad Cuum Principium res referatur; intelligatur primo Cy lindrus ejus
modi (Sertaten vocac Aristoteles) qualem in FTorris (ex alibi) ad complanan-
dam cerram volrendo Tolene actribere: qualem (si manubrium demas) in fie
260. exhibuimus. Fx hujusmodi Cytindris, Pondere aequalibus (et longicudine
Majorem Facilius volras (exteris paribus) quam minorem. Fdenque de ROriS
FY. Ouamquam, ec id etiam aliunde HetL PCIHC, DCOB PCCML I PrOse

## Folio 975 — 851387705:0995
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000995.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
PrOD. TMI
C Machinis coenatis.
2d rectam tangentem transitur, volutionem inchoane, (prosecti centro per rectam
procedente, parcibulque Superioribus concirarius reliquis,) caclemesile cepta, eum
nihil impediat, persereras, (Der PrOP. EX. CaP. I.) Incelligatur enm luc Scliemate
TeM CXPONam,) L’unda CB A, vertari AB proje
etile, CirCa C CentrUM mocuS, in litum aB; ibique
delerra tunda, centro luo c (quod prius areum de-
seripserat Cx) secundum rectam cangenrem nr de.
InCCDStErEI. CuM Itaque majoreI IIMpCTUM CON-
CeDerIC A, per A a arcum majoris circuli delatum,
quam B per Cumilem circuli minoris areum BB: ubi
ad parallelas rectas 8.T, B7, Perrentum erit; impe-
tus in a velocior quam in B, volucionem protinus
inchoabit, cirea ceurrum u; cademque, non impe.
diri pertererabit: ut diclum elt. Idemque, si non semper, non raro tamen, in
aliis projcctionibus contingie.
22. Ouod auremFacit in Cylindris, Roris, Spharis, c. humi voluris Asperi-
eas Soli; idem tacie in Prochlearum Orbiculis Alperitas Funis duetarii, ejusque
propterea cum Orbiculo cohalio. Onde tic ur Facilius cum PUne ConVertaLIE OF-
biculus, quam manente Orbiculo tolus P’unis ducatur. Quod de in aliis similibus
conrertionibus parirer obtinet.
23. Dico porro; ob eandem quam dliximus superticierum Asperitarem esse, quod Fi8. 265.
Cylindri Rocare aut Splerx mole majores, (led pondere aequales;) lacilius vol-
VaNEuE Quan INOTES.
24. Incelligantr enim in eandem asperitatem seu eminentium PO impingere.
AB Cylindrus (vel ROca seu SpharA) major, acque aB minor: Ouxe quidem
eminencia PO (quo possine AB, aβ, Procedere) vel superanda erit, vel deprimenda,
vel propellenda.
Maniteltum primo est, cum sie impinsie aB, propius esse ad P punctum B;
quam est punetum B, cum sic impingit A B. Si enim incelliseretur B in B; totIS
cireuluS mInOr (propter mutuum contactum in B) intra majorem ellet; adeoque
ad OnOn PertinSCTEE; uE in H8. 267. (de minus adhuc, si cller B ultra B.) Adeo-
que (quo Luperetur eminentia PO) Acclirior erit Alcentus (et proprerea ditti-
eilior, Per 25. Cap. 2.) a B ad O, quam à B ad O. Fr quidem illie per Circuli
minoris Fansencem Or; hic per Pansenrem majoris OT.
25. Vel cciam sic idem alias collisicur. Pacto O cencro motus, circa quod
quo superetur punctum O) rocanda Lint AB, aB; seu, quod cancundem est
(Per PTOp. 16. Cap. 4.) corundem Centra graviraris C, 7; in peripheriis CC, 7u:
eadem eric Obliquicas mocus in punctis C, 3, quae est Pansentium CY, y7; (quae
quidem iplis OP, Or, parallela Tunc.) Adeoque cum major sic Obliquitas in
CF quam in y7; (proprer angulum O2B, majoremansulo OCB, uc imox vi-
debicur;) etiam tacilior AIcenlus eric. F.F quidem in ea ratione tacilius morebi-
EIT C, quam 7, (hoc est, AB quam a B,) quam habet Sccans Anguli YC A Boc
eA COV, vel TOP; ad Secanrem Ansuli r7 o, hoc cst r OV, vel rOP; (Der
DrOp. 25. Cap. 2.) hoc elt (quippe hiaec eadtem elt ratio) in reciproca ratione Co-
linuum, seu Sincum Complementorum: (Nam Secances Angulorum LunE Com
plementorum Sinibus proporcionales: Nempe intis. 42. ur L L adt VS, Peu F V
ad L O, hoc est F V ad F B, Sic elt F O ad F R; uC ad prOP. 24. Cap. 2. osten
Lumest:) hoc est, ut Sinus Anguli O7 B, vel OF P; ad Sinum Aneuli OC.B,
vel OTP. Oua quidem nec eadtem elt cum ratione Diametrorum; neque cadem
ubique racio; sed ala acque alia pro varia ipsius PO alcirudine. Sed quo minor
t alticudo PO, adcoque et minores anguli OCB, OrB; eo minor hinc est
inaequalicas: eademque, si consideretur P vel O in iplis B, B, punctis, prorinus
craneleit.
79. Manifectum icem clt, Arcum BO majorem elle Proportione ad luans pe-
ripheriam inceoram) quam cst (act Cuam) BO. Duippe DO, hocest BV, vel
BV, Sinus vertuS exIC arCUS (PrOPOrTIONC) majoris in cieculo minore, quaim in ma
Jore. Adeoque (junetis CC, 7O,) major erir Obliquicacis Ansulus BY O, quam
BCO. RC PrOPEerea, si deprimenda lic PO eminentia; ForciuS ad HoC valebit
Pondus idem Cylincei (Rocave auc Spharae) majoris, picmenis sccundum rectam

## Folio 976 — 851387705:0996
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000996.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
De Axe in Peraraisio
C. O minus Obliquam; quam minoris, prementis secundum magis Obliquam Le-
Ctam YO: Per PrOP. 2F, Vel 25. Cap. 2. (Ouippe ibideu csevall lioc, censendum
erit Grare Conlticucum, ubi eltiphius Centrum craritalis, pet Plop. 10. C dp. 4.
Non quidem In ea ratione qua est Diamerrorum, (ut ubi de ANC H FCTMIOCMIO
asicur) Sed in ea quam haber linus Anguli COV, de itum anguli vOV. C per
PrOP. 2F. CaP. 2.) Qua alia atque alia erit, plo ralsa allicudine recta PO, ia-
nente eadem Blamerrorum ratione. Sed maegualas Co nOT, ProuT PO
propius est au puncta B, B; acque,  his, procinus eraneseii.
17. Fltque hie torsan ansulus BCO vel BYO, quem rust Artoteles elm aL
cit, Ameutum majoris circuli, nutum quendam Badet aa anul cicu mino-
pic. (AVOA INEETDECLCS AHO LTAHUNE; DIILaq AC LHECHIMM COnEaCENS, vel Angulum
Semicireuli, ecc. de quibus rideancur Monancholius, Balcus, Cderala;) Nam 
Cap. VII.
angulus COe quam y OP, adcoGHC C MIS otentat. Si vero de Angulo conta-
ctus intelligeretur; plus oHtensaret rota vel sphaera major quam minor, quia pluri
bus subjectis parribus simul incumbir Ciytindrus seu ephaera Macerialis; ut PolC
dicetur.
minor est angulus B C. C Gliam B7 O, adeoque C dirccttus imminet, a obliquior
L8. Sire isitur Superanda TiE, Tire Deprimenda, eminentia PO; (quorum, ut
plurimum, vel alterum vel utrumque taciendum erit, quo volutio COnCIMUCtIE;)
masis ad hoc valebie Cylindrus Peu Rota major, careris PalibIS, GuatH MMIHIOE.
Idque tagis in eminentiis majoribus quam in minoribus.
29. Sin abrumpenda esser eminentia PO, vel ProPeHCHa: CMM HOC per DuI-
sum laceralem taciendum Cc, _ Poristimum in Forizontali recta, ue VO, SeciH.
dum quam (vel huic parallelam) tir tractio horirontalis; (qua iagls  sC
Etanda est quam perpendicularis prestio;) id porius tiet per rectam yO, (qua 
Litu horizontali minus recedir,) quam per C.O. Adcoque, hoc reipeetu, C. sI
deus (res Roca) minor, praeralebitmajori. Verum hiee s scous volutatio
nibus rastuscontingit, ec vix nili in altioribus obltaculis. Sed cMMMeMa mino-
res, vel deprimi Colene, rel Cuperari porrus quam provelli; cltmagis conducie (ut
ram elt demonstratum) major quam minor Rota vel Cylindrus.
20. Sed et alia consideratio est, quae Majori farer prae Minore: Nempe dum
ab emitentia una ad alceram cransitur, magis deprimitur minor quam major Rota
seu Cylindrus: Adeoque plus illi ascendendum erir (quoniam ex deprectiore ralles
io, 366. quo secuncam Tuperet. Sunto enin (I SH HG. 200.) CHMTCMTa CUIa, M H, C LO:
quarum quum altera superata est sed nondum reliqua; maniteltum cl (propter
majorem in arcu minoris circuli curredinem) altius depretu  Guan B, alleo-
que e Centrum r quam C, totumque proxtered sontoum; (Adeoque non modo
Accliriorem sed et Alriorem a(cemIIHI MaBCB CSruS (vel ROca seu Sphaera)
minor quam major. LlIC HlaGuE LACHIUS NOTMAIE.
2F. Hluc accedic et alia rario. Veur enim Circulus Machematicus Tupponatur PId.
num in luncto Conue. Il Corpore ramen Phylico res lecus esse lolet. Ouippe
Corpus grare deprimui graricate tua lubjectam planiciem; ee quidem plus minutre
pro majore vel minole polluere caeteris paribus. Luleuszai llague natus seu
itaque
is. 267. Roca minor (Hs. 267.) Planiciem N Y O deprimere ulque ad B vel B Necelte

## Folio 977 — 851387705:0997
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000997.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
 Machinis cornatis.
iaque est ut lubjectae materix cantundem deprimat seu loco suo pellaE (quo LB
JOcum paret) quancum est Segmentum OR B. Ouo aurem major eo venerrer
cancundem deprimendum erit leu loco vellendum, quantum est lesmennum NOB
quod segmento OR B majus est.. HIoc iraque uc tiat, majore Pondere opus erit
Ponitur autem urriusque Pondus aequale. Non isitur tiet. Non itaque tam alte
Denetrat Cylindrus Peu Roca Major, quam penecrarerar minor: Adeoque et hoc
nomine tacilius volvetr.
Arque hactenus Cylindrum seu Rocam considerarimus ut Grare; pondere Tuo
vel agens vel renitens: Atque ea ratione Majorem tacilius motum iri quam Mino-
rem oltendimus: Et quibus de canlis id trat.
22. Potest aurem, seclusa illa Graritaris consideratione, ut Vectis contiderari;
non quidem quatenus hoc ipsum Solidum, stance Obice, sursum movendum sc
quo superetur obex, (quipre hac ratione considerandum exit ut Ctrare moven-
dum;) Sed quarenus amoliendus est Obex iste seu Obltaculum PO. Intelligatur
enim (in H5. 265.) AB rectis, cujus Fulerum B; Scque Vis applicata sive I A, Fig. 265
sire (ue in Cylindris plerumque Hc) in C: e pondus morendum, Peu Obex amo
liendus, in V; non quidem immediare, sed mediante recta inHlexili V O. (Eadem
que de a7 vB, quae de ACVB, incellisantur.) Erir igitur, (per PrOP. 2. C ap
praeced.) ut AB vel C B, ad BV, hoc estP O; SiC Vis in A vel C, ad huic aqua
lem in V, vel O. Acque Similiter, ue a B vel vB, ab B0, hoc est PO; Eic ris in
avel v, ad eandem in ; vel O. Et consequenter (propter eosdem consequentes)
ut AB vel CB, ad aB vel B; lic ris in A relC, ad eandem ina vel v applica
tam. In cadem ixitur ratione (nempe Diametrorum, vel Semidiamerrorum,) ta-
cilius morebit ris eadem Cylindrum seu Rocam Majorem AB, quam Minorem
aB; quancum ad amoliendum obicem P O. Aique hoc, ubicunque contirerit ob
Haculum PO; puca, sire propius sire remorius a puncto B, vel B.
23. Verum hic nulla rario habira est Ponderis in uroris Cylindro, (nisi quod
hojus opc puncta B, B, tixa lint tanguam ab FIypomochlio seu Fulero, ne retili-
anE;) sed rectarum Tolummodo AB aB, canguam rectium nullius ponderis. Ne
que ad onusmorendum, sed ad amoliendum obicem tancummodo spectatur. Sin
spectetur Onus ipsum, quod tanquam in C vel y constitutum (qua centra grarita-
tis Tunc) incellisendum exit: nihil hinc emolumenti habebitur. Ouippe eadem
ucrobique ratio crietum AB vel C B ad C B, cum aB vel yB ad YB. Adeoque A
rectium AB, aB, Fulera incellisantur, B, B, _ Pondera morenda in C, 2; Virec
aucem rel in A, a vel in C, 7: qua Ponderi aequipolleat Vis ucrobique vel dimidia
vel aequalis exit.
24. Sin concipiacur A B vel a B ut Libra cujus Centrum mOtuS Sic B vel B: Ad Fig. 267
quam (urpore per Cencrum cranscuntem) quae mrinque ponancur solidi partes
aequiponderant; adeoque ipta AB seu a B libra, in neucram parcem praeponde-
rans, quancumris parro pondere (nili quod medii retiltencia, lolique inaequalicas
qua decineeus, impedirene) in ucramvis partem moreri postet: Vis applicata in A
vel C, (UPOrE d CENETO OTuS remotiOI,) in eadem racione plus valebie, quam
in a vel3, qua sunt ip( AB rel C. B lonsiores quam a B rel YB: Per prOP. 1
Cap. 3. Ob quam rationem etiam oltendimus, longiorem Libram exactiorem elle
Schol. prop. 24. 56. Acque ad hoc respexiste videtur Aristoreles quum eandem
hic valere racionem dicit ob quam longiores Librae lume brerioribus exactiores
25. FIlque haec consideratio ctiam Frochlearum Orbiculis communis; sed cum
hoc discrimine: in Cylindeis Sphaerisque humi voluris, Obstacula seu Immedi
ENTA MOTIS (ob SoLI asperitatem) sune in iplarum orbitis, DULA PFODC B, B; qua
icaque pro Fulero, seu Librae mocusque Centro habentur; ut dictum est: Sed ir
Frochlearum Orbiculis, quorum anidicus ab oftentionibus liberi TunE, mOTIS TM
Dedimenta sunc ad Axem, circa quem immotum volvuntur Orbiculi; e praeserrim
in Orbiculis illis qui sunt in Frochlearum parce superiore, ad Suveriorem Axis
parcem luper quam incumbie Orbiculus, moleque lua ec dependencis ponderis cam
premit, ad partem vero Axis intetnem (ob similem rarionem) in Orbiculis illis
qui sune in Prochlearum parce inteltore. Ouxe hinc oritur Prictio, impedit quo
etionem. Duod quidem cacenus retuim elt, uc exiltimarerie Baldus ob hanc solam
Calitai Ex PCS MOVerI Orbiculos majores quam minores, quoniam Majorum
Ahhhhn
Axes
Pre
minus Orbrcusus circa axem lui expedire rolratur.
26. Ft quidem eo magis, quo Axis major est; proprer majorem propterea fri-

## Folio 978 — 851387705:0998
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000998.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
de Axe in Peritrochio
Ares i Miinori uc plurimum lunt ratione ad Orbes Tuos quam sunt AXeS Mino.
rum: quoli Diameter Axis dd Diamerrum Orbiculi lic in eadem racione in ma-
joribus acque minoribus Orbremlis, nihilo facilius morum iri existimar majores
quam minores Prochleatum Melilos. Nempe, li incellisatur Orbiculi Centrum
pro rectis Fulero, Viresque ad Tupremum diamerri punctum applicaras, et Prictio-
nem hanc seu adhaetionem pro Onere submorendo; in ea ratione plus minutre
valebir, Vis ad Onus Cuhmorendum, qua major est aur minor Semidiameter Orbi-
culi ad Axis Semidiametrum. PuC; Si s, ut C. B ad C A, H8. 269, SC (reci-
Procc) Vis in A, ad impedimentum d trictione orrum in
B: Vis Impedimento requipollebit, cademque aucta pra-
vollebit: adeoque morebir: Arque hoc perinde sive in
majore cre in minore Orbiculo.
27. Duam quidem Demonstrationem eso acmitto. Ve-
rum hoc addo; Augmentum illud Virium quicquid sc quod
supra Aquipollentiam accedie, plus valicurum in Radio
majore quam in minore; vepore ad Libram in majori d
Centro motus distancia applicarum. Vc modo ostensum
elt; ex Ciap. 3. DrOD. 12. _ Schol. prOD. T4. ejusdem.
28. Fademque Frictionis consideracio qua ad axem Au, (Prarer eam quam
ante contiderarimus soli Alperitarem, ) in Plaustrorum Curruumre Rocis non
minus locum habet quam in Frochlearum Orbiculis. Nam Arium exrrema qua
Rocarum Modiolis immiccuneur, onere prelsa, ita premune foraminum ima, ut
non postit sine Frictione converti Rora cirea Axem Tuum, in parre prxeserrim in-
feriori. (Ouam caulam altisnat Ariltoceles, Mechan. Quelt. TT. Cur super Scy-
talas, quales R, S, tis. 258. (nos Pollers vocamus) facilius gestantur onera, quam
super currus; nempe ob eriratam axis trictionem. Fr quidem 2d Axem majorem
major exit Frietio, majusque ex Prictione Impedimeneum. Paque Prictio majo-
rem qua aequipolleat vim poltular, ubi major est Diametri Axis ad Diametrum
Rocx ratio; ob eandem caulam quam in Prochlearum Orbiculis jam ostendi-
mus. Quodque supra aequipollentiam accedit ririum Augmenrum, perinde in ma-
joribus Rocis, acque in majoribus Frochlearum Orbiculis, plus ralebic quam in
minoribus; atque ob eandem cautam.
29. Neque huic adrersatur, quod. Trochlearum Axestixi mancant, AXes RO-
rarum promoreantur. Ouippe, dummodo Cencrum Cmrertionis (quem morum
lolummodo hie considerams) in Axe sit; perinde elt Cre manente Solo Dro.
moreatur Axis (ne in Plaustrorum ROtis;) sive (uc in Trochlearum Orbiculis)
manente Axe ducacur Funis eractorius; sire etiam utrumque tiac. Onaeque de
Rocarum Axibus dicta sunt; eadem etiam Cylindris aliitre facile accommodan.
tur, ubi cractiones per Axes tiunt.
30. Superest achue alia rario, etiam a Prictionis hujus consideratione, petita,
quae majoribus Roris (Cylindris Tumpanis, Orbiculis, Sphaeris, _c.) Prxe mino
ribus Faret. Polira nempe eadem urrobique axis magnicudine; quod ex Frictione
oricur Impedimentum, non modo difticilius in Roca minore Cuveratur (ob cau-
Cam jam cradiram;) sed et hoc Capius reverendum erir. Cum enim tancundem era-
ctione promoveri Toleat Axis in una Ror convertione quancum iplmIS ROL am
bicum proxime aequer; Exepius eodem cractu converci oporrebie Rocum minorem
quam majorem, tocamque inceorae convertionis trictionem lapius reveti: de qui-
dem in eadem rarione lapius qua minor est rOIX amibiius. EF propierea, ob tri-
ctionem laxius repetendam, difficilius morebitur ROca minOT.
32. Atque hinc est quod Plaustrorum Curruumque ROIX et Axes anteriores
cum minores eAe Toleane) citius terantur, (apiusque reparari debeane, quam
majores. (Cuiramen nonnihil conterre porest, quod cum Axis prior minus AI
cus sic quam polterior, ideo magis premitur, exceris paribus, ab onere quod utri-
que incumbit. Ob ensdem cautas quas Cap. praccd. altignarimus, cur duobus
Fuleris inaqualirer aliis incumbens rectis, deprestius magis premat.) Fadem
que Trochlearum Orbieulis Facile accommodantur: quipre, dum tantundem ele
vatur pondus, Expins convercendus erit Orbiculus minor, exreris paribus, quam
major; adeoque et difticitius.
32. Acque hactenus de Cstindrorum, Rocarum, Tympanorum, Sphararum
dec. convextionibus esimus, cum cur tiant, cum cux in Majoribus tacilius fiant
quam
2

## Folio 979 — 851387705:0999
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00000999.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Machinis cognatis.
PtoPLII.
quam in Minoribus, exceris paribus. Ouorum ueriusque eaulas CON)CCILIS I II
perticierum Asperitarem, atque hinc ortam Cohaetionem; Lrc qua C 5010 Cal
quod hujus inltar elt) Coharet Orbita exterior; sire eua coharet Axis cum co
cui immietitur P’oramine. Ouippe li nihil horum ellet; nihil elteur tracta Roca
non recta procederet absque roluratione, L’unisque ductarius immoros Troch.
learum. Orbiculos prxcerlaberetur, acque in relicen limilicer. Et quidem, nisi
hoc essec, (nec impedirer medii reliltenria) Rocam quancumris crarem, Vie
quantumris exigua, in licu Horizontali vel traheret Vel provelleret: in litu vero
Vecliri, etiam nulla Viachibica, terretur sponte lua: in Accliri vero, ea Paltem
Vi quam postulat cracti Pondus cum Acctiritatis stadu comparatum; (Per ea
quae cradimus Cap. 2. prOD. 27.) nulla habira racione vel Masnss ret Psu.
ra; nullaque roluratione luperaddita.
33. Restat alia non absimilis Ouxe
Stio; nempe, Cur Plaustrorum Curru-
umve Rotae Anteriores sint Posterioribus
Minores: atque cui bono hoc (ic.
Videri torre possic nonnullis, id Reri
provter Declirem Plaustri policionem:
quali cum B rota praecedens humilior tIE quam lEGHCHS A LlauCErUM per AB re-
étam descendere proclire lic. Atque hoc quidem valeret, li, manencibus AB rO-
tis, labi oporrerer Plaustrum secundum ACB rectam. Ouippe tum deortum
terrCtUT CGENETII, FOLHIGLE GTFaVO; HCTCEGNe CENETO FETTA prOpIUS. Verum
ut jam se res habet, omnino sccus est. Cum enim limut terendum sic Plaustrum
cum ROtis, puta a Sc ACB in Picum ayB, (Centro pravitaris C describente
rectam Forizontalem C Y,) nulsus hoc motu acquiritur Descentus, adeoque nulla
ClE ad ilLUm DTOPTET GTAVITaTEI DTODenSIO: Der PrOP. 9. CaP. 2. Vel PIOP. 26.
Cap. 4
34. Aliunde isitur petenda est ratio. Ft quidem, quancum ad Rocarum poste.
riorum alcicudinem, res ex ance dietis jam latis patet. Ononiam (PrXTergnam
quod hac rarione Plaultrum aleins ex luEO eleVeTX) Majores Rocu lacilius moren
Tur quam minores; ob rationes jam cradiras.
35. Ouod vero ANteRIOrES ROIX minuS AI inc duxe, salreM SIINE CaUIX. Pri.
ma cst, quoniam, cum propter viarum fexus Plaustra sint Expenumero nunc dex
crorsum nunc linistrortum ducenda; huic conducie mulcum anteriorum. Rocarum
Parricas; Ouippe E anreriores eadem elsene magnicudine cum polterioribus, in
commode admodum tierene ejusmodi Aexiones, es nonnisi magno circuicu tacto
Duod rel Aurisae, experimenio docti, rectabuntur: iplaque Plaultrorum inspectio
Pacis docebit.
26. Alrera paulo aleius pecenda est. Considerandum itaque est, F Oras qua
elaultrum Rquis allisane, atlixa esse (salcem mediare) ad Arem anccriorem ejul.
ve Capita: lalcem non interius
quam lic Axis ille. Cumque AP.
plicationum puncta Virium ad
Pondus ibidem censenda lint: Si
Axis ille eam alcus sic quam Pe
Etus Rqui; linea tractus (secun-
dum quam Vis applicatur) puta
BD, Horizontalis CHlet. HF Propterea, dum per planum FTOrIZOnTale traHALIIE
Plaustrum, eric ea virium Directa Applicatio, (cum eadem (c Directio Movennis
scu Virium Applicacarum, e Directio Motus.) Sed quoniam non ica compla-
natae sinc Vix, quin subinde superandi sine Montes, e Colles, variaeque Asperita-
res ee Fiminentia, (ut TO, vel PO:) Quol pel acctirem Alcentum tieri nOn
pocelt: ubihoc concinsir, Directa Applicatio non ea est quae est LTOrizOnci TP
parallela; sed quae est parallela Aceliricari PO. Cum itagne praeter cractum IO
ricontalem, huic etiam catui prospiciendum fit; idque eo magis, quoniam Pon-
dus per Acclive difticilius crahitur quam per Planiciem: Commodum isitur depre-
henlum elt ut Adis anterior, deprestior lic quam Pectus Rqui; quo BD recta
(secundum quam Vis applicatur) sic parallela porius Acclivicaci TO; (saltem
uc propius ad parallelitimum accedar quam li cam alcus esfer Aris quam Pectus Lqui
FhMMHH 2
nedum

## Folio 980 — 851387705:1000
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001000.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
De Ane in Peritrochio,
nedum eo Tuperior.) Sic nique directius eo loci Vis appiiabitur, ubi plus opus est.
Virium; neque Aerahendum cancummodo, Sel ACH Dondus erit, sen L-
lerandum. Atque hoc eo maris Faciendum est, ubi per lergua  Talebras, rialque
37. Atque ad hunc etiam locum spectare porerit, uE redoaL LaLtO, CUIL GUa CICCMIM
plano incumbune Craria, E Rocinda sint, delcendenco Volrr Lolcane; Labi vero,
Cap. VII.
inaegualiter asperas, quam ubi per Planiciem crahendum est Plaustrum.
E planis terminencur: acque illa tacilius quam haec moreri.
38. Intelligatur enim O grare, dechri plano incumbens superticie sua plana AB:
luque a lui Centro Graritatis perpendicularis ad declive planum IR, ad C en-
arum Terrae P, dectiri plano occurrens supra B. Maniteltum est (ex Sche.
matis inspectu) non posse deorsum Volri O orare; nis, facto B CentrO mo-
cus, radio BO describatur peripheria, eujus lupremum punctum erie S in recta
BS ipsi PO parallela seu ad Florizoncem recta; et Centrum graritatis  Per 15
arcum concinuo ascendere; per prOD. 20. Cap. 2. FL (ascendente Centro Gravi-
cacis) ascendere ipsum grare, per prOP. 16. Cap. 4. Non isitur ob Graritatem
Volreeur cirea B punctum permanens. Labi vero potest, (lato  Centro in
recta ipsi AB parallela,) quoniam sic labendo descendet O. Ft quidem actu la-
becur, si tanta sic in ea declivitate Craritatis Vis ue superare potlic impedimen-
rum (de quo turra aliquories dictum) ex coharencia, indeque orca FrI
etione.
39. Si vero, ut in GravI P, recta d sui Centro Craricaris ad cerrxe centrum P P,
decliri plano occurrat intra B: Volvendo descendet (et quidem porius quam La-
vendo, ob vitatam trictionem.) Ouoniam peripherix Centro B, radio B P, de
scribenda, supremum punctum Serit in BS recta, ipsi P F paralleta; arcusque
SI descendens: (per prop. 20. Cap. 2.) adeoque praecipicabitur Grare P. Sal-
rem nisi decliritas plani A B, seu rectae huic parallelx a L. labente describendae,
canta Sic, ur pravitacis Vis in illa dectiritare eo excettu superet impedimenium a
Frictione orcum, uc excessus hic praepolleat Vi Graritaris in ea dectiritate quau
habet areus SD in puncto T; hoc CAt, (per PrOB. L5. Cap. 2.) quam habet Recta
arcum in L puncto contingens.
40. Si B e P coincidune; perinde est ad uerumris casum reteras. VolVetIT
autem, non Labetur; ob Frictionem Impedientem.
4F. Sin grare, ut V, Spharicum siE; (seu quod hujusinctar est;) propier idem
punctum AB, recta V P (ad horizonem recta) dectiri plano intra B semper oc
currec; led et Dectiritas Ceneri V Volrencis (proprer B V declivi plavo rectam)
eadem

## Folio 981 — 851387705:1001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
PxODIII. 5 Machinis cognatis.
eadem erit acque V Labencis. Votrendo igitur (ob sic vitatam frictionem) non
Labendo descendet.
42. Quodque Facilius moreatur V quam O; manifestum icem est. Ouoniam,
cum eadem lic Decliritas Volventis V, acque Labentis : Sicque in 9 (cum non
Doltic nili Labendo descendere) superandum Impedimentum à Prictione orcum,
sed non icem in V: Facilius morebitur (exceris paribus) V quam .
43. Sed et Cacilius quam T: Proxier Declivicatem Volventis V Ceandem uri-
que quae est decliris plani) majorem quam Volventis I.
44.. Incellisc; Nili angulus FBP; vel Rectus Lic, (coincidentibus RB;) quo
calu eadem erit Volventis F, acque Volrencis V, declivitas: vel ACutUS, (R in-
tra B cadente) quo catu major erir Decliriras Volrentis T, quam rolrentis V:
adeoque et lacilius rolretur L quam V.
1 4  t ce ot    et tt i 
pCt
 onde en t e e e  1aa 4e. el 10 ol dd e
titi 3

## Folio 982 — 851387705:1002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
blea, seu Polyspasto.
Ex Orbiculis (uno vel pluribus) apte disposiis, circa axes suos volubilibus.
quibus circumpositus Funis Laucarius pondus attrahit (seu quod tantundem
Trexo, reoxos, roxanes descendunt roxeiretor xoxaentas voxniam roxnaiu (qua
voce urieur Aristoreles i Mechanicis) ejusdem tere lignificatus omnia.
atque hinc Lacinorum Prochlea. Pappo nonvavasor dicitur a mulciplici
P ROP. L.
Si Trochlex Orbiculus singulatis sit, et loco suo sixus; Vis Funi du-
ctario applicata, Ponders seu impedimento amorendo aequalis, x
quipollet: Adeoque smebit, atque aucta morebit, minuta vero
DOra, A Orbiculo CA, etrea Centrum seu Arem C volubili, ex Uneo deven-
denci (aliasre lic tixo ut inde non amoreatur,) circumponatur P’unis ductarius
V AP, cui applicetur Vis in V, Pondus in P: Mani-
fectum elt, (nisi solratur, rumpatur, extendatur Funis,
aliudre accidar timile, quod non supponimus,) quan-
cum Funis extremum V Vicrahitur secundum directio.
nem suam, cancundem alcenturum extremum P cum
annexo Pondere, contra (uam. FF propterea (per
DrOD. 7. Cap. 2.) S aequalia sine Vis e Pondus aequi-
Dollebunt; In secus, praepallebit quod majus est. Inde
CONItALPEOPOLICM, PET PTOP. XI, 22. Cap. F.
SC FIOL ZV M.
Dtelligitur haec propolicio (ut de sequentes, quod hic moneo ne idem Caexiussie
repecendum,) pocillimuins de Virari directe dependence, uc P: Vbi leilicet Vis
e Ponccs asunEuE Vires Contata, (juxta PrOP. T2. Cap. T.) Si vero GravE
HE x, Lcut Obliquo FerchaMH LiE: Minvetur Ponderacio pro sradu declivitatis,
(juXta PrOD. F9. Cap. 2.) Aique de Pondere lic minuto procedit provotiio. Si
vero pondus P movendum Ftumi jacear, aue (ur in p) eractu horizoncali ducen-
dum (F, (ubi impedimentum ex scabricie ortum Polummodo Luperandum liE,) vel
Obex aliquis amoliendus sE, aliudre Obstaculum quod Impedimenti tancum ra-
tionem habeat, non Vis concrarix; Vi Tultenerice in V non opus erit (cum Onus
illud incelligatur vel non nici in contrarium, vel ne eo teratur aliunde lustineri: )
Ted, quo moreacur, non minus requiritur, Vis xequipollente major. Aliaque ejut.
modi sic incelligenda crunt ut in Capite praecedente.
Orbiculorum rero ulus in Proehleis adhibetur, non cum propres rationem ali.
Quam
est) compositum Instrumentum, Froctilcam appellant.
cractione. Nostri (à pait vello) Puller appellanc.
ne lustinebit quidem.

## Folio 983 — 851387705:1003
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
erop. II. eCrannu seudsatio
am pure Mathematicam, quam propter racionem Phylicam; ob corvorum (ez
briciem. Onippesi cum Orbiculi cum F’unis ductarii superticies essent tam MI2S
chematice Policx ut nulla foret ad inricem adhaelio; quin posset Funis tam ex
Dedite labi, quam Orbiculus converti: Demonstracio non minus procederet de
CA Orbiculo (aliore duro CorpOrC) permanente, quam circa C converto. C’um
vero (ut ad Cap. praeced. octensum clt) haec corporum Prictio, seu Abratio mu-
cua, impedimento sit ne expedice moreatur Funis; Crque haec major futura si in
A permanentem teret, quam si circa axem C exiguum; (ob rationes in Con per
ced. ostentas:) hinc est, quod Orbiculorum ulus sic ad mocum expedite taciendum
apprime ncilis.
Maniteltum item est, ob hujusmodi Orbiculum singularem, loco suo fixum,
(intellise, ita uc inde non amoreatur, utut inibi circa axem volratur;) led neque
ob plures sic tixos, (ut post dicetur, ec quidem ob eandem rationem;) nullam
in V virium requilicarum minurionem interri: (cum Vis eadem in P, nON MinuS
quam in V, s ponderi aequalis lic, suctincbic; si major, movebit. ) Pocest camien
ob causas alias ului esse huc Orbiculus. Ouippe fieri pocest libi Vis Flumana
(rerbisratia) applicanda lic, utq propter commodiorem corporis Grum, Hs ca
Pollic forcius exeri in V quam in F: Vel etiam, in V, non modo ris nerrorum (qua
Sola Porerit in P’applicari) sed ipsum Pondus humani corporis applicari ad con-
trarium Pondus in P Tollendum: Vel denique ob alias circumCtancias, (quae Pex
senti considerationi omnino lunt extrinteca, nec pollunt Facile numCTarL,) non
parum adjumenti poterir accedere.
Quod aurem Orbiculorum magniendinem aue parriratemm spectar; ex Scholio
propolicionis ulcimae Capicis pracedemis pecenctum C. WP) Cs HICIII
(112110
ie sin
Si Frochlea Orbiculus singularis, Ponderi conjinctus siC, _ CHH eo
craltendus; eique Elcumpositi Funis ductaru excremu alcetum
Oneo (vel alias) Arum sib, alceri vis Mocrix applicctut. sgui-
pollebit Conderi (sen impedimeneo amorendo) Vis Dimicuu (di-
recte apPlicata:) adeoque sustinebit; acque aucra Morebic; Munuta
rero ne suctincbit quidem.
NDM enim, ACcendeme Orticulo, ejutre Centro C
(una cum annexo Pondere, ) tancundent ascendac
P punctum concaetus Orbiculi l’unisque VP, acque ob
eam rationem tancundem promoreacur seerudum directio.
nem Tuam Vis motrix V: Sed de tancundem ascendat pun-
ctum contactus Orbiculi ejusdem cum tine pensili IFF
(ab F puncto fixo ad orbiculum in HL perrinseme,) de
propterea cantundem abbrevietur Funis P HI; quantum au-
Tem Funi F FI ita demitur, tancundem vertente Orbiculo
transseratur ad tunem TV, qui propierea tantundem pro.
lonsatur: Fsinc Hc, quod Ascensus puncti V, (Seu promorio Vis motricis secuu.
dum directionem tuam,) Duplus st ascentus CeniriC, ponderitre P. Ouippe
cancundem promovetur V propter alcentum puncti Y: ausle secuuca vice la-
tundem propier prolongatam PV rectam. Sed Pondells LH, aequipollet
lebic Vis Dimidia in V. Adeoque LPer PTOP. XI, 12. Cap. T. ) sustinebic, ee aucta
morebit, minura vero nequidem sultinebit.
Vis Dimidia Ascentio Dupla; Der DEOP. 5. CaP. 2. Ponderi itaque in P aequipol-
183. 11101

## Folio 984 — 851387705:1004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
984
De Trochlea, seu Polyspasto. Cap. VIII.
SCI OL FV M.
POcandum hic cA, (praeter ea quae ad FLOV. Placld. monnimus,) ubi Vim di-
N recte applicandam dicimus; quo hoc tiac, reguer (illud urique hoc loco
incellectum volumus) it lectae VY, FII, linc ipsi
tas ea concinuo rariatur. Verul ca conlideratio
nontam hujus loci est, quam ad Caput secundum spectat, ubt de otuum Obli-
C. P (directioni mobilis) parallelae. Quippe, s pa-
xallela non linc; eric, pro obliguitate diverta, alia
acque alia ratio tum cractionis lecundum rectam TV.
tum concractionis recta FIF, ad alcensum C vel P.
Ec quidem (manentibus FV Punctis per quae Fran
Seat tunis) pront altius actotlieur C vel P, Obligui
cillum a paralletilmo declinare uc pro parallelis habeantur.
quicaribus agitur. In Frochleis enim Chordxe vel parallelae esse Colent, vel tan-
lorum positione, quanta, Vis exposito Ponderi aequipolleat; quae et
auctamorebit.
Nempe; Vis ca quae est ad Pondus in reciproca ratione iltius quam
habet Virium in V Promocio ad Alcensum Ponderis in P.
HIOc CA; in Ag. 276. Vis ad Pondus, ut F2d 29 4, 8, 26, _C. (CCO-
metrice proporcionales) prouc Orbiculorum numerus cA L, 23 3,
43 eC.
In 45. 277, 278. (ubi Funis ductarius terminatur in punCOAXO, ut
M.). Vis ad Pondus, ut 5, ad 2, 4, 6, 8. etc. prout Orbiculorum
intrapolicorum (cum Ponders collendorum ) numerus CAt, X, 23
3343 etC.
2 lit 1 sict.
In E∞. 279. (ubi ductarii Funis extremum cum Pondere trahendo
connectitur ut in R,) Vis ad Pondus, uE F ad F, 3, 5, 7, _C. prouL
numerus Orbiculorum intra politorum eAt 0, 1, 2, 3, ec.
Casus
Si Frochlea Orbiculi plures sint; Calculo xestimabitur, ex Orbien-
Pila in 
176. (per prop. 2. hujus) Vis in V aequipottet esurdeu duplo in
LN A: Irem, Vis I A, BusuS aupto in B: FE Vis in B. Guldem duplo l C
vess. Llque  pere Gubreuue suerine Orbiculi. Puta, Si Vis in V aicalu
; rancundem ralebitus al et A, ret 4  et  tet 2. (.
gue

## Folio 985 — 851387705:1005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
PFODTII. De Trochlea, seu Polyeasto.
que sie porro quousque opus fueric.) Hocest, Vis in V, aequiollebic Ponderi
in P, quod ad eam tic in rationis dupla ratione cories mulciplicaca quot lunt Orbi-
culi: Nempe, inratione Dupla, Ouadrupla, Oetupla, Sedecupla, ec. PFOUEn.
merus Orbiculorum (IC, Y, 2,3, 4u ec.
Casus II (5 TII.
In Fi3. 277, 278, 270. ubi Funis Ductarius V ABC, ac. cingulos. Orbiculos
circumiens pecrinsit ad V punctum applicationis Virium: Si intellisacus Fondus
Pendere ex B (continuato tunc AB ad
Pondus P vel OP C, ibique terminato,)
Visaequipollens in V vel A ae Pondus P erit
UE F ad F, DeT PFOP. C. HujuS.
Si AB orbiculum BC l ex quo depen.
deat Pondus) circumiens figatur in D; erit
(Der PrOP. 2. hujus.) Vis in V vel A ad
Pondus P, ut F ad 2; eo quod, elerato Or-
biculo BC (cum appenso pondere,) tancun.
dem abbreriatur utraque rectarum AB, CD:
quantum aurem ucrique demitur, cantundem
per A cransic adV; uchieririum Promotio,
Dupla ascentionis Ponderis.. Idemque acci si
deret, si Funis V ABC.D, orbiculun D F.,
circumiens pertinseret ad P ibique figere,
tur; (non quidem ad Pondus quod subte oi
vandum cst, sed ad clarum aliquem seu pa-
lum tixum:) Cum enim, propier F pin- siile
ctum fixum, recta HP neuriquam abbrevias
recur, nihilque inde trantiret ad D; porr
inde est ad Vires in V vel A; Sive in F. vel
E figatur funis; sire in D.
Si vero Funis V ABCDE F continualollo
tus, cum Pondere connectatur in B (uE B
mul cum pondere punctum L eleretur:)
DEOPICE ReCtAS ErCS AB, OD, F. F, cancun 
dem abbreriatas lingulas quancum est AScen-
Tus Ponderis; omnium abbreviationes per A ad V transtaras; vel (quoa ege
recidic) Labesser orbiculus V A, ulera A procractas; erir Virium Promocio ad
Ascensum Ponderis, ut 3 ad 2: adeoque Vis ad Pondus, ut F Zd 3. (per prop. 5
CaP. 2. C est
tut
Similiter oltendetur; continuato FUNONV A BCDF FIC dd H, ibique fixo
Vim ad Pondus (propter abbreviatas quatuor rectas AB, C. D, F. F, G L1 V’esté
uc 2 ad q. EG concinuaco per T ad H, ibique cum Pondere Connexo; Wc H 25.
EE, Continuato per L. ad M:  uc X ad 6. Aeque Sic porro prout Spus erir. LP qui
dem, quories tunis extremum cum Pondere connexum elt, (ue ad LL;) uc F ad
numerum imparem; quories entra tixicur (ut ad M,) uc L ad numerum parem.
dC HOL ZV M.
TOcandum hic est; Chordas omnes seu Rectas abbrevianeas, uL AB, CD, F F
NGFI TK, LM, Sec. tanquam Parallelas habitas este. EF quanguum it
Frochleis non raro concingat, (ut in f15. 278, 279.) ut a Parallelisno nonnitus
recedant; eo quod Orbiculi inxquales elle toleant, quoniam s inricem aequales
eltent coinciderent Chordae seque inricem impedirent: cancillum camen illud elt,
ut nestisi soleat.
aut horum Cyntasma, alligatur tunis, perinde elt acti ad ctarum extra positum
figeretur:) Interiores aurem (eorumque Gyntasma) eum Pondere connexos ese,
e juxca cum illo accratii. Ab horum iiaque, non ab illorum, numero decerminatur
Virium Pocentia.
Notandum iiem, Orbiculos superiores, lel (D IIROS elle; (quique det hOS,
L21111
Lrocalea

## Folio 986 — 851387705:1006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
roclau seit Ldisposto.
Cop. VIII.
Trochlea H8. 278. tallundem ralet eum illa fig. 277. Sed ad Formam commo
ate ellalla; et quae ad praxin acthiberi (olet.
PROP. IV
Lrochlcam ita construere, ut Pondus sit ad Vim aequipollentem, in
data Mulriplorum ratione.
Fis. 238, CL daca Mulcixtorum racio a numero Dari denominetur, (ut Dupta, Ouadeu-
pla, Sexcupla, Scc.) Funis ductarii extremum remOtius, exTra FgaTIT (puta
ad Oncuu, Clarum, Palumre, auc quiddam simile:) Si a numero Impari; (uE
Tripla, Ouincupla, Scc. aurctiam Simpla: ) cum Pondere crahendo connectatur:
Toridemque adhibeantur. Orbiculi quor innuit praecedens Propolicio. PF het
quod imperatum est. Per ibidem demonstraca.
SCTTOL TV M.
DOlTint aucem Frochlex, non cantum superne et sim perpendiculari suspendi,
ri cum ad Pondera Cursum tollenda adhibentur: sed etiam ad Fractionem
Horizontalem, scu in alio quocunque liu policam; aur eriam ad amorendum Ob.
staculum achiberi. Pollunique non modo scortim, sed et conjunctim cum aliis
Fix. 258. Organis uturpari. (OI ad fig. 258. junetim cum Freata.) Poteltque horum Or-
hanorum cum singulorum scortim (Pro sua cujusque natura,) cum limul juncto-
rum, Porencia calculo altimari.
Exempli gratia. PFoPter interpOTitam Frgatam inter A e P, Facilitatur Fractio
Ponderis in P, (seu augecur valor Virium in A,) in ratione C A ad CB; puTa, uE
3 ad 2; adeoque Vis in A ut L, aequipollebit Ponderi in P uc 3. Prem, propter in-
cerpolitam Frochleam incer P ec II, (cujus Chorda abbrevianda linc, verbi gra-
ria, quatuor,) Facilitatur Porro Tractio Ponderis H, uc 4 ad 2, respectu Virium in
P; adeoque Vis in P ut T, aequipollebic Ponderi in R uc 4; seu Vis ue 3, Ponderi
UE 12. Firoo, propter ucramque interpolicam inter A e M, tacilitatur Tractio
Ponderis in n respectu Virium in A, in ratione (3x 4 = =) 12 ad F: adeoque Vis
in A ut E, aequipollebit Ponderi in A ut r2. Sed d porro, tacilitatur Ponderis 
tractio, propter Cubjectas Sertalas lire Palangas R, S, (sire Roculas habeant capiti-
bus adjunctas ut R, sive non habeant uc S,) ob minorem exinde trictionem quam
li humi craheretur: AC, in qua ratione lic taciliracur, non ita facile est hic decer-
minare; vepoce quod dependeat a rariis materiae circumstanciis Phyficis; puta, cum
Tlumi, cum Seytalarum, cum Ponderis his proxime incumbentis, Duritie, L avore,
aliisque ejusmodi, qua prour magis minulre adtuerine, plus minulre Facilitane era-
ctionem.
Acque ad eandem Formam (mutarismutandis prout cujulque Orsani natula DO
Auitac) in aliis conjunctis Orsanis Porencia calculo aestimabitur.

## Folio 987 — 851387705:1007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
De Coch
E X I N
CO N  3.
Der. I. Siin Cylinari Recti supersieie, incellixatur Recta, basi insistens c e
Quem ferri, motu aequabili: Atque interim, per lonsitudinem istius rectae
Punctum moveri, motu item aequabili: Quae a Puncto sic moto describitur
Curva, vocatur Felix (sive Spiralis) circa Crlindrum; Rectum, intel
lize.
Aneulumque quem facit haec Curva cum Base Optindri; Aneulum Tnelinationis
appellamus: Fit, quem facit cum Latere Cylinari, Angulum Obliquitatis.
Era; Si circa Cytindrum rectum ABBa, cujus batis
ABB, teratur (in superticie Cylindri) recta Aa in
Scum BB, acque SIC POrTO; (ut cum describitur Su-
verticies Cylindrica;) motu aequabili: Aeque in ea recta, sC
mota, feracur A punctum vertiis a; hoc eltus a B vertus B:
puca, ad FI; motu item aequabili: Adeoque, qua ratione cre-
Leant AB, A B, eadem crescanE BEI, BEI, ubigue: Curra
ATTFI, est Fselia Cre Spiralis circa Cplinarum; incellige
Rectum. Angulumque HIAB, vocamus Aneulum Tuctinatio
nis; ee AHIB, Aneulum Obliquitatis.
Cxlindrum autem Rectum innuimus; non quod circa Cy
lindros alios non possic deleribi Spiralis: Sed quod ea, quae
nobis hic utui est turura, illa sic qua circa Rectum delcribi-
EUE. Fc quidem, ut Crsnarus proue in Flementis detinitur.
est Clindrus Rectus, (Scalenis enim non conrenit ea detini
eio;) sic e Spiralis circa Cplinarum, Speciarim Colet intellixi
de ea qua est cirea Cylindeum Rectum.
Felia aurem sen LTelise, (EniE, enirns ab exiaro volvo,) Latine Spiratis dici se-
lec, à Spiram aocipa, acque hioe d arcipo necto:  Forsionem innuic, qualem in P’unis
bus ridemus.
TI. Cylindrum Rectum, FTelice similiter sulcatum, Cochleam appellant. Lt
quidem Cochleam Marem, seu Interiorem, si su sulcata superficies Cx
lindrica Convexa sut: Foeminam, seu exteriorem, si ConCara; LL0C est
si solidi cylindrice excavati superficies Concava su suleata fuerit.
Scitur aurem Cochlea Latine, Graece Koxnias, ob Fimacis (sic icem dicti)
aliorumque ejusmodi Festaceorum seu Conchyliorum, similicudinem. Noltri
Sorero, e Vice; Calli vis, appellant; Tcali, ite; ob Viris timilicudinem ambi-
entis Omum, uc Eledera Duereum.
Poristimum achiheri solenc Cochilea, obicibus provellendis, trangendis, auc du-
rius comprimendis, aliisquemocibus Frusione lactis. Atque in eum finem, Mas
Fcemina, hoc est Incerior Fixteriori intrudi.
Solerque forinsecus adhiberi Manubrium (aue quod hujus instas est) UE in F. r.
Batis alilque limilibus inttrumenis: Adcoque Porentia, aris in Ferirochio,
cum hac Cochlex conjungi.
280
11113

## Folio 988 — 851387705:1008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
88
De Cochlea.
Y
Ap. IX
Liacleinque, hncelligatur in elanum expandi Superticies Cylindrica,
Ret Linea Recta: (ant plures Rectx.) Idenque, qui prius crant,
manebume, cum Inclinationis; cum Obliguitatibi Aneuti.
Ommpta enim (verbi oratia  arcui AB, aequali BB, hoc est FIB; exit ( prOD-
LD ter AB ad A B, ut HB ad AIB) eriam (dividendo) ar A B ad BB, sic recta
HIB (hoc est recta HIB) 2d rellam B HI. Adcoque. (. Propier aequales angulos
EIB A, HIB A, ) Si incelligatur arcusHIB, areni A B (Timili _ aequali) applicari,
consruent; adeoque bEL sp BHI; acque hoc ubique. Et propterea HIH, ipli
AFI; pars quaeliber euilibet aeguali. Quod demonstrandum erat.
Trem; si Cexpanta in Planum superticie Cy.
lindrica) incelligatur areus ABB fg. 280. in re-
etam A BBFIg. 28T. excendi; cui applicentur, ut
prius BF, BH recta: Cum licubique, ut AB ad
AB, tic BII adBHI; adeoque ABHI, ABII, E.
milia Friansula; erit AFI EI L inca Recta: AuE
etiam, (Adillecta secundum longitudinem Cuper-
ticie Cytindrica, Secetur etiam Helix,) Rectae plu-
res. Ouod itidem demonstrandum erat,
Cumque eadem omnino sic superticies ABII
plana Hig. 28T. acque ABHI curra A8. 280. nist
quod hic in lingulis A B rectis parallelis trac Aexio;
qua Angulos HIAB, AIIB, neutiquam immutat:
Tidem qui priuserant manebune tum Inclinario-
nis, cum Obliguitatis Ansuli. Quod erat ultimo demonstrandum.
SCT7OL. TV M.
Ffectionum harum, polleriores due, etiam spiralibus cirea Cylindros Sea
 senos conveniune; auc ctiam circa solidum Prilmaticum quodvis: quod ex
demonstratione latis pacet. Nempe si incellisatur ABB, non quidem Cylindri ba-
sis circularis, sed planum EDipricum quod ad Lacus seu Axem Cstindri Rectum
sit: AuI, in Solido opovis alio Prismatico. Planum quodcunque tuerit quod ad
Axem ejus, Laculre, Rectum lic: Sicque ut A B ad AB, Sic respectire BH ad BFI,
ubique.
Sed non icem erima; qua praeterquam Circuli Peripheriae, aque huic cirea Cy
lindrum Rectum Felici, nulli ex lineis Curris convenit.
Sed neque ita incellisendum cst, quali cirea Cylindrum Rectum Helix quae libet
cuilibet consruet; (nam neque Circuli Peripheria qua libet cuilibet consruit,
sed aequalium rancum circulorum. ) ur eciam Felicum cuilibet circa cundem
Cylindrum Factarum: Sed, pars quaelibet cuilibet Flelicis ejusdem; vel etiam di-
verlarum, modo Cxtincri, cirea quos tiune, aequales bales tabeane, lieque idem In.
Clinationis Ansulus quem cum Cy lindri bale facit FTelix, acque ad casdem partes.
Ab hac autem Helicis similaricace, seu sicu unitormi, dependet Cochlearum ulus;
ut ex propotirione sequente parebit.
Helix eea Cxlincrum Rectum, est Curra Similaris, seu Dnitormis.
Incellioe; cujus pars qua libet cuilibet (aequali TumPEX) congrUAE.
P LC
EiB. 280

## Folio 989 — 851387705:1009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
De Cochlea.
Si Cochlea Lterior (quam Foeminam rocant) ita Interiori (seu Maxi
contornis sit, ut pars parti apte respondeat, (hujus Pminentiis illius
Carilatibus congruentibus, et contra;) per Tixteriorem permanen
TCM, IMLCTIOE TOTa LabCTUT; (Parcibus sequentibus in peaecedentium
Prop. II
tem propelletur lixceptet.
Dsiicaram, _ GusoeM MCL) SPeCS CDCHTCAII (SIVe IHLHOT sIVC F xrerior)
vel eciam ipla Coessealtoao e a il ( Det del. L. Cap. 4.) ex Hleicius
loca continue succedencibus: ) aucctiam super Inceriorem permanepo.
AFAit BXCCL LLOOLItIOnO prECedentC. Cum enim ( provter Cochleain Fleti
E
cirea Cylindrum rectum, adleoque linularibus, contlari: Si ita consticutae sint Cochlex
Incerior arque Fxcerior, ut illius porrio aliqua hujus correspondemi porrionisir
ConsrIaE, ut illius Emimentia hujus Caritacibus recipiantur, d Contra; Ctiam parS
alia qualiber, respectire sumpta, limiliter congruer; iotaque altera per alteram cran
sibit, (succedencibus cujulque Hetheis partibus sequentibus in ejuldem praeceden
rium loea, _c fl Nin AL, tC. 259, J. lyde eoistai proposicum ic. s L exiv. C
M
BT Orandum hic, neur Cochlearum cum tminenciae cum Caritates ila plerumque
LN tieri Coleanes quati ex Frianguli aequieruris (ut f5. 282. 1) vel Ouadrari auF 58
Talrem Parasseloeramnui rectansuli (uctis. 283.) ductu secundum Flelicem illam
cui cransverlim insiltar: nihil camen impedir, quin pro rriangulo illo Tou Paralle
logrammo quaeris alia tigura Rectilinca vel Currilinea subltieuatur; modo BC Fe
ratuIE (quod ee in illis cavendum exic) uc similem ubique licum ad Flelicen illam
retincae, quo sulcario sic ubique sui limilis.) Il
Acque etiam, quo Incerior F xceriori conveniac, illius Fminencia hujus Cavitari
bus respondere debent, (at coulta,) canquam ex limili ejuldem tigura ductu. PottriE
ca: uit alretu atriu sque Pmimenciae iea luis Cavicatibus tespondeam, non CM nécessC.
Gisp citisii
P ROP, TII.
15)F.1
Datis in Cochlea, Ambien Crlindri, cum Inelinationis Anoulo, (seu.
quod hine resultat; incerrallo, secundum Cochlea lonoitudinem
xstimato duarum ejusdem spicalis conrersionum concimie proxi-
maru; ) dc Manubrii cui Vis applicatur lonsicudine, (Teu Ambicu
quem ris peragit in ua Cochsea conversione;) Cochlex. Vis cplei
lo aestimabitur. Cin
1
et
Nempe; ut est Incernallum duarum continue proximarum, spiralis con
rertionum (secundum Cochleae lonsitudinem aestimatum) 2d AM-
bicum quem Vis applicata perasit in una Cochlea conrertione; sic
Vis illa Motrix, ad Pondus, Obicem, seu Impedimentum cui aequi-
Pollet: qua itaque aucta morebit.
Adeoque; Duo lonsius est Manubrium, atque incerrallum illuc bre.
rius, comajor eA (caeteris paribuS) Cochleae Vis.
Liiiit 3
Incelligacur

## Folio 990 — 851387705:1010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
es Caliaea.
Cap. TX.
ix. 282. Y Ncelligatur enim Cochlea CD incerior seu Mas, per exteriorem seu F aeminam
dum Vis in A applicara, una conrertione tacta, circulum Centro C deleribie, cujus
Fi8. 205. Idem limilicer oltenderetur; Sitixa Interiore Cochlea CO, pura in trabe lignea
T; converla Cochled L. AICllOr A B, interjectum quidpiam comprimeret: Seu quod
hujas intar Hc. Ldenque, auto uiel COchleas applicandi modis, pariter accom.
5C. 12OT. ZVM.
LRtixam, ope Manubrii A C. B verlando procrudi, adverlus Obltaculum lire Im
Dedimentum O; quod itaque, protrusa Cochlea, vel propelli debeat, vel (si hoc
impediatur per obltinaciam ulera politi L.) comprimi auc contrinsi. Maniteltum est
CatCLEF HIC A B; tancundem procruc Coeeam adrerlus Impedimenrum O, quan.
cum est Incerrallum P C; perreniente scilicet. D ad F, acque F. (circuitu per F
Facto) ad G, atque Gad FI, de sic porro. Si itaque Frat, ut Circuli radio C A vet
diamerro AB deleripei peripheria, ad rectam Fi C, Sic Pondus seu Impedtimentum
Adeoque aucta morebit: per prOD. TI, T2. C aV. l.
O, ad Vim in A; Vis Ponderi seu Impedimemro A quipollebit: Per PrOP. 5. C ap. 2.
Pacet hinc; Ouo lonsius est Manubrium CA, vel AB, (in parrem alceram vel
UEramque prOtraCtUM;) Iiem, Duominus est Interrallum P. C, (sive id tiat prop.
ter minorem Cylindri diametrum, tire propier minorem Inclinationis Angulum,
Sire propter utrumque;) eo tortius aget Cochlea, careris paribus.
moccavicar.
est racio difficulcatis quae est in ipso Organo movendo:) Sed liguis iltius etiam ratio
ipso Obstaculo Oamorendo, comprinendo, transendo, aliatre amoliendo: rocum.
Datum Pondus l cus clata Vin Cochlea morere.
OM in Cochlea sic construcla, Si sic, ut Peripheria Circuli A B, ad rectam FC
ita Pondus, Obex, vel impedimencum quodris darum ad datam Vim; Vis
Impedimento aequipolleat; (per prop. Praeced.) Si trat ea racio aliquanto major;
Vis praepollebit, adeoque DVebit. PeF PFOD. EE, 12. C ap. F.
Tincerim hic nulla ratio habita est Impedimenti quod ex Frictione oritur
quod tamen in Cochleis magnum esse porest; (uri nec in aliis Organis habir
nem habere relic; addendum erit illud ex Frictione Impedimentum, ei quod est in
que illud Impedimenti loco habendum erit in ratore Vis morrieis altimando.
LROC. LV.
d
Spiralis cirea Cslinarum, Lonsitudinem extribere.
Et quidem, sire Cxlindrus rectus sit, sive Scalenus; sive etiam PrOCY-
lincro substituatur Solidum quodris Prismaticum.
Scentum est, (ad prop. T. hujus,) Cueram Spiralem A FI HI, A5. 28C. eandem
eNe aIque AHEI rectam, Fg. 28F. (expansa scilicet in Plancim superticie Cy.
lindrica.) Dacur autem recta AFIHI Eg. 28c. longitudo: (urpore, cujus quadratum
aequale ele duobus timul quadratis rectarum ABB, BFI, H9. 28T. hoc eltu ABB currX,
rectaeque BH, fig. 280.) Datur isitur _ curra AHIHfis. 260. tongiudo; (ut.
Pote quae illi rectie aequalis elt.) Quod crar faciendum.
Atque idem similiter octendetur in Colindro Scaleno: Aliore Solido Prisma-
rico vel Columnari quovis, sive Rectum sic, sire Scalenum; (dummodo intelli-
satuT, ABBplanum, ejuldem Laceri Axire Rectum eAe; ip(a (que rectas BHI
BFI ip(IS AB, A B, rectis eurrisque aut mixtis proporrionales:) Per ea quae oltensa
Tunc in Schol. prop. Y. hujus.

## Folio 991 — 851387705:1011
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
De Cochlea.
eR O P. VL
Cochlex solidicarem extribere.
Ntellisatur Cyludri Cochlex inscripri superticies
Curra, in Planum ABBa Parallelogrammum expan-
di: Aeque in eo recta AIIII, eadem quae tuerat, in sy.
perticie Cylindrica, curra Spiralis, cujus ductum se.
quicur Cochlea.
Incellisatur porro, secto per Arem Cylindro, in una
aliqua Cochlex revolurione, Sectio Facta DFF; (pura
Friangularis, Ouadrata, aliare qualibet, pro expolitx
Cochlea nacura; cujus Figurx magnitudinem datam
supponimus, ejusque Cenrrum graritaris M nocum.)
Cujus itaque Batin (in latere Cylindri inscripri po-
Ticam) oblique secer, secundum Obliquiraris angulum
HIAa, sCu AHIB
Si uaque incelligatur, super ABBa planum, in recta DF, ad anoutos reclos in-
Tiltere tigura data D F. I; acque (eildem ad planum angulis retentis) super AIIFI
rectam moreri, rerento eodem Obliquitaris Angulo: Manitettum clt, Prilma de
seripeum iri cujus Basis SC ipSa D E F, Lacus aurem ipA AHIH aequale, sed AITi
cudo quanta elt recta ABB. 
Adeoque (propter Pritmata, super aequales bases, alticudinibus proporrionalia,)
tancundem erit Prisma Scalenum DL FFIII, acque Prilma Rectum DEFBB: Nempe,
quancum elt quod Fic ex D F. P plano, in alcicudinem A B B ducto.
Incelligacur demum, planum illud A BBa, in superticiem Cylindricam (uei pri
ustuerat) curracum; manence linex ABB lonsicudine: Manence item ejuldem
ad DEF planum politione perpendiculari. Onde tiet, ut recta quam prius deleripse.
rac s punctum (ipli ABB aequalem) procracta jam in arcum majoris circuli similem
ipsi ABB, longior jam tucura sIC ( DFOPEeE Curraturam) quam prius fuerat. Idemque
de arcubus qui ab aliis deseribuncur ejuldem D P. F Dunctis, quae Lunt exIa D F. rC.
etam, incellisendum exit.
EF propterea majus erit Colidum sic curracum, quam fuerat Prisina. Onantum
nempe elt, quod tic ex arcu qui ab M (iplius DE F cenrro graricatis) deleribitur, in
iplam DF. F ducto. Per PrOD. 12. C aP. 5
Cumque hoc perinde valeat, in siu ABB, acque in sim AHHI: Si incelligatur DFH
tirura plana (quam in una aliqua Cochilex circulatione facir Planum pex AXem)
in rectam duei quae aequalis sic areui circulari quem deseriberer ejuldem D F. F Cen
erum praricatis M, secundum ductum arcus ABB lacum, (circulatione una vel plu
ribus, pertectis vel impertectis prour expolicx, Cochlea Circulariones elle contire.
ric:) habebuur (quicunque tuerir Obliquiracis Angulus) Cochlex magnicudo.
EV
ovidem (cum eadem urrobique valeat demonltratio) sive Cochilea Mas tuerii sire
Faemina. Ouod erat propolicum.
Sin porro Cylindri, cui adjacee Cochlea, magnicudinem, adjungere libeat: id sa
cile tier ob noram Cylincri magnicdinem: per SO prOP. 12. C aP. 5
SC HOLZV M
tueretur aliud Colidum, ex limili ductu ejuldem D P. P plani per curram AFIH
alicer constitutam; puta, sumpris BFT, BH, non quidem in iplarum AB, AB, ra
tione, sed in harum racione duplicaca, criplicata, tubduplicata, Cuberiplicata, alia(Ve
consticuta; vel etiam per AFI II curram quamlibet. Ouippe, non modo Prismis
Scalenum urcunque Inclinatum, sed de utcunque Distorrum, aequatur Prilinati RC
ctoxque alio: (Ouod in Tractaru de Conieis sectionibus, prop. 3, 4. ostendimus:
Acque Curracura Cylindrica urobique cancundem prastac. Verum de his, aliilque
Eimilibus, lcum ad praesens negorium non spectentu) non exic hic expaliandi locus
Dem valeres, quod ad solidi magnicudinem specta, h, provera Coctlea, substi-

## Folio 992 — 851387705:1012
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
De Motibus Compositis; Acceleratus, C ap. X.
De Motibus Compositis;
iscerilti tiio  
Acceleratis
dectorum.
e R
Retardatis,
Si. Mobili in Mocu polto, accedatinora Vis, scunorus Impetus, le
cundum eandem directionom J hit Notus Acceleraris. A
Si Impedimentum, sen Vis contraria: sc Retardatio.
Ec ucrobique proratione nori iltius sire impecus, sirc impedimenti,
sou Vis concraria.
Adeoque s impedimentum. seu Vis concraria st Vi POSita minor; Per-
Cererabic Mocus ad ealdem partes, celericare minuta.
Si aequale: Nocus tolletur: aut etiam s Impedimentum praxpolleat.
Sin praepolleat. Viscontraria; ponetur etiam Motus ad partes contra-
17GB CL SisEt e
1ssi
otuia et et s. Custisit 11
E mobilis, secundum rectam N B Moris Ccleritale C, Pondus P: Adeoque
D Vis seu Impetus quo movetur V= PC: per pFoB. 27. Cap. 1. Idonique MO.
rSlIIEELISAISEHIC (BEER
CaHIEEE
eus eadem Celeritate, nifs accedat Impedimeneum, per-
Severabic; etiam ( non accedarnora caula motrix. per
prop. PF. Cap. F. (Ouippe concepto Mormi collendo.
rancundem requiritur, quantum vonendo requiroretur li
non CAet.) Rccedat autem in B nova Vis seu novus
vcsuaed unitires mris Thipeuis, secundum eandem directionem, pura uE ut:
Adeogue he Vis cota; lc Z nV= D C nD C: sper prop. 8 dc 27. Cap. 7. Cum
iiaque idem Sic, quod prius, Noti Pondus P; Fiet (dirilo F C F n Z C per D
celeritas C. J nC. Per eandem proD. 27. Cap. X. Adeoque acceleratur MocuS, in
ratione L L n2d 2.. Quod demonttrandum erat. Pademque celeritare (nisi quid
aliud intercedat) deinceps morebitule plca ad D. per prOB. LF. Cap. X. B.
Sin accecat Impecitmencum atie Vis Contraria, ven V, (quod iraque signo
nocatdum erii:) Rgeoqle Monentum seu Vis jam superstes (por prop. 8. vel
20. Cap. L. ) si  L ∞C a  C. CFT, (pEOPtEE idem, quod pruS, POn
dus F,) Celeritas e nC. Bet Prop. 33: Capi F. Mocus minuicur Ceu cretardatur;
nepoce cujus Celeritas jam sr ad priltinam, uc F = in ad r. Ouod icidem demon-
strandum crat. Bddlemqe CCleriCaS (niti quid aliud incercedat) deinceps perse.
verabit. DeF PEOB TF. Cap. Y.   1GG: M E ILLIMOBLM LIEM
Adeoque, _ n V minus sic quam V; TCu n quam L: manebit acttue mors ad
ealdem Parces, Sed celeritate minura, nempe C nC.
Si nY CIL ipEY aequale, Seu n = F: Mocuscolletur; proPter Impedimentum
Momenco aequale: adeoqueCLpCO Celericas nlla.
Rique haec quidem indisterenrer tiven  su simpliciter Impedimencum, sire sic
Vis concracha. Det Drop. LF, 12. Cap. Y.
le
StVerO n Lajus Lt quam V: (adéoque Vil n N quantitas negaciva; per
proP. 8. Cap. L.) Sicque nV siiplicicer Impedtimencum: adhuc torcius sistetur
MOtIS, (propter Impedimencitm Momenco praepollens, adleoque porens etiam Ma-
jorem Mocum AIstere:) per prOP. EL Cap. F. 1. 11 3 B1 1
Sin n F (ipSi V Prapollens JEE Cnon simplicicer Impedimencum; Sed.) Vis con-
craria: non modo tocus qui priustuerat motus colletur, led ponetur concrarius,
DeT PrOP. 12. C ap. Y. CelCTIIaLE = C, + nC; Der PTOP. 27. EjuIdem. OUX CTANE
ultimo demonstranda.
R O

## Folio 993 — 851387705:1013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
ExOP. TI. Retardatis, Co Projectorum.
PROF.
Si Vis Motricis, per Le aequabilis, continua hat applicatio; producetur
Motus continue ACcClCTaTuS.
Ft quidem ita Acceleratus, ut temporibus aequalibus xequalia concivi-
at Celericatis Inerementa: Quem Mocum rocant squaliter Aecele-
ratum.
Si Vis Impeditirae, per se aequabilis, similis sat applicatio; similis pro-
dibit Motus Retardatio. Onem Notum rocant sEqualiter Retarda-
tum.
Ftquidem hoc eousque donec totus tollatur; rel etiam (si Impectimen.
tum illud sE a Vi contraria) ponatur contrarius.
Nrelligatur enim Causa Motrix aliqua, uno Temporis momento, Mobili im.
primere gradum Celeritatis uE L. Gradus hic, nisi Fuerie Impedimento aliquo
Sublatus, etiam line nora Causa perlererabic. per prOD. FF. CaD. F. Radem vero
Causa, similiter agens, secundo item Nlomento applicata, cancundem efficiet; per
PrOV. 7. Cap. T. Adeoque (persereranti gradui primo) secundum luperaddet.
Lc Timilicer cerrio momento (duobus illis persererancibus) superaddet tertium.
Atque Sic deinceps.
Adeoque (Tumpto inirio Scriei a principio NOtuS) Celeritatum gradtus (adeo-
que et Lonsicudines ementae; per prOP. 23. Cap. L. ) EFUNE, UE F, 2, 3, 4, _c. seu
(quod in intinite exiguis tancundem ralet, per prOP. F. C ap. 5.) ut 0, F, 2, 3, 8c.
vel ctiam, uEF, 3, 5, 7, ecc. arichmetice proporcionales; leu, ut recta Friansu- F1s. 286.
lum Complentes, per det. T. Cap. 4. (Respicitur aurem illic, fisura ex paral-
selogrammis triangulo Circumseripta; justo Major: iltic, Inscripta; jucto Mi-
nor: hic, incermedia, partim Circumleripca, parrim Inseripea; iph Priansulo
T
Aig. 266.
adeoque in duplicara ratione Pemporum.
que; Alcicudine lumpra qualibet.
Aqualis: ut ad prop. 2. Cap. 5. dictum est. ) Adeoque ementa Longimdines
ab inicio Computacx, uc Friangulorum Iorum Plana quae complent illae recta:
Si rero, non ab ipso seriei initio, principium sumamus; sed ab dequilico seu Fi8. 287.
potico aliquo Celeritatis gradu; puta, si d Potico Celexitatis gractu ut C’ini-
tium sumamus; similiter ostendetur, concinuis momentis seguentibus, Cele-
ricatis gractus Futuros C F F, C = 2, C F 3, etc. Teu C F F, C. f 3, C F 5, dc
HIOc est, ue rectae in Frapezio, seu Friansulo truncato. Ouale autem lumen-
dum erit Traperium, Facile decerminabitur ex ratione quam habet Celeriras uI
rimo acquilica; ad celeritatem primo politam: quippe inde determinabitur ratio
parallelorum in craperio lacerum maximi ad minimum; eriigne Friansulum super
eorum maximo aeque altum, dd Llapectu e maxium illua ad uman 
D A A. A A A.
Fodem

## Folio 994 — 851387705:1014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
94
De Notibus Composus, adeleratis,
Cap. X.
Fodem modo ostendetur, in motu Retardato: Puta, Li, Dosico aliquo celerita.
tis gradtu quo teratur mobile, ucC, in-
celligatur Vis impedicira, in se eequabi-
lis, contiuo aulccere; qua proprerea
singulis momeneis cancundem demat
Pient celeriraris gradus concinue lequen-
LC8,
Ut C: 2, C. 2, C. 3. l. 4, _c
Para MElte alt C. = C. ==0, aibi mocus
primo policus plane absumitur.
Lccoscaus I. PBco conlnilicllit alita
tio, puta ad C.
l. = 3, C. - C. 49 Cl. DC elt,
ad0 = 290= 270 - 3,
=3, = 4, ec. LcgeC V1 IIIa
Impedicira, non Impedicira simplieiter.
_C. Teu
Supponcur utique Vim Mocicem HO HaDCTC.
Sed in contrarium Mocira: habebitur NOcuS in partes Contrarias, cum celexitatis
gradibus L, 2, 3, 4, _c. per prop. 22. Cap. L. Si vero limpliciter impediura ll,
uibi ad C. = C perrenitur, tollitur Mocus; Scd quicunque deinceps luccedar sra-
Tideratione umpecenis medu;) ubi post luperacam à Grravitare Vim lurtunt eoii
vim projectricem obcundiiu ec sentim minui, randemque collic; Led non in parres
concrariao lepellic.
dus Impedimenti, utur torrius impediae, non eamen in Contrarias. partes pellit:
Prioris instantiam habemus in Nou Grarium Tursum projectorum (Secluta con-
eientem, descence slare. Fonelorens Guallasens retert motus projectorum
(secluta Praricat aione) In Guaege Pattet; Obt Meu Mcao
Si consideretur Craritas tanquam Vis Notrix deortum, in se aequabilis,
atque continue applicata:
Delcensus Grarium (Seclusa consideratione medii resistentis, et siquid
est ejulmodi) est Mocus aequaliter AccelOratuS.
Adeoque, temporibus quibulris a principio decidentia sumptis emen-
(a Longitudines sunt in duplicata ratione Temporum.
Puta, Tumptis Temporibus, ut F, 2, 3, 4, erc. emenia lonsitudines erunt
ut horum quadrata E, 4, 9, 16, eC.
Temporibus autem inricem aequalibus, a principio continue conse-
quencibus, primo, secundo, tertio, quarto, _C. UE F, 3, 5, 7, etc. Qua-
dratorum differentiae, arithmetice provortionales.
Si vero a potito aliquo seu jam acquisito celeritatis gractu initium su-
matur; Consitudinibus jam dictis addendum erit quantum ea coleri-
cate, aequabili motu, eo tempore acquisitum foret.
Crarium rero Curtum projectorum Alcensus, est motus aequaliter RC.
cardatus:
Et Lonsicudines ibidem emensae habentur, si auserantur jam dictae
lonsitudines a longicudine qua Ccleritate prima eodem tempere to.
ret acquilila.
Eu ex praecedente. OuipDe; s InTEHSAI Care sA, suotato tulero,
d descentum e sabialem luam inchoans; momenio primo celeritatis gractum
Fig. 289. acquitirisse, ut T; Secundo, ut 2; tertio, ut 3; _ lic deincopS; (PrOpter tan-
cundem celeritatis linsulis momentis addicum: ) adeoque celeritatum gradus tem-
poribus a principio sumpris ubique proporcionales: pula uc Zempus A B, adt F em
DuS

## Folio 995 — 851387705:1015
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
PFOD. III. Retardatis, Cs Projector.
DuS AB, Sic BB (celeritatem in B) ad (celeritatem
In B) BB: ec lic ubique: Cum Ponsitudines emen-
Ia, line Celeritacum gradibus proporcionales; Crunt
omnes longicudines tempore A b cransactae, ad omnes
EFANSaCtaS LEMPOre AB; (Peu eora longicudo tranI
acta tempore AB, ad cocam transactam tempore AB;)
ut omnes rectae complences AbB criangulum, ad
omnes complentes criangulum ABB; ITOC CAt, ut Fxi-
angulum ABB ad ipsum ABB Friansulum; Adeo-
que in Lacerum Ab, A B, ratione dupliCata (PTOPEeF
tiruras similes in duplicata ratione laterum homolo-
Porum.) Ideoque li Tumantur tempora AB, Ab, eC.
NC L, 2, 3, 4, CC. crunt Triangula ABB, ABB, _C
(adeoque _ rransacta L onsicudines,) uC F, 4, 9, 16, _c
Et proxterea, quae remporibus aqualibus continue se
quentibus, Ab, bb, aec. tranLIBUMuT; ABB, bBBB
_c. uc eorum differentiae, L, 3,5, 7, dc. FF (ic ubique.
Puta, Sumpris in recta AF, F. 18. 290. Partibus AB, BC, CD, DH, CC
iplS X, 3, 5, 7, ec. propoccionalibus: aequalibus illa temporibus cran.
ligeneur.
Si vero incelligatur, Fis 289, non ab ipso mocus inicio in A, compu.
tus instituendus; sed, d celericatis gradu jam acquilito, ut bB leu BC:
rel quodrancundem erit, si non luapte cancum graritate morum con.
cipiar Grare, Sed a Vi Morrice exrrinsecus pellatur seu projiciatur.
unde Celeriraris gradum concipiarur bB, (qua itaque terretur niti
quid aliud accederet, per PrOP. TT. Cap. T.) quae deinceps ob grari
tatis impecum continue applicatum, continue (uc ditum est) aequa-
licer acceleranda (c: erunt Celeritatis pradus, lingulis iplius cempo-
eis bB momencis, uE reclae trapezium BBBB complentes, _ LDH91-
cudo per id temporis emensa, uc ipsum bBBB crapezium; quaeque
temporis illius partibus trantisuntur Lonsicudines, respectiris ila
perii partibus proportionales. Et quidem li incelligatur BBB paral.
delosrammum, sepralentare lonsitudinem emeriendam tempore b L
celeritare ubique ip( bB aequali: cxiansulum BC B reprasencabir id quod Proptet
ac
Similicer E incellisatux Crrare, in A,
Fio, 201. Turtum projectum ca Vi guX
Celeritate imprimeret ut A a; qua per-
Pererance crantisendam tempore AB
longicudinem reprasentet ABa Pa: 10
rallelogramIU. LA VeTO, PFOPICEO
Gravitatem, ut Vim contrariam, contra
renitencem; ec, propter concinuam ap.
plicationem aequalem, tancundem lin-
sulismomentis dementem; continue
minuetur: ablatis rectis a B, aB, Eri  C)
angulum a BB complentibus; reli-
Etis bB, retiduos celericatis gractus
repra sentantibus; donec randem, ita
crescentibus aB, ut Fat a B ipE A∞
aequalis, tora Vis Tursum tendens ex-
9. 291
trauriatur; adeoque in temporis puncto B detinat ACcentus. Sed, crescente porro
ob Graricacem impetu; non modo non teretur turtum, Ced incipier descendere,
(Vi deorsum jam praepollente;) de quidem lob continue crescentem impetum
aequabilicer) motu aequalicer accelerato, (ur creleunt cB, CB, rectx, criansulum
BCB complentes;) donec, tacto BBC triangulo, ipsi A a B aequali, cancundem
descenderir quancum ascenderat prius: alque adtuie ulira nisi quis Obex im.
pectiat.
g. 28G
3C

## Folio 996 — 851387705:1016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
De Mosibus Compositis, Acceleratis, Cap X.
dC 1LL FV L:
PRopolicionem haste LI Pohecice proxonimus: quoniam non inter omnes contta
ostensum ctt.
vel quanam sic Graricatis Causa, vel eriam secundum quam Regulam agaE,
(rariis rarias Graricaris TEyporheles excogitantivus.) Neque nobis hic in ani-
mo elt, illam in Physieis quaectionem determinare, in cujulcunque praejudicium.
Sed, ltance illa FEyporheli Phylica, ( quam vel rcaple veram else, vel ad veritatem
quam proxime accedere, FxPerimenta ceCtaNEUT;) Pheorema Machemarieum,
e RC
Fadem obtinent aCcelerandi et retardandi rationes, dum Fertur Crare
per rectam Inclinatam, seu in plano Inclinato; atque per rectam
ad Florizoncem Perpeclcularem: Sed celeritatibus variispro raria
Flinc sequitur; Fodent mpore per quamlibet circulo inscriptam, digt
metro Perpendiculari (In Circulo Frecto) rel perpendiculari suc-
cedanea (in circulo snelinato) conterminam, ferri Crare; quo
trem; Fandem celeaem aescendendo acquiri, et alcendendo deper-
dius in recta inelinatas acque M Perpendiculari aeque alta: Adcoque
et eundem utrobique upecum, es percustionem candem.
AM per prOP. 26. Cap. 2. Obliguscas Plani in eadem ratione minuit omni-
 um in eo delcentirum celerstares; nempe in ea quam postulat plani dectiri-
1a5: FIOc eA (Per pFOP. 25. ejuldem) celericares erunt in
decliritarum ratione, seu in seciproca rectarum xque al
tarum. Adeoque quae crant in A P B perpendiculari, uE
(3 2, 3, 4, ec. crune in inclinata AO, li haec lixillius du-
pla UCZ, 2, 2, Z, ec. A exipla; ut 3, 3, 3, 3, ecc. e simili-
ter in aliis provorcionibus.
Vel etiam, idem ab origine demonltrabitur ut in proP.
3. hujus. Nempe Ii quod in AB gravicac ut F, idem
in AO (propter obliquitarem) graritet, verbi graria,
ut Z; unde momento primo, seu tempore exisuo, aoqui-
racur celeritas uc Z: ejusdem applicatione continua tempore
secundo, acquiretur alterum Z: tortio, cerrium, ec. adco
que (Prioribus permanentibus) celeritates crunt, uc 3, Z, 2,2, 8c. eadem rarione
CUM IPES L, 2.
Alque hinc colligiur Salilai propolicio illa; Fodem tEmPOTC PerCurrI AO,
vel OB, Tubtensas quastibet circuli Diametro perpendiculari A B concerminas, quo
iplam AB diametrum. Cum enim (per ance demonstrata) celericates omnes in
A O, ad respectiras in APB, sint in reciproca ratione rectarum aque alcarum;
hOC est, uE A P ad AO; hoc cst (propter similia criangula) ut AO ad AB, (Lon-
sicudines transactae ad invicem: ) eodem tempore percurrentur AO, AB. Idem-
que similicer ottendetur de OB, Teu huic paraltela, (adeoque aequali et paricer in.
elinata) AB.
Ouodque de A B perpendiculo in circulo erecto octentum clt; similiter obtinet
de AB perpendiculi succedanco, in circulo inclinato: propter omnes in eodem
Plano descentus in cadem rarione impeditos. Per PTOP. 26. C ap. 2.
Cumque (ut jam ostensum cst) celericates in AO, ad respectirae in AB, CnE
ubique proportionales; linique eodem rempore percur(X AO, AB; erit celeritas
in O (lati per AO,) ad celericatem in B (lati Der AB,) ut AO, ad AB. Sec
e ita est celeritas in P ad eaudem cetericacem in B (laci per A PV. ) Nam l per
DCOP.
decliritate.
pex illam Diametrum.
Bc

## Folio 997 — 851387705:1017
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
e
LAbp. V.
Retardatis, Cs Proectorum.
PrOD. 2, 3. HujuS,) cransactx longicudines sune in duplicata rarione temporum
adleoque e celerirarum, utpore quae sune remporibus a principio Cumpris provos
tionales. Adeoque Celericacis in P, ad celeritarem in B, in lubduplicata ratione
AP ad AB; HOc est, (PTODEET A P, AO, AB, concinue proportionales,) ut AO
ad A B. Fadem igitur elt celeritas in O, quae in P. (Idemque similiter obtineret
ob rationem modo dictam, si fuerie APO planum inclinatum, et A P perpendi-
culs succedanemm.) Adeoque de Impecus verobique aequalis (cum idem sC uErO-
Bigle cum Pondus cum Celericas;) e aequalis Ictus Peu PercuAIO: uc in C’aptie de
Vercultione octendetur.
Ouxgue de Descentuum Accelorationibus, hie ostensa sune: eadem similicer de
ACcentuum Recardarionibus ostendencis. Duippe Obliquiras Plani eadem ratione
Alcentum adjurat Gua H ACCHC L  (tD. 27. Cap, 5
Adeoque luplo CCMAPOTIbIIS, UE 29 2, 3,4u etc. Tongiludies tranlacl
erune, uE 1, 8, 27,64, _c. numett Cubi.
Si Celeritates sint in Temporum ratione Triplicata; Ouadruplicata.
ec. Fonsitudines emensae, erunt in Temporum ratione Ouadru
plicata, Omincuplicata, etc. Una semper rice plus mulciplicata,
quan Leleritates.
Adeoque, Tumpris cemporibus ut 2, 2, 3, 4, Xcc. longitudines crunt, uE
E, 26, 82, 256, ec. numeri Biquadraci: rel uE 1, 32, 243, 5024, etc
numeri suversolidi. BFHC deinceps.
Tonsicudinesque continuis cemporibus egualibustransacta, uc illorum
Cuborum, Biguacratorum, Superlolidorum, etc. difterentix.
RNcMBatur enim, Mom ab a inchonto, in Fem.
a pOcto A b Bmomentis B, B, Ccleritaces esse in du-
plicata ratione rectarum AB, AB; hoc CA, Et ipta-
rum Ab, AB, Ouadrata: Puca, Ut recta bB, BB
complences ABB complementum Semipatabola. F.
runc icaque Longicudines remporibus AB, AB, emen-
(a, (per modo demonstrata ad prOD. 2. hujus, ) uc
ipsa Complemenci plana ABB, ABB; hoC ett (prOP
ter crilinea ABB, ABB, siberipla ParallelOSFam.
OruI ABB, ABB, Per prOP. 6. Cap. 5.) uxipsa
A
ABB, ABB, rectangula seu parallelogramma. Sunt aurem, proprer alcimidines
iplis AB, AB, vel aquales vel lalcem proporrionales; balesque bB, BB, in exrun
demratione duplicara; Parallelogramma ipla (vrpore in ratione ex Batium ee AL.
ticudinum rationibus composica) crunc in carundem ratione Priplicata
Fc propcerea, sumpcis ab iniso temporibus AB, AB, dec. UEP, 2, 3,4, c. SC.
spectire Celericates erunt, ut E, 4, D, 70, etc. et lonsiudines ab inicio cransactae, ue
E, 8, 27, 64, ec. Adeoque, remporibus aequalibus, concinue a principio sumpris, i,
7 F03 CC. Cuborum differentia.
Similiter oltendetur; sumpro Complemento Paraboloeidis Cxbicalis  gus
rectae BB, BB, sunt in rectarut AB, AB, facione Priplicata:) Loneicudines emen-
as (crilineis AbB, A BB proporrionalco, ) elle in earundem racione Quadruxti.
rata.
Acque Sc deinceps, pro pocellaribus aliis, si lumantur Parabolocides respective
contormes. Conttat ilaqué propolicum.
Siu in Motu continue Accelerato, Celeritates (ab initio computandxe
i lemporum rattoe Lriplicata.
sine in demporum ratione Duplaata: Lonstl a clust
I K R. H B
Fig. 293

## Folio 998 — 851387705:1018
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
De Motibus Compositis, Acceleralts,
CapX
puta secundum duas rectas politione catas, angulum facientes; Cc-
lexitatibus in se aequalibus, ad invicem vero eildem rectis, ut pa-
pllelootammi lateribus lonsitudm datis, proportionalibus: Fere.
ue Mobile per Parallelogrammi alasoum, ca celeritate quae sit
addatas, ut diagonium illud ad respectira latera.
motu ex obus composito qui directiones habeant sccundum Paral-
lelogrammi latera, et celeritates sps proportionales; sire Notu
simplici, secundum ejusdem ciagontum, et celeritare proportionali.
dem celeritate feretur.
Suppen utrovis modo, coce lempore, pex eundem tramitem, ca
Idemque Motui ex pliribus componto accommodabitur; sire Dire-
Poceltqueidem popea es lio moctis componi.
RECIIISatuE A NTobiles Ob eauram aliguam Mocricetm, Impenum concipere secun-
dum Dircetionem A e aliunmgue, ob caulam aliam Mocricem, secundum Di-
ada
 s rectionem AB. 3, Uque illius Celeritas
danisd l
ad Celeriratem hujus, ue A a recta ad
rectam AB. FF compleatur varalelo.
Srammum, cujus Diagonium lic AB.
Maniteltum est, quo Tempore A se
cundum dircetionem Ra, teraeur ad re-
MHIHIIEH hI ctain aB, eodem terri secundin dire.
 sicctionem XB, ad rectam BB; adeoque
Fore in puncto B. (Et sic ubique.) FF
Propter candem ubique celeritatum ra
tionem, adeoque eandem ubique ratio.
simplict secundum directionem, AB CCtate AB; sive mocu compolito, secun-
inouls variacorum, coridem Mocuum Compoliciones innuencium, quarum singulis
(per jam demonstrara) idem Mocus simplex: Manilestum est eundem
posse Mocum intinitis modis componi. Ouod
etiam ulterius patebic, ex calibus sequentibus
Intellisatur deinde, idem A mobile, ob
totidem Caulas Morrices, secundum tres in
eodem Plano Directiones A a AB, AC; cc
leritatibus iplis Aa, AB, AC, provortiona
libus. Ostendetur, uc prius, mocum ex duo-
bus illis sccundum Aa et AB compoticum:
cancundem esse atquemotum simplicem se-
cundum aB celeritate AB. Sed e similiter
ostende
Simobile, ob duas caulas Mocrices, duos concipiat directos impetus;
Rdeoque cantundem est, lationem quod spectat, sire feratur Mobile
ationes habeant in eodem plano omnos, sire secus.
3 Str i. 78F
nem lacerum Aa, AB, et communem Bucetionum Angulum A; timilia Fore in-
ter se omnia AB parallelosramma. Et propterea in eadem recta tore omnia B pun-
cta. Caltrique eodem tempore per Ab lccam feratur A mobile; quo simul Ferri
incelligatur cum secundum dircetione u, Ceteritate Aa; cum secundum dire.
ctionem AB, celerirate A B: Celeritas moluo per AB; ad celerirates illas respectire
Tumpeas; eru ut recta AB (diasonium) ad ip (aS A a, AB, rectasu latera paral.
selosranmi. Adeoque tantundem exir, lationem quod spectat, sire feratur mocu
dum directionem Aqceleritate Aa, acque secundum directionem AB celeritate
ferece Mobile ab, A ad B.
AB, timul. Duippe eodem rempore eadem celexicate, acque in eodem camie;
Cunque eadem a B, recta postit elle Dinconium Paralletoerammorum intiniuis
xequipe

## Folio 999 — 851387705:1019
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
l
ostendetur, motum compolicum ex hoc (duobus aequipollence) alque ex eo secun-
dum AC celeritate AC, tancundem esse acque simplicem pel Diagonium Ay cele.
ritate A V. Frso, qui ex cribusillis per Aa, AB, AC, (cum suis respectire Ce-
lericatibus,) componiur; aequipollet simplici per A7 Celexitate A y.
illae Directiones Aa, AB, AC, non in eodem
plano omnes, sed in diverlis; puca, ut cria ejus-
dem Parallelepipedi Latera communi puncto an.
Sulari cocuntia, (quo Calu A7 eric Parallelepi-
Dedi Diasonium;) aut ctiam, Si plures adtue
tuerine Directiones, urcunque ab eodem A com-
muni puncto prodeunres, secundum quas ANIO.
bile feracur. Conttat Iaque propOlitum.
lrop. rII. acutau, eroscuorum.
Idets similuer oltenactur, li intelliganc ces
dC HLDL LO M.
VX de NOribuS per A a AB, AC, aequabilibIS OTECHIA LHHC; LIIIIVer Ollen-
aurem si distimilier.
115. C. le 1eeu e
derencur lieltene illi omnes similiter Aecelerari ret similicer Recardari; non
ROP. YII.
113
Si Mots AquaIS, cum Accelerato vel Retardato componatur; vel
Mocus Accelerari aut Recardari, sed distsimiliter, componantur: A-
lia atque alia linearum species emerset, per quam seretur Mobile,
pro varia compositionum ratione.
Exempli Gratia. Si Nocus Aquabilis, cum squaliter (seu in ratione
Temporum) Accelerato componatur; (adeoque motus acceleratus
in duplicata ratione motus aequabilis:) Latio erit in Curra Par2bA
lica: Et (h Mocuum Directiones sint ad inricem rectae) lonsitudi-
nes emensa, crunt ut respectira plana Frperbolica, Currae et con-
jugato Axi interjecta. 1
Si Mocus squabilis componatur cum Accclerato in temporum ratione
Duplicata (ut hic sit ad illum in rarione Friplicata:) Lacio erit in
Curra Parabolocidis Cubicalis: Et Longicudines emenla, AE rC-
spectirae ittius curra parciculae, seu spatia plana iplis proporcio.
nalia.
Si Mocus Aqualiter Acceleratus (seu acceleratus inratione Temporum)
hoc est, qui sit in Duplicata ratione temporum, cum motu qui sC
in Temporum ratione Priplicata (Pou accelerato in temporum ra-
tione Duplicara,) componatur: Lacio erit in Curra Parabolocidis
SemiCubicalis: FF (sMocuum Directiones sint ad invicem rectXe)
Congicudines enienta, ut respectira spatia Parabolica, Axi et Cui-
ra inlessella.
Simileque in aliis casibus Caleulo decerminabitur.
1
5.1 11

## Folio 1000 — 851387705:1020
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
De Motibus Compositis, Acceleratis,
C
. L2.
Acelligatur AT T recta, secundum quam, Vi aliqua Morrice, Boa 
mobile, Mocu Aquabili; adeoque, Cuimpris temporibus VCL, 27
tae tonsitudin
1000
FB. 29
298.
ecc. emen
DET PrOP. 26. C aP. 2.
A F, AF, ecc. Ct  Ul L9 23 5347 eu
Acque intelligatur idem Mobile, alia Vi Morrice, impelliu secundum dire.
ctionem AD, mocu aequaliter accelerato; adeoque, sumpris temporibus uE 2, 23
24 ec. ementae lonxicudines AD, AD, Scc. erunt uc 2, 4, 9, 16, ec. corum qua-
drata. Per prOP. 2, 3. hujus.
Si itaque; dum, motu illo, Fertur A mobile, Lonsitudine AF; hoc est, ab
A D ad huic parallelam YO; Feratur, motu hoc, lonsicudine AD; hoc est, ab
A F ad DO; e sic ubique: Frunt ubique A D, AD; hoc est, FO, FO; i
rectarum A F, A. Y; hoc est, DO, DO; ratione duplicata. Adeoque (propter
nacuram Parabola) quae, per omnia O, O, puncta, cransir Curra, (qua elt La
rionis via, urpore in qua mobile semper eric,) cAt Parabola. Ouod demon-
Strandum erat.
Acque hoc perinde obtinet sive ad angulum rectum coeane in A rectX A Y
AD, (utubi A elt vertex AXiS,) sire ad alium quemvis (ut ubi A verrex elt
cujueris alterius diametri: ) Rt quicunque fuerie ucrobique Celeritatis gradus;
hoc elt, quodcunque habeat Parabola illa Lacus Rectum. Onippe semper erune
FO, FO, rectae, in rectarum A F, A T, ratione duplicata; ob naturam Pa-
rabola.
Si verO A GE Vextex AXis, erunt loncirmdines A O, AO, per quas tertur mo-
bile; Spatiis Fyperbolicis, Curra et Conjugaro Axi interjectis, relpectire sumptis
proporrionales. Per ea quae alibin in Practaru De Curvarum tvduisci, demon-
trarimus; ubi de Parabolae Eoduvoci agitur.
Fis. 297 Similicer; politis A P, A P, (pro motu aequabili) in racione Temporum; et
(promotu accelerato in Duplicara rarione Temporum) AD, AD, in carundem
ratione Friplicata, (per Prov. 5. Bujus:) Ostendetur, curram AOO Fore Para-
bolocidem Cuhicalem: PrOpter TO, FO, hoc elt AD, AD, in rectarum AT,
A L, hoc est DO, DO, ratione Priplicata. Quod icidem demonstrandum erat.
Et Currae parciculis AO, AO, plana proporcionalia extibentur, per ea qux
generalicer oltendimus in Schol. DroV. 38. Prithmeticae Insinitorum.
demque aliis Accelerationum speciebus accommodabitus, sumpris Paraboloeidi-
bus aliis, prout res postulaverit.
Incelligantur demum rectae A T, A T, non inipta Temporum ratione, sed (pro
mocu aequaliter acceleratO, Pex prOP. 2. hujus) in Temporum ratione Duplicata;
adeoque Tempora in carundem ratione Subduplicara: Trem rectae AD, AD
(promocu acceleraco in Duplicara ratione temporum) in cemporum ratione Tri
plicata, (Per PrOP. 5. tujus;) adeoque in rectarum A T, A T, racione Subdu-
plicatae. Priplicata. FrIE (propter iltius parabolocidis naturam) CurVa AOO.
parabolocides quam Semi cubicalem appello; cujus Index seu ExponenS FIE Z. (PUca,
in qua rectae AD, AD, hoc ClL, FO, FO; sint in rectarum AI, A T, hoc
est DO, DO, ratione Subduplicate. Priplicata.) Per illam itaque Curram te
recur Mobile, quod Motu ex sic acceleratis compolico Fertur. Quod item erat
demonstrandum.
TiuS auteM CHEVX Partes AO, AO, spatiis Parabolicis proportionales este
demonstratum est in Practatu modo memorato, de Curvarum Fuduvoc, ubi de Cur-
va Semiparaboloeidis Cabiealis axicur, cui aequalem rectam exhibemus.
Fodem

## Folio 1001 — 851387705:1021
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
PTOP. VHIT. Retarcaio, etoorum.
1002
Fodem modo de aliis Nocuum Compolicionibus judicandum erit (mutatis mu-
candis) Curra Sic potira uc Calculus indicaverit.
PRO P. VIII.
Mocus Projectorum (exclula consideratione resistentis Medii) est in
curra Parabolica.
Intellipe; Nisi hac Projectio illa rel directe Sursum, vel directe De-
ortum: Duo casu motus erit in linea Recta; Surlum, Retardatus;
Deorlum, AcceleratuS.
FguituT Ex praecedente. Elto enim Vis a Projectore imprectâ, secundum dire.
Octionem ATT; Mobile impellens Nocu, siquabili, adeoque eadem ubique F15. 297.
CcleritatO: PET DTOP. TF. Cap. I. Incerea dum Graritas motum imprimie deor-
sum, puta sccundum directionem AD D, aequaliver acceleratum: Der PrOP. 3. hu-
jus. Adeoque, qui ex utiisque componii ell per AD D Curram Parabolicam:
DET praeccdentem.
Sin Tieri incellicatur projectio directe sursum, vel directe deortum: des enera-
bic Parabola in lineam Rectam; (propter projectionis morum, et motum gravi.
racionis, in eadem recta;) in qua tiet motus vel Recardatus Turlum, vel Aecolera
tusdeortum; de quibus supra dictum ett.
SC10 F FB M
icirit eit le
DeBECLA 23 ie C3CEIV
s C BEcSEM
DC LOCClanE mOtuS projeclorum ex Bombareis, arcubus, Balictis, aliiqué Ma-
L  chinis projicientibus, aut ex projicientis manu, altave Vi qualibet, libi pro-
seela CTraria, polequam a projicience separantur, impresso Impetu feruncur.
Dico aurem, eactuisa consideratione resistentis medii: Juoniam, ob hanc ref.
Stentiam, Motus secundum directionem projicientis, qui supponicur Aquabilis
revera minuitur, ex sensim exringnitur ob continnam cum medis relultenve luctam:
e proxterea sentim deticit a linea Parabolicd.
Acque hinc Cuc, quod Globuliex Bombarais, in majori distancia minus Feriune.
Si enim, revera, caciem celeritate procederet lacio secundum rectam N F, (quie
quid sic de motu descensus, secundum AD,) cadem riolentia teriret objectum Nu
rum (cui AT recta (It) sire lonsius, sire in propinquo politum: (DeT PTOP. 2 L.
Cap. F. ) concra quam experienria compercum elt.
ees E mncter 
ii
  crILquI
A : FEISSIIBCSI
1152
 saveres ces ctroleca
iesvil
HoM dos
mscl se
tocest 13
d.
il
0l
TTTIIPou- ollogu.
PrEC   S. S  S.Set BOMP
LIIL 3i
d setl.

## Folio 1002 — 851387705:1022
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
1002
De
Percussione
X
pertecte Durum sc; Sicque Vis Crari sic moro aequipollens, Minor
quam est VisbicacunCl Lctulentis, rel eriam ips aequalis: Mo
cus SictetuT.
Sin MIAIOTFACTIE: COnLIMUatIEMOtuS, Superato ObicO; Sed ca ratione
carclatus seu diminutus, quam exisit Obicis resiltentia; quam C’al-
culus indicabit.
Nempe, Si ex Momento (quod ex Pondere ex Ccleritate componitur)
tantundem auteratur quancum Obici amoliendo aequixolleat; resi-
duunque, si quod s el Londus diridi incellisatur: prodibit era-
Si Crare motum, tanquam perfecte Durum consideretur; atque in
Obicem sire ObRaculum firmum directe impinoat, quod icidem
auo Celeritatis milt.
1
leae Momentum leu Vis mrP C, per PTOP. 27. Cap. T. Aeque Obctaculum
es B cui directe impinsit, im reliltendi habeat uE n SP C.
Si Minor lit mr PC, quam nSFC; praepolle.
Dic Impedimeneum: Sin Aqualis; lairem x-
quipollebic impedimentum: F.F NOLIS vErO.
que calu sistetur. (Prir urique, li aequales lint,
MrC =nsPC =mFO mrTC = OPC.
ris nulla: Si Impedimencum prapolleat, pro
impedimenio reputanau clt.) Per PTOP. 1O, TT, C aP. 2.
Sin Masor Sic mr Z C, GuamnsF C; praepollebir Vis; adeoque superabitur Tmpe.
dimencum; Mocusque concinuabitur, sed Diminutus. Per PFOP, XO, ZT. C aP. L.
Ouancus autem deinceps Fururus sic Mocus, e quanta Celeritas; C’alculo lic
collisitur. Vis praepollens, mrzC; una cum Impedimento contrario, nSPC; tan-
tundem ralet acque Vis mrPC =nSF C, DE PFOP. T0. Cap. T. (Absumitur utique
in Obice rumpendo, prostrando, seu urcunque amoliendo, cancundem Virium seu
Momenci, quancum Ohicis Pirmitari seu relistendi Vi aequipolleat: reliquumque,
si quod elt, Ponderi utira terendo impenditur.) Fstque Graris Mori pondus
idem quod prius) mP: ErgO CelexITAS FUTUTA (UE GuX OTIUE ex Momento
per Pondus divito) -ns
M
Ci Der PrOP. 27. Cap. F.
SC HOL ZV AI.
DEsseete Durum, axt, quod jetui nequaquam cedic; Adeoque nec Molle,
IStoCraris Moti A, perfecte Duri, Pondus m P, Celeritasr C, cui aequipol.
Cera Flumbum, aliaque lma qua ietu detormantur; aur etiam Corpora Fluida.
Obi enum hOC COHCB, Tacu pars aliqua in detormando C’orpore absumitur,
mec tora in Obltaculum impendirur: Cujus iraque scorsim est habenda ratio.
Flasticum
nec F lalticum.
Molle, appello, quod ictui ita cedie ue pristinam siguram aictat: VF Lurum,

## Folio 1003 — 851387705:1023
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
P.
De Percussione.
FOrIAM LUOPEE MaxEC FCILIEIIE: UE Lune L lateres Chalyber, Lignei, aut cujus
cunque materixe; (nostrares Sprines appellant;) e Corpora illiusmodi quae presta
retursun, auc quocunque modo d licu debiro decorra rim habent semet rectiru
endi. Oua de re Dost asetur Cap. 13. ubi de Resilitione agetur.
Ada CtIam hIC POTeTIL, IL HON Ca LLaSH IC au FTTabIC COrpIS MOcm u
ictu Frangatur. Ouippe cum Virium pars aliqua trangendo Corpore absumitur.
Eademque, quam hic supponimus, Durities, etiam in provolicienus seguet
tus intelligenda elt. Quod hic monicum esto, ne opus st laepius id repetere.
Sin objiciat quis (quod de Forraste verum est) ejusmodi corpus nullunt elle
ouod nihil habeat vel Molliciei vel Flasticitaris; neque tam tirmum aliquod Ob-
tlaculum quod ictu vel lerissimo non aliquanculum locomoreatur; quali Laxilli
quancumvis exisuiictu, modica Vi jacti, Alpina rupes logo nonnihil dimovere.
cur, aut eriam quae huic conjuncta est, ipta Telluris moles; utur cancillum id su
ut senlu percipi nequeat. Ioc neuriquam obest praesenci negorio. Ouorcunque
enim tuerint hujusmodi accidentia in complexo subjecto; id nihil impedie, qu’in
abstractione mentis separari poltine; atque haec qua prae manibus est contideratio,
quali ea non essent, tractari; eaque, si ranci sint ut nesligi non debeant, scorsum
considerari poterunt.
Directe impingere, hic dicimus, cum recta SCCHHCLI GNAIE HISDECH, Pet _IOI
Corporis Cencrum Graricatis ex punctum Conractus ducta, EE, Superticiei corporis
in quod impinsitur, perpendicularis: aut etiam, si non in puncto, sed linea vel
superticie se tangane mucuo, cum recta illa sic huie communi Teu linexe Peu Cuper
siciei perpendicularis. Si autem Oblique vel Indirecte inspingat; lire ideo Frat
quod recta secuindum quam noretur, per Cencrum gravitaris transiens, ad pun.
etum ractus non percinsar; sire quod, qua sic percingit, Superticiei corporis in
quod impingitur non lit perpendicularis; aarocanda hic erunt in considerario.
nem qua supra de Mocuuim, obliquicare iraduntur Capice 
Flasticum appello, quod, uur ictui aliquantisper cedat, se tamen in pristinam
Si Craremocum Crari Cuiescenci directe impinsat, sed ita consti-
tucu ut aliunde ne moreatur non impediacus. uluse junctim
morebitur, ca celeritare quam Calculus (Ponderum rationibus et
prictina Celeritate rite computatis) indicabit..
Nempe; S Momentum (ex Mori Craris Pondere et Ccleritate com-
Dositum) perurriusque simul Pondus diridatur; habebitur futura Cc.
leritas.
Seu (quod eodem recidic) ut simut veriusque Pondus, ad Pondus prius
moti; sic pristina Celeritas, ad post futuram.
Dc quidem, si Ouiescens Moto sic pondere aequale, sereneur deiticets
celeritate dimidia.)
Duae quidem Cetericas fucura, in ueriulris Pondus dieta, exhibebie
itius momentum polt sucurum.
ISco A Crave mocum, secundum re-
LEtam A A ipLiuS Contro praricatis de
Scriptam, quae ad Ouielecheis B (eui di-
recte impinsat) Cenerum Ccraritatis per-
tinoat; (nam de hoc requirimus quo cira-
ria jemetim morenda dieantur directe im.
pinsere.) Sicque Craris A, pondus m P.
celeriras rC, adeoque Mometitum seu Vis impellens mrt c. FE Graris B, porta
ne, (celeritasus urpore quiesrentis, nulla in ucramris partem;) Adcoq  
ulque vondus m P F _ P.Morenda autem deinceps erunt utraque eadem cele.
riace. Duixpe B segnius morori non poreritu propter insequens A: Sed neque
L. T1II
ceterMIS

## Folio 1004 — 851387705:1024
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
De Percussata.
Lid. L1.
celerius; cum non moveri aliunde incellisatur quam quod ab A sequente propel-
latur: (Pr siquod aliud accedar quod celerius propellar; ut Vis Flaltica, de qua
alibi dicetur, aue aliud quidpiam; id non est hujus considerationis, sed alterius
Loci.) Cum itaque Vi nreC, morendum Cic Pondus mP InP; id tiet celeritate
m =  YC: (diviso seilicet Momenco mrX C, per Pondus m P + n P:) Der
PrOP. 27. Cap. F. Ouod erac propotirum. (Ft quidem s pondera sine sequalia,
hoc est m =n, erit YC. = Er C, UE, Patet. ) siet trgiC
Momenum ilaque Ponderis nX, prius, quiecenris, jani mori celericace
rC, erit
MPC Teu L mizC; Ponderisque mP, prius moti cele.
ricare r C, jam vero cetericace
mrz C. Adeoque momen.
cum hinc demprum (srari prius quiescenti collatum) elt mrsl
mn
m tn
PC
SC HOL ZV M
FANICICU HIC CC CA QuOV CUsVIS exisui Gravis impulsu, etiam
maximo cuiris quiescenci, mocum interri posse; Oui etiam ex sequentibus
pacebic, etiam maximi Crrarismotum, cujulvis exigui objectu, quadantenus impe-
diri posse seu rerardari; vel etiam hujulmodi accellu, quadantenus accelerari.
Verum hoe tancillum elle porest, uc omnem sentuum perceptionem Fusiat: adeo-
que neslisi soleat. Onde tc, ur pro absolute quiescentibus reputentur aut immo-
bilibus, quae, si secundum Machematicum rigorem xstimanda torene, dicenda For-
Tan elene aliguantillum moveri. Daro enim, quod tota Telluris moles Auido i-
chere Cuspenta, cum taltu pulicis perculla licy dicenda esser loco suo cantillum di-
moreri; aut etiam transtaro de Loco in loeum, (quod (xpe tc) acerro laris graris
Tellurem totam, proprer mutatum Centrum CTraritatis, similiter mutare sedem
(quod quidni tieri possic haud tacile, dixeris; neduin, ubi majores terrenae molis
concultiones seu mutationes contingunt:) Cum tamen haec tantilla sine ut sentum
omnem tuoiane: minime mirandum est, si hisce non obstantibus, immota cen-
TCaLIE. Prasertim cum ipsa Aeris Are Denlitas Bre Craricas (nrue Tensui non
plane impercexcibilis) negligi non raro solear in mocibus astimandis.
 L1EEet Gyp
Nempe: mmulueriusque Momencum, per simul uerius que Pondus di-
ridatur; habebitur communis utriu sque futura Celeritas.
(Et quidem, si pondera sint aequalia; erit semi summa utriusque Cele-
LllatId.)
Eaque Celeritas futura, in utriuris pondus ducta, extribet ejusdem
momentum post Futurum.
cullo exquiretur
Si Crave sublequens, segnius secundum candem rectam praecedenti.
directe impineac: ueriusque deinceps eadem exit celeritas; qua cal.
Crare A, Segnius praecedenet 
nam ( B cadent Celeritate praecederet
sublequens sa non illud esser assecu.
curum; nedum A velocius Fugiat B
quam insequatuE A;) LIque CraVIS
A, POn
directe impinsat: (segnius dico
1004

## Folio 1005 — 851387705:1025
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
P.
De Percussione.
A, PonduS mL, CeletIao e alcogE HOenCUM Mr Z C; Graris B PonANS
nZ, Celeritas (minor) se au moencumnsPC; Adeoque simul ucriul-
C: per prOB. 27. Cap F.
1005
que Momentum mr P C. + n sl C.: Biritohoc Det Auan Loerum m P + nZ;
habebicur communis urriusque fucura Celericas
(Ecquidem si pondera sint aequalia; hoc ett, m =n; OTI
Ouod Crat prOpOTiCuM.
Tdeoque, praecedentis nP momentum, quod prius Fuerat n sP C., jam fit
mr. +nS  PC; e sublequenris m P momencum, quod fuerat mr P C, jam fic
M + 2
M r + n S
m P C. Adteoque Momentum hinc demprum, et reliquo collacum, est
M + n C. 
nI ZC. -
bd C
etnd
LC
n.
m.
B. F n
mr-ms
Mn
 CSIC SCI 8ISdid
mn D CI
n
Si duo Graria, lecundum candem rCCTAM, CONETATHS mOtIbUS OCCUPTeN
tia, sibi mucuo directe impinsant: Caciu  Cetaleus atque
ad eas partes ferentur; quas calculus indicabit.
Nempe; Si Momentorum Difterentia, (quoniam ad contrarias Partes)
per Summam Ponderum diridatur; habebitur communis ueriulque
Celeritas polt futura; e quidem ad eas partes ad quas cendebat Vis
praepollens.
Ft quidem, s Pondera lint aequalia; erit Celeritatum semi ditterentia.
Sin aequipolleant contraria Momenta, (propeer aequalia inricem cum
Pondera, tum Celeritates; aut has illis reciproce proportionales:)
ad neutras partes Ferentur: Ccd quiescent utraque.
Fucura autem celeritas, in utriulris pondus ducta, exhibet ejusdem
momentum pott fucurum.
FIECravis A, Pondus m P, Celeriras L rC, adeoque Momentum L mr P C.
DCportum: ) cui occurcat moru directe conratio crave B, cujus pondus n P,
Fi9. 302.
seleritae = 5C, adeoque HCenTM = n SX C (FCLTOLIBI. )d uiriulque lmiE
Momentum (Teu MOENCOTM, BOLE ad CONCTaTIAS Partes, Differenta, ) Mr L C
8. Cap. T.) Hoc itaque per lumma pondetum m L Fn L dirilum; extibet eout
munem veriusque celeritatem deinceps futuram, mr ns
m. n C CDrONSuM Vel FCtOT.
tum, prour signum F aut = praeralueric:) Der PrOP. 27. Cap. L. (Adeoque, Si
Pondera sine aequalia; exie, Proprex m = n, celexicas   C: Si vecorum m n
cum r=5; velm, n iplisr, s, reciproce proportionales: quo hat mr=ns: nulla
Fucura exic in utramris partem ceteritas; led se muruo sistent aequales rires contra-
rix.) Quoderat propoticum.
L. IIIII 3
Edeogue
=nsF C, (prorsum vel recrorlum, prout signum L rel- praeraluerit; per prop.

## Folio 1006 — 851387705:1026
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
1006
De Percussione.
Cap XI.
mr-n5
2C:
Edeogue Craris A momencum, quod prius tuerac mrxci jum sc mt.
r = n.
et ato B momentum, quole sua =  s PC, jam fii
Adeoque momencuus ex prapossenle demprum es in reliquum collacum, est
mr + ms
M  1
PC.
MnPC.
n+
t
Mrnd
C
DC
 + n.
M
ec
nrzC.-
Ictus magnicudo aequipollet dupio momenti ablati in directe impingen-
tium (si quod sic) Fortiori.
F incellixatur enim Mocorum (Si quod FIC) Forcius, (vel, E sinc momentorum
aequalium, utrumris,) uc Percuciens; reliquum uc Percultum: Ouantum Mo-
menti Percutienti decidit, Percultum recipit, (Duta; Vel reliltendo seu Justinen-
do Vim: uc Si Firmus Obex lc, coderenescius; aut motum conrrario impetu x
quali: Vel Luscixiendo norum impecum; uc, si prius quiesceret; aut in ealdem
Partos morereturs Net denique partims hoc, partim illud; uen _ Occurrat motu
concrario debiliori: qua lingulacim suis locis oltendentur: ) quorum cum utrum-
que linc ettectus ictuo, Teys urrique aquipollet; hoc et, duplo momenci abilaci
in Forriori. Quod crat propoticum.
Deligno aucem Tetus magnicudinem, per momentut Forciori ablatum; quoniam
eAoetiis ictus in torciori, unitormiselt, (nempe sola semper momenci deperdicio,)
adeoque Facilius eo simplicius verbis oxprimitur: efectus aucem in reliquo elt, non-
nunquam impecus deperditio, nonnunquam acquisicio nori impecus, nonnunquam
utrumques sed, quiequid su, aequipollet mocui in farriori deperdito.
AISS 51 siit Li 19CCS) eSHOSS SeSS
uIP R O P.  FL CBCL BBI L.
edisiB sis I Ctoi
Eti es  Se: SiCSII
Si Crare motum Ermo Obiei directe impingat: Ictus aequivollet duplo
momeilo graris impinsculs.
Sin Ober minus tymus sir quam ut sustinendo raleat: Ictus aequixollet
dux Visrecticira bilc.
DDOTa; E Gravis mori A, pondus CiC mX, celeritas rC; adeoque Momentum
seu Vis impellens mr  C: huic aequalis est in Obice Resiltentia (utpote
quae Vim toram impactam immota sustiner acque hanc solam:) Cum veraque SinE
ab Ictu, Ietus utrique simul aquipollet, hoc est, duplo momenti impinsentis, seu
e
2 M rD C.. Duod propolcum crat.
Mo aurem, Vi impellenti aequalem elle Repstentiam, potius quam Vim Resti-
rivam. Duippe Vis Relticira major elle pocest: netipe, si Obex majori vi impin.
venei sustinendae par sic: Sed quiequid virium superestu est hic inurile, (uti d vis
eoca ellet Sinihil impingeret;) quo enim suctineatur vis impacta, sustiche vis X
qualis; nec mocum alteri interre pocelt, quoniam retistic cancum per modum in.
Dedienti, nON YiS AGENEISCONITATIK DCKBFOD. TF, 12. C ap. T.
Similiter oltendecur propoticionis pars altera. Ouippe quancacunque sc Obicis
intirmi visresticiras puta n sP C; vabia impenditur ci amiotiendo vis impellens:
ee qua superest, est hie luverAua:) adeoque uriusque aggresarum (qui est et
Fectrs ictus) 2n s P Cn duplum vis relticirae, cM letus masnicndo. Quod icidem
exAE PrODOC 
Fis. 293.
idem ditenat boltet Ciei nalicul propolicionum Dccilue ) Ed BlOD. teg. CipDC
ObCX

## Folio 1007 — 851387705:1027
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
PFOP. VII.
De eusta.
100
Obex trmuS, ictum quod spectat, tancundem retistit quantum directe occurrens
impecu aequali, (utrobique enim lillitur impinsens Crare: ) rerum illic ietus aqui
Dollet urriueris duplo; per prop. (eq. Erso et hic.
Similiter.
Ostendecur idem ex prop. JA. Nempe, I duo Cravia uicunque inequalia, quibul-
cunque celericaribus, directe occurranc; oltendlicue ictus magnirudlo
m. + n
adeoque si intellisatur Obieis celeritas sC =OC (guippe nulla;) Teu quancumris
exigua; adeoque pondusn P = ∞ P intinicum (nam nisi hOC BONaEUY, PFOPtEF
=0, momentum nsL C non Euttinebic vim impactam, ) erie  t Z mn PC
∞ = m 2MY PC = ZMI PC (Nam prOprer e intinitum, canmudem CTHE
∞ = m
ollciP A O P. S WIF, 1. 1 CtWWIBIEE LAI CI
Si duo Cara guatta agualious celeritalibus: vel naquasia, cele-
ricalibus ccipioce plopbtionalibus; sb mucuo directe occurrant:
Ictus magnitudo aequipollet momentis sunul utriusque; seu uerius
ris dup.
POca, hHL Ctavis H, Bondus. m F, celericas, rCn adeoque momencum + mrz C, F15. 302.
prortum:) acque Craris B, Bondus item m P. et celeritas rC; vel pondus
Jum:) Cum, quod letus hoc in calu efticiar, lic (propter aequales IpetuS Con-
trarios) ucriusque sublatio, per proz. 4. hrujus eric Tetus magnitudo 2mrPC. (mo-
mencis limul ueriusque aquixollens) per ProP. 5. hnjuS. sivs
rF e celeritasmC; adeoque (utroris catu) momencum = Mr P C (reEOr-
e ROP. V
Si duo Craria conmun assisuo motu tenanturis tantundem est, quan-
tum ad letus magnicudinem, acque si utrobique abestet.
Adeoque communis motus, addicus rel demptus, Ietus magnitudinem
non immutat.
Da nulla sic mocus obstructio seu impeditio, uruc conjuncta tuCrinE A B, (ne
dum s disjuncta;) adeoque Huliis PCtuS.St vero A cclerius leGuatuE, puta ce
leritate rC =sCf 2C; _ B Pracedat Legnils, Puta Celericare SC: Paltem quan.
tum ad celeritatem virique communem sC nulla sie impeditio iquippe carenus se
subducit antecedens, ictum dectinans; tocumque illud mocus cur ulla fic obstru-
Atio, elt quod ex sC. celeritatis excessu oritur. (Idemque cadem analogiq olten-
decur de aliis moribus communibus. ) Adeoque ob additum vel demprum com
munem mocum (uiporequi, hocrespectu, nullius instar est) nulla siec Petus im.
mutacio.
 13G) sCDBISE et p~SHIISB .IIC
EF enim B praecedens eadem cetericale supiad (hur etiam majori) qua sequitur Fie. 302.
est
ot
Inc est, quod duorum in eadem Nari placide lacorum Aies allerum eadem
munius teluM DCC, qesurance nec impEctiCHCE. Aem proseclionum de percultionum
PhxnOmENA
ri pereucir acti uterque in lictore llatel, mocu navis, urpote urique com

## Folio 1008 — 851387705:1028
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001028.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
De Percussum.
Phaehomena eadem continenne ominia apud nos in terra POSItOS, Sive CUM TCrra
junctim ferantur omnia communi moeus sire una cum terra quiescant; quippe com-
munis eorum cum terra sive motus sive gules hac Phaenomena non immurat, sed
projectiones e percustiones xstimanda lunt ab iis motibus qui rebus hic in terra
exiltentibus peculiares sunt, et non cuin ipla terra communes. Adeoque, quae afferri
Tolebane objectiones E projectionibus inaequalibus eadem vi Faciendis, prout vel ac
Criencem vel ad Occidentem tierent; acque juxqualibus percuctionibus à Por-
mento Bellico globulum emictente tuturis, prout in has aut illas partes explotio
Freret; ee qua tune hujusmodi; etiam ipsis nune dierum tarentibus qui mocunt
Ferrae nesanc, nihil du urramvis parcem probant sire de Ouiete Perta rc de
Mot. Hinc iem qui ictum Gladii quadancenus declinans accipit, minort vI
pere atticitur, quam li imniocus deciperet, nedum si obriam iret. Alaque a
hujulmodi.
1et.
Cap
.XI.
ies l 301
008
P AOP. 1Z.
Si Crare motum, aeguali quiescenti, (non impedito,) direec impingat:
Ictusmagnicudo momentopraris mori aequipollet.
Fic. 300. Y, 510 Cirgvis mori A, pondus, m Z,.s celeriras r. C, adeoque momencum mr PC
quod in aequale B quielcens directe impingat; ferentur deinceps utraque celeri
cate dimidia, Er C; adeoque momentum A quod prtus Ferat mr P C, jamm proprer
Pondus m D, tiet n P L=F C =t PC, amicto omenti dimidio = M r L C; et
momentum B, quod prius (urpore quiescentis) nullum erat, jam, propter itidem
mF pondus, Het m L XZr C = Zmr D C, de novo acquiticum; per pFOD. 2. Hn-
jus. Cum iiaque deperdat A momentum Zmr P C, acque aequirat B momentum
itidem =mr P C vertuse asBresaTO MF C (quod momenum tuerat graris A)
aeenipoller retus masnitudo, Per prop. 5. hujus. (0
volBS
OBesicco et LS Ldem  Aiter 
Fsto, ut prius, Graris A, pondus mPG celoritasr C) adeoque momentum mr P C,
quod in aequale B quiescens directe incurrat. Atque intellisatur utrique accedere
communis motus celeritate - ZrC (FCETOTLUM.) Ouo calit FeretUE A ccleritate
C -- = r C = =r C (prOrtum,) e B celeritate OC = = r C = --Er C (PEtTOTFIIM;)
Fricgue Ictus maenicudo 2m D LZ Y C = mr D C, Per prOP. 7. hujus. Sed ca
dem exIL (peF PTOP. DEXCCd.) Ictus magnicudo, dempro illo qui addebatur com-
muni mocc; qui est catus propatirus.) Frgo, ex tries, lotuo magniculo elL M r P C,
UE PrIUIS.
ci dspico et orpsa neositorsiee ess e B sis
suitisiNII ers FBL s 1 3G1BB LOV ersihBA EWSOT SMHTEIO orp
EE
LBIIESL crp (Proit cariss s P, Ri  Pasi Hoy eus tse3 astatrosres, e lat
El5. 302.
n t d  1   li  a 2b i
Si duo Cravia Aqualia celesitaribus Anequalibus in ealcem partes
ferantur;. et sequens antecedenti dirocte impinsat: Ictus aequipollet
momento urrimris Geleritatum. Differencia labiss csests
sSC BsIlE OBPCBSO:BEILH cI
H Graris A pondus mX Celericas r er SC F, C, adeoque momencum mr DC.
quod in auale B; ccteruales G praecedens (cusis ilaque indtuencum m s P C.)
directe impingat. Ferentur deinceos vtraque (per prop. 3. hujus) celeritateC;
adeoque ucriusris momencum (proxcer uctiusque pondus mP) : mr P C. L : m SPC.
Deperdit ieaque A (propter sminorem quam r) momentum mr PC = = mrP C.
 SD C= =MYDC = =m SPC = L ZYC. Aeue canueem CrarI B ac
quitime Proplet= mrPC4= msCm SP C = =mrDC Z M5PC.
n+P C. LFEB, uiuIque ABBCCEd nF P C CA (per prop. 5. hujuS)
Ietus

## Folio 1009 — 851387705:1029
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
P
ed e erenssiora.
Ietus magnicudo. FIoc est, monuum ponderis utriusris mP, celeritatum dit.
fCrentIa F C. lati, (Der PFOP. 27. Ciap. T.) quod erat provosicum.
Aiter.
magnicudo m + P C, uc prius.
Sit, ut prius, Graris A, pondus mD, celericas rC = sC + + C; quod in
aequale B celeritare sC praecedens directe impingat. Tanrundem eric (ictum
quod spectat) acque Ei (Tublato utrobique communi sC.) Ferretur a celeritate
EC, in B quiesceno, (per proP. S. Lusi. Adeoque (Det ProP. Placed.) retus
Si duo CTarsa saa Celeritatibus utcunque Inaequatibus, ad con-
trarias partes lata, sibi mutuo directe occurrant: Ictus aequipollet
momento utriutris, Agoregato celeritatum lati.
CIE Craris A, pondus m P, celeritas f rC (prOrSuM,) adeoque. momentum F18. 302.
D. F Mr P C; _ huic aequalis B, celexIaS = SC (FetTOTTum,) adeogne mo-
mentum =m sP C, licque r. F 5 = 2; alque incelligatur mr D C. momentum
praepollens. Frit (Per PEOP. 4. hujus) veriusque deinceps celeriras C; ad.
eoque mriutris momentum Z mr P C. ==m sZ C. Dexerdit itaque A, momentum
mrZC = =mr Z C F Zm SP C = ZmY D C F =m SF C. = = M Z P C. EF Gra-
ve B (PTOPIer A PraepOHeNS) dCDCrdIE EOFUIM TUUM MOENEUM FCErOETum M SPC.:
scd eo acquirit momencum prortum Z mr PC -- =ms FC: Oux duo simit
Sumpra CuncmsP C. = Zmr D C. = Z m SFC = Z mr Z C F Zm 5PC = = m Z FC
Frgo, omnium RBgreSaTUM, n Z F C est (per prOP. 5. hujus) ictus magnicudo.
Hloc elt momentum ponderis utriulris m P, celeritatum agoresato 2C. laci.
 eC3 iter. tCA 10
Sit ut prius, craris A, pondus m P, celeritas  rC (prortum;) et huic x
qualis B, celettas. = sC (xetrortum;) Licque n.t 5 = 2 Incelligatur uerique
conterrt bus communis clsteae  S C prortum: D. Onde tiet celericas A
SGDC 110C eltus teretur A, cele-
ricate 2C. in B quielcens. Fricque ictus magnicudo (per prop. O. hujus) i Z PC
m l. Fanculisu eta lctus in catu propolito, per prop. B. hrujus.
1eit LC. iite WC
ROP. XIT
Si Crare Motum, Crari quiescenti, uccunque inaequali, directe im
pinsat: Frit Ietus magnicudo, ad momentum Crarismoti, ut qujes.
centis pondus duplum ad ponderis ucriusque aggregatum.
NIE Graris A mori, pondus m P, celeritas rC, adeoque momentum mr P C; Fiz. 300.
D quod directe impingat in quiescens B, cujus pondus n P, (momentum, uE
pore quielcentis, nullum.) Prit (per PEOP. 2. hujus) celericas deinceps uiriusque
er
m f  C: Adeoque momentum A. (Proptex pondus m P,)
n
nI m DC; 
m L y
momencum B (proprer pondus n P. d m f  n P C. Deperdit ilaque A, mo.
entum MY Z C - MY
LmZC-
Mnr
m fn P C. Aeque cancundem (ut osten.
tum est) acquirie B, (urpore cujus momentum prius nihil erat.) ErgO (Per
M m m m in m
PTOP.
pC = sC = Z C; e celeritaS, B,

## Folio 1010 — 851387705:1030
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
020
De Percussione.
Cap. XI.
ProP. 5. hujus) utriusque ae prexatum =
mnr
M + n
tem illud ad mr D C expoTitum momentum gravis moti, ut 2n ad m L n; hoc
elt,s ut duplum pondus expoliri quiescentis, ad simul uriusque pondus. Quod
erat propolicum.
Mliter.
Sic, ut prius, Graris A, pondus m P, Celericasr C, adeoque momentum mr D C:
quod directe impingat in B quiescens, cujus pondus n P. Incelligatus celericas
rC in duas partes diridi, ponderibus reciproce proporrionales; puta, i L n
=rC=
C.
in + rC, quae relpieiar poncus n P. Aique
conteratur utrique mocus communis celericate
tiat celeriras A, rC-
OC -.
m +
M
A
m C m  Y G. (prortum; ) et selerias B,
n- L C CxetrOrTum;) adeoque celeritares ponderibus
reciproce proportionales, ael parres concrarias; ictusque maxnituclo (per prOP. 7.
C=
2. M n
hujus) mP   rC + n P = m F  m F  YFC.-
m4  MrDC;
quod itaque est ad mr D C expolitum momentum moti A, ut 2n ad m = n,
(ut prius:) Paucusque erit ictus in catu propotiio, per prop. B. hujus.
P ROP. XIII.
Si duo Cravia, rel aequalia rel inaequalia, celeritatibus quibuscunque.
ad easdem partes ferantur, et Sequens Antecedenti directe impin-
Eac: Erit Ictus magnitudo, ad momentum graris Sequentis cele
ritatum differontia laci; ue duplum ponderis Ancccedentis, ad simmt
utriusque pondus: ad momentum vero Antecedentis eadem celeri-
cacum difterentia laci, ut duplum seguentis, ad simul ueriusque
Pondus: HToc eA, ad momentum utriusris differentia celeritatum
lati; uc duplum reliqui ad simul utriusque pondus.
Fi8. 301. B Sio Cravis A Sequentis, pondus m P, celeritas rC, adeoque momentum
 mrPC; Ancecedentis B, Dondus n P, celeritaS (mInOF) SC, adeoque mo-
 a mencum n sPC; Sicque r = 5. F 1. Exic (per proP. 3. hujus) ueriusque
Seinceps celeritas mr. L n
mr Fns
m + n
E; adeoque momentum A (proprer pondus m P,)
ert B q mr. L ns
m- F  m P C; ee momentum B (PrOpter pOnduS M P,
perdie itaque A, momentum mr P C.
Acq; tamcundem acquiric B, prOPter Y
mr. + n S p QC. -
m +n
n
n F 1
m F n
2PC. DC.
b ls
Vnr. mnS
n
Adeoque (Der PrOP. 5. hujus) veriusque aggregatum est ictus magniudo. HOc
2mnr = 2mM S ∞ C.-
2.+
m. F n
E Mn
MD+C
n ZTC: Hoc elt, ad momencum sequentis m P celericacum disterentia

## Folio 1011 — 851387705:1031
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001031.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
+C lati, ut 2n da M Fn; hoc eltis ut diplums pondus. Ancccedenus ad LmI
ucriusque pondus: acque ad momentum Ancecedenris nP eadtem difterentia iC
laci, vE 2_ ad m F n; hoc est, ue duplum pondus segnencio ad timul urrius.
que Pondus. Hloc elt,s ad momencum utriulris, celerivacum differentia latis dere
liqui pondus duplum ad simul ucriusque pondus. Quod CraE propolitum.
Aliter.
Fsto, ut prius, Graris A sequentis, pondus mY, celeritas rC; alque nrese
deneis B, pondus n P, celeritas sC q lque r = s fet. Incellisatur autem, moru
communi, utrique detracta celeritas sC. Duo tacto, B ad quierem redisitur,
DEOPTCF SC. = SC. =OC; eique impinsit A, tanquam quiescenti, celeritate rC
C =IC. Frique ictus magdicudo (per B 0. praccc  am i.  . ec 2no aoilluy 
5.1 21F S~ sitgi L OHC vi
 ShC
serir 1145d B ∞1pOCB
P Cn ut Prius. Ldemgue exte ictus magnicudo in ealu. ps exp (i, srer
DrOP. 8. hujus.
d
PFO
D ocdussione.
P ROP. XIV.
Si duo Graria, aequalia vel inaequalia, quibuscunque celeritatibus, mo-
cibus contrariis sibi mucuo directe occurrant: Firit ictusmagnitudo,
ad momentum alcerutrius grarium; celeritatum RSGreBd Pde ut
reliqui pondus duxlum ad synul utriulque poncuS.
CHCravis, A, Bondus mP, celexiras LrC (Prortum,) geleoques momiennum xip. 302.
D =mr D C; et Craris B, pondusn P, celeritas = sG (reurortum, d adeoque
momencum =n sP C; qux sibi mueuo directe impingare; sicque n t SF ∞ a 2C-
que incelligatur momencum mr P C. prapollens. Frit (Per , pTOP. 4. BuiS d. viri
ulque deinceps celericas n1
momencum 
es
Mt= n.
intn
r = ns
m. L n
m +. n m F C; e eravis B (PrOpcer POndus n P) momentum
nPC. Deperdit ilaque A momentum mrD C M F
r L n.
da
M. + r M Z C
=m DC. FFB deperdit(PrOPTOE A pta pollens) corum quod habueracmo.
M Fn
mencum retcorsum nSP C; et simul aequirie momencum prortum ns
quae duo simul SumPTA SUNE XSP C ( mY
ur Ln
S
M F n
n PC:
m+ n PC
Mr. F m 5
m. n nXC-
m + n m D Cn (guancum, seilicet percicletac A.) Adeoque omnium neprexacum
2MB 3
mp 2m n DC. =
M Ln
11. 2m111.
EN m D P C, cHL (per PEoP.
n +  Ci ML
5. hujus) ictus magnicudo. Ouodiaque est 2d m 2 P C. uE 2n ad m + n, et ae
n2F C ut 2m ad m = n; hoc est, ad momencum alterurius grarium aggregacO
celericarum lari, uc religui pondus duptum ad timul uriusque pondus. Quod erac
propolicum.
Mter.
Dondus nP, celeriras  sC (terrortum;) quae libi mutuo directe decurrane.
licque r. F 5 = 2. Incellisatur aurem mrique addi, mons conuni, celeritas L sC
(prorlum:) Duo tiar graris A celericas r C f sC. = BC; e v Guiescens (proprer
MMMMIMM 2
SI u PlIUS Ciravis A, pondusm P, celeritas FT C. (prOrtum;) e GravIS B,

## Folio 1012 — 851387705:1032
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
De Percussione.
SC = sC = OC;) Adeoque ictus magnicudo (per PrOP. 12. hujus 1
t
oropolto, Dex PTO
8. hujus
ap. XI.
PC; ut prius. Idemque estictus magnicudo in calu
caris percutiealis, proraria ejuldem Fi-
Adeoque et Centrum Viriumu u ussionus. Ouodiptum est Punctum
Percuctiones particular
sura ex Politione; calculo xestimaner.
L DaraLSCN LBEILaCM: LCunE ejus Parces intinicesimae, (secundum longitudinem
aequales,) ut F, T, 2, 2, ec. Series Ai
qualium: P’arunique respectira Cielc
ritates (urpote aquales, propter mo-
um parallelum, ) icem ut 1, 1.
ecc. leries Aqualium: Adeoque et
Idem similirer obeinet quacunque
tic tigura, Graris A B, Parallelo mon
laci: Nempe, Centrum Virium V
idem esse atque Centrum Graritatis F
Surx. Duippe cum Celeritates SInE
series squalium; eadem exit Virium series quae Ponderum: per Schol. Prop. I, 2.
Incellisatur deinde idem Cylindrus scu Prisima
AB, CIPCA AXIS CxEreMUM A POtari. Cujus itaque
Particula (uE prius) Crunt ut Z, 1, E, +, _c. Teu
FP, +P, TP, FP, _c. Peries A qualium. Celerita-
ces autem respectira, (ab A centro Mocus incho-
ando) ut Arcus BB, e huic paralleli, sectorem
B AB complentes; (quippe, propter aequalia Pem-
Pora, Celeritates crunt ur tranlactae Lonsicudines:
DeF PrOP. 23. Cap. F.) hoc est, ut eorum Racii.
seu Distantia ab a; hoc est, ut Rectae Friangu-
lum ABC complentes, (ip (I B C parallelx:) Nempe,
UE Z, 27 3, 4, _c. Teu Z C, 2 Cn 3 Cn 4 C, _c. Peries
Primanorum. Adeoque, propter Pondera invicem
aequalia, Vires icidem erunt uc series Primanorum;
DUITA VE FP C, 2P Ci 3P C, 4PC, ec. Teu uE
eadem recta Priansulum complentes. Oua itaque
Si ad A B lacus Frranguli, tanquam ad Libram.
amlicari intelligantur; quae per Frianguli Centrum gravicaris applicatur VC
recta, designat in AB litra Cenctum A. quilibrii V. FE propterea, Ci similicer in
V secetur A B axis Cylindri leu Prilmatis; eric V Cencrum Virium: Ouippequx
Percuctionis maxime.
Nelligatur AB, Pertica, Cstindrus, Prisma, duc istiutmodi corpus quodpiam:
iC
qualium. Ft propierca, li per mediam Lonsicudinem secetur Axis in V; crit
verinque cancundem Virium, et in diltantus Aqualibus. Adeoque V, Centrum
Tirium; Ceu Percultionis.
Quod quidem non aliter differe à Contro squilibriis (de quo Cap. 3. dictum
cll.) quam quod (sumpro Axe prilmaci pro Libra) momenta, seu Librx Gira-
quae inde resuliane, Momenca seu Vires, erune itidem uE L, L, C, L, dc. Peries A.
ramina, sunc illic (poristimum) nuda Pondera (quanquam nec alia craramina
Sin
ibidem exeludantur,) hic vero Pondera cum Impetu, ex celeritate contracto.
Rectis illis sunc proporrionales.
O12

## Folio 1013 — 851387705:1033
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cencro Nocus M, in Axe ultra A
continuato rotari intellisatur: Pon
dera CrunE (uE prius) ut LP, XP
CP, TP, _c. Peries Aqualium: C0.
lexitates autem, ut Arcus deseripei,
scu eorum Radii; hoc cM, ut Di-
Ctantia ab M; seu recta complen.
tes Fraperium ACCB: puta ut
aC aC + FC, aC = 2C, aC = 3 C
_c. Scrieo Aqualium aucta Sorie
Primanorum. Adeoque Nomenta,
seu Vires, aut librx Graramina,
(propter Pondera inricem aequalia,
UE aC F, a C P + TC P, aC P f 2C4
aC F = 3CP, _c. Teries item A
qualium aucta serie Primanorum; Peu ut exdem recta Fraperium complentes.
Per cujus itaque Centrum graritatis E ad AB latus crapezii ut L ibram axplice
cur VC; erit V Centrum Aquilibrii: Et simitirer, in V, secto axe A B, erit V Cet
trum Virium; urpore rectis illis proportionalium. l
Incelligatur demum AB Cuneus; seu APercutus
Friangularis (aequabilicer crattus:) Cujus, itaque
(ab aeie A compucando) particulae ( sccundum
longicudinem in axc AB altimatam aequales) lunt
ut OP, TP, 28, 3F, ecc. series Primanorum:
Celeritares (rotatione circa A Facta) ut OC, FC,
2 Cn 3C, ec. (distanciis ab A proxortionales) series
itidem Primanorum: Vires itaque (in ratione ex
utrilque compotica) ut OP C TP Cn 4P C, DPC
Scc. teries secundanorum; seu ut rectae complen-
res ABC complementum Semi parabolae: (aut
Plana Conum seu Pyramidem complentia.) Pex CU
jus itaque Centrum graritatis s ad L ibram AB ap.
plicetur V C, arque limilicer, in V, secetur A B aXi5
Cum
proporcionalium.
Si aurem circa rectam R (basin crianguli) rocetur Friangutum vel Cuneus
AB: distantia Z B erunt rectis huic parallelis, aequaliter a medio distancus, re-
ciproce proportionales; adeoque respectira Momenta (urpore in ratione ex max-
nicudinum de distantiarum rationibus composita) invicem aequalia; et propterea
Contrum Virium in axis AB medio.
Si vero intelligatur ABgrare, ultra A ( Centrum motus) continuari; id non
impedic quin V ut prius sic Centrum ririum seu percustionis (ad partes B Facienda;)
sed vis augebitur ab impetu partium ulera A.  F.c similicer alibi.
Sin sIC M Centrum MOtus Peu ROTa-
cationis in axe ulera A procracto: Frunt
Pondera (ue prius) ut OP, TP, 2P,
3F, Sc. Teries Primanorum: Celeri-
tates aurem (distantiis ab NI pFOPOr-
tionales,) ut a C, aC f EC, aC = 2 C,
aC= 3C, _c. Teries A qualium serie
Primanorum aucta. Et propterea VI
res seu Momenta, aut librae Grarami
Nan UECaZ C, Ta FC F TP C, 2aPC
= 4F C 3a Z C F oFC, _c. Perieo
Primanorum aucta serie Sccundano.
rum. Puta, ue recta complentes Leis
lineum ABC, ex Frianculo AB F
(qua series est Primanorum,) et lemi-
parabolae Complemenro A Y C. (quae elt leries Secundanorum,) rice comparariss
Mmmmmm 3
composi.
De Percussione.
PFOD. XV
Sin Cylindrus idem Leu CTHIMa,

## Folio 1014 — 851387705:1034
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
De Percussione.
C. ap. XC
COMPOLICIMI. PE CujuSitaque Prilinei Cenrum staritacis quae 2d Libram appli-
cacur VC, detignat in A B libra Cencrum Agustibrii V: e simititer, in V, lecto
axe Frianouli, lire criangularis Cunei, habetur Oenerum Virium; vepore rectis illis
proportionalium.
F18. 307. Incelligatur demum AB ConuS Peu Pyranris:: Cnjus icaque Parricula (ab A
verrice numeratx) erunt UE OF, TF a F, OFete Pories Secundanorum: Oe
leritates autem (Foratione Centro A tacta) uE OC LC 2 C, 3. C, _C. Teried PrI
manorum: Adeoque Bomenta seu Vires, ut dC) FD C, 8Y C, 27 PC c
Teries Tercianorum: Pura ut rectae complences Senrisparabolocidis Curbicalis Com
plementum ABC. Per cajus itaque Cenerum grapiaris si applicetur (uc prius)
VC; habebitur (uE SuPTa) V Cenerum Virii. eL 1IB, etBM
1∞. 308. Sin M Centrum Notus (eu Rocationis Sic in acultra A prorracto: Pondera
CxUINE (HE PriuS) ut OP, TP, 4~, 9P, _c. Peries Sccundatbrum: Coleritaves
vero (distantiis 2b MI provortionales) ut a C BC F PC, aC f 2G, aC + 3C, c
series Aqualium serie Primanorum aucta. FF pOpTOrCA; VireS, VIE Oa P C,
Ea D C F EFC, 4aFC = 8PC, 9a F C f 37 ~G _c. Teries Secundanorum
aucta serie Perrianorum: Pura, u rectae comptontes Pritineum A BC) ex AB D
complemento Semi. parabola, _. A T C. complemeno, Semi parabolocidis Cubica
lis, (Hc invicetu apraris uc catus postulareriu, leompolitum. P et cujus icaque
Trilinei Cenerum gravicaris ductaN Ci habebicur VCemrum Nirims ut PriuIS.
Acque ad eandem Formam mucaris mutandis, procedendum eriiys quacunque
Tuerit Fioura Gravis mori, (sive ordinatas sire: uceumque inordinata,)’e ubicum
que ponatur Cencrum Rocacionis: l Nempe; Quaecunque tuerit Magnicudinum seu
Ponderum series; cum ea componehda er ie ories Coleritatum (urcunque acquisi
carum;) ut habeatur series Virimm seu Momentorum Aeque haec momenia, I
contiderentur ut Librx Graramina; Scildens lesibus hie exquirendum crit Cen
erum Virium; quibus, in Cap. 13 Contrum Aquilibrir; a in C ap. 47 5. Cen
irum GravitatiS. Nos calus aliquor ex Timplicioribus Solesimuo quae speciminum
instar sint; e in quibus Axis Tolidi salcem Rectam decerminac in qua sic illud
Centrum Virium; ue nihil hio Opus sic aline quam ut darxe Lihrae (monientis
virium GraVatX) Centrum Aguilibrii inquitamr; secundum iradita C ap. 3. Si
vero illud non eset; decerminanda esset ea recta, cildem merhodis quibus deters
minandus elt Axis Aquilibrii (in ordine ad Ceherum Grarivaris inquirendum)
Cap: 5. Acque in co randem Centrum Viriun. Sed Angulis scalibus immoran-
dum nOn CTaL.
1.1 e
Denique; Ouod in Centro Virium sit maxima Percusio; sequitIr ex prOP. B.
et 18. Cap 3 ampliato sentu expoliris.) Onippe, Centrum Virium, elt Libra
Sic gravataes (non midis Pondoribus, sed Ponderibus seum Impetu) Centrum AI-
quilibrii; in guoli sultineatur Pibra (quod hic tic a corpore perculto) tocarum
Virium impecus sustinetur, (quippe, propier Aquitibrium in neutram partem
rocando teretur;) si vero extra hoc Virium Conrrum (dipercul(o) Pustincatur
ad eas partes rocundo propendebune. Vires qua est Virium Cencrum; adeoque ncc
tots impedietur Mocus; Sed ea Patrem lui Parre qua Rocando minus procedic Cien
trum Virium seu Aequilibrii, quam Si (non impedicum) recte procederet. Quodu
locis CatIs, generali demonteratione oltenditur.
Si rero, percultione non in V puncto facta, manu renentis, puca in A, impe.
diatur ne tat Rotatio circa puinctum ictus in corpore perculto: Res reterenda
eric ad Vectem cum duobus Fuleris. Ouippe morus Virium (seu, quod tantun.
dem cst, Cenrri Virium, per prop. d. Cap. 3. vel prop. 16. Cap. 4.) Partim COr-
Pore Perculto, parcim Manu Percutiencis, canguam duobus Fuleris, (ueroque in
terius potico, si Cenerum Virium sic inter illa duo Fulera; rel, si extra, altero
interius altero superius polico;) sustinetur: Sccundum leges Cap. 6. (de Vecte
duobus Futeris sultento) radicas.
SCZ7OL ZVM.
Onendum hic non incommodum duxi; proceltum d dato corporis percu-
Vcientis Centro Gravicaris, ad GIaeH LCHea Lact CaBII LOCaH) CenErUIN
Virium inguirendum; alium nost esse quam a dato PLaUL CCNEO GrAVITALIS a
Ongula cidemiintule e. dalam in eodem plano actC labemLS) Cencrum era
Ntbabem

## Folio 1015 — 851387705:1035
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
De ercusstone.
vicatis inguirendum. Ouippe, ue illic, cum serie magnicudinum in Plano, Com-
ponenda erit series alcicudinum super iltius plani respectiras particulas, (qua qui
dem alticudinum series alia non eAt quam Distanciarum ab illa Acic data,) e
Terici compoliea commune Cenerum inveniendum, (quod est Ingula Cientrum
Graritatis:) ita hic, cum serie magnitudinum in corpore percucience, componenda
erit Peries Celeritatum in respectiris iltius corporis particulis, (qua iridem leries
alia non est quam Distantiarum a dato Rocationis axc,) e seriei compotix
commune Centrum (quod eAt Cencrum Virium) inveniendum. Ouo pacto au-
tem ea serici Distanciarum cum serie Magnicudinum compolitio tiar, uc seriei
compolix Cenrrum habeatur; oltenditur (cum alibi, in calibus simplicioribus:
tum, in abltrulioribus,) ad PEOP. FO. Cap. 5. Oux Eaepius in Ungularum Cen-
eris graritatis inquirendis (per cocum illud caput) in auxilium adrocatur; acque
hic, pro inquirendis Ceneris Virium, limiliter (ubi opus fuerit) adrocanda exit
Duod generacim monuilte susticiat; ne sir necesse ad particulares casus descendere
quod lonsum esset, et cadii plenum;) quos cujusque indultria, ubi res postu.
larerit, calculo determinandos permitro, et ad generalem Methodum exigendos.
Nocandum pOrrO; cum Cenirum Virtum, un illud jam determinarimus, SIE (uE
plurimum Calrem) incra iptum Solidum; Percultio aurem, a Solido illo Facta, siF
in superticiei puncto aliquo: Si quis quaerat, in quo superticiei puncto (pro hoc
aut illo Solidi pereutieneis ltu) id continear: Dicimus, in eo luperticiei puncto
contingere quod est in ipsa Directione Ceneri Virium in ictus instanti. HIOC
est, S Cencrum illud per rectam feratur, in ea recta per quam tertur: si vero per
curram, in recta curram illam (in iplo Virium Cenero) tangentem, eo instauri
quo tic Ictus; (puta, in recta VP, seu VC, t15. 307. quae curram V V tangat
in V:) eandem enim directionem esse Currae cujutris (pro daco in ea prneto)
atque Recta ibidem cansentis; oltendimus ad prop. 15. C ap. 2
Moneo etiam (quod se supra insmuacum cll,) Oua ratione cirave (Pondera-
aionem si spectes) Perinde se habero acs totum ibiden esset ubi cs ipsiuS Cen-
trum. Graritaris, per Schol. prOp. 2S. Cap. 4. Fadlem  (Percuctionem guod
spectat). Perinde se habere Corpus vercurens, aeti cocum ibidem esset ubi est C’en-
erum Virium.
Acque tine ad t’unipendula aestimanda, via patet: Nempe, eujulcunque tigura
sic Cuspensum solidum, (puca Cylindricum, Conicum, alindre,) tanex longicudi
nis (ribrationem quod spectat) reputandum esse, quanta est distantia à luspen-
tionis puncto ad Centrum Virium. Adeoque, verbi gracia, (dato quod l’uni-
pendula ejusdem lonsicudinis, aequalibus temporibus vibrene, quod praesumi (0-
Tet) S Conus rertice Tuspentus (cujus Centrum Virium, ut ex Calculo superins
insinvato collisitur, a vertice distat, 3 cotius Axis scu Alcicudinis;) cum Globulo
ex tenuissimo tilo (cujus itaque contideratio hic non habetur) suspento, cujus
Ponsicudo sic (d puncto suspentionis ad Gilobuli Centrum Virium) ad lonoi-
dinem seu alticudinem Coni, ut 4 ad 5; aequalibus cemporibus ribrabitur uterque:
utpote quorum Centrum Virium aequalicer a puncto suspentionis distant. (FIF
aitem Clobuli Centrum Pirium, non iplum Ctobi Ceurrum, sed aliud ab hoc:
et quidem aliud acque aliud, prour proxius aut remorius diltar Globus, ille d
Puncto suspensionis.) Alque limilitex in aliis judicandum erit.
NO N TZV M
Mendum denique;  quod nos Centrum Virium, Teu Centrum Pereul
La sionis, auc eriam Parationis, hie appellamus; id iplum est quod Clar. F)e
senius, opere post edico (de PToroloeio Oscillatorio) appellat Centrum Oseissa
tionis. Duippe idem est (ucut sub divertis Nominibus) quod nceroue in
guirimus. (Duod, qui uiriusque Inquilicionem rite contiderarerit, tacile per (pi
ciac.) IIe quidem liia Methodo, csd mea. Lector utramlibet uc potiorem eli-
8at. PAque ejus Oscillatio, quae nobis Pibratio dicieur.

## Folio 1016 — 851387705:1036
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001036.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
De Cuneo.
Cuneo
Cap XII
I
N F 5
DEL. L. Cuneum, plerumque adhibent, ex Ferro seu auriorum aliquo me-
tallo; forma Prismatis (non admodum alti) cujus oppositae Bases sint L
ansuli A quicrura Acutancula: Duorum utriusois altitudinem, appello
Altitultinem Cunci, (non- Prismatis,) Guscun Dusch Clnei Crasti
tiem appello; Rectamque quae Priansulota utt lquntatu er-
tices conjunsit, Cunei Aciem: quodque eorum Bases conjunsit Paralle-
loerammum:. Cunes otu.
Cytinatita (vel ad eam proxime accedei,, dajuncto ad Latus Manu-
brio, cusus ope Percussor ictum inftirit.
TIT. Lodem etiam referenda sunt, Walleus Ferrels quo cados aareimus;
IT. Malleum seu Fuce datet puratsigut en Lt auriore, fot ma
Aleta, vet SecurIS, quibus Liena as, ut ecamus: praeerandes
Fudites, seu Arieres, quibus Pila, Palos, Sudes, (aliaque similia,) in
Terram adiximus: aliaque non absimilia Oreana innumera.
Ncellisatur Pigni Tenacicas seu Firmitudo, Cuneo direllenda; auc quorumris
Dico primo; si adhibeatur in Cunci DOF.
(0 D, viS V quae SIc ad O, uE C C cunei
Crasticies, ad ejusdem Alcrudinem D A
(Puta, nEC ad a:) Vis illa in D, xequivo.
lebit Obici; Adeoque, aucta luperabit. Cum
enim, PeF DFOB. 5. C ap. 2. Mocus in ca ra
tione polleane quae ex rationibus Virium
Norricium, et Prosrectuum Rcgrestuumre
secundum lineam directionis sux componi.
tux: Sicque amolicio Obieis (contra directio.
nem suam) ad proxrellum Virium (secun.
dum directionem Luam,) uc C.Ci ad D A.
dirimicur Obex De colacut axcllo lntalliciem C C, et in LO10 PlOCelu PrOportIO.
nalirer:
Datis Mallei Pondere et Celeritate Crincum percuriemis, Caneique
Forma: Vis Cunci, sic percussi, Calculo aestimabitur.
Obicum, Cuneo dirimendorum, Resistentia, ut O.
Seu VEC ad a (quippe dum decruditur Cuneus per tocam suam Alricudinem D A

## Folio 1017 — 851387705:1037
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001037.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
De Cuneo
paliter;) Si vires V, O, Cinc iplis an c, (progressibus liis,) reciproce proporrio
nales; aequipollebune mocus, (propter ex Reciprocis compolitam rationem AAE. qua-
litatis, Per PrOP. 6. Cap. L.) HIOC est, SI FL ut a ad c sic O ad Y; Teu ~ = - 0.
Adeoque sV major sit movebit: per PFOP. B, TT. Cap. F.
Dico secundo; E sic Mallei ferientis Pondus, P; Celeritas, in percultionis in-
Ptanci urcunque acquilita, C; (puta, lire id hac ob Crraris morum naturalicer AC
celeratum, sre ctiam ob porro addicum a Percullore rim;) adeoque Maltei Mo
mentum scu rires PC; Iuque PC =V = - O: Vis Mallei Cuneo directe ap.
plicata, Obici xequipollebit; adeoque aucta morebir.
Et quidem (ob eandem caulam) cousque amorere seu amoliri perlererabit,
donee lic impenta Vis PC, Parriculis Cuneo propioribus rumpendis aut Aecten-
dis per aequipollenciam absorbeatur.
Idemque Momenium lecundo achibitum, tantundem praestabie; e tertio, tan-
LUINAEM: REGue HC BOETO PTOUE opUS tuCFH.
2d72
11
PrOD. II.
Onc qui Cuncum, ad deminum Vectem reterune: Gubus VIS in C, C applICe.
DET: Fulera aurem alii in O, O, Bonunt; Oncraque in A utrinque protru-
denda. Alii porius Fulerum commune in A ponune, e Oncra in O, O; (c0
Docistimum quod, in Lignis aliitre diffindendis, Cunci Acies non semper rem
diftindendam accinsie uipiam, sed medio suspensa pender; adeoque non porest
ibidem dici onus depellere.) Fgo vero (ut alia taceam incommoda) rem sim
plicius exponendam duri ex iptis Mocuum Flementis: uui factum est.
Fadem similiter accommodari Poterunt, Malleo ferreo, Clarum adi-
dividenti, aue dissecanti; aliitre instrumentis non absinbus.
2
Cuneo conneso. Algue de als ilcuulmodi dimile tiet judicium. Fademque qua
ad prop. pracec. habene Demontitalio; paciler adl hiane valebic.
senci; Lulo aetaralus Llla Sules, Palotre praeacutos in Terram
altius detisenti: Ascia, Bipenni, aut Securi, Ligna aliare dolanti,
Vixve Clavi, Pilau Sudes, Palive praeacuri, Cunei sant. Qu Mattes vet
Fudire adiguneur. Ascia, Bipennis, Securrs, es Timilia; sunt Masseus elm
trannun a  ML

## Folio 1018 — 851387705:1038
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001038.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
De Flatere, E Resilitione
Cap. XIII
De Elatere, es Resititione seu Restexione
DEF. L. Vim Flacticam appello, eam qua Corpus de fieura sua Vi detru
sum, seipsum in firuram pristinan Restituere salea.
FY Is enasmo ab inaircos Aito AiBo, Fveio, Fx pello, . ut C esu
dem orisinis) cnarne. Vim eam inta  es teliliendo, alia ab
Lalthis (quantum sei0) dect Vox proprid qua H . Unee laclium
est uc vocabula Cirxca in ulum sint recepta.
Flaterem Nostri a Sprins vocanE; a Verbo eo sprine, ea signilicarione qua
Satre let fixsitire Tigniticar, (uc Germanieum e Danicum Sprincen, Beloicun
Sprinehen,) qux est Vocis illius signiticace prumarra. Signiticat criam (ee Forte
omnia Cerminant. Sed e Aquae Fons sel Scacursso (Aqua Saliens dicta) 
diturt.
s
se Abigit.
Sprine dicitur; ob salientem Aquam. Tiem, 10 sprins a Mine, dicimus, quando
Cuniculum, putrere pyrio uc admoro igne accendimus, de fssire la-
cimus. 
II. Elaterem appello, Corpus (aut etiam Parcem Corporis) ea Vi prae-
eguencius) Tensu Mecaphorico, Germinure; eo quod Cermina de Turculo quali
Fxsihunt: Acque hinc tempus Vernum is ns ca quo scilicet poristimum
Hinc Corpus Flasticum, a sprinsy Boay WouIS; hoc est, Corpus Flatere in
lructum: et, Vim Flalticam, Spriners.
Inde Tr in Corporibus haec Vis Flastica; non hie ingusio. Sed neque iplius
Nacuram luscipio meira explicaturum, ue vel Lector rel mihi ipsi, per omnia
Caristaciam. Negne enim id necesse Mt au tem plasentem. Sufticit, ut undecun-
de hac Vi undecunque Fuerit, jam asimus.
gere; Corporaque Tuo nilu relticuta, dd se aua abisere, nemo non rideat. Atque
que tuerit, Vim estiusmodi in rerum cucula ee certum sic: Cum de precta retur,
P.
Si Graremotum, in Frmum Obicem, directe impingat; sitque vel al
cerum rel uerumque Corpus Flasticum: Padem celexitate resiliet,
Peu repercurietur, qua adrenerat; et per eandem rectam.
Fis. 299. Y, Sco enim A Crare (cujus pondus mP, celeritas rC, adeoque momencum
umFPC,) quod, per A A rectam, in tirmum Obicem B directe impingat. Sic.
que

## Folio 1019 — 851387705:1039
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001039.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
sei Restexione.
quEnON ita Pertecte Durum; ut nulla ratione ictui cedat, vel Corpnslatum, ve
ObCX. Scdneque ica Molle, uc tiguram pristinam ictu deperdat ( quod in Cera
Plumbo. Luto, aliisque ejusinodi Corporibus rel tragilibus vel ductilibus tieri (0
Lec,) sed rim habeat Flasticam (alrerum rel urrumque Corporum) qua serelti
ruere ralear in tiguram pristinam, quamprimum Vis Comprimens cellarerit.
Acque incellixacur Obicis pars perculla, Vi Corporis impellentis intrortum pretta:
qua itaque insita Vi Flaltica se restituere COnabIEUT.
Dicorrimo; Prectionem hanc cousque continue tieri, donee Vis Elastica, com
prectioni adrersa, Vi Comprimenci aequivolleat. Ouippe quamdiu Vis Compri
mens, torcior est quam F lateris Retistenria, etiamnum l lacerem Hectere seu com-
primere perleverabit. Per prop. 12. C ap. F.
ECt aurem ea Vis comprimens, dupla momenti Graris impingentis Nam vie
ab impingente Grari illata, est iplius momento aequalis (urpote cujus mocus totuS
Tiltitur,) pura mrPC. Sed e propter aequalem Obicis resiltenciam, (qua Tan
tundem ad comprectionem contert acli aequalis vis Contraria OCCUErCreF, ) cancun
dem inde adrenu, puca alterum mr P C; (Sed cujus hic minor habenida Fatio,
urpore quod aliunde compenlatur:) Adeoque ristora comprectira, 2m r. P C
Dico pOrrO; Vim Impellenrem seu Comprimentem, ubi ad Aiquipollentiam
res redisitur, cellare; (urpore quae tora Aectendo Elatere impenta elt.) e is enim
excrinsecus impressa, qualem lupponimus Impellentem, (secus quam Vis insica,
qualis elt Graritas, ex Vis Flaltica compressa,) ubi semel ad quietem redisirur
Peric; neque valet seiplam reltituere: ut neque se accelerare, ubi retardatur. VEut
enim Corpus in motu, nisi impediatur, co ipso persererat: non acceleratr La-
men, auc ex quiere in motum recucicur, absque causa policira. Per propL LL.
Cap. T.
Dico itaque tercio; celtante (ut dictum est) motir impellente, seu Compri
mence, Vim Elasticam, jam liberam, et (ue modo demonstrarum est) Vi priden
comprimenci aequalem, aequaliter utrinque se explicare nicencem, rim dimidian
seu alcerum mrP C. in Obicem impendere (utut irrito conatu,) alterum vero
mrD C in adrectum Cirare. Ouod icaque eadem Viz adeoque es cadem, Celeri
tate, Corpus A repellit, qua adrectum tierat. (Nempe, VI mTP C; adeoque
propter pondusm P, Celericate rC.) Nam vis Aiqualis, cidem Poncert applicata
Cadem CCIErItatE mOrCL; per pFOV. 27. Cap. Y
Dico denique; per eandem rectam repercuctum iri. Cum enim a corpore di
recte impinsence incrorsum Aectatur Elacer, idemque Vi Flastica in tiguram pri-
stinam le relticuas, per def. T. hujus, (acleoque eadem ria redeat qua premebatur,
candem Directionem Corpori reperculto imperrit quam inde acceperat, nisi quod
sIE ad parces contrarias. Quod itaque per eandem rectam redibit
Duodque jam demonstratum est, polica in Obice Vi Elastica: Perinde obtinet
B Vis illa sic in Corpore impingente; vel etiam in ucroque. Ouippe illud utcun.
que obtinet; Non prius fisti Vim Impellentem, quam aequipolleat P lateris (sive
Singularis, sive cremini,) adrerta Reliltenria; sed neque ulira persererare. Unde
Idem aliter.
ctig la eperirat.
monltraro habeatur.) Est autel m (RO CraVISA, pondete nL, d
erie Vis Flaceris relticutira. Ouae itaque  cque se explicate lalazatu adeo.
F. a
Si Flater nullus eset; SIstCTCtE MOTIS A, ad quierem redactus: Dex DrOD. T.
Cap. TF. Focus igitur qui deinceps emotus, es ab Blateris Vi recticurira.
vero semper aequalis est Ictus Vi (Cap. FT. prOP. 5. ee Segg. cradiix.) Vis enim
Elateri illata, Tetui (quem iocum sustinet) aequalis cst: quae ilaque Flaterem
consque comprimie donec hujus relistencia illi aequipollcat. Et quidem si retiste.
ret ve nudum impedimentum; quiesceret adthuc adrectum Grare: Cum vero Elatex
resistat, non ur nudum Impedimentum, sed uc Vis contraria, ec quidem tantundem
renirendo agens quantum comprestus pateretur; lirque hoc quod paritur, Tetui leu
Vi illaexe aequipollens: etiam eidem aequipollet Vis restiturira. (Ouod de in
propotirionibus sequentibus non minus locum habet, adeoque ee ibidem pro de-
Celeritate rC,) Ietus magnitudo (DeF PTOP. 6. Cap. FF.) 2m rZC: tanta isieur
que Vi dimidia leu  C i Ooteel llul IFIIO COnAL; de i adrectum  e
NmAMAM Z
item

## Folio 1020 — 851387705:1040
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001040.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
De Flatere,  Resilitione
Cap. XTII.
item dimidia mr P C repellendo: FriE, prOPTex pondus M Z, CeleritaS (FCLTOF.
Tum) rC. GuOd CrAT PEOPOLIT.
Aabuc aliter.
Cum nullus Forre sic tam Frmus Obex quin aliquatenus percultioni cedat; urue
tam exigua poltireste ea cessio ut omnem sensum Fugiar, adeoque merito negliga-
tur _ pronulla habeatur, et Obex pro immobili; (uc, verbi sratia, si mulca vel
pulex in telluris molem in aere vendulam insultum Faceret:) Si res ita concipia-
cur; demonltrabitur idem (mucaco propolicionum ordine) ex prop. 8. hujus: Ubi
suxponicur Amocum, in Bquielcens, sed non impeditum, impingere. Ouippe R
illic six A, ponderis m P (exisui) cum celeritater C; B rero ponderis n P (im-
mense magni) quiescens: Eric impingenris A celericas post conractum , p L n
c
PrOrtum, (Dex PrOP. B. hujus; ) hoc cA, (propier praeralentiam signi =,
ponicur enim n P mulco majus quam m P , d m f
Cretrortum; quod (PTOP.
ter exixuam de plane conremnendam ponderis m D maenicudinem respectu im-
menti ponderis n D) cancundem exie, hoc catu, atque -- rC = r C recrortum:
Reliqui aurem eraris B (per eandem prop. 8.) celeriras post contactum 2 M rCii
quxe (propter exiguam de plane conremmendam rationem m Peu 2 m, ad n nedum
ad m. Fn;) instar nullius exic; ut non immerico dici possic B immotcum qui-
CICCTE.
Sin ea suppositio non admittatur, sed OBex B censeacur plane immobilis; cen-
tenda enir ejus tirmitas aequipollere ponderi quiescenti sed non impedito n P infi-
nuco, (pondus enim tinitum non impeditum, nonnihil Taltem morebieur, Per
candem prop. 8.) Adeoque impinsentis A, Celexitas polt contactum (ibidem ex-
t
=M
=rC; quod cancundem est (PrOPIET F
hibita.) -, = r C rercortum, eric   s
st
nici m ad intinicum co, rationem intinice exisuam sive nultam, ) ac =rC = r C. F.L
m +1
m
. rC; quod
M +∞
cancundem est (proprer mtinicum, et n intinitum) acque  rC, seu Z r C, cele.
ritas nulla; quare _ B etiamnum quiescet. Prout aliasante demonstratum Fuerat.
SC TIOL TV M.
ON ienoro; plerosque Mechanicorum Vim neleio quam in Mou incepro
La Donere, qua (si procedere non possic) mutata directione (ctiam ab (que
nova causa) rehiliat. Cum vero hoc Crraris dictum videatur, (UE BOVS mOtuS
absque nora causa incipiat,) et Postulacum; aique muliis porro incommodis ur-
seri poltic: Id me porissimum movet, quod, unit nudum Impedimentum Mocur
tollendo sufticiar, (adeoque inceptum morum impedire valeat ne procedat;) quo
tamen concrarius ponatur, Vi Policira videtur OpuS: (Ber DrOP. LL, 12. C dP. I.
Cumque ea in Vi Lilastica praesto sic, cur illam relpuamus non rideo. (Praserrim
cum in Molli Corpore, vel etiam Fluido, in Solidum impacto, morum Silti videa.
mus, sednon Reflecti.)
Si tamen iltiusmodi Corpus lic, ut nec ita Molle sic quin aliquic habeat F. laltiex
Vircutis; nec ita incerim Elasticum plane quin fractis Elacerum tibris aliquot
nec tamen omnibus) figuram quactantenus immutari paciatur: Relilicio quidem
tier, sed imperfecta. (Supponic enim Demonstracio, cam Validam esse Vim F. la-
sicam, ut Vi Impelsenci lultivendae par sic, ab (que aliqua lui ruprione.) Sed et
idem quadantenus accidit ob Medii retistenciam: qua Mocumcum Directum, tum
Petlexum, sentim imminuic. Iiem, ob nacuralem scarium Descentum; qui se cum
reliquis moribus senlim intinuabir. Sed eas contiderationes, et (si quae (nE)
exrrinsceas alias, hic lccludimuS.
Nocandur

## Folio 1021 — 851387705:1041
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
 L
sert Restexione.
Nocandum etiam; vEut Vim Impellentem, quasi totam extrinseeus Impressam
Supponamus; adeoque celtare toram ubi ad A quipollentiam res redigitur: Fieri
tamen poste, uc ea parcim nacuralis lu, a Grarucace orta; uni cum deortum proji
Citur CorpuS impactum, aur etiam deortum cadens mocu naturaliter accelerato
cum acquirie Impecum quo in Obicem impinsit. Juod ubi contingit, modera-
tione opus exit. Separanda urique cA Vis extrinlecus impresta, ab ea qua Ora-
vicacis elt Simpliciter consideraix: Eaque cota perit; dum haec permanet, et Vim
Flasticam cacenus obcundie, quo Relilicio impertectior eradat de minori cum cele-
ritate; Ouin _ ranca elle porcst uc Filalticam Vim ita Luperet, ut quamris ali-
quauculum resursat (ob sublatam Vim exerinsecus impressam, qua etiam primitus
Comprimebatur,) non raleat ramen impactum corpus ab se abisere.
Sed d qui accelerando aequiritur Celeritatis gradus, separandus erit a naciva
praritare: Ouippe Crare acccleratum, ubi Objecto Obice ne procedat impedticur,
naciram quidem Graritarem recinet, sed acquisitam Celeritatent deperdit; acque
deinceps tanquam à Ouiere incipiens procedis, nulla ratione habita Ccleritatis pri-
dem acquisicae sed jam deperdita.
Sin (contra hane de Vi Flastica hypothetin) objiciatur; Omnia omnino Cor:
Pora Dura, hujusmodi Resilicionem leu Reflexionem admittere; et quidem ca
torrius quae Duxiora sune e tirmiora: Pieri quidem id ommino porelt, nec inte-
rim advertari huic de Vi Flaltica doctrinae; Nempe, Si e illa omnia Dura COr-
Pora, sincetiam Flaltica. Ouod quidni dicendum lc, non video. EE quamqua
quo Duriora Cunt, eo minus prestui cedant: cedune tamen; e, quo minus cedunt.
co torrius relistune, adeoque _ reperCutiUNE. Fc quamquam CaD. FF. (ubi de Per
cultione agitur) Duritiem praeclusa Elasticitare consideremus; (ue quid inde le
queretur demonstremus (I nulla esset Vis Elastica:) Non tamen id VOTMMUS IL VIIII
Filalticam de Duris simplicirer negemus; cum nulla Forsan sine Corpora ita sim-
pliciter Dura uc illam non habeane: (Vcur, ita Mollia, Forsan esse posTinc.) FF
quidem cgo (uc dicam quod res cst) ommino exiltimo; Vel nulla clé Dura COr-
Pora, quae non linc Elaltica; vel saltem (Liqua sint) ea inricem commista nul-
lam Reflexionem pari; Led obserrare leges Capiris XI. FEquidem in Marmore
Vicro. Liono. Fictilibus. Mecallis durioribus, aliisque duris innumeris, Vim FI
Ricam inesse; non tancum ex lono ediro (Bombo vel Tinnicum prout repercustio
cardior est vel expedicior,) auribus percipimus; sed Oculo, et Pactu, oblerrare
licec, ob cremorem urique nocabilem.
Lt
D.
Alterum rel uuque Elalticum: Kenutio, cacem Celexitate (et
in eodem PlanO) ita het, uI Angulus ReHexionis lc angulo Inci-
dentia aequalis.
Ncelligatur, in ABC planum tirmum,
Der OB rectam obliquam, impingens
Crare; Angulum Incidentia Faciens OB A.
Componecur hie motus Obliguus per OB.
ex duobus motibus (per DCOD. 6. C aP. 10.
altero Parallelo, ut OP seu AB; altero
Perpendiculari, ue PB. Ouorum quidem
ille (urpore parallelus) in ABC planum
neuriquam ottensat, neque ab eo impeditur:
adeoque eadem Celeritate qua prius proce.
det; Duca, quo tempore terebatur ab O A ad PB, eodem vel aequali fCrCTUE (X-
quali Tonsicudine) a VB ad OC. AIICTO verO (urpote perpendiculari) per
PB in A BC planum directe impinsit; adeoque, propier Vim Llalicat (INC
alterius sive uriusque Corporis) in B puncto Ineidentix, eadem Vi, adeoque de
eadem celeritare, directe repercuritur per B P. per prop. praeced. Hoc elt, eodem
seu aequali rempore tererur ab AC ad Oe quo ab O ad AC terebatur; hoc
NAMAMM 3
Si Crare motum,  OC Oblique impingat; sicque vet

## Folio 1022 — 851387705:1042
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001042.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
De Flatere,  Resilition
CaD. XTII.
eltus eodem Guo d Lb ad C. Adeoque per rectam B D. Per PrOP. O. C ap. 1O. Lot
PTOPICTCa, ProPter OP ipEI PO aequalem, ec. PB seu BP communem, (omnelque
aequali rempore transactas,) erie BP O criansulum criansulo BP L limile a
aequale, (et quidem, propier OP unam rectam, in eodem plano utraque:
Adeoque cum PBC angulus aequalis ansulo PBO, cum (reliquus ad rectum,
OBCi ansulus Retlexionis, (reliquo irem ad rectum) OB A ansulo lncidentia,
aequalis. Oux erant demonseranda.
SCHOF ZV H.
EIquis autem ex LHONIDUS (aut alius quispiam Firone major) qua Cur
limplicissimum morum rectum OB, ex duobus compoticum altirmem GTaTIS 
AuE etiam, E compolitum esse relim; cum tamen mille modis alus, aequo sulc.
dici possit componi; cur cso, reliquis polthabitis, hoc prae exteris modo compo
Licum, attirmem Craris; (nec Probem, cum Compolicum esse, cum hoc non alio
modo compoticum.) Respondeo, Nullum ita simplicem este motum polle, quin
in plures componentes retolri postie. Dum aurem hunc prae exceris modum le
ligo; utor cgo meo jure, qui (cum quamlibet poltim) eam adhibeo compolicio-
nem qua praesenti nesorio su accommoda. Neque probandum erie, Compolitio
nem hianc, unicam esse postitulem; sed, ex muleis unam. Liberum urique elt
pro suo cujusque constructoris arbirio, ex Veris innumeris ca selisete quae ad
rem praesentem conducant.
AEque hoc perinde obtinet (ue aliis compotitionibus rem Ilultrem) in aliis ac-
que in praelenti calu. Nocum urique elt, numerum 2, CompoM C+ 3X 4, Sed
e Cx 2 X 6, iem Cx PX 12, (aliisque modis innumeris per numeros tractos.) Si
de quo tic sermo, nulla hujulmodi compolicione constructum fuiste; led nula
Onicatum collectione; (puta, si coridem hommes virium collecti tuerinc:) Cur
itaque velim ego, numerum (addirione mera conttructum) mulciplicando com
policum affirmare Gracis? Ft quidem, si velum elle mulciplicando compolicu
cur Sc compolitum (Cx 2 X6) altirmem CTatIS, cum DOlLI eodem jITC CX 3X4
vel FXY2. Sc. componi dici: nec probem, Co DOtIuS moce lun CompoTuN
tum audiendus, inquam, est hic Objector. Annon revonendum ltacim rieas,
Non eo minus numerum +2 Cx factoribus 2 x6 compolicum clle, rel in eos relo-
lubilem, quod tuerit (hac rice) additione constructus: Ouippe cum consticutus
es numerus, uccunque constimatur, non ideo deperdit proprias affectiones. Ouoc
aurem non dixerim Cx Z x4, vel EXF2, Compoticum, (utut haec vera lint, acque
alias, ubi opns fveric, dicenda,) Sed Cx 2X6: racio in promben est: Nempe, non
quod reliquae compotitiones non lint Vera, sed quod ad praelcus resocium Cine
inuriles. Suippe non quarebatur nutuerus qui cum 2, rel 3, vel 4 CoS
itaque exponatur numerus 12, daro Dirilore 2 diridendus, e quaeratur Ouo-
ciens: AAeram CsO prOTinUS, numerum 1Z Cx 2 X6 compolicum; adeoque sumpto
Dirilore 2, Ouociens cric 6. Sin oggetat aliquis, Numerum hunc Duodenarium
Eed qui cum 2 compositus constituat 12.
e C ad B; vel ex A ad D _ D, ad B; vel CX A ad F e F ad B
men davto rationibus  ad B (puta L ad 2) _ A ad C (pura L adt:
Si Td.
Similiter; cum postie Ratio A ad B, mille mocis componi; puta ex A ad C
CItIOnES, UEuE rerx SinC, ad rem praetentem non FaCiUnE;) Scd, CX  ad C. _ C
ad B: Adeoque, si ex raTIONC  ad B eximatur (altera componencium) Lad C.
qua labus
quae lic rario C ad P: Dicendum erir, non quidem rationem A ad B compol
tam elle ex A ad D et D ad B; auc ex A ad F e P ad B: (quippe hxe compo
habebitur (reliqua) C. ad B; (puta 3 ad 2.
cur, religuis petuaritio atie lelegerim compolutonet, aliam reddendam csie
causam, quam quod hac lic pextenu nexorio reliquis accommodatior.
Siquis autem quarat; cur velim eso rationem simplicistimam, F ad 2, compo.
litam esse gratis altirmare d EF quidem, Cut HC COPOSIam, Cum alIIS HIIIIC H-
dis non minus componi pol. Cno en as ee ol quat
cur: Cum nulla Cic tam simplex ratio quae non postit in plures resolri: Neque.
Pat

## Folio 1023 — 851387705:1043
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001043.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
P
selt Restenione.
Non ueique quaerebatur, qua Coslare pondus mP, leu rP, sed qua 2 m D fe
Atque similiter omnino in calu praesenti. Ouippe cum constet motum OB
eundem elle cum eoqui componus ex Ot a lB, (neque enim hoc negabirur.
quidni dicam mocum OB ex OP et PB componi, aur (quod cancundem clt) in
hios relolubilem esse: (eodem jure quo, li conlter numerum L2 eundem esse cum co
qui componitur Cx 3 x 4 dixerim YZ Cx 3 r 4 componid) Ec quamquam muleis adhuc
aliis modis componi poltic; dum hunc prae exteris seliso ut nesocio praesenii
accommodum; ucor eso meo jure: Eodem uturus, li, exposito plano alio, aliam
selegero compoticionem. Ouippe si pro AB C exponeretur planum a Br; cuc
OB mocum, compotitum dicerem (non, exOP e PB, Scd) exO r _ n B.
A.
deoque,s proprer aequales O, rx, in eadem paraHela Lucla, l Bn IpI B re
Eequalem rel candem: ReRexionem tucuram elle in B X recta; Angulumque RC
Hexionis r B7, angulo Incidencia OBa sequalem. Elas auret (respective) com-
potitiones adhibeo, non quati alix non effent rerae; led quod, ex veris mulris; ca
seligenda sc (urrobique) qua adrem propolitam condueat. Id, autem hic, loct
Pariter; C expotici Graris, datum sic Momentum mr. PC, de dacum Pondus
2m P, gnaracur aucem Celeritas: Respondendum, non quidem mr  C = mP xre
vel ==r Pum C (quae quidem reca san, et ustuo duenda, sed nihil ad rem prxe
Tentem,) sed mrDC. = ZM L L =rC, Calue Ca Gua catH eslC ZrC
rendum Lc ill MOCMMuM habeatur MrP C.
est: ut eorum illud motus Obligui O B cui adverlacur planum ABC, vel a B
ab co leparc cut non adrEClatE. Guo ABH aricet Obllietur, quam resotrendo
mocum obquum in Paralletum et Perpelaeate.
Eltqueres haec tam Clara ue nulla illultratione putarerim indiguiste, si non
hoc ipsum serio objectum viderim a Viro cum itolibus non numeranco: Nempe
ab Fonorato Fabri, Dialos. Phytic. 2. P. 195; et Pract. de ptocu, lih. 6. et alibi.
ROP. II.
Si duo Ciratra luvicem aequalia aequali Celeritato sibi mutuo directe
OCCurranE; sintque (alcerum vel uccamque) Corpora Flaltica:
Ruc etiam, s Oraria illa suc Iuxqualia, scd Celcritates habeant recs
proce provortionales, (quo saltem Momenta sint aequalia:)
Reliliet urrumque cadem Celeritate qua accesserat, et per eandem
rectam.
dusrP, Celetitas m C. Auobu ultobis Calu) Momencum vriulvis mrp
ee limul ueriu (que 2mr P. C.. Duorum cum urriusque Vim Custineat Flater (sire
Lingularis sive seminus,) nec prius Aecti celtet quam hujus relistentia eorum. utri
que aequipolleat, (per demonstrata ad prOP. I. hujus;) cum vero Vis impellens
ad quierem redacta, adeoque deltructa,) urgere cesser: Plater Vi sua (impellenri
Dus aequali) aequalicer urrinque se expedire latasens, urrinque eadem VI (rotius
dimidia) mr Z Crepellic graria; hoc elt, eaclem qua adrehebantur; adeoque 
deuncem qua premebatur; mpole da am prultinam le relticliere lalasencem
Duod et in lequentibus propolicionibus parses incellisendum cric; adcoque d
ibidem pro demonstrato habeatur.
Ncelligantur, sic occurrentia, A, B, Bravia: quorum ueriusque Pondus sut mZ
ColexitasrC: Vel, illius quidem Pondus on P, Celeritas, r C; hujuo rtB FOH- -8. 562
eadem respective Celeritate; per per. Cap. L. o e i derinque LM po
M Celeritate rC, et pondusr D celeritate m C: (DFOPTEE Mr F C = m PXIC
dus mL, celeritare utrinquer C, (led acattas Patles:) Sin lecus: pondus
=r ~ XmC:) Hloc elt, eadem Celerirate ucrumque qua advenerat. F.c quidem
per eandem rectam (contracs motibus) Plopter Clatetem cacen Mecttone le
Luc uutct.
Si Flacer nuslus ester; Piltetelu s CGIC, ad gutetem sEuactUS; Pex PEOD.
. Cdp. LL. Mcbise Cocus qut aeCP Elt mocus, est ab Elaceris Vi relticucira:

## Folio 1024 — 851387705:1044
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001044.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
De Flatere, satione
Cap. XIII.
1024
m P celeritater C, e PondusrP celeritate mC: ut priuIS.
OUX CanEA semper est quanta est Vis LcH, (UL ad PrOP. L. Dujus, ostensum est: )
HlOc CH, in calu praesenti, (per PrOD. 7. Cap. TT. ) 2mr P C. Oux utrinque X
qualiter se expedire lacasens, asir utrobique urmr P C: Adeoque repellit Pondus
2t. LV
Si duo Craria Flastica (non ab inricem compresta) vel quieleant utra-
qne; vel utrague per eandem rectam ad easdem partes aequali cele-
eripare ferantur; vel denique Antecedens Celeritate majore; (sive
invicem concioua sinc, sire disjuncta:) Nullus Impulsus fet, aut
Elaceris comprettio; adeoque nulla proxterea moruum immu-
tatio.
Ouare et sn Graribus alias motis, communis addatur (vel auteratur)
Celeritas; nulla st inde impullus mutatio, (aut quae hinc sequun-
CUT) sed perinde est (impultum quod spectar, aut Flaceris comprel-
sionem,) sire adsic sire abtic communis illa celericas.
DRopolitio patet. Ouippe, s uiraque quiescane, nulla vis ucrivis intereur,
pullus obttruicur morus, neverum impellit reliquum, nullaque tc quae ab im-
pultu cec Elaceris comprectio, aut qua ab urroris procederet mocuum immutatio
pricam quae vel Celericarem spectet, vel Directionem,) ucur concisua tuerint ea
Graria: nedum Ei disjuncta.
Similiter, s terantur utraque ad ealdem partes eadem Celeritate. Ouippe,
Si disjuncta sine, manebunt adhue disjuncta, (et quidem eodem interrallo,) Propter
eandem ueriulque Celeritatem; adeoque ne quidem se contingent mutuo, nedum
impellent. Sin contigua sint; dum tamen Anreccdens eadem Celeritate fuxit qua
sequitur Insequens; urcunque nulla Vis infertur, nulla motus obltructio; adeoque
nullus impulsus, nulla comprestio, nullaque inde mocus immutatio. V
Sin Ancecedentis Celeritas suc major: tantum abest ur a segnius Insequente pre-
matur, ut hoc a tergo relinquatur, tacto incerrallo si tuerint contisua, et aucto
ubi disjuncta Fuerine.
Adeo ramen modo ne sine ab invicem compresca: Ouippe lihoc conrigerits Vis
Flalica, quamprimum porerit, se exserer, motusque immurationem eticiet.
Atque eadem rarione constabir Corollarium. Ouippe, qua Celeritate fusit An-
recedens, adeoque se subducens declinat ictum; carenus sequenti non obltat, ejutre
motum obstruit, unde sequeretur impulsus vel comprestio, (non magis utique
quam ubi sequenti contiguo se subducit antecedens;) Sed tora Vis impulsira leu
compreltira, aestimanda cst, ab exceltu Celeritaris seguentis supra Celeritatem an
recedentis ad easdem parres moti; qui idem utcunque erit quicunque vel addatur
vel auteratur mocus uerique communis.
Aliter.
DrOP. 7. CuP. LL. Frso, nulla Clateris compressio (auc quae hinc sequuntur) ut
quae Ictui aequivoller; per demonstrara aet prop. r. hujus.
Vel Sic; Ob motum communem, nullus sic Icus, vel ictus immutacio; per

## Folio 1025 — 851387705:1045
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001045.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
seu Restexione.
LO+. V
Si Grare motum, AEguali Ouiescenti (nec impedito tamen) directe
impingat; sicque rel alterum rel utrumque Flacticum: Mocum qui-
elCet; et Mnielcens morebitur, ea Celeritate qua fuerat prius mori.
FSco Crarium hujusmodi inricem aequalium, A, B, pondus ucriusris mP. Ouo- Fis. 30
rum B quiescat; eique directe impingat A, Celeritate rC, adeoque Momento
seu Impetu mrz C = m P XrC. Vim huice aequipollencem Imprimeret Flateri,
(cactem sciplu exVENS) qua (rOtenta) Flacer post repelleret ipsuum A (ad quie.
tem redactum,) modo B tirmum CAet: Per PFOp. F. Bujus. (Se raceam id quod
eltab Obice atque in Obicem revenditur.) Scd, propter non impediri B cestio-
nem, quam ab A recipie Vim Flater, eandem cedenci B protinus imvertir (nec
in se retinet, ut in catu prop. T. quo postit A post repellere.) Onde factum est.
uc impellens a (ri sua delticurum quam in Flarerem impenderat) Ouieleac; ea-
que VimrD C. (Elaceris incerrentu in B collata) propellatur B; adeoque (prop.
ter m P pondus) Celerirater C. (prortum,) quae luerat impellentis.
Demonstratio alia.
Suntohujusmodi Crraria aequalia A, B, quorum vcriuris Pondus st M P. AL.
que, in B quielcens, directe impinsar A, Celeritare rC; adeoque Momento seu
Impetu mr Z C. Ouo itaque, propter celtionem non impediti B, utraque jun-
etim ferenda essent (si Vis Flaltica abeslet) Celeritare dimicia, Er C. prorlum
DEODEEF MY Z C = 2M P XEr C,) per PFOD. 2. Cap. FF. Sed (propter Vim Ela
Pticam) Elateri imprimitur Vis relticucira ipsi mr P C aequipollens. (Nam quam-
diu Flaceris Aexio tacilius tiac quam utriulque Graris procellus, Flater porro Ae
etitur; ec qua Viflectitur, eadem proprer Vim Elasticam se relticuit.) Llacer
itaque, urrinque le explicare latasens (dirempeis invicem Grraribus) Repellit A
ViEmrPC: acque eadem Vi Zmr Z C. Propellit B; Adeoque (Propter pondus
utrobique m P,) A quidem Celeritate = ErC (recrOrtuM;) B vero, Celeritare
FrC (prortum. ) Scd. terendum erar A alio nomine (uc dictum cAt) Celeri-
re rC (prortum;) Frso, cum hoc nomine accedat Celeritas = r C. (TCtTOY
Tum 5.) quielcet A (seu nulla in ucramris partem Ceieritare movebitur) propter
FErC = ErC =oC. Verendum aurem erat B alio nomine (uc item oltentum
Cst) Celeritate =rC. (prortum;) Sed et hoc nomine provellitur item Celeritare
Prortum) ErC.: FrsO, coca Celericas est Er C. F EY C. = r C. (prortum;) hocett.
Ea quX FUETIL PEIUS MOEI.
V et sic brevius.
Posiiis ut prius; Ferenda cllent utraque sI Elater nullus Foret, Celericate : rC
prortum; adeoque utrumvis momento leu Vi ZMr PC; DeF PrOP. 2. CaB. TF. L. A
autem (per prOP. 9. Cap. LP.) ictus magnicudo mr D C; alque huie aequalis Vis
Elaceris resticurira, (per demonstraca ad, prop. T. ) qua se urrinque explicare (2
tagens, dimidia Vi cum Repellir A, tum Propellic B; adeoque ipli A imipercie Vim
EmrD C (recOruM,) et B, Vim + =mr D C. (prortum: ) quae S prius poL
eis respectire addaniut, sier Vis in A, =m1 PC = = mr ZC =0Z C; quod itaque
quiescet; in B vero Zmr PC = ZMr P C =m r~ C: (DFOrTUM;) quod iraque
(Propter pondus m Z:) Ferecur prorlum Celexicater C. qua tuerac ipsius A.
Aabue alia.
Suneo ea Cravia aqualia (uE prius) A, B; de quiescenti B, directe impineal A.
Celeritate rC prorlum. Incellisatur autem uliique Tuperactdi motus communis,
Celeritace = Zr C (TetTOrSuM;) quo hat Graris A CeloritaS rC = = Y C = ZrC
(prortum,) et Graris B Celeritas r C lretrortum.) Quo catu, terrecur A.
oolt contactum Celeritate = =r C (retrortum,) et B Celerirate L Lr C. (PrOrtum,)
Der PrOP. 3. hujus. Sed (propter communem motum nullius iultar impultum
quod specta, pec prop. praecect.) idem cxic impultus effectis in casu praetenci. Si
900000
IIaque

## Folio 1026 — 851387705:1046
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001046.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
De Flatere,  Resititione
I.
itaque in statum pristinum resticuaneur, dempra mrinque quae addebatur Celeritate
Er C, (seu, quod eodem recidit, addira Celeritare F rC. prorlum,) habebitur
Craris A CeleritaS = =rC fZrC =OC; _ Cravis B, Celeritas  Er C F ErC
F FrC. Hoc elt, quielcet A, ec Seretur B prortum, ea Celeritare qua tuerat iplius A.
SCHO. L IVM.
diftidam singulis (relimque Numero supprese quod Vi decst,) inest enim Cin-
(olixe ex Vi qua toret h Flater nullus elter, eaque quae ex Plateris Va reltuutra,
retur semper aequali, collisit Vim incesram, ) meis hypochenbus Cap. IL. lall-
tis maxime accommodata est, et demonstracio Geometrica (uci mihi videtut)
maximle genuina. Adjunxi camen ulrimam, in corum praelerrim grallan, qud I
Pochelibus illis meis (rix dum receptis) disticilius torlan sine absenturi. H2
Quipse mechodo (quam, una cum praecedente, sequencibus icem provosicionioits
accommodo,) qua, miltis aliis, ex Colis prop. 3. ec 4. hujus admistis (quas adis
chelibus, quas tamen cgo maxime genuinas existimo) nullus sc de propolicionum
illarum veritare dubicandi locus; ut qua non aliter a meis hypochelibus depen-
deac, quam quod ego inde probem proposirionem certiam hujus, quam alii gratis
poltulane. Sed ec existimari non absre Fore, urrinsque methodi consentuns indi-
Care: Adeoque Phaenomena Mocuum in FIypoches nostra, (ucur sint ex aliis prH-
Cipis deducta; iplaque Eypochesis nostra, in Pransactionibus Philosopbicis DOH-
modum rulgata, Societati Rocia prius fuerit exhibita ec Regeltis inlorta, quam eo-
rum vel rulsata tuerine vel extribitae;) eadem plane Linrcum Phaenomenis TTypo-
thelium D. Christophori Wrennii nostri, es D. Christiani Flusenii Bacari. Id uri-
que inverest; quod, quae illi rel poltulant vel ex obterraris nulla habita E lateris ra-
tione supponune; nos, iilateris ope, ex primis Principiis deducimus: Phaenomenis
incerim qux nos inde ratiocinando colligimus, iildem provenientibus qua ex lactus
lexperimentis obserrarune ipli. Or inde minus dubitandum sI, (cum lingulis clam
religuis, a diverlis principiis, e diversis mechodis ad eadem Phaenomena perrene.
PPures hic demonstrationes consessi (ux ec in aliis propolicionibus,) non quod
sulis lua Vis: Sed, cum pro rario lectorum sultu modo hic modo ille demon-
Itrandi modus placeat magis, ur quam magis velit Lector eligat. Prima quidem,
aut erant secunda (Ut alt BIOP. L. C 3.) Phylicam rei caulam masis explicant;
quam tamen in lequentibus parcinsprosequor, ut quae ab his dependent. Penulima
voltulant, porius quam provunt, lalea per le clalao aeperes to
satis comprobatas) seguentes 101o Casee essett. i (quicquid lic de illis hyvo-
TIUS,) Quin in rericare Phaenomenum consenclamus oMCs.
PRC L. VI.
Si duo Craria (Flastica) inricem aequalia, ferantur (per eandem re-
Etam ad ensdem partes) Celeritatibus inaegualibus, e consequens
(majori Celeritare latum) antecedenti directe impingat: FCrenEIE,
polt contactum, ad ealdem parres utrague, celeriatibus alternatis
seu inricem permutatis.
Fig. 301. CIt Grarium illorum aGuatIum A, B, ueriulris PoHat M L, Centas illius,
Tctri equalis, per demonstraca ad prov. F.) mr P C = m s P C = mI P C; per
PrOD TO. Cap. TF. Oux xqualiter uerinque se explicate nuens, vi dimidia = M 1 P C
rum Repellic A, cum PCopellit B; adeoque (PTOPeF POhdVo U Obique n F) Con
tert illi celexitatem - ELC. = - = =C (XetrOrTUM;) huiC, F 3IC = +.C
prortum. Sed et aliunde (H Elacex nullus ettec) serendum Foret uirumque Celericace
DrC = sC = TC; hujus sC: adeoque momentum illius, mr P C; hujus,
msFC; prorlum verague. Frirgye propterea Vis Elaceris restiturira (ucpore

## Folio 1027 — 851387705:1047
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001047.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
seu Restenione.
C; DEF PTOP. 3. Cap. FT. Oua utrobique addita, Fic Graris A, celericas
  = 5C; dt Gravis B, celericas   = C + +
HIoc elt, prortum utraque et celeritatibus permutatis.
Aiter.
Sint Crravia illa aequalia A, B; Sitque antecedentis B, celeritas sC; insequen-
tis A, celeritas (major) rC =sC. F FC. Cum ieaque tic utrique communis ce
leritas sC, tancundem est (comprestionem quod spectat) acque si uerobique ab-
eACC; (DEF PTOD. 4. hujus.) Adeoque Sequens A, celericatis excessii FC, imvin.
seret in B quiescens. Duo catu terretur B, postcontactum, celerirate LC. (quX
tuerat insequentis A,) A vero (quiescens utique) celeritate OC; DeF DFOP. 5
hujus. Si itaque urrigue reltituatur, qua communis fuerar, celeritas sC (modo
dempra;) habebitur celeritas A, OC. f sC =sC; et celeriras B, +C. fsC =rC:
HToc ct, terencur utraque ad ealdem partes, celeriratibus permuratis.
PROP. 
Si duo Graria (Flastica) invicem aequaliaque Celeritaribus inaequalibus
(per eandem rectam ad contrarias partes) sibi mutuo directe oc-
CUrTAnE: Ferencus deinceps ad partes contrarias, Celeritaribus in-
ricem permutatis.
FEe Cravium aequalium A, B, veriusvis pondus mX; illius vero cetericas, r. C. Fif. 302.
D(prortum;) hujus vero =sC (recrortum;) Sicque r. F 5 = 2. Frit momen
cum illius, Lmr PC; hujus, = msP C: Adeoque Elateris (qui utrumque sulti-
net) Vis relticurira (Tetui aegualis) m r~ C L m 5V C = n ZZ C: DET PEOP. TF.
Cap. TT. Oux, aqualiter se uerinque explicans, vi dimidia Z m 2 P C ucrumque
repellic; adeoque, propier pondus m D urrobique, contert Grari A celeritatem
22C = -
 C (retrortum;) ee Cravi B celericatem + L2C. =   +s
prortum.) Sed et terenda CranE vraque (SI F. later nullus eHtet) celeritare
==C; Per PrOB. 4. Cap. FI. Ouxe h urrobigue addatur; habebieur celericas A,
SC+-C = = sC (TetOrTuM;) B vero, . 1 Y = C. +.
(prortum:) Hoc eli, ad parces concrarias, celeriratibus permutaris.
Aliter.
C.- FrC
Sit Gravis A celeritas (prortum) rC = sC + EC; e Gravis B (eidem X gu
lis) celeriras =sC (retrortum;) qua sibi muruo directe Occurrane. Conigne
habeatur urinque celeritas sC, sed ad concrarias paries; terrencur polt contactum
(propier has celerirates) A quidem, celeritare = sC. (rerrortum;) B vero, cete
FITATE L SC (PTOKTUM;) Per DEOP. 3. hujus. Sin demi incetligantur celeritares
txe; relinquetur Ccrari A, celeritas + C, qua teratur in B ut quie(CenS: FL, prop.
tex hanc celeritarem, ferrecur B (prortum) celexirate TCi; et A (quiescens) cele-
ritate OC: per proP. 5. hujus. Oux li prius memoratis respectire addancur:
hrabebitur Celeritas A, = sC = OC = = sC (rerrortum;) e celericas B, + sC
F ZC  FrC. (DEORtUM;) IIOC elt, ad concrarias partes, celeriratibus DerMU.
FaFIS.
Mabus aliter.
Sinc Graria aequalia A, B, quae sibi mucto directo occurrant; A quidem ce
tericate rC. = 5C. = LC. prortum; et B, celeritate = sC. (rerrortum.) Incelligacur
0000002
AUeM
Pxop. V

## Folio 1028 — 851387705:1048
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001048.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Flater, o Resilition
antem utrique conterri (motu communi) celeritas L sC Prorsum; que tat le-
leritas A, YC F SC (PrONTUM;) B verO, = sC f SC = OC: (UE teraTUE A Ce
leritate rC f SC, tanquam in B quiescens.) Ouod si PONAtIE; CriF, POIL CON
ractum, celeritas A, OC; B vero rC F sC (DrorIum;) Der prOD. 5. hujus. Sed
ec idem erie (impulsum quod Spectat) in calu propolito. Si itaque ueringue
dematur (quae adjecta Fverat) celeritas  sC: habebitur iplius A celeritas
OC. -- sC = = sC (FCTTOFLIIM;) e B, celerITAS r C F SC -- SC = r C. (ptOF-
Tum:) Hloc est, ad contrarias partes, celeritatibus DermuUTaLS.
Cup. 2.IIL.
1028
PROP. VTIL.
Si Crare motum, quacunque Celeritate, in Crave quiescens (aequale)
rel inaequale) directe impinsat; (sintque Clastica, alterum rel u
trumgue:)
Celexitas, post contactum, Craris impingentis, ad cam qua PrIUS FuC-
eat, elt, uc differentia ponderum, ad corundem summam; (8 qui-
dem prorsum vel retrortum, prouc Pondus impinsentis majus est
auc minus Pondere quiescentis; sin ca sint aequalia, quicscet:)
Celericas autem Ouiescentis, Ret (Post contactum) ad eam quae fue-
rat impinsentis, uc duplum ponderis impinsentis ad candem pon-
derum summam. Adeoque s pondera tuernt aequalia, ea celexi-
tate quae Tuerat prins moti.
Fis. 300. J, Sio Graris A moti, Pondus m P, Celericas r C, ad eoque Momentum mr P C:
, Ec quiescentis B (cui directe impinsit A) PonduS n P. Fric Elateris, vis
2. M n
resticucira (idtui aequalis d im +   P C., PeC prOP. 12. Cap. LI. Dua aequali-
mn
cex urinque se explicans, Celeritare dimidia
rPC. tum Repellic A, cum
e
M
(retrortum;) huie (propcer pondus n P) Celericarem +,
m +n
rC
M. -rC (prortum.)
p+
Sed et aliunde terenda erant vtraque (S Elater nullus eset) communi Celeritate
m F n rC (PrOrtum;) per prOP. 2. Cap. FF. Ouxe si urrinque addatur, ha-
m  2
 4
in X
cortum PrOuE m vel n majus tuexit; nEuITa vero S fuerint aequalia, PTOPIeF
n - n = O:) e Celeritas B, F
a
rC.
M + n
m
m +
rC:
m F n Y C: EC
quidem, s m = n Celeritate rC. Oux demonstrancta erant.
Aiter.
Sic Cravis A, pondus mP; e Gravis B, ponduS n P: aique incellieatur A,
Celericare rC, directe impineere in B quiescens. Incelliguur irem dividi Ccteri.
tas rC, in partes ponderibus reciproce proporcionales; Nemper in Ln
rC
quae respondeas pondteri m P; et M-, C, quae respondteat poncerin P. A
M+
que

## Folio 1029 — 851387705:1049
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001049.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
ProP. IX.
que incelligacur porro uirique Tuberati Celeritas (quae B relpieic)
m L n
seu rancundem recrorsum addi; (dux communis vel addicio vel subductio
impulsus ralorem non immUTAE, Per PrOP. 4. hujus:) Ouo tiat Celeritas A,
m  rC = -, rCi; _ Celericas B, OC. -
rC -
ons
m+ n C --
m+  C.
quae itaque sunt Ponderibus reciproce proportionales. Revercutientur itaque
(Per prOP. 3. hujus) eisdem Celericatibus uraque quibus accesterant: HOC ett,
A, Celeritate =- rC, (FetrONTUM;) e B, Celeritate =
Cum.) Idemque erie impulsus racio in Calu praetenci. Adeoque si reltituatur
vis A Fucura Celeritas 
M + 1
C.
n f = rC Prorsum; habebitur Gra.
M. F. 1
rC = m = 1
m F  rC (prortum rel
retrortum prout m vel n majus tuerie; meura vero si sinc aequalia;) ee Ciravis B,
Cclericas- -rC +
M + n
M
2. M
m + n  C. = Im +. n
sed cestncta
PRO P. IX.
Si duo Craria (Flastica) urcunque vel A qualia vel Tnaequalia, et qui-
buscunque Celeritatibus, Ferantur utraque per candem rectam, ad
easdem partes; (ita tamen ut insequens, majore Celeritate latum,
in Ancecedens directe impineat: J Ferentur ucraque, POst Conta-
etum, eis Celeritatibuo, et ad cas parteo, quas subjectus Calculus in-
dicabit.
londitosit eestu
CTF Ancecedentis B, pondus n P, Celeritas SC prortum: Seguentis A, pondus Fie. 20r
Om P, Celeritas (major) rC = sC f sC. Frit F laceris Vis relticurira (Ictui
aqualis)
2. M 1
p+n
mn
cans, adeoque vi urrinque dimidiar in F
Celericarem contert. -
Celexitarem H m F 
1emr. Lns
lus clet) Celericare communi
n S 2 = m
FCi Crari a, propter pondus m P,
el sceita F
En pec prOP. 3. CaP. 12. Ouae ilaque b
uerobique addatur; habebicur Craris A Fucura Celexitas, - - 
mr. = n5 = nt mr-  nr. F 2n5
m. F n
m L n
mr FnS
m + n mtn
C (prortum vel retTONSIM, PTOUT L8
num f vel = praeraluerie, adeoque neurra si aequipolleanc;) _ Craris B, Ceteri.
M
123 -- +C
mr. Lns m+ L mr +ns
2mr- ms +ns
mtnmtn mn min
ostendendum erat.
hanat
0000003
Alter

## Folio 1030 — 851387705:1050
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001050.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
e Liabere, Restlitama
Aliter.
Sit Gravis A, pondus mD; Graris B, pondus n D: _ Ferantur utraque per Can-
dem rectam ad ealdem parres; pura, prortum utraque: B quidem, Celeritate sC;
A vero, Celeritare (majore) rC =sC F +C, acque in B direete impingar. Intet.
ligatur aurem, motu communi, urrigue derracta Celeritas sC, (Oux, cum commu-
nIS SI impulsum non mutabit, per prop. 4. hujus.) Duo facto, B act quietem re-
disetur (propter SC = sC. =OC;) eique directe impinset A, CelericaterC. -
SC = + C. Duo calus Terretur polt contactum a Celeritace 
n+
TC (Prortum
2M
rel rerrortum prouc m vel nmajor tuerit) B vero Celexitate
p. 
TC (prortumi)
Der prop. praeced. Cum itaque eadem sic rario (impulsum quod spectat) in calu
pralenci: Si restiratur urrobique, quae modo ablara elt, Celeritas SC PrOF.
mr- nr + 2ns
m - n
M + 1
nt ms-nt L nS
m+n
mf CCprortum rel recrortum, prour sienum L vel = PraYA.
2m
lueries adeoque neura si aequipolleane; ) e Chravis B, Cctericas   2C + sC.
2mc + ms tns 2mr-ms +us C prortum. Oc prius.
im tn
m +n
eRO P. X
Si duo Gravia (Flastica) urcunque vel Aqualia vel Inaequalia, ee qui-
buscunque Celeritatibus, per eandem rectam, sibi mutuo directe
Occurrant: Ferentur utraque, post contactum, eis Celeritatibus, et
ad eas partes, quas calculus indicabit.
F18. 302. C Ht Craris A, pondus mP, Celeritas F rC (prorsum;) et Gravis B, directe
 occurencis, pondusn P, Celeritas = sC (retrortum;) sirquer + s = 2. Frit
Elaceris Visrecticuira (urpote retui aequalis
2mB
m +n
Ouxe aequalicer utrinque se explicare sacasens, utrinque dictribuic Vim dimidiam
Mn
m F  C. Adeoque Crari A, ProPcer pondus m P, celericatem contert
m F ~C (recrortum;) et CrariB, propier pondusnP, celerirrem +
m
-2C
(Drortum.) Sed aliunde terenda erant utraque (s F. later nulus cAtet) celeritate
BX RS
m. =. n C. Der prOp. 4. Cap. LI. Oux itaque s utrobique addatur; habebitur Cravis
A Sucura celericas - - n - 2 , nr - ns  mr - n2  ns - 1r = nr - 2n 5
m In
mFn
mtn
m. F n
(prortum rel recrortum prour sienum L vel = praeraluerit, adeoque neucra
2mr. L m5 = n 5
M. L n
M
ia
m +
Mr- B5
mtn
mr L MZ ns
m Ln
C (prortum ilem vel retrortum, PrOut praeralueris signuI
f. vel -, 2d eoque neurra si xequipolleant.) Quod oltendencum erat.
Cap. XIII.
Niter
2

## Folio 1031 — 851387705:1051
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001051.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
PrOP. Z.
seu Restexione.
liter.
Sic Gravis A, pondus m P; Graris B, pondus n P; quae sibi mutuo directe oc-
CUTTaNE: A quidem celeritate rC (prortum,) B rero celeritate = SC (PetTOxSum:)
Sitque r. L5-=2. Intelligatur aurem (mocu communi, qui itaque impullum non im
mutabit, Der prOP. 4. hujus,) addica uerique celeritas = sC (prortum;) quo redi
BacuC B ad quierem (prOpTer = sC =SC. OC;) cui ut quiescenci impinsat A celeri.
tate rC F sCi = 2C. Duo casu Ferretur, Post contactum, A celeritate
ia
m.  = ZC i BVC.
x f 2 C per PrOP. B. hujus. Adeoque, dempra urrobique, qua
modo addebacur, celericare sC; habebitur Ciraris A, fucura celexitas.
 Dec OIdeE GSLBC LEIE
M 2 = M S  R Z = B S
MY  MY= 2N5
.13 CC. 2  B. 5 Ce  Lili 1m =n
2 = n
BCi-
C (ptortum vel retcortum
prour signum + vel =praeraluerit; neurra si aequipolleant:) ee Craris B, celeritas
2m 
m +  2C - sC-
2M Z.  M 5 L n 5 2mr +. m5 = n5
m. = n CD  m Ln
C lprortum irem
velretcortum, prout liguum F aut  praepolleae; neuiia ( aequipolleant.) Ouod
Octendendum cxat.
1s
deo a
eti site
Fere
it

## Folio 1032 — 851387705:1052
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001052.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
032
De drosaticis
Si Cirave Fluidum (d latete C omni parre ee tundo ne clluat, conclu-
Lu, e ab alia Vi liberum;) superne vel non prematur, vel aequa-
liter plematur ubique: Rechnebit illud, suvernam superticiem quoc
spectat, litum Forizoncalem, seu porius Sphaericum, Telluri con-
cencricum: (qua hric Pro eodem habentur.) Atque inde detur-
Sin suxerne premacit naequaliter, (plus alibi, alibi minus; ) 5a parte
qua majori prectu ursetur, Descentus het; partibus ita pretis, alias,
quae vel non presta sunt, vel minus pressae, loco suo decrudenti-
bus; quae itaque, pro illo descentu, actursent.
Ouodque de Sciperticie suprema dictum est; alii cuiris (intra Aui-
dum) paraltela, similiter accommodabitur.
sto Graris Fluidi (vare conclusu, et ab alia Vi liberi,) Superticies AB
Plala LAOTIZOntaliS, (Considerato scilicet Terrae Centro tanguam in infi-
snita distantia, adeoque rectis perpendicularibus ut inricem parallelis;) seu
vocius Sphaerica Telluri concenrrica, (qua hic pro eodem habentur,) quo par-
ces ejus omnes lint aequaliter alta, seu a Terra CentrO reMOtX, (per PrOP. 3.
Cap. 2.) Sitque Superne vel non prelta, vel aequali-
ter ubique prella. Cum itaque partes inferne politx
Turlum (Propter Graricatem Luiam) non nitantur,
(DeF PFOP. E. C ap. 2.) quo postic superticiei hujus
pars ulla elerari; nec locus intra (F (urpore qui xque
graribus jam occupatus cst) quo postit descendere;
neque sr quod superne depriiat, (I nON PrEatUT:
vel taltem quod hic magis quam alibi deprimat, si
aequaliter prematur; nullusque Ca proptex tat mOTUS,
t FOP. 8. Cap. 2.) nihil est quod superticiem illam decurbet, quin reti
MeacuI.
Et Glidem, h extra hunc situm, externa Vi, deturbetur; ut sic pars alia, pura
D, Caeteris alrior: se iptum, ad licum debitum, graritare lua reducet tluidum
Ouippe pars illa D, parrim deprimet (cum graris (ic) Subjectas partes (ut polt
dicecur,) Partim (cum Auida lic) disstuee in parces humiliores (propier Delcen-
sum qui sic obtinebitur, nec a partium connexione impeditur, urpote Auidum)
per PFOP. P. Cap. 2. Aeque hoc (ob eandem causam) quamdiu pars ulla ma
net reliquis altior. Redisetur isiur ad sicum LTorizonialem, seu (quem dixi-
MUS) Sphaericum.
Sin aliquid hic accidentarium contingat, sive propter Fluidi tenacicatem seu
lentorem; sire quod tuperne premens non ita commode le pollu omnibus partibus
accommodare, (quae cauta esse porest cur Hydrargyrum in vase riereo protibe
Tec;) Sive ejusmodi aliud: id hujus loci non est; sed a praelenri consideratione
praecludendum.
Si qua vero Tui parte Prae exteris magis prematur, ut in C; puta proprer in-
cumibens D Crrare (quod faltem grarius sic quam cancundem incumbenus Aeris
aliutre
batum, Capte se Graritate co rectituet.

## Folio 1033 — 851387705:1053
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001053.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Prop. II.
De TGydrostaticis.
aliutre quicquid sit aequaliter prementis,) ant aliam utcunque vim achribicam:
deprimentur Ruidi parres in C, Lurgencihus alibi aliis, quo locus har deprestis.
DeT PEOD. B. C ap. 2
Ouvdque de superticie AB oltensum est, similicer ostendetur de quaris alid D.
intra Duidum eidem parallela, ut R. F; quae scilicet Cic Sphaerica Perrae concen-
crica, seu (quod nobis hic tancundem Geniticat, ut ec in sequentibus,) Planum
FTorizontale, (contideraro scilicet Terrae cenero tanquam in intinira distantia.)
Nempe, si aequaliter ubique prematur, (a Auidi parte superiore, e liguod aliud
C superne, rel incra Auidum, rel Auido innatans,) situm rerinebit; sicubi vero
masis premitur, puca in C, ab incumbence EI, (quod grarius sic quam Fluidi
cancundem cujus locum occupati) ibi deprimetur, sursencibus parcibus minus pref.
LIS. DeF prOP. 8. Cap. 2. Ut prIUS.
Aique tine, uc cocidem Corollaria, interuncur propositiones sequentes.
Si Crare D, summae Ruidi superficiei AB horiconrali, in C incum- Fi8. 312.
bens, aeque sraritet atque tantundem Aeris circumpositi, (aut quie-
quid sic quod Aeris inttar ettu aequalirer prementis;) retinebic AB
licum horixontalem.
(Ouod de Aere hic dicitur, et sumiliter in sequentibus, similiter in-
celligendum erir de alio quoris quod Aeris instar eA; puta li A-
quae Cupernatet Oleum, vel Spiritus rini, vel horum aliquodIIY.
drarorro, aut aliquod simile; nam et hic eadem est ratio.)
CEquitur ex precedente. Ouippe cum C. cancundem pracise premacur ab in-
Dcumbence D, acti hoc sublaco cancundem Aeris cireumpotiti (aut quod AC.
riS instar est) eundem locum occuparet; aequaliter ubique premitur.
P R O P. 1LL
Sin illud D minus sravitet quam cantundem circumpoler ACrIS, auF Fis. 31L.
quod Aeris instar sIE, (nec avolet tamen, aut ab Aere circumposito
Tursum pellatur:) Asturs ene subjectae partes C, (urpote minus pref.
(a) Subsidentibus aliis.
Cui quidem Ascensus partium C luubjectarum, cousque persererabis
(nec diucius) donec Auidi partes sic ascendentes compensant ipsius
Dleritatem, ut aggresatum ipsius D partiumque sic ascendentium
aeque graritet atque tancundem Aeris, aut quod Aeris instar est.
Equicur ex prima hujus. Duippe dum (proxier incumbens D lerius quam Fis. 312.
Drancundem Aeris, aut quod AerIS instar elt, uc ad prop. praeced. expolicum
et) minus premitur C quam superticiei AB partes reliquae; allurgene partes
C Subjecta, vrpore minus pretae: (Der, prOD. T. Hu-
jus:) Tublidentibus aliis. Idque cousque donec quod
Auidi sic ascendit, ue K, una cum D, tancundem B.
mul gravitene, quancum circumpoliri Aeris (aut quic.
quid aliud siE ita circumpositum) cancum, quantum
urriulque locum impleret. Donec enim id Fc, minus
DrEMIEUT; CUu VerO, aqualitEE CUM CXTCTIS IpFIUS AB
DaxtibUS PreMetuE.
Dico autem, Si non avolet D, aut ab Aere circumposito sursum pellatur. Ouo-
niam si a circumpolico aere non aliquo modo delendatur, D Lerius sursum se
EPPEP
Fig. 312
AElut

## Folio 1034 — 851387705:1054
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001054.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
ap. XIV.
retX, (sire a levitate sua, ut diei POICE; AVC a CHCLLNVLIO ASC SIIII pulla,
quodporius dicendum est;) deserens eam cui incum bebat luper LB, g
propierea sic alcendent Auidi parres subjectae, Aere ipso (depulso D) aequili
brium restimente. Si vero ita ab aere circumpolico detensum incelligatur D ne
hoc tac; demonstratio locum habet. 1
De TGdrostaticis.
Fis. 31r. Si illud D plus gravitet quam cantundem circumpositi Aeris (auE
quod Aeris instar est,) s a quam cancundem Auidi sub-
jecti: innatabie D; led depres couque Parciorto C subscltio do-
nec cum sicum obrinue D, ut aequieravitet aggresato ACrIS et
CEquitur ilem ex prop. F. BuIuS. Dexrimencur enim partes C subjectae, ouia
ad (DrOPteE D grabsus quam cancundem Aeris) masis premuntur, allursentibus
quae minus premuntur, upoce ab his depultis: idque cousque donce licum altis-
natum obtineaC; quixpe Landiu MiNUS. PTCMUNEUE
Tubjecta Partes. Obi vero coulque vervencum cAt ut
ipsum D aque graritet aique tancundem subjecti
Fluidi quancum impleret locum immerlae parcis R,
acque cancundem circumpolici Aeris quancum imple.
ret locum parcis eminencis L: non ultra sublidet, sed
innatabit; quippe jam contigua superticies horizon-
calis F F, tancundem premirur in Ci, arque si locum
I occuparet Aer, et locum R subjectum Lluidum; adeoque superticies F. F est. X
subjecti Fluidi quorum locum occupat.
tlcsuer.
qualicer ubigue prCtd.
e ROP. V.
Si illud D, vel F, non moco plus oraritet quam tancundem circum-
polici Aeris, sed et quam cancundem subjecti Fluidi: Nergetur De-
nicus, ad fundum ulque Tubsdens.
bi8. 3Fr. C Equitur _ HOC ex prop. Z. hujus. Sive enim in summo incelligatur, ut D prC.
Dmens parres C; sive intra Auidum ubiris, ut II premens partes G; utcunque
deprimet partes subjectas. Nempe partes C, quoniam prarius cA quam cancun-
dem aeris; et partes E (in quacunque Duidi protunditace) quoniam scarius est
quam rancundem istius Auidi; adeoque C vel er magis premitur quam si abesset
D vel EI, ejusque locum supplerer cancundem Duidi; de proxterea magis quam su-
perticiei L. P partes alia. Arque hoc, donec ad ipsum FuIdUM PETVENITUE.
SC FTOL. ZV M.
Teri quidem porest, (E Auidum illud non sit in omnibus sui parcibus aeque
Lorare, sed prove Fundum grarius quam prove summum,) uc non ad fundum
usque mergatur HI; urpore srarius quam Duidum in summo, sed lerius quam
Auidum in imo. Verum hoc demonttrationem non curbat, quoniam ubi eo ver-
venicur, non jam plus graricat H quam rancundem subjecti Auidi. Idemque alibi
incellige ubi opus exis; auc quod huie aequipolleat: ne opus lic istiulmodi monicum
lapius intinuate.
ROP

## Folio 1035 — 851387705:1055
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001055.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
 csatsuai.
eROP.
Si immertum H, minus Gravicet quam cancundem Duidi cui immer gi- Fi8. 31I.
tur; masis autem quam tantundem aeris (seu quod aeris inctar est:)
Surtum propelletur; idque cousque donec cum obtinuerit sicum, ut
aeque graritet atque tantundem Fluidi ex tantundem superpositi AC-
ris (seu quod hujus inctar est,) quorum respectire locum obtinet
Timul Cumpta.
Sin Pracise quantum tantundem Aeris (seu quod hujus instar CA,)
aut eo minus: alurset ad Auidi summam Cuperticiem, aut criam
altius.
t di
DEquicur item ex prop. L. hujus. Dummodo enim immertum H, minus Cra. XiB. 3 13
ricat quam cancundem circumpoluri Ruidi; minus premitur Ci quam luper-
ficiei concisux L. F partes alix; adeoque parres ad C, simul cum H, Tur-
Tum pellentur a parcibus plus pressis. Arque hôc cousque donec ad Situm altis-
natum pervenitur; quoniam tamdi minus premitur G5. UBi vero eo perventum
Cst, ue ipsius FI seu D, pars exera Auidum ita emineat, uc eocum simul tancum
praecile graricet quancum tancundem Fluidi illius cujus locum occupat pars im-
mersa K, et cancundem Aeris cujus locum occupar pars omerta I, (qui calus cAt
propolicionis quarcae;) ibi perstabit: quippe jam superticiei R. L contisuX, Par-
Les omnes xqualiter premuntur.
Sin aque gravitet acque cancundem incumbentis aeris, (auc quod aeris instar
est:) Feretur ad summam Auidi superticiem, ibique consistet; (qui cst casus
PrOP. 2.) nam eousque minus premuntur partes subjecta.
Sin minus adhue grariter: aue arolabe, aut Turtum pelletIT: PeT PCOP. 3.
hujus.
SC +FO F YV M.
Tocandum incerim erit; id rancum hic in considerationem renire quod ex
aGraritate simpliciter considerata provenit, non vero quod aliunde ex Im-
pulsu seu praeconcepio Imper oritur. Si enim id in considerationem veniat, res
omnino secus exit. Ouippe Crare, utur lerius quam est cancundem lubjecti Aui-
di; E Vi dejiciatur aut deprimatur, vel, proprer acceleracum grarium descentum.
vim cadendo conceperit; non stacim in Auidi superticie haerebit, sed alcius im-
MerBETIE, PrO impetu quo prius ferebatuT. Et similicer, si submertium Grare
utue lerius sic quam tancundem Auidi, ee grarius quam cancundem supervositi
aeris; dum tamen rel Vi surtum pellitur, vel, PrOPICF InCEDEIM mOtuI. ive.
cum conceperit; etiam exera superticiem Auidi alcius in aerem protiliet. Sed eam
Impecus considerationem hic loci praecludimus; ut e in sequenribus. Ougn.
quam enim certum sic rem ita Fore; iamen, post ribrationes aliquoc hine inde ab
impetu factas, ubi ad quierem redacta res elt, cum tirum obcinebit quem indjez.
mus; ee quem, s impecus alcicruus abettet, facim aACqUCTCTUE.
tur: situm quem habet recinebit ab lque rel ascensu ret descentu.
LEgu IE CX PrOP. T. hujus. CMIPDC Cum cancundem praricet acli, e0 ab. Fi8. 3TT.
Dsence, locus Auido suppleretur; subjecta superticies neque magis premitur in
C, quo hie ab H deprimeretur; neque minus, quo hic alturserer iplumque H pro.
pelleret.
L eeeeP2
adci tLO.

## Folio 1036 — 851387705:1056
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001056.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
 sreslaticis.
Cap. XIV.
dC FOF TV M
Ecundum has leges; reddenda eric racio rariorum in Experimento, Torricettiano
TUInE qua sEquunET.
 dicto, Phaenomenum. FF quidem, in eam cautam, haec olim scripta erant, et
Societati Reciae Fondini extribita, Augusti +3 e 20, 1662. quo plurium Rxperi-
mentorum, hbidem cum cemporis agicucorum, racio sraciea redderecur: Qualia
ejus Orificio C intra superficiem subjecti lydearsrei AB, (obty-
rato aliquandiu orificio C anec sic immersatur, ne TIydrarorrum
invertendo coua alsce cu rectulo;) atque in eo situ sultineatur.
Si Firclarorrum cubo contentum, quod superticiei AB eminet, plus
craritet in subjectas rartes C, quam prestus incumbentis aeris in
reliquas ejusdem AB ParteS; Ret descensus in C, depusis quae à la-
tere lunt partibus minas plesis, etiamsi a pressu superincumbentis
aeris, clauso in D tubo, aesendatur FIydrarorrum tubo contencum.
Oui quidem descettus cousque persererabit; doncc, eAuente FTy-
crarsrri parte (relicto lucra tubum spatio D P racuo HIy dearorri,)
e Turgentibus (ProDur Hunc eAuxum) superticiei AB partibus re.
liguis; quod in Tubo reliquum eAt TC tantundem premat C quan-
cum Aer partes reliquas ipsius A B: cumque sicum retinebit.
Datet ex praecedentibus. Ouippe dum
LHIydrargyrum cubo contencum (ut-
ut ab Rere Superne detentum) pluS
DEEMat C quam ab RETE PTCMUNEUE
Partes reliquae, deprimetur C: (hydrar-
Syro etuente:) ubi rero eo perren-
cum est ve hydrarsyri reliquum C I
tantundem prEmaL C, quancum pre
muneur ab aere partes reliqua; (PFOP.
ter aequalem ubique prectum,) situm
illum rerinebit. DET DEOP. E. hUIUS.
SE HOL +V M.
Teo aurem, Spatium DF vacuum Fpararerri: non enim hie liber (neque
opus est ad praesens negorium) disputare, num sit simpliciter racuumm, necne.
Siguis enim releraris alterat, vel aliunde probatum eac, materia aliqua repletum
else, quod rel pondus nullum habeat, rel nullum quod in sensuum noltrorum ob.
terrationem incurrac; nobis illud hac in re neque obest neque prodest.
Dico etiam plus sravitat, ee tantundem eravitat, pocius quam plus aut aeque
Ccare est: Duoniam quae in se aeque oraria lunc, pollume ramen pro vario siru in.
aequaliree sraricate.
Ouibus PoMtis:
Sit FIrdrarorri, subjecto rale contenti, superticies HTorirontalis AB
externo Aeris prestui exposita, acque Tubus CD, (clausus in D, e
apertuS in C,) hydcarorro impleatur, et dein invertatur; immerlo
Atesoe

## Folio 1037 — 851387705:1057
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001057.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
PrOP VTII.
De Tydrostaticis.
Aeque hic occurrit primo expedienda difficultas;
Cur, S Tubus crectus DC, in sicum obliquum re
clinetur uc CEF, FI drarorrum nihilominus inibi
contentum F. P in lieu obliquo, in eadem altieu.
dine perpendiculari consistet acque C.I in TItu
crecto; cum tamen (propter LE. longiorem quam
CI) Tuspentum Hy dcarerrum F F. plus sit (adeo.
que grarius) quam C I.
Flaec autem disticulcas facile Colveretur s non
Subelter lacentior alia. Ouanquam enim verum HE, C
majorem este erecto C.I, et plus Hydrarsyri concinere: tamen non minus incerim
verum elt, Balin eriam ampliari; nam esuldem Cylindri sectio Obliqua F (F. I.
lipeica) lonsior est (nec lacior tamen) quam Pectio recta (circularis) C; adeo-
que balin P. in eadem ratione majorem esse bale C, qua recta F. (elsipleos AAIS
major) lonsior elt, quam C recta, Circuli diameter, cademque FIlipseos axis
minOr.
Sed et (quod mox demonstrabimus) in eadem racione proloneatur C inF, qua
prolongatur C. I in P. F: Ornon suc mirum super majorehale (eltiprica) plushy.
drarorri Pustineri (ex quidem in cadem ratione plus) quam super minore (cir-
culaxi) C; utur C. et . Sine ejuldem Cylindri sectiones. Si aurem incelligatur,
super eadem base F, Cylindrus P. I; invenietur ejus portio aeque alia L. LL, tan-
tundem hydraroyri continere acque P. P; propter Cistindros (aut Prilmata) Cuper
eadem base aeque altos, inricem aequales. AE verojam, Cirlindrus (seu Prilma)
E. IL (proxter majorem balin) major exit quam CiL; atque in eadem ratione major,
qua balis base major clt.
Ouod aurem eandem rationem habeat C ad
E, quam C. P ad P F, Sic octenditur. Incetli-
Bacur Cylindrus C D Cuu crecto sectionem ho-
rizontalem habens L. CM Circularem, obli-
quam vero VCO ellipticam: atque reclinetur
Cylindrus hic in licum F. C, uc lectio illa NCO
jam tac in sicu NV B. O horizontalis, cui insillat
Cylindrus F. P inclinacus crecto P. TI aequalis
(propter eandem urrobique cum balin cum al
ticudinem, ) iptique CP aeque altus. Manite.
Itum elt (demista, in NFO rectam, perpendiculari FC,) propter equales an.
BulOSF FC, L NF, (quorum alte cum L. E. N, alcer cum huie verticali, complet
rectum,) adeoque limilia criansula rectansula F P. C, F. N L; eandem habere
rationem L. F ad F C, hoc est, ad CI; quam habet N E ad E. L, seu NO ad L. M;
hoc est, quam habet balis E. ad basin C. Ouod demonstrandum suscevimus.
Sed nora hine Tuboritur dissicultas. Ouippe cum super eadem base F, Cytin-
deus F HI in simu crecto, tancundem concineat Fydrarorri quancum in sicu obli-
quo FF; quidni magis in balin illam graviret E HI quam L. F, propter Descent
tum illic Decliriorem, (Gravicane autem aequalia Pondera in ratione Declivita-
cum, seu reciproca rectarum aeque altarum, Pex PrOP. 29. C aP. 2.) adeoque, quidni
BaLis F in sieu obliquo P. P plus hydrareyri Cultinere raleat (et propterea Cylindrum
alciorem) quam in licu erecto FII.
Verum et hic paria paribus compencanda Tunc. Ouippe, ut Fydrars yrum per
descensum obliquum PR. minus deortum premit quam per FC vel LIF (perpen.
dicularem) premeret; sic de vistursum in P. (quae Hycraroyrum Sustinec) mi-
nuS PremiE Turtum per L F quam per P. FL premerer; ee quidem in cadem vIrO-
bique ratione, proxier eundem urrobique obliquicatis angulum F F C sCu FF II.
Adeoque non minus ralet Vissurtum in P. Secundum diectionem suam F. LI di-
recte lursum premens, fustinere pondus Elydrareyri secundum directionem Lian
FIF. deorltim prementis, quam Vis eadem per F. E directioni suae F HI obliquam,
pondus idem per PE. directioni lux FC pariter obliquam deprimens sustinere;
propter vires utrobique in eadem ratione diminutas
Vel lic idem explices. Ona ratione impeditur descensis hydrarsyri, recta ten-
denris deortum, a lacere MO (producto) pondus illud parcim sultirente, ea
PPPPEDS
dem
idium reclinatum L. F

## Folio 1038 — 851387705:1058
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001058.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Cap. XIV.
ducto) NI. eundem partim coercente superne; (propter candem utrobique ob.
liquitatei,) adeogue Cactu iscia prius erac, manebit racio prectuum contrariorum.
Superest adhuc alia difticultas expedienda, quae non tam ex Sitri, quam Cx FI
Sura cubi seu vasis luperpot oritur. Conliderarimus enim hactenus Pubos su-
Derpolitos tanquam Cylinaros seu Prismata, ejusdem ubique Crallicici; (quod crat
necellarium ubi de mole seu pondere suspensi hydrarorri agebatur:) Porest au-
tem superponi Tubus seu Pas cujuscunque figurae, quod vel plus vel minus hy-
draroyri concinebit quam Cslindeus scu Prilma luper cadem base aeque altum;
alcicudo camen sulpenti hycrarsri in omnibus eadem exit.
Verbi gratia; In cubo Capitato CFI, atque in
Acuminaio C. K, eadem cxit Hydrarsyri C L aLEI
rudo, acque in Cslindro illic interipio hic cireum-
fcripto.
Causa est, quod illud FBydrarorri quod in CII
extra Cylindrum est, non tam a C Tultinetur quam
a cubi parcibus seu laceribus libi Tubjectis, quipre
quibus sic manentibus non pocerit illud nili a latere
lacum iri quo delcendat: Fle autem ad lacus Feran-
cur Flydrarsrri partes, (livo qua in Cylindro C LI,
sive quae extra illum,) le mucuis occurtibus e con-
crario nisu impediune, ut nihil a C. Fultineatur praecerquam quod est incra Cptin-
deum CFI. Dummydo enim quod intra Cylindrum est ab aequipollente Vi in C
Fultineatur ne decidat; d quod extra est, similiter a Tubi laceribus: perinde est
acli solido fundo, sed minime plano, coereerentur utraque; quo polito, superticiem
Tupernam Fiorizontalem Fore ad prop. L. hujus octentum elt.
Simili modo; quanquam, in cubo Acuminato CK, minus concineatur FIydrar-
pyri in crunco C. F quam in Cylindro huic circumleripio; actatmen non alrius
alcendet in illo quam in hoc. FIydrarorrum. Ouippe, quancum ad eas batis par-
tes ubi libero ascentui locus patet, ad justam alcicudinem alcendet CI; non ultra
tamen, ne quae subjectae sine superticiei AB partes plus exteris premerentur, dt
prestie descenderent donec ad jultam alticudinem DerVenIrEtUT: quantum vero ad
eas iplius C parces quibus conrergentia cubi latera liberum ascensum non permit.
tunc, quod deest in pondere hydraresri supereminentis, suppletur a coercentibus
cubi laceribus; quippe quae, ucut non deprimane ut riscontraria, coercent tamen
uc impedimentum, ne alcius possir a ri interne turtum premence Hy drars, eum
Procrudi.
Acgule limile in aliis carbus tiet judicium.
Si vero rala Superpolita, non tancum figura sint diver(a à Cylindrica seu Pris
mariea, quod hic supponitur; sed eriam obliquo sicu ponantur, quod supponeba-
cur in ditticultare priori: quae verohique repolia smE; hic, conjuncta, locum ob-
cinebune: adeoque quaecunque  valis Forma, ee quocunque sicu ponatur, aet
eandem semper alticudinem (quatenus coercentia ratIS latera non impectiunt) hy-
crarsstum alcender
Nos aucem cum hic tum in lequentibus (PraICKC ubI moles Suspenti hydear.
Cyri Conlideratur aut calculo subjiCitur) Cstndricam cubi Formam pociltimum
spectamus: Inde aurem, ri illorum quae in hoc Scholio cradidimus, utue non quo
ad candem molem seu pondus, quo ad eandem camen alcicudinem Lulpentihydrar-
Byrius ad vala cujuscunque torme, occunque inclinaca, caclena transterencur.
De Thatosatans.
dem ratione impeditur alcensus Vis recta Turtum cendentis in F, d latere (pro-

## Folio 1039 — 851387705:1059
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001059.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
PrOP. IX.
De Tydrostaticis.
Potitis ut prius; Si Tubus sic inversus ret ex le tam BIeNIs AC, Vel Fio, 318.
Oriticium infra superticiem AB tam alte immerlam habcat, vel acH-
que ita inclinetur cubus, ut quod inibi (supra A B) continetur FIV-
crarerri, minus graritet in partes subjectas; quam aer inreliquas:
Non eAuet TIrdrarorrum.
Seder, si (manu vel alias) Tubus eleretur, ascendet etiam intns FIV-
drarorrum; idque donec ad eam stationem perreniae, ut tancundem
in partes sibi subjectas grariter quantum in reliquas Aer.
Si vero non aliunde eleretur Fubus; non ab FIrdrarerro propelletur
surtum: Sed deprimetur potius (si locus intra sit quo recipiatuT) ab
incumbenre aere; niti aliunde ab aeris ri detendatur.
CF enim tubus F. brerior sic, vel ita im-
mergatur orificium ejus ut quod luper.
est C R brerius sC, quam ut inibi Conten-
cum FTydearorrum cancundem premat Lub.
jectum C quancum ab aere PremUNEuE par.
tes reliquae; vel etiam, si cubus P, utuE
Patis Llydrareyri concinere centeatur, ita
tamen inclinetur ut non Paris graviret: Non
deprimentur partes subjectae, urpore non
maxis prelta quam reliquae; (supponimus enim Tubos manu vet alias ita sulten-
105 ut ab Aere Pubis incumbence nulla ris hydrarsy ro inFeratuI.)
Ouinimo Eielereturcubus; allurget inibi FIydrarorrum, (loco jam Facto quo
recipiatur,) Propter partes subjectas minus presaS quam quae aeri exponunEUT. Id-
que eousque donec ad alcicudinem C. l perVeNICLE, (qua CTaLONC SUPPONIMUS PaRLeS
subjectas aeque cum reliquis prectas;) quippe camdiu minus premuntur, adeoqué
Fiydrarorrum a parcibus plus preltis inero pellitur.
Si vero alciuseleretur cubus, ut ad D; illud cubi quod cA supra T, manebie
hydraroyro racuum; quippe, cum parces subjectae jam xeque cum reliquis pre-
mancur, cellabit illa Turtum proerusio; (nec ob decantatam olim Fusam Vacui Tur-
tum alcius cratis experimencis nunc dierum ubique sencium nocis abunde cOmpro.
bacum est.)
Similiter si cubus F inclinatus, erigacur; alcendet simul Fydrarorrum, cibum
replens: ita tamen uc si altius erisatur quam est C. I; quod supereltu uc IG, ma-
nebit hydrarerro racuum; ob cautas modo dictas.
Ac vero licubus ille brevior, ut L, sibi permictacur; non tamen ab HIvdearovro
ascensum molience turtum proxelletur; sed, concra, decrudetur ad Fundum alque;
(nisi quatenus ob Tubum minus grarem quam cancundem Hlydrarsy ri impeditur.)
Non quod Hydrarorrum alibi ab aere preslum non valear illud in cubo ec susti-
nere e Tursum pellere; sed quoniam (nili cubus alias fustineatur aue ab externo
aere detendatur,) non tancum ab eminente hydrarsyro, sed et d supereminente
aere tubum cum hydrareyro deprimente, premuntur partes subjecta; adeoque
Forrius quam reliqua, propier hydrarorrum in cubo plus gravitans quam tancundem
aeris: Duamdiu aurem manu vel alias. Tultinetur cubus; eo impeditur aer ille (ob
cubum in Tummo clausum) ne graricet in partes cibo inetulas aut ilsi subjectas.
Sin alias, quocunque modo, detendatur cubus ille brerior a Superno aere; non
modo lustinebitur, sed et Tursum propelletur (donec ad Alcicudinem L perreniat)
ab hydcarerri parcibus religuis plus prestis quam qua Fubo subjiciuneur; Propter
superticiem A B co loci minus prestam.
Poca demonstracio dependet ex prop. L. hujus rarie pro variis calibus appli.
at2.

## Folio 1040 — 851387705:1060
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001060.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
De Fydrostaticis.
P R O P. X.
Positis ut prius; Si tubi sic inversi altitudo (supra AB planum) CD,
tanta sit quanta est C I, aut ea major; quo TIrdcarorrum inibi con-
tentum tantundem graricet in partes tubjectas quantum aer in re-
liguas: non minori Vi sustinebitur tubus, nedum elerabitur, (sire
id manu fiat; sire libra, positis ponderibus in adrerla lance; sive
uccunque alias;) quam qux potis sit Sustinere seu ClCYATE (PEXTCF
ipsum cubi pondus) tocum Tuperincumbentem aerem, seu (quod
eodem recidit) cancundem hydearorri quantum aequet Crlindrum
H5. 514. P Ommodo enim canca sic cubi incus alcirudo ur recinere pollic rancum hycrar.
orri quantum valeat ita premere lubjectas partes quancum reliquae ab aere
Dremuntur; (vel eriam major; quod camen catum non mutabie, quippe plus imbi
non recinebitur, quaecunque tuerit alcicudo cubi, sed quod superest lpacii LD re
linguetur hydraroyro racuum; ut supra oltentum cst;) adeoque non adjuretur
vis elevans 2 vi parcium hydraroyri extra cubum tanquam plus precsarum Fur-
sum pellente quod parcibus C. supereminet, tanquam minus prestis: Sustinendum
jam erit vel clerandum, non modo cubus ipse cujuscunque tuerit ponderis, sed e
eorum illud aeris quod rubi cavo Cuperincumbit; (Tubi, inquam, Cavo; nam
quod Pubi laceribus urcunque crastis supereminet, ab Llydrarsyro Tubi labiis
lutjecto lultinebitur.) Nam nisi hoc tiatu cubus (qui hydrarsyrum jam deser-
turus est, ue quod altius non propelletur,) non sustinebitur rel elerabitur. Cui
quidem, cum FIydraroyrum, ex Dulsu Curtum, jam nitul ferat auxilii; (ue prius
culerat, cum ad jultam alticudinem nondum perrenerat;) nec possit aer (propter
cubi orificium, quod supponimus, in hydrarsyro intra AB Tubmertum,) uc alibi
tieri Colet, circuiem tacto, a tergo in locum derelictum succedere, (adeoque, quod
ex prop. F. hujus facile demonttrabitur, tantundem quali sursum proxellere, quan-
cum suverne deprimit; dempro saltem pondere quo res eleranda superat tantidem
aeris pondus:) cancundem virium in sustinente vel elerante requiretur, quancum
(praecer ipsum cribi pondus) tocum illud aeris quo carum premitur sultinere
aue elerare poterir; (dummodo enim Vis Fustinens aut elerans ri deprimente
minox est, non sultinebie auc elerabit, per PrOP. 12. Cap. T.) Id autem aeris
quod Custinendum aue submorendum est, aequipoller hydraroyri Cytindio C L,
(Taltem dempro cantidem aeris pondere cujus lOcum OCCUPAE C D, DrOBICF AC.
molphaerae minorem alcicudinem lupra D quam Lupra C; quod merito tamen ne-
Slisi Doltic: ut ee submersa tubi labia minus graria quam cancundem hydrarsyri;
cujus disterentia anterenca erit, E Ptricte agaS, a poudere elevando. Sed hxec ne-
Blisimus.) Cum enim, Vis aeris extra Cylindrum hydrareyrum deprimens, can-
cum premat parres sibi subjectas quancum hydraroyrum in cubo premit subjectas
ribi (quo Tuperticiei parteS OmneS RqUaLIEEE PrEMANEIE,) cancundem valet pondus
aeris ilCuimbeneis quancum Cslindeus hydrarspri alcicudinis CL: uc isicur tubus
eleretu, ddeoque submorcatur Vis aeris deprimens, vis Ca rEGUILIUE quae BOHS
dic (Plaeter excellum ponderis cubi supra pondus cantidem aeris cujus locum occeu-
Da qubd ct ipsum cabi pondus in aere,) etiam cancundem hydrareyri elevare
quancum est Cxlindrus C L: _, quo Tultincatur,
quxe hydrarouri cancundem pors et sultinere.
Ouod demonstrandum crat.
Adeoque si incelligatur rubi fundus D (Hili ope)
de libra pendere, acque ex adverso pondus P:
quo hoc cubo Graraco aquiponderee, requiritur ut
aquet pondere cum tubi pondus (dempris laltem,
quas diximus, minuriis,) cum cancum hydrarsyr
quancum aequet Cslindrum Ci1.
PROP

## Folio 1041 — 851387705:1061
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001061.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Prop. XI.
De Lydrostaticis.
PRO P. XI.
Positis ne prius; Si tubi sic inversi alticudo (supra A B plamim ) F∞ 319.
CD, minor sic quam CT, (quo, S locus eset, pertingeret hydrar-
Srrum;) adeoque, qui partibus reliquis eminet, aer praeponderet:
Ouantum valet haec praeponderantia, tantundem pressui in C Sur-
sum concedendum cst; quod aequipoltet sublationi tantidem ponde-
eis incumbentis, aut ponderi aequali in adrersa lance posito: Ad-
eoque tanto minor Vis (sire in tenentis manu, sive ponderis in ad-
verla lance polici, sire alias similiter applicata,) requiretur ad tu-
bum sustinendum in hoc casu, quam in calu propositionis prXCC-
dentis.
Oux vero in ea alticudine sustinere potis e Vis, mon tamen altius
elerabit; proxter pondus elerando auctum, seu minurum subsi
dium Vis surlum premenris: sed neque in majore alcicudine susti
nebit.1
Om enim Vis surtum in C, poris sic tustinere cancundem ponderis quantum
est Cytindeus Hycraroyri, Cuper ea bale, alricudinem habens CI: lieque
C. D co pondere minus: Sulcinere ralebir (et, nisi aliunde impediacus, dlerare.)
praecer illud hydrareyri quod incumbir, cancundem ulcra ponderis, quancum illic
a julto pondere dect; Adcoque canto onere sublerare lultinemis manum (seu
quod hujus instar est;) ec propterea tanco minus virium requitetur, quam (qu’i
casus est propoticionis praeced.) si Hycrarorri Cylindrus jullam alcicudinem CI
Obrineret.
Fc quidem subsidium, illud a, vi surtum premente propter Hydrarevri alcicu-
dinem julta minorem, cancundem elt acque addicamencum illi aequipollens sulti-
ventis riribus additum, seu pondis aequipollens in adrersa lance politum. Ec
Li, quod porro deest ad pondus prop. praeced. requisicum, in lancem illam immit.
racur; sullincbitur cubus (CuM ICUmIBEHLS acTC) Paricei alque si in calu PrOB.
Praced. tocum illud Dondys immitteretur.
AE vero, uuc cubum sice luctinere postii, non camen elevare polerie, quoniam
prour eleracur cubus (donec, act justam alcicudinem C P Derrehic) alurBEL ICuS
Gydraroyrum (proprer locum jam factum quo recipiatur) adeoque minuicur quod
prius erac sublidium, adeoque vis (debilior lacta) cubum fultinere in ea aliicu-
cine non, POcis CTII.
Et quidem, si alia vi alcius eleretur, sibi camen permista; ad eam alcicudi.
nem deprimetur: Sin intra decrudatur; eo allurset: ut nempe, praerer illud one-
ris quod ponderi P aequivoller, reliquum quicquid sic aequipolleat Hlydrareyri Cy.
lindro CL. 1, Rua OmniB. Det pEuS demonstrata conttan.
SCHOT YVM
COnima rei huc redit. Ae quabilis aeris alibi incumbenris preltira, porest (per
equiponcerantiam Tuam) Cyltinere in C: Vel Columnam AeriS reguraltam;
Vel Columnam Fydrarsuri eidem aquipollenrem; Vel parcem hujus parrem illius
(qua simul carum alceri aquipolleant:) Non aurem ucranique cocam, auc plutS
quam quod earum alteri aquipolleat.
Adeoque, Si parS C, externo ACri exPONatK: Suctinebitur hie, ut in parcibus
reliquis, Columna ircumbencis Aeris. Sed tune nihil ulera Fydearoyri Sultine.
bic vis ea, nedum Elerabit.
Si ab Tncgmibencis Aeris prectu (inverti cubi Futido. vet ine.) detendatur:
sultinebie its vice, Columnam Hydraresri eidem aequipollentem; duc eriam
Si locus SC Glio recipiatur) rancundem elerabie. Ae vero jam nihil Aeris su-
stinet; quippe d quo detenditur ab inverso cubo, qui aliunde tustineri incellixi-
cur; puia a cenentis miaiiu, vel pondere in adversa lancc.
894949

## Folio 1042 — 851387705:1062
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001062.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
De drostaticis.
Si vero ab incumbentis aeris prestur detendatur quoad partem, sed non quoad
torum; puta a pondere l’in adrersa lance quod minus sit quam ut torius aeris
Prellui aequipolleat: poris erie propier hoc sublidium; Fultinere, non tantum
tocum aerem incumbenrem, (quem quidem sine auxilio fultineret,) led et tan-
cundem Hydrarorri quod ilti auxilio aequipolleat; neque lustinere tancum, sed
ec (si Opus Sic) cortsque cubum impellere donee tantundem recipere possic.
Sin denique Dondus P in adrerta lance majus sit quam ue aeris prestiri aequi
Polleat: prorixiet ibum (nili aliunde impectiatur) in alcum, etiam exera lub.
sectum Fydrarsyrums. 12
Fxempli grauia. Incellieatur ssperticiei AB, PaS C (inverto cubo incluta, )
canex amplicudinis esse, ur qua, aperio aeri expolica, columnam aeris sultineret
Ponderis uncidrum +2 unius Librxe; (adeoque pars alia quaelibet huic aequalis
propter aequalem aeris prectum, cancundem sistinere intelligenda cMt:) _ DFOD
terea, si ab hoc aeris prellu penittis detendatur, cantundem Iy draroyri, illius vice,
sustinere porerit; hoc est, columnam hydraro, ri Isreiarum X2 unIus LibrX.
Cumque Tubus, quo sic ab aere detenditur C, Tuum pondus habeat; Pona
cur hoc, Onciarum 2. (Pondus aeris, qui cubi laceribus Supereminet non com
pucamus; quoniam id ab IIydraroyro cubi labiis subjecto sustinetur. )
Focum iditur Onus (cubi cum superincumbente aere), erit Onciarum F4; quod
aliunde sultinendum erit, quo pars C ioco prettu aeris cubique Lberetur. Ouod
tactum intelligatur, polico, in adverta lance, pondere P, unciarum X4.
Sustinebit iricur C (ab omni alio pondere sic liberata) columnam FIydrararri
Anciarum F2, Curpore vi Cursum in C premenci aequipollentem;) atque ad il-
lam alticudinem (s opus sic) cubum Ac liberatum Dropellet. Donec enim hoc
tiac, minus premetur C quam parres reliquae; nec huie alcentui quicquam officit
Tubus cum incumbente aere, urpore qui sunc cum P Pondere in aequilibrio po-
Tiri. Verum jam, Contraponderans P, Srarius ese debet (puta unciis 2, Propter
pondus cubi,) quam elt sulpenta Hydrars ri columna; (ucur Hy dcaroyrum illud
non a P pondere, sed a vi Turtum in C, lustineatur.)
Si vero a Pondere P auterantur, verbi graria, uneix 4, ut nonnis F0 Supersine
non poterit hoc pondus, Tubi aerisque incumbentis prectum sustinere (vrvore
unciarum r4,) Sed istius tancum r0 uneias; adeoque reliquis uneiis 4 adHHe VIF
setur pars C; qua itaque (cum non postu plusquam, +2 uncias omnino fulti-
nerC) non ulcra 8 uneias hydrarsyri (quae cum illis q conticiune F2) Sultinere
DOTCRII. Sed de ad hoc requiritur contraponderans P, unciarum 10, quod era-
vius lit (puca 2 unetis) quam suspentum Hycrarsytum, uneiarum 8: ucut hoc,
non a P, sed a Vi in C Sultineatur.
Sin, pro dempris uneiis q colleretur tocum Pondis P unciarum r4 vel Palceni
inde demerencur uncix +2: Subsideret FIydrargyrum omne cum onulto Tubo;
vel demptis 2 uneiis; quippe jam pars C onere Palrem uneiarum +2 (quo majus
Perre non porest) Oneratur. (Saltem si cubi partem sublidendo demertam pon-
deri eximamus; aique eriom, li omnes minurias sectari velimus, excettum Don-
deris Hycrareyri supra pondus demersa partis cubi: Oux canca non lune quin
hic merito pollint negligi.
Si jam ex dempris illis Onciis 4 restimantur uneiae 2, (quo Pondus P jam fiac
unciarum +2; adeoque ex omnibus 2g, nonnili unciis 2 prematur C;) Alturser
Tubus donec supra AB emersane Lydrarsyri uneia alixe dux: Adeoque Lustineat
C a preltu aeris cubique Oncias 2, acque Hydraroyri uncias 20; quae timul la-
ciane ipsius justum onus unciarum, 12. Sed et actrue pondus P unciarum 12
majus elt (puca unciis 2) quam suspensi Hycrarorri unoarum E0; uut hoci
non a P sed a V in C Muncatu.
egue li actruc restimantur alia 2 Vuetam quo Hiac Pondus P (uE priuS) un
ciarum 24: Ascendet Hydrarerrum ad jultam alcicudinem, CL, (tubumque, si
opus lit, e0. propellet) quo pars C. (ab alio onere penitus libera) sultincac Hy.
drargyri Oncias 12, quae prellui aeris in reliquis parcibus, aequivolleat.
A VelO  Po als ale pondus P, uc Halu verbi sratia, Oncjarum 16: Sur-
sum adhue in altum proripietur cubus (proxter ponderis praeposlentiam;) sed
non simul Fdydrarorrum, (urpoce quod jam ad summam aliicudinem ascenderir
quam terre porest C;) led relinquetur superna tubi pars hydraroyri vacua. 1d-
que cousque donec vel obice impediarus, desconlus ponderis auc alceusus cubi;
104.2

## Folio 1043 — 851387705:1063
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001063.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
+LOP. LFI.
De Tydrostaticis.
vel salcem donec, emersis extra subjectum hycrareyrum cubi labiis, Fydraroy.
rum inibi contencum (ria jam Datence) corum decidat, eique procinus suecedat
Aer ieruens, tancundem quati subtus propellens Turtum, quantum luperne depri
mic cubum; ne jam nihil aliud sustinendum restet quam iplum cubi pondus.
Ouod autem Fxperimenta his Demonstratis respondebune; cancum abest ut
EtIam, ut ea jam ance in Socretate Recia adminiltrata tuerint (e quidem cum
hOc CrenEu) quam haec primo scriberentur (Anno seil. 2662, ue supra insinua
Tum est.) Nempe, praeter nociora Rxperimenti Porricelliani phaenomena; (qua
recenlEre nON CrIE OpuS,) obserratum erat, 1. Si cubus ad juctam alticudinem C L
excenderetur; opus crat in adrerla lance quo lustineretur cubus, pondere aliquan-
to majore quam erac Fydrarsrri luspenti pondus; (de quidem tanto majore quan-
cum conjectando alcimabane iplius tubi pondus.) Idemque accideret, si alcius ad
huc eleraretur D; relicto ID, hydrarerei racuo. 2. Si intra justam alcicudi-
nem CT, Tublideret C D; minori opus ellet pondere in adverla lance, quo (prop.
ter aequilibrium) Cultineretur cubus; e quidem ranto minori quanto minus erat
pondus hydrarorri Culpensi. 3. Si tamen superttuum illud pondus anc ejus pars
aliqua (ultra quam quod necellarium crat) in lance relinqueretur; alcenderet
Putus, una cum hydraroyro, donec tieret aeguitibrium. q. Denigue, si plusquam
illud superttuum pondus lanei eximeretur; sublideret cubus, una cum toscrar-
3YIo, ad aequilibrium. Et quidem, univertim, (prout in Regixe Societatis Com-
mentariis res summatim colligicur) Pondus in adversa lance contraponderans.
aequipollebat suspensi Fydrarerri, cujuscunque altitudinis, atque simul (quantum
conjectando astimabant) suspensi Tubi ei parci, quae staenantis in subjecto vase
hydrarerri superficiei supereminebat.
Oux quidem res, cum primo aspectu incantis nonnullis, atque ad rem Staticam
minus acrentis, facile imponerer; quasi ab adrerto pondere P Fultineretur, non
cantum Pubusipse, sed ((proxier nelcio quam cum cubo connexionem, seu Va
cui fugam) contentum inibi Flydrarourum: Ouo scrupulus ille Facilius colleretur.
ea Ctatim scripli quae in hoc Capire hactenus habeneur, (eisdem fere verbis, nils
quod jam in Propolitionum e Demonstrationum Formam redacta LInC;) ea
demque Reriae Societari cnarrari, Augusti 13, 1662. quo Oblerrata illa li-
Dero sermone exponebantur; atque deinde (id rOSaLIS) Seripto etiam AUS. 20.
quo die eriam Obserratorum illorum Cumma ab iplis Oblerratoribus leripto exti.
Bebatur. Cuibus ostenderem, ex Principiis FIydrostacicis, rem ita omnino acci
dere debere, (i Tulpentus Fydraroyri Cylindrus Donerecur a Viin C Cursum pre
menre Pustineri, dummodo inverlo Tubo ab incumbenre Aere detenderetur, Pu-
busque ille sustineretur aliunde.
Si vero jam quaeratur, Onanea sit illa alcitudo C. P; ubis propter preltum aeris
in parres reliquas, contilter Luspenlum Fydrarorrum Cupra lubjecti luperticiem
AB
Dicendum est, Alcicudinem illam neque omnibus Locis, neque omnibus Tem.
poribus, eandem esse; sed, pro varia Aeris Gravitate, Tubinde mutari.
HTic autem Oxonii, quomodo se res habet, quantum ex propriis Obserratis col.
lixere licuit, sic habeto. Jam ante SCx AnnOS, Fubum (Ouacuor pedes loneum
cum semisse) implendum curari Hlydrarsyro, ab intermilto Aere diligenter pur-
Sato, (non summa tamen diligentia;) cumque sic impletum inverri, obcurato pri
mum diligenter oriticio, nec prius rectuso quam intra superticiem Hydraroyri in
Tubjecto vase comrenti demerseretur; dein, facta subeus excundi poreltate, CsuXII
Frydrarorri cubo contenti pars magna, cum impetu notabili; tacti sqne provier
impetum illum vibrationibus aliquor, subsistebat tandem ad alticudinem Onciurum
pedis Anelicani (DluSminUS) 29. Fubumque cum luubjecto rale (cujus tundo
nicebatur apercum cubi oriticeium, sed ita uc intrandi de excundi d Vase in Tubum
Flydraroyro via non intercludererur) in pesma quoddam prius ac id paracum in-
culi, acque in hunc diem in eo statu conserro.
Nec ita mulio post; scilicet a Calendis Januariis Anni (exeuntis 1664, Ted)
ineumis 1665, Liphemeridem continuam Alcicudinis Hydrareyri in TubO CONEeNUI,
supra stagnantis in subjecto rale superticiem, insticui, (mit cum force me domo
abesse conciserie) acque eciamnum intticuo.
84999
Oblet.

## Folio 1044 — 851387705:1064
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001064.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
 esscura.
Obterrari autem, ue plurimum, intra eriginca Uneias pedis Anglicani subsidere,
sed supra Oneias Viginci octo; intra hos limires Tubinde nunc alcendendo, nunc
descendendo. Semel aurem iterumque tantillo Cupra 30 alcenderat lemelque sub.
liderat infra 28, (sed rix aut ne rix decima unius Oncix parte, utroris calu,) ut
alcitudo media sic Vnciarum 29
Verum quidem est, me aliquories comparase alticudinem in Pubo meo, cum
altitudine in Tubo similiter inverso FIonoratistimi D. Borlii, dum hic Oxonii
aseret; acque alcicudinem illius, alcicudine mea, aliquanco majorem deprehenditte,
quali octara parre unius uneixe, si rice memini,) live quod in variis ejuldem urbis
locis posiri tuerine Futri, sive quod FTydraroyrum ejus meo fuerit aliquanto levius,
sire quod alierum alrero fuerie ab intermisto aere aliquanto depuratius, live quod
non eadem tuerit urrobique proportio inter diametrum cubi de lacicudinen lub-
jecti valis, sive quod non in cadem aeris temperie impleri fuerint vrriusque cubi
non dixerim: Sed exiguum quicquid est diseriminis innuere vilum est, quo perlpi-
ciacur tantillum dileriminis ex minuris et non obserraris circumstantiis oriri polle.
Obserro eriam, d Scriproribus Gallis, alcicudinem altionari solere Unciarum 27
vedis Parilini. Quod non tam alticudinum hic acque illic differentix dandum est;
quam differentiae pedis Parisini, acque Londinentis scu Anglicani. Ouippe Pes Pa.
rilinus luperar Pedem noltrum Anglicanum, quati quatuor quintis uncix no-
Cra, (quodego, collato semipede nostro, cum semipede Parisino uc dicebatur ac-
curatissimo, memini me Pacis accurate obserrasse;) Adeoque Vncix Parifina 27
respondent nostris 20 quam proxime. (Nam 12, T25:: 60. 64:: 27. 285.) OI
rix ulla inde inferri possit ditterentia alcicudinis iltius apud illos obserrara ab al-
cicudine media Oxoni obserraca; quin cadem hic et illic (PrXtEE PTOPIeX) alti–
cudo censenda (II.
At incerim, eadem manente Aeris (quoad graritatem) consticurione, aliam
atque aliam deprehentam fuilse, eodem rubo altimandam, alcirudinem Llydrarsyri
non cantum in ejusdem Montis, sed e ejusdem Furris, summo et imo, obserratum
fuic: minorem urique esse in summo quam in imo alticudinem Hydrarsyri, prop.
ter breriorem illic quam hic incumbentis aeris Cylindrum, e leviorem prellum:
quod, una cum FIonoraciltimo Boplio, e8o aliique experimentis aliquories factis
deprehendimus. Sed qua proporcione decreleat, alcior elt inquilitio quam uc cam
hic expedire locus sI.
Acque tactenus considerarimus prestum incumbentis Aeris, nullo facto diseri-
minc, sire ab Aeris Graritate, sire ab ejuldem Elatere procedar: Et quidem per-
inde est ad rem hactenus craditam urroris modo that, modo prectus tat.
Verum aliunde certum est, ab innumeris Experimentis hoc seculo instituris.
cum in Creano Pneumatico Borhiano, cum alias: Ex Reri inele Cravicatem, qua
deortum premic; et Vim Flasticam, qua se vel d Graricare lua vel aliunde com-
precsum cellumete conatut.
Onibus potiris; neceste erie, propter Aeris Gravitatem, ut superiores ejuldem
Partes proxime subjectas deprimant, ee deprimendo comprimant, adeoque L lateri
vim undiquaque resticuriram imprimane graricaci partium incumbencium xqui-
pollentem, (donec enim xquipoller renicentia, porro Aectetur;) ee quidem eadem
vi undiquaque se expedire latagentem; (Ouod enim ad proD. I. Cap. praeced.
ostentum, de Blarere, puca recto, se prorsum arque retrorsum aequaliter porri-
sente: paricer valer de Corpore Llaltico se in Orbem explicanre; Nempe, siqua
parce minus vel prematur vel coerceatur, ea se expediet, prettum alibi declinans;
idque cousque doncc undiquaque comprimatur aequa liter.) Fademque vis, una
cum harum pondere; in partes adhuc subjectas propasatur: Acque sic porro, ad
imum ulque, aucto continue preltu ob auctum pondus incumbens. Unde tir ut
Parces AerIS interiores sinc superioribus magis comprellae; adeoque et (proprer plus
aeris intra Caldem dimentiones) graviores upe.
Fraud secus atque Lanae Vellera accumulata, quae sunt sc Craria Simul et F lacti.
ca. Vellus supremum, gravitace lua premic secundum; cui ret Vim imprimit re.
llicuciram Cursum grariaci comprimenti aequipollentem (secus enim adtue ulera
comprimeretur;) quae cum Curtum se liberare non postu lPropter ursens onus
quod compresserat) eadem Videortum niritur; addira tamen graritare Cua; qui-
hus cum premicur certium, capcundem est atque vexiulque sraricare premi: Vet
quod

## Folio 1045 — 851387705:1065
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001065.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
De Latostaticis.
quad eodem recidit, (quodque omnino dicendum esset S Elateres abestent,) secun-
dum sultinee supremi pondus; e tertium, utriusque; seu secundi primo gra-
vaci. Veur enim secundum a primo quantum pocelt comprimatur, id camen non
impedit quin sio comprestum adhue deprimatur, e ueriusque onus d cerrio susti
neatur. Id Calrem incerest, quod, proxeer comprectionem secundi, primum certio
propius quidem, sed eodem pondere, incumbat. Acquelic Porro, Duartum a
trium illorum Graritare (sive interreniente, sire non incerveniente, ri Flaltica,
premitur; ee Ouincum ab illorum quatuor; ee sic porro ad Sextum, et quae se
guunEur: VE perinde omnino su, lire a superiorum omnium Graritare per le, live
interreniente Vi Elastica, comprimi dicamus. Dummodo Caltem Vellera ver
fecte Flaltica vonamus, nec simplicirer. Mollium nacuram quaclantenus parcicipare:
quippe, quatenus hoc obrinet, ad Crraritarem simpliciter recurrendum exir.
Sed e, propier Vim Plalticam, sive in Vellere sive in AerC, du latetd etiam
undiquaque sc expedire Patagenrem (siqua parre debilior sit reliltentia;) cadem
Vi Flastica (quae incumbenti Grraritaci, in quacunque alcicudine, aequipolleac,
ad lacus undiquaque premir, qua deorlum; hand secus acque alia Auida, quae
(propcer facilem parcium separationem) liqua Fortius premantur, ea qua minis
premuncur se expediunt; lire id deortum li, tire a latere, sire etiam Curlum.
Datoisitur, quod Aer sic corpus elasticum, (de quo non ambisendum cst,) qua-
qua verlum a prestu se liberare lacagens, procedimus ad propolitionem sequenrem.
LROL. RL.
Vis Aeris Flastica Vase inclusi, ejusdem tenoris cum ambiente, tantun-
dem praestat atque onus incumbentis aeris aperti
Acque hinc ex Eaperimentis Boylianis plurima (HLMIDC quIX ex Aeris
Flatere dependene) explicationem Facilem Porcientur, et Phaeno-
menum caularedderur. Ouod de aliorum irem Explcentis Ay-
draulicis, aliisque innumeris, pariter intelligendum oct.
Ncelligatur Fubus D, seu Vas quodpiam FT (cujur.
cunque Forma, et quocunque Titu,) oriticium
habens L. apextum, quo cum aere externo communi.
CCLIntErNIS. Si adjacentes aeris eXTerNI parteS minuS
Dremantur quam quae funcinera ras, ha dilatabunt
Tele doncc ad aequipollentiam res redisatur; (per
PFOp. T. hujus.) Si vero partes extra adjacentes (ot
preltum aeris incumbentis) magis premantur quam
quae incus sunt, seu quam harum ris claltica pocis sic
sultinere, comprimeneur achue qua intus sUnt (per
eandem prop. T. Mujus,) coulque donec xquipolleat
earum Vis Elastica Vi exera comprimenti, hoc est oneri incumbentis aeris. BC
ipque lic ad Aquipollenciani redacta (uc ejuldem tenoris seu rentionis sir aer in-
teruS cum exterho, adeoque Elateris vis cadem urobique, ea scilicet quae Oneri
incumbentis aeris sultinendo par lic,) Si Frmecur orificium P, Vis Elastica (prox.
ter eandem quae prius centionem) etiamnum aequipollebic oneri incumbencis geris
externi.
Aroue hinc, ex D. Boptii aliorumque Fxperimeuris Pneumaricis, Hydraulicis
aliisque, plurimorum ratio facile astisnabitur. Ouippe si, ad ea quae alias prestu
vel irutione fieri possene, istius vice acthibeatur vis Aeris Flaltica aequipollens
idem effectus consequetur. Ouod in singulis prolequi superracanemm ester cu
Theorematis generalis ad parriculares catus applicatio Facilis lic: sintove ea fere
omnia vel hinc orra quod Aeris inclusi comprestio (adeoque Vis F. laltica) major
Eiat quam est excerioris aeris, (unde plurima in Hydeaulieis Phxenomena deriran-
Tux d COpreCO aCTC Orta;) vel, quod aeris exterioris compressio d vis clastica
debilicetur minorque tiac quam est aeris concluli, (quod in Antlia Boyhana lape
Fic; Duta Si AneliX Recipienti immiltatur Velica Seu Phiala viirea Aerem ordina.
rix rentionis concinens, acque Recipiencis Aer quadantenus salcem extrauriatur;
quis ucur respectu aeris liberi incernus sic, respectu ramen aeris in Veliea illa seu
299949
Phiala
1.
Pro

## Folio 1046 — 851387705:1066
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001066.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
De T ydrestaticis.
Phiala contenm cst xternus; cujus icaque extaustione partis debilitetur VIS: LaCIH
tic aeli, hoc in llacu tuo vermanente, tortius comprimeretur ille:) Viroque enim
catu aer qui reliquo magis comprelsus est vim Cuam Flalticam in eum qui minus
CAt comprestuis exetCCDII.
SC TTO L YVM.
1046
Tet Guidem potest, aliud elle Externi aeris pondus ad F, quam ad LI vet L
quoniam E premitur, non cancum ab aeris parcibus quae iplis H vel D Supere.
minene, sed et ab interjectis. Quod quidem verum est, ueut in exiona alcicudine
cantillum id sit ut meriro nesligatur. Sed hoc, quicquid sic, praesencem specula-
tionem non curbat; quippe idem intra ras erenit. Nam es hie partes si (intimae)
plus premuntur, quam (Cupremx) II vel D, quoniam illa parcium interjectarum
Pondus lustinent. Adeoque Vis tlaltica interni aeris in P, aequipoller prettui ex
cerni in F; aeque interni in II, externi itidem in FI. Ouod utur in vaseis alcituct
nibus fieri Dollic alicujus momenti, inminuris tamen nesligendum est.
e AL. LITI.
Si inversi Tubis aliuere Vatis, D rel F, aere pleni (ejusdem teporie
cum ambiente) Orificium apertum, FIrdrarorri plano AB appli-
cecur: Ferdrarorri nihil inibi rel asturset, rel deprimetur.
Fis. 320. Y Niellixatur enim Fubi seu Vasis D vel H (aere pleni) oriticium P, supecticiei
LHydrarorri AB admoreri in C. Cum Vis Flastica aeris incluti, aequipolleat
oneri incumbentis externi, (per prop. praeced.) aeque premitur A B in C’acque in
reliquis ejusdem parribus; (ras iptum enim aliunde sustineri supponimus:) Ad.
coque nulla proprerea Hycraresri inibi vel alcensio vel deprectio: Pex prOP. L.
hujus.
SC TIOL TV M.
D Ropolitiones has duas de aeris Vi Flastiea, ejusque ettectu, apponendas cen-
tui, uc obriam cacur scrupulis quorundam inde ortis quod huic non ac-
tenderint.
Pura, Si inversus Tubus DC, aere plenus ejusdem tenoris cum ambiente, FIy
draroyro in C Superponatur; Tuboque (aliunde suctento) impediacur prectus
Tuperincumbentis aeris; adeoque pars C aere tancum qui cubo includitur (mo-
dica alticudinis) prematur, reliqua autem toto onere aeris incumbentis (alcitu-
Is immentae:) Certum est, pondus aeris prementis C, longe minus eAte quam
alibi prementis partem huic aequalem; adeoque, si pondus tancum spectetur, al
Turgere deberet Hydraroyrum in C; (neque hurc obstaret aer cubum occupans,
ut qui comprestionis capax est, et reapse comprimeretur si elater debilior cset
quam vis in C Turlum prementis:) Sed propter Elateris vim aquipollentem pon-
deri externi aeris, non minus ab aere qui includitur cubo premitur C, quam ab
aperto aere partes reliquae.
Similiter in Anclia Fneumatica, seu Oreano Pneumatico Boptiano, Si pondere
tancum, non elacere, ageret inclusus aer; immilta animalia, etiam ab (que aeris ex-
Luetu, paria fere paterencr (mpore minus prelta quam in APCTEO aerC) atque jam
Dost exluctum aerem.
Trem, in eadem Anclia, si incromittatur Vas hydraroyrum conrinens, cui ita ut
supra dictum est immersantur inversi Fubi (hycrarsyro prius repleti) labia:
poltquam undique occludicur Anclia ne ulla tiat communicatio cum externo aCrE,
manet adhue hycrarorrum in cubo eadem qua prius alcicudine lulpentum, pura
ad uneias pedis Anslicani plus minus 20; non quod codem quo prius pondere
premacur subjecti ralis hydraroyrum, sed quod inclusi aeris vi claltica excerni
aeris ponderi aquipollente prematur; nec prius sublidit, quam ris illa debilite.
cur. Obi rero, propter extuctan aeris parrem, reliqui (uipore jam minus com-
PrcHti)

## Folio 1047 — 851387705:1067
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001067.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
De FGydrostaticis.
PrCHi) Elater debilicatur, sublidit Fydrarorrum ad minorem minoremque conti
nue alcirudinem prour plus plulque Aeris exlusitur: Idque cousque, me spectante
aliquando tactum tuir, uc rix ultra pedis Onciam unam alcirudinis suspentum
manlerit: (Sed e, li incruso aere torcior redderetur elateris vis, adtruc altius al
cendere TIydrarorrum quam exrra Ancliam.) Ouod es incer Lexperimenta Boy
hana Physico. Mechanica OCCurrIE; Fxperimento, L7. Sed e, ex eo tempore.
rale jam commodius prxeparato, obterraric idem Fonorariltimus Boplius aliquorie
(quod ab eo ipto accepi;) Llydrareyrum in Tubo contencum, eadem operarione
praeltica, ad iplam usque Cagnahcis intra Aydraroyri Tuperticiem Cublidille,, neque
supra illam omnino eminuisté. 
Acque cimilis racio altienanda eric in raciis istinsmodi phaenomenis quae non at
aeris pravicare immeciate dependent, sed ab ejus vi clastica d gravicatis preltu im-
Precta. Ouippe nili toret haec vis Flaltica, gravicas aeris ubi non pollet directe
applicari (ur in vale clauso) non id praeltaret: Sin autem Graritas non Toret
nec esset ea ris Blaltica, d preltu ponderis aeris incumbentis orta; Plarer, enim
urcunque in se tortis, nili comprimatus, nil, asit, urpore cujus cota Vis actira est
cancum conatus se resticuendi in licum unde decrusus fuCrAF.
Ex eodem principio (de conchuli Aeris. Platere) reddenda est ratio, Eur foris
pondus non sentiamus. Ouippe si ranci ponderis lic Aer quanci jam perhibetur
(cum ancehac, non modo nullius ponderis censeretur, sed Dosutire leris,) mi
rum rideri pollit quod tancum onus Cultinentes non eo nos premi sentiams.
Tcem, Cur Aqua immersi non sentiant Aquae pondus. Cum enim, non modo
nunc dierum, led es in receri Philolophia, Aquam grarem elle non dubiretur;
eo magis mirandum rideatur, quod, Aquae Cuppolici, incumbentis gravitatem non
sentiane; cum incerim minorem aquae molem alibi impolitam terentes opprime
reuur. Ouodque, de Aqua hic dictum elt, de aliis icem Auidis incellisendum
est: imo ec quae Auidorum instar lunc; puta, liquis Arena seu P’arina cumulo
penicus immerseretur, non magis ille (eredo) Arena seu t’arinae, quam AOuX,
Pondus Tentiret.
Pavio est, (non, quod diei Colec, quod Aqua non gravicet in tuo loco; puca
Supra aquam, auc graxius quiddam; concrarium ucique dicendum ell, nam lyDe-
VIOLES Iaqua Partes premunt interiores, ut ex multis Experimentis leu Oblervacis
Faris diquec; Sed) quoniam Aer vel Aqua ex omni corporis immersi parte xqua
dicer premens, parcium positionem non curbat. Comprinit quidem (DEOpter AC.
rem in Pansuine aliisque humoribus comprectionis capacem) quod oblerrarit IIO
noraristimus Boptius (ParadoN. Fy drostat. in tine) in Cirrinis (nostrates, alib
Facpoles appellant alibi LLob nails,) aqua inclusis ralide comprella, ubi Patis vi
vide se morebane, led magnicudine imminuta: Sicut, ex adrerso, Animalia, Anclia
Pnenmarica inclulas, subducto aere, auxeri solent; propier aerem humoribus con-
cencum insionirer dilatarum; neque id sinc dolore, provter insignem valorum
contineurium ee fibrarum Ccu membranarum distentionem, Forre et laceratio-
nem.
aerem aucem, seu quod Aeris instae est, (spiritus torce dieas, ) magna copia
in Sansuine concineri, cercistimum elt, poreltque ad oculum demonstrari: San-
suinem enim, in aperro rale concencum, si Anstiae Pneumaticae Boytianae im
miseris; subducto aere (quod ipse aliquories ridi) spumeseic protinus, ee non in
spumam cantum sed amplilsimas bullas se expandic, (aere sansuini immisto, prop.
ter sublatam ab extra comprestionem, se insignicer ampliante;) ec quidem plus
quam sperareris, ita ut laponis inter larandum, expansio in bullas, huic aeris in
tansuine expantioni cedat.
Duodque inde rumpantur sibra, videtur hinc falcem existimandum, quod San-
suis illes post innumeras istiusmodi bullas turgente aere sic inllatas ruptasque, per
aliquor dies postea reserratus, non (uc tieri (olet) in grumolam maltam coalue
rit, Led liquidus permanserit. (Ouod iple vidi, et inter Fxperimenta Boyliana
alicubi, si bene memini, memoratur.)
Concra reco; ubi ex omni parle lDld acilo nacura) aequalilet premiu
immertum Corpus; aerisque parriculae, in minutistimas qualque parres lese cum
humoribus intinvances, ee pridem tuerant xequaliter preltae (nam nili sic Fuissentu
parres minus prelsae religuis locum concederent quo ampliaentUE, Dex PFOP. 1.
hujus,
PFOP. XITT.

## Folio 1048 — 851387705:1068
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001068.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
De Tdrostaticis.
hujuS,) e nova prectione jam accedene ab incumbente aqua, aequalicer icem (ob
eandem FaTIOnCM) POrEO COMPPIUNEUE; manent partes limiliter ut prius ad in-
ricem lica, nec ulla sic tibrarum seu membranarum distractio aut laceratio, adeo-
que nullus dolor seu senlus oneris.
Contrahuntur quidem hac racione fibrx membranaeque sed non renitentes;
(quipse jam ante in ltacu censionis erant; quod paret ex tibrarum auc membrana-
rUM, Siguando Secancur, Spontanca contractione;) adcoque nec dolor inde oritur
Peu Tentus oneris. Ec quidem, dummiodo nulla tic inxegualis preltio seu partium
distocatio; nec earo oltium (urcunque conjunctorum) nec octa carnis ullam ex
sensu perceptionem habene; sed sicubi inaqualis prestio aut dillocario tacu qua
Parces exera sicum luum derrudantur, cum candem tic ractus perceptio. Sed hoc
in immersis Auido (Er jam ostentum est) non continsit; adeoque nec sen(uS
Omeris, sive ab Aere Are ab Aqua (aliore liquore) incumbente.
Potunt haec ex Anthia Boptiana contirtrari. Ouippe, Si Anelia Recipien im-
mileris Veliculam, Haccidam quidem (urpoce parum aeris inibi habencem,) sed
Pricto collo probe obcuratam (nequid Ctuat;) dumniodo eadem ubigue maneat
aeris Compreltio, adeoque et Vis Elastica, omnia uc prius persererant.
Sin ex Recipience aliquid acris extraurias, adeoque compressionem ee vim elau
sticam deris in Recipiente minuas; aer in Velica (urpore masis comprellus adeo
que et magis elaltiens quam qui est extra Velicam in Recipiente) se expandee, ve.
lica interim (canquam inflata) cursente. Idque cousque tier quamdiu Velier
Jrer2 ita excendi Poltine ut aeri incus concenro expantionem limilem concectant ei
quam habet aer Recipientis. Obi rero non ita possi extendi Velica, si Recipien.
Eis aer reddatur achue minus elaltiens, qui itaque prectiri interno minus aequipol-
leat; violenter distendiem relica, (nempe pro eo gradu ris Flasticae quo su
perat incerior aer exteriorem;) quod quidem, si adeilet senlus, non line dolore
tieret; eaque riolentia, si major lic quam quae lacerum Velica tirmitati aequipol
leas, rumpetur relica. Quod et in phitalis riereis, tenuis corrieis, Caepius oblerra-
tum elt.
Si vero inRata sie veliea (nec rupta ramen) aerem in Vas Recipiens denno ad
mittas; Raccescet iterum relica acque in minorem locum (tibris se retrahentibus)
recipier: quod etiamsi adesser senlus, line dolore tierer, cum nulla vis sibeis in
Feratur. Quodque in hac velicula unica ridere est, idem de innumeris in cor-
Dore resiculis sire bullis (exiguas Aeris seu Spiricuum parviculas continencibus)
incellisendum est: quarum prellio ex aere aequabiliter inennibente rixs Major cerIE
quam quae fibrarum exrentio prius fuerat se jam rerrahentium. se CNMIILNIOE
Vectum quidem est, si veliea loco phialam ricream immileris, cujus latera rigida
Tine neque se (ue tibrae) Concratant, (modo ritri tennitas et Tormarales Fin u
externae prestionis execltum Cupra internam Pultinere non raleane,) rumpecur phia-
la Partibus corrieis intra crulis: at Hoc in immertis Auido sccus est, ubi velioula-
rum corrices faceidi sunt, de prestium line riolentia capaces. Si vero eo ulqueur
geretur (ob immentam puta aquae protundicarem) comprestio, ut non possentre
sicularum cortices se ilterius line dolore Concrahere; non dubito qu’in coneris 
doloris sensus cum Fucurus ellet. ONa vero, et carrilasines, in comprestionibus
minoribus, uciu Raccida non line, dolorem a prestit illo non lentiunt, eo quod par-
res illae corporis durae, sint perceptionis minus (si omnino) capaces, licque sen-
Tatio rancum in nerris, tibris, membranis, aliiire corporis parcibus mollioribus. sc
Ouanta vero sic ea sive Compressio sire Dilatatio cujus capax Cst Aer, non Fa-
cile dictu est. Magnam cerre eRe, ultra quam quis putarerie inexpertus, experi-
mentis plurimis compercum est.
Illum Aeris ctacum quinobis ordinarius est, nacuralem esse (quem sponcea Tua
Tubiret aer non ri comprestus,) non est existimandum. Onippe, nisi compreltiis
elle nulla Foret in eo llacu vis Flactiea, (quam este experimur, ) ut quae ab F. la-
peris comprestione tora pender, in licum ampliorem conaneis se resticuere. disils
Ouousque reros ’omnis compressio rolleretur, le ampliaturus estet Aer (qui
ex innumeris corpusculis Plasticis varia tigura rarioque tiru videtur componis)
rentacum porius quam penitus exploratum est. sil 
Mersenmus olims Aolipila opei ingenci eatoris ri adhibica, (quancam ejulinodi
vata
Eid
d

## Folio 1049 — 851387705:1069
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001069.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
De Lesrsnticis.
vasa sine futione ferre poslent,) Rerem se ita dilatasse aftirmat ut spatium Septua-
secuptum illius quod prius habuit occuparexit.
Alonoratistimus Borlius noster, absque caloris ope, Tola vi Cua elastica Aerem
se dilaralse expertus elt, in locum priltino majorem vicibus primum o; tum, vici
bus saltem 35, (sed majoris achue expantionis capacem esse si sparium eHet quo
rECIPErEtT:) deinde, plusquam ricibus 60: cum, ricibus plusquam 252: (quae plus-
quam dupla est expantionis Hersennianae, ri caloris obtente, quae tamen tancum
non incredibilis existimata tuerat:) Dux recenser ille, inter Lxperimenta lua PBy-
Sico. Mechanica de Aeris Clatere, _c. Fxperim. 6.
Post id temporis, sed jam anre Oetennium vel Nlorennium plus minus, (ut idem
retert in Experimentis nuper Pdicis de Admiranda Aeris Parefactione,) P. Xpan-
pantionem illam, aliis mediis, mulco adhue promoric; nempe, ulque ad vices (al-
cem 8000, (ri sua Flastica Sola, ab(que caloris opc:) atque, iterato experimento
eriam adhruc major inventa erac: quibus Fxperimentis eriam ipse incertui.
Idemque, Experimento adhuc alicer instituro, (prout ibidem secensetur) ad vi-
ces perrenit plusquam 10000, (seu plusquam Decies Millecuplum loci quem prius
occuparerat idem Aer,) imo ad locum occupandum ricibus 23760 majorem.
FEquidem, inter ingeniola illa acque Tubeilia Rxperimenta Plorentina ante pau-
cosannos edita, inventus est Aer, non modo ablque Caloris ope, led de ablque
ope (quam Boplius adhibuerat) Anilia Pneumaticae, Tolius Lxperimenti Forri-
celliani auxilio, expantus in molem Paltem 27Z vicibus pristina majorem.
Acquis interim spondere poltt, etiam in expantionum harum actu praesticarum
maximis, comprectionem omnem penitus sublatam esse . Ouod ni factum fueric,
etiam adhuc majoris Fxpantionis capax censendus erit Aer. Onem itaque ju
dicemus, ex renuissimis, eilque maxime conrolutis, parciculis, et Elatere Forti prae-
diris, compoticum esse. Ouippe secus, rix cositari potelt quomodo in tam vactam
amplicudinem, tola Tua Vi F. laltica (sublata ri extrinsecus comprimente) se dila-
tare posset exiguus Aer
Cumque se ita sponte dilataturus Foret (E abessent impedimenta) quem hic
habemus Aer; manifestum inde est, quod parem huic Comprectionem jam susti-
neat. Sed majoris adhne Compressionis capacem eAse, non est quod dubitemus;
imo quotidie experimur.
Fluc reterri postune Sclopeti Pneumarici dicti, seu Spiritatis, (nottri Wind eun
appcHanE) Experimenta, a Morsenno recentica; ubi, a compresso Aere, globulus
magna ri projicitur, tanquam a pulrere Pyrio. In quo camen luma qua potue.
runt indultria non in minorem quam partem quindecimam, ejus quem prius oc
cuparerat loci, aerem vi comprimere raluerunt: es quidem eriam de hoc dubitat,
qui illa incticuit, Mersennus ipse (Phaenom. Pneumat. PrOP. 32.) an in partem
, an spocius dicendum fueric, ob Fallaciam aliquam quam Experimento Tubesse
Suspicacus elt.
Item quae in Machina Compressiva Ca Societate Resia Londini in hunc ysum
parata) insticura sune Experimenta: in qua comperius est Aex in Colici spacii
Parcem S, vel etiam  (aesimam, vel duodecimam,) ri coerceri.
Faque quae habet Borlius idem (a quo ee exetera desumpsi) Fxperimenta Con-
deplationis Aeris a Frieore. Alcerum quidem; in quo, quum Glaciem Sale mix-
tam circumpoluerat undiquaque vali riireo quo concinebatur conclusus Aer, (eo
modo qui in congelanda aqua adhiberi solet,) concractum deprehendic in lparium
quod ad pristinum erac uc 247 ad 25B plus minus; (quae mulio minor est quam
quae ri mechanica obcineri lolet; quippe hic non nili8 pristini spacii ririrue.
hoc est, ut fere; cum illic adhibita ri mechanica rix cancundem retineretur: dum
tamen trisus sic achibicum cancum tuerit ue aquae conselandae abunde lusticeret,
Tummumque hyemis apud nos rigorem superaveric.) Alterum; quo quum Cila-
ciem vel Nirem Sale mixcam ral similiter circumpoluerar, cui Reris exiguum 
Aqua mulcum includebacur, Aqua ri Frisoris expanla (urpore consclationi proxi-
ma) Aerem sic comprestic ut intra partem Duadrazesimam seu 3 priltini spacii
concluderetur; torcius adtue eundem compreltura linon (quod contisic) ras
iplum rumperetur. Oux quidem Concractio, leu Condensatio, ucut minor (ic
quam modo dicta Pxpanlio seu Raretactio,, (eo quod Aer jam Fueratu in Iacu Or-
dinario, insigniter comprestus;) multo tamen major est quam vel hybernum Fxi-
BUS, (auc illud arciticiale, hyberno Forrius, ) vel vis Mechanica hactenus actibica,
RETEF
Pocuerit eficere.

## Folio 1050 — 851387705:1070
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001070.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
De Fydrostaticis.
Cap. XIV.
Si vero utramque (summae Parefactionis summxque Condenfarionis supra quam
est in Atacu aeris apud nos ordinario) conliderationem componamus: Cum spa-
tium quod occupat Aer Sc Dilatatus, sic ad spatium quod occuparet Aer nobis Or-
dinarius, uE 13769 ad F; acque quod Aer Ordinarius occupat ad spacium quod
occupat sic Compreltus, SE ut 40 ad F; exic spatium Aeris lic Dilatari ad sparium
ejusdem sic Compresti, uc (+3769x40 =)550760 ad E; vel, numero rocundo,
uc 550000ad Z, ICu ut Duinquies Centena e Duinquasinta Millia, ad Onum.
RC, quanto, per media olim forre excogicanda, remoreri adhuc possit ab invicem
uterque terminus; conjicere non valemus.
Onicum adtue ex iildem D. Borli (de Aeris Rarefactione d Condenlatione, seu
Dilatatione  Concractione,) Experimentis monendum duzi. Nempe, quod, UEuE
Aerem in ltacu admodum laxo seu dilacaro conclusum decinuerie in vase vitreo
per Menses aliquo, imo per aliquor Annos; non tamen hactenus obserrare po
cuic guin Flacerem Tuum recinuerie, et quidem in eodem quo prius visore; nec ob
laxirarem illam languorem contraxerit: Cum tamen non rarO obserremS, COF-
Pora Elallica (pura, laminam Ensis, aliamre chalybeam) ubi aliquandiu in lieu
indebico detenta tuerine, Flaterem Tuum deperdere, nec ri sua se in pristinum .
cum resticuere; Sed e Magnerem, Acumve Magnere incitacam, si exera litum luum
longo tempore detineas, vel polos mutare, vel senlim deperdere verricitarem Cuam.
Fancus scilicet est, eriam in rebus inanimaris, diucurna in eodem siru polirionis et.
tectus.
Verum hic loci distimulandum non est Fxperimentum aliud, illustre quidem et
Patis stupendum, quodque me de Phanomeni causa Policitum tenvit.
Nempe; Si Fydrareyrum inverso Tubo (uc dictum ett) suspensum, sit ante
inversionem ab omni Aere accuratissime depursatum (quod nonnili lumma cura
ediligentia tiet,) atque inversione caure facta, Tubus in loco firmo ab omni con-
cussione liber constituntur: FErdraregrum (aperto infra orificio) suspensum per-
manebit, etiam lonse ultra alsitudinem supra indicatam: Si vero, Llydrareyro sie
suspenso, vel tantillum Aeris admitratur, vel concutiatur Tubus: statim praecipita-
bitur Fydrarerrum usque ad solitam altitudinem, ibique (Poll recsprocationes ali-
quot Factas) consistet.
Phanomenon hoc, Fxperimentis quibusdam, in Orsano Boyliano primum, deinde
in aperto aere factis, debemus. Oblerrarerat ueique Honoratistimus Boylius
(quod ex ejus Frperimentis Physico. Mechanicis, Anno 1660. Cditis, LExper. 17.
ante monuimus,) FTydrarorrum, intra Ancliam Cuam Tubo Cuspenlum, Fubducto
Aere gradatim descendere, uti expectarerat, non ita tamen quin, quamcunque ad.
hibuerit dilisentiam, supra stagnantis interius Hydraroyri superticiem (contra
quam sperareraE) extaret adhue ad alcicudinem Onciae vel laltem semi unciae
(prasertim (i ab aere prius depuracum fuerit,) cui in Aqua respondent pedis Vn-
cix Calrem 7 aut8. Idemque in Aqua expertus, immissis in Aneliam cutris breri.
Dus (putam 5 auc 6 unciarum pedis) ea replecis, Aquam reperie (saltem si ab AerC
prius depureara Fueric) non descendere. Ouae quamquam Orsano minus praecile
obcuTatO, quam ut poruerit Aer omnis inde extrauriri, imputari posse videretur;
rem ramen cum iis e Societare Resia qui cum temporis solebant convenire com-
municarie, uc alciore dignam examinc.
Cumque, Dost Librum illum edicum, Organumque iptum L maini 166L conspe
ctum, variis aclhibicum alibus, id eou sque approbarit Clar. Flusenius, ut domum
reversus aliam sibi ad ejusdem Anclix Forman parandam curarerit: id iplum ille in
Aqua expercus similiter erenire deprehendit, (neleius, credo, D. Bortium id pri-
dem deprchendiste:) Nempe; immilto in Ancliam mubo breriuseulo aqua repleto
ab dere depurata, polt Aerem ex Anclia quancum poric extuetum, Aqua adhuc
Cuspensa mantit.
Idemque (suis liceris) ut nocabilem in doctrina Boyliana (de Aeris Pondere d
Elatere) ctticultatem objecit.
Cui (liceris (uis) revonebat D. Bophus, rem plane ita esse, acque ab ipso jam
ante obserratam, cum in Aqua ( ut D. FTugenio) cum etiam in LlydrarssrO; agni-
tamque difficultatem, et cum Socierate Regia communicatam, ut ulteriori adhue
examine dignam. Incerea tamen solvi difficulcarem rideri polle ob Ancliam non
ita penicus exhaultam quim uc retiduus Aer exiguum illud pondus sustinere vo.
TeTIL;

## Folio 1051 — 851387705:1071
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001071.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
PFOB XI
De Tlydeostaticis.
veric; et liquando Aqua illa brerium mborum, aui tuie aquipollens Fydrarer.
rum, ab aere nondum depuracum, subliderers id impurari posse lacenei ineus Aeri
elatere luo depellenti vim Aeris excra cubum jam valde debilicaram
Duod quidem responsum, ueur Objectioni (DTOuL tMI reS CTAnL) Catistacere
videretur; non tamen fecit quin Societati Resia ritum Fuerit in rem illam alrius
inquirere. Fxperimentis cum coram ipsis publice, cum alibi privacim, praeserrim
ab Tlonoratistimo Pralide D. Vicecom. Brounckero et D. Boyle, (quorum praelercim
curae res ea demandata fuit;) sire in Organo Bopliano live in aperto Aere, Faci
endis.
Postque varia facta tentamina, reculit tandem Societari Regix D. Praeses, (e
FIydrarerrum sic sulpensum derinuisse, ulera Toliram alticudinem ad siquipondi-
um neceltariam ( pura unciarum 29 aut 30,) nempe ad pedis uncias ulque 39:
Posteaque D. Boplius, Se idem experrum in alcicudine unciarum 52: Trerumque D,
Praeses, se idem ad pedis ulque uneias Calcem 55; pollicicus porro serem ulterius
adhuc prOlCCuTuTUM. OUX ex Regia SocietatiS RCSCCtIS ANnOTUM 1662 e 2663
liguenE.
Idemque ex eo rempore, trequenri experientia, in aperto Aere (absque Andia
opc) Fixperimentis Flonoratiltumorum Brouncheri, Borlii, aliorumque, crebro ite-
ratis (quibus es cso aliquando incertui) contirmacum elt; Elydrarsprumque, non
rancum ad Solitam alticudinem (quo A quilihrium cum externo Aere Herec,) puta, ad
Dedis Anslicani Oneias 29 cireiter, sed ceiam ad Oncias usque 40, 50, 60, imo
et 72, Suspendi deprehentum est, acque ita sulpensum per dies aliquor consistere:
Sed concultione facta, vel tantillo Reris admisso, Ctacim praecipirari ad AEguilibrium
usque: Oc de Phanomeni certicudine jam dubirandum non sic.
Acque hoc quidem Fxperimentum, illustre ee insperarum, cum leses Staticas
Tupra Politas quadantenus curbare rideatur, in Grravitatis naturam aleus inspici.
endum moner, eogne facem non contemmendam praeterre Forre deprehendetur olim.
Incerim, donec certius aliquod a Viris Eruditis conclusum tuerie, lxec mihi ra
tio videtur non improbabilis. Nempe; Cum olim, in reteri Philolophia, Perra,
Aqua, aliaque ejulmodi Corpora, Crraria censerentur; Aer aurem Leris; videri
Polic concrarium quadanrenus hinc dicendum; omnemque Crarirationem actuas
lem ab Aeris Atherilre preltu rel Flacere (expantionem moliente, caeteraque
Propterea loco Tuo decurbance,) provenire: Absque quo, segnia heC COrPOTa,
qua Graria dicimus, in quiere Dolica sic permanerent, sine Grraritatione actuali
live descentu; neque masis elsene ad morum deortum procliria quam ad latero-
Jem. Hydraroyrum itaque ab omni incus Aere depuratum, acque ica uc dictum
est suspensum, etiam ulera contueram alticudinem ad aequilibrium necellariam
cum ab omni aeris preltu liberum sic, nec ejus vel graritate rel elatere urseatur,
(quippe, qui incus deprimeret, nullus est; quique extra elt, si omnino premeret,
Turtum prEerCT; nempe, Per Tubi oriticium, qua solum paret adicus; nam à
prellu aeris superno vel lacerali d Tubo detenditur;) in quiere policum immorum
manet, suumque sicum retinet. Si vero, propter Tubi concultionem aliquam
aliquamve incus commorionem ab Aeris elarere, vel prius initi relicti vel jam
denium admissi, in mOtu Ponatur; mocum illum (pro ratione quancicaris matE.
rixe, vel densiracis parrium, vel quicquid id sit quod Ponderis nomine vylos in-
SinuamuS,) prolequitur, deortum (qua ria patet) rergens. Adeoque, quiequid
id sic quod in Fydrarsyro (aliisque similibus) Pondus dicimus, utut abique
Flacere vel prestu aeris aut quod hujus instar sic non inChOATEL MOTuM, mot
tamen undecunque orto rationes scaticas deinceps obserrat. Arque haec est qua
mihi ridecur Phaenomeni hujus non improbabilis racio.
Addo tamen, Fubi superticiem urcunque policam (quod de aliis suverticicbus
pariter incellisendum) non ica ab omni aspexitate seu inxqualivace immunem cen-
sendam esse, quin eriamnum aliquid asperiraris supertie, unde corporis adjacencis
cohatio aliqua _ (si mOveaTUT) Trictio oriatur, (ue supra aliquocies infinuarum
Ct,) qua mocus aliquatenus impediatur, acque ob quam mota corpora alii con-
cigua Volri Facilius quam Labi deprehenduncur. Acque hinc, si post omnem
achibicam diligentiam nonnihil aeris ueur exiguum permanere censeatur, compen.
Patio fieri Pollic ne Llydcareyrum excuriat.
Faceor interim mitui ne sic quidem penitus Patistactum ente, serupulosque actue
superelle et dilticultaces quibus respondendis ncedum sufficio, quisd aliquid actiue
RPFTEK 2
Mecum

## Folio 1052 — 851387705:1072
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001072.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
De Thydrestaticis.
Lia
mecum haereat. Fx quidem kori Porest (quod D. Vicecom. Brounckerus suspica-
cur) Aeris Pondus multo majus adhuc esse quam ue alcirudini LIydraroyri uncia.
rum plus minus 29 respondeat; scd ab aere intus larente (nili expursetur) ad
eam ulque alcitudinem deprestum elle FIydrareyrum: AC ubI exPUrSaTUIE ACF,
nihilque cum supersit quod externi aeris ponderi se opponat praeter nudum Fy.
drarsyri pondus, rem secus deprehendi, hydrareyrumque ab aeris aequipondio al-
tius lultentum iri.
Sunc qui idem explicare PataBUNE, propter Aerem quendam subriliorem (quam
Cst Commeanis ACx) Aeri nostro craltiori immiltum; qui quidem tam subcilis lic ut
per Ancliam Pneumaricam expursari non possir, nec ira tamen ut possit per vitri
Poros trantire: (qualem revera reperiri, aliis aliunde Experimentis contirmatum
CunE:) Hlunc Aerem Subcilem, utut ricrum penerrare non possit, possetamen (post
concultionem Tubi Factam, aut Ondulationem aliunde ortam) ita per internam
cubi superticiem se sentim insinuare existimane, ut (praeterito et superato quod
intus elt FIydrarzyro) culmen consecutus, FIydrarorrum depellat.
Sed nihil cerri hic aulim determinare, sereriori adhue disquisicione rem dig.
nam censenS.
P R O P. XIV.
Oux de Frdrarerro provositionibus superioribus oAenta sunE Ca
dem in aliis Lluidis, serrata Graritatum proportione, pariter ob
tinent.
Om enim omnium Demonttrationes FTydrarsyro speciarim applicatae, proce.
Ldant ex generali Fluidorum narura, exdem pariter obrinebune in Auidis aliis,
Dro Tua cujulque graxitate.
Verbi sratia: Cum pondus aqua ad pondus FIydrareyri, aequalis magnitu-
dinc, st UE Y ad T4 (numero rocundo,) seu POtIuS (quod D. Bortius ex LuIS
Experimentis accuratius judicat) ad 133 cireiter; (Getaldus, in luo Archimede
promoto, POnit UE Z ad 233:) Ouo Cylindrus Aqua aequipolleat externi Aeris
Drectui, requiritur ut aleior s Cylindro Fydrareyri aequipollente, vicibus 147
TalTeM L32, auE X3Z; prout haec, illa, rel ilta provorrio sit accuratior; de quidem
pro diverso sire Aguarum sire Fydraroyrorum pondere, porerit nunc haec nune
illa esse accuratior; porelt enim et Aqua aqua d Hydraroyrum Hydrarsyro le
rius esse grarmtre. Adeoque quam poluimus altitudinem CI, (fig. 3T4.) in
Hydraroyro, unciarum plus minus 29; ponenda erie, in Aqua, pedum plus mi-
nUIS 33
Huic contonum elt D. Boptit Fxperimencum (cui de ipse eum aliis intertui)
cujus meminit in Continuatione Fxperimentorum Physico Mechanicorum, L. X DC.
rim. 15. Dui, experimenco quaerens quousque posset Aqua Suctione elerari in
rutio, supra superticiem intra lagnantis aquae cui insistebât, invenit (Tumma 2d-
tribita dilisencia) maximam ad quam tunc cemporis elevari polsee alticudinem
Fuisse Dedum 33 ee unciarum 6, hoc est pedum 333; quo tempore alcicudo LIy-
drargyri Propter Amospharae aequipondium sulpensi, fuit unciarum Dedis 292
Proxime; quae quidem Hydraroyri alcicudo per L33 mulciplicata, exhibet uncias
402 proxime, hoc est pedes 33 cum 6 uneiis. AEque, cadem analosia, quo rem-
Pore allurgeret Hydrarorrum ad pedis Anglicani uncias 30 (qui alcensus cAt
quali MaXImUS,) alturSereL Aqua ad alticudinem unciarum 4F2 Z, hoc est pC-
dum 34 ec unciarum 43: Ouo tempore rero Hydrarorri ascensus eller nonnisi
unciarum 28 (qui quasi minimus cst,) ascenderet aqua ad alcicudinem uncia-
rum 385, scu pedum 32 3. Oc maximam Aquae alcentionem ob Suctionem
(leu, quod rantundem elt, ob Aimosphaera aequiponderanciam) obcinendam, ri.
re judicemus, nunc pedum 345, nunc pedum 32, (proxime,) nunc his incerme
diam, prone maxima minima vel intermedia fuerit Aemosphaerae graritatio; Cal-
tem ab his limicibus quam parum recedendum erit.
Verum non opus elt, ad hoc de Aqua Phaeromenon probandum, (quod non
ulera cerram alcicudinem fuctione postis elerari,) ut ad idem in Hy drarsyro
TenEst

## Folio 1053 — 851387705:1073
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001073.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
PFODXV.
tentatum recurramus. Omppe illud in aqua primo deprehentum elt. Otut
enim, qui ob Fusam Vacui luctiones tieri exiltimarerint, pucarerine etiam (nec
quidem inconsequenter) ad quantamcunque alcitudinem sic posse Aquam clerari;
nec dubitarine quin ancliarum acque Siphonum ope pollet aqua etiam lupra al.
cistimas Furres nedum Monces suctione trahi: Deprehenderane tamen Ancliopaei,
cum ad praxin derentum eslet, rem non succedere; omnelque aquam supra cer
cam alcicudinem his mediis elerandi conatus trulera esse. Atque hoc iplum est
quod Catilaeo primum in animum induxic, Vacui Fugam illam non intinitam
ese, sed incra cerros limires coerceri; Rerisque Aquipondium illius loco (yb.
stimendum. Indeque Torricettio anta daca est idem in Fydraroyro cea
Ouippe non imprudenter conjecit ille, si ob Aeris AEquipondium nonnisi ad
certam alcirudinem cleraretur Aqua, ad minorem adhuc elerandum fore Lluidum
aqua Grarius: acque, in Hydrarorro centata, res SuccesTit ex VOtO. AIque ex-
inde Forricellio praecunte, res jam redacta ab alcicudine pedum plus minus 33,
ad alticudinem cuhi breriuleuli, unciarum pura 20 plus minus, Facta est magis tra-
ctabilis; (cum tubi tor pedes alti, liquoribus aerique imperrii, nec Facite BoelL
Pollent, nec commode tractari:) Unde tor tantique momenti Fxperimenta pro-
Auxerune, prostuucsue teS.
tum, perinde obtinere censendum elt.
De LGdroputans.
Oudelque in Aqua oltentum ell, in lluidis aluus, setrata Propotione starita
P ROP. XV.
Oux de Hydrarorro, aliisre Fluidis, in Tubo suspensis ostenta luIII;
eadem Siphonibus, Ancliis, aliisque ejulmodi otsaS, accommo-
danda Tunt.
ESto enim, verbi graria, Siphon seu Fubus incuerus C. DF. (uerinque aper- Fig. 321.
D. extra provendeat. Nocum est F.xperimentum (ut in deplendis ratis rinariis,
LscuS,) cujus alterum extremum C Aqua aliore Fluido immergatur, alterum
aliisve) S Sugendo in F. proliciatur liquor donee cAuat, omilla deincevs (
ctione concinuabitur etuxus, donec liquor in vase vel penitus extrauriatur, vel
2 julta altitudine deticiat: Va tamen sese, ut oriticium P interius sit quam A B
fucto in P aere qui in Siptone tueratu alcelleat (contra graritatis suxe propen-
tionem) Fluidum in C, ne calcu (quod nacuram Ounublis modis avertari Du-
dum) ulera cerram alcicudinem suctione altratii, camque in aliscudinem immentam
sic elerandi spes Fuisse fallaces; coepirque in Pugx Vacui locum succedere (Ga-
tilao id primum susgerenre, et promovente Torricellio,) Aeris A quipondium.
FF
liguotis in vase superticies.
Fujus Phaenomeni caula d Fuga Vacui peri Solebat olim; nempe, quod exa
tabatur) Vacuum in Siphone. Fc, consequenter, hujulmodi artiticio etiam su-
pra altiltimos monces in oppolicas valles aquam cransterri poste pucabatur.
Poltquam vero experimento compertum est, non polle aquam (aliudre Aui-

## Folio 1054 — 851387705:1074
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001074.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
De Tdrostaticis.
Cap.
ad leses Starieas derencum est, quo alvicudines illae pro cujusque Fluidi grari
cale determinentur.
Exlucto igitur Aere in E, (seu porins, loco facto in lugentis Thorace dilarato
quo recipiatur aliunde prorentis aer,) subjectum Fluidum ab aeris exera incum
beneis pressu in Siptonem protrudicur (eadem ratione qua, supra, in Pubum
rectum) in C; idque consque (nec ulera) donce tiac Aequilibrium cum excerni
Aeris prestii (per anre demonstrata;) pura, ad alcicudinen CI; (hoc ell in
FIydrarerro, Inciarum quali 20; in Agua, Pedum quali 33, plus minus; atque
in aliis liquoribus proporcionalirer pro sua cujusque BraVItaTE.) Si itaque Si
phonis Tummum D, alcius non sic quam T; alturget Auidum ad summum usque;
exituque illic invento per crus descendens DK, CHIVeT ex E; acque hoc conti-
nue, caulis pertererantibus. Ba tamen lege, ut interius sc P quam C (super-
ficiei ACB:) Secus enim, cum aequali Armospharae prestu uroeantur C et l
Si Cruris DH. alcicudo minor sic quam Ccuris DC, adeoque Auicum quod illo
continetur minus grariter quam quod in hoc, concrario cursu Feretur Auidum ab
P. per D ad C, succedence Aere in P: Salcem, nisi Siphonis amplicudo canta SIE
uc postir Rer limul ascendere (per Auidi lacera) dum defluic Auidum cruris DLi
quo casu, partiri pocerit Auidum in D, descendence parte altera per DC, altera
per DE, alcendemre aere per Huidi DP. descendentis latera; in Siphonibus ve-
x0 strietioribus recro fererur Auidum in F, Der L. DC, ab aere in R urSenL
Provullum.
Sin D aleius sic quam F, Furtum proxellerur tluidum (ob cautas supra cracti.
125) aC ad L usque, sednon ulrra; adeoque ad D non perringet: Adeoque tan-
cum abest ue cellance luctione continue prottuar per D ad F, uc nulla luctione
ad F. procrahi pollit. Cum enim fuctionon alirer agac quam (aperto Thorace,
aie quod Thoracis instar el,) locum Faciendo quo recipiatur Auidum (non Tu-
ctionis vitractum, sed) ab externi aeris prestu ( seu quod hujus instar cst) pro-
pultum; li, utur loco facto, non valeat tamen externus aer eo propellere Flui-
dum (propter D alcius quam I,) Lluidum ad I consilter, neque altius feretur
quo per D ad L. Dollut pertingere. tec quidem, a tocus Auido impleatur Si-
phon C. DH; apereo ucrilque oriticio, facta parcicione in D, quod ell in crure
D C acprimetur salcem usge ad I, (ne plus prematur C, quam superticiei A C. B
DartESFELIguX,) queqe est in crure D F. CAuet per P (aere in illius locum tuc.
cedente,) Talrem nisi cans lrictum lic Crus DR. ut non commode postic ascendens
Aer delcendens Auidum Pheterire; quo casu, poltquam descenderit Auidum in
DE, usque ad alcicudinem I, Suspentum illic derinebitur donec se postie Aer sen.
Nim incmuare; viaque tandem. tacta qua pollit externus Aer libere per F. intrans
vim lutam exercere, deprimetur quod erat reliduum in exure D P. ad C. usque.
Idemque in Antlia (Peu Organo Cresibieo) obtinet; Cu-
jus sructura ad hunc fere modum tieri loler; Lignum ob.
longum (rel ex pluribus, A opus lic, compolitum) incus
excaracum Cytindrice, in puceum demitritur, (extance ParLE
superiore,) intra suverticiem aquae in purei Fundo; qua qui-
dem Aqua incelligenda et, non libera ab aeris prelti, sed
cidem obnoxia (secus enim non surtum provelletur aqua;)
Acque alicubi in Anelix caro reparulum transverlum tigitur
in cujus medio c toramen D per quod ascendat Aqua; de
huic toramini incumbens oxerculum seu valra B, crantver.
Pario ita fixa ut aperiri aut claudi postit prour intrd suprare
premitur; Trem, Sicula a manubrio superne demilta, (ica
Cari laceribus aptata ut non polsit Aer per lacera le infinuans
crantire,) quae similiter in fundi medio Toramen habeat L,
eique sic apcaram valram CE, uE F. ad D.
Elis ita constructis; dum manubrium versando Sicula sur.
sum crahitur, cumque illa incumbens Aer, quo minus sub.
jecta intra Aneliam aqua eo prematur, impelletur in Ancix
carum aqua aliunde Plelsa per C ad D, de per Foramen (valram P. aperiens) ad
Fundum usque suula (mdd alrior non sic quam C. I lumma aequilibris alcicudo,)
alpole a Plen upC o alque intra propula: COAIa rerO; dum Manu-
brium

## Folio 1055 — 851387705:1075
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001075.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
PxOP. 1.
trium alias versando deprimitur Situla, deprimatque proxime subjectam aquam qua
per D alcenderat; clauditur hac deprestione ralra F, acque aperitur C; per quam
agua, siculam Supersrelta, cum recracta situla (claula C valra) Curtum craticur.
riaque illie inventa per oriticium FI etuic, succedente ut prius in retractxe sipI
locum aqua per D denuo alturgente: atque hoc continue.
AC vero, Si alcicudo C. D major (ic vel non minor quam C. I (qua tieri sup-
ponimus aequilibrium cum externi aeris pretlu) Aqua per D non alcendet (ne
plus premeretur C quam superticici A C B partes reliquae,) cotusque Anclia labor
incactum eric. Sin D sic intra L, ascendet aqua per Dad l ulque, modo non im-
pediatur; salrem ad usque fundum liculae, nisi altior sic hic quam I. Si vero co.
usque Tursum crahatur ficula uc F vel e luperet alcicudinem I, deserra sicula intra
sublistet aqua ad P; ita tamen ut Si Licula, dum intra L Fuerar, aquam Dex F C hau-
seratus hanc secum (claula C ratra) elerabir acque per HI ettundet; sed cum ma.
jore exanclantis ri, urpore cui nihil sublidii conserat aqua interne premens.
Finc est, quod Fydrareyrum non pollic siptione, Anclia, Syrinsa (nam et
illic eadem elt ratio,) aliore Suctionis Organo quocunque, ultra pedis Incias
29 aut 30 in alcum crahi; nec Aqua, ulira Dedes 33 aut 34, circiter; aliaque
Fluida pro Tua cujusque graricaris ratione. Causa urique in omnibus cadem est;
Nempe, Pa quae Suctione tieri videntur omnia, Pultione rerera tunc; puta, ab
aere exrra grarirante, aliore prestu; suctione nil aliud facienre quam ut lOcuS, Pa
retur adl recipiendum id quod prelu aliunde pellicur.
i
dt desct bsclicibis.

## Folio 1056 — 851387705:1076
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001076.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
Epiloeus, ex Miscellaneis.
ap. XV
Epiloeus, ex Miscellaneis.
YVM tandem ad umbilicuns petremendum lE AC opuS I Lnik M. ClC
seae, (utut pro materix copra lacis arctum;) nonnulla M Cap sidC
sulio huercjecta.
prictim conserere vilul  qua vet luis loeis omulla tuerant, et, Co
Oux hic proponcbantur (de Spatiis Fhyperbolicis) Addenda; jam Lat
cur (Juo loco) adcalcem Prop. 32. Capicis minti.
P R
P. IF.
Ouxe hic proponebantur (a a sount) clceaa, satM BaDENEUE
(suo 10c0) ad calce (tOP. 29. Capitis Duimei.
P
Incata Vesica pondus elerare.
Sperimentum hoc prinum vidi Oroniae insticutum Anno (si recte memini)
165T. (Talcemnon anno incerro serius ciriutre) in Conrentu ludiolorum
qui cunc temporis ibidem conrenire Colebamus Raco die lingulis septimanis, ad
Ctudia communicancdue insticuenda experimenta, et rem Philolophicam promoren.
dant. Verum non cum primum inventum erat, sed (ut res jam ante cognita) re-
Decitum. Idemque polt id cempus in Societare Regia Londini repetirum Fuit. Sic
Sic B velica; cujus cerrix N pegmati seu Fulero alicui tirmo
tixaeur: ita tamen ut per calamum seu fistulam O inflari pollL:
tundoque aftigatur pondus P. Fxperimento compertum est,
Aatu spiritus humani, inflaca velica, adeoque laceribus distentis
et lonsicudine concracta, pondus librarum 50, 60, 70, aut etiam
plurium (Dro viribus pulmonum sancis) nocabiliter elerari
Poste.
Id autem ne incredibile videatur; considerandum primo exit;
vim spiricus humani, praeserrim ubi summo nitu incenditur, non
ita exisuam esle ut quis prima vice existimet. Ouod manifestum
exit l consideremus, ad guantam distanciam, ec quam celeri
Fortique motu, slobulus argillaceus Aando expelli TolCat ex
Tubo oblonso, quali in occidendis aribus ucuntur, etiam ad di-
Coiderandum porro ctI, (quod hic praesertim spectamus,) quam accommoie
ad mocum hunc praltandum achibetur ris illa; quippe non nili maena spiri.
E1IS
aurem instituitur.
Btantiam non exipuatI.

## Folio 1057 — 851387705:1077
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001077.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Prop. III.
Fpiloeus, ex Miscellaneis.
cus instantis copia in velieam immilta pondus ad exisuam alcicudinem eleva.
tIT.
In hunctinem consideranda erit Vesica Bubula, utut irregularis sie Fiourae ad
Sphaeroeidem tamen proxime accedens, F. Hipseos MINOP circa lonsiorem Axem
HP conrersione tactam; eujus quidem Fllipseos Perimeter S eadem incelliontur
vel sibi semper aequalis, Fllip seos Species concinue mutabitur pront velica plus
inflatur; aucta Colida capacitare, propier auctum axem breviorem MO, dum lon-
sior N P contrahieur; Sphaeroeide facta latiore, sed breviore, acque ad Sphaeram
masis accedente. Ouod cum fieri non postitretracta cerrice, ut quae intelsigitur
stabili tutero tirmiter alligari, Fic eleraco Pondere: Cujus eleratio itaque tanta erie
quanta est lonsicudinis NP contractio.
Flanc aucem lonsicudinis contractionem, adeoque elevatio.
nem ponderis, quo aliquatenus xstimemus; sepotita aliquan-
tisper Ellipsis Cubsticuamus Rhombum M NOP; adeoque, pro
Spharocide, Phombum Solidum; incellise, Solidum conver.
sione Rhombi circa lonsiorem axem HL tactum; adeoque ex
duobus conis similibus et requalibus composicm, quorum
communis batiS SIC MO circulus, _ vertices H, P. Non quod
hraec tisura propius ad Velica formam accedat; sed quod ad
calculum lic accommodarioi, nec ita ab relica Forma recedat
quin praesenti nesocio latis ut accommoda; non enim propter
Deculiarem velicae formam res ita miranda ridetur, Sed propter
pondus tancum taneilla vi elevacum.
Rectam N P. (Phombi diagonalem longiorem) appello Sohdi Mtitudinem: quae
quoniam pro varia policione varia el, positionem primam eam luppono qua, nulla
adtrue inflacione Facta, Linea NTMP, HOP, in rectas extenduncur, adeoque cum
NP recta coincidune; quo catu NP recta aequalis erit duobus Kehombi lateri-
BuS; Puta NO, OP, vel NTM, M P. Diltanciamque punctorum N, P, in hac DOLI.
tione prima appello Primam Mlitudinem.
Calamus seu Fistuia C (per ouam tic inflacio) inrelligatur Cylindrice ex-
carari, Carique diameter ponatur, verbi gratia, io (pars Cencelima) Prima Alcitu-
dinis.
Vim Placus (quo aer in velieam impellicur) quali aqualem reputo vi Musculo-
rum pectus comprimentium, adleoque aerem ex pectore in velieam impellentium.
Escuc enim Elacus humanus in libero aere imbellis rideacur, eo quod quam primum
Spiritus ex ore in aerem cranseat undiquaque expandacur: quum camen per tistu-
lam impellicur, cujus laceribus cohibetur ne distluac, visejus in Piltulam cadem
quali est et qua ex Pectore decrudebatur. Dieo tamen quasi eadem Docius quam ea-
dem praecise; quoniam non neparerim quin ririum aliquid pectus comprimencium
impendi pocuerir in comprimendo expulso aere, reliquumque cantum in expel.
lendo.
Vim Flacus hanc (sive major fueric sire minor) ponamus aeguipollentem pres-
sui ponderis in S (cari Sumino) incumbencis, subjectum aerem in Filtulae spaciis
2,2, 3, q Sc. deprimentis, adeoque impellentis in Velicam; unde Vetiexe laceri
bus distencis, capacitas augetur pro ratione ingelti aeris; seu pro rarione descen-
sus ponderis S. Nam dum poncus S per Spatia 1, 2, 3, 4, ebc. descendic (quae fune
in Cylindro alcicudinibus proportionalia) cancundem aeris in velieam incru-
ditur quancum illis spatiis concinebatur, acque cancundem augerur vetica capa
Citas.
Ouoniam rero negandum non est, quin aer, PrOpter clacerem quem habet,
comprestionis capax HI; adeoque relicae exrensio minor aliquanto sir quam spa
cium quod Sdescendens occupat, (virium parce aliqua in comprimendo aere im-
Denta, reliquaque tancum in exrendenda velica:) Descentum ponderis S, ucut
revera aliquanio major tic, tancum jam repucabimus quanta est illa Velica exten-
Sio; hoc est, quanium oporteret descendere propier illam excentionem s aer
non eltet capax comprectionis. Quod tamen tacio porius ne sic objectioni co-
Por aliquis, quam quod sic praelenri infricuro necellarium. Nam (Praterquam
quod Calculo summe exquisico hic opus non Lic,) quiequid id sic, non cam Ouau.
ricatem spectat quam Celericarem ascentus ponderis P.
STTTES

## Folio 1058 — 851387705:1078
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001078.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
Cap. XV.
Lpilocus, ex Miscellaneis.
Etis ita Calculo praestructis; Alticudinem Primam
HP, hoc cltN M-F M P u guoliber Rhombo, vona-
mus =n; adeoque NYM = =n. Item N P pro parti
culari aliquo Rhombo, =a; adeoque NN = = a
LtI scagu sI AOHDO IIIO MR ==V: NM9
Adco.
NRG: =
que MO =V: n - a 2: Cujus quadratum NO q = n =
=a 2 in NR = Zalductum, exMbet n’a - =a xequale
que duplum n= a - a3 aequale Parallelepipedo
 aesutalem Parallelepipedo circumseripio Cylin-
dum, lic inseripeus Cylindels da inleriptum Cylin-
nales:) EAque (per prius polita) Cylindrus V aequalis Solido Rhombo qui tit de-
scentu ponderiss ver spalium V; hoc elt, aequalis crienei Cylindri huic Rhom
b0 circumseripis. e  Lalaseepcu enemepum Cyindro illi, X
Parallelepipedum circumICp CStHOO CN C W; e Parallelexipedum cir-
cumscriptum respectiro Rhombo oaOMNOL, n’a - a; cum itaque illud lIE
hujus trienti aequale, erit W = = n a - = a decogue 3 = n d- a. Quae qui-
dem A. quatio respondet. Solido Rhombo facto ex descensu ponderis S per primum
Spatiorum X, 2, 3, ecc.
borum Colidorum respectira incrementa,) 6V == n a - a respondebit descentii
per spacia duo; 9u =n a - a descentui per cria; et sic de careris. Hoc ett,
Polito n = 100 et n = F
Paralle lepipedo circum seripto Cono NT MO; hujus
quod rori Colido Rhombo MINO P circumeriba-
cur; Cui paralle lepipedo si incelligatur Cylindrus in.
seribi, eric hic Priplus Pehombi lolidi.
Incelligantur porro, Cylinari ON Spatia L, 2,
3, 4, erc. cotidem esse Cylindros aque altos et (u-
per xequales bales: Et Bonamus Balis diametrum
n = 2 n; acque alcicudinem item TV ==u
qux in diametri basis quadratum ducta, exhribet
Fst aurem, ut Darallelexipedum ad Parallelepipe.
elie
drum (propter aequales alcicudines et bales proxorrio-
quale crienti Parallelepipedi Cylindro huic circumseripti. Sed, per modo ostensa,
E conlequenter; (cum, propter illa spatia aegualta, aguasa eltam line Khom-
Dum Sde
scendie
Spatia.
5
4 (A quarioneS re
spectirae erun
n a.
et
T2W
18V
10000
L. G. 2t
.
Ouibus aequationibus retoluris; proxter cognitas quantitates n, un reverietur quan.
titas a; hoc elt respectira altitudo NP pro quolibet Phombo: Lit consequen-
cer, quantum ea defieit ab alticudine prima; hoc est, quancum alcenderie interea
Dondus P Tupra primam ejus policionem.
Aquaciones illa sic resolurae exhibebunt nobis subjectam Fabellam. In qua
Columna S numerat spatia per qua descendisse supponitur ris seu pondus S.
A. extibet respectiras aequationes his spaciis respondentes. A, respectiras alci-
cudines NP pro illis descensibus. P, harum complementa ad alricudinem primam
200; hoc eltu menturam alcentuum ponderis P, descentibus illis respondentium.
D, disterentias complementorum continue consequentium; hoc est, quantum a(.
cendexic P propter descentum S per livguls spatia F, 2, 3, ec. respectira. Nempe,
Dum
aC.
C.

## Folio 1059 — 851387705:1079
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001079.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 144 lines, status machine
Prop. III.
Rpiloens, ex Miscellaneis.
60. 600, 150,000, 34
3.00di
00. c
.500
0.000
1000
00.000, 15
6000.S8
00.000.
30000, 15
000.
8
00,000,1
99. 993,843, 999,66
3. 999, 699,9
.99
195
3. 997.
997
60081
83.
6.
9,959
99. 996,999, 065
1000.
30. 001, 050.
00.001,200
30. 00r
00.00
00. 001
.007
00.00
30. 002
16
00. 002,400,00)
38C
2000
4000
9909
20000
13505
359C
24997
5C
332
00c
40785
10788
99. 977.642, 503,
99. 977,492,402,
99. 970, 136, 624,
99. 969,986, 489.
99. 955, 129,783,
99. 954,969, 589,
99. 940,096, 184.
99. 939,045,914,
99. 925,065,795,
39. 924, 915. 455,
99843, 811, 822,
99849, 661,243.
39. 24 15542. 350,
99. 242,389, 480,
98. 464, 986, 865,
38. 464, 829,662
37 83t. 1 34. 5 32.7 866
97. 894.574. 393,5
e
E
dic
6. 002706,2 2
0. 002, 850, 123
00. 003, 600, 135,
00007, 050,75
00007, 200,78
00014, 853, 31
00. 015,003, 38
00. 022,357, 437-
03. 022,507,598,
c0. 029, 863, 376,
00.030,013,311,
00.044,880, 2. Y1,
00045, 030, 4 27,
00. 059, 903.816
00. 060,054, 086,
00. 074, 934, 205,
30.075, 084,545,
E 00. 150,188, 178,
E
00. 250,338,857,
00. 758, 45)
00.758, 610,523,
3) aF 535, 013,235,
02. 5353170,343
o2. 105,265,1607, 213. 4
02. 105, 425,606, 44. 4
68.000, 150,870
D0, 150,010
00.000, 150,010
0. 000, 1
00.000, l
00.003, 150, 012
00. 000, 150, 013,
00. 000, 150, 03
∞ 00.000, 150,07
e
5 00, 000,150, 101,
 90.080, 150, 135,
2 (00. 000, 150, 300,
5 00.000,150, 270,
5 00000, 250, 348
00900, 250,79.
00. 000, 153,179.
00, 000, 157, 183.
(aooet  os eioi
Patet ex hac Tabella, dum S per Spacium  descendic, vix plus afTurgere P
0000, 25. illius alcicudinis, (nempe cancillo plus, ut in decimalium fractio.
quam
1.000,00
num loco interius quarco ne quidem t habeatur, quod hic merico neglisi porerit.)
Adeoque, cum DescentusS Sc ad ACcensum P, ut 200000 ad 15; Si pondus seu
vis AacuS S Sc ad P pondus elerandum Faltem uE F5 adt 100000, (hoc Cst, nt 2 ad
20000,) Vis Ponderi aequipollebic; Timajor, praepollebit, adeoque elevabic, (al.
temeantundem quantum Descensui S per spacium F respondeat.
Scd e illa proporcio tam parum variatur pro spatiis sublequentibus aliquam-
muscis, ut donec S descendisse incelligatur ultra spatia 13596 (hoc est, donec per
tictulam insectum sit in relicam cancum aeris quancum impleat plulquam 13596
spacia ipE P V aqualia) non opus erit tanta vi in S guX Six D. OOOT6
20000O Donderis P,
seu quae sit ad P ut 16 ad 10000O, hOC e, ut T 2d6250, Adeoque, s Vis
Flacs S sic ad pondus P Faltem ut 26 act 10000D, Teu F ad 6250: elevabitur P
falrem cancundem quancum Delcentui S per spatia X3596 respondebic; hOC eA (ut
ex Tabella liguet) plus quam =o
Cum itaque non inconeruum sit uE Vis Flacus humani accectat Falcem ad
STTETE2
20
92. 992,943, 25
99. 9923799722
99954, 996. 62
149
1500
2997
99. 985, 146, 69

## Folio 1060 — 851387705:1080
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001080.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
seu
Epilocus, ex Miscellaneis.
200
nindius) plusquam est = (pars quinquagelima) semiperimetri NM L MP, qua
latis est notabilis. Ouod ostendendum crat.
Paret hinc etiam, si ponamus vel Saugeri vel D diminui, adhue altius elera-
tum iri P, eadem relica manente, eodemque tiltulae caro.
Patet etiam, pro diminuto foramme Filtulae seu diametro ejus OT, diminui
etiam provortionem S ad P necellariam ad pondus elerandum: EF quidem, se
Mathematice Solummodo res contideretur, ad proportionem quancumvis exiguam
seu ut darum pondus cata ri sic moreatur; Verum, si ad praxin Phylicam dere.
niatur, non expectandum est ut res succedat; quoniam Aer per Foramen valde
exiguum non Botelt nili magna vi procrudi etiamsi non contra urgeret pondus
P; sed neque ad exiguum istiusmodi foramen potelt quis ita se accommodare ut
tocam Racus porentiam eo exerat. FH itaque medioeris quaedam toraminis mag
nicudo necellaria ad praxin hanc efficacius exercendam; guae, cum ex Phylicis
circumtantiis dependear, experimenco porius quam demonstratione decerminabi-
cur. Sin Machemarice cantum rem speclemus, (seclutis hujulmodi circumstantiis:)
auctio vel diminucio diametri torrminis, contraria rice minuic augerque rim Aa-
in duplicata ratione iltius auctionis rel diminutionis diametri. Guod ex
cu
Praen
Facile item ostentu et, Ad quantam alticudinem (pro dato Foramine) data vis
flacus datum pondus elerare posset: LI, vice verta, quanta ris (pro dato Fora-
minc) requiratur ut datum pondus ad datam alcicudinem (pollibilem) eleretur:
Sed esu daris alticudine (Dolsibilis) vi Aacus, et pondere, quancillum toramen
esse debeat.
Dico, alsirudinem Possibilem: quoniam non ad quantamris alcicudinem hoc
tiee; sed salrem ubi, ad maximam ratis capacitatem perventum eft. (ut alias omie-
tam circumtantias PhysiCaS) non ultra Hando extendetur. Pa aurem est (cata
DeTIMEErO MNOP) in Rhombo tolido (quo hactenus uli Cumus) quando qua-
dracum laveris NVM, aequat eria quadrata lemiadcitudinis NH, (hoc cst NMq
3NRg, vel Zn =Za:) in Sphaerocide vero (cui propius sccedit velica)
ubi ex Sphaerocile sic Sphaera, lacta peripheria trantrerta MO aequali perimetro
expOLITA MNOP.
Verum quoniam haec a praesente proposico aliena sune, demonstrationes horum
omitto; quas tamen tusius olim, in scripio in Societate Regia Londini extribico,
Marcii dic 4. 2662. expotuI.
Sed redibimus candem à Rhombo Solido ad Sphaerocidem. Ouanquam Sptae-
rocides sic lisura minus ad calculum accommodata: Cum camen conster, EIlipsim
Rhonibo (li rite comparentur) capaciorem esse; adeoque e Sphaeroeidem Rhom-
b0 solido; non dubitandum cst quin, quod de Phombo Colido ostendimus, de
Sphaeroeide abundancius constet. Cum enim, positis ueriusque tigurae perimetris
MNOP aequalibus, major sic Sphaerocidis Sphaeraque capacstas quam Khombi in
relpectiris potitionibus; adeoque, quo extendaneur, plus Aeris illic quam hic in-
gerendum, quod majori descensin S aeguipollet; contra vero major lic hic quam
illic alcicudinis contractio, adeoque ascensis P; (quae ex tigurarum natura Patis
Constant:) Erit, propier majorem descensus ad alcensum rationem in Spha-
rocide (adeoque in Vesica) quam in Phombo, facilior quidem (utue cardioe
e ad minorem alcicudinem) Ponderis ver Velicam quam per Rhombum eleva-
eio. Adeoque abundantius constat provosicum. Siquis rero existimet, in inflata
Velica, non modo ambicum cransversum MO, sed e crectum M NO P, augeri:
Vrut exo contrarium porius putem, contrahique non tancum altitudinem NF
Sed et ambitum M NOP ob distentum amhicum NO; illud tamen s concedatur,
non officit jam pottis, sed prodest porins: nam de lic augebitur Velicx capaci
ras, acentus P minuetur, adeoque facilicabitur, propter minorem alcicudinis N P
contractionem, dummodo tamen contractio hat. Unde Fortius adhue contirma-
cur propolitum; ne mirum tic, (quod experimento comperimus,) intlata Velica
Iat grare Pondus elerari.
PROP
1060

## Folio 1061 — 851387705:1081
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001081.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Ppilosus, en mneis.
Solruntur aliquot alix Ouxestiones Mechanica.
AVIta alia sunc ad rem Scaricam et doctrinam de Notu spectantia, quae vet
LVL Capicibus superioribus incerteri possene, vel pluribus achue capitibus mare-
riam suppeditare, nisi quod operis moles jam nimium excrererit. Sed ea ex lu
pra tradicis pleraque non difticulter elici Dostunt ad rem praesentem rite accommo-
dacis. Nonnulsa tamen hic lrictim acrinsam; quae utut res ludiera non nemine
Forsan videri postint, leriam tamen in Scaticis caulam habent.
Verbi Gratia. Si quaeratur, Cur, qui ad erectum murum stat erectus, dorso ea
utrisque calcibus murum attineens, non pocest, nisi promoto pedum altero, num-
mumi humi jacentem prorsum incurvatus tollere, quin praecipitabitur: Ratio De-
cenda a situ Ceneri graritatis. Duippe, cum tulerum corporis sic in pedibus, qui
cadere non rolet hoc curare debet ut totius Corporis Cenerum srariatis pedibus
emineat, Calrem non extra eorum extrema hac vel illac ulrerius deflectat quam ut
musculorum ee cendinum rires sic politum sultinere valeant et revocare. HTinc,
qui crectus ltat, Cat firmus, urpore qui totam corporis molem habet pedibus su-
Dereminentem. Oui vero quid hrumo tollere relic, dum demiltum Capuc. pro.
tendic antrorsum, Pates rerrortum cendit, quo tiac aequilibrium, contrumque to-
rius pedibris seu tilero superemineat, salcem extra pedum ambitum vel non om-
nino vel tantillum deffectar. Oui autem proxter murum a tergo hoc non poltit,
dum (quo quid humo coltac) procendit Capue non retractis Natibus, praecipita-
TUE, (propeer tocius Cenerum policum extra tulerum seu Fulerorum extremum
ambicum, ee quidem magis quam ut valeant cendines id oneris ferre icerunque lub.
lerare;) salcem, nisi rerrebrarum cendines, musculique eo spectances, admodum
robulti fuerine.
Einc item est, quod Ai fortius, alii mollius terram ambulande feriant, adeo-
que lonitum majorent minoremque sonoro parimente incedentes edant. Nempe,
duo sune incedendi moct, vEuE PavCI id animadvertant. Ouippe, Aliis dum pe
dem promorendum acollune, corvoris centrum gravitatis a reliqui pedis. perpen-
diculo non prius amOrenE quam DeS PrOmOtuS terram iterum alcingaI: (AEque
hoc Chorodidascali Ceu Salratoriae artis Macistri, E rem luam incelligant, impri-
mis curare debent discipulis intinuandum, quo Calrem uni pedi insiltens Corpus
asile in omnem partem pront Opus erit conrertere paracus lic:) Alii vero Felti.
nantiores, dum pedem promorent, promorent cimul ec Centrum graritatis; quod
itaque, relicto priore tulero, procidere llacim incipit, doncc Des promotus terram
icerum artingens calurum sultineat; (apud quos itaque Inceslus elt quasi Casus
e Sultentatio se mutuo continue excipientes:) ITi itaque, propter procidentem
corporis molem pondusque, torrius cerram teriunt et cum majori Ponitu, quam
qui (sustento a pede aliero torius Centro gravicatis et onere) pedem promotum
mollius demittunt; et quo praecipicancius Centrum GTaVIIAES lic proniovent, eo
Fortius Poium feriunt.
Hlinc item reddenda est ratio cur _ii aliis saepius titubent, ee ticubatu cadant:
Nempe, vollquam relicto priori Tulero Centrum promovetur, promoto pedi mox
Ctacuminando contidens, li Des promocus racillet auc intidae cerrae se committae
aut expectaro tulero destituatur, decidit corpus, falcem calui proximum est; pa-
riterque l inexspectato pes impingat, ut non potlit lat eito catenus promoreri ut
valeat cadenti corpori mature terre suppetias. Dui rero perstantis pedis fulerum
non prius deserune quam pes promotus icerum tirmetur, minus lune his periculis
obnoxii: Adeoque, qui incedunt crecti muS quam qui prono Capite.
Fsinc porro elt (quod Funambulos maxime spectat) quod dui Dexrrorsum
casuri sint, protendant brachium simstrum; qui dinistrorsum, Dexirum; qui Re-
prorsum, alterum vel utrumque Porrieant; qui Prorsum, Recrabant. Nam qui
Dextrortum casurus (ob corporis cenirum dexrrortum provendens) Sinistram pro-
cendie siniltra gravitacionem auset (urpore remorius a Fuleri perpendiculo po-
sitae) adeoque commune torius Centrum graricatis sinistrortum retrahiit, quo ret
STTTEF
non
P ROP. TV.

## Folio 1062 — 851387705:1082
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001082.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Timiliter.
Cap. V.
Acque ad idem intenti sunc Ahleta conucrantes. Ouipue qui Antasonistae
corporis, rarie corquendo, Centrum graritacis extra Fulerorum ambicum lonrius
dimorerit, facile illum subvertet
Htuc item reterendum erit, quod, Qui promissis brachiis incedunt, dum pedem
deatrum promovent promovent sinistrum brachium; dum sinistrum pedem, bra-
chium dextrum. Ouippe hac alternatione torius Centrum melius retinetur in
perpendiculo duobus pedibus ceu tuleris intermedio; nequa propendeat, torique
catum miniteeur.
Trem (quae inter Pristotelis Ouxe-
stiones Mechanicas OCCUFrIE) CuI,
Qui sedet, non potest se in rectum
erisere, nisi vel protenso Capite, vel
Pedibus retractis. Nempe, qui le
dec, (puca, in situ C NCP, Factis
in N et C angulis rectis,) lonse ma-
Jorem CorpOriS Partem habet d C
vertus H policam (nempetotam par-
tem C.NCE, a Capire ad senua:
adeoque Centeum Graricaris (ejusve
verpendicutum) procul a C versus
II. Cum itaque Ctanci tucurum siC
Fulerum in Pedibus P, adeoque (ma-
rentibus ut prius cruribus e P in sim perpendiculari) rerocandum (E Tocins
CHC Cenerum ad perpendiculum (P, ut ipsi C supereminear; vix aut ne vix
illud fiee nisi supra modum robultos supponamus museilos tendinelque eo spe
etantes. Frigendus enim eles rorationis Centro C, vectis GH (et ipse gravis.
onere NC in extremo onustus. Si vero retrahantur pedes d V ad X quo Fu-
Crum Centro graricatis subjieratur; vel protendatur capur a C ad n, quo C’entrum
graritatis propius ad P fulerum Cenerumque mocus  feratur, aue eriam ip(s
immineat; vel partim hoc, partim illud: magno onere liberantur musculi ten-
dinelque.
Fiinc item respondendum quaestioni, (quae quamris ridicile proponi soleat, se
riam tamen meretur respontionem,) Cur Anser Borrei ostium intrans utcunque
altum, (quod planstrum demesso critieo onultum admictere postit,.) Caput de-
mittat. Cui ridieule relpondere Tolemr (acure Forsan, ut ipli coritant,) Ouo.
niam Anter est, (hoc est, animal simplex ee imprudens;) id factum reputantes
quali mecuerie anser ne capue superliminari (in tanta distantia remoro) impin-
Seret. Sed (nisi illud quandoque Aat, quod anser eriam ab ipso statim horrei
intrOitu prana quxraE quibus pasCatT;) vera causa est, quod ad horrei oltium
(licur ad octia minora) poni Coleat Limen (seu quod liminis instar sic) ab an-
sere Tuperandum quo horreum ingrediatur: Ouod ue Fiat, pedum ancecedente li-
mini superimpoliio, cirea quod itaque ut tulerum seu mocus Cencrum rocandum
erit corporis corius Centrum praritatis, rorationem illam tacilirat porrecto capite
ulera limen, adeoque aucta iphus graritatione, Centrum corius proxius aet fulerum
admovet. (Sin dicatur, non lemper esse ad octium horrei quod Liminis instar
Eitu Sire Ascensus; dicendum, nec Anserem semper introcuntem capus demitrere.)
Ouodque Anser iplis ridiculus, idem faciune ipsi, acque ob eandem caulam:
Nempe. Dum scalam, gradus, montemve ascendunt, caput protendunt. Caula est.
quod, hoc tacto, tacilior tiac circa pedem anieriorem, sractui scandendo imposi.
cum, rocacio, (quae omnino Facienda erit ut tiac ascentus,) ob porrectum capiris
Dondus ultra tulerum. Saltem, si hoc nondum Faciant, ab Ansere discant.
Ttem, Cur Bajuli, si onus Flumeris seu Fereo sestant, se antrorsum incurvant:
Si Oinis, retrorsum: ec Aneilla, si aquae siulam promisso brachio sinistro ferat
dextrorsum se incurvat, lextento etiam brachio dextro:;) si dextro, sinistrorsum;
si utrogue, recta incedit; similiterque si capiti impositam ferat. Nempe His mo-
dis omnibus efficitur, ut Corporis Oncrilque commune. Centrum graritaris com
muni Fulero superemineat, Caliem excra fulerorum ambicum minus recectat.
Vidique ipse non neminem, in cum pondus, manibus latum, antrersum pro-
jecit
Fpilocus, ex Miscellaneis.
non omnino rel minus ad dexeram provendeat, et casum moliatur. Ft in exteris
1062

## Folio 1063 — 851387705:1083
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001083.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
Prop. IV
patus, ex Miscellaneis.
jecis, cecidit ipse rerrorsum. Nempe; Ouo Corporis Ponderisque commune Cen-
trum fraricaris tulero immineret, Corporis lui Centrum graviraris nonnihil setro
mocum erat; quod itaque iplum post leparatum quod manibus seltarerat pondus,
ita retraxit, neantequam se in debicum licum resticuere poller, recro ceciderit.
Ilinc item elt, quod FTomines Obesi, Ventriosique, soleant Precti incedere, seu
Rectinato etiam Capite, (nempe propter Onus ante seltarum,) Contra vero, qui
nazapot eracilesque, Capite Proclinato saexius incedant; similiterque, qui Gibbis bu-
meris: proprer Onus recro geltatum.
Finc item liquer, omnino male consulcum ese, siqui Proctinantibus appendant
a Tereo grave, eo tine, uc, rerulso collo, capur erisere cogantur: Consulcius uri-
que tacturi, si pro Pectore Ventreve appensam Plumbi laminam adhiberent (ali-
udre grare,) ue, erecto rel reclinato Ciapire, altectenE aequilibrium.
Aliaquemulta, gux a mutato torius Cencro graritatis ob mutatum situm depen-
dent, (quorum exempla innumera, ne lonse abeamus, animalium incessiis aliigue
mocus suppeditabune,) Solutionem ex eodem Fonte Corrientur.
Et quidem, de mocibus pure Scatieis (quae à Cola Gravitate dependent) vel
efficiendis vel non efficiendis, judicium hiet ex illo generali principio (a Torricellio
aliilque passim adhibito:) Si, effecto motu proposito, Cravis movendi Centrum eravi-
tatis, vel Aecrecati ex pluribus conjunctis Commune Centrum, descensurum sit; Motus
consequetur: sin minus; non consequetur. Quod nos niverlalius eHterimus, (quo
ad alios etiam motus res extendacur,) Si Processus Secundum directionem moven-
ris, (vel aegresati processuumplurium,) Maenitudo (ex Virium gradu  M.
titudine processus  aestimanda praepolleat Maenitudini (similiter aestimanda)
Recresus (recressummve acereeati) Contra moventis directionem; Alotus efficie-
tur: Sin minus; non efficietur. VE CX PFOP. 295, 6. Cap. 2. liguet. In moribus
autem Facilicandis, seu minori Vi perficiendis, Pro diminutis Piribus effectricibus
in eadem ratione diminuitur Celeritas; (adeoque Virium defectus Temporis dispen-
Acque hac Principia, ad Ouactiones Mechanicas innumeras sire apud Pristote-
tem tive alios occurrentes, sive in communi rita humana palsim obrias, Tolvendas;
tacile elset accommodare. Sed, crescence volumine, alicubi tandem siltendum
exic ne nimii simus; corique operi tinis imponendus.
dio redimendum: ) Per prOD. 27, 28. C ap. 1.

## Folio  -  — 851387705:1084
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001084.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 168 lines, status machine
Cum, in hoc Fractatu de Moru, ad Figurarum aliquas lxepius respiciendum sits
quastamen tocies repetere non ridebatur commodum; led es iplaetigura non eo
temper numerantur ordine quo occurrunt, (ed 0o porius quo fuerant primitus de
Scripea, quibus tamen cum lua facta fuerant nomina, non eranc ea remere mutan-
da (necitariones curbareneur) licet (in progrestir operis) nonnulla post fuerint
inserenda (sire ut Lemmata ad subsequentia, Cire ut Corollaria ad ante dicta;) qua
noras poscebane figuras interponendas, numeris nondum occupatis intigniendas:
Visum est hac Synopsi limul indicare, qua quaeque pagina (c conspicienda; quo
Lectori minus molestum (C, cum opus fuerit, eas exquirere.
FissPaS. FiB. PP28.
2578 44605
2580 45605
3580 46607
4580 47607
5580 48670
6580 49OTF
7584 506+2
8584 5F676
9584 52628
20584
536+8
F2584 54618
72587
23587
24587
25587
16589
55(620
56620
57620
Fix)PAB. FiB. JPaB. FiB. IP2S. FiG, jPaS. FIB,, PaS.
80646 (28675
87647
(29675
88648 130678
270754 212922 254966
271765 2+3022 255,966
T72765 214022 256967
89648 737680 273805
27593F 257967
90649 232683 274805 210032 258967
92649 233683
92650 234683
93650
235693
94650 236695
2758+4 277934 259968
276824 218935 260968
277838 2+9936 261968
178835 220937 262968
142898 283844 225944 267975
242700 184847 226944 1 268975
24370+ 285854 227944 269978
17580 6062F 202650 14417OF 186757
28580 67622 503650
228944 270979
2457OF 187857 229045 272070
10589 62622 20466+ 14670+ 288857
230045 272980
20589 63622 10566r 24770+ 289865 232945
273982
21589 64622 206664 248702 290866 232917 274983
22500 65623 107669 240705 292868 233947
23500 66623 108669 550705 792868 234947
275984
276984
24500 67623 209669 257706 293868 235947 277084
25590 68624 710669
2659r 69626 271669
32597 75629
33597 76633
34597 77634
35597 78635
36599 79635
172669
T73670
252707
253707
29487F 236048 278085
205872
F16672
227672
237949 270085
254708 296872 238950 280687
80L55+
297872 239950 285088
TF467O 250712 298873
F2567F
T28C7T
340950 282989
157723 299880 242952 283980
258 727
20088T 242952 284991
159727 202883 243953
285902
260727 202895 244054 286093
27967F 26L(723 203899 245954 287993
220673, 262723 204899 246955
221673
37598 6004L 222673
38598 81645
2977000
2085000,
299, 1002
300,+3
302,1005
303 70+2
304 1OF2
06654 238696 280840 222942 264972 3061013
5963F 107659
2959F 72629
32(59674620
FiB. 1 B2C.
296 990
30+1004
95654 237696 279830 222942 263968 3051012
97656. 230696 181184. 2 223943 265974
98658 240696 182814 224043 266,975
00659
58620 100659
27507 30628
285OF 7+629
30505
223673
3959B 82645 124,673
263725 205004 247955
288004
289995
164727, 206010 24896+ 290995
265733
207012 249961 291995
266802 208912 250963 292996
40598 83645 125673 267803 2099T2 252063 293997
4+60F 84645 126673
268803 270917 252963 294998.
407 10T3
308,1015
.36916
310162L
3L4)103.
322133
513+634
515(1037
310(1037
42602 85645 227,675 169754 322027 253063 205008 33(928
3603
324]1036
3175038
520(1039
3T9,1040
5201045
3217053
3221054
323 024
5=4 924.
525 920
326) 926
327 927
5L8 906
529 906
330 907
337 907
332 908
3332056
3342057
3352058
3362062
des

## Folio  -  — 851387705:1085
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001085.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
11
IED WILHELM LEIBNIZC
DERSACHSISCHE LANOCSBLBLIO
L22
SIBH. MaG. 100. 112: L8IBn. M219. 100. 112, SueK 1, 11085)(C)

## Folio  -  — 851387705:1086
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001086.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
t  t  se  u  t an        t  .    t ta atate at a t  te        i t  t  
19. 109: 112: L e.bn. Mlar9. 109: 112, SUieK 1, (1986)

## Folio  -  — 851387705:1087
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001087.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
Alocorsichsische
londestitaliortot
 Mivo
GILBHannover 35
pMi

## Folio  -  — 851387705:1088
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001088.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
III
1
ius
IIII
l1s1III
ronsutiue n
+ 3

## Folio  -  — 851387705:1089
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851387705/jpgs/default/00001089.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 93 lines, status machine
as
i
e
us
u
C
osd
e
dnr
ein
ge
d
ees
ud
es
en
ola
d
n
ot
a
e
a
e
des
s
m
on
e
e
at
me Ed
s
d
dac
d
C
ot
e
 
noc
s
i
a
u
a
e
s
en
s
e
s
t
dea
2
 H
e
6
EdE
o 
 
t
des
ed
a
pata
e
d
vell
 19)
iau 
i  
n
D
e
alloralu
m m varman
liale
Le
vF
uq eas
n 
aee
esso
s
esta
C5
ise
eiis
du it en ent
u
e
s